ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВЪЗМОЖНОСТИТЕ НА ФРАКТАЛНИ...

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ-СОФИЯ

ФАКУЛТЕТ АВТОМАТИКА

катедра „АВТОМАТИЗАЦИЯ НА

НЕПРЕКЪСНАТИТЕ ПРОИЗВОДСТВА“

маг. инж. Василка Тодорова Стоилова

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВЪЗМОЖНОСТИТЕ

НА ФРАКТАЛНИ АЛГОРИТМИ

В СИСТЕМИТЕ ЗА УПРАВЛЕНИЕ

АВТОРЕФЕРАТ

на дисертация за придобиване

на образователната и научна степен „доктор“

Област на висше образование 5. „Технически Науки“

Професионално направление 5.2. „Електротехника, Електроника и Автоматика“

Научна специалност „Автоматизация на производството“ (02.21.08)

Научни ръководители:

Проф. дтн инж. Емил Костов Николов

Доц. д-р инж. Нина Георгиева Николова

С О Ф И Я

февруари 2016 г.

2

Дисертационният труд е обсъден и насрочен за защита от катедрен съвет на

катедра АВТОМАТИЗАЦИЯ НА НЕПРЕКЪСНАТИТЕ ПРОИЗВОДСТВА на Факултет

АВТОМАТИКА на Технически Университет - София с протокол № 6/15.01.2016

Дисертацията съдържа 124 страници, в които 86 фигури, 7 таблици, 4 страници

литература, включваща 95 заглавия. Списъкът от публикации на докторанта по

същината на дисертацията включва 12 заглавия.

Защитата на дисертационния труд ще се състои на 12.05.2016 от 13:00 часа в

Конферентната зала на ТУ-София на открито заседание на научното жури.

Материалите по защитата са на разположение на интересуващите се в

канцеларията на Факултет Автоматика при ТУ-София, на адрес гр. София, бул. „Св.

Климент Охридски“ № 8, блок 2, ет. 3, каб. 2340.

Автор: Василка Тодорова Стоилова

Заглавие: Изследване на възможностите на фрактални алгоритми в системите за

управление

3

Обща характеристика на дисертационния труд

Актуалност на проблема

Изследваният обект в дисертационната работа е избран да бъде плътността на транспортен

поток в автомагистрала. Обектът се отнася в класа на динамичните системи с разпределени

параметри и притежава вътрешна сложност.

Сложността на транспортните системи подтиква към търсенето на нови формални методи

за моделиране и синтез на управляващите алгоритми на транспортните системи. Управле -

нието на транспортните системи има пряк икономически смисъл. Ефективното управле -

нието на транспортния трафик е актуална тема, която напоследък активно навлиза и на

българския пазар. Направените изследванията в дисертационния труд и резултатите от тях

се класифицират като разширение на възможностите за управление, основани на чес -

тотните методи, чрез прилагане на управление от непълен ред при формализацията на уп -

равляващите алгоритми. Този вид формализация позволява да се проектират управляващи

системи с робастни свойства, които в явен вид отчитат пространствената параметрична

разпределеност на обекта за управление.

Цел и задачи на дисертационния труд

Целта на дисертационния труд е разработването, приложението и изследването на нов клас

управление, използващо оператори от непълен дробен ред от обобщеното дробно смятане, в

системи с разпределени параметри върху примера на плътността на трафика в автомагистрали

като обект за управление. В изпълнението на тази цел при разработването на дисертационната

работа са поставени следните задачи:

Анализ на оператори за фрактално диференциране и интегриране от обобщеното

дробно смятане и на формалните модели на процеси в транспортните системи;

Систематизиране и разработване на модели за управление на трафик в автомагист-

рала чрез прилагане на алгоритми от непълен, дробен ред;

Проектиране на система за управление с използването на фрактални алгоритми;

Моделиране, симулация и анализ качеството и робастните свойства на проектира-

ната система за управление с използване на конкретни числени данни.

Тези задачи последователно са разработвани в отделните четири глави на дисертационната

работа.

Обект в дисертационната работа е управлението на плътността на транспортния поток в авто-

магистрала. Той е разгледан като обект с разпределени параметри, зависим от две променливи-

пространствена и времева. За целта на управлението в разработката на дисертацията е използ-

ван регулатор, като алгоритъм за управление, с приближена размерност на пространствената

разпределеност. Последният е модифициран по различни начини с цел сравнение и анализ на

възможностите за приложение на оператори от обобщеното дробно смятане в системите за

управление. Основание за това е сложността на транспортните системи и потоци, в които ус-

ловия се търсят нови ефективни методи за моделиране, изследване и синтез на алгоритми за

управление, гарантиращи постигането на желано качество на системите за управление.

4

Кратко съдържание на дисертационния труд

ГЛАВА I

Обзор на алгоритми за управление с оператори от обобщеното дробно смятане и на

аналитичните модели на транспортния трафик в автомагистрали

I.1. Оператори от обобщеното дробно смятане

Представени са операторите от обобщеното дробно смятане (OGFC) (1.5) (1.19) на:

■ Riemann-Liouville (1.5), с Gamma-функция;

..,3,2,1:Nn

n1n,dt

f

td

d

n

1tfD

n1n,dt

f

td

d

n

1tfD

10,0a,,dt

f1tfDtfI

0,a,,dt

f1tfDtfI

t

01nn

n

t0

t

a1nn

n

ta

t

01t0t0

t

a1tata

(1.5)

■ Grünwald-Letnikov (1.6), с Gamma-функция;

10

,1j1j

1

!j!j

!

j

hjtfj

1h

1miltfD

0j

j

0ht

(1.6)

■ Michele Caputo (1.7) с Gamma-функция;

..,3,2,1:Nn;n1n

,dt

f

n

1tfDItfD

t

01n

n

nn

tC

(1.7)

■ Weyl (1.8), с Gamma-функция;

0,uduxf1u

xfW

;tdtfxt1

xfWfW

1

1

,x

x

1

x,x

(1.8)

■ Kober (1.9), с Gamma-функция;

x

1

x

0

1

tdtftxtx

xf:,xf

;tdtfttxx

xf:,xf

RR

TT

(1.9)

■ Erdélyi (1.10), с Gamma-функция;

,uduxf1uu1

xf

;tdtfxttxm

xf

;uduxfu1u1

xf

;tdtftxtxm

xf

1

m11m

x

1mm1mm

1

0

m111m1

x

0

1mm1mm

R

R

T

T

(1.10)

5

■ Saxena Ram Kishore (1.11) с хипергеометрична Gauss-функция;

tdtfttx;;m,F1

xxf

tdtftxt;;m,F1

xxf

x

1

12

x

0

12

1

F

(1.11)

■ Shyam Lal Kalla (1.12) с хипергеометрична Gauss-функция;

x

1

12

x

0

12

1

tdtfttxa;;m,F1

xxf

tdtftxta;;m,F1

xxf

F

F

(1.12)

■ Arun Kumbhat (1.13) с хипергеометрична Gauss-функция;

x

12

1

x

0

12

1

tdxft

x1a;;,Fxtt

xxfK

tdxfx

t1a;;,Ftxt

xxfR

(1.13)

■ Saigo Megumi (1.14) с хипергеометрична Gauss-функция;

xfIxd

dxfI

tdtfx

t1;;,Ftx

xxfI

n,n,n

,0n

n

,,

x,0

12

x

0

1,,

x,0

(1.14)

■ Arun Ram (1.15) с хипергеометрична Gauss-функция;

n1

j

j

jjjj12

1

jjj

n

1jxxj

j

n1

j

j

jjjj12

n

1j

x

0

x

0

1

jjj

j

j

td....tdt

xtf

t

x1a,,,F

xtt....x

xfK

td....tdx

ttf

x

t1a,,,F

txt....x

xfR

jjj

n1

j

1 n

jj

jj

(1.15)

■ B. P. Parashar с Meijer G-функция (1.16);

1A

,tdtftb,...,b1,

a,...,a1,

t

xaGxAxfK

tdtftb,...,b1,

a,...,a1,

x

taGxAxfI

x

1

q1

p1n,m

2q,2p

x

0 q1

p1n,m

2q,2p

1

(1.16)

■ Virginia Kiryakova (1.17) с Meijer G-функция;

x k

kk0,m

m,m

1

1

k

kk0,m

m,m

,

m,

x

0 k

kk0,m

m,m

1

0

1

k

kk0,m

m,m

,

m,

tdtf1

1

t

xGx

uduxf1

1

u

1GxfWxfW

tdtfx

tGx

uduxfuGxfRxfR

kk

kk

(1.17)

6

■ Arun Kumbhat (1.18) с Fox H-функция;

x QQ

PPN,M

Q,P

rr1r,

r,x

x

0 QQ

PPN,M

Q,P

rr1r,

r,x

tdxfB,b

A,aVkHxttxrxfK

tdxfB,b

A,aUkHtxtxrxfR

(1.18)

■ Shyam Lal Kalla (1.19) с Fox H-функция.

1v

1j

j

t

1j

j

w

1j

jS

x

1

ww

vv

s

u,t

w,vS

1p

1j

j

m

1j

j

q

1j

jR

x

0QQ

PP

r

n,m

q,pR

1

c1cd1s

ydyfyD,d

C,c

y

xbHxxfS

a1ab1r

ydyfyB,b

A,a

x

yaHxxfR

(1.19)

I.2. Рационални апроксимации на оператори от обобщеното дробно смятане

Приложение на OGFC (1.5) (1.19) в теорията и практиката в качеството на алгоритми в

системите за управление, е свързано с необходимостта от техни рационални функционални

еквиваленти, които да са физически и технически реализуеми. Използва се основното свойство

интегрална Laplace трансформируемост на OGFC (1.5) (1.19).

Достигането на реализуеми рационални еквиваленти на Laplace-трансформираните OGFC (1.5) (1.19) pD pa

се постига с честотната рационална апроксимация на OGFC pD pa

(1.5)

(1.19) за ограничен, предварително зададен желан честотен диапазон. Тази апроксимация е

осъществима с непрекъснати

,ˆ pHppD pa или с дискретни апроксимиращи

функции ,ˆ 1

zDppD xa .

Методите за апроксимация на OGFC pD pa

(1.5) (1.19) с непрекъснати рационални

функции използват обобщеният оператор за линейни фрактални трансформации LFT (Linear

Fractional Transformation) и:

● непрекъснати верижни дроби CFE (Continued Fraction Expansions);

● разширени степенни редове PSE (Power Series Expansion);

● непрекъснати верижни дроби CFE;

● дискретна полиномиална апроксимация PRF;

● полиномиална рекурсивна дробно-рационална апроксимация PRF (Polynomial Recursive

Fraction):

,,,1

1

1

RCRrp

pCpGPRF

N

r

r

r

За синтеза на фракталните регулатори, използвани в дисертационния труд е използван методът

на полиномиалната рекурсивна дробно-рационална апроксимация. Динамичните параметри за

настройка на фракталните системи за управление са само два - редът на диференциране и редът

на интегриране на регулатора. Показан е алгоритъмът за синтез на фрактален регулатор IDR по

метода на дробно-полиномиалната рекурсивна апроксимация. Проектирането на ID-регулатор

от непълен, дробен ред IDR е във функция от номиналния модел на обекта *G и се отличава с:

● динамични параметри за настройка на IDR :

- , - непълен ред на използваните оператори за интегриране I и диференциране

D ;

7

-DhDbIhIb ,,,, ,,, - гранични честоти на хоризонталния профил в апроксимациите на опе-

раторите за интегриране

appI и диференциране

appD от непълен ред , ;

● метод за синтез - °полиномиалната рекурсивна апроксимация°;

● критерий - °вертикален профил със зададени запаси на устойчивостта°;

● аналитични изисквания при синтеза на IDR :

p

constappID eGGGDIR

**ˆ*,*

;10;10,,,

,1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

BDAIma

M

j jD

jD

Dh

Db

N

i iI

iI

Ih

Ib

appID

p

p

p

p

p

p

p

pDIR

;5N nom

mPMn1

12

;250 cu 112

nom

mGMniscrannn

;1.1,1.0 uADuAI

1.01

bh

;10,9.0 uBDuBI

9.0

11

N

bh

;85.0,2.0 0 bIAb b

i

i ωη.ηω5,0

1

;2,1 Bh b

i

i ωη..ηω5,0

1

;1

0

11 iIiI 11

iDiD

;111

iIiDiD 1

0

11 iIiI

;250; cucu ;cA ;cB cuBDAI 5.0

;; Abcb ;Bh ;98.3opt

600250optbh

където:

DI , -фрактални оператори (оригинали, ирационални функции) от ред , ;

appapp DI , -апроксимиращи оператори (апроксимации на оригиналите, рационални

функции);

ji, -брояч на съставящите на апроксимиращия полином (цели числа);

NM, -брой на участващите форсиращи звена в апроксимиращия полином (цели

числа);

nom

m

nom

m PMGM , -желани стойности на запаси на устойчивостта по модул и фаза на

проектираната номинална система;

1'1,

ii -времеконстанти на участващите форсиращи звена в апроксимиращия полином

(реални, положителни числа);

1,

uu -единична честота и основна времеконстанта на фракталния регулатор;

8

n -ред на модела на обекта;

peG

**,ˆ -рационална ирационална съставящи в номиналния модел *G на обекта G ;

hb , -най-ниска и най-висока честота на апроксимацията;

BA , -долна и горна честота на диапазона на апроксимацията;

, -рекурсивни фактори (показатели на рекурсията).

Показаният аналитичен метод за синтез на регулатор от непълен ред, използван за целите

на дисертационния труд в четвърта глава, е компютърно автоматизиран.

I.3. Алгоритми за управление, основани на рационални апроксимации на оператори

от обобщеното дробно смятане

■ базови регулатори с оператори от непълен дробен ред; ■ допълнителни надграждащи

структури с робастни свойства; ■ комбинирани допълнителни надграждащи структури;

I.4. Системи за автоматично управление, основани на обобщеното дробно смятане

Системите за фрактално управление се основават на алгоритми (регулатори), използващи в

структурата си рационални апроксимации (1.20) (1.32) на OGFC (1.5) (1.19).

I.5. Качество и нови свойства на системите за фрактално управление, методи за

синтез ■ колимация (плоско турбинно свиване) на характеристиките (и на отворените

NEW , и на

затворените NEΦ системи от произволен непълен ред, и на техните съставящи) при

репараметризиране/реструктуриране на обекта за управление.

0,agIm;0,alRe

0,;0,jarg

0,WagIm;0,WalRe

0,W;0,jWargW

SNESNE

SNESNE0,

SNE

SNESNE

SNESNE0,

SNE

■ честота на колимацията

constm,pGrank,,...,,,f;const,pGrank,,

;0,j,j,jW,,0

0,agIm;0,alRe

0,;0,jarg

0,WagIm;0,WalRe

0,W;0,jWargW

21

SNESNESNE

SNESNE

SNESNE0,

SNE

SNESNE

SNESNE0,

SNE

W

■ траектория на колимацията ,

jW SNE

21 ,;, fjfjWW SNESNESNESNE

■ параметрическа и структурна инвариантност на запасите на устойчивостта по модул

GM и фаза PM

,10,,

,,20,20

,,;0,W,,,0

,,...,,,,

,20

1010

21

dBGM

SNESNE

inv

fun

SNESNE

SNESNESNE

mm

jWjWGM

BdconstjWgoljWgolGM

jWgrajjW

mGMGM

;

9

gedconstjWgrajWgraPM

gedconstjWgrajWgraPM

jWjjW

mPMPM

uSNEuSNE

uSNEuSNE

uSNEuSNESNE

,180180,

,,180,180

,1,;0,W,,,0

,,...,,,,21

;

■ робастна устойчивост RS

;0,,1;0,,*1

mm RS ;

■ робастно качество RP

;0,,1***110

veRPrRGRG m

I.6. Индустриални приложения на фракталните системи за управление Конкретни приложения фракталните системи са намират във всички подотрасли на производ-

ствената и нематериалната сфера на индустрията. Доказана е ефективността им и превъзходс-

твото им пред класическите системи (с алгоритми за управление, използващи целочислени

оператори за интегриране и диференциране) за управление на технологични величини в: авио-

и ракетни системи; напоителни канали и иригационни съоръжения със значително закъснение,

високоточна позиция и скорост на постояннотокови електрозадвижвания; скорост и траектория

на манипулатори и роботи, мехатронни системи, ниво на флуиди и насипни материали в

сферични резервоари, плътността на автомобилния трафик в автомагистрали; температура,

влажност и скорост на обдухване в HVAC системи за комфорт; индустриална хладилна и

криогенна техника; индустриална силова електроника, инвертори и преобразуватели; пара-

метри в автомобила; високоточни позициониращи системи; електрозадвижвания в прибори на

фина механика; механични торсионни и спирачни системи; комуникационна високочестотна

техника и цифрови филтри; електрически апарати ниско и високо напрежение и електроиз-

мервателни прибори; промишлени сушилни инсталации; топлоенергийни обекти, пароподго-

товка, котли; процеси в машиностроенето и металообработката, разкрояващи и пробивни ма-

шини, лазерни металообработващи машини; биологични процеси в системи; PLC- и embedded-

системни приложения и мн. др.

I.7. Класификация на видовете модели на трафика в автомагистрали

В показаната таблица са представени основните величини, описваща трафика в автомагистрала:

q -обемен разход, дебит на транспортния поток - брой автомобили за единица

време;

maxq - максимален дебит на транспортния поток;

ν - скорост – дистанция за единица време;

eν - свободна скорост на транспортния поток – дистанция за единица време;

fν -скорост на потока – дистанция за единица време;

ρ - плътност на транспортния поток в автомагистралата – брой автомобили за еди-

ница дистанция;

crρ -начална и критична плътност на транспортния поток;

outin ρ,ρ - плътност на входа и на изхода на магистралния участък;

L - дистанция (дължина) на разглеждания участък от магистралата – километри;

ο - заетост – процент от времето, за което сектор от пътя е зает от автомобили;

K - концентрация-броя на колите за единица дължина път L (счита се за

еквивалентна на )

st - време за преминаване по дължината на пътя (инверсия на скоростта);

νν s,t - време и размер на интервала между транспортните средства (в транспортни

средства);

n - брой на платната на магистралата, брой на пътните платна;

m - брой на пропускателните пунктове в магистралата.

10

I.7.1. Класификация на моделите според нивото на детайлизиране

Макроскопични модели: базират се на потока на флуиди.

Мезоскопични модели: разглеждат динамиката на група от превозни средства.

Микроскопични модели: базирани на динамиката на индивидуалните превозни средства.

I.7.2. Класификация според типа на променливите ■ непрекъснати - дефинират се като непрекъснати функции на времето. ■ дискретни -

използват числени итеративни изчислителни алгоритми.

I.7.3. Класификация според функционалността на моделите ■ аналитично решение; ■ програмно симулирано решение.

I.7.4. Класификация според начина на представяне на физическите процеси ■ детерминиран процес; ■ стохастичен процес.

I.7.5. Класификация според други критерии ■ статични модели; ■ динамични модели; ■ хомогенни модели; ■ хетерогенни модели.

I.8. Анализ на микроскопичните модели Микроскопичните модели се използват за отчитане на повече детайли при описанието на от-

делните транспортни системи. При микроскопичните модели динамиката на движение се раз-

глежда за отделно превозно средство или няколко такива, които се движат едновременно.

Движението се разглежда в подробности, като се отчитат въздействия върху всяко превозно

средство. При тези модели обикновено се използват числени зависимости за изменение дина-

миката на поведение на отделните превозно средства. Микроскопичните модели използват за-

висимости като разстоянията между колите, относителната скорост на движение на превозните

средства при отчитане на действия като изпреварване, спиране, следване в ред и др.

I.8.1. Модел за безопасното разстояние (Safety-distance model)

Модел на Forbes (1.33) ;

16,11

v+L=vD nn

(1.33)

I.8.2. Модел стимул-реакция (stimulus-response model)

Модел на Chandler (1.36) ;

tvtvγ=T+ta nnn 1 (1.36)

I.8.3.Модел на клетъчните автомати (CA- cellular automation or particle hopping model)

Модел на Nagel (1.38) ;

nni xx=d 1 (1.38)

I.9. Мезоскопични модели Това е междинно ниво за моделирането на транспортен трафик. Отчитат се фактори като

поведението на шофьора, ускорението на автомобила, промяна на местоположението на

автомобила на пътното платно, отчитане на взаимодействие между колите (изпреварване).

Мезоскопичните модели използват аналогията за динамиката на газови частици (кинетика на

газ).

I.10. Макроскопични модели Макроскопичните модели са разработени на базата на аналогия с хидродинамиката, според

която потокът автомобили може да се приеме като движение на флуид при непрекъснатото му

придвижване. При макроскопичните модели трафикът се описва с агрегирани термини, като се

отчита плътността , средна скорост , дебит q и др.

11

I.10.1. Клетъчен модел за предаване (Cell transmission models)

tn=+tn ii+ 11 (1.47)

I.10.2. Модел с режим на превключване (Switching- mode models (SMM))

I.10.3. Модел от първи ред Lighthill-Whitham-Richards

tx,vtx,ρ=tx,q . (1.50)

0 ∂

∂

∂

∂=

t

tx,ρ+

x

tx,q (1.51)

t,xρF=tx,v (1.52)

I.10.4. Модели от втори ред на Payne

d

t,xvd

T

1c;

x

t,x

t,x

t,xc

T

t,xvt,xv

x

t,xv.t,xv

t

)t,x(v e2

0

onanticipati

2

0

relaxation

e

convection

(1.53)

I.11. Макроскопичен хидродинамичен модел – LWR

Макроскопичния хидродинамичен модел на LWR разглежда аналитичното решение на урав-

нението на консервативността на LWR. Приложения могат да се намерят в трудове на

Stephanopoulos, Wu , Kuhne, Rosswog, цитирани в дисертационния труд.

I.12. Фундаментална диаграма на пътния трафик tx,ρFtx,ρ=tx,q . (1.61)

Фиг.1.10 Фундаментална диаграма на пътния поток:

a) Greenshield; b)Drake; c) Cassidy; d) Greenberg

I.13. Аналитично извеждане на модела от втори ред на Payne от модела от първи ред

на Lighthill-Whitham-Richards

I.14. Принцип на суперпозицията Дефинирани са основните аналитични изрази, показващи идеята на принципа на

суперпозицията.

I.15. Анализ и изводи Транспортните потоци, към които се отнася и транспортния трафик в автомагистрали, са

сложни системи, за чието описание се прилагат различни модели и формалнен аналитичен

12

инструментариум. Областта на приложение на моделите влияе върху конкретния избор на

прилаганите зависимости.

В тази глава е направена класификация на прилаганите модели, използвани в областта на ана-

литичното описание на транспортния трафик. Разгледани са различни методи за рационална

апроксимация на операторите от обобщеното дробно смятане. Показани са различни алгоритми

за управление, базиращи се на рационални апроксимации на операторите от обобщеното

дробно смятане. Представени са различни свойства и предимства на системите за управление

от непълен ред. Направена е класификация на моделите според: нивото на детайлизиране, типа

на променливите, функционалността на моделите, начина на представяне на физическите

процеси, други критерии; анализа на микроскопичните, мезоскопичните, макроскопичните

модели от първи ред. Направен е системен анализ на макроскопичните модели от втори ред и

хидродинамичните модели. Систематизираните модели са оценявани според избраните

критерии: ниво на детайлизиране; типа на променливите; функционалността; начина на

представяне на физическите процеси; други критерии.

Систематизацията на операторите от обобщеното дробно смятане и методите за тяхната раци-

онална апроксимация е въвеждаща, и се използва в следващите раздели на настоящата разра-

ботка при синтеза на системи за управление на автомобилния трафик н автомагистрали. Сис-

тематизираните видове модели, аналитично представящи автомобилния трафик в автомагист-

рали, са разгледани в настоящия раздел на работата с цел да се избере по-нататък в изследва-

нията подходящ модел, описващ разглеждания обект за управление.

I.16. Цел и задачи на разработката Целта на дисертационния труд е разработването, приложението и изследването на нов клас

управление, използващо оператори от непълен дробен ред от обобщеното дробно смятане, в

системи с разпределени параметри върху примера на плътността на трафика в автомагистрали

като обект за управление. В изпълнението на тази цел при разработването на дисертационната

работа са поставени следните задачи:

Анализ на оператори за фрактално диференциране и интегриране от обобщеното

дробно смятане и на формалните модели на процеси в транспортните системи;

Систематизиране и разработване на модели за управление на трафик в автомагист-

рала чрез прилагане на алгоритми от непълен, дробен ред;

Проектиране на система за управление с използването на фрактални алгоритми;

Моделиране, симулация и анализ качеството и робастните свойства на проектира-

ната система за управление с използване на конкретни числени данни.

Тези задачи последователно са разработвани в отделните четири глави на дисертационната

работа.

Обект в дисертационната работа е управлението на плътността на транспортния поток в авто-

магистрала. Той е разгледан като обект с разпределени параметри, зависим от две променливи-

пространствена и времева. За целта на управлението в разработката на дисертацията е

използван регулатор, като алгоритъм за управление, с приближена размерност на

пространствената разпределеност. Последният е модифициран по различни начини с цел

сравнение и анализ на възможностите за приложение на оператори от обобщеното дробно

смятане в системите за управление. Основание за това е сложността на транспортните системи

и потоци, в които условия се търсят нови ефективни методи за моделиране, изследване и синтез

на алгоритми за управление, гарантиращи постигането на желано качество на системите за

управление.

13

ГЛАВА II

Транспортният трафик в автомагистрали като обект за управление

II.1. Основни променливи в описанието на пътния поток като обект за управление -

описание на входни управляващи, управлявани величини и систематизация на

смущаващите въздействия

),( tx , kmveh / - плътност- брой превозни средства, които се намират във време t в

нарастък от пространство dxx .

),( txq , hveh / - дебит- броят превозни средства, които преминават през

пространство x за интервал от време dtt .

),( txv , hkm / - скорост- средната скорост на потока, която зависи от плътността на

превозните средства в точка x и време t .

Освен показаните основни физически величини от значение за пътния трафик са и следните

фактори:

пътните условия- наличието на вятър, дъжд, сняг, поледица, ремонтни и строителни

дейности, ограничения;

психологични- определени от състоянието и дисциплината на водачите на

транспортните средства;

наличието на законови норми за движение;

ограничени конструктивни възможности на магистралата - максимална скорост на

движението на завоите, наклони на завоите, виадукти с променяща се температура на

трасето, качество на настилката и др.

II.2. Динамични системи с разпределени параметри. Обект за управление

Разглежданият в работата обект за управление е плътността на трафика в автомагистрала.

Той е обект с разпределени параметри, защото променливите скорост tx , , плътност tx ,

и дебит txq , , зависят от две променливи - пространствената променлива x и от времевата

променлива t , съгласно теорията.

На фиг.2.4. е илюстриран структурният модел на плътността на автомобилния трафик в

автомагистрала. Нататък в настоящата работа плътността на трафика (фиг.2.4) се приема за

обект на изследване, моделиране и анализ, както и за обект за управление.

Входната величина на модела на обекта е броят пропускателни пунктове (входна

плътност), която е и регулираща величина в системите за управление разглеждани

нататък в работата

Изходната величина на модела на обекта е плътността на трафика в ограничена

(разглеждана) зона от автомагистралата, която е и регулируема величина в системите за

управление разглеждани нататък в работата.

Входната величина на модела на обекта (регулируемата величина в системата за управление) е

величина (променлива) с нулева пространствена размерност, а изходната величина на модела

(регулируемата величина в системата за управление) е величина (променлива) с разпределени

параметри. Плътността на автомобилния трафик в настоящата работа се разглежда като

динамична система с разпределени параметри.

14

Фиг.2.4. Структурен модел на плътността на трафика като обект за управление.

II.3. Линейни динамични системи с разпределени параметри

Линейните динамични системи с разпределени параметри, чието название е продиктувано от

класа моделиращи го аналитично частни диференциални уравнения, се описват с помощта на

линейния интегрален оператор (2.1), чрез който на всяка една входна променлива t,xu 1 ,

01 ≥∈∈ ttΩ;tL;x еднозначно се определя съответстващата изходна променлива

022 ≥∈∈ ttΩ;tL;x,t,xy на динамичната система:

022

0 1

22 ≥∈∈.,, ttΩ;t;Lx,

t

ddτ,ξuτt,xG=t,xy

t L

(2.1)

Разпределената динамична система еднозначно се определя с показаното интегрално ядро

(кернел) ,,2 t,xG на оператора (2.1). Ядрото по същество е функция на четири аргумента: на

два пространствени 2∈Lx и 1∈Lξ и на два времеви 0≥tt и 0≥tτ .

Ядрото τt,ξ,,xG 2 на оператора (2.1) е Green-функцията (използвана при решаването на

съответстващите частни диференциални уравнения на разглежданата динамична система). Във

физическата теория на твърдите среди τt,ξ,,xG 2 се нарича още и функция на точковия

източник, а в теорията на автоматичното управление това интегрално ядро е наречено

импулсна преходна функция на разпределената динамична система .

Прието е стационарните разпределени динамични системи да се описват по отношение на

Laplace-преобразуванията на променливите и на Green-функците, както това е показано с

помощта на (2.11) и на (2.12):

∞

0

2dttx,ye=p,xy

pt

(2.11)

∞

0

dttξ,x,Ge=pξ,x,Wpt

(2.12)

структурен

модел на

плътността

на трафика

в ограничена

зона на авто

магистрала

изходна

плътност

на трафика

пропускателни

пунктове брой

входна плътност

атмосферни и пътни условия,

пътно-транспортни произшествия,

психологични фактори, входна скорост,

входен дебит, брой и капацитет на рампите. . .

смущаващи въздействия

изходна регулируема

величина

входна регулираща

величина

in out

p,,xG

p,x2изход

p,x1вход

a)

b)

15

II.4. Предавателна функция и честотни характеристики на линейна динамична

система с разпределени параметри

II.5. Систематизация на частни диференциални уравнения

II.6. Модели на транспортния трафик в автомагистрали

Транспортният трафик в автомагистрала обобщава движението на поток от превозни средства.

Транспортния трафик се разглежда като движение на флуид.. Основният използван аналитичен

модел (2.32) на трафика е моделът от първи ред на Lightill-Whitham-Richard (LWR).

Аналитичната зависимост (2.32) е базирана на три основни уравнения - на дебита,

консервативността и скоростта на потока. Те свързват дебита q , скоростта ν и плътността ρ

на трафика в автомагистралата като поток от свиваем флуид, където x е разстоянието

L;x 0∈ , а времето е означено с t :

дебитанауравнениеt,xvt,xρ=t,xq .

вносттаконсерватинауравнение

t

t,xρ

x

t,xq 0

∂

∂

∂

∂ (2.32)

скоростсреднаν,x,tρνx,tν ee

потоканаскоростν,ρ

t,xρν=tx,ν f

max

fе →1

За да бъде решено уравнението на консервативността на потока (2.32), отразяващо закона за

съхранение на потока и моделиращо трафика, се използва зависимостта между дебит q ,

скорост ν и плътност ρ , за да се приведе (2.32) изцяло по частните производни само на една от

променливите - например на плътността ρ . Намереното решение на трансформираното

уравнение (2.32) по tx,ρ , определя останалите величини -в случая дебит t,xq или скорост

tx,ν , като се основава на вече известни зависимости на тези величини от намереното решение

tx,ρ .

След прилагане на Green-функция и зависимостта на Greenshield към частното диференциално

уравнение и след неговото решение, е изведена аналитично предавателната функция (2.77), а от

нея разпределените предавателен коефициент k , времеконстанта T и закъснение ,

отразени с (2.78)÷(2.80), както следва:

pρ,fvς,x,τ

e+pρ,vς,x,T

ρ,vς,x,k=

pρ

px,ρpξ,x,G

f

f

in

out 0

10,0

0

(2.77)

0f

0f

ρ21v

ejω,ξ,xG=ρ,v,ς,xk

0ρ21fv

L

(2.78)

0f0f

0f

ρ21v2

L=

ρ21v2

Lxρ,v,ς,xT

(2.79)

0f0f

0f

ρ21v2

L=

ρ21v

Lxρ,,vς,xτ

(2.80)

II.6.1. Стационарен режим на транспортния трафик в автомагистрала

Стационарния режим на транспортния трафик се описва със зависимостта ( 0→∞→ p;t ).

Систематизираните до тук модели на трафика го определят като статична нееднозначна,

инерционна динамична система с разпределени параметри и също такава ирационална част на

нееднозначното, разпределено в пространството закъснение. Основният модел на трафика като

16

динамична система, се основава на зависимостите показани със съответния номер в

дисертационния труд, а предавателният коефициент, времеконстантата и закъснението на

моделираната динамична система с разпределени параметри са показани с (2.78), (2.79), (2.80).

Стационарния режим на трафика може се представя обобщено с помощта на фундаментал-

ната диаграма (в относителни единици) като негова основна характеристика (фиг.1.10).

Открояват две области - на трафик с нормално движение и на затруднен трафик,

характерен с наличието на задръствания.

II.6.2. Нестационарен режим на плътността на транспортния трафик в

автомагистрала

Динамиката на плътността на трафика като обект с разпределени параметри е моделирана с

разпределените преходна функция (2.103), предавателна функция (2.104) и честотна

характеристика (2.105):

t

ddτξ,τt,ξ,x,G=tx,utx,ρt D

out

0

.≡

(2.103)

p

ρfv

L

e+pρv

Lρvpξ,x,G

f

f

0212

1

0

01

21221

(2.104)

jω

ρfv

L

e+jωρv

Lρvjωξ,x,G

f

f

0212

1

0

01

21221

(2.105)

II.7. Анализ и изводи

В тази глава системно е разгледано подробното аналитично описание на плътността на авто-

мобилния трафик в автомагистрала. Уточнени, въведени и конкретизирани са основните про-

менливи, които характеризират обекта за управление като система с разпределени параметри;

представени са основните му характеристики. Дефинирани са входните управляващи и изход-

ните управлявани величини за динамичната система с разпределени параметри за управление

на плътността на трафика. За основа на описанието е използван известният макроскопичен

модел от първи ред на Lighthil-Whitham-Richard (LWR), който аналитично описва процесите на

изменение на плътността на автомобилния трафик. Приложен е методът на Green- функциите

за решаване на моделиращото частно диференциално уравнение PDE при указаните начални и

гранични условия, с цел достигане на описанието на основните характеристики на модела на

обекта. Това описание позволява да се премине в честотната област при анализа и синтеза на

система за управление на плътността на трафика в автомагистрала. Изведена е предавателна

функция на разглеждания обект с разпределени параметри, което позволява да се приложи

управление. Анализирани са стационарният и нестационарният режими на изменение на

плътността на транспортния трафик в автомагистрала.

Глава III

Система с разпределени параметри за управление на плътността на

транспортния трафик

III.1. Система с приближена размерност на пространствената разпределеност за

управление на плътността на трафика в автомагистрали

За да бъде постигната еквивалентна размерност на разпределеността (когато пространствената

размерност на входната разпределена променлива към една разпределена система не е равна на

пространствената размерност на изходната разпределена променлива на системата), се използва

пространствен преход на проекцията за конфигурацията на системи за управление с

приближена размерност на пространствената разпределеност. На фиг.3.2 е показана система за

17

управление на плътността на автомобилния трафик в автомагистрала, която се характеризира с

еквивалентна размерност на разпределеността.

Фиг.3.2 Система с нулева размерност на разпределеността a) и система с приближена

размерност на пространствената разпределеност b) за управление на плътността на трафика.

Регулируемата разпределена величина в системата е плътността pi,ρi на автомобилния

трафик в коя да е технологично избрана точка ii L=x от магистралата. Регулираща величина е

плътността p,ρin 0 на трафика на входа на магистралата 0=x . Тя е еднозначно определена

функция на производителността и броя на функциониращите пропускателни бариери на входа

на магистралата, означени с „ ”. Реализиращата структура на система за управление на

плътността на трафика в автомагистрала е показана на фиг.3.3. Системата обхваща

управлявания обект в i на брой точки (които се определят предварително от проектанта на

системата за всеки конкретен обект като брой и позиция в пространството x ) и се основава на SFF

NER -регулатор с приближена размерност на пространствената разпределеност,

разгледан в цитираната към дисертацията литература. Конфигурацията (фиг.3.3) съдържа: ●

базов 1iRSFF

NE регулатор, обхващащ обекта в първата 1i от избраните i точки в x ; ●

iSFFΦ -модели, съответстващи на едномерни хипотетични затворени системи за управление

(със съсредоточени параметри) на номиналните модели 2),,,(

ipxG i на обекта във вече

определените 1i точки в x с помощта на съставните 2, iRi

SFF

NE -регулатори с нулева

размерност на разпределеността; ● -филтри

iD , реализиращи функциите на пространствен

преход на проекцията като -функции на проекцията, с които се постига приближена

размерност на пространствената разпределеност на SFF

iNER към обекта за управление с

разпределени параметри pxG ,, ; ● x -филтри x

iD , реализиращи функциите на

пространствен преход на проекцията като x -функции на проекцията, които са предназначени

+ -SFF

1R p,11

p,ii

0x

11 Lx

pr 1 k m1L 1

p,1q

p,1v

p,11

p,0qin

p,0vin

p,Lqout

p,Lvout

ii Lx

k miL i

p,iq

p,iv

p,ii

p,1iq

p,1iv

p,1i1i

pr 1i

1i1i Lx

k m1iL 1i

--- -

1i

i

1i

2i

SFF

iR

pi

iG

-SFF

1iR

1i

1iG

p1i -

-i

pp,i iii

1i 1i

1iD

i

iD

1i

1iD

p0

i

+

+

pu

pR SFF

NE

динамична система с разпределени параметри

обект за управление

регулатор с приближена размерност на разпределеността

p,0in

p,Lo u t

iD

1iD

вход на магистралата с пропускащи бариери

контролни точки

b)

18

за постигането на приближена размерност на пространствената разпределеност на SFF

iNER към

обекта за управление pxG ,, .

a)

b)

Фиг.3.3.a);b) SFF

NER -система с приближена размерност на пространствената разпределеност от

непълен ред за управление на плътността на трафика в автомагистрали.

0x

+

-SFF

1NER

- 2

p2

SFF

2NER

2G

-

i

1i

x

2iD

p0

+

pR SFF

NE

pu

1i

1iG

p,44 p,2iG 2i

SFF

3NER

3G

-

SFF

4NER

4G

-

SFF

1iNER

1iG

-

SFF

iNER

iG

-

SFF

1iNER

1iG

-

-

+

-

+

p,1iG 1i

p,iG i

p,1iG 1i

p,4G4

p,3G3

p,2G2

p,1G1

-

+

-

+

-

+

x

2D

x

3D

x

4D

x

1iD

x

iD

x

1iD

x

2iD

3

4

1i

i

1i

1i

4

3

2

p3

p4

p1i

pi

p1i

p,...iG ....i

p,,xG

динамична система с разпределени параметри


регулатор с приближена размерност на пространствената разпределеност

p,x

1iD

2D

1iD

iD

4D3D

p0

-

регулатор с приближена

размерност

на разпределеността

динамична система

с разпределени параметри


-

SFF

1NER

iD

p,ii

pi

pi

-

p

p0

pu p,x

pi

pi

p0

x

iD

p1

SFFR

i,SFF

-

+

p,,xG

p,x

+

+

p,xr

регулатор с приближена

размерност

на разпределеността

динамична система

с разпределени параметри


-

SFF

1NER

iD

p,ii

pi

pi

-

p

p0

pu p,x

pi

pi

p0

x

iD

p1

SFFR

i,SFF

-

+

p,,xG

p,x

+

+

p,xr

19

III.1.1. *

iSFF,Φ -модели

*

iSFF,Φ -моделите (3.1) съответстват на едномерни хипотетични затворени системи за уп-

равление на номинални модели *

iG на плътността на трафика в отделни различни точки от

магистралата (избрани съобразно нейните конкретни особености, например входно-изходни

рампи) на дистанция iL от нейния вход:

211

≥i,GR+GR=Φ*

i

SFF

NEi

*

i

SFF

NEi

*

iSFF,

(3.1)

По избор на проектанта на системата за управление на плътността на трафика се използва

класически PID регулатор, като регулатор за управление в структурата на *

SFF,iΦ - моделите.

При проектирането на SFF

iNE,R по алгоритмите за синтез към съответните номинални модели

pGi

* в конкретни точки i на обекта за съответната дистанция са използвани критериите

°вертикален профил° и °адекватност на честотните характеристики в зададен

диапазон°. Заданието 0

ρ е едно и също и към базовия регулатор 1=i,RSFF

NE1 , и към останалите

съставни регулатори 2≥i,RSFF

NEi в номиналните модели *

iSFF,Φ на системата за управление.

Базовият регулатор SFF

NE1R (най-близкият до входа на магистралата) формира управляващото

въздействие ρu (съсредоточена величина) в системата към входа на магистралата.

III.1.2. ξ -филтри

Плътностите на трафика pi,ρ i , които реално се измерват в съответните точки i на

магистралата (фиг.3.3) се трансформират в скалари pρξ

i с помощта на ξ -филтрите ξ

iD

(3.4). ξ -филтрите ξ

iD изпълняват функциите на пространствен преход на проекцията. Те

са ξ -функция на проекцията. ξ -филтрите са ядро на системата за управление, което не

зависи нито от размерността, нито от входната пространствена променлива, а зависи

единствено от изходната пространствена променлива ξ на разпределената система. ξ -

филтрите са предназначени за постигането на приближена пространствена размерност на

разпределеността на регулатора pRSFF

NE∇ към обекта за управление pξ,x,G . Проектирането

на ξ -филтрите ξ

iD е съобразено с размера на времеконстантите iq ,T и ir,T . Аналитичните

изрази (3.4) и (3.5) са методът на синтез на ξ -филтрите:

2111

≥i,+pT+pT=pρ/pi,ρ=pDrq

ξ

ii

ξ

i

(3.4)

2≥≥ i,Tτ=T;τTiq,

*

iir,

*

iiq, (3.5)

III.1.3. x -филтри

Входните променливи на x -филтрите x

iD (3.7) за приближена пространствена размерност на

разпределеността на регулатора SFF

NER ∇ в системата за управление към обекта за управление се

получават като разликите i между „съсредоточените” изходни величини pρ*

i на моделите

*

iSFF,Φ (фиг.3.3) и трансформираните в скалари стойности pρξ

i на реално измерваните в

съответните точки i на магистралата плътности на трафика pi,ρ i . Аналитичните изрази (3.7)

и (3.8) са методът на синтез на x -филтрите:

2≥i,pρpρ=pΔ*

i

ξ

ii (3.6)

2111

≥∇ i,+pT+pT=pΔ/p=pDlκii

x

i

(3.7)

2≥≫ i,Tτ=Tiκ,

*

iil, (3.8)

2≥∇∇∑

i,p=pi

i (3.9)

20

x -филтрите x

iD изпълняват функциите на пространствен преход на проекцията. Те. са x -

функция на проекцията. Те са ядро на системата за управление, които не зависят от входните

пространствени променливи, а зависят единствено и само от пространствената променлива x .

На тази основа проектирането на x -филтрите x

iD е съобразено с размера на

времеконстантите iκ,T и il,T (3.8).

III.1.4. Регулатор с приближена размерност на пространствената разпределеност

Приближена размерност на разпределеността на SFF

NER ∇ регулатора с приближена

размерност на пространствената разпределеност и на плътността на трафика в

автомагистрала се постига с помощта на въздействията 2≥∇ i,i от x

iD , адитивно коригиращи

чрез ∑∇ (3.9) с отрицателен знак заданието 0ρ в SFF

NER ∇ -системата (фиг.3.3). Регулаторът SFF

NER ∇

формира управление ρu , което е съсредоточено по своя характер, но отчита и коригира

промените и смущенията в системата с пространствената разпределеност на параметрите. Това

е възможно с помощта на

iSFFΦ -моделите, ξ -филтрите ξ

iD и x -филтрите x

iD в структурата

на SFF

NER ∇ . Аналитичното описание е показано с (3.10)÷(3.18). SFF

NEiρ Rρ=u0

∇ (3.10)

i

=i

iρ=ρ

2

00

∇ ∇ (3.11)

x

ii

SFF

NEii

SFF

NEii

ξ

il DGR+GRρpi,ρD=1**0

∇ 1∇

(3.12)

i

=l

i

SFF

NEii

SFF

NEi

x

i

i

=l

i

x

i

ξ

i

GR+GRD

pi,ρDDρ

=ρ

2

1**

2

0

0

∇

11

(3.16)

pGpRpGpR

pR

DGRGR

DD

pu

pRpppu

consti

consti

k

i

x

iiiii

k

i

i

x

ii

*;*

11

,0

,0

11

11

2

10

2

0

11

0

(3.17)

(3.18)

В настоящата разработка, за целите на изследването на възможностите на фракталните алго-

ритми за управление, основани на оператори от обобщеното дробно смятане, е направено и

заместване на базовия регулатор в структурата на системата с приближена размерност на

пространствената разпределеност (фиг.3.3), което е показано в следващата глава на разработ-

ката. Използвани са интегратор от непълен ред neI , диференциатор от непълен ред neD , ин-

тегро-диференциатор neID последователен и паралелен от непълен ред и класически PID

регулатор, като са сравнявани получените резултати.

III.2. Използвани методи за решение на задачата за управление на плътността на

трафика в автомагистрала с регулатора с приближена размерност пространствената

на разпределеност

Входни за -филтрите са реално измерваните в съответните точки i стойности на

разпределената регулируема величина pii , , а изходни - трансформираните от -

21

филтрите в скалари стойности pi

(фиг.3.3). В случая е известна (реално измервана)

разпределената променлива pii , - входна за динамичната система на -филтрите, чиито

изходни променливи pi

са съсредоточени (не пространствено разпределени). Разликите

pi (3.6) между „съсредоточените” изходни величини pi

на моделите

iSFFΦ (фиг.3.3) и

трансформираните в скалари стойности pi

на реално измерваната регулируема величина

pii , в съответните точки i формират входните променливи на x -филтрите, чиито

изходни променливи (3.7) pi се сумират в p (3.9) и сумата p чрез заданието

p0

(3.11) внася съответните корекции до p0

за реализация на приближената

пространствена размерност на разпределеността към заданието на SFFR -регулатора,

който формира съсредоточената регулируема променлива pu (3.10) в системата за

управление (фиг.3.3).

III.3. Параметризиране на модела на плътността на транспортния трафик за целите

на изследването на приложимостта на системата за управление с приближена

размерност за участък от автомагистрала

За целите на конкретните изследвания за приложимостта на системата (фиг.3.3) за управление

с приближена размерност на плътността на транспортния трафик, аналитичният модел (2.32) е

параметризиран с конкретни данни и представен за дванадесет контролни точки от

автомагистрала, шест от които са показани в табл.3.1 Показани са част от стойностите на

параметрите на модела на дванадесет контролни точки, с които са проведени изследванията за

приложимостта и анализа на качеството на система с приближена размерност за управление на

плътността на пътния трафик, приложена върху участък от автомагистрала като обект за

управление с дължина 6.5км. Чрез известни дължина на участъците L , входна плътност o

и

скорост V са изчислени: разпределеният предавателен коефициент k , времеконстантата T и

закъснението . Така е представена разпределената предавателна функция pxG ,, за всяка

една от разглежданите дванадесет дистанции, съответстващи на конкретните километри от

автомагистралата.

Табл.3.1

*

1G *

2G *

3G *

4G *

5G *

6G

L 1 2 3 4 5 6

o 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3

V 110 110 110 110 110 110

k 0.022216 0.021717 0.021229 0.020752 0.020285 0.019830

T 0.011364 0.022727 0.034091 0.045455 0.056818 0.068182

dom 0.011364 0.022727 0.034091 0.045455 0.056818 0.068182

Направена е симулация на разпределените времеви и честотни характеристики на обекта за

управление въз основа на модела на плътността на трафика за участък от автомагистрала от

общо 6.5км. При зададени начални стойности на входната плътност o

, скоростта на потока V

и дължината на разглеждания участък L за дванадесет разглеждани точки през половин

километър са определени предавателните функции на всеки обект (километър). Ап-

роксимацията на закъснението , в предавателната функция на обектите, е направена чрез ап-

роксимация на закъснението със симетричен ред на Pade. Така обектът за управление като

динамична система с разпределени параметри е представен с разпределените преходни функ-

ции, импулсни-преходни функции и честотни Nyquist-, Bode- и Nichols-характеристики за

конкретния участък от автомагистралата за конкретни стойности на входната рампа:

22

Фиг.3.6.. Преходна функция на обекта за

дванадесет разглеждани точки от авто-

магистралата

Фиг.3.7. Импулсна преходна функция на

обекта за дванадесет разглеждани точки от

автомагистралата

Фиг.3.8. Nyquist-честотна характеристика на


автомагистралата. .

Фиг.3.10. Bode-честотна характеристика на


автомагистралата.

III.4. Анализ и изводи

В тази глава са представени нова по своя характер система с разпределени параметри за уп-

равление на плътността на транспортния трафик в автомагистрала, метод и реализиращ го ал-

горитъм за нейното аналитично проектиране. Системата за управление е от класа на системите

с приближена размерност на пространствената разпределеност. Подробно са представени и

пояснени принципът на функциониране на x - филтрите, ξ - филтрите и

iSFFΦ -моделите,

използвани в регулатора с приближена размерност на пространствената разпределеност в

системата за управление. Чрез използване на предварително известни входна плътност o ,

дължина на отсечката L и скорост V за определен брой точки е параметризиран модел на

участък от автомагистрала, върху който да се проведат експериментални изследвания за

приложимостта и анализа на качеството на предложената система за управление с разпределени

параметри. Обектът, моделиран за участъка, е параметризиран с конкретни числени данни.

Неговите характеристики като динамична система с разпределени параметри са представени с

показателните времеви и честотни характеристики на изменение на плътността на трафика за

конкретно разглеждан брой точки от магистралата, като закъснението е апроксимирано чрез

симетричен ред на Pade. Резултатите от изследването на приложимостта на системата за

управление с приближена размерност и от анализа на нейното качеството са систематизирани в

следващия раздел на дисертацията.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Time (sec)

Am

plit

ude (

-)Step Response of Distributed Parameters Model

W1 (x,t)

W2 (x,t)

W3 (x,t)

W4 (x,t)

W5 (x,t)

W6 (x,t)

W1.5

(x,t)

W2.5

(x,t)

W3.5

(x,t)

W4.5

(x,t)

W5.5

(x,t)

W6.5

(x,t)

t,x

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Time (sec)

Am

plit

ude

(-)

Impulse Response of Distributed Parameters Model

W1 (x,t)

W2 (x,t)

W3 (x,t)

W4 (x,t)

W5 (x,t)

W6 (x,t)

W1.5

(x,t)

W2.5

(x,t)

W3.5

(x,t)

W4.5

(x,t)

W5.5

(x,t)

W6.5

(x,t)

t,x

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-20

-15

-10

-5

0

5

x 10-3

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist plot of Distributed Parameters Model

jW

100

101

102

103

104

-100

-80

-60

-40

-20

20.log10[G

(jw

)]

(db)

Bode plot of Distributed Parameters Model

100

101

102

103

104

-100

0

100

200

300

400

Frequency (rad/sec)

Phase

(deg)

jW

23

Глава IV

Управление на плътността на транспортния трафик в автомагистрала в

класа на обектите с разпределени параметри. Робастна устойчивост и

робастно качество.

IV.1. Управление на плътността на транспортния трафик в автомагистрала в класа

на обектите с разпределени параметри

За управлението на плътността на трафика в автомагистрала, като обект с разпределени пара-

метри е избран регулатор с приближена размерност на пространствената разпределеност

(фиг.3.3). Това е регулатор с вътрешна сложност, чиято структура и начин на функциониране е

описан в предишния раздел. За целите на изследването на приложимостта на алгоритъма за

регулиране с приближена размерност и за оценка на приложимостта на операторите от обоб-

щеното дребно смятане в алгоритмите за управление, са използвани различни конфигурации от

базови регулатори в структурата на този регулатор (фиг.3.3.б) в т.ч. и на фрактални оператори.

Използвани са интегро-диференциатор от непълен ред neID - паралелен и последователен,

интегратор neI от непълен ред, диференциатор от непълен ред neD в качеството си на регулатор

и класически PID регулатор в структурата на регулатора с приближена размерност на

пространствената разпределеност (фиг.3.3.б).

В структурата на вътрешните модели на затворените системи на

iSFFΦ (фиг.3.3) за системата за

управление на обект, параметризиран с конкретни данни и представен за дванадесет контролни

точки от автомагистрала, са използвани SFF

NEii RPID -регулатори от пълен ред, настроени

оптимално при локален критерий за качество °гранично-апероиодични преходни процеси

const °, съответстващи на принадлежащите модели на обекта *

iG в конкретните контролни

точки.

pGpRRPID iconst

PID

SFF

NEii i

*;

За оптималната настройка на SFF

NEii RPID -регулаторите от пълен ред по указания локален

критерий за качество са използвани добре известни от литературата класически методи и

алгоритми. При всички изследвания, резултатите от които са представени нататък в съответния

раздел от дисертацията, SFF

NEii RPID -регулаторите остават без изменение в моделите на

анализираните системи с neID паралелни-, neID последователни-, neI -, neD - и PID -регулатори, тъй

като те са функции единствено и само на динамичните системи *

iG и указания локален

критерий за качество (°гранично-апериодични преходни процеси на вътрешните модели в

алгоритъма за управление с приближена размерност°).

В структурата на конкретната система за управление с приближена размерност (фиг.3.3) на

обект, параметризиран с конкретни данни и представен за дванадесет контролни точки от ав-

томагистрала, са използвани -филтри за приближена размерност и x -филтри за

приближена размерност, синтезирани при критерий °приближена еквивалентност в

размерността на пространствената разпределеност на обекта° (3.4) и (3.7) съответстващо

на конкретните параметри *

,

*

, , iiriiq TT ( *

,

*

, , iiliik TT съответно) на принадлежащите

модели на обекта *

iG в контролни точки. При всички изследвания, x

i

ξ

i DD , -филтрите за

приближена размерност остават без изменение в моделите на анализираните системи с neID

паралелни-, neID последователни-, neI -, neD - и PID -регулатори, тъй като те са функции

единствено и само на закъсненията *

i в динамичните системи *

iG и указания локален критерий

за качество (°приближена еквивалентност в размерността на пространствената

разпределеност на обекта°).

24

Целта на изследванията в тази част на разработката е да се проектират системи за управление с

приближена размерност, качеството на които да удовлетворява критериите за °гранично-

апериодичен преходен процес°, бързодействие, точност и устойчивост в номинален режим на

функциониране, както и критерия за °робастна устойчивост и робастно качество° при

априорна неопределеност в обекта за управление. Резултатите от подобно изследване ще

предоставят възможността както за оценка на възможностите за: приложение на операторите от

обобщеното дробно смятане в алгоритмите за управление с приближена размерност на

пространствената разпределеност; за постигане с тяхна помощ на робастни свойства в

условията на априорна неопределеност, така също и за сравнителна оценка на постигнатото

качество на изследваните системи.

IV.1.1. Управление на плътността на транспортния трафик в автомагистрала с

използването на паралелен интегро-диференциатор от непълен ред neID за базов


В структурата на система за управление с приближена размерност (фиг.3.3) на плътността на

трафика в автомагистрала, параметризиран с конкретни данни и представен за дванадесет

контролни точки от автомагистрала е използван паралелен интегро-диференциатор neID от

непълен ред (4.1).

pGpDIGMPMRPRS

app

*

1,,,,

Той е синтезиран при критерий °вертикален профил на Nichols-честотната

характеристика на системата° и локален критерий за качество °гранично-апериодичен

преходен процес const ° по метода на °рекурсивна дробно-рационална полиномиалната

апроксимация°, разгледани в цитираната към дисертацията литература. Следва да се уточни,

че изискването на критерия °вертикален профил на Nichols-честотната характеристика

на системата° е еквивалент на изискването за °зададени запаси на устойчивостта по фаза

и по модул PM , GM на системата в условията на априорна неопределеност° при

използването на оператори за фрактално интегриране и диференциране в алгоритъма за

управление, а използването на този клас оператори гарантира постигане на свойството

„колимация“ на фракталните системи, което от своя страна е еквивалентно на удовлетворяване

на критерия за °робастна устойчивост RS и робастно качество RP°. В този смисъл в този и

следващите раздели на изледването за краткост се използва критерий за качество °вертикален

профил на Nichols-честотната характеристика на системата°.

:

1

0

1

iI

1

iI

1

iD

1

iD

1

iD

1

iD

1

0

1

iI

1

iI

BDAIma

N

1i1

iD

1

iDN

1i1

0

1

iI

1

0

1

iI

0app

;;

;...,3,2,1n;n1n,,,

j1

j1

jj1

j1j1kDI

1000011528,0

1000017911,0.

1000041436,0

1000064381,0.

100014894,0

100023141,0.

100053535,0

10008318,0

.1001924278,0

1002989865,0

1000035823,0

1000023056,0.

100012876,0

1000082872,0

.100046283,0

100029788,0.

100166361,0

10010707,0.

1005979729,0

1003848556,0.

09,0

109,0

25.264.044.0

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

DIapp

(4.1)

Резултатите от симулацията на затворената система в номинален режим са показани с преходна

функция (фиг.4.2) и честотните Nyquist-, Bode-, Nichols-характеристики (фиг.4.3). Преходната

функция (фиг.4.2) на системата за разпределено управление позволява се определи характера

на процесите, бързодействието и изпълнението на локалния критерий за качество. Честотните

характеристики на отворената система за управление на плътността на трафика в

25

автомагистрала (фиг.4.7) позволяват да се определят запасите на устойчивостта по модул и

фаза, както и изпълнението на критерия за качество °вертикален профил на Nichols-честот-

ната характеристика на системата°.

Фиг.4.2. Преходна функция на системата с

разпределени параметри за управление на

плътността в автомагистрала с паралелен neID

р-р в структурата на базовия регулатор.

Фиг.4.3. Nyquist- честотна характеристика на

затворената системата с фрактален паралелен

neID регулатор в структурата на базовия

регулатор.

Фиг.4.4. Bode- честотна характеристика на

затворената система за управление на плът-

ността на трафика.

Фиг.4.7. Nichols- честотни характеристики на

отворената система за управление на

плътността на трафика в автомагистрала .


използването на последователен интегро-диференциатор от непълен ред neID за базов




контролни точки от автомагистрала е използван последователен интегро-диференциатор neID

от непълен ред (4.5).

pGpDIGMPMRPRS

app

*

1,,,,

Той е синтезиран при критерий °вертикален профил на Nichols-честотната характерис-

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plit

ude (

-)

Step Response Control

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

t,xhSFF

ID NE

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist diagram

6.5km

5.5

4.5km

3.5km

2.5km

1.5km

6km

5km

4km

3km

2km

1km

j,,xWSFF

NE

10-1

100

101

102

103

104

105

-100

-50

0

50

20.log10[G

(jw

)]

(db)

Bode plot of Distributed Parameters System

10-1

100

101

102

103

104

105

-100

0

100

200

300

400

Frequency (rad/sec)

Phase

(deg)

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

j,,xWSFF

NE

-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Phase(deg)

20lo

g10[G

(jw

)]

(db)

Nichols plot of Distributed Parameters System

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

PM

GM

j,,xWSFF

NE

26

тика на системата° и локален критерий за качество °гранично-апериодичен преходен

процес const ° по метода на °рекурсивна дробно-рационална полиномиалната апроксима-

ция° .

1

0

1111

111

0

11

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

;;

;...,3,2,1;1,,,

1

1.

1

11

iIiIiDiD

iDiDiIiI

BDAIma

N

i iD

iD

N

i iI

iI

app

nnn

j

j

jj

jjkDI

1000011528,0

1000017911,0.

1000041436,0

1000064381,0

.100014894,0

100023141,0.

100053535,0

10008318,0.

1001924278,0

1002989865,0.

1000035823,0

1000023056,0

.100012876,0

1000082872,0.

100046283,0

100029788,0.

100166361,0

10010707,0.

1005979729,0

1003848556,0.

09,0

109,0

564.044.0

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

DIapp

(4.5)


функция (фиг.4.9) и честотните Nyquist-, Bode-, Nichols-характеристики (фиг.4.10), (фиг.4.11).

Преходната функция (фиг.4.9) на системата за разпределено управление позволява да се

определи характера на процесите, бързодействието и изпълнението на локалния критерий за

качество. Честотните характеристики на отворената система за управление на плътността на

трафика в автомагистрала (фиг.4.14), позволяват да се определят запасите на устойчивостта по

модул и фаза, както и изпълнението на критерия за качество °вертикален профил на Nichols-

честотната характеристика на системата°.



плътността на трафика използваща фрактален

последователен neID регулатор в структурата

на базовия регулатор.

Фиг.4.10. Nyquist-. честотна характеристика

на затворената системата с фрактален пос-

ледователен neID регулатор в структурата на

базовия регулатор.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plit

ude (

-)


1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

t,xhSFF

ID NE

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist diagram

6.5km

5.5

4.5km

3.5km

2.5km

1.5km

6km

5km

4km

3km

2km

1km

j,,xWSFF

NE

27

Фиг.4.11. Bode-честотна характеристика на

затворената система за управление на

плътността на трафика, използваща базов

последователен интегро-диференциатор.

Фиг.4.14. Nichols-честотни характеристики на

отворената система с разпределени параметри

за управление на плътността на трафика в

автомагистрала, използваща последователен

интегро-диференциатор neID .


използването на интегратор от непълен ред neI за базов регулатор с приближена

размерност на пространствената разпределеност



контролни точки от автомагистрала е използван интегратор от непълен ред neI (4.9).

pGpIGMPMRPRS

app

*

1,,,,

Той е синтезиран при критерий °вертикален профил на Nichols-честотната


преходен процес const ° по метода на °рекурсивна дробно-рационална полиномиалната

апроксимация° .

0

11''

100

1

1

0

1

1

0

1

0

;10,,,

......1

1.1.

iiBAma

N

N

i i

i

app

m

jRjRjRkjj

jjkjI

1000035823,0

1000023056,0.

100012876,0

1000082872,0.

100046283,0

100029788,0.

.100166361,0

10010707,0.

1005979729,0

1003848556,0.

09,0

109,0

5.244.0

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Iapp

(4.9)


функция (фиг.4.17) и честотните Nyquist-, Bode-, Nichols-характеристики на (фиг.4.18).



качество. Честотните характеристики на отворената система за управление на плътността на

трафика в автомагистрала (фиг.4.20) позволяват да се определят запасите на устойчивостта по

модул и фаза, както и изпълнението на критерия за качество °вертикален профил на Nichols-

честотната характеристика на системата°.

10-1

100

101

102

103

104

105

-150

-100

-50

0

5020.log10[G

(jw

)]

(db)


10-1

100

101

102

103

104

105

-100

0

100

200

300

400

Frequency (rad/sec)

Phase

(deg)

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

j,,xWSFF

NE

-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Phase(deg)

20lo

g10[G

(jw

)]

(db)


1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

PM

GM

j,,xWSFF

NE

28


neI регулатор в структурата на базовия

регулатор SFF

NER .

Фиг.4.18. Nyquist - честотни характеристики

на затворената система за управление на

плътността в автомагистрала използваща

интегратор от непълен ред neI .

Фиг.4.20. Bode- и Nichols-честотните х-ки на отворената динамична система с разпределени

параметри, използваща базов регулатор интегратор от непълен ред neI .

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plit

ude (

-)Step Response Control

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

t,xhSFF

I NE

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist diagram

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

j,,xWSFF

NE

10-1

100

101

102

103

104

105

-150

-100

-50

0

50

20.log10[G

(jw

)]

(db)


10-1

100

101

102

103

104

105

-200

0

200

400

Frequency (rad/sec)

Phase

(deg)

1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Phase(deg)

20lo

g10[G

(jw

)]

(db)


1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

PM

GM

29


използването на диференциатор от непълен ред neD за базов регулатор с приближена




контролни точки от автомагистрала е използван диференциатор appD от непълен ред (4.12). Той

е синтезиран при критерий °вертикален профил на Nichols-честотната характеристика на

системата° и локален критерий за качество °гранично-апериодичен преходен процес

const ° по метода на °рекурсивна дробно-рационална полиномиалната апроксимация° .

11'

10

1

1

1'

0

;10,,,

.....

1

1

.

iiBAma

N

N

i i

i

appne jRjRk

j

j

kjDjD

1000011528,0

1000017911,0.

1000041436,0

1000064381,0.

.100014894,0

100023141,0.

100053535,0

10008318,0.

1001924278,0

1002989865,0.

09,0

109,0

5.264.0

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Dapp

(4.12)

Резултатите от симулацията на затворената система в номинален режим са показани с

разпределените преходна функция (фиг.4.22) и честотната Nyquist-, характеристика (фиг.4.23).



качество.

Фиг.4.22. Преходна функция на затворената

система с neD регулатор в структурата на

базовия регулатор SFF

NER .

Фиг.4.23. Nyquist-честотна х-ка на

затворената система с разпределени па-

раметри, използваща neD р-р в структурата на

базовия регулатор SFF

NER .


използването на класически PID -алгоритъм за базов регулатор с приближена


В структурата на системата за управление с приближена размерност (фиг.3.3) на плътността на


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plit

ude (

-)


1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

t,xhSFF

D NE

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist diagram

6.5km

5.5

4.5km

3.5km

2.5km

1.5km

6km

5km

4km

3km

2km

1km

j,,xWSFF

NE

30

контролни точки от автомагистрала е използван PID -алгоритъм от пълен ред (4.16). Той е

синтезиран при локален критерий за качество °гранично-апериодичен преходен процес

const ° по класически методи и алгоритми.

0091.00364.01111

ppTpTpkpR dipPID (4.16)

Резултатите от симулацията на затворената система в номинален режим са показани с

разпределените преходна функция (фиг.4.28) честотната Nyquist- характеристика на

затворената система (фиг.2.29). Преходната функция (фиг.4.28) на системата за разпределено

управление позволява се определи характера на процесите, бързодействието и изпълнението на

локалния критерий за качество.

Фиг.4.28. Преходна функция на с-мата с


плътността на трафика, с базов регулатор PID

регулатор.

Фиг.4.29. Nyquist-честотна характеристика на

затворената система за управление на

плътността на трафика, използваща като базов

регулатор PID регулатор.

IV.2. Робастен анализ. Робастна устойчивост и робастно качество на системата за

управление на плътността на транспортния трафик в автомагистрала

За да притежава една система желано качество и устойчивост тя трябва да бъде робастна. За да

бъде една затворена система робастна, тя трябва да остане устойчива в условията на па-

раметрична (структурирана) неопределеност.

След аналитични преобразувания се достига до условието за робастна устойчивост:

,m

1* (4.23)

След аналитични преобразувания се достига до условието за робастно качество определено с

(4.25) (като условие към характеристиките на затворената система) :

,1е*

m* (4.25)

IV.2.1. Робастен анализ на системата за управление на плътността на транспортния

трафик в автомагистрала с използването на паралелен интегро-диференциатор от

непълен ред neID за базов регулатор с приближена размерност на пространствената

разпределеност

На (фиг.4.39) са представени резултатите от робастния анализ на система за управление на

плътността на трафика с паралелен интегро-диференциатор neID в структурата на базовия

регулатор по характеристиките на затворената система. Резултатите от анализа (фиг.4.39)

доказват, че изследваната система за разпределено управление с приближена размерност за

краен брой точки, се характеризира с робастна устойчивост и с робастно качество (фиг.4.39),

тъй като удовлетворява критериите (4.23), (4.25).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plit

ude (

-)


1km

2km

3km

4km

5km

6km

1.5km

2.5km

3.5km

4.5km

5.5km

6.5km

t,xhSFF

PID

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist diagram

6.5km

5.5km

4.5km

3.5km

2.5km

1.5km

6km

5km

4km

3km

2km

1km

j,,xW PID

31

Фиг.4.39. Робастна устойчивост и робастно качество на система за управление на плътността

на трафика с паралелен интегро-диференциатор neID в структурата на базовия регулатор.

IV.2.2. Робастен анализ на системата за управление на плътността на транспортния

трафик в автомагистрала с използването на последователен интегро-диференциатор

от непълен ред neID за базов регулатор с приближена размерност на

пространствената разпределеност

Проведен е робастен анализ на система за управление на плътността на трафика с

последователен интегро-диференциатор от непълен ред neID в структурата на базовия

регулатор, в съответната част на дисертационния труд. Резултатите от анализа доказват, че

изследваната система за разпределено управление с приближена размерност за краен брой

точки се характеризира с робастна устойчивост и с робастно качество, тъй като удовлетворява

критериите (4.23), (4.25).

IV.2.3. Робастен анализ на система за управление на плътността на транспортния

трафик в автомагистрала с използването на интегратор от непълен ред neI за базов


За системата за управление на плътността на трафика с фрактален интегратор neI в структурата

на базовия регулатор е направен робастен анализ. Резултатите от анализа показват, че

изследваната система за разпределено управление с приближена размерност за краен брой

точки се характеризира с робастна устойчивост и с робастно качество, тъй като удовлетворява

критериите (4.23), (4.25).


трафик в автомагистрала с използването на диференциатор от непълен ред neD за

базов регулатор с приближена размерност на пространствената разпределеност

Извършен е робастен анализ на система за управление на плътността на трафика с фрактален

диференциатор neD в структурата на базовия регулатор, в съответната част от дисертационния

труд. Резултатите от анализа доказват, че изследваната система за разпределено управление с

приближена размерност за краен брой точки се характеризира с робастна устойчивост и с

робастно качество, тъй като удовлетворява критериите (4.23), (4.25).


трафик в автомагистрала с използването на класически PID -алгоритъм за базов


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

0

10

20

30

40

50

60

Frequency (rad/sec)

Magnitude S

yste

m (

dB

)

Robust Analysis -Robust Stability of Distributed Parameters System- ID

1 eta

1 lm

2 eta

2 lm

3 eta

3 lm

4 eta

4 lm

5 eta

5 lm

6 eta

6 lm

m

1*

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude S

yste

m (

dB

)

Frequency (rad/sec)

Robust Analysis -Rob. Perf. and Rob. Stab. of Distributed Parameters System- ID

1е*

m*

32

За система за управление на плътността на трафика с класически PID -алгоритъм от пълен ред

за базов регулатор е проведен робастен анализ, в съответната част от дисертационния труд.

Резултатите от анализа доказват, че изследваната система за разпределено управление с

приближена размерност за краен брой точки се характеризира с робастна устойчивост и с

робастно качество, тъй като удовлетворява критериите (4.23), (4.25).

IV.3. Анализ и изводи В тази глава са разработени различни конфигурации на базовия регулатор с приближена

размерност на пространствената разпределеност (фиг.3.3б) в системата за разпределено

управление на плътността на автомобилния трафик в автомагистрала. Всяка от разгледаните

конфигурации е аналитично проектирана и моделирана. Определени са настройките на

регулаторите от пълен и от непълен, дробен ред, с помощта на които се реализира алгоритъмът

за управление за всяка една от тях.

За настройката на базовите регулатори с приближена размерност на пространствената разп-

ределеност са използавани критериите за °вертикален профил на Nichols-честотната


преходен процес const °. Проектирането на системите е реализирано по метода на

°рекурсивна дробно-рационална полиномиалната апроксимация° за системите от непълен,

дробен ред и по известни от литературата класически методи и алгоритми за системите от

пълен ред.

Проектираните пет системи с приближена размерност на пространствената разпределеност за

управление на плътността на трафика в автомагистрала с: паралелен интегро-диференциатор от

непълен ред neID , диференциатор от непълен ред neD , интегратор от непълен ред neI ,

последователен интегро-диференциатор neID и класически PID -алгоритъм за базовите

регулатори са моделирани.

Въз основа симулацията на моделите системите са анализирани на база техните преходни

функции и честотни характеристики по отношение на изпълнение на предявените при техния

синтез критерии за съответните изисквания към показатели на качеството в номинален режим -

устойчивост и запаси на устойчивостта, време за регулиране и характер на преходните процеси.

Резултатите потвърждават ефективността на системите в номинален режим и на използваните

методи за синтез

С помощта на честотен Nyquist-робастен анализ по характеристиките на отворените и на

затворените им структури, свойствата на проектираните пет системи (с паралелни,

последователни neID -, neI -, neD - и PID - регулатори от непълен и от пълен ред) с приближена

размерност на пространствената разпределеност за управление на плътността на трафика в

автомагистрала са изследвани в условията на априорна неопределеност. Резултатите от

проведения робастен анализ потвърждават робастната устойчивост и робастното качество на

системите, както и ефективността на използваните методи при техния синтез.

Обобщавайки постигнатите резултати от изследванията, е направено сравнение (табл.4.5) на

качеството на анализираните системи с приближена размерност на пространствената

разпределеност за управление на плътността на трафика в автомагистрала по шест показателя:

запас по модул GM , запас по фаза PM , време за установяване на преходния процес; характер

на преходния процес; запас на робастна устойчивост и качество. От представените резултати в

(табл.4.5) се налага изводът, че системите за управление на плътността на транспортния трафик

в автомагистрала използващи регулатора с приближена размерност на пространствената

разпределеност гарантират желаните показатели на качеството, независимо от вида на

използвания базовия регулатор. Всички системи се характеризират с апериодичен (гранично-

апериодичен) преходен процес и предявени в процеса на проектиране стойности на запасите на

устойчивостта по модул и по фаза в номинален режим и с робастна устойчивост и робастно

качество в смутен режим при априорна неопределеност. Системите използващи в структурата

33

си регулатори от непълен ред, в сравнение със системата използваща базов регулатор от пълен

ред, се отличават с по-добри показатели по отношение на запаса на устойчивостта по фаза PM

и запаса на устойчивост модул GM в номинален режим, както и с по-високи запаси на

робастната устойчивост и на робастното качество при априорна неопределеност.

От направената систематизация се налага и заключението, че съществува и е значително

ефективна възможността за приложение на операторите от обобщеното дробно смятане в

конфигурацията на алгоритми за регулиране в системите за управление, в т.ч. и в системите за

разпределено управление.

Табл. 4.5.

алгоритъм на базовия

регулатор SFF

1R

в структурата SFFR

с

приближена размер-

ност на пространстве-

ната разпределеност

запас по

модул GM

,dB

запас по фаза

PM ,deg

вр

еме

за

уст

ано

-

вяван

е,se

c,

зап

ас

на

уст

ой

чи

во

ст

зап

ас

на

ро

бас

тна

уст

ой

чи

-

во

ст,d

B

апер

ио

ди

чн

ост

1 ne

ID -паралелен 27.48 92.43 168 0.53 48.41 да

2 ne

ID -последователен 30.89 86.26 169 0.43 48.5 да

3 ne

I 31 86.88 123 0.43 55.16 да

4 ne

D 31.2 86.45 130 0.55 55.18 да

5 PID 32.08 82.94 123 0.4 48.47 да

34

Заключение

Изследванията в дисертацията са насочени в областта на разработването на нов клас системи за

управление с алгоритми, основани на оператори от обобщеното дробно смятане и анализа на

техните възможности за конкретни индустриални обекти с разпределени параметри. Новото и

оригиналното в постигнатите резултати от изпълнението на поставената цел и задачи пред

разработката може да бъде обобщено както следва.

1. Систематизирани са формалните аналитични описания на процеси в транспортните

системи, обединени в представения обзор на моделите на плътността на автомобилния

трафик в автомагистрали. Въз основа на онези от тях, използващи частни диференци-

ални уравнения за моделиране на плътността на трафика в автомагистрала, е обосно-

вано използването на фрактални алгоритми за управление. Предложени и използвани са

честотни методи за проектирането на системи за управление на плътността трафика в

автомагистрали в класа на системите с разпределени параметри.

2. Използван е методът на Green - функциите за решаването на частни диференциални

уравнения, аналитично моделиращи процесите на изменение на трафика в транспортни

системи. Изведена е предавателната функция на обекта с разпределени параметри,

което позволява приложение на методи за управление на системата в честотната област.

Описаният модел на обекта е параметризиран с реални данни и е и анализиран.

3. Синтезирани са управляващи плътността на трафика системи с регулатори (от пълен и

от непълен, дробен ред) с приближена размерност на пространствената разпределеност.

Определени са параметрите на системата за управление. Приложени са алгоритми от

непълен и пълен дробен ред за синтезиране на различни видове регулатори: интегрален,

диференциален, интегро-диференциален последователен и паралелен. Проведени са

системни изследвания и анализ на качеството на проектираните системи за управление

с приближена размерност на пространствената разпределеност и в номинален режим, и

в условията на априорна неопределеност.

4. Резултатите от проведените изследвания с използване на количествени методи за

оценка на качеството на проектираните системи за управление с приближена

размерност на пространствената разпределеност на плътността на автомобилния трафик

в автомагистрали потвърждават възможностите за приложение на операторите от

обобщеното дробно смятане в конфигуриране на алгоритми за управление,

гарантиращи постигането на робастни свойства на системите в условия на априорна

неопределеност.

Благодарности

Искам да изкажа своята искрена признателност и благодарност на научните си ръководители

проф. дтн инж. Емил Костов Николов и доц. д-р инж. Нина Георгиева Николова за цялостната

им подкрепа и приятелство оказана ми при разработването на настоящата дисертация.

Благодарна съм за техните научни напътствия, съдействие, професионална компетентност и

търпение при провеждане на научните експерименти и подготовка, както и техническите

корекции и забележките по оформянето на дисертационния труд и автореферата към него.

Благодаря на колектива на катедра „Автоматизация на непрекъснатите производства“ на

Факултет Автоматика на Технически Университет-София за съветите, дискусиите и

готовността за съдействие.

35

TECHNICAL UNIVERSITY OF SOFIA

FACULTY OF AUTOMATION

DEPARTMENT OF INDUSTRIAL AUTOMATION

Vassilka Stoilova, M.Sc.

STUDY OF FUNCTIONS OF FRACTAL ALGORITHMS IN CONTROL

SYSTEMS

ABSTRACT of Ph.D. THESIS

The main goal of the Ph.D. Thesis is to achieve density control of transport system from non-

integer order, using operators from fractional calculus - non-integer algorithms. The object is

the density of transport system, in particular highway segment, which is complex system with

distributed parameters. The difficulty of the transport systems requires new methods for

modeling and synthesis of control algorithms. The successful control and maintaining of such

transport systems is more economically effective in comparison with developing of new

transport infrastructure.

The Ph.D. Thesis uses new type of control, which is in the class of non-integer order –

fractional calculus which is applied in complex systems such as distributed parameters

systems. For main control algorithm is used approached dimensional of spatial distribution

controller. The approached dimensional of spatial distribution controller is modified using

five different controllers – parallel integro-differential controller, serial integro-differential

controller, integrator, differentiator from non-integer order and PID controller from integer

order, in its inner structure. Different controllers in the structure of approached dimension of

spatial distribution are used to compare the final results and analyses to be made.

36

Апробация и публикации свързани с дисертацията

Във връзка с дисертацията са публикувани дванадесет публикации на международни и

регионални конференции. Пет от публикациите са на английски език и седем на български.

Четири от публикациите са самостоятелни.

1. Е. Николов, Н. Николова, В. Стоилова (2011) DTC фрактално управление I-част (синтез),

Сборник научни трудове на Национална НТ конференция БУЛИКАМК’11 на ICAMK по

АВТОМАТИКА с международно участие „АВТОМАТИЗАЦИЯ В МИННАТА ИНДУСТРИЯ И

МЕТАЛУРГИЯТА”, БУЛИКАМК’11, Сесия “Методи и средства за за измерване, диагностика и

управление”, 06-07 октомври 2011, София 2011, 2011 НТСМДГМ, ISBN-1314-4537, 14-19 .

2. Е. Николов, Н. Николова, В. Стоилова (2011) DTC фрактално управление II-част (анализ),

Сборник научни трудове на Национална НТ конференция БУЛИКАМК’11 на ICAMK по

АВТОМАТИКА с международно участие „АВТОМАТИЗАЦИЯ В МИННАТА ИНДУСТРИЯ И

МЕТАЛУРГИЯТА”, БУЛИКАМК’11, Сесия “Методи и средства за за измерване, диагностика и

управление”, 06-07 октомври 2011, София 2011, 2011 НТСМДГМ, ISBN-1314-4537, 20-26.

3. Е.Николов, Н. Николова, В. Стоилова, Б. Грасиани (2012) Фрактално управление с приближена

размерност на пространствената разпределеност., Journal proceedings of Technical University Sofia,

2012 Publishing House Technical University of Sofia, ISSN 0374-342X, ISSN 1311-0829, Vol 62, (4).

pp.169-178

4. Е. Николов, Н. Николова, В. Стоилова (2012) Качество на системи за управление основани на

дробното смятане. , Международна конференция Автоматика “2012”, ФА, Юбилей 50 години

обучение по автоматика. 1-4 юни 2012г., Созопол, България, Proceedings of Technical University Of

Sofia, Volume 62, Issue 1, 2012, ISSN 1311-0829, pp.271-280

5. Е. Николов, Н. Николова, В. Стоилова (2012) Green function for the highway vehicular traffic flow

modeling and analysis., 13th IFAC Symposium on Control in Transportation Systems September 12-14,

2012, Sofia, Bulgaria, Proceedings, ISBN: 978-1-62276-881-3, pp.74-81

6. Е. Николов, Н. Николова, В. Стоилова (2012) Fractional Absorbed Filters in Thermal Plants and

Power., In Proc. of the international Conference AUTOMATOCS AND INFORMATICS’12 ,Symposium

“Control Power Plants and Systems”, November 8-9, 2012, Bankia, Union of Automatics and Informatics,

ISBN-1313-2237, 37-44

7. В. Стоилова (2013) Модели на транспортния трафик в автомагистрали- част I, Международна

конференция Автоматика “2013”, ФА, 14-16 юни 2013г., Созопол, България, Proceedings of Technical

University Of Sofia, Volume 63, Issue 1, 2013, ISSN 1311-0829, pp.63-70

8. В. Стоилова (2013) Модели на транспортния трафик в автомагистрали- част II, Международна

конференция Автоматика “2013”, ФА, 14-16 юни 2013г., Созопол, България, Proceedings of Technical

University Of Sofia, Volume 63, Issue 1, 2013, ISSN 1311-0829, pp.71-78

9. В. Стоилова (2013) Methods for modeling transport traffic in highways- pt.I, International Conference

"Automatics and Informatics'2013", October 03-07, 2013, Sofia, Proceedings of John Atanasoff Society of

Automatics and Informatics, ISSN 1313-1850, pp.169-172

10. В. Стоилова (2013) Methods for modeling transport traffic in highways- pt.II, International Conference

"Automatics and Informatics'2013", October 03-07, 2013, Sofia Proceedings of John Atanasoff Society of

Automatics and Informatics, ISSN 1313-1850, pp.173-176

11. В. Стоилова, Е. Николов, Н. Николова (2013) Analytical Deriving of Second Order Model of Payne

from First Order Lighthil-Whitham-Richards Model, Bulgarian Academy of Sciences, Cybernetics and

Information Tehnologies, Volume 13, No 4, 2013, Sofia, Print ISSN: 1311-9702; Online ISSN: 1314-

4081,DOI: 10.2478/cait-2013-0053, pp. 54-62

12. В. Стоилова, Е. Николов (2014) Моделиране на транспортния трафик в класа на обектите с

разпределени параметри, Международна конференция Автоматика “2014”, ФА, 13-15 юни 2014г.,

Созопол, България, Proceedings of Technical University Of Sofia, Volume 64, Issue 1, 2014, ISSN 1311-

0829, pp.111-120

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВЪЗМОЖНОСТИТЕ НА ФРАКТАЛНИ...

Documents