· semi-analytical finite element processes - use of orthogonal functions and ’finite strip ......
TRANSCRIPT
-
!" ! # ! $ % ! % & '()' '(*( & % % + '()* & , - - + # % ./ 012 & + 3 & % + '(4* & , 5 5 6 # & & 6 7'(*'8 6 7'(*98 !6 7'((*8 6 76 :8 7'(((8 %& + &1 '()4
&1 &- '(4'
;9 < =% > '((' &% 6 & + % %% #? : '((. '((/ $1 ! & ! $1 '((4 # ,
6 !% , 6 !% 6! @
#
> % % + > ,6 > > ,6 % &1 > + %&
, A 6 , % 74)9B;9%8 # 5#! # + & " 7 " C < % DE
-
!"# $%% #% !%!
&% % % #% !%! %% $%% ' !%! (%% & %
#% !%! "'%) *
+ )%$%% ,%
(-% ' '% !%!"'%) % %)
%) %
"G,"5 6!:6 $"#" @" 6$5H :$"5 :
-
$
>
: @ "= "G. *..9 6 & 6 B'*B'>.B/'
6 5 & :
, %& '()4 & H> , %& & $
>
.BBB
"! 012 5: # .BBB
6 % %&
& % 7
%% &
%&8
% % =%
% !%
6 '(**
& !% : 6 :
(B #
! 5 : ' (
6%% %
-
(
# &1 : %% % %% &1 & 1 +
% 1
"J % !
% %%
%% %
-
Preface to Volume 2............................................
General problems in solid mechanics andnon-linearity.........................................................
Introduction........................................................Small deformation non-linear solid mechanicsproblems............................................................Non-linear quasi-harmonic field problems.........Some typical examples of transientnon-linear calculations.......................................Concluding remarks..........................................
Solution of non-linear algebraic equations......Introduction........................................................Iterative techniques...........................................
Inelastic and non-linear materials.....................Introduction........................................................Viscoelasticity - history dependence ofdeformation.......................................................Classical time-independent plasticity theory.....Computation of stress increments.....................Isotropic plasticity models.................................Generalized plasticity - non-associative case...Some examples of plastic computation.............Basic formulation of creep problems.................Viscoplasticity - a generalization.......................Some special problems of brittle materials........Non-uniqueness and localization inelasto-plastic deformations................................Adaptive refinement and localization(slip-line) capture...............................................Non-linear quasi-harmonic field problems.........
-
Plate bending approximation: thin(Kirchhoff) plates and C1 continuityrequirements........................................................
Introduction........................................................The plate problem: thick and thinformulations.......................................................Rectangular element with corner nodes (12degrees of freedom)..........................................Quadrilateral and parallelograpm elements......Triangular element with corner nodes (9degrees of freedom)..........................................Triangular element of the simplest form (6degrees of freedom)..........................................The patch test - an analytical requirement........Numerical examples..........................................General remarks................................................Singular shape functions for the simpletriangular element..............................................An 18 degree-of-freedom triangular elementwith conforming shape functions.......................Compatible quadrilateral elements....................Quasi-conforming elements..............................Hermitian rectangle shape function...................The 21 and 18 degree-of-freedom triangle........Mixed formulations - general remarks...............Hybrid plate elements........................................Discrete Kirchhoff constraints............................Rotation-free elements......................................Inelastic material behaviour...............................Concluding remarks - which elements?............
Thick Reissner - Mindlin plates - irreducibleand mixed formulations......................................
Introduction........................................................The irreducible formulation - reducedintegration..........................................................
-
Mixed formulation for thick plates......................The patch test for plate bending elements........Elements with discrete collocation constraints..Elements with rotational bubble or enhancedmodes................................................................Linked interpolation - an improvement ofaccuracy............................................................Discrete exact thin plate limit...........................Performance of various thick plate elements- limitations of twin plate theory.........................Forms without rotation parameters....................Inelastic material behaviour...............................Concluding remarks - adaptive refinement........
Shells as an assembly of flat elements............Introduction........................................................Stiffness of a plane element in localcoordinates........................................................Transformation to global coordinates andassembly of elements........................................Local direction cosines......................................Drilling rotational stiffness - 6degree-of-freedom assembly............................Elements with mid-side slope connectionsonly....................................................................Choice of element.............................................Practical examples............................................
Axisymmetric shells............................................Introduction........................................................Straight element................................................Curved elements...............................................Independent slope - displacementinterpolation with penalty functions (thick orthin shell formulations)......................................
-
Shells as a special case ofthree-dimensional analysis -Reissner-Mindlin assumptions..........................
Introduction........................................................Shell element with displacement and rotationparameters........................................................Special case of axisymmetric, curved, thickshells.................................................................Special case of thick plates...............................Convergence.....................................................Inelastic behaviour............................................Some shell examples........................................Concluding remarks..........................................
Semi-analytical finite element processes -use of orthogonal functions and finite stripmethods...............................................................
Introduction........................................................Prismatic bar.....................................................Thin membrane box structures..........................Plates and boxes and flexure............................Axisymmetric solids with non-symmetricalload....................................................................Axisymmetric shells with non-symmetricalload....................................................................Finite strip method - incomplete decoupling......Concluding remarks..........................................
Geometrically non-linear problems - finitedeformation..........................................................
Introduction........................................................Governing equations.........................................Variational description for finitite deformation...A three-field mixed finite deformationforumation.........................................................
-
A mixed-enhanced finite deformationforumation.........................................................Forces dependent on deformation - pressureloads..................................................................Material constitution for finite deformation.........Contact problems..............................................Numerical examples..........................................Concluding remarks..........................................
Non-linear structural problems - largedisplacement and instability..............................
Introduction........................................................Large displacement theory of beams................Elastic stability - energy interpretation...............Large displacement theory of thick plates.........Large displacement theory of thin plates...........Solution of large deflection problems................Shells.................................................................Concluding remarks..........................................
Pseudo-rigid and rigid-flexible bodies..............Introduction........................................................Pseudo-rigid motions.........................................Rigid motions.....................................................Connecting a rigid body to a flexible body.........Multibody coupling by joints..............................Numerical examples..........................................
Computer procedures for finite elementanalysis................................................................
Introduction........................................................Description of additional program features........Solution of non-linear problems.........................Restart option....................................................Solution of example problems...........................Concluding remarks..........................................
Appendix A..........................................................
-
A1 Principal invariants.......................................A2 Moment invariants........................................A3 derivatives of invariants...............................
Author index........................................................
Subject index.......................................................
-
. /
' %A . 6 %% %& ; H2 + % H1> %%
/ % 9 6= ) #> 4 > + %& 3 %D D
* C< C< % A B
( %% 3 C+< C< 'B # % > '' = 3 % + '. %& %& = % '; = 3 % 7&8 + &>
N#L2 '/ % '9 6% + +
') >& %%=O > H1 3 '4 # 3 >2 + %&
%'* # 3 %%= '( !% .B !% % + 6%%= 6 = &6%%= $ #> %%= %&6%%= ! $ K % 6%%= 6%%= 6%%= , &6%%= H & %6%%= = 6%%= = 2 %
-
0 )
' K D . ! %& 3 + %%=; 6 %& %& D 3 & % 7!$8
/ %& D 3 > D9 , & & %& D) !%& % D4 > %&* ( !% % !$ 6%%= 6 > 31 K6%%= $ H1 3
L K6%%= ! >& + 6%%= 6%%= $ 3 D %
-
$%
# + & % + %%= = %& #% =% > > %& > + % % > % &
% + %& % %&
F ; %% D F . & & +
&- %2 % # + % & F ' & > + L =
% & - F ' 1K # &- A
' 7!% '3; 'B3'.8 % %& > K + %
> & % F ' %& # & L % % > %% % % % $ + %% &
% % & &-
%& % % & %% + %& % %% & %& = 7 %& &8 &1
-
. 7!% /3(8 # C < %+ %& % #%% + + &- # % + & =% K %%
F . % !% &%% & % % F ' > %&! %& % = %
&- & C1< % & %&
-
,% -%/
1%)
.. &%
+ K %& + K % %% & % &
& % > L N & C< & = % %
& %&> & 1 A > >
> # % > &
%% > % L #% >% &
% & L !
%& >% K&K & + = %& & " > K&> L & # K&K &1 L = =% %& %
+ % %& 6 D 1 % 1 H %& 7 8 78
& P &
> + & !% ) F ''
% % & 6 % > & K1 P &1 % % & 1 >
-
# & % %& 1 % + & & % %>
& %& > 1 %& & &> F ' & >
> & %+ 1 K> 7 L8 %& !% . & %& > &
K # !% ; & >& % +
% % & % %& + %&
% 7!% /8 & %& & & % 7!% 98# %& & >% &
% %& % % # + >& % D & & & %%= 7!% )8 = = %& 7!% 48 % % % L & & 7!% *8 1
> F ' & 2 !% ( %&
=% =% , & P & %& = > & % % %& +
%2 % % & !% 'B % + $ + %
+ & +
& & & %& F ' =% % % L K 73 8 L L , 2 % %& !% '' %2 &
% & # %& % >
K %& %& & % > = % %& !% /3* !% '. %2 + %&
& & 7% &8 % %& &
,% -%/ 1%)
-
+ % = % % & !% .B F ' > % + %& % > %
> %& &D
% % K> 7 L8 %%
. % 1% -%/
K %& F ' & > > % %& > 3 % $ %
% # %
# %
& > %& # + K & K& 7&
8 >% K & >
.4
# +
7 6%%= $ F '8 = = F '' + & &% % , =% & %&
% > C< C < L & & +
= 1 % K & = #K & & , %% +=
= ' . ; % & ' . ; %& % & % = ' . ; > %%7 ' . > %&8 =
*
'
.
;
''
%
'
.
;
'.
% 1% -%/
-
# K& K 7& 8 =
' . ; '; % 7!8 & % 78 % L % & K %
= % % & %% % L % K& 7& 8
'/K 7';8 7'/8 % %& & &
'9 % % & 6 718 K &
& %
& !% ; F ' 1 K &'*(
B ')
& %
'. '4 &1 =
'' .. ;; '. .; ;' #
# '*
&
'' .. ;; '. .; ;' #
# '(
C<
. ''B
1 &K =
# = % %
% & = #& '' # %%
# 1 &
#
,% -%/ 1%)
-
&K % # % > %% & %%% % = %% = 1 K
7 !% ; F '8
#
#
#
# B '''
, %%= % % &
* &* * &* ''. %
& & * &* ''; & %
& ''/ > >% = & Q K 7)''8F 'R
&' + +
+ &. +
+ + &;
&. &' +
+ &; &.
&; + &'
''9
& >% % % % & % % % & &
%&
% '')
% & ''4
''*
,, = & =
, =
= ' . ; / 9 )# 7' . ;8 '' .. ;; '. .; ;'
.' ;. ';# 7 8
, % % 7 !% '4 F '8
% 1% -%/
-
# ''(
# # & 3
7 !% . F '8
! '.B L 2 & !
= % & % + &
'.'K 7''(8 &
#!
- '..
- L = > >% 3 78 % K 7''(8 # & % %
'.;K % & > >K , & = %% %&
% './O & +
& K & % & %>&>% !% '* F '
# & $ %& %%= H.. 1 % & %%& > K 7 !% '* F '8 %%
& % %%=
' ' K& K 7'')8 ' &
' ' % ' ' + './
,% -%/ 1%)
-
'
#' ' '.9
H.. % 1 & Q K 7'*).8 F 'R
' '. ' .. '. .. ' '.) ' ' ' ' ' '.4
' K 7'.)8 7'.48 % % P
' . %& 1 & 1 K7'./8 & % ' 7 ' ' '86 =% '
1 . 2 ' & K K 7'./8 ' & % = % %= 2 &
F ' ' %& & =% & !% '* F ' K % # %& 7 8%& P % > ' & 1 & & ' ' & & K 7'.)8 7'.48 # K 7'./8 &
' ' + '.*# K K %
> > % !% .O 35% & % &
'' '
' + '.(
'' ' ';B, %& % % 1% 1
'' ' ';'# & &
' '' ';. C< % C< L
% 1% -%/
-
K %% % % # & 1 2 %%% % 6
'' ' + ';;6 % K 7'.(8
-#'' ';/ % %
-#
'
, =% 7'./8 7'.)8 & K &
-#
'% '
'#!#
.
..%
& & > !# = 3 7 & K & >
8
' '' ';9 + 6 %
% # % & ') 'B* %%% 6 %%% % !% .F > & % =
% % %% +
+
';)
1 !#&
!# .
'
# & > % & & & % % %
1 ' =%
'' 7 '
'8 % .
' ' &
,% -%/ 1%)
-
'' %
' & K 7';B8 #
' & %& % & ' & % ' ' + %
K
!
# % > %
= + = +
% %& & K % !% ; & %&
, %& % !% '. F '
& 7 8 >+ 7 '.; '.4 F '8 & 7 8 >+ 7 './ F '8 6 >+ %% % ''9; F ' #
% K , L % >+ & %& % %& % >+ % % +
# % % = './ F ' % L & % > %& #% & % = % + %& # = & % 'B/ !% 'B
% = L & % 7!% '. F '8 = % &
'
'
'
'
B
B
B
$ $
'
;''# ';4
$ =
% 1% -%/
-
6 F ' % % & 7%8 % # & =% %
$ '; ' ';*
=
$ ' ';( % % , % &
'/B % %# H1 78 K
& #
#
#
#
'; '
# B '/' '#
B
+ %%= &
& & %%= K
& &
&
$ ';'& $ ';'&
'/.
>% = K 7''98
& % &
$ '& # '/; % K 7'/B8 & =% K 7'/.8 7'/;8
K 7'/'8 & + K
% # + '//
# +
,% -%/ 1%)
-
# ';
'
#
&
'
# '/9
% %%= 1 & & %& K 7'//8 %+
# ' ' .
'/)
# = & %
$ '
;'
$
'
;'
'/4
&. '/*+ % >% K, & %&
'B''
#
# $
#'&
'
# $
'
;
.#'
#
# $ '
;#'
#
'/(
# % & % =
# # $
';'
#
'9B
% %% =% = K 7'/48 $ &
% = =% %+ %& &
% =% = % % L
% 1% -%/
-
# % % % K # & K 7'/B8 &
!# K 7'/48 =% =
-#
# # $
';'
#
!# $
';'
'9'
& + &
!# $';'
#
!# $
';'
$ !#$ '; $ !#'';'
# !#$'('
# !#'
'9.
K % & % $ '!K % & P P
$ ';' '9; % !# # & = 2 F '
L > !% ; 3 & & % 2 % %& % K =% & = #& A > K > &1 %> % > %%=>
& O > K .4> &1% % & &
6
& & ' '
& & ' ' # & % & %& %
.0 #1% 21% 3 -%/
&K % % > %& = K % L
, > K > &1 % & O !% '' F '
= %
,% -%/ 1%)
-
+ F ; > L & D > %& K & % > %%& 6 =% K> K + % K>>
%& & 7 8
#/ B '9/ & & & %& % % % % L % D D & / D= &
/ / 2
/ B '
B
'
# >6 2 & H1 % & %
/ %&
#/
B '99
/ N 7 & 8 %
%
& & '9) 2
+ '94
&
/ '9*
K 7'948 & % & !%'* F ' , - H.. H''
' ' ' '9(
#1% 21% 3 -%/
-
" ' ' % >& # = % %& & & % 7 %8 & '
& & %% %& + K 7'9/8 & 2
.4 )- 5- % 1%
% %& + %& 6
&
% &1 % % & F '
# K % %& % & % QK 7'9/8R> %+
& %>% &
')B
' P &
= % =% + 2
% & %% % 2 , '' , D 2 %& & QK 7'9*8R & , '. % 2 & >% 7:8 '.'; 6 % + %&
%+ & 2 %% & % % 2 % # P 1% & % % +
B ')'
% %%% # %& % & %>
+ %& & &'/ , & %& & '9
,% -%/ 1%)
-
# > =% %& ') %& !% ; & > % %
# '). & % % = , '; % % .(B & 9BB # >
% ' > ,
% + !
% & # + % & 1 , '; # K % &
& & K K 1
=%
> 6 > > % K 7'')8 & =% P
=% % % %
%% + > %& & # % K K P
k (T)
H (T)
c (T)
H (T)
c (T)
k (T)
2T
TfT0
k,
c,H
! ..
)- 5- % 1%
-
!.
,% -%/ 1%)
-
& & !% . & %% = + L C =< > %&'4
# =% =% & # + %& ; > %& & =% % & %%& =% % P
%& & 2
! .0 ! " #$%# & '& ' !
)- 5- % 1%
-
! .4 ( " )& )& *)
,% -%/ 1%)
-
+ K 6 =% , '/
% &
!% '( F ' %& > 1 = % #%& = % K1
! .6 + , -# " .
)- 5- % 1%
-
> K 6 = %& & % % % D !% '( F ' % &
% % % % % =% ='* , '9 =% % % '((; 1% 1 F:6!'( # + % & % K1
.6 ! %%
% 2 & % > %& K> + %& " 35% & > & %& , %& >& K = % & >& %& &K % = % %& # =% =%
%& & & # %
L + % >
6 % % + %&
% & %%
%
' "! 012 5: # & A F '6 : 9 .BBB
. #1 @ H H> ?1 ; '()(
; 11L H> ?1 . '(9)
/ : ' > >
!L @ '()(9 6 $ ! ?1'(*4
) ! ! @ A ( & ? '((.O % '()4 F
4 ,6 !22 ) # I ,
! '((4O %
,% -%/ 1%)
-
* @! 5: # F %- + % '* * * * * 0, '443.B*
'(*9( 2 ?1; '(*.
'B #@5 H2 % % > * * * * * ,0 '/';3'* '(*B
'' @! #@5 "
* * * 017'8 9'3/ '(*)'. : 6 L K %& K*
' 2+ 9')3).. '())'; H ! H 5 : "! 012 ,
> %& % % * * * ** 3 )';3./ '(4/
'/ &&
F >
&K & ' ) 1 ''/934/ '(4;'9 5 : "! 012 6 % >
%& % * * * * * ,2 ''('3(9 '(4*
') !6 6 "! 012 % A + ) * + ;(*3/B/ '(4/
'4 @5 "
! 5 && = * * '#* * 10
);;39) '())'* "! 012 6 ! ! $6 D ' ,
A - ) . $" @ != '(((
'( 6 5,
78 /') ) $15
'((;
%
-
1%!/% 2
. &%
%& & + & K
- .' P = > K K > %& & &KO & >
+ .. 2 % % % % % # K % Q K 7..8R # &
%& >% %% 1 & K % %> >% % & % & # %& &
' ' ' ' + .; &
+ ./
' .9#
' .)
-
& &- & 1% & % % & , % & = & % % , .' % >K &K % % & % % % % %& &
> 7 % %8
+ ' .4# %% % %%
= % %& % &
% %% & + % % % >%
> 7%8 >% > 7% >%8 > + %& % %=%
&%' 2
"
# %& % & K 7.;837.)8
& %% & K % % K 7 8
- ' .*
! . /
&%' 2
-
%% &
%
H K % F ' & K %% % & % K %&
& =% K > %& >
& %% % >
K
% = &-'9
6 > & K % & K # % % %&
% % %
K
#$ %&$ $
# 35% % % %& " 0
35% % & % K# %
'' '
' + .(
&
'' .'B % % # -&= 7 L =8 % >
&
-#
.''
K 7.(8
-# '
L & L
1% !/% 2
-
-# '
' .'.6 %%=
'' ' ' .';
' .'/
# % , .. % %% &
& % % % !% ; > K # 35% % % %
A
' -# = & % O. K 7.'.8 = & O
; = & > 7 %4
> %8
&1 & %
K %
! 0+$
&%' 2
-
%&$ $
# 35% % &
% & -& = -# & %%=
-# -# .'9 % K 7.'.8
-'# ' .') %& = , -# & =% + -'# Q , .;78R & % % % -B Q ,.;7&8R = %& 1 * 6 %%= & -# -# "& % 7
% K 35% 8 & P & 35% % %% P
%% C%<
7 & L % , .'8,K C2
< + % % %% & & % & & % -#
% $
" + % & &
' -'# '' .'4 C%< & , ./
' -. '
'' .' .'*
# C%< & & . &
. -. '
.' .'(M % K 7.'(8 ' %%&%
- '
..B -'
' - '
' - '' ..'
1% !/% 2
-
, , ./ - % + 35%% 7 %> % 8, -
P K L = - 7.'8 =% %6 % % =
+ K 7..'8 % %
= 6 &
! 0 ' 0+$" + & +
&%' 2
-
P > = 35% % %& + 35% % % %% + &
* % &
( + =>
'B %% & + % + = , 1 % % % & ''3'/# $,H %( 7 $ , H&
8
, %( 7 , 8 % = %+ & 2 & % $,H% &
- ' $ 4# -' ' $ 4# ...
$ =
4 ''#'#'
'
'
'#''
..;
+ & K 7..'8 & & K 7...8 7..;8 K 7..'8 , K 7...8 % =# % % % = ,
7%8 =-' + %% % K 7...8
! 4 ')
1% !/% 2
-
% #
' .
$ 4#
. -' '
' ../
.B
$ 4#
.
# 4 %
% , % & 'B & 7 '98 P %
% & F % % L & % 2
= % 6 %& % %
= -' % + & !+'''9')
+ = , .9 & & & P % & % "& % & # % , .9 1 7 8
' % > %& &
- + ..9 '' 1 %
'' -' '
' ..)
! 6 1 /
&%' 2
-
( ) $ *+
6 % && K 7.'.837.'/8 %%= = -# , 1
'' ' ..4
'' 1 78 % % # &- '' 2 & % & =% # %%= >%& & & % '' ' & & % K , >>> %% &
%& " %& %%
' ' ' ..* 0 %- 2 + %-
#
' ' ..(
' ' '
B ' & # % 1 & & &
7 8 % , .) 6 &
! 7
" &
1% !/% 2
-
& 1& %% + K> & 1
6 % K 'B
1
B
#' ' .;B
& B9 B* # %
, -.+/ $*
%% % %& %
% K 7.98 %& & & %%>
B .;' %& = & => C< & , .' & %& & & %% & % % %&% L '''4.;
%% %& K 7.;8
' 'B ' +
' .;.
' & & K 78
& % = & # K 1 51'(
# . #B B . .;; %& C< % ' !+''./ %> % K
# . .;/# > > % % & %&
&%' 2
-
K 7.;;8 7.;/8 K 7.;.8
%& % & & C< K >
% K
' ' B ''' ' ' B -#
.;9
# &
-# '
' B
.;)
-# '
'
-# '
B
.;4
K # K 7.;/8
' #
' . .;*
' + & K 7.'/8 " & K 7.;)8 K 7.;*8 K K & 1 7 & 8 6 & '' ./6 % & $.B.; L -
& += + % % 2
B '' #
B '' . .;(
# %
.
B
#B
''
#B B./B
# K & K % & % %
& P # % $ > =% , .4 =
3 % &
& % -# +
1% !/% 2
-
0 1*+
% & %%= & + % % &
>L ,K % %
'
& =% ' # K
' ' ./' &
# '. ./." = % % + & #
' '' ./;# % > K
2 K 7 !% '/ F '8 %&
& % % K
#'' '.
'#'''
'. ' .//
! 8 2 3
&%' 2
-
& %& % = >> 2 # K % %& &
'
' ./9
=%
' ' ./)
'
' ./4
" %& %%% 7 % K 8 & %# % & ') 'B* K = 7 & >L8 % , + K> % % % & 7 BB' BBB'8 %& & % 1 &
% % &
2 " $
# & % >1 > %& + 2 & #% % %& % % & %&'B'9.9 L #
& = 35%% 7 8 & P 6 % K> %K 1 >
= & &
> % =% $ ''.)
% # - .4;' % =%
7 !% '* F '8 > ;.;; # 2 &A
' % = % 7 8
. + &
1% !/% 2
-
# %% % L % %& P % L %&;/
" + 1 2 & % ,
& K %% % %% 2
% 78 & % C L %< & $.B
& L & 7 %>%
8 & % = %2 & % # 35%
% K %& & K 7.;8
B ./* L % &
B ./(
f ()
a
f4
f3
f2
f1
Possible divergence
! 9 1
&%' 2
-
-'# B .9B
&
=% &
-'# B .9'# , .* K & & & =% "& & % & # % 53
%
%
' 6 5 & ' H> ?1 '()9. : !2 (1 $ % $ '()); H K 6S $-T 1 > !L @'(4/
/ 5 2 @ ! = '(*(9 @ / 6 % 6 '((4) $U U @ C5%M 6 > + A % % '* * * * * 03 4(3'') '(*)
* ! F& 2 # 5% 6:>9((B6
:& '(9(
( @
@ M> 3 ).#* ,6
/)3*( '(44'B
H # + K * * *
* * ,5 ')';3.) '(4('' 6 !+ & ) ) F ' @
! = '((''. 6 !+ & ) ) F . @
! = '((4
'; >@ $ 6 ! % % + K '* * * * * 22 9(3*9 '(*B
'/ H !%
%& K> '* )* ,1 4;3*' '(*''9 6 !+ , &
>@ $ 78 &
) %>F $ '(*'') 6 !+ 6 N % C%
-
.B H $ %& * '* & % ';'3';;( !% '(4(
.' @: $2 H
% %& *
* * * * ,5 '.)'3)) '(4(
.. 5 % %
>@ $ 78 & ) %% );3*( %>F $ '(*'
.; $ & % %
>@ $ 78 & ) %>F $ '(*'
./ 6 !+ N % ! # 5@ " "J 78
'(*B.9 6 # K> $,H D
% ! # 5@ " "J 78
'(*B.) !H $ M> %% 2
* '* 2, ;)*3*' '()4
.4 -
* .* * * )* 56 /B(3;) '(9/
.* 5 , ! 5 , 2 & -
' 7 '/(39/ '()/.( 1 ' 20A 3! 6
: '(4';B $ 6, # - +
K >@ $ @# " 78 * 3*)*4, )* & & %% )9)34. # !& 6 '(44
;' %11 H !- %& '* * * * * 06 ''3.4 '(*)
;. @5 "
! 5 && = * * '#* * 10
);;39) '());; "! 012 5 :T 6 = E ,
%% , * * * * * 2, '3'' '(*);/ 6 % ;
+ %& ) 566A + 7" ' 899777*66*9 "5 & '(((
%
-
& 1% %
0. &%
!% ' % 1 %& % & & & # & +
% % !# = %%= L = M 7 %% 8 7 8 % %
;'
;. % &
!' ;; ! = %&
% % K $ % %& % % %% &
%& L # % % % % % % % =%
%& % % & # % 1 %
-
0 ) : %) - %
F % 2 & % % & % #
7 %8 1
% %
& & %& %
P %% %% 3 = & 012 *' . = L 1; , = %% &1/9
) *
# % K &
L K K)4 L K &
% % / 6
!B !'
!! /! ;/
% +> LK
/! !/! ;9 ! = % % !B !! # % % & K 7;.8
& K 7;98 % % % 1 %7 %3%
% = , ;'78 % # & K 7;/8 & 0%7 & % !B & % 3 & &
!B B!
;)
% ! % & L =%
8B !'
8! ! ;4
) : %) - %
-
%
! 9! ! ;* 9! % % 8B 8!
% 7 % 8 % % % & % & :# , ;'7&8 # 0 :# 3 &
8B B8
;(
8 1 # % , =% %
% =
8!B B8 !
!8B
B! 8
$ ;'B
& & %% =% :% K 7;)8 7;(8# & % %
& & & K P L K % & % %+ %H2 % & & %% =
# & % & % %
' ';'# ;''
(a) (b)
! 0. 4$
" 5+ & %
& 1% %
-
7%8 > ' K 7';48 % =%
';' '# ;'. % % %
% %3 % &
" ;'; " &1 6 2 & % & % & & & %
# % & L K K & & L K >
K &
. B !'
!/!
;'/
! % !B
! ' ;'9
% /! & &
/! '!
/! ;')
! % # % 0%7 7 = %8 L K & & +>
>> & !% '* F ' 7 '*.8 # + + % & , ' % %% 1 % >% % &A
' !
/!' '
' !
/! ' ;'4
'
F ' = %%
) : %) - %
-
# 6 + % > % & K 7;';8 7;'/8 7;'48 K 7;''8 7;'.8 & >% K >% #
-#'''
''
' ''
;'*
# % &
'''
' ''
''
"''# ;'(
% K 7;'48
''
''
''
. B !'
!
' !
$ ;.B
$ + K 7';48 & =%
-#' "''# . B !'
!
' !
$ ;.'
L %
&
B !'
!
' !
# % 7 28# +> L K 7;')8 & =
%+ # &
/! =% !
;..
6 L K & = 1 & 1 % % # = L K
=% > % K >
& =
& 1% %
-
# K =% =>
+ & 2 =% 2 7 B8 % &- %% B
% , K & % %% # &
.B ;.; + % * 6 % = , ;. # % L %% &
K %+
.
;./
& 2 =
K & %2 2 = & =
B !'
! =% !
;.9
! K 7;'98
! # % % # & %
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
05 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
log time t
Rel
axat
ion
func
tion
G (
t)/G
0
! 0
) : %) - %
-
% = % ' K % % O &
2 = % & % % % % 2 =
& K ' Q + , ;;78R# % > 6> 1
B ' =%' ;.) B ' ' , & > & & , ;;7&8 &
B'9 B*9 =%# !
& 7 & 'B 8& K 7;.)8 K 7;./8
.
B ' =% '
;.4
& % =%
.B .'
=% '
. B ' /' ;.* /' K 7;..8 # L K =
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
05 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
log time t
Rel
axat
ion
func
tion
G (
t)/G
0
(a) (b)
! 00 4 " &
& 1% %
-
%% & + 2 6 2 & %% &K #
' % & %+ &
'
B
BB
B
'
;.(
& &
2 # + > 2
-% B 2 &K # % %%
K 7;.48 ;
/'' =%'/' /' ;;B
/' '
=%' '
;;'
/'B B
# & %%= & &
/''
'
'
=%' ' ' ;;.
# & % ;
/''
'
' =%' ' '' ' ;;;
# %%= 2 %O B # % =% &
'' '
'
.
'
';
'
. '/
'
; ;;/
7 % %8 " % K 7;;;8 # & & %
% & %6 %%= K 7;;.8 K 7;;'8
'. & * &
2 + % % 2 % % % & # + L %%= L K % %% '
& K 7;;;8
) : %) - %
-
K %
' . B ' ' /'' ;;9# % & = L % =
% ;
# % & % % K % 6 % %
''
''
$ ;;)
# % % K 7;;98
. B $ '
/'
;;4
K 7;;;8 &
/''
' ''$ ;;*
# &
''
. B '''$ ;;(
6 + & &
B ''' ;/B 2 K& B
7 % 0 8# /
!'
!% /! 7K8 % %&
" #$ # % %% % & %% %& % 1> # &% & % 3 %% A 'BBBO
-
%& & 7 L + B/(*8 # % %% % 'B % .B & & % =
& !% ' M 7M/8
7M(8 K , ;/ # = %& > & & & %> % % %>& =
% %> & %& L = # & K % .B , ;9 % %
=% K %
(a) (b)
! 04 5 #+ " -& -
10
5
0
5
10
15
20
25
Rad
ial s
tres
s (
)
4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5r-coordinate
(a)
Q4/1 - MixedQ9/3 - MixedExact
10
5
0
5
10
15
20
25
Rad
ial s
tres
s (
)
4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5r-coordinate
(b)
Q4/1 - DisplQ9/3 - DisplExact
! 06 #+ " &
) : %) - %
-
O
L = 7 F '8 P > & # %% = %
. +
# & %>&>% && % % 36 >% & & %
& $# ('B
= & %% & 5''
, &- + %& + & & %%& # %% % % &- % >CK< & %& > '.
# %& % % % ;; > %
&
00 1- -) %)
! C%< & 2 & >K 3% % & % K & % % + % % & = & , ;)78 >% # =& L % % L % > '. Q K 7';)8R
K % %& > 5%>
> & + %% %= !% 'B % &
# 7 8 = , & 7 >8 % , ;)7&8 6 + 9 % % 7
& 1% %
-
% 8 Q, ;)78R 1 % & %';'/
= = % & 2 % % = % =C< % % # & & & >% # A
#
#
#
#
;/'
. # & > =>%
& &
# ;/.
Loading
Unloading
Non-linearelastic
Plastic
Loading
Unloading
(a) (b)
(c)
p y = y (p)
y = constant
! 07 6 " & &
1- -) %)
-
# '.
. B B B B B B B B
B . B B B B B B B
B B . B B B B B B
B B B ' ' B B B B
B B B B B ' ' B B
B B B B B B B ' '
6 + 1 % & C< % % =%
= % C< K # % +=% K& &
%% A
#$ # $B $B '
.
...'''
;/;
7 '.. F '8
3
K % =%
+
$ B ;//
Yieldsurface
Elasticbehaviour
dp dp2
dp1
2 (2)
1 (1)
F (1, 2, )
! 08 7 +
& 1% %
-
= % %" % %'; % % & % % & + # & 2 > %
% 2 % % 7, ;48
4% 5 6
F + & & + % '9 %%% & & 1 +').; %
% %% & % O %
% % %
& &
% $ ;/9
$
$
;/)
& %% C% < % %
$ B B ;/4 N B $ B 3#1 '/
$ B ;/*# & 1 %% & 7;/98 &% K % % & % 5 & & & % % ;7
;/( + % K 7;/98O
% B ;9B % K 7;/98
% $ % % %> & % % >% 76
L & C< L C
-
# % $ 1 #
+ % # & 7 & % &> $8# %
7 % K
> %% & =
K # %
> 1 K & =
&
7+8+
# % & K + 7 8 % & # 0 %1 % % 1 %
# % # % ;9' & = % # %
% #
;9.
% + * %% 7 % '/8
%
%# % '. #'. ;9;6 K = , =% % &
B B B %
% 6 % % 1 & ./
+ & 0.9 % & C&1 <
;9/
$ $ B ;99
& 1% %
-
% & %% L & &
$ $ $ ;9)
6 % %
=% % 6 K & %+ & - 1
& % & % # &
;94 % 6 K & =%
;9* & %& & =% + # % & $ # # K
$ & + & % % % & & % ';'/.).4 6 K % &%
'. #: ;9( : & & % & %
:
: ;)B
7;9/8 %+ K 7;9)8
: ;)' &K K & % , '/ .*6 %% 1 & 6
,1.( % &
: & ;).6%% %% % & !&;B;' % % %% 2 % ;.;; & 6 #;/
%% & %% % & '(.';9;4 6 % % 2 +
1- -) %)
-
& & & % % % L % & & & & &
%% & # %% & C< ;*;( & & C&< # %& +
% % P> > +
2 % & ;)
9
# % & & % %
% ;);, & & ( ( = ! L K 7;);8 % % 7;9B8 &
!' ;)/
# % 78 C<
! ;)9
% >
% & % > , ;) # & L& % % % % % &
K 7;//8 L
$ $
$
$
$
$
B
$ $# $# B ;))
1 &
$
$ ;)4
%
& 1% %
-
, 1 K 7;9/8 & K 7;)'8 K 7;)/8
! !: ;)* K 7;9)8 K 7;))8 &
$ $# B ;)(K 7;)*8 7;)(8 &
=
!
B
" #
$ !:$#
$ %;4B
# & 71 % & : 2 %8 # % + K 7;4B8
! !: & =%
$#! $# !: BK 7;)/8 =% =% % K 7;/;8 & =>% % % =%
!% ;4'
!% #!'
#!$
# !
! '
#!$#!
;4.
$# !: # >% = !% 1 % = !# & 1 %& 1 =>% % &>
&1 % % & L 1 # % % % >% 7 % >% 8 1 + K 7;4.8
% & '. % + ! = = % %
1- -) %)
-
, 2 & % % C< 1
'4 % '/
6 % = % & = 3!& > % & %% # >% = %
1 > % & P % L P & # ;'' ;'.# >% = & + %
: 2 +
= %%= &
' ' ' ' + & ? */B 012 */' %% K 35% , % = 7 8 %K 35%
04 - % %
%2 % % % %
' ;4;% % %
B ;4/
% % # % & % % % 7%>% 8 L % N & & & 7 & % % >% = & K 7;4.8
&
' B
!% ;49
& 1% %
-
% !% % &
% 7
8 K
& & %
PF % K 7;498 & % &
+ =% %
:! $
=% % % 53
% %/. 1 & ! K 7;498 % & >
'
!
!'B
!!
;4)
! ! = % % % % # % /; &
// /9 1
& & ! P
& % %
& %& % %% 7 %8 & % K &
/9/) % L K > & 6 % =% % % & 53
+ . %% >% =%
&
'. '. ! ;44
>% = # 7 %'.8 % !
'. +
!'. ;4*
# % >
.'. ;4(
= 2 & # %% % > C< % 7 ;)8
- % %
-
$
# K 7;498 &
% , % K 7;498
' ' ! !'' ;*B ! = &
% !' = %# > K & & % %
&O = K %=
%%= K 7;*B8 ,
%
&
'()/ % & 1/4 & 1/* # >% % %
% =%
K =% >% =O &
% /(9B #% A
' % % 7 %
%8
' % 7 & %% #58 & 6
#5' ! ' % ;*' ! K
. %% % A
$#5 B
B %
$;*.
78 , $
' #5' ' ' 7&8 , % 2 % K 7
%%% & !% '* F '8 + $' 2
6 % & % & K 7;)/8
! % ;*;
& 1% %
-
% 7;9B8 K 7;*B8
% ' ' ;*/
% %%= %
& K 7;)B8
: ' ' ;*9
, %
$' B ;*)
+ ' =# & % % % ' 7&1 L
%8 % & >
!' ' :' ' $'
1 + + B 6 & !% . & % 35% % %+ 7 + 8 2
!' :
'
$# $#
'
;*4
% & K 7;)48 %= & % K 7;*48 &
% 7 =% %K 35% 8 6 & K % '/.*/(9'
6%%= 6 % % K $' QK 7;*48R
% % # & !% %, % %
B ;**
- % %
-
# % & % &> K 7;4.8 # & & + A
$ $
$
; !' +
+ :'
;*(
=% K 7;*48
;' '%
;' $#;' ;(B
% $#;' ;(' & + B & 2 6 % % ' + = & &1 + Q K 7'./8 7'//8R K>& % &
% %
K 7;*48 >2 &
2 &K # K 7;(B8 %
K = !%
" # ;' '
%;'$#;'
+
" #
!%
+
" #;(.
# + = !% & %% &1 K7;(.8 % = % %> !% K 7;4.8 6 & =>% K 7;/.8 1 & A
' , > % 7 $8
= 7 & $ > &8 %
. , % %% K = & %
; ! + K K % % % &K
& 1% %
-
$ = & % = % &
06 &%- -)
% % %>% & D , % % & =% & + % & &1 % 7 ;.8 6 ' % =
' '' ' "''' .$ '; ''#' ! ' %'
;(; = % %
! "''# .$ '; ''# ;(/ $ ( ( = ' >% =
' ' ' ' B B B B B B # K 7;/.8 7;/;8 &
! "''# .$B '; ''# ;(9# & % 1
% # & + K %
% & % &
(
# % %
%%& % , % & % A
(' '#.'. # . ;();';
& + %
6%%= 6 %
&%- -)
-
" &/;
;! ('
&&&&&'.
';(4
; ' ;&&&;
'';;
.
)
)
+ & A
' #A
$ . # B ;(*. &3 A
$ &&&.
&&&.
;
(#
&&&.
;
(# B ;((
$ ' . + % , C< 3!& 13 K 9.
; 3!&A
$ !
'&&&;
B ;'BB
% % % %
/ 13A
$ ;! " B ;'B'
.
&&&;
;
" ) &&&;
;
% %
# + $ % D % #
$ $!!
$
$
;'B.
%
'.
'.
'.
&&&&&'.
'.
'.
'.
';
';
; '(';
';
')'.
'.
;'B;
& 1% %
-
6 A
$ $!!
$'.'.
$';';
;'B/
& % = 6%%= 6# %
#& ;' # & % %% % , ;*
& & % % 78 %&9;99
( ' %$ $+59&
6
6 #& ;' % % '. % & & % K 1 6 3
. . % ;'B9
1,
? $!&&&&&'.
$'. '.$';
# B . ' ;&&&;
;
&3 B&&&;
B
3!&
'
.
' ; '&&&
;
;
&&&;
. ;
13 ; ' B
3
2
3c cot
DruckerPrager > 0
Von Mises = 0
1 = 2 = 3
1
(a)
3c cot
3
2
1 = 2 = 3
Tresca = 0
MohrCoulomb > 0
1
(b)
! 09 8 " 1#$/ 5& 5$(
&%- -)
-
(
$ % + %K % # %
% $
$ ;'B)
L % 1 &3 & =%
$ &&.;
)# B ;'B4
&1 1 % % % &
# #B ;'B* % % & K 7;9;8
&&.;
) ;'B(
&&&&&&&&.;
' = & &
K 7;'B*8" L $ &
$
$
;''B
& % &
% ;''' & >>
. ;''.6 1 1
.; ;'';# &
$ # .; ;''/ & K =% % % 7 >% # '8
# ;''9
& %%= & % 1 % K
& 1% %
-
'; ;'')& K 7;''98 K 7;''.8 K 7;/.8 =>% 3
. $B .
#
;''4
% % B . ' 3% % & K 7;''48 K 7;(;8 + 3
%
!% "''# . $B '
;''# .
#
;''*
# & >1 35 3 >2 % 1
# % K & & &1 7%8 L & % 7 ;/.8 "
&% ' K % K & K7;'B)8 7;''B8
% % ;''( 7L8 %
&&.;
) ;'.B
# K
. % ;'.'
1
.; ;'..
$ &&.;
)# .; ;'.;
# #B &&&&&&&&.;
'
# & % & &
#5 . % ;'./ % % + &
#5 . ;'.9
&%- -)
-
+ & 1
#5 #5 . .;
;'.)
#5 ;'.4 % '/;/
#5
&&&&&&&&.;
'#
.;'.*
& K 7;'')8 & =
'. , K 7;'.'8 7;''(8 & =%
. ;'.(# 7;'.48 '/
#5 . $ #
;';B
K 7;'.*8
# ;';'
& K 7;'.(8 =
. ' .#5
$
.#5
#
;';.
# & =% & =>%
!% "''# . '.
#5
$B
.#5
#
;';;
B % & &
( '
# % % & %% %& % = > & % = %& % 2 , %& % P % % % &
& 1% %
-
% + % # & =% %
';
. ' B B' . B B' ' B BB B ; B
B B B ;
;';/
# &3 &
$ ## '. &&.;) #B ;';9
=% K 7;';98 %
$ . . '9. . '.#B ;';)
;';4+ & 1 &1 & % & L
% $
.
. ' B B' . B BB B ; B
B B B ;
; ;';*
; # &1 1 &
'
; ;';(
# % % & % 6 % % &
! % ;'/B % &
! ' .
' B B
' B B
B B ' BB B B '
;'/'
-
'. % & 2OK % %
&
% % % ;'/.# & & &
;'/;
% 1 # %
% %% 6 % 2 % % % '/ 9B # % & 1 1 %
07 ,% -) : 1'
& 2 & & % %
% & & " % & ;; 6 %
, *
# %% = % &
! ;'// = ! % % & %% 7 8 7 89) 6 & % % % ! 3 % % C< & % 7 % % 8 , ;( & % & %- # #
# B
B
";'/9
# B "
K
"!: !
;'/)
!: ! % & &
& 1% %
-
# %+ !: ! &
% K # K
!:' !' # B ;'/46
!:' !' '
::
# !' !' '
# ;'/*
! = : & : %%% % % # !: !
& & &
: B & & % ;;/ &
)44- 94 A
!: !'
:!:
#! : : #!: ;'/(
# & K 7;4.8 !:' & : 2 % % % " % & !# % % 0 &
V 2 0129*9( A
' & %+ & %% % %O
. = % & O; % % =% %= = 1 %
, & 2 % % & %= & )B)/ %
2
1
n
(unload)
(load)
.
.
! 0; 9
,% -) : 1'
-
% K 1 % & 2 % & )9
! % % 2 & +
'$ #$'.$ ;'9B
% % & +
'
#'. ;'9'
& = + = &> K 7;'/(8
K 7;4.8 % 2 % P# 2 % % %% >
%= % & )))4 %% & , ;'B %= % % & %+
+ %% % & 1 &
100
50
0
50
100Dev
iato
ric s
tres
s (k
Pa)
0 50 100 150 200 250Mean effective pressure p' (kPa)
Computational model
100
50
0
50
100Dev
iato
ric s
tres
s (k
Pa)
10Axial strain (%)
8 6 4 2 0 2
100
50
0
50
100Dev
iato
ric s
tres
s (k
Pa)
0 50 100 150 200 250Mean effective pressure p' (kPa)
100
50
0
50
100Dev
iato
ric s
tres
s (k
Pa)
10Axial strain (%)
Experimental
8 6 4 2 0 2
! 0.< : ; + 6 ++ 0 !. 0 ? @
& 1% %
-
K 7;)98 %
# B
B
";'9.
# & % +
, ;* ' +
6 + >% %%
% %
# %% % =% 6 % % %%& '. & :&;.;; %% + =%
)$ $ B ;'9; )$ &
)$ $ $ ;'9/
% % % & % %% % " 2 & % >%
% + %% 6 % % & 6 #;/ # %% % > 1 K 7;).8 7 $ 8 > 1 L % " 2 % = % 2 %
& > %
& L
08 5- - -
# + 2 K % %& % % % %& 6 & %& % O % = > %& % %>& ,
%& =
5- - -
-
% & # = % % % &3
D % 6 = %% % & %& 7 8 % " %
& &)(4B
, 1 %& % %&
% = K& + & !% '' '. F ' & 4'4; & %% =
0 9
, ;'' + % K =% %
(a) (b)
(c) (d)
! 0.. / " )??;)!!; )A?; ).*; )=; )=.; ) > & & B* -& B=-
& 1% %
-
& & % # %& =% & # 14/ + + & 49 012 /' 7 9 8 # % =
1 %& 4/ 4BBB 1N. ..9 1N. ./; 1N. % =% # %1 & # % %& % 2 & & K
0 9
# %& & & % % =% & 2 % & #
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
E (y/y)
mea
n/ y
T3 MisesExperimental
! 0. / " ? #C
5- - -
-
+ 1 % , ;'; % = % , ;';78 % #; M/ M( #; M/ % % # M(
% 1 7 %& M(% 1W8 , ;';7&8 % M/N' M(N; = & %
2500
2000
1500
1000
500
00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Step number
Axi
al lo
ad
T3 DisplQ4 DisplQ9 Displ
(a)
2500
2000
1500
1000
500
00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Step number
Axi
al lo
ad
Q4/1 MixedQ9/3 Mixed
(b)
! 0.0 9 " &
& 1% %
-
0 . *
# + =% & &
H4) & % %% &- ,
%& & & & K% & & 79;8 % K
& & L Q, ;'/78R %& & % % % C%< % 7 &
8 & % %> 6 % D , ;'/7&8 &-
09 % %- -%/
# % C%< & >% & & ;. % % > # % % # % & +
%
;'99
&
;'9)
!' ;'94 78 78 6 % ;. > %% & % % &
%%= K %
' ! ' ' '
;'9*
' '
% %- -%/
-
1000
900
1080
E D
900
60
Weldregion
1000
1080
0.545C
B
A
Contours for plastic zoneat different pressures (lb/in2)
E = 29120000 lb/in2
= 0.3y = 40540 lb/in2
No strain hardening
760
(a)
1.60 in
19.3
0in
0.125 in
2.8125 in
0.25 in
8.687 in
Pressure P
EA
B
0
1400
1200
1000
800
600
400
200
010 20 30 40 50
Vertical deflection of point A (x 103 in)
Pre
ssur
ep
(lb/in
2 )
Experimental results Dinno and Gill76
Finite element analysis
(b)
CD
! 0.4 4 " &
-
" % > K
' ' !'' + ;'9(# K & 35%
% ' & + % N &
' + !' '' ;')B
'
****
****'
;')'
K 2 & ' =
!' !' ' ' ;').
& % +
K& K # %
% & & * % % 7&1 L8 %>
O % %& % % %%
2 4 !
) * " < K 7;')'8 7;').8
' + !' ! ;');# K 7;'9(8 &
' !' ;')/ & K 7''(8 !% ' 2 K&K L =# K % = % % & %% + 444( & + % " % % , % & & & #
;')9 &
7 !% '* F '8
% %- -%/
-
6 C &< % K L % % = *B
# '.
'. # '. ;'))
+
" L + =% % = K
2 & % 1
'
****
;')4
# K + 35% %
!' !' ' '
# % =% % =% % + = & %, & > % =% %+ % & &
% % '. % & ! #*' & 012 >1*.*;
% %%& ;; % =
0; -) : !%
= "
# % % & % ;; %&& + = & & %% 6 % >% & = & , ;'978 % 2 &
% B B B % B6 >% &
, ;'97&8 % % % % = 2# % 7 %8 & =%
% + , ;')*
& 1% %
-
&
+ , B B
+ , B ;')(
# %>% & % %6 % %
% > = & >
$ + K 7;//8 2 C%< D # % & K 7;//8
$ B ;'4B K 7;/98 + % K 7;'498 %
$ B $ B
$ $ B
";'4'
C< % " D & 1 % $ , & ;;' & ;;; & + %%% D , % $ $! ! %% + % L K 7;'4B8*/
# % % &$ '(..*9 *) **# % % % & ;/ %% > 7=%8 *((; # & K %% & % & !(/ 6 % & & % D 7$ 8 > K & % =%
> = # % + 35% 7 8 K P & & = %
(a)
p
(b)
p
(c)
p
np0
e
p 0 = y
(at yield)
p 0 y
(at yield)
! 0.6 & &
-) : !%
-
= *
# % % % =% K 7;'4B8 K 7;//8 # % % # 2 =%
7;'498 # &
!'
$#
'
'
$ %
$ %;'4.
K 7;'4'8 &
$ '
;'4;
$
K % Q K 7;*48R L %%
' 6 & & &
& =% % = %
# & &
+ & L & % # % & 2 %
, ;'978
' . ;'4( P , ;'978 % 2 C%< % D + % K & #
> %'4(9
# :** %% + % >% % " & % L # '/ .* %%
= 1
% K 7;((8 % &
%
;'49
& 1% %
-
=%
+ , ;'4)
2 &
% ! ;'44 & >1 3& % % % % 7 % %8 ,
%2 ()(4
6 =% & *; %> , ;') & % K % %(;
! 0.7 ( " & >
-) : !%
-
= . $
6 % % % L
% %& L & # %& & (; (*
%& % > & (( # &- & % & , = %% &-'BB'B'
Prescribedload q
D=
1
B = 1
Stiff platen
(a)
Material propertiesc = 10 kN/m2
= 45E = 2 x 105 kN/m2
= 0.25
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
App
lied
pres
sure
q (
kN/m
2 )
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0Displacement (m x 104)
= 45, = 3.52 = 30, = 3.35 = 15, = 3.11 = 00, = 2.77
Smooth platen(associated and non-associated)
=q
c N
N = 1 + sin 1 sin
Associated ( = = 45) Non-associated ( =0, = 45)
(b)
(c)
! 0.8 6; + " & &
-
" % C< C>< & =% , ;'4 = % L L % *) 3!& & & L % % % % # , ;* B %% 6 & % %%& L % D %
=, ;'* &1 %
K L D %
% % L &
D
1 2 3 4
4
5
3 2
10
20
2030
(b)
(a)
1 23
1234
1020
3040
5
! 0.9 # ;
-
# > % & &
>K # K % K % 0 %
0.< - -%/ /% %
& - 1 =% 3
&
P % 2 # 7+35%8 % >% ='B. # % & & % & & # C< & & %%=
& 1 + %% % & 1
, ;'(78 7&8 %% % %&'B. , ;'(78 % C1 &< %> %% % #2 = , ;'(7&8 %& &
2 C1<
& 6 % & + =& = % 2 7 +8 & F%% 'B; & & H =% > & 7 % % %8 & & # & & & *'B/ , ;.B % 1 & 1 %
% & % % 1 1> 5 'B9 'B) & %% &-# &- % & %
%& + % & 'B4 ''B % +
& 1% %
-
! 0.; 6 + " & DE
- -%/ /% %
-
6 2 & & %
& %
% 3 % = &
# 2 & 1 %
- & %%& , ;.' > >
= % !& -
B B B
;'4*
% & & >P %%& & = % &
& # %% %
C
C
B
B
A
A
CL68 in
P
(a) Mesh used Cracking at maximum load2 in2 steel reinforcement
12in
10in
02400 01200 0150
Uncracked section
ElasticElastic
Compression Tension
(b) (c) (d)
x (lb/in2)
! 0< (# )) C 1 )> 5 & ::& 33& ((
& 1% %
-
= > %& %
> % 6 % +
= 1 % 2 %% % & 1O = & K 7;'4*8 %% % % K
% & %& 7;'4*8 + % 7$8 #
y' x '
y
x
y' x'
t
A
B
1
4
2
3
(a)
(b)
! 0. D9E " & + ,
- -%/ /% %
-
% % % 78 + D
& K 7;'4*8 % % >
% 7 % +8 > % 7 %8 K > & " %& % % & + - &
# & - 1 2 & %+ & % * Q, ;.'7&8R 1 # % % 7'3/8 - 1 '''''. -
& % & K 1 %=% % & % : & + 3 >
% % # = 1 % LO''; & % >1 %& = & & & ''/
0.. #12 1-
%
% % %= > & = % %% ! &- % %O % % % %& , L & %% =% +" & % % L %& & % %%& %% %+ & & & > %&A
' >K O. & O; &
+ >K % %& % =%
>K & >% %A
' = 7 %8 K +O
& 1% %
-
. '*''9'') 7 ;(/8O
; % 2''4''*
# + %& & & 7 %8 6 % + 3!& 7 #8 =% QK 7;'BB8R &9;
$ !
;'4(
."' " ' " ;
" ;
;
, ;.. 3!& % 7 !8 & % & & ''( 6 % K '/.*
3030
3 2
1
! 0 5$( ; + ? &
- > .>
#12 1- %
-
%& >K & >K & &
% & % &
;( % 1 0 & & > & %& &- > K> , % K & 2 7 &8 & &
0 % 7 %8 %'')'.*
# >K & % % =% , ;.; & & ) &- = # = 7%8
h
L
u
y
(a)
= u/L(b)
h/L = 1
h/L = 0.5
h/L = 0.25h/L = 0.12
h/L 0
y
y/E y/EhL
EH
1
unloading andreloading
! 00 0-" + /# ; 4 &
& 1% %
-
# 3 Q, 7;.;78R
;'*B
;'*', % % & " %&
%% & & % & , ;.;7&8 7)& '8 K %& =
7%&& + % >L 8 % #
&
& )
&;'*.
) B ! %& & & =% K +
%& 7 2 8, & % C =%< % %&%= % & %+
# P
' # & % 2 7)8 & 7 # 8 ! %& %
. 2 & & ) & %&
& %& %&
P > % =& > L & 7 '.(8# % P & = &
>% % 0 '(4/(; & $ >';B
P %%# %& & %&
# + % P % & L % # % %% & %% % 2 & & $2
>1'./'.9 " ';B ';'# %% &
& % P + & " 6 '((;';. = %&';;';)
$ %% % % &
& 1
#12 1- %
-
%% 2 >
% & %% % & %
& & %6 % > %% , ;./
= % %%= =% % C< & %% & & 1'./'.9
# & > & 1 7 8=% & ) # 1 K
'
. )
'
..)
'.+ ;'*;
h
u1 u2
1
1 2
(a)
u1 u2
1 2h
Localizedfailure
u = y/H
EHEH
1
Work dissipated in failureper unit volume
y
(b)
(c)
! 04 8
+# " + & & $ ++#
& 1% %
-
1 & K
) ;'*/
K %% % + %6 %%
$2 >1'./'.9 % %
K 7;'*;8 + %
% %+ K 7;'*;8 = L % & %
0. =-' %3 >-1?-%
# % 2 % % P & % &2 % & & & & % % %
7 !% 'B8 C&
%< & % & % % 1 %
' O. % + 7K8 % > 2
# 2 & % % >% % # % P %
% % + '.. ';B ';43'/; %
%
;* +
!% '/ '9 F ' % % ) + % % & & %% >% " % #
=-' %3 >-1? -%
-
% & P '// '/9 5 5 7 !% '/ F '8
, ;.9 % % F '
4 cm
2 cm
A
P
P
8 cm
E =
=
y =
100000 kg/cm2
0.3
1000 kg/cm2
(Von Mises criterion)
(a)
Fine mesh
! 06 : '
" ' DE& ' ?F ; ; - !C>3C>1 + &
& 1% %
-
& & + % % 2 #)N;$N; = % %& & % % % 6 %& F '
% 1% 9X +
; + ?
=% % +
%+ % % % K & % & % % + >% D 1 % %% & + % F ; % & % % &
1
% =& + &
7)8 % 7)=8 %
, ;.) , K & # & K % %& & &%
+ # '. ;'*9
1200
1000
800
600
400
200
00 0.01 0.02 0.03 0.04
Displacement
Rea
ctio
nExact
Adaptive
(c)
! 06 (
=-' %3 >-1? -%
-
# + % &
% K % - K
)..+
.'
*****=
).=.+
..
*****
;'*)
$ += & K %%=> )=) + P = # % '/) '/4 & %6 &> % +
+ & 1
)+
' ;'*4
, % +> +6 % 2 & K 7;'*)8 , ;.4 #
=% 1 ';* % % D > L + & D 7 % D8 K
F ;
hmax
hmin
Contour of Principaldependent variable
Direction ofprincipalvariation
Elongatedelements
! 07
& 1% %
-
= =% % & + ,;.* #)N;!
7 K % %8 $ % + = %, % 9BBB %% &
% & %
(a)
(b)
(c)
! 08 :
-
Rigid andrough footing
10m
10 m
uy = 0 tx = 0
F
u x =
0ty
= 0
t x =
0ty
= 0
B = 5 m
(a) (b)
(c) (d)
2.50
2.25
2.20
1.75
1.50
FB
Cu
2 4 6 8
theoretical limitingF
BCuload = 2.0 [31]
mesh 6 (adaptive mesh)6C/3C, H = 0.0mesh 3 (coarse bad mesh)6C/3C, H = 0.0
EBCu(e)
2.50
2.25
2.20
1.75
1.50
FB
Cu
2 3 4 5 6
coarse meshadaptive mesh H = 5000adaptive mesh H = 5000*H = 0
EBCu(f)
H = 0
! 09 8 5 - +
!(C>( G & & ' & & $
)& ( + ?))) ?)))
& 1% %
-
2
;'' Q K 7;'*/8R ,;.( ;;B % & % &1 D 6
= % %% % +
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Displacement
P
coarse meshfine meshadaptive
adaptive and optimal
! 0; : ?F ?F + - !C>3 5 :" )) 5 3" ))? 5 (" ) ? 5 1" )> 5 " )*? 5 " )! 5 G" )A?5 H" )= 5 ; D E ' ; + '
=-' %3 >-1? -%
-
(b)
(c)
(a)
F
Rigid andrough footing
B = 4 m0.4 m
20 m
10m
uy = 0 tx = 0
u x =
0ty
= 0
u x =
0ty
= 0
! 00< & 5 G & & !(C 1 ); )*=
& 1% %
-
0.0 #1% 21% 3 -%/
> %& & &
K & % %%& 1 %& & K> +K !% '
/ ;'**
7 + './8
: ;'*(
:
: & ;'(B
> %& & & O K = K % ../Q K 7..)8R # & K 7;'**8 >O % & '/* % %& K 7;'**8 % &
, &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
)
,
;'('
:# :
: ; ;'(.
; #
& ;'(;
% 1 % D %& %
& D '/('9B +'9''9/ % & + %& D D % '99 , ;;' '9' % > +
#1% 21% 3 -%/
-
%& & K
> Q!% 'K 7'9/8R# % %& % % =%
% % & %& % >= > '9)
#1 ' =% = % , ;;. , 35% & + 7 8 = =O& % + , & 7 %& > % % %& >
%
! 00. 5 ' + + ?
& 1% %
-
C x
y
= 0
1
2
(a)
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
00 0.2 0.6 1.0
C
entr
e 0 crit
= 1
.23
y
xLower solution
y
xUpper solution
= 0.06
= 0
= 0
= 0.5
= 0.41
= 0.36
= 0.18
= 0.17 = 0.24 = 0.30
= 1.0 = 1.5
= 2.0 = 2.5
= 3.41
= 3.0
(b)
! 00 : & ?! 4 (& + )A?
#1% 21% 3 -%/
-
%
' "! 012 6 > * * * )* ,+ *B43.4 '()*
. @: , : $1 5 $ @
1 @ 21 1 78 * '* % ) F 6,,:>#5>)*>'9B % /*(39') 6 , ,
:&
6 , $ " "& '()*
; 5: # H: H # * * * * * 2 /934( '(4B
/ "! 012 & ) . H> : '(4'
9 "! 012 5: # & F . / H> : '(('
) $ H )
I !
'(9;4 5 ! A 6 ?1'(4'
* :5
, 6 % ?1 '(*.
.. ! 1 ! % % %* * .#* 5, '9'3)4 '(**
.; H! 1 "! 012 >% H2 * * * * * 0 '';3;9 '(4.
./ 6 1> %
* * * 21 /(;3() '(9).9 0 6 +
-
.) @ !& K % %% 2 % 02 ..93;4 '(*/
.* @! #% % H !
@: : 78+ " F %% '*;3/(( 6 '(((
.( @ 6 !" ,1 6 % >=
$ L # 5% 5N$N4;' !H$ $1 :&>
5I % '()9
;B @: !& ! K % >% *
* 0 ./43;B. '(*(
;' @: !& " + 1 % % L * * 7 ))'34* '(('
;. @: :& 6 % 2 % )
) 23 4)( '((';; @: :& 6 2 % )
) 1+ ;'4'3*/ '((;
;/ , 6 5: # # %A 1> 2 % * * ,, )93(* '((9
;9 @, $ 6 % % %
* * * 20 9.(3;) '(9*;) 0 V 2 6
% & &
1 * 7 '(( '()(;4 "! 012 !# ! $U U K1 %
% * >@ * '* / ( %%'B;;3/4 '(4(
;* "! 012 H! 1 5@ " !% C"<
>% 6 21 78 & %% 'B43.. L '(4.
;( 5@ " 6 1 "! 012 , >
% & ' ) 5 '.9'3)4'(4/
/B ? ? ? # 1 3 = %% >% %& & + * * * )*
,+ ;/;39/ '()*/' "! 012 F%% >%
%& + %% * * * * * , 493'BB '()(
/. ,$ & . & '(*4/; H! 1 "! 012 C% L
%& * * * * * 5 94(3*. '(4.
// H! 1 / ( & % ! '(4'
/9 5@ " & 6 ?1
'(44/) 5 6
% % * * * ) 66 9'B3'9 '(44/4 H 1 # $ 6 78 '
F ; %% '*'3.'B 6 ?1 '()//* : 1 ! 3% D $ 6 78 '
F ; %% .''3); 6 ?1 '()/
%
-
/( @! 5: # ! % >% >% '* * * * * 53 'B'3'* '(*9
9B @! 5: # 6 %% % %* * * * * 22 )/(34B '(*)
9' ,6 !22 )
# I , ! '((49. ! 1 % ?* *
* * ,+ '943)9 '(9.
9; "! 012 H % 1 H H 78 & , %% '4'3(B@ ! = '(44
9/ "! 012 F6 @ %
% %& * * '* & ) ) F . #% # '(44
99 "! 012 F6 :6
1 @ 5 : 6 +%% %& L "! 0125 : H 78 21 %
'. @ ! = '(4*9) , 6 %%
2 ! 5 H 78
%% '4(3() @ ! = '(*/94 H H& !, F :% ' ; # @ %1
$ '(()9* 0 V 2 "! 012 K
%% /'939B @ != '(*/
9( "! 012 0 V 2 H2 % %%
%% )993*B @ !> = '(*/
)B "! 012 : %
K1 A 3 & %%
, 6 /9;34) '(*9
)' "! 012 : % K1 A 3 >
, 6 /443(* '(*9). "! 012 M 5: # 12 # % = >
* * * * * 21 '*4;3*; '(*)
); "! 012 6 2 % H , F % 78 * * )* , %% ';'39B @1 '(*) H
)/ "! 012 H2 % & , ,5 '9'3(B '((B
)9 ? % 6 %=
2, '4;3(. '(49)) "! 012 6 ! ! #
& A %% K . ) / 526 .*93;B( '((B
)4 "! 012 ? G $6 D 6 : $U U & A %% K . ) / 526 ;''3.' '((B
& 1% %
-
)* # #1 ? = % ) & ,5);34) '(4/
)( @! 1 @5 5 " + % '* * * * * 5 '9;344 '(4/
4B 5 1 @5 5 , %&
3% * * ) )* ,, )B'3') '(494' , 5&1 :6 6 % >
3 ''B93'. '(4B
4. 5 H 6 D=& + >% * > ). '* F ) $ '(4'
4; @6 1 5 % N > ,, .(.3(
'(4;4/ # 1 3% % %
> * * * ) ,2 ;443(B '()/
49 F 3% > &
+ * * * )* 6 '/;399 '()4
4)
H 6 =% % & D
22 % % * * * )* 7 *'4 '()944 6 & 6 %% %
% %& * ) * * 3, *93(* '(9(
4* "! 012 ? ! & ) H> : '()4
4( H6 H& , 5& !% = & + * * (* 7 ;4(3(4 '()*
*B F % =% % '(4.
*' 6 ! 5 # , % % >
% % %% ' ) 1*/(3); '(4;
*. "! 012 F>% % % >% D 7%&
8 ' #!" : /)' %>F $ '(49
*; $ 5@ " "! 012 # >% %% %& % % > L * * *
* * ,2 ')(3*' '(4**/ #@5 5: # & K> N
>% + ' ) 3 ')(34; '(4*
*9 ! $ & %% .'93'* H> ?1 '(..*) 2 , %& % # 6
./;3;44 '())
*4 2 # % # F '' 6 ?1 '(4'
** H @>: : $ %>F $
'(4)*( "! 012 ! ! F>% & + %
* * 25 *4;3** '(4.(B @ 01 HV V V % % %V * *
* ) 2+ '4(3(9 '(4.(' M6 @ 01 MK V V K %V
K >%V ) $ 5 57 /B43;) '(4;
%
-
(. "! 012 ! ! F>% %A + > * '$ '*
)* * %% '4'3(( 56 '(4;(; "! 012 ! ! F>% % %
3 + %% * * * * * 3 *.'3/9 '(4/
(/ ! ! & K> >>% * * ** * 6 'B(3.* '(49
(9 # H 3% 5
78 ) F ) %% ')43..' > 6'()B
() ,6 :1 @$ & & % *) * * * 15 /''3'4 '()4
(4 ,
5 ' H> ?1'(9(
(* "! 012 6 ! ! $6 D ' ,
A - ) . $" @ != '(((
(( "! 012 ! % 5 : 6 > >
% % ,$ 20 )4'3*( '(49'BB H "! 012 78 ) 4 ' /
@ ! = '(*.
'B' ! 5 H 78 @ ! = '(*/
'B. "! 012 F%% 1 C < ,$ ,3 9)3)) '()*
'B; F%% # 1 %% & &+ K * '* ) . '!& @ '()(
'B/ ! & 1 & * * )* '#* * 617#'8 .;939/ '()4
'B9 F % "! 012 , > >
* * '#* * . A =% ) )* ' ) % ) $ '43'( '(4/
'B4 @H 5 @ $ !1 A E ,= E + 15 '39( '(*(
'B* @ & 78 & ' ) ?1 '((; 6>
! $ B>*4.).>(*;>G'B( H L
6 ' . ' )
F I $ '((9 $ ;>9.*>B);(B>/
''B 5 $ $U U H 1 78 ' ' ) F ' I . 5
'((* $1 $ (B>9/'B>(/)4
''' 5 H 5: # # $11 6 - 1
* * )* '#* * 657;8 );439( '()*''. "! 012 $ $ > %& 1 3
+ '* ." M #> '()(
''; "! 012 H # % 1 3
1
, , .'(3/4 '(44
& 1% %
-
''/ H H > 3