³( ) sec tgx x c xdx x tgx c ³ xdx x ctgx c ³³ ³ sec sec x tgx dx x c...
TRANSCRIPT
高等数学公式
1
高等数学公式
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
22
2
2 1
2
21
1cos
1
2sin
u
dudx
xtgu
u
ux
u
ux
, , ,
axx
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1)(log
ln)(
csc)(csc
sec)(sec
csc)(
sec)(
2
2
2
2
2
2
1
1)(
1
1)(
1
1)(arccos
1
1)(arcsin
xarcctgx
xarctgx
xx
xx
Caxxax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
Ca
adxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdxx
dx
Ctgxxdxx
dx
xx
)ln(
ln
csccsc
secsec
cscsin
seccos
22
22
2
2
2
2
Ca
x
xa
dx
Cxa
xa
axa
dx
Cax
ax
aax
dx
Ca
xarctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
arcsin
ln2
1
ln2
1
1
csclncsc
seclnsec
sinln
cosln
22
22
22
22
Ca
xaxa
xdxxa
Caxxa
axx
dxax
Caxxa
axx
dxax
In
nxdxxdxI n
nn
n
arcsin22
ln22
)ln(22
1cossin
22222
222
2222
222
2222
2
2
0
2
0
高等数学公式
2
一些初等函数: 两个重要极限:
三角函数公式:
三角函数:正弦函数sin x ;余弦函数cos x;
正切函数sin
tancos
xx
x ;余切函数
coscot
sin
xx
x ;
正割函数1
seccos
xx
;余割函数1
cscsin
xx
·诱导公式:
函数
角 A sin cos tg ctg
-α -sinα cosα -tgα -ctgα
90°-α cosα sinα ctgα tgα
90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα
180°+α -sinα -cosα tgα ctgα
270°-α -cosα -sinα ctgα tgα
270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
常用三角函数公式:
2 2cos sin 1x x 2 2cos sin cos 2x x x 2 s i n c o s s i n 2x x x
21 cos 2 2sinx x 21 c o s 2 2 c o sx x
2 2
2
11 tan sec
cosx x
x
2 2
2
11 cot csc
sinx x
x
x
xarthx
xxarchx
xxarshx
ee
ee
chx
shxthx
eechx
eeshx
xx
xx
xx
xx
1
1ln
2
1
)1ln(
1ln(
:
2:
2:
2
2 )
双曲正切
双曲余弦
双曲正弦
...590457182818284.2)1
1(lim
1sin
lim0
ex
x
x
x
x
x
高等数学公式
3
1sin sin [cos( ) cos( )]
2x y x y x y
1c o s c o s [ c o s ( ) c o s ( ) ]
2x y x y x y
1sin cos [sin( ) sin( )]
2x y x y x y
·和差角公式: ·和差化积公式:
反三角函数: a r c s i n a r c c o s2
x x
arctan arccot2
x x
arcsin x:定义域[ 1,1] ,值域[ , ]2 2
;arccos x :定义域[ 1,1] ,值域[0, ] ;
arctan x:定义域 ( , ) ,值域 ( , )2 2
;arccot x:定义域 ( , ) ,值域 (0, )
·反三角函数性质: arcctgxarctgxxx 2
arccos2
arcsin
·倍角公式:
·半角公式:
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
2
cos1
2cos
2
cos1
2sin
ctgtg
·正弦定理: RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin ·余弦定理: Cabbac cos2222
2sin
2sin2coscos
2cos
2cos2coscos
2sin
2cos2sinsin
2cos
2sin2sinsin
ctgctg
ctgctgctg
tgtg
tgtgtg
1)(
1)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
2
3
3
3
31
33
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tg
tgtgtg
2
2
2222
1
22
2
12
sincossin211cos22cos
cossin22sin
tg
tgtg
ctg
ctgctg
高等数学公式
4
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 3 3 2 2( ) ( )a b a b a a b b
1 2 3 2 2 1( )( )n n n n n n na b a b a a b a b ab b
1 2 2( 1) ( 1) ( 1)( )
2! !
n n n n n k k nn n n n n ka b a na b a b a b b
k
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvuk
knnnvu
nnvnuvu
vuCuv
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当
柯西中值定理:
拉格朗日中值定理:
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
曲率:
.1
;0
.)1(
limM
sMM:.
,1
320
2
aKa
K
y
y
ds
d
sK
MMs
K
tgydxyds
s
的圆:半径为
直线:
点的曲率:
弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:
其中弧微分公式:
定积分的近似计算:
b
a
nnn
b
a
nn
b
a
n
yyyyyyyyn
abxf
yyyyn
abxf
yyyn
abxf
)](4)(2)[(3
)(
])(2
1[)(
)()(
1312420
110
110
抛物线法:
梯形法:
矩形法:
高等数学公式
5
定积分应用相关公式:
b
a
b
a
dttfab
dxxfab
y
kr
mmkF
ApF
sFW
)(1
)(1
,
2
2
21
均方根:
函数的平均值:
为引力系数引力:
水压力:
功:
空间解析几何和向量代数:
。代表平行六面体的体积
为锐角时,向量的混合积:
例:线速度:
两向量之间的夹角:
是一个数量
轴的夹角。与是向量在轴上的投影:
点的距离:空间
,cos)(][
..sin,
cos
,,cos
PrPr)(Pr
,cosPr
)()()(2
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
u
高等数学公式
6
(马鞍面)双叶双曲面:
单叶双曲面:
、双曲面:
同号)(、抛物面:
、椭球面:
二次曲面:
参数方程:其中空间直线的方程:
面的距离:平面外任意一点到该平
、截距世方程:
、一般方程:
,其中、点法式:
平面的方程:
1
1
3
,,22
2
11
};,,{,
13
02
),,(},,,{0)()()(1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
qpzq
y
p
x
c
z
b
y
a
x
ptzz
ntyy
mtxx
pnmstp
zz
n
yy
m
xx
CBA
DCzByAxd
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
多元函数微分法及应用
z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
zzyxF
dx
dy
F
F
yF
F
xdx
yd
F
F
dx
dyyxF
dyy
vdx
x
vdvdy
y
udx
x
udu
yxvvyxuu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
zyxvyxufz
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dztvtufz
yyxfxyxfdzz
dzz
udy
y
udx
x
ududy
y
zdx
x
zdz
, , 隐函数
+, , 隐函数
隐函数的求导公式:
时,,当
:多元复合函数的求导法
全微分的近似计算:
全微分:
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
高等数学公式
7
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
Gv
F
u
F
vu
GFJ
vuyxG
vuyxF
vu
vu
隐函数方程组:
微分法在几何上的应用:
),,(),,(),,(3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000000
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FFT
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xxzyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
、过此点的法线方程:
:、过此点的切平面方程
、过此点的法向量:
,则:上一点曲面
则切向量若空间曲线方程为:
处的法平面方程:在点
处的切线方程:在点空间曲线
多元函数的极值及其求法:
不确定时
值时, 无极
为极小值
为极大值时,
则:
,令:设
,0
0
),(,0
),(,00
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
002
0000000000
BAC
BAC
yxA
yxABAC
CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx
重积分及其应用:
高等数学公式
8
D
z
D
y
D
x
zyx
D
y
D
x
D
Dy
D
x
D
DD
ayx
xdyxfaF
ayx
ydyxfF
ayx
xdyxfF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
My
dyx
dyxx
M
Mx
dxdyy
z
x
zAyxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
2222
3
2222
3
222
22
D
22
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
, ,
,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于
轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量:
平面薄片的重心:
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标:
dvyxIdvzxIdvzyI
dvxMdvzM
zdvyM
ydvxM
x
drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
zrrfzrF
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
zyx
r
)()()(
1,
1,
1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
0 0
),(
0
22
2
, , 转动惯量:
, 其中 重心:
, 球面坐标:
其中:
柱面坐标:
曲线积分:
)()()()()](),([),(
),(,)(
)(),(
22
ty
txdtttttfdsyxf
tty
txLLyxf
L
特殊情况:
则: 的参数方程为:上连续,在设
长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧
高等数学公式
9
。,通常设
的全微分,其中:才是二元函数时,=在
:二元函数的全微分求积
注意方向相反!减去对此奇点的积分,
,应。注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、
是一个单连通区域;、
无关的条件:平面上曲线积分与路径
的面积:时,得到,即:当
格林公式:格林公式:
的方向角。上积分起止点处切向量
分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关
,则:的参数方程为设
标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
12,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),( 00
yxdyyxQdxyxPyxu
yxuQdyPdxy
P
x
Q
y
P
x
QGyxQyxP
G
ydxxdydxdyADy
P
x
QxQyP
QdyPdxdxdyy
P
x
QQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
L
dsQPQdyPdx
dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
txL
yx
yx
D L
D LD L
L L
L
曲面积分:
dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,( 22
系:两类曲面积分之间的关
号。,取曲面的右侧时取正
号;,取曲面的前侧时取正
号;,取曲面的上侧时取正
,其中:对坐标的曲面积分:
对面积的曲面积分:
高等数学公式
10
微分方程的相关概念:
即得齐次方程通解。
,代替分离变量,积分后将,,,则设
的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方
称为隐式通解。 得:
的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程
或 一阶微分方程:
ux
y
uu
du
x
dxu
dx
duu
dx
duxu
dx
dy
x
yu
x
yyxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
)()(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
一阶线性微分方程:
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
nyxQyxPdx
dy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxPdx
dy
n
dxxPdxxP
dxxP
,、贝努力方程:
时,为非齐次方程,当
为齐次方程,时当
、一阶线性微分方程:
全微分方程:
通解。应该是该全微分方程的
,,其中:
分方程,即:中左端是某函数的全微如果
Cyxu
yxQy
uyxP
x
udyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二阶微分方程:
时为非齐次
时为齐次,
0)(
0)()()()(
2
2
xf
xfxfyxQ
dx
dyxP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
21
22
,)(2
,,(*)0)(1
,0(*)
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的两个根、求出
的系数;式中的系数及常数项恰好是,,其中、写出特征方程:
求解步骤:
为常数;,其中
高等数学公式
11
式的通解:出的不同情况,按下表写、根据 (*),3 21 rr
的形式, 21 rr (*)式的通解
两个不相等实根 )04( 2 qp xrxr
ececy 21
21
两个相等实根 )04( 2 qp xr
exccy 1)( 21
一对共轭复根 )04( 2 qp
2
4
2
2
21
pqp
irir
,
,
)sincos( 21 xcxcey x
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数;型,
为常数,
]sin)(cos)([)(
)()(
,)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x
高等数学公式
12
五类基本初等函数及图形
----------------------------------- (1) 幂函数----------------------------------
xy , 是常数;
----------------------------------- (2) 指数函数 ----------------------------------
xay ( a是常数且 0 1a a , ), ),( x ;
----------------------------------- (3) 对数函数 ----------------------------------
xy
alog
( a是常数且 0 1a a , ), (0, )x ;
1. 当 u 为正整数时,函数的定义域为区间 ),( x ,他们的图形都
经过原点,并当 u>1 时在原点处与 X 轴相切。且 u 为奇数时,图形关
于原点对称;u 为偶数时图形关于 Y 轴对称;
2. 当 u 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数。
3. 当 u 为正有理数 m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +),n
为奇数时函数的定义域为(-+)。函数的图形均经过原点和
(1 ,1).如果 m>n 图形于 x 轴相切,如果 m<n,图形于 y 轴相切,且 m
为偶数时,还跟 y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称.
4. 当 u为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n
为奇数时,定义域为去除 x=0 以外的一切实数.
1. 当 a>1时函数为单调增,当 a<1时函数为单调减.
2. 不论 x 为何值,y 总是正的,图形在 x 轴上方.
3. 当 x=0 时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.
高等数学公式
13
----------------------------------- (4) 三角函数 ----------------------------------
正弦 xy sin , ),( x , ]1,1[y 余弦 xy cos , ),( x , ]1,1[y
正切 xy tan , 2
kx
, k Z , ),( y 余切 xy cot , kx ,k Z , ),( y
----------------------------------- (5) 反三角函数 ----------------------------------
反正弦
xy arcsin,
]1,1[x ,
]2
,2
[
y
1. 他的图形为于 y 轴的右方.并通过点(1,0)
2. 当 a>1 时在区间(0,1),y 的值为负.图形位
于 x 的下方,在区间(1, + ),y 值为正,图
形位于 x 轴上方.在定义域是单调增函
数.a<1 在实用中很少用到.
反余弦
xy arccos,
]1,1[x ,
],0[ y ,
高等数学公式
14
反正切 xy arctan , ),( x ,)
2,
2(
y
反余切 xy cotarc , ),( x , ),0( y