МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

В БЕЛОРУССИИ

<и. ГгН. Д. Б Е С П А М Я Т Н Ы Х

Издательство „Вышэйшая школа"

5 - 5 5 Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

В БЕЛОРУССИИИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

ч У

педше*/

/ }

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫ Ш ЭЙШ АЯ Ш КОЛА» М ИНСК 1975

51(09)Б 53УДК 378(476)+ 51 (09)

20201—007 Б М 304(05)—75 109-74

© Издательство «Вышэйшая школа», 1975 г.

« ■

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге проблема математического образования рас­сматривается в следующих аспектах: а) научная подготовка учителей математики; б) содержание среднего математическо­го образования; в) творческая деятельность учителей й про­фессоров в области математики и ее дидактики; г) оценка преподавания математических наук с методологической, науч­ной и практической точек зрения.

Основными документами для изучения проблемы служили учебные планы, программы, учебники, печатные и рукописные труды профессоров и учителей и деловая переписка официаль­ных лиц и учреждений по вопросам просвещения в Белорус­сии. Документы в значительной части представляют материа­лы архивов: Литовского государственного в Вильнюсе, Цент­рального государственного архива СССР в Ленинграде, Октябрьской революции и Центрального в Минске и рукопис­ных отделов библиотек: Вильнюсского университета им.В. Капсукаса, АН Лит. ССР в Вильнюсе, им. В. И. Ленина в Минске и им. М. Е. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде.

Проблема математического образования является одной из проблем истории педагогики. Исследования по истории пе­дагогики в Белоруссии ведутся в настоящее время широким фронтом. Для их синтеза, представляющего актуальную зада-' чу, как нам представляется, необходимы сведения по истории точных наук и их отражению в академическом образовании. Автор стремился изложить эти сведения по мере возможно­стей в систематическом виде.

Книга состоит из пяти глав, каждая из которых дает об­щую картину развития просвещения и показывает уровень математических знаний определенной исторической эпохи.

С конца XVI в. в истории Белоруссии четко выделяются четыре периода, каждый из которых представляет интерес для изучения истории просвещения.

3

К первому периоду относится организация и более чем двухсотлетняя деятельность Виленского университета (ака­демии), являвшегося научным и культурным центром Литов­ского государства, в состав которого входила Белоруссия. Глава I посвящена истории академии, описанию математиче­ских рукописей и печатных сочинений XVII и XVIII вв.

В главе II рассматривается вопрос о постановке математи­ческого образования в Виленском университете с 1780 г. и до момента его закрытия в 1832 г. В этот период Виленский уни­верситет был официальным учебным центром большого края, в который входили и белорусские губернии.

Глава III трактует вопросы среднего математического об­разования и вместе с предыдущей характеризует просвещение во второй период — период воссоединения Белоруссии с Рос­сией (не только в географическом, но и культурном отноше­нии) .

В главе IV рассматриваются некоторые вопросы математи­ческого образования в гимназиях и реальных училищах с мо­мента образования Белорусского учебного округа (БУО) в 1829 г. и до Великой Октябрьской социалистической револю­ции. Она отвечает, следовательно, третьему этапу истории Б е­лоруссии.

В главе V освещается развитие школьного математическо­го образования в первые три десятилетия советского периода истории Белоруссии. В связи с вопросом о подготовке педаго­гических кадров для школы в этой главе останавливается вни­мание на развитии высшего математического образования в БССР — в педагогических институтах и БГУ.

В заключение автор считает своим долгом выразить сер­дечную благодарность за ценные замечания и советы, которые были учтены при подготовке работы к печати, члену-коррес- понденту АПН СССР профессору И. /С. Андронову, члену-кор- респонденту АН УССР профессору А. Н. Боголюбову, старше­му научному сотруднику Института истории естествознания и техники АН СССР Л . Е. Майстрову, старшим научным со­трудникам Института истории АН БССР Г. Я. Галченко и В. А. Полуяну. Автор выражает также признательность ас­пиранту ГПИ им. Янки Купалы А. С. Сидорчук за выполне­ние чертежей.

Автор

Г л а в а I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ В ВИЛЕНСКОЙ АКАДЕМИИ

§ 1. ОРГАНИЗАЦИЯ АКАДЕМИИ В ЛИТОВСКОМ КНЯЖЕСТВЕ

Первая половина XVI в. в истории Польши характеризует­ся как эпоха польского Возрождения, существенной особен­ностью которого является развитие на гуманистической осно­ве литературы, искусства и науки. Феодальная католическая идеология постепенно уступала свои позиции новому, буржу­азному мировоззрению, новым взглядам и идеям. Распростра­нению этих идей способствовало развивающееся книгопечата­ние. Эта эпоха примечательна возникновением новых идей в философии, математике и астрономии, появлением оригиналь­ной художественной литературы, изобразительного искусства и архитектуры. На новых началах стало развиваться просве­щение.

Характеристику эпохи Возрождения дал Ф. Энгельс: «... па­раллельно с ростом среднего класса происходило гигантское развитие науки. Стали вновь изучаться астрономия, механи­ка, физика, анатомия, физиология. Буржуазии для развития ее промышленности была нужна наука, которая исследовала бы свойства физических тел и формы проявления сил приро­ды». 1

К этому времени относится деятельность выдающегося польского ученого Николая Коперника. Центром науки и про­свещения был Краковский университет, пользовавшийся миро­вой известностью. Речь Посполита имела культурные и эконо­мические связи с другими государствами, ибо «...вся Запад­ная и Центральная Европа, включая сюда и Польшу, разви­валась теперь во взаимной связи...».2 Это был «золотой век» в ее культурном развитии.

Вторая половина XVI в. с социально-экономической и культурной сторон может быть кратко охарактеризована следу­ющими чертами. Великое княжество Литовское, в которое входила Белоруссия, по Люблинской унии 1569 г. вошло в со­став Речи Посполитой, и с этого времени его история тесно связана с историей Польши. Это было феодальное государст­во, но с наличием в его социально-экономической жизни но-

5

вых элементов, свойственных уже капиталистической фор­мации. В этот период проис­ходит рост городов, совер­шенствуются различногорода ремесла, горное дело, появляются зачатки ману­фактурного производства, развиваются торговля и то­варно-денежные отношения.3

Г уманизм подготовилпочву для реформации, кото­рая охватила значительную часть Литовского государ­ства, включая и территорию Белоруссии; левое крыло ее, несомненно, имело прогрес­сивное значение. Но уже с шестидесятых годов XVI в.

Старый Виленский университет. наступает период реакции.В истории этот период из­

вестен под названием контрреформации. К этому периоду и относится организация иезуитами в столице Литовского кня­жества, в Вильно, сначала гимназии, а потом академии и ряда школ в городах Белоруссии и Литвы.

З а время двухсотлетнего существования академии, несмот: ря на консерватизм в ее системе обучения в целом и особенно в отношении к естественным наукам, частные ее функции претерпевали некоторые изменения в соответствии с потреб­ностями общества, поэтому она сыграла важную роль в рас­пространении в стране научных знаний, в частности математи­ческих.

Первоначально Виленская академия называлась «Аса<3е- гша УПпеп515 е! ишуегзИаз» («Виленская академия и корпо­рация»).* И она сохраняла это название до ее преобразования в Главную Литовскую школу (1780), а с 1797 г. стала имено­ваться Главной Виленской школой. Существенная реформа этой школы была проведена в 1803 г., когда она была пере­именована в университет.

Что касается даты открытия университета, то историки от­вечают на этот вопрос неоднозначно. Указываются три даты: 1578, 1579 и 1803 гг. Какие события, связанные с открытием

* В средние века высшие учебные заведения официально именовались по латыни: И ту егзй аз з1и(Ш, ОшуегзЙаз ша^151гоит е! 5сЬо1апит, 11туег- зйаз з1ис1еп{ит, з1ис1шт §епега1е, Асас1егша е! У туегзИ аз. Постепенно тер­мин 11шуег511а5 перешел в название учебного заведения — университет.

6

академии, происходили в эти годы? В 1578 г. был издан коро­левский указ о привилегиях академии, который надо рассмат­ривать и как разрешение на ее открытие иезуитами. Но окон­чательное решение вопроса об открытии оставалось за папой, оно последовало в 1579 г. В этом году академия начала свою деятельность.4

Реформу 1803 г. некоторые считают началом существова­ния университета в Вильно.5 С чисто формальной стороны это утверждение не может вызвать возражения: только в1803 г. состоялось официальное открытие этого учебного заве­дения и с этого же года оно стало называться университетом.

Но рассмотрим этот вопрос ближе — с юридической и фак­тической сторон. В правительственном акте организации университета (акт 1803 г.) говорится, что им (актом) обеспе­чивается «навсегда существование древнего университета Виленского». 6 Этот документ, следовательно, не говорит об ос­новании нового учебного заведения — университета. Его пол­ный и буквальный смысл заключает идею такого обновления Виленской школы, которое придаст ей облик университета, типичного для той эпохи.

Что касается фактической стороны дела, то она приводит к тому же заключению. Действительно, университет получил ту материальную базу, которой располагала Главная Вилен­ская школа; из ее преподавателей был укомплектован основ­ной состав профессоров университета; в главных чертах со­хранились те же учебные планы и программы, по которым эта школа работала; наконец, устав университета был написан на основе устава Главной школы. В силу этих причин 1803 г. нельзя считать временем основания университета в Вильно, в этом году была проведена лишь значительная его реформа.

Этой реформой на основе нового устава были упорядочены деятельность университета в целом и система руководства школами округа, произведены некоторые структурные измене­ния и значительно расширен круг его деятельности. Основа­тельно возрос финансовый бюджет университета. Были откры­ты новые факультеты и кафедры, профессорская корпорация пополнилась свежими и крупными силами. Значительно воз­росла научная деятельность профессоров, усилилась роль фи­зико-математических и естественных наук.

Заметим также, что в аналогичных случаях в Европе от­счет производится со времени первоначального открытия учеб­ного заведения, и у нас нет оснований пренебрегать этим пра­вилом. В данном случае следует на основе сказанного считать датой основания Виленского университета 1579 г.

Оговоримся, однако, что при исследовании истории разви­тия университета мы будем иногда пользоваться теми его на­званиями, которые он имел в различные периоды своего су­

ществования. Название «университет» сохраняется и употреб­ляется как общий термин.

Встречаются неточности и в датировке акта закрытия уни­верситета. И. Биелиньский, объективный историк, считает, что это произошло в 1831 г.7 Действительно, в связи с польским восстанием Виленский университет с весны 1831 г. прекратил свою деятельность, но не полностью: медицинский факультет продолжал свою работу. Царский указ о закрытии универси­тета был издан первого мая 1832 г.8 Вслед за этим указом последовало правительственное распоряжение сохранить ме­дицинский факультет и преобразовать его в медико-хирурги­ческую академию, а духовную семинарию, существовавшую при факультете моральных наук, преобразовать в духовную академию. Остальные факультеты, в том числе физико-мате- матический, были закрыты.

В Литовском государстве до прихода иезуитов существо­вала развитая для своего времени сеть различного типа школ, но высшей школы не было.9 Некоторый подъем экономики в стране в XVI в., рост торговых связей с заграницей, развитие военной техники требовали специалистов. Были нужны учи­теля, врачи, инженеры, юристы, коммерсанты, землемеры, политические и церковные деятели.

Для получения специального образования молодые люди из знати выезжали за границу — в Германию, Францию, Ита­лию. Западное просвещение начиная с конца первой полови­ны XVI в. в связи с распространением лютеранства пережива­ло глубокий и длительный духовный кризис, из которого оно вышло расщепленным на две сильные ветви: католическую и протестантскую. Духом религиозной реформы особенно были проникнуты немецкие университеты. В противовес католиче­ским открывались протестантские университеты. Центром про­тестантского просвещения был Виттенбергский университет во главе с идеологом лютеранства Ф. Меланхтоном. Естественно, что учащиеся, занимаясь в этих университетах, проникались духом этой реформы и после возвращения пропагандировали на родине ее идеи и открывали протестантские школы.* В Бе­лоруссии были открыты кальвинистские школы с преподавани­ем на родном языке в Минске, Слуцке и Несвиже. Протестанты планировали организацию высшей школы в Вильно. Одним из деятелей реформистского движения был А. Кульвятис, ор­ганизовавший лютеранскую школу в Вильно.**

* Имеются сведения, что в Виттенбергском университете в 1537 г. из областей Белоруссии училось 5 чел., в Базельском с 1533 до 1599 г.— 14 чел. Студенты из Белоруссии и Литвы обучались также в Пражском и К ра­ковском университетах.10

** Кульвя.тис учился в Кракове, Виттенберге, затем в Италии; был од­но время профессором в Кенигсберге. Умер в 1546 г.

в

Протестантизм начал быстро распространяться в Литве и отчасти в Белоруссии. Местное католическое духовенство не имело достаточно крепких сил, чтобы оказать этому распро­странению активное противодействие, поэтому были приглаше­ны иезуиты. В Вильно иезуиты появились в 1569 г., в следую­щем году — в Полоцке, а позже в других городах Литвы и Белоруссии. В 1570 г. они организовали гимназию в Вильно, а затем в Гродно, Слуцке, Бресте, Минске, Орше, Витебске, Новогрудке, Полоцке, Бобруйске и даже в Смоленске.11

Иезуиты по приезде в Вильно сразу же предприняли энер- гичные меры по организации высшей школы. Спустя 10 лет после их первого появления в городе эта школа уже функцио­нировала. Такая поспешность была вызвана тем обстоятельст­вом, что к открытию высшей школы готовились протестанты. Иезуиты стремились опередить их и успели в этом. Протестан­ты были вытеснены с позиций, которые они занимали в обла­сти просвещения.

Иезуиты прежде всего открыли в Вильно, как уже сказано, гимназию, чтобы иметь контингент слушателей для высшей школы.* Затем они заручились поддержкой короля (привилея Стефана Батория (1578)), а в 1579 г. папа Григорий XIII дал разрешение на открытие академии с определением круга ее учебной и иной деятельности. В этом же году король особым актом подтвердил ее существование. Академия получила пра­ва высшей школы, в частности, право присуждения ученых степеней магистра и доктора теологии. Она имела два факуль­тета: теологический (главный.) и подготовительный к нему — философский.

В деятельности академии в первые десятилетия ее су­ществования заметен большой подъем. Так, например, в 1586 г. в ней и гимназии вместе было 54 преподавателя и 700 учащихся. Таким образом, за 15 лет своего существования по количеству преподавателей и учащихся, если сравнить с данными западных университетов, она достигла приблизи­тельно среднего уровня. Так, например, в Пражском универ­ситете в эти годы было также около 700 слушателей.

Первое время преподавательский состав комплектовался в значительной мере из иностранцев, принадлежащих к орде­ну иезуитов. Учащаяся молодежь, надо полагать, в основном была местной, однако были выходцы и из других стран. М. Биржишка утверждает, что разговаривали учащиеся на многих языках .12

Русское государство не только по политическим, но и по религиозным мотивам не могло посылать своих молодых лю­

* Иезуиты придерживались всюду такого порядка: наряду с высшей школой открывали гимназию.

9

дей для учебы в эту академию. Иезуит Антоний Поссевин, пап­ский посол в Москве, пишет: «Что касается Московии, то князь никого еще не послал сюда для образования».1̂

В этом документе А. Поссевина сообщается: «В Вильне есть университет иезуитов, но русских в нем не так много учится и то без пользы для веры католической: бедные, кото­рых большинство, прилежнее изучают те науки, которые ка­жутся им более выгодными для ведения частных дел, а более богатые не склонны посвящать свои труды на дело божие».14 Здесь, следовательно, речь идет об учащихся белорусах. Х а­рактерно, что это были люди из бедного сословия и их инте­ресы определялись кругом не богословских, как подчеркива­ется в документе, а чисто практических наук.* Князь Курб­ский, живший в те времена в этом крае, пишет одной православной княгине, которая намеревалась отдать своего сына в Виленскую академию: «Намерение твое похвально; но как слуга и приятель твой, я не хочу от тебя утаить, что мно­гие родители отдали своих детей иезуитам учиться свободным наукам, но они, не науча, прежде всего отлучили их от право­верия...». 15 Биржишка приводит дополнительные примеры, подтверждающие тот факт, что белорусы действительно учи­лись и работали в академии. Учились в ней и студенты с Ук­раины. Известно, что М. Смотрицкий, которого Ломоносов на­зывал «королем грамматики славянской», учился в Виленской академии.16 В конце XVI и начале XVII в. некоторые профес­сора академии преподавали предметы для белорусских и ук­раинских студентов на белорусском языке. **

По факультетам учебные предметы распределялись сле­дующим образом. На философском факультете изучались метафизика, логика, этика, история, география, латинский и греческий языки, риторика, поэтика и математика. Кроме классических, изучались и живые языки: итальянский, фран­цузский и немецкий. На теологическом факультете преподава­лись догматическая и моральная теология, священное писа­ние Старого и Нового завета, диалектика, казуистика, полемика, каноническое право и история церкви. При изуче­нии философии руководствовались идеями Аристотеля б* толковании Фомы Аквинского.17 Учебный план утверждался генералом ордена, академический совет не имел права его изменять или критиковать. Этот план совпадает с планом иезу­итской коллегии в Риме.

В учебном плане академии не упоминаются особо физика

* Поссевин предлагал открыть для русских и белорусов семинарию в Вильно или Праге, где «чешский язык родственен русскому», с той целью, чтобы ее воспитанники после окончания занимались распространением ка­толицизма в Белоруссии и России.

** Например, профессор теологии Фабрициус Гроз.

•10

и астрономия. Физика (Аристотеля) входила в курс филосо­фии, а астрономические сведения сообщались в курсе геогра­фии. География, астрономия и астрология нередко представ­ляли собой единый курс. Естественные науки, например меди­цина, не упоминаются. В акте утверждения академии имеется особая оговорка, как бы условие, что медицина не должна входить в ее учебный план. Устав ордена запрещал ею зани­маться. Естественные науки в учебный план не входили. Та­кое отношение к естественным наукам можно проследить на протяжении всей длительной истории иезуитского просвеще­ния.

Стержнем учебного плана был, следовательно, тот цикл дисциплин, который служил основой религиозного воспи­тания и образования (богословие, риторика, контраверсы, языки). Игнорируя естественные науки, иезуиты тем самым препятствовали их свободному, прогрессивному развитию. Этот факт лежит темным пятном на иезуитской системе обра­зования.

Для обрисовки положения в XVI в. мы не располагаем прямыми источниками. Известно, что математика входила в учебный план и что она преподавалась со времени осно­вания академии, известны и имена преподавателей — Вуек, Босгрейв и В. Бойер, но мы не имеем точных данных о том, какие из математических предметов и на каком уровне изучались в академии. Поэтому попытаемся дать оцен­ку положения на основе данных по другим учебным заведени­ям. Это позволительно сделать на основе следующих фак­тов.

Во-первых, учебное руководство осуществлялось из одного центра.*Отступления от плана по философии, астрономии были связаны с большим риском быть обвинённым в ереси, что в эпоху инквизиции было небезопасно.

Во-вторых, виленские профессора были хорошо знакомы с постановкой учебного дела на Западе, и каждый из них, обла­дая деятельным умом, не мог не сообразовываться с ней в границах официальных планов.

Кроме того, историки просвещения справедливо утвержда­ют, что реформация не отразилась заметным образом на по­становке преподавания предметов, за исключением философии, богословия и примыкающих к ним дисциплин. Во всяком слу­чае она не отразилась на постановке преподавания математи­ческих наук, методология которых не была предметом дискус­сий. Протестанты не внесли каких-нибудь новых концепций в эту область просвещения. Главное различие заключалось в ре­лигиозной платформе. К этому выводу приводит также сравне­ние учебных планов по математическим наукам католических и протестантских университетов. Это обстоятельство позволяет

11

не делать между ними различия при исследовании нашего во­проса.*1

Изучение постановки учебного дела в ряде университетов Запада на рубеже XVI и XVII вв. дает возможность составить основной список учебных руководств по математическим нау­кам .19

В этот список входит небольшое число названий. Геомет­рия изучалась по «Началам» Евклида, причем не более как только по первым шести книгам. Упоминается прикладная геометрия. По арифметике указываются сочинения Сакробо- ско и других авторов, содержащие «арифметику на линиях», а также книги по применению арифметики к календарным расчетам. По астрономии основными руководствами были «Альмагест» Птолемея, «Сфера мира» Сакробоско, а также «Теория планет» Пейербаха и «Таблицы» Региомонтана. Име­ли распространение книги Христофора Клавия (1537— 1612), издавшего «Начала» Евклида с дополнениями (1574), «Гно- монику» (1581), «Сотри1из» (1603) и др.** Заметим, что Кла- вий излагает начала алгебры, следуя «Арифметике» М. Шти- феля («Коссическое искусство»). Все эти сочинения в своей совокупности характеризуют состояние математического про­свещения рассматриваемой эпохи; и на основе сделанного выше замечания можно утверждать с некоторой вероятностью, что в той или иной степени они находили применение в педаго­гической практике Виленской академии.

«А1§ о п 1Ьггш5» И. Сакробоско переиздавался в XVI в. в Польше многократно.*** Эта книга была написана еще в XIII в., получила распространение в практике преподавания в средние века и относится к числу немногих учебников, которые могут характеризовать уровень преподавания арифметики в XVI в.

Краковское издание «Арифметики» Сакробоско 1522 г. (на 32 с.) включает следующие вопросы: нумерация, сложение, вычитание, умножение на 2 , деление на 2 , умножение и деле­ние, прогрессии, извлечение квадратного и кубического кор­ней, а также исчисление «на линиях», в том числе удвоение, умножение и деление. Все алгоритмы формулируются в виде правил и иллюстрируются примерами.

* Сочинения идеолога протестантизма Меланхтона, включая и учеб­ники, были запрещены в иезуитских школах, все они квалифицировались как еретические, но они не имели отношения к математике, даж е «Пре­дисловия» М еланхтона к двум математическим сочинениям (Сакробоско и Штифеля) читать запрещалось.18

** Н аряду с ними указываются трактаты раннего средневековья, на­пример Боэция и др ;*** И. Сакробоско — англичанин Джон Галифакс, или Голливуд (ум. в 1256 г.). Обучался в Оксфорде, около 1230 г. переехал в П ариж и препо­давал математику и астрономию в тамошнем университете.20

12

В XVI в. в Польше был издан ряд трактатов по арифмети­ке (Т. Клоса, Я. Ланьцута, Б. Гербста). «А1§опШ ти 5» Клоса издан в Кракове в 1537 г., «А1§*опШти5» Ланьцута был издан восемь раз, «Арифметика на линиях» Гербста за 1564— 1577 гг.— пять раз. Книга Гербста была популярной и ока­зала влияние на распространение арифметик этого рода. В ней излагались способы арифметических вычислений на «ли­ниях» и «цифрах», прогрессии и торговые расчеты.21

По курсу астрономии была популярной «Сфера мира» Сак­робоско, изданная в Европе в конце XV в. 25 раз. Ею пользо­вались в практике преподавания еще и в XVII в., в середине которого она была издана около 40 раз. При этом она претер­пела большие изменения в содержании. Например, краков­ское издание «Сферы мира» 1513 г. содержит 94 страницы, а флорентийское 1518 г.— 254.22 Различие в объеме объясняет­ся тем, что во втором из названных изданий представлена тео­рия планет (по Пейербаху) и теория затмений. Материал самого Сакробоско, касающийся главным образом очевидных следствий видимых суточного движения небесной сферы и го­дичного движения Солнца, занимает в книге сравнительно не­много места.

Изучение истории университетского образования показы­вает, что геометрия в XV и XVII вв. носила более практи­ческий характер, нежели теоретический. Если в плане указы­ваются, положим, первые книги Евклида, то это совсем не означает, что они изучались с такой же полнотой и после­довательностью, как у Евклида. Профессор читал по Евклиду то, что было минимально необходимо для практической гео­метрии, т. е. учение о треугольниках и многоугольниках (ра­венство, подобие, разбиение), учение об окружности (по Архимеду), причем все это излагалось сжато и без евклидовой щепетильности к доказательствам. Иная постановка дела нам представляется исключением. Наряду с изданием книг по арифметике в Польше в XVI в. была издана книга по практи­ческой геометрии профессором Краковской академии С. Гжеп- ским.

«Геометрия» С. Гжепского заслуживает нашего внимания, так как, несомненно, она имела значение в деле распростра­нения элементарных геометрических сведений и простейших приемов землемерия.23 Кроме того, она является типичной дляXVI и даже XVII в., хотя и уступает многим в объеме мате­риала и его теоретическом обосновании. «Геометрия» Гжеп­ского является первой книгой по этому предмету в Речи По- сполитой, издана она на польском языке в 1566 г. в Кракове. Не исключено, что ею пользовались в Виленской академии и школах. Для нас она представляет интерес еще и в том отношении, что содержит оценку положения землемерной

13

практики в Литовском государстве. Автор пишет: «...трудно найти землемера, я только об одном слышал на Погудже, но и тот уже умер. Поэтому, когда в Литве пожелали измерять пашни, то послали за землемером в Мазовцы, так как в другом месте у нас, насколько я могу знать, или их не найдешь, или найдешь очень мало». Автор хорошо знал положение дела, так как сам занимался землемерной работой, и поэтому его со­общение может заслуживать доверия. На этом основании можно предположить, что в Белоруссии в XVI в. если и были специалисты, способные применять научные методы работы в этой области, то их было немного.

«Геометрия» Гжепского свидетельствует о возникновении в Польше интереса к практической геометрии. В известной степени она характеризует сферу научных интересов эпохи Возрождения. В области геометрии математики занимаются освоением математического наследия Древней Греции, его применением в практике и в преподавании. Чисто теоретиче­ские исследования по геометрии были достаточно скромны. Развитие приложений геометрии и тригонометрии к вопро­сам практики было характерным явлением для эпохи Возрож­дения. Это направление отвечало насущным потребностям жизни периода распада феодальных устоев и возникновения признаков новой общественной формации.

«Геометрия» Гжепского написана популярно и с единст­венной целью — показать, как производить вычисление пло­щадей земельных участков, ограниченных прямыми линиями, как определить «высоту, расстояние и глубину». Из криволи­нейных фигур рассматривается только круг.

Книга предназначалась для широкого круга читателей без особой математической подготовки, что видно из предисловия:

«Достаточно и ранее писали об этом, в особенности древ­ний автор Евклид, в которого и сегодня влюблены ученые люди. Однако я писал попросту, как наиболее удобно могло быть, чтобы каждый самостоятельно понял. А если кто хочет пойти дальше в этой области, тот легко может понять Евклида и иных, писавших об этом».

Есть в книге и такой совет читателю: «Если сразу чего- либо не поймешь, то одолеешь в другой или третий раз, сооб­разно смекалке. Человеческий разум таков: чем больше чего- либо воспринимаешь, чем чаще над чем-либо размышляешь, тем шире эта вещь представляется, тем больше видишь и обнаруживаешь то, чего раньше не находил. По этой причине, прочитав эти книги один раз, при повторном чтении поймешь лучше, чем при первом чтении; чем чаще будешь заниматься этим делом, тем лучше станешь геометром».

«Геометрия» начинается с определений в духе Евклида основных геометрических понятий (точка, линия, тело), опи­

14

сания вида линий (прямые, кривые, параллельные прямые) и углов. Вводится понятие перпендикуляра к прямой. Далее описываются (с иллюстрацией на чертежах) треугольник, ромб, параллелограмм, квадрат, прямоугольник и окруж­ность. Доказывается, что сумма внутренних углов треуголь­ника равна двум прямым, формулируется теорема о сумме внутренних углов многоугольника. Показывается, как вычис­лить площади названных фигур.

Теоретическая основа состоит из немногочисленных ссылок на Евклида, подобно следующей: «Прежде всего надо знать, что Евклид написал в шести книгах. Если имеются клинья (треугольники) с одинаковыми углами, тогда стороны этих клиньев, которые суть около одинаковых углов, будут иметь одинаковую пропорцию». И далее описывается способ опреде­ления высоты предмета по длине его тени.

Интересны рассуждения о круге: «Круг не окаймлен ли­ниями (т. е. прямыми), поэтому он создал древним и мудрым Геометрам трудности при отыскивании приема для его изме­рения. Измеряли одни так, другие иначе.

Для измерения круга сначала надо знать, как велик диа­метр, затем требуется знать, как велика циркумференция (окружность), то есть линия, которая идет вокруг, образуя круг. Сначала надо измерить величину диаметра, а отсюда узнаешь, как велика циркумференция, ибо она так велика, как три диаметра и седьмая часть диаметра без малого куска; об этой малости можно не говорить...

Если бы кто-либо пожелал узнать, сколько содержится в этом круге (площади), то нужно умножить число длины на число ширины. Однако здесь длина простирается не по обе стороны, но только по одну, ибо по одну сторону есть циркум­ференция, а по другую сторону нет ничего, кроме центра, то есть серединной точки. Вот почему по другую сторону нужно отложить половину циркумференции, чтобы она заменила длину второй стороны». Таким образом, круг рассматрива­ется как прямоугольник с основанием в половину длины окружности и высотой, равной радиусу. Автор говорит, что Дюрер и Форциус дали другой способ: «составь квадрат так, чтобы его диаметр (диагональ) был на (свою) пятую часть больше диаметра круга..., если хочешь иметь квадрат, кото­рый содержал бы в себе столько, сколько и этот круг...».

Гжепский сообщает далее любопытные данные о том, как решали эту задачу практики: они заменяли круг правильным вписанным шестиугольником. «Наши землемеры этим прие­мом из круга делают фигуру о шести углах, которая меньше, чем круг, ибо круг между всем есть фигура наибольшей вме­стимости, а именно внутри себя замыкает больше всего по сравнению с какой-либо другой. Ты должен измерять круг,

15

не следуя нашим землемерам, но согласно той науке, которую я выше написал».

Далее автор говорит, что «среди всех семи наук, которые преемственно перешли от Греков к Римлянам, а затем от Римлян к нам, нет более благородной, чем геометрия».

«Поэтому представляется удивительным,— продолжает д а ­лее Гжепский,— что у нас нет речи о том, что так высоко ценили великие люди, люди мудрые: мы не так обучаемся ей, как другим наукам.

Не так бывало в давние времена у Греков: много их (и ве­ликих людей большого ума) занимались этой наукой; вот почему, благодаря этой науке, и достигали великих резуль­татов, дошли и узнали, как велика Земля, как велика Л у­на, ..., как далеко до неба, как велико небо в обводе». Этим Гжепский выражает неудовлетворенность постановкой учеб­ного дела, а именно тем, что изучению геометрии не уделя­лось должного внимания.

Источники по истории просвещения в Западной и Средней Европе указывают на единообразный способ преподавания в высших учебных заведениях, который, очевидно, применял­ся и в Виленской академии. Вся система обучения подразде­лялась на четыре вида или формы: 1 ) лекции ординарные,2) лекции экстраординарные, 3) репетиции и 4) диспуты. Ординарные лекции читались по основным книгам и также, как и в этих последних, с подразделением на главы или раз­делы. Другие, не основные, книги составляли содержание экстраординарных лекций. Эти книги предлагались для само­стоятельного чтения, причем после прослушивания ординар­ных лекций. Ординарные лекции читались до обеда, экстра­ординарные — после обеда. Первые из них студенты не имели права прерывать вопросами, вторые преимущественно состоя­ли из ответов студентов на вопросы лектора и ответов лекто­ра на вопросы студентов. На репетициях рассматривались трудные места из прочитанного курса. Диспуты организовы­вались по заранее намеченным профессором темам, главным образом философским и богословским.24

§ 2. О МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУКАХ В ВИЛЕНСКОЙ АКАДЕМИИ В XVII в.

Для университетского преподавания в XVII в. характерным был следующий цикл математических предметов: арифметика, теоретическая геометрия (по Евклиду), астрономия, практи­ческая геометрия, включавшая землемерие, перспективу и фортификацию с применением к решению задач пропорцио­нального циркуля и графических методов вычисления; в конце

16

столетия в учебных планах появляются конические сечения и прочное положение занимает алгебра.

Таково приблизительно было положение и в Виленской академии. В этом параграфе рассмотрим содержание «прак­тической геометрии» и курса лекций по астрономии. Изложе­нию этих вопросов предпошлем общий обзор ряда докумен­тов, которые в совокупности дают известное представление об академической математике в XVII в.*

Во второй четверти XVII в. должность профессора мате­матических наук занимал Освальд Кригер (Кгу^ег). Он ро­дился в 1598 г., учился в Виленской академии, был домашним учителем у Радзивилла в Несвиже и там же ректором иезу­итской коллегии. В 1630 г. Кригер занял профессорскую должность в Виленской академии. Умер Кригер в должности королевского военного инженера в 1655 г. Ему приписывается несколько анонимных работ, опубликованных в Вильно его учениками.

Математическая рукопись Кригера, датированная 1632 г. и описанная С. Дикштейном, может служить документом для характеристики математического образования в академии в 30—40-е годы XVII в. Она охватывает разные разделы науки: астрономию, физику, учение о календаре, геодезию, арифметику и геометрию. Арифметика содержит основные действия над натуральными и дробными числами, геомет­рия — начала геометрии Евклида и практические приложе­ния геометрии к съемке планов.25 Ему же приписывается, как единственному в то время математику в Вильно, изданная в 1635 г. «Практическая арифметика», цель которой «прине­сти как можно больше пользы во всех областях жизни».26 Она содержит арифметику четырех действий над целыми числами, понятие о дробных числах и различные «задачи на правила». Изложение заключается в сжатой формулировке правил действий и их иллюстрации типичными примерами и задачами. Имеются достаточно сложные задачи на неопре­деленные уравнения.

В 1677— 1681 гг. математику в Виленской академии пре­подавал В. Тылковский (1629— 1695). Он издал ряд тракта­тов по разным отраслям знаний, в том числе по математике — «Арифметику» и «Геометрию».27 Хотя в его «Арифметике» встречаются такие элементы нового материала, как примеры из комбинаторики, сведения из алгебры, однако как та, так и другая его книги оцениваются как свидетельство упадка в университете математических наук . 28

Рукопись № 603, датированная 29 апреля 1682 г., содержит практическую арифметику и практическую геометрию.29 По,

* Вопрос о т&га^Яэ^и^лн Дти-работы написаны преподавателями ака­демии, мы здеемйе 'р а с с м а т р и в а в ;р'У ч

арифметике хорошо представлена структура десятичной си­стемы. Операции над целыми числами формулируются в виде правил. Дана таблица умножения. Вслед за прямыми опера­циями формулируются обратные, которые используются для проверки. Проверка производится систематически во всех случаях, и тем самым обеспечивается обратная связь в вы­числительном процессе.

Сначала дается понятие об обыкновенных дробях, затем излагаются дроби десятичные. Правила действий над деся­тичными дробями даются без обоснования. Обращение обык­новенных дробей в десятичные — на простейших примерах. Далее идут задачи на тройные правила, действия над обыкно­венными дробями, чему предшествует нахождение НОД и НОК. По традиции рассматриваются возвышение во вторую и третью степень, извлечение квадратных и кубических корней из целых чисел и десятичных дробей и прогрессии. Последняя тема включает: определение суммы членов прогрессии (на частном примере), восстановление пропущенных членов, про­должение прогрессий в ту и другую сторону. Рукопись закан­чивается изложением шестидесятеричных дробей.

Отметим кратко ее особенности. Рукопись написана четка и хорошо сохранилась. Изложение состоит из формулировки правил, демонстрации вычислительных схем и примеров. Вы­числительные алгоритмы схематизированы, чем обеспечива­ется некоторая автоматизация вычислений. Операции над десятичными дробями сообщаются раньше, чем операции над обыкновенными. Сравнение обыкновенных дробей по величине иллюстрируется графически. Обыкновенные дроби излагаются в два приема: сначала дается общее понятие, а потом, после десятичных, сообщаются правила и схемы операций над ними.

Некоторые авторы, говоря об истории десятичных дробей, подчеркивают тот факт, что они вошли в педагогическую ли­тературу, утвердились в ней и через нее получили всеобщее распространение после того, как была введена десятичная система измерения величин. На самом деле процесс их рас­пространения был сложнее этой простой и кажущейся вполне логичной схемы. Отчасти это утверждение верно, но оно имеет отношение к учебникам, служившим целям обучения торгово- промышленной практике. В университетское преподавание десятичные дроби вошли, по-видимому, достаточно рано. В Краковской академии, например, благодаря работам Бро- жека, они были известны еще в начале XVII в. Как показы­вает данная рукопись, в Виленской академии десятичные дроби были известны во второй половине XVII в., а может быть и ранее. Они применялись для вычисления корней и лога­рифмов, вместе с которыми и распространялись.

18

Запись десятичных дробей в XVII в. производилась без упо­требления запятой, а с помощью различных разрядных указа­телей, например, число 2,95 записывалось так: ^

Аналогично записывалось значение угла: Агеа 7 3 3 у1 1̂ -

Запись десятичных дробей в XVIII в. не достигла еще со­временной унификации. Наряду с точкой и запятой, служив­шими для отделения целой части, применялись, как и прежде, различные разрядные указатели, например, в рукописи № 123 1755 г. число 32,45678 записано так: 32/0 4/1 5/П 6/Ш 7/1У 8/У. Но наряду с этой имеется запись с употреблением запятой, т. е. современная. Иногда целая часть совсем не отделяется, а в конце ставится лишь указатель числа деся­тичных знаков. Например, вместо 2357,91486 записано: 235791486/У. Пример на сложение:

304506/У 240305/У 544811/У

При изучении рукописей и печатной математической лите­ратуры второй половины XVIII в. легко было заметить, что запятая или точка для отделения целой части применялись в теоретических частях арифметики, например, в теории лога­рифмов, на практике же использовались вариации первона­чального символического обозначения десятичных дробей.

Шестидесятеричные дроби продолжали еще играть боль­шую роль в XVII в., поэтому они подробно излагались в кур­сах математики, а по традиции они занимали место в учебной литературе и в XVIII в., вплоть до XIX в. Так по крайней мере наблюдается в Вильно, но это не было исключением. 30

Рукопись № 969 представляет собой чисто практический курс. Написана на немецком языке, занимает 76 страниц и относится к концу XVII в.31 Сначала рассматриваются задачи на «правила» в целых числах, затем идет раздел об обыкно­венных дробях. Операции над дробями выполняются по схе­мам, встречающимся в польских и немецких арифметиках XVII в., а именно:

Вторая часть рукописи посвящена практической геометрии.Рукопись XVII в. по практической геометрии под № 12232

содержит теоретический материал из первых книг Евклида, минимально необходимый для обоснования решения практи­ческих задач землемерия (некоторые простейшие задачи на построение, учение о равенстве и подобии плоских фигур, раз­биение многоугольника на треугольники и учение об окруж­ности). Во второй части рассматриваются задачи на опреде­ление расстояний между двумя пунктами на поверхности земли и высоты предметов, а также определение площадей. Участки земли в плане даются сложной формы, например прилегающие к извилистой речке.

В рукописи рассматривается большое число геодезических задач, которые иллюстрируются рисунками. Приведем основ­ные из них.

1) Съемка границ участка с помощью вспомогательного прямоугольного инструментального хода; съемка нескольких участков тем же способом. Во втором случае через все участ­ки проложены инструментальные ходы, имеющие общую точ­ку, следовательно, они связываются между собою в единую- систему. Ходы висячие, разомкнутые, что может послужить причиной значительных ошибок при создании съемочной ба­зисной основы.

2 ) Изображение ряда населенных пунктов в плане с ори­ентированной прямоугольной системой координат. На плане изображен замкнутый инструментальный ход, с помощью ко­торого определяются положения этих пунктов в выбранной системе координат.

3) Определение е ы с о т ы башни с одной позиции; определе­ние высоты башни с трех позиций (ниже, выше и на уровне основания).

4) Определение расстояния до недоступного предмета.5) Определение положения наивысшей точки скалы отно­

сительно поверхности водоема.6) Определение глубины цилиндрического резервуара

(колодца).7) Построение планов фортов звездчатой формы.Все задачи на определение расстояний до недоступных

предметов и их высот имели важное значение в военном деле. Это задачи на определение расстояний до неприятельских батарей, определение высот укреплений, с которых произво­дится обстрел и т. д.

8) Одна из задач содержит элементы триангуляции. На соответствующем рисунке показано определение расстояний до ряда пунктов на основе пбстроения треугольников с одним базисом, но положение некоторых объектов, с которых не­

20

возможно вести наблюдение, определяется из системы не­скольких треугольников. А это уже элемент триангуляции.

Все эти задачи описываются в тексте, рисунки показывают практическое выполнение работы, но математические расчеты, как и по другим разделам рукописи, отсутствуют.

Кроме геодезии, рукопись содержит учение о перспективе, гражданской и военной архитектуре. В главе о перспективе,как сказано во введении к ней, Стевина об этом предмете. З а ­метим, что учение о перспекти­ве достаточно успешно разра­батывалось в XVI и XVII вв. и рано вошло в практику универ­ситетского преподавания.

Рукопись завершается гра­фическими вычислениями, ко­торые относятся к разделу, по­священному геодезии. Этот раз­дел можно отнести к предысто­рии номографии, и поэтому он представляет интерес не только для истории просвещения, но ^ для истории науки. В извест­ных нам работах по истории

излагается учение Симона

П лан участка местности.

Определение высоты баш ни военного укрепления.

номографии эта рукопись не упоминается, как и не освеща­ются те способы номографирования, которые в ней изложе­ны.33 Автор сделал сообщение о содержании этой рукописи; в 1965 г. в Вильнюсе.34

21

Перейдем к описанию графических вычислений, содержа­щихся в этой рукописи, и их обоснованию, которое в руко­писи отсутствует. Здесь приведены следующие задачи на решение прямоугольного треугольника:

1) Даны катеты, определить гипотенузу.2 ) Даны гипотенуза и катет, определить другой катет.3) Даны два катета, определить угол. Величина угла

определяется до целого числа минут и, между прочим, доста­точно грубо.

4) Даны гипотенуза и катет, определить заключенный между ними угол.

5) Даны угол и прилежащий катет, определить другой катет и гипотенузу.

6) Даны гипотенуза и угол, определить катеты.Решение этих задач на прямоугольной сетке с тремя шка­

лами при наличии линейки с делениями или циркуля (так как сетка окружностей отсутствует) не представляет труда и в наше время рекомендуется для учащихся школы.35 Однако рассмотрим одну из задач, например последнюю. Под задан­ным углом, который отсчитывается на шкале, проводим пря­мую (накладываем линейку) и фиксируем на ней точку, соответствующую длине гипотенузы (с помощью делений на линейке или с помощью циркуля). Численные значения аб­сциссы и ординаты этой точки снимаются непосредственно с сетки. Эти значения и определяют длины искомых катетов.

Решение косоугольных треугольников производится на той же сетке. Рассмотрим одну из основных задач и дадим обо-

8 снование ее решения, которое, как уже сказано, в тексте от­сутствует.

Задача 7. Даны сторона треугольника а = 45, прилегающие к ней углы в 60° и 80°. Определить две другие стороны Ь и с. Задача решается по следующему правилу. Проводим на сетке лучи под указанными углами, как показано на чертеже. Из точки вертикальной шкалы с меткой 45 проводится горизон­тальная параллель до встречи с первым лучом, проведенным под углом 40°. Точка пересечения А\ отображается (перено­сится циркулем) на второй луч, проведенный под углом 60°. Отображение точки А\ обозначено через А 2. Из точки А 2 про­водится горизонтальная параллель До пересечения с верти­кальной шкалой (точка В2). Точка А 2 отображается таким же образом на третий луч, получается точка Л3. Эта последняя проектируется на вертикальную шкалу, получается точка В 3. Отрезки на шкале ОВ2 и ОВ3, численное значение которых снимается непосредственно со шкалы, равны искомым сторо­нам: ОВ2 — стороне, лежащей против угла 60°, ОВ3 — стороне, лежащей против угла 80°.

Для обоснования этого правила рассмотрим задачу в об-

22

щем виде. Пусть даны сторона треугольника а и два приле­гающих к ней угла (3 и у. Определить две другие стороны Ь и с. Находим значение третьего угла, который обозначим а. Пусть а < р < у . Заметим, что отношение между величинами углов не влияет на общность рассуждения. Проводим на сет­ке три луча (а), (|3), (у) под углами а, |5 и у. Найдем значе­ние сторон треугольника Ь и с из формулы синусов:

а Ь с и а • о / 1 \—:— = ■ . о = — — ; Ь — —----------- 51пр; (1 )51П а 51П р 51П у 5 ! П а 1 ' '

С = —Л— • 51П у. (2\5!П а ' \ ^ )

Теперь остается дать геометрическую интерпретацию фор­мулам ( 1 ) и (2 ) (рис. 1 ).

Рис. 1. Рис. 2.

Очевидно, что множитель ■, входящий в обе формулы,

представляет собой отрезок 0ЛХ, если а — ОВх\ ОЛ2 = 0ЛХ по построению.

= 81П Р; ОВ2 = ОА2 ■ зшр = ОА1 • 8Ш р = • зш р;Уу /11 81П ОС

ь = ов2.Далее: 0 А 1 — ОА3 по построению. ОВ3 = ОА3 • з т у , ОВ3 =

— ОАг • 51П у = — • 51П у; с = ОВ3.1 1 51П а г 3

Аналогичным образом решаются следующие задачи. Задача 8. Даны две стороны треугольника а и Ь и угол

между ними у. Определить два других угла а и |3 и третью сторону с. В рукописи рассматривается два случая: 1) 0 ° < у < <90° и 2) 9 0 °< у < 180°.

23

Задача 9. Даны две стороны е и ^ и угол против одной из них а. Определить третью сторону / и углы (3 и у.

Решение сводится к решению задачи 7 (рис. 2).Задача 10. Треугольник А ВС дан своими сторонами, опре­

делить его углы. Задача решается следующим образом. Сна­чала строится на сетке данный треугольник так, чтобы его вершина А совпала с началом координатной сетки. Тогда про­должение стороны до шкалы градусов покажет значение одно­го угла. Затем строится тот же треугольник, но так, чтобы его вершина В совпала с началом координат. Это позволит на шкале определить значение второго угла. Третий угол определяется вычислением.

При изучении постановки преподавания астрономии мы старались выяснить один вопрос: какое место в этом препода­вании занимало учение Н. Коперника, имея в виду, что книга его «Ве ге'уо1и1юшЪи5 огЫит саекзИ ит» находилась под зап­ретом папской конгрегации с 1616 и по 1828 г. По крайней мере на первом этапе истории академии в преподавании астро­номии, как нам представляется, известную роль играл трак­тат Христофора Клавия, его «Комментарии» к «Сфере» Са­кробоско (Рим, 1581, на лат. яз.), книги которого находили большое применение в учебных заведениях такого типа, как Виленская академия. Астрономия излагается Клавием с гео­центрических позиций.

Но уже в рукописи преподавателя А. Милевского (Е1етеп- 1а1е азЬопогшсит» (1629— 1630) наряду с системой мира по Птолемею кратко излагаются системы Коперника и Тихо Б ра­ге (с соответствующими схематическими рисунками).

О преподавании астрономии в тридцатые годы дает пред­ставление курс лекций А. Дыблинского (Вильно, 1639), на котором остановимся подробнее. При изучении этих лекций мы пользовались их переводом на русский язык, выполненным в 1707 г. В. Киприяновым. Киприянов подготовил перевод к печати, имея в виду нужды Математико-навигацкой школы.36 Поскольку вопрос об издании этой рукописи не освещен в ли­тературе, мы сделали попытку ответить на него.

Изучением деятельности Киприянова специально зани­мался А. В. Бородин37, имеются сведения о нем в работе В. Л. Ченакала 38, а также в небольшой рукописи, посвящен­ной Киприянову, хранящейся в Отделе редкой книги Ленин­градской библиотеки им. Салтыкова-Щедрина. На основании этих источников и собственных попыток обнаружить печатное издание можно утверждать с определенностью, что рукопись Киприянова не была издана. *

* Из указанных источников следует, что Василий Онуфриевич Кипри­янов был математиком, гравером и издателем. О дате рождения сведений не имеется, а умер он в Москве в 1723 г. Подписывался так: «Математи­

Нас интересовали следующие вопросы относительно лек­ций, носящих название «Сотня астрономская»: 1 ) объем и об­щий характер курса; 2 ) научная концепция мира; 3 ) отраже­ние идей Коперника; 4) математические расчеты.

Вся работа состоит из 100 пунктов (предложений), каж ­дый из которых рассчитан приблизительно на часовую лекцию. Следовательно, это достаточно солидный курс. По­следние 10 пунктов, на содержании которых мы не будем останавливаться, относятся к астрологии. Астрономический текст занимает свыше 150 страниц.

В первых пунктах дается по И. Сакробоско описание не­бесной сферы. Утверждается, что, кроме основной сферы (звезд), существует семь планетных сфер, которые располо­жены эксцентрично к основной; по эксцентрично расположен­ным кругам вращаются центры эпициклов с движущимися по ним планетами. Один из первых чертежей трактует схемати­чески движение Солнца и Луны вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным также эксцентрично. Этот чертеж имеется и в книге Сакробоско «Сфера Мира». Таким образом, исходные положения этого курса взяты из раннего средневе­кового источника, и им в какой-то степени определялось, сле­довательно, преподавание этой науки.

Сфера для определения положения на ней светил покры­вается координатной сеткой. Вводится система основных линий и точек сферы. Описывается годичное движение Солнца по эклиптике с указанием ее наклона к экватору и времени солнцестояний и равноденствий. Отсюда — деление земли на поясы и описание климатических условий. Астрономия здесь переходит в географию. На этом заканчиваются первые семь предложений. В пп. 8— 11 продолжается объяснение явлений, которые обусловлены наклоном эклиптики к экватору, как, например, продолжительность дня на разных широтах. Сооб­

ческих наук Куприянов и библиотекарь». Звание библиотекаря у Киприяно­ва было почетным. Он получил его от Петра I в 1705 г. Он сотрудничал с Л. Магницким в издании его «Арифметики». В 1705 г. им была организова­на библиотека и гражданская типография, работавш ая под наблюдением Якова Брюса. Типография издавала учебники и учебные пособия для Ма- тематико-навигацкой школы. Граверные работы при этом выполнял боль­шей частью Киприянов. Он составил пособие «Новый способ Арифметики... ради удобнейшего понятия... сочинен в царствующем великом граде Москве лета господня 1705 через труды Василия Киприянова». Это настенная табли­ца с красиво оформленными аллегорическими изображениями и сценами, по­казывающими значение точных наук в житейской практике. Принимал учас­тие в издании календаря («Брюсов календарь»). Им были составлены «Гло­бус небесный» и «Карта неба» с изображением схемы движения планет по системе Н. Коперника («трудолюбивым юношам всякого возраста иже ра- зумети желают течение яко неба тако и земли по Коперникову рассужде­нию»), В распространении идей Н. Коперника в России Киприянову, не­сомненно, принадлежит большая заслуга.

(25

щается максимальная продолжительность дня для различных пунктов земной поверхности европейских и американских государств, в частности Москвы и Вильно. Диаметр Земли принимается (по Тихо Браге) равным 1720 германским милям, где миля соответствует 1/15 градуса, что хотя и грубо, но согласуется с общепринятыми современными данными.

Пп. 12— 18 посвящены описанию движения Луны и наблю­даемым при этом видимым явлениям. Наклон орбиты Луны к эклиптике принимается в 5°, что значительно отличается от истинного значения. Объясняется явление лунных фаз. При­водится таблица (скрижаль) эпактов для определения «воз­раста» Луны, с формулировкой правила, как этой таблицей пользоваться.38 Отмечено, что «эта таблица составлена астро­номами и нами удобным методом исправлена». В последую­щих предложениях (до 23-го) объясняются видимые движе­ния планет с указанием элонгации Венеры. В связи с описа­нием движения Венеры приводится такой факт: «Тридцать лет назад в Вильно днем была видна Венера при Солнце между облаками и искусные астрономы зрительно ее виде­ли».39 Этот факт является свидетельством того, что в Вильно «искусные астрономы» работали по крайней мере с начала XVII в., а может быть и ранее. Об этом свидетельствует труд Рудамины «ШизШога 1Ьеогеша1а...» (1633), в котором описы­ваются телескоп Галилея и наблюдения за спутниками Юпите­ра. Вопрос п. 23 имеет принципиальный характер: «Небеса тверды или течны?» Ответ гласит: небеса тверды, так как звез­ды не меняют своего относительного положения. Имеется ссылка на священное писание, утверждающее это положение. В п. 25 спрашивается: «Что есть свет звезд?». Ответ: «Едино Солнце в звездах свойственным (собственным) сияет светом, иныя вся от Солнца просвещены сияют... от них же свет сол­нечный аки от зерцал сотренных загбен (преломлен), тыя же сияти творит» .40 Следующие пункты опять посвящаются опи­санию Луны, даются объяснения «что есть скверны в Луне», «почто Луна оногда роговата, оногда горбата, оногда проста является» и что ее «рога обозначают».41 В связи с этим послед­ним автор замечает: «Неискусный народ от стеснения и возвы­шения рогов Луны, ово ведро, ово дожди и бури ворожит». И далее: «Роги Луны изостренные уже не по общему мнению, но по разуму мировых (?) астрономов тишину предвещают, якоже роги ее тупыя, дожди и бури...»42 Цвет Луны также свя­зывается с явлениями погоды, поскольку объясняется состоя­нием атмосферы. Но, «что чремность солнечная утренняя и вечерняя указует? Предлог сей разрешает сам спаситель наш, Матфея, 16: вёдрено будет, черемно бо есть небо и утром днесь буря разжижается, бо смутно небо».43 Ссылки на свя­щенное писание встречаются многократно.

26

В пп. 35—36 объясняются видимые в телескоп фазы Ве­неры. Обсуждается вопрос о фазах Меркурия, отсюда можно заключить, что фазы эти наблюдались. Элонгация Венеры и Меркурия сообщается по данным Тихо Браге (соответствен­но 48° и 28°). Положение этих планет излагается по Птолемею и Тихо Браге. Здесь автор умалчивает о Копернике. В пп. 40— 42 спрашивается: «Отчего происходит блистание звезд?» и «Почто планеты не блистают?» Автор говорит, что на вопрос о «трепетании звезд» разные ученые дают разный ответ. При­водятся мнения Виттелло, Кардана, Аристотеля и др., а «Аква- лениус самому богу, небесные естества создавшему, ведение о трепете звезд оставляет». Далее сообщается, что Шейнерус при наблюдении в трубу заметил, как звезды становятся мень­ше и не трепещут, в то же время планеты видимы в трубу в увеличенном размере. Отсутствие «трепетания» планет объ­ясняется по Аристотелю со ссылкой на его трактат «О небе». В п. 43 решается вопрос о числе небес, также со ссылкой на Аристотеля (7 планетных небес и 8-е небо звезд, 9— 10 — первого и второго веса и 11-е — «седалище блаженных»). Д а ­лее описываются телескопические наблюдения Венеры в Виль­но, произведенные в 1639 г., и вслед за этим дается таблица ее положений за ряд последующих лет с расчетом фаз и с ука­занием точных дат, когда она будет видна в том или ином удалении от Солнца. Это чрезвычайно интересный пункт, свидетельствующий о том, что в Вильно производились теле­скопические наблюдения и математические расчеты положе­ния планет относительно Солнца.

П. 44 посвящен решению вопроса о количестве всех звезд. Вначале автор как бы полемизирует с некоторыми астрономами, говоря, что они «басни припевают», а не решают этого вопроса. Опорой служит священное писание, где сказа­но: «умножу семя твое, яко звезды небесны» или же: «Исчис­ли звезды, если можешь!». Это надо понимать так, что число их не доступно полному подсчету.

После этого сообщаются данные Тихо Браге о числе «есте­ственно видимых звезд» (незаходящих 780, заходящих 317, всего 1097).

В следующем пункте автор ведет речь о количестве планет и заключает: «Есть и иные многие, но за своею малостью от очей наших скрываются, их же никоим зрительным орудием облюдаты не можем окрест Солнца блюдящие» .44 Здесь, как видно, автор повторяет распространенное среди астрономов того времени мнение, вызванное открытием спутников Юпи­тера Галилеем, что существуют планеты, находящиеся в зоне между Солнцем и Меркурием («окрест Солнца блюдящие»). За движением спутников Юпитера в Вильно производились специальные наблюдения.45

27

В пп. 46—55 описывается движение звездного неба — су­точное и годичное. Правильно объясняется, почему одни звез­ды являются незаходящими, другие заходящими. В п. 53 речь идет о явлении прецессии. Автор по этому вопросу излагает учение «Великого Николая Коперника, каноника Вармского» и Тихо Браге. Но пункт завершается выводом: «Совершается все небо звезд через лета 26 050» (период прецессии), т. е. принимается реальным вращательное движение небесного свода.

В пп. 56—62 рассматривается годичное движение всех пла­нет и движение Луны. Сообщаются все известные в то время числовые характеристики этих движений, включая и попят­ное движение внешних планет. В этом месте также имеется ссылка на Коперника, на его объяснение попятного движения как параллактического смещения.46

П. 63 содержит расчеты скорости движения «звезд твер- дильных» и планет. Расстояние «до неба звезд» принимается по Тихо Браге, длина окружности вычисляется по правилу Архимеда. Затем длина окружности делится на 24 и полу­чается скорость вращения в один час. Скорость получается колоссальной; автор делает такое сравнение: «Еже движение толико скоро есть, аще яко некое тело подобную скорость окрест Земли двизалось бы, в единого часа расстояние обошло бы Землю 584 стогнами» (витками).47 *

В пп. 64 и 65 производится вычисление скорости движения Солнца и Луны по данным Браге. Расстояние до Солнца силь­но преуменьшено. В следующих пунктах объясняется, как определяются расстояния до планет по параллаксу, расстоя­ния выражаются в германских милях (поприщах). Явление параллакса описывается подробно и иллюстрируется на чер­теже. Строится прямоугольный параллактический треуголь­ник и решается задача на определение расстояния от центра Земли до светила, когда известен горизонтальный параллакс.

Общность рассуждения и вывода отсутствует, задача ре­шается с числовыми данными. При вычислении расстояния до Солнца его параллакс (по Тихо Браге) принимается за три минуты. Отсюда и расстояние получается во много раз мень­ше истинного. Расстояние до Луны определено в 60 земных радиусов, т. е. достаточно точное. Удаление других планет от Земли и Солнца не вычисляется, приводятся готовые данные различных астрономов.

* Вот этот расчет: «По Тихону полудиаметр Земли 860 поприщ, рас­стояние до звезд 14 000 полудиаметров. Умножаю 14 000 на 860, получаю 12 040 000. Полудиаметр звездного неба 12 040 000 или диаметр будет 24 080 000 поприщ. По Архимеду... на 3 умножаем и тоже на 7 делим и при­бавляем и будем иметь 75 680 000 поприщ. Делим на 24, получим 31 533 333 поприщ» (в час).

28

В пп. 72 и 73 решается вопрос о размерах Солнца и Луны. Если размеры Луны указываются более или менее реальными, то диаметр Солнца не соответствует действительности, он сильно преуменьшен, что является следствием ошибочного определения его параллакса. Хотя данные приводятся в гото­вом виде (по Тихо Браге), но поясняется, как они могут быть получены.

Пп. 78—90 посвящены описанию и расчетам лунных и сол­нечных затмений. Задача сводится к решению подобных треугольников. Размеры светил, расстояния и скорости дви­жения, необходимые для решения этой задачи, вычислены или приведены в готовом виде в предыдущих пунктах. Автор выражает удивление, что некоторые сомневаются в возмож­ности предвычислений затмений и поднимают «на смех ма­тематиков».

Причины затмений описываются следующими словами: «Луны затмение случается токмо полнолунием и винословится вложением Земли (между) Солнцем и Луной, яко сице сол­нечные лучи Луну за темность Земли досягать не могут». ♦«Солнце бо егда омрачается в себе пребывает светло, но от нас не видится: Луна же просте свет погубляет».48

Теория затмений рассматривается достаточно подробно. Так, например, в предложении 83 дается обстоятельный ответ на вопрос: «Почто затмение Солнца и Луны всякие (бывают), некогда долгшим, овогда кратким временем жестеют (продол­жаются)». Ответ гласит, что Луна и Солнце бывают на разных расстояниях от Земли, поэтому и конус тени бывает различен, отсюда и разная продолжительность затмений. Учитывается при этом скорость движения тени. На чертежах и с привлече­нием некоторых расчетов, основанных на теории пропорций, объясняется явление частичного солнечного затмения. Дается ответ на вопрос: «Почто Солнце и Луна убо отчасти горния овогда отчасти нижния омрачаются». Автор знакомит в связи с этим со структурой драконического узла и поясняет на ри­сунках различные конфигурации в расположении светил, ка­кие возможны в узлах при затмениях.

Остальные части относятся более к астрологии, нежели к астрономии. Впрочем автор достаточно критически оцени­вает область, относящуюся к астрологии, но говорит, что «Мы зде неразнственно имя астронома и астролога приемлем» .49

После общего обзора работы можно сформулировать сле­дующие выводы.

Основой труда является геоцентрическая концепция, но автор старался познакомить читателей «с мнениями других астрономов». В этой связи имя Коперника упоминается при объяснении явления прецессии и попятных движений. Полно­стью учение Коперника не раскрыто. Но сказать больше о Ко­

пернике в стенах иезуитской академии было в то время и не­возможно, поскольку его сочинения были под запретом. Автор вызывает не упрек, а, наоборот, глубокое чувство уважения за то, что он в эту мрачную эпоху имел смелость и мужество упомянуть имя Коперника, причем в теплых выражениях.

Рассмотренный курс лекций не был построен строго на научных концепциях мира (по Копернику), но он содержал богатый фактический материал, полученный Тихо Браге. Ме­тод изложения можно назвать описательным, словесным, не­математическим. Но ряд важных задач решается вычислением. Вычисляются линейные скорости движения светил, расстоя­ния до светил по параллаксу и математически обосновыва­ется теория затмений. Весь математический аппарат сводится к технике четырех арифметических действий с целыми числа­ми и шестидесятеричными дробями, решению прямоугольного треугольника с употреблением синуса, теории подобия и тео­рии пропорций. Этот аппарат, как видно, невелик, и он соот­ветствует нашим предположениям об объеме математической информации, которую давала академия в XVI и начале XVII вв. В дальнейшем преподавании астрономии в академии система мира по Копернику излагалась, но эпизодически и как гипотетическая.

Известно, что XVII в. характеризуется необычайно высо­кой творческой активностью математиков. В этом веке были заложены основы аналитической геометрии (Декарт, Ферма), теории вероятностей (Ферма, Паскаль), получила развитие теория чисел (Ферма), алгебра (Декарт) и, наконец, были открыты дифференциальное и интегральное исчисления (Лейб­ниц, Ньютон). Назовем еще ряд выдающихся математиковXVII в., известных трудами фундаментального значения: Кеплер, Кавальери, Валлис, Дезарг, Барроу, Гюйгенс; в конце столетия начали свою научную деятельность братья Бернулли. В 1682 г. был создан первый математический журнал «Ас1а аегисШогит», в 1696 г. вышел первый учебник математиче­ского анализа (Лопиталь). На базе успешного разви­тия математики и механики возникает новая механиче­ская концепция мира. Таким образом, была создана пре­восходная научная база для существенной реформы уни­верситетского образования. Частично эта реформа была про­ведена в первой половине XVIII в. Она связана с именем X. Вольфа.

Характеризуя XVII в., Д. Стройк говорит: «Университеты развивались в период схоластики (за некоторым исключе­нием...) и оставались покровителями средневекового подхода, требовавшего изложения науки в застывших формах» . 50 Поэ­тому деятельность ученых сосредоточивалась не в универси­тетах, а в учреждениях нового типа — научных обществах

30

(академиях), и университетское преподавание математических наук не отражало новейших научных достижений.

Анализ содержания математического образования показы­вает, что в XVII в. оно носило преимущественно прикладной характер. Университетская математика, будучи в отрыве от основных теоретических достижений века, связала, таким образом, свои задачи с потребностями практического характе­ра и тем самым отвечала непосредственным нуждам нарожда­ющейся новой социально-экономической формации. Так обсто­яло дело в Виленской академии.

Какие причины мешали развитию научного теоретического образования? Прежде всего университеты старались сохра­нить средневековые традиции. Большим тормозом следует считать идеологическую борьбу на религиозной почве, которая отвлекала внимание и силы от научных исследований, от подготовки учащихся в области математических наук в сред­ней и высшей школе. Сама университетская обстановка, таким образом, была неблагоприятной для научного творчества. Все эти различные формы идеологической борьбы были обуслов­лены противоречиями, возникшими в сложном процессе смены феодальной общественно-экономической формации капитали­стической.

§ 3. МАТЕМАТИКА В ВИЛЕНСКОЙ АКАДЕМИИ В XVIII в.

Восемнадцатый век характеризуется капиталистическим способом производства. «Промышленная революция, образо­вание мирового рынка, связанные с этим нужды мореплава­ния, кораблестроения, военной техники, теплотехники, гидро­энергетики и т. п., практические нужды общества ставят перед наукой быстро усложняющиеся задачи.» 51

Перед математикой возникает ряд естественнонаучных проблем, для решения которых потребовались новые методы, новые теории и целые научные области. Гибким в этом отно­шении оказался математический анализ и основанная на нем теория дифференциальных уравнений, разработка которых и составила главное направление в математике XVIII в. «В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредото­чивалась в области анализа и его приложений к механике.»52

Работы по математическому анализу породили новые тео­рии, которые легли в основу новых математических направле* ний, новых областей математического знания. В этом отно­шении XVIII в. был исключительно плодотворным. Теория рядов, дифференциальная геометрия, теория функций комп­лексного переменного, вариационное исчисление, дифферен­циальные уравнения в частных производных, затем теория вероятностей и теории чисел или возникли в XVIII в., или по­

31

лучили мощный толчок к развитию. В области алгебры иссле­довалась проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и был предрешен результат, обоснованный затем Абелем.

На аналитической основе создаются механика твердых и жидких тел и небесная механика. Выходят «Гидродинамика» Д. Бернулли, многотомные «Аналитическая механика» Л аг­ранжа и «Небесная механика» Лапласа. Математика успешно применяется в навигации, кораблестроении, военном деле и т. д. Эйлер создает фундаментальные сочинения по матема­тике, которые становятся классическими в научном и педаго­гическом отношениях. На их основе строятся впоследствии учебники по дифференциальному и интегральному исчисле­ниям, аналитической геометрии и алгебре.

Во Франции создается новая методологическая основа развития науки и просвещения, выраженная в знаменитой «Энциклопедии». Оживляется деятельность университетов, где развертывается творческая работа ученых. Подъем в области науки и просвещения переживает и Речь Посполита. Но по­следний раздел нанес довольно чувствительный урон начав­шемуся ее пробуждению, и Виленский университет, проявив в начале последней четверти XVIII в. признаки научной ак­тивности, к началу XIX в. не смог, по крайней мере в области математики, достигнуть высокого уровня.

Посмотрим, как эволюционировало преподавание матема­тических наук в XVIII в. Рукопись, датированная 1721 г., представляет собой курс академических лекций — «Натураль­ная философия или трактат по физике восьми книг Аристо­теля, читанных в 1721 году».53 Из 800 страниц текста только 40 последних относятся к математике и астрономии. Изложе­ние до чрезвычайности краткое, конспективное и бездоказа­тельное.

По арифметике излагаются различные системы числовых алфавитов, рассматриваются десятичные дроби. Геометриче­ский материал рукописи представлен несколько полнее. Изло­жены некоторые вопросы планиметрии, стереометрии, дано наглядное знакомство с коническими сечениями. По плани­метрии— учение об углах, окружности, треугольнике, трапе­ции, ромбе, параллелограмме. Рассмотрены пространственные фигуры: пирамида, цилиндр, конус, правильные многогран­ники, сфера; на чертеже показаны сечения конуса: эллипс, гипербола и парабола. Теория отсутствует.

И. Биелиньский приводит содержание одной книги без названия (так как первые страницы утеряны), которая, по его мнению, могла служить учебным пособием по физико- математическим наукам в академии. Он относит ее к 1730 г.54 Книга включает следующие предметы: арифметику, геомет­

32

рию, тригонометрию, оптику, перспективу, диоптрику, сфери­ческую тригонометрию, сферическую и теоретическую астроно­мию, общую географию, хронологию, гномику, механику, гид­ростатику, аэрометрию, гидравлику, гражданскую и военную архитектуру и алгебру.

Эти данные позволяют заключить, что с 20-х годов первой половины XVIII в. в математический курс академии входили арифметика, геометрия, тригонометрия, начала алгебры и сведения по теории конических сечений.

Период, включающий 50-е и 60-е годы XVIII в., благодаря наличию печатного учебника математики Я. Накциановича и датированных рукописей, может быть освещен с большей степенью точности и полноты, нежели предшествующие. В этот период заметно некоторое повышение роли физико-математи­ческих наук в системе академического образования.

Из математиков, работавших в эти годы в академии, из­вестны три профессора: Фома Жебровский, его ученик Яков Накцианович и Франтишек Нарвойш.*

Естественно предположить, что при Жебровском матема­тическое образование находилось на высоком уровне. К пе­риоду его деятельности относятся рукописи на немецком языке № 123 и 124, представляющие единый курс математики, на­писанный под влиянием «Начальных оснований» Вольфа. На титульном листе одной из них имеется пометка по-латыни: «Из библиотеки Виленской астрономической обсерватории». Эта пометка может означать принадлежность рукописей Ж еб­ровскому, как единственному в то время астроному. Характе­ризуют ли они преподавание математики в Виленском или Пражском университете — установить трудно.

Познакомимся кратко с содержанием этих рукописей.Вступление содержит объяснение основных понятий.

«Арифметика» или «Искусство счета» составляет первую часть. Содержание ее чрезвычайно полное по объему, метод изложения вольфианский. Арифметика, по определению авто­ра, изучает дискретные величины. Наряду с рассмотрением действий над рациональными числами рассматривается в обобщенной (алгебраической) форме теория числовых нера­венств, причем достаточно обоснованно.

Арифметические пропорции и прогрессии, затем геометри­ческие пропорции и прогрессии рассматриваются сначала на числовых примерах, затем в алгебраической форме. Подоб­ным же образом излагаются другие разделы — от частных арифметических примеров до их алгебраических обобщений.

* Проф. Ф. Ж ебровский (1714— 1758) математическое образование по­лучил в Пражском университете. В 50-е годы он преподавал в академии математику и астрономию. Его стараниями была открыта астрономическая обсерватория, благодаря которой академия стала известна в ученом мире.55

2 Н. Д . Беспамятных (33

Понятие логарифма строится, как обычно, на основе со­поставления прогрессий. Следом за логарифмами идет раздел о степенях и корнях. Если в других рукописях этот раздел изложен чисто арифметически, то здесь — в алгебраической форме. Формула квадрата двучлена имеет геометрическую интерпретацию. Обосновывается алгоритм извлечения квад­ратного корня из чисел. Этот раздел сопровождается геомет­рическими задачами на вычисление площадей и объемов.

Разделы об обыкновенных и десятичных дробях содержат изложение всех операций, включая извлечение квадратного и кубического корней. Теория десятичных дробей строится на базе теории обыкновенных.* Полнота, доказательность, а так­же современность стиля возвышают эту рукопись над други­ми рукописями этого периода.

В чрезвычайно большом разделе «Практической арифме­тики» излагается вопрос о приложимости арифметики к дру­гим дисциплинам. Рассматриваются правило трех, правило ложного положения и правило товарищества. Все разделы содержат большое число задач с подробными решениями и развиты в теоретическом отношении.

Рукопись № 124 является продолжением рукописи № 123. Она содержит следующие разделы: геометрия элементарная, геометрия аналитическая, тригонометрия практическая, линия и поверхности второго порядка.

За исключением, следовательно, анализа бесконечно ма­лых и развитой алгебры (в арифметике применяется буквен­ная символика и правила оперирования с буквенными выра­жениями), в этих двух рукописях представлена вся универ­ситетская математика того времени.

Геометрия начинается с исторического обзора и описания ее приложений. Далее идет курс элементарной геометрии (планиметрия и стереометрия).

Аналитическая геометрия изложена обстоятельно, рас­смотрены прямая и все кривые второго порядка. Затем идет раздел тригонометрии. Очень подробно рассматриваются при­ложения тригонометрии к геодезии, дается описание геодези­ческих инструментов. Рассматриваются геодезические задачи на сложные ситуации. Даются приложения тригонометрии к фортификации и артиллерии. Производится расчет укреп­лений различной формы. Курс завершается объяснением три­гонометрических и логарифмических таблиц. Приводится гра­фик логарифмической функции. При употреблении таблиц логарифмов и тригонометрических функций применяется ме­тод линейной интерполяции.

* Запись десятичных дробей двоякая: дробная часть отделяется точ­кой или же посредством специальных указателей.

34

Вероятно, еще при жизни Жебровского математику в ака­демии начал преподавать его ученик Яков Накцианович.*

Как объясняют, Накцианович оставил Вильно в связи с тем, что кафедру математики (и астрономии) занял приехав­ший из длительной заграничной научной поездки М. Почобут. Но могла быть и другая причина для его увольнения из ака­демии. Во всяком случае, трудно допустить, чтобы молодого и образованного профессора уволили без достаточных осно­ваний. Поэтому занятие М. Почобутом кафедр математики и астрономии может рассматриваться не как причина, а как следствие этого факта. К тому же Почобут, насколько нам известно, лично не занимался преподаванием математики в университете.

Я. Накцианович читал лекции, придерживаясь «Начальных оснований математических наук» X. Вольфа. Эти лекции были им опубликованы в 1759— 1761 гг.56 Введение этого курса в практику преподавания в Виленской академии мы рассмат­риваем как значительный шаг вперед.

Иезуиты, понимая возникшее противоречие между разви­тием науки, вызванным бурным прогрессом экономической жизни, и их системой образования, сковывавшей это разви­тие, в середине XVIII в. расширили круг учебных предметов по физико-математическим наукам, введя курс математики X. Вольфа в качестве учебного руководства. Модернизируется и преподавание философии. Философия Аристотеля уступает место современным воззрениям. В. Добшевичус в своих «Ргае1ес1юпез 1о§1сае» (1761) освещает философию Бэкона, Декарта и Локка.**

На энциклопедическом курсе математических наук X. Воль­фа мы не будем останавливаться, считая, что он известен читателю, и перейдем к характеристике содержания курса Я. Накциановича.

«Математические лекции» Накциановича представляют собой еще более сжатое изложение математики, нежели со­кращенный курс Вольфа ,57 и являются не простым его пере­водом (с немецкого на латинский), а значительной перера­боткой более или менее творческого характера. Это видно из следующего. Порядок предметов Накциановичем принят в основном тот же, что и у Вольфа, но не полностью. Н а ­пример, теория логарифмов составляет исключение. Вольф дает ее в курсе тригонометрии, Накцианович же теорию про­

* Я. Накцианович (1725— 1790) учился в Вильно, окончил Виленскую академию в 1754 г., в 1764 г. уехал в Гродно, где до конца жизни зани­мался преподавательской деятельностью.

** Заметим попутно, что рациональная философия Картезиуса проби­вала себе путь в университеты намного раньше, на рубеже XVII и XVIII вв.

2* 35

грессий и основанную на ней теорию логарифмов поместил в курсе арифметики. У Вольфа логарифмы играют роль вспо­могательного технического аппарата, у Накциановича это теоретический раздел математики. Структура, стиль изложе­ния сохраняются вольфианские.

Встречаются текстуальные различия, некоторые вопросы у Накциановича изложены иначе, чем у Вольфа, имеются так­же добавления. Например, нередки дополнения исторического содержания. Описывая употребление таблиц тригонометриче­ских функций, Накцианович останавливается на их истории, в связи с чем упоминает имя Николая Коперника. * В раздел арифметики Накцианович включил пункт, относящийся к инструментальному счету на линиях, хотя это выглядело в то время уже анахронизмом.

В целях более полного знакомства с этим курсом рассмот­рим содержание ряда глав несколько подробней. Во введении рассматриваются метод математики, ее структура, определе­ния элементов структуры, их взаимная связь (аксиома, тео­рема, постулат, определение номинальное и реальное, доказа-* тельство, пропозиция, королларий, схолия) и принципы препо­давания.

Гл. I (элементы арифметики) содержит определение основ­ных арифметических понятий: числа, классов чисел — целых, рациональных, иррациональных; разъясняется структура деся­тичной системы счисления; даются определения арифметиче­ских операций. Эта часть завершается формулировкой следу­ющих десяти аксиом арифметики:

1 ) а = а.2 ) Если а = Ъ, а —с, то Ь = с.3) Если а = Ь, то а + с = Ь + с.4) Если а>Ь, Ь = с + с1, то а > с + с1.5) Если а > Ь , то а + с>Ь + с.6) Если а = Ь, то а — с = Ь — с.7) Если а > Ь , то а — с>Ь — с.8) Если а = Ь, то ас = Ьс.

а в9) Если а = Ь, то ~с=~с 910) Целое равно сумме всех своих частей.В гл. II рассматриваются арифметические операции над

натуральными числами. Заметим, что законы операций нигде явно не выступают.

В гл. III — кратные отношения и геометрические пропорции. В гл. IV — дроби (обыкновенные).

Обращает на себя внимание построение двух последних глав. В первой из них в связи с понятием отношения вводится

* Накцианович придерживался гелиоцентрической системы.

36

понятие обыкновенной дроби. Во второй рассматриваются свойства дробей и операции над ними. Последние обосновыва­ются теорией пропорций. Таким образом, эти главы выступа­ют в логическом соподчинении.

В гл. V содержится традиционный материал арифметики: возведение чисел в квадрат и куб и извлечение квадратных и кубических корней.

В гл. VI рассматриваются различные задачи и пропорции.В гл. VII — количества, равные в разностном отношении

(арифметические отношения и пропорции).В гл. VIII (логарифмы) вводится понятие геометрической

и арифметической прогрессий и на основе их сопоставления определяется понятие логарифма. Описывается техника лога­рифмических вычислений с семизначными таблицами.

Гл. IX посвящена теории десятичных дробей. Понятие о де­сятичной дроби вводится на основе обыкновенной. Для перво­начального знакомства десятичная дробь выражается в виде геометрической прогрессии со знаменателем, равным одной десятой. Рассматривается способ нахождения логарифмов десятичных дробей и, наконец,— действия с десятичными дро­бями. Теория десятичных дробей излагается, таким образом, в связи с изучением логарифмов.

В гл. X рассматриваются шестидесятеричные дроби.В гл. XI сообщаются некоторые сведения об единицах из­

мерения величин.В последней гл. XII даются сведения о счете на линиях, ко­

торый бытовал в XVI и XVII вв. в Западной и Средней Евро­пе. В XVIII в. он вышел из употребления.

Хотя в Польше арабским цифровым алфавитом пользова­лись уже в XIV в., но во всеобщее употребление он вошел только в XVI в. Арифметические операции в этом алфавите производились учеными, а в житейской и торговой практике употреблялся счет посредством камушков на доске с сеткой параллельных линий. Практика «счета на линиях» излагалась в руководствах по арифметике в XVI и частью в XVII в. При­ведем из этой главы пример на сложение.

0 0000 0 . 00

ООО 0 X X

0 000 0 000 000

ооо

0 0 00

578 + 458 + 1036 = 2072

37

«Элементы геометрии» Накциановича, как и Вольфа, пред­ставляют собой одну из многих переделок «Начал» Евклида для учебных целей. Поэтому достаточно отметить лишь харак­терные особенности этого курса: его структуру, содержание частей и дополнения. Существенным отличием этой книги (как и других аналогичных) от «Начал» является то, что она содержит большое число всевозможных приложений в прак­тике, особенно землемерной.

Гл. I — вводная, содержит определения и объяснение по­нятий и терминов планиметрии.

Гл. II содержит целый ряд практических задач, как-то- провести прямую линию, измерить отрезок, построить окруж­ность, измерить угол транспортиром, построить данный угол с помощью транспортира; в ней описывается полевой угломер­ный инструмент с нониусом и решаются соответствующие за­дачи. Доказывается ряд теорем об углах и окружности. З а ­канчивается вторая глава списком аксиом геометрии.

В гл. III (прямые линии, равенство и подобие треугольни­ков) содержатся задачи и теоремы о взаимном расположении прямых на плоскости, теоремы о равенстве и подобии треуголь­ников и задачи на построение.

Наряду с этими математическими задачами и теоремами в этой главе рассматривается серия практических работ: по­строение «геометрической шкалы», определение расстояния между двумя недоступными точками на местности и высоты предмета. Описываются необходимые для выполнения этих работ геодезические инструменты и методы работы с ними.

Раздел практической геометрии представлен значительным числом задач и имеет важное значение в постановке препода­вания математики. По всей вероятности, из академии выходи­ли специалисты в области геодезии, которые в связи с много­кратным переучетом и перемежеванием земельных угодий тре­бовались в государстве.

Гл. IV содержит геометрию окружности. Наряду с теоре­мами о свойствах хорд, об углах в окружности здесь имеется большой ряд задач на построение.

В гл. V рассматриваются теоремы о свойствах параллело­грамма, ромба, трапеции; вписанные и описанные фигуры; по­добие многоугольников. Решаются соответствующие задачи на построение. Теоретический материал этой главы находит при­менение в геодезии (мензульная съемка).

В гл. VI — измерение фигур, различные операции над ними.При относительно небольшом числе теорем о площадях раз­

личных фигур, включая гиппократовы луночки, и метрических соотношениях в треугольнике рассматривается чрезвычайно много задач на преобразование фигур. В связи с этим имеется ссылка на «Геометрию» Сольского — профессора Краковского

08

университета, показывающая использование учебников Кра­ковского университета в Вильно.*

В гл. VII рассматривается взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве.

Следующие три главы посвящены вопросам измерения по­верхностей и объемов.

Материал «Элементов тригонометрии» служит для практи­ческой цели — решения треугольников, что, по определению автора, составляет, собственно, предмет тригонометрии. Име­ются приложения тригонометрии к геодезии.

Несколько добавлений автора имеют характер историче­ских справок по различным вопросам математики, как-то: о логарифмах, системах мер, десятичных дробях, о классиче­ских задачах на построение, о построении таблиц тригономе­трических функций и др.

Особый интерес представляет упоминание в этом плане виленских математиков. Из них Накцианович упоминает двух: одного из первых в академии — Вуека и своего учителя проф. Ф. Жебровского. Первого — в связи с упоминанием меры зе­мельной площади, равной участку земли, который можно вспа­хать за день на двух волах, а о Жебровском говорит, что он занимался решением задачи на деление площади трапеции в заданном отношении.

На основании этих и других добавлений и примечаний авто­ра, а также качества его переделки, можно сказать, что Накци­анович был образованным профессором, хорошо знавшим свой предмет и проявлявшим определенный интерес к вопросам преподавания математики.

* «Геометрия» С. Сольского — свидетельство высокого уровня препо­давания элементарной геометрии в Краковском университете. Это не повто­рение «Начал» Евклида, а оригинальный учебник, содержащий в качест­ве основных разделов учение о преобразовании геометрических фигур, по­строение шкал различных сложных функций и расчеты по ним и геодезию. Д ля иллюстрации приведем ряд рассмотренных в ней вопросов.

Различные способы доказательства того, что отношение окружности к диаметру является постоянным числом, в том числе доказательство самого автора.

Построение сеток со шкалами для приближенного решения задач (на­пример, данный угол разделить в заданном отношении). Задачи на преоб­разование фигур. О перенесении границ земли, поселков, фортов, домов на карты. С помощью шкал и специальных таблиц определяются высоты и рас­стояния. Построение различного рода шкал, в частности для солнечных часов.58

М ежду прочим, астрономической шкалой времени (по изменению вы­соты Солнца над горизонтом с течением времени в пределах тропического года) пользовались крестьяне. Эта шкала строилась эмпирически, путем фиксации положения проекции луча, пропущенного через узкую щель на специальную деревянную дощечку, причем дни праздников, связанных с движением Солнца, отмечались особым цветом. Такими шкалами пользо­вались в недавние еще времена в Белоруссии, на Полесье.

39

В рассматриваемом учебнике Накциановича отсутствует раздел алгебры. Однако такой курс существовал и, следова­тельно, преподавался им в академии.* Действительно, в руко­писях того времени элементы алгебры выступают как обяза­тельный раздел математики. Заметим также, что слушатели академии в 50-х годах экзаменовались по арифметике, геомет­рии и алгебре. Кроме того, им был издан (в соавторстве) сбор­ник упражнений по математике.

Важным эпизодом в истории академии было непродолжи­тельное преподавание математических наук Россионьелем ( К о 551§ п о 1) и Флоре (Р1еиге1). Изгнанные из Франции, они нашли покровительство у короля Польши и были им рекомен­дованы в 1762 г. Виленскому университету в качестве препо­давателей. Они занимались с небольшой группой сильных сту­дентов, среди которых был Ф. Нарвойш. Этим годом датиру­ется введение в курс математики академии элементов диффе­ренциального и интегрального исчислений.

После трех лет работы названные профессора уехали в Ки­тай с миссионерской целью. С этого времени преподавателем высшей математики становится Ф. Нарвойш.

Обратим внимание на рукопись «Обучение математике», датированную 1766— 1767 гг.; она содержит введение, ариф­метику, элементы геометрии и тригонометрии, алгебру (агйЬ- теИ сае зресюза) и приложение алгебры к геометрии, куда входят и конические сечения. Работа написана под влиянием X. Вольфа, имя которого упоминается.59 Во введении, как и в книгах Вольфа и Накциановича, рассматриваются основные понятия математики, подчеркивается строго логический харак­тер ее суждений и выводов. Метод изложения — вольфиан- ский.

Арифметика в этой рукописи включает систему аксиом арифметики, описание структуры числовой системы, арифме­тические операции над натуральными числами.

После четырех арифметических действий рассматриваются вопросы о возвышении чисел в квадрат, куб и извлечении квадратного и кубического корней. Затем излагаются пропор­ции и прогрессии, а за ними — обыкновенные и десятичные дроби. Рассматриваются также шестидесятеричные дроби. Л о­гарифмы строятся на основе сопоставления прогрессий. На этом курс арифметики заканчивается. В идейном отношении эта часть не отличается от курса Накциановича, следователь­

* Попытки найти эту часть курса Накциановича не увенчались успе­хом. Нас интересует вопрос, не содержала ли эта часть дифференциального и интегрального исчислений (как у Вольфа). Положительный ответ мог бы внести уточнение о времени введения в преподавание математического ана­лиза.

40

но, и Вольфа, но изложение ее в высшей степени краткое, граничащее с конспективным, и без доказательств.

Мы не будем останавливаться на содержании геометрии. Это — конспективное изложение первых книг геометрии Ев­клида с добавлением значительного числа задач практическо­го характера из области землемерия. По тригонометрии перво­начально даются определения тригонометрических линий, затем объясняются таблицы Бригга и курс заканчивается ре­шением треугольников. В замечаниях по истории предмета упомянуты имена многих ученых (Гиппарх, Птолемей, Регио­монтан, Коперник, Ретикус и др., отмечена роль арабов).

Алгебра начинается объяснением алгебраических знаков. Принцип аналогии с арифметикой является главным в объяс­нении операций с многочленами.

Например:

В алгебре В числах *

4а + 2Ь + Зс + (1 + 1 2 + 1 0 — 4 + 7 — 2 = 23а + ь + Зс — } + п 13— 7 + 8 + 3 — 4 = 1 3

2д _ 26 + с + [ — п 15 + 2 0 — 10 — 5 — 2 = 18

7а + Ь + 1с + Л + - у п 40 + 23 — 6 + 5 — 8 = 54

Вслед за этим объяснением идет раздел «алгебраических» дробей, учение о степенях и радикалах.

Объяснение операций умножения и деления дробей можно передать следующим образом:

а с ( а \ 1 ас , астг-^г=пг-сМ = — :^= ы -

сл\ а с ( а \ * а , ад,2> тг :т = Ь г :сН = т г ' ‘' = тг-

Уравнения рассматриваются только первой и второй степе­ни. Здесь же — неопределеннные уравнения первой степени с двумя неизвестными. Курс завершается приложением алгеб­ры к геометрии, в котором после решения ряда задач (напри­мер, на «золотое сечение») дается понятие о конических сече­ниях.

* Чаще же эта аналогия проводилась с действиями над именованны­ми числами.

41

* * *

Таким образом, в XVII и начале XVIII вв. преподавался курс элементарной математики, причем с акцентом не на тео­ретические его основы, а на практику. Несомненная заслуга академии за весь период ее существования — постановка пре­подавания практической геометрии (низшая геодезия, пер­спектива, и отчасти графические вычисления). На основании рассмотренных рукописей и учебника Накциановича можно заключить, что преподавание математики в 50—60 гг. XVIII в. находилось под влиянием курса математики X. Вольфа, его методологической концепии.

Г л а в а II. ГЛАВНАЯ ЛИТОВСКАЯ ШКОЛА II ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УНИВЕРСИТЕТА

ПОСЛЕ РЕФОРМЫ 1803 г. (1780-1832)

§ 1. ГЛАВНАЯ ЛИТОВСКАЯ ШКОЛА

В XVIII в. система иезуитского образования находилась в состоянии острого противоречия с интересами страны, кото­рая переживала тогда экономический подъем. Разрешение этого противоречия выразилось в двух правительственных мерах: лишении иезуитов права руководства просвещением и проведении прогрессивной реформы в этой области.

В 1773 г. орден иезуитов был закрыт и иезуиты выселены из страны. Дело просвещения перешло в руки правительства. Все организационное и учебное руководство на всех ступе­нях образования было возложено на Народную эдукацион- ную комиссию. * В нее вошли энергичные и авторитетные дея­тели и ученые, которые оставили большой след в области просвещения как в теоретическом, так и в практическом отно­шении. %

Эдукационная комиссия преобразовала Виленскую акаде­мию в Главную Литовскую школу и разработала новый устав, который в 1780 г. был положен в основу деятельности Главной школы, как «сообразной настоящей степени познаний у прос­вещенных народов Европы». Школа имела два факультета: физических и моральных наук, которые назывались коллеги­умами. На физическом факультете преподавались элементар­ная и высшая математика (дифференциальное и интеграль­ное исчисления), прикладная математика, физика, астроно­мия, химия, ботаника, минералогия и медицина. Несколько позже в учебный план школы были включены топография и архитектура. Всего за период существования Главной школы было введено восемь новых предметов: зоология, ботаника, минералогия, палеонтология, химия, экспериментальная фи­зика, архитектура и топография. Систематический характер получило преподавание дифференциального и интегрального исчислений, аналитической геометрии и механики.

Реформаторы хотели создать такое учебное заведение, ко­

* Комиссия по народному образованию.

(43

торое обеспечивало бы страну прежде всего специалистами для развития ее хозяйственной и культурной жизни.

Введение в девяностых годах таких новых предметов, как архитектура и топография, говорит о дальнейшем развитии этой тенденции — связать университетское преподавание с потребностями жизни. Это было действительно государствен­ное решение проблемы народного образования.

Одной из основных функ­ций Главной школы с момен­та реформы 1780 г. была подготовка учительских кад­ров и руководство школьной деятельностью Литовского учебного округа, куда входи­ла и Белоруссия.

Ректором Главной шко­лы был назначен известный в свое время ученый Мартин Почобут Одляницкий, кото­рому принадлежит одно из видных и почетных мест в истории Виленского универ­ситета. Благодаря научным трудам по астрономии уни­верситет приобрел широкую известность в ученом мире. Реформа, о которой говори­лось выше, осуществлялась

под компетентным руководством Почобута. Пост ректора По­чобут занимал длительное время, на этом посту его сменил профессор Стройновский в 1799 г. Из обсерватории Почобут ушел в 1807 г., передав ее в ведение профессора Снядецкого.

Мартин Одляницкий Почобут — сын гродненского крав­чего Казимира Одляницкого и Елены, урожденной Глебович, родился в местечке Сломянцах Гродненского уезда в 1728 г. В 1738 г. он поступил учиться в школу в Гродно, в которой пробыл 7 лет. В 1745 г. поступил в Виленскую академию, где учился 6 лет, изучая философию и красноречие. После окон­чания академии был направлен учителем в Полоцк, где рабо­тал 2 года. В 1754 г. он выехал в Прагу для изучения грече­ского языка и математики в Пражском университете. Возвра­тившись в Вильно, он занял должность профессора греческого языка. В 1761 г. был командирован в Западную Европу для изучения астрономии. Занимался в Генуе, Марселе и Авиньо­не, изучая астрономию и математику. В 1764 г. возвратился в Вильно.2

М. Почобут известен как астроном. Он занимался астроно­

44

мическими исследованиями в Виленской астрономической об­серватории и был ее директором; состоял в переписке с из­вестными учеными, в частности, с французским астрономом Ж. Лаландом, с которым был, по-видимому, лично знаком,

В рукописном фонде библиотеки Виленского университета хранится несколько писем Лаланда к Почобуту, свидетельст­вующих об их переписке на протяжении длительного времени. Содержание переписки заключается в обмене данными астро­номических наблюдений, в обмене сведениями о деятельности обсерватории. Лаланд использовал данные Почобута в своих сочинениях. В его «Астрономии» имеются описание Виленской обсерватории и сведения об астрономических наблюдениях, доставленные Почобутом.3 Работы Почобута нашли отраже­ние в «Библиографии» Лаланда. Почобут переписывался с Петербургской Академией наук.

Высшую математику в Главной школе читал профессор Нарвойш, элементарную сначала Томашевский, затем Ф. Жицкий. Механику читал Кундич. Мы остановимся на пе­дагогической деятельности Нарвойша и Жицкого.

Франтишек Меликонт Нарвойш (1742— 1819) — уроженец Литвы. Он окончил Главную Литовскую школу и был остав­лен при ней для подготовки к профессорскому званию. В Главной школе он изучал основы нравственности, красноре­чие, литературу, философию, математику, судопроизводство, богословие и языки. Некоторое время жил в Гродно, где пре­подавал в местной коллегии литературу и принимал участие в гидрологических работах на р. Неман, затем «странствовал для обучения математике в Англии, Голландии, Италии и по другим землям».4 Нарвойш имел отношение к попытке орга­низовать в Гродно астрономическую обсерваторию. В универ­ситете преподавал с 1781 и до 1809 г.

Остановимся на содержании его курса лекций, основыва­ясь на программах 1797/98 и 1800/01 учебных годов.5 Про­граммы его очень подробны и позволяют составить представ­ление об объеме, содержании курса и методе преподавания. Курс его носил энциклопедический характер, в него входили: арифметика, комбинаторика, сведения по теории вероятно­стей, решение алгебраических уравнений, конические сечения, анализ бесконечно малых, включая ряды, и другие вопросы. Его программы не отражают какой-либо строгой системы из­ложения курса математики, они лишь указывают, в какой последовательности должны изучаться ее разделы и на осно­ве каких сочинений. Программы содержат большой перечень этих сочинений — от древних греческих и до современных ав­торов. В подробном комментировании этих последних и за ­ключался его метод преподавания. Характер его учебной рабо­ты напоминает скорее семинар по изучению классических тру­

45

дов по математике, нежели курс лекций. Основной стержень программ составляют сочинения И. Ньютона. Систематиче­ское изучение трудов Ньютона, буквальное следование им выражают сущность методологического и педагогического кредо Нарвойша. Это кредо выражено им в следующих сло­вах, предпосланных к программе 1800— 1801 гг.: «Наилучшие познания по высшей математике должны черпаться из книг Ньютона».6

Документы говорят о том, что студенты не понимали его лекций и что они были бессистемны. Однако его ученик Нем- чевский, будучи за границей, пишет в своем рапорте в уни­верситет, что он своими успехами в изучении математики и механики в Политехнической школе обязан профессорам Нар- войшу и Кундичу. Следовательно, способные и хорошо под­готовленные студенты могли получить солидную математиче­скую подготовку при той системе преподавания, которой при­держивался Нарвойш.

В расписании лекций на 1800/01 учебный год сказано, что профессор Франтишек Меликонт Нарвойш будет объяснять трактаты, относящиеся к высшей математике. Далее Нарвойш говорит, что полезнее начинать изучение высшей математики с трактатов Ньютона, нежели других, были бы только учащи­еся подготовлены в элементарной математике и имели охоту заниматься высшей. В число основных вопросов в программу входили: «Универсальная арифметика» Ньютона, трактатНьютона о первых и последних отношениях, геометрия флюк­сий Ньютона, «Вступление» Ньютона к его книге «Квадратура кривых линий» и затем сама книга, аналитическая геометрия (по Ньютону, Эйлеру), бесконечные ряды (по Ньютону), о квадратуре кривых (по Ньютону), метод интерполяции (по Ньютону).

Для понимания перечисленных выше вопросов рекомендо­валось изучение геометрии древних, сочинений Виета, Робин­са, Маклорена, Котеса, Галлея, Пембертона, Гарслея и дру­гих «учеников и друзей Ньютона». Наряду с трудами Ньютона рекомендуются работы Эйлера. Добавим к этому, что меха­нику профессор Кундич также читал по Ньютону, придержи­ваясь его трактата «Математические принципы натуральной философии».

Чтобы показать насколько широк был диапазон предме­тов, которые читал Нарвойш, приведем основные пункты программы 1797 г.: «Алгебра Маклорена в связи с алгеброй Клеро. Ряд трудов того же автора и Ф. Кэмпбиля о скрытых в уравнениях мнимых корнях, их числе и об уравнениях раз­ных типов — по сочинениям, опубликованным Лондонским Королевским обществом и Д ’Аламбером; теория Маклорена об общих свойствах кривых в связи с теорией Котеса, кото­

46

рый считается выдающимся английским учителем: сочинения Архимеда об измерении окружности; о различных значениях отношения длины окружности к диаметру вплоть до 140-го десятичного знака, выяснение путей, по которым шли, при­ближаясь к истине, Архимед, Аполлоний, Птолемей, Виет, Гюй­генс, Ньютон, Лейбниц, Метциус, Эйлер, Лагранж; о луночках Гиппократа, о разделении площади круга в любом отношении; о циклоидах, эпициклоидах, спиралях Архимеда; квадратрис- сах, квадратуре круга *; основы теории соединений, применя­емой в политической арифметике и в учете всевозможных ве­роятных событий и о далеко продвинутом учении Эйлера о комплексных числах; введении в анализ кривых и бесконечно малых Эйлера, изложенных в двух томах, но без дополне­ний...; определенный анализ, продиктованный уже ослепшим Эйлером, неопределенный анализ — также труд Эйлера с до­полнениями Лагранжа; конические сечения Эйлера, диффе­ренциальное и интегральное исчисления, интерполяционные ряды... в особенности приложения их в астрономии».7

В начале программы сказано: «И в этом году в основу кур­са будет положен трактат Ньютона о производных, о первых и последних отношениях, дополненный некоторыми новыми предметами и выводами». Из следующего пункта можно по­нять, что автор некоторые теоремы доказывал самостоятель­но: «Анализ уравнений с бесконечно большим числом членов, при этом Ньютонова теория подкреплена геометрическим доказательством и будет показано, как по площади эллипти­ческого сегмента можно вычислить длину дуги эллипса». В таком обширном объеме читался курс высшей математики накануне реформы университета в 1803 г. В него входили, как видим, вопросы арифметики, алгебры, аналитическая геомет­рия, анализ (с приложениями) и даже вопросы исчисления вероятностей.

Изучение постановки дела в других учебных заведениях и, в частности, университетах Средней Европы показывает, что труды Ньютона рекомендуются, называются в числе руко­водств, но метод флюксий или не излагался, или же излагался для общего знакомства. Исключение составляет механика, которая читалась по Ньютону. На континенте в университет­ском преподавании математики дорогу прокладывала лейб- ницианская концепция анализа бесконечно малых, а не нью- тонианская. В этом деле значительную роль играли сочинения Вольфа, затем Эйлера. Педагогическая концепция Нарвойша сложилась под влиянием английской школы, где господство­

* Проблему квадратуры круга предлагается хорошо освоить и в слу­чае возникновения новой идеи «могли бы испробовать свои силы и вместе с тем были бы предостережены от бесплодных трудов, длящихся иногда годами и сводящихся к повторению чужих ошибок».

47

вала ньютонианская концепция. Изучая длительное время ма­тематику в Англии, он воспринял ее и перенес в Виленский университет.

Нарвойш продолжал чтение курса высшей математики и после реформы 1803 г., знакомство с его программой этих лет позволяет сказать, что она имеет более компактный вид, не­жели программа 1800 г. Хотя общие позиции его сохранились и в эти годы, но он наряду с методом флюксий Ньютона изла­

гал алгебраическое дифферен­цирование Лагранжа.

Томас Жицкий, или, как его позже называли в официаль­ных бумагах, Фома Иванович Жицкий родился в 1769 г. в Купришках Виленского повета в дворянской семье. После окончания средней школы в Вильно Жицкий в 1783 г. посту­пил в Учительскую семинарию при Главной школе. В 1784 г. произведен в степень бакалав­ра. В 1787 г. получил степень доктора философии. В этом же году определен учителем гим­назии в Вильно. В 1791 г. пере­веден в университет адъюнктом кафедры математики «с препо­ручением преподавания курса высшей математики и лекций математики элементарной». Ре­формой 1803 г. кафедра эле­ментарной математики была упразднена, и Жицкий 18 нояб­

ря 1803 г. был переведен на должность директора Виленской губернской гимназии, а следовательно, в соответствии с су­ществовавшей тогда структурой школьной администрации, и в должность директора училищ Виленской губернии.8 В свя­зи с восстановлением кафедры элементарной математики Жицкий 9 сентября 1807 г. снова перешел в университет и был назначен на должность экстраординарного профессора, а в 1809 г. утвержден ординарным профессором. 9 Из университе­та Ф. И. Жицкий уволен 18 июля 1816 г. в связи с уходом на пенсию в звании заслуженного профессора. С этого времени и до своей смерти в 1839 г. Жицкий был окружным инспекто­ром попечительства Виленского учебного округа.

В университете Жицкий преподавал курс элементарной математики, с его уходом в 1816 г. кафедра элементарной ма­

Ф. И. Ж ицкий.

48

тематики была упразднена. Как можно судить на основе программы, по которой читал Жицкий, он был эрудированным профессором, не лишенным научной инициативы.

Элементарный курс математики Жицкий подразделял на две части.10 В первую входили элементарные вопросы, кото­рые излагались, чтобы привести в систему знания учащихся, полученные ими в средней школе, и попутно дополнить их вопросами, имеющими важное значение для дальнейшего изучения математики в университете. Вторая часть содержала элементы высшей алгебры, анализа и аналитической геомет­рии. Курс высшей алгебры начинался с теории соединений и бинома Ньютона. Последний применялся к - приближенному извлечению корней. Вводилось понятие вероятности. Следую­щий раздел курса — теория уравнений. В него входили следу­ющие вопросы: решение уравнений третьей и четвертой степе­ней, решение иррациональных уравнений, решение систем уравнений (линейных и второй степени), природа корней {корни рациональные, иррациональные, мнимые), симметрич­ные функции. Эта часть курса заканчивалась решением чис­ленных уравнений приближенными методами. Большое место отводилось непрерывным дробям, излагалась их элементар­ная теория с приложением к решению неопределенных урав­нений первой степени с двумя неизвестными. Метод неопреде­ленных коэффициентов применялся при разложении рацио­нальных дробей на простейшие. Алгебраическая часть курса завершалась разложением в ряды показательной, логарифми­ческой и тригонометрических функций.

Аналитическая геометрия рассматривалась как «примене­ние алгебры к исследованию линий». Этот курс, по-видимому, имел достаточно большой объем. В него входили вопросы плоской и пространственной геометрии: преобразование коор­динат, уравнение прямой, уравнение параболы, эллипса, ги­перболы, их касательные, асимптоты, диаметры, кривые, на­зываемые механическими или приближенными, и поверхности второго порядка. В этот же курс включалось учение о триго­нометрических функциях («линиях») с объяснением устройст­ва их таблиц. Курс элементарной математики завершался геодезической практикой.

Состояние преподавания математики накануне реформы 1803 г. можно кратко охарактеризовать так. На факультете работали два математика — Ф. Нарвойш и Т. Жицкий. Н ар­войш был, несомненно, образованным математиком, на уров­не университетских профессоров. Программы этих двух мате­матиков охватывают все основные вопросы университетской математики того времени.

В заключение настоящего параграфа отметим характер­ные черты новой концепции образования во второй половине

49

XVIII в. Под влиянием этой концепции была произведена ре­форма, о которой было сказано выше.

XVIII в.— век новой философии и новых принципов про­свещения — характеризуется прежде всего проникновением в университеты новой математики и естественных наук. Модер­низация преподавания меняла структуру и нарушала многие традиции университетов, уничтожалась монополия латыни как языка науки и преподавания. Наблюдается стремление организовать преподавание и публикацию трудов на родном языке. Философия Аристотеля уступает место новейшему ми­ровоззрению, основой которого были идеи Бэкона, Декарта и новейших философов. Утверждается доктрина практической цели обучения, основанного на прочном теоретическом фунда­менте.

Университеты готовят кадры по различным более или ме­нее узким специальностям, в частности учителей по различ­ным гимназическим дисциплинам. Профессора университетов теряют былую универсальность в образовании и приобретают специализацию.

Педагогика под влиянием идей Руссо строит новый идеал просвещения: естественное развитие естественных дарований* свобода воспитания и свобода мысли. Цель университетского преподавания заключается не только в сообщении новых ф ак ­тов, но, в противоположность средневековой педагогике, ста­вится задача развития мышления студентов, воспитания само­стоятельности в работе, в своих суждениях и выводах. Сту­дент должен видеть, наблюдать, исследовать, думать,, самостоятельно читать книги, делать выводы. В соответствии с этим меняются методы преподавания. Главное место зани­мают лекции и практические работы; лекции читаются по учебным руководствам, которые создаются по новейшим от­раслям знаний университетскими профессорами.

Реформой эдукационной комиссии Виленская академия была преобразована в Главную Литовскую школу. Был соз­дан устав школы. Организуются кафедры высшей, элемен­тарной и прикладной математики, курс алгебры читается как «наиглубокая и особенно трудная часть арифметики». Созда­ны кафедры экспериментальной физики других предметов естествознания.

§ 2. РЕФОРМА 1803 г.ПРОФЕССОРА И СТУДЕНТЫ УНИВЕРСИТЕТА

Особым правительственным актом от 4 апреля 1803 г. Главная школа была преобразована в университет. 18 мая того же года был принят новый устав университета, который

50

в главных чертах придал ему облик типичного университета той эпохи.11 В университете учреждено четыре факультета:1 ) физических и математических наук, 2 ) медицинских наук,3) моральных и политических наук и 4) факультет литерату­ры и свободных искусств. При университете был создан ряд вспомогательных учреждений, как-то: учительская семинария, духовная семинария, анатомический театр и другие.

Период с 1803 г. и до момента закрытия университета в 1832 г. мы рассматриваем как особый этап в его деятельности. Он характеризуется прежде всего действием нового устава, за этот период значительно окреп физико-математический ф а­культет, возрос на факультете удельный вес математических и естественных наук, перестроено их преподавание на нача­лах, отвечающих требованиям времени, расширена учебная и материальная база факультета. Университет наиболее четко, чем это было прежде, формулировал свою задачу в отношении подготовки кадров: он был призван удовлетворить нужды страны в практических деятелях экономики и культуры.

На физико-математическом факультете в результате ре­формы было учреждено 10 кафедр (основных предметов), из которых две математические — высшей математики и при­кладной математики. Кафедра элементарной математики была упразднена.

Первым деканом физико-математического факультета послереформенного университета был профессор физики Миц­кевич. Он занимал эту должность до 1817 г., когда его сменил профессор математики Немчевский. После смерти Немчевско- го в 1820 г. на три года (1820— 1823) избирался Жицкий. С 1823 г. и вплоть до закрытия университета деканом факуль­тета был профессор Полинский. Первым ректором университе­та был профессор Стройновский. Стройновский является авто­ром нового устава университета. В начале 1807 г. его сменил профессор А. Снядецкий, который избирался на этот пост дважды. Непродолжительное время исполняли должность ректора профессора Малевский, Лобенвейн, Твардовский, пос­ледним ректором был профессор хирургии Пеликан.

Из профессоров математики Главной школы продолжил преподавание в университете один лишь профессор Нарвойш, да и он вскоре вышел на пенсию.

Снядецкий, занявший пост ректора в 1807 г., считал упразднение кафедры элементарной математики большой ошиб­кой.12 По его мнению, курс элементарной математики на ф а­культете необходим, поскольку он готовит учителей математи­ки для гимназии. В этом же году по предложению Снядецкого кафедра элементарной математики была открыта, а ее заве­дующим приглашен был тот же Ф. И. Жицкий. Жицкий заведовал ею до выхода на пенсию в 1816 г. С этого года ка­

51

федра элементарной математики более не значится в номен­клатуре кафедр физико-математического факультета универ­ситета. Главные разделы, входившие в курс элементарной математики, были выделены в самостоятельные учебные дис­циплины (алгебра, аналитическая геометрия).

Прикладную математику в Главной школе читал профес­сор Т. Кундич. В списках преподавателей обновленного уни­

верситета его имя не встре­чается: он вышел на пенсию. Однако в некоторых универ­ситетских делах он продол­жал принимать участие. Он участвовал в работе сове­та, назначался визитатором школ, был первым префек­том учительской семинарии. Преподавательской деятель­ностью, как видно, в эти го­ды он не занимался.

Немчевский, адъюнкт кафедры прикладной мате­матики, был в период рефор­мы за границей в научной командировке. Таким обра­зом, кафедра прикладной математики была вакантной.

И. А. Снядецкий. Математику в университетепреподавал, следовательно, один профессор Нарвойш.

Рассмотрим состав преподавателей и перечень дисциплин, входивших в учебный план университета с 1803 и по 1832 г.

Вследствие введения некоторых новых предметов в учеб­ный план и ухода ряда профессоров на пенсию университет имел вакантными 17 кафедр, в том числе кафедру прикладной математики. На эти кафедры был объявлен конкурс, пригла­шались профессора из-за границы. В 1803 г. профессор меха­ники и технологии Карл Христиан Лангсдорф из Эрлангена доставил в университет свои сочинения, желая занять место профессора математики. Рассмотрев эти сочинения и положи­тельный отзыв о них профессора Н. И. Фусса, университет­ский совет (27 июня 1804 г.) избрал Лангсдорфа профессором прикладной математики. Он работал в университете два учеб­ных года (1804— 1806), преподавая механику, технологию, алгебру и сферическую тригонометрию. Лекции Лангсдорф читал на латинском языке.13 Он представил сочинение «Осно­вания статики и механики», за которое был удостоен награды. Затем Лангсдорф возвратился в Германию, в Гейдельберг,

52

где одно время был ректором тамошнего университета. Позже имя его встречается наряду с именами известных ученых в числе почетных профессоров Виленского университета.14 За весь период деятельности обновленного университета Лангс­дорф был единственным профессором математики из иностран­цев. Все профессора были местными. Существовала весьма сильная тенденция, связанная с именем Снядецкого,— не при­глашать профессоров из-за границы, особенно математиков, а готовить кадры из местных молодых людей.

Таким образом, с 1804 г. факультет имел двух профессоров математики. Условия для развития математики, казалось бы, складывались благоприятно. Во всяком случае они были луч­ше, нежели в других университетах России. Известно, что Ка­занский университет начал свою деятельность при наличии одного адъюнкта математики — учителя гимназии Г. И. Кар- ташевского. Математику читали даже студенты. В Дерптском: университете математику читал один преподаватель — астро­ном Кнорр. Он читал арифметику, геометрию, плоскую и сфе­рическую тригонометрию.

Между тем ряд современников, хорошо знавших Вилен­ский университет и заслуживающих доверия, изображает со­стояние преподавания физико-математических наук в мрачном свете. Снядецкий, ознакомившись с деятельностью университе­та в 1806 г., писал: «Математические науки, составляющие для юношества, готовящегося на учительские должности, важней­шую часть общественного обучения, доведены в университете почти до совершенного упадка ...».15 Отсюда можно сделать вывод, что Снядецкий не одобрял той системы преподавания, которой следовал Нарвойш. И это можно понять, если учесть, что Нарвойш и Снядецкий — представители различных мате­матических школ. Позднее положение значительно изменилось в лучшую сторону. Педагогическая деятельность профессоров 3. Немчевского и М. Полинского, магистров И. Румбовича и С. Ревковского заслуживает высокой оценки.

Прежде чем перейти к более подробной характеристике пре­подавания математических предметов, представим наглядно общую картину их распределения между преподавателями.161

Предметы Преподаватели Годы работыЧасы

в неде­лю

Высшая чистая матема­ Проф. Ф. Нарвойш 1803— 1810 6тика Проф. 3. Немчевский 1810— 1820 6

П рикладная математика Проф. X. Лангсдорф 1804— 1806 6

Проф. 3. Немчевский 1810— 1820 2

Проф. М. Полинский 1821-1832 6-

63

Предметы Преподаватели Годы работыЧасы

в неде­лю

Алгебра Проф. X. Лангсдорф 1804— 1806 * _**

Проф. А. Вырвич 1817— 1819

1821 — 1822 8

Проф. М. Полинский 1819— 1821 8

Аналитическая геометрия Проф. М. Полинский 1824— 1832 0 ***

Элементарная математика Проф. Ф. Ж ицкий 1807— 1816 6

Н ачертательная геометрия Ад. И. Румбович 1823— 1832 6

Теория вероятностей Ад. (1 Ревковский 1829— 1831 2

Высшая геодезия Проф. М. Полинский 1820— 1823 2

А. Шагин 1824— 1832 2

М атематическая физика Проф. Држевинский 1825— 1832 —

Курс сферической тригонометрии сначала читал Лангсдорф, в последующие годы его читали большей частью астро­номы.

Рассмотрим общее число студентов и их распределение по факультетам и территориальному признаку (1829 1830 гг.).17

Из белорусских губерний, следовательно, обучалось не менее 7 з общего числа студентов.

Р а с п р е д е л е н и е п о ф а к у л ь т е т а м :

О т д е л е н и е Ч и с л о с т у д е н т о в

Физико-математическое 304Медицинское 340Нравственно-политическое 332

Словесных наук и изящных искусств 73

Вольные слушатели 51

В с е г о . . . 1100

* В 1807— 1816 гг. алгебра входила в курс элементарной математики.** Прочерк означает отсутствие данных.*** До 1816 г. аналитическая геометрия входила в курс элементарной

математики.

Р а с п р е д е л е н и е п о т е р р и т о р и а л ь н о м у п р и з н а к у :

Г у б е р н и я Ч и с л о с т у д е н т о в

Виленская 426Г родненская 158М инская 177Волынская 98Подольская 53Витебская, Киевская, Могилевская, Санкт-П е­

тербургская, Черниговская, Саратовская и К ур­ляндская

*оо

Белостокский округ 89Ц арство Польское 34

Наибольшее число студентов было на медицинском ф а­культете, физико-математический факультет занимал в этом отношении третье место и производил выпуски в последние годы по 20—40 человек.

Как видно из этих данных, это было весьма крупное по тем временам учебное заведение.

§ 3. ПРЕПОДАВАНИЕ В УНИВЕРСИТЕТЕ ОСНОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

Чтение курса математического анализа (дифференциаль­ного и интегрального исчислений) продолжил в университете профессор Нарвойш. В Главной школе его курс высшей чис­той математики, как уже было сказано ранее, носил энцикло­педический характер. Кроме анализа бесконечно малых, его программа содержала арифметику, комбинаторику, элементы теории вероятностей, решение алгебраических уравнений, конические сечения и другие вопросы. Методологическая осо­бенность его курса лекций — следование трудам Ньютона. Проспекты лекций свидетельствуют о том, что после реформы университета Нарвойш преподавал дифференциальное и инте­гральное исчисления, следуя Ньютону и Лагранжу. Наряду с методом флюксий и обратным ему он излагал и алгебраиче­ский метод дифференцирования Лагранжа.

* Главным образом из Витебской губернии, из остальных по 1—2 сту­дента.

56

После ухода Нарвойша на пенсию его кафедру занял про­фессор прикладной математики Захар Яковлевич Немчев­ский.*'

Немчевский читал дифференциальное и интегральное исчис­ления, вариационное исчисление и теоретическую механику. Программа Немчевского отражала уже новые веяния как в самой математике, так и в системе ее изложения. Он первый в университете поставил преподавание математического ана­лиза и теоретической механики на современный ему уровень, следуя образцам французской математической школы. В этом состоит его большая заслуга перед университетом. Несколько позже это благотворное влияние коснулось и других матема­тических дисциплин.

Математическими исследованиями Немчевский не зани­мался. Однако известны его выступления на заседаниях со­вета университета с «рассуждениями» по методологическим вопросам математики, написанными в духе того времени, на­пример, «О влиянии наук математических и причинах того энтузиазма, с которым молодежь к тем наукам относится», «О пользе математических наук». Основные положения этих •сообщений:

Математика дает возможность почувствовать ученику его силу в познании истины.

Математика способствует развитию логического мышле­ния. Это развитие ведет к изобретениям и открытиям.

Математические истины не зависят от времени, а также свободны; от предрассудков и страстей.

* Формулярный список 3. Я. Немчевского содержит следующие дан­ные.18 Родился в 1766 г. на Ж муди, в Литве. Из дворян; селений и крестьян не имел. Учился в Крожах, затем в Главной школе. Окончил при ней учи­тельскую семинарию со степенью доктора философии и словесных наук. Определен учителем права в Гродненское главное училище (1794). В Грод­но учительствовал 3 года и 5 месяцев. В 1797 г. был принят по конкурсу адъюнктом по кафедре прикладной математики в Главную школу, но к ис­полнению обязанностей приступил в январе 1799 г. (в связи с болезнью находился больше года в деревне). 13 апреля 1802 г. решением совета Глав­ной школы был командирован за границу для усовершенствования в мате­матических науках. За границей находился 5 лет и 9 месяцев, возвратился 5 января 1808 г. В 1809 г. был избран и утвержден экстраординарным про­фессором прикладной математики. В 1810 г., 20 апреля, утвержден ординар­ным профессором. В 1813— 1817 гг.— цензор университета. В 1817 г. избран деканом физико-математического факультета на три года. «В течение сего назначаем был от университета в разные комитеты долговременные, в кото­рых с отменною рачительностью и успехом исправлял возложенные на него труды».

Курс чистой математики начал читать уже после ухода на пенсию Н ар­войша. Умер Немчевский в 1820 г.

56

Раскрывается значение математики в жизни общества (применение ее в навигации, архитектуре, оптике, военном деле).

Раскрывается значение трудов великих ученых в развитии математики, особо подчеркивается в этом роль Декарта, Нью­тона и Эйлера.19

Одно из выступлений было посвящено сообщению о новом издании книги Лакруа по дифференциальному и интегрально­му исчислениям. Этим сочинением он руководствовался в своем преподавании и перевел его на польский язык. Издал его в 1824 г. профессор Полинский.

Будучи в длительной заграничной командировке, Немчев­ский слушал лекции в Политехнической школе по механике, математическому анализу, начертательной геометрии и дру­гим наукам (профессоров Пуассона, Монжа, Лакруа, Гашетта и др.*). Был также в Италии и Германии.

При отъезде за границу Немчевскому (вместе с физиком Стубилевичем) была дана инструкция. Приведем краткое ее содержание, так как она до некоторой степени характери­зует уровень и направление научных интересов физико-мате­матического факультета университета.21

1) «Имея главную цель усовершенствование в науках — в физике и математике, приноровленной к физике, мануфак­турах и искусствах,— обязать вести ежедневные записки, в которых описывать все, что увидят в кабинетах и чего еще нет в кабинетах Виленского университета, изделия, коих у нас нет».

2) «Проезжая Италию, должны подробно рассмотреть та ­мошние кабинеты: Павийский, Флорентийский, Туринский и описать их редкости».

3) «В Париже должны ходить на лекции Политехнической школы и в лаборатории. Взять подробные сведения о фабри­ках, о выделке кож, о белении полотна, о производстве саха­ра и др.».

4) «Купить во Франции эталоны мер: «Дециметр» или «Метр», а также «Литр», «нынешний фунт или «Килограмм» со всеми его частями».

Немчевский получил прекрасную математическую подго­

* В рапорте университету Немчевский пишет, что иностранцам не раз­решено слушать лекции в Политехнической школе, разве только по особо­му разрешению совета, но что они (Немчевский и Стубилевич) встретили благосклонное отношение со стороны ряда выдающихся ученых (Прони, Монжа, Л акруа и др.), и для них было сделано исключение из уважения к тем большим просветительным мерам, которые проводились в то время в России.20

57

товку, но творческой деятельностью в области математики не занимался. О его педагогической работе имеются разноречи­вые (за разные периоды) отзывы. В первое время своей ра­боты в университете он проявил себя трудолюбивым и спо­собным преподавателем математики. Так, в связи с избрани­ем его на должность экстраординарного профессора имеется следующий о нем отзыв профессора Снядецкого: ...адъюнкт Захарий Немчевский в порученном ему к преподаванию кур­се высшей математики особенную свою оказал способность, представив к полугодовому испытанию учеников своих, не мало в сей науке успевших.22

В отзыве члена Главного правления училищ И. С. Лаваля кафедра прикладной математики отнесена к числу тех, кото­рые заняты «людьми недостаточно способными» и «коих кур­сы, кажется, немногие слушают» . 23 Между тем, как говорит далее Лаваль, «Виленский университет по значительности доходов оного, коих сумма превышает втрое доходы других университетов, и по чину отличных людей, кои преподают в оном высшие науки, должен быть одним из самых цветущих в Европе». Наряду с этим он дал высокую оценку деятельно­сти братьев Снядецких, профессора Франка и положительно отозвался об адъюнкте физики Држевинском .24

3. Я. Немчевский, будучи в то время деканом и членом различных комиссий, основное внимание и время уделял, оче­видно, не столько педагогической, сколько административной работе. После смерти Немчевского его курсы читали профес­сора А. Вырвич и М. Полинский, следуя программе Немчев­ского. В числе руководств по математическому анализу ука­зываются наряду с учебниками Лакруа сочинения О. Коши. Приведем программу 3. Немчевского.25 «Немчевский будет излагать курс высшей математики, в котором, по сочинению Лакруа, будет преподавать дифференциальное исчисление, правила дифференцирования различных алгебраических и трансцендентных функций с одной и многими переменными и применение этого исчисления к нахождению максимумов и минимумов одной и многих переменных, а также к исследова­нию свойств кривых линий высших порядков. Интегрирование функций с одной или несколькими переменными, какими бы эти функции ни были — рациональными, дробными алгебра­ическими и трансцендентными. Об интегрировании дифферен­циальных уравнений любых порядков и особенно о разделе­нии переменных, об отыскании интегрирующего множителя, об особых решениях и т. д. Об интегрировании уравнений в частных производных первого и высших порядков. Наконец, вариационное исчисление, которое имеет обширнейшее приме­

58

нение в небесной и аналитической механике». Программы своей Немчевский не менял.

Рассмотрим постановку преподавания алгебры и гео­метрии. В 1804/05 учебном году курс алгебры читал про­фессор Лангсдорф. В рукописном фонде Вильнюсского уни­верситета имеется рукопись по алгебре, написанная сту­дентом М. Полинским (впоследствии профессор матема­тики), которая представляет собой конспект лекций Лангс- дорфа .26

В рукописи изложены следующие вопросы: уравнения пер­вой и второй степени с одним неизвестным, решение уравне­ния 3-й и 4-й степени в рациональных числах, теория соедине­ний, логарифмы, сведения по дифференциальному и инте­гральному исчислениям и теории рядов (дан вывод ряда для вычисления логарифмов). В собственно алгебраической части это был весьма элементарный, упрощенный курс.

С приездом профессора И. А. Снядецкого в Виленский университет на должность ректора по его инициативе была учреждена кафедра элементарной математики. В состав этой кафедры входили следующие учебные дисциплины: алгебра,, геометрия (Евклида), плоская тригонометрия и аналитиче­ская геометрия. В некоторые годы читалась арифметика.. С упразднением этой кафедры курсы аналитической геомет­рии и алгебры читались раздельно и разными преподава­телями.

Курс элементарной математики был двухлетним. Читал его профессор Жицкий. Арифметика излагалась по учебнику директора Кременецкой гимназии профессора И. Чеха, эле­ментарная геометрия — по «Началам» Евклида в переводе того же И. Чеха, алгебра и аналитическая геометрия — по руководству И. А. Снядецкого.

На анализе учебных руководств И. А. Снядецкого мы не будем здесь останавливаться, имея в виду посвятить этому вопросу отдельный пункт. Небольшой учебник Чеха по арифметике переиздавался многократно. Так, например, изда­ние 1828 г. является седьмым. Он применялся в школе, и мы остановимся на нем подробно в связи с изучением преподава­ния математики в средних учебных заведениях.

Программа Жицкого за 1800/01 учебный год была приве­дена выше, она не претерпела больших изменений в 1807— 1816 учебные годы.

С 1817 г. алгебру читал адъюнкт (затем профессор)А. Г. Вырвич, руководствуясь, как и Жицкий, «Алгеброй» И. А, Снядецкого. Когда Вырвичу было предложено читать курс астрономии, курс алгебры взял на себя М. Полинский. Затем этот курс снова перешел к Вырвичу, который и читал его до закрытия университета.27 Вырвич читал также сфери-

59

чес кую тригонометрию, пользуясь сочинениями по этому пред­мету Снядецкого и отчасти Каньоли.

Аналитическую геометрию читал постоянно М. Полинский, руководствуясь уже новыми французскими учебниками (Био, Монжа и др.). На деятельности профессора Полинского сле­дует остановиться несколько подробнее. Он имеет определен­ные заслуги в деле совершенствования математического обра­

зования в Виленском учебном округе.

После смерти Немчевского кафедру анализа и аналитиче­ской механики занял Михаил Модестович Пелка-Полинский. Он родился в Слонимском уез­де Гродненской губернии. Пос' ле окончания гимназии в Жи- ровичах (ныне Слонимский район) поступил в учительскую семинарию при Виленском уни­верситете (3 октября 1804 г. ) .28 В 1806 г. произведен в степень кандидата, в 1808 г.— в сте­пень магистра философии. Пос­ле окончания университета был назначен учителем , казенных воспитанников учительской се­минарии (1 сентября 1808 г.). В 1809 г. получил назначение на должность старшего учителя математики и логики в Мин­скую гимназию. В 1813 г. пере­веден на ту же должность в

Виленскую гимназию. Будучи учителем, он написал доктор­скую диссертацию по высшей геодезии и после ее защиты удо­стоен степени доктора философии (9 сентября 1814 г.). 25 сен­тября 1816 г. принят на работу в университет исполняющим должность профессора математики. В 1817 г. был командиро­ван за границу (в Германию, Францию и Италию) для совер­шенствования в области математических наук и изучения по­становки образования. В августе 1819 г. на основе выборов утвержден экстраординарным профессором прикладной мате­матики университета.29 В 1820 г. был назначен визитатором гимназии и приходских училищ по Виленской губернии. В этом же году утвержден ординарным профессором и префектом учительской семинарии. На эту последнюю должность был снова избран в 1825 г. В 1824 г. избран деканом физико-мате- матического факультета и членом комитета для составления

60

проекта устройства училищ Виленского учебного округа и но­вого устава университета. В 1826 г. избран визитатором Грод­ненской губернии и Белостокской области. Избран членом Варшавского общества любителей наук (1827). В 1827 г. вто­рично избирается деканом, а в 1830 г.— третий раз. В 1816 г. издал два сочинения: «О ^еойегуЬ и «Росг^Ш Тгу§опоше1 * Гу1».30

В бытность свою за границей, «сверх особенного прилежа­ния к математическим наукам», обозревал учебные заведения, вникал в систему образования в Германии, Франции и Ита­лии и опубликовал их описание в 1819 г. в «021епшк ШПеп- 5кЬ>. В 1828 г. издал на польском языке учебник Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислениям. В этом же году вышло третье издание его плоской тригонометрии с до­бавлениями таблицы логарифмов. В 1929 г. был в Варшаве, где обозревал учебные заведения и занимался составлением биб­лиографии по физико-математическим и естественным наукам. Полинский избирался в разные университетские комитеты. В продолжение всей своей службы «при отличном поведении все возлагаемые на него обязанности при хороших способно­стях своих и трудолюбии исполнял с особенным усердием и примерною рачительностью».31

Анализ и аналитическую механику Полинский читал по программе Немчевского. В 1824 г. кафедру высшей чистой ма­тематики занял профессор А. Вырвич, а Полинский оставил за собой чтение двух курсов: аналитической механики и ана­литической геометрии. Такова его преподавательская дея­тельность.

Что касается его научно-методической работы, то она представлена большей частью в рукописях. В этом отношении на общем фоне деятельности факультета Полинский занимал ведущее положение. Как уже упоминалось, он издал две кни­ги (диссертация по высшей геодезии и учебник тригономет­рии). В «Архиве Полинского» имеется ряд его рукописей по вопросам школьной математики (учебники, задачники, кон­спекты), на изучении которых остановимся в следующей главе.

В рукописях встречаются фрагменты самостоятельных ма­тематических исследований элементарного характера. Одна из его рукописей, содержащая свыше 1000 страниц мелких математических фрагментов, связанных с изучением главным образом «Алгебры» ^Снядецкого и «Введения в анализ» Эйле­ра, свидетельствует о большой эрудиции, трудолюбии авто­ра и о наличии у него творческой инициативы.

Полинский готовил обширную библиографию по физико- математическим и естественным наукам, комплектовал ма­териал по истории университета, вел дневник и т. д .32

61

Полинский, безусловно, был неутомимым тружеником на ниве просвещения. Он состоял членом училищного комитета университета, принимал участие в составлении проектов педа­гогического характера, был визитатором школ, выступал в печати по вопросам зарубежного образования. Зная хорошо школу, он принял деятельное участие в организации дела на­родного образования в Белорусском учебном округе при по­печителе Г. И. Карташевском.

В последние годы существования старого Виленского уни­верситета Полинский был бессменным деканом факультета и префектом учительской семинарии. Можно без преувеличе­ния сказать, что он в двадцатых годах был центральной фигу­рой на физико-математическом факультете университета.

Как знатока школы Полинского неоднократно избирали префектом учительской семинарии, для которой он составил «проект правил», содержащий разделы: 1 ) что собой пред­ставляет семинария? 2 ) обязанности учеников, 3) об учениках,4) о наградах, 5) об обязанности префекта, 6) о предметах изучения. Из математики указаны следующие дисциплины: арифметика, геометрия Евклида, начертательная геометрия, алгебра (многочлены, уравнения, логарифмы), аналитическая геометрия и дифференциальное и интегральное исчисления. Это те предметы, которые, следовательно, определяли подго­товку учителя математики.

Учительские семинарии под тем или иным названием (пе­дагогические или учительские институты) были созданы и при других университетах России. Учащиеся учительской се­минарии представляли собой особую группу студентов, свя­занных с университетом подпиской отработать после оконча­ния семинарии 6 лет по назначению учебной администрации в качестве учителей. Студенты семинарии находились на госу­дарственном содержании, жили в одном помещении, имели своего непосредственного начальника и воспитателя — пре­фекта, выбираемого из профессоров университета. План заня­тий каждого студента определялся в соответствии с его ж ела­нием и способностями. Курсы слушали вместе с остальными студентами университета. Студентов семинарии как в Вилен­ском, так и в других университетах всегда было немного (по­рядка 20). Окончание семинарии приравнивалось к оконча­нию университета. Лица, окончившие семинарию, получали степени, как и остальные студенты. Префектами семинарии при Виленском университете были последовательно профессо­ра Кундич, Юндзил и последним — Полинский.

В 1823/24 учебном году в план преподавания физико-мате­матического факультета был введен курс начертательной гео­метрии, чтение которого было поручено окончившему универ­ситет молодому магистру Ипполиту Румбовичу. Он родился

62

в Литве в 1796 г., окончил Виленский университет со степенью магистра. После закрытия университета работал городским архитектором Белостока, где умер в 1838 г.

Элементы графики и начертательной геометрии преподава­лись в университете и ранее, но в связи с курсом архитектуры. Курс Румбовича был самостоятельным и состоял из трех ча­стей: теоретической, приложений к инженерной практике и упражнений. В своих лекциях Румбович руководствовался со­чинениями Монжа, Гашетта и других авторов.33 Он написал солидное руководство по начер­тательной геометрии для сту­дентов, включающее вопро­сы 34:

Предмет начертательной геометрии (изложение способов решения геометрических задач посредством ортогональных проекций).

Вычерчивание точки, линии и плоскости на ортогональных плоскостях.

Проектирование поверхно­стей.

Перспектива. Картинная проекция.

Правила построения теней и степени освещенности.

Различные приложения к строительному делу. и. Румбович.

Румбович был способным и трудолюбивым ученым. Он хорошо знал математику, архитек­туру и живопись. Увлекаясь живописью, он привлекал к заня­тиям ею студентов. Полинский его характеризует как человека в высшей степени скромного и как педагога, ярко и увлекатель­но излагавшего свой предмет.35

Введение курса начертательной геометрии в учебный план Виленского университета не было случайностью. В задачу университета входила подготовка слушателей к инженерной практике, в связи с чем учебный план наполнялся дисципли­нами прикладного характера. Эта тенденция сближения тео­рии с практикой в постановке учебного дела на физико-мате­матическом факультете Виленского университета настойчиво проводилась в последний период его деятельности. В 1810 г. после визитации попечителя округа факультету предписыва­лось:

63

____л*

«Сообразно штату открытие кафедры практической меха­ники, для чего нужен особый профессор, которому было бы поручено смотрение за собранием моделей.» В результате это­го предписания была открыта кафедра земледелия. Универ­ситету поручалось составить проект ее работы, избрать про­фессора и указать «способ соединения теории с практикой».

Высказывалось предложение организовать кафедру техно­логии. Наряду с этим предлагалось обратить внимание на включение в учебный план лекций по истории наук .36 Многие из этих предложений были реализованы. На факультете чи­тались дисциплины по сельскому хозяйству, практической ме­ханике, дорожному строительству.

Цикл прикладных дисциплин в учебном плане физико-ма­тематического факультета университета был расширен, таким образом, за счет введения инженерных и сельскохозяйствен­ных предметов. Это явление вполне объяснимо, если иметь в виду потребности столь обширного края в специалистах сельского хозяйства, техники (дорожное строительство, строи­тельство жилых домов, мельниц и городских предприятий) и учитывать тот факт, что высшего технического учебного заве­дения в нем не было. Однако это развитие принимало не­сколько односторонний характер, без должного внимания к наукам теоретическим. В частности, эта тенденция отразилась на преподавании математики. В учебном плане отсутствует, например, теория чисел. Темы диссертаций и студенческих научных работ также относились к прикладной математике.37

Румбович ездил в Петербург с целью изучения постановки преподавания начертательной геометрии и графики в различ­ных учебных заведениях столицы, а также ознакомления с приложениями этих предметов в строительной практике. Интересны мотивы, которые изложены Румбовичем в его за­явлении университетскому правлению по поводу этой коман­дировки.

Приведем этот интересный документ: 38 «Взявший на себя изучение начертательной геометрии должен знать ее теорию и приложения. С этих обеих точек зрения посещение обеих столиц будет очень полезным. А именно: Корпуса инженеров путей сообщения, Военно-строительного училища путей сооб­щения, Главного инженерного училища, Адмиралтейств кол­легии. Во всех них преподается начертательная геометрия со свойственными ей приложениями к общим предметам, кото­рым посвящены. Кроме того, равно имеется и ряд ученых по этому предмету на родине: таким есть профессор Севасть­янов, автор важной о начертательной геометрии книги, кото­рый первым на русском языке издал ее в 1822 году.

На пути в Петербург буду иметь возможность ознакомить­ся с университетом в Дерпте и ознакомиться (в нем) с мето­

64

дом преподавания начертательной геометрии и других наук, которые с ней связаны. Знакомство со столицей полезно для ознакомления известных там работ — Исаакия, что может сравниться в Европе с этим строительством! Знакомство с ри­сунками, моделями в различных кабинетах, с преподаванием ремесел в связи с рисунками. В Москве — две технические школы для ремесленников, где преподается геометрия рисун­ка. Есть еще институт в Москве для рисования форм, служа­щих для украшения различной фабричной продукции. В Мо­скве полезно посмотреть строительство церкви Спасителя на Воробьевых горах».

И. Румбович был в Петербурге и в Москве в течение 6 ме­сяцев в 1828 г. Эта объективная оценка со стороны ученого Виленского университета состояния науки и техники в рус­ских столицах, дополненная аналогичной оценкой адъюнкта механики Горского,39 изучавшего в Петербурге строительную и производственную технику, свидетельствует о наличии про­грессивной тенденции в среде его ученых к развитию научных контактов с учеными других учебных заведений России.

Укажем еще ряд фактов, которые свидетельствуют о на­личии научных контактов Виленского университета с другими университетами и Академией наук.

Избрание профессора Снядецкого в члены-корреспонден­ты Петербургской Академии наук, его переписка с Академией. Обмен диссертациями и книгами. Избрание в почетные члены университета ученых Петербурга. * Рекомендация книг рус­ских ученых. ** Информация в печати о научных работах рус­ских ученых. В деле научной информации в этот период имел значение « Э ^ е п т к Д^ПепзкЬ. В нем печатались заметки о математических исследованиях зарубежных и отечественных ученых. Так, например, все работы, издававшиеся тогда еще молодым Остроградским, реферировались в этом журнале.

В заключение настоящего параграфа перечислим учебни­ки, изданные университетом по другим дисциплинам физико- математических наук (на польском языке). Они являются свидетельством хорошей постановки преподавания физики, астрономии и геодезии в Виленском университете.

1. С. Стубилевич. Краткий сборник начал физики. Вильно, 1816. Курс изложен в соответствии с программой Политехни­ческой школы в Париже, где автор длительное время изу­

* В числе почетных членов был известный физик, профессор Медико­хирургической академии В. Петров.

** Этим вопросом занимался М. Полинский. Он обратил внимание на примечательную для своего времени монографию Н. В. Верещагина «М а­тематические предложения о употреблении алгебры, в геометрии, логариф­мах, тригонометрии плоской и сферической...», написанную еще в 80-е годы XVIII в. и изданную сыном автора в 1820 г. '

3 Н. Д . Беспамятных 65

чал физико-математические науки, находясь в научной ко­мандировке.

2. П. Славинский. Начала теоретической и практической астрономии. Вильно, 1826. Курс написан на уровне, соответ­ствующем развитию астрономии начала XIX в.

3. А. Шагин. Высшая геодезия. Вильно, 1829. Учебник на­писан на основе главным образом французских работ по гео­дезии; изложение строгое, с применением дифференциального исчисления и теории рядов.

§ 4. ПРЕПОДАВАНИЕ С. РЕВКОВСКИМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ

В 1829/30 учебном году на правах факультативного было открыто чтение курса теории вероятностей. Насколько нам известно, это был первый систематический курс лекций по этому предмету в истории высшего математического образо­вания в России. Чтение его было поручено молодому магистру математики Сигизмунду Ревковскому.

Сигизмунд Ревковский (1807— 1893) родился в Вильно, где окончил гимназию и затем университет (учительскую се­минарию при нем). Будучи студентом, Ревковский принимал участие в астрономо-геодезических работах, которые прово­дились на Западе России.40

Преподавание математики проходило в общих чертах в соответствии с той программой, которая была изложена Снядецким на научной сессии университета в 1808 г.41 Говоря о теории вероятностей, он отмечал, что со временем, когда математические науки на факультете получат надлежащее развитие, следует подумать и об учреждении кафедры по этой дисциплине. Позже он одно из своих выступлений на совете посвятил теории вероятностей.42 Таким образом, введение курса теории вероятностей является естественным развитием факультета в соответствии с тем планом, который был в об­щих чертах намечен Снядецким в первый год его деятельно­сти на посту ректора университета.

Университет в своем донесении министерству по поводу открытия этого курса сообщает: «Физико-математическое от­деление обращало внимание на то, что правдоподобные вы­числения, составляющие обширную отрасль математических наук, до сих пор не были еще преподаваемы в университете, между тем к а к вычисления сии весьма важны и приносят зна­чительную пользу, ибо на оных основываются действия ассе- курационных обществ.

Славный ж е Лаплас успел приноровить оные к геодезиче­ским и другим подобным действиям, а поэтому означенное отделение, полагая полезным ознакомить обучающихся мате­

66

матическим наукам с таковыми вычислениями, обратило вни­мание в сем отношении на удостоенного университетом звания магистра философии Зигмунда Ревковского, который, бывши воспитанником учительской семинарии при университете, по­казал в продолжении учения своего в университете во всех науках отличные успехи и исполнял должность учителя мате­матики в одном классе Виленской гимназии в продолжение одного года и отличился ясным и приятным способом объяс­нения. Наконец, исполнил с усердием и ревностью деланные ему ректором университета двукратно поручения по части гео­дезических работ, производимых на Полесье, Жмуди и в Кур­ляндии генерал-майором Теннером. К тому же по своей соб­ственной охоте трудится около двух лет над сочинением о правдоподобных вычислениях».43

Сочинение по теории вероятностей, которое писал Ревков­ский и о котором говорится в этом документе, считается уте­рянным. Надо полагать, что это было серьезное исследование, о чем может отчасти свидетельствовать и та программа, по которой он читал этот курс.44 На эту программу М. В. Ост­роградский дал положительный отзыв.45 Действительно, со­держание программы говорит о широкой осведомленности автора в этой новой для того времени науке и глубоком ее понимании.

Университет имел право присуждать ученые степени кан­дидата, магистра и доктора. Степень кандидата присужда­лась студенту на основании экзамена после двух лет обуче­ния. Получение ученых степеней не было делом сложным. Каждый способный и трудолюбивый студент мог получить степень магистра. Был, например, такой случай, когда уни­верситет ходатайствовал перед министерством о присуждении степени магистра математики преподавателю курсов для чи­новников (на получение служебных аттестатов) на основании отзыва о его работе на этих курсах. Министерство обратило внимание университета на слишком упрощенный характер процедуры получения ученых степеней. В двадцатых годах требования были повышены. Мы проследим в общих чертах процедуру получения магистерской степени на примере Рев­ковского.

Перечислим те предметы, по которым экзаменовался Рев­ковский на степень магистра.46 На первом экзамене он сда­вал теоретическую механику, аналитическую геометрию, ми­нералогию, логику, дифференциальное и интегральное исчис­ления и алгебру.

Вопросы по теоретической механике: «1. Сила равнодейст­вующая двух сил параллельных в одну или противные сторо­ны действующих и точка ее приложения. 2. Равновесие многих сил параллельных: а) когда система их не заключает непо-

з* 67

движной точки и б) когда заключает ее. 3. Определить центр тяжести объема круглого тела. 4. Определить вертикальное движение тяжелой точки, принимая в рассуждение изменение тяжести. 5. Центробежная сила и ее выражение. 6. Определе­ние момента инерции эллипсоида относительно какой ни есть оси. 7. Равновесие жидкостей в сифонах».47

Вопросы по аналитической геометрии: 1 . Способ определе­ния положения точки на плоскости и в пространстве. 2. Урав­нение эллипса, гиперболы и параболы. 3. Оси и диаметры в эллипсе и гиперболе. 4. Способ определения фокусов эллип­са, гиперболы и параболы. 5. Способ определения касатель­ных к эллипсу, гиперболе и параболе, проходящих через точ­ку, расположенную вне этих кривых.

Вопросы по дифференциальному и интегральному исчис­лениям: 1 . Объяснить теорию дифференциального исчисления.2 . Сравнить между собой все теории дифференциального ис­числения. 3. Ответить, какая из них является наилучшей в при­ложениях и почему. 4. Объяснить способ интегрирования сте­пенных рядов. 5. Предмет вариационного исчисления.48 Вопрос по алгебре: Определение трансцендентных функций.

Второй экзамен также включал целый ряд различных предметов и состоялся через день после первого.

Вопросы по геодезии: «1. Объяснить теорию деления мас­штабов. 2. Уровень с воздушным пузырьком и его проверка.3. Начертание стереографической проекции земного полуша­рия. 4. Определить формулу для измерения длины дуги зем­ной параллели. 5. Определить способ и формулу для вычис­ления по приближению разницы относительных высот двух мест, коих неизвестно взаимное расстояние».49

Экзамен по химии.Экзамен по физике: « 1 . Механические свойства паров

в пустом месте при различных температурах. Инструменты и способы, служащие к их определению. 2 . Пирометры и что ими определяется. 3. Главные явления и теорця электрической силы».50

Экзамен по начертательной геометрии: «1. Общий способ начертания линий пересечения двух или многих кривых по­верхностей, приложение его к поверхности вращения. 2. Про­стейший способ определения на поверхности вращения кри­вых линий отделения света от тени и кривых падающей тени» 51

Экзамен по зоологии и ботанике.Через день Ревковский снова подвергался экзамену по

архитектуре. Затем был письменный экзамен: 1. По инте­гральному исчислению. («Объяснить теорию интегрирующе­го множителя».) 2 . По теоретической механике. («Вывести общие формулы на определение центра тяжести линий, пло­

68

ской фигуры, объема и поверхности тела вращения и некото­рые из них приложить к каким-либо примерам».) 52

На заседании отделения члены факультетского совета чи­тали ответы Ревковского и единогласно признали, что он при словесном и письменном испытании дал удовлетворительные ответы. На этом основании ему была предложена диссерта­ционная тема: «Изложить происхождение инфинитезимально- го исчисления, различные способы преподавания оного и ука­зать, который из них лучше всех согласуется с настоящим смыслом чистого анализа» . 53 Приблизительно через год «Рев­ковский публично читал свое рассуждение и защищал оное надлежащим образом против возражений, чинимых членами отделения, и вследствие того отделение физико-математиче­ских наук признало его, Сигизмунда Ревковского, удостоив' шимся степени магистра философии, и сие мнение определило представить в Совет университета, прилагая при сем и рас­суждение, им сочиненное» . 54 Министерство просвещения по­ручило профессору астрономии Петербургского университетаВ. Вишневскому, как знающему польский язык, дать отзыв на диссертацию Ревковского (вместе с диссертацией Гедеми- на «О паровых машинах»).* Профессор Вишневский дал по­ложительный отзыв.55

В диссертации предлагалось ответить на следующий во­прос: «Какие существуют способы выведения и изъяснения высшего исчисления и который из сих способов должен быть признан лучшим?».

Ревковский указывает пять различных способов построе­ния анализа бесконечно малых: 1 -й способ — Лейбница,2-й — Ньютона, 3-й — Маклорена и Д ’Аламбера, 4-й — Эйле­ра и 5-й — Лагранжа (а также построения Пасквича, Арбо- гаста, Гризона и др.)-

Диссертант исследовал следующие три вопроса:1) Какой из перечисленных выше способов «согласуется

с истинным духом анализа?2) Какой из способов более удобен для приложений?3) Какой из них лучше отвечает цели преподавания?В исследовании показывается, что с «истинным духом ана­

лиза» лучше согласуется способ Лагранжа, «известный под названием теории функций аналитических».

Для приложений наиболее удобным признан способ бес­конечно малых приращений Лейбница. Способ Маклорена

* Магистерскую диссертацию Ревковского, относящуюся, следовательно, к математическому анализу, обнаружить не удалось. Диссертация Гедеми- на находится в их общем деле. Мы подчеркиваем тот факт, что магистер­ская диссертация его относилась к математическому анализу, а не к теории вероятностей, как утверждают историки Виленского университета.

69

или Д ’Аламбера с употреблением алгоритма Лейбница при­знан лучшим для преподавания.

Хотя диссертация Ревковского нам не известна, но на ос­новании отзыва профессора Вишневского можно составить о ней некоторое представление. Проблема ее была актуаль­ной для того времени, поскольку математический анализ не был достаточно обоснован и в преподавании применялись раз­личные его трактовки. Как видно, Ревковский усматривает пять различных точек зрения на построение теории матема­тического анализа. Однако работы Коши не упоминаются, хотя в то время они были уже широко известны и на основе их перестраивалось преподавание математического анализа в университетах, в том числе и в Виленском.

Ревковский свыше 20 лет занимался проблемой, которую по современной терминологии можно отнести к математиче­скому моделированию производства и по которой он опубли­ковал семь работ. Первая из них — «Применение анализа к определению влияния администрации на стоимость строи­тельных и заводских работ» — была опубликована в «Инже­нерном журнале» в 1866 г., а последняя — «Аналитическая теория работ вообще, в самом обширном значении этого сло­в а » — опубликована отдельной книгой в Вильно в 1888 г. Историческая оценка этих исследований дана профессоромз . Жемайтисом в недавнее время. Жемайтис высоко оценива­ет труд Ревковского, отмечая его связь с современным разви­тием этой проблемы.56 Поэтому мы ограничимся замечания­ми общего характера.

Ревковский длительное время работал инженером путей сообщения. Принимая непосредственное участие в производ­ственных работах, он пришел к мысли о построении математи­ческой теории организации труда и сделал попытку реализо­вать ее.

В первой своей работе автор следующим образом харак­теризует своп исследования:

«В этой записке изложены теоретически неоспоримые вы­воды, касающиеся разных администраций и различных работи, хотя многое здесь заявленное было уже и прежде более или менее известно по опыту, однако же самая совокупность всех этих выводов, извлеченных из одной и той же формулы, дока­зывает уже присутствие в этом отдельной науки, чрезвычайно обширной, полезной и любопытной».

Познакомимся с методом и выводами первой его работы. В ней дано решение проблемы минимума расходов на произ­водство работы и минимума времени для ее выполнения (в случае временной работы). Решение задачи состоит из двух этапов: составления функции и нахождения ее экстре­мального значения.

70

Время работы Т составляется:1) из дней приготовительных а, необходимых для найма ра­

бочей силы и заготовления материалов;2) из дней рабочих /;3) из дней нерабочих 1\.Таким образом, Т — а + / + 4.х — количество рабочих норм (уроков) по «Урочному поло­

жению», необходимых для выполнения работы;т — число рабочих, ежедневно состоящих на работе;х 1 — реальная норма («местный урок»);

.= к — коэффициент, показывающий отношение уроков казенных к реальным;

= р — имеет среднюю мало изменяющуюся величину при длительных работах.

Тогда Т = а + —^ .м 1 к пг

Это уравнение выражает кривую поверхность второго по­рядка, отнесенную к осям х, пг и Т.

Работы подразделяются на обыкновенные и фабричные. В обыкновенных величина х всегда определена сметой и по­стоянна; в фабричных — величина пг всегда известна и посто­янна. Если х — постоянно, то в сечении поверхности получа­ется гипербола, при пг постоянном — прямая. Поверхность Т образуется движением прямой линии по гиперболическим на­правляющим. Время работы Т в работах обыкновенных идет по линии гиперболической, в фабричных — по прямой.

Далее идет исчисление всех расходов производства, и ав­тор приходит к формуле определения стоимости «одного урока»:

Р=г.С + Е + — + В — + — + Р — , (1)1 1 х 1 х \ пг 1 пг '

где расходные коэффициенты А, В, С, О, Е, Р определяются опытным путем из произведенных расходов при аналогич­ной выполненной работе!

В работах обыкновенных, где х — постоянное, а пг — пере­менное, уравнение ( 1) выражает линию пересечения поверхности плоскостью, параллельной осям Р и пг на расстоянии х от на­чала координат. Это гипербола с пониженной точкой, в кото­рой Р имеет минимум. Положение этой точки определяется из

ЛРуравнения = 0, которое дает

1 / -{- Е хпг = у -----^— • х.

71

Это значение удовлетворяет условию самой дешевой работы. Соответствующее самое выгодное время работы будет:

Аналогично определяются значения х и Т в случае работы фабричной:

Смысл исследований Ревковского заключается, следова­тельно, в математическом * анализе производственной деятель­ности любого вида и построении ее математической модели. Учитывая факторы, участвующие в производстве, он конст­руирует формулы для определения времени выполнения работы и ее стоимости. Рассматривая эти величины как функ­ции некоторых переменных, он находит их экстремальные значения и таким образом выясняет те условия, при которых время и стоимость имеют минимальное значение.

Эта идея развивается в последующих работах, однако она не нашла непосредственного практического использования и осталась как бы в стороне от пути развития этой области. Возможно, что работы Ревковского могли бы найти практиче­ское применение, если бы они были представлены в форме, удобной для практика-инженера, когда рабочие формулы или табулированы, или номографированы. Что касается их теоре­тического значения, то, как нам представляется, оно состоит прежде всего в том, что в них сделана попытка математиче­ски формулировать самую проблему труда и на основе этого было построено приближенное ее теоретическое решение.

Работы Ревковского оригинальны и могут быть интересны для истории научной организации производства, представля­ющей собой в настоящее время обширную область теоретиче­ского и практического знания.

§ 5. И. А. СНЯДЕЦКИЙ И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК В УНИВЕРСИТЕТЕ И ШКОЛАХ

ОКРУГА

Перестройка математического образования в Виленском университете в значительной степени связана с именем ректо­ра Ивана (Яна) Андреевича Снядецкого. И. Снядецкий ро­дился в 1756 г. в Гнезненском воеводстве в Польше.57 Снача­ла он учился в Познани, а затем в Краковском университете

и

72

(1772— 1775), который окончил со степенью магистра. О пер­воначальном образовании он пишет: «Я изучал в школах По­знани риторику Полашевского и диалектику Стемпловского в течение трех лет и приобрел большую легкость в польских и латинских сочинениях». В Краковской академии он изучал курс физики и математики по Аристотелю, диалектику, кос­мологию, а из математических наук — плоскую и сферическую тригонометрию и теоретическую геометрию. После окончания университета учительствовал, преподавал алгебру, логику, гидростатику, гидравлику и политэкономию.

В связи с подготовкой к реформе 1780 г. молодой Снядец­кий был отправлен за границу «для усовершенствования в науках». Сначала он учился в Геттингене, затем в Париже (1778— 1781). Относительно геттингенских занятий Снядец­кий пишет: «В начале я встретил безмерно много трудностей, временами я мучился даже до слез и отчаяния, чтобы их пре­одолеть... Сначала тонул целиком в сочинениях Эйлера, пре­одолевал и прорешал труднейшие его задачи в дифференци­альном и интегральном исчислениях, механике, оптике, бла­годаря чему приобрел огромный навык и сноровку в технике вычислений и обогатил свою память фундаментальными фор­мулами чуть ли не всего анализа». В Париже «я пошел на лекцию профессора Кузена, комментировавшего в то время интегральное исчисление на основе своего сочинения. Меня поразило чистое и ясное, но так новое для меня изложение материала, который я знал... Я убедился, что я владел в Гер­мании вычислительным механизмом, но не постигал глубоких мыслей, содержащихся в исчилении... Я пробежал труды Д ’Аламбера, Клеро, геометра Фонтэне и «Ас1а» Академии наук, что касается математических и физических наук, то я приобрел себе Туринские «Ас1а» и в них я взял на учет ра­боты Лагранжа». О цели своей поездки Снядецкий писал, что желает усовершенствоваться в высшей математике, особенно в ее приложениях к астрономии и механике, изучить химию, натуральную историю, физику, французский язык и литера­туру.

Снядецкий был знаком с многими выдающимися учеными своего времени, например, с Д ’Аламбером, который оказал на него большое влияние в формировании философских взгля­дов. В 1781 г. он занял кафедру высшей математики и астро­номии в Краковском университете, где внес новое и животвор­ное начало в преподавание математических и астрономиче­ских наук. В 1787 г. был с научной целью в Англии (где познакомился с Гершелем), во Франции и Германии. 1803— 1805 гг.— снова во Франции, Голландии и Италии.

Уже с момента реорганизации Виленского университета в 1803 г. имелось в виду пригласить Снядецкого на должность

73

ректора и астронома-наблюдателя. К этому времени он поль­зовался известностью как ученый и педагог. Эту идею подал, очевидно, Почобут, с которым Снядецкий состоял в продол­жительной научной переписке. Официальное приглашение со­стоялось в 1806 г. 58 Вначале Снядецкий отклонил предложе­ние о переезде, но затем уступил настойчивой просьбе попечителя Чарторыйского и в январе 1807 г. переехал в Вильно.59 19 января 1807 г. он был избран ректором и в этой должности прослужил до 1815 г. 60 В качестве астронома-на­блюдателя он работал до 1822 г. Лекции в университете Сня­децкий не читал. В 1811 г. был избран членом-корреспонден- том Петербургской Академии наук. Умер в 1830 г.

Работы Снядецкого относятся к астрономии, математике и их истории и к философии.

Астрономия — основная специальность Снядецкого, в об­ласти которой он занимался исследованиями. Результаты астрономических наблюдений он печатал в «Венских эфеме­ридах, «Ежемесячных сообщениях» («МопаШсЪе Соггезроп- с!еп2 ») и в «Мемуарах» Петербургской Академии наук. Это были результаты наблюдений малых планет Цереры и Пал- лады, затмений Луны и спутников Юпитера, солнечного за ­тмения и др. *

Снядецкий всегда проявлял глубокий интерес к истории науки. Занимаясь в библиотеке Краковского университета, он обнаружил ценные документы о Н. Копернике и, когда Варшавское общество друзей науки объявило конкурс на труд о Копернике, подготовил и издал первое в истории аст­рономии по полноте, систематичности и документальной обо­снованности историческое исследование «О Копернике» . 62 Р а ­бота была переведена на ряд европейских языков. Она не ут­ратила своего значения для истории и в настоящее время.

Документы свидетельствуют о том, что с идеями Коперни­ка в том или ином объеме знакомили студентов в Виленском университете почти на протяжении всего периода его сущест-

*' Корреспонденция Снядецкого с Петербургской Академии наук имеет своим содержанием следующее: 61 Ежегодные отчеты о наблюдениях его на Виленской обсерватории (за годы 1810— 1811, 1813— 1819, 1821). Пред­ставление для публикации работы «Теоремы сферической тригонометрии», в которой доказываются теоремы Делямбра. Представление Н. Фусса к из­бранию Снядецкого в члены-корреспонденты Академии наук. Представле­ние наблюдений по оккультации звезд, произведенные в обсерватории В и­ленского университета по просьбе академика Вишневского (за 1810 г.). Сообщения о первых наблюдениях кометы в 1811 г. Представление резуль­татов метеорологических наблюдений, произведенных в Вильно за 34 года. Сообщения о наблюдениях Марса, Цереры и П аллады, произведенных на обсерватории Виленского университета (за 1813 г.). Представление своих печатных трудов. Результаты наблюдений комет 1819 г. Описание астроно­мического прибора новой конструкции, приобретенного Виленской универ­ситетской обсерваторией в 1821 г.

74

вования. Но это знакомство было эпизодическим и не полным. С переездом в Вильно Снядецкого идеи Коперника становят­ся предметом систематического и глубокого изучения не толь­ко в университете, но и в школе. Эти идеи были отражены им в учебнике математической географии, который применялся в университете и школах. Он был издан также и на русском языке. 63 Остановимся на его содержании.

Описание Земли Снядецкий делит на две части: граждан­ское и математическое. В первой части описываются те явле­ния, которые определяются силами, «никакими постоянными законами не определенными» (политическая география), «это суть явления причин, кои родятся, продолжают (жить) и ис­чезают в людях». В понимании социальной жизни обществ Снядецкий, как видно, не выходил за пределы достаточно простых и общепринятых представлений того времени.

Интерес представляют его методологические взгляды во второй части, в которой говорится, что Земля может быть под­вергнута математическому описанию, поскольку здесь дейст­вуют силы природы, ее законы. Земля как небесное и физи­ческое тело «дает начало физическому и математическому описанию, поелику... весь способ познания естественных дей­ствий на Земле почерпается и извлекается из начал геомет­рии, под коею мы разумеем все части чистой математики. Сия последняя наука достоверна и очевидна, следовательно, все истины, на ней основанные, также достоверны, несомнитель­ны и постоянны. Действия природы не так переменчивы, как действия людей, они происходят по вечным нерушимым зако­нам и все естественные явления суть необходимые следствия сих законов» .64

Занимаясь школьными делами, Снядецкий близко чувст­вовал настоятельную потребность в книге, которая бы была построена на научной основе, так как «во многих книгах, из­даваемых для учащегося юношества, часто предлагаемы были о Земле познания темные, необстоятельные и ложные. Я счел, что лучше предупредить успех заблуждения, предста­вив полную науку в ее чистоте, силе и порядке, нежели ис­правляя и объясняя некоторые положения, местами замечен­ные» (в других сочинениях) . 65 Далее Снядецкий называет ряд книг такого рода, изданных начиная с XVI и кончая XVIII в., и говорит, что они его не удовлетворяют, так как или совсем не опираются на учение Коперника, или «боязливо утверждают его, или же сомневаются в его справедливо­сти». 66 В связи с этим автор точно формулирует задачу по- сроения курса географии: объяснить суточные и годичные явления на Земле, исходя из «справедливых явлений» суточ­ного вращения Земли и годичного ее движения вокруг Солн­ца. Автор «употребил возможные меры представить во всей

75

обширности и ясности учение Коперника. Таким образом, сие сочинение есть жертва достодолжного почтения па­мяти нашему соотечественнику Николаю Копернику, по­казывая обширное влияние его мыслей и изобретений на успехи не только астрономии и географии, но и физи­ки...»67

В 1783 г. в Кракове Снядецкий опубликовал трактат «Теория алгебраического исчисления, приложенная к геомет­рии кривых линий» (в двух томах) . 68 Этот трактат представ­ляет для нас интерес с дидактической точки зрения. Им поль­зовались в качестве руководства в университете, а также в средних школах Литвы! и Белоруссии.

Трактат включает алгебру, аналитическую геометрию и разложение элементарных трансцендентных функций в сте­пенные ряды. Он написан Снядецким на основе лек­ций, прочитанных им в Краковском университете под влиянием свежих впечатлений от лекций французских мате­матиков, которые читались на основе сочинений Эйлера. Ал­гебра рассматривается как специфический для математи­ков язык, который в каком-либо алфавите посредством формул, уравнений, функций выражает сравнения, отно­шения и различные связи между величинами. Этот язык обладает свойствами общности, краткости и облегчает па­мять.

Первый том включает элементарную алгебру, построен­ную на основе оригинальной для того времена идеи, заключа­ющейся в функциональной трактовке ее вопросов и во взаимо­связанном изложении понятий функции и уравнения. В этом смысле уже характерно название ее первой части: «И злага­ется природа и свойства функций, также алгебраических уравнений; действия с различными функциями и способы ре­шения уравнений». Эта идея реализуется следующим образом. Понятие функции вытекает из понятия уравнения. Изучение уравнений первой степени приводит к понятию линейной функции, квадратных уравнений — к понятию квадратной функции, рациональных алгебраических уравнений — к ра­циональной функции и т. д. Параллельно с этим рассматрива­ются «операции над функциями». Приведение подобных трак­туется как сложение и вычитание функций целых, действия с алгебраическими дробями — как действия с рациональными функциями, преобразование иррациональных выражений — как действия с иррациональными функциями. Рассмотрени­ем иррациональных уравнений и функций завершается эле­ментарная часть алгебры.

Исходя из принятого им положения, что учение о функци­ях возникло в связи с изучением уравнений, он излагает эти понятия в их взаимной связи. Рассмотрев на первых страни­

76

цах курса конкретную задачу, которая приводит к уравнению первой степени

, , хЫ' , хс1" хс1”Х* + - + -Б ----- ТоГ = в*

Снядецкий говорит: «Такое выражение связи, найденное меж­ду какими-либо количествами, входящими в вопрос, называ­ется уравнением... Если бы мы отвлекалась от связи, через которую выражается уравнение, и рассматривали бы только части уравнения без знака равенства, то мы имели бы только множество членов, содержащих известные и неизвестные различные величины, соединенные между собой различным# знаками, например,

х1 хЫ' . хс1" хс1"а а 20 а

Такое выражение называется функцией от х». Далее по­ясняется связь между этими понятиями: «Из этого описания вытекает теперь различие между функциями и уравнениями. Если функция есть только простое выражение членов, заклю­чающих каким-либо образом разные количества, которые между собой не связаны, то уравнение выражает обязательно или связь двух функций, или связь количеств, заключенных в одной функции».69 Таким образом, если за исходное при­нять понятие функции, то определение уравнения совпадает с современным. Понятие функции трактуется в курсе по Эйлеру.

Концепция курса элементарной алгебры Снядецкого ока­зала влияние на виленских математиков. Наиболее последо­вательным из них был М. М. Полинский. Как видно из одной рукописи, написанной Полинским в 1808— 1809 гг., он обстоя­тельно изучил «Алгебру» Снядецкого, сопровождая это изу­чение своими замечаниями и добавлениями. Рукопись инте­ресна в том отношении, что в ней элементарная алгебра трак­туется также в духе Снядецкого.70 Но наиболее четко эта точка зрения проведена Полинским в другой его работе, при­готовленной к печати в Минске в 1810— 1813 гг., когда он рабо­тал учителем Минской гимназии.71 Хотя формальное опреде­ление алгебры дано ньютоново, но все изложение проведено с функциональной точки зрения Снядецкого. Понятие уравне­ния определяется как равенство двух функций, а понятие функции определяется по Эйлеру.

Эта концепция Снядецкого отражена в учебнике алгебры профессора Виленского университета А. Г. Вырвича.72 Во вводной части автор подчеркивает важную в этом отношении мысль, что алгебраический язык позволяет устанавливать и выражать связи между величинами. Несколько большее влия­

77

ние идей Снядецкого испытали на себе «Начала алгебры» Г. А. Гречины, получившего математическое образование в Виленском университете.73 Гречина был преподавателем Кременецкого лицея, где преподавал курс алгебры по своему учебнику. После закрытия лицея он был профессором мате­матики в Киевском, а затем в Харьковском университетах.

Передадим ход рассуждения автора по интересующему нас вопросу. Благодаря введению в алгебру символики, об­щих знаков для выражения количеств, вычисления становят­ся краткими. Алгебра — язык для выражения нашей мысли о величинах, которые рассматриваются не сами по себе, а во взаимной связи и в их изменении. Решение задачи начинается с рассмотрения ее условий, чтобы можно было открыть связь между количествами известными и неизвестными. Эта связь позволяет составить равные выражения или функции. Если мы соединим знаком равенства эти функции, то получим уравнение.

Первый раздел алгебры имеет название, аналогичное то­му, какое имеется в алгебре Снядецкого: «Способы производ­ства действий над количествами и функциями и применение их к решению уравнений». Содержание второго раздела вклю­чает два вопроса: бином Ньютона и извлечение корней. Автор пишет: «Изложивши способ возведения количеств и функций в какую угодно степень, покажем теперь обратный, который от степеней приводит до самих функций, из которых данная степень образована. Такие количества или функции называ­ются корнями степеней». В этом же разделе рассматривают­ся «действия с иррациональными и мнимыми функциями».

Понятие логарифма также рассматривается с функцио­нальной точки зрения. Подход осуществляется так: после изучения прогрессий решаются задачи на проценты, решение задач на сложные проценты приводит к понятию показатель­ной функции, а в свою очередь «функции показательные при­водят к познанию логарифмов». Излагаются свойства этих функций и способ разложения логарифмической функции в ряд. Последнее дает возможность обосновать построение таблиц. Заметим, что в элементарных учебниках того времени раздел о логарифмах излагался преимущественно не с функ­циональной, а с чисто арифметической точки зрения и рас­сматривался как технический аппарат для вычислений.

Характерно также, что у Гречины и Вырвича, как и у Сня­децкого, одинаковое понимание алгебры как особого языка, с помощью которого мы выражаем свои мысли и суждения о величинах и «применение которого основывается на том свойстве величин, что они способны возрастать и убывать. Этот язык может служить для выражения природы вещей, если она имеет характер величины. Его приложение, следова­

78

тельно, так же обширно, как обширно наше познание вещей, имеющих характер величины».

Понятия функции и уравнения у Снядецкого выступают в их диалектическом единстве: как формы математического мышления и как математические средства познания действи­тельности. У Снядецкого и его последователей мы видим пер­вую пробу решения этой методологической проблемы. Это решение с современной точки зрения следует оценивать как чисто формальное, поскольку оно не сопровождалось в элемен­тарной части алгебры графическими представлениями и иссле­дованиями.

Вопрос о приоритете введения понятия функции в школь­ное обучение в конце XIX и начале XX в., о котором так много было сказано в последнее время, в свете изложенного тре­бует более точной формулировки и обоснования. К этому во­просу мы еще вернемся в гл. III.

Вопрос о возникновении понятия функции в связи с раз­витием теории уравнений представляет интерес для истории математики, но нуждается в специальном изучении. Несом­ненно, что указанный Снядецким фактор играл определенную роль, но едва ли он был главным на всех этапах этого слож­ного пути и тем более единственным.

Передовым было понимание Снядецким природы отрица­тельных чисел. В его время некоторые математики отрица­тельные числа считали не реальными, а фиктивными.74 Эту точку зрения Снядецкий называл «нелепым толкованием, ко­торым некоторые авторы путают учащихся». Его взгляд мож­но передать следующими словами.

Все в природе познается через сравнение и сопоставление. При изучении природы количеств также приходим к необхо­димости сопоставлять одни из них с другими. Одни из них вы­ражают одно состояние или положение, другие — другое, на­пример, возрастание и убывание, дебет и кредит, имение и долг, два противоположных течения и т. д. «Отсюда заключа­ем,— говорит Снядецкий,— что количества отрицательные имеют свою природу, столь же истинную и правдивую, как и количества положительные, но только противоположного смысла».75 Первая часть первого тома завершается решением уравнений третьей и четвертой степеней.

Бином Ньютона обобщен и распространяется на дробные и отрицательные показатели. Метод хотя и не строгий, но не шаблонный. Изложение некоторых вопросов полностью вос­производится по Эйлеру, его «1п1гос1исИо», например, извест­ные формулы для выражения з т пг и соз пг.

Второй том содержит «Приложение алгебры к геометрии» и называется так: «Т. II, в котором посредством неопределен­ных уравнений объясняются свойства кривых линий и поверх­

79

ностей». Для своего времени это был достаточно полный курс аналитической геометрии. В нем рассмотрены все кривые и поверхности второго порядка с их свойствами.

Снядецкий живо интересовался общими проблемами свое­го века и опубликовал ряд трудов философского содержания. В этих и в других его работах имеются педагогические и ди­дактические высказывания и построения, которые образуют достаточно цельную систему педагогических взглядов. Нас интересуют следующие аспекты его философского и педагоги­ческого учения: общий взгляд на математику, классификация математических наук и отношение их к действительности и философские принципы познания и реализации их в системе преподавания математики.

Его философские взгляды на математику являются прояв­лением философии просвещения, характерными чертами ко­торой были энциклопедизм и рационализм в познании и дея­тельности. Снядецкий был математиком, астрономом, инте­ресовался философией, психологией, логикой, языками, лите­ратурой и проблемами морали, т. е. энциклопедически обра­зованным ученым.

В ряде мест Снядецкий называет математику особым язы­ком для выражения наших мыслей о величине, а средства ее — операциями или алгоритмами. Поэтому понятие алго­ритма он кладет в основу классификации математических наук. Так, арифметические действия и решение уравнений составляют алгоритмы алгебры, трансцендентные функции имеют свойственный им алгоритм — разложение в ряд, мате­матический анализ характеризуется алгоритмами дифферен­цирования и интегрирования.

Начальные понятия математики, по Снядецкому, абстра­гированы от действительности: «Самые отвлеченные истины берут свое начало в явлениях, воздействующих на чувства: мысль своим действием отделяет эти истины от их первона­чал, оставляет в них только самые общие свойства вещей, не связывая их с какими-либо специфическими явлениями». Основным понятием математики является величина: «она представляет собой свойство всей природы; разум отделяет ее от всех родов вещей, останавливаясь только на том при­знаке ее, который состоит в способности увеличиваться или уменьшаться».76

Заметим, что по вопросу о происхождении первичных ма­тематических понятий взгляд Снядецкого сходен со взгля­дом Н. И. Лобачевского, как сходно и их отношение к кантов­скому априроизму, характеризующееся решительным его отрицанием и критикой. Действительно, Лобачевский гово­рил:

«... в основание математических наук приняты все понятия,

во

каковы бы они ни были, приобретаемы из природы... все мате­матические начала, которые думают произвести из самого ра­зума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики...».77

Но построение теории, по Снядецкому, является делом че­ловеческого ума, его рассудочной деятельности: «человече­ский разум пустил в ход все свои силы и таланты..., открылась широкая арена для деятельности рефлексии; сосредоточив всю свою активность, она показала человеческому разуму неисчерпаемые источники великих истин; разум усмотрел в них самые верные отношения, связал их по порядку, разделил их на части и таким образом соткал из них, если можно так выразиться, сеть рассуждений и мыслей, которая получила название математики».78

Снядецкий в своих философских работах подчеркивал мысль об огромной роли математики в познании природы. Математика в системе его взглядов — инструмент познания мира. Будучи сам, в сущности, естествоиспытателем, он хорошо понимал, какое влияние оказывала математика на развитие естественных наук. Он писал: «Открытия Декарта и Ньютона изменили весь строй математических наук... Декарт обогатил алгебру прекрасными открытиями, открыл способ ее примене­ния в геометрии кривых линий, упростил бесконечно запутан­ную геометрию древних... Ньютон, этот великий истолкова­тель природы, рожденный для того, чтобы проникнуть в ее тайны, пользовался открытиями Декарта, пока вновь изобре­тенный им способ исчисления не дал ему возможности разре­шить самые глубокие проблемы мышления и природы... Срав­нение истин с природой, отношение мыслей к интересам, связь точных представлений с полезными дали начало обширной части физики, которую называют прикладной математикой».79

«Математика,— говорит Снядецкий,— способствует росту физики: она показала верный путь познания природы и приме­нила свои точные принципы к формулировке и решению про­блем естествознания.» Положение о влиянии математики на развитие естественных наук (физики, .астрономии) он убеди­тельно обосновывает, опираясь на факты из истории их раз­вития.

Принципы познания, разработанные Снядецким и после­довательно проведенные им в его педагогических трудах, вклю­чают следующие положения:

а) основой познания служат наши чувственные восприятия;б) развитие теории осуществляется рассудочной деятель­

ностью;в) процесс познания непосредственно осуществляется че­

рез сравнение, сопоставление объектов познания и установле­ние между ними связи, взаимной зависимости.

«Г

Эти взгляды сближают Снядецкого с представителями ас­социативной психологии, которой он придавал большое зна­чение, какое впоследствии приписывалось представителям английской ассоциативной психологии.80

Приведем цитаты из его сочинений, подтверждающие сформулированные положения.

«Человек, одаренный силой мышления и рассуждения, по­стоянно наблюдая природу и будучи связан с ней посредством своих чувств, имеет один только путь для проникновения в тайны окружающих его вещей и действительного просвещения своего ума — это путь соотношений и сравнений. Различные события, воздействуя на его ощущения, заставляют его чув­ствовать в себе различные душевные движения и перемены: различие ощущений приводит его к различию внешних отно­шений, а отношение одного ощущения к другому дает ему воз­можность установить связь своих душевных движений друг с другом. Благодаря этим движениям он делает вывод о свя­зях и отношениях между объектами, вызывающими эти отно­шения».81 Задача науки, по Снядецкому, состоит в познании связей между явлениями, событиями, которые мы наблюдаем в физическом и моральном мире. Всеобщность законов — пер­вый признак науки. Это положение он иллюстрирует таким примером: Ньютон усмотрел, что одна и та же сила заставляет Луну вращаться вокруг Земли и заставляет камень катиться вниз; таким образом, он связал естественные явления, про­исходящие на Земле, с движениями тех огромных тел, которые наполняют обширные небесные пространства.

Знание же отдельных фактов, не связанных между собой* не может иметь значения для развития научного мышления.

Резюмируем сказанное. Снядецкий утверждает, что самые отвлеченные истины в науке берут свое начало в явлениях, воз­действующих на наши чувства, что в основе математики ле­ж ат такие понятия (величина и простейшие отношения), кото­рые являются отражением реальных процессов. Но построение теории является проявлением комбинаторных способностей человека.

Построенный им курс алгебры на понятиях функции и урав­нения, которые рассматриваются в их взаимной связи и как математический инструмент познания, где учение о положи­тельных и отрицательных числах выступает как отражение реальных свойств действительности, является реализацией его концепции процесса познания в учебном руководстве. Это дает основание сказать, что Снядецкий был крупным ученым дидактом в области алгебры конца XVIII и начала XIX в.

Для преподавания геометрии в школе и университете в 1807 г. по предложению Снядецкого в Вильно был издан пере­вод «Начал» Евклида, выполненный И. Чехом.82 Это было

82

школьное издание, типичное для второй половины XVIII и на­чала XIX в. Школьные издания «Начал» характеризовались следующими особенностями: переводом на национальный язык восьми книг (I—VI, XI и XII) и наличием примечаний и до­полнений, делавших текст более доступным для учащихся. Всеми этими особенностями обладает виленское издание. Это было первое издание «Начал» на польском языке. * В Вилен­ской академии и Главной школе пользовались ранее загра­ничными изданиями на латинском языке. Арифметические книги опущены, «так как имеется наука «Арифметика», опу­щены также X и XIII книги, как трудные. Кроме того, пере­водчик дополнил «Начала» курсом тригонометрии. В 1817 г. эта книга была издана вторично, что является свидетельством ее использования в школе. **

Снядецкий предпослал виленскому изданию «Начал» боль­шое предисловие, в котором изложил свое основное педагоги­ческое кредо преподавания геометрии и математики в целом. Оно сводится к следующему.

Преподавание геометрии должно преследовать цель ум­ственного воспитания учащихся, «Начала» Евклида наилучшим образом отвечают этой цели; развитие в процессе обучения творческой инициативы и мышления; обучение, направленное на развитие одной памяти вредно для воспитания практиче­ских деятелей, следовательно, вредно для государства; обуче­ние геометрии должно быть построено на принципе связи тео­рии с практикой; практические приложения должны следовать после основательного изучения теории; геометрия должна из­лагаться в школьном обучении классическим методом, алге- браизация элементарной геометрии вредно отражается на развитии истинно геометрического мышления; лучше меньше изучить материала, но основательно; не доказывать, что оче­видно; в выборе способов изложения предпочитать общий, так как он лучше отвечает цели умственного развития.

Приведем соответствующие цитаты из предисловия: «Ког­да обучают молодежь, то стараются ее память обогатить чу­жими изобретениями, готовят ее как теоретика чужих дел, ко­торые он не может приложить потому, что нет у него вырабо­танного внимания и тех сил, которых изобретения являются плодом. Таким способом готовят ученых людей, не умеющих применять своих знаний, и тем самым задерживают прогресс... Упражняя и обогащая только одну память, не обращая вни­

*' Г1ер. с англ. книги «ТЬе Е1етеп{з о! ЕисПс1 Ьу НоЬег! 51т8оп», ЕсНп- Ъигд, 1781, многократно издававшейся в Англии.

** Геометрия Л еж андра была издана для школы в Виленском учебном округе только в 1824 г .83

«3

мания на развитие других умственных способностей, воспи­тывают членов общества, не пригодных к общественной и го­сударственной службе. Математика развивает, совершенствует ум учащихся, поэтому ее следует изучать основательно. По­верхностное обучение делает человека не уверенным в своих действиях, в работе, и поэтому оно может быть вредно для него и общества».

Приведем еще ряд его положений: «Те, кто привык к одним действиям памяти, не способны понять новых вещей. Выбор примеров, их качество играют большую роль, чем их число. Лучше меньше сделать, но основательно. Авторы учебников делают ошибку, применяя первые теоремы к практике. Нельзя сразу давать применения, если ученик не понял теории... Уче­ника больше радует, если он сам что-либо докажет, нежели усвоит мелкие применения. После представления о всей науке можно приступить к применению. Плохо делают те учителя, которые вводят в геометрию аналитические знаки из алгебры, сокращая как будто язык, к механизму построения добавля­ют механизм вычислительный. Они облегчают работу памяти там, где это делать не нужно в рассуждении истин простых и легких. Нет ничего легче, как всю начальную геометрию из­ложить в небольшом числе формул. Кто бы в обучении моло­дого человека сделал это, тот бы превратил геометрию в ору­дие, помогающее памяти и другим наукам, но не развивающее и усовершенствующее ум».

В заключение настоящего пункта остановимся еще на краткой характеристике* курса сферической тригонометрии Снядецкого, который служил основным руководством для сту­дентов при изучении этого предмета и курса сферической астрономии. В Вильно он был издан дважды, а затем был пе­реведен на немецкий язык и издан в Германии.84 Отметим сле­дующие три особенности курса Снядецкого:

1. Курс состоит из двух частей (имеется в виду второе изда­ние, которое значительно дополнено): теории и приложений к сферической астрономии и геодезии. Приложения идут после завершения теории. Особое внимание в приложениях уделяет­ся выяснению понятия параллакса.

2. Изложение аналитическое, исходной геометрической конструкцией является сферический треугольник, который представляет собой особый способ расположения и связи в пространстве двух прямоугольных плоских треугольников. Исходя из этого, автор развивает курс чисто аналитически и говорит, что этот предмет представляет собой часть ал­гебры.

3. Некоторые выводы даются оригинальные и простые.

84

Кроме того, вывод формул Делямбра публикуется впервые и принадлежит автору.*

В январе 1932 г. особый комитет под председательством министра просвещения рассматривал создавшуюся в универ­ситете ситуацию в связи с польским восстанием. Комитет вынес решение: Виленский университет преобразовать, Волын­ский лицей упразднить и открыть в Киеве университет. Мини­стерство, следовательно, не пошло на крайнюю меру в отноше­нии университета и рекомендовало его сохранить. Против за ­крытия был и попечитель Н. Н. Новосильцев. Царь Николай I, игнорируя это мнение, единовластно предрешил судьбу уни­верситета. 1 мая 1832 г. он издал указ о его закрытии.** Тем

* Формулы Делямбра:

81П -у - (Ь — с) — С)

• 1 = ~ Л81П — а соз А

51П - ^ - ( Ь + С ) СОЗ (В — С)

Они выражают связь между всеми сторонами и всеми углами сфери­ческого треугольника.

Делямбр впервые опубликовал в «Соппа155апзе без 1ешрз» (1807) эти формулы, и поэтому они носят его имя. Однако он опубликовал их без до­казательства. Также поступил и Гаусс в «ТЬеопа МоШз» (1809), но указал на их многообразные применения в астрономии. Снядецкий, познакомившись с работой Гаусса, которая, по его словам, произвела на него в этом пунк­те сильное впечатление («эти формулы поразили меня своей простотой и возможностями широкого применения»), в 1811 г, нашел их доказательство, исходя из формул Каньоли, и представил в Петербургскую Академию наук,, в архиве которой хранилась рукопись. В 1814 г. Делямбр опубликовал свой вывод, основанием которого служат аналогии Непера. Переводчик работы Снядецкого по сферической тригонометрии Ь. Ре1сИ нашел еще одно доказательство тех же формул, исходя из других оснований, и опубликовал его в «,1оигпа1 1йг г е т е ипс! ап^ешапсИе М аШ етаИк» (1831, В ± 7, 5. 69).

** В указе от 1 мая сказано: «Медицинский и богословский факульте­ты Виленского университета передать в ведомство внутренних дел для пре­образования первого в Медико-хирургическую академию, а второго в ду­ховное училище».

31 августа последовал именной указ: «Находя нужным усилить средства для образования искусных врачей в Империи нашей, мы признали за благо учредить в Вильне особую Медико-хирургическую Академию, и число обу­чающихся в медицинском институте бывшего Виленского университета к а­зенных воспитанников увеличить до 200».85

Для Академии был разработан и принят устав, согласно которому ос­новными ее специальностями были медицина, фармакология и ветеринария. Академия просуществовала в Вильно до 1842 г.

со з — (Ь — с) ЗШ — (В + С)

1 = ~ лсоз а С08 ~2 ~ А

соз (Ь + с) соз (В + С)

1 = " ~ лсоз -77- а 31п -р— А

85

же указом Новосильцев освобождался от должности попечи­теля. Виленский учебный округ был присоединен к Белорус­скому, университетская обсерватория была передана Акаде­мии наук. Округ остался таким образом без высшего учебного заведения. Отсутствие университета, безусловно, отрицатель­ным образом сказалось на развитии культуры в этом боль­шом крае, в частности в Белоруссии.

После закрытия университета попечитель БУО Г. И. Кар- ташевский предложил проект организации высшего учебного заведения с физико-математическим факультетом в г. Орше, и этот проект был уже близок к реализации, но в связи с тем что был предрешен вопрос об открытии университета в Киеве, не был осуществлен, и край оставался без университета до 1919 г., до свержения царского правительства и момента уста­новления Советской власти.

Профессорам математики старого Виленского университе­та в деле математического просвещения принадлежит боль­шая заслуга. Они подготовили ряд молодых людей, способных не только к успешному преподаванию математики, но и к ее развитию. К ним прежде всего следует отнести молодых маги­стров Румбовича и Ревковского. Не оборвись так рано их на­учная карьера, они могли бы занять на факультете ведущее положение и поднять уровень его работы в научном отноше­нии. Учебные планы и программы факультета, учебники, из­данные в университете, показывают, что профессора поддер­живали современный им уровень преподавания. В числе учеб­ных предметов мы видим такие, которые в то время читались не в каждом университете (начертательная геометрия, теория вероятностей, математическая физика). В отношении поста­новки преподавания математических наук факультет находил­ся под влиянием французской высшей школы.

Университет подготовил огромную армию квалифициро­ванных учителей математики, физики, математической геогра­фии для средних учебных заведений Литвы и Белоруссии. Средняя школа Виленского учебного округа отличалась хоро­шей математической подготовкой учащихся. Профессора ма­тематики много сделали для обеспечения школы учебниками. За рассматриваемый период получила развитие издательская деятельность. Статистический подсчет изданной литературы, произведенный на основании библиографических данных, по­казывает, что больше половины всей изданной до 1832 г. в этом крае математической литературы падает именно на по­

86

следний период деятельности университета. Это обстоятельст­во благоприятным образом отражалось на общем уровне пре­подавания математики как в университете, так и в школе.

Существенным недостатком деятельности физико-матема- тического факультета университета за последние тридцать лет его существования следует считать отсутствие крупных научных исследований в области математики. В отношении научной работы факультет не смог подняться до уровня пере­довых, несмотря на то что он был организован на хорошей базе и не испытывал недостатка в средствах.

Г л а в а III. МАТЕМАТИКА В СРЕДНИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ БЕЛОРУССКИХ ГУБЕРНИИ

КОНЦА XVIII И НАЧАЛА XIX в.

§ 1. О СОДЕРЖАНИИ ОБУЧЕНИЯ В Ш КОЛАХ XVI И X VII вв.

На рубеже XVI и XVII вв. в Белоруссии создавались иезу­итские школы. Ранее и параллельно с ними развивались шко­лы других типов. В период реформации было открыто большое число протестантских школ, в частности кальвинистских. В пе­риод контрреформации для защиты языка и православия от иезуитской экспансии открывались братские школы.

Главное различие между школами различных типов заклю­чалось в религиозной платформе и языке преподавания. Основ­ными предметами преподавания в них были языки и религия. С конца XVI в. происходил процесс упадка белорусской куль­туры, что можно видеть из приведенной ниже таблицы, со­ставленной на основе различных библиографических источни­ков и показывающей число изданных и оставшихся в рукопи­сях белорусских книг по полустолетиям.

Годы Число книг

1500— 1550 170

1550— 1600 80

1600— 1650 140

1650— 1700 72

1700— 1750 35

1750— 1800 120 *

Среди этих книг первое место по численности занимали жниги религиозного содержания, издавались книги по астроло­гии, содержавшие некоторые положительные сведения по астрономии. Издавались календари. В 1596 г. был издан в Риме «Календарь новый» с целью пропаганды григорианской

* Из них 105 с 1772 до 1800 г.

68

системы счета времени. На 1726 г. был издан в Супрасле «Ка­лендарь або месяцеслов христианский». В 1727 и 1730 гг. ка­лендари были изданы в Кенигсберге. По математике известно описание двух рукописей второй половины XVII в.— по ариф­метике и геометрии. «Арифметика» состоит из трех книг. В первой содержатся четыре правила арифметических дей­ствий над натуральными числами, во второй — дроби, в тре­тьей — правила трех. В конце ее сказано: «...есть и иные мно­гие регулы в сей науке, которых употребляют болши на Мос­кве, чая себе к повышению своей науки...» Рукопись по геомет­рии заканчивается разделом о «часах спатеричных или слон- чых (гномика)».

А. П. Юшкевич обратил внимание на следующий интерес­ный факт: «Если не считать славянских книг, изданных за гра­ницей в 1611 и последующих годах, то датой появления новых цифр в собственно русской печати был 1638 г. (Псалтырь, из­данная в местечке Е вю .)»1 Псалтырь издана на двух язы­к а х — церковнославянском и польском. Славянский текст яв­ляется перепечаткой фиолевской псалтыри, изданной в Крако­ве в 1491 — 1493 гг. Перепечатка фиолевской псалтыри была выполнена в Москве и в 1638 г. в Евю. * Нумерация страниц в этом издании дана арабскими цифрами.2

В XVI в. школы выполняли одну главную функцию — функ­цию религиозного воспитания, а поэтому математические нау­ки в системе школьного образования не занимали значитель­ного места.

Скорина говорил, что все семь наук можно найти в биб­лии.** Хочешь изучать грамматику, учи псалтырь, логику, что­бы отличить правду от кривды,— читай апостола Павла и т. д. В библии, говорит Скорина, можно найти сведения по арифме­тике, геометрии и астрономии. Например, по астрономии най­дете в начале библии сведения о сотворении Солнца, месяца, звезд. Но вместе с этим Скорина первый занес в Белоруссию понятие о семи свободных науках (грамматике, риторике, диа­лектике, арифметике, геометрии, астрономии, музыке), из ко­торых первые три служили основой школьного образования.

О постановке учебного дела в православных школах Бело­руссии в конце XVI в. мы располагаем весьма скудными и от­рывочными сведениями. Известно, что в этих школах изуча­лись, кроме религии, начала арифметики и сочинения Иоанна Дамаскина, которые в России считались священными.3 «По­рядок школьный» так определяет положение математики: «учили мают пасхалии и лунного течения и личбы и рахованя». Как видно, изучалась арифметика, но она, по всей вероятно-

* Местечко Евю, где был монастырь и при нем типография,— совре­менный литовский город У1еУ15.

** Ф. Скарына. Прадмовы 1 пасляслоуь Мшск, 1969, стар. 62—63.

«9

ети, не шла далее первоначальных правил действий и прило­жений их в житейском обиходе, в торгово-промышленных опе­рациях и вычислений пасхалий. Изучение способа вычисле­ния празднования пасхи для братских школ было актуальной проблемой, так как в связи с установлением нового стиля (григорианского), принятая поправка к старому календарю была предметом дискуссий. Надо полагать, что арифметика была на уровне алгоритмик, геометрия, если она и преподава­лась, была практической; по Дамаскину сообщались элемен­ты астрономии. Профессор П. В. Славенас ставит в связь с уровнем образования в православных школах перевод книги Вителио «Селенография», свидетельствующий о высоком инте­ресе к науке в этих школах.4

Иезуиты, прибыв в Литву и Белоруссию, повели энергич­ную работу по организации школ и вытеснению школ других вероисповеданий. Они, «насильственно подавляя другие шко­лы в Литве (и Белоруссии — Н. Б.), освобождались от необ­ходимости конкурировать с ними». П. В. Славенас, у которого заимствована эта цитата, сообщает следующие факты. «Сжи­гали книги, неугодные иезуитам, в число которых попадали не только православные и протестантские, но и языческие античных авторов. В 1581 г. устроили торжественное сожже­ние («аутодафе»), и действовали комиссии по изъятию и унич­тожению книг».5 Отсюда понятно, что до нас не дошли мате­риалы этих школ в достаточно полном объеме, чтобы можно было судить о постановке в них учебного дела.

Иезуиты развернули достаточно широкую сеть школ на территории Белоруссии. Иезуитская школа состояла из трех ступеней обучения: грамматико-риторической, философской и теологической. Обычные коллегии представляли собой первую ступень этой учебной лестницы, две вторые ступени составля­ли коллегии повышенного типа и академии. Коллегии первого звена были пяти- и шестиклассными, среднего — имели два дополнительных философских класса.

Коллегии одного типа работали по одному и тому же пла­ну. Мы обратим внимание на пятиклассные училища с шести­летним сроком обучения. К ним относится Виленская гимна­зия, созданная в 1570 г. для подготовки слушателей для Ви­ленской академии. План ее известен, и он может служить ха­рактеристикой постановки учебного дела в других аналогич­ных учебных заведениях.6

Виленская гимназия состояла из трех начальных и двух высших классов (Ьишашога). В первом классе ( т П т а ) зани­мались изучением латинской грамматики и переводами из со­чинений Цицерона и начинался курс греческого языка. Во втором классе (§гатта1лса) производился разбор сочинений на латинском языке, для чего служили сочинения Цицерона,

90

переводились некоторые легкие места из сочинений Овидия, продолжалось изучение греческого языка. В третьем классе (5уп1ах15) заканчивалось изучение латинской грамматики, про­должалось чтение Цицерона, а также некоторых избранных мест из сочинений других древних авторов; изучались теория стиха, басни Эзопа и другие сочинения на греческом языке. В программу четвертого класса (рое515) входили: изучение стихов на латинском языке, переводы из сочинений римских авторов. В пятом классе (геШопса) преподавались риторика, теория и искусство писать сочинения, римская и греческая история, мифология, география, философия и теология. Сочи­нения Аристотеля в толковании Фомы Аквинского служили методологической основой обучения за весь период господства иезуитов. Поступающие должны были уметь читать, писать и знать начала арифметики. В каждом классе был особый учитель — специалист того предмета, который в данном клас­се был основным. Этим обусловлены и названия классов. Эта характерная особенность иезуитской системы преподавания оставалась неизменной на протяжении всей истории иезуит­ской школы.

Как видно, в учебном плане доминирующее положение за ­нимал латинский язык. По этому предмету ученики достигали значительных успехов, владели латынью в такой мере, что сво­бодно слушали университетские лекции, читавшиеся по-латыни.. Латынь и изучение сочинений древних авторов составляли основной стержень обучения в гимназиях этого типа. Анало­гичным образом обстояло дело в иезуитских коллегиях в дру­гих государствах. Так, например, Пражская гимназия имела тот же учебный план и с тем же названием классов. В учеб­ные планы баварских коллегий входили: латинская граммати­ка, изучение классических авторов, греческий язык, поэзия* красноречие, диалектика и богослужебные книги.7 Следова­тельно, учебные планы этого основного типа иезуитских кол­легий не поднимались до уровня программы «семи свободных наук». Основой их были предметы тривиума.

Уже было замечено, что методологическим фундаментом обучения служила философия Аристотеля в интерпретации Аквината. Нам кажется уместным остановиться кратко на по­яснении этого положения. Известно, что философия Аристо­теля была канонизирована католической церквью. Но церковь могла это сделать не прежде, чем пересмотрев ее под углом зрения своих потребностей. Эта задача была выполнена в* XIII в. Фомой Аквинским. Приведем пример трактовки Аквин­ским аристотелева понятия «наука».8 По Аристотелю ступеня­ми науки являются: опыт (результат чувственного познания), искусство (техника, умение), знание (объяснение причин) и мудрость, опирающаяся в своих выводах на предыдущие три

91

ступени. Фома Аквинский этот последний этап отрывает от предыдущих и отождествляет его с теологией, по отношению к которой все прочие науки являются пропедевтическими и служебными. В этом смысле В. И. Ленин и говорил, что схо­ластика взяла мертвое у Аристотеля, а не живое.9

Идея соподчинения предметов была воплощена в структу­ре высшей школы, где философский факультет играл роль подготовительного для изучения теологии. Фома Аквинский следующим образом трактует этот вопрос: «Эта наука (теоло­гия) может взять нечто от философских дисциплин, но не потому, что испытывает в этом необходимость, а лишь ради большей доходчивости преподаваемых ею положений. Ведь основоположения свои она заимствует не от других наук, но не­посредственно от бога через откровение. Притом же она не служит другим наукам, как высшим по отношению к ней, но прибегает к ним, как к подчиненным ей служанкам, подобно тому как теория архитектуры прибегает к служебным дисцип­линам... И само то обстоятельство, что она все-таки прибегает к ним, проистекает не от ее недостаточности или неполноты, но лишь от недостаточности нашей способности понимания: последнюю легче вести от предметов, которые открыты есте­ственному разуму, источнику прочих наук, к тем предметам, которые превыше разума и о которых трактует наша нау­ка». 10 Эта доктрина утвердилась в средневековой школе и была затем принята иезуитами. «Орден иезуитов с XVI в. объ­явил томизм своим учением и применял его не только в педа­гогической деятельности, но и в миссионерской практике». 11

В рассмотренном выше плане математика отсутствует, она входила в учебный план коллегий повышенного типа, какие, например, были созданы в XVII в. в Витебске и Полоцке. От­ношение к математике можно характеризовать следующим до­полнительным фактом. Краковский университет в 1612 г. по­строил учебный план школ, в который включались предметы: латинский и греческий языки, катехизис, риторика, поэзия, история, музыка, арифметика и компутус (вычисление пасха­лий).12 Причем арифметика не была обязательным предметом, а геометрия в плане отсутствовала.

При некоторых белорусских иезуитских училищах были организованы конвикты для детей богатых родите­лей. Витебский конвикт, созданный в 1640 г., был примеча­телен именно тем, что в нем первом преподавалась матема­тика.13

Лукашевич отмечает, что состояние иезуитских школ до ре­формы просвещения в XVIII в. находилось на низком уровне. Математика как учебный предмет была включена в иезуит­ские коллегии только в середине XVII в. Профессор П. В. Сла­венас пишет, что уровень преподавания в иезуитских школах

92

долгое время не только не поднимался, но «падал все ниже и ниже...»14

Положение дела можно в общих чертах охарактеризовать следующим образом. Старый план школы не упоминает ма­тематического образования или указывает его только в поряд­ке благих намерений. Позднее возникают требования обучения математике, но они ограничены. Таким оставалось положение вещей до начала XVIII в. Затем в школе вводится должность учителя математики, в план включаются арифметика и гео­метрия с элементами геодезии. Между прочим, такое положе­ние было характерно и для других стран, в частности для Гер­мании. 15

Во второй половине XVIII в. в среднюю школу проникает в переработанном виде курс математики X. Вольфа. Под вли­янием этого курса были написаны и изданы в 1768 г. в иезуит­ской коллегии в Несвиже «Элементы арифметики и алгебры» (на латинском языке).

Этот курс дает представление об объеме и методе изложе­ния школьной математики. Он содержал арифметику и алгеб­ру, а в самом начале — учение о методе математики и ее струк­туре (в стиле Вольфа).

В арифметике излагаются операции над целыми и дробны­ми числами, в алгебре — действия над многочленами, степе­нями и радикалами, даются краткие сведения об уравнениях первой и второй степени (с одним неизвестным) и завершает­ся курс разделом о пропорциях и прогрессиях.

Изложение дано в вольфианском стиле: сначала формули­руются определения и аксиомы, затем доказываются теоремы, и весь этот материал сопровождается пояснениями, задачами, добавлениями. Так, по арифметике приводятся следующие аксиомы: 1. Целое равно сумме своих частей. 2. Целое больше части. 3. Часть меньше целого.

Развит раздел о десятичных дробях. Чтобы показать спо­соб обозначения, приведем пример на сложение:

8952 (3)7436 (3)

16388 (3)*

В алгебре аксиоматически определяются действия над рациональными числами.

Аксиома 1. Количества положительные больше 0, количе­ства отрицательные меньше 0, количества нулевые равны 0.

Аксиома 2. а — а = 0, —а + а = 0.

*' Цифра в скобках означает число десятичных знаков в десятичной дроби, например 8952 (3) означает 8,952.

93

Аксиома 3. Формулируются по существу правила сложе­ния и вычитания положительных и отрицательных чисел.

На основе этих аксиом излагаются действия с многочле­нами.

Обратим внимание на содержание одной из гродненских рукописей, хранящихся в Отделе рукописей Вильнюсского университета. Она относится к 1769 г.16 и имеет пометку «в кон- викте Гродненском».

Познакомимся с содержанием рукописи, которая предста­вляет собой почти энциклопедический курс математики, но изложенный конспективно. В него входят разделы:

1. Элементы плоской геометрии. Определения и теоремы. Построение фигур, черчение планов.

2. Элементы алгебры. Действия с многочленами. Дроби. Действия с радикалами. Задачи на решение уравнений.

3. Приложение алгебры к высшей геометрии. Высшая гео­метрия определяется как наука, которая кривые линии и про­странственные фигуры выражает с помощью алгебраических уравнений. Аналитически выводятся уравнения параболы, эллипса и гиперболы. Излагаются некоторые их свойства. З а ­тем эти кривые рассматриваются как конические сечения.

«Добавление» содержит элементы дифференциального и интегрального исчислений. Рукопись заканчивается квадрату­рой некоторых кривых. Принимая во внимание тот факт, что начальная часть рукописи содержит обычный школьный мате­риал, естественно полагать, что рукопись отражает в какой-то мере преподавание математики в Гродненском конвикте.

Как обстояло дело с преподаванием астрономии?В рукописном отделе библиотеки им. В. И. Ленина в Мин­

ске и научной библиотеке Вильнюсского университета им. В. Капсукаса хранится ряд рукописей, представляющих собой школьные учебные курсы физики (ЫзШиИопез РЬузь сае Раг11са1апз) Полоцкой, Гродненской и других коллегий Белоруссии. Они относятся к XVIII в. и написаны языком пре­подавания того времени — латинским. Большая часть из них содержит раздел космологии (Ое МипсИ 5у$1ета1а). Не оста­навливаясь подробно на содержании этих рукописей, мы огра­ничимся изложением тех фактов, которые представляют для нас интерес.

Содержание этих рукописей показывает процесс перехода в преподавании физики от физики как натурфилософской нау­ки к физике как науке опытной. Преподавание ее строится с учетом данных, приведенных в трудах известных ученых новейшего времени (Р. Декарта, И. Ньютона и др.).

Аналогичный процесс происходит в изложении раздела космологии: на смену геоцентрической концепции мира прихо­дит гелиоцентрическая. Этот процесс связан главным образом

с деятельностью эдукационной комиссии. Действительно, ран­ние работы или не касаются вопроса о строении мира или излагают преимущественно геоцентрическую систему. Таковы минские рукописи за 1740, 1741, 1743 и даже за 1766 годы. В рукописях более позднего времени начиная с 70-х годов наряду с системами Птолемея и Тихо Браге освещается си­стема Коперника, причем ей явно отдается предпочтение, как наиболее просто и естественно объясняющей видимое движе­ние планет, хотя она и рассматривается еще как гипотети­ческая.* Учебники физики (1787) и математической геогра­фии (1788) для народных училищ, а также учебник физики Я. Бриссона (в переводе с французского на польский) изла­гают систему мира по Копернику с учетом научных данных Галилея, Кассини, Гюйгенса, Ньютона, Гершеля.

Физика заканчивалась, таким образом, разделом, содер­жащим изложение вопроса о системе мира. Этот раздел, вооб­ще говоря, в разных рукописях имеет разный объем, но при­близительно одинаковое содержание. Следующий перечень вопросов будет типичным для рукописей последних двадцати лет XVIII в.

Сфера мира, основные точки и линии на сфере. Система мира по Птолемею, Тихо Браге. Система мира по Копернику. Сообщается краткая биографическая справка и даются све­дения о трудах Коперника. Указывается, что он «работал в течение 30 лет над созданием своей системы». Система Копер­ника рассматривается или как теория, отражающая реальную картину мира, или как гипотеза.

Далее приводятся основные кинематические характери­стики планет, их расстояния от Земли, спутники и затмения планет. Расстояния до Луны и Солнца, их размеры. Соответ­ствующие данные приводятся по Копернику, Тихо Браге и Кассини. Расстояния указываются максимальные, минималь­ные и средние. Приводится таблица количества звезд по со­звездиям, дается их суммарная количественная оценка. И зла­гается вопрос о кометах.

В рукописях имеются чартежи (впрочем, не все выполнены правильно) для объяснения попятных движений планет по Копернику, для объяснения смены времен года, фаз Луны и др. Имеются схематические рисунки системы мира по Пто­лемею, Тихо Браге и Копернику.

* Иезуиты официально придерживались системы мира по Тихо Браге, так как она-де согласуется со священным писанием, с астрономическими наблюдениями и законами физики. С. Беднарский в книге «Упадок и воз­рождение иезуитских школ в Польше» (на польском языке) приводит ста­тистические данные об отношении иезуитов к теории Н. Коперника, из ко­торых следует, что в середине XVIII в. и среди иезуитов были привержен­цы системы Коперника. Система Коперника излагалась, например, в первой половине XVIII в. в Полоцкой коллегии преподавателем Лукьяновичем.

95

Дальнейшее изучение в школе научной картины мира свя­зано с введением в школьную практику учебника географии И. Снядецкого, на содержании которого мы останавливались в главе II. В этом учебнике система Коперника выступает как общепринятая научная теория, получившая дальнейшее раз­витие и объяснение в трудах Кеплера и Ньютона.

Жизнь всякой общественной институции поддерживается определенными факторами. Определяющим фактором жизне­способности школы является ее связь с наукой и практикой. Общественно-экономический строй обеспечивает организацию условий для нормального функционирования этих двух фак­торов.

Иезуитами нарушался этот закон существования школы, она не отвечала ни житейским, ни научным требованиям. Р а з ­рыв между содержанием образования и требованиями жизни накапливался в течение двух столетий и особенно быстро про­грессировал в XVIII в. в связи с бурным развитием капита­лизма. Поскольку основные функции школы были фактически приостановлены, она приходила в упадок. Некоторый подъем школьного дела в середине столетия уже не мог спасти поло­жения. Поэтому возникали новые школы. Уже в начале XVIII в. создаются школы, стремящиеся отразить интересы жизни. В них было улучшено преподавание математических наук и введены естественные науки. По астрономии знакоми­ли учащихся с системами мира по Птолемею, Тихо Браге и Копернику. Для целей обучения была издана специальная учебная литература, в частности по математике — учебники П. Скарадкевича и Я. Венгловского.17

Приведем план занятий в такой школе за 1756 г. 18 В него входят такие предметы: языки (французский, латин­ский, польский), политика, история, классическая литература, география, физика, математика, архитектура, фортификация. Курс математики в этом плане представлен достаточно полно (арифметика, алгебра, геометрия). По физике рассматрива­лись вопросы: устройство термометра, о подземном огне, о землетрясениях, о циркуляции крови; по географии давались астрономические сведения: система мира по Тихо Браге и Ко­пернику, о небесной сфере, о звездах, о времени астрономиче­ском и гражданском.

Вторая половина XVIII в. характеризуется достаточно развитой формой капиталистических отношений. Разумеется, буржуазия не могла удовлетвориться системой образования, сложившейся еще в эпоху феодализма, она формулировала свой идеал просвещения, в котором естественно-математиче­ское образование занимало доминирующее положение. Иезу­итская система образования, таким образом, пришла в проти­воречие с новым укладом жизни и ее духовными запросами.

06

Вследствие этого и обилия компрометирующего материала политического и морального характера орден иезуитов был закрыт и дело образования передано в государственное веде­ние.* Противоречие было уничтожено, таким образом, путем отстранения иезуитов от управления школой и построением системы образования на новых началах. Однако, как увидим ниже, проведение в жизнь этих начал встретило большие препятствия и не привело к ожидаемым результатам.

Из белорусских деятелей математического образования отметим И. Ф. Копиевича, хотя его деятельность не проходи­ла непосредственно в Белоруссии. Петр I, будучи в Голлан­дии, в 1699 г. привлек к издательской и литературно-педаго­гической деятельности белоруса, уроженца Минской губер­нии Илью Федоровича Копиевича (Копиевского). Учился Копиевич в Слуцкой гимназии, затем продолжил свое обра­зование в Голландии и был пастором амстердамской духовной общины. Петр I специальным указом присвоил ему звание «книжных дел мастера» и выдал патент на издание различ­ных книг на русском языке, так как Россия, Украина и Бело­руссия нуждались в книгах научного содержания, выпущен­ных в «гражданской печати». Деятельность Копиевича отве­чала этим нуждам.

Сначала книги печатались в типографии Тессинга. Копиег вич был их автором и издателем. В 1700 г. он открыл свою «русскую типографию». Кроме того, Копиевич занимался обу­чением русской молодежи, которую Петр 1 посылал в Голлан­дию. Около 1705 г. Копиевич переехал в г. Гданьск с намере­нием открыть там типографию для издания книг на русском языке. Сенат Гданьска запретил ему это, и он организовал типографию вблизи Гданьска. Там была издана, например, латино-русская грамматика, экземпляр которой был недавно обнаружен в Гданьске.19

В Гданьске Копиевич прожил три года и уехал в Москву, а после неудачной попытки организовать там издательство — в Голландию, где и умер в 1711 г.

По арифметике Копиевич издал «Краткое и полезное руко- ведение во арифметику или в обучение и познание всякого счету, в сочетании всяких вещей, по указу пресветлейшего и великого государя нашего царя и государя великого княза Петра Алексеевича, всея великия и малыя и белыя России самодержца. Напечатася в Амстердаме, в друкарни Ивана Андреевича Тесинга в лето от воплощения Бога слова 1699 года месяца априлия в 15 день изда Елиас Федоров Ко- пиевский».*

* См. Я. Н. Мараш. Ватикан и католическая церковь в Белоруссии, Минск, 1971.

* Год и число написаны в современной транскрипции.

4. Н. Д. Беспамятных 07

наглядные пособия. Результаты этой системы преподавания геометрии (т. е. с практическими работами на местности) не замедлили сказаться положительным образом. Отчеты визита- торов 80-х годов единодушно констатируют факт улучше­ния преподавания этого предмета в школе.25 В числе бело­русских школ, где было хорошо поставлено преподавание геометрии в связи с практическими измерениями, указывается Гродненская.

Эдукационная комиссия, следовательно, подготовила за ­мечательные в идейном и практическом отношении докумен­ты, касающиеся деятельности школы.

Но идеи эдукационной комиссии не были осуществлены полностью. Из-за недостатка учителей с университетским образованием преподавание в значительной своей части было передано монахам различных орденов, мало подготовленным или совершенно не подготовленным к педагогической работе, а тем более к проведению школьной реформы на принципе естественно-математического (и гуманитарного) образования. Как бы по злой иронии судьбы участь этих замечательных планов, воплотивших в себе передовую педагогическую мысль века, реализация которых означала бы огромный прогресс в деле просвещения, была вручена научно не подготовленным лицам. Как показывает простой подсчет, две трети всех школ находились в ведении различных монашеских орденов. Ше­стая часть всех школ принадлежала ордену иезуитов (в Бело­руссии орден иезуитов был сохранен). По количеству уча­щихся в монашеских школах обучалось свыше 75% от общего числа всех учащихся Белоруссии. В иезуитских школах учи­лась из них одна треть, т. е. столько, сколько училось в шко­лах, не принадлежащих орденам. Только в одной Полоцкой коллегии училось около 380 учащихся. Это было самое круп­ное учебное заведение в Белоруссии на рубеже XVIII и XIX вв. Заметим также, что в иезуитских школах учились дети привилегированных сословий. Вследствие этих причин к концу столетия школа пришла в состояние глубокого упад­ка, о чем говорит, например, следующий документ: «...умень­шение успехов в тамошних училищах наипаче произошло от того, когда нижние училища, перестав быть подчиненными высшим, поручены разным начальствам, не имеющим между собой взаимной связи; вообще же большая их часть вверена духовным обществам. * Из числа сих (монашеских) обществ некоторые, не быв заняты прежде действительным воспита­нием юношества, не имели к тому надлежащего навыка, а притом, оставшись без особенного над ними наблюдения по

* В 1797 г. функции университета, касающиеся школы, были сняты и переданы временной эдукационной комиссии, а сами училища были переда­ны в непосредственное ведение различным монашеским орденам.

1102

сей части, не старались находить истинно способных людей к отправлению учительского звания... В иных же училищах определяемые без дальнейшего внимания учителя обучали по- своему, не имея обязанности соображаться с прежним уста­вом эдукационной комиссии, приспособленным к тамошнему природному юношеству».26

По уровню подготовки учителей можно подразделить на две категории: одни из них имели университетское образова­ние, заканчивали Литовскую Главную школу, другие имели монастырское образование (обучались в школах при мона­стырях) .

Главная Литовская школа после ее реформы, проведенной эдукационной комиссией, давала солидную подготовку по физико-математическим предметам. Что касается другой ка­тегории учителей, то, как говорят об этом многочисленные документы, они не справлялись со своими учительскими обя­занностями. Подготовка некоторых из них немногим превы­шала подготовку самих учащихся.27

Вот некоторые сведения об учителях математики. Учитель математики Волосевич, шляхтич Гродненского повета, доктор философии, 37 лет. После окончания школы в Гродно учился в семинарии при академии, вышел кандидатом. Изучал мате­матику, астрономию, физику, естественную историю, логику, право, красноречие и поэзию. Учитель математики и физики Лидского училища ксендз А. Конюшевский, пиар, учился в Лиде, потом в монашестве учился красноречию, физике, мате­матике, французскому и русскому языкам. Учитель физики Гродненского училища ксендз Я. Скиндер, из шляхетства Гродненского повета, священник, 29 лет, обучался в Гродно, потом, будучи монахом,— красноречию, математике, физике в Ушацком монастыре. Учитель математики ксендз Е. Верж­бицкий, из шляхты, священник-доминиканец, 28 лет, обучался в Белостоке, будучи монахом, учился философии и математи­ке в монастыре и в Виленском университете изучал физику. На основе этих сведений можно заключить, что учителей с университетским образованием было немного, даже в таком училище, как Гродненское, учителя физики и математики не имели законченного университетского образования.

Педагогическая работа учителя математики. «Учитель математики в 3 классе повторяет и продолжает арифметику, кроме квадратов и кубов, и начинает геометрию; в четвертом повторяет лонгиметрию, показывает планиметрию с тригоно­метрией и начинает алгебру; в пятом классе, который двух­летний, в одном году оканчивает алгебру, а во втором солидо- метрию, упражняя учеников во всех предшествующих классах в черчении землемерных планов; в шестом преподает логи­ку» .28 Как видно, математика изучалась в такой последова­

103

тельности: арифметика, планиметрия, тригонометрия, алгеб­ра, стереометрия, логика. Алгебра, таким образом, не была связана с планиметрией.

Учителя имели «предписания о способах преподавания» («образе учения»), составленные на основе тех рекоменда­ций, которые были изложены в «Уставе». В них рекомендова­лось: показывать практические приложения изучаемых тео­рий, преподавание вести от конкретного к абстрактному, от единичного к общему, применять не только аналитический, но и синтетический метод, тренировать рассудок, индивидуали­зировать подход к учащимся и т. д.

На содержание учебных курсов по физико-математиче­ским предметам непосредственное влияние оказывали два фактора: развитие науки и потребности практики. Одной из характерных черт развития науки прикладного характера XVIII и начала XIX в. является активная разработка проблем геодезии и картографии. Повышенный интерес к этим наукам был вызван развитием географии, обусловленным расшире­нием торговых связей между государствами, исследованием новых земель, потребностями перемежевания, военного дела и т. д.

В этот период были усовершенствованы геодезические инструменты, положено начало теоретическому изучению фигуры Земли, организованы и проведены большие геодезиче­ские экспедиции Парижской и Петербургской академиями наук и т. д. В начале XIX в. исследованиями Гаусса геодезия поднимается на новую ступень. В западных областях России, начиная с 1816 г., были проведены значительные триангуля­ционные работы. Это научное направление, как и его пре­ломление в практике, наложило отпечаток на содержание учебников математики и характер школьного обучения геомет­рии. Если чисто геометрический материал учебников опреде­лялся несколькими книгами «Начал» Евклида, изложенными сообразно требованиям школьного обучения, то в качестве приложений, как правило, эти учебники содержали развитый раздел элементарной геодезии. Что касается постановки дела в школе, то проведение измерительных работ на местности считалось делом совершенно обязательным. Этими же сообра­жениями и интересом к новой астрономии объясняется введе­ние в преподавание курса математической географии и сведе­ний по сферической геометрии и тригонометрии.

Развитие торговли накладывало отпечаток на учебники арифметики, которые содержали большой материал по торго­вым расчетам.

В учебные курсы проникают новые математические кон­цепции, понятия и идеи. Математика рассматривается как наука о величинах, ее понятия абстрагированы от мира реаль­

1104

ных явлений. Под влиянием Эйлера в алгебру проникли идеи, связанные с понятием функции; в связи с развитием метода аналитической геометрии возникает новый курс «Приложе­ния алгебры к геометрии», в школьный курс геометрии вво­дится понятие предела; включается метрическая система мер. Все перечисленные факты являются свидетельством большого влияния науки и практики на содержание школьного курса физико-математических наук конца XVIII и начала XIX в.

Развитие промышленности требовало, чтобы школьная физика была свободна от натурфилософских концепций и схо­ластики. Новые школьные учебники отражают научные тео­рии, явлениям природы дается научное объяснение, показы­вается применение законов физики в технике. В школах соз­даются кабинеты физики, в практику преподавания входит опыт, демонстрация. Эта общая характеристика учебной фи­зико-математической литературы той эпохи относится и к учебникам, которые были изданы названными выше комис­сиями.

При эдукационной комиссии была создана специальная подкомиссия для разработки учебных планов, программ и подготовки учебников. * Для обеспечения школы доброкаче­ственными учебниками был объявлен конкурс, в результате которого были приняты учебники С. Люилье, в оригинале на­писанные на французском и переведенные затем на польский язык. На характеристике этих учебников остановимся подроб­но, так как по ним учились не только в конце XVIII в., но и в первые десятилетия XIX в. Последнее издание учебников Люилье относится к 1841 г. Имя его в истории математики хорошо известно по его геометрическим исследованиям и по обоснованию математического анализа на основе теории пре­делов. **

«Арифметика» С. Люилье состоит из четырех частей, из которых две первые посвящены арифметике целых чисел, часть третья — обыкновенным и десятичным дробям и часть четвертая — задачам «на правила».29

«Арифметика» Люилье написана легким и доступным для детей языком и достаточно строго в математическом отноше­нии. Смысл арифметических операций объясняется на кон­кретных задачах, с конкретными числовыми данными. Свой­ства операций не рассматриваются. Особое внимание уделя­ется изучению механизма арифметических действий. Они иллюстрируются на большом ряде все усложняющихся при­меров. В начале курса имеется раздел «Сведения о первых

* Общество по изданию учебных пособий.** Люилье также был участником конкурса, объявленного Берлинской

Академией наук, где его работа «Элементарное изложение принципов выс­ших исчислений» была премирована.

1105

началах измерений», в котором говорится, что все дети долж­ны уметь производить измерения. В связи с этим в учебнике помещены таблицы линейных, квадратных и кубических еди­ниц. В связи с практикой измерения учебник арифметики со­держит геометрический материал (квадрат, прямоугольник, куб, параллелепипед). Понятие дроби вводится исходя из понятия величины. Операции над дробями определяются как некоторые алгоритмы, служащие для решения определенно­го типа задач, например, умножением на дробь решается сле­дующая задача: «Некоторая особа покупает 6 локтей сукна, по половине червонного злотого за локоть. Определить стои­мость. Решение: 6 • 72 = 3. Если по одному злотому, то 6 зло­тых, а по 7г, то 3 злотых». Отсюда вытекает правило умноже­ния на дробь.

Вслед за обыкновенными идут десятичные дроби, правила действий над которыми обосновываются, не опираясь на обыкновенные, а исходя из свойств самой структуры десятич­ной системы чисел и свойств операций, например, в случае умножения:

(а • 10*) • (Ь . 10") = (а • Ь) - 10"*+".

Мы пользовались «Арифметикой» Люилье издания 1804 г. и сравнивали ее с изданиями последующих лет. В «Арифме­тике» 1810 г. имеется важное дополнение, содержащее метри­ческую систему мер. Производится сравнение эталонов новой системы с прежней — польской и литовской. В связи с озна­комлением с этой новой системой сообщается ее происхожде­ние, т. е. описываются геодезические работы французских ученых по определению размеров парижского меридиана. Од­нако в задачах сохранена прежняя система мер, а поэтому введение метрической системы не отразилось на разделе деся­тичных дробей.

В курсе алгебры С. Л ю илье30 рассматривается решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным и систем линейных уравнений. Этот материал занимает боль­шую долю курса. Алгебраические преобразования и числовые системы рассматриваются не особо, а попутно, по ходу реше­ния уравнений. Это — главная характерная особенность кур­са. Теория уравнений изучается в два этапа: сначала с число­выми коэффициентами, на конкретных задачах с конкретными данными, затем — с буквенными коэффициентами.

Каждая задача решалась сначала арифметическим рас­суждением, затем путем составления уравнения и его реше­ния. В результате изучения этого курса ученики могли полу­чить неплохой навык в решении уравнений по условиям задач, но чрезвычайно элементарных.

-106

Кроме уравнений, курс содержит еще два раздела: про­грессии и логарифмы. Теория прогрессий лежит в основе формирования понятия логарифма. Так обычно делалось вXVIII в. всюду. Курс заканчивается простейшими неопреде­ленными уравнениями. Учебник написан хорошим языком, очень популярно, просто, с массой иллюстративных примеров. Элементы теории сообщаются на основе конкретных задач. Впрочем теоретический уровень учебника невысокий. Автор преследовал весьма ограниченную цель — выработку навыков в решении простейших задач, а не формирование отвлеченных алгебраических представлений, теорий и достижение виртуоз­ной техники в решении задач и примеров.

Обширный курс геометрии включал известный классиче­ский материал, изложенный доступно для понимания детей.31 Мы не будем перечислять подробно содержание этого курса, а отметим лишь некоторые его характерные особенности. В противоположность многим курсам того времени в нем ис­пользуется алгебра, много внимания уделяется решению практической геометрии (геодезии), в связи с чем описывает­ся употребление математических инструментов и, в частности, пропорционального циркуля. Существенной особенностью курса геометрии Люилье является использование идеи преде­ла. Автор высказывает критические замечания в адрес тех руководств, где соответствующие вопросы излагаются нестро­го, и говорит, что строгое изложение возможно лишь с приме­нением теории пределов.32 В основу изложения кладется лемма:

«Всегда можно хотя бы мысленно поделить какую-либо ве­личину А на столько равных частей, что каждая из них в от­дельности будет меньше, чем любая назначенная величина а». Обоснование ее опирается на аксиому Архимеда, согласно ко-торой а п > А, отсюда — < а.

На основе этого положения доказывается теорема: «Около окружности можно описать и в нее вписать два такие одно­именные многоугольника, что отношение их периметров будет ближе к отношению равенства, нежели любое назначенное отношение. Например, в окружность можно вписать и около нее описать два правильных подобных многоугольника, у ко­торых разность периметров была бы меньше одной десятой периметра одного из них». Далее дается доказательство этой теоремы, т. е. доказывается, что Р — /? = 0,1 р , где Р и р — пе­риметры этих многоугольников. Затем рассматриваются два следствия: 1) в окружность можно вписать и около нее опи­сать такие одноименные правильные многоугольники, что от­ношение длины окружности к периметру одного из них будет ближе к отношению равенства, чем любое назначенное отно-

Л07

шение; 2) имея данный отрезок, принимаемый равным длине окружности, вписать в окружность и описать около нее мно­гоугольники, разность между периметрами которых и длиной окружности была бы меньше, чем данный сколь угодно ма­лый отрезок, т. е. Р — С< а.

Отсюда следует заключение, что длину окружности можно рассматривать как общий предел периметров правильных вписанных и описанных многоугольников.

Доказывается теорема: «Площадь круга равна площади треугольника, высота которого равна радиусу круга, а основа­н и е — длине окружности». Автор, полагая, что эта площадь больше (или меньше) площади указанного треугольника, приходит к противоречию с тем фактом, что площадь вписан­ного многоугольника меньше, а описанного — больше площа­ди круга, что и доказывает эту теорему. На основе теории пределов решаются соответствующие задачи на вычисление поверхностей и объемов круглых тел.

По практической части курса геометрии был принят осо­бый учебник (Заборовского). Он содержал весьма большой и интересный в практическом отношении материал. Этим учеб­ником пользовались в школах и университете до 30-х годовXIX в.

Комплект учебников, изданный эдукационной комиссией, представлял собой в истории математического просвещения, безусловно, знаменательное явление. Он охватывал весь ма­териал плана эдукационной комиссии по всем разделам школьной математики (арифметика, алгебра, геометрия, ее приложения к землемерию, тригонометрия), был изложен до­статочно строго и в то же время доступно для детей школьно­го возраста. Однако не все школы пользовались ими, причи­ной этого был их большой объем. Вот отзывы учителей об этих учебниках и объяснение, почему в некоторых училищах они не применялись.

«Арифметика, изданная эдукационной комиссией. По при­чине обширности в объяснениях и недостатка печатной книж­ки, оная, изданная от эдукационной комиссии, не употребля­ется, а излагается от себя...

Геометрия в двух частях. Издана от эдукационной комис­сии. По причине обширности в объяснениях и недостатка печатной не употребляется, а излагают учители от себя довольно порядочно, так что геометрия в здешних школах преподается основательнее и успешнее прочих предметов».

Учебник алгебры «по причине обширности и недостатка печатной не употребляется, излагается учителями от себя вкратце».33 В школах имелись: готовальни, пантографы,астролябии, октанты, землемерный столик, цепь, шнур и про­порциональные циркули. После реформы 1803 г. и в связи

108

с ней Министерство просвещения рассматривало учебники, изданные эдукационной комиссией, и, найдя их вполне отве­чающими цели математического образования учащихся, реко­мендовало к переизданию. Учебники Люилье в ряде школ употреблялись до 30-х годов XIX в.

Учебники для народных училищ были подготовлены и изданы Петербургской училищной комиссией. Подготовкой учительских кадров занималась учительская семинария.

Народные училища представляли собой учебные заведе­ния нового типа. Главные были четырехклассными, малые — двухклассными. Заметим, что прежде срок обучения не связы­вался строго с количеством установленных в школе классов, таким образом, в четырехклассной школе дети могли обучать­ся четыре года и более.

Для народных училищ были созданы учебные планы и раз­работаны методы преподавания.

Вот содержание учебного плана:«Главное народное училище имеет 4 класса, из которых

в первом нижнем обучают познанию букв и складов, читают букварь, правила для учащихся, сокращенный катехизис, свя­щенную историю и начинают писать. Во втором классе про­должают чистописание и священную историю, начинают рисо­вать, читать пространный катехизис и книгу о должностях человека и гражданина, учиться первой части арифметики и грамматическим правилам. В третьем классе продолжают рисование, повторяют катехизис, читают евангелие, изучают вторую часть арифметики, российскую грамматику, историю и географию.

В четвертом классе — рисование, историю, российское землеописание, российскую грамматику, геометрию, механи­ку, физику, естественную историю, гражданскую архитекту­ру, математическую географию». Было положено также изу­чать латинский и один из живых иностранных языков. Во главе училища стоял директор, который «должен быть любите­лем наук и знающим цену воспитания». Уже это требование само по себе свидетельствует о серьезном отношении комис­сии к организации народного образования. Об этом говорит также работа по подготовке учителей и издании специальных учебников.

В отношении математического образования эти школы до­статочно элементарны, в них изучались арифметика (полный курс), начала геометрии и в некоторых — начала алгебры. Они не давали полного среднего образования в области мате­матики, не готовили юношей для продолжения образования в университетах. Для этой цели существовали гимназии. Но для четырехклассного училища общий план был достаточно большой. Характерно, что математика сочеталась в них с ря­

)109

дом предметов, имеющих практическое значение, таких, как физика, механика, гражданская архитектура.

Отличным от них был учебный план Минского шестикласс­ного училища, открытого в 1798 г. В нем указывалось, «...ка­кие и где преподавать науки, особливо математические».34

В Минском училище, называвшемся губернским, препода­вались предметы: русский, польский, латинский языки, ариф­метика, геометрия, алгебра, архитектура, фортификация, история, география, рисование, риторика, поэзия, мораль, логика, физика и юриспруденция. Учебники рекомендовались и употреблялись следующие: «Арифметика» Аничкова, «Ал­гебра» Кайе, «Геометрия» Люилье, «Арифметика» Вольфа, «Фортификация» Аничкова, «Механика» Осиповского, «Физи­ка» Бриссона. Минское училище было, как видно по плану, на уровне гимназии. Вот расписание в нем занятий по мате­матике в старших классах:Среда и суббота Профессор математики. Высшие

части арифметики и алгебра Вторник, четверг, Лонгиметрия, планиметрия исуббота тригонометрияПонедельник, среда, Стереометрия и конические сече-пятница нияПонедельник, пятница Архитектура и фортификация

Профессор красноречия преподавал латынь, красноречие и юриспруденцию. Профессор физики преподавал физику, зоологию и логику. Профессор морали — мораль, древнюю историю, географию и право. В праздничные дни занимались риторическими упражнениями и геометрическими чертежами. В уездных четырехклассных школах Минской губернии пре­подавались арифметика, алгебра, геометрия и тригономет­рия. 35

Кроме изданных для народных училищ учебников, реко­мендовались и рассылались по школьным библиотекам сле­дующие книги: Д. С. Аничкова — «Алгебра», «Теоретическая и практическая арифметика», «Геометрия», «Тригонометрия»; С. Я. Румовского — «Сокращения математики, часть первая, содержащая начальные основания арифметики, геометрия и тригонометрия» (1760); Ж. Лаланда — «Сокращенная астрономия»; X. Вольфа — «Теоретическая физика», «Экспери­ментальная физика» и «Основания математики»; Л. Эйле­р а — «Универсальная арифметика» и «Алгебра»; Крафта — «Опытная физика»; Гелиодора — «Курс математики»; С. К. Ко­тельникова — «Математика»; Вейдлера — «Математика»; Кал- лета — «Таблицы логарифмов» и целый ряд книг на иностран­ных языках. Библиотеки народных училищ, таким образом, пополнялись весьма серьезной учебной литературой. Для

110

народных училищ по математике были опубликованы сначала два учебника: курс арифметики в двух частях и курс геомет­рии. Они были приняты в качестве основных во всех народных училищах и многократно переиздавались.

Первая часть курса арифметики содержала учение о це­лых числах и изучалась во втором классе, вторая — о дроб­ных числах и изучалась в третьем классе. Курс геометрий носил практический характер и служил учебником для чет­вертого класса. В учебный план народных училищ, как уже упоминалось, входили: физика, естественная история, матема­тическая география и гражданская архитектура. Курс мате­матической географии отражал новейшие географические и астрономические сведения. Астрономические сведения излага­лись по системе Коперника.

В подготовке учебников для народных училищ принимал участие М. Е. Головин.* С 1786 г. Головин был профессором учительской семинарии и принимал постоянное участие в работе Петербургской училищной комиссии со времени ее основания.

Училищная комиссия была создана в 1782 г. В ее функции входило: 1) составление и издание учебников; 2) разработка устава народных училищ; 3) подготовка учителей; 4) органи­зация народных училищ.

Комиссия разработала методику обучения: «Прежняя ме­тодика обучения совершенно не годилась для общественного училища, где все дети должны быть заняты в одно и то же время и каждую минуту. Учитель занимался порознь с каж ­дым учеником: пока одни учились, другие скучали и занима­лись шалостями; времени терялось много, а успехи были весь­ма медленны».36

Новый метод был рассчитан на то, чтобы учитель мог постоянно владеть вниманием всех учащихся и чтобы ученики могли понимать предметы учения легко и ясно. Для достиже­ния этой цели положено было употреблять следующие сред­ства: 1) классное объяснение, 2) классное чтение, 3) исполь­зование таблиц и 4) опрос учащихся. **

Почти все время считалось, что учебники для народных училищ по предложению училищной комиссии были написа­ны Головиным. Д аже Н. Фусс, учившийся вместе с Голови­ным, говорит, что эти учебники арифметики составил известный математик Головин, не говоря уже о современных

* М. Е. Головин по матери приходился племянником М. В. Ломоно­сову, математику изучал под руководством Л. Эйлера.

*'* Урок проходил в три этапа: чтение учеником данного параграфа по книге, объяснение учителем новых терминов и понятий, опрос учащихся по прочитанному материалу. Если выяснялось, что дети не усвоили материал, то этот порядок повторялся.

Ш

авторах. В отзыве Н. Фусса на один из учебников арифметики сказано следующее:

«Для 8— 10-летних учеников как всякое другое, так и его руководство по арифметике будет в иных местах неясно без использования учителя, и дети этого возраста никогда не научатся арифметике из одних книг, без устного наставления и изъяснения, к чему не способствует ни его книга, ни руко­водство к Арифметике, изданное бывшею училищной комис­сией, которое впрочем сочинено покойным адъюнктом Голо­виным, искусным математиком (курсив наш.— Н. Б.), и одоб­рено знаменитым академиком и членом бывшей училищной комиссии Эпинусом.» 37

Но, как показывают документы, ни одна из этих четырех книг не принадлежит Головину, все они переводные. Голови­ну принадлежит перевод некоторых из них, исправления переводов других переводчиков и переделка самих оригина­лов. *

Теперь обратимся к содержанию названных учебников математики. «Руководство к арифметике» содержит разделы: система счисления, действия над целыми и дробными числа­ми, арифметическая и геометрическая пропорции (на число­вых примерах), точное и приближенное извлечение корней. Большое внимание уделяется десятичным дробям. Хотя гео­метрический материал отсутствует, но извлечение корней и возвышение в степень излагаются с учетом того значения, которое имеют эти вопросы в вычислительной практике по геометрии (вычисление площадей и объемов). Изложение догматическое, в виде правил с иллюстрацией на примерах.40

«Руководство к геометрии» содержало лонгиметрию, пла­ниметрию и стереометрию.41 В предисловии указываются спо­собы изучения геометрии, которые теперь звучат как совер­шенно сами собой разумеющиеся тривиальные методические истины. Обращается внимание на связь геометрии с задачами практики. Указывается перечень геодезических инструментов, которые надлежит иметь училищу и рекомендуется в летнее

* 1) I часть «Руководства к арифметике», как показал О, Ф. Хичий, является переводом учебника, изданного на славянском и немецком язы ­ках в Вене.38

2) «Адъюнкт Академии наук М. Головин перевел для комиссии Р у ­ководства к геометрии, механике и гражданской архитектуре, за что в 1783 г. был награжден 200 руб. В 1785 г. М. Головин получил из комис­сии 600 руб. за исправление переводов геометрии, механики, физики и вто­рой части руководства к арифметике».

3) «В мае 1783 г. комиссия дала на исправление адъюнкту Головину пе­реведенную в Академии наук под его смотрением вторую часть руководства к арифметике».

4) «В 1783 г. адъюнкт Академии наук М. Головин перевел для народ­ных училищ руководство к механике».39

312

время решать практические задачи в поле, «кои в классах разрешены были».

По стереометрии рекомендуется построение моделей, кото­рые служат «к лучшему и легчайшему преподаваемых пред­метов уразумению». Относительно практического значения геометрии сказано: «Сколько знание геометрии полезно и нужно в общежитии, никто спорить не может. Землемерие, архитектура гражданская и военная, мореплавание, физика, механика и пр., словом, все наиполезнейшие для людей науки служат явным тому доказательством. Самые художества и рукоделие не малую пользу от ней заимствовать могут. Так, живописцу поможет она в исправном рисованье, инструмен­тальщику в делании верных орудий, столяру и плотнику в проведении прямых и горизонтальных линий, каменщику в складывании стен; самому даже хлебопашцу сделает пользу при означении меж в случае споров при разделении полей во время посева, при построении овинов, закромов и т. д.»

Геометрия также излагается в форме правил решения раз­личного типа задач, теоретические вопросы ее не многочислен­ны, например, о сумме углов треугольника и др. По стерео­метрии излагается вопрос о построении моделей и показыва­ются способы вычисления их поверхностей и объемов. Таким образом, курсы арифметики и геометрии были практическими.

Училищная комиссия издала в 1786 г. устав, согласно ко­торому в губернских городах империи должны быть открыты главные народные училища, в уездных — малые народные училища. Для подготовки учителей для этих училищ в Петер­бурге была открыта учительская семинария, которая позже называлась учительской гимназией, затем она была преобра­зована в педагогический институт.

Для обучения в семинарии местные власти командировали достаточно подготовленных молодых людей. Из Белоруссии было направлено несколько человек, окончивших Могилев­скую духовную семинарию. С Украины командировались окончившие Киевскую духовную академию. После окончания учительской семинарии молодые люди возвращались на ро­дину и работали учителями в народных училищах.

Выпускники семинарии получали достаточно высокую на­учную и профессиональную подготовку. Из математических предметов семинаристы изучали обширный курс арифметики, алгебру, элементарную геометрию, плоскую и сферическую тригонометрию (элементарный цикл), затем конические сече­ния, дифференциальное и интегральное исчисления. Кроме того, изучались механика, гражданская архитектура, стати­стика, курс физики, математическая география, в которую входили сведения по астрономии, рисование и чертежное ис­кусство.

Л13

Если этот учебный план сравнить с университетским того времени, то мы не заметим существенного различия. Препо­даванием математических наук занимались известные в свое время професора М. Головин, П. Гиляровский, Т. Осиповский. По уровню постановки учебного дела, следовательно, учитель­ская семинария представляла по тем временам учебное заве­дение высшего типа.

Вот некоторые документы, характеризующие подготовку учителей, работавших в Белоруссии и на Украине.*

«Математических наук учитель Василий Берлинский, из. дворян Курской губернии, 31 года. Обучался в Киевской ду­ховной академии, а потом в Петербугской учительской гим­назии математическим предметам и в горном корпусе знани­ям химии, пробирного искусства, металлургии и минералогии; в учительской должности с 1-го сентября 1795 года».42 В. Берлинский несколько лет работал в Витебском училище.

В Главном народном училище в Могилеве (1789) работал Карпилович, присланный из учительской семинарии,— препо­давал математику, физику, языки латинский и русский. Кар­пилович, сын священника, родился в Мстиславском уезде Мо­гилевского наместничества, учился в Могилевской семинарии латинскому языку, поэзии, риторике, философии и богосло­вию, а затем преподавал в ней латинский язык. Потом был командирован в Петербург, где обучался в учительской семи­нарии «арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии, пло­ской и сферической, коническим сечениям, началам обоих калькулюсов, механике, гражданской архитектуре, статисти­ке, физике, математической географии, рисовальному и чер­тежному искусству».43 Учитель математики вторых классов Иван Горбачевский также окончил учительскую семинарию.

Учительская семинария выдавала своим ученикам харак­теристики, в которых они аттестовались со стороны нравствен­ности, успехов в учебе, эрудиции и готовности заниматься учительской деятельностью.

Сведения о постановке преподавания физико-математи­ческих предметов в народных училищах содержатся в опуб­ликованных традиционных докладах учителей, которые еже­годно читались на выпускных экзаменах. Иногда эти доклады носили характер отчетов о работе училища. В них отмечает­ся, что математика изучалась «строго систематически» и ча­стично с доказательствами. Физика преподавалась с де­монстрацией опытов, ученики знакомились с гелиоцентри­ческой системой Николая Коперника. Обращалось большое

* Имело место перемещение учителей из Белоруссии на Украину и на­оборот, так как Белоруссия и часть Правобережной Украины составляли в; учебном отношении единое целое.

114

внимание на практические приложения математики, в частно­сти к геодезии. На публичных экзаменах производились испы­тания учеников. Указываются следующие предметы этих испытаний: география, история, арифметика, геометрия и иногда алгебра. На испытаниях по физике ставились опыты. В те времена это дело было новым и демонстрация физичес­ких опытов, выполнение учениками геометрических и архи­тектурных чертежей, а также их выступления с «речами» на публичных экзаменах производили на посетителей, людей старого поколения, недостаточно сведущих в области точных наук, сильное впечатление. Некоторые из учителей занима­лись написанием учебников.*

О преподавании математики приведем фрагмент из речи учителя Карпиловича: «Здесь юноши (в 3 классе.— Н. Б.), обучаясь употребительнейшим арифметики действиям, с м а­тематическою основательностью упражняться будут в разре­шении разных, в общежитии часто случающихся примеров, да­бы, таковым полезным упражнениям приобучив свои мысли ко вниманию, память к затверживанию, ум к рассуждению, безпреткновенно могли приступать к прочим частям матема­тики. География подает им ясное и твердое понятие о Земле, ее между прочими планетами положении, виде, величине и движении», т. е. по системе Н. Коперника.44

В пропаганде идей общественного воспитания и популяри­зации науки учителям математики принадлежит большая историческая заслуга.

§ 3. МАТЕМАТИКА В ШКОЛАХ БЕЛОРУССКИХ ГУБЕРНИЙ ВИЛЕНСКОГО УЧЕБНОГО ОКРУГА

С учреждением Министерства народного просвещения и учебных округов школы были изъяты из подчинения губерн­ского начальства и переданы в непосредственное управление университетов.

25 мая 1803 г. был утвержден «Устав или общие постанов­ления для императорского Виленского университета и училищ его округа», по которому университет получил широкое само­управление и функции управления всеми учебными заведе­ниями в округе, не исключая тех, которые состояли в духов­ном ведомстве и содержались монастырями. Университет мог определять и увольнять от службы директоров гимназий, смо­трителей училищ и учителей.45 Два раза в год он представлял рапорты попечителю о своих внутренних делах и делах учи­

* В. Берлинский, работая в Витебском народном училище, написал два учебника: «Плоскую тригонометрию» и «Конические счения». По физике придерживался «антифлогистической системы».

115

лищ округа; попечитель в свою очередь отчитывался перед министерством.

Устав содержал следующие положения, относящиеся к школе:

Университет должен «иметь в непосредственном ведении и управлении все гимназии и все училища, в округе его со­стоящие».

В обязанность совета университета входило «изыскание способов усовершенствования методов преподавания в уни­верситете, гимназиях и в училищах округа».

Для гимназии по штату полагалось шесть старших учите­лей (физики, математики, морали, словесности, латинской и польской грамматик, арифметики и географии) и четыре млад­ших (рисования, русского, французского и немецкого языков).

Первые два класса гимназии должны были соответство­вать плану уездных училищ, а 4 старших класса — составлять собственно гимназию. Уездные училища утверждались трех­классными с предметами: арифметика, геометрия, физика* словесность, география, латинский, польский, русский, фран­цузский (или немецкий) языки и рисование. В приходских училищах устав предусматривал обучение чтению, письму* закону божьему, начальным правилам нравоучения, началь­ным сведениям арифметики, земледелию и ремеслам.

«Университет должен образовывать и доставлять способ­ных учителей для занятия всех мест в училищах его округа».. С этой целью при университете была открыта учительская семинария на 20 мест.

«Общее собрание университета через каждые 4 года выби­рает директоров гимназий и смотрителей уездных училищ...»-

«Ректор университета имеет право наблюдать и осматри­вать все училища своего округа».

«Визитаторы доставляют ректору рапорты о своих обо­зрениях».

«Старшие учителя и начальники гимназий и уездных учи­лищ имеют право соискать университетских мест; они имеют преимущества перед посторонними...»

«Директоры гимназий непосредственно подчинены ректору университета, смотрители — директорам, ректор — попе­чителю».

«Как в университете, так и в гимназиях и уездных учили­щах начальники и профессоры или учители собираются для общего рассуждения о предметах, относящихся к успехам иг усовершенствованию учения, то сии ученые советы должны представить непосредственным их начальникам свои замеча­ния касательно существующих правил и предлагать нужные перемены или новые мысли, служащие к возведению на выс­шую ступень возложенного на них наставления в науках».

11.6

В 1804 г. был разработан проект нового устройства гимна­зий и уездных училищ. В проекте отмечается сначала недоста­ток работы училищ в прежнее время, заключающийся в том, что по существу в различных губерниях округа были различ­ные школьные порядки, не было единой системы как учебной, так и административной. Выбор книг нередко определялся вкусами учителей. Положение сложилось такое, что родители часто не знали, куда определить своих детей, и нередко меня­ли училища. Ученики иногда освобождались от важных пред­метов, даже от изучения геометрии. Методы преподавания зависели от выбора самих учителей.46

Реформа определила единое учебное руководство, вслед­ствие чего, как полагалось, должен был быть решен вопрос об организации единой школьной системы и введении единых методов преподавания. Университету предстояло решить не­легкую задачу — ввести в действие единые учебный план, программу, учебники и единообразный метод обучения. Хотя университет в этом направлении сделал многое, но в полном объеме этой задачи решить не смог. Непосредственно рефор­мированием школы занимался ректор университета И. Строй- новский. Он имел большой практический опыт в этой области, был автором устава обновленного университета. Вопросы нравственности и права составляли области его научных инте­ресов. Ему принадлежит учебник естественного права, по ко­торому занимались в школах и университете. Его основные положения в области просвещения сводились к тому, что нравственное образование служит для широких кругов наро­да, высшее образование — для способных и состоятельных, частная собственность — краеугольный камень существова­ния государства, отсюда — воспитание уважения к частнойг собственности.

Утвердившаяся в Западном крае школьная система не­сколько отличалась от той, которая была принята в результа­те реформы 1803— 1804 гг. Министерством просвещения. В чем состояло это отличие? Для ответа на этот вопрос проведем сопоставление учебных планов, а затем учебных предметов, относящихся к математике.

Школьная система в России была учреждена в виде сле­дующих связанных преемственностью четырех типов учебных заведений: приходские училища (1 год), уездные училища (2 года), гимназии (4 года) и университеты. В Виленском учебном округе столь строгой преемственности не существо­вало. Гимназии и уездные училища были самостоятельными учебными заведениями; первые — семиклассными, вторые — четырехклассными и трехклассными. Соответствие в учебных планах имело место лишь по первым двум классам. Но уже во вторых классах наблюдается расхождение по математике.

117

Однако в целом они имеют несравненно больше сходства, не­жели отличий. Последние нельзя считать существенными.

Учебный план МНП*

ПредметыКлассы

ВсегоI II III IV

Чистая н прикладная математика и опытная фи­зи к а 6 6 6 18

Ест. история, технология и коммерческие науки — — 4 12 16История, география, статистика общая и государ­

ства Российского 6 6 4 2 18Философия, изящные науки и политическая эко­

номия 4 4 4 8 20Латинский, французский, немецкий языки по 16 ч,Рисование — по 4 ч

Учебный план гимназии ВУО (1804)

По этому учебному плану в основном и работали белорус­ские гимназии, хотя и не была достигнута их полная унифи­кация.

В первых двух классах: латинский и польский языки по 9 ч, арифметика — по 6 ч, письмо — по 2 ч (в неделю).

ПредметыКлассы

I | И III IV V VI VII

Всего по IV— VII кл.

М атематикаФ изика и ест. историяЛатинский яз. и словесностьФилософияИстория и географияЛогика

-------- 4 6 4 4-------- 3 5 6 4-------- 9 — 3 3-------- 2 3 3 5-------- 2 3 4 4

1417 8

18 182

В первом, а также во втором классах преподает один учи­тель. Во всех последующих классах — учителя отдельных предметов.

Для сравнения мы подвели итоги по последним четырем классам, как соответствующим русской гимназии. Математи­ка, физика и естественная история имеют 31 ч, в русской гим­н а зи и — 34 (с включением технологии и коммерции).

* И. А. Алешинцев. История гимназического образования в России. М., 1912, стр. 27.

118

В первом классе преподает один учитель. Предметы: поль­ский, латинский языки — 9 ч, арифметика — 6, письмо — 2, география — 2, нравственность — 1 ч. В последующих клас­сах преподают три учителя.

Учебный план уездного училища (1804)

КлассУчитель латинского языка и словесности

Учитель математики, физики, естественной истории

Учитель нравствен­ности, истории, гео­

графии

2 9 ч Арифметика, начала гео­метрии и естественной ис­тории (7 ч) 4

3 7 ч Алгебра, физика и естест­венная история (7 ч) 6

4 4 ч М атематика, физика и естественная история (6 ч) 10

§ 21 устава указывает порядок изучения математических предметов: «Учитель математики и физики преподает уроки в неделю по 18 часов: в первом классе обучает по 6 часов в неделю, проходя по порядку части чистой математики: ал­гебру, геометрию и плоскую тригонометрию. Учитель сей должен стараться вести алгебру наравне с геометриею, дабы показать необходимость и пользу оной в решении геометриче­ских задач. Во втором классе сей же учитель, обучая по 6 ча­сов в неделю, оканчивает чистую и начинает прикладную математику и опытную физику. В третьем классе, обучая так­же по 6 часов в неделю, продолжает и оканчивает приклад­ную математику и опытную физику». *

Таким образом, изучение математики заканчивалось на втором году обучения. Характерно, что алгебра и геометрия изучались параллельно.

Это положение имеет глубокий исторический смысл. Оно означает, что русская школа начала XIX в. четко сформули­ровала свое отношение к проблеме преподавания геометрии, дискутировавшейся в то время: она отмежевалась от тради­ционного метода, основанного на изучении «Начал» Евклида, и заняла позицию на пути прогрессивного направления в раз­витии методики геометрии.

В белорусской гимназии распределение часов было более равномерным и, следовательно, более рациональным, нежели

* Устав учебных заведений, подведомственных университетам (1804). Хрестоматия по истории педагогики. Сост. Н. А. Ж елваков, т. IV, ч. I. М., 1938, стр. 216.

119

в русской, но порядок изучения предметов математики был последовательным. Элементарная геометрия изучалась после завершения арифметики, и за нею следовала алгебра. Мы ви­дим здесь влияние другой, традиционной, точки зрения на пре­подавание этого предмета. Действительно, спустя три года для учебных целей в Виленском учебном округе были изданы «Начала» Евклида.

Остановимся на учебных программах по математике. И з­ложение этого вопроса требует предварительной оговорки. Прежде всего следует иметь в виду, что программ в нашем их понимании не существовало, содержание предмета определя­лось рекомендованными учебниками. Министерство просвеще­ния обычно указывало несколько учебников и предоставляло возможность делать выбор из них самим учебным заведениям.

В Виленском учебном округе пользовались как местными учебниками, так и рекомендованными МНП. Школам была предоставлена свобода выбора учебников. И хотя большого выбора не было, тем не менее в различных школах пользова­лись, вообще говоря, учебниками разными. Поэтому нельзя говорить о содержании образования в строго однозначном -смысле.

Приведем содержание гимназической программы, имевшее суммарный характер для ВУО первого десятилетия XIX в .47

Первый класс. Арифметика. Четыре действия арифметики с целыми числами. Возвышение чисел в квадрат и куб, извле­чение квадратного и кубического корней.

Второй класс. Арифметика. Объяснение природы дробей обыкновенных и десятичных и все вычисления с этими дробя­ми. Способ нахождения НОД и сокращение дробей. Количе­ства несоизмеримые, извлечение корней по приближению, употребление при этом десятичных дробей или же обыкновен­ных. Правило трех, проценты, правило товарищества, обрат­ная пропорциональность.

Третий класс. Повторение дробей. Отношения и пропор­ции геометрические. Первоначальные сведения о линиях пря­мых и кривых, о равенстве треугольников с приложением к решению задач, о параллелях и параллелограммах, об углах и прямолинейных фигурах, о треугольниках, о касательных и об углах в круге и вне круга, о подобии фигур и об отно­шении площадей.

Четвертый класс. Арифметика. О логарифмах. Из геоме­трии: о правильных многоугольниках, об употреблении про­порционального циркуля и нониуса. О тригонометрии. Пло­щадь круга. Солидометрия: о взаимном положении линий и плоскостей, о телесных углах, о параллелепипеде, пирамиде, цилиндре, конусе и шаре.

Из геометрии практической: употребление кольев, цепи,

120

столика, угломера, графометра, компаса; перенесении (на бу­магу) границ земельного участка, местечек, городов и т. д.

Пятый класс. Алгебра. Отличие алгебры от арифметики, функции и уравнения. О правилах арифметических действий с общими знаками. Все арифметические действия с функция­ми,. Уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней. Формула Ньютона.

О круговых функциях, о свойствах кривых линий 2-го по­рядка (о свойствах эллипса, параболы и гиперболы). Физика. Механика, гидростатика, астрономия (по Копернику).

В шестом классе математика не изучалась, в программу его входил наряду с другими предметами курс логики.

Программа по математике имела, следовательно, следую­щие особенности: 1) рассматривалось понятие функции, при­чем в связи с уравнением; в тригонометрии также изучались «функции», а не «линии»; 2) включались элементы аналити­ческой геометрии; 3) изучались алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней; 4) курс арифметики включал не только четыре действия над целыми и дробными числами, но и воз­вышение в степень, извлечение корней, прогрессии и лога­рифмы. Столь обширная программа по арифметике вызыва­лась необходимостью иметь вычислительный аппарат при прохождении геометрии и тригонометрии, поскольку они предшествовали курсу алгебры. В качестве учебников упо­треблялись: курс алгебры Снядецкого, учебник арифметики Чеха, «Начала» Евклида, учебники, изданные эдукационной комиссией, училищной комиссией в Петербурге и Министер­ством просвещения.

Обращает на себя внимание наличие в учебном плане многих предметов прикладного значения, особенно в млад­ших классах. Это явление не случайное, оно определено об­щей просветительной политикой этого края, которая выража­лась следующей формулой: «Направление влияния наук на местные нужды». Одновременно с этим представлены элемен­ты «классического образования».

Классическое направление образования наряду с реальным представлено в гимназическом плане 1818 г.48

Отличие в содержании программ различных гимназий заключалось прежде всего в распределении вопросов по классам и в учебных руководствах. Учебные заведения Витеб­ской и Могилевской губерний пользовались учебниками,, изданными как в Петербурге, так и в Вильно, между тем как, например, Гродненская гимназия руководствовалась только виленскими учебниками, а именно: Снядецкого (по алгебре и математической географии), Чеха (по арифметике), Евкли­д а — по геометрии («Начала» в переводе Чеха), Полинского (по тригонометрии), Заборовского (по практической геоме­трии), Люилье (по геометрии). Из министерских в гимназиях

121

Витебска и Могилева применялись учебники Фусса и отчасти изданные для народных училищ.

Как работали школы? В «Предварительных правилах на­родного просвещения» предусматривались инспекторские посещения школ округа: «Университет посылает ежегодно одного или несколько своих членов для личного обозрения училищ своего ведомства и исследования их успехов». По Ви­ленскому учебному округу сохранился богатый материал по визитации школ.

Ежегодно отправлялись на визитацию школ 3—4 профес­сора. Для них была разработана подробная инструкция, ука­зывающая, какие стороны учебного дела нужно подвергать обследованию и какими методами.49 Визитатор имел право экзаменовать учеников, в инструкции было сказано, что он должен наблюдать, понимают ли ученики, о чем их спраши­вают, и не заучивают ли они на память одни слова, которыми отвечают на приготовленные и выученные наизусть вопросы. От визитатора требовалось, чтобы он особенно наблюдал успе­хи в «латинском языке, как обучают учителя рисованию и зна­ют ли сами сие искусство, не ограничено ли оно только меха­ническим списыванием рисунков без изъяснения правил и об­ращать внимание на язык».

О математике сказано немного: «Умозрительная геоме­трия приноравливается ли к землемерию, а практическая или деятельная показывается ли на поле».50 Визитатор должен внушить учителям, «дабы приучали своих учеников отвечать своими словами то, чему научились, разуметь, что изъясняет­ся ими». Визитатору предписывалось проверять порядок ме­теорологической службы.

Отчеты об университетских визитациях рисуют нам доста­точно полную картину преподавания математики в отдельных школах. Так, например, в Оршанском уездном училище ариф­метика преподавалась по Чеху, алгебра — по Лакруа, а гео­метрия — по Люилье. По геометрии занимались решением практических задач, а затем строили небольшие топографиче­ские планы. Географию изучали по книге Снядецкого. В Ви­тебской гимназии арифметика изучалась по Чеху, алгебра — по Фуссу, математическая география — по Снядецкому. В Ви­тебском училище, состоящем из двух классов, изучение ариф­метики проходило таким порядком: в первом классе, «затвер­див определения и узнав знаки чисел, изучают счисление, записывая всякое классное занятие в тетради для домашнего упражнения, которое после отдают учителю; и таким образом изучали сложение, вычитание, умножение, деление, проверку сих действий и именованные числа по книге, изданной от главного правления училищ».

Во втором классе, «повторив из первой части именованные

122

числа, вторую часть от свойства дробей начали и упражня­лись задачами сих же свойств, потом изучали действия про­стых и, наконец, действия десятичных дробей. Засим учили арифметические и геометрические отношения, а также про­порции, тройные и товарищества правила проходили. И все арифметические задачи, решаемые учениками в классе, были назначены для домашнего их повторения».51

Витебское и Могилевское народные училища были в 1808 г. преобразованы в четырехклассные гимназии. После преобра­зования был введен польский язык преподавания. Эти гимна­зии работали по министерским учебным планам. Учебники применялись местные и министерские. По арифметике — ав­тор учебника не указан, по тригонометрии — учебник Полин- ского, по практической геометрии — Заборовского. Алгебра изучалась по книге Снядецкого и учебнику Фусса (уравнения 1-й и 2-й степеней, бином Ньютона и действия с функциями). В Полоцкой гимназии повышенного типа в первых четырех классах изучались: арифметика по учебнику Чеха, тригоно­метрия по учебнику Полинского, геометрия — по Люилье, практическая геометрия — по Заборовскому. В старших трех классах — алгебра по Снядецкому, Лакруа и Эйлеру, сфери­ческая тригонометрия по книге Снядецкого.

Из донесения визитатора профессора И. Чернявского, обо­зревавшего училища Витебской и Могилевской губерний, чи­таем: «Различие учебных книг: в одних учатся по книгам,, предписанным Главным правлением училищ, частью по пред­писанным Виленским университетом, кое-где употребляются книги иезуитские. Иные учителя выбирают книги по собствен­ному произволению». Отмечается недостаток учебных пособий и различие в требованиях визитаторов, сбивающих с толку учителя: «Предписания одного визитатора часто бывают не­сообразны с предписанием другого, и бедный учитель не зна­ет, чему следовать, чего придерживаться, тем более, что тако­вые предписания нередко противоречат уставу учебных заве­дений...»

Что касается гимназий, то визитаторы отмечали неплохую постановку учебного дела в Гродненской гимназии.

Попечитель Новосильцев в 1825 г. следующим образом ха­рактеризует постановку учебного дела в училищах, принад­лежащих монашеским орденам: «Во время осмотра некоторых училищ, содержимых монашескими сословиями,... удостове­рился я лично о малой пользе от преподаваемых наук в сих училищах происходящей и о посредственных успехах учени­ков». В числе причин этого явления Новосильцев называет следующие.

Монашеские общества мало готовят молодых своих по­слушников к учительскому званию в университете, а ограни­

123

чивают их обучение в своих училищах. Образованные таким образом учггеля, не зная основательно предмета, преподава­ние которого им поручается, не в состоянии надлежащим об­разом вести это преподавание;

хотя некоторые из монахов и посещают лекции по некото­рым из предметов в университете, но обыкновенно без предва­рительной подготовки и поэтому без существенной пользы;

звание учителя в монастырских училищах, кроме базили- анских, не принимается в уважение при производстве в выс­шие монашеские звания. Потому учителя, не имея ника­кого поощрения, считают свою учительскую обязанность тя­гостью;

производится частая смена учителей, а учителям меняют предметы. Интересы монастырской администрации — мона­стырские дела, а не школьные;

монастыри не приобретают пособий, учителя не знают ино­странных языков.52

Университет при Новосильцеве и по его предложению на­мечал некоторые меры для улучшения качества подготовки учителей, но они не были приведены в исполнение.

Из всего этого описания видно, что картина образования была чрезвычайно пестрой (разные учебники, различный уро­вень подготовки учителей и т. д.). Однако в ряде белорусских гимназий — Гродненской, Минской — уровень постановки ма­тематического образования был для своего времени достаточ­но высоким, на что указывает, например, преподавание эле­ментов аналитической геометрии.

Согласно уставу при университетах для руководства школьными делами были созданы училищные комитеты. При Виленском университете до 1817 г. комитет проявлял слабую активность и эту функцию выполняло университетское прав­ление под председательством ректора университета. С 1817 г., когда он был заново создан, его деятельность заметно ожи­вилась.

Основной задачей комитета было «улучшение способа учения и заведения лучшего порядка по училищам». Для ре­шения этой задачи комитет обратился к изучению «способов учения» в иностранной школе. Полинский, член комитета, обстоятельно изучил школы Запада, побывав с этой целью в длительной заграничной командировке. Но на комитете рас­сматривались главным образом организационные вопросы, что касается преподавания математики, то по документам не вид­но, чтобы этот вопрос подвергался специальному обсуждению.

Мы приведем перечень требований к учебной книге, кото­рые были сформулированы комитетом в 1810 г.

«Сочинение учебных книг есть из числа главнейших обя­занностей комиссии. В сем труде она должна наблюдать сре­

>124

дину между краткостью и ясностью описываемого предмета, имея в виду следующие правила:

1) Чтобы учебная книга в предписанных пределах заклюг чала ясные и обстоятельные понятия, основываясь на суще­ственных началах излагаемой науки, служила введением к об­ширнейшему кругу оной в высших училищах и университете, чтобы таким образом сии науки... от основания своего продол­жались непрерывной цепью.

2) Чтобы учебная книга находилась в связи с вспомога­тельными науками...

3) Чтобы она совершенно соответствовала времени, назна­ченному для лекции...

4) По издании книги визитаторы наблюдают успех уча­щихся по оной. Рассмотрение учебных книг должно произво­диться через каждые 10 лет». 53

Наконец, последний, 5-й пункт хотя и не имеет отношения непосредственно к учебникам, но представляет собой исклю­чительно важное требование к учителю, побуждающее его систематически заниматься своим предметом. Это требование обязывало учителей «через каждые три года присылать свои рассуждения по тем предметам, какие предложит комитет». Между прочим, комитет занимался организацией метеороло­гических наблюдений в округе, сбором статистических, этно­графических сведений и данных о сельском хозяйстве, про­мышленности, а также рекомендовал учителям производить описание флоры и фауны Белоруссии. Эта работа, несомнен­но, играла большую роль в повышении научного уровня учи­теля и качества его педагогической работы.

Остановимся на характеристике учебников. Под учебным материалом по арифметике понимали более обширный пере­чень вопросов, нежели тот, который сложился в русской шко­ле в XIX в. Сюда входили не только четыре действия над це­лыми и дробными числами, пропорции и задачи «на правила», но и такие вопросы, как возвышение чисел в квадрат и куб, извлечение корней второй и третьей степени из чисел, прогрес­сии и логарифмы (в редких случаях — комбинаторика). Весь этот материал излагался чисто арифметически, на числовых примерах, без доказательств и обоснованных обобщений. Та­кое построение курса соответствовало потребности изучения геометрии и тригонометрии, которые изучались ранее алгебры. В русской школе, как уже было об этом сказано, алгебра изучалась параллельно с геометрией.

Длительное время средние учебные заведения, а также и университет по курсу элементарной математики пользовались учебником арифметики Чеха, директора Волынской гим­назии. 54

В нем говорится, что математика изучает различные вели­

1125

чины. Характерной чертой величины является ее изменяе­мость, она может увеличиваться и уменьшаться. Это ее свой­ство лежит в основе математических операций, с помощью которых может описываться точным образом это ее измене­ние. Таким образом, введение операций не является формаль­ным актом, а связывается с вполне реальными процессами. Заметим, что это материалистическое объяснение начальных операций допускает обобщение на все операции высшего ран­га, образование математических понятий и поэтому является фундаментальной идеей методологического значения.

Тщательно изложена структура десятичной системы счис­ления. Десятичные дроби имеют ту же структуру, а поэтому они изучаются на основе теории целых (положительных) чи­сел. Тщательно излагается техника операций над числами, но законы операций не формулируются.

Изложение дано в таком плане: сначала на примерах опи­сывается техника сложения и умножения натуральных чисел, а затем и десятичных дробей. После рассматриваются обрат­ные операции. Обыкновенные дроби излагаются после деся­тичных. Умножение на дробь рассматривается как решение некоторого типа конкретной задачи. Дальнейшее изложение идет по известной схеме: отношения, пропорции, прогрессии и логарифмы. Система мер оставалась неизменно старой, не­смотря на то что учебник многократно переиздавался, причем в редактировании последних изданий принимал участие По- линский, прекрасно знавший принцип и происхождение новой (метрической) системы. Редактирование коснулось латинских терминов, которые были частично устранены и заменены польскими. Язык исключительно легкий и удобочитаемый. Но построение учебника в одном отношении неудобно для чте­ния: все примеры и задачи, в том числе иллюстративного ха ­рактера, вынесены в конец книги, разорваны с текстом.

Ранее было сказано, что Чеху принадлежит перевод и издание «Начал» Евклида в восьми книгах, которые служи­ли основным учебником в ряде гимназий и в университете по курсу элементарной математики. Предисловие, написанное Снядецким, содержит основные положения относительно пре­подавания геометрии, сводящиеся к тому, что основой обуче­ния должны служить «Начала» Евклида в их классическом виде. В процессе обучения геометрии рекомендуется преследо­вать одну цель — развитие ума ученика, не отвлекая его вни­мание вычислениями; не нужно употреблять алгебру в препо­давании геометрии, вся помощь ученику должна заключаться в построении чертежей. Классический стиль изложения, ка­ким его дали греки, наиболее соответствует, по Снядецкому, требованию развития ума. На педагогических взглядах Сня­децкого мы уже останавливались.

126

В гл. I были отмечены особенности перевода Чехом «На­чал » .55 Это был не буквальный академический перевод, а пе­ревод, отвечавший учебным целям. Переводчик свободно дополнял некоторые места «Начал» своими разъяснениями, чертежами, теоремами, желая сделать материал доступным учащимся.

На содержании «Алгебры» Снядецкого, которой пользо­вались не только в университете, но и в школе, мы останавли­вались в гл. 1. Чем она принципиально отличалась от мини­стерских учебников?

В первой четверти века в русских гимназиях употребля­лись учебники Осиповского и Фусса, в которых чувствовалось влияние идей Эйлера. «Алгебра» Снядецкого также написана под влиянием Эйлера. Это обстоятельство говорит о том, что в преподавании математики было более сходства, нежели различия, так как разные учебники восходят к одному источ­нику. Рассмотрим, например, понятие функции.

Осиповский понятие функции рассматривает в ином аспекте, нежели Снядецкий. Если в книге Снядецкого изуча­ются операции с функциями, то в «Курсе математики» Оси­повского главное внимание обращается на исследование и преобразование функций (разложение на элементарные дро­би, разложение в ряд путем деления, освобождение от ради­калов путем замены переменной, преобразование однородных функций путем подстановок, выделение квадратного трехчле­на). Этот подход более отвечает требованиям анализа, под­ход Снядецкого выражает особую концепцию курса элемен­тарной алгебры и более отвечает курсу аналитической гео­метрии.

Понятие функции связывалось с понятием уравнения и в чисто алгебраической части не имело под собой геометриче­ской базы. Поэтому это изучение можно назвать формальным. Благодаря курсу алгебры Снядецкого, это направление полу­чило широкое распространение в школах ВУО, а следова­тельно, в школах Белоруссии. Ученики Минской, Гроднен­ской и Витебской гимназий изучали алгебру как учение о функциях и уравнениях, рассматриваемых совместно. В неко­торых школах функциональная точка зрения была положена в основу изучения курса тригонометрии. Приведем фрагмент из программы (1813): «Алгебра». Класс V. «Из алгебры о правилах арифметических с функциями всякого рода, реше­ние уравнений 1, 2, 3 и 4 степеней, возвышение чисел в раз­ные степени, прогрессии, о функциях круговых, общих свой­ствах кривых линий второго порядка, в особенности о свой­ствах эллипса, параболы и гиперболы».

Мы уже указывали ранее на то, что по курсу тригономе­трии применялся учебник Полинского.56 Этот учебник не

127

отличался какими-либо новыми чертами, он построен в духе уже устаревших в то время традиций. Главным предметом ее автор считает решение треугольников. Определение тригоно­метрических функций явно выглядит анахронизмом. Приве­дем, например, определение синуса: «Синус дуги есть перпен­дикуляр, опущенный из некоторого конца дуги на прямую, проходящую через другой ее конец». При выводе формул в них сохраняется величина радиуса окружности, которая затем в окончательной формуле полагается равной единице. Примечательно то, что окружность делится не только на 360 частей, но и на 400 и, как замечает автор, «второй способ начинает теперь распространяться». Вторая часть курса со­держит приложения тригонометрических функций к решению треугольников. Переходя ко второй части, автор пишет: «За­вершая первую часть моего сочинения, в которой описали три­гонометрические линии, показали отношения между ними, изложили способ вычисления этих линий при каком угодно радиусе с помощью логарифмов, приступаем теперь к другой части, т. е. к изложению отношений, существующих между тригонометрическими линиями и сторонами треугольника». Этим показано содержание всего курса. Заметим, кстати, что в учебных заведениях Виленского учебного округа еще долгое время тригонометрия излагалась на той основе, которую мы встречаем у Полинского.

В 20-х годах был издан полный гимназический курс мате­матики профессором университета А. Г. Вырвичем. * Однако его учебники не получили надлежащей апробации и распро­странения ввиду изменения просветительной политики в этом крае.

В 30-х годах все школы были переведены на преподавание на русском языке и по министерским учебникам.

Познакомимся с его учебником алгебры.57 Вырвич следу­ющим образом вводит предсталение о предмете алгебры: «Ал­гебра есть арифметика всеобщая, или алгебра, в наиближай­шем своем значении взятая, есть тот язык, который короче и проще выражает все наше мышление над отношениями и связями различных величин». Алгебра возникла в связи со стремлением к сокращению математического языка, на кото­ром выражаются различные связи между величинами. В этом

* Антон Гвидонович Вырвич родился в 1791 г. в Виленском воевод­стве. После окончания Виленской гимназии в 1811 г. поступил в Виленский университет. В 1812 г. получил степень кандидата, в 1815 — степень магист­ра, в 1817 — степень доктора философии. В том ж е 1817 г. определен адъюнктом университета, в 1826 г. получил звание ординарного профессо­ра чистой математики. Перевел геометрию Био на польский язык. Умер в 1865 г.

128

взгляде на алгебру как на особый язык Вырвич, как видно, разделяет точку зрения Снядецкого. *

Первые два раздела посвящены действиям с многочлена­ми, с дробями л уравнениями первой степени. Далее рассма­триваются степени бинома до обобщения на любой натураль­ный и рациональный показатель. Последний раздел посвя­щен теории уравнений. Основной его вопрос — квадратные уравнения. Схематично рассматривается также вопрос о пре­образовании уравнений общего вида, дается решение уравне­ний в рациональных числах и понятие о приближенном реше­нии уравнений. Большой заслугой Вырвича следует считать то, что он к теоретическим курсам издал «прибавления», пред­ставляющие собой первые в этом крае задачники. Они содер­жали задачи на исследование с параметрами, в том числе классические в этом отношении задачи о курьерах и об осве­щенности. В 1828 г. Вырвич издал «Начала аналитической геометрии для школ гимназиальных».58 Здесь он также про­должает развивать ту точку зрения, что алгебра представляет собой особого рода язык, который «может служить для выра­жения природы вещей, если она имеет характер величины. Его приложение, следовательно, так же обширно, как обшир­но наше познание вещей, имеющих характер величины». Д ал ь­нейшие рассуждения приводят к описательному определению предмета аналитической геометрии, которое в вольном пере­воде может быть передано так.

Чтобы аналитический язык применить к изучению приро­ды каких-либо вещей или величин, например, линий, времени, скорости, света, теплоты, электричества и т. д., нужно, чтобы эти вещи или величины были выражены языком аналитиче­ским, т. е. были даны нам в числах,— в отношениях каждой величины некоторой природы к выбранной добровольно еди­нице величины той же природы. Наука, которая доставляет способы решения геометрических вопросов языком аналити­ческим и занимается исследованием истин и свойств геометри­ческих фигур, называется аналитической геометрией, иначе — приложением анализа к геометрии.

Автор предпосылает сначала историческую картину воз­никновения аналитической геометрии, знакомя читателя с «Геометрией» Декарта, затем переходит к ее конкретному содержанию, которое включает только теорию прямой.

В начале XIX в. в «В йепт к ^ П е п зк Ь печатались статьи, относящиеся к вопросам преподавания математики. Они со­держали общие рекомендации, построенные на основе истори­ческого опыта и авторитета ученых. Для нас они являются

* Ср. рассуждение Н. И. Лобачевского о математическом языке. Л. Б. М о д з а л е в с к и й . Материалы для биографии Н. И. Лобачевского. М.— Л., 1948, стр. 323.

5. Н. Д . Беспамятных 129

если не спорными, то тривиальными истинами. Познакомимся с характером этих рекомендаций.

Основы науки составляют фундамент знаний. К «основам наук» относили: арифметику, геометрию (Евклида), включая учение Архимеда об окружности и элементарную алгебру. В основы математических наук входил и их логический фун­дамент, но не им определялось это название. Изучение основ наук — одно из главнейших условий гимназического образо­вания.

Успех изучения математики зависит прежде всего от того, насколько усвоена система первоначальных положений. Си­стему аксиом следует не формулировать в начале, а вводить аксиомы по мере их надобности.

Правило Д ’Аламбера. В математике истины образуют не­прерывную цепь. Но если цепь прервана, то логическим фун­даментом надо считать начало новой ветви. Иными словами, если излагается новая теория, то она должна иметь свои ло­гические основы.

«Начала» Евклида служат фундаментом серьезного мате­матического образования. В них определен порядок в распо­ложении истин, который нельзя нарушить. Попытки в этом направлении оканчивались неудачей.

Занятия математикой эффективны в молодые годы. Моло­дой ум имеет большую способность к усвоению математики и творческому размышлению в ее области.

Желающий изучать математику должен обладать широтой ума, легкостью восприятия и усвоения и хорошей памятью.

Что является достоверным в математике, то может быть легко изложено и быть доступно каждому.

Определения должны быть краткими и четкими, доказа­тельства ясными, полезна геометрическая иллюстрация дока­зательств.

Обучать математике следует не историческим, а логиче­ским методой. Но в известных пределах и соответствующих случаях допустим тот метод, которым шел исследователь. З а ­метим, что историко-генетический метод к тому времени был хорошо известен, он имел некоторое применение в препода­вании и изложении учебных руководств со времени «Алгебры» Валлиса.

Ценное правило в обучении — тренировка в выводах и ре­шении задач.

Следует применять метод доказательства от противного. Не пренебрегать рассмотрением .обратных теорем, как это де­лают часто математики.

Стараться, чтобы решение геометрических задач, где толь­ко возможно, было действительно геометрическим.

Изучать алгебру; она является своеобразным языком для

130

сокращенного выражения математических понятий и отно­шений.

В обучении математике нужно использовать только те тео­рии, которые непосредственно приносят пользу на практике. Однако история знает также случаи, когда исследования, казавшиеся чисто спекулятивными, занимали позднее в прак­тических науках почетное место.

В учебные планы школ входил вопрос об изучении вычис­лительного инструмента — пропорционального циркуля. По­этому ознакомимся кратко с этим первым аналоговым универ­сальным математическим инструментом.59

Пропорциональный циркуль (ПЦ) широко применялся в инженерной практике XVII и XVIII вв. Им пользовались ин­женеры многих специальностей, особенно военного дела, судо­строения и архитектуры. В России, как свидетельствуют рукописи и сохранившийся инвентарь, пропорциональный циркуль применялся при расчетах в гражданском и военном строительстве в Петровскую эпоху и, надо полагать, сам Петр I в совершенстве владел искусством этих вычислений, которые мог усвоить, работая в Голландии на верфи или же у профессора Фархварсона, приглашенного им на работу в Россию из Англии.

Инструменты производились в ряде стран Западной Евро­пы, как, например, в Голландии, Германии и Франции, о чем свидетельствуют пометки на инструментах, хранящихся в му­зеях Ленинграда.

В XVII и XVIII вв. ПЦ был основным инструментом в практических вычислениях и более популярным, нежели лога­рифмическая линейка. В чем заключалась причина преиму­щественного использования ПЦ? Работа по истории логариф­мической линейки Кеджори не дает на этот вопрос ответа.60 В ней речь идет только об истории логарифмической ли­нейки.

Объем тех классов задач, которые решаются на ПЦ, со­ставляет лишь часть задач, решаемых на логарифмической линейке. Поэтому, казалось бы, с появлением последней дол­жна была отпасть надобность в ПЦ. Однако этого не произо­шло. Доминирующее положение в практике заняла не лога­рифмическая линейка, а ПЦ. Это явление можно объяснить следующими причинами. ПЦ представлял собой техническую реализацию или модель элементарной и общеизвестной тео­рии пропорций, между тем как теория логарифмов была но­вой. В конструктивном отношении ПЦ с самого начала был завершенным инструментом, дальнейшее его развитие своди­лось к увеличению числа шкал; логарифмическая же линейка прошла длительный путь конструктивного совершенствова­ния. Первые ее варианты неудобны для пользования, в

самом начале на ней решались преимущественно сложные за ­дачи, как, например, на сферический треугольник, иначе гово­ря,— те задачи, которые не решались на ПЦ. Логарифмиче­ская шкала наносилась иногда на ПЦ, и, таким образом, эти два инструмента, как бы совмещались в одном.

Всеобщее распространение логарифмическая линейка по­лучила лишь с середины XIX в., когда она приобрела вполне современный вид. Разумеется, усовершенствование и широкое внедрение в вычислительную практику этого прибора обуслов­ливались факторами экономического развития. В XVII и д а ­же в известной степени в XVIII в. математическая основа практики мало^ простиралась за пределы теории подобия и теории пропорций, поэтому ПЦ вполне удовлетворял потреб­ности вычислительной работы; в конце XVIII и в XIX в. в свя­зи с развитием новой техники возникла потребность в более совершенном вычислительном инструменте, каковым и яви­лась логарифмическая линейка.

ПЦ изучался в Виленском университете и в школах Лит­вы и Белоруссии. Об этом свидетельствуют многие документы и прежде всего учебники, применявшиеся при обучении мате­матике, и рукописи учебного характера.

Наиболее ранние описания этого инструмента встречаются в «Арифметике» преподавателя университета Тылковского (1629— 1695), изданной в 1668 г.; в курсе артиллерии Семено­вича (1650); во второй половине XVIII в.— в курсе тригоно­метрии Россиньоля, в «Практической геометрии» Заборов- ского.61 Рукопись «1п51гитеп1иш ргорогИотз», датированная 1800 г. и имевшая помету: «Гродно, Еразми Бобровский»,62 полностью посвящена этому вычислительному инструменту. Рукопись написана по-немецки, название и помета — по-ла­тыни. Это обстоятельство наводит на некоторое сомнение, что Бобровский является ее автором, он мог быть ее владельцем. Рукопись, по всей вероятности, относится к более раннему периоду, содержание ее показывает, что автор был скорее учи­тель, нежели инженер. Сочинение о пропорциональном цирку­ле мог написать преподаватель школы, излагавший этот пред­мет ученикам.

В «Элементах геометрии теоретической и практической» (1818) П. Я. Кондро, изданных в Полоцке, содержится об­ширный материал, относящийся к решению практических задач с помощью П Ц .63 В этой книге описываются различные шкалы: полигональная, геометрическая, арифметическая,шкала калибров орудий, шкала хорд, стереометрическая и шкала диаметров пушечных ядер. Иллюстрируется их приме­нение на различных задачах. Описывается логарифмиче­ская шкала и показывается, как с ее помощью решаются три­гонометрические задачи. На рисунке, помещенном в одной из

132

книг Кондро, можно видеть, что логарифмическая шкала на­ходится на корпусе ПЦ.

Документы начала XIX в. о передаче школ в ведение Ми­нистерства просвещения свидетельствуют о том, что ПЦ име­лись в школьных кабинетах. Так, например, они упоминаются в реестрах имущества кабинетов Могилевской и Витебской гимназий. В реестре Могилевской гимназии указано 60 ин­струментов, среди которых упоминаются буссоль, стереоме­трические модели из жести, обыкновенный и пропорциональ­ный циркули.54 В реестрах-заказах на изготовление матема­тических инструментов для пополнения кабинетов упомина­ются мензулы, астролябии, а также П Ц .65

С заказами через попечителя (или непосредственно) шко­лы обращались к петербургскому механику Роспини, который занимался изготовлением готовален, астролябий, мензул, те­лескопов и, по всей вероятности, П Ц .66*

Изучение ПЦ в Белоруссии и Литве было давно утвердив­шейся традицией. Но это явление не было исключением: изу­чение этого инструмента входило в учебные планы учебных заведений многих стран. В Петербурге профессор математики Морской академии Андрей Фархварсон издал для учащихся академии в 1739 г. небольшое руководство по изучению П Ц .69 Описание ПЦ встречается в русских рукописных книгах на­чала XVIII в. Русские учебные планы, разработанные в нача­ле XIX в. для средних и высших учебных заведений, не вклю­чали этого вопроса. Более ранние программы (народных учи­лищ) также его не содержали. Поэтому в русской учебной литературе конца XVIII и в XIX в. описание ПЦ редко встре­чается. **

В связи с переходом белорусских школ на учебные планы 1828 г. эта давняя традиция была нарушена. Да и было бы уже анахронизмом изучать этот инструмент для практических целей, когда он вышел из употребления. Впрочем для целей дидактических он, как модель теории пропорций и подобия, по настоящее время не утратил своего значения.

Попутно заметим, что с 30-х годов прошлого века в курс школьной математики был включен вопрос об изучении рус­ских счетов. В связи с этим в университетах был введен курс вычислений на счетах. Для подготовки преподавателей уни­верситетского курса в Петербурге были организованы специ­альные курсы. От Виленского университета туда был направ­

* В комплектовании школьных кабинетов физико-математическими ин­струментами попечителю Белорусского учебного округа Г. И. Карташевско- му оказывал помощь советами профессор Московского университета Д . М. Перевощиков,67 а в снабжении книгами — писатель С. Т. Аксаков.68

** Сведения о ПЦ сообщаются, например, в «Полном курсе чистой математики» Е. Войтяховского.

133

лен магистр Ревковский. * С того времени русские счеты при любых изменениях учебных планов оставались в школе как предмет изучения и главным образом как дидактическое сред- ство для изучения структуры десятичной системы счисления!

и арифметических операций над числами". В этой роли они завоевали широкую популяр­ность и являются необходимым атрибутом в современной школе.

Перейдем к изложению теории ПЦ, описа­нию его устройства и употребления.

Заметим сначала, что под названием «про­порциональный циркуль» встречаются инстру­менты двух различных конструкций и различ­ного назначения. В литературе их нередко пу­тают. В том и другом случаях основной частью служат две линейки или два бруска* 'Различие в конструкции заключается в том, что в одном инструменте линейки пересекаются в точке их соединения, причем эта точка может перемещаться вдоль линеек по узким продоль­ным прорезям, в другом же, как в обыкновен­ном циркуле,— она постоянна. В первом слу­чае ножки циркуля с обоих концов заострены и внешне похожи на ножки обыкновенного цир- куля. Как правило, этот инструмент имеет одну равномерную шкалу и предназначает­ся для решения одной лишь задачи — задачи преобразования прямолинейных отрезков в за ­данном отношении. Он применяется в настоя­щее время в архитектуре, в школьной практи­ке и хорошо известен. Нас в данном случае интересуют пропорциональные циркули друго­го вида.

Эти ПЦ состоят, как видно из приведенного рисунка, из двух линеек, шарнирно соединен­ных в одной постоянной точке. Эти линейки могут плотно соединяться и развертываться по прямой, оставаясь неизменно в одной плос­кости. Кольцо, посредством которого они со­единены, в некоторых случаях градуировано, что позволяет определять величину раствора

„ линеек.Пропорциональ­ный циркуль (П Ц ).

* Преподаватель Дерптского (Тарту) университета М. Асмус, бывший такж е на этих курсах, написал на немецком языке превосходную книгу об устройстве и применении русских счетов при обучении арифметике, издан­ную в 1831 г. в Лейпциге.70

40|

60,

В:

4

134

Графическое построение шкал.

Шкалы в целях описания целесообразно разделить на два класса: шкалы основные и вспомогательные. Каждая из основных шкал строилась на обеих линейках с одной стороны инструмента, причем строго симметрично относительно пря­мой, по которой линейки смыкаются. Поэтому система основ­ных шкал внешне производит впечатление веера, пучка пря­мых отрезков, сходящихся в центре головки инструмента. Что касается вспомогательных шкал, то они единичны и исполь­зовались главным образом в качестве таблиц. При работе на П Ц для постановки данных и снятия результатов употреб­лялся обыкновенный циркуль.

Построение шкал осущест­влялось или путем предвари­тельного составления таблицы числовых значений данной функции или же графически, как показано на рисунке.

Материалом для изготовле­ния этих инструментов служи­ли: твердое дерево, латунь, бронза и даже серебро. По разме­рам их можно разделить на настольные и карманные (порта­тивные). Длина рабочей части ПЦ, хранящихся в музеях Ленинграда, от 16 до 42 см. Крупные ПЦ имели те преиму­щества, что в них расширены границы применения шкал и увеличена их точность. Так, например, на инструментах мало- го размера равномерная шкала имеет 120 основных делений, на больших 200. То же можно сказать относительно других шкал, для которых такое увеличение принципиально возмож­но. Точность инструмента не превосходит трех значащих цифр. Но на шкалах больших размеров можно прочитать и четвертый знак.

Первое подробное описание ПЦ принадлежит Галилею (1606) *. Его работа имеет название «Ье орегахюш с1е1 сош- раззо §еоше{псо е шШ1аге» («Операции на пропорциональ­ном циркуле, геометрическом и военном»).71 Вслед за этим появились комментарии к этой работе. По-видимому, с этого же времени начинается и производство ПЦ. В Государствен­ном Эрмитаже хранится один из ранних инструментов, он датирован 1628 г.

С помощью арифметической (равномерной) шкалы реша­ются задачи на «правила трех», на правило обмена денежной

* Известен портрет Галилея 1623 г., над которым изображены два аму­ра, один из них наблюдает в зрительную трубу, второй в левой руке держит ПЦ, а правой производит запись в тетради, что символизирует изобретение Галилеем телескопа и ПЦ.

135

валюты разных государств, на проценты. Геометрическая шкала применяется для определения площадей, преобразова­ния равновеликих фигур, извлечения квадратных корней из чисел. С помощью стереометрической шкалы решаются зада­чи на вычисление объемов тел, на преобразование параллеле­пипеда в куб и извлечение кубических корней. Шкала метал­лов применялась для определения калибров орудий, веса шаров. Шкала хорд — для определения синусов и косинусов. Шкала многоугольников — для определения стороны пра­вильного многоугольника, если даны соответствующий цен­тральный угол и радиус описанной окружности.

Что касается теории пропорционального циркуля, то Гали­лей, а также последующие математики, занимавшиеся усовершен­ствованием и описанием этого инструмента, всегда обращали вни­мание на то, что он моделирует теорию подобия или теорию пропорциональных величин, и делали ссылки на соответствую­щие места «Начал» Евклида. Это предложение 4 кн. 6, заклю­чающееся в том, что подобные треугольники имеют стороны пропорциональные. Если Д Л В С ^ Д Ш Я , то

РЕ _ В О _ _ ВЕАС ВА ~ ВС '

На инструменте строятся подобные треугольники, боковы­ми сторонами которых являются части одной и той же шкалы, нанесенной на оба плечика инструмента, третья сторона одно­го из треугольников, будучи данной, откладывается с помо­щью обыкновенного циркуля и соответствующая ей третья сторона второго треугольника, как неизвестная, снимается по­средством того же циркуля. Таким образом, на инструменте по трем известным величинам из пропорциональности сторон подобных треугольников определяется четвертая.

На пропорциональных циркулях строились шкалы нату­ральных синусов, тангенсов, секансов, а также и логарифмов синуса, тангенса и натуральных чисел. Применялись они для решения плоских и сферических треугольников.

Тот класс задач, для решения которых служил пропорцио­нальный циркуль, рассматривается в настоящее время на так называемых пропорциональных номограммах. С точки зрения номографии этот инструмент может рассматриваться как но­мограмма с подвижным транспарантом. С точки зрения современной классификации счетных машин пропорциональ­ный циркуль можно назвать плоской аналоговой машиной не­прерывного и прерывного (в зависимости от характера шкал) действия с параллельной выдачей результатов. К этому же типу относится и логарифмическая линейка.

136

§ 4. ПОЛОЦКАЯ АКАДЕМИЯ И ЛИЦЕЙ

В противовес Виленскому университету, который был ор­ганизован на новых, прогрессивных началах, иезуиты решили создать свое высшее учебное заведение — академию на осно­ве своих традиционных принципов преподавания и воспита­ния. Местом для академии избрали Полоцк. Этому выбору благоприятствовали два условия: наличие в нем иезуитской коллегии с повышенным уровнем преподавания языков и ма­тематики, а также отдаленность Полоцка, Витебска и Моги­лева от университетского центра — Вильно. Последнее об­стоятельство облегчало задачу комплектования академии учащимися.

Создание университета или другого учебного заведения, скажем, типа Волынской гимназии, для белорусских областей было естественно и необходимо. В этом отношении просвети­тельная политика попечителя Чарторыйского и Министерства просвещения заслуживает самой отрицательной оценки. Ими ничего не было предпринято для организации специального образования белорусского населения. Поэтому иезуитам было нетрудно обосновать идею создания высшего учебного заве­дения в Полоцке и осуществить ее. В период, когда орден иезуитов был почти повсеместно закрыт, когда деятельность его повсюду получила всеобщее порицание, было совершенно противоестественно передавать дело просвещения в Белорус­сии в руки иезуитов.

Вопрос об открытии иезуитской академии был предрешен еще при императоре Павле I, благоволившем иезуитам. Но в связи со смертью царя этот вопрос не поднимался до 1811 г.

В протоколе Комитета Министров от 1 ноября 1811 г. чи­таем: «Генерал иезуитского ордена, желая распространить круг учения, орденом сим преподаваемого, испрашивает до­зволения возвести Полоцкую иезуитскую коллегию на степень академии с присвоением оной преимуществ, дарованных уни­верситетам, и подчинить оной все иезуитские училища в Рос­сии. Орден сей обязывается обучать всему тому, что прави­тельству угодно будет назначить, за исключением медицин­ской науки и уголовных законов, коих учение воспрещено ему орденскими уставами».

Указ Правительствующему Сенату от 12 января 1812 года определяет статут этого учебного заведения:

1) Полоцкая иезуитская коллегия отныне имеет имено­ваться Академией иезуитского ордена.

2) Непосредственное управление академией вверяется генералу.

3) Все иезуитские училища России подчиняются Полоц­кой иезуитской академии.

137

4) В академии юношество обучаться будет всем тем нау­кам, какие правительством назначаются, за исключением ме­дицины и уголовного права.

5) В отношении воспитательных задач академия зависит от Министерства просвещения.

Фактическое ее открытие относится к 10 июня того же1812 г.

Однако в связи с Отечественной войной, причинившей боль­шой ущерб делу развития народного образования, деятель­ность свою академия смогла развернуть лишь с декабря1813 г.

Как видно из указа, все иезуитские училища, существо­вавшие в России, были подчинены управлению этой акаде­мии. Училищ этих было сравнительно немного, но находи­лись они по всей территории России. В отношении математи­ческого образования они не выделялись из среды прочих.

Два училища существовали в Петербурге (одно из них пятиклассное), одно пятиклассное в Витебске, одно в Кре- славле, шестиклассное в Могилеве, пятиклассные в Орше и Мстиславле, двухклассные в Риге и Астрахани. Все они руко­водствовались планами Полоцкого училища (в объеме соот­ветствующих классов), который приводится ниже полностью.

Что касается организационной структуры академии и учебного плана каждого из ее факультетов, то они были опре­делены уставом, составленным на основе цитированного выше указа. В академии было создано три факультета: языков, фи­лософии и богословия.

На философском факультете преподавались: поэзия, ри­торика, нравственная философия, логика и метафизика, физи­ка всеобщая и опытная, химия, математика чистая и при­кладная, астрономия, архитектура гражданская и военная, право естественное, частное и римское, история естественная, история всеобщая.

В п. 7 устава академии определены следующие математи­ческие предметы: арифметика, алгебра, лонгиметрия, плани­метрия, стереометрия, тригонометрия плоская и сферическая, конические сечения и исчисление бесконечно малых. По при­кладной математике: практическая геометрия, механика, ар­хитектура гражданская и военная, астрономия.72

Академия была уравнена в правах с университетами. Атте­статы об ее окончании приравнены к аттестатам университе­тов. Ей, как и университетам, было предоставлено право при­суждения ученых степеней. Характерно, что степень доктора дано право присуждать только по богословию, на других ф а­культетах — магистра.

Академия имела свою типографию, где печатались учеб­ники для внутреннего употребления и для иезуитских учи-

138

лшц. По математике были опубликованы учебники геометрии и тригонометрии профессора Кондро, а также учебник ариф­метики. 73*

Контингент учащихся академии комплектовался из уча­щихся пятиклассной школы при ней, Витебской и других кол­легий, существовавших на территории Белоруссии. Вначале учились в ней наряду с другими и белорусы, но потом поступ­ление православным было запрещено, следовательно, роль ее в образовании коренного белорусского населения ничтожна.

До 90% учащихся имели дворянские звания.74Учеников в 1813/14 учебном году было 84, по факультетам

они распределялись так: на богословском — 25, философ­ском — 29, языков — 30, из них к ордену иезуитов принадле­жало 43, базилиан — 6, светских — 35.

Данные за 1814/15 учебный год: богословский — 25, фило­софский— 66, языков — 45, всего 136, из них: иезуитов — 50, базилиан— 11, белого духовенства— 10, светских — 65.

В 1815/16 учебном году число студентов богословского ф а­культета— 28, философского и языков — 81, всего 109. Из них: ордена иезуитов — 31, базилиан — 5, белого духовен­ства — 9, светских — 64.

В 1816/17 учебном году на богословском — 25, философии и языка — 95, всего 120. В 1817/18 учебном году всего 119 уче­ников.

Таким образом, это было небольшое учебное заведение, в котором обучались главным образом дворяне. Мы не рас­полагаем сведениями о деятельности выпускников академии, но, надо полагать, некоторая часть из них, особенно из «свет­ских», занималась педагогической деятельностью.

Полоцкая академия просуществовала недолго: в 1820 г. она была закрыта в связи с запрещением дальнейшей дея­тельности иезуитского ордена в России.

Чтобы иметь представление об уровне знаний поступаю­щих в академию учеников, приведем учебный план пятикласс­ной школы при ней.

Первый класс. Русский, польский, латинский языки, свя­щенная история, катехизис, география, первые правила арифметики. Рекомендуются учебники, изданные в академии.

Второй и третий классы (грамматики и синтаксиса). Язы­ки, история, география, арифметика обыкновенных и десятич­ных дробей, пропорции, катехизис.

Четвертый класс (поэзии). Языки, переводы, алгебра до уравнений 2-й степени включительно.

Пятый класс (риторики). Правила красноречия, языки,

* Кондро приехал из Швейцарии. После закрытия академии он учи­тельствовал в Тарнополе, где умер в 1836 г.

139

переводы, этика, история, геометрия теоретическая и практи­ческая. Рекомендуются учебники, изданные в академии.75

Учебный план этого училища, а следовательно, и осталь­ных иезуитских училищ, поскольку они руководствовались планом Полоцкого, уступает гимназическому того времени. Учебные планы гимназии содержали большой цикл естествен­ных предметов, имели реальный уклон, между тем как настоя­щий ллан составлен в духе старой иезуитской школы XVIII в. В нем доминируют гуманитарные науки, математика зани­мает скромное положение. Естественные науки совершенно не представлены в плане. Математическая подготовка определя­лась в основном знанием планиметрии, основных вопросов стереометрии (вычисление поверхностей и объемов простей­ших тел), арифметики и алгебры до квадратных уравнений включительно. Сюда же входила формула бинома Ньютона, которая догматически сообщалась в связи с изучением ее частных случаев на первых шагах изучения алгебры. Мы не видим здесь элементов аналитической геометрии, между тем как в гимназиях она изучалась.

В академии математика изучалась на философском ф а­культете, перечень предметов был определен ее уставом. В 1816/17 учебном году преподавались следующие предметы: поэзия, красноречие, юриспруденция, всеобщая история, при­кладная математика, астрономия, гражданская и военная архитектура, конические сечения и инфинитезимальное исчис­ление, ботаника, физика, экспериментальная физика, химия,, плоская и сферическая тригонометрия, минералогия, логика, диалектика, метафизика, политэкономия, геометрия и соли- дометрия.76

Представляет интерес знакомство с программой препода­вания физико-математических предметов.

Первый класс. Этот класс вел профессор Баландрет. В нем изучались: логика, диалектика, этика, политическая экономия, геометрия и зоология. В программу геометрии вхо­дили вопросы элементарного курса планиметрии и стереоме­трии (школьный курс).

Второй класс. В план этого курса входили: физика, мате­матика, химия и минералогия. Физику читал профессор Раго- за. По курсу физики излагались законы Кеплера и планетная система Коперника. Из математики изучались тригонометрия плоская и сферическая. По тригонометрии плоской рассматри­вались сложные вопросы, как, например, теория построения таблиц тригонометрических функций и их употребление при решении треугольников. Курс сферической тригонометрии рассматривался как подготовительный к астрономии.

Третий класс. Математические науки читал Кондро — «ма­тематики прикладной, астрономии и математики чистой про­

140

фессор». В курс прикладной математики входили следующие разделы: механика жидкостей и газов, статика и гидростати­ка, гидравлика, физика практическая, баллистика, теория маятника, законы Архимеда, эффект гравитации, оптика, диоп­трика, катоптрика, архитектура гражданская и военная. В курс астрономии входили разделы: сферическая тригоно­метрия, сферическая астрономия, физическая астрономия, теория движения планет, система Коперника, приложение астрономии в навигации, хронология, гномика, горология. Курс чистой математики включал конические сечения и исчис­ление бесконечно малых.

По аналитической геометрии на плоскости изучались пря­мая и кривые второго порядка, сообщались простейшие све­дения о поверхностях. Рассматривались приложения аналити­ческой геометрии к баллистике, акустике, оптике и астроно­мии. По анализу изучались методы дифференцирования эле­ментарных функций, задачи на экстремум, интегрирование и простейшие дифференциальные уравнения.

Академические учебные планы и программы по математи­ке нельзя сравнивать с планами и программами Виленского университета. Последние были неизмеримо выше полоцких. Из профессоров можно выделить Кондро, который занимался изданием учебников по элементарной математике, написанных в духе еще XVIII в. Учитывая немногочисленность учащихся, их дворянский состав, отсутствие ученых математиков и фи­зиков, а вследствие этого отсутствие исследовательской рабо­ты следует сказать, что роль академии в распространении точ­ных знаний была чрезвычайно скромной. И она совершенно стушевывается, если учесть средневековый стиль всей учебно- воспитательной работы и отсутствие учащихся из коренного белорусского населения.

Правительственное решение о прекращении деятельности иезуитов и высылке их за пределы России было принято 13 марта 1820 г., этим же решением упразднялись иезуитские училища и академия. На базе закрытой академии был орга­низован лицей.77

Инициатива организации Полоцкого лицея принадлежит Виленскому университету. Проект организации лицея был со­ставлен профессором Гродеком, в основу его были положены устав и структура Волынского лицея: четыре класса подгото­вительные или начальные и три (каждый двухгодичный) соб­ственно лицейские. В план преподавания были включены та­кие предметы, как элементарная и высшая математика, практическое землемерие, физика и механика, химия, техно­логия и др.

Познакомимся с программой, по которой преподавалась математика в лицее в 1822/23 учебном году. Как увидим, курс

141

математики был достаточно обширным и приближался к уни­верситетскому.

Первый класс. Арифметика. Действия над натуральными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Сокра­щенные действия.

Второй класс. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Отношения арифметические и геометрические. Про­порции, правила трех, проценты.

Третий класс. Возведение чисел в степень. Извлечение кор­ней из целых чисел и дробей. Прогрессии. Теория логарифмов.

Таким образом, курс арифметики был полный и построен по традиционной системе.

По геометрии — курс планиметрии до подобия фигур вклю­чительно. Сообщались некоторые сведения по практической геометрии. (Изображение на бумаге дорог, рек, контуров зе­мельных участков, леса, озер и т. д.)

Четвертый класс. Плоская геометрия. Многоугольники. Циркуль, циркуль пропорциональный, нониус. Обращает на себя внимание изучение пропорционального циркуля, которо­му в академии уделялось большое внимание.

Тригонометрия. Значение тригонометрии, ее приложения. Способ вычисления тригонометрических линий. Доказатель­ство теорем, на которых основывается вычисление треугольни­ка, и приложение их к задачам, решаемым на местности.

Определение длины окружности, площади круга и его ча­стей. Квадратура круга.

Геометрия тел. Общие сведения о телах с тремя измере­ниями. Различные взаимные положения линий и плоскостей. Свойства телесных углов. Призма, пирамида, конус, шар и его части. Вычисление поверхностей и объемов.

Геометрия практическая. Применение столика при измере­нии расстояний и изготовление карт. Съемка участков мест­ности.

Науки математические. Курс 1. Алгебра. После объяснения сущесгвенного различия между арифметикой и алгеброй из­лагаются предварительные сведения, цель и ее приложения. Знаки и действия, применяемые в алгебре. Действия над одночленами и многочленами. Классификация и свойства уравнений. Правила решения уравнений первой степени с од­ной и многими неизвестными. Общая теория неопределенных уравнений первой степени. Возвышение в степень и извлече­ние корня.

Бином Ньютона. Его применение и обобщение на отрица­тельный и дробный показатели. Уравнение высших степеней. Неопределенные уравнения второй степени. Решение уравнений высших степеней с одной неизвестной (второй, третьей и чет­вертой степеней). Мнимые корни. Разложение функций в ряды.

142

Возвратные ряды. Алгебра заканчивается изложением теории круговых функций.

Курс 2. Геометрия аналитическая. В аналитической форме изучались прямая, плоскость и кривые второго порядка.

Курс 3. Дифференциальное и интегральное исчисления по книге Лакруа в плане: предварительные сведения о функциях различного вида, цель и значение дифференциального исчис­ления, правила дифференцирования, формулы Тейлора и Маклорена, разложение функций в ряды, разложение в ряды тригонометрических и логарифмических функций, дифферен­цирование функций двух и многих переменных, исследование кривых с помощью дифференциального исчисления, интеграль­ное исчисление (правила и задачи).

Как видим, программа по математике по ряду вопросов приближалась к программам высших учебных заведений того времени. Кроме того, лицей руководствовался теми же учеб­никами, что и университеты, но реализация этой программы находилась в руках рядовых преподавателей и поэтому те це­ли, которые ставились в преподавании математики, не дости­гались.

Ревизия школ 1826 г. отметила неудовлетворительную по­становку учебно-воспитательной работы в лицее и установила факты вопиющей деморализации учащихся и педагогов. Реви­зия была проведена профессором О. И. Сенковским. В 1830 г. лицей был закрыт и на его базе был организован кадетский корпус.

* **

Документы свидетельствуют о том, что иезуитская школа не проявляла особого интереса к физико-математическим наукам, а некоторое оживление и подъем в середине XVIII в. не привели к ощутимым положительным результатам, так как орден иезуитов находился в состоянии глубокого кризиса. Иезуиты нанесли большой ущерб развитию братских школ.

Реформа, проведенная эдукационной комиссией, а также деятельность Петербургской комиссии по организации в Б е­лоруссии народной школы имели прогрессивное значение. Бе­лорусские школы были обеспечены первоклассными учебни­ками математики, которые издавались названными выше комиссиями.

После реформы 1803 г. Виленский университет приложил много усилий, чтобы унифицировать Образование, обеспечить школу квалифицированными учителями и учебниками по фи­зико-математическим дисциплинам. Большая заслуга в этом принадлежит профессорам университета И. А. Снядецкому и М. М. Полинскому.

143

Г л а в а IV. СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ГИМНАЗИЯХ

И РЕАЛЬНЫХ УЧИЛИЩАХ БУО И БЕЛОРУССКИХ ГУБЕРНИЙ ВУО

( 1829- 1917)

§ 1. ПОСТАНОВКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНИХ У Ч Е БН Ы Х ЗАВЕДЕНИЯХ БЕЛОРУССКОГО УЧЕБНОГО ОКРУГА.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В XIX в.

Виленский учебный округ был непомерно большим и по­этому трудно управляемым. В него входили три украинские губернии, вся Литва и Белоруссия. В 1829 г. из Виленского учебного округа был выделен Белорусский учебный округ, в который первоначально вошли Витебская и Могилевская губернии. Первым попечителем Белорусского округа был на­значен известный в истории нашего просвещения Г. И. Кар- ташевский.

Карташевский (1777— 1840) происходил из обедневших дворян, родовых имений не имел. Среднее образование полу­чил в Московской дворянской гимназии, высшее — в Москов­ском университете, в котором учился в 1796— 1799 гг. После окончания университета в 1799 г. был назначен учителем выс­шей математики в Казанскую гимназию. В январе 1805 г. на­значен адъюнктом высшей математики в Казанский универ­ситет, где работал до 5 декабря 1806 г. Его деятельность в Казани изображается такими чертами в воспоминаниях писа­теля С. Т. Аксакова: Карташевский «принадлежал к неболь­шому числу тех людей, нравственная высота которых встре­чается очень редко и которых вся жизнь есть — строгое про­явление этой красоты»; в бытность учителем он «серьезно занимался^ своей наукой и, пользуясь трудами знаменитых ученых по этой части, писал собственный курс чистой матема­тики для преподавания в гимназии, читал много немецких писателей, философов и постоянно совершенствовал себя в л а ­тинском языке»; в университете «увлекательно и блистатель­но» преподавал свой предмет и так высоко поставил в юном университете преподавание математики, что постановкою его здесь был поражен знаменитый Бартельс, вскоре после того назначенный в Казанский университет. 1*

* Дальнейшая карьера Карташевского проходила так: в 1807 г. опре­делен в комиссию по составлению законов на должность редакторского по­мощника, в январе 1809 г. уволился из этой комиссии и был назначен сто-

144

Карташевский был в высшей степени исполнительным че­ловеком и дорогу к высоким постам государственной службы пробивал себе трудом. Назначение Карташевского попечите­лем учебного округа в Белоруссии нельзя назвать ошибочным или неудачным: он был опытным чиновником, знал людей и понимал дело, был достаточно образованным, чтобы руково­дить просвещением в Белоруссии. Приняв под свое руковод­ство округ, Карташевский совершил объезд его, посетив мно­гие школы, изучил статистику этого края, на данные которой ссылался впоследствии при обосновании своих планов. *

За короткий период своей деятельности Карташевский осу­ществил в Белоруссии большой план организации новых учеб­ных заведений и преобразования духовных училищ в светские учебные заведения. Приведем факты. Из донесений Карта­шевского читаем: «В Гродненской губернии одно лишь свет­ское училище, а 7 вверены монахам разных орденов, в Мин­ской первых 5, а монастырских 7,... В юго-западной части Минской губернии,, ниже Минска, на великом пространстве нет ни одного гражданского училища, а монашеских 3 на сте­пени уездных... В 1830 году, приняв новоучрежденный Бело­русский округ в сзое управление, прежде всего я должен был заняться учреждением светских училищ на место духов­ных...» 2

По поводу монастырского образования Карташевский пи­сал: «Первоначальное образование юношества вверено мона­хам, коим государственная польза чужда... В Белоруссии рим­ско-католическое духовенство старалось распространить и утвердить свое влияние на воспитание почти исключительно дворянского юношества, оно не заботилось заводить первона­чальных училищ для нижних классов Народа и где таковые существовали, оные были совершенно незначительны»3. Кар­ташевский обратил внимание на организацию начального

лоначйльником в экспедицию государственного хозяйства, с 7 июня 1811 г. занимал должность начальника первого отделения этого ведомства. При преобразовании упомянутой экспедиции в департамент был назначен на­чальником его первого отделения. В этой должности служил до 16 октяб­ря 1816 г. В августе 1817 г. определен экспедитором департамента юсти­ции, откуда уволен по болезни 8 февраля 1819 г. В мае 1819 г. назначен начальником первого отделения в департамент податей и сборов. 11 января 1820 г. уволился из этой должности и 16 мая того же года определен на должность начальника второго отделения Департамента духовных дел. В мае 1824 г. определен директором департамента Главного управления духовных дел и иностранных исповеданий, 3 августа 1829 г. «повелено быть попечителем Белорусского учебного округа», уволен ? марта 1835 г.; скончался в 1840 г. в звании сенатора.

* Д ля нравственной характеристики Карташевского приведем такой лример. При одном из очередных вояжей по округу один из директоров школ, косвенно узнав об этом, выслал ему навстречу тройку лошадей. К ар­ташевский изменил направление, минуя эту дирекцию.

145

образования и привлекал к участию в расходах на него поме­щиков и духовенство. В организации начального образования он руководствовался положением, что «для образования ме­щан устроить во всех повятовых городах приходские учили­ща». Для подготовки учителей (начальной школы) он орга­низовал учительскую семинарию в Витебске. В начальных школах преподавание было организовано им главным образом по методу взаимного обучения, которое в Белоруссии пустило глубокие корни и продолжало жить в начальной школе до 50-х годов.

При осуществлении этого плана Карташевский остро нуж­дался в учителях. Он писал: «Я борюсь с затруднениями уст­роить здесь светские училища по недостатку учителей». В свя­зи с этим он обращался к министру просвещения с просьбой направить на педагогическую работу в Белорусский учебный округ часть выпускников Московского, Казанского и других университетов. С этой целью он ездил в Москву, чтобы лично произвести вербовку студентов, оканчивающих университет, для работы в Белорусском учебном округе, стремясь, таким образом, обеспечить гимназии и уездные училища преподава­телями с университетским образованием. В этом ему принад­лежит большая заслуга.

По его инициативе был открыт ряд средних учебных заве­дений, в частности, гимназия в Гродно (1834). Уездные учи­лища, по мнению Карташевского, должны быть дворянскими и представлять отделения гимназий и «поэтому должны иметь те учебные книги и следовать тому способу учения, которые приняты будут для гимназий». В начале тридцатых годов значительно возросло число учащихся гимназий. Система об­разования была преобразована им на принципах устава 1828г.

Некоторых студентов, учившихся в Виленском универси­тете, он командировал в Московский университет для продол­жения образования, главным образом для совершенствования в русском языке. Он поднимал также вопрос о преподавании польского языка тем студентам, которые будут направлены для работы в Белорусский учебный округ. Содействовал изу­чению литовского языка. Способствовал тому, что преподава­ние в округе стало вестись на русском языке.

Карташевский исходатайствовал 20 стипендий для выпуск­ников гимназий округа в Петербургском, Московском, Харь­ковском и Казанском университетах. Ему принадлежит идея организации высшего учебного заведения в Орше. По этому вопросу приведем следующий документ:

«Высочайше утвержденным в 9-й день сентября 1830 г. мнением Комитета г.г. Министров, предназначено учредить в Белоруссии высшее училище, в котором бы здешнее благо­родное юношество могло получить окончательное образова­

146

ние, не имея надобности отправлять оное в отдаленные рус­ские университеты, ни в Вильно.»4

Следовательно, вопрос об открытии высшей школы в Бело­руссии был предрешен еще до закрытия Виленского универ­ситета и не был связан с этим событием. Карташевский соста­вил проект организации лицея в Орше. Были разработаны структура лицея, его устав.

По проекту Карташевского было вынесено правительствен­ное решение: «Основать для Белоруссии в г. Орше высшее учи­лище или лицей», причем, «для дворянских фамилий», с фи­лософским и юридическим отделениями. Главная задача философского отделения — подготовка учителей для школ Белорусского учебного округа.

Учебный план философского отделения (1-е подразделе­ние) включал: чистую и прикладную математику, физику и физическую географию, минералогию и геологию, ботанику, зоологию и технологию (сельское хозяйство, льноводство, ар­хитектура).

В мае 1832 г. Карташевскому было поручено привести в исполнение царский указ от 1 мая 1832 г. о закрытии уни­верситета. Уклониться от этого поручения он, разумеется, не мог, как и не мог открыто высказать своего отношения к этой в высшей степени неразумной правительственной акции. Ему оставалось одно — подать в отставку. И он неоднократно по­давал заявление об отставке. Просьбы его, однако, отклоня­лись до 1835 г.

Учитывая то, что Карташевский имел математическое об­разование, работал преподавателем математики в гимназии и в университете, естественно, нас интересовал вопрос о том, как он относился к математическому образованию в своем округе, проявлял ли специальный к нему интерес и что именно сделал для его улучшения. Все многочисленные документы, писанные рукою Карташевского, молчат об этом. Его интере­совали вопросы об организации новых школ, о преобразова­нии монастырских школ в светские, о переходе в преподава­нии с польского языка на русский, об организации высшей школы в Белоруссии — об этих вопросах он пишет много, но только в виде исключения встречаются документы с упомина­нием и математики, внимания на частных вопросах ее препо­давания Карташевский не акцентировал.

По инициативе Карташевского школьным комитетом был разработан проект бифуркационной системы гимназического образования в Белорусском учебном округе с отделениями математическим и гуманитарным. В проекте имеется указа­ние: «Усилить преподавание российского и латинского языков и математики, умножив число уроков сих предметов, избирая для них утренние часы».

147

Приведем этот проект.

Математическая гимназия. Четыре высших класса. Проект

Число часов

Предметыв классах

1 2 3 4

1. Закон б о ж и й ................................................................. 1 1 1 1 42. Российская словесность ........................................... 4 4 4 5 173. Польская словесность и логика .......................... 2 2 2 3 94. Перевод с латинского ............................................... 3 3 2 — 85. Всеобщая история и с т а т и с т и к а .......................... 4 4 3 4 156. Геометрия и стереометрия ....................................... 6 2 — — 87. Алгебра ........................................... 2 3 2 78. Тригонометрия ............................................................ — 1 — — 19. Приложение алгебры к г е о м е т р и и ...................... — — 2 2 4

10. Землемерие и топографическое черчение . . . — — 2 — 211. Архитектура гражданская и военная, черчение — — 1 3 412. Начертательная геометрия ................................... 2 213. М е х а н и к а ................................................................ — — — 2 214. К о с м о г р а ф и я ................................................................ 1 — — — 115. Физика с начальными основами химии . . . . — 3 4 2 916. Зоология ......................................................................... 2 — — — 217. Ботаника и минералогия ....................................... — 2 1 — 318. Немецкий язык ............................................................ 3 2 3 3 1119. Французский язык .................................................... 2 3 3 3 И

30 30 30 30 120

Математические предметы составляют четвертую часть- всех учебных предметов — 30 часов, естествознание — 15 часов.

Учителей математики два: один из них преподает геоме­трию, тригонометрию, приложение алгебры к геометрии, на­чертательную геометрию (геометрический цикл), второй — алгебру, землемерие и топографическое черчение, архитекту­ру, механику. Один преподаватель физики. Показательно, что* математический анализ не входит в этот план. Аналитическая геометрия, несомненно, входит в п. 9.

В выполнении ряда необходимых текущих дел по матема­тическому образованию (обеспечению учебниками, математи­

148

ческими инструментами и др.) некоторую помощь оказывал Карташевскому его бывший ученик по Казанской гимназии и университету профессор и ректор Московского университета Д. М. Перевощиков. Учебники Перевощикова в 30—40-х годах были распространены в Белорусском учебном округе, ими пользовались в гимназиях. В реестрах библиотечных книг встречается также «Алгебра» Лобачевского. *

В 30-х годах прошлого столетия белорусские школы пере­шли на министерские планы и учебники. Но процесс унифика­ции в преподавании математики продолжался еще длительное время. Единых программ по гимназическому образованию еще не существовало. Сравним программы белорусских гимназий 1837 и 1847 гг.

В программах 1837 г .6 курс арифметики коренным обра­зом отличается от предшествующих. Он включает только пер­вые четыре действия над целыми и дробными (отвлеченными и именованными) числами, пропорции и задачи на правила. Большое внимание уделяется таким вопросам, как обоснова­ние арифметических операций, взаимная связь между опера­

* Официальная переписка Н. И. Лобачевского с Виленским универси­тетом и попечителем Карташевским касалась следующих вопросов: о назна­чении на работу в БУО выпускников Казанского университета (один из них, Тефрас, длительное время успешно работал в Гродненской гимназии), о ко­мандировании молодых людей, окончивших белорусские гимназии, в К азан­ский университет для продолжения образования (некоторые из них рабо­тали затем в Казани, как, например, учитель Имшеник), о пожертвованиях на памятник Г. Р. Державину, реляции об исключении студентов из К азан­ского университета и др. Неофициальной переписки обнаружить не уда­лось, да и вряд ли она была. Но в официальной переписке встречаются намеки на то, что Лобачевский имел контакты с А. М. Княжевичем.

В ряде реляций за подписью Н. И. Лобачевского сообщается, что сту­денты за пьянство и нравственное разложение отдаются в солдаты. Это было самое сильное наказание в те времена для студентов. Содержание этих документов невольно заставляет подумать о степени того участия, ко­торое принимал Лобачевский в решении судеб провинившихся студентов. Если эти дела о студентах проходили формально, в соответствии с буквой устава Казанского университета, то роль ректора в этих решениях была совсем невелика. Однако, если учесть в целом деятельность университета того времени (немногочисленность студентов и преподавателей, авторитет Лобачевского, начало его ректорской деятельности, эпизодическое исполне­ние им обязанностей попечителя), то можно утверждать, что ректор имел достаточно сильные средства воздействия на конечный исход дела.

Биографы Лобачевского характеризуют его как человека исключитель­но гуманного, доброго по отношению к студентам. И это соответствует действительности, так как подтверждается многочисленными документами. Однако его проявления добра имели свои разумные пределы, определяв­шиеся требованием справедливости и высоким пониманием служебного дол­га. Он прощал студентам проступки невинного характера, поступки, кото­рые вполне объяснимы и естественны для молодежи, но он был нетерпим к аморальным проявлениям в жизни студентов. Серия документов, хранив­шихся в архиве Виленского университета, как раз подтверждает это. В них сообщается об исключении студентов из Казанского университета за амо­ральное поведение.5

149

циями. Однако ссылок на законы арифметических операций нигде явно не делается. Последние разделы — теория пропор­ций и задачи на правила — составляли всегда предмет осо­бого внимания преподавателей, как имеющие практические приложения. Практический аспект курса арифметики играл весьма большую роль в преподавании: «Арифметику употреб­ляют более люди, занимающиеся торговлей... И можно ли исчислить обстоятельства, в коих употребление арифметики необходимо?!»

Геометрия представляла собой классический евклидов­ский курс, переработанный в начале прошлого века для шко­лы. Курс изобилует задачами на построение, на преобразова­ние фигур в равновеликие (по площади). Задачи сравнитель­но легкие, посильные для ученика, внимательно изучившего курс геометрии.

Далее идет небольшой курс тригонометрии с акцентом на решение треугольников. Практические приложения как в кур­се геометрии, так и тригонометрии отсутствуют. Практическая геометрия выделена в особый раздел. Этот подход к решению педагогической задачи соединения теории с практикой в оте­чественном преподавании математики дает основание считать его специфическим для этого края. В данной программе прак­тическая часть геометрии содержит описание геодезических инструментов и около 15 задач, относящихся к определению высоты предметов и расстояний между двумя пунктами на местности и съемке планов. В дальнейшем эта часть была исключена из учебного плана. Геодезические приложения бы­ли включены непосредственно в курс геометрии, и их объем был значительно сокращен. Причем трактовка этих приложе­ний носила более теоретический (книжный) характер, нежели чисто практический (работа в поле).

В гимназии изучался достаточно полный курс аналитиче­ской геометрии на плоскости: уравнение прямой, угол между двумя прямыми, уравнение окружности, уравнения и свойства эллипса, гиперболы и параболы. В таком объеме курс анали­тической геометрии входил в гимназические программы не только Белорусского, но и всех прочих учебных округов. В 1846 г. он был исключен из учебного плана.

Содержание курса алгебры следующее: многочлены и ал­гебраические дроби, уравнения 1-й степени, линейные системы (решение и исследование),-уравнения 2-й степени, извлечение квадратных и кубических корней из чисел и многочленов, извлечение по приближению, пропорции, прогрессии, логариф­мы, соединения, бином Ньютона, обобщение его на случай дробного и отрицательного показателя, разложение в ряд показательной функции, неперовы логарифмы, действия с ра­дикалами, решение двучленных уравнений, теорема Безу,

150

решение трехчленного уравнения, сводящегося к квадратному, общие свойства уравнений, их преобразование, решение в ра­циональных числах, приближенное решение уравнений по способу Ньютона, решение уравнения 3-й и 4-й степеней.

Рассмотренная программа не была единой для всех гим­назий Белоруссии. Вот перечень тех вопросов, которые в данной программе отсутствовали, но были отражены в других: ком­плексные числа («умственные или невозможные»), основная теорема алгебры (без доказательства), возвратные урав­нения, непрерывные дроби, исследование уравнений 2-й сте­пени, теория симметрических функций, неравенства, неопре­деленный анализ, алгоритм Евклида, применение для решения системы линейных уравнений «общих правил», т. е. определителей.

Космография была самым близким к математике предме­том. Устройство солнечной системы описывалось по Копер­нику. Кинематика и динамика движения планет — по Кепле­ру и Ньютону, при этом рассматривались законы механики Ньютона и даже освещался вопрос о возмущениях в эллипти­ческих движениях. Словом, это был вполне научный курс, но представленный в доступном для учащихся изложении. Заме­тим еще, что в этом курсе наряду с теоретическими освеща­лись вопросы, раскрывающие практическое значение астроно­мии для жизни людей, их деятельности. *

Программа 1847 г. отличается от рассмотренной большей четкостью и систематичностью, но зато уступает значительно в отношении содержания.7 В ней отсутствует ряд существен­ных вопросов и разделов, которые входили в программу 1837 г. По алгебре исключены все вопросы, которые условно можно было бы назвать «элементами высшей алгебры» (учение об уравнениях, степени выше второй, включая численные методы решения); отсутствует обобщение биноминальной формулы на случай любого рационального показателя. Полностью исклю­чены достаточно развитые разделы аналитической геометрии и геометрических приложений к геодезической практике. Во­просы приложений включены в курсы геометрии и тригоно­метрии, но в более сокращенном объеме. Все эти вопросы не компенсированы программой 1847 г. Правда, в ней встреча­ются новые вопросы, но, по нашему мнению, неравнозначные

* Некоторые вопросы из курса космографии (Витебская гимназия).1. Что есть космография и польза от нее?2. Что называется миром или вселенной и какой она имеет вид?3. О доказательствах, служащих к удостоверению, что Земля есть

круглая.4. О суточном и годовом движениях Земли и зависящих от онаго яв ­

лениях.5. К акая величина земного шара и способ определения оной?6. О долготе и широте места и как они определяются.

*51

тем, которые исключены. Заслуживают упоминания следую­щие из них: теорема о каноническом разложении числа на про­стые множители, непрерывные дроби, изучавшиеся ранее не во всех гимназиях, учет векселей, элементы сферической гео­метрии. Более полно представлен раздел «Приложения алгеб­ры к геометрии».

Таким образом, программа 1847 г. была меньше по объему, нежели программа 1837 г.; ее можно рассматривать как про­тотип для программы всего последующего времени, вплоть доXX в. Воспроизведем те документы, которые относятся к оцен­ке программы 1847 г. преподавателями математики 3-й Пе­тербургской гимназии, директором которой был известный математик-методист Федор Иванович Буссе.

Отзыв директора Ф. И. Буссе:«По математике эти программы соответствуют чтению ма­

тематики и физики в 3-й гимназии, с тем различием только, что в последней приняты объяснения из позднейшего руковод­ства, по математической географии — изложена по програм­м е академика Ленца, развитой руководством Талызина, при­нятым в 3-й гимназии. Уроки геометрии и арифметики в общем составе одинаковы с 3-й гимназией».8

«Вообще, судя по программам Белорусского учебного окру­га, видно, что положенные предметы развиты ими в полноте; что распространение знаниц было главнейшей задачей при со­ставлении программы и что научные сведения есть цель гимна­зического воспитания, за которую уже должно открываться подробное приложение. В этом отношении учение в 3-й гимна­зии существенно разнствует: тут теория не получает преиму­щества перед упражнением практическим и оба эти способа уравновешиваются через соответственное их употребление».9 В БУО упражнения составляли незначительную долю курса, преобладала теория. Это вызвало замечание рецензента.

7. О точках или линия& на сфере, принятых астрономами за главные, дабы к ним относить положения прочих точек и сколько их.

8. Какова есть система Коперникова собственная и усовершенствован­ная?

9. Об орбитах планет.10. Что есть Солнце, расположение онаго от Земли и величина его?11. Из чего состоит Солнце? От чего происходит солнечное затмение?12. Что есть Луна и какие положения принимает она на своде небес­

ном относительно Солнца?13. О больших и малых планетах (расстояние, размеры, физические ха­

рактеристики).14. О кометах.15. О движении звезд.16. О Кеплеровых и Ньютоновых законах движения планет и о силе,

содержащей стройность мироздания.17. О вековых неправильностях.18. О всеобщем тяготении.19. О возмущении эллиптического движения вообще.

152

«На предписание от 6 октября текущего года о сравнении программ Белорусского учебного округа со здешними, имею честь донести, что программа математики, исключая маловаж­ные перемены в порядке предложений геометрических, совер­шенно сходна с нашею. То же самое относится и к программе физики, которая тем более согласна с нашею, что составлена по учебнику г. Ленца, который принят за руководство и в здеш­них гимназиях...» Таким образом, по крайней мере по объему изучаемого материала белорусские гимназии находились на таком же уровне или, во всяком случае, не ниже, чем гимна­зия, в которой работали учителя под руководством известного педагога Ф. И. Буссе.

«Что касается программы по математической географии,, то она совершенно отлична от способа изложения этой науки в здешней гимназии. Программа Белорусского учебного окру­га начинает прямо рассмотрением вида и величины Земли, за этим следует суточное и годовое ее движение, потом движение Луны и явления от того происходящие и, наконец, солнечная система Коперника. Главный недостаток этой программы со­стоит в том, что ни в одной статье не показаны способы, кото­рыми достигнуты были познания изложенных истин и не при­ведены доказательства для подтверждения сказанного; от это­го в уме учащихся должно необходимо остаться сомнение в справедливости преподаваемого учителем. Следствием неточ­ной системы было также то, что многие статьи совершенно опущены, как-то: о звездном времени, о параллаксе, об аббера- ции света, о способах изображения земной поверхности на плоскости. В программе г. Ленца, по которой составлено руко­водство г. Талызина, принят тот способ, которому должно всегда следовать при изложении естественных наук, т. е. спер­ва излагается то, что мы наблюдаем на небесном своде, и от­дельные наблюдения соединяются таким образом, чтобы дать ученикам полное понятие о видимом движении небесных тел; потом излагаются причины, заставляющие нас принимать эти движения за видимые, показывается, от каких истинных дви­жений могли бы произойти эти видимые движения и почему первые должно принимать за истинное, наконец, чтобы пока­зать, от каких физических причин происходят эти движения, излагается закон всемирного тяготения. Из этого видно, что программа г. Ленца имеет преимущество над программой Белорусского округа по строгой последовательности, которая: есть необходимое следствие верного взгляда на науку и точной методы изложения.» 10 Суть критического замечания сводится к тому, следовательно, что теоретические положения не обосно­вываются данными наблюдений и логическими аргументами. Кроме того, курс изучается в сокращенном виде.

В жизни гимназий БУО отметим следующий существенный:

153

момент. В начале сороковых годов при гимназиях были орга­низованы реальные отделения, что вызывалось необходи­мостью подготовки кадров для развивающейся промышлен­ности в Северо-Западном крае. На этих отделениях изучались химия, технология и механика. Специальных учебников по этим предметам не существовало, и, как указывается в отче­тах, преподаватели руководствовались собственными запис­ками. Все эти предметы имели практический уклон, например, преподавание химии и технологии основывалось на местном производстве (хлопчатобумажное и льняное дело, производ­ство кирпича, стекла, сельская архитектура и т. д.). Гимназии имели в связи с этим учителей по техническим предметам и геометрическому черчению, которое изучалось довольно осно­вательно. Так, например, в одном из отчетов читаем о прой­денном материале: «способ черчения прямолинейных фигур, кривых линий, проекции геометрических фигур и черчение ко­лонн, взаимное пересечение поверхностей, теория теней, чер­чение машин, архитектурное черчение».*

В 1846 г. при Витебской и Могилевской, а в 1851 г. при Минской гимназиях были открыты землемерные классы. Они были вызваны к жизни потребностью в землемерах для про­ектировавшейся люстрации помещичьих земель. Но послед­няя не состоялась, и поэтому землемерные классы вскоре были закрыты.

Программа по основному курсу этой специальности и спи­сок инструментов были составлены профессорами Петербург­ского университета Савичем и Ильенковым. Инструменты из­готовлялись в мастерской этого университета. Петербургский университет готовил для этих гимназий преподавателей.

Предметы изучались следующие: низшая геодезия, началь­ные основания агрономии, хозяйственная химия, межевые законы, черчение планов, система и форма люстрационной съемки и практические занятия в поле. По этим предметам рекомендовались учебники известного в 40-х годах геодезиста Болотова — «Геодезия» (2 части), «Курс высшей и низшей геодезии», «Руководство к производству хозяйственной съем­ки, межевания и нивелирования». Для учителей рекомендова­лась «Геодезия» Перевощикова. Срок обучения был установлен 3 года. В этих классах гимназические предметы были сняты (за исключением математики, физики и закона божьего), вместо них были введены специальные предметы.

Для систематической подготовки землемеров были откры­ты в сороковых годах землемерные классы при уездных учи­лищах. Это были четырехклассные училища, в которых изуча­

* Элементы начертательной геометрии входили в учебный план гимна­зий в качестве обязательного предмета до 1846 г.

154

лись из математических и специальных предметов арифметика, геометрия, геодезия, черчение, алгебра, каллиграфия и меже­вые законы. Эти училища работали по планам аналогичных училищ в Петербурге и Туле. В отношении изучения матема­тических предметов училища руководствовались следующим наставлением: «Вменить в* обязанность преподавателям, что­бы все учение было направлено к практическому применению, отнюдь не допуская излишней умозрительности, более отвле­кающей от настоящей цели учения и, следовательно, вместо пользы приносящей существенный вред на практическом поп­рище жизни».

По арифметике не рекомендуется заботиться о научной форме изложения и строгости доказательств, достаточно усво­ения учащимися механизма вычислений и приобретения навы­ков решать практические задачи. Начала алгебры не должны преподаваться отвлеченно, а вместе с арифметикой и служить ее продолжением, «переводя тотчас алгебраические выводы на числовые, отнюдь не давая учащимся повода отвлекаться в отвлеченный анализ». Геометрия должна преподаваться в направлении практической цели, не обременяя доказательст­вами ненужных теорем, а лишь тех, которые могут быть при­менены на практическом поприще. По стереометрии сообща­лись без доказательства приемы определения поверхностей и объемов простейших фигур.11

Во второй половине XIX в. белорусская средняя школа бы­ла приведена в соответствие с русской в отношении учебных планов, программы и учебной литературы.* Каковы методоло­гические особенности школьной математики этого периода?

Развитие математической науки XVIII и XIX вв. коренным образом изменило школьный курс математики. В чем вырази­лось влияние науки?

Мы видели выше, что учебные планы по математике почти всей первой половины XIX в. характеризуются весьма высо­ким научным содержанием учебного материала. Причем это явление не было специфическим только для школ БУО или даже для России, оно было всеобщим. Коренная причина этого заключалась в бурном развитии в XIX в. промышленности, тор­говли, требовавшем массу деятельных людей с высоким уров­нем естественно-математического образования. Но к концу полустолетия все те разделы, которые сближали школьный курс математики с наукой, были сняты.

Попробуем объяснить это парадоксальное явление.Повышение роли математики в гимназическом образова­

нии в первой половине прошлого века, особенно в начале, свя­* Округ был преобразован, белорусские губернии снова вошли в состав

Виленского учебного округа. Витебская и Могилевская губернии некото­рое время входили в состав Петербургского учебного округа.

155

зывалось с его реальным направлением. С течением времени гимназии все более и более отходят от этого направления, и, наконец, полностью переходят на рельсы «классической про­граммы», как отвечающей цели дворянского воспитания.

Классическая гимназия ограничилась тем минимумом ма­тематических знаний, который удовлетворял цели формально­го развития мышления учащихся. Но некоторая компенсация была произведена за счет увеличения программы в реальных училищах, отвечавших образовательной цели промышленни­ков и торговцев.

В документах, относящихся к визитации школ, наблюда­ется усиление требований в изучении предметов, в частности, требование «основательного изучения математических наук». Повышался уровень строгости. Очевидно, ранее, при столь об­ширном плане этого не удавалось достигнуть; имело место, следовательно, изучение математики на уровне общих пред­ставлений о предмете. Это новое требование возможно было выполнить при условии частичного сокращения программы.

Одним из существенных мотивов сокращения программы по математике в первой половине столетия было введение практических занятий (упражнений) по математике. В кон­це XVIII и начале XIX в. математика изучалась главным об­разом по теоретическим учебникам, содержавшим то или иное число задач для иллюстрации теории и приобретения некото­рого навыка в решении задач. При отсутствии задачников этот навык был достаточно скудным. Но уже с начала века учителя по собственной инициативе составляют задачники и пользуются ими в своей преподавательской работе. В России большая заслуга в издании задачников (как и учебников) принадлежит Ф. И. Буссе. В Виленском учебном округе изда­нием их занимался профессор Вырвич. С этого времени по­являются все новые и новые задачники по различным матема­тическим и другим предметам, причем в деле их создания активное участие принимали рядовые учителя математики. Пе­реход от вербального способа преподавания к новому, осно­ванному столько же на изучении теории, сколько и на разви­тии навыка, естественно, потребовал сокращения теоретиче­ского материала.

Начиная с конца первой половины прошлого века, а точ­нее — со времени, когда официальную педагогику математики стал возглавлять П. Л. Чебышев, были повышены требования к строгости изложения элементарного курса математики. Это явление мы рассматриваем как непосредственное следствие возросшей степени строгости в самой математике. Действи­тельно, интерес к проблеме логического обоснования матема­тики является одной из характерных черт ее развития в XIX в.

В отзывах Чебышева требование логической строгости вы­

156

ступает на первом плане и кажется чрезмерно жестким, если понимать его буквально. Но Чебышев вполне различал поня­тие строгости в научном и педагогическом смысле. Например, он браковал учебники арифметики из-за неудовлетворительно­го доказательства коммутативного закона умножения, но это отнюдь не означало, что он требовал совершенно безупречного его доказательства. Чебышев не удовлетворялся доказатель­ством арифметической истины, если оно состояло в проверке ее на частном числовом примере, так как такая проверка не приводит ученика к обобщающей идее. Но если в качестве до­казательства на числовом примере построена такая система логически последовательных умозаключений, которая наводит на мысль о справедливости положения в общем случае, то оно удовлетворяло Чебышева. Действительно, в одном месте Че­бышев говорит: «Все арифметические предложения и правила должны быть объяснены вполне удовлетворительно и таким образом, чтобы эти объяснения могли заменить собою дока­зательство».12

Труд Чебышева в области математического образования заключался, во-первых, в разумной с точки зрения методоло­гии сегрегации учебного материала, во-вторых, приведении его в соответствие с требованием науки и школьной практики в отношении строгости изложения. Соответствие школьного курса математики требованиям науки может осуществляться не только путем добавления какого-либо современного мате­риала, но и перестройкой прежнего курса под углом зрения новых концепций (как и одновременной реализацией обоих этих способов). Чебышев, придерживаясь той структуры и со­держания учебных курсов, которые сложились в России и це­лесообразность которых была проверена опытом, усилил требо­вания к полноте и строгости изложения и обратил внимание на изучение ряда частных вопросов.

Научная доброкачественность и полнота — главные кри­терии в оценке учебников, которыми руководствовался ученый комитет. Н. И. Билибин, работавший в ученом комитете после Чебышева, руководствовался этими же критериями.*

За XIX в. курс школьной математики получил некоторое расширение за счет ряда новых вопросов. В него вошел срав­нительно большой раздел из теории непрерывных дробей и те­ории неопределенных уравнений первой степени с двумя неиз­вестными. Между прочим, теория непрерывных дробей в школьном курсе рассматривалась не только как средство для решения неопределенных уравнений, но и как аппарат для приближенных вычислений.

* Билибин впервые стремился реализовать идею построения курса ал­гебры на основе развития понятия о числе.13

157

Курс арифметики получил расширение за счет вопросов теоретического характера, имеющих значение для ее обосно­вания. В 1852 г. был введен курс арифметики в старших клас­сах гимназии и затем реальных училищ с целью привести в си­стему те сведения, которые изучались эмпирически, и дать им логическое обоснование. В XIX в. заметно повысился интерес к формализации всех резделов школьного курса математики. Мы рассматриваем этот факт как следствие тех исследований по обоснованию арифметики, которые велись почти на протя­жении всего XIX в., особенно во второй его половине, и завер­шились в конце века построением современной ее теории.

Курс геометрии также изменился существенным образом. В начале века в Виленском (а также в Дерптском) учебном округе он преподавался во многих школах непосредственно по «Началам» Евклида. В других учебных округах применялись специальные учебники, написанные разными авторами, преи­мущественно отечественными. Г осподствующее положение занимают «Основы геометрии» Лежандра (в переработке). Во второй половине XIX и начале XX в. школьный курс гео­метрии начинает пересматриваться под углом зрения Эрлан- генской программы Клейна.

В начале шестидесятых годов был принят новый план средних учебных заведений, при этом предполагалось, что программы будут составляться на его основе самими учите­лями. Поэтому в ряде учебников мы видим включение некото­рых новых вопросов, выходящих за рамки традиционных курсов. Учебники математики Давидова дают довольно пол­ное представление о содержании этих дополнений.

Наконец, за XIX в. в школьный курс математики на науч­ной основе были введены такие фундаментальные понятия, как понятие предела и функции. Центр тяжести в курсе три­гонометрии к концу XIX в. был практически перенесен на изучение тригонометрических функций.

Курс начертательной геометрии во второй половине XIX в.входил в учебный план реальных училищ.

Принцип связи теории с практикой играл большую роль в составлении учебных планов, где наряду с чистой математи­кой рассматривалась и прикладная, включавшая такие пред­меты, как гидравлика, статика. Но особенно выпукло этот принцип отражен в требованиях Чебышева. Приведем неко­торые из документов: «В реальных гимназиях главным пред­метом будут науки физико-математические с указанием при­ложений оных к промышленной деятельности».14 Оставив в приходских и уездных училищах предметами учения те же по названию науки, ученый комитет полагает необходимым при­дать изучению их более практическое направление, сообщая сведения более доступные понятиям учеников и более пригод­

458

ные для будущей их деятельности.15 В уездных училищах предусматривались по курсу геометрии измерения в поле и чертежные работы в классе «дабы, с одной стороны, утвердить в них теоретические знания, а с другой стороны — ознакомить их с практическими приложениями наук меры и числа» 16. Че­бышев большое значение придавал практике устных вычисле­ний в школе, так как они «много содействуют развитию умст­венных способностей детей. Такие задачи представляются ежечасно в обыкновенной жизни...»17 В учебном плане гимна­зии о математических предметах сказано, что они весьма важны как по своим приложениям, так и по влиянию на умст­венное развитие учащихся. С целью ознакомления с приложе­ниями математики в упомянутом плане предлагалось ввести курсы оптики и механики.18

Практическое приложение геометрии заключается «в уп­ражнениях в межевании в поле под руководством учителя с помощью астролябии, цепи и прочих принадлежностей меже­вания. Такие и подобные им упражнения могут лучше всего возбудить интерес к геометрии учащихся, которые, не видя практических приложений этой науки, обыкновенно не вполне сознают необходимость ее изучения».19

При рецензировании курсов тригонометрии Чебышев об­ращал внимание на приложение ее в практике и отдавал пре­имущества тем из учебников, в которых эти приложения были представлены в развитом виде. При изучении математики, го­ворил Чебышев, нужно в равной мере заботиться о приобрете­нии не только теоретических знаний, но «также и навыков к употреблению математики на практике».20 Как результат влияния практических потребностей в курс математики сред­ней школы был введен раздел приближенных вычислений. В его разработке принимали участие как университетские про­фессора, так и учителя средних учебных заведений.

Как развивалась методологическая концепция школьного курса математики в XIX в.?

Методологическая основа развития математики как ору­дия изучения природы в XVIII в. была перенесена на школу. В начале XIX в. задача изучения математики состояла в том, чтобы развить интеллект учащихся в направлении решения практических задач средствами математики. Этими послед­ними являются математические алгоритмы. Точка зрения на математику как алгоритмическую науку, благодаря работам Снядецкого, была популярной в Белоруссии.

Практический аспект отражен в ученических сочинениях на тему о пользе математики. Приведем цитаты из этих сочи­нений (Витебская гимназия).

«Какую пользу доставляет математика в общежитии? Пользу, доставляемую математикой, можно рассматривать в

159

двояком отношении: она развивает умственные способности, и изучение оной необходимо и полезно в общежитии. Никакая наука не способствует столько к возбуждению внутренней деятельности, как математика.»

«Среди множества различных нужд и интересов, где вся­кий ищет прибыли, что же будет делать тот человек, который не в состоянии дать себе отчета, что он когда-либо выручил или издержал? Может ли он воспрепятствовать, чтобы име­ние его не было расхищено руками тех, которые окружают его и стараются воспользоваться его неумением. Арифметику употребляют более люди, занимающиеся торговлей... Но мож­но ли исчислить обстоятельства, в коих употребление арифме­тики необходимо?» Перечисляется применение математики в астрономии, физике... Или еще:

«Могли ли бы (без математики) морские державы иметь такую славу и пышность, без сомнения сии цветущие торго­вые города значительно уменьшились бы в своем богатстве и утратили бы свое величие».21

В основу определения математики кладется понятие о ве­личине. Предмет математики — изучение величин. Это основ­ное понятие математики определялось преимущественно пу­тем указания на то ее свойство, что она способна изменять­ся — увеличиваться и уменьшаться, или на ее аддитивный характер. В основу определения математики было положено, следовательно, такое понятие, которое является отображением свойств реального мира и средством его изучения. Свойство величины изменяться приводит к понятию операции и идее порядка (математика — наука «об отношении количеств» или наука о «порядке, числе и мере»). Таким образом, понятие величины, понятие отношения «больше» («меньше») и опера­ций являются непосредственным абстрагированием реаль­ных процессов. Такое понимание математики объясняло в свою очередь возможность ее применений при изучении при­роды. Эта концепция, несомненно имеющая материалистиче­скую основу, занимала в начале XIX в. господствующее поло­жение в педагогике математики Белоруссии.

В школьных учебниках было распространено определение: «Математики обыкновенно называют величиной все, что мо­жет быть увеличено и уменьшено». Критика его встречается еще в первой половине XIX в. Подчеркивалось, что понятие величины, как и любого другого исходного понятия в матема­тике, нельзя определить удовлетворительным образом. В данном случае обращалось внимание на противоречивый ха­рактер этого определения, заключающийся в том, что измене­ние величины может быть охарактеризовано применением операции, между тем как понятие операции является произ­водным от понятия «изменение». Анализ понятия величины в

160

дальнейшем привел к аксиоматическому ее определению. В развитии школьной математики прикладной аспект ее учиты­вается до 70-х годов, с этого времени на приложения все ме­нее обращается внимание. Теория отвлеченного числа зани­мает доминирующее положение.

В 1858— 1860 гг. ученым комитетом под руководством Че­бышева был разработан проект нового устава гимназий. Хотя этот проект не был реализован, но для истории просвещения он имеет значение, так как позволяет уяснить общий взгляд, основную идею реформы, касающуюся математического обра­зования. Не останавливаясь на содержании этого проекта, мы подчеркнем лишь ту концепцию математики, которая была положена в его основу.

Все предметы по этому уставу подразделяются на три группы, и каждой из них предписывается своя цель препода­вания. Особую группу составляют «науки, дающие нам поня­тие о физической жизни человека и всей природы, нас окру­жающей». В эту группу входит и математика, которая «знако­мит нас с законами количественных и пространственных отношений внешней природы».22 Этот взгляд отражает по су­ществу то же понимание математики, которое было высказано Энгельсом в его определении этой науки. Но в 70-х годах восторжествовала реакционная политика в области просве­щения, которая математике отвела роль лишь инструмента для шлифовки научного отвлеченного мышления, игнорируя ее прикладное значение: «точность математических определе­ний, строгость доказательств и построений, непреложность по­ложений и выводов производит превосходное действие на молодой ум: он привыкает к неослабной внимательности, к точности, основательности и логической строгости и даже (к точности) словесного выражения. В математике молодой ум постоянно трудится самостоятельно; делая известные поло­жения, он знает, почему их делает». Этому требованию отве­чала программа по математике 1890 г., по которой гимназии работали свыше 20 лет.23

§ 2. НЕКОТОРЫ Е ПРОГРЕССИВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ БЕЛОРУССИИ

КОНЦА XIX И НАЧАЛА XX в.

Девяностые годы прошлого века характеризуются бурным развитием всех отраслей народного хозяйства России. В свя­зи с этим процессом и как его следствие происходит рост прог­рессивного общественного движения, активизируется деятель­ность в области просвещения. Классическая форма образова­ния приходит в противоречие с экономическими тенденциями

6 Н. Д . Беспамятных 161

страны, и на этой почве усиливается стремление придать среднему образованию реальный характер. Таким образом, к началу нашего столетия созрела необходимость в коренном улучшении среднего образования, в реформе.

Общественное движение за новую школу в девяностые годы, а затем в начале нашего века приобрело общероссий­ское значение. Педагогические проблемы обсуждались на съездах русских естествоиспытателей и врачей; новые идеи школьной математики детально рассматривались в научных обществах (при Казанском, Новороссийском, Киевском и дру­гих университетах). При Министерстве просвещения и Акаде­мии наук работали комиссии по вопросам улучшения средне­го математического образования. В ряде учебных округов были проведены дискуссии по проблемам школы, где затраги­вались вопросы математического образования в духе идей международной реформы. Вопросы школьной математики были в центре внимания педагогической печати. Появилось сравнительно большое число оригинальных статей и книг по вопросам преподавания математики. Составлялись и обсуж­дались новые программы и учебники, активно велись поиски новых методов преподавания математики в школе. Материалы названных советов, заседаний комиссий и научных обществ представляют большую историческую ценность.

В России был создан Национальный комитет международ­ной комиссии по реформе математического образования. 24>25 В состав названного комитета входили академик Н. Я. Сонин, профессор Б. М. Коялович и директор реального училищаН. Н. Фохт. К деятельности комитета привлекались и другие лица средних и высших учебных заведений. Позднее в его состав входили профессора К. А. Поссе и Д. М. Синцов.

Работа комитета была прервана в начальной стадии вой­ной, когда он был еще далек от практических дел. Тем не ме­нее в теоретическом отношении результаты его работы имеют важное значение. Прежде всего были четко сформулированы идеи реформы математического образования, составлены об­зоры о состоянии преподавания математики в русских школах различного типа и, наконец, изданы программы зарубежных средних учебных заведений.26

Наконец, трудно переоценить то влияние, которое оказали на развитие школьной математики известные съезды препода­вателей этого предмета. Они предопределили характер даль­нейшего развития школьного курса математики, соответству­ющего идее реформы, и наметили программу исследований в области методики математики.27

Итогом всей этой поистине гигантской работы явилась попытка реформировать школьный курс математики, постро­ив его на новых методологических началах, сообразованных

с уровнем науки и потребностями житейской практики. Эта реформа коснулась прежде всего реальных училищ, которые в 1906 г. перешли на новые учебные планы и программы. На новые программы, построенные на принципах реформы, пе­решли некоторые частные гимназии, а с 1910 г.— кадетские корпуса. Этим самым наша школа сделала значительный шаг вперед в направлении сближения учебного курса математики с наукой и практикой.

Реформу преподавания математики в начале нашего века следует рассматривать как следствие тех глубоких изменений в научных представлениях, которые произошли в последней трети XIX в. в математике (теория действительного числа, теория множеств, теоретико-групповая основа классификации геометрии, многообразие применения анализа в математиче­ском естествознании) и в философском мышлении, а также высокого уровня понимания математических приложений к практике.

Главная ее идея заключалась в обновлении школьной ма­тематики за счет введения понятия функции, элементов ана­лиза и аналитической геометрии.

Выделение понятия функции в математике как объекта математического исследования было обусловлено двумя фак­торами: а) применением математики к изучению явлений и процессов природы и техники (математическая формулиров­ка законов природы доставляет конкретные примеры, на базе которых возникает абстрактное понятие функции); б) зре­лостью философского мышления эпохи. Мышление с его кате­гориями причины и следствия явилось исходной ступенью для возникновения абстрактного представления функции и разви­тия функционального мышления, при котором соподчинен- ность названных категорий уже утрачивает тот смысл, кото­рый им приписывается формальной логикой. Если связь меж­ду зависимыми переменными при известных условиях может рассматриваться в прямом и обратном смысле, то формаль­ная логика такого обращения категорий причины и следствия не допускает. В этом мы усматриваем одну из основных при­чин той трудности, которая стояла на пути абстрактного фор­мирования понятия функции. Но, преодолев эту трудность, мышление поднимается на более высокую ступень — ступень функционального мышления, как одну из форм диалектиче­ского мышления. К концу прошлого столетия функциональное мышление и связанный с ним математический аппарат клас­сического анализа были уже обычной нормой всякого науч­ного мышления, всякого исследования, относилось ли оно к изучению внешней природы или человека (геология, изучение нервной системы, не говоря уже об астрономии, физике и

6* 163

т. д.).* Таким образом, почва для реформы была подготовле­на не только развитием математики, но и фактором философ­ского значения — активно действующим научным мышлением.

Один из активных деятелей этой реформы председатель Международной комиссии Ф. Клейн следующим образом представлял механизм обновления школьного курса матема­тики за счет введения нового материала: «Математика являет­ся вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя все новые'проблемы, обрабатывает их, отбрасывая уста­ревшие, и, таким образом, она вновь и вновь омолаживается. Это справедливо не только для высшей науки, где это само собой разумеется, но и должно иметь место в школьном курсе математики. И последний должен все время преобразовывать­ся по мере перемещения культурных интересов, и, конечно, в рамках возрастных возможностей нашей молодежи... Нор­мальный путь развития науки состоит в том, что более высо­кие и сложные части по мере возрастающего выяснения поня­тий и упрощения изложения становятся более элементарными. Задача школы — решить, требуется ли, исходя из задачи об­щего образования, включить в школьный курс какую-либо часть математики, ставшую элементарной».28

Однако модернизация школьной математики может быть осуществлена не только путем включения новых математиче­ских фактов и теорий, но и путем освещения традиционного материала с новых научных позиций. В этом последнем в на­стоящее время играют роль теория множеств, понятие струк­туры, математическая логика, применение алгебраических методов на ранней ступени изучения арифметики и т. д.

Развитие идей реформы математического образования явилось одной из причин возникновения в начале XX в. проб­лемы философского воспитания учащихся на основе изучения естественных наук и математики. Эта проблема активно ди­скутировалась в педагогических кругах Белоруссии. Содер­жание этих дискуссий отражено в материалах педагогических советов школ, в печати и протоколах съезда преподавателей средних учебных заведений ВУО, проходившем в 1908 г. В ре­золюции секции математики съезда эта проблема получила такое решение:

«Значение математки, как учебного предмета в средней школе по точному смыслу программы 1890 г., определяется почти исключительно с формальной стороны, как средства, развивающего способность строго логического мышления у учащихся. Секция полагает, что указанным взглядом на ма­

* Это обстоятельство подчеркнуто в проекте учебного плана по мате­матике Киевского физико-математического общества: «Функции нужны не только натуралисту, без них теперь не обойдется и социолог. Вообще в на­стоящее время нет ни одной области человеческого знания, куда не входи­ли бы понятия о функциях и их графическом представлении».

164

тематику затемняется высокая важность этого предмета по его внутреннему содержанию и его значению в качестве на­учного миропонимания. Из установленного секцией взгляда на значение математики не с формальной только стороны, но и со стороны ее содержания и роли в общей системе наук вы­текает и цель преподавания математики в средней школе, а именно: развивать у учащихся способность не только пра­вильного логического мышления, но и дать им верное орудие миропонимания».29

Стремление реализовать так называемую идею концент­рации учебного материала также заключалось в осуществле­нии высокой цели воспитания у учащихся единого философ­ского мировоззрения на почве изучения естественных наук и математики, рассматривая их как различные аспекты изуче­ния одного и того же объекта — природы. Математика в пла­не такого подхода к делу образования играла большую роль и составляла «как бы формальную сторону естествознания», она рассматривалась как орудие изучения природы.

Концентрация обучения рассматривалась как метод воспи­тания цельного мировоззрения, единого взгляда на окружаю­щий нас мир, воспитания цельной личности. В этой общей постановке «проблема концентрации» не могла быть решена старой школой по следующим двум причинам: во-первых, программы по различным предметам были построены без уче­та объединяющей их методологической идеи, они не были между собою согласованы; и, во-вторых, в основе учебного плана лежали по существу две противоположные философские концепции взгляда на мир: материалистическая и идеалисти­ческая. Эта двойственность философского начала школьного образования, так сказать, с порога снимала эту проблему. Проблема была решена только в советской школе, где школь­ный курс математики рассматривается с позиции диалектиче­ского материализма и служит воспитанию коммунистического мировоззрения учащихся.

По учебным округам были организованы в той или иной форме дискуссии по проблеме школьного математического об­разования. В Виленском учебном округе с 25 февраля по 2 марта 1908 г. был проведен съезд преподавателей математики, физики, естествознания и географии средних учебных заведе­ний. Деятельность секции математики этого съезда представ­ляет для нас интерес.

Решения математической секции съезда и деятельность школьных учительских коллективов дают нам материал для рассмотрения следующего комплекса актуальных для того времени вопросов: 1) о введении в школьный курс математики понятия функции, элементов анализа и аналитической гео­метрии; 2) о введении пропедевтического курса геометрии и

165

3) осуществление связи математики с родственными ей пред­метами и с жизнью.

Основная мысль реформистской программы заключалась в широком проникновении в школьный курс математики идеи функциональной зависимости, что конкретно должно было выразиться в перестройке курса алгебры на функциональной основе, геометрии — в значительной части на основе идеи геометрического преобразования и введении элементов мате­матического анализа и аналитической геометрии. Школьный курс математики получил в этом плане новое и глубокое идей­ное содержание, отвечающее требованиям развития науки и практики. Учителя Белоруссии не стояли в стороне от этого мощного и прогрессивного движения. Материалы съезда по­казывают, что проблема реформы была центральным вопро­сом в работе секции математики.

Прежде чем перейти к освещению деятельности съезда в этом аспекте, отметим две его особенности. Первая заключает­ся в том, что вся его работа являлась плодом творческого тру­да самих учителей: на съезде не было представителей науки, на нем были только преподаватели средних учебных заведе­ний. Вторая особенность заключалась в том, что съезд отошел от официальной программы, предложенной управлением ок­руга, и направил свое внимание на обсуждение актуальных вопросов того времени. Главная дискуссия состоялась по воп­росу обновления программы за счет введения понятия функ­ции, элементов анализа и аналитической геометрии. Таким образом, работа съезда протекала в основном по тому руслу, по которому развивалось движение за реформу школьной ма­тематики.

Дискуссия по этой проблеме развернулась по докладу учителя О. Н. Пономарева «Значение математики и цели ее преподавания». Это был единственный доклад теоретического характера, и, судя по названию, он не обещал затрагивать проблемы реформы, по крайней мере, непосредственно. Прог­рамма работы съезда была наполнена вопросами, имеющими важное, но узко практическое значение, как-то: испытание на аттестат зрелости, о домашних работах*, о роли учебника, о перемещении материала из одного класса в другой и т. д. Д о­клад о методах преподавания, несомненно, носил теоретиче­ский характер, но имел косвенное отношение к проблеме ре­формы.

Доклад учителя Пономарева определил направление ди­скуссии. При изложении содержания школьного курса мате­матики и целей его преподавания докладчик исходил из того, как следует понимать математику как науку и опирался при этом в значительной мере на ее материалистическую трактов­ку. Он говорил, что цель науки заключается в познании зако­

166

номерностей в окружающем нас мире, понятие функции явля­ется главным орудием этого познания, а поэтому оно являет­ся центральным в математике.30

Автор стоял на позиции реформы и, обосновывая ее, гово­рил: «Отрывочность, традиционность и исключительная отста­лость содержания курса математики средней школы породила отчужденность учащихся от существенного содержания мате­матики... Поэтому, при при­нятом теперь курсе матема­тики в средней школе, нет возможности дать учащимся хотя бы приблизительное понятие о тех удивительных методах вычислений, кото­рые, входя в содержание так называемой высшей матема­тики, делают из нее истин­ную логику природы».31

Традиционный курс пре­следует лишь формальные цели, и только обновление его содержания позволит воз­выситься над этой ограни­ченностью и поставить более высокие и общие задачи преподавания — формирова­ние мировоззрения, правиль­ного миропонимания. Это обновление усматривается автором во введении начал анализа и аналитической геометрии.

Секция вынесла решение: «Необходимо реформировать преподавание математики в средней общеобразовательной школе введением в курс ее начал аналитической геометрии и анализа и не в виде только дополнения к существующим прог­раммам, но с таким расчетом, чтобы учащиеся при прохожде­нии курса математики и физики могли пользоваться этими началами».32

Таким образом, мы видим, что съезд в этом вопросе стоял на позициях реформы, более того, он понимал, как об этом свидетельствует вторая часть цитированного постановления, что правильное решение проблемы заключается во введении названных курсов не в форме надстройки, а как составной и «рабочей» части курса математики и физики.

С этим главным вопросом мы ставим в связь другой, кото­рый рассматривался на съезде, а именно: о минимуме требо­ваний, поскольку он решал задачу сокращения традиционного материала и тем самым открывал возможность реализовать

167

предложения о реформе. Материал программы был подверг­нут весьма тщательному пересмотру. Были предложения об исключении действительно ненужного материала, который впоследствии, уже в советский период, был исключен из учеб­ных программ. Таки'м образом, можно заключить, что съезд сыграл положительную роль в развитии идеи реформы в Бе­лоруссии.

Как обстояло дело в практике преподавания математики в отношении изучения понятия функции? Из отчетов реальных училищ Белоруссии, а также рецензий на экзаменационные работы учащихся, публиковавшихся систематически в цирку­лярах учебного округа, можно сказать, что с понятием функции учащиеся основательно знакомились начиная с конца 80-х годов прошлого века. Программа реальных училищ предус­матривала исследование некоторых алгебраических функций на максимум и минимум. Хотя в явном виде программа не ак­центирует внимание на определении понятия функции и ее графическом представлении, однако в рецензиях указываются недостатки в ученических работах, связанных именно с этим вопросом: «В довольно значительном числе работ обнаружи­вается неустойчивость в понятии функции», «функция прини­мается за уравнение», «решим эту функцию» и т. д.*

* Приведем еще ряд общих мест из отзывов, публиковавшихся в цир­кулярах, представляющих интерес и для современного учителя.33

а) «Алгебра и геометрия суть продукты человеческого ума, развиваю­щегося в направлении познания законов той количественной зависимости, основания которой мы почерпаем посредством опыта из окружающей нас природы. Так как основания (из опыта выведенные положения) и средства (логические законы ума) и цели алгебры и геометрии одинаковы, то ясно, что в выводах этих наук должно существовать соответствие. Это соответ­ствие давно признано и утилизировано (положения и выводы одной науки служат для развития другой). Если даже мнимым количествам отыскан геометрический смысл, то подавно отрицательные и нулевые решения мо­гут и должны быть геометрически толкуемы и понимаемы...» Автор призы­вает воспитывать в детях веру в силу ума, «привычку вести дело дальше, чем назначено, до возможных пределов разумения...»

б) Поощрялось разнообразие приемов решения, так как в этом выра­жается «авторская самостоятельность».

в) Обращалось внимание на оформление работ. О работах одной из гимназий сказано: «Изложение в языковом и логическом отношении не оставляет желать лучшего», а в другой гимназии наоборот, отмечается «пре­небрежение» к этому вопросу. В связи с этим автор пишет: «Главная обра­зовательная сила математики заключается, не в бессознательном производ­стве математических операций и случайном применении их к решению за­дач, поэтому пренебрежение правильной математической речью ведет к упадку теоретической части математического обучения, а следовательно, и к общему ее упадку... Нельзя забывать, что содержание связано с формой и без нее утрачивается».

г) Интересно замечание: «В течение б—7 и более лет должно ска­зываться в письменной работе влияние преподавателя соответствующего предмета, а поэтому является, его нравственной обязанностью высказывать о причинах неуспеха его метода».

168

Программные вопросы на исследование функций изуча­лись не формально, а с теоретическим обоснованием и графи­ческими иллюстрациями. На основании отзывов рецензентов можно с ответственностью утверждать, что вопросы програм­мы, относящиеся к понятию функции, изучались в реальных училищах Белоруссии с начала 90-х годов достаточно основа­тельно. Архивные материалы о преподавании начал анализа и аналитической геометрии с 1906/07 учебного года свидетель­ствуют об успешном изучении этих предметов.34

Вопрос о введении пропедевтического курса геометрии, как способствующего раннему развитию у детей пространст­венных представлений и тем самым облегчающего изучение систематического курса, имеет давнюю историю. В нашей стране он активно обсуждался в 70—80-е годы прошлого сто­летия. Были изданы учебники и пособия по геометрии, имев­шие целью опытным путем ознакомить детей с основными по­нятиями элементарной геометрии и тем подготовить почву для изучения систематического курса.

Разработка пропедевтического курса шла в трех направле­ниях, полагающих в основу идеи: 1) наглядное изучение на моделях; 2) проведение практических работ по измерению и черчение геометрических фигур; 3) решение простейших гео­дезических задач.

Учитель математики Мозырской прогимназии В. Е. Добро­вольский построил подготовительный курс геометрии на осно­ве измерения и черчения реальных предметов и решения гео­дезических задач.* Его курс был одобрен учителями и окруж­ной инспекцией, но распространения, однако, не получил, так как официальные установки того времени игнорировали про­педевтику геометрических знаний. Для нас представляют ин­терес основные посылки автора.

1) Изучение логического курса геометрии без предвари­тельной подготовки представляет для детей большие трудно­сти. Поэтому логическому курсу следует предпослать подгото­вительный курс геометрии. Автор опирается на то положение, что программа в известной степени должна отражать истори­ческий процесс развития науки: «Знания должны препода­ваться детям в той же последовательности, какая замечается в их историческом развитии... При преподавании геометрии необходимо соблюдать такую же постепенность, какая имела место в историческом развитии, т. е. начинать ее практикой» измерения, как у древних египтян и затем перейти к логическо­му исследованию различных соотношений между геометриче­скими величинами, подлежащими измерению, как у греков».

* Добровольский Владимир Егорович окончил физико-математический факультет Московского университета в 1873 г. В Мозырской прогимназии работал с 1879 г.

169

2) Твердое уяснение геометрических понятий возможно только тогда, когда в памяти учеников накопится достаточ- ный запас представлений, полученных путем практического знакомства с геометрическим материалом, и, если ученики бу­дут приучены при этом к составлению общих определений,— процессу, при котором из реальных представлений образуют­ся отвлеченные понятия.

3) Метод ознакомления с геометрическим материалом на моделях противоречит психологическому процессу образова­ния отвлеченных понятий и поэтому не пригоден. Геометриче­ская модель является воплощением некоторой идеи, с которой ученики еще не знакомы. Этот процесс должен быть связан с практическим опытом: «Практика должна постоянно идти рука об руку с умственной деятельностью учеников; та и дру­гая должны помогать друг другу в достижении известной, определенной заранее цели».35 Этому условию удовлетворяет способ, при котором решается некоторый комплекс практиче­ских задач по геодезии и черчению. Здесь мы наблюдаем цен­ную попытку психологического обоснования проблемы. Автор разработал подробную программу и составил пособия для учителя и учащихся.36

На съезде учителей ВУО, о котором шла речь выше, так­же обсуждался вопрос о введении пропедевтического курса геометрии. Секцией была разработана и утверждена програм­ма по математике для женских гимназий, в которой предусма­тривался такой курс в 3 классе. Он включал знакомство с некоторыми плоскими фигурами и простейшими телами путем наглядного их изучения и измерения (площадей и объемов).*

Вопрос о введении пропедевтического курса геометрии об­суждался на «Комиссии о мерах содействия физическому, нравственному и умственному развитию учащихся», создан­ной при управлении округа. Комиссия, констатировав тот факт, что геометрия изучается «слишком теоретически», вы­несла решение о желательности усилить знакомство учащихся путем опыта с геометрическими телами и фигурами, поощ­рять самих учеников в изготовлении геометрических моделей и рекомендовать проведение геодезических съемок.37

В сборниках материалов «По организации школьного обу­чения на началах научной педагогики» предлагается следую­щее решение этого вопроса: «Вввести с 1-го класса курс на­глядной геометрии, который мог бы отвечать умственным по­требностям детей и в достаточной степени удовлетворять трем педагогическим принципам: наглядности, самодеятельности и интересу. Она должна сопровождаться ручным трудом, где

* Заметим кстати, что съезд высказался за организацию женского ма­тематического образования на уровне мужских гимназий.

170

ученики будут изготовлять модели геометрических тел из бу­маги или папки, пользоваться лепкой, наглядно знакомиться с главнейшими геометрическими понятиями, упражняться в отыскании свойств геометрических величин, практиковаться в черчении фигур, усваивать разнообразные способы опреде­ления длины, площади и объема тел, подмечать и сравнивать признаки, общие нескольким телам, делать доступные им лег­кие выводы из своих наблюдений и т. д. Такая система препо­давания позволит развивать у учащихся крайне бедные в на­стоящее время пространственные представления, идею смутно сознаваемой ныне функциональной зависимости, являющейся центральный учением и конечной целью всей математики, дает материал для отвлеченного курса геометрии, развивает сознательность при изучении геометрических истин путем ло­гического рассуждения, сообщит запас геометрических сведе­ний для практических приложений к жизни. Таким образом усилится образовательное и воспитательное значение матема­тики. Изучение способа измерения объема свяжет геометрию с первоначальным курсом естествознания, что разрушит су­ществующие перегородки между учебным предметом и дейст­вительной жизнью. Ознакомление учащихся с шаром и лини­ями на нем окажет немаловажную услугу первоначальному курсу географии».38 Подчеркивается также важность связи этого курса с арифметикой.

Что касается практического решения этого вопроса, то в некоторых гимназиях Белоруссии (например, Минской) про­педевтический курс геометрии связывался с арифметикой. Ученики 2-го и 3-го классов на уроках арифметики знакоми­лись с геометрическими фигурами и их свойствами. При этом производились их практические измерения и вычисления. Для облегчения изучения систематического курса применялись модели, которые изготавливались учениками, «что немало способствовало прочному усвоению курса».

Некоторые из преподавателей шли по другому пути. В на­чале курса геометрии они отводили небольшое число часов на огштное ознакомление с ее понятиями. Отмечается при этом, что время, потраченное на это ознакомление, потом вполне вознаграждалось более быстрым и сознательным усвоением систематического курса. Проблема пропедевтического курса геометрии не была решена в старой школе. Но ее опыт был полезен при решении этого вопроса в советской школе.

Вопрос о связи преподавания математики с другими пред­метами, в частности с физикой, рассматривался на окружном съезде в докладе «О методах и средствах преподавания мате­матики» учителя Несвижской гимназии О. Ф. Лукашевича. Первый и основной тезис его доклада заключался в том, что должна быть установлена связь, с одной стороны, между раз­

171

личными математическими предметами и, с другой — между курсом математики и физики.

Идея, заключающаяся в этом тезисе, в последующие годы получила в округе большое развитие и обобщение. Мы имеем в виду так называемую «идею концентрации учебного матери­ала», которая обсуждалась на страницах сборников, содержа­щих материал «По организации школьного обучения на нача­лах научной педагогики» (издававшихся в качестве приложе­ний к циркулярам Виленского учебного округа), и на педагогических советах. Сущность этой идеи раскрывается следующим образом: «Под учебной концентрацией подразу­мевается идейное объединение таких сведений, которые хотя и входят в систему разных учебных предметов, но или нахо­дятся в генетической связи, или могут быть поставлены в ту или другую связь с целью более полного и всестороннего их изучения. Она опирается на понимание связи разнообразных явлений». Эта проблема для старой школы имела актуальное значение, поскольку различные предметы в ней были разоб­щены и ту потенциальную возможность повышения эффектив­ности преподавания, которую несет в себе фактор естествен­ного сближения между предметами, школа не использовала.

Дискуссия, несомненно, была полезной. С одной стороны, она показала недостатки школы и, с другой — позволила на­метить правильные пути сближения родственных между собой предметов, как, например, математики с физикой, географи­ей, космографией, а также с житейской практикой.

Приведем некоторые из тех соображений по этому вопро­су, которые высказывались на педагогических советах сред­них учебных заведений Белоруссии.

Уже в самом начале изучения физики учителя этого пред­мета опираются на знания метрической системы мер, получен­ные на уроках арифметики. Высказывалось пожелание уде­лять больше внимания изучению этой системы, как имеющей применение в науке.

При изучении механики необходимо знакомство с поняти­ем функции.

Физика требует от учащихся знания различных геометри­ческих форм.

Задачи по алгебре и геометрии должны быть не отвлечен­ного или практически-коммерческого характера, а связанные с курсом физики: «Решение задач такого содержания не толь­ко содействовало бы усвоению курса физики, но наполнилось бы глубоким содержанием изучение математики и сделало бы ее одним из самых интересных предметов». При изучении оп­тики и других разделов физики, при изучении космографии необходимы знания тригонометрии. Достаточно разносторон­не и квалифицированно рассматривался принцип связи с

172

жизнью — как самостоятельный и в единстве с принципом ак­тивности знаний учащихся: «Для активного применения к делу математических познаний полезно было бы поручить учащимся жизненные практические работы, например, изме­рение площадей в натуре, на местности, съемку и составление планов, измерение высоты, вычерчивание профилей, вычисле­ние объемов комнат,— словом, выполнение таких измеритель­ных, вычислительных и графических работ, которые носили бы явно утилитарный характер».39

Были высказаны критические замечания в адрес учебников и задачников, как не отражавших идею связи учебного мате­риала с вопросами житейской практики.

В заключение настоящего параграфа остановимся на не^ которых статистических данных.

1. Классовый характер школы виден из картины распре­деления учащихся по сословиям. В реальных училищах дворя­не составляли свыше 50%, в гимназиях — около 60%, сель­ское сословие соответственно — около 10% и 6%. Поэтому гимназии и реальные училища по праву в истории нашего просвещения носят название дворянских. Социальный состав учащихся, вероятно, регулировался школьной администраци­ей: трудно представить, чтобы наблюдаемая длительнаяустойчивость социальной структуры была естественной.

2. В 80—90-х годах в развитии среднего образования наб­людается состояние депрессии. В начале нашего века заметен значительный подъем. Приведенная табл. 1 иллюстрирует эту картину по Могилевской губернии.

Аналогичное явление депрессии в Белоруссии за 80—90-е годы происходит в гимназическом и реальном образовании, что видно на графике.

Т а б л и ц а 1

Годы

Школы дирек­ций народных

училищШколы д у х о в ­ного ведомства

Средние учеб­ные заведения

и высшие на­чальные учи­

лища

Специальные учебные заве­

денияВсего

учащихся

школуч а­

щихся школ уча­щихся школ

уча­щихся школ

уча­щихся

1881 231 11 699 944 19 560 20 2761 4 490. 34 5101891 234 11 870 1360 29 038 20 2798 6 489 44 1951902 291 23 014 1730 58 477 23 4542 7 781 86 814

1912 1329 82 377 101 0 59 713 47 10233 13 1654 153 977*

* В 1817/18 учебном году численность учащихся по белорусским губер­ниям составляла 6184 человека,

173

Число § учащихся, /о

со ооСП

Л Оо «о с*»I

I

Распределение учащихся по сословиям в реаль­ных училищах:

Распределение учащихся по сословиям в гим-

174

3. Графики хорошо иллюстрируют картину снижения чис­ленности учащихся в старших классах гимназии и реальных училищ. «Пирамидальная структура» гимназий (по выраже­нию профессора И. К. Андронова) видна здесь совершенно наглядно. Каждый из старших классов представлял собою весьма серьезный барьер к получению аттестата зрелости. На графиках видно, как стремительно падают соответствующие

линии. Отношение числа учащихся выпускного класса к числу учащихся второго или третьего класса находится в пределах от 1/4 до 1/3. Еще более низкими являются эти границы для прогимназий. Это явление имело место и в реальных учили­щах.

4. Интересны данные о возрасте учащихся. В начале века, как правило, учащиеся были великовозрастные, точнее ска­зать, для каждого класса был широкий возрастной диапазон. Нередко рядом с ребенком 7 лет сидел за партой взрослый юноша. Не было исключением такое явление, что в одном и том же классе возрастной диапазон составлял 5 и более лет, причем этот диапазон не всегда равномерно сужался в стар­ших классах. На приведенном графике даны сведения за 1826 г.

Положение к концу столетия изменилось, но незначи­тельно.

175

В настоящее время эти границы доведены почти до преде­ла: каждый класс имеет свой определенный возраст, который зависит от исходного возраста приема детей в школу.

Сказанное иллюстрируется таблицей, построенной по вы­борочным данным (табл. 2).

5. За XIX в. сделан значительный шаг в развитии школь­ного женского образования. В начале века число учениц со­ставляло около 5%, причем девочки получали лишь началь-

Количество учащихся в гимназиях (по классам).

Т а б л и ц а 2

Годы Классы Средний возраст Среднее квадратическое уклонение

1883 7 18,62 2,151888 7 18,85 2,041971 4 10,34 0,3581971 8 14,37 0,311

176

Количество учащихся в реальных учили­щах (по классам).

Подгот.1

-7*^'С редний возраст

9 10 I I 12 13 К 15 16 17 18 19 В о З р й С т

Средний возраст и возрастные интервалы учащихся.

ное образование. В конце века существовали женские гимна­зии и прогимназии.

6. Остановимся еще на одном вопросе. Известно, что во второй половине XIX в. в предметах гимназии доминировали языки и математика. Естественно, возникает вопрос: не помо­гают ли в изучении эти предметы друг другу? Если изучение языков способствует более успешному изучению математики и наоборот, то существование классической гимназии в свое время в некоторой мере может быть оправдано. Этот аргу­мент, хотя и не в столь прямолинейной формулировке, фигу­рировал наряду с другими в качестве обоснования классиче­ского образования. Считалось, что тот и другой из этих пред­метов ведут ученика к одной и главной цели образования — развитию научного мышления.

Наш результат, основанный на изучении корреляционной связи между предметами по данным современной школы, сводится к следующему. Вообще говоря, все (основные) пред­меты связаны между собой положительной корреляцией и располагаются в определенный спектр, и в этом спектре мате­матика стоит рядом не с языком, а с физикой. Отечественный язык занимает четвертое место и следует за естественными науками. Конечно, этот результат носит вероятностный ха­рактер. Кроме того, он получен на основе изучения отечест­венного языка, а не классических, и поэтому имеет лишь кос­венное отношение к поставленной выше проблеме. Однако языки образуют в корреляционном отношении достаточно тесную группу предметов. Принимая все это в соображение, можно утверждать, что принцип классицизма не решал задачу успешного изучения математических дисциплин, так как естественной основой, содействующей их усвоению, является, как показывают исследования и здравый смысл, прежде всего физика.

§ 3. ТВОРЧЕСТВО УЧИТЕЛЕЙ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ДИДАКТИКИ

Советские учителя математики активно занимаются иссле­довательской работой, направленной на улучшение постанов­ки преподавания математики в школе. Главным предметом этих исследований является, естественно, методика математи­ки. Некоторые из учителей занимаются математическими ис­следованиями. Их творческую мысль направляют научные и учебно-педагогические учреждения и методические журналы. Поучительной в этом отношении являлась деятельность В. А. Голубева — автора многочисленных работ по теории чи­сел.40

Для поддержания высокого уровня преподавания матема­

178

тики в школе и непрерывного его повышения в соответствии с общим развитием культуры занятия учителей математики сво­им предметом, а особенно исследованиями элементарного ха­рактера, так или иначе примыкающими к вопросам школьной математики, имеют исключительно важное значение. Поэтому творческая работа преподавателей школы в области матема­тики, особенно по элементарным ее разделам, заслуживает такого же внимания, как и их работа по методике ее препода­вания.*

Научно-методической работой учителя математики зани­мались на протяжении всей истории нашей отечественной школы. В XIX в. она протекала в основном в следующих на­правлениях: переводы иностранных школьных учебников по математике и переводы классических сочинений древних авто­ров, дидактические исследования и исследования в области математики. Известны также работы учителей по статистике и истории математики.

Работы по дидактике математики сравнительно полно освещены в нашей историко-педагогической литературе. Мате­матические работы фундаментального значения рассмотрены в литературе по истории математики. Если главной задачей историка математики считать исследование развития матема­тической идеи, то в данном случае нас интересует другой ас­пект, имеющий побочное значение для истории науки, но важ ­ное для истории математической культуры. Мы имеем в виду исследования по математике элементарного характера, кото­рыми занимались учителя. Эти исследования, несомненно, благотворно и непосредственно влияли на постановку школь­ного курса математики. В этом, собственно, и состоит их глав­ное значение. Научное значение заключается в той идейной связи, которую эти работы имели с исследованиями ученых- математиков.

Учителя, занимавшиеся сложными «математическими проб­лемами, естественно, всегда тяготели к университетской дея­тельности, как отвечающей их научным интересам, и при пер­вой возможности переходили в высшую школу или же работали там по совместительству. Однако среди творчески одаренных учителей были и такие, которые в силу особо тя­

* Вообще в этом смысле заслуживает особого внимания работа учите­лей, создающих художественные произведения (живописи, ваяния, литера­туры), конструирующих новые физические тлодели и приборы, культивирую­щих в данных климатических условиях новые растения, изучающих свой край по архивным материалам и т. д.

Поучительной является работа учителя истории средней школы г. Лун- на Гродненской области В. Симака, создавшего интересный и богатый Му­зей военной славы, содержащий разнообразные экспонаты. Для истории культуры, например, представляют интерес Виленские календари начала прошлого века, которыми пользовались в Белоруссии.

179

желых условий для развития таланта в царской России не имели возможности получить работу в высшей школе и всю жизнь оставались школьными учителями.

Выясним те условия, которые благоприятствовали разви­тию научных интересов в учительской среде. Прежде всего заметим, что таких учителей, которые занимались исследова­ниями, было немного, но вместе с тем трудно, пожалуй, ука^ зать гимназию или реальное училище, история которых не могла бы быть отмечена каким-либо положительным фактом в этом отношении.

Нельзя думать, что условия для творческой работы были благоприятными. Чтобы обеспечить себе более или менее при­личное существование, учителя столичных гимназий вынужде­ны были работать в двух, а то и в трех школах. Таким обра­зом, педагогическая работа в школе поглощала все их время. Нагрузка в 40 недельных часов была нередким явлением. Не менее думал о насущном хлебе и учитель провинциальной гимназии. т щ

Политическое бесправие учителя пагубно отражалось на его моральном состоянии. Отношение правительства к духов­ным запросам учителей характеризуется, например, следую­щим фактом. Педагогические съезды, дающие стимул для развития творческой активности учителей, длительное время не разрешались правительством, несмотря на то, что инициа­тива их организации исходила от крупнейших ученых нашей страны.

Едва ли не единственным фактором, благодаря которому некоторые из учителей дореволюционной школы могли под­няться на уровень современной им математики и приобщить­ся к творческому труду в ее области, был контакт передовых университетских профессоров с учителями гимназий, контакт, который стимулировался единственно внутренними патриотиче­скими побуждениями ученых. М. Демков в статье «Что нужно для успехов русской науки?», призывая университетских про­фессоров к общению с гимназиями, говорит: «Не все вышед­шие из стен университета порываю? связь с наукой. А если вспомнить, как трудно работать в провинции, с какими пре­пятствиями и затруднениями приходится считаться, какие по­мехи преодолевать... Припомните, что в провинции нет ни книг, ни руководств, ни пособий, ни авторитетных указаний... И при таких условиях работают люди, порой создают нечто ценное и достойное внимания». 41

Знакомясь с тем, какое участие принимали учителя в ра­боте научных обществ и съездов, а также с их сотрудничест­вом в периодической печати, можно заметить, что вся эта деятельность в значительной мере была результатом той ор­ганизующей и руководящей роли, которую играли передовые

180

ученые в общественной и научной жизни России, особенно на исходе прошлого и в начале текущего столетий. В связи с этим заслуживают упоминания математики П. Л. Чебышев,А. А. Марков, Н. В. Бугаев, Б. К. Млодзеевский, В. П. Ерма­ков и другие. Роль же профессора В. П. Ермакова в привле­чении учителей к научным занятиям в области элементарной математики является исключительной.

Научной работой, очевидно, занимались прежде всего те из учителей, которые получили первый опыт творческого тру­да еще на университетской скамье. Многие из университет­ских профессоров не порывали научной связи со своими вос­питанниками, когда последние работали в школах препода­вателями математики.

Возможность публикации является весьма важным усло­вием развития творческой инициативы учителей. До второй половины прошлого столетия (точнее, до шестидесятых годов) эти условия были мало благоприятными. Существовало немного журналов, где учитель мог бы выступить со своими исследованиями. После 60-х годов появился ряд журналов математических и педагогических, где учитель мог напечатать заслуживающую внимания работу. Назовем следующие жур­налы, сыгравшие большую роль в повышении математиче­ского уровня учителей, в развитии у них научного интереса к математике: «Вестник физико-математических наук»М. М. Гусева, * «Математический сборник», издававшийся Московским математическим обществом, затем «Журнал элементарной математики» профессора В. П. Ермакова* «Вестник опытной физики и элементарной математики», «Пе­дагогический сборник» и ‘«Журнал Министерства народного просвещения».

Отметим еще одно важное обстоятельство, имевшее значе­ние для совершенствования профессиональной подготовки и проявления творческого таланта учителей,— это их участие в работе научных обществ. Из протоколов заседаний и печат­ных трудов физико-математических отделений этих обществ видно, что на них обсуждались не только чисто научные про­блемы, но и методологические вопросы преподавания матема­тики в школе. В состав этих обществ входили не только учи­теля университетских городов, но и с периферии в качестве корреспондентов.

Учителя Белоруссии находились в менее благоприятных условиях, они были лишены возможности непосредственного общения с учеными, поскольку в округе не было университе­та. Однако они имели солидную университетскую подготовку.

* Астроном М. М. Гусев, издавая математический журнал и народные календари, которые имели распространение в Белоруссии, тем самым ока­зывал положительное влияние на развитие ее математической культуры.

181

Не останавливаясь на постановке преподавания математики в русских университетах, отметим лишь, что она вполне отве­чала уровню развития науки. В этом отношении особой сла­вой пользовался Петербургский университет, выпускники ко­торого также работали в Белоруссии. Заметим еще, что по своему происхождению значительная часть учителей была из белорусов.

Университеты того времени имели две четко выраженные цели: подготовку ученых и учителей для гимназий и реаль­ных училищ. Соединение этих целей обеспечивало такую под­готовку учителя математики, при которой он мог с приобрете­нием опыта успешно заниматься преподавательской работой в школе и посильным творческим трудом в избранной обла­сти. Творческая активность в области элементарной матема­тики и ее дидактики — явление исключительное в жизни и деятельности учительства второй половины XIX и начала XX в. Однако студенты университетов не были подготовлены по педагогическим наукам, что сказывалось отрицательным образом на воспитательной работе. Поэтому в начале нашего века высказывались в достаточно энергичной форме критиче­ские замечания и претензии в адрес университетского образо­вания, как не отвечающего задаче профессионально-педагоги­ческой подготовки учителя.

В Белоруссии учителями гимназий была проведена огром­ная работа по исследованию края в этнографическом и исто­рико-статистическом отношениях. В 1803 г. Виленский уни­верситет выступил с ценной инициативой об организации на территории округа систематических метеорологических на­блюдений с возложением этой работы на учителей физики и математики. Министерство просвещения одобрило эту ини­циативу и предложило ввести метеорологические наблюдения в других учебных округах.

Приведем выдержку из основного документа по этому во­просу: «Виленский университет представил проект об уста­новлении повсеместно метеорологических наблюдений в про­странстве, занимаемом округом, ...обязал учителей физики в гимназиях по наставлениям, данным от университета, делать сии наблюдения в местах их пребывания и ежедневные о том записи по срокам доставлять в университет, который для со­ображения всех их вместе назначит своего профессора физи­ки». 42 Данные наблюдений было поручено обрабатывать про­фессору физики И. Мицкевичу. Несомненно, это мероприя­тие, помимо своей прямой цели, имело положительное влияние на повышение научного уровня учителей прежде всего в обла­сти физики, что не могло не сказаться благотворным образом на постановке преподавания этого предмета в школе.

Организация метеорологических наблюдений на всей тер­

182

ритории России в середине прошлого века под руководством Главной физической обсерватории в известной степени опира­лась на опыт и практику учителей в этом деле, наиболее ак­тивные из них были удостоены звания корреспондентов этой обсерватории. *

Работы белорусских учителей математики относятся главным образом к подготовке учебных пособий по различ­ным математическим предметам и отчасти к решению некото­рых частных методических проблем преподавания математи­ки в школе.

Еще в конце XVIII в. учитель народной школы в Витебске В. Берлинский написал два учебника математики — по триго­нометрии и аналитической геометрии, оставшиеся неопубли­кованными. Эти работы свидетельствуют о глубоком интересе автора к своему предмету.

В 1810— 1813 гг. в Минской гимназии работал талантли­вый педагог М. М. Полинский, который занимался составле­нием учебников, оставшихся в рукописи. **

Познакомимся с содержанием некоторых его рукописей.Рукопись № 152 представляет собой сборник задач по

арифметике (пропорции, тройное правило, обратная пропор­циональность, извлечение корней). Имеются задачи вычисли­тельного характера по геометрии.

Рукопись СД 150 по алгебре состоит из двух основных разделов: решение уравнений первой и второй степеней. Для знакомства с содержанием приведем несколько задач.

Задача № 2. А и В имеют 36 (злотых), А имеет в три раза больше В. Сколько имеет каждый? Решение:

В х х = 9.А Ъх

4х = 36;

Внутри каждого раздела в свою очередь задачи подразде­ляются на две части — принадлежат ли числовые коэффици­енты к кольцу целых или полю рациональных чисел.

Пример задачи на квадратное уравнение: найти два числа, сумма которых равна 12, а сумма их кубов — 468.

В смешанном разделе имеются сложные задачи на про­центы, например: «Одна особа дает 15 ООО зл. по 7%, а 20 ООО по 5%. Через сколько лет два капитала, взятые вместе с про­центами, сравняются?»

При вычислениях применяются логарифмы.

* Например, учитель Свислочской семинарии С. Волоскович.** Хранятся в архивах библиотек Лит. АН и Вильнюсского универси­

тета.

183

Рукопись СД 156. Первые разделы содержат задачи на уравнения первой степени с одним и двумя неизвестными, на неопределенные уравнения первой степени (с двумя неизвест­ными) и далее идет цикл нетрадиционных для тех времен за ­дач, вроде следующей: «Определить условия, при которых квадратный трехчлен будет полным квадратом», тот же во­прос по отношению к полиному четвертой степени: рассмат­риваются частные формы квадратных чисел, например, в ка­ких частных случаях числа формы ап2+ 1 могут быть квад­ратами?

Рукопись № 150. Начальная алгебра. Написана в Минску в 1810— 1813 гг. Полный курс алгебры, включающий бином Ньютона. Написана под влиянием дидактических идей Сня- децкого, на выяснении которых мы подробно останавливались ранее. Например, понятие уравнения определяется, как у Сня- децкого, т. е. как равенство двух функций. «Функцией называ­ется математическое выражение каких-либо количеств, свя­занных (посредством операции) каким-нибудь способом, и на какие количества обращаем внимание, тех количеств это вы­ражение и является функцией.»

Рукопись ВР 926. Практическая геометрия. 1811 — 1813 гг. Подготовлена в Минске. Представляет собой дополнение к книге Заборовского по курсу практической геометрии.

Отметим участие ученика П. Л. Чебышева учителя Мин­ской гимназии А. К. Жбиковского в журнале М. М. Гусева. В нем он опубликовал статьи: «Относительно делимости чи­сел», «Относительно теоремы Вильсона», «Относительно тео­ремы Сильвестра» (две статьи), «Элементарная теория опре­делителей», «Элементарный вывод формулы для функции х п + 1/л;п». В одной из работ он дает оригинальное доказатель­ство известной формулы П. Л. Чебышева, выражающей зна­чение факториала в виде произведения простых чисел.

У Жбиковского преобладает теоретико-числовая тема­тика исследований.

Заслуживает упоминания его обширный курс арифметики с элементами алгебры.43 Он применялся в ВУО в качестве руководства для преподавания повторительного курса (с обобщениями) в старшем классе гимназии. Автор так ха­рактеризует свой труд: «Читая арифметику в VII классе Минской гимназии в продолжении пяти лет, я вместе с тем собирал материалы для составления основательного и, по возможности, полного курса оной, соответствующего совре­менному состоянию науки. Эти материалы я привел теперь в порядок и осмеливаюсь издать их...» Здесь он выражает благодарность М. М. Гусеву «за внимательное рассмотрение труда» и за некоторые его существенные замечания, которы­ми автор воспользовался.

Ш

В этой работе обращено большое внимание на вопросы теории чисел. Что касается изложения вопросов, относящихся к обоснованию арифметики, то оно не отвечало уровню разви­тия этой области математики в то время. Например, им не рас­смотрены в систематическом виде законы арифметических операций в области натуральных чисел. В других числовых областях они выступают эпизодически и не играют присущей им в арифметике роли.

Минская гимназия.

П. Л. Чебышев, как член Ученого комитета, дал следую­щий отзыв на «Арифметику» Жбиковского: «Сочинение это заключает в себе полный и подробный курс арифметики со включением многих статей алгебры. Оно по составу своему су­щественно разнится от имеющихся у нас руководств по ариф­метике, и в нем многие статьи изложены с особенной отчетли­востью, а потому сочинение это, как представляющее собой существенно полезное приобретение для нашей учебной лите­ратуры и, несомненно, свидетельствующее как о способностях* так и деятельности автора...» Однако Чебышев замечает, что сочинение это «как по составу своему, так и по изложению не соответствует условиям гимназического руководства...»44 В дальнейшем Жбиковский усовершенствовал свой курс, и в последующих изданиях он служил весьма ценным пособием для школы.45

185

Преподаватель Минского коммерческого училища Б. П. Чиханов издал в Минске ряд учебников по элементарной математике (арифметике, алгебре, тригонометрии, теории вероятностей и школьные математические таблицы), имевших распространение в Белоруссии, о чем можно судить на основа­нии того, что некоторые из них переиздавались по 4 ра за .46

«Арифметика» Чиханова содержит такие нетрадиционные вопросы: приближенные вычисления, работа на арифмометре Однера, обоснование арифметических действий, различные системы счета, развитие понятия о числе и сведения из ком­мерческой арифметики. Курс алгебры строится на операци­онной основе. Материал первой части основывается на исполь­зовании принципа перманентности. В связи с этим алгебра определяется следующим образом: «Так как комплексноевыражение представляет общий вид количеств, изучаемых в алгебре, то можно сказать, что алгебра изучает свойства комплексных выражений и действия над ними». Теория урав­нений изложена традиционным способом, функциональная трактовка отсутствует. Курс тригонометрии состоит из трех частей: исследований тригонометрических функций (линий), решения треугольников и практических задач. Имеются до­полнения, которых не было в принятом тогда учебнике Рыб­кина, как, например, вычисление таблиц тригонометрических функций для малых углов, преобразование уравнений и др. Относительно небольшого курса теории вероятностей автор говорит: «Предлагаемая брошюра представляет собою попыт­ку изложить начала теории вероятностей и некоторые из ее приложений к страховому делу в форме, доступной для уче­ников старших классов коммерческих училищ». Введя клас­сическое определение понятия вероятности, автор излагает следующие вопросы: теоремы сложения и умножения вероят­ностей, математическое ожидание, понятие безобидной игры, наивероятнейшее число повторений и закон больших чисел (без обоснования). Наконец, им были изданы «Таблицы пя­тизначных логарифмов чисел и тригонометрических величин», содержавшие всего 14 таблиц, в том числе имеющие значе­ние для коммерческой арифметики.

Учитель Р. И. Киричинский, работавший длительное вре­мя в г. Лиде, опубликовал ряд работ по математике, имевших значение для ее школьного преподавания.47 В книге «Универ­сальная формула Симпсона...» рассматривается вопрос о при­менении этой формулы в школьном курсе геометрии. «Прин­ципы механики» свидетельствуют о большой эрудиции автора в области истории точных знаний. Его «Математический сло­варь» служил ценным пособием для учителя. В нем он дает верную трактовку методических вопросов, рассказывает об интересных фактах из истории развития математики, знако­

186

мит с некоторыми современными вопросами... В статье об анализе бесконечно малых он пишет: «Анализ бесконечно малых был вызван приложением математики к изучению при­роды и заимствует следующие две наблюдаемые в нем идеи: идею о переменной величине, сообразно с наблюдаемой по­стоянно в мире сменой явлений, и идею непрерывности...» Утверждается, что «в истории развития математики мы нахо­дим явные следы того, что математика возникла из опытных начал». Автор зна­комит читателя с геометрией Лобачевского, с понятием аксиоматического метода в математике и многими акту­альными для того времени вопросами.

В «Педагогическом сбор­нике» по вопросам препода­вания математики и отчасти ее истории публиковались статьи учителя Полоцкого кадетского корпуса В. Шид- ловского. По теории геомет­рических построений идеи профессора Ермакова и учи­теля И. И. Александрова разрабатывались преподава­телем Гомельского техниче­ского училища Левшиным и учителем 1 родненскои гимназии И. С. Свидерским.

Свидерский опубликовал небольшую работу под названи­ем «Несколько слов о решении геометрических задач без по­мощи линейки» (Гродно, 1876).

Учитель Минской гимназии А. К. Жбиковский опублико­вал в журнале Гусева статью о делимости чисел формы 10л + 1 , которая вызвала серию исследований учителей, завер­шившую решение этой проблемы.

В этой статье Жбиковского рассмотрен критерий делимо­сти на числа формы 10п+1, причем автор говорит, что идея была подсказана ему Гусевым.48 Гусев сформулировал при­знак делимости на 7, сводящийся к тому, что если делитсяна 7 разность ~~2а , где а — последняя цифра числа N.то и N делится на 7, и сообщил его Жбиковскому. Жбиковский пишет об этом так: «Это свойство, на которое обратил мое внимание г. Гусев, мне удалось доказать... Вышеобъясненное свойство чисел относительно их делимости на 7 и на 3 повело

187

меня к изысканию подобных признаков делимости и на другие числа, и я пришел к следующим заключениям:

1) Число N делится на другое число Р вида 10п+ 1, если разность (О — па) делится на Р, где а — последняя цифра числа Ы, О — число его десятков.

2) Можно испытывать делимость на числа, являющиеся делителями чисел вида 10п+1».

Гродненская гимназия.

Жбиковский опубликовал этот критерий в ряде периоди­ческих изданий и книг, в том числе и в издании Академии Наук по представлению академика В. Я. Буняковского.49 Чебышев, рецензируя «Основания общей арифметики» Ж би­ковского, замечает: «Этот учитель гимназии приобрел уже из­вестность открытием новых признаков делимости чисел, ко­торые представлены им были Академии Наук и опубликова­ны в III т. «Бюллетеня».50

Дальнейшая история этого критерия развертывается сле­дующим образом.

Учитель математики К. Мазинг (Москва) распространил его на другие числа, в частности на 13, 17 и 19, для которых «наименьшие числа» имеют соответственно следующий вид: 0 + 4 а , В — 5а и 1> + 2а, где О — число десятков, а — число единиц данного числа N . 51

Дальнейшее обобщение находим в работе учителя А. Во­ронова. 52 Он пишет: «Значительная часть признаков могла бы быть выведена из признака, данного г. Жбиковским. Мы

188

же со своей стороны можем предложить еще более общий признак, из которого вытекают как частные случаи все при­знаки г. Мазинга, относящиеся к числам, взаимно простым с основанием нумерации, и признак Жбиковского».

Инженер Л. Ф. Рис на X съезде русских естествоиспыта­телей и врачей доложил следующую теорему: число N делится на нечетное и некратное пяти число р , если разность числа десятков И и произведения некоторого числа х на число еди­ниц данного числа делится на р\ причем число х равно числу десятков произведения р и чисел 1, 7, 3 или 9, если единицы числа р соответственно равны 1, 3, 7 или 9 .53 Критерий Риса совпадает с критерием Л ю а р а .54 Еще ранее он был данH. В. Бугаевым.55

В «ХеИзсЬгШ» в 1871 г. была опубликована небольшая з а ­метка Церланга «О делимости числа на 7», в которой доказы­вается, как «мало известный», следующий критерий делимо­сти на 7: «Число делится на 7, если делится на 7 разностьмежду удвоенным числом единиц и им предшествующего чи­сла». Поэтому в немецкой школе этот критерий носил назва­ние правила Церланга, между тем как это теорема Гусева.56

В связи с этой заметкой Церланга в том же журнале в 1873 г. была опубликована статья известного польского историка ма­тематики С. Дикштейна «О критерии делимости», в которой доказываются теоремы о делимости на числа формы: 10/г + 1 , 10/г-гЗ и \0п + 9. Первая из них есть теорема Жбиковского.57

Принцип конструкции «наименьших чисел» во всех ука­занных выше случаях один и тот же. В этом состоят общность и единство идеи рассмотренных критериев. Любопытно, что эта идея служит источником построения различных признаков в последнее врем я,58 хотя проблема давно решена.

К работе Жбиковского Гусев сделал два примечания, ко­торые полностью решают вопрос об отыскании общего крите­рия делимости в десятичной системе счисления и смысл их заключается в следующем.59

Любое число оканчивается одной из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9. Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8, а также на 5, по понятным причинам не рассматриваются. Следовательно, остаются такие числа, которые оканчиваются цифрами:I, 3, 7 и 9, т. е. формы \0 п ± 1 и 1 Оя+3. О них и говорит Гусев в этих примечаниях.

1) Если р = \0 п ± 1, то в этом случае критерий делимости на р обосновывается формулой:

N — а — N Т (Юл + 1) а_ _ + а / г = ------------ 10 ~ ■

где N — данное число, а — число единиц, п — число десятков.2) Если число оканчивается на 3 или на 7, т. е. вида

189

10п± 3 , то вместо множителя п в левой части нужно брать со­ответственно числа ± (3/г±1).

Далее у Жбиковского отделяется (зачеркивается) одна последняя цифра, но можно зачеркивать две и три и т. д. У Гусева показано, как находить соответствующие значения множителя при а в той же формуле. Они обозначены через п ',п " и т. д. Так, если р = 13, то п '= 1; если р —23, то п " = 2; если р = 73, то д " = 1 и т. д. Несколько позже эта проблема была обобщена учителем А. Вороновым на любую систему счисления, и этим получила исчерпывающее решение.

Обратим внимание на алгоритм Гусева, который применя­ется для решения вопроса о делимости. Оказывается, что он одновременно решает и другой вопрос: дает величину частно­го или его дополнение.

Если делитель оканчивается единицей, то, прочитав снизу вверх последние цифры последовательных остатков, получим частное. Это следует из того, что сам процесс последователь­ного применения алгоритма Гусева представляет собой про­цесс деления, но идущий не слева направо, как принято, а справа налево. Если же число, на которое испытывается де­лимость, оканчивается на 9, то указанный ряд цифр образует дополнение частного, т. е. сумма этого числа и частного рав­на 10". Поясним это на примерах.

1. Определить, делится ли число 17682 на 21._17682

41764

816816О

Подчеркнутые цифры составляют число 842. Это и есть частное.

2. Делится ли число 2448549 на 999?2448549

+ 900245754

1 40024975

500 2997 700 999

190

Подчеркнутые цифры составляют число 7549. Частным бу­дет его дополнение до 10 ООО, т. е. 2451.

Ввиду того что в Белоруссии не было научного центра, ма­тематические исследования носили любительский и случай­ный характер. Так, например, в 1852 г. «Чашницкий мещанин» В. Вульф представлял в АН исследование по теории эллипти­ческих функций; работы по теории чисел Воронцова печата­лись в иностранных журналах.

§ 4. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СЧЕТНЫХ УСТРОЙСТВ

В XIX в. было построено большое число счетных инстру­ментов с табличной основой. К этому классу относится ряд инструментов, изобретенных в Белорусском (Виленском) учебном округе. *

В 1839 г. в «Гродненских губернских ведомостях» была опубликована заметка новогрудского жителя Шлифера об изобретенном им новом инструменте. ** В ней сказано: «Обык­новенные счеты не удовлетворяют всем условиям, встречаю­щимся при вычислении в общежитии. Даже усовершенство­ванные тройные счеты далеки от того, чтобы представлять прямо выводы по данным условиям. Нужны были таблицы, по которым бы и незнакомые со свойствами чисел и не при­выкшие к соображению могли легко получить выводы по дан­ным условиям. Это сделано нижеподписавшимся по новой и собственно своей системе в своих механических арифмети­ческих таблицах».60 Прибор представлял собой, следователь­но, набор различных таблиц с механическим приспособлени­ем для выдачи данных этих таблиц. Этот набор включал таблицы сложения, вычитания, умножения, деления, возвы­шения в степень и извлечение корней, таблицы для решения задач на тройное правило, для вычисления процентов на ка ­питал, отданный в рост, и другие. Таблицы продавались по 75 коп. серебром за экземпляр. Аналогичное изобретение бы­ло предложено учителем С. А. Каценелленбогеном из Минска в 70-х годах прошлого столетия. Идея его изобретения заклю­чалась, как и в предыдущем случае, в построении механизма выдачи искомых величин, расположенных в таблицах. Таким образом, этот аппарат относится к классу счетных устройств с табличной основой и механической выдачей числовых дан­ных.

* Вычислительный инструмент типа арифмометра, построенный в сере­дине XVIII в. в г. Несвиже, описан Л. Е. Майстровым и В. Л. Ченакалом: «Счетная машина Евны Якобсона из Несвижа». Материалы VI конферен­ции по истории науки в Прибалтике. Вильнюс, 1965, стр. 27—28.

** На эту заметку обратил наше внимание Л. Е. Майстров.

191

Эти примеры иллюстрируют определенное направление в развитии счетных устройств, которое имело к тому времени уже длительную историю, а во второй половине прошлого столетия получило толчок к расширению сферы исследований и опытов. Практика, однако, показала, что неоспоримым пре­имуществом обладали арифмометр Однера и счетная (лога­рифмическая) линейка. Но мы остановимся на другом счет­ном аппарате. Мы имеем в виду счетный прибор 3. Я. Сло­нимского. * Документальные материалы об изобретении Слонимского были опубликованы в IV выпуске «Историко-ма­тематических исследований» в 1961 г . 62 Из них видно, что изо­бретатель в 1845 г. представлял на рассмотрение в Петербург­скую Академию наук два вычислительных прибора: один — для сложения и вычитания, другой — для умножения и деле­ния. Академия наградила изобретателя половиной Демидов­ской премии. Эта награда была достаточно высокой, ее удо­стаивались первоклассные математические работы, оказавшие большое влияние на развитие математики. Надо полагать, что она была знаком поощрения изобретательской деятельно­сти в области инструментальной счетной техники.

Из этих материалов видно также, что изобретатель годом раньше, т. е. в 1844 г., демонстрировал свои инструменты в Германии и получил хорошие отзывы немецких ученых и премию Берлинской Академии наук.

Принцип устройства инструмента для сложения в несколь­ко измененном виде был реализован в известном счетном приборе Куммера. Различие состоит в том, что в приборе Куммера рабочей частью является система передвигающихся прямолинейных цифровых полос, в приборе же Слонимско­г о — система цифровых кругов. Таким образом, в первом при­боре сложение и вычитание чисел осуществляется с помощью соответствующих операций над прямолинейными отрезками, во втором — над круговыми. К этому прибору в дальнейшем мы не будем возвращаться, тем более что прибор Куммера хо­рошо известен.

Изобретение счетного прибора для умножения системы Слонимского может казаться небольшим эпизодом в развитии инструментальной счетной техники. Действительно, оно не было реализовано промышленностью, прибор не производился и кустарным способом, а стало быть, не был в употреблении. Насколько нам известно, тот принцип, на котором он был по­строен, не находит применения в современных вычислитель­

* 3. Я. Слонимский родился и жил в Белостоке (1810— 1904), был «видным литератором и автором учебника математики». Изобретение счет­ных приборов относится приблизительно к 1840 г. Занимался также кон­струированием телеграфного аппарата.61 Род деятельности Слонимского нам неизвестен.

192

ных машинах. Однако, как показывает история счетных машин, это изобретение не является изолированным в ряду дру­гих и имеет связь со многими предшествующими и последую­щими изобретениями того же назначения.

Этот прибор принадлежит к вполне определенному классу счетных инструментов, который отличается, например, от класса арифмометров как в конструктивном отношении, так и с точки зрения математической теории. Если посмотреть на устройство арифмометров с математической точки зрения, то легко заметить ту их общность, что все они основаны на про­стой идее непосредственного моделирования структуры деся­тичной системы счисления и арифметических операций в этой системе. Следовательно, с точки зрения математической тео­рии их можно считать одинаковыми и отнести к одному клас­су. Математическая теория арифмометроъ прерывного дейст­вия проста и представляет собой арифметику натуральных чисел и сравнений по модулю 10.

Счетный прибор Слонимского для умножения находится в другом ряду счетных устройств, образующих самостоятель­ную ветвь. Основой их являются преимущественно таблицы умножения с кодом выдачи готовых результатов. Сам инстру­мент не производит операций, но выдает лишь табличные данные. Математическая теория этих инструментов различна по содержанию и сложности и зависит от содержания и устройства таблиц. С арифмометрами их, следовательно, нельзя смешивать, от них эти инструменты отличаются су­щественным образом.

Эта ветвь ведет свое начало со времени Джона Непера, счетные палочки которого являются первым инструментом такого рода. Они сводят процесс умножения к сложению од­нозначных чисел, представленных особой таблицей, и тем са­мым значительно его упрощают.

Практически таблица Слонимского используется следую­щим образом. Если мы «введем» в инструмент множимое а> то он «выдаст» числа, кратные а, т. е. а, 2а, За, 4а, 5а, 6а, 7а, 8а, 9а. Этого достаточно, чтобы найти произведение данного множимого а на любое другое число. Сложение частных про­изведений производится особо, например, на счетах.

Счетный прибор для умножения внешне представляет со­бой продолговатый и невысокий ящик размером в дюймах 16X13X2. Внутри ящика помещаются цилиндры, на которых нанесены цифры и буквы. Цилиндры имеют вращательное и в направлении оси поступательное движения. На верхней гра­ни прибора имеется 11 рядов отверстий. В каждом отверстии при работе машины появляется одна цифра или буква. Буквы появляются только во втором и третьем рядах снизу и служат кодом выдачи результатов, т. е. указывают на порядок, в ко-7 Н. Д . Беспамятных 193

тором требуется производить «вычисление». В прочих рядах окошечек появляются кратные данного числа.

В. Я. Буняковский и П. Н. Фусс в отзыве на этот прибор подчеркивали ту мысль, что главное в нем не механизм, а теория, на основе которой прибор построен, что основной частью инструмента является таблица распределения цифр на поверхности цилиндров. Это распределение подчинено тео­ретико-числовой теореме, выражающей одно из свойств фа- реевых чисел. Рассмотрим математическую теорию инстру­мента на основе понятия фареевой последовательности.63

Пусть имеем целое положительное число апап- \ . . . в си­стеме счисления с основанием г. Умножим его последовательно на числа 1, 2, 3, . . . , г — 1 и полученные произведения подпи­шем одно под другим с соблюдением правила разрядов. В ре­зультате получим п + 1 столбцов (свободные места слева за­полним нулями), каждый из которых содержит г — 1 цифр. Расположение цифр в столбце назовем представлением столбца. Умножение на 2, 3, . . . , г — 1 всевозможных чисел порождает бесконечное множество представлений. Однако множество раз­личных представлений будет конечным. Ниже определяется число различных представлений при произвольном основании системы счисления.

Заметим, что представление п-то столбца не зависит от тех цифр, которые в числе расположены левее я-го порядка цифр. Поэтому, рассматривая образование п-го столбца, мы эти циф­ры писать не будем. Далее, представление п-то столбца не из­менится, если вместо целого числа апап_\ . . . а± будем писать дробь 0, апап- \ . . . аг Это позволит установить связь между множеством различных представлений и множеством фареевых дробей, на основе которой решается нами задача о числе пред­ставлений.*

Теорема 1. Если дроби вида 0, ап- \а п- 2 • . . а± удовлетворя­ют условию

— < 0, а„_1а„_2 . . . а± <Я1 ~ г 41+1

где — , -----две соседние фареевы дроби и такие, чтоЯь Я1+\

? , < г — 1, < г — 1, то

[О, а„_1а„_2 . . . ах ■ к] = [ ^ г

* О фареевых последоватетьностях см. А. А. Бухштаб. Теория чисел. М., 1950, гл. 27, «Последовательности Фарея».

194

где к = 1, 2, 3, . . г — 1, т. е. они образуют одинаковые представления.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим обратное: пусть пред­ставления будут различными. Это означает, что существует та­кое к, что

где для краткости через х обозначена дробь 0, ап-\а п~ч — ах.

Очевидно, что — к < — к < [хк\ < хк. Квадратные скобкиI. Яь Яь

означают целую часть числа, заключенного в них. Отсюда: ^ ̂ х ' ^ Р и & ^ г — 1 имеем фареево число из Фг_1

между — и х , что противоречит условию теоремы.Яь

Теорема 2. Дробь — является единственной, порождающейЯь

те же представления, что и дроби 0, ап- \ ап _ 2 . . . удовле­творяющие условию теоремы 1.

С л е д с т в и е . Число представлений, порождаемых дробями 0,ап — 1 ап —2 равно числу всех фареевых дробей Фг —1.

Теорема 3. Число всех представлений определяется значением функции "г-̂ 1„Е 2 ? (п) + 1

где <р (п ) — функция эйлера. | п<

] -

При г — 10 получается результат Слонимского: 10 х

2 ф («) + 11 = Ю (27 + 1) = 280. Систему из 2 Ф (п) + 1п—2 ̂ п= 2

представлений, соответствующих числу Ф9, назовем основной и выпишем ее.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 70 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8

Эта таблица построена следующим образом. Выпишем дроби . 0 1 1 1 1 1 2 1 2 последовательности Ф9: — , -<р -ц-, — , -д-, — ,

7* П06

_ ! _ Л _ _ ? _ А А _ 1 _ А А _ з _ А 2 5 3 73 ’ 8 ’ 5 ’ 7 ’ 9 ’ 2 ’ 9 ’ 7 ’ 5 ’ 8 ’ ~ ’ ~ Т ’ Т ’ Т ’4 5 6 7 8 , , - . лл

ИГ* “б- ’ “Т- ’ 1 Г ’ “ср ^сего Дробей, следовательно, 28. Теориядает также:

<$9 = 2 Ф (л) ~Ь 1 = 28.п —2

Согласно теореме 1 произведения любой дроби, заключенной

между двумя соседними фареевыми дробями — и .^±1, На чи-Я1 <7(-+1

ела 1, 2, . . . , 9 образуют то же представление, что и произве­дения на эти числа фареевой дроби Вычислим для приме­ра значения членов 19-го столбца основной таблицы.

= О

= 1

= 1

= 2

= 3

= 3

= 4

= 5

= 5

Таким образом, получим представление 19-го столбца:0112 3 34

|Г / 5.. - • • 5

196

Так составлены все столбцы приведенной выше основной таблицы. Однако полная таблица, которая нанесена на ци­линдры, состоит из 280 таких столбцов. Что представляют собой остальные столбцы? Поясним на примере. Пусть пере­множается число 7. Кратные этого числа будут: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63. Прибавим к ним числа какого-нибудь столб­ца основной таблицы, например 19-го: 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5. Получим: 7, 15, 22, 30, 38, 45, 53, 68. Первые цифры справа образуют представление. Прибавляя к ним каждый из 28 столбцов, получим 28 представлений. Перебирая множи­мые от 1 до 9 и прибавляя, как в этом примере, каждый из столбцов основной таблицы, мы и получим еще 252 столбца с различными представлениями.

Правило обращения с цилиндрами (сообщение вращатель­ного движения и движения в направлении оси), которое дает возможность получить в окошечках на поверхности инстру­мента кратные данного числа, у Слонимского довольно слож­но. Наиболее простым оно выглядит в приборе (палочках) Иофе, основанном на той же идее (1881 г . ) .64

Если составить таблицу из 1000 столбцов, включающих таблицу Слонимского, то для их выбора можно применить весьма простой алгоритм. Она может быть составлена про­должением обыкновенной таблицы умножения.65 Распреде­лив столбцы в 10 строк по 100 столбцов в каждой строке и объединив по 10 столбцов в группы (таблички), получим вертикальные колонки по 10 табличек в каждой.

Таким образом, на пересечении I-й строки и /-й колонки получим табличку, которую обозначим через 1ц. Каждая таб­личка состоит из 10 столбцов, которые обозначим через где г = 0 , 1, 2, 3, ..., 9.

Следовательно, элементом таблицы будет столбец Зная правило выбора этих столбцов, мы можем получить произведе­ние любого числа на все однозначные. Это правило заключает­ся в циклическом перемещении индексов при 1\ если 0, апап- \ . . . аг — данное число, то положение п-то столбца определяется символом 1апап-\ап- 2* Символ и апап- \ определяет положение нулевого или последнего столбца.

* ** Ч

Попечитель Г. И. Карташевский не проявлял специально­го интереса к постановке преподавания математики в школе, но ему принадлежат два проекта — об организации лицея с физико-математическим факультетом и организации бифур­кационной системы гимназического образования. Начиная со второй половины XIX в. белорусские гимназии и реальные

497

училища работали по министерским учебным планам, про­граммам и учебникам математики. В начале нашего века белорусские учителя рассматривали актуальные вопросы преподавания курса математики в школе и активно содейст­вовали процессу его обновления исходя из принципов Между­народной комиссии по проведению реформы математического образования. Их творческая деятельность в области дидакти­ки и элементарной математики, несомненно, благотворно вли­яла на постановку преподавания математики в гимназиях и реальных училищах.

Г л а в а У. РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СОВЕТСКОЙ БЕЛОРУССИИ

§ 1. СОЗДАНИЕ НОВОЙ ШКОЛЫ В СОВЕТСКОЙ БЕЛОРУССИИ

Советская школа более чем за полувековой период своего существования прошла нелегкий, но славный путь. Из полу­грамотной наша страна преобразовалась в государство с вы­соким уровнем культуры. Осуществлено всеобщее восьмилет­нее образование, успешно реализуется решение XXIV съезда КПСС о всеобщем среднем образовании. Положение матема­тики в советской школе определяется тем высоким значением точных наук, которое они имеют в жизни нашей страны, и от­вечает тем гуманистическим идеалам, на которых строится советская система образования.

Курс школьной математики за истекшие пятьдесят пять лет обогатился новыми идеями, дидактика — эффективными методами его преподавания. Программы и учебники постоян­но совершенствовались в направлении сближения школьного курса математики с наукой, с современными ее идеями и с за ­дачами практики социалистического строительства.

Обстановка в стране требовала коренного преобразования школы. 16 октября 1918 г. было опубликовано «Положение о единой трудовой школе Российской Федерации», провозгла­сившее ее демократические принципы и принятое всеми союз­ными республиками. На этой основе старая школа была реор­ганизована в единую трудовую общеобразовательную школу с преподаванием на родном языке.

Организация школы на новых принципах встретила огром­ные трудности, вызванные, с одной стороны, тяжелым насле­дием царизма в области просвещения и, с другой — тем не­исчислимым уроном, который был причинен школьному делу войнами, навязанными нашей стране. Первая школьная ре­форма проводилась в условиях гражданской войны и борьбы с вооруженной иностранной интервенцией. Военное положение в стране, оккупация ее окраин нарушали планы проведения реформы и в ряде республик задерживали на длительное вре­мя ее осуществление. В таком тяжелом положении оказалась в 1918— 1920 гг. Белоруссия.

199

12 января 1918 г. за подписью А. В. Луначарского было опубликовано распоряжение об упразднении Виленского учебного округа, в состав которого входила Белоруссия, и о передаче его делопроизводства в ведение Исполнительного ко­митета Совета рабочих, солдатских и крестьянских депутатов Западной области и фронта.

С 11 июля 1920 г. начал функционировать (сначала на правах ГубОНО) Народный Комиссариат Просвещения Бело­руссии. Следующий документ показывает ту основу, на кото­рой НКП начал свою деятельность по строительству новой школы: «Годы войны и революции, нашествие белополяков, немцев и различного рода контрреволюционных банд разру­шили нашу народную школу. Школьные здания развалились и нуждаются в ремонте, учебные пособия износились, книги и учебники истрепались, школьные работники изголодались. Нужны были колоссальные усилия, чтобы приостановить дальнейший развал ш кол».1

После окончания войны было принято правительственное решение утвердить следующую систему школьного образова­ния в Белоруссии: начальное образование (4 года), общее по­литехническое (7 лет), подготовка рабочих всех видов промышленности (профшкола — 2 года, временно на базе четы­рехлетней), техникумы (4 года), институты и университет. Для подготовки специалистов из рабочего класса и бедней­шего крестьянства были созданы рабочие факультеты.

Чем объяснить введение этой системы образования с весь­ма ранней специализацией? Основная причина заключалась в том, что начавшееся восстановление народного хозяйства требовало массу квалифицированных рабочих, а также спе­циалистов средней и высшей квалификации. Главпрофобр, занимавшийся решением этой проблемы, руководствовался в своей деятельности следующими положениями:

длительный переходный период от капитализма через раз­руху к социалистическому строительству выдвигает вопрос о профессиональном образовании с небывалой остротой;

техническая революция немыслима без совершенно исклю­чительного развития профессионального образования;

достижение довоенного уровня требует воссоздания уте­рянной квалифицированной рабочей силы как решения перво­очередной хозяйственной задачи.

Противопоставление общего образования профессиональ­ному Главпрофобр считал анахронизмом, так как видел «огромное общеобразовательное содержание в самом изуче­нии профессии».2

Исходя из этого, он предлагал следующие меры:Все высшее образование (в том числе университетское)

реорганизовать на профессиональной основе.

200#

Ввести обязательное профессиональное образование с из­вестного по возможности младшего возраста.

На пути к политехническому образованию, в виде первого шага, максимально профессионализировать общеобразова­тельную школу.

Тесно связать все образование рабочих подростков с про­фессиональным образованием в процессе самого производ­ства.

Создать широкую сеть техникумов всех специальностей.Максимально развить сеть курсов для рабочих при фабри­

ках и заводах.Вопрос о взаимоотношении общего и специального обра­

зования решался на основе следующих положений, приня­тых НКП:

До 15 лет решается общая задача воспитания и развития, причем при изучении общих предметов учитывают требования жизни и будущее специальное образование*

После этого возраста преобладает специальное образова­ние — подготовка в техникумах.

Техникум имеет четырехгодичный курс (15— 19 лет) и дает законченное образование квалифицированного специалиста- практика. По истечении первых двух лет одновременно завер­шается общее образование, позволяющее продолжить образо­вание в высших учебных заведениях.

Школа второй ступени реорганизуется: младшие классы вместе с классами первой ступени образуют Единую Трудовую школу социального воспитания, 2 старших класса преобра­зуются в начальные курсы техникума.3

НКП Белоруссии занимался организацией и расширением сети профессионального обучения. В одном из документов от 31.7.1923 г. читаем:

«Центральный исполнительный комитет Белоруссии, при­знавая сетку профессионально-технических школ недостаточ­ной, предлагает Наркомату просвещения увеличить число профессиональных технических школ с начала следующего учебного года, придав им характер, соответствующий разви­тию местной промышленности и хозяйства».4 Старшие клас­сы средних школ были или ликвидированы, или преобразова­ны в техникумы.

Н. К. Крупская не разделяла столь крайних взглядов на развитие профессионального образования, по существу игно­рирующих перспективу развития общего среднего образова­ния. Приведем основные ее положения, изложенные в до­кладе «Трудовая школа и профессиональное образование»:

«Профессиональное образование является лозунгом дня. Этот лозунг очень часто понимается неправильно... многие склонны игнорировать значение как общего, так и политехни­

201

ческого образования. Оно необходимо и для профессиональ­ного образования, которое должно начинаться с 17 лет. Поли­техническое образование должно предшествовать всякому специальному образованию. Раннее профессиональное образо­вание особенно вредно отражается на здоровье учащихся и вредно скажется на развитии их природных дарований. Еди­ная трудовая школа должна дать ряд научных знаний. Необ­ходимо обратить самое усиленное внимание на постановку математики и естественных наук, причем важны чрезвычайно практические применения этих наук. Развитие графической грамотности имеет также чрезвычайно важное значение».5

По мере освобождения территории Белоруссии от оккупан­тов развертывалась деятельность новой школы. Уже в 1920 г. проходили районные (уездные) конференции работников про­свещения, на которых обсуждались такие актуальные вопро­сы того времени, как реализация принципов трудовой школы, подготовка учителей к работе в новых условиях, построение программы и др.

Замечается усиленный приток детей в школы. По некото­рым районам число детей, желающих поступить в школу, в два раза превосходило число учащихся. Не хватало ни по­мещений, ни учителей.

Д ля характеристики роста численности учащихся приве­дем следующие данные. На 1 января 1914 г. охват детей на­чальным школьным образованием составлял 43,9%. Училось 225 755 детей. В 1924/25 учебном году — 63,2% (340 914 де­тей), в 1925/26 — 66,2% (369 549 детей), в 1926/27 — 69,3% (449 647 детей).

1926/27 учебный год был первым годом планового осу­ществления всеобщего начального обучения в БССР. В 1932 г. этот план был выполнен. Поэтому указанные годы были года­ми значительного повышения численности учащихся и соответственно увеличения числа начальных школ. Процент охвата детей семилетним образованием повышался медленно: отсутствовала материальная база для его развертывания и был недостаточен контингент учащихся для комплектования старших классов, особенно в сельской местности. В старших классах школы училось в 1927/28 учебном году 50 038 уча­щихся. В Минске, Гомеле, Орше, Горках работали рабфаки.

Кроме того, велась активная работа по ликвидации негра­мотности со взрослым населением. Эта задача также была решена в непродолжительное время. В начале 30-х годов Бе­лоруссия уже была республикой сплошной грамотности.

В последующие десятилетия был реализован план всеоб­щего восьмилетнего образования. В настоящее время реали­зуются решения XXIV съезда КПСС о всеобщем среднем об­разовании. В 1971/72 учебном году процент окончивших сред­

202

нюю школу в БССР составлял 81,4. В 1975 учебном году он составит 94,7. «В текущем учебном году в республике в 10 278 общеобразовательных школах обучается 1 723 тыс. учащихся, в 130 средних специальных учебных заведениях— 149 тыс., в 157 ПТУ — 86 тыс. учащихся, в том числе в 26 ПТУ с пол­ным средним образованием — 9,8 тыс., в 28 вузах— 143 тыс. студентов».6

В связи с расширением сети общеобразовательных школ, а также профессиональных училищ и техникумов естественно возникла проблема подготовки педагогических кадров. В Минске сначала был открыт институт народного образова­ния для подготовки кадров от воспитателя детского сада и до учителя средней школы. 11 июля 1921 г. был открыт универ­ситет. Для подготовки учителей начальной школы создаются техникумы. В начале 30-х годов в ряде городов республики открываются педагогические институты.

§ 2. ШКОЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ И УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ В БЕЛОРУССИИ В 20-е ГОДЫ

Для подготовки и проведения школьной реформы при Наркомпросе РСФСР был учрежден специальный отдел, а при нем — секция по реформе школьного курса математики и предметов естественного цикла. В основу реформы, которую подготавливала названная секция, легли три основных прин­ципа. Два из них выражали содержание образования и тре­тий — принцип трудового обучения. Эти принципы составля­ли основу организации математического образования и в дру­гих союзных республиках, в частности в Белоруссии. Их можно сформулировать следующим образом:

1) Повышение научного уровня школьного курса матема­тики, отражение в нем достижений науки.

Границы применимости этого принципа практически опре­делялись программой Международной комиссии по реформе математического образования и решениями Всероссийских съездов преподавателей математики.

2) Связь школьного предмета математики с жизнью, с практикой социалистического строительства.

Первых два принципа сформулированы в редакционной статье в журнале «Математика в школе», где сказано: «Необ­ходимость общей новой разработки педагогических вопросов, когда русская школа вместе со всей русской жизнью пере­страивается на новых основаниях, является совершенно оче­видной. Но для математики, как учебного предмета, имеются и особые причины, вызывающие необходимость в данное вре­мя коренного пересмотра учебных планов, программ и в осо­бенности методов ее преподавания. Такими причинами явля­

203

ются быстрый прогресс самой математической науки, влеку­щей необходимость обновления и пересмотра учебного мате­риала и колоссальное развитие приложений математики в практической жизни...» 7

3) Принцип трудового обучения сформулирован в «Поло­жении о единой трудовой школе»: «Основой школьной жизни должен служить производительный труд не как средство оплаты издержек на содержание детей и не только как метод преподавания, но именно как производительный общественно необходимый труд. Он должен быть тесно, органически свя­зан с обучением, освещающим светом знания всю окружаю­щую жизнь».8 Принцип трудового обучения рассматривался «как основная центральная часть» школьной реформы.

Постановка трудового обучения была предметом особого внимания органов просвещения БССР. Метод преподавания, как наилучшим образом отвечающий принципу трудового обучения, был принят лабораторный. Школьным инструкто­рам предписывалось серьезно обращать внимание на органи­зацию в школе образовательно-воспитательных институтов, как-то: лабораторий, мастерских, ферм, опытных полей, ого­родов и т. д. Были разработаны «Принципы и условия сту­дийно-кружковой школьной работы»: «Студийно-кружковая система школьной работы, связанная с использованием ак­тивно-лабораторного метода образования и осуществлением принципов самодеятельности и индивидуализации, призвана заменить собой традиционные классно-урочную и аудиторно­лекционную системы с их методами пассивного и вербально­го обучения».9

Таким образом, в основу учебной работы был положен также принцип творческой активности учащихся. Предмет­ная система не отрицалась: за «энциклопедией знаний», кото­рая изучается на первой ступени, следует систематическое изучение каждого предмета под руководством специалиста. В процессе обучения рекомендуется применять индивидуаль­ный подход к учащимся, но при сохранении духа коллекти­визма. Даровитым ученикам дозволяется раньше оканчи­вать школу и поступать в высшие учебные заведения. Но рекомендуется большее внимание обращать на слабых учащих­ся, нежели сильных: «Пусть лучше не сразу удастся нам осу­ществить меры в пользу особо преуспевающих, но пусть ни в каком случае отсталые не остаются без особцх забот школы» .10

В основу периодизации преподавания математики в совет­ской школе естественно положить смену действующих про­грамм и именно тех, которые существенным образом отра­жают потребности экономической и культурной жизни рес­публики. С этой точки зрения деятельность новой школы

204

в первые годы Советской власти можно отнести к первому периоду; он характеризуется построением первых пробных программ по математике. В противоположность дореволюци­онным эти программы отражали передовые идеи века, но гражданская война и интервенция помешали их реализа­ции.

Начало второго периода следует датировать временем вы­хода в свет программ, построенных на основе программы ГУСа (1923— 1924 гг.). В противоположность первым это были вполне реальные программы, по ним работали школы. Они допускали местное творчество, особенно использование краеведческого материала, но были ориентированы на комп­лексную систему преподавания в начальной и отчасти в се­милетней школе. Школа обеспечивалась новой учебной и ме­тодической литературой.

Началом нового этапа является реорганизация постановки преподавания математики на основе исторических решений ЦК ВКП(б) о школе в начале 30-х годов. Школа перешла на стабильные программы и учебники. Отличительной особенно­стью следующего этапа является усиление связи теории с практикой в школьном курсе математики.

Наконец, современный этап характеризуется переходом на новые программы, представляющие собой значительный шаг вперед в направлении связи школьного курса с наукой и прак­тикой. Эти новые программы были разработаны специальной комиссией Академии наук СССР с участием Академии педа­гогических наук СССР.

Процесс развития программ является объективным, детер­минированным. Главными факторами, определяющими этот процесс, являются: уровень развития математики, требования практики (в широком смысле этого слова) и требования воз­растных особенностей учащихся.

Эти положения в своей совокупности составляют основной критерий для оценки школьного учебного предмета матема­тики.

В мае 1918 г. в секцию реформы были представлены до­клады о преподавании математики, и некоторые из тех поло­жений, которые в них были высказаны, легли в основу про­граммы деятельности школы в области математического об­разования.

В одном из докладов утверждается, что поскольку «глав­ной целью общего образования в новейшее время ставится не приобретение учащимися суммы полезных сведений и логи­ческого аппарата, а возбуждение в них духовной самодеятель­ности и жажды к самостоятельной умственной работе, то по­добная же цель должна быть поставлена и преподаванием математики». п

205

В соответствии с этим взглядом главную роль в образова­нии должна играть не программа, а метод преподавания. При этом автор отрицает формальную и материальную цели, с точ­ки зрения которых оценивались программы в дореволюцион­ное время.

В другом докладе математика рассматривается как сред­ство систематизации опыта. Если это понимание перенести на школу, то математическое образование должно быть «венцом, а не началом образования». Прежде дети должны накопить некоторый опыт, чтобы потом его изучать, применяя матема­тические методы. Поэтому, как утверждает докладчик, в шко­ле первой ступени не должно быть самостоятельного предмета математики, она должна проникать «по возможности во вся­кую школьную работу».12

В этом докладе высказана, хотя еще и не в стройном виде, новая концепция, заключающаяся в отрицании самостоятель­ности курса математики как особого школьного предмета, и которая в 20-х годах получила теоретическое развитие и ча­стичное применение в практике работы семилетней школы.

Эта концепция логически вытекала из одностороннего взгляда на математику как прикладную науку, который раз­деляли тогда некоторые из методистов, влиявших на ход ор­ганизации математического образования. Справедливо отме­чалось, что математика является наукой, которая отражает в абстрактной форме реальные закономерности, и поэтому она приложима к изучению окружающего нас мира. Она служит целям изучения природы, экономики и т. д. Но из этой посыл­ки строился неверный вывод: математика не имеет самостоя­тельного объекта изучения и является сугубо прикладной на­укой. На этом основании и школьному курсу математики при­писывалась служебная роль. Его задача, как утверждалось, должна состоять в том, чтобы вооружить учащихся методами изучения практических проблем, с которыми они встречаются в школе и встретятся в жизни после ее окончания.

Эта методологическая концепция оказала позднее влияние на построение программы по математике в Белоруссии, выра­зившееся в том, что теоретическая и прикладная стороны кур­са школьной математики были сбалансированы в ущерб его логическому строению, теории. В новые программы было включено много новых фактов, актуальных вопросов и идей, но за счет снижения строгости изложения и усиления в препо­давании роли эмпирического начала.

Этот взгляд на школьный предмет математики служил в свою очередь логической основой того, что ее изучение в школе должно быть связано с изучением труда.

Труд — основной предмет, все другие предметы изучают­ся в связи с изучением труда и его истории. Лабораторный

206

метод, разработанный частично до революции, вводился в ка­честве основного метода изучения математики, как наилуч­шим образом отвечавший этой новой педагогической док- трине.

Трудовой принцип был положен в основу построения пер­вых программ для начальной школы с тенденцией провести его последовательно в старших классах, но на более позднем этапе ее развития.

Проект первой программы по математике для I ступени единой трудовой школы, разработанный секцией математики отдела реформы и опубликованный в 1918 г., радикальным образом отличался от старых дореволюционных программ и совершенно по-новому рассматривал проблему начального математического образования.13

Проект предусматривал: параллельное изучение арифме­тики и геометрии начиная с первого класса; практические ра­боты по измерению величин (в русской и метрической систе­ме мер);

в связи с измерением введение понятия о приближенном числе, операций над приближенными числами и способов оценки погрешностей;

исключительное внимание к понятию функции и ее графи­ческому представлению (в плане пропедевтическом);

для сельских школ — большой комплекс землемерных упражнений;

для городских школ — курс черчения, который включает знакомство с машинами;

сведения по истории математики.Весь учебный материал теснейшим образом связывается

с жизнью, с изучением народного хозяйства, природы. Про­грамма была рассчитана на воспитание у учеников активно­сти, самодеятельности, настойчивости и т. д. К недостаткам следует отнести прежде всего ее перегрузку. Кроме того, не учитывалось реальное положение дела в школе: учитель не был подготовлен к реализации этой программы и отсутство­вали отвечающие ей учебники.

В списке книг, которые рекомендуются программой, отсут­ствуют те, которые применялись в гимназиях. Зато в него были включены учебники, которые в той или иной мере отра­жали новые идеи в области школьной математики (Астряба, Извольского, Карасева, Долгушина, Лебединцева и др.)*

Первоначально планировалось построить школу с фурка- цией. Предполагалось, что дети с 14 лет «должны разделиться на несколько путей или факультетов, так, однако, что многие основные предметы остаются объединяющими всех учеников и преподавание на каждом отдельном факультете после поли- фуркации является только более ярко окрашенным в тот или

т

иной специальный цвет». Сектор реформы Министерства про­свещения РСФСР разработал проекты программ для трех отделений. Приведем в сокращенном виде проект программы по математике для естественно-математического отделения. 14

Множество рациональных чисел. Непрерывность и ирра­циональные числа. Исторический очерк развития учения об иррациональном числе. Действия над иррациональными чис­лами. Теорема Вейерштрасса. Основные положения о преде­лах. Ряды. Критерий сходимости Д ’Аламбера. Показательная и логарифмическая функции, число е. Непрерывные и раз­рывные функции. Эмпирические функции. Понятие об интер­полировании и экстраполировании. Периодические функции. Понятие о гармоническом анализе. Математика как орудие исследования природы. Экономизирующая роль ее. Историче­ский очерк развития анализа. Дифференцирование и интегри­рование элементарных функций одной переменной. Квадрату­ра кривых. Ряд Тэйлора и Маклорена. Перестановки и соче­тания. Происхождение теории вероятностей. Приложение тео­рии вероятностей к статистике. Обработка экспериментальных данных.

Дополнение. Уравнения поверхностей второго порядка в канонической форме. Касательная плоскость и нормаль.

Программа для философского отделения содержит вопро­сы, относящиеся к развитию понятия о числе — от натураль­ного до комплексного включительно.

Проект обязательного минимума включал: организацион­ные и статистические расчеты, равенство и подобие фигур, элементы проекционного черчения, линейную и квадратную функции и уравнения, метрические соотношения в треуголь­нике, решение треугольников, геодезические измерения, кони­ческие сечения, принцип Кавальери, вычисление площадей и объемов, тригонометрические функции, логарифмы, понятиео пределе, основные идеи дифференциального и интегрально­го исчислений.

Весь курс теснейшим образом связывается с задачами практики и другими науками (построение эмпирических функций, сложение и разложение сил, равновесие рычага, давление на опоры, центр тяжести, приближенные вычисле­ния, движение тела по наклонной плоскости, падение тел, струя жидкости, способы передачи движения, географические координаты, измерения земного шара, орбиты планет, опреде­ление работы теплового двигателя, логарифмическая линейка и др.).

Интересны общие методологические вопросы изучения ма­тематики, которые рассматриваются в «Объяснительной за ­писке» к проекту.15

«На первой ступени обучения учащиеся приобретают те

208

навыки и умения из области математики, необходимость ко­торых диктуется трудовым^ процессами и изучением жизни людей и природы. На второй ступени обучения учащиеся вво­дятся в производительную жизнь страны, вместе с тем значи­тельно расширяется изучение природы и жизни общества, ши­роко производится процесс обобщения и выявления основных законов, в которых синтезируется наше знание и закладывает­ся прочный базис научного мировоззрения. В связи с расши­рением общего кругозора учащихся расширяется область применения математики как орудия усследования мира.

Школа не может поставить своей целью сообщение уча­щимся тех или иных знаний, учитывая их жизненно-практиче- скую полезность, потому что предвидеть, какие именно зна­ния окажутся наиболее полезными для будущего, абсолютно невозможно, а развитие интеллектуальных способностей до­стигается... самостоятельной работой над теми проблемами, которые занимают учащихся.

Школьным работникам следует иметь в виду иную зада­чу — развить у учащихся способность и привычку к самостоя­тельной работе, к самостоятельному мышлению, творчеству. Поэтому занятия по математике должны заключаться глав­ным образом в самостоятельных работах учащихся — докла­дах, рефератах, коллективных собеседованиях. Стимулы к этим занятиям следует искать в изучении природы и жизни общества... Так, квадратная функция в плане появляется из исследования движения падающего тела, линейная — из ана­лиза равномерного движения и т. д.»

Некоторые из высказанных здесь положений имели для новой школы актуальное значение, как, например, о роли са­мостоятельной работы учащихся, хотя оно и гиперболизиро­вано, о приложениях теоретического материала к практике,о проблеме полифуркации. Но абсурдность посылки об «абсо­лютной невозможности» предвидения очевидна: школьные знания служат существенной компонентной деятельности че­ловека, которая изменяется под влиянием этой деятельности и развития науки. Следовательно, прогнозирование образова­ния составляет часть общей проблемы планирования экономи­ки и науки. Если стать на точку зрения авторов «Записки», то следует признать невозможной работу по прогнозированию образования.

Несмотря на недостатки первых программ по математике для средней школы (главным образом перегрузка новым ма­териалом, слабое внимание к развитию навыков), которые могли бы быть легко устранены в работе, в идейном отно­шении, в отношении содержания они представляют собой за ­мечательный документ, отражающий ту революционную эпо­ху, которую переживала наша страна в эти годы. Но условия

,209

гражданской войны и интервенции не дали возможности их реализовать на практике.

В этот период развернулась методическая деятельность. Следует заметить, что многие из тех проблем школьной мате- матики, которыми занимаются в настоящее время, возникли еще в первые годы Советской власти (связь учебного материа­ла с жизнью, «алгебраизация» арифметики, введение геомет­рических преобразований, введение начал анализа и аналити­ческой геометрии, а также элехментов теории вероятностей и другие вопросы). В зтодо отношении примечательна деятель­ность ряда белорусских учителей, о чем будет подробно сказа­но ниже.

Примерные программы семилетней школы как основной общеобразовательной школы в Белоруссии были разработаны на основе программы НКП РСФСР и изданы в 1922 г. 16 Программа по математике имела ту главную особенность, что материал арифметики, геометрии и алгебры был распо­ложен в ней параллельно, что указывало на необходимость изучения этих предметов во взаимной связи, «без перегоро­док между различными предметами математики». В ней мы видим первую попытку реализовать принцип единой матема­тики.

В «Предварительных замечаниях» указывается, что «не­допустимо обособленное изучение, например, арифметики без простейших обобщений алгебраического характера, без при­ложений ее к геометрии. Не должно быть резкого перехода» от одной из этих наук к другой, который произвел бы перево­рот в математическом миросозерцании ребенка... Поэтому в программе указаны те части арифметики и геометрии, кото­рые могут быть разработаны в тесной связи. Материал ж е алгебры слит с арифметикой».17

Воспроизведем эту программу в сокращенном виде.1-й год обучения. Арифметика. Изучение чисел в преде­

лах 10.Геометрия. Образы треугольников, многоугольников.Арифметика. Нумерация до 20. Уравнения типов: х + 3 = 7,.

х —5 = 5, 3 • х = 12, х • 5 = 20, х : 4 = 3, 1 5 :х = 3.2-й год обучения. Арифметика. Действия с целыми числами

в пределах 100. Взвешивание. Решение уравнений. Таблица умножения. Замечание о переместительности умножения в связи с измерением площадей. Доли единицы. Действия с ними. Действия с целыми числами в пределах 1000.

Геометрия. Практические измерения длины, куб, прямой угол, параллельные прямые. Черчение и вырезывание. Со­ставление из квадратов прямоугольника, из кубов — столба. Площадь прямоугольника, объем призмы. Эталоны мер.

3-й год обучения. Арифметика. Действия с числами в пре­

210

делах 1000. Простейшие дасятичные дроби. Уравнения типа: 5х + 8 = 38, 47 —5х=12 и т. д. Нахождение дроби числа и чи­сла по данной его части.

Геометрия. Квадрат и прямоугольник. Действия с отрез­ками. Плоскость, прямой угол. Эккер. Построение на местно­сти с помощью вех прямоугольника заданных размеров. Мет­рические меры. Развертка куба. План, масштаб. Съемка пря­моугольного участка земли и определение его площади по плану.

4-й год обучения. Арифметика. Признаки делимости. НОК и НОД. Меры веса. Удельный вес. Простые дроби (пропедев­тический курс). Буквенные обозначения площади треугольни­ка и объема трехгранной призмы. Проценты. Уравнения. Д е ­сятичные дроби. Запись свойств с помощью букв.

Геометрия. Съемка плана прямоугольного участка земли. Квадратные метрические меры. Сравнение их с русскими. Призма. Симметрия.

5-й год обучения. Арифметика. Решение арифметических задач в общем виде. Начала алгебры.

Геометрия. Измерение углов на местности. Подобие тре­угольников. Параллелограмм. Ромб. Правильные много­угольники. Площадь круга. Цилиндр. Съемка плана, изме­рение высоты предмета и возвышения одного предмета над другим.

6-й год обучения. Алгебра. Действия с многочленами. От­носительные числа. Дроби. Уравнения первой степени. Извле­чение квадратного корня по приближению.

Геометрия. Систематический курс (до вписанных и опи­санных многоугольников, с включением понятия о пределе и бесконечно малой величине).

7-й год обучения. Алгебра. Системы уравнений первой сте­пени. Линейная функция и ее график. Графическое решение системы двух линейных уравнений. Понятие о функциональ­ной зависимости. График квадратной функции. Графическое решение уравнения х2 = а. Приближенные вычисления. Пре­образование радикалов. Квадратные уравнения. Прогрессии.

Геометрия. Пропорциональные линии в круге, «золотое» сечение. Вычисление высот и медиан треугольника по сторо­нам. Задачи на построение. Правильные многоугольники. Формула удвоения, число л. Вычисление площадей, формула Герона. Простейшие случаи преобразования фигур. Теорема Пифагора. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей.

Хотя в целом программа по второму концентру мало чем отличается от традиционной, тем не менее она акцентирует внимание на изучение таких важных вопросов, как понятие функции, действия с приближенными числами и практические

211

работы по геометрии. В соответствии с этой программой были подготовлены учебники и пособия, на которых мы сейчас и остановимся.

Деятели реформы отрицательным образом относились к употреблению учебников в школе. «Коллегия Отдела рефор­мы школы находит, что учебники должны быть вообще изгна­ны из школы. Рекомендуется каждой школе обзавестись биб­лиотекой, которой могли бы пользоваться как учащие, так и учащиеся. В библиотеке должны находиться книги для чтения как беллетристического, так и научного содержания».18 Про­граммы содержали реестры таких книг по математике, кото­рые не представляли собой систематических учебных курсов. Это были книги по математическим развлечениям, по методи­ке, истории математики и задачники.

Трудно, конечно, понять те мотивы, которыми руководст­вовались деятели реформы, отвергая употребление учебников. Надо полагать, что они всерьез верили, что можно получить математическое образование, занимаясь чтением разнообраз­ной популярной литературы по математике. Если бы они этим хотели избежать проникновения в новую школу старых учеб­ников, то декларировали бы необходимость создания новых, причем с указанием принципов их построения. Факт отрица­ния роли учебников и замены их популярными книгами явля­ется дополнительным подтверждением высказанного ранее положения об отсутствии внимания к логической стороне кур­са школьной математики.

К счастью, эта точка зрения на учебники была непродол­жительной. Уже в 1923 г. отношение к этому вопросу меняется коренным образом: учебники нужны, но новые. В этом отно­шении были приняты соответствующие решения на совмест­ном совещании представителей союзных министерств в 1923 г. по докладу О. Ю. Шмидта. Эти решения сводились к вопросу об унификации школьных учебников для всех республик Со­ветского Союза. Вот один из основных пунктов этих решений:

«Признать необходимым согласование деятельности мето­дических органов НКП-ов и, в частности, выработку единой линии, единых требований по отношению к выбору учебни­ков». 19

В Белоруссии дело с учебными пособиями в связи с пере­ходом преподавания на белорусский язык чрезвычайно1 осложнилось. В рекомендательных списках указывалась та разнообразная учебная литература, какой располагали шко­лы. Это известные учебники и задачники Арженикова, Голь- денберга, Васильева, Малинина и Буренина, Верещагина,. Киселева, Гебеля, Виноградова, Шапошникова и Вальцова, Вульфа, Давидова, Трейтлена, Вулиха, Рашевского, Рыбки­на и др.

212

В 1921 г. была создана комиссия по выработке математи­ческой терминологии, разработка которой была завершена изданием белорусско-русского математического словаря в 1927 г . 20

Вместе с этим было предпринято издание ряда русских учебников и задачников в переводе на белорусский язык. По геометрии был издан перевод «Учебника геометрии для шко&

С. В. Волоскович. Т. О. Лукашевич.

первой ступени» Ф. Г. Миккельсара, представляющего собой учебное пособие по пропедевтическому курсу геометрии, вы­шедшее в 1916— 1917 гг. в Риге.21 По теоретическому курсу был издан учебник геометрии Киселева, а также его курс алгебры и задачники Рыбкина. *

В 1922 г. были изданы на белорусском языке задачник по арифметике для начальной школы и «Методика арифметики» С. В. Волосковича и Т. О. Лукашевича.22

Задачник охватывал полный курс арифметики и содержал ряд новых вопросов, как-то: построение диаграмм и задач по данным таблиц, решение уравнений начиная с первого клас­са, переход от числовых выражений к буквенным, имеющим целью подвести учащихся к изучению алгебры, и др.

Подробнее остановимся на методике арифметики этих ав­торов. В предисловии они формулируют троякую цель препо­давания математики в школе: образовательную, воспитатель­ную и практическую. Образование определяют те математи-

* Некоторые из них были изданы в Вильно.

213

ческие идеи, которые вырабатываются у ученика в процессе обучения. Вторая цель заключается в воспитании разумных привычек и математического мышления: обоснованность, ло­гичность в суждениях, сжатость выводов, обобщение, установ­ление связи между явлениями. Практическая цель — выра­ботка привычек обращаться к мере и числу. Систематичность

^изучения математики является одним из тех условий, которые позволяют достигнуть указанных выше целей.

Авторы относятся отрицательно к модным педагогическим доктринам того времени. По мнению авторов, преподавание математики должно строиться на основе целостности курса и его плановом построении в соответствии с законами разви­тия детского интеллекта. Арифметический материал должен удовлетворять требованиям детской психологии, современной культуре, практике и в то же время обеспечивать развитие формально-логического мышления учащихся. Понятие о числе и простейших операциях должно исходить из чувственных восприятий и приобретаться на предметных вещах. Предпоч­тительным методом работы является лабораторный. Авторы критически и по-деловому подходят к оценке методов препо­давания в старой школе.

Волоскович и Лукашевич построили своеобразный, не тра­диционный школьный курс арифметики и его методики как в отношении содержания, так к структуры. Существенной его особенностью является параллельное изучение целых чисел, десятичных дробей и метрической системы мер. Необходи­мость в учебнике они отрицали и изложили курс арифметики на задачах. Перечислим некоторые интересные моменты это­го курса. Дети знакомятся со знаками «больше» и «меньше» уже при изучении первого десятка, при изучении чисел в пре­делах 100 — с простейшими обыкновенными дробями, при изучении действий над числами любой величины — с десятич­ными дробями и метрической системой мер. Изучение деся­тичных дробей связывается со структурой системы счисления. Систематическое изложение обыкновенных дробей следует после изложения десятичных. С 1-го класса вводятся уравне­ния. Обращается внимание на законы арифметических дей­ствий.

По нашему мнению, этот курс арифметики (и его методи­ка) заслуживает высокой исторической оценки. Хотя идеи курса нельзя назвать вполне оригинальными, так как они в той или иной степени были отражены в учебно-методиче­ской литературе и частично были реализованы в практике школы ранее (А. Я. Глаголева, Петроград), тем не менее стройное и систематическое их воплощение в задачнике и ме­тодике, а также их применение авторами в практике препо­давания дают достаточное основание для такой оценки. З а ­

214

метим, что такие вопросы, как раннее введение уравнений, изучение десятичных дробей ранее обыкновенных, заново при­влекли внимание современных методистов. Поэтому историче­ский опыт белорусской школы по этим вопросам представля­ет несомненный интерес.

В числе первых на белорусском языке был учебник эле­ментарной алгебры А. Круталевича, изданный в 1922 г. (пер­вая часть) и в 1924 г. (вторая часть) .23 Эта работа была вы­полнена наспех и не отличалась высоким качеством, тем бо­лее оригинальностью. В предисловии автор говорит, что он стремился к наглядному преподаванию и поэтому обратил внимание на геометрическую интерпретацию и графики. Во второй части изложены вопросы, относящиеся к линейной н квадратной функциям. Понятие логарифма не рассматривает­ся с функциональной точки зрения, отсутствует знакомство с показательной функцией. Теория уравнений и неравенств излагается вне связи с понятием функции.

В «Алгебре» Круталевича имеются задачи и примеры* часть из которых заимствована из известных задачников того времени. Задачи нельзя считать удачными: они не отражали новых явлений в социальной жизни (задачи о купцах и ра­ботниках). Но несмотря на недостатки, учебнцк Круталевича находил некоторое применение в школе. К числу его досто­инств следует отнести внимание к изложению понятия функ­ции, теории неравенств и применению аппарата теории опре­делителей.

Программы ГУСа в истории нашего просвещения получи­ли отрицательную оценку. Причиной такого отношения к ним является то обстоятельство, что они ориентировали на препо­давание по комплексной системе. Эти программы служили основой для составления аналогичных программ в других со­юзных республиках, в частности в Белоруссии.

Программы ГУСа 1923— 1925 гг. для первой ступени нель­зя назвать таковыми в нашем смысле слова. Это были по­дробно разработанные «схемы» изучения трудовой деятель­ности человека, истории труда и общественной жизни людей, связанной с трудом. Математика в этих схемах совсем не вы­ступала в качестве самостоятельного предмета, она в них со­держалась в виде совокупности изолированных вопросов и: тем, связанных с изучением трудовой деятельности людей и подчиненных этому изучению. 24

Работа по этим схемам в преподавании, по мысли их ав­торов, должна была помочь преодолеть ту разрозненность между школьными предметами и тот отрыв предметов от жизни, которые были характерны для старой школы. В изу­чении труда, как в фокусе, концентрируется изучение всех школьных дисциплин, существовавших прежде самостоятель­

(215

но. Схема, по которой распределялся учебный материал, име­ла три колонки:

Природа Трудовая деятельность человека Общественная жизнь, ее история

Такое построение имело свою логику: в центре изучения находится трудовая деятельность человека, направленная на использование богатств природы, следовательно, должны изу­чаться природа и человек как явление природы; с другой сто­роны, труд приводит людей к общественной жизни, отсюда — изучение истории общества.

Материал, относящийся к математике, содержался в сред­ней колонке, поскольку человек в процессе труда использует математику как средство, как орудие для изучения природы и ее покорения.

Материал в колонках расчленялся на отдельные темы, свя­занные с явлениями природы. Например, в теме «Наступление зимы» ученики изучали деятельность людей ранней зимой, природу этого времени. Они «наблюдают, записывают, чита­ют, рисуют, лепят, производят математические вычисления». *

Материал по классам был распределен так, что сначала изучался труд, близкий и знакомый детям,— труд в школе,

б семье. Затем этот круг постепенно расширялся и уже в третьем классе охватывал краеведческий, а в четвертом — «мироведческий» материал.

Положение математики в этой системе изучения было под­чинено установке, что она не должна изучаться в школе как самостоятельный предмет, «она должна являться упражнени­ем детей в счете и измерении изучаемых ими реальных вещей. Подобный ход работы заставляет нас поэтому отказаться от строгой системы и постепенности развития математических представлений и навыков, как это было в старой школе и как это бывает часто теперь. Подчиняя математику жизни, считая ее роль служебной, мы пользуемся ее языком, ее символами для того, чтобы эту жизнь понять, преобразовать».25

Так, например, в «центр внимания» программы 5-го клас­са предлагается включить две темы: элементарные землемер­ные работы, связав их с геометрией и черчением, и статисти­ческое изучение деятельности людей, проведя для этого спе­циальное обследование с помощью учащихся.

* По теме «Признаки приближения весны» производилось решение (в •связи с увеличением продолжительности дня) задач на время, строились расчеты, связанные с построением скворечников.

216

Вопросы о закономерностях природы приводят к изучению физики, химии, астрономии. «И все сие поставить в связь с выяснением того, что такое алгебра, о значении алгебраиче­ских обобщений, формул, о переводе закономерных явлений на алгебраический язык.» 26

В «Общих замечаниях» указываются два положения:1) «Материалом для проработки курса математики дол­

жны главным образом служить работа и жизнь, окружающие учащихся. Этим... материалом не следует пользоваться как иллюстрацией..., наоборот, на нем должны проходиться соот­ветствующие отделы; лишь потом для приобретения достаточ­ной техники в действиях следует пользоваться задачни­ками». 27

2) Хотя материал подразделен на предметы (алгебра, арифметика, геометрия), но предлагается параллельное их изучение в связи с каким-либо практическим вопросом. Н а­пример, «при изучении участка земли мы строим его, опреде­ляем его форму (геометрия), изучаем размеры (арифметика, геометрия), находим точность результата (арифметика), стремимся дать общую формулу для решения задач подобно­го типа (арифметика, алгебра) и учим находить какой-либо из элементов по остальным данным (составление алгебраиче­ских уравнений)».28

Анализируя эту программу, мы видим в ней много нового, интересного, полезного для общего математического развития и для подготовки учащихся к трудовой деятельности. Главная особенность программы — тесная связь с жизнью, стремление дать ученикам навыки применять математику в жизни. Этим объясняется раннее введение геометрии (курса чисто опытно­го), раннее знакомство с системой мер и техникой измерения, с понятием погрешности и приближенными вычислениями. Хотя программа была и перегружена, но она не рассматрива­лась как обязательная, твердая, с определенным перечнем прочных навыков.

Главная ошибка авторов этих программ заключалась в игнорировании исторического опыта школы. Действительно, слабый эффект комплексной системы объясняется тем, что была нарушена логическая последовательность в изучении предмета, был забыт так называемый принцип систематично­сти, сложившийся в результате длительного исторического опыта и обоснованный этим опытом как принцип, как опреде­ленное требование, выполнение которого обязательно при всякой разумной организации преподавания любого предме­та, в частности математики.

Программы старших классов средней школы составлялись также с учетом нового направления в педагогике. Наилучшей из них была программа, изданная в Ленинграде в 1925 г.29

217

Эта программа в целом производит хорошее впечатление, она насыщена вопросами, которые в совокупности составляют главную проблему школьной математики, по крайней мере, первой половины нашего века. Она вводит для систематиче­ского изучения большой перечень новых и важных вопросов, как, например, понятие производной, понятие геометрического преобразования, понятие вектора (в тригонометрии, которая отнесена к алгебре). Понятие функции играет центральную роль во всем курсе алгебры. Помимо общеобразовательных задач, на курс математики возлагалась подготовка учащихся к практической деятельности. Поэтому в него включались вопросы из техники, архитектуры, землемерия, сельского хо­зяйства. Но, к сожалению, она не получила должного отра­жения в практике, и в частности в Белоруссии, где общее образование завершалось семилетней школой.*

Программы 1927 г. не имели целью реформировать обра­зование, тем не менее они содержали некоторые существен­ные особенности и были обязательными.

Здесь мы встречаем уже иной взгляд на математику, а именно, как на науку, имевшую свой собственный предмет исследования.30 Школьная математика рассматривается как самостоятельная дисциплина, сознается необходимость строго логической системы ее изложения («методической последо­вательности»), высказывается мысль, что комплексная систе­ма находится в противоречии с требованием систематического курса математики, тем не менее программа не отказывается от применения этой системы и по-прежнему односторонне трактует математическое образование в семилетней школе, как утилитарное: «Математика в школе есть дисциплина, практически нужная учащимся, орудием которой он должен приучиться пользоваться в школе и после школы — в повсе­дневной жизни, в любой своей последующей деятельности».31 Отсюда вытекают общие принципы, на которых строится про­грамма.

1) Математика должна стать орудием в руках учащихся для практического применения ее во всевозможных случаях, встречающихся в обыденной жизни.

2) Школа должна дать учащимся умение сформулировать на языке математики вопрос, задачу, проблему на основе данных или добытых в работе значений величин.

Эти общие положения конкретизируются по каждому из предметов. Так, например, по арифметике «учащиеся должны совершенно свободно, не задумываясь на отдельных вычи­слениях, оперировать целыми и дробными числами любой

* Впрочем, после присоединения Витебской и Гомельской областей в Белоруссии было несколько полных средних школ.

218

величины, уметь осмысленно производить действия с прибли­женными числами, бегло считать устно».32 И далее: «Отдел уравнений, как специфическая часть алгебры, начинается с простейших случаев, еще в связи с прохождением арифме­тики на 5-м году обучения и постепенно расширяется, охваты­вая квадратные уравнения. В связи с этим отделом стоит изучение простейших функций, хотя и весь курс математики должен быть в достаточной степени пропитан разбором функ­циональных зависимостей».33 По геометрии — «ясное пред­ставление реального пространства, знание самых основных взаимоотношений в этом пространстве, причем в школе-семи­летке имеется в виду главным образом изучение плоских фигур; формулы же объемов и поверхностей тел даются часто без всяких доказательств. В связи с курсом геометрии ста­вятся и некоторые геодезические работы самого простого типа»... Значение систематического курса геометрии в семи­летней школе отрицается.34 Преподавание было построено на «опытно-индуктивной» основе.

Курс геометрии имел раздел тригонометрии с теми мини­мальными сведениями, которые необходимы для решения пря­моугольных треугольников.

Программы 1927 г. указывали четыре последовательных уровня «комплексирования»:

1) Составление задач по комплексной теме, отражающих связь математики с жизнью.

2) Связь с другими предметами. Здесь математика высту­пает как прикладная отрасль знания.

3) Вопросы комплексной темы служат исходным момен­том для изучения того или иного математического вопроса.

4) Математика ставит ряд конкретных проблем, помогаю­щих изучению комплексной темы. Выбираются также темы, которые требуют применения математики.

Авторы программ рекомендуют учителю опираться в пре­подавании на метод фузионизма.

Эти программы имели много нового, интересного и полез­ного материала для развития умственной деятельности уча­щихся и их подготовки к практической деятельности, но они ориентировали преподавание математики в семилетней школе строить на чисто эмпирической основе.

Критика этих программ касалась как общих установок, так и методов преподавания. Она осуждала тенденцию, ведущую к ликвидации школьного предмета математики, и методы преподавания математики, вытекавшие из комплексной си­стемы работы школы. Отмечалось, что применение этих ме­тодов привело к снижению уровня математической подготовки учащихся.

Для ряда методистов и преподавателей математики аб­

219

сурдность этих нововведений была или очевидна с момента их введения, или же убеждение в этом пришло с первым опы­том. Постепенно складывалось такое мнение, что от этих методов следует решительным образом отойти. Этот шаг был сделан в 1931 — 1933 гг., когда они были осуждены ЦК ВКП (б) и указаны пути дальнейшего развития советской школы.

Программы НКП Белоруссии в принципиальном отноше­нии не отличались от программы ГУСа для семилетней шко­лы, тем более что они составлялись на основе этих последних. Как и в Российской Федерации, они также предусматривали изучение математики по комплексному методу, который полу­чил распространение главным образом в школе первой сту­пени. Однако такие основы, на которых строились прежние курсы школьной математики, как систематичность и науч­ность, в старших классах семилетней школы здесь были нарушены. Программы и соответствующие им пособия совсем не имели в виду дать в семилетней школе систематическое и научное изложение математики. Программы содержали перечень вопросов и фактов, которые требовалось изложить учащимся, указывали пути и способы их практического при­менения, не заботясь при этом о логическом изложении.

Новая программа с ориентацией на комплексную систему изучения математики была создана в Белоруссии в 1926 г. и после переработки «в направлении дальнейшего развития тех основных положений, которые были определены реформой преподавания математики в начале XX столетия», в 1927/28 учебном году была введена в действие.

В этой программе не выражалось стремления дать уча-I щимся теоретическое образование, развить у них начала де­

дуктивного мышления, чтобы они могли впоследствии полу­чить специальное научное образование, а отражалась одна забота — дать им навыки использования не связанных в логи­ческую цепь математических фактов в будущей их практиче­ской деятельности в промышленном производстве и в сель­ском хозяйстве. Эта тенденция белорусских программ носит на себе печать главной идеи времени — о преимущественном развитии профессионального образования,— нашедшей в Бе­лоруссии в силу ее технической отсталости и экономического упадка развитие и широкое применение.

Однако она имела ряд таких положительных элементов, которые, если ослабить относящиеся к ним гиперболизирован­ные положения, не утратили своего значения и в настоящее время. Прежде всего обеспечивались: навыки в практических приложениях математики, знакомство с экономической и со­циальной жизнью республики, воспитание в духе советской идеологии; закладывался фундамент, на котором формирует­ся научное философское мировоззрение.

220

Программа на первое место выдвигает конкретный мате­риал, а не отвлеченные понятия. Этот материал предлагался в виде ряда практических вопросов, объединенных общими комплексными темами. Для осуществления на практике комп­лексного метода работы по математике намечались такие приемы:

1. Формулировка конкретных проблем, решение которых освещает сущность той или иной комплексной темы. Вместе с этим ученики усваивают некоторые математические сведения и приобретают навыки в их применении.

2. Те или иные вопросы комплексной темы являются исходным пунктом для работы по математике. Комплексный материал является как бы импульсом и началом разработки того или иного раздела математики.

3. Математика помогает изучению других предметов (фи­зики, географии, природоведения, обществоведения). Ученики при этом уясняют значение математики в решении практи­чески жизненных проблем.

Понятно, что такой подход требовал от учителя дополни­тельных знаний, он обязывал его обстоятельно знакомиться с программами по другим предметам. Программа рекомендует следить за периодической литературой, особенно по физике, технике и статистике.

4. Изучение идеи функциональной зависимости. Об этом писали, что значение этой идеи в преподавании элементарной математики признается всеми выдающимися педагогами-ма- тематиками и только необыкновенный консерватизм в про­граммах по математике до недавнего времени принимал ее в том виде, в котором она оформилась еще в XVIII в.

Первое ознакомление с понятием функции рекомендуется дать в V классе (или даже в IV) при изучении различных таблиц и построении соответствующих им графиков. В стар­ших классах изучаются линейная и квадратная функции «с наглядным выявлением их свойств на соответствующих гра­фических образах». Учение об уравнениях тесно связывается с изучением соответствующих функций.

В плане связи с жизнью обращается особое внимание на измерительные работы на местности, проведение экскурсий и изготовление учебных пособий.*

* Для иллюстрации приведем перечень задач, предложенных учащимся VI классов в одной из школ:

1. Пользуясь первым солнечным днем, измерить высоту Солнца.2. Определить высоту колокольни, пользуясь транспортиром, и пред­

ставить чертеж с объяснением.3. Определить ширину нашей реки.4. Определить угол подъема от реки к школе.5. Человек ростом в 175 см видит под углом 45° верхушку дерева,

расстояние до которого равняется. 10,33 м. Определить высоту дерева.

221

Рассмотрим учебные и методические пособия для школыI ступени. В начальных классах употреблялись «рабочие кни­ги» (в двух частях) Михася Лойки, составленные по програм­ме 1927 г.35 Математика в них изложена по комплексному методу. Однако книги снабжены большим числом примеров для самостоятельных упражнений учащихся. Изучение пер­вого десятка осуществляется при изучении тем: «Состав детей в группе», «Жизнь детей летом», «Школа», «Приметы осени» и др. Затем изучается второй десяток, первая сотня — также на материале комплексных тем, как, например, «Болезни и их причины», «Гигиена в школе и семье», «Работа зимой» и т. д. В конце каждого раздела имеются задачи-шутки, загадки и математические игры. Заметим, что уже с первой страницы выясняются отношения «больше» и «меньше» (длинный и ко­роткий, маленький и большой, высокий и низкий, прямой и кривой, скорый и тихий и т. д. и соответственно: длиннее, короче; больше, меньше и т. д.). После первого десятка рассматриваются простейшие уравнения типа х + 3 = 8, л;+3 = 3 и т. д. Задачи строятся на основе реальных данных, взятых из комплексных тем. Книги Лойко богато иллюстриро­ваны. Различные приложения представлены на картинках, например, как производить провешивание, строить прямой угол посредством эккера, проводить циркулем окружность. Имеется большое число разнообразных таблиц, диаграмм, отражающих главным образом сельскохозяйственное произ­водство и служащих для составления задач. Характерно ран­нее изучение дробей. Включен обильный геометрический ма­териал, знакомящий с различными видами фигур, их назва­ниями и способами вычисления площадей; рекомендуются измерительные работы на местности; описывается метрическая и русская системы мер.

Основное положение книги «Математика в комплексной системе», изданной в 1928 г., формулируется так: «Работа по математике в четырехлетней школе складывается из вычисли­тельных, измерительных и «ориентировочных» навыков. В первых двух классах занимаются измерением длин, веса, определением времени, выполняют измерительные работы на огороде, разбивают его на грядки, знакомятся с различными геометрическими формами».36 В дальнейшем программа прак­тических работ расширяется.

В третьем классе дети изучают дроби, главным образом десятичные (в связи с изучением именованных чисел), зна­комятся с планом и масштабом, ориентировкой по компасу и построением диаграмм.

В четвертом классе изучаются проценты, простые дроби, элементы геометрии, ориентировка по карте и глобусу, пло­щади и объемы простейших фигур, измерительные работы на

1222

местности. Изучение дробей рекомендовалось начинать с пер­вого класса и завершать в четвертом.37

«Методика математики» А. Круталевича и Г. Сагаловича основную задачу начального курса математики усматривает в следующем: «Школа первой ступени должна научить детей оперировать над целыми числами, десятичными и обыкновен­ными дробями, производить элементарные процентные рас­четы, вычислять квадратуру простейших фигур и кубатуру простейших тел». Кроме того, «школа должна приучать детей с карандашом, циркулем и линейкой в руках делать необхо­димые и примитивные расчеты по вопросам окружающей жизни, которые требуют некоторого анализа».38

Общие принципы обучения математике формулируются так: 1) жизненность занятий; 2) легкость восприятия; 3) ак­тивность учащихся. Первый предполагает жизненность задач, второй — метод от конкретного к абстрактному, от частного к общему. Активность достигается при лабораторном методе. Лабораторный метод означает построение графиков, диа­грамм, моделей и т. д.

Эта «Методика» действия с целыми числами распределяет на все 4 года обучения и рекомендует одновременно с изуче­нием действий решать простейшего типа уравнения. Изучение дробей рекомендуется начинать с первого класса. На третьем году обучения круг сведений о дробях расширяется: в связи с метрической системой мер вводятся десятичные дроби. На 4 году обучения основное внимание направляется сначала на действия с десятичными дробями, затем — с обыкновенными. Во избежание перегрузки десятичные дроби рекомендуется рассматривать с двумя или тремя десятичными знаками, а обыкновенные — с простейшими знаменателями (так назы­ваемые «рабочие дроби»).

Последующие программы для старших классов семилетней школы Белоруссии отражали те же основные идеи, о которых говорилось выше. Связь учебного материала по математике с жизнью является характерной чертой этих программ. Авто­ры их ставили перед математическим образованием главным образом практическую цель — «научить пользоваться матема­тическими сведениями в практической жизни». Объем и ха ­рактер учебного материала определяли исходя из того поло­жения, что «школа должна дать такие сведения, которые имеют безусловное практическое значение». Постулировалось далее, что ученики семилетней школы не могут интересоваться строгой логикой математических выводов, что их интересует практическая сторона предмета, и отсюда был сделан вывод, что изложение математики должно опираться на интуицию и опыт учащихся в условиях лабораторных занятий. Програм­мы указывали на необходимость связи математики с другими

Ё23

предметами — естествознанием, географией, физикой, техни­кой. Ставился вопрос об организации в школах математи­ческих кабинетов с комплектом измерительных инстру­ментов.

В «Объяснительной записке» одной из более поздних про­грамм задача изучения математики в семилетней школе фор­мулируется так: «Быстрые темпы индустриализации страны, коллективизации сельского хозяйства, перевод всего уклада жизни на новые рельсы — все это потребует от математики, чтобы она уже в семилетней политехнической школе стала действительным могучим средством изучения вопросов тех­ники, вопросов роста промышленности и сельского хозяйства, вопросов экономического и культурного прогресса вообще».39

В Белоруссии было принято строить программы из двух колонок. В первой указывался учебный материал по матема­тике, во второй — приложения практического характера. М а­териал по алгебре туда входил до квадратных уравнений включительно, по геометрии завершался вычислением поверх­ностей и объемов тел по готовым формулам.

Во вторую колонку, параллельную первой, вносились на­звания тем для иллюстрации теории с указанием материала для составления диаграмм (например, таблицы повышения урожайности), различных расчетов (товарной части продук­ции, оптовых цен, заработной платы, квартирной платы, норм выработки), сведения о калькуляции, промфинплане, государ­ственных займах, перечень задач по измерениям на местности и работе в мастерских. Сюда же входили задачи на вычисле­ние площадей и объемов, на расчет ремней и шкивов в пере­даточных механизмах, на приложение тригонометрических функций в технике, задачи из артиллерии, авиации, фортифи­кации и многие другие. Кроме того, рекомендовалось рисова­ние геометрических тел и их изготовление. В программе большое внимание уделялось изучению функций (линейной и квадратной).

Программа 1931 г. идет еще дальше в приложениях мате­матики к практическим задачам.40 Прикладная часть более систематизирована и охватывает более широкий круг вопро­сов, нежели в предшествующих программах. В ней более обстоятельно представлено учение о функции, в связи с чем расширена номенклатура приложений (выявление функцио­нальной зависимости в геометрии, технике и других областях; запись этой зависимости в виде формул, их исследование). С функциональной точки зрения рассматриваются формулы из области электротехники, радиотехники...

Приведем некоторые конкретные вопросы практических приложений: измерение, технический рисунок, расчеты при земляных работах (измерение и вычисление объема и веса

224

грунта, осадки насыпи), расчеты кирпичной кладки (стандарт­ные размеры кирпичей, вычисление их веса, веса кирпичной кладки, ее давления на грунт, расход строительных материа­лов, расчет древесины), знакомство с системой стандартов и т. д.

Для старших классов семилетней школы были изданы рабочие книги, которые Научно-методическим комитетом при Наркомпросе БССР были рекомендованы для школы в ка­честве пособий (сборников материалов для работы по мате­матике).41 Цель этих книг состояла в том, чтобы дать мате­риал по математике по возможности житейский, дабы ученик, изучая книгу, чувствовал, что он решает задачи, поставленные самой жизнью; выделить конкретные проблемы (комплексные темы), которые требуют математического освещения, и вокруг них объединить работу по изучению математики; расширить применение лабораторного метода.

По пятому классу в этих книгах приводится обильный материал в виде таблиц для составления задач. Исключитель­ное внимание уделяется съемке планов. Описываются способ провешивания линий (с препятствиями на пути) и инструмен­ты, которые при этом употребляются. Дается знакомство с условными знаками, которые применяются в топографии. Теоретический материал небольшой и излагается наглядно. Весь курс пятого класса разделен на темы в основном из области сельскохозяйственной практики. Тема «Посевная площадь» излагается в виде задач и вопросов с некоторыми пояснениями. Сюда входят способы вычисления площадей с разбивкой их на треугольники. Тема «Сбор и реализация урожая» полностью состоит из задач и мелких вопросов, как например: сколько составляют 2% от 20 л., от 4,5 кг; 5% от 800 кв. м и т. д. Попутно выясняются многие практические вопросы и понятия (страховка, абсолютная и относительная погрешности). В решении задач используются правила при­ближенных вычислений. Тема «Вопросы животноводства» со­держит многочисленные таблицы, характеризующие состояние животноводства в БССР.

По таблицам строятся графики и диаграммы. Таким обра­зом, постепенно и на многочисленных примерах формируется понятие функции, которое определяется строго при изучении линейной функции.

В связи с изучением пропорций и пропорционального деле­ния дается знакомство с вопросами техники (виды передач, зубчатые колеса, расчеты), сообщаются формулы длины окружности и площади круга. Здесь же рассматриваются вопросы заработной платы (расчеты по категориям на основе таблиц по заработной плате). Составляются графики, дается понятие об интерполяции и экстраполяции по графику.

8 Н. Д. Беспамятных 225

По геометрии сообщается способ вычисления объема па­раллелепипеда и в связи с этим составляется смета на постройку дома. Материал пятого класса завершается нача­лами алгебры. По шестому и седьмому классам материал был представлен в традиционной системе и не был связан с комп­лексными темами.

В седьмом классе по алгебре изучались: линейная функ­ция, построение графиков линейной функции на основе таблиц, графическое решение системы уравнений первой степени, действия с радикалами, понятие об иррациональных числах, квадратная функция, ее график, квадратные уравнения, реше­ние задач из области физики, техники, экономики, обратная пропорциональность, гипербола, понятие о бесконечности. В конце каждой главы дается параграф для самостоятельного чтения («матэматычная чытанка» главным образом по исто­рии математики и даже о конических сечениях).

По геометрии для седьмого класса был издан особый учеб­ник,42 в предисловии к которому сказано: «Эта книга дает в сжатой форме важнейшие сведения по стереометрии и имеет в виду показать большое практическое значение этих сведе­ний, для чего дается значительное количество упражнений, взятых из техники и вообще из житейской практики. Но пол­ная увязка изучения математики с техникой может быть про­ведена в жизнь только при использовании местного материа­ла», в связи с чем рекомендуются экскурсии на предприятия, на места строительных работ и т. д. В учебнике в нестрогом виде излагаются вопросы, связанные с вычислением поверх­ностей и объемов простейших геометрических тел (по разверт­кам, с применением принципа Гюльдена, строгое применение теории пределов отсутствует).*

В 20-х годах в школах Белоруссии применялся по геомет­рии учебник Астряба («Курс опытной геометрии»), который был переведен на белорусский язык. По нашему мнению, его применение в старших классах было большой ошибкой, так как он не способствовал воспитанию у учащихся логического мышления.

* Перечислим книги, которые применялись в 20-х годах в школе: Астряб. «Курс опытной геометрии», Касабущи 1 С агалов1ч. «Працоуная кш жка па матэматыцы», Кдсялёу. «Элементарная алгебра», Круталев1ч. «Элементарная алгебра», Ланкоу. «Задачш к па алгебры», Лойка. «Першыя крок1 у матэматыцы», Лукашэв1ч 1 Валасков1ч. «Методыка матэматыю», Мжельсар. «Пачатю геаметрьй», Перальман. «Пачатю геаметрьи», Пераль- ман, «Новы задачш к па геаметрыЬ, Лойка. «Методыка матэматыю», Во­ронец. «Очерки по методике математики», Ланков. «Математика в трудовой школе» и «Устный счет», Шохор-Троцкий. «Методика начальной математи­ки», Эменов. «Как обучать счету».

226

§ 3. ПОСТАНОВЛЕНИЕ ЦК ВКП(б) О ШКОЛЕ И НОРМАЛИЗАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В 30-е ГОДЫ

В 1931 — 1932 гг. ЦК ВКП(б) выступил с рядом постанов­лений, относящихся к деятельности школы. Эти докумен­ты в совокупности составляли программу ее дальнейшего развития.

Какими последствиями характеризуется реформа начала 30-х годов в отношении преподавания математики? Прежде всего отметим то характерное для 30-х годов положение, что все школы Советского Союза перешли на единые программы и стабильные учебники. Республиканские министерства про­свещения вносили свои изменения, но в отношении программ по математике они не были существенными. Школа перешла на систематическое и предметное преподавание курса матема­тики (как и других предметов), состоявшего из четырех раз­личных дисциплин: арифметики, алгебры, геометрии и триго­нометрии. Каждая из дисциплин изучалась самостоятельно и в систематическом виде. Был введен в средней школе деся­тилетний срок обучения.

В соответствии с новыми программами были созданы но­вые учебники и переработаны старые, пользовавшиеся попу­лярностью и проверенные длительным опытом.

Вопрос о связи математики с жизнью, которому программы 20-х годов отводили много места, не был снят на этом этапе развития школы, но он был сформулирован как вполне конк­ретная и выполнимая школой задача. Впрочем, этот принцип в последующие годы был несколько стушеван. В 30-е годы по этому вопросу высказывались критические замечания.

Для учителей математики стал выходить специальный методический журнал «Математика в школе», играющий по настоящее время весьма большую роль в деле повышения их методической и научной подготовки и, следовательно, в улуч­шении постановки преподавания математики в школе.

Нормальное развитие учебно-воспитательной работы в школе, явившееся следствием реализации решений ЦК ВКП(б), вызвало общий подъем уровня подготовки уча­щихся, и в частности по математике.^--Программа 1932—1933 гг., переизданная затем без измене­ния в 1934 г., представляла собой первый вариант, состав­ленный после постановлений ЦК ВКП(б). В нее были вклю­чены элементы аналитической геометрии и математического анализа.43 В программе на 1934/35 учебный год имеется ука­зание об исключении элементов высшей математики, что объяснялось не вполне удовлетворительными знаниями уча­щихся.8* 227

На основе этой программы была составлена новая, в ко­торую вошли следующие основные вопросы.^ В пятом классе центральным вопросом являются дроби,

народу с которыми изучаются наглядным образом элементы геометрии.

В шестом классе начинается изучение алгебры и система- /тический курс геометрии. В седьмом — продолжение этих V предметов. Курс завершается уравнениями первой и второй степеней и первыми главами систематического курса геомет­рии. В программу восьмого класса включались: степени и корни, функции второй степени, графики, квадратные, биквад­ратные, иррациональные уравнения и системы уравнений второй степени, подобие, метрические соотношения в тре­угольнике и круге, площади прямолинейных фигур, тригоно­метрические функции острого угла, таблицы. В программу девятого класса входили: прогрессии, обобщение понятиястепени, логарифмы.

В курсе геометрии после планиметрии приводятся началь­ные главы стереометрии. Длина окружности и площадь круга определяются с помощью пределов. Пределы рассматрива­ются на основе концепции переменной и непрерывно изменяю­щейся величины. В программу десятого класса входил весь курс гониометрии. Курс десятого класса составляли: теория соединений и бином Ньютона, расширение понятия о числе (числа иррациональные, мнимые), двучленные и возвратные уравнения, многогранники и круглые тела, решение треуголь­ников, обратные тригонометрические функции и тригономет­рические уравнения, решение стереометрических задач с при­менением тригонометрии.44

Если эту программу сравнить с первыми советскими, то нетрудно видеть, что она в идейном отношении ниже их. Она близка к программам дореволюционного периода. Действи­тельно, в ней не акцентируется внимание на изучении функ­ций, сняты элементы высшей математики, слабо отражена идея геометрического преобразования. Из программы почти полностью исключены практические работы по математике, из-за которых так ценились прежние программы и которые займут снова свое место в последующие годы. Материал при­кладного значения окончательно не снимался, но выносился на внеклассную работу.

Программа имела несомненно положительные качества. Она содержала точно очерченный круг проверенного опытом учебного материала, который излагался логически строго, и была согласована с потребностями физики. Ученики неплохо справлялись с теоретическим материалом и овладевали в нуж­ной степени навыками. Этому способствовали также стабиль­ные учебники, отвечавшие программе. Стабильные учебники

228

были переведены на белорусский язык и применялись в бело­русской школе.*

Учебники для старших классов были введены дореволю­ционные, но после значительной переработки и улучшения.

Учебники арифметики (И. Г. Попова) и геометрия (Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса), так сказать, не выдержав испытания, в 1938 г. были изъяты из употребления и заменены учебниками Киселева А. П., переработанными профессором А. Я. Хинчиным (арифметика) и Н. А. Глаголевым (геомет­рия). Эти учебники применяли в школе еще около двадцати лети

■Программа 1935 учебного года до начала войны не пре­терпела существенных изменений. Год от года она уточнялась, совершенствовалась, в нее вносились новые вопросы, некото­рые исключались, перераспределялся материал по классам, но в отношении содержания и логического уровня изложения она оставалась неизменной. Сохранялась общая концепция школьного курса математики как курса элементарного, давно сложившейся школьной дисциплины, проверенной многолетним опытом, с развитой системой упражнений, имеющей целью выработку твердых навыков у учащихся в решении задач по стабильному задачнику.

Преподавание арифметики имело целью научить созна­тельно, быстро, уверенно и наиболее рационально произво­дить действия с целыми числами и применять знания к реше­нию задач. Преподавание алгебры ставило своей целью рас­ширить у учащихся представление о числе и выработать уме­

* Стабильные учебники были приняты следующие: Попова Н. С. Учеб­ник арифметики для начальной школы, в двух)частях (для 1—2-го и 3—4-го классов). Попов И. Г. Арифметика. Учебник для 5-го и 6-го классов непол­ной средней школы. Под ред. проф. И. И. Чистякова, Березанская Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5-го и 6-го классов непол­ной средней школ, Киселев А. П. Алгебра. Ч. 1. Учебник для 6-го и 7-го классов средней школы. Под ред. А. Н. Барсукова, Шапошников Н. А., Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач. Ч. 1. Д ля 6-го и 7-го классов средней школы, Гурвиц Ю. О., Гангнус Р. В. Систематический курс геомет­рии. Ч. 1. Планиметрия. Учебник для 6—8-го классов неполной и средней школы, Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. Планиметрия (для 6—8-х классов средней школы). Перераб. В. А. Евфремовым, Брадис В. М. Четырехзначные таблицы для средней школы, Киселев А. П. Алгебра. Ч. 2. Учебник для 8-го и 9-го классов средней школы. Под ред. А. Н. Бурсуко- ва. Шапошников Н. А., Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач. Ч. 2. Д ля 8-го и 9-го классов средней школы, Гурвиц Ю. О. и Гангнус Р. В. Си­стематический курс геометрии. Ч. 2. Стереометрия. Учебник для 8-го и 9-го классов средней школы, Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. Сте­реометрия. Д ля 8-го и 9-го классов средней школы. Перераб. В. А.. Ефре­мовым, Рыбкин Н. Прямолинейная тригонометрия. Учебник для 8-го и 9-го классов средней школы, Рыбкин Н. Сборник задач по тригонометрии с приложением задач по геометрии, требующих применения тригонометрии. Д ля 8-го и 9-го классов средней школы. Перераб. В. А. Ефремовым.

229

ние составлять и решать задачи с помощью уравнений первой и второй степеней. Преподавание геометрии должно было обеспечить систематическое изучение свойств фигур на плос­кости и в пространстве, уяснение способов доказательства геометрических теорем, развитие пространственного вообра­жения, решение задач на построение и вычисление; тригоно­метрии — изучение тригонометрических функций и решение треугольников.45

Критика к концу 30-х годов отмечала два существенных недостатка действующих программ: отсутствие связей с совре­менной наукой и практикой.

§ 4. УСИЛЕНИЕ СВЯЗИ ТЕОРИИ С ПРАКТИКОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ (ПОСЛЕВОЕННЫ Е ГОДЫ )

Война, развязанная немецким фашизмом, нанесла огром­ный ущерб развитию просвещения в нашей стране. На терри­тории Белоруссии школы были разрушены оккупантами, ты­сячи учителей погибли или на поле боя или при массовых карательных экспедициях врага.

От молодежи, оканчивающей школу в период военного времени, требовались не только теоретические знания, но и развитая ориентировка в их приложении. В связи с этим воз­никла педагогическая доктрина, согласно которой принцип связи теории с практикой должен играть ведущую роль в школьном преподавании математики. Она нашла отражение в программе, опубликованной в тяжелых условиях военного времени, в 1943 г., и получила развитие в программах, издан­ных в последующие годы.46

В «Объяснительной записке» к программе 1943 г. сказано:. «Связь теории с практикой в процессе преподавания матема­тики может осуществляться, во-первых, путем выполнения упражнений, дающих некоторую подготовку к разрешению практических вопросов, и, во-вторых, путем выполнения самих практических работ, где находят свое применение математи­ческие знания учащихся. Эти работы и упражнения должны быть органически связаны с программным материалом и не должны нарушать системы математических знаний». Это поло­жение конкретизируется по классам следующим образом:

Пятый класс — упражнения в устном счете, вычисления на счетах, определение площадей земельных участков, поверхно­стей и объемов различных хозяйственных сооружений.

Шестой класс — провешивание, измерение прямых, постро­ение и измерение углов, определение расстояний и высот, глазомерное определение расстояний.

Восьмой класс — связь с военным делом, съемка ландшаф­та местности.

230

Девятый, десятый классы — геодезические упражнения с применением тригонометрии.

В том же 1943 г. был издан проект программы по матема­тике для 5— 10-х классов средней школы, который частично был реализован в программах, действующих в последующие годы. Проект, говоря о целях преподавания математики в школе, подчеркивает необходимость научить учащихся приме­нять получаемые знания на практике: производить измерения на местности, вычислять поверхности и объемы различных изделий и сооружений, производить простейшие измерения, применяемые в военном деле, и т. д.

Однако следует отличать решение проблемы связи теории с практикой в этот период от того, как эти вопросы разреша­лись в 20-е годы. Если в 20-е годы практическая подготовка учащихся составляла основную задачу преподавания матема­тики и курс математики был подчинен этой задаче, то в дан­ном случае проблема связи математики с жизнью решалась не эмпирически, а на соответствующем теоретическом уровне. Практика не была самоцелью, она служила средством усвое­ния теории, развитию интереса к математике, развитию умст­венных способностей и, само собой разумеется, выработке навыков в применении математических знаний в жизни. Так, например, предлагалось развить у учеников навык «устанав­ливать зависимость между величинами и подвергать коли­чественному анализу наиболее интересные с математической стороны явления окружающей действительности».

Материал курса алгебры концентрируется вокруг следую­щих основных вопросов: учение о числе, о тождественных преобразованиях, об уравнении и о функции. Рекомендуются исторические экскурсы, которые бы помогли ученикам глубоко усвоить эти понятия.

В 1947 г. был опубликован новый проект программы, идеи которого нашли частичное отражение в программе 1948 г., в частности, идея функциональной зависимости, получившая благодаря работам профессора В. Л. Гончарова большое развитие в школьном курсе математики.47

Общая задача математического образования акцентирует внимание на теоретическую сторону курса, его воспитатель­ные функции и практические приложения.

Преподавание математики в средней школе ставило целью сообщение фактических знаний в области математики и вос­питание у учащихся навыков и умений для применения полу­ченных знаний в решении практических вопросов. Одновре­менно преподавание математики служило целям коммуни­стического воспитания.

В преподавании арифметики подчеркивается необходи­мость выполнения расчетов практического характера. В алгеб­

ЕЭ1

ре к основным вопросам относятся: расширение понятияо числе, алгебраические преобразования, функциональная зависимость и ее графическое представление, составление и решение уравнений.

Функциональная направленность курса алгебры преследует цель наилучшей координации с другими предметами школь­ного курса (физикой, химией, астрономией). Указаны возмож­ности практических приложений в технике, военном деле, сельском хозяйстве.

В образовательные задачи геометрии входят: развитиеу учащихся пространственного воображения, логического мышления, умения решать задачи вычислительного и конст­руктивного характера, привитие навыков в выполнении неко­торых практических работ.

В преподавании геометрии обращалось внимание на ре­шение конструктивных задач, стереометрических задач на проекционном чертеже и на технику геометрических изобра­жений.

Школьный курс геометрии развивался под влиянием идей профессора Н. Ф. Четверухина.

Кратко эта программа может быть охарактеризована сле­дующими словами: она уделяет внимание практическим при­ложениям, в развитой форме отражены идеи функциональной зависимости, на высоком уровне представлена культура ариф­метических вычислений и геометрических изображений. Про­грамма рекомендует знакомить учащихся с историей отечест­венной математики.

Заметим попутно, что со стороны учителей был проявлен чрезвычайно большой интерес к школьному математическому моделированию. Учителя в технике изготовления моделей достигли большой изобретательности и мастерства. В инсти­туте педагогики Министерства просвещения Белоруссии орга­низовывались выставки творчества учителей и методистов в этой области. В настоящее время интерес направлен на при-

„ менение более совершенных технических средств обучения (кино, телевидение, контролирующие и обучающие машины).

До 1954 г. математика преподавалась по программе 1948 г. с несущественными ее изменениями. За этот период было по­строено несколько проектов, идеи которых нашли частичное отражение в новой программе, введенной в 1954/55 учебном году.48 В качестве ее фундаментальной основы выдвигался принцип политехнического обучения. Осуществление идей по­литехнизации в применении к преподаванию математики в школе истолковывалось как усиление практических прило­жений с одновременным повышением требований к развитию логического мышления и пространственного воображения учащихся. Наряду с этим преподавание математики должно

032

служить общим целям коммунистического воспитания уча­щихся и содействовать созданию условий для свободного вы­бора профессий.

Программа практических работ представлена особо по всем классам, в нее входят: овладение логарифмической ли­нейкой, пользование ею на уроках математики и смежных дисциплин, моделирование, измерение на местности, построе­ние графиков, диаграмм, навыки в вычислениях на счетах, использование таблиц, проведение экскурсий и т. д.

Обращается внимание на исторический элемент. Целью экскурсов в область истории математики является воспитание патриотических чувств, возбуждение интереса к математике и знакомство с генезисом понятий. Исторические сведения составляли значительную часть внеклассной работы.

Рассмотренная программа служила недолгое время, она была заменена новой, принятой в результате известной рефор­мы школы 1958 г.

Реформа 1958 г. была проведена под знаком усиления связи школы с жизнью, с практикой коммунистического стро­ительства. Проект программы по математике был подвергнут широкому обсуждению в печати, и на его основе был вырабо­тан окончательный вариант.49

Осуществление связи с жизнью мыслилось на основе вы­сокой теоретической подготовки, которая «будет содействовать выработке у учащихся правильного представления о матема­тике как науке, о пространственных формах и количественных отношениях реального мира, раскрытию перед ними значения математики в технике и повседневной жизни».

В «Объяснительной записке» к программе для старших классов сказано: «Преподавание математики в старших клас­сах имеет целью достичь уровня математического развития, а также знаний, умений, навыков учащихся, который необхо­дим для их подготовки к практической деятельности в усло­виях современного производства, для изучения на достаточно высоком уровне смежных школьных дисциплин (физика, чер­чение, химия и др.) и продолжения образования в высшей школе. Важной задачей, которая разрешается в процессе все­го преподавания математики, является формирование комму­нистического мировоззрения и коммунистического отношения к труду». В соответствии с новой программой были изданы новые стабильные учебники, которые, будучи переведенными на белорусский язык, применялись в школах Белоруссии. Предполагалось, что введение новых программ будет сопро­вождаться максимальным развитием методов преподавания.

В настоящее время белорусская школа, как и школы дру­гих республик, переходит на новую программу по математике, разработанную математической секцией Комиссии по опреде­

•<233

лению содержания среднего образования АН СССР и АПН СССР и утвержденную Министерством просвещения СССР.50

Эта программа кардинальным образом отличается от пред­шествующих: она включает элементы теории множеств, в про­грамме усилено внимание к вопросам логики, большую роль играет понятие вектора, достаточно полное развитие получает идея геометрического преобразования, вводятся элементы ана­лиза и аналитической геометрии.

Новая программа отражает более высокий уровень пони­мания связи преподавания математики с жизнью, нежели предшествующие, что диктуется необходимостью специализа­ции при современном состоянии производства. Осуществление этой программы будет означать большой шаг вперед на пути прогресса нашей школы.

В деле освоения новых вопросов программы и развития интереса у учеников к математике огромную роль играют ф а­культативные математические курсы, которые теперь введены в школах повсеместно. Развитие у учащихся интереса к мате­матике и повышение уровня их подготовки по этому предмету осуществляются также по другим каналам: в математиче­ских кружках, специальных математических классах и юно­шеских математических школах при высших учебных заве­дениях.

§ 5. О ПОДГОТОВКЕ У ЧИ ТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗАХ

Начиная с 30-х годов подготовка учителей для средней школы осуществляется в нашей стране главным образом через обширную сеть педагогических институтов. Эти учебные заве­дения по своей численности составляют около четвертой части всех вузов страны. Но в последние годы заметна тенденция к преобразованию зрелых в учебном и научном отношениях педагогических институтов областных центров в универси­теты.

Эта тенденция — результат влияния научно-технического прогресса на решение проблемы подготовки учителей.

Педагогические институты по существу представляют со­бой новый тип профессионального учебного заведения, создан­ный в первые годы Советской власти и получивший оконча­тельно организационное и структурное оформление на основе типового устава, принятого в 1931 г.51

История высшего математического образования в Белорус­сии началась с установлением Советской власти в 1917 г. Совет­ская Белоруссия получила в наследство от царского режима только начальные и средние (общие и профессиональные) школы. На ее огромной территории не было ни одного выс­

2-34

шего учебного заведения, не существовало ни одного учрежде­ния, где бы велись исследования в области математики и ме­тодики ее преподавания.

С установлением Советской власти в Белоруссии развер­нулась широкая деятельность по организации дела народного образования. Для подготовки учителей и воспитателей дет­ских учреждений в Белоруссии были открыты институты на­родного образования. Остановимся на некоторых подробно­стях организации и деятельности Минского института. История его такова.

В 1914 г. в Минске был открыт учительский институт, в 1915 г. он был эвакуирован в Ярославль. После реэвакуации в 1918 г. он был преобразован согласно «Предписанию Ко­миссариата по Просвещению от 30 декабря 1918 г.» в высшее учебное заведение — педагогический институт. 19 ноября 1918 г. Министерство просвещения утвердило устав института. Для работы в нем были приглашены лучшие педагогические силы Белоруссии. Институт имел отделения: литературно-ху- дожественное, историческое, математико-физическое, физико­химическое и естественно-географическое. В учебный план математико-физического отделения из специальных дисциплин входили: высшая алгебра, математический анализ, аналити­ческая геометрия, теория чисел, теория вероятностей, история математики, общий курс физики, теоретическая механика, общий курс химиии, астрономия, методика физики и матема­тики.

После изгнания интервентов в июле 1920 г. институт возоб­новил работу и был преобразован на основе общего по стране постановления в Минский институт народного образования. В связи с организацией в Минске университета этот институт был закрыт и передан университету. Он явился основой для организации при университете педагогического факультета. Аналогична история и Витебского и Могилевского институтов.

Хотя деятельность институтов народного образования была непродолжительной, она оставила заметный след в развитии культуры в Белоруссии, в частности математической.

Совет Минского института народного образования обра­тился в Народный комиссариат просвещения со следующим письмом:

«Минский Институт Народного образования нынче возрож­ден к новой жизни и призван выполнить чрезвычайно важную роль,— это рассадник работников нового просвещения, новой школы в Белоруссии. Статистические данные, голоса с мест, начиная с уездных городов и местечек Республики, кончая тихими деревнями, убедительно говорят о той вопиющей нуж­де в работниках просвещения, какую ощущает белорусский народ. Навстречу этой нужде идет Минский Институт Народ­

1235

ного образования, это пока единственный институт на терри­тории Белоруссии».52

Институт был призван готовить работников по всем отрас­лям просвещения: учителей школ первой и второй ступеней, воспитателей дошкольных и внешкольных учреждений, инст­рукторов трудового воспитания. В соответствии с этой задачей была определена его структура. В августе 1920 г. на матема­тико-физическом отделении (цикле) обучалось: на первом курсе — 40, на втором — 8, на третьем — 6 студентов. Всего, следовательно, 54, что составляло от общего числа студентов института (311) около 17%. В 1921 г. всего было 320 студен­тов, из них 56 — на математико-физическом отделении. Пре­подавателей института — 31.

В учебный план этого отделения входили следующие ди­сциплины: математический анализ, аналитическая геометрия, высшая алгебра, теория вероятностей, теория чисел, теорети­ческая арифметика, основания геометрии, начертательная геометрия, элементарная математика, методика математики, экспериментальная физика, астрономия, теоретическая меха­ника и химия. Метод преподавания по преимуществу был лекционный, с некоторой долей лабораторных занятий.

Математико-физическое отделение в 1921 г. имело три курса, на которых читались следующие физико-математиче­ские дисциплины:

I курс

Элементарная математика (К. М. Годыцкий-Цвирко), выс­шая алгебра (он же), аналитическая геометрия (В. К. Ды- дырко), введение в анализ (он же), общий курс физики (Е. В. Снятков), начертательная геометрия (А. А. Гагарин), изготовление пособий (Дашкевич).

II курс

Дополнительные статьи по элементарной математике (К. М. Годыцкий-Цвирко), математический анализ (В. К. Ды- дырко), аналитическая геометрия (он же), общий курс физики (Е. В. Снятков), начертательная геометрия (А. А. Гагарин).

III курс

Математический анализ (В. К. Дыдырко), специальные главы по физике (А. А. Гагарин), теоретическая механика (он же), методика физики (Наумов), общий курс физики (Е. В. Снятков), теория вероятностей (Б. П. Чиханов), мето­

236

дика математики. На естественном отделении математику пре­подавал В. Л. Левкович.

Институт народного образования вел и общественную ра­боту. Его преподаватели читали публичные лекции, про­водили диспуты, имевшие большой успех среди широкой мас­сы минчан, участвовали в съездах и совещаниях по народному образованию; при институте было организовано педагогиче­ское общество, общество истории древностей. Для чтения лекций приезжали профессора из Москвы. При институте были созданы вспомогательные учреждения: опытная трудовая школа, опытное поле, химическая лаборатория и краеведче­ский музей.

Что касается постановки преподавания математики в этом институте, то на основании сохранившихся программ, которые составлялись преподавателями, и записей в журналах можно заключить, что оно было достаточно элементарным.* Курсы аналитической геометрии, высшей алгебры и математического анализа не отражали новых методических и научных идей. Аналитическая геометрия излагалась на координатной основе, алгебра сводилась к изучению теории определителей, свойств полиномов и решению алгебраических уравнений в ра­дикалах и по приближению. Математический анализ излагал­ся в значительной степени с опорой на геометрическое обо­снование. Добавим к этому, что учебный план ИНО (в Мин­ске) был значительно ниже университетского.

Некоторый интерес представляет курс оснований матема­тики. По основаниям арифметики излагалась система аксиом Пеано. Теория рациональных чисел рассматривалась как тео­рия пар целых чисел. Теория действительных чисел рассмат­ривалась по Дедекинду и Кантору, выяснялось понятие непрерывности. Курс заканчивался теорией кватернионов, теорема Фробениуса не сообщалась. В основу расширения понятия о числе был положен «принцип сохранения формаль­ных законов». По основаниям геометрии студенты изучали различные системы аксиом геометрии Евклида и знакомились с геометрией Лобачевского. Рассматривался также вопрос о тех требованиях, которые предъявляются к системе аксиом (непротиворечивость, полнота и независимость).

В учебный план входил курс начертательной геометрии, в котором рассматривались задачи на изображение в проек­циях точки, прямой, плоскости, их взаимного расположения, задачи на изображение линейных и угловых элементов и не­

* Впрочем, Минский институт в этом отношении не составлял исклю­чения. Читателю понятно положение тех лет: сеть высших учебных заведе­ний значительно расширялась в стране, преподавательский состав по необ­ходимости комплектовался из учителей средних учебных заведений.

237

которых пространственных фигур, а также задачи на изучение плоских сечений простейших поверхностей.

Курс теории вероятностей также был достаточно элемен­тарен. В него входили вопросы: основные теоремы о вероят­ностях, математическое ожидание, закон больших чисел и не­которые приложения к статистике. Читал этот курс бывший преподаватель коммерческого училища в Минске и автор учебников по элементарной математике Б. П. Чиханов.

Решение проблемы индустриализации страны и коллекти­визации сельского хозяйства потребовало массу образованных людей во всех сферах деятельности. Поэтому резко возросла потребность в учительских кадрах. В связи с этим было изда­но правительственное постановление «О реформе высших учебных заведений, техникумов и рабфаков», на основе кото­рого педагогические факультеты университетов были реорга­низованы в педагогические институты и создан ряд новых учебных заведений этого типа. В Белоруссии педагогические институты в 1930 г. восстанавливаются в Витебске, Могилеве. Открывается педагогический институт в Гомеле. В 1931 г. на базе педагогического факультета университета открыт Мин­ский педагогический институт. Для подготовки учителей семи­летних школ в 1935— 1936 гг. открывается ряд учительских ин­ститутов (в Витебске, Могилеве, Рогачеве, Орше, Гомеле и М инске).53 Эти институты просуществовали недолго: в начале 50-х годов их закрыли.

Известные исторические постановления ЦК ВКП(б) на­чала 30-х годов о средней и высшей школе способствовали повышению учебно-воспитательной работы и организации научной деятельности в педагогических институтах.

В 1937/38 учебном году была произведена существенная перестройка учебной работы педагогических институтов, в ре­зультате которой заметно повысился уровень преподавания математики, создались благоприятные условия для развития творческой деятельности кафедр.

Научная общественность постоянно проявляла интерес к деятельности этих молодых учебных заведений. В 1939 г. профессор А. Я. Хинчин в докладе, посвященном преподава­нию математики в школе, указывая на те тенденции, которые должны занять господствующее положение в развитии науч­ной и учебной деятельности педагогических институтов, под­черкивал, что должен осуществиться переход от школьного натаскивания и мелочной опеки над каждым студентом к си­стеме подлинного научного воспитания, созданию надлежащей научной атмосферы в педвузах, систематическому внушению студентам и учительству вкуса, интереса, любви к своей науке, без чего невозможна успешная и эффективная педагогическая деятельность.54

238

А. Я- Хинчин предлагал широкое развитие сети факульта­тивных курсов, семинаров и научных кружков.

В первые мирные годы, естественно, институты были заня­ты восстановлением своей нормальной деятельности, которая была нарушена войной. В 1944 г. был открыт Гродненский, а в 1950 г.— Брестский педагогические институты. В 1945 г. при Минском педагогическом институте им. А. М. Горького был открыт физико-математический факультет.

В послевоенный период научной работе придается несрав­ненно большее значение, чем это имело место в 30-е годы. В «Положении» о научно-исследовательской деятельности высших учебных заведений, опубликованном еще во время войны, говорится о «наиболее полном привлечении профес­сорско-преподавательских кадров к выполнению научно-ис­следовательских работ, способствующих развитию народного хозяйства, укреплению обороны страны и дальнейшему про­грессу науки и культуры в Советском Союзе».55

Деятельность педагогических институтов в последующие годы развертывается под знаком усиления научной работы преподавателей, качество учебной работы ставится в прямую зависимость от степени участия педагогического коллектива в научной работе.* Во Всесоюзном комитете по делам выс­шей школы был создан специальный отдел по научно-иссле­довательской работе, в функции которого входило постоянное стимулирование развития науки в высшей школе и контроли­рование ее деятельности в этом направлении. Начало 50-х го­дов является переломным в этой области. Педагогические институты Белоруссии развернули активную творческую ра­боту в различных областях математики и ее преподавания в средней школе. Физико-математические факультеты начали издавать «Ученые записки», проводить научно-методические конференции...

На этой основе была развернута студенческая научная ра­бота. При институтах были созданы научные студенческие общества, опубликовано типовое положение о НСО. Мини­стерство высшего образования БССР регулярно проводит конкурсы научных студенческих работ.

Рассмотрим теперь вопрос о том, какую эволюцию претер­пело математическое образование в педагогических институ­

* В первые послевоенные годы, естественно, был проявлен всеобщий и глубокий интерес к истории отечественной науки, культуры и просвещения. Поэтому в первых послевоенных программах некоторое место отводилось вопросам истории математических наук вообще и истории отечественной математики в особенности. Затем был введен курс истории элементарной математики. По каждому курсу программы предусматривался исторический обзор данной науки. Лекции по истории математики имели патриотическое звучание.

239

тах. Для этого произведем сравнение современных программ с программами 1934 г. Программы по математике изменялись существенным образом в среднем через 7—8 лет.

Содержание программ педагогических институтов опреде­ляется в конечном итоге двумя основными и постоянно дей­ствующими факторами: развитием науки и потребностями школьной практики.

Характерной особенностью нашей эпохи в подготовке спе­циалистов высшей квалификации является формирование у студентов современных научных представлений, вследствие чего происходит процесс постоянного повышения научного уровня преподавания. С другой стороны, современная науч- но-техническая революция влияет не только на постановку преподавания в вузах, но и в школе. А реформы школьного образования непосредственным образом влекут за собой из­менения в содержании учебных планов и программ в педаго­гических институтах. Отсюда вытекают общие тенденции эво­люции преподавания математических наук в педагогическом институте.

А именно: расширяется объем учебного материала за счет новых научных фактов и обобщений. Иначе говоря, процесс накопления фактов и их генерализации, свойственный разви­тию науки, отражается в преподавании. Совершенствуется логическая основа. Расширяется материал, который раскры­вает богатые возможности применения математических наук к решению задач естествознания, техники и экономики. Осу­ществляется стремление приблизить учебный материал к про­фессиональным нуждам учителя математики средней школы.

Общая методологическая концепция сводится к формуле: математические курсы излагаются так, что те основные поня­тия, с которыми так или иначе имеет дело учитель в своей практической работе, находят отчетливое современное науч­ное представление.56

Высказанные положения являются выводами из анализа программ. Постараемся их проиллюстрировать.

В учебный план 1934 г. входил следующий цикл матема­тических дисциплин: элементарная математика, аналитиче­ская геометрия, математический анализ, высшая алгебра, чер­чение с элементами начертательной геометрии, высшая гео­метрия, теория и практика вычислений, теория вероятностей и методика математики.

Математический анализ состоял из двух частей — общей и специальной. Первая часть читалась для математиков и физиков и содержала основные классические вопросы функ­ций одной и многих переменных, а также вопросы дифферен­циальной геометрии. Вторая часть читалась для математиков и имела целью ввести студентов в круг современных вопросов

240

теории функций, показать им средства и способы теоретиче­ского обоснования курса математического анализа и обратить их внимание на те точки соприкосновения, которые имеет тео­рия функций с курсом школьной математики.

В последующие годы теория функций действительного и комплексного переменного и дифференциальная геометрия выделяются в самостоятельные учебные дисциплины, в связи с чем возрастает их объем и совершенствуется теоретическая основа. Эти курсы отражают интенсивное развитие науки в нашу эпоху.

По этим предметам были изданы учебники, сыгравшие большую роль в развитии математического образования:А. Н. Колмогорова и П. С. Александрова — по теории функ­ций действительного переменного, И. И. Привалова — по тео­рии функций комплексного переменного и С. П. Финикова — по дифференциальной геометрии.

То значение математического анализа, которое он имеет в деле формирования научного мировоззрения учителя мате­матики, принималось в качестве основной методологической идеи его преподавания. Наряду с этим указывалось на его значение для решения практических вопросов. При последую­щих переработках программы усиливается логическая основа этого курса и частично увеличивается объем: в послевоенные годы в программу по математическому анализу было введено понятие о приближении функций полиномами — сначала в ви­де частного вопроса, а затем и целого раздела, с 1953 г. были включены вопросы, связанные с практическими приложениями анализа, а также с требованиями школьного курса матема­тики.

Современный учебный план характеризуется объединени­ем родственных дисциплин. Вопросы теории функций действи­тельного переменного включаются в курс математического анализа. Существенным является особый акцент на те разде­лы, которые тесно связаны с курсом школьной математики. В «Объяснительной записке» сказано: «Курс математического анализа в педагогическом институте, помимо своего общеоб­разовательного значения, имеет целью дать научное обосно­вание понятий, изучаемых в школе». В связи с этим обстоя­тельно рассматриваются понятия функции, ее предела и не­прерывности; в специальную тему выделены элементарные функции, некоторые разделы курса рекомендуются в качестве школьных факультативных курсов.

Теория аналитических функций входит в новый учебный план в виде самостоятельного курса, причем расширенного за счет вопросов, относящихся к изучению аналитического про­должения и теории вычетов. Ранее по этим вопросам студен­ты получали лишь общие сведения.

т

Относительно цели преподавания в «Объяснительной за ­писке» сказано: «Включение теории аналитических функций в учебный план педагогических институтов имеет своей целью придать законченность рассмотрению некоторых вопросов ма­тематического анализа. Одна из главных задач курса — углу­бить у будущих учителей математики знание элементарных функций, что может быть достигнуто только переходом в ком­плексную область... Поэтому при изучении курса большое вни­мание должно быть уделено элементарным функциям, точкам их ветвления, римановым поверхностям и конформным ото­бражениям, совершаемым с помощью этих функций». Некото­рые разделы рекомендуются в качестве факультативных кур­сов для учащихся школы.

Геометрические курсы. Программа по аналитической гео­метрии 1934 г. ставила скромную цель — развитие метода ко­ординат на плоскости и в пространстве. Содержание первой части курса определялось решением основных задач на пря­мую, исследованием кривых второго порядка, по геометрии в пространстве — уравнением прямой и плоскости и уравнения­ми поверхностей второго порядка. Метод изложения преобла­дал еще координатный.

Ввиду потребностей смежных дисциплин и самого курса координатный метод изложения уступил место векторному. В него были включены элементы векторной алгебры. Наряду с этим все более и более акцентируется внимание на идее пре­образования и получающихся при этом инвариантах. Вводится понятие об аффинном и проективном преобразовании. В этом направлении далеко идет программа 1947 г. В дальнейшем эти вопросы вошли в курс высшей геометрии.

По плану 1934 г. изучался курс черчения с элементами начертательной геометрии. Это был элементарный курс и пре­следовал практические цели. В послевоенное время трудами главным образом профессора Четверухина оформился теоре­тический курс, состоявший из двух частей: проективной гео­метрии и начертательной геометрии.

Основная идея этого курса в программе 1947 г. выражена в следующих пунктах:

а) Аффинная геометрия как геометрия свойств, инвари­антных при аффинном преобразовании.

б) Проективная геометрия на плоскости как геометрия свойств, инвариантных при проективных преобразованиях плоскости.

в) Характеристика отдельных ветвей геометрии соответ­ствующими группами.

Курс оснований геометрии в 30-е годы состоял из следую­щих трех основных разделов: а) критико-исторический обзор учения о параллельных линиях от Евклида до Лобачевского;

242

б) некоторые факты гиперболической геометрии и ее интер­претация; в) современное состояние вопроса об основаниях геометрии (аксиоматика Гильберта, требования к системе ак­сиом). В дальнейшем программа несколько расширяется, де­тализируется, но эти три ее части сохраняются по-прежнему в качестве основных.

Курс оснований геометрии рассматривался как завершение геометрической подготовки учителя математики. Задача этого курса заключалась в том, чтобы ознакомить студентов с исто­рией аксиоматики, с формулировкой тех требований, которым должна удовлетворять система аксиом, и дать им возмож­ность уяснить значение открытия Н. И. Лобачевского, которое оно имело в истории математики и математического мышле­ния.

Дифференциальная геометрия в программу 1934 г. входи­ла в виде раздела математического анализа. Кроме векторной алгебры и векторного анализа, в него входили вопросы, отно­сящиеся к изучению плоских и пространственных кривых. Учение о поверхностях было представлено лишь одним пунк­том, включавшим вопросы: касательная плоскость и нормаль к поверхности, квадрат линейного элемента.

В дальнейшем дифференциальная геометрия выступает как самостоятельная учебная дисциплина, в которой пред­ставлен раздел о поверхностях с включением вопроса о геоде­зических линиях.

Так, например, программа 1947 г. этому разделу уделяет главное внимание, «как наиболее способствующему геометри­ческому развитию будущих учителей». Векторная алгебра пе­ренесена в курс аналитической геометрии.

Программа 1953 г. отличается от предыдущей дальнейшим развитием раздела о поверхностях и наличием вопросов, име­ющих значение в технике (циклоида, спирали, винтовая ли­ния, поверхности вращения и др.).* Особым пунктом входил вопрос о геодезических линиях. В программу 1955 г. включен обзор исторического развития дифференциальной геометрии, включавший характеристику работ наших отечественных уче­ных.

В программу «Высшая геометрия» 1964 г. дифференциаль­ная геометрия входила в виде одного из разделов под назва­нием «Основы теории поверхностей». Эта программа была по­полнена элементами топологии замкнутых поверхностей. Эти разделы были представлены достаточно полно и в современ­ном научном освещении.

* В связи с возросшей ролью принципа связи теории с практикой в 50-х годах в средней школе соответствующим образом были построены про­граммы для физико-математических факультетов педагогических институтов. Прикладная роль математики в них отражалась достаточно полно.

243

В настоящее время согласно новому учебному плану ана­литическая, дифференциальная и проективная геометрии, эле­менты топологии и основания геометрии входят в единый курс под названием «Геометрия».

Высшая алгебра. Программа 1934 г. содержала три вопро­са: числовые области, свойства целой рациональной функции и решение систем линейных уравнений. Программа в порядке пожелания указывала на знакомство с понятием группы ли­нейных преобразований. Вопрос о приближенном решении уравнений был отнесен к курсу приближенных вычислений.

Свое дальнейшее развитие программа получила за счет введения и углубления понятий п — мерного векторного про­странства, алгебры матриц, группы, кольца и поля и развития идеи изоморфизма. Эти вопросы отчетливо были сформулиро­ваны в программе 1947 г.

По плану 1970 г. алгебра и теория чисел представлены единой программой, отражающей уже более высокую ступень в развитии современной алгебры, а также и теории чисел.

Главной целью курса «Алгебра и теория чисел» ставится изложение основных алгебраических структур и воспитание мышления, специфического для этих родственных наук, необ­ходимого будущему учителю для глубокого понимания новой программы и работы по факультативным алгебраическим те­мам.

Теория чисел в программу 1934 г. входила в виде неболь­шого раздела в программу специальной части курса элемен­тарной математики. Затем она была выделена в специальный предмет и получила значительное расширение за счет введе­ния ряда новых вопросов (алгебраические и трансцендентные числа и Др.). Основным руководством служил хорошо извест­ный учебник по этому предмету академика И. М. Виногра­дова.

Основания арифметики ранее также входили в курс эле­ментарной математики, затем были выделены в самостоятель­ный курс, содержащий, развитие понятия о числе — от систе­мы натуральных чисел, до гиперкомплексных систем,— и завер­шавшийся известной теоремой Фробениуса. Этот курс имел большое значение в деле подготовки учителей математики. В настоящее время он значительно теоретизировав, расширен и под названием «Числовые системы» составляет часть нового' курса «Научные основы школьного курса математики».

Курс теории вероятностей был одним из основных курсов- учебного плана 30-х годов. Если программа 1934 г. включала сравнительно небольшой объем вопросов (основные понятия,, простейшие схемы массовых явлений, закон больших чисел,, понятие о законах распределения), то программа 1939 г. пред­лагает знакомить с аксиоматикой теории вероятностей, с це­

244

пями Маркова и другими современными вопросами. Основ­ным руководством по этому предмету служил учебникВ. И. Гливенко «Теория вероятностей» (1937). В настоящее время получил распространение учебник Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей», построенный на основе современ­ных воззрений на этот предмет.

Курс элементарной математики входил в учебный план педагогических институтов на протяжении всей их истории и по существу всегда состоял из двух частей: первая представ­ляла собой повторение школьного курса, вторая включала разнородные предметы, имеющие важное значение для подго­товки учителя математики — методы решения задач на по­строение, теоретическую арифметику, теорию эквивалентности уравнений, учение об измерении и другие вопросы. Позднее сюда был включен курс теории и практики вычислений.

В современных учебных планах этого курса нет, но основ­ные его вопросы, имеющие важное значение для подготовки учителя математики, входят в соответствующие основные кур­сы (математического анализа, алгебры и геометрии).

Курс методики математики, естественно, эволюционировал в соответствии с тем, как менялось школьное математическое образование, и отвечал задаче непосредственной подготовки студентов к педагогической работе в школе.

В 30-е годы, когда содержание школьного учебного мате­риала стабилизировалось, появились первые советские фун­даментальные руководства по методике математики для сред­ней школы. Курс методики оформился структурно. Он состоял из двух частей. Первая часть содержала всесторонний анализ действующей учебной программы и стабильных учебников по математике с точки зрения тех задач, которые выдвигает жизнь перед математическим образованием, а также общее учение о методах преподавания. Во второй части рассматри­ваются вопросы методов преподавания частных тем школьно­го курса математики.

Современное преподавание методики математики в педаго­гическом институте строится в соответствии с задачей подго­товки учителя для работы в школе, когда происходит процесс значительной модернизации школьных программ.

На математических отделениях педагогических институтов читаются новые курсы: математическая логика, математиче­ские машины и алгоритмы и целый цикл спецкурсов и спец­семинаров по различным новым областям математических знаний.

В заключение отметим, что в Белоруссии в непродолжи­тельное время педагогические институты были укомплектова­ны квалифицированными кадрами математиков. В дальней­шем эти кадры пополнялись главным образом за счет выпуск-

245

ников институтов аспирантуры, существующих при ряде высших учебных заведений Белоруссии, а также вузов и ис­следовательских институтов РСФСР.

Преподавание математики на физико-математических ф а­культетах педагогических институтов в настоящее время по­ставлено в соответствие с современными требованиями. На кафедрах ведутся исследования в области математики, ее ис­тории и дидактики. В отношении постановки преподавания

Коллектив кафедры математики Минского педагогического института им. А. М. Горького.

математики и организации научных и научно-методических исследований преподавателей и студентов ведущее положение среди других педагогических институтов в нашей республике занимает Минский институт им. А. М. Горького.

§ 6. ОРГАНИЗАЦИЯ БЕЛОРУССКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В НЕМ ФИЗИКО-

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

Вопрос об организации университета в Минске был одним из первых в деятельности ЦК КП и правительства Белоруссии и занимал центральное место в плане культурного возрожде­

246

ния республики. На основании Декрета СНК за подписьюВ. И. Ленина об открытии университетов Ц И К рабоче-кресть­янских и солдатских депутатов Советской Социалистической Белоруссии 25 февраля 1919 г. декларировал открытие Госу­дарственного университета в Минске.57 Но в связи с оккупа­цией Белоруссии этот вопрос не был решен окончательно. После освобождения Минска правительство Белоруссии, под­твердив решение от 25 февраля 1919 г., энергично приступило к организации университета. ЦИК Белоруссии издал следую­щее постановление по этому вопросу: «Заслушав доклад Временного Правления по организации Белорусского государ­ственного университета и, признавая, что открытие универси­тета в г. Минске является делом первостепенной государ­ственной важности и настоятельно требуется культурными, экономическими и политическими интересами рабоче-кресть­янского населения Белоруссии, Президиум ЦИ К во исполне­ние поручения Третьей Сессии ЦИК Советской Белоруссии от 17 апреля постановляет:

1. Подтвердить ранее изданные постановления об откры­тии в г. Минске Белорусского Государственного университета.

2. Открыть университет в составе факультетов: рабочего, общественных наук, медицинского, сельскохозяйственного и физико-математического».58

Для участия в организации физико-математического ф а­культета был привлечен профессор И. Р. Брайцев, родом из Белоруссии, математик, декан физико-математического ф а­культета Нижегородского (Горьковского) университета. Брай­цев изъявил желание переехать на работу в Минский универ­ситет.* Он принимал участие в совещаниях при министерстве по разработке примерных учебных планов университета и со­ставлению предварительной сметы расходов на его организа­цию. Им был составлен проект учебного плана физико-мате­матического факультета. Однако переезд Брайцева не состоялся, поэтому решение вопроса об организации этого фа­культета было отложено.59

18 августа 1920 г. вопрос об организации университета и его структуре рассматривался на коллегии НКП РСФСР. На этой коллегии было решено временно воздержаться от орга­низации физико-математического факультета, поскольку про­фессорские должности по математике оставались вакантными, а открыть следующие факультеты: историко-филологический, естественный, медицинский, агрономический и рабочий. НКП РСФСР взял на себя обязательство помочь в организации этих факультетов.60 На этой же коллегии была официально

* В 30-х годах профессор Брайцев публиковал свои работы в универ­ситетских изданиях в Минске.

>247

создана Московская комиссия по организации университета, которая провела большую работу по укомплектованию штатов и по организации помощи новому университету со стороны Академии наук и университетов Российской Федерации, в частности, в создании фундаментальной библиотеки.

Минская комиссия, планируя открытие физико-математи­ческого факультета, придавала ему большое значение в деле развития производительных сил республики и подъема общей культуры. В ее представлении читаем:

«Задача Правительства развить производительные силы страны, просветив народ и учредив такие центры, около кото­рых сгруппировались бы все работники на указанных попри­щах, а это может дать только Университет со своим физико- математическим факультетом, с отделениями естественных, агрономических и технических наук».61

В вопросе организации университета среди членов Мин­ской комиссии не было единодушия. Некоторые из них счита­ли, что эта задача непосильна для Белоруссии в данное вре­мя, отяжеленное разрухой и отсутствием кадров. Об этом го­ворит докладная записка от 24 июля 1920 г. одного из членов комиссии Л. Слепяна.62

«Не следует предрешать, что высшее учебное заведение в Минске должно получить форму обычного университета. Уни­верситет в своем обычном виде представляет собой научный и научно-учебный центр области. Однако видеть свою задачу в создании такого центра в Минске... значило бы не считаться с условиями и потребностями места и времени и создать нечто искусственное и нежизненное». Приводя «аргументы», лишен­ные логики, автор заключает:

«Таким образом, чисто научное высшее учебное заведение (университет) в Минске не может быть обеспечено в настоя­щее время ни научными средствами, ни научными силами, ни контингентом слушателей. В настоящее время для него нет почвы».

Автор записки предлагал «расширить задачи Минского педагогического института и связать с ним зародыш и кор­ни университета как научного и учебного центра», а для развития научной работы — учредить «особую научную кол­легию».

Далее автор пишет, что остается острая потребность в высших учебных заведениях прикладного характера: меди­цинской академии, специальных сельскохозяйственных, тех­нических и экономической школ. «В них ощущается нужда во всей России и в особенности в Белоруссии.» Автор заклю­чает, что в Минске есть почва для открытия специальных ф а­культетов: 1) медицинского, 2) сельскохозяйственного,

(248

3) строительного, 4) химического, 5) технологического, 6) со­циально-экономического.

Предложения автора сводились к следующему: 1) разви­вать педагогический институт, 2) учредить при нем научную коллегию и 3) создать комиссию для подготовки к открытию занятий на специальных факультетах (экономическом, техно­логическом, строительном и др.).

Этот документ представляет интерес в том отношении, что он предлагает целую систему образования в Белоруссии, от­личную от той, которую приняло правительство и которая оправдала себя. Путь автора тоже имел свою логику, но этот путь более длинный и лишен одного существенного элемен­та — базы для развития теоретических наук, без которых не могут развиваться и прикладные науки. Мы привели этот до­кумент, чтобы лишний раз показать, насколько сложна была обстановка для создания в Белоруссии университета.

Белорусский государственный университет был открыт 11 июля 1921 г., занятия начались с 30 сентября. В 1922/23 учебном году университет имел в своем составе следующие- факультеты: педагогический, медицинский, общественных на­ук и рабочий. Перед университетом были поставлены такие задачи: «подготовка специалистов по различнымотраслям практической деятельности, подготовка научных ра­ботников для обслуживания научно-технических и производст­венных учреждений республики, и, в частности, самого универ­ситета, а также распространение научных знаний среди широ­ких пролетарских и крестьянских масс».63 В научной области университет «будет способствовать всестороннему изучению- естественно-исторических, этнографических и культурно-быто­вых особенностей края и его сближению во всех этих областях с Россией».64

Университет имел структуру, отличную от структуры ста­рых университетов, и находился в ведении Главного управле­ния профессионально-технического образования Наркомпроса Белоруссии.

Во главе университета стояло правление, осуществлявшее руководство всей учебной, воспитательной и административ­но-хозяйственной деятельностью университета. Во главе прав­ления находился ректор. Первым ректором был известный историк В. И. Пичета. При факультетах были созданы прези­диумы и факультетские советы с деканом во главе, затем со­веты отделений и предметные комиссии. Функции управления и главным образом контроля возлагались также на общие собрания факультетов с участием студентов.

Тот состав факультетов, который был намечен на коллегии НКП РСФСР, собственно, не решал проблему подготовки пе­дагогических кадров, и в частности преподавателей матема*

249

тики. Поэтому было решено открыть педагогический факуль­тет с физико-математическим отделением.

На заседании правления университета от 15 октября 1921 г. по вопросу об открытии педагогического факультета и о положении института народного образования было ре­шено: «Признать необходимым, чтобы будущие педагоги, а равно их руководители, независимо от тех специальностей, к которым они готовятся, и без ущерба для серьезной и глу­бокой специализации, были объединены в общий коллектив, ставящий себе общие педагогические задачи. Для этой цели должен быть создан педагогический факультет с отделения­ми: физико-математический, биолого-географический, общест­венно-исторический и этнолого-лингвистический».65 В связи с этим институт народного образования был упразднен.66 Решение от 25 мая 1922 г. гласит: «Создать с будущего ака­демического 1922—23 гг. педагогический факультет с физико- математическим и естественным отделениями».67 Цель его — подготовка преподавателей для второго концентра семилет­ней школы, профшкол, школ сельской молодежи, вечерних рабочих школ и для техникумов.

Физико-математическое отделение педагогического ф а­культета готовило преподавателей физики, математики, аст­рономии и механики; естественное отделение — преподавате­лей химии, биологии и неживой природы; отделение гражданских наук — преподавателей истории; литературно­лингвистическое — литературы и языка.

Наряду с этим в его задачу входила «подготовка научных кадров, которая должна завершаться в научно-исследова- тельских институтах страны».68 Зачисление студентов произ­водилось на основе собеседования. На педагогический факультет принимались лица со средним образованием по коллоквиуму. Деканом факультета длительное время был из­вестный ученый в области древней истории профессор Н. М. Никольский.

Организация педагогического факультета не была делом специфическим для Белорусского университета. В этом на­правлении были реорганизованы другие университеты, что вытекало из общей идеи Главпрофобра о профессионализации высшего образования. В связи с этим сошлемся на один из до­кументов Главпрофобра от 27 декабря 1920 г.под названием «Высшая подготовка квалифицированных работников». В нем в категорической форме отвергается старая университетская система образования, преследовавшая-де цель изучения «чис­той науки» и не готовившая ни теоретиков, ни практических работников. «Бывшие общеобразовательные факультеты уни­верситетов (физико-математические и историко-филологиче­ские), ставившие своей задачей давать научных исследовате­

250

лей, а фактически дававшие худший сорт педагогов без педа­гогики, частью подлежат превращению в специальные педаго­гические учреждения для массовой подготовки предметных преподавателей (физико-математический), частью подлежат ликвидации...»69 В нем выдвигается и обосновывается идея реорганизации высшей школы на профессиональной основе: «Трехлетний опыт убеждает, что путь пересоздания высшей школы лежит не через рекламирование ее единства и создания органов, фиктивно выражающих это единство, а через реши­тельное рассечение высшей школы по вертикалям в соответ­ствии с производственными и организационными задачами государства...» 70

Эта точка зрения Профобра нашла свое отражение в ре­организации университетского образования, выразившееся в создании педагогических факультетов.

Концепция профессионализацди образования выросла на почве большой нужды в практических работниках. Дело под­готовки теоретиков как будто бы несколько ущемлялось. Одна­ко эта проблема не была забыта: при университетах были открыты институты аспирантуры. В Минском университете аспирантура была учреждена уже в 1925 г. Открываются спе­циальные исследовательские институты: «При всем практи­ческом уклоне специальных институтов надлежит самым на­стоящим образом стимулировать развитие научно-исследова­тельской мысли именно в специальных, органически связан­ных с производством и профсоюзами институтах (научно- исследовательские курсы, кафедры и т. д.)».71 Организация исследовательских институтов по методу сращивания их с хо­зяйственными центрами государства — такова главная идея в организации исследовательской работы.

Педагогический факультет занимал важное место в педа­гогической жизни Советской Белоруссии. Он находился в тес­ном контакте с органами народного образования, с учитель­ством школ и техникумов и являлся центром научно-педагоги­ческой мысли Белоруссии.

В связи с организацией этого факультета 8 апреля 1922 г. на заседании правления рассматривался вопрос об открытии при университете экспериментальной школы, по которому было принято решение: «Признать крайне желательным в целях пе­дагогических исследований при университете открытие опытно­показательной школы для исследования в ней новых педаго­гических методов и систем и равно для практических занятий студентов педагогического отделения, поддержать перед НКП Белоруссии ходатайство группы профессоров и преподав вателей об открытии при университете школы второй ступени и принять меры к вовлечению в эту школу возможно большего круга профессорско-преподавательского персонала».72

251

Для оценки деятельности педагогического факультета име­ет значение резолюция Всебелорусской конференции работни­ков педагогического образования по докладу «Учебный план педфака и связь его с педтехникумами», в которой сказано: «Педфак правильно намечает цели своей учебной и научной работы, учитывая, с одной стороны, необходимость подготовки квалифицированных педагогов-практиков для всех типов школ, строящихся на первом концентре семилетки и на самой семи­летке..., а с другой стороны,— настоятельную необходимость в специальной научной подготовке деятелей в различных облас­тях культурной работы в Белоруссии».73

В упомянутой резолюции рекомендовалось введение специ­альных педагогических и методических курсов, проведение пе­дагогической и сельскохозяйственной практик, поддержание связи с педтехникумами через методико-педагогическую ко­миссию педагогического факультета путем взаимного обмена печатными трудами, оттисками лекций, учебными планами, программами.

Научная работа преподавателей физико-математического отделения педфака имела в значительной степени педагогиче­ский уклон.

Для руководства всей учебной и научной работой на отде­лениях были созданы методические или предметные комиссии. Инициатором их организации был профессор Пичета, который придавал им большое значение. Действительно, в первые годы работы университета они сыграли немалую роль в его жизни. На заседаниях методических комиссий обсуждались програм­мные вопросы, методический и методологический аспекты пре­подавания всех дисциплин учебного плана, как и вопросы, от­носящиеся к построению самого учебного плана. Так, напри­мер, за первую половину 1925 г. комиссии занимались практи­ческим решением следующих вопросов: выработка общих ме­роприятий по работе педфака, построение учебных планов на следующий учебный год, планирование лабораторных работ, семинаров, разработка рекомендаций, связанных с примене­нием лабораторного метода преподавания.74 Если в первые годы метод преподавания в университете был преимуществен­но лекционным (с некоторой долей семинарских занятий), тс с 1925/26 учебного года педагогический факультет перешел ча­стично на так называемый лабораторный метод работы. В предметные комиссии входили ведущие преподаватели. На физико-математическом отделении ее возглавлял профессор Е. Е. Сиротин. Обсуждался вопрос о преобразовании предмет­ных комиссий в исследовательские кафедры, но кафедральная система была введена законом и надобность в этом преобра­зовании отпала естественным образом. Административно-учеб­ная и научная деятельность физико-математического отделения

252

педагогического факультета университета в первые годы его существования почти полностью протекала в рамках деятель­ности методической комиссии.

Вместе с подготовкой к открытию университета Московская комиссия разрабатывала для него учебные планы и програм­мы. В основу был положен план Уральского университета: «Признать настоятельно необходимым в основу временных учебных планов положить планы Туркестанского (Ташкент) и Уральского (Екатеринбург) университетов, особенно послед­него, ввиду близости структуры Екатеринбургского универси­тета к типу ныне проектируемых университетов. Заботу о по­лучении этих материалов в распоряжение факультетской ини­циативной группы возложить на проф. В. И. Пичета».75 В. И. Пичета сообщает, что удалось получить лишь учебные планы Уральского университета, каковые и могут быть пред­ставлены факультетским инициативным группам.76

Приведем первоначальный план с указанием математиче­ских и естественных дисциплин.77

1-й триместр. Введение в анализ, теория определителей, аналитическая геометрия, семинар по математике, физика, химия.

2-й триместр. Дифференциальное исчисление, аналитиче­ская геометрия, сферическая тригонометрия, семинар, физика, химия, биология.

3-й триместр. Посвящается повторению, расширению зна­ний по пройденному материалу за первые два триместра, чте­нию литературы, докладам на семинарах, практическим заня­тиям по физике в лабораториях и занятиям на фабриках и за ­водах.

4-й триместр. Интегральное исчисление, дифференциаль­ная геометрия, теория чисел, высшая алгебра, механика точ­ки, семинар, физика и описательная астрономия.

5-й триместр. Интегральное исчисление, дифференциальная геометрия, теория чисел, высшая алгебра, семинар, механика системы, физика, описательная астрономия, сферическая астро­номия.

6-й триместр. Посвящается чтению литературы, докладам на семинарах, практическим занятиям по физике в лаборато­риях, работе на фабриках и съемке местности.

7-й триместр. Дифференциальные уравнения, теория ана­литических функций, теория функций действительного пере­менного, теория вероятностей, теория конечных разностей, механика системы, теоретическая физика, теоретическая астро­номия, семинары, история математики и физики.

8-й триместр. Теория аналитических функций, теория функ­ций действительного переменного, теория вероятностей, вари­ационное исчисление, теоретическая физика, небесная механи­

253

ка, семинары, методика математики, история физико-матема­тических знаний.

9-й триместр. Изучение литературы, доклады, занятия в л а ­бораториях по физике, механике, практические работы по ме­теорологии, астрономии, геодезии, работа на фабриках и за ­водах, в школе и геодезические съемки в поле.

В учебный план входили курсы педагогики и педагогиче­ской психологии, из общественных дисциплин — развитие об­щественной формации, история материализма, политический строй Советского государства, организация производства и распределения, теория пролетарской революции, экономиче­ская география России и Белоруссии в связи с электрифика­цией и научные основы труда.

Этот план был рассчитан на три года, но в связи с тем, что срок обучения был принят четырехлетним, он был соот­ветствующим образом изменен. Заметим, что учебные планы нередко менялись, но основной состав математических дисцип­лин оставался почти без изменений. Действительно, чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить данный план с тем, ко­торый был принят на 1927/28 учебный год.78

Первый курс. Математика, физика, общая химия.Второй курс. Аналитическая геометрия, высшая алгебра,

дифференциальное исчисление, физика, астрономия, механи­ка, геодезия, черчение.

Третий курс. Дифференциальная геометрия, теория ве­роятностей, интегральное исчисление, физика, механика, мето­дика математики, методика физики, стажировка в школе.

Четвертый курс. Дифференциальные уравнения, вариаци­онное исчисление, исчисление конечных разностей, теория чи­сел, спецкурс по математике (для математиков *), специальные главы по физике (для физиков), механика, метеорология, ста­жировка в школе.

Физико-математические дисциплины к общему плану (в ча­сах) составляют в данном случае около 60%. Деление на две специальности (математическая и физическая) осуществлялось путем чтения спецкурсов и методик, остальные дисциплины были общими. В план входили педагогические дисциплины (история педагогики, педагогика), большой цикл общественно^- философских наук (политическая экономия, диалектический материализм, история Белоруссии, ленинизм, история классо­вой борьбы), военные предметы и иностранные языки.

В этом плане отсутствует история физико-математических наук. В начале 20-х годов этому предмету отводилось почетное место, как важному для философского образования.

* Теория функций действительного переменного и теория аналитических функций.

254

Первые годы состав слушателей был более подготовлен, нежели в последующие. Причина этого явления заключалась в самой системе общего образования, которое, как было ска­зано выше, было семилетним, следовательно, недостаточным для занятий в университете. Приведем ряд документов по это­му вопросу.

1) «Состав подготовки пестрый. Отсутствие надстройки над семилетней школой в значительной мере вредило тому, чтобы студенты университета были хорошо подготовлены. Мо­лодежь, окончившая семилетку, с большой трудностью подго­товила себя до университета, не имея под руками необходимых пособий. Неподготовленность студентов в той или иной мере должна оказать свое влияние на составление программ педа­гогического факультета и также на методы преподавания и на снижение требований, какие нужно предъявлять студентам университета».79

2) «Получается одно недоразумение: студенты прежних университетов, более подготовленные и более развитые, имели больше свободного времени для чтения и занятий, чем наши студенты, менее развитые и менее подготовленные. Никакой переход на лабораторно-групповой метод, который требует от студентов самостоятельных занятий, не даст никаких резуль­татов, если только студент не будет иметь возможности зани­маться дома или читать в кабинете... Необходимы знания, без которых студент будет бесполезен для государства».80 Студен­ты не подготовлены, в этом «повинна вся наша эпоха, кото­рая долгое время не позволяла начать созидательную ра­боту».81

3) «Нужно совершенно отказаться от мысли видеть в числе студентов окончивших семилетки. Это совершенно неподготов­ленные лица, для университета излишние... Студенты, не зная алгебры, тригонометрии, стереометрии, разумеется, не пони­мают многое из того, что им преподается. Кроме того, сама по себе математика содействует развитию абстрактно-синтетиче­ского мышления, которым наши студенты совершенно не обла­дают. Все это больные вопросы первостепенной важности и требуют своего очередного разрешения».82 Рабфак давал хо­рошую математическую подготовку, но рабфаковцы в основ­ном шли не на педагогический, а на медицинский факультет. Последний почти целиком комплектовался из слушателей рабфака. Студенты рабфака «не обнаруживали особенного тя­готения к педагогике».83

Программа для поступающих в университет содержала те вопросы и только те, которые входили в программу семилет­ней школы.

Приведем содержание этой программы.84Арифметика. Счисление. Действия с натуральными числа­

255

ми. Признаки делимости. Дроби. Решение арифметических задач.

Алгебра. Многочлены, действия с ними. Простейшие слу­чаи разложения на множители. Уравнения первой степени с одним и двумя неизвестными. Понятие о функциональной за ­висимости. Графическое изображение функций. Прямая и об­ратная пропорциональность. Возвышение во вторую и третью степени и извлечение квадратного корня. Квадратные урав­нения.

Геометрия. Планиметрия. Равенство треугольников. Тео­рия параллельных. Подобие. Измерение площадей. Окружность и круг. Измерение длины окружности и площади круга.

Стереометрия. Основные сведения. Измерение поверхностей и объемов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара (не строго). Тригонометрические функции (си­нус, косинус, тангенс). Решение прямоугольного треугольника.

Рекомендовались учебники: Лебединцев. «Алгебра», 2 час­ти, Бем, Волков, Струве. «Сборник задач и упражнений по алгебре» и учебник геометрии Ройтмана.

Материал алгебры, как видно из программы, ограничивал­ся решением квадратных уравнений, курс тригонометрии в систематическом виде не изучался, геометрия излагалась на интуитивно-эмпирической основе, вследствие чего у учащихся не вырабатывалось научного мышления.

Естественно, что студенты не были подготовлены к слуша­нию университетских лекций. Очевидным становилось поло­жение, что принятая система образования, удовлетворяя тре­бованиям профессиональной подготовки рабочих и техников, является недостаточной для подготовки специалистов высшей квалификации.*

Несколько слов о профессорах и преподавателях, сыграв­ших роль в становлении университета. Профессор физики Е. Е. Сиротин был приглашен из Костромского педагогическо­го института, длительное время находился в командировке в Англии, где работал в лаборатории Резерфорда, занимался исследованием радиоактивности.85 Выступал с докладами на всесоюзных научных конференциях. В университете читал об­щую физику и специальные главы по физике. По физике рабо­тал Е. В. Снятков, сначала (1922) преподавателем рабфака, затем преподавателем и профессором на физико-математиче­ском факультете университета. Он занимался вопросами ра­диотехники.86 Астрономию читал профессор А. А. Михайлов­ский, приглашенный на работу в университет из Самарского государственного университета в 1922 г. Он же вел практиче­

* Заметим, что для подготовки в университет работали курсы, на кото­рых материал изучался за полную среднюю школу.

256

ские занятия по геодезии и механике.87 Е. Е. Сиротин вел боль­шую учебную, научную и организационную работу на педаго­гическом факультете, он возглавлял методическую комиссию, принимал активное участие в жизни научного общества и чи­тал публичные лекции для учителей.

Остановимся на деятельности преподавателей математики. В числе первых по времени следует назвать В. К. Дыдырко и И. С. Пятосина, утвержден­ных НКП от 27 августа 1931 г. в звании профессо­ров.88 Одно время Дыдырко работал в Минской мужской гимназии.89 В первые годы Советской власти В. К. Д ы ­дырко работал преподавате­лем математики в институте народного образования, где читал курсы математическо­го анализа и аналитической геометрии, а также в поли­техникуме.

Дыдырко окончил Мос­ковский университет по ма­тематической специальности.На его исследованиях мы остановимся позднее, а те­перь укажем, какие предме­ты он и Пятосин читали в университете. По годичным поручениям видно, что Д ы ­дырко в 1922— 1924 учебных годах читал элементарную мате­матику, теорию определителей и аналитическую геометрию.90 Пятосин — математический анализ и математику на факуль­тете общественных наук.91 В 1924/25 учебном году Дыдырко читал элементарную математику, аналитическую геометрию, высшую алгебру, интегрирование дифференциальных уравне­ний и приложения интегрального исчисления к геометрий; Пятосин — интегральное исчисление, дифференциальную гео­метрию, теорию вероятностей и методику математики.92 Эти основные предметы числятся за ними в поручениях и в следу­ющие годы.

В августе 1923 г. был принят на работу в университет пре­подаватель математики средних учебных заведений В. С. Лев- кович.93 В заявлении Левкович сообщает о себе следующее: белорус, родился 1 января 1881 г. в деревне Шени Гроднен­ской губернии Пружанского уезда (ныне Брестской области.—Н. Б.), первоначальное образование получил в Свислочской семинарии, которую окончил в 1900 г., в течение семи лет ра-

В. К. Дыдырко.

9 Н. Д . Беспамятных 267

ботал учителем в народных училищах Гродненской губернии, в 1907 г. выдержал экзамен на аттестат зрелости в Брестской мужской гимназии и поступил на физико-математический ф а­культет Петербургского университета на отделение математи­ки, который окончил с дипломом первой степени в 1912 г. Пре­подавал математику в Минской мужской гимназии и реальном училище, в 1920/21 учебном году читал лекции по высшей ма­тематике в Минском институте народного образования, в 1921/22 учебном году читал лекции по аналитической геомет­рии и анализу бесконечно малых в Белорусском политехнику­ме. Опубликовал курс «Аналитической геометрии». В универ­ситете Левкович вел курс геометрического черчения и читал историю математики.

В 1923 г. был принят на работу преподаватель средней школы А. П. Круталевич.94 С января 1925 г. в качестве асси­стента работал Г. Н. Сагалович, который преподавал методи­ку математики. Ассистент И, М. Домбровский, принятый так­же в 1923 г., читал основания геометрии и теорию действитель­ных чисел. Таким образом, физико-математическое отделение было укомплектовано преподавателями, но из учителей сред­ней школы.

Оценка преподавания курсов математики в Белорусском университете в первые годы его существования имеется в ру­кописной юбилейной записке за 1941 г. Хотя автор записки слишком сгустил краски, но и не далек от истины. В ней со­общаются такие факты.95 Физико-математическому отделению было отведено несколько комнат в одном из старых зданий университета. Университет широко открыл двери желающим учиться. В него пришла разная молодежь: бросившие учиться в силу разных обстоятельств в царское время, фронтовики, учителя... Для работы были привлечены учителя гимназий. Учебный план был составлен наспех и перегружен учебными дисциплинами. Математическим дисциплинам отводилось не­достаточно времени. Учебные планы пересматривались почти ежегодно, и студенты старших курсов учились по так называ­емым переходным планам. Программы составлялись препода­вателями и обсуждались на методической комиссии. Програм­ма по анализу представляла собой перечень приемов диффе­ренцирования и интегрирования, принципиальные проблемы анализа не рассматривались. Лекции по математическому анализу напоминали практические занятия, на которых студен­ты усваивали различные приемы решения задач, вычислитель­ные алгоритмы. Аналитическая геометрия читалась в объеме учебников Млодзеевского и Андреева, причем некоторые во­просы теории кривых и поверхностей совсем не рассматрива­лись. Дифференциальная геометрия представляла собой раз­бор ряда вопросов о плоских и пространственных кривых, но

258

не цельную науку или учебную дисциплину. По алгебре раз- бирались вопросы теории определителей, нужные для изуче­ния аналитической геометрии, некоторые вопросы о полино­мах и алгебраическое решение уравнений.

Физико-математическое отделение факультета провело не- сколько-научно-методических конференций с участием науч­ных работников других вузов и учителей школ БССР. Эти кон-

Профессора и студенты Б ГУ, 1926 г.

ференции вносили большое оживление в математическую жизнь республики. Некоторые из докладов были напечатаны.

Период 1926— 1932 гг. отмечен неудачными поисками ра­циональных методов преподавания. Педагогическое прожек­терство средней школы частично перешло и в университет. Много времени в учебных планах отводилось политехническо­му циклу. Вследствие этого курсы математики не могли быть расширены и углублены.

При университете с первых дней его существования было организовано научное общество, которое издавало свои «Тру­ды». Его задачей было исследование научных проблем «по всем отраслям знания». Общество состояло из различных сек­ций, организованных по основным специальностям. Существо­вала математическая, педагогическая и другие секции. На пе­дагогической секции делались сообщения по методике мате­матики.

В отчете за 1924/25 учебный год имеются следующие дан­ные об исследовательской работе преподавателей.96

9* 259

В. К. Дыдырко в математической секции общества прочи­тал следующие доклады: «Об инвариантах кривых третьего порядка», «Некоторые свойства циркулярных кривых в связи с инвариантным преобразованием».*

Ассистент Домбровский приготовил к печати книгу «Апо­диктическая геометрия» и ко второму изданию книгу «Канон геометрии», в «Математический сборник» (Москва) направил статью «О дефиниционном методе в геометрии», в редакцию «Трудов» представил две статьи: «О понятии точки» и «К ме­тодике дифференциального исчисления». Готовил к печати со­чинение «Астрономия чистого опыта». Ассистент Сагалович вы­ступал с докладами на педагогической секции научного об­щества по методическим вопросам и опубликовал ряд статей в журнале «Асьвета» по следующим темам: 1) Программы ГУСа и роль математики в комплексе. 2) Метрология в шко­ле первой ступени (в связи с введением в БССР метрической системы). 3) Графический метод в школе. 4) Геометрия в тру­довой школе. 5) Иррациональные числа в старших группах школы. 6) Математика на основе обществоведения. 7) Мате­матика вокруг вопроса о зарплате. 8) Геометрия на местно­сти. 9) Математика по дальтон-плану. Подготовлены в руко­писи; «Математика на основе сельского хозяйства» и методи­ческое письмо «Математика в комплексе».

По математике была опубликована работа Дыдырко «Цир­кулярные кривые третьего порядка».97 Это оригинальный и интересный труд, но не законченный. Его окончание было опуб­ликовано в 1932 г. Поэтому мы отнесем знакомство с этой ра­ботой к следующему параграфу, заметим лишь, что эта работа представляет собой попытку систематического изложения свойств циркулярных кривых третьего порядка при помощи аналитического метода.

Профессор И. К. Богоявленский опубликовал в «Запис­ках» сельскохозяйственной академии за 1927 г. статью «Фор­мула Чебышева для приближенного вычисления определен­ных интегралов». Автор дает новое доказательство формулы Чебышева, свободное от применения теории непрерывных дро­бей.98 Кроме того, им опубликован курс математического ана­лиза для студентов.99

Таким образом, о первом десятилетии деятельности уни­верситета можно сказать следующее:

1. Открытие Белорусского государственного университета было первым важнейшим событием новой эпохи, положившим начало научному и культурному прогрессу республики, прояв­лению и развитию творческих сил ее народа. В деле организа­

* В. К. Дыдырко в 1928 г. был командирован за границу «для. научной работы в специальном семинаре профессора Гильберта» в Геттинген, где он был два летних месяца.

260

ции существенная помощь была оказана со стороны братской Российской Федерации.

2. Организацией при университете педагогического факуль­тета была решена актуальная в то время государственная за ­дача подготовки специалистов-практиков высшей квалифика­ции для различных областей культуры и народного хозяйства. Открытие физико-математического отделения знаменует нача­ло систематического развития математической мысли и выс­шего физико-математического образования в республике.

3. Первые учебные планы по математике, составленные с учетом соответствующих планов университетов Российской Федерации, отвечали главной цели отделения — подготовке студентов к учительской и отчасти к научной деятельности. При отделении была открыта аспирантура. Физико-матема­тическое отделение педагогического факультета за период сво­его непродолжительного существования сыграло большую роль в подготовке высококвалифицированных учителей мате­матики для средних учебных заведений республики и в подъ­еме ее математической культуры.

4. В 20-х годах особое внимание обращалось в учебных планах на преподавание истории наук. Введение этого пред­мета отвечало цели изучения исторического процесса развития науки и техники с позиций философии диалектического мате­риализма.

5. Первый преподавательский состав по математическим дисциплинам был укомплектован из бывших учителей мате­матики, прошедших недлительную практику преподавания основ высшей математики в Минском политехникуме и инсти­туте народного образования. Научное творчество их относит­ся к математике и педагогике математики. Это последнее от­вечало профилю отделения. Математическими исследования­ми занимался профессор В. К- Дыдырко, работы которого по­священы исследованию алгебраических кривых третьего по­рядка. Крупные достижения в научной области относятся уже к последующим этапам деятельности университета.

§ 7. ФИЗИКО-МАТЕМ АТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ УНИВЕРСИТЕТА ДЕЯ ТЕЛ ЬН О СТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ

В 1931 г. из состава университета выделяется ряд факуль­тетов на правах самостоятельных институтов (медицинский, народного хозяйства, педагогический).* В результате этих структурных изменений при университете остались лишь два отделения бывшего педагогического факультета — естествен­ный и физико-математический. На их базе были созданы но­

* Заметим, что на этой основе была произведена в 1931 г. реорганизация целого ряда университетов СССР.

261

вые факультеты — химический, биологический и физико-ма­тематический с двумя основными специальностями: физика и математика.

Естественным следствием этого явилось резкое снижение численности студентов (а также и преподавателей), что вид­но из следующей таблицы: 100

У ч е б н ы й г о д Ч и с л о с т у д е н т о в

Из этих последних (638) на физико-математическом ф а­культете обучалось 247. С течением времени численность сту­дентов быстро возрастает в связи с открытием новых факуль­тетов (почвоведения, литературно-лингвистического, истори­ческого).

В подготовке кадров на физико-математическом факульте­те центр тяжести значительно был смещен в сторону воспита­ния ученых-исследователей для различных научных учрежде­ний и производственных предприятий. Срок обучения был при­нят пятилетний. В деле развития учебной и научной деятель­ности новому факультету существенную помощь оказывал Московский университет, с которым Белорусский университет поддерживал тесные научные контакты.

Научная работа на факультете развертывается в связи с открытием семинаров для преподавателей и студентов. Н а­пример, за 1935/36 учебный год в делах факультета перечис­лены следующие семинары по математическим наукам:

1) Теория конформных отображений (руководитель доцент Н. В. Ламбин).

1921/221922/231923/241924/251925/261926/271927/281928/291929/301930/31

1127209228282298253025502672256223321579

1931/321932/331933/34

437528638

262

2) Проблема Пфаффа и Картана применительно к теории дифференциальных уравнений (руководитель академик Ц. Л. Бурстын).

3) Теория бициркулярных кривых (руководитель профес­сор В. К. Дыдырко).101

Научные труды математиков публикуются в «Ученых за ­писках» университета, «Трудах» физико-математического ин­ститута АН БССР, «Докладах» АН СССР и других авторитет­ных изданиях.

По специальности «дифференциальная геометрия» откры­вается аспирантура.

Повышается требование к методологии преподавания и исследования. Одним из методологических аспектов науки, которому придавалось важное значение в преподавании, был историзм — диалектико-материалистический взгляд на возни­кновение и развитие науки.

Длительное время на факультете мы видим только одну кафедру математики. Но с 1938 г. работают четыре кафедры: математического анализа, теории функций, дифференциаль­ных уравнений и геометрии. Каждая из кафедр имела обшир­ный план преподавания и научных исследований. Кафедра геометрии занималась исследованиями по теории поверхнос­тей, кафедра теории функций — применением теории аналити­ческих функций к решению краевых задач, кафедра дифферен­циальных уравнений разрабатывала метод академика Чаплы­гина — интегрирование дифференциальных уравнений в част^ ных производных.

В 1936/37 учебном году в плане исследовательской работы значились следующие темы:

1) Проблемы интегральной геометрии (академик Бурстын).2) Обтекание эллиптических цилиндров совершенной не­

сжимаемой жидкостью (доцент Ламбин).3) Нули и особые точки аналитической функции (доцент

Лукомская).4) Обоснование теории определителей с помощью матрич­

ного исчисления (доцент Нисневич).5) Условия анаморфозируемости функций. Номографиче­

ское решение дифференциальных уравнений (старший препо­даватель Бухвалов).

6) Приближенное решение обыкновенных дифференциаль­ных уравнений (доцент Гельфанд).

7) Профессор Дыдырко занимался исследованием вопро­сов геометрии.102

В 1941 г. университет был занят подготовкой к юбилей­ной сессии. Он готовился в конце июня отметить 20-летие сво­его существования. В университете была организована выстав­ка, на которой были представлены печатная продукция

Ш

научных работников, документы, относящиеся к истории уни­верситета.

Проведение математической сессии планировалось на двадцатые числа июня. Первое заседание с докладом профес­сора Н. А. Столярова должно было состояться 23 июня в фи- зико-математическом корпусе в аудитории № 19. Но нача­лась война. Приведем список основных докладов этой несосто- явшейся сессии.103

Профессор Столяров. Аналитический признак фокальных осей второго порядка.

Доцент Ламбин. Об одном классе существенно особых то­чек аналитической функции.

Доцент Лукомская. К вопросу об определении особых то­чек на окружности круга сходимости.

Доцент Нисневич. Проблема представления групп матри­цами.

Доцент Шереметьев. Теорема существования плоской з а ­дачи теории упругости для областей с угловыми точками.

Старший преподаватель Бухвалов. К вопросу об общей анаморфозе.

Доцент Ривкин. Поверхности с вырожденной метрикой в псевдоевклидовом пространстве.

Аспирант Родов. Об одном свойстве функции с ограничен­ными производными.

На педагогической секции планировалось рассмотрение ря­да вопросов о преподавании математики в школе.

В заключение общего обзора деятельности математическо­го отделения физико-математического факультета БГУ оста­новимся на характеристике учебного плана. Известно, что те­ория функций комплексного переменного с ее разнообразны­ми приложениями в 30-х годах занимала одно из ведущих мест в математическом образовании, как и в научных исследова­ниях. Белорусский университет не был исключением в этом отношении. Эта дисциплина была представлена достаточно полно и к ней привлекалось внимание студентов и молодых преподавателей. Рядом можно поставить еще дифференциаль­ную геометрию, по которой был издан учебник академиком Ц. Л. Бурстыным и, как уже замечено, была открыта аспиран­тура.

Учебный план 1935/36 учебного года показывает, что на первых трех курсах читались дисциплины, общие для студен­тов физической и математической специальностей.

Общий план содержал следующие дисциплины с указани­ем количества часов: математический анализ (440), аналити­ческая геометрия (190), высшая алгебра (120), механика (400), общая физика (480), общий курс астрономии (ПО), векторная алгебра и дифференциальная геометрия (120), диф­

264

ференциальные уравнения (210), начертательная геометрия (90), вариационное исчисление (50), теория вероятностей и математическая статистика (70). Для студентов-математиков на последних двух курсах читались теория функций вещест­венного и комплексного переменного, геометрия Римана, ме­тодика и история математики.104

В конце 30-х годов аналитическую и дифференциальную геометрию читал профессор Лопшиц (Москва), математиче­ский анализ — доцент Ламбин, теорию вероятностей — доценг Нисневич, обыкновенные дифференциальные уравнения — до­цент Шереметьев, в частных производных — доцент Нахимов­ская, теоретическую механику — профессор Столяров и до­цент Шереметьев, методику математики — доцент Сагалович. Курс истории математики читал профессор М. Я. Выгодский (Москва), лекции которого привлекали большое внимание сту­дентов, они содержали новый материал по истории математи­ки древнего мира — результаты исследований Нейгебауэра и самого Выгодского.

Исследования В. К. Дыдырко по теории циркулярных кри­вых * были изданы отдельной монографией в 1928 г., хотя и незавершенной. Это была первая монография по математике, написанная преподавателем университета. Окончание ее (часть гл. IV и гл. V) было опубликовано в «Трудах» универ­ситета в 1932 г.

Работа В. К- Дыдырко заключается в систематизации мно­гочисленных исследований по теории циркулярных кривых, преимущественно иностранных математиков, в аналитическом способе исследования и изложения свойств этих кривых, боль­шей частью известных и, несомненно, частью полученных са­мим автором.

В I главе его монографии «Циркулярные кривые третьего порядка» рассматриваются способы приведения уравнений циркулярных кривых к канонической форме и изучаются раз­личные свойства этих кривых, отнесенных к центру, вершинам и главной точке. Указываются способы построения циркуляр­ных кривых при помощи проективных пучков прямых и окруж­ностей и построения касательных и нормалей к этим кривым.

Глава II посвящена инверсии и ее роли в общей теории цир­кулярных кривых. Изучаются свойства инверсионного преоб­разования кривых этого вида. Решается вопрос, в каких слу­чаях циркулярная кривая при ее инверсионном преобразова­нии переходит снова в циркулярную кривую. Кривые, не изменяющие в результате инверсионного преобразования свое­го рода, называются аллагматичными, а само преобразова-

* Циркулярными третьего порядка называются кривые, которые выра­жаются уравнением вида

( а х + в у ) (х2+ у 2) + А х 2+ В х у + С у 2+ О х + Е у + Г = 0.

266

яие — аллагматическим. Например, строфоида при инверсион­ном преобразовании переходит в строфоиду.

В гл. III излагаются проективные свойства циркулярных кривых и выясняется с точки зрения проективной геометрии их роль в общей теории кривых третьего порядка.

Гл. IV посвящена изучению метрических свойств цирку­лярных кривых. Здесь же рассматриваются аналитические условия распадения кривой на прямую и окружность и на три прямых.

В гл. V излагаются различные способы построения цирку­лярных кривых. Эти способы основываются на принципе гео­метрических мест и геометрических преобразований. Показы­вается, как циркулярные кривые могут быть получены путем преобразований из кривых более простого вида. При этом играют роль способ инверсии и способ антиинверсии, разра­ботанный автором. В заключение автор рассматривает различ­ные способы построения циркулярных кривых, имеющиеся в литературе, и вопрос о механическом вычерчивании этих кривых.

Монография Дыдырко по теории циркулярных кривых представляет собой солидное исследование одного из классов кривых высших порядков, единственное в отечественной ли­тературе по данной проблеме. Исследования Дыдырко акту­альны и в наше время: свойства циркулярных кривых третьего порядка используются при разработке геометрических мето­дов синтеза плоских механизмов.

Профессор Н. В. Ламбин является учеником математиче­ской школы Ленинградского университета, для которой харак­терно применение глубоких математических теорий к пробле­ме математического естествознания. Работа Н. В. Ламбина относится к решению задач математической физики методами теории функций комплексного переменного.

Он учился в Ленинградском университете в тяжелые годы (1922— 1925) и средства к жизни добывал случайными зара­ботками. «Заработки эти,— пишет Н. В. Ламбин,— не позво­ляли мне взять из университета максимум возможного и при­вели к тому, что выбор тематики научной работы пришлось делать слишком самостоятельно. Из лекций, прослушанных мною в университете, наиболее яркое воспоминание осталось у меня от прочитанного В. И. Смирновым курса теории анали­тических функций. Эта теория и стала моей специальностью в математике. До сих пор помню, как поразила меня парадок­сальная, как мне казалось, возможность полного определения аналитической функции по ее особенностям. Эта возможность стала для меня на долгое время исходным пунктом моих ма­тематических поисков». В Минске Н. В. Ламбин работает с 1930 г. (сначала в БПИ, затем в БГУ).

266

С этого времени Ламбин занимался исследованием сле­дующих трех проблем: 1) Изучение существенно особых точек однозначной аналитической функции посредством исследова­ния топологических свойств семейства линий равного аргумен­та этой функции. По этой проблеме опубликован ряд работ.1052) Построение аналитических функций, интерпретирующих гидродинамическое поле в области, ограниченной окружностя­ми и содержащей бесконечно удаленную точку. По этой проблеме также опубликова­но несколько работ, но наи­более полным и исчерпываю­щим образом результаты были оформлены в работе «Обтекание произвольного числа бесконечных круговых цилиндров потоком совер­шенной и несжимаемой жид­кости».106 По этой теме за­щищена кандидатская дис­сертация. 3) Гидродинами­ческое поле заменяется маг­нитным полем, определен­ным как вне, так и внутри обтекаемых цилиндров. Маг­нитная проницаемость среды считается кусочно-постоян­ной во всем пространстве и непрерывной везде, кроме поверхностей цилиндра. Этой рабо­той было положено начало цикла работ, составивших впослед­ствии содержание докторской диссертации.107

Доцент Нисневич занимался исследованиями в области алгебры, им опубликовано доказательство теоремы о том, что любая счетная группа, всякая локальная часть которой допус­кает точное линейное представление, сама допускает точное линейное представление.108 В. Л. Нисневич погиб во время Великой Отечественной войны.

Кафедру математики в университете длительное время воз­главлял действительный член АН БССР профессор Ц. Л. Бур­стын. Не претендуя на полный анализ и оценку его работ, мы ограничимся лишь указанием тех направлений, к которым эти работы относятся. Основная математическая специальность Бурстына — дифференциальная геометрия; к этой области от­носится большая часть его публикаций, включая два учеб­ника.109

Однако академик Бурстын был математиком широкого диапазона: им опубликован ряд работ по дифференциальным

Н. В. Ламбин

'267

уравнениям, теории тригонометрических рядов, теории мно­жеств, теории функций действительного переменного, алгебре и по методологии науки (полемические выступления в печати).

Некоторые из его публикаций посвящены обзору новых актуальных проблем, например, во «Введении» к работе «Фи­зические методы математики»,110 относящейся к теории физи­ческого моделирования, автор формулирует принцип, который лежит в основе этого рода методов: «только на основе методо­логии диалектического материализма можно понять как сущ­ность математической физики, так и сущность физических ме­тодов математики и смотреть на эти синтезы не как на случай­ные, совсем поверхностные связи, а как на органическое един­ство, которое свои корни и основу имеет в объективном позна­нии природы». В связи с актуальностью проблемы моделиро­вания Бурстын высказывал соображение относительно орга­низации соответствующей лаборатории.

В статье «Проблемы интегральной геометрии» формули­руется задача систематического изложения большой совокуп­ности исследований, которые составляют особое направление, названное автором «интегральной геометрией».111 Сюда он от­носит проблему изгибания поверхностей без растяжения и разрывов, но со складками.

«Во всяком случае,— пишет Бурстын,— я думаю, что име­ет большое математическое и методологическое значение по­строить интегральную геометрию как систематическую дисци­плину, подобно дифференциальной геометрии».

В этом кратком обзоре мы остановились на тех основных направлениях в области математики, которые развивались в 30-х годах в Белорусском государственном университете. Мы не упомянули здесь другие работы и исследования ученщх м а­тематического отделения, несомненно, также представляющих интерес для истории науки и университета.

Полный обзор деятельности университета в подготовке м а­тематиков (в том числе и учителей математики) и в области научных исследований, особенно современного периода его развития, может составить самостоятельную монографию Укажем здесь небольшую работу, представляющую краткий обзор деятельности БГУ в области математических исследо­ваний и подготовке кадров математиков.112

* *

*

В послевоенные годы БГУ сделал крупный шаг в развитии математики и преподавания. В 1958 г. был организован мате­матический факультет. В 1970 г. из состава математического факультета выделен факультет прикладной математики. С его

268

открытием в республике началась подготовка специалистов по прикладной математике, включая использование и конструиро­вание электронно-вычислительных машин. Созданы новые кафедры: математической физики, математического обеспече­ния ЭВМ, автоматизированных систем управления. Развитие научных исследований характеризуется созданием математи­ческих школ — по дифференциальным уравнениям, вычисли­тельной математике, алгебре. Успешно осуществляется подго­товка молодых талантливых математиков-исследователей. В деле повышения математической культуры Белоруссии сов­ременного ее периода заслуги принадлежат прежде всего основателям этих школ и новых направлений — Н. П. Еругину, Ф. Д. Гахову, В. И. Крылову, Д. А. Супруненко, Ю. С. Богда­нову, Е. А. Иванову, С. А. Чунихину и их талантливым учени­кам В. П. Платонову, Н. А. Лукашевичу, А. И. Яблонскому и др.

источники

К главе I

1 К . М а р к с и Ф. Э н гел ьс . Избранные произведения в трех томах, т. 3. М. Политиздат, 1966, стр. ИЗ.

2 К . М а р к с и Ф. Э н гельс . Соч. Изд. 2-е, т. 20, стр. 501.3 История Польши, т. 1. М., 1956, стр. 179 и след. Псторыя Беларус-

кай ССР, т. 1. Мшск, 1972, стар. 227 1 наст.4 Проф. 3. Ю. Жемайтис пишет: «Высшая школа была торжественно

открыта в апреле 1579 г.» — «Математика в старом Вильнюсском универ­ситете в период господства ордена иезуитов». III М ежреспубликанская кон­ференция по вопросам истории естествознания и техники в Литве. Тезисы докладов. Вильнюс, 1959, стр. 37.

5 Педагогический словарь, т. II. М., 1960, стр. 518, см. также: История БССР, т. 1. Минск, 1954.

6 Сборник материалов для истории просвещения в России, извлечен­ных из архива МНП, т. II. СПб, 1897, стр. 158.

7 / . ВьеИпзЫ. 11шуегзу1е1 ШПепШ (1579— 1831). Кгако\у, 1889— 1900.8 Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского государственного уни­

верситета им. В. Капсукаса, д. 293.9 Нарысы псторьц народнай асветы 1 педагапчнай думк1 у Беларусь

Мшск, 1968. .10 К. Х арл ам п ови ч . Западнорусские православные школы XVI и нача­

ла XVII в. Казань, 1898, стр. 144. Факты об этом встречаются как в рабо­тах по истории западных университетов иностранных авторов, так и в оте- чественой литературе. Одно время при иезуитах запрещалось принимать на работу учителей, получивших образование в Германии.

11 Сборник сведений о средних учебных заведениях Виленского учеб­ного округа. Вильна, 1873. Сообщается время основания учебных заведе­ний и их краткая история.

12 М . Вьггьйка. 5епаз15 V^1п^аи5 11туегзЙе{аз. 1579— 1842 ш. V̂ 1п̂ 1̂5, 1940.

13 К . Х арлам п ови ч . Цит. соч., стр. 486.14 Там же, стр. 468.15 С. М . С о л о вьев . История России с древнейших времен. Кн. II, т. VII.

М., 1904, стр. 511.16 К . Х арл ам п ови ч . Цит. соч., стр. 248.17 Ю. Боргош. Фома Аквинский. М., 1966.18 Р. Н ауЦ еЫ ег. Ме1апс1оп а1з Ргаесер1ог О е г т а т а е . «Мопитеп1а

О е г т а т а е Рес1а§;о^1са». Т. 4. ВегНп, 1889.19 021е]е Ш пуегзуМ и ^1е11оп5к1е&о чу 1а1асЬ 1364— 1764. Ш. \У. То­

шек. ОезсЫсМе с!ег Рга^ег-О туегзйа!. Рга^. 1849. ОезсЫсМе (1ег ке1зег- ПсЬеп Ш1уег51Ш ъи \У1еп. В ё. I— II. М еп , 1854. 5. 178, 357. И др. сочи­нения.

270

20 А . П . Ю ш кевич. История математики в средние века. М., 1961, стр. 343.

21 К . М ази гЫ еьак г. Вепес1ук1 НегЪз! сг. 1. Рогпап. 1925. См. также: Ст. «Ап1те{ука» в Епсук1оресИа ШусЬочуачусга». Т. 1. Ш агзга\уа, 1881.

22 1аНаппе8 с1е З а сго Ь о зс о . ЗрЬаега МипсН. К гако^. 1513.23 5^. Сеоте^гьа. Шагзгачуа, 1566. Л\̂ ус1. III. Шагзгачуа, 1929.24 Р г. Раи18еп. ОезсЫсМе с1ез ^е1еНг!еп Ш 1егпсМ з аи! (1еп ёеМзсЬеп

5сЬи1еп ипс1 С т у е г з 1Ш еп у о п А из^ап^ с1ез МИЫаНегз Ыз гиг Ое^еп- \уай . Егз1ег Вапс1. Ье1р21^, 1891.

25 Епсус1оресИа ШусЬочуачусга. Т. 4. Ш агзга^а, 1885, з. 156.26 / . й ьа п т , А . № аски1ка. Туз1ас 1а± ро1зк1е] тузН т а 1ета{ус2пе].

М агз2а\уа. 1963. Приводится решение следующей задачи из «Арифметики» Кригера: «За 420 флоринов куплено 70 локтей сукна различной цены — по 3, 4, 7, 8, 12 и 20 флоринов за локоть. Определить количество локтей каждого качества», стр. 95—97.

27 А . ТуШонозки АпШ теИсае сипозае. Кгако\у. 1668. А . Ту1кош8Ы . О еотеШ а сипозае. Кгако^у. 1961.

28 /. О ьапт , А. \УасЬи1к^ Ц ит. соч., стр. 104.29 Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета им.

В. Капсукаса. Рукопись № 603.30 См., напр., рукопись «Начала геометрии», 1797 г., хранящуюся в Л е­

нинградском государственном историческом архиве, ф. 732, оп. 1, д. 466. В ней имеется раздел, посвященный шестидесятеричным дробям.

31 Арифметика практическая. № 989. Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета им. В. Капсукаса. На нем. яз.

32 Р г а е т ш т 31уе т& геззиз т ^еоте1г1ат ргасИ сат. № 122. Рукопис­ный отдел библиотеки Вильнюсского университета. На лат. яз.

33 Р. Ь и скеу. 2иг ОезсЫсМе с1ег Ыошо^гарЫе. 2еИзс11пГ1 !йг ша!Ье- таИзсЬеп ипс1 па1иг\У18зепзсЬа1Шс11еп 11п1егпсМ. Ье1р21^ — ВегПп 1927. 58. Не!1. 10. 5. 455—465.

А. ЯерзоШ . 2иг ОезсЫсМе с!ег аз1гопогш5сЬеп М езз^егкгеи^. Ье1р- 21^. 1908.

К. М о згуп зЫ . КиНига 1ис1очуа з!очУ1ап. Т. 2. 1934. 5 15—44.34 Н . Д . Беспамят ных. Элементы вычислительной математики в руко­

писях Вильнюсского университета. Материалы VI конференции по исто­рии науки в Прибалтике. Вильнюс, 1965, стр. 3—4*

35 Н . Н. Г л а го л е в . Номография. М., 1961.36 Сотня астрономская еже есть собранная в краткости на латинском

языке в Вильно. Ныне ж е нове преведеся в царетвуклцем Великом граде Москве лета 1707 и преписася на обоих диалектах по гражданской типогра­фии тщанием Василия Киприянова.

Сотня астрономская в сущей академии и повсемстве Виленского со­дружества Иисусова от Альберта Дыплинского физики и наук слышателя, политичны разглагольствование предложенная в Вильне типом академ- ским содружества Иисусова лета господня 1639. Рукописный отдел Ленин­градской библиотеки им. М. Е. Салтыкова-Щ едрина. Двуязычная.

37 А. В . Б о р о ди н . Московская гражданская типография и библиоте­кари Куприяновы. Труды института, книги, документы, письма. V. Л., 1936, стр. 53— 109.

38 В. И. Ч енакал. Очерки по истории русской астрономии. М.— Л., 1951, стр. 22. Краткие сведения имеются в кн: «История отечественной мате­матики». Т. I. Киев, 1966, стр, 160,

Сотня астрономска, л. 44, автор говорит: «Эти таблицы составлены аст­рономами и нами удобным методом исправлены».

39 Там же, л. 50.40 Там же, л. 25.41 Там же, лл. 26, 28.42 Там же, л. 67.

271

43 Сотня астрономска, л. 68.44 Там же, л. 77.45 111из{пога Шеогеша1а е! ргоЫета!а таШ етаИса... ^Ипо, 1633. В ти­

пографии академии, стр. 56 («Знаменитые теоремы и задачи математики»).. В работе имеются изображения относительного расположения Юпитера и его спутников.

46 Сотня астрономска, лл. 94— 104.47 Там же, л. 106.48 Там же, л. 134.49 Там же, л. 163.50 Д . Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. и доп.

И. Б. Погребысского. М., 1964, стр. 122.51 К. А . Р ы бн и ков . История математики, т, II. М., 1963, стр. 11.52 Д . Я . Стройк. Цит. соч , стр. 136.53 РЬПозарЫае па!игаПз зеи {гасШ из рЬуз1С1 гезропёеМез ос!о ПЪпз

А пзЫ еН з ёе рЬуз1са аисШо 1гасП1е. Аппо. 1721.(Натуральная философия или трактат по физике восьми книг Аристотеля, читанных в 1721 году.) Отдел рукописей библиотеки Вильнюсского универ­ситета. № 1225.

54 И. Б иелиньский . Цит. соч., т. II, стр. 63.55 М . М. Г у с е в . 100-летие Виленской астрономической обсерватории.

Вильно, 1853.56 / . А'аксьапою ьсг. Ргае1ес1юпез шаШегпаИсае ех ШоШашз е1ешеп11з

ас!огпа1ае... \\Шпае. 1759— 1761.57 Сокращение первых оснований математики, т. 1. СПб., 1770. Из

«Предуведомления».58 3 ( . 8о1зк1. О еоте1па. Кгако\У1е, 1684.59 1пзШи{юпёз таШ етаИ сае. № 608.

Отдел рукописей библиотеки Вильнюсского университета. Датирована 1766—67 гг. На лат. яз.

К главе II

1 Устав народной эдукационной, или воспитательной, комиссии для академического звания и училищ в областях республики, изданный но­вым тиснением. Вильно, 1819.

г ,

2 I. З т а й еск и 2уш)1 исгопу 1 риЬПсгпу М агста ОсИатск1е^о Росго- Ьи1а. ШПпо. 1814.М . Г усев . Столетнее существование Виленской обсерватории. Историчес­кий очерк. Вильно, 1853.

3 Г . Е. П а вл о в а . Научные связи М. Почобута с Ж . Лаландом.. М а­териалы VI конференции по истории науки в Прибалтике. Вильнюс, 1956, стр. 50.

4 Ц ГИ АЛ, ф. 733, он. 62, д. 1, л. 59.5 См. также: 3 . Ж емайт ис. Выдающийся профессор старого Вильнюс­

ского университета Фр. Нарвойш (1742— 1819). Литовский математический сборник, т. IV, № 2, стр. 261—288. Н. Д . Беспамят ных. М атематика в Виль­нюсском университете. Ученые записки Карельского педагогического инсти­тута, т. XIV. Петрозаводск, 1963, стр. 54—55. (В дальнейшем — цит, соч.)

Биографические данные о Нарвойше восходят к одному основному ис­точнику — биографии, написанной Жицким опубликованной в сентябрь­ском номере «Е Ы ептк ШПепзкЬ в 1820 г. Жицкий пишет, что лично знал Нарвойша в течение 36 лет.

6 «Ргае1ес1юпез» 1800/01 учебный год. ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1, л., 92. См. также: Н. Д . Беспамят ных. Цит. соч., стр. 51.

272

7 «Ргае1ес1юпез» за 1805/06 учебный год. ЦГИАЛ, ф. 733, он. 62, д. 38, л. 122.

8 /. ВгеИпзки 51ап паик тактаИсгпо-ПзусгпусЬ га сгаз6\у шзгесЬтсу иШепзке]. Шагзгахуа. 1890.

9 «Представление» Виленского университета (вместе с послужным списком). ЦГИАЛ, ф. 744 оп. 1, д. 407.

10 Н. Д. Беспамят ных. Цит. соч., стр. 59.11 «Акт утверждения для Императорского Виленского университета».

Сборник материалов для истории просвещения в России, извлеченных из Архива МН просвещения. Т. II, 1802— 1804. СПб., 1897, стр. 158 и след. «Устав или общие постановления ИВУ и училищ его округа». Там же, стр. 182. См. также: Ю. Ф. К рачковски й . Исторический обзор деятельности Виленского учебного округа за первый период его существования. Вильна,1903.

12 Деление математических наук: кафедры тех предметов. Речь, читан­ная на научной сессии Виленского университета 15 ноября 1808 г. (на польск. яз.). «Р1зша гогшаИе». Т. II, Вильно, 1814, стр. 289 и след.

13 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 31, л. 1.14 КС 333, КС 334. Рукописный отдел Вильнюсского университета.15 Ю. Ф. К рачк о вск и й . Исторический обзор деятельности Виленского

учебного округа за первый период его существования. Вильна, 1903, стр. 363.16 Таблица составлена на основе «Расписания лекций за годы 1804—

1829».17 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 982. Ведомость о состоящих и выбыв­

ших студентах за 1829/30 учебный год.18 Там же, д. 509, лл. 21—35.19 «021епшк ШПепзкЬ. УПпо, 1819.20 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 13, л. 5 и след. Рапорт Немчевского Вилен­

скому университету от 11 октября 1803 г. из Парижа. См. также «Перио­дическое сочинение об успехах народного просвещения», 1804, № 4, стр. 77 и «021епшк ШПепзЫ», 1809, № 1, стр. 657 и след.

21 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 509, лл. 33—34.22 ГИА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 395, л. 2.23 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 434, л. 4.24 Там же.25 «Ргае1ес{юпез» за 1809— 1810 и последующие годы.26 А1^еЬга, р1запа р М. Р. РоПпзЫедо XV сгаз1е 1ексу1, ёашапусЬ ргхег

Каго1а КпзИапа Ьап^зёогГа, ргоГеззога Ма1ета1ук1 з1озо\уапеу XV 1тр. А\Шепзк1т 11шуег511ес1е. Ноки 1804.

27 См.: «Ргае1ес1юпез» за годы 1817— 1829.28 КС 659. Рукописный отдел Вильнюсского университета (формуляр­

ный список Полинского). См.: ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1110, лл. 180— 187.29 КС 346. Рукописный отдел Вильнюсского университета.30 Рукописный отдел Вильнюсского университета. ДС-167. О Оеоёезу!

рггег М1сЬа1а Ре1ке РоПпзЫе^о, с!ок1ога ШогоШ. Ш и^Ппе, 1816.Это его докторская диссертация. Работа написана на основе свежих

данных триангуляции известной французской геодезической экспедиции. Работа печатная, с исправлениями автора. Это — речь, читанная автором публично в университете. «Росг^1к1 1гу^опоте1гу1». Вильно, 1816 и 1821 (с добавлением таблицы логарифмов).

31 КС. 65& Рукописный отдел Вильнюсского университета.32 В рукописном отделе Виленского университета имеется специаль­

ный фонд Полинского (Тек1 РоНпзИе^о), в котором содержатся «Замет­ки и материалы по истории Виленского университета».

33 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 156, л. 14; д. 1021 л. 8 и ГИА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 741, лл. 26—27.

34 Оеоте1па ^укгез1опа сгуН чуук!ас! гги!о^уусЬ 1 оЬгагочуусЬ4 \уук- гез1еп г ёосЫ Ы ет ргашс!е1 огпасгата с1ет пар1запа сПа игу!ки ис2т о \у иш\уег5Иескк:Ь рггег Н1роШа КитЬошсга. ШПпо, 1829.

35 ГИА Лит. ССР. ф, 721, оп. 1, д. 626, л. 5.36 ЦГИ АЛ, оп. 62, д. 156, лл. 14— 15, 24.37 В «Периодическом сочинении о успехах народного просвещения»,

1805 г., № 13, стр. 101.Приводится следующая задача: «Представим себе канал, в котором

протекает в секунду данное количество воды через поперечное сечение из­вестной ширины и глубины, заключенное в берегах. Положив сие, если от одного берега к другому построить плотину, вверху которой сделано будет отверстие для стока воды, вопрошается, по какому закону вода, поднявшая­ся от преграды, поставляемой плотиной, принуждена прибавляться не толь­ко у плотины, но и вверху по каналу. Ж елательно получить формулы до­вольно общие, чтобы можно было их приложить к накоплению не только того самого количества воды т, но и всякого другого т +х. Когда теория и опыт не согласятся между собою совершенно, сделать в формулах надле­жащие поправки и доказать самою вещью и приводя в пример наблюдения, сколько оные формулы справедливы».

38 ГИА Лит. ССР, ф. 721, д. 653 (лист не нумерован). Я. Д . Беспамят ­ных. Научные связи математиков Вильнюсского университета с Петербур­гом в начале XIX в. «Наука в Прибалтике в XVIII —н ачал е XX в.» Рига, 1962, стр. 56 и след.

39 Ц ГИ АЛ, ф. 733, оп. 62, д. 353. Дело о командировке Горского, а такж е д. 1110 и д. 1021, л. 7 и КС 348 (рукописный отдел Вильнюсского университета).

40 2. КегикоиозЫ. О хуугшагасЬ деоёегусгпусЬ. КС 367. Рукописный от­дел Вильнюсского университета.

41 1ап З т а й еск и Р 1зта гогшайе. Т. 2. \\Шпо, 1814. 5. 303.42 /. 8 т а й езЫ . Р 1з т а го гтай е . О гасЬипки 1обо^. Т. 3.43 Гос. Архив Л и т . ССР, ф. 721, д. 625.44 Д. 325. Рукописный отдел Вильнюсского университета. Н. Д. Беспа­

мятных. Преподавание математики в Вильнюсском университете. См.: «При­ложение», где опубликована программа Ревковского в нашем переводе на русский язык.

45 «Михаил Васильевич Остроградский (1826— 1962)». Под ред. И. Б. Погребысского и А. П. Юшкевича. М., 1961, стр. 276—278, См, также: Ц ГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1031. (Отзыв Остроградского.)

46 Ц ГИ АЛ, ф. 733, оп. 62, д. 974, л. 10. (ГИА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 825, л. 15).

47 Там же, л. 11.48 Там же, л. 12.49 Там же, л. 13.50 Там же, л, 14.51 Там же.52 Там же, л. 15.53 Там же.54 Там же, л. 16.55 Там же, лл. 28—29.56 3 . Ж емайт ис. Профессор Вильнюсского университета 3. Ревковский

и математическое исследование производственных процессов. Литовский математичекий сборник. Т. III, вып. 1. Вильнюс, 1963, стр. 289—313.

57 Биографические сведения заимствованы из книги:М . ВаИпзЫ . Рагшз1шк1 о Лаше 5шаёеск1ш. АУПпо, 1864— 1865.58 Ц ГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 70, лл. 1,9.59 Там же, л. 11.60 Там же, ч. 744, оп. 1, д. 183, л. 1 и д. 702, лл. 1—2.61 Архив АН СССР. Л., ф. 1, оп. 2, 115, 117.62 /. З т аЛ еск и О К орегтки . Шагзгахуа. 1802.63 И . С нядецкий . География или математическое, или физическое опи­

сание Земли. Перевел со II издания, исправленного самим автором, доктор философии Павел Канавецкий. Харьков, 1817.

274

64 Там же, стр, V.65 Там же, стр. V III,66 Там же.57 Там же, стр. XI.68 ^. Зт ай ескь. КасЬипки а1деЬга1сгпе^о 1еогу1а рггу зЬ зо ^ап а с1о ^ео-

те!гу1 Нпн кггухуусЬ. Т. 1. Кгаколу, 1783.69 Там же, стр. 22—23.70 М . РоИпзЫ . А1^еЪга. УПпо, 1808— 1809. Рук. 157. Рукописный отдел

Вильнюсского университета.71 М . Р о Ш зк и А1^еЪга. Мшзк, 1810— 1813. Рук. 150. Рукописный отдел

Вильнюсского университета.72 А. УРугиокг. Росг^Ш а1^еЬгу. и^Ппо, 1826.73 О. Н ге с гу п а . Росг^Ш а1деЬгу. Кггегшешес, 1830.74 Я. Д . Беспам ят ны х. Об отрицательных числах у Лобачевского.. Ис­

торико-математические исследования. Вып. III, 1950, стр. 154— 171. См. также: В. Н. Молодший. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX в. М., 1963, стр. 104— 119.

75 И . С н ядец кий . Алгебра. Краков, 1783, стр. 9— 10 (на польск. яз.).76 И. С н ядец кий . Рассуждение о началах математических наук. Зн а­

чение и влияние на общее образование. Краков, 1781, стр. 271 (на польск. яз.),

77 М атериалы для биографии Н. И. Лобачевского. Собрал и редакти­ровал Л. Б. Модзалевский. 1948, стр. 204.

Заметим, что отрицательное отношение к кантовскому априоризму вы­раж али многие другие русские профессора, как, например, Н. И. Фусс, Т. Ф. Осиповский и др.

78 И. С н ядец кий . «Рассуждение...», 1781. Краков, стр, 273 и след.79 Там же, стр. 275 и след.80 Я. Д . Беспамят ных. Научное наследие И. Д. Лукашевича. Материалы

VII научной конференции по истории науки в Прибалтике. Рига, 1968.81 И. С н ядец кий . «Рассуждение...», стр. 263 и след.82 ЕисНёеза росг§{к6\у Леоше1гу1 кз1ад озтю го. \\Шпо, 1807.83 Т. В аг(а8геь»1сг. Росг^1к1 ^еоте!гп г по1агт рггег О. М. Ьедепёге.

Ш \п о , 1824.г

84 У. Зт ай есЫ . Тгу^опоте1пе. Ье1р21д, 1928.85 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1083, л. 396.

К главе III

1 А. П . Ю ш кевич. История математики в России до 1917 г. М., 1968, стр. 25.

2 И. К арат аев. Описание славяно-русских книг, напечатанных кирил­ловскими буквами. Т. 7. Спб., 1883, стр. 486.

3 И. Д ам аски н . Небеса. С предисловием Иоанна Экзарха — патриар­ха Антиохийского. Рукопись Эрмитажного собрания № 409. Рукописный отдел Ленинградской библиотеки им. М. Е. Салтыкова-Щ едрина. По вопро­су ее использования см.: К . Х арлам п ович . Западно-русские православные школы XVI—XVII вв. Казань, 1898.

4 П . Б . С л авен ас. Астрономия в высшей школе Литвы XVI—XIX вв. Историко-астрономические исследования. Вып. 1. М., 1955, стр. 52.

5 Там же, стр. 49, 51.6 М . ВаИпзЫ . Ьа\упа Акаёеппа ^ й еп зк а . Ре1егзЬигд, 1862, стр. 18 и

след.7 Р. Раи1зеп . ОезсЫсМе ёез ^е1еНг1еп 11п1егпсМ5 аи! с1еп ёеМзсЬеп

5сЬи1еп. Егз1ег Вапё. Ье1рг1^, 1896.8 Ю зеф Б оргош . Фома Аквинский. М., 1966, стр. 41—42.9 В. И. Л ен и н . Полн. собр. соч. Т. 29, стр. 326.

275

10 Ю зеф Боргоьи. Фома Аквинский, стр. 168. (Цитата из перевода кн. Ф. Аквинского «Сумма...»)

11 Там же, стр. 155.12 К. Х арлам п ович . Западнорусские православные школы XVI и нача­

ла XVII в. Казань, 1898, стр. 32.13 И. М орош кин . Иезуиты в России. Ч. I. Спб., 1897, стр. 56.14 П . В. С лавен ас. Астрономия в высшей школе Литвы XVI—XIX вв.,

стр. 49.15 Р. Раи1зеп. ОезсЫсМе с!ез де1еЬг!еп 11п1егпсМз аи! с1еп ёеМзсЬеп

5Ши1еп ипс! ишуегз1Ш еп уоп Аиз&ап^ ёез М Ш екИегз Ыз гиг Ое^епхуаг^ \'1ег1ег Вапс1. Ье1р21^, 1891, стр. 313 и след.

16 Рукопись № 1155. Научная библиотека Вильнюсского университета.17 I. Ь и к а зге ь и к г . Н1з1ог1а згко1 XV Когоше 1 ху М е И а е т К51§з1ху1е

1л1е\узк1ет. Т. II. Рогпап, 1849, з. 117. См. также: Устав народной эдука- ционной, или воспитательной, комиссии для академического звания и учи­лищ в областях республики, изданный новым тиснением. Вильно, 1819. Р у­копись. ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 433.

18 Там же, стр. 128— 129.19 П. Ю р ’еу. Беларус — аутар першай рускай граматьни. «Шва», 23 Л1-

стапада 1969 г. Беласток. ПНР.20 П. П екарски й . Описание славяно-русских книг и типографий. 1698—

1725 гг. Т. п. Спб., стр. 13— 15.21 Там же.22 А. Б о л сун . Зорная карта Капиевича «Маладосць», 1972, № 4,

стр. 150— 152.23 Устав народной эдукационной комиссии. Вильно, 1819. Рукопись

ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 433, стр. 288—293.24 Е. К ры ж ановский. Учебные заведения в русских областях Польши.

«Киевская старина». Т. 1, 1882, стр. 470.25 Н а п п а РоН озка. \\П2уШого\У1е депега1ш Когшзз^ Ес1икас]I Ыаго-

с!олуо]. ЬиЬПп, 1957.26 Сборник материалов для истории просвещения в России, извле­

ченных из архива МНПр. Т. II, 1802— 1804. Спб., 1897, стр. 628.27 А . С авич. Ш кольная реформа в Польско-Литовском государстве в

конце XVIII в. «Вестник Народного Комиссариата просвещения БССР». Минск, 1922, стр. 27—29.

28 Сборник материалов для истории просвещения в России. Т. 1. Спб., 1893, стр. 693.

29 А п!те1ука (11а згк61 пагоёохуусЬ чу \УПте. 1804.30 А1^еЬга “сИа згко1 пагоёочуусН \у иП1ше. 1807.31 О еоте1гуа сПа згк61 пагос1о\уусЬ. Сг§зс I. 1083. II— 1804, XV Ш Пте.32 Е. С. Ш ат унова. Теория пределов Симона Люилье.. Историко-мате-

матические исследования. Вып. XVII. Под ред. Г, Ф. Рыбкина и А. П. Ю ш­кевича. М., 1966, стр. 325—331.

33 Сборник материалов для истории просвещения в России. Т. 1, стр. 786.34 Сборник материалов для истории просвещения в России... Т. 1.

Учебные заведения в Западных губерниях. 1788— 1803. Спб., 1893. стр. 654.

35 Там же, стр. 160.36 А. В о р о н о в . Историко-статистическое обозрение учебных заведений

С-Петербургского учебного округа с 1715 по 1828 г. включительно. Спб., 1849, стр. 14— 15.

37 Ц ГИАЛ, ф. 732, оп. 1, д. 201, лл. 30—31.38 Ф. О. Хичий. Об авторстве первого учебника арифметики для на­

родных училищ в России. Историко-математические исследования. Вып. X. М., 1957, стр. 617—639.

39 Описание дел Архива МНП. Т. II. Петроград. 1921, стр. 138— 146.40 Руководство к арифметике для употребления в народных училищах.

Ч. I. Спб., 1783; ч II. Спб., 1786.

276

41 Краткое руководство к геометрии для народных училищ. Спб., 1786.42 Сборник материалов для истории просвещения в России. 1783— 1803.

Спб., 1893, стр. 446.43 Там же, стр. 85.44 Там же, стр. 90.45 Сборник материалов для истории просвещения в России, извлечен­

ных из Архива Министерства Народного Просвещения. Т. II. Учебные за ­ведения в западных губерниях. 1802— 1804. Спб., 1897, стр. 182 и след.

46 Там же, стр. 1021.47 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 255, лл. 5—25.48 Там же, д. 389, лл. 185— 186.49 Сборник материалов для истории просвещения в России. Т. II,

стр. 207, 817 и след. «Общие наставления Виленского университета визита- таторам округа в 1804 г.» См. также: ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 18, лл. 2—34.

50 «Наставления Виленского университета визитаторам». Спб., 1804, стр. 820.

51 КС 557. Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета.«Отчеты визитатора по белорусским школам». Л, 1315.

52 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 820, л. 1.53 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 7, лл. 10— 12.54 I. СгесН. КгоШ \уук1ас! Ап1те1:ук1 г {аЪПсагш рггук1ас1у гасЬипко-

чуе. XV \УПте, 1807. (В 1828 г. вышло VII издание.)55 ЕисПёеза росг^1ко\у О еоте{гу1кз1д^ озтю го 1о ]*ез! згезс р1епУ52усЬ

]ес1епа51а 1 ё т т а з ^ а ъ с!ос1апугт рг2ур1загш 1 1п^опоте1па. 01а рогу!кит \о д г [ акас!егшск1ез' М итасгопе 1 лууёапе рггег 1огеГа СгесЬа. ШП-т е , 1807.

56 М . РоИпзЫ . Росг^Ш Тпдопоте1гу1. Ш Пто, 1816.57 А. Ч У угт сг. Росг^Ш А1^еЬгу с!1а згко! ^1тпа2уа1пусЬ. Ш \УПте,

1828.58 А. УРугиикг. Росг^1к1 ^еоше!гу1 апаШусгпе] (11а згк61 ^тп агуаЫ усЬ .

ШПшо, 1828.59 Н. Д . Беспамят ных. К истории инструментальных вычислений в

XVII и V III вв. Историко-математические исследования, вып. XVII. М., 1966, стр. 281—288. Н. Д . Беспамятных. К истории счетных инструментов в России в XIX в. Ученые записки Гродненского педагогического института. Минск, 1957.

60 Р. Са]'ог1. А Ыз1огу о! Ше 1о^ап1Ьгшс 5Нс1е ги1е. Меху^’огк, 1960.61 А. 1аЬогогю8Ы. Оеоше1па ргак!усгпа. Ш агзгаша, 1756.62 1пз1гигпеп1ит РгорогМ отз. Рукопись № 967. Научная библиотека

Вильнюсского университета.63 I. СопЛгаи. Е1етеп1а. Оеоте1:пае ШеогеИсае е! ргасНсае. Ро1оаае,

1818. I. С опйгаи . Т п ^оп оте1п а р1апа е! зрЬаепса. Ро1ос1ае, 1819.64 ЦГИА БССР в Минске, ф. 3157, оп. 1, д. 116, лл. 1—2.65 Там же, оп. 11, д. 3, л. 1 и оп. 1, д. 116, 62.66 Там же.67 Там же, л. 14.68 Там же, л. 21.69 «Книжица о сочинении и описании сектора, скал плоской и гунтер-

ской со употреблением оных инструментов, в решении разных математи­ческих проблем. От профессора математики Андрея Фархварсона изданная, Напечатана в Морской Академической типографии». Лета 1739.

70 М. А зпгиз. Оаз гиз518сЬе КесЬпеп-ВгеИ. Ге1р21^, 1831.71 ОаШ ео СаШеь. о регагю т с1е1 сотраззо ^еоте!псо . е тШ1аге. Ореге сН ОаШео ОаН1е1 поЬПе ИогепИпо Р п т а п о РПозоГо е М аИ ета-

Исо с!е1 зегеп1331то ^гап с!иса (И Тозсапа. 1п П гепге. МОССХУШ, 1—40.72 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 360, л. 8.73 I. С оп й гаи . Е1егпеп1а О еоте1пае ШеогеИсае е! ргасИсае. Ро1ос1ае, 1818.I. СопЛгаи. Тп& опоте1па р1апа е! зрЬаепсае. Ро1ос1ае, 1819.74 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 198, лл. 35, 86, 95, 107, 137.

277

75 Там же, л. 35.76 Там же, л. 152.77 Там же, д. 517, лл. 23—24 и 34.

К главе IV

1 С. Т. А к са к о в . Воспоминания, т. II. Собр. соч. в V томах. М., 1966. «Биографический словарь профессоров и преподавателей Казанского универ­ситета (1804— 1904)». Под ред. Н. П. Загорскина. Казань, 1904.

2 ЦГА Лит. ССР, фонд Белорусского учебного округа, д. 14, л. 1756.3 Там же.4 ЦГИА БССР в Минске, ф. 3157, оп. 1, д. 161, л. 1.5 ЦГА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 764. «Об исключенных студентах из

Казанского университета, с 1828— 1832 гг.»6 ЦГИА Лит. ССР. Фонд Белорусского учебного округа, д. 2262,

лл. 45—59.7 Программа для производства испытаний в гимназиях БУО. Вильна,

1847.8 ЦГИА БССР в Минске, ф. 3157, оп. 1, д. 613, л. 8.9 Там же, л. 9.10 Там же, лл. 17— 18.11 ЦГИА Лит. ССР, фонд попечителя БУО, д. 3235, лл. 10—20.12 Я. Л . Ч ебы ш ев. Поли. собр. соч. Т. V. М.—Л., 1951, стр. 339.13 Ц ГИ АЛ, ф. 734, оп. 3, д. 90, л. 713.14 Ц ГИ АЛ, ф. 734. оп. 2, д. 2, л. 175.15 Там же, л. 199.16 Там же, л. 201.17 Там же, д. 4, л. 35.18 Там же, д. 5, л. 308.19 Там же, д. 4, л. 216.20 Я. Л . Ч ебы ш ев. Поли. собр. соч. Т. V. М.—Л., 1951, стр. 340.21 ЦГИА Лит. ССР, фонд попечителя учебного округа, д. 1866, 1835,

лл. 10— И, 18—20.22 Ц ГИ АЛ, ф. 734, оп. 2, д. 3, л. 175.23 Гимназическая программа по математике. 1890 г.24 О работе комиссии см.: А. Д . Б илим ович. М еждународная конферен­

ция о преподавании математики. «Киевские университетские известия», 1914, № 4, стр. 49—71.

25 Деятельность Международной комиссии по преподаванию матема­тики и комиссий национальных освещалась на страницах журнала «2е115сЬпП !иг шаШ. ипё па!иг\у. Ш1егпсЫ:».

26 Программы, изданные под ред. профессора Д. М. Синцова в 1914 г.: «Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Зап ад­ной Европе».

27 Я. В. М ет ельский. Очерки истории методики математики. К вопросуо реформе преподавания математики в средней школе. Под ред. проф. И. Я. Депмана. Предисловие проф. Б. В. Болгарского. Минск, 1968.

28 Р. К 1ет . Уог1га^е йЬег с1еп ша1ЬетаИ5сЬеп 1МегпсЫ: ап с!еп КбЬегеп 5сЬо1еп. Ье1р21^, 1970, 5. 4.

29 Съезд преподавателей математики, физики, естествознания и гео­графии средних учебных заведений Виленского учебного округа. Секция м а­тематики. Вильна, 1908.

30 Там же, стр. 14.31 Там же, стр. 14.32 Там же, стр. 27—28.33 Отзыв о письменных экзаменационных работах по алгебре, испол-

278

ценных учениками дополнительного класса реальных училищ ВУО в 1889 г. Циркуляры по ВУО. 1890, стр. 5.

34 Протоколы педагогического совета Гродненского реального училища. ГИА в Гродно, фонд дирекции училищ. См. также: 7-е приложение к № 12 Циркуляров по ВУО за 1894 г. «О письменных работах за 1894 г.» Цирку­ляры по ВУО за 1890 г. Отзыв о письменных работах по алгебре за 1889 г., стр. 8 и след.

35 В. Е. Д о б р о в о л ь с к и й . О приготовительном курсе геометрии. «Запис­ки учителя». Вильно, 1885, стр. V III. См. также: «Циркуляры по ВУО», 1885, стр. 117. «О всестороннем обсуждении вопроса относительно назначе­ния уроков для преподавания пропедевтики геометрии», стр. X.

36 «Конспект предварительного курса геометрии» и «Памятная книж ­ка для учащихся». Вильно, 1885.

37 Протоколы заседания комиссии при управлении ВУО по вопросу о мерах содействия физическому, нравственному и умственному развитию учащихся. Вильно, 1909, стр. 78—79.

38 Сборник материалов по организации школьного обучения на нача­лах научной педагогики. Вып. V. Вильна, 1915, стр. 106.

39 Там же, вып. IV, стр. 72.40 В. М . Б р а д и с . «Василий Антонович Голубев». М атематика в школе»,

1961, № 4, стр. 74—77.41 М . Д ем к о в . Что нужно для успехов русской науки? «Гимназия»,

1904.42 Сборник материалов для истории просвещения в России, Т. II. Учеб­

ные заведения в западных губерниях. Спб., 1897, стр. 416 и след.43 А. К . Ж б и к о вск и й . Основания общей арифметики для V III класса.

Ч. I, II, III. Спб., 1890. Первое издание относится к 1862 г. Учебник приме­нялся в Виленском учебном округе при повторении математики в старшем классе.

44 Я. Л . Ч ебы ш ев. Полн. собр. Т. V. М., 1951, стр. 345—346.45 Б. В. Б о л га р с к и й . Казанская школа математического образования.

Казань, 1967, стр. 115 и след.46 Б. П . Ч иханов. Учебник арифметики. Курс средних учебных заве­

дений. Изд. 9-е. М., 1918. Е го же. Учебник алгебры. Курс средних учебных заведений. Изд. 4-е. Минск, 1909. Е го же. Элементы теории вероятностей. Дополнительные статьи к курсу алгебры в восьмиклассных коммерческих училищах. Минск, 1915.

47 Р. И . К иричинский . Универсальная формула Симпсона.48 А. Ж б и к о вск и й . Относительно делимости чисел. «Вестник матема­

тических наук», 1862, № 1, стр. 2.49 Список литературы, где опубликован критерий делимости Ж биков­

ского см.: Я. Д. Беспамят ных. Арифметические исследования в России в XIX веке. Ученые записки Гродненского государственного педагогического института. Вып. II, 1957, стр. 42.

50 Я. Л . Ч ебы ш ев. Полн. собр. соч., т. V, стр. 345.51 К. М ази н г. Простые признаки делимости чисел. Педагогический

сборник. Кн. V, 1872, стр. 527—535 и в «ЕеЙзсИпЙ Шг т а к т а И зс Ь е п ипс! па1игшззепзсЬа!Ш сЬеп ип1егпсЫ. «У1ег1ег ЛаЬг^ап^, Ь е1р21^, 1873,стр. 404—406.

52 А . В о р о н о в . О некоторых признаках делимости чисел. «Педагогичес­кий сборник». Кн. II, 1873, стр. 202—207.

53 Дневник X съезда русских естествоиспытателей и врачей. Киев, 1898, стр. 329—331.

54 Сошр1ез Непёиз. Т. СУ1, Р ап з, 1887, р. 1070.55 Я. В. Б у га е в . К теории делимости чисел. Математический сборник.

Вып. IV. Т. 8. М., 1877, стр. 501.56 ЗеИзсЬгШ Шг т а !Ь . ип<1 п а к т у . 1М егпсМ , 1871, з. 33.57 Там же, 1873, с. 404—406.58 См. статью Я. Я. С а т и р а «Два признака делимости на любое не

279

оканчивающееся на 5 число» и «Примечание» к ней редакции. «М атемати­ческое просвещение». Вып. IV, 1959, стр 209—211.

59 А. Ж би к о вск и й . Относительно простых чисел. Вестник математиче­ских наук», 1861, № 1, стр. 5.

60 Гродненские губернские ведомости, 1839, № 6.61 Историко-математические исследования. Вып. XIV. М., 1961,

стр. 555—568.62 И. Я. Р о до вск и й . Изобретатель «арифметической машины» 3. Я. Сло­

нимский. «Вестник АН СССР», 1952, № 10, стр. 115— 120.63 Я. Д. Беспамят ных. Об одной теореме арифметики. Ученые записки

Карельского педагогического института. Петрозаводск, 1963.64 Б . Г. Ф он -Б ооль. Приборы и машины для механического производства

арифметических действий. М., 1869, стр. 194— 197.65 Я. Д. Беспамят ных. Об одном классе счетных устройств XIX в.

Дифференциальные уравнения... Тр. Уральск, политехи, ин-та им. С. М. Ки­рова, сб. № 211, Свердловск, 1973.

К главе V

1 Белорусский республиканский архив Октябрьской революции, ф. 42, оп. 1, д. 202, л. 51.

2 Там же, д. 97, л. 235.3 Там же, л. 235, 5.4 Там же, л. 298.5 Там же, лл. 170— 171.6 О полном переходе ко всеобщему среднему образованию молодежи

Белорусской ССР. Доклад Министра просвещения БССР М. Г. Минкевича. «Советская Белоруссия» от 23 июня 1972 г.

7 «Математика в школе». Издание по реформе школы при НКП. Июль — август. М., 1918 (см. статью «От редакции»).

8 Положение о единой трудовой школе Российской Советской Федера­тивной Социалистической Республики и примерные программы ее. Холм,1918, стр. 12.

9 ГИАОР в Минске, ф. 42, оп. 1, д. 202, л. 150.10 Там же, л. 62.11 «Математика в школе». Т. I, 1918, № 1—2, стр. 6.12 Там же, стр. 7—8.13 Проект примерного плана занятий на первой ступени единой трудо­

вой школы-коммуны. Минск, 1919.14 Программа советской единой трудовой школы I— II ступени. Минск,

1919, стр. 40—41,15 Белорусский республиканский архив Октябрьской революции, ф. 221,

оп. 2, д. 34, лл. 71—72.16 Примерная программа по математике для семилетней трудовой шко­

лы Белоруссии. Минск, 1922.17 Там же.18 ГИАОР в Минске, ф. 42, оп. 1, д. 1, л. 1.19 Там же, д. 202, л. 425.20 Беларуская навуковая тэрмш алопя. Вып. XIV. Слоунж матэматыч-

най тэрмшалоги. Мшск, 1927.21 Ф. Г. М ькельсар. Пачатковая геаметрыя. М.—Л., 1924.22 С. В аласковЫ , Т. Л укаш евьч . Методыка арыфметык1. Мшск, 1922,23 А. Крут алевгч. Элементарная алгебра. Ч. I, Берлш, 1922; ч. И,

М.—Л., 1924.24 Новые программы единой трудовой школы первой ступени. М.—

Л., 1925.25 Там же, стр. 114.

280

26 Новые программы для единой трудовой школы. Вып. I. М.—Л., 1923, стр. 101.

27 Там же, стр. 127.28 Там же.29 Программа-минимум единой трудовой школы. Ч. I. Вторая ступень.

Л., 1925.30 Программы и методические записки единой трудовой школы. Вып.

III. М.— Л., 1927, стр. 99.Вып. V. Второй концентр школ II ст. Программы общеобразовательных

предметов. Изд. 2-е. М.— Л., 1927,31 Там же, стр. 100.32 Там же.33 Там же, стр. 101.34 Там же, стр. 101— 102.35 М гхась Л о й к а . Наш калгас. Рабочая кшга па матэматыцы.. Выд. 2-е.

Менск, 1931.Е го же. Рабочая кшга па матэматыцы для другога году навучання.

Менск, 1931.36 Г. Сагалов1ч, I. Ш сарчы к. М атэматыка у комплекснай астэм е вы-

кладання у школе 1-га канцэнтру. Менск, 1928.37 /. ГЛсарчык. Азнаямленне з дробам1 у 4-гадовай школе. Менск, 1928.38 А. Крут алевьч I Г. С агаловьч. Методыка матэматьш . Ч. I. Менск,

1932.39 Праект праграмы 1 метадычная зашска па ф131ка-тэхнщы 1 матэма­

тыцы для II канцэнтру сям 1гадовай Савецкай пал1тэхшчнай школы. Менск, 1930, стр. 16.

40 Праграмы 1 метадычныя зашсю па фгзжа-тэхнщы 1 матэматыцы. Менск, 1931.

41 А. К асабуц кь , I. С агаловьч. Працоуная кш жка па матэматыцы. Ч. I. Менск, 1927.

42 То же, Ч. II (см. 51, 41).43 Программа средней школы. Утверждена коллегией Наркомпроса

16 мая 1933 г.44 Программа средней школы. Математика, физика, черчение, М., 1935.45 Программа средней школы. Математика. М., 1938.46 Программы средней школы. Математика. М., 1943.47 Программа средней школы. Математика. Проект. М., 1947.Программы средней школы. Математика. М., 1948.48 Программы средней школы на 1954/55 учебный год. Математика. М.,

1954.49 Школьные программы. Проект. Математика. М., 1959 г.50 Программа по математике для средней школы. «Математика в шко­

ле», 1968, № 2, стр. 5—20.А. Н. К о л м о го р о в . К новым программам по математике. «М атемати­

ка в школе», 1968, № 2.51 В. А. Х руст алева. К истории высшего педагогического образования

в РСФСР. М., 1963.52 ГИАОР в Минске, ф. 221, оп. 2, д. 27, л. 15.53 Подробно об этом см. в кн. Н. И. Красовского «Высшая, школа Со­

ветской Белоруссии». Минск, 1972.54 А. Я. Хинчин. О задачах математической общественности в области

преподавания математики в средней школе в третьей пятилетке. Тезисы до­клада МГУ, 1939 г.

55 «Положение», утвержденное СНК СССР от 18 февраля 1944 г.56 Н. Я. В иленкин и Й. М . Я глом . О преподавании математики в педа­

гогических институтах. «Успехи математических наук», Т. XII, вып. 2 (74), 1957, стр. 199—211.

57 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 2, л. 1.58 Там же, л. 110.

281

59 Там же, л. 21.60 Там же, л. 22.61 Там же, л. 9.62 Там же, д. 1, лл. 1—4.63 Там же, д. 238, лл. 1—6. См. также: Белорусский государственный

университет им. В. И. Ленина. Минск, 1962.64 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 2, л. 36.65 Там же, д. 10, л. 1.66 Там же, д. 2, л. 106.67 Там же, л. 12.68 Там же, д. 11, л. 12.69 Там же, ф. 42, оп. 1, д. 97, л. 217.70 Там же.71 Там же, л. 217.72 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 59, л. 36.73 Там же, д. 179, л. 69.74 Там же, л. 54.75 Там же, д. 2, л. 99.76 Там же, л. 100.77 Там же, д. 15, л. 36.78 Там же, д. 132, лл. 16— 17.79 Там же, д. 178, л. 23.80 Там же, л. 24.81 Там же, л. 25.82 Там же.83 Там же.84 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 15, л. 17.85 Там же, оп. 1, д. 178, л. 184.86 Там же, д. 122.87 Там же, л. 24.88 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 469, л. 13.89 ЦГИА БССР, ф. 466, оп. 1, д. 210, л. 146.90 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 102, л. 155 и д. 55, Отчет за

1922/24 учебный год.91 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 102, л. 103.32 Там же, д. 178, лл. 122, 184.93 Там же, д. 59, л. 36.94 Ф. 205, оп. 1, лл. 27—30.95 Там же, д. 751, лл. 112— 122.96 Там же, д. 178, л. 184.97 В. К. Д ы д ы р к о . Циркулярные кривые третьего порядка. Минск, 1928.98 И. К . Б о го я вл ен ск и й . Формула Чебышева для приближенного вы­

числения определенных интегралов. Записки Белорусской государственной Академии сельского хозяйства им. Октябрьской революции. Т. IV, стр. 128— 135, 1926. (На бел. яз.)

99 И . К. Б о го я вл ен ск и й . Введение в анализ и дифференциальное исчис­ление. Горки, 1931.

100 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 602, 1934.101 Там же, д. 607, лл. 21—22.102 Там же, д. 670, л. 29.103 Там же, д. 751, л. 55.104 Там же, д. 610, л. 16.105 Я. В. Л а м б и н и М . А. Л ук о м ск а я . Основы классификации сущест­

венно особых точек аналитической функции. В кн.: Сборник статей физи­ко-математического института БАН. Т. II. Минск, 1935, стр. 209—237. (На бел. яз.)

106 Я. В . Л ам би н . Обтекание произвольного числа бесконечных круго­вых цилиндров потоком совершенной и несжимаемой жидкости. «Працы БДУ», 1932, № 26 (на бел. яз.). Е го же. Обтекание произвольного числа

282

бесконечных круговых цилиндров потоком совершенной и несжимаемой жидкости. Сборник работ физико-математического института Белорусской Академии наук, т. И, стр. 183—207. (На бел. яз.)

107 Н. В. Л а м б и н . Метод симметрии и его применение к решению крае­вых задач. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Минск, 1963.

т В. Л . Н исневич . О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем. Математический сборник, т. 8 (50). М., 1940.

109 Ц. Л . Бурст ын. Курс дифференциальной геометрии. Минск, 1933. (На бел. яз.) Е го же. Введение в риманову дефференциальную геометрию. Ч. I. Минск, 1936. (На бел. яз.)

110 Ц . Л . Бурст ын. Физические методы математики. Минск, 1933. (На бел. яз.)

111 Д. Л . Бурст ын. Проблемы интегральной геометрии. Вступление. Сборник работ физико-математического института Белорусской Академии наук. Т. II, стр. 5—32. (На бел. яз.)

112 Н . Д . Беспамят ных. Математика в Белорусском государственном университете (1921— 1941). «Материалы по истории физико-математических наук». X III Международный конгресс по истории науки. М., 1972.

113 Н. Д . Беспам ят ны х, Ю. С. Б о гд а н о в , А . А . Г у с а к , Е. А . И в а н о в , М . П . Х али м ан ови ч . О развитии математики в Белорусском государственном университете. «Вестник Белорусского государственного университета им.В. И. Ленина», 1971, № 3, стр. 5— 12.

ОГЛАВЛЕНИЕ

П р е д и с л о в и е ..................................................................................... 3

Г л а в а I. Математические науки в Виленской академии

§ 1. Организация академии в Литовском княжестве 5§ 2. О математических науках в Виленской академии

в XVII в ............................................................................... 16§ 3. Математика в Виленской академии в XVIII в. 31

Г л а в а И. Главная Литовская школа и деятельность уни­верситета после реформы 1803 г. (1780—1832)

§ 1. Главная Литовская ш к о л а ......................................... 43§ 2. Реформа 1803 г. Профессора и студенты уни­

верситета .............................................................................50§ 3. Преподавание в университете основных матема­

тических д и сц и п л и н ..................................................... 55§ 4. Преподавание С. Ревковским теории вероятно­

стей его и ссл ед о в ан и я ............................................... 66§ 5. А. И. Снядецкий и его влияние на преподавание

математических наук в университете и школах о к р у г а ............................................................................... 72

284

Г л а в а III. Математика в средних учебных заведениях бе­лорусских губерний конца XVIII и начала XIX в.

§ 1. О содержании обучения в школах XVI и XVII в. 88§ 2. Школы Белоруссии после ее присоединения

к России, и преподавание в них математики на основе уставов Польской эдукационной и Петер­бургской училищной к о м и сси й ............................... 99

§ 3. М атематика в школах белорусских губернийВиленского учебного округа . .................................. 115

§ 4. Полоцкая академия и л и ц е й ..................................... 137

Г л а в а IV. Содержание математического образования в гим­назиях и реальных училищах БУО и белорус­ских губерний ВУО (1829—1917)

§ 1. Постановка преподавания математики в средних учебных заведениях Белорусского учебного окру­га. Методологическая концепция школьной мате­матики в XIX в ............................................................... 144

§ 2. Некоторые прогрессивные тенденции в препода­вании математики в школах Белоруссии концаXIX и начала XX в.......................... ............................... 161

§ 3. Творчество учителей в области математики и еед и д а к т и к и .......................................................................... 178

§ 4. Об одном классе счетных устрой ств .................... 191

Г л а в а V. Развитие математического образования в Совет­ской Белоруссии

§ 1, Создание новой школы в Советской Белоруссии 199§ 2. Школьные программы и учебники по математике

в Белоруссии в 20-е г о д ы .......................................... 203§ 3. Постановления ЦК ВКП(б) о школе и нормали­

зация преподавания математики в 30-е годы . . 227§ 4. Усиление связи теории с практикой в школьном

курсе математики (послевоенные годы) . . . . 230§ 5. О подготовке учителей математики в педагогиче­

ских в у з а х .................................................................... 234§ 6. Организация Белорусского государственного

университета и деятельность в нем физико-ма­тематического отделения педагогического фа­культета ......................................................................... 246

285

§ 7. Физико-математический факультет университета.Деятельность математического о т д е л е н и я ................................ 261

Источники К главе I К главе II К главе III К главе IV К главе V

270270272275278280

Н и к и ф ор Д м ит риевич Беспамят ных

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В БЕЛО РУССИ И. ИСТОРИЧЕСКИЙ

О ЧЕРК

Редактор А. А. Б е л я н к и н а Обложка В. М. Б а т у р о

Х удож . редактор В. Н. В а л е н т о в и ч Техн. редактор Г. М. Р о м а н ч у к Корректоры Л. И. С и н е г р и б о в ^ ,

Ж . И. Маркевич

АТ 11646. Сдано в набор 27/Х 1973 г. Подписа­но к печати 28/ХП 1974 г. Бумага 60X9071в ти- погр. № 1. Печ. л. 18. Уч.-изд. л. 18,99.Изд. № 71—76. Зак. 1321. Тираж 1000 экз. Цена 2 руб. 03 коп.

Издательство «Вышэйшая школа» Государствен­ного комитета Совета Министров БССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Редакция литературы по математике, физике и

энергетике. 220600. Минск, ул. Кирова, 24.Полиграфический комбинат им. Я. Коласа Госу­дарственного комитета Совета Министров БССР по делам издательств, полиграфии и книжной

торговли. Минск, ул. Красная, 23.

Беспамятных Н. Д.Б53 Математическое образование в Белоруссии. Историче­

ский очерк. Минск, «Вышэйш. школа», 1975.288 с. с ил.

Монография посвящена истории математического образования в Белорус­сии Рассматривается период с конца XVI до 40-х годов XX в., причем исследо­вание проводится не изолированно, а в естественной связи с ^историей науки и просвещения других стран и народов. Использован богатейший архивный материал. Книга воспитывает патриотизм и гордость заревой народ и свой край. Подчеркивается решающая роль Великой Октябрьской революции в развитии науки в Белоруссии, в постановке действительно народного образования.

Книга представляет большой исторический и познавательный интерес для широкого круга читателей и преж де всего для тех, кто занимается историеи математического образования.

20201—007— 51(09)М 304(05)—75