ตรรกศาสตร

20 Jun 2017

สารบญ

ประพจน ...................................................................................................................................................................................... 1

การเชอมประพจน....................................................................................................................................................................... 2

ตารางคาความจรง ..................................................................................................................................................................... 8

สมมล ........................................................................................................................................................................................10

การท าประพจนเปนรปอยางงาย .............................................................................................................................................13

สจนรนดร ..................................................................................................................................................................................23

การอางเหตผล ..........................................................................................................................................................................27

ตวบงปรมาณ ............................................................................................................................................................................31

ประโยคเปดสองตวแปร ............................................................................................................................................................35

นเสธของตวบงปรมาณ ............................................................................................................................................................41

ตรรกศาสตร 1

ประพจน

ในเรองตรรกศาสตรน เราจะสนใจหาวา ประโยคตางๆ เปนจรง หรอ เทจ แตกอนอน ตองรวา ไมใชทกประโยค ทจะเอามาหาความจรงได

เชน ถาอยากรวาประโยค “กนอะไรด” เปน จรง หรอ เทจ คงตอบล าบาก

“ประพจน” คอ ประโยคทเปนจรง หรอ เทจ ไดอยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว

เชน ประเทศไทยอยในทวปเอเชย → เปนประพจน เพราะบอกไดวาเปนจรง 3 > 5 → เปนประพจน เพราะบอกไดวาเปนเทจ

ขณะน มผหญง 3,674,196 คน ใน กทม. → เปนประพจน ถงจะไมรวาจรงหรอเทจ แตถาชวยกนนบดกจะรวาจรงหรอเทจซกอยาง แนนอน

ประโยคทไมใชประพจน คอ ประโยคทท ายงไงกบอกไมไดวาจรงหรอเทจ

เชน ประโยคค าถาม ค าสง ค าขอรอง ค าอทาน สภาษต รวมถงประโยคทมตวแปร เชน กนอะไรด → ไมใชประพจน เพราะเปนประโยคค าถาม

𝑥 > 5 → ไมใชประพจน เพราะมตวแปร (ถา 𝑥 เปน 8 จะจรง แตถา 𝑥 เปน 1 จะเทจ)

ในเรองตรรกศาสตรน เราจะสนใจศกษาเฉพาะประโยคทเปนประพจนเทานน

โดยเรานยมใช ตวอกษร 𝑝, 𝑞, 𝑟 เปนสญลกษณแทนประโยคทเปนประพจน เชน ให 𝑝 แทนประพจน “เมอวานฝนตก” ให 𝑞 แทนประพจน “ประเทศไทยม 76 จงหวด” เปนตน

แบบฝกหด

1. จงพจารณาวา ขอใดตอไปนเปนประพจน

1. ปดหนาตางใหหนอย 2. 4 + 7 = 12

3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตร 4. เชยงใหม ไมใชเมองหลวงของไทย

5. สนขปกต ม 4 ขา 6. สนขปกตม 3 ขา 7. เขาเปนคนด 8. หนงวน ม 30 ชวโมง

2 ตรรกศาสตร

การเชอมประพจน

เราสามารถน าประพจนตางๆ มา “เชอม” กนได เชน “เมอวานฝนตก และ ประเทศไทยม 76 จงหวด” ค าเชอมทจะไดเรยนในบทน ไดแก

...... และ ...... ...... หรอ ...... ถา ...... แลว ...... ...... กตอเมอ ...... ไม ......

และ ประพจนทเชอมดวย “และ” จะเปนจรงเมอ ทกประพจนทมาเชอม เปนจรง

เชน 2 > 1 และ 4 < 5 เปนจรง เพราะ ทง 2 > 1 กบ 4 < 5 เปนจรง ประเทศไทยม 76 จงหวด และ เชยงใหมอยภาคใต เปนเทจ เพราะ เชยงใหมอยภาคใต เปนเทจ 2+2 = 5 และ คนปกตม 6 ขา เปนเทจ เพราะ 2+2 = 5 เปนเทจ เราจะแทนตวเชอม “และ” ดวยสญลกษณ ∧

เชน ถาให 𝑝 แทนประพจน “2 > 1” ให 𝑞 แทนประพจน “4 < 5” “2 > 1 และ 4 < 5” จะเขยนเปนสญลกษณไดเปน 𝑝 ∧ 𝑞

จะเหนวา 𝑝 ∧ 𝑞 จะเปนจรง เมอ 𝑝 กบ 𝑞 เปนจรงทงคนนเอง

หรอ ประพจนทเชอมดวย “หรอ” จะเปนจรงเมอ อยางนอยหนงประพจนทมาเชอม เปนจรง

เชน ประเทศไทยอยในทวปยโรป หรอ 2+5 > 4 เปนจรง เพราะ 2+5 > 4 เปนจรง 1 วนม 24 ชวโมง หรอ เมอวานฝนตก เปนจรง เพราะ 1 วนม 24 ชวโมง เปนจรง 2+2 = 5 หรอ คนปกตม 6 ขา เปนเทจ เพราะ ทกประพจนทมาเชอม เปนเทจ เราจะแทนตวเชอม “หรอ” ดวยสญลกษณ ∨

เชน ถาให 𝑝 แทนประพจน “2 > 1” ให 𝑞 แทนประพจน “4 < 5” “2 > 1 หรอ 4 < 5” จะเขยนเปนสญลกษณไดเปน 𝑝 ∨ 𝑞

จะเหนวา 𝑝 ∨ 𝑞 จะเปนจรง เมอ 𝑝 กบ 𝑞 เปนจรงอยางนอย 1 ประพจนนนเอง

ถา แลว

ประพจนทเชอมดวย “ถา ...... แลว ......” จะมความหมายในลกษณะของ ถา (เงอนไข) แลว (ผลลพธ) ถาเงอนไข เปนจรง ผลลพธตองจรง แตถาเงอนไขเปนเทจ ผลลพธจะเปนยงไงกได ดงนน ประพจนทเชอมดวย “ถา ...... แลว ......” จะเปนเทจไดเพยงกรณเดยว คอ เมอขางหนาเปนจรง แตขางหลงเปนเทจ

กรณทประพจนหนาเปนเทจ เราไมตองสนใจประพจนหลง ใหตอบไดเลยวาผลลพธเปนจรง

หรอกรณทประพจนหลงเปนจรง กไมตองสนใจประพจนหนา ใหตอบไดเลยวาผลลพธเปนจรง เชน ถา ฉนเปนคนปกต แลว ฉนม 6 ขา เปนเทจ เพราะ ประพจนหนาเปนจรง ประพจนหลงเปนเทจ ถา ฉนเปนคนปกต แลว ฉนม 2 ขา เปนจรง เพราะ ประพจนหลงเปนจรง

ถา หมบนได แลว ฉนสอบไดทหนง เปนจรง เพราะ ประพจนหนาเปนเทจ

𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞

T T T T F F F T F F F F

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 T T T T F T F T T F F F

ตรรกศาสตร 3

ถา หมบนได แลว ฉนม 2 ขา เปนจรง เพราะ ประพจนหนาเปนเทจ

เราจะแทนตวเชอม “ถา ...... แลว ......” ดวยสญลกษณ → (หรอ ⇒ กได) เชน ถาให 𝑝 แทนประพจน “2 > 1” ให 𝑞 แทนประพจน “4 < 5” “ถา 2 > 1 แลว 4 < 5” จะเขยนเปนสญลกษณไดเปน 𝑝 → 𝑞

จะเหนวา 𝑝 → 𝑞 จะเปนเทจเพยงกรณเดยว คอ เมอ 𝑝 เปนจรง และ 𝑞 เปนเทจ

กตอเมอ ประพจนทเชอมดวย “กตอเมอ” จะเปนจรงเมอ ทงสองประพจนทมาเชอม เปนจรงหรอเทจเหมอนๆกน

เชน ไทยเปนแชมปบอลโลก กตอเมอ หมบนได เปนจรง เพราะ ทงสองประพจน เปนเทจเหมอนกน 2 < 9 กตอเมอ 6 + 8 = 14 เปนจรง เพราะ ทงสองประพจน เปนจรงเหมอนกน ชางออกลกเปนไข กตอเมอ ชางกนกลวย เปนเทจ เพราะ ประพจนหนาเปนเทจ แตประพจนหลงเปนจรง เราจะแทนตวเชอม “กตอเมอ” ดวยสญลกษณ ↔

เชน ถาให 𝑝 แทนประพจน “2 > 1” ให 𝑞 แทนประพจน “4 < 5” “2 > 1 กตอเมอ 4 < 5” จะเขยนเปนสญลกษณไดเปน 𝑝 ↔ 𝑞

จะเหนวา 𝑝 ↔ 𝑞 จะเปนจรง เมอ 𝑝 กบ 𝑞 เปนจรงหรอเทจเหมอนกนนนเอง

ไม

“ไม” หรอ บางคนนยมเรยกสนๆวา “not” หรอมอกชอวา “นเสธ” จะท ากบประพจนแคประพจนเดยว

โดย ประพจน ทเตม “ไม” เขาไป จะเปลยนจากจรงเปนเทจ เทจเปนจรง

เชน หมบนไมได เปนจรง เพราะ ประพจน “หมบนได” เปนเทจ

2 ไมนอยกวา 3 เปนเทจ เพราะ ประพจน “2 นอยกวา 3” เปนจรง เราจะแทน “ไม” ดวยสญลกษณ ~

เชน ถาให 𝑝 แทนประพจน “2 มากกวา 1” “2 ไมมากกวา 1” จะเขยนเปนสญลกษณไดเปน ~𝑝

จะเหนวา 𝑝 กบ ~𝑝 จะมคาความจรงตรงขามกนเสมอ

กอนอน ตองจ าตารางผลลพธ ∧ , ∨ , → , ↔ , ~ ทง 5 ตารางใหไดกอน

T ∧ F เปน ......... T → T เปน ......... F ∨ F เปน ......... T ↔ T เปน ......... F → T เปน ......... T ∧ T เปน ......... ~F เปน ......... T ↔ F เปน ......... T ∨ F เปน ......... F ∧ T เปน ......... T → F เปน ......... T ∨ T เปน ......... F ↔ F เปน ......... ~T เปน ......... F ∧ F เปน ......... F → F เปน .........

อยางไรกตาม โจทยมกจะน า ตวเชอมหลายๆแบบมาถามผสมๆกน เชน ~T → (~F ∧ T) เปน ......... ล าดบการท าคอ ถามวงเลบ ใหท าในวงเลบกอน

ถาม “ไม” ใหท า “ไม” เปนล าดบถดมา

ตามดวย “และ” , “หรอ” , “ถา แลว” , “กตอเมอ” ตามล าดบ

𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞

T T T T F F F T T F F T

𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 T T T T F F F T F F F T

𝑝 ~𝑝 T F F T

4 ตรรกศาสตร

ตวอยาง ก าหนดให 𝑝 เปนจรง , 𝑞 เปนเทจ , 𝑟 เปนจรง จงหาคาความจรงของประพจน 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞 ↔ ~𝑟 ∨ 𝑞) วธท า แทนคาความจรงใหกบประพจนแตละตว

แลวคอยๆหาผลลพธ ตามล าดบ ดงรป

จะได 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞 ↔ ~𝑟 ∨ 𝑞) เปนจรง #

บอยครง เราไมจ าเปนตองร 𝑝, 𝑞, 𝑟 ครบทกตว กยงสามารถหาคาความจรงของประพจนทเกดจาก 𝑝, 𝑞, 𝑟 ได เชน ไมวา 𝑞 เปนอะไรกตาม T ∨ 𝑞 เปนจรงเสมอ F ∧ 𝑞 เปนเทจเสมอ

F → 𝑞 เปนจรงเสมอ 𝑞 → T เปนจรงเสมอ

ไมวา 𝑝 จะเปนอะไร 𝑝 ∧ ~𝑝 เปนเทจเสมอ 𝑝 ∨ ~𝑝 เปนจรงเสมอ 𝑝 → 𝑝 เปนจรงเสมอ

𝑝 ↔ 𝑝 เปนจรงเสมอ 𝑝 ↔ ~𝑝 เปนเทจเสมอ

และบางครง ถาเรารคาความจรงของประพจนทเกดจาก 𝑝, 𝑞, 𝑟 เราอาจยอนกลบไปหา 𝑝, 𝑞, 𝑟 ได เชน ถา 𝑝 ∧ 𝑞 เปนจรง แปลวา ทง 𝑝 กบ 𝑞 ตองเปนจรง ถา 𝑝 ∨ 𝑞 เปนเทจ แปลวา ทง 𝑝 กบ 𝑞 ตองเปนเทจ

ถา 𝑝 → 𝑞 เปนเทจ แปลวา 𝑝 ตองเปนจรง , 𝑞 ตองเปนเทจ

ตวอยาง ก าหนดให 𝑝 เปนเทจ จงหาคาความจรงของประพจน (𝑞 → 𝑟) → ((𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟)

วธท า ขอน บอกแค 𝑝 ตวเดยว แตโชคดทยงพอจะท าได เพราะ F → ? ได T เสมอ

T ∨ ? ได T เสมอ

? → T ได T เสมอ

ดงนน จะได (𝑞 → 𝑟) → ((𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟) เปนจรง #

ตวอยาง ก าหนดให (𝑝 ↔ ~𝑞) → (~𝑝 ∨ 𝑟) เปนเทจ จงหา 𝑝, 𝑞, 𝑟

วธท า ขอน รผลลพธสดทาย โจทยใหเราสบกลบไปหา 𝑝, 𝑞, 𝑟

การท (𝑝 ↔ ~𝑞) → (~𝑝 ∨ 𝑟) จะเปนเทจได

เปนไปไดกรณเดยว คอ (𝑝 ↔ ~𝑞) ตองเปนจรง และ (~𝑝 ∨ 𝑟) ตองเปนเทจ

การท (𝑝 ↔ ~𝑞) จะเปนจรง มไดหลายกรณ

คอ T ↔ T กบ F ↔ F ดงนน อนนยงไปตอไมได ขามมาอกฝง (~𝑝 ∨ 𝑟) เปนเทจ จะมไดกรณเดยว

คอ ~𝑝 เปนเทจ และ 𝑟 เปนเทจ

ดงนน จะไดวา 𝑝 ตองเปนจรง และ 𝑟 ตองเปนเทจ

𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞 ↔ ~𝑟 ∨ 𝑞)

T T F T F

F F

F

T

T

(𝑞 → 𝑟) → ((𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟)

F

T

T

T

(𝑝 ↔ ~𝑞) → (~𝑝 ∨ 𝑟)

F

T F

(𝑝 ↔ ~𝑞) → (~𝑝 ∨ 𝑟)

F

T F

? ? F F

T

ตรรกศาสตร 5

กลบมาท (𝑝 ↔ ~𝑞) ใหม คราวนเรารแลววา 𝑝 เปนจรง ดงนน (T ↔ ~𝑞) ตองเปนจรง จะได ~𝑞 ตองเปนจรง ซงท าให 𝑞 ตองเปนเทจ

ดงนน 𝑝 เปนจรง 𝑞 เปนเทจ และ 𝑟 เปนเทจ #

แบบฝกหด

1. ก าหนดให 𝑝 เปนเทจ , 𝑞 เปนจรง , 𝑟 เปนจรง จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน 1. ~𝑝 ∧ (𝑞 ∨ ~𝑟) 2. ~(𝑝 → 𝑟) → (~𝑞 → 𝑝)

3. (~𝑞 ∧ ~𝑝) ↔ (𝑝 ↔ 𝑟) 4. ~ ((~𝑝 ∨ ~𝑟) → (𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟)))

2. ก าหนดให 𝑝 เปนจรง จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน 1. (~𝑝 ∧ 𝑞) → (~𝑞 ∨ 𝑟) 2. (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ (𝑞 ∧ ~𝑞)

3. (𝑞 → 𝑟) → (𝑞 → 𝑝) 4. (~𝑝 → 𝑟) ↔ (𝑞 ∨ ~𝑞)

(𝑝 ↔ ~𝑞) → (~𝑝 ∨ 𝑟)

F

T F

T T F F

F T

6 ตรรกศาสตร

3. จงหาคาความจรงของ 𝑝, 𝑞, 𝑟 เมอก าหนดให 1. (𝑞 → ~𝑝) ∧ ~(𝑝 → 𝑟) เปนจรง 2. (𝑝 → (𝑝 → 𝑟)) ∨ (𝑟 ↔ ~𝑞) เปนเทจ

3. (𝑝 ∧ ~𝑟) → (~𝑝 ∨ ~𝑞) เปนเทจ 4. 𝑝 ↔ (𝑝 ∧ 𝑞) เปนเทจ

4. ก าหนดให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง โดยท 𝑎𝑏 > 0

ให 𝑝 แทนประพจน “ถา 𝑎 < 𝑏 แลว 1𝑎

> 1

𝑏 ” และ 𝑞 แทนประพจน “√𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 ”

ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง [PAT 1 (ม.ค. 57)/2]

1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝) 2. (~𝑞 ⇒ ~𝑝) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝)

3. (𝑝 ∧ ~𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) 4. (~𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)

5. ก าหนดให 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เปนประพจนท ประพจน (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∨ 𝑠) มคาความจรงเปนเทจ และ ประพจน 𝑝 ⇔ 𝑟 มคาความจรงเปนจรง ประพจนในขอใดมคาความจรงเปนจรง [PAT 1 (ก.ค. 53)/1]

1. (𝑞 ⇒ 𝑝) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) 2. 𝑞 ⇒ [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟)]

3. (𝑝 ⇒ 𝑠) ⇔ (𝑟 ⇔ 𝑞) 4. (𝑟 ⇔ 𝑠) ∧ [𝑞 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑟)]

ตรรกศาสตร 7

6. ก าหนดให 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เปนประพจนใดๆ โดยท ~𝑝 → 𝑞 มคาความจรงเปนเทจ ขอสรปใดถกตอง

[PAT 1 (ธ.ค. 54)/1] 1. (𝑝 ↔ 𝑟) → [(𝑝 ∨ 𝑟) → 𝑞] มคาความจรงเปนเทจ

2. (𝑝 → 𝑟) → (~𝑞 → 𝑝) มคาความจรงเปนจรง

7. ก าหนดให 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 และ 𝑡 เปนประพจน ซง 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มคาความจรงเปน เทจ

𝑝 ↔ (𝑠 ∨ 𝑡) มคาความจรงเปน จรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปน จรง [PAT 1 (เม.ย. 57)/3]

1. (𝑞 ∧ 𝑠) → (𝑝 ∧ 𝑞) 2. (𝑠 ∧ 𝑡) → ~𝑞

3. (𝑞 ∨ 𝑠) ↔ 𝑝 4. (𝑝 → 𝑟) → 𝑠

8 ตรรกศาสตร

ตารางคาความจรง

เราเรยกตารางทบอกคาความจรงในทกๆกรณ ของประพจนทสนใจ วา “ตารางคาความจรง” ในหวขอทแลว เราไดเหนตารางคาความจรงของ 𝑝 ∧ 𝑞 , 𝑝 ∨ 𝑞 , 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 ↔ 𝑞 และ ~𝑝 มาแลว

ในเรองน เราจะหดสรางตารางคาความจรงของประพจนอนๆ ทซบซอนมากขน

เนองจาก ตารางคาความจรง จะตองคลมทกกรณของตวแปร 𝑝, 𝑞, 𝑟

ดงนน จ านวนแถวในตาราง จะเปนทวคณ ของจ านวนตวแปร

โดย สตรในการหาจ านวนแถว คอ จ านวนแถว = 2จ านวนตวแปร

และเรามกนยมเพมชองส าหรบ “ทดคา” ลงในตาราง เพอชวยใหการคดงายขน อกดวย

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของประพจน ~𝑞 → (~𝑞 ∧ 𝑝) วธท า เนองจาก ~𝑞 → (~𝑞 ∧ 𝑝) ม 2 ตวแปร คอ 𝑝 กบ 𝑞 ดงนน จะมกรณทเปนไปไดทงหมด 4 กรณ

และ เนองจากประพจนน มความซบซอน เราจะสรางชอง ~𝑞 กบ ~𝑞 ∧ 𝑝 ส าหรบทดคา ดงน

โดยเราจะ ใชชอง 𝑞 หาคาของ ~𝑞 ใชชอง ~𝑞 และชอง 𝑝 หาคาของ ~𝑞 ∧ 𝑝 ใชชอง ~𝑞 และชอง ~𝑞 ∧ 𝑝 หาคาของ ~𝑞 → ~𝑞 ∧ 𝑝

𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 T T T T F F F T F F F F

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 T T T T F T F T T F F F

𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 T T T T F F F T T F F T

𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 T T T T F F F T F F F T

𝑝 ~𝑝 T F F T

𝑝 𝑞 ~𝑞 ~𝑞 ∧ 𝑝 ~𝑞 → (~𝑞 ∧ 𝑝) T T T F F T F F

1 ตวแปร 𝑝

T F

2 ตวแปร 𝑝 𝑞 T T T F F T F F

3 ตวแปร 𝑝 𝑞 𝑟 T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F

4 ตวแปร 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 T T T T T T T F T T F T T T F F T F T T T F T F T F F T T F F F F T T T F T T F F T F T F T F F F F T T F F T F F F F T F F F F

ตรรกศาสตร 9

และจะไดตารางทเตมเสรจสมบรณ ดงน

#

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของประพจน (𝑝 → ~𝑞) ∨ ~(𝑟 ↔ ~𝑝)

วธท า ขอนม 𝑝, 𝑞, 𝑟 รวมเปน 3 ตวแปร ดงนน จะมทงหมด 8 กรณ ดงน #

แบบฝกหด

1. จงสรางตารางคาความจรงของประพจน ~𝑝 → 𝑞

2. จงสรางตารางคาความจรงของประพจน (𝑝 ↔ 𝑞) ↔ (~𝑝 ↔ 𝑞)

𝑝 𝑞 ~𝑞 ~𝑞 ∧ 𝑝 ~𝑞 → (~𝑞 ∧ 𝑝) T T F F T T F T T T F T F F T F F T F F

𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 𝑝 → ~𝑞 ~𝑝 𝑟 ↔ ~𝑝 ~(𝑟 ↔ ~𝑝) (𝑝 → ~𝑞) ∨ ~(𝑟 ↔ ~𝑝) T T T F F F F T T T T F F F F T F F T F T T T F F T T T F F T T F T F T F T T F T T T F T F T F F T T F T T F F T T T T T F T F F F T T T F T T

10 ตรรกศาสตร

สมมล

“สมมล” แทนดวยสญลกษณ “≡” แปลวา “มคาความจรงเหมอนกน” เราจะใชเครองหมาย “≡” กบประพจน คลายๆกบทเราใชเครองหมาย “=” เชน “𝑝 เปนจรง” จะแทนดวยสญลกษณ 𝑝 ≡ T

“𝑞 เปนเทจ” จะแทนดวยสญลกษณ 𝑞 ≡ F “𝑝 มคาความจรงเหมอน 𝑞” จะแทนดวยสญลกษณ 𝑝 ≡ 𝑞

ในกรณทประพจนสองประพจน มตารางคาความจรงเหมอนกนทกกรณ เราจะกลาววา สองประพจนนน สมมลกน

ในกรณทประพจนสองประพจน มตารางคาความจรงตรงขามกนทกกรณ เราจะกลาววา สองประพจนนน เปนนเสธกน

ตวอยาง จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา ~𝑝 → ~𝑞 กบ 𝑝 ∨ ~𝑞 สมมล หรอ เปนนเสธกนหรอไม วธท า เราจะเขยนตารางคาความจรง ของ ~𝑝 → ~𝑞 กบ 𝑝 ∨ ~𝑞 ลงในตารางเดยวกน

จะเหนวาชอง ~𝑝 → ~𝑞 กบ 𝑝 ∨ ~𝑞 มคาเหมอนกนทกกรณ ดงนน ~𝑝 → ~𝑞 ≡ 𝑝 ∨ ~𝑞 #

ตวอยาง จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา ~𝑝 ∧ ~𝑞 กบ 𝑝 → ~𝑞 สมมล หรอ เปนนเสธกนหรอไม วธท า เราจะเขยนตารางคาความจรง ของ ~𝑝 → ~𝑞 กบ 𝑝 ∨ ~𝑞 ลงในตารางเดยวกน

จะเหนวาชอง ~𝑝 ∧ ~𝑞 กบ 𝑝 → ~𝑞 มคาเหมอนบาง ไมเหมอนบาง

ดงนน ~𝑝 ∧ ~𝑞 กบ 𝑝 → ~𝑞 ไมมความเกยวของกน (ไมสมมล และ ไมเปนนเสธกน) #

ตวอยาง จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) กบ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝 สมมล หรอ เปนนเสธกนหรอไม

วธท า เราจะเขยนตารางคาความจรง ของ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) กบ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝 ลงในตารางเดยวกน

จะเหนวาชอง 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) กบ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝 มคาตรงขามกนทกกรณ

ดงนน 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) เปนนเสธของ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝 #

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 → ~𝑞 𝑝 ∨ ~𝑞

T T F F T T T F F T T T F T T F F F F F T T T T

𝑝 𝑞 𝑞 → 𝑝 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) ~𝑝 (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝

T T T T F F T F T T F F F T F F T T F F T F T T

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ∧ ~𝑞 𝑝 → ~𝑞

T T F F F F T F F T F T F T T F F T F F T T T T

ตรรกศาสตร 11

แบบฝกหด

1. จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) สมมล หรอเปนนเสธกบ 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) หรอไม

2. จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) สมมล หรอเปนนเสธกบ (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 หรอไม

3. จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) สมมล หรอเปนนเสธกบ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝 หรอไม

12 ตรรกศาสตร

4. ก าหนดให 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 แทนประพจนใดๆ ให 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) แทนประพจนทประกอบดวยประพจน 𝑝, 𝑞 และ 𝑟

และคาความจรงของประพจน 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) แสดงดงตารางตอไปน

ประพจน 𝑆(𝑝, 𝑞, 𝑟) สมมลกบประพจนใดตอไปน [PAT 1 (พ.ย. 57)/1] 1. (𝑞 → 𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 2. (𝑞 → 𝑝) → (𝑝 → ~𝑟)

3. (𝑝 ∧ ~𝑞) → (𝑞 ∧ 𝑟) 4. (𝑝 ∧ ~𝑞) → (𝑝 → ~𝑟)

𝑝 𝑞 𝑟 คาความจรงของ 𝑆(𝑝 , 𝑞, 𝑟)

T T T T T T F T T F T F

T F F F F T T T F T F T

F F T T F F F T

ตรรกศาสตร 13

การท าประพจนเปนรปอยางงาย

ในเรองน โจทยจะใหประพจนทมความซบซอนมา แลวใหเราท าเปนรปทงายขน

ในการท าเปนรปอยางงาย เราตองรสมบตตางๆของ ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ ซงจะมทงสมบตงายๆ และสมบตยากๆ

สมบตพนฐานทวๆไป ทควรร (โดยไมตองทอง) ไดแก

1. สมบตการตดตวซ า

𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝

แตระวงใหด 𝑝 → 𝑝 ≢ 𝑝 𝑝 ↔ 𝑝 ≢ 𝑝 2. สมบตสลบท

𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑞 ↔ 𝑝 แตระวงใหด 𝑝 → 𝑞 ≢ 𝑞 → 𝑝 3. สมบตการเปลยนกลมได

(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟

(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟

(𝑝 ↔ 𝑞) ↔ 𝑟 ≡ 𝑝 ↔ (𝑞 ↔ 𝑟) ≡ 𝑝 ↔ 𝑞 ↔ 𝑟

แตระวงใหด (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ≢ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟)

4. สมบตการหกลางกนของนเสธ

~(~𝑝) ≡ 𝑝

สมบตตอไปน เปนสมบตทตองทอง

1. สตรกระจาย ∼ เขาไปใน ∧ , ∨

2. สตรกระจาย ∧ , ∨ เขาไปใน ∨ , ∧

3. สตร →

4. สตร ↔

~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞 ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞

𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝

*** สตรแรก จ ายากหนอย แตใชบอยสดๆ

𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)

~(𝑝 ↔ 𝑞) ≡ ~𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ↔ ~𝑞

14 ตรรกศาสตร

และเนองจาก ∧ กบ ∨ เปนเครองหมายทเราเจอเกอบทกขอ จงควรจ าสมบตพเศษของ ∧ กบ ∨ เพม ดงน

1. T หรอ กบอะไรกตาม จะได T F และ กบอะไรกตาม จะได F

เชน T ∨ 𝑝 ≡ T 𝑞 ∨ T ≡ T T ∨ (𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)) ≡ T

F ∧ 𝑝 ≡ F 𝑞 ∧ F ≡ F F ∧ (𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)) ≡ F

2. T และ กบอะไรกตาม จะไดเทาเดม F หรอ กบอะไร จะไดเทาเดม

เชน T ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 𝑞 ∧ T ≡ 𝑞 T ∧ (𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)) ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)

F ∨ 𝑝 ≡ 𝑝 𝑞 ∨ F ≡ 𝑞 F ∨ (𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)) ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟) 3. ตวตรงขามกน และกน ได F เสมอ ตวตรงขามกน หรอกน ได T เสมอ

เชน 𝑝 ∧ ~𝑝 ≡ F ~𝑝 ∧ 𝑝 ≡ F (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑝 ∧ ~𝑞) ≡ F

𝑝 ∨ ~𝑝 ≡ T ~𝑝 ∨ 𝑝 ≡ T (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∧ ~𝑞) ≡ T

เราจะใชสตรทกลาวมาทงหมด เพอเปลยนรปประพจนใหอยในรปอยางงาย

โดยเรามกจะพยายามก าจด ( ) , → , ↔ ใหกลายเปน ∧ , ∨ , ∼ เชน

(𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ≡ (~𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟

≡ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟

≡ (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ 𝑟

𝑝 → ~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 → (~𝑝 ∨ ~𝑞)

≡ ~𝑝 ∨ (~𝑝 ∨ ~𝑞)

≡ ~𝑝 ∨ ~𝑝 ∨ ~𝑞

≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞

(𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑝 ≡ ~(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑝

≡ (~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ 𝑝

≡ (~𝑝 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝)

≡ T ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝)

≡ ~𝑞 ∨ 𝑝

(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ 𝑝 ≡ ((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝) ∧ (𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞))

≡ (~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑝) ∧ (~𝑝∨ (𝑝 ∧ 𝑞))

≡ ((~𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ 𝑝) ∧ ((~𝑝 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞))

≡ (~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ 𝑝) ∧ ( T ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞))

≡ T ∧ ( ~𝑝 ∨ 𝑞 )

≡ ~𝑝 ∨ 𝑞

~𝑝 → 𝑞 ≡ ~(~𝑝) ∨ 𝑞

≡ 𝑝 ∨ 𝑞

𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ~𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)

≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟

𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ~𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)

≡ (~𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟)

(𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 ≡ ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟

≡ (~𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ 𝑟

≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ 𝑟

~𝑝 → F ≡ ~(~𝑝) ∨ F

≡ 𝑝 ∨ F

≡ 𝑝

𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ (𝑝 ∧ T) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)

≡ 𝑝 ∧ (T ∨ 𝑞)

≡ 𝑝 ∧ T

≡ 𝑝

ตรรกศาสตร 15

โจทยยอดนยมในเรองน คอ การตรวจสอบวาประพจนสองอนทก าหนด สมมล / เปนนเสธ กนหรอไม

ค าศพททควรร คอ “𝑝 มคาความจรงเหมอนกบ 𝑞” แปลวา “𝑝 สมมลกบ 𝑞” แปลวา 𝑝 ≡ 𝑞

“𝑝 มคาความจรงตรงขามกบ 𝑞” แปลวา ”𝑝 เปนนเสธของ 𝑞” แปลวา 𝑝 ≡ ~𝑞

วธท าคอ เราตองแปลงประพจนทงสองฝง ใหอยในรปอยางงาย แลวดวาไดรปอยางงายเหมอนกนหรอไม

ตวอยาง จงแสดงวา 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 วธท า เราจะใชสตร เพอแปลงประพจนทงสองขาง ใหเปนรปอยางงาย ดงน

จะเหนวาแปลงแลว ไดเหมอนกนเลย ดงนน 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 #

ตวอยาง จงแสดงวา 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) เปนนเสธของ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝

วธท า ประพจน จะเปนนเสธกนเมอ ประพจนหนง สมมลกบ ~(อกประพจนหนง)

ดงนน 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) เปนนเสธของ (𝑞 → 𝑝) → ~𝑝 #

ตวอยาง จงแสดงวาขอความ “ถา สมชายไป แลว สมหญงไปแตสมศรไมไป” เหมอนกนกบขอความ “ถา สมหญงไมไปหรอสมศรไป แลว สมชายไมไป”

วธท า เราจะแปลงขอความใหเปนสญลกษณกอน

ให 𝑝 แทน “สมชายไป” ให 𝑞 แทน “สมหญงไป” ให 𝑟 แทน “สมศรไป” ดงนน “ถา สมชายไป แลว สมหญงไปแตสมศรไมไป” จะกลายเปน 𝑝 → (𝑞 ∧ ~𝑟)

“ถา สมหญงไมไปหรอสมศรไป แลว สมชายไมไป” จะกลายเปน (~𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝

ตรวจสอบวาขอความเหมอนกน ตองตรวจสอบวา 𝑝 → (𝑞 ∧ ~𝑟) ≡ (~𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝 หรอไม

ดงนน ขอความทงสอง เหมอนกน #

อกจดทตองระวง คอ การน า “มากกวา” กบ “นอยกวา” มาใชรวมกบค าวา “ไม” เดกสวนใหญ มกคดวา “ไมมากกวา” กคอ “นอยกวา” ซงเปนความคดทผดอยนดหนอย

จรงๆแลว “ไมมากกวา” จะแปลวา “นอยกวาหรอเทากบ”

“แต” ในประโยคน จะเหมอนกบ “และ”

𝑝 → (~𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟

~𝑝 ∨ (~𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (~𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ 𝑟

~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ 𝑟 ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ 𝑟

𝑝 → (𝑞 ∧ ~𝑟) ≡ (~𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝

~𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟) ≡ ~(~𝑞 ∨ 𝑟) ∨ ~𝑝

~𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟) ≡ (𝑞 ∧ ~𝑟) ∨ ~𝑝

𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝) ≡ ~((𝑞 → 𝑝) → ~𝑝)

𝑝 ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝) ≡ ~(~(~𝑞 ∨ 𝑝) ∨ ~𝑝)

≡ (~𝑞 ∨ 𝑝) ∧ 𝑝

16 ตรรกศาสตร

ดงนน ถาให 𝑝 แทน “3 > 2” จะได ~𝑝 คอ “3 ≤ 2” ถาให 𝑝 แทน “4 ≥ 6” จะได ~𝑝 คอ “4 < 6” ถาให 𝑝 แทน “1 < 5” จะได ~𝑝 คอ “1 ≥ 5” เปนตน

แบบฝกหด

1. จงเตมประโยคตอไปนใหสมบรณ

1. 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 2. ~(~(~𝑝)) ≡

3. ~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 4. 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡

5. 𝑝 → 𝑞 ≡ 6. ~𝑝 → ~𝑞 ≡

7. 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 8. 𝑝 ∧ T ≡

9. 𝑝 ∨ T ≡ 10. 𝑝 ∧ ~𝑝 ≡

11. 𝑝 ∨ ~𝑝 ≡ 12. F ∨ 𝑝 ≡

13. 𝑝 ∧ F ≡

2. จงท าประพจนตอไปนเปนรปอยางงาย

1. ~(𝑝 ∧ 𝑞) 2. 𝑝 → ~𝑞

3. ~(𝑝 → 𝑞) 4. (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟

5. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 6. 𝑝 → T

7. ~𝑝 → (𝑞 ∧ ~𝑞) 8. F → 𝑝

ตรรกศาสตร 17

9. (𝑝 ∨ T) → ((𝑝 ∧ 𝐹) ↔ 𝑝) 10. (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝

11. 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞) 12. ~𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)

13. (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) 14. ~(~(𝑝 ∧ ~𝑞) ∧ 𝑟)

15. ~(𝑝 → 𝑞) → (𝑞 ∧ 𝑝) 16. 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)

3. ประพจนในขอใด สมมลกน 1. 𝑝 ∨ 𝑞 กบ ~𝑞 → 𝑝 2. 𝑝 ↔ 𝑞 กบ (~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ ~𝑞)

18 ตรรกศาสตร

3. (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 กบ (𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑞 → 𝑟) 4. 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) กบ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → 𝑟)

5. 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) กบ (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑝 → 𝑟) 6. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) กบ (𝑝 → 𝑞) → 𝑟

7. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) กบ (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 8. ~𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑝) กบ ~(𝑞 → 𝑝)

9. “ถา ฉนไมท าการบาน แลว ฉนจะโดนแมด” กบ “ฉนท าการบาน หรอ ฉนโดนแมด”

10. “ถา 𝑥 > 0 และ 𝑦 > 0 แลว 𝑥𝑦 > 0” กบ “ถา 𝑥𝑦 ≤ 0 แลว 𝑥 ≤ 0 และ 𝑦 ≤ 0”

ตรรกศาสตร 19

11. “วนนฝนไมตก กตอเมอ เมอวานหนขน” กบ

“วนนฝนตกหรอเมอวานหนขน และ วนนฝนไมตกหรอเมอวานหนตก”

4. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน เปนนเสธกนหรอไม

1. ~𝑝 → 𝑞 กบ ~𝑞 → 𝑝 2. 𝑝 → 𝑞 กบ 𝑝 ∧ ~𝑞

3. ~𝑞 → 𝑝 กบ ~𝑝 ∧ ~𝑞 4. 𝑝 กบ ~(~𝑝)

5. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) กบ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 6. ~𝑝 ∧ (𝑞 → ~𝑟) กบ ~𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟)

7. “ฉนไปดหนง หรอไปชอปปง” กบ “ฉนไมไปดหนง และไมไปชอปปง”

8. “ถา 𝑎 > 𝑏 หรอ 𝑎 ≥ 𝑏 แลว 𝑎 < 𝑏” กบ “𝑎 ≤ 𝑏 หรอ 𝑎 ≥ 𝑏”

20 ตรรกศาสตร

9. “ถา หมมปก แลว หมบนได” กบ “หมมปก แตหมบนไมได”

5. ก าหนดให 𝑝 และ 𝑞 เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ [PAT 1 (ม.ค. 53)/1] 1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ 𝑝 2. (~𝑝 ∧ 𝑝) ⇒ 𝑞

3. [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝] ⇒ 𝑞 4. (~𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑝 ∧ ~𝑞)

6. ก าหนดให 𝑝, 𝑞, 𝑟 เปนประพจน ขอใดตอไปนเปนจรง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-2]

1. ถา 𝑞 ∧ 𝑟 มคาความจรงเปนจรง แลว 𝑝 และ 𝑝 ∨ [(𝑞 ∧ 𝑟) ⇒ 𝑝] มคาความจรงเหมอนกน

2. ถา 𝑝 มคาความจรงเปนเทจ แลว 𝑟 และ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑟 มคาความจรงเหมอนกน

7. ก าหนดให 𝑝, 𝑞, 𝑟 เปนประพจน ขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ม.ค. 52)/1]

1. ประพจน 𝑝 → (𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟)) สมมลกบประพจน 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟)

2. ประพจน 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟) สมมลกบประพจน (𝑞 → 𝑝) ∨ ~(𝑝 → ~𝑟)

ตรรกศาสตร 21

8. ก าหนดให 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เปนประพจนใดๆ ขอความใดถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 57)/3]

1. ถาประพจน (𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ (𝑟 ∧ 𝑠) และประพจน 𝑝 มคาความจรงเปนจรง

แลวสรปไดวาประพจน 𝑠 มคาความจรงเปนจรง

2. ประพจน (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑠) สมมลกบ ประพจน [𝑞 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)] ∧ [𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑠)]

9. ก าหนดให 𝑝, 𝑞, 𝑟 และ 𝑠 เปนประพจนใดๆ

ประพจน [(𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ ~𝑝] ⇒ [(𝑟 ∨ 𝑠) ∧ (𝑟 ∨ ~𝑠)] สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน

[PAT 1 (ม.ค. 55)/2]

1. 𝑝 ⇒ 𝑟 2. 𝑞 ⇒ 𝑟

3. (𝑝 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) 4. (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑠)

10. ให 𝑝, 𝑞, 𝑟 เปนประพจน ถาประพจน 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) มคาความจรงเปนจรง และ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) มคาความจรงเปนเทจ แลว ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ [A-NET 49/10]

1. ~𝑞 ∨ (𝑝 → 𝑟) 2. ~𝑝 → (~𝑝 ∨ 𝑞) 3. (𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 4. [(~𝑞) ∨ (~𝑟)] → [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)]

22 ตรรกศาสตร

11. ก าหนดให 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เปนประพจนโดยท 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) , 𝑟 ∨ ~𝑝 และ 𝑝 มคาความจรงเปนจรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ [PAT 1 (ม.ค. 54)/1]

1. [𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ ~𝑟)] ⇔ ~(𝑞 ∧ 𝑟) 2. [𝑝 ⇒ (𝑟 ⇒ q)] ⇔ [(𝑟 ⇒ 𝑝) ⇒ 𝑞]

3. [𝑝 ⇒ ~(𝑟 ∧ 𝑞)] ⇔ [𝑟 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)] 4. [𝑝 ∨ ~(𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇔ [𝑟 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)]

12. ถา 𝑝, 𝑞 และ 𝑟 เปนประพจนโดยท 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) มคาความจรงเปนจรง แลว จงหาคาความจรงของ 𝑟 ⇒ [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (~𝑝 ⇒ 𝑟)] [PAT 1 (ต.ค. 55)/3*]

ตรรกศาสตร 23

สจนรนดร สจนรนดร คอ ประพจนทเปนจรงในทกกรณ

เชน ถาพจารณาตารางคาความจรงของ 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)

จะเหนวา 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) เปนจรงในทกกรณ ไมวา 𝑝 กบ 𝑞 จะเปนอะไรกตาม

ในกรณน เราจะกลาววา 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) เปนสจนรนดร

ตวอยาง จงใชตารางคาความจรง เพอตรวจสอบวา ~(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ↔ ~𝑞) เปนสจนรนดรหรอไม วธท า

จะเหนวา ~(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ↔ ~𝑞) สามารถเปนเทจได ในกรณท 𝑝 ≡ F และ 𝑞 ≡ F

ดงนน ~(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ↔ ~𝑞) ไมเปนสจนรนดร #

อยางไรกตาม เราไมคอยชอบสรางตารางคาความจรง เพราะใชแรงเยอะ

วธยอดนยมในการตรวจสอบสจนรนดร คอ ใชวธ “ยดเยยดความเทจ” ซงมขนตอนดงน

1. ก าหนดใหประพจนทตองการตรวจสอบ เปนเทจไปกอนเลย

2. ลยยอนกลบ หา 𝑝, 𝑞, 𝑟 เพอดวามนยอมรบความเทจทเรายดเยยดใหไดไหม

ถาหา 𝑝, 𝑞, 𝑟 ไดส าเรจ แปลวา ยดเยยดความเทจส าเรจ ดงนน ไมใชสจนรนดร ถาเกดขอขดแยงตอนลยยอนหา 𝑝, 𝑞, 𝑟 แปลวา ยดเยยดความเทจไมส าเรจ ดงนน เปนสจนรนดร

จะใชวธน ตองระวงใหด เพราะขอสรปมนจะสวนทางกนกบผลลพธทเราท าได

กลาวคอ “ส าเรจ แปลวา ไมเปนสจนรนดร” แต “ไมส าเรจ แปลวา เปนสจนรนดร”

ตวอยาง จงตรวจสอบวา 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) เปนสจนรนดรหรอไม วธท า ก าหนดให 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) เปนเทจไปกอนเลย แลวลยกลบหา 𝑝, 𝑞

จะเหนวา 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) เปนเทจไดกรณเดยว คอ 𝑝 เปนจรง กบ 𝑝 ∨ 𝑞 เปนเทจ แตจะเหนวา การท 𝑝 เปนจรง จะไมสามารถหา 𝑞 มาท าให 𝑝 ∨ 𝑞 เปนเทจได

เพราะ จรง ∨ กบอะไร จะไดจรงหมด ไมวา 𝑞 เปนอะไรกตาม เกดขอขดแยง ดงนน 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) เปนสจนรนดร #

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) T T T T T F T T F T T T F F F T

𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) ~𝑞 𝑝 ↔ ~𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ↔ ~𝑞)

T T T F F F T T F F T T T T F T F T F T T F F F T T F F

𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)

F

T F

T ?

24 ตรรกศาสตร

ตวอยาง จงตรวจสอบวา (𝑝 → ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) เปนสจนรนดรหรอไม วธท า ยดเยยดความเทจใหกอน แลวลยหา 𝑝, 𝑞, 𝑟

จะเหนวา ได 𝑝 เปนจรง , 𝑞 เปนจรง , 𝑟 เปนเทจ ดงนน หา 𝑝, 𝑞, 𝑟 ไดส าเรจ

แปลวา (𝑝 → ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) เปนเทจได

ดงนน (𝑝 → ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ไมใชสจนรนดร #

ตวอยาง จงตรวจสอบวา (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) เปนสจนรนดรหรอไม วธท า ก าหนดใหประพจนเปนเทจกอน

แตคราวนมปญหา เพราะ กตอเมอ เปนเทจได 2 แบบ

คอ T ↔ F กบ F ↔ T

เราจะแยกคดเปน 2 กรณ ถามซกกรณทลยหา 𝑝, 𝑞 ไดส าเรจ แปลวา ประพจนนไมเปนสจนรนดร กรณ T ↔ F

𝑝 ∧ 𝑞 เปนจรง มไดกรณเดยว คอ 𝑝 เปนจรง และ 𝑞 เปนจรง แตถา 𝑝 เปนจรง และ 𝑞 เปนจรง จะไมท าให 𝑝 ∨ 𝑞 เปนเทจ

ดงนน กรณ T ↔ F เกดขอขดแยง ยดเยยดความเทจไมส าเรจ

ถงตรงน เรายงสรปไมได วา (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) เปนสจนรนดรหรอไม ย าอกเทยววา จะเปนสจนนดรได ตองยดเยยดความเทจไมส าเรจ ในทกกรณ

ถายดเยยดความเทจส าเรจ แคเพยงซกกรณ จะไมเปนสจนรนดร ทนท

ถากรณแรก ยดเยยดความเทจส าเรจ ขอนตอบไดเลยวาไมเปนสจนรนดร แตโชคราย กรณ T ↔ F เกดขอขดแยง ดงนน ตองท ากรณ F ↔ T ตอ

กรณ F ↔ T

จะได 𝑝 ∧ 𝑞 เปนเทจ กบ 𝑝 ∨ 𝑞 เปนจรง 𝑝 ∧ 𝑞 เปนเทจ แปลวา ใน 𝑝 กบ 𝑞 ตองม เทจซกตว (หรอทงค) 𝑝 ∨ 𝑞 เปนจรง แปลวา ใน 𝑝 กบ 𝑞 ตองม จรงซกตว (หรอทงค)

ดงนน ถา ใน 𝑝 กบ 𝑞 มจรงหนงตว เทจหนงตว (เชน 𝑝 เปนจรง 𝑞 เปนเทจ หรอ 𝑝 เปนเทจ 𝑞 เปนจรง) กจะท าให 𝑝 ∧ 𝑞 เปนเทจ กบ 𝑝 ∨ 𝑞 เปนจรง ไดส าเรจ นนคอ กรณน ยดเยยดความเทจส าเรจ ดงนน (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ไมเปนสจนรนดร #

จะเหนวาขอทแลว วนวายมาก เพราะ “กตอเมอ เปนเทจไดหลายแบบ” ท าใหตองแบงกรณคด

โดยปกต เราจะตองแบงกรณคด ในกรณตอไปน ∧ ≡ F ∨ ≡ T

→ ≡ T ↔ ≡ T, F

ถาเจอกรณเหลาน ใหขามไปท าทอนอนกอน เผอจะไดขอมลอนเพมเตมในการลยประโยคเหลานไดโดยไมตองแบงกรณ

(𝑝 → ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)

F

F F

T F T F

T

(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)

F

? ?

(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)

F

T F

T T

(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)

F

F T

ตรรกศาสตร 25

ในกรณทเปนประพจนในรป ↔ เราจะมอกวธทงายกวา ในการตรวจสอบสจนรนดร ถาโจทยถามวา ↔ เปนสจนรนดรหรอไม ใหเราพจารณาวา กบ สมมลกนหรอไม

ถา ≡ ใหสรปวา ↔ เปนสจนรนดร

ถา ≢ ใหสรปวา ↔ ไมเปนสจนรนดร

หมายเหต: วธน งายกวาวธยดเยยดความเทจ แตใชไดกบประพจนในรป ↔ เทานน

ตวอยาง จงตรวจสอบวา (𝑝 → ~𝑞) ↔ ~(𝑝 ∧ 𝑞) เปนสจนรนดรหรอไม วธท า จะเหนวา ขอน ประพจนอยในรป ↔ ดงนน เราใชวธเชคสมมลได

นนคอ ถา (𝑝 → ~𝑞) กบ ~(𝑝 ∧ 𝑞) สมมลกน จะสรปไดทนทวา (𝑝 → ~𝑞) ↔ ~(𝑝 ∧ 𝑞) เปนสจนรนดร

จะเหนวาแปลงเปนรปอยางงายไดเหมอนกนเลย ดงนน (𝑝 → ~𝑞) ≡ ~(𝑝 ∧ 𝑞) ดงนน (𝑝 → ~𝑞) ↔ ~(𝑝 ∧ 𝑞) เปนสจนรนดร #

ตวอยาง จงตรวจสอบวา (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) เปนสจนรนดรหรอไม วธท า ขอน เราเคยท าดวยวธยดเยยดความเทจมาแลว แตยงยาก เพราะ กตอเมอ เปนเทจไดหลายแบบ

จะเหนวา ขอน ประพจนอยในรป ↔ ดงนน เราใชวธเชคสมมลได เนองจาก 𝑝 ∧ 𝑞 ≢ 𝑝 ∨ 𝑞 ดงนน (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ไมเปนสจนรนดร #

แบบฝกหด

1. ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร

1. ~𝑝 ∨ (𝑞 → 𝑝) 2. (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞)

3. (𝑝 → ~𝑞) ∨ (𝑞 → ~𝑝) 4. ~(((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟) ∧ ~(𝑞 → 𝑟))

5. (𝑝 ∨ 𝑞) → (~𝑝 → 𝑞) 6. (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞)

(𝑝 → ~𝑞) ≡ ~(𝑝 ∧ 𝑞)

~𝑝 ∨ ~𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞

26 ตรรกศาสตร

7. (𝑝 ∨ (𝑞 → 𝑟)) ↔ (𝑞 ∨ (𝑝 → 𝑟)) 8. (𝑝 → (𝑞 → 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟)

9. ((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝) ∧ ~(𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝))

2. ก าหนดให 𝐴 , 𝐵 และ 𝐶 เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ต.ค. 53)/1] 1. ถา 𝐴 ⇔ 𝐵 มคาความจรงเปนจรง แลว (𝐵 ∧ 𝐶) ⇒ (~𝐴 ⇒ 𝐶) มคาความจรงเปนเทจ

2. ประพจน 𝐴 ⇒ [(𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐵 ∨ 𝐶)] เปนสจนรนดร 3. ประพจน [(𝐴 ∧ 𝐵) ⇒ 𝐶] ⇒ [(𝐴 ⇒ 𝐵) ⇒ (𝐴 ⇒ 𝐶)] เปนสจนรนดร

4. ประพจน (𝐴 ⇒ 𝐶) ∧ (𝐵 ⇒ 𝐶) สมมลกบประพจน (𝐴 ∧ 𝐵) ⇒ 𝐶

3. ก าหนดให 𝑝 และ 𝑞 เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร [PAT 1 (ต.ค. 55)/2] 1. (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑝) 2. (~𝑝 ∨ ~𝑞) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)

3. [(𝑝 ∧ ~𝑞) ⇒ ~𝑝] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞) 4. [(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ ~𝑞] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)

ตรรกศาสตร 27

การอางเหตผล การอางเหตผล คอ การหาผลสรป จากเหตทก าหนด เชน ถาก าหนดเหตคอ 1. ถาฉนชวยแมกวาดบาน แลว แมจะพาฉนไปเทยว 1. 𝑝 → 𝑞

2. ฉนชวยแมกวาดบาน 2. 𝑝

เราจะไดผลสรปคอ แมจะพาฉนไปเทยว ผลสรป คอ 𝑞

เรามวธท าโจทยในเรองนได 2 วธ คอ “วธโยงรปแบบพนฐาน” และ “วธตรวจสอบดวยสจนรนดร”

วธโยงรปแบบพนฐาน จะใช “รปแบบพนฐาน” มาสรปตอกนเปนทอดๆ เพอไดผลสรปทซบซอนมากขน

รปแบบการสรปเหตผลพนฐาน ทควรทราบ มดงน การรวมเหต - แตกเหต ถาเหตหนง คอ 𝑝 อกเหตหนงคอ 𝑞 เราสามารถสรป 𝑝 ∧ 𝑞 ได (Conjunction)

ถาเหต อยในรป 𝑝 ∧ 𝑞 เราสามารถสรป 𝑝 ได (Simplification)

เราสามารถสรป 𝑞 ได

ตดตวเลอก - เพมตวหลอก ถาเหต อยในรป 𝑝 ∨ 𝑞 ถาเราม ~𝑝 เราสามารถสรป 𝑞 ได (Disjuctive Syllogism)

ถาเราม ~𝑞 เราสามารถสรป 𝑝 ได

ถาเหต อยในรป 𝑝 เราสามารถสรป 𝑝 ∨ 𝑞 ได (Addition)

ค าสญญา ถาเหต อยในรป 𝑝 → 𝑞 เราสามารถสรป 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞) ได (Absorption) ถาเราม 𝑝 เราสามารถสรป 𝑞 ได (Modus Ponens)

ถาเราม ~𝑞 เราสามารถสรป ~𝑝 ได (Modus Tollens)

ถาเราม 𝑞 → 𝑟 เราสามารถสรป 𝑝 → 𝑟 ได (Hypothetical Syllogism)

ถาเหต อยในรป 𝑝 → 𝑞 และ 𝑟 → 𝑠

ถาเราม 𝑝 ∨ 𝑟 เราสามารถสรป 𝑞 ∨ 𝑠 ได (Constructive Dilemma)

การเหมอนกน ถาเหต อยในรป 𝑝 ↔ 𝑞 ถาเราม 𝑝 เราสามารถสรป 𝑞 ได ถาเราม 𝑞 เราสามารถสรป 𝑝 ได

ถาเราม ~𝑝 เราสามารถสรป ~𝑞 ได ถาเราม ~𝑞 เราสามารถสรป ~𝑝 ได

ตวอยาง ขอใดไมใชผลสรปทสมเหตสมผล ของเหตตอไปน เหต 1. ~𝑝 2. 𝑟 → 𝑝 3. 𝑞 ∨ 𝑟

ผล ......... 1. 𝑞 2. ~𝑟 3. 𝑝 → 𝑟 4. 𝑝 ∨ 𝑟 วธท า จากเหตขอ 1 กบ 2 เราใช Modus Tollens สรป ~𝑟 ได ดงนน ขอ 2 ไมใชค าตอบ

จาก ~𝑟 กบ เหตขอ 3 เราใชการตดตวเลอก สรป 𝑞 ได ดงนน ขอ 1 ไมใชค าตอบ

28 ตรรกศาสตร

ตวเลอกขอ 3 คอ 𝑝 → 𝑟 ซงแปลงใหอยในรปอยางงายไดเปน ~𝑝 ∨ 𝑟 จากเหตขอ 1 เราใชการเพมตวหลอก จะสรป ~𝑝 ∨ 𝑟 ได ดงนน ขอ 3 ไมใชค าตอบ และจะเหนวา ท ายงไงกสรปออกมาเปนขอ 4 ไมได ดงนน ขอ 4 คอเปนผลสรปทไมสมเหตสมผล #

วธตรวจสอบดวยสจนรนดร จะใชเทคนคยดเยยดความเทจในเรองสจนรนดรมาชวย เนองจาก “สมเหตสมผล” หมายความวา “ถา เหตทกเหตเกดขน แลว ผลสรปตองเกดตาม” ดงนน การอางเหตผล จะสมเหตสมผล เมอ “(เหต ∧ เหต ∧ เหต ∧ … ∧ เหต) → ผล” เปนจรงในทกกรณ พดงายๆกคอ ใหไปตรวจสอบวา “(เหต ∧ เหต ∧ เหต ∧ … ∧ เหต) → ผล” เปนสจนรนดรหรอไม นนเอง

จะเหนวา เมอยดเยยดความเทจให เราจะลงเอยทการสมมตใหเหตทงหมดเปนจรง แตยดเยยดใหผลเปนเทจ

สรป การตรวจสอบความสมเหตสมผลดวยวธสจนรดร จะมขนตอนดงน

1. ยดเยยดให “เหตทกเหตเปนจรง” แต “ผลเปนเทจ” 2. ลยยอนกลบ หา 𝑝, 𝑞, 𝑟

ถาหา 𝑝, 𝑞, 𝑟 ไดส าเรจ แปลวา ยดเยยดส าเรจ ดงนน ไมสมเหตสมผล

ถาเกดขอขดแยงตอนลยยอนหา 𝑝, 𝑞, 𝑟 แปลวา ยดเยยดไมส าเรจ ดงนน สมเหตสมผล

หมายเหต: จะใชวธน ตองระวงตอนสรป เหมอนทตองระวงในเรองสจนรนดร

กลาวคอ “ส าเรจ แปลวา ไมสมเหตสมผล” แต “ไมส าเรจ แปลวา สมเหตสมผล”

ตวอยาง จงพจารณาวา การอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผล หรอไม

เหต 1. 𝑝 → 𝑟 2. 𝑟 → 𝑞 3. ~𝑞

ผล ~(𝑝 ∨ 𝑞) วธท า ยดเยยดใหเหตทกเหตเปนจรง แตผลเปนเทจ

จาก เหต (3) ~𝑞 ตองเปนจรง จะได 𝑞 ≡ F แทน 𝑞 ≡ F ใน เหต (2) จะได 𝑟 → F ตองเปนจรง ดงนน 𝑟 ≡ F

แทน 𝑟 ≡ F ใน เหต (1) จะได 𝑝 → F ตองเปนจรง ดงนน 𝑝 ≡ F แทน 𝑝 ≡ F และ 𝑞 ≡ F ในผล จะได ผล ≡ ~(F ∨ F) ≡ T ขดแยง กบทตองยดเยยดใหผลเปนเทจ

ดงนน การอางเหตผลน สมเหตสมผล #

(เหต ∧ เหต ∧ เหต ∧ ... ∧ เหต) → ผล

F

T F

T T T T

ตรรกศาสตร 29

ตวอยาง จงพจารณาวา การอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผล หรอไม

เหต 1. ถา สมชาย เปนคนไทย แลว สมชายรกสงบ

2. สมชาย ไมใชคนไทย

ผล สมชายชอบความรนแรง วธท า ให 𝑝 แทน “สมชายเปนคนไทย” และให 𝑞 แทน “สมชายรกสงบ”

ดงนน การอางเหตผลน เขยนเปนสญลกษณไดวา เหต 1. 𝑝 → 𝑞 2. ~𝑝

ผล ~𝑞 ยดเยยดใหเหตทกเหตเปนจรง แตผลเปนเทจ

เหต 1. 𝑝 → 𝑞 ≡ T 2. ~𝑝 ≡ T

ผล ~𝑞 ≡ F จาก เหต (2) ~𝑝 ตองเปนจรง จะได 𝑝 ≡ F

จาก ผล ~𝑞 ตองเปนเทจ จะได 𝑞 ≡ T แทน 𝑝 ≡ F และ 𝑞 ≡ T ใน เหต (1) จะได F → T ซงเปนจรงตามการยดเยยด จะเหนวา ได 𝑝 ≡ F และ 𝑞 ≡ T ส าเรจ ดงนน การอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล #

ตวอยาง ขอใดไมใชขอสรปทสมเหตสมผล ของเหตตอไปน เหต 1. ~𝑝 2. 𝑟 → 𝑝 3. 𝑞 ∨ 𝑟

ผล ......... 1. 𝑞 2. ~𝑟 3. 𝑝 → 𝑟 4. 𝑝 ∨ 𝑟 วธท า ขอน เราเคยท าดวยวธโยงรปแบบพนฐานไปแลว คราวน เราจะท าดวยวธสจนรนดร

จะเหนวาเรายงไมรขอสรป แตไมเปนไร ท าไปแบบไมรขอสรปกอนกได ยดเยยดใหเหตทกเหตเปนจรง แตผลเปนเทจ

จาก เหต (1) ~𝑝 ตองเปนจรง จะได 𝑝 ≡ F

แทน 𝑝 ≡ F ใน เหต (2) จะได 𝑟 → F ตองเปนจรง ดงนน 𝑟 ≡ F

แทน 𝑟 ≡ F ใน เหต (3) จะได 𝑞 ∨ F ตองเปนจรง ดงนน 𝑞 ≡ T

ถดมา ลองไลแทน 𝑝 ≡ F , 𝑞 ≡ T , 𝑟 ≡ F ไปทผลในตวเลอกแตละขอ เพอดวาขอไหนยอมรบความเทจ ขอ 1. ถาผลสรปคอ 𝑞 จะท าใหผลสรปเปนเทจไมได (เพราะ 𝑞 เปนจรง) เกดขอขดแยง

ขอ 2. ถาผลสรปคอ ~𝑟 จะท าใหผลสรปเปนเทจไมได (เพราะ 𝑟 เปนเทจ) เกดขอขดแยง

ขอ 3. ถาผลสรปคอ 𝑝 → 𝑟 จะท าใหผลสรปเปนเทจไมได (เพราะ 𝑝 เปนเทจ) เกดขอขดแยง

ขอ 4. ถาผลสรปคอ 𝑝 ∨ 𝑟 จะท าใหผลสรปเปนเทจได (เพราะ 𝑝 เปนเทจ , 𝑟 เปนเทจ) จะเหนวาขอ 1, 2, 3 เกดขอขดแยง จงเปนขอสรปทสมเหตสมผล

แตขอ 4 สามารถยดเยยดความเทจไดส าเรจ จงเปนขอสรปทไมสมเหตสมผล #

30 ตรรกศาสตร

แบบฝกหด

1. การอางเหตผลในขอใดตอไปน สมเหตสมผล

1. เหต 1. 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) 2. เหต 1. (𝑞 ∧ 𝑟) → ~𝑝 2. ~𝑞 ∧ ~𝑟 2. 𝑞 → 𝑟 ผล 𝑝 → 𝑟 ผล 𝑝 → ~𝑞

3. เหต 1. 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) 4. เหต 1. 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) 2. ~𝑟 ∧ (𝑠 → 𝑞) 2. 𝑟 → 𝑠

3. ~𝑠 ∧ (𝑟 → 𝑝) 3. 𝑝 ∨ 𝑟 ผล 𝑟 ผล 𝑞 ∨ 𝑠

5. เหต 1. ถา ฉนสนทกบเพอน แลว ฉนจะไมเกรงใจเพอน 2. ฉนไมเกรงใจเพอน ผล ฉนไมสนทกบเพอน

6. เหต 1. ถา ฉนกนกลวย แลว ฉนหนาเหมอนลง

2. ถา ฉนกนปลา แลว ฉนฉลาด

3. ถา ฉนหนาเหมอนลง แลว ฉนไมฉลาด

ผล ถา ฉนกนกลวย แลว ฉนไมกนปลา

2. พจารณาขอความตอไปน ขอใดตอไปนถกตองบาง [A-NET 51/1-1]

1. ถา (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟 และ (𝑞 → 𝑟) → 𝑠 ตางมคาความจรงเปนเทจ

แลว (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑟 ∨ 𝑠) มคาความจรงเปนจรง 2. การอางเหตผลขางลางนสมเหตสมผล

เหต 1) ~𝑝 → ~(𝑞 ∨ 𝑟) 2) 𝑞 ∧ 𝑠 3) ~𝑟

ผล 𝑠 → 𝑝

ตรรกศาสตร 31

ตวบงปรมาณ

หวขอน มค าศพทใหม 2 ค า คอ “ประโยคเปด” กบ “ตวบงปรมาณ” ประโยคเปด คอ ประโยคทมตวแปร เชน 2𝑥 + 3 > 5 , 𝑥2 ≥ 0 , เขาขายกลวยปง

ตวบงปรมาณ คอ ค าทแปะหนาประโยคเปด เพอระบวาอยากใหม 𝑥 กตวทตองท าใหประโยคเปนจรง ในหวขอน จะมตวบงปรมาณอย 2 ชนด คอ “ส าหรบ 𝑥 ทกตว” กบ “ม 𝑥 บางตวท”

ส าหรบ 𝑥 ทกตว เชน “ส าหรบ 𝑥 ทกตว 2𝑥 + 3 > 5” , “ส าหรบ 𝑥 ทกตว 𝑥2 ≥ 0” ถาแปะ “ทกตว” แปลวา ทกคาตองแทนใน 𝑥 แลวจรงหมด ถงจะท าใหประโยคเปนจรง

ถามบางคา ทแทนใน 𝑥 แลวเปนเทจ จะท าใหประโยคเปนเทจทนท เชน “ส าหรบ 𝑥 ทกตว 2𝑥 + 3 > 5” เปนเทจ เพราะ ถาแทน 𝑥 = 0 จะได 3 > 5 ซงเปนเทจ

“ส าหรบ 𝑥 ทกตว 𝑥2 ≥ 0” เปนจรง เพราะ ไมวา 𝑥 เปนอะไร กจะท าให 𝑥2 ≥ 0 เสมอ

ม 𝑥 บางตวท เชน “ม 𝑥 บางตวท 2𝑥 + 3 > 5” , “ม 𝑥 บางตวท 𝑥2 ≥ 0” ถาแปะ “บางตว” แปลวา ขอใหมซกคา ทแทน 𝑥 แลวเปนจรง กจะท าใหประโยคเปนจรงทนท

ถาไมมซกคา ทแทน 𝑥 แลวเปนจรง จงจะท าใหประโยคเปนเทจ

เชน “ม 𝑥 บางตวท 2𝑥 + 3 > 5” เปนจรง เพราะ ถาแทน 𝑥 = 10 จะได 23 > 5 เปนจรง “ม 𝑥 บางตวท 𝑥2 ≥ 0” เปนจรง เพราะ ถาแทน 𝑥 = 1 จะได 1 ≥ 0 เปนจรง “ม 𝑥 บางตวท 𝑥2 = −1” เปนเทจ เพราะ ไมม 𝑥 คาไหน ทยกก าลงสองแลวตดลบ

จะเหนวาตวบงปรมาณ “ส าหรบ 𝑥 ทกตว” จะเปนจรงยากกวา “ม 𝑥 บางตว” เพราะ “ส าหรบ 𝑥 ทกตว” ตองจรงหมดทกตว แต “ม 𝑥 บางตว” ขอแคจรงซกตว (หรอทกตวกได) กลาวคอ ถาประโยคเปดไหนใช “ส าหรบ 𝑥 ทกตว” แลวจรง กมกจะใชกบ “ม 𝑥 บางตว” แลวจรงดวย

เรานยมแทน ประโยคเปดทม 𝑥 เปนตวแปร ดวยสญลกษณ 𝑃(𝑥) , 𝑄(𝑥) , 𝑅(𝑥)

ตวบงปรมาณ “ส าหรบ 𝑥 ทกตว” แทนดวยสญลกษณ ∀𝑥[ ]

“ม 𝑥 บางตวท” แทนดวยสญลกษณ ∃𝑥[ ]

เชน ถาให 𝑃(𝑥) แทนประโยคเปด 2𝑥 + 3 > 5 , ให 𝑄(𝑥) แทนประโยคเปด 𝑥2 ≥ 0 ส าหรบ 𝑥 ทกตว 2𝑥 + 3 > 5 เขยนไดเปน ∀𝑥[𝑃(𝑥)]

ม 𝑥 บางตวท 𝑥2 ≥ 0 เขยนไดเปน ∃𝑥[𝑄(𝑥)]

สรป ∀𝑥[𝑃(𝑥)] เปนจรง เมอ 𝑥 ทกตว ท าให 𝑃(𝑥) เปนจรงหมด เปนเทจ เมอ ม 𝑥 ซกตว ทท าให 𝑃(𝑥) เปนเทจ

∃𝑥[𝑃(𝑥)] เปนจรง เมอ ม 𝑥 ซกตว (หรอทกตวกได) ทท าให 𝑃(𝑥) เปนจรง เปนเทจ เมอ 𝑥 ทกตว ท าให 𝑃(𝑥) เปนเทจหมด

32 ตรรกศาสตร

เรองตวบงปรมาณ มกใช “เอกภพสมพทธ” หรอ U จากเรองเซต เพอบอกขอบเขตของตวแปร

ถาโจทยก าหนด U มาให หมายความวาตวแปรในขอนนๆ มสทธเปนไดเฉพาะภายใน U เชน ถาก าหนดให U = {1, 2 ,3, 4}

∀𝑥[4 − 𝑥 ≥ 0] เปนจรง เพราะ ถาไลแทน 𝑥 = 1, 2, 3, 4 จะจรงหมด (ไมตองแทน 5 เพราะไมอยใน U) ∀𝑥[𝑥2 − 1 > 0] เปนเทจ เพราะ แทน 𝑥 = 1 ป บ เทจเลย

∃𝑥[𝑥 − 4 > 0] เปนเทจ เพราะ ไลแทน 𝑥 = 1, 2, 3, 4 แลว ไมจรงซกตว

∃𝑥[𝑥2 > 0] เปนจรง เพราะ แทน 𝑥 = 1 ป บ จรงเลย

ถาโจทยไมไดก าหนด U มาให แปลวาโจทยละขอบเขตไวในฐานทเขาใจ (ขอบเขต = จ านวนจรงอะไรกได) นอกจากน เรายงสามารถเอาขอบเขตมาแปะหลงตวแปรในตวบงปรมาณได

เชน ∀𝑥 ∈ {1, 2, 3, 4} [4 − 𝑥 ≥ 0] เปนจรง เพราะ ไลแทน 𝑥 = 1, 2, 3, 4 แลวจรงหมด ∀𝑥 ∈ N [𝑥 + 1 > 0] เปนจรง เพราะ จ านวนนบ (N) ทกตว บวก 1 แลวมากกวา 0 หมด ∃𝑥 ∈ {−1, 1}[𝑥2 > 1] เปนเทจ เพราะ ทง −1 และ 1 ยกก าลงสองได = 1 ไมถอวา > 1

∃𝑥[2𝑥 + 3 = 2] เปนจรง เพราะ ม 𝑥 = −0.5 ทแทนแลวจรง (ไมบอกขอบเขต แปลวา 𝑥 เปนจ านวนจรงอะไรกได)

ในกรณทประโยคเปดดานหลง เปนประโยคทซบซอน เราจะเรมหาคาความจรงล าบาก

ถาไมรจะเรมยงไง ใหลองแทนคา 𝑥 หลายๆแบบ (บวก , ลบ , ศนย, ทศนยม) ด พอไดไอเดยคราวๆของประโยคเปดนนๆ แลวคอยเจาะลงไปหากรณทตองการ

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน ∀𝑥 [𝑥 > 1 → 𝑥 > 0]

วธท า ขอน ไมก าหนดเอกภพสมพทธ ดงนน 𝑥 เปนจ านวนจรงอะไรกได เราจะลองสม 𝑥 หลายๆคามาแทนด วาจะท าให 𝑥 > 1 → 𝑥 > 0 เปนจรงหรอไม

ไดจรงหมดเลย ดงนน ประโยคน มแนวโนมวาจะเปนจรง เมอวเคราะหด จะเหนวาตองแทนไดเปน T → F เทานน ประโยคนถงจะเปนเทจ

แต ถา 𝑥 >1 เปนจรง จะเหนวา 𝑥 > 0 ไมมทางเปนเทจได ดงนน จงไมมทางเกดกรณ T → F ได ดงนน ∀𝑥 [𝑥 > 1 → 𝑥 > 0] เปนจรง #

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน ∃𝑥 ∈ R− [𝑥 ≥ 0 → 𝑥2 < 0]

วธท า เราจะลองสม 𝑥 หลายๆคาทเปนจ านวนจรงลบ (R−) มาแทนด

ไมตองท าตอแลว เพราะม 𝑥 = −3 ทแทนแลวจรง ดงนน ∃𝑥 ∈ R−[𝑥 ≥ 0 → 𝑥2 < 0] เปนจรง #

𝑥 = −3 −3 > 1 → −3 > 0 ≡ F → F ≡ T

𝑥 = 0 0 > 1 → 0 > 0 ≡ F → F ≡ T

𝑥 = 0.5 0.5 > 1 → 0.5 > 0 ≡ F → T ≡ T

𝑥 = 2 2 > 1 → 2 > 0 ≡ T → T ≡ T

𝑥 = −3 −3 ≥ 0 → (−3)2 < 0 ≡ F → F ≡ T

ตรรกศาสตร 33

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน ∃𝑥[𝑥 ≥ 0] → ∃𝑥[𝑥2 < 0] วธท า ขอนม ∃𝑥 สองเทยว จงตองหาคาความจรงจากตวบงประมาณ 2 เทยว

คอหา ∃𝑥[𝑥 ≥ 0] วาจรงหรอเทจหนงครง และหา ∃𝑥[𝑥2 < 0] วาจรงหรอเทจอกหนงครง แลวคอยมา → กน

∃𝑥[𝑥 ≥ 0] เปนจรง เชน 𝑥 = 1

∃𝑥[𝑥2 < 0] เปนเทจ เพราะ ผลยกก าลงสองจะไมมทางตดลบ ดงนน ∃𝑥[𝑥 ≥ 0] → ∃𝑥[𝑥2 < 0] ≡ T → F ≡ F #

แบบฝกหด 1. ประพจนในขอใดตอไปน เปนจรง 1. ∀𝑥[𝑥 > 0] เมอ U = {1, 2, 3, 4} 2. ∃𝑥[𝑥 เปนจ านวนเฉพาะ และ 𝑥 เปนจ านวนค]

3. ∃𝑥[𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0] เมอ U = {−1, 0, 1} 4. ∀𝑥 ∈ I−[𝑥 > 2𝑥]

5. ∀𝑥 ∈ N[2𝑥 ≥ 𝑥 + 1] 6. ∃𝑥 ∈ I[𝑥2 + 1 = 0]

7. ∀𝑥[𝑥 ≠ 0 ∨ 𝑥2 = 0] 8. ∀𝑥[𝑥 ≠ 0] ∨ ∀𝑥[𝑥2 = 0]

9. ∃𝑥[𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑥2 = 0] 10. ∃𝑥[𝑥 ≠ 0] ↔ ∃𝑥[𝑥2 = 0]

11. ∀𝑥[𝑃(𝑥)] → ∃𝑥[𝑃(𝑥)] เมอ 𝒰 ≠ ∅

34 ตรรกศาสตร

2. ก าหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจ านวนจรง และ 𝑃(𝑥) แทน √(𝑥 + 1)2 = 𝑥 + 1

𝑄(𝑥) แทน √𝑥 + 1 > 2 ขอใดตอไปนมคาความจรงตรงขามกบประพจน ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑄(𝑥)] [PAT 1 (ต.ค. 53)/2] 1. ∃𝑥[~𝑃(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[~𝑄(𝑥)] 2. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] ⇒ ∃𝑥[𝑄(𝑥)]

3. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑃(𝑥)] 4. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)] ⇒ ∀𝑥[𝑄(𝑥)]

3. ก าหนดให 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เปนประโยคเปด ถา ∀𝑥[𝑃(𝑥)] ∧ ∀𝑥[~𝑄(𝑥)] มคาความจรงเปนจรง แลว

ประพจนในขอใดมคาความจรงเปนเทจ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/2] 1. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] 2. ∃𝑥[~𝑃(𝑥) ∨ ~𝑄(𝑥)]

3. ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥)] 4. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → ~𝑄(𝑥)]

4. ก าหนดเหตใหดงน [A-NET 50/1-3]

1. เอกภพสมพทธไมเปนเซตวาง

2. ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)]

3. ∀𝑥[𝑄(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)]

4. ∃𝑥[~𝑅(𝑥)]

ขอความในขอใดตอไปนเปนผลทท าใหการอางเหตผล สมเหตสมผล

1. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] 2. ∃𝑥[𝑄(𝑥)] 3. ∀𝑥[𝑃(𝑥)] 4. ∀𝑥[𝑄(𝑥)]

ตรรกศาสตร 35

ประโยคเปดสองตวแปร ประโยคเปดทผานๆมา จะมแคตวแปรเดยว หวขอน จะพดถงประโยคเปดทมสองตวแปร

ตวอยางประโยคเปดสองตวแปร เชน 𝑥 + 𝑦 < 5 , 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0 , 1

𝑥+

1

𝑦 > 1

เรานยมแทนประโยคเปดทม 𝑥 กบ 𝑦 เปนตวแปร ดวยสญลกษณ 𝑃(𝑥, 𝑦) , 𝑄(𝑥, 𝑦) , 𝑅(𝑥, 𝑦)

ประโยคเปดสองตวแปร จะมตวบงปรมาณได 4 แบบ ดงน ∀𝑥∀𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] เปนจรง เมอ 𝑥 ทกตว 𝑦 ทกตว แทนแลวตองจรงหมด

เปนเทจ เมอ ม 𝑥 กบ 𝑦 ซกค ทแทนแลวเปนเทจ ∃𝑥∃𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] เปนจรง เมอ ม 𝑥 กบ 𝑦 ซกค ทแทนแลวจรง

เปนเทจ เมอ ม 𝑥 ทกตว 𝑦 ทกตว แทนแลวเปนเทจหมด ∃𝑥∀𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] เปนจรง เมอ ม 𝑥 บางตว ทจบคกบ 𝑦 ไดทกตว (∃ ตองเปนตวเดยวกนส าหรบ ∀ แตละตว) เปนเทจ เมอ ไมวา 𝑥 ตวไหนกตาม จะม 𝑦 บางตวทคกบมนไมได ∀𝑥∃𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] เปนจรง เมอ 𝑥 ทกตว ม 𝑦 บางตวมาคดวยได (∃ ไมตองเปนตวเดยวกน ส าหรบ ∀ แตละตว) เปนเทจ เมอ ม 𝑥 บางตว ทไมสามารถหา 𝑦 ตวไหนมาคกบมนไดเลย

ตวอยาง ก าหนดให U = {−1, 0, 1} จงพจารณาวาประพจนตอไปน เปนจรงหรอเทจ

1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] 2. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0]

3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] 4. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0]

วธท า ขอ 1. ∀𝑥∀𝑦 ตองลองแทนดวา 𝑥 ทกตว 𝑦 ทกตว จะท าให 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 เปนจรงหมดไหม จะเหนวามกรณ 𝑥 = −1 , 𝑦 = −1 ซงได (−1) + (−1) ≥ 0 เปนเทจ ดงนน ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] เปนเทจ

ขอ 2. ∃𝑥∃𝑦 ตองหาวาม 𝑥 กบ 𝑦 ซกค ทท าให 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 เปนจรงไหม

จะเหนวา มหลายแบบเลย เชน 𝑥 = 0 , 𝑦 = 1 ซงได 0 + 1 ≥ 0 จรง ดงนน ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] เปนจรง ขอ 3. ∃𝑥∀𝑦 ลองหาวาม 𝑥 ซกตว ทจบคกบ 𝑦 ไดทกตวไหม โดยท 𝑥 ตองเปนตวเดยวกน ส าหรบ 𝑦 แตละตว

จะเหนวา ม 𝑥 = 1 ทจบคกบ 𝑦 ทกตว ดงนน ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] เปนจรง ขอ 4. ∀𝑥∃𝑦 ลองหาวา 𝑥 ทกตว หา 𝑦 มาจบคกบมนไดไหม โดยท 𝑥 แตละตว ไมจ าเปนตองคกบ 𝑦 ตวเดยวกน

จะเหนวา 𝑥 ทกตว ม 𝑦 มาคกบมนได ดงนน ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] เปนจรง #

∃𝑥 ∀𝑦 1 + −1 ≥ 0 1 + 0 ≥ 0 1 + 1 ≥ 0

∀𝑥 ∃𝑦 −1 + 1 ≥ 0 0 + 0 ≥ 0 1 + 0 ≥ 0

36 ตรรกศาสตร

∀∀ กบ ∃∃ จะคอนขางเขาใจงาย อยางไรกตาม เดกสวนใหญ มกสบสนระหวาง ∃∀ กบ ∀∃

ถาเรยง ∃ ไวกอน ∀ จะไดวา ∃ ตองเปนตวเดยวกน ส าหรบ ∀ ทกตว

ถาเรยง ∀ ไวกอน ∃ จะไดวา ∃ ไมจ าเปนตองเปนตวเดยวกน ส าหรบ ∀ ทกตว

สงเกตวา ∀∀ จะเปนจรงยากทสด เพราะ ตองแทนทกตวแลวเปนจรงเทานน

สวน ∃∀ จะจรงยากกวา ∀∃ เพราะ ∃ ใน ∃∀ ตองเปนตวเดยวกน แตใน ∀∃ ไมจ าเปนตองเปนตวเดยวกน

และ ∃∃ จะจรงงายทสด เพราะ ขอแคซกคจรงกพอ

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน ∀𝑥∀𝑦[𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0] วธท า ขอน ไมบอกเอกภพสมพทธมาให แปลวา 𝑥 กบ 𝑦 เปนจ านวนจรงอะไรกได

∀𝑥∀𝑦 ตองพจารณาวา 𝑥 ทกตว 𝑦 ทกตว แทนแลวจรงหมดไหม

เนองจากผลการยกก าลงสอง จะเปนลบไมได ดงนน 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0 เสมอ ไมวา 𝑥 กบ 𝑦 จะเปนอะไร ดงนน ∀𝑥∀𝑦[𝑥2 + 𝑦2 ≥ 0] เปนจรง #

ตวอยาง ก าหนดให U = I− จงหาคาความจรงของประพจน ∃𝑥∃𝑦[𝑥𝑦 ≤ 0] วธท า ขอน เอกภพสมพทธเปนจ านวนเตมลบ ดงนน 𝑥 กบ 𝑦 ตองเปนจ านวนเตมลบเทานน

เนองจากจ านวนเตมลบสองตวคณกน จะเปนบวกเสมอ ดงนน จะไมม 𝑥 กบ 𝑦 ไหนเลย ทท าให 𝑥𝑦 ≤ 0 ดงนน ∃𝑥∃𝑦[𝑥𝑦 ≤ 0] เปนเทจ #

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน ∃𝑥∀𝑦[𝑦 − 2𝑥 ≠ 0] วธท า ∃𝑥∀𝑦 ตองหาวาม 𝑥 ซกตว ทจบคกบ 𝑦 ไดทกตวหรอไม โดยท 𝑥 ตองเปนตวเดยวกน ส าหรบ 𝑦 แตละตว

ถา 𝑥 = 1 จะคกบ 𝑦 ไดหมด ยกเวน 𝑦 = 2 ถา 𝑥 = 5 จะคกบ 𝑦 ไดหมด ยกเวน 𝑦 = 10 ถา 𝑥 = −0.2 จะคกบ 𝑦 ไดหมด ยกเวน 𝑦 = 0.4 จะเหนวา ไมวา 𝑥 เปนอะไรกตาม จะม 𝑦 ทจบคกบมนไมไดอยตวหนงเสมอ

ดงนน ∃𝑥∀𝑦[𝑦 − 2𝑥 ≠ 0] เปนเทจ #

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน ∀𝑥∃𝑦[𝑥 ≥ 𝑦 → 𝑥 + 𝑦 > 𝑥𝑦] วธท า ∀𝑥∃𝑦 ตองหาวา 𝑥 ทกตว สามารถหา 𝑦 มาคกบมนไดไหม โดยท 𝑥 แตละตว ไมจ าเปนตองคกบ 𝑦 ตวเดยวกน

ประโยคนอยในรป ถา ... แลว ... ซงจะจรงได 2 แบบใหญๆ คอ เมอขางหนาเปนเทจ ในรป F → ? กบ เมอขางหลงเปนจรง ในรป ? → T

จะเหนวา 𝑥 ≥ 𝑦 ขางหนา ซบซอนนอยกวา 𝑥 + 𝑦 > 𝑥𝑦 ขางหลง ดงนน เราจะพยายามท าให 𝑥 ≥ 𝑦 เปนเทจ เพอใหประโยคนเปนจรง

∀𝑥∃𝑦 𝑥 ≥ 𝑦 → 𝑥 + 𝑦 > 𝑥𝑦

𝑥 = 0 มค 𝑦 = 1 ท 0 ≥ 1 → …. ≡ F → ? ≡ T

𝑥 = 3 มค 𝑦 = 4 ท 3 ≥ 4 → …. ≡ F → ? ≡ T

𝑥 = −2 มค 𝑦 = −1 ท −2 ≥ −1 → …. ≡ F → ? ≡ T

ตรรกศาสตร 37

สงเกตวา ไมวา 𝑥 เปนอะไร จะหา 𝑦 ทท าให 𝑥 ≥ 𝑦 เปนเทจได ท าใหประโยคอยในรป F → ? ซงเปนจรง ดงนน 𝑥 ทกตว สามารถหา 𝑦 มาคกบมน เพอท าให 𝑥 ≥ 𝑦 → 𝑥 + 𝑦 > 𝑥𝑦 เปนจรงได ดงนน ∀𝑥∃𝑦[𝑥 ≥ 𝑦 → 𝑥 + 𝑦 > 𝑥𝑦] เปนจรง #

แบบฝกหด

1. ประพจนในขอใดตอไปน เปนจรง 1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 = 0] 2. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 0]

3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 = 0] 4. ∀𝑦∃𝑥[𝑥 + 𝑦 = 0]

5. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 < 𝑥𝑦] 6. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦]

7. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 > 𝑥𝑦] 8. ∀𝑦∃𝑥[𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦]

9. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥] 10. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥]

11. ∃𝑦∀𝑥[𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥] 12. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥]

13. ∀𝑦∃𝑥[𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥] 14. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 < 𝑥]

15. ∃𝑥∀𝑦[𝑥2𝑦 ≥ 0] 16. ∃𝑦∀𝑥[𝑥2𝑦 > 0]

17. ∀𝑦∃𝑥[𝑥2𝑦 < 5] 18. ∀𝑥∃𝑦[𝑥2𝑦 ≥ 0]

19. ∃𝑥∀𝑦[𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 𝑦]

2. ก าหนดให 𝒰 = {−2, −1, 0, 1, 2} ประพจนในขอใดตอไปน เปนจรง 1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 > 𝑦 → |𝑥 + 𝑦| ≤ 3] 2. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 = 𝑦 ↔ |𝑥| = |𝑦|]

38 ตรรกศาสตร

3. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 = 𝑦 ∧ |𝑥| ≠ |𝑦|] 4. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 0 ∧ 𝑥𝑦 = 0]

3. ประพจนในขอใดตอไปน เปนจรง

1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 > 𝑦 ∨ 𝑦 > 𝑥] 2. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 > 𝑦 ∧ 𝑥𝑦 ≤ 1]

3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥𝑦 = 1] ∨ ∀𝑦∃𝑥[𝑥𝑦 = 1] 4. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 ≠ 𝑦 ∧ |𝑥| = |𝑦|]

4. ก าหนดเอกภพสมพทธ คอ {−1, 0, 1} ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ก.ค. 53)/2] 1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 + 2 > 0] มคาความจรงเปนจรง 2. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≥ 0] มคาความจรงเปนเทจ 3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 = 1] มคาความจรงเปนเทจ

4. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 > 1] มคาความจรงเปนเทจ

5. ก าหนดให เอกภพสมพทธคอ 𝒰 = {−3, − 2, − 1, 1, 2, 3} ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ

[A-NET 49/1-9] 1. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 < 𝑦] 2. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 − 𝑦2 < 𝑥] 3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥𝑦2 = 𝑥] 4. ∃𝑥∀𝑦[𝑥2𝑦 = 𝑦]

ตรรกศาสตร 39

6. ให ℝ แทนเซตของจ านวนจรง ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอ { 𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 } ขอใดตอไปนถกตองบาง

[PAT 1 (พ.ย. 57)/2] 1. ประพจน ∃𝑥∀𝑦 [ 𝑥2 − 𝑦2 < 𝑦 − 𝑥 ] มคาความจรงเปนจรง

2. ประพจน ∀𝑥∀𝑦 [ |𝑥 − 𝑦| < 1 − 𝑥𝑦 ] มคาความจรงเปนจรง

7. ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอเซต {−2, −1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ

[PAT 1 (ต.ค. 52)/1-1] 1. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 ≤ 0 ∧ |𝑥| = 𝑦 + 1] 2. ∃𝑥∀𝑦[𝑥 ≤ 𝑦 ∧ −(𝑥 + 𝑦) ≥ 0]

3. ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 0 ∨ 𝑥 − 𝑦 = 0] 4. ∀𝑥∀𝑦[|𝑥| < |𝑦| ∨ |𝑥| > |𝑦|]

40 ตรรกศาสตร

8. ก าหนดให U = {𝑛 ∈ 𝐼+ | 𝑛 ≤ 10} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ [PAT 1 (ก.ค. 52)/2] 1. ∀𝑥∀𝑦[(𝑥2 = 𝑦2) → (𝑥 = 𝑦)] 2. ∀𝑥∃𝑦[(𝑥 ≠ 1) → (𝑥 > 𝑦2)]

3. ∃𝑥∀𝑦[𝑥𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦] 4. ∃𝑥∃𝑦[(𝑥 − 𝑦)2 ≥ 𝑦2 + 9𝑥𝑦]

9. ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอ 𝒰 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ม.ค. 52)/2]

1. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 ∩ 𝑦 ≠ ∅] 2. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 ∪ 𝑦 = 𝒰]

3. ∀𝑥∃𝑦[𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑦 ⊂ 𝑥] 4. ∃𝑥∀𝑦[𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑦 ⊂ 𝑥]

ตรรกศาสตร 41

นเสธของตวบงปรมาณ

เรองสดทาย เปนเรองเบาๆ เกยวกบสตรการใส นเสธ (~) ใหตวบงปรมาณ หลกคอ ใหกลบตวบงปรมาณ (เปลยน ∀ เปน ∃ เปลยน ∃ เปน ∀) แลวลยแจกนเสธไปทประโยคเปด ไดเลย

กลาวคอ ~∀𝑥[𝑃(𝑥)] ≡ ∃𝑥[~𝑃(𝑥)] ~∃𝑥[𝑃(𝑥)] ≡ ∀𝑥[~𝑃(𝑥)]

~∀𝑥∀𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] ≡ ∃𝑥∃𝑦[~𝑃(𝑥, 𝑦)] ~∃𝑥∃𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] ≡ ∀𝑥∀𝑦[~𝑃(𝑥, 𝑦)]

~∃𝑥∀𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] ≡ ∀𝑥∃𝑦[~𝑃(𝑥, 𝑦)] ~∀𝑥∃𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] ≡ ∃𝑥∀𝑦[~𝑃(𝑥, 𝑦)]

ตวอยาง จงหานเสธของ ∀𝑥[𝑥 > 0 ∨ 𝑥 + 1 ≤ 0]

วธท า ~∀𝑥[𝑥 > 0 ∨ 𝑥 + 1 ≤ 0] ≡ ∃𝑥[~(𝑥 > 0 ∨ 𝑥 + 1 ≤ 0)]

≡ ∃𝑥[𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑥 + 1 > 0] #

ตวอยาง จงหานเสธของ ∃𝑥[𝑥 > 2] → ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≤ 0]

วธท า ~(∃𝑥[𝑥 > 2] → ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≤ 0]) ≡ ~(~∃𝑥[𝑥 > 2] ∨ ∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≤ 0])

≡ ∃𝑥[𝑥 > 2] ∧ ~∀𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 ≤ 0]

≡ ∃𝑥[𝑥 > 2] ∧ ∃𝑥∀𝑦[𝑥 + 𝑦 > 0] #

ตวอยาง จงหานเสธของขอความ “ลกๆทกคน รกพอทท าดกบแม” วธท า ประโยคน เขยนใหมไดเปน “ส าหรบลกๆทกคน ถา พอท าดกบแม แลว ลกจะรกพอ”

เนองจากประโยคน ใชตวบงปรมาณกบลก ดงนน เราจะให 𝑥 แทนลก

“ลกๆทกคน” แทนดวย ∀𝑥

“พอของ 𝑥 ท าดกบแมของ 𝑥” แทนดวย 𝑃(𝑥)

“𝑥 รกพอของ 𝑥” แทนดวย 𝑄(𝑥) ดงนน ประโยคน เขยนเปนสญลกษณไดเปน ∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] ซงจะหานเสธได ~∀𝑥[𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)] ≡ ∃𝑥[~(𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥))]

≡ ∃𝑥[~(~𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥))] ≡ ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥)] แปลง ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥)] กลบเปนขอความ

จะนเสธของขอความ “ลกๆทกคน รกพอทท าดกบแม” คอ “มลกบางคน ทพอท าดกบแม แตกยงไมรกพอ #

แบบฝกหด

1. จงหานเสธของประพจนตอไปน

1. ∀𝑥[|𝑥| = 0] 2. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 ≠ 𝑦]

42 ตรรกศาสตร

3. ∃𝑥[𝑥 + 1 > 0 ∧ 𝑥 ≤ 0] 4. ∃𝑥[𝑥 ≠ 1] → ∀𝑦[𝑦 เปนจ านวนตรรกยะ]

5. ลกทกคนรกพอ 6. ลกทกคนไมรกพอ

7. นกเรยนบางคน ไมตงใจเรยน หรอ ชอบเลน 8. นกเรยนบางคน จะท าการบาน ถาแมไมใหเลนเกม

2. ก าหนดให 𝑃(𝑥) และ 𝑄(𝑥) เปนประโยคเปด

ประโยค ∀𝑥[𝑃(𝑥)] → ∃𝑥[~𝑄(𝑥)] สมมลกบประโยคในขอใดตอไปน [PAT 1 (ก.ค. 52)/1] 1. ∀𝑥[~𝑃(𝑥)] → ∃𝑥[𝑄(𝑥)] 2. ∀𝑥[𝑄(𝑥)] → ∃𝑥[~𝑃(𝑥)]

3. ∃𝑥[𝑃(𝑥)] → ∀𝑥[𝑄(𝑥)] 4. ∃𝑥[~𝑄(𝑥)] → ∀𝑥[𝑃(𝑥)]

ตรรกศาสตร 43

3. ขอใดตอไปนถก [A-NET 50/1-2] 1. ใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนเฉพาะบวก ขอความ ∀𝑥∃𝑦[𝑥2 + 𝑥 + 1 = 𝑦] มคาความจรงเปนจรง

2. นเสธของขอความ ∀𝑥[𝑃(𝑥) → [𝑄(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)]] คอ ∃𝑥[𝑃(𝑥) ∧ ~𝑄(𝑥) ∧ ~𝑅(𝑥)]

4. ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 53)/2*] 1. ถาเอกภพสมพทธ คอ {−1, 0, 1} คาความจรงของ ∀𝑥∃𝑦[𝑥2 + 𝑥 = 𝑦2 + 𝑦] เปนเทจ

2. ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง นเสธของขอความ ∀𝑥∃𝑦[(𝑥 > 0 ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ (𝑥𝑦 < 0)]

คอ ∃𝑥∀𝑦[(𝑥𝑦 < 0) ⇒ (𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑦 > 0)]

3. ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนเตม นเสธของขอความ ∀𝑥[𝑥 > 0 ⇒ 𝑥3 ≥ 𝑥2]

คอ ∃𝑥[(𝑥 ≤ 0) ∧ (𝑥3 < 𝑥)]

44 ตรรกศาสตร

ประพจน

1. 2, 4, 5, 6, 8

การเชอมประพจน

1. 1. T 2. T 3. T 4. F

2. 1. T 2. F 3. T 4. T

3. 1. 𝑝 เปน T , 𝑞 เปน F , 𝑟 เปน F 2. 𝑝 เปน T , 𝑞 เปน F , 𝑟 เปน F

3. 𝑝 เปน T , 𝑞 เปน T , 𝑟 เปน F 4. 𝑝 เปน T , 𝑞 เปน F 4. 3 5. 2 6. - 7. 1

ตารางคาความจรง

1.

2.

สมมล

1. สมมล 2. ไมสมมล และ ไมเปนนเสธ 3. เปนนเสธ

4. 3

การท าประพจนเปนรปอยางงาย

1. 1. 𝑝 2. ~𝑝 3. ~𝑝 ∨ ~𝑞 4. (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)

5. ~𝑝 ∨ 𝑞 6. 𝑞 → 𝑝 7. (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)

8. 𝑝 9. T 10 F 11. T

12. 𝑝 13. F

2. 1. ~𝑝 ∨ ~𝑞 2. ~𝑝 ∨ ~𝑞 3. 𝑝 ∧ ~𝑞 4. (~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ 𝑟

5. ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ 𝑟 6. T 7. 𝑝 8. T

9. ~𝑝 10. T 11. ~𝑝 ∨ 𝑞 12. 𝑝 ∨ 𝑞

13. T 14. (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ ~𝑟 15. ~𝑝 ∨ 𝑞 16. 𝑝

3. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑝 → 𝑞

T T F T T F F T F T T T F F T F

𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 ~𝑝 ~𝑝 ↔ 𝑞 (𝑝 ↔ 𝑞) ↔ (~𝑝 ↔ 𝑞)

T T T F F F T F F F T F F T F T T F F F T T F F

ตรรกศาสตร 45

4. 2, 3, 6, 7, 9

5. 4 6. 1, 2 7. 1 8. 1, 2

9. 3 10. 4 11. 3 12. T

สจนรนดร

1. 1, 2, 5, 8 2. 3 3. 3

การอางเหตผล

1. 1, 2, 4, 6 2. 2

ตวบงปรมาณ

1. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11 2. 2 3. 1

4. 2

ประโยคเปดสองตวแปร

1. 2, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 17, 18 2. 1, 2 3. 2

4. 3 5. 3 6. 2 7. 4

8. 4 9. 1

นเสธของตวบงปรมาณ

1. 1. ∃𝑥[|𝑥| ≠ 0] 2. ∀𝑥∀𝑦[𝑥 = 𝑦]

3. ∀𝑥[𝑥 + 1 ≤ 0 ∨ 𝑥 > 0] 4. ∃𝑥[𝑥 ≠ 1] ∧ ∃𝑦[𝑦 เปนจ านวนอตรรกยะ]

5. ลกบางคนไมรกพอ 6. ลกบางคนรกพอ

7. นกเรยนทกคน ตงใจเรยน และ ไมชอบเลน 8. นกเรยนทกคน แมไมใหเลนเกม แตกยงไมท าการบาน 2. 2 3. 2 4. 2

เครดต

ขอบคณ คณ Tunyaluck Martjutasaeranee

และ คณครเบรด จาก กวดวชาคณตศาสตรครเบรด ยานบางแค 081-8285490

ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารครบ