Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

на правах рукописи

Гребнев Михаил Игоревич

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА ОСНОВЕ

ИЕРАРХИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата экономических наук

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук,

профессор

Андрианов Д. Л.

Пермь – 2016

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................... 4

ГЛАВА 1. Теоретическое обоснование проблемы повышения точности

макроэкономических прогнозов на основе агрегирования производственных

функций ......................................................................................................................... 12

1.1. Анализ проведенных исследований процессов производства на

региональном и национальном уровнях экономики России .......................... 12

1.2. Экономико-математическое моделирование иерархического

взаимодействия экономических систем ........................................................... 22

1.3. Постановка проблемы точности макроэкономического моделирования

производственных функций ............................................................................... 41

ГЛАВА 2. Развитие методов анализа производственных процессов на

национальном и региональном уровнях экономики на основе агрегирования

производственных функций...................................................................................... 46

2.1. Вывод функциональных форм агрегированных производственных

функций для различных законов распределения параметров ........................ 46

2.2. Вывод функциональной формы агрегированной производственной

функции для экономики России ........................................................................ 57

2.3. Вывод функциональной формы агрегированной производственной

функции с учетом научно-технического прогресса для экономики России . 68

ГЛАВА 3. Эмпирическая оценка точности разработанных методов

агрегирования производственных функций ......................................................... 79

3.1. Вычислительный эксперимент, направленный на оценку точности

разработанных методов агрегирования производственных функций ........... 79

3.2. Оценка точности агрегированной производственной функции для

экономики России ............................................................................................... 82

3

3.3. Оценка точности агрегированной производственной функции с учетом

научно-технического прогресса для экономики России ................................. 89

3.4. Проведение сценарных расчетов для экономики России ........................ 96

3.5. Программный комплекс «Прогноз. СБСП СЭР РФ» ............................... 98

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 109

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ....................................................................................... 110

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы

для ЭВМ. Система балансировки стратегических прогнозов социально-

экономического развития Российской Федерации, ее регионов и отраслей

(ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ) ................................................................................... 122

Приложение B. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в

Министерстве экономического развития Российской Федерации ................. 123

Приложение С. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в

АО «ПРОГНОЗ» ........................................................................................................ 124

Приложение Д. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в

образовательный процесс ФГБОУ ВО ПГНИУ ................................................. 125

4

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Аппарат теории производственных

функций активно используется и считается достаточно эффективным

инструментом моделирования производственных процессов. Как известно,

производственные функции применяются для макроэкономического

прогнозирования и оценки последствий принимаемых управленческих решений

на основе проведения сценарных прогнозных расчетов. При этом существует

потребность в повышении точности макроэкономического прогнозирования на

основе производственных функций. Одна из причин снижения точности

макроэкономического прогнозирования на основе производственных функций

состоит в том, что при их построении не учитывается асимметрия развития

региональных экономических систем, сформированная за счет дифференциации

технологических особенностей промышленного производства, неравномерности

обеспечения ресурсами, особенностями рыночной конъюнктуры. Все это

обуславливает актуальность выбранной темы, посвященной решению проблемы

межуровневых противоречий в экономике за счет развития теоретико-

методологических положений математического аппарата макроэкономического

прогнозирования изменения производственных взаимосвязей.

Основой решения данной проблемы может послужить новый метод

агрегирования производственных функций, учитывающий в достаточно полной

мере вышеперечисленные факторы.

Степень разработанности проблемы. К фундаментальным работам по

моделированию производственных функций на национальном и региональном

уровне можно отнести работы следующих авторов: Р. Гофман [109], П. Дуглас

[90], Ч. Кобб [90], В.В. Леонтьев [99], Б. Минхас [87], Н. Реванкар [107], К. Сато

[111], Р. Сато [109, 110], Р. Солоу [87], Х. Чинери [87], К. Эрроу [87].

Существенный вклад в развитие методов моделирования производственных

функций внесли отечественные ученые: С.А. Айвазян [4], М.Ю. Афанасьев [4],

В.А. Бессонов [12], И.В. Елохова [37, 38], Г.Б. Клейнер [44-51], Б.Н. Михалевский

5

[56], М.К. Плакунов [67], Р.Л. Раяцкас [67], Б.Н. Сирота [45, 46], В.И. Стаматин

[75], Л.Л. Терехов [77], В.А. Харитонов [75], С.В. Цухло [12]. Построению

производственных функций для отечественной экономики посвящены работы

следующих авторов: А.В. Аксянова [1], А.И. Анчишкин [3], А.А. Афанасьев [5-9],

Р.Х. Бахитова [11], Е.А. Гафарова [16], В.К. Горбунов [18, 19], И.Л. Кирилюк [41],

А.Г. Львов [18, 19], Б.Н. Михалевский [55], О.С. Пономарева [9], И.Г. Поспелов

[70], Б.Г. Серебряков [72], Н.Л. Эфрос [72].

Проблеме агрегирования производственных функций посвящены труды

следующих авторов: Ф. Дреш [91], Э.Б. Ершов [39], М.В. Казакова [40], Л. Кляйн

[97, 98], Д. Левхари [102], В.В. Леонтьев [100, 101], Дж. Маккомби [94], К. Мей

[104, 105], А. Натаф [106], Ю.К. Перский [60], А.А. Петров [64, 65], И.Г. Поспелов

[64], Ш.Ш. Пу [113], Т. Сарджент [108], К. Сато [112], Г. Тейл [115, 116, 117],

Т. Тинтер [78], Х. Фелипе [93, 94], Э. Фельс [78], Ф. Фишер [93, 95, 96],

Х. Хаутаккер [92], А.А. Шананин [64, 65, 81], Д.Н. Шульц [60, 85]. Проблема

оценки взаимовлияния микро- и макроэкономики изучается в рамках

иерархического анализа экономики такими авторами как О.Г. Голиченко [17],

Е.Е. Жуланов [61], Г.Б. Клейнер [42, 43], И.К. Ларионов [53], Ю.К. Перский [60,

61, 63], Е.В. Попов [68], А.И. Татаркин [68].

Анализ трудов перечисленных ученых свидетельствует о том, что

непротиворечивое агрегирование производственных функций возможно только в

случае линейных производственных функций.

Существуют прикладные экономико-математические методы

агрегирования, которые позволяют оценить макроэкономическую

производственную функцию. Однако данные методы не приспособлены для

асимметричных законов распределения параметров региональных

производственных функций и не позволяют учесть неравномерность

распределения ресурсов между элементами региональной экономической

системы.

Объект исследования – региональные производственные системы в

национальном экономическом пространстве.

6

Предмет исследования – экономические процессы производства и их

взаимосвязи на региональном и межрегиональном уровне.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является развитие методов анализа

экономических процессов на основе агрегирования производственных функций

на региональном и национальном уровнях экономики с применением экономико-

математического моделирования. Для достижения данной цели были поставлены

следующие задачи:

1. На основе анализа производственных процессов на региональном и

национальном уровнях экономики синтезировать новые виды

макроэкономических производственных функций, учитывающие особенности

методов их моделирования, предложенные в производственных функциях Кобба-

Дугласа, Леонтьева, CES, линейной ПФ при различных законах распределения

параметров: нормальный, равномерный, треугольный, логнормальный.

2. С помощью прикладного экономико-математического метода

агрегирования производственных функций доказать гипотезу о том, что в общем

случае функциональная форма производственной функции не является

инвариантной относительно уровня экономической иерархии.

3. Разработать универсальный прикладной экономико-математический

метод агрегирования производственной функции на национальном уровне

экономики и сравнить его точность с методом репрезентативного агента.

4. Разработать программный комплекс, предназначенный для

автоматизации процесса построения агрегированных производственных функций

на основании универсального прикладного экономико-математического метода

агрегирования.

Теоретическую и методологическую основу исследования составили

труды отечественных и зарубежных ученых в области теории экономико-

математического моделирования и прогнозирования для производственных

функций, экономической теории, региональной экономики.

7

Основные методы исследования. В работе использованы методы

системного анализа, методы статистической обработки данных, методы

экономического анализа, методы экономико-математического моделирования, в

том числе методы агрегирования, эконометрические методы, численные методы.

Информационной базой диссертационного исследования послужили

статистические данные Федеральной службы государственной статистики об

объеме валового внутреннего продукта Российской Федерации, валового

регионального продукта субъектов РФ, данные о среднегодовой численности

занятых в экономике, среднемесячной заработной плате и инвестициях в

основной капитал по субъектам РФ и России в целом. Также в процессе

подготовки диссертационного исследования использовались сценарные условия,

основные параметры прогноза социально-экономического развития Российской

Федерации и предельные уровни цен (тарифов) на услуги компаний

инфраструктурного сектора на 2016 год и плановый период 2017 и 2018 годов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. На основе анализа производственных процессов на региональном и

национальном уровнях экономики синтезированы новые виды

макроэкономических производственных функций, учитывающие особенности

методов их моделирования, предложенные в производственных функциях Кобба-

Дугласа, Леонтьева, CES, линейной ПФ при различных законах распределения

параметров: нормальный, равномерный, треугольный, логнормальный. По

сравнению с существующими новые виды макроэкономических

производственных функций позволяют учесть асимметрию развития

региональной экономической системы. (п. 1.1. «Разработка и развитие

математического аппарата анализа экономических систем: математической

экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации,

теории принятия решений, дискретной математики и других методов,

используемых в экономико-математическом моделировании» паспорта

специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 2, параграф 2.1, с. 46-56 диссертации).

8

2. С помощью прикладного экономико-математического метода

агрегирования доказана гипотеза об отсутствии инвариантности функциональной

формы производственной функции относительно уровня экономической

иерархии, а также обосновано условие выполнения инвариантности только для

случая линейной производственной функции. Отсутствие инвариантности

относительно уровня экономической иерархии говорит о невозможности переноса

функциональной формы производственной функции с регионального уровня

экономики на национальный уровень экономики, за исключением случая

линейной производственной функции, что ограничивает диапазон применения

классических видов производственных функций и указывает на необходимость

синтеза производственных функций. (п. 1.2. «Теория и методология экономико-

математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов

применения: теоретические и методологические вопросы отображения

социально-экономических процессов и систем в виде математических,

информационных и компьютерных моделей» паспорта специальности 08.00.13

ВАК РФ) (Глава 2, параграф 2.1, с. 46-56 диссертации).

3. Для учета высокого уровня неравномерности распределения ресурсов

между регионами России в диссертационной работе разработан универсальный

прикладной экономико-математический метод агрегирования производственных

функций. Установлено, что выведенные на основании универсального

прикладного экономико-математического метода макроэкономические

производственные функции обеспечивают более точные прогнозы по сравнению с

производственными функциями, полученными на основании метода

репрезентативного агента. (п. 1.7. «Построение и прикладной экономический

анализ экономических и компьютерных моделей национальной экономики и ее

секторов» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 2, параграфы 2.2,

2.3, с. 56-78 диссертации, Глава 3, параграфы 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 с. 79-98

диссертации).

4. Создан авторский программный комплекс «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ»,

предназначенный для автоматизации процесса построения агрегированных

9

производственных функций на основе разработанного универсального

прикладного экономико-математического метода агрегирования. В отличие от

существующих аналогов (EViews 8, Statistica 10, Stata 13, R, SPSS Statistics)

предлагаемый программный комплекс повышает точность прогнозирования ВВП

на основе учета межуровневых противоречий региональных и национальной

систем. (п. 2.6. «Развитие теоретических основ методологии и инструментария

проектирования, разработки и сопровождения информационных систем

субъектов экономической деятельности: методы формализованного

представления предметной области, программные средства, базы данных,

корпоративные хранилища данных, базы знаний, коммуникационные технологии»

паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 3, параграф 3.3 с. 98-108

диссертации).

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе развиты

теоретические положения, связанные с экономико-математическим

моделированием производственных функций. Результаты, полученные в работе,

вносят вклад в решение важной народнохозяйственной проблемы повышения

точности прогнозирования производства ВВП на национальном уровне

экономики. Практическая значимость работы заключается в возможности:

использования разработанного программного комплекса Министерством

экономического развития Российской Федерации для построения

макроэкономических производственных функций и расчета краткосрочных и

среднесрочных сценарных прогнозов ВВП России с учетом решенной проблемы

межуровневых противоречий;

применения разработанного программного комплекса закрытым

акционерным обществом «ПРОГНОЗ» для оценки чувствительности объема ВВП

России к изменению объемов факторов производства;

использования полученных результатов высшими учебными

заведениями в учебном процессе в дисциплинах «Региональная экономика»,

«Системный анализ в экономике», «Математическое моделирование экономики».

10

Апробация работы. Ключевые положения диссертационного исследования

были представлены на научных семинарах лаборатории конструктивных методов

исследования динамическим моделей ПГНИУ (г. Пермь, 2014 г., 2015 г.), научном

семинаре «Проблемы моделирования развития производственных систем»

(г. Москва, ЦЭМИ РАН, 2014 г.), научном семинаре «Стратегическое управление

социально-экономическим развитием региона» (г. Пермь, Центр науки при

Пермской краевой библиотеке им. А.М. Горького, 2015 г.), шестнадцатом

всероссийском симпозиуме «Стратегическое планирование и развитие

предприятия» (г. Москва, ЦЭМИ РАН, 2015 г.), региональных научно-

практических конференциях «Экономика и управление: актуальные проблемы и

поиск путей решения» (г. Пермь, ПГНИУ, 2013 г., 2014 г., 2015 г.).

Результаты диссертационного исследования используются в учебном

процессе для преподавания научных дисциплин «Региональная экономика»,

«Системный анализ в экономике» и «Математическое моделирование экономики»

на кафедре информационных систем и математических методов в экономике

Пермского государственного национального исследовательского университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ общим

объемом 10,25 п.л. (в том числе авторских 6,63 п.л.), из них в ведущих

рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК – 8, в

изданиях, включенных в базу цитирования Scopus – 1. Разработанный

программный комплекс «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ» зарегистрирован в Реестре

программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности,

патентам и товарным знакам за номером 2015619466.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из

введения, трех глав, заключения, приложения, 47 иллюстраций и 23 таблицы.

Работа содержит 125 страниц машинописного текста. Библиографический список

содержит 117 наименований литературных источников.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели

и задачи исследования, раскрыты научная новизна и предмет исследования,

отмечена практическая ценность работы.

11

В первой главе «Теоретическое обоснование проблемы повышения

точности макроэкономических прогнозов на основе агрегирования

производственных функций» рассмотрены проведенные исследования процессов

производства на региональном и национальном уровнях экономики, поставлена

проблема точности макроэкономического моделирования производственных

функций.

Во второй главе «Развитие методов анализа производственных процессов

на национальном и региональном уровнях экономики на основе агрегирования

производственных функций» представлены результаты развития прикладного

экономико-математического метода агрегирования производственных функций и

результаты построения макроэкономической производственной функции для

экономики России, обеспечивающие точность прогноза ВВП.

В третьей главе «Эмпирическая оценка точности разработанных методов

агрегирования производственных функций» приведены результаты оценки

параметров макроэкономической производственной функции для экономики

России, результаты сравнения ее точности с классической производственной

функцией Кобба-Дугласа и описание программного комплекса, предназначенного

для автоматизации процесса построения агрегированных производственных

функций на основании универсального прикладного экономико-математического

метода агрегирования.

В заключении содержатся основные выводы и результаты теоретического

и практического характера.

В приложении представлены справки о внедрении результатов

диссертационной работы и свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ».

12

ГЛАВА 1. Теоретическое обоснование проблемы повышения точности

макроэкономических прогнозов на основе агрегирования производственных

функций

1.1. Анализ проведенных исследований процессов производства на

региональном и национальном уровнях экономики России

Аппарат теории производственных функций является важнейшим

инструментом экономико-математического моделирования производственных

процессов на региональном и национальном уровнях экономики. Широкое

применение производственные функции получили в моделях экономического

роста, моделях рынка труда, теории агрегированного спроса.

Первоначально рассмотрим вопрос о том, что вкладывают в термин

«производственная функция» ведущие специалисты в данной области.

Л.Л. Терехов интерпретирует термин следующим образом: «Производственная

функция есть экономико-математическое выражение зависимости результатов

производственной деятельности от обуславливающих эти результаты

показателей-факторов» [77, c.7]. Согласно Г.Б. Клейнеру «Производственная

функция – экономико-статистическая модель процесса производства продукции,

отражающая устойчивую закономерную количественную зависимость между

объемными показателями ресурсов и выпуска» [44, c.15].

Формально производственная функция выглядит следующим образом:

(1)

где – объем выпуска;

– вектор ресурсов;

где – объем затраченных ресурсов i-го вида, ;

– число ресурсов;

– вектор параметров.

Область определения производственной функции:

(2)

13

«Производство товаров и услуг осуществляется путем комбинирования

факторов производства: сырья и материалов, средств производства и

человеческого труда» [86, c.636]. «Фактор «сырье и материалы» представляет

собой совокупность сырья, вспомогательных и производственных материалов,

которые применяются в процессе производства, сбыта, материально-технического

снабжения, а также для поддержания производственной системы в рабочем

функциональном состоянии» [86, c.637]. «Производственный фактор «средства

производства» объединяет в себе: землю, здания, сооружения, промышленное

оборудование, различные юридические права, здания, которыми обладает

предприятие» [86, c.637]. «Средства производства, таким образом, являются

благами, которые используются в процессе производства и являются основой

производственного процесса» [86, c.637]. «Фактор «труда» можно рассматривать

в двух аспектах – или как исполнительский труд в процессе производства, или как

управленческий труд по организации производственного процесса и разработке

производственного плана, а также по непосредственному руководству

сотрудниками» [86, c.637].

При построении производственной функции для экономики России

некоторыми учеными используются такие факторы, как инвестиции в основной

капитал [12, 70], эффективный капитал [19], мировые цены на нефть [9, 41] и

фактор инфраструктуры (основные фонды по виду экономической деятельности

(ВЭД) «Транспорт и связь») [9]. В качестве показателя, отражающего затраты

труда, некоторыми авторами используется фонд оплаты труда [82].

На данный момент существует достаточно широкий перечень

производственных функций. В данной работе будет рассматриваться только класс

производственных функций с постоянной эластичностью замещения. В общем

виде производственная функция с постоянной эластичностью замещения (ПФ

CES) выглядит следующим образом:

(3)

где ;

14

– степень однородности;

– параметр степени фондоемкости технологии;

– уровень технологии.

На рисунке 1 приведен график линий уровня ПФ CES.

Рисунок 1. Линии уровня ПФ CES

«Функция CES применяется в случаях, когда отсутствует точная

информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и вместе

с тем есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменится

при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. Иными словами, экономическая

технология обладает определенной устойчивостью по отношению к пропорциям

факторов» [44, c. 93]. «Функция CES может быть использована для

моделирования систем любого уровня» [44, c. 94].

Существует три частных случая ПФ CES:

При результатом предельного перехода является

линейная производственная функция (линейная ПФ):

(4)

На рисунке 2 приведен график линий уровня линейной ПФ.

15

Рисунок 2. Линии уровня линейной ПФ

«Линейная функция применяется обычно для моделирования

крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в

которых выпуск продукции является результатом одновременного

функционирования множества различных технологий» [44, c.93].

При результатом предельного перехода является

мультипликативная производственная функция (ПФ Кобба-Дугласа):

(5)

где – параметр масштаба;

– эластичность выпуска по капиталу;

– эластичность выпуска по труду.

На рисунке 3 приведен график линий уровня ПФ Кобба-Дугласа.

16

Рисунок 3. Линии уровня ПФ Кобба-Дугласа

«Функция Кобба-Дугласа чаще всего используется для описания

среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного объединения

до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием

(вовлечение новой единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный

средней производительности имеющегося ресурса)» [44, с.92].

При результатом предельного перехода является

производственная функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ

Леонтьева):

(6)

В элементарных функция ПФ Леонтьева будет иметь следующий вид:

(7)

На рисунке 4 приведен график линий уровня ПФ Леонтьева.

17

Рисунок 4. Линии уровня ПФ Леонтьева

«Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго

детерминированных технологий, не допускающих отклонения от

технологических норм использования ресурсов на единицу продукции». «Обычно

используется для описания мелкомасштабных или полностью

автоматизированных производственных объектов» [44, c.91].

Одна из первых макроэкономических функций для народного хозяйства

СССР была построена Б.Н. Михалевским и Ю.П. Соловьевым [55].

Производственная функция имела следующую форму [22]:

0,12482 +0,005179 , (8)

где – конечный продукт в сопоставимых ценах;

– число отработанных человеко-часов с учетом квалификации;

– производственные фонды в постоянных ценах с учетом материализованного

технического прогресса;

– стоимость используемой земли;

– год.

А.И. Анчишкин [3] получил следующие оценки параметров ПФ Кобба-

Дугласа для экономики СССР на периоде 1951-1970 [22]:

18

(9)

где – конечный продукт в сопоставимых ценах;

– число отработанных человеко-часов с учетом квалификации;

– производственные фонды в постоянных ценах с учетом материализованного

технического прогресса.

Д.А. Черников [80] оценил производственную функция такого же вида на

периоде 1971-1980 и получил следующие значения эластичностей по труду и

капиталу [22]:

;

. (10)

Б.Г. Серебряков и Н.Л. Эфрос [72] получили макроэкономическую функцию

национального дохода для СССР на периоде 1959-1968:

(11)

где , , ;

– конечный продукт в сопоставимых ценах;

– число отработанных человеко-часов с учетом квалификации;

– производственные фонды в постоянных ценах с учетом материализованного

технического прогресса;

– фондовооруженность труда;

;

.

В последнее время популярность набирают «инвестиционные»

производственные функции следующего вида:

(12)

где – инвестиции в основной капитал;

– затраты труда.

«Производственная функция, учитывающая в качестве одного фактора

(труд) переменную типа запаса, а в качестве второго фактора (инвестиции) –

переменную типа потока, т.е. фактор, приростной по своей сути, является

19

смешанной» [12, c.75]. По мнению В.А. Бессонова, построение темповых

производственных зависимостей является актуальным для российской

переходной экономики [12]. Кроме того, как отмечает В.А. Бессонов,

«инвестиции являются дефицитным фактором в переходной экономике», и

«применительно к ним не существует проблемы выделения эффективно

используемой части, в отличие от данных по фондам и труду» [12, c. 50].

В связи с резким ускорением процессов обновления основных фондов в

ряде западных моделей в последнее время предлагается использовать

«инвестиционные» производственные функции [74, c. 72].

Высокую точность аппроксимации «инвестиционной» производственной

функцией отмечает И.Г. Поспелов [61, c.141]. «Инвестиционная»

производственная функция была построена им на квартальных данных по

экономике России за период с 2000 по 2003 год и получила следующий вид:

(13)

где – валовые накопления (инвестиции в реальном выражении);

– затраты труда (в рабочем времени).

В.К. Горбунов и А.Г. Львов предложили «метод построения «капитальных»

производственных функций, один из факторов которых – стоимость

используемых (эффективных) фондов, формируемая по информации об

инвестициях в основные и/или оборотные фонды на промежутке наблюдения

исследуемого объекта» [19, c.95]:

(14)

где – начальный объем капитала;

– норма амортизации.

«Эта функция положительно однородна степени и имеет постоянную

эластичность замещения факторов, равную единице» [19, c.100].

Алгоритмические осложнения определяются объективной сложностью

20

рассматриваемой проблемы. Ее решение требует совершенствования методов

минимизации функции невязки регрессионных уравнений.

Наряду с ПФ Кобба-Дугласа В.К. Горбунов и А.Г. Львов использовали

ПФ CES, ПФ Солоу, ПФ Джири:

(15)

где – минимальный уровень использования капитала;

– минимальный уровень использования труда.

А.А. Афанасьев и О.С. Пономарева построили для экономики России

производственные функции трех видов:

«функция без инфраструктуры» [9, с.25]:

(16)

«функция с инфраструктурой» [9, с.25]:

(17)

«функция без инфраструктуры с мировой ценой на нефть марки “Брент”»

[9, с.25]:

(18)

где – валовой внутренний продукт России в сопоставимых ценах 1990 г. в

году ;

– среднегодовая стоимость основных фондов народного хозяйства в

сопоставимых ценах 1990 г. в году ;

– степень загрузки производственных мощностей в российской

промышленности в году ;

– среднегодовая численность занятого в народном хозяйстве населения в году

;

21

– среднегодовая стоимость основных фондов отраслей транспорта и связи

в сопоставимых ценах 1990 г. в году (инфраструктура);

– мировая цена на нефть марки «Брент» в сопоставимых ценах 2010 года.

Данные подход показал высокую степень эффективности, но необходимо

отметить, что данные по степени загрузки производственных мощностей

российской промышленности отсутствуют в региональном разрезе.

Использование же среднегодовой стоимости основных фондов народного

хозяйства в чистом виде не приведет к хорошим результатам, так как данный

показатель имеет достаточно вялую динамику.

В части работ по моделированию процессов производства на региональном

уровне следует выделить работу А.В. Аксяновой [1]. В данной работе предложена

методология исследования динамики показателей развития региональных

экономических систем с применение мультипликативных производственных

функций следующего вида:

(19)

где – среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. чел.;

– стоимость основных производственных фондов, млн. руб.;

– площадь сельскохозяйственных угодий, тыс. га;

– время.

Производственные функции в работе [1] строились по однородным группам

субъектов РФ на периоде с 1995 года по 2006 год. В данном диссертационном

исследовании используется более детализированный подход, производственные

функции построены по каждому субъекту РФ.

Эконометрические проблемы построения производственных функций

региона на основе временных рядов обсуждаются в работе Е.А. Гафаровой [16].

Также в данной работе представлены результаты построения производственных

функций для Республики Башкортостан.

22

Также необходимо отметить работу Р.Х. Бахитовой, Г.А. Ахметшиной и

И.А. Лакман [11]. В работе проводится построение производственной функции

для 79 регионов России с использованием инструментом панельного

моделирования на периоде с 2002 года по 2010 год. Авторы использовали

производственную функцию следующего вида:

(20)

где – валовой региональный продукт, млн. руб.;

– стоимость основных фондов, млн. руб.;

– численность экономически активного населения, тыс. чел.;

– кросс-секционное измерение;

– временное измерение.

В процессе подготовки диссертационного исследования инструмент

панельного моделирования рассматривался в качестве одного из методов

агрегирования [33], но в итого предпочтение было отдано прикладному

экономико-математическому методу агрегирования.

В диссертационном исследовании при построении производственных

функций используются следующие факторы производства: инвестиции в

основной капитал и фонд оплаты труда.

1.2. Экономико-математическое моделирование иерархического

взаимодействия экономических систем

В центре внимания иерархического анализа экономики находятся такие

аспекты, как взаимосвязи между микро- и макроэкономикой, мезоэкономика,

методология непротиворечивого описания многоуровневых систем, методы

построения макроэкономических функций на основе нижестоящих.

В основе иерархического анализа экономики лежит проблема соотношения

микро- и макротеории. Отсутствие ясной взаимосвязи между макроэкономикой и

микроэкономикой вызывает много вопросов среди экономистов. Эрроу назвал

«большим скандалом» то, что неоклассическая теория цены не может объяснить

23

такой макроэкономический феномен, как безработица [79, c.485]. Лукас и

Сарджент утверждали, что кейнсианская макроэкономическая теория обладает

«фундаментальным изъяном» – отсутствием прочных микрооснований [79, c.485].

Как отмечает О.Г. Голиченко, «необходимость обоснования макросвойств

экономической системы на микроуровне стала особенно актуальной во времена

«кейнсианской контрреволюции» 70-х годов, главными причинами которой

многие считали свойственные кейнсианскому подходу эмпирическую

направленность макроэкономических исследований и отсутствие теоретическое

основы на микроуровне» [17, c.87].

При макроэкономическом подходе экономическая система рассматривается

как преобразовательное звено – «черный ящик» , на вход которого поступают

экономические ресурсы, информация, энергия и другие факторы производства

, выходом системы является результат ее функционирования – объем

выпуска, прибыль и т.д. (Рисунок 5).

Рисунок 5. Экономическая система (макроэкономический подход)

При макроэкономическом подходе объем выпуска однозначно

определяется объемом затраченных производственных ресурсов .

При иерархическом подходе экономическая система рассматривается как

совокупность преобразовательных звеньев – «структурная модель системы»

(Рисунок 6). На макроэкономическом уровне она представлена входом ,

выходом и преобразовательным звеном . На микроэкономическом уровне

такая система описывается в виде совокупности элементов (подсистем), каждый

из которых представлен входом , выходом и преобразовательным звеном .

24

Рисунок 6. Экономическая система (иерархический подход)

При иерархическом подходе объем выпуска зависит не только от объема

затраченных ресурсов , но и от таких факторов, как неравномерность

обеспечения ресурсами элементов экономической системы (предприятий,

отраслей, регионов), технологическая неоднородность элементов экономической

системы.

В современной экономической науке чаще всего при моделировании

иерархических систем используется метод репрезентативного агента, согласно

которому функции и должны иметь одинаковый вид. Альтернативным

инструментом является аппарат теории агрегирования производственных

функций. Проблема агрегирования производственных функций представляет

собой частную задачу в рамках широкого направления исследований, связанных с

поиском теоретических и методологических мостов между микро- и

макроэкономикой.

Задача агрегирования производственных функций является важнейшей

задачей экономико-математического моделирования и играет важную роль в

поисках новой парадигмы экономической теории, преодолевающей традиционные

противоречия между микро- и макроэкономикой. Задача была поставлена ещё в

первой половине XX века, однако, но как отмечает член-корреспондент РАН

25

И.Г. Поспелов, «остается нерешенной до сих пор» [69, c.9]. Ф. Фишер отметил,

что «тема агрегирования производственных функций, которую следовало бы

похоронить много лет назад, по-прежнему жива» [52, c.22].

Прежде всего отметим, что в современной литературе проблема

агрегирования функциональных зависимостей имеет несколько аспектов. Во-

первых, выделяется задача «вывода макроэкономических закономерностей из

закономерностей поведения микроэкономических единиц» [66, c.20]. Во-вторых,

задачи агрегирования может рассматриваться с точки зрения «совместимости трех

элементов: микроэкономических соотношений, метода агрегирования,

макроэкономического соотношения» [103, c.1].

Задача агрегирования производственных функций может быть представлена

в следующем виде. Пусть имеется двухуровневая экономика, состоящая из

экономических агентов. Функционирование i-го агента описывается

преобразовательным звеном . Вектор-функция определяет

вектор объемов выпуска всеми производственными единицами

при затратах ресурсов . Пусть между производственными

единицами нет взаимосвязей. Тогда на уровне экономики в целом взаимосвязь

между агрегированным затратами ресурсов и агрегированным выпуском

описывается с помощью макроэкономической производственной функции

:

. (21)

Между переменными и , и также существуют взаимосвязи:

,

, (22)

где и – операторы агрегирования.

Первоначально для получения макросоотношений использовался метод,

предложенный в 1938 г. Ф. Дрешем [91] и основанный на индексах Дивизиа.

Кратко опишем идею метода.

26

Пусть на микроэкономическом уровне функционируют фирм, каждая из

которых производит один вид товар. Пусть микроэкономическая

производственная функция i-ой фирмы представлена в следующем виде:

(23)

где – выпуск i-ой фирмы;

– объем i-го вида труда, использованного для производства i-ой фирмой;

– объем i-го вида капитала, использованного для производства -ой фирмой,

.

Тогда макроэкономическая производственная функция является решением

следующего дифференциального уравнения:

(24)

Из уравнения следует:

(25)

где и – моменты времени, сопоставляемые индексом Дивизиа.

В 40-е проблема агрегирования была детально рассмотрена в работах

Л. Кляйна [97, 98] и К. Мэя [104, 105].

Если Ф. Дреш отталкивается в своих построениях от микроэкономического

уровня, то Л. Кляйн считает заданными микро- и макроэкономическое

соотношение. Соответственно, задача агрегирования сводится к установлению

связей между переменными двух уровней с учетом ограничений.

Пусть микроэкономическая производственная функция i-ой фирмы

представлена в следующем виде:

(26)

где – выпуск i-ой фирмы;

– объем i-го вида труда, использованного для производства i-ой фирмой;

– объем i-го вида капитала, использованного для производства i-ой фирмой.

Требуется определить функции-индексы:

27

(27)

где – агрегированный показатель выпуска;

– агрегированный показатели объема капитала и труда соответственно.

При этом индексы должны обеспечивать выполнение агрегированной

производственной функции, которая заранее известна и имеет следующую

неявную форму:

(28)

В своих работах Л.Кляйн использовал ПФ Кобба-Дугласа.

Микросоотношения:

(29)

Макросоотношение:

(30)

В качестве связующего индекса Л. Кляйн предложил использовать среднее

геометрическое:

(31)

Л. Кляйном сформулированы следующие требования к процедуре

агрегирования поведения индивидуальных фирм:

если существует производственная функция для индивидуальной фирмы,

то должна существовать производственная функция для экономики в

целом или её частей;

28

если прибыль максимизируется индивидуальными фирмами и

выполняется условие равновесия производителя, то в условиях

совершенной конкуренции это условие выполняется для агрегированных

величин.

Л. Кляйн рассматривал агрегированную производственную функцию как

чисто формальную зависимость, схожую с микроэкономической

производственной функцией. При этом, по его мнению, агрегированная

производственная функция не зависит от выполнения условий равновесия

производителя [98, c.303].

К. Мей придерживался альтернативного подхода, при котором считаются

определенными микроэкономическое соотношение и метод агрегирования, задача

заключается в получении макроэкономического соотношения между

синтетическими показателями. К. Мей считал, что агрегированная

производственная функция должна строится с учетом всех функциональных

зависимостей на микроуровне, включая те, которые отражают выполнение

условий равновесия производителя [104, c.63]. При данном подходе

агрегированная производственная функция отражает не только производственные

возможности совокупности фирм, действующих в экономике, но и учитывает

степень использования фирмами своих производственных возможностей.

В.В. Леонтьев (1947) [100,101] сформулировал теорему о необходимых и

достаточных условиях агрегируемости дважды дифференцируемой

производственной функции с неотрицательными аргументами. Согласно теореме,

агрегирование возможно тогда и только тогда, когда предельные нормы

технического замещения агрегируемых переменных не зависят от остальных

переменных [93, c.223].

Функция трех переменных , согласно теореме В.В. Леонтьева,

может быть записана как тогда и только тогда, когда

, где и – частные производные функции по и

29

соответственно, таким образом агрегирование возможно тогда и только тогда,

когда предельная норма технического замещения между и не зависит от .

Например, агрегирование капитала возможно тогда и только тогда, когда

предельные нормы технической замены между любыми двумя типами капитала

не зависят от труда. То есть, если задана производственная функция

, то агрегированная производственная функция будет иметь вид

, где , тогда и только тогда, когда

.

А. Натаф в 1948 г. [106] показал, что использование метода агрегирования

Л. Кляйна возможно тогда и только тогда, когда микроэкономическая

производственная функция является аддитивно-сепарабельной по капиталу и

труду [93, c.225]. Функция называется аддитивно-сепарабельной,

если ее можно представить в следующем виде

Предположим, что производственная функция i-ой фирмы имеет вид

, фирмы производят однородную продукцию ( ),

используют одинаковые трудовые ресурсы ( ), производственные

фонды фирм неоднородны. А. Натаф показал, что макроэкономическая

производственная функция существует тогда и только тогда, когда каждая

микроэкономическая производственная функция аддитивно-сепарабельна по

труду и капиталу, т.е. ее можно представить в следующем виде:

. Если данной условие выполняется, то агрегированная

производственная функция будет иметь следующий вид: , где

, Кроме того, если утверждать, что

агрегирование по труду будет натуральным, то , тогда

, где коэффициент является одинаковым для всех фирм.

Согласно теореме А. Бергсона [88], функция является аддитивно-

сепарабельной тогда и только тогда, когда она имеет одну из следующих форм:

(32)

30

Аддитивно-сепарабельными являются линейная ПФ, ПФ Леонтьева, ПФ

CES, которую можно записать в виде .

Производственная функция Кобба-Дугласа становится аддитивно-

сепарабельной только после логарифмического преобразования

Но даже если каждая микроэкономическая производственная

функция имеет форму Кобба-Дугласа, будучи аддитивно-сепарабельной в

логарифмической форме, макроэкономическая производственная функция не

может быть получена посредством суммирования микроэкономических по той

простой причине, что операция сложения не может быть выполнена в

логарифмах: сложение логарифмов натуральных чисел равносильно

перемножению этих чисел [13, c.435]. «Из этого вытекает, что агрегированной

производственной функции Кобба-Дугласа нельзя дать непосредственную

экономическую интерпретацию в терминах микроэкономической

производственной функции» [13, с.435]. «Действительно, для того чтобы

агрегированная производственная функция Кобба-Дугласа предусматривала

условия предельной производительности, аналогичные микроэкономической

производственной функции Кобба-Дугласа, мы должны интерпретировать

показатели степени агрегированной производственной функции скорее, как

взвешенные геометрические, нежели арифметические средние составляющих ее

микроэкономических производственных функций, где веса пропорциональны

соответствующим показателям степени производственных функций каждой из

фирм» [13, c.435].

Предположим, что система состоит из элементов, все элементы системы

идентичны и характеризуются линейной ПФ

(33)

где – объём продукции i-го элемента;

– объём затрат i-ым элементом;

– отдача от затрат.

31

В этом случае распределение ресурса по элементам системы не влияет на

совокупный результат:

(34)

где – суммарный объём производства по всей экономике;

– суммарные затраты ресурсов;

– доля ресурса, доступная i-му элементу.

Необходимо отметить, что выражение (34) является верным, если

выполняется условие , .

Однако данный вывод несправедлив, если сохранить предпосылку об

абсолютной идентичности элементов системы, но при этом снять предпосылку о

линейности их производственных функций. Возьмём самую простую нелинейную

производственную функцию:

(35)

Тогда

(36)

Прежде всего, это означает, что в случае даже идентичных, но нелинейных

производственных функций, невозможно синтезировать однозначную

макроэкономическую производственную функцию. Точнее говоря, в этом случае

макроэкономическая производственная есть функция не только суммарных затрат

ресурсов , но ещё и внутренней структуры (способа распределения ресурсов).

Более того, поскольку , то , а это означает, что если бы мы

все-таки воспользовались методом репрезентативного агента и в качестве

макроэкономической производственной функции использовали , то наша

оценка для макроэкономической производственной функции оказалась бы

заниженной в несколько раз, так как:

32

(37)

Например, если количество элементов в системе и ресурсы распределены

равномерно

, то действительное значение выпуска превосходило бы его

оценку в

раз. В реальной экономике ресурсы распределены менее

равномерно, но и количество элементов измеряется миллионами, можно

представить, какие погрешности даёт использование метода репрезентативного

агента в макроэкономическом моделировании и прогнозировании.

Для иллюстрации сказанного выше было проведено 1000 имитаций. На

каждой имитации осуществлялась генерация (по равномерному закону) величины

и весовых коэффициентов для системы, состоящей из 20 элементов ( ).

Далее был рассчитан суммарный объём производства и было

проведено его сравнение со значениями, полученными на основе принципа

репрезентативного агента . Результаты приведены на рисунке 7.

Прежде всего, как и ожидалось, результаты, полученные по методу

репрезентативного агента, оказались в разы заниженными. С другой стороны,

разброс точек напоминает нелинейную производственную функцию и

может быть аппроксимирован с помощью регрессии .

33

Рисунок 7. Объёмы производства на основе точного агрегирования и по методу

репрезентативного агента в случае нелинейных ПФ и идентичных элементов

В рамках проведенного эксперимента были получены оценки параметров

регрессии:

. (38)

Статистические характеристики полученных оценок находятся на высоком

уровне и значимы при 99,99%.

Однако предположим, что эластичность выпуска по фактору производства

отличается от 0,5. То есть производственная функция имеет вид ПФ Кобба-

Дугласа:

. (39)

Тогда агрегированная производственная функция имеет вид:

(40)

Если , то производственная функция близка линейной. На рисунке 8

приведены результаты расчетов при , как видно, зависимость между и

близка к линейной. Оценка параметров нелинейной регрессии дает следующие

результаты:

. (41)

34

В данном случае даже линейная аппроксимация для макроэкономической

производственной функции даст неплохие результаты.

Рисунок 8. Объёмы производства на основе точного агрегирования и по методу

репрезентативного агента в случае

Однако, если , то погрешности могут быть гораздо больше. На

рисунке 9 приведены результаты расчетов при , можно отметить

существенные погрешности, так как в этом случае

уже будет многократно

отличаться от единицы.

Рисунок 9. Объёмы производства на основе точного агрегирования и по методу

репрезентативного агента в случае

Оценка параметров регрессии дает следующие результаты:

35

, (42)

Рассмотрим ситуацию неоднородных элементов системы:

(43)

В этом случае существует меньше оснований аппроксимировать

макроэкономическую производственную функцию в виде . Практически

невозможно этот случай исследовать аналитически, поэтому проведём

следующий вычислительный эксперимент. Вначале предположим, что параметры

микроэкономических производственных функций распределены равномерно

.

Очевидно, что в этом случае дисперсия должна вырасти, поскольку к

разбросу, вызванному нелинейностью, добавится разброс, связанный с

неоднородностью. На рисунке 10 приведены диаграммы точек при

различных экспериментах. В рамках каждого эксперимента по-новому

генерировались случайные величины и на них проводилась 1000 имитаций.

Рисунок 10. Различные зависимости и при неоднородных элементах системы

и различных генерациях

36

Как видно на диаграммах (Рисунок 10), в любом случае прослеживается

нелинейная зависимость между и , а различия обосновывается случайными

факторами .

Если попытаться измерить зависимость между и , то нам придется

оценить регрессию вида или даже . В первом случае

параметры могут быть оценены с помощью обычного МНК на основе линейного

преобразования . Во втором случае необходимо

использовать нелинейный МНК.

В данном случае были получены следующие оценки:

(44)

и

(45)

В 50-е годы проблему агрегирования производственных функций

преимущественно связывали с агрегирование капитала. Проблема агрегирования

капитала рассматривалась в рамках спора двух Кембриджей [52]. В дискуссии

принимали участие такие известные экономисты, как Джоан Робинсон, Пьеро

Сраффа, Пол Самуэльсон, Роберт Солоу. Предметом спора был вопрос о

неоднородности капитала и вопрос об изменении стоимости капитала во времени.

Значительный интерес к проблеме агрегирования проявляли французские

эконометристы, среди них особенно заметны результаты Г. Тейла (1954) [115].

Г. Тейл так же, как и К. Мей считал точно определенными микросоотношения и

метод агрегирования. Г. Тейл показал, что не при всех условиях удается добиться

совместимости; вместо этого он использовал статистический критерий в своем

«методе аналогии» [1, c.575].

Достаточно оригинальный метод агрегирования производственных

функций был предложен Х. Хаутаккером (1955) [92].

37

В том случае если технологические процессы производства на уровне

фирмы представлены в виде ПФ Леонтьева и функция распределения мощностей

по технологиям имеет следующий вид (функция Парето):

(46)

тогда агрегированная производственная функция будет иметь вид ПФ Кобба-

Дугласа с убывающей отдачей от масштаба:

(47)

К. Сато (1975) [112] усовершенствовал метод агрегирования Х. Хаутеккера,

сняв требование нулевой эластичности замены и рассмотрев функции

распределения мощностей отличные от функции Парето [93, c.240]. К. Сато

разделил проблему агрегирования на два последовательных вопроса:

пусть производственная функция фирмы имеет вид: .

Тогда возникает вопрос: существует ли агрегированная величина капитала

и агрегированная производственная функция ? Данные вопрос

К. Сато определил, как проблему существования.

каким требованиям должна удовлетворять структура распределения

мощностей по технологиям, для того, чтобы существовала функция ? Данный

вопрос можно переформулировать следующим образом: Каким требованиям

должна удовлетворять структура распределения мощностей, чтобы существовало

однозначное соответствие между агрегированными величинами? Данные вопрос

К. Сато определил, как проблему инвариантности.

Общие требования логической непротиворечивости методов агрегирования

были сформулированы Э. Фельсом и Т. Тинтером (1971) [78].

Данные требования можно представить в виде следующей диаграммы

(Рисунок 11), где обозначает множество экзогенных микропеременных, –

множество эндогенных микропеременных, – множество экзогенных

макропеременных, – множество эндогенных макропеременных, –

микроэкономическая вектор-функция, – макроэкономическая функция, –

операторы агрегирования.

38

Рисунок 11. Требования логической непротиворечивости методов

агрегирования

Для обеспечения требований непротиворечивости диаграмма должна быть

коммутативной, два пути перехода от исходным микропоказателей (А) к

макровыводам (D) должны давать одинаковые результаты:

(48)

Э. Фельс и Т. Тинтер на основании данной диаграммы сформулировали три

проблемы агрегирования:

даны микротеория ( и макротеория ( ), необходимо

определить операторы агрегирования ( ). Основное внимание при решении

данной проблемы уделяется совместимости некоторого макросоотношения с

заданными микросоотношениями;

даны микротеория и операторы агрегирования ( , ищется

макротеория ( ). Решение данной проблемы основывается на

статистическом подборе макросоотношения между заданными синтетическими

переменными.

даны операторы агрегирования ( ) и макротеория ( ),

отыскивается микроэкономическая теория ( .

Ф. Фишер [95,96] пересмотрел работы Л. Кляйна, В.В. Леонтьева и

А. Натафа и обратил внимание на то, что ПФ должна отражать зависимость

39

максимально возможного выпуска от ресурсов, введенных в производство. По

замечанию Ф. Фишера, в теореме А. Натафа не учитываются условия

эффективности [93, c.227]. В простейшем случае, когда труд и капитал однородны

( ), условия эффективности требуют, чтобы

агрегированный выпуск был максимальным при заданных агрегированных

объемах капитала и труда . Условия агрегирования Ф. Фишера близки к

тем, которые сформулировал в 40-е годы К. Мей.

Кроме этого, Ф. Фишер отметил, что проблема агрегирования капитала не

является уникальной, соответствующая проблема имеет место и в отношении

выпуска и труда [93, c.229].

Ф. Фишер сформулировал необходимые и достаточные условия

существования агрегированного выпуска , капитала и труда :

агрегированный выпуск будут существовать тогда и только тогда, когда

множество относительных цен выпускаемой продукции будет стимулировать

фирмы производить все виды продукции в одинаковой пропорции [93, c.236];

агрегированный капитал будет существовать тогда и только тогда, когда

фирмы отличаются не более, чем технологическими различиями, выраженными в

капитальных единицах [93, c.233];

агрегированная величина труда будет существовать тогда и только тогда,

когда множество относительных доходов трудовых ресурсов будет стимулировать

фирмы использовать различные трудовые ресурсы в одинаковых пропорциях

[93, c.236].

В 1975 году Т. Сарджент [108] сформулировал теорему о том, что

индивидуальные решения производителей относительно объема выпуска могут

складываться в единый макропроцесс производства при выполнении следующих

предпосылок:

все предприятия в экономике обладают одинаковой производственной

функцией, однородной в первой степени;

40

каждое предприятие максимизирует прибыль и работает в условиях

совершенной конкуренции, как на рынке факторов производства, так и на рынке

сбыта своей продукции.

При выполнении данных предпосылок существует макроэкономическая

производственная функция, имеющая ту же функциональную форму и те же

параметры, что и производственная функция отдельных предприятий в

экономике. При этом все предприятия в экономике будут обладать одинаковыми

показателями капиталовооруженности. Доказательство данных утверждений

можно увидеть в работах [108], [40].

Х. Фелипе и Дж. Маккомби [94] доказали, что практическое использование

ПФ Кобба-Дугласа на макроэкономическом уровне нельзя обосновать высоким

качеством статистических оценок, поскольку она является приближением

тождества доходов и расходов.

Весомый вклад в разработку методов агрегирования производственных

функций внесли отечественные исследователи.

Г.Б. Клейнер (1986) [44] сформулировал требования логической

непротиворечивости методов агрегирования производственных функций и ввел

фундаментальное понятие «агрегированная экономическая технология».

«Агрегированная экономическая технология производственного процесса

c показателями – отображение подмножества , в ,

удовлетворяющее условию , где – система показателей

производственных ресурсов, – показатель объема производства продукции, –

коммутативная операция» [44, с.29]. Как отмечает Г.Б. Клейнер, «агрегированная

экономическая технология – это «идеальная» модель производственного

процесса, а производственная функция – это грубое, приближенное описание»

[44, c.30].

В работах А.А. Петрова, И.Г. Поспелова, А.А. Шананина [64, 65, 81]

развитие получили модели агрегированного описания отрасли на основе

распределения мощностей по технологиям (модель Хаутаккера – Иохансена).

41

Существенный вклад в разработку методов агрегирования

производственных функций внес Э.Б. Ершов, разработавший подход к

построению «композитных производственных функций» [39]. «Определение

композитных производственных функций исходит из идеи оптимального

использования технологий, каждая из которых определяется с помощью своей

детерминированной производственной функции или границы производственных

возможностей, а заданные ресурсы распределяются между технологиями так,

чтобы был максимален суммарный показатель общего выпуска» [39, c.109].

На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что метод

репрезентативного агента имеет существенные недостатки, которые снижают

точность прогнозирования.

1.3. Постановка проблемы точности макроэкономического моделирования

производственных функций

Проведенные исследования проблемы агрегирования производственных

функций показывают, что в общем случае невозможен непротиворечивый синтез

макроэкономических функциональных зависимостей на основе их региональных

аналогов.

Существует ряд прикладных экономико-математических методов

агрегирования производственных функций, которые позволяют оценить

макроэкономическую производственную функцию.

Одним из таких методов является прикладной экономико-математический

метод агрегирования производственных функций, разработанный пермской

школой иерархического анализа. Метод предложен в работе [60] и применялся

только для случая ПФ Кобба-Дугласа при условии нормального распределения

параметров.

Приведем краткое описание прикладного экономико-математического

метода агрегирования, подробное описание можно найти в работе [60].

42

Предположим, что экономическая система состоит из элементов. Каждый i-ый

элемент характеризуется производственной функцией:

(49)

которые имеют одинаковую функциональную форму и различаются только

параметром . «Причем, на технологические параметры воздействует множество

не поддающихся учету факторов, таких как климатические, транспортные,

правовые, политические, психологические, экономические и другие. Исходя из

этого мы можем считать параметры производственных функций случайными

величинами» [60, с.71]. Причем достаточно правдоподобным является допущение

о том, что параметры производственных функций являются независимыми и

одинаково распределенными случайными величинами. То есть можно

рассматривать как реализацию случайной переменной , которая имеет

функцию распределения и плотность распределения .

Под однородностью элементов экономики здесь понимается то, что

производственные функции имеют одну и ту же функциональную форму, при

этом различие в функциональных параметрах допускается.

При условии, что случайные величины имеют конечные первые и вторые

моменты, выполняется закон больших чисел:

(50)

Тогда совокупный выпуск можно представить в виде:

(51)

где – «средняя» функция по элементам системы. «Средняя» функция – это

типичный объем производства для каждого , т.е. объем производства некой

«репрезентативной» фирмы при затрате факторов . Отличие данного подхода от

традиционного метода «репрезентативного» агента заключается в том, что через

функцию распределения учитывается неоднородность экономических

43

агентов. Данный метод можно определить, как статистическое усреднение по

функции распределения.

Важно сделать замечание относительно использования выражения (51) для

функций с экстенсивными (аддитивными) и интенсивными переменными.

Например, рыночная цена (интенсивный показатель) является единым фактором и

для индивидуальных, и для рыночных функций спроса. В этом случае некая

«средняя» функция спроса агрегируется в рыночную функцию на основе

выражения (51).

В случае экстенсивных факторов, к которым относятся затраты труда и

капитала, аргументом агрегированной производственной функции уже будет не ,

a . Тогда в качестве оценки агрегированной производственной

функции необходимо использовать выражение:

(52)

В случае ПФ Кобба-Дугласа агрегированную производственную функцию

можно получить с помощью прикладного экономико-математического метода

агрегирования:

(53)

где – количество элементов в системе;

– функции плотности распределения параметра ;

– функции плотности распределения параметра ;

– функции плотности распределения параметра ;

.

44

Рисунок 12. Функция плотности нормального распределения

В случае нормального распределения параметров агрегированная

производственная функция примет следующий вид:

(54)

где – математическое ожидание параметра ;

– математическое ожидание параметра ;

– среднеквадратическое отклонение параметра ;

– математическое ожидание параметра ;

– среднеквадратическое отклонение параметра .

В результате получаем выражением для агрегированной производственной

функции:

(55)

Прикладной экономико-математический метод агрегирования

производственных функций не позволяет учесть такие важные факторы, как

асимметрия развития региональных экономических систем, неравномерность

распределения ресурсов между элементами региональной экономической

45

системы. При использовании прикладного экономико-математического метода

агрегирования предполагается равномерное распределение ресурсов в

региональной экономической системе и нормальное распределение

технологических параметров . Игнорирование факторов

асимметрии развития региональных экономических систем снижает точность

макроэкономического прогнозирования на основе производственных функций.

В данной работе будет разработан универсальный прикладной экономико-

математический метод агрегирования производственных функций, который

позволяет учесть асимметрию развития региональных экономических систем, а

именно дифференциацию технологических особенностей промышленного

производства в региональной экономической системе и неравномерность

обеспечения регионов ресурсами.

Также будет проведено сравнение точности прикладного универсального

экономико-математического метода агрегирования производственных функций с

методом репрезентативного агента с помощью проведения вычислительного

эксперимента и на примере экономики России.

46

ГЛАВА 2. Развитие методов анализа производственных процессов на

национальном и региональном уровнях экономики на основе агрегирования

производственных функций

2.1. Вывод функциональных форм агрегированных производственных

функций для различных законов распределения параметров

Производственная функция Кобба-Дугласа является только частным

случаем широкого класса функций с постоянной эластичностью замены.

Нормальное распределение наблюдается на практике довольно редко, чаще всего

исследователям приходится иметь дело с асимметричными законами

распределения.

В данном разделе будет рассматриваться вопрос о применении прикладного

экономико-математического метода агрегирования к производственным

функциям других типов (линейной ПФ, ПФ Леонтьева, ПФ CES), при различных

законах распределения параметров (нормальный, равномерный, треугольный,

логнормальный).

В случае равномерного закона распределения (Рисунок 13) агрегированная

производственная функция будет иметь следующий вид:

(56)

где и – минимальное и максимальное значение параметра ;

и – минимальное и максимальное значение параметра .

Минимальные и максимальные значения параметров отражают

уровень однородности экономических агентов в случае равномерного

распределения.

Приведем вычисление интеграла :

47

(57)

Рисунок 13. Функция плотности равномерного распределения

Интеграл вычисляется аналогичным образом. В результате получаем

выражением следующего вида:

(58)

где , , , .

Равномерный закон распределения может потребоваться для описания

поведения системы, в которой экономические агенты четко разделены по уровню

технологической эффективности.

В случае треугольного закона распределения (Рисунок 14) ,

выражение для агрегированной производственной функции

примет следующий вид:

48

(59)

где и – минимальное и максимальное значение параметра ;

– мода функции распределения параметра ;

, – минимальное и максимальное значение параметра ;

– мода функции распределения параметра .

Рисунок 14. Функция плотности треугольного распределения

Функция плотности треугольного закона распределения:

(60)

Согласно свойству аддитивности интеграла при разбиении на отрезки,

интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов и :

49

(61)

Рассчитаем интеграл :

(62)

Рассчитаем интеграл :

(63)

Для получаем выражение следующего вида:

(64)

Интеграл вычисляется аналогичным образом. В результате получаем

выражением следующего вида:

(65)

где , , , , , ,

, , .

50

Треугольное распределение может иметь как положительную, так и

отрицательную асимметрию, при этом допускаются очень высокие значения

коэффициента асимметрии. С точки зрения рассматриваемого прикладного

экономико-математического метода агрегирования одним из преимуществ

треугольного распределения является простота интегрирования. Однако, как

правило, треугольное распределение уступает законам распределения с

куполообразной кривой в качестве аппроксимации.

В случае логнормального закона распределения (Рисунок 15)

агрегированная производственная функция будет иметь следующий вид:

(66)

где – коэффициент сдвига параметра ;

– коэффициент масштаба параметра ;

– коэффициент сдвига параметра ;

– коэффициент масштаба параметра .

Рисунок 15. Функция плотности логнормального распределения

51

Важно заметить, что интеграл в случае логнормального закона

распределения являются «неберущимся», для его вычисления необходимо

использовать методы численного интегрирования.

В случае ПФ Леонтьева выражение для агрегированной производственной

функции будет иметь вид:

(67)

где – область

интегрирования.

Если учесть, что первый множитель в выражении для агрегированной

производственной функции является математическим ожиданием случайной

величины , и представить ПФ Леонтьева в элементарных функциях, то

агрегированную производственную функцию можно представить следующим

образом:

(68)

где – область интегрирования.

Согласно свойству аддитивности двойного интеграла:

(69)

После вычисления первого интеграла выражение для агрегированной

производственной функции примет следующий вид:

52

(70)

Так как , выражение для агрегированной

производственной функции можно представить следующим образом:

(71)

Согласно свойствам определенного интеграла

. Из

этого следует, что для агрегированной производственной функции выполняется

неравенство следующего вида:

(72)

Знак равенства в написанной формуле имеет место лишь в том случае, когда

функция не меняет знака в области интегрирования.

На основании этого можно сделать вывод о том, что для ПФ Леонтьева

функциональная форма агрегированной производственной функции не отличается

от функциональной формы региональной производственной функции только при

выполнении определенных условий.

53

В случае линейной ПФ выражение для агрегированной производственной

функции будет иметь следующий вид:

(73)

где – область интегрирования.

Необходимо отметить, что в случае линейной ПФ вид агрегированной

производственной функции не будет зависеть от типа закона распределения

параметров региональных производственных функций.

Согласно свойству аддитивности двойного интеграла:

(74)

Согласно теореме о сведении двойного интеграла к повторному:

(75)

Согласно условию нормировки, выражение для агрегированной

производственной функции примет следующий вид:

(76)

В итоге получаем выражение следующего вида для агрегированной

производственной функции:

(77)

54

На основании этого можно сделать вывод о том, что для линейной ПФ

функциональная форма агрегированной производственной функции не отличается

от функциональной формы региональной производственной функции. Линейная

ПФ является инвариантной относительно уровня экономики.

В случае производственной функции CES выражение для агрегированной

производственной функции будет иметь следующий вид:

(78)

где – область

интегрирования, .

Аналитического решения данного интеграла не существует даже в том

случае, если все параметры будут распределены по равномерному закону

распределения. Можно сделать вывод о том, что агрегированная

производственная функция для случая производственной функции CES не

инварианта относительно уровня иерархии.

Предположим, что экономическая система состоит из элементов. Каждый

i-ый элемент характеризуется производственной функцией:

(79)

которые имеют одинаковую функциональную форму и различаются только

параметром . При такой постановке учитывается фактор научно-технического

прогресса (НТП) в виде кинетической компоненты ( , – время).

Агрегированная производственная функция с учетом НТП будет иметь

следующий вид (в случае равномерного распределения ресурсов):

(80)

Аналитический вид агрегированной производственной функции зависит от

закона распределения параметра :

нормальный закон распределения параметра :

55

(81)

где – математическое ожидание параметра ;

– среднеквадратическое отклонение параметра .

равномерный закон распределения параметра :

(82)

где и – минимальное и максимальное значение параметра .

треугольный закон распределения параметра :

(83)

где и – минимальное и максимальное значение параметра ;

– мода функции распределения параметра .

логнормальный закон распределения параметра :

(84)

где – коэффициент сдвига параметра ;

– коэффициент масштаба параметра .

Аналитического решения интеграла в выражении для случая

логнормального распределения параметра (84) не существует.

На основании проведенных вычислений можно сделать вывод о том, что в

общем случае производственные функции являются не инвариантными

относительно уровня экономической иерархии. Инвариантность выполняется

только в случае линейной производственной функции:

56

(85)

Для случая региональной производственной функции Кобба-Дугласа

условие инвариантности относительно уровня экономической иерархии не

выполняется даже при равномерном законе распределения параметров:

(86)

Для случая региональных производственных функций Леонтьева и CES

условие инвариантности относительно уровня экономической иерархии не

выполняется при всех рассмотренных законах распределения параметров:

производственная функция Леонтьева:

(87)

производственная функция CES:

(88)

Отсутствие инвариантности относительно уровня экономической иерархии

говорит о невозможности переноса функциональной формы производственной

функции с регионального уровня экономики на национальный уровень

экономики, за исключением случая линейной производственной функции, что

ограничивает диапазон применения классических видов производственных

функций и указывает на необходимость синтеза производственных функций.

Отсутствие инвариантности относительно уровня экономической иерархии

указывает на невозможность использования метода репрезентативного агента.

57

2.2. Вывод функциональной формы агрегированной производственной

функции для экономики России

Построение агрегированной производственной функции для экономики

России базируется на региональном уровне. Использование микроэкономического

уровня в качестве нижестоящего уровня иерархии не представляется возможным

из-за отсутствия статистики по предприятиям России в свободном доступе.

Использование региональных данных позволяет серьезно увеличить число

наблюдений. Например, в связи с переходом с ОКОНХ на ОКВЭД статистика для

оценки параметров отраслевых производственных функций доступна лишь для 9

периодов (с 2004 по 2012 год), а при работе с региональными данными можно

использовать статистику 15 периодов (с 1998 по 2012 год). Для оценки функции

распределения также увеличивается число наблюдений – вместо 15 видов

национальной экономической деятельности, анализ проводится по 79 субъектам

РФ. При построении агрегированной производственной функции не учитывались

Ненецкий автономный округ, Ханты-Мансийский автономный округ, Ямало-

Ненецкий автономный округ, так как данные регионы входят в состав областей и

Чеченская Республика, по которой отсутствуют статистические данные на

периоде 1998-2004 гг.

Необходимо отметить, что региональная экономическая система России

отличается высокой неравномерностью экономического развития. Эта

неравномерность во многом связана с «обеспеченностью природными ресурсами,

исторически сложившейся инфраструктурой, природно-климатическими

условиями, менталитетом населения и другими факторами объективного

характера» [71, с.2]. «Наряду с объективными факторами, существенное влияние

на развитие субъектов РФ оказывают региональная экономическая политика и

условия ведения бизнеса» [71, с.2].

Для описания производственных процессов в регионах России выбрана ПФ

Кобба-Дугласа:

58

(89)

где – валовый региональный продукт (ВРП) в ценах 1998 года, млн. руб.;

– инвестиции в основной капитал в регионе, в ценах 1998 года, млн. руб.;

– фонд оплаты труда в регионе, в ценах 1998 года, млн. руб.

Фонд оплаты труда определяется на основании следующего выражения:

(90)

где – среднегодовая численность занятых в экономике в регионе, тыс. чел.;

– среднемесячная заработная плата в регионе, в ценах 1998 года.

Для приведения номинальных показателей к ценам 1998 года были

использованы значения показателей за 1998 год и индексы физического объема:

валовый региональный продукт (ВРП) в ценах 1998 года:

(91)

инвестиции в основной капитал в регионе, в ценах 1998 года:

(92)

среднемесячная заработная плата в регионе, в ценах 1998 года:

(93)

Перечень источников данных приведен в таблице 1.

Таблица 1. Источники данных

Название показателя Обозначение Источник

Индекс физического объема валового

регионального продукта, в % к

предыдущему периоду

Росстат.

Регионы России.

Социально-

экономические

показатели

(1999-2012)

Индекс физического объема

инвестиций в основной капитал, в % к

предыдущему периоду

Реальная начисленная заработная плата,

в % к предыдущему периоду

Среднегодовая численность занятых в

экономике

Росстат.

Регионы России.

Социально-

экономические

показатели

59

Название показателя Обозначение Источник

(1998-2012)

Валовый региональный продукт, млн.

руб., 1998 год Росстат.

Регионы России.

Социально-

экономические

показатели

(1998)

Инвестиции в основной капитал, млн.

руб., 1998 год

Среднемесячная нормальная

начисленная заработная плата

работающих в экономике, 1998, руб.

Для оценки параметров линеаризуем ПФ Кобба-Дугласа с помощью

логарифмического преобразования:

(94)

где .

Оценки параметров региональных производственных функций по 83

субъектам РФ представлены в таблице ниже (Таблица 2). Оценки параметров

региональных производственных функций получены с помощью ридж-регрессии:

. (95)

Выбор значения осуществлялся исходя из значения коэффициента

возрастания дисперсии (variance inflation factor). Выбирались значения , для

которых для всех факторов модели.

Для получения оценок использовалась платформа бизнес-аналитики Prognoz

Platform 7.2 [57].

Таблица 2. Оценки параметров региональных производственных функций

Субъект РФ

Белгородская область 5.21 0.22 0.45 0.67

Брянская область 6.46 0.18 0.27 0.45

Владимирская область 6.82 0.18 0.24 0.42

Воронежская область 7.04 0.20 0.22 0.41

Ивановская область 7.05 0.09 0.25 0.35

Калужская область 5.53 0.24 0.31 0.56

Костромская область 6.42 0.09 0.36 0.45

Курская область 5.84 0.20 0.38 0.58

Липецкая область 6.97 0.12 0.30 0.42

60

Субъект РФ

Московская область 6.32 0.21 0.38 0.59

Орловская область 6.47 0.12 0.33 0.45

Рязанская область 6.82 0.17 0.24 0.41

Смоленская область 5.25 0.26 0.39 0.65

Тамбовская область 6.88 0.18 0.20 0.38

Тверская область 6.65 0.05 0.45 0.49

Тульская область 6.20 0.17 0.34 0.52

Ярославская область 6.14 0.14 0.43 0.57

г. Москва 4.00 0.59 0.26 0.85

Республика Карелия 7.03 0.18 0.17 0.35

Республика Коми 7.70 0.11 0.25 0.36

Архангельская область 5.64 0.10 0.56 0.67

Ненецкий АО 5.62 0.02 0.91 0.93

Вологодская область 8.11 0.13 0.15 0.29

Калининградская область 5.56 0.14 0.44 0.58

Ленинградская область 4.77 0.25 0.49 0.74

Мурманская область 9.39 0,00 0.11 0.11

Новгородская область 6.68 0.12 0.29 0.41

Псковская область 6.82 0.17 0.16 0.33

г. Санкт-Петербург 5.94 0.18 0.49 0.66

Республика Адыгея 4.82 0.24 0.38 0.62

Республика Калмыкия 5.41 0.24 0.11 0.36

Краснодарский край 6.56 0.20 0.34 0.53

Астраханская область 5.62 0.25 0.30 0.55

Волгоградская область 7.36 0.20 0.19 0.39

Ростовская область 5.39 0.29 0.38 0.67

Республика Дагестан 4.74 0.28 0.42 0.69

Республика Ингушетия 5.47 0.12 0.24 0.36

Кабардино-Балкарская Республика 5.61 0.02 0.61 0.63

Карачаево-Черкесская Республика 5.63 0.07 0.46 0.53

Республика Северная Осетия-

Алания 5.82 0.20 0.27 0.47

Чеченская Республика 4.23 0.33 0.36 0.70

Ставропольский край 6.24 0.18 0.39 0.58

Республика Башкортостан 6.13 0.09 0.55 0.64

Республика Марий Эл 6.31 0.24 0.14 0.38

Республика Мордовия 5.52 0.30 0.25 0.55

Республика Татарстан 6.22 0.30 0.29 0.59

Удмуртская Республика 7.05 0.11 0.31 0.42

Чувашская Республика 6.49 0.28 0.12 0.40

Пермский край 5.51 0.32 0.35 0.67

Кировская область 8.23 0.09 0.13 0.22

61

Субъект РФ

Нижегородская область 7.27 0.15 0.32 0.47

Оренбургская область 6.21 0.25 0.29 0.54

Пензенская область 6.53 0.20 0.22 0.42

Самарская область 7.76 0.22 0.19 0.41

Саратовская область 5.95 0.32 0.24 0.56

Ульяновская область 7.15 0.15 0.24 0.38

Курганская область 6.64 0.17 0.24 0.41

Свердловская область 6.26 0.32 0.27 0.59

Тюменская область 6.65 0.06 0.57 0.63

Ханты-Мансийский АО 7.09 0,00 0.73 0.73

Ямало-Ненецкий АО 8.87 0.10 0.26 0.36

Челябинская область 5.91 0.37 0.21 0.58

Республика Алтай 5.75 0.17 0.19 0.37

Республика Бурятия 6.83 0.11 0.30 0.41

Республика Тыва 6.48 0.06 0.20 0.26

Республика Хакасия 7.44 0,00 0.29 0.29

Алтайский край 6.36 0.26 0.24 0.50

Забайкальский край 6.12 0.19 0.32 0.51

Красноярский край 7.61 0.13 0.32 0.45

Иркутская область 6.41 0.18 0.40 0.58

Кемеровская область 7.86 0.12 0.25 0.37

Новосибирская область 6.86 0.23 0.26 0.49

Омская область 6.24 0.27 0.27 0.55

Томская область 7.17 0,00 0.46 0.46

Республика Саха (Якутия) 7.63 0.11 0.26 0.38

Камчатский край 7.93 0.06 0.15 0.22

Приморский край 7.59 0.15 0.22 0.37

Хабаровский край 7.44 0.16 0.24 0.40

Амурская область 7.26 0.13 0.22 0.35

Магаданская область 8.38 0,00 0.09 0.07

Сахалинская область 3.98 0.02 0.86 0.89

Еврейская АО 5.26 0.14 0.31 0.45

Чукотский АО 3.82 0.14 0.71 0.86

На рисунке 16 приведен перечень из 10 регионов с наибольшими значения

эластичности по инвестициям. Инвестиционный вложения в данные регионы

позволят получить наибольший прирост ВВП. На рисунке 17 приведен перечень

из 10 регионов с наибольшими значения эластичности по фонду оплаты труда.

Увеличение среднегодовой численности занятых и среднемесячной заработной

62

платы в данных регионах окажет наибольший положительный эффект на рост

ВВП.

Рисунок 16. Регионы с наибольшей эластичностью по инвестициям

Рисунок 17. Регионы с наибольшей эластичностью по фонду оплаты труда

63

Следующим важным этапом при построении агрегированной

производственной функции является определение статистической функции

распределения параметров региональных производственных функций.

Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка

подчиняется распределению .

Для каждого параметра региональной производственной функции

будет рассмотрено четыре гипотезы:

параметр региональной производственной функции имеет равномерное

распределение:

(96)

параметр региональной производственной функции имеет треугольное

распределение:

(97)

параметр региональной производственной функции имеет треугольное

распределение:

(98)

параметр региональной производственной функции имеет

логнормальное распределение:

(99)

Статистическим аналогом плотности распределения наблюдаемой

случайной величины является гистограмма. Ниже приведены гистограммы

абсолютных частот для параметров и производственной функции

в сравнении с графиками функций плотности рассматриваемых законов

распределения (Рисунок 18, Рисунок 19). Гистограммы построены по 79

субъектам РФ. При построении гистограмм не учитываются Ненецкий

автономный округ, Ханты-Мансийский автономный округ, Ямало-Ненецкий

автономный округ.

64

Рисунок 18. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

Вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы о нормальном

законе распределения параметра (ошибки первого рода) составляет 73% по

критерию Колмогорова-Смирнова и 77% по критерию Андерсона-Дарлинга

(Таблица 3).

65

Таблица 3. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

-

-

-

-

0,08 0,73 0,47 0,77

0,43 0,00 - -

0,24 0,00 15,89 0,00

0,31 0,00 13,03 0,00

Рисунок 19. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

Вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы о логнормальном

распределении параметра (ошибки первого рода) составляет 62% по критерию

Колмогорова-Смирнова и 90% по критерию Андерсона-Дарлинга (Таблица 4).

66

Таблица 4. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

-

-

-

-

0,12 0,16 1,56 0,16

0,42 0,00 - -

0,22 0,00 7,80 0,00

0,08 0,62 0,35 0,90

На основании критериев согласия Колмогорова-Смирнова и Андерсона-

Дарлинга можно сделать вывод о том, что среди рассмотренных теоретических

функций распределения для параметра наиболее подходящей является функция

нормального распределения, для параметра наиболее подходящей является

функция логнормального распределения:

(100)

Необходимо отметить, что логнормальное распределение достаточно точно

описывает положительную асимметрию эмпирической функции распределения

параметра . Кроме того, логнормальное распределение имеет «тяжелый» правый

хвост и хорошо объясняет наличие в России регионов с высоким значением

эластичности по труду.

Учитывая высокий уровень неравномерности распределения ресурсов

между субъектами РФ вместо функционала (52) для экономики России

предлагается использовать функционал, учитывающий структуру распределения

ресурсов между регионами:

(101)

где – весовые коэффициенты;

;

– функция плотности распределения параметра .

67

Таким образом агрегированная производственная функция для экономики

России будет иметь следующую функциональную форму:

(102)

где – валовой внутренний продукт (ВВП) в ценах 1998 года, млн. руб.;

– инвестиции в основной капитал в ценах 1998 года, млн. руб.;

– фонд оплаты труда в ценах 1998 года, млн. руб.

При построении агрегированной производственной функции будем

предполагать региональную структуру экономики России однородной на периоде

моделирования. Поэтому в качестве весовых коэффициентов ( и ) будем

брать их средние значения на временном периоде:

(103)

Определим статистические функции распределения параметров и . На

основании критериев согласия и визуального анализа гистограмм можно сделать

вывод о том, что для параметров и наиболее подходящей является функция

логнормального распределения (Таблица 5, Рисунок 20):

(104)

Таблица 5. Выбор теоретической функции распределения для параметров и

агрегированной производственной функции (102)

-

-

-

-

0,05 0,98 0,18 0,99

0,07 0,75 0,45 0,80

68

Рисунок 20. Выбор теоретической функции распределения для параметров и

производственной функции (102)

Интеграл по параметру имеет решение в аналитическом виде (55).

На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что

агрегированная производственная функция для экономики России будет иметь

следующий вид:

(105)

В практике экономико-математического моделирования производственных

функции принято строить в сочетании производственные функции с учетом НТП

и без учета НТП. В следующем разделе для экономики России будет выведена

агрегированная производственная функция, учитывающая НТП.

2.3. Вывод функциональной формы агрегированной производственной

функции с учетом научно-технического прогресса для экономики России

69

Для вывода функциональной формы агрегированной производственной

функции с учетом НТП на региональном уровне будем использовать ПФ Кобба-

Дугласа с учетом НТП:

(106)

После линеаризации с помощью логарифмического преобразования:

(107)

где .

Оценки параметров региональных производственных функций с учетом

НТП приведены в таблице 6.

Таблица 6. Оценки параметров региональных производственных функций

(с учетом НТП)

Субъект РФ

Белгородская область 8.11 0.050 0.12 0.11 0.28

Брянская область 7.55 0.024 0.04 0.25 0.31

Владимирская область 7.78 0.015 0.11 0.16 0.29

Воронежская область 8.23 0.022 0.11 0.14 0.27

Ивановская область 7.64 0.012 0.09 0.15 0.25

Калужская область 7.20 0.032 0.16 0.13 0.29

Костромская область 7.43 0.016 0.09 0.18 0.28

Курская область 7.33 0.021 0.11 0.25 0.38

Липецкая область 7.60 0.011 0.10 0.23 0.34

Московская область 7.81 0.028 0.22 0.17 0.42

Орловская область 6.72 0.004 0.12 0.28 0.41

Рязанская область 7.92 0.020 0.13 0.10 0.23

Смоленская область 6.77 0.019 0.20 0.20 0.42

Тамбовская область 7.74 0.023 0.10 0.14 0.27

Тверская область 8.07 0.020 0.01 0.26 0.29

Тульская область 7.09 0.013 0.13 0.26 0.40

Ярославская область 7.43 0.018 0.11 0.27 0.39

г. Москва 5.34 0.021 0.59 0.10 0.69

Республика Карелия 7.03 0.00 0.18 0.17 0.35

Республика Коми 8.21 0.006 0.09 0.20 0.29

Архангельская область 7.23 0.025 0.12 0.29 0.43

Ненецкий АО 6.65 0.038 0.13 0.43 0.60

Вологодская область 8.21 0.001 0.13 0.15 0.27

Калининградская область 6.84 0.030 0.12 0.23 0.38

70

Субъект РФ

Ленинградская область 6.02 0.020 0.18 0.38 0.59

Мурманская область 9.39 0.00 0.00 0.11 0.11

Новгородская область 7.91 0.022 0.08 0.12 0.22

Псковская область 7.53 0.014 0.14 0.07 0.22

г. Санкт-Петербург 8.15 0.034 0.15 0.22 0.41

Республика Адыгея 6.46 0.038 0.16 0.11 0.27

Республика Калмыкия 5.63 0.003 0.23 0.08 0.32

Краснодарский край 8.05 0.022 0.14 0.21 0.37

Астраханская область 6.46 0.012 0.21 0.21 0.43

Волгоградская область 7.41 0.0003 0.20 0.19 0.39

Ростовская область 6.93 0.024 0.23 0.23 0.49

Республика Дагестан 6.30 0.043 0.15 0.29 0.48

Республика Ингушетия 5.76 0.008 0.11 0.16 0.28

Кабардино-Балкарская

Республика 7.06 0.029 0.00 0.34 0.37

Карачаево-Черкесская

Республика 6.66 0.030 0.05 0.23 0.31

Республика Северная

Осетия-Алания 6.62 0.021 0.14 0.17 0.33

Чеченская Республика 4.23 0.00 0.33 0.36 0.70

Ставропольский край 7.79 0.024 0.10 0.25 0.38

Республика Башкортостан 8.77 0.038 0.09 0.18 0.30

Республика Марий Эл 7.41 0.025 0.14 0.05 0.22

Республика Мордовия 6.65 0.020 0.19 0.19 0.40

Республика Татарстан 7.82 0.020 0.20 0.19 0.41

Удмуртская Республика 7.84 0.010 0.11 0.19 0.30

Чувашская Республика 6.65 0.001 0.24 0.15 0.39

Пермский край 7.73 0.019 0.25 0.12 0.39

Кировская область 8.91 0.011 0.07 0.04 0.12

Нижегородская область 8.62 0.018 0.08 0.21 0.31

Оренбургская область 7.46 0.019 0.19 0.17 0.39

Пензенская область 7.82 0.026 0.14 0.07 0.24

Самарская область 7.86 0.001 0.21 0.19 0.40

Саратовская область 7.65 0.025 0.20 0.13 0.36

Ульяновская область 8.19 0.017 0.10 0.12 0.23

Курганская область 7.12 0.009 0.14 0.19 0.34

Свердловская область 7.68 0.019 0.20 0.22 0.44

Тюменская область 8.71 0.020 0.01 0.39 0.42

Ханты-Мансийский АО 10.24 0.028 0.00 0.33 0.35

Ямало-Ненецкий АО 9.70 0.011 0.09 0.15 0.25

Челябинская область 6.84 0.011 0.32 0.13 0.47

Республика Алтай 6.08 0.011 0.15 0.14 0.30

71

Субъект РФ

Республика Бурятия 7.71 0.015 0.07 0.19 0.28

Республика Тыва 6.99 0.019 0.005 0.14 0.17

Республика Хакасия 8.58 0.019 0.01 0.06 0.09

Алтайский край 7.27 0.013 0.19 0.18 0.39

Забайкальский край 7.96 0.032 0.12 0.09 0.25

Красноярский край 9.18 0.021 0.06 0.19 0.27

Иркутская область 8.82 0.031 0.14 0.10 0.27

Кемеровская область 8.36 0.007 0.10 0.20 0.31

Новосибирская область 7.58 0.013 0.19 0.20 0.40

Омская область 7.26 0.020 0.25 0.14 0.41

Томская область 7.85 0.011 0.03 0.31 0.35

РеспубликаСаха (Якутия) 8.97 0.018 0.08 0.12 0.21

Камчатский край 8.84 0.014 0.02 0.05 0.08

Приморский край 8.57 0.017 0.12 0.12 0.25

Хабаровский край 7.73 0.005 0.14 0.22 0.36

Амурская область 8.45 0.021 0.10 0.05 0.18

Магаданская область 8.38 0.000 0.00 0.09 0.09

Сахалинская область 6.82 0.050 0.06 0.33 0.44

Еврейская АО 6.09 0.029 0.08 0.18 0.29

Чукотский АО 4.66 0.014 0.14 0.53 0.68

На рисунке 21 приведен перечень из 10 регионов с наибольшими

значениями коэффициента «автономного» роста . На рисунке 22 приведен

перечень из 10 регионов с наибольшими значениями эластичности по

инвестициям . Инвестиционный вложения в данные регионы позволят получить

наибольший прирост ВВП. На рисунке 23 приведен перечень из 10 регионов с

наибольшими значениями эластичности по фонду оплаты труда . Увеличение

среднегодовой численности занятых и среднемесячной заработной платы в

данных регионах окажет наибольший эффект на рост ВВП.

72

Рисунок 21. Регионы с наибольшими значениями коэффициента «автономного»

роста

Рисунок 22. Регионы с наибольшей эластичностью по инвестициям

73

Рисунок 23. Регионы с наибольшей эластичностью по фонду оплаты труда

Приведем гистограммы абсолютных частот для параметров , и

производственной функции в сравнении с графиками функций

плотности рассматриваемых законов распределения (Рисунок 24, Рисунок 25,

Рисунок 26).

Вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы о логнормальном

распределении параметра производственной функции

(ошибки первого рода) составляет 57% по критерию Колмогорова-

Смирнова и 55% по критерию Андерсона-Дарлинга (Таблица 7).

74

Рисунок 24. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

Таблица 7. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

-

-

-

-

0,09 0,57 0,72 0,55

0,31 0,00 - -

0,14 0,07 8,12 0,00

0,32 0,00 12,96 0,00

75

Рисунок 25. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

Вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы о логнормальном

распределении параметра производственной функции

(ошибки первого рода) составляет 22% по критерию Колмогорова-

Смирнова и 22% по критерию Андерсона-Дарлинга (Таблица 8).

Таблица 8. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

-

-

-

-

0,12 0,22 1,32 0,22

0,54 0,00 - -

0,31 0,00 15,11 0,00

76

-

-

-

-

0,30 0,00 10,33 0,00

Рисунок 26. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

Вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы о логнормальном

распределении параметра производственной функции

(ошибки первого рода) составляет 47% по критерию Колмогорова-

Смирнова и 48% по критерию Андерсона-Дарлинга (Таблица 9).

77

Таблица 9. Выбор теоретической функции распределения для параметра

производственной функции

-

-

-

-

0,09 0,47 0,80 0,48

0,42 0,00 - -

0,22 0,00 6,86 0,00

0,30 0,00 10,33 0,00

На основании критериев согласия Колмогорова-Смирнова и Андерсона-

Дарлинга можно сделать вывод о том, что среди рассмотренных теоретических

функций распределения для параметров , , производственной функции

наиболее подходящей является функция нормального

распределения:

;

;

.

(108)

Таким образом агрегированная производственная функция с учетом НТП

будет иметь следующую функциональную форму:

(109)

Интеграл по параметру может быть вычислен на основании формулы (81).

Интегралы по параметрам и могут быть вычислены на основании формулы

(55).

На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что

агрегированная производственная функция с учетом НТП для экономики России

будет иметь следующий вид:

78

(110)

В главе 3 представлены результаты проведения эмпирической оценки

точности агрегированных производственных функций, полученных на основании

универсального прикладного экономико-математического метода агрегирования.

79

ГЛАВА 3. Эмпирическая оценка точности разработанных методов

агрегирования производственных функций

3.1. Вычислительный эксперимент, направленный на оценку точности

разработанных методов агрегирования производственных функций

Предварительно проведем вычислительный эксперимент, направленный на

оценку точности разработанного универсального прикладного экономико-

математического метода агрегирования производственных функций.

Пусть в некоторой условной экономике функционирует 10000

экономических агентов ( ), технологические процессы которых описаны с

помощью ПФ Кобба-Дугласа:

(111)

где ;

– объем производства -го экономического агента;

– объем используемого фактора производства -ым экономическим агентом;

– эластичность объема производства -го экономического агента по фактору

производства .

Задача состоит в сравнении двух подходов к моделированию объемов

производства:

Макроэкономическая производственная функция, полученная с

помощью универсального прикладного экономико-математического метода

агрегирования:

(112)

где – объем выпуска в условной экономике;

– объем используемого фактора производства в условной экономике;

;

– коэффициенты эластичности выпуска по фактору производства;

– весовые коэффициенты;

80

– функция плотности распределения параметра ;

– функция плотности распределения параметра ;

– область

определения.

Регрессионная модель в форме ПФ Кобба-Дугласа:

(113)

где – уровень технологии;

– коэффициент эластичности выпуска по фактору производства, который

оценивается на макроэкономическом уровне;

– случайный член.

Для сравнения данных подходов предполагается провести вычислительный

эксперимент. Алгоритм вычислительного эксперимента включает в себя

следующие этапы:

1. Генерация параметров и ;

2. Генерация объема затрат фактора производства в экономике на

временном отрезке;

3. Расчет объема выпуска в экономике ;

4. Определение значения информационного критерия Акаике для модели:

(114)

где – значения объема выпуска, рассчитанные по модели (112).

5. Определение значения информационного критерия Акаике для модели:

(115)

где – значения объема выпуска, рассчитанные по модели (113).

Для сравнения двух подходов к моделированию объемов выпуска было

проведено 4 эксперимента (каждый эксперимент содержал 1000 имитаций):

, ,

, ,

, , ;

81

, , .

Результаты вычислительных экспериментов приведены на рисунке 27. Как

видно из диаграмм, качество оценивания на основе универсального прикладного

экономико-математического метода агрегирования практически в 100% случаев

выше по сравнению с традиционной макроэкономической моделью Кобба-

Дугласа, несмотря на то, что микроэкономические данных порождены как раз

моделью Кобба-Дугласа (111).

Агрегированная производственная функция

Регрессионная модель в форме ПФ Кобба-Дугласа

Рисунок 27. Результаты вычислительного эксперимента

Таким образом, в рамках вычислительного эксперимента получены

доказательства того, что предложенный универсальный прикладной экономико-

математический метод агрегирования производственных функций обладает

82

большей объясняющей силой по сравнению с традиционными экономико-

математическими моделями макроэкономических производственных функций.

Ниже приведена эмпирическая оценка точности универсального прикладного

экономико-математического метода агрегирования на примере экономики России.

3.2. Оценка точности агрегированной производственной функции для

экономики России

Для практического использования агрегированной производственной

функции необходимо оценить ее параметры на статистических данных

Федеральной службы государственной статистики (Таблица 10).

Оценка параметров агрегированной производственной функции (105)

является достаточно сложной задачей, так функция содержит 9 параметров

( , , , , , , , , ) и операции численного

интегрирования.

В качестве оценок параметров , возьмем значения параметров из

полученных теоретических функций распределения (104).

Таблица 10. Статистические данные по России в целом

1998 2629623 407086 1052 63812 67098

1999 106,4 105,3 78 2796633 428662 820 63963 52461

2000 110,0 117,4 120,9 3077573 503249 992 64517 63974

2001 105,1 110,0 119,9 3234256 553574 1189 64980 77256

2002 104,7 102,8 116,2 3387682 569074 1382 65574 90591

2003 107,3 112,5 110,9 3634842 640208 1532 65979 101087

2004 107,2 113,7 110,6 3895677 727916 1695 66407 112527

2005 106,4 110,2 112,6 4144073 802164 1908 66792 127439

2006 108,2 117,8 113,3 4481957 944949 2162 67174 145215

2007 108,5 123,8 117,2 4864495 1169847 2534 68019 172333

2008 105,2 109,5 111,5 5119782 1280982 2825 68474 193435

2009 92,2 86,5 96,5 4719337 1108050 2726 67463 183910

2010 104,5 106,3 105,2 4931883 1177857 2868 67577 193800

2011 104,3 110,8 102,8 5142188 1305065 2948 67727 199670

2012 103,4 106,6 108,4 5317307 1391199 3196 67968 217212

83

Для оценки параметров , , , агрегированной

производственной функции (105) воспользуемся методом наименьших квадратов:

(116)

где – ВВП в ценах 1998 года в текущем периоде, млн. руб. (модель);

– ВВП в ценах 1998 года в предыдущем периоде, млн. руб. (модель);

– ВВП в ценах 1998 года в текущем периоде, млн. руб. (факт);

– ВВП в ценах 1998 года в предыдущем периоде, млн. руб. (факт).

Для решения задачи минимизации был использован метод Нелдера-Мида в

программном комплексе «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ».

Оценки параметров функции (105) приведены в таблице 11.

Таблица 11. Оценки параметров функции (105)

Параметр Значение

79

748,66

-0,3661

1,0644

-0,2810

1,0124

0,3412

0,0112

-2,0016

0,4429

Графики агрегированной производственной функции и ее линий уровня

(изоквант) представлены на рисунках 28, 29.

84

Рисунок 28. Агрегированная производственная функция для экономики России

Рисунок 29. Изокванты агрегированной производственной функции для

экономики России

85

Проанализируем выполнение классических аксиом теории

производственных функций. Рисунок 30 наглядно показывает, что функции

предельной производительности I и L неотрицательны и асимптотически

стремятся к нулю при стремлении I и L к бесконечности. Рисунок 31 наглядно

показывает, что вторые производные по I и L неположительные и

асимптотически стремятся к нулю при стремлении I и L к бесконечности.

Очевидно, что для построенной агрегированной производственной функции

условие однородности не выполняется.

Рисунок 30. Графики предельной производительности и

Рисунок 31. Графики вторых производных по и

86

Эластичности ВВП по инвестициям и фонду оплаты труда:

;

.

(117)

Эластичность ВВП по инвестициям показывает, что при изменении объема

инвестиций в основной капитал на 1%, объем ВВП изменится на 0,34%.

Эластичность ВВП по фонду оплаты труда показывает, что при изменении фонда

оплаты труда на 1%, объем ВВП изменится на 0,22%.

Предельная норма замещения агрегированной производственной функции:

(118)

Данное значение предельной нормы замещения говорит о том, что объем

инвестиций в основной капитал необходимо увеличить на 3.9 млн. руб. при

уменьшении фонда оплаты труда на 1 млн. руб., чтобы при этом величина ВРП

осталось неизменной.

Эластичность замещения агрегированной производственной функции:

(119)

Данное значение эластичности замещения говорит о том, что для

увеличения предельной нормы замещения на 1% необходимо увеличить

отношение между инвестициями в основной капитал и фондом оплаты труда

на 0,226%.

График фактической динамики ВВП России и модельной динамики

представлен на рисунке 32. Высокое отклонение от фактического ряда имеет

место в 1999 году (абсолютное отклонение 7%), что говорит о том, что

агрегированная производственная функция плохо отражает кризисные явления

1998-1999 годов. Кризис 2009 года агрегированная производственная функция

описывает достаточно точно, абсолютное отклонение составляет 1,9%.

87

Рисунок 32. Модельный ( ) и фактический ряд

Сравним качество агрегированной производственной функции, полученной

с помощью универсального прикладного экономико-математического метода

агрегирования (105), с качеством регрессионной модели в форме ПФ Кобба-

Дугласа:

, (120)

где – случайный член.

Для этого оценим параметры модели (120) в линеаризованной форме:

(121)

Статистические характеристики и оценки параметров модели (121)

представлены в таблице 12. Так как между факторами имеет место сильная

корреляция ( ), для получения оценок использовалась ридж-

регрессия.

Таблица 12. Результаты оценивания ПФ Кобба-Дугласа для экономики России

, , , ,

,

Коэффициенты

Стандартная

ошибка t-статистика p-значение

88

, , , ,

,

Коэффициенты

Стандартная

ошибка t-статистика p-значение

8,41 0,41 20,34 0,00

0,35 0,09 3,91 0,00 3,94

0,18 0,08 2,19 0,05 3,94

Результаты сравнения качества аппроксимации моделей (105) и (120)

представлены в таблице 13.

Таблица 13. Сравнение моделей (105) и (120)*

1999 106,4 97,5 99,4

2000 110,0 109,5 109,9

2001 105,1 106,9 107,3

2002 104,7 103,8 104,3

2003 107,3 106,2 106,5

2004 107,2 106,6 106,8

2005 106,4 105,7 106,1

2006 108,2 108,3 108,7

2007 108,5 111,0 111,6

2008 105,2 105,3 105,7

2009 92,2 94,2 94,1

2010 104,5 103,1 103,3

2011 104,3 104,2 104,2

2012 103,4 103,8 104,1

0,59 0,61

Результаты верификации моделей (105) и (120) на временном отрезке 2013-

2014 представлены в таблицах 14, 15.

Таблица 14. Верификация модели (105)

2013 2014

* – значения объема выпуска, рассчитанные по модели (105)

– значения объема выпуска, рассчитанные по модели (120).

89

2013 2014

101,3 100,6

101,3 99,4

0,0 1,2

Таблица 15. Верификация модели (120)

2013 2014

101,3 100.6

101,1 99.3

0,2 1,3

Результаты верификации и статистические характеристики моделей (105) и

(120) свидетельствуют о том, что агрегированная производственная функция

описывает динамику ВВП России лучше регрессионной модели в форме ПФ

Кобба-Дугласа и имеет более высокую прогнозную силу.

3.3. Оценка точности агрегированной производственной функции с учетом

научно-технического прогресса для экономики России

Агрегированная производственная функция с учетом НТП содержит 11

параметров: , , , , , , , , , , .

В качестве оценок параметров , также возьмем значения параметров

из полученных теоретических функций распределения (104).

Для нахождения оценок параметров , , , , ,

агрегированной производственной функции (105) воспользуемся методом

наименьших квадратов:

(122)

где – ВВП в ценах 1998 года в текущем периоде, млн. руб. (модель);

– ВВП в ценах 1998 года в предыдущем периоде, млн. руб. (модель);

90

– ВВП в ценах 1998 года в текущем периоде, млн. руб. (факт);

– ВВП в ценах 1998 года в предыдущем периоде, млн. руб. (факт).

Для решения задачи минимизации был использован метод Нелдера-Мида в

программном комплексе «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ».

Оценки параметров функции (110) приведены в таблице 16.

Таблица 16. Оценки параметров функции (110)

Параметр Значение

79

3412.47

-0,3661

1,0644

-0,2810

1,0124

0,0118

0,0063

0,1985

0,0901

0,0802

0,0112

Графики агрегированной производственной функции с учетом НТП (при

фиксированном значении ) и ее линий уровня (изоквант) представлены на

рисунках 33, 34.

91

Рисунок 33. Агрегированная производственная функция с учетом НТП для

экономики России

Рисунок 34. Изокванты агрегированной производственной функции с учетом НТП

для экономики России

92

Проанализируем выполнение классических аксиом теории

производственных функций. Рисунок 35 наглядно показывает, что функции

предельной производительности и неотрицательны и асимптотически

стремятся к нулю при стремлении и к бесконечности. Рисунок 36 наглядно

показывает, что вторые производные по и неположительные и асимптотически

стремятся к нулю при стремлении и к бесконечности. Очевидно, что для

построенной агрегированной производственной функции условие однородности

не выполняется.

Рисунок 35. Графики предельной производительности и

Рисунок 36. Графики вторых производных по и

93

Эластичности ВВП по инвестициям и фонду оплаты труда:

;

.

(123)

Эластичность ВВП по инвестициям показывает, что при изменении объема

инвестиций в основной капитал на 1%, объем ВВП изменится на 0,27%.

Эластичность ВВП по фонду оплаты труда показывает, что при изменении фонда

оплаты труда на 1%, объем ВВП изменится на 0,08%.

Предельная норма замещения агрегированной производственной функции:

(124)

Данное значение предельной нормы замещения говорит о том, что объем

инвестиций в основной капитал необходимо увеличить на 2.1 млн. руб. при

уменьшении фонда оплаты труда на 1 млн. руб., чтобы при этом величина ВРП

осталось неизменной.

Эластичность замещения агрегированной производственной функции с

учетом НТП:

(125)

Данное значение эластичности замещения говорит о том, что для

увеличения предельной нормы замещения на 1% необходимо увеличить

отношение между инвестициями в основной капитал и фондом оплаты труда

на 0,189%.

График фактической динамики ВВП России и модельной динамики

представлен на рисунке 37. Необходимо отметить, что по сравнению с функцией

(105) агрегированная производственная функция с учетом НТП точнее описывает

кризисные явления 1998-1999 годов (абсолютное отклонение – 4,4%), но кризис

2009 года учитывается хуже (абсолютное отклонение – 4,7%).

94

Рисунок 37. Модельный ( ) и фактический ряд

Сравним качество агрегированной производственной функции с учетом

НТП, полученной с помощью универсального прикладного экономико-

математического метода агрегирования (110), с качеством регрессионной модели

в форме ПФ Кобба-Дугласа с учетом НТП:

, (126)

где – случайный член.

Для этого оценим параметры модели (126) в линеаризованной форме:

(127)

Так как между факторами имеет место сильная корреляция (Таблица 17),

для получения оценок использовалась ридж-регрессия. Статистические

характеристики и оценки параметров модели (127) представлены в таблице 18.

Таблица 17. Коэффициенты корреляции

1,00 0,99 0,98

0,99 1,00 0,97

0,98 0,97 1,00

95

Таблица 18. Результаты оценивания ПФ Кобба-Дугласа с учетом НТП для

экономики России

, , , ,

,

Коэффициенты

Стандартная

ошибка t-статистика p-значение

9,84 1,05 9,32 0,00

0,01 0,01 1,34 0,21 3,18

0,26 0,10 2,71 0,02 2,46

0,15 0,08 1,78 0,10 2,78

Результаты сравнения качества аппроксимации моделей (110) и (126)

представлены в таблице 19.

Таблица 19. Сравнение моделей (110) и (126)†

1999 106,4 98,8 102,0

2000 110,0 108,6 107,3

2001 105,1 106,6 105,4

2002 104,7 104,3 103,3

2003 107,3 106,0 105,4

2004 107,2 106,2 105,7

2005 106,4 105,7 105,0

2006 108,2 107,6 107,0

2007 108,5 109,7 108,8

2008 105,2 105,3 104,8

2009 92,2 96,7 96,9

2010 104,5 103,6 103,4

2011 104,3 104,3 104,4

2012 103,4 104,1 103,8

0,52 0,66

Результаты верификации моделей (110) и (126) на временном отрезке 2013-

2014 представлены в таблицах 20, 21.

† – значения объема выпуска, рассчитанные по модели (110)

– значения объема выпуска, рассчитанные по модели (126).

96

Таблица 20. Верификация модели (110)

2013 2014

101,3 100,6

101,9 100,6

-0,6 0,0

Таблица 21. Верификация модели (126)

2013 2014

101,3 100.6

102,1 100,6

-0,8 0,0

Результаты верификации и статистические характеристики моделей (110) и

(126) свидетельствуют о том, что агрегированная производственная функция с

учетом НТП описывает динамику ВВП России лучше регрессионной модели в

форме ПФ Кобба-Дугласа с учетом НТП и имеет более высокую прогнозную

силу.

3.4. Проведение сценарных расчетов для экономики России

Агрегированная производственная функция с учетом НТП имеет более

высокую прогнозную силу, чем агрегированная производственная функция без

учета НТП и имеет более высокое значение скорректированного коэффициента

детерминации.

На основании агрегированной производственной функции с учетом НТП

получен прогноз ВВП России на 2016 год и на плановый период 2017 и 2018

годов в составе двух вариантов – вариант 1 (базовый сценарий) и вариант 2

(оптимистический сценарий) (Таблица 22). При построении среднесрочного

прогноза ВВП России использовались прогнозы сценарных условий и основных

макроэкономических параметров Министерства экономического развития

97

Российской Федерации на 2016 год и на плановый период 2017 и 2018 годов в

составе двух вариантов – вариант 1 (базовый сценарий) и вариант 2

(оптимистический сценарий) [76] (Таблица 23).

Таблица 22. Прогноз ВВП России на основании агрегированной

производственной функции с учетом НТП

Факт Оценка Прогноз

2014 2015 2016 2017 2018

ИФО ВВП ( )

Вариант 1 100,6

97,4 102,3 102,2 102,5

Вариант 2 98,0 102,8 102,7 103,0

ВВП, млрд. руб.

Вариант 1 71406.4

74905,2 82834,9 91091,2 99717,5

Вариант 2 75716.5 83985.6 93239.8 103239.7

Таблица 23. Сценарные условия 2015-2018

Факт Оценка Прогноз

2014 2015 2016 2017 2018

ИФО инвестиций в основной

капитал ( )

Вариант 1 97.3

89,4 103,1 102,3 103,2

Вариант 2 91,3 104,6 103,6 104,8

ИФО фонда оплаты труда ( )

Вариант 1 101,4

90,6 102,0 103.8 103.9

Вариант 2 90,8 102,9 104,9 104,9

Мировые цены: Нефть (Urals)

за 1 баррель, доллар США в

текущих ценах

Вариант 1 97.6

50 60 65 70

Вариант 2 60 70 80 90

Темпы роста реальной

заработной платы

Вариант 1 101.3

90,2 102,1 104,1 104,2

Вариант 2 90,2 102,9 105,1 105,2

Среднегодовая численность

занятых в экономике, тысяч

человек

Вариант 1 67947,7

68284,2 68197,4 68023,8 67830,1

Вариант 2 68373,9 68342,6 68193,1 67999,9

Индекс-дефлятор ВВП

98

Факт Оценка Прогноз

2014 2015 2016 2017 2018

Вариант 1 107,2

107,7 108,1 107,6 106,8

Вариант 2 108,2 107,9 108,1 107,5

Согласно полученным прогнозам темпы экономического роста в России в

ближайшие три года не будут превышать 3%.

3.5. Программный комплекс «Прогноз. СБСП СЭР РФ»

Программный комплекс «Прогноз. СБСП СЭР РФ» предназначен для

автоматизации процесса построения агрегированных производственных функций

на основе разработанного универсального прикладного экономико-

математического метода агрегирования. В наиболее распространенных

статистических пакетах (EViews 8, Statistica 10, Stata 13, R, SPSS Statistics) не

предусмотрен универсальный прикладной экономико-математический метод

агрегирования производственных функций, позволяющий повысить точность

прогнозирования ВВП. Моделирование иерархического взаимодействия

экономических систем в данных статистических пакетах можно осуществить

только на основании метода репрезентативного агента (Рисунок 38).

99

Рисунок 38. Сравнение программного комплекса «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ» с

наиболее распространенными статистическими пакетами в части моделирования

иерархического взаимодействия экономических систем

Необходимость автоматизации данного процесса связана с высокой

трудоемкостью вычислительных процедур. Программный комплекс «Прогноз.

СБСП СЭР РФ» реализован на базе платформы бизнес-аналитики Prognoz

Platform. Для построения агрегированных производственных функций для

экономики России была сформирована база данных временных рядов.

Пользовательский интерфейс, модули взаимодействия с базами данных, прочие

методы и алгоритмы написаны на языке программирования FORE.

Программный комплекс «Прогноз. СБСП СЭР РФ» зарегистрирован в

Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной

собственности за номером 2015619466.

Пользовательский интерфейс программного комплекса имеет вид мастера, с

помощью которого осуществляется настройка входных параметров

агрегированной производственной функции:

тип микроэкономических агентов (регионы, отрасли);

100

перечень факторов производственной функции (основные фонды,

инвестиции в основной капитал, среднегодовая численность занятых,

фонд оплаты труда);

вид микроэкономической производственной функции (ПФ Кобба-

Дугласа, ПФ Леонтьева, линейная ПФ, ПФ CES);

метод оценки параметров микроэкономической производственной

функции (метод наименьших квадратов, нелинейный метод наименьших

квадратов, ридж-регрессия);

период ретроспективы;

период прогнозирования.

На стартовой странице информационной системы представлен граф,

отражающий процесс построения агрегированной производственной функции

(Рисунок 39).

Работа по построению агрегированной производственной функции

осуществляется через специальный мастер. Мастер включает в себя следующие

окна:

1. В окне «Описание агрегированной производственной функции» задается

наименование модели, добавляется описание модели, установляются периоды

моделирования: период ретроспективы и период прогнозирования (Рисунок 40).

Рисунок 39. Стартовая страница информационной системы для построения агрегированных производственных функции

102

Рисунок 40. Описание агрегированной производственной функции

2. В окне «Вид микроэкономической производственной функции»

определяются (Рисунок 41):

a. тип микроэкономического агента (регион, отрасль);

b. показатель, отражающий затраты капитала (основные фонды,

инвестиции в основной капитал);

c. показатель, отражающий затраты труда (среднегодовая численность

занятых, фонд оплаты труда);

d. функциональная форма микроэкономической производственной

функции (ПФ Кобба-Дугласа, ПФ Леонтьева, линейная ПФ, ПФ CES).

103

Рисунок 41. Вид микроэкономической производственной функции»

3. В окне «Оценка параметров микроэкономических производственных

функций» выводятся результаты оценки параметров выбранной

производственной функции по всем микроэкономическим агентам (регионам или

отраслям) России (Рисунок 42).

104

Рисунок 42. Оценка параметров микроэкономических производственных функций

4. В окне «Определение законов распределения параметров

микроэкономических производственных функций» предоставляется возможность

выбора закона распределения на основании статистики Колмогорова-Смирнова

(Рисунок 43). Присутствует возможность вывода гистограммы абсолютных частот

в сравнении с графиками функций плотности рассматриваемых законов

распределения.

105

Рисунок 43. Определение законов распределения параметров

микроэкономических производственных функций

5. В окне «Определение законов распределения весовых коэффициентов»

предоставляется возможность выбора закона распределения на основании

статистики Колмогорова-Смирнова (Рисунок 44). Присутствует возможность

вывода гистограммы абсолютных частот в сравнении с графиками функций

плотности рассматриваемых законов распределения.

106

Рисунок 44. Определение законов распределения параметров

микроэкономических производственных функций

6. В окне «Оценка параметров агрегированной производственной функции»

выводится вид функциональной формы агрегированной производственной

функции, оценки ее параметров и значение скорректированного коэффициента

детерминации (Рисунок 45);

107

Рисунок 45. Оценка параметров агрегированной производственной функции

7. В окне «Сценарные условия» предоставляется возможность задания

значений сценарных переменных по уже существующим сценариям и

возможность создания новых сценариев (Рисунок 46);

Рисунок 46. Сценарные условия

108

8. В окне «Результаты расчета» выводятся результаты расчета ВВП на базе

агрегированной производственной функции (Рисунок 47).

Рисунок 47. Результаты расчета

После проведения процедуры расчета прогнозов на основании

агрегированной производственной функции необходимо нажать на кнопку

«Сохранить данные».

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получили развитие следующие теоретико-методологические

основы экономико-математического моделирования производственных функций:

1. Синтезированы новые виды макроэкономических производственных

функций, учитывающие особенности методов их моделирования, предложенные в

производственных функциях Кобба-Дугласа, Леонтьева, CES, линейной ПФ при

различных законах распределения параметров (нормальный, равномерный,

треугольный, логнормальный);

2. Доказана гипотеза о том, что в общем случае функциональная форма

производственной функции не является инвариантной относительно уровня

экономической иерархии;

3. Разработан универсальный прикладной экономико-математический

метод агрегирования производственных функций, позволяющий учесть

неравномерность распределения ресурсов между регионами;

4. Создан программный комплекс «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ»,

предназначенный для автоматизации процесса построения агрегированных

производственных функций на основании универсального прикладного

экономико-математического метода агрегирования.

110

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аксянова А.В. Производственные функции в анализе динамики

макроэкономических показателей развития региональных экономических

систем // Экономические науке, 2009, №59, с. 153-156.

2. Аллен Р. Математическая экономика. – М.: Издательство иностранной

литературы, 1963.

3. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. –

М.: Экономика, 1973. – 294 с.

4. Aйвазян С.А., Афанасьев М.Ю. Моделирование производственного

потенциала на основе концепции стохастической границы: Методология,

результаты эмпирического анализа. – М.: КРАСАНД, 2014. – 352 с.

5. Афанасьев А.А. Производственная функция нефтяной промышленности

России в 1961-2005 гг. // Проблемы экономики и управления

нефтегазовым комплексом. №4, 2007.

6. Афанасьев А.А. Экономико-математическое моделирование и

прогнозирование добычи природного газа в Тюменской области //

Газовая промышленность, №6, 2008.

7. Афанасьев А.А. Производственная функция российской экономики в

1990-2007 гг. // Теория и практика институциональных преобразований в

России, Вып. 12. М.: ЦЭМИ РАН, 2008.

8. Афанасьев А.А. Устойчивость стратегических целей – необходимое

условие развития Газпрома как глобальной энергетической компании //

Газовая промышленность, №704, 2014.

9. Афанасьев А.А., Пономарева О.С. Производственная функция народного

хозяйства России в 1990-2012 гг. // Экономика и математические методы.

Т. 50. №4, 2014.

10. Ашманов А.С. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во

Моск. ун-та, 1980.

111

11. Бахитова Р.Х., Ахметшина Г.А., Лакман И.А. Панельное моделирование

объема выпуска продукции для регионов России // Управление большими

системами: сборник трудов, 2014, №50, с. 99-109.

12. Бессонов В.А., С.В. Цухло. Анализ динамики российской переходной

экономики. – М.: Институт экономики переходного периода, 2002. с. 5-89.

13. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. – М.: Дело, 1994. – 676

с.

14. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. – М., Статистика,

1971. – 208 с.

15. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И.

Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия:

Издательский дом «ИНФРА-М», 2003.

16. Гафарова Е.А. Моделирование регионального развития на основе

производственных функций // Интернет-журнал Науковедение, 2013, №3

(16).

17. Голиченко О.Г. Экономическое развитие в условиях несовершенной

конкуренции: Подходы к многоуровневому моделированию. – М.: Наука,

1999. – 191 с.

18. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение производственных функций по

данным об инвестициях // Методы оптимизации и их приложения. Труды

XV Байкальской международной школы-семинара. – Иркутск: РИО

ИДСТУ СО РАН, 2011. Т. 6. – С. 118-124.

19. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение производственных функций по

данным об инвестициях // Экономика и математические методы, 2012,

том 48, №2, с. 95-107.

20. Горбунов В.К. О размерностной проблеме в экономике: производственная

функция как псевдо черный ящик // Журнал экономической теории, 2014,

№1, с. 199-212.

112

21. Горбунов В.К. Крылов В.П. Оценка эффективности основного капитала

предприятий методом производственных функций // Экономика региона,

2015, №3, с. 334-347.

22. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики:

Учеб. пособие для экон. вузов и фак. – М.: Экономика, 1978. – 351 с.

23. Гребнев М.И. Построение агрегированной производственной функции

для экономики России // European Social Science Journal, 2013, №12 (том

1).

24. Гребнев М.И. Рациональность поведения: иерархический анализ /

Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // РИСК: Ресурсы, Информация, Снабжение,

Конкуренция, №2/2014 г.

25. Гребнев М.И. Обзор методов агрегирования производственных функций /

Д.Л. Андрианов, М.И. Гребнев // Управление экономическими

системами: электронный научный журнал №1/2015 г.

26. Гребнев М.И. Синергетика и иерархический анализ экономики /

Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // European Social Science Journal, 2015, №1

(том 1).

27. Гребнев М.И. Теоретико-вероятностные основания иерархического

анализа экономики / Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // Экономика и

предпринимательство, 2015, №9-2, с. 694-698.

28. Гребнев М.И. Теоретико-игровые основания иерархического анализа

экономики // Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // Экономика и

предпринимательство, 2015, №10-2, с. 537-542.

29. Гребнев М.И. Агрегированная производственная функция с учетом

научно-технического прогресса для экономики России // Журнал

«Вестник ПГУ. Серия Экономика». 2015. Выпуск №4 (27), с. 71-79.

30. Гребнев М.И. Агрегирование производственных функций // Материалы 2-

й международной научно-практической конференции «Актуальные

проблемы социально-экономических исследований, (20 декабря 2012 г.)»,

113

часть 2. / НИЦ «АПРОБАЦИЯ»» – Москва: Издательство Перо, 2012. – с.

199-203.

31. Гребнев М.И. Калибрация параметров производственной функции Кобба-

Дугласа для экономики России // Наука и современность – 2013: сборник

материалов XXIII Международной научно-практической конференции /

Под общ. ред. С.С. Чернова. – Новосибирск: ООО агентство

«СИБПРИНТ», 2013. – с. 192-194.

32. Гребнев М.И. Построение статистической функции распределения

параметров отраслевых производственных функций для экономики

России // Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация

результатов исследований: сборник материалов V Международной

научно-практической конференции / Под общ. ред. С.С. Чернова. –

Новосибирск: Издательство ЦРНС, 2013. – с. 140-142.

33. Гребнев М.И. Агрегирование производственных функций с помощью

модели панельных данных // Экономика и современный менеджмент:

теория и практика / Сб. ст. по материалам XXXVIII междунар. науч.-

практ. конф. №6 (38). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. - с. 35-42.

34. Гребнев М.И. Агрегирование производственных функций //

Стратегическое планирование и развитие предприятий. Секция 5 /

Материалы Шестнадцатого всероссийского симпозиума. Москва, 14-15

апреля 2015 г. Под ред. чл-корр. РАН Г.Б. Клейнера. – М.: ЦЭМИ РАН,

2015. – с. 44-46.

35. Гребнев М.И. Свидетельство о государственной регистрации программы

для ЭВМ №2015619466. ПРОГНОЗ. Система балансировки

стратегических прогнозов социально-экономического развития

Российской Федерации, ее регионов и отраслей (ПРОГНОЗ. СБСП СЭР

РФ) / Андрианов Д.Л., Шульц Д.Н., Гребнев М.И. Заявка № 2015616036,

дата поступления 30 июня 2015 г., дата государственной регистрации в

Реестре программ для ЭВМ 04 сентября 2015 г.

114

36. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические

методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф.

А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., стереотип. – М.:

Издательство «Дело и Сервис», 2004. – 365 с.

37. Елохова И.В. Индуктивное моделирование инвестиционных процессов:

теория и практика: Монография / ПГУ, Пермь, 2005.

38. Елохова И.В. Система поддержки принятия инвестиционных решений на

основе индуктивного моделирования производственных функций:

Монография / Екатеринбург: УрО РАН, 2005.

39. Ершов Э.Б. Композитные производственные функции //

40. Казакова М.В. Анализ зарубежного опыта в области декомпозиции

экономического роста на основе оценки производственных функций,

Москва 2013. – 79 с.

41. Кирилюк И.Л. Модели производственных функций для российской

экономики // Компьютерные исследования и моделирование 2013, Т.5 №2

с. 293-312.

42. Клейнер Г.Б. Мезоэкономика переходного периода: Рынки, отрасли,

предприятия. – М.: Наука, 2001. – 516 с.

43. Клейнер Г.Б. Мезоэкономика развития. – М.: Наука, 2011. – 805 с.

44. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. –

М.: Финансы и статистика, 1986. – 239 с.

45. Клейнер Г.Б., Сирота Б.Н. О производственных функциях с постоянной и

переменной эластичностью замены факторов // Экономика и

математические методы, т. XI, №3, 1975.

46. Клейнер Г.Б., Сирота Б.Н. Об одном классе производственных функций //

Экономика и математические методы, т.XII, №2, 1976.

47. Клейнер Г.Б. Область определения производственной функции //

Экономика и математические методы, т.XIV, №5, 1978, с. 931-948.

115

48. Клейнер Г.Б. Взаимосвязи между средней и предельной отдачей факторов

производственной функции // Экономика и математические методы, 1994,

№1.

49. Клейнер Г.Б. Факторы производства и производственные функции:

моделирование в условиях качественных измерений // Моделирование

механизмов функционирования экономики России на современном этапе.

М.: ЦЭМИ РАН, 1997.

50. Клейнер Г.Б. Основы единой теории производственных функций

экономических систем // Тезисы доклада. Системное моделирование

социально-экономических процессов, 35-е Юбилейное заседание школы-

семинара. Воронеж, ВГУ. 2012.

51. Клейнер Г.Б. Производственные функции экономических систем.

Экономические рост, ресурсозависимость и социально-экономические

неравенство, Пленарные доклады III Всероссийской конференции, 22-24

октября, СПб.: Нестор-История, 2013, с.51-68.

52. Коэн А., Харкурт Дж. Судьба двух Кембриджей о теории капитала //

Вопросы экономики №8, 2009, с. 4-27.

53. Ларионов И.К. Мезоэкономика. М.: Дашков и Ко, 2001.

54. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь

современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело,

2003. – 520 с.

55. Михалевский Б.Н., Соловьев Ю.П. Производственная функция народного

хозяйства СССР в 1951-63 гг. – Экономика и математические методы,

1966, №6, с. 823-840.

56. Михалевский Б.Н. Система моделей среднесрочного

народнохозяйственного планирования. Принципы, обзор, описание

верхнего уровня народнохозяйственного планирования. – М.: Наука,

1972.

57. Официальный сайт ЗАО «ПРОГНОЗ» http://www.prognoz.ru/

116

58. Официальный сайт Министерства экономического развития РФ

http://economy.gov.ru/

59. Официальный сайт Федеральной службы государственной статистики

http://www.gks.ru/

60. Перский Ю.К., Шульц Д.Н. Иерархический анализ экономики: методы и

модели – Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2008. – 225 с.

61. Перский Ю.К., Жуланов Е.Е. Взаимодействие государства и

промышленного комплекса: модели иерархического анализа и

управления. – Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2010. – 357

с.

62. Перский Ю.К. Основания иерархического анализа экономических систем:

учеб. пособие / Ю.К. Перский, Д.Н. Шульц. – Пермь: Издательство

Пермского национального исследовательского политехнического.

университета, 2014. – 404 с.

63. Перский Ю.К., Шульц Д.Н. Развитие представлений об иерархическом

устройстве экономики в истории экономической мысли // Вестник

Пермского университета Вып. 4, 2013, с. 13-19.

64. Петров А.А., Шананин А.А. Экономические механизмы и задача

агрегирования модели межотраслевого баланса, Матем. моделирование,

1993, том 5, номер 9, 18-42.

65. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического

моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. 544 с.

66. Пирс Д.У. Словарь современной экономической теории Макмиллана. –

М.: ИНФРА-М, 2003.

67. Плакунов М.К., Раяцкас Р.Л. Производственные функции в

экономическом анализе. – Издательство «Минтис», 1984. – 308 с.

68. Попов Е.В., Татаркин А.И. Миниэкономика. – М.: Наука, 2003. – 487 с.

69. Поспелов И.Г. Экономические агенты и системы балансов: Препринт

WP2/2001/03 − М.: ГУ-ВШЭ, 2001. − 68 с.

117

70. Поспелов И.Г. Новые принципы и методы разработки макромоделей

экономики и модель современной экономики России / И.Г. Поспелов,

И.И. Поспелова, М.А. Хохлов, Г.Е. Шипулина. – М.: ВЦ РАН, 2006, 239 с.

71. Рейтинг социально-экономического положения субъектов РФ. Итоги 2012

года. – РИАРЕЙТИНГ, Москва, 2013, 66 с.

72. Серябряков Б.Г. Эфрос Н.Л. Народнохозяйственные производственные

функции и некоторые вопросы экономической динамики. – В сб.:

Применение математики в экономике. Вып. 7. Л., Изд-во ЛГУ, 1972.

73. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование: учеб. пособие

в 2 ч. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2009, Ч. 1. 338 с.

74. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование.

Моделирование микро- и макроэкономических процессов, и систем: учеб.

пособие / П.М. Симонов; Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2010. – 422 с.

75. Стаматин В.И., Харитонов В.А. Методологические основы использования

индуктивных производственных функций в задачах обоснования

инновационно-инвестиционных решений // Вестник Пермского

университета Вып. 2, 2011, с. 36-47.

76. Сценарные условия, основные параметры прогноза социально-

экономического развития Российской Федерации и предельные уровни

цен (тарифов) на услуги компаний инфраструктурного сектора на 2016

год и на плановый период 2017 и 2018 годов / Министерство

экономического развития Российской Федерации, Москва, май, 2015.

77. Терехов Л.Л. Производственные функции. – М.: Статистика, 1974. – 128

с.

78. Фельс Э., Тинтер Г. Методы экономических исследований. – М.:

Прогресс, 1971. – 152 с.

79. Хауитт П. Макроэкономика: отношение с микроэкономикой //

Экономическая теория / Под ред. Дж. Итуэлла. – М.: ИНФРА-М, 2004. –

с. 485-492.

118

80. Черников Д.А. Темпы и пропорции экономического роста. – М.:

Экономика, 1982. – 223 с.

81. Шананин А.А. Исследование одного класса производственных функций,

возникающих при макроописании экономических систем // Журнал

вычислительной математики и математической физики, том 24, 1984. с.

1799-1811.

82. Щетинин Е.И., Назруллаева Е.Ю. Производственный процесс в пищевой

промышленности: взаимосвязь инвестиций в основной капитал и

технической эффективности // Научно-практический журнал

«Прикладная эконометрика», №4 (28) 2012.

83. Шульц Д.Н. Иерархическая экономика, уровни и методы их анализа //

Вестник ОГУ №10/октябрь 2006 Часть 2.

84. Шульц Д.Н. Экономический анализ в многоуровневых системах //

Проблемы современной науки: сб. науч. тр. Ставрополь: Центр научного

знания «Логос», 2011. c. 24-27.

85. Шульц Д.Н. Агрегирование производственных функций // Экономическая

кибернетика: математические и инструментальные методы анализа,

прогнозирования и управления: Сб. ст. / Перм. ун-т. Пермь, 2004.

86. Экономика предприятия: Учеб. для вузов: Пер. с нем. / Под ред. Ф.К. Беа,

Э. Дихтла, М. Швайтцера. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 928 с.

87. Arrow K. J., Chenery H. B., Minhas B., Solow R. M. Capital-Labor

Substitution and Economic Efficiency // The Review of Economics and

Statistics, Vol. XLIII, 1961, pp. 225-250.

88. Bergstrom T. Lectures Notes on Separable Preferences, UCSB Econ 210A.

89. Blanchard O.L. Why does money affect output? A survey // Handbook of

monetary economics / Ed. B. Friedman, F.H. Hahn. Amsterdam: North-

Holland, 1990.

90. Cobb C.W., Douglas P.H. A Theory of Production. American Economic

Review, December 1928, pp. 139-165.

119

91. Dresch F.W. Index numbers and the general economic equilibrium. – Bulletin

of the American Mathematical Society, Vol. 44, February, 1938, pp. 134-141.

92. Houthakker H.S. The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production

function in activity analysis. – Rev. Econ. Studies, 1955-56, v. 23(1), № 60, p.

27-31.

93. Felipe J., Fisher F.M. Aggregation in production functions: What Applied

Economists should know; Metroeconomica, Vol. 54, №3, 2003, 208-262.

94. Felipe J., McCombie J.S.L. The aggregate production function and the

measurement of technical change: «Not Even Wrong», Cheltenham, Edward

Elgar.

95. Fisher F.M. The existence of aggregate production functions // Econometrica,

37 (4), pp. 457-469, 1969.

96. Fisher F.M. Aggregation. Aggregate production functions and related topics //

MIT Press, Cambridge, MA, 1993.

97. Klein Lawrence R. Macroeconomics and the theory of rational behavior //

Econometrica, Vol. 14, № 2, 1946.

98. Klein Lawrence R. Remarks on the theory of aggregation // Econometrica, Vol.

14, № 4, 1946.

99. Leontief W.W. The Structure of American Economy, 1919-1939 // Cambridge,

Harvard University Press, 1941.

100. Leontief W.W. Introduction to a theory of the internal structure of functional

relationships // Econometrica, 15 (4), pp. 361-373, 1947.

101. Leontief W.W. A note on the interrelationship of subsets of independent

variables of a continuous function with continuous first derivatives // Bulletin

of the American Mathematical Society, 53, pp. 343-350.

102. Levhari D. A note on Houthakker’s aggregate production function in a

multiform industry // Econometrica, Vol. 36, № 1, 1968.

103. Lintunen J., Ropponen O., Vartia Y. Micro meets Macro via Aggregation //

HECER Discussion Paper № 259, 2009.

120

104. May K. The aggregation problem for a one-industry model // Econometrica,

Vol. 14, № 4, 1946.

105. May K. Technological change and aggregation // Econometrica, Vol. 15, №1,

1947.

106. Nataf A. Sur la possibilite de construction de certains macromodeles //

Econometrica, 16 (3), pp. 232-244.

107. Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production

Functions // Econometrica, Vol. 39, No. 1 (Jan., 1971), pp. 61-71.

108. Sargent Thomas J. Notes on macroeconomic theory // Discussion Paper № 75-

56, 1975.

109. Sato R., Hoffman R.F. Production Functions with Variable Elasticity of Factor

Substitution: Some Analysis and Testing // The Review of Economics and

Statistics, Vol. 50, No. 4 (Nov., 1968), pp. 453-460.

110. Sato R. The Most General Class of CES Functions // Econometrica, Vol. 43,

No. 5/6 (Sep. – Nov., 1975), pp. 999-1003.

111. Sato K. A Two-Level Constant-Elasticity-of-Substitution Production Function

// The Review of Economic Studies, Vol. 34, No. 2 (Apr., 1967), pp. 201-218.

112. Sato K. Production Functions and Aggregation, North-Holland, Amsterdam,

1975.

113. Shou Shan Pu. A Note on Macroeconomics // Econometrica, Vol.14, No. 4,

1946. pp. 299-302.

114. Shults D.N., Grebnev M.I. Statistical Approach to Aggregation of Production

Functions // Applied Mathematical Sciences, Vol. 9, 2015, no. 134, 6669-6689.

URL: http://www.m-hikari.com/ams/ams-2015/ams-133-136-

2015/p/shultsAMS133-136-2015.pdf.

115. Theil H., Linear aggregation of economic relations, North-Holland,

Amsterdam, 1954.

116. Theil H., Linear Aggregation in Input-Output Analysis // Econometrica, Vol.

25, No. 1 (Jan., 1957), pp. 111-122.

121

117. Theil H. Aggregation Implications of Identifiable Structural Macrorelations //

Econometrica, Vol. 27, No. 1 (Jan., 1959), pp. 14-29.

122

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы

для ЭВМ. Система балансировки стратегических прогнозов социально-

экономического развития Российской Федерации, ее регионов и отраслей

(ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ)

123

Приложение B. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в

Министерстве экономического развития Российской Федерации

124

Приложение С. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в

АО «ПРОГНОЗ»

125

Приложение Д. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в

образовательный процесс ФГБОУ ВО ПГНИУ