ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ –Θ. ROLLE

Για να δείξουμε ότι μία εξίσωση f(x)=0 έχει:

Μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) τότε:

Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θ. Βολζάνο για την f στο [α,β]

Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θ. Rolle για μια άλλη συνάρτηση g

(αρχική ή παράγουσα της f) στο [α,β], όπου g΄(χ)=f(x) .

Βρίσκουμε με δοκιμές κάποιο ξε(α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0, ή λύνουμε την

εξίσωση f(x)=0 στο (α,β).

Με το σύνολο τιμών της f. Αν σε αυτό περιέχεται το 0, τότε η f έχει μια

τουλάχιστον ρίζα.

ν τουλάχιστον ρίζες στο (α,β).

Χωρίζουμε το [α,β] σε ν ξένα μεταξύ τους υποδιαστήματα και

εφαρμόζουμε τα παραπάνω σε καθένα από αυτά. Αν θέλουμε να δείξουμε

ότι έχει ν ακριβώς ρίζες τότε δείχνουμε ότι είναι 1-1 ή γνησίως μονότονη

σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα του (α,β).

Το πολύ μια ρίζα στο (α,β).

Υποθέτουμε ότι έχει δύο ρίζες διαφορετικές στο (α,β) και προσπαθούμε να

καταλήξουμε σε άτοπο εφαρμόζοντας το Θ. Rolle για την f στο κλειστό

διάστημα των ριζών .

Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο εν λόγω διάστημα

Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0 στο εν λόγω διάστημα.

ν το πολύ ρίζες στο (α,β).

Τότε υποθέτουμε ότι έχει ν+1 ρίζες στο (α,β) και καταλήγουμε σε άτοπο

εφαρμόζοντας το Θ. Rolle.

Ακριβώς μια ρίζα στο (α,β).

Δείχνουμε ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β) και στη συνέχεια

δείχνουμε ότι είναι μοναδική.