Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

Кафедра физики

Р. Н. Никулин, Н. В. Грецова

Физический практикум

Учебное пособие

РПК «Политехник»

Волгоград

2007 г.

УДК 53 (075.5)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией

ИРЭ РАН, Генеральный директор медико-технической ассоциации КВЧ, Лауре-

ат Государственной премии РФ О.В. Бецкий;

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей

физики ВГПУ С.В. Крючков

Физический практикум. Учеб. пособие / Р. Н. Никулин, Н. В. Грецова /

ВолгГТУ. – Волгоград, 2007. – 189 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Учебное пособие содержит описания 22 лабораторных работ по пер-

вой части курса общей физики.

Предназначено для студентов первого курса технических специаль-

ностей ВУЗов.

© Волгоградский государственный

технический университет, 2007

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Бурное развитие современной техники стало возможным благодаря достижениям в области физики. Создание микропроцессоров на базе нано-технологий, систем сотовой, космической связи, новейших систем отобра-жения информации (жидкокристаллические, проекционные и плазменные телевизоры) основывается на исследованиях в области теоретической фи-зики, проводимых с середины прошлого века. Несмотря на тот факт, что большая часть современной техники произведена за рубежом, теоретиче-ская база для ее создания была заложена, в основном, в нашей стране со-ветскими учеными. Например, советские исследователи Басов, Прохоров и (независимо от них) американский Таунс впервые создали оптический квантовый генератор – ЛАЗЕР, за что впоследствии получили Нобелев-скую премию по физике; СССР стал основоположником новой науки – СВЧ–электроники, позволившей создать различные вакуумные электрон-ные лампы (одна из которых – магнетрон – является основой всех СВЧ–печей); исследования выдающегося ученого, Нобелевского лауреата Ж. И. Алферова, проводимые в 60–х–70–х годах прошлого века в Советском Союзе стали основой для создания современной полупроводниковой мик-роэлектроники, в частности, систем сотовой связи и сотовых телефонов. Все это говорит о том, что дальнейшее развитие техники невозможно без исследований в области физики. Поэтому современный специалист в об-ласти техники должен знать и понимать ее теоретическую базу – физику.

В Волгоградском государственном техническом университете (ВолгГТУ) студенты технических специальностей начинают изучение физики со второго учебного семестра и изучают ее на протяжении по-лутора лет. Курс физики разбит на лекционную, практическую и экспери-ментальную (лабораторную) части.

Экспериментальное обучение физике студенты первокурсники тех-нических специальностей проходят в учебной физической лаборатории кафедры физики – «Механика». Основной задачей физического практику-ма является более глубокое понимание студентами основных физических закономерностей и приобретение базовых навыков экспериментирования.

Материалы данной книги являются итогом многолетней работы кол-лектива кафедры физики ВолгГТУ по совершенствованию физического практикума, изучаемого студентами на ее базе. Книга написана в соответ-ствии с настоящим состоянием лаборатории и с рабочими программами по дисциплине «Физика» для технических специальностей. В данное учебное пособие включены описания 22 лабораторных работ, соответствующих первой и второй частям общего курса физики – «Механика» и «Молеку-лярная физика и термодинамика», выполняемых студентами первого кур-са, обучающимися в ВолгГТУ по техническим специальностям.

Данное пособие написано сотрудниками кафедры физики ВолгГТУ, доцентами Р. Н. Никулиным (предисловие, разделы 1 – 5, лабораторные

3

работы 1–8, 12, 13, 18) и Н. В. Грецовой (разделы 6–10, лабо-раторные работы 9 – 11, 15–17, 19–22). Авторы выражают глубокую благодарность всем сотрудникам ка-федры физики, кто когда–либо принимал участие в создании и совершен-ствовании лабораторных работ и методических указаний к ним.

4

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1.1. Измерения. Классификация ошибок измерений

В физике и в других науках весьма часто приходится производить из-мерения различных величин (например, длины, массы, времени, темпера-туры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений. Прямые методы измерений – методы, при которых значения опреде-

ляемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого–либо тела сравнивается с единицей длины – метром, изме-ряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величи-на получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения опре-деляемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимо-стью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его ли-нейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов, все измерения можно произ-водить только с известной степенью точности, поэтому результаты изме-рений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь прибли-женное. Если, например, масса тела определена с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденная масса отличается от истинной менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражаю-щая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измере-ний. Она зависит от используемых при измерениях приборов и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к мини-муму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полно-стью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совер-

5

шаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увели-чения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

В результате i–го измерения (i – номер измерения) величины “Х”, по-лучается приближенное число Хi, отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Хi = |Хi – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой ве-личины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале

истi iX X X X X− ∆ ≤ ≤ + ∆ , (1.1) где Хi – значение величины Х, полученное при измерении (то есть измерен-ное значение); ∆Х – абсолютная погрешность определения величины Х.

Абсолютная ошибка (погрешность) измерения ∆Х – это абсолютная величина разности между истинным значением измеряемой величины Х и резул

ист

ист

ьтатом измерения Xi: ∆Х = |Хист – Xi|. Относительная ошибка (погрешность) измерения δ (характеризующая

точность измерения) численно равна отношению абсолютной погрешности измерения ∆Х к истинному значению измеряемой величины Х (часто вы-ражается в процентах): δ = (∆Х / Хист)·100%.

Погрешности или ошибки измерений можно разделить на три класса: систематические ошибки, случайные ошибки и грубые ошибки (промахи).

Систематической ошибкой называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно (согласно некоторой функциональ-ной зависимости) изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

Такие погрешности возникают в результате конструктивных особен-ностей измерительных приборов, недостатков принятого метода измере-ний, каких–либо упущений экспериментатора, влиянием внешних условий или дефектом самого объекта измерения.

В любом измерительном приборе заложена та или иная систематиче-ская погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, то есть эти погрешности характеризу-ются постоянным знаком. Например, если при взвешивании одна из гирь имеет массу на 0,01 г большую, чем указано на ней, то найденное значение массы тела будет завышенным на эту величину, сколько бы измерений ни производилось. Иногда систематические ошибки можно учесть или устра-нить, иногда этого сделать нельзя. Например, к неустранимым ошибкам относятся ошибки приборов, о которых мы можем лишь сказать, что они не превышают определенной величины.

6

Случайными ошибками называют ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Появление случайных ошибок обусловлено действием многих разнообразных и не-контролируемых причин. Например, при взвешивании весами этими при-чинами могут быть колебания воздуха, осевшие пылинки, разное трение в левом и правом подвесе чашек и др. Случайные ошибки проявляются в том, что произведя измерения одной и той же величины Х в одинаковых условиях опыта, мы получаем несколько различающихся значений: Х1, Х2, Х3,…, Хi,…, Хn, где Хi – результат i–го измерения. Установить какую–либо закономерность между результатами не удается, поэтому результат i–го измерения Х считается случайной величиной. Случайные ошибки могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократ-ных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.

Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями экспериментатора (например, из–за нев-нимательности вместо показания прибора «212» записывается совершенно другое число – «221»). Измерения, содержащие промахи и грубые погреш-ности, следует отбрасывать.

Измерения могут быть проведены техническим и лабораторным ме-тодами.

При использовании технических методов измерение проводится один раз. В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой по-грешность не превышает некоторого определенного, заранее заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной ап-паратуры.

При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает ее однократное измере-ние техническим методом. В этом случае делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое при-нимают за наиболее достоверное (истинное) значение измеряемой величи-ны. Затем производят оценку точности результата измерений (учет слу-чайных погрешностей).

Из возможности проведения измерений двумя методами вытекает и существование двух методов оценки точности измерений – технического и лабораторного.

1.2. Оценка точности результатов одного прямого измерения Пусть при повторении измерений в одних и тех же условиях 3–4 раза

получили одинаковое значение Х = Х0. Можно ли утверждать, что Хист = Х0? Нет. Данный результат означает лишь, что истинное значение Х заключено в интервале

7

X = X0 ± ∆X, (1.2) где погрешность ∆X определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, обычно связанными с неточностью измеритель-ных приборов или метода измерений. Такую погрешность ∆Х, как уже от-мечалось, называют систематической. Проведение дальнейших измерений в этих условиях бессмысленно. Результат измерений записывается в виде равенства (1.2), где ∆Х = ∆Хсист. Для более точного определения физиче-ской величины Х в данном случае необходимо изменить постановку само-го опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методи-ку измерений и т. п. В простейших случаях ∆Хсист определяется погрешностями измерительных приборов, то есть для выверенных прибо-ров – их классом точности.

Пример. При измерении диаметра цилиндра штангенциркулем в раз-личных местах получено одинаковое значение D = 12,5 мм. Абсолютная погрешность штангенциркуля 0,1 мм. Запишите результат измерений и произведите оценку точности измерения.

Результат измерения следует записать так: D = (12,5 ± 0,1) мм. Предельная относительная погрешность технического измерения равна относительной погрешности штангенциркуля 0,1 100 %=0,8 %

12,5D

Dδ ∆

= = ⋅ .

1.3. Классы точности приборов

Для характеристики большинства измерительных приборов часто ис-пользуют понятие приведенной погрешности или класса точности.

Приведенной погрешностью измерительного прибора считают выра-женное в процентах отношение наибольшей абсолютной погрешности ∆Хнаиб к верхнему пределу измерения прибора Xпр (то есть наибольшему ее значению, которое может быть измерено по шкале прибора):

100 %наиб

прXγ = ⋅ . (1.3)

По приведенной погрешности (по классу точности) приборы делятся на восемь классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. Приборы класса точно-сти 0,05; 0,1; 0,2; 0,5 применяются для точных лабораторных измерений и называются прецизионными (от англ. precision – точность). В технике применяются приборы классов 1,0; 1,5: 2,5 и 4 (технические). Класс точно-сти прибора указывается на шкале прибора. Если на шкале такого обозна-чения нет, то данный прибор внеклассный, то есть его приведенная по-грешность превышает 4 %. Производитель, выпускающий прибор, гарантирует относительную погрешность измерения данным прибором, равную классу точности (приведенной погрешности) прибора при измере-нии величины, дающей отброс указателя на всю шкалу. Определив по шка-ле прибора класс точност значение, легко рассчитать его аб-

X∆

и и предельное

8

солютную погрешность /100 %прX Xγ∆ = ± , которую принимают одинаковой на всей шкале прибора. Знаки «+» и «–» означают, что погрешность может быть допущена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения от дейс

погрешность при-нима

точных измерений применяют приборы более высокого класс точности.

1.4. Опре мерения

м образом. По-ложим, что искомая величина

е могут быть целыми и дроб

(1.4), в резуль-тате чего получим

C + p · LnD, (1.5) продифференцировав которое, найдем:

твительного значения измеряемой величины. При использовании приборов для конкретных измерений редко быва-

ет так, чтобы измеряемая величина давала отброс стрелки прибора на всю его шкалу. Как правило, измеряемая величина меньше. Это увеличивает относительную погрешность измерения. Для оптимального использования приборов их подбирают так, чтобы значения измеряемой величины прихо-дились на конец шкалы прибора, это уменьшит относительную погреш-ность измерения и приблизит ее к классу точности прибора. В тех случаях, когда на приборе класс точности не указан, абсолютная

ется равной половине цены наименьшего деления. Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения

на нем. Для болееа

деление погрешности отдельного изпри косвенных методах измерения

При косвенных методах измерения, когда измеряемая величина вы-числяется, погрешность измерения определяется следующи

А определяется выражением A = Bn·Cm·Dp, (1.4)

где В, С и D – величины, полученные в результате прямых измерений; n, m и p – показатели степени при В, С и D, которы

ными, положительными и отрицательными. Прологарифмируем правую и левую части уравнения

выражение: LnА = n · LnB + m · Ln

dA dB dC dDn m pA B C D

= + + . (1.6)

Заменяя дифферен

циалы dА, dВ, dС и dD малыми приращениями ∆А, ∆В, ∆С и ∆D (которые можно рассматривать как сти), можно написать:

абсолютные погрешно-

A B C Dn m pA B C D

∆ ∆ ∆ ∆= + + . (1.7)

Уравнение (1.7) дает возможность, зная погрешность измерения от-дельных величин, определить наибольшую возможную погрешность иско-мой величины А. Так как погрешности могут быть и положительными и отрицательными, то при нахождении возможной погрешности следует все-

9

гда

зможная погрешность косвенного изме-рения величины X находится через ошибки прямых измерений веz по

брать наиболее неблагоприятный случай, то есть относительные по-грешности в предыдущем выражении следует всегда брать со знаком «+».

В общем случае, если Х определяется по результатам измерений дру-гих величин, например, y и z, X = f(y, z). Тогда за наилучшее значение X принимается величина X0 = f(y0, z0), где y0 и z0 результаты прямых измере-ний величин y и z, а наибольшая во

личин y и правилу дифференцирования:

( ) ( ), , f fX f y y z z f y z y zy z

∂ ∂∆ = + ∆ + ∆ − ≈ ∆ ⋅ + ∆ ⋅

∂ ∂ . (1.8)

Необходимо отметить, что более точным являжение:

ется следующее выра-

2 22 2f fX y z

y z⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

, (1.9)

где fy

∂∂ и f

z∂

∂ – частные производные по y и z, взятые при значениях

изойти, а может не произойти. В качестве примера рассмотрим играль-ную

же бросании уже не может выпасть цифра 6. Итак,

y = y0, z = z0.

1.5. Вероятность случайного события Изучением случайных величин занимается раздел математики, нося-

щий название теории вероятностей. Рассмотрим основные понятия и по-ложения теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое в данных условиях может про

кость, представляющую собой кубик, на гранях которого проставлены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Этот кубик подбрасывается вверх и падает на стол. Какая цифра окажется на верхней грани? Этого предсказать заранее нель-зя.

Будем называть событием выпадение вполне определенной грани, на-пример, грани с цифрой 1. Это событие, очевидно, является случайным, так как при данном бросании цифра 1 может выпасть, а может и не вы-пасть. Какова вероятность этого события (выпадение грани с цифрой 1)?

Математическая вероятность какого–либо события равна отношению числа случаев, в которых осуществляется это событие, к общему числу всех несовместимых единственно и равновозможных случаев. В данном примере общее число всех несовместимых единственно и равновозможных случаев – шесть, так как при бросании кубика на верхней грани может ока-заться любая цифра от 1 до 6. Случаи называются единственно возмож-ными, если ничего другого выпасть не может (например, цифра 7). Несо-вместимыми они называются потому, что, если при данном бросании выпадает 5, то при этом

10

обще

бросаем игральную кость n раз (пусть n ≈ 6000). Сколько раз при этомло)? П

е число случаев или исходов при одном бросании 6. Исход, благопри-ятный данному событию (выпадению 1), только один. Поэтому вероят-ность выпадения цифры 1 равна 1/6. Такова же вероятность выпадения любой другой цифры.

Кроме классического определения вероятности существует так назы-ваемое частное определение. Положим, мы

выпадает 1 (или любое другое чис-усть единица выпадает k раз. Так вот, вероятностью Р события, за-

ключающегося в выпадении грани с цифрой 1, называется предел, к кото-рому стремится отношение k/n при n → ∞

limn

kPn→∞

= . (1.10)

заключение отметим, что вероятность невозВ можного события рав-на нулю, а дост того, что при бросании играл как на гра-нях ку

событие, за-ключающееся в том, что при одном бросании выпадаеиными

оверного – единице. Например, вероятностььной кости выпадает цифра 7, равна нулю, так

бика такой цифры нет. А вероятность того, что выпадает какая–либо из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, равна единице. Это событие достоверное, так как из указанного набора цифр обязательно выпадет одна.

1.6. Сложение и умножение вероятностей

Назовем событием А выпадение грани 1 при бросании игральной кости. Общее число исходов n = 6. Число случаев, благоприятствующих событию А, обозначим через ma (ma = 1). Тогда вероятность события А: Р(А) = ma / n= 1/6. Аналогично, назовем событием В выпадения грани 3 (n = 6, mб = 1, Р(В) = mб / n = 1/6). Назовем событием (А + В)

т либо 1, либо 3; словами, событие (А + В) заключается в том, что должно произойти

либо событие А, либо событие В. Какова вероятность Р(А + В)? Общее число исходов по–прежнему n (n = 6). Но число исходов, благоприятст-вующих событию (А + В), теперь ma + mб = 1 + 1 = 2. Поэтому

( ) ( ) ( )а б а бm m m mP A B P A P Bn n n+

+ = = + = + . (1.11, а)

Итак, Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Вероятность появления любого из не-скольких несовместимых событий равна сумме вероятностей этих собы-тий.

Назовем произведением событий (АВ) событие, заключающееся в том, что при первом испытании произойдет событие А, а при втором – В. Например, выпадение при первом бросании грани 1, а при втором – 3, эти события являются независимыми (что выпадает при второральн

-

м бросании иг-ой кости совершенно не зависит от того, что выпало при первом бро-

сании). В данном случае общее число исходов будет n2, так как каждому из n исходов первого испытания соответствует n исходов второго. Число ис

11

ходов, благоприятствующих событию (АВ), равно 1 (в общем случае ma·mб). Поэтому

( ) ( ) ( )2а б а бm m m mP AB P A P Bn n n⋅

= = ⋅ = ⋅ . (1.11, б)

В нашем примере Р(АВ)=1/6·1/6=1/36. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

1.7. Средняя арифметическая и средняя квадратическая ошибки Среднее арифметическое значение серии измерений <X> определя-

ется как частное от деления арифметической суммы всех результатов из-мерений в серии Xi на общее число измерений в серии n:

n

1 2 1... in i

ист

XX X X+ + +X X

n n=≈ = =∑

. (1.12)

При увеличении n среднее значение <X> стремится к истинному зна- значе-

чен ьному закону распределения

ниши большом числе наблюдений ошибки одинаковой

ки. Иначе говоря, большие ошиб-ки

чению измеряемой величины X . Поэтому, за наиболее вероятноеистние измеряемой величины следует принять ее среднее арифметическое зна-

ие, если ошибки подчиняются нормалошибок – закону Гаусса.

Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположе-й:

1) о ибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений; 2) пр величины, но раз-

ного знака встречаются одинаково часто; 3) вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, умень-

шается с увеличением величины ошиб встречаются реже, чем малые. Нормальный закон распределения описывается следующей функци-

ей: ( )2

ист21( )

у 2р

X X

y X e−

−= , (1.13

где σ – средняя квадратичная ошибка; σ2 – дисперсия измерения; Хист – ис-тинное значение измеряемой величины.

Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального рас-

2у )

но прямой Х = Xист и имеет максимум го максимума найдем, поставив в пра-сто Х. Получим

пределения симметрична относительпри Х = Хист. Значение ординаты этовую часть уравнения (1.13) Хист вме ( ) 1

2y X

σ π= , откуда

зрастает у(Х). Площадь под кривой следует, что с уменьшением σ во

12

( )y X dX+∞

−∞∫ должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность

того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от – ∞ до +∞ равно 1 (это свойство называется условием нормировки веро-ятности).

На рис. 1.1 приведены графи-ки трех функций нормального рас-пределения для трех значений σ (σ3 > σ2 > σ1) и одном Х . Нормаль-ное ра

ист

ечно большом коли-измерений (n → ∞) ее истинным значени-

ривые идут более круто и большие значения ∆Х менее вероятны, то емерен

мощью стандарт-ной и

м

спределение характеризуется двумя параметрами: средним зна-чением случайной величины, кото-рая при бескончестве совпадает сем, и дисперсией σ. Величина σ ха-рактеризует разброс погрешностей относительно среднего значения при-нимаемого за истинное. При малых значениях σ к

Рис. 1.1.

сть отклонение результатов из-ий от истинного значения величины в этом случае меньше. Для оценки величины случайной ошибки измерения существует не-

сколько способов. Наиболее распространена оценка с поли среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя ариф-

метическая ошибка. Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n

измерений определяется по фор уле:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

1 2 1...

1 1

n

in i

n

X XX X X X X XS

n n=

−− + − + + −= =

− −

∑

ве сл

. (1.14)

Если число наблюдений очень лико, то подверженная учайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом Sn:

lim nnSσ

→∞= . (1.15)

Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется диспер-сией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).

Величина σ имеет большое практическое значение. Пусть в резуль-тате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифме-тическое <Х> и некоторую ошибку ∆X. Если измеряемая величина под-вержена случайноистинное значение измеряемой величины лежит в интервале (<Х> – ∆Х,

й ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что

13

<Х> +

льтата серии измерений называют вероятность того,

ений ∆Х, тем с большей надеж- в этот интервал. Естественно, что ве-

ых измерений, а также от зада-

и величины случайной ошибки личину самой ошибки (или до-тельной вероятности (надежно-

без указания соответст-в значительной мере лишено ль надежны наши данные. Зна-

ет оценить степень надежности

ной о

интервала выбран интервал (Х – σ, Х + σ), то мы можемтатов изобязатель1.2). Если при измер и а -грешность ∆Х > 3 о е следует отнести к ы г или промаху. Величину б о -

∆Х или (<Х> – ∆Х) < Х < (<Х> + ∆Х)). Всегда существует некото-рая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого ин-тервала.

Доверительным интервалом называется интервал значений (<Х> – ∆Х, <Х> + ∆Х) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Хист с заданной вероятностью.

Надежностью резучто истинное значение измеряемой величины попадает в данный до-

верительный интервал. Надежность результата измерения или доверитель-ная вероятность выражается в долях единицы или процентах.

Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отлича-ется от истинного значения на величину, не большую, чем ∆Х. Это принято записывать в виде

Р((<Х> – ∆Х) < Х < (<Х> + ∆Х)) = α. (1.16) Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат

измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> – ∆Х до <Х> + ∆Х. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерностью искомая величина Х попадаетличина α зависит от числа n произведеннваемой погрешности ∆Х.

Таким образом, для характеристикнеобходимо задать два числа, а именно: веверительный интервал) и величину доверисти). Указание одной только величины ошибкивующей ей доверительной вероятности смысла, так как при этом мы не знаем, сконие доверительной вероятности позволяполученного результата. Необходимая степень надежности задается харак-тером производимых измерений. Средней квадратичной ошибке Sn соот-ветствует доверительная вероятность 0,

68, удвоенной средней квадратич-шибке (2σ) – доверительная вероят-

ность – 0,95, утроенной (3σ) – 0,997. Если в качестве доверительного

Рис. 1.2.

, сказать, что из ста резуль-мерений 68 будут находиться но внутри ого тер ла (р с. эт

енинаб

ват

и пи солю н я о

σ, т это изм рениегруб м по

3σ орешнычн

остям при

14

нимают за предельную ю гр ос ельного измерения (иногда вместо 3σ л ю р с рительного прибо-ра).

Для любой величи о т ог т формуле Гаусса может быть рассчи е у я ри вероятность. Эти вычисления произв ы с н . 1.1.

Таблица 1.1

Довер ала, выраженного бки ε = ∆X/σ

абсолютну по ешн ть отдберут абсо ютну пог ешно ть изме

ны д вери ельн о ин ервала потана соотв тств юща дове тельнаяеден и их результаты веде ы в табл

ительные вероятности α для доверительного интерв в долях средней квадратичной оши

ε α ε α ε α 0 0,00 1,0 0,68 2,0 0,954

0,1 0,08 1,1 0,73 2,1 0,972 0,2 0,16 1,2 0,77 2,2 0,984 0,3 0,24 1,3 0,80 2,3 0,990 0,4 0,31 1,4 0,84 2,4 0,995 0,5 0,38 1,5 0,87 2,5 0,997 0,6 0,45 1,6 0,89 2,6 0,9986 0,7 0,51 1,7 0,91 2,7 0,9993 0,8 0,57 1,8 0,93 2,8 0,9997 0,9 0,63 1,9 0,94 2,9 0,99998

1.8. Определение доверительного интервала

чем н

ний. я

и доверительной вероятности Ранее нами было рассмотрено определение доверительной вероятно-

сти для отдельного измерения Xi с помощью табл. 1.1, то есть определение вероятности того, что Xi не будет отклоняться от истинного значения более

а величину ∆X. Однако, наиболее важной задачей является определе-ние величины отклонения от истинного значения Xист среднего арифмети-ческого <X> результатов измере Для решени поставленной задачи также можно воспользоваться табл. 1.1, взяв, вместо величины σ величину σ<X>, то есть у n или с учетом (1.14), для конечного числа измерений

( )2

1

n

in i

n X

X XSS =

−=

∑. (1.17) ( 1)n nn

=⋅ −

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического n XS равна средней квадратичной ошибке отдельного результата, деленой на корень квадратный из числа измерений.

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте наблю-дений. Из него следует, что для повышения точности измерений в 2 раза

15

необходимо увеличить число измерений в 4 раза. Однако этот вывод отно-яситс только к измерениям, в которых точность результата полностью оп-

редел

величина

яется случайной ошибкой. Обычно выполняется сравнительно небольшое число измерений n

для которых определяется n XS . Если при оценке вероя

доверительной тности считать, что значение n XS совпадает с у X и пользоваться

табл. 1.1, то будем получать завышенные значения α. Из того, что Xσ яв-ляется пределом n XS при n → ∞, следует, что n XS пропорциональна

величине Xσ . Коэффициент пропорциональности зависит от числа изме-рений и отражает степень приближения n XS к Xσ . На основании этого интервал ∆X можно представить в виде

бnX n XX t S . (1.18) ∆ = ε ⋅σ = ⋅

ля различных значений n и α и приведены в табл. 1.2. Сравн

Значения величины tαn, носящей название коэффициента Стьюден-та, вычислены д

ивая приведенные в ней данные с данными табл. 1.1, легко убедить-ся, что при больших n величина tαn стремится к соответствующим значени-ям величины ε. Это естественно, так как с увеличением n n XS стремится к

Xσ . Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем перепис

ство (1.14) в виде ать равен-

n nn n

S SP⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

уя ь э

x tn nα α

⎛ ⎞ ⎞− ⋅ < ⋅ = α⎟⎜ ⎟ ⎟⎝

. (1.19)

Польз т отношением аб 2 о е ь довери-тельные интервалы о т ы ро с ри б ебольшом числе измерений. После выполнения ер й д н т естны все величины, вх ящи э ыр н одни и х ут ь наперед заданы, други нео пр ли

Мерой чно е та измерен является но ельная по-грешность (ошибка ы выражаемая в оц х (%):

X x t⎛< +⎜⎠ ⎝ ⎠

с им со и т л. 1.о

, легк опр делит и д вери ельн е ве ятн ти п лю ом н

изм ени олж ы бы ь извод е в то в аже ие – з ни мог быте бходимо о еде ть. то сти р зуль тов ий от сит

), об чно пр ента

1x 00 %x

δ ∆= ⋅ . (1.20)

Величину ϕ = 1/δ, о н от ит о гр ос называют точно-стью измерений.

Используя таблицу ф ие в С д , но ить и об-ратную зада по е й ол о огр но измерительного прибора и за но и е еж ти ед ть бх мое число измерений в ии.

брат ую нос ельн й по ешн ти

коэ фиц нто тью ента мож решчу: изв стно абс ютн й п еш сти дан й вел чин над нос опр ели нео одисер

16

Таблица 1.2 л ко иц то ью а

Н но α

Таб ица эфф иен в Ст дент

адеж сть, Число изме-рен 999 ий 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,

2 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 62,7 53,7 3 1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 9,9 31,6 4 0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 5,8 12,9 5 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 4,6 8,6 6 0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 4,0 6,9 7 0,91 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 3,7 6,0 8 0,9 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 3,5 5,4 9 0,89 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 3,4 5,0 1 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8 3,3 4,8 0 11 0,88 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,2 4,6 12 0,88 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,5 13 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,1 4,3 14 0,87 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 3,0 4,2 15 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 3,0 4,1 16 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 3,0 4,1 17 0,87 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 4,0 18 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 4,0 19 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,6 2,9 3,9 20 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,9 ∞ 0,84 1,0 1,3 1,6 2,0 2,3 2,6 3,3

1.9. Оценка точности косвенных ерений

льтатам измерений других величин y и z, то X = f(y, z). Тогда о

)

измЕсли Х определяется посредством не прямого измерения, а косвенно-

го, то есть по резу среднее значение при оценке X равн

( ,X f y z< >= < > < > , (1.21) косвенного измере-где <y> и <z> находятся по формуле (1.12). Ошибка

ния величины X находится по формуле (1.8) (или (1.9)), только в качестве ∆y и ∆z стоят ошибки прямых измерений величин y и z, а значения частных производных f

y∂∂ и f

z∂

Часто удобно выражать точность, с которой найдено X, через отно-сите

∂ берутся при значениях y = <y>, z = <z>.

льную погрешность δ. По определению

,XX

∆δ = (1.22)

17

где дя из определения относи-тельной погрешности, результат изме ний величины Х можно записать в виде

<X> рассчитана по формуле (1.12). Исхоре

( )1X X= ⋅ ± δ . Рассмот степенной

функрим практически важный случай, когда Х является

цией y и z: ( , ) m nX f y z y z= = ⋅ ,

1 1, m n m nf fm y z n y zy z

− −∂ ∂= ⋅

∂ ∂где показатели степени m и n могут быть целыми или дробными, больше или меньше нуля.

⋅ = ⋅ ⋅ ,

Относительная погрешность равна2 2 2 2

y zX m n

X∆

δ = = δ + δ . (1.23)

Из соотношения (1.2 од: при измерениях необ- в рас-

четную формулу с наибо елем степени. иведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей ре-

зультата косвенного измерения величины Х. 1. Пусть Х = А + В, а предельные абсолютные погрешности прямого

изме

3) следует важный вывходимо наиболее точно определить значения величины, входящей

льшим по модулю показатПр

рения величин А и В соответственно равны ∆А и ∆В. Тогда Х ± ∆Х = (А ± ∆А) + (В ± ∆В).

Наиболее неблагоприятный случай тот, когда ∆А и ∆В будут одинако-вы по знаку, тогда предельная абсолютная погрешность результата

±∆Х = ∆А + ∆В, а предельная относительная погрешность

X X A BX A B A B+ +

2. Пусть Х =Х А.

Полагая ∆А и ∆В малыми, получаем

∆ ∆ ∆ + ∆= = .

А⋅В, тогда ± ∆Х = (А ± ∆А)⋅(В ± ∆В) = А⋅В ± А⋅∆В ± В⋅∆

X X A BX A B A B

∆ ∆ ∆ ∆= = +

⋅ .

3. Пусть Х=Аn. Тогда

...n раз

Х А А А А= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Предельная относительная

погрешность равна X A n

X A∆ ∆ A

A∆

= = ⋅∑ ,

а предельная абсолютная погрешность

18

1nX −X X n A AX

∆∆ = ⋅ = ⋅ ∆ .

4. Пуст гда X ± ∆Х = sin(α ± ∆α).

Положим, что ∆ В этом случае sin ∆α ≈ ∆α. Следовательно, +∆Х = sin α + ∆α ·co α

и тогда

ь Х = sinα. То

α мало. Х s

ctgsin

X XX

∆ ∆= = ∆α ⋅ α

α .

В табл. 1.3 приведены формулы расчета относительных предельных погрешностей физи величин, выражаемых наиболее употребитель-ными функциям в расчетные формулы входят константы, напри-мер, число π, физи постоянные, табличные данные, то они берутся с такой точность число значащих цифр в них было на единицу больше, чем чис ащих цифр в значениях величин. Тогда константы практически не вносят погрешностей в результат измерений.

Таблица 1.3

ческихи. Если ческие

ю, чтобыло знач измеряемых

Формулы расчета относительных предельных погрешностей физических величин

Вид функции Предельная относительная погрешность

X = A + B + C X A B C

X A B C∆ ∆ + ∆ + ∆

=+ +

X = A – B X A B

X A B∆ ∆ + ∆

= −

X = A⋅B⋅C… ...X A B CX A B C

∆ ∆ ∆ ∆= + + +

X = An X AnX A

∆ ∆= ⋅

n AX = 1X A

X n A∆ ∆

= ⋅

BX =

A X A BA BX

∆ ∆ ∆= +

X = sin α ctgXX

∆= ∆α ⋅ α

X = cos α tgXX

∆= ∆α ⋅ α

X = tg α 2cos2

XX

∆ ⋅ ∆α=

α

X = ctg α 2Xsin 2X

∆ ⋅ ∆α=

α

19

1.10. Учет систематической и случайной ошибок Измерения следует организовать так, чтобы погрешность результата

целиком определялась систематической ошибкой измерений, которая обычно задается погрешностью измерительного прибора. Для этого реко-мендуется провести такое число измерений, чтобы случайная ошибка ре-зультата была незначительна по сравнению с систематической ошибкой.

Однако не всегда можно осуществить необходимое число измере-ний. Тогда приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная ошибки измерений близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае трудно дать дос-таточно строгое определение суммарной ошибки измерен й. Оценку пол-ной погрешности ∆Х в этом случае дают по формуле

и

2 2случ сист( ) ( )X Х Х∆ = ∆ + ∆ (1.24)

и результат измерений записывают в виде X X X=< > ±∆ , (1.25)

где <Х> и ∆Х определяют соотношениями (1.12) и (1.24). Из анализа формулы (1.24) вытекает, что бессмысленно добиваться

такого результата, при котором случ систX X∆ << ∆ . Необходимое число изме-рений n можно определить из условия случ систX X∆ ≤ ∆ и почти всегда доста-

но взять n ≤ 10. Опыточ т показывает, что в учебной лаборатории число из-мерений физических величин обычно равно 3–5.

1.11. Правила вычисления погрешностей

Точность обработки численных результатов измерений должна быть ласована с точностью, с которой они проводились. Вычисления, прове-ные с большим числом десятичных знаков, чем это необходимо, тре-

согденбуют

всех случаях нужно приде

ние числового

лишней затраты труда и создают ложное впечатление о большой точности измерений. В то же время не следует ухудшать результаты изме-рений, пользуясь грубыми методами вычисления. Во

рживаться следующего правила. Ошибка, получающаяся в результате вычислений, должна быть при-

мерно на порядок меньше суммарной ошибки измерений. В этом случае можно быть уверенным в том, что в результате арифметических операций мы ощутимым образом не исказим нашего результата.

Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя. Погрешность измеренияуказывает, какие цифры являются сомнительными в числовом значении измеренной величины. Так как точность определения физической величи-ны определяется измерением, а не вычислением, то округле

20

результата измерения проводится до цифры того же порядка, что и значе-е погрешности. ни

ду

2. Ес

ичивается на единицу.

ся без изменений, если она четная, и увеличива-

авлении окончательных результатов физических измере-

ум-

чисоммеокрше

дов сомнительных цифр всех с

найти са-мы

бо сохранить один, сле-ду

исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. Поэтому при умножении и делении чисел: a) представляют и оит после первой

ци цифры умножают на множитель десять в соот-

количество зна-

они содержали такое ко-личество значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим ко-личеством (иногда берут для верности еще по одной запасной цифре);

При округлении результатов измерений необходимо помнить сле-ющие правила приближенных вычислений.

1. Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дро-бей отбрасываются. ли заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда

меньше 5, то остающиеся цифры не меняются, если указанная цифра больше 5, то последняя остающаяся цифра увел

3. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5 (с последую-щими нулями), то округление производится так: последняя цифра в ок-ругленном числе остаетется на единицу, если она нечетная.

При предстний часто применяют запись числовых значений в виде десятичной дроби,

ноженной на необходимую степень – число десять. Имея результаты измерений, можно определить верные, сомнитель

ные и неверные цифры. Если погрешность содержит в себе десятки, то сло десятков будет сомнительным. К значащим относятся все верные и нительные цифры; к незначащим – нули в начале десятичных дробей, ньших 1; нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после угления; неверные цифры, если они по каким–то причинам не отбро-ны.

1. При сложении и вычитании разряд сомнительной цифры алгеб-раической суммы совпадает со старшим из разря

лагаемых. Поэтому при сложении чисел необходимо: a) у всех слагаемых определить разряды сомнительных цифр и

й старший из них; b) все слагаемые округлить до этого разряда, ли

ющий за сомнительным (запасная цифра); c) произвести сложение, причем сомнительная цифра совпадает со стар-

шим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых. 2. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр,

сколько их в

сходные числа в виде, когда запятая стфры, а все значащие

ветствующей степени; b) из всех исходных чисел находят число, где наименьшее

чащих цифр; c) все исходные числа округляют так, чтобы все

21

d) производят действия над цифрами, получившимися после округления, не обращая внимания на запятую и множитель десять в некоторой сте-пени; в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим их количеством; производят операции с умноже-

пени; записы-

3. При возведении в степень при записи результата оставляют

результат должен иметь

сто ц полученное числовое выраже-

ли слении используют как экспериментальные, так и табличные данные, сомнительную цифру можно не сохранять.

нием (делением) коэффициентов десять в некоторой стевают результат.

столько значащих цифр, сколько их в основании.

4. При извлечении корня любой степенистолько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении.

5. При логарифмировании чисел в мантиссе логарифма оставляют лько значащих ифр, сколько их в этом числе.

Обычно в экспериментальных данныхние всегда содержит сомнительную цифру, а в выражениях, взятых из таб-ц, все цифры верные. Поэтому, если при вычи

1.12. Порядок выполнения расчетов

Прямые измерения 1. Вычисляется среднее арифметическое значение

1i

i

1 n

X Xn =

< >= ∑ .

Вычисляется средняя квадратичная ошибка 2.

( )2

1

1

ii

n

X XS

n=

−=

−

∑.

На основании значений Sn исключают грубые ошибки. Вычисляется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

n

3.

( )2n

X X−∑1

( 1)

ii

n XSn n

=< > =

⋅ −.

4. Задается доверительная вероятность α, определяется коэффициент Стьюдента tαn и находится интервал tαn·Sn<X>.

интервал б , сист

3t X∞∆5. Определяется систематическая ошибка и находится .

нтКоэффицие ,tα ∞ определяет о таб для заданной в те 4 до-верительной вероятности, но при n = ∞. Если значения случайно и

ся п л. 1.2 пунк

6. й систематической ошибок сравнимы, довери-тельный интервал рассчитывается по формуле:

22

( )22 2 2сист 3n n XX t S k Xα∆ = + ∆ .

7. Если систематической ошибкой можно пренебречь, то n n XX t Sα∆ = ⋅ , ес-ли

n<X> сист

2.

пренебречь случайной ошибкой, то ∆X = ∆Xсист, при этом α =1. 8. Рассчитывается относительная погрешность δ = ∆X / <Х>. 9. Окончательный результат представляется в виде

Х = <Х> ± ∆X, α =…, δ =… или в виде <X> =…, S =…, ∆X =…, n =… Если не известно рас-пределение ошибок, то используется вторая форма записи.

Косвенные измерения

1. Результаты прямых измерений всех величин, входящих в расчетную формулу, обрабатываются по схеме, изложенной в разделе «Прямые из-мерения». При этом для всех величин задается одно и то же значение доверительной вероятности, и находятся доверительные интервалы ∆a, ∆b,… Рассчитывается среднее значение <X> = f(<a>, <b>, <c>, …).

3. Находится выражение для ошибки искомой величины с использованием расчетной формулы X = f(a ,b, c, …) и формулы

2 2 2

...f f fX a b ca b c

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ∆ + ∆ + ∆ +⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

4.

.

Рассчитывается значение абсолютной ошибки ∆X. Находится выражение для относительной ошибки δ = d ⋅ ln X (a, b, c, …). Расчет по полученной формуле может оказаться точнее, чем по формуле X

Xδ ∆

= .

Записываете окончательный результат в виде Х=<X>±∆X, α=…, δ=… 5.

23

Глава 2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ЗАПИСИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Запись результатов эксперимента

Все записи, касающиеся выполнения лабораторных работ, желатель-но вести в специальной тетради. Не рекомендуется вести записи на от-дельных листочках. Крайне нежелательно исправлять одну запись на дру-гую. Лучше зачеркнуть неверные цифры и рядом записать правильный результат.

Все результаты следует записывать немедленно и без какой–либо обработки. Из этого правила нет исключений.

Старайтесь всегда записывать результаты измерений в виде таблиц. Такая запись компактнее и проще для чтения. При оформлении таблиц же-лательно придерживаться следующих положений. • В правой части страницы пишут слово “Таблица” и ее номер арабскими

цифрами, если таблиц в тексте больше одной. Если имеется одна табли-ца,

вку (в верхнем левом ряду), заголовки и подзаголовки граф, заголов-ки

ется деление головки косой чертой. • Ед

я в заголовке гра-фы

й десятичный множитель, что-вале от 1 до 10. Если десятич-нных графы или строки, то он

или строки. Рекомендуется пользоваться сле е физической величины ставят

рения, например, плотность

то ее не номеруют и слово “Таблица” не пишут. Затем записывается заголовок таблицы, если он имеется.

• Таблица содержит: графы (колонки), строки (горизонтальные ряды), го-ло

строк. В качестве заголовка графы можно использовать название фи-зических величин или их буквенное обозначение. Допускается нумерация граф. Не допускаиница измерения, общая для всех данных, приведенных в таблице,

указывается в заголовке таблицы. Если единица измерения одинакова для всех данных графы или строки, то она указываетс

или строки соответственно и не повторяется при каждом значении. • Цифры в графах таблицы располагаются так, чтобы классы чисел во

всех графах были один под другим. Ставить кавычки вместо повто-ряющихся цифр, знаков, символов не допускается. Если данные в графе не приводят, то ставят прочерк.

• Если значение величины меньше 0,1 или больше 100, то для удобства следует придать единице измерения такобы записываемые значения были в интерный множитель одинаковый для всех даприводится в заголовке графы

дующим способом, при котором послзапятую и указывают единицу измеρ, 103 кг/м3.

24

25

ри этом прямоугольной системой координат. Принято на горизонтальной оси откладывать независимую перемен-

ную (аргумент), значение которой задает сам экспериментатор, а по верти-кальной оси – зависимую переменную (функцию), которую определяет. Другими словами, по горизонтали откладывается причина, а по вертикали – следствие.

На координатные оси наносится масштаб в виде делительных штри-хов, которые откладываются внутри графика. Масштаб должен быть про-стым, но таким, чтобы экспериментальные точки не сливались друг с дру-гом.

Как и в случае таблиц, десятичный множитель удобнее отнести к единице измерения. Тогда как деления на графике можно помечать цифра-ми 1, 2, 3, … или 10, 20, 30, …

Обозначение величин, откладываемых на осях, следует указывать одним из следующих способов: символом (L, T, J), наименованием (темпе-ратура, ток), математическим выражением (lgT1/T2, R/r).

На графиках со шкалой следует размещать обозначения у середины шкалы с ее внешней стороны, а при объединении символа с обозначением единицы измерения – в конце шкалы после последнего числа. При этом сначала записывается обозначение величины, затем ставится запятая и за-писывается единица измерения (рис. 2.1). На графиках без шкалы обозна-чения величины размещаются вблизи стрелки и у конца оси (рис. 1.1). Обозначения в виде символов и математи-ческих выражений следует располагать го-ризонтально, в виде наименования – па-раллельно соответствующей оси.

Следует иметь в виду, что пересече-ние координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями.

Экспериментальные данные следует отмечать на графике кружками, диаметр которых указывает на ошибки измерения в принятом масштабе. Ошибку в экспе-

2.2. Графическое представление результатов эксперимента Во многих случаях экспериментального изучения различных физи-

ческих явлений целесообразно представить полученные зависимости в ви-де графика.

Графики используются для разных целей: для определения некото-рых величин – обычно угол наклона или отрезок, отсекаемый на оси орди-нат прямой, изображающей зависимость между двумя переменными; для наглядности; для градуировки приборов.

При построении графиков необходимо соблюдать определенные требования. Графики, как правило, строят на миллиметровой бумаге, поль-зуясь п

Рис. 2.1

риментальном зом: . Через экспери лучшую» плавную

ривую. Обратите внимание на слово «плавную». Не надо соединять точки ломан

в, минимумов и точек перегибов следует производить измерения значи

значении можно указать еще следующим обраментальные точки проводят «наи

кой кривой. В областях, где ход кривой монотонный, можно ограни-

читься небольшим числом измерений (несколько точек). В областях мак-симумо

тельно чаще, но так, чтобы расстояние между точками было не меньше ошибки измерения.

На одном графике можно изображать несколько кривых. В этом слу-чае точки, относящиеся к разным сериям, удобно обозначать разными зна-ками.

26

Глава 3. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Механика (от греч. mechanike – искусство построения машин) – нау-ка о механическом движении материальных тел и взаимодействиях между ними.

Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве.

деж kinematos – дви-метрические свойства

сил.

Кинематика (от греч. kinema, родительный пажение) – раздел механики, в котором изучаются геодвижения тел без учета их массы и действующих на них Материальная точка – тело, форма и размеры которого несуществен-ны в условиях данной задачи. Абсолютно твердое тело – тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь и расстояние между любыми двумя точками этого тела остается постоянным.

Различают два вида движения – поступательное и вращательное. Поступательное д иж ие – это движение, при котором любая прямая, в ен

жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений.

Движение тел происходит в пространстве и во времени, поэтом движение материальной

у точки будет описано полностью, если известно ее

положение в любой момент времени о

чкта –

координат и часоных с

е

о ко

тносительно другого, произвольно отсчета. Связанная с ним произ-выбранного тела, называемого точкой

вольная система координат называется системой отсчета положения мате-риальной то и.

Система отсче совокупность системы в, связан-

телом отсчета. В декартовой системе координат,

используемой наиболе часто, положение точки А (рис. 3.1) в данный момент вре-мени по отношению к эт й системе ха-рактеризуется тремя ординатами x , y , и z или радиусом–вектором 0r ,

из начала отсчета в данную точксвод

прове-денным

ится к нахождению трех координат x ,

27

Рис. 3.1

у. Полное описание движения y , z как функции от времени t :

)(txx = , )(tyy = , ).(tzz = (3.1) Уравнения (3.1) называются кинематическими уравнениями движения точки. Они эквивалентны одному векторному уравнению движения точки:

r )(tr= . (3.2) Траектория – линия, описыва

емая движущейся материальной точкой

(или

может ь прямоли-нейным или криволинейным.

телом) относительно выбранной системы отсчета. Уравнение траек-тории можно получить, исключив из уравнений (3.1) и (3.2) параметр t.

В зависимости от формы траектории движение быт

Длина пути – скалярная функция времени, равная алгебраической сумме длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматри-ваемый промежуток времени ∆s.

Перемещение (вектор перемещения) – 0r r r∆ = − – вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент време Рис. 3.2 ни (то есть приращение радиуса–вектора точ-ки за рассматриваемый промежуток времени).

Различие между r∆ и S∆ исчезает в двух случаях – когда движение происходит вдоль прямой в одном направлении или когда перемещение материальной точки бесконечно мало (рис. 3.2). Во всех других случаях

Sr . Для характеристики быстроты изменения положения тела напр

∆<∆

и ав-ления движения в данный момент времени скоро

вводится векторная величина – сть. Скорость – это векторная физическая величина, которая определяет

быстроту движения и его направление в данный момент времени. Если за промежуток времени t∆ точка совершит перемещение r∆

(рис. 3.3), то величина tr ∆∆=v (3.3)

называется средней скоростью движения за промежуток времени . На-правление

t∆v совпадает с направлением r∆ . Если в выражении (3.3) пе-

рейти у к пределу при 0→∆ , то пол чаем выражение для мгновенной скоро-сти

t

dttt

rdr∆=

∆=

→0limv . (3.4)

Так как cекущая r∆ (рис. 3.3) в пре-деле совпадает с касательной, то вектор мгновенной скорости v направлен по каса-тельной к траектории в сторону движения. С уменьшением ∆t будет прибли-путь S∆

28

Рис. 3.3

r∆жаться к величине , поэтому числовое значение мгновенной скорости

dtdS

tS

tr ∆∆

tt=

∆=

∆==

→∆→∆ 00limlimvv . (3.5)

В движения, когда числовое значение мгно-венной скорости с м времени меняется, пользуются скалярной ве-

иной

случае неравномерного течение

лич v – с на данном стке

редней скоростью неравномерного движенияуча

v St

∆= ∆ . (3.6) Легко видеть, что vv > , так как в обще rS ∆>∆ м случае и только

учае прямолив сл нейного движения S r∆ = ∆ . Длина пути, пройденного точкой за время t∆ находится путем ин-

тегрирования выражения (3.5) по времени в пределах от t до tt ∆+ :

∫∆+

.7) =tt

vdtS . (3t

Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости не изменяется с течением времени ( v = const), в этом случае выражение (3.7) принимает

t. (3.8)

вид t

tdtS ∆== ∫∆+

vvt

Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движе-ние н ием времени, то азывается ускоренным, если же он убывает с течендвижение называется замедленным.

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изме-нения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорение в интервале времени t∆ – векторная величина, равная отношению изменения скорости v∆ к интервалу времени : t∆

va t∆= ∆ . (3.9)

Мгновенное ускорение материальной точки – векторная величина, равная первой производной по времени скорости расс чки матриваемой то(второй производной по времени от радиуса–вектора этой же точки):

2

20lim

ta v r

t dt dt∆ →

v dv d r∆ ′ ′′= = = = =∆

. (3.10)

В общем случае плоского криволинейного движения вектор ускоре-ния удобно представить в виде суммы двух проекций – нормальной и тан-генциальной:

na a aτ= + .

29

Тангенциальное ускорение aτ характеризует быстроту изменения скорости по модулю, его величина:

dva dtτ = . Нормальное (центростремительное) ускорение na направлено по

нормали к траектории актеризует быстроту к центру ее кривизны и харизменения направления вектора скорости точки. Величина нормального ус-корения an свя ичиной радиу-зана со скоростью v движения по кругу и велса траектории R:

2n

ndv vad Rt

= = .

Величина (модуль) полного ускорения определяется так: 2 2na a aτ= + .

Рассмотрим случаи: 1) – прямоли ижение – ; 0, 0na aτ = = 0a =нейное равномерное дв

2) , 0na a const aτ = = = – прямолинейное равнопеременное (равноуско-ренное) движение;

3) 20, na a const v Rτ = = = – равномерное движение по окружности;

4) 0, 0na aτ ≠ ≠ – криволинейное равнопеременное движение. При описании вращательного движения обычно пользуются поляр-

ными координатами R и φ, где R – радиус – расстояние от полюса (центра враще иян ) до материальной точки, а φ – полярный угол (угол поворота). Элементарные повороты ( dϕ ) можно рассматривать как псевдовекторы.

Угловое перемещение dϕ – векторная величина, модуль которой ра-вен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступа-тельного движения правого винта.

Проводя аналогию с величинами, характеризующи и поступатель-мное движение, можно ввести понятия:

угловой скорости: 0

limt

dt dtϕ ϕω ϕ

→

∆ ′= = =∆

,

углового ускорения: 2d d

dt dω ϕ

2tε β ω ϕ′ ′′≡ = = = = .

Вектор ω направлен вдоль оси вращения, так же как и вектор ϕ , то есть по правилу правого винта. Век-тор ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора приращен овой скорости (при ускоренномия угл враще-нии вектор ε сонаправлен вектору ω , при замедленном – противонаправлен ему).

Рис. 3.4

30

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом (рис. 3.4):

ωϕϕ Rt

Rtt ttt

=∆

RS ∆=

∆∆

=∆

=→∆→∆→∆ 000

limlimlimv . (3.11)

Если движение по окружности равномерное, то его можно х

∆

аракте-

ризов

ать периодом вращения T – временем, за которое материальная точка

совершает один полный оборот, то есть поворачивается на угол π2 . Так

как промежутку времени Tt =∆ соответствует угол πϕ 2=∆ , то Tπω 2= ,

откуда ωπ2=T .

Частота вращения n – число полных оборотов совершаемых точкой

при равномерном ее движении по окружности, в единицу времени:

,

)2(1 πω== Tn , откуда nπω 2= .

Лабораторная работа 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТ

н

И ПОЛЕТА ПУЛИ КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Цель работы

Изучение законов кинематики поступательного и вращательного движения твердого тела и определение на этой ос ове скорости полета пу-ли.

Содержание работы

Рассмотрим метод вращающих ля определения скорости ся дисков дполета пули. Лабораторная установка состоит из двух тонких бумажных дисков 1 2, закрепленных на общей оси н и а некотором расстоянии друг от друг . Ось приводится во вращение электродвигателем. а

При выстреле по неподвижным дискам (рис. 3.5) пробоины А0 и A1 лежат одна против другой. При выстреле по вращающимся дискам линия ОА2 пробоины А2 будет смещена относительно линии ОА0 на некоторый угол ϕ :

,tϕ = ω (3.12) где ω – угловая скорость вращения дисков.

Движение пули вне ствола является неравномерным, так как на нее действует сила сопротивления среды и сила тяжести. Скорость пули nv изменяется по модулю и направлению. Если выбрать расстояние , прой-S

31

nv денное пулей, не очень большим, то изменение скорости на протяжении S становится пренебрежимо малым ние пули можно считать рав-и движеномерным йдена. Тогда скорость полета пули может быть на из условия, что время t, за которое пуля пролетает расстояние S между дисками

п

St v⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

, должно совпадать со временем, за которое диски повернутся на

угол ϕ ( )t ϕ= ω . Приравняв оба значения времени, получим

nSv ω⋅

=ϕ

. (3.13)

Угол φ (выраженный в радианах) равен отношению длины дуги

1 2l A A= к радиусу 1r OA= , то есть lrϕ = , а угловая скорость 2 nω = π⋅ , где

n – частота вращения дисков. Подставив значения φ и ω в формулу (3.13), получим окончательное

выражение для скорости пули: 2

nvl

n S rπ ⋅ ⋅ ⋅ ) = . (3.14

Если частота вращения дисков не очень велика, то смешение про-боины 2 относительно 1 мало. В этом случае измерение дуги 1 2l A A= А Амо но приближенно заменить измерением хорды ж 1 2A A .

Частота вращения дисков n находится стробоскопическим методом. В основу этого метода положено освещение стробоскопического диска от-дельными короткими вспышками, следующими через равные промежутки времени. Стробоскопический диск 3 (рис. 3.5) представляет собой белый круг с нанесенной на него черной точкой, закрепленный на свободном конце вала электродвигателя.

Если частота оборотов стробоскопического диска равна частоте вспышек импульсной лампы, то на стробоскопическом диске видно непод-вижное изображение точки. Та же самая картина будет наблюдаться и в том случае, когда число оборотов диска в целое число k раз будет больше частоты вспышек импульсной лампы. Определив частоту вспышек им-пульсной лампы, и по шкале стробоскопа, и кратность повторения k, мож-но найти частоту вращения стробоскопического диска в единицу времени:

.n kν= ⋅ (3.15) Экспериментально это делается так: подбирается частота вспышек

импульсной лампы 1ν такая, чтобы на стробоскопическом диске была вид-

на о ав а 1kνдна неподвижная точка. Тогда искомая частота вращения р н . После этого изменением частоты стробоскопа находится ближайшая (меньшая) частота вспышек импульсной лампы 2ν , при которой снова на-блюдается неподвижное изображение одной точки стробоскопического

32

диска. Рассуждая аналогично изложенному выше, искомую частоту вра-щен исать как )ия можно зап 2 ( 1kν + .

Приравнивая 1 2 ( 1)k k ,ν= + можно найти ν 2 1 2/( ).k ν ν ν= − Подставив k в формулу (3.15), получим

1 2 ,n ν

1 2

νν ν

⋅=

− (3.16)

где 1ν и 2ν соответствуют двум соседним показателям частоты импульсной лампы, при которых получаются неподвижные изображения одной точки стробоскопического диска. Частоту вращения n следует брать всегда со знаком "+".

Описание лабораторной установки

Измерения производятся на установке, принципиальная схема кото-рой приведена на рис 3.5.

Рис. 3.5

Установка состоит из двух бумажных дисков 1 и 2, насаженных на металлический вал так, взаимно параллель-чтобы плоскости дисков былины и находились на рас н д о г ки приводятся во вра-стоя ии S руг т дру а. Дисщение электродвигателем 4, расположенным на одной оси с валом. Для измерения скорости враще ся стробоскопический та-ния дисков используетхометр (стробоскоп). Он состоит из мультивибратора с изменяемой часто-той, блока питания и стробоскопной (импульсной) лампы. Частоту вспы-шек импульсной лампы можно изменять в широком интервале.

В работе используется пневматическое ружье, ось ствола которого расположена параллельно оси вращения вала и смещена относительно нее на расстояние r.

ВНИМАНИЕ!!! Во избежание порезов ни в коем случае не касайтесь вращающихся дисков.

Порядок выполнения работы и обработки результатов измерений

1. Ознакомьтесь с установкой и порядком ее включения.

33

2. Тумблер "сеть" строботахометра поставьте в положение “Вкл.” и дай-те прогреться прибору в течение 2–3 мин.

3. Тумблер "лампа" поставьте в положение "Вкл." Лампа начнет мигать с частотой, указанной на одной из трех шкал визирной линейки стробо-скопа. На какой из трех шкал следует искать частоту вспышек, можно определить по соответствию цвета точки в начале и цвета кружочка с цифрой, на которую указывает переключатель диапазона. Если цифра не равна 1, то полученное по шкале значение частоты следует умно-жить на эту цифру, а также на коэффициент, указанный в начале шка-лы.

4. Ориентировочно выставьте частоту вспышек лампы около 3000 мин–1. 5. В присутствии лаборанта или преподавателя включите электромотор. 6. Плавно изменяя частоту вспышек, найдите такое ее значение 1ν , когда

точка на вращающемся стробоскопическом диске будет . неподвижнойЗапишите частоту 1ν .

7. Уменьшите частоту вспышек скачком в два раза; для этого достаточно повернуть переключатель диапазонов на один шаг против часовой стрелки. Плавной подстройкой снова добейтесь, чтобы точка на стро-боскопическом диске была неподвижной. Запишите частоту 2ν .

8. Выключите электромотор. 9. Выключите на строботахометре тумблеры "лампа" и "сеть". 10. Установите расстояние S между бумажными дисками 150 мм. 11. Просмотрите диски и пометьте на них все пробоины от предыдущих

выстрелов. 12. Зарядите ружье. 13. Включите электромотор и произведите выстрел. 14. Выключите электромотор. 15. Через отверстие от пули А0 в диске 1 вставьте в ствол ружья шомпол. 16. Пододвинув диск 2 к диску 1, заостренным концом шомпола сделайте

пробоину A1 на диске 2. Выньте шомпол. 17. При помощи миллиметровой линейки измерьте расстояние между

центрами двух пробоин на диске 2, что соответствует хорде A1A2. 18. Измерьте при помощи миллиметровой линейки расстояние х от центра

пробоины А1 до окружности вала и диаметр вала d с помощью штан-генциркуля. Расстояние r от центра пробоины до оси вращения будет равно: r = х + d/2.

19. Повторите измерения при S = 150 мм и проведите два опыта при S = 300 мм.

20. Результаты измерений занесите в таблицы 3.1 и 3.2. 21. По формуле (3.16) определите частоту вращения дисков n. 22. Вычислите по формуле (3.14) скорость пули для каждого опыта. 23. Определите среднее значение скорости пули < v >.

34

Таблица 3.1

Частота вспышек 1ν , мин–1

2ν , мин–1 n, c–1 D, м

Таблица 3.2

S, м l, м x, м r, м v, м/с

Контрольные вопросы

1. Чем определяется точность эксперимента в методе вращающихся дисков? 2. Как зависит точность результатов oт скорости пули, от скорости вращения дисков,

от толщины бумаги, от расстояния между дисками? Укажите способы эксперимен-тальной проверки влияния всех этих факторов.

3. Что называется траекторией, длиной пути и перемещением материальной точки при ее движении?

4. Что называется скоростью движения материальной точки? Как направлен вектор скорости?

5. Как, зная значение скорости в каждый момент времени, вычислить путь, проходи-мый материальной точкой с момента времени t до момента t+∆t?

6. Что называется угловой скоростью вращения тела? Как направлен вектор угловой скорости? Единицы измерения угловой скорости?

7. Как связаны между собой угловая скорость, период и частота при равномерном вращении тела?

8. Какова связь между векторами угловой и линейной скоростей точек, движущихся по окружности?

9. Как в данной работе определяется скорость полета пули?

35

Г

ижение. Изменение движения тел или изме

ит его изменить это состояние.

ли равномерного прямолинейного движения. Масса – скалярная физическ величин

зическая величина, являющаяся мерой механиче-ского воздействия тел или пол начение

н ению массы тела на его скоро

динамики поступательного ульса тела равна дейст-

лава 4. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела

Динамика изучает законы движения физических тел и причины, вы-зывающие или изменяющие это дв

нение их формы происходит в результате взаимодействия по меньшей мере двух тел.

В основе динамики лежат три фундаментальных закона Ньютона. Первый закон Ньютона (закон инерции): всякое тело находится в со-

стоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздей-ствие со стороны других тел не застав

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, на-зываются инерциальными, в которых он не выполняется – неинерциальны-ми.

Инерция (инертность) – свойство материальных тел сохранять со-стояние покоя и

ая а, являющаяся количественной го тела (материальной точки) характеристикой (мерой) инертности твердо

при поступательном движении. Следует отметить, что покоящееся тело также обладает массой.

Взаимодействие тел приводит к появлению ускорений. Количествен-ной мерой такого взаимодействия является сила.

Сила – векторная фи на материальную точку или тело со стороны других

ей. Сила полностью задана, если указаны ее численное з(модуль), направление и точка приложения.

Импульс силы – векторная физическая величина, равная произведению вектора силы на интервал времени ее действия.

Импульс тела (ранее применялся термин количество движения) – векторная физическая величи а, равная произвед

сть. Второй закон Ньютона (основной закон

движения твердого тела): скорость изменения импвующей на тело силе.

d p Fdt

= . (4.1а)

В выражени ромежуток времени, по-зволя ита ь о, постоянными.

а с

и (4.1а) dt – бесконечно малый пющий сч т все силы, действующие на телСуществует и другая формулировк второго закона Ньютона: произ-

ведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело иле.

36

ma F= . (4.1б) Под силой F , стоящей в правых частях выражений (4.1а) и (4.1б) по-

нимается равнодействующая всех сил, действующих на тело (то есть гео-метрическая сумма всех сил, действующих на тело).

Величина m носит название инерционной массы тела. Ускорение, приобретаемое телом, обратно пропорционально массе тела. Таким обра-зом, масса является мерой противодействияпод д

онное взаимодействие а яготения, установленного так-

а тела носит название гравитационной . В считать доказанным, что инерционная ы другу с точностью,

й. Т н ч якое действие матери-

ела, равны по величине, противоположны по направлению и дейщей эти

тела изменению его скорости ействием приложенной силы. Массу можно определить и через гравитаци

двух тел, н основании закона всемирного тже Ньютоном. Определенная таким образом масс

ящее время можномассы насто и гравитационная масс равны друг

не меньшей, чем 10–12 от их значениретий зако Ньютона устанавливает, то вс

альных тел друг на друга носит характер взаимодействия: силы, с которы-ми действуют друг на друга взаимодействующие т

ствуют вдоль прямой, соединяю- тела.

12 21F F= − . (4.2) Три закона Ньютона образуют завершен

4.2. Динамика вращательного

г

ную систему постулатов динамики – первый закон описывает поведение свободного тела (не подверженного действию со стороны других тел), второй закон устанавливает поведение тела под действием внешних сил, третий – указывает на обоюдный харак-тер взаимодействия тел.

движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения твердо о тела: ско-рость изменения момента импульса L тела, вращающегося вокруг непод-вижной точки, равна результирующему моменту M относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

MdtLd

= . (4.3)

Для отдельно взятой частицы (материаль-ной точки) А (рис. 4.1) моментом импульса Li относительно произвольно взятой точки O назы-вается векторное произведение радиуса–вектора r , проi веденного из этой точки к частице А, на ее импульс ip :

[ ]iii prL ,= .

37

Рис. 4.1

(4.4)

Вектор iL направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через вектора ir ip , и образует с ними правую тройку векторов (если смотреть из конца в начало вектора iL

и, то на плоскости, перпендикулярной данному

вектору происходит поворот по кратчайшему расстоянию вектора к век-irтору часовой

м импульс , в частности твердого з ая сумма моментов им-

ip против и (рис. 4.1)). Моменто а любой системы частиц

тела, относительно точки, на ывается геометрическпульсов частиц, входящих в систему:

стрелк

[ ]∑ ∑== iii prLL , . Векторное произведение радиус–вектора ir

(4.5) и

силы iF , приложенной к частице A, называется моме

Рис. 4.2

нтом iM лы iF относительно т чки O: си о

[ ]iii FrM ,= . (4.6) Векторы ir , iF и iM также, как и ir , pi и Li

образуют правую тройку (рис. 4.2). Векторная сумма моментов iM всех внешних сил, приложенных к

телу, называется результирующим (главным) моментом M внешних сил относительно точки O:

∑= iMM . (4.7) Если спроецировать все величины, входящие в уравнение (4.3) на

некоторое направление z, то получим соотношение

zz M

dtdL

= , (4.8)

согласно которому производная по времени момента импульса системы частиц относительно направления z равна сумме моментов внешних сил относительно этого же направления (за направление z часто принимают направление оси вращения).

Установлено, что zz JL ω= , (4.9)

где ∑= 2ii rmJ – сумма произведений масс материальных точек на квадра-

ты их до оси вращения (это величина называется моментом инерции

расстояний системы частиц относительно этой оси); iω – проекция угловой

скорости на эту же ось. С учетом (4.9) перепишем (4.8) в виде

( )zd JM zdt (4.10)

ω= .

38

В чсл -

ажным частным слу аем является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом учае величина момента инерции J при вращении остается постоянной и уравнение (4.10) принимает вид

zzz MJ

dtdJ == εω

, (4.11)

где εz – проекция углового ускорения на ось вращения. (4.11) , что проекция на неподвижную ось

угловогоУравнение показывает

вращения ускорения твердого тела прямо пропорциональна ре-зульти

Уравнение (4.11) по своему содержанию анало ично, поэтому его называют основ м

и роль силы играет момент силы, роль ускорения иг

относит

рующему моменту сил относительно той же оси. г второму закону

Ньютона z z= ны законом динамики те-ла, вращающегося вокруг неподвижной оси. Как видно, при вращательном движени

ma F

рает угловоеускорение, а роль массы – момент инерции.

Величина 2

1

N

i ii

J m R=

= ∑ – называется моментом инерции твердого тела

ельно оси. Физический смысл момента инерции твердого телаотносительно оси заключается в том, что он является мерой инертноститвердого тела при его вращении вокруг данной оси и характеризует рас-пределение масс тела относительно этой же оси.

Момент инерции является аддитивной величиной. Точно вычислитьмомент инерции можно, представив его как предел суммы бесконечно большого числа произведений малых элементов массы dm dVρ= на квад-рат их расстояний до оси

2 2

m V

J R dm R dVρ= =∫ ∫ .

Моменты инерции относительно различных осей тела необходимо знать при решении многих научных и технических проблем, наприсследов , изуче-нии показаний го прибора, определении ме-ханизмов, при роле пра ен объек-тов.

Вы у овать тот факт, что мо-мент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскос ич в инерций относительно любых о перпендикулярных осей, лежащих в фигуры и пересекающихся с ю, то есть

имер, при ании вращательного движения тела или его устойчивости

измерительно конт

степени износаия или укладки вильнос аспределти р

числения можно простить, если использ

ти, равен алгебрадвух других взаимн

еской сумме моментоплоскости

перпендикулярной ось z x yJ J J= + . Кр е тела сильно упрощается

при использовании еорем инерции тела относи-тельно р нерции Jc относительно оси, параллельной и масс тела, и произве-

оме этого, вычисл т

ние ии ы Штейнера: момент

момента инерц J

произвольной оси данной

авен сумме момента и проходящей через центр

39

дения м кв a между осями, то есть = +

ассы тела m на2ma .

адрат расстояния cJ JТа ение омента инер-ким образом, теорема Штейнера сводит вычисл м

ции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции отно-сительно оси, проходящей через центр масс тела.

Доказательство. Рассмотрим ось С, про-ходящую рез

Рис. 4.3

че центр масс тела, и параллельную ей ось О тсто С на р, о ящую от оси асстояние а (рис. 4.3: обе оси ику к и перпенд лярны плоскостчертежа).

Пу лярнысть iR – перпендику й к оси С век-тор, проведенный от к элементарной ассе оси м

∆mi; налогич ор, проведенный от iR′ –а ный ектв оси

О; – перпендик к осям ий соответствующие a улярный вектор, соединяющточки осе O и С. Для любой пары противолежащих чек этот вектор имеет й тоодинаковую величи в ую расст у осями, и одинаковое ну, ра н оянию а межднаправление. Меж имеется д введеннымиу векторами соотношение

i iR a R′ = + . Квадрат расстояния ассы ∆mi от оси С равен элементарной м

22i iR R= от оси О ( )22 2 2i i i

2iR a R a aR R′ = + = + + . С учетом последнего , а :

соотношения мо О можно представить мент инерции тела относительно осив виде

2 2 2 2i i i i i i iJ m R a m a m R m R′= ∆ = ∆ + + ∆∑ ∑ ∑ ∑∆ (4.12)

(здесь постоянные множители вынесены за знак суммы). Последнее сла-гаемое в этом выражении представляет собой момент инерции тела от-носительно оси С (Jc), сумма элементарных масс дает массу тела т, сумма

i im R∆∑ равна произведению массы тела m на вектор R , проведенный от оси С к центру масс тела и лежит на оси С, этот . Поскольку центр инерцивектор , а следовател .12) равны нулю. Та- R ьно, и второе слагаемое в (4ким о

енты инерции одно-родны ела

б ис-и не удается точно определить момент

ции многих тел определяют экспериментальныприведены моменты инерции некоторых однородных симметричных тел, наиболее часто встречающихся в задачах.

бразом, 2cJ J ma= + , что и требовалось доказать.

Аналитическим путем можно определить момх тел правильной геометрической формы. Так как реальные т

редко имеют простую форму и никогда не ывают однородными, вычлениям инерции, и моменты инер-

ми методами. В табл. 4.1

40

ТаблицМоменты инерции некоторых однородных симметричных тел

Тело Ось Момент инерции

а 4.1

Ось, перпендикулярная

плоскости кольца 2mRI = Тонкое кольцо ра-

диуса R и массы m Ось, лежащая в плоскости кольца

22

mRI = 1

Тонкий стержень длиной ℓ и массы m

Ось, перпендикулярная стержню

212

mI = 1

Ось, перпендикулярная плоскости диска

221I = mR

Тонкий д ск массы и

диска m и радиуса R Ось, лежащая в плоскости 2

41 mRI =

Цилиндр массы m и радиуса R

Ось осевой симметрилиндра

и ци- 21 mRI = 2

Тонкая сфера мас-сы m и радиуса R

Ось, проходящая через центр масс сферы

232 mRI =

Шар массы m и ра-диуса R

Ось, проходящая через центр масс шара

252 mRI =

Таблица 4.2

Физические величины, характеризующие поступательное вращательное Связь

движение движение

1 время – t

2 перемещение,

x угловое перемещение

ϕ x rϕ=

3 скорость

v

угловая скорость

x ′= ω ϕ′=v r

ω=

4 ускорение

a v x′ ′′= =

Угловое ускорение

ε ω ϕ′ ′′= = a rε=

5 масса момент инерции 2M

J R dm= ∫ m J 0

6 импульс

p mv mx′= =

момент импульса

L J Jω ϕ′= = ,L r p⎡ ⎤= ⎣ ⎦

7 сила

F ma mv mx′ ′′= = =

момент силы

M J J Jε ω ϕ′ ′′= = =,M r F⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Основной закон динамики твердого тела

8

1

Nd pi

iF F

dt =

= =∑ 1

Nd Li

iM M

=

= =∑dt–

41

В табл. 4.2 приведены физические величины, характеризующие по-ступательное движение твердого тела, и аналогичные величины, характе-ризующие вращательное движение твердого тела, а также выражения, свя-зывающие их между собой.

ческая работа

4.3. Законы сохранения

4.3.1. МеханиРабота – скалярная физическая величина, равная скалярному произ-

ведению действующей силы на перемещение, то есть A F s= . Тогда элементарная работа dA силы F на малом перемещении d s

равна: cosdA Fd s Fds α= = . (4.13)

Из последнего выражения видно, что работа может быть отрица-тельной, положительной или равной нулю, в зависимости от значения угла α между направлениями действия силы F и перемещения

Общая работа силы на конечном частке перемещения тела от точки 1 до т

d s . у

очки 2 равна сумме элементарных работ: 2

1

A Fd s= ∫ (4.14)

Для вращательного движения можно рассчитать аналогично элемен-тарную работу, производимую силой, создающей относительно оси вра-щения момент M , при повороте тела на элементарный угол ϕd : dA M dϕ= ⋅ .

Общая работа на конечном угловом перемещении равна 2

1

A M dϕ

ϕ

ϕ= ⋅∫ . (4.15)

Потенциальное поле – поле сил, которое может быть описано функ-цией П(x, y, z, t), градиент которой определяе силу в каждой точке поля, то ест

сит от формы траектории движения, а зависит только от начального и конечного поло-жений си

т ь F П= ∇ . Функция П(x, y, z, t) называется потенциальной функцией

или потенциалом. Если потенциал явно не зависит от времени, то есть П(x, y, z), то потенциальное поле оказывается стационарным, а его силы – консервативными.

Консервативные силы – силы, работа которых не зави

стемы. Работа по замкнутому контуру в поле консервативных сил равна ну-

лю, то есть 0

L

A Fd s= =∫ .

42

Это выражение является необходимым и достаточным условием по-тенци

энергия – способность системы со-вершать , котору ниче-ской э

(или системы тел), ельного движения

альности поля. В случае стационарного поля П(x, y, z)= –U(x, y, z), где U(x, y, z) – по-

тенциальная энергия частицы.

4.3.2. Механическая энергия. Закон сохранения и превращения энергии Наиболее общей мерой различных форм движения материи является

ее энергия. В самом широком смысле работу. Механическая энергия измеряется количеством работы

ю система тел могла бы совершить. Различают два вида механергии – кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия – это энергия движения телазависящая от массы m и скорости v в случае поступат

2

2mvW = ,

и момента инерции J и угловой скорости ω в случае врния

к

ащательного движе-

2

2кJW ω

= .

Вследствие относительности движения кинетическая энергия отно-сительна, то есть система обладает разными значениями кинетической энергии в разных системах отсчета.

Потенциальная энергия – это энергия, завго расположения взаимодействующих тел или от

ия системы определя-ется р

у выражения для потенциальной энергии для них тоже будут иметь разный вид. Например, потенмиров

исящая только от взаимно- взаимного расположения

частей одного и того же тела. Потенциальная энергаботой, которую могут совершить внутренние консервативные силы. Разные виды взаимодействий тел описываются разными физически-

ми законами, поэтомциальная энергия упруго дефор-

анного тела зависит от абсолютной деформации тела Х и жесткости материала деформируемого тела k:

2

. 2п упрkXW = .

о

, аны с переходом с изменением потенциальной энергии. Это позволяет при-

ние. Поэтому имее

по отно-шению к выбранному нулевому уровню потенциальной энергии.

Практически недостижимо такое состояние системы, в котором п -тенциальная энергия была бы равна нулю. Но процессы, протекающие в механических системах связ системы из одного состояния в другое, то есть

нять за ноль потенциальной энергии системы любое ее значет смысл говорить о потенциальной и кинетической энергии системы

только по отношению к выбранной системе координат и только

43

Закон сохранения и превращения механической энергии: в замкнутой консервативной систем может переходить из одних видов в другие и другим телам, но ее общее количество ост умма кинетической и потенциальной энергии с тече е изменяется:

е механическая энергия W передаваться от одних телается неизменным, то есть с

нием времени нк пW W W const= + = .

В основе закона сохранения энергии лежит принцип однородности ремени, заключающийся в следующем: протекание физических законов в одних и тех же условиях, наблюдения происходит одина

в но в разное время их

ковым образом. Например, справедливость закона Архимеда под-тверждается уже более тысячи лет с момента его открытия.

4.3.3. Механический импульс. Закон сохранения импульса

тИмпульс системы ел – аддитивная величина, равная векторной сумме импульсов тел, входящих в систему.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел суммарный вектор импульса не изменяется с течением времени.

1

n

i ii

p m v const=

= =∑ .

Таким образом, взаимодействие тел составляющих замкнутую сис-тему, приводит к взаимному обмену импульсами между ними, но не может измен

озьмем в выбранной отсчета непод

ить движение системы как целого. Закон сохранения импульса следует из однородности пространства

(независимости физических явлений от места их протекания). Один и тот же физический эксперимент, поставленный в разных точках земного шара, даст совпадающие результаты.

4.3.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса В нами системе вижную ось Z, проходящую через полюс O (Ри-

сунок IV.4). Тогда моментом импульса материаль-ной точки (частицы) относительно оси Z будет про-екция Lzi на эту ось вектора 0iL , определенного относительно полюса O. Величина этой проекции оп-ределяется выражением

cos coszi oi i i i i iL L m v lα α= = . (4.16) Моментом импульса системы частиц (твердо-

го тела) относительно центра O называется геомет-рическая сумма моментов импульсов частиц, входящихтельно того же центра:

44

Z

αziL

0

K

ir

ipoiL

Рис. 4.4

в систему относи-

,N N

L L r p1 1i i= =

O Oi i i⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ , (4.17) ∑ ∑

где N – количество частиц в системе (твердом теле). Момент импульса системы материальных точек (твердого тела) Lz

относительно оси Z равен алгебраической сумме проекций Lzi всех точек системы на эту ось:

1

N

z zii

L L=

= ∑ . (4.18)

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения Z мож-но выразить следующим образом:

2 2N N

z i i z z i i1 1i i

L m R m Rω ω= =∑ ∑ , = =

где ωz – проекция вектора угловой скорости на ось Z. Обозначив 2N

i im R J z=∑ , 1i=

получаем выражение для момента импульса тела относи-

тельно оси вращения Z:

z z zL J ω= , где Jz – момент инерции твердого тела относительно оси Z.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой остоянным, то есть L const=системы материальных точек остается п .

ота 2

Лабораторная раб

ИЗУЧЕНИЕ СУХОГО ТРЕНИЯ

Цель работы Изучение явления сухого трения и экспериментальное определение коэффициентов трения покоя, трения скольжения и трения качения.

Содержание рабСилы трения возникают не только при

щихся тел или их ч

оты перемещении соприкасаю-

астей друг относительно другатакже и при попытках вызвать такое скольжеесли соприкасающиеся тела движутся друг очают

твуют между различными телами, н щими е

трения возникают между слоями жидкости или газа, скорости которых различны от слоя к слою). При

(трение скольжения), но ние (трение покоя). В случае, тносительно друга, то разли-

трение скольжения и трение качения. Трение называется внешним, если силы трения дейс

е образую диное целое (например, трение ме-жду покрышкой колеса автомобиля и дорогой). Трение называется внут-ренним, если силы трения действуют между частями одного и того же тела (например, если силы

и непрерывно меняются

45

этом

о трения более подробно.

силы трения направлены по касательным к трущимся поверхностям (или слоям), противодействуя их взаимному перемещению.

Трение между поверхностью твердого тела и окружающей его жид-кой или газообразной средой, в которой оно движется, а также трение ме-жду различными частями такой среды, называется жидким или вязким трением. Трение между поверхностями соприкасающихся твердых тел при отсутствии жидкой или газообразной прослойки между ними называется сухим.

Остановимся на изучении видов сухог

Трение покоя Механизм возникновения силы трения покоя заключается в том, что

повер тела имеет микроскопические хность даже хорошо отшлифованногонеровности, выступы, трещины, которые препятствуют движению. Взаим-ное заполнение этих выступов соприкасающимися телами и будет препят-ствовать их относительному перемещению. Вероятно, что на некоторых участках расстояние между соприкасающимися телами может оказаться порядка радиуса действия молекулярных сил, что приведет к слипанию тел на данных участках, также препятствующему их относительному переме-щению. Внедрению микровыступов и частичному слипанию поверхностей способствует сила нормального давления, прижимающая твердые тела друг к другу. Этой силой может служить сила тяжести или ее нормальная составляющая, а также любая другая сила, нормальная поверхности сопри-косновения тел.

Если на одно тело не действуют внешние силы вдоль поверхности его соприкосновения с другим телом, то сила трения покоя равна нулю. По мере возрастания величины внешней силы будет тивоположно направленная ей сила трения пбудетпокоидет по

пов и областей, где дейсления. При достижении определенной вдет в движение, трение покоя перейдет в

Максимальная сила трения покоя, пропо

N

возрастать равная и про-окоя так, что сумма этих сил

оставаться равной нулю, и тело будет оставаться в покое. Тело будет ться до тех пор, п шняя сила не превзой-ока прилагаемая к нему вне величине максимальной силы трения покоя. Внешняя сила, меньшая

максимальной силы трения покоя, вызывает в основном упругие деформа-ции микровысту твуют силы молекулярного сцеп-

еличины внешней силы тело при- трение скольжения. а также сила трения скольжения

рциональны силе реакции опоры N, численно равной силе нормаль-ного давления

F µ= , (4.19) где безразмерный коэффициент пропорциональности µ называется коэф-фициентом трения покоя или соответственно трения скольжения, он зави-сит от материала поверхностей, их микрогеометрического профиля, а так-же от других факторов. Выражение (4.19) называется законом Амонтона.

46

Значение коэффициента трения по-коя 0 находится методом предельного угла. Плавно увеличивая уплоск

масс

0тр

µгол наклона

ости (рис. 4.5), находим такое пре-дельное значение угла наклона α0, при ко-тором начинается скольжение бруска мас-сой m.

При этом уравнение движения тела ой m имеет вид:

0трmg N F+ + = , (4.20) или, в проекциях на направления x и y, соответственно:

sinmg F0α − = , (4.21)

0cos 0N mg α− = . (4.22) Учитывая, что сила трения покоя Fтр=µN, из уравнений (4.21) и

(4.22) получим выражение для коэффициента трения покоя: 0 0tgµ α= , (4.23)

то есть коэффициент трения покоя численно равен тангенсу предельного угла наклона α0.

Трение скольжения

Если сила, действующая на тело вдоль поверхности его соприкосно-вения с другим телом, больше предельного значения силы трения покоя, то тело приобретает ускорение, и сила трения покоя переходит в силу трения скольжения. Сила трения скольжения зависит как от природы и состояния трудящихся поверхностей, так и от относительной скорости тел v. Вначале с возрастанием относительной скорости v величина силы трения скольже-ния несколько уменьшается, а затем начинает возрастать. В случае, когда состояние поверхностей не изменяется (за счет сглаживания поверхностей, нагрева и т. д.), сила трения скольжения оказывается практически не зависящей от скорости и равной максимальной -силе трения покоя.

Трение скольжения возникает в ре-зультате пластических деформаций микро-выступов и их частичного разрушения. Взаимное проскальзывание тел приводит к уменьшению зацеплений микровыступов и уменьшению слипания поверхностей, в ре-зультате чего коэффициент трения сколь-жения меньше коэффициента трения по-коя.

Рис. 4.5

Рис. 4.6

47

Для определения коэффициента трения скольжения поместим на горизон-тальную плоскость брусок массой m1 (рис. 4.6). Приведем брусок в движение с помощью груза с массой m2. На основании второго закона Ньютона для ка-ждого из этих тел можно записать уравнения движения, которые имеют вид:

1 1 1 1трF m g N F m a+ + + = , (4.24)

2 2 2m g F m a+ = 2 . (4.25) Полагая нить нерастяжимой, нить и блок невесомыми, можем записать:

|a1| = |a2| = а, |F1| = |F2| = F. Тогда в проекциях на направления x и y и с учетом закона Амонтона

(4.19) получим: 1F N m aµ− = , (4.26)

1 0m g N− = , (4.27)

2 2m g F m a− = . (4.28) Учитывая, что брусок движется равноускоренно, пройденный им путь

будет определяться выражением 2

2atl = , (4.29)

где t бруск (4.26) – (

выра я комого коэф

– время движения а. окончательРешая уравнения 4.29) относительно µ, получим ное

жение дл ис фициента трения скольжения:

.)(2

21

212

gtmlmmgtm +−

=µ (4.30) 2

Трение качения

Если цилиндрическое или шарообразное тело катится по плоской или изогнутой поверхности, то между ними возникает сила трения каче-ния. Установлено, что возникновение этой силы обусловлено неупругими деформациями катящегося тела и поверхности. Сопротивление перекаты-ванию может быть учтено введением мо

Опыт показывает, что сопротивленигих свойств материалов соприкасающищей силы. Для преодоления сопротивлениявершать работу, которая перехосоприкасающихся поверхностей.

Рассмотрим цилиндрическое тело, тальной плоскости и оказывающее на 4.7). В зоне соприкосновения цилиндрдеформация контактного сжатия на плположе

мента силы трения качения Мтр. е перекатыванию зависит от упру-хся тел и от величины прижимаю-

перекатыванию требуется со-дит в энергию деформации

неподвижно лежащее на горизон-плоскость давление силой Q (рис. а с плоскостью возникает местная ощадке AOB шириной b. Согласно

ниям теории упр ения, возникающие в площадке, угости напряж

48

распределяются по эллиптическому . Кривая распределения напря-

т с направлением силы Q.

законужений имеет симметричный вид, и равнодействующая N этих напряжений совпадае

Рис. 4.7

При перекатывании цилиндра под действием силы P участок АО пло-

щадки контакта будет находиться под действием исчезающих деформаций, участок ОВ – под действием нарастающих деформаций. Из–за внутреннего трения в материале нагрузка и разгрузка в нем не совпадают во времени – разгрузка происходит с запаздыванием. Поэтому кривая распределения напряжений в области нарастающих деформаций выше кривой в области исчезающих деформаций. Равнодействующая N напряжений смещена вправо на расстояние k и создает момент силы трения

Мтр = kN = kQ. (4.31) Величину k называют коэффициентом трения качения. илиндр перекатывается без под действием момента,

создавЦ скольженияаемого парой сил – Р и Fтр, где Fтр – сила трения покоя, называемая

также силой сцепления М = P h = Fтр h, (4.32)

где h (рис. 4.7) обычно принимают равным r – радиусу цилиндра. При равномерном качении этот момент равен моменту силы трения:

М = Мтр. Поэтому rP = kQ = kN, откуда

.rNk

rQkFP тр === (4.33)

Таким образом, величина силы трения качения Fтр, как и величина равной ей внешней силы P, прикладываемой к цилиндру для его равно-мерного перекатывания, пропорциональна силе нормального давления Q и братно пропорциональна радиусу цилиндра r.

В случае, когда атящегося тела, а на произвольно выбранном расстоянии , в приведенных соотношениях под-ставл

о сила приложена не в точке С к

hяется h вместо радиуса цилиндра r.

49

Под действием силы Р цилиндр может в одних условиях перекаты-ях происходит ваться, в других – скользить. Рассмотрим, при каких услови

скольжение, а при каких – качение.

1. Если ,h

kP ≥ но Р < µ . Q , то цилиндр будет только катиться. Q

2. Если QP kh

≤ , но P Qµ≥ ⋅ , то цилиндр будет только скользить.

3. Если ,hQkP ≥ и ,P Qµ≥ ⋅ то возможно как качение, так и

скольжение цилиндра. Для бо ьшин тр k меньше

коэффици ения с µ, ехни льжения по возмож заменяют трением качения.

Силы ения всегда направлены в сторону, противоположную пере-мещению, поэтому работ сил трения всегда отрицательна. Движение при наличии сил трения всегда сопровождается диссипацией механической энерг ы трения

нак

л ства материалов коэффициент ения каченияке трение скоента тр кольжения поэтому в т

ности тр

а

ии (превращением ее во внутреннюю энергию), поэтому силназываются диссипативными.

Значение коэффициента трения качения k также находится методом предельного угла: плавно увеличивая угол наклона плоскости (рис. 4.8), на-ходим такое предельное значение угла

лона α0, при котором цилиндр на-чинает движение. При этом сила тре-ния качения Fк будет численно равна проекции силы тяжести на направле-ние x:

0sinkF mg α= , (4.34)

а значение силы реакции опоры N равно ление y

cN mg=т k и форм

лучим: Подс авив F N из ул (4.34

k rtgα=

50

Рис. 4.8

проекции силы тяжести на направ-

0osα . .35) в вы

.35) и (4 раж , по-

(4ение (4.33))

0 . (4.36)

Описание лабораторной установки

Особенности внешнего трения могут быть изучены с помощью на-нного трибометра, представляющего собой плоскость 1 (рис. 4.9), угол кло

Р сслед мые ла: дере брусок 2 и деревянный цилиндр 3 бру-

сок имеет железную вставку для удержания его электромагнитом 5. Тумб-лером выключается питание электромагнита и одновременно включается электрический секундомер 7. Полный оборот большой стрелки секундомера соответствует одной ые секунды, то

устанавливается на

ее .

ряется о планку 11 и выключает секундо-

наклона которой к горизонту можно менять.

ис. 4.9

И уе те вянный ; 4

6

секунде, малая стрелка отсчитывает целесть число оборотов большой стрелки.

Нажатием кнопки 8 до упора стрелка секундомерануль. Прикрепив к торцу деревянного бруска нить и перекинув черезблок 9, с помощью груза 10 можно привести деревянный брусок в движениеПройдя расстояние l, брусок удамер.

нения работы Порядок выпол

Задание 1. Определение коэффициента трения покоя 1. Изучите правила пользования оптическим квадрантом (см. приложение к

2. Установите плоскость 1 трибометра (рис. 4.9) горизонтально. евянный брусок 2.

е предельное ижение.

ьте угол наклона плоскости

работе).

3. Поставьте на наклонную плоскость дер4. Плавно изменяя угол наклона плоскости, найдите тако

значение угла наклона αo , при котором брусок начинает дв5. С помощью оптического квадранта измер

αo. Измерения повторите 3 раза. 6. Данные измерений занесите в табл. 4.3.

51

Таблица 4.3

Предельное значение угла наклона Коэффициент

µ Номер опыта

α0, град < α0 >, град трения покоя 0

1 2

3 Задание 2. Определение коэффициента трения скольжения

1. Установите плоскость 1 трибометра горизонтально. Установите стрелки секундомера 7 на нуль, нажа2. в кнопку 8 до упора.

5. Нить с чашкой и грузом прикрепите к бруску и перекиньте через блок. 6. Пе7. По

р

. 4.4. Таблица 4.4

3. Включите цепь электромагнита, поставив тумблер 6 в положение "элек-тромагнит".

4. На плоскость 1 трибометра поставьте деревянный брусок 2 так, чтобы он удерживался электромагнитом 5 (металлическая вставка 4 должнабыть обращена к электромагниту).

реключите тумблер 6 в положение "секундомер". секундомеру 7 определите время движения бруска t до момента уда-

а бруска о планку 11. Измерения повторите 10 раз. 8. Линейкой измерьте путь l, пройденный бруском. 9. Данные измерений занесите в табл

Время движениябруска

опыта бруска m1, кг

груза m2 , кг t, c < t >

пройденный бруском трения сколь-

, с

Путь, Коэффициент

жения µ

Масса Масса

l, м 1

…..

10 Задание 3. Определение коэффициента трения качения

1. Установите плоскость 1 трибометра горизонтально. 2. Штангенциркулем измерьте диаметр d основания деревянного цилиндра 3. 3. Положите цилиндр на плоскость 1 трибометра. Плавно изменяя наклон

плоскости, найдите такое предельное значение угла наклона α0, при кото-ром цилиндр начинает движение.

4. С помощью оптического квадранта измерьте угол н 0 . Измерения повторите 3 раза.

5. Данные измерений занесите в табл. 4.5.

аклона α

52

Таблица 4.5

Предельное

наклона значение угла Номер

опыта α0град

<α0>град

цилиd, м < d >, м

цилиндра r, м

качения k, м

k / r

Диаметр основания

Среднее значение

Радиус ос-нования

Коэфф. трения

ндра диаметра

1 2 3

Обрабо рений

Расче

ение времени движения бруска < t >; – измерьте путь l, пройденный бруском; – по формуле (4.30 ния скольжения µ (мас е). – рез

Расчет коэффициента трения качения: – найдите среднее значение предельного угла наклона <α0 > ; – измерьте в трех местах штангенциркулем диаметр цилиндра; – вычислите среднее значение диаметра < d >; – определите радиус основания цилиндра r; – по формуле (4.36) вычислите значение коэффициента трения качения k; – вычислите отношение k/r; – результаты вычислений занесите в табл. 4.5; – сравните полученные значения µ0, µ и k/r.

тка результатов изме

т коэффициента трения покоя: – найдите среднее значение угла наклона < α0 >; – по формуле (4.23) вычислите значение коэффициента трения покоя µo; – результат занесите в табл. 4.3. Расчет коэффициента трения скольжения: – найдите среднее знач

) вычислите значение коэффициента тресы бруска m1 и груза m2 приведены на лабораторном столультаты занесите в табл. 4.4.

Контрольные вопросы

1. Что называется внешним (сухим) трением? Дайте характеристики различных видов сухого трения.

2. От каких факторов зависит модуль силы трения? Как направлена сила трения? 3. Каков механизм возникновения трения покоя? Трения скольжения? Трения каче-

ния? 4. Сформулируйте и запишите закон Амонтона. 5. Какие силы ьной поверхно-

сти? По наклонной плоскости? действуют на цилиндр при его качении по горизонтал

53

6. Как в данной работе определяются коэффициенты трения покоя, скольжения и ка-чения? От чего зависит значение коэффициента трения?

7. Как можно уменьшить силу трения? Как используется в технике наличие сил тре-ния?

8. В каких единицах измеряются коэффициенты трения покоя, скольжения и качения? 9. Какова точность измерения в данной работе времени, угла наклона, диаметра ци-

линдра, пути? 10. Каково назначение оптического квадранта?

Приложение. Правила пользования оптическим квадрантом

Оптический квадрант служит для измерения углов наклона и установ-ки плоскостей под заданным углом к горизонтальной плоскости с точностью до 1 минуты.

Для измерения угла– уст

3 приблизительно в среднее положение; – зажмите винт 1 и микрометрическим в

наклона: ановите квадрант на исследуемую плоскость;

– освободите зажимной винт 1 (рис. 4.10). – вращая крышку 2 квадранта, установите пузырек продольного уровня

интом 4 приведите пузырек уровня 3 точно в среднее положение; – через лупу 5 по лимбу отсчитайте угол наклона, как это изображено на рис. 4.11, где квадрант показывает угол 12°28/.

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Лабораторная работа 3

Т

е на этой основе

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩА ЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы

Экспериментальное изучени динамики вращательного движениятвердого тела и определение его момента инерции.

54

Содержание работы

В работе с помощью крестообразного маятника изучается динамика вращательного движения твердого тела. Анализ такого движения позволя-ет найти, используя экспериментальные данные, момент инерции грузов,закрепленных на стержнях маятника. Этот жевычислен, если считать грузы материальндится

момент инерции может быть

ыми точками. В работе прово- сопоставление значений моментов инерции грузов, найденных эти-

ми двумя способами.

Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки приведена на рис. 4.12.

Рис. 4.12 Рис. 4.13

Установка (маятник Обербека) состоит из четырех взаимно перпенди-

кулярных стержней 1, закрепленных одсвою очередь, укреплена со шкивом 3 напере овой массы m’. На шкив наматывается нить 6, к свободному концу которой при-крепляется груз 7 массой m. В верхнем положшкив,

и этом включается секундомер) груз начинает опускаться, приводя во вращение крестообразный маятник.

ним концом в ступице 2, которая, в одной оси 4. По стержням могут

мещаться четыре (по одному на каждый стержень) груза 5 одинак

ении, когда нить намотана на груз удерживается электромагнитом 8. При выключении электромагнита (пр

55

В нижнем положении груз ударяется о контакт 9 ичто дает возможность фиксировать время движени

Для экспериментального определения моносит

выключает секундомер, я груза.

Методика эксперимента

мента инерции маятника от-ельно неподвижной оси используется основной закон динамики вра-

щательного движения твердого тела, записанный в проекциях на эту ось

zz JM ε= , (4.37) где Mz – проекция на ось вращения результирующего момента всех сил, действующих на маятник; J – момент инерц

ления мо-мента

я углового ускорения ε можно воспользоваться его свя-зью с тангенциальным ускорением aτ точе

ии маятника относительно оси вращения; εz – проекция углового ускорения на ось вращения.

Таким образом, при равноускоренном движении для опреде инерции маятника необходимо найти результирующий момент сил и

угловое ускорение. Для нахождени

к поверхности шкива радиуса r

raτε = . (4.38)

Если нить считать нерастяжимой, то ускорение aτ будет по модулю равно ускорению a поступательного движения груза, которое можно найти из кинематического уравнения для равноускоренного движения

2

2tha = ; (4.39)

2

2h= ,

rtzε (4.40)

ую поднят груз; t – время, за которое груз опуска-ется до контакта 9. где h – высота, на котор

На крестообразный маятник при его вращении действуют моменты сил, создаваемые силой натяжения нити T ′ (рис. 4.13) и силой трения в оси маятника (на рисунке не показана). Если маятник сбалансирован, то сила тяжести gmm маятника и сила pF реакций его опор (подшипников) момен-тов относительно оси вращения не создают. Тогда проекция результи-рующего момента сил

сил равна

трMrTM z −′= , (4.41) где T’r – проекция момента силы натяжения нити; Mтр – проекция момента силы трения (знак минус означает, что момент силы трения направленпрот

ивоположно угловой скорости). Поступательное движение груза m описывается вторым законом Нью-

тона в проекциях на направление y (рис. 4.13):

56

maTmg =′′− . (4.42) По третьему закону Ньютона силы T’ и T” по модулю равны. Ис-

пользуя соотношения (4.39) и (4.42) получим:

rthgmrT ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′

2

2 (4.43)

Для нахождения проекции момента сил трения используется тот факт, что в результате действия этих сил высота h1, на которую поднимется груз до полной остановки, будет меньше высоты h, с которой он опускался.

Изменение полной механической энергии системы равно работе внешних неконсервативных сил. В данном случае это силы трения.

тр12 AEE =− . (4.44) Здесь E1 – полная механическая энергия системы в начале движения; E2 – полная механическая энергия системы в конце движения; Aтр – работа сил трения.

Так как в начале и в конце движения система находится в состоянии покоя, то полная механическая энергия в эти моменты будет определяться только потенциальной энергией груза (кинетическая энергия системы бу-дет равна нулю)

mghE =1 , 12 mghE = . (4.45) Работу сил трения можно определить по формуле

ϕ

ϕϕ тртртр MdMA −=−= ∫ , (4.46) 0

где В формуле (4.46) учтено, что проекция момента сил трения при вра-

щении не меняетсяϕ

ϕ – угол поворота маятника до полной остановки.

. Угол поворота маятника может быть найден как отношение пути l,

пройденного точками на поверхности шкива, к радиусу шкива r. В свою очередь, путь l будет равен пути, который пройдет груз, то есть l = h + h . 1Тогда

rhh 1+

=ϕ (4.47)

Подставляя (4.47) в (4.46), а затем (4.45) и (4.46) в (4.44) получим

1тр hh +

1)( hhmgrM −= . (4.48)

Используя выражения (4.43) и (4.48) по формуле (4.41), находим проекцию результирующего момента сил

1

1)(2 hhmgrhgmrM −−⎟

⎞⎜⎛ −= . 2 hhtz +⎠⎝

(4.49)

57

Подставляя (4.49) и (4.40) в (4.37), выразим момент инерции маятника

⎥⎦

⎢⎣

−+

= 1)( 1

122

hhhgtmrJ . (4.50)

Момент инерции обладает свойством аддитивности, то есть момент инерции тела

⎤h

относительно какой–нибудь оси равен сумме моменции его частей относительно момент инерции 4J’ грузов можно айти и J маятника с груза-ми нт ци а б ов

J

⎡

тов инер- той же оси. Поэтому

как разность момента инерци m’ на и моме инер и Jo маятник ез груз

J −= oJ′4 (4.51) (чтоб авные по мас имел инаковые енты ине надо установить на одинаковом расстоянии R от оси вращения).

Момент инерции четырех грузов m’ относительно оси вращения ма-ятника можно вычислить, кроме того, с использованием параметрновки по формуле

) где – расстояние о ра масс до в (рис.

ы р се грузы и од мом рции, их

ов уста-

24 RmJ гр ′= , оси

(4.52 R т цент груза ращения 4.14)

Рис. 4.14

П 4.1ри этом (см. рис. 4)

22ст lD

++ , L (4.53)

гд е т поверхности ступицы до к груза Dст – диаметр ступицы; l – продольный размер груза.

аким образом, в работе момент инерции четырех грузов на стержнях отно си вращения маятника определяется двумя пособами, а получ чения сравниваются между собой.

Порядок выполнения работы

1. Закрепите на стерж маятника четыре груза на макс

х стопорными винтами, а на концы стержней навинчивайте гайки.

R =

е L – расстояние;

о ближайшего ней конца на стержнТсительно о сенные зна

нях крестообразного имально возможном расстоянии R от оси вращения так, чтобы маят-

ник находился в безразличном равновесии. ВНИМАНИЕ!!! Во избежание соскакивания грузов со стержней маят-

ника надежно фиксируйте и

58

Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, зачем это нужно. Как на основании этих опытов узнать, хорошо ли сбалансирован маятник (то есть, действительно ли он находился в безразличном равновесии)?

2. Намотайте нить на шкив маятника так, чтобы груз m удерживался электромагнитом.

3. Измерьте линейкой расстояние L от поверхности ступицы до бли-жайшего к ней конца гр а которую поднят груз (рис. 4.12). На н ана в парамет-рах.

4. Включите секундомер. В этот момент система придет в движение. Когда груз опустится и секунд тся, проследите за подъемом груза и измерьте с помощью линейки высоту h , на которую он поднимет-ся. П

яя условия на том же расстоянии от оси вращения е перед

случае вычислите средние ариф-метич

o

ите экспериментальное значе-ние м

уза (рис. 4.14) и высоту h, некоторых установках высота подъема h указ

омер выключи 1

осле этого снимите показания секундомера. Результаты измерений занесите в табл. 4.7.

5. Не измен опыта (оставляя грузыизмерения еще четыр), повторите раза ( каждым из-

мерением времени движения груза необходимо сбрасывать показания се-кундомера).

6. Измените положение грузов m’, расположив их примерно посере-дине стержней маятника. Проверьте, находится ли маятник в безразличном равновесии (см. п.1) и проведите измерения указанные в пп. 2–5.

7. Снимите грузы со стержней маятника и проведите измерения, ука-занные в пп. 2–5.

8. Занесите в табл. 4.6 значения параметров установки.

Обработка результатов измерений

1. По данным трех опытов в каждомеские значения <t> и <h1>. Результаты расчетов занесите в табл. 4.7.

2. По формуле (4.50), используя соответствующие средние значения <t> и <h1>, вычислите момент инерции маятника J при двух положениях грузов на стержнях: на максимальном расстоянии от оси вращения и посе-редине стержней. Затем вычислите момент инерции маятника J без грузов на стержнях.

3. Используя формулу (4.51), определомента инерции 4J’ четырех грузов для двух положений на стержнях.

4. По формуле (4.53) вычислите расстояние R от центра масс каждого груза до оси вращения.

5. По формуле (4.52) рассчитайте теоретическое значение момента инерции 4J’ четырех грузов для двух положений на стержнях.

59

6. Результаты расчетов по пунктам 2–5 занесите в табл. 4.8. Сравните значения момента инерции 4J’ четырех грузов, вычисленные по формулам (4.51) и (4.52). Сделайте вывод.

7. Укажите в выводе основные, по вашему мнению, источники по-решностей при определении моментов инерции маятника и грузов на стерг

жнях. Таблица 4.6

Значения параметров установки Высота подъема груза h , м.

Масса груза m, кг.

Масса грузов на стержнях

4m’, кг.

Радиус шкива r , м.

Продольный размер грузов на стержнях

l, м.

Диаметр ступицы Dст, м.

Таблица 4.7

Экспериментальные данные

Время движения груза Максимальная высотагру

подъема за

< h1 >, м грузов L, м

Расстояние от ступицы до

t, с < t >, с h1, м 1 … … … 5

Таблица 4.8

Результаты расчета моментов инна стержнях маятника

4J’, кг⋅м

ерции маятника и грузов Момент инерции грузов

2

Поло

Момент Момент

жение грузов на стержнях маятника

с грузами J, кг⋅м

инерции инерции

2

маятника без грузов

J0, кг⋅м2

Из формулы (3.15)

(эксперимент)

Из формулы (3.16)

(теория) на максимальном

расстоянии R1 =

посередине стержней

R2 =

н, входящих в закон? 2. Что называется моментом сил? Моменты

ный ма

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Каков физический смысл величи

каких сил действуют на крестообраз-ятник при его вращении?

60

3. Что такое момент инерции твердого тела?к

4 о называется центром масс твердого тела?

5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПО

Какими свойствами характеризуется ии крестообразного маят-момент инерции твердого тела? Ка изменяют момент инерц

ника в данной работе? . Сформулируйте и докажите теорему Штейнера. Чт

. Запишите уравнение вращательного движения маятника в проекциях на ось вращения. Поясните запись.

Лабораторная работа 4

ЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕКОГО МАЯТНИКА

Цель работы

Изучение законов динамики поступательного и вращательного дви-жения твердого тела. Определение на их основе скорости полета пули.

Содержание работы Рассмотрим метод определения скорости полета пули c помощью

крутильного баллистического маятника. Пабсолютно неупругий удар с неподвижнымассы

, то легко можно вычислить и скорость пули. К числу таких методов относится метод крутилника.

крутильно–тело значительным моментом

маятник поворачивается ть. При этом на маятник со сто- М, пропорциональный углу за-

кручи ление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, поэтому

усть летящая пуля испытывает м телом значительно большей

. После удара тело с застрявшей в нем пулей начинает двигаться, причем скорость его во столько раз меньше скорости пули, во сколько раз масса пули меньше массы тела. Если теперь измерить сравнительно не-большую скорость тела

ьного баллистического маят-

В работе для определения скорости пули используетсябаллистический маятник – массивное со инерции, подвешенное на упругой нити.

При попадании пули в мишень маятника, вокруг вертикальной оси и закручивает нионы нити действует момент упругих силр

вания нити ϕ, имеющий такое направ

,ϕkM −= где k – постоянная момента упругих сил.

Этим моментом упругих сил в момент ударпренебречь, так как за чрезвычайно мало

(4.54)

а пули в мишень можно маятник успе-

етственно возникает ма-” можно считать замкну-

е время соударениявает повернуться на очень малый угол ϕ и соотвлый момент сил М. Тогда систему “маятник–пулятой и для нее закон сохранения момента импульса будет иметь вид:

mvh=(J+mh2)ω , (4.55)

61

где m

тника; ω – угловая

– масса пули; v – скорость пули; h – расстояние от оси вращения ма-ятника до точки удара пули; mvh – момент импульса пули до удара; J – момент инерции маятника относительно вертикальной оси вращения; mh2 – момент инерции пули относительно вертикальной оси вращения мая

скорость системы «маятник–пуля» непосредственно после уда-ра.

Во время столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающие кинетическую энергию движения. Поэтому применять за-кон сохранения энергии в его механической форме к процессам, происхо-дящим во р закон- время неупругого удара, нельзя. Но после того, как удачился, сталкивающиес , законом сохранения я тела соединились в одно телоэнергии уже можно пользоваться.

После удара кинетическая энергия вращательного движения маятни-ка ереходит в энергию упругой деформации нити, и закон сохранения ме-пханической энергии, если пренебречь незначительными потерями на тре-ние, имеет вид:

22 2max( )

2 2kJ mh ϕω+

= , (4.56)

где maxω – наибольший угол поворота маятника. Из выражений (4.55) и (4.56), исключив ω , находим квадрат скоро-

сти полета пули 2max

2( )22 2v

m h= (4.57) k J mhϕ +

или, к mh2 <<J, так ка2k Jϕ2 max2 2 .v

m h⋅

= (4.58)

Формула (4.58) может быть использована для расчета скорости поле-та пули.

Для определения скорости полета пули массой m, пробивающей ми-шен ика, в работе эксперимен-ь на расстоянии h от оси вращения маятнтально определяется максимальный угол поворота маятн ле удара ика φ поспули. Для исключения из формулы (4.58) трудно поддающихся экспери-ментальному определению величин k и J используется то обстоятельство, что после попадания пули в мишень маятник совершает гармонические ко- лебания с периодом, зависящим от k и J. Уравнение гармонических коле-баний можно получить, воспользовавшись основным законом динамики для вращательного движения

M Jε= . Если ввести обозначение (угловое ускорение есть вторая про-"ϕε =

извод о по-ная от угла повор та по вр и учестьемени) вы ажр ение (4.54), тоследнее уравнение примет вид:

62

.0" =+ ϕϕ kJ (4.59) Решение этого ур т виавнения имее д:

,os tcA ωϕ = (4.60) где А – амплитуда колебаний; Jk /=ω – круговая частота.

Период олебаний определяется по формуле к. (4.61) JkT /2/2 πωπ ==

Если изменить момент инерции маятника относительно оси враще-ния путем с в 2 и 3, т е о свойство ив-мещения грузо о в соотв тствии с м аддитнос е й а записатьти момента инерции и т оремо Штейнер можно :

,2r 22 " mJc ⋅++ 10'c 1 JJ = (4.62)

,22 220

"'2 rmJJJ cc ⋅++= (4.63)

где J1 J2 – моменты инерции маятника относительно вертикальной оси и вращения, когда грузы 2 и 3 расположены соответственно на расстоянии r1 и r2 от оси вращения; J'c – тника без грузов относи- момент инерции маятельно оси, проходящей через центр инерции маятника; J"с – момент ин но оси, проходящей через центр инерции ерции одного груза относительэтого груза; m0 – масса одного груза.

Периоды колебаний маятника, имеющего момент инерции J1 2 и J , соответственно равны

1 12 / ,T J kπ= (4.64)

2 22 / .T J kπ= (4.65) С учетом выражений (4.61 – 4.65) скорость полета пули для случая,

ког и 3 расположены так, что момент инерции маятника J1 и да грузы 2 произведен выстрел пулей массой m, попавшей в мишень на расстоянии h от оси вращения, равна

2 2

0 1 1 2 11 2 2

4 ( ) .m T r rv π ϕ

1 2 1( )mh T T⋅ − (4.66) =

−

Аналогично для случая, когда момент инерции маятника J2 —

2 2

0 2 2 2 12

4 ( .m T r rv π ϕ⋅ −=

)2 2

2 2 1( )mh T T−(4.67)

Все величины, входящие в формулы (4.65) и (4.66), определяются экспериментально

.

Описание лабораторной установки

Баллистический маятник (рис. 4.15) вы-полнен в форме крестовины, подвешенной на тонкой проволоке 1. На крестовине расположе-ны: мишень А, грузы 2, 3, 4 и зеркало 5. Рис. 4.15

63

Грузы 2 и 3 можно свободно перемещать по горизонтальной штанге, тем самым изменяя момен руз 4 служит для уравно-т инерции маятника. Гвешивания мишени. Мишень жестко прикреплена к концу горизонтальной штанги.

Угол поворота маятника при попадании пули в мишень определяется по смещению светового "зайчика" на шкале 6, расположенной рядом с ос-ветителем 7. Световой "зайчик" возникает при отражении луча от зеркала 5. При повороте маятника на угол φ луч поворачивается на угол 2φ.

Для устранения колебаний маятника в вертикальной плоскости к крестовине подвешен тяжелый груз 8, прикрепленный к полу. Таким обра-зом, маятник может совершать колебания только вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса маятника.

Порядок выполнения работы, проведения измерений и обработки их результатов

1. Включите осветитель, установите зеркало 5 и шкалу 6 так, чтобы све-товой "зайчик" был в левой части шкалы.

2. Сместите грузы 2 и 3 к оси вращения маятника до упора, (положение 1) и определите расстояние груза от оси вращения r1, измерив рас-стояние между центрами грузов и разделив его пополам.

3. Остановите маятник, если он совершает колебания. После остановки маятника определите деление шкалы n0, на котором располагается световой "зайчик".

4. Зарядите ружье и произведите выстрел. Определите деление шкалы n, на которое переместится "зайчик" при повороте маятника на макси-мальный угол.

5. С помощью секундомера измерьте время t 10 полных колебаний маят-ника.

6. Измерьте расстояние h от пробоины в мишени до оси маятника. 7. Сместите грузы 2 и 3 на одинаковые максимально возможные рас-

стояния от оси в ащенир я (положение 2). Определите r2, n0, n t, h в со-, ответствии с п. п. 3–6.

8. Все результаты измерений и данные установки, приведенные на лабо-раторном столе, за есите в табл. 4.9 и 4.10. н

9. Рассчитайте угол для кажд nn1−ого опыта по формуле l2

tg =ϕ , где nn −0

– линейное смещение светового "зайчика" по шкале; l – расстояние от оси маятника до шкалы.

10. время 10 полных колебаний, определите п 1 2ериоды T и Т . По Знаяф м а (ор ул м 4.66) и (4.67) рассчитайте соответственно скорости пули v1 u v2.

11. Определите среднее значение скорости пули <v>.

64

Таблица 4.9

Положение светового "зайчика" на шкале

Начальное (до выстрела), n0

При max отклоне-нии, n

Положение грузов

Расстояние от центра груза до оси r, м

делений м делений м

/n0–n/,м

Расстояние от оси

маятника до шк l, м алы,

φ, рад

1 2

Таблица 4.10

Скорость пули

Расстояние от центра

Масса одного Масса

пули

Расстояние от пробоины Положение

грузов груза до оси, r, м

груза m0, кг

m, кг в мишени до оси h, м

Время 10 п Период

колебаний олных колебаний

t, с Т, с v, м/с

<v>, м/с

1 2

Контрольные вопросы

1. Можно ли пользоваться приведенной в работе теорией, если удар пули о мишень происходит под непрямым углом?

2. Какие факторы могут влиять на точность эксперимента в данной работе? 3. При каком допущении систему "маятник–пуля" можно считать замкнутой? 4. Сформулируйте и запишите основной закон динамики вращательного движения.

Что называется моментом силы, импульсом момента силы? 5. Какой удар называется неупругим? Какие законы сохранения выполняются, при не-

упругом ударе? 6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса и запишите его для системы

"маятник – пуля". Чему равен момент импульса материальной точки и момент им-пульса тела?

7. Какие превращения энергии происходят после удара в данной работе? Запишите за-кон сохранения энергии в применении к системе "маятник–пуля".

8. Как вычисляется момент инерции любого твердого тела? Запишите, чему равен мо-мент инерции системы "крестовина–груз"? Как можно его изменить?

9. На чем снован метод определения скорости пули с помощью крутильно–обаллистического маятника?

10. Как связан период колебаний с моментом инерции крутильно–баллистического ма-ятника?

бораторная работа 5

Ла

ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ДВУХ ШАРОВ

Цель работы

Изучение упругого удара на примере соударения двух металлических шаров. Измерение времени удара шаров, определение средней силы их

65

взаимодействия (удара), радиуса контактной площадки и коэффициента восстановления после упругого соударения шаров. Проверка законов со-хранения энергии и импульса.

Содержание работы

Ударом называется явление конечного изменения скоростей взаимо-действующих твердых тел за малый промежуток времени, происходящее при их столкновении.

риводит к воз-никновению упругих сил, изменяющих скорости этих тел. В зависимости от материала, из которого сделаны тела, эти силы могусамой деформацией, так и со скоростью этой деформации, или с тем и дру-гим

ел (например, ша-ров) в другие виды энергии. Для того, чтобы удар бывсе с

еформации, а не от скорости этой деформации (например, не должны возникать силы подобные силам трения При этом, когда относи-

К этому времени силы упругости совершат такую же положительную работу, какая была

При соударении тел происходит их деформация, что п

т быть связаны как с

вместе. Поэтому различают три типа ударов: абсолютно упругий, аб-солютно неупругий и неупругий.

Удар называется абсолютно упругим, если в результате не происходит превращения механической энергии соударяющихся т

л абсолютно упругим илы, возникающие в телах, должны зависеть только от абсолютного

значения д).

тельная скорость двух тел при ударе обращается в нуль, а деформация дос-тигает максимума, взаимодействие продолжается до полного исчезновения деформаций и тела снова приобретают относительную скорость.

затрачена на деформацию. Потенциальная энергия деформированных

тел полностью перейдет в кинетическую энергию их относительного дви-жения.

Перейдем к более подробному изучению простейшего случая абсо-лютно упругого удара – центрального удара шаров. Удар шаров называет-ся центральным, если векторы начальных скоростей шаров 1v и 2v лежат на прямой, соединяющей их центры. В противном случае удар называется нецентральным. При нецентральном ударе шары разлетаются под углом к исходным векторам v и v . 1 2

Рассмотрим два массивных стальных шара, подвешенных на бифи-лярных (двунитных) подвесах. Шары движутся так, что при соударении их скорости направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. Это позво-ляет вместо векторов v рассматривать равные им проекции v на ось, про-ходящую через центры шаров.

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения им-пульса и энергии системы дву д йстх взаимо е вующих тел:

66

1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

,

;2 2 2 2

m u m u

m m m u m u

= +⎪⎨

+ = +⎪⎩

m m+⎧ vv v (4.68)

v

где , 2v и 1u , 2u – скорости 1v шаров 1 и 2, соответственно, до и после уда-ра; m1 и m2 – массы шаров. Отметим, о все указанные скорости рассмат-чтриваются в лабораторной (то есть неподвижной относительно наблюдате-ля) системе отсчета.

Зная массы и скорости шаров до удара можно найти их скорости по-сле удара, дл чего необходимо решит си тему (4.68) относительно u1 и я ь сu2. Записывая уравнения системы (4.68) в проекциях на оси и преобразуя их, приходим к следующей системе уравнений:

1 1 1 2 2 22 2 2 2

2 2 );−v (4.69) 1 1 1 2( ) (m u m u

⎨− =⎩ v

( ) ( ),m u m u− = −⎧ v v

или

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

( ) ( ),( )( ) ( )( ).

m u m um u u m u u

− = −⎧⎨ − + = − +⎩

v vv v v v (4.70)

Подставляя левую часть первого уравнения (4.69) в уравнение (4.70) и сокращая получившееся выражение на ненулевую скобку (u2 2−v ) , полу-чим

1 1 2 2u u+ = +v v . (4.71) Решая теперь первое уравнение системы (4.69) и уравнение (4.71) со-

вместно и выполнив несложные преобразования, получим выражения для скоростей шаров после удара:

1 1 2 21 1

1 2

2 ,m mum m

+⎧ = −⎪ +⎪⎨

1 1 2 22

1 2

2 m mum m

+⎪2.= −v

⎪ +⎩

v v (4.72)

v v v

Если массы шаров одинаковы, то из выражения (4.72) следует, что u1 = v2, u2 = v1, то есть шары обмениваются скоростями.

При абсолютно упругом центральном ударе шара 1 о такой же непод-вижный шар 2, первый останавливается, теряя импульс р = mv1. Из второ-го закона Ньютона: 1F p mτ = ∆ = v , где τ – время контакта шаров при уда-ре (время удара), находим среднюю силу взаимодействия шаров за время τ (среднюю силу удара):

1mFτ

=v

. (4.73)

67

Время контакта τ в работе измеряется электронным секундомером. Величина F τ называется импульсом силы. Очевидно, что при ударе ве-личина силы взаимодействия сначала увеличивается oт нуля (в начале кон-такта) до максимального значения (при максимальном сжатии шаров), а затем уменьшается до нуля.

Оценим характер-ную величину давления при ударе Р = Fmax/S, где S=πr2 – максимальная площадь контакта при взаимном сжатии шаров, r – радиус контактной площадки (рис. 4.16, а). Из рис б видно, что . 4.16,

(считая, что δ << R, где R –на которое смещается шар<τ> / 2, следовательно, δ =меняется от v1 до 0, то мож<v1> = v1 / 2. Таким образо

Теперь для характерно

P ≈

В случае не абсолютнской энергии шаров при соформации. Представляет имации. Для неупругого уда

Выполняя преобразовполучить:

то есть при неупругом ударнаправление на противоповеличине. Для модулей отн

Для количественной оцдится коэффициент восстан

Рис. 4.16

( ) δδ RRr 22 ≈−−= R 2 радиусы шаров). Деформация δ это расстояние, 1 за первую половину удара, то есть за время <v1>τ / 2. А так как скорость шара за это время но считать, что д я скорость за это время: сре ням, δ ≈ v1<τ> / 2, и тогда радиус контакта

1

2R

rτ

=v

. (4.74)

ения при ударе получаем го давл1

221

24

2m m

r R Rτ

π π τ2 F

π τ= =

vv . (4.75)

о упругого (неупругого) удара часть кинетиче-ударении переходит в энергию остаточной де-нтерес определить энергию остаточной дефор-ра выполняется неравенство

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m m m u m u+ > +v v . (4.76)

ание, аналогичные приведенным выше, можно

( )1 2 1 2u u− > − −v v , е шаров относительная скорость их меняет свое ложное, уменьшаясь при этом по абсолютной осительной скорости, можно записать:

1 2 1 2u u− > −v . енки уменьшения относительной скорости вво-овления.

v

68

1 2−v v

1 2u u−В условиях эксперимента коэффициент восстановления можно счи-

тать, величиной зависящей только от материала соударяющихся тел; по-средством k можно ха

k = . (4.77)

рактеризовать упругие свойства того или иного ма-тери

я о е ол эксперимен

h, на

ала. Для абсолютно упругого удара, как следует из уравнения (4.77), v1 –

v2 = u2 и k = 1. Дл абсолютн н упругог удара: u1 = u2 и k = 0. Для про-межуточного удара, то есть наибо ее вероятного удара 0 < k < 1.

Значение k можно определить тально, например, по высоте которую подскакивает шарик, свободно падающий на горизонталь-

ную плиту с высоты H. В этом случае k h H= (так как плита неподвиж-ная, ля нее v2 = u2 = 0, а для шарика 1 2gH=v , 1 2u g=д h ).

При соударении шаров одинаковой массы, отклоненных на одинако-вые углы, нетрудно рассчитать скорости в момент удара, которые будут одинаковые (так как 2 2m m=v gh , где h – высота подъема шара). Однако проще измерять не высоту подъема, а дугу или угол, на который отклонен шар. Тогда не трудно показать, что для малых углов (α≤100)

2

(1 cos )2

h αα= − = ,

где – длина нитей подвеса. gα=v .

Аналогично можно определить и скорость шаров после удара u, изме-рив величину угла, на который отклонится любой из шаров после удара. Одной пары полученных значений v и u достаточно для определения ко-эффициента восстановления. формуле (4.77) подставить

vЕсли в

и 1 2u u u1 2= − =v v = − = , получим k = u / v. Если учесть связьара и углом его отклонения, то выражение для k уп

между скоростью ш ростится:

2k u α

1α= = , (4.7v

где α1 – угол отклонения шара до удара; α2 – угол отклонения шара после а. Уменьшение угла после первого соударения может оказаться весьма м. Это вызовет трудности в отсчете угла и приведет к большой по-ности результата. Поэтому целесообразно измерить величину угла не е первого соударения, а после 10–15 соударений. В этом случае -

8)

удармалыгрешпосл формула для k должна быть видоизменена следующим образом:

n nk α=

1α . (4.79)

69

Зная коэффициент восстановления, не трудно рассчитать энергию ос-чной деформации Еод. Если пренебречь сопротивлением, закон сохра-я энергии для уд

татонени ара двух одинаковых шаров запишется так:

2 2 2 21 2 1 2 2

2 2 2 2 одm m mu mu E+ = + +v v

,

од – энергия остаточной деформации одного шара, относящегося к од-у соударению. Учитывая, что

где Емно k u= v , приходим к соотношению

( )1m 2

2одE k= −v

. (4.80)

Если в результате соударения происходит превращение механической энергии в другие (немеханические) формы энергии, то такой удар называ-ется неупругим. В этом случае выполняется только закон сохранения им-пульса.

Если после уд а и т щ а жутся с одной и ара об вза м содей вую и лх те двитой же скоростью, ди ц то ко р носит название абсо- как е ное е , лое та й удалютно неупругого. лю но неупругий удар тем, что А соб т характеризуетсяупругие деформации не возникают и кинетическая энергия соударяющих-ся тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После уд столкнувшиеся а у к ед ц е. и абсо-ара тел движ тся ак иное ело Прлютно н г да кон сох нен механической ер не со-еупру ом у ре за ра ия эн гииблюдается имеет место сохранени сум арно энергии различных ( закон я м йвидов механической и внутренней), а выполняется только закон сохране- –ния импульса:

1 1 2 2 1 2( )m m m m u+ = +v v (4.81) где m1 и m2 массы тел, v и v1 2 – их скорости до удара, u – скорость тел как единого целого после удара. Из (4.81) следует, что

1 1 2 2

1 2

um m

m m+=

+v v

.

Если векторы 1v и 2v направлены вдоль одной прямой, то вектор u имеет направление, совпадающее с этой прямой. При центральном уда-соударениере может произойти, если:

– шары движутся навстречу друг другу; – один шар догоняет другой. Модуль вектора может быть вычислен по следующей формуле:

1 1 2 2

1 2

m mum m

±=

+v v

, (4.82)

v1 и v2 – модули векторов vгде 1 и 2v , знак «–» соответствует случаю (1), знак «+» – случаю (2).

70

Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соответ-енно: ств

2)2 2

1 1 2 2m+v v и

( 12

mmEK

+=1 2K

mE =2

2 u.

Пользуя)

сь этими выражениями, нетрудно получить, что ( 2

1 2Eµ −

=v v

1 2K KE − , (4.83) 2где

21

21

mmmm

+=µ – приведенная масса шаров.

Таким образом, при столкновении неупругих шаров проис

двух абсолютноходит потеря кинетической энергии макроскопического движения,

равная половине произведения приведенной массы на квадрат относитель-ной скорости.

Описание лабораторной установки

Схема установки приведена на рис. 4проводящих нитях длиной . Шар 1 с поляемого винто 4, может бытα1, в пределах от 15

.17. Шары 1 и 2 подвешены на мощью электромагнита, закреп-

м ь зафиксирован на различных углах бросания але 5. При нажатии на пусковую кнопку

электромагнит отключается и отпускает шар 1. Во время удара шары за-мыкают ц ндомера 6, с помощью которого произво-дится . По шкале 5 производит-

º до 35º на шк

епь электронного секуизмерение продолжительности соударения

ся отсчет угла отскока α2 шара 2. Для восстановления исходного состояния системы надо отжать кноп-

ку "пуск" (при этом включается электромагнит), прилепить шарик 1 к электромагниту, а затем нажатием кнопки "сброс" обнулить показания табло на секундомере.

При вертикальном положении нитей с шариками (рис. 4.17) они должны быть на одном уровне и слегка касаться друг друга, а их указатели показывать на нули шкалы углов. При захвате магнитом шарика 1, его ука-затель показывает α1.

Скорость v1 шарика 1 перед самим ударом определяется из закона со-хранения 2 энергии m1v1 /2 = mgh1, где h1 – изменение высоты центра массшарика. Отсюда 1 12gh=v . Но h = – cos α = (1 – cos α ), где α –1 1 1 1 ис-ходный угол отклонения шарика и тогда

1 12 (1 cos )g a= −v . (4.84) Аналогично определяется скорость второго шарика u2 сразу после его

отскока, то есть по углу его отброса α2.

71

Рис. 4.17

Измерения и обработка результатов измерения

мьтесь с установкой и порядком ее1. Ознако ючения. 2. О

е и Опыт

вклпределите параметры установки, результаты занесите в табл. 4.11.

3. Подготовьте установку к работе. Отведите шарик 1 до его захвата электромагнитом. Шарик 2 – неподвижен. Определите угол α1. Нажав кнопку «пуск», зафиксируйте по шкале угол максимального отброса α2 второго шарика. По электрическому секундомеру определите время соударения t. Результаты занесите в табл. 4.12. Опыт повторите пять раз.

4. Проведите эксперимент, описанный в пункте 3, для пяти различных углов отклонения α1 первого шарика.

5. По полученным экспериментальным данным определите среднюю си-лу удара <F>, радиус контактной площадки r, давление p, возникаю-щее при ударе.

6. Отклоните шар на заданный начальный угол α1 и зафиксируйте его электромагнитом. Отключите электромагнит и определите угол, от-клонения шара после 10–15 соударений. Операцию повторите пять раз. Рассчитайте среднее знач н е <∆F>.

разных начальных углов. 7. по пункту 6 повторите для трех8. Сравните результаты k, полученных из формул (4.77) и (4.79). 9. Для значений α1, при которых определялось время соударения, опре-

делите энергию остаточной деформации Еод по формуле (4.80). 10. По полученным данным постройте зависимость Еод(v).

Таблица 4.11

Масса шара m, кг

∆m, кг

Длина Нити l, м

∆l, м

Радиус шара R, м

∆R, м

72

Таблица 4.12

α1, град

α2, град

<α2>, град t,с <t>,

с v1, м/с

u2, м/с

<F>, кН

R, м

p, Па

Контрольные вопросы

1. Что такое абсолютно упругий, абсолютно неупругий, неупругий удар? 2. Перечислите все известные вам процесс

нии

4. Как изменяются кинетическая энергия шаров и их относительная скорость при раз-личных видах соударения, изменение кинети

5. Что такое коэффициент восстановления при прямом ударе шаров? Каковы его зна-чен

оящей работе, если он упа-дет а стальную плиту с высоты H = 1 м?

9. Пу ь два шара летят навстречу друг другу, Массы шаров и их ск /с, |v2| = 2 м/с. Опреде-лить: а) направление олютно неупругого уда-

12.

я работа 6

ко

установки, изображенной на рис. 4.18, роверяется выпол мпульса системы. Проверка производ ульса системы до

ени моментов импульса про-изводится на основе законов динамики вращательного движения. Вычис-

ы, которые могут возникать при соударе-.

3. Какие законы сохранения можно применять для описания соударений, чем ограни-ченно их применение? Сформулируйте эти законы.

ческой энергии?

ия при разных типах ударов и почему? 6. Вывести формулы преобразования скоростей при прямом абсолютно упругом ударе

двух шаров. 7. Что такое импульс силы? Сформулировать второй закон Ньютона, содержащий это

понятие. 8. На какую высоту подскочит шарик, используемый в наст

нст между ними происходит прямой удар.

орости: m1 = 1 кг, m2 = 2 кг, |v1| = 1 ми величину скорости шаров после абс

ра; б) направление и величины скоростей шаров после абсолютно упругого удара. 10. Что такое центр масс и скорость центра масс? Что такое система центра масс, лабо-

раторная система отсчета? 11. Какая система называется консервативной, диссипативной, изолированной?

Какие величины в данной работе измеряются прямым путем, а какие – косвенным? Дайте определения прямых и косвенных измерений.

Лабораторна

ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Цель работы

Изучение законов динамики вращательного движения и проверка за-на сохранения момента импульса.

Содержание работы

В данной работе при помощип нение закона сохранения момента и

ится путем сравнения момента импвнедрения шарика в ловушку и момента импульса системы после внедр -я шарика в ловушку. Оценка соответствующих

73

ляется момент сил трения. Производится оценка погрешности вычисления ментов импульсов и момента сил трения.

Описание установки

Установка (рис. 4.18) состоит из наклонного желоба 2, по которому атывается ст

мо

кр а измеряется при помощи секундомера 9. Полнизмеряется с помощью указателя 8 по делениямти ующего на ось стороны ловушки с шариком

а проведения эксперимента и обработка результатов

Шарик устанавливают на горизон-тальном участке наклонного желоба и, слегка выведя его из положения равнове-сия, ставляют скатиться вниз по на-клонному желобу и попасть в ловушку. Пренебрегая действием диссипативных сил в момент скатывания шарика, можно вопо и, согласно

энергии го кинетической энергии поступа-тельн д ия:

ск альной шарик 3 и попадает в ловушку 5, жестко закреплен-ную на горизонтальном диске 1, который может свободно вращаться во-уг вертикальной оси 4, закрепленной на шкиве 7. Время вращения диск

ый угол поворота в радианах , нанесенным на диск. Про-

вовес 6 предназначен для уравновешивания момента сил действ со .

Методик

Методика эксперимента

за

спользоваться законом сохранения лной механической энерги Рис. 4.18

которому убыль полной потенциальной шарика идет на приращение е

ого и вращательного вижен

2 20

1 12 2

mgH = +m ωv I (4.85)

Здесь m – масса шарика, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного павысота желоба, v – скорост асс шарика перед попада-нием в , ω – угловая скорост вращения шарика пере ием в ло сит льн проходящей чер асс шарик

.

дения, H – ь движения центра м

ь д попаданез центр мельно горизонта ой оси

ловушкувушку отноа, 2

025

I mR ии а относительно т оси.

Считая, что шарик движется без скольжения можно выр зить угловую скорость вращения шарика вокруг горизонтальной оси, проходящей через

центр масс шарика, через линейную масс шари

= – момент инерц кшари ой же

, а

скорость центра ка R

ω= v и

из закона сохранения полной механической энергии (4.85) найти скорость движ ент асс ш а ения ц ра м арик

74

107

gH=v . (4.86)

Поскольку после внедрения шарика в ловушку, шариквместе с ловушко солютгим. Так как время мало, можно пре еч ств мента сил трения д законом сохранения е и ьс вращен ска для системы, состоящей из диска с деталями на нем и шарик , так как мо-мент других внешних сил действующих на ему относительно этой оси ны нулю. Согласно закону сох анени момента импульса момент импульса системы относительно оси вращения диска до столкндет равен моменту импу льно той же оси после столкновения. Поск у вначале диск не ает момент импульса сис о с кн ом у импульса а

вращается но неупру-й, столкновение с ловушкой является аб

взаимодействия шарика с ловушкой оченьнебр ь дей ием мо

момна ось иска и воспользоваться

оси нта мпул а относительно ия диа

ы , сист , рав р я

овения бу-льса системы относите

ольк вращ ся, тотемы д тол овения равен м ент шарик

1L m R= v , (4.87) где R – расстояние от оси вращения до центра шарика находящегося в ло-вушке. Момент импульса с вения равен

истемы после столкно

2 cL Iω= , (4.88) ωc – угловая скорость вращения системы сразу после попадания шари-в ловушку, I – момент инерции системы после попадания шарика в ло-ку относительн

гдека вуш о оси вращения диска. По свойству аддитивности этот

шарика мал по сравнению

ша нт инерции материальной точки

момент инерции системы равен сумме момента инерции диска с деталямина нем относительно оси вращения диска Iд и момента инерции шарика от-

иусносительно той же оси Iш. Учитывая, что радс расстоянием от центра ловушки до оси вращения диска, момент инерции

рика можно найти как моме 2шI mR= .

Тогда момент инерции системы относительно оси вращения равен 2

дI I mR= + . (4.89) После попадания шарика в ловушку система вращается замедленно

д действием момента сил трения на ось дпо иска. Для определения угловой скорости ωc будем считать момент силы трения, действующий на ось диска после попадания шарика в ловушку M, постоянным по величине, в этом

чае угловое ускорение вращения диска ε то же будет постоянным. слу Его а t, которое находится из кинема-

можно найти, зная время вращения дисктических уравнений

21 ,2

0 .

c

c

t t

t

ϕ ω ε

ω ε

= −

= − (4.90)

Здесь ϕ – полный угол поворота диска за время его вращения. Решая сис-тему уравнений (4.90) найдем угловую скорость системы сразу после удара

75

2с tϕ= . (4.91) ω

Для вычисления момента сил трения запишем основной закон дина-мики вращательного движения для системы диск–шарик относительно оси вращения диска через импульс момента силы Mt L=∆ , где Mt – импульс момента силы трения в оси диска, ∆L = – L2 – приращение момента им-пульса системы за время вращения диска. Таким образом

2LMt

=− . (4.92)

Порядок выполнения работы

1. Запишите результаты единичных измерений и параметры установки, приведенные на лабораторном столе, в табл. 4.13.

2. Опустите наклонный желоб 2 и поверните диск так, чтобы ушки на кон-це желоба попали под ловушку 5. При этом нулевое значение шкалы диска должно установиться против указателя 8. Поместите шарик в «лунку» на верхнем горизонтальном участке желоба и легким прикосно-вением заставьте его скатываться.

3. В момент попадания шарика в ловушку включите секундомер. Сосчи-тайте число полных оборотов, сделанных диском до остановки (наблю-дая за прохождением ловушки через начальное положение) и в момент остановки диска выключите секундомер.

4. Запишите в табл. 4.14 время, число полных оборотов N и число делений K шкалы диска возле указателя 8 в момент остановки диска.

5. Повторите опыт пять раз, каждый раз последовательно выполняя все операции, указанные в п. п. 2–4.

Обработка результатов измерений

1. Вычислите для каждого измерения угол поворота диска по формуле , результаты вычислен

2. Обр

ю погрешность δx (Здесь х обо

3. Исп

2 N Kϕ π γ= + ий запишите в табл. 4.14. аботайте результаты измерений времени и угла поворота диска: най-

дите среднее арифметическое значение <x>, среднеквадратичную по-грешность S и доверительный интервал ∆x при доверительной вероят-ности α = 0,8; вычислите относительну

значает либо φ, либо t). Результаты вычислений запишите в табл. 4.14 – 4.15.

ользуя средние значения угла поворота диска и времени, посчитайте значения момента импульса системы до внедрения шарика в ловушку

1107

L mR gH= , (4.93)

момента импульса системы после внедрения шарика в ловушку

76

22( )L I mR ϕ= + (4.94) 2 д tи м

льса системы и момента силы трения по формулам

омент сил трения системы (4.92). Результаты вычислений запишите в табл. 4.16.

4. Посчитайте относительные погрешности косвенных измерений момен-тов импу

11 ,

2L m R HL

L m R Hδ ∆ ∆ ∆ ∆= = + +

12

2 22 2

2 д

,дI R m Rm RL tL ϕδ ∆ + ∆ + ∆∆ ∆ ∆= = +L t I mRϕ +

2

2

.LM t

+

∆∆ ∆

(4.95)

ты вычисле-ний

ниже таблиц в виде

Таблица 4.13 тановки

асса арика m, кг

Момент инерции диска

2

Цена деле-ния шкалы диска

MM L t

δ = = +

Найдите доверительные интервалы ∆L1, ∆L2, ∆M. Результа запишите в табл. 4.16.

5. Запишите окончательные результаты L1 = <L1> ± ∆L1, δ L1 = …, α = …; L2 = <L2> ± ∆L2 , δ L2 = …; M = <M> ± ∆M, δ M = … .

Сделайте выводы.

Параметры ус

Высота наклонного желоба Н, м

Расстояние от оси вращения до центра

ловушки R, м

Мш

Iд, кг м γ, рад

Таблица 4.14

Результаты измерений

опыта ti, с <t>, с N, обо-

ротов K, дел , рад <ϕ>, ад ϕ р

1 …

Таблица 4.15

Обработка результатов прямых измерений

∆ti, c

(∆ti)2, c2

Σ(∆ti)2, c2 St,c

2∆t, c ∆ϕi,

c (∆ϕi)2,

c2Σ(∆ϕi)2,

c2 Sϕ, 2

∆ϕ, c c

1 …

77

Таблица 4.16 Результаты вычислений

<L1>, кг⋅м2/с

∆L1, <L2>, ∆L2, <M>, ∆M, δ L1 кг 2 ⋅ 2 δ L2 2 ⋅ 2 2 δ M 2 2⋅м /с кг м /с кг⋅м /с кг м /с кг⋅м /с

Контрольные вопросы

1. Дай

2. Чему равен момент импульса твердого тела

6. Выведите формулу для кинетической энер

7. Сф

те определения момента импульса материальной точки относительно непод-вижной точки, момента импульса материальной точки относительно неподвижной оси, момента силы относительно неподвижной точки и момента силы относительно неподвижной оси.

относительно оси? 3. Дайте определение момента инерции твердого тела. Какие свойства момента инер-

ции твердого тела вы используете в данной работе? 4. Сформулируйте и докажите теорему Штейнера. 5. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Запишите его

применительно к данной работе. гии вращательного движения твердого

тела. ормулируйте закон сохранения полной механической энергии для системы тел.

Запишите его применительно к шарику, скатывающемуся с наклонной плоскости. Какие приближения вы при этом используете?

8. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы тел. Запишите его применительно к данной работе. Какие приближения вы при этом используете?

9. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы тел. Можно ли им пользо-ваться для описания соударения шарика с ловушкой в данной работе? Почему?

10. Выведите расчетные формулы (4.92 – 4.94). 11. Выведите формулы относительных погрешностей косвенных измерений (4.95).

78

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

енных к любому реальному телу сил оно де-руется, т ет свои размеры и форму. В теории упругости мином деформация понимается всякое изменение в относительном

го тела, возникшее под влиянием внешних

аждого кон-. В случае если дей-

их действия вызывае-мая ими деформация исчезает не полностьюостаточная деформация. Таким образом,

деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле (по крайней мере, частично) послеприло

ны приложенных сил. Тела называются упругими, если пре-дел у

Под действием приложформи о есть изменяпод террасположении частиц твердо

сил.В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации

упругие и деформации пластические. Если после прекращения действия достаточно малых сил тело принимает первоначальные размеры и форму, то есть деформация исчезает, то такая деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для ккретного тела предел, называемый пределом упругостиствующие на тело силы велики, то с прекращением

и наблюдается так называемая пластическими или остаточ-

ными прекращения действия внешних

женных сил. Когда появляются первые признаки остаточной дефор-мации, то говорят, что достигнут предел упругости. Является ли деформа-ция упругой или пластической – это зависит не только от материала тела, но и от величи

пругости достигается при больших внешних усилиях (например, сталь, каучук и т. д.), и неупругими, если предел упругости достигается уже при очень слабых усилиях (например, свинец).

Деформация приводит к возникновению упругих сил. Упругая сила отличается от внешней только знаком. Упругие силы принято характери-зовать напряжением σ, которое определяется как модуль силы, приходя-щейся на единицу площади поперечного сечения:

упрFS

σ = . (5.1)

В случае растяжения напряжение σ считается положительным, в слу-чае сжатия – отрицательным. Напряжение называется нормальным, если сила упрF направлена по нормали к площадке S, и касательным, если она направлена по касательной к этой площадке.

Пределом упругости называется максимальное напряжение, при ко-тором еще не возникают остаточные деформации.

Различают следующие виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Отметим, что среди множества различных видов дефор-маций следует выделить две простейшие: деформацию растяжения (или сжатия) и деформацию сдвига. Все остальные виды деформаций имеют

79

более или менее сложный характер. В случае если деформации достаточно малы, то можно любую деформацию рассматривать как сумму некоторых растяжений и сдвигов.

В пределах малых деформаций все деформации удовлетворяют сле-дующим основным законам: 1) в пределах упругости деформация пропорциональна величине внешнего

усилия; 2) перемена знака внешнего усилия вызывает только перемену знака де-

формации, без изменения ее абсолютной величины; 3) при действии нескольких внешних усилий общая деформация равна

сумме частных деформаций. Мерой деформации является относительная деформация

0/ε = ∆ , (5.2) равная отношению абсолютной деформации ∆ к первоначальному значе-нию величины , характеризующей размеры или форму тела.

Зависимость между напряжени-ем σ и относительной деформацией ε показана на рис. 5.1. Точка А соответ-ствует пределу пропорциональности. При небольших напряжениях относи-

n

0

тельное удлинение прямо пропорцио-нально напряжению σ , а после снятия нагрузки размеры тела полностью восстанавливаются. Как уже упомина-лось, такая деформация называется упругой. Если еще увеличить нагруз-ку, то деформация становится нели-нейной, напряжение перестает быть пропорциональным относительному удлинению. Тем не менее, при небольших и линейных деформациях после снятия нагрузки форма и размеры тела практически полностью восстанав-ливаются (участок АВ). Напомним, что максимальное напряжение, при ко-тором еще не возникают заметные остаточные деформации, называют пре-делом упругости σупр. Предел упругости превышает предел пропорциональности лишь на сотые доли процента.

При напряжениях, превышающих передел упругости σупр, образец после снятия нагрузки не восстанавливает свою форму или первоначаль-ный размер. Это область пластических деформаций. В области пластиче-ской деформации (участок ВС) деформация происходит не пропорцио-нально увеличению напряжения. На горизонтальном участке СД материал «течет» – деформация возрастает при неизменном напряжении. Напряже-ние σт (ордината точки С), при котором материал "течет", называют преде-лом текучести.

Рис. 5.1

80

Если в области пластических деформаций снять напряжение с тела, то у тела сохраняется остаточная деформация εост. После точки Е кривая идет вниз, это означает, что дальнейшая деформация вплоть до разрыва происходит при все меньшем напряжении. Наибольшее напряжение σпч, которое способен выдержать образец без разрушения, называется пределом прочности.

Перейдем к более детальному рассмотрению основных видов де-формации.

1. Деформация растяжения (сжатия). Английский физик Р. Гук установил закон (закон Гука), согласно ко-

торому напряжение упруго деформированного тела прямо пропорциональ-но его ации. относительной деформ

kσ ε= , (5.3) где k – модуль упругости. Отметим, что закон Гука справедлив только на участке ОА (рис. 5.1).

При продольном растяжении или сжатии модуль упругости называ-ется модулем Юнга, и закон Гука запишется так:

Eσ ε= , (5.4)

оному нап тельное удлине-

ние было бы равно единице, если бы оль большие упругие деформации были

тельному удлинению, равному единице, соответствует увеличение длины упруго деформируемо-го тела в два раза, что невозможно для реальных териалов.

где Е – модуль Юнга. Физический смысл модуля Юнга заключается в том, что н равен

такому нормаль ряжению, при котором относи ст

возможны (в действительности при значительно меньших напряже-ниях происходит разрушение стержня, еще раньше достигается предел уп-ругости). Из выражения (5.2) следует, что относи

маИз формул (5.1), (5.2) и (5.4) следует выражение для определения

модуля Юнга: 0FE

S=

∆ , (5.5)

где F – действующая сила, 0 – первоначальный линейный размер тела, S – площадь поперечного сеч тела, ения ∆ – абсолютная деформация.

2. Деформация сдвига.

и не из-меняя

ллелепипеда, под действием силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. ань AD, параллельная ВС, закреп-

Сдвигом называют деформацию тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь

сь в размерах, смещаются параллельно друг другу. Деформация сдвига возникает, например, в однородном теле, имеющем форму прямо-угольного пара

Гр

81

лена (рис. 5.2). Под дейст-вием касательной силы F прямоугольный паралле-лепипед ABCD превратится в параллелепипед AB C D′ ′ .

При малом сдвиге (то

есть когда выполняется ус-ловие tgγ γ≈ ) можно за-писать

Рис. 5.2

tg Cγ γ CCD

′= = , (5.6)

где или относительный сдвиг, CC′ – абсолютный сдвиг, γ – угол сдвигавыраженный в радианах.

Если предположить, что действие силы F равномерно распределено по всей поверхности площадью S ′ , то в любом сечении, параллельном этой поверхности возникает касательное напряжение τ = F/S’. Тогда на ос-новании первого закона малых деформаций угол сдвига равен

Fk kS

γ τ= =′ ,

где k – коэффициент сдвига. Модуль сдвига G равен 1 1 Fk S

G τγ γ

= = (5.7, а) =′

или G/τγ = . (5.7, б)

Как уже говорилось выше, линейная зависимость между напряже-ниями и малыми деформациями в упругой среде выражается законом Гука. Следовательно, формула (5.7, б) является записью закона Гука для дефор-мации сдвига.

Физический смысл модуля сдвига G: модуль сдвига равен такому тангенциальному (касательному) напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 45°, если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости.

Отметим, что углу сдвига, равному 45°, соответствует относитель-ный с те-двиг равный единице. Величина G зависит от свойств материала ла, но не зависит от его размеров и формы.

3. Деформация изгиба. Если прямой упругий стержень неподвижно закрепить одним концом

в твердой стене, а другой конец нагрузить грузом Р, то этот конец опус-

82

тится, то есть стержень согнется. Такая деформация называется изгибом. Изгиб – сложная деформация, которую ожно представить как совокуп-

ы. В исходном состоянии все "слои" имеют длину, равную длине стержня. Легко понять, что при таком изграстяг , й средний слой, который

ну и только претерпит

мность растяжения и сжатия. Мысленно разобьем стержень на “слои” вдоль его длин

ибе верхние слои стержня будут иваться нижние – сжиматься, а некоторы

называют нейтральным, сохранит свою длиискривление.

Для отдельного "слоя" изогнутого стержня деформация будет при-близительно однородной. Зная деформацию "слоя", можно определить мо-дуль Юнга. Но измерение деформации каждого такого элемента структуры стержня пр

Рис. 5.3

едставляет значительные теоретические и экспериментальные трудности. Поэтому принято рассматривать идеализированный случай из-гиба невесомых, тонких и узких стержней, у которых поперечные сечения всегда бы оставались неизменными по форме и нормальными к продоль-ной оси. На практике тонким принято считать стержень, если его длина l много бол рины а и толщины b. В этих случаях можно не учи-ьше его шитывать напряжения, возникающие при деформации на его боковых по- верхностях. Практически при изгибе тонких и узких стержней принято из-мерять не деформаци а. ю, а стрелу прогиб Перемещение λ, которое получает свободный конец стержня (или его середина в случае закрепле-ния обоих концов стержня), называется стрелой прогиба. Стрела прогиба будет тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, она должна зави-сеть от формы и размеров стержня и от его модуля упругости. Для того чтобы вычислить стрелу прогиба, рассмотрим какое–либо поперечное се-чение прямоугольного стержня длины L, высоты b и ширины а. Пусть это поперечное сечение находится на расстояни х от свободного конца истержня.

На рис. 5.3 представлен элемент этого стержня длиной dx, непосред-ственно прилегающий к рассматриваемому сечению; I – обозначает на-

83

правление этого сечения перед изгибом, а II – положение того же сечения после изгиба по отношению к соседнему сечению, рез II е изгиб

и, проходящей через нейтральный слой OO (это происх

претерпевать некоторый произ

.

Из рис. 5.3 видно, что

которое обозначено че-I. Перед изгибом I параллельно III; посл а I переходит в поло-

жение II вследствие того, что сечение вращается около осодит потому, что части dx, лежа-

щие выше нейтрального слоя, удлиняются, лежащие же ниже – укорачи-ваются). Найдем удлинение dl, которое будет

вольно выбранный слой стержня высотой dy, находящийся на рас-стоянии у от нейтрального слоя

2ζ

dl yb= , откуда

2 ydlbζ

= . (5.8)

Для того, чтобы вызвать это удлин , нуж торая сила dF, кото-рая по закону Гука б

ение dl на некоудет равна

EdsddF = ,

где Е – модуль упруг териал ржня, растягивае-мого слоя. Подставляя выраж найденное значение (5.8), а также значение , что ясно и рис. 5.3, получим:

dxости ма а сте а d – площадьS в это ение уже d

dS a dy= ⋅ з 2Ea ydF dy

bdxζ

= .

Чтобы вычислить вращающий , действующий на все попе-речное сечение стержня всех сил dF и просум-мировать их. Элементарный

момент, надо вычислить моменты

момент в ащения есть р22EadM ydF y dy

bdxζ

= = ,

а, следовательно, вызванный у и в данном поперечном сече-нии общий

пругими силам момент вращения будет иметь вид

2

2

222

b

b 6Ea Ea bM y dybdx dx

ζ ζ+

−

= =∫ .

Так как при равнов ии вращающийи, должен равняться моменту вращен

ес момент, вызванный упругими силам ия внешней силы, то можно на-писать

2

6Ea bM Px

dxζ

= = ,

где Р – вес груза, приложенного к свободнорасстояние от точки приложения Р

(5.9)

му концу стержня, а х –до рассматриваемого сечения.

Мерой изгиба в рассматриваемом сечении является угол dφ, который

84

образован двумя направлениями I и II поперечного сечения (рис. 5.3). Лег-ко видеть, что

2

2d b b

ζ ζϕ = = .

Проведем в точках А и В перпендикуляры к направлениям сечений I и II и продолжим их до свободного конца стержня, сделав, таким образом, их длину, равной х. Ясно, что эти два отрезка образуют между собой угол, равный dφ. Расстояние dλ между концами обоих отрезков есть элементстрелы прогиба, котор ния только рассмат-риваемого поперечного сечения. Из рис. 5.3 становится ясно, что

ый образуется вследствие враще

d xdλ ϕ= . Подставляя в это выражение найденное значение dφ, а также значение

6Pxdx2Eab

ζ = , полученное из уравнения (5.9), приходим к выражению 22 12x Pxd dxζλ = = . (5.10) 3b Eab

среВся стрела прогиба λ может быть найдена по-

дством следующего интеграла: 3

23 3

0

12 4L P PLx dxEab Eab

λ = =∫ . (5.11)

Это – стрела прогиба стержня, непод-жно закрепленногови с одной стороны и не-

еслносер ба

вм

Де на стер-ень противодействие, равное Р/2, тогда как средняя часть остается гори-

зонтальной. Таким образом концами, ведет себя

т ес закр а н обоих в, находящихс расстоянии ны его, действова-ла вверх ила Р/2. Следова ельно, в этом случае прогиба будет рав-а:

сущего груз на свободном конце. В случае, и стержень будет обоими концами свобод-

положен на твердые опоры и нагружен в едине весом Р (рис. 5.4), то стрела проги

найдется также из уравнения (5.10), но только есто величины Р надо будет поставить Р/2

и интегрировать не от 0 до L, а от 0 до L/2. йствительно, в этом случае изгиба каждая из опор оказывает

ж

Рис. 5.4

, стержень, опирающийся обоими очно так же, как ли бы он был еплен посередине, а каждый из

концо я на L/2 от середи с т стрела

н

2 312LP

23 3

0

24

PLx dxa∫

да Eab E b , λ = =

отку

85

3PL34

Eab λ

= . (5.12)

Итак измерив размеры стержня (L, a, b), стрелу прогиб λ и внеш-нюю силу , можно определить модуль Юнга E.

4. Деформация кручениЕсли проволоку или стержень, закрепленные с одного , закру-

чивать, пр лагая к другому концу пару сил РР с моментом, , то угол кручения вн

, аP

я. концаи равным М

φ по закону Гука оказывает ра ым cM

сяϕ = ,

где с коэффицие . Модуль кручения – нт, зависящий от вещества проволокиf равен

1 Mfc ϕ

= = . (5.13)

пр– кща

ке точ а вертикаль СА – в винтовую линию СВ. Благодаря этому элемен-ты, расположенные как сна а цилиндрических поверх-ностях, перекашиваются вследствие ериал проволоки претер-

сдвига буквой ω. Из рис. 5.5

Между модулем кручения и модулем сдвига материала проволоки можно установить простое соотношение. Для этого рассмотрим проволоку длиною L с радиусом R и модулем сдвига G (рис. 5.5).

Пусть верхнее сечение закреплено непод-вижно, а к нижнему приложена пара сил РР, создающих вращающий момент с моментом М. Под действием этой пары сил нижнее сечение оволоки поворачивается на угол φ. Пусть dS акой–либо бесконечно малый элемент пло-ди нижнего сечения проволоки, находящий-

ся на расстоянии r от оси кручения проволоки OO1, и пусть до кручения он находился в точ-А; после кручения этот элемент перейдет в ку В,

Рис. 5.5

ружи, так и внутри н того, что мат

певает деформацию сдвига. Обозначим уголвидно, что

BA rL L

ϕω = = . (5.14)

На основании формулы (5.7, а) для того, чтобы элемент dS сдвинулся на угол ω, к нему надо приложить силу, равную dP G dSω= . Подставляя сюда значение dS rd drα= , в чем легко убедиться из рис. 5.5, и значение ω

из уравнения (5.14), получим 2Gr drddP

Lϕ α

= . Момент этой силы относи-

86

3Gr drddm dP rтельно оси кручения будет равен Lϕ α

= ⋅ = .

Для того, чтобы на на все коль-цо, отм :

йти момент (dM), действующийсилыеченное на рис. 5.5, надо просуммировать по α все моменты dm

2 3Gr drϕ

0 Lα

dM dα π

α=

.

-=

Так как все величины, стоящие под знаком интеграла, кроме dα, от α не зависят, то

= ∫

32 GdM r drL

π ϕ= .

Для нахождения полного момента М, то есть момента, действующего на все нижнее основание, необходимо просуммировать по r все моменты dM; тогда интегрируя, получаем

43

0

22

R G G RM r drL L

π ϕ π ϕ= =∫ . (5.15)

M f ϕ=Используя выражение (5.13), находим . Подставляя найден-н 5), окончательно получим: ое значение M в выражение (5.1

4

2G Rf

Lπ

= . (5.16)

Зд ериала, из которого сделана проволока, а f – отрезка проволоки.

видно, что размерность модулей Е и G – од

Таблица 5.1 ости для некоторых материалов

Модуль Юнга

Модуль сдвига

есь G – модуль сдвига того матмодуль кручения данного

Из формул (5.5) и (5.7, а) на и та же: [Е] = [G] = Н/м2.

Значения модулей упруг

Материал E, ГПа G, ГПа

Алюминий Железо

69 200

27 80 – 82

Латунь Медь

95 120

35 – 40

Свинец Титан

157 110 – 125

67 43

35 – 40

87

Лабораторная работа 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ

Цель работы

Экспериментальная проверка закона Гука при деформации кручения ких стержней круглого поперечного сечения из стали и меди. Опреде-ие модуля сд

тонлен вига для стали и меди.

Описание лабораторной установки

Установка для определения модуля двига при кручении состоит из двух идентич-сных модулей, разлформируемого стер

те стержелож

кот

руе

св

2. титель 9 так, чтобы видеть на шкале 8 световой "зай-

чик". Шкала должна быть установлена перпендикулярно отраженномусветовому лучу.

3. Произв устано-вится светово n0 в раздел табл. 5.3, относя-щийся к стальному ст

4. П кажду одному груз массы m. Произведите ш ле отсчет ов ет ог зайчика n.

ичающихся материалом де-жня – сталь и медь. На рис.

5.6 показана схема одного модуля. Исследуемый в рабо нь 1 распо-

ен вертикально. Верхний конец стержня жестко закреплен, а нижний соединен с дис-ком 2. Крутящий момент создается двумя ни-тями 3, навитыми на диск и перекинутыми че-рез блоки 4. Нити нагружены грузами 5,

орые устанавливаются на подвески 6, при-

Рис. 5.6 крепленные к концам нитей. С диском 2 жест-ко связано зеркало 7, поворот которого фикси-

тся на шкале 8. Луч света от осветителя 9 отражается от зеркала, и при закручивании стержня по шкале перемещает-ся етовой "зайчик".

Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с лабораторной установкой и запишите ее технические параметры в соответствующие графы табл. 5.2. Подвесьте к концам нитей 2 модуля со стальным стержнем подвески 6. Установите осве

едите по шкале 8 отсчет n0 деления шкалы, на котором й "зайчик". Запишите отсчет

ержню. оложите на ю подвеску по у одинаковой

по ка 8 н ого положения св ов о

88

Зап отсчет n величину м с з а но по ес m бл. 5.3.

5. Увеличивая массы грузов на подвесках ступенями по одному грузу н обеих пответству ∑m в таб .3. В зве опы

6. Сни о о зу подвесок, произведите е измере-ний, разгружая стержень. ите результаты . 5.3.

7. Повторите пп. 2–4 на второ дным стержнем, записывая ре-зультаты в раздел табл. 5.3, медному стержню.

Таблица 5.2

Параметры установки

Диаметр стержня d,

Длина стер, мм

яние от зеркала о шкалы L

Радиус диска R, мм

ишите и ас ы гру а н од й дв ке в та

аодвесках, производите отсчеты n по шкале 8 и заноситеющие им значения общей массы грузов на одной подвеске

их и со-

л. 5 сего проидному гру

дите 5 тов. мая п с обеих ще 5

Запиш в таблм модуле с еотносящийся к

м

лабораторной

жня Расстомм д , мм

Таблица 5.3

Результаты ки результатов эксперимента и обработ

Отсчет по шкале, дел.

Масса грузов n–n Угол ϕ, сил М, экс. ∑m,

o

рад Н.м рад/Н10–3, кг no n

м , ГПа

Момент a,

.

Модуль сдвига G

Стальной стержень 1

. . . 10

Среднее значение модуля сдвига стали < Gсталь> ± ∆G, ГПа Медный стержень

1 . . . 10

Среднее значение модуля сдвига меди < Gмедн > ± ∆G, ГПа

Обработка результатов измерений

1. Для каждого опыта по формуле 0

2n n

Lϕ

−= вычислите угол закручивания

ϕ , а по формуле 2M gR m= ∑ – соответствующие углам закручивания моменты М.

2. Для каждого опыта рассчитайте отношение q = ϕ /М. 3. Для каждого опыта рассчитайте значение модуля сдвига G по формуле

4

32LGd qπ

= .

89

4. Рассчитайте ср и и меди и дове-рительные интерв яв значение довери-тельной вероятности

5. Р

симость прямой ли

твердого тела с изменением расположения ато-м

изучение упругих свойств тел?

еднее значение модулей сдвига для сталалы по методу Стъюдента, прин

α = 0,95. езультаты всех вычислений занести в табл. 5.3.

6. Постройте график зависимости угла закручивания ϕ от величины кру-тящего момента М. Аппроксимируйте полученную завинией, проведя ее приблизительно таким образом, чтобы по обе сторо-

ны от этой прямой находилось примерно равное число эксперименталь-ных точек.

7. Сравните полученные значения модулей сдвига с приведенными в табл. 5.1 и проанализируйте возможные причины погрешностей в данной ра-боте.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под деформацией твердого тела? 2. Какие деформации называются упругими? Пластическими? 3. Какие виды упругих деформаций могут возникать в твердых телах? 4. Перечислите и поясните рисунками основные виды деформаций (растяжения, сдви-

га, кручения, поперечного изгиба). 5. Сформулируйте закон Гука и запишите его для деформаций сдвига и кручения. 6. Каковы физические смыслы модуля сдвига и модуля кручения, что они характери-

зуют и от чего зависят? 7. Как связаны упругая деформация

ов, из которых оно построено? 8. Что такое относительная деформация? Что является относительной деформацией

для сдвига и кручения? 9. Зачем необходимо

Лабораторная работа 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ПРИ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА

Цель работы

Экспериментальная проверка закона Гука при деформации изгиба брусьев прямоугольного поперечного сечения из стали и латуни. Опреде-ление модуля Юнга для стали и латуни.

Описание лабораторной установки

Установка для определения модуля Юнга (рис. 5.7) состоит из мас-сивного основания 1 с двумя опорами 2, на ребрах которых устанавлива-ется прямоугольный брус 3 длиной l. На брус надевается обойма 4 с крюч-ком 5, на который подвешивается чашка 6 с грузами 7, за счет веса которых P деформируется брус. Стрела прогиба измеряется часовым ин-дикатором 8 с ценой деления 0,01 мм, закрепленным на стойке 9.

90

Порядок выполнения работы

1. Произведите измерение ли-нейкой расстояния между опорами и результат запиши-те в табл. 5.4 протокола.

2. Определите ширину и тол-щину балки. Для этого из-мерьте указанные параметры не менее, чем в пяти различ-ных точках. При расчетах ис-пользуйте среднее из полу-ченных результатов. Результаты измерений запишите

3. Установите стальной стержень

им, найденн

прикосновение с обоймой щуп ч4. Вращая шкалу часового индик

нулевое деление шкалы напроти5. Подвесьте на крючок обоймы ч

бораторном столе) и первый грка

тора и запишите результат в т6. Нагружайте брус, устанавливая

писывайте показания индикатощую массу установленных грумального значения.

7. Разгружайте брус, снимая с чашдикатора в строки 6–10 табл. 5.5

8. Проверьте, существенно ли завилы P. Для этого сместите обоймредину бруса, и вновь определизначение Е с прежнне бруса. ди

9. Выполните процедуры по пунктзов наращивайте до максимальзов).

10. Окончив измерения, снимите ла

Обработка рез

1. Для каждого опыта рассчитайтньютонах по формуле i iP m= ∑падения g равно 9,81 м/с2. Резул

Рис. 5.7

бл. 5. в та

с обо

ым

е изгибающей нагрузки Pi в

4 протокола. ймой на опоры и приведите в со-

асового индикатора. атора за рифленое кольцо, установите в стрелки. ашку для грузов (ее масса указана на ла-уз. Произведите отсчет по шкале инди-абл. 5.4. на чашку дополнительные грузы и за-ра в строки 1–5 табл. 5.5. Доведите об-зов (с учетом массы чашки) до макси-

ки грузы, и записывайте показания ин-. сит результат от точки приложения си-у 4 на 2–3 мм из точки, принятой за се-те модуль Юнга. Сравните полученное

для нагрузки, приложенной к сере-

ам 3–9 для латунного бруса. Массу гру-ного значения (исходя из наличия гру-

тунный брус с опор.

ультатов измерений

е значениg , учитывая, что ускорение свободного ьтаты занесите в табл. 5.5.

91

2. Для каждого опыта рассчитайте значение модуля Юнга, по формуле (5.12). Результаты занесите в табл. 5.5.

3. Рассчитайые интервалы результатов по методу Стъюдента для 95 % до-

ве4. Постройте графики зависимостей стрелы прогиба λ от величины изги-

рузки Р е причины отклонений эти й

те среднее значение модулей Юнга для стали и латуни и до-верительнрительной вероятности. Результаты запишите в табл. 5.5.

бающей наг . Проанализируйте возможных зависимостей от линейно . графиков для каждого материала определите угловой коэффициент5. Из

tg / ,Pϕ λ= ∆ ∆ где ϕ – угол наклона прямой к оси λ. модуля Юнг

о формуле

6. Вычислите среднее значение а для каждого материала, ис-

3

пользуя график, п 34 a btgE ϕ= .

а ные в ущем пункте, со средними значениями в табл. 5.5. Проанализи-

совпадения ными данными

Таблица 5.4 еров исследуемых брусьев

< >< >те значение модуля Юнг для каждого материала, получен7. Сравни

предыдруйте возможные причины не ваших результатов с таблич-

.

Определение геометрических разм

Расстояние межд опорами l, мм у Попере в чные размеры брусье

М , мм атериал Ширина а Толщина b, мм а а а а а <а> b b b b b <b> 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5Сталь

а1 а2 а3 а4 а5 <а> b1 b2 b3 b4 b5 <b> Латунь

Таблица 5.5

Зависимость стрелы прогиба брусьев от величины нагрузки

опыта

Масса гру-зов ∑ m, г

Стрела прогиба λ, мм

Нагрузка Р, Н

Модуль Юнга Е, ГПа

< Е > ± ∆Е, ГПа

1 2 4 5 6 7 Стальной ус бр

1 2

… … 10

Лату ус нный бр1 2

…… 10

92

Контрольные вопросы

1. Что понимают под деформацией твердого тела? 2. Какие деформации называются упругими? Пластическим3. Какие виды упругих деформаций могут возникать в твер4. Перечислите и поясните рисунками основные виды деф сдви-

га, кручения, поперечного изгиба). 5. Сформулируйте закон Гука и запишите его для деформац6. Каков физический смысл модуля Юнга, что он характери7. Как связаны упругая деформация твердого тела с изменен -

мов, из которых оно построено? 8. Что такое относительная деформация? Что является о

для изгиба? 9. Зачем необходимо изучение упругих свойств тел? 10. Почему тангенс угла наклона прямой на графике проп

материала стержня?

и? дых телах? ормаций (растяжения,

ии изгиба. зует и от чего зависит?

ием расположения ато

тносительной деформацией

орционален модулю Юнга

93

Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.1. Гармонические колебания

К е характе-ью п терной для этого

движ

о-магн

кими, а про

иболее важным типом периодических колебаний яв-емени

грсимости от воздействия, оказываемого на систему, различают

своб ания, вынужденные колебания, а также па-рические и автоколебания.

и орые проис-ходя к-

ия

называютспроисходят воздействи

челей. Человек, раскачивающий качели, представляет

щейся системе действуют силы сопротивления (на-пример, си системы расгии не вос ия со време

трения скользить вдоль горизонтального направления по стерж-ню, ии шара от положения равнове-сия у п счет деформации

то ие

я буде

олебаниями называются движения или процессы, которыризуются той или иной степен овторяемости харак

ения или процесса физической величины во времени. В физике различают колебания механические (колебания маятников,

струн, частей машин и механизмов, зданий, сооружений и т.п.), электритные (переменный ток в цепи, переменные электромагнитные поля)

и их комбинации. Если значения физических величин повторяются через равные промежутки времени Т, то колебания называются периодичес

межуток времени Т называется периодом. Простейшим и на

ляется гармоническое колебание, при котором изменяющиеся во врфизические величины описываются функциями косинуса или синуса.

Система (или материальная точка), совершающая периодическое ко-лебание около положения устойчивого равновесия, называется осциллято-ром (от латинского слова oscillo – качаюсь). Простейший пример осцилля-тора в классической механике – уз на пружине.

В завиодные (собственные) колеб

раметСвободными (собственным ) называются колебания, котт в отсутствие переменных внешних воздействий. Они могут возни

нуть, если систему вывести из состояния равновесия. Например, колебангитарной струны.

Вынужденными колебаниями я такие колебания, которые под внешним периодическим ем. Примером может

служить движение касобой внешнее периодическое воздействие.

Когда в колеблюла трения) – энергия сеивается. Если потери энер-полняются, то колебан нем прекратятся. В этом слу-

чае колебания называются затухающими. Рассмотрим процесс возникновения колебаний в следующей системе.

Шар массой m (рис. 6.1) прикреплен к стене пружиной с жесткостью k и может без

продетому сквозь шар. При отклоненсистемы увеличивается отенциальная энергия за

пружины. Если после отклонения систему предоставить самой себе, сила упругой деформации (рис. 6.1) будет возвращать шар в положенравновесия, при этом потенциальная энерги т переходить в кине-тическую.

94

При приближении к положению равновесия кинетическая энергия (следовательно

а и скорость) достигнет максимального значения. Имея нену-

и про-

энергию деформа-

й энергии в потенциальную и

лскнр

м

в

в

левую скорость, шар по инерции пройдет положение равновесиядолжит двигаться, увеличивая смещение и потенциальную энергию систе-

мы. Когда кинетическая энергия шара полностью перейдет в по-тенциальную ции, процесс повторится снова, но груз будет двигаться в противопо-ложном направлении. Таким обра-зом, процесс перехода кинетиче-скообратно будет повторяться беско-нечно долго.

В реальных колебательных системах всегда присутствуют си-

л

п

6

н

кс

рк

рм

г

Рис. 6.1

ы сопротивления, приводвободные колебания явля ими. Незатухающие свободные олебания характерны только для идеализированной сист ое действуют силы трения сенном выше примере.

з-ож

координат так, что ось ОХ будет направлена дол вновесия (рис.

я, растр со стороны деформированной пружины будет действо-

ать

ящие к потере энергии. Поэтому на практике ются затухающ

емы, в к торой или силы сопротивления реды, как в рассмот-

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие ко-ебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация во

на с помощью периодического внешнего воздействия. Рассмотрим свободные незатухающие механические колебания более

одробно. Введем системуь стержня, а начало отсчета совпадет с положением ра

.1). Систему выведем из равновеси янув пружину на малую величи-

у х. Тогда на ша сила упругости:

kxF −= , (6.1) ото ению равтвами восстанавливающей

тельных систем возвращающая сила может быть любой по при-оде с называют ваз

ы от положения равновесия мало, то в азл ргии деформации ож

рая всегда направлена к полож новесия. Силу с такими свой- называют возвращающей (или ). В случае дру-

их колеба, но если для нее выполняет я соотношение (6.1), то силуиупругой. Поскольку х – смещение системожении потенциальной эне U(х) в ряд по степеням х но ограничиться квадратичным членом:

2

)(2kxxU = (6.2)

95

Система, положение которой задается только величиной х, потенци-альная энергия имеет вид (6.2), и единственная действующая на систему сила описывается уравнением (VI.1), является типичным линейным гармо-ническим осциллятором.

Второй закон Ньютона ос

на для данной системы примет вид (в проекции ь OX):

, ma = – kx (VI.3) (6.3)

учитывая, что 2

2

dtxda = , запишем уравнение в форме

kxdt

xdm −=2 , (6.4)

или

2

02 =+ xmdt

(6.4,а)

Вводя обозначение

2 kxd

mk

=0ω , (6.5)

получаем

0202

2

=+ xdt

xd ω . (6.6)

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка для свободных незатухающих колебаний.

Решение уравнения (6.6) имеет вид ( ) ( )00cos ϕω += tAtx , (6.7,а)

или ( ) ( )00sin ϕω += tAtx , (6.7,б)

где А – амплитуда, максимальное смещение от положения равновесия;

mk – собственная круговая ч олебаний; ω=0ω астота к

0 связан перио

0t + ϕ0 – фаза коле-

баний; ϕ0 – начальная фаза. Из выражения (6.7, а,б) видно, что рассмотренный осциллятор совер-

шает гармонические колебания с собственной круговой частотой ω . Теперь определим, как д колебаний с собственной круго-

вой частотой. Поскольку в периодическом процессе (в колебаниях) значе-ние физической величины повторяется через период, то для любого мо-мента времени 1t должно выполняться условие

)()( 011 Ttxtx += . ак как период функции синуса (и косинуса) вен 2π (рис. 6.2), тоТ ра можно

записать: πϕωϕω 2)( 0100010 ++=++ tTt ,следовательно, после упрощения

96

получим πω 200 =T , или

0

02ωπ

=T (6.8)

(6.7, б):

и-наты от времени,

Если за время t сис-

ν = N / t (6.10)

Из выражений (6.9) и (6.10) следует, что период и частота – величины взаимообратные:

с собственнлебаний

Математический идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, закреп-ленной ной

рс

На (рис. 6.2) пока-заны графики функции

а) зависимость коорд

б) координаты от фазы колебания.

тема совершает N ко-лебаний, то период оп-ределяется выраже –нием

Т = t / N. (6.9) Число колебаний в единицу времени на-зывается частотой колебания и равно

Т= 1/ν . (6.11)

Из выражения (6.8) и (6.11) следует связь частоты колебаний ой круговой частотой ко

ω0 = 2πν . (6.12) Рассмотрим основные виды колеба-

тельных систем. маятник – это

на верхнем конце, и материаль- точки массой m, закрепленной на

Рис. 6.2

нижвер оложения

авновесия в поле сил тяжести (или в полил).

нем конце нити, которая может со-шать колебания около п

Рис. 6.3

е любых других потенциальных

97

Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику яв-ляет

вертикалью (рис. 6.3). При таком выборе направле-ия отсчета угла положительное направлс ось кновению момента силы тяжести, его проекция на ось вращения имеет вид

ся небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Отклонение от положения равновесия будем характеризовать углом ϕ,

образованным нитью с н ение оси вращения ОО’ совпадает

ю Z. Отклонение маятника от равновесия приводит к возни

ϕsinmglM −= , (6.13) де mg – модуль силы тяжести; г ϕsinl – п

я возвращающим моментом силы, он аправлен так, что стремится вернуть маятнито и означает знак «минус» в выражении (6

ь-

лечо этой силы. Момент силы тяжести М являетс

н к в положение равновесия, ч .13).

Если силами трения в подвесе маятника и силами сопротивления сре-ды (трением нити и груза о воздух) можно пренебречь, то момент сил тя-жести будет единственным моментом сил, действующих на маятник.

Напишем уравнение динамики вращательного движения относително оси ОО’ (рис. 6.3):

MJ =ε , (6.14)где 2lmJ = – момент инерции маятника относительно оси ОО’; ε – угловоескорение; М – момент силы тяжести о

т

форме

у носительно той же оси. Подставляя в формулу (6.14) выражение для момента (6.13), записы-

вая угловое ускорение в 2ϕ

2dtинерции, получаем

dε = и раскрывая значение момента

ϕϕ sin2

22 mgl

dtdml −=

или

0sin2

2

=+ ϕϕlg

dtd . (6.15)

При малых откло равновесия можно принять sin ϕ ≈ ϕ, и ур

нениях маятника от положения авнение (6.15) привести к виду:

02

2

=+ ϕϕlg

dtd . (6.16)

Вводя обозначения

пр

g=0ω , (6.17)

идем к уравнению

0202

2ϕd=+ ϕω

dtкоторое аналогично уравнению (6.6) с той лишь разницей, что в последнем случае смещение от положения равновесия характеризуется углом откло-

, (6.18)

98

нения нити от вертикали, а не смещением вдоль ос к ля груза пружине.

Решение уравнения (6

и Х, ка д на

.18) имеет вид: ( ) ( )00cos αωϕ += t , (6.19) At

то есть при малых отклонениях от положения равновесия угловое откло-нение математического маятника изменяется со временем по гармониче-

скому закону, где: А – амплитуда колебаний; g=0ω – собственная круго-

вая частота колебаний; α – начальная фаза. И уравнения (VI.8) и (VI.10 7) получаем

з, что

glT π20 = . (6.20)

Как видно из (6.20), период колебаний математического маятника зависит лишь от его длины и ускорения свободного падения, но совершенно не за-висит от массы груза. Следовательно, два маятника одинаковой длины, но с разной массой грузов будут колебаться

ести вокруг неподвижной горизон-

тальной оси О (ри

т

синхронно. Физическим маятником называется твердое

тело, которое может вращаться под действиемсилы тяж

с. 6.4), не проходящей через центр масс С.

Как и в случае математического маятника, при отклонении тела от положения равновесияна угол ϕ возникает возвращающий моменсил тяжести – М, стремящийся вернуть маят-ник в положение равновесия. Его проекция на ось вращения

ϕsinmglM −= , (6.21) где m – масса маятника; – расстояние между

точкой подвеса О и центром масс С маятника. Знак “минус” показывает то, что момент силы тяжести возвращает маятник в положение равновесия.

Уравнение динамики вращательного движения (VI.14) твердого тела вокр

в виде: уг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса

О, можно записать

ϕϕ sin2 gldtdJ −= (6.22)

2

m

где J – момент инерции маятника относительно оси О. При малых углах отклонения ϕϕ ≈sin выражение (6.22) можно преоб-

разовать к виду:

02

2

+ϕ mgl

dtd

=ϕJ

. (6.23)

Рис. 6.4

99

Введ

я обозначение

J

mg=0ω , (6.24)

получим:

022

=+ ϕωϕd . (6.25) 02dtВидно, что (6.25) аналогично уравнениям (6.6) и (6.12), следовательно,

ешение этого уравнения имеет вид

р( ) ( )00cos αωϕ += tAt .

Из (6.26) следует, что при малых отклонениях от положения равнове-сия ф а е колебания. Период

колебаний равен:

(6.26)

изический маятник соверш ет гармоническиэтих

mg0

Найдем, какой длины должен быть математический маятник, чтобы пери

JT π2= . (6.27)

од его колебания совпадал с периодом колебаний физического маят-ника. Из сопоставления формул (6.20) и (6.27) видно, что длина математи-ческого маятника пр , при которой периоды совпадают, определяется сле-дующим соотношением:

0 2 прlT

gπ=m

J= .,пр (6.28)

Величину (6.28) называют приведенной длиной физического маятни-ка. Это длина такого математического маятника, который с данным физи-ческим имеет одинаковый период.

Если пр отложить от точки подвеса по прямой, проходящей через

точку подвеса и центр масс С, то получится точка О′ (см. рис. 6.4), назы-ваемая центром качания.

Центр качания обладает одним замечательным свойством. Если твер-дое тело заставить колебаться относительно оси, проходящей через точку О′, то новые величины приведенной длины ′пр и периода Т′ получатся та-кими же, как и в случае колебания относительно оси, проходящей через точку О. В этом заключается теорема Гюйгенса. Для ее доказательства бу-дет достаточно найти период колебания маятника относительно оси, про-ходящей через точку О′, и сравнить его с выражением (6.27) (при этом на-до помнить, что расстояние длине; моменты инерции для двух случа через момент инерции тела

ОО′, равно приведеннойев будет удобно выразить

относительно центра масс).

100

6.2 ю

Ранее упоминалось, чтодействуют силы сопротивлени затуханию колебаний. Вырвид

Затуха щие колебания

во всех реальных колебательных системах ия (трения), приводящие к рассеянию энергии

еажени для такой силы сопротивления имеет

υrFC −= . (6.29) о, что сила направлена против направления Знак «минус» указывает на т

движения тела. В случае груза на пружине проекция силы сопротивления на ось OX

определяется выражением

dtdxrFC −= , (6.30а)

а для математического и фи иков необходимо учитывать проекцию момента сил сопротивления на ось вращения (например, вязкое трение среды или трение в оси вращения)

зического маятн

dtdrM Cϕ

−= . (6.30б)

Здесь r – коэффициент сопротивления среды. Для примера рассмотрим случай наличия силы трения в оси вращен

физического маятника. Для этого запишем уравнение динамики вращтельного движения (6.14) с учетом (6.21) и (6.30,б)

ия а-

dt

r dmgldtdJ ϕϕ

−=2

ϕ −sin . (6.31) 2

Вводя обозначение Jr

2=β ,

Jmg

=0ω и рассматривая случай малых уг-

лов, когда ϕϕ ≈sin , получим (в случае груза на пружине легко получить подобное уравнение, только относительно переменной х):

02 22

++ ωϕβϕ d02 =ϕ

dtdtd . (6.32)

В случае, когда ωo > β, решением этого уравнения будет следующая зависимость угла отклонения маятника от времени: ( )00 cos αωϕ β += − teA t , (6.33)

где β – коэффициент затухания; 220 βωω −= – собственная круговая

частота затухающих колебаний. Необходимо отметить, что величина собственной круговой частоты отлична от круговой частоты собственных незатухающих

косинуса

колебаний – сравни ченные результаты с (6.24). Как следует из вида функции (6.33), данные колебания не являются

гармоническими, так как зависимость угла отклонения маятника от време-ни не является только функцией

те полу

или синуса. Период затухающих

101

колебаний (промежуток времени между двумя соседними максимумами

колебания) равен:

220

2βω

π

−=T . (6.34)

На (рис. 6.5) приведен графи ции (6.33), на котором видно, что

амплитуда колебаний со временем убывает по закону teAtA ⋅−= β0)( . Время

τ, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз, назы-

вают временем релаксаци можно найти из соотношения ( )( )

к функ

и. Его etA

tA=

+τ,

откуда следует ( )βτ

τβ

β

eeAt

t

=+−

− 0 и ee =τβ получаем 1=βτ, окончательно . eA0

То есть, время релаксации есть вели-чина, обратная коэффициенту зату-хания

βτ = . (6.35)

Формула (6.35) показывает, что

коэ

1

ффициент затухания β характе-ризует уменьшение амплитуды коле-баний за единицу времени.

з

т времени к ам-плит

Так же часто используется еще одна характеристика затухания коле-

баний, которая на ывается логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент затухания равен натуральному лога-

рифму отношения амплитуды колебаний в данный момен

Рис. 6.5

уде через период: ( ) ( )TtAtAlnδ . (6.36)

+=

Подставим сюда закон изменения амплитуды со временем

( )T

t

eeA ββ

δ ln ln 0 ==−

, TteA β0

+−

Тβδ = . .37) выражения (6.35) получим

(6 С учетом

eN= , (6.38) T 1

=τ

δ

Ne = τ /T – число колебаний, после совершения которых амплитуда ко-ебаний уменьшается в е раз. гдел

102

Выражение (6.38) показывает логарифмический декремент характе зу

, что -ри ет уменьшение амплитуды колебаний за один период.

тель-

В инженерных расчетах и технических характеристиках колебаных систем для описания затухания часто используют понятие добротно-сти. Добротность определяется выражением eN

TQ π

βδπ

===1 . (6.39)

Физический смысл добротности будет раскрыт позже, при рассмотрении вынужденных колебаний.

Из уравнения видно, что при 0ωβ = (6.34) значениях величина периода ния обращается в бесконечность. То есть система, вы-

возвращается в положение равнове 0

затухающих колеба веденная из равновесия и предоставленная сама себе, бесконечно долго

сия. В случае ω из решениβ ≥ я уравне-ния (6.32) получают, что движение системы перестает быть периодическим – становится апериодическим, то есть экспоненциально стремится к поло-жению равновесия без совершения ко ельных движений.

6.3 Вынужденные колебания

Рассмотрим вынужденные колебания. В этом случае к возвращающей силе и силе сопротивления необходимо добавить внешнюю периодиче-скую

лебат

силу (момент силы). Момент внешней периодической силы запишемв виде: ( )tMM ВН Ω= cos0 , (6.40) где Ω – циклическая частота внешней силы.

Тогда уравнение динамики вращательного движения (6.14) с учетом (6.21 б), (6.30, ) и (6.40) примет вид:

( ) ( )tM Ω+ cos0 , (6.41) dtdrmgl

dtdJ −−= sin2

2 ϕϕϕ

Jmg

=0ω и при малых углах отклонения, вводя обозначения Jr

2=β ,

JM 0

0 =µ перепишем (6.41) в виде:

( )tdtd

dtd

Ω=++ cos2 0202 µϕωϕβϕ . (6.42)

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для вынужденных колебаний математического маятника. Его решение есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неод-нородного. Общее решение описывает переходный процесс возбуждения колебаний, а частное – установившиеся вынужденные колебания вида

)cos()(

2

αϕ +Ω= tAt . По истечении некоторого времени в установившемся режиме вынуж-

денные колебания маятника будут происходить с частотой Ω внешнего

103

воздействия, а амплитуда и начальная фаза колебаний будут определяться параметрами самого маятника и внешнего периодически изменяющегося момента сил. Амплитуда установившихся колебаний определяется выра-жением:

( ) 22222

0

0

4 Ω+Ω−=

βω

µA ; (6.43)

величина фазы α, на которую вынужденные колебания опережают вынуж-дающую силу следует из уравнения

22

0

2tgωω

βωα−

= . (6.44)

Из формулы (6.43) видно, что амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некотором значении частоты Ωрез (предполага-ется, что параметры системы m, l, J, r не изменяются, а меняется частота внешней силы) – эта частота называется резонансной

22

0рез 2βω −=Ω . (6.45) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний

при приближении частоты внешнего периодического воздействия Ω к соб-ственной частоте ω0 системы – на резонансом.

зываетсяКак видно из уравнения (6.43) и (6.45), для возникновения резонанса,

совершенно не важно, каким образом происходит «сближение» частот – путем изменения частоты внешнего воздействия Ω, собственной частоты ω0 или коэффициента затухания β.

Найдем величину резонансной амплитуды, для этого подставим (6.45) в (6.43) и получим

22

0

0

2 βωβ

µ

−=резA

В случае слабых затуханий β << ωo

. (6.46, а)

0

0

2βωµ

=резA .

В нашем случае Арез представляет собой угол максимального отклоне-ия маятника от положения равновесия.

(6.46,б)

нРассмотрим случай, когда на систему будет действовать постоянный

момент внешней силы 0MM ВН = ,

тогда угол отклонения маятника ϕ0, будет называться статическим от-клонением. Величину статического отклонения можно определить из сле-ующих соображений: д

00 Mmgl =ϕ ,

104

105

20

2000

ooJM

mgl0

JJM

gl ωmM µ

ω=== . (6.47) ϕ =

Из (6.46) и (6.47) видно, что QT

Aрез 0000

2ϕ

βπϕ

βωϕ

==≈ , следовательно

0ϕ

ает, во сколько раз величина резонансной у статического отклонения. мейство амплитудных резонансных кривых ффициента затухан

резAQ ≈ , (6.48)

то есть добротность показывамплитуды превышает величин

На (рис. 6.4) приведено сепри различных значениях коэ ия β, на котором также показано, что не всякая система имеет резонансную частоту. Действитель-но, из (6.45) следует, что Ωрез имеет вещественные значения только при

βω 20 ≥ , а в остальных случаях резонанс не наблюдается.

6.4 Сложение колебаний

Чаще всего в практических задачах приходится рассматривать процес-сы, в которых изменение физических величин описывается суммой двух или более колебаний, например колебание гитарной струны или человече-ский голос. Основные закономерности сложения гармонических колебаний могут быть рассмотрены на примере сложения двух колебаний. Если тело одновременно участвует в двух колебаниях вдоль оси X

1( )1 1 1( ) sinx t A tω ϕ= + и ( )2 2 2( ) sinx t A t 2ω ϕ= + , то его координата x будет описы-ваться уравнением ( ) ( )1 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) sin sinx t x t x t A t A t 2ω ϕ ω= + = + + +ϕ . (6.49)

Рис. 6.6

Например, на тележке стоят часы с ма-аятника относительно

по закону ятником. Координата мтележки изменяется

( )2 2 2( ) sint A t 2x ω ϕ= + , а тележку качают сона-

я правленно с движением маятника так, что ее координата относительно земли изменяетспо закону ( )1 1( ) sinx t A 1 1tω ϕ+ . Тогда коорди-

земли будет оп

Для наглядного лебаний удобно использовать метод утверждения, на

начальный момент времени (t=0) угто проекция вектора на ось Ох (рис

Рис. 6.7 =

ната маятника относительноисываться уравнением (6.49). В этом случае говорят о сложении одина-

ково направленных или параллельных колебаний. сложения одинаково направленных ко векторных диаграмм. Рассмотрим два

которых базируется метод векторных диаграмм: 1) Если вектор длины А вращается в плоскости ху в положительном

направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью ω, причем в ол между вектором и осью х равен φ,

. 6.7) изменяется со временем по закону ( )sinA tω ϕ= + . (6.50)

оническому колебанию можно сопос-оскости xy. Длина этого вектора будет я скорость вращения вектора – цикли-ьный угол – начальной фазе колебания. роекция суммы векторов на ось равна у же ось.

( )x t

Следовательно, каждому гармтавить вектор, вращающийся в плравна амплитуде колебаний, угловаческой частоте колебания, а начал

2) Из рисунка (6.8) видно, что псумме проекций этих векторов на т

ис. 6.8 во направленных гармонических коле-плитуды и начальные фазы могут быть

различными или одинаковыми)

РРассмотрим сложение одинако

баний с одинаковой частотой (ам

( )1 1 1( ) sinx t A tω ϕ

( )2 2 2( ) sinx t A tω ϕ= +⎪⎩ Согласно первому утверждению сопоставим колебаниям (6.51) вектора

21 и AA

= +⎧⎪⎨ . (6.51)

. Найдем сумму этих векторов 1 2A A A= + и ее проекцию на ось x. Из

106

второго утверждения следует, что проекция суммарного вектора и есть результирующее колебание.

21 и AAПоскольку длины векторов , а также угол между ними φ2–φ1 ак как у них одинаковая скорость враще-при вращении не изменяются (т

ния), то и вектор A будет сохранние относительно векторов A

ять неизменной свою длину и расположе-2A1 и , а значит, A будет вращаться с такой

2Aже угловой скоростью, как 1 иA гармонических колебаний с одинническим колебанием той же ча

Наглядность и простота методачто основные параметры резулгеометрических соображений. Ичальная фаза α результирующевыражениями:

. Это отражает тот факт, что сумма двух аковой частотой также является гармо-стоты.

векторных диаграмм заключается в том, ьтирующего колебания можно найти из з рис. 6.8 видно, что амплитуда А и на-го колебания определяется следующими

( )1221221 cos2 ϕϕ −++= AAAAA (6.52)

(теорема косинусов для треугольника, образованного векторами

2

);

2

21 и, AAA

2211

2211

coscostg

ϕϕsinsin ϕϕα

AA +AA +

= (6.53)

Если складываемые колебания будут иметь разные частоты, то изо-бражающие их векторы 21 и AA будут вращаться с разными угловыми ско-ростями, их относительное расположение будет периодически изменяться, и длина вектора A уже не будет постоянной, а его вра не будет рав-номерным. Таким образом, при сложении колебаний с разными частотами результирующее колебание уже не будет гармоническим.

щение

личаются друг от друга:

Наиболее прост для рассмотрения и вместе с тем интересен случай, когда частоты складываемых колебаний мало от

2112 ,ωωωωω <<∆=− . (6.54)

Для удобства рассмотрения, положим амплитуды складываемых ко-лебаний одинаковыми, а начальные фазы равными нулю. В этом случае

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+=+= ttAtAtAtxtxtx2

sin2

cos2sinsin)()()( 21122121

ωωωωωω

(6.55) . Так как 1ω и 2ω , величины одного порядка то обозначим ωωω

=+2

21 и,

следовательно,

( )ttAtx ωω sin2

cos2)( ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

= . (6.56)

107

Стоит отметить, что колебание ( )tωsin происходит с частотой близкой к 1ω и 2ω .

слВ силу у ов 6.54ия ( ) ⎟⎠

t ⎞⎜⎝⎛ ∆

2ω я едле , ч

)

cos изм етсеня гораздо м ннее ем

( tωsin , (рис. 6.9 Это возможность рассматривать р зульта сложения колебаний как гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда ко-торого медленно изменяется со временем. Такой колебательный процесс носит название биений. На р ией показан график ре-зуль

). дает е т -

ис. 6.9 сплошной линтирующего колебания, а штриховой — огибающая этого колебания

⎟⎠⎝ 2

закону

⎞⎜⎛ ∆ tAcos2 ω . Как видно из рисунка амплитуда колебаний изменяется по

⎟⎠⎝ 2⎞

⎜⎛ ∆

= tAtA cos2)( ω и соответственно период биений равен

ωπ

∆. Из условия (6.54) следует, что период биений =

2TБ ωπ

ωπ 22

=>>∆

= TTБ

(рис. 6.9).

Рис. 6.9

108

Явление биений удобно использовать для сравнения частоты некото-рого сигнала с частотой, принимаемой за эталон. Например, при сложении двух звуковых сигналов с близкими частотами будет слышна характерная пульсация громкости звука с периодом T . Это часто используется при на-Б

стройке музыкальныхЕсли точка одно ных движениях

во взаимно перпендикулярных направле

==

yx

то говорят о сложении взаимно пнаглядного описания можно предчасами, только в данном случае тплоскости качания маятника.

Если отношение частот в (6ω1/ω2=m/n, где m, n — целые числи ω2 соизмеримы), траектория двзамкнутую кривую, так как чер(равный общему периоду колеба -шее общее кратное периодов колебанзначения обеих координат. Эту Лиссажу) мы можем наблюдать н

ажу с вертикаль-ным

, что если кривая Лиссажу не замкнута (как на рис. 6.10 касания ее начало и конец учитываются с коэффициентом

инструментов. временно участвует в двух колебатель

ниях:

+ ),cos(),cos(

2

1

αωω

tBtA

(6.57)

ерпендикулярных колебаний. Для более ставить ту же тележку с маятниковыми ележка будет двигаться перпендикулярно

.57) выражается рациональным числом: а (в этом случае говорят, что частоты ω1 ижения точки будет представлять собой ез определенный промежуток времени ний, который определяется как наимень

⎩⎨⎧

ий по х и по у) будут повторяться кривую (их общее название — фигуры а экране электронного осциллографа, ес-

ли на две пары его пластин подать сигналы с соизмеримыми частотами. По форме этой фигуры легко определить отношение частот колебаний по осям х и у: оно равно отношению числа касаний кривой Лисс

и и горизонтальными сторонами описанного прямоугольника соответ-ственно. Так, на рис. 6.10 первая кривая Лиссажу соответствует ω1/ω2=3/1, вторая — ω1/ω2=1/2. Обратите внимание

,а), то при подсчете точек 1/2.

Рис. 6.10

109

Представляет интерес определение формы траектории из уравнений движения. Для решения этой задачи служат: основное тр

во, формулы синуса (косинуса) суммы, а также (при сложении ко- с разными частотами) формулы тригонометрических функций

игонометрическоетождестлеб нийакратного угла. Пусть складываемые колебания имеют одинаковую частоту, но различные начальные фазы.

⎩⎨⎧

+==

).cos(;cos

αωω

tBytAx

(6.58)

или

⎪⎩

⎨⋅−⋅=+= .sin)sin(cos)cos()cos( αωαωαω ttt

By (6.59)

Для нахождения формы траектории необходимо исключить из этих

ура

⎪⎧ = cosωt

Ax ;

внений время. Этого можно добиться, если возвести уравнения (6.59) в квадрат и применить основное тригонометрическое тождество, соответст-вующим образом группируя слагаемые в уравнениях. Получившееся урав-нение

αα 22

2

2

2

sincos2 =+−By

ABxy

Ax

(6.60)

адает эллипс, вписанный в прямоугольник размером 2А×2В и повернутый с. 6.11).

чениях фазового сдвига α уравнение (6.60) принимает осо-

периоды колебаний по х и у не со-

весь прямо-

зотносительно осей координат на некоторый угол (ри

При некоторых зна

бенно простой вид: а) при α = πk (k=0, ±1, ±2 и т. д.) эллипс вы-рождается в отрезок прямой; б) при α = (2k+1)π/2 (k=0, ±1, ±2 и т. д.) оси эллипса совпадают с осями координат. Если жеизмеримы, траектория колеблющейся точки будет постепенно заполнять

Рис. 6.11 угольник 2А × 2В.

110

Лабораторная работа 9 ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК

Цель работы

Изучение основ баний физиче-ского маятника и о ого падения.

держани аботы

В работе, используя теорему Гюйгенса о взаимности точки подвеса и точки качания, определяется скорение свободного падения.

Описание лабораторной установки

Оборотный маятник, используемый в данной работе, состоит из сталь-ного стер крепле-ны две стальные опорные 2), и три стальные чече-

из

оборотного маятника, между О1 и О1. Такое положение че

ия ра масс маятника так обы от-

него призмы были распо-ложены . В ходе экспе-римента положение призмы О1 и чечевиц должно оставаться неизмен-

а

совершал колебания. Проводить экс-пй з

и (6.27), ускорение свободного падения мож-но о

0 длина lпр. Приведенная длина фимаятника равна расстоянию между точкой подвеса и центром качания. Со-

ных закономерностей гармонических колепределение на их основе ускорения свободн

Со е р

у

жня 1, длина которого равна одному метру. На стержне за

призмы О1 и О2 (рис 6.1вицы 2. Первая призма О1 закреплена на одном из концов маятника, вторая призма О может свободно 2 переме-щаться на противоположной стороне. На противоположном призме О1 конце, закреплена одна чечевиц, две другие чечевицы находятся ближе к центру

призмами чевиц вы-

бирается с целью смещения положенцентносительно

, чт

асимметрично

ным. Маятник устанавливается нребро одной из опорных призм в спе-циальном кронштейне так, чтобы он

еримент разрешается только при за-крытой откидной предохранительно ащелке кронштейна.

Методика эксперимента

Согласно формулам (6.20)

Рис. 6.12

пределить, если известен период собственных колебаний математиче-ского маятника и его длина, или же период колебаний физического маят-ника T и его приведенная зического

111

гласно теоре ника отно-сительно точки подвеса T цен ачан овпа а Для нахождения

качания призму 2 нужно переме-щать вдоль маятника, и для каждого ново-го положения измерять периоды колеба-

да олебаний ма-

Данное расстояние определяется по

ний от расстояния между призмами для

ения этих графиков дает приве-

расстоянии от призмы О1. Определите расстояние l между опорнымипризмами.

2. Определите периоды колебаний оборотного маятника отнкаждой из опо ро соответст-вующей призмы и

ме Гюйгенса периоды колебаний физического маят1 и тра к

центраия T2 с д ют.

О

ний относительно призмы О1 и О2. Тогпри совпадении периодов кятника относительно опорных призм рас-стояние между ними даст приведенную длину физического маятника.

графикам зависимостей периодов колеба-

каждой опорной призмы (рис 6.13). Точка пересечденную длину физического маятника и

соответствующий период колебаний. Зная эти величины, ускорение сво-бодного падения можно вычислить по формуле (6.20).

Порядок выполнения работы

Рис. 6.13

1. Установите опорную стальную призму О2, на максимальном

осительно рных призм. Для этого повесьте маятник на реб

отклонив его на небольшой угол ( °< 100α ), приведите в колебательное дви змерьте время 50 полн лебаний. Рассчи-тайте период колебаний. Результаты запишите в табл. 6.1.

3. Смещая опору 2 каждый раз на 2 см от предыдущей отметки, по-вторите измерения, ук

баний Т и Т маятника от расстояния l между приз

тного маятника и соответ-ству

числений оформите в протоколе работы. Ниж

жение. И ых ко

Оазанные в п.2 десять раз.

Обработка результатов измерений

1. Постройте на одной миллиметровке в общем масштабе графики за-висимостей периодов коле 1 2

мами. По точке пересечения полученных кривых определите приве-денную длину lпр, используемого в работе оборо

ющий ей период колебаний Т0. 2. По формуле (6.20) вычислите ускорение свободного падения. 3. Результаты измерений и вые приведена рекомендуемая таблица для оформления результатов.

112

Таблица 6.1

Экспериментальные данные и результаты вычисления ускорения свободного падения

Относительно призмы О1

Относительно призмы О2

ℓ, м

ℓ

N1 t1, c T1, c N2 t2, c T2, c м м/с2

пр , T0, c

g,

Контрольные вопросы

1. Что такое "квазиупругая сила" и каковы особенности движения тела под дейст-вием этой силы? Какая величина играет роль "квазиупругой силы" для физического ма-

ика? 2. Запишите уравнение гармонических колебаний и дайте определения основ-

х характеристик колебательного движения (смещения, амплитуды, фазы, частоты, иода).

ятн

ныпер

дин

ния

па а от-

к 2

вопы

гут

ИЗУЧ БАНИЙ

ление логарифмического де аятника.

Содержание работы

В работе проводится исследование висимости периода собственных коле

3. Дайте определение физического маятника. Получите для физического маятника амическое уравнение движения и его решение.

4. Дайте определение приведенной длины физического маятника и центра кача-. Докажите теорему Гюйгенса.

5. На каком свойстве центра качания основано определение ускорения свободного дения в данной работе? Получите выражения для периодов колебания маятник

носительно призм (считать известными положение центра масс, момент инерции маят-ни а относительно центра масс, массу призмы О ).

6. Какие способы измерения ускорения свободного падения вы знаете? Чем в ос-но ном обусловлены погрешности измерения ускорения свободного падения вашего

та? 7. Какие факторы, кроме погрешностей измерения l и T, по вашему мнению, мо-

быть причиной отличия «экспериментального» значения g от «справочного»?

Лабораторная работа 10

ЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕ

Цель работы

Изучение свободных и вынужденных колебаний математического ма-ятника. Изучение свободных колебаний физического маятника. Определе-ние зависимостей периода собственных колебаний и амплитуды вынуж-денных колебаний от длины математического маятника. Опреде

кремента затухания для физического м

забаний математического маятника от его длины.

113

Определение периода собственных колебаний и логарифмического декремента затухания физического маятника.

Экспериментальное наблюдение резонанса и исследования зависимо-сти а

ораторной установки . 6.14. Маятник 1 пред-

у-

противоположном конце нити за-

3. Длину маятника 1 редвигая нить с про-

евышает массу нити, а размеры

тник 1 можно считать хорошим при-ближением атематического маятника.

Физический маятник 2 представляет металлический стержень с грузом

имеющим прорезь для нити. Маятник 2 вместе с кольцом 4 может передвигаться вдоль оси подвеса так, что нить маятника 1 в

ласно (6.20) период собственных колебаний математического ма-ятн

мплитуды вынужденных колебаний математического маятника от его длины.

Описание лабораторной установки

Схема лабприведена на рисставляет собой небольшой тяжелый груз,подвешенный на нити, которая пропщена через канал оси другого маятника2. Накреплен противовесможно изменять, петивовесом. Так как масса груза значи-тельно пргруза много меньше длины нити, то ма-я

м

собойна нижнем конце. Этот маятник жестко

скреплен с кольцом 4,

Рис. 6.14

ыводится из прорези кольца 4 или вводится в прорезь. Смещения маятников от положения равновесия отсчитываются по

шкале 5. Винты 6 служат для установки вертикальности плоскости колеба-ний маятников (в случае необходимости).

Методика эксперимента

а) согика зависит от его длины и ускорения свободного падения. Зависимость

периода от длины можно получить экспериментально, меняя длину нити маятника 1 и измеряя период его колебаний. Для более точного определе-ния периода колебаний T любого маятника удобно искать время ∆t полных N колебаний, и вычислять его как tT N

∆= . б) логарифмический декремент затухания системы определяется выра-

жением (6.36). Для повышения точности измерения амплитуд колебаний производятся не через период, а через N периодов. В этом случае, учиты-вая (6.37), логарифмический декремент затухания можно определить из следующих соотношений:

114

NTNNTtA

tAAA

Nδβ ==

⋅+=

)()(lnln

1

10 ,

то есть

N

ого измеренного колебания, AAN

0ln=δ ,

где A0 – амплитуда перв амплитуда N–ого колебания

батсов е колебания. Через определенный промежуток

мального му

у вынужденных колебаний ь амплитуды вынужденных

колебаний мате ериментально получаем зав

лебдлду

A1

N –.

в) Если вставить нить маятника 1 в прорезь кольца 4, и заставить коле-ься маятник 2, то под его периодическим воздействием маятник 1 будет ершать вынужденны

времени амплитуда вынужденных колебаний маятника 1 достигнет макси-значения. Величина амплитуды в этом случае определяется фор-

лой (6.43) (рис. 6.6)). Изменяя длину математического маятника, мы тем самым будем менять

его собственную частоту ω0 (6.17) и амплитуд(VI.43). Таким образом, измеряя зависимост

матического маятника от его длины, мы эксписимость (6.43).

Для наблюдения резонанса необходимо, чтобы период собственных ко-аний маятника 1 был близок к периоду физического маятника 2. То есть ина маятника 1 приближалась к значению lрез, которое определяется сле-ющим образом:

2

2, 2 ,4

рез физмат физ физ рез

l gTT T T l

gπ

π≈ ≈ ≈ ,

где T – период колебаний физического маятнфиз ика.

Порядок выполнения работы

Исследование зависимости периода собственных колебаний математического маятника от его длины

1. Подготовьте установку для измерений. В случае необходимости, винтами 6 выставьте вертикальность плоскости колебания маятников.

2. Выведите нить маятника 1 из прорези кольца 4 (рис. 6.14). Про-верьте, чтобы нить не касалась шкалы 5 при колебаниях маятника, а про-тивовес 3 касался стойки установки.

3. Перемещая нить с противовесом, установите начальную длину нити такой, чтобы центр груза находился на 4 см. ниже шкалы 5.

4. Отклоните маятник на угол 0 10 .18

радπα < ° = от положения равнове-

сия (этому углу будет соответствовать расстояние 0hα , отложенное по

115

шкале, где h расстоя устите. Измерьте

Таблица 6.2

t, с T, с

ние от точки подвеса до шкалы) и отпвремя десяти полных колебаний и длину маятника.

5. Изменяя длину нити в каждом из последующих опытов на 2 см, по-вторите измерения по пункту 4 десять раз. Результаты измерений запиши-те в табл. 6.2.

Зависимость периода собственных колебаний математическогомаятника от длины его нити

, 10 –2 м N

Определение логарифмического декремента затухания

физического маятника

1. Установите маятник 2 так, чтобы во время колебаний он не касалсястойки и шкалы, а нить не входила в прорезь кольца 4 (рис. 6.14).

2. Отклоните маятник 2 на 15 – 20 делений шкалы (это А0) те. Наблюда через де-сять полных колебани

3. Измерения по пункту 2 проведите три Результаты запишите в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Логарифмический декремент затухания колебаний физического ма

и отпусти-я затухающие колебания, определите амплитуду АN

й. раза. измерений

ятника

N А0, дел АN, дел δ <δ>

Определение периода собственных колебаний ика

1. Установите физический маятник так, чтобы в вре ебан й он е касался стой и и шкалы, а ить н входила в прорезь 4 (см.рис. 6.14).

2. Отклоните

физического маятн

2 о мя кол ин к н е кольца

маятник на угол 0 10 .18

радπα < ° = от положения равнове-

сия (этому лу будет соответствовать расстояние уг 0hα , отложенное по шкале, h расстояние от точки подвеса до шкалы) и отпустите. Измерьте время пяти – десяти полных колебаний.

где

116

3. Измерения по пункту . Результаты измерений

lрез, м

2 проведите три разазапишите в табл. 6.4

Таблица 6.4

Период собственных колебаний физического маятника

N t, с T, с <T>, с

Исследование зависимости амплитуды вынужденных колебаний

математического маятника от его длины 1. По формуле (6.9) и результатам табл. 6.4 вычислите период собст-

венных колебаний физ T> среднее значение. Определите lрез– длину ка, при которой будет наблюд

2. Переместите маят тника 1 оказалась в про-рези кольца 4 (рис. 6.14).

3. Установите начальную 1 такой, чтобы центр груз

ика 1, определите максимальную амплитуду 1 и запишите ее в табли-цу 4. Длину нити маятника 6.5.

основания установки.

Таблица 6.5

Зависимость амплитудыматематическо

l, 10 –2 м

ического маятника T и его <нити математического маятни

аться резонанс. ник 2 так, чтобы нить мая

длину нити маятникаа находился на 4 см ниже шкалы 5. 4. Отклоните маятник 2 от положения равновесия на максимальный

угол. Наблюдая за вынужденными колебаниями маятнА колебаний маятника тоже занесите в табл.

5. Измерения по пункту 3 повторите десять раз, каждый раз увеличи-вая длину нити маятника на 2 см, пока не достигните

вынужденных колебаний го маятника от его длины

А, дел

Обработка

1. По данным табл. 6.2 вычиных колебаний для всех длин нпишите в эту же таблицу.

2. По результатам табл. 6.2 ик зависимости Т (ось ор-динат) от длины нити маятника l (ось бсцисс).

3. Пользуясь результатами эксперимента (табл. 6.3), рассчитайте лога-рифмический декремент затухания δ . Найдите его среднее значение <δ>. Результаты запишите в табл. 6.3.

результатов измерений

слите и формуле (6.9) период Т собствен-ити маятника. Результаты вычислений за-

постройте граф а

117

4. По формул те период собст-венн

ины нити с теоретической. Насколько хорошо они совпадают между собой? Какие физические механизмы могут приво-

больше (мень-ш

4. Получите дифференциальное уравнение собственных затухающих колебаний для любого из маятников. Запишите и поясните его решение. Дайте определения основ-ных характеристик затухающих колебаний. Каков физический смысл каждой из ха-ра

тся резонансом? Получите для резонансной частоты. Объяс-ни

7. О ну математического ма-ятника при которой наступает резонанс. Сравнит значение с полученной вами величиной lрез. Объясните различие (совпадение) их величин. Можно ли на осно-ва

Цель работы

Изучение затухающих и вынужденных колебаний физического маят-ника

зического маятника. Исследование зависимости амплитуды вынужденных колебаний маятника от риода вынуждающей силы.

е (6.9) и результатам табл. 6.4 вычислиых колебаний физического маятника T и его <T> среднее значение.

Определите lрез – длину нити математического маятника, при которой будет наблюдаться резонанс.

5. По данным табл. 6.5 постройте график зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от длины l нити маятника. Отметьте на графике lрез.

6. В выводах к работе дайте обоснование экспериментально получен-ным зависимостям Т = f(l) по пункту 2 и A = f(l) по пункту 4 настоящего раздела.

Контрольные вопросы

1. Что называется колебанием? Опишите и охарактеризуйте основные виды колебаний и колебательных систем.

2. Какой маятник называется математическим? Получите дифференциальное уравне-ние собственных незатухающих колебаний математического маятника, и его реше-ние.

3. Для математического маятника сравните (путем построения графиков) эксперимен-тальную зависимость периода колебаний т дл о

дить к тому, что период колебаний математического маятника будете) теоретического значения?

ктеристик? 5. Какие колебания называются собственными, какие вынужденными? Получите диф-

ференциальное уравнение для вынужденных колебаний любого из маятников. 6. Что называе формулу

те вид резонансных кривых. пределите, по полученной вами резонансной кривой, дли

е этоэт

нии имеющихся экспериментальных данных получить более точное значение lрез?

Лабораторная работа 11 ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

. Определение коэффициента затухания, логарифмического декремен-та затухания фи

пе

118

Описание лабораторной установки

Рис 6.15

Маятники 1 и 2 подвешены на общем кронштейне 3 (рис. 6.15). Маят-ник

орую, вращая, можно перемещать вдол

истема рычагов и пластинка 5 связывает маятники между собой. Шкала 6 служит д ика 1. Начальная ампл

ий; коэф

Методика эксперимента

маятника без трения рассчитывается

В данной работе тельно оси, прохо-дящей ерез точку по еса авен

1 представляет собой металлический стержень, совершающий колеба-ния вокруг оси, проходящей через его верхний конец. Маятник 2 – стер-жень с резьбой и круглой гайкой 4, кот

ь стержня. С

ля отсчета амплитуд колебаний маятнитуда колебания маятника 2 ограничивается упором 7. Для измерения

временных интервалов используется секундомер 8.

Содержание работы

В работе экспериментальным путем определяется: период колебанфициент затухания; логарифмический декремент затухания; зависи-

мости амплитуды вынужденных колебаний маятника 1 от периода колеба-ний маятника 2 (вынуждающей силы).

Период собственных колебаний физического учета сил по формуле (6.27)

момент инерции маятника 1 относи ч дв , р

2

31 maJ = ,

где а – длина стержня, m – его масса.

119

Учитывая, что в (6.27) l = а/2, получим формулу периода собственных колебаний маятника 1:

gaТ 3

220 π= .

При наличии трения колебания будут затухающими. При небольшойвеличине коэффициента затухания β период колебаний незначительно воз-раст

-ределив экспериментально период затухающих колебаний и

срав ие

Д -а колебаний маятника 1 умень-

ается в e раз. Логарифмический декремент затухания δ определяется по ормуле (6.38), для чего измеряется число колебаний Νе,в течение которых мплитуда уменьшаетс ичины τ и Νе целесо-образно измерять однов

гибкой пластины 5, и заставить , то маятник 1 будет находиться под действием пер ы, вследствие чего будут на-блюд

2 и величину амплитуды вынужденных колебаний. Для получения ды вынужденных колеба-ний

Порядок выполнения работы

Опреде маятника 1. В

ет относительно случая, когда затухания нет (6.34). В этом можно убедиться, оп

нив его с вычисленным значением T0. Экспериментальное значенпериода можно вычислить по формуле (6.9), зная время tN полных N коле-баний.

ля вычисления по формуле (6.35) коэффициента затухания β измеряется время τ, в течение которого амплитудшф

я в e раз. В данной работе велременно.

а

Если маятник 1 соединить с маятником 2 при помощи системы рычагов маятник 2 колебаться

иодической сили

аться вынужденные колебания. Изменяя положение гайки 4, мы ме-няем период колебаний маятника

зависимости амплитуот периода вынуждающей силы измеряется максимальная амплитуда

колебаний маятника 1 и период колебаний маятника 2 при разных положе-ниях круглой гайки 4.

ление периода собственных колебаний ыведите пластинку 5 (рис. 6.15) из зазора на верхнем конце маятника

1. Для этого аккуратно поверните колодку с пластинкой вокруг соеди-нительного стержня.

2. Отклоните маятник 1 от положения равновесия на небольшой угол °< 100α (до красной риски на шкале) и отпустите, включив одновремен-

но секундомер. Измерьте время 10 – 15 полных колебаний. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

3. Измерения по пункту 2 повторите пять раз.

Определение коэффициента затухания β и логарифмического декремента затухания δ.

1. Отклоните маятник 1 от положения равновесия до черной риски на шкале 6 (что соответствует значению начальной амплитуды Ао = 82 де-

120

ления) и отпустите, включив одновременно секундомер. Наблюдая за колебаниями маятника, определите число полных колебаний Nе, за ко-то

пять раз.

ее из зазора на верхнем конце маятника 1. 3. Отклоните маятни ючив одновременно

секундомер. Измер зультаты измерений

4. нительного стержня, 1.

6.

2. ентальным данным табл. 6.6 определите период Т зату-

3.

4.

ять из табл. 6.6. Результаты данным постройте

5.

рые амплитуда уменьшается в 2,7 раза (АNe = 30 делениям шкалы), то есть максимальное отклонение маятника сравняется с красной риской. Запишите в таблицу 2 значения времени τ и число колебаний Nе.

2. Измерения по пункту 1 повторите

Изучение вынужденных колебаний маятника

1. Переместите круглую гайку 4 вдоль маятника 2 в верхнее положение. 2. Повернув колодку с пластинкой 5 вокруг соединительного стержня, вы-

ведите к 2 до упора 7 и отпустите, вкльте время 10 – 15 колебаний. Ре

запишите в табл. 6.8. Повернув колодку с пластинкой 5 вокруг соедивведите ее в зазор на верхнем конце маятника

5. Вновь отклоните маятник 2 до упора и отпустите его. Наблюдая за вы-нужденными колебаниями маятника 1, определите максимальную ам-плитуду Авын этих колебаний по шкале 6. Результаты измерения ампли-туды вынужденных колебаний маятника запишите в табл. 6.8. Повторяйте измерения по пунктам 2 – 5, каждый раз опуская круглую гайку на 2 оборота вниз.

Обработка результатов измерений

1. Рассчитайте теоретическое значение периода То собственных колебаний маятника 1. Длина стержня а указана на лабораторной установке. По эксперимхающих колебаний маятника 1. Рассчитайте среднее значение <T>. Сравните периоды То и <T>. Рассчитайте средние значения <τ> и <Νe> . Вычислите коэффициент затухания β и логарифмический декремент затухания δ. Результаты вы-числений запишите в табл. 6.7. Рассчитайте значения амплитуд затухающих колебаний маятника 1 для моментов времени t1 = 2 <T>, t2 = 4<T>, t3 = 6 <T>, t4 = 8 <T>. Значе-ния периода затухающих колебаний <T> взвычислений амплитуд запишите в табл. 6.7. По этимграфик А(t). Определите период колебаний маятника 2 для каждого положения круглой гайки. Результаты вычислений запишите в табл. 6.8. Используя данные табл. 6.8, постройте резонансную кривую Авын(Т).

121

Таблица. 6.6 Определение периода собственных колебаний маятника

N tN, c T, c <T>, c To, c

Таблица. 6.7

иента затухания β и логарифмического декрементОпределение коэффиц а затухания δ

Ао, дел

АNe, дел

Ne <Ne> δ τe, c <τ>, c β, c t, c A, дел

0 2<T>= 4<T>= 6<T>= 8<T>=

Таблица. 6.8

Изучение вынужденных колебаний маятника

N tN, c T, c Aвын, дел

Контрольные вопросы

Опишите и охарактеризуйте основные виды колебаний и колебательных систем. Что называется физическим маятником? Выведите формулу периода колебаний фи-зического маятника. Как изменяется со временем амплитуда затухающих колебаний? Являются ли зату-хающие колебан

1. 2.

3. ия периодическими, гармоническими?

5.

6.

МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

о груза.

4. В чем состоит явление резонанса? Каково его назначение в технике? Является ли резонанс «вредным» или «полезным»? Предложите дополнительные методы нахождения коэффициента затухания в дан-ной работе. Объясните наблюдаемое вами в данной работе увеличение амплитуды вынужден-ных колебаний и достижение ими максимального значения. Что влияет на время ус-тановления и на максимальную величину амплитуды вынужденных колебаний?

Лабораторная работа 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА

Цель работы

Изучение и применение экспериментального метода определения мо-мента инерции маховика произвольной формы относительно горизонталь-ной оси вращения с использованием добавочног

122

Содержание работы

В работе экспериментально определяется момент инерции маховика тодом колебаний при помощи добавочных грузов.

ме

центр масс диска перпенди о плоскости (рис. 6.16). К маховику -

ся уз (или несколько грузов),

имеющий форму ндра радиуса r, тр к ь которого параллельна

о овог колеса и проходит через точку О.

нв

лтррб

(

н

Описание лабораторной установки

В работе используется маховое коле-ородногосо в виде одн диска радиуса R с

осью вращения О, проходящей через кулярно ег

на расстоянии L от его оси вращения крепитдобавочный гр

че

цилигеоме и с ая осси вращения мах о

с

ссп

г

Рис. 6.16

то проведения эксперимента

Маховик представляет ой рдо ло, которого лежит а оси вращения Та те ахо ся в ост е безразличного равно-есия, то есть кол ба ьны ш не может.

Если к махо к ик ть авоч й г , центр масс которого не ежит на оси вр е мах це ма нов сис-емы сместится о апр лени груза и авновесие стан устойчивым. Такая система вед ная из положения авновесия, буд о ать тн ел оси аще я, представляя со-ой физический ят .

ериод колебаний физического маятника определяется по формуле 6.27). Учитывая, что моме зического маятника отно-

о момента инерции добавочного груза Jгр отно-а

Ме дика

бсо тве е те центр масс. кое ло н дит с ояние тел х движений совер ать ви у пр репи доб ны рузащ ния овика, то нтр сс в ь образованной с си вращения в н ав и прикрепленногоет , вы енет к леб с оя осит ьно вр нима ник

Пнт инерции нашего фи

ительно оси вращения складывается из момента инерции маховика J0 от-сительно оси вращения и

ительно той же оси, и соответственно масса физического маятниккладывается из массы маховика m0 и массы добавочного груза m, пере-ишем формулу (6.27) в следующем виде

glmmT

)(2

0+= π ,

l – ра

J гр

де сстояние между точкой подвеса и центром масс.

J0 +

Выразим отсюда момент инерции маховика

гр2

20 )( glTmm +

0 4JJ −=

π.

123

Расстояние между центром масс физического маятника и осью враще-я маховика можно найти, воспользовавшись они пределением центра масс

системы тел

0mmmLl+

= .

В итоге получим для момента инерции маятника

гр2

2

0 4JmgLTJ −=

π.

Момент инерции однородного цилиндра Jц (такую форму имеет доба-вочный груз) относительно его геометрической оси вычисляется так

2ц 2

1 mrJ = .

Момент инерции груза относительно оси вращения маховика можно найти по теореме Гюйгенса–Штейнера

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= 2

22

цгр 2LrmmLJJ .

Окончательное выражение для вычисления момента инерции махови-ка примет вид:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

2

2

2

0 24LrmmgLTJ

π.

Если в качестве добавочного груза одновременно используются не-сколько цилиндрических грузов, то для вычисления момента инерции ма-ховика можно воспользоваться той же формулой, где в качестве массы m надо подставить общую массу грузов, а в качестве момента инерции Jгр взять момент инерции всех грузов. В данной работе система добавочных грузов так же, как и один груз, представляет собой цилиндр, следователь-но, для нахождения момента инерции махового колеса достаточно исполь-зовать массу системы грузов.

Порядок выполнения работы

1. Определите радиус цилиндра r, используемого в качестве добавоч-ного груза к маховику.

2. Измерьте L – расстояние между осью вращения маховика и центром добавочного груза.

3. Выведите маховик с добавочным грузом из положения равновесия, после чего предоставьте его самому себе. Чтобы колебания были гармони-ческими, угол отклонения маятника φ (см. рис. 6.16) от вертикали не дол-жен превышать 10°.

124

4. С помощью с я достижения более высокой точности необходимо выбирать N >10) полных колебаний махо-вика

0 а

Результаты измерений и вычислений

екундомера измерьте t время N (дл

. 5. Проделайте аналогичные измерения, используя в качестве добавоч-

ного груза другие цилиндрические грузы, а также одновременно два и три груза. Результаты запишите в табл. 6.9.

6. Измерьте радиус маховика R.

Обработка результатов измерений

1. Вычислите для каждого опыта период колебаний физического ма-ятника по формуле.

2. Зная период колебаний, рассчитайте экспериментальное значениемомента инерции маховика I для каждого опыта.

3. Рассчитайте среднее значение момента инерции маховика <I >. 4. Учитывая, что маховик имеет форму однородного диска, вычислите

его теоретическое значение. Масса маховика m указана на лабораторнойуст новке. Сравните теоретическое и экспериментальное значение, най-денное из опытов.

5. Результаты расчетов запишите в табл. 6.9. Таблица 6.9

r, м

L, м

R, м

m, кг N t,

c T, c

I, кг·м2

<I >, кг·м2

Iтеор, кг·м2

Контрольные вопросы

1. Что такое квазиупругая сила и каковы особенности движения тела под действи-ем этой силы? Какая величина играет роль квазиупругой силы для физического маят-ника?

2. Дайте определение физического маятника. Получите уравнение его гармониче-ских колебаний и формулу периода его колебаний.

3. Что такое центр масс и центр тяжести? В каких случаях их положения для тел совпадают?

4. Какое свойство тела характеризует момент инерции тела относительно оси? Выведите формулу момента инерции цилиндрического тела относительно его продоль-ной ос

и симметрии. 5. Как можно определить момент инерции маховика произвольной формы? 6. Сравните теоретическое и экспериментальное значения моментов инерции ма-

хового колеса. Объясните полученный результат.

125

Лабораторная работа 13 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА ЭВМ

р

ности при сложении одина-ково

Описание моделирующей программы

ина-

прав

, и нажать клавишу «расчет». В результате ных и результирующего колебаний. По

Для получения результатов необходимо производить те же действия, как и в первой программе.

О

ся как 3 к 7. Начальные фазы колебаний вводятся в граду

Порядок выполне

Цель работы

Изучение сложения гармонических колебаний с помощью компью-терного моделирования.

Содержание аботы

В работе выясняются основные закономернаправленных и перпендикулярно направленных гармонических ко-

лебаний с различными амплитудами, частотами и начальными фазами.

Для успешного выполнения работы необходимо иметь элементарныенавыки пользования компьютером и операционной системой MS Windows (ввод числовых данных с клавиатуры, работа с меню, закрытие окна при-ложения). В случае отсутствия этих навыков необходимо перед выполне-нием работы проконсультироваться у лаборанта и проводить работу толь-ко в присутствии лаборанта или преподавателя. Функционально работа состоит из двух независимых программ, обращение к которым осуществ-ляется через интерактивный нтерфейс.

Первая программа позволяет моделировать сложение одинаково ленных колебаний с различными частотами, амплитудами и началь-

ными фазами. Для получения результатов необходимо задать (выбрать) частоту, амплитуду и начальную фазу для первого и второго колебаний

на экране появятся графики исход- окончании работы с первой про-

граммой ее необходимо закрыть. Вторая программа позволят моделировать сложение перпендикулярно

направленных колебаний с различными частотами, амплитудами и началь-ными фазами.

братите внимание, что амплитуды и частоты складываемых колеба-ний вводятся в условных единицах. Например, если для первого колебания выбрать частоту равную 3, а для второго 7, то реальные частоты колеба-ний будут соотносить

сах.

ния работы

1. Приготовьте разграфленную бумагу для зарисовки графиков склады-ваемых колебаний и результирующих колебаний.

2. С помощью лаборанта запустите программу.

126

3. Исследуйте сложение колебаний с равным ми, фиксированны-ми амплитудами, но различными начальными . Для этого уста-новите одинаковую амплитуду (выберите среднее значение) и частоту обоих колебаний. Начальную фазу пе

и частота фазами

рвого колебания выберите произ-вольно (например, 0). Начальную фазу второго колебания изменяйте от минимального до максимального значения, каждый раз производя но-вый расчет. Выявите основные закономерности результирующего коле-бания связанные с разностью начальных фаз.

4. Занесите 2–3 результата в протокол. Для этого, соблюдая масштаб, за-рисуйте графики исходных и результирующего колебаний, а также их параметры.

5. Исследуйте сложение колебаний с равными частотами, различными ам-плитудами и фиксированными ными фазами. Для этого устано-вите одинаковые частоты, а начальные фазы выберите таким образом,

производя новый расчет. Выявите основные закономерности результирующего ко-лебания, связанные с разностью амплитуд.

6. За

началь

что бы колебания были в противофазе. Амплитуду первого колебания установите на среднее значение. Амплитуду второго колебания меняйте от минимального до максимального значения, каждый раз

несите 2–3 результата в протокол аналогично п. 4. 7. Исследуйте сложение колебаний с разными частотами, одинаковыми

амплитудами и фиксированными начальными фазами. Для этого уста-но ивите одинаковые ампл туды (выберите среднее значение), и началь-ные фазы. Частоту первого колебания установите на минимальное зна-чение. Частоту второго колебания меняйте от минимального до максимального значения, каждый раз производя новый расчет. После до ястижени вторым колебанием максимальной частоты, начинайте уве-личивать частоту первого сигнала, так же производя расчет для каждого нового значения. Дополнительно исследуйте результат сложения коле-баний с другими комбинациями частот, неохваченными в предыдущих ис нследованиях данного пу кта. Выявите основные закономерности ре-зультирующего колебания связанные с разностью частот. Обратите внимание на случай, когда частоты различаются «мало», то есть раз-ность частот не превышает 10–15% от частоты одного из колебаний

121%10

1008. Занесите 2–3 результата в протокол, аналогично п. 4. Один из р

то

ωωω ≤− . Данный случа

езульта-

амплитудой и частотами, и различными начальными фаза-

ми. Для этого установите одинаФазу первого колебания установите равной 0, а фазу второго для каж-

льного до минимального зна-

й соответствует биениям.

в должен соответствовать случаю биений. 9. Исследуйте сложение перпендикулярно направленных колебаний с

одинаковойковые амплитуды и частоты колебаний.

дого нового расчета изменяйте от максима

127

че результирую-щего движения.

ние перпендикулярно направленных колебаний с од

щего движения. Повторите расчеты для случая соотношения частот 1/

установите произвольные частоты ко

4 значений. За-те

рующего движения. П

перпендикулярно направленных колебаний. По-стро

Анализ результатов моделирования

1. Сопоставьте полученные в процессе компьютерного моделирования результаты с рассмотренными ранее теоретическими закономерностямисложения

номерности) по проделанному компьютерно-му моделированию сложения гармонических колебаний.

3. Оформите протокол лабораторной работы, приложите к нему ные графики.

ний. Выявите основные закономерности в изменении

10. Исследуйте сложеинаковой амплитудой, кратными частотами и различными начальны-

ми фазами. Для этого установите одинаковые амплитуды колебаний. Частоты колебаний выберите так, что бы они соотносились как 1/2. Фа-зу первого колебания установите равной 0, фазу второго колебания для каждого нового расчета изменяйте от максимального до минимального значений. Выявите основные закономерности в изменении результи-рую

3, 2/3, 1/4. 11. Исследуйте сложение перпендикулярно направленных колебаний с

различными амплитудами. Для этоголебаний (желательно кратные) и начальные фазы. Установите ампли-

туды колебаний на минимальное значение. Первоначально увеличивая амплитуду первого колебания, проведите расчет для 3–м, оставив амплитуду первого колебания на текущем значении, про-

ведите 3–4 расчета, увеличивая амплитуду второго сигнала. Выявите основные закономерности в изменении результиовторите расчеты для другого соотношения частот и комбинации на-

чальных фаз. Согласно номеру своего варианта из таблицы «Варианты индивиду-

альных заданий для моделирования сложения колебаний с кратными частотами» выберите соотношение частот и разность начальных фаз для трех случаев сложения

йте эти колебания и зарисуйте их графики.

гармонических колебаний.

2. Сформулируйте и запишите в протокол лабораторной работы основные выводы (выявленные зако

получен-

128

Таблица 6.10

с кратными частотами 1 2 3

Варианты индивидуальных заданий для моделирования сложения колебаний

ω1/ω2 ∆φ ω1/ω2 ∆φ ω1/ω2 ∆φ 1 1/2 0 3/1 3π/2 3/4 0 2 1/2 π /2 3/1 π 3/4 π 3 1/2 π 3/1 π/2 4/3 0 4 1/2 3π/2 3/1 0 4/3 π 5 2/1 0 1/3 3π/2 3/4 0 6 2/1 π /2 1/3 π 3/4 π 7 2/1 π 1/3 π/2 4/3 0 8 2/1 3π/2 1/3 0 4/3 π 9 1/2 0 3 3/4 0 /1 3π/2 10 1/2 π /2 3/1 π 3/4 π 11 1/2 π 3/1 π/2 4/3 0 12 1/2 3π/2 3/1 0 4/3 π 13 2/1 0 1/3 3π/2 3/4 0 14 2/1 π /2 1/3 π 3/4 π 15 2/1 π 1/3 π/2 4/3 0 16 2/1 3π/2 1/3 0 4/3 π

Контрольные вопросы

1. Н

с е

плитудами? 5. Является ли колебательный процесс, описываемый уравнением (6.33), периодиче-

ск

внение одной из полученных ва

арисуйте график гармонического колебания. Покажите на нем амплитуду, период, начальную фазу колебаний.

2. Приведите примеры сложения колебаний, известные вам из повседневной жизни. 3. Может ли при лож нии двух колебаний с одинаковой частотой и амплитудой по-

лучиться колебание, амплитуда которого равна амплитуде каждого из слагаемых? 4. Как будет выглядеть результат сложения двух колебаний с различными, но близки-

ми частотами и неравными ам

им в строгом значении этого слова? (Для ответа можно воспользоваться графи-ком).

6. Расскажите, как применить метод биений для настройки струнного музыкального инструмента. Как мы судим о том, что совпадение частот двух колебаний достигну-то?

7. Можно ли использовать метод векторных диаграмм для описания сложения пер-пендикулярно направленных колебаний? Объясните.

8. Исключив из уравнений движения время, получите урами в эксперименте фигур Лиссажу (по указанию преподавателя).

129

ГЛАВА 7.

В работах данного цикла из громадного разнообразия волн рассмат-риваются лишь гармонические волны, то есть такие волны, в которых час-тицы колеблются, подчиняясь гармоническому закону синуса или косину-са.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равнове-сия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к на-правлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

В продольной волне частицы среды совершают колебания вдоль на-правления распространения волны. В поперечной волне частицы среды со-вершают колебания в направлении, перпендикулярном к направлению

в волновой процесс, от области, в которой возмущения еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихсяфазе, называется волновой поверхностью. Волнровести через любую точку пространства, уже охваченного волновым

стей существует бесконеч-т р

Волнов быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскоэтих

ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, бу-дет увлекать за собой, и приводить в колебательное движение прилегаю-щие к нему частицы среды. Последние, в свою очередь, будут воздейство-вать на соседние частицы, заставляя их также колебаться. При этом существенно, что увлекаемые частицы среды будут несколько отставать по фазе от ранее приходящих в движение частиц, так как передача колебаний от точки к точке всегда осуществляется с конечной скоростью, характер-ной для данной среды. Таким образом, колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, явится источником колебаний, распростра-няющихся от него в среде во все стороны. Процесс распространения коле-баний в упругой среде называется волной.

распространения волны. Распространяясь от источника колебаний, волно-вой процесс охватывает все новые и новые области пространства. Геомет-рическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред-ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную

в одинаковой овую поверхность можно

ппроцессом. Следовательно, волновых поверхноное множество, в то время как волновой фронт в каждый момен в емени только один.

ые поверхности могутсти или сферы. Соответственно волна в

случаях называется плоской (волновые поверхности – множество па-раллельных плоскостей) или сферической (волновые поверхности – мно-жество концентрических сфер).

130

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени:

( , , , )x y z tξ ξ= (7.1) Длиной волны λ называе

частиц среды. Другими слова-ми, д

тся расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний

лина волны представляет собой наименьшее расстояние между части-цами, колеблющимися в одинаковых фазах.

Tv=λ , (7.2) где v – скорость волны; Т – период колебаний.

Рассмотрим случай распространения плоской гармонической волны вдоль оси Ох и найдем вид функции ),( txξξ = . Пусть колебания точек, ле-жащих в плоскости х=0 имеют вид

( ) ( ) ( )αωααπνξ +=⎟⎠

⎜⎝

+=+= tAtT

AtAt coscos2cos,0 , (7.3)

где ξ(0,t) – величина сме

π ⎞⎛ 2

щения частиц в плоскости х=0 из положения рав-новесия; A – амплитуда колебания,из положения равновесия; T – период колебания, то есть время, за которое частица совершит одно полное колебание; ν – частота колебаний, то есть число полных колебаний ческая частота ко-лебаний -чальная фаза колебаний;

то есть наибольшее смещение частицы

в единицу времени; ω – цикли – число полных колебаний, совершенных за 2π секунд; α – на

αωαπ+= t2 –+t

T фаза колебания, которая харак-

теризует состояние колебательн каждый данный момент врем

щей произ-вольному зн точки B в произвольно

ого процесса вени. Найдем вид колебаний точек в плоскости, соответствую

ачению х. Из рисунка 7.1 видно, что колебания дой плоскости х дойдут через промежуток времени

vx

=τ , (7.4)

странения волны. лебания частиц лежащих в плоскости х, будут от-

τ от колебаний частиц в плоскости х=0, то есть бу-

( )[ ]

где v – скорость распроСледовательно, ко

ставать по времени надут иметь вид

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+− αωατω

vcoss xtAt (7.5)

и есть уравнение плоской волны (и продольной, и раняющейся в направлении оси х. Величина А пред-уду волны. Начальная фаза α определяется выбором

ое–либо значение фазы в уравнении (7.5)

=ξ co, Atx

Уравнение (7.5) поперечной), распростставляет собой амплитначала отсчета х и t.

Зафиксируем как

131

constvxt =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − αω (7.6)

Это выражение определяет связь между временем t и тем положением х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него зна-чение dtdx / дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя (7.6)

dtdx

=vпо времени, получим 0v1

=− dxdt , откуда . Та-

ким образом, скорость в ость перемещения фазы ны.

олны в уравнении (7.5) есть скор, то есть фазовая скорость вол

Рис. 7.1

Поскольку , распространяю-щую

влении (в сторону убывания х), описывается уравнением

уравнение (7.5) описывает волну, 0/ >dtdxся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противопо-

ложном напра

( ) ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++= αωατξ

vcoscos, xtAtAtx (7.7)

ω

их лежи их мень

, так и в виде поперечных волн. В жидкостях ипример, могут распространяться только продольные волны, в твердыхлах – пр е во

п ы о -дающей . Поэтому в жидкой и бр едво ж о о о ых волн. В ердой е воможно возникновение как дольн к и поперечных волн.

Теоретические расчеты, подтверждаемые экспериментом, показыва-ют, что скорость распространения звуковой волны зависит от упругих свойств среды, ее плотности и мпературы. Скорость распространения звуковых волн в газах определяется по формуле:

Упругие колебания в воздухе называют звуковыми, если частота частотат в интервале от 20 Гц до 20000 Гц, инфразвуковыми, если

еслише 20 Гц, и ультразвуковыми, частота их свыше 20000 Гц. Звуковые колебания в упругой среде могут распространяться как в

виде продольных газах, на- те-

одольные и поперечныругие поперечные волн сопротивлением сдвигу

лны. могут в

продольных, та

У зникнуть лишь ов среде, обазной ср

ла газотв

ах з-змо но в зникн вение тольк

про сред

те

µγRT

=v , (7.8)

132

где γ – постоянная величина дл данного ; R – ниверсальная газовая п пература; µ – молеку рная масса.

п чных звуковых волн в твердых те-лах

я газа уостоянная; T – абсолютная тем ля

Скорость распространения опере

ρ

где G – модуль сдвига; ρ – плотность среды. Ск

G=v , (7.9)

орость распространения продольных звуковых волн: Eρ

где E –

=v , (7.10)

модуль Юнга. новременно несколько волн различ-

ных колебания частиц среды оказ баний, которые совершали бы част

друг

имеют неизменную во врем

ытия волн происходит сложение колебаний для каждой из частиц среды, в результате колебания в одних местах облас-ти перекрытия волн усиливаются, в других – ослабевают.

нтерференция волн – явление усиления или ослабления амплитуды результирующей волн ения между фазами складываемых когерен

встречных плоских волн с од итудой. Возникающий в ре-зультате колебательный проце волной. Практически стоячие

щихся в про-тивоположных на зу обеих волн рав-ной нулю

Если в среде распространяются одчастот от разных источников колебаний, тоываются геометрической суммой колеицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следова-

тельно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения)

волн. Волны называются когерентными, если они ени разность фаз (более строгое определение когерентности рассмот-

рено в последующих разделах физики). ак как в области перекрТ

Иы в зависимости от соотноштных волн одинаковых частот.

Особый случай интерференции наблюдается при наложении двух инаковой амплсс называется стоячей

волны возникают при отражении волн от преград. Падающая напреграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на дру-га, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяюправлениях, принимая начальную фа

:

1 0 sin падающая волна;xA tv

ξ ω ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0 sin отраженная волна.xA tv

ξ ω ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.11)

Складывая оба уравнения и преобразуя результат по формуле синусов суммы и разности, получим:

133

,sincos2sin xω=⎟

⎞cos tx ωωω ⋅⋅+ (7.12)

cossinsincoscossin021 vxt

vxt

vxtA ωωωωωωξξξ +⋅⎜

⎝⎛ +⋅−⋅=+=

0 vA

vt

⎠Это и есть уравнение стоячей волны. Оно показывает, что в результа-

те наложения падающей и отраженной волн в каждой точке среды проис-ходит гармоническое колебание с той же частотой ω, но с амплитудой

vxAA ωcos2 0= (7.13)

В точках волны, для которых 0cos =ωvx

или π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=

ω21n

vx (n=0, 1, …)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Частицы среды, находящиеся в узлах, колебаний не совер-шают. Координаты узлов имеют следующие значения:

ωπ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=

vnx21 (7.14)

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точ-ки которой имеют координаты х, определяемые формулой (7.14).

С учетом (7.2) координаты узлов стоячей волны можно определить:

( )42222 ⎠⎝π⋅⎠⎝ T

121 λ+±=

λ⎟⎞

⎜⎛ +±=

⋅λ nnT

1π⎟

⎞⎜⎛ +±= nx (7.15)

1cos =В точках волны, для которых v

или щx

π±=ω nv

(n = 0, 1, x …)

ампл ти итуда колебаний достигает максимального значения: 2AA = . Э0

точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей имеют значения:

( )…,2,1,04

22

=λ

±=π⋅

⋅λπ±=

ωπ±= nn

TTnvnx (7.16)

Из формул (7.15) и (7.16) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же, как и расстояние между соседними узлами, равно

2λ .

Следует заметить, что при переходе через узел фаза колебания меня-ется на противоположную (на π). Это следует из того, что множитель

vxωcos , определяющий амплитуду, при переходе через нуль в узле меняет

знак. Поэтому, если по одну сторону узла в некоторый момент времени смещение ξ положительно, то по другую сторону узла в тот же момент времени оно отрицательно.

134

Стоячие волн ебания натянутой стру

Если линейная длина столба воздуха равна

ы можно наблюдать, возбуждая колны, закрепленной с обоих концов. Процесс образования стоячей волны в каждый момент времени про-

исходит очень быстро, а так как наш глаз обладает способностью сохра-нять изображение предмета некоторое время (1/24 с), то стоячую волну видим такой, как она показана на рисунке 7.2. Точки O1, O2, O3, O4 нахо-дятся все время в покое. Это узлы стоячей волны.

Точки A1, A2, A3, A4, колеблются с максимальной амплитудой, равной 2A0. Это пучности стоячей волны. Точки, лежащие между узлами и пучно-стями, колеблются с амплитудой от 0 до 2A0 (каждая со своей амплиту-дой).

Рассмотрим возникновение интерференции звуковых волн в трубе, за-крытой с обоих концов.

4где n = 1, 2, 3, …, то в нем возникают колебания с максимальной амплиту-дой.

2 λ= nl (7.17)

ходит до другого и отра-жает тно и отражае изменением фазы на π. В результате вторичная отраженная волна имеет такую есть усиливает падающую. с едс ие м кр х е ий амплитуд резко возрастает и ос-тигает с и сл ли а н

Пусть волна, вышедшая из одного конца, дося с изменением фазы на π, затем идет обра тся снова с

же фазу, как и падающатных последующивоего максимального

ая, тоотражзначен

В л твного н

я. Еа

на столбд

и д воздуха рав а ( )

412 λ

+= nl , (7.18)

то ам Таким образом, непрерывно умень-

7 уча-ния. соседними максимумами

Рис. 7.2

плитуда колебаний равна нулю. шая (или увеличивая) длину воздушного столба l, при выполнении условий (7.1 ) или (7.18), получим чередующиеся максимумы и минимумы зв

Из (7.17) видно, что расстояние ∆l между

135

равн а-чала оордина

о половине длины волны. Отсчитывая от произвольно выбранного н координаты максимумов, для разности к т соседних максиму-

мов получим λ21 =∆=−=∆ − lxxx nn , (7.19)

где хn – координата n–го максимума. Отсюда 2 xλ = ∆ .

Так как скорость распространения волн, в частности и звуко-вых v

Tλ λν= = , то для нашего случая

v 2 x ν= ∆ ⋅ (7.20) По этой формуле можно определить скорость распространения звуко-

вых волн, зная частоту колебаний и определяя расстояние между последо-вательными максимумами звучания при непрерывном изменении длины воздушного столба.

Зная скорость распространения звука в газе, можно, при известных молярной массе M и температуре T определить отношение VP CC=γ для газа, используя уравнение

TRM

⋅⋅

=2vγ , (7.21)

где R – универсальная газовая постоянная. Вывод формулы (7.21) основан на том, что распространение звука в

газе можно считать адиабатическим процессом. Это объясняется тем, что колебания плотности и связанные с ними колебания температуры в звуко-вой волне происходят настолько быстро, а теплопроводность газов на-столько мала, что для таких процессов теплообмен с окружающей средой фактически отсутствует, а разности температур между сгущениями и раз-ряжениями газа в звуковой волне не успевают выравниваться. Подробнее смотрите в дополнительных источниках, например в [4].

Теоретически показатель адиабаты γ определяется числом степеней свободы i молекул газа:

ii

CC 2

V

P +==γ (7.22)

Лабораторная работа 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ

ВОЛНЫ

Цель работы Целью настоящей работы является определение фазовой скорости

распространения звуковых колебаний методом стоячей волны.

136

Методика эксперимента и описание установки

Для определения x∆ – расстояния между двумя последовательными максимумами звучания – поль-зуются установкой, изображенной на рис. 7.3. Здесь К – стальная труба, прикрепленная к деревянной доске со шкалой С. Над верхним отверстием трубы

бка М, соединенная резиновым шлангом Ш с

ном

(7.17) стоячую волну Перемещая поршень вверх

прикреплен телефон Т, обращенный мембраной к отверстию трубы. Этот телефон возбуждается зву-ковым генератором. В поршень вмонтирована мед-ная трунаушниками. Когда генератор включен, его сигнал звуковой частоты заставляет мембрану телефона совершать вынужденные колебания. Испускаемые ею звуковые волны, распространяясь в воздушстолбе трубы К, отражаются от поверхности порш-ня и мембраны, образуя при выполнении условия

. или вниз, можно определить положения поршня, в которых наблюдаются максимумы звучания. Рас-стояние x∆ между соседними положениями порш-

ня, в которых наблюдается максимум звучания, равно половине длины звуковой волны. То скорость расп странения звуковых волн воздухе можно определить по формуле (7.20).

Порядок выполнения работы

Рис. 7.3

гда ро в

я максиму-мов

чания . Определить среднее расстояние между ними и по н

1. Включить генератор в сеть. 2. Установить частоту 800 Гц. 3. Надеть наушники. Установить поршень в крайнее верхнее положе-

ние. Медленно перемещая поршень вниз, определить положенизвучания и занести их в табл. 7.1. Подумайте, как можно определить,

что полученная громкость сигнала является максимальной. 4. Повторить определение координат максимумов звучания, переме-

щая поршень вверх и вниз. Координаты одного и того же максимума запи-сать в одну строчку таблицы.

5. Повторить измерения по п.п. 2 – 4 для частот 1000 и 1200 Гц.

Обработка результатов измерений

1. Определить среднее значение координат всех пучностей для часто-ты 800 Гц.

2. По средним значениям координат определить расстояния между максимумами зву x∆

ему вычислить скорость распространения волны по формуле (7.20). 3. Проделать вычисления по п.п. 1 – 2 для частот 1000 Гц, 1200 Гц.

137

4. Определить среднее значение скорости звука в воздухе. 5. Определить теоретическое значение скорости звука в воздухе по

формуле (7.21). Таблица 7.1

ении поршня

Деления шкалы, соответ–ствующие максимумам

звучания при перемещ

ν, ду сосед-ними

му–

Среднее Част

ота

Расстоя-ние меж-

Гц вниз вверх вниз сред- максинее мами

x∆ , м

значе-е

,

волны λ, м

значение скорости

v, м/с

К

Длина

Экспери–ментальное

ни T, x∆м

800 …

1000 …

1200 …

Среднее значение скорости ⟨v⟩, м/с Теоретическое значение скорости vтеор, м/с

Контрольные вопросы

1. Дать определение волны в упругой среде. Какая волна называется продольной? Какая волна называется поперечной? Что такое волновой фронт и волновая поверх-ность

4. Написать уравнение бегущей во

межд

? 2. От каких параметров зависит скорость распространения звуковых волн в раз-

личных средах? 3. Что такое длина волны? Как связаны скорость распространения волны с длиной

волны? лны.

5. Дать определение принципа суперпозиции волн? 6. Какие волны называются когерентными? 7. Что такое интерференция волн? 8. Написать уравнение стоячей волны. На каком расстоянии друг от друга нахо-

дятся соседние узлы стоячей волны? 9. С какой разностью фаз колеблются в стоячей волне две частицы, находящиеся

у соседними узлами на расстоянии λ41 друг от друга?

10. Чему равна максимальная амплитуда пучности при интерференции двух волн? 11. Каково условие возникновения максимальных колебаний при интерференции

в трубе, закрытой с обоих концов?

138

Лабораторная работа 16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ CP/CV МЕТОДОМ АКУСТИЧЕСКОГО

РЕЗОНАНСА

ном

е, ,

ко-

н соединен с электронным осциллогра-фом 8. Положение микрофона в трубе относительно телефона определяет-ся по указателю 9, закрепленному ршня. При движении порш-ня в

Цель работы

Целью работы является определение фазовой скорости распростране-ния звуковой волны в воздухе и отношения теплоемкостей при постояндавлении и объеме CP/CV методом акустического резонанса.

Описание лабораторной установки

Стоячая волна создается в трубе 1 (рис. 7.4), закрепленной на брускна котором нанесена шкала 2. У левого конца трубы установлен телефон 3обращенный мембраной к отверстию трубы. Телефон подключен к звувому генератору 4. В трубе находится поршень 5, который может переме-щаться по трубе с помощью штока 6. В поршень вмонтирован микрофон 7, обращенный к телефону. Микрофо

на штоке подоль трубы указатель перемещается относительно шкалы 2.

Рис. 7.4

Методика эксперимента Колебания воздуха в трубе возбуждаются под действием мембраны

телефона 3, питающегося от генератора 4 электрических колебаний звуко-вых частот. Звуковая волна, идущая от мембраны телефона, и волна, отра-женная от поршня, интерферируют в столбе воздуха, образуя стоячую вону при выполнении условия (7.17).

л-

в элек луча на экране осциллогчастоты колебаний мембр

Микрофон 7 преобразует механические колебания столба воздуха трические. Далее сигнал поступает на вход осциллографа 8. Смещение

рафа будет максимальным в случае совпадения аны телефона с частотой собственных колебаний

139

воздушного столба. Такие положения микрофона фиксируются указателем 9 по

н разностям

шкале 2. Разности между соседними отсчетами положений поршня с микрофоном при максималь ом смещении луча на экране осциллографа равны наименьшим x∆ длин воздушных столбов, которые ис-поль определения длины звуковой волны λ, скорости распро-

и осциллограф в сеть. нее правое положение. ий ν1. Величины частот νi во вдоль трубы, запишите

ель 9, для тех поло- увеличение амплитуды

определить, полученное отклонение луча является максимальным.

. 7.2. Помните, что координаты одного и вать

ы -

7. Измерьте температуру воздуха в лаборатории и занесите в табл. 7.12

Обработка результатов и

зуются длястранения звуковой волны v и отношения CP/CV.

4. Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с правилами работы на осциллографе и звуковом генераторе.

2. Включите генератор звуковых колебаний 3. Переместите поршень вдоль трубы в край4. Установите на генераторе частоту колебан

указаны на генераторе. Перемещая поршень вледеления шкалы 2, на которых устанавливается указатжений поршня, когда на экране наблюдается резкоесигнала. Подумайте, как можно что

5. Повторите определение положений поршня, соответствующих мак-симуму амплитуды сигнала на экране осциллографа при перемещении

вправо, затем снова влево. Результаты измерений занесите в таблпоршня того же максимума нужно записы-

в одну строчку табл. 7.2. 6. Установите на генераторе частоту ν2, затем ν3. Для каждой частот

выполните измерения, указанные в п.п. 3 – 5. Результаты измерений занесите в табл. 7.12.

змерений

1. Для каждой частоты звуковых колебаний ν1, ν2, ν3 рассчитайте средние значения отсчетов νix , при которых наблюдается резкое увели-чени

я между максимумами звучания

е амплитуды сигнала на экране осциллографа. 2. Для каждой частоты по средним значениям координат определить

расстояни x∆ , среднее расстояние между ним

, вычислите показатель адиабаты

и и по нему вычислить скорость распространения волны по формуле (7.20).

3. Рассчитайте среднее значение скорости звука в воздухе и занесите в табл. 7.2.

7. Считая звуковые колебания адиабатическим процессом разряжений и сжатий воздуха VP CC=γ по формуле:

140

( )2C M vPэкс.VC RT

8. Сравните экспериментально

γ = = ,

полученные значения показателя адиа-баты

луча на осциллографе, мм

для воздуха с теоретическим значением γтеор., считая молекулы возду-ха двухатомным газом (7.22).

9. Результаты расчетов занесите в табл. 7.2. Таблица 7.2

Отсчеты по шкале, соот-ветствующие макси-мальному смещению

При перемещении поршня,

Сред- Час-

ние значе

тота, Гц

ния отсче

влево вправо влево

товix ,

мм

x∆ ,

мм

x∆

мм

λ , v,

м м/с v Т γ

м/с

.К теор.экс γ

ν1 …

ν2 …

ν

…

3

Контрольные вопросы 1. Поясните образование стоячей волны. 2. Получите уравнение стоячей волны.

сс распространения звуковой адиабатическим?

3. На каком расстоянии друг от друга находятся соседние пучности стоячей вол-ны?

4. Как связана скорость распространения волны с частотой и длиной волны? 5. Как определяется длина волны в данной работе? 6. Почему проце волны является

C=γ VP C7. Какие значения может принимать величина в зависимости от числа степеней свободы молекулы?

8. Как определяется энергия, переносимая волной?

141

Глава 8. МОЛЕКУЛЯР ТЕРМОДИНАМИКА

отношению, к этой системе. Состояние системы определяет-ся значениями все кие свойства сис-темы

одинамиче-ской системы будет равн ры состояния будут иметь .

ри изменении направления равновесного процесса (например, замена сжатия газа расширен те же равновес-ные остояния, что и при . Поэ

НАЯ ФИЗИКА И

Термодинамической системой называется некоторая совокупность тел, обменивающихся энергией как между собой, так и с другими телами, внешними по

х величин, характеризующих физичес и называемых ее термодинамическими параметрами. Важнейшими параметрами состояния химически однородной систе-

мы являются объем V, давление Р и температура Т. Между этими тремя основными параметрами состояния существует связь, называемая уравне-нием состояния: f(P,V,T) = 0.

Состояние, в котором хотя бы один из параметров не имеет опреде-ленного значения, называется неравновесным. Состояние терм

овесным, если все парамет определенные значения, не изменяющиеся с течением времени

Термодинамические системы, которые не обмениваются с внешней средой ни веществом, ни энергией называются изолированными (или замк-нутыми).

Термодинамическим процессом называется переход системы из одного состояния в другое. Бесконечно медленный процесс оказывается состоя-щим из последовательных равновесных состояний. Такой процесс называ-ется равновесным (или квазистатическим). Бесконечно медленный про-цесс считается абстракцией. Практически можно считать квазистатическим процесс, протекающий настолько медленно, что откло-нения значений параметров состояния от равновесных пренебрежимо ма-лы.

Пием) система будет проходить через

прямом ходе, но в обратной последовательности стому равновесные процессы называют также обратимыми. Зная уравнение состояния для вещества, и используя законы термоди-

намики, можно изучать его свойства в различных агрегатных состояниях. Простейшей моделью газообразного состояния является идеальный газ. Идеальным называется газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярно-го взаимодействия. Молекулы такого газа ведут себя как абсолютно упру-гие шарики. Их размерами можно пренебречь, а взаимодействие между ними сводится к случайным упругим столкновениям.

Многочисленные опыты показали, что реальные газы при не слишком низких температурах и достаточно малых давлениях по своим свойствам близки к идеальным газам. Так, например, водород и гелий уже при атмо-сферном давлении и комнатной температуре ведут себя практически как идеальные газы.

Опытным путем было установлено, что при обычных условиях (то есть при комнатной температуре и атмосферном давлении) параметры со-

142

стояния таких газов, как кислород и азот, довольно хорошо подчиняются уравнению

bPV= , (8.1)

T

где b – константа, пропорциональная массе газа.

Для разреженных газовние состояния имеет вид:

RTPV

количество вещества которых ν моль, уравне-

ν= , (8.2) где R – молярная газовая по

е начало термодинамики. В доста-точно общей форме оно ьполной энергии ∆W системы п е з ого состояния в

не, но противоположную по знаку работу А, совершаемую системой над внешними телами (А' = –А), и поло-жить, что ∆W = ∆U, то получим:

Q =∆U + A (8.3) где ∆U – изменение внутренней энергии системы. Отсюда вытекает сле-дую улировлоты, сообщенное системе, расходуется на увеличение ее внутренней

тся энергия, передаваемая от одного тела к другому в процессе теплообмена. Очень важныкогда газ или пар в результате некоторого процесса во

ое состояние, то есть ∆U = 0, а это значит, что A = Q ,

то е

двода энергии извне или совершал бы работу, боль-шую, чем количество сообщенной ему извнпервого рода невозможен).

лее часто прих ыпри

стоянная. Процессы, которые происходят в газах, подчиняются одному из ос-

новных законов природы – закону сохранения и превращения энергии. Вы-ражением этого закона является перво

может быт сформулировано так: изменение ри переход ее и одн другое

равно сумме совершенной над системой работы А' и сообщенного ей коли-чества теплоты: ∆W = A' + Q. Если вместо совершенной над системой работы А' ввести равную ей по величи

щая форм ка первого начала термодинамики: количество теп-

энергии и на совершение системой работы против внешних сил. Количеством теплоты называе

м является случай, звращается в перво-

начальн (8.4)

сть работа равна подведенному извне количеству теплоты. Тогда мож-но сформулировать первый закон термодинамики следующим образом: нельзя построить периодически действующий двигатель, который совер-шал бы работу без по

е энергии (вечный двигатель

Среди процессов, которые могут происходить в газах, наибоодится иметь дело с изопроцессами. ак называют процессТ в газах, которых один из трех параметров состояния сохраняется постоянным.

Такими процессами могут быть: изобарический, изохорический, изотерми-ческий.

143

Изохорическим процессом называется такой процесс, при котором система переходит из одного состояния в другое при неизменном объеме (V =

другое при постоянном давлении (Р = const).

обмена с внешними по отношению к это

сти будет выполнено, если процесс протекает так быстро, что тепл .

абата идет круче, чем изотерма. Объяс-няет ие давления газа обу-словлено не только уменьш изотермическом сжатии, но и повышением т ом расширении газа

const) (рис. 8.1). Изобарическим называется процесс, когда система переходит из одно-

го состояния вИзотермическим называется процесс, когда система переходит из од-

ного состояния в другое при постоянной температуре (T = const). Адиабатическим называется такой процесс, когда система переходит

из одного состояния в другое без теплой системе телами. Практически адиабатный процесс всегда проис-

ходит при достаточно быстром расширении или сжатии газа. Условие адиабатично

ообмен между газом и внешней средой не успевает произойтиИз рисунка 8.1 видно, что адися это тем, что при адиабатном сжатии увеличен

ением его объема, как приемпературы. При адиабатн

его температура понижается, и поэтому давление газа падает быстрее, чем при изотермическом расширении.

Рисунок 8.1

Адиабатический процесс происходит при полной термодинамической изолированности системы, то есть этот процесс протекает за счет измене-ния внутренней энергии системы.

Внутренней энергией газа U в первом приближении можно назвать кине что сред-няя

тическую и потенциальную энергию его молекул. Известно, кинетическая энергия молекулы идеального газа:

,kTiU = (8.5) 2

144

где ьцмана; Т – абсолютная температура.

о задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Так, например, материальная точка, про-звольно движущаяся в пространстве, обладает тремя степенями свободы

(координаты X , Y, Z). Молекулы одноатомн как материальные

точки н ена в ядре, размеры которого очень ). Поэтому молекула одно-атомного

состоящие из двух, трех и большего числа атомов, не мо-г териальным точкам. Мо-

мо-лекулы, связанная с этим вращением.

Молекулы трех – и многоатомных (рис.

i – число степеней свободы молекулы; k = 1,38 . 10–23 Дж/К – постоян-ная Бол

Числом степеней свободы тела i называется число независимых коор-динат, которые необходим

и

ого газа можно рассматриватьа том основании, что масса такой частицы (атома) сосредоточ

малы (~10–13 см газа может иметь лишь три степени свободы поступательного

движения. Молекулы,

ут быть уподоблены малекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два жестко связанных атома, находящихся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 8.2).

Такая молекула, помимо трех степеней сво-боды поступательного движения, имеет еще две степени свободы вращательного движения вокруг

Рис. 8.2

осей О1 – О1 и О2 – О2. Вращение вокруг третьей оси О – О рассматривать не следует, так как момент инерции атомов относительно этой оси ни-чтожно мал, а следовательно, ничтожно мала и кинетическая энергия

газов 8.3) подобно абсолютно твердому телу

обладают тремя степенями свободы поступа-тельного движения и тремя степенями свободы вращательного движения. От числа степеней свободы, которыми могут обладать молекулы газа, зависит их теплоемкость

Рис. 8.3

Опыт показывает, что на каждую степень свободы поступательного движения молекулы газа приходится одинаковая кинетическая энергия, равная

1' .W kT= (8.6)

а следо-у для

2В идеальном газе нет сил взаимодействия между молекулами,

вательно, равна нулю их взаимная потенциальная энергия. Поэтом

145

одного моля идеального газа внутренняя энергия будет равна сумме кине-тических энергий N молекул:

,2 2i iU N kT RTA= = (8.7)

где Т – абсолютная температура газа; R – универсальная газовая постоян-

оемкостью называется величина, равная количеству теплоты, ко-торо с овысить его температуру на один

физическая величина, численно о сообщить единице массы этого ы на один кельвин. Кроме того, плоемкостью, которая, в отличие одному килограмму, а к одному

газа различают теплоемкость при постоянном объеме Сv и теплоем-кость при постоянном давлении Сp.

звне количество теплоты идет целиком на увеличение его внутренней энергии U. Отсюда молярная теплоемкость газа при посто-янном объеме Сv численно равна изменению внутренней эмоля газа ∆U при повышении его температуры на 1К:

ная; Na – число Авогадро. Тепле нужно ообщить веществу, чтобы п

кельвин. Удельной теплоемкостью называется

равная количеству теплоты, которое надвещества для увеличения ее температурчасто пользуются молярной (мольной) теот удельной теплоемкости, отнесена не кмолю вещества.

Очевидно, что С = с М,

где С – молярная теплоемкость; М – молекулярная масса вещества; с – удельная теплоемкость.

У

При постоянном объеме работа внешних сил равна нулю, и все сооб-щаемое газу и

нергии одного

.)1( RiTRiTRiU =−+=∆ (8222

.8)

Таким образом, молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

,2

C Rv = i

(8.9)

ом объеме удельная теплоемкость при постоянн

.2i Rcv M

=

При нагревании газа при постообщаемое ему извне количество тепвнутренней энергии U, но и на соверСледовательно, теплоемкость газа плоемкости при постоянном объемевершает один моль газа при расширвышения его температуры на 1К при

(8.10)

янном давлении газ расширяется, со-лоты идет не только на увеличение его шение работы А против внешних сил. ри постоянном давлении больше теп-

на величину работы А, которую со-ении, происходящем в результате по- постоянном давлении Р:

146

за работа А = R, тогда Можно показать, что для моля га

.22

iС C R Rp v+= + = (8.11)

Пользуясь соотношением между удельными и молярными теплоемко-стями, находим для удельной теплоемкости:

2 .2

i RCp M+= ⋅ (8.12)

Непосредственное измерение удельных и молярных теплоемкостей за-труднительно, так как теплоемкость газа составит ничтожную долю тепло-емкости сосуда, в котором находится газ, и поэтому измерение будет чрез-вычайно неточно.

Проще измерить отношение величин Сp/Сv :

.2С ipC iv

γ += = (8.13)

Это отношение зависит только от числа степеней свободы молекул, из которых состоит газ.

Лабораторная работа 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ

ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ Цель работы

Целью настоящей работы является определение отношения удель-ных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и при постоян-ном объеме.

Описание лабораторной установк

У

духа в сосуде и температура вначале повысятся. Затем давление воздуха внутри сосуда станет уменьшаться вследствие того, что

и

становка состоит из стеклянного баллона 1 (рис. 8.4), соединенного резиновым шлангом 2 с манометром, прикрепленным к стойке со шкалой 3. Вторая стеклянная трубка соединена резиновой трубкой с ручным насо-сом 4. Кран 5 (см. рисунок на лабораторном столе) позволяет соединять баллон с насосом (положение "а") или атмосферой (положение "б"), либо отсоединить от того и другого одновременно (положение "в").

Методика эксперимента

Пусть первоначально в сосуде было атмосферное давление. С помо-щью насоса 4 накачаем в сосуд небольшое количество воздуха и закроем кран 5. Так как нагнетание воздуха производится быстро, то можно счи-тать, что теплообмен с окружающей средой не успевает произойти, и этот процесс будет приблизительно адиабатическим.

авление возД

147

нагреты ки со-суда.

й воздух будет охлаждаться из–за теплопередачи через стенУменьшение давления прекратится, когда температура воздуха внут-

ри сосуда сравняется с температурой окружающего воздуха, при этом в манометре установится окончательная разность уровней жидкости h1 .

Рис. 8.4 Схема лабораторной установки

О

ние: T , P ). дух в сосуде будет расши-

ряться адиабатически я с атмосферным Pо, при этом он охладится вторым состоянием возду

еваться. Возрастание давления прекра-тится -

вет z . Очевидно, что

второго к третьему состоянию произошел без из-

бозначим через T1 абсолютную температуру окружающего воздуха и через P1 – давление воздуха внутри сосуда, соответствующее показанию манометра h1 . Очевидно, что

P1 = Pо + ρgh1, (8.14) где Pо – атмосферное давление, ρ – плотность манометрической жидкости, g – ускорение свободного падения.

Два параметра T1 и P1 характеризуют состояние воздуха, которое мы назовем первым состоянием (1 состоя 1 1

Если теперь быстро откроем кран 5, то воз, пока давление его не сравняетс

до температуры Т – это будет2ха (2 состояние: T2, Pо). Если затем сразу же снова закрыть кран 5, то давление внутри сосуда

начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при расширении воздух в сосуде снова станет нагр

, когда температура воздуха в сосуде сравняется с внешней температурой Т1 – это будет третьим состоянием воздуха (3 состояние: Т1, P2).

Обозначим давление воздуха в сосуде в этот момент через P2 и соот-ствующее показание манометра через h

P2 = Pо + ρghz . (8.15) Так как переход от

менения объема, то мы вправе применить здесь закон Гей–Люссака:

P2/Т1 = Pо/T2 (8.16)

148

К процессу адиабатического расширения, то есть к переходу из перво-состояния во второе, может быть применен закон Пуассона, который обно написать в следующей форме:

P

го уд

гдеи п(8. тавляя члены, получим:

1γ –1 / Т2

γ = Pоγ –1 / T γ (8.17)

γ – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении ри постоянном объеме cp/cv. Подставляя сюда значение P1 из уравнения 14) и перес

11 1 ,

2

P gh ToP To

γγρ − ⎛ ⎞+⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

или

11 1 21 1 .

2

gh T T

P To

γγρ − ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Так как 1gh

Po

ρ 1 2и

2T –– величины малые по сравнению с еди-

цей, то, разлагая оба двучлена по биному Ньютона и ограничиваясь чле-и первого порядка малости, получим:

( )

T T−

нинам

1 11 1 12

gh T T

P To2 ,

ργ γ

−+ − = +

откуда 11 2 .1

2

T TP gо T

γ ργ

h− −

= (8.18)

Выражение, стоящее в левой части уравнения, есть h2; действительно, подставив в уравнение (8.15) из уравнения (8.16) и разрешив его относи-тельно h2, получим:

1 2 .22

T Th Pо gTρ

−= (8.19)

Следовательно, разделив (8.18) на (8.19), можно написать: 1 .2 1h h γ

γ−

= (8.20)

Соотношение (8.20) используется в данной работе для определения показателя адиабаты.

Порядок выполнения работы

1. Повернуть кран 5 так, чтобы установить сообщение баллона 1 толь-ко с насосом.

2. Осторожно действуя насосом 4, быстро накачать воздух в сосуд 1. Когда разность уровней в манометре достигнет 30–35 делений шкалы, за-крыть кран 5.

3. После того, как давление установится, то есть температура внутри сосуд станет равна температуре окружающей среды, а показание мано-а

149

метра перестанет изменяться, произвести отсчет h1 по разностжидко

4. Быстро открыть сосуда с атмосферой. Как только уровни ж дкости в манометре сравняются, так же быстро за-крыть н.

давление становится, произвести второй отсчет h2. 6 т повторить 10 раз.

ьта ы измерений ести в таблицу 8.1.

Обработка результатов

. По формуле (8.20) рассчитайте для каждого опыта значение показателя адиабаты γ. Результаты расчета занесите в таблицу. 2. -

е-зул

Показания манометра

и уровней сти в обоих коленах манометра.

кран 5, установив сообщениеи

кра5. Когда у. Опы

7. Резул т зан

1

Рассчитайте среднее значение из 10 значений, используя метод Стьюдента, и доверительный интервал для 95% доверительной вероятности. Р

ьтат занесите в табл. 8.1 Таблица 8.1

опыта h1, делений h2, делений

γ

1 2

10

3 …

Среднее из 10 значений < γ > ± ∆ γ

Контрольные вопросы

определения удельной молярной теплоемкостей вещества. молярная и льная теплоемкости? Какая связь между ни-

ми? ражает я молярная теплоемкость при постоянном давлении?

4. Как выражается молярная теплоемкость при постоянном объеме? 5. 6. Как

го оно зависит? я энергия молекулы газа от числа степеней

сво9

1 айте2. Чем различаются. Д и

уде

3. Как вы с

Как выражается удельная теплоемкость при постоянном давлении? выража е? ется удельная теплоемкость при постоянном объем

свободы молекул газа и от че7. Что называется числом степеней 8. Как зависит средняя кинетическа

боды? . Выведите уравнение Майера.

10. Дайте определения изотермического, изобарического и изохорического про-цессов.

11. Какой процесс называется адиабатическим? Выведите формулу работы газа при адиабатическом процессе.

150

Лабораторная работа 18 МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА НА ЭВМ

Цель работы

Изучение особенностей распределения Максвелла для молекул газа по скоростям.

В газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, в процессе ического теплового движения устанавливается стационарное, не мен со ременем, распределение молекул по скоростям. Это распределение подчиняется статистическому закону Максвелла, который описыва ункци й f(v , называемой функцией распределения молекул по скоро

Ес бить диапазон скоростей молекул (количеством N) на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключентеркул

Содержание работы

хаотяющееся в

ется ф е )стям. ли раз

ную в ин-вале от v до v+dv. Функция f(v) определяет относительное число моле- dN(v)/N, приходящихся на единичный интервал скоростей, то есть

v)v()v(

dNdNf = (8.21)

Прим методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию f(v) − зако ределения молекул идеального газа по скоростям:

еняян расп

,2

vexpv2

4)v(2

22/3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kTm

Tmf

π (8.22)

где m − масса молекулы; k − постоянная Больцмана, равная 1,38.10−23 Дж/К; Т − абсолютная температур

ксвелла зависи тояния (темп

ункцию (8.22) удобного вы-числения ее значен от массы молеку-лы m

kπ

а. Из выражения (8.22) видно, что конкретный вид функции Мат от рода газа (от массы молекулы m) и от параметра сосературы Т). Ф можно преобразовать с целью более

ий. Для этого целесообразно перейти к молярной массе соответствующего газа М (в кг/моль), используя

известное соотношение: k/m = R/M,

где R − универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль · К). Используя эту замену, получим после преобразований для функции

распределения Максвелла f(v) следующее выражение:

.2

vexpv/2)v(2

22/3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RTM

RTMf π (8.23)

151

В этом виде функция Макс вычислений в данной рабо

Мак

митс

v ,

ловивыраженичим

велла и используется дляте. График функции распределения свелла приведен на рис. 8.5. Из него

видно, что функция Максвелла стре-я к нулю при v → 0 и при v → ∞ и

проходит через максимум при скорости вер называемый наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью (и близкой Рис. 8.5 к ней) обладает наибольшее число мо-лекул. Кривая несимметрична относительно vвер.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя ус-е максимума функции Максвелла f(v), то есть продифференцировав

е (8.22) по аргументу v и приравняв результат нулю. Тогда полу-

./2/2v MRTmkTвер == (8.24жно также найти среднюю квадратичную скорость молеку

) Мо л газа,

которая равна

./3/3v)v(vvv0

22. MRTmkTdfквср ==== ∫ (8.25

∞

)

Кроме того, можно най ескую скорость <v>, которая определяется так

ти среднюю арифметич

./8/8v)v(vv0

MRTmkTdf ππ === ∫∞

(8.26

Сопоставление выражений (8.24), (8.25) и (8.26) показывает, что

)

неизменной, так как общеечисл

Аналогичное изменение кривых f(v) (родинаковой температуре Т, но при изменении массы молекул газа m (или

vвер : <v> : vср.кв = 1 : 1,13 : 1,22. При повышении температуры

(при одинаковой m или М) макси-мум функции распределения (рис. 8.6) сместится вправо (значение vвер становится больше). Однако пло-щадь, ограниченная кривой, оста-ется

о молекул N не зависит от температуры. Поэтому при повы-шении температуры Т кривая рас-пределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Рис. 8.6

ис. 8.6) можно наблюдать при

152

молярной массы М). При уменьшении массы m (или М) кривая f(v) будет

ре-ературы газа Т и молярной массы

М. Закон распределения Максвелла можно предст

смещаться вправо, растягиваясь и понижаясь. В данной работе изучается изменение вида кривой функции расп

деления Максвелла при изменении темпавить через относитель-

ную скорость молекул u=v/vвер. Тогда функция Максвелла f(v) будет изо-бражаться в более простом виде f(u):

( ) ( ).exp4 22 uuuf −⋅=π

(8.27)

Изменение температ го молекул) будет сказы-ваться

Используя закон р 8.27), можно получить следующее -

уры газа (или массы е на изменении значений v и vвер. Но так как u − величина относи-

тельная, то вид функции f(u) при этом остается неизменным, что удобно для расчетов.

аспределения Максвелла ( выражение для относительного количества молекул dN/N, от

носительные скорости которых лежат в интервале от u до u + du:

( ) .exp4 22

duuu⋅−⋅= (8.28)

dNN π

где du − интервал относительных скоростей, малый по сравнению со ско-ростью u.

Тогда нахождение относительного числа молекул ∆N/N в некотором узком интервале скоростей от u1 до u2 сводится к интегрированию выра-жения (8.28):

( )∫ ⋅−=∆ 2

1

.exp4 22u

u

duuuNN

π (8.29)

Такое интегрирование также используется в данной работе и произ-водится по методу Симпсона, детально рассматриваемому в курсе высшей математики.

Кроме того, используя распределение Максвелла и метод Симпсона,

(8.29) предел интегрирования u2 можно с достаточной степенью точно

сти в

х значению относительной скорости

Такой расчет относительного числа молекул N

можно подсчитать относительное число молекул Nх/N, скорости которых превышают заданное значение скорости их. При этом в формулеверхний -

зять равным 3, то есть в три раза превышающим наиболее вероятную скорость молекул данного сорта.

Нижний предел интегрирования будет составлять и = и , то есть бу-дет равен выбранному .

х/N также проводится в данной работе.

153

Методика проведения численного эксперимента на ЭВМ

Используемая в работе программа численного моделирования со-держит небольшой блок теоретических сведений по распределению Мак-свелла, который при желании можно пропустить.

Данная лабораторная работа предполагает выполнение трех модель-ных опытов:

− зависимость распределения Максвелла от массы частиц; − зависимость распределения Максвелла от температуры газа; − определение относительного количества молекул, имеющих ско-

рости в заданном диапазоне скоростей. Программа позволяет рассчитать распределение Максвелла и харак-

терные скорости для заданных температуры и массы рабохарактерными скоростями распределения Максвелла трирости:

(из 8

и v1), с помощью упра

сло молекул, имеющих скоро-сти

пытов подробнее.

е, при описании порядка выполнении работы, сделаны ссылки вида

н на рис. 8.7 под номером N. Например, кнопка вызова пом

пределения Максвелла от массы частиц. 1. В

3. Для того, чтобы п Максвелла и по-

«8».

. В данной те под понимаются ско-

а) наиболее вероятная скорость движения молекул газа − vвер; б) средняя квадратичная скорость движения молекул газа − vкв; в) средняя арифметическая скорость движения − <v> . Программа также позволяет рассчитать относительное число моле-

кул, имеющих значения скоростей в диапазоне dv. Оно равно dN/N = f(v)dv .28) или в интегральном виде ∆N/N = f(v)∆v. Графически dN/N равно

площади под кривой распределения Максвелла (для диапазона скоростей∆v). Задавая значения ∆v = v2 − v1 (то есть значения v2

вляющих клавиш можно оценить влияние массы и температуры на распределение молекул и относительное чи

в заданном диапазоне скоростей. Рассмотрим каждый из о

Порядок выполнения работы

Ниж «N», которые означают, что описываемый элемент моделирующий

программы показаощи обозначена номером «9». Опыт 1. Зависимость рас

качестве первого и второго газов выберите из списков «1» и «2» раз-личные газы, при этом молекулярные массы выбранных газов будут оп-ределены программой автоматически.

2. С помощью элементов управления «3» и «4» установите одинаковую температуру газов.

роизвести расчет значений функции строить графики этой функции для выбранных газов, нажмите кнопку«Расчет» −

154

4. графика расположение характерных скоростей, то поставьте «галочку» в квадратике «5». Вертикальнлиниями на графиках представлены значения характерных снаиболее вероятной – фметической – красная иния – зеленая споло-

ие , нео - «5

Если ы хотите выделить на графиках области от V1 о (V1+dV1) от V2 до (V2+dV2), содержащие относительные количества молекул первого и второго газов, соответственно, вы должны поставить «галочку» в квад-ратике «6». Чтобы скрыть указанные области, уберите «гквадратике «6».

6. Занесите необходи работы пе со

о лирующей программы «7».

Если вы хотите посмотреть на х ыми

коростей: желтая линия, средней ари

л и средней квадратичной характерных скоростей

линия. Чтобы скрыть раь «галжен

тикебходимо убрат очку» в квадра

». 5. в д и

алочку» в

мые значения величин в табл. 8.2 протоколаиз таблицыМаксвелла

«15» и в предусм

рерисуйте тренное мест

ответствующиео в коле

графики функции из области моде- прото

Рис. 8.7

Внешний вид и элементы управления моделирующей программы «Распределение Максвелла»

155

Таблица 8.2

Результаты вычисл жения молекул ений характерных скоростей дви(при постоянной температуре)

Газ:

М, кг/моль Т, К

v вер, м/с < v >, м/с v , м/с кв

Опыт 2. Зависимость распределения Максвелла от температуры газа. 1. В качестве и первого, и второго газов из списков «1» и «2» выберите один и тот же газ.

2. Установите различные температуры газов с помощью элементов управ-ления «3» и «4».

3. Дальнейшее выполнение работы в данном опыте ведется согласно пунктам 3–6 опыта 1.

Таблица 8.3

Результаты вычислений характерных скоростей движения молекул (при постоянной молярной массе газа)

Газ:

М, кг/моль Т, К

vвер, м/с <v>, м/с vкв, м/с

Опыт 3. Определение относительного количества молекул,

е г оп я (ЭУ) «11», «12», «13» и «14», учитывая, что нижнийв«

имеющих скорости в заданном диапазоне. Соответствует п. 1 в опыте 1.Соответствует п. 2 в опыте 1.

Выберит пределы интегрирования для первого и второго аз в с омощью элементов управлени

ля первого газа – V [ЭУ: «11»], для предел интегрирования д 1

торого − V2 [ЭУ: «12»]; а верхние пределы интегрирования – (V1+dV1) [ЭУ: 13»] и (V2+dV2) [ЭУ: «14»], соответственно для первого и второго газов. Соответствует п. 3 в опыте 1. Соответствует п. 4 в опыте 1.

156

Изменяя газы (согласно п. 1 опыта 1) и их температуры (согласно . 2 опыта 2) изучите влияние молярных масс и температур газов тно-ительное число молекул, значения скоростей которых находятся в диапазо-е [V

п на оснте пол

1 … V1+dV1] для первого газа и [V2 … V2+dV2] – для второго и занеси-ученные зависимости в следующие таблицы.

Таблица 8.4

Результаты вычисления относительного числа молекул, имеющих скорости в заданном диапазоне (при постоянной молярной массе)

Газ:

М, кг/моль Т, К

v1, м/с v2, м/с ∆N/N

Таблица 8.5

Результаты вычисления относительного числа молекул, имеющих скорости в заданном диапазоне (при постоянной температуре)

М, кг/моль

Т, К v1, м/с v2, м/с ∆N/N

Завершение работы

Нажмите кнопку «Выход» − «8» в рабочем окне программы. Перед началом отчета работы не забудьте написать вывод.

Обработка результатов измерений

При домашней обработке результатов сопоставьте значения, полу-ченные в табл. 8.2, 8.3, 8.4 и 8.5, и графики. Сделайте выводы об особенно-стях распределения Максвелла, изменениях его вида и характерных скоро-стей, а также относительного числа молекул ∆N/N, имеющих скорости в заданном диапазоне, при изменении различных параметров газа, которые варьировались в данной работе. Запишите выводы в протокол работы.

157

Контрольные вопросы

1. Что определяет закон Максвелла? 2. Что называется функцией Максвелла? Что она определяет? 3. Чем характерен график распределения Максвелла? 4. Как теоретически находят наиболее ве редн ю квадратичную и

нюю арифметическую скорости молекул? в

м 1 2

9. Какие выводы вы можете сделать из полученных результатов каждого задания?

Лабораторная работа 19

ОМ

роятную, с ю сред-

5. Как можно найти относительное число молекул ∆N/NV, имеющих скорости некотором узком интервале ∆v? Как зависит эта величина (∆N/NV) от v?

6. Поясните графически, как соотносятся распределения молекул по скоростядля двух газов, имеющих молярные массы М > M , при и той температу одной же ре?

7. Что происходит с распределением молекул некоторого газа по скоростям при изменении его температуры?

8. Как выполняется работа, из каких заданий состоит и на основании каких фор-мул рассчитываются значения изучаемых величин?

ИЗУЧЕНИЕ ЭНТРОПИИ ВОЗДУХА ПРИ ИЗОХОРИЧЕСКОХЛАЖДЕНИИ И ИЗОХОРИЧЕСКОМ НАГРЕВАНИИ

Цель работы

Определение изменения энтропии воздуха при изохорическом охлаж-дении и изохорическом нагревании.

Содержание работы

Энтропия есть характеристика вероятности макросостояния системы, она пропорциональна натуральному логарифму числа микроскопических способов, которым может быть осуществлено данное макросостояние сис-темы [3].

Энтропия является однозначной функцией состояния. Если параметры состояния (например, Р, V, T) изменяются, то изменяется и энтропия. Ос-новой для термодинамических применений энтропии является соотноше-ние между элементарным изменением энтропии dS и количеством теплоты dQ, сообщенным системе (или отданным системой) при некоторой посто-янной температуре Т. При обратимом процессе это соотношение имеет вид:

.TQddS′

= (8.30)

В настоящей работе определяется изменение энтропии при изохориче-ском нагревании и охлаждении газа. Если эти процессы считать обрати-мыми, а изменение температуры конечным, то, в соответствии с выраже-нием (8.30), изменение энтропии можно записать так

158

2

2 ,1 ∫′

=−T

S=∆QdSS (8.31)

1T T где Т1 – начальная, а Т2 – конечная температуры газа.

С учетом первого начала термодинамики и уравнения Клайперона–Менделеева это выражение примет вид:

∫ ==∆1

,ln22 1

2

2

2

2

2

T

oo

TTTTS (8.32)

где i – число степеней свободы молекул газа; Р – давление в конечном со-стоянии; V

2 TVPidTVPi

2

о – объем баллона с воздухом.

o

T

Последнее соотношение и лежит в основе получения формул для экс-периментального определения изменения энтропии в данной работе.

Описание установки

В данной работе используется та же установка, которая применяется в работе 17. Описание установки приведено в тексте упомянутой работы.

Методика эксперимента

Достаточно быстро накачаем в сосуд некоторое количество воздуха, то есть создадим давление

,ghPP 11 ρ+= где ρ – плотность манометрической жидкости; g – ускорение свободного падения; h1 –разность уровней жидкости в коленах манометра, Ро – атмо-сферное давление.

Так как накачка воздуха происходит быстро, то, пренебрегая переда-чей некоторого количества теплоты через стенки сосуда, процесс сжатия воздуха в сосуде можно считать адиабатическим. При этом воздух нагре-вается до некоторой температуры Т1 за счет работы, совершенной над ним. Таким образом, сразу после накачивания воздух в сосуде находится в со-стоянии 1 с параметрами Р , V , T .

Если сосуд хорически охла-ждается до температуры среды Т . При

1 о 1 з в зо

Т , равной температуре окружающейакрыть, то оздух самопроизвольно и

2 оэтом давлении изменяется до величины

,22 qhPP o ρ+= где h2 – разность уровней жидкости в коленах манометра после охлажде-ния воздуха. Это новое состояние 2 описывается параметрами ρ1, Vо, T2=То.

Если считать газ идеальным, а изохорические процессы равновесны-ми (протекают достаточно медленно) и обратимыми, то выражение (8.32) преобразуется к виду:

159

.ln)( 22 ⎟⎞

⎜⎛ ++

=∆ghPVghPiS ooo ρρ (8.33)

2 121 ⎟

⎠⎜⎝ +→ ghPT oo ρ

По этой формуле определяется изм

ой. При этом воздух будет расширяться до

че-

температуры Т3. Газ переходит в состояние 3 с параметрами Р3= Ро, Vо, T

Сразу внут

ие 4 с параметрами Р4, Vо, T4=То.

Используя те же рассуждения, что и при и

енение энтропии при изохорическом охлаждении.

Соединим сосуд с атмосфер тех пор, пока его давление станет равным атмосферному. Так как про-

цесс расширения происходит быстро, то его можно считать адиабатиским. При этом воздух совершает работу за счет внутренней энергии и ох-лаждается до

3. после расширения воздуха быстро закроем кран. Давление

ри начнет возрастать, так как воздух в сосуде будет нагреваться до температуры окружающей среды. Объем воздуха при этом не меняется и остается равным Vo, то есть воздух изохорически переходит в состоян

зохорическом охлаждении, получим формулу для расчета изменения энтропии при изохорическом на-гревании (из состояния 3 в состояние 4)

.ln)(2

4443 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

++=∆ −

o

o

o

oo

PghP

TVghPiS ρρ (8.34)

Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с устройством крана 5 по рисунку, приведенному на лабораторном столе. Поворачивая рукоятку крана, найдите его положения "а", "б", "в", соответствующие рисунку.

2. Установите кран 5 в положение "а", при котором он соединяет сосуд с насосом.

3. Накачайте в баллон воздух так, чтобы разность уровней жидкости в манометре достигла 30 см. Сделайте это достаточно быстро, однако, следя за тем, чтобы жидкость не выплеснулась из манометра.

4. Установите кран 5 в положение "в" и сразу же запишите разность уровней h

⎞⎛

1, до которой был накачан воздух. 5. Когда давление окончательно установится, запишите установив-

шуюся разность уровней h2. 6. Быстро установите кран 5 в положение "б". Как только уровни жид-

кости в коленах манометра сравняются, так же установите кран в положе-ние «в».

7. Когда давление установится, запишите новую установившуюся раз-ность уровней h4.

8. Снова поверните кран 5 в положение "б". Через некоторое время повторите этот же эксперимент.

9. Измерения по пунктам 2 – 8 проведите 5 раз.

160

Особое внимание обратите на то, чтобы разность уровней h1 при нака-чивании во всех пяти опытах была одинакова. Результаты опытов запиши-те в таблицу 19.1. Определите комнатную температуру воздуха и атмо-сферное давление. Эти данные в единицах СИ запишите в табл. 8.7.

Обработка результатов измерений

1. По формулам (8.33) и (8.34) вычислите изменение энтропии для каж-дого опыта.

2. Рассчитайте средние значения IIIS →∆ и IVIIIS →∆ .

ьные результаты

Таблица 8.6

Экспериментал

Изменение энтропии, Дж/К Разность уровней жидкости в коленах манометра, м при охлаждении при нагревании

Номер опыта h1 h2 h3 IIIS →∆

IIIS →∆ IVIIIS →∆ IVIIIS →∆

1 … 5

Т

ом Vо, м3

То, К g, м/с2 ρ,

кг/м3

аблица 8.7

Параметры установки и условия эксперимента

Атмосферное давление

ρо, Па

Объем бал-лона с воз-дух

Комнатная температура

Ускорение сво-бодного падения

Плотность маномет-рической жидкости

Контрольные вопросы

1. Какие процессы 2. Что такое энтропия? Какова св ией и вероятностью состояния? 3. Как изменяется энтропия в обратимых процессах?

называют обратимыми и необратимыми?язь между энтроп

и необратимых4. Сформулируйте второе начало термодинамики. В чем заключается статистиче-

ский смысл второго начала термодинамики? 5. Что называется приведенным количеством теплоты?

161

Глава 9. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

9.1. Тепловое движение мол

С

и хаотичный характер теплового движения молекул при-водит к ряду явлений, называемых процессамипиче

иметь некоторые ственные оценки самого теплового движения. Так как все измене-

ния в системе происходят в результате столкновений, то необходимо опре-делить, сколь часто они происходят и от чего з

Вероятность столкновений молекул определяется их поперечным се-ся точечной, а мо-

лекулы–мишени имеют такие размеры, ч их сечения в направлении пер-

ая площадь, а такая площадь, попадая в которую налетающая мо

екул

татистическая физика имеет дело с равновесными состояниями и с об-ратимыми процессами. Наука, изучающая процессы, возникающие при на-рушениях равновесия, носит название физической кинетики.

Непрерывный переноса, когда макроско-

ски из одной части системы в другую переносятся масса, энергия или импульс. Явления переноса носят необратимый характер.

Но прежде чем рассматривать явления переноса, надоколиче

ависят.

чением взаимодействия. Налетающая молекула считаетто

пендикулярном скорости налетающей молекулы равны σ. Это не геометрическ

лекула изменяет направление своего движения (рис. 9.1а).

Рис. 9.1

-молекул), их суммар-

ия в них

Пусть налетающая молекула попадает на площадь S некоторого объема, в котором расположены мо . 9.1б). В слое толщи

-лекулы–мишени (рис

ной dx число молекул равно nSdx (n – концентрация ная площадь сечения dS=σnSdx , а вероятность попаданналетающей молекулы равна

ndxS

dSdp σ== (9.1)

аров. Под столкновением

молекул подразумевают процесс взаимодействия между ними, в результате

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталки-ваются друг с другом. Термин "столкновение" в данном случае не следуеттрактовать как процесс соударения твердых ш

162

которого изменяется направление движения молекул. Минимальное рас-стояние, на которое сближаются при столкнназывается эффективным диаметром молекулы D. Величина на-зывается эффективны диаметр моле-кул з

кула выбывает из пучка. Поэтому dI = –Idp , или

овении центры двух молекул, ,2Dπσ =

м сечением молекулы. Эффективныйависит от их энергии, а, следовательно, и от температуры. Вероятность столкновения dp и поперечное сечение взаимодействия σ

могут быть определены из эксперимента. Молекулярный пучок, проходя через газ, ослабляется (рис. 9.2). Ослабление его на dI на расстоянии dx пропорционально вероятности столкновения, так как столкнувшаяся моле-

.dxnIdI σ−=

Рис. 9.2. Рассеяние молекулярног чка на молекулах газа о пу

Решая это уравнение, получим

,ln0

LnII σ−= (9.2)

откуда

.ln0InL

=σ (9.3)

Из уравнения (9.2) найдем интенсивность пучка на расстоянии L от плоскости, где интенсивность была I

1 I

o (рис. 9.2)

,0λeII = (9.4)

где произведение σ

L−

. n обозначено через 1/<λ>. Переходя от интенсивности к числу молекул в пучке, получаем

,λL

eNN−

= (9.где N

0 5)

ичины σ и n в формуле (9.1) не зависят от координаты x, поэтому веро иональна пройденному пути.

– число молекул (из N0 ), прошедших расстояние L без столкновений. Вел

ятность попадания в молекулу пропорц

163

При некоторой длине пробега <λ> вероятность столкновения становится равной единице

.1=λσ n Из последнего выражения на еднюю длину свободного пробе-

между двумя ходим ср

га молекул – среднее расстояние, которое проходят молекулыпоследовательными столкновениями,

.1nσ

λ = (9.6)

Этот результат приближенный, так как при его получении не учтено движение молекулы–мишени. Точный расчет, проведенный Максучетом распределения молекул по скоростям, дает следующий ре

веллом с зультат

. 2 nσ1

=λ )

И е в распоряжении средню скорость теплового движения молекул <V>, ж о определить среднее время между столкновениями молекул <τ и среднее число столкновений одной мо екулы 1 секунду – <ν> :

(9.7

м я ю мо н

> л за

.21, VnV

Vσ

λτν

λτ ===><

Посмот

=

какого порядка мы имеем здесь дело.

олекул азота при нормальных условиях n = няя ско-

ой молекулы за 1 с < ν >. < λ > = 6.7.10–8 м, < τ > = 1.5. 10–10 с, < ν > = 6.7. 109 с

ст е и ноловиях ся в интервал т 425 м/с дл м/с д е время для распространения запаха от одной части комнаты другой (4÷5 м) в отсутствие конвекционных потоков требуется от нескольких десятковминут до часа. Этот ф . Но, если обра-тить е –7

льчай-шие рывном и бесп закрытой кювете Броун наблюдал его несколько лет.

рим, с величинами

Пример. Концентрация м2.7·1025 м–3, эффективное сечение рассеяния σ = 3.8.10–19 м2, средрость теплового движения <V> = 454 м/с. Найти среднюю длину свободно-го пробега <λ>, среднее время между столкновениями <τ > и число столкновений одн

–1. Средние скоро

находяти теплового движ

е ония молекул пря O

рмальных ус-ля H2 до 1700 2. В то ж

до

акт вначале кажется парадоксальнымвнимание, что средняя длина свободного пробега мол кулы около 10

м, а затем молекула меняет направление своего движения, то малые скоро-сти диффузии уже не кажутся столь необычными.

Чтобы эти факты стали более наглядными, рассмотрим явление, кото-рое можно наблюдать: броуновское движение. Оно было открыто шот-ландским ботаником Броуном (1827 г.) и заключается в том, что ме

частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непреорядочном движении, которое никогда не прекращается. В

164

Б

иц полно-стью ви-симо. Поэтому их движение какими–либо конвекционными потоками.

К ид-кост не урав-новевую

михК ать фор-

мулпера

ыло установлено, что броуновское движение тем интенсивнее, чем меньше вязкость жидкости и размеры броуновских частиц. Оно также увеличивается с повышением температуры, но не зависит от формы час-тиц, вещества и его плотности. Движение броуновских част

хаотично и две расположенные близко частицы движутся неза нельзя объяснить

аждая броуновская частица окружена большим числом молекул жи, которые сталкиваются с ней. Удары этих молекул никогда шиваются, в результате чего в каждый момент времени равнодейст-

щая этих толчков меняет свое направление. Поэтому направленияскоростей броуновских частиц в такой же мере беспорядочны, как и у са-

молекул. инетическую энергию броуновской частицы можно описой, полученной при рассмотрении кинетического толкования тем-туры

.23

2

2

kTUM

Wk == (9.8)

Если бы можно было измерить мгновенную скорость частицы, эта формула решила бы все проблемы. Однако попытки таких измерений не-изменно приводили к противоречивым результатам.

Если определить скорость U по положениям частицы через проме-жуток времени τ U=(x2–x1)/τ), то полученная таким образом кинетиче-ская энергия оказывается в 105 раз меньше энергии, определяемой тем-пературой согласно (9.5). С чем это связано, прояснилось после кропотливых опытов французского физика Ж. Перрена. Наблюдая бро-уновскую частицу в микроскоп, он отмечал ее положение через каждые 30 с. Соединив полученные точки прямыми, он получил замысловатую ломаную линию (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Траектория броуновской частицы:

н – начальное, к – конечное положение частицы

Однако, если наблюдать положения частицы через промежутки вре-мени в 100 раз меньшие (0,3 с), фиксируя их положения с помощью кино-камеры, то каждый прямолинейный промежуток заменится ломаной кри-

165

вой столь же сложной но, насколько безна-дежна стицы. Проверка стала возможна после того, как Эйнштейн разработал математическую теорию броуновского движения им формулу мгновенная скор

ты времени,

, как и весь рисунок. Отсюда яспопытка измерить мгновенную скорость броуновской ча

молекуляр новского движенияно–кинетического объяснения броу

. В полученнуюость частицы не входит. Вместо нее входит длина прямолинейного от-

резка, соединяющего положения частицы в начальный и конечный момен-

,tr

Lηπ

= (9.9)

где r – радиус броуновской частицы; k – постоянная Больцмана; η – коэф-фициент динамической вязкости.

Уменьшая размер броуновских частиц, мы увеличиваем интенсивность (а тем самым и скорость) их движения и, в пределе, переходим к движе-

2

нию отдельных молекул. Сам характер беспорядо

ее

1. Диффузия. ного газа в среду друго

kT

чного движения при этом сохраняется.

9.2. Диффузия, внутренн трение, теплопроводность

Взаимное проникновение молекул одго газа называется взаимной или концентрационной диффузией.

Дифференциальное уравнение диффузии (уравнение Фика) имеет вид:

,31

dxdnD

dxdnVnjn −=−= λ ( 9.10)

здесь jn – число молекул, пересекающих единичную площадку за единицу времени; D=1/3 n<V><λ> – коэффициент диффузии.

2. Внутреннее трение. Пусть в газе движторой

ругие, изменялась бы лишь нормальная компонента скоро-сти молекулы и

и. Таким образом, в процессе многочисленных стол ает часть своего коли-чест

го движение – сила трения. Такая же си-ла б оями жидкости, движущимися по

-

ется какое–либо тело с неко- скоростью v. Часть молекул, ударяющихся о поверхность тела,

"прилипают" к ней – адсорбируются, а через некоторое время "отлипают" от поверхности. Если бы столкновения молекул с поверхностью рассмат-ривались как уп

молекулы. При адсорбции с последующим испарениемтвердое тело обмениваются и тангенциальными к поверхности твердого тела компонентами скорост

кновений с молекулами газа, твердое тело передва движения. Газ при этом будет ускоряться, на границе с твердым те-

лом на него будет действовать суммарная средняя сила F в направлении движения. По третьему закону Ньютона на тело со стороны газа будет дей-ствовать сила – F, замедляющая е

удет действовать и между двумя слкакой–либо причине с различными скоростями. Это явление носит название внутреннего трения или вязкости газа.

166

Ламинарным называется такой режим течения вязкой жидкости (или газа), при котором отсутствует перемешивание между соседними слоями жидко

ебольших скоростях. При увеличении скорости течения оно пере-ходит в турбулентное (вихревое), где жидк

нарном течении жидкости отдельные ее слои движ

замедляется, что воспринимается как

сти (газа). Ламинарное течение жидкости происходит при относи-тельно н

ость перемешивается в процес-се течения. Пусть при лами

утся с разными скоростями. Вследствие теплового движения, молеку-лы из более быстрого слоя переходят в более медленный, и наоборот. Движение более быстрого слоя при этом

торможение или действие "сил трения". Уравнение, определяющее си-лу внутреннего трения в жидкости (9.10) получено Ньютоном.

,31

0 dxdU

dxdUVmnf ηλ −=−= ( 9.11)

Здесь f – сила, действующая на единипульс, переносимый молекулами

из б й

цу поверхности слоя в направлении, противоположном движению; m0U – им

олее быстрого слоя в соседний слой движуще ся жидкости; U – ско-рость направленного движения молекул слоя; η – коэффициент внутренне-го трения (динамическая вязкость)

.31 λνρη = ( 9.12)

ь

епловой энергии, подчиняющийся закону, описы-

ваем е

Здесь ρ – плотность жидкости.

3. Теплопроводность. Если в разных частях системы установиласразличная температура, а, следовательно, и разная энергия теплового дви-жения молекул, то в направлении участка с меньшей температурой будетпроисходить перенос т

ому дифференциальным уравнением теплопроводности (уравнениФурье)

.131 dTKdTVcdTVmncjQ −=−=−= λρλ ( 9.13) 30 dxdxdx VV

этом уравнении: jQ –тепловой поток, количество тепла протекающее че-рез единичную площадку, пе у за единицу времени; cV – удельная теплоемкость систем ;K – коэффициент теплопроводности.

реде ение

Врпендикулярную поток

ы; ρ – ее плотность

Лабораторная работа 20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ, СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО

ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛЫ ВОЗДУХА

Цель работы

Изучение явления внутреннего трения в газе, экспериментальное оп-ление динамической вязкости воздуха, и, на ее основе, вычисл

167

сред

м r и длиной l в зависимости от разности давлений ∆P на ее конц

ней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы воздуха.

Содержание работы

Динамическую вязкость можно найти из формулы Пуазейля, опреде-ляющей объем ∆V газа, прошедшего за время ∆τ через поперечное сечение трубы радиусо

ах

.τ∆=∆V 4π ∆Pr

8ηlНеобхо

(9.14)

димо сразу заметить, что формула Пуазейля получена для не-сжимаемой жидкости ∆P она примени-ма и для газов. Из (9 ения динамиче-ской

, но при малых перепадах давления .14) получаем выражение для определ

вязкости η

( ).η∆

= V 8 τ∆l

Для вычисления средней длины свободного пробега молекулы <λ> восполь

4π ∆Pr (9.15)

зуемся соотношением (9.12), определяющим динамическую вяз-костьТогда

через параметры теплового движения молекул

.3νρηλ =

Пло

(9.16)

тность определим из уравнения газового состояния

,PMRT

где М – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная; Т – темпе-ратура газа,

Ср

=ρ

можнеднюю арифметическую скорость теплового движения молекул о определить по формуле

.8MRTv

π=

Под и в учиставив эт значения (9.16), пол м

.8M

3 TPη

= (9.17)

Считая теперь <λ> известной еличиной, диаметр молекулы dэф определим из формулы (9.7)

Rπλ

в эффективный

,2

121

2dnn πσλ == (9.18)

168

Отсюда

.2

1

λπ ndэф = (9.19)

Концентрацию молекул найдем из уравнения состояния идеального за

где N

гаPVm = RT = NA kT,

A – число Авогадро; k – постоянная Больцмана. Разделив обе части равенства на молярный объем Vm , получим

,kTnkTNP A == Vm

и выразим отсюда n: .kTPn =

Подставив значение концентрации в (9.19), получим окончательное вы-ражение для эффективного диаметра молекулы

.kT2 λπP (9.20)

Описание лабораторной установки

Для определения расхода воздуха ∆V/∆τ и разности давлений ∆P в ра-боте используется капиллярный вискозиметр, принципиальная схема кото-рого показана на рисунке 9.4. Воздух с помощью компрессора (на схеме он не показан) прогоняется через ротаметр (вид расходометра) Рт и капилляр Кп.

Рис. 9.4

Ротаметр представляет собой стеклянную трубку, внутренний диаметр которой постепенно увеличивается от нижней части к верхней. В трубке находится металлический шарик Шр. При движении воздуха через трубку снизу вверх шарик располагается тем выше, чем больше воздуха проходит через трубку в единицу времени (чем больше расход воздуха ∆V/∆τ). Рота-метр проградуирован в литрах на час (л/ч).

эфd =

169

Разность давлений на концах капилляра Кп определяется с помощью спиртовогонимается столбикдуирована в относительных делениях. Для увеличения точности отсчета трубка манометра располагается не вертикально, а наклонно.

Параметры лабораторной установки: цена деления манометра, радиус R и длина капилляра l указаны на лабораторном столе.

Порядок выполнения работы

1. Капиллярный вискозиметр (рисунок 9.5) настроен и готов к измере-ниям.

2. Убедитесь, что кран Кр закрыт – повернут до упора по часовой стрелке.

3. Тумблером Тб включите компрессор. 4. Осторожно открывая кран Кр, установите шарик в ротаметре на де-

ление "4" (расход воздуха 4 л/ч). Следите за тем, чтобы шарик не попал в капилляр Кп.

манометра Мн. Чем больше разность давлений, тем выше под- спирта в трубке манометра. Шкала манометра програ-

Рис. 9.5.

5. Измерьте манометром разность давлений ∆P. 6. Измерения проведите также для расхода воздуха от 5 до 12 л/ч, уве-личивая в каждом опыте расход на 1 л/ч. Результаты измерений записы-вайте в табл. 9.1. Внимание! Увеличивая расход воздуха, следите, чтобы спирт, поднимаясь по трубке манометра, не достиг ее верхнего конца и не попал в резиновую трубку.

Таблица 9.1

Расход воздуха, ∆V/∆τ

Разность давлений ∆P, деления шкалы

<∆P>

η, 10–6 Па.с

N пп л/ч 10–6 м3/с ∆P1 ∆P2 ∆P3 <∆P> 1 … 8

170

7. Измерения ∆P для каждого расхода воздуха повторите по три раза, повторяя измерения при уменьшении и увеличении расхода воздуха от 5 до 12 л/ч. 8. Закройте кран Кр. 9. Выключите компрессор. 10. Измерьте атмосферное давление P и температуру воздуха T. 11. Результаты единичных измерений P и T и параметры установки за-пишите в табл. 9. 2. Запишите также значения всех констант, необходимых для вычисления.

Таблица 9.2

Радиус капилляра R, 10–3м

Длина капилляра l, м

Атмосферное дав-ление P, Па

Температура воздуха T, К

Обработка результатов измерений

1. Вычислите расход воздуха (измеренный в литрах в час) в кубиче-ских метрах в секунду (м3/с).

2. Для каждого расхода воздуха среднее значение <∆P> выразите в паскалях, умножив <∆P>, выраженное в делениях шкалы, на переводной коэф

ти <η >. 5. Вычислите приближенное значение средней длины свободного

пробега молекул воздуха <λ> по формуле (9.17) и значение эффективного диаметра молекул dэф по формуле (9.20). Расчеты произвести в СИ по од-ному разу, используя среднее значение динамической вязкости.

6. Значения вычисленных величин <λ> и dэф запишите в протокол. Контрольные вопросы

намическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)? 4. Что такое средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул? 5. Как зависит динамическая вязкость и средняя длина свободного пробега от дав-

ления и температуры газа? 6. Какое течение газа называется ламинарным, турбулентным? 7. Запишите формулу Пуазейля. Для каких условий она справедлива? 8. Какие физические явления называются явлениями переноса? Что общего меж-ду ними?

фициент С, значение которого указано на лабораторном столе. 3. По формуле (9.15) вычислите динамическую вязкость η. 4. Найдите среднее значение динамической вязкос

1. Каков молекулярный механизм возникновения внутреннего трения в газах? уйте и запишите закон Ньютона для внутреннего трения. 2. Сформулир

3. Что такое ди

171

Лабораторная работа 21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ

ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА

Цель работы

Определение коэффициента внутреннего трения жидкости по скоро-сти падения в ней шарика (метод Стокса) и вычисление числа Рейнольдса.

Содержание работы

Движется ли сама вязкая жидкость, или в ней движется твердое тело, между слоями жидкости возникает внутреннее трение. В работе коэффи-циент внутреннего трения определяется по скорости падения шарика в жидкости. Если в жидкость опустить шарик, плотность которого больше плотности жидкости (ρш>ρж), то он начнет падать с ускорением а(рис. 9.6 )

,CA FFmgma −−= (9.21) где FA – выталкивающая сила (сила Архимеда); FC – сила сопротивления;

– масса шарика; g – ускорение свободного падения. m

Рис. 9.6. Падение шарика в вязкой жидкости

Так как сила тяжести mg больше выталкивающей силы FA (ρш>ρж), а

сила сопротивления пропорциональна скорости шарика FC=kU , то в нача-ле дв ем.

стает, возрастает и сила сопро-тивления и наступает момент, когда сумма действующих на шарик сил становится равной нулю

ижения, когда скорость U мала, шарик будет двигаться с ускорениПо мере движения скорость шарика возра

.0=−− CA FFmg (9.22) После этого шарик будет опускаться с постоянной скоростью. Запи-

шем выражения для сил, входящих в уравнение (9.20). Силу тяжести пре-образуем, введя в рассмотрение плотность материала ρш, из которого изго-товлен шарик,

mg = ρшVш g = 4/3π r3ρш g ,

172

где Vш – объем шарика. Сила Архимеда равна весу жидкости в объеме по-груженного тела (шарика)

FA = ρжVж g = 4/3π r3ρж g . Выражение для силы сопротивления, действующей на движущийся в

жидкости шар, было получено Стоксом. Вывод его достаточно сложен, по-этому его можно найти только в специальной литературе. Здесь оно вос-производится без доказательства

FC = 6πηrU , где η – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость); r – ра-диус шарика; U – скорость стационарного движения шарика. Подставив значения сил в формулу (9.22), получим выражение для опреде-ления коэффициента внутреннего трения

4/3π r3(ρш – ρж )g = 6πηrU . (9.23) Откуда

)(18

2

жшUgd ρρη −= , (9.24)

где d=2r – диаметр шарика. Значения плотностей шарика ρш и жидкости ρж приведены на лабора-

торном столе, а диаметр шарика d и скорость его стационарного падения в жидкости U находятся из эксперимента.

Характер течения вязкой жидкости зависит от скорости ее течения. Для оценки характера течения используется число Рейнольдса, определяе-мое по формуле

,ReνUr

= (9.25)

где ν = η /ρ – кинематическая вязкость. Числа Рейнольдса Re <1000 определяют ламинарное течение;

Re >2000 – турбулентное (ви ли 1000 < Re < 2000, то те-чение нужно рассматривать как переходное.

Описание лабораторной установки

Для определения коэффициента внутреннего трения по методу Стокса в данной работе используется цилиндрический сосуд, наполненный иссле-дуемой жидкостью (рис. 9.7). Сосуд имеет две горизонтальные метки A и B, расположенные на расстоянии l друг от друга. Исследуемой жидкостью является дистиллированная вода, а движущимся телом – маленький шарик акрилатного порошка.

Диаметр шарика измеряется с помощью бинокулярного микроскопа МВС–1. Время прохождения шариком расстояния l между метками A и B, где шарик движется равномерно, определяется с помощью электронного секундомера.

хревое) течение. Ес

173

Рис. 9.7. Схема установки

Порядок выполнения работы

1. Измерьте диаметр шарика с помощью микроскопа. Для этого: а) специальной палочкой перенесите шарик на предметное стекло,

расположив его вблизи перекрестия; б) сфокусируйте микроскоп на предметное стекло, опуская или под-

нимая объектив до появления резкого изображения шарика; в) расположите шарик так, чтобы одна из его сторон совпадала с

большим делением шкалы, и измерьте диаметр шарика в делениях шкалы. 2. Убедитесь, что на поверхности воды в цилиндре нет шариков. 3. Палочкой перенесите шарик с предметного столика микроскопа в

цилиндр с водой и погрузите его вблизи оси цилиндра. 4. Расположите глаз таким образом, чтобы метка А слилась в одну ли-

нию, и в момент прохождения шариком метки включите секундомер. 5. Выключите секундомер в момент прохождения шариком метки

В. По секундомеру определите время t движения шарика между мет-ками А и B .

6. Измерения повторите 5 раз с разными шариками. 7. Линейкой измерьте расстояние l между метками A и B. 8. Результат измерений запишите в табл9. Заполните табл. 9.4. Необходимые д

ном столе.

Обработка

е (9.24), вычислите коэффициент динамиче-ской вязкости η. Проведите статистическую обработку результатов изме-рений.

. 9.3. анные находятся на лаборатор-

результатов измерений

1. Зная цену деления α шкалы микроскопа, выразите диаметр шарика в метрах.

2. Определите скорость падения шарика по формуле U = l/t . 3. Используя выражени

174

4. Подставьте в (9.24) выражение для скорости падения шарика и по-лучите модификацию расчетной формулы

( )2

18 ш жgd t

lη ρ ρ= − . (9.26)

Все величины, входящие в эту формулу, кроме измеряемых d и t , по-стоянны. Вычислите для каждого опыта произведение di

2 ti и запишите его в табл. 9.3.

5. Найдите среднее значение <di2 ti > и, подставив его в (9.26), вычис-

лите коэффициент внутреннего трения. Сравните результат с полученным ранее значением <η> .

6. Для какого–либо шарика по формуле (9.25) вычислите число Рей-нольдса. Сделайте вывод о характере движения шарика.

Таблица 9.3

Диаметр шарика d

Коэффициент вязкости

дел. м

Время движения

t, с

Скорость движения

U, м /с

η, кг /(м с)

< η>, кг / м с)

d

(

2 t

Число Рей-нольдса

Re

…

Таблица 9.4

Цена деления микроскопа

α , м/дел.

Плотность ак-рилата

ρш , кг/м3

Плотность воды

ρж , кг/м3

Расстояние АВ l , м

Радиус цилиндра

R , м

Контрольные вопросы

1. Что такое вязкость? Дайте молекулярно–кинетическое объяснение этому явле-нию.

2. Что такое коэффициент внутреннего трения? От каких молекулярных парамет-ров он зависит?

3. Запишите и объясните физический смысл формулы Стокса. 4. Каков характер дв

уравнение его движения. Найдитеижения шарика сразу после его погружения? Напишите

зависимо ть скорости от времени U(t) . Какое рас-стояние проходит ш ичается от устано-вившейся?

сарик до момента, когда его скорость на 0,1% отл

5. Почему большие шарика падают быстрее? 6. Дайте характеристики ламинарному и турбулентному течениям жидкости. 7. Что определяет число Рейнольдса?

175

Глава 10. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

10.1. Поведение молекул в приповерхностном слое жидкости

Жидкое состояние (как и твердое) характеризуется тем, что потен-циальная энергия межмолекулярного взаимодействия U(r) по абсолют-ной величине превосходит среднюю кинетическую энергию теплового движения <ε>.

Сила притяжения между молекулами быстро убывает с расстоянием, поэтому, начиная с некоторого расстояния rm, взаимодействием можно пренебречь. Это расстояние rm называется радиусом молекулярного взаи-модействия. Величина его равна нескольким эффективным диаметрам мо-лекулы.

Каждая молекула жидкости испытывает притяжение со стороны дру-гих молекул, находящихся в пределах сферы молекулярного взаимодейст-вия данной молекулы. Если молекула находится внутри жидкости, то рав-нодействующая всех этих сил равна нулю. Если же она находится в тонком приповерхностном слое толщиной rm , то действующие на нее силы не уравновешены, а результирующая сила fпр направлена во внутрь жидкости. Причем, чем ближе молекула к поверхности жидкости, тем больше сила fпр (рис. 10.1).

fпр fпр fпр rm fот fот

Рис. 10.1. Силы, действующие на молекулу в приповерхностном слое

При увеличении убины жидко-сти переходит в поверхностный слой, совершая работу против действую-щих сил fпр. Работа эта совершается при постоянной температуре за счет кинетической энергии молекулы.

Так же как и в механике, устойчивое равновесие системы достигается при минимуме потенциальной энергии. Поэтому поверхность жидкости всегда стремится сохраниться, и вдоль поверхности действуют силы по-верхностного натяжения.

Поверхностный слой состоит из тех же молекул, что и вся жидкость, и взаимодействие между молекулами в поверхностном слое имеет тот же ха-рактер, что и внутри жидкости. Чтобы понять, каков механизм возникно-вения сил, действующих вдоль поверхности, надо принять во внимание,

поверхности жидкости молекула из гл

176

что, кроме сил притяжения fпр, на молекулы приповерхностного слоя дей-ствуют силы, не позволяющие им переместиться во внутрь жидкости. Это силы отталкивания fот, возникающие из–за того, что в направлении, пер-пендикулярном поверхности жидкости, расстояние между молекулами меньше среднего r<r0 ( рис. 10.1).

Находясь под двойным воздействием со стороны молекул поверхно-сти и молекул, примыкающих к приповерхностному слою, молекулы при-поверхностного слоя расходятся в стороны, и расстояние между ними вдоль поверхности становится больше среднего r > r0. Это приводит к возникновению между молекулами сил притяжения, направленных вдоль поверхности и называемых силами поверхностного натяжения Они вместе с силами, действующими перпендикулярно, обеспечивают устойчивость поверхностного слоя.

10.2. Коэффициент поверхностного натяжения

Выделим мысленно часть поверхности жидкости, ограниченную замкнутым контуром abcd (рис. 10.2).

Рис. 10.2. К расчету коэффициента поверхностного натяжения

Стремление этого участка к сокращению приводит к тому, что он дей-ствует на граничащие с ним участки с силами, распределенными по всему контуру. На отрезке ab длиной l эта сила будет равна

,lF σ= (10.1) где σ – величина, называемая коэффициентом поверхностного натяже-ния.

Пусть внешняя сила F переместит участок контура ab на расстояние dx в новое положение a′ b′, увеличив поверхность жидкости. При этом над системой будет совершена работа

.' dSdxlFdxdA σσ === (10.2) Из (10.1) и (10.2) получаются две трактовки коэффициента поверхност–

ного натяжения

,'dSdA

lF

==σ (10.3)

177

силовая – как сила, действующая на единицу длины контура поверхности, и энергетическая – как работа, необходимая для квазистатического увели-чения поверхности жидкости на единицу при неизменной температуре. Соответственно и единицы измерения для коэффициента поверхностного натяжения могут быть [σ ] = Дж/м2 = Н/м.

10.3. Давление под изогнутой поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокраще-нию приводит к возникновению дополнительного давления ∆P, которое испытывает жидкость (рис. 10.3). В случае выпуклой поверхности допол-нительное давление положительно (рис. 10.3, б), в случае вогнутой по-верхности – отрицательно (рис. 10.3, в). В последнем случае поверхност-ный слой, стремясь сократитьс идкость. я, растягивает ж

. Рис. 10.3. Формы поверхности жидкости

Для определения величины добавочного давления ∆P, рассмотрим сферическую каплю радиуса R , мысленно рассеченную на два полушария (рис. 10.4). Оба полушария притягиваются с силой

.2 σπσ RlF == (10.4)

R

Рис. 10.4. К определению добавочного давления

Эта сила действует на поверхность сечения S=πR2 и обеспечивает дополнительное давление ∆Р внутри сферы

.222 RR

RSFP σ

πσπ

===∆ (10.5)

178

Для определени извольной по-верхности используется формула Лапласа

я добавочного давления в случае про

.11 ⎟⎞

⎜⎛

+=∆P σ 21

⎟⎠

⎜⎝ RR

иусы кривиз

(10.6)

адпер н 1 2

виду, ч или твердого тела) зависит от свойств обоих веществ.

Р ны поверхности R1 и R2 определяются в двух взаимно пе дикулярных направлениях. Для сферы R =R =R.

10.4. Краевой угол

Если поверхность разделяет две различные среды, то следует иметь в то поверхностная энергия жидкости (

газ ∆lσж -г ∆lσт -г θ жидкость ∆lσт -ж длина контакта ∆l твердое тело

Рис. 10.5. Краевой угол

Рассмотрим условие, при котором три граничащих друг с другом ве-щества (твердое, жидкое и газообразное) находятся в равновесии (рис. 10.5). Условием равновесия будет равенство нулю сил, приложенных к любой точке линии раздела трех сред

∆lσт–г = ∆lσт–ж + ∆lσж–г cosθ , (10.7) где σт–г, σт–ж, σж–г – коэффициенты поверхностного натяжения на грани-цах: твердое тело – газ, твердое тело – жидкость и жидкость – газ; θ – угол, отсчитываемый внутри жидкости между касательными к поверхности твердого тела и к поверхности жидкости, называется краевым углом. Из (10.7) находим краевой угол cosυ = (σт–г – σт–ж )/σж–г при условии, что σт–г – σт–ж/σж–г ≤ 1 . Если это условие не выполняется, возможны два случая:

1) σт–г>σт–ж+σж–г . В этом случае жидкость неограниченно растекает-ся по поверхности твердого тела θ = 0 (Рис. 10.6, а), что соответствует пол-ному смачиванию (керосин);

2) σт–ж>σт–г+σж–г . В этом случае поверхность, по которой жидкость граничит с твердым телом, стягивается в точку, θ = π (Рис. 10.6, б), что со-ответствует полному несмачиванию (ртуть).

179

υ σж-г σж-г

σт-г σт-ж σт-г σт-ж а б

Рис. 10.6. Смачивание

Пример. Капилляр (очень тонкая трубка) радиусом r опущен в жкость с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения σ (Ри-сунок X.7). Краевой угол смачивания θ. На какую высоту поднимется жидкость в капилляре?

ид-

Рис. 10.7

-

Добавочное давление под изогнутой поверхностью

,2R

ghP σρ ==∆ и .cosθ

rR =

Поэтому высота жидкости в капилляре равна

.cos2gr

hρ

θσ= (10.8)

где σ – коэффициент поверхностного натяжени θ – краевой угол смачивания; ρ – плотность жидкости; r – радиус капил-лярной трубки; g – ускорение свободного падения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ПОДНЯТИЯ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ

Цель работы

Изучение поверхностных явлений и экспериментальное определение коэффициента поверхностного натяжения воды.

Содержание работы

Для экспериментального определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости можно воспользоваться любым методом, в котором проявляются силы поверхностного натяжения. В данной работе исполется ил я-р нсредственное использование этой формулы для определения поверхностного натяжения неэффективно, так как высоту подъема жисти в капилляре надо определять относительно ее уровня в сосуде, что

я;

Лабораторная работа 22

ьзу-эффект поднятия смачивающей жидкости в узких трубках (кап

ах). Высота поднятия жидкости определяется формулой (10.8). Но лепо-

дко-сде-

180

лать с удовлетворительной точностью затруднительно. Поэтому испзуютс ядом (

оль-я две капиллярные трубки разного диаметра, расположенные р

рис.10.1) и определяется разность уровней жидкости в них ( ).

21

221 rrg

hhh cos2 1 rr −=−=∆

ρθσ (10.9)

где h1 и h2 – высоты поднятия жидкости соответственно в первом и втором капиллярах; r1 и r2 – радиусы соответственно первого и второго капилля-ров.

Учитывая, что вода полностью смачивает стекло (краевой угол θ равен нулю), и, заменяя радиусы r1 и r2 диаметрами d1 и d2, получаем формулу для определения коэффициента поверхностного натяжения:

.4 12

21 hdd

ddg∆

−=

ρσ (10.10)

d1 d2 ∆h h1 h2 Рис. 10.1. Схема эксперимента

Таким образом, задача нахождения коэффициента поверхностного натяжения сводится к измерениям диаметров капиллярных трубок и разно-сти уровней жидкости в них. Для этих измерений используется прибор, на-зываемый катетометром.

Рис. 10.2. Катетометр

181

Катетометр (рис. 10.2) состоит из вертикального штатива на тренож-нике 1, измерительной каретки 2, зрительной трубы 3 и отсчетного микро-скопа 4. На треножнике установлена лонка 5. С помощью ручек 6 колон-коку можно поворачивать вокруг вертикальной оси; микрометрическая подача осуществляется винтом 7 при закрепленном винте 8. Измеритель- ная каретка, несущая зрительную трубу и отсчетный микроскоп, переме-щается по колонке на роликах. Грубое перемещение измерительной карет-ки по вертикали производится при открепленном винте 9, точное – с помощью микрометрического винта 0 при закрепленном винте 9. Фоку-1сировка трубы на выбранную точку ъекта производится вращением ма-обховичка 11; грубая наводка осуществляется с помощью механического ви-зира, состоящего из ц тубусе зрительной елика и мушки, укрепленных натрубы. Для установк ие служит цилинд-и трубы в горизонтальное положенрический уровень 12. Уровень устанавливается в горизонтальное положе-ние микрометрическим винтом 13 путем совмещения пузырьков воздуха. При совмещенных половинках пузырька визирная ось зрительной тру-бы принимает строго горизонтально положение. Для наводки катето-е метра на выбранную точку объекта тка зрительной трубы имеет пе-серекрестие (рис. 10.3) правый горизонтальный штрих которого заменен угловым биссектором.

Рис. 10.3 Перекрестие сетки зрительной трубы

Для определения вертикальной координаты какой-либо точки объекта служит отсчетный микроскоп. В поле зрения отсчетного микроскопа (Рис. 10.3) видны одновременно изображения двух горизонтальных штрихов и масштабная сетка. Масш абная сетка разделена в вертикаль-тном и горизонтальном направлениях а десять частей. н

Отсчетный микроскоп установлен таким образом, что десять горизон-тальных биссекторов сетки укладываются между двумя штрихами милли-метр -овой шкалы. Следовательно, каждому биссектору в вертикальном направлении ая соответствует 0,1 м тальном направлении десятм. В горизончасть би метры) ссектора равна 0,01 мм. Тысячные доли миллиметра (микрооценива х мил-ются на гла тсчета целыз в долях делений. Индексом для олиметров служит ну иметра. левой би лей миллссектор десятых до

182

183

Рис. 10.4. Поле зрения отсчетного микроскопа

На рис. 10.4 штрих 122 прошел нулевой биссектор, а ближайший боль-шой штрих 121 еще не дошел до нулевого биссектора. Отсчет будет 122 мм плюс отрезок от штриха 122 до нулевого биссектора. В этом отрезке число десятых долей биссектора будет обозначено цифрой последнего пройденного биссектора десятых долей миллиметра, в данном случае циф-рой 2. Отсчет сотых долей миллиметра производится в горизонтальном направлении сетки. На рис. 10.4 положению миллиметрового штриха соот-ветствует седьмое горизонтальное деление сетки, которого этот штрих ка-сается, то есть 0,07 мм. Окончательный отсчет будет 122,27 мм.

Описание лабораторной установки Кп КпТ Др А С Сд Нп В а б

Рис.10.5. Схема лабораторной установки

Установка, применяемая в работе, состоит из двух стеклянных капил-ляров Кп разного диаметра, закрепленных в общем держателе Др и погру-женных в сосуд с водой Сд (рис. 10.5,а), и катетометра КМ–8 (рис. 10.2).

184

Держатель вместе с капиллярами может перемещаться в вертикальной плоскости по направляющим Нп. К держателям прикреплены образцы ка-пиллярных трубок КпТ, обращенные торцами к катетометру. Изображение торцевого сечения одного из образцов в увеличенном масштабе дано на рис. 10.5,б. Разность уровней воды в капиллярах и их внутренние диамет-ры измеряются с помощью катетометра.

Порядок выполнения работы

1. Расположите каппиляры с сосудом на расстоянии 35–40 см от зри-тельной трубы катетометра.

2. Перемещая держатель Др (рис.10.5,а) вниз по направляющим, опус-тите капилляры в сосуд с водой так, чтобы их нижние концы были ниже уровня воды на 5–6 см. Через 1–2 с приподнимите капилляры, не вынимая их из воды.

3. Вращением окуляра зрительной трубы установите его на резкое изображение перекрестия, а вращением маховика 11 добейтесь резкого изображения каппиляров.

4. Произведите точную наводку зрительной трубы катетометра на ме-ниск воды в левом капилляре: в вертикальной плоскости – с помощью вин-та 10 при закрепленном винте 9; в горизонтальной плоскости – с помощью винта 7 при закрепленном винте 8. При этом горизонтальный штрих пере-крестия должен касаться мениска воды в каппиляре большего диаметра.

5. Определите координату yB1B точки касания по масштабной сетке от-счетного микроскопа.

6. Не изменяя направления зрительной трубы в горизонтальной плос-кости, наведите ее на мениск воды в правом капилляре с помощью винта 10. По масштабной сетке отсчетного микроскопа снимите отсчет уB2B, соот-ветствующий этому положению мениска. Повторите измерения уB1B и уB2B пять раз.

7. Наведите перекрестие зрительной трубы таким образом, чтобы го-ризонтальный штрих перекрестия касался точки А торцевого сечения ка-пилляра (рис. 10.5,б) и определите по масштабной сетке отсчетного микро-скопа ее координату YB1AB.

8. Наведите далее горизонтальный штрих перекрестия на точку B тор-цевого сечения капилляра (рис. 10.5,б) и определите по масштабной сетке отсчетного микроскопа ее координату YB1BB.

9. Аналогичным образом определите координаты YB2AB и YB2BB тех же то-чек A и B внутренней окружности другого капилляра. Повторите измере-ния диаметров капилляров пять раз.

10. Результаты измерений занесите в таблицу. 11. Определите температуру окружающей среды и соответствующую

ей плотность воды ρ (по таблице, помещенной на лабораторном столе) и занесите ее в протокол работы.

185

Обработка результатов измерения

1. По данным, полученным в каждом из опытов, рассчитайте величи-ны:

∆h = yB1B – yB2B , d B1B = YB1AB – YB1BB , d B2B = YB2AB – YB2BB . 2. По формуле (10.2) для каждого опыта рассчитайте значение коэф-

фициента поверхностного натяжения σ. 3. По данным пяти параллельных опытов проведите статистическую

обработку для величин: <∆h>, <d B1B>, <d B2B>, <σ> . 4. Рассчитайте абсолютную погрешность определения коэффициента

поверхностного натяжения σ∆ в данной лабораторной работе, учитывая, что эта величина получена путем косвенных измерений.

5. Запишите окончательный результат в виде: σ = <σ> ± ∆σ . Экспериментальные данные и вычисления

Координаты менисков, мм

Координаты точек А и В капилляров , мм

Диаметры ка-пилляров, мм

y B1B y B2B

∆h = y B1 B– y B2B

мм YB1AB YB1BB YB2AB YB2BB dB1 B dB2 B

σ , Н/м

Контрольные вопросы

1. Почему поверхностный слой жидкости обладает дополнительной энергией? 2. Дайте определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости с энергети-ческой и силовой точек зрения. 3. Чем обусловлено поднятие или опускание жидкости в капиллярах? 4. Выведите формулу, по которой рассчитывается высота поднятия или опускания жидкости в капиллярах. 5. Как ведут себя смачивающие и несмачивающие жидкости в капиллярах? Дайте опре-деление краевого угла. 6. Объясните, как поступают питательные вещества к кроне деревьев. Каким должен быть диаметр биологического капилляра, чтобы обеспечить питанием листья пирами-дального тополя на высоте 18 м?

186

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каленков, С. Г. Практикум по физике. Механика/ С. Г. Каленков, Г. И. Соломахо. – М.: Высшая школа, 1990. – 169 c.

2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики/ С. Э. Хайкин. – М.: Наука, 1971. – 601 с.

3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. – Т.1/Д. В Сивухин. – М.: Наука, 1974. –519 с.

4. Савельев, И. В. Курс общей физики. – Т.1/И. В. Савельев. – М.: Наука, 1982. – 432 с.

5. Физический практикум. Механика и молекулярная физика /под ред. В. И. Ивероновой. – М.: Наука, 1967. – 352 с.

6. Кортнев, А. В. Практикум по физике/ А. В. Кортнев, Ю. В. Рублев, А. Н. Куценко. – М.: Высшая школа, 1961. – 427с.

7. Вайдель, А. Н. Ошибки измерений физических величин/ А. Н. Вайдель. – Л.: Наука, 1974. – 246 с.

8. Сквайрс, Дж. Практическая физика/Дж. Сквайрс/ пер. с англ. – М.: Мир, 1971. – 246 с.

187

ОГЛАВЛЕНИЕ

HTПредисловие............TH..................................................................................................... 3 HTГлава 1. Математическая обработка результатов измерений и представле-ние экспериментальных данных TH.............................................................................

5

HTГлава 2. Рекомендации по записи и представлению результатов экспери-мента TH............................................................................................................................

24

HTГлава 3. Кинематика поступательного и вращательного движения TH.............. 27 HTЛабораторная работа 1. Определение скорости полета пули кинема-

тическим методом TH........................................................................................................

31 HTГлава 4. Динамика поступательного и вращательного движения. Законы сохранения TH...................................................................................................................

36 HTЛабораторная работа 2. Изучение сухого трения TH................................... 45 Лабораторная работа 3. Изучение динамики вращательного движе-

ния твердого тела.........................................................................................................

54 HTЛабораторная работа 4. Определение скорости полета пули с помо-

щью крутильного баллистического маятника TH..........................................................

61 HTЛабораторная работа 5. Изучение упругого соударения двух шаровTH... 65 HTЛабораторная работа 6. Проверка закона сохранения момента

импуль-са TH............................................................................................................................

73 HTГлава 5. Элементы механики деформируемого тела TH.......................................... 79

HTЛабораторная работа 7. Определение модуля сдвига при деформации крученияTH........................................................................................................................

88 HTЛабораторная работа 8. Определение модуля Юнга при деформации

изгиба TH............................................................................................................................

90 HTГлава 6. Механические колебания TH......................................................................... 94

HTЛабораторная работа 9. Оборотный маятник TH.......................................... 111 Лабораторная работа 10. Изучение механических колебаний............... 113 HTЛабораторная работа 11. TИзучение затухающих и вынужденных ко-

лебаний Hфизического маятника..................................................................................

118 HTЛабораторная работа 12. Определение момента инерции махового

колеса методом колебаний TH..........................................................................................

122 HTЛабораторная работа 13. Моделирование сложения гармонических

колебаний на ЭВМ TH.......................................................................................................

126 HTГлава 7. Волновое движение TH.................................................................................... 130

HTЛабораторная работа 15. Определение скорости звука в воздухе ме-тодом стоячей волныTH...................................................................................................

136 HTЛабораторная работа 16. TОпределение отношения CBp B/CBvB методом

акустического резонанса H............................................................................................

139 HTГлава 8. Молекулярная физика и термодинамика TH............................................. 142

Лабораторная работа 17. Определение отношения удельных тепло-емкостей газов..............................................................................................................

147 HTЛабораторная работа 18. Моделирование распределения Максвелла

на ЭВМ TH..........................................................................................................................

151 HTЛабораторная работа 19. Изучение энтропии воздуха при изохориче-

ском охлаждении и изохорическом нагревании TH.......................................................

158

188

HTГлава 9. Явления переноса TH...................................................................................... 162 Лабораторная работа 20. Определение динамической вязкости,

средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы воздуха..........................................................................................................................

167

HTЛабораторная работа 21. Определение коэффициента внутреннего трения жидкости по методу Стокса TH...........................................................................

172 Глава 10HT. Поверхностное натяжение TH...................................................................... 176

HTЛабораторная работа 22. Определение коэффициента поверхностно-го натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах.....................TH

180 Библиографический список..................................................................................... 186

189

Роман Николаевич Никулин Наталья Владимировна Грецова

Физический практикум

Учебное пособие

Редактор _________________

Темплан 2007г. поз. ____

Лицензия ИД 04790 от 18.05.2001

Подписано в печать __.__.2006. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.–печ. л. 11,9. Уч.–изд. л. 8,78. Тираж 150 экз.

Заказ ____ Волгоградский государственный технический университет,

400131, просп. им. В. И. Ленина, 28 РПК “Политехник”

Волгоградского государственного технического университета 400131, Волгоград, ул. Советская, 35