Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η...

158
1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ. H Πξνζπάζεηα ηνπ Δπθιείδε λα πεξηγξάςεη ηηο βαζηθέο έλλνηεο ηεο Γεσκεηξίαο ( εκείν, επζεία, επίπεδν) δελ ραξαθηεξίζηεθε θαη απφ κεγάιε επη ηπρία , ζπλέβαιε φκσο απνθαζηζηηθά ζηελ γεληθή παξαδνρή φηη ζηηο επηζηήκεο (:άξα θαη ζηα Μαζεκαηηθά, θαη ηδηαί ηεξα ζηελ Γεσκεηξία) ζεκαζία έρεη θπξίσο ε γλώζε ησλ ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ ελλνηώλ θαη φρη ε απζηεξή πεξηγξαθή ησλ ελλνηώλ θαζ' εαπηέο. (:πεξηγξαθή πνπ δελ είλαη πάληα επη ηπρήο, αλ αξθεζζνχκε ζε ήδε εηζαρζεί ζεο πξσηαξρηθέο έλλνηεο). Δηζη ε ζεκειίσζε κηάο ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ επη ηπγράλεηαη κε ηελ εηζαγσγή ελφο ΘΔΜΔΛΗΧΓΟΤ ΑΞΗΧΜΑΣΗΚΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ [: δειαδή κε ηελ παξαδνρή ελνο ζπλφινπ πξνηάζεσλ (: ΑΞΗΧΜΑΣΧΝ [είηε ΑΗΣΖΜΑΣΧΝ ζηελ νξνινγία ηνπ Δπθιείδε , βιέπε θαη πηφ θάησ] .) ηελ αιήζεηα ησλ νπνίσλ δερφκεζα ρσ- ξίο απηέο λα έρνπλ ππνζηεί θακκία δηαδηθαζία απφδεημεο]. Πεξαη ηέξσ, ε αλάπηπμε κηάο ηέηνηαο Γεσκεηξίαο δελ είλαη παξά ν εκπινπηη- ζκφο κε λέεο Πξνηάζεηο, νη νπνίεο φκσο πξέπεη λα ππνζηνχλ ηελ δηαδηθαζία ηεο απφδεημεο θαί ε παξάζεζε φισλ απηψλ ησλ Πξνηάζεσλ πξέπεη λα δηαζ- θαιίδεη ηελ απφδεημή ηνπο απν ηηο πξνεγνχκελεο θαη , άξα , ηελ νπζηαζηηθή (: ηειηθή ) αλαγσγή ηνπο ζην αξρηθφ ζχζηεκα αμησκάησλ]. Δδψ πξέπεη λα επη - ζεκάλνπκε φηη έλα ζχλνιν πξνηάζεσλ γηά λα είλαη απνδεθηφ σο έλα ΘΔΜΔΛΗΧΓE ΑΞΗΧΜΑΣΗΚΟ ΤΣΖΜΑ [θαηάιιειν γηά ηελ ζεκειίσζε κηάο Γεσκεηξίαο] πξέπεη λα ηθαλνπνηεί θάπνηεο ραξαθηεξηζηηθέο ηδηφηεηεο . Μέ άιια ιφγηα πξέπεη λα είλαη : (Α) Οηθνλνκηθό : Νά πεξηέρεη δειαδή ην ειάρηζην δπλαηφ πιήζνο (αλεμαξηήησλ κεηαμχ ηνπο) αμησκάησλ. (Ζ απαίηεζε ηεο αλεμαξηεζίαο δηαζθαιί δεη φηη θαλέλα απφ απηά δελ πξνθχπηεη απφ ηα ππφινηπα θαηφπηλ θάπνηαο απνδεηθηηθήο δηαδηθαζίαο).

Upload: others

Post on 01-Sep-2019

23 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

1

Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α

0. ΠΡΟΛΟΓΟ.

H Πξνζπάζεηα ηνπ Δπθιείδε λα πεξηγξάςεη ηηο βαζηθέο έλλνηεο ηεο

Γεσκεηξίαο ( εκείν, επζεία, επίπεδν) δελ ραξαθηεξίζηεθε θαη απφ κεγάιε

επηηπρία , ζπλέβαιε φκσο απνθαζηζηηθά ζηελ γεληθή παξαδνρή φηη ζηηο

επηζηήκεο (:άξα θαη ζηα Μαζεκαηηθά, θαη ηδηαίηεξα ζηελ Γεσκεηξία) ζεκαζία

έρεη θπξίσο ε γλώζε ησλ ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ ελλνηώλ θαη φρη ε απζηεξή

πεξηγξαθή ησλ ελλνηώλ θαζ' εαπηέο. (:πεξηγξαθή πνπ δελ είλαη πάληα

επηηπρήο, αλ αξθεζζνχκε ζε ήδε εηζαρζείζεο πξσηαξρηθέο έλλνηεο).

Δηζη ε ζεκειίσζε κηάο ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ επηηπγράλεηαη κε ηελ εηζαγσγή ελφο

ΘΔΜΔΛΗΧΓΟΤ ΑΞΗΧΜΑΣΗΚΟΤ ΤΣΖΜΑΣΟ [: δειαδή κε ηελ παξαδνρή

ελνο ζπλφινπ πξνηάζεσλ (: ΑΞΗΧΜΑΣΧΝ [είηε ΑΗΣΖΜΑΣΧΝ ζηελ νξνινγία

ηνπ Δπθιείδε , βιέπε θαη πηφ θάησ] .) ηελ αιήζεηα ησλ νπνίσλ δερφκεζα ρσ-

ξίο απηέο λα έρνπλ ππνζηεί θακκία δηαδηθαζία απφδεημεο].

Πεξαηηέξσ, ε αλάπηπμε κηάο ηέηνηαο Γεσκεηξίαο δελ είλαη παξά ν εκπινπηη-

ζκφο κε λέεο Πξνηάζεηο, νη νπνίεο φκσο πξέπεη λα ππνζηνχλ ηελ δηαδηθαζία

ηεο απφδεημεο θαί ε παξάζεζε φισλ απηψλ ησλ Πξνηάζεσλ πξέπεη λα δηαζ-

θαιίδεη ηελ απφδεημή ηνπο απν ηηο πξνεγνχκελεο θαη , άξα , ηελ νπζηαζηηθή

(: ηειηθή ) αλαγσγή ηνπο ζην αξρηθφ ζχζηεκα αμησκάησλ]. Δδψ πξέπεη λα επη-

ζεκάλνπκε φηη έλα ζχλνιν πξνηάζεσλ γηά λα είλαη απνδεθηφ σο έλα

ΘΔΜΔΛΗΧΓE ΑΞΗΧΜΑΣΗΚΟ ΤΣΖΜΑ

[θαηάιιειν γηά ηελ ζεκειίσζε κηάο Γεσκεηξίαο] πξέπεη λα ηθαλνπνηεί θάπνηεο

ραξαθηεξηζηηθέο ηδηφηεηεο . Μέ άιια ιφγηα πξέπεη λα είλαη :

(Α) Οηθνλνκηθό :

Νά πεξηέρεη δειαδή ην ειάρηζην δπλαηφ πιήζνο (αλεμαξηήησλ κεηαμχ ηνπο)

αμησκάησλ. (Ζ απαίηεζε ηεο αλεμαξηεζίαο δηαζθαιίδεη φηη θαλέλα απφ απηά

δελ πξνθχπηεη απφ ηα ππφινηπα θαηφπηλ θάπνηαο απνδεηθηηθήο δηαδηθαζίαο).

Page 2: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

2

(Β) Πιήξεο :

Σν ζχλνιν φισλ ησλ πξνηάζεσλ ηεο Γεσκεηξίαο πνπ ζέινπκε λα εηζαρζεί

πξέπεη λα αλάγεηαη ηειηθά ζηα αξρηθά αμηώκαηα, κε ρξήζε θάπνη-

αο απνδεηθηηθήο δηαδηθαζίαο δειαδή κίαο αιιεινπρίαο ινγηθώλ

ζπλεπαγσγψλ, βαζηζκέλσλ ζηελ ΑΡΗΣΟΣΔΛΔΗΑ ΛΟΓΗΚΖ. [ Δδψ αλαθέξνπ-

κε νηη ν ΠΛΑΣΧΝΑ , (ην εξγν ηνπ νπνίνπ ζεσξείηαη ζεκειηώδεο γηά ηνλ

δπηηθό πνιηηηζκό), δηαηχπσζε ηελ έλλνηα ηεο ηξηκεξνχο ςπρήο θαη ήηαλ κε

ηελ ζεηξά ηνπ καζεηήο ηνπ ΧΚΡΑΣΖ (469 - 399 πρ.), ζεκειησηή ηεο

επαγσγηθήο θαη καηεπηηθήο κεζφδνπ, ν νπνίνο νξηζηηθνπνίεζε ηελ

αλζξσπνθεληξηθή ζεώξεζε ηνπ θόζκνπ.

Δμ άιινπ Ο ΑΡΗΣΟΣΔΛΖ (: ν νπνίνο ππεξμε καζεηήο ηνπ ΠΛΑΣΧΝΑ θαη

δηδάζθαινο ηνπ Μ. ΑΛΔΞΑΝΓΡΟΤ). Θεσξείηαη σο

ν κεγαιύηεξνο θηιόζνθνο όισλ ησλ επνρώλ

.(: καδί κε ηνλ ΠΛΑΣΧΝΑ θαη ηνλ σθξάηε ,ζα ιέγακε εκείο αλεπηθύιαθηα) .

[Ο ΘΑΛΖ ζεσξείηαη ν πξψηνο (θηιφζνθνο θαη καζεκαηηθφο) πνπ εηζήγαγε

θαί εθήξκνζε ηελ έλλνηα ηεο καζεκαηηθήο απόδεημεο.(Βιέπε θαη παξαθάησ)]

(Γ) πκβηβαζηό :

Νά κήλ νδεγεί ζε αληηθάζεηο : Κάζε ζρέζε πνπ πξνηείλεηαη πξέπεη λα κπν-

ξεί λα ειεγρζεί θαη λα θξηζεί είηε σο αιεζήο είηε σο ςεπδήο [νπσζδήπνηε έλα

απφ ηα δχν, θαη πνηέ θαη ηα δχν καδί !].

Δηζεγεηέο αμησκαηηθώλ ζπζηεκάησλ γηα ηελ Δπθιείδηα Γεσκεηξία, ππήξ-

μαλ θαη νη επφκελνη :

(Η).ΔΤΚΛΔΗΓΖ : Ο Δπθιείδεο έδεζε πεξί ην 300 πρ. θαη είλαη ν ζπγγξαθέαο

ηνπ κλεκεηψδνπο έξγνπ :

" ΣΟΗΥΔΗΑ "

Πξφθεηηαη γηά έλα ζχλνιν απφ 13 Βηβιία ζηα νπνία ν Δπθιείδεο πεξηέιαβε ην

κεγαιχηεξν κέξνο ηεο κέρξη ηφηε καζεκαηηθήο γλψζεο θαί ζεσξείηαη ζαλ κία

κεγάιε θαηάθηεζε ηνπ αλζξσπίλνπ πλεχκαηνο. (Σα ‘’ηνηρεία’’ είλαη, κεηά ηελ

ΑΓΗΑ ΓΡΑΦΖ, ην πηφ πνιπηππσκέλν έξγν) .

Page 3: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

3

Σν Αμησκαηηθφ ζχζηεκα πνπ εηζεγήζεθε ν Δπθιείδεο ζηα "ζηνηρεία" ηνπ πεξη-

ιακβάλεη θαη ην πεξίθεκν " 5ν Αμίσκα" (: γλσζηφ θαη σο

αμίσκα ηεο παξαιιειίαο),

θαη κία απιή δηαηχπσζή ηνπ εηλαη θαη ε επφκελε :

"Από ζεκείν Μ, εθηόο επζείαο ε επξηζθόκελν δηέξρεηαη

αθξηβώο κία επζεία ε' παξάιιειε ηεο ε "

[Οζεο γεσκεηξίεο πεξηιακβάλνπλ ην παξαπάλσ πξφηαζε ζην αμησκαηηθφ

ηνπο ζχζηεκα είλαη αθξηβψο απηέο πνπ νλνκάδνπκε

ΔΤΚΛΔΗΓΗΔ ΓΔΧΜΔΣΡΗΔ ,

ζε αληηδηαζηνιή κε ηηο

Μ Ζ Δ Τ Κ Λ Δ Η Γ Η Δ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Δ

νη νπνίεο δελ ην πηνζεηνχλ (Σελ παξαπάλσ νξνινγία είρε πηνζεηήζεη θαη ν

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1860)) .

Πξφθεηηαη γηά ηηο ιεγφκελεο ειιεηπηηθή θαη ηήλ ππεξβνιηθή Γεσκεηξία (βι.θαη

πηφ θάησ)]

(ΗΗ).DAVID HILBERT : (1862 - 1943):

Σν αμησκαηηθφ ζχζηεκα ηνπ Hilbert πεξηιακβάλεη κελ έλαλ κεγαιχηεξν αξηζκφ

αμησκάησλ αιιά εηλαη πνιχ θνληά ζ΄ απηφ ηνπ Δπθιείδε. Δίλαη ζρεηηθά απιφ

θαη ζεσξνχκε φηη είλαη θαη πιήξεο.

(ΗΗΗ) GEORGE DAVID BIRCHOFF : (1844 - 1944) .

(IV) JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKINND : (1831 - 1916) .

Υξήζηκεο παξαηεξήζεηο :

(1) Δλψ επί 20 ζρεδφλ αηψλεο ζεκαληηθνί καζεκαηηθνί φπσο :

(α) ν λενπιαησληθφο Πξόθινο ν Λύθηνο [ή Γηάδνρνο (410 - 485 κρ.)] ,

(β) ν Giovanni Gerolamo Saccheri (1667 - 1733) ,

(γ) ν John Wallis (1616 - 1703)

(δ) Αdrien Mari Legendre (1752 - 1833) θ.α.,

Page 4: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

4

πξνζπαζνχζαλ λα απνδείμνπλ φηη ην αμίσκα ηεο παξαιιειίαο δελ είλαη παξά

έλα ζεψξεκα, θάπνηνη άιινη ζθέθζεθαλ φηη ίζσο ηέηνηα απφδεημε δελ πξφθεη-

ηαη λα ππάξμεη πνηέ. Με άιια ιφγηα ζθέθζεθαλ φηη

ε Πξόηαζε ηεο παξαιιειίαο ηζρύεη κόλν ζαλ έλα αλεμάξηεην αίηεκα .

Δηζη :

(Α) Ο Ούγγξνο Janos Bolyai (1802 - 1860) θαί (αλεμάξηεηα )

(Β) Ο Ρώζζνο Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793 - 1856)

ίδξπζαλ ηελ : ππεξβνιηθή Γεσκεηξία

ελψ ν Γεξκαλόο Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

ίδξπζε ηελ :

ειιεηπηηθή Γεσκεηξία .

Αληί ηνπ 5νπ αμηψκαηνο ,ζηηο Γεσκεηξίεο απηέο ,έρνπκε αληίζηνηρα ηίο επφκε-

λεο πξνηάζεηο :

(Α) Τπεξβνιηθή Γεσκεηξία :

" Από ζεκείν Μ, εθηόο επζείαο ε επξηζθόκελν δηέξρνληαη άπεηξεο

επζείεο παξάιιειεο πξνο ηελ ε

(Β) Διιεηπηηθή Γεσκεηξία :

" Από ζεκείν Μ, εθηόο επζείαο ε επξηζθόκελν, δελ δηέξρεηαη θακκία

επζεία ε' παξάιιειε ηεο ε "

ρεηηθά έρνπκε θαη΄αξρήλ φηη :

H Πξνβνιηθή Γεσκεηξία είλαη κία Διιεηπηηθή Γεσκεηξία.

H Αλαιπηηθή Γεσκεηξία είλαη κία Δπθιείδηα Γεσκεηξία.

Ζ δηθαίσζε γηά ηηο λέεο απηέο Γεσκεηξίεο (πνπ ηαπηφρξνλα απνηέιεζε θαη ηελ

επηβεβαίσζε κηάο λέαο θαηάθηεζεο γηά ηελ καζεκαηηθή ζθέςε) ήιζε απφ ηνλ

Eugenio Beltrami (1835 -1900) ν νπνίνο ην 1866 δεκνζίεπζε εξγαζίεο ηνπ

γηά ηηο κε Δπθιείδηεο Γεσκεηξίεο ζηηο νπνίεο ζπκπεξηέιαβε θαη ηελ απφδεημε

ηνπ ηζρπξηζκνχ φηη :

ην 5ν αμίσκα είλαη αλεμάξηεην ησλ ππνινίπσλ.

[εκείσζε : Ο Gauss ππήξμε άηπρνο πνπ δελ ζέιεζε λα δεκνζηεχζεη απνηε-

ιέζκαηά ηνπ ζρεηηθά κε ηελ ππεξβνιηθή Γεσκεηξία ( θξίλνληαο αθαηάιιειε

ηελ ζηηγκή λα εκπιαθεί ζε δηακάρεο κε ηνπο πηζηνχο ηεο πεπνίζεζεο φηη

Page 5: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

5

H Γεσκεηξία ηνπ ύκπαληνο είλαη ε Δπθιείδεηα.

(: Δλαο απφ απηνχο ήηαλ θαη ν KANT.) ήκεξα δερφκαζηε φηη ην ζχκπαλ είλαη

ηνπηθά Δπθιείδεην)].

Απφ ηνχο

αδηακθηζβήηεηνπο ζεκειησηέο θαη πξσηεξγάηεο

ηεο ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ζάλ επηζηήκεο [αιιά θαη γεληθφηεξα ησλ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ

(θιάδνο ησλ νπνίσλ εηλαη ε ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ)] , ζεσξείηαη

ν Θ Α Λ Ζ [ : ν Μηιήζηνο]

(: έλαο απφ ηνχο 7 ζνθνύο : 7νο – 6νο αηψλαο πρ.). Γηφηη κε ηελ επηλφεζε θαη

εθαξκνγή ηεο δηαδηθαζίαο ηεο α π ό δ ε η μ ε ο

έδσζε ζηήλ Γεσκεηξία ηελ κνξθή επηζηήκεο

(δειαδή κίαο πλεπκαηηθήο αλαδήηεζεο).

Με βάζε ηελ έλλνηα πνπ ζήκεξα νλνκάδνπκε

νκνηόηεηα ζρεκάησλ - Θεώξεκα ηνπ Θαιή,

θαηάθεξε :

(η) λα ππνινγίζεη κε αθξίβεηα ην ύςνο ησλ Ππξακίδσλ

[ρσξίο απ΄επζείαο κέηξεζε].

Δπίζεο θαηάθεξε :

(ηη). λα πξνβιέςεη ηελ έθιεηςε ηνπ ειίνπ

(θαζηζηάκελνο έθηνηε [κεηαμχ ησλ ζπγρξφλσλ ηνπ θαη φρη κφλνλ] πξόζσπν

κπζηθώλ δηαζηάζεσλ).

(2). Σελ ίδηα πεξίπνπ επνρή (6νο πρ. Αηψλαο) ν ΠΤΘΑΓΟΡΑ [ : ν άκηνο]

θαη νη καζεηέο ηνπ [ : Ππζαγόξεηνη] ίδξπζαλ ηελ πεξίθεκε

Π Τ Θ Α Γ Ο Ρ Δ Η Α Υ Ο Λ Ζ

θαιιηεξγψληαο ηελ θηινζνθία ,ηελ αξηζκεηηθή θαη (γεληθφηεξα) ηα Μαζεκαηηθά

(άξα θαη ηελ Γεσκεηξία) ηζρπξηδόκελνη όηη

Α Δ Η Ο Θ Δ Ο Ο Μ Δ Γ Α Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Δ Η.

(ιέγεηαη φηη ζηελ είζνδν ηνπ ζηεγαζκέλνπ ρψξνπ φπνπ καδεχνληαλ γηα ηηο

Μαζεκαηηθέο ηνπο δξαζηεξηφηεηεο θαη αιιεινελεκεξψζεηο είραλ αλαγξάςεη

ηελ θξάζε

Ο Τ Γ Δ Η Α Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Ζ Σ Ο Δ Η Ζ Σ Χ ).

[Οη Ππζαγφξεηνη πίζηεπαλ ζηελ χπαξμε ζπκκεηξίαο θαη αξκνλίαο κέζα ζην

ΤΜΠΑΝ θαη έηζη αλαγλψξηδαλ θαη δίδαζθαλ ηελ χπαξμε

Page 6: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

6

Γ ε σ κ ε η ξ η θ ή ο δ ν κ ή ο

ζ ΄ απηφ. Πεξαηηέξσ ζεσξνχζαλ φηη ε δνκή απηή ζπλδέεηαη κε (θάπνην) άξξε-

ην (Θετθφ βέβαηα) ζρέδην δεκηνπξγίαο ην νπνίν κπνξεί λα γίλεη αληηιεπηφ θαη

πξνζηηφ γηα κειέηε [απφ ηφλ άλζξσπν]

κόλν θαηά πξνζέγγηζηλ θαη κόλν κε ηελ βνήζεηα ησλ αξηζκώλ.

Σν πεξίθεκν Ππζαγόξεην Θεώξεκα απνδείρζεθε γεσκεηξηθά (:δειαδή κε

βάζε ηελ ζπλζεηηθή άπνςε : κε θαζαξά γεσκεηξηθέο κεζφδνπο : ρσξίο ρξήζε

ηεο άιγεβξαο [ ηελ νπνία επέηξεπε φκσο ε ιεγφκελε αλαιπηηθή άπνςε]).

Φπζηθά ην Θεψξεκα απηφ

ζπλέβαιε ζηελ αλαθάιπςε ησλ αζζύκεηξσλ αξηζκώλ

(ε χπαξμε ησλ νπνίσλ , φκσο, δελ ήηαλ ζπκβηβαζηή κε ηηο γεληθφηεξεο δνμα-

ζίεο ησλ Ππζαγνξείσλ θαη νδήγεζε νπζηαζηηθά ζηελ ζηαδηαθή παξαθκή ηεο

ζρνιήο ηνπο).

Αο ζεκεησζεί εδψ φηη ππήξραλ ηξηβέο κεηαμχ ησλ νπαδψλ ησλ δχν παξα-

πάλσ απφςεσλ, [ζπλζεηηθήο θαη αλαιπηηθήο]. Φπζηθά ε άπνςε γηά ηελ απφ-

θπγή ρξήζεο ηεο Αιγέβξαο ζηελ αλάπηπμε ηεο Γεσκεηξίαο αλ γίλεη δεθηή

αθαηξεί απφ ηνπο ίδηνπο ηνχο Γεσκέηξεο έλα ηζρπξφ εξγαιείν αλάπηπμεο ηνχ

θιάδνπ ηεο Γεσκεηξίαο. [Δμ άιινπ είλαη βέβαην , ζήκεξα φζν πνηέ άιινηε , φηη

ηα καζεκαηηθά απνηεινχλ κία εληαία επηζηήκε] .

Ο (: κεγάινο ΄Διιελαο ηξαγηθόο πνηεηήο ΑΗΥΤΛΟ ζέινληαο λα ηνλίζεη ηελ

ζεκειηώδε ζπκβνιή ησλ αξηζκώλ ζηελ αέλαε βειηίσζε ηνπ αλζξψπηλνπ

πνιηηηζκνχ δηαηχπσζε ηελ θξάζε – νκνινγία :

αξηζκόλ , έμνρνλ ζνθηζκάησλ

ήκεξα [ : επνρή ησλ θνκπηνχηεξ] έρεη θαηαζηεί ζπλείδεζε φηη

(i) θάζε επζεία ε κπνξεί λα ηαπηηζζεί

κε ην ζώκα ℝ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ

(ii) C ≡ ℝ x ℝ ( : ζώκα ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ )

[ πνπ ηαπηίδεηαη κε ην επίπεδν ] , φπσο επίζεο νη

(iii) ℝ 3 ≡ ℝ x ℝ x ℝ (: κε ηνλ ηξηζδηάζηαην ρώξν)

(iv) ℝ 4 ≡ (ℝ x ℝ x ℝ )x ℝ (: κε ηνλ ρσξνρξόλν)

Ο ΚΑΡΣΔΗΟ (: Rene Descartes : (1596 – 1650), [ ζηήλ πξνζπάζεηά

ηνπ λα βξεί κία νξζνινγηθή κέζνδν πξνζέγγηζεο ηεο αιήζεηαο]

εηζεγήζεθε θαη ρξεζηκνπνίεζε ηα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ ,

Page 7: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

7

επηζθξαγίδνληαο έηζη ηελ αλάγθε γηά ηελ

ζύλδεζε ηεο άιγεβξαο κε ηελ θιαζζηθή Γεσκεηξία .

Γη απηφ θαη ζεσξείηαη σο δεκηνπξγόο ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο , κε

ζπλδεκηνπξγνύο ηνπο

Pieree de Fermat (:1601 – 1665).θαη ηνλ Blaise Pascal (1623 – 1662).

ρεηηθά κε ηελ ζπκβνιή ηνπ Fermat ππάξρεη κία επηζηνιή ηνπ Pascal

πξφο ηνλ Fermat ζηήλ νπνία ηνπ δειψλεη φηη ηνλ ζεσξεί ζάλ

Έλαλ από ηνύο κεγαιύηεξνπο Γεσκέηξεο ηεο Δπξώπεο

[ Απηή ε εμνκνιφγεζε ηνπ Pascal ζ΄έλαλ θαη΄εμνρήλ αξηζκνζεσξεηηθό καο

επηβάιιεη λα ηνλίζνπκε εληνλφηεξα ηελ Γεσκεηξηθή πθή πνπ θξχβεηαη κέζα

ζηελ

αιγεβξηθή δόκεζε ηνπ ζώκαηνο ℝ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ.

Δπνκέλσο νη δχν δνκέο αιιεινθαιχπηνληαη θαη αιιεινηξνθνδνηνχληαη εηο

φθεινο νινθιήξνπ ηνπ Μαζεκαηηθνχ νηθνδνκήκαηνο.

πγθεθαιαηψλνληαο πξέπεη λα πνχκε φηη ε αλάδεημε ηεο Αλαιπηηθήο

Γεσκεηξίαο ζε έλα ηζρπξφηαην Μαζεκαηηθφ εξγαιείν [απφ ηνπο Descartes

,Fermat , Pascal ] καδί κε ηελ Νεπηώλεηα κεραληθή [ISAAK NEWTON :

1642 – 1727] θαη ηηο κεζόδνπο ηνπ Απεηξνζηηθνύ Λνγηζκνύ άλνημαλ λένπο

νξίδνληεο γηα ηελ κειέηε θαη ηελ θαηαλόεζε ηνπ ΤΜΠΑΝΣΟ .

(3). O Δύδνμνο (435 – 355 πρ.) έγξαςε ην έξγν

Γεσκεηξηθνί ιόγνη .

[ Σν φηη ην έξγν απηφ είλαη εμόρσο ζπνπδαίν πξνθχπηεη θαη απφ ην γεγνλφο

φηη ν Δπθιείδεο ην πεξηέιαβε ζηα «ηνηρεία».]

(4). Οπσο είπακε θαη πηφ πάλσ ε ηδέα γηά ηελ ζχδεπμε ηεο Αξηζκεηηθήο

(άξα θαη ηεο άιγεβξαο) κε ηελ Γεσκεηξία μεθίλεζε κε ηνπο Ππζαγφξεηνπο (5νο

πρ. αηψλαο).Ζ ηδέα απηή πξνσζήζεθε θαη απφ ηνλ Πάππν (: ζχγρξνλν ηνπ

Δπθιείδε πεξί ην 300 πρ.) ν νπνίνο άθεζε ζεκαληηθφ ζπγγξαθηθφ έξγν κε

ηνλ ηίηιν

πλαγσγή

ην έξγν απηφ ν Πάππνο δηέζσζε θαη ην έξγν πνιιψλ αθφκε ζπγγξαθέσλ.

(5). Καηά γεληθήλ εθηίκεζε

Page 8: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

8

ε κ ε γ α ι χ η ε ξ ε καζεκαηηθή θαη επηζηεκνληθή κ ν ξ θ ή ηεο αξραηφηεηνο

είλαη ν

ΑΡΥΗΜΖΓΖ., (287 – 212 πρ.)

ελώ ν

ΑΠΟΛΛΧΝΗΟ (260 – 200πρ.)

είλαη ν ηειεπηαίνο κεγάινο Γεσκέηξεο ηεο Διιεληζηηθήο πεξηόδνπ .

( : ζάλαηνο ηνπ ΜΔΓΑΛΟΤ ΑΛΔΞΑΝΓΡΟΤ (356-323 πρ.) έσο θαη ηελ επηθξά-

ηεζε ησλ ΡΧΜΑΗΧΝ ην έηνο 10 κρ.]).

ηα επηηεχγκαηα ηνπ Αξρηκήδε πεξηιακβάλεηαη ν

ππνινγηζκφο ηνπ αξηζκνχ π : π = 3,14159.....

Δπίζεο ζηήλ πξνζπάζεηά ηνπ λα ππνινγίζεη ην

κέηξν εθ πεξηζηξνθήο ζρεκάησλ

[: εκβαδόλ επηθαλεηώλ θαη όγθν ζηεξεώλ ], πιεζίαζε πνιχ ηηο ζχγρξνλέο

καο κεζφδνπο ηνπ Οινθιεξσηηθνχ Λνγηζκνχ [Αξα κπνξεί λα ζεσξεζεί σο ν

παηέξαο ησλ κεζόδσλ απηώλ]. Παξνηκηψδεο είλαη εμ άιινπ ε θξάζε ηνπ

Δ Τ Ρ Ζ Κ Α

πνπ αθνξά ηνλ λόκν ηεο άλσζεο. Πξφζθαηεο ηζρπξέο ελδείμεηο απνδίδνπλ

ζηνλ Αξρηκήδε θαη ηελ επηλφεζε ηνπ κεραληζκνύ ησλ Αληηθπζήξσλ. Πξφ-

θεηηαη γηα έλαλ κπζηεξηψδε κεραληζκφ πνπ εηθάδεηαη φηη πξννξηδφηαλ γηα θξί-

ζηκνπο ππνινγηζκνύο πξνζδηνξηκνύ ζέζεσλ [ : θαη φρη κφλνλ,ελδερνκε-

λσο ] επί ηε βάζεη θάπνησλ δεδνκέλσλ παξακέηξσλ] Δίλαη εθπιεθηηθφ φηη

αθφκε θαη χζηεξα απφ ηφζεο [ : πνιπεηείο ] κειέηεο δελ είλαη αθφκε θαηαλνε-

ηφο ν κεραληζκφο ιεηηνπξγίαο ηεο πεξίθεκεο απηήο ζπζθεπήο [θαη απηφ δείρ-

λεη ην κεγαιεηψδεο ηεο επηλφεζεο ηνπ Αξρηκήδε θαη ησλ ζπλεξγαηψλ ηνπ]

(6). Σν νθηάηνκν έξγν ηνπ Απνιιώληνπ έρεη ηνλ ηίηιν

Κ Χ Ν Ο Τ Σ Ο Μ Α Η

θαη [ : δηθαίσο] ζεσξείηαη σο ε

ΑΠΑΡΥΖ ΣΖ ΠΡΟΒΟΛΗΚΖ ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ.

[Αιιά επίζεο θαη ελφο απφ ηα θαίξηα θεθάιαηα ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο.

Γηφηη αθξηβψο νη θσληθέο ηνκέο είλαη (:θεληξηθέο) πξνβνιέο θάπνηαο βάζεσο

ηνπ θψλνπ ζε δεδνκέλν επίπεδν (σο πξνο θέληξν πξνβνιήο ηελ θνξπθή

Ο ηνπ θψλνπ)].

Page 9: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

9

(7) [ρεηηθά κε ηελ κειέηε ηνπ ζχκπαληνο νθείινπκε λα αλαθέξνπκε θαη

ηνπο επφκελνπο ( : αξραίνπο) Διιελεο αζηξνλφκνπο :

(Α) ΑΡΗΣΑΡΥΟ ν άκηνο (310 – 230 πρ.πεξίπνπ) : Πξσηνπφξνο ζηελ

Αζηξνλνκία, ζεσξνχκελνο σο ν

πξόδξνκνο ηνπ Ηιηνθεληξηθνύ ζπζηήκαηνο.

Δπίζεο ππνιφγηζε (ρσξίο κεγάιε αθξίβεηα φκσο) ηελ ζρέζε [ : ιφγν ] ησλ

απνζηάζεσλ Γήο – Ηιίνπ θαη Γήο – ειήλεο θαζψο θαη ηνλ ινγν ησλ δηακέ-

ηξσλ Γήο – ειήλεο.

(Β). ΔΡΑΣΟΘΔΝΖ (275-195 πρ.) : Μέηξεζε κε επθπέζηαην ηξφπν ηελ

δηάκεηξν ηεο Γήο. [Δίλαη επίζεο γλσζηφ ην ηέρλαζκά ηνπ γηα ηελ δηαινγή ησλ

πξψησλ αξηζκψλ :

Κόζθηλν ηνπ Δξαηνζζέλε ].

(Γ). ΗΠΠΑΡΥΟ (2νο πρ. Αηψλαο). Τπνιφγηζε ηηο απνζηάζεηο ηνπ Ζιίνπ θαη

ηεο ειήλεο απφ ηελ Γή. Δπίζεο ηα κεγέζε απηψλ. Γη' απηφ θαη ζεσξείηαη σο ν

ζεκειησηήο ηεο ηξηγσλνκεηξίαο.

(Γ). ΠΣΟΛΔΜΑΗΟ Κιαχδηνο (138 -180 κρ. ): Αιεμαλδξηλφο Αζηξνλφκνο

[αιιά θαη Μαζεκαηηθφο-Γεσκέηξεο].ην έξγν ηνπ, γλσζηφ σο Αικαγέζηε,

αλαπηχζζεη κία Γεσθεληξηθή θνζκνινγηθή ζεσξία. Δπίζεο ζην έξγν ηνπ :

Απισζηο επηθαλείαο

Αλαθέξεηαη ζηελ

κειέηε πξνβνιώλ γηα ηελ θαηαζθεπή ραξηώλ.

(8). Σηο πην ξηδνζπαζηηθέο αληηιήςεηο γηα ηελ Γεσκεηξία δηαηχπσζε ν

Georg Fridrich Bernard Riemann (1826 - 1866) ,

Βιέπε θαη πην πάλσ). Δηζήγαγε ηελ έλλνηα ηνπ θακππισκέλνπ ρψξνπ (: απ-

ζαηξέηνπ δηαζηάζεσο) ηνλ νπνίν ζεψξεζε ηνπηθά Δπθιείδεην. ( : θάζε ζεκείν

ηνπ έρεη κία [ηνπιάρηζηνλ] Δπθιείδεηα πεξηνρή). Δηζη δηαηχπσζε ηελ έλλνηα

Σεο πνιιαπιόηεηνο ( : manifold) ,ε νπνία έπαημε ηεξάζηην ξφιν ζηελ

ζύγρξνλε εμέιημε ησλ Μαζεκαηηθψλ.

Πξνο ζηηγκήλ θάλεθε φηη ε Γεσκεηξία ηνπ Riemann απνηειεί ην αλαγθαίν

ππφβαζξν γηα ηελ δηαηχπσζε , κειέηε θαη εμέιημε ηεο

ζ ε σ ξ ί α ο η ε ο ζ ρ ε η η θ ό η ε η ν ο

( : δειαδή ηεο πεξηγξαθήο ηνπ καθξόθνζκνπ). Δηζη βιέπνπκε ηνλ Albert

Einstein (1878 – 1955) λα αθηεξψλεη 10 ρξφληα γηα ηελ κειέηε ηεο ζεσξίαο

Page 10: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

10

ησλ manifold [ : ‘νπνπ γίλεηαη ηαχηηζε ηεο έλλνηαο ηεο θακππιόηεηαο (ε

νπνία είλαη κία Γεσκεηξηθή έλλνηα) κε εθείλελ ηεο βαξύηεηαο ( πνπ είλαη κία

ηδηόηεηα ηεο ύιεο θαη άξα κία θπζηθή ηδηόηεηα-έλλνηα-κέγεζνο)].

Γηαπηζηψλνληαο φκσο φηη πξνέθπςαλ αληηθάζεηο πξφο ηελ θβαληηθή ζεσξία

[ : πνπ κειεηά ηνλ κηθξφθνζκν ] πεξηήιζε ζε βαζχηαην πξνβιεκαηηζκφ.

Δηδηθφηεξα ζα ιέγακε φηη ν Einstein δελ κπνξνχζε ( ‘φπσο ήηαλ θπζηθφ) λα

παξαβιέςεη

φηη νη θπζηθνί λφκνη έρνπλ θαζνιηθή ηζρχ

θαη εηζη ηειηθά παξαδέρζεθε φηη

νθείινπκε λα επηλνήζνπκε

έλαλ αιγεβξηθό ηξόπν γηά λα πεξηγξάςνπκε ην ύκπαλ

εληζρχνληαο έηζη απνθαζηζηηθά ηελ αλάγθε παξαδνρήο κηάο νπζηψδνπο ζπ-

ζρέηηζεο ησλ δχν θιάδσλ εηο φθεινο ηεο γεληθφηεξεο πξνφδνπ ησλ Μαζεκα-

ηηθψλ θαη ησλ εθαξκνγψλ ηνπο ζηηο επηζηήκεο γεληθφηεξα.

Δηζη ν κεγάινο ζηόρνο ηεο ζύγρξνλεο επηζηήκεο είλαη ε επηλφεζε

ελφο πιαηζίνπ (:κνληέιινπ ) πνπ

ζα ελνπνηεί ηελ γεληθή ζρεηηθόηεηα κε ηελ θβαληηθή ζεσξία .

[ίγνπξα φκσο ε Γεσκεηξία (: φπσο ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ ζεσξία βαζκίδνο

{ : Gauge theory}, ζηελ ζεσξία ησλ ππεξρνξδώλ {: string theory } θιπ.) ζα

παίδεη θαη πάιη θπξίαξρν ξόιν].

(9). Απφ ηα παξαπάλσ βιέπνπκε φηη ε άιγεβξα ( : θαη ηα κνληέιια ηεο)

είλαη έλα ηζρπξφ εξγαιείν γηα ηελ κειέηε θαη ηεο Γεσκεηξίαο. Καηά ηνχο ρξφ-

λνπο ηεο παξαθκήο ηνπ Διιεληθνχ θαη ηνπ Ρσκαηθνχ πνιηηηζκνχ επήιζε θαη

παξαθκή ζηελ αλάπηπμε ηεο Γεσκεηξίαο. Δίλαη φκσο Θεηηθή εμέιημε φηη ζηνπο

αλαηνιηθνχο ιανχο (θαη ηδηαίηεξα ζηνπο Αξαβεο )

ήθκαζε ε αξηζκεηηθή θαη ε άιγεβξα

ηφζν θαηά ηνλ κεζαίσλα φζν θαη θαηά ηελ αλαγέλλεζε].Πξάγκαηη ε άιγεβξα

(κε αθνξκή ηελ πξαγκαηνπνίεζε ππνινγηζκψλ πξνο επίιπζε ηξερνπζψλ

αλαγθψλ) θαηφξζσζε [κε ηνπο επέιηθηνπο ζπκβνιηζκνχο ηεο] λα νδεγήζεη

ζηελ επίιπζε εμηζψζεσλ αιιά θαη άιισλ δχζθνισλ πξνβιεκάησλ ηεο κερα-

ληθήο θαη ηεο αζηξνλνκίαο.

Page 11: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

11

Αθξηβψο φκσο ε αλάγθε γηά ζπζηεκαηηθφηεξε κειέηε αιιά θαη αλάπηπμε

ηεο αζηξνλνκίαο , ηεο κεραληθήο θαη ηεο νπξάληαο κεραληθήο

θαηέζηεζε αλαγθαία ηελ παξνπζία ηεο Γεσκεηξίαο ηνπ ρσξνρξόλνπ

( : εκαληηθφ ξφιν εδψ δηαδξακάηηζε ν Isaak Newton ( 1642-1727 )

[ : ν νπνίνο πξνρψξεζε ζηελ δηαηχπσζε ηνπ λόκνπ ηεο βαξύηεηαο])

Δηζη ε Γεσκεηξία μαλαήιζε επηηαθηηθά ζην πξνζθήλην θαη έθηνηε εκθαλίζηε-

θε ζεηξά νιφθιεξε απφ καζεκαηηθνχο πνπ ζπλέβαιαλ απνθαζηζηηθά ζηελ α-

λαβάζκηζε [ επνκέλσο θαη ζηελ ξαγδαία αλάπηπμε] ηεο Γεσκεηξίαο. Μεηαμχ

απηψλ είλαη θαη νη ( : βιέπε θαη παξαπάλσ.)

Pascal , Pieree de Fermat , Rene Descartes

Μεηαγελέζηεξα πηνζεηήζεθε ε ζεκειηψδεο ηδέα λα ραξαθηεξηζζεί κία Γεσκε-

ηξία [: θη΄απηφ είλαη κία άιιε ηζρπξή αλάδεημε ηνπ εληαίνπ ηεο καζεκαηηθήο

επηζηήκεο ] απφ ηελ αληίζηνηρε

νκάδα ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ

πνπ δηαηεξνύλ αλαιινίσηεο ηηο βαζηθέο ηδηόηεηέο ηεο. Δδψ ζπνπδαία

ζεσξείηαη ε ζπκβνιή ησλ

Sophus Lie (1842-1899) ,

Henrie Poincare (1854-1912), [ θαη ηδηαίηεξα ηνπ ]

Christian Felix Klein (1849-1925).

Δπνκέλσο κπνξνχκε βάζηκα λα ζεσξνχκε νηη ήηαλ απνθαζηζηηθήο ζεκαζίαο

γηα ηελ κειέηε ηνπ ζχκπαληνο ε ζπκβνιή ησλ καζεκαηηθώλ

Δίλαη γεγνλφο φκσο φηη

(η) θάπνηεο θηινζνθηθέο ηδέεο [θπξίσο ηνπ Immanuel Cant (1724-1804) ]

πεξί ηνπ ρσξνρξφλνπ ], ζε ζπλδπαζκφ κε ηηο

(ηη) ζεσξίεο ηνπ Νεύησλα θαη αθφκε ε

(ηηη) απζαηξεζία ζηελ επηινγή ηεο αξρήο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ

[ : ψζηε λα είλαη πην εχρξεζηε ζηνλ εθάζηνηε παξαηεξεηή] [ : αξρή ηνπ

ζπζηήκαηνο αλαθνξάο ζηελ νξνινγία ηεο θπζηθήο] νδήγεζαλ ζε κία αηειή

αληίιεςε ηνπ θπζηθνχ θφζκνπ απφ ηνλ άλζξσπν [δηφηη ηνπ εδξαίσλαλ ηελ

πεπνίζεζε φηη ε Γεσκεηξία ηνπ θφζκνπ καο είλαη ε Δπθιείδηα] . Δλ ηνχηνηο

ζεσξνχκε φηη ε

Δπθιείδηα Γεσκεηξία θαη ε Νεπηώλεηα κεραληθή

Page 12: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

12

ππήξμαλ γηά 250 πεξίπνπ ρξφληα ηθαλνπνηεηηθά εξγαιεία ζηελ κειέηε ηνπ

ζπκπαληνο].Ο Einstein ζεψξεζε ηειηθά αλεπαξθή θαη ηελ ζεσξία ησλ πνι-

ιαπινηήησλ (πνπ πξνυπνζέηεη ηελ ηνπηθή Δπθιεηδηφηεηα ηνπ ρψξνπ),απνθαη-

λφκελνο νξηζηηθά φηη κάιινλ

ρξεηαδόκαζηε έλαλ αιγεβξηθό ηξόπν πεξηγξαθήο ηνπ ζύκπαληνο.

(Δξώηεκα : Μήπσο νπζηαζηηθά θαιεί ηνπο εξεπλεηέο λα επηλνήζνπλ θαη λα

πξνηείλνπλ κνληέια κεηαπησηηθψο κεηαβαιιφκελα καδί κε ηηο κεηαβνιέο θαη

κεηαπηψζεηο ησλ [ελεξγεηαθψλ θαη πιηθψλ ] ππνζέησλ πνπ πιεξνπλ ην

ζχκπαλ ( : φπσο είλαη πρ. νη δηαθφξσλ εηδψλ εθξήμεηο), πξνζζέηνληαο θάζε

θνξά έλα επηπιένλ (κεηαβαιιφκελν;;) πιήζνο αλεμαξηήησλ κεηαβιεηψλ ; ).

Οπνηα θη αλ είλαη ε απάληεζε, ε παξνπζία θαη ζπκβνιή ηεο Γεσκεηξίαο ζηελ

κειέηε ηνπ ζχκπαληνο ζα είλαη κάιινλ εκθαλήο. [Γηφηη ηα νπξάληα ζψκαηα

είλαη ζρήκαηα θαη άξα αληηθείκελα Γεσκεηξηθήο κειέηεο].

Δδψ ζα πξέπεη λα αλαθέξνπκε θαη ηήλ ζπκβνιή ηεο

Γ ξ α κ κ η θ ή ο Γ ε σ κ ε η ξ ί α ο.

Πξάγκαηη ε Γξακκηθή Γεσκεηξία ρξεζηκνπνηψληαο ηηο έλλνηεο ηνπ ζπζρε-

ηηζκέλνπ ρψξνπ θαη ηεο δξάζεσο κειεηά είηε ην 𝔼 𝒙𝔼 (φπνπ είλαη ν ππφ

κειέηελ ρψξνο) είηε ην 𝑮𝒙 𝔼 (φπνπ 𝑮 είλαη κία ππννκάδα ηνπ 𝑨𝒖𝒕(𝔼)

,[δειαδή ηήο νκάδαο φισλ ησλ 1-1 θαη επί απεηθνλίζεσλ ηνπ 𝔼 ζηνλ εαπηφ

ηνπ]).

Δηζη δεκηνπξγνχληαη 1-1 θαη επί απεηθνλίζεηο πνπ νπζηαζηηθά ζπλδένπλ

κεηαμχ ηνπο ηα δηάθνξα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ [ψζηε επθνιφηεξα λα

κπνξνχλ παξαηεξεηέο λα αιιειναλαγάγνπλ ηα απνηειέζκαηα ησλ

παξαηεξήζεψλ ηνπο ν έλαο ζηνλ άιινλ (εμνπδεηεξψλνληαο έηζη ην

κεηνλέθηεκα ηεο απζαηξεζίαο ζηελ επηινγή ηεο αξρήο ηνπ ζπζηήκαηνο

αλαθνξάο,θαη επηηξέπνληαο ηελ απνηειεζκαηηθόηεξε ζπλεξγαζία κεηαμχ

παξαηεξεηψλ πνπ ρξεζηκνπνηνχλ ζπζηήκαηα κε δηαθνξεηηθή αξρή )] .

Page 13: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

13

ΚΔΦΑΛΑΗΟ 1

§ 1.1 Αμηώκαηα-Πξνηάζεηο επζεηώλ, επηπέδσλ

πζηήκαηα πληεηαγκέλσλ - Γόκεζε ηνπ 𝔼

χκθσλα κε ηα παξαπάλσ έλα βαζηθφ ζέκα ηεο ππφ κειέηελ Αλαιπηηθήο

Γεσκεηξίαο είλαη θαη ε εύξεζε ηππνινγίνπ πνπ ζα ζπλδέεη κεηαμχ ηνπο ηα

δηάθνξα ζπζηήκαηα αλαθνξάο [ζπληεηαγκέλσλ ] θαη ζα επηηξέπεη ηελ κεηά-

βαζε απφ ην έλα ζηα άιια.

πκπεξαζκαηηθά ζα ιέγακε φηη ν εθνδηαζκφο ηνπ θπζηθνχ ζεκεηνρψξνπ 𝔼

κε έλα ηξηδηάζηαην ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) [ : κε αξρή Ο θαη ζεηη-

θνχο εκηάμνλεο Οx ,Oς ,Οz] ηζνδπλακεί κε [: πξνππνζέηεη] ηελ ηζρχ [θαη πα-

ξαδνρή] ησλ ζεκειησδψλ αμησκάησλ ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο πεξί

ζεκείσλ , επζεηψλ ,επηπέδσλ θαζψο θαη ην ζεκειηώδεο αμίσκα ηεο ηαύηηζεο

(*) ε ℝ ⇒ 𝔼 ℝ 3

[:ηνπ Δπθιεηδείνπ ρψξνπ ℝ με μία τυχούσα ευθεία ε θαη ηελ ζπλεπαγφκελε

απφ απηήλ ηαχηηζε ηνπ θπζηθνχ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 με ηνλ ηξηζδηάζηαην Δπθιεί-

δην ρψξν ℝ 3 .

εκείσζε . Όπσο παξαηεξήζακε θαη ζηνλ πξφινγν θάζε απφπεηξα πεξη-

γξαθήο ηεο επζείαο κε άιιεο καζεκαηηθέο έλλνηεο πξσηαξρηθφηεξεο απφ απ-

ηήλ νδεγείηαη ζε απνηπρία.[ : ν ίδηνο ν Δπθιείδεο δελ θαηφξζσζε λα επηηχρεη

ζ΄απηφ ηνπ ην εγρείξεκα]. Oη θπξηφηεξεο πξνηάζεηο πνπ ηζρχνπλ ζρεηηθά κε ην

επίπεδν θαη ηελ επζεία ζηελ Δπθιείδεηα Γεσκεηξία [ θαη δερφκαζηε ζηελ ζεκε-

ιίσζε ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο] είλαη νη επφκελεο :

(1).[Αμίσκα] Γηα θάζε δεχγνο (A,B) δηαθνξεηηθώλ κεηαμύ ηνπο ζεκείσλ ηνπ

𝔼 ππάξρεη αθξηβώο κία επζεία πνπ ηα πεξηέρεη από θνηλνύ. Θέηνπκε γηα

Page 14: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

14

ηελ επζεία απηήλ [ηνπο ηζνδχλακνπο ζπκβνιηζκνχο] :

(**) ꜫ(Α,Β) ε(Α,Β) εΑΒ ꜫΑΒ

[ε κνλαδηθή θνηλή επζεία ησλ ζεκείσλ Α,Β ηνπ 𝔼 , Α≠Β]

εκείσζε 1α. (η). Κάζε ζεκείν Ρ ηνπ 𝔼 νξίδεη κε θάζε άιιν ζεκείν Ρ΄≠ Ρ ηνπ

𝔼 κία επζεία ꜫ(Ρ,Ρ΄) .Οιεο απηέο νη επζείεο πεξηέρνπλ ην Ρ θαη ζπκβνιίδνληαη

κε J(Ρ). [ Σν J(Ρ) ζα νλνκάδεηαη :

«ε δέζκε όισλ ησλ επζεηώλ ηνπ Ρ» ] .

Δπίζεο κπνξνχκε λα ιέκε φηη

ην J(Ρ) είλαη κία πιήξεο δέζκε επζεηώλ ηνπ 𝔼

(ηη).Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη νη επζείεο ηεο J(Ρ) ζαξψλνπλ ηνλ (ρψξν) 𝔼, κε ηελ

έλλνηα φηη θάζε ζεκείν ηνπ 𝔼 είλαη ζε θάπνηα απφ απηέο ηηο επζείεο.

(ηηη). Ζ αληηζηνηρία

Ρ ⇄ J(Ρ)

ζεκείσλ θαη δεζκψλ ηνπ 𝔼 είλαη 1-1 θαη επί.

Σα ζεκεία ρΜ , ςΜ , zΜ [ θνξπθέο ηνπ παξαιιειεπηπέδνπ Π(Μ) , ηνπ ζεκείνπ

Μ , επί ησλ αμφλσλ x΄x ,ς΄ς , z΄z αληίζηνηρα] θαζνξίδνπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο

ηνπ ζεκείνπ Μ ζην ζχζηεκα (Οxςz) [φηαλ νη επζείεο ηνπ (Οxςz)) γίλνπλ

Δπθιείδεηεο] ( Βι. θαη ζρήκα 3α) .

(2).[Αμίσκα] Δπίπεδν Π, είλαη θάζε ππνζχλνιν ηνπ 𝔼 ην νπνίν :

(2-α) πεξηέρεη ηνπιάρηζηνλ ηξία κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α,Β,Γ ηνπ 𝔼 .

(δηαθνξεηηθά ,πξνθαλψο, κεηαμχ ηνπο)

(2-β) γηα θάζε δχν δηαθνξεηηθά ηνπ ζεκεία Ρ,Γ, πεξηέρεη θαη όια ηα ζεκεία

ηεο επζείαο ꜫ(Ρ,Γ) πνπ ηα δχν απηά ζεκεία νξίδνπλ.

(2-γ). Κάζε άιιν ππνζχλνιν Π΄ ηνπ 𝔼 πνπ πεξηέρεη ηα ίδηα σο άλσ ζεκεία

Α,Β, Γ θαη έρεη ηελ ηδηφηεηα (2-β) , πεξηέρεη ην Π θαη :

(γ-1) είηε ζπκπίπηεη κε απηφ είηε ,

(γ-2) αλ έρεη έζησ θαη έλα ζεκείν Ε ηνπ 𝔼 , πνπ δελ αλήθεη ζην Π, ηφηε πεξηέ-

ρεη θαη ηνλ φιν ρψξν 𝔼

(3) [Αμίσκα-νξηζκνί].(3α). Γχν δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο επζείεο ε, μ ηνπ 𝔼

ζα ιέγνληαη ζπλεπίπεδεο εάλ ππάξρεη επίπεδν Π πνπ πεξηέρεη φια ηα ζεκεία

ηνπο [ άξα θαη ηηο επζείεο απηέο πλαθψο έρνπκε :

Page 15: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

15

(3β).Γχν δηαθνξεηηθέο ζπλεπίπεδεο επζείεο ε , μ ηνπ 𝔼 , ζα ιέγνληαη

(3β-1) ηεκλόκελεο εάλ έρνπλ [ αθξηβψο ] έλα θνηλό ζεκείν , εΛμ,

(3β-2) παξάιιειεο εάλ δελ έρνπλ θαλέλα θνηλφ ζεκείν.

(3β-3) Γχν δηαθνξεηηθέο επζείεο κε θνηλφ ζεκείν είλαη ζπλεπίπεδεο.

(3β-4) Γχν δηαθνξεηηθέο παξάιιειεο επζείεο είλαη ζπλεπίπεδεο.

(3)΄ Οπνηαδήπνηε επζεία ηνπ 𝔼 νξίδεηαη σο

παξάιιειε πξνο ηνλ εαπηό ηεο.

εκείσζε : (η) Σξία [είηε πεξηζζφηεξα] ζεκεία είλαη ζπλεπζεηαθά εάλ ππάξ-

ρεη επζεία ηνπ 𝔼 πνπ ηα πεξηέρεη]

(ηη) Γχν [είηε πεξηζζφηεξεο] επζείεο είλαη ζπλεπίπεδεο εάλ ππάξρεη επί-

πεδν ηνπ 𝔼 πνπ ηηο πεξηέρεη]

(ηηη).Θεσξνχκε φηη θάζε επζεία ε ελφο επηπέδνπ Π δηακεξίδεη ηα ζεκεία ηνπ Π

ζε ζε δχν μέλα κεηαμχ ηνπο ππνζχλνια [ : αλνηθηά εκηεπίπεδα ηνπ Π κε

(θνηλή) αθκή ηελ επζεία ε . Σα αληίζηνηρα θιεηζηά εκηεπίπεδα πεξηέρνπλ

θαη ηα ζεκεία ηεο ε , (ηα νπνία,επνκέλσο, απνηεινχλ θαη ηελ ηνκή ηνπο)] .

Οξηζκόο(3α). Αζύκβαηεο επζείεο ζα ιέγνληαη δχν κε ζπλεπίπεδεο

επζείεο ηνπ ρψξνπ 𝔼 . Δίλαη άκεζν φηη :

Page 16: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

16

(*) δύν αζύκβαηεο επζείεο δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν

(4) [Αμίσκα]. ηνλ ρψξν 𝔼 ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ 4 ( : δηαθνξεηηθά) κε

ζπλεπίπεδα ζεκεία.

[ : Δπνκέλσο ,εμ νξηζκνχ, ν ρψξνο 𝔼 είλαη γλήζην ππεξζχλνιν νπνηνπδήπν-

ηε επηπέδνπ ηνπ]

(5)[Αμίσκα (Δπθιείδεην αίηεκα)].

Αλ θάπνηα επζεία ε ηνπ θπζηθνύ ζεκεηνρώξνπ 𝔼

δεν πεξηέρεη δνζέλ ζεκείν Μ απηνύ , ηόηε

αθξηβώο κία επζεία ε΄ ηνπ 𝔼 είλαη παξάιιειε ζηελ ε θαη πεξηέρεη ην Μ.

ρόιηα (5α). χκθσλα κε ηνλ νξηζκφ ηεο παξαιιειίαο επζεηψλ ηνπ 𝔼 , ζεσ-

ξνχκε φηη

Τπάξρνπλ ζπλεπίπεδεο επζείεο πνπ δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν,

[θαη απηή νπζηαζηηθά είλαη ε βαζύηεξε ζεκαζία ηνπ Δπθιεηδείνπ αηηήκαηνο ]

[ Ζ δπλαηφηεηα ράξαμεο παξαιιήισλ επζεηψλ απφ νπνηνδήπνηε ζεκείν ζε

νπνηαδήπνηε επζεία επηηξέπεη ηνλ ηζνρσξηζκφ ελφο επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο

ΟΑ ꜫ(Ο,Α) , ζε νζαδήπνηε ίζα κέξε ζέινπκε . [βιέπε θαη επφκελα] . αλ

Page 17: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

17

ζπλέπεηα έρνπκε θαη ηελ δπλαηφηεηα λα Δπθιεηδεηνπνηήζνπκε κία νπνηαδή-

πνηε επζεία ε ηνπ 𝔼 [βι, θαη ζρήκα 2 ] θαη πεξαηηέξσ λα ρσξίδνπκε επζχ-

γξακκα ηκήκαηα ζε κέξε αλάινγα [ : Θεώξεκα ηνπ Θαιή.Βιέπε θαη ζρήκαηα

6 , 7 , 8 , ζειίδεο 26 , 27, 30 αληίζηνηρα.].

(6). (Πόξηζκα). Δάλ Γχν επίπεδα Π , Ρ

(η) πεξηέρνπλ απφ θνηλνχ κία νπνηαδήπνηε επζεία θαη έλα νπνηνδήπνηε ζεκείν

πνπ δελ πεξηέρεηαη ζηελ επζεία απηή , είηε ηξία κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία

(ηη) . είηε πεξηέρνπλ απφ θνηλνχ :

(α) δχν νπνηεζδήπνηε ηεκλφκελεο επζείεο

(β) δχν νπνηεζδήπνηε δηαθνξεηηθέο παξάιιειεο επζείεο ηφηε :

(*) Π = Ρ.

7). Δάλ Π είλαη νπνηνδήπνηε επίπεδν ηφηε ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν

(ηνπ ρψξνπ 𝔼 πνπ δελ αλήθεη ζην επηπεδν απηφ.[ Με άιια ιφγηα ν ρψξνο δελ

ζπκπίπηεη κε θαλέλα επίπεδν ] .

(7)΄ Δάλ ζεσξήζνπκε φηη ν θπζηθφο ζεκεηνρψξνο 𝔼 είλαη γλήζην ππνζχλνιν

θάπνηνπ ζπλφινπ 𝔼^ πνπ ηθαλνπνηεί φιεο ηηο πξνεγνχκελεο πξνηάζεηο ηφηε :

Page 18: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

18

(8). Αλ έρνπκε έλα ζεκείν Μ ηνπ 𝔼^ πνπ δελ αλήθεη ζην 𝔼 θαη έλα ζεκείν

Ν ηνπ 𝔼 [ άξα Μ≠Ν ] ηφηε ε επζεία

ꜫ ꜫ(Μ,Ν) ε(Μ,Ν) εΜΝ ꜫΜΝ

ζα έρεη κε ηνλ ρψξν καο 𝔼 θνηλφ κφλν ην ζεκείν Ν. Με άιια ιφγηα ε ꜫ ζα

ηξππάεη ηνλ ρψξν καο 𝔼 ζε έλα αθξηβψο ζεκείν θαη ηα ππφινηπα ζεκεία ηεο

ζα είλαη φια εθηφο ηνπ 𝔼 θαη άξα [: αόξαηα]

«αόξαηα γηα θάζε παξαηεξεηή εγθισβηζκέλν κέζα ζηνλ 𝔼 »

εκείσζε . Ζ θαηαζθεπή ηνπ Π΄//Π [πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν ΜΠ] επηηπγ-

ράλεηαη πρ. κε ηελ ράξαμε δχν επζεηψλ παξαιιήισλ πξνο δεδνκέλεο δηαθν-

ξεηηθέο [: άξα ηεκλφκελεο] επζείεο ηνπ Π πνπ λα πεξηέρνπλ ην ζεκείν Μ .

(8)΄΄.[Βι. θαη ρ. 3].

Θεσξνχκε ηψξα επίπεδν Π , ζεκεία Μ , Ν : MΠ , ΝΠ , θαη δχν δηαθν-

ξεηηθέο επζείεο ε , μ ≠ ε ηνπ Π πνπ πεξηέρνπλ ην Ν. Σν Μ δελ πεξηέρεηαη ζηηο ε

, μ {γηαηί ? } θαη ην πεξηέρνπλ αθξηβψο δχν επζείεο ε΄, μ΄ παξάιιειεο ζηηο ε , μ

αληίζηνηρα [ άξα ε ≠ μ ] . Σν επίπεδν Π΄ πνπ πεξηέρεη ηηο ε΄,μ΄ είλαη παξάιιειν

Page 19: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

19

ζην Π . ( : Δπθιείδεηα Γεσκεηξία . Βι. θαη ρ. 3). Δηζη πξνθχπηεη ε πξφηαζε

ηνπ ρήκαηνο 3 θαη ζαλ πφξηζκα απηήο :

(8-1) Γηα θάζε ζεκείν Μ ηνπ 𝔼 ππάξρνπλ ηξία αθξηβώο επίπεδα,

(παξάιιεια αλά έλ ζηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα) ,πνπ πεξηέρνπλ ην Μ

(8-2). Καζέλα απφ ηα ηξία επίπεδα ηνπ Μ ηέκλεη ηνπο δχν κφλνλ άμνλεο

[θαζέλαλ ζε αθξηβψο έλα ζεκείν ] ελψ κε ηνλ ηξίην είλαη παξάιιειν [εθηφο αλ

ηνλ πεξηέρεη , νπφηε ζα πξέπεη λα ζπκπίπηεη κε ην αληίζηνηρν ζπληεηαγκέλν

επίπεδν , ζην νπνίν είλαη παξάιιειν]. Δίλαη θαλεξφ φηη ην Π(Μ) πεξηθιείεηαη

απφ ηα επίπεδα ηνπ Μ θαη απφ ηα ηξία ζπληεηαγκέλα επίπεδα .

Δπίζεο είλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην Π(Μ) εθθπιίδεηαη ζε παξαιιειφγξακν αλ

ην Μ είλαη ζε θάπνην ζπλη/λν επίπεδν , ζε επζχγξακκν ηκήκα ,αλ ην Μ είλαη

ζε θάπνηνλ άμνλα , θαη ζε έλα ζεκείν ,αλ ην Μ είλαη ε αξρή Ο.

(8.3) . Δπεηδή ζπκβνιίδνπκε κε xΟς , xΟz, ςΟz ηα επίπεδα ζπλη/λσλ ,ζα

ζέηνπκε Π(Μxς) , Π(Μxz), Π(Μςz) γηά ηα αληίζηνηρα επίπεδα ηνπ Μ .

[Γέο θαη ζρεηηθά ζρήκαηα πην θάησ.]

(9). χκθσλα κε ηελ πξνεγνχκελε πεξηγξαθή κέζα ζηνλ [ ηνπιάρηζηνλ ηε-

ηξαδηάζηαην] ρψξν 𝔼^ ν γλσζηφο ζε καο ρψξνο 𝔼 είλαη θινηώδεο αληηθεί-

κελν ην νπνίν νη εμσηεξηθέο πξνο απηόλ επζείεο ηνπ 𝔼^ [ δειαδή επζείεο

πνπ δελ πεξηέρνληαη ζηνλ 𝔼 θαη άξα είλαη ,γηα καο,νη εμσηεξηθέο επζείεο ηνπ

ρψξνπ καο] ζπλαληνύλ ζε έλα ην πνιύ ζεκείν .

(10). Δπ΄επθαηξία ηεο πεξηγξαθήο ελφο ππεξρψξνπ 𝔼^ ηνπ 𝔼 πξέπεη λα ηνλί-

ζνπκε φηη απηφο ζα πξέπεη λα βξίζθεηαη ζε 1-1 θαη επί, αληηζηνηρία κε θάπνηνλ

απφ ηνπο Δπθιείδεηνπο ρψξνπο ℝ4 , ℝ5 , ℝ6,…κε ηελ βνήζεηα θάπνηνπ ζπζηή-

καηνο ζπληεηαγκέλσλ (Οxςzθζ…..) κε ζεηηθνχο εκηάμνλεο ηηο εκηεπζείεο Οx,

Oς , Oz , Οθ , Οζ , θιπ. [θάζε έλαο απφ απηνχο ηνπο εκηάμνλεο είλαη εμσ απφ

ηνλ ρψξν πνπ παξάγνπλ νη ππφινηπνη θαη κνλαδηθφ θνηλφ ηνπ ζεκείν κε απ-

ηνχο είλαη ην Ο. Βι. θαη ρ. 1].

(11). Σν Δπθιείδεην αίηεκα έρεη ζαλ ζπλέπεηα ηελ δηαηχπσζε αληηζηνίρσλ

πξνηάζεσλ παξαιιειίαο θαη γηα επίπεδα [ θαη ζε ρψξνπο κεγαιχηεξσλ

δηαζηάζεσλ : θαη ζε ηεηξαδηάζηαηα θιπ. [ : Έσο ππνρψξνπο 𝔼΄ ζπλδηαζηά-

ζεσο έλα. Γειαδή ζε ππνρψξνπο πνπ ηνπο ππνιείπεηαη κφλν έλα κνλνδηά-

ζηαην (επζεία ε) γηα λα δεκηνπξγήζνπλ νιφθιεξν ηνλ ρψξν κε ηελ έλλνηα φηη:

Page 20: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

20

νη παξάιιειεο πξνο ηελ επζεία ε απφ ηα ζεκεία ηνπ 𝔼΄ ζαξψλνπλ (πεξηέ-

ρνπλ) φια ηα ζεκεία ηνπ ρψξνπ] .

(11α). Ζ ρξήζε ηνπ παξαιιειεπηπέδνπ Π(Μ) κπνξεί λα αληηθαηαζηαζεί απφ

κία ακεζφηεξε αμηνπνίεζε ηνπ (8). : Θεσξνχκε Μ΄ ζην π(ρΟς) θαη ζεκεία

Μρ΄,Μς΄ ,Μz΄ ζηνπο άμνλεο ρρ΄ , ςς΄ , z΄z αληίζηνηρα ψζηε

(11-1). ε(Μ΄,Μρ΄) // ςς΄ , z΄z , ε(Μ΄,Μς΄ ) // x΄x ,θαη ε(Μz΄,Μ΄) // ε(Ο,Μ΄).

Σφηε ηα Μρ΄, Μς΄, Μz΄, νξίδνπλ ζηνπο άμνλεο ηηο ζπληεηαγκέλεο xΜ , ςΜ , zΜ

ηνπ Μ [φπσο θαη νη ηνκέο ηνπ Π(Μ) κε ηνπο άμνλεο.Βιέπε ζρεηηθά.]

(12) .Ο θάζε άμνλαο γίλεηαη Δπθιείδηα επζεία.[ : δειαδή ηαπηίδεηαη κε ην ζψ-

κα ℝ ησλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ , (βι. ρ. 2 γηα ηελ πεξηγξαθή ηεο Δπθιεηδην-

πνίεζεο ησλ Δπζεηψλ.

ηα ζπλήζε Δπθιείδεηα ζπζηήκαηα νη κνλάδεο ησλ α-μφλσλ αληηζηνηρνχλ ζην

ίδην άλνηγκα ηνπ δηαβήηε, ελψ ζηα ειιεηπηηθά επηιέγνπκε απζαηξέησο

δηαθνξεηηθά αλνίγκαηα ηνπ δηαβήηε.(δηφηη ζηελ Διιεηπηηθή Γεσκεηξία ε

κεηξηθή ζθαίξα είλαη έλα απζαίξεην ειιεηςνεηδέο,θαη άξα ν αληίζηνηρνο

θχθινο [δειαδή ε ηνκή ηνπ ειιεηςνεηδνχο κε νπνηνδήπνηε απφ ηα

ζπληεηαγκέλα επίπεδα] ίζσο λα είλαη θάπνηα έιιεηςε.)

Page 21: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

21

(12α). Πξνβνιέο επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ επηπέδνπ Π ζε άμνλα ηνπ Π.

(13). ηνλ ηξηδηάζηαην θπζηθφ ζεκεηνρψξν θάζε άμνλαο αληηζηνηρίδεηαη [ ξεηά

εμ αξρήο] ζε θαζεκία απφ ηηο κεηαβιεηέο x,ς,z θαη παίξλνπλ ηφηε ζρεηηθψο

θαη ηα νλφκαηα : άμνλαο ησλ x , ησλ ς , ησλ z [ είηε θαη άμνλαο x΄x ,ς΄ς ,

z΄z αληίζηνηρα].ε ρψξνπο κεγαιχηεξεο δηάζηαζεο πξνζηίζεληαη επί πιένλ

άμνλεο [ ππνηίζεηαη θάζε λένο άμνλαο πξέπεη λα πεξηέρεη επίζεο ην Ο αιιά

θαη λα είλαη έμσ από ηνλ ρώξν πνπ παξάγνπλ φινη καδί νη πξνεγνχκελνη].

Μία ζεκαληηθή παξαηήξεζε εδψ είλαη φηη ε αληηζηνηρία ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ

𝔼 κε ηα παξαιιειεπίπεδα Π(Μ) είλαη 1-1 θαη επί :

(13*) 𝔼 M ⇄ Π(Μ) : 1-1 , επί

(14). Ζ Δπθιεηδεηνπνίεζε ησλ αμόλσλ ζηνλ [ηξηζδηάζηαην θπζηθό] ζεκεη-

νρψξν 𝔼 αληηζηνηρεί ζηα ζεκεία xΜ , ςΜ , zΜ [ ηεο ηνκήο ησλ αμφλσλ από

ηηο παξάιιειεο πξνο ηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα έδξεο ηνπ Π(Μ) ] , κία

ηξηάδα αξηζκψλ [δειαδή ζηνηρείν ηνπ ℝ 3] ηελ νπνία ζα ζπκβνιίδνπκε επίζεο

κε (xΜ , ςΜ , zΜ) θαη αληηζηνηρίδνπκε απηήλ ζην ζεκείν Μ ( θαη νκνίσο γηα θάζε

άιιν ζεκείν ηνπ 𝔼 ) . ΄Οπσο θαη ζηελ (13*) ,έρνπκε φηη θαη

Page 22: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

22

(14- 1) Η αληηζηνηρία απηή είλαη 1-1 θαη επί

Όπσο θαίλεηαη θαη ζην ρ.3α ,Με δεδνκέλα ηα ζεκεία A = xM ,B = ςM θαη

Γ = zM ,ησλ αμφλσλ x΄x ,ς΄ς , z΄z αληίζηνηρα [ηα νπνία θαζσξίδνληαη πιήξσο

απφ κία δεδνκέλε ηξηάδα (θ,ι,κ) αξηζκψλ , ζηνηρείν ηνπ ℝ3 (αλ έρεη πξνεγεζεί

θάπνηα Δπθιεηδεηνπνίεζε ησλ ηξηψλ αμφλσλ ηνπ (Οxςz)) θαη κε βάζε πάιη

ην αμίσκα ηεο παξαιιειίαο [θαη ηηο απφ απηφ πξνθχπηνπζεο πξνηάζεηο γηα

ηελ παξαιιειία επηπέδσλ θαη άιισλ ζρεκάησλ] ηα αληίζηνηρα πξνο ηα ζπλ-

ηεηαγκέλα επίπεδα ,παξάιιεια επίπεδα πνπ άγνληαη απφ ηα A = xM ,B = ςM

θαη Γ=zM έρνπλ έλα κνλαδηθφ θνηλφ ζεκείν Μ ηνπ νπνίνπ ην παξαιιειπί -

πεδν Π(Μ) αληηζηνηρεί ζηνπο άμνλεο σο ηξηάδα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ Μ ηελ αξ-

ρηθή ηξηάδα (θ,ι,κ).Βι. ζρεηηθά επίζεο ην ρ. 3α).

Θέηνπκε T γηα ηελ αληηζηνηρία ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ 𝔼 κε ηα παξ/δα Π(Μ) :

(14-2) T : 𝔼 M ⇄ Π(M) , Μ𝔼

ηα επφκελα ζα ρξεζηκνπνηνχκε ηελ έθθξαζε :

(14-3) Δπθιεηδεηνπνίεζε ηνπ 𝔼 απφ ην θαξηεζηαλν ζχζηεκα

(14-3)΄ (Ο,x΄x ,ς΄ς , z΄z) (Οxςz)

Page 23: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

23

[κε βάζε ηηο ηδηφηεηεο ηνπ φινπ ζρήκαηνο ζηελ Δπθιείδηα Γεσκεηξία]. Ζ

παξαπάλσ Δπθιεηδεηνπνίεζε ηνπ 𝔼 έρεη ζαλ ζπλέπεηα ηελ ηαχηηζε ηνπ 𝔼 κε

ηνλ ℝ3 θαηά ηξφπν ψζηε ζε θάζε δηαηεηαγκέλν δεχγνο (Α,Β) ηνπ 𝔼x𝔼 = 𝔼2 λα

αληηζηνηρίδεηαη ην δηάλπζκα (ηνπ ℝ3) ησλ δηαθνξψλ (xΒ-xΑ ,ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) ζαλ

δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ ειεπζέξνπ [αιιά θαη ηνπ εθαξκνζηνύ ,βιέ-

πε θαη παξαηήξεζε (14α).] δηαλχζκαηνο πνπ νξίδεηαη απφ ην δηαηεηαγκέλν

δεχγνο (Α,Β).

(15). Σψξα νθείινπκε λα νξίζνπκε έλαλ βαζκσηφ πνιιαπιαζηαζκφ πνπ λα

εθθξάδεη πηζηά ηνλ αληίζηνηρν βαζκσηφ πνιιαπιαζηαζκφ ησλ Δπθιεηδείσλ

ρψξσλ ℝκ , κ = 1,2,3,4,……

(14α).Παξαηήξεζε. χκθσλα κε ηηο πξνεγνχκελεο δηαπηζηψζεηο , εθηηκήζεηο

θαη εθθξάζεηο πξνθχπηεη κία αμηνζεκείσηε δπλαηφηεηα νξηζκνχ θάπνηαο ρξή-

ζηκεο απεηθφληζεο Φ ηνπ 𝔼2 = 𝔼x𝔼 ζηνλ Δπθιείδην ρψξν ℝ3 [πνπ πξνθχπ-

πηεη απφ ηελ παξνπζία ηνπ ζπζηήκαηνο (Οxςz) ] :

(14 - 3) η Φ : 𝔼2 = 𝔼x𝔼 → ℝ3 : Φ(Α,Β) (xΒ-xΑ ,ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ)

Ζ παξαπάλσ απεηθφληζε :

(η) θαζηζηά ηψξα πην εκθαλή ηελ :

Page 24: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

24

ηθαλόηεηα ηνπ θάζε δεύγνπο (Α,Β)

λα ζεσξεζεί ζαλ έλα δηάλπζκα .

(ηη). Ζ παξνπζία ηεο αθαίξεζεο ,ζε ζπλδπαζκφ κε ηελ ηαχηηζε Σ ηεο (14-2)

νξίδνπλ ηηο

Δπθιεηδεηνπνηήζεηο ΦΑ , Α 𝔼 , ηεο Φ

[Γέο θαη ζρέζε [15-3] πην θάησ]

ην ζεκείν απηφ νξίδνπκε σο ειεύζεξν δηάλπζκα ηνπ 𝔼 αληίζηνηρν ην (Α,Β)

[ : είηε θαη ειεχζεξν δηάλπζκα ηνπ (Α,Β)] ην ζχλνιν φισλ ησλ εθαξκνζηψλ

δηαλπζκάησλ ηνπ 𝔼 κε άθξα νπνηνδήπνηε δεχγνο (Γ,Γ) ηνπ 𝔼2 ηζνδχλακν

ηνπ (Α,Β) , φπνπ ε ηζνδπλακία ησλ δεπγψλ νξίδεηαη απφ ηελ ζρέζε :

(*) (Α,Β) (Γ,Γ)⇔Φ(Α,Β)=Φ(Γ,Γ) ⇔(xΒ-xΑ,ςΒ-ςΑ,zΒ-zΑ) = (xΓ-xΓ,ςΓ-ςΓ,zΓ-zΓ) .

[ Ζ ηζνδπλακία ησλ δεπγψλ κπνξεί [θαηά ηξφπνλ ηζνδχλακν ] λα νξηζζεί θαη

κε ηελ επίθιεζε ηεο παξαιιειίαο : ηεο κελ επζείαο ꜫ(Α,Β) κε ηελ ꜫ(Γ,Γ) ηεο

δε επζείαο ꜫ(Α,Γ) κε ηελ ꜫ(Β,Γ),φηαλ Α≠Β ,Γ≠Γ θαη απφ ηελ απαίηεζε Γ=Γ

φηαλ Α=Β , φπνπ ην θάζε (Α , Α) αληηζηνηρεί ζην κεδεληθφ δηάλπζκα (0,0,0)].

(14-4) (Α,Β) (Γ,Γ) ⇔ ꜫ(Α,Β) // ꜫ(Γ,Γ) θαη ꜫ(Α,Γ) // ꜫ(Β,Γ) : Α≠Β ,Γ≠Γ

Page 25: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

25

(14-4α) (Α,Α) (Β,Β) Α , Β 𝔼

(14β) Παξαηήξεζε : (1). ε πεξίπησζε πνπ ηα ζεκεία Α,Β,Γ,Γ είλαη ζπλεπ-

ζεηαθά ε ζρέζε ηζνδπλακίαο [ κε ρξήζε ηεο παξαιιειίαο] πξέπεη λα πεξηγξα-

θεί σο εμήο :

(14-4β) ΑΒ = ΓΓ θαη ΑΓ = ΒΓ ⇔ επζεία ε : Α,Β,Γ,Γ ε

(2). Δίλαη εχθνιν ηψξα λα δηαπηζηψζνπκε φηη νΗ δχν ζρέζεηο ηζνδπλακίαο πνπ

νξίδνληαη απφ ηελ (*) θαη ηηο ζρέζεηο (14-4) , (14-4α) , (14-4β) , ζπκπίπηνπλ.

(2-α).Απφ ηελ ζπλήζε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία γλσξίδνπκε φηη δχν επζείεο ε,μ

ηνπ 𝔼 πνπ είλαη θάζεηεο ζην ίδην επίπεδν , είλαη παξάιιειεο [είηε ζπκπίπ-

ηνπλ ,βιέπε θαη ζρήκα 5β , φπνπ έρνπκε θέξεη ηηο επζείεο ε ,μ λα είλαη θάζεηεο

ζην επίπεδν Π , ζηα ζεκεία Α , Β απηνχ αληίζηνηρα].

(2-α)΄ μ , ε 𝔼 επζείεο , Π 𝔼 επίπεδν : μ ≠ ε , μ ⊥ Π ε // μ

Πξάγκαηη, αλ ε ε δελ είλαη παξάιιειε ζηελ μ ηφηε κία άιιε επζεία , έζησ μ΄

ε(Α,Α΄) ε(Α,σ) ≠ ε, ζα είλαη ε παξάιιειε ζηελ μ [απφ ην ζεκείν Α ηνπ Π]

: ε ≠ μ΄//μ .

Δζησ

(α) Π΄ είλαη ην [ : κνλαδηθφ ! ] επίπεδν ησλ επζεηψλ μ΄,ε : Π΄ Π(μ΄,ε)

(β) ε΄ ΠΠ΄ ε επζεία ηνκήο ησλ Π,Π΄ ,

Page 26: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

26

(γ). ε ε(Β,Β΄) ε επζεία ηνπ Π πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν Α θαη είλαη παξάιιειε

ζηελ ε΄ , ηφηε ε ⊥ μ [ δηφηη ε μ είλαη θάζεηε ζην Π θαη ε επζεία ε είλαη κία

επζεία ηνπ Π].

(γ-1) ε΄⊥μ΄ , [ δηφηη ε ⊥μ θαη ε΄// ε , μ΄//μ θαη άξα ε γσλία ησλ μ΄, ε΄ είλαη ίζε

κε ηελ νξζή γσλία ησλ μ , ε ].

(γ-2) ην επίπεδν Π΄ Π(μ΄,ε) πνπ πεξηέρεη θαη ηελ επζεία ε΄ έρνπλ αρζεί

δχν επζείεο ε , μ΄ θάζεηεο πξνο ηελ επζεία ε΄ ηνπ Π΄,ζην ζεκείν Α ηεο ε΄.

Απηφ φκσο είλαη άηνπν απφ ηελ ζηνηρεηψδε Δπθιείδηα Γεσκεηξία .

Δπνκέλσο :

Ζ ππφζεζε φηη ε ε δελ είλαη παξάιιειε ζηελ μ νδεγεί ζε αληίθαζε θαη θαηά

ζπλέπεηα είλαη ςεπδήο. Αξα πξέπεη θαη΄αλάγθελ μ//ε.

(3). Δίλαη άκεζα θαλεξφ απφ ηα πξνεγνχκελα φηη ε αληηζηνηρία :

(3-α) Μ Π(Μ) , Μ 𝔼

ζεκείσλ θαη παξαιιειεπηπέδσλ είλαη 1-1 θαη επί θαη νξίδεη κία λέα αληηζηνη-

ρία :

(3-β) Μ 𝛰𝛭 (xΜ , ςΜ , zΜ) ℝ3 , Μ 𝔼

Πνπ επίζεο είλαη 1-1 θαη επί.

Καη έηζη έρνπκε κία νπζηαζηθφηεξε ηαχηηζε ηνπ 𝔼 με ην ℝ3 :

(3-γ) ηΟ : 𝔼 ℝ3 : Μ ηΟ(M) ≔ 𝛰𝛭 , Μ 𝔼

Δπνκέλσο νη ζρέζεηο (14-3) θαη (3-γ) νδεγνχλ ζηελ επφκελε έθθξαζε ηεο η :

(3-δ) η : 𝔼2 → ℝ3 : η(Α,Β) 𝛢𝛣 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 = (xΒ-xΑ,ςΒ- ςΑ ,zΒ-zΑ) , Α,Β 𝔼

Ο ζπλήζεο ζπκβνιηζκφο ησλ θιάζεσλ νπνηαζδήπνηε ζρέζεσο ηζνδπλακίαο

κέζα ζε ηπραίν ζχλνιν Υ είλαη :

(*)΄΄ [(Α,Β)] { (Γ,Γ) Υ2 = ΥxX : (Α,Β)] (Γ,Γ) }.

Δδψ ζα ζέηνπκε 𝛢𝛣 γηα ηελ θιάζε απηή ηνπ (Α,Β) θαη επίζεο ζα ζέηνπκε 𝛢𝛣

γηά ην δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ δεχγνπο (Α,Β) αιιά θαη νιφθιεξεο ηεο

θιάζεσο 𝛢𝛣 ηελ νπνία ζα νλνκάδνπκε ζην εμήο θαη ειεύζεξν δηάλπζκα

ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 [κε άθξα ηα σημεία Α,Β ηνπ 𝔼 [ηα νπνία σζαχησο ζα

νλνκάδνπκε : αξρήλ θαη ηέινο αληίζηνηρα ησλ 𝛢𝛣 , θαη (A,B)]

(**). 𝛢𝛣 {(Γ,Γ) 𝔼2 : (Α, Β) (Γ,Γ)} , 𝛢𝛣 (xΒ- xΑ , ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) , Α,Β 𝔼.

Page 27: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

27

ρεηηθά κε ηηο απεηθνλίζεηο η , ηΑ , έρνπκε ηψξα ηελ επφκελε :

Πξόηαζε (14-γ). Ζ απεηθφληζε (3-δ) , η : η(Α,Β) 𝛢𝛣 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 , Α,Β 𝔼

ηθαλνπνηεί ηηο επφκελεο δχν ηδηφηεηεο :

(-1) 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 = (0,0,0) , Α , Β , Γ 𝔼

(Σ-1)΄ 𝛢𝛢 = 0 (0,0,0) , 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛢 , 𝛢𝛣 = 𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 , Α , Β , Γ 𝔼

(-2) ηΑ : 𝔼 → ℝ3 : ηΑ (Β) = η(Α,Β) 𝛢𝛣

είλαη 1-1 θαη επί , γηα φια ηα Α 𝔼 .

[ΟΗ παξαπάλσ , απεηθνλίζεηο ηΑ ,νλνκάδνληαη : κεξηθέο απεηθνλίζεηο ηεο η].

Απόδεημε. (1) 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 = 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 + 𝛰𝛤 - 𝛰𝛣 + 𝛰𝛢 - 𝛰𝛤 = (0,0,0).

Aξα , ηδηαίηεξα

(1-α) γηά Α=Β=Γ έρνπκε 𝛢𝛢 + 𝛢𝛢 + 𝛢𝛢 = 0 ⇔ 3𝛢𝛢 = 0 ⇔ 𝛢𝛢 = 0 ,

(1-β) γηά Β=Γ έρνπκε 𝛢𝛣 + 𝛣𝛣 + 𝛣𝛢 = 0 ⇔ 𝛢𝛣 + 𝛣𝛢 = 0 ⇔ 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛢 .

(1-γ) Απφ (-1) έρνπκε 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛤 - 𝛤𝛢 = 𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 , Α , Β , Γ 𝔼 . .

(2). Δζησ Α 𝔼 . ηπρφλ. Σφηε

(2-α) εάλ ηΑ(Β) = ηΑ(Γ) , γηα θάπνηα Β , Γ𝔼 . Ηζνδχλακα έρνπκε : 𝛢𝛣 =

𝛢𝛤 = 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 ⇔ 𝛣𝛤 = 0 ⇔ 𝛣𝛰 + 𝛰𝛤 = 0

⇔ 𝛰𝛤 = - 𝛣𝛰 = 𝛰𝛣 ⇔ Β = Γ. Αξα ε ηΑ είλαη 1-1.

(2-β). Δάλ σ = (α,β,γ)ℝ3 θαη Β 𝔼 .: (xΒ , ςΒ , zΒ ) = (xΑ+α , ςΑ+β , zΑ+γ) ,

Page 28: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

28

ηφηε : ηΑ(Β) = 𝛢𝛣 = (xΒ- xΑ , ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) =

= (xΑ + α - xΑ, ςΑ + β - ςΑ , zΑ + γ - zΑ) = ( α , β , γ) = σ .

Δπνκέλσο ε ηΑ είλαη θαη επί ηνπ ℝ3 θαη ε απφδεημε είλαη πιήξεο

ηα επφκελα ζα ζπκβνιίδνπκε κε ℰ(𝔼) ην ζχλνιν ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκά-

ησλ ηνπ 𝔼.

(**)΄ ℰ(𝔼) { 𝛢𝛣 : A,B 𝔼 }

[Δάλ έλα ζεκείν Γ ηεο επζείαο ꜫ(Α,Β) δελ είλαη ζηελ η(Α,Β) ιέκε φηη ην (Α,Γ)

, αιιά θαη ην 𝛢𝛤 είλαη αληίξξνπν πξνο ηα (Α,Β) , 𝛢𝛣 ,ελψ νξίδεηαη σο

νκόξξνπν πξνο ηα (Α,Β) , 𝛢𝛣 , εάλ ην Γ είλαη ζηελ ε(Α,Β). Δπνκέλσο φηαλ

ηα (Α,Β) ,(Α,Γ) είλαη νκφξξνπα, [: αληίξξνπα] ζα ζέηνπκε ζπληνκφηεξα :

(*) ε(Α,Β) = ε(Α,Γ) , [ ε(Α,Β) = ε(Γ,Α) ]

ηελ δηεχζπλζε δ(Α,Β) νπνηαζδήπνηε επζείαο ꜫ(Α,Β) ζπκπεξηιακβάλνπκε

θαη φιεο ηηο επζείεο θ ηνπ 𝔼 πνπ είλαη παξάιιειεο πξνο ηελ ꜫ(Α,Β) , δηφηη

επάλσ ζε παξάιιειεο επζείεο ε ζχγθξηζε ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ηνπο

γίλεηαη κε ηνλ δηαβήηε ζε νπνηαδήπνηε Γεσκεηξία ].

Δπίζεο ν ιφγνο επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ΑΒ , ΓΓ πνπ είλαη παξάιιεια

κεηαμχ ηνπο , νξίδεηαη ίζνο κε ηνλ ιφγν ησλ κέηξσλ ηνπο ,αξθεί λα έρνπλ

κεηξεζεί κε ηελ ίδηα κνλάδα [ ε νπνία πξνθαλψο είλαη έλα επζχγξακκν ηκήκα

παξάιιειν πξνο ηελ ( : θνηλή ) δηεχζπλζε ησλ επζεηψλ ηα ηκήκαηα ησλ νπνί

σλ πξννξίδεηαη λα κεηξήζεη.] . Σψξα κπνξνχκε λα δηαηππψζνπκε ην

επφκελν ( : δνκηθφ) Θεψξεκα :

Page 29: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

29

(14.5). Θεκειηώδεο Θεώξεκα δόκεζεο ηνπ ζπλόινπ ℰ(𝔼).

Γηά θάζε δεχγνο 𝛢𝛣 , 𝛤𝛥 ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ ηνπ 𝔼 (: ζηνηρείσλ ηνπ

ℰ(𝔼),πξαγκαηηθνχο αξηζκνχο ι,κ ,θαη ζεκείν Κ ηνπ 𝔼, ππάξρεη αθξηβώο έλα

ζεκείν Λ :

(14.5α). 𝛫𝛬 = ι𝛢𝛣 + κ𝛤𝛥 .

Απόδεημε . Με κία απιή εξκελεία ησλ ζπκβφισλ , αληηθαηάζηαζε θαη εθηέιε-

ζε ησλ πξάμεσλ , βιέπνπκε φηη ε (14.5α) , είλαη ηζνδύλακε ηεο ζρέζεσο :

(14.5β). (xΛ,ςΛ,zΛ) =

=(ιxΒ +κxΓ+xΚ-ιxΑ - κxΓ,ι ςΒ + κ ςΓ + ςΚ-ιςΑ - κςΓ, ιΕΒ +κΕΓ +ΕΚ - ιΕΑ–κΕΓ).

Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην ζηνηρείν (xΛ,ςΛ,zΛ) ℝ3 είλαη κνλνζήκαληα

θαζσξηζκέλν απφ ην δεχηεξν κέινο ηεο (14.5α) θαη επνκέλσο θαζνξίδεη ,

[ κνλνζήκαληα επίζεο ] , έλα ζεκείν Λ ηνπ 𝔼 , πνπ είλαη θαη ην δεηνχκελν.

[ : άκεζε απφδεημε , απφ ηελ ηζνδπλακία ησλ δχν ηειεπηαίσλ ζρέζεσλ ] .

Δίλαη άκεζα θαλεξφ ηψξα φηη κπνξνχκε λα νξίζνπκε ηελ δηαλπζκαηηθή

δνκή ηνπ ζπλφινπ ℰ(𝔼) ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ κε κία απιή ηζφηεηα ,

βαζηζκέλε ζηελ (14.5α) :

(14.5γ). ι 𝛢𝛣 + κ 𝛤𝛥 𝛫𝛬 ⇔ 𝛫𝛬 = ι𝛢𝛣 + κ𝛤𝛥 , ι,κℝ3,Α,Β,Γ,Γ,Κ 𝔼

(15). (α). Οινθιεξψλνληαο ηελ εηζαγσγή κηάο ρξήζηκεο ,γηα ηηο εθθξάζεηο

Page 30: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

30

καο, νξνινγίαο [ θαη επηδηψθνληαο κία ζαθέζηεξε

νξηνζέηεζε ηεο ζπκβνιήο ηεο θιαζζηθήο Δπθιείδηαο

Γεσκεηξίαο ζηελ ίδξπζε θαη πεξηγξαθή ηεο Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο

ζα νλνκάδνπκε :

(15.1) Σελ επζεία ꜫ(Α,Β) : «δηεύζπλζε ησλ (Α,Β) , 𝛢𝛣 »

(15-2). Σελ εκηεπζεία ε(Α,Β) : «θνξά ησλ (Α,Β) , 𝛢𝛣 » .

(15-3). Οη παξάιιειεο επζείεο νξίδνληαη λα έρνπλ ηελ ίδηα δηεχζπλζε :

Δηζη νξίδνπκε ηνλ βαζκσηφ πνιιαπιαζηαζκφ [ ζηα εθαξκνζηά φζν θαη ζηα

ειεχζεξα δηαλχζκαηα , νξίδνληαο , ζαλ γηλφκελν έλα δηάλπζκα ηεο ηδίαο δηεχ-

ζπλζεο [ζχκθσλα κε ηηο επφκελεο ζρέζεηο φπνπ ηα Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζ/θά : ]

(15.4) ι(Α,Β) = (Α,Γ) ⇔ ι(ΑΒ) =ΑΓ θαη ε(Α,Β)= ε(Α,Γ) φηαλ ι>0,

(15.5) ι(Α,Β) = (Α,Γ) ⇔ (-ι)(ΑΒ)=ΑΓ θαη ε(Β,Α)= ε(Α,Γ) φηαλ ι<0,

[ Ζ ρξήζε ηεο παξέλζεζεο (ζηελ ζρέζε πρ. ι(ΑΒ) = ΑΓ ) δελ είλαη απα-

ξαίηεηε (θαη άξα φηαλ δελ ππάξρεη θίλδπλνο ζχγρπζεο ζα κπνξεί εθεμήο λα

παξαιείπεηαη :

ιΑΒ =ΑΓ ].

Ο παξαπάλσ ρξεζηκνπνηνχκελνο πνιιαπιαζηαζκφο επζπγξάκκσλ ηκεκά-

ησλ κε βαζκσηά βαζίδεηαη ζην επφκελν :

Aμίσκα [ ηνπ Δπδόμνπ (*)] :

Page 31: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

31

« Δάλ Ορ = ε(Ο,ρ) είλαη εκηεπζεία ηνπ 𝔼 ( κε αξρή ην ζεκείν Ο) θαη Δ , Ε 𝔼

δχν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ 𝔼 ψζηε ε(Ο,ρ) // ꜫ(Δ,Ε) ηφηε γηα θάζε ζεηηθφ

πξαγκαηηθφ αξηζκφ ι > 0 νξίδεηαη αθξηβψο έλα ζεκείν Ρ Ρι ηεο ε(Ο,ρ)

πνπ ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε :

(15.6). ΟΡ = ιΑΒ »

Δπνκέλσο ε παξαπάλσ ζρέζε (15.2α) είλαη [ εμ νξηζκνχ ] ηζνδχλακε ηεο

(15.7) 𝛰𝛲

𝛢𝛣 = ι

(*). εκείσζε (15-α) : Λφγνη επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ [φπσο ζηελ (16α),

(16β),πην θάησ] πεξηγξάθνληαη ζην έξγν ηνπ Δπδόμνπ [ πεξί γεσκεηξηθώλ

ιόγσλ , βιέπε θαη ζει. 7)] ], ην νπνίν ν Δπθιείδεο πεξηέιαβε ζηα «ηνηρεία».

Οη παξαπάλσ ηζνδχλακεο δηαηππψζεηο νδεγνχλ νπζηαζηηθά ζην ζεκειηώδεο

καζεκαηηθό αμίσκα ηαχηηζεο ηνπ ζψκαηνο ℝ κε ηελ επζεία ηεο Δπθιείδηαο

Γεσκεηξίαο [ : γηα ηελ δεκηνπξγία ηεο επζείαο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ,

( : δειαδή ηεο ιεγφκελεο Δπθιείδεηνπνηεκέλεο επζείαο).].

Page 32: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

32

(Σν αμίσκα απηφ απνηειεί ζπγθεξαζκφ πξνεγνχκελσλ αμησκάησλ, [ ζρεηηθά

κε ηνπο Γεσκεηξηθνχο ιφγνπο κε ηνπο νπνίνπο , εθηφο απφ ηνλ Δχδνμν αζρν-

ιήζεθαλ επίζεο θαη άιινη αμηφινγνη καζεκαηηθνί επί καθξφλ.[Γεο θαη ζρέζεηο

πηφ πάλσ.]

[Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην παξαπάλσ αμίσκα νδεγεί ζηελ Δπθιεηδηνπνίεζε

ηεο νπνηαζδήπνηε επζείαο ε [παξαιιήινπ ηεο ꜫ(Α,Β)] κε κνλαδηαίν κήθνο

εθείλν ηνπ ΑΒ [είηε θαη νπνηνπδήπνηε άιινπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΜΝ

παξαιιήινπ πξνο ηελ ε. Δηζη ε επηινγή ησλ (δηαθνξεηηθψλ) ζεκείσλ Ο , Μ

γηα ηηο ζέζεηο ησλ αξηζκψλ 0 θαη 1 , ζηελ ꜫ(Α,Β) [ είηε ηελ ꜫ(Μ,Ν) ] είλαη απζαί-

ξεηε .]

χκθσλα κε ηελ παξαπάλσ νξνινγία ηα ηζνδχλακα δεχγε νξίδνπλ δηαλχ-

ζκαηα [: εθαξκνζηά θαη ειεχζεξα ] κε ηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη ηελ ίδηα θνξά .

[15-3]. Οη κεξηθέο απεηθνλίζεηο ΦΑ , Α 𝔼 , ηεο πην πάλσ Φ είλαη νη

αληίζηνηρεο αξηζκεηηθέο απεηθνλίζεηο ηεο απεηθφληζεο Σ (14.2) :

(15-8) ηΑ ΦΑ : 𝔼 → ℝ3 : ΦΑ (Β) Φ(Α,Β) (xΒ-xΑ ,ςΒ- ςΑ , zΒ-zΑ) , Α 𝔼

(β).Δλαο ηξφπνο νξηζκνχ ηνπ αζξνίζκαηνο είλαη , κε βάζε ηελ ηζνδπλακία

ησλ δεπγψλ ηνπ 𝔼 [ πνπ νξίδεηαη θαη κε ρξήζε ηεο παξαιιειίαο επζεηψλ ] :

𝛢𝛣 + 𝛢𝛤 = 𝛢𝛥 ⇔ (Α, Β) (Γ,Γ) ⇔ (Α, Γ) (Β,Γ)

(15.9) ⇔ [ ꜫ(Α,Β) // ꜫ(Γ,Γ) θαη ꜫ(Α,Γ) // ꜫ(Β,Γ) ]

𝛢΄𝛣΄ + 𝛢΄𝛤΄ = 𝛢΄𝛥΄ ⇔ (Α΄, Β΄) (Γ΄,Γ΄) ⇔ (Α΄, Γ΄) (Β΄,Γ΄)

(Α΄, Β΄) (Α,Β) , (Α΄, Γ΄) (Α,Γ) ⇒ (Α΄, Γ΄) (Α,Γ) ⇔ 𝛢𝛥 = 𝛢΄𝛥΄

[ην ρήκα 4 θαίλεηαη φηη αλ νη πξνζζεηένη αληηζηνηρνχλ ζε ηζνδχλακα δεχγε

ηφηε θαη ηα αζξνίζκαηα αληηζηνηρνχλ επίζεο ζε ηζνδχλακα δεχγε] :

Με βάζε φια ηα παξαπάλσ κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε [ γηα ηελ δηαδηθα-

ζία θαηαζθεπήο ηνπ αζξνίζκαηνο δχν δηαλπζκάησλ ] φηη :

(1). Αλ έρνπλ ηελ ίδηα αξρή ηφηε ην άζξνηζκά ηνπο θαηαζθεπάδεηαη κε ηελ ίδηα

αξρή ελψ ε ηνκή ησλ παξαιιήισλ πξνο απηά επζεηψλ απφ ηα πέξαηα ησλ

δχν πξνζζεηέσλ , νξίδεη ην πέξαο ηνπ αζξνίζκαηνο. Δπνκέλσο κπνξνχκε λα

νξίζνπκε ην άζξνηζκα δχν ηπραίσλ ηέηνησλ δηαλπζκάησλ , ζαλ ην άζξνηζκα

δχν ηζνδπλάκσλ πξνο απηά δηαλπζκάησλ πνπ έρνπλ θνηλή αξρή . Με άιια

ιφγηα γηα λα βξνχκε ην άζξνηζκα δχν ηπραίσλ δηαλπζκάησλ :

θαηαζθεπάzνπκε ην άζξνηζκα δύν ηζνδπλάκσλ ηνπο δηαλπζκάησλ

Page 33: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

33

πνπ έρνπλ θνηλή αξρή [: ηελ νπνία αξρή , επνκέλσο , κπνξνχκε λα επηιέμνπ-

κε ζε φπνην ζεκείν ζέινπκε !].

[Υξεζηκνπνηψληαο ηηο παξαιιειίεο θαη ηα ίζα ζρήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ ,

είλαη εχθνιν λα δείμνπκε ηψξα φηη :

ηα δεύγε ησλ πεξάησλ ησλ δηαθόξσλ αζξνηζκάησλ

πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο πξνζζέζεηο ηζνδπλάκσλ

πξνζζεηέσλ , είλαη κεηαμύ ηνπο ηζνδύλακα ,θαη επνκέλσο

νξίδνπλ ην ίδην ειεύζεξν δηάλπζκα.

(2). Αλ ηα δηαλχζκαηα [ νπζηαζηηθά νη εθπξφζσπνη ηεο θιάζεσο ηζνδπλακίαο]

δελ έρνπλ ηελ ίδηα αξρή , ηφηε θαηαζθεπάδνπκε ηζνδχλακα πξνο απηά κε

θνηλήλ αξρή θαη αθνινπζνχκε ηελ πξνεγνχκελε δηαδηθαζία .ην ζρήκα 4 ,

απφ ηα πέξαηα Β θαη Γ ησλ πξνζζεηέσλ 𝛢𝛣 , 𝛢𝛤 ,φέρουμε ηηο παξάιιειεο

επζείεο : ꜫ(Γ,Γ) // ꜫ(Α,Β) θαη ꜫ(Β,Γ) // ꜫ(Α,Γ) πνπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν

Γ ην νπνίν είλαη ην πέξαο ηνπ αζξνίζκαηνο 𝛢𝛥 ησλ ειεχζεξσλ δηαλπζκάησλ

𝛢𝛣 , 𝛢𝛤 . [βιέπε θαη ζρεηηθφ ζεψξεκα].

(3). Γηα ηνλ νξηζκφ ηνπ βαζκσηνχ πνιιαπιαζηαζκνχ :

Page 34: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

34

(3-α) αμηνπνηνχκε ηελ δηαπίζησζε φηη ζε όιεο ηεο επζείεο κηάο δηεχζπλζεο :

ε ζύγθξηζε ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ γίλεηαη κε ηνλ δηαβήηε .

(3-β). Πξέπεη ν βαζκσηφο πνι/ζκφο λα ζπκθσλεί επίζεο κε εθείλνλ ησλ Δπ-

θιεηδείσλ ρψξσλ ℝκ [ πνπ εθθξάδεη ηελ αξρή ηεο αλαινγηθόηεηνο ] .

Δηζη γίλεηαη θαλεξφ φηη πξέπεη λα ελεξγνπνηεζεί ην Θεώξεκα ηνπ Θαιή .

.[Βιέπε θαη Πξφινγν]. Πξέπεη λα θάλνπκε κία επαξθψο αθξηβή αλαθνξά γηα

ηνλ ηζνρσξηζκφ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ απφ δέζκε παξαιιήισλ επζεηώλ

ηνπ επηπέδνπ φζν θαη απφ δέζκε παξαιιήισλ επηπέδσλ. [ : ηελ γξακκηθή

Γεσκεηξία ην Θεψξεκα ηζνρσξηζκνχ ,αιιά θαη ην γεληθεπκέλν Θεώξεκα ηνπ

Θαιή, ηζρχεη θαη ζε ρψξνπο απζαίξεηεο δηάζηαζεο , γηα

δέζκε παξαιιήισλ ππεξεπηπέδσλ.

Βιέπε θαη ζεκειηψδε Πξφηαζε (11) , ζει. 17.].[ Παξαθάησ έρνπκε κία απφ ηηο

ηζνδχλακεο κνξθέο δηαηχπσζεο ηνπ Θεσξήκαηνο ηνπ Θαιή.]

(16). Θεώξεκα ηνπ Θαιή ζην επίπεδν.Δάλ ꜫ(Α,Α΄), ꜫ(Β,Β΄) ,ꜫ(Γ,Γ΄) ꜫ(Γ,Γ΄)

ꜫ(Δ,Δ΄) θιπ. , είλαη παξάιιειεο κεηαμύ ηνπο επζείεο ελφο επηπέδνπ ηηο ν-

πνίεο ηέκλνπλ ζηα ζεκεία (Α,Α΄) , (Β,Β΄) , (Γ,Γ΄) , (Γ,Γ΄) , (Δ,Δ΄) θιπ. ,

αληίζηνηρα , δχν άιιεο επζείεο ε , ε΄ ηνπ ηδίνπ επηπέδνπ , ηφηε ην Θεώξεκα

ηνπ Θαιή δηαηππψλεηαη σο εμήο : [σο δέζκε παξαιιήισλ επζεηώλ ζεσ-

ξνχκε ηξείο ηνπιάρηζηνλ (δηαθνξεηηθέο κεηαμχ ηνπο) παξάιιειεο επζείεο].

Δάλ κία δέζκε ζπλεπίπεδσλ παξαιιήισλ επζεηώλ απνθόπηεη από κία

ηέκλνπζα ηελ δέζκε [: ηηο επζείεο ηεο δέζκεο] επζεία ε

ίζα δηαδνρηθά επζύγξακκα ηκήκαηα

ηόηε θαη από νπνηαδήπνηε άιιε ηέκλνπζα επζεία ε΄ απνθόπηεη

επίζεο ίζα δηαδνρηθά επζύγξακκα ηκήκαηα.

Μία εθαξκνγή ηνπ παξαπάλσ ζεσξήκαηνο [ : ζπλδηαζκφο θαη κε άιιεο πξν-

εγνχκελεο πξνηάζεηο ] είλαη θαη ε επφκελε Πξφηαζε :

Αλ κία δέζκε ζπλεπίπεδσλ παξαιιήισλ επζεηψλ ηέκλεηαη απφ δχν άιιεο

επζείεο

ν ιόγνο δχν νπνησλδήπνηε ηκεκάησλ ηεο κηάο επζείαο

είλαη ίζνο κε ηνλ ιόγν

ησλ αληηζηνίρσλ ηκεκάησλ ηεο άιιεο επζείαο

(16α) 𝛢𝛣

𝛢𝛤 =

𝛢΄𝛣΄

𝛢΄𝛤΄ ,

𝛢𝛣

𝛢𝛥 =

𝛢΄𝛣΄

𝛢΄𝛥΄ ,

𝛢𝛣

𝛢𝛦 =

𝛢΄𝛣΄

𝛢΄𝛦΄ ,

𝛢𝛤

𝛢𝛥 =

𝛢΄𝛤΄

𝛢΄𝛥΄ ,

𝛢𝛤

𝛢𝛦 =

𝛢΄𝛤΄

𝛢΄𝛦΄

(16β) 𝛢𝛥

𝛢𝛦 =

𝛢΄𝛥΄

𝛢΄𝛦΄ ,

𝛣𝛤

𝛣𝛥 =

𝛣΄𝛤΄

𝛣΄𝛥΄ ,

𝛣𝛤

𝛣𝛦 =

𝛣΄𝛤΄

𝛣΄𝛦΄ ,

𝛣𝛥

𝛣𝛦 =

𝛣΄𝛥΄

𝛣΄𝛦΄

Page 35: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

35

Σν παξαπάλσ Θεψξεκα ιακβάλεη κία πην εληαία έθθξαζε εάλ ζηνλ ρψξν

έρνπκε εηζαγάγεη κία εληαία κέηξεζε ησλ απνζηάζεσλ ησλ ζεκείσλ , θαη άξα

κέηξεζε ηνπ κήθνπο ησλ δηαλπζκάησλ [ πνπ εθθξάδεη ηελ απφζηαζε ησλ ά-

θξσλ ησλ δηαλπζκάησλ.]

Ζ ρξεζηκνπνηνχκελε κεηξηθή είλαη ε Δπθιείδεηα [θαη άξα ε αληίζηνηρε λφξκα

είλαη επίζεο ε ζπλήζεο Δπθιείδεηα, θαη πξνθχπηνπλ απφ ην ζχλεζεο

εζσηεξηθφ γηλφκελν ηνπ ℝ3] :

(16γ). d : 𝔼2 = 𝔼x𝔼 → ℝ + : d(Α,Β) [(xΒ-xΑ)2 + (ςΒ- ςΑ)2 +(zΒ-zΑ)2]1/2 Α ,Β𝔼

(16δ) ‖ ,‖ : 𝔼2 = 𝔼x𝔼 → ℝ+ : ‖𝛢𝛣 ‖ [(xΒ-xΑ)2 + (ςΒ- ςΑ)2 +(zΒ-zΑ)2]1/2 , Α,Β𝔼.

[Δπνκέλσο , απφ ηνλ νξηζκφ ηνπο ,ε κεηξηθή θαη ε λφξκα ηνπ 𝔼 ζπλδένληαη κε

ηελ ηζφηεηα :

(16-ε) ‖𝛢𝛣 ‖ = d(Α,Β) , Α,Β𝔼

Καηά ηα γλσζηά απφ ηελ γξακκηθή άιγεβξα νη παξαπάλσ νξηδφκελεο απεη-

θνλίζεηο ηθαλνπνηνχλ ηηο επφκελεο ηδηφηεηεο :

(d-1) d(Α,Β) = 0 εάλλ Α=Β , (Ν-1) ‖𝛢𝛣 ‖ = 0 εάλλ Α=Β , Α,Β𝔼

(d-2) d(Α,Β) = d(Β,Α), Α,Β𝔼 , (Ν-2) ‖𝜆𝛢𝛣 ‖ = ∣ λ∣ ‖𝛢𝛣 ‖ , ιℝ , Α,Β𝔼

Page 36: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

36

(d-3) d(Α,Β)d(Α,Γ)+d(B,Γ) , (Ν-3) ‖𝛢𝛣 + 𝛤𝛥 ‖∣ ‖𝛢𝛣 ‖+∣ ‖𝛤𝛥 ‖

,Α,Β,Γ,Δ𝔼

(17).Παξαηήξεζε . (α). ην ρήκα 7 θαίλεηαη [γλεζηφηεξα] ε ζχλδεζε ησλ

ζπληεηαγκέλσλ ελφο δηαλχζκαηνο κε ηηο αληίζηνηρεο ζπληεηαγκέλεο ησλ

άθξσλ ηνπ [ φπσο ε ζχλδεζε απηή πξνθχπηεη απφ ηελ ζρέζε [- ηχπν] (14-3)

ζει. 20 , θαη ηελ ζρέζε (**) ηεο παξαηήξεζεο 14α , ζει. 21].

Μία βαζχηεξε ζεψξεζε ησλ πξνεγνχκελσλ , θαηαζθεπψλ ,πξνηάζεσλ

θαη ζθέςεσλ ,καο νδεγεί απιά θαη αβίαζηα ζηελ δηαπίζησζε φηη ην ζχλνιν

φισλ ησλ εθαξκνζηψλ δηαλπζκάησλ (Α,Β) πνπ έρνπλ ηελ ίδηα αξρή , έζησ

Α, εθoδηάδεηαη κε πξάμεηο δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ φπσο ππνδεηθλχνπλ νη αληη-

ζηνηρεο πξάμεηο ηηο νπνίεο νξίζακε ζην ζχλνιν φισλ ησλ ειεπζέξσλ δηαλπ-

ζκάησλ ηνπ 𝔼.Δηζη ζην εμήο ζα ζεσξνχκε θαη ηα ππνζχλνια :

(17.1) (𝔼, A) { (A,B) : B𝔼 } , A𝔼

ζαλ δηαλπζκαηηθνχο ρψξνπο κε ηηο αληίζηνηρεο πξάμεηο . (Γέο θαη (15.3α))

(17.2) (Α,Β)+(Α,Γ) ≔ (Α,Γ) ⇔ (Α, Β) (Γ,Γ) ⇔ (Α,Γ) (Β,Γ)

(17.3) ⇔ [ ꜫ(Α,Β) // ꜫ(Γ,Γ) θαη ꜫ(Α,Γ) // ꜫ(Β,Γ) ]

ην ρήκα 5 ην δηάλπζκα 𝛢𝛤 έρεη ηελ ρ-ζπληεηαγκέλε ηνπ [: ηεηκεκέλε] ,

αιιά θαη ηελ z-ζπληεηαγκέλε ηνπ [ : θαηεγκέλε] ίζε κε 0 [ φπσο θαη ην

δηάλπζκα 𝛣𝛥 ,(δηφηη είλαη παξάιιεια πξνο ηνλ άμνλα ς΄ς ησλ ηεηαγκέλσλ θαη

άξα ηα άθξα ηνπ έρνπλ ηηο ίδηεο ηεηκεκέλεο θαη ηηο ίδηεο θαηεγκέλεο (ε αθαίξε-

ζε ησλ νπνίσλ δίλεη γηα ην δηάλπζκα απηφ θαηεγκέλε θαη ηεηαγκέλε 0.)].

(β). Ζ παξαπάλσ πεξηγξαθείζα δνκή ηνπ (𝔼,A) δελ απαηηεί ηελ χπαξμε ηνπ

ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz).Δπίζεο είλαη ρξήζηκν λα παξαηεξήζνπ-

κε φηη θαη ε δνκή δρ. ζην (𝔼,A) είλαη αλεμάξηεηε ηνπ (Οxςz) . Οκσο ε χ-

παξμε θαη ρξήζε ηνπ (Οxςz) δίλεη πεξαηηέξσ δπλαηόηεηεο αλάπηπμεο θαη

θαηαλόεζεο ηεο δνκήο απηήο.

Δπνκέλσο γηα κία βαζχηεξε θαηαλφεζε ησλ παξαπάλσ [αιιά θαη φζσλ

αθνινπζνχλ ] δηαηππψλνπκε θαη απνδεηθλχνπκε ηψξα ηελ επφκελε :

Πξόηαζε 17β. Γηα νπνηαδήπνηε ζεκεία Α,Β,Γ,Γ𝔼 oη επφκελεο πξνηάζεηο

είλαη ηζνδχλακεο :

(1). 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 ,

Page 37: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

37

(2). 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 .

Απόδεημε . (βιέπε θαη ζρήκα 9α : ζπκπιήξσζε ηνπ 7α).

(1) (2).Απφ ηα ζρφιηα ηνπ ζρήκαηνο 9α έρνπκε 𝛢𝛣 = 𝛰𝛭 θαη ηα

ζθηαγξαθεκέλα ηξίγσλα ,έρνπλ δχν πιεπξέο ίζεο [ : σο ίζεο κε ηηο πιεπξέο

ΟΑ΄ θαη Μ΄Β΄ ηεο πξνβνιήο ΟΑ΄Β΄Μ¨ ηνπ ΟΑΒΜ πνχ είλαη έλα παξαιιε-

ιφγξακκν ]. Καη ηηο πιεπξέο ηνπο παξάιιειεο , άξα είλαη ίζα. Αξα

ςΑ = ςΒ - ςΜ ⇔ ςΜ = ςΒ - ςΑ.

Με παξφκνην ηξφπν δείρλνπκε επίζεο φηη

xΜ = xΒ - xΑ , zΜ = zΒ - zΑ

θαη επνκέλσο :

(xΜ,ςΜ,zΜ) = (xΒ - xΑ , ςΒ - ςΑ, zΒ - zΑ) ⇔ 𝛢𝛣 = 𝑂𝑀 .

Mε αλάινγν ηξφπν θαηάζθεπάδνπκε ζεκείν Ν ψζηε

(Ο,Ν) ~ (Γ,Γ) ⇔ [ 𝛤𝛥 = 𝛰𝛮 , 𝑂𝛮 = 𝛤𝛥 ].

Αξα [ ρξεζηκνπνηψληαο θαη ηελ ππφζεζε (1) ] έρνπκε :

𝛰𝛮 = 𝛤𝛥 =𝛢𝛣 = 𝛰𝛭 ⇔(Ο,Ν) ~ (O,M) ⇔ (Ο,O) ~ (Ν,M) ⇔ Ν = M

⇔ 𝑂𝛮 = 𝑂𝑀 θαη 𝛢𝛣 = 𝑂𝑀 = 𝑂𝛮 = 𝛤𝛥

θαη ε (2) απεδείρζε.

(2) (1). Δζησ ηψξα 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 . Θεσξνχκε επίζεο ζεκείν Ρ ψζηε 𝛢𝛣 = 𝛰𝛲 .

Σφηε απφ πξνεγνχκελν 𝛢𝛣 = 𝑂𝛲 .Οκνίσο ζεσξνχκε ζεκείν Q ψζηε 𝛤𝛥 =

𝛰𝑄 θαη άξα επίζεο 𝛤𝛥 = 𝛰𝑄. Με άιια ιφγηα 𝛰𝑄.= 𝛤𝛥 = 𝛢𝛣 = 𝑂𝛲 , 𝛰𝑄= 𝑂𝛲

θαη άξα Ρ = Q , 𝛰𝛲 = 𝛰𝑄 θαη 𝛢𝛣 = 𝛰𝛲 =𝛰𝑄 = 𝛤𝛥 . Με άιια ιφγηα εδείρζε

ην (1) . Ζ απφδεημε είλαη πιήξεο .

(β),Όια φζα εθηέζεθαλ σο ηψξα γηα ηα εθαξκνζηά θαη ηα ειεχζεξα δηαλχζκα-

ηα κπνξνχλ λα ζπλνςηζζνχλ απνηειεζκαηηθφηεξα ζηελ επφκελε πξφηαζε.

Πξόηαζε 17γ. Ζ απεηθφληζε :

(17-4) ζ : ℰ(𝔼) ℝ3 : ζ(𝛢𝛣 ) := 𝛢𝛣 , Α,Β𝔼

ηθαλνπνηεί ηα επφκελα :

(17-5) Δίλαη θαιά νξηζκέλε .

(17-6) είλαη 1-1 θαη επί θαη άξα 𝛢𝛣 = ζ-1( 𝛢𝛣 ) , Α,Β𝔼

(17-7) κεηαθέξεη ζην ζχλνιν ℰ(𝔼) ηελ δνκή ηνπ δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ ℝ3

Page 38: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

38

θαη έηζη ε ζ γίλεηαη έλαο ηζνκνξθηζκφο ηνπ ℝ3 θαη ηνπ δνκεκέλνπ [: απφ

ηελ ζ ] δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ ℰ(𝔼) .

Απόδεημε. (17-5) .Πξέπεη λα δείμνπκε φηη γηα 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 ηζρχεη 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥

.[δειαδή φηη ε απεηθφληζε είλαη αλεμάξηεηε απφ ηνλ εθπξφζσπν ηεο θιάζεσο

ηζνδπλακίαο ησλ (ίζσλ) δηαλπζκάησλ 𝛢𝛣 , 𝛤𝛥 . Πξάγκαηη [ : βιέπε θαη

ζρήκα 7α , ζει. 30] . Δζησ 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 .Σφηε έρνπκε θαη ηηο επφκελεο

ηζνδπλακίεο :

𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 ⇔ (Α,Β) ~ (Γ,Γ) ⇔ ΑΒ // = ΓΓ ⇔ ΑΓ // = ΒΓ

Θεσξνχκε [ην κνλαδηθφ] Μ 𝔼 ώζηε

(Ο,Μ) ~ (Α,Β) ⇔ ΟΜ // = ΑΒ θαη ΟΑ // = ΜΒ ⇔ 𝛰𝛭 = 𝛢𝛣 .

Φέξνπκε ηηο νξζέο πξνβνιέο ησλ ζεκείσλ Α,Β,Μ [ : δειαδή ηα ίρλε ησλ

παξαιιήισλ πξνο ηνλ z΄z - άμνλα απφ ηα ζεκεία Α,Β,Μ ζην xς -επίπεδν] θαη

ηφηε νη νξζέο πξνβνιέο ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ ΟΜ θαη ΑΒ ζην xς-

επίπεδν , νξίδνπλ έλα παξαιιειφγξακκν. Δζησ xΑ , xB ,xM είλαη νη

ηεηκεκέλεο θαη ςΑ , ςB ,ςM νη ηεηαγκέλεο ησλ Α , Β , Μ .Σφηε δείρλνπκε

εχθνια [ ρξεζηκνπνηψληαο ην παξαιιειόγξακκν - πξνβνιήο ( ηνπ, επίζεο

παξαιιεινγξάκκνπ ΟΑΒΜ) ] ηηο ζρέζεηο [βιέπε θαη ρήκα. 7α ζει.30] :

(17-8) xM = xB - xΑ , ςM = ςB - ςΑ ,

[ απφ ηηο πξνβνιέο ησλ άθξσλ ησλ πιεπξψλ παξαιιεινγξάκκνπ] .

Οκνίσο zM = zB - zΑ , θαη άξα ,

𝛰𝛭 = (xM, ςM, zM) = (xB - xΑ , ςB - ςΑ , zB - zΑ )

= (xB , ςB , zB) - (xΑ , ςΑ , zΑ) = . 𝛰𝛣 - 𝛰𝛢 = 𝛢𝛣

Οκνίσο φκσο απφ 𝛰𝛭 = 𝛤𝛥 παίξλνπκε 𝛰𝛭 = 𝛤𝛥 θαη άξα 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 .

[Απηφ αθξηβψο ζεκαίλεη φηη ε εηθφλα ηεο απεηθφληζεο ζ δελ εμαξηάηαη απφ

ηνλ ρξεζηκνπνηνχκελν [ : γηα ηνλ νξηζκφ ηεο] εθπξφζσπν ( (Α,Β) , είηε (Γ,Γ) )

ηεο θιάζεσο 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 .Με άιια ιφγηα : ε εηθφλα δελ αιιάδεη , φπνηνο εθπξφ-

ζσπνο (Α,Β) , (Γ,Γ) 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 θη αλ ρξεζηκνπνηεζε . Απηή φκσο είλαη θαη ε

έλλνηα ηνπ «θαιώο νξηζκέλνπ» κηάο απεηθφληζεο πνπ νξίδεηαη ζε ζύλνια

θιάζεσλ ηζνδπλακίαο , κε ρξήζε θάπνηνπ εθπξνζψπνπ ηεο θιάζεσο] .

(17-6) Δζησ φηη γηα 𝛢𝛣 , 𝛤𝛥 ℰ(𝔼) έρνπκε ζ(𝛢𝛣 ) = ζ(𝛤𝛥 ) . Σφηε 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥

Απφ ηελ αξρή Ο θέξνπκε επζεία παξάιιειε ηεο ε(Α,Β) επί ηεο νπνίαο νξί-

δνπκε ζεκείν Μ ψζηε ΟΜ //= ΑΒ θαη ΟΑ //= ΜΒ .Αξα 𝛰𝛭 = 𝛢𝛣 .Δπίζεο παίξ-

Page 39: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

39

λνπκε 𝛰𝛭 = 𝛢𝛣 .Αθφκε θέξνπκε απφ ην Ο επζεία παξάιιειε ηεο ε(Γ,Γ)

επί ηεο νπνίαο νξίδνπκε ζεκείν Ν ψζηε ΟΝ //= ΓΓ θαη ΟΓ //= ΝΓ .Αξα 𝛰𝛮 =

𝛤𝛥 . Δπίζεο παίξλνπκε 𝛰𝛮 = 𝛤𝛥 . Αιιά απφ ηελ ππφζεζε 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥

ζπλάγνπκε φηη 𝛰𝛭 = 𝛰𝛮 . Με άιια ιφγηα ηα ζεκεία Μ , Ν έρνπλ ίζεο ζπληε-

ηαγκέλεο θαη επνκέλσο ζπκπίπηνπλ. Απηφ καο δίλεη 𝛰𝛭 = 𝛰𝛮 θαη επνκέ-

λσο παίξλνπκε επίζεο 𝛢𝛣 = 𝛤𝛥 . Ζ απφδεημε ηνπ 1-1 είλαη πιήξεο.

Απόδεημε ηνπ επί. Γηα δεδνκέλν σ = (σ1,σ2,σ3) ℝ3 , θαηαζθεπάδνπκε

ζεκείν Μ ψζηε 𝛰𝛭 = σ θαη εχθνια παίξλνπκε ζ(𝛰𝛭 ) = σ [βι. θαη ζρέζε

14.2 , ζει. 22] .

(17-7) . Απφ ην επί ηεο ζ γηα δνζέλ σ ℝ3 ππάξρεη αθξηβψο έλα Μ𝔼 ψζηε.

ζ(𝛰𝛭 ) = σ. Αξα γηά δνζέληα σ , ζ ℝ3 και λ,μℝ ζα ππάξρεη Ν𝔼 ψζηε

ζ(𝛰𝛮 ) = ισ+κζ..Αξα για Α,Β,Γ,Γ𝔼 ψζηε , λα έρνπκε : ζ(𝛢𝛣 ) = 𝛢𝛣 = σ ,

ζ(𝛤𝛥 ) = 𝛤𝛥 = ζ , ζα πάξνπκε :

. ζ(𝛰𝛮 ) = ισ+κζ = ι𝛢𝛣 + κ 𝛤𝛥 ⇔

𝛰𝛮 = ζ-1(ισ+κζ) = ζ-1(ι𝛢𝛣 + κ 𝛤𝛥 )

= ζ-1( ιζ(𝛢𝛣 ) +κζ(𝛤𝛥 )) ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥

Ζ ηειεπηαία ηζφηεηα απνηειεί αθξηβψο ηελ δηαδηθαζία κεηαθνξάο δνκήο απφ

(νπνηαδήπνηε) απεηθφληζε 1-1 θαη επί , απφ ην έλα εθ ησλ πεδίσλ νξηζκνχ

ηεο ζην άιιν. [Oπφηε φκσο πξέπεη νη ηζφηεηεο λα γξαθνχλ θαηά ηελ αληίζηξν-

θε δηάηαμε ] :

(17-8) ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥 := ζ-1(ιζ(𝛢𝛣 )+κζ(𝛤𝛥 )=ζ-1(ι𝛢𝛣 +κ 𝛤𝛥 ), Α,Β,Γ,Γ𝔼 ,λ,μℝ

ρεηηθά ηζρχεη θαη ε επφκελε ηζνδπλακία [ γηα νπνηαδήπνηε Κ, Α,Β,Γ,Γ ,ι,κ] :

(17-8)΄ 𝛫𝛬 = ι𝛢𝛣 +κ 𝛤𝛥 ⇔ 𝛫𝛬 = ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥

(Βιέπε ζρεηηθά θαη ζρέζε (14.5γ , ζει. 30).Δπίζεο γηα ηελ πεξίπησζε :

ι = κ = 1 , δέο θαη ζρήκα 4 , ζει. 22) .

(γ). ην ζεκείν απηφ είλαη ρξήζηκν [ θαη γηα κία βαζύηεξε αιιά θαη απνδνηη-

θόηεξε θαηαλφεζε ησλ πξάμεσλ ] 𝛰𝛭 +𝛰𝛮 = 𝛰𝛲 θαη ι𝛰𝛭 = 𝛰𝛭΄ [ γηα

νπνηαδήπνηε Ο, Μ, Ν ζεκεία ηνπ 𝔼 θαη αξηζκφ ι ℝ] λα θαηαζθεπάζνπκε

θαη ην επφκελν (ρήκα 9α) .Δηζη έρνπκε θαη ηελ Γεσκεηξηθή εξκελεία ησλ

πξάμεσλ ηνπ ℰ(𝔼) .

ρόιηα. (1). Δξγαδφκαζηε ζην (Οxςz) δηφηη κπνξνχκε επθνιφηεξα απφ ηα

Page 40: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

40

ζεκεία xΡ ,ςΡ , zΡ ησλ αμφλσλ [πνπ είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ αζξνίζκαηνο

𝛰𝛲 = 𝛰𝛭 +𝛰𝛮 ] λα βξνχκε ηα ζεκεία xΡ΄, ςΡ΄ , zΡ΄ [ησλ αμφλσλ επίζεο] πνπ

είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ (: βαζκσηνχ γηλνκέλνπ) :

(17-9) 𝛰𝛲΄ = ι 𝛰𝛲

Παξαηεξνχκε φηη εάλ 𝛰𝛭΄ = ι 𝛰𝛭 , 𝛰𝛮΄ = ι 𝛰𝛮 , ηφηε 𝛰𝛭΄ + 𝛰𝛮΄ =𝛰𝛲΄

Καη έηζη επαιεζεχεηαη ν επηκεξηζηηθφο λφκνο :

(17-9) ι(𝛰𝛭 +𝛰𝛮 ) = = ι 𝛰𝛲 = 𝛰𝛲΄ = 𝛰𝛭΄ + 𝛰𝛮΄ = ι 𝛰𝛭 + ι 𝛰𝛮 ,

ρόιην. (2). ην ίδην (ρήκα 9α) επαιεζεχεηαη επίζεο

(17-20) ν θαλόλαο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ

γηα ηελ εθηέιεζε ηεο πξνζζέζεσο ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ . ρεηηθά

παξαηεξνχκε [ γηα κία αθφκε θνξά ] φηη νπζηαζηηθά ε εθηέιεζε απηή είλαη κία

γεσκεηξηθή θαηαζθεπή θαη κηκείηαη ηελ αληίζηνηρε πξάμε ηνπ ℝ3 [θαη ηνπ ℝν

γεληθφηεξα .Με άιια ιφγηα αληηζηνηρεί ζηελ θαηά ζπληεηαγκέλε πξφζζεζε ησλ

Δπθιεηδίσλ ρψξσλ ℝν]

Δάλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ζπκβνιηζκφ ε(Α,σ) γηα ηελ επζεία ηνπ 𝔼 πνπ

πεξηέρεη ην ζεκείν Α 𝔼 θαη είλαη παξάιιειε ζην σ ℝ3 :

(17-21) ε(Α,σ) := {M 𝔼 : 𝛢𝑀 = ισ : ιℝ} 𝔼

Σφηε ν θαλφλαο (17-20) κπνξεί λα πεξηγξαθεί θαη σο εμήο :

(17-22) 𝛰𝛭 +𝛰𝛮 = 𝛰𝛲 ⇔ Ρ = ε(Ν, 𝛰𝛭 ) ε(Μ, 𝛰𝛮 )

{Μία απιή [θαη ρξεζηηθή] εξκελεία ηεο (17-22) καο ιέεη φηη :

γηα λα βξνύκε ην Ρ, πξέπεη θαη αξθεί από ηα Μ,Ν

[ πέξαηα ησλ πξνζζεηέσλ 𝛰𝛭 ,𝛰𝛮 ]

λα θέξνπκε ηηο παξάιιειεο πξνο ηηο επζείεο ε(Ο,Ν) , ε(Ο,Ν)

αληίζηνηρα θαη λα πάξνπκε ηελ ηνκή ηνπο Ρ .

Page 41: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

41

ρόιην. (3). Οη ηδηφηεηεο πνπ πξέπεη λα έρνπλ νη πξάμεηο [ πξφζζεζεο

θαη βαζκσηνχ πνιιαπιαζηαζκνχ ] πνπ νξίδνληαη απφ ηελ ζρέζε (17-8)

απνδεηθλχνληαη απφ ηηο ηδηφηεηεο ησλ αληηζηνίρσλ πξάμεσλ ηνπ ℝ3.

Πξνο ηνχην παξαηεξνχκε θαη΄αξρήλ φηη ηζρχεη ( εμ νξηζκνχ ) ε ηαπηφηεηα :

(17-23) ζ(ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥 ) = ι𝛢𝛣 +κ 𝛤𝛥 =ιζ(𝛢𝛣 )+κζ(𝛤𝛥 ) , Α,Β,Γ,Γ𝔼 ,λ,μℝ

θαη επίζεο

ζ-1(ι𝛢𝛣 +κ 𝛤𝛥 ) = ζ-1(ζ(ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥 )) = ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥 = ιζ-1( 𝛢𝛣 ) + κζ-1( 𝛤𝛥 )

πνπ ζεκαίλεη φηη νη απεηθνλίζεηο ζ θαη ζ-1 δηαηεξνχλ ηηο πξάμεηο «+» ησλ

δχν ζπλφισλ , αιιά θαη ηηο πξάμεηο κεηαμχ δηαλπζκάησλ θαη αξηζκψλ .

Αξα ,παίξλνληαο ππ΄ φςηλ φηη ηά δηάθνξα ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥 είλαη ζηνηρεία ηνπ ℰ(𝔼 )

[ : δειαδή φηη ζα ηζρχεη θάπνηα ζρέζε ηεο κνξθήο ι𝛢𝛣 +κ𝛤𝛥 = 𝛸𝛹 γηα θάπνη-

α Υ , Φ 𝔼 ] κπνξνχκε λα απνδείμνπκε ,πρ., ηελ πξνζεηαηξηζηηθφηεηα ηεο

πξφζζεζεο (θαη νκνίσο ηηο ππφινηπεο ηδηφηεηεο ) : Δάλ Α,Β,Γ,Γ,Ρ,Q 𝔼 ,

ηφηε ζα έρνπκε [ απφ ηελ (17-23)] :

ζ((𝛢𝛣 +𝛤𝛥 ) + 𝛲𝑄 ))= ζ(𝛢𝛣 + 𝛤𝛥 )+ζ(𝛲𝑄 ) = [ζ(𝛢𝛣 )+ζ( 𝛤𝛥 )] + ζ(𝛲𝑄 ) = [ : επεηδή

Page 42: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

42

είκαζηε ζηνλ ℝ3 ] = ζ(𝛢𝛣 )+[ζ( 𝛤𝛥 )] + ζ(𝛲𝑄 )] = ζ(𝛢𝛣 )+ζ( 𝛤𝛥 +𝛲𝑄 ) =

ζ( 𝛢𝛣 +( 𝛤𝛥 +𝛲𝑄 )). Καη επεηδή ε ζ είλαη 1-1 παίξλνπκε :

(17-24) (𝛢𝛣 +𝛤𝛥 ) + 𝛲𝑄 = 𝛢𝛣 +( 𝛤𝛥 +𝛲𝑄 ) , Α,Β,Γ,Γ,Ρ,Q 𝔼 ,

[ : Oκνίσο δείρλνπκε ηηο ππφινηπεο ηδηφηεηεο ησλ πξάμεσλ δηαλ/θνχ . ρψξνπ] .

Τζηεξα απφ ηελ επαιήζεπζε φισλ ησλ ηδηνηήησλ ησλ πξάμεσλ πνπ νξίζακε

ζην ζχλνιν ℰ(𝔼) θαηαιήγνπκε φηη νη πξάμεηο απηέο θαζηζηνχλ ην ζχλνιν απ-

ηφ έλαλ δρ. θαη άξα βιέπνπκε φηη νη ηδηφηεηεο ηεο ζ θαη ζ-1 είλαη αθξηβψο ηδη-

φηεηεο ησλ γξακκηθψλ απεηθνλίζεσλ κεηαμχ ησλ [δηαλπζκαηηθψλ ρψξσλ ]

ℰ(𝔼 ) θαη ℝ3 . Με άιια ιφγηα : ζηα επφκελα ζα μέξνπκε φηη

νη ζ θαη ζ-1 είλαη γξακκηθέο απεηθνλίζεηο .

ρόιην. (4) Τζηεξα απφ ηελ παξαπάλσ δηαπίζησζε κπνξνχκε ,εχθνια

πιένλ , κε ηελ ρξήζε ησλ ζ , ζ-1 λα νξίζνπκε ηελ αληίζηνηρε Σ ηεο

απεηθφληζεο η [: βιέπε ζρέζε (14 – 3) ]

(14 – 3α) Σ : 𝔼 2 = 𝔼 x 𝔼 → ℰ(𝔼) : Σ(Α,Β) 𝛢𝛣 , Α,Β 𝔼 ,

Δηζη κπνξνχκε λα δηαηππψζνπκε θαη ηελ αληίζηνηρε πξφηαζε ηεο (14-γ) :

Πξόηαζε (14-γ)΄. Ζ απεηθφληζε Σ : Σ(Α,Β) 𝛢𝛣 Α,Β𝔼 , ηθαλνπνηεί ηηο

επφκελεο ηδηφηεηεο :

(Σ-1) 𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 = 𝛢𝛢 , Α , Β , Γ𝔼

(Τ-1)΄ 𝛢𝛢 = 0 ℰ(𝔼) , 𝛢𝛣 = - 𝛣𝛢 , 𝛢𝛣 = 𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 , Α , Β , Γ𝔼

(Σ-2) ΣΑ : 𝔼 → ℝ3 : ΣΑ (Β) = Σ(Α,Β) 𝛢𝛣

είλαη 1-1 θαη επί , γηα φια ηα Α𝔼 .

[ΟΗ παξαπάλσ ,απεηθνλίζεηο ΣΑ ,νλνκάδνληαη : κεξηθέο απεηθνλίζεηο ηεο Σ] .

Απόδεημε. (Σ-1). Δρνπκε :

𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 = ζ-1(𝛢𝛣 ) + ζ-1(𝛣𝛤 ) + ζ-1(𝛤𝛢 ) =

= ζ-1(𝛢𝛣 + 𝛣𝛤 + 𝛤𝛢 ) = ζ-1(𝛢𝛢 ) = 𝛢𝛢 Α , Β , Γ𝔼

(Τ-1)΄ 𝛢𝛢 = 0 ℰ(𝔼) . [ : Πξάγκαηη απηφ ζπλάγεηαη απφ ηελ 𝑋𝑌 + 𝛢𝐴 =

ζ-1(𝑋𝑌 + 𝛢𝛢 ) = ζ-1(𝑋𝑌 ) = 𝑋𝑌 , πνπ ζεκαίλεη φηη ην 𝛢𝛢 είλαη ην κεδεληθφ ζηνη-

ρείν ηνπ δρ. ℰ(𝔼) . Αθφκε 𝛢𝛣 = ζ-1(𝛢𝛣 ) = ζ-1(−𝛣𝛢 ) = −ζ-1(𝛣𝛢 ) = - 𝛣𝛢 .

Page 43: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

43

Δπίζεο :

𝛢𝛣 = ζ-1(𝛢𝛣 ) = ζ-1(𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 ) = ζ-1(𝛢𝛤 ) + ζ-1(𝛤𝛣 ) = 𝛢𝛤 + 𝛤𝛣 , Α , Β , Γ𝔼

(Σ-2) Δζησ ΣΑ (Β) = ΣΑ (Γ) ⇔ 𝛢𝛣 = 𝛢𝛤 ⇔ ζ-1(𝛢𝛣 ) = ζ-1(𝛢𝛤 ) ⇔ [Δπεηδή

ε ζ-1 είλαη 1-1] ⇔ 𝛢𝛣 =𝛢𝛣 ⇔ ηΑ (Β) = ηΑ (Γ) ⇔ Β = Γ [ : δηφηη ε ηΑ είλαη 1-1

Βιέπε Πξφηαζε (14γ)] . Δμ άιινπ ηζρχεη ε ζρέζε : ΣΑ (Β) = 𝛢𝛣 = ζ-1(𝛢𝛣 ) =

ζ-1(ηΑ (Β) ) = (ζ-1▫ηΑ )(Β) , Α , Β 𝔼 θαη άξα ΣΑ = ζ-1▫ηΑ :

(17-25) ΣΑ = ζ-1▫ηΑ , Α𝔼

Απφ ηελ νπνία ζπλάγνπκε επίζεο φηη ε ΣΑ είλαη 1-1 θαη επί απεηθφληζε ζαλ

ζχλζεζε ησλ 1-1 θαη επί απεηθνλίζεσλ ζ-1 θαη ηΑ .Ζ απφδεημε είλαη πιήξεο.

§ 1.2 Δζσηεξηθά Γηλόκελα θαη Καζεηόηεηα ζηνλ

πληεηαγκέλν ρώξν ( 𝔼 ,(Οxςz ))

(18) Πξαγκαηηθά Δζσηεξηθά Γηλόκελα ηνπ 𝔼 . Σα εζσηεξηθά γηλφκελα

νξί-δνληαη ζε δηαλπζκαηηθνχο ρψξνπο V θαη έλαο ρξήζηκνο ηξφπνο νξηζκνχ

ηνπο είλαη λα γίλεηαη ρξήζε θάπνηαο βάζεσο e {eθ : κΚ} V [ : ε ρξήζε

ησλ βάζεσλ ζπλεζίδεηαη γηα γξακκηθέο θαη δηγξακκηθέο απεηθνλίζεηο ,δηφηη

θαηφπηλ κπνξεί λα γίλεη γξακκηθή (είηε δηγξακκηθή ) επέθηαζε απηψλ ζε

νιφθιεξν ηνλ ρψξν.].

Δδψ γηα ηελ κειέηε ηνπ 𝔼 θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ δρ. V = ℝ3 [ κε ηνλ

νπνίν ήδε ηαπηίζακε ηνλ 𝔼 με ηελ ρξήζε θάπνηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ

(Οxςz).ηα επφκελα o 𝔼 εθνδηαζκέλνο κε θάπνην [ : νπνηνδήπνηε]

ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) ζα νλνκάδεηαη :

(18.1) ν ζπληεηαγκέλνο ρώξνο 𝔼 (𝔼 , (Οxςz))

θαη , αλ δελ ππάξρεη θίλδπλνο ζχγρπζεο, ην (Οxςz) ζα παξαιείπεηαη.

Όπσο είλαη άκεζα θαλεξφ ν (𝔼 ,(Οxςz)) ,κε ηελ βνήζεηα ηνπ κνληέιινπ ηνπ

ℝ3 = V ζπκπεξηθέξεηαη φπσο θαη νη δηαλπζκαηηθνί ρψξνη [ : ζε θξίζηκα

δεηήκαηα φπσο ν εθνδηαζκφο ηνπ κε ρξήζηκεο αξηζκεηηθέο απεηθνλίζεηο ζαλ

ην εζσηεξηθό γηλόκελν , ε λόξκα , ε κεηξηθή , εμηζώζεηο ζρεκάησλ θιπ ] .

Σψξα κπνξνχκε λα δψζνπκε θάπνηνπο (γεληθφηεξνπο θαη απαξαίηεηνπο) ν-

ξηζκνχο :

Page 44: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

44

Οξηζκόο 18.1. Μία απεηθφληζε :

(*) <,> : VxV → ℝ

κε ηηο ηδηφηεηεο :

(EΓ-1) <σ,ζ> = <ζ,σ> , σ,ζ V

(EΓ-2) <ισ+θ,ζ> = ι<σ,ζ> + <θ,ζ> , σ,ζ,θ V , ι ℝ

(ΔΓ-3) <ω,ω> > 0 , 0 ≠ ω V , θαη <ω,ω> = 0 εάλλ σ = 0

Θα ιέγεηαη :

«έλα εζσηεξηθό γηλόκελν ηνπ V».

[Άιιε νλνκαζία κηάο ηέηνηαο απεηθφληζεο είλαη θαη

«γλήζην βαζκσηό γηλόκελν ηνπ V»]

Σα δηαλχζκαηα σ,ζV. Θα ιέγνληαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο [ είηε φηη νπνηνδήπν-

απφ απηά είλαη θάζεην πξνο ην άιιν ] εάλλ <σ,ζ> = 0 θαη γξάθνπκε : σ⊥ζ :

(**) σ⊥ζ ⇔ <σ,ζ> = 0

Αλαιφγσο ζα ιέκε φηη ηα κε θελά ππνζχλνια Α,Β V είλαη θάζεηα [είηε

νξζνγψληα ] κεηαμχ ηνπο , θαη ζα γξάθνπκε Α⊥Β , εάλλ σ⊥ζ , σΑ , ζΒ.

(**)΄ ∅ ≠ Α,Β V : Α⊥Β ⇔ σ⊥ζ , σΑ , ζΒ

[ Με άιια ιφγηα , απηέο αθξηβψο νη απεηθνλίζεηο είλαη πνπ θαζνξίδνπλ ηελ θα-

ζεηφηεηα ,ησλ δηαλπζκάησλ θαη θαη΄επέθηαζε ηελ θαζεηφηεηα ησλ επζεηψλ ,

επζεηψλ κε επίπεδα , αιιά θαη επηπέδσλ κεηαμχ ηνπο. Δηζη έρνπκε ηνπο επφ-

κελνπο πξφζζεηνπο νξηζκνχο :

Καζεηόηεηα ζηνλ 𝔼 (𝔼 ,(Οxςz)) ((𝔼 ,ℝ3 ,<,>) , (Οxςz)) :

(1). Γχν ππνζχλνια ∅ ≠ Μ,Ν 𝔼 ζα ιέγνληαη θάζεηα κεηαμχ ηνπο [ είηε φηη

νπνηνδήπνηε απφ απηά είλαη θάζεην πξνο ην άιιν ] θαη ζα γξάθνπκε Μ⊥Ν

εάλ φια ηα ειεχζεξα δηαλχζκαηα πνπ έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζην Μ είλαη θάζεηα

πξνο φια ηα δηαλχζκαηα πνπ έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζην Ν :

(***) ∅ ≠ Μ,Ν 𝔼 , Μ⊥Ν ⇔ 𝛢𝛣 ⊥ 𝛤𝛥 , Α , ΒΜ , Γ, ΓΝ .

Ο πηφ πάλσ νξηζκφο ηζρχεη ηδηαίηεξα αλ ηα Μ , Ν είλαη επζείεο ,επίπεδα

θιπ. Θα πξέπεη ηψξα λα παξαηεξήζνπκε φηη απφ ηηο (ΔΓ-1) θαη (ΔΓ-2) εχθν-

ια κπνξνχκε λα δείμνπκε φηη ε σο άλσ <,> ηθαλνπνηεί θαη ηελ

Page 45: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

45

Απφ ηηο (ΔΓ-1) θαη (ΔΓ-2) εχθνια κπνξνχκε λα δείμνπκε φηη ε σο άλσ <,>

ηθαλνπνηεί θαη ηελ

(ΔΓ-4) <σ, ιζ+θ> = ι<σ,ζ> + < ζ ,θ > , σ,ζ,θ V , ιℝ

Λφγσ ησλ [ (Δ-2) , (Δ-4) ] , (Δ-1) (Δ-3) ην εζσηεξηθφ γηλφκελν <,> ιέγεηαη

αληίζηνηρα :

«δηγξακκηθή κνξθή» , «ζπκκεηξηθή κνξθή» ,

«ζεηηθά σξηζκέλε» κνξθή ηνπ VxV .

Οη παξαπάλσ ηδφηεηεο ηνπ <,> καο επηηξέπνπλ λα νξίζνπκε κε ηελ βνήζεηά

ηνπ θαη ηελ απεηθφληζε :

(EΓ-5) ∥∥ : V → ℝ + ≔ [0, +∞) : σ ↦ ∥ω∥ := (<σ,σ>)1/2 , σV

Σελ (ΔΓ-5) νλνκάδνπκε

«λόξκα ή ηεηξαγσληθή κνξθή ηνπ εζσηεξηθνύ γηλνκέλνπ <,> »

Αο δνχκε κεξηθά ρξήζηκα ραξαθηεξηζηηθά παξαδείγκαηα.

Παξαδείγκαηα (18.2). (i).Δάλ e {eκ : κΚ} V είλαη κία ηπραία βάζε ηνπ

δρ. V [πηζαλφλ ην Κ λα είλαη έλα απεηξνζχλνιν] .Θέηνπκε :

(**) < eκ, eλ> := δκλ 1 , κ = λ0 , κ ≠ λ

, κ,λ ℕ

Σφηε γηα θάζε σV ππάξρεη πεπεξαζκέλν ππνζπλνιν Κ΄ Κσ Κ θαη

ζπληειεζηέο σθℝ , κΚ ψζηε

(**)΄ σθ = 0 γηα φια ηα θΚ΄ , σ = 𝜔𝜅𝜅𝛫΄ 𝑒𝜅 𝜔𝜅𝜅𝛫 𝑒𝜅

Σν ηειεπηαίν άζξνηζκα ηεο παξαπάλσ ζρέζεσο ζεσξείηαη πεπεξαζκέλν

[απφ ηελ ηζφηεηά ηνπ κε ην πξνεγνχκελν] , παξ΄φιν πνπ ην ζχλνιν δεηθηψλ

κπνξεί λα είλαη απεηξνζχλνιν.Δηζη γίλεηαη θαλεξφ φηη ηα αζξνίζκαηα απηά

ζπκπεξηθέξνληαη φπσο θαη ηα πεπεξαζκέλα. Με άιια ιφγηα κπνξνχκε ηψξα

λα επεθηείλνπκε δηγξακκηθά ηελ (**) :

(***) <σ,ζ> < 𝜔𝜅𝜅𝛫 𝑒𝜅 , 휃𝜅𝜅𝛫 𝑒𝜅> : = 𝜔𝜅𝜅𝛫 휃𝜅 , σ , ζ V

[: δηφηη ,κε ην ίδην επηρείξεκα ηα αζξνίζκαηα ζηελ (***) έρνπλ πεπεξαζκέλν

πιήζνο (κε κεδεληθψλ) πξνζζεηέσλ ] .

Δχθνια δείρλνπκε φιεο ηηο ηδίνηεηεο (Δ-1),..,(Δ-4) ελφο εζσηεξηθνχ γηλνκέλνπ

[φπσο θαη ζηα πεπεξαζκέλα γηλφκελα.].Με άιια ιφγηα ε (***) νξίδεη έλα εζσ-

ηεξηθφ γηλφκελν ηνπ V πνπ θάλεη ηελ βάζε e νξζνθαλνληθή.[ην γηλφκελν απηφ

είλαη γλσζηφ σο

«ην ζύλεζεο εζσηεξηθό γηλόκελν ηεο βάζεσο e ηνπ V»].

Page 46: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

46

Παξάδεηγκα (18.2). (iη). Γηα σ = (σ1,σ2,σ3) , ζ = (ζ1,ζ2,ζ3)ℝ3 , ζέηνπκε :

(18.2.1) <σ,ζ> <(σ1,σ2,σ3),(ζ1,ζ2,ζ3)>≔ σ1ζ1+σ2ζ2+σ3ζ3 ℝ ,

(18.2.2) σxζ (σ1,σ2,σ3)x(ζ1,ζ2,ζ3) ≔ ( 𝜔2휃2

𝜔3휃3

, - 𝜔1휃1

𝜔3휃3

, 𝜔1휃1

𝜔2휃2

) ℝ3

θαη νλνκάδνπλε ηα <σ,ζ>ℝ θαη σxζℝ3 [αληίζηνηρα ] :

«ην ζύλεζεο εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ σ,ζℝ3» ,

«ην ζύλεζεο εμσηεξηθό γηλόκελν ησλ σ,ζℝ3».

Δηζη νξίδνληαη νη απεηθνλίζεηο :

(18.2.1)΄ <,> : ℝ3xℝ3 ℝ : (σ,ζ) ↦ <,>(σ,ζ) ≔ <σ,ζ> ℝ ,

(18.2.2)΄ x : ℝ3xℝ3 ℝ3 : (σ,ζ) ↦ x(σ,ζ) ≔ σxζ ℝ3 ,

H (18.2.1)΄ ζα νλνκάδεηαη «ην ζύλεζεο εζσηεξηθό γηλόκελν ηνπ ℝ3» ,

θαη ε (18.2.2)΄ : «ην ζύλεζεο εμσηεξηθό γηλόκελν ηνπ ℝ3» .

Σα παξαπάλσ δχν γηλφκελα κεηαθέξνληαη ηψξα θαη ζην ζχλνιν «ησλ

εθαξκνζηώλ δηαλπζκάησλ» [ : δηαηεηαγκέλσλ δεπγψλ ηνπ 𝔼x𝔼 ] ,αιιά θαη

ζην ζχλνιν ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ ηνπ ζεσξψληαο ηνλ 𝔼 ((Οxςz)) 𝔼

Δηζη νξίδνπκε εζσηεξηθφ γηλφκελν κεηαμχ ησλ δηαθφξσλ δεπγψλ (Α,Β), [αιιά

θαη ησλ ειεπζέξσλ δηαλπζκάησλ 𝛢𝛣 ℰ(𝔼) πνπ απηά νξίδνπλ] , ρξεζη-

κνπνηψληαο ηηο αληίζηνηρεο ζπληεηαγκέλεο ησλ άθξσλ Α,Β : ]

(ηη)΄ <(Α,Β),(Γ,Γ)> = (xΒ-xΑ)(xΓ-xΓ)+(ςΒ-ςΑ)(ςΓ-ςΓ)+(zΒ-zΑ)(zΓ-zΓ), Α,Β,Γ,Γ𝔼

(ηη)΄΄ <𝛢𝛣 , 𝛤𝛥 > = (xΒ-xΑ)(xΓ-xΓ)+(ςΒ-ςΑ)(ςΓ-ςΓ)+(zΒ-zΑ)(zΓ-zΓ), Α,Β,Γ,Γ𝔼

Δπίζεο νξίδεηαη θαη κία απεηθφληζε απφζηαζεο , έζησ d , αλάκεζα ζηα

ζεκεία ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 απφ ηνλ ηχπν :

(ΔΓ-κ) d : 𝔼x𝔼 ℝ + : (A,B) ⟼ d(A,B) ≔∥𝛢𝛣 ∥ := (<𝛢𝛣 , 𝛢𝛣 >)1/2

[ Ζ απεηθφληζε d είλαη κία κεηξηθή ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 θαη ζα ηελ νλνκάδνπ-

κε «κεηξηθή ηνπ (𝔼,(Οxςz))» , ( είηε θαη ζπλήζε κεηξηθή ηνπ (𝔼,(Οxςz)).

Δχθνια επαιεζεχνπκε ηηο ηδφηεηεο ηνπ εζσηεξηθνχ γηλνκέλνπ γηα ηελ (ηη)΄.Λέκε

φηη ην γηλφκελν απηφ είλαη ην ζύλεζεο εζσηεξηθό γηλόκελν ηνπ (𝔼,(Οxςz)).

Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην παξαπάλσ εζσηεξηθφ γηλφκελν βαζίδεηαη ζην

Page 47: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

47

ζύλεζεο εζσηεξηθό γηλόκελν ηνπ κνληέιινπ ℝ3 ηνπ 𝔼 𝔼((Οxςz)) .[ πνπ

αληηζηνηρεί ζηελ ζπλήζε βάζε απηνχ : e = {e1,e2,e3} ] :

(18.2.2)΄ ζπλήζεο βάζε ηνπ ℝ3

: e = {e1,e2,e3} {(1,0,0) , (0,1,0)} , (0,0,1)}

[ : Οη ηδηφηεηεο ηεο κεηξηθήο d είλαη άκεζε ζπλέπεηα εθείλσλ ηεο λνξκαο ∥,∥,

ηεο βάζεσο e = {e1,e2,e3} . Δρνπκε θαη΄αξρήλ ηελ επφκελε γεληθή Πξφηαζε :

Θεώξεκα 18.3 . Κάζε εζσηεξηθφ γηλφκελν <,> ελφο δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ

V θαη ε αληίζηνηρε λφξκα ηνπ ηθαλνπνηνχλ ηηο επφκελεο ηαπηφηεηεο :

1). <ια+κβ , ια+κβ> = ι2<α,α> + κ2<β,β> + 2ικ<α,β> , ι,κ ℝ , α,βV

2). <ια-κβ , ια-κβ> = ι2<α,α> + κ2<β,β> - 2ικ<α,β> , ι,κ ℝ , α,βV

3). ∥λα+μβ∥2 = ι2∥α∥2

+ κ2∥β∥2 + 2ικ<α,β> , ι,κ ℝ , α,βV

4). ∥λα-μβ∥2 = ι2∥α∥2

+ κ2∥β∥2 - 2ικ<α,β> , ι,κ ℝ , α,βV

5). ∥α+β∥2 = ∥α∥2

+ ∥β∥2 + 2 <α,β> , α , βV

6). ∥α-β∥2 = ∥α∥2

+ ∥β∥2 – 2 <α,β> , α , βV

7). ∥α+β∥2 + ∥α-β∥2

= 2(∥α∥2 + ∥β∥2

), α,βV [λφκνο παξαιιεινγξάκκνπ]

8). ∥λα∥ = ι ∥α∥ , ι ℝ , αV , [Οκνγέλεηα ,βαζκσηνχ πνιιαπιαζηαζκνχ]

9). ∥α±β∥ ≤ ∥α∥ + ∥β∥ , α , βV .[ηξηγσληθή αληζόηεηα]

10). ∥α∥ - ∥β∥ , ∥β∥ - ∥α∥ ≤∥α∥- ∥β∥ ≤ ∥α-β∥ , α , βV

11. <α,β>≤ ∥α∥∥β∥ , α , βV [ CBS-αληζόηεηα ] .

[Ζ ηειεπηαία ζρέζε νθείιεη ηελ νλνκαζία ηεο ζηα αξρηθά ησλ νλνκάησλ ησλ

καζεκαηηθψλ : Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ] .

Απόδεημε. Οη 1). , 2) : Πξνθχπηνπλ απφ κία απιή εξκελεία ηεο δηγξακκη-

θφηεηνο ηνπ εζσηεξηθνχ γηλνκέλνπ <,> .

Οη 3) , 4) : Eίλαη άκεζεο ζπλέπεηεο ησλ 1) , 2) θαη ηνπ νξηζκνχ ηεο λφξκαο .

Οη 5) ,6) είλαη εηδηθέο πεξηπηψζεηο ησλ 3) , 4).

Ζ 7) Δίλαη ζπλέπεηα ησλ 5) , 6).

Γηά ηελ 8) : [απφ ηελ ζεηηθόηεηα ηνπ ΔΓ θαη ηνλ νξηζκφ ηεο λνξκαο] έρνπκε :

∥λα∥2 = <ια,ια> =ι2<α,α> = ι2∥α∥2 = (ι∥α∥)2 .

Αιιά δχν ίζα ηεηξάγσλα κε ζεηηθή βάζε έρνπλ ίζεο βάζεηο , θαη ην

δεηνχκελν έπεηαη.

Γηά ηελ 11). Απφ ηελ 1). έρνπκε [ γηα θάζε ι,κ ℝ , α,βV ] :

0 ≤ <ια+κβ , ια+κβ> = ι2<α,α> + κ2<β,β> + 2ικ<α,β> ,

θαη ηδαίηεξα [ γηα κ=1 θαη ηπρφλ ι ℝ ]

Page 48: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

48

(*) 0 ≤ ι2<α,α> + 2ι <α,β> + < β , β > , ι ℝ

Θεσξνχκε ην ηξηψλπκν :

θ(x) = <α,α>x2+ 2<α,β>x + <β,β> ,

Απφ ηελ (*) ην θ(x) δηαηεξεί ζηαζεξφ πξφζεκν γηα θάζε πξαγκαηηθή ηηκή

ηνπ x . Απφ ηελ ζηνηρεηψδε ζεσξία ηνπ ηξηλχκνπ γλσξίδνπκε φηη απηφ ζπκ-

βαίλεη εάλ θαη κφλνλ εάλ ε δηαθξίλνπζα Γ = β2 – 4αγ έρεη αξλεηηθφ πξφζεκν.

Αξα

(2<α,β>)2 - 4 <α,α><β,β> ≤ 0 ⇔ 4[<α,β>)2 - <α,α><β,β>] ≤ 0 ⇔

⇔<α,β>2 ≤ ∥α∥2∥β∥2 = (∥α∥∥β∥)2

θαη ε (11) έπεηαη εχθνια .

Γηά ηελ 9). Δρνπκε [ ρξεζηκνπνηψληαο θαη ηελ 11. ] :

∥α+β∥2 = <α+β , α+β> = <α,α> +<β,β> + 2<α,β> = ∥α∥2

+∥β∥2 + 2<α,β>

≤ ∥α∥2 +∥β∥2

+ 2<α,β> ≤ ∥α∥2 +∥β∥2

+ 2(∥α∥∥β∥) = (∥α∥ + ∥β∥)2 ,

θαη απνηεηξαγσλίδνληαο έρνπκε ηελ 9 .

Γηά ηελ 10). Δρνπκε (κε ρξήζε θαη ηεο 9. ) :

∥α∥ = ∥α – β + β∥ ≤ ∥α-β∥ + ∥β∥ ⇔ ∥α ∥ - ∥β∥ ≤ ∥α-β∥ θαη

∥β∥ = ∥β – α + α∥ ≤ ∥β-α∥ + ∥α∥ ⇔ ∥β ∥ - ∥α∥ ≤ ∥β-α∥ = ∥α-β∥.

Page 49: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

49

Δπνκέλσο :

± (∥α ∥ - ∥β∥) ≤ ∥α-β∥ (*)

θαη επεηδή

(∥α ∥ - ∥β∥) ≤ (∥α ∥ - ∥β∥) = ∥α ∥ - ∥β∥ ≤ ∥α-β∥

είηε

(∥α∥ - ∥β∥) = - (∥α ∥ - ∥β∥) ≤ ∥α-β∥

ζα πξέπεη :

(∥α ∥ - ∥β∥) ≤ (∥α ∥ - ∥β∥) = - (∥α ∥ - ∥β∥) ≤ ∥α-β∥

είηε

(∥α ∥ - ∥β∥) ≤ (∥α ∥ - ∥β∥) = (∥α ∥ - ∥β∥) ≤ ∥α-β∥

Καη ε 10). έπεηαη . Ζ απφδεημε είλαη πιήξεο.

Παξαηήξεζε 18.4 . ρεηηθά κε ηελ κεηξηθή d [ : βι. ζρέζε (ΔΓ-κ) , ζει. 46]

ηζρχνπλ νη επφκελεο ηδηφηεηεο :

(d-1) d(A,B) ⋝ 0 Α,Β 𝔼 θαη d(A,B) = 0 ⇔ Α = Β . [ : γλήζηα ζεηηθόηεηα ]

(d-2) d(A,B) = d(Β,Α) , Α , Β 𝔼 [ : ζπκκεηξηθόηεηα ]

(d-3) d(A,B) ≦ d(A,Γ) + d(Γ,B) , Α , Β , Γ 𝔼 [ : ηξηγσληθή αληζόηεηα]

Σψξα έρνπκε θαη ηνλ επφκελν νξηζκφ :

Οξηζκόο 18.5 . (1). ε έλαλ Υώξν Δζσηεξηθνύ Γηλνκέλνπ [ ζην εμήο :

ΥΔΓ. ] (V,<,>) , δχν δηαλχζκαηα σ , ζ ζα ιέγνληαη θάζεηα ( : κεηαμχ ηνπο , είηε

θαζέλα απφ απηά θάζεην ζην άιιν) ,εάλ <σ, ζ> = 0 . Θέηνπκε : σ⊥θ.Αξα

(18.4.1) σ,ζ V : σ⊥θ ⇔ <σ,ζ> = 0

(2). Γχν κε θελά ππνζχλνια Μ , Ν ηνπ (V,<,>) ζα ιέγνληαη θάζεηα κεηαμύ

ηνπο εάλ θάζε δηάλπζκα ηνπ ελφο είλαη θάζεην ζε όια ηα δηαλύζκαηα ηνπ

άιινπ , [ θαη αληηζηξφθσο ] . Θέηνπκε επίζεο ηφηε : Μ⊥Ν .

(18.4.1)΄ Μ,Ν V , Μ⊥Ν ⇔ σ⊥ζ σΜ , ζΝ ,

(3). Δάλ Μ ≠ είλαη ηπρφλ ππνζχλνιν ηνπ (V,<,>) ζέηνπκε Μ γηα ην ζχλν-

ιν , φισλ ησλ δηαλπζκάησλ ηνπ (V,<,>) πνπ είλαη θάζεηα ζην Μ [ δειαδή

είλαη θάζεηα ζε φια ηα δηαλχζκαηα ηνπ Μ ]. Δίλαη Μ ≠ [ δηφηη πεξηέρεη

πάληνηε ην 0 ,πρ. έρνπκε V = (0).]

Page 50: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

50

(4). Έλα ππνζχλνιν Μ V (V,<,>) , Μ ≠ ∅ , ζα ιέγεηαη «νξζνγώλην» εάλ

δελ πεξηέρεη ην κεδέλ θαη ηζρχεη σ⊥θ γηα φια ηα σ,ζΜ : σ ≠ ζ

(18.4.2) ∅ ≠ Μ (V,<,>)) νξζνγώλην εάλλ σ⊥θ σ,ζΜ : σ ≠ ζ .

[ ηα επφκελα ζεσξνχκε έλαλ νπνηνδήπνηε πξαγκαηηθφ [ είηε θαη κηγαδηθφ ,

(ζεσξνχκελν φκσο ζαλ πξαγκαηηθφ ) ] δ.ρ. V ( κε απζαίξεηε δηάζηαζε ,

ελδερνκέλσο θαη άπεηξε ) .

ρεηηθά έρνπκε ηελ επφκελε :

Πξόηαζε 18.5α . Κάζε νξζνγψλην ππνζχλνιν Μ ελφο ΥΔΓ. (V,<,>) είλαη

αλεμάξηεην .

Απόδεημε. [ ην Μ κπνξεί λα είλαη θαη απεηξνπιεζέο , αλ πρ. Ο V είλαη

απεηξνδηάζηαηνο]. Αξθεί λα δείμνπκε φηη γηα νπνηνδήπνηε λ= 1,2,3,…. θαη

πεπεξαζκέλν ππνζχλνιν Χ = {σ1, σ2,…, σλ} Μ ην Χ είλαη αλεμάξηεην.

Πξάγκαηη έρνπκε <σθ,σκ> = 0 γηα θ ≠ κ [δηφηη ην Μ είλαη νξζνγισλην ]θαη άξα

εάλ ι1, ι2,…, ιλ ℝ ψζηε

ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ= 0 ζα έρνπκε [ γηα ηπραίν θ = 1,2,…,λ ] :

0 =<0, σθ> = < ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ , σθ> =

= ι1< σ1, σθ>+ ι2< σ2, σθ>+…+ ιλ< σλ, σθ> = ιθ< σθ, σθ> κε

< σθ, σθ> ≠ 0 [ αθνχ σθ ≠ 0 , δηφηη Μ δελ πεξηέρεη ην 0]. Αξα πξέπεη ιθ = 0.

Page 51: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

51

Με άιια ιφγηα ι1 = ι2 =…= ιλ = 0.Απηφ φκσο ζεκαίλεη φηη ηα σ1, σ2,…, σλ

είλαη αλεμάξηεηα [απφ ηνλ νξηζκφ ηεο αλεμαξηεζίαο πεπεξαζκέλνπ πιήζνπο

δηαλπζκάησλ]. Γειαδή ην Χ είλαη αλεμάξηεην.

Αθνχ φκσο ην ηπρφλ πεπεξαζκέλν ππνζχλνιν Χ ηνπ Μ είλαη αλεμάξηεην

ηφηε θαη ην Μ είλαη επίζεο αλεμάξηεην . [ : απφ ηνλ νξηζκφ ηεο αλεμαξηεζίαο

ελφο ηπραίνπ ππνζπλφινπ] .

Ζ απφδεημε είλαη πιήξεο.

(4). Δάλ Μ ≠ είλαη ηπρφλ ππνζχλνιν ηνπ (V,<,>) ζέηνπκε Μ γηα ην ζχλν-

ιν , φισλ ησλ δηαλπζκάησλ ηνπ (V,<,>) πνπ είλαη θάζεηα ζην Μ [ δειαδή

είλαη θάζεηα ζε φια ηα δηαλχζκαηα ηνπ Μ ]. Δίλαη Μ ≠ [ δηφηη πεξηέρεη

πάληνηε ην 0 ,πρ. έρνπκε V = (0).]

(5). Όηαλ έλα δηάλπζκα είλαη θάζεην ζε φια ηα ζηνηρεία ηνπ Μ ≠ ηφηε είλαη

θάζεην θαη ζε φια ηα ζηνηρεία νπνηνπδήπνηε ππνζπλφινπ ηνπ Μ. Δηζη έρνπκε

εχθνια ηελ επφκελε ζρέζε (**) , [ φπνπ ζέηνπκε ζ(Μ) γηα ην ζχλνιν φισλ

ησλ γξακκηθψλ ζπλδπαζκψλ ησλ ζηνηρείσλ ηνπ Μ ] .

Δίλαη εχθνιν λα δείμεη θαλείο φηη ην Μ ζ(Μ) θαη ην ζ(Μ) είλαη έλαο ππφ-

Page 52: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

52

ρσξνο ηνπ V [ θαη κάιηζηα ν κηθξφηεξνο ππφρσξνο ηνπ V πνπ πεξηέρεη ην Μ ].

Ολνκάδνπκε ην ζ(Μ)

(*) « ε γξακκηθή ζήθε ηνπ Μ».

(**). ≠ Μ N ≠ N Μ , Μ = ζ(Μ) , ≠ Μ V .

Πξόηαζε 18.6 . Γηα θάζε ≠ Μ V ην Μ είλαη ππφρσξνο . Αξα εάλ

α1 , α2 , …, αλ Μ , ι1 , ι2 , …, ιλ ℝ ι1α1 + ι2α2 + …. +ιλαλ Μ .

Απόδεημε . εάλ α,β Μ ηφηε <α,γ> = <β,γ> = 0 γηα φια ηα ζηνηρεία γ ηνπ

Μ . Δάλ ι ηπρφλ βαζκσηφ ηφηε :

<α+ιβ,γ> = <α,γ> + ι<β,γ> = 0 + ι.0 = 0+0 =0.

Δπνκέλσο α+ιβ είλαη θάζεην ζην ηπρφλ γ ηνπ Μ θαη άξα είλαη θάζεην ζε φια

ηα ζηνηρεία ηνπ Μ. Με άιια ιφγηα α+ιβ Μ ,θαη άξα ην Μ είλαη θιεηζηφ

ζηνπο γξακκηθνχο ζπλδηαζκνχο ησλ ζηνηρείσλ ηνπ. Απηφ φκσο ζεκαίλεη φηη

είλαη ππφρσξνο ηνπ V , θαη έρνπκε ηελ απφδεημε.

(6). Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ην Μ πεξηέρεη φια ηα δηαλχζκαηα αιιά θαη φια

ηα ππνζχλνια ηνπ V πνπ είλαη θάζεηα ζην Μ. Με άιια ιφγηα είλαη ην κέγηζην

ππνζύλνιν ηνπ V πνπ είλαη θάζεην ζην Μ.

ρόιηα θαη ζρέζεηο 18.6a . (1). Σν κεδεληθφ δηάλπζκα 0 V είλαη θαζεην ζε

θάζε άιιν δηάλπζκα ηνπ (V,<,>) . [ δηφηη <0,σ> = <ι0,σ> = ι<0,σ> γηα θάζε

ι ℝ .Αξα αλ ήηαλ <0,σ> ≠ 0 , ηφηε ζα είρακε ι = <0,𝜔>

<0,𝜔> = 1 γηα φια ηα ι ,

[πνπ πξνθαλψο είλαη άηνπν] .Δπνκέλσο ζα πξέπεη <0,σ> = 0 γηα φια ηα σ].

2). Αλ έλα δηάλπζκα σ είλαη θάζεην ζε φια ηα δηαλχζκαηα ηνπ (V,<,>) ηφηε

αλαγθαζηηθά είλαη ίζν κε ην 0V. Πξάγκαηη ηφηε ζα είλαη θαη <σ,σ> = 0 (πνπ

είλαη κία αληίθαζε κε ην (ΔΓ-3), αλ σ ≠ 0 .Αξα πξέπεη σ = 0).

Δίλαη άκεζε ε απφδεημε φηη νη αξρηθνί άμνλεο (φπσο θαη αλ έρνπλ επηιεγεί)

απνηεινχλ ηξηζνξζνγψλην ζχζηεκα αμφλσλ , σο πξνο ηελ θαζεηφηεηα πνπ ν-

ξίδεη ην ζύλεζεο εζσηεξηθό ηνπο γηλόκελν.[Αξα εθείλν πνπ θάζε θνξά

νξίδεη ηελ θαζεηφηεηα ζηα δηαλχζκαηα ηνπ ρψξνπ , θαη , κέζσ απηψλ, ζηηο

ίδηεο ηηο επζείεο [αιιά θαη ηελ θαζεηφηεηα κηάο επζείαο θαη θάπνηνπ επηπέδνπ

ηνπ ρψξνπ] είλαη ην εζσηεξηθφ γηλφκελν [ : νπνηνδήπνηε εζσηεξηθφ γηλφκελν

ην νπνίν κε ηελ ζεηξά ηνπ εμαξηάηαη θαη απφ ηα ζεκεία ησλ αμφλσλ ζηα νπνία

έρνπκε αληηζηνηρίζεη ηελ κνλάδα ηνπ ℝ ζηνπο Δπθιεηδεηνπνηεκέλνπο άμνλεο,

αιιά επίζεο θαη απφ ηελ επηινγή ησλ ηξηψλ αμφλσλ] .

Page 53: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

53

Παξαηήξεζε (18.6β). (1). Όπσο ζρνιηάδνπκε θαη ζην ρήκα 9 , κπνξνχκε

λα ραξάμνπκε ζην επίπεδν ρΟς νπνηεζδήπνηε επζείεο θαη θαηφπηλ λα νξί-

ζνπκε απηέο σο άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ. πκπιεξψλνπκε ην ζχζηεκα ησλ

δχν απησλ επζεηψλ θαη κε κία ηξίηε επζεία [ κε αξρή ην Ο επίζεο, αιιά κε

ζπλεπίπεδε κε ηηο δχν πξνεγνχκελεο ] θαη επθιεηδεηνπνηνχκε [ηηο 3 επζείεο] .

Σν νξηδφκελν εζσηεξηθό γηλόκελν θάλεη ηφηε ηηο επζείεο απηέο θάζεηεο

κεηαμύ ηνπο.

2). Δάλ θ είλαη έλα δηάλπζκα εθηφο ηνπ ππνρψξνπ ℝ x ℝ x{0} ℝ 3 ηφηε

θάζε επζεία παξάιιειε ζην θ είλαη έμσ απφ ην ρς-επίπεδν , θαη επνκέλσο

θάπνηα παξάιιειε πξνο ην θ ζα κπνξνχζε λα ζπκπιεξψζεη νπνηνδήπνηε

ζχ-ζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ ρς-επηπέδνπ ζε ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

νιφθιεξνπ ηνπ 𝔼 .

Δηζη πξνθχπηεη ην γεληθφηεξν πξφβιεκα νξηζκνχ κηάο πξάμεσο ζηνλ δρ. (:

δηαλπζκαηηθφ ρψξν) ℝ3 : εάλ έρνπκε δχν αλεμάξηεηα δηαλχζκαηα σ,ζ λα

πξνθχπηεη έλα ηξίην δηάλπζκα ,έζησ θ , αλεμάξηεην επίζεο κε ηα δχν πξψηα,

ψζηε λα κπνξνχλ λα παξαγάγνπλ κε ζπλεπίπεδεο επζείεο , ηθαλέο λα δψζνπλ

ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ , ψζηε ηα σ,ζ,θ λα είλαη θάζεηα αλά δχν. Ζ πξάμε

απηή είλαη ην εμσηεξηθό γηλόκελν ηνπ ℝ3 . [ηα επφκελα ζα ζέηνπκε

(*) σ (σ1,σ2, σ3) ℝ3

3). ρεηηθά κε ην εμσηεξηθφ ηνπ ℝ3 ( βιέπε νξηζκφ (18.2.2 ) :

(18.6.1) x : ℝ3 x ℝ3

ℝ3 : (σ,ζ) ((σ1,σ2, σ3), (ζ1,ζ2, ζ3)) ↦ ωxθ

(σ1,σ2, σ3)x(ζ1,ζ2, ζ3) : = (|𝜔2 ,𝜔3휃2 ,휃3

|, -|𝜔1 ,𝜔3휃1 ,휃3

| , |𝜔1 ,𝜔2휃1 ,휃2

|) ℝ3

έρνπκε ηελ επφκελε ηζνδχλακε κνξθή :

ωxθ (σ1,σ2, σ3)x(ζ1,ζ2, ζ3) = |𝜔2 ,𝜔3휃2 ,휃3

|e1-|𝜔1 ,𝜔3휃1 ,휃3

|e2 +|𝜔1 ,𝜔2휃1 ,휃2

|e3

θαη ηζρχεη ε επφκελε :

Πξόηαζε 18.7 . ην εμσηεξηθφ γηλφκελν ωxθℝ3 ησλ σ , ζℝ

3 ηθαλνπνηεί ηηο

επφκελεο ηδηφηεηεο :

(18.7.1) <ωxθ,ζ> = <ωxθ,σ> = 0 θαη άξα ωxθ⊥ζ , ωxθ⊥σ , σ , ζ ℝ3

Δπνκέλσο ην εμσηεξηθφ γηλφκελν ωxθ δχν δηαλπζκάησλ σ , ζ ηνπ ℝ3 είλαη

Page 54: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

54

θάζεην θαη πξνο ηα δύν δηαλύζκαηα σ , ζ [ σο πξνο ην ζχλεζεο εζσηεξηθφ

γηλφκελν ηνπ ℝ3].

(18.7.2) ωxθ = - θxω ⇔ ωxθ + θxω = (0,0,0) , σ , ζ ℝ3

θαη άξα

(18.7.3) ωx(λω) = 0 , σℝ3 , λ ℝ

Με άιια ιφγηα ε απεηθφληζε «x» ηνπ εμσηεξηθνχ γηλνκέλνπ είλαη αληηζπκ-

κεηξηθή θαη [εμ αηηίαο απηνχ] επνκέλσο είλαη ηεηξαγσληθά αδύλακε [βι.

(18.7.3)]

(18.7.4) (ιω1+μω2)xθ = ι(ω1xθ)+ κ(ω2xθ) ,λ,μℝ , ω1 ,ω2 , ζ ℝ3

ωx(ιζ1+μζ2) = ι(ωxθ1)+ κ(ωxθ2) ,λ,μℝ , ω , ζ1 , ζ2 ℝ3

Γειαδή ε «x» είλαη κία δηγξακκηθή απεηθφληζε. ρεηηθά έρνπκε θαη ηελ επφ-

κελε ρξήζηκε ζρέζε :

(18.7.5) <ωxθ,θ> =|𝜔1 𝜔2 𝜔3

휃1 휃2 휃3

𝜑1 𝜑2 𝜑3

| ,σ,ζ,θ ℝ3

[ ε νπνία απνηειεί έλαλ ζπλδηαζκφ ηνπ ζπλήζνπο εζσηεξηθνχ θαη ζπλήζνπο

εμσηεξηθνχ γηλνκέλνπ θαη ε επαιήζεπζή ηεο είλαη κία απιή εθαξκνγή ησλ

ζρεηηθψλ νξηζκψλ]. Μπνξεί εχθνια λα απνδεηρζεί φηη ν [ κε αξλεηηθφο] α-

ξηζκφο <ωxθ,θ> επηδέρεηαη εξκελεία όγθνπ θάπνηνπ ηξηδηάζηαηνπ

ζρήκαηνο,κε πιεπξέο πνπ πινπνηνχληαη απφ ηα επιεθφκελα δηαλχζκαηα σ ,

ζ , θ , θαη ζα νλνκάδεηαη :

«ην κεηθηό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ σ,ζ,θ ηνπ ℝ3»

Δχθνια βιέπνπκε επίζεο φηη γηα φια ηα σ,ζ,θ ℝ3 ζα έρνπκε :

(18.7.6) <ωxθ,θ> = <ω,θxθ> = <θxθ,ω> =

= <θ,θxω> = < θxω,θ> = <θ,ωxθ> .

Δπνκέλσο ην κεηθηφ γηλφκελν ηξηψλ δηαλπζκάησλ σ,ζ,θ ηνπ ℝ3 , δελ αιιά-

δεη εάλ θάλνπκε θπθιηθή ελαιιαγή ησλ δηαλπζκάησλ απηψλ.

Απόδεημε. Οιεο νη παξαπάλσ ηδηφηεηεο , είλαη άκεζεο ζπλέπεηεο ε κία ηεο άι-

Page 55: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

55

ιεο ,είηε είλαη άκεζεο ζπλέπεηεο ησλ νξηζκψλ ,αιιά θαη ησλ ηδηνηήησλ ησλ ν-

ξηδνπζψλ. Πρ. Έρνπκε φηη :

α). Ζ (18.7.5) είλαη άκεζε ζπλέπεηα ηνπ νξηζκνχ (18.6.1) [ ηνπ εμσηεξηθνχ

γηλνκέλνπ] θαη ηνπ νξηζκνχ ηνπ [ : ζπλήζνπο] εζσηεξηθνχ γηλνκέλνπ ηνπ ℝ3.

(β) . Ζ ελαιιαγή δχν γξακκψλ νξίδνπζαο ,έρεη ζαλ ζπλέπεηα ηελ αληίζεηε ηηκή

ηεο λέαο νξίδνπζαο , θαη άκεζα έρνπκε ηελ (18.7.2) . Ακεζε επίζεο ζπλέπεηα

ηεο (18.7. 2) είλαη ε (18.7. 3) .

(γ).Αθφκε ζαλ άκεζεο ζπλέπεηεο ηνπ ινγηζκνχ νξηδνπζψλ έρνπκε ηηο :

(γ-1). Ζ (18.7.1) [ : όηαλ κία νξίδνπζα έρεη δύν ίζεο γξακκέο , είηε δύν

ίζεο ζηήιεο , ηόηε ε ηηκή ηεο είλαη ίζε κε ην κεδέλ] .

(γ-2). Ζ (18.7.4) : «Ζ νξίδνπζα είλαη κία δηγξακκηθή απεηθόληζε».

Παξαηήξεζε 18.8 . (1).Δίδακε πην πάλσ φηη νη άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ ,[ αι-

ιά θαη ηα δηαλχζκαηα πνπ είλαη παξάιιεια πξνο ηνπο άμνλεο ] θαζνξίδνπλ

ηελ θαζεηφηεηα , θαη άξα ζπκβάιινπλ θαηά ηξφπν δεζκεπηηθφ ζηνλ νξηζκφ

ησλ ζρεηηθψλ εζσηεξηθώλ θαη εμσηεξηθώλ γηλνκέλσλ ηνπ θπζηθνχ ζεκεη-

νρψξνπ απφ ηα αληίζηνηρα ηνπ [ : κνληέιινπ ηνπ] ℝ3 .

Δρνπκε ηψξα έλα επίζεο ζπνπδαίν απνηέιεζκα ζρεηηθφ κε ηελ θαζεηφηεηα.

Δίλαη ην [ : ηζηνξηθφ ]

«Ππζαγόξεην ζεώξεκα».

Πξφθεηηαη γηα κία πξφηαζε πην γεληθή απφ ην θιαζζηθφ απηφ απνηέιεζκα [ θαη

άξα έρεη απηφ ζαλ πφξηζκα].

Θεώξεκα 18 . 8α (Ππζαγόξεην Θεώξεκα) . Δζησ (V,<,>) ηπρφλ ΥΔΓ θαη

∅ ≠ Μ V έλα ηπρφλ νξζνγώλην ππνζχλνιν [βι. νξηζκφ 18.4 , ζει. 47] .

Δάλ λ = 1,2,3,… είλαη ηπρφλ θπζηθφο αξηζκφο ψζηε Χ = {σ1, σ2,…, σλ} Μ

ηφηε γηα νπνηαδήπνηε λ-άδα , ι1, ι2,…, ιλ ℝ , πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ ηζρχεη

ε επφκελε ηζφηεηα :

(18.8.1). ∥ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ∥2 = ∥ι1σ1∥

2+∥ι2σ2∥2+…+∥ ιλσλ∥

2 =

= |ι1|2∥σ1∥

2+|ι2|2∥σ2∥

2+…+|ιλ|2∥σλ∥

2

Με άιια ιφγηα : ( Ππζαγόξεην Θεώξεκα ) :

ην ηεηξάγσλν ηεο λόξκαο

ηνπ αζξνίζκαηνο θαζέησλ αλά δχν δηαλπζκάησλ

είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ λνξκώλ

ησλ ίδησλ δηαλπζκάησλ.

Page 56: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

56

Απόδεημε. Σν πξψην κέινο ηεο (18.8.1) είλαη ην εζσηεξηθφ γηλφκελν :

< ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ , ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ > . Αξα ζα έρνπκε :

∥ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ∥2 =

= < ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ , ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ >

= ι1< σ1, ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ> +

+ ι2< σ2, ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ> +….

+ ιλ< σλ, ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ> .

Όκσο , απφ ηελ θαζεηφηεηα κεηαμχ ησλ σθ, σι έρνπκε πξνθαλψο

< σθ , σι > = 0. γηα θ ≠ ι . Αξα

ιθ< σθ, ι1 σ1+ ι2σ2+,…+ιλσλ>

= ιθ2< σθ,σθ> = |ιθ|

2∥σθ∥2 , θ = 1,2,…,λ.,

θαη ε απνδεημε πξνθχπηεη ηψξα άκεζα .

(2). Πξίλ επηρεηξήζνπκε ηελ κειέηε ησλ ηπραίσλ επζεηψλ θαη ησλ ηπραίσλ επη-

πέδσλ ηνπ 𝔼 είλαη εχινγν λα μεθηλήζνπκε απφ ηηο επζείεο πνπ είλαη

παξάιιειεο πξνο ηνπο άμνλεο , αιιά θαη ηα επίπεδα πνπ είλαη παξάιιεια

πξνο ηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα , δηφηη έρεη ήδε γίλεη θαλεξφ φηη ρξήδνπλ

ηδηαίηεξεο πξνζνρήο.[βι. θαη ζρήκαηα 10, 11 πην θάησ] .

Page 57: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

57

Δηζη ζεσξνχκε ηα εκεία :

(η). εκείo Κ ηνπ π(xΟψ) : 𝛰𝛫 = (α,β,0) ,

(ηη) εκείo Λ ηνπ π( ψΟz) : 𝛰𝛬 = (0,ι,κ) ,

Με βάζε ην Δπθιείδεην αίηεκα νξίδνληαη κνλνζήκαληα νη επζείεο :

(η)΄. ε ε(Κ, e3) ε(Κ, (0,0,1)) // z΄z .

(ηη)΄. μ ε(Λ, e1) ε(Λ, (1,0,0)) // x΄x .

(ηηη)΄. ε ε(M, e2) ε(M, (0,1,0)) // ς΄ς .

Λέκε επίζεο φηη

(ηηη). Σν ζεκείo Μ αλήθεη ζην π( xΟz) ⇔ 𝛰𝑀 = (δ,0,π) , γηα θάπνηα δ,π ℝ

(η)΄΄ Ζ ε είλαη ε επζεία ηνπ ζεκείνπ Κ [ : ε] παξάιιειε ζην δηάλπζκα e3

(ηη)΄΄ Ζ μ είλαη ε επζεία ηνπ ζεκείνπ Λ [ : ε] παξάιιειε ζην δηάλπζκα e1.

(ηηη)΄΄ Ζ ε είλαη ε επζεία ηνπ ζεκείνπ Μ [ : ε] παξάιιειε ζην δηάλπζκα e2.

Αξα ζα κπνξνχζε θάπνηνο λα πεξηγξάςεη ηα ζεκεία ηεο ε σο εμήο :

(19-1). ε = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (α,β,γ) ℝ3 : γℝ } , [ ⇔ ε // z΄z ]

Οκνίσο επζείεο μ , ε ηνπ 𝔼 παξάιιειεο ζηνπο άμνλεο x΄x , ς΄ς ,

(19-2) μ = {Ν 𝔼 : 𝛰𝛮 = (θ,ι,κ)ℝ3 : θℝ } , [ ⇔ ξ // x΄x ]

(19-3) ε = {Λ 𝔼 : 𝛰𝛬 = (δ,λ,π)ℝ3 : λℝ } , [ ⇔ η // ψ΄ψ ]

Οκνίσο κπνξνχκε λα πεξηγξάςνπκε ηα ζεκεία ησλ επηπέδσλ

Π(x) , Π(ς) , Π(z) [Βι. ρ. 11]

πνπ είλαη , αληίζηνηρα , παξάιιεια ζηα πληεηαγκέλα επίπεδα

(ςΟz) , (xOz) , (xOς) σο εμήο :

(19-4). Π(x) = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (ι,κ,λ)ℝ3 : κ,λℝ } , [ ⇔ Π(x) // (ψΟz) ]

(19-5). Π(ς) = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (ι,κ,λ)ℝ3 : ι,λℝ } , [ ⇔ Π(ς) // (xΟz) ]

(19-6). Π(z) = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (ι,κ,λ)ℝ3 : ι,κℝ } , [ ⇔ Π(z) // (xΟψ)]

Απφ ηηο παξαπάλσ πεξηγξαθέο πξνθχπηεη αθφκε φηη :

ηα ζεκεία , ησλ επηπέδσλ πνπ είλαη παξάιιεια ζε θάπνην

ζπληεηαγκέλν επίπεδν , έρνπλ θνηλή θαη ζηαζεξή

ηελ ζπληεηαγκέλε πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ άμνλα

ηνλ νπνίν [ θάζε έλα από απηά ηα επίπεδα ] ηέκλεη .

Οη δχν άιιεο ζπληεηαγκέλεο ηνπο αιιάδνπλ, [ θαη κάιηζηα θαηά ηξφπν αλεμάξ-

ηεην ε κία απφ ηελ άιιε. Γη΄ απηφ ιέκε φηη ην επίπεδν έρεη δύν βαζκνύο ειεπ-

ζεξίαο ] .

Page 58: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

58

Δξώηεκα :

Πνηα είλαη ε πεξηγξαθή ησλ αμόλσλ

θαη ησλ ζπληεηαγκέλσλ επηπέδσλ?

Με νδεγφ ηηο παξαπάλσ εθθξάζεηο παίξλνπκε θαηά ζεηξάλ : [ φπνπ ζέηνπκε :

μx , μς , μz γηα ηνπο άμνλεο θαη Πρς , Πςz , Πxz γηα ηα επίπεδα : ]

μx = { Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (ι,0,0)ℝ3 : ιℝ }

μς = { Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (0,κ,0)ℝ3 : κℝ }

μz = { Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (0,0,λ)ℝ3 : λℝ }

Πρς = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (ι,κ,0)ℝ3 : ι,κ } ,

Πςz = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (0,κ,λ)ℝ3 : κ,λℝ } ,

Πxz = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (ι,0,λ)ℝ3 : ι,λℝ } .

Παξαηήξεζε 18.8β. Μία πξνζεθηηθή παξαηήξεζε ζηηο παξαπάλσ

πεξηγξαθέο , δείρλεη μεθάζαξα φηη ηα δηαλχζκαηα ζπληεηαγκέλσλ 𝛰𝑀 κεηα-

θέξνπλ επηηπρψο [ θαη κε ηελ απαηηνχκελε αθξίβεηα θαη επζηνρία ] ηηο

πεξηγξαθφκελεο ζρέζεηο κεηαμχ ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ 𝔼 ζε αληίζηνηρεο ζρέ-

ζεηο κεηαμχ ζηνηρείσλ ηνπ ℝ3.[ : Ο ισχυρός ρόλος του Σ(Οxψz)] .

§ 1.3. Δμηζώζεηο Δπζεηώλ – Δπηπέδσλ.

1.3.1 Παξαιιειία ζηνπο άμνλεο θαη ηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα.

α). ηα επφκελα ζα ζεσξνχκε ηνλ θπζηθφ ζεκεηνρψξν 𝔼 ζαλ

ζπληεηαγκέλν ρώξν [ : εθνδηαζκέλν δειαδή κε θάπνην ζχζηεκα

ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz)).

Αξα ηα ζεκεία Μ ηνπ 𝔼 ηαπηίδνληαη κε ζηνηρεία ηνπ ℝ3 :

(1.3.1.1) 𝔼 M 𝛰𝛭 𝛰𝔼 = {𝛰𝛭 : M 𝔼 } {(xM ςM , zM ) : M 𝔼 } ℝ3

Ακεζε ζπλέπεηα είλαη φηη θαη ηα (:κε θελά) ππνζχλνια : ≠ 𝔼 ηαπηί-

δνληαη κε ππνζχλνια ηνπ ℝ3 :

(1.3.1.2) 𝔼 𝛰𝛴 { (xM ,ςM ,zM ) ℝ3 : M } ℝ3

Παξαδείγκαηα ππνζπλφισλ ηνπ 𝔼 είλαη νη επζείεο [: φπσο νη ε , μ , ε πην

πάλσ , πνπ είλαη παξάιιειεο ζε θάπνηνλ άμνλα ] θαη ηα επηπεδα Π(x) , Π(ς) ,

Π(z) [πνπ είλαη παξάιιεια ζηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα ] . Ζ πεξηγξαθή ηνπ

δελ καο δίλεη ηδηαίηεξεο πιεξνθνξίεο γηα ηα ζεκεία ηνπ , ζε αληίζεζε κε

Page 59: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

59

εθείλεο ησλ ε , μ , ε , θαη ησλ Π , φπνπ κεξηθέο απφ ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπο

ηθαλνπνηνχλ θάπνηεο εμηζψζεηο , [ δειαδή ππφθεηληαη ζε θάπνηνπο πεξηνξη-

ζκνχο πνπ , αθξηβψο,εθθξάδνληαη απφ ηηο αληίζηνηρεο εμηζψζεηο ].

Γηα λα δνχκε εκθαλέζηεξα ηη αθξηβψο ζπκβαίλεη , αλαπαξάγνπκε ηελ πεξη-

γξαθή ,πρ. ηεο ε θαζψο θαη ηελ πεξηγξαθή ηνπ Π(x) [βι. (19-1) , (19-4)] :

(19-1)΄. ε = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (x,ς,z) ℝ3 : x = α ,ς = β , zℝ }

(19-1)΄΄. Π(x) = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (x,ς,z) ℝ3 : x = ι , ς , zℝ } β). Οη

δχν πεξηγξαθέο είλαη ηζνδχλακεο , αιιά ζηηο (19.1)΄ θαη (19.1)΄΄ βιέ-πνπκε

εκθαλέζηεξα φηη κπαίλνπλ δχν πεξηνξηζκνί ζηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ επζεηψλ

θαη έλαο πεξηνξηζκφο ζηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ επηπέδσλ. Δηζη αξρί-

δνπκε λα θαηαιαβαίλνπκε φηη ζηνλ ηξηδηάζηαην ρψξν ηα δηάθνξα ππνζχλνια

ραξαθηεξίδνληαη απφ ηνλ αξηζκφ ηξία [ : πνπ εθθξάδεη ην άζξνηζκα : (β-1)

ηνπ πιήζνπο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο ελφο ζρήκαηνο θαη

(β-2) ηνπ πιήζνπο ησλ πεξηνξηζκψλ ζηνπο νπνίνπο ππφθεηληαη νη ζπληεηαγ-

κέλεο ησλ ζεκείσλ ηνπ ,

είλαη ίζν κε ηελ δηάζηαζε ηνπ ρψξνπ κέζα ζηνλ νπνίν κειεηάκε ην ζρήκα

απηφ. [ : Ο αξηζκφο 3 , θπζηθά εθθξάδεη ηελ δηάζηαζε ηνπ θπζηθνχ ζεκεην-

ρψξνπ 𝔼 , ( άξα θαη ηνπ κνληέιινπ ηνπ ℝ3 ) θαη επνκέλσο ζπκπίπηεη κε ην

πιήζνο ησλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ ζεκείσλ ηνπ . [Γεο θαη ζρφιηα ζην ηέινο ηνπ

(19).].

Δπνκέλσο ,πρ. , νη ηζφηεηεο :

(19-1α). x = α , ς = β

ζπληζηνχλ δχν δεζκεχζεηο , θαη απηφ ζεκαίλεη φηη ην πεξηγξαθφκελν απφ

απηέο ππνζχλνιν ηνπ 𝔼 έρεη κόλν έλαλ βαζκό ειεπζεξίαο. Γειαδή ζα είλαη

κία γξακκή. Δλλνείηαη φηη ζε ρψξνπο κεγαιχηεξεο δηάζηαζεο : 4 , 5 , 6, ….νη

βαζκνί ειεπζεξίαο κέλνπλ νη ίδηνη γηα ηα δηάθνξα ζρήκαηα.[ : κε άιια ιφγηα ηα

ζρήκαηα , ζε φινπο ηνπο ρψξνπο , έρνπλ πάληα ηνπο ίδηνπο βαζκνχο ειεπζε-

ξίαο Οη πεξηνξηζκνί επνκέλσο πξέπεη λα απμάλνληαη ψζηε :

λα ζπκπιεξώλεηαη ε δηάζηαζε ηνπ ρώξνπ.

Με άιια ιφγηα πξέπεη πάληα ην άζξνηζκα :

πεξηνξηζκώλ θαη βαζκώλ ειεπζεξίαο

λα ζπκπίπηεη κε ηελ δηάζηαζε ηνπ ρψξνπ κέζα ζηνλ νπνίν ζεσξνχκε ( : θαη

ζέινπκε λα κειεηήζνπκε) ηα ζρήκαηα απηά ] .

Page 60: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

60

Παξαηήξεζε 1.3.1α. (η). Ζ κνξθή ηεο εμηζψζεσο (19-1)΄΄ ζα πξέπεη λα καο

νδεγεί άκεζα ζηελ εξκελεία φηη ην αληίζηνηρν επίπεδν είλαη θάζεην ζηνλ

άμνλα x΄Οx . Πξάγκαηη ε εμίζσζε

(19-1β). x = ι

πεξηγξάθεη ην επίπεδν (19-1)΄΄ πην πάλσ θαη δείρλεη φηη ην επίπεδν απηφ ,

Π(x) , δηαθέξεη απφ ην ζπληεηαγκέλν επίπεδν π(ςz) ζηελ θαηεγκέλε z .

Πξάγκαηη ην π(ςz) έρεη εμίζσζε x = 0 [ αληί x = ι ] [ θαη πξνθαλψο είλαη

θάζεην ζηνλ άμνλα x΄Οx ,σο πξνο ην ζχλεζεο εζσηεξηθφ γηλφκελν <,> ηνπ

ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) ) .

(ηη). Όπσο ζα δνχκε θαη ακέζσο παξαθάησ , ε επζεία , έζησ ε , ησλ εμηζψ-

ζεσλ (19-1α) [ : γηα ηελ νπνία είλαη άκεζα θαλεξφ φηη ηζρχεη ε = Π΄Π΄΄ ,

δειαδή φηη απνηειεί ηελ ηνκή ησλ επηπέδσλ Π΄ , κε εμίζσζε x = α θαη Π΄΄ ,

κε εμίζσζε ς = β ,ηα νπνία είλαη αληίζηνηρα θάζεηα ζηνπο άμνλεο x΄Οx ,

ς΄Ος ( σο πξνο ην <,> ηνπ (Οxςz) ) επίζεο [ θαη πνπ ,άξα , είλαη παξάι-

ιεια ζηνλ άμνλα z΄Οz ] . Δπνκέλσο ε ε :

είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα z΄Oz .

[Γεο θαη επφκελα ] . Με άιια ιφγηα νη εμηζψζεηο ζηελ (19-1α) , απνηεινχλ

ηηο ιεγφκελεο αλαιπηηθέο εμηζώζεηο ηεο επζείαο ε [ θαη εθθξάδνπλ νπζηα-

ζηηθά ηνπο δχν πεξηνξηζκνχο πνπ πξέπεη λα ηθαλνπνηνχλ ηα ζεκεία ηεο ε ( :

θαη κφλνλ απηά) ] . ην ρήκα 11 θαίλεηαη θαζαξφηεξα ε ζέζε ησλ επηπέδσλ

πνπ είλαη παξάιιεια ζηα ζπληεηαγκάλα επίπεδα , θαη ηαπηφρξνλα είλαη θάζε-

ηα ζηνπο αληίζηνηρνπο άμνλεο [ σο πξνο ην <,> ηνπ (Οxςz) ) επίζεο].

(ηηη). Παξφκνηεο παξαηεξήζεηο έρνπκε θαη γηα ηηο άιιεο επζείεο , αιιά θαη ηα

άιια επίπεδα πνπ πεξηγξάςακε ζηα πξνεγνχκελα .

γ). Δρνληαο ζαλ ζηφρν ηε γελίθεπζε ηεο δπλαηφηεηφο καο λα εθθξάζνπκε

ηνπο πεξηνξηζκνχο πνπ ζα κπνξνχλ λα πξνζδηνξίζνπλ ηελ ηπραία επζεία ε

αιιά θαη ην ηπραίν επίπεδν Π ηνπ 𝔼 , παξαηεξνχκε θαη΄αξρήλ φηη ε εμίζσζε

x = ι ζηελ (19-1)΄΄ , απνηειεί ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ Π(x)

[ κία θαη κνλαδηθή γηα ην ζπγθεθξηκκέλν ( παξάιιειν ηνπ ζπληεηαγκέλνπ

επηπέδνπ (ψΟz)) επίπεδν , (Όπσο ζα δνχκε , θαη νπνηνδήπνηε άιιν επίπε-

δν ραξαθηεξίδεηαη επίζεο απφ κία θαη κνλαδηθή αλαιπηηθή εμίζσζε ] .

Page 61: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

61

(1.3.1.3) Παξάιιειν ζην (ψΟz)- επίπεδν [δηφηη ππνδειψλεηαη κε απηήλ φηη νη

ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνπ δελ αιιάδνπλ , πξάγκα πνπ ζπκβαίλεη επίζεο

ζην επίπεδν (ψΟz). Οκνίσο γηα ην ηπραίν επίπεδν Π ηνπ 𝔼 .

Παξαηεξνχκε ηψξα φηη αλ ζηελ πεξηγξαθή ηεο ε αιιάμνπκε ην δηάλπζκα

(α,β,ν) κε άιιν (α΄,β΄,ν) ≠ ( α,β,ν) ηφηε πεξηγξάθνπκε κία άιιε επζεία ε΄ :

(19-1). ε΄ = {Μ 𝔼 : 𝛰𝑀 = (α΄,β΄,γ)ℝ3 : γℝ } , [ ⇔ ε΄ // z΄z ]

πνπ είλαη επίζεο παξάιιειε ζηνλ άμνλα z΄z ,αιιά θαη ζηελ ε.[ κε ηηο νπνίεο

δελ έρεη θαλέλα ζεκείν ηεο θνηλφ].Γειαδή αιιάδνληαο έλα απφ ηα ζεκεία απφ

ηα νπνία δηέξρεηαη ε ε αιιά φρη ηελ θαηεχζπλζή ηεο παίξλνπκε νπζηαζηηθά φ-

πνηα απφ ηηο επζείεο ηεο δ(ε) [ δειαδή ηηο παξάιιειεο ηεο ε ] επηζπκνχκε .

Οκσο απφ ην ίδην κε ηελ ε ζεκείν (α,β,0) ηνπ xΟς δηέξρνληαη άπεηξεο άιιεο

επζείεο ηνπ 𝔼 δηαθνξεηηθέο κεηαμχ ηνπο [ δηφηη αλήθνπλ ζε δηαθνξεηηθή θαηεπ-

ζπλζε] . Δπνκέλσο ε θαηεχζπλζε δηαθνξνπνηεί επίζεο ηηο επζείεο ηνπ 𝔼 κε-

ηαμχ ηνπο. Δπεηδή ε θάζε θαηεχζπλζε θαζνξίδεηαη απφ κία [νπνηαδήπνηε] επ-

ζεία ηεο ,θη΄απηή απφ δχν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο [ άξα απφ έλα νπνηνδήπνηε

κε κεδεληθφ δηάλπζκα πνπ ηελ έρεη ζαλ θνξέα , εθαξκνζηφ είηε ειεχζεξν ]

γίλεηαη άκεζα αληηιεπηφ φηη νη δηάθνξεο θαηεπζύλζεηο ηνπ 𝔼 πινπνηνχληαη

απφ ηα κε κεδεληθά δηαλχζκαηά ηνπ. [δεο θαη (17)] . Αξα

(1.3.1.4). Έλα ζεκείν Α ηνπ 𝔼 θαη έλα δηάλπζκα 0 ≠ ζ ℝ3

νξίδνπλ κία επζεία ε ε(Α,ζ) .

Σελ επζεία απηή ζα ζπκβνιίδνπκε κε ε(Α,ζ) , ην ζ ζα ην πινπνηνχκε κε ην

δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπ ,θαη αλ 𝑂𝐴 = (x0,ς0,z0) , ζ = (ζ1,ζ2,ζ3) ηφηε ε

ε(Α,ζ) ζα κπνξνχζε λα πεξηγξαθεί θαη σο εμήο :

(1.3.1.5). ε(Α,ζ) = {M 𝔼 : 𝐴𝑀 = ιζ , ιℝ } ℝζ ≔ { ιζ , ιℝ }

Ο ηξφπνο απηφο πεξηγξαθήο ηεο ε(Α,ζ) ζα ιέγεηαη :

(*) Ζ δηαλπζκαηηθή εμίζσζε ηεο ε(Α,ζ)

Ακεζα επίζεο απφ ηελ παξαπάλσ εμίζσζε παίξλνπκε θαη ηηο επφκελεο :

Δζησ Μ ε(Α,ζ) ηπρφλ θαη 𝛰𝛭 = (x,ς,z) . Σφηε ιℝ :

(1.3.1.6). ιζ = 𝐴𝑀 = 𝐴𝑂 + 𝑂𝑀 =𝑂𝑀 - 𝑂𝐴 = (x,ς,z) – (x0,ς0,z0) =

= (x-x0,ς-ς0,z-z0) = ι(ζ1,ζ2,ζ3) = (ιζ1,ιζ2,ιζ3) .

Δηζη παίξλνπκε ηζνδχλακα :

(1.3.1.7). x = x0 + ι ζ1 , ς = ς0 + ιζ2 , z = z0 + ιζ3 , ιℝ

Οη ηειεπηαίεο εμηζψζεηο ζα ιέγνληαη ζην εμήο :

Page 62: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

62

(**) νη παξακεηξηθέο εμηζώζεηο ηεο ε(Α,ζ)

Οη ιεγφκελεο

αλαιπηηθέο εμηζώζεηο ηεο επζείαο

είλαη απηέο πνπ ζπλδένπλ ηηο κεηαβιεηέο x , ς , z κεηαμχ ηνπο ρσξίο ηελ πα-

ξνπζία παξακέηξσλ. Δπνκέλσο πξνθχπηνπλ κε απαινηθή ηεο παξακέηξνπ

ι απφ ηηο (1.3.1.6). Ζ αληηθαηάζηαζε ηνπ ι ζα κπνξεί λα επηηεπρζεί απφ

νπνηαδήπνηε εθ ησλ εμηζψζεσλ απηψλ ,ζηελ νπνία ν ζπληειεζηήο ηνπ ι εί-

λαη δηάθνξνο ηνπ 0.Δπεηδή (0,0,0) ≠ (ζ1, ζ2 ,ζ3) = ζ , θάπνηα απφ ηηο (1.3.1.6)

απειεπζεξψλεη ην ι θαη επηηξέπεη ηελ αληηθαηάζηαζή ηνπ ζηηο άιιεο δχν. Οη

εκθαληδφκελεο πεξηπηψζεηο είλαη νη επφκελεο

(η) ζ1ζ2ζ3 ≠ 0 , (ηη) ζ1= 0 , ζ2ζ3 ≠ 0 , (ηηη) ζ2= 0 , ζ1ζ3 ≠ 0

(ηv) ζ3= 0 , ζ1ζ2 ≠ 0 , (λ) ζ2 = ζ1= 0 , ζ3 ≠ 0 ,(λη) ζ2 = ζ3 = 0 , ζ1≠ 0 ,

(ληη) ζ1 = ζ3 = 0 ,ζ2 ≠ 0 .Δπνκέλσο ε απαινηθή ηνπ ι δίλεη θαηά πεξίπησζε :

(η) 𝑥−𝑥0

휃1 =

𝜓−𝜓0

휃2 =

𝑧−𝑧0

휃3

(ηη) 𝜓−𝜓0

휃2 =

𝑧−𝑧0

휃3 , x = x0

(ηηη) 𝑥−𝑥0

휃1 =

𝑧−𝑧0

휃3 , ς = ς0

[ θαη αθφκε ε κε αλεμάξηεηε απφ ηηο δχν παξαπάλσ (ηη) θαη (ηηη) , αιιά ηθαλή

λα αληηθαηαζηήζεη νπνηαδήπνηε απφ απηέο :

(ηλ) 𝑥−𝑥0

휃1 =

𝜓−𝜓0

휃2 , z= z0

(λ) x = x0 , ς = ς0 , z ℝ

(λη) ς = ς0 , z = z0 , x ℝ

(ληη) x = x0 , z = z0 , ςℝ

ρόιην . Ζ πεξίπησζε (η) αληηζηνηρεί ζηελ εμάξηεζε κεηαμχ φισλ ησλ κεηα-

βιεηψλ αλά δχν θαη φπσο θαίλεηαη ζπκβαίλεη φηαλ θαη νη ηξείο ζπληεηαγκέλεο

ηεο θαηεχζπλζεο ζ = (ζ1, ζ2 ,ζ3) είλαη δηάθνξεο απφ ην κεδέλ.Ζ αληίζηνηρε

επζεία ηφηε δελ είλαη παξάιιειε νχηε ζε θάπνηνλ άμνλα νχηε ζε θάπνην επί-

πεδν ζπληεηαγκέλσλ . [ Δπνκέλσο ηέκλεη φια ηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα ηνπ

ζπζηήκαηνο (Oxςz) ] .

Page 63: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

63

1.4. To ηπραίν επίπεδν ηνπ 𝔼 .

ηηο πεξηπηψζεηο (ηη), (ηηη) , (ηλ) , νη δχν απφ ηηο ηξείο ζπληζηψζεο ηεο θαηεχ-

ζπλζεο ζ είλαη δηάθνξεο απφ ην κεδέλ , αιιά ε ηξίηε είλαη ίζε κε ην κεδέλ

θαη ππάξρεη εμάξηεζε κεηαμχ ησλ δχν απφ ηηο ηξείο κεηαβιεηέο , ελψ ε Σξίηε

κεηαβιεηή είλαη ειεχζεξε.[ : ε αληίζηνηρε επζεία είλαη ηφηε παξάιιειε ζε

θάπνην απφ ηα ζπληεηαγκέλα επίπεδα, αιιά φρη ζε θάπνηνλ άμνλα.]

ηηο πεξηπηψζεηο (λ) , (λη) , (ληη) , δελ ππάξρεη εμάξηεζε κεηαμχ ησλ κεηαβιε-

ηψλ ,νη δύν από απηέο έρνπλ ζηαζεξή ηηκή θαη κφλνλ ε κία [ πάιη ]

είλαη ειεχζεξε.

[ : ε αληίζηνηρε επζεία είλαη ηφηε παξάιιειε ζε θάπνηνλ άμνλα. Δίλαη αθξηβψο

ν άμνλαο ζηνλ νπνίν θηλείηαη ε ειεύζεξε κεηαβιεηή ].

Γηα λα θαηαιάβνπκε πσο πξέπεη λα πεξηγξάςνπκε ηηο δεζκεχζεηο ζηηο νπνίεο

νθείινπλ λα ππαθνχνπλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ελφο ηπραίνπ επηπέ-

δνπ ,ζεσξνχκε έλα επίπεδν Π θαη ηξία κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α,Β ,Γ ηνπ Π.

Σφηε (βιέπε θαη ζρήκα 13) ,φια ηα ζεκεία ηνπ ζπλφινπ :

(1.4.1) Π(A,B,Γ) {Μ 𝔼 : 𝛢𝑀 = ι𝛢𝛣 + κ𝛢𝛤 : ι,κℝ }

βξίζθνληαη επί ηνπ επηπέδνπ Π. Ηζρχεη θαη ην αληίζηξνθν :

Κάζε ζεκείν Μ ηνπ Π βξίζθεηαη ζην ζύλνιν Π(A,B,Γ) .

Δπνκέλσο ην Π(Α,Β,Γ) πεξηγξάθεη επαθξηβψο ην ζχλνιν φισλ ησλ ζεκείσλ

ηνπ Π θαη κφλνλ απηψλ.[Απηή ε δηαπίζησζε είλαη κία επί πιένλ επηβεβαίσζε

Page 64: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

64

ηεο πξνηάζεσο φηη ηξία κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία ηνπ 𝔼 θαζνξίδνπλ πιήξσο έλα

επίπεδν.

Παξαηεξνχκε αθφκε φηη ηα δηαλχζκαηα 𝛢𝛣 , 𝛢𝛤 είλαη αλεμάξηεηα κεηαμχ

ηνπο.Αβίαζηα ηψξα πξνθχπηεη ην βαζηθφ ζπκπέξαζκα φηη δχν αλεμάξηεηα

δηαλχζκαηα σ , ζ ηνπ δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ ℝ3 [πνπ είλαη ην κνληέιιν ηνπ 𝔼

] θαη έλα ζεκείν , έζησ Α , ηνπ 𝔼 , νξίδνπλ πιήξσο , επίζεο, ηελ ζέζε ελφο

επηπέδνπ Π ηνπ 𝔼 . Σν επίπεδν απηφ ζα ζπκβνιίδνπκε κε Π(Α,σ,ζ) θαη ζα

ιέκε φηη είλαη ην επίπεδν ηνπ Α πνπ είλαη παξάιιειν ζηα [ αλεμάξηεηα ]

δηαλχζκαηα σ , ζ .

[Οπζηαζηηθά ην Π(Α,σ,ζ) είλαη παξάιιειν ζηηο επζείεο ε(Α,σ) θαη ε(Α,ζ) ,

επνκέλσο θαη ζε θάζε επζεία ε(Β,σ) θαη ε(Γ,ζ) , γηα νπνηαδήπνηε ζεκεία Β ,Γ

ηνπ 𝔼 ] .ρεηηθά έρνπκε ηα επφκελα :

Οξηζκόο 1.4.1 Ολνκάδνπκε επίπεδν Π(A,σ,ζ) ηνπ Α 𝔼 , παξάιιειν

πξνο ηα [αλεμάξηεηα] δηαλχζκαηα σ,ζ ℝ3 ην (ππν)ζχλνιν :

(1.4.2) Π Π(Α,σ,ζ) {Μ 𝔼 : 𝛢𝑀 = ισ+ κζ : ι,κℝ}

[ ηνπ θπζηθνχ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 ] .

Σν Π(Α,σ,ζ) ζα νλνκάδεηαη

« ην επίπεδν ηνπ (ζεκείνπ) Α πνπ είλαη παξάιιειν ζηα

[ : αλεμάξηεηα ] δηαλχζκαηα σ , ζ ,[ ηα νπνία επίζεο είλαη

παξάιιεια ζην επίπεδν Π(Α,σ,ζ)] » .

Ζ παξαπάλσ εμίζσζε ελφο επηπέδνπ είλαη ε ιεγφκελε

Page 65: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

65

δηαλπζκαηηθή εμηζώζε ηνπ Π(Α,σ,ζ)

θαη νδεγεί ζηηο παξακεηξηθέο εμηζψζεηο απηνχ ,αιιά θαη ζηελ αλαιπηηθή ηνπ

εμίζσζε σο εμήο :

Δζησ ηπρφλ Μ Π(Α,σ,ζ) . Δάλ 𝛰𝑀 = (x,ς,z) , θαη 𝛰𝛢 = (x0,ς0,z0) , ηφηε απφ

(1.4.3) 𝛢𝑀 = ισ+ κζ ⇔ 𝛰𝑀 − 𝛰𝛢 = ι(σ1, σ2, σ3) +κ(ζ1, ζ2, ζ3) ⇔

⇔ (x,ς,z)- (x0,ς0,z0) = (ι σ1+κ ζ1 , ι σ2+κ ζ2 , ι σ3+κ ζ3 )

⇔ (x- x0, ς-ς0, z-z0) = (ι σ1+κ ζ1 , ι σ2+κ ζ2 , ι σ3+κ ζ3 ) ⇔

⇔ x- x0 = ι σ1+κ ζ1 , ς-ς0 = ι σ2+κ ζ2 , z-z0 = ι σ3+κ ζ3 , ι , κ ℝ .

Βιέπνπκε άκεζα φηη νη παξάκεηξνη ι , κ αιιάδνπλ ειεχζεξα [ : απζαίξεηα]

ηηκή , [ θαη απηφ αθξηβψο ελλννχκε φηαλ ιέκε φηη έρνπκε

«δύν βαζκνύο ειεπζεξίαο ζην επίπεδν» ]

Δπεηδή είκαζηε ζε έλαλ ηξηδηάζηαην ρψξν αλακέλνπκε κία κφλν δέζκεπζε.

Με άιια ιφγηα αλακέλνπκε φηη ην επίπεδν ραξαθηεξίδεηαη απφ κία αλαιπηη-

θή εμίζσζε. Ζ εμίζσζε απηή πξνθχπηεη απφ ηελ (1.4.3) κε απαινηθή ησλ

παξακέηξσλ ι , κ. Οκσο πξνθχπηεη επίζεο απφ ηελ (1.4.2) κε ηελ ζπλδξν-

κή ηεο έλλνηαο ηνπ εμσηεηθνχ γηλνκέλνπ [ : ρξήζε ηεο (18.7.3) , ζει. 39 , 40] :

1.4.1α Δύξεζε ηεο αλαιπηηθήο εμίζσζεο ηνπ Π(Α,σ,ζ) :

Δζησ Μ Π(Α,σ,ζ) ηπρφλ . Δπνκέλσο [ γηα θάπνηα ι , κ ℝ] ζα έρνπκε :

(*) 𝐴𝛭 = ισ+κζ ⊥ σxζ = (|𝜔2 ,𝜔3휃2 ,휃3

|, -|𝜔1 ,𝜔3휃1 ,휃3

| , |𝜔1 ,𝜔2휃1 ,휃2

|) ⇔

Δάλ 𝛰𝛭 = (x,ς,z) θαη 𝛰𝛢 = (x0,ς0,z0) ηφηε : 𝐴𝛭 =(x- x0 , ς- ς0 , z-z0) θαη

απφ (*) παίξλνπκε :

< 𝐴𝛭 , σxζ > = 0 ⇔

⇔ < (x- x0 , ς- ς0 , z-z0) , (|𝜔2 ,𝜔3휃2 ,휃3

|, -|𝜔1 ,𝜔3휃1 ,휃3

| , |𝜔1 ,𝜔2휃1 ,휃2

|) > = 0 ⇔

(1.4.4) (x- x0 ) (|𝜔2 ,𝜔3휃2 ,휃3

|)+( ς- ς0)(-|𝜔1 ,𝜔3휃1 ,휃3

|) +(z-z0)(|𝜔1 ,𝜔2휃1 ,휃2

|) = 0.

(1.4.4)΄ |𝜔1 𝜔2 𝜔3

휃1 휃2 휃3

(x − x 0) ( ψ − ψ0) ( z − z0)| = 0 ⇔

Page 66: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

66

⇔ |(x − x 0) (ψ − ψ 0) (z − z 0)

𝜔1 𝜔2 𝜔3

휃1 휃2 휃3

| = 0 .

Δζησ ηψξα Μ,Ν ζεκεία ηνπ Π(Α,σ,ζ) ηπρφληα θαη άξα απφ (*) ζα έρνπκε :

𝛮𝛭 = 𝛮𝛢 +𝛢𝛭 = 𝛢𝛭 - 𝛢𝛮 ⊥ σxζ

Δηζη βιέπνπκε φηη ην εμσηεξηθφ γηλφκελν σxζ ησλ αλεμαξηήησλ δηαλπζκά-

ησλ σ,ζ [ : πνπ είλαη παξάιιεια ζην Π(Α,σ,ζ) Π ] , είλαη θάζεην ζην Π .

Με άιια ιφγηα ην σxζ είλαη θάζεην ζε φια ηα δηαλχζκαηα πνπ είλαη

παξάιιεια ζην Π . Θέηνπκε (α,β,γ) = σxζ θαη απφ ηελ (1.2.2.3) παίξλνπκε :

(*) αx+βς+γz = αx0+βς0+γz0 ⇔ αx+βς+γz+δ = 0 ,-δ = αx0+βς0+γz0

Βιέπνπκε επνκέλσο φηη ε αλαιπηηθή εμίζσζε ελφο επηπέδνπ Π θαζνξίδεηαη

πιήξσο :

(1.4.5) από ηηο ζπληεηαγκέλεο έλόο νπνηνπδήπνηε ζεκείνπ Α :

𝛰𝛢 = (x0,ς0,z0)

ηνπ Π θαη από ηηο ζπληεηαγκέλεο σ = (α,β,γ) ≠ (0,0,0) ελφο νπνηνπδήπνηε

[ κε κεδεληθνχ ] δηαλχζκαηνο σ πνπ είλαη θάζεην πξνο ην επίπεδν απηφ .

[ νη ζπληεηαγκέλεο (α,β,γ) ηνπ θαζέηνπ πξνο ην Π δηαλχζκαηνο σ απνηε-

ινχλ ην δηάλπζκα ησλ ζπληειεζηώλ ησλ αγλψζησλ x,ς,z ζηελ αλαιπηηθή

εμίζσζε ηνπ Π ] :

(1.4.5)΄ Α Π : 𝛰𝛢 = (x0,ς0,z0) , σ ⊥ Π : σ = (α,β,γ) ≠ (0,0,0) ⇔

⇔ αx+βς+γz = αx0+βς0+γz0 - δ ⇔ α(x- x0)+β(ς-ς0)+γ(z-z0) = 0 .

1.4.1β Δύξεζε ησλ παξακεηξηθώλ εμηζώζεσλ ηνπ Π(Α,σ,ζ) :

Απφ ηελ (1.4.3) ε δηαηχπσζε ησλ παξακεηξηθψλ εμηζψζεσλ ηνπ επηπέ-δνπ

Π παίξλνπλ ηελ ηειηθή κνξθή :

x = x0 + ι σ1+κ ζ1 , ι , κ ℝ

ς = ς0 + ι σ2+κ ζ2 , ι , κ ℝ

z = z0 + ι σ3+κ ζ3 , ι , κ ℝ .

[Όπσο παξαηεξήζεθε ήδε νη δχν παξάκεηξνη ι , κ είλαη αλεμάξηεηνη θαη απ-

ηφ νδεγεί ζηελ δηαπίζησζε φηη ην επίπεδν δηαζέηεη δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο].

1.4.1γ. Μία ρξήζκε παξαηήξεζε-θαηαζθεπή . (α). Όηαλ έρνπκε έλα κε

Page 67: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

67

κεδεληθφ δηάλπζκα :

(0,0,0) ≠ (α,β,γ) = σ ℝ3 ,

ηφηε κπνξνχκε λα θαηαζθεπάζνπκε απφ απηφ δχν άιια αλεμάξηεηα δηαλχ-

ζκαηα θ , ζ θάζεηα πξνο ην σ :

(η) Μία ηνπιάρηζηνλ απφ ηηο ζπληεηαγκέλεο α,β,γ ηνπ σ πξέπεη λα είλαη δηα-

θνξεηηθή απφ ην κεδέλ .

(ηη). Δζησ πρ. α ≠ 0 . Σφηε έρνπκε θαη

ζ (β,-α, 0) , θ (γ,0,-α) ≠ (0,0,0) .

Παξαηεξνχκε φηη < σ,θ> = αβ-αβ = 0 = <σ,ζ> = αγ-αγ . Αξα ζ , θ ⊥ σ θαη

ηα σ ,ζ ,θ είλαη αλεμάξηεηα [ θαη άξα δίλνπλ κία βάζε ηνπ ℝ3 . Παξαηεξνχκε

αθφκε φηη

θxζ = ασ ⊥ θ , ζ .

(ηηη). Οκνίσο ελεξγνχκε φηαλ είλαη β ≠ 0 είηε γ ≠ 0] .

(β). Με βάζε θαη ηελ πξνεγνχκελε ζρέζε ,βιέπνπκε φηη γηα νπνηνδήπνηε δηά-

λπζκα σ = (α,β,γ) ≠ (0,0,0) ην επίπεδν Π = Π(Α, ⊥σ) είλαη επίζεο ηεο

κνξθήο Π=Π(Α,θ,ζ) κε ηα θ , ζ φπσο πην πάλσ.

(ηλ). Δρεη ήδε αηηηνινγεζεί επαξθψο φηη ην ζπκβνιηδφκελν κε Π Π(Α,σ,ζ)

[ φπνπ σ,ζ είλαη αλεμάξηεηα ] ππνζχλνιν ηνπ 𝔼 είλαη κία γξακκηθή

πνιιαπιόηεηα. [ Με άιια ιφγηα ην Π είλαη θιεηζηφ ζηνλ ζρεκαηηζκφ ησλ

επζεηψλ πνπ νξίδνληαη απφ νπνηαδήπνηε δχν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ ] .Μία α-

θφκε επηβεβαίσζε απηήο ηεο θιεηζηφηεηνο έρνπκε απφ ηελ επφκελε άζθεζε :

Αζθεζε 1.4.1δ. Δζησ φηη ηα δηαλχζκαηα σ ,ζ ℝ3 είλαη αλεμάξηεηα.Γείμηε φηη

γηα νπνηαδήπνηε Μ,ΝΠΠ(Α,σ,ζ) κε Μ ≠ Ν ηζρχεη :

(α) ε(Μ,Ν) Π θαη β) εάλ ε είλαη κία νπνηαδήπνηε επζεία ηνπ Π ηφηε ππάξ-

ρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν ΒΠ ην νπνίν δελ αλήθεη ζηελ ε. ( Με άιια ιφγηα

ην Π είλαη κία γξακκηθή πνιιαπιφηεηα αιά φρη κία επζεία ).

Απόδεημε. (α). Απφ ηνλ νξηζκφ ηνπ Π έρνπκε 𝛭𝛮 = θ ≠ 0 θαη

𝛢𝛭 = ισ+κζ θαη 𝛢𝛮 = ι΄σ+κ΄ζ

Γηα ηπρφλ Γε(Μ,Ν) 𝛥𝛭 = ξθ = ξ𝛭𝛮 = ξ(𝛢𝛮 -𝛢𝛭 ) = ξ(ι΄σ+κ΄ζ – ισ – κζ)

Page 68: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

68

= ξ(ι΄-ι)σ + ξ(κ΄- κ)ζ . Δπνκέλσο 𝛢𝛥 = [ απφ ηνλ νξηζκφ ηνπ Π ] = 𝛢𝛭 +

𝛭𝛥 = ισ+κζ - ξ(ι΄-ι)σ - ξ(κ΄- κ)ζ θαη άξα Γ Π(Α,σ,ζ). Με άιια ιφγηα δεί-

μακε φηη ε(Μ,Ν) Π(Α,σ,ζ)

(β) Δζησ ηψξα ε = ε(Γ,θ) Π επζεία . Πξέπεη λα βξνχκε ΕΠ : Zε .

(β-1) Παξαηεξνχκε φηη Π = Π(Γ,σ,ζ).

(β-2) Γηα ηπρφλ Με παίξλνπκε ξθ = 𝛥𝛭 = 𝛥𝛢 +𝛢𝛭 ⇔ 𝛢𝛭 = ξθ +𝛢𝛥

Οκνίσο ζα έρνπκε : 𝛢𝑁 = ξ΄θ +𝛢𝛥 .Με άιια ιφγηα θάζε ζεκείν Ρ ηεο ε

ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

𝛢𝛲 = 𝛢𝛥 +ιΡθ , ιΡℝ , Ρ ε

Αληίζηξνθα : Δζησ Z 𝔼 : 𝛢𝑍 = 𝛢𝛥 +κθ .Σφηε 𝛥𝑍 = 𝛥𝛢 +𝛢𝛧 =

𝛥𝛢 +𝛢𝛥 +κθ = κθ θαη άξα Ε ε . Με άιια ιφγηα δείμακε φηη :

(*) 𝛢𝑍 = 𝛢𝛥 +κθ = 𝛢𝛥 +κ(ισ+ξζ) ⇔ Ε ε

Όπνπ θ = ισ+ξζ .

Θεσξνχκε ηψξα ζεκείν Κ : 𝛢𝛫 =𝛢𝛥 +κισ + κξ΄ζ κε ξ΄ ≠ ξ

Σφηε ΚΠ αιιά Κε θαη ε απφδεημε είλαη πιήξεο.

1.4.2 Δηδηθέο πεξηπηώζεηο εμηζώζεσλ επηπέδσλ :

Αληηθαζηζηψληαο ζηελ (1.2.2.3)΄΄, γηα δηάθνξεο εηδηθέο πεξηπηψζεηο ,έρνπκε

[ βιέπε θαη ζρήκαηα 10 , 11 , ζει. 50 ] :

(1.4.2α) (0,0,0) ≠ (α,0,0) = σ ⇔ α ≠ 0 .

(1.4.2α)΄ x = x0 ,

[ επνκέλσο ζηελ πεξίπησζε απηή , ε πιήξεο πεξηγξαθή ηνπ επηπέδνπ

Π = Π(Α,σ,ζ) : σxζ = (α,0,0) , 𝛰𝛢 = (x0,ς0,z0) , ζα είλαη : ]

Π = {M : 𝛰𝑀 = (x,ς,z) , x = x0 , ς,z ℝ }

Δπνκέλσο έρνπκε θαη ηηο επφκελεο αληίζηνηρεο πεξηπηψζεηο :

(1.4.2β) (0,0,0) ≠ (0,β,0) = σ ⇔ β ≠ 0 .

(1.4.2β)΄ ς = ς0 ,

Π = {M 𝔼 : 𝛰𝑀 = (x,ς,z) , ς = ς0 , x,z ℝ }

(1.4.2γ) (0,0,0) ≠ (0,β,0) = σ ⇔ β ≠ 0 .

(1.4.2γ)΄ ς = ς0 ,

Π = {M 𝔼 : 𝛰𝑀 = (x,ς,z) , z = z0 , x, ς ℝ }

Αζθεζε 1.4.3. Δάλ σ,ζ είλαη δχν αλεμάξηεηα ζηνηρεία ηνπ ℝ3 απνδείμηε

ηα επφκελα :

Page 69: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

69

(i). Κακκία απφ ηηο επζείεο ε(Β,σ) , ε(Γ,ζ) ηνπ 𝔼 δελ έρεη θνηλφ ζεκείν κε ην

επίπεδν Π(Α,σ,ζ) εάλ ηα ζεκεία Β , Γ δελ είλαη ζεκεία ηνπ Π(Α,σ,ζ) . Με

άιια ιφγηα νη ε(Β,σ) , ε(Γ,ζ) είλαη ηόηε παξάιιειεο ηνπ Π(Α,σ,ζ) .

(ηη) Δάλ έλα ζεκείν Ρ ηνπ 𝔼 βξίζθεηαη ζην Π(Α,σ,ζ) λα βξεζεί ε ζρέζε ηεο

επζείαο ε(Ρ,σ) κε ην Π(Α,σ,ζ) .Δπίζεο ηεο ε(Ρ,ζ).

(ηηη).Δάλ Π΄ είλαη επίπεδν ηνπ 𝔼 πνπ πεξηέρεη επζεία ε(Λ,σ) , ηφηε είηε ην Π΄

δελ έρεη θνηλά ζεκεία κε ην Π(Α,σ,ζ) , είηε ηαπηίδεηαη κε απηφ , είηε έρεη κε απ-

ηφ κία θνηλή επζεία ε΄ παξάιιειε ζην σ . Αλ είλαη έλα ζεκείν ηεο ε΄, πεξη-

γξάςηε πιήξσο ηελ ε΄.

(ηλ).Γηαηππψζηε ην (ηηη) γηα επζεία ε(Λ,ζ) , θαη επηιχζηε , επίζεο , απηήλ.

Λύζε. (α) Απόδεημε ηνπ (η). Δζησ φηη Β Π(Α,σ,ζ) , αιιά φηη θάπνην ζεκείν

Ρ ηεο επζείαο ε(Β,σ) είλαη θαη ζεκείν ηνπ Π(Α,σ,ζ) . Σφηε Β ≠ Ρ [ : δηφηη

Β Π(Α,σ,ζ) , ελψ Ρ Π(Α,σ,ζ)].Σφηε [απφ (1.2.1.4) θαη απφ (1.2.2.1) ] .

Πξέπεη : 𝐴𝛲 = ξσ , θαη : 𝛣𝛲 = ξ΄σ , γηά θάπνηα ξ΄ , ξℝ Αξα

𝐴𝛣 = 𝐴𝛲 + 𝛲𝛣 = ξσ – ξ΄σ = (ξ – ξ΄)σ = (ξ – ξ΄)σ + 0.ζ

θαη επνκέλσο απφ (1.2.2.1) πξέπεη Β Π(Α,σ,ζ) πνπ αληίθεηηαη ζηελ

ππφζεζε φηη Β Π(Α,σ,ζ) . Με άιια ιφγηα φηαλ Β Π(Α,σ,ζ) , θαλέλα

ζεκείν Ρ ηεο επζείαο ε(Β,σ) δελ κπνξεί λα είλαη θαη ζεκείν ηνπ Π(Α,σ,ζ).

Απηφ ζεκαίλεη φκσο φηη ε επζεία ε(Β,σ) είλαη παξάιιειε κε ην Π(Α,σ,ζ) .

Οκνίσο ζπκπεξαίλνπκε θαη γηα ηελ ε(Γ,ζ) , θαη έρνπκε ηελ απφδεημε ηνπ (η).

(β) Δπίιπζε ηνπ (ηη). Αλ ην Ρ είλαη ζην Π(Α,σ,ζ) ,ηφηε ε ε(Ρ,σ) δελ κπνξεί

λα πεξηέρεη ζεκείν Β πνπ λα είλαη έμσ απφ ην Π(Α,σ,ζ) . [Γηφηη απφ ην (η)

ζάπξεπε λα είλαη πα-ξάιιειε ζην Π(Α,σ,ζ) , ελψ έρεη θνηλφ κε ην Π(Α,σ,ζ)

ην ζεκείν Ρ.] Αξα φια ηα ζεκεία ηεο ε(Ρ,σ) είλαη θαη ζεκεία ηνπ Π(Α,σ,ζ) ,

θαη ε ε(Ρ,σ) είλαη κία επ-ζεία ηνπ Π(Α,σ,ζ) .

(γ) Ζ (ηηη) ηζρχεη εάλ (1) ην Π΄ ηαπηίδεηαη κε ην Π(Α,σ, ζ) είηε φηαλ (2) δελ

έρεη κε απηφ θαλέλα θνηλφ ζεκείν (3) . Απνκέλεη ε πεξίπησζε πνπ ην Π΄ έρεη

θνηλά ζεκεία κε ην Π(Α,σ,ζ) ρσξίο λα ηαπηίδεηαη κε απηφ.Σφηε φκσο ηα επί-

πεδα Π(Α,σ,ζ) θαη Π΄ ηέκλνληαη θαηά κία επζεία ε΄ ηνπ 𝔼 . Η ε΄ πξέπεη λα

είλαη παξάιιειε κε ηελ ε(Λ,σ) . Πξάγκαηη ηφηε ζα έρνπκε :

H ε(,σ) είλαη παξάιιειε ζην Π(Α,σ,ζ) [ δηφηη είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία

ε(Α,σ) ηνπ Π(Α,σ,ζ).] θαη απφ ην (ηη) πξέπεη λα βξίζθεηαη επί ηνπ Π(Α,σ,ζ).

Οκνίσο φκσο ε ε(,σ) βξίζθεηαη θαη επί ηνπ Π΄. Δπνκέλσο

Page 70: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

70

ε(,σ) = Π΄ Π(Α,σ,ζ) = ε΄.

Με άιια ιφγηα :

ε ηνκή ε΄ δύν δηαθνξεηηθώλ θαη κε παξάιιεισλ επηπέδσλ

πνπ είλαη θαη ηα δύν παξάιιεια ζε θάπνην δηάλπζκα σ ,

είλαη θη απηή παξάιιειε ζην σ .

(ηλ). Δίλαη πξνθαλέο , φηη αληίζηνηρεο πξνο ηελ (ηηη) πξνηάζεηο κπνξνχλ λα δηα-

ηππσζνχλ γηα ην Π(Α,σ,ζ) θαη νπνηαδήπνηε επζεία ε(Λ,ζ) θιπ

Δίλαη ήδε θαλεξφ φηη

ε ζρέζε ηεο θαζεηόηεηνο

είλαη εμ ίζνπ ζεκαληηθή κε εθείλελ ηεο παξαιιειίαο .

Μία δηαθνξά ησλ δχν ελλνηψλ είλαη φηη :

ε θαζεηόηεηα κπνξεί λα δηαθνξνπνηείηαη ,

αθνχ εηζάγεηαη κε ηελ ρξήζε ελφο κεγάινπ πιήζνπο ζπλαξηήζεσλ [ δειαδή

ησλ εζσηεξηθώλ γηλνκέλσλ] . Ζ επρέξεηα επηινγήο απηψλ ησλ ζπλαξηήζεσλ

νπζηαζηηθά θαζηζηά εθηθηφ λα

κπνξνύκε λα θαηαζηήζνπκε θάζεηεο

νπνηεζδήπνηε ηξείο κε ζπλεπίπεδεο [ζπγθιίλνπζεο] επζείεο .

[ : Βιέπε θαη ζρεηηθέο παξαηεξήζεηο γηα ηα πιενλεθηήκαηα πνπ απνξξένπλ

απφ ηελ παξνπζία θάπνηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) ,ηελ πξνθχ-

πνπζα θαζεηόηεηα ,αιιά θαη ηελ αληίζηνηρε λόξκα θαη κεηξηθή πνπ ζπλδέε-

ηαη κε ην ζπγθεθξηκέλν ζχζηεκα.Δηζη πξέπεη λα ηνλίζνπκε ηδηαίηεξα ηελ δεζ-

κεπηηθή ηαθηνπνίεζε ηνπ κήθνπο πάλσ ζε φιεο ηηο επζείεο [θαηεπζύλζεηο]

κέζα ζηνλ 𝔼 [ πνπ βαζίδεηαη ζηελ έλλνηα ηεο απόζηαζεο d(M,N) κεηαμχ δχν

νπνησλδήπνηε ζεκείσλ M,N𝔼]. Βιέπε ηδηαίηεξα ηα πεξί ζθαίξαο θαη θχθινπ

ζηα επφκελα.] .

1.5. Θεσξήκαηα επζεηώλ θαη επηπέδσλ.

Καζεηνπνίεζε δηαλπζκάησλ . Θεσξνχκε ηπραία δηαλχζκαηα σ , ζ ηνπ ℝ3

θαη ζέηνπκε :

(ηλ-α). σ΄ σ - <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ ⊥ ζ , σ , ζ ℝ3

Πξάγκαηη :

Page 71: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

71

<σ΄, ζ> = <σ - <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ , ζ> = <σ,ζ> -

<𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> <ζ,ζ> = 0 .

Πξέπεη εδψ λα παξαηεξήζνπκε φηη αλ ηα σ , ζ δελ είλαη αλεμάξηεηα , ε παξα-

πάλσ θαζεηφηεηα ησλ σ΄ θαη ζ [ πνπ φηαλ αλαθέξεηαη ζε κε κεδεληθά

δηαλχζκαηα ζεκαίλεη επίζεο φηη απηά είλαη θαη αλεμάξηεηα ] δελ κπνξεί λα

ηζρχεη παξά κφλνλ εάλ ην σ΄ είλαη ην κεδεληθό δηάλπζκα . [ λα γίλεη ε

δηαηχπσζε θαη απφδεημε ζρεηηθήο πξνηάζεσο !] .Με άιια ιφγηα ηζρχεη ε

επφκελε άζθεζε

Αζθεζε 1.5.1.Δάλ 0 ≠ σ , ζ ℝ3 και σ΄ σ - <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ , ηφηε

(η) ηα σ΄,ζ είλαη αλεμάξηεηα εάλλ ηα σ, ζ είλαη αλεμάξηεηα θαη ηφηε έρνπλ θαη

ηελ ίδηα γξακκηθή ζήθε.[ δειαδή παξάγνπλ ην ίδην ζύλνιν γξακκηθώλ ζπλ-

δπαζκψλ ] .

(ηη) ην σ΄ είλαη ην κεδεληθφ δηάλπζκα εάλ ηα σ,ζ είλαη εμαξηεκέλα θαη ηφηε

(1.5.1) σ = <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ

[ φπσο ζα δνχκε , ν παξαπάλσ ηχπνο γεληθεχεηαη , γηα λ ην πιήζνο θάζεηα

αλά δχν κε κεδεληθά δηαλχζκαηα [ : άξα αλεμάξηεηα ] ζ1 , ζ2, , ζλ ,[ ελψ ην

δηάλπζκα σ είλαη έλα ζηνηρείν ηεο γξακκηθήο ηνπο ζήθεο].

Απόδεημε.(α) Γηα αλεμάξηεηα σ,ζ , ε ζρέζε σ - <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ = 0 δελ κπνξεί

λα ηζρχεη [ απφ κία απιή εξκελεία ηνπ νξηζκνχ ηεο αλεμαξηεζίαο δηαλπζκά-

ησλ Πνηά ?] . Αξα ηφηε σ΄≠ 0 θαη σ΄ ⊥ ζ [ απφ (ηλ-α) πην πάλσ]. Αλ σ, ζ

είλαη εμαξηεκέλα θαη πρ. σ = ιζ [ γηα θάπνην ι ℝ ] , ηφηε

<𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> = ι

<휃 ,휃>

<휃 ,휃> = ι

θαη άξα ηζρχεη ε (1.5.1). Δπνκέλσο σ΄ = 0. Με άιια ιφγηα αλ σ΄ ≠ 0 δελ

κπνξεί ηα σ , ζ λα είλαη εμαξηεκέλα . Αξα αλ σ΄ ≠ 0 , ηφηε σ΄ ⊥ ζ , θαη άξα

σ΄, ζ αλεμάξηεηα . Αληίζηξνθα : αλ σ΄, ζ αλεμάξηεηα δελ κπνξεί ηα σ,ζ λα

είλαη εμαξηεκέλα [ δηφηη ηφηε σ΄= 0 , θαη άξα σ΄, ζ εμαξηεκέλα : άληίθαζε ] .

Page 72: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

72

Με άιια ιφγηα αλ ηα σ΄, ζ είλαη αλεμάξηεηα , ηφηε θαη ηα σ, ζ είλαη αλεμάξηεηα,

θαη ην (η) απεδείρζε πιήξσο.[ηαπηφρξνλα απνδείμακε θαη ην (ηη) ] .

(β)[Ιζόηεηα γξακκηθήο ζήθεο] . Δζησ α = ισ+κζ Θ(σ,ζ) [ = γξακκηθή ζή-

θε ησλ σ,ζ]. Αιιά έρνπκε :

σ΄ σ - <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ ⇔ σ =σ΄+

<𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> ζ

⇔ α = ισ΄+ (ι <𝜔 ,휃>

<휃 ,휃> +κ)ζ Θ(σ΄, ζ) . Αξα Θ(σ,ζ) Θ(σ΄,ζ).

Οκνίσο δείρλνπκε φηη Θ(σ΄, ζ) Θ(σ,ζ) θαη επνκέλσο Θ(σ,ζ) = Θ(σ΄,ζ) .

θαη ε απφδεημε ηεο άζθεζεο είλαη πιήξεο .

Δίλαη θαλεξφ φηη ε παξαπάλσ Αζθεζε 1.5.1 , ηζρχεη ζε νπνηνλδήπνηε ΥΔΓ.

(V,<,>) , ζηνλ νπνίν ηψξα κπνξνχκε λα απνδείμνπκε θαη ην επφκελν :

Θεώξεκα 1.5.2. [ Οξζνγσληνπνίεζε θαηά Gram-Schmidt ] . Δζησ

(V,<,>) είλαη έλαο ηπραίνο ΥΔΓ. , λ = 2,3,…,θαη ζ1 , ζ2, , ζλ V είλαη ηπραία

κε κεδεληθά δηαλχζκαηα θάζεηα αλά 2 .Δζησ θαη ζV ηπρνλ, θαη ζέηνπκε :

(1.5.2) ζλ+1 ζ - <휃 ,θ1>

<휃1,휃1>ζ1 -

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>ζ2 -….-

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 >ζλ

Δάλ [ : γεληθά ] ζέζνπκε Θ Θ(ζ1 , ζ2, .., ζλ) V γηα ηελ γξακκηθή ζήθε ησλ

[ : ηπραίσλ ] ζ1 ,ζ2, ,ζλ , ηφηε έλα [αθξηβψο] απφ ηα επφκελα δχν ηζρχεη :

(η). Δάλ ζ Θ , ηφηε ζλ+1 = 0 θαη άξα

(*) ζ = <휃 ,θ1>

<휃1,휃1>ζ1 +

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>ζ2 +….+

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 >ζλ

Με άιια ιφγηα νη αξηζκνί ιθ <휃 ,θκ>

<휃𝜅 ,휃𝜅 > , θ = 1,2,…,λ είλαη νη ζπληειεζηέο

ηνπ ζ ζηελ βάζε β = {ζ1 ,ζ2, ,ζλ} Θ Θ (ζ1 , ζ2, , ζλ) ηεο γξακκηθήο

ζήθεο Θ ηνπ β γηα φια ηα ζ Θ .

(ηη). Δάλ ζ Θ , ηφηε 0 ≠ ζλ+1 Θ θαη ην ζχλνιν β΄ {ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 }

είλαη νξζνγψλην θαη άξα είλαη κία νξζνγψληα βάζε ηεο γξακκηθήο ζήθεο

Θ΄ = Θ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 ) ηνπ β΄. Αθφκε ηζρχεη

(**) Θ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 ) = Θ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζ)

Απόδεημε. (ηη) Αξθεί λα δείμνπκε φηη ην ζλ+1 είλαη θάζεην ζε φια ηα ζ1,ζ2, ,ζλ.

[ δηφηη ηα ππφινηπα είλαη θάζεηα κεηαμχ ηνπο απφ ηελ ππφζεζε ] .

Page 73: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

73

Θα δείμνπκε φηη ζθ⊥ ζλ+1 γηα ηπραίν θ = 1,2,…,λ.

Απφ <ζθ ,ζι> = 0 γηα φια ηα θ ≠ ι , έρνπκε :

<ζλ+1, ζθ> = < ζ - <휃 ,θ1>

<휃1,휃1>ζ1 -

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>ζ2 -….-

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 ><ζλ,ζθ> =

= <ζ,ζθ> -<휃 ,θ1>

<휃1,휃1>< ζ1,ζθ> -

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>< ζ2 ,ζθ> -…-

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 ><ζλ,ζθ> =

<ζ,ζθ> - <휃 ,θκ>

<휃𝜅 ,휃𝜅 >< ζθ ,ζθ> = <ζ,ζθ> - <ζ,ζθ> = 0 .

Με άιια ιφγηα δείμακε φηη <ζλ+1, ζθ> = 0 , γηα ηπραίν θ = 1,2,..,λ

Eπνκέλσο

ην ζλ+1, είλαη θάζεην ζε όια ηα ζ1 , ζ2, , ζλ ,

θαη ε απφδεημε ηνπ (ηη) είλαη πιήξεο .

Δζησ ηψξα

α Θ(ζ,ζ1 , ζ2, , ζλ) ⇔ α = ιζ+ι1ζ1+…+ιλζλ (*)΄.

Σφηε απφ (1.2.4.2) έρνπκε

ζ <휃 ,θ1>

<휃1,휃1> ζ1 +

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>ζ2 +….+

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 >ζλ + ζλ+1 θαη απφ (*)΄

α = (ι1+ ι<휃 ,θ1>

<휃1,휃1>)ζ1 + (ι2+ ι

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>)ζ2 +…..+(ιλ+ ι

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 >)ζλ + ιζλ+1

άξα αΘ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 ) θαη επνκέλσο

Θ(ζ,ζ1 ,ζ2, ,ζλ ) Θ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 ) .

Οκνίσο δείρλνπκε φηη Θ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 ) Θ(ζ,ζ1 ,ζ2, ,ζλ ) θαη επνκέλσο

Θ(ζ1 ,ζ2, ,ζλ, ζλ+1 ) = Θ(ζ,ζ1 ,ζ2, ,ζλ)

(η). Απφ ζΘ(ζ1 , ζ2, , ζλ) ζα έρνπκε ζ = ι1ζ1 + ι2ζ2+…+ ιλζλ γηα θάπνηα

βαζκσηά ι1,ι2,…,ιλ ℝ . .Αξα <ζι,ζθ> = 0 γηα θάζε ι

<ζ,ζθ> = ι1<ζ1,ζθ>+ι2<ζ2,ζθ>+ …+ ιλ<ζλ,ζθ> = ιθ<ζθ,ζθ> ⇔ ιθ= <휃 ,θκ>

<휃𝜅 ,휃𝜅 >

Καη άξα

ζ = <휃 ,θ1>

<휃1,휃1>ζ1 +

<휃 ,θ2>

<휃2,휃2>ζ2 +….+

<휃 ,θν>

<휃𝜈 ,휃𝜈 >ζλ

Ζ απφδεημε ηεο πξφηαζεο είλαη πιήξεο.

Page 74: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

74

Μία ρξήζηκε εθαξκνγή ησλ πξνεγνχκελσλ έρνπκε ζην επφκελν Θεψ-

ξεκα ην νπνίν πεξηγξάθεη ηηο βαζηθφηεξεο πξνηάζεηο θαηαζθεπήο επζεηψλ

θαη επηπέδσλ θαζέησλ ζε δεδνκέλα δηαλχζκαηα , είηε ζε δεδνκέλεο επζείεο

θαη επίπεδα .

Θεώξεκα 1.5.3. Δζησ επίπεδν Π Π(Κ,θ,ζ) , επζεία ε = ε(Γ,σ) , θαη

ζεκείν Α ηνπ 𝔼 : 𝛰𝛢 = (x0,ς0,z0). Σφηε ηζρχνπλ ηα επφκελα :

(1). Δάλ Α Π ! Β Π : ε΄ ε(Α,Β) ⊥ Π

Γείμηε φηη ην δεχγνο (Α,Β) πινπνηεί ηελ απόζηαζε ηνπ Α απφ ην Π .

d(A,Π) = d(A,B) ∥𝛢𝛣 ∥

(2) . Δάλ Αε ηφηε

(1.5.3) ! Β ε : ε ε(Α,Β) ⊥ ε

Γείμηε φηη ην δεχγνο (Α,Β) πινπνηεί ηελ απόζηαζε ηνπ Α απφ ηελ ε .

d(A,ε) = d(A,Β) ∥𝛢𝛣 ∥

(3). Τπάξρεη αθξηβψο έλα επίπεδν Ρ ηνπ 𝔼 : AΡ θαη Ρ⊥ε .

(4). Τπάξρεη αθξηβψο κία επζεία μ ηνπ 𝔼 : Αμ θαη μ⊥Π.

Με άιια ιφγηα δείμηε φηη :

(1.5.4 ) από ζεκείν Α εθηόο επζείαο ε [αληίζη. : εθηόο επηπέδνπ Π

άγεηαη κία θαη κνλαδηθή επζεία ε΄ θάζεηε πξνο ηελ ε.[αλη. ζην Π]

(5). Δάλ έλα επίπεδν Ρ πεξηέρεη ην Α θαη είλαη θάζεην ζηελ επζεία ε ,ηφηε θά-

ζε επζεία ε ηνπ Ρ πνπ πεξηέρεη ην Α ηέκλεη θάζεηα ηελ ε. Δπίζεο θάζε επζεία

μ ηνπ Ρ πνπ δελ πεξηέρεη ην Α είλαη αζπκβάησο θάζεηε πξνο ηελ επζεία ε.

(6). Βξείηε ηηο δηάθνξεο εμηζψζεηο ησλ πξνεγνπκέλσλ ζρεκάησλ .

Απόδεημε. (α) Απόδεημε ηνπ (2). Θεσξνχκε ηπρφλ ζεκείν Γ ε . Αξα

ε ε(Γ,σ) .Σφηε Γ ≠ Α [ : δηφηη Γ ε ελψ Α ε] . Δάλ ε(Α,Γ)⊥ε , ηφηε ην Γ

είλαη ην δεηνχκελν ζεκείν Β [ : B Γ ] . Δάλ ε ε(Α,Γ) δελ είλαη θάζεηε ζηελ ε ,

ζεσξνχκε ην δηάλπζκα θ ℝ3 πνπ δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε :

(1.5.5) θ 𝛤𝛢 - <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ ⊥ σ

Page 75: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

75

[ βι. θαη πξνεγνχκελεο ζρέζεηο,θαη επίζεο βι. ρ.14β] . Δζησ Β 𝔼 ην

κνλαδηθφ ζεκείν ηνπ 𝔼 πνπ ηθαλνπνηεί ηελ

ζρέζε :

(1.5.6) 𝐵𝐴 θ 𝛤𝛢 - <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ ⊥ σ

θαη επίζεο

(1.5.6)΄ <𝐵𝐴 ,σ> = <θ,σ> = 0 = <-θ,σ> = <𝛢𝛣 ,σ> = 0.

(i). Β ε .Πξάγκαηη έρνπκε ε ε(Γ,σ) {Μ 𝔼 : 𝛤𝑀 = ισ : ι ℝ} θαη άξα :

Θα πξέπεη λα ηζρχεη ε ηζνδπλακία :

(1.5.7) M ε(Γ,σ) ⇔ 𝛤𝑀 = ισ [ γηα θάπνην ι ℝ ] .

Δδψ έρνπκε :

𝛤𝐵 = 𝛤𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝛤𝛢 - 𝐵𝐴 = 𝛤𝛢 – 𝛤𝛢 + <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ =

<𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ

Με άιια ιφγηα 𝛤𝐵 = κσ [ γηα θάπνην κ ℝ ] , θαη επνκέλσο Β ε(Γ,σ) .

Αθφκε

𝛰𝐵 = 𝛰𝛢 + 𝛢𝛣 = 𝛰𝛢 - 𝛣𝛢 =

Page 76: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

76

= 𝛰𝛢 - 𝛤𝛢 + <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ = 𝛰𝛤 +

<𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ

⇔ 𝛰𝐵 = 𝛰𝛤 + <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ .

(ηη). Θέηνπκε ε΄ ε(Α,θ). Σφηε απφ (1.5.6) έρνπκε θ ⊥ σ θαη επνκέλσο

ζα έρνπκε επίζεο ε΄ ε(Α,θ) ⊥ ε(Γ,σ) ε

(1.5.8) ε΄ ε(Α,θ) ⊥ ε(Γ,σ) ε

(ηηη) . Δζησ θαη Γ ε :

(1.5.9) ε(Α,Γ) ⊥ ε ⇔ 𝛢𝛥 ⊥ σ ⇔ < 𝛢𝛥 ,σ> = 0.

Δπίζεο ζα έρνπκε θαη 𝛤𝛥 = ξσ , [γηα θάπνην ξ ℝ ] ,θαη αθφκε

𝛣𝛥 =𝛣𝛤 + 𝛤𝛥 = -κσ +ξσ = θσ [ γηα θ = ξ - κ ℝ] .

Δπνκέλσο [ρξεζηκνπνηψληαο θαη ηηο πξνεγνχκελεο ζρέζεηο παίξλνπκε :

<𝛣𝛥 , 𝛣𝛥 > = <𝛣𝛢 + 𝛢𝛥 , 𝛣𝛥 > = <𝛣𝛢 , 𝛣𝛥 > + <𝛢𝛥 , 𝛣𝛥 > =

= <𝛣𝛢 , θσ > + <𝛢𝛥 , θσ> = θ<𝛣𝛢 ,σ >+θ<𝛢𝛥 ,σ> = θ.0 + θ.0 = 0.

Αξα ( απφ ηηο ηδηφηεηεο ηνπ εζσηεξηθνχ γηλνκέλνπ ) ζα πξέπεη 𝛣𝛥 = 0 θαη

έρνπκε Β = Γ. Με άιια ιφγηα ην Β είλαη κνλαδηθφ. Ζ (1) απεδείρζε πιήξσο

ελψ έγηλε θαλεξφ φηη ην δεηνχκελν ζεκείν Β δίδεηαη κνλνζήκαληα απφ ηελ

ζρέζε :

(1.5.10) 𝐵𝐴 𝛤𝛢 - <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ ⊥ σ ⇔

⇔ 𝛢𝛣 𝛢𝛤 - <𝛢𝛤 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ ⊥ σ

⇔ 𝛢𝛣 𝛢𝛤 + <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ , Β ε(Γ, σ) @ ε(Γ, σ) ⊥ ε(Α,𝛢𝛣 )

Καη αθφκε

𝛰𝐵 = 𝛰𝛤 + <𝛤𝛢 ,ω>

<𝜔 ,𝜔> σ

Δίλαη θαλεξφ ηψξα φηη :

(*)΄ ν ζεηηθόο αξηζκόο ∥𝛢𝛣 ∥ είλαη αθξηβώο

ε απόζηαζε d(Α,ε) ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ επζεία ε.

Page 77: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

77

Πξάγκαηη , γηα ηπρφλ Μ ζεκείν ηεο ε έρνπκε φηη

𝛢𝛭 = 𝛢𝛣 +𝛣𝛭 κε 𝛣𝛭 = 𝛣𝛤 + 𝛤𝛭 = ισ + ξσ = θσ γηα θ = ξ – κ ℝ .

𝛢𝛣 ⊥ 𝛣𝛭 ⇔ <𝛢𝛣 , 𝛣𝛭 > = < 𝛣𝛭 , 𝛢𝛣 > = 0 .

Δπνκέλσο

∥𝛢𝛭 ∥2 = <𝛢𝛭 ,𝛢𝛭 > < 𝛢𝛣 +𝛣𝛭 , 𝛢𝛣 +𝛣𝛭 > =

= <𝛢𝛣 ,𝛢𝛣 > + <𝛢𝛣 , 𝛢𝛭 > + <𝛢𝛭 ,𝛢𝛣 > + <𝛣𝛭 ,𝛣𝛭 > =

= <𝛢𝛣 ,𝛢𝛣 > + <𝛣𝛭 ,𝛣𝛭 > = ∥𝛢𝛣 ∥2 + ∥𝛣𝛭 ∥2 ⋝ ∥𝛢𝛣 ∥2

θαη άξα

(1.5.11) ∥𝛢𝛭 ∥ ⋝ ∥𝛢𝛣 ∥ , Μ (Γ,σ)

Ακεζε ζπλέπεηα είλαη ε επφκελε ηζφηεηα : [ ε νπνία αθξηβψο απνδίδεη πην

εχζηνρα ηελ (*)΄ πην πάλσ] .

(1.5.12) d(Α,ε) = min{ ∥𝛢𝛭 ∥ : M ε(Α,ω)} = ∥𝛢𝛣 ∥

Με άιια ιφγηα :

ην ζεκείν Β πινπνηεί κε ην Α

ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ επζεία ε

(β) Απόδεημε ηνπ (3). Δζησ σ = (α, β, γ) ℝ3 ,είλαη ε δηεχζπλζε ηεο

επζείαο ε . Αθνχ ζέινπκε ην Ρ λα είλαη θάζεην ζηελ ε , πξέπεη λα είλαη

θάζεην ζην δηάλπζκα σ = (α,β,γ) ℝ3 θαη άξα απφ ηνλ ηχπν (*) ηεο

§1.2.3 [ ζει. 64 ] ζα έρνπκε :

(*)΄ αx+βς+γz = αx0+βς0+γz0 ⇔ αx+βς+γz+δ = 0 ,-δ = αx0+βς0+γz0

Αλ Λ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηνπ επηπέδνπ Ρ κε ηελ επζεία ε θαη ζέζνπκε

𝛢𝛣 ⊥σ , θαη επίζεο ζ σx𝛢𝛬 ⊥ σ ,𝛢𝛬 . Δπνκέλσο πξέπεη λα έρνπκε

(1.5.12)΄ σ ⊥ ζ, 𝛢𝛬 .

Με άιια ιφγηα :

ηα δηαλύζκαηα ζ , 𝛢𝛬 είλαη κε κεδεληθά θαη θάζεηα κεηαμχ ηνπο,

αιιά επίζεο είλαη θάζεηα θαη ζην δηάλπζκα σ . Αξα , επίζεο είλαη θάζεηα

ζηελ επζεία ε . αλ άκεζε ζπλέπεηα έρνπκε φηη ην επίπεδν

Π(Α,ζ, 𝛢𝛬 ) Ρ ,

είλαη θάζεην πξνο ηελ επζεία ε ,πεξηέρεη ην ζεκείν Α θαη ε αλαιπηηθή ηνπ

εμίζσζε είλαη ε (*)΄πην πάλσ. Ζ θαηαζθεπή θαη απφδεημε ηνπ (3) είλαη

πιήξεο.

(γ) Απόδεημε ηνπ (1). Δζησ Π = Π(Κ,θ,ζ) ην δνζέλ επίπεδν.

Page 78: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

78

Δπνκέλσο ηα δηαλχζκαηα θ , ζ είλαη αλεμάξηεηα θαη [ : απφ ηελ Αζθεζε

1.5.1 , κπνξνχκε , ρσξίο βιάβε ηεο γεληθφηεηνο , λα ππνζέζνπκε φηη θ ⊥ ζ .

Όκσο πξνο ζηηγκήλ ζεσξνχκε απιψο φηη ηα θ, ζ είλαη αλεμάξηεηα [ αθνχ

νξίδεηαη απφ απηά επίπεδν Π(Κ,θ,ζ) ] θαη ζέηνπκε :

α θxζ ≠ 0 α ⊥ θ , ζ α ⊥ ιθ + κζ

⇔ < α , ιθ + κζ> = 0 γηα φια ηα ι ,κℝ . ΔπίζεοΘεσξνχκε θαη ηελ επζεία

μ ε(Α , α) ε(Α , θxζ) .

Δηζη είλαη άκεζα θαλεξφ φηη φια ηα δηαλχζκαηα πνπ έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζηα

ζεκεία ηεο μ είλαη θάζεηα ζε φια ηα δηαλχζκαηα πνπ

έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζηα ζεκεία ηνπ Π , θαη επνκέλσο ζα έρνπκε : μ ⊥ Π

[ απφ ηνλ νξηζκφ ηεο θαζεηφηεηνο ζηνλ (𝔼 , (Ο,xςz)) ] . Δάλ θαη μ΄ ε(Α,α΄)

είλαη επζεία πνπ πεξηέρεη ην Α θαη είλαη θάζεηε ζην Π , ηφηε : α΄ ⊥ θ, ζ

α΄⊥ ιθ+κζ ⇔ < α΄ , ιθ+κζ> = 0 γηα φια ηα ι , κ ℝ .

Θέηνπκε

β = θ - <𝜑 ,θ>

<휃 ,휃> ζ ⊥ ζ , α΄ ⊥ β , ζ

Οκσο ην ζχλνιν {α,ζ,β} είλαη νξζνγψλην [βιέπε Πξφηαζε (18.4.α) , ζει. 49]

θαη άξα απνηειεί βάζε ηνπ ℝ3. Αξα α΄= ια+κβ+ξζ θαη <α΄,β> = <α΄,ζ> = 0.

Με άιια ιφγηα :

0 = <α΄,β> = < ια+κβ+ξζ,β> =

= ι<α,β>+κ<β,β> + ξ<ζ,β> = κ<β,β>

κε <β , β> ≠ 0 θαη άξα κ = 0. Οκνίσο ξ = 0 :

0 = <α΄,ζ> = ι<α,ζ> + κ< β , ζ > + ξ<ζ,ζ> = ξ<ζ,ζ> , <ζ,ζ> ≠ 0 ξ = 0 .

θαη επνκέλσο ηειηθά έρνπκε α΄= ια // α . Με άιια ιφγηα νη επζείεο μ , μ΄ είλαη

παξάιιειεο ζην ίδην δηάλπζκα α , θαη επνκέλσο είλαη παξάιιειεο θαη κεηαμχ

ηνπο. Δπεηδή φκσο έρνπλ θνηλφ ην ζεκείν Α πξέπεη λα ζπκπίπηνπλ. Δπν-

κέλσο απνδείμακε φηη μ = μ΄ . Με άιια ιφγηα ε μ είλαη ε κνλαδηθή επζεία

πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν Α θαη είλαη θάζεηε πξνο ην δνζέλ επίπεδν Π .

[ φια απηά ρσξίο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ππφζεζε φηη ηα θ , ζ είλαη θαη

θάζεηα κεηαμχ ηνπο ,θαη έηζη ρξεζηκνπνηήζακε ην β⊥ζ αληί ηνπ θ :

Page 79: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

79

β = θ - <𝜑 ,θ>

<휃 ,휃> ζ ⊥ ζ ⇔ < β , ζ > = 0 .

Απφ ηελ Αζθεζε 1.5.1 φκσο έρνπκε ιθ+κζ = ι΄β +κ΄ζ [ κε θαηάιιειε επη-

ινγή ζπληειεζηψλ ι΄, κ΄] θαη άκεζα παίξλνπκε επνκέλσο :

Π(Κ,β,ζ) = Π(Κ,θ,ζ) = Π .

Θέηνπκε :

ς 𝛢𝐾 - <𝛢𝐾 ,θ>

<휃 ,휃> ζ -

<𝛢𝐾 ,β>

<𝛽 ,𝛽> β ⊥ β , ζ

θαη άξα :

Αθφκε ζεσξνχκε ην κνλαδηθφ ζεκείν Q ηνπ 𝔼 : 𝛢𝑄 = ς.

Αξα έρνπκε Q ε΄ = ε(Α,ς) θαη αθφκε :

(**) 𝛢𝑄 ⊥ ιθ+κζ = ι΄β +κ΄ζ, ι,κ , ι΄, κ΄ ℝ.

Δπίζεο ζα έρνπκε : QΠ .

Πξάγκαηη έρνπκε

Π = {Μ 𝔼 : 𝛫𝑀 =ιθ+κζ , ι,κ ℝ } = {Μ 𝔼 : 𝛫𝑀 =ι΄β + κζ , ι΄,κ ℝ } . Καη

εηδηθά γηα ην Q :

𝛫𝑄 = 𝛫𝛢 + 𝛢𝑄 = 𝛫𝛢 + 𝛢𝛫 - <𝛢𝛫 ,θ>

<휃 ,휃> ζ -

<𝛢𝛫 ,β>

<𝛽 ,𝛽> β =

= - <𝛢𝛫 ,θ>

<휃 ,휃> ζ -

<𝛢𝛫 ,β>

<𝛽 ,𝛽> β

θαη άξα : QΠ.

Αξα Q ε(Α,ς) ⊥ Π. Με άιια ιφγηα ην Q είλαη ην θνηλφ ζεκείν ηνπ Π θαη

ηεο θαζέηνπ πξνο ην Π επζείαο μ ε(Α,ς). Αξα βξήθακε ην ίρλνο Q ηεο απφ ην

ζεκείν Α θαζέηνπ ε(Α,Q) = μ = ε(Α,ς) ⊥ Π , πξνο ην επίπεδν Π .

Δρνπκε αθφκε : 𝛰𝑄 = 𝛰𝛫 + 𝛫𝑄 θαη αληηθαζηζηψληαο παίξλνπκε :

(*) 𝛰𝑄 = 𝛰𝛫 - <𝛢𝛫 ,θ>

<휃 ,휃> ζ -

<𝛢𝛫 ,β>

<𝛽 ,𝛽> β

Δζησ ηψξα μ΄ επζεία ηνπ Α θάζεηε επίζεο ζην Π θαη (ζεκείν) Λ , ην ίρ-

λνο ηεο μ΄ ζην Π. Δπνκέλσο ην δηάλπζκα 𝛢𝛬 ⊥ ζ , β . [ φπσο αθξηβψο θαη

ην 𝛢𝑄 = ς ] . Με άιια ιφγηα ζα έρνπκε :

<𝛢𝑄 ,β > = <𝛢𝑄 ,ζ > = 0 , <𝛢𝛬 ,β > = <𝛢𝛬 ,ζ > = 0 .

Page 80: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

80

Σφηε ζα έρνπκε επίζεο :

𝐾𝛬 = ξβ + ξ΄ζ , 𝛫𝑄 = ζβ + ηζ ,

θαη άξα

𝛬𝑄 = 𝛬𝛫 + 𝛫𝑄 =-( ξβ +ξ΄ζ ) + ζβ + ηζ = γβ+δζ ⊥𝛢𝛬 , 𝛢𝑄

γηα θάπνηα γ , δ ℝ θαη άξα 𝛢𝛬 , 𝛢𝑄 ⊥ γβ+δζ = 𝛬𝑄 .

𝛢𝛫 , 𝛢𝑄 ⊥ 𝛬𝑄 ⇔< 𝛢𝛫 , 𝛬𝑄 > = < 𝛢𝑄 , 𝛬𝑄 > = 0

⇔ <𝛬𝑄 , 𝛬𝑄 > = < 𝛬𝑄 , 𝛬𝐴 +𝐴𝑄 > =

= <𝛬𝑄 , 𝛬𝐴 > + <𝛬𝑄 , 𝐴𝑄 > = 0 + 0 = 0 .

Σφηε φκσο 𝛬𝑄 = 0 θαη άξα Λ = Q . Δπνκέλσο μ = ε(Α,Q) = ε(A,Λ) = μ΄ θαη

ην Λ είλαη ην κνλαδηθό ζεκείν ηνπ Π πνπ νξίδεη κε ην Α επζεία θάζεηε

πξνο ην Π .

Παξαηεξνχκε επίζεο φηη ν αξηζκφο

∥𝛢𝛬 ∥ = ∥𝛢𝑄 ∥ ηθαλνπνηεί θαη ηελ αληίζηνηρε ηεο ζρέζεσο (1.5.12) :

(1.5.13) d(Α,Π) = min{ ∥𝛢𝛭 ∥ : M Π=Π(Α,ω,θ) } = ∥𝛢𝛬 ∥ = ∥𝛢𝑄 ∥

Πξάγκαηη , γηα ηπρφλ Μ Π ζα έρνπκε , Κ , Μ Π θαη άξα

𝛫𝛭 = ι΄σ+κ΄ζ γηα θάπνηα ι΄, κ΄ℝ θαη επίζεο 𝛫𝛭 ⊥ 𝛢𝛫 .

Δπνκέλσο απφ ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα παίξλνπκε :

∥𝛢𝛭 ∥2 = ∥𝛢𝛬 +𝛬𝛭 ∥2 = ∥𝛢𝛬 ∥2 + ∥𝛬𝛭 ∥2 ⋝ ∥𝛢𝛬 ∥2 ⇔

∥𝛢𝛭 ∥ ⋝ ∥𝛢𝛬 ∥

θαη ε (1.5.13) έπεηαη. [ Ζ απφδεημε ηνπ (2) είλαη πιήξεο ] .

Δπνκέλσο δείμακε φηη :

(1.5.14) από ζεκείν Α εθηόο επηπέδνπ Π άγεηαη κία θαη κνλαδηθή

επζεία ε΄ θάζεηε πξνο ηo Π θαη γηα ην ίρλνο ΚΠ απηήο ηζρύεη :

(1.5.15) ∥𝛢𝛬 ∥= = min{ ∥𝛢𝛭 ∥ : M Π}= d(Α,Π)

Ο ζεηηθφο αξηζκφο d(Α,Π) = ∥𝛢𝛬 ∥ , ΚΠ , ζα νλνκάδεηαη

(1.5.15)΄ « ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ην επίπεδν Π » .

(δ). Απόδεημε ηνπ (4). Δπεηδή ην επίπεδν Ρ είλαη θάζεην ζηελ επζεία ε

φια ηα δηαλχζκαηα πνπ έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζην Ρ [ άξα θαη ζηελ επζεία ε ηνπ

Ρ] είλαη θάζεηα ζε φια ηα δηαλχζκαηα πνπ έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζηελ επζεία ε.

Αξα ε ε είλαη θάζεηε ζε θάζε επζεία ηνπ Ρ [ είηε δηέξρεηαη , είηε δελ δηέξρεηαη

απφ ην ίρλνο Α ηεο θαζέηνπ.] θαη ε απφδεημε ηνπ (4) είλαη πιήξεο .

Page 81: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

81

(ε ) . Γηα ην (5) , παξαηεξνχκε φηη νη εμηζψζεηο έρνπλ ήδε βξεζεί . Δπνκέλσο

δείμακε θαη ηηο επφκελεο πξνηάζεηο :

(1.5.16) από ζεκείν Α εθηόο επηπέδνπ Π

άγεηαη κία θαη κνλαδηθή επζεία ε΄ θάζεηε πξνο ηo Π.

(1.5.17) από ζεκείν Α εθηόο επζείαο ε

άγεηαη έλα θαη κνλαδηθό επίπεδν Π θάζεην πξνο ηελ ε.

Ζ απφδεημε ηεο πξφηαζεο είλαη πιήξεο .

Παξαηήξεζε. αλ κία άκεζε ζπλέπεηα [ θαη άξα ζαλ κία άκεζε εθαξκνγή ]

ηνπ (1.2.2.4(ηα)) έρνπκε ην επφκελν ζπκπέξαζκα :

(1.5.18) από ζεκείν Α επζείαο ε

άγνληαη άπεηξεο επζείεο θάζεηεο ζηελ δνζείζα ,

θαη είλαη όιεο νη επζείεο ηνπ θαζέηνπ πξνο ηελ ε

επηπέδνπ Π ηνπ Α πνπ πεξηέρνπλ ην Α

Page 82: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

82

ΚΔΦΑΛΑΗΟ 2 : ΣΟΜΔ ΚΧΝΧΝ ΓΗΑΦΟΡΧΝ ΓΗΑΣΑΔΧΝ

§ 2.1 Κακπύιεο γξακκέο θαη θακπύιεο επηθάλεηεο

§ Οξηζκνί - Παξαηεξήζεηο 2.1.1 . (α) Έλα θύξην αληηθείκελν κειέηεο ηεο

Αλαιπηηθήο Γεσκεηξίαο είλαη θαη νη θσληθέο ηνκέο. Ζδε έρνπκε ηνλίζεη φηη α-

λαθνξέο [αιιά θαη ελδηαθέξνπζεο εξγαζίεο ζ΄απηά ηα ζρήκαηα έρνπλ μεθη-

λήζεη απφ ηα ρξφληα ησλ :

[1] Δπδόμνπ [ : 435 πx. – 355 πx , κε ην έξγν , Γεσκεηξηθνί Λόγνη.

(Πεξηειήθζε ζηα ηνηρεία , απφ ηνλ Δπθιείδε)]

[2] Απνιιώληνπ [ : 260 – 200 πρ. , κε ην (νθηάηνκν) έξγν , Κώλνπ Σνκαί ] .

[ Γέο θαη εηζαγσγή γηα ην έξγν νλνκαζηψλ Γεσκεηξψλ ηεο αξραηφηεηνο] .

Δίλαη θαλεξφ απφ ηα παξαπάλσ φηη νη πην ελδηαθέξνπζεο

Γεσκεηξηθέο θακπύιεο θαη επηθάλεηεο

πξνθχπηνπλ κε ηελ βνήζεηα ησλ

Γεσκεηξηθώλ ιόγσλ ,

αιιά θαη ζαλ

ηνκέο ησλ θώλσλ

[ : ηξηδηάζηαησλ , ηεηξαδηάζηαησλ θιπ.] απφ ππεξεπίπεδα ( : δηδηάζηαηα ,

ηξηδηάζηαηα θιπ. Πρ. ην ειιεηςνεηδέο είλαη ε ηνκή ελφο ηεηξαδηάζηαηνπ θψ-

λνπ απφ ηνλ ηξηδηάζηαην θπζηθό ζεκεηνρώξν ζηνλ νπνίν δνχκε

Σέηνηα ηνκή είλαη θαη΄αλαινγίαλ θαη έλα παξαβνινεηδέο , ππεξβνινεηδέο ,

ε ζθαίξα θιπ.

Απφ απηέο ηηο παξαηεξήζεηο γίλεηαη εκθαλέο φηη ε Αλαιπηηθή Γεσκεηξία νθεί-

ιεη λα δψζεη έκθαζε ζηελ κειέηε ησλ ζρεκάησλ πνπ νλνκάδνπκε θώλνπο

[ δηαθφξσλ δηαζηάζεσλ , αιιά θαη δηαθφξσλ «νδεγώλ ζρεκάησλ»] .

Οη κειεηψκελεο ζηα επφκελα θσληθέο ηνκέο [ : θύθινο , έιιεηςε ,παξα-

βνιή , ππεξβνιή ] αλαθέξνληαη ζηα επφκελα ζαλ :

Page 83: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

83

« ζηάζκεο ζηαζεξόηεηνο Κσλνηόκσλ απεηθνλίζεσλ »

θαη είλαη ηαπηφρξνλα ηνκέο δηαθφξσλ θώλσλ ηνπ 𝔼 απφ δηάθνξα [ δηδηάζηα-

ηα] επίπεδα [επίζεο ηνπ 𝔼 ] .

Ζ πξψηε πεξηγξαθή βαζίδεηαη ζηνπο Γεσκεηξηθνχο ιφγνπο , πνπ είλαη , φπσο

έρεη ήδε αλαθεξζεί , θαζαξνί αξηζκνί . Δπίζεο, βαζίδεηαη ζε ιφγνπο απνζηά-

ζεσλ :

ζεκείνπ από ζεκείν , ζεκείνπ από επζεία , ζεκείνπ από επίπεδν ,

θιπ. [ Ο ζπζρεηηζκφο κε ηνλ ηξόπν ηνκήο θάπνηνπ θώλνπ από επίπεδν

γηα ηελ ιήςε νπνηνπδήπνηε απφ ηα παξαπάλσ ζρήκαηα ζα γίλεη πην θάησ ] .

Ζ πξνζέγγηζε απηή ζα δηεπθνιπλζεί αλ πξνεγεζεί ε

βαζηθή ζεσξία ηεο ζθαίξαο θαη ηνπ θύθινπ .

[ : ηα επφκελα ν ρψξνο ζεσξείηαη εθνδηαζκέλνο κε χζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

(Οxςz) θαη είλαη ρξήζηκν λα επηζεκάλνπκε εδψ φηη ε παξνπζία ηνπ

ζπζηήκαηνο απηνχ ππνδειψλεη θαη ηελ ύπαξμε θαη ρξήζε ηεο αληίζηνηρεο

[ζπλήζνπο ] λόξκαο ∥, ∥ [ θαη κεηξηθήο d ] πνπ νξίδεηαη απφ απηφ ( εθηφο αλ

άιισο δεισζεί).

Page 84: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

84

Οξηζκόο 2.1.2. Δζησ Κ 𝔼 : 𝑂𝐾 = (α,β,γ) θαη ζεηηθφο αξηζκφο 0 ≠ R ℝ+ .

Θα νλνκάδνπκε ζθαηξηθή επηθάλεηα ( είηε απιψο : ζθαίξα ) [ αληίζηνηρα :

Ball ] ηνπ 𝔼 κε θέληξν Κ θαη αθηίλα R ην ζχλνιν (Κ,R) [ : αληίζηνηρα

B(Κ,R) ] πνπ νξίδεηαη απφ ηνχο ηχπνπο :

(2.1.2α) (Κ,R) ≔ { Μ 𝔼 : ∥𝛫𝛭 ∥ = R } , B(Κ,R) ≔{ Μ 𝔼 : ∥𝛫𝛭 ∥ ≦ R }

Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη

(2.1.2β) (Κ,R) B(Κ,R) ≠ (Κ,R) , Κ 𝔼 , 0 ≠ R ℝ+ .

Δπίζεο απνδεηθλχεηαη φηη νπνηαδήπνηε επζεία ε(Κ,σ) έρεη θνηλά :

(η) κε ηελ (Κ,R) [: ζπλαληά ηελ (Κ,R) ζε] δχν δηαθνξεηηθά ζεκεία Α,Β θαη

(ηη) κε ην Ball B(Κ,R) φια ηα ζεκεία ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ .

(ηηη) κε ην αλνηθηό Ball [ : ηνπ 𝔼 θέληξνπ Κ θαη αθηίλνο R ] :

(2.1.2γ) B(Κ,R)0 ≔ { Μ 𝔼 : ∥𝛫𝛭 ∥ < R } B(Κ,R) ≠ B(Κ,R)0

φια ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ [ : δειαδή φια ηα

ζεκεία ηνπ ΑΒ εθηφο απφ ηα άθξα Α,Β . Σα ζεκεία Α , Β ζα ιέγνληαη θαη ]

(η)΄ «αληηδηακεηξηθά ζεκεία ησλ (Κ,R) , B(Κ,R)»

θαη ην ηκήκα ΑΒ :

(η)΄΄ «κία δηάκεηξνο ησλ (Κ,R) , B(Κ,R)0 , B(Κ,R)»

Σα ζεκεία ηεο ζθαίξαο (Κ,R) ζα ιέγνληαη θαη

(2.1.2δ) «επηθαλεηαθά ζεκεία ηνπ ball B(Κ,R)»

ελψ ηα ζεκεία ηνπ B(Κ,R)0 [θαη κφλνλ απηά ] :

(2.1.2δ)΄ «εζσηεξηθά ζεκεία ηώλ (Κ,R) , B(Κ,R)»

Δπνκέλσο ην θέληξν Κ είλαη έλα ηέηνην ζεκείν . Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη :

(2.1.2ε) (Κ,R) B(Κ,R)0 = , B(Κ,R) = (Κ,R)UB(Κ,R)0 ,

[ Σν B(Κ,R)0 νλνκάδνπκε θαη αλνηθηό ball ( ηνπ B(Κ,R) )] .

Με άιια ιφγηα ε ζθαίξα (Κ,R) θαη ην αλνηθηφ ball B(Κ,R)0 απνηεινχλ κία

δηακέξηζε ηνπ B(Κ,R) . Σα B(Κ,R) ,(Κ,R) , B(Κ,R)0 ζα νλνκάδνπκε θαη

(2.1.2ε)΄ ζρήκαηα ηνπ B(Κ,R) .

(β). Δίλαη εχθνιν λα θαηαιάβνπκε φηη γηα θάζε ζεκείν Γ ηεο (Κ,R) θαη θάζε

[ : εζσηεξηθό ] ζεκείν Γ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΚΓ [ : αθηίλνο ησλ

B(Κ,R) , (Κ,R), B(Κ,R)0] ηζρχεη ∥𝛫𝛥 ∥ = d(Κ,Δ) < R . Με άιια ιφγηα ηα

ζεκεία ηνπ B(Κ,R)0 [ εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ B(Κ,R) ] είλαη θαη εζσηεξηθά

Page 85: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

85

ζεκεία θάπνηαο αθηίλνο , θαη αληίζηξνθα : oια ηα εζσηεξηθά ζεκεία ,φισλ ησλ

αθηίλσλ ηνπ B(Κ,R) [ θαη κφλνλ απηά ] είλαη θαη εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ B(Κ,R).

Γηα ην ηπρφλ ζεκείν Μ ηεο ζθαίξαο (Κ,R) έρνπκε θαηά ζεηξάλ :

𝑂𝛭 = (x,ς,z) , 𝑂𝐾 = (α,β,γ) , ∥𝐾𝛭 ∥ = R

𝐾𝛭 = 𝑂𝛭 - 𝑂𝐾 = (x,ς,z) - (α,β,γ) = (x-α , ς-β , z-γ)

θαη άξα :

(2.1.2ε)΄΄ R2 = ∥𝐾𝛭 ∥2 = (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2.

Δίλαη θαλεξφ φηη ε ηζφηεηα απηή πεξηγξάθεη φια ηα ζεκεία ηεο ζθαίξαο

(Κ,R) θαη κφλνλ απηά . Αξα απνηειεί ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο ζθαίξαο

απηήο :

(2.1.2δ) Μ(Κ,R) ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2. = R2

⇔ (Κ,R) = {Μ 𝔼 : 𝑂𝛭 = (x,ς,z) , (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 = R2}

Αλ ζειήζνπκε λα θάλνπκε θαη ρξήζε αληζνηήησλ , κπνξνχκε λα πεξηγξά-

ςνπκε θαη ηα Ball B(Κ,R)0 , B(Κ,R) :

(2.1.2δ)΄ ΜΒ(Κ,R) ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 ≦ R2

⇔ Β(Κ,R) = {Μ 𝔼 : 𝑂𝛭 = (x,ς,z) , (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 ≦ R2}

(2.1.2δ)΄΄ Μ B(Κ,R)0 ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 < R2

⇔ B(Κ,R)0 = {Μ 𝔼 : 𝑂𝛭 = (x,ς,z) , (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 < R2}

Eίλαη θαλεξφ φηη ηα ζεκεία Ν :

𝑂𝑁 = (θ,ι,κ) θαη (θ-α)2 + (ι-β)2 + (κ-γ)2 > R2

Γελ κπνξεί λα αλήθνπλ νχηε ζηελ (Κ,R) νχηε ζηα Β(Κ,R)0 , Β(Κ,R). [ δηφηη

ηθαλνπνηνχλ ηελ ζρέζε ∥𝐾𝛮 ∥ > R ] . Σα ζεκεία απηά ζα νλνκάδνπκε :

« εμσηεξηθά ζεκεία ησλ (Κ,R) , Β(Κ,R) , B(Κ,R)0 »

(2.1.2ε) Ν 𝔼 : 𝑂𝑁 = (θ,ι,κ) εμσηεξηθό ζεκείν ηνπ Β(Κ,R)

⇔ (ΚΝ) = ∥𝐾𝛮 ∥ = d(K,N) > R

(2.1.2ζ) Ν 𝔼 : 𝑂𝑁 = (θ,ι,κ) ζεκείν ηνπ Β(Κ,R)

⇔ (ΚΝ) = ∥𝐾𝛮 ∥ = d(K,N) ≦ R

(β). Δάλ Λ είλαη ζεκείν επηπέδνπ Π κε 𝑂𝛬 = (α,β,γ) θαη r > 0 ηπρφλ ζεηηθφο

αξηζκφο , ζα νλνκάδνπκε θπθιηθό δίζθν c(Λ,r) [ : αληίζηνηρα θύθιν θ(Λ,r)]

ηνπ Π κε θέληξν ην ΛΠ θαη αθηίλα r ηα ζχλνια

(2.1.2η) c(Π,Λ,r) ≔ {ΝΠ : ∥𝛬𝛮 ∥ ≦ r} c(Λ,r)

(2.1.2ηα) θ(Π,Λ,r) ≔ {ΝΠ : ∥𝛬𝛮 ∥ = r} θ(Λ,r) c(Λ,r).

Page 86: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

86

[ Δπνκέλσο , (από ηνλ νξηζκό ηνπο) ηα ζρήκαηα c(Λ,r) , θ(Λ,r) είλαη επίπε-

δα ζρήκαηα, δειαδή έρνπλ όια ηα ζεκεία ηνπο πάλσ ζε θάπνην επίπεδν].

Όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ (Κ,R) , Β(Κ,R) δείρλνπκε αληηζηνίρσο

Γηα ζεκεία Μ [ κε 𝑂𝛭 = (x,ς,z) ] ησλ θ(Π,Λ,r) θ(Λ,r) c(Λ,r). c(Π,Λ,r)

≠ θ(Π,Λ,r) :

(2.1.2.1) Μc(Λ,r) Π ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 ≦ R2

(2.1.2.1)΄ Μθ(Λ,r) Π ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2 = R2 } c(Λ,r)

ηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ ην Π είλαη ην π(xς) xς - επίπεδν , ζα

έρνπκε : z = γ = 0 θαη άξα

(2.1.2.1)΄΄ Μ θ(Λ,r) ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 = R2 ,

Μ c(Λ,r) ⇔ (x-α)2 + (ς-β)2 ≦ R2

[ αλάινγεο εθθξάζεηο ζα έρνπκε εάλ ην Π είλαη θάπνην απφ ηα ζπληεηαγκέλα

επίπεδα π(xz) , π(ςz) ] .

§ Παξαηήξζε 2.1.3 . (α) Ζ γεληθή δεπηεξνβάζκηα εμίζσζε ηξηψλ

κεηαβιεηψλ x , ς , z , είλαη ηεο κνξθήο :

(2.1.3α). θx2 + ις2 + κz2 + θ΄xς + ι΄xz + κ΄ςz + λx + μς + ηz + ξ = 0 .

Page 87: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

87

[ κε έλα ηνπιάρηζηνλ απφ ηα θ,ι,κ,θ΄.ι΄, κ΄ ≠ 0 , δηφηη αιιηψο ζα είλαη ην πνιχ

πξψηνπ βαζκνχ] .

(β) . Οη παξαπάλσ εμηζψζεηο επαιεζεχνληαη απφ ηηο ζπληεηαγκέλεο θαπνηνπ

ζπλφινπ ζεκείσλ ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 [ ην νπνίν ζχλνιν , φπσο θαη ην αληί-

ζηνηρν ζχλνιν ησλ ζπληεηαγκέλσλ ηνπ , θαη θπξίσο απηό ην ηειεπηαίν] ζην

εμήο ζα νλνκάδνπκε :

(2. 1.3β). ζύλνιν αιεζείαο ηεο ( : αλαιπηηθήο) εμίζσζεο (2.1.3α).

(γ). . Όπσο ζα δνχκε θαη ζηα επφκελα , ην είδνο ησλ ζρεκάησλ , πνπ παξη-

ζηνχλ ηα ζχλνια αιεζείαο ηέηνησλ εμηζψζεσλ [ φηαλ δελ είλαη θελά ππνζχ-

λνια ηνπ ℝ3] ζα νλνκάδνληαη θσλνηόκα ζρήκαηα δηφηη κπνξνχλ λα πξν-

θχςνπλ ζαλ ηνκέο θάπνηνπ [ ηεηξαδηάζηαηνπ] θψλνπ ( : ππνζπλφινπ θάπνηνπ

γλήζηνπ ππεξρώξνπ 𝔼΄ ηνπ 𝔼 ) απφ θάπνηα ηξηδηάζηαηε γξακκηθή πνιια-

πιφηεηα ( φπσο είλαη ν θπζηθφο ζεκεηνρψξνο 𝔼 ζηνλ νπνίν δνχκε ) . Χζηφζν

καο είλαη πην νηθεία ηα θσλνηφκα ζρήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηξηδηάζηα-

ηνπο θψλνπο ηεκλφκελνπο απφ επίπεδα [ πνπ είλαη δηδηάζηαηεο γξακκηθέο

πνιιαπιόηεηεο.Δίλαη νη γλσζηέο καο «θσληθέο ηνκέο» ] .

(δ) . Ο αθξηβήο πξνζδηνξηζκφο ηνπ ζρήκαηνο απηνχ δπζθνιεχεηαη θπξίσο

απφ ηνπο φξνπο θ΄xς , ι΄xz , κ΄ςz [ φηαλ νη ζπληειεζηέο θ΄,ι΄,κ΄ είλαη κε

κεδεληθνί ] . ηνλ ηξηδηάζηαην ρψξν έλαο ζπλήζεο ηξφπνο ππέξβαζεο ησλ δπ-

ζθνιηψλ απηψλ είλαη ν κεηαζρεκαηηζκφο ησλ ζπληεηαγκέλσλ πνπ επέξρεηαη

κε ηελ κεηάβαζε ζε λέν ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ην νπνίν λα πξνθχπηεη απφ

κία πεξηζηξνθή ηνπ αξρηθνχ ζπζηήκαηνο θαηά θαηάιιειε γσλία [δεο θαη ε-

πφκελα ]. Δίλαη πξνθαλέο φηη νη δπζθνιίεο επηηείλνληαη ζε κεγαιχηεξεο δηα-

ζηαζεηο. Δηζη είλαη κία επράξηζηε δηαπίζησζε λα πνχκε φηη ε αλαιπηηθή εμί-

ζσζε (2.1.2δ) ηεο ηπραίαο ζθαίξαο (Κ,R) ζε νπνηνδήπνηε ζχζηεκα ζπληε-

ηαγκέλσλ δελ πεξηέρεη θαλέλαλ απφ ηνπο φξνπο θ΄xς , ι΄xz , κ΄ςz .

[ : αθξηβέζηεξα : έρνπκε εδψ : θ΄= ι΄= κ΄= 0] . Πξάγκαηη , ηζρχνπλ νη επφκελεο

ηζνδπλακίεο :

(2.1.3γ). (x-α)2 + (ς-β)2 + (z-γ)2. = R2

⇔ x2 + ς2 + z2 -2αx-2βς -2γz = R2- (α2 + β2 +γ2)

Απφ ηελ παξαπάλσ ηζνδχλακε κνξθή ηεο εμίζσζεο ηεο ( : νπνηαζδήπνηε)

ζθαίξαο , βιέπνπκε αβίαζηα φηη αλ ε εμίζσζε (2.1.3α) δελ έρεη θ΄=ι΄=κ΄=0

(αιιά θαη θ=ι=κ≠0) δελ κπνξεί λα παξηζηάλεη ζθαίξα [ : σο πξνο ηελ κεηξηθή

Page 88: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

88

ηνπ λένπ , είηε ηνπ αξρηθνχ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ]. Όπσο ζα δηαπηζηψ-

ζνπκε θαη ζηα επφκελα νη εμηζψζεηο πνπ πεξηέρνπλ θαη φξνπο δεπηέξνπ βαζ-

κνχ κπνξεί λα έρνπλ ζχλνια αιεζείαο ηα ζύλνια ζπληεηαγκέλσλ θσλνηό-

κσλ ζρεκάησλ , δεχγνπο επηπέδσλ , θιπ.

Παξάδεηγκα 2.1.4 : H εμίζσζε

(2.1.4α). θ(x,ς,z) (2x+ς+3z-1)(x-2ς+z-4) = 0 ,

επαιεζεχεηαη απφ ηηο ζπληεηαγκέλεο φισλ ησλ ζεκείσλ πνπ βξίζθνληαη ζηα

επίπεδα :

(2.1.4β) . 2x+ς+3z = 1 , x-2ς+z = 4 .

Αλ εθηειέζνπκε ηηο πξάμεηο ζα δνχκε φηη απηή ε αλαιπηηθή εμίζσζε παίξλεη

ηελ κνξθή :

(2.1.4γ). 2x2- 2ς2 +3z2-3xς+5xz-5ςz-9x-2ς-13z+4 = 0

[Δδψ βιέπνπκε φηη κία πιήξεο κνξθή δεπηεξνβάζκηαο εμίζσζεο ησλ

κεηαβιεηψλ x , ς , z παξηζηάλεη ην ζρήκα πνπ ζρεκαηίδνπλ ηα δύν ηεκλό-

κελα επίπεδα ηεο (1.2.5.1.δ) [ θαη φρη ζθαηξηθή , είηε θάπνηα άιιε θακπύ-

ιε [ θσλνεηδή ] επηθάλεηα.

Θα ιέγακε γεληθά , φηη έρεη ελδηαθέξνλ λα κπνξνχκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηα

θνηλά ζεκεία νπνηνπδήπνηε επηπέδνπ Π κε ηα ρήκαηα ηνπ B(Κ,R) ( ε απφ-

ζηαζε d(Κ,Π) είλαη ην θξίζηκν κέγεζνο πνπ ξπζκίδεη ηελ δπλαηφηεηα ηνπ Π λα

έρεη θνηλά ζεκεία κε ηηο ζθαίξεο B(Κ,R)0 , B(Κ,R) , (Κ,R) . ( : κε ηα ζρήκα-

ηα ,δειαδή , ηνπ B(Κ,R)) . [ : ν κε αξλεηηθφο αξηζκφο d(Κ,Π) ( : απφζηαζε

ηνπ θέληξνπ Κ απφ ην επίπεδν Π ) δηακνξθψλεη θαη ηελ αθηίλα r ηνπ θχθινπ

ηνκήο. Βιέπε θαη επφκελα] . [ηα επφκελα , γηα νπνηαδήπνηε ζεκεία Κ,Λ≠Κ ,

ζέηνπκε [ΚΛ] γηα ην ζχλνιν φισλ ησλ ζεκείσλ ηεο επζείαο ε(Κ,Λ) πνπ είλαη

κεηαμχ ησλ Κ,Λ πιένλ ησλ Κ,Λ θαη ζα ιεκε φηη

(2.1.4γ)΄ ην [ΚΛ] είλαη ην επζύγξακκν ηκήκα ηνπ 𝔼 κε αθξα ηα ζεκεία Κ,Λ]

Πξόηαζε 2.1.5 . Δάλ κία επζεία ε ε(Ρ,σ) 𝔼 πεξηέρεη θάπνην εζσηεξηθφ

ζεκείν Λ ζθαίξαο (Κ,R) , ηφηε ε ε έρεη κε ηελ (Κ,R) , θνηλά δχν αθξηβψο

ζεκεία Γ , Γ΄≠ Γ θαη κε ην Ball Β(Κ,R) , ην επζχγξακκν ηκήκα [ΓΓ΄] θαη ην

κέζνλ Ε ηνπ [ΓΓ΄] (⇔ 𝛥𝛧 ) = 𝛧𝛥΄ ) είλαη ην ίρλνο ηεο θαζέηνπ πξνο ηελ επζεί-

α ε ε(Ρ,σ) = ε(Γ,Γ΄) απφ ην θέληξν Κ ηνπ Β(Κ,R) .[ άξα ηα Γ, Γ΄ είλαη εθα-

ηέξσζελ ηνπ Ε ] .

Page 89: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

89

Απόδεημε . Δρνπκε φηη d(Κ,Λ) = ∥𝛫𝛬 ∥ < R (*) , θαη ζεσξνχκε επί ηεο ε ην

[ : κνλαδηθφ ] ζεκείν Ε ψζηε ε(Κ,Ε) ⊥ ε [ απφ πνηα πξφηαζε ; ] .Σφηε

(1). ∥𝛫𝛧 ∥ ≦ ∥𝛫𝛬 ∥ < R θαη άξα ην Ε είλαη επίζεο έλα εζσηεξηθφ ζεκείν ηεο

ζθαίξαο (Κ,R) θαη ηζρχεη ). R2 - ∥𝛫𝛧 ∥2 > 0 (**)

(2). Θεσξνχκε ζεκείν Γε(Α,σ) ψζηε ∥𝛧𝛥 ∥2 = R2 - ∥𝛫𝛧 ∥2 > 0 . Αθφκε

έρνπκε 𝛫𝛧 ⊥ 𝛧𝛥 θαη 𝛫𝛥 = 𝛫𝛧 + 𝛧𝛥 . Δπνκέλσο παίξλνπκε :

∥𝐾𝛥 ∥2 =∥𝐾𝛧 + 𝛧𝛥 ∥2 = <𝐾𝛧 + 𝛧𝛥 , 𝐾𝛧 + 𝛧𝛥 ∥> =<𝐾𝛧 , 𝐾𝛧 > <𝐾𝛧 ,𝛧𝛥 >

+<𝛧𝛥 , 𝐾𝛧 > + <𝛧𝛥 ,𝛧𝛥 > =∥𝛫𝛧 ∥2 + 0 + 0 + ∥𝛧𝛥 ∥2 = ∥𝛫𝛧 ∥2 +R2 -∥𝛫𝛧 ∥2

= R2 θαη άξα ∥𝐾𝛥 ∥ = R .Δπνκέλσο ην Γ είλαη ζεκείν ηεο ζθαίξαο (Κ,R).

(3). Θεσξνχκε επίζεο ζεκείν Γ΄ε(Α,σ) ψζηε 𝛥𝛧 = 𝛧𝛥 ΄ , θαη άξα ∥𝛧𝛥΄ ∥ =

∥𝛥𝛧 ∥ θαη επνκέλσο έρνπκε επίζεο ∥𝐾𝛥΄ ∥2 = R2 θαη Γ΄(Κ,R) κε Γ ≠ Γ΄

θαη ε απφδεημε είλαη πιένλ απιή .

Γηαηππψλνπκε ηψξα κία παξφκνηα πξφηαζε γηα επίπεδν Π = Π(Α,σ,ζ) αληί

ηεο επζείαο ε = ε(Α,σ) :

Πξόηαζε 2.1.6 . Δάλ έλα επίπεδν Π = Π(Α,σ,ζ) 𝔼 πεξηέρεη θάπνην εζσ-

ηεξηθφ ζεκείν Λ ζθαίξαο (Κ,R) , ηφηε ην Π έρεη κε ηελ (Κ,R) , θνηλά φια

Page 90: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

90

ηα ζεκεία ελφο θχθινπ θ(Π,Z,r) ≔ {ΝΠ : ∥𝑍𝛮 ∥ = r} θ(Z,r) , φπνπ Z είλαη

ην ίρλνο ηεο θαζέηνπ πξνο ην επίπεδν Π απφ ην θέληξν Κ ηεο ζθαίξαο

(Κ,R) θαη r2 = R2 – d(K,Π)2 > 0 ,θαη κε ην Ball Β(Κ,R) ,ηνλ θπθιηθφ δίζθν

c(Π,Z,r) ≔ {ΝΠ : ∥𝑍𝛮 ∥ ≦ r} c(Z,r) .

Απόδεημε .

Γλσξίδνπκε φηη ππάξρεη κνλαδηθφ Ε ,ζεκείν ηνπ Π , ψζηε ε επζεία ε(Κ,Ε) λα

είλαη θάζεηε πξνο ην Π [απφ πνηα πξφηαζε ?] .Θεσξνχκε ην ηπρφλ ζεκείν Ρ

ηνπ θχθινπ θ(Π,Z,r) Π [ φπσο ζηελ εθθψλεζε ] θαη έρνπκε : ∥𝑍𝛲 ∥ = r,

𝐾𝑃 = 𝐾𝛧 + 𝛧𝑃 θαη αθφκε 𝐾𝛧 ⊥ 𝛧𝑃 . Αξα [φπσο θαη πξνεγνπκέλσο ] :

∥𝐾𝑃 ∥2 =∥𝐾𝛧 + 𝛧𝑃 ∥2 = <𝐾𝛧 + 𝛧𝑃 , 𝐾𝛧 + 𝛧𝑃 ∥> =<𝐾𝛧 , 𝐾𝛧 > <𝐾𝛧 ,𝛧𝑃 >

+<𝛧𝑃 , 𝐾𝛧 > + <𝛧𝑃 ,𝛧𝑃 > =∥𝛫𝛧 ∥2 + 0 + 0 + ∥𝛧𝑃 ∥2 = ∥𝛫𝛧 ∥2 +R2 -∥𝛫𝛧 ∥2

= R2 θαη άξα Ρ(Κ,R) . Δπνκέλσο εχθνια παίξλνπκε ηψξα :

θ(Z,r) θ(Π,Z,r) = Π∩(Κ,R) , c(Z,r) c(Π,Z,r) = Π∩B(Κ,R) .

Πόξηζκα 2.1.6α .Δάλ κία επζεία ε ε(Α,σ) 𝔼 [αληίζηνηρα : Δπίπεδν Π=

Π(Α,σ,ζ) ] ηέκλεη ζθαίξα (Κ,R) αιιά δελ πεξηέρεη εζσηεξηθά ζεκεία ηεο

Page 91: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

91

ζθαίξαο , ηφηε ε ε [αληίζη. : ην Π ] έρεη κε ηελ ε [ αληίζη. κε ην Π ]

κφλνλ έλα θνηλφ ζεκείν .

Απόδεημε . [ ηελ παξαπάλσ πεξίπησζε ιέκε φηη ε ε θαη ην Π εθάπην-

ληαη ηεο (Κ,R) θαη ηνπ ball B(Κ,R), είηε ηζνδχλακα φηη ε (Κ,R) θαη ην ball

B(Κ,R) εθάπηνληαη ηεο ε θαη ηνπ Π , ζην κνλαδηθφ ηνπο θνηλφ ζεκείν] .

(i). Αθνχ ε ε θαη ε (Κ,R) ηέκλνληαη [δειαδή έρνπλ κε θελή ηνκή] ζα ππάξ-

ρεη θνηλφ ζεκείν απηψλ , έζησ Ρ. Όκσο ην Ρ δελ είλαη εζσηεξηθφ ζεκείν θαη

άξα ∥𝛫𝑃 ∥ = R (*). Δζησ ηψξα φηη ππάξρεη θαη έλα δεχηεξν θνηλφ ζεκείν

ησλ ε θαη (Κ,R) θαη φηη Ρ ≠ Q .Eπνκέλσο ε = ε(Ρ,Q) θαη επίζεο ην Q ζα

είλαη κε εζσηεξηθφ ζεκείν ηεο (Κ,R) θαη ∥𝛫𝑄 ∥ = R (**). Θεσξνχκε ην κε-

ζνλ Ε ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο [ΡQ] θαη άξα Ε ≠ Ρ , Q , 𝛧𝑃 ≠ 0 (***) .

απφ ∥𝛫𝛲 ∥ = R = ∥𝛫𝑄 ∥ , 𝐾𝛧 = 𝐾𝛧 θαη 𝛲𝛧 = 𝛧𝑄 , ηα ηξίγσλα ΚΕΡ θαη

ΚΕQ είλαη ίζα θαη επνκέλσο νη ίζεο γσλίεο 𝛫𝛧𝛲 θαη 𝛫𝛧𝑄 [ πνπ έρνπλ άζ-

ξνηζκα κία επζεία γσλία ] ζα πξέπεη λα είλαη νξζέο , θαη άξα νη πιεπξέο

ηνπο είλαη θάζεηεο κεηαμχ ηνπο.Με άιια ιφγηα 𝐾𝛧 ⊥ 𝛧𝑄 , 𝛧𝑄 θαη απφ ην

Ππζαγφξεην έρνπκε :

∥𝛫𝛧 ∥2 = ∥𝛫𝑃 ∥2- ∥𝛧𝑃 ∥2 < ∥𝛫𝑃 ∥2 = R2 .

[βιέπε θαη (***)] . Δπνκέλσο ην ζεκείν Ε ηεο ε είλαη εζσηεξηθφ ζεκείν ηεο

(Κ,R) , ην νπνίν είλαη άηνπν απφ ηελ ππφζεζε [βιέπε θαη (***) επίζεο] .

Δπνκέλσο ε ππφζεζε φηη Ρ ≠ Q είλαη ςεπδήο . Με άιια ιφγηα πξέπεη Ρ = Q

,θαη άξα ε ηνκή (Κ,R)∩ ε ηεο ε κε ηελ ζθαίξα (Κ,R) είλαη έλα κνλνζχλν-

ιν {Ρ} . Με παξφκνην ηξφπν δείρλνπκε φηη ην επίπεδν Π πνπ ηέκλεη ηελ

(Κ,R) , αιιά δελ έρεη εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ Β(Κ,R) έρεη κε ηελ (Κ,R) θαη

ην Β(Κ,R) αθξηβψο έλα θνηλφ ζεκείν . Αξα ηα ζρήκαηα απηά εθάπηνληαη κεηα-

μχ ηνπο .

Πόξηζκα 2.1.6β .Δάλ Α είλαη ζεκείν ζθαίξαο (Κ,R) , μ ε(Α,σ) 𝔼 κία

επζεία δηά ηνπ θέληξνπ Κ ηεο (Κ,R) [ : Kμ ] θαη Α μ , ηφηε ην επίπεδν Π

ΠΑ 𝔼 πνπ πεξηέρεη ην Α θαη είλαη θάζεην ζηελ μ [: Π⊥ μ], ηέκλεη ηελ ζθαίξα

(Κ,R) θαηά ηνλ θχθιν

(2.1.4δ) θA θ Π∩(Κ,R) = θ(Ε,r) : Ε =Π∩μ , 0 < r = d(A,μ) ≦ R

Page 92: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

92

θαη ε επζεία εA ε(Α , ζ) ⊥ μ [ ⇔ ζ⊥σ ] ηέκλεη ηνλ θχθιν θA ζηα αληη-

δηακεηξηθά ηνπ ζεκεία Α , Α΄ : 𝛢𝛧 = 𝛧𝛢΄ .

Απόδεημε. Δάλ Ε είλαη ην ίρλνο ηνπ [ : κνλαδηθνχ] θαζέηνπ πξνο ηελ μ ,

απφ ην Α , επηπέδνπ Π , ηφηε έρνπκε : 0 < r = d(A,μ) = ∥𝛢𝛧 ∥ ≦ ∥𝛢𝛫 ∥ = R .

Exoπκε μ = ε(Κ,Ε)⊥ Π θαη άξα 𝛫𝛧 ⊥ 𝛢𝛧 .Δπνκέλσο

∥𝛫𝛧 ∥2< ∥𝛫𝛧 ∥2+∥𝛢𝛧 ∥2= ∥𝛫𝛢 ∥2 = R2 , d(K,Π) = ∥𝛫𝛧 ∥ < R

Δπνκέλσο ην ζεκείν Ε ηνπ Π είλαη έλα εζσηεξηθφ ζεκείν ηεο (Κ,R) θαη

απφ ηελ Πξφηαζε 2.1.6 ην Π ηέκλεη ηελ (Κ,R) θαηά ηνλ θχθιν θ(Π,Z,r) ≔

{ΝΠ : ∥𝑍𝛮 ∥ = r} θ(Z,r) , ηνπ Π .Πξνθαλψο ε επζεία ε(Α,Ε) είλαη επζεία

ηνπ θαζέηνπ πξνο ηελ μ επηπέδνπ Π θαη άξα είλαη θάζεηε ζηελ μ θαη ηέκλεη

ηνλ θχθιν θA = θ(Ε,r) θαη ζε έλα δεχηεξν ζεκείν Α΄ αληηδηακεηξηθφ ηνπ Α [ δηφηη

δηέξρεηαη απφ ην θέληξν Ε απηνχ] θαη ε απφδεημε είλαη πιήξεο .

Παξαηήξεζε 2.1.6γ . Οπνηαδήπνηε επζεία ε κπνξεί λα έρεη κε κία

ζθαίξα (Κ,R) :

(1). Γύν αθξηβώο θνηλά ζεκεία , θαη ηφηε ζα ιέκε φηη ε ε είλαη

κία ηέκλνπζα ηελ (Κ,R) επζεία .

[Δπίζεο ιέκε ηφηε φηη ε (Κ,R) θαη ε ε είλαη ηεκλόκελεο ].

(2). Έλα αθξηβώο θνηλό ζεκείν , θαη ηφηε ζα ιέκε φηη ε ε είλαη

κία εθαπηνκέλε πξνο ηελ (Κ,R) επζεία .

Δπίζεο ιέκε ηφηε φηη ε (Κ,R) θαη ε ε είλαη εθαπηόκελεο (κεηαμχ ηνπο)].

(3). Καλέλα θνηλφ ζεκείν , θαη ηφηε ιέκε φηη ε επζεία ε είλαη κία εμσηεξηθή

επζεία ηεο (Κ,R) .

Δίλαη θαλεξφ φηη παξφκνηα είλαη ε νξνινγία θαη γηα επίπεδν Π θαη θαίξα.

Μφλν πνπ ηφηε νη πεξηπηψζεηο έρνπλ σο εμήο :

Σν επίπεδν Π θαη ε ζθαίξα (Κ,R) έρνπλ :

(1). θνηλά όια ηα ζεκεία ηνπ θχθινπ [ : πεξηθέξεηαο]

θ(Π,Z,r) ≔ {ΝΠ : ∥𝑍𝛮 ∥ = r} θ(Z,r) θαη κφλνλ απηά, θαη κε ην Ball B(Κ,R)

όια ηα ζεκεία ηνπ θπθιηθνχ δίζθνπ c(Π,Z,r) ≔ {ΝΠ : ∥𝑍𝛮 ∥ = r} c(Z,r)

[θαη κφλνλ απηά] [Δάλλ ην Π έρεη εζσηεξηθά ζεκεία ηεο ⇔ d(K,Π)=∥𝛫𝛧 ∥< R]

(2). Έλα αθξηβώο θνηλό ζεκείν , θαη ηφηε ζα ιέκε φηη ην Π είλαη

έλα εθαπηόκελν πξνο ηελ (Κ,R) επίπεδν .

[Δπίζεο ιέκε φηη ην Π θαη ε (Κ,R) εθάπηνληαη κεηαμύ ηνπο θαη ηφηε

Page 93: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

93

d(K,Π)=∥𝛫𝛧 ∥= R θαη ην Π δελ πεξηέρεη εζσηεξηθά ζεκεία ηεο (Κ,R) αιιά

θαη ηνπ Β(Κ,R)] .

(3). Καλέλα θνηλφ ζεκείν , θαη ηφηε ιέκε φηη ην Π είλαη έλα

εμσηεξηθό επίπεδν ηεο ζθαίξαο (Κ,R) .

Παξνκνίνπ ελδηαθέξνληνο είλαη θαη ε δηαηχπσζε ηθαλώλ θαη αλαγθαίσλ

ζπλζεθψλ ψζηε λα κπνξνχλ λα πξνζδηνξίδνληαη ηα θνηλά ζεκεία δχν δεδν-

κέλσλ ζθαηξψλ. ην ζρεηηθφ πξφβιεκα ππεηζέξρεηαη ην επζχγξακκν ηκήκα

ΚΚ΄ ησλ θέληξσλ Κ , Κ΄ ησλ δχν ζθαηξψλ θαζψο θαη ε απφζηαζε d(K,K΄)

απηψλ . ρεηηθά έρνπκε ηνλ επφκελν νξηζκφ :

Oξηζκόο 2.1.7 . Δάλ Κ , Κ΄ είλαη δηαθνξεηηθά ζεκεία Θα νλνκάδνπκε :

(η) Γηάθεληξν ησλ ζθαηξώλ B(Κ,R) , B(Κ΄,r) ηα ΚΚ΄ , d(K,K΄) = ∥𝐾𝛫΄ ∥

(ηη) Γηαθεληξηθή επζεία ησλ B(Κ,R) , B(Κ΄,r) ηελ επζεία ε(Κ,Κ΄) .

Δίλαη άκεζν απφ ηα πξνεγνχκελα φηη ηα ζεκεία Ν ηνπ Π πνπ κπνξεί λα είλαη

θαη ζε θάπνην απφ ηα ζχλνια B(Κ,R)0 , B(Κ,R) ,(Κ,R) πξέπεη [ θαη αξθεί ]

λα ηθαλνπνηνχλ ηελ ζρέζε

(2.1.7α) (θ-α)2 + (ι-β)2 + (κ-γ)2 = R2 , είηε (θ-α)2 + (ι-β)2 + (κ-γ)2 < R2.

Με άιια ιφγηα ε ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα ηέκλεη ην Π ηα ζρήκαηα

B(Κ,R)0 , [ αληίζη. (Κ ,R) ] , [ ππνζχλνια ηνπ Β(Κ,R)] είλαη ε :

(2.1.7β) d(Κ,Π) < R [ αληίζηνηρα : d(Κ,Π) ≦ R ]

(2.1.7γ) Β(Κ,R)0∩Π ≠ ⇔ d(Κ,Π) < R , Β(Κ,R)∩Π ≠ ⇔ d(Κ,Π) ≦ R

Δζησ 0 < d(Κ,Π) < R θαη ΛΠ : d(Κ,Λ) = ∥𝐾𝛬 ∥ = d(Κ,Π) < R . [δέο θαη

πξνεγνχκελα]

Δπίζεο έζησ rℝ : r2 R2 - d(Κ,Π)2 > 0 [ Αξα R > r > 0 ]

Αξα Λ Β(Κ,R)0 )∩Π θαη ε(Κ,Λ) ⊥ Π .Δζησ Μ ζεκείν ηνπ Π κε ∥𝛬𝛭 ∥2 =

= R2 - d(Κ,Π)2 r2 > 0 . Δπνκέλσο έρνπκε

𝛬𝛭 ⊥ 𝛫𝛬 ⇔ <𝐾𝛬 , 𝛬𝛭 > = 0

θαη άξα :

∥𝐾𝛭 ∥2 = ∥𝛫𝛬 +𝛬𝛭 ∥2 =<𝛫𝛬 +𝛬𝛭 , 𝛫𝛬 +𝛬𝛭 ∥>

= <𝛫𝛬 , 𝛫𝛬 > + <𝛫𝛬 ,𝛬𝛭 > + < 𝛬𝛭 ,𝛫𝛬 > + <𝛬𝛭 , 𝛬𝛭 >

= ∥𝐾𝛬 ∥2 + 0 + 0 + ∥𝛬𝛭 ∥2 = d(Κ,Π)2 + R2 - d(Κ,Π)2 = R2 .

Γειαδή ∥𝐾𝛭 ∥ =R θαη επνκέλσο Μ(Κ,R) . Με άιια ιφγηα ηφηε έρνπκε :

Page 94: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

94

Μ(Κ,R) )∩Π .

Αληίζηξνθα : Απφ Μ(Κ,R) )∩Π έρνπκε

∥𝐾𝛭 ∥ =R θαη 𝛬𝛭 ⊥ 𝛫𝛬 .

Δπνκέλσο παίξλνπκε :

R2 = ∥𝐾𝛭 ∥2 = ∥𝐾𝛬 + 𝛬𝛭 ∥2 = <𝛫𝛬 +𝛬𝛭 , 𝛫𝛬 +𝛬𝛭 ∥>

= <𝛫𝛬 , 𝛫𝛬 > + <𝛫𝛬 ,𝛬𝛭 > + < 𝛬𝛭 ,𝛫𝛬 > + <𝛬𝛭 , 𝛬𝛭 >

= ∥𝐾𝛬 ∥2 + 0 + 0 + ∥𝛬𝛭 ∥

2 = d(Κ,Π)2 + ∥𝛬𝛭 ∥

2 .

Με άιια ιφγηα ηζρχεη :

∥𝛬𝛭 ∥2 = R2 - d(Κ,Π)2 < R2

Παξαηήξεζε 2.1.8. Πξέπεη ηψξα λα δείμνπκε ηελ ηζνδπλακία

( 2.1.8α) d(K,Κ΄) > R + r ⇔ B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) =

(επζχ) . Αο ππνζέζνπκε φηη νη ζθαίξεο B(Κ,R) , B(Κ΄,r) ηθαλνπνηνχλ ηελ

ζρέζε ( : φπνπ ζέηνπκε γεληθά (ΑΒ) γηα ην κήθνο ηνπ επζπγξάκκνπ ηκή-

καηνο ΑΒ ) :

( 2.1.8β) d(K,Κ΄) > R + r .

Δάλ ε ηνκή B(Κ,R) ∩B(Κ΄,r) πεξηείρε θάπνην ζεκείν Ρ ηφηε ζα έπξεπε :

d(K,Ρ) ≦ R , d(K΄,Ρ) ≦ r θαη άξα

R + r < d(K,Κ΄) ≦ d(K,Ρ) + d(K΄,Ρ) ≦ R + r

Πνπ είλαη κία αληηθαηηθή ζρέζε . Δπνκέλσο ζα πξέπεη : B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) = .

Αληίζηξνθα : Δζησ B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) = . Δάλ θάπνην ζεκείν ΜB(Κ΄, r).

ήηαλ εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ B(Κ,R) ηφηε Μ B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) ≠ , αληίθαζε.

Αξα φια ηα ζεκεία ηνπ B(Κ΄,r) είλαη εμσηεξηθά ζεκεία ηνπ B(Κ,R). Οκνίσο

δείρλνπκε φηη φια ηα ζεκεία ηνπ B(Κ,R) είλαη εμσηεξηθά ζεκεία ηνπ B(Κ΄,r)

θαη επνκέλσο Κ≠Κ΄. Θεσξνχκε ηελ δηάθεληξηθή επζεία ε(Κ,Κ΄) . Δάλ ήηαλ

d(K,Κ΄) = R + r , ηφηε ππάξρεη αθξηβψο έλα ζεκείν Ν ηνπ ΚΚ΄ ψζηε

ΚΝ = R θαη Κ΄Ν = r θαη άξα Ν B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) ≠ [ πνπ είλαη κία αληίθα-

ζε πξνο ηελ ππφζεζε ] . Δζησ φηη είλαη d(K,Κ΄) < R + r (*). Θεσξνχκε ,

ζηελ εκηεπζεία ηεο ε(Κ,Κ΄) πνπ έρεη αξρή Κ θαη πεξηέρεη ην Κ΄ , έλα ζεκείν Α

ψζηε d(Κ,Α) = R. Σφηε ην Α αλήθεη ζην B(Κ,R) αιιά δελ κπνξεί λα είλαη θαη

ζεκείν ηνπ B(Κ΄,r) , αθνχ B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) = . Αξα d(Κ΄,Α) > r . Αλ ην Α είλαη

εζσηεξηθφ ζεκείν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΚΚ΄ ηφηε ΚΚ΄=ΚΑ+ΑΚ΄ θαη άξα

[ απφ (*) θαη ηηο ηδηφηεηεο κέηξεζεο ησλ επζπγξ. ηκεκάησλ , παίξλνπκε ] :

Page 95: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

95

R + r > d(K,K΄)= ∥𝛫𝛫΄ ∥ =(ΚΚ΄) = (ΚΑ)+(ΑΚ΄)= d(K,Α)+ d(Α,K΄) > R + r

πνπ είλαη κία αληίθαζε . Δπνκέλσο νη ζρέζεηο :

d(K,Κ΄) = R + r θαη d(K,Κ΄) < R + r είλαη ςεπδείο .

Με άιια ιφγηα φηαλ B(Κ,R)∩B(Κ΄,r) = , πξέπεη d(K,Κ΄) > R + r θαη ε

ηζνδπλακία ( 2.1.8α) εδείρζε . Μία άιιε [ ρξήζηκε επίζεο ] έθθξαζε ηεο

ηζνδπλακίαο απηήο είλαη θαη ε επφκελε :

( 2.1.8β) ΄ B(Κ,R) ∩B(Κ΄,r) = ⇔

d(K,Ρ)+d(K΄,Ρ) = (ΚΡ)+(Κ΄Ρ) = ∥𝐾𝛲 ∥+∥𝐾΄𝛲 ∥ > R + r .

§ 2.2. Κσλνηόκεο απεθνλίζεηο ξ ξ(Δ,δ) .

(α) . Δζησ δ 𝔼 είλαη κία ηπραία επζεία ηνπ 𝔼 θαη Δ 𝔼 ηπρφλ ζεκείν :

E δ . Σφηε νξίδεηαη κία απεηθφληζε ξ ξ(Δ,δ) :

(2.2.α) ξ : 𝔼 [0,∞] : Μ ↦ ξ(Μ) ≔ 𝛭𝛦

𝛭𝛲 =

∥𝛭𝛦 ∥

∥𝛭𝛲∥ =

∥𝛭𝛦 ∥

𝑑(𝑀,𝛿) [0,∞] , Μ𝔼

[ : [0,∞] είλαη ην θιεηζηφ δηάζηεκα ηεο ζπκπαγνχο επζείαο ℝ [-∞ ,+∞] απφ

ην 0 έσο θαη ην +∞ .Θέηνπκε ξ(Μ) = + ∞, γηα φια ηα Μδ [ θαη κφλνλ απηά]

θαη ξ(Δ) = 0 ] .

Οη φξνη ηνπ πξψηνπ θιάζκαηνο είλαη επζχγξακκα ηκήκαηα πνπ νξίδνληαη

απφ ηα αληίζηνηρα ζεκεία ηνπ 𝔼 ,ελψ ηα επφκελα θιάζκαηα είλαη νη απoζηά-

ζεηο ηνπ ζεκείνπ Μ απφ ην [πξνθαζνξηζκέλν] ζεκείν Δ θαη απφ ηελ επζεία

δ , αληίζηνηρα [ φπσο εθθξάδνληαη απφ ηελ (: Δπθιείδηα) λφξκα , θαη ηελ

αληίζηνηρε κεηξηθή ηνπ (𝔼, (Οxςz)) ζηα ειεχζεξα δηαλχζκαηα θαη ζηα δεχγε

ησλ ζεκείσλ ηνπ .

Μία πξψηε κειέηε ηεο απεηθφληζεο απηήο , δείρλεη φηη ε απφζηαζε ηνπ

ζεκείνπ Μ απφ ην ζεκείν Δ κπνξεί λα γίλεη νζνδήπνηε κεγάιε [ : κε απφ-

κάθξπλζε ηνπ Μ απφ ην Δ] θαη ηαπηφρξνλα ε απφζηαζή ηνπ Μ απφ ηελ

επζεία δ λα γίλεη νζνδήπνηε κηθξή [: κε πιεζίαζκα ηνπ Μ πξνο ηελ επζεία

δ ] θαη άξα ε αχμεζε ηνπ ιφγνπ ξ(Μ) ησλ δχν απνζηάζεσλ ηνπ ζεκείνπ Μ .

Page 96: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

96

Δπνκέλσο ε ηηκή ηνπ ιφγνπ ξ(Μ) δελ έρεη άλσ θξάγκα κέζα ζην ζχλνιν ℝ+

ησλ ζεηηθψλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ. Με άιια ιφγηα ε ξ είλαη «κία επί (ηνπ

ℝ ) απεηθόληζε» ηνπ 𝔼] .

(β). Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ην ρήκα 15 , ηζρχεη :

(2.2.β) ξ(𝔼) = ξ(ε) = [0,+∞]

Ακεζε ζπλέπεηα ηνπ επί ηεο ξ είλαη φηη ηα ζχλνια :

(2.2.γ) 𝔼τ ξ-1(η) = {M 𝔼 : ξ(Μ) = η} ≠ , η[0,+∞]

[ ηα νπνία νλνκάδνληαη (γηα πξνθαλείο ιφγνπο ) :

(2.2.δ) «ζηάζκεο ζηαζεξόηεηνο ηεο απεηθόληζεο ξ»

απνηεινχλ κία δηακέξηζε ηνπ 𝔼 [ βιέπε θαη πην θάησ ] .

Ηδηαίηεξα έρνπκε ηνλ επφκελν νξηζκφ :

Οξηζκόο 2.2.1 Δζησ Δ 𝔼 ηπρφλ ζεκείν , θαη δ 𝔼 ηπρνχζα επζεία .Θεσ-

ξνχκε ηελ απεηθφληζε ξ ξ(Δ,δ) :

(2.2.1α) ξ : 𝔼 [0,∞] ℝ : Μ ⟼ ξ(M) ≔ ∥𝛭𝛦 ∥

𝑑(𝑀,𝛿) , M 𝔼

Σφηε πξνθχπηεη ε νηθνγέλεηα :

(2.2.1β) 𝔼ρ { ξ-1(η) 𝔼τ : η [0,1] } ,

ππνζπλφισλ ηνπ 𝔼 , δειαδή νη ζηάζκεο ζηαζεξόηεηνο ηεο ξ(Δ,δ) νη νπνί-

εο επνκέλσο απνηεινχλ κία δηακέξηζε ηνπ 𝔼 :

(2.2.1γ) 𝔼 = 𝔼ττ [0,+∞] , 𝔼τ 𝔼 σ = , η ≠ ζ

Σφηε ζα νλνκάδνπκε ηελ ζηάζκε ζηαζεξφηεηνο ξ-1(η) :

(η) Κσλoεηδή επηθάλεηα ηνπ 𝔼 [ κε εζηία Δ θαη αληίζηνηρε δηεπζεηνύζα δ.

Ηδηαίηεξα ηελ ηνκή

𝔼τ Π Πη

ηνπ επηπέδνπ Π Π(Δ,δ) [ηεο επζείαο δ πνπ πεξηέρεη ην ζεκείν Δ] θσληθή

ηνκή ηεο ξ απφ ην επίπεδν Π . Ηδηαίηεξα ζα νλνκάδνπκε ην Πη :

(η) έιιεηςε , φηαλ η [0,1) [ κε εζηία Δ θαη αληίζηνηρε δηεπζεηνχζα δ ]

(ηη) παξαβνιή , φηαλ η = 1 »

(ηηη) ππεξβνιή , φηαλ η (1,∞] »

(ηλ). Σν η ζα ιέγεηαη «εθθεληξόηεηα» ] ηεο θσλνεηδνύο επηθάλεηαο :

ξ-1(η) 𝔼τ ηνπ 𝔼 .

Page 97: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

97

πκπεξαζκαηηθά ζα ιέγακε [βιέπε @ ρ.16] φηη θάζε απεηθφληζε ξ ξ(Δ,δ) :

νξίδεη κία άπεηξε νηθνγέλεηα

θσληθώλ ηνκώλ ηνπ επηπέδνπ Π Π(Δ,δ)

πνπ είλαη ζε 1-1 θαη επί αληηζηνηρία

κε ηελ άπεηξε ζεηηθή εκηεπζεία [0,+ ∞ ] :

0 ⟼ E Π0 [ : θνηλή εζηία ] , (0,1) η ⟼ έιιεηςε Πη ,

1 ⟼ παξαβνιή Π1

(1, ∞) ζ ⟼ ππεξβνιή Πσ , ∞ ⟼ δ Π∞ [ : θνηλή δηεπζεηνύζα ]

Παξαηεξνχκε επίζεο φηη [ βιέπε θαη ζρήκα 16 ] :

(η). όιεο νη ειιείςεηο (ηεο παξαπάλσ νηθνγέλεηαο ) είλαη ζην εζσηεξηθό ηεο

παξαβνιήο Π1 θαη ε δεμηά θνξπθή ηεο είλαη έλα απφ ηα εζσηεξηθά ζεκεία

ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΦ [ φπνπ Φ είλαη ην κέζνλ ηνπ επζπγξάκκνπ

ηκήκαηνο ΔΓ , θαη Γ είλαη ην ίρλνο ηεο θαζέηνπ επζείαο ηνπ ζεκείνπ Δ πξνο

ηελ δηεπζεηνχζα δ ] .

Page 98: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

98

(ηη) . όιεο νη ππεξβνιέο ηεο είλαη ζην εμσηεξηθό ηεο παξαβνιήο Π1 θαη ε

αξηζηεξά θνξπθή ηεο είλαη έλα απφ ηα εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ επζπγξάκκνπ

ηκήκαηνο ΦΓ.

Καζεκία απφ ηηο παξαπάλσ θσληθέο ηνκέο [ πιήλ ηνπ κνλνζπλφινπ Δ] αληη-

ζηνηρεί ζηελ επηθάλεηα ξ-1(η) 𝔼τ :

η ⟼ Πη ⟼ ξ-1(η) 𝔼τ , η(0,+ ∞ ]

Παξαηήξεζε . (Α). H παξαπάλσ απεηθφληζε ξ ξ(Δ,δ) , νξίδεηαη απφ ηα ε-

πφκελα δεδνκέλα :

(1) Σν ζεκείν Δ

(2) Σελ επζεία δ ε(Ζ,ζ) [ φπνπ Δ δ , ζ ≠ 0 ] .

(Β). Σα δηαλχζκαηα 𝐸𝐻 , ζ είλαη αλεμάξηεηα [ : αιιηψο ην Δ ζα ήηαλ επί ηεο δ]

Δπνκέλσο νξίδεηαη θαη ην πξνβάιινλ δηάλπζκα σ ηνπ 𝐸𝐻 επί ηνπ ζ απφ

ηνλ ηχπν :

σ = 𝐸𝐻 - <𝛦𝛨 ,휃>

<휃 ,휃> ζ ⊥ ζ // δ

Δάλ σ = (θ,ι,κ) ℝ3 θαη Γ 𝔼 ψζηε 𝐸𝛤 = σ ηφηε ην Γ είλαη ζεκείν ηεο

δηεπζεηνχζαο δ : Γ δ

Αλ αληί ηεο δ ζεσξήζνπκε ην επίπεδν Ρ Π(Γ,⊥σ) = Π(Γ,ζ,σxζ) , νξίδεηαη

ε απεηθφληζε ζ ζ(Δ,Ρ) ζ(Δ,Ζ,ζ) ζ(Δ,σ,ζ) απφ ηνλ ηχπν :

(3)΄ ζ : 𝔼 [0,∞] ℝ+ ℝ : ζ(Μ) ≔ ∥𝛭𝛦 ∥

𝑑(𝑀,𝛲)

[ φπνπ ε απφζηαζε d(Μ,Ρ) ηνπ ζεκείνπ Μ απφ ην επίπεδν Ρ δίδεηαη απφ

ηελ ζρέζε θαη πινπνηείηαη απφ ηε λφξκα ∥𝛭𝛨 ∥ ηνπ δηαλχζκαηνο 𝛭𝐻 , φπνπ

Ζ είλαη ην ίρλνο ηεο (κνλαδηθήο) θαζέηνπ πξνο ην Ρ απφ ην [νπνηνδήπνηε] ζε-

κείν Μ ] .

Οιεο απηέο νη επηθάλεηεο ξ-1(η) είλαη ζρήκαηα εθ πεξηζηξνθήο ησλ αληηζηνί-

ρσλ θακπχισλ Πτ πεξί ηνλ άμνλα μ ε(Δ,σ) ⊥ δ [ : δειαδή ηελ κνλαδηθή

θάζεην πξνο ηελ επζεία δ πνπ άγεηαη απφ ηελ θνηλή εζηία Δ ] .Ηδηαίηεξα ε πε-

ξηζηξνθή ηεο επζείαο δ Π∞ [ : θνηλήο δηεπζεηνύζαο ] δίλεη ην ζρήκα

ξ-1(∞) 𝔼τ∞ πνπ είλαη ην [ κνλαδηθφ ] επίπεδν ηνπ 𝔼τ πνπ πεξηέρεη ηελ επζεία

δ θαη είλαη θάζεην ζηνλ άμνλα [ : επζεία ] ε = ε(Δ,σ) .

Page 99: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

99

[Γηα ηελ πεξηζηξνθή ζρεκάησλ πεξί άμνλα ζα δνζνχλ νη απαξαίηεηεο πε-

ξηγξαθέο ζε επφκελε παξάγξαθν].

Οη αληίζηνηρεο νλνκαζίεο ησλ 𝔼τ είλαη :

(η) ειιεηςνεηδέο εθ πεξηζηξνθήο, φηαλ η [0,1) [εζηία Δ, δηεπζεηνχζα δ]

(ηη) παξαβνινεηδέο εθ πεξηζηξνθήο φηαλ η = 1 [ » , » ]

(ηηη) ππεξβνινεηδέο εθ πεξηζηξνθήο, φηαλ η (1,+∞) [ » , » ] .

Οη ζέζεηο ησλ παξαπάλσ ζρεκάησλ θαζνξίδνληαη απφ εθείλελ ηνπ παξαβνιν-

εηδνχο θαη είλαη αληίζηνηρεο κε εθείλεο ησλ θακπχισλ απφ ηελ πεξηζηξηθή

ησλ νπνίσλ κπνξνχλ λα πξνθχςνπλ.[ Αζθεζε : πεξηγξάςηε ηηο ζέζεηο ησλ

επηθαλεηψλ 𝔼τ , θαζψο θαη ηελ ζέζε ησλ θνξπθψλ ηνπο ζηνλ θνηλφ ηνπο

θύξην άμνλα ] .

(ηηη). Σέινο κπνξνχκε λα ζεσξήζνπκε φηη ε δηεπζεηνχζα δ Π∞ είλαη νξηαθή

ζέζε ησλ ππεξβνιψλ , φηαλ ε εθθεληξφηεηά ηνπο η ηείλεη ζην +∞ θαη αληί-

ζηνηρα ην επίπεδν 𝔼∞ είλαη ε νξηαθή ζέζε , ησλ [εθ πεξηζηξνθήο] ππεξβν-

ινεηδψλ [ φηαλ επίζεο ε εθθεληξφηεηά ηνπο η ηείλεη ζην + ∞] .Με άιια ιφγηα :

ε δ κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ ε ππεξβνιή ηεο νηθνγέλεηαο

ηεο νπνίαο νη δύν θιάδνη ζπλέπεζαλ κεηαμύ ηνπο .

Αληίζηνηρα :

ην επίπεδν 𝔼∞ κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ ην ππεξβνιoεηδέο

ηεο νηθνγέλεηαο ηνπ νπνίνπ νη δύν θιάδνη ζπλέπεζαλ κεηαμύ ηνπο .

Πξόβιεκα 2.2.2. (γ).Δμηζώζεηο θσληθώλ ηνκώλ . ηα επφκελα έρνπκε ζαλ

ζηφρν καο ηελ εχξεζε ηεο αλαιπηηθήο εμίζσζεο ησλ ζρεκάησλ

ξ-1(η) 𝔼τ , η(0,+ ∞ ]

Παξαηήξεζε 2.2.2-Α (α).Δίλαη άκεζα θαλεξφ απφ ηα πξνεγνχκελα φηη αλ

γηα δεδνκέλν δεχγνο (Δ,δ) ζεκείνπ Δ θαη επζείαο δ ηνπ 𝔼 [ κε Δδ ] ζεσξή-

ζνπκε θαη έλαλ ζεηηθφ αξηζκφ e η , ηφηε ε πξνθχπηνπζα ηξηάδα (Δ,δ,e)

αληηζηνηρεί ζε αθξηβώο κία θακπύιε – ζηάζκε ζηαζεξόηεηνο ηεο απεηθφλη-

ζεο ξ = ξ(Δ,δ) πάλσ ζην επίπεδν Π = Π(Δ,δ) [ Γειαδή ην ίρλνο ηεο ζηάζκεο

ζηαζεξφηεηνο ξ-1(η) 𝔼τ , η(0,+ ∞ , ζην επίπεδν Π = Π(Δ,δ)] απφ

απηέο πνπ νλνκάδνπκε : έιιεηςε , παξαβνιή , ππεξβνιή κε εθθεληξφηεηα

e κία εζηία ην E θαη αληίζηνηρε δηεπζεηνύζα ηελ επζεία δ ] .

Page 100: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

100

Δίλαη επνκέλσο ρξήζηκν λα κάζνπκε θαη ηα δηάθνξα είδε ησλ εμηζψζεσλ

[ : πεξηνξηζκψλ ] πνπ ηθαλνπνηνχλ νη παξαπάλσ θακππιεο [-γξακκέο] ζε θά-

πνην θαηάιιεια επηιεγκέλν ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) .

Μία πξψηε γεληθή παξαηήξεζε πνπ ζα ήηαλ ρξήζηκν λα θάλνπκε ζρεηηθά

είλαη φηη θξίζηκα αξρηθά ζεκεία πξνο αλαδήηεζε είλαη ηα ζεκεία πνπ πηζα-

λφλ λα έρεη ε θακπχιε απηή πάλσ ζηελ επζεία ε ε(Δ,σ) ⊥ δ , ε νπνία

πεξηέρεη θαη ηελ εζηία Δ.

Καη γηα κελ ηελ πεξίπησζε e = 1 είλαη άκεζα θαλε-

ξφ φηη ην κέζνλ Φ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΓ [ : φπνπ ην Γ είλαη ζηελ

δ θαη ε(Δ,Γ) ⊥ δ ] είλαη ην κνλαδηθφ ζεκείν ηεο παξαβνιήο ξ-1(1) Π(Δ,δ)

πνπ βξίζθεηαη ζηνλ άμνλα ε . Γηα ηελ πεξίπησζε e ≠ 1 ππνπηεπφκεζα φηη ζα

ππάξρνπλ δχν ζεκεία ηεο αληίζηνηρεο θακπχιεο ζηελ ε(Δ,σ) .

Δπεηδή Γεσκεηξηθά νη ιφγνη εκθαλίδνληαη θαη ξπζκίδνληαη απφ ην Θεψξεκα

ηνπ Θαιή ,[θαη θαη’ επέθηαζε ηε ζεσξία ησλ νκνίσλ ηξηγψλσλ ], νδεγνχκαζηε

ζηελ επφκελε θαηαζθεπή [ βι. θαη ζρήκα 17] :

Page 101: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

101

2.2.2-Α (β). [Δύξεζε ησλ θνξπθώλ ησλ θακπύισλ ξ-1(e) Π(Δ,δ)] .

(η) ηελ δ παίξλνπκε ζεκείν Γ΄≠ Γ θαη ζεσξνχκε φηη ην επζχγξακκν ηκήκα

ΓΓ΄ έρεη κήθνο ίζν κε κία κνλάδα.

ηη) Φέξνπκε ηελ επζεία μ ε(Δ,ζ) // δ θαη εθαηέξσζελ ηνπ Δ παίξλνπκε ίζα

ηκήκαηα ΔΜ = ΔΜ΄ κε κήθνο e [ : ∥𝛦𝛭 ∥ = ∥𝛦𝛭΄ ∥ = e ] ίζν κε ηελ εθθεληξφ-

ηεηα e ηεο θακπχιεο ηα ζεκεία ηεο νπνίαο δεηάκε .

ηελ πεξίπησζε απηή ε λφξκα ∥, ∥ εθθξάδεη ηνλ εληαίν ηξφπν κέηξεζεο ηεο

απφζηαζεο ζεκείσλ , κε-ηξψληαο ην κήθνο ησλ δηαλπζκάησλ πνπ έρνπλ ηα

ζεκεία απηά ζαλ πέξαηα]

Σφηε νη επζείεο ε(Γ΄, Μ) θαη ε(Γ΄,Μ΄) ζπλαληνχλ ηνλ άμνλα ε =ε(Δ,σ) ⊥ δ ζηηο

αλαδεηνύκελεο θνξπθέο ηεο θακπύιεο.

Ζ ρξεζηκνπνηνχκελε ζεσξία είλαη απηή ησλ νκνίσλ ηξηγώλσλ [ : επνκέλσο

ζηνηρεηψδεο , θαη επνκέλσο πάληνηε ηα ζηνηρεηψδε ζεκειηψλνπλ ηα νπνηαδή-

πνηε λεψηεξα . Κάηη παξαπάλσ :

λεώηεξα ρσξίο ηε ζεκειίσζε κε ζηνηρεηώδε δελ ππάξρνπλ].

ην ρήκα 17 κπνξνχκε λα θαηαλνήζνπκε θαιχηεξα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ

δεχγνπο ησλ ζεκείσλ Α , Α΄ πνπ αληηζηνηρνχλ ζε εθθεληξφηεηα e< 1 , θαζψο

θαη ηα ζεκεία Β , Β΄ πνπ αληηζηνηρνχλ ζε εθθεληξφηεηα e > 1 .

(ηηη). Δίλαη θαλεξφ φηη γηα λα ππάξρεη επθνιφηεξε αμηνπνίεζε ησλ

απαξαίηεησλ πξνεξγαζηψλ ψζηε λα είλαη εθηθηή ε εχξεζε ησλ θνξπθψλ

νπνησλδήπνηε θσληθψλ ηνκψλ κε θνηλή εζηία Δ θαη αληίζηνηρε δηεπζεηνχζα

δ πξέπεη ε μ λα είλαη Δπθιεηδηνπνηεκέλε.

[ ην ρήκα 18 θαίλεηαη ε [ κνλαδηθή ] παξαβνιή Π1 αλάκεζα ζηηο άπεη-

ξνπιεζείο νηθνγέλεηεο ησλ ειιείςεσλ [ πνπ βξίζθνληαη (φιεο!) ζην εζσηεξηθφ

ηεο Π1] θαη ησλ ππεξβνιώλ [ πνπ βξίζθνληαη (φιεο!) ζην εμσηεξηθφ ηεο Π1,

θαη άξα έρνπλ απηή ζην εζσηεξηθφ ηνπο . Με άιια ιφγηα ε παξαβνιή Π1 νξη-

νζεηεί ( θαη δηαρσξίδεη κεηαμχ ηνπο) ηηο ειιείςεηο ηεο νηθνγέλεηαο απφ ηηο

ππεξβνιέο ηεο] . (Θπκίδνπκε φηη ην επίπέδν Π = Π(Δ,δ) θαιχπηεηαη απφ ηα

ζεκεία φισλ απηψλ ησλ θακπχισλ πνπ έρνπλ θνηλή ηνπο εζηία ην ζεκείν Δ

θαη αληίζηνηρε θνηλή δηεπζεηνύζα ηελ επζεία δ ).

Απφ ηε δηαδηθαζία θαηαζθεπήο ησλ θνξπθψλ Α , Α΄ [ : βιέπε θαη ρ. 19 ]

ηειηθά έρνπκε θαη ηηο ζρέζεηο [ φπνπ ζέηνπκε γ ΟΔ ζαλ ζχκβνιν ηνπ επζ.

Page 102: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

102

ηκήκαηνο ΟΔ , δειαδή ηεο εζηηαθήο απόζηαζεο ηεο θακπχιεο (c) ] :

(*) γ ΟΔ = αe < α , ΟΓ = α/e > α , [ ΟΓ > ΟΑ , ΟΔ < ΟΑ ] .

ην ρ, 19 έρνπκε ππνζέζεη φηη ην ζεκείν Μ είλαη επάλσ ζηελ θακπχιε (c)

θαη νη θάζεηεο πξνο ηνπο άμνλεο δίλνπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο (x,ς) ηνπ Μ [ : ηδηαί-

ηεξα ε ηνκή Γ ηεο ε = ε(Μ,σ) // ε(Δ,σ) ⊥ δ , κε ηελ δηεπζεηνχζα έρεη ηελ ίδηα

ηεηκεκέλε α/e κε ηελ ηνκή Γ ( ηνπ θχξηνπ άμνλα ε θαη ηεο δ ) ] .

2.2.2-Α (γ). [Δύξεζε ησλ εμηζώζεσλ ησλ θακπύισλ ξ-1(e) Π(Δ,δ) = (c)] .

Απφ ην ίδην ζρήκα 19 θαίλεηαη επίζεο φηη ην πξνθχπηνλ νξζνγψλην ηξίγσλν

ΜΕΔ δίλεη ηελ ζρέζε :

(*)΄ ME2 = MZ2 + ZE2 ⇔ (ME)2 = (MZ)2+ (ZE)2 ⇔ ∥𝛭𝐸 ∥2 = ∥𝛭𝑍 ∥2 + ∥𝑍𝐸 ∥2

Δπίζεο απφ 𝛭𝛦

𝛭𝛥 = e παίξλνπκε επίζεο καο δίλεη : ME2 = e2 MΓ2 θαη άξα

(*)΄΄ e2 MΓ2 = MZ2+ZE2 ⇔ e2(MΓ)2 = (MZ)2+(ZE)2⇔e2∥𝛭𝛥 ∥2=∥𝛭𝛧 ∥2+∥𝛭𝛦 ∥2

Απφ ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ [ζην ρ. 19] έρνπκε

(ΜΔ) = ∥𝛭𝛥 ∥ = -x+α/e , (ΜΖ) = ∥𝛭𝛧 ∥ = ψ , (ΖΕ) = ∥𝛧𝛦 ∥ = -x +αe

Δπνκέλσο παίξλνπκε :

Page 103: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

103

e2(-x+α/e )2 = ς2 + (-x+αe )2

⇔ e2(x2+α2/e2 -2x(α/e)) = e2x2+α2-2xαe

= ς2+x2+α2 e2-2xαe

θαη άξα

ς2+x2+α2 e2 = e2x2+α2 ⇔ ς2+x2- e2x2 = α2 - α2

e2

⇔ ς2+(1- e2 )x2 = α2 (1-e2)

(**) ⇔ x2

α2 +

ψ2

α2 (1−e2) = 1

Ζ ηειεπηαία ηζφηεηα απνηειεί ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο θακπύιεο :

(**)΄ (c) = ξ-1(e) Π(Δ,δ) κε 0< e < 1

[: ζε ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ πνπ νη άμνλέο ηνπ είλαη νη άμνλεο ζπκκεηξίαο

ηεο (c) . [βι. θαη ζρήκα 19] . Πξάγκαηη , εάλ έλα ζεκείν Μ ηνπ Π(Δ,δ)] έρεη

δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ 𝛰𝛭 = (x0,ς0) [ : ζην ζχζηεκα (Οxς) ηνπ ζρήκα-

ηνο 19 ] πνπ επαιεζεχεη ηελ (**) [ άξα ην Μ βξίζθεηαη επί ηεο (c) ] ηφηε θαη ηα

ζεκεία Ν , Κ , Λ ηνπ Π(Δ,δ)] πνπ έρνπλ δηαλχζκαηα ζπληεηαγκέλσλ :

(**)΄΄ 𝛰𝛮 = (-x0,ς0) , 𝛰𝛫 = (x0,-ς0) , 𝛰𝛬 = (-x0,-ς0)

Page 104: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

104

βξίζθνληαη επίζεο επί ηεο (c) [ : δηφηη ηα 𝛰𝛮 , 𝛰𝛫 , 𝛰𝛬 επαιεζεχνπλ επίζεο

(πξνθαλψο ) ηελ (**) .

Σα ζεκεία Μ,Ν,Κ,Λ αλ ηνπνζεηεζνχλ ζην ρήκα 19 ζα είλαη θνξπθέο ελφο

νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ ζην νπνίν νη άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο (Οxς)

ζα απνηεινχλ ηηο κεζνθαζέηνπο ησλ πιεπξώλ ηνπ [θαη άξα άμνλεο

ζπκκεηξίαο] ζην επίπεδν Π(Δ,δ)] .

2.2.2-Α (δ).Δληειψο αλάινγε είλαη ε δηαδηθαζία γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ησλ

θνξπθψλ Α θαη Α΄ κηάο ππεξβνιήο [ : e>1] ζην επίπεδν Π(Δ,δ) [:βιέπε θαη

ζρήκα 20].. Ζ δηαθνξά έγθεηηαη ζην κέγεζνο ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ

εθαηέξσζελ ηηο εζηίαο Δ [επί ηεο θαζέηνπ πξνο ηελ ε = ε(Δ,σ) ζην Δ επζείαο

μ : πάιη ην κήθνο είλαη ίζν κε ηελ εθθεληξφηεηα e αιιά ηψξα έρνπκε e>1 θαη

έηζη ε θν-ξπθή Α πξνζδηνξίδεηαη πιεζηέζηεξα ζην Γ θαη φρη ζην Δ ( : πεξί-

πησζε έιιεηςεο).

Αμην παξαηήξεζεο είλαη επίζεο φηη (γηα ηνλ ίδην ιφγν) ην Α΄ πξνζδηνξίδεηαη

πξνο ηα δεμηά ηεο δ (ελψ ζηελ πεξίπησζε ηεο έιιεηςεο πξνζδηνξίζηεθε

πξνο ηα αξηζηεξά).Δηζη βιέπνπκε φηη αλάκεζα ζηηο θάζεηεο πξνο ηνλ άμνλα

x΄Ox επζείεο ρ = α θαη ρ = - α δελ ππάξρεη θαλέλα ζεκείν ηεο ππεξβνιήο

Page 105: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

105

ξ-1(e) , ελψ , αληίζεηα , ε έιιεηςε έρεη φια ηα ζεκεία ηεο αλάκεζα ζηηο δχν

απηέο επζείεο .

Δδψ ζέηνπκε επίζεο ∥𝛢𝛢΄ ∥ = 2α θαη ζεσξνχκε επίζεο άμνλα x΄Οx ηελ

επζεία ε = ε(Δ,σ)⊥ δ [ φπνπ Ο είλαη πάιη ην κέζνλ ηνπ ηκήκαηνο ΑΑ΄ ] θαη

άμνλα ςΟς΄ ηελ κεζνθάζεην ηνπ ΑΑ΄ ] .

Δηζη απνδεηθλχεηαη φηη νη ζρέζεηο γ ΟΔ = αe θαη ΟΓ = α/e εμαθνινπζνχλ

λα ηζρχνπλ [ κε ηελ δηαθνξά φηη ηψξα α < αe θαη (α/e) > a] . Με άιια ιφγηα

έρνπκε ηηο ζρέζεηο :

(***) γ ΟΔ = αe > α , ΟΓ = α/e < α ,[ ΟΓ < ΟΑ , ΟΔ > ΟΑ]

Δίλαη πξνηηκφηεξν λα εμεηάζνπκε ηηο ζρέζεηο πνπ πξνθχπηνπλ ζε δεδνκέλν

ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ , κε ρς-επίπεδν ην Π = Π(Δ,δ) ,φπνπ έρνπκε νξίζεη

σο άμνλα ηεηκεκέλσλ x΄Οx ηελ επζείαλ ε = ε(Δ,σ)⊥δ , θαη άμνλα ηεηαγκέλσλ

ς΄Ος ηελ κεζνθάζεην ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΑ΄ ηεο ε [ : πάλσ ζην

επίπεδν Π, φπνπ Α , Α΄ είλαη νη θνξπθέο ηεο ξ-1(η) κε 0 < η ≠ 1 ] θαη άμνλα

z΄Oz ηελ θάζεην πξνο ην επηπέδνπ Π επζεία ζην κέζνλ Ο ηνπ επζπγξάκ-

κνπ ηκήκαηνο ΑΑ΄.

Πξνο ηνχην ζεσξνχκε ηπρφλ ζεκείν Μ ηνπ ξ-1(η) 𝔼 θαη άξα παίξλνπκε

ηελ ζρέζε

𝑑(𝑀,𝐸)

𝑑(𝑀,𝛿) =

∥𝛭𝛦 ∥

𝑑(𝑀,𝛿) = η =

ME

𝑀𝛥 ,

όπνπ ΜΓ είλαη ην θάζεην επζύγξακκν ηκήκα [ : απόζηαζε ]

απφ ην Μ πξνο ηελ [ δηεπζεηνχζα ] επζεία δ ηνπ Π. Αξα

(***)΄ ΜΔ2 = η2ΜΓ2 ⇔ (ΜΔ)2 = η2(ΜΓ)2 ⇔ ∥𝑀𝐸 ∥2 = η2∥𝑀𝛥 ∥2 .

Γηα λα βξνχκε ηηο ζπληεηαγκέλεο 𝛰𝑀 = (x0 ,ψ0,z0) του σημείου Μ , ζεσ-

ξνχκε ζεκείν Ν ηνπ Π ψζηε ε(Μ,Ν)⊥Π .

Οη παξάιιειεο απφ ην Ν πξνο ηνπο άμνλεο x΄Ox , z΄Οz , νξίδνπλ ηα ς0 , x0

θαη ε παξάιιεινο πξνο ηελ ε(Ο,Ν) απφ ην Μ νξίδεη ζηνλ άμνλα z΄Οz ηελ

θαηεγκέλε z0 ηνπ Μ.Σν ∥𝑀𝐸 ∥2 ππνινγίδνπκε ζην νξζνγψλην [ : ζηελ θνξπ-

θή Ν απηνχ ] ηξίγσλν ΜΝΔ

θαη ην ∥𝑀𝛥 ∥2 ζην νξζνγψλην [ : ζηελ θνξπθή Ν επίζεο] ηξίγσλν ΜΝΓ.

Οπσο πξνθχπηεη εχθνια [ : βιέπε θαη ρήκα 20α ] απφ ην ππζαγφξεην Θε-

ψξεκα έρνπκε :

Page 106: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

106

(***)΄΄ ∥𝑀𝐸 ∥2 = ∥𝑀𝑁 ∥2 + ∥𝑁𝐸 ∥2 = z02 +[ψ0

2+ (x0-αη)2

= z02 +ψ0

2+x02+ α2η2 -2x0αη

∥𝑀𝛥 ∥2 = ∥𝑀𝑁 ∥2 + ∥𝑁𝛥 ∥2 = z02 + (α/η -x0)

2 =

= z02+x0

2+(α2 /η2) - 2x0α/η

θαη αληηθαζηζηψληαο ζηελ (***)΄ έρνπκε :

z02 +ψ0

2+x02+ α2η2 -2x0αη = η2 [z0

2+(α/η -x0)2] =

= η2[ z02+x0

2 +α2/η2 -2x0α/η] =

= η2z02+η2x0

2 +α2 -2x0αη ⇔

⇔ (1-η2)z02 +(1-η2)x0

2 --2x0αη + ψ02 = +(1-η2) α2 --2x0αη ⇔

⇔ (1-η2)z02 +(1-η2)x0

2+ψ02 = (1-η2) α2 ⇔

⇔ [x02/ α2] +(ψ0

2/ [(1-η2)α2]) +[z02/ α2] = 1

Δπνκέλσο ε γεληθή εμίζσζε ηεο ξ-1(η) κε 0 < η ≠ 1 ] ζα είλαη

(****) x2

α2 +

ψ2

α2 (1−e2) +

z2

α2 = 1 Δίλαη θαλεξφ φηη γηα ς

= 0 ε παξαπάλσ εμίζσζε παίξλεη ηελ κνξθή :

(****)΄ x2

α2 +

z2

α2 = 1 ⇔ x2 + z2 = α2

Page 107: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

107

ε νπνία [φπσο ζα δνχκε θαη ζηα επφκελα ] παξηζηάλεη θχθιν ηνπ ζπληεηαγ-

κέλνπ επίπέδνπ xΟz [ : κε θέληξν ην ζεκείν (0,0,0) θαη αθηίλα ηνλ ζεηηθφ αξηζ-

κφ α. Απηφ ζεκαίλεη φηη ε εμίζσζε (****) παξηζηάλεη έλα ζρήκα εθ πεξηζηξν-

θήο πεξί ηνλ άμνλα ε = ε(Δ,σ) ⊥ δ .[βιέπε θαη επφκελα].

Δίλαη θαλεξφ φηη γηα e > 1 ε (****) παίξλεη ηελ κνξθή

(****)΄΄ x2

α2 -

ψ2

α2 (e2−1) +

z2

α2 = 1

θαη επνκέλσο παξηζηάλεη ππεξβνινεηδέο (: κνλφρσλν , φπσο ζα δνχκε ζηα

επφκελα).

Παξαηεξνχκε φηη γηα ς = 0 πξνθχπηεη επίζεο ε ζρέζε (****)΄ . Δπνκέλσο θαη

ζηηο δχν πεξηπηψζεηο ε [ θνηλή ] εξκελεία είλαη φηη νη παξαπάλσ δχν εμηζψ-

ζεηο (****) θαη (****)΄ παξηζηάλνπλ ζρήκαηα ησλ νπνίσλ ε ηνκή απφ ην xOz

ζπληεηαγκέλν επίπεδν [κε εμίζσζε ς = 0 ] είλαη θχθινο θέληξνπ (0,0,0) θαη

αθηίλνο α ,ηνπ xOz . Γη΄απηφ ιέκε φηη πξφθεηηαη γηα

«εθ πεξηζηξνθήο πεξί ηνλ άμνλα ς΄Ος επηθάλεηα».

Page 108: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

108

(****)΄΄΄ x2

α2 -

ψ2

α2 (e2−1) = 1 ⇔

x2

α2 -

ψ2

β2 = 1

[ θαη απηή είλαη , πξνθαλψο , ε αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο ππεξβνιήο κε

εθθεληξφηεηα e>1 , ζην ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ πνπ νξίδνπλ νη δχν άμνλεο

ζπκκεηξίαο απηήο : xOx΄ γίλεηαη ν θχξηνο άμνλαο θαη ςΟς΄ ν θάζεηνο ηνπ xOx΄

ζην κέζνλ Ο ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΑ΄ ησλ θνξπθψλ Α ,Α΄ ηεο ππεξβν-

ιήο , φπσο αθξηβψο ζπκβαίλεη θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο άιιεηςεο ( : e<1 )] .

Δηζη φηαλ ζέζνπκε z = 0 παίξλνπκε [ ζέηνληαο β2 = α2(e2-1) > 0 ]

2.2.2-Α (ε). Μία ρξήζηκε παξαηήξεζε : ε φια ηα παξαξάλσ πξνβιήκαηα

εμεηάζακε κία απεηξνπιεζή νκάδα θακπχισλ [ απφ ηελ νηθνγέλεηα ησλ ιεγφ-

κελσλ θσληθώλ ηνκώλ ] πνπ έρνπλ θνηλά δχν απφ ηα ηξία θξίζηκα ( θαη θα-

ζσξηζηηθά ) ζηνηρεία ηνπο : ηo δεχγνο (Δ,δ) ηεο εζηίαο Δ θαη ηεο αληίζηνηρεο

πξνο ηελ εζηία απηή δηεπζεηνχζαο δ .Οη θακπχιεο απηέο ζα ζπκβνιίδνληαη κε

ην ζχκβνιν c(Δ,δ) θαη βξίζθνληαη ζε έλα πξνο έλα θαη επί αληηζηνηρία κε ην

[0,+] , δειαδή κε ηνλ θιεηζηό ζεηηθό εκηάμνλα . [Ζ απφδεημε γίλεηαη κε ηε

ρξήζε ηεο απεηθφληζεο : ξ(Δ,δ) ξ [ βι. @ πηφ πάλσ ]

Page 109: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

109

(****-α) ℝ+* (ℝ+)* [0,+] {η ℝ : 0 ≦η≦+} ℝ [-,+] ℝ{}

(****-β) ξ : 𝔼 (ℝ+)* , ξ(Μ) = ∥𝛭𝛦 ∥

𝑑(𝑀,𝛿) = η =

ME

𝑀𝛥 := ∥𝑀𝐸 ∥ \ ∥𝑀𝛥 ∥,

(****-γ) (ℝ+)* c(Δ,δ) {ξ-1(η) : η ℝ+* } ,η ξ-1(η) = {Μ 𝔼 : ξ(Μ) = η} 𝔼τ

Ζ απεηθφληζε απηή είλαη επί , θαη απηφ ζεκαίλεη φηη ηα ππνζχλνια ξ-1(η) δηα-

κεξίδνπλ ηνλ ζεκεηνρψξν 𝔼 :

ξ-1(η) ∩ ξ-1(ζ) 𝔼τ 𝔼σ = , η ≠ ζ , η , ζ (ℝ+)*

𝔼 = 𝜏ℝ+ ξ-1(η) = 𝜏ℝ+ 𝔼τ ,

Θέηνπκε Πη γηα ην ίρλνο ησλ πην πάλσ ζρεκάησλ ,ζην επίπεδν Π = Π(ε,δ)

Πη Π 𝔼τ Π ξ-1(η) , η (ℝ+)* , Π=Π(ε,δ)

Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ε νηθνγέλεηα φισλ ησλ παξαπάλσ θσληθψλ ηνκψλ Πη

Καιχπηεη ην Π = Π(ε,δ) [ αθξηβέζηεξα : ην δηακεξίδεη ζε έλα αληίζηνηρν πξνο

ηηο επηθάλεηεο 𝔼τ πιήζνο γξακκψλ – θσληθψλ ηνκψλ , Πη , η(ℝ+)* . Θα ιέγα-

κε φηη φια ηα πξνεγνχκελα ζρήκαηα αλαθέξνληαη θαηά πξψηνλ ιφγν ζην ε-

πίπεδν Π = Π(ε,δ) πνπ νξίδεηαη πιήξσο απφ ηελ θνηλή εζηία Δ θαη ηελ ( αληί-

ηνηρε πξνο απηήλ θνηλή δηεπζεηνχζα δ ] .

Παξαηήξεζε 2.2.2-Α (ζη) [ Υξήζηκε γηα ηελ ράξαμε ησλ Πη φηαλ η ≠ 1]

(Π-1). Όηαλ γηα ηελ εθθεληξφηεηα e η έρνπκε ηελ ζρέζε e ≠ 1 , ε Πη έρεη

δχν θνξπθέο Α , Α΄ ζηνλ θχξην άμνλα ε = ε(Δ,⊥δ) . ην ζχζηεκα (Οxςz)

ζεσξνχκε φηη ν ζεηηθφο αξηζκφο α [ φπνπ 2α είλαη ην κήθνο ηνπ επζπγξάκ-

κνπ ηκήκαηνο ΑΑ΄ δειαδή ν αξηζκφο 2α = ∥𝛢𝛢΄ ∥ d(Α,Α΄) ] , αληηζηνηρεί ζηελ

ηεηκεκέλε ηεο θνξπθήο Α θαη ην -α ζηελ θνξπθή Α΄.[Απηφ φκσο πξνππν-

ζέηεη λα έρεη επηιεγεί ην Δ ζε θαηάιιειε ζέζε σο πξνο ηελ δ . Γειαδή :

(η) αξηζηεξά ηεο δηεπζεηνύζαο δ ζηελ πεξίπησζε ηεο έιιεηςεο

(ηη) δεμηά ηεο δ ζηελ πεξίπησζε ηεο ππεξβνιήο.

Απηή ε επηινγή , νπζηαζηηθά δηαζθαιίδεη φηη ε δηεπζεηνχζα δ ζπλαληά ηνλ

ζεηηθφ εκηάμνλα Οx ηνπ άμνλα x΄Οx . [ ην ζρήκα 20΄ πρ. δελ ηεξήζεθε απ-

ηή ε πξφλνηα θαη γη΄απηφ ζηελ Α αληηζηνηρίδεηαη ην -α θαη ζην Α΄ ην α ] .

(2). Παξαηεξνχκε φηη ε δ ηνπ ππεξβνινεηδνχο ξ-1(e) [ κε e >1 ] ηέκλεη ηνλ

άμνλα x΄Οx ζ΄έλα ζεκείν Γ.Ζ θνξπθή Α είλαη αλάκεζα ζηα Γ , Δ , πιεζηέζηε-

ξα πξνο ην Γ , θαη ε θνξπθή Α΄ είλαη πξνο ηα αξηζηεξά ηνπ Γ , ψζηε Α΄Γ > ΓΑ

θαη άξα ην κέζνλ Ο ηνπΑΑ΄ βξίζθεηαη ζην ηκήκα Α΄Γ. ηα επφκελα ρήκαηα

Page 110: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

110

23 , 24 θαίλεηαη ε δηάηαμε ησλ ζεκείσλ Α΄, Ο , Γ ,Α , Δ [ ζην επίπεδν Π =

Π(ε,δ) απφ αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά θαη ζε νιφθιεξν ηνλ ρψξν [ ζε αληίηνηρν

ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (Οxςz) ].

Παξαηήξ.2.2.2-Α (δ).Ζ πεξίπησζε ηνπ ππεξβνινεηδνύο ξ-1(e) [: η e>1] :

ην ζρήκα 23 πξνζδηνξίδνληαη νη θνξπθέο Α ,Α΄ ηνπ ηπραίνπ ππεξβνιν-

εηδνχο ξ-1(e) κε ηελ εζηία Δ πξνο ηα δεμηά ηεο δηεπζεηνχζαο δ [: ψζηε ηα

ζεκεία Γ , Α θαη Δ λα βξίζθνληαη ζην ζεηηθφ κέξνο ηνπ άμνλα x΄Ox ησλ ηεηκε-

κέλσλ ] .[Δδψ έρνπκε αe > α > α / e] (*) [ αθνχ e > 1] .

Δπνκέλσο ε δ [ άξα , επίζεο ,θαη ην ζεκείν Γ] είλαη πιεζηέζηεξα πξνο ηελ

αξρή Ο ηνπ ζπζηήκαηνο (Οxςz) απ΄φζν ε εζηία Δ πνπ νξίδνπλ νη άμνλεο

ζπκκεηξίαο ηεο αληίζηνη-ρεο ππεξβνιήο ξ-1(e) (c) .[ χγθξηλε κε ην ρήκα

20α , πνπ αθνξά ηελ πε-ξίπησζε ηεο έιιεηςεο ] . Τπάξρεη ζεκαληηθή

νκνηφηεηα κε ηνπο ππνινγηζκνχο ησλ ζειίδσλ 100 , 101 γηα ηηο θνξπθέο Α

, Α΄ θαζψο θαη ηα άιια ζεκεία Γ , Δ , Ο :

Δρνπκε : ΑE

𝛢𝛤 =

Α΄E

𝛢΄𝛤 = e > 1 , AE = eΑΓ , A΄E = eΑ΄Γ κε Α΄Δ = ΟΔ+α ,

Page 111: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

111

ΑΔ = ΟΔ – α , Α΄Γ = ΟΓ+α , ΑΓ = α – ΟΓ θαη άξα :

2ΟΔ = Α΄Δ + ΑΔ = eΑ΄Γ + eΑΓ = e (Α΄Γ+ΑΓ) = 2αe θαη άξα ΟΔ = αe

2ΟΓ = α + ΟΓ – (α – ΟΓ) = Α΄Γ – ΑΓ = A΄E /e - AE /e = (A΄E - AE)/e = 2α/e

Καη άξα ΟΓ = α/e [ Βι. θαη ρ. 23] θαη έηζη εδείμακε ηελ (*) :

αe > α > α/e ⇔ (ΟΔ) > α = ΟΑ > (ΟΓ)

ην ρήκα 24 ζεσξνχκε ην ηπρφλ ζεκείν Μ ηεο ξ-1(e) θαη έζησ :

𝛰𝑀 = (x0 ,ψ0,z0) , Ν ε πξνβνιή ηνπ Μ ζην Π = Π(ε,δ) = π(xΟς) .

Αξα ζα έρνπκε θαηά ζεηξάλ : ΜE

𝛭𝛥 = e θαη άξα (ΜΔ)2 = e2(MΓ)2 , θαη απφ ηα

νξζνγψληα ηξίγσλα ΜΓΝ , ΜΔΝ [ : ζηελ θνξπθή Ν ] , θαη ΝΔΥΜ [ φπνπ ΥΜ

είλαη ην ζεκείν ηνπ άμνλα x΄Οx πνπ έρεη ηεηκεκέλε εθείλελ ηνπ ζεκείνπ Μ ]

Παίξλνπκε : [ εθαξκφδνληαο ην Ππζαγφξεην Θεψξεκα ]

(ΜΔ)2 = e2(MΓ)2 ⇔ (ΜN)2 + (NE)2 = e2[(MN)2 + (NΓ)2]

(NE)2 = ςν2 + (αe – x0)

2 , (NΓ)2 = (x0 – (OΓ))2 =(x0 – α/e)2 =

⇔ z02 + (NE)2 = e2[(MN)2 + (NΓ)2]

⇔ z02 + ςν

2 + (αe – x0)2 = e2[z0

2 + (x0 – α/e)2]

⇔ z02 + ςν

2 + α2e2+x02-2αex0 = e2z0

2+ e2x02+ e2 (α2/e2) - 2 e2 (α /e )

⇔ z02 + ςν

2 + α2e2+x02-2αex0 = e2z0

2+ e2x02+ α2 - 2αex0

⇔ z02 + ςν

2 + α2e2+x02 = e2z0

2+ e2x02+ α2

⇔ z02(e2-1) - ςν

2 + x02(e2-1) = α2(e2-1)

⇔ x02/α2 - ςν

2 /[α2(e2-1)] + z02/α2 = 1

[ θαη έηζη επαιεζεχεηαη ε ζρέζε (****)΄΄ ηεο ζειίδνο 102 ]

(Π-2). Ζ ράξαμε ηνπ πιήξνπο ίρλνπο Πη ησλ ξ-1(η) ζην Π = Π(ε,⊥δ) :

(Π-2α). Όηαλ η ≠ 1 ,ε εμίζσζε ησλ ζεκείσλ ηεο Πη [ ζην ζχλεζεο ζχζηεκα

ηεο θακπχιεο απηήο ] πξνθχπηεη , φπσο είδακε , αλ ζέζνπκε z = 0 , ζηελ

εμίζσζε :

x2

α2

ψ2

α2 (e2−1) +

z2

α2 = 1 ,

Page 112: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

112

νπφηε παίξλνπκε ηελ πξνβνιή ηνπ ζρήκαηνο ζην επίπεδν Π(Δ,δ) [ δειαδή

ηελ αληίζηνηρε θακπχιε , πνπ ζα είλαη κία έιιεηςε , είηε κία ππεξβνιή] .

Παξαηήξ.2.2.2-Α (ε).Η Πεξίπησζε ηεο έιιεηςεο : η e < 1 ⇔ 1 − η2 > 0.

η < 1 , ΜΠη , 𝛰𝛭 = (x,ς,0) , β2 α2 (1 − η2) x2

α2 +

ψ2

β2 = 1

Μία πξνζεθηηθή εμέηαζε ηεο ηειεπηαίαο ηζφηεηνο δείρλεη φηη ν ζεηηθφο αξηζκφο

β έρεη παξαπιήζηα βαξχηεηα κε ηνλ α . Δηζη ζέηνληαο ηψξα επίζεο x = 0

βιέπνπκε φηη ς = β , πνπ είλαη θαη ε απνιχησο κεγαιχηεξε ηηκε πνπ κπν-

ξεί λα έρεη ε ηεηκεκέλε ς ησλ ζεκείσλ ΜΠη .

Δπνκέλσο πεξηκέλνπκε φηη ηα ζεκεία Β , Β΄ ηνπ Πη κε 𝛰𝛣 = (0,β,0) , 𝛰𝛣΄ =

(0,-β ,0) [ πνπ ,πξνθαλψο βξί-ζθνληαη ζηνλ άμνλα ςΟς΄] είλαη πνιχ ρξήζηκα

γηα κία πξνζπάζεηα νιηθήο ράξαμεο ηεο έιιεηςεο Πη = ξ-1(η)

(Π-2β)΄. Γηα κία ,θαηά ην δπλαηφλ επθνιφηεξε εχξεζε ηεο ζέζεσο ησλ Β ,Β΄

ζηνλ άμνλα ςΟς΄ εξκελεχνπκε θζηάιιεια ηελ ηζφηεηα :

β2 = α2(1-e2) = ⇔ α2 = (αe)2 + β2 ,

Page 113: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

113

πνπ δείρλεη φηη ζε έλα νξζνγψλην ηξίγσλν κε πιεπξέο , α , β , αe ην α είλαη

ην κήθνο ηεο ππνηείλνπζαο θαη ηα β , αe είλαη ηα κήθε ησλ δχν θαζέησλ

πιεπξψλ ηνπ νξζνγσλίνπ απηνχ ηξηγψλνπ.Δηζη ηα δεηνχκελα ζεκεία Β , Β΄

είλαη νη ηνκέο ηνπ θχθινπ ηνπ Π κε θέληξν ηελ εζηία Δ [ δηφηη (ΟΔ) =αe ] θαη

αθηίλα r = α . ην ρήκα 25 ,ην επζχγξακκν ηκήκα , απφ ην Δ [ ηνπ άμνλα

x΄Ox ] έσο ην Β [ ηνπ άμνλα ςΌς ] είλαη ίζν κε α .[ δηφηη ην επηιέμακε σο αθ-

ηίλα θχθινπ κε θέληξν ην ζεκείν Δ ( : εζηία) ] . Δπνκέλσο ην επζχγξακκν

ηκήκα ΟΒ έρεη κήθνο β [ κε β2 = α2(1-e2) ] .

(Π-2β)΄΄. Έλα εχινγν εξψηεκα είλαη ην εμήο :

Αλ έλα ζεκείν Μ : 𝛰𝛭 = (x,ς,0) ηνπ επηπέδνπ Π = Π(ε,⊥δ) ηθαλνπνηεί

ηελ ηζφηεηα x2

α2 +

ψ2

β2 = 1 είλαη ζεκείν ηεο έιιεηςεο

ξ-1(e)∩Π = c(E,δ,e) [ κε e < 1 ] ?

Ζ απάληεζε είλαη ζεηηθή : Αξθεί λα δείμνπκε φηη ηζρχεη ΜE 𝛭𝛥

= e

[ βιέπε θαη ζρήκα 25΄] . Δρνπκε β2 = α2(1-e2) , θαη (ΜΕ)2 = y2+(x - αe)2 ,

[διότι 𝛰𝛦 = (αe,0,0)] , (ΜΔ)2 = ( α/e -x)2 = (α-ex)2/e2, θαη άξα

y2= α2+e2x2–x2-α2e2 , [(ΜΕ)2 / (ΜΔ)2 ] = [y2+(x - αe)2] / [(α-ex)2/e2],

φπνπ [βιέπε θαη ζειίδα 11] y2 = α2+e2x2–x2-α2e2 θαη άξα

y2 +(x - αe)2 = α2+e2x2–x2-α2e2 + x2+α2e2-2αex

= α2+e2x2– 2αex = (α-ex)2

Δπνκέλσο

[(ΜΕ)2 / (ΜΔ)2 ] = [y2+(x - αe)2] / [(α-ex)2/e2] = e2

Καη έρνπκε ηελ απφδεημε .

(Π-2γ). Πεξίπησζε ππεξβνιήο ζην επίπεδν ρΟς :

η > 1 , ΜΠη , 𝛰𝛭 = (x,ς,0) , β2 α2 (η2 − 1) x2

α2 –

ψ2

β2 = 1

Δδψ ν πξνζδηνξηδκφο ηνπ β ζηνλ άμνλα ς΄Ος βνεζά ζηνλ πξνζδηνξηζκφ

ηνπ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ κε πιεπξέο παξάιιειεο πξνο ηνπο άμν-

Page 114: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

114

λεο , κε θέληξν ηελ αξρή Ο ηνπ (Οxςz} . Ζ ρξεζηκφηεηα απηνχ ηνπ ζρήκα-

ηνο ζηελ ράξαμε ηεο αληίζηνηρεο ππεξβνιήο έγθεηηαη ζην φηη νη δηαγψληνί ηνπ

απνηεινχλ αζπκπηψηνπο ηνπ ππφ ράξαμε ζρήκαηνο.[ : Δηζη δηεπθνιχλεηαη κία

αμηόπηζηε ράξαμε ηεο Πη ( βιέπε θαη ρήκα 25 ,πην πάλσ)] .

Αληίζηνηρν είλαη ηψξα ην εξψηεκα αλ έλα ζεκείν Μ : 𝛰𝛭 = (x,ς,0) ηνπ

επηπέδνπ Π = Π(ε,⊥δ) ηθαλνπνηεί ηελ ηζφηεηα x2

α2 –

ψ2

β2 = 1 είλαη ζεκείν

ηεο ππεξβνιήο

ξ-1(e)∩Π = c(E,δ,e) [ κε e > 1 ] ?

Όπσο είδακε θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο έιιεηςεο , ε απάληεζε είλαη ζεηηθή θαη ε

απφδεημε είλαη επίζεο δήηεκα κηάο πξνζεθηηθήο εθηέιεζεο ησλ πξάμεσλ.

(Π-2γ). Πεξίπησζε ηεο παξαβνιήο Π1 : Οπσο πεξηγξάθεηαη θαη ζην

ρήκα 26 , ε ράξαμε ηεο παξαβνιήο Π1 βαζίδεηαη ζηελ εχξεζε ελφο ηθαλνχ

αξηζκνχ ζεκείσλ ηεο . Έλα ηέηνην ζεκείν είλαη πξνθαλψο ην κέζνλ ηνπ επζπ-

γξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΓ , φπνπ Γ είλαη ην ίρλνο ηεο θαζέηνπ ηνπ Δ πξνο ηελ

δηεπζεηνχζα δ . Δπη πιένλ ζεκεία πξνθχπηνπλ απφ [ νπνηαδήπνηε ] ζεκεία

ηεο δ ,σο εμήο : Δάλ Κ είλαη ζηελ δ , ε επζεία Κ(δ) ηνπ Π = Π(ε,δ) πνπ είλαη

θάζεηε ζηελ δ ζπλαληά ηελ κεζνθάζεην ηνπ ηκήκαηνο ΔΚ ζε ζεκείν ηεο ππφ

ράξαμε θακπχιεο Π1 = Π∩ξ-1(1) . Οκνίσο ελεξγνχκε γηα άιια ζεκεία Λ ,

Μ θιπ ηεο δηεπζεηνχζαο δ.,

Η πεξηγξαθή ηνπ παξαβνινεηδνύο ξ-1(1) [ : η e = 1]

ην ρήκα 22 ζεσξνχκε ην ηπραίν ζεκείν Μ ηνπ ρήκαηνο ξ-1(1) [ηνπ νπνί-

νπ , φπσο ζα δνχκε , ε ηνκή κε ην επίπεδν Π=Π(Δ,δ) είλαη κία παξαβνιή (:

είλαη , αθξηβψο, ε παξαβνιή ηνπ επηπέδνπ Π ,ηνπ ρήκαηνο 18. )] .

Απφ ηελ ζρέζε ΜΔ = ΜΓ ηνπ ηπραίνπ ζεκείνπ ηνπ Μ : 𝛰𝑀 = (x0 ,ψ0,z0) ,

βιέπνπκε φηη θαη ε πξνβνιή ηνπ , έζησ Ν , ζην ρς-επίπεδν [ πνπ είλαη ην

επίπεδν Π= Π(Δ,δ) ] ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε ΝΔ = ΝΓ.

Δπνκέλσο ην Ν είλαη επίζεο ζεκείν ηνπ (ζ) = ξ-1(1) : Πξάγκαηη απφ

ε(Μ,Ν)⊥Π θαη ΜΓ⊥δ

[φπνπ Γ ζεκείν ηεο δ κε ε(Μ,Γ)⊥δ ] ζα έρνπκε θαη ε(Ν,Γ)⊥δ . Αξα ε ε(Ν,Γ)

ζα ηέκλεη ηνλ άμνλα ςΟς΄ ζηελ ηεηαγκέλε ηνπ Μ . Σα νξζνγψληα [ : ζην Ν ]

Page 115: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

115

ηξίγσλα ΜΝΔ θαη ΜΝΓ είλαη ίζα , δηφηη έρνπλ θνηλή ηελ θάζεην πιεπξά ηνπο

ΜΝ θαη ίζεο ππνηείλνπζεο

Δπνκέλσο ζα έρνπλ θαη ΝΔ = ΝΓ ] .Βιέπνπκε δειαδή φηη ε εμίζσζε ηνπ (ζ)

[είλαη ςν2 = 2pρν , z0 ℝ . Με άιια ιφγηα ην z0 δελ ζπκκεηέρεη ζηελ εμίζσζε

ηνπ (ζ) = ξ-1(1) ,

[θαη κεηαβάιιεηαη αλεμάξηεηα απφ ηα ρν , ςν] . [ : Πξάγκαηη νπνηνδήπνηε ζε-

κείν Μ θαη λα ζεσξήζνπκε ζηελ παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα

z΄Οz επζεία ε(Ν,e3) (: απφ ην ζεκείν Ν Βι. θαη ζρήκα 22) , ζα έρνπκε

ΜΔ=ΜΓ θαη ε(Μ,Γ)⊥δ ] .

[ην ζρήκα 26 θαίλεηαη θαη ε αλαθιαζηηθή ηδηόηεηα ηνπ παξαβνινεηδνχο : νη

αθηίλεο πνπ πξνέξρνληαη απφ ηελ εζηία Δ αλαθιψληαη παξάιιεια πξνο ηνλ

θχξην άμνλα . Πξάγκαηη νη κεζνθάζεηεο πνπ δίλνπλ ηα ζεκεία ηεο (c) εθεί πνπ

ηέκλνπλ ηηο αληίζηνηρεο παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα , εμαζθαιίδνπλ ηελ

ηζφηεηα ησλ γσληψλ πνπ ζεκεηψλνληαν ζην ρήκα 26 , θαη ε ηζφηεηα απηή

Page 116: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

116

απνηεηειεί ηελ έθθξαζε ηνπ λόκνπ ηεο αλάθιαζεο. Βιέπε θαη αληίζηνηρεο

παξαηεξήζεηο θαη εθθξάζεηο γηα ηελ έιιεηςε θαη ηελ ππεξβνιή, πην θάησ.]

Μία απνδνηηθφηεξε δηαηχπσζε πνπ κπνξνχκε λα θάλνπκε γηα ηελ ζρέζε

ΜΔ=ΜΓ θαη ε(Μ,Γ)⊥δ [ σο πξνο ηελ εξκελεία θαη ηελ θαηαλφεζή ηεο] είλαη

θαη ε επφκελε :

Ν (ζ) ε(Ν,e3) (ζ) = ξ-1(1)

Γεληθφηεξα , εάλ () 𝔼 είλαη νπνηνδήπνηε ππνζχλνιν ηνπ 𝔼 , ε ε(Ρ,σ)

ηπραία επζεία θαη

2.2.2.2 ζ((),σ) (ζ΄) 휀(𝛢, 𝜔)𝛢(𝛴)

ηφηε είλαη άκεζα θαλεξφ φηη ηζρχεη επίζεο ε ηζνδπλακία :

Μ () ε(Μ,σ) ζ((),σ) .

2.2.2.2α ε(Μ,σ) ζ((),σ) ⇔ Ν() : ε(Μ,σ) = ε(Μ,σ)

Γηα νπνηνδήπνηε () ηα παξαπάλσ ζρήκαηα ζ((),σ) ζα ιέγνληαη :

2.2.2.3 Κύιηλδξνη κε θαηεύζπλζε σ θαη νδεγό ζρήκα ().

Δάλ ηδηαίηεξα ην () είλαη θάπνηα γξακκή , ηφηε ην ζ((),σ) ζα ιέγεηαη

2.2.2.4) Κύιηλδξηθή επηθάλεηα κε θαηεύζπλζε σ θαη νδεγό ζρήκα ηελ

γξακκή ().

Δδψ κπνξνχκε λα αλαθέξνπκε θαη κία αθόκε δπλαηόηεηα ελφο ζρήκαηνο

() ηνπ 𝔼 λα νδεγήζεη ζηελ δεκηνπξγία ελφο λένπ ζρήκαηνο [νπφηε θαη πά-

ιη νλνκάδνπκε απηφ νδεγό ζρήκα ] ζπλδηαδφκελν κε έλα κφλν ζεκείν Κ [ :

αληί γηα έλα δηάλπζκα σ ] :

2.2.2.5) θ((),Κ) 휀(𝛫, 𝛢)𝛢(𝛴)

Δίλαη άκεζα θαλεξφ φηη ηα παξαπάλσ ζρήκαηα είλαη δέζκεο επζεηψλ πνπ δη-

έξρνληαη απφ έλα θνηλφ ζεκείν Κ , ην νπνίν ζα νλνκάδνπκε θνξπθή θαη ζα

ιέγνληαη :

2.2.2.6) Κώλνη κε θέληξν Κ θαη νδεγό ζρήκα ().

Καη φηαλ ην () είλαη θάπνηα γξακκή :

2.2.2.6) Κσληθή επηθάλεηα κε θέληξν Κ θαη νδεγό ζρήκα ηελ γξακκή ().

Δίλαη επνκέλσο ρξήζηκν ζηελ επφκελε παξάγξαθν λα νξίζνπκε ηηο γεληθφηε-

ξεο θαηεγνξίεο ζρεκάησλ ζηηο νπνίεο κπνξνχκε λα θαηαηάμνπκε θαη ηα πξνε-

γνχκελα ζρήκαηα [: βι. ζρεηηθά ην επφκελν θεθάιαην 3.]

Παξαηήξ.2.2.2-Α (ζ). Αιιεο ηδηόηεηεο έιιεηςεο-ππεξβνιήο-παξαβνιήο

Page 117: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

117

ηφρνο καο ζηα επφκελα είλαη λα δείμνπκε φηη :

(ζ-1) . Κάζε έιιεηςε θαη θάζε ππεξβνιή έρνπλ θαη δεχηεξν δεχγνο (Δ΄,δ΄)

εζηίαο Δ΄ θαη [αληίζηνηρεο] δηεπζεηνύζαο δ΄ [ : πνπ βξίζθνληαη επίζεο ζην

επίπεδν Π(Δ,δ) ηνπ δεχγνπο (Δ,δ) ] .

(ζ-2) Κάζε ζεκείν κηάο έιιεηςεο έρεη άζξνηζκα απνζηάζεσλ απφ ηηο εζηίεο

Δ , Δ΄ ίζν πξνο ηελ απφζηαζε 2α ησλ θνξπθψλ Α , Α΄ απηήο .

(ζ-3). Κάζε ζεκείν κηάο ππεξβνιήο έρεη δηαθνξά απνζηάζεσλ απφ ηηο

εζηίεο Δ , Δ΄ ίζν πξνο ηελ απφζηαζε 2α ησλ θνξπθψλ Α , Α΄ απηήο .

(ζ-4). Βαζηδφκελνη ζηα παξαπάλσ ζα πεξηγξάςνπκε έλαλ [ απιφ ζρεηηθά ]

ηξφπν εχξεζεο ζεκείσλ ηεο έιιεηςεο θαη ηεο ππεξβνιήο , θαη επίζεο

(ζ-5) . Σελ θαηνπηξηθή ηδηφηεηα φισλ ησλ θσληθψλ ηνκψλ αιιά θαη ησλ

αληίζηνηρσλ εθ πεξηζηξνθήο πεξί ηνλ [θύξην] άμνλά ηνπο ζρεκάησλ .

Απόδεημε . [Γηά ηελ έιιεηςε (c) = (E,δ,e)].(ζ-1)΄(α).[:δέο θαη ζρήκαηα 25 ,25΄]

[ Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ζπκβνιηζκφ (ΑΒ) ,γηα ην κήθνο ηνπ επζπγξάκκνπ

ηκήκαηνο ΑΒ αληί γηα ηελ λφξκα ∥𝛢𝛣 ∥ ηνπ δηαλχζκαηνο 𝛢𝛣 ,γηα φια ηα

Α,Β 𝔼. (Γέο θαη ζρφιηα ζην ρήκα 25΄)].

Page 118: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

118

Γηα ηπραίν Μ(c) έρνπκε(ΜΕ )

(ΜΔ )

ΜΕ

ΜΔ = e ⇔ ME = eMΓ , θαη έζησ 𝛰𝛭 =

(x,y). Δπίζεο έρνπκε : 𝛰𝛦 = (αe,0) , 𝛰𝛤 = (α/e,0) , 𝛰𝛦΄ = (-αe,0) ,

𝛰𝛤΄ =(-α/e,0).Παξαηεξνχκε αθφκε φηη (ΜΓ) = α/e – x , (ΜΓ΄) = α/e + x .

Αρα (ΜΕ) = e(MΔ) ⇔ (ΜΕ)2 = e2(MΔ)2 Απφ ηελ θαζεηόηεηα ε(Γ,Γ΄)=

ε(Μ,Γ) ⊥ δ θαη ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα [ ζηα νξζνγώληα ηξίγσλα ηνπ

ζρήκαηνο] έρνπκε ηηο επφκελεο ζρέζεηο :

(ΜΕ)2 = y2+(x - αe)2 ,

(MΔ)2 = (α/e – x)2 , e2(MΔ)2 = e2(α/e – x)2 = [e

(α/e – x)]2 = (α-ex)2

θαη άξα

y2+(x - αe)2 = (α-ex)2 , ⇔ y2 = (α-ex)2 - (x - αe)2 =

= α2 + e2x2-2αex – x2 -α2e2 +2αex

⇔ y2= α2+e2x2–x2-α2e2 (*) ,

Σψξα γηα ηα Δ΄ , δ΄ ,έρνπκε :

(ME΄)2 = y2 + (αe + x)2 = α2+e2x2–x2-α2e2 + α2e2 +x2+2αex =

= α2+e2x2+2αex =(α+ex)2 .

Αρα (ME΄)2/(MΓ΄)2 =(α+ex)2 / ( [αe+x]2/e2) = e2[(α+ex)2/.(α+ex)2] =

e2 . Δπνκέλσο

ΜΕ΄

ΜΔ΄ = e =

ΜΕ

ΜΔ .

Δληειψο αλάινγα ειέγρνπκε θαη ηελ πξίπησζε ηεο ππεξβνιήο

Mε άιια ιφγηα δείμακε φηη [κε ηα Δ, Δ΄,δ , δ΄ φπσο παξαπάλσ ] :

«ην επίπεδν Π Π(Δ,δ) = Π(Δ΄,δ΄) , θαη γηα 0 < e < 1 ε έιιεηςε

c(Δ,δ,e) θαη ε έιιεηςε c(E΄,δ΄,e) ζπκπίπηνπλ κεηαμύ ηνπο».

Με άιια ιφγηα

(*) 𝑑(Μ ,Ε΄)

d(Μ ,𝛿΄) = e =

d(Μ ,Ε)

𝑑(Μ ,𝛿) , Μ c(Δ,δ,e) = c(Δ΄,δ΄,e)

Page 119: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

119

Γηα ηελ πεξίπησζε ηεο ππεξβνιήο c(Δ,δ,e) , e > 1 ,εξγαδφκεζα εληειψο

αλάινγα θαη νξίδνπκε ηελ επζεία δ΄ κε εμηζψζεηο x = - αe , z = 0 , θαη ην

ζεκείν Δ΄ : 𝛰𝛦΄ = (-αe,0) , αλάινγα απνδεηθλχνπκε φηη ην δεχγνο (Δ΄,δ΄)

είλαη εζηία θαη αληίζηνηρε δηεπζεηνχζα ηεο ππεξβνιήο c(Δ,δ,e) . Με άιια ιφγηα

νη ππεξβνιέο c(Δ,δ,e) θαη c(Δ΄,δ΄,e) ζπκπίπηνπλ :

c(Δ,δ,e) = c(Δ΄,δ΄,e) , e > 1 .

Ζ απφδεημε ηνπ (ζ-1) είλαη πιήξεο.

Απόδεημε ηνπ (ζ-2). [ Βιέπε θαη ρήκα 25΄ ]. Απφ ηηο ζρέζεηο (*) πην πάλσ

, ην ηπραίν ζεκείν Μ ηεο έιιεηςεο c(Δ,δ,e) = c(Δ΄,δ΄,e) , e < 1 ηθαλνπνηεί ηηο

ζρέζεηο : ΜΔ = eΜΓ , ΜΔ΄ = eΜΓ΄ θαη άξα ΜΔ + ΜΔ΄ = e(ΜΓ+ΜΓ΄) = e ΓΓ΄

= e ΓΓ΄ θαη άξα (ΜΔ) + (ΜΔ΄) = e(α/e-(-αe)) = 2 e(α/e) = 2α . Με άιια ιφγηα :

(**) (ΜΔ) + (ΜΔ΄) = 2α , Μ c(Δ,δ,e) = c(Δ΄,δ΄,e) .

Απόδεημε ηνπ αληηζηξόθνπ ηνπ (ζ-2). Θεσξνχκε α,γℝ κε α > γ > 0 θαη

ζεκεία Δ , Δ΄ 𝔼 κε d(E,E΄) = 2γ .

Δζησ Ο είλαη ην κέζνλ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΔ΄ .Θεσξνχκε άμνλεο

Page 120: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

120

xOx΄ = ε(Δ,Δ΄) , ςΟς΄⊥ xOx΄ ζε ηπρφλ επίπεδν Π πνπ πεξηέρεη ηελ επζεία

ε(Δ,Δ΄). Να βξεζεί ε εμίζσζε φισλ ησλ ζεκείσλ ηνπ Π πνπ έρνπλ άζξνηζκα

Λχζε . Δάλ 𝛰𝛭 = (x,ς,0) , θαη Μ΄ ε πξνβνιή ηνπ Μ ζηνλ άμνλα x΄Οx , ηα

ζρεκαηηδφκελα νξζνγψληα ηξίγσλα δίλνπλ :

(2α-ξ)2 =( γ-x)2 + ς2 (*) θαη επίζεο ξ2 = (γ+x)2 + ς2 = x2 + γ2+2γx + ς2 (**) .

Αξα παίξλνπκε δηαδνρηθά :

4α2 + ξ2 – 4αξ = γ2 + x2 – 2γx + ς2

⇔ 4α2 + x2 + γ2+2γx + ς2 – 4αξ = γ2 + x2 – 2γx + ς2

⇔ 4α2 – 4αξ = – 4γx ⇔ 4α(α–ξ) = – 4γx ⇔ α–ξ = – γx/α

⇔ ξ = α + γx/α = (α2+γx)/α

Καη άξα απφ (**) έρνπκε

[(α2+γx)/α]2 = x2 + γ2+2γx + ς2 ⇔(α2+γx)2 = α2[x2 + γ2+2γx + ς2]

⇔ α4 + 2α2γx + γ2x2 = α2x2 + α2γ2 + α2ς2

⇔ α4 + γ2x2 = α2x2 + α2γ2 + α2ς2 ⇔ α2[ α2 + (γ2/α2)x2] = α2 [x2 + γ2 + ς2]

⇔ α2 + (γ2/α2)x2 = x2 + γ2 + ς2 ⇔ ς2 + x2[ - (γ2/α2) + 1] = α2- γ2

⇔ ς2 + x2[ (α2- γ2) /α2] = α2- γ2 ⇔[1/( α2- γ2)] ς2 + x2/α2] = 1

Page 121: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

121

⇔ ς2 /( α2- γ2)] + x2/α2 = 1

Θέηνπκε γ/α = e < 1 ⇔ γ = αe Σφηε α2- γ2 = α2(1- e2) θαη ε ηειεπηαία ζρέζε

παίξλεη ηελ κνξθή :

x2

α2 +

ς2

α2 (1−e2) = 1

Aξα είλαη κία έιιεηςε [ βιέπε θαη (Π-2β)΄΄ ,ζει. 112] κε εζηίεο Δ , Δ΄ κεγάιν

άμνλα κήθνπο 2α θαη εθθεληξφηεηα e = γ/α . .

Απόδεημε ηνπ (ζ-3). Αλάινγα εδψ έρνπκε ηηο ζρέζεηο :

ΜΔ = eΜΓ , ΜΔ΄ = eΜΓ΄ θαη άξα ΜΔ - ΜΔ΄ = eΜΓ-ΜΓ΄ = e ΓΓ΄ = e ΓΓ΄

θαη άξα

(ΜΔ) - (ΜΔ΄) = e(α/e-(-αe)) = 2 e(α/e) = 2α .

Με άιια ιφγηα :

(**) (ΜΔ) + (ΜΔ΄)= 2α , Μ c(Δ,δ,e) = c(Δ΄,δ΄,e) , e>1[

ηνπο πην πάλσ ηχπνπο δελ ππεηζέρνληαη νη δηεπζεηνχζεο δ ,δ΄ ].

Όπσο ειέρζε θαη ζηα ζρφιηα ηνπ ζρήκαηνο 25β ,νη κεζνθάζεηνη ησλ επζπ-

Page 122: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

122

γξάκκσλ ηκεκάησλ ηέκλνπλ ηηο επζείεο ησλ αληηζηνίρσλ αθηίλσλ ζε έλα

ζεκείν ηεο (c) .

Ζ ίδηα κεζνθάζεηνο δελ κπνξεί λα πεξηέρεη θαη θάπνην άιιν ζεκείν ηεο (c) .

Με άιια ιφγηα ε ελ ιφγσ κεζνθάζεηνο ζπλαληά ηελ (c) ζε έλα θαη κνλαδηθφ

ζεκείν Μ , θαη αθήλεη νιφθιεξε ηελ (c) πξνο ην ίδην εκηεπίπεδφ ηεο. Απηφ

ζεκαίλεη φηη ε κεζνθάζεηνο απηή είλαη εθαπηνκέλε ηεο (c) ζην ζε-κείν Μ

θαη άξα δηρνηνκεί ηελ παξαπιεξσκαηηθή [ : εμσηεξηθή ] γσλία ηεο γσλίαο

ΔΜΔ΄. Απηφ κε ηελ ζεηξά ηνπ ζεκαίλεη φηη ε αθηίλα πξνζπηψζεσο ΔΜ έρεη

ζαλ αθηίλα αλαθιάζεσο ηελ ΜΔ΄ . [ Απηφ , φπσο εχθνια κπνξεί λα απνδείμεη

θάπνηνο , ζπκβαίλεη θαη ζηελ ππεξβνιή θαη ζηελ παξαβνιή .Βιέπε ζρεηηθά θαη

πξνο ην ηέινο ηνπ Κεθαιαίνπ 2] .

Απάληεζε ζην (ζ-4) .Όπσο πεξηγξάθνπκε θαη ζην ρήκα 25β , κε δεδνκέλεο

ηηο εζηίεο Δ , Δ΄ κηάο άγλσζηεο έιιεηςεο (c) = c(E,E΄) . κπνξνχκε λα θαηά-

ζθεπάζνπκε νπνηνδήπνηε απφ ηα ζεκεία ηεο απφ ηα αληίζηνηρα ζεκεία ηνπ

θχθινπ (c)΄ = c(E,2α).Με άιια ιφγηα ηα ζεκεία ηνπ παξαπάλσ θχθινπ είλαη

ζε 1-1 θαη επί αληηζηνηρία κε ηα ζεκεία ηεο δεηνχκελεο έιιεηςεο.

Page 123: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

123

Δπεηδή ν ελ ιφγσ θχθινο (c) = c(E,2α) θαηαζθεπάδεηαη εχθνια , φια ηα ζεκεία

ηεο c(E,E΄) είλαη θαηαζθεπάζηκα , απφ ηηο ηνκέο ησλ αθηίλσλ ΔΕ = 2α κε ηηο

κεζνθάζεηεο ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ Δ΄Ε . Καη΄αληηδηαζηνιή κε ηελ

πεξίπησζε ηεο ππεξβνιήο [ φπνπ ε θακπχιε βξίζθεηαη θαη κέζα θαη έμσ

απφ ηνλ θχθιν c(E,2α)] , ε δεηνχκελε έιιεηςε έρεη όια ηα ζεκεία ηεο κέζα

ζηνλ θύθιν c(E,2α) . [ βιέπε θαη επφκελα] .

Κύθινο c(E,2α) θαη ππεξβνιή. Δίλαη εηθαδφκελν , φηη ν θχθινο c(E,2α)

παίδεη παξφκνην ξφιν θαη γηα ηελ θαηαζθεπή ησλ ζεκείσλ κηάο ππεξβνιήο

(c)΄ = c(E,E΄,2α) [ φπνπ ,εδψ ,πξέπεη (ΔΔ΄) > 2α] , ηζρχεη πξάγκαηη .

Οπσο ζεκεηψζακε θαη ζην ζρήκα 25δ , θάζε αθηίλα ΔΚ ηνπ θχθινπ c(E,2α),

νξίδεη κία επζεία ε(Δ,Κ) θαη κία άιιε επζεία πνπ είλαη ε κεζνθάζεηνο ηνπ επζπ-

γξάκκνπ ηκήκαηνο Δ΄Κ [ πνπ νξίδεη κε ην Κ ε δεχηεξε εζηία Δ΄ ηεο δεηνχκε-

λεο θακπχιεο]. Αθξηβψο ε ηνκή ησλ δχν απηψλ επζεηψλ απνηειεί έλα απφ ηα

ζεκεία ηεο δεηνχκελεο θακπχιεο . Δηζη πξνθχπηνπλ φια ηα ζεκεία , θαη νη

επηινγέο ησλ ζεκείσλ ηνπ c(E,2α) είλαη ειεχζεξεο .

πλνςίδνληαο ηα πξνεγνχκελα βιέπνπκε φηη φια ηα ζεκεία ησλ ζρεκα-

ησλ [ πιήλ ησλ επζεηψλ θαη ησλ παξαβνιψλ ] πνπ κπνξεί λα πξνθχςνπλ ,

Page 124: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

124

Γεσκεηξηθά , ζαλ ηνκέο ελφο θπθιηθνχ θψλνπ θαη ελφο επηπέδνπ [ δει. :

ππεξβνιή , θύθινο , έιιεηςε ] αλάγνληαη ζε

θαηάζθεπέο κεηαζρεκαηηζκνύ

ησλ ζεκείσλ Κ ελφο άιινπ ζρήκαηνο [ : εδψ ηνπ θχθινπ c(E,2α)] , [ θαη

πξνθχπηνπλ ζαλ ηνκέο ησλ δχν επζεηψλ ε , ε΄ πνπ :

(η) Ζ κελ ε είλαη ε επζεία πνπ πεξηέρεη ηελ αθηίλα ΔΚ : ε = ε(Δ,Κ)

(ηη), Ζ δε ε΄ είλαη ε κεζνθάζεηνο ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο Δ΄Κ.

[ Βι. θαη ρήκαηα 25γ , 25δ ] .

Δμ άιινπ , ζηελ πεξίπησζε ηεο παξαβνιήο, ην ξφιν ηνπ c(E,2α) , ηνλ

παίδεη ε δηεπζεηνχζα . Σν θάζε ζεκείν Μ ηεο δ νξίδεη επίζεο δχν επζείεο :

Μία θάζεηε ζηελ δ , θαη κία κεζνθάζεηε πξνο ην επζχγξακκν ηκήκα ΔΜ . Ζ

ηνκή ησλ δχν απηψλ επζεηψλ είλαη ζεκείν ηεο δεηνχκελεο θακπχιεο c(E,δ),

θαη φια ηα ζεκεία ηεο c(E,δ) πξνθχπηνπλ θαη΄απηφλ ηνλ ηξφπν. [ βιέπε θαη

ρήκα 26.] .Ζ παξαηήξεζε απηή εληζρχεη ηελ νξζφηεηα ηεο παξαδνρήο φηη :

ε επζεία θαη ν θύθινο [ θαη θαη΄επέθηαζε

ην επίπεδν θαη ε ζθαίξα] είλαη ηα

βαζηθόηεξα – ζεκειησδέζηεξα ζρήκαηα ηεο Γεσκεηξίαο.

Παξαηήξεζε.2.2.2-Β. (1). Δίδακε ζηα πξνεγνχκελα φηη ηα ζεκεία ησλ θσ-

ληθψλ ηνκψλ κπνξνχλ λα πξνθχςνπλ ζαλ ηνκή δχν επζεηψλ πνπ ε κία [ θαη

ζηηο ηξείο πεξηπηψζεηο : παξαβνιήο [ζει, 114] , έιιεηςεο [ ζει. 120],ππεξ-

βνιήο ,[ ζει,122] ] είλαη ε κεζνθάζεηνο , εζησ ε΄, θάπνηνπ θαηάιιεινπ επ-

ζπγξάκκνπ ηκήκαηνο . Δίλαη ζεκαληηθφ ζην ζεκείν απηφ λα επηζεκάλνπκε φηη

απηή ε ε΄ είλαη ηαπηφρξνλα θαη εθαπηνκέλε ηεο αληίζηνηρεο θακπχιεο [ ζην

ζεκείν πνπ ε ίδηα ε ε΄ νξίδεη ] γηα ηελ θακπχιε απηή [ : δεο θαη πην θάησ].

Δπνκέλσο πξέπεη ζην ζεκείν απηφ λα πεξηγξάςνπκε ηνλ ξφιν θαη ηνλ ηξφπν

θαηαζθεπήο [ φπνπ απηφ είλαη εθηθηφ ,(φπσο ζηελ πεξίπησζε ησλ παξαπάλσ

θακπχισλ )] ησλ εθαπηνκέλσλ επζεηψλ ζηελ θακπχιε (c) = Gf ηνπ δηα-

γξάκκαηνο Gf κηάο απεηθφληζεο

(*) f : [α,β] ℝ

( ζηα ζεκεία πνπ γλσξίδνπκε φηη ε εθαπηνκέλε απηή ππάξρεη ) , φπνπ ην

δηάγξακκα Gf νξίδεηαη απφ ηελ ζρέζε :

(*)΄ Gf { (x,f(x)) : x[α,β] } [α,β]xℝ ℝxℝ

Page 125: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

125

[ Με Gf ζπκβνιίδνπκε επίζεο θαη ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ Gf ] ζε δεδν-

κέλν ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ . Δηζη δαλεηδφκαζηε [ απφ ηελ αλάιπζε ] ην

επφκελν Λήκκα :

(φπoπ ζηα επφκελα ζα ζέηνπκε ς = f(x) , γηα ηελ εηθφλα ηνπ θάζε πξνηχπνπ

x [α,β] , εηζάγνληαο έηζη κία λέα κεηαβιεηή ς [εμαξηεκέλε απφ ηελ (αλε-

μάξηεηε) κεηαβιεηή x. Δίλαη πξνθαλέο φηη ζε ππνδηαζηήκαηα [γ,δ] ηνπ [α,β]

πνπ ε f είλαη 1-1, κπνξεί λα νξηζζεί θαη ε [ : αληίζηξνθε ] ζπλάξηεζε :

Δπίζεο ζα ζέηνπκε f΄(x0) γηα ηελ παξάγσγν ηεο f ζην ζεκείν x0 θαη f(x) γηα

ηελ ηηκή ηεο απεηθφληζεο f΄ ηεο παξαγψγνπ ηεο f ζην ππνδηάζηεκα ζην

νπνίν απηή ππάξρεη [ θαηά ηα γλσζηά απφ ηελ αλάιπζε ] .

(*)΄΄ x = f-1(ς) , ς f([γ,δ])] ) .

Λήκκα [ χπαξμε εθαπηνκέλεο θακπχιεο (c) = Gf ζε δνζέλ ζεκείν απηήο].

Δζησ

f : [α,β] ℝ

κία απεηθφληζε , θαη (c) = Gf ε θακπχιε ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο f . Δάλ ζην

ζεκείν x0 [α,β] ε f παξαγσγίδεηαη , ηφηε ε επζεία ε κε αλαιπηηθέο

εμηζψζεηο [ φπνπ ζέηνπκε ς0 = f(x0) ] :

(**) ε : ς - ς0 = f΄(x0)(x-x0) , z =0 , x[α,β]

Page 126: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

126

έρεη κε ηελ θακπχιε (c) = Gf θνηλφ κφλν ην ζεκείν (x0,ς0) , γηα φια ηα x ζε

ηνπιάρηζηνλ κία αλνηθηή πεξηνρή π(x0) ηνπ ζεκείνπ x0 . Με άιια ιφγηα ε επ-

ζεία ε είλαη εθαπηνκέλε ηεο (c) ζην ζεκείν (x0,ς0) = (x0,f(x0)) Gf .

Παξαηήξεζε.2.2.2-Β. (2). Σν Λήκκα απηφ εθθξάδεη έλα βαζηθφ ζπκπέξα-

ζκα ηεο αλάιπζεο θαη ησλ εθαξκνγψλ ηεο ζηα Μαζεκαηηθά θαη ηελ θπζηθή θαη

παξαπέκπνπκε ζε ζπγγξάκαηα [ είηε θαη ζεκεηψζεηο ] ησλ θαζεγεηψλ Αλάιπ-

ζεο ηνπ Σκήκαηφο καο ,γηα πεξηζζφηεξεο εμεγήζεηο,σο πξνο ηελ απφδεημε αι-

ιά θαη ηελ θαηαλφεζή ηνπ] . Σν παξαπάλσ ζπκπέξαζκα εθαξκνδφκελν ζηελ

πεξίπησζε ηεο ππεξβνιήο , βιέπνπκε φηη θακκία εθαπηνκέλε ηεο , έζησ , ε,

δελ αθήλεη νιφθιεξε ηελ ππεξβνιή πξνο ην ίδην εκηεπίπεδν [πνπ ε ε νξίδεη].

Δίλαη πξνθαλέο φηη πξέπεη λα δηακεξίζνπκε ηελ θακπχιε απηή ζε θαηάιιεια

κέξε , ψζηε λα κπνξεί λα εθαξκνζζεί ην πξνεγνχκελν Λήκκα.

Παξαηήξεζε.2.2.2-Β. (3).Ο ζθνπφο καο εδψ είλαη λα αμηνπνηήζνπκε ην

πξνεγνχκελν Λήκκα γηα κία θαιχηεξε θαηαλφεζε ηνπ ηξφπνπ κε ηνλ νπνίν

πξνθχπηνπλ [θαη ραξάζζνληαη] νη εθαπηφκελεο ησλ θσληθψλ ηνκψλ. Δηζη ε-

παλεξρφκεζα ζηνλ πξνβιεκαηηζκφ πνπ μεθηλήζακε ζην ρήκα 25β θαη πξνο

ηνχην ραξάζζνπκε έλα λέν ρήκα [25β΄] , ζπκπιεξψλνληαο ην 25β γηα λα γί-

Page 127: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

127

λνπλ ζαθείο νη ηζρπξηζκνί φηη :

(η).Ζ κεζνθάζεηνο ηνπ Δ΄Ε πεξηέρεη αθξηβψο έλα ζεκείν ηεο (c) θαη

(ηη) Οια ηα ζεκεία ηεο (c) είλαη πξνο ην ίδην κέξνο ηεο κεζνθαζέηνπ ζε

κία νιφθιεξε πεξηνρή ηνπ θάζε πξνηχπνπ x [ ησλ δεπγψλ (x,f(x)) ηεο

θακπχ-ιεο] . Πξάγκαηη , εάλ Ζ είλαη ην ηπραίν ζεκείν ηνπ c(E,2α) ηφηε

ηζρχνπλ ηα επφκελα :

(η-α).Δάλ Κ είλαη ην κέζνλ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΉ ηφηε έλα αθξη-

βψο ζεκείν Λ ηεο κεζνθαζέηνπ εΛ εΖ ε(Κ,Λ) [ φπνπ Ζ είλαη ηπρφλ ζεκείν

ηνπ c(E,2α) ], είλαη ζεκείν ηεο δεηνχκελεο έιιεηςεο, Δίλαη ε ηνκή

Λ ε(Δ,Ζ)∩ε(Κ,Λ) , Ζ c(E,Δ΄,2α) .

( : Πξάγκαηη ) έρνπκε άκεζα : Δ΄Λ = ΛΖ θαη άξα

ΛΔ+ΛΔ΄= ΛΖ+ΛΔ = ΔΖ =2α , Λ ε(Δ,Ζ)∩ε(Κ,Λ) , c(E,Δ΄,2α) . .

(η-β). Δάλ θαη Ρ είλαη έλα άιιν ζεκείν ηεο εΖ ηφηε

ΡΔ΄=ΡΖ θαη άξα ΡΔ+ΡΔ΄= ΡΖ+ΡΔ΄ > ΔΖ = 2α , Λ ≠ Ρ εΖ

(ηη). Δζησ Q εΖ είλαη ζεκείν ηνπ Π = Π(Δ,δ), ζην εκηεπίπεδν πνπ δελ πεξη-

έρεη ηηο εζηίεο Δ,Δ΄. Δάλ Μ είλαη ην θνηλφ ζεκείν ησλ ε(Δ΄,Q) θαη εΖ ηφηε

QE+QE΄ = QΔ+QΜ+ΜΔ΄= QΔ+QΜ+ΜΖ > ΔΖ = 2α [ : δηφηη έρνπλ ηα ίδηα άθξα

Δ , Ζ θαη ην ΔΖ είλαη επζχγξακκν ηκήκα θαη ην άζξνηζκα QΔ+QΜ+ΜΖ είλαη ην

κήθνο ηεο ηεζιαζκέλεο γξακκήο ΔQΜΖ κε ηα ίδηα άθξα Δ , Ζ. ] Δπνκέλσο ην

Q δελ κπνξεί λα είλαη ζεκείν ηεο έιιεηςεο c(E,Δ΄,2α) .αλ άκεζν ζπκπέξα-

ζκα έρνπκε ηελ επφκελε πξόηαζε :

ΟΙ εζηίεο θαη όια ηα ζεκεία ηεο c(E,Δ΄,2α)

είλαη πξνο ην ίδην εκηεπίπεδν ηεο κεζνθαζέηνπ εΛ

(•) ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΉ

γηα όια ηα Ζ ηνπ θχθινπ c(E,2α)

Αξα ε κεζνθάζεηνο εΛ είλαη ε εθαπηνκέλε

ηεο c(E,Δ΄,2α) = c(E,δ) ζε όια ηα ζεκεία Λ απηήο .

αλ π άκεζν ζπκπέξαζκα παίξλνπκε ηψξα ην επφκελν :

Πόξηζκα2.2.2-Β. (4).[ : Αλαθιαζηηθή ηδηφηεηα ηεο έιιεηςεο ] . Γηα θάζε

ζεκείν Λ έιιεηςεο c(E,Δ΄,2α) = c(E,δ,e) νη επζείεο ε(Λ,Δ) , ε(Λ, Δ΄) ζρεκαηί-

δνπλ ίζεο γσλίεο κε ηηο εκηεπζείεο πνπ νξίδεη ζηελ εθαπηνκέλε εΛ ηεο έιιεη-

ςεο ζην ζεκείν Λ. Αξα :

θάζε αθηίλα θσηόο πνπ πξνζπίπηεη ζηελ έιιεηςε

Page 128: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

128

θαη δηέξρεηαη από ηελ κία εζηία ,

αλαθιώκελε δηέξρεηαη από ηελ έηεξε εζηία ηεο έιιεηςεο .

Παξαηήξεζε.2.2.2-Β. (5). Όπσο είλαη πξνζδνθψκελν [χζηεξα απφ ηηο πξν-

εγνχκελεο πξνζεγγίζεηο] , αληίζηνηρα ζπκπεξάζκαηα αλακέλεη θάπνηνο θαη

γηα ππεξβνιή θαη παξαβνιή΄.Δηζη αθνινπζεί θαη΄αξρήλ ε επφκελε άζθεζε:

Aζθεζε.2.2.2-Β. (6). Δζησ c(E,δ,1) παξαβνιή , Ο ε θνξπθή απηήο θαη Λ

ηπρφλ ζεκείν ηεο δείμηε φηη γηα θάζε ζεκείν Λ΄ ηεο δηεπζεηνχζαο δ ε κεζν-

θάζεηνο εΛ΄ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΛ΄ πεξηέρεη αθξηβψο έλα ζεκείν ,

έζησ Λ , ηεο ππεξβνιήο.Πψο βξίζθνπκε ην Λ ? Με βάζε απηφ δείμηε φηη ε

αθηίλα ΔΛ ζρεκαηίδεη κε ηελ εθαπηνκέλε εΛ ηεο c(E,δ,1) ζην Λ γσλία ίζε

πξνο εθείλελ πνπ ζρεκαηίδεη θαη ε παξάιιεινο πξνο ηνλ άμνλα ε(Ο,Δ) επζεία

ηνπ Π(Δ,δ). Δμεγείζηε , γηαηί ε αθηίλα θσηφο ε(Δ,Λ) αλαθιώκελε θαζίζηαηαη

παξάιιεινο πξνο ηνλ άμνλα .

Παξαηήξεζε.2.2.2-Β. (7). [Ζ πεξίπησζε ηεο ππξβνιήο ] .ην ρήκα 26α

θαίλεηαη φηη ζηελ κεζνθάζεην εΛ ηνπ ηκήκαηνο Δ΄Ε βξίζθεηαη αθξηβψο έλα

ζεκείν , έζησ Λ , ηεο ππεξβνιήο c(Δ,Δ΄),αιιά θαη φηη φια ηα ππφινηπα ζεκεία

( ηνπ αληίζηνηρνπ θιάδνπ) είλαη πξνο ην ίδην εκηεπίπεδν ηεο κεζνθαζέηνπ απ-

Page 129: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

129

ηήο ζην νπνίν βξίζθεηαη θαη ε αληίζηνηρε εζηία [ : δειαδή ε εζηία πνπ πεξη-

θιείεηαη απφ ηνλ θιάδν ζηνλ νπνίν αλήθεη ην πξνζδηνξηδφκελν ζεκείν Λ.Δμ

άιινπ ην θάζε ζεκείν ηεο ππεξβνιήο βξίζθεηαη ζηνλ θιάδν πνπ πεξηθιείεη ηελ

εζηία ζηελ νπνία ην ζεκείν απηφ Λ είλαη εγγχηεξα ] . Γηα κία πιεξέζηεξε

θαηαλφεζε [ θαη επεηδή αθξηβψο ε ππεξβνιή έρεη δχν [ : δηαθεθξηκκέλνπο ]

θιάδνπο , ε ράξαμε ηεο κεζνθαζέηνπ ηνπ [επζπγξάκκνπ ] ηκήκαηνο Δ΄Δ [ ησλ

εζηηψλ πνπ είλαη επίζεο κεζνθάζεηνο ηνπ ηκήκαηνο Α΄Α ησλ θνξπθψλ Α΄, Α

(γηαηί ?) αιιά θαη άμνλαο ς΄ς] δηεπθνιχλεη ηελ απφθπγή ζχγρπζεο .Πξάγκαηη :

(η) Δζησ Ρ ζεκείν ηεο εΛ . Σφηε ΡΕ = ΡΔ΄ θαη άξα ζην ηξίγσλν ΡΔΕ έρνπκε

άκεζα : PE – ΡE΄ = PE – ΡΕ < ΔΕ = 2α . Δπνκέλσο ην Ρ δελ κπνξεί

λα είλαη ζεκείν ηεο ππεξβνιήο

(ηη) Δζησ Μ΄ ζεκείν ηνπ Π = Π(Δ,δ) ππεξάλσ ηνπ αξλεηηθνχ εκηάμνλα Οx΄

ψζηε ε Δ΄Μ΄ λα ηέκλεη ηελ κεζνθάζεην εΛ ηνπ Δ΄Ε [ άξα ηα Δ΄, Μ΄ λα είλαη

εθαηέξσζελ ηεο εΛ ] ζε έλα ζεκείν , έζησ Ν. Σφηε Μ΄Δ΄ = Μ΄Ν+ΝΔ΄. Δπίζεο

NE΄= ΝΕ θαη Μ΄Δ < Μ΄Ν+ΝΔ = Μ΄Ν + ΝΕ .

Δηζη [ εξγαδφκελνη ηειηθά ζην ηξίγσλν ΔΝΕ ] παίξλνπκε θαηά ζεηξάλ :

Μ΄Δ - Μ΄Δ΄< Μ΄Ν+ΝΔ - Μ΄Δ΄ = Μ΄Ν+ΝΔ – (Μ΄Ν+ΝΔ΄.) = ΝΔ – ΝΔ΄ =

ΝΔ – ΝΕ < ΔΕ = 2α

[ θαη εχθνια πξνθχπηεη επίζεο φηη ην Μ΄ δελ κπνξεί λα είλαη ζεκείν ηεο ππεξ-

βνιήο c(E,E΄,2α) ] . Μία ρξήζηκε δηαηχπσζε ηνπ πην πάλσ ζπκπεξάζκαηνο

είλαη ην επφκελν Πφξηζκα :

Πόξηζκα.2.2.2-Β(8).

Η εζηία Δ΄ θαη όια ηα ζεκεία ηεο ππεξβνιήο c(E,Δ΄,2α)

πνπ αλήθνπλ ζηνλ θιάδν θι(Δ΄) ηεο Δ΄

είλαη πξνο ην ίδην εκηεπίπεδν ηεο κεζνθαζέηνπ εΛ

(•) ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΔΉ

γηα όια ηα Ζ ηνπ θχθινπ c(E,2α)

πνπ αληηζηνηρνχλ ζε ζεκεία ηνπ θι(Δ΄).

Αξα ε κεζνθάζεηνο εΛ είλαη ε εθαπηνκέλε

ηεο c(E,Δ΄,2α) = c(E,δ) ζε όια ηα ζεκεία Λ ηνπ θι(Δ΄) .

Αληίζηνηρα ζπκπεξάζκαηα ηζρύνπλ θαη γηα ηα ζεκεία ηνπ θι(Δ).

ρέζε ζέζεσο ρεκάησλ

Page 130: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

130

θαη αλαιπηηθώλ εμηζώζεσλ ησλ θσληθώλ ηνκώλ

Ξεθηλψληαο απφ ηνλ θιαζζηθφ νξηζκφ ησλ θσληθψλ ηνκψλ (c), ζαλ ηξηάδσλ

(c) = c(E,δ,e) , είδακε φηη ππάξρνπλ θαηάιιεια ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ ,

ζηα νπνία νη ζπληεηαγκέλεο φισλ ησλ ζεκείσλ ησλ ζρεκάησλ απηψλ ηνπ

Π(Δ,δ) [ : θαη κφλνλ απηά ] ηθαλνπνηνχλ θάπνηα ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε ηεο

κνξθήο F(x,ς,z) = 0 , κε ην F(x,ς,z) λα είλαη έλα πνιπψλπκν δεπηέξνπ βαζ-

κνχ . Δηζη ζα έιεγε θάπνηνο φηη ε Γεσκεηξία [ : ρήκαηα ] ζπλαληά ηελ άιγε-

βξα [ : αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο ] ζηελ πεξηγξαθή ησλ ηδίσλ Μαζεκαηηθψλ

ελλνηψλ. ηελ πεξίπησζε ησλ θσληθψλ ηνκψλ πξνθχπηεη ελδηαθέξνλ γηα ηελ

αιγεβηθή κειέηε ηνπ γεληθνχ πνιπλχκνπ δεπηέξνπ βαζκνχ ησλ x,ς :

(••) F(x,ς,z) = αx2+ βxς+γς2+δx+ες+δ

θαηά ηξφπν πνπ λα επηηξέπεη ηελ Γεσκεηξηθή εξκελεία απηήο ηεο κειέηεο. Με

άιια ιφγηα ,δεηνχκελν ηεο κειέηεο απηήο ζα είλαη ε δπλαηφηεηα κηάο αμηφπη-

ζηεο αιιά θαη εχθνιεο ζρεηηθά , αληηζηνηρίαο ησλ ζρεκάησλ κε ηηο κνξθέο

ηνπ F(x,ς,z) , πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηνπο δηάθνξνπο ζπλδπαζκνχο ηηκψλ

ησλ ζπληειεζηψλ α,β,γ,δ,ε,δ [ : αιιά θαη δηαθφξσλ παξαζηάζεσλ πνπ απηνί

νη ζπληειεζηέο κπνξνχλ λα ζρεκαηίζνπλ φπσο είλαη νη ιεγφκελεο αλαιινίσ-

ηεο , σο πξνο ηελ ηηκή ηνπο , παξαζηάζεηο πνπ ζα δνχκε ζηα επφκελα ] .

Δλδηαθέξνλ θαη΄αξρήλ έρνπλ νη επφκελεο παξαηεξήζεηο-εξσηήζεηο :

(I). Δάλ e > 1 , ζηελ πξψηε , θαη e < 1 , ζηελ δεχηεξε , oη εμηζψζεηο :

(*) (x−τ)2

α2 -

(ς−ζ)2

α2 (e2−1) =1 ,

(x−τ)2

α2 +

(ς−ζ)2

α2 (1−e2) = 1 , (ς -σ)2=2ρ(x -τ)

ηθαλνπνηνύληαη από ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ θάπνησλ γλσζηψλ

ζρεκάησλ ?

(ΗΗ). Αλ λαη ,πσο ζπλδένληαη νη άμνλέο ηνπο κε ηνπο άμνλεο ηνπ αληίζηνηρνπ

(Οxςz)?

(III). ε πνηά κνξθή ηνπ F(x,ς,z) αληηζηνηρνχλ νη εμηζψζεηο απηέο ?

Κάπνηεο πξψηεο απαληήζεηο παίξλνπκε αλ θάλνπκε ηηο εμήο απιέο ζθέςεηο :

(I)΄. Αλ θάλνπκε ηελ αληηθαηάζηαζε ηεο κεηαβιεηήο (x,ς) κε ηελ (Υ,Φ) ψζηε λα

ηζρχεη :

(••) ΄ (x,ς) = (Υ+η ,Φ+ζ) ⇔ (Υ,Φ) = (x-η,ς-ζ)

ηφηε αληίζηνηρα παίξλνπκε :

Page 131: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

131

(•••) Υ

2

α2 +

Φ2

α2 (e2−1) = 1 ,

Υ2

α2 -

Φ2

α2 (1−e2) = 1 , Φ2= 2ρΥ

Δπνκέλσο , ζε θάπνην ζχζηεκα (ΑΥΦ) νη εμηζψζεηο παξηζηάλνπλ ηηο γλσ-

ζηέο καο θσληθέο ηνκέο .

(ΗΗΗ)΄. Παξαηεξνχκε φηη κία ηζνδχλακε κνξθή ηεο πξψηεο εμηζψζεσο είλαη ε :

(•••)΄ (e2-1)X2+Φ2-2(e2-1)X-2ζΦ+[(e2-1)(η2-α2)+ζ2] = 0

Δηζη άκεζα παξαηεξνχκε φηη β = 0 . [ : ζπληειεζηήο ηνπ xς] .

Μία παξφκνηα κνξθή πξνθχπηεη , πξνθαλψο θαη γηα ηελ δεχηεξε ησλ (*) , ελψ

ζηελ ηξίηε είλαη α = β = ε = 0 .

(ΗΗ)΄. Γηα ηελ απάληεζε ζην (ΗΗ) πξέπεη αξρηθά λα πνχκε φηη νη εμηζψζεηο :

(**). x = η , ς = ζ ⇔ x – η = 0 , ς – ζ = 0

πεξηγξάθνπλ επζείεο παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα ςΟς΄ [ : ε ρ = η ] θαη ηνλ

άμνλα xΟx΄ [ : ε ς = ζ ] . [ βι. θαη § 1.3.1 θαη πξηλ .]

(**)΄ ε : x = η ⇔ x – η = 0 ⇔ ε // ςΟς΄ ⇔ ε ⊥ xΟx΄

μ : ς = ζ ⇔ ς – ζ = 0 ⇔ μ // xΟx΄ ⇔ μ ⊥ ςΟς΄

Αθξηβέζηεξα νη εμηζψζεηο ( ‘νισλ ) ησλ αμφλσλ , είλαη αληίζηνηρα :

Page 132: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

132

(**)΄ [xΟx΄ : z = 0 ,ς = 0 ] , [ ςΟς΄ : z = 0 ,x = 0 ] , [ z Oz΄ : ς = 0 ,x = 0 ]

Όηαλ φκσο εξγαδφκαζηε ζην Π(x,ς) επίπεδν , ηζρχεη πάληα ε z = 0 , θαη επν-

κέλσο ε εμίζσζε απηή κπνξεί λα παξαιείπεηαη. Αξα νη άμνλεο πεξηγξάθνληαη

απφ ηηο :

(**)΄΄ [ xΟx΄ : ς = 0 ] , [ ςΟς΄ : x = 0 ] ,

Καηά πξνθαλή αληηζηνηρία ε x = η είλαη απζεία ηνπ Π(x,ς) θάζεηε ζηνλ

άμνλα xΟx΄ ζην ζεκείν (η,0,0) , θαη ε ς = ζ , επζεία ηνπ Π(x,ς) θάζεηε

ζηνλ άμνλα ςΟς΄ ζην ζεκείν (0,ζ,0) .

Απφ ηελ αληηθαηάζηαζε (••) θαη ηελ (**)΄ παίξλνπκε

(***) Υ+η = 0 , Φ+ζ= 0 ⇔ Υ = – η , Φ = – ζ , (Υ,Φ) = (x-η , ς-ζ)

χκθσλα , επίζεο , κε ηα πξνεγνχκελα νη (***) είλαη εμηζψζεηο επζεηψλ

θαζέησλ ζηνπο άμνλεο Υ΄Υ [ αιιά θαη x΄x ] , Φ΄Φ [ αιιά θαη ς΄ς] , θαη άξα

παξαιιήισλ ζηνπο άμνλεο , [ Φ΄Φ θαη ς΄ς ] θαη [ Υ΄Υ θαη x΄x ] αληίζηνηρα .

πκπέξαζκα 1ν : Οη άμνλεο ΥΑΥ΄ , ΦΑΦ΄ ηνπ (ΑΥΦ) είλαη παξάιιεινη α-

ληίζηνηρα πξνο ηνπο xOx΄ , ςΟς΄ θαη άξα ηα δηαλχζκαηα ζπληεηαγκέλσλ 𝛫𝛬

φισλ ησλ ειεχζεξσλ δηαλπζκάησλ 𝐾𝛬 ηνπ 𝔼 είλαη ίζα σο πξνο ηα δχν

ζπζηήκαηα .

Ηδηάηηεξα νη ΥΑΥ΄ , ΦΑΦ΄ είλαη παξάιιειεο κεηαθνξέο ησλ xOx΄ , ςΟς΄

αληίζηνηρα θαηά ην δηάλπζκα 𝛰𝛢 κε 𝑂𝛢 = (-η,-ζ). [ Ηζνδχλακα νη xOx΄ ,

ςΟς΄ , είλαη παξάιιειεο κεηαθνξέο ησλ ΥΑΥ΄ , ΦΑΦ΄ αληίζηνηρα θαηά ην

δηάλπζκα 𝛢𝛰 κε 𝛢𝛰 = (η,ζ)]

Δπεηδή ην ζεκείν Α κε 𝑂𝛢 = (-η,-ζ) είλαη ε αξρή ηνπ (Αxς) ζην αξρηθφ ζπ-

ζηεκα (Οxς) θαη (Υ+η , Φ+ζ) = (x,ς) , απφ (x,ς) = (0,0) γηα ην Ο ⇔ ην

ζεκείν (Υ ,Φ) = (η,ζ) είλαη ε αξρή Ο ηνπ (Οxς) ζην λέν ζχζηεκα αμφλσλ,

(ΑΥΦ) θαη πξνθαλψο ην θνηλφ ηνπο ζεκείν Α ζην ζχζηεκα ησλ αξρηθψλ

αμφλσλ είλαη ην (-η,-ζ) [ ελψ ζην (ΑΥΦ) ην Α έρεη ζπληεηαγκέλεο (0,0) ] .

πκπέξαζκα 2ν : Ζ αιιαγή κεηαβιεηήο [ θαη ε αλαγθαία ζπλαθφινπζε αι-

ιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο ] θέξλεη ηελ εμίζσζε ηεο θακπχιεο (c) ζηελ ζπλήζε

κνξθή απηήο , δηφηη νη λένη άμνλεο ζπκπίπηνπλ κε ηνπο άμνλεο ηεο (c) . Δπν-

κέλσο νη άμνλεο ηεο (c) ζην (Οxς) έρνπλ ηηο εμηζψζεηο : x = η , ς = ζ , νη

νπνίεο πξνθχπηνπλ άκεζα αλ ζηελ ηειηθή θιαζκαηηθή εμίζσζε ηεο (c) ,

ζέζνπκε ηηο βάζεηο ησλ αξηζκεηψλ ησλ δχν θιαζκάησλ ίζεο κε ην 0 .

Δηζη απαληήζεθαλ θαη ηα ηξία εξσηήκαηα ζρεηηθά κε ηελ πξψηε ησλ (*) .

Page 133: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

133

Αληίζηνηρεο απαληήζεηο ηζρχνπλ θαη γηα ηηο εμηζψζεηο ησλ δχν άιισλ θακπχ-

ισλ ηεο (*) .

Αο ππνζέζνπκε ηψξα φηη έρνπκε ηελ εμίζσζε :

(•••) αx2+ γς2+δx+ες+δ = 0 ,

κε αγ ≠ 0 . Σφηε ηζνδχλακα έρνπκε

Λακβάλνληαο ππ΄φςηλ θαη ηηο (•••)΄ παξαηεξνχκε φηη κία εμίζσζε (••) κε

κε κεδεληθφ ηνλ ζπληειεζηή β ηνπ φξνπ βxς

δελ κπνξεί λα παξηζηάλεη θάπνηα θσληθή ηνκή

ηεο νπνίαο νη άμνλεο λα είλαη παξάιιεινη

πξνο ηνπο άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ .

Δηζη ηψξα πξνθχπηεη ην επφκελν ελδηαθέξνλ εξψηεκα :

(IV) Σν πνιπψλπκν :

F(x,ς,z) = αx2+ βxς+γς2+δx+ες+δ , β ≠ 0

απνθιείεηαη λα είλαη ε εμίζσζε θάπνηαο απφ ηηο θχξηεο θσληθέο ηνκέο ?

Page 134: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

134

Oπσο θαίλεηαη ζην ρήκα 26γ , ε εμίζσζε ηεο έιιεηςεο (c) = c(E,δ) δελ

έρεη άμνλεο παξάιιεινπο ζηνπο άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο (Οxς) ηνπ ζρήκα-

ηνο . Δπνκέλσο ε εμίζσζή ηεο ζην (Οxς) ζα έρεη β ≠ 0 .

Πξάγκαηη , αλ ξ ≠ 0 θαη ζεσξήζνπκε ηελ εμίζσζε :

(*) x2+ ξς2+δx+ες+δ = 0

ηφηε , απφ ηηο ηαπηφηεηεο :

(*) ξς2 + ες = ξ[ ς +(ε/2ξ) ]2 - (ε2/4ξ) , x2 + δx = (x +(δ/2))2 – δ2/4

ηζνδχλακα έρνπκε

0 = x2+ ξς2+δx+ες+δ =

⇔ ξ[ς +(ε/2ξ)]2 - (ε2/4ξ) + (x+(δ/2))2 – δ2/4 + δ = 0

⇔ [x +(δ/2)]2 + ξ[ ς +(ε/2ξ)]2 = (ξδ2 + ε2 – 4ξδ ) / 4ξ

θαη εάλ δ2 + ε2 - 4δ ≠ 0 , παίξλνπκε πεξαηηέξσ

[x +(δ/2)]2 / [(ξδ2 + ε2 – 4ξδ) /4ξ] + ξ[ ς +(ε/2ξ) ]2] / [(ξδ2 + ε2 – 4δξ ) /4ξ] =1

⇔ [x +(δ/2)]2

(ρδ2+ε2−4ξδ)/4ξ + ξ

[ψ +(ε/2ρ)]2

(ρδ2+ε2−4ξδ)/4ξ=1 , (ξδ2+ε2–4ξδ)/4ξ ≠ 0

4ξ[x +(δ/2)]2

(ρδ2+ε2−4ξδ) +

4ξ2[ς +(ε/2ξ)]2

(ξδ2+ε2−4ξδ)

=1 , (ξδ2+ε2–4ξδ)/4ξ ≠ 0

(Α). Δάλ ξ < 0 , νη δχν πξνζζηένη ηνπ 1νπ κέινπο ηεο ηειεπηαίαο ζρέζεσο

είλαη εηεξφζεκνη , θαη άξα ε εμίζσζε παξηζηάλεη πάληνηε ππεξβνιή [ κε ηηο

εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα πνχ αληηζηνηρεί ζηνλ ζεηηθφ πξνζζεηέν] .

(Β).Δάλ ξ > 0 νη δχν πξνζζεηένη είλαη νκφζεκνη θαη αλ είλαη ζεηηθνί ηφηε έρνπ-

κε εμίζσζε κηάο πξαγκαηηθήο έιιεηςεο , άιισο ε εμίζσζε δελ επαιεζεχεηαη

γηα θακκία πξαγκαηηθή ηηκή ησλ x , ς [ θαη ηφηε ιέκε φηη παξηζηάλεη κία :

Φαληαζηηθή έιιεηςε

Παξαηήξεζε.2.2.2-Β(9). Δδψ βιέπνπκε φηη ε παξάζηαζε :

J ξδ2+ε2–4ξδ ≠ 0

ησλ ζπληειεζηψλ ,γηα ξ > 0 , θάλεη θαη ηνπο δχν πξνζζεηένπο ηνπ 1νπ κέ-

ινπο νκφζεκνπο , άξα ε θακπχιε (c) πνπ πξνθχπηεη είλαη πάληα έιιεηςε .

Ζ (c) είλαη πξαγκαηηθή αλ ξδ2+ε2–4ξδ >0 θαη θαληαζηηθή αλ ξδ2+ε2–4ξδ < 0

Page 135: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

135

Αιιά ε εμίζσζε

(*) F(x,ς,z) = α΄x2+γ΄ς2+δ΄x+ε΄ς+δ΄ = 0

παίξλεη ηελ κνξή

(*)΄ x2+ ξς2+δx+ες+δ = 0

εάλ ξ = γ΄/α΄ , κε α΄γ΄ ≠ 0 , δ = δ΄/α΄ , ε = ε΄/α΄ , δ = δ΄/α΄ .

χκθσλα κε ηελ παξαπάλσ αλάιπζε εάλ α΄, γ΄ είλαη εηεξφζεκα ε θακπχιε

είλαη πάληα ππεξβνιή , ελψ φηαλ ηα α΄, γ΄ είλαη νκφζεκα ε θακπχιε είλαη

πάληα έιιεηςε , αιιά φρη πάληα πξαγκαηηθή . Σφηε ε πεξίπησζε εμαξηάηαη

απφ ην πξφζεκν ηεο παξάζηαζεο J = ξδ2+ε2–4ξδ . Δμ άιινπ εάλ J = 0 , ηφηε

[x +(δ/2)]2 + ξ[ ς +(ε/2ξ)]2 = 0 . Γειαδή είλαη είηε άζξνηζκα είηε δηαθνξά

δχν ηεηξαγψλσλ θαη άξα γξάθεηαη ζαλ γηλφκελν δχν πξσηνβάζκησλ παξα-

γφλησλ , πξαγκαηηθψλ , αιιά ίζσο θαη κηγαδηθψλ :

Δάλ ξ < 0 , ηφηε

0 = [x +(δ/2)]2 + ξ[ ς +(ε/2ξ)]2 = [x +(δ/2)]2 – [(-ξ)1/2]2[ς +(ε/2ξ)]2

= ([x +(δ/2)] + (-ξ)1/2 [ ς +(ε/2ξ)]) ([x +(δ/2)] - (-ξ)1/2 [ ς +(ε/2ξ)])

⇔ [x +(δ/2)] + (-ξ)1/2 [ ς +(ε/2ξ)] = 0

θαη [x +(δ/2)] - (-ξ)1/2 [ ς +(ε/2ξ)] = 0

Δάλ ξ > 0 , ηφηε ξ = (ξ1/2)2 = - [ iξ1/2]2 θαη άξα

0 = [x +(δ/2)]2 + ξ[ ς +(ε/2ξ)]2 = [x +(δ/2)]2 – [ i(ξ1/2)]2 [ς +(ε/2ξ)]2

= ([x +(δ/2)] + iξ1/2 [ ς +(ε/2ξ)]) ([x +(δ/2)] -iξ1/2 [ ς +(ε/2ξ)])

⇔ x + (δ/2) + iξ1/2 [ ς + (ε/2ξ)] = 0

θαη x + (δ/2) - iξ1/2 [ ς + (ε/2ξ)] = 0

[ δειαδή έρνπκε δχν θαληαζηηθέο επζείεο ] . Σν ηειηθφ ζπκπέξαζκα είλαη φηη

γηα α΄γ΄ ≠ 0 έρνπκε ππεξβνιή γηα α΄γ΄ < 0 , θαη έιιεηςε [είηε δεχγνο επζεη-

ψλ] φηαλ α΄γ΄ > 0 .

Αληίζηνηρε αλάιπζε έρνπκε γηα ηελ παξάζηαζε ξx2+ς2+δx+ες+δ = 0,ξ ≠ 0.

(Γ). Δάλ ξ = 0 ⇔ α΄γ΄ = 0

⇔ [ (η) α΄ = 0 , γ΄ = 0 , είηε (ηη) α΄ = 0 , γ΄ ≠ 0 , είηε (ηηη) α΄ ≠ 0 , γ΄ = 0 ] .

Page 136: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

136

ηελ πεξίπησζε (η) έρνπκε ηελ επζεία ε : δ΄x+ε΄ς+δ΄ = 0 [ αλ ηνπ-

ιάρηζηνλ έλα απφ ηα δ΄, ε΄ δελ είλαη κεδέλ . ]

ηηο πεξηπηψζεηο (ηη) θαη (ηηη) έρνπκε παξαβνιή , αιιά αλ δελ ππάξρεη

πξσηνβάζκηνο φξνο ζα είλαη έλα δεχγνο επζεηψλ επίζεο [ πξαγκαηηθψλ είηε

θαληαζηηθψλ , αλάινγα κε ηνπο ζπδηαζκνχο ησλ πεξηπηψζεσλ γηα ηηο ηηκέο

ησλ ζηαζεξψλ. Αζθεζε : Φηηάμηε πίλαθα , γηα φιεο ηηο πηζαλέο πεξηπηψζεηο

ζπλδηαζκνχ ησλ ζηαζεξψλ , α΄ , γ΄, δ΄, ε΄, δ΄ .] .

(Γ). Δίδακε φηη νη ηηκέο θάπνησλ παξαζηάζεσλ ησλ ζηαζεξψλ [ φπσο ηεο

J = ξδ2+ε2–4ξδ , πνπ είδακε πην πξίλ ] θαζνξίδνπλ ην είδνο ηεο γξακκήο ηελ

νπνίαλ παξηζηάλεη ε παξάζηαζε F(x,ς,z) = α΄x2+γ΄ς2+δ΄x+ε΄ς+δ΄ .

Τπάξρνπλ ηξείο ραξαθηεξηζηηθέο ηέηνηεο παξαζηάζεηο J1, J2 ,J3, πνπ ζα ηηο ν-

λνκάδνπκε αληίζηνηρα : ε πξώηε , ε δεύηεξε , ε ηξίηε αλαιινίσηνο , νη

νπνίεο αλάινγα κε ην πψο ζπλδηάδνληαη νη ηηκέο ηνπο καο επηηξέπνπλ λα θα-

ηαιάβνπκε ην είδνο ηεο πξνθχπηνπζαο θακπχιεο ρσξίο λα θάλνπκε θάπνηα

άιιε δηεξεχλεζε . Θα πξέπεη λα ηνλίζνπκε απφ ηελ αξρή φηη ε δηεξεχλεζε

πνπ πξνθχπηεη κε ηελ ρξήζε ησλ J1, J2 ,J3, κπνξεί λα ιεηηνπξγήζεη αθφκε θαη

ζηελ πιήξε κνξθή F(x,ς,z) = α΄x2+β΄xς+γ΄ς2+δ΄x+ε΄ς+δ΄ ηεο γεληθήο δεπ-

ηεξνβάζκηαο εμίζσζεο . Δίλαη φκσο θαλεξφ φηη πην ζπγθεθξηκέλε εηθφλα γηα

ηελ πξνθχπηνπζα (c) ; έρνπκε φηαλ ηζρχεη β = 0 . Σν θξίζηκν εξψηεκα επν-

κέλσο είλαη αλ ππάξρεη ηξφπνο κεηάβαζεο απφ ηελ πεξίπησζε β΄≠ 0 , ζε κία

ηζνδχλακε πεξίπησζε F(x,ς,z) = α΄x2+γ΄ς2+δ΄x+ε΄ς+δ΄ = 0. Ζ απάληεζε

είλαη πξνο ηελ ζεηηθή θαηεχζπλζε . Ζ απαηηνχκελε ελέξγεηα είλαη ε κεηάβαζε

απφ ην ππάξρνλ ζχζηεκα , έζησ (Οxς) ζε έλα λέν ζχζηεκα , έζησ (Οx΄ς΄)

κε κία ζηξνθή ησλ αμφλσλ ηνπ (Οxς) θαηά θαηάιιειε γσλία ζ [ ηελ ηδίαλ

θαη γηα ηνπο δχν άμνλεο ( : ηεηκεκέλσλ θαη ηεηαγκέλσλ) ] . Όπσο ζα πεξηγξά-

ςνπκε ιεπηνκεξέζηεξα ακέζσο κεηά ε ζηξνθή ησλ ζμφλσλ επηηπγράλεηαη κε

ηελ ρξήζε θάπνηνπ πίλαθα 2ρ2 πνπ θαηαηαζθεπάδεηαη απφ ην εκίηνλν εκ(ζ) ,

αιι ά θαη ην ζπλεκίηνλν ζπλ(ζ) ηεο γσλίαο ζηξνθήο ζ .

2.2.2-Β(10). ηξνθή πζηήκαηνο πληεηαγκέλσλ θαηά γσλίαλ ζ.

ην ζρήκα 26δ θαίλεηαη ν ηξφπνο κεηάβαζεο απφ ην (Οxς) ζην (Οx΄ς΄)

κεηά απφ ζηξνθή θαη ησλ δχν αμφλσλ θαηά ηελ ίδηα γσλία ζ .

Page 137: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

137

Απφ ηνπο νξηζκνχο ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ αξηζκψλ ζπλζ , εκζ θαη ην ρήκα

ερνπκε :

[x /(OM) = ζπλα , ς /(OM) = εκα] ⇔ [x = (OM)ζπλα ,ς = (OM)εκα]

Αθφκε :

x΄/(OM) = ζπλ(α-ζ) , ς΄/(OM) = εκ(α-ζ)]

⇔ x΄ = (OM)ζπλ(α-ζ) = (OM)(ζπλαζπλζ + εκαεκζ)

⇔ x΄ = (OM)ζπλαζπλζ + (ΟΜ)εκαεκζ = xζπλζ + ςεκζ

ς΄ = (OM)εκ(α-ζ) = (OM)( εκαζπλζ– ζπλαεκζ)

⇔ ς΄ = (OM)εκαζπλζ – (ΟΜ)ζπλαεκζ = -xεκζ + ςζπλζ

Δπνκέλσο : (x΄,ς΄) = (xζπλζ +ςεκζ , - xεκζ + ςζπλζ) ⇔

(*) (x΄,ς΄) = (x,ς) 𝜎𝜐𝜈휃 −휂𝜇휃휂𝜇휃 𝜎𝜐𝜈휃

⇔ (x,ς) = (x΄,ς΄) 𝜎𝜐𝜈휃 휂𝜇휃−휂𝜇휃 𝜎𝜐𝜈휃

(*)΄ ⇔ (x΄,ς΄)=(x,ς)(ζ) ⇔ (x,ς)=(x΄,ς΄)(-ζ)

(*)΄ ⇔ (x , ς) = (x΄ζπλζ -ς΄εκζ , x΄εκζ + ς΄ζπλζ)

Οπνπ ζέζακε : ⇔ (x ,ς ) = (x΄,ς΄)(-ζ)

Page 138: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

138

(*)΄΄ (ζ) 𝜎𝜐𝜈휃 −휂𝜇휃휂𝜇휃 𝜎𝜐𝜈휃

⇔ (-ζ) 𝜎𝜐𝜈휃 휂𝜇휃−휂𝜇휃 𝜎𝜐𝜈휃

[ Γηφηη 𝜎𝜐𝜈(−휃) = 𝜎𝜐𝜈휃 θαη 휂𝜇(−휃) = −휂𝜇휃 , θαη άξα

(-ζ) = 𝜎𝜐𝜈(−휃) −휂𝜇(−휃)

휂𝜇(−휃) 𝜎𝜐𝜈(−휃) =

𝜎𝜐𝜈휃 휂𝜇휃−휂𝜇휃 𝜎𝜐𝜈휃

]

Καη νλνκάδνπκε ην (ζ) :

«Πίλαθα ζηξνθήο θαηά γσλία ζ [ πεξί ην θέληξν Ο.]»

Δίλαη εχθνιν λα δνχκε φηη ν (ζ) έρεη νξίδνπζα ίζε κε 1 θαη επνκέλσο είλαη

έλαο αληηζηξεπηφο πίλαθαο. Δπίζεο εχθνια επαιεζεχνπκε φηη :

(**) (ζ)(-ζ) = (-ζ)(ζ) = Η2 = 1 00 1

Με άιια ιφγηα ν (-ζ) είλαη ν αληίζηξνθνο ηνπ (ζ) γηα θάζε γσλία ζ .

Αξα ηειηθά έρνπκε ηελ ηζνδπλακία :

(**)΄ (x΄,ς΄) = (x,ς)(ζ) ⇔ (x ,ς ) = (x΄,ς΄)(-ζ)

Δχθνια κπνξνχκε λα θαηαιάβνπκε φηη νη ζηξνθέο ελφο επηπέδνπ πεξί θέλ-

ηξν Ο απνηεινχλ κία αβειηαλή νκάδα [ : αληίζηνηρε κε ηελ νκάδα ησλ 2x2

αληηζηξεπηψλ πηλάθσλ ] .

Καη ηψξα κπνξνχκε λα δνχκε φηη πνιιέο θνξέο κε θάπνηνλ θαηάιιειν

(ζ) κπνξνχκε απφ ηελ εμίζσζε α΄x2+β΄xς+γ΄ς2+δ΄x+ε΄ς+δ΄ = 0 λα

απαιείςνπκε ηνλ φξν β΄xς εθαξκφδνληαο θαηάιιειν (ζ) . [ γηα ηελ

νηθνλνκιηα ησλ ζπκβνιηζκψλ ζεσξνχκε ηελ παξάζηαζε , κε ζηαζεξέο

α,β,γ,δ,ε,δ αληί ησλ α΄,β΄,γ΄,δ΄,ε΄,δ΄]Πξάγκαηη , αληηθαζηζηψληαο ηα x , ς απφ

ηελ δεχηεξε ησλ (*)΄ παίξλνπκε θαηά ζεηξάλ :

α(x΄ζπλζ - ς΄εκζ)2+β(x΄ζπλζ -ς΄εκζ)(x΄εκζ + ς΄ζπλζ) +

+γ(x΄εκζ + ς΄ζπλζ)2 + δ(x΄ζπλζ -ς΄εκζ) + ε(x΄εκζ + ς΄ζπλζ) + δ = 0

⇔ α( x΄2ζπλ2ζ +ς΄2εκ2ζ - 2x΄ς΄εκζζπλζ)

+ β(x΄2εκζζπλζ +x΄ς΄ζπλ2ζ -x΄ς΄εκ2ζ - ς΄2εκζζπλζ)

+ γ(x΄2εκ2ζ +ς΄2ζπλ2ζ +2x΄ς΄εκζζπλζ) +

+ δx΄ζπλζ -δς΄εκζ + εx΄εκζ + ες΄ζπλζ + δ = 0

Page 139: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

139

⇔ αx΄2ζπλ2ζ +ας΄2εκ2ζ - 2αx΄ς΄εκζζπλζ

+ β x΄2εκζζπλζ +βx΄ς΄ζπλ2ζ -βx΄ς΄εκ2ζ - βς΄2εκζζπλζ

+ γ x΄2εκ2ζ +γς΄2ζπλ2ζ +2γx΄ς΄εκζζπλζ +

+ δx΄ζπλζ -δς΄εκζ + εx΄εκζ + ες΄ζπλζ + δ = 0

⇔ - 2αx΄ς΄εκζζπλζ +βx΄ς΄ζπλ2ζ -βx΄ς΄εκ2ζ+2γx΄ς΄εκζζπλζ

+ [αx΄2ζπλ2ζ +ας΄2εκ2ζ+ β x΄2εκζζπλζ - βς΄2εκζζπλζ

+ γ x΄2εκ2ζ +γς΄2ζπλ2ζ +

+ δx΄ζπλζ -δς΄εκζ + εx΄εκζ + ες΄ζπλζ + δ ] = 0 (*)

Δπεηδή ζέινπκε ν φξνο :

- 2αx΄ς΄εκζζπλζ +βx΄ς΄ζπλ2ζ -βx΄ς΄εκ2ζ+2γx΄ς΄εκζζπλζ

= (- 2αεκζζπλζ+βζπλ2ζ-βεκ2ζ+2γεκζζπλζ) x΄ς΄

λα κεδεληζζεί , πξέπεη λα ζέζνπκε :

- 2αεκζζπλζ+βζπλ2ζ-βεκ2ζ+2γεκζζπλζ = 0

⇔ β(ζπλ2ζ - εκ2ζ )= (α-γ) 2εκζζπλζ ⇔ β ζπλ2ζ = (α-γ) εκ2ζ

⇔ β ζπλ2ζ = (α-γ) εκ2ζ ⇔ συν 2θ

ημ2θ =

α−γ

β = ζθ(2ζ)

Δηζη είλαη θαλεξφ φηη ε ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα ηελ απαινηθή ηνπ

ηνπ φξνπ x΄ς΄ είλαη ε ζηξνθή ηνπ (Οxς) θαηά γσλίαλ ζ πνπ ηθαλνπνηεί ηελ

ζπλζήθε :

ζθ(2ζ) = α−γ

β

Σφηε πξνθχπηεη ην χζηεκα (Οx΄ς΄) ζην νπνίν ε αξρηθή εμίζσζε κεηαηξέπε-

ηαη ζηελ :

[αζπλ2ζ + βεκζζπλζ + γ εκ2ζ] x΄2

+[ αεκ2ζ - βεκζζπλζ + γζπλ2ζ] ς΄2

+[ δζπλζ + εεκζ] x΄ + [δεκζ + εζπλζ] ς΄ + δ = 0 (*)

Με άιια ιφγηα ε λέα εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο :

θx΄2 + ις΄2 + δ΄x΄ + ε΄ς΄ + δ = 0

Page 140: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

140

Γηα θαηάιιεια θ , ι , δ΄, ε΄ , δ .Γήιαδή κε ηελ ζηξνθή έγηλε ε αλαγσγή ζηελ

εχθνια δηαρεηξήζηκε κνξθή ηεο Παξαηήξεζεο.2.2.2-Β(9) (*) , (*)΄.

Σν εξψηεκα πνπ αθνινπζεί αθνξά ηελ δπλαηφηεηα θαηαζθεπήο [αιιά θαη

ππνινγηζκνχ] ηεο γσλίαο ζ απφ ηελ ζθ(2ζ) .Αλ πρ. βξνχκε ηελ ζρέζε :

ζθ(2ζ) = 4,5,6,….Πνηά είλαη ηφηε ε γσλία ζ?? . Δηζη εδψ ηίζεηαη ζέκα ελαιια-

θηηθψλ κεζνδσλ επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνζδηνξηζκνχ ηεο ζρεηηθήο θα-

κπχιεο φηαλ ε ζηξνθή δελ απνδεηρζεί απνηειεζκαηηθή κέζνδνο. Δηζη επηλνή-

ζεθαλ νη αλαιινίσηεο παξαζηάζεηο J1, J2 ,J3 , κε βάζε ηελ παξαηήξεζε φηη νη

παξαζηάζεηο απηέο δηαηεξνχληαη σο έρνπλ απφ ηηο ζηξνθέο . Δηζη ζπγθξίλνλ-

ηαο ηνπο ζπληειεζηάο ησλ ηεηξαγσληθψλ φξσλ ζηηο ,πξν θαη κεηά ηελ ζηξν-

θή εμηζψζεηο , βιέπνπκε φηη έρνπλ ίζα αζξνίζκαηα :

θ + ι [αζπλ2ζ + βεκζζπλζ + γ εκ2ζ] + [ αεκ2ζ - βεκζζπλζ + γζπλ2ζ] =

= (αζπλ2ζ + αεκ2ζ) + (γεκ2ζ + γζπλ2ζ) +( βεκζζπλζ - βεκζζπλζ ) =

= α(ζπλ2ζ + εκ2ζ) + β(ζπλ2ζ + εκ2ζ)

= α + β .

Δπνκέλσο ην άζξνηζκα απηφ ζα είλαη ε πξψηε αλαιινίσηε παξάζηαζε J1 :

(***) J1 α+γ [αζπλ2ζ+βεκζζπλζ+γ εκ2ζ]+[αεκ2ζ-βεκζζπλζ+γζπλ2ζ] = θ+ι

Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο ηηκήο ησλ δχν άιισλ αλαιινηψησλ , αιιά θαη ηελ α-

πφδεημε ησλ ζρεηηθψλ ηζνηήησλ ,παξαπέκπνπκε ζηηο ζειίδεο 289 θαη 290 ηνπ

βηβιίνπ ηνπ θ. Αζαλ. Υξπζάθε . Δπίζεο πην θάησ παξαζέηνπκε ηνλ πίλαθα

δηεξεχλεζεο κε ηελ βνήζεηα ησλ αλαιινηψησλ , [ βιέπε ζειίδα 292 βηβιίνπ].

Πξέπεη λα επηζεκάλνπκε φηη ην πξφζεκν , είηε ν κεδεληζκφο , ηεο J2 θαζνξί-

δεη ηα ηξία είδε ησλ θσληθψλ ηνκψλ ,θαη ζε θάζε κία απφ ηηο πεξηπηψζεηο , ν

ζπλδηαζκφο ησλ πξνζήκσλ ησλ δχν άιισλ αλαιινηψησλ , απνθαίλεηαη γηα ην

αλ ην εθάζηνηε ζρήκα είλαη πξαγκαηηθφ είηε θαληαζηηθφ [ : δειαδή φηη δελ

επαιεζεχεηαη γηα θαλέλα δεχγνο πξαγκαηηθψλ ηηκψλ ησλ δχν κεηαβιεηψλ] .

Δηζη βιέπνπκε εθεί φηη νη παξαζηάζεηο απηέο έρνπλ ηηο παξαθάησ ηηκέο :

(***)΄ J2 4αγ – β2 = 2𝛼 𝛽𝛽 2𝛾

, J3 2𝛼 𝛽 𝛿𝛽𝛿

2𝛾휀

휀2휁

Page 141: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

141

[ Τπελζπκίδνπκε φηη νη J1, J2 ,J3 , πην πάλσ είλαη νη ηξείο αλαιινίσηεο ηεο γελη-

θήο δεπηεξνβάζκηαο εμίζσζεο δχν κεηαβιεηψλ x , ς :

F(x,ς,z) = αx2+ βxς+γς2+δx+ες+δ = 0 , β ≠ 0

Γεληθά ηζρχνπλ ηα ζπκπεξάζκαηα πνπ θαηαρσξνχληαη ζηνλ επφκελν πίλαθα ,

ηα νπνία βαζίδνληαη ζηηο ηηκέο ησλ αλαιινηψησλ , αιιά θαη ζηα πξφζεκα ησλ

ππννξηδνπζψλ 2𝛼 𝛿𝛿 2휁

, 2𝛾 휀휀 2휁

, ηεο νξίδνπζαο J3 2𝛼 𝛽 𝛿𝛽𝛿

2𝛾휀

휀2휁

.

Πίλαθαο δηεξεύλεζεο κε ηελ βνήζεηα ησλ αλαιινηώησλ

Πξόζεκν ηεο

J2

πλδηαζκνί

πξνζήκσλ

ησλ J1 , J3

Δίδνο θαη ύπαξμε θακπύιεο

J2 < 0

J3 ≠ 0 Τπεξβνιή

J3 = 0 Γύν πξαγκαηηθέο ηεκλόκελεο επζείεο

J2 > 0

J1J3 < 0 Πξαγκαηηθή έιιεηςε

J1J3 > 0 Φαληαζηηθή έιιεηςε

J3 = 0

Γύν θαληαζηηθέο επζείεο , πνπ ηέκλνληαη ζε

έλα θαζ΄ππόζηαζηλ ζεκείν

J2 = 0

J3 ≠ 0 Παξαβνιή

J3 = 0

4γδ-ε2<0 θαη α=δ=0

Δίηε 4αδ-δ2<0 θαη γ=ε=0

Παξάιιειεο ,πξαγκαηη-

θέο, δηαθεθξηκέλεο επζείεο

4γδ-ε2 = 4αδ-δ2 = 0 πκπίπηνπζεο επζείεο

4γδ-ε2>0 θαη α=δ=0

Δίηε 4αδ-δ2>0 θαη γ=ε=0

Παξάιιειεο , θαληαζηηθέο

επζείεο

Δλαο άιινο ηξφπνο κειέηεο θαη γξαθήο ηνπ παξαπάλσ πίλαθα βαζίδεηαη

ζηελ παξαηήξεζε φηη νη επζείεο έρνπλ σο ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε ηνλ

κεδεληζκφ ηεο αλαιινηψηνπ J3 . Δπνκέλσο κπνξνχκε λα θαηαζθεπάζνπκε έ-

Page 142: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

142

λαλ πίλαθα κε πξψηε ζηήιε ηηο πεξηπηψζεηο γηα ηα πξφζεκα ηεο J3 .

Αθνινπζεί ε αλάιπζε ησλ πεξηπηψζεσλ ηεο J2 ζε ζπλδηαζκφ κε ηα πξφζεκα

ηεο 2𝛼 𝛿𝛿 2휁

, θαη ηνλ κεδεληζκφ , ηνπ δεχγνπο (γ,ε), είηε ηεο 2𝛾 휀휀 2휁

θαη ηνλ κεδεληζκφ ηνπ δεχγνπο (α,δ) . Δηζη ρξήζηκνο απνβαίλεη θαη ν επφκε-

λνο πίλαθαο δηεξεχλεζεο [ κε πξψηε ζηήιε ηελ J3 ] .

Eίλαη θαλεξφ ‘φηη νη παξαπάλσ πίλαθεο πξνθχπηνπλ κεηά απφ πξνζεθηηθή

παξαηήξεζε ,θαη ζα κπνξνχζε λα εηπεί θάπνηνο φηη ε κέζνδνο θαηαγξαθήο

ηνπο κνηάδεη πεξηζζφηεξν κε ηηο κεζφδνπο κηάο ζηαηηζηηθήο κειέηεο.Οκσο δελ

είλαη απηφ αθξηβέο . Γηφηη κπνξνχλ λα αλαδεηεζνχλ νη απαξαίηεηεο καζεκαηη-

θέο αηηίεο θαη ζπλέπεηεο ησλ νξηζκψλ πνπ θξχβνληαη πίζσ απφ ηηο εμεηαδφκε-

εο έλλνηεο [ θακπχιεο , επηθάλεηεο,θιπ ].

Πξόζεκν

ηεο J3

Πξόζεκν

ηεο J2

J1J3

4γδ-ε2

4αδ-δ2

Δηδνο

θακπύιεο

J3 ≠ 0

J2 < 0 Τπεξβνιή

J2 > 0

J1J3 < 0

Πξαγκαηηθή

Διιεηςε

J1J3 > 0

Φαληαζηηθή έιιεηςε

J2 = 0 Παξαβνιή

J3 = 0

J2 < 0

Γχν πξαγκαηηθέο

ηεκλφκελεο επζείεο

J2 > 0

Γχν θαληαζηηθέο επζείεο

ηεκλφκελεο ζην :

θαη΄εθδνρήλ

[είηε επ΄άπεηξνλ] ζεκείν

J2 = 0

α = δ = 0 4γδ-ε2 <0 Γηαθεθξηκέλεο ,πξαγκαηη-

θέο,παξάιιειεο επζείεο γ = ε = 0 4αδ-δ2 < 0

4γδ-ε2 = 4αδ-δ2 = 0 πκπίπηνπζεο επζείεο

α = δ = 0 4γδ-ε2 > 0 Γηαθεθξηκέλεο ,θαληαζηη-

θέο,παξάιιειεο επζείεο γ = ε = 0 4αδ-δ2 > 0

Page 143: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

143

2.2.2-Β(11).Παξαηήξεζε . Α) Ο ηειεπηαίνο πίλαθαο επηηξέπεη κία ρξήζηκε

παξαηήξεζε πνπ έγηλε θαη πάιη :

«Οιεο νη πεξηπηώζεηο επζεηώλ εκθαλίδνληαη εάλ θαη κφλνλ εάλ J3 = 0» .

Βιέπνπκε εμ άιινπ φηη αλ θάπνηα απφ ηηο δηαγψληεο ππννξίδνπζεο ηεο J3

είλαη δηαθνξεηηθή απφ ην 0 , ηφηε πξνθχπηνπλ δχν δηαθεθξηκέλεο επζείεο , (εί-

ηε είλαη θαη νη δχν πξαγκαηηθέο , είηε θαη νη δχν θαληαζηηθέο) , ελψ φηαλ θαη νη

ηξείο είλαη ίζεο κε κεδέλ , ηφηε νη επζείεο απηέο είλαη ζπκπίπηνπζεο [ Γέο ηελ

πεξίπησζε :

J3 = 0 = 2𝛾 휀휀 2휁

= 2𝛼 𝛿𝛿 2휁

= 2𝛼 𝛽𝛽 2𝛾

J2

Β). Αο ππνζέζνπκε φηη ε εμίζσζε αx2+βxς+γς2+δx+ες+δ = 0 , επαιεζεχεη

γηα θάπνηεο ηηκέο [ έζησ θαη κηγαδηθέο ] ηεο κεηαβιεηήο (x,ς). Όκσο ε κνξθή

πνπ έρεη ε εμίζσζε απηή δελ νδεγεί εχθνια ζηελ Γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ

ζπλφινπ ησλ ιχζεψλ ηεο. Δηζη επηβάιιεηαη κία θαηάιιειε [ αιιά θαη δηαρεη-

ξίζηκε ] αιιαγή ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ ., ψζηε ε εμίζσζε λα ιάβεη κία

κνξθή κε ζρεηηθά εχθνιε γεσκεηξηθή εξκελεία.

Δηζη [ εθαξκφδνληαο ηελ ζπλ-ζεηηθή-αλαιπηηθή κέζνδν ] ππνζέηνπκε φηη

ππάξρεη θάπνηνο απνηειεζκαηηθφο ζπλδηαζκφο ζηξνθήο θαη παξάιιειεο

Page 144: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

144

κεηαθνξάο ηνπ ζπζηήκαηνο (Οxς) ζε έλα λέν ζχζηεκα (ΑΥΦ) , ζην νπνίν

ε κνξθή πνπ ζα ιάβεη ε πην πάλσ εμί-ζσζε ζα έρεη κία ζίγνπξε γεσκεηξηθή-

ζρεκαηηθή εξκελεία . [ βιέπε θαη ζρή-καηα 26γ , 26δ ] .

Μεηά ηελ παξάιιειε κεηαθνξά θαη ηελ ζηξνθή θαηά γσλίαλ ζ έρνπκε ηελ

ζρέζε :

(x-x0,ς-ς0) = (X,Τ)(ζ) (Υ,Τ) 𝜎𝜐𝜈휃 휂𝜇휃−휂𝜇휃 𝜎𝜐𝜈휃

= ( Υζπλζ -Τεκζ , Υεκζ +Τζπλζ) ⇔

x = x0 +Υζπλζ -Τεκζ , ς = ς0 + Υεκζ +Τζπλζ .

Με αληηθαηάζηαζε απφ ηηο ζρέζεηο απηέο ζηελ εμίζσζε :

αx2+βxς+γς2+δx+ες+δ = 0

παίξλνπκε ηελ ζρέζε :

(*) α΄Υ2+β΄ΥΤ+γ΄Τ2+δ΄Υ+ε΄Τ+δ΄ = 0

φπνπ έρνπκε ζέζεη :

(i) α΄ = αζπλ2ζ+βεκζζπλζ+γεκ2ζ

(ηη) β΄ = -2αεκζζπλζ + β(ζπλ2ζ -εκ2ζ)+2γεκζζπλζ

(ηηη) γ΄ = α εκ2ζ - βεκζζπλζ+γζπλ2ζ

(ηλ) δ΄ = (2αx0 +βς0+δ)ζπλζ+(βx0+2γς0+ε)εκζ

(λ). ε΄ = -(2αx0 +βς0+δ)εκζ+(βx0+2γς0+ε)ζπλζ

(λη) 2δ΄ = (2αx0 +βς0+δ)x0+(βx0+2γς0+ε)ς0 + (δx0 +ες0+2δ)

Παξαηεξνχκε φηη ε χπαξμε ιχζεο , έζησ (x0 , ς0) , ηνπ ζπζηήκαηνο :

(*)΄ 2αx +βς +δ= 0 , βx +2γς +ε = 0

κεδελίδεη ηνπο ζπληειεζηάο δ΄ θαη ε΄ ζηελ (*) θαη ηεο δίλεη ηελ κνξθή :

(*)΄΄ α΄Υ2+β΄ΥΤ+γ΄Τ2+ κ = 0 , κ = 1

2(δx0 +ες0+2δ)

Σφηε φκσο γηα θάζε ιχζε (Υ,Τ) ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο είλαη άκεζν φηη π-

πάξρεη θαη ε ιχζε (-Υ,-Τ) . Με άιια ιφγηα ε θακπχιε , έζησ (c) , ηεο (*)΄

έρεη ηφηε θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή Α ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ

Page 145: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

145

(ΑΥΤ) , κε 𝑂𝛢 = (x0,ς0) . Δπεηδή γλσξίδνπκε φηη απφ ηηο αλακελφκελεο θακ-

πχιεο , θέληξν έρνπλ ε έιιεηςε , ε ππεξβνιή θαη νη επζείεο , ζπκπεξαίλνπκε

φηη ε ελ ιφγσ (c) ζα είλαη θάπνηα απφ απηέο .

Απφ ηελ άιγεβξα γλσξίδνπκε φηη ην ζχζηεκα (*)΄ έρεη κία θαη κνλαδηθή ιχζε

εάλ θαη κφλνλ εάλ ε νξίδνπζα ησλ ζπληειεζηψλ δελ είλαη ίζε κε κεδέλ . Απηή

φκσο είλαη ε αλαιινίσηνο J2 . Με άιια ιφγηα πξέπεη λα ηζρχεη :

(**) 0 ≠ 2𝛼 𝛽𝛽 2𝛾

= J2 ⇔ ε (c) έρεη θέληξν

Αθφκε παξαηεξνχκε φηη ε (λη) κπνξεί λα γξαθεί ππφ ηελ κνξθή γηλνκέλνπ

πηλάθσλ , φπνπ ηειηθά ν αξηζκφο ηαπηίδεηαη κε ηνλ 1ρ1 πίλαθα πνπ ηνλ έρεη

ζαλ θαηαγξαθή ηνπ (κνλαδηθή) :

2δ΄ = (x0 , ς0 , 1)

2𝛼 𝛽 𝛿𝛽 2𝛾 휀𝛿 휀 2휁

x0ψ01

ΚΔΦΑΛΑΗΟ 3 : ΚΧΝΟΗ – ΚΤΛΗΝΓΡΟΗ – ΠΔΡΗΣΡΟΦΖ

Σα επζεηνγελή ζρήκαηα απνηεινχλ κία ελδηαθέξνπζα θαηεγνξία θαη είλαη

ρξήζηκν λα γλσξίδνπκε εθείλα απφ απηά ηα νπνία είλαη δπλαηφλ λα πεξηγξά-

ςνπκε κε ηελ αλαιπηηθή ηνπο εμίζσζε . [ Ζδε έγηλε αληηιεπηφ φηη ν θψλνο εί-

λαη έλα απφ ηα ρξεζηκφηεξα ρήκαηα].Δηζη έρνπκε θαη αξρήλ ηνλ επφκελν γε-

ληθφ νξηζκφ :

Οξηζκόο 3α . Έλα ζρήκα () ζα ιέγεηαη :

(3-1) . Κύιηλδξνο εάλ ππάξρεη δηάλπζκα 0 ≠ ζ ℝ3 :

(3-1α) Ν() ⇔ ε(N,σ) ()

(3-2). Κώλνο εάλ ππάξρεη ζεκείν Κ 𝔼 :

Page 146: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

146

(3-2α) Ν() ⇔ ε(N,Κ) ()

Θα νλνκάδνπκε :

(3-1β) ην δηάλπζκα σ « θαηεύζπλζε ηνπ θπιίλδξνπ () » . Δηζη κπνξνχκε

λα ζπκβνιίδνπκε ην () θαη κε ην ζχκβνιν Κπ(() , σ).

(3-2β) ην ζεκείν Κ « θνξπθή ηνπ θώλνπ () » . Δηζη κπνξνχκε λα ζπκβν-

ιίδνπκε ην () θαη κε ην ζχκβνιν Κσ(() , Κ) .

Αλάκεζα ζηα πξνεγνχκελα ζρήκαηα πνπ κπνξνχκε λα πεξηγξάςνπκε κε

ηηο αλαιπηηθέο ηνπο εμηζψζεηο είλαη φζα παξάγνληαη απφ νδεγφ ζρήκα κία θα-

κπχιε (c) γλσζηήο αλαιπηηθήο εμίζσζεο [ θαη ηφηε ζέηνπκε αληίζηνηρα ]

(3-3) Κπ((c) , σ) , Κσ((c) , σ).

Αο ζεκεηψζνπκε θαη΄ αξρήλ φηη ζηνλ ηξηδηάζηαην ρψξν 𝔼 νη γξακκέο [ φπσο

πρ. νη επζείεο γξακκέο ] έρνπλ έλαλ βαζκφ ειεπζεξίαο , θαη άξα πεξηγξάθν-

ληαη απφ δχν εμηζψζεηο .

Δηζη κπνξνχκε λα ζέζνπκε ηψξα ην επφκελν πξφβιεκα :

Πξόβιεκα 3β . Δζησ (c) θακπχιε κε [ : αλαιπηηθέο ] εμηζψζεηο

fk(x, ς, z) = 0 , , θ = 1,2 , δηάλπζκα 0 ≠ σ = (α,β,γ) , θαη ζεκείν Κ 𝔼 :

𝑂𝐾 = (x0 ,ψ0,z0) , λα βξεζνχλ νη αλαιπηηθέο εμηζψζεηο :

(α) ηνπ θψλνπ Κσ((c) , Κ) , θαη επίζεο

(β) ηνπ θπιίλδξνπ Κπ((c) ,σ) .

Λύζε . (α). Δάλ ΜΚσ((c),Κ) , ηφηε Μ ε(Κ,Α) γηα θάπνην Α(c) θαη άξα

𝛢𝛫 = t 𝑀𝐾 γηά θάπνην t ℝ . Δζησ 𝑂𝑀 = (x ,ψ,z ) , 𝑂𝐴 = (x1 ,ς1,z1) .

Σφηε ηζνδχλακα παίξλνπκε :

(3-2γ) 𝛢𝑂 +𝑂𝐾 = t 𝑀𝑂 + t 𝑂𝐾 ⇔ 𝑂𝐾 -𝑂𝐴 = t 𝑂𝐾 - t 𝑂𝑀 = t(𝑂𝐾 - 𝑀𝑂 )

⇔(x1-x0, ψ1-ψ0, z1- z0) = t (x -x0, ψ -ψ0, z - z0)

⇔x1 = x0+ t (x -x0) , ψ1 = ψ0 t (ψ -ψ0) , z1 = z0+ t (z - z0)

Δπεηδή Α(c) ,ην 𝑂𝐴 = (x1 ,ς1,z1) ηθαλνπνηεί ηηο fk(x, ς, z) = 0 , θ = 1,2 θαη

Άξα έρνπκε :

(3-4) f1(x1,ς1,z1) = 0 , f2(x1,ς1,z1) = 0 ⇔

f1(x0+t(x -x0),ψ0+t(ψ -ψ0),z0+t(z - z0)) = 0 ,

f2(x0+t(x -x0),ψ0+t(ψ -ψ0),z0+t(z - z0)) = 0

H απαινηθή ηεο παξακέηξνπ t απφ ηηο δχν απηέο εμηζψζεηο νδεγεί ζε κία

λέα εμίζσζε , Φ (x, ς, z) = 0 , πνπ είλαη θαη ε δεηνχκελε εμίζσζε ηνπ θψλνπ

Page 147: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

147

Κσ((c),Κ) . [ Δηζη βιέπνπκε εδψ ( αιιά θαη ζηνεπφκελν παξάδεηγκα ηνπ θπ-

ιίλδξνπ ) φηη ε εμίζσζε ηνπ δεηνχκελνπ ζρήκαηνο πξνθχπηεη απφ ηηο ( : δχν )

εμηζψζεηο ηεο νδεγνχ θακπχιεο ((c) ] .

(β). Δάλ ΜΚπ((c),σ) , ηφηε Μ ε(Α,σ) γηα θάπνην Α(c) θαη άξα x ς z

𝛢𝛭 = tσ γηά θάπνην t ℝ ⇔(x –x1, ψ –ψ1, z – z1) = t (α,β,γ)

⇔ x1 = x + t α , ψ1 = ψ + t β , z1 = z t γ

Δηζη πξνθχπηνπλ επίζεο νη (3-4) πην πάλσ :

f1(x1,ς1,z1) = 0 , f2(x1,ς1,z1) = 0 ⇔

f1(x + tα , ψ + tβ , z + tγ) = 0 ,

f2(x + tα , ψ + tβ , z + tγ) = 0 ,

[ θαη εδψ ε απαινηθή ηεο παξακέηξνπ t νδεγεί ζηελ δεηνχκελε (ηειηθή) εμί-

ζσζε , Φ (x, ς, z) = 0 , ηνπ θπιίλδξνπ Κπ((c),σ) ] .

Παξαδείγκαηα 3γ [:¨βιέπε θαη άζθ. 15-(v),ζει. 362 , βηβιίνπ]

(α). Γίδεηαη ε θακπχιε (c) κε αλαιπηηθέο εμηζψζεηο :

F1(x, ς, z) 3ς2 – 2z2-4 = 0 , f2(x, ς, z) x = 1

Βξείηε ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο θσληθήο επηθάλεηαο (S) Κσ((c),K) ,

φπνπ 𝑂𝐾 = (-1,2,3) .

(β). Βξείηε επίζεο ηελ αλαιπηηθή είζσζε ηεο θπιηλδξηθήο επηθάλεηαο :

(S)΄ Κπ((c),σ) , φπνπ σ = (3,-2,1) .

Λύζε . (α). Δζησ είλαη ην ηπρφλ ζεκείν ηνπ θψλνπ (S) Κσ((c),K) .Σφηε

ππάξρεη Α (c) , Μ ψζηε Μ ε(Α,σ) . Δάλ

𝑂𝑀 = (x ,ψ,z ) , 𝑂𝐴 = (x1 ,ς1,z1) ,

ερνπκε f1(x1,ς1,z1) = 0 , f2(x1,ς1,z1) = 0 θαη απφ ηελ δεχηεξε έρνπκε

x1 = 1 ελψ απφ ηηο (3-2γ) θαη ηελ 𝑂𝐾 = (x0 ,ψ0,z0) = (-1,2,3) έρνπκε :

1 = x1 = x0+ t (x -x0) = -1+t(x+1) ⇔ t = 2

𝑥+1 , θαη άξα απφ ηελ

πξψηε ησλ εμηζψζεσλ ηεο θακπχιεο έρνπκε : f1(x1,ς1,z1) = 0 , θαη άξα

3ς12 – 2 z1

2 - 4 = 0 , φπνπ :

ψ1 = ψ0 + t (ψ -ψ0) = 2+ 2

𝑥+1 (ψ -2) =

2(𝑥+1)+2(𝜓−2)

𝑥+1 ,

z1= z0 + t (z -z0) 3+2

𝑥+1(z –3) =

3(𝑥+1)+2(𝑧−3)

𝑥+1 ,

Page 148: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

148

θαη άξα

3 [2 𝑥+1 +2(𝜓−2)

𝑥+1 ]2

– 2[3(𝑥+1)+2(𝑧−3)

𝑥+1]2

- 4 = 0,

⇔ 12(x+1)2+12 (ς-2)2+24(x+1)(ς-2)

-2[9(x+1)2+4(z-3)2+12(x+1)(z-3)] - 4(x+1)2 = 0

⇔ 12(x+1)2+12 (ς-2)2 + 24(x+1)(ς-2)

-18(x+1)2-8(z-3)2-24(x+1)(z-3)] - 4(x+1)2 = 0

⇔ 12(x+1)2-18(x+1)2

- 4(x+1)2 +12 (ς-2)2 -8(z-3)2

+ 24(x+1)(ς-2)-24(x+1)(z-3)] = 0

⇔ -10(x+1)2+12(ς-2)2 -8(z-3)2+ 24(x+1)(ς-2)

-18(x+1)2-24(x+1)(z-3) = 0

Παξαηεξνχκε φηη ε παξαπάλσ εμίζσζε είλαη (-1,2,3)-νκνγελήο βαζκνχ 2, θαη

άξα ην ζχλνιν αιεζείαο ηεο είλαη ν κεδελφρσξνο ελφο (-1,2,3)-νκνγελνχο

δεπηεξενβάζκηνπ πνιπσλχκνπ . Αξα απνηειεί έλαλ θψλν θνξπθήο Κ κε

𝑂𝐾 = (-1,2,3) .

Λύζε (β). Δζησ Μ Κπ((c),σ) ηπρφλ κε 𝑂𝑀 = (x ,ψ,z ). Αξα ππάξρεη Α(c),

κε 𝑂𝐴 = (x1 ,ς1,z1) θαη Με(Α,ω) . Δπνκέλσο ην δηάλπζκα ζπληεηαγκέλσλ

𝑂𝐴 επαιεζεχεη ην ζχζηεκα 3ς2 – 2z2-4 = 0 , x = 1 θαη άξα έρνπκε

(*) 3ς12 – 2z1

2-4 = 0 , x1 = 1

Δμ άιινπ επίζεο ζα ηζρχεη 𝐴𝛭 = tσ γηα θάπνην t ℝ θαη επνκέλσο ζα

έρνπκε :

𝐴𝛭 = tσ ⇔ (x –x1, ψ –ψ1, z – z1) = t (3,-2,1) = (3t , -2t , t)

⇔ x1 = x -3t , ψ1 = ψ + 2t , z1 = z -t

Απφ ηελ δεχηεξε ηνπ ζπζηήκαηνο (*) θαη ηελ x1 = x -3t παίξλνπκε :

1 = x -3t ⇔ t = (1/3)(x-1) = 𝑥−1

3 ,

θαη νη ψ1 = ψ + 2t , z1 = z –t , γίλνληαη

ψ1 = ψ + 2(1/3)(x-1) = ψ + 2(𝑥−1)

3 , z1 = z –(1/3)(x-1)= z –

𝑥−1

3 .

Δπνκέλσο ε πξψηε ηνπ (*) δίλεη :

3[ψ+ 2(𝑥−1)

3 ]2 – 2[z –

𝑥−1

3 ]2- 4 = 0

Page 149: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

149

⇔ 3[ 3ψ+2(𝑥−1)

3 ]2 – 2[ 3𝑧− 𝑥+1

3 ]2 = 4

⇔ 3[3ς-2ρ+2]2 – 2[3z-x+1]2 = 36

Ζ νπνία κπνξεί λα απνηειέζεη ηελ ηειηθή εμίζσζε ηνπ θπιίλδξνπ Κπ((c),σ) .

Παξαηήξεζε : Δχθνια κπνξεί θαλείο λα ζπκπεξάλεη φηη ζηα ζρήκαηα ηεο

κνξθήο (ζ) = ξ-1(η) δελ πεξηιακβάλνληαη φια ην γλσζηά θακπχια ζρήκαηα

, [ φπσο ην ηπραίν ειιεηςνεηδέο , ηα δηάθνξα είδε ππεξβνινεηδψλ , ην ηπραίν

παξαβνινεηδέο θιπ] . Πξέπεη επνκέλσο λα αλαδεηήζνπκε ηελ γεληθή πεξη-

γξαθή ησλ πην πάλσ ζρεκάησλ [ ζε θάπνηα πξφζθνξε επθαηξία . Βιέπε θαη

επφκελα].

Ακέζσο ηψξα ζα αζρνιεζνχκε κε ηνλ νξηζκφ θαη ηελ επίιπζε ηνπ

πξνβιήκαηνο ηεο πεξηζηξνθήο πεξί άμνλα .

[ ζεκείνπ θαη ζρήκαηνο].Δηζη θαη΄αξρήλ έρνπκε ηνπο επφκελνπο νξηζκνχο :

Οξηζκνί . 3δ . (η).Δάλ έλαο θχθινο c(K,r) επηπέδνπ Π , πνπ είλαη θάζεην ζε επ-

ζεία μ = ε(Α,ζ) , πεξηέρεη ην ζεκείν Α [ : ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 ] ΄ζα ιέκε φηη ν

c(K,r) είλαη :

Page 150: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

150

ν θύθινο ζηξνθήο ηνπ ζεκείνπ Α πεξί ηνλ άμνλα μ

Δπίζεο ζα ιέκε φηη ν c(K,r) είλαη ην

εθ πεξηζηξνθήο ηνπ Α πεξί ηνλ άμνλα μ ζρήκα

[ : αλ ππάξρεη θίλδπλνο ζπγρπζεο , ζα ζέηνπκε c(A,μ) cA αληί ηνπ c(K,r) γηα

λα δειψζνπκε φηη είλαη ν θχθινο ζηξνθήο θάπνηνπ δεδνκέλνπ ζεκείνπ Α ]

(ηη) . Γηα θάζε κε θελφ ζρήκα ζ [ : ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 ] ζέηνπκε

(3δ-η) π( ζ ,μ) = 𝑐(𝐴, 𝜉)𝛢𝜎

γηα ηελ έλσζε ησλ θχθισλ ζηξνθήο [πεξί ηνλ άμνλα μ ] φισλ ησλ ζεκείσλ

ηνπ ζρήκαηνο [ : ππνζπλφινπ] ζ ≠ θαη ζα ιέκε φηη ην π( ζ ,μ) είλαη

ην εθ πεξηζηξνθήο ηνπ ζ πεξί ηνλ άμνλα μ ζρήκα.

Ηδηαίηεξν ελδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ην ζρήκα απηφ εάλ είλαη δπλαηφλ λα βξνχκε

ηελ αλαιπηηθή ηνπ εμίζσζε . Μηα ηέηνηα πεξίπησζε πξνθχπηεη πρ. αλ ην ζ =

(c) είλαη κία θακπχιε ηεο νπνίαο γλσξίδνπκε ηηο αλαιπηηθέο εμηζψζεηο. ηελ

πεξίπησζε απηή νλνκάδνπκε ην π((c) ,μ)

ε εθ πεξηζηξνθήο ηνπ ζ πεξί ηνλ άμνλα μ επηθάλεηα .

Παξαηήξεζε. 3δ΄ . (Η). Ζ κεζφδεπζε επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο δηεπθνιχ-

λεηαη αλ ηνλ θχθιν ζηξνθήο c(A,μ) cA ηνλ ζεσξήζνπκε ζαλ ηνκή κηάο ζθαί-

ξαο (Κ,R) [ πνπ πεξηέρεη ην Α θαη πνπ έρεη ην θέληξν ηεο Κ ζηνλ άμνλα μ ]

θαη ηνπ επηπέδνπ ηνπ ζεκείνπ Α πνπ είλαη θάζεην ζηνλ μ. [ : ην νπνίν ζα

ζπκβνιίδνπκε

π(Α,μ) Π(Α,⊥μ) πΑ

αλ δελ ππάξρεη θίλδπλνο ζπγρχζεσο ] . Χο γλσζηφ ην επίπεδν απηφ ππάξρεη

πάληνηε θαη είλαη κνλαδηθφ.Βιέπε θαη ζρεηηθή πξνεγνχκελε ζεσξία ].

(ΗΗ). Ζ εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πΑ πξνθχπηεη εχθνια αθνχ γλσξίδνπκε ην δηά-

λπζκα ησλ ζπληειεζηψλ ησλ κεηαβιεηψλ x,ς,z [ : πνπ ζα είλαη ην δηάλπζκα

θαηεχζπλζεο ηνπ άμνλα μ πξνο ηνλ νπνίν ην πΑ είλαη θάζεην] .

(ΗΗΗ). Δπνκέλσο αλ γλσξίδνπκε θαη ηηο αλαιπηηθέο εμηοψζεηο ηεο θακπχιεο (c)

παίξλνπκε ακέζσο (καδί κε ηελ εμίζσζε ηεο ζθαίξαο (Κ,R) θαη ηνπ επηπέ-

δνπ πΑ Π(Α,⊥μ) , έλα ζχζηεκα απφ 4 εμηζψζεηο. Δηζη κπνξνχκε ηψξα λα

πεξηγξάςνπκε ηελ κεζφδεπζε ηεο επίιπζεο .

3ε . Μεζόδεπζε εύξεζεο ηνπ π((c),μ). (η) Απφ ηνλ άμνλα μ = ε(Κ,ζ),

ζεσξνχκε γλσζηφ ην δηάλπζκα ζ ℝ3 :

Page 151: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

151

(3ε-1) ζ = (θ,ι,κ) ≠ (0,0,0)

Δπίζεο γλσξίδνπκε ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν , έζησ Κ , ηνπ μ [ θαη άξα κπν-

ξνχκε λα βξνχκε νζαδήπνηε άιια ζεκεία Κ ηνπ μ είλαη απαξαίηεην γηα ηελ

επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο . Θα ζέηνπκε :

(3ε-2) 𝑂𝛫 = (x0 ,ψ0,z0 )

γηα ην [ ηειηθά ] επηιεγόκελν ζεκείν Κμ . [ φπσο ζα θαλεί θαη απφ ηα πα-

ξαδείγκαηα , ε κέζνδνο επίιπζεο πνπ επηιέγνπκε πξνβιέπεη θαη ηελ θαηά-

ζθεπή ηεο ζθαίξαο S (K,R) [ : δειαδή ηεο αλαιπηηθήο ηεο εμίζσζεο φπσο

πην πάλσ ] θαη ηεο εμίζσζεο ελφο επηπέδνπ Π , πνπ λα είλαη θάζεην ζηνλ μ .

Αλ ην ηπραίν ζεκείν Α ηεο θακπχιεο (c) βξίζθεηαη ζηελ ηνκή Π∩S cA

[oπφηε ζέηνπκε Π ΠΑ , θαη S SΑ] ζα έρνπκε c(A) cA ΠΑ∩SΑ θαη

,πξνθαλψο ην cA είλαη έλαο θχθινο πνπ πεξηέρεη ην Α , θαη απνηειεί αθξηβψο

ηελ ηξνρηά πεξηζηξνθήο ηνπ [ ηπραίνπ] ζεκείνπ Α ηεο (c) πεξί ηνλ άμνλα μ

.Αξα ε δεηνχκελε εθ πεξηζηξνθήο επηθάλεηα π((c),μ) πνπ ζα πξνθχςεη απφ

ηελ πεξηζηξνθή φισλ ησλ ζεκείσλ Α ηεο (c) ζα είλαη :

(3ε-3) π((c),μ) 𝑐(𝐴)𝛢(𝑐)

Σφηε ε εμίζσζε ηεο ζθαίξαο (Κ,R) θαη ηνπ π(Α,⊥μ) ζα είλαη :

(3ε-4) (x - x0)2 + (ς - ψ0)2 + (z - z0)2 = R2 , θx+ις+κz = η

[ : φπνπ 𝑂𝛫 = (x0,ψ0,z0) ]

Ο θχθινο ζηξνθήο cA ηνπ Α είλαη ε ηνκή (Κ,R)π(Α,μ) = c(A,μ) cA .

επνκέλσο ην 𝑂𝛢 = (x1 ,ψ1,z1 ) επαιεζεχεη ην (3ε-3).Δπίζεο παξαηεξνχκε

φηη ην ζεκείν Α κεηαβάιιεηαη ζηελ θακπχιε (c) θαη άξα ηα R2, η ζηελ (3ε-3)

απνηεινχλ παξακέηξνπο .

(ηη). Δζησ φηη ε δεδνκέλε θακπύιε (c) έρεη αλαιπηηθέο εμηζώζεηο :

(3ε-5) f1(x,ς,z) = 0 , f2(x,ς,z) = 0

Δπνκέλσο πξνθχπηεη ζχζηεκα () απφ 4 εμηζψζεηο [ κε ηξείο αγψζηνπο

x,ς,z θαη δχν παξακέηξνπο R2, η ] , ην νπνίν δίλεη έλα αθφκε ζχζηεκα ()΄ αλ

αληηθαηαζηήζνπκε ην 𝑂𝛭 = (x ,ψ ,z ) κε ην 𝑂𝛢 = (x1 ,ψ1,z1 ) :

Απφ ην ()΄ πξέπεη λα απαιείςνπκε ηηο παξακέηξνπο x1 ,ψ1,z1 θαη απφ ηελ

εμίζσζε θ(η,R2) = 0 πνπ ζα πξνθχςεη , απαιείθνπκε ηψξα ηηο παξακέηξνπο

η,R2 . [ αληηθαζηζηψληαο απφ ηηο δχν πξψηεο εμηζψζεηο ηνπ ()] θαη ε ηειηθή

καο εμίζσζε ηψξα ζα είλαη :

Page 152: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

152

(3ε-6) Φ(x,ς,z) = θ(η,R 2) = 0 .

Παξαδείγκαηα 3ζη . (η) Βξείηε ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο επηθάλεηαο

π((c),μ) πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ πεξηζηξνθή ηεο θακπχιεο (c) κε αλαιπηηθέο

εμηζψζεηο :

f1(x,ς,z) = ς2-2ξx = 0 , f2(x,ς,z) = z = 0

πεξί ηελ επζεία [ : άμνλα] μ κε αλαιπηηθέο εμηζψζεηο :

[ ς = ι , z = 0 ] ⇔ [ ς = ι , z = 0 , x ℝ ]

Λχζε . (α) . Πξέπεη λα βξνχκε θαηάιιειν ζεκείν Κμ = ε(Κ,ζ) [ : θέληξν ηεο

(Κ R) ] θαη ην θάζεην δηάλπζκα ζ = (θ,ι,κ),ηνπ επηπέδνπ π(Α,μ) Π(Α,⊥μ)

[ πνπ είλαη ε θαηεχζπλζε ηνπ άμνλα μ = ε(Κ,ζ) ] . Δηζη απφ ηηο εμηζψζεηο ηνπ μ

, βιέπνπκε φηη πεξηέρεη ην ζεκείν Κ κε 𝑂𝛫 = (0 ,λ,0) . Δάλ μ = ε(Κ,ζ) , ε

ζρέζε x ℝ δείρλεη φηη ην ζ έρεη θαηεγκέλε 0 .

()

(x - x0)2+(ς-ψ0)

2+(z-z0)

2 = R2

θx+ις+κz = η

f1(x,ς,z) = 0

f2(x,ς,z) = 0

()’

(x1 - x0)2+(ς1 - ψ0)

2+(z1-z0)

2=R2

θx1+ις1+κz1 = η

f1(x1,ς1,z1) = 0

f2(x1,ς1,z1) = 0

H εμίζσζε z = 0 αληηζηνηρεί ζην ζπληεηαγκέλν επίπεδν xOς , θαη ε ς = ι

ζε έλα επίπεδν Π΄ θάζεην ζηνλ άμνλα ς΄Ος ζην ζεκείν (0,ι,0) .

Page 153: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

153

Δπνκέλσο ην επίπεδν Π΄ είλαη παξαιιειν ζην ζπληεηαγκέλν επίπεδν xOz .

Με άιια ιφγηα ε ηνκή ησλ επηπέδσλ ς = ι θαη z = 0 [ : δειαδή ε επζεία κε

εμηζψζεηο ς = ι , z = 0 ] είλαη παξάιιειε πξνο ζηελ ηνκή ησλ

ζπληεηαγκέλσλ επηπέδσλ xOς θαη xOz , δειαδή κε ηνλ άμνλα x΄x = ε(Ο,e1)

δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν Κ ηνπ xΟς επηπέδνπ κε 𝑂𝛫 = (0,λ,0) θαη άξα ζα

έρνπκε μ = ε(Κ,e1) ε((0 ,λ,0),e1) [βιέπε θαη ρήκα 28].

(ηη). Δπεηδή επηιέμακε ζαλ θαηαιιειφηεξν ζεκείν ηνπ άμνλα μ ην Κ θαη

επεηδή ην δηάλπζκα e1=(1,0,0) είλαη θάζεην ζηα επίπεδα ζηξνθήο ησλ ζε-

κείσλ ηεο θακπχιεο (c) , νη εμηζψζεηο ηεο ζθαίξαο (Κ, R) θαη ηνπ επηπέδνπ

ζηξνθήο πΑ Π(Α,⊥μ) ζα είλαη :

[ (x-0)2+(ς-ι)2+(z-0)2=R2, 1x+0ς+0z = η ] ⇔ [ x 2+(ς-ι)2+z2=R2

, x = η]

Αξα [ζεσξψληαο θαη ηηο εμηζψζεηο ηεο (c)] έρνπκε ηα ζπζηήκαηα () , ()΄ :

()

x 2+(ς-ι)2+z2=R2 ,

x = η

ς2-2ξx = 0

z = 0

,

()΄

x12+(ς1-ι)2+z1

2=R2 ,

x1 = η

ς1 2-2ξx1 = 0

z1 = 0

Page 154: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

154

(ηηη). Ξεθηλψληαο απφ ην ()΄ απφ z1 = 0 , x1 = ηα ,παίξλνπκε ς1

2 = 2ξη θαη

η2+ ς1 2-2ις1+ι2 = R2 , η2+2ξη-2ις1+ι2 = R2 θαη άξα έρνπκε δχν πεξηπηψ-

ζεηο γηα ην ι :

(A) Δάλ ι = 0 έρνπκε η2+2ξη = R2 , θαη απφ ην () παίξλνπκε

x2+2ξx = x 2+ ς 2+z2 ⇔ 2ξx = ς 2+z2 είλαη έλα ειιεηπηηθό παξαβνινεηδέο .

(Β) Δάλ ι ≠ 0 έρνπκε η2+2ξη = R2 , θαη απφ ην () παίξλνπκε

η2+2ξη-R2+ι2 = 2ις1 ⇔ 4ι2(ς1)

2 =[ η2+2ξη-R2+ι2]2

⇔ 2ξη[4ι2] = [x2+2ξx-(x2+(ς-ι)2+z2)+ι2]2

⇔ 8ξι2x = [x2+2ξx-(x2+(ς-ι)2+z2)+ι2]2

[Ζ ηειεπηαία ηζφηεηα απνηειεί ηελ δεηνχκελε αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο εθ πεξη-

ζηξνθήο επηθάλεηαοΔίλαη απφ ηηο πεξηπηψζεηο πνπ δελ είλαη εχθνιν λα ηελ

θαηαηάμεη θάπνηνο ζε θάπνην γλσζηφ είδνο επηθαλεηψλ] ..

Παξάδεηγκα 3 . (ηη) Βξείηε ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο επηθάλεηαο π((c),μ)

πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ πεξηζηξνθή ηεο θακπχιεο (c) [ επζείαο ε ηνπ π(x,ς)

επηπέδνπ] κε αλαιπηηθέο εμηζψζεηο :

(1) (c) = ε : f1(x,ς,z) = 3x - ς = 0 , f2(x,ς,z) = z = 0

πεξί ηελ επζεία [ : άμνλα] μ = ε(Α,σ) , φπνπ 𝑂𝛢 = (2 ,2,0) , σ = (1,1,0) .

Λχζε . (α) . Παξαηεξνχκε φηη πξφθεηηαη γηα πεξηζηξνθή επζείαο πεξί άιιελ

επζεία , θαη άξα ην απνηέιεζκα ζα είλαη ν θώλνο κε θύξην άμνλα ηνλ μ θαη

γελέηεηξα ηελ πεξηζηξεθφκελε επζεία ε .

(β).Πξέπεη λα βξνχκε θαηάιιειν ζεκείν Κμ = ε(Α,σ) [ : θέληξν ηεο (Κ,R)],

ελψ γηά θάζεην δηάλπζκα ηνπ επηπέδνπ Π π(Α,⊥μ) κπνξνχκε λα πάξνπκε

ην δηάλπζκα – θαηεύζπλζεο :

ζ = (1,1,0) = σ , ηνπ άμνλα μ .

(β-1).[Δύξεζε ηνπ Κ ].Δπεηδή ε θαηεγκέλε ηνπ σ είλαη κεδέλ , ην σ ζα είλαη

δηάλπζκα ηνπ ζπληεηαγκέλνπ επηπέδνπ π(x,ς) θαη νη εμηζψζεηο ηεο ζα είλαη :

(2) x – 2 = ς – 2 , z ℝ ⇔ [ x = ς , 0z = 0 ] .

Aκεζα πξνθχπηεη φηη ην ζεκείν Κ : 𝑂𝛫 = (0,0,0) [ δειαδή ε αξρή Ο ηνπ ζπ-

ζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ ] , αλήθεη ζηνλ άμνλα μ , αιιά θαη ζηελ

πεξηζηξεθφκελε επζεία . [ έηζη εδψ έρνπκε έλα παξάδεηγκα φπνπ αλαδεηή-

ζακε ζεκείν ηνπ άμνλα δηαθνξεηηθφ απφ ην δεδνκέλν ηνπ ζεκείν Α , κε 𝑂𝛢 =

(2 ,2,0) ] ην νπνίν απινπνηεί πεξηζζφηεξν ηηο εμηζψζεηο ησλ ζπζηεκάησλ

Page 155: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

155

() θαη (΄). Δηζη επηηπγράλνπκε ηα ζπζηήκαηα πνπ εκθαλίδνληαη επφκελνπο

δχν πίλαθεο :

Απφ ηελ δεχηεξε θαη Σξίηε εμίζσζε ηνπ (΄) , θαη θαηφπηλ ηελ ηέηαξηε θαη ηελ

πξψηε έρνπκε :

4x1 = η , ς1 = 3 x1 = (3/4)η , (η/4)2 + (3η/4)2 = R2 ⇔ (η2/16) + (9η2/16) = R2

⇔ (10η2/16) = R2 ⇔ (5η2/8) = R2

⇔ 5η2 = 8R2 . Ζ ηειεπηαία θαη νη δχν πξψηεο

ηνπ () δίλνπλ ηελ ηειηθή εμίζσζε ηεο δεηνχκελεο [ εθ πεξηζηξνθήο]

επηθάλεηαο : 5(x+ς)2 = 8(x2+ς2+z2) ⇔13x2+13ς2+.13z2 -.10xς = 0 .

[Δίλαη εχθνιν λα θαηαιάβνπκε φηη ε παξαπάλσ επηθάλεηα είλαη έλαο θπθιηθφο

θψλνο κε θνξπθή ην θνηλφ ζεκείν K O ησλ δχν επζεηψλ , δηφηη ε εμίζσζή

ηνπ είλαη έλα νκνγελέο πνιπψλπκν κε θεληξν νκνγέλεηαο ην ζεκείν K O

⇔ 𝑂𝛫 = (0,0,0) ] .

ην επφκελν παξάδεηγκα , αθήλνπκε ηνλ ίδην άμνλα θαη αιιάδνπκε ηελ πεξη-

ζηξεθφκελε επζεία , κεηαηνπίδνληαο ηελ παξάιιεια πξνο ηνλ εαπηφ ηεο .

[Παξαηεξείζηε φηη νη δχν επζείεο είλαη ζπλεπίπεδεο θαη δελ έρνπλ θαλέλα θνηλφ

ζεκείν. Αξα είλαη παξάιιειεο κεηαμχ ηνπο] .

Παξάδεηγκα 3 . (ηη) Βξείηε ηελ αλαιπηηθή εμίζσζε ηεο επηθάλεηαο π((c),μ)

πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ πεξηζηξνθή ηεο θακπχιεο (c) [ : επζείαο ηνπ επηπέ-

δνπ π(x,ς)] κε αλαιπηηθέο εμηζψζεηο :

(3) (c) = ε : f1(x,ς,z) = 3x - ς = 2 , f2(x,ς,z) = z = 0

πεξί ηελ επζεία [ : άμνλα] μ = ε(Α,σ) , φπνπ 𝑂𝛢 = (2 ,2,0) , σ = (1,1,0) .

Λύζε . (α) . Όπσο θαη πξνεγνπκέλσο , πξφθεηηαη γηα πεξηζηξνθή επζείαο

πεξί άιιελ επζεία , θαη άξα ην απνηέιεζκα ζα είλαη επίζεο ν θώλνο κε θύξην

άμνλα ηνλ μ θαη γελέηεηξα ηελ πεξηζηξεθφκελε επζεία ε .

()

x 2+ς2+z2=R2 ,

x +ς= η

3x-ς = 2

z = 0

,

()΄

x12+ς1

2+z12=R2

,

x1 + ς1 = η

3x1 -ς1 = 2

z1 = 0

(β).Σν θαηαιιειφηεξν ζεκείν Κμ = ε(Α,σ) [ : θέληξν ηεο (Κ,R)], ζα είλαη ε-

πίζεο ην Κ Ο [ κε 𝑂𝛫 = (0,0,0)] ελψ γηά θάζεην δηάλπζκα ηνπ επηπέδνπ Π

π(Α,⊥μ) κπνξνχκε λα πάξνπκε ην δηάλπζκα – θαηεύζπλζεο :

Page 156: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

156

ζ = (1,1,0) = σ , ηνπ άμνλα μ .

[Πξάγκαηη ην Ο είλαη ζεκείν ηνπ μ δηφηη 𝛢𝑂 = (-2 ,-2,0) = -2(1,1,0) // ζ=σ.

Απηφ ζεκαίλεη φηη κπνξνχκε λα πάξνπκε ην (0,0,0) ζαλ θέληξν ηεο ζθαίξαο

(Κ,R) , θαη ην ζ = (1,1,0) ζαλ θάζεην δηάλπζκα [ : φισλ ] ησλ επηπέδσλ

πεξηζηξνθήο ησλ ζεκεί-σλ ηεο θακπχιεο (c) .Δηζη πξνθχπηεη ην ζχζηεκα ()

ηνπ πξνεγνχκελνπ πί-λαθα , θαη απφ απηφ , πξνθχπηεη θαη ην ζχζηεκα ()΄

. Ξεθηλψληαο απφ ηελ πξφζζεζε ηεο δεχηεξεο θαη ηξίηεο εμίζσζεο ηνπ ()΄

έρνπκε θαηά ζεηξάλ ηα επφκελα :

4x1 = η+2 ⇔ x1 = (η+2)/4 , ς1 = 3x1 -2 = 3(η+2)/4 – 2 = (3η-2)/4

, (η2+4η+4)/16 + (9η2-12η+4)/16 + 02 = R2

⇔ η2/16 +9η2/16 -8η/16 +8/16 = R2 ⇔ 10η2/16 -8η/16 +8/16 = R2 ⇔

10η2 – 8η + 8 = 16R2 ,

Καη ηψξα απφ ηηο δχν πξψηεο ηνπ () έρνπκε ηελ ηειηθή εμίζσζε :

(*) 10(x +ς)2 -8(x +ς) +8 = 16(x 2+ς2+z2)

Παξαηεξνχκε φηη

10(x +ς)2 -8(x +ς) + 8 -16(x 2+ς2+z2) =

=10x 2+10ς2 +20xς –8x -8ς + 8 -16 x 2-16ς2-16z2

= -6x 2- 6ς2-16z2+20xς-8x-8ς+8

Δπίζεο έρνπκε :

10(x-1)2+10(ς-1)2+20(x-1)(ς-1)-16(x-1)2-16(ς-1)2-16z2

= - 6(x-1)2 – 6(ς-1)2+20xς-20x-20ς+20-16z2

= -6x 2- 6ς2+12x +12ς -6-6 -16z2+20xς-20x-20ς+20 =

-6x 2- 6ς2+12x +12ς -12-16z2+20xς-20x-20ς+20 =

-6x 2- 6ς2-16z2+20xς+(12-20)x+(12-20)ς+(-12+20) =

= -6x 2- 6ς2-16z2+20xς-8x-8ς+8

Απφ ηελ ηζφηεηα ησλ δεχηεξσλ κειψλ ζπλάγνπκε ηελ ηζφηεηα ησλ πξψησλ

θαη άξα παίξλνπκε :

(*)΄ 10(x+ς)2 - 8(x +ς) + 8 - 16(x 2+ς2+z2) =

= 10(x-1)2+10(ς-1)2 +20(x-1)(ς-1)+16(x-1)2-16(ς-1)2-16z2

Page 157: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

157

Με άιια ιφγηα ην πνιπψλπκν 10(x+ς)2 -8(x+ς) + 8 -16(x 2+ς2+z2) είλαη

(1,1,0) – νκνγελέο θαη άξα ε (*) είλαη εμίζσζε θψλνπ θνξπθήο (1,1,0) .

Θα ήηαλ ρξήζηκν ζην ζεκείν απηφ λα θαηαζθεπάζνπκε ην ζρήκα , πνπ αληη-

ζηνηρεί ζε θψλν Κσ((c) , P) φηαλ νδεγφο είλαη ε επζεία (c) : [ 3x – ς = 0 , z

= 0 ] ,πνπ είλαη κία επζεία ηνπ ζπληεηαγκέλνπ επηπέδνπ π(ρς) , θαη Ρ έλα

ηπραίν ζεκείν ηνπ άμνλα δ΄Οδ .

[ Πξάγκαηη ε επζεία απηή πεξηέρεη θαη ηα ζεκεία Ο : 𝛰𝑂 = (0,0,0) , θαη Ρ :

𝛰𝛲 = (1,3,0) , πνπ αλήθνπλ ζην π(ρς) – επίπεδν ] .

Παξαηήξεζε . (Η). Ζ ζρέζε (*) πηφ πάλσ καο δίδεη ,αζθαιψο , ηελ εμίζσζε

ηνπ εθ πεξηζηξνθήο ζρήκαηνο π((c),μ) π(ε,μ) κε μ ηελ επζεία :

Page 158: Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Αusers.uoa.gr/~ytsertos/Simeiwseis_Analytikis.pdf · 1 Α Ν Α Λ Τ Σ Η Κ Ζ Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Α 0. ΠΡΟΛΟΓΟ

158

μ ε(Α,σ) : 𝑂𝛢 = (2 ,2,0) , σ = (1,1,0) .

Δίλαη εχθνιν λα δνχκε φηη νη δχν επζείεο ε θαη μ [ : πεξηζηξεθφκελε θαη

άμνλαο , αληίζηνηρα ] ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ ηνπ ζεκεηνρψξνπ 𝔼 , φπνπ

𝑂𝛲 = (1,1,0) [ Γηφηη ζεκείν ηνπ μ είλαη θαη ην Ρ κε 𝛰𝛲 = (1,1,0) , Πξάγκαηη

𝛢𝛲 = 𝛢𝛰 + 𝛰𝛲 = (-2 ,-2,0) + (1,1,0) = (-1,-1,0) = -1(1,1,0) // ζ=σ . Αξα ην Ρ

είλαη ην θνηλφ ζεκείν ησλ ε , μ θαη επνκέλσο ζα είλαη ε θνξπθή ηνπ θψλνπ

πνπ [ : πξνθαλψο ] είλαη ην δεηνχκελν εθ πεξηζηξνθήο ζρήκα] .Απηή ε δηα-

πίζησζε ιεηηνπξγεί άξρηθά ζαλ αθχξσζε ηνπ ηζρπξηζκνχ φηη ε (*) είλαη ε

εμίζσζε ηνπ ( εθ πεξηζηξνθήο) θψλνπ π(ε,μ) ,θαη ηφηε απαηηείηαη ε απφδεημε

ηεο ηζφηεηνο (*)΄. [ Θα ήηαλ ρξήζηκν εδψ λα δηεπθξηλήζνπκε φηη ην δεχηεξν κε-

ινο ηεο (*)΄ ην ζρεκαηίδνπκε απφ ην ην νκνγελέο [ δεπηέξνπ βαζκνχ ] κέξνο :

10(x+ς)2 - 16(x 2+ς2+z2) = 10x2+10ς2 +20xς - 16(x 2+ς2+z2)

ηνπ πξψηνπ κέινπο , ζέηνληαο x-1 , ς-1 , z αληί ησλ x , ς , z ,αληίζηνηρα.