Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н TС ТВ О П О О БРАЗО ВАН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У ДАРС ТВ Е Н Н Ы Й УН И В Е РС И ТЕ Т

Решение задач по теоретической механике. Часть 1. С татика.

У чебно-методическое пособие.

2-е издание стереотипное

С оставители: Чеботарев А.С . Щ еглова Ю .Д .

В О РО Н Е Ж 2006

2

Утверж дено науч но-методическим советом ф акул ьтета П М М (21.02.05, протокол № 6)

Доп ущ ено учебно-методическим советом по прикл адной математике и инф орматике дл я студентов вы сших учебных заведений, обуч аю щ ихся по спец иальности 010200 « П рикл адная математика и информатика» и по направлению 510200« П рикл адная математика и информатика»

У чебно-методическое пособие подготовлено на кафедре Теоретической

и прикл адной механики ф акультета П М М Воронеж ского государственного университета. Рекомендуется дл я студентов 2 курса спец иальности 010501 (010200) « П рикл адная математика и инф орматика», по дисц ип лине Е Н .Ф .03.1. « Теоретическая механика».

3

О главле н ие . Введение. 4

§ 1. О сновные понятия механики. М еханические модели. 5 § 2. Кл ассиф икац ия векторов. 6 § 3. С татика. Аксиомы статики. 8 § 4. П римеры действия сил в статике. 9 § 5. С вободные, несвободные тела. Виды связей и их реакц ии. 12 § 6. Условия равновесия системы сил . 18 § 7. П римеры . 20 § 8. Контрольные вопросы дл я самопроверки остаточных знаний. 35 § 9. Задания домашней контрольной работы . 36 § 10. С писок задач дл я самостоятельного решения . 41

Л итература. 42

4 Вве д е н ие .

У чебно-методическое пособие предназначено дл я студентов

спец иальности 010501 (010200) “П рикл адная математика и информатика”, обуч аю щ ихся на втором курсе дневного отделения третьем курсе вечернего отделения , по дисц ип лине Е Н .Ф .03.1. “Теоретическая механика”.

С огл асно учебному п л ану аудиторные занятия по данной дисц ип лине вкл ю ч аю т 2 ч аса лекц ий и 2 ч аса практических занятий в недел ю , в течение одного семестра. В то ж е время , объем самостоятельной работы отводимой на освоение предмета составл яет 68 ч асов (72 ч аса в/о). П редл агаемый учебно-методический материал позвол яет студентам индивидуально изучить один из разделов теоретической механики – статику. О пределения , полож ения и постул аты , вводящ иеся в статике, затем активно использую тся в динамике – основном разделе теоретической механики. П особие вкл ю ч ает теоретические основы определения связей и их реакц ий, гл авного вектора и гл авного момента системы сил , уравнение равновесия дл я общ его и всех ч астных сл уч аев; и практические примеры в виде решения наиболее типичных задач статики.

Так ж е в пособии содерж ится список вопросов дл я самоконтрол я и перечень задач дл я самостоятельного решения .

И тогом изучения статики дл я студентов ф акультета П М М явл яется решение контрольной работы , варианты которой приводятся в пособии, наряду с разбором типичной задачи подобного рода.

5 § 1. О с н овн ы е пон ятия м е хан ик и. М е хан иче с к ие м од е ли.

О с н овн ы е пон ятия м е хан ик и. Т еорет ич ес к ая м еханик а – это ч асть ф изики, которая изуч ает

механическое движение и механическое взаимодействие материальных тел . М еханич ес к ое движ ение – перемещ ение тел относительно друг друга

в пространстве и времени. М еханич ес к ое взаим одейст вие – действие тел друг на друга, в

результате которого происходит л ибо изменение движения этих тел л ибо изменение взаимного полож ения их ч астиц (деформац ия ).

Зад ача м е хан ик и: состоит в описание объективных законов механических ф орм движения материи и их изучения с тем, чтобы объяснить и предсказать конкретные движения материальных объектов.

В основе классической механики леж ат следую щ ие понятия : движ ущ аяся материя (материальные тела), пространство и время , масса как мера инертности материальных тел и сил а как мера механического взаимодействия меж ду телами.

М е хан иче с к ие м од е ли.

М атериальные тела в теоретической механике представл яю тся простейшими модел ями: м ат ериальная т оч к а – тело, конечной массы , размерами которого мож но пренебречь; сист ем а м ат ериальных т оч ек – совокупность нескольких тел , каж дое из которых мож но считать материальной точкой, при этом движение и полож ение каж дой точки зависит от движения и полож ения остальных точек; абсолют но т вердое т ело (в дальнейшем АТТ ) – система материальных точек, расстояние меж ду которыми не меняется при произвольных перемещ ениях этой системы ; сист ем а абсолют но т вердых т ел.

В се ф изические тела под влиянием приложенных сил изменяю т свою ф орму, причем величина деформац ии зависит от различ ных условий: материал а, ф ормы , величины и направления сил ы , температуры и т.д. Ж идкость и газ легко деформируется , твердые тела (метал л , дерево, и др.) незначительно. В строительном деле, машиностроении и других обл астях техники тела и нагрузки выбираю т так, чтобы возмож ные деформац ии не выходили за ограниченные предел ы , отсю да следует требование (упрощ ение) – недеформируемость тел , и возникает естественная абстракц ия АТТ .

О сновной количественной мерой механического взаимодействия тел , характеризую щ ей интенсивность и направление этого взаимодействия , явл яется сил а. П онятия сил ы зародилось из опытных представлений о давлении одного тела на другое при непосредственном их соприкосновении, о приведении тела в движение при помощ и каната и ры ч ага, потом обобщ ено на сил ы , возникаю щ ие при упругом деформировании тел , на взаимное

6 притяж ение небесных тел , взаимодействие электрически заряж енных ч астиц и т.д.

С ил а изменяет движение тела, характер движ ения зависит от степени податливости тела или от степени инертности тела. Чем больше инертность тела, тем медленнее изменяется его движение под действием данной сил ы , и наоборот. М ерой инертности материального тела явл яется его масса, зависящ ая от количества вещ ества.

Д виж ение тел происходит в пространстве с течением времени. В кл ассической механике движение медленное по сравнению со скоростью света.

П ространство и время в теоретической механике принимаю тся абсол ю тными: прост ранст во – трехмерное Е вклидово, однородное и изотропное, врем я одинаково во всех точках пространства и дл я всех тел независимо от их движения .

Д л я определения пол ож ения движ ущ егося тела (или точки), с телом, по отношению к которому изуч ается движение, ж естко связы ваю т какую -л ибо систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета. О тсчет времени ведется от некоторого момента, который принимается за нач ал ьный и обознач ается 0t . М омент времени t определ яется ч ислом секунд, прошедших после нач ал ьного момента.

П ромеж уток времени – это разность двух моментов. О сновными единиц ами измерения в системе С И явл яю тся : единиц а массы [m]=к г, длины [ l ]=м етр , времени [ t ]=сек ун д а . С ил а в системе С И

измеряется в Н ью тонах, при этом 2смк гН ⋅

= .

О с н овн ы е разд е лы те оре тиче с к ой м е хан ик и:

с т ат ик а изуч ает законы и условия равновесия материальных объектов; к инем ат ик а изуч ает геометрическую сторону движения без причин, вызвавших это движение и без учета массы (свойства инертности); динам ик а изуч ает движение с учетом причин, вызвавших движение и с учетом массы .

§ 2. Клас с ифик ация ве к торов.

В зависимости от свойств ф изических величин, изображ аемых векторами, векторы раздел яю тся на:

1) свободные (или не связанные), 2) скользящ ие (или связанные с прямой, вдоль которой направлен

вектор), 3) неподвиж ные или прилож енные (связанные с точкой своего

прилож ения ). С вободны й вектор изображ ает такую векторную величину, которая

мож ет быть отнесена к л ю бой точке пространства, не теряя при этом своего

7 первонач ал ьного ф изического смы сл а, т.е. всякие два равных вектора в этом сл уч ае могут представл ять туже самую ф изическую величину. Так, например, скорость поступательного движения тела есть свободны й вектор, потому что она может быть отнесена к л ю бой точке (рис. 2.1.). С вободный вектор определ яется тремя ч исл ами (своими проекц иями xa , ya и za ).

С кользящ ий вектор изображ ает такую величину, которая , не теряя своего первонач ального ф изического смы сл а, может быть отнесена к л ю бой из точек, леж ащ их на прямой DE, вдоль которой направлен вектор, т.е. одну и ту ж е ф изическую величину могут в этом сл уч ае представл ять только те векторы , которые одновременно равны друг другу и направлены вдоль одной и той ж е прямой; эту прямую , на которой леж ит вектор, называю т основанием или л инией действия вектора (рис. 2.2.). П римером скользящ его вектора может сл уж ить сил а, прилож енная к абсол ю тно твердому тел у, или угл овая скорость. Г еометрически скользящ ий

вектор определ яется : 1) прямой, на которой он леж ит (основанием вектора); 2) длиной отрезка, изображ аю щ его вектор; 3) стороной или направлением действия (это направление обознач ается стрелкой на конц е вектора). Аналитически скользящ ий вектор определ яется п ятью ч исл ами, например, тремя проекц иями xa , ya , za вектора a и координатами 1х , 1y точки пересечения прямой, вдоль которой направлен этот вектор, с п л оскостью Oху.

Н еподвиж ны й вектор изображ ает такую ф изическую величину, которая мож ет быть отнесена л ишь к одной определенной точке пространства и теряет свое первонач ал ьное ф изическое значение, будучи отнесена ко всякой другой точке пространства. Так, скорость движ ущ ейся точки представл яет собой вектор, связанный с этой точкой. Н еподвиж ны й вектор, таким образом, определ яется шестью ч исл ами: тремя проекц иями вектора и тремя координатами точки прилож ения .

П ри операц иях слож ения , умножения и диф ференц ирования скользящ ие и неподвиж ные векторы рассматриваю тся как свободные.

Другая кл ассиф икац ия векторов основана на том сущ ественном различии меж ду ними, что направление одних определ яется непосредственно по ф изическому смы сл у величин, которые этими векторами изображ аю тся (например, сил а, скорость), тогда как другие имею т условное направление, которое ф изическим смы слом изображ аемых ими величин определ яется л ишь косвенно (например, угл овая скорость, момент). П ервые векторы называю тся пол ярны ми, а вторые – аксиальными или осевыми.

8 В ыбор направления аксиального вектора зависит от выбора

полож ительного направления вращ ения , другими словами, от выбора правой или левой системы координат. П ереход ж е от правой системы к левой (или обратно) может быть совершен простой заменой полож ительного направления осей на отриц ательные. Действительно, правая система Oxyz при замене полож ительных направления осей на отриц ательные образует показанную п унктиром левую систему координат zyxO ′′′ , которая никакими поворотами не может быть совмещ ена с правой (рис.2.3.).

Заметив это, легко сообразить, что проекц ии пол ярного вектора, сохраняю щ его свою ориентац ию в пространстве, при замене осей на прямо противополож ные изменяю т свой знак, тогда как проекц ии осевых векторов, меняю щ их при этом свое направление также на противополож ное, дол ж ны будут его сохранить. Н а основании этого мож но дать другое определение пол ярных и аксиальных векторов. П ол ярным вектором назы вается такой вектор, проекц ии которого при

изменении направления координатных осей на прямо противополож ные меняю т свой знак. Аксиальным вектором назы вается такой вектор, проекц ии которого при изменении направления координатных осей на прямо противополож ные не меняю т свой знака.

§ 3. Статик а. Ак с иом ы .

О сновная задач а статики – найти необходимые и достаточные условия

равновесия тела или системы тел под действием прилож енных сил . В основе статики леж ат следую щ ие аксиомы : 1. Е сл и на свободное АТТ действую т две

сил ы , то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти сил ы равны по модул ю и направлены вдоль одной прямой в противополож ные стороны (рис.3.1.).

2. Действие данной системы сил на АТТ не изменяется , если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил . С ледствие: действие сил ы на АТТ не изменится , если перенести точку прилож ения сил ы вдоль ее л инии действия в л ю бую другую точку тела. F – скользящ ий вектор (см. § 2).

3. Закон п арал лелограмма сил . Д ве сил ы , прилож енные к телу в одной точке, имею т равнодействую щ ую , равную геометрической (векторной) сумме этих сил и прилож енную в той ж е точке (рис. 3.2.).

9

4. Закон равенства действия и противодействия . Д ва тела действую т друг на друга с сил ами равными по величине, противополож ными по направлению , леж ащ ими на одной прямой и прилож енны ми к разным телам (принц ип действия -противодействия ) (рис. 3.3.).

5. П ринц ип отвердевания . Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящ егося под действием данной системы сил , не нарушится , если тело сч итать абсол ю тно твердым.

§ 4. П рим е ры д е йс твия с ил в с татик е .

1. С осредоточенная сил а – сил а, действую щ ая в одной точке, явл яется абстракц ией сил ы , действую щ ей на небольшой уч асток. Размерность сосредоточенной сил ы [ F ]=Н (рис.3.2.).

2. Распределенные сил ы – сил ы , действую щ ие на некотором отрезке длины , уч астке поверхности, ч асти объема. О ни характеризую тся

интенсивностью q, размерность которой [q]=мH , [q]= 2м

H , [q]= 3мH на

отрезке, уч астке поверхности, ч асти объема, соответственно. Распределенные сил ы , действую щ ие на отрезке длины , приводятся к равнодействую щ ей, л иния действия которой проходит через точку С , где точка С – ц ентр тяж ести п лощ ади ф игуры (рис 4.1 – 4.3.).

10

3. М омент сил ы относительно ц ентра. Е сл и под действием приложенной сил ы тело может совершать

вращ ение вокруг некоторой точки, то вращ ательны й эф ф ект сил ы характеризуется моментом сил ы . Размерность момента сил ы [ ] мH)F(m ⋅=0 .

Точку, относительно которой берется момент, называю т ц ентром момента, а момент сил ы относительно этой точки – моментом относительно ц ентра.

Рассмотрим сил у F , прилож енную к тел у в точке А (рис. 4.4.). И з

некоторого ц ентра О опустим перпендикул яр на л инию действия сил ы F ; длину h этого перпендикул яра называю т п лечом сил ы F относительно ц ентра О . М ом ент силы от носит ельно цент ра О равен векторному произведению радиус-вектора О Аr = , проведенного из ц ентра О в точку А , где приложена сил а, на саму сил у

( ) ][0 F,rFm = ,

( ) hFF,rsinrFFm ⋅=

⋅=

∧

0 .

11 ( ) 00 =Fm только в том сл уч ае, когда линия действия сил ы проходит через

ц ентр О . Таким образом, момент направлен перпендикул ярно п л оскости, проходящ ей через ц ентр О и сил у в ту сторону, откуда сил а видна стремящ ейся повернуть тело вокруг ц ентра О против хода ч асовой стрелки.

4. М омент сил ы относительно точки в п л оском сл уч ае. М омент сил ы F относительно точки О (рис. 4.5.) в п л оском сл уч ае явл яется ал гебраической величиной, равной произведению модул я сил ы F на кратч айшее расстояние h от точки О до л инии действия сил ы , взятой с

определенным знаком. Е сл и сил а F стремится повернуть тело вокруг точки О против хода ч асовой стрелки, то момент сил ы полож ителен, если в направлении по ч асовой стрелке, то момент отриц ателен, h назы вается п лечом сил ы .

( )( )( ) 00 330

2220

1110

==

−=

=

h,Fm

hFFm

hFFm

5. М омент сил ы относительно оси.

П роекц ия вектора ( )Fm0 , то есть момента сил ы F относительно ц ентра О на какую -нибудь ось l, проходящ ую через этот ц ентр, назы вается м ом ент ом силы F от носит ельно оси l, обознач ается ( )Fml . М омент сил ы относительно оси ( )Fml характеризует вращ ательный эф ф ект сил ы F , когда эта сил а стремится повернуть тело относительно оси l.

Величина момента сил ы относительно оси может быть найдена по следую щ ему ал горитму:

1) Через точку В (точку прилож ения сил ы F ) проводят п лоскость, перпендикул ярную оси l.

2) сил у F раскл адываю т на две (см. § 3, аксиома 3) составл яю щ ие проекц ии: lF ⊥1

l||F 2 . П ри этом поворот вокруг оси l будет совершать только сил а 1F , а сил а 2F может лишь сдвинуть тело вдоль оси l, ( ) .Fml 02 =

3) через точку А проводят прямую , перпендикул ярную л инии действия сил ы 1F .

12 4) М одуль момента сил ы F относительно оси l определ яется по

ф ормуле: ( ) .|F|hFm|)F(m| ll 11 == Е сл и с полож ительного конц а оси сил а 1F стремится повернуть тело вокруг точки А против хода ч асовой стрелки, то момент сил ы пол ож ителен, если в направлении по ч асовой стрелке, то момент отриц ателен. М омент сил ы относительно оси равен нул ю , если л иния действия сил ы п арал лельна оси или пересекает эту ось.

6. П ара сил . П арой сил называется система двух равных по

модул ю , п арал лельных и направленных в противополож ные стороны сил , действую щ их на АТТ (рис. 4.7.). П лоскость, проходящ ая через л инии действия сил п ары , назы вается п лоскостью действия п ары . Расстояние d меж ду л иниями действия сил п ары называется п лечом пары . Действие п ары сил на твердое тело сводится к вращ ательному эф ф екту, которы й характеризуется величиной, называемой моментом п ары . М ом ент ом пары назы вается вектор

)F(m)F(mFABm BA ′=== ],[ : 1) модуль dFdFm ⋅′=⋅= ; 2) направлен перпендикул ярно п л оскости действия п ары в ту сторону, откуда п ара видна стремящ ейся повернуть тело против хода ч асовой стрелки.

С войства п ар сил : 1) п ару мож но переносить куда угодно в п л оскости действия пары ; 2) у данной п ары мож но произвольно менять модули сил или длину

п леч а, сохраня я ее момент неизменным; 3) п ару мож но перенести из данной п лоскости в л ю бую другую

п лоскость, парал лельную данной, без изменения действия на АТТ .

§ 5. Свобод н ы е , н е свобод н ы е те ла. Вид ы с вязей и их ре ак ции.

Твердое тело называется свободны м, если его движение ничем не ограничено. В большей ч асти технических задач встречаю тся л ишь несвободные твердые тела. Н есвободным назы вается такое твердое тело, на которое налож ены связи, ограничиваю щ ие его движение в некоторых направлениях.

Н апример, дл я стол а, стоящ его на пол у, связью явл яется пол , который не дает стол у перемещ аться вертикально вниз. П ри этом, стол оказы вает на пол действие, которое называется силой давления на связь. В свою очередь, пол оказывает противодействие, то есть действует на стол с силой, равной давлению , но противополож но направленной. Э та сил а называется реакц ией

13 связи. П ри этом, сил а давления прилож ена к связи, а реакц ия связи прилож ена к тел у.

В се сил ы , действую щ ие на твердое тело, мож но разделить на две груп п ы : сил ы активные и реакц ии связей.

Реакц ия связи всегда направлена в сторону, противополож ную той, куда связь не дает двигаться . Величина реакц ии, а в некоторых сл уч аях и направление, зависят от внешних сил , прилож енных к тел у. Е сл и внешние сил ы отсутствую т, то отсутствую т и реакц ии связей.

Уравнения статики написаны дл я свободных тел , поэтому нуж но каким-то образом, свести рассмотрение несвободного тела к свободному тел у. Э той ц ели сл уж ит принцип ос вобож даем ост и от с вязей (ак сиом а несвободного т ела): “несвободное тело мож но рассматривать как свободное, если мы сленно отбросить связи и заменить их действия реакц иями связей”.

Рассмотрим основные виды связей.

Ш арнирно-неподвиж ная опора (цилиндрич еск ий шарнир).

П римером шарнирно-неподвиж ной опоры могут сл уж ить петли дверных и оконных рам, подшипники и т.д. С вязь представл яет собой ж естко закрепленны й пол ы й ц ил индр, в который вставлен сп лошной ц ил индр (рис. 5.1.).

П ри этом внутренний ц илиндр свободно вращ ается относительно внешнего, но не может сдвинуться в

п лоскости перпендикул ярной оси ц илиндра. Вдоль оси ц ил индра сдвиг возможен, поэтому реакц ия леж ит в п лоскости, перпендикул ярной оси ц ил индра (рис. 5.2.). Н аправление реакц ии зависит от внешних сил , прилож енных к тел у. Реакц ия проходит через ц ентр шарнира и точку соприкосновения внутреннего и внешнего ц илиндров.

14 Д л я удобства при решении задач реакц ия шарнира раскл адывается на

две взаимно перпендикул ярные составл яю щ ие (рис. 5.3.).

С вободное

опирание.

Н а рис.5.4.(а ,б,в) приведены примеры свободного опирания .

15 П ри свободном опирании реакц ия направлена перпендикул ярно общ ей

касательной в точке соприкосновения тела и связи в сторону, противополож ную той, куда связь не дает тел у двигаться .

В примере на рис.5.4.а дл я точки А общ ей касательной явл яется поверхность пол а, а дл я точки В поверхность самой балки. Н а рис.5.4.б общ ей касательной дл я точки D явл яется поверхность балки, а дл я точки С поверхность опоры . Н а рис.5.4.в общ ая касательная – это воображ аемая л иния , обозначенная п унктиром.

Ш арнирно-подвиж ная опора (к ат ок ). Реакц ия катка определ яется так ж е, как и при свободном опирании

(рис. 5.5.а ,б).

Невесомый ст ерж ень с двум я шарнирам и. Е сл и в задаче встреч ается невесомы й стержень с двумя шарнирами, то

реакц ия направлена вдоль стерж ня . Точка прилож ения реакц ии находится на теле, освобож даемом от связи. Н аправление реакц ии обусловлено внешней нагрузкой.

Е сл и реакц ия направлена к разрезу, как в точке С , то стержень растянут. Е сл и реакц ия направлена от разреза, как в точках А и В , то стержень сж ат (рис. 5.6 а ,б).

Гибк ие с вязи (цепи, веревк и, к анат ы, и т .д.). Реакц ия гибкой связи всегда направлена вдоль связи от тела, так как

такая связь может быть только растянутой.

16 Блок . Бл ок – это гибкая связь, у которой второй конец переброшен через

диск и на конц е приложена сил а (груз), (рис.5.7.а ). Блок меняет направление сил ы , но не меняет ее величины . П рименяя принц ип освобож даемости от связи в этом сл уч ае, отбрасываем груз вместе с диском. Точка прилож ения реакц ии находится на теле. Реакц ия направлена также, как в сл уч ае гибкой связи (рис.5.7.б).

С ферич ес к ий шарнир. Э тот вид связи встречается только в пространственных задач ах.

С ф ерический шарнир представл яет собой две влож енные друг в друга сферы . Внешня я сфера ж естко закреп лена, а внутрення я свободно вращ ается . Как и в

сл уч ае ц ил индрического шарнира, реакц ия проходит через ц ентр шарнира, и точку соприкосновения сфер. Е е направление и величина обусловлены внешней нагрузкой. Д л я удобства реакц ию раскл адываю т на три взаимно перпендикул ярные составл яю щ ие (рис. 5.8. а ,б).

П одпят ник . Как и сферический шарнир, подп ятник встреч ается , в основном, в

пространственных задач ах. О н представл яет собой ц илиндрический шарнир с упором на одном конц е, поэтому к двум составл яю щ им реакц ии

17 ц ил индрического шарнира добавл яется реакц ия от упора, которая направлена всегда в сторону противополож ную упору (рис. 5.9.а ,б). В точке А подп ятник, а в точке В ц илиндрический шарнир. Е сли подп ятник встречается в п л оской задаче, то одна из составл яю щ их реакц ии, АХ , будет отсутствовать.

Заделк а. Рассмотрим заделку в сл уч ае п л оской задачи. П римером может

сл уж ить п л ита, вц ементированная в стену, гвоздь вбитый в стену и т.д. Э тот вид связи не позвол яет тел у не только сдвинуться в какую -л ибо сторону, но и повернуться на какой-л ибо угол . С ледовательно, к двум составл яю щ им реакц ии заделки нуж но добавить момент заделки Am (рис. 5.10.).

П рим е ры освобожд е н ия те л от с вязей.

П ример 1.

П ример 2.

П ример 3.

18 § 6. Ус ловия равн ове с ия с ис те м ы с ил.

П усть дана система сил )FFF(S nΚ21 . Главным век т ором системы сил называется построенный в пол ю се А

свободны й вектор ∑=

=n

iiA FR

1(рис. 6.1.)

Главным м ом ент ом системы сил относительно пол ю са А называется

векторная сумма моментов сил , вы численных относительно пол ю са А (рис. 6.2.).

Т еорем а (необходимое и достаточное условие равновесия системы сил ).

Д л я того чтобы система сил находил ась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы ее гл авный вектор и гл авный момент относительно произвольного ц ентра бы ли равны нул ю , то есть:

0=AR , (6.1) 0=Am . (6.2)

1F 2F

3F

1F

2F

nF

AR

Рис. 6.1.

А

AR

А

1F

2F

nF

1r

2r

nr

( )1A Fm

( )2A Fm

( )nA Fm

[ ]∑=

=n

1iiiA F,rM

Рис. 6.2.

19 Уравнения (6.1) и (6.2) представл яю т собой два векторных уравнения .

Е сл и расписать их в проекц иях на оси то пол учим шесть ал гебраичнских уравнений, которые называю т уравнениями равновесия дл я пространственной системы сил :

∑=

=n

iixF

10 , (6.3) ∑

==

n

iix )F(m

10 , (6.6)

∑=

=n

iiyF

10 , (6.4) ∑

==

n

iiy )F(m

10 , (6.7)

∑=

=n

iizF

10 , (6.5) ∑

==

n

iiz )F(m

10 . (6.8)

Т еорем а. Д л я равновесия произвольной пространственной системы сил

необходимо и достаточно, чтобы суммы проекц ий всех сил на каж дую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей бы ли равны нул ю .

В сл уч ае п лоской системы сил векторные уравнения (6.1) и (6.2)

эквивалентны одной из ниже следую щ их систем. П ри этом уравнение (6.2) дает ал гебраическое уравнение моментов относительно точки.

1)

( )

( )

( ) ( )1160

1060

960

10

1

1

..Fm

.,F

.,F

n

ii

n

iiy

n

iix

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

Д л я равновесия произвольной п лоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекц ий всех сил на каж дую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно произвольного ц ентра, леж ащ его в п лоскости действия сил , бы ли равны нул ю .

2)

( ) ( )

( ) ( )

( )1460

1360

1260

1

1

1

..F

.,Fm

.,Fm

n

iix

n

iiB

n

iiA

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

Д л я равновесия произвольной п лоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил этих относительно каких-

RА

В

А

О Х

20 нибудь двух ц ентров А и В и сумма их проекц ий на ось О Х , не перпендикул ярную прямой АВ , бы ли равны нул ю .

3)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1760

1660

1560

1

1

1

.,Fm

.,Fm

.,Fm

n

iiC

n

iiB

n

iiA

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

Д л я равновесия произвольной п л оской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно л ю бого из трех ц ентров А , В и С , не леж ащ их на одной прямой, бы ли равны нул ю .

В сл уч ае системы тел решение задач статики усл ож няется . В число неизвестных помимо реакц ий связей войдут усилия или моменты , возникаю щ ие меж ду телами системы . Э то требует привлечения дополнительных уравнений. П риходится разбивать систему на ч асти и рассматривать равновесие каж дого тела, привлекая ф ормул ы (6.3) – (6.9) в пространственном сл уч ае и ф ормул ы (6.9) – (6.11) [(6.12) – (6.14), (6.15) – (6.17)] в п лоском сл уч ае.

§ 7. П рим е ры .

П ри решении задач статики обы чно придерж иваю тся следую щ его ал горитма:

1) определ яю т тело (систему тел ) , равновесие которого (которой) надо

рассмотреть, чтобы определить искомые величины . Вводят систему координат;

2) если среди заданных активных сил есть распределенные сил ы , то их заменяю т равнодействую щ ей (см. § 4);

3) определ яю т связи и их типы (см. § 5); 4) мы сленно отбрасываю т связи, налож енные на тело (систему тел ) и

заменяю т связи реакц иями связей. П ри этом точка прилож ения реакц ии находится на рассматриваемом теле;

5) рассматриваю т равновесие несвободного тела (системы тел ) как тела свободного под действием активных сил и реакц ий связей, то есть применяю т уравнения равновесия (6.3) – (6.8) дл я пространственной системы сил или (6.9) – (6.11) [(6.12) – (6.14), (6.15) – (6.17)] дл я п л оской системы сил ;

6) решаю т уравнения и находят искомые величины . Как правило, ими явл я ю тся реакц ии связей.

21 Зад ача № 1 С терж ни АС и В С соединены меж ду собой и с

вертикальной стеной посредством шарниров. Н а шарнирны й болт С действует вертикальная сил а

HP 1000= . О пределить реакц ии этих стерж ней на шарнирны й болт С , если угл ы , составл яемые стерж нями со стеной равны : ο30=α , ο60=β (рис. 7.1.).

Решение: Возьмем нач ало координат в точке С ,

равновесие которой мы рассматриваем. Н аправим ось х горизонтально вправо, а ось y – вертикально вверх. Н а рисунке 7.2. укаж ем реакц ии стерж ней АС и В С на шарнир С . Так как реакц ия шарнирно опертого невесомого стерж ня направлена вдоль него, то сил ы Т1 и Т2, направим от точки С к точкам А и В соответственно, предпол агая что стерж ни растянуты .

П ол уч аем сходящ ую ся систему сил (система сил , линии действия которых пересекаю тся в одной точке). С умма проекц ий всех сил на ось x дол ж на быть равна нул ю и сумма проекц ий всех сил на ось y дол ж на быть равна нул ю .

Уравнения моментов не будет, потому что каж дая из сил проходит через пол ю с С , и значит ее момент относительно этого пол ю са равен нул ю .

22 Н аходим значения проекц ий всех сил на выбранные координатные оси:

П роекц ия сил ы на ось С ил а x y Т1 −Т1⋅sin α T1⋅cos α Т2 −Т2⋅sin β −T2⋅cos β Р 0 −P

С оставл яем уравнения равновесия шарнира С :

=

=

∑

∑

=

=

;F

;F

n

iiy

n

iix

0

0

1

1

=−⋅−⋅=⋅−⋅−

.PcosTcosT;sinTsinТ

00

21

21

βαβα

И з первого уравнения находим выраж ение дл я Т1:

.αsinβsinTT ⋅−= 21

И з второго уравнения пол уч им выраж ение дл я Т2 :

.coscos

sinsin

PT

+⋅

−=βα

αβ2

О ткуда следует, что HT 5002 −= . Знак « минус» указывает на противополож ное направление сил ы Т2 показанному на рисунке. HT 8661 = .

О твет: HT 8661 = – стержень растягивается ; HT 5002 −= – стержень испытывает сж атие.

Зад ача № 2.

Н а двухконсольную горизонтальную балку действует п ара сил (P, P),

на левую консоль – равномерно распределенная нагрузка интенсивности p, а

23 в точке D правой консоли – вертикальная нагрузка Q (рис. 7.3.). О пределить реакц ии опоры , если P=1к Н , Q=2к Н , p=2к Н /м , a=0,8м .

Решение : Н а рисунке 7.4. сил а 1P изображ ается по середине отрезка С А , так как

нагрузка распределена равномерно.

.к Н,,apP 618021 =⋅=⋅=

Введем оси координат х, у. В точке А отбрасы ваем связь – шарнирно-неподвиж ную опору и заменяем ее реакц иями связи AA Y,X . В точке В находится шарнирно-подвиж ная опора, ее заменяем реакц ией BR . С истема сил , действую щ ая на бал ку, явл яется п лоской. Запишем три уравнения равновесия : два уравнения проекц ий и уравнение моментов относительно точки А (6.9) – (6.11). В ыбор точки А в качестве ц ентра обусловлен тем, что через нее проходят две реакц ии связи AA Y,X , и ( ) ( ) 0== AAAA YmXm . Таким образом, в уравнение моментов будет входить только одна неизвестная реакц ия BR , что сущ ественно упрощ ает его решение. Действие п ары сил характеризуется полож ительны м моментом, равны м по величине p·a, которы й момент входит только в уравнение моментов.

( ) ;aPaQaRPa,Fm

;QRPY,F

;X,F

B

n

iiA

BA

n

iiy

A

n

iix

02

320

00

00

11

11

1

=+⋅−⋅+=

=−+−=

==

∑

∑

∑

=

=

=

24

=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅

=−+−=

0;280610,832-0,82R0,81

02610

B,,

;R,Y;X

BA

A

===

.,R;,Y;X

B

A

A

12510

О твет: 0=AX ; 51,YA = ; 12,RB = .

Зад ача № 3. Г оризонтальная балка

AC, опертая в точках B и C, несёт меж ду опорами В и С

равномерно распредел ённую нагрузку интенсивностью q Н /м ; на уч астке АВ интенсивность нагрузки уменьшается по л инейному закону до нул я (рис. 7.5.). Н айти реакц ии

опор В и С , пренебрегая весом балки. Решение: Заменяем распредел ённые нагрузки сосредоточенными сил ами. Q2

действует по середине В С , так как нагрузка постоянная . Q1 делит отрезок АВ в отношении 1:2, так как нагрузка распределена по линейному закону. В точке В одна реакц ия , так как связь – подвиж ны й шарнир, в точке С две реакц ии, так как связь – неподвиж ны й шарнир (рис. 7.6.).

25

.qaQ

;qbQ

21

1

2

=

=

С истема уравнений равновесия дл я заданной задачи имеет вид

( ) .Fm

,F

,F

n

iiC

n

iiy

n

iix

0

0

0

1

1

1

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

.X;b

abqY);b

aba(qR

.bQ)ab(QbR

;QQYR;X

CCB

b

cb

c

036

336

023

00 22

21

12 =

−=++=⇔

=+++−

=−−+=

О твет: ;Н)b

aba(qRB

233

6++= ;Н

babqYc

−=

23

60=cX Н .

Зад ача № 4.

О пределить реакц ии заделки консольной балки, изображ енной на рис.7.7. и находящ ейся под действием равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенной сил ы и п ары сил .

26 Решение: Н а рис.7.8. Q изображ ается одной силой прилож енной в середине

отрезка АВ =3м , потому что нагрузка распределена равномерно, 54351 ,,Q =⋅= к Н .

О тбрасывая заделку в точке А , заменяем ее реакц иями связи AA Y,X и моментом mA. С оставл яем два уравнения проекц ий и уравнение моментов, которые берем относительно точки С .

=⋅−−+=⋅+−

=⋅−

05253045

045

AA

A

A

YQ,msinPQY

PcosXο

ο

−=⋅++⋅−==−=

==

25557125453718254

8222

,,,,m,,,Y

,X

A

A

A

О твет: XА=2,8 к Н , YА=2,8 к Н , mА= –5,25к Н ·м .

Зад ача № 5.

27 П ол ка ABCD вагона, которая мож ет вращ аться вокруг оси АВ ,

удерж ивается в горизонтальном положении стерж нем ED, прикрепл ённым при помощ и шарнира Е к вертикальной стене В АЕ . Вес полки и леж ащ его на ней груза Р равен 80 Н и прилож ен к точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.

Д аны размеры : АВ =150см , AD=60см , АК=В Н =25см . Д лина стерж ня ED=75см . О пределить усилие S в стерж не ED, пренебрегая его весом, и реакц ии петель К и Н (рис.7.9.).

Решение: Так как Н и К ц ил индрические шарниры , то они заменяю тся

реакц иями .Z,Z,X,X KHKH С ил а S действует вдоль стерж ня ED (рис. 7.9.).

159

=αsin , 1512

7560

===DEADαcos ,

; -AB-BHHA 12525150 ===

225144-1sin =α .

С оставл яем уравнения дл я пространственной системы сил :

;XXcosS;F КН

n

iix 00

1=++=∑

=α (1)

0001

==∑=

;Fn

iiy ; (2)

;PZZsinS;F КН

n

iiz 00

1=−++=∑

=α (3)

( ) ;HAZАКZABP;Fm НК

n

iix 0

210

1=−−=∑

= (4)

( ) ;ADsinSADP;Fmn

iiy 0

210

1=−=∑

=α (5)

( ) ;.HAXKAX;Fm НК

n

iiz 00

1=+=∑

= (6)

И з уравнения (5) находим

.НADαsin

ADPS3266

181200

181580

2==== (7)

И з уравнения (6) имеет связь реакц ий НК X,X

НК XX 12525 −= ; НК XX 5−= (8) П одставл я я (7) и (8) в (1), пол уч аем

28

051512

3200

=−+ НН XX ; НX Н 3113= ; НX К 3

266−= ;

Уравнения (3) и (4) решаем относительно КZ и НZ с учетом (7).

PZsinSZ НК +−−= α ; 021

=−− HAZAKZABP НК ;

012580252525159

32006000 =−−++ НН ZZ ;

200010006000100 +−−=− НZ ;

НZН 50= ; 8050159

3200

+−−=КZ ; НZК 10−= .

О твет: ,НS3266= НX К 3

266−= , ,НZК 10−= ,НX Н 3113=

.НZН 50=

Зад ача № 6.

29 О пределить усилие в шести опорных стерж нях, поддерж иваю щ их

квадратную п л иту ABCD, при действии горизонтальной сил ы P вдоль стороны AD. Размеры указаны на рис.7.10.

Решение: П ерейдем к эквивалентной системе сил : мы сленно отбросим стерж ни

заменим их действия реакц иями Si; Н аправл яем векторы сил Si в предполож ении, что все стерж ни сж аты (рис. 7.11).

С оставим уравнения равновесия (6.3) – (6.5) – проекц ии сил на оси координат; (6.6) – (6.8) – проекц ии моментов сил относительно координатных осей:

;cosScosS;Fn

iix 045450 25

1=⋅+⋅=∑

=

οο

;cosSP;Fn

iiy 0450 4

1=⋅+=∑

=

ο

;SsinSsinSSsinSS;Fn

iiz 04545450 654321

1=+⋅+⋅++⋅+=∑

=

οοο

( ) ;aSsinaSaSaP;Fmn

iix 0450 321

1=⋅+⋅⋅+⋅+⋅−=∑

=

ο

( ) ;aSaS;Fmn

iiy 00 61

1=⋅−⋅−=∑

=

( ) .cosaSaP;Fmn

iiz 0450 2

1=⋅⋅−⋅=∑

=

ο

30 С истема статически определима: ч исло уравнений равно ч исл у

неизвестных. Н айдем усилия Si в стерж нях. Е сл и значение Si будет отриц ательным, то это будет обознач ать, что данны й i-й стержень не сж ат, а растянут.

;Pcos

PS

;PSS

;Pcos

PS

⋅−=−=

⋅−=−=

⋅==

245

2

245

4

25

2

ο

ο

=+

=+⋅

++−

=+⋅

−⋅

−+⋅

+

;SS

;SPSP

;SPPSPS

0

02

22

02

222

222

22

61

31

631

=+=+

=+−+

;SS;SS

;SPSS

00

0

61

31

631

.PS,PS,PS;SPSS

;SS;SS

==−=⇒

=+−−−=−=

621

111

16

13

0

О твет: PS;PS;PS;PS;PS;PS =−=−===−= 654321 222 .

Зад ача № 7.

31 О днородная прямоугольная рама весом 20Н прикреплена к стене при

помощ и шарового шарнира А и петли В и удерж ивается в горизонтальном полож ении веревкой С Е , привязанной к точке С рамы и к гвоздю Е , вбитому в стену на одной вертикали с А , причем ∠Е С А=∠В АС=30°.

О пределить натяж ение веревки и опорные реакц ии (рис. 7.12.).

Решение:

О тбросим шаровой шарнир в точке А , заменив его реакц иями связи AAA Z,Y,X . П етл я В явл яется ц илиндрическим шарниром, который

позвол яет перемещ ение вдоль оси Ау. Реакц иями связей в этой точке будут BA Z,X . Веревка С Е явл яется гибкой связью , ее реакц ия CR направлена по

С Е к точке Е (рис. 7.13.). Вес рамы прилож ен в точке Lпересечения диагоналей прямоугольника ABCD.

С оставим уравнения равновесия пространственной системы сил (6.3) – (6.8):

;sincosRXX;F CBA

n

iix 030300

1=⋅⋅−+=∑

=

οο

;cosRY;F CA

n

iiy 0300 2

1=−=∑

=

ο

;PsinRZZ;F CBA

n

iiz 0300

1=−++=∑

=

ο

( ) ;LMPsinDCRABZ;Fm CB

n

iix 0300

1=⋅−⋅⋅+⋅=∑

=

ο

( ) ;BCsinRLNP;Fm C

n

iiy 0300

1=⋅⋅−⋅=∑

=

ο

( ) .ABX;Fm B

n

iiz 00

1=⋅−=∑

=

32 У ч итывая , что AB=DC, LM= ½ AB, LN=½ BC, пол учим

=

=⋅−⋅

=⋅−+

=−++

=

=⋅−+

.X

;R

;RZ

;RZZ

;RY

;RXX

B

C

CB

CBA

CA

CBA

0

021

2120

02120

23

02021

43

043

( )

.X;R

;Z

;Z

;Y;X

B

C

B

A

A

A

020

131031010

310

1535

==

−−=−=

=

==

Знак « минус» у реакц ии BZ означ аем, что она направлена в

противополож ную сторону. О твет: 35=AX Н , 15=AY Н , 310=AZ Н , 20=CR Н , 0=BX Н , ( )1310 −−=BZ Н .

Зад ача № 8. Кронштейн состоит из горизонтального бруса AD (рис. 7.14.) весом

151 =P Н , прикрепленного к стене шарниром, и подкоса С В весом 122 =Р Н , которы й с брусом AD и со стеной такж е соединен шарнирами (все размеры показаны на чертеже). К конц у D бруса подвешен груз весом 30=Q Н . О п ределить реакц ии шарниров А и С , считая брус и подкос однородными.

33

Решение: О тбрасы вая внешние связи, рассматриваем равновесие всего

кронштейна в ц елом. Н а него действую т заданные сил ы Q,P,P 21 и реакц ии связей .Y,X,Y,X CCAA Кронштейн, освобож денны й от внешних связей, не образует ж есткой конструкц ии (брусья могут поворачиваться вокруг шарнира В ), но по принц ип у отвердевания действую щ ие на него сил ы при равновесии дол ж ны удовлетворять усл овиям равновесия статики. С оставл я я эти условия , найдем:

,XXF CA

n

iix 0

1=+=∑

=

,QPPYYF CA

n

iix 021

1=−−−+=∑

=

( ) .aQaPaPaYaXFm CC

n

iiA 0424 12

1=⋅−⋅−⋅−⋅−⋅=∑

=

П ол ученные три уравнения содерж ат, как видим, четыре неизвестных

.Y,X,Y,X CCAA Д л я решения задачи рассмотрим допол нительно усл овия равновесия бруса AD (рис.7.15.).

Н а него действую т сил ы Q,P1 и реакц ии .Y,X,Y,X BBAA Н едостаю щ ее

нам четвертое уравнение составим, беря моменты этих сил относительно ц ентра В (тогда в уравнение не войдут новые неизвестные )Y,X BB .

34

П ол учим :

( ) .aQaPaYFm A

n

iiB 03 1

1=⋅−⋅+⋅−≡∑

=

Решая теперь систему четырех составленных уравнений (начиная с

последнего), найдем:

( ) 531

1 −=−= QPYA Н , 6234

32

21 =++= QPPYC Н ,

5634

21

32

21 =++= QPPX C Н , 56−=−= CA XX Н .

И з пол ученных результатов видно, что сил ы AX и AY имею т

направления , противополож ные показанным на чертеже. Реакц ии шарнира В , если их надо определить, найдутся из уравнений проекц ий на оси x и y сил ,

действую щ их на брус AD, и будут равны 501 =−+=−= ABAB YQPY;XX Н . О твет: 56−=AX , 5−=AY Н , 56=CX Н , 62=CY Н .

35 § 8. Кон трольн ы е вопрос ы д ля с ам опрове рк и ос таточн ы х зн ан ий.

1) Чему равен гл авны й вектор п ары сил ? А гл авный момент? 2) Записать уравнение равновесия сходящ ейся системы сил в

пространственном сл уч ае! В п л оском сл уч ае! 3) Чем отлич аю тся условия равновесия от уравнений равновесия ! 4) Расстояние от л инии действия сил ы до пол ю са равно h. Чему равен

момент сил ы относительно пол ю са? Куда он направлен? 5) В каких сл уч аях момент сил ы относительно пол ю са равен нул ю ?

А относительно оси? 6) Куда направлена реакц ия невесомого абсол ю тно ж есткого

шарнирно опертого стерж ня (А гибкой нити)? 7) П оказать на каком-либо примере, что дл я п л оского сл уч ая

уравнения равновесия (6.9) – (6.11); (6.12) – (6.14); (6.15) – (6.18) – эквивалентны .

8) Решить задач у № 1 с помощ ью уравнения трех моментов. 9) Г л авны й вектор сил относительно пол ю са O равен 0R , гл авны й

момент 0M ; как изменится гл авны й вектор и гл авны й момент сил при изменении пол ю са на O′.

10) П очему заменя я распределенную нагрузку сосредоточенной силой помещ аем ее в ц ентре тяжести?

11) Какие задачи называю тся статически неопределимыми? 12) С колько реакц ий имеет консольная заделка? П очему? 13) Куда направлена реакц ия сферического шарнира? 14) П еречислите основания механической модели. 15) С ф ормул ируйте аксиомы статики. 16) Что такое сил а? А п ара сил ? 17) Какое действие на тело оказываю т прямо противополож ные сил ы ?

А п ара сил ? 18) С ил а F проходит через нач ало координат. Н айти

( ) ( ) ( )FM,FM,FM zyx ?

36

§ 9. Зад ан ия д ом аш н е й к он трольн ой работы .

О пре д е ле н ие ре ак ции опор с ос тавн ой к он с трук ции (с ис те м а д вух те л) [4].

н о мер

в а риа н т а (рис . 1-30)

Р 1 кН

Р 2 кН

М , кН · м

q, кН /м

И с ко м а я реа кция

1 5,0 24,0 0,8 XА 2 6,0 10,0 22,0 1,0 RA 3 7,0 9,0 20,0 1,2 RB 4 8,0 ─ 18,0 1,4 MA 5 9,0 ─ 16,0 1,6 RA 6 10,0 8,0 25,0 1,8 MA 7 11,0 7,0 20,0 2,0 RB 8 12,0 6,0 15,0 2,2 MA 9 13,0 ─ 10,0 2,4 XA

10 14,0 ─ 12,0 2,6 RA 11 15,0 5,0 14,0 2,8 RD 12 12,0 4,0 16,0 3,0 RB 13 9,0 6,0 18,0 3,2 RA 14 6,0 ─ 20,0 3,4 MA 15 5,0 8,0 22,0 3,6 MB 16 7,0 10,0 14,0 3,8 RB 17 9,0 12,0 26,0 4,0 RA 18 11,0 10,0 18,0 3,5 MB 19 13,0 9,0 30,0 3,0 MB 20 15,0 8,0 25,0 2,5 RB 21 10,0 7,0 20,0 2,0 RA 22 5,0 6,0 15,0 1,5 RA 23 8,0 5,0 10,0 1,4 RA 24 11,0 4,0 5,0 1,3 MA 25 14,0 6,0 7,0 1,2 RB 26 12,0 8,0 9,0 1,1 RB 27 10,0 7,0 11,0 1,0 XA 28 8,0 9,0 13,0 1,2 RA 29 6,0 10,0 15,0 1,4 MA 30 10,0 12,0 17,0 1,6 MB

37

38

39

40 П рим е р вы полн е н ия зад ан ия.

Дан о: схема конструкц ии; 1Р =5к Н , 2Р =7к Н ; М = 22 мк Н ⋅ ; q=2к Н /м ; α=60 .̊ Ре ш е н ие . 1. О пределение реакц ии опоры А при шарнирном соединении в точке С . Рассмотрим систему уравновешиваю щ ихся сил , прилож енных ко всей конструкц ии. С оставим уравнение моментов сил относительно точки В . Д л я упрощ ения вы числения момента сил ы 1Р

ρ, разлож им ее на вертикальную и

горизонтальную составл яю щ ие: 526011 ,соsРР o ==′ к Н ; 3346011 ,sinPР o ==′′ к Н ,

( ) 01

=∑=

n

iiB Fm ; 05,10,115183 22

211 =++−⋅+⋅−⋅−⋅′′+⋅′ PMXYQPР AA (1)

где Q = q · 4 = 2 · 4 = 8 к Н . П осле подстановки данных и вы числений уравнение (1) пол уч ает вид 74,245 −=− AA YX к Н . (1')

Второе уравнение с неизвестными АХ и AY пол учим, рассмотрев систему

уравновешиваю щ их сил , приложенных к ч асти конструкц ии, располож енной левее шарнира С :

( ) 01

=∑=

n

iiC Fm ; 034261 =⋅−⋅+⋅+⋅′′ AA YXQP ,

или после вы числений 98,4134 −=− AA YX к Н (2)

Решая систему уравнений (1') и (2), находим: 977,X A −= к Н , 363,YA = к Н .

М одуль реакц ии опоры А при шарнирном соединении в точке С равен 6588174363977 2222 ,,,,YXR AAA ==+=+=′ к Н .

41

§ 10. Спис ок зад ач д ля с ам ос тояте льн ой работы [2]. Н омера:

1.2, 1.4, 2.1, 2.6, 2.7, 2.17, 2.18, 2.19, 2.29, 2.30, 2.38, 2.39, 2.40, 3.4, 3.8, 3.12, 3.14, 3.15, 3.16, 3.18, 3.19, 3.22, 4.3, 4.7, 4.11, 4.19, 4.25, 4.26, 4.31, 4.33, 4.34, 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.20, 8.21, 8.22, 8.23, 8.24, 8.25.

42 Лите ратура

О с н овн а я литер а тур а

1. Тарг С . М . Краткий курс теоретической механики : учеб. дл я студ. втузов / С . М . Тарг.-12-е изд., стер.-М .: В ы сш . шк., 2002. – 416 с.

2. М ещ ерский И .В . Задачи по теоретической механике : учеб. пособие дл я студ. вузов, обуч . по техн. спец иальностям / И . В . М ещ ерский; под ред. В . А. П альмова, Д . Р. М еркина.-С П б.: Л ань, 2004. – 447,с.

3. Я блонский А. А. Курс теоретической механики : учеб. пособие дл я студ.вузов, обуч . по техн. спец иальностям / А. А. Я блонский, В . М . Н икиф орова.-8-е изд., стер.-С П б.: Л ань, 2001. – 763 с.

Дополн ительн а я литер а тур а

4. Я блонский А. А. С борник заданий дл я курсовых работ по теоретической механике : учеб. пособие дл я студ. втузов / А. А. Я блонский, [и др.].-М .: И нтеграл -П ресс, 2004. – 382 с.

5. Бать М .И . Теоретическая механика в примерах и задач ах : учеб. пособие дл я студ. втузов : в 3 т. / М . И . Бать, Г . Ю . Д ж анелидзе, А. С . Кельзон.- М .: Н аука, 1990. - Т .1 : С татика и кинематика. – 670 с.

6. Краткий справочник дл я инженеров и студентов. В ы сшая математика. Ф изика. Теоретическая механика. С опротивление материалов / А. Д . П ол янин [и др.]-М .: М еж дунар. прогр. образования , 1996. – 431с.

7. Бухгольц Н .Н . О сновной курс теоретической механики : учеб. дл я гос. ун-тов / Н .Н . Бухгольц ; в переработке и с доп . С .М . Тарга. — М .: Н аука, 1972. - Ч.1: Кинематика, статика, динамика материальной точки. – 467с.

43

У чебное издание Решение задач по теоретической механике. С татика.

У чебно-методическое пособие дл я вузов.

С оставители: Чеботарев Андрей С ергеевич

Щ е глова Ю л ия Д митриевна Редактор Котл ярова Е .С .

_________________________________________________________________________ П одписано в печать 21.09.2006. Ф ормат 60х84/16. Усл . п . л . 2,75. Тираж 100. Заказ 714.

И здательско-полиграф ический ц ентр Воронеж ского государственного университета.

394000, г. Воронеж , Университетская п л ощ адь, 1, ком.43, тел .208-853. О тпеч атано в л аборатории оперативной печ ати И П Ц В Г У .