АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.В. Шелехова

СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ

ПО МАТЕМАТИКЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 031200

(050708) – педагогика и методика начального образования.

МАЙКОП – 2007

2

УДК 51 (075.8) ББК 22.1 я 73 Ш 42

Печатается по решению редакционно-издательской комиссии при НМС Адыгейского государственного университета

Рецензенты: Г.Л.Луканкин, член-корреспондент РАО, д.п.н., профессор;

Т.Ф.Сергеева, д.п.н., профессор

Ш 42 Л.В.Шелехова Сюжетные задачи по математике /учебно-методическое пособие/: - Майкоп, изд-во АГУ, 2007. – 174 с.

В учебно-методическом пособии охарактеризованы понятие «сюжетная задача», её структура и форма; показано использование графической информации в процессе решения сюжетных задач; при-ведены этапы решения задачи и приёмы их выполнения; рассмотрена роль сюжетных задач в школьном курсе математики и типологии сю-жетных задач.

Пособие может быть полезно для преподавателей и студентов вузов и средних специальных учебных заведений, учителей и учащих-ся средних образовательных школ.

© Адыгейский государственный университет © Л.В.Шелехова, 2007

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Книга предназначена для преподавателей и студентов ВУЗов и

средних специальных учебных заведений, учителей и учащихся сред-них образовательных школ.

Данное учебное пособие дополняет раздел «Обучение решению сюжетных задач» основного курса методики преподавания математи-ки. Ознакомление с методикой обучения учащихся решению сюжетных задач является неотъемлемой частью профессиональной подготовки будущих учителей математики, так как сюжетная задача и процесс её решения представляют собой важнейшее средство формирования ма-тематических знаний, умений и навыков, развития ребёнка и одной из основной форм учебной деятельности.

Пособие состоит из двух глав. В первой главе определено поня-тие «сюжетная задача», рассмотрены её структура, форма и исполь-зование графической информации в процессе решения сюжетных за-дач; приведены этапы решения задачи и приёмы их выполнения.

Во второй главе показана роль сюжетных задач в школьном кур-се математики, в которой приводятся функции решения сюжетных за-дач (обучающая, развивающая, воспитательная) и их типологии сю-жетных задач.

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями госу-дарственных общеобразовательных стандартов в области методики математики для специалистов с высшим образованием.

4

ГЛАВА 1. СЮЖЕТНАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ

1.1. Понятие сюжетной задачи В методической литературе существуют различные подходы к

определению понятия сюжетной задачи. Приведем некоторые из них: 1. Под тестовыми задачами понимаются математические зада-

чи, в которых входная информация содержит не только математиче-ские данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи) (Методика преподавания математики, [44], с. 168).

2. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характери-стику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или от-сутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М., [67], с. 43).

3. Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами (Белошистая А.В., [9], с.5).

4. Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Столяр А.А., Дрозд В.А., [43], с. 158).

5. Задача – это система данных и искомых с их свойствами и отношениями и с указанием на необходимость найти искомые (Зайцев Г.Т., [24], с. 9)

6. Математическая задача – это связный рассказ, в который введены значения некоторых величин и предлагается отыскать дру-гие известные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии (Свечников А.А., [58], с. 5).

7. Сюжетной задачей называется требование найти (установить, определить!) какие-нибудь характеристики некоторого объекта по из-вестным другим его характеристикам (Фридман Л.П., [78], с.63).

8. Под сюжетной задачей понимают задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью на-хождения определенных количественных характеристик или значений (Фридман Л.П., [78], с.3).

5

9. Текстовой задачей называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то ком-понента этой ситуации (определить числовое значение некоторой ве-личины по известным числовым значения других величин и зависимо-стям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторо-го отношения между ее компонентами или определить вид этого отно-шения, либо найти последовательность требуемых действий (Демидо-ва Т.Е., Тонких А.П., [19], с.7).

10. Всякая задача есть требование либо на нахождение каких-либо знаний о явлениях действительности (объектах и процессах) и их характеристиках, которые они имеют в определенных заданных в за-даче условиях, либо на получение какого-то искомого практического результата (построить что-то, обеспечить выполнение каких-то усло-вий и тому подобное) (Ильясов И.И., [29], с. 101).

11. Задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение (Епишева О.Б., Крупич В.И., [22], с. 54).

Мы придерживаемся следующего определения: «Сюжетная за-дача представляет собой описание некоторого непустого множе-ства элементов, на котором определено заданное отношение с требованием найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последо-вательность требуемых действий».

Непустое множество элементов, о котором идет речь в задаче, называется ее предметной областью.

Фридман Л.М. ([78], с. 67, 72) отмечает, что описание элементов предполагает полное и неполное задания в тексте сюжетных задач от-дельных значений величины, которыми они характеризуются.

Полное словесное задание включает в себя: 1) название величины, значением которой оно является; 2) указание особенностей данного значения, отличающих его от

других значений той же величины; 3) размер этого значения в виде именованного числа, если это

значение известно. Неполное словесное задание характеризуется следующим: 1) первая часть может быть опущена и лишь подразумеваться;

6

2) вторая часть может быть сокращена до минимума и даже пол-ностью опущена, но взамен будут даны какие-то косвенные указания, например, в виде наименования у числа – размера значения и т.д.;

3) отсутствием в словесном задании значения величины третьей части – его размера в виде именованного числа.

По уровню полноты словесного задания величины могут быть: 1) явно заданные - характеристики объектов должны быть кон-

кретными, когда указано значение (числовое или какое-то иное) этой характеристики;

2) неконкретные – характеристики объектов лишь названы, но их значение в задаче не дано;

3) неявно заданные – характеристики объектов, которые в тек-сте задачи не указываются и обнаруживаются лишь при глубоком ана-лизе описанного в задаче явления.

В первом случае соответствующие объекты предметной области считаются известными, а во втором и третьем – неизвестными. Неиз-вестные, в свою очередь, делятся на искомые (их требуется найти или установить), промежуточные или вспомогательные (нахождение кото-рых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска ис-комых) и неопределенные (которые и не требуется, и нельзя найти).

Задача предполагает изменение значений величин, характери-зующих ее элементы. Каждое такое изменение определяет некоторое состояние рассматриваемого множества или его подмножества, по-этому любую задачу, по мнению В. Лебедева [Москва Сайт ar-chive.1september.ru], можно рассматривать как систему состояний

Второй составной частью задачи, как отмечает Фридман Л.М. ([79], с. 95), являются отношения и связи, которыми связаны элементы предметной области. Эти отношения и связи могут быть известными и неизвестными, в том числе, искомыми.

Школьная математическая задача, как правило, содержит неко-торое множество отношений (между данными, между данными и иско-мыми, между искомыми). Под отношением Фридман Л.М. ([78], стр. 87) понимает лишь такую связь между значениями величин, которую нель-зя расчленить на другие, более простые связи.

7

При этом Фридман Л.М. ([78], с. 77-86) выделяет две группы от-ношений:

К первой группе относятся отношения между значениями одной и той же величины. В ней можно выделить два вида:

1 вид – это отношение частей и целого. Он характеризуется: - операцией сложения нескольких значений величины в одно

значение той же величины; - операцией вычитания из целого одной из его частей. 2 вид – отношение сравнения значений одной и той же величины: - отношение равенства между значениями одной и той же величины; - отношение неравенства между двумя значениями одной и той

же величины; - отношение разностного сравнения двух значений одной и той

же величины (насколько одно значение больше или меньше другого); - отношение кратного сравнения двух значений одной и той же

величины (во сколько раз одно значение больше или меньше другого); - процентное отношение или отношение части от целого (какую

часть или какой процент составляет одно значение от другого). Вторую группу отношений составляют отношения между значе-

ниями различных величин, в том числе: - переход от одной единицы счета или измерения к другой; - разбиение целого на равные части; - зависимость между значениями различных величин. Отношение, выражающее функциональную зависимость между

величинами, входящими в условие и требования задачи, и реализо-ванное на ее предметной области, называется основным.

Предложение, формализованное основным отношением, реали-зованным в задаче, называется ситуацией. При этом в каждой задаче имеет место одна или несколько ситуаций.

Каждая задача содержит явные и неявные данные и зависимости между величинами. Орехов Ф.А. ([50], с.17) отмечает, что явные дан-ные и зависимости психологически представляют собой сильные раз-дражители. А неявные данные и зависимости – слабыми раздражите-лями, поэтому на них порой не обращают внимание. Необходимо в процессе решения задачи не допускать подобной небрежности, так как на первый взгляд, несущественный факт может являться ключом к решению задачи.

8

Итак, для того чтобы рассматривать задачу как систему, нам не-обходимо определить: 1) элементы задачи; 2) величины, которыми охарактеризованы элементы; сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины; 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) отношения между ве-личинами (одно из которых отражает требование найти какую-либо ха-рактеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элемен-тами, либо найти последовательность требуемых действий); 5) со-стояния; 6) ситуации.

Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба на-полняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За какое время каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?([55], с. 48).

Содержание рассматриваемой задачи содержит три физические величины: V – объем работы, t – время работы, N - производитель-ность (т.е. объем выполняемой работы за 1 час). Последняя величина является постоянной, а две другие – переменные. Кроме того, объем работы и время работы – величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно числу, выражающему объем работы, выполненный за 1 час. Зависи-мость между данными величинами выражается формулой NtV ⋅= .

Величины Состояния Ситуации Элементы

V t N

111 NtV ⋅= 1 труба

Наполнение бассейна одновре-менно двумя трубами

21 VVV +=

222 NtV ⋅= 2 труба

Наполнение бассейна только пер-вой трубой

111 NtV ⋅= 1 труба

Наполнение бассейна только вто-рой трубой

222 NtV ⋅=

2 труба

1

1 =( + 5) •

= •

1= 6 •

= 6 •

9

1.2. Структура сюжетной задачи

В задачах Епишева О.Б. и Крупич В.И. ([22], с. 550 выделяют ин-формационную и внутреннюю структуры. При этом Крупич В.И. ([22, с.162) отмечает, что объективная информация, заключенная в задаче, определяется ее внутренней структурой, а субъективная - ее инфор-мационной структурой, т.е. внешним строением задачи.

Информационная структура – это данные, искомые и отношения между ними, а также базис (теоретическая основа) решения и способ решения задачи.

В процессе анализа текста задачи информационная структура сравнительно легко устанавливается. Как правило, она характеризует-ся двумя основными компонентами: условием и требованием. В зави-симости от определения сюжетной задачи авторами даются различ-ные определения данных понятий. Приведем некоторые из них.

Условие – это то, что дано (Артемов А.К., Семенов Т.В., [2],с. 54); – это наличная совокупность объектов, упорядоченных опреде-

ленными отношениями (Кулюткин Ю.Н., [38], с.18); – это количественные и качественные характеристики объектов

задачи и отношений между ними (Стойлова Л.П., [66], с.115); - это зависимости между величинами (словесный материал,

указывающий на характер связи между данными и искомыми) (Стан-кевич В.В.,[64], с. 9);

- это данные с их свойствами, отношения между ними, а также отношения между данными и искомыми (Зайцев Г.Т., [24], с. 9);

- это числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними (Демидова Т.Е., Тонких А.П., [19], с.8).

В задаче содержатся обычно не одно, а несколько условий, ко-торые называются элементарными (Демидова Т.Е., Тонких А.П., [19], с.8).

Требование – это указание на то, что надо искать в данных условиях (Кулют-

кин Ю.Н., [38], с.18); – это то, к чему нужно стремиться или чего нужно достичь (Арте-

мов А.К., Семенов Т.В., [2],с. 54);

10

- это вопрос задачи, указывающий, что требуется найти в ней (Станкевич В.В., [64], с. 9);

- это искомое и указание на необходимость его нахождения (Зай-цев Г.Т., [24], с. 9).

Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме. В одной задаче их может быть не-сколько.

В зависимости от логического построения условия, Статкевич В.В. ([64], с. 17) выделяет два типа составных задач:

1. Задачи с приведенным условием. В данных задачах сам текст и построение условия подсказывает порядок, последовательность ре-шения простых задач, из которых состоит данная составная задача.

К Новому году Наташа купила три вида елочных шаров: 5 ша-ров первого вида по 10 руб. за один шар; 3 шара второго вида по 17 рублей за 1 шар; и 2 шара третьего вида по 25 рублей за один шар. Сколько Наташа заплатила за всю покупку?

2. Задачи с неприведенным условием. Структура условия этих задач такова, что числовые данные, необходимые для решения про-стых задач, разъединены; рядом поставлены такие данные, которые не связаны непосредственно друг с другом. Кроме того, иногда связь между данными и искомыми выражена неявно и при изучении условия ее надо еще установить.

К Новому году Наташа купила три вида елочных шаров: 5 ша-ров первого вида, 3 шара второго вида и 2 шара третьего вида. Це-на одного шара первого вида 10 рублей, второго - 17 рублей, третьего - 25 рублей. Сколько Наташа заплатила за всю покупку?

В зависимости от характера требований, Кулюткин Ю.Н. ([38], с.19), Зайцев Г.Т. ([24], с.13) и Фридман Л.М. ([78], с.97) выделяют пять типов задач:

1. Задачи на распознавание. В качестве искомого в этих задачах выступает один из компонентов системы объектов, при этом предпола-гается, что этот компонент в наличной системе имеется и что его зна-чение определяется отношениями, которые присущи данной системе.

Два индюка - Вот эти два индюка вместе весят двадцать фунтов, - сказал

мясник. – Однако фунт мяса индюшонка стоит на два цента дороже, чем фунт мяса крупного индюка.

11

Миссис Смит купила индюшонка за 92 цента, а миссис Браун заплатила 2 доллара 96 центов за большого индюка. Сколько весил каждый индюк?(Сем Лойд,[59], с. 22)

2. Задачи на конструирование. В качестве искомого выступает та или иная система, причем функции, которыми она должна обладать, описываются в требованиях задачи.

Составить текст задачи о покупке тетрадей так, чтобы ее решением было следующее числовое выражение: 62)305( −⋅+ 3. Задачи на доказательство. В качестве искомого в них высту-

пает процедура обоснования истинности некоторого утверждения. Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и

что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кру-гу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на один сажень. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, останется некоторый прозор (промежуток). Спрашивается: в каком случае этот прозор будет больше – у земного шара или апельсина?(Игнатьев Е.И., [28], с. 194)

4. Задачи на исследование. В качестве искомого в них выступа-ют: а) связи и зависимости между некоторыми фактами и явлениями, а также внутренние отношения, определяющие качественную природу объектов; б) числовые значения величин исследуемых элементов и выявление закономерности появления данных числовых значений..

Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70 % меди, второй – 10% меди и 30 % марганца, третий - 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40 % марганца. Какое наименьшее и какое наи-большее процентное содержание меди может быть в этом сплаве? (Азаров А.В.,[1], с. 180)

5. Задачи на преобразование. В качестве искомого в них высту-пает процесс преобразования исходного состояния системы в задан-ное, которое указано в требовании задачи.

Исходная задача. Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал та-

кое завещание: в случае рождения сына отдать ему 32 оставшегося

имущества, а 31 - матери. В случае рождения дочери она должна

12

получить 31 , а мать -

32 имущества. Вдова завещателя родила

близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? (Игнатьев Е.И.,[28], с. 387-388)

Используя двустороннюю редукцию, найдите эквивалентнтную задачу данной, чтобы поиск решения стал более простым.

По отношению между условиями и требованиями Стойлова Л.П. ([66], с.116), Артемов А.К., Семенова Т.В. ([2], с. 55), Фридман Л.М. ([76, 77,78], с. 97) различают:

Определенные задачи – в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований.

В январе завод выполнил 105 % месячного плана, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов за-вод перевыполнил месячный план?[Азаров А.В., [1], с. 54)

Неопределенные задачи – в них условий недостаточно для полу-чения ответа.

В январе завод перевыполнил месячный план, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план?

Переопределенные задачи – в них имеются лишние условия. В январе завод выполнил 105 % месячного плана, что соста-

вило 2340 тон продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план?

Фридман Л.М. ([78], с. 97-98) в переопределенных задачах выде-ляет следующие два типа:

1) непротиворечивая - в которых лишние условия являются логи-ческим следствием остальных условий, тогда эти условия можно про-сто отбросить, и останется вполне определенная задача;

2) противоречивая - в которых лишние условия противоречат другим условиям, в этом случае задача является не имеющей реше-ния.

Внутренняя структура задачи – это совокупность элементов рас-сматриваемой системы, связей и видов связей. Внутренняя структура задачи определяет стратегию (ориентировочную основу способа) ре-шения задачи и ее сложность.

Стратегия решения, по определению Гуровой Л.Л. ([17], с. 58),- это исчерпывающий, полностью разработанный план, выражающий один из возможных способов решения, который человек сформулирует

13

или выбирает из известных ему, чтобы с помощью этого способа ре-шить задачу. При этом Гурова Л.Л. ([17], с. 59) отмечает, что понятие «стратегии» шире, чем понятие «плана» решения, так как она строится на основе обобщенных программ действий, которыми располагает человек.

Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, например, таких, как интеллек-туальные возможности и интересы учащегося, степень новизны и т.д. Соколов В.Н. ([62]) по трудности выделяет три типа задач:

1. Задачи, выполнение которых состоит в стереотипном вос-произведении заученных действий.

2. Задачи, выполнение которых требует некоторой модифика-ции заученных действий в изменившихся условиях.

3. Задачи, выполнение которых требует поиска новых, еще неизвестных способов действий.

Степень трудности задачи первого типа связана с тем, насколько сложным является навык и насколько он прочно освоен. Последний фактор становится основным. Чем более прочны навыки у человека, тем легче они воспроизводятся и тем менее подвергаются дезоргани-зующему влиянию различных условий и прежде всего эмоций.

В задачах второго типа степень трудности связана с количеством и разнородностью элементов, которые необходимо координировать наряду с описанными выше особенностями.

Следует заметить, что задачи первого и второго типа, в основном, требуют памяти и прочного навыка алгоритмической деятельности.

К задачам третьего типа относятся задачи, требующие творче-ской активности, эвристического поиска новых, неизвестных схем дей-ствий или необычной комбинации известных. При этом сюжетная за-дача должна правильно отвечать учебным целям, главным образом, через соотношение в ней новизны, ранее усвоенного материала и приемов его применения.

Крупич В.И. ([34], с. 110 – 113) дает названия определенным вы-ше типам задач: алгоритмические, полуэвристические и эвристические задачи.

1) Алгоритмические характеризуются тем, что: - новые знания, закономерности, отношения, свойства, необхо-

димые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны;

14

- алгоритм (прием) или последовательность заданных алгорит-мов (приемов) решения задачи известны;

- теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, известна.

2) Полуэвристические предполагают, что: - новые знания, закономерности, отношения, свойства, необхо-

димые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; - алгоритм (прием) или последовательность заданных алгорит-

мов (приемов) решения задачи неизвестны; - теоретическая и практическая основа (база) решения задачи,

содержащей функциональное отношение, известна. 3) Эвристические подразумевают, что: - новые знания, закономерности, отношения, свойства, необхо-

димые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; - алгоритм (прием) или последовательность заданных алгорит-

мов (приемов) решения задачи неизвестны; - теоретическая и практическая основа (база) решения задачи,

содержащей функциональное отношение, неизвестна. При этом под алгоритмом Крупич В.И. ([34], с. 110 – 113) понимает

точное общепонятное предписание о выполнении в определенной по-следовательности действий, направленных на достижение указанной цели или на решение любой задачи, принадлежащей некоторому клас-су. Он отмечает, что прием - понятие более широкое, чем алгоритм, так как оно предусматривает поисковую деятельность обучаемого.

Основными компонентами трудности задачи являются степень проблемности и сложность задачи.

Степень проблемности задачи определяется информационной структурой.

Сложность задачи – это объективная характеристика, не завися-щая от субъекта, которая определяется числом элементов, связей и видов связей.

Епишева О.Б., Крупич В.И. ([22], с. 57) сложность задачи опреде-

ляют по формуле lnmS ++= , где m - число элементов, n - число явных связей и l – число видов связей в структуре задачи. Число l – принимает только три значения: 0;1;2, а именно l =0, когда структура задачи состоит лишь из одного элемента (т.е. явные и неявные свя-

15

зи не имеют места); l =1, когда в структуре задачи имеют место ли-бо одни явные, либо одни неявные связи; l =2, когда в структуре зада-чи есть явные и неявные связи, т.е. два вида связей.

Механизм выявления структуры текстовой задачи позволяет ран-жировать их по степени сложности. Однако большинство текстовых за-дач, как отмечают Епишева О.Б. и Крупич В.И. ([22], с. 61), имеют пере-менную структуру, т.е. одна и та же задача имеет несколько структур, а значит, и сложностей. Если задача имеет несколько структур, то она имеет несколько способов решения, а если одну структуру, то один спо-соб решения. В зависимости от рассматриваемой системы задач, при ранжировании текстовых задач с переменной структурой принимают во внимание либо наименьшую, либо наибольшую ее сложность. В общем случае можно вычислять среднюю арифметическую сложность задачи, округляя полученный результат с точностью до целых.

Расстояние между двумя станциями пассажирский поезд про-ходит на 45 мин быстрее, чем товарный. Определить это расстоя-ние, если известно, что скорость пассажирского поезда равна 48 км/ч, а скорость товарного – 36 км/ч. (Райхмист Р.Б., [55], с. 48)

Содержание рассматриваемой задачи содержит три физические

величины: v – скорость, t - время, S - расстояние. Зависимость ме-жду этими величинами выражается формулой tvS ⋅= .

В данной задаче описаны две ситуации: - преодоление расстояния между двумя станциями пассажир-

ского поезда; - преодоление расстояния между двумя станциями товарного

поезда. Каждая из этих ситуаций является минимальным компонентом

задачи, так как, во первых, каждая из них формализуется основным отношением tvS ⋅= , во вторых, при их расчлении связь между вели-чинами tv, и S разрушается, т. е. основное отношение прекращает свое функционирование.

Величины Поезда

U t S

Пассажирский 48 х Товарный 36

6045

+х у ?

16

Возможны следующие математические модели данной задачи:

1. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=

.60453648

,48

хх

ух

Первое уравнение ух =48 содержит все три компонента основ-ного отношения. Поэтому можно говорить о неявной связи. Уравнение

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

60453648 хх - получено путем сравнения двух значений выражений

одной и той же величины (пройденный путь), являющихся одним из

компонентов основного отношения tvS ⋅= .Следовательно, между первой и второй ситуациями имеет место явная связь.

Сложность задачи: S=2+1+2, так как в ней два элемента, между которыми установлена явная и неявная связи, т.е. в структуре задачи два вида связей.

2. В уравнении уу =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

6045

4836 присутствуют все три компонента

основного отношения: скорость движения, время движения и пройден-ный путь. Данное уравнение получено на основе анализа величин вто-рой ситуации без явного использования соответствующих значений величин первой ситуации, т.е. первая ситуация не имеет явной связи со второй. Между ними как элементами структуры задачи установлена неявная связь – связь порождения. Действительно, выражение вели-

чины времени пассажирского поезда 48y требуется для получения вы-

ражения величины времени товарного поезда 6045

48+

y

Сложность задачи: S=2+0+1.

3. Уравнение 6045

4836=−

уу получено путем вычитания двух значе-

ний выражений одной и той же величины (время движения), являю-щимся одним из компонентов основного отношения S=vt. Следова-тельно, между первой и второй ситуациями установлена явная связь.

Сложность задачи: S=2+1+1 Информационная и внутренняя структуры задачи взаимосвязаны,

так как стратегия решения связана с базисом и способом решения задачи. В соответствии с логической структурой Гурова Л.Л. ([17], с. 23)

подразделяет задачи на интерполяционные и экстраполяционные.

17

Интерполяционные задачи содержат достаточно информации для их решения. Поэтому требуется лишь заполнить пробелы между имеющимися данными, которые служат для этого достаточно опреде-ленными ориентирами.

Экстраполяционные задачи содержат информацию только до ка-кого-то предела, за которым поступление информации прекращается, и поиск ответа задачи должен идти в неопределенном направлении (содержат данные, но цели не определены; содержат цели, но данные не определены; не содержат ни данных, ни целей).

Под логической правильностью постановки задачи Фридман Л.М. ([76], с. 30 – 34) подразумевает правильность соединения в задаче от-дельных ее частей. При этом он формулирует следующие требования к правильным задачам:

1. Все указанные в задаче элементы предметной области долж-ны существовать.

2. Все указанные в задаче отношения должны быть действитель-но определены для тех элементов предметной области, для которых эти отношения заданы в условии задачи.

3. Область значений каждой из заданных в задаче переменных должна быть не пустой.

4. Все утверждения, заданные в условии задачи, должны быть истинными.

5. Утверждения, заданные в условии задачи, не должны противо-речить друг другу.

6 . Если цель задачи состоит в превращении некоторой высказы-вательной формы в истинное высказывание, то в условии задачи должны быть указаны хотя бы некоторые основания для этого.

Логически неправильными задачами называются задачи, которые внутренне противоречивы. Несмотря на то что есть возможность про-извести формальное «решение» некоторых подобных задач, принять его нельзя. Так как подобное «решение» не имеет никакого смысла, то ответом к таким задачам может быть только «задача неправильно по-ставлена» или «решение задачи невозможно».

В зависимости от сложности структуры в методической литерату-ре существует два подхода к определению простых и сложных сюжет-ных задач.

В методической литературе наибольшее распространение полу-чил следующий подход: «Каждая задача требует для своего решения некоторого числа действий. Если обозначить данное число через n,

18

где n - натуральное число, то задача, для решения которой требуется n действий, называется задачей в n действий. Задачи в одно дейст-вие называются простыми, а в n действий, где n >1, - составными».

Такое определение Фридман Л.М. ([78], с. 87) считает неудачным, обосновывая это тем, что:

1) оно исключает из числа простых сюжетных задачи, решение которых не требует выполнения какого-либо арифметического дейст-вия, например, задачи, в которых задано соотношение равенства и не-равенства;

2) по данному определению возможно установить, задача простая или нет, только после её решения, однако это необходимо знать до её решения;

3) встречаются такие сюжетные задачи, которые можно решить одним арифметическим действием, но вряд ли кто-либо назовет её простой, так как в ней фактически задано несколько соотношений.

В связи с этим Фридман Л.М. ([78], c. 87) предлагает следующее определение: если в сюжетной задаче задано одно соотношение меж-ду значениями одной и той же величины или разных величин, то такую сюжетную задачу называют простой; если же в сюжетной задаче зада-но два или больше взаимосвязанных соотношений, то такую задачу на-зывают сложной.

При этом Фридман Л.М. ([78], c. 89) отмечает, что от трактовки заданного в задаче соотношения зависит отнесение ее к тому или иному виду. А так как трактовка обусловливается не только характе-ром соотношения, но и тем, как решающий задачу субъект трактует его, нельзя однозначно заранее определить вид задачи.

1.3. Использование графической информации в процессе решения сюжетных задач

Наиболее эффективным способом передачи информации в про-цессе обучения, как известно, является зрительный. Это обусловлено тем, что соотношение зрительной и слуховой информации оценивает-ся как 4:1, то есть 80% (по некоторым работам даже до 95%) всей по-ступающей в мозг человека информации проходит через зрительный канал, и не более 20% воспринимается посредством слуха, поэтому необходимо максимально использовать графическую форму передачи информации в процессе решения сюжетных задач..

19

В графической информации можно выделить три ее вида, отли-чающиеся друг от друга по набору средств выражения: это язык слов в его письменном виде; это символика, то есть система условных обо-значений, принятых в науке и технике; это, наконец, изображение в ви-де рисунков, фотографий и других знаков. Такому делению соответст-вует следующая типология графической информации.

Каждый из видов графики, объединенных понятием «графиче-

ская информация», может быть, в свою очередь, разделен на более детализированные формы.

Возможность представления текста с помощью графической ин-формации позволяет раскрыть новые методические возможности по использованию его как выразительного средства (четкость, контраст-ность, оперативность, размеры и т.д.). При этом можно выделить сле-дующие формы представления текста прикладной задачи.

Полный текст сюжетной задачи может содержать достаточно

много несущественной, излишней информации, которую приходится озвучивать, с одной стороны, чтобы сохранить авторский текст, с дру-гой стороны, чтобы привлечь внимание детей к рассматриваемой за-даче. Однако данная информация не всегда дает возможность сосре-доточиться учащимся на основных положениях задачи, позволяющих найти ее решение.

изображение текст символика

Графическая информация

полный текст задачи

фрагмент текста задачи

высказывательная модель

Текст

20

Для примера рассмотрим задачу Сем Лойда «Сколько лет будет Смиту?».

«Избавиться» от «несущественной» информации можно с помо-

щью фрагмента текста задачи или высказывательной модели. Фрагмент текста – это часть какого-либо полного текста задачи,

выбор которой определяется характером урока.

Высказывательная модель представляет собой систему взаимо-

связанных условий и требований.

Смит служил клерком в страховой компании и был так напичкан всякого рода да-тами и цифрами, что мало о чем другом мог говорить или думать. Он всегда торопил-ся домой, чтобы в кругу семьи предложить какую-нибудь статистическую задачу. Особое удовольствие доставляло ему поставить в тупик свою жену, о математических способностях которой он отзывался не без пренебрежения. Однако жене удалось как-то посрамить своего супруга, а возможно, и вылечить от дурной привычки третиро-вать семью своими задачами. Однажды этот глава семейства хвастливо заявил, что если его дражайшая полови-на сумеет задать ему такую задачу о датах и возрастах, которую он не сумеет решить за десять минут, то до следующего такого же дня он не предложит больше ни одной задачи. Вероятно, он имел в виду тот же день через год, но разговор происходил 29 февраля 1896 года, так что у жены соблазн заставить мужа замолчать до следующего високосного года был очень велик. Задача, которой супруга сумела сразить своего «головоломного» спутника жизни, выглядела так: - Допустим, Том, что ты был втрое старше меня, когда мы впервые встретились и что мне сейчас столько же лет, сколько тебе было тогда, и что, когда я буду втрое старше, чем сейчас, наш суммарный возраст составит сто лет. Скажи-ка мне, сколько в таком случае тебе будет лет ближайшего 29 февраля?

Полный текст задачи

Допустим, Том, что ты был втрое старше меня, когда мы впервые встретились и что мне сейчас столько же лет, сколько тебе было тогда, и что, когда я буду втрое старше, чем сейчас, наш суммарный возраст составит сто лет. Скажи-ка мне, сколько в таком случае тебе будет лет ближайшего 29 февраля? (Разговор состоял-ся 29 февраля.)

Фрагмент текста задачи

21

Большое количество цифровых показателей в сюжетных задачах

делает необходимым использование символических знаков как непо-средственно в цифровом виде, так и в преобразованном: логических схемах, диаграммах, графиках, таблицах, чертежах.

Логическая схема – одна из важнейших и эффективных форм по-

дачи текста. В логической схеме объекты, входящие в рассматривае-мое явление или процесс, обозначаются словами, которые, как прави-ло, заключают в рамку, а связи между этими объектами обозначаются линиями или стрелками. При этом рамка показывает, что данное слово или группа слов является не частью какого-либо текста, а обозначает отдельный объект. Сведения о называемом объекте или уже известны учащимся, или будут им сообщены.

Значение логических схем состоит в том, чтобы назвать объекты и показать связи между ними. Графически эти связи в общем виде от-мечены стрелками или линиями, подлинное же их раскрытие осущест-вляет учитель.

Условие задачи Том был втрое старше жены, когда они впервые встретились. Сейчас жене столько же лет, сколько было Тому, когда они впервые встретились. Когда жена будет втрое старше, чем сейчас, суммарный возраст ее и Тома составит сто лет. Требования задачи Сколько Тому будет лет через четыре года?

Высказывательная модель

Символика

графики таблицы формулы

логические схемы чертежи диаграммы

22

Использование логической схемы имеет ряд преимуществ по сравнению с чисто речевым изложением содержания текста приклад-ной задачи. Они состоят в следующем: учащиеся освобождены от не-обходимости мысленно удерживать в памяти объекты, о которых идет речь; учащиеся наблюдают объекты одновременно и распределенно в пространстве, что приучает детей мыслить структурно; графическая интерпретация связей и отношений между объектами несет в себе из-вестную долю неопределенности, способствующей повышению инте-реса учащихся к объяснению учителя; логическая схема снимает из-быточность в сообщении, непременно возникающую при речевом опи-сании объекта.

Процесс преобразования любого текста задачи в логическую схему требует не только отчетливого понимания необходимости такого преобразования в дидактических целях в каждом конкретном случае, но также глубокого проникновения в текст и его составляющие для наиболее целесообразного разъединения предложений (отыскание ло-гических субъектов и признаков) как подготовительного этапа к созда-нию логической схемы.

Фермер получил за год от каждой из 56 коров по 3,4 т молока, от каждой из других 27 коров – по 4,8 т. Сколько сливок получили из всего молока, если из 2 т молока получили 0,32 т сливок?

логическая схема

Количество молока от 1 коровы

3,4

Число коров в 1 партии

56

Количество молока от 1 коровы

4,8

Число коров во 2 партии

27

Количество полученных

сливок 0,32 т

Количество молока

2 т

? ?

?

?

?

23

В логической схеме выбраны последовательно зависимые между собой пары данных, а линиями показан ход решения данной задачи. Однако те же данные можно было комбинировать иначе, вследствие чего получили бы иную логическую схему, а, следовательно, и другой способ решения задачи.

При формировании умения решать прикладные задачи возможно использование логической схемы в виде графа. Для обучения решению задач с помощью графов желательно использовать нелинованную бума-гу, чтобы свободно размещать графы на листе, так как при изображении на клетчатой бумаге дети непроизвольно располагают точки по углам клеточек, что может привести к ошибкам в ходе решения задачи.

А 2 Б 1

В 3

Г 4 Д 5 Таблицы используются, когда в задаче имеются несколько взаи-

мосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколь-кими значениями. Таблица – модель более абстрактная, чем схемати-ческий чертеж, поэтому она предполагает достаточные знания у уча-щихся по представлению взаимосвязанностей пропорциональных ве-личин, т.к. сама модель этих взаимосвязанностей не показывает. Таб-

Жители 5 домов поссорились друг с другом и, чтобы не встречаться у мель-ниц, решили поделить мельницы так, чтобы каждый ходил к «своей» мельнице по «своей» дорожке. Удастся ли им это сделать?

24

лица - перечень чего-то или сведения о чем-то, расположенные в из-вестном порядке по графам.

Чертеж – это графическое изображение объектов и их взаимо-

связей между собой при помощи геометрических фигур с точным со-блюдением масштаба.

Чертеж, на котором взаимосвязи и взаимоотношения представля-ются без точного соблюдения масштаба, называется схематическим.

Чертеж прост для восприятия, так как наглядно отображает каж-дый элемент отношения; обеспечивает целостность восприятия зада-чи; позволяет увидеть сущность объекта в «чистом» виде, без отвле-чения на частные конкретные характеристики; обладает свойствами предметной наглядности, конкретизирует абстрактные отношения; обеспечивает поиск плана решения, что позволяет постоянно соотно-сить физическое и математическое действия.

Формула (лат. formula образ, вид) - комбинация математических знаков, выражающая какое-либо предложение. Формулы лучше запи-сывать таким образом, чтобы при восприятии учебного материала де-ти видели определенный цветовой фон. Например, все, что касается сложения – красным, вычитания - черным, умножения – зеленым, де-ления – синим. Такое цветовое решение помогает запомнить формулы и осознать взаимосвязь между компонентами и результатом действия

Скорость Время Расстояние

1 команда 2 ч 18 км

2 команда одинаковая

? 36 км

Две команды лыжников шли навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Первая команда прошла до встречи 18 км, затратив на это 2 часа. Сколько времени была в пути вторая команда, если из-вестно, что она прошла до встречи 36 км.

25

Диаграмма (от греческого diagramma - изображение, чертеж, ри-

сунок) - это графическое изображение, наглядно показывающее соот-ношение между сравниваемыми величинами. Диаграммы бывают раз-личных видов: полосовые (ленточные), столбиковые, квадратные, кру-говые, секторные, фигурные, радиальные, знак Варзара.

Диаграммы должны быть свободными от излишних деталей и содержать тот минимум информации, который необходим для реше-ния задачи.

Лида нарисовала 5 домиков, а Вова на 2 домика больше. Сколько всего домиков нарисовал Вова?

Чертеж Лида 5 Вова ? Схематический чертеж Лида 5 5 2 Вова ?

26

Множество { })(|);( xfyYXyxГ f =×∈= называют графиком функции. Для наглядности его принято изображать на координатной плоскости.

При решении конкретных задач накладываются некоторые огра-ничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножестве.

27%

25%28%

25% 1 неделя2 неделя 3 неделя 4 неделя

Бригада за первую неделю выполнила 27% месячной нормы., за вто-рую – 25%, за третью на 3% больше, чем в четвертую. В целом за месяц бригада перевыполнила план на пять процентов. Сколько продукции бригада выпустила за каждую неделю месяца, если перевыполнение плана составило 600 кг конфет?

5 % - 600 кг 25 % - х кг 27 % - у кг 28 % - z кг

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5

Лена

Над

я

Лена и Надя нарисовали для выставки несколько рисунков. Надя нарисовала в два раза больше рисунков, чем Лена. Най-дите, сколько рисунков нарисовала каждая из девочек, если Лена нарисовала не больше пяти рисунков.

Обозначим через х число картин, нари-сованных Леной, а через у – число картин, нарисованных Надей. Заданное в задаче соответствие является функцией вида у=2х.

27

Геометрический метод. Построим графики выполнения задания

каждым рабочим. Отложим на оси Ох время (в днях), на оси Оу – соот-ветствующий объем задания, который будет выполнен рабочим. Это количество будем измерять в частях всего задания: отрезок ОО1 ус-ловно обозначает этот объем (при арифметическом решении пишут: «примем все задания за 1») Для удобства проведем еще одну ось времени О1Х1. Отметим на верхней оси точку А (20 дней), тогда отре-зок ОА – график выполнения задания первым рабочим. Отметим на оси О1Х1 точку В (10 дней), а на оси ОХ – точку С (30 д. + 10 д. = 40 д.); значит, отрезок ВС – график выполнения задания вторым рабочим. Абсцисса точки пересечения этих графиков (точка М) указывает, через сколько дней после начала работы первого рабочего будет выполнено все задание. Из чертежа видно, что ее значение равно 16.

Следующий вид графической информации – изображение, кото-

рое включает в себя следующие формы.

Изображение

рисунок иллюстрация

M

B A X1

O 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Xд

О1

Y

Один рабочий может справиться с заданием за 20 дней. Через 10 дней после начала работы ему начинает помогать второй рабочий, который может справиться с этим заданием через 30 дней. Через сколько дней задание будет выполнено?

С

28

Рисунок как вид графической информации лишен избыточности, несет минимум необходимых для понимания смысла сведений, поэто-му легко воспринимается и запоминается учащимися. Рисунок как вид графической информации может быть в виде предметного или услов-ного рисунка.

В виде предметного рисунка

В виде условного рисунка Использование предметного рисунка, по мнению Левенберг Л.Ш.

([40], с. 9), играет важную роль в обогащении чувственного опыта ре-бенка при формировании соответствующих конкретных представле-ний. Но неоправданно длительное использование предметного рисун-ка при обучении решению сюжетных задач может привести к искусст-венной задержке развития у детей абстрактного мышления.

Иллюстрация (от лат. illustratio – освещение, наглядное изобра-жение) – объяснение, истолкование с помощью наглядных примеров или образов.

Пес Шарик из Простоквашино сделал 5 фотографий зайчишки. Две он от-

правил в редакцию журнала «Мурзилка». Одну оставил себе, а остальные

решил при встрече отдать зайке. Сколько фотографий Шарик решил пода-

для журнала

для журнала для себя для зайца

для себя

для зайца

29

Иллюстрацией обычно называется изображение, служащее по-яснением или дополнением к какому-либо тексту.

Воздействие графической информации на учащихся в процессе

решения прикладных задач непостоянно. Оно может быть: слабым (фоновым), когда внимание детей целиком привлечено к схеме, диа-грамме, графику и т.д., содержание которых является предметом объ-яснения учителя; средним (контактным), когда имеют место периоди-ческие ссылки на ее содержание для подкрепления или пояснения из-лагаемого материала; сильным (доминантным), когда графически представленная информация является фоном, т.е. находится в зри-тельном поле слушателей, имеет прямое отношение к излагаемому материалу, но содержательная сторона объекта ими уже усвоена.

Как показал опыт нашей работы, графическая информация спо-собствует сознательному овладению изучаемым материалом и разви-тию познавательного интереса как свойства личности. Кроме этого, технология активного использования графической информации, с од-ной стороны, приучает учащихся моделировать жизненные ситуации и создает условие для овладения приемами изучения реальности мате-матическими методами, с другой, помогает нейтрализовать противо-речие между высоким научно-теоретическим уровнем обучения и его доступностью, между высоким уровнем математической абстракции и неразвитостью абстрактно-понятийного мышления младших школьни-ков.

На выставку привезли пять племенных коров. Три коровы весили на

20 кг больше, чем две другие. Сколько весила каждая из коров, если все вместе они весят 1060 кг?

30

1.4. Форма сюжетной задачи

Форма, по определению Гуровой Л.Л. [17], – это способ сущест-вования определенной задачи. Она является относительно независи-мым ее компонентом, так как возможна трансформация одной формы в другую. В качестве примера рассмотрим различные формы одной и той же задачи.

Словесно-прозаическая форма представляет собой текст задачи в виде совокупности повествовательных предложений. На практике данная форма сюжетных задач является самой распространенной.

Бабушка Надя в деревне живет. Она содержит корову, теленка, поросенка, дюжину кур и два гуся, собаку, щенят и кошку. Сколько всего живет у бабушки Нади щенят, если животных всего двадцать пять? Словесто-поэтическая форма представляет собой текст задачи,

изложенный в стихотворной форме. Бабушка Надя в деревне живет, Животных имеет, а счет не ведет. У бабушки Нади корова, теленок, И очень смешной поросенок, Дюжина кур и два сереньких гуся, Собака, щенята и кошка Катуся. Помогите щенят сосчитать, Если животных всего двадцать пять. Иллюстративная форма как способ обучающего взаимодействия

применяется учителем в целях создания у учащихся средств нагляд-ности четкого и ясного образа изучаемого явления. Данная форма по-могает привести в соответствие все анализаторы и