osnovni element svakog matematičkog modela procesa · pdf file(whitmanova) teorija dva filma...

Uvod

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Konstitutivne veze

- osnovni element svakog matematičkog modela procesa - matematički formulirana znanja iz termodinamike, prijenosa tvari, reakcijske kinetike, separacijskih procesa, te mjerenja i vođenja procesa, koja su dodana bilancama tvari i energije kao temeljne jednadžbe matematičkog modela procesa - konstitutivne veze:

- opisuju međusobni odnos intenzivnih i ekstenzivnih veličina - definiraju fizikalno-kemijske veličine sustava - opisuju brzinu prijenosa tvari, energije i/ili količine gibanja - definiraju sve druge veze pri postavljanju odnosno definiranju modela

Konstitutivne veze


KONSTITUTIVNE VEZE

TRANSPORTNE JEDNADŽBE

TERMODINAMSKE JEDNADŽBE

REGULACIJSKE JEDNADŽBE

KINETIČKE JEDNADŽBE

Transportne jednadžbe


Prijenos tvari Prijenos energije

- mehanizmi prijenosa tvari - difuzija - konvekcija – prijenos tvari u otopini zbog djelovanja vanjske mehaničke sile

- do prijenosa tvari difuzijom dolazi zbog razlike: - kemijskog potencijala - koncentracija - parcijalnih tlakova

- Fickov zakon: difuzija rezultat djelovanja koncentracijskog skalarnog polja

- gustoća toka komponente A DAB - difuzivnost komponente A u sustavu (A,B) cA - koncentracija komponente A

Prijenos tvari


A AB AJ D c= − ⋅∇ur

AJur

(Whitmanova) Teorija dva filma


- stacionarna difuzija jednokomponentne tvari iz plinovite u kapljevitu fazu kroz međufaznu površinu (prijenos tvari kroz međufaznu površinu plin-kapljevina) - pretpostavke

- postojanje tankog filma kapljevine i plina s obje strane međufazne površine - film na granici faza miruje ili se giba laminarnim profilom toka pa prijenos tvari možemo predočiti ekvimolarnom protudifuzijom odnosno molekularnom difuzijom koju opisujemo Fickovim zakonom - međufazna površina ne predstavlja otpor prijenosu tvari, te su koncentracije na međufaznoj površini u lokalnoj ravnoteži - na određenoj udaljenosti od međufazne površine dolazi do stvaranja granice između mase tekućine (plin ili kapljevina) i filma, u masi tekućine prevladava turbulentno gibanje te je zbog intenzivne konvekcije koncentracija konstantna - ukupan otpor prijenosu tvari leži u filmu plina i kapljevine

p A p Ai

σ G σ L

c Ai c A

plin (g)

kapljevina (l)

AJur



- u stanju ravnoteže jednodimenzijska gustoća toka tvari sa strane plina i kapljevine su jednaki

( ) ( )A A,i A,i Ag lA,z AB AB

g l

p p c cJ D D

δ δ

− −= ⋅ = − ⋅

( ) ( )A,z G A A,i L A,i A *J k p p k c c= ⋅ − = ⋅ −

g lAB AB

G Lg l

i D Dk kδ δ

= =

DABg, DAB

l – efektivna difuzivnost komponente A u filmu plina, odnosno filmu kapljevine kG, kL – koeficijent prijenosa tvari u plinskoj, odnosno u kapljevitoj fazi cA, cA,i – koncentracija komponente A u masi kapljevine, odnosno na međufaznoj površini pA, pA,i – parcijalni tlak komponente A u masi plina, odnosno na međufaznoj površini δg, δl – debljina filma sa strane plina, odnosno kapljevine pA,i i cA,i – nisu mjerljivi – jednadžba (*) nema uporabnu vrijednost



- Henryev zakon – apsorpcijska ravnoteža sa slabo topljive plinove (He – Henryeva konstanta)

( ) ( )* *A,z G A A L A AJ K p p K c c= ⋅ − = ⋅ −

KG, KL – ukupni koeficijent prijenosa tvari u plinskoj, odnosno u kapljevitoj fazi pA

*, cA* - ravnotežni parcijalni tlak komponente A u plinskoj, odnosno ravnotežna

koncentracija (koncentracija zasićenja) komponente A u kapljevitoj fazi

( ) ( )* *A A A Ai Ai Ac c c c c c− = − + −

Ai Ai p He c= ⋅

( ) ( )*A A A Ai Ai A

1c c p p c cHe

− = ⋅ − + −

GL G L L L

1 1 1 1 1, 1, slijedi,

He kK He k k K k

= + ⋅ ≈⋅

?



a – specifična granična površina sa strane kapljevine AG/L – ukupna granična površina plin-kapljevina VL – volumen kapljevite faze

( )*A,z L A AJ k c c= ⋅ −

G/L

L

AaV

=

( )*AL A A

dc k a c cdt

= −

kLa – volumni koeficijent prijenosa tvari iz plinske u kapljevitu fazu

Mehanizmi prijenosa topline - kondukcija/provođenje - konvekcija - radijacija

Prijenos topline


- vektor toplinskog toka λ - koeficijent provođenja topline

Brzina prijenosa topline provođenjem – Fourierov zakon

Kondukcija/provođenje topline


q Tλ= − ⋅∇r

qr

ddTQ Ax

λ= − ⋅ ⋅

Q – količina prenesene topline u jedinici vremena, toplinski tok A – površina izmjene topline Toplinski tok i gradijent temperature imaju suprotan smjer - porastom temperature u jednom smjeru toplinski tok raste u drugom smjeru.

- prevladavajući mehanizam prijenosa topline između površine čvrstog tijela i kapljevine/plina koji tu površinu obstrujava - prijenos topline gibanjem makroskopskih elemenata kapljevine/plina, uz miješanje toplijih dijelova kapljevine/plina s hladnijim

- prirodna konvekcija – do gibanja kapljevine plina dolazi zbog razlika u gustoći prouzročenih temperaturnim gradijentima - prisilna konvekcija – uzrokovana djelovanjem vanjskih sila

- intenzivno gibanje kapljevine/plina – prevladavajući mehanizam prijenosa topline konvekcija - granični sloj, laminarno gibanje kapljevine/plina – prevladavajući mehanizma prijenosa kondukcija

Konvekcija


q h T= ⋅Δr

h – koeficijent prijenosa topline ΔT – razlika temperature između površine čvrstog tijela i temperature mase kapljevine/plina

Konvekcija


( ) ddx x L

x L

Tq h T Tx

λ∞==

= ⋅ − = − ⋅

qr

- međufazni jednodimenzijski prijenos topline – količina topline prenesena kondukcijom jednaka količini topline prenesenom konvekcijom

qr

λ

T

x

qr

h

x LT

=

T∞

L

čvrsto tijelo kapljevina/plin

λ

T

x

qr

h

x LT

=

T∞

L

čvrsto tijelo kapljevina/plin

- prijenos topline između tijela koja međusobno nisu u kontaktu, odnosno dijeli ih prazan prostor - prijenos topline elektromagnetskim valovima u području valnih duljina 10-7 – 10-4 m - ovisna o apsolutnoj temperaturi, T, tijela, njegovoj površini, A i obliku tijela (Stefan-Boltzmanov zakon)*

Radijacija**


4Q A Tε σ= ⋅ ⋅ ⋅

ε – parametar ovisan o svojstvima površine tijela, za apsolutno crno tijelo ε = 1, za ostala tijela ε < 1 σ – Stefan-Boltzmanova konstanta, σ = 5,676 ⋅ 10-8 W m-2 K-4

*Stefan-Boltzmanov zakon govori o količini topline koju tijelo predaje radijacijom (ne odnosi se na količinu topline koju tijelo prima radijacijom) **Radijacija bitan mehanizam prijenosa topline za tijela temperature >700 K

Kinetičke jednadžbe


Brzina kemijskih reakcija Kinetika rasta mikroorganizama i enzimska kinetika

- za reakciju υAA +υBB ⇒ υCC + υDD vrijedi

Brzina kemijskih reakcija


- brzina reakcije, ri, – broj molova i-te komponente, ni, koja u jedinici vremena, t, i jedinici prostora, V, nastane (produkt) ili nestane (reaktant) kemijskom reakcijom

ii

d1dnr

V t= ⋅

CA B D

A B C D

dd d d1 1 1 1d d d d

nn n nrV t V t V t V tν ν ν ν

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅



- funkcija koncentracije, c, komponenata reakcijske smjese (reaktanata, A, B,…) i temperature,T

( ) ( )α βA A A B, ,...r k T f c c= ⋅

A 0

aER Tk k e

−⋅= ⋅

kA – konstanta brzine reakcije α, β - parcijalni red reakcije reaktanta A, odnosno reaktanta B pri čemu je njihova suma (α + β +…) jednaka ukupnom redu reakcije

- kA funkcija temperature – Arrheniusova jednadžba

k0 – Arrheniusov konstanta Ea – energija aktivacije R – opća plinska konstanta



- za heterogene kemijske reakcije obično izražena po masi katalizatora, m

ii

d1dnr

m t= ⋅

- za reakcije u plinskoj fazi

pA, pB – parcijalni tlakovi reaktanata, A i B

( )α βA A A B, ,...r k f p p= ⋅

Kinetika rasta mikroorganizama


- makroskopski i nestrukturni opis brzine rasta biomase, rX

X Xr cµ= ⋅

SMAX

SS

cK c

µ µ= ⋅+

- Monodov kinetički model - opis kinetike rasta biomase, X, za male koncentracije limitirajućeg supstrata, S

µ - specifična brzina rasta biomase µMAX – maksimalna specifična brzina rasta biomase KS – Monodova konstanta (konstanta zasićenja supstratom)

Kinetika rasta mikroorganizama


µ

cS

µMAX

KS

Kinetika enzimskih reakcija


AA MAX

Am

cr VK c

= ⋅+

- Michaelis-Menteničin kinetički model brzine enzimskih reakcija, rA

VMAX – maksimalna brzina enzimske reakcije Km – Michaelis-Menteničina konstanta – mjerilo afiniteta enzima prema supstratu

cA

r A

VMAX = k3E0

VMAX / 2

Km

kinetika nultog reda

kinetika prvog reda

Michaelis-Mentenova kinetika

osnovni element svakog matematičkog modela procesa · pdf file(whitmanova) teorija dva filma...

Documents