збіРник задач і впРав з МаТеМаТичної...

МІЖРЕГІОНАЛЬНААКАДЕМІЯ УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ

Р. М. Трохимчук

збіРник задач і впРав з МаТеМаТичної логіки

Навчальний посібник

Київ ДП «Видавничий дім «Персонал»

2008

ББК 22.12я73 Т76

Рецензенти:С. Л. Кривий,д-рфіз.-мат.наук,проф.В. П. Шевченко,канд.фіз.-мат.наук,доц.І. В. Бейко,д-ртехн.наук,проф.

Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом (протокол 1 від 31.01.07)

Трохимчук,Р.М.Т76 Збірникзадачівправзматематичноїлогіки:Навч.посіб.—

К.:ДП«Видавничийдім«Персонал»,2008.—116с.—Бібліогр.:с.113.

ISBN978-966-608-854-6 Збірникмістить ретельно відібраний і систематизований набір відомих і

оригінальнихзадачівправзкласичнихрозділівматематичноїабоформальноїлогіки:алгебрависловлень,численнявисловленьілогікапредикатів.Кожномурозділу передує короткий теоретичний вступ, де подано основні означення ітерміни.Цей збірникможна використовуватияк дляпроведення аудиторноїроботи,такідляорганізаціїсамостійноїтаіндивідуальноїроботистудентів.

Длястудентівуніверситетів, іншихвищихнавчальнихзакладів івсіх,хтобажаєздобутифундаментальнізнаннявгалузісучасноїінформатики.

ББК22.12я73

© Р.М.Трохимчук,2008 © МіжрегіональнаАкадеміяуправління966-608-000-0 персоналом(МАУП),2008ISBN978-966-608-854-6 © ДП«Видавничийдім«Персонал»,2008

3

ПЕРЕДМОВА

Термін“логіка”походитьвідгрецькогоλογοξ,щоозначає“слово,що виражає думку” або “поняття”, “вчення” чи “міркування”.Самеаналізуючи зв’язок слова та думки, мови та міркувань, стародавні(переважнодавньогрецькі)мислителістворилилогіку—наукупроспособимислення,щоведутьдоістини,абонаукупрозакониіформиправильногомислення.

Логічні закони іправилапобудовикоректнихміркуваньпочалиформуватисьудалекудавнину,коливлюдиниз’явиласьпотребаоб-мінюватисьдосвідомізнаннями,обґрунтовуватисвоїдумки,робитиправильнівисновкизпевнихпосиланьабогіпотез.Важливопідкрес-лити,що ці правила і процедури проведення коректних міркуваньнезалежатьвідконкретногозміступосиланьівисновків,атакожвіджоднихсуб’єктивних(настрій,емоції,рівеньінтелектуаборівеньос-віти,ставленнядопідсумкуумовиводутощо)чизовнішніх(погода,порароку,місцечиумовиперебуванняособитощо)чинників,аза-лежатьлишевідформивираженняцихміркуваньієзагальнимидлявсіхміркуваньтієї самоїформи,безвідноснодотого,прощовнихідеться.

Такз’явиласьтакзванаформальналогіка.Вважають,щоформаль-налогікаякученняпроумовивідідоведення,виниклабільшедвохзполовиноютисячроківтомувДавнійГреції.НайповнішеїїпринципийположеннявикладеноупрацяхвидатногодавньогрецькоговченогоіфілософаАрістотеля(384–322рр.дон.е.)тайогоучнівіпослідов-ників.

Досягнувшивідносновисокогоступенядосконалості,арістотеле-валогікабагатостолітьпотомунавідмінувідматематикипрактич-нонерозвивалась.Вонабулаобов’язковоюскладовоюгарноїосвітиіслугувалапереважноякінструментдляобґрунтуваннярізногороду

4

тверджень (часто, як у випадку середньовічної схоластики, доситьсумнівних).

Новий етап в історії формальної логіки датують серединоюХІХстоліття,колибулоопублікованоголовніпрацівизначногоанг-лійськогоматематикаДжорджаБуля(1815–1864),вякихвіннабли-зивлогікудоматематикиізаклавосновиматематичноїлогіки.

Характерною особливістю математичної логіки є використанняматематичноїмовисимволів,операцій,формул,обчислення,числень,рівносильнихперетвореньтощо.

Розумінняформальнихметодівімоделей,уміннянимикористува-тися,знанняйволодіннязаконамиматематичноїлогікиєнеобхідниметапомупроцесівивченнятазасвоєнняінформатики,мовіметодівпрограмуваннядляЕОМ,важливимелементомсучасноїосвітитасу-часногонауковогомисленняіпрактики.Вепохукомп’ютеризаціїусіхсферлюдськогобуття—виробництва, економіки,науковихдослід-жень,освіти,побуту—знанняосновматематичноїлогікинеобхіднедляформуванняфахівцявбудь-якійгалузідіяльності,розвиненнявньогоаналітичногойтворчогомислення,ефективноговикористанняобчислювальноїтехніки.

Вивченняйзасвоєннямовитаметодівсучасноїформальноїлогі-кисприятименабуттюнавичокправильнихміркуваньіпереконливоїаргументації,чіткогоформулюваннядумоківисновків,формуваннязагальноїкультуримислення.Цінавичкипотрібнінетількистуден-тамприродничихфакультетів,воникориснійнеобхіднівбудь-якихсферахлюдськоїдіяльності,оскількилогікаєокремоюнауковоюдис-ципліноюіводночасінструментомбудь-якоїнауки.Елементимате-матичноїлогіки,безумовно,слідвикладативсучаснійсереднійшколіпорядзіншимидисциплінами.

Сьогодні курс математичної або формальної логіки входить донавчальнихпрограмбагатьохфакультетів(якприродничих,такігу-манітарних)усіхуніверситетівтаіншихвищихнавчальнихзакладів.Головноюметоюцьогокурсуєнабуттянавичокправильнихмірку-ваньікоректнихдоведень,уміннячіткойаргументованоформулю-ватийобґрунтовуватисвоїдумкитависновки,розвиненнязагальноїкультуримисленнятощо.

Формування такихнавичок і вміньнемислимебез активних ін-дивідуальнихдій,безнабуттясамостійногодосвідуіпрактикиупро-цесірозв’язуваннязадач.Томудляглибокогойусебічногозасвоєннякурсу математичної логіки надзвичайно важливо використовувати

5

достатньоширокийіпредставницькийнабіррізноманітнихлогічнихзадач.

Пропонованийнавчальнийпосібникміститьретельновідібранеідобревпорядкованезібранняяквідомих,такіоригінальнихзадачівправзкласичнихрозділівматематичноїлогіки:алгебрависловлень,числення висловлень і логіка предикатів. Кожний розділ розпочи-нається з короткого теоретичного вступу, де подано потрібні озна-ченняйтерміниінаведенокориснійхарактерніприклади.Томуцейзбірникзручнийякдляпроведенняаудиторноїроботи,такідляор-ганізаціїсамостійноїтаіндивідуальноїроботистудентів.

Збірникміститьширокийдіапазонзадач:відпростихвправдодо-статньоскладнихінетривіальнихпроблем.Цедаєзмогувикладачевігнучкорегулюватитемпірівеньпрактичнихзанять,швидкотаякіснопроводитипоточнийізагальнийконтрользнаньстудентів,організо-вуватиіндивідуальнутасамостійнуроботустудентів.

Матеріалпосібникаповністювідповідаєякнавчальнійпрограмідисципліни“Теоріяалгоритмівіматематичналогіка”,таківідомим“Рекомендаціямзвикладанняінформатикивуніверситетах”,розроб-леним,пропагованимівпроваджуванимавторитетнимиміжнародни-микомітетамийфахівцями.

Змістцьогонавчальногопосібникаорієнтованопереважнонакурсматематичноїлогікидляприродничихфакультетів,однакзначнучас-тину збірникаможнавикористовуватидляпроведенняпрактичної,самостійної та індивідуальноїроботийдля студентів гуманітарнихфакультетів.

6

1. поняТТя висловлення. логічні опеРації. складені висловлення

Просте (елементарне)висловлення (висловлювання)—цепро-стетвердження,тобторозповіднеречення,щодозмістуякогодоречноставитипитанняпройогоправильністьабонеправильність.

Простівисловлення,вякихвираженоправильнудумку,називати-мемоістинними,аті,щовиражаютьнеправильну,—хибними.

Звичайноелементарнівисловленняпозначаютьмалимилатинсь-кимилітерами:a,b,c,…(можливо,зіндексами),азначеннявислов-лень“Істинно”і“Хибно”—відповідносимволами1і0(абоІіХ).

Окрімтого,розглядатимемотакзванізміннівисловлення,якіпо-значатимемолатинськимилітерамиx,y,z,…(можливо,зіндексами)іназиватимемотакожпропозиційнимизмінними.Післяпідстановкизамістьпропозиційноїзмінноїпевногоелементарноговисловленняцязміннанабудевідповідногозначення:0або1.

Над висловленнями можна виконувати такі логічні операції:кон’юнкцію,диз’юнкцію,заперечення,імплікаціютаеквівалентність.

Утабл.1наведенорізніназвитапозначення,щоїхвикористову-ютьдляцихоперацій.

Таблиця 1

Назва Позначення

Кон’юнкція(логічнемноження,логічне“І”) ∧&⋅

Диз’юнкція(логічнедодавання,логічне“АБО”) ∨

Заперечення(логічне“НІ”) ¬–′Імплікація(логічнеслідування) →⊃⇒

Еквівалентність(рівнозначність) ~↔ ≡

Використовуватимемопершізнаведенихназвіпозначень.Табл.2міститьозначенняцихоперацій.

Таблиця 2

x y x∧y x∨y ¬x x→y x~y

00 0 0 1 1 1011011

001

111

100

101

001

7

Зелементарнихвисловленьіпропозиційнихзміннихзадопомо-гоюозначених операцій і дужок утворюютьскладені висловлення,якимвідповідаютьформулиабовирази.

Зауважимо,щосимволамлогічнихопераційвідповідаютьузви-чайніймовітаківирази:

∧—“і”;“та”;“а”;“але”;“хоч”;“разомз”;“незважаючина”;…∨—“або”;“чи”;“хоч(принаймні)однез”;…¬—“не”;“неправильно,що”;…→—“якщо(коли)…,то(тоді)…”;“…імплікує…”;“з…слідує(ви-

пливає)…”;“уразі…маємісце…”;…~—“…тодійтількитоді,коли…”;“…якщоітількиякщо…”;“…екві-

валентне…”;“…рівносильне…”тощо.Уматематичніймовіімплікаціюp→qтрактуютьтак:твердження

pєдостатньоюумовоюдляq,атвердженняqєнеобхідноюумовоюдлятвердженняp.Виразp→qінтерпретуютьщеяк“qтоді,колиp”або“p тількитоді,колиq”.В імплікаціїp→qоперандpназиваютьантецедентом,абопосилкою,аq—консеквентом,абовисновком.

Використовуючи пропозиційні змінні та символи логічних опе-рацій, будь-яке складене висловленняможнаформалізувати, тобтоперетворити на формулу, яка виражатиме його логічну структуру.Наприклад, висловлення “Якщочисло 24 кратне 2 і 3, то число 24кратне6”маєтакулогічнуструктуру:(a∧b)→c.

1. Чи є наведений вираз простим висловленням?Якщо вираз євисловленням,товказати,якимсаме—істиннимчихибним.

(а) Число357кратне7.(б) Для будь-яких дійсних чисел x і y виконується нерівність

x2+y2 ≥0.(в) Сонцезійшло.(г) Чиіснуєцілечисло,більшеза2іменшевідlog29?(д) Весна—найкращапорароку.(е) Виходячизкімнати,вимикайтесвітло.(є) Київ—столицяУкраїни.(ж)7<7.(з) 7≤7.(и) 2×2=4.(і) Існуєопуклиймногокутникзчотирмагостримикутами.(ї) Неіснуєнайбільшогопростогочисла.(й) Чиіснуєнайменшепростечисло?

8

(к) Рівнянняx3—7x—6=0маєпринаймніодиндійснийкорінь.(л) “Учітесь,читайте,ічужомунаучайтесь,йсвогонецурайтесь”

(Т. Шевченко).(м)Викладачпроцитував:“Учітесь,читайте,ічужомунаучайтесь,

йсвогонецурайтесь”(Т. Шевченко).(н) Бісектрисатрикутникаділитьйогоплощунарівновеликічас-

тини.(о) Будь-якечислократне6єкратним2.(п) Будьтеуважнітавзаємноввічливі.(р) Відношення перпендикулярності прямих— антирефлексив-

не.(с) Цереченнярозміщенонасторінцізпарнимномером.(т) Цереченняскладаєтьсязшестислів.(у) Нехайусебудегаразд.(ф)Хайживекібернетика!(х) Число7меншеЕвересту.(ц) Справджуєтьсянерівністьx<2.(ч) Нерівність3<2хибна.(ш)Нерівність2<3хибна.(щ)Цевисловлення—хибне.

2.Записатиподваречення,якієістиннимивисловленнями,хиб-нимивисловленнями,атакожтакі,щонеєвисловленнями.

3.Визначити істинність чи хибність складеного висловлення,виходячи з відомих значень істинності простих висловлень, з якихвоноскладається.

(а) Число777кратне7,аленекратне11.(б) Число36кратне6або7.(в) Принаймніоднезчисел21,24чи27парне.(г) –2>–3і(–1/2)>(–1/3).(д) –2>–3,але(–2)2<(–3)2.(е) Якщо2<3,то22<32.(є) Якщо4<3,то42<32.(ж)Якщочисло24кратне6,точисло24кратне3.(з) Якщочисло27кратне6,точисло27кратне3.(и) Якщочисло27кратне3,точисло27кратне6.(і) Якщо2<3і3<1,то2<1.(ї) 144кратне24тодіітількитоді,коли144кратне8і144крат-

не3.

9

(й) 144кратне48тодіітількитоді,коли144кратне8і144крат-не6.

(к) 72кратне48тодіітількитоді,коли72кратне8і72кратне6.(л) Неправильно,що2<3і4<3.(м)Число187кратне11і17,аленекратне19.(н) Неправильно,щопринаймніоднезчисел35,57,77просте.(о) Неправильно,щовиконуєтьсяхочодназнерівностей2<3чи

3<2.(п) ЧотирикутникABCDєпрямокутникомтоді,колийогодіаго-

налірівні.(р) ЧотирикутникABCDєпрямокутникомтількитоді,колийого

діагоналірівні.

4.Нехайзаданоелементарнівисловлення:a—“7—цілечисло”; c—“7—простечисло”;b—“7—від’ємнечисло”; d—“Число7кратне3”.Сформулювати словами складене висловлення, визначити його

істинністьчихибність.(а)a∧b; (г)(a∨c) →b; (є)(¬a∧¬c)→d;(б)a∨b; (д)(a∨(b∧d))→¬c; (ж)(b→¬a)∨c;(в)a→¬b; (е)(¬a∨¬d)~b; (з)(¬a→ ¬c)∧b.

5.Записатилогічнуструктурускладеноговисловленнятавизна-читийогоістинність.

(а) Якщо3>2,то3≥2.(б) Якщо3>2і2≥1,то3≥1.(в) Якщо3>2і2>4,то3>4.(г) Якщо3>2і2<4,то3<4.(д) Якщочисло31парнеібільше2,товононеєпростим.(е) Число24кратне3і7абочисло24кратне6чи7.(є) Число24кратнеабо5,або6,або7.(ж)Число7007кратне1001тодійтількитоді,коливонократне7,

11і13.(з) Якщо діагоналі чотирикутникаABCD взаємно перпендику-

лярні,товінєромбом.(и) Неправильно,щочотирикутникABCDєромбом,якщойого

діагоналівзаємноперпендикулярні.(і) Число72кратне24тількитоді,коли72кратне6ікратне4.(ї) Неправильно,щочисло35некратне21тодійтількитоді,коли

35некратне3інекратне7.

10

(й) Число1001кратне143тодійтількитоді,коли1001кратне11ікратне13,але1001некратне143тодійтількитоді,коли1001некратне11абонекратне13.

(к) ВідношенняRєеквівалентністютількитоді,коливонореф-лексивнеітранзитивне.

6.Визначити,чимаютьскладенівисловлення1і2однаковуло-гічнуструктуру.

(а) 1)ЯкщовідношенняRрефлексивнеісиметричне,тоRтоле-рантне.2)Якщочисло72кратне6і8,товонократне48.

(б) 1)Нерівність2<|3|рівносильнасукупностінерівностей2<3або 3<–2. 2)Співвідношення x∈A ∪B виконується тоді йтількитоді,колиx∈Aчиx∈B.

(в) 1)КвадратABCDєромбоміпрямокутником.2)Неправильно,щомножинараціональнихчиселQєщільноюіконтинуаль-ною.

(г) 1)Якщочисло24кратне6абочисло24кратне3,точисло24кратне18.2)Якщоx∈Aабоx∈B,тоx∈A.

7.Чиправильнетвердження:“Якщологічніструктуридвохскладе-них висловлень збігаються, то вони мають ті самі значення істин-ності”?Відповідьобґрунтувати.

8.Длянаведеноговиразупридумайтедваскладенівисловлення(істиннеіхибне),яківінформалізує:

(а)¬(a→b); (в)¬(a ∧b)→(¬a~b);(б)¬a→(b∧c); (г)(a∨b)→(¬a~¬b).

9.Записатиувиглядіформулиданетвердження,позначаючипро-стівисловленнябуквами,івизначитийогоістинністьчихибність.

(а) ЧотирикутникABCD—квадраттількитоді, коливінрівно-сторонній.

(б) ЧотирикутникABCD — квадраттоді,коливінєпрямокутни-ком.

(в) ЧотирикутникABCD—квадраттількитоді,коливінрівносто-роннійійогодіагоналівзаємноперпендикулярні.

(г) ЧотирикутникABCD—квадраттоді,коливінрівностороннійійогодіагоналівзаємноперпендикулярні.

(д) ДлятогощобпаралелограмABCDбувромбом,необхідно,аленедостатньо, щоб його діагоналі були взаємно перпендику-лярні.

11

(е) УмоваR°R ⊆Rєдостатньою,щобвідношенняRбулотранзи-тивним.

(є) УмоваPr1R=Pr2Rєнеобхідною,аленедостатньою,щобвід-ношенняRбулосиметричним.

(ж)Число17простетількитоді,коливононепарне.(з) Число15простетоді,коливононепарне.(и) Число35кратне10тоді,коливонократне5.(і) Длятогощобчисло35булократне5,достатньо,алененеоб-

хідно,щоб35булократне10.(ї) Необхідноюідостатньоюумовоюподільностічисла70на10є

подільність70на5іна2.(й) Необхідноюідостатньоюумовоюподільностічисла36на24є

подільність36на6іна4.(к) x2—5x+6=0тодійтількитоді,колиx = 2абоx=3.(л) Умова,щонепорожнячастково впорядкованамножинаM є

скінченною,єдостатньою,алененеобхідною,щобмножинаMмістиламінімальнийімаксимальнийелементи.

(м)Длятогощобоб’єднанняR1∪R2двохвідношеньбулорефлек-сивним,необхідноідостатньо,щобобидвавідношенняR1іR2булирефлексивними.

10.Визначитизначенняістинностівисловленьa,b,c,d,якщовис-ловлення1)і2)—істинні,ависловлення3)і4)—хибні.

1) Якщо7—простечисло,тоa.2) Якщоb,то7—складенечисло.3) Якщо7—простечисло,тоc.4) Якщоd,то7—складенечисло.

11.Записатитвердженнялогіко-математичноюсимволікоюівиз-начитийогоістинністьчихибність.

(а) Якщо72кратне24,то72кратне8,аякщо72некратне8,то72некратне24.

(б) Якщо72кратне24,то72кратне8.(в) Якщо78кратне24,то78кратне8.(г) x2>9тодійтількитоді,колиx>3абоx <–3.(д) x2 >9тодійтількитоді,колиx>3іx<–3.(е) x2<9тодійтількитоді,колиx<3іx >–3.(є) x2 <9тодійтількитоді,колиx<3абоx >–3.

12.Сформулюватинаведенетвердженняувигляді“Якщо…,то…”.(а) Ізнерівностіx<3випливаєнерівністьx≤3.

12

(б) Яуспішноскладуіспитзматематичноїлогікитоді,колирегу-лярновиконуватимудомашнізавдання.

(в) Необхіднознатиозначенняпонять,щобправильнозрозумітиформулюванняматематичноїзадачі.

(г) ЩобчотирикутникABCDбувромбом,достатньо,щобвінбувквадратом.

(д) Число24кратне6тількитоді,коливонократне3.(е) СиметричністьвідношенняRєнеобхідноюумовоюдлятого,

щобвідношенняRбулотолерантним.(є) Умова x∈A достатня, щоб виконувалось співвідношення

x∈A ∪B.

13.Записатисловамиувиглядітвердженнядануімплікаціючо-тирмарізнимиспособами,використовуючивирази:“необхіднаумо-ва”,“достатняумова”,“тоді,коли”,“тількитоді,коли”.

(а) (Чотирикутник ABCD— ромб) → (Чотирикутник ABCD—паралелограм);

(б) (24кратне6)→(24кратне3);(в) (n >2)→(n ≥2);(г) (n =3)→(n ≤3);(д) (R—толерантневідношення)→(R—симетричневідношен-

ня);(е) (a <–2)→(a2>4);(є) (2>3)→(1>2);(ж)(x∈A ∩B)→(x∈A);(з) (x∈A)→(x∈A ∪B);(и) (a ≤4)→(a <5);(і) (M—зліченнамножина)→(M—нескінченнамножина);(ї) (A ⊆B)→(|A|≤|B|).

14.Використовуючи терміни “антецедент” і “консеквент”, сфор-мулювати:

(а) достатню,алененеобхіднуумовуістинностіімплікації;(б) необхідну,аленедостатнюумовухибностіімплікації;(в) необхіднуідостатнюумовуістинностіімплікації;(г) необхіднуідостатнюумовухибностіімплікації.

15.Визначити,якезтверджень1або2єумовоюнеобхідною,до-статньоюабонеобхідноюідостатньоюдляіншоготвердження.

(а) 1)ЧисловамножинаMнескінченна.2)ЧисловамножинаMщільна.

13

(б) 1)x∉B.2)x∈A\B.(в) 1)A ⊆B.2)A ∪B =B.(г) 1)C ⊆A ∪B.2)C ⊆AіC ⊆B.(д) 1)C ⊆A ∩B.2)C ⊆AіC ⊆B.(е) 1)A ∪B ⊆ C.2)A ⊆CіB ⊆C.(є) 1)A ∩B ⊆C.2)A ⊆CіB ⊆C.(ж)1)Числовапослідовністьxnобмеженаімонотонна.2)Чис-

ловапослідовністьxnзбіжна.(з) 1)Число42кратне14.2)Число42кратне7.(и) 1)Для рефлексивного відношення R виконується R–1=R.

2)R—толерантневідношення.(і) 1)ЧотирикутникABCD — квадрат. 2)ЧотирикутникABCD

рівностороннійійогодіагоналівзаємноперпендикулярні.(ї) 1)A ⊆B.2)|A|≤|B|.

16.Ізтрьохелементарнихвисловленьa,b,cпобудуватискладеневисловлення,щоєістиннимтодійтількитоді,коли:

(а) істиннимиєвсітривисловленняa,b,c;(б) істиннимєпринаймніоднезвисловленьa,b,c;(в) істиннимєтількиоднезвисловленьa,b,c;(г) a—істинне,аbабоc—хибнівисловлення;(д) aіb—хибні,аc—істинневисловлення;(е) aабоc—істинні,аb—хибневисловлення;(є) хибнимиєвсітривисловленняa,b,c.

17.Ізхибноїнерівності1>2,застосовуючивідомірівносильніпе-ретворення,вивести:

(а) хибнунерівність5>7;(б) правильнунерівність5<7.

18. Із хибної рівності 2×2=5, застосовуючивідомі рівносильніперетворення,вивести:

(а) хибнурівність3×3=8;(б) правильнурівність2×3=6.

14

2. алгебРа висловлень. ФоРМули алгебРи висловлень. Таблиця ісТинносТі. ТавТології. пРоблеМа Розв’язносТі

Носіємалгебривисловленьємножинависловлень.Сигнатураалгебривисловленьтрадиційноскладаєтьсязозначе-

нихвищеоперацій:кон’юнкції,диз’юнкції,заперечення,імплікаціїтаеквівалентності.Застосовуючидоелементарнихвисловленьіпро-позиційнихзміннихціоперації,діставатимемоскладенівисловлення,якимвідповідатимутьтакзваніформулиабовиразиалгебривислов-лень.Длятогощобзаписатиціформули,дослідитиїхвластивостітаспіввідношенняміжформуламитависловленнями,використовуютьформальнімови,тобтопевнімножинислівудеякомуалфавіті.

Алфавіт найпоширенішої формальної мови алгебри висловленьскладаєтьсязтрьохгрупсимволів:

1) символи елементарних висловлень і пропозиційних змінних:a,b,c,…іx,y,z,…(можливо,зіндексами);

2)символиоперацій:∧,∨,¬,→,~;3)допоміжнісимволи—круглідужки:(і).Із символів цього алфавіту будують пропозиційні формули або

простоформули алгебри висловлень за таким індуктивним прави-лом:

1)усіпропозиційнізміннітаелементарнівисловленняєформу-лами;

2)якщоAіB—формули,товирази(A∧B),(A∨B),(¬A),(A →B),(A~B)такожєформулами(длявсіхцихвиразівформулиAіBєпід-формулами);

3)іншихформул,ніжпобудованізаправилами1)і2),немає.Формулиалгебривисловленьпозначатимемовеликимилатинсь-

кимилітерами.КожнаформулаAзображуєформуабосхемускладеноговислов-

лення:вонаперетворюєтьсянависловлення,якщозамістьїїпропо-зиційнихзміннихпідставитибудь-яківисловлення.Оскількикожнезпідставленихвисловленьмаєзначення0або1,то,послідовнооб-числюючизначеннявсіхпідформулформулиA,одержимозначенняформулиAнацьомунаборівисловлень,якедорівнюватиме0або1.ПідставляючиуформулуAзамістьїїпропозиційнихзміннихіншийнабірвисловлень,аналогічнообчислимоновезначенняформулиAіт.д.Оскількикожнезвисловленьнаборуповністюхарактеризується

15

своїмзначенням(істинноабохибно,тобто1або0),тозамістьпропо-зиційнихзміннихуформулуможнапідставлятинесамівисловлення,аїхнізначення—1або0.

Нехайp1,p2,…,pn—усіпропозиційнізмінні,щовходятьдоформу-лиA;позначатимемоцейфактA(p1,p2,…,pn).ФормуліA(p1,p2,…,pn)поставимо у відповідність функцію f(p1,p2,…,pn), що означена намножиніBn(B=0,1)інабуваєзначенняумножиніB,тобтофунк-ціютипуBn→B.Значенняфункціїfнанаборізначеньa1,a2,…,anїїзміннихp1,p2,…,pn дорівнює значеннюформулиA(p1,p2,…,pn)припідстановцівнеїзамістьпропозиційнихзміннихp1,p2,…,pnзначеньa1,a2,…,anвідповідно.Зауважимо,щокількістьелементіввобластівизначенняфункціїfдорівнює2n.

ФункціюfназиваютьфункцієюістинностідляформулиAабовід-повідногоскладеноговисловлення.Дляфункціїістинностіfможнапобудуватитакзванутаблицюістинності(табл.3).Традиційнонабо-ризначеньзміннихрозміщуютьуційтаблицівлексикографічномупорядку.

Таблиця 3

p1 p2. ... pn–1 pn f (p1, p2, ..., pn–1, pn)

0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1 1 ........................................................ 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 1

f(0,0,...,0,0)f(0,0,...,0,1)f(0,0,...,1,0)f(0,0,...,1,1)

...............................f (1,1,...,1,0)f(1,1,...,1,1)

ФормулуалгебривисловленьA(p1,p2,…,pn)називаютьтавтоло-гією,колиїйвідповідаєфункціяістинності,щототожнодорівнює1.Те,щоформулаAєтавтологією,позначаютьтак:|=A.

Тавтологіїщеназиваютьтотожноістиннимиформулами,абоза-конамиалгебривисловлень.

Наведемоприкладидеякихважливихтавтологій:(p∨(¬p)) (законвиключеннятретього);(¬(p∧(¬p))) (законвиключеннясуперечності);(p→p) (законтотожності).Переконатисьутому,щоціформулиєтавтологіями,можназадо-

помогоювідповіднихтаблицьістинності.

16

Якщо формула A→B є тавтологією, то кажуть, що формула Aсильніша,ніжB,аформулаBслабша,ніжA.

Інодіперевіркутого,щопевнаформулаєтавтологією,виконуютьзадопомогоютакзваногоспособувідшуканняконтрприкладу(абометодувідсупротивного).Пояснимойогонаприкладах.

Нехайпотрібноперевірити,чиєтавтологієюформулаA=(((a→¬b)∧(b→(a∧c)))∧(¬c→¬a))→(a∨¬c).Припустімо,щоформулаAнеєтавтологією.Тодіпринаймніна

одномунаборізначеньформулаAнабуваєзначення0.Спробуємовід-шукатицейнабір.ОскількиостанньоюоперацієюформулиAєімплі-кація,тоїїконсеквентмаєдорівнюватинулю,аантецедент—одини-ці.Тодіa=0іc=1.Звідси(a→¬b)=1і(¬c→¬a)=1.Залишилосьз’ясувати,чиможезацихумоввираз(b→(a∧c))дорівнюватиоди-ниці.Відповідьпозитивна.Отже,мизнайшлинабір(0,0,1),наякомуформулаAнабуваєзначення0,тобтовідшукаликонтрприклад,якийсвідчить,щоформулаAнеєтавтологією.

Уразі,колиприспробівідшукатиконтрприкладдляпевноїфор-мулиA приходимодо суперечності,можемо стверджувати,щоA—тавтологія.

Наприклад,дляформулиB=(((a→¬b)∧(b→(a∧c)))∧(¬c→¬a))→(a∨¬b),

яка є дещо зміненим варіантом попередньоїформулиA, матимемоa=0іb=1,тобто(a→¬b)=1,(¬c→¬a)=1,однак(b→(a ∧c))=0,що суперечить припущенню (b→(a∧c))=1. Отже, формула B—тавтологія.

ФормулаалгебривисловленьA(p1,p2,…,pn),яканабуваєзначення0навсіхнаборах(a1,a2,…,an)значеньсвоїхпропозиційнихзмінних,називаєтьсясуперечністю,абототожнохибноюформулою.

Формулу, якане є ані тавтологією, ані суперечністю,називаютьнейтральною.

Множинавсіхформулалгебривисловленьрозбиваєтьсянатавто-логії,суперечностітанейтральніформули.

Формула,яканеєсуперечністю,називаєтьсявиконуваною,інак-ше—невиконуваною.

Порядоквиконанняопераційуформулівизначаєтьсязадопомо-гоюдужок.Зметою зменшитикількість дужокуформулах випус-кають зовнішні дужки і запроваджують такийпорядок (пріоритет)виконанняопераційуразівідсутностідужок:¬,∧,∨,→,~(упорядку

17

спадання).Частоуформулах алгебривисловленьвипускають знаккон’юнкції∧ізамістьa∧bзаписуютьab.

Проблемарозв’язності(вирішення)валгебрівисловлень—цеза-дачазнаходженняалгоритму,задопомогоюякогодлябудь-якоїфор-мулиAалгебривисловленьможнавизначитиєAтотожноістинною(тавтологією)чині.

Дляалгебривисловленьцюпроблемуможна,зокрема,розв’язатидвомаспособами:

1)побудуватитаблицюістинностідляформулиAіперевірити,чискладаєтьсястовпчикзначеньAлишезодиниць;

2)застосуватиспосібвідшуканняконтрприкладу.Аналогічноможнасформулюватиівирішитипроблемурозв’язнос-

тідлявизначеннятого,щопевнаформулаалгебривисловленьєсу-перечністючивиконуваною.

1.Визначити,чиєнаведенапослідовністьсимволівформулоюал-гебривисловлень:

(а) (((x→y)∧z)~((¬x)→(y ∨z)));(б) (((¬x)~((¬y)+1))→(x ∨5y));(в) ((¬xy)→(x ~((¬y)∨x);(г) (((¬y)~(x ∧(¬z)))→((¬y)∨x));(д) (((((x→y)~(¬z))∨x)∧(¬y))).

2.Виписативсіпідформулинаведеноїформули:(а) (((x →(¬y)) ∧ (¬z))~((¬x)→(x ∧z)));(б) ((((y∨(¬z))→(y ∧z))~((¬y)∧x));(в) ((z→(¬y))∧((¬x)∨(¬(y∨(¬x)))));(г) (((((¬z)~(¬(x →(¬y))))~z)∨y)∧x).

3.Довести,щобудь-якуформулуCалгебривисловлень,яканеєпропозиційноюзмінною,можназобразитиводномузтакихвиглядів:(A∧B), (A∨B), (¬A), (A→B)або (A~B),деAіB — якісьформулиалгебривисловлень.

4.Довести,щоколиуформуліAалгебривисловленьпідставитизамістьякоїсьпропозиційноїзмінноїpформулуB,тоотримаємофор-мулуалгебривисловлень.

5.Довести,щоколиуформуліAалгебривисловленьзамінитиде-якупідформулуB наформулуC,тоотримаємоформулуалгебривис-ловлень.

18

6.Занумеруватипослідовністьвиконанняопераційуформулі.(а) (((y ~(¬z)) ∧ (¬x))→((¬z)~(x ∧y)));(б) (((x→(¬y))→(y ∧((¬z)→x)))~(¬x));(в) ((x→(¬y))~((¬x)∨(¬(z→(¬y)))));(г) (((((¬x)→(¬(y ~(¬z))))~x) ∨((¬x)∧z))∨y).

7.Занумерувати послідовність виконання операцій у формулі зурахуваннямїхпріоритетів.

(а) (a→¬b)∨(¬a~c)∧b∨(c →¬(a~b));(б) (a→¬((b∨c)∧¬a))→(¬c∨b)∧a~¬(a→¬b);(в) (¬a→¬b)∧(a ∨¬c ∨(a ~¬b)∧c);(г) ((¬b ~(c ∨¬a ∧¬b))→(¬a ∧¬(c ~b)))∧a.

8.Порівнятипослідовністьвиконанняопераційуформулах.(а) ( a → ( b → c ) ) → ( ( a → b ) → ( a → c ) )

і((a→(b→c))→(a→b))→(a→c);(б) (a→(b∨c))→¬(b∨c) іa→((b∨c)→¬(b∨c));(в) ( a → c ) → ( ( b → c ) → ( ( a ∨ b ) → c ) )

і((a→c)→(b→c))→((a ∨b)→c).

9.Знайтизначенняістинностіформули.(а) ( a ~ b ) ∧ ( ( ¬ c → b ) ∨ ( ¬ a ∧ c ) ∨ ( a ∧ ¬ b ) )

приa=0,b=0,c=0;(б) ( ( b → a ) ∧ ( ¬ c ∨ ( a ~ ¬ b ) ) ) → ( a ∧ ( d ∨ ¬ b ) )

приa=1,b=1,c=0,d=1;(в) ¬a∧(a~c)∧(¬b∨(¬c→a))приa=1,b=0,c=1;(г) (¬(a~b)∧(c→¬a))∨(b~c)приa=0,b=1,c=0;(д) ((a→¬b)∧b)→((¬c∨a)~b)приa=1,b=0,c=0.

10.Знайтизначенняістинностіскладеноговисловлення.(а) “Якщомиуспішноскладемоіспити(a),топоїдемовідпочива-

тидоморя(b),імиабоуспішноскладемоіспити,абоздійсни-мотурпохідуКарпатах(c)тодійтількитоді,колипогодабудегарною (d)”. Значення істинності елементарних висловленьтакі:a=1,b=1,c=0,d=1.

(б) “Якщомиуспішновиконаємодомашнєзавданнязматематич-ноїлогіки(a),миотримаємозаліковийбал(b)абовізьмемоучастьунауковомусемінарі(c),водночасякщомивізьмемоучастьунауковомусемінарііотримаємозаліковийбал,тодо-строковоскладемоіспитзматематичноїлогіки(d)”.Значен-няістинностіелементарнихвисловленьтакі:a=0,b=1,c=0,d=1.

19

11.Скласти таблицю істинності для формули алгебри вислов-лень.

(а) (a→¬(b∧c))→(c→¬a);(б) ((¬a∨b)~(a∧¬c)) ∨ (a→b);(в) ((a→b)~(b→¬c))→(c∧a);(г) (a→b)→((b→c)→(a→c));(д) (a~¬b)∧((a∧b)→(¬a∧¬b));(е) (¬a →(b ~¬c))∧(a ∨(¬b → c)∨¬b);(є) (a →¬(b ∧¬a))∨(a ~(¬b →¬a)).

12.Скількирядківміститьтаблиця істинностідляформулиал-гебривисловлень(a∨b∨c)→d?Нескладаючитаблиці істинності,визначити,наскількохнаборахцяформуланабуваєзначення0.

13.Скількирядківміститьтаблиця істинностідляформулиал-гебривисловленьA?Нескладаючитаблиціістинності,визначити,наскількохнаборахформулаAнабуватимезначення1.

(а) A=a→(b∨c∨d); (б) A=a→(b∧c∧d);(в) A=(a∨b)→(c∨d);(г) A=(a∧b∧¬c)→(d∨¬e∨f);(д) A=p1→(p2∨p3∨...∨pn);(е) A=(p1∨p2∨... ∨pn–1)→ pn.

14.Скількиіснуєрізнихтаблицьістинностідляформулиалгебривисловлень,щоміститьnпропозиційнихзміннихінабуваєзначення1тількинаkнаборах(k≤2n)?

15. Формула F алгебри висловлень містить 10 пропозиційнихзмінних p1,p2,…,p10. Визначити порядковий номер (рахуючи віднуля)тогорядкатаблиціістинностідляF, вякому:

(а) p5маєзначення1,арештазміннихpi маютьзначення0;

(б) p3,p4і p6маютьзначення1,арештазміннихpi маютьзначення0;

(в) p5,p6і p10маютьзначення1,арештазміннихpi маютьзначен-ня0;

(г) p1і p7маютьзначення1,арештазміннихpi маютьзначення0.

20

16.Побудуватитаблицюістинностііпоказати,щонаведенафор-мулаалгебривисловленьєтотожноістинною(тавтологією).

(а) ¬a∨¬b∨a∧b; (є) (a→b)→((a∧¬b)→b);(б) (a→¬a)→¬a; (ж)(a→b)→((b→c)→(a→c));(в) a→(b→a); (з) ((a→b)→a)→a;(г) a→(a∨b); (и) (a→c)→((b→c)→((a∨b)→c));(д) (¬a→a)→a; (і) (a→(a→b))→(a→b);(е) (a∧b)→a; (ї) (a→¬b)→(b→¬a).

17.Способомвідшуканняконтрприкладувстановити,щонаведе-наформулаалгебривисловленьєтавтологією.

(а) ((a→b)∧(c→d))→((a∨c)→(b∨d));(б) (a→(b→c))→((d→a)→(d→(b→c)));(в) (a→(b→c))→((c→d)→(a→(b→d)));(г) (a∨b)→((a→c)∧(b→d)→(c∨d));(д) (a→(b→c))→((d→b)→(a→(d→c)));(е) (a→(b→c))→((a→b)→(a→c));(є) (a→b)→((a→c)→(a→(b∧c)));(ж)(a→(b∧¬b))→¬a.

18.Довести,щоформула((a →b)∧(b →c))→(a →c)єтавтоло-гією(транзитивнавластивістьімплікації).Чибудетавтологієюобер-ненаімплікація(a →c)→((a →b)∧(b →c))?

19. Довести, що формула ((a ~b) ∧(b ~c))→(a ~c) є тавтоло-гією(транзитивнавластивістьеквівалентності).Чибудетавтологієюоберненаімплікація(a ~c)→((a ~b)∧(b ~c))?

20.Довести,щоформула((a →b)∧(b →c))→((a ∧b)→ c)єтав-тологією.Чи буде тавтологією обернена імплікація ((a ∧b)→ c)→→ ((a → b)∧(b →c))?

21.Довести,щоформула(a→b)∧(b→c)→(a→(b∧c))єтав-тологією.Чи буде тавтологією обернена імплікація (a→(b∧c))→→ ((a→b)∧(b→c))?

22. Різними способамипоказати,що наведенаформула алгебривисловленьнеєтавтологією.

(а)(a→b)→(b→a);(б)((a∧b)→c)~((a→b)→c);(в)(a→b)~(¬a→¬b);(г)(a→b)~((a→c)→(b→c));

21

(д) (a~(b∧c))~((a~b)∧(a~c));(е) (a→(a→b)) →(b~a).

23.Перевірити(довестичиспростувати),щозаданаформулаал-гебривисловленьєтавтологією.

(а) ((a→b)→(c→d))→((a→c)→(b→d));(б) (a→b)∧(a→c)∧(b→d)→(a→b∧c ∧d);(в) (a→(b→c))→((c→d)→(a→(b→d)));(г) (b→(a→(b→c)))→(a→c);(д) ((a→b)∨(c→b))~((a∧ c)→b);(е) ((a→b)∧(c→d))→((a∨c)→(b∨d)).

24.ПорівнятиформулиAіB.Переконатись,щоодназцихформулєтавтологією,аінша—ні.

(а) A=a→((a→b)→b),B=(a→(a→b))→b;

(б) A=((a→b)→(a→¬b))→¬a,B=(a→b)→((a→¬b)→¬a);

(в) A=(b→c)→((a→b)→(a→c)),B=((b→c)→(a→b))→(a→c);

(г) A=(a→b)→((a→c)→((a∧b)→c)),B=((a→b)→(a→c))→((a∧b)→c);

(д) A=b→((a→(b→c))→(a→c)),B=( b →(a→(b→c)))→(a→c( (

(е) A=(a→b)→((¬a→b)→b),B=((a→b)→(¬a→b))→b.

25.Показати,щонаведенаформулаалгебривисловленьєвико-нуваною.

(а) (a→(b→¬b))∧(a→c)∨(a∧¬c);(б) (a→b)∧(a→¬b)∧(b→c)∧(b→¬c)∧(c→a)∧(c→¬a);(в) (¬a∨b)∨(¬b∨c)∨(a→¬b).

26.Переконатися,щонаведенаформулаалгебривисловленьєсу-перечністю.

(а) ¬((a→b)→((a∧¬b)→b));(б) (a∨b)~(¬a∧(b→¬b));(в) (a→(b→c))∧(a→b)∧(a∧ ¬c);(г) ¬b∧a∧(a→b);(д) a∧b∧(¬a∨¬b);(е) (a∨¬a)→(b∧¬b).

22

27.Довести,щоформулаAалгебривисловленьєсильнішоювідформулиB.

(а) A=(a→c)∧(b→c),B=(a∧b)→c;(б) A=(a→b)∧(b→c),B=a→c;(в) A=(a→b)∧(b→c),B=a →(b∧c);(г) A=(a~b)∧(b~c),B=a~c;(д) A=a→(b→c),B=(a→b)→(a→c).

28.Довести,щобудь-якасуперечністьсильніша,ніжбудь-якатав-тологія.

29.Довести,щодовільнаформулаалгебривисловленьсильніша,ніжбудь-якатавтологія.

30. Довести, що будь-яка суперечність сильніша, ніж довільнаформулаалгебривисловлень.

31.Довести,щоформулаA ~B є тавтологієютодійтількитоді,колиформулаAсильніша,ніжB,іформулаBсильніша,ніжA.

32.Визначити,чиєнаведенаформулаалгебривисловленьтавто-логією,суперечністючинейтральною.

(а) ((a∨b)→c)→((a→c)∨(b→c));(б) ((a∧b)→c)→((a→c)∧(b→c));(в) (a∧c∨b∧d)→((a∨b)∧(c∨d));(г) (a∧b∨c∧d)→((a∨b)∧(c∨d));(д) ((a~b)→(c~d))→((a∨c)~(b∨d));(е) ((a→b)∧(c→d))→((a∧c)→(b∧d));(є) ((a→b)∧a∧b)~((a→b)∧a);(ж)((¬a∨b)∧(¬b∨c)∧a)→¬c;(з) (a→b)→((c~d)→((a∨c)~(b∨d)));(и) (a∧b∧(a→b))~a;(і) ((a∧c)→(b∧d))→((a→b)∧(c→d)).

33.Чиможетавтологіямістититількиопераціїзмножини∨,∧?Відповідьобґрунтувати.

34.Чиможесуперечністьмістититількиопераціїзмножини∨,∧,~,→?Відповідьобґрунтувати.

35.Довести,щобудь-якаформулаалгебривисловлень,операція-миякоїєтількиопераціїзмножини∨,∧,єнейтральною.

23

36.Довести,щодовільнаформула алгебривисловлень, якаміс-титьізсимволівлогічнихопераційлише∧,∨,→,~,євиконуваною.

37.Довести,щоформулаалгебривисловленьA,якаміститьтіль-киопераціюеквівалентності~,єтавтологієютодійтількитоді,коликожнапропозиційназміннавходитьвAпарнукількістьразів.

38.Довеститвердження.(а) Запереченнятавтологіїєсуперечністю,інавпаки.(б) Кожнатавтологіяєвиконуваноюформулою.Чиправильним

єоберненетвердження?(в) Кожна нейтральна формула є виконуваною. Чи правильне

оберненетвердження?(г) Запереченнявиконуваноїформулиможебутияквиконува-

ноюформулою,такіневиконуваною.

39.Довестичиспростуватитвердження.(а) ІздвохформулAі¬Aалгебривисловленьпринаймніодна—

тавтологія.(б) ЯкщоAіB—тавтології,тоA∧B—тавтологія.Чиправильне

оберненетвердження?(в) ЯкщоAіB—тавтології,тоA∨B—тавтологія.Чиправильне

оберненетвердження?(г) ЯкщоAіB—тавтології,тоA→B — тавтологія.Чиправильне

оберненетвердження?(д) ЯкщоформулаA~B—тавтологія,тоA іB—тавтології.Чи

правильнеоберненетвердження?

40.Довестичиспростуватитвердження.(а) ЯкщоA—виконуванаформулаалгебривисловлень,тофор-

мула¬Aєневиконуваною.(б) ФормулаA невиконувана тодій тільки тоді, колиA— супе-

речність.(в) ІздвохформулAі¬Aалгебривисловленьхочоднаєвикону-

ваною.(г) ЯкщоA іB— виконувані формули, тоA∧B— виконувана.

Чиправильнеоберненетвердження?(д) ЯкщоAіB—виконуваніформули,тоA∨B—виконувана.Чи

єправильнимоберненетвердження?(е) ЯкщоA→B—виконуванаформула,тоAіB—виконувані.Чи

правильнеоберненетвердження?

24

(є) ЯкщоA~B—виконуванаформула,тоAіB—виконувані.Чиправильнеоберненетвердження?

41.Довести,щоколиформулаалгебривисловленьA1∧A2∧…∧Ak виконувана,товиконуваноюєкожназформулAi,i=1,2,…,k.Чипра-вильнеоберненетвердження?

42.Довести,щоформулаалгебривисловленьA1∨A2∨…∨Ak ви-конувана тодій тількитоді, коливиконуваноюєпринаймніодна зформулAi,i=1,2,…,k.

43.Довестичиспростуватитвердження.(а) ЯкщоA—нейтральнаформулаалгебривисловлень,тофор-

мула¬Aтакожєнейтральною.(б) ІздвохформулAі¬Aалгебривисловленьпринаймніоднає

нейтральною.(в) ЯкщоAіB—нейтральніформули,тоформулаA ∧Bнейтраль-

на.Чиправильнеоберненетвердження?(г) ЯкщоAіB—нейтральніформули,тоформулаA ∨Bнейтраль-

на.Чиправильнеоберненетвердження?(д) ЯкщоA іB— нейтральні формули, то формулаA →B ней-

тральна.(е) ЯкщоA →B— нейтральнаформула, то формулиA іB ней-

тральні.(є) Якщо A ~B— нейтральна формула, то формули A і Bней-

тральні.Чиправильнимєоберненетвердження?

44.Довести,щоколи|=A(a),деa — пропозиційназмінна,то|=A(B),деB—довільнаформулаалгебривисловлень,ачерезA(B)позначеноформулу,отриманузA(a)післяпідстановкиформули Bзамістьусіхвходженьa(теорема про підстановку).Чиправильнеоберненетвер-дження?Відповідьобґрунтувати.

45.Довести,щоколи|=A(B),деB—підформулаформули Aіприцьому|=B~C,то |=A(C),деA(C)—формула,отриманазA(B)замі-ноюпідформули Bформулою C(теорема про заміну).Чибудетвер-дженняправильним,якщозамістьумови|=B~Cзаписати|=B→C?Відповідьобґрунтувати.

46.Довеститвердження.(а)ЯкщоAіA →B—тавтології,тоB—тавтологія(правиловис-

новкуабоправилоmodusponens(МР)).

25

(б) ЯкщоA →B і¬B—тавтології, то¬A—тавтологія(правилозапереченняабоправилоmodustolens).

(в) Якщо A ∨B і ¬A— тавтології, то B— тавтологія (правилодиз’юнктивногосилогізму).

(г) ЯкщоA →BіB →C—тавтології,тоA →C—тавтологія(пра-вилоланцюговоговисновку).

(д) ЯкщоA →BіA →¬B—тавтології,то¬A—тавтологія(методдоведеннявідсупротивного).

47.Довеститвердження.(а) Якщо(A∨B)і(¬A∨C)—тавтології,то(B∨C)—тавтологія.(б) Якщо формули (A∨B), (A →C) і (B →D)— тавтології, то

(C∨D)—тавтологія.(в) Якщо(¬A ∨B)і(¬B∨¬C)—тавтології,то(A →¬C)—тавто-

логія.

48.Довести,щодлядовільнихформулA1,A2,…,Ak алгебривис-ловленьформула(A1∧A2∧…∧Ak)→Aiєтавтологієюдлябудь-яко-гоi=1,2,…,k.

49.Довести,щодлядовільнихформулA1,A2,…,Ak алгебривис-ловленьформулаAi→(A1∨A2∨…∨Ak) єтавтологієюдлябудь-яко-гоi=1,2,…,k.

50.Довести,щонаведенаформулаалгебривисловленьєтавтоло-гією.

(а)(a→b)~(¬a∨b);(б)(a~b)~((a→b)∧(b→a));(в)¬(a∧b)~(¬a∨¬b);(г)¬(a∨b)~(¬a∧¬b);(д)(a→c)∧(b→c)~((a∨b)→c);(е)(a→b)∧(a→c)~(a→(b∧c));(є)(a ~b)~((¬a ∨b)∧(a ∨¬b));(ж)(a ~b)~((a ∧b)∨(¬a ∧¬b));(з)(a→b)→((a∧b)~a); (и)(a →b)→((a∨b)~b).

51.Сформулюватиозначеннятаалгоритми,якірозв’язуютьпро-блемувирішеннядляперевіркивиконуваностіпевноїформули ал-гебривисловлень.

26

52.Сформулюватиозначеннятаалгоритми,якірозв’язуютьпро-блемувирішеннядляперевіркитого,чиєпевнаформулаалгебривис-ловленьсуперечністю(невиконуваною).

53.Відомо,щоA—тавтологія.Щоможнастверджуватипрофор-мулу:

(а) ¬A;(б) A→B;(в) B→A;(г) ¬A→B;(д) B→¬A,

деB—довільнаформулаалгебривисловлень?

54.ПроформулуAвідомо,щовонанеєтавтологією.Щоможнастверджуватипроформулу¬A?

55.Відомо,щоA—суперечність.Щоможнасказатипроформулу:(а) ¬A;(б) A→B;(в) B→A;(г) ¬A→B;(д) B→¬A,

деB—довільнаформулаалгебривисловлень?

56.Відомо,щоформулаA→Bєсуперечністю.Щоможнастверд-жуватипроформулиAіB?

57. Нехай |=A і |=A→B. Чи можна стверджувати, що наведенаформулаалгебривисловленьєтавтологією?

(а) B;(б)¬A→¬B;(в) ¬B→¬A;(г) A→(A→B);(д) A→(¬A→B).

58.Відомо,щоформулаA→Bєтавтологією,аформулаA ~B—суперечністю.ЩоможнасказатипроформулуB→A?

59.Відомо,щоформулаA→Bєтавтологією,аформулаA ~Bней-тральна.ЩоможнасказатипроформулуB→A?

60.ФормулаA~Bєсуперечністю.Щоможнастверджуватипроформули¬A~Bі¬A~¬B?

27

61.Відомо,що|=A→¬A.ЩоможнасказатипроформулуA?

62.Відомо,що|=B→C.Чиможнастверджувати,щодлядовільноїформулиAалгебривисловленьформула(A→B)→(A→C)єтавтоло-гією?

63.Відомо,щоформулаAсильніша,ніжB,іB—суперечність.ЩоможнасказатипроформулуA?

64.Відомо,щоформулаалгебривисловленьBвиконуванаісиль-ніша,ніжA.Довести,щоформулаA такожвиконувана.

65. Дано, що B— виконувана формула алгебри висловлень і|=A→ ¬B.Довести,щоформулаAнеєтавтологією.

66.Різнимиспособамипоказати,щоформулаалгебривисловлень(a→(b→c))→(¬(b→c))→(a→¬a)єтавтологією.

67.Різнимиспособамипоказати,щоформулаалгебривисловлень(a→(b→c))∧(a→b)∧a∧¬cєсуперечністю.

68.Різнимиспособамипоказати,щоформулаалгебривисловлень((a∧c→¬b)∨(a∧c→b))→((¬a∧¬c→a)∧(¬b∧c∧d))викону-вана.

69.Різнимиспособамипоказати,щоформулаалгебривисловлень(a∧b→c) ∧(a∧ c→d) →(a∧b→c∧d)неєтавтологією.

70.Різними способами довести чи спростувати твердження,що формула алгебри висловлень ((a~d)∨(b→c))→((a→b)∨∨ (c→d))єтавтологією.

71.Різними способами довести чи спростувати твердження, щонаведенаформулаєсуперечністю.

(а) (a→b)∧(a→c)∧(¬b∨¬c)∧a;(б) (a→b)∧(b→c)∧¬(a~c);(в) ((a∧b→¬c)∨(a∧b→c))→((¬a∧¬b→a)∧(b∧¬c∧d));(г) (a→(b→¬b))∧(a→c)∨(a∧¬c).

72.Способом відшукання контрприкладу переконатись, щоформула алгебри висловлень (b→a)∨(a∧¬b)∧((a→b)~(¬b∧∧ (a→c)))∧¬c неєанітавтологією,анісуперечністю.

73.Довести, що формула алгебри висловленьA1(p1,p2, ...,pn)→→ (A2(p1,p2,...,pn)→(...(Am–1(p1,p2,...,pn)→Am(p1,p2,...,pn))...)єсу-

28

перечністютодійтількитоді,колиформулиA1,A2,...,Am–1єтавтоло-гіями,аAm—суперечністю.

74.ПобудуватиформулуалгебривисловленьA,щозалежитьвідпропозиційнихзміннихa,b,cідляякоїнаведенаформулабудетав-тологією.

(а) (((A ∧b)→¬a) →((a→¬b) →A));(б) ((a ∧A)→(a ∧b))→((a ∨A)→(a ∨c));(в) (((c →(¬b∧a)) →A) →(A ∧((a →b)→c)));(г) ((c →A) →(c →(a∧b))) →((A →c) →(A ∧(¬(a ∨b)→c))).

3. Рівносильні ФоРМули алгебРи висловлень

ФормулиAіBалгебривисловленьназиваютьрівносильними,як-щоїмвідповідаєтасамафункціяістинності.РівносильністьформулAіBпозначаютьзадопомогоюзнака≡(=або ↔):записуютьA≡B.

Неважкопереконатись,щовідношеннярівносильностінамножиніформулєвідношеннямеквівалентності,томучастоцевідношенняна-зиваютьеквівалентністю.

Рівносильністьформулможнаперевіритиукладаннямтаблицьіс-тинностівідповіднихфункційіпорівнюваннямцихтаблиць.

РівносильнимперетвореннямформулиAназиваєтьсядіяабопро-цедура,врезультатіякоїдістаємоформулуB,рівносильнуформуліA.

1.Довести,щовідношеннярівносильностімаєвластивостіреф-лексивності, симетричності та транзитивності, тобто є еквівалент-ністю.

2.Довестиосновнітотожності(рівносильності)алгебривислов-лень.

(а) (a ∨b)∨c≡a∨(b∨c), (a∧b)∧c≡a∧(b∧c) (асоціатив-ність);

(б) a∨b≡b∨a,a∧b≡b∧a(комутативність);(в) a∧ (b∨c)≡(a ∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)≡(a∨b)∧(a∨c)(дис-

трибутивність);(г) a ∨a≡a,a∧a≡a(ідемпотентність);(д) ¬(a∨b)≡¬a∧¬b,¬(a∧b)≡¬a∨¬b(законидеМоргана);(е) ¬¬a≡a (законподвійногозаперечення);(є) a∨0≡a,a∧1≡a;(ж)a∨1≡1,a ∧0≡0(властивостіелементів0і1);(з) a∨¬a≡1,a∧¬a≡0(властивостізаперечення).

29

3.Довеститакурівносильність(правилопоглинання):(а) a∨(a∧b)≡a; (б) a∧(a∨b)≡a.

4.Довести,щоформулиалгебривисловленьAіBрівносильнітодійтількитоді,колирівносильніїхнізаперечення¬Aі¬B.

5.Нехайa—деякапропозиційназміннаформулA(a)іB(a),C—довільнаформулаалгебривисловлень.Довести,щоколиA(a)≡B(a),тодіA(C)≡B(C),деостаннідвіформулиотримановрезультатіпід-становкиформулиCзамістьусіхвходженьзмінноїaуформулахAіB(правило підстановки).

6.НехайC—деякапідформулаформулA(C)іB(C).Довести,щоколиA(C)≡B(C)іD≡C,тоA(D)≡B(D),деостаннідвіформулиот-риманозаміноювA(C)іB(C)підформулиCформулоюD(правило заміни).

7.Довести,щозрівносильностейA1≡A2 іB1≡B2випливаєтакатотожність:

(а) A1∨B1≡A2∨B2;(б) A1∧B1≡A2∧B2;(в) A1→B1≡A2→B2;(г) A1~B1≡A2~B2.

8.Довести,щодлядовільнихформулA,BіCалгебривисловленьвиконуєтьсярівносильність:

(а) (A~A)≡(B~B);(б) (A~B)≡(B~A);(в) (A~(B ~C))≡((A~B) ~C).

9.Довеститакурівносильністьалгебривисловлень:(а) a→b≡¬a∨b;(б) a→b≡¬b→¬a;(в) a~b≡(a→b)∧(b→a);(г) a~b≡(¬a∨b)∧(a∨¬b);(д) a~b≡(a∧b)∨(¬a∧¬b);(е) a~b≡¬(a∧¬b)∧¬(¬a∧b).

10.Використавшитотожностіпопередньої задачі та властивостівідношеннярівносильності,замінитинаведенуформулуалгебривис-ловленьрівносильною,щонеміститьсимволів~і→.

(а) ¬(a→b)~(¬a→¬b);

30

(б) ¬(a →b)~(¬b→a);(в) ¬((a~b)∧a)→b;(г) (¬a→b)~((¬b→a)∨¬a).

11.Задопомогоюрівносильнихперетвореньзвестинаведенуфор-мулудотакої,щоміститьлишеопераціїзмножини∨,∧,¬.

(а)(a→¬(b∧c))~(c→¬a);(б)((¬a∨c)~(a~¬c)) ∨ (a→b);(в)((a→c)~(b→¬c))~(a∧b);(г) (a→c)~((b∨¬c)→(a~c)).

12. Обґрунтувати твердження, що будь-яку формулу алгебривисловлень, якаміститьлишеоперації змножини ∨,∧,¬,можнаперетворитидорівносильноїформули,вякійопераціязапереченнястосуватиметьсятількиелементарнихвисловлень.

13.Довести,щодлябудь-якоїформулиалгебривисловленьіснуєрівносильнаформула,операціямиякоїє:

(а) ∨,∧,¬;(б) ∨,¬;(в) ∧,¬.

14.Побудувативсіможливітаблиціістинностіунарнихібінарнихоперацій алгебри висловлень. Виразити у вигляді рівносильностейоперації,відміннівідкон’юнкції,диз’юнкції,заперечення,імплікаціїтаеквівалентності,черезназваніоперації.

15.Довеститакурівносильність:(а) a∨b≡¬a→b;(б) a∧b≡¬(a →¬b);(в) ¬a≡a→¬a;(г) a~b≡¬((a→b)→¬(b→ a)).

16.Чиможнастверджувати,щодлябудь-якоїформулиалгебривисловленьіснуєрівносильнаформула,операціямиякоїєтількиім-плікаціяізаперечення?Відповідьобґрунтувати.

17.Довеститакурівносильність:(а) a ∧¬b∨¬a∧b≡(a∨b)∧(¬a∨¬b);(б) a∨b∨c∨d≡(¬a∧¬b ∧¬c)→d;(в) (a ∧b)→c≡(a ∧¬c)→¬b;(г) (a~b)∧(a∧¬b∨b)≡a∧b;(д) (a→b)∧a∧b≡(a→b)∧a;

31

(е) (a ∨b)∧(a∨¬b)≡a;(є) (a∨b)→¬b≡¬b.

18.Довеститакурівносильність:(а) (a ∨b)→c≡(¬a→b)→c;(б) (a→c)∧(b→c)≡((a∨b)→c);(в) (a→b)∧(a→ c) ≡a→(b∧c);(г) (a→(b→c))≡((a∧b)→c).

19.Довести, що формули алгебри висловлень (a∧b)→c,(a∧¬c)→¬b,(b∧¬c)→¬aіa→(b→c)рівносильні.

20. Визначити, яка з наведених чотирьох формул рівносильнаформулі¬(a→b).

1) ¬a→¬b;2) a→¬b;3) ¬a→b;4) a∧¬b.

21.Довести,щоa→b≡¬b→¬a (закон контрапозиції).

22.Довести,щозапереченнявисловлення“pєнеобхідноюідостат-ньоюумовоюдляq”рівносильневисловленню“pєнеобхідноюідо-статньоюумовоюдля¬q”.

23.Визначити, яке з наведених висловлень рівносильне запере-ченнювисловлення“pєнеобхідноюідостатньоюумовоюдляq”:

1) “pєнеобхідною,аленедостатньоюумовоюдляq”;2) “pєдостатньою,алененеобхідноюумовоюдляq”;3) “pнеєнеобхідноюінеєдостатньоюумовоюдляq”;4) “Абоpнеєнеобхідною,абоpнеєдостатньоюумовоюдляq”.

24.Використовуючиосновнітотожностіалгебривисловлень(за-дача 3.2) і властивості відношення рівносильності, довести тотож-ність.

(а) (a∧b→c)→(a→c)≡¬a∨b∨c;(б) (a→b)∨(a→c)→(a→(b→c))≡¬a∨¬b∨c;(в) a∨b∨c∨d≡(¬a∧¬b∧¬c)→d;(г) (a∧b→c)→(c→a∧b)≡(c→a)∧(c→b).

25.Довести,що(a∨b)∧(c∨d)≡a∧c∨a∧d∨b∧c∨b∧d.

26.Узагальнити рівносильність попередньої задачі на випадок,коливїїлівійчастинізаписанотакукон’юнкцію:(x1∨x2∨…∨xn)∧∧ (y1∨y2∨… ∨yn)(правило “перехресного множення”).

32

27.Довести,що((a∧b)∨(c∧d))≡((a∨c( ∧(a ∨d)∧(b∨c)∧(b∨d)).

28. Узагальнити рівносильність попередньої задачі на випадок,коли її ліва частина має такий вигляд: (x1∧x2∧…∧xn)∨ (y1∧y2∧ ∧…∧yn)(правило “перехресного додавання”).

29.Довестичиспростуватирівносильність.(a∧b∨c∧d)∧(e∧g∨h∧f)≡(a∧e∨g∧h)∧(b∧c∨d∧f).

30.Перевірити (довести або спростувати), чи виконується такарівносильність:

(а) ¬(a~¬b)≡a∧b∨¬a∧¬b;(б) (a∨c)→(b∨d)≡(a→b)∧(c→d);(в) a→(a~b)≡(a→b);(г) a→(b→c)≡(a∧b)→c;(д) (a∨b∨¬c)→a≡(b→a)∧(¬a→c);(е) ((a∨b( ∧(a∨c)∧(b∨d)∧(c∨d)) ≡((a∧d)∨(b∧c));(є) (a∧(a∨ c( ∧(b∨c))≡((a∧b)∨(a∧c));(ж)((a∨b( ∧(a ∨¬b))≡a;(з) ((a∧b)∨((a∨b( ∧(¬a∨¬b))≡(a∨b( ;(и) (a∨(¬a∧b))≡(a∨b( .

31. За допомогою рівносильних перетворень звести наведенуформулуалгебривисловленьдопростішої,числологічнихопераційвякійдорівнюєk.

(а) a∧b∧¬c∨a∧¬b∧ c∨a∧b ∧ c (k=2);(б) (¬(a ∨b)→(a∧b∧¬c))∨ (¬a∧b∧c)(k=2);(в) a∧c∨¬b∧c ∨¬a ∧b ∨a∧¬c(k=2);(г) ¬(a→b) ∨¬(c→b) ∨¬b(k=1);(д) a∧¬b∨a∧c∨(¬a→c)∨a∨¬b∧c (k=1);(е) ¬(a→b)∧¬(a∧b)∨b(k=1);(є) a∧b∨¬a∧c∨a (k=1);(ж)¬a∧b∨a∧¬b∨a∧b (k=1);(з) ((a→b)→¬b)→(a∧¬b)(k=1);(и) (a→b)∧(a∨b∧c)∧(a→c)∨c(k=1);(і) (a∨b)∧(b→a)∨b∧c∨a∧b∨b∧¬c (k=1);(ї) a∧b∨¬a∧¬b∨a∧¬b(k=1);(й) (¬(c→¬b)∨¬b∧a∨b∧¬c)→¬a (k=1);(к) (a∨(b→c)) ∧(a∨(¬b→c)) ∧(a∨(¬c→ d))(k=1);(л) (a∨b)∧(b→a)∨¬(a→c) (k=0).

33

32.Визначити,якізнаведенихвисловленьлогічнорівносильні.1)Якщоx∈A,тоy∈B; 3)Якщоx∈A,тоy∉B;2)Якщоy∈B,тоx∉A; 4)Якщоy∉B,тоx∉A.

33.Данодваскладенівисловлення:1) Якщоодиндоданоккратний3ісумакратна3,тойдругийдо-

даноккратний3.2) Якщоодиндоданоккратний3,адругийдоданокнекратний3,

тосуманекратна3.Записатицівисловленняформальноівизначити,чивонирівно-

сильні.

34.Перевірити,чиєлогічноеквівалентними(рівносильними)такіпаритверджень:

(а) “Якщоa, тоb” і “Якщонеправильно,щоb, то неправильно,щоa”.

(б) “Якщоa, тоb”і“Якщонеправильно,щоa, тонеправильно,щоb”.

(в) “Якщоa,тоb”і“Неправильно,щоa,і неправильно,що¬b”.(г) “Зaвипливаєb”і“aтількитоді,колиb”.(д) “b випливаєз a”і“¬b—достатняумовадля¬a”.(е) “b—необхіднаумовадляa”і“bтількитоді,колиa”.(є) “b — необхіднаумовадляa”і“¬b — достатняумовадля¬a”.(ж)“Неправильно,щоaіb”і“Неправильно,щоa,або неправиль-

но,щоb”.(з) “Неправильно,щоa або b”і“Неправильно,щоa,інеправиль-

но,щоb”.(и) “Неправильно,щоa і¬b” і“Неправильно,щоa,або справд-

жуєтьсяb”.(і) “Неправильно,щоaтодійтількитоді,колиb”і“¬aтодійтільки

тоді,коли¬b”.(ї) “Неправильно,щоaтодійтількитоді,колиb”і“Неправильно,

щоaтоді,колиb, інеправильно,щоaтількитоді,колиb”.

35.Визначити,якізнаведенихвисловленьлогічнорівносильні.1) Студентрозв’язавцюзадачу,аленесклавіспитзматематич-

ноїлогіки.2) Студентрозв’язавцюзадачуабонесклавіспитзматематичної

логіки.3) Неправильно,щостудентнерозв’язавцюзадачуабосклавіс-

питзматематичноїлогіки.

34

4) Студентрозв’язавцюзадачуісклавіспитзматематичноїло-гікиабовіннерозв’язавцюзадачуінесклавіспитзматема-тичноїлогіки.

5) Якщостудентсклавіспитзматематичноїлогіки,товінрозв’я-завцюзадачу.

6) Студентсклавіспитзматематичноїлогікитодійтількитоді,коливінрозв’язавцюзадачу.

36.Застосовуючирівносильністьa→b≡¬a∨b,переформулюватитвердження.

(а)Якщочислоnкратне3іnкратне8,тоnкратне24.(б)Якщоx2—5x+6=0,тоx = 2абоx = 3.(в)ЯкщотрикутникABC—правильний,товінрівнобедрений.(г)Якщоx∈A,тоx∈A ∪B.(д)Якщоx∈A ∩B,тоx∈A.(е)Якщоa ≤4,тоa <5.

37.ЗастосовуючизаконидеМоргана,замінититвердженнялогіч-норівносильним.

(а) Неправильно,що24кратне3ікратне5.(б) Неправильно,що5або7єдільникомчисла24.(в) Неправильно,що x є елементоммножиниA або елементом

множиниB.(г) Неправильно,щоxєелементоммножиниAіелементоммно-

жиниB.(д) Неправильно,що0або1єкоренемрівнянняx3—2x+3=0.

38.Виходячизозначеннярівностімножин,сформулюватиумовунерівностімножин,використавшизакондеМоргана.

39.Виходячизозначеннярівностідвохвекторів,сформулюватиумовунерівностівекторів,використавшизакондеМоргана.

40. Виходячи з означення належності елемента об’єднаннюсукупностімножин, сформулюватиумовутого,щопевнийелементненалежитьоб’єднаннюсукупностімножин,використавшизакондеМоргана.

41.Довестирівносильність.(а)a→b≡(a∧¬b)→(c∧¬c);(б)a→ b≡(a∧¬b)→b;(в)a→b≡(a∧¬b)→¬a;(г)¬(a→b)≡a∧¬b.

35

Навестизмістовнуінтерпретаціюкожноїрівносильностівтермі-нахдоведеннятвердженняметодомвідсупротивного.

42.Довести,щоформулаAалгебривисловленьсильніша,ніжфор-мулаB,тодійтількитоді,колиA∧B≡A.

43.Довести,щоформулаAалгебривисловленьсильніша,ніжфор-мулаB,тодійтількитоді,колиA∨B≡B.

44.Довести,щоформулиалгебривисловленьA іB рівносильнітодійтількитоді,колиформулаA~Bєтавтологією.

45.Довести,щоформулиалгебривисловленьA іB рівносильнітодійтількитоді,колиформула(A→B)∧(B→A)єтавтологією.

46.Довести,щоформулиалгебривисловленьA іB рівносильнітодійтількитоді,колиформулаAсильніша,ніжB,іформулаBсиль-ніша,ніжA.

47.Перевірити(довестичиспростувати)такувластивістьопераціїімплікації:

(а) (a→b)→c≡a→(b→c)(асоціативність);(б) a →b≡b→a(комутативність);(в) a→(b∧c)≡(a→b)∧(a→c) (ліва дистрибутивність імплі-

каціїщодокон’юнкції);(г) (a∧b)→ c ≡(a→c)∧(b→c)(правадистрибутивністьімплі-

каціїщодокон’юнкції);(д) a→(b ∨c) ≡(a →b)∨(a→c) (ліва дистрибутивність імплі-

каціїщододиз’юнкції);(е) (a∨b) → c≡(a →c) ∨(b→c)(правадистрибутивністьімплі-

каціїщододиз’юнкції);(є) a→(b→c)≡(a→b)→(a→c) (ліва дистрибутивність імп-

лікаціїщодоімплікації);(ж)(a→b)→ c≡(a→c)→(b→c)(правадистрибутивністьімп-

лікаціїщодоімплікації);(з) a ∧ (b→c)≡(a ∧b)→(a∧c) (дистрибутивність кон’юнкції

щодоімплікації);(и) a∨(b→c)≡(a∨b)→(a∨c) (дистрибутивність диз’юнкції

щодоімплікації).

48.Перевірити(довестичиспростувати)такувластивістьопераціїеквівалентності:

(а) (a~b)~c≡a~(b~c)(асоціативність);

36

(б) a~b≡b~a(комутативність);(в) a~(b∧c)≡ (a~b)∧(a~c)(дистрибутивністьеквівалентності

щодокон’юнкції);(г) a~(b ∨c)≡(a~b)∨ (a~c)(дистрибутивністьеквівалентності

щододиз’юнкції);(д) a~(b~c)≡(a~b)~(a~c) (дистрибутивність еквівалентності

щодоеквівалентності);(е) a∧(b~c)≡(a∧b)~(a∧c)(дистрибутивністькон’юнкціїщодо

еквівалентності);(є) a∨(b~c)≡(a∨b)~(a∨c)(дистрибутивністьдиз’юнкціїщодо

еквівалентності).

49.Довестичиспростуватирівносильність.(а) a→(b~c)≡(a→b)~(a→c) (ліва дистрибутивність імплі-

каціїщодоеквівалентності);(б) (a~b)→c≡(a→c)~(b→c)(правадистрибутивністьімплі-

каціїщодоеквівалентності);(в) a~(b→c)≡(a~b)→(a~c) (дистрибутивність еквівалент-

ностіщодоімплікації);(г) (a~b)~c≡(a~b)∧(a~c).

50.Довестирівносильність.(а) a→(b∧c)≡(a→b)∧(a→c);(б) (a∨b)→c≡(a→c)∧(b→c);(в) a→(b∨c)≡(a→b)∨(a→c);(г) (a∧b)→c≡(a→c)∨(b→c).

51.Розглянемотернарнулогічнуоперацію,тобтоопераціювідтрьохаргументів a,b, c, що задається формулою (a∧b)∨(a∧c)∨(b∧c).Позначимоїїm(a,b, c)іназиватимемомедіаною.

Довеститакувластивістьмедіани:(а) m(a,b, c)≡m(b, c, a)≡m(a,c,b);(б) m(a, a, b)≡a; m(a, ¬a, b)≡ b;(в) ¬m(a,b,c)≡m(¬a,¬b,¬c);(г) m(a,b,c)≡m(¬(m(¬a,b,c)),b,c);(д) m(a,b,c)≡m(a,¬m(a,¬b,c),c);(е) m(m(¬a,b,c),m(a,¬b,c),m(a,b,¬c))≡m(a,m(¬a,¬b,¬c),

m(¬a,b,c));(є) a ∧b ∧c ∨d ∧(a ∨b ∨c)≡m(m(a,b,d),m(a,c,d),m(b,c,d));(ж)(a ∨b ∨c)∧d ∨(a ∧b ∧c)≡ m(m(b,c,d),a,d).

37

52.ПобудуватиформулуалгебривисловленьA,щозалежитьвідпропозиційнихзміннихx,y,zідляякоївиконуютьсятакірівносиль-ності:

(а) (x ∧A)≡(x ∧y)і(x ∨ A)≡ (x ∧z);(б) (z →A)≡(z →(x ∧ y))і(A →z)≡(¬(x ∨y)→z);(в) (x →A)≡(y →(¬x ∨z))і((z →y)→x)≡(¬x →¬A);(г) A ∧(x ∨y)≡x ∧y ∧z.

4. логічний висновок на базі алгебРи висловлень. несупеРечнісТь Множини висловлень

ФормулаB(p1,p2,…,pn)називаєтьсялогічним висновком зфор-мулA1(p1,p2,…,pn)( ( A2(p1,p2,…,pn)( (…,Ak(p1,p2,…,pn)(набазіалгебривисловлень,якщоBнабуваєзначення1навсіхтихнаборахзначеньp1,p2,…,pn,наякихусіAi(і=1,2,…,k)набуваютьзначення1.Форму-лиA1,A2,…,Akприцьомуназиваютьпосилками,чиприпущеннями.Те,щоBєлогічнимвисновком(логічновипливає,слідує)зA1,A2,…,Ak на базі алгебри висловлень, позначають A1,A2,…,Ak|=B. ВиразA1,A2,…,Ak|=Bназиваютьвивідністю(набазіалгебривисловлень).

Зокрема,якщоk=1,тоформулуB(p1,p2,…,pn)називаютьлогіч-нимслідуваннямформулиA1(p1,p2,…,pn)іпозначаютьцеA1⇒B.

Множина висловлень M=A1(p1,p2,…,pn), A2(p1,p2,…,pn),…,Ak(p1,p2,…,pn)називаєтьсянесуперечною(сумісною),якщоіснуєта-кийнабірзначеньдляp1,p2,…,pn,наякомукон’юнкціяA1∧ A2∧ …∧Akнабуває значення 1 (про висловлення A1,A2,…,Ak тоді кажуть, щовонисумісніміжсобою).Віншомуразі,тобтоякщонавсіхнаборахзначень p1,p2,…,pn кон’юнкціяA1∧A2 ∧…∧Ak набуває значення 0,кажуть,щовисловленняA1,A2,…,Akнесумісніабощомножинавис-ловленьMсуперечна.

1. Довести, що формула B(p1,p2,…,pn) є логічним висновком зформул A1(p1,p2,…,pn)( (A2(p1,p2,…,pn)( (…,Ak(p1,p2,…,pn) на базіалгебри висловлень (тобтоA1, A2,..., Ak |=B) тоді й тільки тоді, коли|=A1 ∧ A2 ∧... ∧ Ak → B.

2.Довести, що A1, A2,..., Ak |=B тоді й тільки тоді, колиA1 ∧ A2 ∧... ∧ Ak ⇒B.

3.Довести,щоA1, A2, …, Ak |=B тоді й тільки тоді, колиформула(A1 → (A2 → (... (Ak →B)…))єтавтологією.

38

4.Довести, що коли кожна з формул Ai(p1,p2,…,pn)( (i=1,2,…,kсильніша ніж формула B(p1,p2,…,pn), то формула B(p1,p2,…,pn) єлогічним висновком з формул A1(p1,p2,…,pn)( (A2(p1,p2,…,pn)( (…,Ak(p1,p2,…,pn) на базі алгебри висловлень.Чи правильне оберненетвердження?Відповідьобґрунтувати.

5.Довести,щодлядовільнихформул A1, A2,..., Ak алгебривислов-леньвиконуєтьсяA1, A2,..., Ak |=Ai( (i=1,2,…,k.

6.Довести, що коли A1, A2, …, Ak |=Bi для всіх i=1,2,…,m іB1,B2,…,Bm|=C,тоA1,A2,…,Ak|=C.

7.Довестививідність.(а) a∨b,¬a∨c|=b∨c;(б) a∨b,a→c,b→d|=c∨d;(в) ¬a∨b,¬b∨¬c|=a→¬c;(г) a→b,a∧¬b|=b;(д) ¬(a∨b)|=¬a∨c;(е) a,c→¬(a∨b)|=¬c;(є) a∧b,¬c→¬b |=c;(ж)a∨¬c,a→d,b→c,¬b→d|=d;(з) (a∨b)→c,c→(d∨e),e→f,¬d∧¬f|=¬a;(и) a→(b∨c),d→a|=(¬b∧¬c)→¬d.

8. Виходячи з означення логічного висновку на базі алгебривисловлень, перевірити правильність твердження a∨b, a→¬c |=a∨(¬c~b).

9. Побудувавши відповідні таблиці істинності, визначити, чи єправильноютакавивідність:

(а) (a→b)→c |=(a∨b) ∨c;(б) (a∨b)∨c |=(a→b)→c;(в) a→b,a∨c|=(a∨c)→(a∧ b);(г) a→b,a→c, a|=b∧c;(д) a→b,c∧a|=c∧b;(е) a→b,c∧a|=c;(є) a ∧ b,¬a ∨ b|=¬b;(ж)a ∨b, a →c, b →c|=¬c →¬a.

10.ФормулиA1,A2,A3,B1,B2заданотаблицямиістинності.

39

x y z A1 A2 A3 B1 B2

000 1 0 1 1 1001010011100101110111

1010110

0101001

1001110

1010100

0010010

Визначити,чивиконуєтьсятакавивідність:(а) A1|=B2;(б) A1,A3|=B1;(в) A2,A3|=B2;(г) A1,A2,A3|=B2;(д) A2,A3|=B1;(е) A1,A3|=B2.

11.Розташуватинаведеніформуливтакомупорядку,щобкожназнихбулалогічнимвисновкомзусіхпопередніх:

1) ¬a~b;2) a→(¬a→b);3) a∧¬b;4) ¬a→b;5) a∧¬(¬b ∨a).

12.Довести,щовідношеннялогічногослідуваннянабазіалгебривисловленьрефлексивне ітранзитивне.Чиєцевідношеннясимет-ричним?Чиєвоноантисиметричним?

13.Виходячи з означення логічного слідування на базі алгебривисловлень,довеститвердження.

(а) ЯкщоA |=BіB ≡C,тоA |=C.(б) ЯкщоA1,A2|=BіC—довільнаформулаалгебривисловлень,

тоA1,A2,C|=B.(в) ЯкщоA,C |=BіC—тавтологія,тоA |=B.(г) A |=B тодійтількитоді,коли¬B |=¬A.

14.Довести,щоколиA |=B,тодлядовільноїформулиCалгебривисловленьвиконуютьсятаківивідності:A∨C|=B∨CіA∧C|=B∧C.Чиправильнеоберненетвердження?Відповідьобґрунтувати.

15.Довестичиспростуватитвердження,щоколиA |=B,тодлядо-вільноїформулиCалгебривисловленьвиконуєтьсяA→C|=B→C.

40

16.Довести чи спростувати твердження,що колиA |=B, то длядовільноїформулиCалгебривисловленьвиконуєтьсяA~C|=B~C.

17.Довести,щоколиA1 |=B іA2 |=B,тоA1,A2 |=B.Чиправильнеоберненетвердження?Відповідьобґрунтувати.

18.Знайтипринаймніоднувідміннувідтавтологіїіпосилокфор-мулу алгебри висловлень, яка є логічним висновком із такихфор-мул:

(а) a,a~b;(б) a,a∨c;(в) a→b,b→c;(г) a→b,b∨c,(a∧b)~c.

19.Знайтипринаймніоднувідміннувідтавтологіїіпосилокфор-мулуF(a,b)алгебривисловлень,якаєлогічнимвисновкомізтакихформул:

(а) ¬a∨c,¬b∧¬c, b→a;(б) a→c,b∨¬c, ¬b→a;(в) a∨¬c,a→b,b→c,¬b∧a;(г) a→b,a ∧c,(a∧b) →c.

20.Знайтипринаймніоднувідміннувідтавтологіїіпосилокфор-мулуалгебривисловлень,якаєлогічнимвисновкомізформул a∨b,a→c,b~d ізалежитьтількивідтакихпропозиційнихзмінних:

(а) aіb;(б) aіc;(в) b,cіd.

21.Сформулювативсілогічнівисновки,щовипливаютьізтакихпосилок:1)Якщосумацифрцілогочислаnділитьсяна3,тоцечислоділитьсяна3іна9.2)Якщочислоnділитьсяна9,товоноділитьсяна3.

22.Знайтищонайменшедвіпосилки,логічнимвисновкомзякихє наведенаформула алгебри висловлень (посилкинеповинні бутисуперечностямиінеповиннібутирівносильнимиційформулі).

(а) a→b; (б) (a∨b)→(a∧b);(в) a∨¬b;(г) ((a∧ ¬b)→c)→(b∨c).

23.Унаведенійвивідності(заумовиїїкоректності)знайтивідсут-нюпосилку F(a, b),щоміститьпропозиційнізмінніa і b.

41

(а) a ∨¬c,b →(a ∧c), F(a, b)|=¬b∨¬c;(б) a→c, ¬b∨¬c, F(a, b), c→(b∨d)|=a∧¬d.

24.Скількиіснуєнерівносильнихміжсобоюформулалгебривис-ловленьF(a, b, c),дляякихвиконуєтьсятакаумова:

(а) (a→b)→c|=F(a,b,c);(б) (a∨b) ∨c|=F(a,b,c);(в) (a∨c)→(a∧b)|=F(a,b,c);(г) (a~c)→(a∧b)|=F(a,b,c).

25.Довести,щодлядовільнихформулA,B,Cалгебривисловленьвиконуєтьсявивідність(B→C)→C,¬B ∧¬C|=A.

26.Довести,щодлядовільнихформулалгебривисловленьA,BзумовA |=BіA |=¬Bвипливає|=¬A.

27.ЯкездвохтвердженьA |=Bчи“Якщо|=A,то|=B”єсильнішим?Відповідьобґрунтувати.

28. Нехай формули A1(p), A2(p), …, An(p) і B(p) алгебри вислов-леньмістятьпропозиційнузмінну p.Довести,щоколиA1(p), A2(p), …, An(p)|=B(p),тодлядовільноїформулиCалгебривисловленьвико-нуєтьсяA1(C), A2(C), …, An(C)|=B(C).

29. Довести чи спростувати твердження, що коли |=A(p), тоA(p)|=A(C),деp—пропозиційназмінна,C—довільнаформулаал-гебривисловлень.

30.Довести,щоформулаB є логічним слідуваннямформулиAтодійтількитоді,колимножинанаборівзначеньзмінних,дляякихістиннаформула A,єпідмножиноюмножининаборівзначеньзмін-них,дляякихістиннаформулаB.

31.Довести,щоформулаB є логічним слідуваннямформулиA тодійтількитоді,колитотожноістинноюєформула(A→B).

32.Довести,щоформулаB є логічним слідуваннямформулиAтодійтількитоді,колиформулаAсильніша,ніжформулаB.

33.Довести,щоA ⇒Bтодійтількитоді,колиA∧B≡A.

34.Довести,щоA ⇒Bтодійтількитоді,колиA∨B≡B.

35.Довести,щоA ⇒Bтодійтількитоді,коли¬B ⇒¬A.

43

(і) B ∨D, А→B, C →D |=A ∨C;(ї) A ∨C, А→B, C→D |=B ∧D;(й) А~B, B ∨C,¬C |=¬A;(к) А→B, ¬А→¬B, A ∨¬C |=A.

42.Довеститакетвердження:(а) A→B,¬(B ∨C) |=¬A;(б) (А ∧B) ∧(C ∧D),A→¬A |=C;(в) А→B,C→B,D→(А ∨B),D |=B;(г) (A→(C→B)),A ∨¬D,C|=D→B;(д) ¬A ∨B,C→¬B |=A→¬C;(е) (А →B) ∧(C →D),(B →E) ∧(D →F),¬(E ∧F),А→C |=¬A.

43.Перевірити(довестичиспростувати)такетвердження:(а) А → B, C → D, A ∧C |=B ∧D;(б) (А ∨B) → C,(А ∧C)→¬B |=¬C →¬А;(в) A ∨B ∨C,C→ (А ∧¬B),А→¬C,B→С |=А;(г) (A→(B→C)),A ∨¬D,B|=D→C.

44.Перевірити(довестичиспростувати)коректністьвивідності.(а) А ∨B,¬B |=¬A; (б) А ∨B,A |=¬B;(в) А ∨B,¬(А ∧B),B |=¬A;(г) А ∨B∨C,¬А ∧¬B |=C.Навестисловеснуінтерпретаціюзапропонованоїлогічноїсхеми.

45.Довестививідність(А ∧B)→С |=(А ∧¬C)→¬B.

46.Чиєтвердження“Студентпоганопрацювавпротягомсеместру,томунесклавіспитздискретноїматематики”логічнимслідуваннямзтвердження“Якщостудентдобрепрацюватимепротягомсеместру,товінуспішноскладеіспитздискретноїматематики”?

47.Нехайзаданотакупосилку:“Якщостудентнезнаєматематич-ноїлогіки,товіннезможерозв’язатицюлогічнузадачу”.Визначитикоректністьлогічноговисновкузаумовидругоїпосилки.

(а) Студентрозв’язавцюлогічнузадачу.Отже,студентзнаємате-матичнулогіку.

(б) Студент знає математичну логіку. Отже, студент зможерозв’язатицюлогічнузадачу.

(в) Студентнезнаєматематичноїлогіки.Отже,студентнезможерозв’язатицюлогічнузадачу.

44

(г) Студентнерозв’язавцюлогічнузадачу.Отже,студентнезнаєматематичноїлогіки.

48.УнаведеномуміркуваннізнайтивідсутнюдругупосилкуA(заумовиправильностівивідності),щовиражалабизв’язокміжвислов-леннями:“Цейчотирикутникромб”і“Уцьогочотирикутникадіаго-налівзаємноперпендикулярні”.

1)Якщоданийчотирикутникквадрат,товін—ромб.2)A?Отже,якщодіагоналіцьогочотирикутниканевзаємноперпенди-

кулярні,товіннеєквадратом.

49. Перевірити коректність наведених логічних міркувань фор-мальнимиметодами.

(а) Якщостудентнепрочитаєпідручникзматематичноїлогіки,товіннездобуденеобхіднихйомузнань.Алестудентпрочи-тавпідручниклогіки.Отже,вінздобувнеобхіднізнання.

(б) Якщопевнийелементобчислювальноїмашинимаєдефект,томашинанепрацюватиме.Обчислювальнамашинанепрацює,отже,цейелементмаєдефект.

(в) ШахістN небудечемпіоном,якщоневиграєцюпартію.АлеNвигравцюпартію.Отже,Nбудечемпіоном.

(г) Якщовсіпосилкививідностіістиннійвивідністьправильна,товисновок—істинний.Уційвивідностівисновокхибний.Отже,уційвивідностіневсіпосилкиістинніабовонанеправильна.

(д) ЯкщоАндрійпоїдевХарків,тоВікторпоїдевКиїв.АндрійпоїдевХарківабовОдесу.ЯкщоАндрійпоїдевОдесу,тоОль-газалишитьсяуЛьвові.АлеОльганезалишиласьуЛьвові.Отже,ВікторпоїдевКиїв.

(е) Длятогощоббутидопущенимдоіспитів,необхідноотриматизалікзматематичноїлогіки.Яотримаюцейзалік,якщонав-чусярозв’язуватилогічнізадачі.Яненавчивсярозв’язуватилогічнізадачі.Отже,янебудудопущенийдоіспитів.

(є) Длятогощобскластиіспитздискретноїматематики,меніне-обхіднодістатипідручникабоконспект.Ядістанупідручниктількив томуразі, якщомійприятельнепоїдедодому.Алевінпоїдедодомутількитоді,колиядістануконспект.Отже,яскладуіспитздискретноїматематики.

50.Записатинижченаведеніміркуванняувиглядівивідності(набазі алгебривисловлень) і визначитикоректність отриманої вивід-ності.

45

(а) 1)ЩобпевнамножинаAнатуральнихчиселнебуланескін-ченною, достатньо, щоб вона була обмеженою. 2) Множи-наA—скінченна.Отже,множинаA—обмежена.

(б) 1) Для того щоб відповідність C не була функціональною,необхідно,щобвідповідністьCнебулавзаємнооднозначною.2)ВідповідністьC—взаємнооднозначна.Отже,відповідністьC—функціональна.

(в) 1)ДлятогощобвідношенняRбулотолерантним,достатньо,щоб воно було рефлексивним. 2) ВідношенняR не є толе-рантним.

Отже,відношенняR—нерефлексивне.(г) 1) Якщо дискримінантD квадратного тричлена ax2+bx+c

від’ємний, то ax2+bx+c не має дійсних коренів. 2) Якщоквадратнийтричленax2+bx+cнемаєдійснихкоренівіa >0,тонерівністьax2+bx+c >0виконуєтьсядлявсіхдійснихx.3)D <0;4)a <0.Отже,ax2+bx+c <0длявсіхдійснихx.

(д) 1)Числоділитьсяна9тількитоді,коливоноділитьсяна3.2)Цечислонеділитьсяна9.Отже,цечислонеділитьсяна3.

(е) 1)Якщочислоnкратне35,тоnкратне5іnкратне7.2)Числоnнекратне35.3)Числоnнекратне5.Отже,числоnнекрат-не7.

(є) 1)Якщочислоnкратне5іnкратне7,тоnкратне35.2)Числоnнекратне35.3)Числоnкратне5.Отже,числоnнекрат-не7.

(ж)1)Якщочислоnкратне24,тоnкратне6іnкратне4.2)Числоnнекратне24.3)Числоnкратне6.Отже,числоnнекрат-не4.

(з) 1)Длятогощобчисло2007булопростим,необхідно,щоб2007небулократне6.2)2007кратне6тількитоді,коли2007крат-не2.3)2007некратне2.Отже,2007—простечисло.

(и) 1)Якщоврозкладізанятьнасьогоднієлекціязалгебри,тонемаєлекціїздискретноїматематики.2)Заняттязфранцузь-кої мови є тільки тоді, коли є практикум з програмування.3)Немаєлекціїзматематичногоаналізу,якщонемаєзаняттязфранцузькоїмови.4)Лекціязалгебриєврозкладізанятьнасьогодні.Отже,урозкладізанятьнасьогоднінемаєлекції зматематичногоаналізу.

(і) 1)Будь-якийдріб—раціональнечисло.2)Кожнецілечислоєраціональнимчислом.Отже,кожнецілечисло—дріб.

46

(ї) 1)Будь-якийдріб—раціональнечисло.2)Кожнецілечислоєраціональнимчислом.Отже,будь-якийдріб—цілечисло.

(й) 1)π—числотрансцендентнетількитоді,колиπєірраціональ-нимчислом.2)π—числоірраціональне.Отже,π —трансцен-дентнечисло.

(к) 1)Якщоa=0абоb=0,тоab=0.2)ab≠0.Отже,a≠0іb≠0.(л) 1)Якщоa=0абоb=0,тоab=0.2)ab=0.Отже,a=0іb=0.(м) 1)ЧасткововпорядкованамножинаAмаєнайменшийелемент

тоді,коливонаскінченнаімаєєдиниймінімальнийелемент.2)ЧасткововпорядкованамножинаA—нескінченна.3)Мно-жинаAмаєєдиниймінімальнийелемент.Отже,множинаAнемаєнайменшогоелемента.

51.Щоможнастверджуватипроправильністьдвохвивідностей,якімаютьоднаковіформалізованівигляди?

52.Чиможеправильнавивідністьматихибнийвисновок?

53.Чиможенеправильнавивідністьматиістиннийвисновок?

54.Якщовивідністьправильна,алепринаймніодназ їїпосилокхибна, тощоможнастверджуватипрозначення істинностівиснов-ку?

55.Якщовивідністьправильнаівсіїїпосилкиістинні,тощомож-насказатипроїївисновок?

56.Якщовивідністьправильна,алевисновокхибний,тощомож-настверджуватипроїїпосилки?

57.Чиможебутиправильноювивідність,вякоївсіпосилкихибні,ависновокістинний?

58.Щоможнасказатипровивідність,усіпосилкиякоїістинні,ависновокхибний?

59.Визначити,чиєзаданамножинависловленьнесуперечною.(а) a→b,¬a,¬b;(б) a→¬b,a∧b;(в) a→b,a→¬b,¬a;(г) a→¬a,¬a →a;(д) ¬(a→b),b→a;(е) a~c,c → b,a∧¬c;(є) a∧¬b,¬b→¬a,c~b;

47

(ж)¬a~¬b,c→b,c∧¬a;(з) a~¬b,¬a→¬c,a∨c,c→b;(и) a→b,c~b,a∨¬c.

60.Довести,щоколиформулаA1(p1,p2,...,pn)→ (A2(p1,p2,...,pn)→→ (...→ (Am–1(p1,p2, ...,pn)→Am(p1,p2, ...,pn))...) є суперечністю, товисловлення A1(p1,p2, ...,pn),A2(p1,p2, ...,pn),..., Am(p1,p2, ...,pn) не-сумісні.Чиправильнеоберненетвердження?

61.Перевірити,чиєнесуперечноюмножинависловлень.1) R1рефлексивнетодійтількитоді,колиR3толерантне.2) ЯкщоR3—симетричне,тоR2—антисиметричне.3) Неправильно,щоR1рефлексивнетоді,колиR3рефлексивне.4) R3—толерантнеабоR2неєантисиметричним.

62.Перевірити,чиєнесуперечноюмножинависловлень.1) Якщоa∈M1,тонеправильно,щоa∈M2.2) a∈M2тодійтількитоді,колиa∈M3.3) Неправильно,щоa∈M2тількитоді,колиb∈M3.4) Якщоb∉M3,тоa∈M1.5) a∈M2іb∈M3абоa∉M1іa∈M3.

63.Перевірити,чиєнесуперечноюмножинависловлень.1) Дмитроуспішноскладеіспитздискретноїматематикитодій

тількитоді,колирегулярновиконуватимедомашнізавдання.2) ЯкщоДмитрораціональноорганізуєсвійробочийчас,товін

регулярновиконуватимедомашнізавдання.3) ДмитропоїденаекскурсіюдоЛьвоватоді,колиуспішноскла-

деіспитздискретноїматематики.4) Дмитрораціональноорганізуєсвійробочийчасіпоїденаекс-

курсіюдоЛьвова.

64.Визначитикоректністьлогічноговисновкувнаведеномумір-куванні.“КрадіжкумоглиздійснитиабоА, абоБ, абоВ.АлекрадіжкуздійснивА. Отже,крадіжкунездійснилиніБ, ніВ”.

65.СлідчийдопитуєтрьохсвідківА,Б,В.Астверджує,щоВгово-ритьнеправду.Внаполягаєнатому,щобслідчийневіривпоказаннямБ,Бкаже,щоаніА,аніВнеговорятьправди.Визначити,хтозтрьохсвідківговоритьправду.

66.Перевіритиформальнимиметодамиправильністьтакихлогіч-нихміркуваньполіцейськогодетектива: “ЯкщоДжонсне зустрічав

48

цієїночіСміта,тоабоСміт—убивця,абоДжонсбреше.ЯкщоСміт—убивця,тоДжонснезустрічавСмітацієїночі,івбивствосталосяпісляопівночі.Якщовбивствосталосяпісляопівночі,тоабоСміт—убив-ця,абоДжонсбреше.Отже,Сміт—убивця”.

67. Студенти факультету кібернетики Андрій, Володимир, Ген-надій,Дмитро,Євген,Павло,СергійтаІгорбралиучастьутурнірізшахів.Прорезультатизмаганьвонирозповілитаке:

Андрій:“ПеремігДмитро”.Володимир:“НайбільшеочокнабралиЄвгенабоПетро”.Петро:“Ні,Євгенпосівпершемісце”.Сергій:“Андрійсказавнеправду”.Дмитро:“НеправдусказавСергій”.Євген:“Янепосівпершогомісця”.Геннадій:“Ігорсказавправду”.Павло:“НіЄвген,ніІгорпершогомісцянепосіли”.Згодомшахістисказали,щолишетризцихвідповідейправильні.

Хтоперемігутурнірі?

68.Прирозв’язуваннізадачізнайденотаківідповіді:1) числоx— ірраціональне і дорівнюєплощіправильного три-

кутниказістороною2;2) x <3іx — діагональквадратазістороною2;3) x єчисло,кратне3,ідорівнюєрадіусуколазавдовжки2. Одна частина кожного з тверджень правильна, а інша— ні.

Знайтиx.

69.Вікторзапросивдосебедрузів:Ірину,ТетянутаАндрія.(Відомо,що:1) колиприйдеІрина,тобудейТетяна;2) Іринанебудетількитоді,колибудутьТетянайАндрійразом;3) колинебудеАндрія,тонеприйдейІрина. ХтоздрузівВіктораприйдедоньогоназапрошення?

70.КолистудентаАзапитали,чивінразомізсвоїмидрузямиБіВдививсяновийфільм,тойвідповів:

1) колиядививсяновийфільмразомізБ,тофільмдививсятакожіВ,але

2) неправда, що колиВ дивився новийфільм, то я був у залі,зате

3) колидививсяновийфільмячиВ,тойогодививсятакожіБ. Хтоізстудентівдививсяновийфільм?

49

71.ШістьстудентівА,Б,В,Г,Д,Екупилиполотерейномубіле-ту.Післярозіграшувиявилось,щодвазнихвиграли.Назапитання,хтосамевиграв,студентидалитаківідповіді:А—“вигравяіД”;Б—“вигравяіЕ”;В—“вигралиАіЕ”;Г—“вигралиГіБ”;Д—“вигралиЕіД”.Учотирьохізвідповідейлишеодначастинатвердженняправиль-на,аводній—обидвінеправильні.Чиїлотерейнібілетивиграли?

72.ХтосьізтрьохстудентівА,Б,Врозбиввікно.Асказав,щовініБвікнонерозбивали;Бсказав,щоАцьогонеробив,арозбиввікноВ;Всказав,щовінтакожнерозбивав,ацезробивА.Яквиявилосяпізніше,одинізстудентівдвічісказавнеправду,інший—двічісказавправду,асередтвердженьтретьогооднеправильне,адруге—ні.Хторозбиввікно?

73.ТридівчиниІрина,ОксанаіТетянаходилинадискотеку.Одназнихбулавчервонійсукні,друга—убілій,третя—усиній.Наза-питання,якасукнябуланакожнійздівчат,вонидалитакувідповідь:Іринабулавчервоній,Оксана—унечервоній,Тетяна—унесиній.

Уційвідповідізтрьохчастиноднаправильна,двінеправильні.Вякійсукнібулакожназдівчат?

74.Шестероюнаківрозглядалиперехожого.Згодомкоженізнихвідповівназапитання,якогокольорубулийоговолосся,очійкостюміскількийомуроків.

Андрій:рудий,очіблакитні,костюмсірий,34.Володимир:блондин,очічорні,костюмсиній,30.Борис:рудий,очікарі,костюмкоричневий,32.Григорій:брюнет,очіблакитні,костюмнекоричневий,30.Дмитро:шатен,очічорні,костюмсірий,28.Євген:блондин,очікарі,костюмсиній,32.Коженізнихтричіпомилився.Алеізшестивідповідейнакожнеіз

запитаньщонайменшеоднабулаправильною.Назвітьприкметипере-хожого.

75.ТроєобвинуваченихА,Б,Вдаютьтакісвідчення:А — “Бви-нен,аВ—ні”;Б — “ЯкщоАвинен,тоіВтеж”;В — “Яневинен,алехочодинздвохіншихвинен”.

(а) Вважаючи,щоБіВговорятьправду,встановити,хтосамеви-нен.

(б) Якщовсітроєневинні,тохтознихсказавправду,ахто—не-правду?

50

76.Родина,щоскладаєтьсязбатька,матері,сина,молодшоїістар-шоїдоньок,придбалателевізор.

Умовилися,щовпершийвечірдивитимутьсяпередачі в такомупорядку:

1) колибатькодивитьсяпередачу,матитакождивитьсяцюпере-дачу;

2) доньки,обидвіабоодназних,дивлятьсяпередачу;3) іздвохчленівродини—матиісин—дивлятьсяпередачуабо

тількимати,аботількисин;4) син дивиться передачу тоді й тільки тоді, коли її дивиться

старшадонька;5) якщомолодшадонькадивитьсяпередачу,тобатькоістарша

донькароблятьтесаме. Хтозчленівродинидививсяцьоговечорапередачу?

77.Маємоп’ятьтвердженьT1,T2,T3,T4,T5.Відомо,що:1) середцихтвердженьістиннихбільше,ніжхибних;2) у списку цих тверджень підряд слідують щонайбільше два

твердження,якімаютьоднаковізначенняістинності;3) значенняістинностітвердженьT1іT5протилежні. Визначити,якезцихтвердженьєістинним,аяке—хибним.

Якиммаєбутизначенняістинностідругоготвердження,щобзначення істинностівсіхп’ятитвердженьвизначалисьодно-значно?

78.Придослідженніхворобивклініціотриманотакуінформацію.(а) 1)Симптомиa абоc спостерігаютьсятоді,колиз’являється

симптомb. 2)Симптомaвідсутнійтількитоді,колиспостерігаютьсяобид-

васимптомиbіc. 3)Якщонемаєсимптомуc,тообов’язкововиявляєтьсясимп-

томa. 4)Симптомbбезсимптомуaбуваєтількитоді,коливідсутній

симптомс.(б) 1)Симптомcспостерігаєтьсятоді,колиєсимптомиa, bіd. 2)Симптомaспільноізсимптомомbбуваєтількитоді,коли

єсимптомсабонемаєсимптомуd. 3)Ізнаявностісимптомуbбезсвипливаєвідсутністьсимпто-

мівa іd. 4)Якщозанаявності симптомуb відсутній симптомa, то є

такожсимптомс чиd.

51

5)Ізнаявностісимптомівbіdвипливає,щоспостерігаєтьсяпринаймніодинізсимптомів—aабо с.

Проаналізуватиіспроститиотримануінформацію.

5. числення висловлень. ФоРМальне доведення. ТеоРеМи

Числення(формальнатеорія)висловлень(ЧВ)означаєтьсятак.1.Алфавітчисленнявисловленьскладаютьтакісимволи:–малілатинськілітериa,b,c,d,…,x,y,z(можливо,зіндексами),

якіназиватимемопропозиційнимизмінними;–знаки∨,∧,¬,→,якіназиваютьлогічнимизв’язками;–круглідужки:(і).2.Поняттяформулиозначимоіндуктивно:а)усіпропозиційнізміннієформулами;б)якщоA іB—формули,товирази(абослова)(A∧B),(A∨B),

(¬A),(A→B)такожєформулами(длявсіхцихвиразівформулиAіBєпідформулами);

в)іншихформул,ніжпобудованізаправиламиа)іб),немає.Зауважимотакож,щозметоюзменшеннякількостідужокзвичайно

випускаютьзовнішнідужкиформул,азамість(¬A)записують¬A.3. Аксіомами A1–A10 численнявисловленьбудутьтакіформули:A1. a→(b→a)A2. (a→b)→((a→(b→c))→(a→c))A3. (a∧b)→aA4. (a∧b)→bA5. (a→b)→((a→c)→(a→(b∧c)))A6. a→(a∨b)A7. b→(a∨b)A8. (a→c)→((b→c)→((a∨ b)→c))A9. (a→b)→((a→¬b)→¬a)

A10. ¬¬a→a4.Правиламививедення(виводу)є:1)правилопідстановки.ЯкщоA—вивіднаформула,якамістить

літеруp(позначимоцейфактA(p)),товивідноюєйформулаA(B),щоздобуваєтьсязAзаміноювсіхвходженьлітериpнадовільнуфор-мулуB;записується

A(p);A(B)

52

2)правиловисновку(modusponens).ЯкщоA іA→B—вивідніформули,товивідноюєйформулаB;записується

A,A→B .B

ФормулиA(B)іB,якієрезультатомдіїозначенихправил,назива-ютьбезпосередньовивіднимизформулA(p)таAіA→Bзавідповід-нимправиломвиведення.

Длязручностізаписуватимемодіюозначенихправилвиведенняутакомувигляді:

S(p; B)A(p) = A(B) (правилопідстановки),MP(A, A→B) = B (правиловисновку).ЗамістьпослідовностіпідстановокS(p1;B1),S(p2;B2),…,S(pk;Bk)

писатимемоскладну(одночасну)підстановкуувиглядіS(p1,p2,…,pk;B1,B2,…,Bk).

Виведенням(виводом,вивідністю)формулиB зформулA1,A2,…,AnназиваютьпослідовністьформулF1,F2,…,Fmтаку,щоFm=B,абудь-якаформулаFi,i=1,2,…,mє:

1)абоаксіомою;2)абооднієюзпочатковихформулA1,A2,…,An;3)абобезпосередньовивідноюзформулF1,F2,…,Fi–1 (абобудь-

якоїїхпідмножини)заоднимзправилвиводу.Якщо існує виведенняформулиB з формулA1,A2,…,An, то ка-

жуть,щоBєвивідноюзA1,A2,…,An,іпозначаютьцейфакттак:A1,A2,…,An|–B.ФормулиA1,A2,…,Anназиваютьпосилками,припущення-миабогіпотезамививедення,аформулуB—висновком,наслідкомабовислідом.ПерехідувиведеннівідформулиFi–1доFiназиваютьi-мкрокомвиведення.

ДоведеннямформулиBназиваютьвиведенняBзпорожньоїмно-жиниформул,тобтовиведення,вякомуякпочатковіформуливико-ристовуютьтількиаксіомитеорії.

Формула B, для якої існує доведення, називається довідною(вивідною)формулою,аботеоремою;цейфактпозначають|–B.

При вивченні формальних теорій розрізняють два типи тверд-жень:

1)твердження(формули)самоїтеорії,абоїїтеореми;2)твердження про теорію (про властивості її теорем, доведень

тощо).Перші є елементами (словами, виразами, формулами) внутріш-

ньоїмовитеорії, а другі— зовнішніми; останніформулюютьу тер-

53

мінахмови,щоє зовнішньоющодотеорії іназиваєтьсяметамовоютеорії;саміцітвердженняназиваютьметатеоремами.

Наприклад,якщопобудованодоведенняформулиB,товиразB—теорема,атвердження“|–B”—метатеорема.

РозглянемоприкладививеденьуЧВ.ДлязручностіоберемотакуформузаписувиведенняформулуЧВ:а)послідовністьформулвиведеннязаписуватимемоустовпчик,

нумеруючиїхупорядкуслідуванняF1,F2,….б)порядізкожноюформулоюпіслядвокрапкиписатимемопояс-

нення,щовстановлюєзаконністьїїпоявиувиведенні.Приклад 5.1. 1) |– (a→a). F1: S(b, c; b→a, a)A2 = (a→(b→a)) →((a→((b→a)→a))→

→ (a→a)) F2: MP(A1, F1) = ((a→((b→a)→a))→(a→a)) F3: S(b; b →a)A1 = (a→((b →a)→a)) F4: MP(F3, F2) = (a→a)2) a |– (b→a). F1:a F2:MP(F1,A1)=(b→a)3) a,b |– (a∧b). F1:S(b, c; a, b)A5=((a→a)→((a→b)→(a→(a∧b)))) F2:(a→ a)(див. п. 1)) F3:MP(F2,F1)=((a→b)→(a→(a∧b))) F4:b F5:S(a, b; b, a)A1=(b→(a →b)) F6:MP(F4,F5)=a→b F7:MP(F6,F3)=(a→(a∧b)) F8:a F9:MP(F8,F7)=(a∧b)Множина формул Г називається суперечною, якщо існує така

формулаAчисленнявисловлень,щоГ|–AіГ|–¬A;інакшемножинаформулГназиваєтьсянесуперечною.

1.Переконатисьзаіндуктивнимозначенням,щонаведенийвиразєформулоючисленнявисловлень.Виписативсіїїпідформули.

(а) (((¬a)→b)∨((¬b)→a));(б) (((a∧(¬b))→c)∨(a→c));(в) ((a→ b)→((a→c)→(a→(b∧c))));(г)((((¬a)→(b ∨c))∧((¬c)→b))→((a∧(¬b))∧(c→(¬a)))).

54

2.Визначити,чиєформулоючисленнявисловленьтакийвираз:(а) ((a ∨((¬b)→c))→(¬a));(б)(((a∧b)∨(c∧d))→(ab∧c));(в)(a→b)~((¬b)→(¬a)));(г)(a∨((a∨¬b)→c)→(a—b));(д)(a∨b→((a~c)∧a)→∨c);(е)(¬¬a→b)∧(¬b)→(a→c)).

3. Записати складну (одночасну) підстановку у вигляді S(p1,p2,…,pk;B1,B2,…,Bk)івизначитиїїрезультат:

(а) підстановку(a→b)замістьa і aзамістьb ваксіомуA1;(б) підстановку(b→a)замістьa, (a→b)замістьb, ¬bзамістьcв

аксіомуA2;(в) підстановку(a→(b→c))замістьa,((b→c)→b)замістьbв

аксіомуA9;(г) підстановку(a∨b)замістьa,(¬a→b) замістьb,(a→¬b)за-

містьcваксіомуA5.

4.Перевірити,чикоректновиконанопроступідстановку.(а) S(a;b→a)A1=(b→a)→(b→a);(б) S(a;b→a)A1=(b→a)→(b→(b →a));(в) S(c;b →c)A2=(a→b) →((a→c)→(a→c));(г) S(¬a;b→a)A9=(a→b) →((a→¬b) → (b→a));(д) S(a;¬¬a)A10=a→a;(е) S(a → b;¬b→¬a)((a→b)→a)=(¬b→¬a)→a;(є) S(b;a)A6=b→(b∨a);(ж)S(a∧b;a)A3=a→a.У разі неправильного виконанняпідстановки зазначити, в чому

самеполягаєпомилка.

5.Перевірити,чикоректновиконаноскладнупідстановку.(а) S(a,b;a→b,¬b)A1=(a→b) →(¬b→ a);(б) S(a,b;b→a,¬a)A1=(b→a)→(¬a→(b→a));(в) S(a,b;a→b,¬c)A2=((a→b)→b)→((a→b) →(a→¬c));(г) S(a,a→¬b;a→b,¬b)A9=(a→b)→((¬b)→¬(a→b)).

6.Визначитиізаписатисимволічно,результатомякоїпідстановкиівякуаксіомуєнаведенаформула.

(а) (a→b)→(((a∨b)→c)→(a→b));(б) ((a∨b)→b)→(((a∨b)→(b →(b∧c)))→((a∨b)→(b∧c)));(в) (((a∧b)→b)→c)→((b→c)→((((a∧b)→b)∨b) →c));

55

(г) ((¬a∧¬b)→¬b)→(((¬a∧¬b)→¬¬b)→¬(¬a∧¬b));(д) (a→b)→((a→b)∨((a ∨b)→b)).

7. Нехай формули числення висловлень A1(p), A2(p), …, An(p) іB(p)містятьпропозиційнузміннуp.Довести,щоколиA1(p), A2(p), …, An(p)|—B(p), то для довільної формулиC числення висловленьвиконуєтьсяA1(C), A2(C), …, An(C)|—B(C).

8.Знайтипариформул,доякихможназастосуватиправиловис-новку,івизначитирезультатдії.

1) (a→b)→b;2) (a→b)→(a→¬c);3) (a→b);4) ((a→b)→((a→c)→(a→(b∧c))));5) ((a →b)→b)→((a→b)→(a →¬c));6) (a→b)→(a→c).

9.Доповнитикоженкрокдоведеннятеоремичисленнявисловленьпоясненнямиувиглядізаписувідповідногоправилавиводу.

(а) |—(a ∧a)→a. F1:(a ∧a)→a(б) |—(a ∨ a) →a. F1:(a→a)→((a→a)→((a ∨a)→a)) F2:(a→(b→a))→((a→((b→a)→a))→(a→a)) F3:(a→((b→a)→a))→(a→a) F4:a→((b→a)→a) F5:a→a F6:(a→ a)→((a ∨a)→a) F7:(a ∨a)→a(в) |—(a ∧b)→(a ∨b). F1:(a→(a ∨b))→((a ∧b)→(a→(a ∨b))) F2:(a ∧b)→(a→(a ∨b)) F3:((a ∧ b)→a)→(((a ∧b)→(a→(a ∨b)))→((a ∧b)→

→ (a ∨b))) F4:((a ∧b)→(a→(a ∨b)))→((a ∧b)→(a ∨b)) F5:(a ∧b)→(a ∨b)(г) |—(a ∨b)→(b ∨a). F1:(a→(b ∨a))→((b→(b ∨a))→((a ∨b)→(b ∨a))) F2:a→(b ∨a) F3:b→(b ∨a)

56

F4:(b→(b ∨a))→((a ∨b)→(b ∨a)) F5:(a ∨b)→(b ∨a)(д) |—(a→b)→(a →(a ∧b)). F1:(a→a) →((a→b)→(a→(a ∧b))) F2:(a →(b→a))→((a→((b→a)→ a))→(a→a)) F3:(a→((b→a)→a))→(a→a) F4:a→((b→a)→a) F5:a→a F6:(a→b)→(a→(a ∧b))

10.Визначити,чиєвиведеннямданоїтеоремичисленнявислов-лень наведена послідовність формул. У разі позитивної відповідідоповнитикоженкрокдоведенняпоясненнямиувиглядізаписувід-повідногоправилавиводу.

(а) |—a→(a ∧a). F1:(a→a)→((a→a)→(a→(a ∧a))) F2:(a→(b →a)) →((a→((b→a)→a))→(a→ a)) F3:(a→((b→a)→a))→(a→ a) F4:a→((b→a)→a) F5:a→a F6:(a→a)→(a→(a ∧a)) F7:a→(a ∧a)(б) |—(¬a→b)→(¬b→a). F1:(¬¬a→a)→(¬b→(¬¬a→a)) F2:(a→a)→(¬b→(¬¬a→a)) F3:(a→(b→a))→((a→((b→a)→a))→ (a→a)) F4:(a→((b→a)→a))→(a→a) F5:a→((b→a)→a) F6:a→a F7:¬b→(¬¬a→a) F8:(¬b→(¬¬a→a))→((¬b→¬¬a)→(¬b→ a)) F9:(¬b→¬¬a)→(¬b→a) F10:(¬a→b)→(¬b→a)(в) |—a→((a∧b)→(a∨c)). F1:(a∨c)→((a∧b)→(a∨c)) F2:((a∨c)→((a∧b)→(a∨c)))→ (a →((a∨c)→((a∧b)→

→ (a∨c)))) F3:a→((a∨c)→((a∧b)→(a∨c))) F4:(a→(a∨c))→((a→((a∨c)→((a∧b)→(a∨c)))) →

→ (a→((a∧b)→(a∨c))))

57

F5:a→(a∨c) F6:(a→((a∨c)→((a∧b)→(a∨c))))→(a→((a∧b)→

→ (a∨c))) F7:a→((a ∧b)→(a∨c))(г) |—((a∧c)∨(b∧c))→c. F1:((a∧c)→c)→(((b∧c)→c)→ (((a∧c)∨(b∧ c))→c)) F2:(a∧c)→c F3:((b∧c)→c)→(((a∧c)∨(b∧c))→c) F4:(b∧c)→c F5:((a∧c)∨(b∧c)) →c(д) |—a →((a ∨b) ∧a). F1:(a→(a ∨b)) →((a→a)→(a→((a ∨b) ∧a))) F2:(a→a)→(a→((a ∨b) ∧a)) F3:(a→(b→ a))→((a→((b→a)→a))→(a→a)) F4:(a→((b→a)→a))→(a→a) F5:a→((b→a)→a) F6:a→a F7:a→((a ∨b) ∧a)

11.Доповнитикоженкроквиведенняформуличисленнявислов-леньзмножиниформулпоясненнямиувиглядізаписувідповідногоправилавиводу.

(а) a→b,a→c|—a→(b ∧c)(правило композиції). F1:a→b F2:a→c F3:(a→c)→(a→(b ∧c)) F4:a→(b ∧c)(б) a→b,a→¬b|—¬a(правило введення заперечення). F1:a→b F2:a→¬b F3:(a→¬b)→¬a F4:¬a(в) a,a→b|—a ∧b. F1:(a→a)→((a→b)→(a→(a ∧b))) F2:(a→(b→a))→((a→((b→a)→a))→(a→a)) F3:(a→((b→a)→a))→(a→a) F4:a→((b→a)→a) F5:a→a F6:(a→b)→(a→(a ∧b)) F7:a→b

58

F8:a→(a ∧b) F9:a F10:a ∧b(г) a→ b,b→c|—a→c(правило ланцюгового висновку чи правило

силогізму). F1:a→b F2:b→c F3:(a→(b→c))→(a→c) F4:(b→c)→(a→(b→c)) F5:a→(b→c) F6:a→c

12.Визначити,чиєнаведенапослідовністьформулвиведеннямданоїформуличисленнявисловленьзмножиниформул.Уразіпо-зитивноївідповідідоповнитикоженкроквиведенняпоясненнямиувиглядізаписувідповідногоправилавиводу.

(а) a ∨a|—a. F1:(a→a)→((a→a)→((a ∨a)→a)) F2:(a→(b→a))→((a→((b→a)→a))→(a→a)) F3:(a→((b→a)→a))→(a→a) F4:a→((b→a)→a) F5:a→a F6:(a→a)→((a ∨a)→a) F7:(a ∨a) →a F8:a ∨a F9:a(б) ¬a→b,¬b|—a. F1:¬a→b F2:¬b F3:¬b→(¬a→¬b) F4:¬a→¬b F5:(¬a→b)→((¬a→¬b)→¬¬a) F6:(¬a→¬b)→¬¬a F7:¬¬a F8:a(в) a∧b|—a∨b. F1:(a→(a ∨b))→((a ∧b)→(a→(a ∨b))) F2:(a ∧b)→(a →(a ∨b)) F3:((a ∧b)→a)→(((a ∧b)→(a→(a ∨b)))→((a ∧b)→

→ (a ∨b)))

59

F4:((a ∧b)→(a→(a ∨b)))→((a ∧b)→(a ∨b)) F5:(a ∧b)→(a ∨b) F6:a ∧b F7:a ∨b(г) a ∨b,c|—(a ∧c) ∨(b ∧c). F1:c F2:c→((a ∨b)→c) F3:(a ∨b)→c F4:((a ∨b)→c)→(((a ∨b)→(c→((a ∧c) ∨(b ∧ c))))→

→ ((a ∨b)→(c→((a ∧c) ∨(b ∧c))))) F5:((a ∨b)→(c→((a ∧c) ∨(b ∧c))))→((a ∨b)→((a ∧c) ∨

∨ (b ∧c)))) F6:c→((a ∧c) ∨(b ∧c)) F7:(c→((a ∧c) ∨(b ∧c)))→((a ∨b)→(c→((a ∧c) ∨(b ∧c)))) F8:(a ∨b) →(c→((a ∧c) ∨(b ∧c))) F9:(a ∨b)→((a ∧c) ∨(b ∧c)) F10:a ∨b F11:(a ∧c) ∨(b ∧ c)(д) (a ∧b)→c,a,b|—c. F1:(a→a)→((a→b)→(a→(a ∧b))) F2:(a→ (b→a))→((a→((b→a)→a)) → (a→a)) F3:(a→ ((b→a)→a)) →(a→a) F4:a→((b→a)→a) F5:a→ a F6:(a→ b)→(a→(a ∧b)) F7:b→(a→b) F8:b F9:a→b F10:a→(a ∧b) F11:a F12:a ∧b F13:(a ∧b)→c F14:c

13.ВизначитимножинуформулM,виведеннямзякоїєнаведенапослідовністьформул.Доповнитикоженкроквиведенняпояснення-миувиглядізаписувідповідногоправилавиводу.

(а) M |—b∧a. F1:((a ∧b)→b)→(((a ∧b)→a)→((a ∧b)→(b∧a)))

60

F2:((a ∧b) →a)→((a ∧b)→(b∧a)) F3:(a ∧b)→(b∧a) F4:a ∧b F4:b∧a(б) M|—a∨c. F1:(a→(a∨c))→((a∧b)→(a→(a∨ c))) F2:a→(a∨c) F3:(a∧b)→(a→(a∨c)) F4:a ∧ b F5:a→(a∨c) F6:a F7:a∨c(в) M|—c. F1:(a→c)→((b→c)→(a∨b→c)) F2:((a∧c)→c)→(((b∧c)→c)→(((a ∧c)∨(b∧c))→c)) F4:(a∧c)→c F5:((b∧c)→c)→(((a∧c)∨(b∧c))→c) F6:(b∧c)→c F7:((a∧c)∨(b∧c))→c F8:(a∧c)∨(b∧c) F9:c(г) M|—a∨c. F1:(a∨c)→((a∧b)→(a∨c)) F2:((a∨c)→((a∧b)→(a ∨c)))→ (a→((a ∨c)→((a∧b)→

→ (a∨c)))) F3:a→((a∨c)→((a∧b)→(a∨c))) F4:((a→(a∨c))→ (a→((a∨c)→((a∧b)→(a∨c))))→

→ (a→((a∧b)→(a∨c)))) F5:a→(a∨c) F6:(a→((a∨c)→((a∧b)→(a∨c))))→(a→((a∧b)→

→ (a∨c)))) F7:a→((a∧b)→(a∨c)) F8:a F9:(a∧b)→(a∨ c) F10:a∧b F11:a∨c

14.Довеститеорему:(а) (a∧a)→a;

61

(б) a→(a∧a);(в) (a∨a)→a;(г) a→(a∨a).

15.Довеститеорему:(а) (a→b)→(a→(a∧b));(б) (b→(a∨c))→((a∨b)→ (a∨c)).

16.Довеститеорему:(а) (b→a)→((a∨b)→a);(б) ¬(b→a)→¬a.

17.Довеститеорему:(а) ¬b→¬(a ∧b);(б) ¬(a∨b)→¬a.

18.Довеститеорему:(а) (a∨b)→(b∨a);(б) (a∧b)→(b∧a);(в) a→((a∨b)∧a);(г) (a∨(a∧b))→a.

19.Довеститеорему:(а) a→((a∧b)→b);(б) a →(b→¬¬b);(в) (a∨b)→(¬¬a→a);(г) a→((b→c)→(¬c→¬b)).

20.Довеститеорему:(а) (a∧(a→b))→b;(б) a →((a→b) →b).

21.Довеститеорему:(а) (a∨b)→(¬b→a);(б) (a∨b)→(¬a→b);(в) (¬a∨b)→(a→b);(г) (a∨¬b)→(b→¬a).

22.Довестививідність:(а) a→c,b→c,a∨b|—c;(б) a→c,b→d,a∨b|—c∨d;(в) a→b,a→c,¬b∨¬c|—¬a;(г) a→c,b→d,¬c∨¬d|—¬a∨¬b.

62

23.Довеститеоремучисленнявисловлень:(а) ((a∧b)→c)→((a∧b) →(b∧ c));(б) (a→b)→(a→ ((b→a)∧a));(в) (b→c)→(b→(a→c));(г) (b→(a→(b→c))→(b →((a→b) →(a→c))));(д) (a→b)→(a→¬¬b);(е) (a →¬¬b)→(a→b);(є) a→((b∨c) →(a∨c));(ж)(a∧b)→(c→b);(з) (b →c)→(a→(¬c→¬b));(и) c→ ((a∧b)→(b ∨ c));(і) (a∨c)→(((a∨b)→c)→(¬c→¬(a ∨b)));(ї) (b→(a∨c))→((b→c)→((d→c)→((b∨ d)→c)));(й) (a∧b)→(a∨b);(к) (¬a→b)→(¬b→(¬¬a→a));(л) (c→(a→b))→(c→(¬b→¬a));(м) (a→¬b)→(a→(c∨¬b));(н) (a→b)→(¬b→¬a);(о) (¬a→b)→(¬b→a);(п) (a→¬b)→(b→¬a).

24. Визначити, чи є виведенням формули (¬a→b)→(¬b→a)такапослідовністьформул:

(а) F1:(a→b)→(¬b→¬a) F2:(¬a→b)→(¬b→¬¬a) F3:¬¬a→a F4:(¬a→b)→(¬b→a)(б) F1:(a→b)→(¬b→¬a) F2:(¬a→b)→(¬b→¬¬a) F3:¬¬a→a F4:a→(b→a) F5:(¬¬a→a)→(¬b→(¬¬a→a)) F6:¬b→(¬¬a→a) F7:(a→(b→c))→((a→b)→(a→c)) F8:(¬b →(¬¬a→a))→((¬b→¬¬a)→(¬b→a)) F9:(¬b→¬¬a)→(¬b→a) F10:(¬a→b)→(¬b→a).

25.Провестиформальнедоведеннятеореми:(а) ¬(a∨b)→(¬a∧¬b);

63

(б) (¬a ∧¬b)→(¬a∨¬b);(в) ¬(a∧b)→(¬a∨¬b);(г) (¬a∨¬b)→¬(a∧b).

26.Довеститеорему:(а) a→ ¬¬a;(б) (¬¬a→a)∧(a→¬¬a).

27.Провестиформальнедоведеннятеореми:(а) (a→ b)→((b→c)→(a→c)) (перший закон ланцюгового вис

новку).(б) (b→c)→((a→b)→(a→c)) (другий закон ланцюгового вис

новку).

28.Довести,щоколиT—теорема,тодлядовільноїформулиAчис-леннявисловленьнаведенаформулатакожєтеоремою.

(а) A→T;(б) (A∧¬A)→¬T;(в) ¬T→A.

29.Довести,щоколиT—теорема, тодлядовільнихформулA іBчисленнявисловленьформула(A→¬T)→(A→B)такожєтеоре-мою.

30.Визначити,чиєнаведенамножинаформулчисленнявислов-леньсуперечною.

(а) a→b,¬a,¬b; (б) a→¬b,a∧b;(в) a→b,a→¬b,¬a;(г) a→ ¬a,¬a→a.

31.Довести,щомножинаГформулчисленнявисловленьсупереч-натодійтількитоді,колидляякоїсьформулиAчисленнявисловленьвиконуєтьсяГ|–(A∧¬A).

32.Довести,щомножинаформулГнесуперечнатодійтількитоді,колиіснуєформулачисленнявисловлень,щонеєвивідноюзГ.

64

6. МеТаТеоРеМа дедукції. похідні пРавила виведення

Будь-якудоведенуучисленнівивідністьвиглядуГ|–A,деГ—мно-жинаформул,A—довільнаформула,можнарозглядатиякправило

виведенняГA,якеможнадодатидозаданоїмножиниправил.

Наприклад,доведенууприкладі5.1(2)вивідністьa|–b→aразомз

правиломпідстановкиможнарозглядатиякправилоA

B A,щоможе

бутиінтерпретованотак:“якщоформулаAєвивідною,товивідноюєіформулаB→A,деB—довільнаформула”.Цеправилонадаліможнавикористовуватидляпобудовиновихвиведень.Такіправиланазива-тимемопохіднимиправилами.

Задопомогоюдодатковихпохіднихправилдістаємоможливістьскоротитививеденняформул,невиконуючиповноговиведення.Ма-ючискороченевиведення,завждиможнапобудуватиповневиведен-ня,замінюючикожнуформулу,якаєрезультатомзастосуванняпохід-ногоправилавиведення,повнимїївиведенням.Такоюформулоює,наприклад,формулаF2уприкладі5.1(3).

Могутнімзасобомодержаннянизкиважливихікориснихпохід-нихправилвиведенняєтакзванаметатеоремадедукції(МТД);зок-рема,самаМТДможерозглядатисьяктакепохіднеправило.

Метатеоремадедукції.ЯкщоГ,A|–B,тоГ|–A→B,деГ—множи-наформул(можливо,порожня),AіB—формули.

Розглянемокількаприкладівзастосуванняметатеоремидедукції.Приклад 6.1. 1)Поширенимметодомматематичних доведень є

методдоведеннявідсупротивного:припускаємо,щоa—істиннетвер-дження,ідоводимо,що,по-перше,зaвиводитьсяb,апо-друге,щозaвиводиться¬b,щонеможливо;отже,aхибне,тобтоістинне¬a.

Утермінахчисленнявисловленьцейметодформулюєтьсятак:“якщоГ,a|–bіГ,a|–¬b,тоГ|–¬a”.Доведемосправедливістьцьогоправилаучисленнівисловлень.Справді, за метатеоремою дедукції, якщо Г, a |– b і Г, a |– ¬b, то

Г |– a→b і Г |– a→¬b.F1:a→bF2:a →¬bF3:MP(F1, A9) = (a→¬b)→¬aF4:MP(F2, F3) = ¬a

65

Доведене твердження (метатеорему) часто називають правиломуведеннязапереченняізаписуютьувигляді

Г, A |– B;Г, A |– ¬B . Г |– ¬A

2) Крімтого,неважкопереконатисьусправедливостідлячислен-нявисловленьтакоготвердженняабометатеореми,якуможнавва-жатиоберненоюдометатеоремидедукції(ОМТД):“якщо Г |– A→B,то Г, A |– B”.

ПослідовномаємоF1: AF2: A→BF3:MP(F1, F2) = B3) Доведемотеперзаконвиключеннятретього: |– a ∨¬a.F1: S(b; ¬a)A6 = a→(a∨¬a)F2: S(a; ¬(a∨¬a)) (a→a) = (¬(a∨¬a))→(¬(a∨ ¬a)) (див.при-

клад 5.1(1)).Ізформул F1 і F2 маємо (заОМТД)F3: ¬(a∨¬a), a |– a∨¬aF4: ¬(a∨¬a), a |– ¬(a∨¬a).ЗадоведенимправиломуведеннязапереченнязіспіввідношеньF3

іF4отримаємоF5: ¬(a∨¬a) |– ¬a.Аналогічновикористовуємоаксіому A7:F6: S(b; ¬a)A7 = ¬a→(a∨¬a)F7: ¬(a∨¬a), ¬a |– a∨¬aF8: ¬(a∨¬a), ¬a |– ¬(a∨¬a)З F7 і F8 маємоF9: ¬(a∨¬a) |– ¬¬a.Заправиломуведеннязапереченняз F5 іF9 дістанемо:F10: ¬¬(a∨¬a)F11: S(a; a∨¬a)A10 = ¬¬(a∨ ¬a)→(a∨ ¬a)F12:MP(F10, F11) = a∨¬a.

1.Ізприпущеньa→b,a→c, aвивестиформулуb∧c.

2.Ізприпущеньa→b,a→cвивестиформулуa→(b∧c).

3.Вивестиформулуa∨bізприпущенняa(абоb).

4.Вивестиформулуa(абоb)ізприпущенняa∧b.

67

(й) Якщо Г,A1,A2,…,An|–Bi, i=1,2,…,k і B1,B2,…,Bk|–C, тоГ,A1,A2,…,An|–C(правило силогізму).

Сформулюйтесловамизвичайноїмовитвердження,яківиража-ютьвластивості(а)—(й).

17.Використовуючиметатеоремудедукціїйнаведенівищевлас-тивості відношеннявивідності, довести такепохіднеправиловиве-дення:

(а) якщоГ,A|–CіГ,B |–C,тоГ,A∨ B|–C(загальне правило вилучення диз’юнкції);

(б) якщоГ,A |–BіГ,A |–C,тоГ,A |–B∧C(загальне правило композиції).

18.Довести,щоколиA|–BіB∨C|–D,тоA∨C|–D.

19.Довеститакепохіднеправиловиведення:(а)A|–A∨B (правило введення диз’юнкції);(б)B|–A∨ B (правило введення диз’юнкції);(в)A∧B |–A(правило вилучення кон’юнкції);(г)A∧B |–B(правило вилучення кон’юнкції);(д)A,B |–A∧B(правило введення кон’юнкції);(е)¬¬A |–A (правило вилучення заперечення);(є)A→B, B→C |–A→ C(правило ланцюгового висновку чи пра

вило силогізму);(ж)A →(B→C)|–B→ (A→C)(правило перестановки посилок);(з)A→(B→C)|–(A∧B)→C(правило об’єднання посилок);(и)(A∧B)→ C|–A→(B → C)(правило роз’єднання посилок);(і)A→B, A → C |–A→(B∧C)(правило композиції);(ї)A→B |–¬B→¬A(правило контрапозиції).

20.Обґрунтуватитакепохіднеправиловиведення:A→B,¬B|–¬A(правило modustollens).

21.Обґрунтуватипохіднеправиловиведення:(а)A→¬B|—B→¬A;(б)¬A→B|—¬B→A;(в)¬A→¬B|—B→A.

22.Обґрунтуватипохіднеправиловиведення:A∨B,¬A|–B (правило диз’юнктивного силогізму).

23.Довестипохіднеправиловиведення(A ∧B)→C|–(A ∧¬C)→¬B.

68

24.Довеститакепохіднеправиловиведення:(а) A→B|—(B→C)→(A→C);(б) A→B|—(C→A)→(C →B);(в) A→B|—(А ∧ C)→(B ∧C);(г) A →B|—(C ∧A)→(C ∧B);(д) A→ B|—(А ∨C)→(B ∨C);(е) A→B|—(C ∨A)→(C ∨B).

25.Перевірити (довести або спростувати), чи виконується такеправиловиведення:A→B|—(A→C)→(B→C).

26.Довеститакепохіднеправиловиведення:(а) A→C,B→C,A∨B|—C;(б) A→B,A→C,¬B∨¬C|—¬A;(в) A→C,B→D,¬C∨¬D|—¬A∨¬B;(г) A→C,B→D,A∨B|—C∨D;(д) A,¬B|—¬(A→B);(е) A∨B ∨C,¬A,¬B|—C.

27.Довеститакепохіднеправиловиведення:(а) ¬A|—A→B;(б) A|—¬A→B;(в) B|—A→B;(г) ¬B|—A→¬B.

28.Застосовуючиметатеоремудедукції,довеститакутеорему:(а) ((a→b)→a)→((a→b)→b);(б) (a→c)→(a→(b∨c));(в) (a→b)→(¬b→¬a);(г) (¬a→b)→(¬b→a).

29.Задопомогоюметатеоремидедукціїдовеститакутеорему:(а) ((a→b)→(a→c))→((a→(b→c)) (обернена теорема до

закону Фреге);(б) (a→(b∧c))→((a→b)→(a→c)) (обернення аксіоми A5 —

закону композиції);(в) (¬b→¬a)→(a→b) (обернення закону контрапозиції);(г) ((a∨b)→c)→((a→c)→(b→c))(обернення аксіоми A8).

30.Довестинаведенутеоремучисленнявисловленьзадопомогоюметатеоремидедукціїіпорівнятиздоведеннямцієїтеоремибезпосе-редньозаозначеннямформальногодоведення.

71

33.Довестизадопомогоюметатеоремидедукціїнаведенутеоремучисленнявисловлень:

(а) ((a→b)→c)→(b→c);(б) ((a→(b→c))→((c→d)→(a→(b→d))).

34. Довести за допомогоюМТД і наведених вище властивостейвідношеннявивідностітакутеоремучисленнявисловлень:

(а) ((a→b) ∧(c→d))→((a∨c)→(b ∨d));(б) ((a →b)∧(c→d))→((a∧c)→(b∧d));(в) (a ∨b)→(((a→c)∧(b→d))→(c∨d));(г) ((a→b)∧(c→d))→((b→c)→(a→d)).

35.Довеститеоремучисленнявисловлень:(а) ((a∧b)∧c)→(a∧(b∧c))(асоціативність кон’юнкції);(б) ((a∨b)∨c)→(a ∨(b∨c)) (асоціативність диз’юнкції);(в) ((a∨b)∧c)→((a∧c)→(b∧c)) (дистрибутивність кон’юн

кції щодо диз’юнкції);(г) ((a∧c)∨(b∧c))→((a∨b)∧c);(д) ((a∧b)∨c)→((a∨c)∧(b∨c))(дистрибутивність диз’юнк

ції щодо кон’юнкції);(е)((a∨c)∧(b∨c))→((a∧b)∨c).

36.Довеститеоремучисленнявисловлень:(а) ((a∧c)∨(b∧d))→((a∨b)∧(c∨d));(б) ((a→b)∧(b→c))→(a→c).

37.Довеститеорему:(а)(a→(b∧c))→(a→b);(б)(a→(b∧c)) →(a→c).

38.Використовуючитеорему|–(a ∧¬a)→b,довести,щоформула¬(a∧¬a)єтеоремоючисленнявисловлень(закон суперечності).

39. Використовуючи доведений у попередній задачі законсуперечності,довести,щоформулаa∨¬aєтеоремоючисленнявис-ловлень(закон виключеного третього).

40.Довеститеорему:(а)(a∧(b→c))→((a∧b)→с);(б)(a∧(b→c))→(b →(a∧c)).

41. Застосовуючипохідніправилавиведенняідоведенівищетеоре-ми,довести,щонаведенаформулаєтеоремоючисленнявисловлень.

72

(а) (a∨(a∧b))→a; (б) a →(a∧(a∨b));(в) (a→¬a)→¬a;(г) (¬a→a)→a;(д) ¬b→(¬c∨(b∧c));(е) (a→b)∨(a→¬b);(є) (a ∨b)→((a→b)→b);(ж)¬a→(a→b);(з) a→(¬a→b);(и) ((a→b)→b)→(a∨b);(і) a→(¬b→¬(a→b));(ї) (a∧(a→b))→b;(й) (¬b∧(a→b))→¬a;(к) (¬a∧(a∨b))→b;(л) (a→b)∨(b→a);(м) (¬a∨b)→(a→ b);(н) (a→b)→ (¬a∨b);(о) ((a∧¬b)→¬a)→(a→b); (п)((a→b)∧(a→¬b))→¬a;(р)(a→b)→((a ∧¬b)→¬a);(с)(a→(b∧¬b))→¬a;(т) ((a∧¬b)→b)→(a→b);(у) (a→b)→((a∧¬b)→b);(ф) (a→b)→((a∧¬b)→(c ∧¬c));(х) ((a∧ ¬b)→(c∧¬c))→(a→b);(ц) ((a→b)→a)→(¬a→a);(ч) ((a→b)→a)→a;(ш)(a→b)→((¬a→b)→b).

42.Доповнити відповідним аналізом доведення теореми(¬a∨¬b)→¬(a∧b).

1) a∧b|–a;2) a∧b,¬a|–a;3) ¬a|–¬a;4) a∧b,¬a|–¬a;5) ¬a|–¬(a∧b);6) a∧b|–b;7) a∧b,¬b|–b;8) ¬b|–¬b;

73

9) a∧b,¬b|–¬b;10) ¬b|–¬(a∧b);11) ¬a∨¬b|–¬(a ∧b);12) |–(¬a∨¬b)→¬(a∧ b).

43.Використовуючиправиловведеннязаперечення,властивостісимволувивідностітаметатеоремудедукції,довеститеорему.

(а) ¬(a∧b) →(¬a∨¬b);(б)(¬a∨ ¬b) →¬(a∧b);(в)¬(a ∨b)→(¬a∧¬b);(г)(¬a∧¬b)→¬(a∨b);(д)(a∨b)→¬(¬a∧¬b);(е)¬(¬a∧¬b)→(a∨b);(є)(a∧b) →¬(¬a∨¬b);(ж)¬(¬a∨¬b)→(a∧b).

44.Довеститеорему:(а) ((a∧b)∨(c∧d))→((((a∨c)∧(a∨d))∧(b∨c))∧(b∨d));(б)((a∨b)∧(c∨d))→((((a∧c)∨(b∧c))∨(a ∧d))∨(b∧d)).

45.Довеститеорему((a→b)→c)→((a→ c)→c).

46.Довеститеорему(a∨(a→b))∧(b∨(¬a→¬b)).

7. РівносильнісТь ФоРМул числення висловлень

Уведемо в алфавіт числення висловлень додатково символ ~і записуватимемо формулу A~B як скорочення для формули(A→B)∧(B→A).

ФормулиA іB числення висловлень називаютьрівносильними(еквівалентними),якщоформулаA~B(тобто(A→B)∧(B→A))єтеоремоючисленнявисловлень.

1.Довести,що:(а) колиГ,A |– Bі Г,B |– A,тоГ |– A~B;(б) колиГ |– A~B,тоГ |– A→B;(в) колиГ |– A~B,тоГ |– B→A;(г) колиГ |– A~B,тоГ,A |– B;(д) колиГ |– A~B,тоГ,B |– A.

74

2. Довести,що наведеніформули рівносильні (A іB— довільніформуличисленнявисловлень).

(а) Aі¬¬A;(б) ¬(A∨B)і¬A∧¬B;(в) ¬(A∧B)і¬A∨¬B;(г) A→Bі¬A∨B.

3.Довеститеоремучисленнявисловлень:(а) (a∨b)~((a→b)→b);(б) (¬a →a)~a;(в) ¬(a→b)~(a∧¬b);(г) (a→ ¬b)~¬(a∧b).

4.Довеститеорему:(а) (a→b)~((a∧¬b)→(c∧¬c));(б) (a→b)~((a∧¬b)→¬a);(в) (a→b)~((a∧ ¬b)→b);(г) (a∨ b)~(¬a →b).

5.Довести,щоформули AіBрівносильні.(а) A=a∧b,B=b∧a;(б) A=a ∨b,B=b∨a;(в) A=a∧ (b∧c),B=(a∧b)∧c;(г) A=a∨(b∨c),B=(a∨b)∨c;(д) A=a∧(b ∨ c),B=(a∧b)∨(a∧c);(е)A=a∨(b∧c),B=(a∨b)∧(a∨c);(є)A=a∨(a∧b),B=a;(ж)A=a∧(a∨b),B=a;(з)A=a ∨a,B=a;(и)A=a∧a,B=a.

6.Довеститеорему:(а)(a→ b)~¬(a∧¬b);(б)(a∨b)~¬(¬a∧¬b);(в)(a∧b)~¬(a →¬b);(г)(a∧ b)~¬(¬a∨¬b).

7. Довести, що відношення рівносильності на множині формулчисленнявисловлень рефлексивне,симетричнеітранзитивне,тобтоєеквівалентністю.

8.Довести,що|–A~Bтодійтількитоді,коли|–¬A~¬B.

75

9.Нехай|–A~Bі |–С~D.Довести,що:(а)|–(A∧С)~(B∧D);(б)|–(A∨С)~(B∨D);(в)|–(A→С)~(B→D).

10.Довести,що:(а)A~B|–(А ∧C)~(B ∧C);(г)A~B|–(C ∨A)~(C ∨B);(б)A~B|–(C ∧A)~(C ∧B);(д)A~B|–(A→C)~(B→C);(в)A~B|–(А ∨C)~(B ∨C);(е)A~B|–(C→A)~(C→B).

11. Нехай B— підформула формули A числення висловлень, аA1—результатзамінидеякоговходженняBвAформулоюB1.Довес-ти,щоB~B1|–A~A1(теорема про заміну).

12.Довести,щоколиуформулічисленнявисловленьAзамінитиїїдовільнупідформулуB1формулоюB2,рівносильноюB1,тоодержанавнаслідокзаміниформулаA1будерівносильнавихіднійформуліA(метатеорема еквівалентності).

13.Довести,щоколиA1, A2,..., Ak |–B(іB~C,тоA1, A2,..., Ak |–C.(

14.Доведеннятеореми((a→(b∧c))∧(a→(¬b∨¬c)))→¬aдо-повнитивідповідниманалізом.

1)((a→(b∧c))∧(a→¬(b∧c)))→¬a;2)¬(b∧c)~(¬b∨¬c);3)((a→(b∧c))∧(a→(¬b∨¬c)))→¬a.

15.Довеститеорему:(а)(a~b)∧(¬a→¬b);(б)(a~b)∧(¬b→¬a);(в)(a~b)~((a∧b)∨(¬a∧¬b));(г)(a~b)~((¬a∨b)∧(a∨¬b));(д)¬(a~b)~((a∧ ¬b)∨(¬a ∧b));(е)¬(a~b)~((a∨b)∧(¬a∨¬b)).

16. Використовуючи метатеорему еквівалентності й раніше до-веденітеореми,довести,щонаведенаформулаєтеоремоючисленнявисловлень.

(а)(((b∨c)→a)∧((¬b∧¬c)→a))→a;(б)(a→((¬a∨b)∨c))→((a →(a→b))∨(a→ c));(в)(a ∨b)→((¬b∨¬c)→(a∨¬c));(г)¬(a∨ (b∧c))~((¬a∧¬b)∨(¬a∧¬c));

76

(д)(a→((¬a∨¬b)∨¬c))→((a →(a∧b))→(a→c));(е)(((a∨b)∨c)∨d)~(((¬a∧¬b)∧¬c)→d).

17.Довести:(а)|–a→((a∧b)~b);(б)|–b→((a∨b)~a).

18.Довести:(а)|–¬a→((a∧b)~a);(б)|–¬a→((a∨b)~b).

19.Довеститеорему:(а)¬(a ∨¬a)~(a∧¬a);(б)¬(a∧¬a)~(a∨ ¬a).

20.Довести:(а)|–(a∧(b∨¬b))~a;(б)|–((a∨¬a)∨b)~(a∨¬a);(в)|–(a∨(b∧¬b))~a;(г)|–((a ∧ ¬a)∧b)~(a∧¬a).

21.Довести:(а)|–((a∨b)→c)~((¬a→b)→c);(б)|–((a∧ b)→c)~((a ∧¬c)→¬b).

22.Довести:(а)|–(a →(b∧c))~((a→b)∧(a→c));(б)|–((a∨b)→c)~((a→c)∧(b →c)).

23.Довеститеорему:(а) (((a→c)∧(b→c))∧(a∨b))→c;(б) (((a→b)∧(c→d))∧¬(b∨d))→¬(a∨c);(в) (a→b)→((a∧c)→(b∧c));(г) (a→b)→((a∨c)→ (b∨ c));(д) (((a→b)∧(c→d))∧(a∨c))→(b∨d);(е) ((((a→b)∧(c→d))∧(a∨c))∧¬(b∧d))→((b→a)∧(d→c)).

24.Довести:(а) |–(a→(b∨c))~((a→b)∨(a→c));(б) |–((a∧b)→c)~((a→c)∨(b→c)).

25.Довеститеорему(a→(b →c))~((a∧b)→c).

77

26.Користуючисьметатеоремоюеквівалентностійранішедоведе-нимитеоремамичисленнявисловлень,довести,щонаведенаформулаєтеоремоючисленнявисловлень.

(а) ((a∧ ¬b)→ (c∨ d))→ (((¬c→ d)→ ((a→ (b∧ c)))→→ (¬(a→b)→(¬a∨(b∧c)))));

(б) (b→(¬a→c))→(((a∧¬b)→b)→(¬(a→b)→(a∨c))).

27.Довести,щоколиT—теорема,тодлядовільноїформулиAчис-леннявисловленьформула(A~T)~Aтакожєтеоремою.

28.Довести,щоколиT—теорема,тодлядовільноїформулиAчис-леннявисловленьформула(A~¬T)→¬Aтакожєтеоремою.

29.НехайF(a)—довільнаформулачисленнявисловлень,щоміс-титьлітеруa,T1і T2—довільнітеоремичисленнявисловлень.Довес-ти,щонаведенаформулаєтеоремоючисленнявисловлень.

(а) (F(T1)∧F(¬T2))→(((a~T1)→F(a))∧((a~¬T2)→F(a)));(б) (((a~T1)→ F(a))∧ ((a~¬T2)→ F(a)))→ (((a~T1)∨

∨ (a~¬T2))→F(a));(в) (F(T1)∧F(¬T2))→F(a).

30.Довести,щоколиT1і T2—теореми,тодлядовільноїформулиAчисленнявисловленьнаведенаформулатакожєтеоремою.

(а) (T1∧¬T2)→A;(б) (A~T1)∨(A~¬T2).

8. логіка пРедикаТів. кванТоРи

n-місним предикатом P(x1,x2,…,xn) на множині M називаєтьсядовільнафункціятипуM n→B,деB=0,1—булевий(двійковий)алфавіт.

МножинаM називається предметною областю, або універсаль-ноюмножиною,аx1,x2,…,xn—предметнимизмінними,аботермамипредикатаP.

Множинаелементів(a1,a2,…,an)∈M nтаких,щоP(a1,a2,…,an)=1,називаєтьсяобластюістинності(абохарактеристичноюмножиною)предикатаP.

ЯкщоP(a1,a2,…,an)=1, то згіднозлогічною інтерпретацієюка-затимемо,щопредикатPє істиннимна(a1,a2,…,an).Віншомуразіказатимемо,щопредикатPєхибним.

78

ВиразP(x1,x2,…,xn),щоперетворюєтьсянависловленняпісляза-мінивсіхйогозміннихx1,x2,…,xnелементамипевноїпредметноїоб-ластіM,називаєтьсяпропозиційною(висловлювальною)формою.

Приклад8.1.НехайпредметноюобластюємножинаNнатураль-них чисел, тоді вирази “x— просте число”, “x ділить y”, “x+y=z”,“x<5”тощоєпропозиційнимиформами.

Пропозиційнаформаєоднимзіспособівзаданняпредиката.Дляn=1предикатP(x)називаєтьсяодномісним,абоунарним,для

n=2P(x,y)—двомісним,абобінарним,дляn=3P(x,y,z)—триміс-ним,аботернарним.

НехайP(x1,x2,…,xn)іQ(x1,x2,…,xn)—n-місніпредикатинамно-жиніM.

Кон’юнкцієюP(x1,x2,…,xn)∧Q(x1,x2,…,xn) називають предикатR(x1,x2,…,xn),щонабуваєзначення1натихітількитихнаборахзна-ченьтермів,наякихобидвапредикатиP(x1,x2,…,xn)іQ(x1,x2,…,xn)дорівнюють1.

Диз’юнкцієюP(x1,x2,…,xn)∨Q(x1,x2,…,xn) називають предикатT(x1,x2,…,xn),щонабуваєзначення1натихітількитихнаборахзна-ченьтермів,наякихпринаймніодинізпредикатівP(x1,x2,…,xn)абоQ(x1,x2,…,xn)дорівнює1.

Запереченням¬P(x1,x2,…,xn)предикатаP(x1,x2,…,xn)називаютьпредикатS(x1,x2,…,xn),щодорівнює1натихілишетихнаборахзна-ченьтермів,наякихпредикатP(x1,x2,…,xn)дорівнює0.

Аналогічновводятьйіншілогічніоперації→,~тощо.Знаючи,яквиконуютьсяокреміоперації,можнаутворювативира-

зиабоформули,операндамиякихєпредикати.Наприклад,формулаP1(x)∨(¬P3(x,z)→P2(y,x,z))задаєдеякийпредикатQ(x,y,z).Зна-ченняпредикатаQневажкообчислитидлябудь-якогонаборузначеньйоготермівx,y,z,виходячизізначеньпредикатівP1,P2,P3нацьомунаборі.

НехайP(x)—предикатнамножиніM.Тодікванторзагальності—цеоперація,щоставитьувідповідністьP(x)висловлення“длявсіхxзMP(x)істинно”;дляпозначенняцієїопераціївикористовуютьзнак∀,записують∀xP(x)(читається:“длявсіхxPвідx”).

Іншу операцію називають квантором існування і позначають їїзнаком∃.ЯкщоQ(x)—деякийпредикатнамножиніM,товисловлен-ня“існуєумножиніMелементxтакий,щоQ(x)істинно”записуютьувигляді∃xQ(x)ічитають“існуєтакийx,щоQвідx”або“єтакийx,щоQвідx”.

79

Приклад8.2.Розглянемодва бінарніпредикатинамножиніна-туральнихчисел:предикат“xменшеy”іпредикат“xділитьy”.Пер-шийзнихзаписуватимемоутрадиційнійформіx<y,адругий—увиглядіx|y.Тодіневажкопереконатись,щовисловлення∀x∃y(x<y)і∀x∃y(x|y) є істинними, а висловлення∃y∀x(x<y) і∃y∀x(x|y)—хибні.Істиннимибудуть,наприклад,висловлення∀x(0<x2–x+1),∃x((x|1)∧(¬(1<x))), ∀x((x<1)→(x<2)), ∀x(((2|x)∧ (3|x))→→ (6|x)), а висловлення ∀x(2|x), ∃x(x2<0), ∀x((3|x)→(6|x))—хибні.

Областюдіїквантораназиваютьвираз,доякоговідноситьсяцейквантор.Областьдіїкванторапозначаютьзадопомогоюдужок.Лівадужка,щовідповідаєпочаткуобластідії,записуєтьсябезпосередньопіслякванторноїзмінноїквантора,авідповіднаїйправадужкаозна-чаєзакінченняобластідіїцьогоквантора.Там,деценевикликаєне-визначеності,дужкиможнавипускатиізамість∀x(P(x))або∃x(P(x))записувативідповідно∀xP(x)або∃xP(x).

Приклад8.3.Увсіхнижченаведенихкванторнихвиразахобластьдіїкванторапідкреслено.

∃x((3|x)→(6|x)), ∃x(3|x)→(6|x), ∀x((x2 < 9)→(x < 3)), ∀x(x2 < 9)→(x < 3).

НехайP(x)—деякийпредикатнаM.ПерехідвідP(x)до∀xP(x)або∃xP(x)називаєтьсязв’язуваннямзмінноїx.Іншіназви—навішу-ванняквантораназміннуx(абонапредикатP(x)),абоквантифікаціязмінноїx.Зміннаx,наякунавішеноквантор,називаєтьсязв’язаною,інакшезміннаxназиваєтьсявільною.

Навішуватикванториможнайнабагатомісніпредикати.Напри-клад,застосовуючиквантори∀і∃дозміннихxіyдвомісногопреди-катаA(x,y),отримуємочотирирізніодномісніпредикати∀xA(x,y),∃xA(x,y),∀yA(x,y)і∃yA(x,y).Упершихдвохзміннаxєзв’язаною,азміннаy—вільною,аудвохостанніх—навпаки.

Вираз∀xA(x,y)(читається“длявсіхxAвідxіy”)єодноміснимпредикатомB(y).Вінєістиннимдлятихітількитихb∈M,дляякиходноміснийпредикатA(x,b)єістиннимдлявсіхxзM.

Приклад8.4.РозглянемодвоміснийпредикатA(x,y),означенийнамножиніM=a1,a2,a3,a4задопомогоютабл.4.

80

Таблиця 4

x \ y a1 a2 a3 a4

a1 0 1 1 0

a2 0 1 1 1

a3 0 0 1 1

a4 0 0 1 0

Таблиці істинностідлячотирьохвідповідниходноміснихпреди-катів,отримуванихз A(x, y) навішуваннямодногоквантора,наведеноутабл.5.

Таблиця 5

y ∀xA(x, y) y ∃xA(x, y) x ∀yA(x, y) x ∃yA(x, y)

a1

a2

a3

a4

0

0

1

0

a1

a2

a3

a4

0

1

1

1

a1

a2

a3

a4

0

0

0

0

a1

a2

a3

a4

1

1

1

1

Увсіхчотирьохвипадкахдовільноїзмінної,щозалишилась,мож-назастосовуватиодинізкванторів і,зв’язавшивтакийспосібобидвізмінні,перетворитивідповідніпредикатиувисловлення.

Урезультатіотримаємотаківисловлення:∀x(∀yA(x, y)) = 0, ∀y(∀xA(x, y)) = 0,

∃x(∃yA(x, y)) = 1, ∃y(∃xA(x, y)) = 1,

∃y(∀xA(x, y)) = 1, ∃x(∀yA(x, y)) = 0,

∀y(∃xA(x, y)) = 0, ∀x(∃yA(x, y)) = 1.Застосування кванторів до всіх змінних предиката перетворює

його на висловлення (іноді таку предикатну формулу називаютьзамкненою).

1.Бінарний предикат P(x,y) задано на універсальній множиніM=a,bтаблицею:

1)

x \ y a b

a 0 1

b 1 1

81

2)

x \ y a b

a 1 1

b 0 0

3)

x \ y a b

a 0 1

b 0 1

Визначитиістинністьформули.(а) ∀xP(x,a);(б) ∀xP(x,b);(в) ∃xP(x,a);(г) ∃xP(x,b);(д) ∀yP(a,y);(е) ∀yP(b,y);(є) ∃yP(a,y);(ж)∃yP(b,y);(з) ∀x∀yP(x,y);(и) ∀y∀xP(x,y);(і) ∃x∃yP(x,y);(ї) ∃y∃xP(x,y);(й) ∀x∃yP(x,y);(к) ∃y∀xP(x,y);(л) ∀y∃xP(x,y);(м)∃x∀yP(x,y).

2.Сформулюватинаведенетвердженнязвичайноюмовою:(а) (P(x,y)∧Q(y,z))→P(x,z), деP—предикат “передує” іQ—

предикат“збігаються”,x,y,z∈N;(б) ¬((D(x,2)∧D(x,6))→D(x,12),деD—предикат“ділитьсяна”,

x ∈N;(в) (((D(x,n)∧D(x,m))→D(x,nm))~V(n,m), де D— предикат

“ділитьсяна”,V—предикат“взаємнопрості”,x, n, m∈N;(г) (P(x,y)∧P(y,z))→(P(x,z)∨Q(x,z)),деP—предикат“пара-

лельніпрямі”іQ—предикат“збігаються”,x,y,z—прямі.

3.Зобразититаблицямиодномісніпредикати:“числоx кратне2ікратне3”і“числоx кратне2абократне3”науніверсальніймножинінатуральнихчисел1,2,...,12.

82

4. Зобразити таблицею двомісний предикат, заданий нерівністю|x+y|≤2,деxіyналежатьпредметнійобластіM=–3,–2,–1,0,1,2,3.

5.Нехайзаданопредикати:N(x)—“x—натуральнечисло”,Z(x)—“x—цілечисло”,P(x)—“x—простечисло”,E(x)—“x—парнечисло”,O(x)—“x—непарнечисло”,D(x,y)—“xділитьсянаy”.Сформулю-вати звичайноюмовою такі висловлення та визначити їх значенняістинності:

(а) P(2);(б) P(1);(в) E(2)∧P(2);(г) ∀x(D(x,2)→E(x));(д) ∃x(E(x)∧D(6,x));(е) ∀x(N(x)→Z(x));(є) ∃x(Z(x)→N(x));(ж)∀x(Z(x)→N(x));(з) ∃x(Z(x)→(O(x)∨E(x));(и) ∀x(Z(x)→(E(x)∨¬E(x));(і) ∀x(P(x)→ ∃y(E(y)∧D(y,x)));(ї) ∀x∀y(O(x)→(P(y)→D(y,x)));(й) ∀x∃y((Z(x)∧Z(y))→D(x,y)));(к) ∃y∀x((Z(x)∧Z(y))→D(x,y)));(л) ∀x∀y((O(x)∧E(y))→¬D(x,y));(м)∀x∃y((O(y)∧E(x))→D(x,y)).

6.Нехайx,y—якісьлюди,предикатF(x,y)означає“xбатькоy”.Сформулюватизвичайноюмовоютаківисловленнятавизначитиїхзначенняістинності:

(а) ∀x∀yF(x,y);(б) ∀y∃xF(x,y);(в) ∃x∀yF(x,y);(г) ∃y∃xF(x,y);(д) ∀x∃yF(x,y);(е) ∃y∀xF(x,y).

7. Перед пропозиційноюформою написати відповідні кванторитак,щоботриматиістинневисловлення(x,y,z—дійснічисла).

(а) x≥0;(б) 5x=15; (в) x2+1>0;

83

(г) (x+y)z=xz+yz;(д) x+y=5+x;(е) (x=y)∨(x>y)∨(x<y).

8.НехайP(x)—предикат“3|x”,аQ(x)—предикат“6|x”наунівер-сальніймножині1,2,3,...,15.Зобразититаблицеюпредикат

(а)P(x)∨Q(x);(б)P(x)∧Q(x);(в)¬P(x)∨Q(x);(г)P(x)→Q(x);(д)Q(x)→P(x);(е)P(x)∨¬Q(x).

9.Довести, що область істинності предиката P(x1, x2, …, xn)∧∧ Q(x1, x2, …, xn) збігаєтьсязтеоретико-множиннимперетиномоблас-тейістинностіпредикатів P(x1, x2, …, xn) іQ(x1, x2, …, xn).

10.Довести, що областю істинності предиката P(x1, x2, …, xn)∨∨ Q(x1, x2, …, xn) є об’єднання областей істинності предикатів P(x1, x2, …, xn) іQ(x1, x2, …, xn).

11.Довести,щообластюістинностіпредиката ¬P(x1, x2, …, xn) єдо-повнення (домножини M n) областіістинностіпредикатаP(x1, x2, …, xn).

12.Довести, що область істинності предиката P(x1, x2, …,xn) →→ Q(x1,x2,…,xn) збігаєтьсязобластюістинностіпредиката.

(а) ¬P(x1, x2,…,xn)∨Q(x1,x2,…,xn);(б) ¬(P(x1, x2,…,xn)∧¬Q(x1,x2,…,xn)).

13.Довести, що область істинності предиката P(x1, …,xn)~~Q(x1,…,xn) збігаєтьсязобластюістинностіпредиката.

(а) (¬P(x1,…,xn)∨Q(x1,…,xn))∧(P(x1,…,xn)∨¬Q(x1,…,xn));(б) (¬P(x1,…,xn)∧¬Q(x1,…,xn))∨(P(x1,…,xn)∧Q(x1,…,xn));(в) (P(x1, …,xn)→Q(x1,…,xn))∧(Q(x1, …,xn)→P(x1,…,xn)).

14. Виразити область істинності предиката через області істин-ностівідповіднихелементарнихпредикатів.

(а) (P(x)∨¬Q(x))∧R(x)∨¬R(x)∧¬P(x);(б) (P(x)→R(x))∧(Q(x)→¬R(x))∧(P(x) → ¬R(x));(в) ¬(P(x)∨Q(x))~(¬P(x)∨¬Q(x));(г) (¬P(x)→Q(x))∨P(x) ∧Q(x).

84

15.ЗобразитинакоординатнійплощиніобластьістинностіданогобінарногопредикатаP(x,y),предметноюобластюякогоємножинаRдійснихчисел.

(а) (x2–y2=0)∨(x2+y2=4);(б) (|x–y|≤2)∧¬(y>0); (в) (x≥0)→(y<0);(г) (|x+y|<2)~(x2+y2≥1);(д) (2x – y≥0)→¬(x<0);(е) (x2–y2<3)~(|x–y|≥1).

16.Перевірити за допомогою діаграмВенна таметоду логічнихтаблиць,чиєнесуперечнимтакийнабіртвердженьпровластивостіP,Q,R:

(а) 1)Множинаелементів,якінемаютьвластивостіQ,алемаютьвластивістьR,порожня.

2)Кожен елемент,щомає властивістьR,має такожвласти-вістьP.

3)Множинаелементів,щомаютьвластивістьP,аленемаютьанівластивостіQ,анівластивостіR,непорожня.

4)Множинаелементів,щомаютьвластивостіPіR,єпідмно-жиноюмножиниелементів,щомаютьвластивістьQ.

(б) 1)Множинаелементів,щомаютьвластивістьR,непорожня. 2)Коженелемент,щомаєвластивістьP,маєтакожвластивість

R. 3)Будь-якіелементи,щомаютьвластивостіQіR,маютьта-

кожвластивістьP. 4)Множинаелементів,щомаютьвластивостіPіR,порожня.(в) 1)Множинаелементів,щомаютьвластивістьP,непорожня. 2)Множинаелементів,щомаютьвластивостіPіQ,порожня. 3)Немаєелементів,щомаютьодночасновластивостіPіR. 4)Множинаелементів,щомаютьвластивістьP,аленемають

анівластивостіQ,анівластивостіR,порожня.

17. Записати символікою логіки предикатів твердження: “ЯкщоякийсьелементxмаєвластивістьPінемаєвластивостіQ,тозтого,щоxнемаєвластивостіR,випливає,щоелементxможеабонемативластивостіP,абомативластивість Q”.

18.НехайнауніверсальніймножинілюдейБ(q,x)означає:“q—батькоx”,М(p,x)означає:“p—матиx”,Ч(x)означає:“x—чоловік”.ЗаписатичерезпредикатиБ,М,Ч,що:

85

(а) a—братb;(б) aіb—брати;(в) a—небіжb;(г) a—дідусьb;(д) a—онук,аb — онучкаc;(е) a—сестрабатькаb.

19.Означимоначисловійуніверсальніймножинітернарні преди-катиД(x,y,z)іМ(x,y,z)так:

Д(x,y,z)=1тодійтількитоді,колиx+y=z,М(x,y,z)=1тодійтількитоді,колиxy=z.Сформулюватисловамисмислнаведеноїформулиівизначитиїї

істинність,якщоуніверсальноюмножиноює1)N;2)Z;3)Q;4)R.(а) ∃y∀xД(x,y,x);(б) ∃y∀xМ(x,y,x);(в) ∀x∃yД(x,y,x);(г) ∀x∃yМ(x,y,x);(д) ∀x∀z∃yД(x,y,z);(е) ∀x∀z∃yМ(x,y,z).

20.Зобразититабличновсідвомісніпредикати,означенінаодно-елементнійуніверсальніймножиніM=a.

21.Зобразититабличновсідвомісніпредикати,означенінадвох-елементнійуніверсальніймножиніM=a,b.

22.Визначити,скількиєрізнихтриміснихпредикатів,означенихна:(а)одноелементнійуніверсальніймножині;(б)двохелементнійуніверсальніймножині.Відповідьобґрунтувати.

23.Визначити,скількиєрізнихn-міснихпредикатів,означенихнауніверсальніймножині,щоміститьkелементів.

24.Визначитиобластьдіїкожногоквантора.(а) ∃x(P(x)→∀y((Q(y)∨∃zP(z))~¬P(y)));(б) ∃x(P(y)→ (P(x)∧∃z(Q(z)~(∃y(Q(y)∨Q(x)))))∧ ∀x(P(x)→

→ ¬Q(y));(в) ∀x((x2y>0)→ ∃y(y>0));(г) ∃x(x>3)∧ ∀x∀y(xy2>0).

86

25. Вказати вільні й зв’язані змінні в наведеному виразі. Длякожної зв’язаної змінної визначити, яким саме квантором воназв’язана.

(а) (P(x)→(∀y(Q(x,y)∨ ∃zP(z)))~¬P(z));(б) ∃x(P(y) →(P(x)∧ ∃z(Q(z)~∃y(Q(y)∨Q(x))))∧ ∀x(P(x)→

→ ¬(∃zQ(z)));(в) ∀x((x2y>0)→(y>0));(г) (x>1)∧ ∀x∀y(xy2>0);(д) ∀x∀y((x<y)→ ∃z((x<z)∧(z<y))).

26.НехайуніверсальноюмножиноюємножинаRдійснихчисел.Визначити, є наведений вираз висловленням чи висловлювальноюформою.Упершомувипадкувказати,істиннечихибневисловлення;удругому—навіситикванторитак,щободержатиістинневисловлення.

(а) ∃y(x<y);(б) ∀x(x2+y2=1);(в) ∃y∀x(xz=xy);(г) ∀x∃z(x+y=z);(д) ∀x∀y∃z(xy=z);(е) (x<4)→(|x|<2);(є) ∀y∃z(yz=x—2);(ж)∃p∀x(x2+px+q>0).

27.Порівнятиобластьдіїквантораізначенняістинностідвохви-разів(універсальноюмножиноюємножинаNнатуральнихчисел).

(а) ∀x(x>2)→(1>2)і∀x((x>2)→(1>2));(б) ∃x(x|12)→(5|12)і∃x((x|12)→(5|12));(в) ∀x(x>2)→(3>2)і∀x((x>2)→(3>2));(г) ∃x(x|12)→(3|12)і ∃x((x|12)→(3|12)).

28. Універсальна множина— це множина N натуральних чисел.Проаналізуватиобластьдіїкванторів і значення істинностівислов-лення.

(а) ∀x∀y(∃z((z>x)∧(z<y))~(x<y));(б) ∀x∀y∃z(((z>x)∧(z<y))~(x<y)).

87

9. ФоРМули. інТеРпРеТація. ТоТожно ісТинні ФоРМули. РівносильнісТь ФоРМул

Поняттяформулилогікипредикатів(предикатноїформулиабопростоформули)напредметнійобластіMозначимоіндуктивно.

1.УсіпредикатиP(x1,x2,…,xn)намножиніMєформулами.Такіформулиназиваютьелементарними,абоатомарними.

2.ЯкщоAіB—формули,то(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A~B)такожєформулами.

3.ЯкщоA(x)—формула,аx—вільназміннавA(x),то(∀x(A(x)))і(∃x(A(x)))такожформули.

4.Іншихформул,крімутворенихзаправилами1–3,немає.Зокрема, усі формули алгебри висловлень є формулами логіки

предикатів,оскількивисловлення—ценульмісніпредикати.Для зручності домовляютьсяпро такіправила скороченнякіль-

костідужокуформулах.По-перше,залишаютьусіумовискороченнякількостідужок,якібулоприйнятовалгебрівисловлень,виходячизпріоритетулогічнихоперацій.По-друге,традиційновипускаютьзов-нішнідужки.Вважають,щокванторимаютьбільшийпріоритет,аніжлогічніоперації.Випускаютьтакождужки,щопозначаютьобластьдіїквантора,якщоостанняєелементарноюформулою.Нарешті,непи-шутьдужкиміжкванторами,щослідуютьодинзаодним.Прицьомутакікванторніопераціївиконуютьупорядку,зворотномудоїхсліду-вання(справаналіво).

НехайA=<M,Ω,π>—алгебричнасистема.Інтерпретаціячислен-ня(формальноїтеорії)TскладаєтьсязмножиниMівідображенняγ,щоставитьувідповідністькожнійпредикатнійзміннійпевневідно-шення(предикат)R∈πнамножиніM,кожнійфункціональнійбукві(якщотаківтеоріїє)—якусьопераціюϕ∈Ω намножиніM,кожнійвільнійпредметній змінній— елементмножиниM.Постійні термичислення (тобто терми,що не містять предметних змінних) такожвідображаютьсяв елементимножиниM.НосійM алгебричної сис-теминазиваютьобластюінтерпретації,асамуалгебричнусистему—інтерпретацієюформальноїтеоріїT.РезультатомінтерпретаціїтеоріїTбудеінтерпретаціяформулчисленняTнамножиніM.

НехайF(x1,x2,…,xn)—деякаформулалогікипредикатівнамно-жині(областіінтерпретації)M.Прилогічній(істиннісній)інтерпре-таціїформулиFможливітакіситуації.

88

1.ІснуєінтерпретаціянамножиніM,дляякоїформулаFперетво-рюєтьсянаістинневисловлення.УцьомуразіформулаFназиваєтьсявиконуваноювобластіM.

ЯкщодляFіснуєобластьM,вякійFєвиконуваною,тоформулаFназиваєтьсяпростовиконуваною.

2.ЯкщоформулаFнабуваєзначення1(тобтоєвиконуваною)длявсіхінтерпретаційнамножиніM,товонаназиваєтьсятотожноістин-ноювM.

Формула, тотожно істиннавбудь-якихM,називаєтьсятотожноістинною,абологічнозагальнозначущою(скорочено—лзз).

3.ЯкщоформулаFєневиконуваноювM,товонаназиваєтьсято-тожно хибною в M.Формула, невиконувана в усіхM, називаєтьсятотожнохибною,абосуперечністю.

Приклад9.1.1)Нехайзаданопредикатнуформулу∀y(P(x,y)→→ ¬Q(y)).ПобудуємотакуїїінтерпретаціюнамножиніNнатураль-нихчисел.ПредикатнійзміннійPпоставимоувідповідністьбінарневідношення (предикат) x|y, зміннійQ— унарне відношення (пре-дикат)“y—простечисло”,авільнійпредметнійзміннійx—число4(елементмножиниN).Унаслідоктакої інтерпретаціїдістанемовис-ловлення∀y((4|y)→ ¬“y—простечисло”), істинненамножиніN.Неважко змінити інтерпретацію даноїформули так,щоб одержатихибневисловленнянамножиніN(наприклад,замінитизміннуxна2таін.).Отже,цяформулавиконувана(бовиконувананамножиніN),однаквонанеєтотожноістинною(зокрема,томущовонанетотожноістиннанамножиніN).

2)Формула∃xP(x,y)→∀xP(x,y)євиконуваноюітотожноістин-ною в усіх одноелементних областях M. Формула P(x1,x2,…,xn) ∨∨ ¬P(x1,x2,…,xn) тотожно істинна, а формула P(x1,x2,…,xn)∧∧ ¬P(x1,x2,…,xn)тотожнохибна.Тотожноістиннимибудутьформули∀xP(x)→P(y)іP(y)→∃xP(x).

Формули P1 і P2 логіки предикатів називають рівносильними(еквівалентними)наобластіінтерпретаціїM,якщозавсіхможливихінтерпретаційнаMвонинабуваютьоднаковихзначеньістинності.

ФормулиP1 іP2,рівносильнінадовільнійобласті інтерпретації,називаютьрівносильними(логічнорівносильними,абологічноекві-валентними)іпозначаютьP1=P2.

Приклад9.2.1)Неважкопереконатисьурівносильностіформул,якаописуєпереставністьоднойменнихкванторівудвоміснихпреди-катах:∀x∀yP(x,y)=∀y∀xP(x,y)і∃x∃yP(x,y)=∃y∃xP(x,y).

89

2)Доведеморівносильність,щоописуєдистрибутивністькванто-разагальностіщодокон’юнкції∀x(P(x)∧Q(x))=∀xP(x)∧ ∀xQ(x).

Нехай ліва частина цього співвідношення є істинною для яки-хосьпредикатівP іQ,визначенихнадеякійуніверсальніймножиніM.Тодідлябудь-якогоa∈M істинноюбудекон’юнкціяP(a)∧Q(a),томуP(a) іQ(a)одночасно істиннідлядовільних,aотже,формула∀xP(x) ∧∀xQ(x)єістинною.Якщолівачастинахибна,тоцеозначає,щодляякогосьa ∈MхибнимєабоP(a),абоQ(a).Томухибнимбудеабо∀xP(x),або∀xQ(x),аотже,хибноюбудейправачастина.

3)Доведемощеоднекориснеіпопулярневлогіцітаматематицірівносильнеспіввідношення:¬(∃xP(x))=∀x(¬P(x)).

НехайдлядеякихпредикатаPіпредметноїобластіMлівачастинаістинна.Тодіне існуєa∈M, дляякогоP(a) істинне.Отже, длявсіхa∈MP(a) хибне, тобто¬P(a) істинне.Такимчином,права частинаєістинною.Якщолівачастинахибна,тоіснуєb∈M,дляякогоP(b)істинне,тобто¬P(b)—хибне.Отже,правачастинабудетакожхиб-ною.

Можливістьпроведеннярівносильнихперетвореньдляпредикат-нихформулдаєзмогуозначитивлогіціпредикатівпоняттяпевноїканонічної,абонормальної,форми.

Формула,щомаєвиглядQ1x1Q2x2…QnxnF,деQ1,Q2,…,Qn—кван-тори,аF—формула,яканеміститькванторівієобластюдіївсіхnкванторів, називається випередженою (пренексною) нормальноюформулою,абоформулоюувипередженійформі.

Формула, яка знаходиться у випередженій формі і рівносильнаформуліF,називаєтьсявипередженою(пренексною)формоюF.

1.Довести,щоколипредикатнаформулаP1∧P2∧…∧Pk викону-вана,товиконуваноюєкожназформулPi,i=1,2,…,k.Чиправильнеоберненетвердження?

2. Довести, що предикатна формулаP1∨P2∨…∨Pk виконуванатодійтількитоді,коливиконуваноюєпринаймніодназформулPi,i=1,2,…,k.

3.Довести,щоколиформула∃x∀yP(x,y)євиконуваною,товико-нуваноюбудейформула ∀y∃xP(x,y).

4.Довести,щопредикатнаформула∀x(P(x) →P(y))виконувананабудь-якійнепорожніймножині.

90

5.Довести,щопредикатнаформулаP(x,y)∨¬P(x,z)∨P(y,x)∨¬P(y,z)∨P(z,x)∨¬P(z,y)(а) виконувана на будь-якій множиніM, що містить не менше

трьохелементів;(б) єневиконуваноюнадвохелементніймножиніM.

6.Довести,щоколиформулаAлогікипредикатіввиконувананамножиніM, тоA виконувананабудь-якіймножиніM1, потужністьякоїнеменшазапотужністьмножиниM.

7.Довести,щоколиформулаAлогікипредикатіввиконувананаодноелементніймножині,тоAвиконувананабудь-якійнепорожніймножині.

8.Довести,щоформулалогікипредикатівQ(x)∧¬Q(y)викону-вананадвохелементніймножині,аленеєвиконуваноюнаодноеле-ментніймножині.

9.Довести,щоформулалогікипредикатів∃y∀x(Q(x)∧¬Q(y))єневиконуваною.

10.Перевірити (довести чи спростувати), чи буде виконуваноюформула∀x∃y(Q(x)∧¬Q(y)).

11.Довести,щоформулалогікипредикатів∃x∃y((P(x))∨Q(y))∧ ∧(¬P(x)∧¬Q(y)))єневиконуваною.

12.Визначити, на якій множині формула логіки предикатівP(x)→P(y)є:

(а) виконуваною;(б) тотожноістинною.

13.Довести,що:(а) формулаP(x)логікипредикатіввиконуванатодійтількитоді,

коливиконуваноюєформула∃xP(x);(б) формулаP(x)логікипредикатівтотожноістиннатодійтільки

тоді,колитотожноістинноюєформула∀xP(x).

14.Довести, що формула логіки предикатів ∀x∀y(P(x,y)∨∨ ¬Q(x,y))виконувананадовільніймножині,аленеєтотожноістин-ною.

15.Записатиформулулогікипредикатів,якаміститьдвоміснийпредикат ієтотожно істинноюнатриелементніймножині,аленеєтотожноістинноюнамножині,щоміститьбільшеніжтриелементи.

91

16.Навестиприкладформулилогікипредикатів,яканеєвикону-ваноюнамножині,щоміститьрівнотриелементи,алевиконувананамножині,щоміститьбільшетрьохелементів.

17.Довести, що формула логіки предикатів ∃x∀y(P(x,y)∧∧ ¬P(x,y))невиконувана.

18.Довести,щоформулалогікипредикатів∀x∃yP(x,y)∧ ∀x(¬P(x,x))∧ ∀x∀y∀z(P(x,y)∧P(y,z)→P(x,z))

єневиконуваноюнамножині,якаміститьрівночотириелементи.Чибудевонавиконуваноюнамножині,щоміститьбільшечотирьохеле-ментів?Відповідьобґрунтувати.

19.Довести,що відношення рівносильності формул логіки пре-дикатів має властивості рефлексивності, симетричності та транзи-тивності,тобтоєеквівалентністю.

20.Довести, що формули логіки предикатів ∀x(P(x)→P(y)) і∀x(P(x))→P(y)рівносильнінабудь-якійодноелементніймножиніa.

21.Побудувавшивідповіднуінтерпретацію,довести,щоформулилогікипредикатів∀x(P(x)→P(y)) і∀x(P(x))→P(y)нерівносильнінамножині,якаміститьбільшеодногоелемента.

22.Визначити,чиіснуєінтерпретаціязносіємM=a,b,дляякоїбулабвиконуваноюформула∀x∃y(P(x,y,z)∨Q(x,y,z)).

23.Методом побудови інтерпретації над довільною (непорож-ньою)множиноюдовестирівносильність.

(а)¬(∃xP(x))=∀x(¬P(x));(б)¬(∀xP(x))=∃x(¬P(x));(в)∃xP(x)=¬(∀x(¬P(x)));(г)∀xP(x)=¬(∃x(¬P(x))).

24.Методомпобудовиінтерпретаціїнаддовільноюнепорожньоюмножиноюдовестирівносильність:

(а) ∀x∀yP(x,y)=∀y∀xP(x,y);(б) ∃x∃yP(x,y)=∃y∃xP(x,y).

25. Показати, що формули логіки предикатів ∀x∃yP(x,y) і∃y∀xP(x,y) рівносильні на будь-якій одноелементній множині, аленеєрівносильниминамножині,щоміститьбільшеодногоелемента.

92

26.Довести,щоформула∃xP(x,y)→ ∀xP(x,y) є тотожно істин-ноювусіходноелементнихпредметнихобластяхM.

27.Довести,щоформулилогікипредикатів PіQрівносильнітодійтількитоді,колиформулаP~Qтотожноістинна.

28.Довести,щоформулилогікипредикатів PіQрівносильнітодійтількитоді,колиформула(P →Q)∧(Q→P)тотожноістинна.

29.Довести,щоформулаP(x1,x2,...,xn)∨¬P(x1,x2,...,xn)тотожноістинна,аформулаP(x1,x2,...,xn)∧¬P(x1,x2,...,xn)тотожнохибна.

30.НехайзміннаxєвільноюзмінноюуформуліB(x)інеєвільноюуформуліA.Довести,що:

(а) коли формула A→B(x) тотожно істинна, то формулаA→ ∀xB(x)такожтотожноістинна;

(б) коли формула B(x)→A тотожно істинна, то формула∃xB(x)→Aтакожтотожноістинна.

31.Довести,щонаведенаформулаєтотожноістинною.(а) ∀xP(x)→P(y);(б) P(y)→ ∃xP(x).

32.Довести,щоформула∀xP(x)→ ∃xP(x)тотожноістинна.

33.Довести,щонаведенаформулалогікипредикатів є тотожноістинною.

(а) ∃xP(x)~¬∀x(¬P(x));(б) ∃x(¬P(x))~¬∀xP(x);(в) ¬∃xP(x)~∀x(¬P(x));(г) ¬∃x(¬P(x))~∀xP(x).

34. Довести,що для довільних предикатнихформулP1,P2,…,Pkформула (P1∧P2∧…∧Pk)→Pi є тотожно істинноюдля будь-якогоi=1,2,…,k.

35. Довести,що для довільних предикатнихформулP1,P2,…,PkформулаPi→(P1∨ P2 ∨…∨Pk) є тотожно істинноюдля будь-якогоi=1,2,…,k.

36.Перевірити(довестичиспростувати)рівносильність.(а) ∀x(P(x)∨Q(x))=∀xP(x)∨ ∀xQ(x);(б) ∃x(P(x) ∧ Q(x))=∃xP(x) ∧ ∃xQ(x);(в) ∀x(P(x)→Q(x))=∀xP(x)→ ∀xQ(x);

93

(г) ∃x(P(x)→Q(x))=∃xP(x)→ ∃xQ(x);(д) ∀x(P(x)~Q(x))=∀xP(x)~∀xQ(x);(е) ∃x(P(x)~Q(x))=∃xP(x)~∃xQ(x).

37.Довести,що:(а) ∀x(P(x)∧Q(x))=∀xP(x)∧ ∀xQ(x);(б) ∃x(P(x)∨Q(x))=∃xP(x)∨ ∃xQ(x);(в) ∃x(P(x)→Q(x))=∀xP(x)→ ∃xQ(x);(г) ∀x(P(x)→Q(x))=∀x(¬Q(x)→¬P(x)).

38.Навестиприкладитвердженьякматематичного,такінемате-матичногозмісту,вякихєкванторнівирази“длякожного”і“існує”ізначенняістинностіякихзмінюєтьсявразізмінипорядкуслідуванняцихвиразів.

39.Перевірити(довестичиспростувати)твердження,щоколивбудь-якійформулілогікипредикатівAпомінятимісцямидваодно-йменніквантори,тоотриманаприцьомуформулабудерівносильнаA.

40.Придумайтедвависловлення,якімаютьвигляд∀x∃yP(x,y)та∃y∀xP(x,y)ітакі,що:

(а) обидвавониістинні;(б) обидвавонихибні;(в) першезних—істинне,адруге—хибне.

41.Придумайтедвависловлення,якімаютьвигляд∀x∃yP(x,y)і∃x∀yP(x,y),так,щоб:

(а) обидвавонибулиістинними;(б) обидвавонибулихибними;(в) першезнихбулоістинним,адруге—хибним;(г) першезнихбулохибним,адруге—істинним.

42.Побудувавши відповідну інтерпретацію (контрприклад), до-вести,щонаведеніформулилогікипредикатівнеєрівносильними.

(а) ∃x(P(x)∧Q(x))і∃xP(x)∧ ∃xQ(x);(б) ∀x(P(x)∨Q(x))і∀xP(x)∨ ∀xQ(x);(в) ∃xP(x)→ ∃xQ(x)і∃x(P(x)→Q(x)).

43.Довести,щонаведенаформулаєтотожноістинною.(а) (∀xP(x) ∨ ∀xQ(x))→ ∀x(P(x)∨Q(x));(б) ∃x(P(x)∧Q(x)) →(∃xP(x)∧ ∃xQ(x));

94

(в) ∀x(P(x)→Q(x)) →(∀xP(x)→ ∀xQ(x));(г) ∀x(P(x)→Q(x)) →(∃xP(x)→ ∃xQ(x));(д) ∀x(P(x)~Q(x))→(∀xP(x)~∀xQ(x));(е) ∀x(P(x)~Q(x))→(∃xP(x)~∃xQ(x)).

44.ПредметноюобластюунарнихпредикатівP(x) іQ(x) ємно-жинаM.ЩоможнасказатипромножинуM,якщонаведенаформулалогікипредикатівєтотожноістинноювM?

(а) ∀x(P(x)→Q(x))∧ ∃x(¬P(x)∧Q(x));(б) ¬(∃x(P(x)∧Q(x)))∧ ∃x(P(x)→Q(x)).

45.Довестичиспростуватирівносильність.(а) ∀x(P(x) →(Q(x)→R(x)))=∀x(Q(x)→(P(x)→R(x)));(б) ∀x(P(x)→(Q(x)→R(x)))=∀x(P(x)→(R(x)→Q(x))).

46.Показати,щоформулилогікипредикатів∀x(P(x)→ ∀yQ(y))і∀x∀y(P(x)→Q(y)))рівносильні.

47.Довестичиспростуватитвердженняпрорівносильність (ло-гічнуеквівалентність)такихформуллогікипредикатів:

(а) ∀y∀x(P(x)→Q(y))=∀y(∀xP(x)→Q(y));(б) ∀x(P(x)→Q(y))=∀x(P(x))→Q(y);(в) ∃x(P(x)→ Q(y))=∃x(P(x))→Q(y);(г) ∀x(P(x))→P(y)=∀x(P(x)→P(y));(д) Q(y)→ ∃xP(x)=∃x(Q(y)→P(x));(е) ∀x((P(x)→Q(x))∨(Q(x)→P(x))=∀x(P(x)→Q(x))∨

∨ ∀x(Q(x)→ P(x)).

48.Довестирівносильність.∃x(P(x)~Q(x))=∀x(P(x)∨ Q(x))→ ∃x(P(x)∧Q(x)).

49.Показати, що формули логіки предикатів ∀x∃y∀zP(x,y,z)і ∀z∃y∀xP(x,y,z) не є рівносильними на двохелементній множиніa,b.

50.Довестирівносильність.(а) ∀x(P(x))∧Q(y)=∀x(P(x)∧Q(y));(б) ∀x(P(x))∨Q(y)=∀x(P(x)∨Q(y));(в) ∃x(P(x)∨Q(y))=∃x(P(x))∨Q(y);(г) ∃x(P(x)∧Q(y))=∃x(P(x))∧Q(y);(д) ∃x(P(x))→Q(y)=∀x(P(x)→Q(y));(е) ∀x(P(x))→Q(y)=∃x(P(x)→Q(y)).

95

51.Довестирівносильність.(а) ∃x∀y(P(x)∧Q(y))=∀y∃x(P(x)∧Q(y));(б) ∃x∀y(P(x)∨Q(y))=∀y∃x(P(x)∨Q(y));(в) ∃x∀y(P(x)→Q(y))=∀y∃x(P(x)→Q(y)).

52.Перевірити(довестичиспростувати)рівносильність.(а) ∀x∃y(P(x)→Q(y))=∃y∀x(P(x)→Q(y));(б) ∀x∃y(P(x)~Q(y))=∃y∀x(P(x)~Q(y)).

53.Визначити,якізнаведенихтвердженьлогічнорівносильні.1) Неправильно,щовсіxмаютьвластивістьP.2) НевсіxмаютьвластивістьP.3) УсіxнемаютьвластивостіP.4) ДеякіxнемаютьвластивостіP.5) Усіxмаютьвластивість,протилежнудоP.6) ДеякіxмаютьвластивістьP.7) Існуєx,якемаєвластивістьP.8) ЖоднеxнемаєвластивостіP.9) УсіxмаютьвластивістьP.

54.Визначити,якезнаведенихтвердженьлогічнорівносильнеза-переченнютвердження“жоднеxнемаєвластивостіP”.

1) Будь-якеxмаєвластивістьP.2) ДеякіxмаютьвластивістьP.3) Існуєтакеx,щомаєвластивістьP.4) Неправильно,щожоднеxнемаєвластивостіP.

55.Сформулюватирізніваріантизапереченнянаведеноготверд-женняівизначитизначенняістинностіотриманоговисловлення.

(а) Усінатуральнічислапарні.(б) Деякітрикутникипрямокутнітарівнобедрені.(в) Кожнечисло,якеділитьсяна2іна3,ділитьсяна6.(г) Длявсіхнатуральнихчиселxіyіснуєтакечислоz,щовико-

нуєтьсярівністьxy=z.

56.Сформулюватиустверднійформізапереченнятакоговислов-лення:

(а) Небільшеніжодиноб’єктмаєвластивістьP.(б) Одинітількиодиноб’єктмаєвластивістьP.(в) Принаймніодиноб’єктмаєвластивістьP.(г) Принаймнідваоб’єктимаютьвластивістьP.

96

(д) Небільшедвохоб’єктівмаютьвластивістьP.(е) Дваітількидваоб’єктимаютьвластивістьP.

57. Визначити, які з наведених тверджень логічно еквівалентні(рівносильні).

1) Неправильно,щовсічисла,кратні4,єточнимиквадратами.2) Усічисла,кратні4,неєточнимиквадратами.3) Невсічисла,кратні4,єточнимиквадратами.4) Існуєчисло,кратне4,якенеєточнимквадратом.5) Деякічисла,некратні4,неєточнимиквадратами.

58.НехайM—часткововпорядкованамножинаіA—якасьїїпід-множина.Визначити,якізнаведенихтвердженьєлогічноеквівалент-ними(рівносильними).

1) Неправильно,щоіснуємножинаA,якамаєнайбільшийеле-ментідляякоїнеіснуєточноїверхньоїграні.

2) Кожна множинаA, для якої існує найбільший елемент, маєточнуверхнюгрань.

3) НеіснуємножиниA,вякоїєнайбільшийелементінемаєточ-ноїверхньоїграні.

4) ІснуємножинаA,щомаєнайбільшийелементімаєточнувер-хнюгрань.

5) ЖоднамножинаA, яканемає точної верхньої грані, немаєнайбільшогоелемента.

59.Визначити,якізнаведенихформуллогікипредикатіврівно-сильні.

1) ∀x∃y(P(x,y)∨¬P(x,z)) ∧ ∀x(Q(x)→R(x));2) ∀u∃y(P(u,y)∨¬P(u,z))∧ ∀u(Q(u)→R(u));3) ∀u∃y(P(u,y)∨¬P(u,z))∧ ∀x(Q(x)→R(x));4) ∀x∃y(P(x,y)∨¬P(x,t))∧ ∀x(Q(x)→R(x));5) ∀x∃y(P(z,y)∨¬P(z,z))∧ ∀z(Q(z)→R(z)).

60.Довести, що коли ∃x∀yP(x,y)— істинне висловлення, то∀y∃xP(x,y)такожістинне.

61.Довести, що коли ∃y∀xP(x,y)— істинне висловлення, то∀x∃yP(x,y)такожістинне.

62.Довестичиспростуватитвердження,щоколи ∀y∃xP(x,y)—іс-тинневисловлення,то∃x∀yP(x,y)такожістинне.

97

63.Довестичиспростуватитвердження,щоколи∀x∃yP(x,y)—іс-тинневисловлення,то ∃y∀xP(x,y)такожістинне.

64.Довести,щонаведенаформулалогікипредикатівєлогічноза-гальнозначущоюнаодноелементніймножині,аленеєтакоюнамно-жині,щоміститьбільшеодногоелемента.

(а) P(x)∨¬P(y);(б) P(x)→P(y).

65.Довести, що формула логіки предикатів ∀x∃y(P(x)∨¬P(y))є логічно загальнозначущою. Чи буде такою формула ∃y∀x(P(x)∨∨ ¬P(y))?

66.Показати,щопершазнаведенихформуллогікипредикатівєлогічнозагальнозначущою(тотожноістинною),адруга—ні.

(а) 1)∃x(P(x)→P(y)), 2)∃x(P(x)) →P(y);(б) 1)∀x(P(x)→P(y)), 2)∀x(P(x))→P(y);(в) 1)∃y∀xP(x,y)→ ∀x∃yP(x,y), 2)∀x∃yP(x,y)→ ∃y∀xP(x,y);(г) 1)(∀xP(x)∨ ∀xQ(x))→ ∀x(P(x)∨Q(x)), 2)∀x(P(x)∨Q(x))→(∀xP(x)∨ ∀xQ(x));(д) 1)∀x(P(x)→Q(x))→(∀xP(x)→ ∀xQ(x)), 2)(∀xP(x)→ ∀xQ(x))→ ∀x(P(x)→Q(x));(е) 1)(∃xP(x)→ ∃xQ(x)) → ∃x(P(x)→Q(x)), 2)∃x(P(x) →Q(x))→(∃xP(x)→ ∃xQ(x));(є) 1)∀x(P(x)~Q(x))→(∀xP(x)~∀xQ(x)), 2)(∀xP(x)~∀xQ(x))→ ∀x(P(x)~Q(x)).


(а) (∀xP(x)∨ ∀xQ(x))→(∀x(P(x)∨ Q(x)));(б) (∃x(P(x)∧ Q(x)))→(∃xP(x)∧ ∃xQ(x)).


(а) (∃x(P(x)∨Q(x)))~(∃xP(x)∨ ∃xQ(x));(б) (∀x(P(x)∧Q(x)))~(∀xP(x)∧ ∀xQ(x)).

69. Визначити, чи є тотожно істинною формула логіки преди-катів.

98

(а) (∀x(P(x)~Q(x)))~(∀xP(x)~∀xQ(x));(б) (∃x(P(x)~Q(x)))~(∃xP(x)~∃xQ(x)).

70.Визначити,чиєтотожноістинноюформулалогікипредикатів(∀x(P(x)→Q(x))∧ ∀x(P(x)→R(x)))→(∃x(Q(x)→R(x))).Відповідьобґрунтувати.

71.Довести, що формула логіки предикатів ∃x(P(x)→Q(x))→→(∀x(P(x)→ ∃xQ(x))тотожноістинна.Чибудетакоюоберненадонеїімплікація?

72. Довести, що формула логіки предикатів∀x(P(x)→Q(x))→→(∃x(P(x)→ ∃xQ(x))тотожноістинна.Чибудетакоюоберненаім-плікація?

73.Довести, що формула логіки предикатів ∀x(P(x)~Q(x))→→(∃x(P(x)~∃xQ(x)) тотожно істинна.Чибуде такоюобернена ім-плікація?

74.Порівняти формули ∀x(((P(x)→Q(x))∨(Q(x)→P(x))) і∀x(P(x)→Q(x))∨ ∀x(Q(x)→P(x)).Визначити,чиєпринаймніодназцихформуллогічнозагальнозначущою.

75.Довестичиспростуватитвердження,щонаведенаформулало-гікипредикатівєтотожноістинною.

(а) (∃xP(x)∧ ∃x(P(x)→Q(x)))→ ∃xQ(x);(б) (∃xP(x)∧ ∀x(P(x)→Q(x)))→ ∃xQ(x);(в) (∀xP(x)∧ ∃x(P(x)→Q(x)))→ ∃xQ(x);(г) (∀x(P(x)→Q(x))→R(x)))→ ∀x((P(x)∨Q(x))→R(x));(д) (∀x(P(x)∨Q(x))→R(x))→ ∀x(P(x)→(Q(x)→R(x)));(е) ((∃xP(x)→ ∀xQ(x))→R(y))~((∃xP(x)∧ ¬(∀xQ(x)))∨ R(y));(є) (¬(∃x(P(x)→ ∀yQ(y))))~(∀x(P(x)∧ ∃y(¬Q(y)))).

76.Довестичиспростуватитвердження,щонаведенаформулало-гікипредикатівєтотожноістинною.

(а) ∀x∃yP(x,y)→ ∃yP(y,y);(б) ∀x∃yP(x,y)→ ∃yP(x,x);(в) ∀yP(x,y)→P(y,y);(г) ∀x∃zP(x,y)→ ∃zP(y,z);(д) P(x,x)→ ∃yP(x,y);(е) P(x,x)→ ∃yP(y,y);(є) ∃x∀y∀zP(x,y,z)~∀z∃xP(x,x,z);(ж)∀x∀y∃z(P(x)→(P(y)→P(z))).

99

77.Довести,щонаведенаформулалогікипредикатівєлогічноза-гальнозначущою.

(а) (∀xP(x)→ ∃xQ(x))~∃x(P(x)→Q(x));(б) (∃xP(x)→ ∀xQ(x))→ ∀x(P(x)→Q(x));(в) ∃x(P(x)∧Q(x))∧ ∀x(Q(x)→¬R(x))→ ∃x(P(x)∧¬R(x));(г) ∀x(P(x)→¬Q(x))∧ ∀x(R(x)→P(x))→ ∃x¬(Q(x)∧R(x)).

78.Показати,щонаведенаформулалогікипредикатівнеєтотож-ноістинною.

(а) ∀x(P(x)→Q(x))∧ ∀x(P(x)→R(x))→ ∃x(Q(x)∧R(x));(б) ∀x(P(x)→¬Q(x))∧ ∀x(P(x)→R(x))→ ∃x(R(x)∧¬Q(x));(в) ∀x(P(x)→Q(x))∧ ∀x(Q(x)→R(x))→ ∀x(P(x)∧R(x));(г) ∀x(P(x)→¬Q(x))∧ ∀x(R(x)→Q(x))→ ∃x(¬P(x)∧R(x)).

79.Довести,щоформулалогікипредикатів∀x∀y∀z∃u((P(x)→(P(y)→P(z)))→((P(x) →P(y))→(P(x)→

→ P(u))))єтотожноістинною.

80.Довести,що для довільноїформули логіки предикатів існуєрівносильнаформула,операціямиякої(окрімкванторів)є:

(а) ∨,∧,¬;(б) ∨,¬;(в) ∧,¬.

81.Довести, що колиQ — предикатна формула, яка не міститьвільнихвходженьзмінноїx,товиконуєтьсятакарівносильність:

(а) ∀x(P(x)∨Q)=∀xP(x)∨Q;(б) ∃x(P(x)∨Q)=∃xP(x)∨Q;(в) ∀x(P(x)∧Q)=∀xP(x)∧ Q;(г) ∃x(P(x)∧Q)=∃xP(x)∧Q;(д) Q→ ∀xP(x)=∀x(Q→P(x));(е) Q→ ∃xP(x)=∃x(Q→P(x));(є) ∀xP(x) →Q=∃x(P(x)→Q);(ж)∃xP(x)→Q=∀x(P(x)→Q).

82.Перетворитинаведенуформулулогікипредикатівдовиперед-женої(пренексної)форми.

(а) ¬(∃x∃y∀z¬P(x,y,z))~∃x∀z∃y¬P(x,y,z);(б) ∀xP(x)→ ∀y(∃zQ(x,y,z)→(¬∀x(P(x)∧ ∃xR(x,y)));(в) (¬∀xP(x)∧ ∃xQ(x))∨ ∀x(∀yR(x,y)→P(y));(г) (∀x∀yP(x,y)∧ ∃xQ(x))→(¬∃xP(x,y)).

100

10. логічне слідування на базі логіки пРедикаТів

Кажуть,щоформулаBлогікипредикатівєлогічнимслідуваннямзформулA1,A2,…,Ak(влогіціпредикатів,якщонакожніймножиніMпридовільнійінтерпретаціїформулаBнабуваєзначення1привсіхпідстановкахзамістьвільнихзміннихтихелементівмножиниM,наякихусіформулиAi (і=1,2,…,k)набувають значення1.ФормулиA1,A2,…,Ak при цьому називають посилками, чи припущеннями, аB—висновком,абовислідом.Символічноцезаписують,яківалгебрівисловлень,A1,A2,…,Ak|=B.

Вираз A1,A2,…,Ak|=B називають вивідністю (у логіці преди-катів).

Зміннаy називаєтьсявільною дляx уформуліP(x), якщожод-невільневходженняxуP(x)неналежитьобластідіїквантора,якийзв’язуєy.УтакомуразіформулаP(x)називаєтьсявільноюдляy.

Приклад 10.1 1) Перевірити правильність такого міркування:“1)Кожнечисло,кратне35,кратне5ікратне7.2)Кожнечислократ-не5тодійтількитоді,колиостанняцифрайогодесятковогозаписукратна5.3)Останняцифрадесятковогозаписучисла2004некратна5.Отже,число2004некратне35”.

Для перевірки коректності міркування замінимо пропозиційніформи“x—кратне35”,“x—кратне5”,“x—кратне7”і“останняциф-раx—кратна 5” відповіднимипредикатамиP(x),Q(x),R(x) іS(x).Тодіприпущеннязапишутьсяувигляді1)∀x(P(x)→(Q(x)∧R(x)));2)∀x(Q(x)~S(x));3)¬S(y),ависновок—¬P(y).

Скористаємосьметодомдоведеннявідсупротивного.Нехайдлядеякоїінтерпретаціївисновок¬P(y)хибний.ТодіістиннимбудеP(y),аотже,згіднозпершимприпущенням—іQ(y).Тодіздругогоприпу-щеннявипливатимеістинністьS(y),щосуперечитиметретьомупри-пущенню.Отже,проведенеміркуванняправильне.

2)Перевірити,чиєправильнимміркування:“1)Деякірівнобед-ренітрикутники—прямокутні.2)Жоднийпрямокутнийтрикутникнеєправильним.Отже,деякірівнобедренітрикутникинеєправиль-ними”.

Запишемо логічну структуру міркування, замінюючи пропози-ційніформи“x—рівнобедренийтрикутник”,“x—прямокутнийтри-кутник”і“x—неправильнийтрикутник”відповіднимипредикатамиP(x),Q(x)іR(x).Припущення1)∃x(P(x)∧Q(x));2)∀x(Q(x)→R(x)),висновок:∃x(P(x)∧R(x)).

101

Розглянемо наведену логічну схему на довільній області інтер-претаціїM.Тодідлядеякогоa∈MвисловленняP(a)∧Q(a)істинне,тобтоістиннимибудутьP(a)іQ(a).Іздругогоприпущенняробимовисновок,щоR(a)такожістинне.Отже,P(a)∧R(a)—істиннеіфор-мула∃x(P(x)∧R(x))єістинноювM.Міркуванняправильне.

3)Перевіритиправильністьтакогоміркування:“1)Невсіалгеб-ричнічислараціональні.2)Усіраціональнічисла—дійсні.Отже,де-якіалгебричнічисланеєдійсними”.

Уведемо предикати P(x), Q(x) і R(x) замість пропозиційнихформ“x—алгебричнечисло”,“x—раціональнечисло”і“x—дійснечисло” відповідно. Логічна структура міркування матиме вигляд:1)∃x(P(x)∧¬Q(x)); 2) ∀x(Q(x)→R(x))— припущення, ∃x(P(x)∧∧ ¬R(x))—висновок.

Усі спроби формально обґрунтувати правильність цього мірку-ваннямарні.Томуслідспробуватипобудуватиконтрприклад,тобтознайтитаку інтерпретацію,щобунійобидваприпущеннянабувализначення1,ависновок—значення0.

Неважкопереконатись,щошуканою інтерпретацієюможебути,наприклад, така: предикати P(x), Q(x) і R(x) замінимо відповідноунарнимивідношеннями“x—кратне2”,“x—кратне4”і“x—кратне2”,визначениминамножиніNнатуральнихчисел.

Вартозазначити,щозмістовнаправильністьприпущеньівиснов-кунегарантуєлогічноїкоректностівідповідногоміркування.

1.Визначити,чиєyвільноюзмінноюдляxунаведенійформулілогікипредикатів.

(а) ∃yP(x,y);(б) ∀y(P(x,y))∨Q(x);(в) P(x)→ ∀yQ(y);(г) Q(y)→ ∀zP(x,y,z).

2.Визначити,чиєзміннаxвільноюдляyунаведенійформулі.(а) Q(x)∧ ∀x(P(x,y))∨P(z,x);(б) Q(z,y)∨ ∃xR(x,y,z).

3. Довести, що формула B є логічним слідуванням формули A(зміннаxневходитьвільновQ).

(а) A=(Q→P(x)),B=(Q→ ∀xP(x));(б) A=(P(x)→Q),B=(∃xP(x)→Q).

102

4. Перевірити (довести чи спростувати), чи виконується такавивідність:

(а) ∃x(P(x)∧Q(x)),∀x(P(x)→R(x))|=∃x(P(x) ∧R(x));(б) ∀x(P(x)∨Q(x)),¬Q(x)|=∀xP(x);(в) ∃x(P(x)∧¬Q(x)),∀x(Q(x)→R(x))|=∃x(P(x)∧¬R(x));(г) ∃x(P(x)∧ ∀y(Q(y)→ R(x,y))),∀x(P(x)→ ∀y(S(y)→ → ¬R(x,y)))|=∀x(Q(x)→¬S(x)).

5.Довести, що формула B є логічним слідуванням з формул A1, A2,..., Ak улогіціпредикатів(тобтоA1, A2,..., Ak |=B) тодійтількитоді,колиформула((…(A1 ∧ A2) ∧ ... ∧ Ak) → B єтотожноістинною.

6.Визначити,чиєформулаBлогічнимслідуваннямізформулиA.(а) A=∃xP(x),B=P(y);(б) A=∀xP(x),B=P(y);(в) A=P(y),B=∃xP(x);(г) A=P(y),B=∀xP(x).

7.Довеститакувивідність(улогіціпредикатів):(а) ∀xP(x)|=P(y),колизміннаyєвільноюдляxуформуліP(x);(б) P(y)|=∃xP(x),колизміннаyєвільноюдляxуформуліP(x);(в) якщоГ|=P(x)іxнемаєвільнихвходженьужоднузформул

множинигіпотезГ,тоГ|=∃xP(x);(г) (Q→P(x))|=(Q→ ∀xP(x))(зміннаxневходитьвільновQ);(д) (P(x)→Q)|=(∃xP(x)→Q)(зміннаxневходитьвільновQ).

8.Побудувати контрприклад, який свідчить, що вивідність∀xP(x)|=P(y)невиконується,колизміннаyнеєвільноюдляxуфор-муліP(x).

9.Побудувати контрприклад, який доводить, що вивідністьP(y)|=∃xP(x)невиконується,колизміннаyнеєвільноюдляxуфор-муліP(x).

10.Перевірити(довестичиспростувати)вивідність.(а) P(x)|=∀xP(x);(б) ∃xP(x)|=P(x).

11.Довести,щоколи|=P(x),то|=∀xP(x)(правило узагальнення).

12.Перевірити, чивипливаєвлогіціпредикатів з данихприпу-щеньзробленийзнихвисновок,тобточиєправильним(коректним)

103

наведенеміркування.Якщоміркуванняправильне,тообґрунтуватийого,інакше—побудувативідповіднийконтрприклад.

(а) 1)Деякірівнобедренітрикутникиєтупокутними.2)Жоднийтупокутнийтрикутникне єправильним.Отже, деякірівно-бедренітрикутникинеєправильними.

(б) 1)Деякі вписані в коло чотирикутники є прямокутниками.2)Кожнийпрямокутникєпаралелограмом.Отже,деяківпи-санівколочотирикутникиєпаралелограмами.

(в) 1)Кожнийквадрат—правильниймногокутник.2)Усіквадра-ти—паралелограми.3)Існуємногокутник,якийєквадратом.Отже,деякіправильнімногокутникиєпаралелограмами.

(г) 1) Усі квадрати— ромби. 2) Усі квадрати— прямокутники.3)Деякіромбинеєпрямокутниками.Отже,деякіпрямокут-никиєромбами.

(д) 1)Будь-якераціональнечислонеєірраціональним.2)Будь-якеірраціональнечислонеєраціональним.3)Кожнераціо-нальнечислоєдійсним.Отже,будь-якеірраціональнечислоєдійсним.

(е) 1)Кожнечисло,кратне21,кратне7ікратне3.2)Кожнечис-лократне3тількитоді,колисумацифрзаписуцьогочислав десятковій системі кратна 3. 3)Сума цифр числа 2005 некратна3.Отже,число2005некратне21.

(є) 1)Жоднераціональнечислонеєтрансцендентним.2)Жод-нетрансцендентнечислонеєкоренемрівнянняx2=2.Отже,жоднераціональнечислонеєкоренемрівнянняx2=2.

(ж)1)Кожназліченнамножинаєнескінченною.2)Кожнанезлі-ченнамножинаєнескінченною.3)Деякімножинискінченні.4)Жоднаскінченнамножинанеєнескінченною.Отже,існуємножина,яканеєзліченноюінеєнезліченною.

(з) 1) Кожна нескінченна множина рівнопотужна деякій своїйвласнійпідмножині.2)Жоднаскінченнамножинанерівно-потужнажоднійсвоїйвласнійпідмножині.Отже,жоднаскін-ченнамножинанеєнескінченноюіжоднанескінченнамно-жинанеєскінченною.

(и) 1)Кожнепростечисломаєрівнодвадільники.2)Число1немаєдвохдільників.Отже,число1неєпростим.

(і) 1)Невсіалгебричнічислаєраціональними.2)Усіраціональнічисла—дійсні.Отже,деякіалгебричнічисланеєдійсними.

104

(ї) 1)Кожнийматематикмислитьлогічно.2)Той,хтомислитьлогічно, не припускає логічних помилок. 3)Деякі студентиприпускаютьлогічніпомилки.Отже,невсістуденти—мате-матики.

(й) 1)Іринашануєтількитих,хтодобревчитьсяігарноспіває.2)Сашкодобревчиться,аленевмієгарноспівати.3)Андрійвмієгарноспівати,аленевчитьсядобре.Отже,ІринанешануєніСашка,ніАндрія.

(к) 1) Якщо хтось може розв’язати певну логічну задачу, тоякийсьздібнийстудентзробитьце.2)Петренко—здібнийсту-дент.3)Петренконерозв’язавцюлогічнузадачу.Отже,жоденнерозв’яжецюлогічнузадачу.

(л) 1)Будь-якерефлексивневідношеннянеєантирефлексивним.2)Будь-якеантирефлексивневідношеннянеєрефлексивним.Отже,існуєвідношення,якенеєанірефлексивним,аніанти-рефлексивним.

(м) 1)Кожнавзаємнооднозначнавідповідністьєвідображенням.2)Будь-якевідображенняєфункцією.3)Деякіфункціїнеєвідображеннями.Отже,жодневідображеннянеєвзаємноод-нозначним.

(н) 1)Кожне відображення є всюди визначеною відповідністю.2)Деякіфункції є відображеннями.Отже, існуютьфункції,щоєвсюдивизначенимивідповідностями.

(о) 1)Будь-якапідмножинадовільноїмножиниAмаєпотужністьнебільшу,ніжпотужністьмножиниA.2)Кожнанескінченнамножиназліченноїмножиниєзліченною.Отже,деякіпідмно-жинизліченноїмножиниєскінченними.

(п) 1)Кожневідношення,симетричнейантисиметричневодно-час,єдіагональнимвідношенням.2)Деяківідношеннянезбі-гаютьсяздіагональним.Отже,існуютьвідношення,якінеєнісиметричними,ніантисиметричними.

(р) 1)Будь-яке толерантне відношення є симетричним. 2)Длякожного симетричного відношення R виконується рівністьR=R–1.Отже,усівідношенняR,дляякихсправджуєтьсярів-ністьR=R–1,толерантні.

(с) 1)Будь-якевідношенняеквівалентностієтолерантнимвідно-шенням.2)Деякітолерантнівідношеннянеєтранзитивними.Отже,існуютьеквівалентності,щонеєтранзитивними.

105

(т) 1)Будь-якачасткововпорядкованамножина(ЧВМ)міститьнебільшеодногонайбільшогоелемента.2)КоженнайбільшийелементЧВМєєдиниммаксимальнимелементомцієїмножи-ни.3)ІснуютьЧВМ,щомістятьбільшеніжодинмаксималь-нийелемент.Отже,існуютьЧВМ,якінемаютьнайбільшогоелемента.

(у) 1)КожнаскінченнаЧВМміститьмінімальнийелемент.2)Де-якіЧВМнемаютьмінімальногоелемента.Отже,існуютьне-скінченніЧВМ.

(ф)1) Кожна скінченна решітка є повною решіткою. 2) Деякірешіткинеєповнимирешітками.3)Існуютьрешітки,якінеєскінченними.Отже,будь-якаповнарешіткаєскінченною.

13.Обґрунтувати,щотвердження “Множинавсіх ірраціональнихчиселмаєпотужністьнеменшу,ніжзліченна”випливаєзтакихпри-пущень:1)Длякожноїнескінченноїмножиниіснуєїїзліченнапідмно-жина.2)Множинавсіхірраціональнихчисел—нескінченна.3)Кожнамножинамаєпотужністьнеменшу,ніжбудь-якаїїпідмножина.

14.Спростувати міркування: 1) Деякі толерантні відношенняє еквівалентностями. 2) Деякі транзитивні відношення є еквіва-лентностями.Отже,деякітранзитивнівідношенняєтолерантними.

15.Показати,щозприпущень:1)Vємножинавсіхмножин;2)длякожноїмножиниMіснуємно-

жинаT,потужністьякоїбільша,ніжпотужністьM;3)якщоM—під-множинаT,топотужністьMнебільша,ніжпотужністьT;4)кожнамножинаєпідмножиноюV можнавивестисуперечність.Тимсамимпоказати,щопоняттямно-жинивсіхмножинуканторовійтеоріїмножинєсуперечним.

16.Показати,щозприпущення“УмістіNперукар—целюдина,щоголитьвсіхтихітількитих,хтонеголитьсясам”логічнослідує(набазілогікипредикатів),щовмістіNнемаєжодногоперукаря(цеваріантпарадокса Рассела).

17. Проаналізувати таке неправильне міркування: 1)∀x(P(x)∨∨ Q(x) ∨R(x)); 2)¬∀xP(x); 3)¬∀xQ(x).Отже,∀xR(x).Побудувативідповідніконтрприклади.

18.НехайуніверсальноюмножиноюємножинаRдійснихчисел.Ізхибноготвердження1)вивестиспіввідношення2).

106

(а) 1)∀a∀b∀x((ax=bx)→(a=b)); 2)2 ×2=3;(б) 1)∀x∃y∀z(x×y=z); 2)2×2=4;(в) 1)∀a∀b∀c∃x(ax2+bx+c=0); 2)2×2=5;(г) 1) ∃x(x2+1=0); 2)4=5.

19.Утрадиційній(арістотелевій)логіціприйняточотиривидитакзванихкатегоричнихсуджень:

1) “УсіSєP”(загальноствердне судження),позначаєтьсяSaP.2) “ДеякіSєP”(частинноствердне судження),позначаєтьсяSiP.3) “ЖоднеSнеєP”(загальнозаперечне судження),позначається

SeP.4) “ДеякіSнеєP”(частиннозаперечне судження),позначається

SoР.Перевірити справедливість запропонованих схем логічного слі-

дування(арістотелевих силогізмів),записавшиїхсимволікоюлогікипредикатів(удужкахзаписаноназвивідповіднихсхем).

(а) 1)MaP;2)SaM;отже,SaP(Barbara);(б) 1)MaP;2)SaM;отже,SiP(Barbari);(в) 1)MeP;2)SaM;отже,SeP(Celarent);(г) 1)MeP;2)SaM;отже,SoP(Celaront);(д) 1)MaP;2)SiM;отже,SiP(Darii);(е) 1)MeP;2)SiM;отже,SoP(Ferio);(є) 1)PeM;2)SiM;отже,SoP(Festino);(ж)1)PeM;2)SaM;отже,SeP(Cesare);(з) 1)PeM;2)SaM;отже,SoP(Cesaro);(и) 1)PaM;2)SeM;отже,SeP(Camestres);(і) 1)PaM;2)SeM;отже,SoP(Cameostro);(ї) 1)PaM;2)MeS;отже,SoP(Cameno);(й) 1)PaM;2)MeS;отже,SeP(Camenes);(к) 1)PaM;2)MaS;отже,SiP(Bramantip);(л) 1)MoP;2)MaS;отже,SoP(Bocardo);(м) 1)PaM;2)SoM;отже,SoP(Baroco);(н) 1)MiP;2)MaS;отже,SiP(Disamis);(о) 1)PiM;2)MaS;отже,SiP(Dimaris);(п) 1)MaP;2)MiS;отже,SiP(Datisi);(р) 1)PeM;2)MiS;отже,SoP(Fresison).

107

20.Показати,щотакілогічніслідуваннянесправджуютьсябездо-датковоїумови,щопредметнамножинанепорожня.

(а) 1)PeM;2)MaS;отже,SoP(Fesapo);(б) 1)PaM;2)MaS;отже,SiP(Bamalip);(в) 1)MaP;2)MaS;отже,SiP(Darapti);(г) 1)MeP;2)MaS;отже,SoP(Felapton).

11. засТосування логіки пРедикаТів

Мовутакзваноговузькогочисленняпредикатівчастовикористо-вуютьдлязаписуваннятверджень(властивостей,аксіом,лем,теорем)іозначеньурізнихконкретнихрозділахматематики.Використаннясимволікилогікипредикатів дає змогудосягтибільшої строгостійформальностіувикладенніматематичнихрезультатів,уникнутине-однозначностітабагатослівностізвичайноїмови.

Приклад 11.1. 1) Твердження про те,що довільне ціле число nможнарозділитизостачеюнацілечислоm,якенедорівнюєнулю,можназаписатитак:

∀(n∈Z)∀(m∈Z)[(m ≠0)→(∃(q∈Z)∃(r∈Z)(n = m ×q + r)∧∧((r = 0) ∨((0 < r)∧(r < |m|))))].Часто, коли предметна область відома і не змінюється, замість

∀(n∈Z) записують просто∀n. У наведеному виразі всі предикатнібуквидляпозначеннявідношень=,≠,<,∈івсізнакиарифметичнихілогічнихопераціймаютьзвичайнийсмисл.Словеснозаписанетверд-женнячитаєтьсятак:“Дляцілихnіm,якщоmнедорівнюєнулю,існу-ютьцілічисла qіr,дляякихn=mq+rіr абодорівнює0,абоrбільшенуляіменше|m|”.

2)Предикатніформулизручновикористовуватидлязаписуван-ня означень різних понять. Наприклад, означення предиката x|y(“xділитьy”або“xєдільникомy”)намножиніцілихчиселможназаписати так:∃k(y=kx).Часто такі означення записують у виглядіx|y≡∃k(y=kx).Замістьзнакарівносильності≡пишутьтакожзнак,⇔ознякийчитається“заозначенням”.

3)Задопомогоюпредикатаx|yможнаозначитиунарнийпредикат“x—простечисло”(позначимойогоP(x)):

P(x) ⇔озн ∀y((y | x)→((y = 1)∨(y = –1)∨(y = x)∨(y = –x))).4)Означенняграницічисловоїпослідовностіxiможназаписати

так:

limxi = a ⇔озн ∀(ε > 0)∃(k ∈N)∀(i ∈N∧ i > k)(|xi — a| < ε).

108

Аналогічноможназаписатикласичніозначеннярізнихваріантівпоняттянеперервностідійсноїфункціїf:

а)функціяf(x)неперервнавточціa ⇔озн

∀(ε > 0)∃(η > 0)∀(x ∈R)((|x — a| < η)→(|f(a) — f(x)| < ε));

б)функціяf(x)неперервнанаінтервалі (a, b) ⇔озн

∀(c∈(a, b))∀(ε > 0)∃(η > 0)∀(x∈(a, b))((|x – c| < η)→(|f(c) – – f(x)| < ε));

в)функція f(x)рівномірнонеперервнанаінтервалі (a, b) ⇔озн

∀(ε > 0)∃(η > 0)∀(c∈(a, b))∀(x∈(a, b))((|x — c| < η)→(|f(c) – – f(x)| < ε)).

6). Означенняосновнихтеоретико-множиннихоперацій івідно-шеннявключеннядлямножинможназаписатитак:

x∈A∪B ⇔озн (x∈A)∨(x∈B) або ∀x((x∈ A∪B) ≡ ((x∈A)∨(x∈B)));

x∈ A∩B ⇔озн (x∈A)∧(x∈B) або ∀x((x∈ A∩B) ≡ ((x∈A)∧(x∈B)));

x∈ A\B ⇔озн (x∈A)∧(x∉B), A ⊆B ⇔озн ∀x((x∈A)→(x∈B))тощо.

1.Записатисимволікоюлогікипредикатівтакетвердження:(а)Існуєнебільшеніжодинпредметx,щомаєвластивістьP.(б)Існуєрівноодинпредметx,щомаєвластивістьP.(в)Існуєпринаймнідвапредмети,якімаютьвластивістьP.(г)Існуєнебільшеніждвапредмети,якімаютьвластивістьP.(д)Існуєрівнодвапредмети,якімаютьвластивістьP.(е)Існуєрівнотрипредмети,щомаютьвластивістьP.

2.Записатисимволікоюлогікипредикатівтвердження,щоіснуєнебільшедвохпредметів,якізанаявностіпевноївластивостіPмаютьтакожівластивістьQ,хочанемаєжодногопредмета,якийнемавбипринаймніоднієїзвластивостейPабоQ.

3.Записати логіко-математичною символікою твердження, щокожнерівняннявидуax+b=0має:

(а)небільшеніжодинкорінь;(б)рівноодинкоріньприa ≠0.

4.Записатилогіко-математичноюсимволікою:(а)Означеннянеобмеженоїпослідовності.(б)Твердження,щочислоaнеєграницеючисловоїпослідовності

xn.

109

(в)Означенняграниціфункціївточці.(г)Означенняграниціфункціїнанескінченності.

5.Проаналізувативідмінуміжозначеннямфункції,неперервноїнаінтервалі(a, b),іфункції,рівномірнонеперервноїнаінтервалі(a, b),записавшиціозначеннялогіко-математичноюсимволікою.

6.Записати логіко-математичною символікою твердження, щокожнерівняннядругогостепеня,вякогодискримінантбільшийвід0,маєрівнодвадійснікорені.

7.Записатилогіко-математичноюсимволікоютеоремуВієтадляквадратногорівняннявидуx2+px+q=0.

8.Визначити,чиєзапропонованетвердженняістинним(універ-сальнамножина—множинаRдійснихчисел).

(а) ∀x∀y(((x=0)∨(y=1))→(yx=1));(б) ∀x∀y((yx=1)→((x=0)∨(y=1)));(в) ∀p∃q∀x(x2+px+q>0);(г) ∀q∃p∀x(x2+px+q>0);(д) ∃q∀p∀x(x2+px+q>0);(е) ∃p∀q∀x(x2+px+q>0).

9.Оцінитиістинністьматематичноготвердження.1) ∀x∀y∃z(((x<z)∧(z<y))∨((y<z)∧(z<x))),2) ∀x∀y∃z((x<y)→((x<z)∧(z<y)))

увипадку,колиуніверсальноюмножиноює:(а) N;(б) Z;(в) Q;(г) R.Якувластивістьуніверсальноїмножинивиражаєтвердження2?

10.Записатизапропонованетвердженнясимволікоюлогікипре-дикатівівизначитийогозначенняістинності.

(а) Длякожногододатногочислаіснуєменшедодатнечисло.(б) Неправильно,щодлякожногоневід’ємногочислаіснуємен-

шеневід’ємнечисло.(в) Для довільної паринатуральних чиселa,b знайдеться така

паранатуральнихчиселqіr,щоa=bq +r.(г) Жоденточнийквадратнеєпростимчислом,протедеякічис-

ла,щонеєпростими,єточнимиквадратами.

110

11.Записатисимволікоюлогікипредикатівтвердження,що:(а) dєнайбільшийспільнийдільникнатуральнихчиселpіq;(б) mєнайменшеспільнекратненатуральнихчиселpіq.

12. Універсальна множина— це множинаN натуральних чисел.Записатилогіко-математичною символікою твердження: “11 є най-меншимчислом,якеприділенніна7даєвостачі4”.

13.Записатисимволікоюлогікипредикатів,щозаданінатуральнічислаpіqєвзаємнопростими.

14.Записати символікою логіки предикатів таке твердження(якщодляпевногопредикатанемаєзагальновживаногопозначення,топозначитийогоякоюсьпредикатноюбуквою):

(а) Кожнечисло,кратне10,кратне5ікратне2.(б) Усічисла,кратні48,кратні8 і кратні6, аленевсякечисло,

кратне8ікратне6,єкратним48.(в) Усітрансцендентнічисла—ірраціональні,аленевсіірраціо-

нальнічисла—трансцендентні.(г) Кожнийквадратєромбом,аленеправильно,щовсякийромб

єквадратом.

15.Записатисимволікоюлогікипредикатівтакетвердження:(а) Деякіалгебричнічисла—раціональні,адеякі—ірраціональ-

ні.(б) Існуєпростечисло,якеєпарним.(в) Деяківписанівколочотирикутникиєквадратами.(г) Неіснуєчисла,якекратне6іводночаснекратне3.

16.Виразитисимволікоюлогікипредикатівтакетвердження:(а) Кожнераціональнечислоє алгебричним,однак існуютьал-

гебричнічисла,щонеєраціональними.(б) Жодне раціональне число не є трансцендентним і жодне

трансцендентнечислонеєраціональним,водночасдеякіра-ціональнічисланеєцілимиідодатними.

17.ДляалгебриA=<N,+,×>записатисимволікоюлогікипре-дикатівтвердження,що:

(а) операція+всюдивизначена;(б) операція×всюдивизначена;(в) операція+асоціативна;

111

(г) операція+комутативна;(д) операція×асоціативна;(е) операція×комутативна;(є) операція×дистрибутивнащодо+;(ж)операція+недистрибутивнащодо×.

18.Використовуючисимволічнумовулогікипредикатів,записатитвердженняпроте,щорезультатвідніманнядвохнатуральнихчиселможенебутинатуральнимчислом.

19.Застосовуючисимволікулогікипредикатів,записатиозначення:(а) об’єднання;(б) перетину;(в) різниці;(г) симетричноїрізниці;(д) декартовогодобутку

множинAіB.

20.Записати логіко-математичною символікою факт існуваннямножинивсіхпідмножин(булеана)длякожноїмножини.

21.Задопомогоюсимволікилогікипредикатівзаписатиозначен-нявідповідностіміжмножинамиAіB.

22.Записатисимволікоюлогікипредикатівтвердження,щовід-повідністьCміжмножинамиAіB:

(а) всюдивизначена;(б) функціональна;(в) сюр’єктивна;(г) ін’єктивна;(д) бієктивна(взаємнооднозначна).

23.Задопомогоюсимволікилогікипредикатівзаписатиозначен-нябінарноговідношеннянамножиніM.

24.Записатисимволікоюлогікипредикатівтвердження,щовідно-шенняRнамножиніM:

(а) рефлексивне;(б) антирефлексивне;(в) симетричне;(г) антисиметричне;(д) транзитивне;(е) толерантне.

112

25.Використовуючисимволікулогікипредикатів,записатиозна-чення:

(а) відношенняеквівалентності;(б) відношеннячастковогопорядку;(в) відношеннялінійногопорядку

намножиніM.

26.НехайM—часткововпорядкованамножина,A—їїнепорожняпідмножина.Записатилогіко-математичноюсимволікоюозначення:

(а) мінімальногоелементамножиниM;(б) максимальногоелементамножиниM;(в) найменшогоелементамножиниM;(г) найбільшогоелементамножиниM;(д) нижньоїгранімножиниA;(е) верхньоїгранімножиниA;(є) точноїнижньоїгранімножиниA;(ж)точноїверхньоїгранімножиниA.

27.НехайP— одноміснийпредикатнамножиніN натуральнихчисел. Записати логіко-математичною символікою аксіомуматема-тичноїіндукціїдляP.

28.НехайR—повнийпорядокнамножиніM,P—довільнийод-номіснийпредикатнаM.Застосовуючисимволікулогікипредикатів,записатиаксіомутрансфінітноїіндукціїдляP.

29.Записатисимволікоюлогікипредикатівтакетвердження:1) Існуєтакеx,щоP(x)—хибне.2) “Існуєтакеx,щоP(x)”—хибне.Проаналізуватицітвердження.Якезтверджень—1або2—силь-

ніше?

30.Записатисимволікоюлогікипредикатівтакетвердження:1) “ДлякожногоxP(x)”—хибне.2) P(x)—хибнедлякожногоx.Якезтверджень—1або2—єсильнішим?

31.Записатисимволікоюлогікипредикатівдоведеннятеоретико-множинноїрівності:

(а) (A \B)∩C=(A ∩C)\(B ∩ C);(б) A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C).

113

список викоРисТаної Та РекоМендованої ліТеРаТуРи

1. Бардачов Ю. М., Соколова Н. А., Ходаков В. Є. Дискретна мате-матика.—К.:Вищашк.,2002.

2. Гиндикин С.Г. Алгебралогикивзадачах.—М.:Наука,1972.3. Калужнин Л. А.Введениевобщуюалгебру.—М.:Наука,1973.4. Калужнiн Л. А., Королюк В. С. Алгоритмиiматематичнiмаши-

ни.—К.:Вищашк.,1964.5. Калужнин Л. А.Чтотакоематематическаялогика.—М.:Наука,

1964.6. Клини С.Математическаялогика.—М.:Мир,1973.7. Кузнецов О. П., АдельсонВельский Г. М.Дискретнаяматематика

дляинженера.—2-еизд.,перераб.идоп.—М.:Энергоатомиздат,1988.

8. Лавров И. А., Максимова Л. Л.Задачипотеориимножеств,мате-матическойлогикеитеорииалгоритмов.—М.:Наука,1975.

9. Мендельсон Э.Введениевматематическуюлогику.—М.:Мир,1976.

10. Новиков П.С.Элементыматематическойлогики.—М.:Наука,1973.

11. Столл Р.Множества.Логика.Аксиоматические теории.—М.:Просвещение.–1968.

12. Трохимчук Р. М. Дискретнаматематика.—К.:ДП«Видавничийдім«Персонал»,2008.

13. ХромойЯ. В. Математичналогіка.—К.:Вищашк.,1983.14. ХромойЯ. В.Збірникзадачівправзматематичноїлогіки.–К.:

Вищашк.,1978.

114

зМісТ

Передмова.................................................................................................. 31. Поняттявисловлення.Логічніоперації.

Складенівисловлення..................................................................... 6

2. Алгебрависловлень.Формулиалгебривисловлень.Таблицяістинності.Тавтології.Проблемарозв’язності....... 14

3. Рівносильні формули алгебри висловлень............................ 28

4. Логічнийвисновокнабазіалгебривисловлень.Несуперечністьмножинивисловлень........................................ 37

5. Численнявисловлень.Формальнедоведення.Теореми...... 51

6. Метатеоремадедукції.Похідніправилавиведення............... 64

7. Рівносильність формул численнявисловлень...................... 73

8. Логіка предикатів. Квантори....................................................... 77

9. Формули.Інтерпретація.Тотожноістинніформули.Рівносильністьформул.................................................................... 87

10. Логічнеслідуваннянабазілогікипредикатів......................... 100

11. Застосуваннялогікипредикатів.................................................... 107

Списоквикористаноїтарекомендованоїлітератури..................... 113

Bookcontainswell-selectedandsystematizedcollectionofknownandoriginaltasksandexercisesfromclassicalandformalpartsofmathematicalandformallogic:algebraicalexpression,calculusofexpressionandlogicofpredicate.

Eachchapterfollowsshottheoreticalintroductionwiththemaindefinitionsandterms.Thisbookcanbeusedforclassworkaswellasfororganizationofindividualstudentswork.

Forstudentsofuniversities,higheducationalestablishmentsandforeverybodywhoisinterestedingainingoffundamentalmoderninformationtechnologiesknowledge.

Навчальневидання

ТрохимчукРостиславМиколайович

ЗБіРниК ЗАДАЧ і ВПРАВЗ МАТЕМАТиЧнОї лОГіКи

Навчальний посібник

Educationaledition

Trohymchuk,RostyslavM.

ColleCTion of maThemaTiCal logiCEducational supplier

ВідповідальнийредакторС. Г. РогузькоРедактор Л. В. Логвиненко

Комп’ютерневерстанняТ. Г. ЗамураОформленняобкладинкиО. О. Стеценко

Підп.додруку29.01.08.Формат60×84/16.Папірофсетний.Друкротаційнийтрафаретний.

Ум.друк.арк.6,74.Обл.-вид.арк.6,38.Тираж1300пр.

МіжрегіональнаАкадеміяуправлінняперсоналом(МАУП)03039Київ-39,вул.Фрометівська,2,МАУП

ДП«Видавничийдім«Персонал»03039Київ-39,просп.Червонозоряний,119,літ.ХХ

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи ДК 8 від 23.02.2000

збіРник задач і впРав з МаТеМаТичної...

Documents