ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤ه : ه و از : طا ت

ه ..................................................................................................................................... وان

ی ر ی و ی ح ند ل اول : دار وط خ رب دار و داری دو رب دار ، ه ای دو رب ٦ ......................................................................................... دار ،

ضا ه ٨ ................................................................................................................................. ط و ی دوم ضا ٩ ............................................................................................................................. وح

س نان و ما ١١ .............................................................................................................................. دده ل ی ١٢ ............................................................................................................................... سا

١٦ ...................................................................................................................................... ن

داری ع وا ددی و ع وا ل دوم : ره ند ع ی ت ر ، ویپ ی م د ره ، ند ع د از ، ١٩ ................................................................................................ ی

ره ند ع وا ل ا ٢٠ ...................................................................................................................... ق و دی ٢١ ................................................................................................................................. قاات

ط ماس ه ٢١ ................................................................................................................ ح یک م ط و ماس ول ی ٢٢ ............................................................................................................................... ده سا

٢٦ ...................................................................................................................................... ن

ره ند ع دو یا وا ر وم : ا ل ره ع دو وا ر ٣١ ............................................................................................................................ ا

ه ) ه ره یک ند ع ر قدا ن ر وچ ن و ر ر روط ، ( م م و ٣٢ ...................................................................................... ماده ل ی ٣٢ ............................................................................................................................... سا

٤٤ ...................................................................................................................................... ن

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥ه : ه و از : داری ی) ن یدا ع ( وا ھارم : ل

داری ی) ن یدا ع ( وا ی ت ٤٨ ................................................................................................................ د و ویپتاب ت و ر ی ٤٨ ........................................................................................................................ دار

ب نا و ه ا ٤٨ ............................................................................................................................... داادیان ی ، و ٤٩ ............................................................................................................................. ق

ده ل ی ٥١ ............................................................................................................................... سا ٥٤ ..................................................................................................................................... ن

ند گا ی ال ت م : ا ل پی دو گا ال ت ٥٨ ............................................................................................................................. ا

صات گاه A ال دوگا د ت ه ا حا یروش ٥٨ .......................................................................................................... دکاری صات گاه A ال دوگا د ت ه ا حا ٥٩ ............................................................................................................ روش

ال دوگا ت ر ا ٦٠ ......................................................................................................................... ر ی گا ال ت ٦٠ .............................................................................................................................. ا

ی صات دکار ھدر ی گا ال ت ه ا ٦٠ ............................................................................................................... حاوا ای صات ا ھدر ی گا ال ت ٦١ ................................................................................................................ ا

وی صات ھدر ی گا ال ت ٦٢ .................................................................................................................. ادهسا ل ٦٢ ............................................................................................................................... ی

٦٥ ..................................................................................................................................... ن

س و ی و ا ا ن و وا ی ه ی رو ای ، ال ت ط ، ا ی ا ی ال ت م : ا ل وع اول ) ط ی ا ی ال ت وس ( ا ول ط ی ا ی ال ت ٦٧ ....................................................................................... ا

ا ت صات ( ا ط ی ا ی ال ت وع دوم )ا ط ی ا ی ٦٨ ......................................................................................... ل ی رو ای ال ت ٧٠ ............................................................................................................................. ا

ده ل ی ٧٣ .............................................................................................................................. سا ٨٣ ..................................................................................................................................... ن

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦ه : ه و از : ی١ل ( ر ی و ی ح ند (

دار وط خ رب دار و داری دو رب دار ، ه ای دو رب دار ،

م Pه ی صات دکار گاه A ضا د )با xyzاز , , )P x y z = ول ود آن ی ض = xشان داده ،y = فاع ه zو ار ه دو ص .( , , )A x y z1 1 و 1

( , , )B x y z2 2 ول 2 از ٢ ٢ ٢٢ ١ ٢ ١ ٢ ١( )AB d x x y y z z ط م پاره وا گاه ود. ی ه ABن ه ی را و

( , , )M x y z ه صات م. M ول ,را از ,x x y y z z

x y z

2 1 2 1 2

1 1 دار 1 م. ی Aن ضای

ورت وان ی ی را Aصات دکار ai bj ck ش داد؛ آن ,ما ,c b a دار Aصاو

ی ور ,z رو y, x ند وi وj

وk ی ور ن ه ا ی ی دار

ی دار ند. aiبا وjb

وkc دار ھا ع آ A

دار ی ه و د، ی د شان Aرا دار ول د. و ی یده ی صات دکار ی ور د تدا A ا

را باA ود از شان د ی اده

Aول a b c 2 2 2 .م ی آور ت د

دار تای Aت یا را ی ه زاو ی ,و , دار A

دار دی ھای و ن زاو ، ی ا وس ود. ی ص ی سازد ، ور Aبا :م د و دار و ی یده

cos

cos

cos

cos cos cos

a a

A a b c

b b

A a b c

c c

A a b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 1

B,، ا b i b j b k A a i a j a k 1 2 3 1 2 3 گاه آ

١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣

١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B a b i a b j a b k

A B a b i a b j a b k

و اr گاه krajrairaArآ

٣٣١ ی دار ،AAr

ند و ا , وازی

٠r ند و ا ی با ت دار یک ن دو rاA

1 گاه آ

A

AAr

ه و داری ی را

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧ه : ه و از : دار ت با Aھم

ی و د Aی با دار ت ) ،A

دار م . ی ، (OP ه روع و ء بدا ) از , , )P x y z ه کان دار ود را ی ورت Pم ا م و آ ی

kzjyixp

م. ا ی د ٠شان ٠ ٠ ٠( , , )p x y z و),,( ١١١١ zyxp گاه آ٠ ١ ١ ٠ ١ ٠ ١ ٠ ١ ٠

( ) ( ) ( )P P P P x x i y y j z z k

دار ی) دو ه ای، داخ ددی ( رب ل Aحا وB

ھا د زاو آ با ٠ , ورت ،cosA B A B .د ی با

A) ا ١و یاB

یاBA

گاه ٠Aآ B و ،١) ٢, ٠i i j j k k i j i k j k

kajaiaAkbjbibB) ا ٣و

٣٢١٣٢١ , گاه ١آ ١ ٢ ٢ ٣ ٣A B ab a b a b

دار داری دو رب ل Aحا وB

ھا د ، زاو آ ٠)با ) ماد A، و با B ی دار ه ود ت ع داری ا ود، ی Aشان داده

وB زه دا و ا

A B سا ی ا با دار ده با ه وازی االضالع سا Aت

وB ول ند و از ی روی ت پ ت را ن د ون ا ت آن از ت و ا

sinA B A B U ود ؛ آن ی Uن

ی دار ه ود ه ع Aداری وB

ند و ی روی ت پ ت را ن د ون ا ت آن از و

ف) ABBA(ا

(ب) ا ،A یاB

یاBA گاه Aآ B

(ج) ،( )A B C A B A C ،

)١و , ,

i i j j k k

i j k j k i k i j

،ا )٢وkajaiaA

٣٢١ ١و ٢ ٣B b i b j b k

وkcjcicc

٣٢١

گاه ١آ ٢ ٣

١ ٢ ٣

١ ٢ ٣

( )

a a a

A B C b b b

c c c

زه دا )و ا )A B C

.ود ی ه دار سا ن ط ا و ت ی ا و وازی ا م ا با

ف) : )٣و )(ا ) ٠A B C )} د.( ١گاه دار با ل از ند.( ٢) الا وازی با دار ند.}، ٣) دو ه با دار یک (

)ب) ) ( ) ( )C A B A B C B C A ، ت )٤و دار آ ودن ه ای ھم ی )رط الزم و کا ) ٠A B C

ی Vا) ٥و دار ل از ده حا قا ث ا م م ABCا با

گاه ,, د آ ١با( )

۶V A B C

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨ه : ه و از : ضا ه ط و

ه ی از ط ٠عاد ٠ ٠ ٠( , , )P x y z دار ذرد و با kcjbiaAی

ول د با ٠وازی با ٠ ٠x x y y z z

a b c

یان ط) ی عاد دکار ):

ود ، آن ,ی ,c b a ه ی از دو ط عاد م. ی ط دی ی ر ٠را پارا ٠ ٠ ٠( , , )P x y z و),,( ١١١١ zyxP :ت از بارت ا ذرد ی ٠ ٠

١ ١ ٠ ١ ٠

x x y y z zt

x x y y z z

ه ی از ری عاد پارا ،٠ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z دار وازات kcjbiaA

:ت از بارت ا ذرد ی

٠

٠

٠

x at x

y bt y

z ct z

ه وازات ی عاد ،xy ل د ٠با ٠

٠

x x y y

a bz z

ور ثًال صات ی ور وازات از ی عاد ود. ی بارت zیان د با

ت از: ٠ا

٠

x x

y y

عادالت ط با ، زاو دو ١ ١ ١

١ ١ ١

٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢

x x y y z z

a b c

x x y y z z

a b c

ول از ٢٢

٢٢

٢٢

٢١

٢١

٢١

٢١٢١٢١coscbacba

ccbbaa

ت از: بارت ا ط ن دو ودن ا ود رط ع ی آیدو ت ٠٢١٢١٢١د ccbbba :ت از بارت ا ط ن دو ودن ا وازی رط و ٢

١

٢

١

٢

١

c

c

b

b

b

a ،

ت ط آ ن دو ودن ا ه ای ھم ی ٢رط الزم و کا ١ ٢ ١ ٢ ١

١ ١ ١

٢ ٢ ٢

٠

x x y y z z

a b c

a b c

ه ه ای را از عاد ،٠ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z دار ذرد و ب

ckbjaiN ول د از ود با ع

٠ ٠ ٠( ) ( ) ( ) ٠a x x b y y c z z ی ل ن ه عاد ی ورت ک م.

٠Ax By Cz D را ود.ا از ی ,یان ,C B A ثًال د ٠Aا با د. ا دو از ی با ول ور وازی وب ط ه ورت ن ا

,را ,C B A ثًال ند ٠Aا با B ه وازی وب ط ه ورت ن ور xy ا ود د. ا zو ع ی با ٠D ثًال را دی د، ٠Aو از ه با ورت ا

ت. ا ول ا ور ل وب شا ٠Dط ثًال را دی ٠Aو دو از B ه وب ط ه ورت ن ند ا عاد xyبا ت. ا ق ا

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٩ه : ه و از : ٠Ax By Cz D ،٠D ن د با )(با D :م xدار y z

a b c 1 ن abcا فاع از ,, ء و ار بدا ض از ء، بدا ول از را

ه ند. زاو دو ی ء ١بدا ١ ١ ١

٢ ٢ ٢ ٢

٠

٠

A x BY C z D

A x B Y C z D

ول را از ٢٢

٢٢

٢٢

٢١

٢١

٢١

٢١٢١٢١cosCBACBA

CCBBAA

.م ی ن

ت زاو ه آن ا ن دو ودن ا ود رط ع د. ی با حات ود ی ع دار ١زاو حاده ٢ ١ ٢ ١ ٢ ٠A A B B C C ت ه آن ا ن دو ودن ا وازی رط و

٢

١

٢

١

٢

١

C

C

B

B

A

A ه ه ص ،٠ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z ه ٠Ax By Cz D :ت از ٠بارت ا ٠ ٠

٢ ٢ ٢

Ax By Cz Dd

A B C

،

ه رک دو ل ه ای از ١عاد ١ ١ ١

٢ ٢ ٢ ٢

٠

٠

A x B y C z D

A x B y C z D

ود ( ی ص ول ز ذرد با ت) : ی واه ا د

١ ١ ١ ١ ٢ ٢ ٢ ٢( ) ٠A x B y C z D A x B y C Z D ه ه ای از عاد ،),,(),,,( ٣٢١٣٢١ aaaAbbbB و

),,( ٣٢١ cccC :ت از بارت ا ذرد ١ی ٢ ٣

١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣

١ ١ ٢ ٢ ٣ ٣

٠

x a y a z a

b a b a b a

c a c a c a

ی دوم ضا وح

عاد آن ندرو ز ت ما ی ا ی، ضا ) دوم ح (رو ,یک ,z y x ل از ده ل فاده از دوران یا ا وان با ا ی ی را ضا ح دوم د. و از دوم با

ود. ل بد د و ی ی ی ذیًال ٢ ثا ٢ ٢ ٠a x b y c z d x y e x z f y z g x h y j z k

٢٢٢: رو )١ثال ayx ه دی آن دا ی ت وا ای ا ٢٢٢، ا ayx ه ور xyون د آن و م. zو ی وا دوار د و آن را ا ی با

٢: رو )٢ثال ٢z py ی ھ دی آن ی ت وا ای ا ، اp

zy

٢

٢

ه ور yzون د آن و م. xو ی وی ھ وا د و آن را ا ی با

-٢

-١

٠

١

٢ -٢

-١

٠

١

٢

٠

۵

١٠

١۵

٢

-١

٠

١

o y

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٠ه : ه و از : ١: رو ) :٣ثال

٢

٢

٢

٢

c

z

b

y ی دی آن ی ت وا ای ا ١، ا٢

٢

٢

٢

c

z

b

y ه ور yzون د آن و م. xو ی وی وا د و آن را ا ی با

yرو : ) ٤ثال x

b a

2 2

2 2 ی 1 و ذ دی آن ی ت وا ای ا y، ا x

b a

2 2

2 2 ه 1 ور xyون د آن و م.zو ی وی و ذ وا ت و آن را ا

١: رو ) ٥ثال ٢

٢

٢

٢

٢

٢

c

z

b

y

a

x د. ا ی با ی ند یک ی ع ل را صات حات وازی با ه ع آن با ا ود. ز ی یده ون ی ،٢٢ ba ل را

ور ن حا م ا ی ون دوار ت) . ا zی غ ا م ه ل د ( ی با ور دوران ٢٢٢ cba .ود ی یده ه و ل

١: رو )٦ثال ٢

٢

٢

٢

٢

٢

c

z

b

y

a

x ه ع رو با ود. و ی یده پار ون ی ی و ذ ،٠z c حات وازی با ه ی رو با رک ل د و ی با ی یک

xzyz, ند. ا ی و ٢٢ذ ba ور ور دوران م. ی پار ون دوار ی ی و ذ ت. zآن را ا

١رو ) :٧ثال ٢

٢

٢

٢

٢

٢

c

z

b

y

a

x حات وازی با ه ، با رک رو ل ود. ی یده ون دو پار ی و ذ ،xzyz, ه رک رو با ل ت. ی ا و ذ یک

٠z z ٠وz c ت. ا ی ا ٢٢یک ba .م ی ون دوار دو پار ی و ذ ن رو را ، ا

٢: رو )٨ثال ٢

, ( , ٠)x y

z p qp q ود و ا ی یده وی ون ی ھ ،p q .م ی ون دوار ی ھ د، رو را با

٢رو ) : ٩ثال ٢

, ( ٠, ٠)x y

z p qp q ه ـ ـن رو بـا رک ا ـ ـل نـد. ـی ـز ـب ـن ا ی آن را ز ـت. گـا ـن ا ه ز ـ ل آن ـ ـود. ـی یده ی و ذ ون ی ھ ،

ه ه xyوازی با وازی با حات رک آن با ل ت و ی ا و ذ ت. yzو xzیک ی ا ھ یک

-٢

٠

٢

-٢

٠

٢

٠

٢

۴

۶

-٢

٠

٢

z

x

y

z

xy

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١١ه : ه و از :

٢رو ) :١٠ثال ٢ ٢

٢ ٢ ٢٠

x y z

a b c ـ نـد و ا ـی وی وط ،٢٢ ba ه ـ ـن رو بـا رک ا ـ ـل م. ـ ـی وط دوار ـ ـد رو را ٠zبا z ـل ـت و ـی ا یـک

حات ,٠رک آن با ٠x y عادالت ط xدو a

cz وy

b

cz .ت ا

س د نان و ما

س وس ما عnxnA ول وان از ی را

١١ ٢١ ٣١ ١

١٢ ٢٢ ٣٢ ٢١

١ ٢ ٣

١

n

n

n n n n n

A A A A

A A A AA

A

A A A A

ت آورد. آن د

١١ ١٢ ١

٢١ ٢٢ ٢

١ ٢

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

ذف mnAو ل از نان حا ون mی د س nام و نان ما در Aام د ر m n1 ه باید A؛ا 0

س وس ما ع د. ند ٢×٢با ١١ما ١٢

٢١ ٢٢

a aA

a a

ول ٢٢از ١٢١

٢١ ١١

١ a aA

a aA

ی آید؛ آن ت det دa a

A Aa a

11 12

21 22 .

ی س : ما و ijA a ت ا tAقارن ا A ی, , ij jii j a a ی س ؛ و ما ijA a ت ا قارن ا tAه A ی

, , ij jii j a a .ند ی باید با ی روی اص ا مام ورت ن ا

س ه ما عاد a a a

A a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

١١عاد ١٢ ١٣

٢١ ٢٢ ٢٣

٣١ ٣٢ ٣٣

det( ) ٠

a a a

A I a a a

a a a

ی ه د.ر ١٢٣ی با ,, عاد ن ا

س ه ما قاد و س Aرا م. ا ما : ا Aی و ند. ی واره ه، ھ قاد و ن د، ا ه و قارن با ر و قدا ر Xیک ه گاه دارو د آ AXبا X

- ٢

٠

٢

- ٢

٠

٢

- ٢

٠

٢

۴

- ٢

٠

٢

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٢ه : ه و از : د. ی با ی ل ھای و د عدا م ا با ی و یا ل ی د عدا م ا با س ه ما : ر و

ده : ل ی سا

)١,٣,٢,()٣,۴,١(قاط .١ AB ه د. ده ا ط Mداده ط ABرا پاره ید پاره ن ند. ۴را ABوری

ل: ١ ۴( ٢) ٧

١ ۴ ۵۴ ۴(٣) ١۶ ٧ ١۶ ٧

, ,١ ۴ ۵ ۵ ۵ ۵٣ ۴(١) ٧

١ ۴ ۵

x

M y M

z

دار .٢ )٠,١,١,()١,١,٠(زاو دو AB :ل ت؟ ا با ١

٠ ١ ٠ ١cos cos

٢٢ ٢

١cos

٢ ٣

A BA B A B

A B

kjiVkjVا .٣

ل ٢,٢٣١ گاه حا ١Vآ V .ید یا را

١ل:

١

٣ ٢ ٠ ٢ ٠ ٣٠ ٣ ٢

١ ١ ٢ ١ ٢ ١٢ ١ ١

۴ ۶

i j k

V V i j k

V V i j k

رب .٤ ر حاص )قدا )A A B ا ت ز BAا با ا

ی دار ل ه شا ود B,داری ع A

دار ذا ت و Aا ت پس ود ا ع

( )A A B .ت ا ا ود ھم، دار ع ی) دو ه ای (داخ رب ا حاص ت ز ا ا رش قدا ت و کا ا ا

ی .٥ rدار i j k 1 2 3 وr i j k 2 4 2

دار ند. rوض 1ی از ر ید از آن نان د عا دار وع دو rرا 2

.د با

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٣ه : ه و از : دار ): ی دو رب داخ فاده از سا با ا ل م ا( rی دا v v 1 1 2

وری v 1ی از rر 2

وv 2 ود rع 2

گاه د آ rبا rv r

r

1 221 2

2

و

r rv r r

r

1 21 22 2

2

ن و ا rوبا r 1 2 8 1 6 15

وr 2

2 16 1 4 21 : م دار

v r i j k i j k

v i j k

21

1

15 15 20 5 104 221 21 7 7 720 5 107 7 7

و

v r r i j k i j k i j k

v i j k

1 22

2

15 20 5 10 6 2 112 321 7 7 7 7 7 76 2 117 7 7

دار ) : داری دو رب فاده از سا با ا ل م ا ( rی دا v v 1 1 2 وری v 1

ی از rر 2 وv 2

ود rع 2گاه د آ rبا r

v rr

1 221 2

2

و

r r rv

r

2 212 2

2

ن و ا وبا r r r i j k 2 21 18 6 33 وr

22 16 1 4 21 : م دار

v r i j k i j k

v i j k

21

1

15 15 20 5 104 221 21 7 7 720 5 107 7 7

و

r r r i j kv i j k

r

v i j k

2 212 2

2

2

18 6 33 6 2 1121 7 7 7

6 2 117 7 7

,ا .٦ ,c b a وری ند واه با دار د a b c 0

: ید ،a b b c c a

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٤ه : ه و از : ل:

a b c b b a b b b c b a b c b b c a b b c

a b b c c aa b c c c a c b c c c b c a c c a b c c a

0 0 0

0 0 0

,ا .٧ ,c b a عاد ند دار با a x b y c z d

.ید ل را

ل:

d b ca x b y c z b c d b c a b c x d b c x

a b c

d a ca x b y c z a c d a c b a c y d a c y

b a c

d a ba x b y c z a b d a b c a b z d a b z

c a b

ط .٨ ید از یا ه ای را 2عاد 4

24

31

zyx ط وازی با ذرد و ب

12

41

21

zyx . د با

ی آید: ت ط د دی دو ی ر ی پارا رب خار ه از حاص ود دار ع kjiل:

kji

N

1676142223

ه ورد از ),,(ه ذرد پس 441 ی )۶ز ١) ٧( ۴) ١۶( ۴) ٠

۶ ٧ ١۶ ٩٨

x y z

x y z

قاط .٩ م یک از ),,,(),,(دا 211

214201

ط روی ٣ ٢

٢ ٣

۴ ٣

x t

y t

z t

t

د؟ ع ا وا

ـــل: ١ ١١, , ۴, ,

٢ ٢

١ ١ ١ ١١ ١٣ ٢ ۴ , ٢ ٣ , ۴ ٣

٢ ٢ ٢ ٢ ٢

x y z

x t t y t t z t t

ـــه ),,(پـــس 211

214 روی

ار دارد. ط ن ا , , ١,٠, ٢

٢ ٢٣ ٢ ١ ١, ٢ ٣ ٠ , ١

٣ ٣

x y z

x t t y t t

ه ),,(پس 201 .ت ع ط وا ن روی ا

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٥ه : ه و از : ه .١٠ ده از ذر ط ),,(عاد 432 ی ه وازی 54326543و zyxzyx ید. , یا را

دار وازی بارت دی باید د ه با رک دو ل وازی با ورد باید ط 21ل: NN

د ، آن ),,,(),,(با 4325432 NN د. پس ی با

١ ٢

٣ ۴ ٢ ۴ ٢ ٣٢ ٣ ۴ ٢

۴ ۵ ٣ ۵ ٣ ۴٣ ۴ ۵

i j k

N N i j k i j k ه ط از ن ),,(، ا 432 ذرد پس ی ز

x y z

2 3 41 2 1

عاد .١١ ه با ت 0203و zyxzyx 012و , x ت؟ و ا چ

ا ند ز رک ی ه دارای ل:

0120302

xzyx

zyx

عاد .١٢ 04002516م رو 22 zyx ت؟

م رو ی دا ٢ل: ٢

, ( ٠, ٠)x y

z p qp q ون ت. ن ا ه ز ل آن ود و ی یده ی و ذ ون ی ھ ،22 1625400 xyz پس

16400

25400

pq ت. , وی ا و ذ ون ی ھ ل رو ، و

س .١٣ وس ما ع

682351321

A .ید یا را

ل: ١ ٢ ٣١ ٢

١ ۵ ٣١ ۵ ١ ۵ ۶ ٢ ٣ ٢ ٣ ١ ٨ (٢ ۵ ٣ ٨ ٣ ١ ۶ ١ ٢) ٠

٢ ٨ ۶٢ ٨

٠

A

A

س د. Aپس ما ی با وس پذ ع

س .١٤ ه ما قاد و وع

3142

A :ل ید. یا را ٢

١ ٢

٢ ۴det( ) ٠

١ ٣

det( ) (٢ )( ٣ ) ۴ ٠

٢ ٠ ١

A I

A I

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٦ه : ه و از : ر .١٥ قدا دار aازای ،),,( 101 س ه ما دار و یک

43323211a

ت؟ ا

ه و ل: ا ر و قدا ر xیک ه دار و م: یک د دار XAXبا : و

0

101

43323211a

ن ا نا و

١

٢ ٢ ٠ ٢

٣ ۴ ١

a

a

س .١٦ م ا Aما و د عا س 1را ما AAT ی س ھما ا I، پس ما ت ز د ا عا س IIIIIIAیک ما TT ,,1

ن :

ی .١ ل ٢بد ٢:T V V ی پا ورت jو iدار )را )

( ) ٢

T i i j

T j i j

گارد. ی

ی ل بد ف) : ٣)٢(ا ۴ ) , (٣ ۴ )T i j T i j ب ی jو iرا س ید. ، (ب) :ما ید. ، ٢TوTیا ن را

ید ل ی ت (ب) را حا س (پ) : ,i j با ١ ٢,e e د آن ده با ١وض

٢ ٣

e i j

e i j

.

ید .٢ ٣ض ٣:T V V وری د ی با ل بد یک ( ) ,

( ) ,

( ) ٢ ٣ ۵

T i j k j k

T j k i

T k i j k

ف) : )؛ (ا ٢ ٣ )T i j k ه و ده و ر ساب را

ی ید. Tپو ص س را ت آورید. T(ب) : ما را د

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٧ه : ه و از : ی .٣ ل ٣بد ٢:T V V ورت ی پا را دار

( ) ٠,٠ ,

( ) ١,١ ,

( ) ١, ١

T i

T j

T k

ف) : گارد. (ا ۴)ی )T i j k ی ه و پو ده و ر ساب ص Tرا را

س ت آورید. (پ) : از پا Tید. (ب) : ما را د , ,i j k ٣vو پا ١ ٢,w w ٢v ١ ١,١w و ٢ ١,٢w س ده و ما فاده ، ا

T .ید ص ن پا را ا

س .٤ ما١ ٢

٣ ٢

٢ ٣

ی ت گا ٢ف یک ٣:T ی پا

١ ٢

١ ٢ ٣

١,١ , ١, ١ ,

١,٠,١ , ١,٢,٣ , ٠,١,٠

v v

u u u

د . ی با

س ی Tما ل را پا بد ن س ا پس ما ید و و ی) رد (ط دا تا ی ا را پا

١,٢ , ٠, ١ ,

١,١,٢ , ١,١,١ , ١,٠, ١

ید. و

ضای .٥ م ز و ٣از Wض ه ی و ١ ٢ ٣, ,x x x آن ٣ ٢ ١٣,٢,٣ , ١,٠,١ , ١,١,١x x x ، د ی با

ای ه د ی عا ود یک پا ید.Wف یا

س .٦ ما٢ ١ ١

٢ ٣ ۴

١ ١ ٢

A

ند س ما ت. یک ما س Cوض ا ید ما یا ١Cوری AC.د ی با

ح دوم .٧ یک) و رد (کا دا تا ٢عاد ا ٢ ٢٣ ۵ ٣ ٢ ٢ ٢ ٢ ٠x y z xy xz yz z .ید ص ح را وع ده و را پیدا ی .٨ عاد دکار ی با و ٢ع ٢۵ ۴ ٢ ۶ ٠x xy y .ید و رد آن را دا تا م ا ید و ی ناسا را

ه .٩ ی ۴ه تال ٣ , ٣ ۶ ٠ , ٢ ١x y z x y z x y z .ت آورید را د١٠. a ه ت آورید نان د ٢را ٧ ٨ , ۵ ٢ ٧ , ٢ ٣ ۶x y az x y z x y z ..ند ه با دا ی ر ه ١١. m دار ید دو یا نان ٢aرا i mj k

۴و ٢ ٢b i j k ود ند. ھم ع با

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٨ه : ه و از : ه .١٢ ید از یا ه ای را عاد ١,٢,٣A و ٠, ١,٢B و ١,٠,٠C.ذرد ی

ه .١٣ ده ذر ه عاد ط ١,١,١ ود ١و ع ١ ١

٢ ٣ ۴

x y z .ید یا را

ذ .١٤ ط ه عاد ده ر ه ١,١,١ ود ١٠xو ع y z .ید یا را ط .١٥ ده ذر ه ١عاد ١ ٣

١ ١ ٢

x y z

دار وازی با و ٣,١, ١V

.ید یا را

ی .١٦ ی با راس ھار و م ٢,٢, ١ , ٢, ١,٣ , ١,٣,٠ و ١,١,٢ .ید ه حا را دار .١٧ ت ید یا ٢داری را ٢A i j k

ا ش و د. ٩وده و ی باه .١٨ ه ص ١, ١,٢ عاد ه ٢را از ٢ ٣x y z .ید یا

١ا .١٩ ١

٢A

a

ورت ن س a ا نان ما ید د یا نان د. ٩ا ٢Aرا با

ید دو .٢٠ یا وازی دار دو ند.١,١,١ د با عاط .٢١ ل دو ه شا عاد ١ ٠,١, ٢ ٢,٣, ١v t و ٢ ٢, ١,٠ ٢,٣, ١v t .ید یا را

ید .٢٢ ض ۵, ٣,١u و ٢, ١,١v

دار و .u تای v را

دار و ن ید. ھ uرا پیدا ود تای ع vرا را

. ما ه حات آورید. .٢٣ دار را د ن دو د زاو ی ا ی آن با رب داخ ه ی دار ی دو رب خار زه دا ا ای .٢٤ قار عادالت وط با ید xشان د y z ١و

٢ ٣

y zx .ید یا ه آن را ص د و نا ی و

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ١٩ه : ه و از : )٢ل ( داری ددی و ره ند ع وا ) : (

ره ند ع ی ت ر ، ویپ ی م د ره ، ند ع د از ، ی

ع ی nف: یک و ای از زوج ره ، ١ ٢, ,..., ,nx x x w .د با سان ر اول ی فاوت دارای ت آن دو زوج ا

ن از م و ن ز ر ر ع nف: آن ١ ٢, ,..., nw f x x x ع ه د را دا ده با ن fف م قاد مام و ع w و د م. fرا ی

ع از ی )ف: , )u f x y ند ی ما cyxfیک ),( ه ع xyروی ت ),(ا yxfu ر قدا قاط آن cu از ح ت و را دارا

),,(ع zyxfu ند ح ما czyxfیک ),,( ع ت ),,(ا zyxfu ر قدا قاط آن cu .ت را دارا

ع ه fره nف: ع ٠P nو ند و اف fو ی ا سای ت، ا ازای ٠P یک ھ ده ا وان 0ف ٠, ٠p نان یا را

٠٠ ( )P P f P L آن ،nP ع د ورت ن ی f، ا ت Pو ا ٠P س ود و و ند ی م Lل و ی ت و ا

٠

lim P L P P

f

.

ا و : ٠

lim P L P P

f

ری از گاه از ت Pآ ر ٠P س قدا م، و دیک Pf بایدL ود حال ا فاوت Pدیک ر ود و ٠Pاز دو دیک

ت. ود و د وان ی ود ا د ر قدا

ید ض )ف: , )f x y دود د، یک از ره با ٠ی دو ٠

٠ ٠

١٢

٢١

lim lim ( , )

lim lim ( , )

x x y y

y y x x

L f x y

L f x y

م. ی ر ی م د را

ند و 21Lو 12L: ا و ود با و 2112 دو LL ع د گاه ٠ fآ ٠( , )x y .ت ود و

ید ض ٠ره و nی fف: nP ع د . ه fبا د، ٠Pرا ار با رط ز ط ا م ا و و ه ویپ

ع ١ (f ه ٠P ، .د ده با ) ٢ف ٠

lim ( )P P

f P

د. ، ود با ) ٣و٠

٠lim ( ) ( )P P

f P f P

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٠ه : ه و از : م ه : ند ه از nه ای ت. nره ه ا ویپ

g,ا ه : h ه ای م ند ویای nدو ع گاه ند آ hره باf

g ه ٠

nP ،٠( ) ٠g P .ت ه ا د ، ویپ با

٠ره و nی gا ه :nP ه و ره و fویپ )٠ی یک )g P گاه د آ ه با fویپ g ٠P .ت ه ا ویپ

ره ند ع وا ل ا ق و د

ع ی ),(ق yxfz ر x :ت از بارت ا٠

( , ) ( , )limx

z f x x y f x y

x x

د ازای ود ورت و y ی ه حا

ع ی ق ),(ود.و yxfz ر y :ت از بارت ا٠

( , ) ( , )limy

z f x y y f x y

y y

د ازای ود ورت و x

ود. ی ه ند و :حا ی ھم ما ی دی ماد ی را با ,ق , , , , , ,y x y x y x

f ff f z z D f D f

y x

ند. ی د ش ما

ع ل ل ا )ف : د , )z f x y را باf fdz dx dy

x y

ع ل ل ا م و د ی )ساب , , )u f x y z را باf f f

du dx dy dzx y z

ع ه دوم ی قات م. ی ه )حا , )z f x y : د و ی یان ورت ز ند و ه اول آن قات ی قات ،٢

٢ ٢

٢ ٢

٢ ٢

٢ ٢

xx xx

yx yx

yy yy

xy xy

z zz f

x x x x

z z fz f

x y x y x y

z z fz f

y y y y

z z fz f

y x y x y x

د. و ی ف وم و باال ه قات ، شا ور ، و

ید ض ره ای : ),(ده ز yxfz و)(),( thytgx ع وا ید ض ن ھ)(th و)(tg و),( yxf گاه ند آ ع ق پذ با ق

))(),(( thtgfz ول dzاز z dx z dy

dt x dt y dt

ود. ی ه حا

),(),(ا yxfzxhy ل ق گاه ول z xآ وان از ی .را dz z z dy

dx x y dx

د. ساب

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢١ه : ه و از :

)ا , ), ( , ), ( , )y y r s x x r s z f x y ورت ی قات گاه آ,

z z x z y

r x r y r

z z x z y

s x s y s

د. و ی یان

ی قات

عاد zا ه ی )و , , ) ٠f x y z ی از ی ورت x, y گاه ود آ ف ,

y

z

z fx

x fzfz

y f

v,، ا u ل ی ر ی از م. yو xوا ه با ند و دا با

( , , , ) ٠, ( , , , ) ٠f x y u v g x y u v : گاه آ

( , ) ( , )( , ) ( , )

,( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

,( , ) ( , )( , ) ( , )

f g f gu ux v y v

f g f gx yu v u v

f g f gv vu x u y

f g f gx yu v u v

) آن , )

( , )

f ff g u v

g gu v

u v

.

ع )ف: , )f x y ن از م ا ازای nرا ھم fDyxو ),( م ه با :دا ),(),( yxfyxf n

ع : ا )ه اوی , )f x y) ن از ھمn گاه د، آ ق پذ با ه اش، ه از دا ),(و yxnf

y

fy

x

fx

ح یک م ط ماس و ط ماس و ه

ه ح ماس یک ٠ه ٠ ٠( , , )P x y z ه ح از ی روی ی وم ھای ما مام ل ه ای شا ت از عاد Pبارت ا ح د، ا د با ذر ی

, , ,F x y z f x y z 0 د آن رو ده با )ص , , )F x y z ع ودار ,z f x yی د ، ی با

, , : , , fنمـــودار, x y z z f x y F x y z 3 ه ح ن ماس ا ه عاد ،٠ ٠ ٠( , , )P x y z ول ط و

ع ودار بارت دی ود. ی یان

,z f x y ه م ر ماس ه ١دارای ٠ ٠( , )P x yعاد ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠, ( ) ( , ) ( ) ( , )x yz f x y x x f x y y y f x y

٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ٠x y zx x F x y z y y F x y z z z F x y z

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٢ه : ه و از : د ، آن ی با ٠ ٠ ٠,z f x y ه ح ن ا م ط عاد ٠، و ٠ ٠( , , )P x y z ول ط ٠و ٠ ٠

٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , ) ( , , ) ( , , )x y z

x x y y z z

F x y z F x y z F x y z

از م ماس ط عاد و ,z f x y ه ح ن ماس ا ه ع ١وا ٠ ٠( , )P x y ول ط و ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , ) ( , ) ٠x xx x f x y y y f x y

عاد ح شا ا ور ود و ی )یان , , , )F x y z u 0 ی د، ده با ص , , , , ,F x y z u f x y z u 0 ن ماس ا ه عاد ح ،

٠ه ٠ ٠ ٠( , , , )P x y z u ول ط و ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠, , ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )x y zu f x y z x x f x y z y y f x y z z z f x y z

ود. ، آن ی یان ٠ ٠ ٠ ٠, ,u f x y z ه ح ن ا م ط عاد ٢، و ٠ ٠ ٠ ٠( , , , )P x y z u ول ط و٠ ٠ ٠ ٠

٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z u

x x y y z z u u

F x y z u F x y z u F x y z u F x y z u

از ماس رو ط عاد و

, ,u f x y z ه ٣ ٠ ٠ ٠( , , )P x y z ول ط و ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , ) ( , , ) ( , , ) ٠x x zx x f x y z y y f x y z z z f x y z یان

عاد ع و ودار نا با ح م ط عاد ع ، ودار نا با ح ماس ه عاد ود. ود. ی ی ف شا ور د ر دار ی از وا ای ع از ماس رو ط

ده : ل ی سا

ع .١ ٢د ٢

٢ ٢( , )

y xf x y

y x

را),( ط 00 د تدا م. ا ا ی ی mxyر از ),( ذرد و 00 ),(ی ت 00 ی با د ود ورت و م، و دیک

جای م ا دی ر ر yدد م: mxقدا م دار ٢ار د ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢( , ) (٠,٠) ٠

( ١) ١lim lim

( ١) ١x y x

y x x m m

y x x m m

د 0m ازای ر قدا

ثًال ازای -١ا ( ه 1m) و ع ذا ت ا ا ر آن ),(قدا رد. 00 دا د

د .٢ ر قدا٢ ٢( , ) (٠,٠)

limx y

xy

x y ر تدا ل: ا ید. یا mxyرا م ی حان : را ا

٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢( , ) (٠,٠) ٠ ٠ ٠ ٠ ٠lim lim ٠ , lim lim ٠ , lim lim ٠

١x y x x y y xy mx

xy mx xy xy

x y m x y x y

ت ا ا ع د م ی ف فاده از د . حال با ا ا با د آن د باید ه با د دا ع ن ت ا ا وان : ی

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٣ه : ه و از : ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

x yxy xyx

x y x y y

ا ، ( ز 222 yxxx(

zyexzyxfا .٣ ل ),,(3 حاy

z

:ل ید. یا ٣را

٣١

y z

y z

fz x ey

fy x ez

ی .٤ ث ع ت ٤/٢یک ض ر ت و با ـ ١٠ر ا ث آن ـ ع دی ـت. یـک ضـ ش ا ا ـ ـه حـال ا ر ی ت ٦/١سا ـر ـه حـ ٥ـر و بـا ـر ی ـت. زاو سـا ش ا ا ـ ال ا

ع ن دو ض ا6 .ت ش ا ا ی حال ا ر ث با ت سا ت. ا

م ی دا ١ل: sin

٢s ab C ث و ت ی از bو aسا م: tوا ند دار (زمان)

٢

١ ١. . ( sin ) ( sin )

٢ ٢١ ١ ١ ١

( ١۶٠ ١٠) ٢۴٠ ۵ ٧٠٠٢ ٢ ٢ ٢

ds s da s db da dbb c a C

dt a dt b dt dt dtds cm

sdt

,٢ا .٥ ٣ ۴ , ( , )u

V xyz u x y z f u vv

ر fقدا

z

١, ١, ٢x y z :ل ید. یا را

٢٢

٢

٢٢

١ ٢. . ( )

٣ ۴

٣ ۴٢

٣ ۴

٢ ١ ٣ ٨ ۶ ۶ ۶ ۶(١,١,٢) (١,١,٢)

۴ ۶ ۴ ١٢ ١٢٢ ١ ٣ ٨

f f u f v uxy

z u z v z v vx y z

x y zf

z xyzxyz x y z

f f

z z

٢ا .٦ ٢١١ , , ٢

١y t x z x xy y

t

ر dzقدا

dtید. 1t ازای یا را

ل: ٢

١ ١

١ ١(٢ ) ( ۴ )

(١ ) ٢

١ ١(١) , (١) ١ ١ ٢

١ ١ ٢

١ ١ ١ ١٢ ٢ ( ٨) ۴ ۴

٢ ۴ ٢ ٢ ١t t

dz z dx z dyx y y y

dt x dt y dt t t

x y

dz dz

dt dt

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٤ه : ه و از : )ع .٧ , , )w f y z z x x y ت؟ ی ا قات ل با ا عاد د م دا واب

ض ل: با u y z

v z x

t x y

م )دار , , )w f u v t و

. . .

٠

. . .

٠

w w u w v w t

x u x v x t xw w w

x v t

w w u w v w t

y u y v y t y

w w w

y u t

و

. . . ٠

٠

w w u w v w t w w

z u z v z t z u v

w w w

x y z

ع )پس , , )w f y z z x x y ل با ا عاد د واب

ی ٠قات w w w

x y z

ت . ا

)ا .٨ , ) ٠x y

fz z

بارت ر قدا گاه zآ zx y

x y

ید. یا را

ض ,ل: با , ( , )y x

v u z z x yz z

م )دار , ) ٠f u v حال ازf بار بار xی م: yو ی ر ی ق ( ) ( ) ٠

( ) ( ) ٠u x v x

u y v y

f u f v

f u f v

ون ،f ی ازu وv ی د واب گاه دارای A ن د ت پس ا ٠uا vf f :م ت و دار

٠x x

x y x yy y

u vu v v u

u v ی ، از

٢ ٢

٢ ٢

,

,

x xx x

y y

y y

z x z y zu v

z z

x z z y zu v

z z

م: قاد دار ن ری ا ذا ، و با جای

٢ ٢ ٢ ٢

y yx x

x y

z y z x zz x z y z

z z z z

xz yz z

٢گاه .٩ ٢( )z f x y ه حا ت وب ا zط zy x

x y

ض ل: با .22 yxu م )دار )z f u و

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٥ه : ه و از : . ٢

٠

. ٢

z f u fx

x u x u z zy y

x yz f u fy

y u y u

ود رو .١٠ 4333ط ع xyzzyx ه ),,( a11 .ید یا ع رو را وا

ل: ٢

٢

٢ ٢

٣ (١,١, ) ٣

٣ (١,١, ) ٣

٣ (١,١, ) ٣ ١

x x

y y

z z

f x yz f a a

f y xz f a a

f z xy f a a

ه ی ),,(، از a11 : ند. پس ی عاد آن صدق د و ی با روی رو

٣ ٣

٠ ٠ ٠

١ ١ ۴ ٢ ٠ ١

١ ١ ١١ ١ ١

۴ ۴ ۴

x y z

a a a a a

x x y y z z

f f fx y z

x y z

عاد .١١ ح ماس ه 25عاد 8

2518 22 yx

z ه ),,( ید. 221 را پیدا

ورت ماس ه عاد ل:

٢ ٢

٣۶ ١۶, , ١

٢۵ ٢۵١٨ ٨, ,

٣۶ ٣١٢۵ ٢۵١ ٢ ٢ ٠

٢۵ ٢۵

x y zf x f y fx y

f x y z zx y z

ود. ی یان

عاد .١٢ ح ماس ه ٢عاد ٢ ٢ ٠x y xz ه ),,( ید. 101 یا را

ل:

٢ ٢ ٢

٢

٠ ٠ ٠

( , , )

٢ (١,٠,١) ٣ (١,٠,١) (١,٠,١) (١,٠,١) ٠٢ (١,٠,١) ٠

٣ ١ ٠ ٠ ٢ ١ ٠ ٣ ٢ ۵٢ (١,٠,١) ٢

x xx y z

y y

z z

f x y z x y xz

f x z f x x f y y f z z ff y f

x y z x zf xz f

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٦ه : ه و از : ن :

ید : .١ یا دود ز را کان ورت ا

٢

٠ ٠٢

٢ ٢ ٢٢

۴ ٢

sinlim , , cos , lim , sec , , lim cos , sin , ١ ,

tan ۴١۶ ۴ ۴lim , ٧ , , lim , ٢ ١ ,

۴ ۵ ٢ ٢

x

x x t

x x

x x xx x e t t t Lnt

x x x

xx x xx x x

x x x x

ی .٢ قات ل یک از ع ز ، حا وا ,ای یک از , , ,

, , ,

xx yy

zz zx yz xy

f f ff f

x y z

f f f f

ید: یا را

٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٣

٢ ٣ ٢ ٢ ٢١ ۴ ٧

٢ ٣ ۴٢ ۵ ٨

٢ ٣ ٢٣ ۶ ٩

cos , cos sin tan ,

sin , sin ,

sin , sin , tan

y z

x y x y z

x y

f x y xy z y f x z y f x

f ze x y f x y z xyz f e

f z e f xyz x yz f xyz

ط .٣ ماس و ه عادالت م و ط ماس دار ید :و یا ده ه داده ی ز را م یک ازرو ف ) : ٢ا ٣

١f x y z ه ب): ١,١,١ ، ٢٢ sin ٢ x yf z x y ه ج) : ١,١,٢ ،xyz e ه ٠,١

د) : ٣ cos sinf x z x y ه ٣, ,٢٢

، ه ) : , cos cosf x y x x y ه ٠, ،

و ) : ٢ ٢ ٢ ٢z x y Ln x y ه ٢، ز ) : ٠,١ ٣٢z x y ه ١,١,٣ ،

٢ح ) : ٢ ٢ ١٨x y z ه ٣,۵, ۴ : ( ط ، ، sinz xy ه , ١٣

ی .٤ ماس ط ٢عاد

٢ ١۶

y x

z y

ه ۴,١۶,ید. ٠ ص را

ع .٥ ی ت دم ویپ ی یا ت ویپ

٢

۴ ٢, , ٠,٠

,

٠ , , ٠,٠

x yx y

x yf x y

x y

ه ید. ٠,٠ ث

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٧ه : ه و از : ع .٦ ی ت ویپ

١ ١sin sin , , ٠,٠

,

٠ , , ٠,٠

x y x yx yf x y

x y

ید. ی ر را

ع .٧ ی ق پذ دم ی یا ق پذ

٢

٣ ٣, , ٠,٠

,

٠ , , ٠,٠

x yx y

x yf x y

x y

ید. ث صات ء بدا

ع .٨ ٢ ٢

٢ ٢, ٠

,

٠ , ٠

xyx y

f x y x y

x y

ع ی ت ت . ویپ ید fوض ا شان د ید و ی ر ء بدا د. fرا ی با ی قات دارای

م .٩ ی ض

٢ ٢

٢ ٢, , ٠,٠

,

٠ , , ٠,٠

x yx y

x yf x y

x y

ف) : ت : (ا و ط ٠,٠xf : (ب) ، ٠,٠yf : (ج) ، ٠,٠xxf ،

(د) : ٠,٠yyf : (ه) ، ٠,٠xyf : (و) ، ٠,٠yxf

ض .١٠ با ,w f x y آن y u v وx u v ه حا ت و ط د. ٢wی با

u v

ی قات . yو w xب

ند ). ی با ه ی ویپ قات )

ا .١١٣

٢

٢

sin

sin

cos

t

u x y

x y e

x y t

بyو xو ی ت tوا وب ا ط ند. duبا

dt ؟

ر .١٢ ر vبا xy وu x ٢عاد ٢

٢

f f fx y

x y y y

ود؟ ی ل بد عاد ای

عاد .١٣ sin ٠ue v y وcos ٠ue v x ،u وvی از وا ورت y,را x دار ید زاو دو شان د ند. ی ف u u

i jx y

وv vi j

x y

.ت ری ا قدا

ع .١٤ ,w f x y ت ا cosxوض ا r وsiny r : ید شان د د. ٢٢٢با ٢

٢

١w w w w

r r x y

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٨ه : ه و از : ح .١٥ ماس ه x y z قاط صات را ی B,ور AوC ع ل ید حا ند. ی OAع OB OC

ید. یا ر را قدا ن ت و ا ری ا قدا

ا .١٦ f x at g x at : ید شان د د. ٢با ٢٢

٢ ٢a

t x

ا .١٧ ,w f x y وcos

sin

r

r

x e

y e

ید : شان د د. ٢با ٢ ٢ ٢

٢٢ ٢ ٢ ٢

rw w w we

x y r

م .١٨ ض ,u f x y وsin

cos

y r

x r

ید : شان د٢

١ ١rr r xx yyu u u u u

r r

y,ی از zا .١٩ x عاد وده و ٢sin ٢ ٣ ٢ ٣x y z x y z : ید شان د ند. ١صدق z z

x y

م : .٢٠ ه با ی دا ور ٢ ٢

٢

, , ٢

z uv

y u v

x u v

x y z Ln x y z

ید : ٠شان دv u

ید .٢١ ض , ,f x y u v ٢و ٢

٢

u x y

v xy

ید :

٢ ٢ ٢ ٢٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢۴

f fx y

x y u v

ید ا .٢٢ ,f x yعاد الپالس ٢ ٢

٢ ٢٠

f f

x y

ع ( ازای ند ، صدق , ٠,٠x y ، ٢ ٢ ٢ ٢

, ,x y

x y fx y x y

(

عاد ع صادق ید ه با و دا ند. ( ی ن ز یک)الپالس را را و ر ساز ، ع ھ ی ، ( وا ع ند.) یک ی ، ف) : .٢٣ ع (ا وا ید ٢ ٢,f x y Ln x y : (ب) ،

٢ ٢ ٢

١, ,g x y z

x y z

،

(ج) : ٢ ٢ ٢ ٢

١, , ,h x y z w

x y z w

ف) : ند : (ا ی عادالت الپالس ز صدق ،٠xx yyf f ،

٠xx(ب) : yy zzg g g : (ج) ،٠xx yy zz wwh h h h ٢، آن

٢xx

ff

x

ل . ن واز ا

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٢٩ه : ه و از : ی .٢٤ ر ر ٢ ٢

٢

u vy

x uv

بارت ,f x y را ,g u v : (ف ند. (ا ی ل ,بدg g

v u

٢gو

u v

ی قات ب را

f گاه ازای رید. ) ؛ (ب) : ساوی ب وط را خ ی قات ید وا ی ید. ( y,ساب x م ه با دا ٢

, ٢f x y ی ،a وb وری را

ید ٢ن ٢٢ ٢g g

a b u vu v

.

ید .٢٥ ند و bو aض , ax byz u x y e د و با ,u x y ی ازx وy ت و ٢ا

٠u

x y

قاد ،a وb بارت ند با

٢z z zz

x y x y

قاد مام د. yو x ا ازای ا با

ا .٢٦ ٢ ٢, ٠f x y z x y ،z ی از وان ید : yو xرا شان د ند، zف zx y x y

y x

عاد .٢٧ ح قاط روی مام ۴صات ٣ ٢۴ ۶ ٢z x xy y ماس ه ت آورید آن د.را د ی با ی رو ، ار .٢٨ قدا ل ، ا فاده از د ید . fبا ا آورد وض ه را

ف) : (ا ٢ ٢,f x y x y ه ۵ /٠١,۴ ، (ب) : ٠٢/ ٢ ٢, ٢٠ ٧f x y x y ه ١/٩۵,١/٠٨ ،

(ج) : , ٣f x y Ln x y ه ۶ ، (د) : ٩,٢/٠۶/ , xyf x y xe ه ۵ /٩,٠/٠١ ،

(ه) : ٢ ٣ ۴, ,f x y z x y z ه ١/٠۵,٠/٩,٣ /٠١ ،

(و) : ٢, , sinf x y z xy z ه ٣ /٩٩,۴ /٩٨,۴ /٠٣

ف) : .٢٩ وض (ا د دا ل ، ا ا فاده از د با ا ٢٨ /٩۴ ٩ /٩٩ ١/٠١ : (ب) ، ۴٣٩٩ ١٢۴ :(ج) ، ٠/٠٢٠/٩٩ e، (د) : ٢ ٢ ٢

٣ /٠٢ ١/٩٧ ۵ /٩٩ . ید آورد را

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٠ه : ه و از : ا .٣٠ ٢ ٣ ٣, ۵f x y x y y x از ی ، , ۶f x y ٢را ازایx .ید از یا ی ی : ا ما ( را ,f x y c ،

ی از از xودار ی ماس ط از یا ھمان ی د. xول با ، با

y

fdy

dx f

(. ی آید ت د

عاع آن و .٣١ ش ا صد ا وا را با یک م ا ر ید. ٢صد ه حا ی ور ود ، ی ل فاع آن حا ار ش ا صد ا

م ( ر صد ی : ما ا با vرا ی ور ١٠٠

v vr h

r hv

د.) ی با

ع .٣٢ ی را با ٢ ٢ ٢, , ٢ ٣x y z x ax y bz ن یدا یک و ر ع ود. Dیک ی ع .٣٣ ن الپال ٢ ٢, , ٢f x y z x y z ه را ١, ١,٢M .ید یا

ا .٣٤٢

٣ ٣

x u v w

y u v w

z u v w

ل گاه حا آ

, ,

, ,

u v w

x y z

ید. یا را

ا .٣٥

٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢

٠

٠

,

,

u uv v x y xy

uv x y

u u x y

v v x y

ل گاه حا uآ

y

ید. یا را

٠xا .٣٦ وf دو yق پذ باz xy xf

x

ل گاه حا z؛ آ zx y

x y

ب y,را x وz.ید یا

ا .٣٧ ٢ ٢

٢ ١ ٢

١ ١ ١

tv t i j k

t t t

ت یک و ر ه دار تاب دار دار و ن ٠tزاو ا ل گاه حا د. آ ید. cosبا یا را

ی .٣٨ ماس ٢ط

٣

١

١

٢

x t

y t

z t t

ه ه ٠,٢,١ ه ای ی ند.xozاز ی ع را

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣١ه : ه و از : ره٣ل ( ند ع وا م ر ) : ا

ره ع دو وا م ر ا

ع ید ض ,z f x y ی از سای یک ھ ٠ ٠ ٠,P x y م و ی ت ده ا ی از ٠P fف سای ت ا یک ھ ی ا م ی ر قدا د ٠Pدارای یک ه با ود دا و

ای وری ,x y :م ه با ی دا سای آن ھ ٠ ٠, ,f x y f x y م و ی ی از ٠P f؛ سای ت ا یک ھ ی ا م ر ما قدا ه ٠Pدارای یک ود دا و

ای وری د با ,x y :م ه با ی دا سای آن ھ ٠ ٠, ,f x y f x y ، ٠هP م ر ع آن ا م. ی م ر ه ا دارد را یک

ع ه: ا ,z f x y ه ٠ ٠ ٠,P x y ه ه اول آن ی قات گاه د آ ود م ر ا ٠ ٠ ٠,P x y .د ر دا ود ند یا و ا

: ا ع و ,z f x yه ٠ ٠,x yدو ق پذ با ٠ ٠,x y ای م ر ه ا گاهfیک د آ ٠با ٠ ٠ ٠( , ) ٠ , ( , ) ٠x yf x y f x y

ه ف: ٠ ٠,x yع ی ا ه م گاه fرا یک fی ٠ ٠,x y ه د و یا را با ٠ق پذ ٠ ٠ ٠( , ) ٠ , ( , ) ٠x yf x y f x y .د ار با

م. ی ی قاط ز د و ی ی م ر قاد ا ی را ا قاط

ید ض ه: ٠ ٠,x y ع ی ا ه یک ,f x y ه اول و دوم ی قات مام ی از fوده و سای یک ھ ٠ ٠,x y:ید ض ند و ه با ویپ

٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠, , , , ,xx xy yyA f x y B f x y C f x y ن ٢D، حال B AC .م ی د ل را

ف) ا ٠D(ا ه ، ٠ ٠,x y ، .ت ی ا ه ز یک

٠D(ب)ا ی آید. (ج) ا ت د ن روش ای ٠Dاز ا ٠وA ع ورت ن f ا ٠ ٠,x y .ت ی ا م ر قدا دارای یک

٠D(د) ا ٠وA ع ورت ن f ر ا ٠ ٠,x y .ت ی ا م ر ما قدا دارای یک

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٢ه : ه و از : ه) ه ره یک ند ع ر قدا ن ر وچ ن و ر ر ره ( ند ع روط م ی م و ما

ع م ر م ا وا ی z x, yf رط را با g , ٠x y ا ع ال وم و ی، و ع م ر ون ا وان یک آز ی ن کار را م.ا ن

( , ) ( , )u f x y g x y د آن ل ت از : و بارت ا ا ع ال م ر ای ا رط الزم ت. ا ا ر ال وم و ر

, , ( , )u f g u f g

g x yx x x y y y

0 0 0

ساب ی را ا قاط ع قاد ف) ت: (ا ه الزم ا ه ع یک ر قدا ن ر وچ ن و ر ر دن م. ای پیدا زی پیدا ی ی ع را ر قدا ن ر وچ ن و ر ر م . (ب) قد ن ر وچ ن و ر ر م.(ج) ی یار ف) و(ب) را ا ده (ا ت آ د قاد مام ر از ا

ده : ل سا ی

ع .١ ی م) ل ( دا ٢ ٢x, y ٣x ٢xy ٢x y y ۴f .ید یا را

ل: ١

۶ ٢ ٢ ٠ ۴٢ ٢ ١ ٠ ١

۴

x

y

xf x y

f x yy

ه ١پس ١,

۴ ۴

ی عه ی ا fم ت ز ٠ا

٠xxf

D

.

بارت .٢ ی ٣م ٣x y ۶xy :ل ید. یا٣ ٣

٢

٢

( , ) ۶

٣ ۶ ۶

٣ ۶ ۶

۶

x xx

y yy

xy

f x y x y xy

f x y f x

f y x f y

f

٠؛ ا

٠x

y

f

f

قاط و ٢,٢ ی ٠,٠ ا قاط

ند و fع ٢

٠ , ٠ , ۶

, ٠,٠ ( )

٣۶

xx yy xy

xy xx yy

f f f

x y D f f f

D

ون ٠Dو ه پس ت. ٠,٠ ی ا ه ز

٢

١٢ , ١٢ , ۶

, ٢,٢ ( )

٣۶ ١۴۴ ١٠٨

xx yy xy

xy xx yy

f f f

x y D f f f

D

ون و ٢,٢ ٠

٠xxf

D

ه پس ت. ٢,٢ ی ا م ه

و : min ٨ ٨ ٢۴ ٨ min ٨f f

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٣ه : ه و از : م .٣ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٢ ۴ ١۴ ١٢ ١٢ ١٢ ٢ ۴ ٢f x y x x x yx yx x y y . ی ا م یک fقاط دا ید وم ع ید و یا را

ند. ی ه ز ی یا م ی ، ما م ی ، ا قاط ن از ا

ل : ٢

٣ ٢

٢

٢۴ ٢۴ ٢٨ ٢۴٨ ١٢ ٢٨ ٢۴ ١٢ ١٢

٢۴ ١٢

١٢ ١٢ ۴ ۴ ۴

xxx

xy

y yy

f x x yf x x x xy y

f x

f x x y f

٠؛ ا

٠x

y

f

f

قاط

١ ١, , ٠, ١

٢ ۴

و ١, ١ع ی ا ند. fقاط ٢

١۶ , ۴ , ٠١ ١, ,

٢ ۴ ( ) ۶۴

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f D

١ون ١, ٠

٢ ۴

٠

xxf

D

ه ١پس ١,

٢ ۴

ت. ی ا م ه

٢

۴ , ۴ , ١٢

, ٠, ١ ( )

١۴۴ ١۶ ١٢٨

xx yy xy

xy xx yy

f f f

x y D f f f

D

٠Dون ه پس ٠, ١ .ت ی ا ه ز

٢

۴ , ۴ , ١٢

, ١, ١ ( )

١۴۴ ١۶ ١٢٨

xx yy xy

xy xx yy

f f f

x y D f f f

D

٠Dون ه پس ١, ١ .ت ی ا ه ز

م .٤ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٢ ٣٩ ١٠ ١٠ ۴٠ ٨ ١۶f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ٢١, , ٠, ۴

٢ ۴

و

١,۴ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

ل : ٢

٣ ٢

٢

١٢ ١٢ ٧٨ ٢٠۴ ۶ ٧٨ ٢٠ ١٠ ۴٠

٢٠ ١٠

١٠ ١٠ ٢ ٨ ٢

xxx

xy

y yy

f x x yf x x x xy y

f x

f x x y f

٠؛ ا

٠x

y

f

f

قاط گاه آ

١ ٢١, , ٠, ۴

٢ ۴

و ١, ۴ ع ی ا ند. fقاط

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٤ه : ه و از :

٢

١٨ , ٢ , ٠١ ٢١, ,

٢ ۴ ( ) ٣۶

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f D

١ون ٢١

, ٠٢ ۴

٠

xxf

D

ه ١پس ٢١,

٢ ۴

ت. ی ا م ه ما

٢

٢ , ٢ , ١٠, ٠, ۴

( ) ١٠٠ ۴ ٩۶

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f

٠Dون ه پس ٠, ۴ .ت ی ا ه ز

٢

٢٢ , ٢ , ١٠, ١, ۴

( ) ١٠٠ ۴۴ ١۴۴

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f

٠Dون ه پس ١, ۴ .ت ی ا ه ز

م٥ ر . ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ۵ ١٠ ١٧ ۶ ۶ ١٢ ۵ ٢٠ ٢٠f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ٣٧, , ٠,٢

٢ ٢٠

و

ع ١,٢ ی ا ید.fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

ل : ٢

٣ ٢

٢

۶٠ ۶٠ ٣۴ ١٢٢٠ ٣٠ ٣۴ ١٢ ۶ ١٢

١٢ ۶

۶ ۶ ١٠ ٢٠ ١٠

xxx

xy

y yy

f x x yf x x x xy y

f x

f x x y f

٠؛ ا

٠x

y

f

f

قاط گاه آ

١ ٣٧, , ٠,٢

٢ ٢٠

و ع ١,٢ ی ا ند و fقاط ٢

١۶, ١٠ , ٠١ ٣٧ ۵, ,

٢ ٢٠( ) ٣٢

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f D

ون

٠D ه ١پس ٢١,

٢ ۴

ت. و ی ا ه ز ٢

١٠ , ١٠ , ۶, ٠,٢

( ) ٣۶ ١٠٠ ۶۴

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f

ون ٠,٢ ٠

٠xxf

D

ه پس ت.و ٠,٢ ی ا م ه ٢

١٠ , ١٠ , ۶, ١,٢

( ) ٣۶ ١٠ ۶۴

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f

ون ١,٢ ٠

٠xxf

D

ه پس ت. ١,٢ ی ا م ه

م٦ ر . ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ۴ ٨ ۴ ۴ ۴ ٨ ۴ ١۶ ١۶f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ١٧, , ٠, ٢

٢ ٨

و

١, ٢ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٥ه : ه و از : ل :

٢٣ ٢

٢

۴٨ ۴٨ ٨ ٨١۶ ٢۴ ٨ ٨ ۴ ٨

٨ ۴

۴ ۴ ٨ ١۶ ٨

xxx

xy

y yy

f x x yf x x x xy y

f x

f x x y f

٠؛ ا

٠x

y

f

f

قاط گاه آ

١ ١٧, , ٠, ٢

٢ ٨

و ١, ٢ ع ی ا ند. fقاط

٢

٣ , ٨ , ٠١ ١٧, ,

٢ ٨ ( ) ٢۴

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f D

٠Dون ه ١پس ١٧

,٢ ٨

ت. ی ا ه ز

٢

٨ , ٨ , ۴, ٠, ٢

( ) ١۶ ۶۴ ۴٨

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f

ون ٠, ٢ ٠

٠xxf

D

ه پس ٠, ٢ .ت ی ا م ه

٢

٨ , ٨ , ۴, ١, ٢

( ) ١۶ ۶۴ ۴٨

xx yy xy

xy xx yy

f f fx y

D f f f

ون ١, ٢ ٠

٠xxf

D

ه پس ١, ٢ .ت ی ا م ه

م٧ ر . ۴ ٣ ٢ ٢ ٢٣ ٣, , ۶ ۶ ٢ ٢ ١٢ ١٨

٢ ٢f x y z x x x zx zx z y y قاط ید شان د . ١

١, ٣, , ٠, ٣,٠٣

و ٢, ٣,٠ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

ل :

٢

٣ ٢

١٨ ٣۶ ٢ ١٢

۶ ١٨ ١٢ ٢ ٢ ٨ ٠

٢ ٢

۴۴ ١٢

٠

xx

x xy

xz

yy

yyz

f x x z

f x x x xz z f

f x

ff y

f

؛ ا ٠

٠

٠

x

y

z

f

f

f

قاط گاه آ

١١, ٣, , ٠, ٣,٠

٣

و ٢, ٣,٠ ع ی ا ند. fقاط

١٢ , ۴ , ٣

, , ٠, ٣,٠٠ , ٢ , ٠

١٢ ٠ ٢

٠ ۴ ٠

٢ ٠ ٣

xx yy zz

xy yx xz zx yz zy

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

f f fx y z

f f f f f f

f f f

H f f f

f f f

یان س ه ما ند از : Hقاد و ١۵بار ٩٧ ١۵ ٩٧۴, ,

٢ ٢

ه ند پس ی د دا ی ا یان ھم س ه ما قاد و ون ، ٠, ٣,٠ .ت ی ا م ه ما

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٦ه : ه و از :

١٢ , ۴ , ٣, , ٢, ٣,٠

٠ , ٢ , ٠

١٢ ٠ ٢

٠ ۴ ٠

٢ ٠ ٣

xx yy zz

xy yx xz zx yz zy

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

f f fx y z

f f f f f f

f f f

H f f f

f f f

یان س ه ما ند از : Hقاد و ١۵بار ٩٧ ١۵ ٩٧۴, ,

٢ ٢

ه ند پس ی د دا ی ا یان ھم س ه ما قاد و ون ، ٢, ٣,٠ .ت ی ا م ه ما

١۶

, ۴ , ٣١, , ١, ٣, ٣

٣ ٠ , ٠ , ٠

١۶٠ ٠

٣٠ ۴ ٠

٠ ٠ ٣

xx yy zz

xy yx xz zx yz zy

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

f f fx y z

f f f f f f

f f f

H f f f

f f f

یان س ه ما ند از : Hقاد و ١۶بار, ۴, ٣

٣ ه عال پس دا ی یان ھم س ه ما قاد و ون ،١

١, ٣,٣

ت. ی ا ه ز

ع .٨ ی ا قاط ید ورت fشان د ه ز با ضا ٢ ٢, , ,٢ ١٠ , ۵ ,x y z t t t t t t ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

ید : ندی ه ی د قاط ز ۴ ٣ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢١ ۵ ٢۵ ١٠ ۵٠ ١٩ ٩۵ ۵ ١٠ ١, ,

۶ ٣ ۶ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ۶f x y z x x x yx yx zx zx y zy z

ل : ٢ ٢

١۶, ۴ , ٣

, , ,٢ ١٠ , ۵ ٣٠ , ٠ , ٠

xx yy zz

xy yx xz zx yz zy

f f fx y z t t t t t

f f f f f f

٢ ٢۵ ٢٠ ٣٨ ٢٠ ۵٠ ٣٨ ٩۵

٢ ١٠٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣

٢٠ ۵٠ ١٠ ١٠

٣ ٣ ٣ ٣٣٨ ٩۵ ١٠ ١

٣ ٣ ٣ ٣

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

x x y z x xf f f

H f f f x

f f fx

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٧ه : ه و از : ٢۴ ٢٠ ٢۵ ٢٠ ۵٠ ٣٨ ٩۵

٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣٢٠ ۵٠ ١٠ ١٠

٣ ٣ ٣ ٣٣٨ ٩۵ ١٠ ١

٣ ٣ ٣ ٣

t t t t

H t

t

یان س ه ما قاد و ،H : ند از بار

٢ ۴ ٣ ٢ ٢ ۴ ٣ ٢٢ ١٠ ٢ ٢ ١٠ ٢٠ , ۶ ١٠ ٩۴٣ ٢٣۴٠ ٢٩١۶ , ۶ ١٠ ٩۴٣ ٢٣۴٠ ٢٩١۶

٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣t t t t t t t t t t t t

ورت ی ه عال پس دا ی یان ھم س ه ما قاد و ون ٢ ٢, , ,٢ ١٠ , ۵ ,x y z t t t t t t ..ند ی ه ز ی ھم

ع٩ ر قدا م . ما x, y, z a x b y c zf ه ٢ روی ٢ ٢x y z ١ ) ت؟ د) c,b,aقدر ا ی ا قاد

ا ع ال ه uل: با ضا ٢ ٢ ٢u , , ax by cz x ١x y z y z : م ر ی را

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢٢

٢ ٢ ٢

٢ ٠٢ ١

١ ٠ ( ) ١۴٢ ٠

١٢

٢٢ ٠

٢

u aa x x

xx y z a b c

u bb y

ya b c

u cc z z

z

ی fع ا قاط ٢ از ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

, ,

, ,

a b c

a b c a b c a b c

a b c

a b c a b c a b c

ود و ی م ما

ع م ر ما ت با: fقدا ا ا

ع١٠ ر قدا م . ما , , ٣ ٢g x y z z x y ه ی راک م ا ١xرا روی y z وا ٢و ا ٢ ١x y .ید پیدا

ا ع ال هfل : با ضا ٢ ٢١ ٢, , ٢ ٣ ١ ١f x y z x y z x y z x y : م ر ی را

٢ ٢ ٢٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢

a b cM ax f a b c

a b c a b c a b c

M ax f a b c

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٨ه : ه و از : ١

١ ٢ ٢ ٢

١ ٢٢ ٢ ٢

٢ ٢

٢ ٢٢٢

٢ ٢

١ ۵٣ , ,

٠ ١ ٢ ٢

١ ۵ ٧٠ ٢ ٢ ١ ١ ١

٢ ٢

٠ ٣ ١ ۵ ٢٩١ ١

٢ ٢

x yfx

xf

y x y z z zy

fx yz

١ ١ ١ ٢ ٢ ٢

١ ١ ١

٢ ٢ ٢

٢ ٢٩ ۵ ٢٩ ٧ ٢٩ ٢ ٢٩ ۵ ٢٩ ٧ ٢٩, , , ,١ , , , , ,١

٢٩ ٢٩ ٢٩ ٢٩ ٢٩ ٢٩

, , ٣ ٢٩

, , ٣ ٢٩ , , ٣ ٢٩

x y z x y z

g x y z

g x y z Max g x y z

ی١١ و ذ ء را از بدا ه ص ن ر و .٢ ٢٨ ٧ ٢٢۵

, ٠

x xy y

z

ت آورید. د

ه ل : ا ,x y م گاه باید د آ ی با و ذ ٢روی ٢x y ط را ت ٢را ٢٨ ٧ ٢٢۵

, ٠

x xy y

z

ا ع ال م. م و :fیا ی د ل را

٢ ٢ ٢ ٢

٢

٢

, ٨ ٧ ٢٢۵

٠ ٢ ٢ ٨٢ ٢ ٨ ٠

٨ ٢ ١۴ ٠٠ ٢ ٨ ١۴

٢ ٢ ٨٠ ۶۴ ٢ ٢ ٢ ١۴ ٠

٨ ٢ ١۴

١٣۶ ٣٢ ۴ ٠ , ١

٩

f x y x y x xy y

fx x y

x yxf x yx x yy

٢ ٢

٢٢٢

۴ ٨ ٠ ١١

٨ ١۶ ٠ ٢

٨ ٧ ٢٢۵

١٠٠١ ١٨ ٧ ٢٢۵

٢ ٢

x yy x

x y

x xy y

xx x x x

عاد ٢،اما ١٠٠x .رد دا ی ه ر

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٣٩ه : ه و از :

٢ ٢ ٢٢ ٢

٢٢ ٢ ٢٢

١۶ ٨٠

١ ٩ ٩ ٢٨ ۴٩

٠٩ ٩

۵ ٢۵٨ ٧ ٢٢۵۵

٢۵٨ ٢ ٧ ٢ ٢٢۵

x yy x

x y

x y xx xy yx

x yx x x x

ی و ذ ء از بدا ه ص ن ر و ٢پس ٢٨ ٧ ٢٢۵

, ٠

x xy y

z

د. ٥ا با ی با

م ١٢ م و قاد ما .٢ ٢ ٢x y z طرا را ع ید ٢یا ٢ ٢

١ ,۴ ۵ ٢۵

x y zz x y .د با

ا ع ال هfل : با ضا ٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢١ ٢, , ١

۴ ۵ ٢۵

x y zf x y z x y z x y z

م : ر ی را

٢١

٢ ١٢ ٢ ٢

١ ١ ١١ ٢٢

١١ ١

١٢٢

١

٢٠ ٢ ۴ ٢ ۵ ٢ ۵٢ ٠ ٠

۵ ٠ ٢ ۴ ١ ٠ ٢٢ ۵٠ ٢

۵ ١ ٠ ٢ ٧ ۵١ ٠ ,

٢ ١ ٧٢ ۵٠ ٢٢ ۵ ۵ ٠ ٢

xfx x

x z x yf

y y yy

fz z zz

٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢

١ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٣۴ ١٧ ١٧, ,

٧ ۴ ٢٨

۴٠

۶۴۶٧۵ ٣۴ ١٧ ١٧١۴٠ ٣۵٧ ۴ ٢٨١٧

١ ١۴ ۵ ٢۵ ۴ ۵ ٢۵ ١٧ ۶۴۶ ۶۴۶

۵

۶۴۶

١۶٠٠ ١٢٢۵ ٢۵ ٧۵

۶۴۶ ۶۴۶ ۶۴۶ ١٧

x y z

x

x y zy

z

x y z x y z

بارت م ر ما قدا ٢پس ٢ ٢x y z م ١٠ا با ر قدا ٧۵ا با آن و

١٧ت . ا

ع ١٣ ی م ی و م ه f. ما با ضا ٢ ٣, ,f x y z xy z ط را ع ید ن ۶را

٠ , ٠ , ٠

x y z

x y z

د. با

٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢

١ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

١ ١ ۵, ,

٣ ٢ ۶

۵٢

١٩١ ١ ۵

١٠۵ ۵٣ ٢ ۶

١ ١ ۶ ٣۴ ۵ ٢۵ ۴ ۵ ٢۵ ١٩ ١٩

۵۵

١٩

٢٠ ۴۵ ١٢۵١

١٩ ١٩ ١٩

x y z

x

x y zy

z

x y z x y z

٠

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٠ه : ه و از : ا ع ال ه gل : با ضا ٢ ٣g , , xy z x ۶

٠ , ٠ , ٠

x y z y z

x y z

م : ر ی را

٢ ٣ ۵ ۵ ۵۵

٣ ۵٨

٢ ٢ ۵

٩ ٢ ٩ ٩٩ ۶ ۶٠۴ ٣ ۴ ۴۴

٣٢ ٩٢ ٠ ٢٣ ۴ ٣ ٣ ٣ ٨١

١ ,١,٢ ٢ ٢ ١۶٩ ٣٣ ٠

۴ ٢

g x y zy z xx

g xxyz yy

y fg

xy z z zz

یان س نان ما ه fع Hاز د وان ٣ی ٣,١,

٢ ٢

ل از ه حا ه ای م ند ند ا ت ز ی ا ه ز ٠Hیک I ه ر و قدا دارای دو

ت. ه ا ر و قدا عال و یک ف ا ت ر م ١٤ ی و وازی ا ن ر ر م ه . وی با ضا د وا ی ید ن ٢را ٢ ٢

١٩ ١۶ ٣۶

x y z .ود حاط

ا ع ال ه gل : با ضا ٢ ٢ ٢g , , xyz ١۶x ٩ ۴ ١۴۴x y z y z : م ر ی را ٢

٣٢ ٢٣

٢ ٢ ٢

٢ ٢

٣٢ ٠ ۴۶٠٨٣٢ ٣٢ ١۴۴۴۶٠٨

١٨ ٠ ١٨ ٠ ٢۵۶١٨ ١٨

٣٢ ٠ ۵٧۶٨ ٠

٨٨

g yz yz x yzyz x x x x xyzx xg xz xz

xz y y y xyz y yy

xyz x zyxg yx zxy z zz

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢١۶ ٩ ۴ ١۴۴ ١۶ ١۴۴ ٩ ٢۵۶ ۴ ۵٧۶ ١۴۴

٣ , , ٨ ٣٣ ۴ ٣

۴ ٣١٢ ٣ ٣, ,٢ ٣ ٨ ٣٣٢ ٣

x y z

x f x y z xyz Max xyz

yf

z

ی ١٥ م ی و م ٢. ما ٢x y ط را ع ید ن ٢را ٢٣ ۴ ۶ ١۴٠x xy y .د با

ا ع ال ه gل : : با ضا ٢ ٢ ٢ ٢g , x +y ٣x ۴ ۶ ١۴٠ , , ٠x y xy y x y : م ر ی را

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤١ه : ه و از :

١ ٣ ٢٠٢ ۶ ۴ ٠ ٢ ١ ۶١ ٣ ٢ ٠

٢ ٢ ۶ ٠ ٩ ٢ ۶٢ ۴ ١٢ ٠٢٨

٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶١ ٣ ٢ ٠

٢٨ ٢٨٩ ٢ ۶

٢٨ ٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶٢ ١ ۶

٢٨ ٢

gx x y

x yxg x yy x yy

x y

x

٨١ ٧٢ ۶

١١۴٠

٨

٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶١ ٣ ٢ ٠

٢٨ ٢٨٩ ٢ ۶ ٨١ ۵۶ ۶

٢٨ ١١۴٩ ٢ ۶ ٩ ٢ ۶٢ ١ ۶ ٠

٢٨ ٢٨

y x

y

x y

y x

x y

٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢٨١ ٧٢ ۶ ٨١ ۵۶ ۶١ , ١

١١۴ ١١۴Max x y x Min x y x

م ١٦ ل ب ل م ه ای ت از با ٣٢. وض ا ب ر م ی د.سا ه با م دا ل ت سا ید ن وری عاد آن را د. ا ی با ال باز

ا با ه ل ت سا ل : , , ٢ ٢f x y z xy yz xz ا با ه م ٣٢و , , , ٠v xyz x y z ا ع ال ت. ه gا با ضا

, , ٢ ٢ ٣٢g x y z xy yz xz xyz : .م ر ی را

۶

٣ ۶ ۶

٢

۶

۶

۶ ۶ ۶

٣٢٢ ٠ ٢ ٢٧

٢ ٣٢٣٢۴ ٢ ٢٢ ٠ ٢ ٣٢٢٧

٢ ٢ ٣٢ ۴۴٢ ٢ ٠٢٧

٢ ١۶ ٨٢ ۴ ۴٢ ٢ ١۶ ٢ ٢

٣ ٣ ٣

g xy z yz x y zx xy xzg

x z xz xy yz yy

zy zg

x y xy zz

Min xy yz xz

۶ ۶ ۶٢ ٢ ١۶ ٨ ٢٢ ٢

٣ ٣Min xy yx xz

ث ١٧ ون ید .ABC ند ه ای ما ،P بارت وری ود دارد و ٢ ٢ ٢

PA PB PC ت و د.Pم ا ی با ث ی یا ی ل تال

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٢ه : ه و از : ل :

٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

, ,

, A B B A C C

P x y f x y PA PB PC

f x y y y x x y y x x x x y y

ث ون

ABC : م دار

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢

, ٠A A B B C C

PA PB AB AB AC BCPA PB PC m

PA PC AC

h x y m x x y y x x y y x x y yPB PC BC

ا ع ال ه gپس با ضا g , , , , , ٠x y f x y h x y x y : م ر ی را

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢

٠ ٢

٠ ٢

٠ ۶ ٢

CA BA B C

A A B B C C

CA BA B C

A A B B C C

AA B C

A

x xx x x xgx x x x x x

x x x y y x x y y x x y y

y yy y y ygy y y y y y

y x x y y x x y y x x y y

x xgx x x x

x x x y

٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٠

٠ ۶ ٢

CB

A B B C C

CA BA B C

A A B B C C

x xx x

y x x y y x x y y

y yy y y ygy y y y

y x x y y x x y y x x y y

بارت وری ند ت ساوی ھم عال ن ون و ٢ ٢ ٢

PA PB PC د پس م با ٠باید : و

٠۶ ٢ ٠ ٣۶ ٢ ٠٠

٣

A B C

A B C

A B C A B C

g x x xxx x x xx

g y y y y y y yy

y

ه پس ,P x y ث ی یا ی د.ی ABCل تال با

م١٨ ر قاد ا .z ٢را روی رو ٢ ٢٢ ٣ ١٢ ۴ ٣۵x y z xy xz .ید یا

ا ع ال ه gل: با ضا ٢ ٢ ٢g , , z ٢x ٣ ١٢ ۴ ٣۵x y z y z xy xz : م ر ی را

٠٠ ۴ ١٢ ۴۴ ١٢ ۴ ٠

٢٠ ۶ ١٢ ۶ ١٢ ٠

۵١ ٢ ۴ ٠

٠ ١ ٢ ۴

gx y z

x x y zy xg

y x y xz xy

z xg

z xz

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٣ه : ه و از :

٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ٢ ٢

٢

٢ ٣ ١٢ ۴ ٣۵ ١min ۵

٢٢ ١٢ ٢۵ ٢۴ ٢٠ ٣۵۵

۵٣۵ ٣۵

x y z xy xz xz

yx x x x xMax z

zx

ع ١٩ م ر ما قدا .٢ ٢z y x رط ٢با ۶x y .ید یا را

ا ع ال ه gل : با ضا ٢ ٢g , y -x x ٢ ۶x y y : م ر ی را

٢ ۶٠ ٢

٢٢ ۶٢

٢ ۴٠ ٢ ٢۴

٢,۴ ١۶ ۴ ١٢ ١٢

x ygx

xxxg yy yy

Max z f Max z

وض ٢٠ ع م ر قاد ا . , ,f x y z yz xy روط یرا ١xyید ٢و ٢ ١y z .ید پیدا

ا ع ال هgل : با ضا ٢ ٢١ ٢, , ١ ١g x y z xy yz xy y z : م ر ی را

١ ١

١١٢ ٢

١ ٢ ٢

٢

٢

, ٠٠ ١١١ ١

٠ ٢ ٢ ١

٢ ١١٠ ٢

g x t ty y yx

ygx z x y y z y ztz yy

z y x yg zy z tz

٢ ٢٢

٢ ٢ ٣٢ , ,

٢ ٢ ٢

٢ ٢ ٢ ١٢ , ,

٢ ٢ ٢١ ١ ٢١ ٢ ٢٢ ٢ ٢ ٣

٢ , ,٢ ٢ ٢١ ,

٢ ٢ ٣٢ , ,

٢ ٢ ٢

f

xf

t t yt t

fx y z y

f

ع ی ا قاط , ,f x y z yz xy ل ١ ١ ١ ١, , , , ,t tt t t t

ند و بارت ی با م ر ما yzقدا xy ٣ا با

٢م ر قدا ١ا با آن و

٢ت . ا

وض ٢١ ون را ت و پ سا ن ی با ث ید بات ت.p.ا ساوی االضالع ا ی ث ،

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٤ه : ه و از : م ی ض ,ل : ,z y x ندو ث ٢xول اضالع y z p s ا با ث ت سا و , ,f x y z s s x s y s z

ا ع ال ت. ه gا با ضا g , , , x ٢x y f x y z y z s : م ر ی را

٢ ٢

٢ ٢

٢ ٢

٠٢

٢ ٢ ٢

٠ , ٠ , ٠٢

, ٠

٠٢

s s y s zg s s y s z s s x s z s s x s yx s x

s x s y s zs s x s zg

s y s z s x s z s y s xy s y

s z s x s y s x s zs s x s yg

s z s y s x s yz s z

s y s

x

x y zs z s y

s z s x

ن :

ع .١ ی ل دا ه ٢ ٢, ٣ ٢ ٢ ۴f x y x xy x y y .ید یا را بارت .٢ ی ٣م ٣ ۶x y xy .ید یا را

عاد .٣ ٣رو ای با ٣ ٣z x y xy تای رو قاط ا وع ت. م رو ) ، وض ا ر قاط ا وع ی قاط ، ( را و ٠,٠ ید. ١,١ ص ع .٤ ق ط م ر ما ه uقدا با ضا ٢ ٢٢ ٢ ٢, , ,x yu x y x y e x y .ید یا را

ره .٥ ع دو ر قدا ن ر ٢ک ٢٣ ٢ ١٢z x y x y ید.را یابارت .٦ ی م ١ما ۶۴

xyx y .ید یا را

ع .٧ ی و م م و قاط ما ٢ ٢

, ۵ ٧ ٢۵x xy y

f x y x y e

.ید یا را

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٥ه : ه و از : م .٨ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٣ ۶ ٣٧ ١٠ ١٠ ۴٠ ٣ ٢۴ ۴٨f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د .

١ ۵٣, , ٠, ۴

٢ ١٢

و ١, ۴ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

م .٩ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ٢ ۴ ۴٢ ٨ ٨ ۴٠ ٢ ٢٠ ۵٠f x y x x x yx yx x y y قاط ید شان د . ١ ٩, , ٠, ۵

٢ ٢

و ١, ۵ ع ی ا ید. fقاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

م .١٠ ر ۴ ٣ ٢ ٢ ٢, ۴ ١۶ ۴ ۴ ٨ ۴٠ ۴ ۴٠ ١٠٠f x y x x x yx yx x y y قاط ید د شا . ١١١, , ٠, ۵

٢

و ٢, ۵ ی ا ید. fع قاط ندی ه ی د قاط ز ی یا م ی ، ما م وان ند و آن را

م .١١ ر ٢ ٢١ ٣٢ ۴ ١۶ ۵٨ ١,

٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣f x y x x yx y y . ی ا ی fقاط م ی ، ا قاط ن م یک از ا دا ید وم ع ید و یا را

ند. ی ه ز ی یا م ، مام .١٢ ر ٢ ٢ ٢۵ ٢ ٢ ٨ ٢ ١۴ ٢٨ ۵ ١۴ ٨

, ,٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣ ٣

f x y z x x yx y zx z y zy z

. ی ا fقاط

ی ، ما م ی ، ا قاط ن م یک از ا دا ید وم ع ید و یا ند.را ی ه ز ی یا م ع .١٣ ی ا قاط ید ورت fشان د ه ز با ضا ٢ ٢, , ,٢ ۶ , ٣ ,x y z t t t t t t ، ی م وان ند و آن را

ید : ندی ه ی د قاط ز ی یا م ما ٢ ٢ ٢, , ٢ ۶ ۴ ١٢ ٢f x y z yx yx zx zx y yz رط xyzبارت .١٤ ت ٢را ٢ ٢ ٢٧x y z .ید م سازی ، ما

ط .١٥ را ٢ت ٢ ٢ ۴x y z ٢و ٠x y بارتxyz .ید م سازی را مام .١٦ ٢ما ٣ ۶x y z ید ٢را ٢ ٢٢ ٣ ٩x y z .ت آورید د

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٦ه : ه و از : عاع .١٧ ه د یک دا وا ه ا ی را ن ر ر عاد ید. rا یا ود ، حاط ی روی .١٨ ٢قا ٩y x قاط ن دیک ید یا ند.٠,٠

ی روی .١٩ ۴yxقا قاط ن ود دور ورت و ید یا ید. ٠,٠ یان ش را ی ود د و ی قا ن ند.ا ه .٢٠ , .x y z از ح ٢را روی ٢ ٢۴ ١x y z ط ن دیک ید یا ی س د. ٠,٠,٠ باه .٢١ راک ٢ی از ا ٣ ٣x y z وا ٢وا ٢ ۴x y ط ن دیک ید یا م ن ه ای روی ا ت. ده ا جاد ا د. ٠,٠,٠ با

ر .٢٢ هی از ا ٢اک ٣ ٣x y z ه ٢و ٢ ٢ ١۶x y z ط ن دیک ید یا م ن ه ای روی ا ت. ده ا جاد ا د. ٠,٠,٠ باه .٢٣ ٢ه ای روی ٣ ۴x y z ط ن دیک ید یا د. ١,٢,٣ بای .٢٤ راک رو ٢ه ای روی ا ٢z x y ١وx y z ط ن دیک ید یا د. ٠,٠,٠ با

٢ه ای روی .٢٥ ٢٢ ١

۴ ٩

x yz ط ن دیک ید ١٠xه یا y z د.با

از ه ای روی .٢٦ ٢ح ٢٢ ١۶x xy z ط ن دیک ید یا د. ٠,٠,٠ بای .٢٧ و ٢ع ٢٢ ١Ax Bxy Cy ٢، آن , ٠B AC A ید ض ت. ن و Mو mوض ا دیک ء بدا ل وا

ید : شان د ند. ی با و قاط ن دور

٢ ٢٢

٢

۴

٢

A C A C BM

AC B

ای شا آن را ول . ٢mو ما پیدا

ا با .٢٨ ی ید ی ٣۶ض ند.سا م ح رو را ید یا ی س م را ن عاد ا ت. ا ب ا رمم .٢٩

١

n

jj

x ید ٢را ٢

١

n

jj

x a

ید ض ت ن ا م ید. ت. aیا دد ا یک

د .٣٠ وا ی ی را ث ن ر ر عاد عاعا ه ید r یک دا یا ود ، حاط

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٧ه : ه و از : ٢م .٣١ ٢ ٢۴ ٩x y z ط را ت ١xرا y z ٢و ٠x y z .ید یا

ط xyzم .٣٢ را ت ٢را ٢ ٢ ٢x y z r ٠وx y .ید یا

د. nا .٣٣ ی با شان nددی ط و ید یا دد ٨n .د ن با م ر قدا ن وچک شان عا وع د و با

م .٣٤ ٢ما ٢x y ی ن را روط ا ید ٢ا ٢٢

p qx yr

p q آن ،p وq ه ند و را ر از یک ر ی د دا ١ا ١

١p q ی ید و شان د د. صادق ا

٢ ٢p qx y ا با م رید ا٢rما ت . حال ب ,ا ٠x y گاه pآ qx yxy

p q وx وy ند.ی ل بد عاد ساوی را یک ن د ا ود دار و

,گاه .٣٥ ,c b a م ند. ما ی با د دا ا , , a b cf x y z x y z ی رط جا ت ١xرا y z .ید یام .٣٦ ٣Lnxما Lny Lnz ه ی از ٢را ٢ ٢ ٢۵x y z r ٠ آن , ٠ , ٠x y z فاده از ید. با ا پیدا

ی د دا ید ازای ا ن ، ,ا ,c b a ،۵٣ ٢٧

۵

a b cabc

ی .٣٧ ٩xو y z ٢و ٣ ٢٠x y z بارت م ،٢ ٢ ٢x y z .ت آورید را دا .٣٨ , .x y z ی ه راک م ا ٠xه ای از y z ١وx z ع م د. ٢با ٢ ٢f x y z .ید یا را

م .٣٩ م و ع قاد ما , ٢f x y xy z ه رک ل ه ٠xرا روی دا y z ه ٢و ٢ ٢ ٢۴x y z .ت آورید دع .٤٠ م م و قاد ما ٢,f x y x y z ود ت ٢را ٢ ٢y z وz x .ت آورید د

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٨ه : ه و از : داری ٤ل ( ھای) یدا ع ( وا :(

داری ع وا ی ت دو ویپضای ت از ی ا داری وری n mع ود ی ند nف و ای ما دار ازnاز Dی از ز دد. mیک ی م. Dوط ی ع ه را دا

داری ع :٣ف: nF ورت ١را ٢ ٣( ) ( ) ( ) ( ) , nF P F P i F P j F P k P

ع د م. ر ی F P

ی و٠P P ورت را

٠ ٠ ٠ ٠١ ٢ ٣lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

P P P P P P P PF P F P i F P j F P k

ه ود دا ت و ف را د ه رط آن م. ی ف داری ع د و با F P

ه ٠Pرا Dط ا و ا و ه ویپ٠

٠lim ( ) ( )P P

F P F P

.

تاب ت و ر ی داری ه ای روی ید عاد Cض ١ ٢ ٣( ) ( ) ( ) ( )R t f t L f t j f t k

ود ورت و د با ٣ ٢ ١, ,f t f t f t ه ه ای ت ر ،ت از : tزمان بارت ا ١ ٢ ٣( ) ( )v t R t f t i f t j f t k

:ت از بارت ا ه ه ای تاب و ١ ٢ ٣( ) ( )a t v t f t i f t j f t k

:د و ی ه حا ھای ز و ه از تاب ندی ت و ر ندی ؛ ٢ ٢ ٢

١ ٢ ٣( )v t f t f t f t ، ٢ ٢ ٢

١ ٢ ٣( )a t f t f t f t

)ف: ا )R t ی دد Cه ای رویC ،Pمایان t ی ماس، ی کا دار ورت ن د ا ود با ی ه Cوط Pم ی ف ورت ز :را

( )( )

( )

R tT t

R t

دار )و )

( )( )

T tN t

T t

دار ت با )را ھم )T t

م. ی ی ی اول کا م ی یا ود اص ی ع کا دار د را بات از بارت ا ضا، ی ه از ود دوم ی ع کا Bدار T N

. ی عاد Cه: ا ( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k

د.و ,وض با ,z y x ه ص ١ ٢,t t ی وس ول گاه ند آ ه با ی Cویپ از tو١t ٢t ا با د ی یا ش ا ٢ا

١

( )t

tL R t dt

.ت اب نا و ه ا دا

ید ض )ف: )T t ی ماس ی کا نا با Cدار ه t ی د Cروی نا با sبا ه واه ه د وس از ش sو tول ا دار tبا ا ورت ود، ا زیاد

نای ت از:Cا بارت ا ه ن ) ا )dT

tds

.م ی نا عاع ا ی را نای س ا ه و ع ن ی ا نای دار را ا ن زه ا دا ، و ا

١( ) , ( ) ( ) ٠

( )t t t

t

آن ،( )t د و ی د شان ی را نای ٢ا ٢ ٢( ) ( ) ( )ds dx dy dz ول وان از ی ی را نای ، ا

٣( )R R

tR

ی د. ا ه عادCحا با y xf نای گاه ا د آ ده با ول Cص وان با ی را

٣

٢٢١

y

y

د. ه حا

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٤٩ه : ه و از : ی عاد Cا )با ) ( ) ( )R t x t i y t j

نای گاه ا د آ ده با ول Cص ر از

٣٢ ٢ ٢

x y y x

x y

ی ند.ا ی ه یCحا عاد با

r f گاه د آ ده با ص

٢ ٢

٣٢ ٢ ٢

٢r r rr

r r

٢ آن

٢,

d r d rr r

d d .

ه Cی xy ه ت ا ٠Pوض ا ی ه Cروی ن د ا ٠وری با ه ای گاه دا ٠Pآ C ا با ش عا ی و ت ش د و ماس بات را نا ا ناعاع ا ه ا وسانیا دا ه نای دا ه، ا ن دا م. ا ٠P Cی ی نای صات ا ود. ی یده y xf ھای و وان با ی را

٢ ١)٢ ) ١,C C

y y yx x y y

y y

ید ض د. ه B,حا N

ھای و ط و ند. ی اول و دوم با کا م ی دار ( )

, ( )( )

T tB T N N t

T t

و( )( )

( )

R tT t

R t

شان داد وان ی ی د آسا ده ا dی B

ds

ی دار ل ه شا ,T B

دار ی با ت ود ا ع

N ند ددی ما ذا ت وری t sوازی ا وان یا ی ی دارد را dت B

Nds

ر ر قدا قدا ی و ب ه باال را ١ را

ی ش ه پ ب عاع را

ی م. گاه عاد Cی )با )R tگاه د آ ده با ٢ص

( )٠ ( ) ( )

( ) ( )

R t R t R t

R t R t

ادیان ی ، و ق

ی و ه ق دار ی د یک تدا ا : ع ع ق ی ، و ق z x, yf ه ٠ ٠ ٠( , )P x y دار ت ٠PP

:ود ی ف ورت ز ٠

٠

٠

( ) ( )limP P

f P f P

PP

ع ی و ق ،f ت ه uدار ی ماد )٠ با )

uf Pول وان از ی ود را ی ٠شان داده ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , ) ( , ) cos ( , )sinx yu

f x y f x y f x y د. آن زاو ساب uدار ور ع xبا ورد ت. ا x, y,zf ل ر ت ، آن ز ول cosا ,cos ,cos دار دی ھای uو

.ند ی با٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠( , , ) ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cosx y zu

f x y z f x y z f x y z f x y z ع ف ادیان :( , , )w f x y z ه x, y,zP ء بدا ت داری ا ،P ع ی قات ش ، ه و w.ند ی با

( , , ) ( , , ) ( , , )x y zgrad w w f x y z i f x y z j f x y z ل بد م: ، عمل یا م ودار ی بال ) را ( دل ) یا (

٠ ٠( ) . ( )u

f P u f P ا ، ی دار f,زاو u

ه ٠P گاه د آ ٠با ٠( ) ( ) cosu

f P f P ن ا نا ،٠( )

uf P م ی ما و

ت cosا ١ ی د uبا تf

د.ا با x, y,z ٠f عاد رو ,وsو ,z y xf f f ٠ه ٠ ٠ ٠( , , )P x y z s گاه ند آ با ی وده وھم ه ویپ٠ ٠ ٠( , , )f x y z

ح م هsدار ٠P .د ی با

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٠ه : ه و از : ع ی و یق د یک تدا : ا

ع ی ورت C یrو ن ند ا ی ف و rرا ت.و ی ) ، ا ماس دار ت ، ( و ر gدار ی ره ای ، ( ه ز g t f r t r t ق ، (f

ض ت ، با ر دار r 0 د. ا ی با T t

ت ه دار ی r t ) ، د دار با T t ه ای رب ل ت ) ، حا ماس ا ه دار ی f r t T t

ی دfق تدا ی C ا ق ت fیا C ت ر د وا ی ش ما ر ود.یک ی د داد.یده وا ر ی را و ق ت ود، عال ن ، جای ند. ا س ا عمثال : ت و fض ق پذ ا ه ه جا د ھ کا با ن ا یدا ی cیک عاد دکار ن د.ھ دد با یک ,f x y c یC ماس ط ه اش را

ید ماید. ف و ی fدارد ه ی C ادیان دار ف) : ت : (ا واص ز ا یfدارای ی Cم ق ت. (ب) : یfا د تدا C ای ق ت. (ج) : ی fا م ی C .رش را دارد قدا ن

Tل : ا ی ماس ه دار ی ی Cیک ق د یfبا د تدا ه ای C ا رب ل fحا T ت.ا f Tا

د ود با ت و اع رب ا ل ن حا اfوازی باT

د ح با ی ف ) ، بات (ا ای ا ند. ی با ف ) ج حکم (ا تا ن دو حکم (ب) و (ج) ا نا ر را دارد. قدا ن رب ل ن حا داری ا عاد را با r t x t i y t j ع م و ر ی g t f r t : م ره ای دار ده ز ق م. ی ی را g t f r t r t

ی Cو ع ،g ر قدا ت. ا cدارای ا r t C گاه آ g t ون 0 gو f r د ی د شان ن ی fا C rروی ن ا نا ت ود ا ی fع د.Cم ی با

ه ی یک سای ع ھ ی یک ر قدا ه : حاع ای ی یک ر ه ی fقدا ی سای ھ ,a b ول از , , x yf x y f a b x a f y b f ی ر قدا ی آید.و ت n د

ع ه ی fای ی سای ھ ,a b ول از

,, ,

! !j

j m j m jjn m

n m jm j

x a y b f a bf x y p x y

j m j yx

0 0

ود ی ه .حاذورات ن ر : ط ک

قاط ای ذورات ن ر ط ک عاد , , , , , ,n nx y x y x y2 2 1 1 ت با yا ا mx b : آن

n xy x ym

n x x

x y x xyb

n x x

22

2

22

ده : ل ی سا ا .١

٢ ٢

٢

:

۴( , ) ٣

F R R

xF x y xy i j x k

x y

ع ی ت ه F، ویپ را ید. ٢,١ ی ر

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥١ه : ه و از : ع ه (F، پس ت.٢و١ ه ا ) ویپ

عاد .٢ ی وس ید: ول ساب را ل:

ع .٣ ی نای ول عاع ا ه ای ید.را یا

ل:

دود ا .٤ ی ماس ی کا بارت Cدار گاه د آ ت؟با ا با ل:

ری .٥ عاد پارا ی ی ه ید ید.را یا

ول فاده از م:ل: با ا م. دار ی ه حا ی را ی ید ر قدا

ع .٦ ی نای عاع ا ید.م یا را

ل:

٢

, ٢,١ , ٢,١ , ٢,١ , ٢,١

, ٢,١

۴lim , lim ٣ lim lim

٨lim , ۶ ۴ ٢,١

٣

x y x y x y x y

x y

xF x y xy i j x k

x y

F x y i j k F

s in , co s , ٠ ١t tx e t y e t t

١

٠

( ) ( ) ( ) ( ) ( sin cos ) ( cos sin )

( ) ٢ ٢ ٢ ٢( ١)

t t t t

t t t

R t x t i y t j R t e t e t i e t e t j

R t e L e dt e L e

y L nx٢

۵x

٢

٣ ٣ ٣ ٣٢٢ ٢٢ ٢ ٢ ٢

٢

١١ ٢٢ ۵, ( )

١ ۵ ۴١ ١١ ١١ ۵

١٠ ١ ٢ ٢٧( ) ( ) ٢ / ٧

٢٧ ( ) ١٠۵

yy xxxy Lnx

y y xx

x

tt

T

CT d R

( )( )

( ) C C

R t RT t T d R R d t R d t T d R R d t

R t R

٣

٣

٢cos

٢sin

x t

y t

۴t

٣

٢ ٢ ٢

( )x y y x

t

x y

٢ ٢

٢ ٣ ٢ ٣

٣ ٢ ٣ ٢( ) ۶cos sin ( ) ( ) ۶sin cos ( )

۴ ٢ ۴ ٢,٣ ٢ ٣ ٢

( ) ١٢cos sin ۶cos ( ) ( ) ١٢sin cos ۶sin ( )۴ ٢ ۴ ٢

٩ ٩١ ١٢ ٢

( ) ( )۴ ٢٧ ٣ ۴ ٣

x t t t x y t t t y

x t t t t x y t t t t y

xy e

٣ ٣٢ ٢٢ ٢

٣٣ ١٢ ٢ ٢ ٢ ٢٢ ٢

٢

, , ( )

١ ١

١ ٣ ١ (١ )١( ) ( ) , ( )

( )

xx x x

x

x x x x x x

x x

y ey e y e y e x

y e

e e e e e ex x x

x e e

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٢ه : ه و از :

ق پذ از و و ا .٧ گاه ی د آ ید. با یا را

ل:

ع .٨ ی و ه ق دار ت ید. و ه حا را

ل:

ع .٩ ه ق , ,1 1 دار 2 تای ت؟ را ا با دار ل: ا ت ه گاهدار ی د آ و : با

ع ١٠ ی و ق ر قدا ه . د تدا ید.و ا یا را دار ل : ا ت ه گاهدار ی د آ و : با

از . ١١ ح ود ه ع ه دار ی ید . با را

ض :ل ت .پس با ود ا ه ، ع ازآن ح ه از یک رو ادیان دار م م : ی دا دار

١٢ ٢ ٢ ٢٢

٢( ) ٠ ١ ٣ ١ ٠ ٢ ١ ٠

٢

٢ ٢ ٣ ٣٠ m in ( )

٢ ٢ ٢

x x x x L nx e e e e x

L n L n

( , , )r x y z x i y j z k

٢ ٢ ٢r x y z fr( )f r

٢ ٢ ٢

٢( ) ( ) ( ) ( ) ,٢( )

( ) ( )( )

( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )

x z

x

y z

r x x r y r zf r f r i fy r j f r kx r y r z rx y zf r r r

f r f rr x x f r r

f r x i y j z k f r f rr r r rf r f r f r f ry z

٢ ٢z x , y x y f ١ ١,

٢ ٢

٢A i j

١ ٢ ١ ١, ( , ) ٢ ٢ ,

٢ ٢۵ ۵

١ ١ ١ ١ ١ ٢ ١ ١ ١ ۵, . , ,

٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ۵۵ ۵ ۵u u

Au i j f x y x i y j f i j

A

f u f f

٢ ٣x , y, z xy yzf ٢ ٢D i j k

u

D١ ٢ ٢

٣ ٣ ٣

Du i j k

D

٢ ٣ ٢( , , ) ٢ ٣ ٢, ١,١ ٣ ٣

١ ١١ ١١٢, ١,١ . ٢, ١,١ ٢ ٢ ٢, ١,١

٣ ٣ ٣u u

f x y z y i x y z j y z k f i j k

f u f f

٢ x y zx , y , z L n y x z ef ٣,٢, ١١ ١ ١, ,

٣ ٣ ٣

u

١ ١ ١, ,

٣ ٣ ٣D

٣ ٣ ٣

٣ ٣ ٣

Du i j k

D

٢ ٢ ٢

٢( ) ( ) ( )xyz xyz xyzf f f z y x

f i j k f yze i xze j xye kx y z y xz y xz y xz

۶ ۶ ۶١, ٢,٣ ٣ ۶ ۴ ٣ ١ ٢f e i e j e k

۶ ۶ ۶

۶

٣ ٣ ٣١, ٢,٣ . ١, ٢,٣ ٣ ۶ ۴ ٣ ١ ٢

٣ ٣ ٣

١١ ٣١, ٢,٣

٣

u

u

f u f e e e

fe

٣ ٢ ۴x y z ( ١, ١,٢)

٣ ٢, ,f x y z xy z

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٣ه : ه و از :

ری Cی .١٢ عادالت پارا ه با ت. ده ا ی داده نای ر ا قدا ی و ن م دوم ا ی و م اص ماس ، ه ی ی ید . Cدار یا را

کان :ل داری ه ع م . :را باضا ی د ل

ید .١٣ یا ی را عاد ذورات ، ن ر یار ک فاده از قاطبا ا , , , , ,4 3 2 3 1 د. 1 ن با دیک طل : ه ن م از ا ل وا ذورات وع ده ، شان داده ل ز و yھمان mx b ا با

d d d m b m b m b 2 2 22 2 21 2 3 1 2 3 4 قاد3 وع ن ت.ا ره bو mا ع دو وان وان آن را ی ی دارد و ت ند ی ص ط را

٣ ٢ ٢ ٢ ٣٣ ٢

١, ١,٢ ۴ ١٢ ۴

١, ١,٢ ۴ ١٢ ۴ ۴ ١٢ ۴ ١١ ٣ ١١ ١١

١١ ١١ ١١١, ١,٢ ١٧۶ ۴ ١١

١١ ٣ ١١ ١١١

١١ ١١ ١١

f f ff i j k f y z i xy z j xy z k

x y z

f i j k

f i j k i j ku i j k

f

u u i j k

sin(٢ )

cos(٢ )

٢

t

t

t

x e t

y e t

z e

٠t

( )R t ( ) sin ٢ cos٢ ٢t t tR t e t i e t j e k

/ / / /

/ /

//

/

( ) ( ) ( ) ( )

( ) sin٢ ٢ cos٢ cos٢ ٢ sin٢ ٢ (٠) ٢ ٢

٠ (٠) ٢ ٢ ١٣ ٠ (٠) ٩ ٣ (٠) (٠) ٢ ٢

٣ ٠(٠)٣

t t t t t

t

v t R t x t i y t j z t k

v t R t e t e t i e t e t j e k R i j k

v R i j kv t e v R T T i j k

Rv

// // // //

//

//// //

//

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ٣ sin ٢ ۴ cos٢ ٣ cos٢ ۴ sin ٢ ٢

٠ (٠) ۴ ٣ ٢ ١(٠) ۴ ٣ ٢ (٠) ٢٩ (٠) (٠) ۴ ٣ ٢

(٠) ٢٩ ٢٩

(٠)(٠)

t t t t t

a t v t R t x t i y t j z t k

a t v t R t e t e t i e t e t j e k

a R i j kR i j k R N N i j k

Ra t

T NB

/ //

٣ ٣/

١٢ ١ ٢

٣ ٢٩۴ ٣ (٠)٢ ٨ ۴ ١٠ ١

(٠) ٨ ۴ ١٠۶ ۵ ١٨ ١۴۵ ١٨ ١۴۵(٠) (٠)

٢ ١ ٢٠ ٠ (٠) (٠) ۴ ٣ ٢ ٨ ۴ ١٠ ۶ ۵ ٢ ۵

٢٧ ٢٧ ٢٧ ٠(٠)٩

i j k

i j kB i j k

T N

i j k

v a R R i j k

Rv

٥٤

م : م. دار ی د ر

آن

ن مارچیپ دارای

و و و

A

N

B

٤ه :

S

b

ا ساوی را

ن ید ا ت. ا

ی دار

F x xe

t T

ی ی Sق

m

و

S

mS

b

m

m

2

2

217

ده ف و

ه ت. ده ا

xxe A F

x

1

1

R

0

یدن رال ن ع

ق ن کار ، ای ا ت.

m b

m b

m b

m b

1

1

7 193 7

.

،

ید. یا را

داده

R t

x F t dt

cot a

tz e 2

ه و از : ر قدا د ازای آن ،

S mت ل ا دا

m b

m b

m

b

4 2

2 2

9

ید ازای

و

,tae a e2 2 2

0

x a

y a

1

s t i a

coty e

د bو mد ی با

,b m b

m

m

3 8 4

3 2 4

471

ی ی

وری پیدا ت را ه ا

عادالت

.

و

,te at2

sin

cos

sina t j

x os t2

ی و ی ع ٢ریاقا ن دف ، یا ن ا

m b 21 2

m b

m b

y mx b

y x

3

3

47

نایو عاع ا و

ویپ

ی نای ی ا

د. ی با

ی

NB

,0

b t k

a

sinte t2

S ا نا .

b m 23 4

m b

m b

b

42 14

14 6

1

ه حا و ت

بازه اری

د. ی با ی

ی ند کان ری ت پارا

ع ه ی کان چیپ و

ری عادالت پارا

ید. ی یا را

T

N

F

a

b2 2

C

C

ی عا ق م ,S m b

b 23

38 0

14 0

ن :

ت .١ و ط

د .٢ ع

دار

عادالت .٣

یک مار .٤

نای ا

ی .٥

نای ا

C

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٥ه : ه و از : ی .٦ ی ورت گاه دار گاه د.آ ی وو با نای ی و ا ب واهو ه د ید. را یک یا

م .٧ ماس و ی ه ی وو وسان ه عاد نا و م)، و ا تاب ی و ما تاب را ،(

ت آورید.ه ای ازای دم .٨ ت م و را وسان و ی ه ت آورید. را ازای عادالت د

عاد .٩ ت. ی م ا م یا ی ما نای قاط ، ا م دا ت. وض ا

ری ی .١٠ عادالت پارا ت؟و و م ا تا ما ه ای ا ت آورید. نای آن را د م. ا ر ی را ی .١١ دار ه حا ت و ی مارچیپ وو ط نای ش و ا ا نا دارد ؟ ؛ ا ری ا

ی .١٢ دار ه حا ت و ی وو ط نای .و اعاد .١٣ ه ی نا) ، آن را ه ا وسان ،(دا ه عاد دا ت. ت آورید. وض ا د

ی .١٤ عاع ه ای روی ید د. یا م با نا آن ا

ب ، .١٥ ف فاده از ید اوًال با ا شان د ب چیپ ، فاده از آن ، ید. وبا ا ساب را

ی .١٦ رده ری عادالت پارا ورت ن ت. ا ی ا رده آن ی ، نای ی ا ند کان م ت آورید. ی دا را د

عاد .١٧ ی رده ری ید. عادالت پارا را پیدا

ی .١٨ رده ری ید. عادالت پارا یا را

Cz x y

x y z

2 2

2 2 21 14T

N

B

CC , ,x y z

Ta

Na R t t t i t t j t k

3 3 21 13 3

t 1

cos sinR t t i t j t k 2 2

t 0

,x y

a ba b

2 2

2 2 1

Ctx ety e z t 2

T

N

B

cos sinR t a t i a t j bt k

b

T

N

B

sin cosR t t i t j t k 6 2 6 2 5

s iny x x 2 ,0 0

xy e

dB

ds

d Bdt

v

cos sinR t t i t j t k

cos sin

sin cos

x a t t t

y a t t t

coshx

y aa

cos sinR t a t i a t j

t

3 3

0 2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٦ه : ه و از :

ی .١٩ عاد ی نای آن ، ا یک عاع ا ید شان د د. ور با ی آید. آن ، از د ت د

د.ی با و داری .٢٠ ه ع حا ت و ط ت. ه ووض ا ه حا دون ).و ، (کا .٢١ ع ا وا ف) : ادیان یک از ت آورید: (ا ده د ه داده ه ز را ،

ه (ب) : ه ، (ج) : .

ی .٢٢ و کاق ع ا وا ت یک از ده و ه داده ف) : ز را ید: (ا ه یا ،

ه (ب) : ه ، (ج) : .

ی .٢٣ ق ید :f حا ز ، ساب ده ت داده ه و را ف ): (ا , ,f x y z x y z 3 5 ه ی 2 , ,2 2 ه 1 م رو خارج ت x y z 2 2 2 9 ،

(ب) : , ,f x y z x y 2 ح 2 ی و ه ع x یک y z 2 2 2 ه ، 4 م رو خارج آن ت

(ج) : , ,f x y z x y z 2 2 ه ی 2 , ,3 4 ح 5 رک دو ل ی د تدا x ا y z 2 2 22 2 xو 25 y z 2 2 2 ید .٢٤ یا ی را عاد ول، ی و روش ی ق فاده از روش ذورات ، و با ا ن ر یار ک فاده از قاطبا ا , , , , ,4 3 2 3 1 د. 1 ن با دیک

ف) : .٢٥ ید :(ا یا و را ذورات ن ر ط ک عاد ی ، ی ق فاده از با ا , , , , ,4 2 2 3 0 ، (ب) : 1 , , , , ,6 0 2 2 1 1 (ج) : , , , , , , ,5 2 4 4 2 4 1 ، (د) : 2 , , , , , , ,6 0 3 2 2 4 1 5

ف) : .٢٦ ید : :(ا یا و را ذورات ن ر ط ک عاد ول ، فاده از با ا , , , , , , ,5 5 2 3 2 2 1 2 ،

r f R r r

Rr r rr

322 2

2 22

r f r f

cosR t t t i t t j t k 2 22 3 3 4 4 6

TaN

at 0T

N

ff x y z 2 3 , ,1 1 2

f uLn x y z w 2 , , , , , , , ,x y z w u 1 1 1 1 2 sin x yf z x y 2 2 , ,1 1 0

f, ,

1 1 12 2 2

f x y z 2 3 2 , ,1 1 1

f xy z w 2 , ,1 2 3 sin x yf z x y 2 2 , ,1 1 2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٧ه : ه و از : (ب) : , , , , , , , , , 1 2 0 1 1 0 3 0 4 1 ،

(ج) : , , , , , , , , ,6 1 4 2 2 3 0 4 2 5 ،

(د) : , , , , , , , , , , , 3 2 1 1 0 3 0 0 3 1 6 2 ،

(ه) : , , / , / , / , , , / , ,4 5 3 1 3 9 2 2 3 1 1 6 0 1 ،

(و) : / , / , / , / , / , / , , / , , /8 03 5 67 7 52 5 32 6 2 5 12 4 5 31 3 5 72 دول .٢٧ ل ی قا ومان)، یارد ی د یک ی ،( وا ر یا د سا آ س آن ٥، سال اول

ید. ، یا ذورات را ن ر ط ک عاد ف) : ت.(ا ده ا داده ید. ر را شیپ م وش سال ذورات ، ن ر ط ک فاده از (ب) : با ا

قاط .٢٨ , , , , , , ,4 3 3 2 1 2 1 ید.را رسم 1 یا ذورات را ن ر ط ک عاد ی ، ی ق فاده از ید و با ارک دو رو .٢٩ ل ی ماس ه و دار ت آورید. را د

کا .٣٠ ع ا وا رات یک از ف) : زان ید: (ا یا ده د داده تدا ده و ا ن ه ه ز را ور زاو ت دی تدا ا

ه ی سازد. (ب) : دار د تدا ه، (ج) : ا دار د تدا ، ا

ه (د) : دار د تدا ه ، (ه) : ا ه ف وی ، و

ه (و) : دار د تدا . ا

ند گا ی ال ت م : ا ل پ

z x y 2 2xyz 30 0 , ,3 2 5

ff x y 2 2 ,1 2

3

f x y 3 4 ,0 2 i2f x y 2 , 1 1 i j2

xf

y

1 ,00 i j

sin xf y z e 2 , ,0 2 , ,1 10

fx y z

1 1 1 , ,2 3 4 i j k

٥ ٤ ٢٣ ١ سال

د ٠/٣ ٤/٢ ٥/١٩/١ ٩/٠ آ

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٨ه : ه و از : ی دو گا ال ت ا

ع ید یض نا ه و ه ه ه از د ده با واه ف ور د و را ھای ز سا

ید ض م و ی واه ه د د ه با ن ز ر ر ول تا ) ، م د ه ، ( ربرا ز خاب و حاص وان ام ا م ا ی ساب را

ند ای ددی ما وری دد یا از ، ای ا ی س د ه با ود دا ن و و م ی خاب مام ا م: ای ه با دا

بارت دی ع ، ورت ن ه ، ا ال پذ و را روی ت عا ال دو گا ت روی را ا

ماد م و آن را با ود ی ید و ه با و دا م. ی د ه شان ندی وه ل از ت ون ی با قاط خاب ه و ا د.ا ه با ن ز ا

م ه با ه دا ز ت از پا وا ای ا م ا ساوی با وق، ال دو گا ت گاه ا ز و از باال رو ، آ دی آن ی وا ای ط ا و اف و از ا

ور د آن و ت. و ده ا ور ت ول ا ن گاهم ، و ا ا ود آ ه ض ت ( ) .سا

ی صات دکار گاه A ال دوگا د ت ه ا حا روش

ه ف ) ا ی( ا ی ھ وطور ای و و وری د ه با ص م ه با ه دا ص

ول وان با ی ال دو گا را ت گاه ا ند آ ه با ود.ویپ ه حا

ه ی (ب) ا ی وط ور ای و و د و ه با ص م ه با ع ا وا و

ه ورت ص ال دو گا ت گاه ا ند آ ه با ود. ویپ ی یان

:( ذ ه ( و دا ا م. ی از ف ) و ( ب ) ا شا حا ( ا ی وا ه را کان ورت ا د با ف ) یا ( ب ) م ( ا ری ال ت م ا ور وارد یاری از ید ه با

م. وض ری را ال ت ا

,f x yRxyRn,..., ,nR R R2 1,...., ,nA A A 2 1

,i ix yi ,i i if x y A

L 0 ,i ix yiR

,n

i i ii

f x y A L

1

,n

i i ii

L im f x y A L

0 1

fRL fR

,R

L f x y dA L RiR

,z f x y 0R ,z f x y

Rz ,R

V f x y dA ,f x y 1R

dA R

R ,y f x y f x 2 1x=ax=bx a,b xfxfff 2112 ,,

a,b

, ,

b f x

R a f xf x y dA f x y dydx

2

1

R ,x g y x g y 2 1y = c y = d y c,d g y g y1 2,g g2 1

c,d

, ,

d g y

x yR c g yf x y dA f x y d d

2

1

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٥٩ه : ه و از : ده ال داده ت عادل ا ید و ال دو گا ای ت د. ثال: ا ده با س ری ع ال ت وری ا

م ی ری را رسم ال ت ه ا تدا ر ل: ا تدا ی ا م وض ری را ال ت م ا وا ه ی ورت ن م و ا ری ال ت ا

ورت ری را ال ت م ا ی یان

یروش صات ال دو گا ت ه ا حا

ه ف) ا ی ا عاع ی ور ی ای و وری د ه با ص م ه با و دا

ع ه عاع وا ند و ع ه ر دو دا ه را ص گاه ند آ ه با ویپه ی ب) ا ی ای و دوا ور د و ه با ص م ه با ه دا ن دا و ھ

ع ه وا ند و ع ه ر دو دا ه را ص گاه ند آ ه با ویپ

ه ه ، ا روی ی سم ص م د ول و رو با ط و ت ع ا م ، = وا

ود؛ و ا ی ه گاه حا ه آ ت ( سا م = صات ال دو گا از ت ل ا بد ی ) ؛ صات ه را

ول ط و ت ار ا رد. آن ی ورت

( ال دو گا ت ر ا ر )

ید و از د ض گ دو ز ند ت یک یک با ورت از ا ع را م: ا ی روی و ف

ل بد و ند و ژا ه با ی ویپ قات ی دارای د ف با ل خا ال دو گا ت ر ا ر ول ، ن حا و ، ا =ژا

,xef x y dydx

2

0 1

, xx y e 0 2 1x

n

y e

L y x

212

, ,xe e

Lnyf x y dydx f x y dxdy

22 2

0 1 1

R , 12 grgr , , 21 gg

R12 gg , ,

, ,

g

gR

f r dA f r rdrd

2

1

R rhrh 12 ,,r b r a R a ,b rhrh 21 r c

bca R12 hh , a,b

, ,

b h

a hR

f r dA f r rd dr

2

1 1

R ,z f r 0R ,z f r ,R

v f r rdrd

,z f r 1R

rdrd Ry , x,r

sin , cosy r x r , ,R R

f x y dxdy f r rdrd

DD2kDD

,

,

, ,K

x h u v

y g u v

u v x y

,h u v ,g u vD

D

,

,

x xx y u vJ

y yu v

u v

10

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٠ه : ه و از : د. ه ی با حا ی ور ه وان از را ی د ود. با فاده ا

ی گا ال ت ا

ید هض وده و ازای ضا ی نا ه و ع ه ای ه آن، د. ده با ه را ف ی ز م با

واه ه د م و ی ع را ل خاب و حا ه ا ن ز ید ا ض م . ی د ل را

ی وق و وع د د. حال ا ه با ن ز ر ر ه ول ندی وه ل از ود آن ود و و ه و خاب د و ا ن د ، ا ه با ن ز ا

ع ال گا ت م:وی ررا ا ی د شان ماد ید ا یده و آن را با ه با و دا ،

ور سم ی ه گا گاه د آ سم ) ، وابا م گاه ( ور آ سم ) .م(

ی صات دکار ال گا ت ه ا حا

عادالت ه ی و ری ال ت ه ا ید ند. آن ، ض ده با ص

ورت ن ند. ا ی با ه ی ویپ ه وا حا ، گاه

ضای م از وا ال گا ت ضای ا م : ه با م و دا د و و ه ا ه اول آن ویپ ی قات وق و ع وا آن

قاط ضای نا یک قاط از ضای و ند و از ی جاد گاها ، آ

وا ای صات ا ال گا ت ا

, ,D D

f x y dxdy f h u v j dudv

,

,

x y

u v

,

,

ju v

x y

1

DP( x,y,z ) , ,f x y zDn,...., ,nD D D2 1

,...., ,nv v v 2 1 , ,i i ix y zi , ,n

i i ii

f x y z

1

0D , ,i i ix y zi

, ,f x y zD , , , ,n

i i i i Di

L im f x y z V f x y z dv

0 1

, ,f x y z D , ,x y zD

m dv , ,f x y z 1D

v dv D

, , , ,a x b g x y g x h x y z h x y 1 2 1 2

, , , , ,h x y h x y g x g x2 1 2 1

, ,

, ,

, , , ,g x y h x yb

Da g x y h x y

f x y z dv f x y z dzdydx 2 2

1 1

xyzuvw , , , , , , , ,x x u v w y y u v w z z u v w

DxyzDuvw

x x x

u v wy y y

ju v wz z z

u v w

0

, , , , , , , , , ,f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w j dudvdw

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦١ه : ه و از : ی گاه با A ن د ه ا ت. ضا ا ی صات دکار ی ور ی و ه ی از وا ای، صات ا گاه A ود آن د ی ص

گ ١و A ن د تد و اه: ا وا نده یک ا عاع شان د ء و بدا ه ن عاد یک ور و ھ ل ت شا ه ای ا با عاد

ه ی سازد و زاو ه د.ا ی با وط حات عاد ی ور وا وری و ا ))

ه و ه ص ای روی وار و م : ھ ه دار ص ن ی ا وری )) و رو ) ]

ه ی روی ی ه ی و ی ه گاه د آ ند ) ] با وار ت ھ ور ا

ی ٢و صات دکار ل بد وا ای : با صات ا ط ت از با روا بارت ا ل بد و د، ژا و ی وط ھم

ورت وا ای صات ا ال گا ت ل ا بد ول د. و ی با

وی صات ال گا ت ا

ی ه با وی صات گاه A ود آن د ی گاهص A ن د ید ا ه با و دا عاع ، ء و بدا ه عاد یک

دد = د ؛و( ور ی با تد با ی و عاد ت ؛ و ) ور ا ف ت از یک ه ای ا م ه عاد ت و با ی سازد.با زاو دود ا

, ,r z

, ,r z 0 0 2

r ar z a 2 2 2a 0z

xz0z = r D , 12 grgr ,

1g 2g , g g 1 2 , , ,z h r z h r 2 1

,,, rhrh 12R , , ,r g r g 2 1

,

,, , , ,

g h r

D g h rf x y z dv f r z rdzdrd

2 2

1 1

z,y,xzr ,,cos , sin ,x r y r z z

rj , , , ,D D

f x y z dx dy dz f r z r dr d dz

, ,r ,r

000 2

r = a r

oz0 ozxoz0

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٢ه : ه و از : ی صات دکار ل وی بد صات ط ل با روا بد و د .ژا و ی وط ل ھم بد ول د و د وا

ت از : بارت ا وی صات ی صات دکار ال گا از ت ا

ده : ل ی سا

بارت .١ ت؟ واب ا با

ل:

ر .٢ ید. قدا یا را

ل:

ه .٣ حا ت و ی ط وط و دود ی د و یدا با

ل:

م ) .٤ ی ( ور دو ح زه دا ید.ا یا را

گاه A ل د قاط ( ل: از دی را ی ی ن دو م . ا ی ی را پیدا ی دو ند. ١و ٠) و ( ٠و١ل تال ی ع (

z,y,x, ,r sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

sinJ r 2

, , , , sinD D

f x y z dz dx dy f r r dr d d 2

2

0

3

23

22 2y dxdyyxI

yI x y x dy y y y dy y y y

I

3 22 33 2 2 3 3 3 4

0 03 02

1 9 33 352 9 6 3 9 23 8 32 2

352

dydxyx

IX

5

1 0 221

a rc tan (( ) a rc tan )x

y d xI d x d x L n x L n

x x x x

I L n

5 5 5 5

11 1 10

1 1 1 54 4 4

54

,F

f x y d A F022 yxyx ,, xyyxf ,

, (x x

F

xf x y dA x ydydx y dx x dx

I x I

2 2 2 222 3

00 0 0 0

240

221 8 82

11 yxyx ,

11yx

yx

X

X X

x y y xA dydx x x dx

x y y x y x x

A

1 1 1

0 1 2 0

1 1 12 2 31 1 1 213

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٣ه : ه و از : ر .٥ ید. قدا ه حا را

ال ل: ت ورت ون ا ری را ال ت ه ا ورت ن م ا ی وض ری را ال ت د. پس ا ه حا وان ی را

م ر ی

ال .٦ ت ری ا ال ت م: ا ی ری را رسم ال ت ه ا تدا ل: ا ید. ر د و را

ی وض ری را ال ت ر حال ا تدا ی ا م:م م و دار ر ی ال ت ا

ال .٧ ت م. ا ی وض ری ار ال ت پس ا م و ی ری را رسم ال ت ه ا ل: ید. ه حا را

ال .٨ ت ر ا ید. قدا یا را

ل:

ال دو گا .٩ ت ر ا ه قدا ع اول دا ید. راروی ر یا ل:

sinx

ydydx

y

0

y

yx

x

yx

00

0

xdy

y

ysin

y

yx

00 sin sin sin

sin cosy

y

x

y y ydydx dx dy x ydy y

y y y

00 0 0 0 0

01 1 2

40 0

y

dxdyyxfItan

,tanx y

y

0

0 4

arctan

x

x y

0 1

4y

arctan

,x

I f x y dydx

1 40

2

0

1

2

3

yx dxdyyeI

x x

yxx

I ye dydxy x

y

31 2

0 0

0 112 0 20 2

x

x x xI e y dx x e dx e I e

3 3 32 11 12 2

0 00 0

1 2 22 12 3 3

dxdyeIyx )٢٢(

٠ ٠

( )

cos

sin

x y r

r

I e dx dy e rdrd

x y rxx

x r I e d dx

y r

I

2 2

2

220 0 0 0

2 2 2

2 20 0 0

00 1 10 2 2 40 2

4

x yI dx dy

x y

2 2, ,x y a x y 2 2 2 0 0

(cos sin ) (cos sin ) sin cosax y a a

I dxdy r d dx y

I a

2 2

22 2 2002 2 0 0

2

12 2 2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٤ه : ه و از : ور ا .١٠ ال ه ت ر ا قدا د ید. با ه حا را

ید ض م: ل: ورت دار ت از: ا بارت ا ل بد و وژا

وس ا .١١ ی با ر ھار ض ال ون یک ت ر ا قدا گاه د آ ید. با ه حا را ید ض تدا ن :و و : پس ل: ا ا نا و

ل .١٢ ید. حا یا را

ل:

عادالت .١٣ ی ه رو ی و ور ید. م ه حا را ل:

ی .١٤ ور رو ید. و م ساب را ل:

D, ,x y y x 1 0 0x y

x ye dx dy

yxv

yxu

٢

٢uv

v

vux

x x

u vJy y

u v

1 112 2

1 1 22 2

,

( )

vx y v u ux y v v

v v

v u u v u vx y y x v u u v

v x y v

x v u y v u

I e dxdy e dudv ve dr

eeI e e vdv I

1 1

0 0

1 10

21 1 1 22 2 22 2 1 1

0 0

1 12 2

112 4

A , , , , , , , 0 2 2 0 ( ) sinA

x y x y dx dy 2 2

u x y

v x y

u vx

v uy

2

2

x x

u vj jy y

u v

1 11 12 2

1 1 2 22 2

x u

y v

0 20 2 3

( ) s in ( ) s in

s in

AI x y x y d x d y u v d v d u v

I u v v d u u d u I

32 2 2 2

3 42 2

1 321 1 24 2 2 3

sin ( )yz

x y z dx dy dz

2

0 0 0

s in ( ) c o s ( ) c o s ( )

s in ( ) s in s in

c o s c o s

yz z zy

z

I x y z d x d y d z x y z d y d z y z d y d z

y z d z z z d z

I z z I

2 2 2

00 0 0 0 0 0 0

2 2

00 0

2

0

2

1 1 12 32 2 2

1 1 1 1 136 2 6 2 3

, , , ,y x z a z x y x 2 2 20 0 0

( )

aa x a x a x a av d z d y d x a x d y d x x a x d x a x v

2 2 3 32 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

1 22 3 3

z x y 2 2z 1

( )r

r rv d v r d z d r d v r d z d r d r r d rd d

v d v

2

12 1 1 2 1 2 2 43

0 0 0 0 0 02

0

2 414 2 2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٥ه : ه و از : ال گا .١٥ ت ر ا ه قدا ح ید. روی ه حا را

وی صات ه عاد ون ورت ل: د و پسی با

ن :م .١ ر ض قدا ورت ن ید. ا یا را

م .٢ ه ض ط آن ع اول ، ز ده ر ف ی ث ه ط ، ت چپ ر و س قدا د. اوًال ی باکان دوباره ورت ا ید و ض و ال ت یاً ا ید. یا .را ما ری ال ت ا

٣. : ما ری ال ت کان دوباره ا ورت ا ید و ض و ال ت پس ا ما و ه حا ی ز را ال ت یک از ا

م .٤ ر هض قدا ورت ن د ا ید.با یا را م .٥ ر هض قدا ورت ن د ا ه با حا ید.را ال .٦ ت ددی ا ر ید. قدا یا را ر .٧ دا ا ه ت ط سا و ده ور ید. ، یا را ر .٨ دا ا ه ت ط سا و ده ور ید. ، یا را

ط سم ص .٩ و ده ور ی ، کا ی با ک د. ید. ی با یا را

dxdydzzyx )( ٢٢٢٩٢٢٢ zyx

= ٣

sin cos

sin sin

cos

x

y

z

0 20

( ) ( sin )

sin sin

(cos )

I x y z dxdydz d d d

I p d d d d I

I d d I

2 32 2 2 2 2

0 0 32 3 2

5

0 0 0 0 02 2

00 0

1 2435 5243 486 9725 5 5

,

, , ,

f x y x y yx

x y R

2

0 1 0 2 ,

R

f x y d y d x

,

,

f x y x y y x

x y R

2Ry xx 4

,R

f x y dydx

sin, , , ,

, cos , , ,

yx

y

x

y y x

x x

y yy y z x yx xy

y y y

ye dxdy xy dxdy xy dxdy dydx x dydx

x y

x y dzdydx x y dxdzdy dzdydx dzdxdy z e dx

2 2

2

2 25

2

2 2

3 24 2 3 2 22 3 2 2

0 0 0 0 0 0 2

1 9 93 5 53 5 3

2 3 3 0 0 0 0 0 0 3 9 9

1

4yz

dydz

32 4

0 0 0

s, r 0 26 sin

s

x y dxdy 2 24 4

s, r 0 1 24

s

ydx dy

x

xxe dx

2

0

R,

,

y x x y

y x x y

3 3 3 84 3 3 1

R,

,

y x x y

y x x y

2 5 15 5 9

R,

,

y x x y

y x x y

2 5 3 45 5 3 9

x R

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٦ه : ه و از : ط سم ص .١٠ و ده ور ی ، کا ی با ک د. ید. ی با یا را ط سم ص .١١ و ده ور ی ، کا ی با ک د. ید. ی با یا را

وی ه .١٢ ط و ده ور ه ، م ت . ید.ا یا را دار .١٣ وح وازی ا دار یک ن د . ا ده ا ی داده گا ی با سم ص ند ی ن ید. را یا سم ص را ن م ا ت . ادار .١٤ وح وازی ا دار یک ن د . ا ده ا ی داده گا ی با سم ص ند ی ن ید. را یا سم ص را ن م ا ت . ا

م .١٥ ل هض ورت حا ن د ا ه با حا ید.را ه .١٦ ی وی و صات ی وط ش ی یک ی یک ب سا د ت . ا وا ده ا ف و

ید. یا ب رم ی ب سا ی را ن ی ا م ک ند ، ر باید. وم .١٧ یا راعاع .١٨ ا با وپی ی گا ل دارای ه ای ه ی وپ و ن ت. باالی ا ی ا صات دکار ت ؟ ا با ده ما سم با م ت . ده ا ش داده

ه .١٩ حا ت وب ا ون ط ا ت ه ا ت از : آن بارت اال گا .٢٠ ت آنا فاع را م ار تد وط ه یک ده ای عاع و د تدا وری ا و

ید.ور ساب د، ی با ال رو ای ت ط و ا ی ا ال ت م : ا ل

وع اول ) ط ی ا ال ت وس ( ا ول ط ی ا ال ت ا

ع ید وس ض ه از وار ی ھ عاد از وس د . ه با ده و ویپ واه ف قاط د را با

ید ض م . ی ی وس وس واه ول ه د د . ی با وس ع را روی ر قدا یار و ول ام ا رب را

وع ر ده و قدا ن ی وق و وع د م . ا ی د ل خاب س را ندی و ا وه ل از د ن ود و ا و ند ی ل ت

R,

,

y x x y

y x x y

4 2 2 15 2 2 10

x 1R

R,

,

y x x y

y x x y

4 2 16 4 2 9

y 1R

Ex y z

2 2 2

14 9 49E

, ,

2 4 32 1 27 6 6

Ry

, ,

1 3 22 1 25 4 4

Rx y

D , :D x y x y 2 2 2 25 x y

D

e dxdy2 236 36

, , , , ,

0 8 0 0 24

z x y 2 25z x y 2 2

11x y z 2 2 2z 1

R

dzdydxI

x y z

22 2 2R , , :R x y z x y z 3 2 2 2 1

S

I z y d z d y d x 2 2Shxya

z

,f x yABC ( )y g x

a x b

AB, , ,....., hA P P P P B 0 1 2

nns

m mA A1 ,m mx ym ,m mf x yns

,n

m m mm

f x y s

1

ns

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٧ه : ه و از : ع روی ه ط ی ا ال ت د را ا ن د. ا ی با وس ن ی ا ه روی عاد از ابا م و آ یا ی

ول م و با ی د ی شان ود.ا ی ه ری حا عادالت پارا ه ی و

گاه د آ ده با ع ص ط ی ا ال ت را ، ا

ی ضا ی وان روی یک ی ی ود ا ری ن عادالت پارا گاه با د آ ده با ص

ی : ا ١و ل ه باریک ی ی گاه گا د آ ت . با ه ا ی م ا با

ف) : ٢و (ب) : ، : (ا

ی ی (ج) ا گاه و دو ود آ

وع دوم) ط ی ا ال ت صات ( ا ط ی ا ال ت ا

ع وا ید وس وض ه از وار ی ھ عاد از ند و ه با ده و ویپ ی و ف وس ام صاو

ی ور واه و روی ه د ند ی با وس وع را روی خاب و وع ام ا د م . ا ی د ل را

ی ه و وق و خاب دی و ا وه ل از ود و وع دوم روی و ط ی ا ال ت د را ا ن د ا ی با وس ن ا

,m mx ym ,f x yC AB ,A B

f x y d s

,C

f x y d s , ,b

AB a

f x y ds f x y y dx 21C

x x t

y y t

t t t

1 2

, ,t

C t

f x y ds f x t y t x t y t dt 2

1

2 2 , ,f x y z

C C

x x t

y y t

z z t

t t t

1 2

, , , ,t

C t

f x y z ds f x t y t z t x t y t z t d t 2

1

2 2 2

( , , )f x y z C C

ds

( , ) ( , )A B B A

f x y d s f x y d s ( , ) ( , ) ( , ) ( , )C C C

f x y f x y ds f x y ds f x y ds 1 2 1 2

C ١C٢C , , ,C C C

f x y ds f x y ds f x y ds 1 2

p(x,y)q(x,y)A BC ( )y g x

a x b

mxmym

oxoy ,m mx ym , ,m m

nP x y x q x y y

m

1

max mx 0 max my 0 ,m mx ym

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٨ه : ه و از : ماد م و با روی ی ط و ده جام ورت کار ا وع دوم ط ی ا ال ت ی ا ی کا ر م . ی د شان

ر د . روی ی با

وع دوم : ط ی ا ال ت ی ا وع د، واص اسا ط ی ا ال ت وم را ا

ول وان با ی ی ود .ا ه ری حا عادالت پارا ه ی ص و

گاه د آ روی ده با ط و ده جام .کار ا

ی ضا ی عادالت روی ود :با ه حا ول ز وان با ی را

ورت ی ورت و :ا ن ود . ا داده

و

ع ندداری ف : ا ی ما کا ع ا ی ادیان د گاهبا ده و آ ر ھدا ن ن یدا ل را یک ع پتا بارت دی ا را م ؛ گاه ی آ

داری ن دهرا یدا ر ھدا م ؛و ا ن داری و وی ن یدا گاه آ

ده را ر ھدا م. ن ی

( , ) ( , )AB

p x y dx q x y dy , ,F p x y i q x y j

AB

,AB BA AB AB AB

p dx q dy p dx q dy p dx q dy p dx q dy

( , ) ( , ) ( , ( ) ( ) ( , ( )b

C ap x y dx q x y dy p x g x g x q x g x dx C

x x t

y y t

t t t

1 2

( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )t

C tp x y dx q x y dy p x t y t x t q x t y t y t dt

2

1

( , , ) ( , , ) ( , , )F p x y z i q x y z j r x y z k

C

x x t

y y t

z z t

t t t

1 2

( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )t

C tp dx q dy r dz p x t y t z t x t q x t y t z t y t r x t y t z t z t dt

2

1

: ( ) ( ) ( ) ( ) ,C R t x t i y t j z t k t t t 1 2

d R d x i d y j d z k

.C C

F dR pdx qdy rdz

F

F

FF

p q

y x

( , ) ( , ) ( , )F x y p x y i q x y j p q

y x

p r

z x

q r

z y

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٦٩ه : ه و از : ل ون ف : ماد ، و ( ر ورت ) را با شان داده و

م. ی ف

ف) :(ه داری ا ن ھا ا یدا ت ا و ده ا ر ھدا داری ن ن یدا د . ، (ب) : ا ی با ر ل از ط آن ی ا ال ت گاه ا د آ ده با ر ھدا ن

داری ن یدا ه و : ا ر ط روی ی ا ال ت گاه ا د آ ده با ر ھدا د .ن ی با ا

ن : ید ه ه ض م ه واریک ه ای ھ ور ه و ی د ت وبا ع دود ا وا ت . ا ی ا ثا ث ت ه و و دارای ویپ

ه اول ق لویپ دارای ه شا گاه ه د آ با

ه ه : ا م ه وار یک ه ای ھ ور ه و ی ور یو د و گاه با د آ ی با ثا ث ت دارای

ه ت ( سا =.(

ه و : ا گاه ی د آ ه با ت ( ) سا

ی رو ای ( ال ت ح )ا ی ال ت ا

F

F

F

curl F

i j k

r q p r q pcurl F F i j k

x y z y z z x x y

p q r

F Curl F 0

F

F C

R xy C C p(x,y)q(x,y)

,p q

y x

R ( )C R

q ppdx qdy dydx

x y

R xy C C

C C C

x d y y d x x d y y d x 12 R

C ( )r f C

r d 212 R

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٠ه : ه و از : ید وار و ض ح روی ی ھ د . ده با ھای را ف سا ی با ح ه ز را و

وع خاب و ح ا ن ز ل ا ر آن قدا ود و و ند ی ل ت ی س ی ح ن ر ر ول ی وق و وع د م . ا ی د ل را

ه خاب ندی و ا وه ع از ال رو ت د را ا ن گاه ا د آ ی با ح ن ز حا ما دروی م و آن را با م . شان ی ی د

ف) : ا ١و گاه : (ا ح آ ت سا ه ) ، (ب ) : ا = ( ی ح گا گاه از د آ با

م ) = (

ی از روه : ا ه س م آن روی و د ه با گاه ، ت آ ا

ی از رو ٢و س ح ت سا ه : م آن روی و ه ت از ، بارت ا د حبا ت سا ) = (

عاد ح با گاه شا ، ور گاه و د آ ده با حص ت سا ه ) ، آن = ( ح ت و و ا

ل ح عاد ن ا گاه ھ د آ ح با ت سا ه ) ، آن = ( ح ت. و ا

ید عاد ض وار یک رو ھ , ,G x y z م رو و 0 ی کا داری دار ن یدا ای د با

ال رو ای روی ت د ا ه با د را شار ویپ تدا ا

دار ت ال شار ت م .ا ی دارد . ی ت

s , ,h x y zs s n, , ..., ns s s 1 2 , ,i i ix y z

i , ,n

i i i ii

h x y z s

1

ihs , ,S

h x y z ds

, ,h x y z 1 s

dss , ,x y z , ,x y zs

, ,s

x y z dss

s z = ,f x yxy R

( , , ) , , , x y

s R

h x y z ds h x y f x y f f dxdy

221

z = ,f x yxy R x y

R

f f dxdy 221s

x = ,f y z y z

R

f f dydz 2 21s R yz

y = ,f x z x z

R

f f dydz 2 21s R xz

s Gn

G

s

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

s S

F n ds

F

s

n

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧١ه : ه و از : ود :و ه حا ی ز ول وان از ی ال شار را ت ه آن : ا ح شا و ور د و ی با

ه آن ح شا و ور دو ح آنی با و

ه د. ی با

ول ف : ا ط س و ورژا د د ده با را با یان

ورت ماد م . شان داده و ی ف

ف ) : و : (ا

گاه (ب) : ( ا د ) آ ددی با ز ی و

داری : ز ی از آ ول

ن ، ، و ازای .١ ، و ھم ی .٢ قا م : ، و د ، دار با

ن .٣ ، و ھم ٤.

ن .٥ ، و ھم ن ، و ، و .٦ ، و ھم ن .٧ و ھم

S R

F nF n ds dx dy

n k

R xy

S R

F nF n ds dxdz

n j

R xz

S R

F nF n ds dydz

n i

R

yz

( , , )F x y z

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

F

d i v Fp q r

divF Fx y z

( )div curlF F 0

f curl grad f f 0

f f fdiv grad f f f

x y z

2 2 22

2 2 2

f g f g c c f c f f g f g g f

f g f g g f g x 0f g f f g

g g

2

div F G div F div G Curl F G Curl F Curl G

F G F G G F F Curl G G Curl F

div f F f div F F f div F G G Curl F F Curl G

div Curl F 0 div f g 0Curl f 0 Curl f F f Curl F f F

Curl Curl F grad div F F 2 F F F F F Curl F 2 2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٢ه : ه و از : ن .٨ ، و ھم

ن .٩ ، و ھم ن .١٠ ، و ھم

س) : ورژا ه د ی یا ( ا ه و ا ه وا م ی آن رو قاط داخ ه و و ی ویپ م خار ی کا گاه دار د، آ ه از آن با

ه آن ط را ت . و ده ا یان

ی : ادس رو ند و ا ول ا ه با ی ویپ گاه وا آ

ه ه از رو ف) : ا دار و (ا ح ، گاه د آ ود با گاه ، (ب) : اع د آ ه با رو ای

ول س)( و ع ا وا گاه ح : ھا ه اول آ ی قات ه و و ح ویپ ـ ـد ه ای با ـ ـی

گاه : را دارد آ

ط ی ا ال ت م ا ی دا ه و : ی ت از :روی بارت ا

داری ) : ل س و ول ا ع ( وا ها ی قات م و ح رو ھا هاول آ ی ه ی و ند و ه با ده ، ویپ ور

ی و م خار ی کا گاه دار د ، آ با

Curl F G F div G G div F G F F G H F G H G F H F G

f g f g g f f g 2 2 2 2 f g g f f g g f 2 2

H F G G H F F G H H G H F H G H F G

( , , )F x y z

F

s ١Vn

s

S

p q rF n d s F d v d v

x y z

F

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

r, , , r , q , p

z

q p

y x

cos cos cosn i j k

cos cos coss V s V

p q rF n ds dx dy dz p dy dz q dx dz r bx dy p q r ds

x y z

1 1

s ( , , )F x y zs

V

F dv 1

0 s

( )s

n F ds 0

( , , ) , ( , , ) , ( , , )p p x y z q q x y z r r x y z s Cs

cos cos cosr q p r q p

p dx q dy r dz dsy z z x x y

F

CC C

F dR p dx q dy r dz

, ,r q ps C

:C R x i y j z k n

s

C s

F dR F n ds

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٣ه : ه و از : ط: ی ا ی ال ت ای ا ده ل ی سا

رو ا .١ قدا د ، ید.با یا را

ل :

ه ع .٢ ید را یا نان ند. را صدق

م : ی ی ر ودن را ادیان رط تدا ل :ا

ون داری و ن یدا ع ذا وان ی ت و ده ا ر ھدا ت آورد. ن را د

ال .٣ ت ل ا ی حا ول عاد را ه با ه از ید. یا

ل :

ی از و ا .٤ ھ ط روی ی ا ال ت ل ا ند. حا ید. ا یا ی ن راروی ا

ی عاد ت از :ل : و : بارت ا

xy xx

212 3x y

x

2 26 8 ,x y

,

,

x y xy x dx f y x y x f y x f y x y f y yy

f y y c x y x y x y c

2 2 3 2 2 2 2

3 2 3 3

12 3 6 6 6 8 8

8 863 3

, ,u x y z xy xyu xz ye i xe yz j x y k 2 2 2 22 2 2 1

, ,

, ,

xy xy xy xyp p qe xye xz e xye

y z x

q r ryz x z yz

z x y

4

4 4 4

, ,q r p r p q

z y z x y x

u , ,u x y z

, , , ,

,,

, ,

, ,

x y x y x y

x y

x y

u hu x y z p dx h y z x z e h y z x e x e yz

y y

h y zyz h y z yz dy g z y z g z

y

uu x y z x z e y z g z x z y z g z

zu

x z y z z g z z g z z cz

u x y z x z e y z z c

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

C

ydsCy x 2x 3x 24

C

yds x dx x dx xx

32

224 24 243 3

33 3

1 4 42 1 2 1 1 5 2 1563 3

,f x y x xy i y xy j 2 2 f ,11 ,1 1y x 2f d

C : ,C t x t i y t j t i t j t 2 1 1

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٤ه : ه و از :

ال .٥ ت ل ا ی حا ید آن یا ه را ود.، دا ی وده ت پ ی سا ت خالف ت یک بار ا

ری ل : ذا الو با جای ت م : ا دار

ی ، ( ا .٦ عاد ی با و ع عدی ضای ه ای ت.) ، ی ر ا قدا ل یک گاه حا د.آ با

ل : . ما ه حا ن را ا نا ،

داری ن ی یدا ت. ( ده ا ر ھدا ل ن داری کا ن یدا یک

ت.) و ها ر ط آن روی ال ت ر ا قدا د. ی با

ال .٧ ت ر ا ید. قدا ساب را

داری ل : ن یدا ن ا نا ،

ی ت. ( ده ا ر ھدا ل ن داری کا ن یدا یک

قاط ر وان ی ذا د . ی با ر ل از ال ، ت ت.) و ا ری ا ی پارا عاد ت با ط را را

و :

, , , , ,p x y x xy p t t t t q x y y xy q t t t t

f d t t t t t dt t t t t dt f d

2 2 2 3 2 2 4 3

1 12 3 4 3 2 3 5 4

1 1

2 22 2 2 15 15

C

x y dx x y dy

x y

2 2

Cx y a 2 2 2

cos , sin ,

sin , cos

x a y a

dx a d dy a d

0 2 C

x y dx x y dy

x y

2 2

co s s in s in co s s in co sa a d da

2 2

22 22 0

0 0

1 2

Cax y z xz a

x y a

2 2 2 22

C

y z dx x z dy x y dz , ,

, ,

p y z q x z r x y

p q p r q r

y x z x z y

1 1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

( , , )F x y z

C

, ,

, ,

xy dx x z dy yz dz 1 2 3

2 2

0002 2

, ,

, ,

p xy q x z r yz

p q p r q rx z

y x z x z y

2 22 2

2 0 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

( , , )F x y z

, ,000 , ,1 2 3

, , ,x t y t z t t 2 3 0 1 I t t t t d t 1

2 2 2 2

04 2 9 3 6 2 0

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٥ه : ه و از : ر .٨ ه قدا ه از ن نان را

د. ر با ل از ید ول فاده از تدا با ا هل :ا ل دو ط وا عاد پاره م : و ، و ی را

ی .٩ وس ا ی با ر ث ون را ل وو، پ گاه حا د.آ . با ما ه حا را

داری ل : ن یدا ن ا نا ،

ی ت. ( ده ا ر ھدا ت.) و ن ل ا داری کا ن یدا یک

ه ر ط آن روی ال ت ر ا قدا د. ی با

ی .١٠ ط و ده ور ت ری سا ی پارا عاد ده دارای ی داده ل : ید. ساب د. : را ی با

ی ت سا

ال .١١ ت ر ا ی قدا ید.را روی یا

ی با ی ت سا م ی دا م : ا با ول : ن دار ه و ز با د و ی با

C

I xy yz dx x xz z dy xy yz dz 2 22 4 4 2 4 4 , ,1 1 2 , ,3 2 1

,R t t A t B t 1 0 1AB

, ,

R t t i j k t i j k t i t j t k

x t dx dt y t dy dt z t dz dt

I t t t t t t t t t t t t dt

I t t dt t t t

12 2

01 12 3 2

00

1 2 3 2 4 1 1 3 24 1 4 1 3 3 2

4 2 4 1 1 3 4 1 3 2 3 4 1 4 4 1 2 2 2 4 4 1 1 3 4 1 3 2

9 112 81 3 56 81 3 56

I

81 28 28

C , ,3 1 0 , ,1 3 0 , ,1 1 2 C

y z dx x z dy x y dz

, ,

, ,

p y z q x z r x y

p q p r q r

y x z x z y

1 1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z p x y z i q x y z j r x y z k

( , , )F x y z

C

x y

a b

2 2

2 2 1cos

: sin

x a t

C y b t

t

0 2

cos cos sin sinC

abA x dy y dx a t b t dt b t a t dt dt ab A ab

2 2

0 0

1 12 2 2

C

ydx xdy 3:C x y 2 24 1

abab

C R

dx dydx xdy y

13 1 2 1 23

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٦ه : ه و از : ی .١٢ ی ا ل ، گاه حا د.آ ت با ی سا . خالف ما ه حا را

ی با ی ت سا م ی دا م : ا با ول : ن دار ه و ز با د و ی با

ال .١٣ ت ر ا ی قدا وس از دیک تدا ید.را ا یا

ی با ت سا م ی دا م : ا با و ی ل : : ن دار ه و ز با د و ی با

ط .١٤ ال ت ل ا ی حا ید. ودود روی یا ت را ی سا ت صات گاه A ع اول د ر

ول ن و ه و خاب ل : با م : و و با ا دار

ال .١٥ ت ل ا ی حا ید آن یا عاد را ی د. ، ی با ت

ورت ی را عاد ی با ی ل : ت سا م ی دا م . و د و : ا با وی ی با

م : ن دار ه و ون با ا

ل ی ی رو ای:سا ال ت ای ا ده

ه .١٦ ر نا قدا د ید. با یا را

Cx

y 2

2 14 C

x y dx xy x dy 2 3 23 3 2

abab

C R

yx y dx xy y dx dyx dy 2 3 2 2 23 23 22 3 2 13 4

C

y dx x dysin , cosy t x t 2

abab

C R

dx dydx x ydy 2 2 2 1 4

C

x y dx x y dy 2 2Cy x 2y x

C R

q pdx dp dx y

xq dy

y

p x y 2q x y 2

x

C R x

x y dx x y dy dx dy dy dx x x dx x x

2

11 12 2 3

00 0

1 1 12 2 2 2 2 2 2 3 3

C

xdy ydxCy x x 2 24 4

xy

2

2

12 11

4

abab

ab

11 2 2

C R

x dy y dx dx dy 1 1 2 2

T x xy z y z 2 23 2 7 8T2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٧ه : ه و از : ل :

وا .١٧ وط ا ی ند از پار با ال ح ما ال رو ی از یک ت ر ا قدا ند. ی دا را

. ما ه حا را

ول فاده از و ل :با ا

ه ن و ا هوبا ا با ، دا ت آن سا د م :ی با ت ؛ دار ا

دار .١٨ ه ل ید. یا را

ول و خاب ل: با و و با ا

م : و دار

ید ا .١٩ ت. شان د ده ا ر ھدا ن ن یدا یک ن یدا م ی دا ھا ا داری ل: ت ا و ده ا ر ھدا و :ن

, ,T T T T T T

T Tx y z x y z

2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 22 0 4 2 0 4 6 6

x y x 2 2 2x y z 2 2 2S

S

I x y y z z x ds 4 4 2 2 2 2 1

( , , ) , , , x y

s R

h x y z ds h x y f x y f f dxdy

221 ,z f x y x y 2 2

R x y x x y 22 2 22 1 1

, , ,x y x y

R R

f x f yz f x y x y f f f f

x yx y x y

I x y yx y x y x y x dx dy dx dy I

222 22 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2 2 2 2

I x y i xz j xy k 23 7 4 , ,1 2 3

i j k

r q p r q pcurl F F i j k

x y z y z z x x y

p q r

p x y 23

q xz 7r xy 4

, , , ,

i j k

curl I I z x i z x k curl I I i kx y z

x y xz xy

2

2

4 7 7 3 1 2 3 1 2 3 5 18

3 7 4

F xy yz i x yz xz j y xy k 2 22 3 2 3 3

F

F C url F 0

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٨ه : ه و از :

ع .٢٠ ید ید. ض یا ل آن را ع پتا د . ده با ر ھدا ن

ع ید ض ل ل: ورت ع پتا ن ا د ن :با ا نا ری از و ال ت با ا

ر ساوی ا م : ن دار

ه و ا .٢١ ی و و را ال ت ورد ا

ل: ید. یا ی را ال ت ر ا قدا ورت ن ند ا ی ی صدق ال ت ا

عاع ع .٢٢ ء و بدا ه ح رش روی قدا ت و ه دوم ا ه ی ویپ قات ت ، دارای د با ) ، ، (

داری ن یدا ای س را ورژا ه د د. ا ر ی با قدا ید شان د م ر ه کار ح ل و روی ت. دا ی ا

ر ل:با قدا ن ت پس و ا ا با ا ه ح روی

و :

i j k

curl F F y x y x i y y j x z x z kx y z

xy yz x yz xz y xy

curl F F i j k

2 2

2 3 2 3 3 3 2 3 2 3

2 3 2 3 30 0 0 0

F x y i y x j 2 3 2 3

,x yF

,F x y i jx y

,

,

x y y xy

x y x yx

2 3

2 3

x

, ,

,

x y x xy g y x y x g y x yy

g y y g y y c x y x xy y c

2

2 2 2

3 3 3 2

2 3

r x i y j z k

d d di j k

dx dy dz

S V

r n ds r dv

V

r dv v 1 1 1 3 3 3

, ,u x y zp a 0a

u up a

I u u dx dy dz

2

, ,u x y z

, ,u u u

u x y z x y z a ux y z

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 6

sin sin

sin cos

aa

p a

aI x y z a dx dy dz a d d d d d

aIa a a

I d d d I

a

2 2 22 2 2 2 2 2 2 5 3

0 0 0 0 0 0

52 25 5 5

00 0 0

16 6 6 5 3

84 4 8 055 5 50

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٧٩ه : ه و از : ل، ه و ا .٢٣ گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را

م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م ه ، یک رو م ی دا ل:

ل، ه و ا .٢٤ گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را

م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م ه ، یک رو م ی دا ل:

ل، ه و ا .٢٥ گاه حا د . آ م رو خارج با ه فاده از دار ی را با ا

ید. یا س ورژا ه دم : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م ه ، یک رو م ی دا ل:

ه و ا .٢٦ ی ی با ه ه ی و ور و

ی د، ھ لبا گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را

م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م و ورد ، ه ل:

, , , ,F x y z x y z 3 3 3Sx y z R 2 2 2 2n

S

F n ds

sin

sin cos

R

S V V

x y zI F n ds dv x y z dv d d d

x y z

R R R R RI d d d d d I

23 3 32 2 2 4

0 0 02 2 25 5 5 5 5

00 0 0 0

3 3

3 3 6 12 125 5 5 5 5

, , , ,F x y z ax by czSx y z 2 2 2 1n

S

F n ds

S V V V

x y zI F n ds dv a b c dv a b c dv a b c

x y z

3 3 3 43

, , , ,F x y z x y y z z x Sx y z a 2 2 2 2n

S

F n ds

S V V V

x y y z z x aI F n ds dv dv dv a

x y z

3341 1 1 3 3 43

, , cos , sin , xF x y z x y y z z e SV, ,y e y z 0 0

z x 21n

S

F n ds

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٠ه : ه و از :

و و ا .٢٧ پ ح ا ی ت خار ل، س گاه حا د . آ م رو خارج با ه ید. دار ی یا را

م : ی دار ا ه وا ق ت. پس ه ا م و ورد ، ل: رو

ال را یکا .٢٨ ت ر ا قدا م . ض ه ید آن ح یا نان قاط رو و را کان حدار ود ند. دار ع با

ون قاط رو ل: کان ت پس دار م: ا س دار ورژا ه د فاده از و با ا

ه .٢٩ هح ها م ه ی دود روی و ن یدا ح ال ت د.ا ی با

ح ر قدا ی ید آن ، ه حا ت. را ح ا ه م ی دار

م: س دار ورژا ه د فاده از ل: با ا

cos sinx

S V V V

e x e

z ex y y zI F n ds dv dv dv

x y z

I dz dy dx x dy dx e x dx e x x I e

2 11 1 1 1

2 2 3

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 3

13 3 1 3 1 3 43

, , , ,F x y z x y z

3 3 31 2 13 3 3

Sx y z 2 2 22 1n

S

F n ds

x zx

S V V x

x zx

x

x y zI F n ds dv x y z dv x y z dy dz dx

x y z

x zI x z y y dz dx x z

2 22

2

2 22

2

13 3 31 1 2

2 2 2 2 2 2

1 01

11 1 2 222 2 3 2 2

01 1

1 2 13 3 3 2 2 2

2 12 23 2

x

x

if u r

x z dz dx

I r r r r dr d u u u du u u du

I u u I

232

2

32

2

1 12 2

1 12 1 0 03 32 2 2

0 0 1 1113 5

0

1 13 2

1 1 1 1 22 1 1 13 2 3 2 3

1 2 4 1 12 3 15 5 5

SS

r n ds

r

n

S

r

Sr x i y j z k

S V V

r n ds dv dv v 1 1 1 3 3

SDx y z 2 21,x y x y

, , zF x y z y e z i x z j z k 23 5 2 3

SS

F n ds

n

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨١ه : ه و از :

وا ا .٣٠ رک ا ل هی ت و ه و ت ی سا ت ال خالف ت را قدا گاه د آ با

ید. یا را

س و ول ا نا ل:

م : ی دار و، از روی و

ه ه م :، دا و ی ی گاه A وق را د ال دوگا ت ون ا د. ا ی با

عاد ا .٣١ ی رو ای ت خار ی و س ه ی ای از تال ال و با ت ر ا قدا د. با

ید. ساب را

داری ل س و ول ا فاده از ول ل:با ا و و با

ح آن ه و م: د دار ، ی با

sin sin

cos

S V V

S S

F n ds dv dv d d d d d

F n ds d d F n ds

12 24 42

0 0 04 4

4 420

4 4

20 0 1 2 3

2 23 3 3 3

Cx y 2 2 1x y z 1Cxy

C

I y dx x dy z dz 3 3 3

cos cos cosr q p r q p

p dx q dy r dz dsy z z x x y

cosC S

I y dx x dy z dz x y ds 3 3 3 2 23 3 cos ds dx dy S

xyx y 2 2 1

I r dr d r d d I 2 1 2 213 4

00 0 0 0

3 3 3 33 4 4 2 2

Sz a x y 2 2 2CSz 0 , , , ,F x y z y z 5

C

F dr

C s

F dR F n ds

S R

F nF n ds dxdy

n k

R Sxyi j k

F kx x xy z

5

C S R R

k nF dR k n ds dx dy dx dy a

k n

2

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٢ه : ه و از : ر .٣٢ ید قدا یا نان د .و هو را م رو خارج با ه دار ی

م ا ی دا ه ول: طم ی آن رو قاط داخ ، و

ه و گاه ویپ د .آ ه از آن با ی م خار ی کا دار

ال .٣٣ ت ر ا ید آن قدا یا ی را دود ت. ه ا

ر ل: ر فاده از ، با ا

م : دار

S

F n ds

, , , ,F x y z xy yz zx 2 2 2Sx y z a 2 2 2 2n

, , , , , , , ,F x y z p x y z i p x y z j p x y z k

F

SV

n

sin sin sin

cos

S V V V

aa

S

S

p q rF n ds F dv dx dy dz y z x dx dy dz

x y z

aF n ds d d d d d d d

a a aF n ds d d

2 2 2

2 2 254 5

00 0 0 0 0 0 0

2 25 5 5

00 0

15 5

2 45 5

S

aF n ds

54

5 5

D

x ydx dy

a b

2 2

2 21Dx y

a b

2 2

2 2 1

x xb b

a aa a

D a xb

a

x y x y x yI dx dy dx dy dx dy

a b a b a b

2 22 2

22

1 12 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 20 0

1

1 1 4 1

cosy x

b a

2

21

sin , ,

cos sin sin cosa a a

x xdy b d y y b

a a

x x x x xI b d dx b d dx b d dx

a a a a a

I b

2 2

2 2

0 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 20 0 0 0 02

1 0 1 02

4 1 1 1 4 1 2 1 1 2

2 1 sinaa x x a

d dx b x b a ab I aba a a

2 3 322 2 2

00 0

1 2 222 3 3 3 3

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٣ه : ه و از : ی ی ال ت ن):ن (ا ه ط و ا

ید .١ ورت ض داری آن عاد د ی با ط ی ی ا ال ت د. ا ول با را

ی از ه و ه از ید. ساب د ی باط .٢ ی ا ال ت آنا ه را ی از ه پاره ید. ساب د ی با

ط ا .٣ ی ا ال ت د ا یبا ی ه باال ه را روی ه از ید ساب

ر قدا ت.. ازای م ا ال ت ن ا اه .٤ ید ا شان د ف) : ه (ا ی ز آن ه وده و ت سا گاه ند آ ن صدق ه ط را ت. ا با ا

ی ور ت سا ید. ، (ب) : را پیدا

ط .٥ ی ا ال ت آنا ی را ه باال ه م دا از

ه ید. ساب ت ، اه ا .٦ ی ه ای ز آن ه وده و ت سا د و ض ا با با ن با د و ھم و با

ه ه ز ه با ید : شان د ن ول فاده از ود با ا ه گا

ط .٧ ی ا ال ت آ ا ور ررا دود ع اول و ع ر ز وا ت از ط بارت ا ی و ، دو و

ن ه فاده از م ، (ب) : با ا ه حا ف) :با ید: (ا ساب ورت

C cos sint tR t e t i e t j

٣٢٢ ٢

C

xdy ydx

x y

C ١,٠ ٢ ,٠e

C

y z dx x z dy x y dz C ١,١,٢ ٣,۵,٠

٢, ٣ ٢ ١۶F x y y i x j

C

F dR ٢ ٢ ٢ ٢b x y b ١,٠ ١,٠

b

DxyCD١

٢ C

xdy ydx

Astroid

٣

٣

٢ cos

٢ sin

٠ ٢

x l t

y l t

t

٢ ۴ cos sin ۶xy xy xy

C

y e y x dx e xy e y x dy C ٢ ٢ ٢x a y a

٢ ,٠a ٠,٠

RxyCR١

٢ C

xdy ydx ,x f u v

,y g u vRR C uvR R

f g f gdy dx du dv

u v v u

٣ ٢ ٢٢ ۴C

xy dx x y dyCx١x ٣y x

ی عا ق م ی و ی ع یدن ٢ریا رال ن ٨٤ه : ه و از : ال .٨ ت کات ) ، ا ی ( ل ی از س ر آن را قدا ید و ل بد ال دوگا ت را یک ا

ه ه اول ر ا ، قدا فاده از آن ید. وبا ا ساب ده ع ت آورید.وا ه د ار ه اول ی وس ی از س ط را ی ا ال ت

داری .٩ ن یدا ای ن را ی ه و ه ه و ی ده و ید. ف ق ر .١٠ وری قدا ید ساب هو را ع دا ر

د آن ت. و ی با اط .١١ ی ا ال ت یا ھ ر مام ت را ید. ساب ی و ی

ط .١٢ ی ا ال ت ه ا حا ت وب ا ی مارچیپط ر ر روی ر پارا ه راز ر پارا ه .

١٣. ١٤.

١٥. ١٦. ١٧.

٢ ٢cos sinx x

C

e y x y dx e y x y dy

٢ cos ٢ xy

٣ ٣ ٣ ٣, ٢F x y x y i x y j

D٢ ٢ ٢ ٢٠ a x y b

C

W F d R

٢ ٣ ٣ ٢ ٣ ٣, ٢ ٢ ١ ٢ ٢ ١F x y x x y i y x y j

C٢ ٢ ٢x y a

٠x ٠y

٢ ٢C

y dxI

x y

٢ ٢ ١y x y

C

z dx x dy y dz cos

sin

x a

y a

z a

٠ ٢