-set 4 seminar me-f aplic test 4 t,chi, f, jb

8/16/2019 -Set 4 Seminar ME-F Aplic Test 4 t,Chi, F, JB

1/13

1

SEMINAR TESTAREUtilizarea testelor statistice la fundamentarea deciziilor econometrice

Un algoritm în şase sau zece paşi poate fi utilizat ca model în procesul de testare statistică aipotezelor referitoare la realitatea economică, în funcţie de gradul de detaliere impus testării.

Demersul modern al testării statistice duce la rezolvarea etapizată a problemelor practice, fie

în varianta sintetică din şase paşi:

Pasul 1-enunţul ipotezelor admisibile (se formulează ipoteza nulă şi ipoteza alternativă); Pasul 2-selectarea unui test în funcţie de distribuţia empirică cercetată şi confirmarearepartiţiei teoretice asimilate testului (distribuţia de probabilitate adecvată a variabileialeatoare discrete sau funcţia de densitate compatibilă a variabilei de tip continuu);

Pasul 3-clarificarea opţiunii pentru un anumit prag de semnificaţie şi a tipului de test; Pasul 4-determinarea şi compararea valorii statisticii testului cu valoarea teoretică; Pasul 5-reglementarea deciziei statistice prin stabilirea detaliată a regulilor de validare; Pasul 6 -asumarea şi formularea economică a deciziei finale (acceptare/respingere). fie în varianta analitică din zece paşi:

Pasul 1-culegerea, prelucrarea datelor şi estimarea parametrilor (statistica descriptivă); Pasul 2-enunţul ipotezelor admisibile (se formulează ipoteza nulă şi alternativă); Pasul 3-selectarea unui test în funcţie de distribuţia empirică cercetată şi confirmarearepartiţiei teoretice asimilate testului (distribuţia de probabilitate adecvată a variabileialeatoare discrete sau funcţia de densitate compatibilă a variabilei de tip continuu);

Pasul 4-clarificarea opţiunii pentru un anumit prag de semnificaţie şi un tip de test; Pasul 5-particularizarea prin valori limită sau critice a regiunii de respingere; Pasul 6 -calculul valorii statisticii testului pe baza datelor reale;

Pasul 7 -compararea valorii calculate a statisticii testului cu cea teoretică (tabelată); Pasul 8-reglementarea deciziei statistice prin stabilirea detaliată a regulilor de validare; Pasul 9-asumarea deciziei statistice privind ipotezele formulate (acceptare/respingere); Pasul 10-formularea deciziei finale în termeni economici şi aplicarea ei.

Relaţii specifice de calcul ale statisticii testului t (formula lui t calculat)Caseta nr. 1

Condiţii specifice ale aplicării testului t Determinarea statisticii testuluiA. Teste de comparare (între eşantioane egale şi inegale)

A1. Eşantioane de mărimi egale, varianţe egale1 2

2 21 2

x xt

S S

n

A2. Eşantioane de mărimi inegale, varianţe egale1 2

2 21 1 2 2

1 2 1 2

( 1) ( 1) 1 1

2

x xt

n S n S

n n n n

A3.Eşantioane de mărimi inegale,varianţe inegale1 2

2 21 2

1 2

S S

n n

x xt

B. Teste de concordanţă între noţiuni perechi (estimator şi parametru)

B1. Concordanţa estimator - parametru (media)0

x

x X

t nS


2/13

2

Reglementarea statistică privind ipoteza nulă în decizia testului t Caseta nr. 2

Regula de decizie este descrisă în raport cu tipul testului (bilateral sau unilateral)iar partea haşurată reprezintă regiunea critică (unde se respinge ipoteza nulă)

Figura nr. 4.6

Li Ls L LTest bilateral Test unilateral dreapta Test unilateral stânga

Ipoteze H0: 1 2 x x = 0

H1: 1 2 x x ≠ 0t calculat > t tabelat cu α/2;g.d.l.sau t calculat < - t tabelat cuα/2;g.d.l.

se respinge H0 şi

se acceptă H1: 1 2 x x ≠ 0


H1: 1 2 x x > 0t calculat >t tabelat cu α;g.d.l.

se respinge H0;

Se acceptă H1: 1 2 x x > 0


H1: 1 2 x x < 0t calculat < - t tabelat cu α;g.d.l.

se respinge H0;

Se acceptă H1: 1 2 x x < 0

Dacă pragul de semnificaţie alfa (α) a fost deja ales în pasul 4, interpretarea probabilităţiicritice a testului ( pcritică) este următoarea:Dacă pcritică>α, nu se respinge ipoteza nulă H0, în favoarea ipotezei alternative H1Dacă p critică ≤ α, se respinge ipoteza nulă H0, în favoarea ipotezei alternative H1

Relaţii specifice de calcul ale statisticii testului z (formula lui z calculat)Caseta nr. 3

Condiţii specifice ale aplicării testului z Relaţia de calcul a statisticii testului

A. Teste de comparare (între eşantioane mari egale şi inegale)

A1.Eşantioane inegale de volum normal sau mare,

independente, cu varianţe inegale 2221

21

21

nSnS

xxz

A2. Eşantioane egale de volum normal sau mare (n>30)1 2

2 21 2

x - x

S + S

n

z

B. Teste de concordanţă între noţiuni perechi (estimator şi parametru) B1. Concordanţa estimator - parametru (mediavariabilei numerice)

0

x

x X z n

S

B2. Concordanţa estimator - parametru sau estimator -estimator (media variabilei alternative sau proporţia)

)n/1n/1/()f 1(f

p p)n/ p1( p

p pz21

**

00

cu f * = (n1 p1+n2 p2) : (n1 + n2)

Reglementarea deciziei de respingere a ipotezei nule în cazul testului z nu diferă logic de

aceea a testului t. Regiunea critică este delimitată distinct în cazurile: a) test bilateral (z calculat< - z α/2 tabelat sau z calculat > z α/2 tabelat); b) test unilateral dreapta (z calculat > z α tabelat); c) testunilateral stânga (z calculat < - z α tabelat), iar reglementarea deciziei privind respingerea ipotezeinule (şi implicit acceptarea ipotezei alternative) este dată de situarea statisticii testului z înregiunea critică în funcţie de probabilitatea de garantare a rezultatelor (1-α)×100, exprimată

procentual.


3/13

3

Testul clasic al distribuţiei Fisher-Snedecor F(n1,n2) cu n1 şi n2 grade de libertate sau testul F arămas cel mai cunoscut test pentru verificarea ipotezei egalităţii dispersiilor a două eşantioane

independente ( 2 2

,1 2σ σ ), fiind caracterizat de o distribuţie continuă determinată de două valori diferite

ale gradelor de libertate (notate cu v1 şi v2 ). Testul statistic complet este2 2 2 21 1 2 2( : ) : ( : ) F S S σ σ dar

în condiţiile ipotezei nule, adică

2 2

1 2: 1σ σ testul devine

2 2:

1 2F = S S şi urmează o distribuţie Fisher-Snedecor . Enunţul ipotezelor admisibile poate îmbracă două forme diferite atât ipoteza

nulă: 2 20 1 2: H S S sau2 2

0 1 2: / 1 H S S cât şi ipoteza alternativă2 2

1 1 2: H S S sau2 2

1 1 2: / 1 H S S .Valorificând

distribuţia Fischer-Snedecor, testul F prezintă valori tabelate uzuale F( α;ν1;ν2 ) pentru un nivel de semnificaţie α de 0.05; 0,02 şi 0,01 (în testul bilateral devenit α /2: 0,25;0,01;0,005), cu gradele delibertate v1 = (n1-1) unde n1 este volumul eşantionului cu dispersia mai mare şi v2 = (n2-1) unde n2 este

volumul celui cu dispersia mai mică. S tatistica testului este dată de F calculat :2

2 211 22

2

SF = dacă S > S

S sau

22 222 12

1

SF = dacă S > S

S. Fcalculat se compară cu F tabelat pentru pragul de semnificaţie α (unilateral) sau α /2

(bilateral).Dacă la numărător se trece dispersia mai mare, testul F devine un test unilateral dreapta,reglementarea deciziei de respingere a ipotezei nule decurgând astfel: se respinge H 0 dacă Fcalculat estemai mare ca F tabelat , afirmaţia despre egalitatea dispersiilor fiind falsă.Pentru simplificare se prefera

2max2min

calculatS

F =S

,ipoteza nulă fiind respinsă dacă tabelatcalculat FF

În modelările econometrice se impune şi verificarea ipotezei cu privire la concordanţadintre distribuţia teoretică şi distribuţia empirică cercetată. Testul clasic χ 2 (hi-pătrat) estetestul cel mai des invocat şi aplicat în verificarea corespondenţei dintre distribuţiile teoretice

şi empirice dar este valorificat şi în testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii. Testul χ 2

(hi-pătrat) pentru testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii pleacă de la premiza că

suma pătratelor diferenţelor 21( )n

i x xi

, egală cu 2( 1)n s sau 2n s în raport de volumul mic

sau mare al eşantionului, împărţită la dispersia unei populaţii originare normal distribuite, areîntotdeauna o distribuţie hi-pătrat (χ 2 ). Relaţia de calcul a statisticii testului pentru testarea

ipotezei privind dispersia unei populaţii este2

22

( 1)n sχ

σ

, care are o distribuţie cu (n-1)

grade de libertate, când populaţia eşantionată este normal distribuită cu dispersia 2σ .Ipoteza

nulă este 2 200

: H σ σ iar reglementarea deciziei de respingere este 2 2 /2, 1tabelat ncalculat αχ χ sau

2 2/2, 1tabelat ncalculat α

χ χ pentru un test bilateral

sau 2 2 , 1tabelat ncalculat αχ χ şi2 2

, 1tabelat ncalculat αχ χ pentru testele unilaterale stânga şi dreapta. Testul

χ 2 (hi-pătrat) de concordanţă cu distribuţia normală este utilizat pentru a identifica dacădistribuţia unei populaţii date, interpretată prin prisma unei anumite caracteristici, concordăsau se abate semnificativ de la repartiţia normală (standard) cu care aceasta se compară saudacă o repartiţie empirică diferă semnificativ de cea teoretică. Se notează cu n1, n2…, nn un şir de frecvenţe empirice sau reale obţinute într-un eşantion şi cu n ’1, n ’2…, n ’n frecvenţeleteoretice sau ale populaţiei originare corespunzătoare (frecvenţe aşteptate n i = n×pi ), adicăacelea cu care dorim să le comparăm pe primele. Relaţia de calcul a lui χ 2 este:

2 2

2

1 1

’ ( )

’

n ni i i i

i ii i

n n n np

n np

χ

şi defineşte o variabilă hi pătrat cu (n – 1) grade de

libertate. Regiunea critică a testului χ 2 pentru verificarea ipotezei p1 = p2 = … = pn se


4/13

4

construieşte pe baza indicatorului statistic de forma:2

1

2 ( )n

i i

i i

calculat

n np

npχ

. Reglementarea

deciziei de respingere a ipotezei nule privind concordanţa dintre două distribuţii dintre careuna este cunoscută (distribuţia normală), se realizează comparând mărimea χ 2 calculată cuvaloarea tabelată, în dreptul numărului de grade de libertate respective şi al pragului desemnificaţie dorit. În cazul în care 2 2 ; 1ncalculat tabelat αχ χ se poate conchide că diferenţa

dintre distribuţii este semnificativă la nivelul de probabilitate acceptat. Testul χ 2 (hi-pătrat) deconcordanţă cu distribuţia normală se realizează în următoarele etape:

a) se procedează la împărţirea în grupe a populaţiei cercetate după variabila x i în aşa fel încâtnumărul unităţilor din fiecare grupă să fie 5; b) se determină media şi abaterea medie

pătratică; c) se determină abaterile normale normate z i şi valoarea statisticii χ 2; d) se compară

χ 2 calculat cu χ 2

tabelat Ipoteza de concordanţă cu distribuţia normală se acceptă dacă2 2

; 1ncalculat tabelat αχ χ şi se respinge când2 2

; 1ncalculat tabelat αχ χ

Notă: valorile teoretice ale lui χ 2 se caută în tabelele distribuţiei χ 2 în funcţie de pragul de

semnificaţie α şi de numărul gradelor de libertate (r – l – 1) unde: r = numărul grupelor (intervalelor formate) şi l = numărul parametrilor repartiţiei empirice analizate (în anexe).

Normalitatea distribuţiilor poate fi rapid confirmată conferind credibilitate reprezentărilor grafice de tip Kernel sau cu ajutorul testului Jarque-Bera.

Nota (xi) obţinută 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr de elevi (ni) 1 7 9 7 10 11 6 1 n1i=52Frecvenţa relativă(%) 1,92 13,46 17,31 13,46 19,23 21,16 11,54 1,92 100

Statistica descriptivă a notelor la testul iniţialParametrii distribuţiei empirice suntmedia notelor 6,538462 şi dispersia3,03770 sau (Std.Dev)2 Distribuţianotelor este omogenă coeficientul devariaţie fiind de 26,66%, determinatca raport între Std.Dev şi Mean.Distribuţia empirică este uşor asimetrică (coeficientul de asimetrietinde spre zero) şi uşor aplatisatăconform coeficientului de boltire

(mai mic de 3, valoarea boltiriinormale).

Sample (eşantion) : 1 52Eşantionul

experimental

Mean (media notată cu x ) 6,538462

Median (mediana) 7,000000Maximum (valoarea maximă) 10,00000Minimum (valoarea minimă) 3,000000Std. Dev. (abaterea standard) 1,742902Skewness (asimetria) -0,098646Kurtosis (boltirea) 1,977926Jarque-Bera (test de normalitate) 2,347712Probability (probabilitate) 0,309172


5/13

5

O variabilă este normal distribuită când urmează o lege normală de distribuţie. În practicănormalitatea se testează cu testul Jarque-Bera care o confirmă sau nu, măsurând diferenţadintre coeficientul de asimetrie S (Skewness) şi boltire K (Kurtosis), pornind de la relaţia decalcul următoare:

2 22 2( 3) 52 (1, 977926 3)( 0,098646)

6 4 6 4

n K JB S

= 2,347712022 ~ χ 2.

Testul are drept ipoteza nulă afirmaţia: seria este normal distribuită. Astfel, dacă probabilitatea asociată testului JB este superioară pragului de semnificaţie sau nivelului derelevanţă ales (de regulă α = 0,05 sau α = 0,01) atunci ipoteza nulă este acceptată. Distribuţia

χ 2(hi-pătrat) este asimetrică şi mărginită de zero (valorile sunt pozitive), de forma2 2 21 2 ... n Z Z Z , cu Z1,…,Zn variabile independente cu distribuţia N(0;1). Conform distribuţiei

χ 2

, valoarea critică a testului Jarque-Bera pentru un prag de semnificaţie statistică de 0,05 este5,99, iar pentru 0,01 este de 9,21, altfel spus, dacă statistica JB calculată pentru o serie devalori ale unei variabile analizate este mai mare de 5,99 respingem ipoteza nulă cu un nivel deîncredere în 95 de cazuri din 100, iar în cazul unor valori mai mari de 9,21 se respinge ipotezanormalităţii seriei cu o probabilitate garantată în 99 de cazuri din 100. Statistica testuluiJarque-Bera este asimptotică unei distribuţii χ 2 (cu două grade de libertate), iar pachetul de

programe EViews conţine testul Jarque-Bera aşa cum s-a putut observa din statisticiledescriptive, iar calculul efectuat de pachetul de programe confirmă valoarea de 2,347712,valoare cu mult mai mică decât în ambele ipoteze ale pragului de semnificaţie (α = 0,05 sau α= 0,01) valoarea critică a testului Jarque-Bera.


6/13

6

1.O firmă se aprovizionează de la doi furnizori şi conform datelor doreşte să renunţe lafurnizorul B care are după trei luni o cotă de rebuturi mai mare:

Tabel nr. 1

Furnizor Rebuturi Bune Totalfirma_a 20 1680 1700firma_b 30 1970 2000Total 50 3650 3700

Testul dif eren ei dintre două medii

Acest test constă în compararea valorii empirice a variabilei tc cu valoarea sa teoretică tunde:

1n1n

xxt

2

22

1

21

21c

t este argumentul distribuţiei normale, dacă n ≥30 , sau argumentul distribuţiei Student, dacă n < 30 ; este pragul de semnificaţie (riscul) cu ajutorul căruia se alege decizia corectă; de regulă, îneconomie se lucrează cu un prag de semnificaţie de 0,05 (5%) sau, cel mult, de 0,01 (1%).

Se întâlnesc următoarele situaţii:- dacă tc t rezultă că între cele două variabile x1 şi x2 nu se poate accepta o diferenţă

semnificativă;- dacă tc t rezultă că între cele două variabile x1 şi x2 se poate accepta o diferenţă

semnificativă.

Furnizor Rebuturi Bune Total Rezolvare: Decizia se va lua pe baza testului t al diferenţei dintre două medii. Se introducdatele EViews (Quick _ Empty Group)

firma_a 20 1680 1700firma_b 30 1970 2000Total 50 3650 3700

unde:X – variabila independentă cu valorile:x1 – furnizorul A şi x2 – furnizorul BY – variabila dependentă cu valorile:y1 – piese rebut şi y2 – piese bune

- Se selectează cele două variabile firma_a şi firma_b pentru a putea fi vizualizate şi dinmeniul View se alege comanda Tests of Equality şi opţiunea Mean:


7/13

7

La final se obţine statistica testului t

Pentru un prag de semnificaţie = 0,05 într-un un test bilateral (/2=0,025) se preia valoareat0,025 = 1,96 şi se constată că tcalculat ttabelat ceea ce arată că între calitatea pieselor livrate decei doi furnizori, nu se poate accepta o diferenţă semnificativă şi că nu este corectă decizia dea se renunţa la furnizorul B pe motivul unei mai slabe calităţi a pieselor (încă nu se deţinsuficiente dovezi în acest sens). Aceasta se confirmă şi din analiza probabilităţii critice

pcritică>α. Probabilitatea critică este 1-0,9172 = 0,0828 sau 8,28%. Cum 0,0828 > 0,05 sereiterează concluzia că nu se poate respinge ipoteza nulă H0, pentru H1.

2.Într-o secţie de prelucrare a unei întreprinderi există două prese (A şi B), pe fiecare

din ele prelucrându-se câte un lot de piese de acelaşi tip.Datorită diminuării cererii acestui produs întreprinderea trebuie să renunţe la una dinprese. Să se menţioneze la care presă trebuie să se renunţe cunoscând următoarelerezultate obţinute în urma unei selecţii:- dintr-un lot de 1000 de piese executate la presa A, 2,5% au fost rebuturi;- dintr-un lot de 800 de piese executate la presa B, 4,5% au fost rebuturi.

Testul 2

Testul 2

Acest test constă în compararea valorii empirice a variabilei 2c cu valoarea sa teoretică 2

,

unde:


8/13

8

2c se calculează după relaţia:

i j*ij

2*ijij2

cn

nn

nij sunt frecvenţele reale*

ijn sunt frecvenţele teoretice în cazul independenţei totale a celor două variabile

N

N* Nn

j..i*ij

este pragul de semnificaţie = (k-1)(m-1) este numărul gradelor de libertate, m fiind numărul de grupe în funcţie devariabila Y= , iar k este numărul de grupe în funcţie de variabila X

Utilizarea testului 2 se bazează pe următoarele reguli de decizie:- dacă 2c

2, , rezultă că cele două variabile X şi Y sunt independente;

- dacă 2c 2

, , rezultă că cele două variabile X şi Y nu sunt independente;

În cazul unei grupări combinate de 2x2, adică 2 variabile care au 2 variante, analizastatistică a legăturii dintre acestea se poate face şi cu ajutorul coeficientului deasociere al lui Yulle, definit prin relaţia:

21122211

21122211c nnnn

nnnn

Acest coeficient este definit în intervalul [-1,1], având semnificaţia: = -1 corelaţie strict negativă între variabile; = 0 independenţă între variabile; = 1 corelaţie strict pozitivă între variabile.

cu abaterea medie pătratică:

22211211

2

n

1

n

1

n

1

n

1

2

1

Ştiind că variabila este o variabilă aleatoare ce urmează o distribuţie normală N (0, ),

valoarea empirică c se acceptă că este semnificativ diferită de zero dacă

tc , rezultă că

între cele două variabile există o legătură, iar dacă

tc rezultă că valoarea lui c nu este

semnificativ diferită de zero, ceea ce presupune că cele două variabile sunt independente.

Se poate folosi fie programul Microsoft ExcelSe calculează frecvenţele teoretice

Furnizor Bune Rebut Total

A 60 340 400

B 70 530 600

Total 130 870 1000

frecvenţe teoretice

52 34878 522


9/13

9

Sau se poate folosi programul EViewsSe introduc datele

Se selectează cele două variabile „firma_a” şi „firma_b” pentru a putea fi vizualizate:

Considerăm că cele două variabile sunt independente şi atunci din meniul View se alegecomanda N-Way Tabulation

Pas. 2.4 S-au obţinut rezultatele:


10/13

10

Cele două variabile sunt independente, deci calitatea pieselor nu depinde de tipul furnizorilor şi, ca atare, nici decizia de a rezilia contractul cu furnizorul A nu este justificată.

3.Problema conţinutului real al unui lot de pungi de zahăr este tratată statistic pornindde la ipoteza că fiecare pungă trebuie să conţină 1 kg. Pentru a putea identifica abaterile

în ambele sensuri de la această cantitate, se extrage un eşantion de 12 pungi la care seidentifică o medie de 0,988 kg şi o abatere standard de 0,01963 kg. Pentru un prag desemnificaţie al testului t de 0,02 să se determine dacă se acceptă ipoteza nulă, respectivgreutatea pungilor este de un kilogram în medie. Notă: Datele din eşantion sunt: 1,021;0,982; 0,974; 0,958; 1,006; 0,988; 1,016; 0,975; 0,991; 0,977; 1,001; 0,967.

Rezolvare: Se introduc datele în pachetul EViews şi se determină valorile mediei şi abateriistandard. File →New →Work file... urmat de Quick→Empty Group(edit series) precum şi deQuick→Series Statistics→Histograms and Stats. Testul ce va fi folosit va fi testul t . Enunţulipotezelor admisibile este: H0: 0 X =1 şi H1: 0 X ≠ 1 ( 0 X 1) iar volumuleşantionului este n = 12.Populaţia are o distribuţie normală conform statisticii descriptive aeşantionului, iar volumul acestuia este mic (n


11/13

11

Statistica testului este dată de relaţia t calculat=0

x

x X n

S

=

0,988 1,00012

0,019628

= -2,117853 iar t tabelat α/2;

n-1 g.d.l. sau t tabelat 0,01; 11 = 2,718. Regiunea critică este t calculat< - t tabelat 0,01; 11 sau t calculat>t tabelat0,01;11, dar valoarea lui t calculat cade în zona de acceptare t calculat>- t tabelat a ipotezei nule

H0: 0 X =1.Conform deciziei finale se acceptă ipoteza nulă, greutatea medie a pungilor este deun kilogram.Utilizarea instrucţiunilor EViews conduce la acelaşi rezultat.

Pachetul specializat de programe EViews permite calculul valorilor distribuţiilor de probabilitate, cuantilelor şi generează numereîntâmplătoare în raport cu distribuţiile selectate.În cazul de faţă se valorifică distribuţia t Studentşi pentru t calculat=2,117853, respectiv pentru un

număr de 11 grade de libertate se solicită calculul probabilităţii critice ce vor fi ulterior comparatecu α, prin instrucţiunea: scalar probt=@ctdist(2.117853,11). Aceasta conduce la creareafişierului probt în cadrul fişierului de lucru, careodată deschis arată o valoare pcritică de 1-0.9711=0,0289 comparativ cu α = 0,002. Interpretarea

probabilităţii critice a testului pcritică>α,reconfirmă valabilitate ipotezei nule, greutatea

pungilor de zahăr fiind în medie de un kilogram.

Notă: Câteva instrucţiuni utile în testarea cu programul EViews sunt prezentate mai jos:

Tabel nr. 2

Instrucţiunea (pe primul rând liber) Valori ce se trec între paranteze şi rezultate finalescalar pnorm=@cnorm(valoare) Valoarea limită a regiunii de respingere (critice).

Rezultatul este probabilitatea critică (distribuţia normală).scalar qnorm=@qnorm(valoare) Valoarea probabilităţii critice a variabilei.

Rezultatul este o cuantilă (distribuţia normală).scalar probt=@ctdist(val 1;val 2) Val1=valoarea limită şi val2 = grade de libertate

Rezultatul este probabilitatea critică (distribuţia t ).scalar qt=@qtdist(val 1;val 2) Val1=probabilitatea critică şi val2 = grade de libertate

Rezultatul este o cuantilă (distribuţia t )Analog se procedează şi pentru testele hi-pătrat şi F cu precizarea că sintaxa se modifică dinnorm sau dist în chisq (val 1;val 2) şi dist(val 1;val 2; val 3).

4.Patronul unui hotel doreşte să ştie dacă o campanie de publicitate TV, care a durat 30de zile, a condus la creşterea semnificativă a încasărilor medii zilnice, fiind evaluate 91de zile înainte (n1) de derularea publicităţii şi 61 de zile după (n2), cu mediile şi abaterilestandard (în euro) de 1x = 4255 şi 2x = 4608 , respectiv s1=615 şi s2=641. Testaţi ipotezanulă pe baza parametrilor calculaţi.


12/13

12

Rezolvare: Ipoteza nulă este H0: 1 2 x x = 0 iavolumul eşantioanelor impune un test zunilateral stânga, ipoteza patronului fiindH1: 1 2 x x


13/13

13

La aceeaşi nivel al lui χ2 (hi-pătrat) se ajunge calculând mai întâi valoarea dispersiei:

8,1919

2,1726

1n

2)xx(

S

n

1ii

2

şi mai apoi determinând valoarea statisticii testului χ2:

26,17100

2,1726S)1n(

calculat 2

22

iar 2

9;05.0tabelat = 16,92

Reglementarea deciziei de respingere a ipotezei nule pentru testul unilateral dreapta

fiind îndeplinită 2 2 , 1tabelat ncalculat αχ χ se acceptă ipoteza alternativă conform căreia dispersia este

mai mare decât 100 (H1:2 >100).

6.Într-un articol de promovare a investiţiilor financiare în turismul insular în raport cucel continental european se compară abaterile medii pătratice calculate în urmadeclaraţiei în interval de venituri a celor ce preferă turismul insular şi a celor ce preferăturismul continental, respectiv S1=38,7 mii euro şi S2=28,3 mii euro, subliniindaccesibilitatea diferită a celor două populaţii de turişti din care s-au extras eşantioanelen1=1000 şi n2=500 persoane,concluzia fiind că împrăştierea veniturilor pentru turiştii cepreferă zona insulară este semnificativ mai mare, conform unui test F aplicat pentru unnivel (prag) de semnificaţie α = 0,05. Verificaţi dacă este adevărată concluzia articolului.Rezolvare: Articolul subliniază în fapt pornind de la abaterile medii pătratice ale turiştilor chestionaţi (selectaţi aleator) că dispersiile sunt semnificativ diferite şi respinge ipoteza nulă.Pentru a verifica dacă afirmaţia este adevărată sau falsă se aplică testul F . Ipoteza nulă care

descrie egalitatea dispersiilor

2 2

0 1 2: 0 H σ σ îşi schimbă forma în

2 2

0 1 2: / 1 H σ σ în cadrultestului F. La numărător se va trece dispersia mai mare, testul F devenind astfel un testunilateral dreapta, reglementarea deciziei de respingere a ipotezei nule decurgând astfel: serespinge H0 dacă F calculat este mai mare ca F tabelat, afirmaţia despre egalitatea dispersiilor fiind

falsă. Aşadar pentru simplificare se prefera2max2min

calculatS

F =S

, ipoteza nulă fiind respinsă dacă Fcalculat

> Ftabelat .Statistica testului sau Fcalculat = (38,7)2 : (28,3)2 = 1,87 iar valoarea lui Ftabelat α ; n1 -1; n2-

1=Ftabelat 0.05; 999; 499; 1,38. Regiunea critică (pentru 05,0α ) este dată de F tabelat 0.05; 999; 499;1,38 şi cum Fcalculat > F tabelat se respinge ipoteza nulă şi se acceptă ipoteza alternativă,conform căreia împrăştierea veniturilor pentru turiştii ce preferă o destinaţie insulara este

semnificativ mai mare decât cea a turiştilor ce preferă una continentală. Concluzia articoluluieste una adevărată şi investiţia argumentată.

-set 4 seminar me-f aplic test 4 t,chi, f, jb

Documents