Математика. Индивидуальные домашние...
TRANSCRIPT
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)
МАТЕМАТИКА
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
В четырех частях
Часть 1
Ульяновск 2011
ББК В1я7
М 34
Математика. Индивидуальные домашние задания : учеб.-метод. пособие :
в 4 ч. : Ч. 1 / сост. В. П. Глухов, С. П. Никонова, Н. В. Зорькина, Л. В. Миро-
нова, Н. В. Глухова. Ульяновск : УВАУ ГА(И), 2011. 104 с.
Пособие состоит из восьми глав. В начале каждой главы приведены необ-
ходимые теоретические сведения и формулы по определенной теме учебной
программы, после чего представлены 35 вариантов заданий для индивиду-
альной домашней работы.
Предназначено для самостоятельной работы курсантов первого курса
специализаций 162001.65.01 – Организация летной работы, 162001.65.02 –
Организация использования воздушного пространства.
Печатается по решению Редсовета училища.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Индивидуальное домашнее задание № 1. Операции над матрицами.
Вычисление определителей ......................................................................................... 3
Индивидуальное домашнее задание № 2. Различные способы решения
систем линейных уравнений. Исследование систем на совместность.................. 11
Индивидуальное домашнее задание № 3. Скалярное, векторное
и смешанное произведения векторов ....................................................................... 19
Индивидуальное домашнее задание № 4. Операции
над множествами. Числовые множества .................................................................. 39
Индивидуальное домашнее задание № 5. Элементы
математической логики и теории графов ................................................................. 49
Индивидуальное домашнее задание № 6. Область определения
функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики .................. 65
Индивидуальное домашнее задание № 7. Вычисление пределов функций ....... 77
Индивидуальное домашнее задание № 8. Исследование функций
на непрерывность. Определение типа точки разрыва ............................................ 93
Приложение.........................................................................................................102
Ульяновское высшее авиационное училище
гражданской авиации (институт), 2011
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Операции над матрицами. Матрицей размера mn называется таблица
чисел ai,j, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n,
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
ааа
...
............
...
...
21
22221
11211
,
состоящая из m строк и n столбцов. Матрица, у которой число строк равно
числу столбцов (m = n), называется квадратной.
Матрица, у которой на главной диагонали единицы, а на всех остальных
местах нули называется единичной.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0.
Квадратная матрица А = (ai,j) называется верхней треугольной (нижней
треугольной), если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под
главной диагональю (над главной диагональю):
A =
mn
n
n
a
aa
ааа
...00
............
...0
...
222
11211
, A =
mnmm aaa
aa
а
...
............
0...
0...0
21
2221
11
.
Диагональная матрица является частным случаем как верхней, так и
нижней треугольной матрицы.
Суммой (А + В) матриц А = (ai,j) и В = (bi,j) одного и того же размера
называется матрица С = (ci,j) того же размера mn, каждый элемент которой
равен сумме соответственных элементов матриц А и В:
ci,j = ai,j + bi,j, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
Произведением А матрицы А = (ai,j) на число (действительное или ком-
плексное) называется матрица В = (bi,j), получающаяся из матрицы А умно-
жением всех ее элементов на :
bi,j = ai,j, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 3
Произведением А·В (mn)-матрицы А = (ai,j) на (np)-матрицу В = (bi,j)
называется (mp)-матрица С = (ci,j), элемент которой ci,j, стоящий в i-й строке
j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки
матрицы A и j-го столбца матрицы В:
ci,j = lj
n
lil bа
1
, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p.
Матрицей, транспонированной к матрице А, называется такая матрица,
которая получена из матрицы А заменой строк соответствующими столбцами
(обозначается АТ).
Определители. В данном пункте договоримся рассматривать только
квадратные матрицы.
Определителем матрицы А называется сумма всевозможных произведе-
ний элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждо-
го столбца матрицы А, причем произведению приписывается знак «+», если
подстановка, составленная из индексов сомножителей, является четной и
знак «–», если такая подстановка является нечетной.
Если А – матрица второго порядка. Тогда определитель матрицы А есть
число, равное
|А| = а11а22 – а12а21.
Если А – матрица третьего порядка, тогда определитель матрицы А есть
число, равное
|А| = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31 – а11а23а32 – а12а21а33.
Минором элемента ai,j матрицы А называется определитель, полученный
из определителя матрицы А, вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента ai,j называется минор этого опре-
делителя, взятый со знаком (–1)i + j.
Aij = (–1)i + j Mij.
Определитель матрицы также можно вычислить как сумму произведений
элементов какой-либо ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (разложение определителя матрицы А порядка
n по i-й строке).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 4
Если |А| 0, то существует и притом единственная обратная матрица А–1
такая, что А·А–1 = А–1·А = Е, где Е – единичная матрица.
Обратную матрицу можно вычислить по формуле:
А–1 = А
1
nnnn
n
n
AАА
ААА
ААА
...
............
...
...
21
22221
11211
,
где Аij – алгебраические дополнения элементов аij матрицы А.
Варианты индивидуального домашнего задания
1. Вычислить:
1) αА + βВ;
2) произведение матриц А и В;
3) определитель произведения матриц А и В;
4) определитель матрицы В;
2. Найти матрицу обратную к матрице А.
Вариант 1
А =
115
101
012
; В =
011
231
543
; α = 4, β = 7.
Вариант 2
А =
231
112
211
; В =
111
104
012
; α = 3, β = 4.
Вариант 3
А =
110
110
132
; В =
115
101
1472
; α = –2, β = 3.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 5
Вариант 4
А =
321
210
401
; В =
142
246
153
; α = –5, β = 8.
Вариант 5
А =
401
210
321
; В =
115
101
012
; α = 3, β = –5.
Вариант 6
А =
321
210
401
; В =
125
231
135
; α = –5, β = 8.
Вариант 7
А =
145
234
121
; В =
124
210
033
; α = –5, β = 8.
Вариант 8
А =
411
131
112
; В =
51919
845
72019
; α = –1, β = 9.
Вариант 9
А =
130
021
253
; В =
401
210
321
; α = 3, β = 2.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 6
Вариант 10
А =
115
114
132
; В =
941
321
111
; α = 6, β = 12.
Вариант 11
А =
514
132
111
; В =
321
546
421
; α = 10, β = 2.
Вариант 12
А =
121
233
515
; В =
111
5315
9835
; α = –4, β = 9.
Вариант 13
А =
115
101
012
; В =
131
224
111
; α = –3, β = –11.
Вариант 14
А =
153
174
584
; В =
121
642
351
; α = 2, β = –10.
Вариант 15
А =
011
231
543
; В =
421
321
012
; α = 10, β = –1.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 7
Вариант 16
А =
351
493
772
; В =
313
213
126
; α = 10, β = –8.
Вариант 17
А =
122
212
221
; В =
121
642
351
; α = 10, β = –1.
Вариант 18
А =
412
254
123
; В =
633
210
113
; α = 7, β = –2.
Вариант 19
А =
524
203
121
; В =
114
2314
104
; α = –2, β = 6.
Вариант 20
А =
221
1241
651
; В =
1111
511
321
; α = 3, β = –7.
Вариант 21
А =
1415
533
123
; В =
164
2156
093
; α = –2, β = 23.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 8
Вариант 22
А =
247
114
264
; В =
432
422
732
; α = –3, β = 2.
Вариант 23
А =
114
112
548
; В =
931
421
333
; α = 11, β = –3.
Вариант 24
А =
112
116
544
; В =
332
422
112
; α = –2, β = –2.
Вариант 25
А =
324
012
747
; В =
121
445
142
; α = –3, β = 4.
Вариант 26
А =
924
610
301
; В =
141
485
2123
; α = 3, β = 11.
Вариант 27
А =
110
101
1536
; В =
0215
3912
113
; α = –1, β = 4.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 9
Вариант 28
А =
122
126
004
; В =
1114
2014
1024
; α = 3, β = 2.
Вариант 29
А =
324
420
101
; В =
242
233
171
; α = 7, β = 2.
Вариант 30
А =
111
115
002
; В =
1114
107
415
; α = –1, β = 2.
Вариант 31
А =
125
101
022
; В =
021
261
10166
; α = 3, β = –2.
Вариант 32
А =
110
220
262
; В =
2210
101
1171
; α = –3, β = 5.
Вариант 33
А =
321
420
021
; В =
242
233
171
; α = –2, β = 8.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 10
Вариант 34
А =
222
113
4410
; В =
1114
2014
3112
; α = 10, β = –5.
Вариант 35
А =
115
101
012
; В =
110
204
514
; α = –1, β = 8.
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 2
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ НА СОВМЕСТНОСТЬ
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными
..................................................
,...,...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
Систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:
А Х = В,
где A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
ааа
...
............
...
...
21
22221
11211
– главная матрица системы; Х =
nx
x
x
...2
1
– мат-
рица-столбец неизвестных системы; В =
nb
b
b
...2
1
– матрица-столбец свободных
элементов системы.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 11
Матрица Α , полученная присоединением к матрице А столбца из свобод-
ных элементов называется расширенной матрицей системы
Α ....
...
...........
...
...
2
1
21
22221
11211
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то система
называется совместной, в противном случае она называется несовместной.
Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется
ее рангом. Обозначается: rang A.
Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система линейных урав-
нений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы rang А = rang Α .
Если rang А = rang Α = n (n – число неизвестных), то система имеет един-
ственное решение.
Если rang А = rang Α < n, то система имеет бесконечное множество решений.
Если rang А < rang Α , то система несовместна.
Задача нахождения решения системы линейных уравнений состоит в
применении методов, позволяющих узнать, совместна ли данная система
уравнений или нет, в случае совместности установить число решений, а так-
же указать способ найти все эти решения.
Мы начнем с метода, наиболее удобного для практического отыскания
решений систем с числовыми коэффициентами, а именно метода последо-
вательного исключения неизвестных или метода Гаусса.
С помощью элементарных преобразований над строками расширенная
матрица системы Α может быть приведена к виду (предположим, что a11 0):
.
..........00
................
.......
00
0.......
)1(
3
2
1
)1(
3
2
33
22
11211
rr
rrn
n
n
n
b
b
b
b
a
a
a
a
aaaa
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 12
Преобразованная матрица является расширенной матрицей системы, ко-
торая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной си-
стеме линейных уравнений.
Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом
система будет несовместной, если в процессе преобразований мы получим
уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а
свободный элемент отличен от нуля; если же мы такого уравнения не встре-
тим, то система будет совместной. Совместная система уравнений будет
иметь единственное решение, если r = n, и иметь бесконечное множество ре-
шений, если r < n.
В том случае, если у системы линейных уравнений число неизвестных
равно числу переменных и определитель главной матрицы системы отличен
от нуля ( 0), то для нахождения решения системы (и притом единственно-
го) применяют методы Крамера и матричный метод.
Метод Крамера позволяет находить решение системы по формуле
,
iix
где i – определитель, получаемый из определителя заменой i-го столбца
на столбец свободных элементов.
Матричный метод заключается в отыскании решения системы по формуле
X = А–1 B,
где А–1 – обратная матрица системы; В – столбец свободных элементов си-
стемы; Х – столбец неизвестных системы.
Варианты индивидуального домашнего задания
1. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) методом Крамера;
б) матричным методам;
в) методом Гаусса.
2. Исследовать на совместность и найти общее решение системы линей-
ных уравнений.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 13
Вариант 1
а)
;53
,11542
,632
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.3352
,5283
,2343
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 2
а)
;54
,232
,22
21
321
321
xx
xxx
xxx
б)
.143353
,13
,0322
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 3
а)
;42
,7223
,3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.13
,1223
,034
2
4321
54321
4321
xxxx
xxxxx
xxxx
Вариант 4
а)
;15348
,1753
,124
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.22334
,33472
,123
54321
4321
5321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 5
а)
;256
,322
,432
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.1332
,1343
,024
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 6
а)
;124
,223
,632
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.344
,7292
,4435
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 14
Вариант 7
а)
;42
,5564
,7382
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
,3
.2343
254
,13
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 8
а)
;42
,11434
,526
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.335
,5492
,2324
54321
4321
5321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 9
а)
;53
,10552
,4332
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
,2
.2353
3274
,1432
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 11
а)
;3783
,52
,6327
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.33232
,73452
,443
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 12
а)
;1092
,1173
,452
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.12223
,1234
,043
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 13
а)
;02
,42
,7232
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.332352
,5283
,2343
54321
4321
5321
xxxxx
xxxx
xxxx
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 15
Вариант 14
а)
;8233
,55
,3322
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.33464
,24532
,42396
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 15
а)
;10523
,543
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.2
,03
,12
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 16
а)
;7236
,5324
,1432
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.81433
,54326
,46539
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 17
а)
;2956
,1243
,542
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.53
,9452
,4322
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 18
а)
;6565
,8224
,223
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.4323
,93472
,5324
54321
4321
5321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 19
а)
;0253
,825
,9342
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.3352
,4273
,1432
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 16
Вариант 20
а)
;542
,14338
,5326
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.2453
,3274
,1432
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 21
а)
;8567
,1342
,3423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.344
,7292
,4435
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 22
а)
;3746
,10275
,113412
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.332
,7345
,423
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 23
а)
;9324
,982
,3243
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.124223
,1234
,043
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 24
а)
;8332
,4352
,643
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.35
,5492
,2324
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 25
а)
;634
,5478
,14356
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.19834
,122
,0432
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 17
Вариант 26
а)
;158
,524
,1472
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.2443
,3254
,143
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 27
а)
;14545
,114310
,632
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.4223
,9472
,5324
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 28
а)
;11326
,1342
,10253
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.5343
,9452
,4322
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 29
а)
;634
,252
,623
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.334
,7292
,4435
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 30
а) ,10
;1234
763
,9252
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.3452
,4273
,1432
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 31
а)
;7236
,9573
,9432
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.234
,33472
,123
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 18
Вариант 32
а)
;1285
,1642
,96213
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.123332
,1343
,024
54321
4321
5321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 33
а)
;86
,9412
,10352
321
321
321
xxx
xx
xxx
б)
.17353
,1432
,0322
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Вариант 34
а)
;4
,36
,63710
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.12332
,1223
,034
54321
5321
4321
xxxxx
xxxx
xxxx
Вариант 35
а)
;834
,5353
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.132
,1453
,0322
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 3
СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1. Если известны координаты точек А( Ax ; Ay ; Az ) и В( Bx ; By ; Bz ), то
координаты вектора AB можно вычислить следующим образом:
ABABAB zzyyxxAB ;; .
Длина и направляющие косинусы вектора zyxa ;; определяются по
формулам:
222 zyxa ,
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 19
a
xcos ,
a
ycos ,
a
zcos .
Ортом вектора a называется вектор 0a , одинаково направленный с век-
тором a и единичный по длине, при этом cos;cos;cos1
0 aa
a .
Суммой векторов 111 ;; zyxa и 222 ;; zyxb будет вектор
212121 ;; zzyyxxba ,
а произведением вектора zyxa ;; на число – вектор
zyxa ;; .
2. Скалярным произведением векторов 111 ;; zyxa и 222 ;; zyxb яв-
ляется число
212121cos),( zzyyxxbaba ,
где – угол между векторами. С помощью этой формулы можно получить
проекцию одного вектора на другой:
a
babпрa
),( .
3. Векторным произведением векторов 111 ;; zyxa и 222 ;; zyxb бу-
дет вектор, определяемый следующим образом:
222
111],[
zyx
zyx
kji
ba .
Длина векторного произведения векторов задает площадь параллелограм-
ма, построенного на радиус-векторах множителей:
],[ baS ,
откуда следует, что площадь треугольника составляет ],[2
1baS .
4. Смешанным произведением векторов 111 ;; zyxa , 222 ;; zyxb и
333 ;; zyxc является число
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 20
333
222
111
)],,([),,(
zyx
zyx
zyx
cbacba ,
модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на радиус-
векторах множителей:
),,( cbaV .
Объем соответствующего тетраэдра составляет шестую часть объема па-
раллелепипеда:
),,(6
1cbaV .
Векторы 111 ;; zyxa , 222 ;; zyxb и 333 ;; zyxc будут компланар-
ными, если 0),,( cba .
Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 1
Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;
2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AC ;
5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;
6) площадь треугольника ABC;
7) длину высоты AH в треугольнике ABC;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;
10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];
11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 21
Вариант 2
Дано: А(4; 1; 4), В(0; 5; 1), С(3; 0; 2), D(1; 3; 1).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BD и BC ;
5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];
11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.
Вариант 3
Дано: А(5; 2; 4), В(5; 0; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AD ;
5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты AH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];
11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 22
Вариант 4
Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).
Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;
2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором CD и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами CD и CA ;
5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника AСD;
7) длину высоты СH в треугольнике AСD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;
10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];
11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.
Вариант 5
Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором DB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами DB и DC ;
5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты DH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];
11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 23
Вариант 6
Дано: А(1; 1; 0), В(1; 3; 4), С(2; 1; 2), D(4; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BA ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BA и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BA и BD ;
5) проекцию вектора ADBA 24 на вектор AC ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты BH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BA , ],[ BDAD ), [ BA , ],[ BDAD ];
11) показать, что векторы BA , BD , AD компланарны.
Вариант 7
Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;
2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AC ;
5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;
6) площадь треугольника ABC;
7) длину высоты AH в треугольнике ABC;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;
10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];
11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 24
Вариант 8
Дано: А(4; 1; 4), В(2; 5; 0), С(1; 0; 2), D(1; 3; 1).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BD и BC ;
5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];
11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.
Вариант 9
Дано: А(5; 2; 4), В(0; 6; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AD ;
5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты AH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];
11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 25
Вариант 10
Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).
Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;
2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором CD и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами CD и CA ;
5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника AСD;
7) длину высоты СH в треугольнике AСD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;
10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];
11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.
Вариант 11
Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором DB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами DB и DC ;
5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты DH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];
11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 26
Вариант 12
Дано: А(1; 1; 2), В(1; 3; 4), С(2; 1; 2), D(4; 1; 0).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BA ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BA и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BA и BD ;
5) проекцию вектора ADBA 24 на вектор AC ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты BH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BA , ],[ BDAD ), [ BA , ],[ BDAD ];
11) показать, что векторы BA , BD , AD компланарны.
Вариант 13
Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;
2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AC ;
5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;
6) площадь треугольника ABC;
7) длину высоты AH в треугольнике ABC;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;
10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];
11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 27
Вариант 14
Дано: А(4; 1; 4), В(0; 5; 2), С(3; 0; 2), D(1; 3; 1).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BD и BC ;
5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];
11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.
Вариант 15
Дано: А(5; 2; 4), В(5; 6; 1), С(3; 0; 4), D(2; 5; 3).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AD ;
5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты AH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];
11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 28
Вариант 16
Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).
Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;
2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором CD и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами CD и CA ;
5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника AСD;
7) длину высоты СH в треугольнике AСD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;
10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];
11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.
Вариант 17
Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором DB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами DB и DC ;
5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты DH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];
11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 29
Вариант 18
Дано: А(1; 1; 3), В(1; 3; 4), С(2; 0; 2), D(4; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BA ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BA и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BA и BD ;
5) проекцию вектора ADBA 24 на вектор AC ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты BH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BA , ],[ BDAD ), [ BA , ],[ BDAD ];
11) показать, что векторы BA , BD , AD компланарны.
Вариант 19
Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;
2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AC ;
5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;
6) площадь треугольника ABC;
7) длину высоты AH в треугольнике ABC;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;
10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];
11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 30
Вариант 20
Дано: А(4; 1; 4), В(3; 5; 0), С(0; 1; 2), D(1; 3; 1).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BD и BC ;
5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];
11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.
Вариант 21
Дано: А(5; 2; 4), В(0; 6; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AD ;
5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты AH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];
11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 31
Вариант 22
Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).
Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;
2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором CD и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами CD и CA ;
5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника AСD;
7) длину высоты СH в треугольнике AСD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;
10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];
11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.
Вариант 23
Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором DB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами DB и DC ;
5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты DH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];
11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 32
Вариант 24
Дано: А(1; 1; 2), В(1; 3; 4), С(0; 1; 2), D(5; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BA ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BA и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BA и BD ;
5) проекцию вектора ADBA 24 на вектор AC ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты BH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BA , ],[ BDAD ), [ BA , ],[ BDAD ];
11) показать, что векторы BA , BD , AD компланарны.
Вариант 25
Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;
2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AC ;
5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;
6) площадь треугольника ABC;
7) длину высоты AH в треугольнике ABC;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;
10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];
11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 33
Вариант 26
Дано: А(4; 1; 4), В(1; 5; 2), С(3; 0; 2), D(1; 3; 1).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BD и BC ;
5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];
11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.
Вариант 27
Дано: А(0; 2; 4), В(5; 6; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AD ;
5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты AH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];
11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 34
Вариант 28
Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(1; 1; 0), D(3; 3; 4).
Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;
2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором CD и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами CD и CA ;
5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника AСD;
7) длину высоты СH в треугольнике AСD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;
10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];
11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.
Вариант 29
Дано: А(5; 2; 1), В(0; 3; 4), С(3; 1; 2), D(2; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором DB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами DB и DC ;
5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты DH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];
11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 35
Вариант 30
Дано: А(1; 1; 4), В(1; 3; 2), С(2; 1; 0), D(4; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BA ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BA и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BA и BD ;
5) проекцию вектора ADBA 24 на вектор AC ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты BH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BA , ],[ BDAD ), [ BA , ],[ BDAD ];
11) показать, что векторы BA , BD , AD компланарны.
Вариант 31
Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;
2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AC ;
5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;
6) площадь треугольника ABC;
7) длину высоты AH в треугольнике ABC;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;
10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];
11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 36
Вариант 32
Дано: А(4; 1; 4), В(2; 5; 1), С(0; 2; 2), D(1; 3; 1).
Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором BC и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами BD и BC ;
5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];
11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.
Вариант 33
Дано: А(5; 2; 4), В(5; 0; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;
2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором AB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами AB и AD ;
5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;
6) площадь треугольника ABD;
7) длину высоты AH в треугольнике ABD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;
10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];
11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 37
Вариант 34
Дано: А(3; 1; 3), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).
Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;
2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором CD и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами CD и CA ;
5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;
6) площадь треугольника AСD;
7) длину высоты СH в треугольнике AСD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;
10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];
11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.
Вариант 35
Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;
2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;
3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-
тором DB и имеющего длину | r | = 10;
4) угол между векторами DB и DC ;
5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;
6) площадь треугольника BCD;
7) длину высоты DH в треугольнике BCD;
8) объем тетраэдра ABCD;
9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;
10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];
11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 38
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 4
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Множество – основное неопределяемое понятие в математике. Под
ним понимается набор объектов (элементов) произвольной природы. При-
надлежность элемента множеству обозначается следующим образом: Aa .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обо-
значение: Ø).
Множество В называется подмножеством множества А, если каждый
элемент множества В является элементом множества А (обозначение: АВ
или А В).
Множества А и В называются равными, если каждое из них является под-
множеством другого (обозначение: А = В).
Множество U называется универсальным, если все другие рассматривае-
мые множества являются его подмножествами.
2. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех
и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных
множеств А или В (обозначение: АВ).
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и
только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству А, и
множеству В (обозначение: АВ).
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и
только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат
множеству В (обозначение: А \ В).
Симметрической разностью множеств А и В называется множество,
определяемое формулой
АВ = (А \ В) (В \ А).
Дополнением множества А до универсального является множество
AUA \ .
Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют
геометрические фигуры (чаще всего круги), которые находятся между собой
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 39
в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами
Эйлера – Венна.
3. Для некоторых числовых множеств имеются специальные обозначения:
N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел.
4. Основные свойства операций над множествами:
AAA , AAA ;
A Ø A , A Ø = Ø;
UUA , AUA ;
ABBA , ABBA (коммутативность);
)()( CBACBA , )()( CBACBA (ассоциативность);
)()()( CBCACBA , )()()( CBCACBA
(дистрибутивность);
BABA , BABA (законы де Моргана);
)(\)( BABABA .
5. Декартовым произведением множеств А и В называется множество
BA , элементами которого являются все упорядоченные пары ),( ba такие,
что Aa и Bb .
Варианты индивидуального домашнего задания
Вариант 1
1. Для множеств А = {1, 2, 5, 6} и B = {2, 3, 6} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) BA .
2. Для множеств А = (2, 4), В = [4, 5], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\()\( CABA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 40
Вариант 2
1. Для множеств А = {5, 6} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 3), В = [1, 3], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )( .
Вариант 3
1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [4, 5), В = [5, +], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA \ .
Вариант 4
1. Для множеств А = {4, 5, 6} и B = {1, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (4, 7), В = (–, 8], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )( .
Вариант 5
1. Для множеств А = {6, 7} и B = {5, 6, 7} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (3, +), В = (4, 5), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\)( CBCA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 41
Вариант 6
1. Для множеств А = {4, 5, 6} и B = {4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–3, –2), В = (–2, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\ CBA .
Вариант 7
1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (2, +), В = [2, 4], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .
Вариант 8
1. Для множеств А = {0, 1} и B = {1, 2, 3} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [–1, 1), В= (1, +], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\ CBA .
Вариант 9
1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А =(4, 5), В = [3, 4], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\()\( CABA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 42
Вариант 10
1. Для множеств А = {4, 6} и B = {1, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–8, 4), В = [2, 3], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( BCA .
Вариант 11
1. Для множеств А = {1, 2, 4, 5, 6} и B = {1, 3, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 3], В = [–5, 5), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()( CABA .
Вариант 12
1. Для множеств А = {5, 6, 7} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [4, 7], В = (4, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .
Вариант 13
1. Для множеств А = {0, 1, 2} и B = {1, 2, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (4, 6), В = (5, 6), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 43
Вариант 14
1. Для множеств А = {4, 5, 6} и B = {4, 5, 6, 7} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (3, 10), В = [1, 4], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )\( .
Вариант 15
1. Для множеств А = {1, 2} и B = {2, 3, 4} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [0, 1), В = [0, 2], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()\( CABA .
Вариант 16
1. Для множеств А = {0, 1, 2} и B = {2, 3} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 0], В = [0, 2], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( BAC .
Вариант 17
1. Для множеств А = {0, 2} и B = {2, 4} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [–1, 1], В = (0, 2), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( CBA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 44
Вариант 18
1. Для множеств А = {0, 1, 2} и B = {2, 5, 6} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [1, 4], В=(0,+), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA \)( .
Вариант 19
1. Для множеств А = {0, 1, 3} и B = {1, 2, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 2], В = (0, 1), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CAB \)( .
Вариант 20
1. Для множеств А = {4, 6, 8} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 3], В = [3, 7], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( BAC .
Вариант 21
1. Для множеств А = {6, 7} и В = {1, 2, 3} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [0, 2], В = (1, 5), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )( .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 45
Вариант 22
1. Для множеств А = {5, 6, 7} и B = {2, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [4, 8], В = [5, 6], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( CBA .
Вариант 23
1. Для множеств А = {4, 5, 6, 7} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [0, +), В = (2, 3), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\ BAC .
Вариант 24
1. Для множеств А = {6, 7, 8} и B = {5, 6} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–2, +), В = [2, 8), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .
Вариант 25
1. Для множеств А = {5, 7, 9} и B = {3, 4, 5, 6, 7} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 3), В = (3, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество BCA )( .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 46
Вариант 26
1. Для множеств А = {1, 2, 4} и B = {0, 2, 4, 6} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 3), В = [2, 7], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )\( .
Вариант 27
1. Для множеств А = {5, 6, 7, 8} и B = {2, 4, 6, 8} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [1, 10), В = (7, 8), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( CAB .
Вариант 28
1. Для множеств А = {5, 6, 8} и B = {4, 5, 7} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 2), В = [1, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA \)( .
Вариант 29
1. Для множеств А = {3, 4, 5, 6} и B = {4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–3, 2), В = (–2, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\(\ CBA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 47
Вариант 30
1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (2, +), В = [2, 4], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()\( CABA .
Вариант 31
1. Для множеств А = {0, 1} и B = {1, 2, 3} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [–1, 2), В = (1, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\ CBA .
Вариант 32
1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А =(4, 5), В = [3, 4], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CAB \)( .
Вариант 33
1. Для множеств А = {4, 6} и B = {1, 3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–8, 4), В = [2, 3], U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()( BACA .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 48
Вариант 34
1. Для множеств А = {1, 2, 4} и B = {1, 3, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = (–, 2], В = [–1, 5), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .
Вариант 35
1. Для множеств А = {4, 5, 6, 7} и B = {3, 4, 5} найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .
2. Для множеств А = [4, 6], В = (4, +), U R найти:
1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .
Изобразить на координатной плоскости множество BA .
3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 5
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ ГРАФОВ
Элементы математической логики. Высказывания повествовательное
предложение, утверждающее что-либо о чем-либо. Значениями высказыва-
ний являются « истина» и «ложь».
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется
простым или элементарным.
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамма-
тических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда»
называются сложными или составными.
В алгебре логики каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни
одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 49
Обозначения: х, у, z,… – элементарные высказывания;
и или 1 – истинное значение высказывания (х = 1);
л или 0 – ложное значение высказывания (х = 0).
Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое
является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказыва-
ние х истинно.
Обозначение: ¬ х (читается «не х» или «неверно, что х»).
Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х, у называ-
ется новое высказывание, которое является истинным, если оба высказыва-
ния х, у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Высказывания
х, у называются членами конъюнкции.
Обозначение: х ^ y (читается «х и у»).
Дизъюнкцией (логическим сложением) высказываний х, у называется но-
вое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из выска-
зываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.
Обозначение: x v y (читается «х или у»).
Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, ко-
торое является ложным, если х истинно, а у ложно, и истинным во всех
остальных случаях.
Обозначение: х у (читается «если х, то у» или «из х следует у»).
Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х, у называет-
ся новое высказывание, которое является истинным, когда оба высказывания
х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во
всех остальных случаях.
Обозначение: х у (читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточ-
но, чтобы у» или « х тогда и только тогда, когда у»).
С помощью логических операций над высказываниями из заданной сово-
купности высказываний можно строить различные сложные высказывания.
Формулой алгебры логики называется всякое сложное высказывание, ко-
торое может быть получено из элементарных высказываний посредством
применения логических операций.
Обозначение: А, В, С, …
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 50
Порядок действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные
операции; дизъюнкция раньше, чем импликация и эквивалентность.
Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они
принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений,
входящих в формулы элементарных высказываний.
Обозначение: А В.
Формула А называется тождественно истинной (тавтологией), если она
принимает значения 1 при всех значениях входящих в нее переменных.
Формула А называется тождественно ложной (противоречие), если она
принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.
Возникает необходимость в расширении логики высказываний, т.к. эле-
ментарные высказывания рассматриваются как целые, неделимые, без учета
их внутренней структуры.
n-местным предикатом от переменных х1, х2, …, хn из множества М назы-
вается всякая функция n переменных, принимающая одно из двух значений:
1 или 0.
Обозначение: Р(х1, х2, …, хn).
Множество М, на котором задан предикат, называется областью опреде-
ления предиката.
Множество, на котором предикат принимает только истинные значения,
называется областью истинности предиката Р. Обозначение Ip.
Предикат Р(х) называется тождественно истинным (тожественно
ложным) на множестве М, если Ip = M (Ip = 0).
Предикаты от одного переменного называются одноместными; двух пе-
ременных двухместными.
К предикатам применимы все операции логики высказываний: конъюнк-
ция, дизъюнкция, отрицание, импликация.
Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением
х Р(х) понимают высказывание, которое является истинным, если найдется
хотя бы один элемент х М, для которого Р(х) истинно, и ложным в против-
ном случае.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 51
Это высказывание не зависит от х.
Читается: «существует х, при котором Р(х) истинно».
Символ называется квантором существования. В высказывании х Р(х)
переменная х связана квантором.
Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением
х Р(х) понимают высказывание, которое является истинным в том и только в
том случае, когда для любого х М предикат Р(х) принимает значение истинно
и ложным в противном случае.
Читается: «для всякого х Р(х) истинно».
Переменную х в предикате называют свободной, в высказывании х Р(х)
переменную х называют связанной квантором.
Элементы теории графов. Геометрический граф – это конфигурация,
состоящая из выделенных точек пространства, называемых вершинами, и не-
прерывных непересекающихся кривых, называемых ребрами, которые по-
парно соединяют некоторые из вершин.
Граф называется ориентированным (орграфом) если задано некоторое
направление вдоль каждого ребра. На чертеже направление изображается
стрелкой, а соответствующее ребро называется дугой.
Петлями называются ребра, которые содержат вершину саму с собой
V = (v1, v2,…, vn), А = (а1, а2,…, аn).
Параллельными (кратными) дугами называются дуги, которые соединяют
одни и те же вершины в одинаковом направлении.
Ребро е называется инцидентным вершине vi, если оно выходит или вхо-
дит в вершину.
Степенью вершины называется число инцидентных ей ребер.
Обозначение: (vi).
Степенью исхода d+(vi) вершины vi называется число дуг, для которых vi
является началом.
Степенью захода вершины vi(d(vi)) называется число дуг, для которых vi
является концом:
d(vi) = d+(vi) + d(vi).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 52
Известно, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу
ребер графа
qvi
i 2)(1
.
Понятие маршрута является одним из основных в теории графов.
Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вер-
шин и ребер.
Длина маршрута определяется числом входящих в него ребер. Допускает-
ся, чтобы маршрут содержал повторяющиеся вершины и ребра.
Понятие маршрута распространяется практически без изменений на ори-
ентированные графы. Ориентированным маршрутом в графе называется че-
редующаяся последовательность вершин и дуг вида:
...},,,,{ 2211 vava ,
в которой для каждой дуги ai предыдущая вершина vi1 является началом, а
последующая vi+1 концом.
Пусть задан ориентированный граф D(V, A), где А = (а1, а2,…, аm).
Матрица исходов матрица, которая имеет m–строк и n–столбцов, эле-
менты которой вычисляются по следующему правилу:
.,0
,,1
ij
ijij av
avr
дуги началом являетсяне если
дуги началом является если
Обозначение: )(DR .
Матрица заходов имеет m строк, n столбцов, элементы которой вычисля-
ются по следующему правилу:
.,0
,,1
ij
ijij av
avr
концом являетсяне если
концом является если
Обозначение: )(DR .
Матрицей инцидентности графа D называется матрица, которая вычис-
ляется по формуле:
R(D) = R+(D) R(D).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 53
Матрицу инцидентности можно вычислять по следующему правилу:
.,0
,,1
,,1
ji
ij
ij
ij
vа
av
av
r
вершине инцидентна не дуга если
дуги концом является вершина если
дуги началом является вершина если
При этом предполагается, что орграф D не имеет ориентированных петель.
Матрицей смежности орграфа D называется квадратная матрица порядка
n, элементы которой находятся по следующему правилу:
(sij) равно числу дуг с началом в вершине vi и с концом в вершине vj.
Обозначение: S(D).
Матрицей инцидентности графа G = (V, E), V = (v1,…, vn), E = (e1, …, em)
называется матрица, которая вычисляется по правилу:
.,0
,,2
,,1
ji
ji
ji
ij
vе
vе
vе
r
инцидентно не ребро если
при петля- ребро если
вершине инцидентно и петля не- ребро если
Обозначение: R(G).
Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица, элементы
которой находятся по правилу:
., вершине при петельчислу удвоенному
, и ноодновременх инцидентны ребер,числу
jiv
jivvs
i
jiij
Варианты индивидуального домашнего задания
1. Записать следующие утверждения в виде формул логики высказыва-
ний, построить таблицы истинности.
2. Выяснить является ли формула тавтологией.
3. Дана матрица смежности. Построить соответствующий ей орграф и
найти для него:
а) матрицу исходов;
б) матрицу заходов;
в) матрицу инцидентности.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 54
Вариант 1
1. Если Сидоров поедет на автобусе и не купит билет, то его уволят с ра-
боты, если автобус опоздает.
2. (p q) v r (p ^ q) r.
3.
2013
1001
0100
0120
)(DS .
Вариант 2
1. Необходимое и достаточное условие для жизни растений состоит в
наличии питательной почвы, чистого воздуха и солнечного света.
2. (p v q) r (p q) v (q r).
3.
0011
0110
0100
0110
)(DS .
Вариант 3
1. Если «Торпедо» или «Динамо» проиграют, а «Локомотив» выиграет, то
«Спартак» потеряет первое место.
2. (a (b c)) (b (a c)).
3.
0010
1121
0001
0011
)(DS .
Вариант 4
1. Если 11 делится на 6, но не делится на 8, то 11 делится на 3 и на 5.
2. (p ^ q) r (p q) ^ (q r).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 55
3.
0011
1200
1020
0110
)(DS .
Вариант 5
1. Если вечером будет туман или снег, то Джон или останется дома, или
должен будет взять такси.
2. (p ^ q) r (p q) v (q r).
3.
0120
0101
0111
1102
)(DS .
Вариант 6
1. Либо рост инфляции эквивалентен снижению уровня жизни, либо рост
производства влечет то, что уровень жизни не снижается.
2. (p v q) r (p r) ^ (q r).
3.
1010
0110
0100
0022
)(DS .
Вариант 7
1. Если будет идти дождь или снег, то футбольный матч либо не состоит-
ся, либо его результат не будет отражать соотношение сил.
2. (p v q) r (p r) v (r q).
3.
0110
1101
0211
0012
)(DS .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 56
Вариант 8
1. Если животное имеет острые зубы, имеет клыки и не ест траву, то это
хищник.
2. (p q) v r (p v r) (q v r).
3.
0010
2211
0110
0111
)(DS .
Вариант 9
1. Если курсант сдаст лабораторную, решит контрольную работу, но не
защитит типовой расчет, то он не будет допущен до экзамена.
2. (p q) ^ r (p ^ r) (q ^ r).
3.
0020
1321
0211
0020
)(DS .
Вариант 10
1. Если 12 делится на 6 и на 5, то 12 делится на 3 или 4.
2. (p q) v r (p ^ r) (q v r).
3.
1020
1211
0001
0030
)(DS .
Вариант 11
1. Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6 и на 4.
2. (p q) ^ r (p v r) (r ^ q).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 57
3.
1011
1131
0101
0120
)(DS .
Вариант 12
1. Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно
из них равно нулю, другое положительно, третье – больше единицы.
2. (p q) v r (r ^ q) (p v r).
3.
0110
1030
0011
0010
)(DS .
Вариант 13
1. Сумма двух чисел четна или положительна тогда и только тогда, когда
оба слагаемых или четны, или отрицательны.
2. (a ^ b) a (a v b) a.
3.
0210
3101
0001
0121
)(DS .
Вариант 14
1. Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то
этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний.
2. (a (b ^ c)) ((a b) ^ (a c)).
3.
0310
0121
0101
0201
)(DS .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 58
Вариант 15
1. 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3, на 4 и не
делится 7.
2. (¬ a b) ((¬ a ¬ b) a).
3.
0110
1001
0001
0012
)(DS .
Вариант 16
1. Курсант сдал экзамены по истории и по физкультуре, но не сдал экза-
мены по физике и математике.
2. (p q) ((q r) (p r)).
3.
1011
1021
0101
2000
)(DS .
Вариант 17
1. Если курсант заболеет, то он не придет на занятия и не напишет кон-
трольную или лабораторную работу.
2. (a (b v c)) ((a b) ^ (a c)).
3.
0000
1121
0021
0012
)(DS .
Вариант 18
1. Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке
и питаются бананами.
2. (b v c) a (b a) ^ (c a).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 59
3.
0310
1101
1001
0020
)(DS .
Вариант 19
1. Если сумма двух чисел четна, то оба числа или четны или неотрица-
тельны.
2. (a b) c (b c) ^ (¬a c).
3.
0110
1103
0031
0011
)(DS .
Вариант 20
1. Если число делится на себя и на единицу, то оно нечетное или простое.
2. (a b) v c (a ^ ¬ c) b.
3.
0210
1111
0101
0121
)(DS .
Вариант 21
1. Две прямые не пересекаются и не являются параллельными, тогда и
только тогда, когда они не имеют общих точек и не совпадают.
2. a ¬ (b ^ c) (¬ a v ¬ b) v c.
3.
1012
1101
0001
0012
)(DS .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 60
Вариант 22
1. 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3, на 5, и не
делится на 9.
2. (a b) c (a ^ ¬ b) v c.
3.
0310
1021
0011
0121
)(DS .
Вариант 23
1. Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная
этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка мак-
симума этой функции.
2. (a ^ b) v (¬a ^ ¬ b) (a b) ^ (b a).
3.
1020
1021
0001
0310
)(DS .
Вариант 24
1. Погода плохая тогда и только тогда, когда льет дождь, дует ветер и не
светит солнце.
2. a ^ (b v c) (a ^ b) v (a ^ c).
3.
1310
1111
0001
1020
)(DS .
Вариант 25
1. 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3, на 7 и на 4.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 61
2. (p r) v q (p ^ r) q.
3.
0030
1101
0021
0010
)(DS .
Вариант 26
1. Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет уре-
гулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется судебного за-
прещения, но войска не будут посланы на завод.
2. (p q) ((¬ p ¬ q) ¬ p).
3.
0312
1121
0101
0121
)(DS .
Вариант 27
1. Если марсиане существуют и они разумны, тогда марсианские растения
съедобны и питательны.
2. ((p ^ ¬ q) q) (p q).
3.
0210
1131
0101
2001
)(DS .
Вариант 28
1. В Москве живет женщина, имеющая брата в Петербурге и дочь в Мин-
ске, тогда и только тогда, когда в Петербурге живет мужчина, имеющий
сестру в Москве и племянницу в Минске.
2. (p q) ^ (q p) ^ ¬ r p.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 62
3.
1310
1021
0001
0112
)(DS .
Вариант 29
1. Если женщина преподает в школе или в университете, то она не рабо-
тает ни в банке, ни на заводе.
2. (p q) ^ (p v r) ^ ¬ r (¬ q p).
3.
0310
1101
0102
1010
)(DS .
Вариант 30
1. 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4, на 8 и не
делится на 20.
2. (p ^ q) r p (q r).
3.
0310
1101
0001
1121
)(DS .
Вариант 31
1. Если имеет место денежная эмиссия и растет курс доллара, то инфля-
ция не растет и понижается курс евро.
2. (p ^ q) r (p ^ ¬ r) ¬ q.
3.
0310
1101
0201
0111
)(DS .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 63
Вариант 32
1. Если экзамен не сдан вовремя или сессия продлена, то не сдана курсо-
вая работа и не зачтены лабораторные работы.
2. (p ^ ¬ r) q (p q) v r.
3.
0310
0110
0001
0110
)(DS .
Вариант 33
1. Если Нэнси и Боб не одного возраста и Боб старше Уолтера, то Сэлли
старше Боба или Сэлли одного возраста с Нэнси.
2. (q p) ^ (r p) (q v r) p.
3.
0011
3101
0101
0022
)(DS .
Вариант 34
1. Если курсант не пришел на контрольную или получил за контрольную
два, он или переутомился, или болен.
2. (a b) v (b c)(a v b) c.
3.
0010
3111
1001
0002
)(DS .
Вариант 35
1. 17 делится на 8, но не делится на 13 тогда и только тогда, когда 8 де-
лится на 5 или на 4.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 64
2. (p q) r (q r) ^ (¬ p r).
3.
1030
0101
0201
1101
)(DS .
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 6
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ,
ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Функцией называется некое правило, согласно которому каждому элемен-
ту х из одного множества Х ставится в соответствие единственный элемент у
из множества Y (обозначается как у = f(x)). При этом множество Х называют
областью определения функции и обозначают как D(f), а множество тех эле-
ментов у, для которых имеется элемент х, такой что f(x) = у, называют обла-
стью значений функции, что обозначается как E(f).
Переменная х называется независимой переменной, или аргументом
функции, а переменная у – зависимой переменной, или функцией. Для того,
чтобы найти значение функции f(x) в какой-либо точке а, необходимо под-
ставить число а в выражение функции вместо х.
Область определения функции может быть оговорена условием задачи;
если же об области определения ничего не сказано, то следует обращать
внимание на наличие дробей (знаменатель должен быть отличен от нуля),
корней четной степени (подкоренное выражение должно быть неотрицатель-
но) и логарифмов (выражение, от которого вычисляется логарифм, должно
быть строго положительно, основание же логарифма должно быть одновре-
менно строго положительным и отличным от единицы). Следует обращать
внимание также на тангенсы и котангенсы (они, как известно, могут быть
представлены в виде дроби – синус, деленный на косинус, либо косинус на
синус – в этом случае соответствующий знаменатель тоже должен быть отли-
чен от нуля) и на обратные тригонометрические функции (арккосинус и арк-
синус), область определения которых есть отрезок [–1, 1]. При нахождении
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 65
области значений функции можно построить график этой функции и посмот-
реть на то, какие значения принимает у. В тех случаях, когда построение
графика вызывает затруднения, рекомендуется пользоваться следующим
приемом. Предполагают, что значение функции равно некоторому числу а.
Из полученного равенства выражают переменную х и исследуют, при каких
значениях а можно вычислить х, а при каких – нельзя.
Пример. Найти область определения и область значений функции
1
2)(
2
х
хxf .
Решение. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому х 1. В
числитель же вместо х можно подставить любое число, поэтому
D(f) = (–, 1) (1, +).
Для нахождения области значений функции приравняем ее к некоторому
числу а: aх
х
1
22
.
Для того чтобы выразить х, умножим обе части равенства на (х – 1).
х2 + 2 = а(х – 1),
х2 – ах + (а + 2) = 0.
Получили квадратное уравнение. Вычислим его корни при помощи дис-
криминанта.
D = (–a)2 – 4(a + 2) = a2 – 4a – 8.
Корни существуют тогда и только тогда, когда D 0. Решим квадратное
неравенство относительно а:
a2 – 4a – 8 0.
Для этого вначале решим соответствующее квадратное уравнение:
a2 – 4a – 8 = 0;
D = (–4)2 – 4(–8) = 16 + 32 = 48;
1222
4841
а , 122
2
4842
а .
Далее используем метод интервалов:
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 66
Таким образом, а (–, 122 ) ( 122 , +). Эти значения а как раз
и являются возможными значениями функции, то есть ее областью значений.
Отметим, что иногда удается из равенства у = f(x) выразить х однозначно, то
есть получить равенство х = g(y), где g – некоторая функция. В этом случае g
называется обратной функцией по отношению к функции f, при этом область
определения функции g совпадает с областью значений функции f, а область
значений функции g совпадает с областью определения функции f. Функции,
для которых существуют обратные им функции, называются обратимыми.
Среди множества всех функций выделяют так называемые элементарные
функции. К основным элементарным функциям относятся следующие классы
функций:
1. Степенные: у = хn, где n – некоторое постоянное действительное число.
Подставляя вместо n различные числа, получим примеры степенных функций:
n = 1, у = х (график функции – прямая, биссектриса первого и третьего ко-
ординатных углов);
n = 2, у = х2 (график функции – парабола);
n = 1, у = х3 (график функции – кубическая парабола);
n = 0, у = х0 = 1 (константа, график функции – прямая параллельная оси Ох);
n = –1, у = х–1 = х
1 (гипербола, обратная пропорциональность);
n = 2
1, y = х .
При работе со степенными функциями полезно помнить, что
b ab
а
xх .
2. Показательные: y = ax, где а – положительное, действительное число,
отличное от 1. График такой функции зависит от значения а следующим об-
разом: если а > 1, то функция возрастает, а если а < 1, то убывает.
3. Логарифмические: y = logax (a > 0, a 1). Как уже отмечалось выше,
область определения этой функции: (0, +). График также зависит от а: если
а > 1, то функция возрастает, а если а < 1, то убывает.
4. Тригонометрические: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 67
5. Обратные тригонометрические: y = arcsin x, область определения
2,
2;
y = arccos x, область определения [0, ]; y = arctg x, область определения
2,
2; y = arcctg x, область определения (0, ).
6. Иногда рассматривается отдельно класс гиперболических функций:
Гиперболический синус: y = sh x = 2
хх ее , где е – основание натураль-
ного логарифма (е 2,718).
Гиперболический косинус: y = сh x = 2
хх ее .
Гиперболический тангенс: у = th x = x
x
ch
sh.
Гиперболический котангенс: y = cth x = xth
1.
Все эти функции сводимы к показательным.
Графики перечисленных выше функций приведены в приложении.
Весь класс элементарных функций получается из основных элементарных
функций посредством применения одной или нескольких операций: сложе-
ния, вычитания, умножения, деления, композиции.
Приведем примеры функций, не являющихся элементарными.
1. Функция Дирихле:
D(x) =
число. ьноеиррационал - ,0
число, оерациональн - ,1
х
х
Данная функция не является элементарной, более того, эта функция не
является непрерывной ни в одной точке.
2.
0. ,
0, ,)(
2 хx
ххxf
3. Такая привычная функция, как модуль (f(x) = |x|), также не является
элементарной. Часто для решения задач ее удобно представить в следую-
щем виде:
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 68
0. ,
0, ,)(
хх
ххxf
Действительно, если х – число положительное, то его абсолютная величина
(модуль) совпадает с этим числом. Если же число отрицательное, то модуль
числа и само число противоположны по знаку, т. е. |x| = –x. Так, например,
|–2| = 2 = –(–2).
Классификация функций. Функция называется четной, если f(x) = f(–x).
Функция называется нечетной (иногда античетной), если f(–x) = –f(x).
Далеко не каждая функция является четной, либо нечетной. Например, если
f(x) = x + 3, то f(–x) = –x + 3 f(x), следовательно, функция не является чет-
ной. В то же время, –x + 3 –f(x) = –х – 3, т. е. функция не является нечетной.
О таких функциях говорят, что они не являются ни четными, ни нечетными,
или же, что это функции общего вида. Функция у = 0 одновременно является
и четной, и нечетной (не следует путать с числом 0, которое является чет-
ным, т. е. делится на два без остатка). Для того, чтобы проверить функцию на
четность / нечетность, необходимо вместо х подставить (–х) и сравнить ре-
зультат с исходной функцией.
Теорема. Любую функцию можно представить в виде суммы четной и не-
четной функции.
Функцию называют периодической, если существует такое отличное от 0
число Т (называемое периодом функции), что при прибавлении T к аргументу
функции значение функции не изменится. Иными словами, функция f(x)
называется периодической, если при любом значении х и некотором числе Т
0 выполняется равенство f(x + T) = f(x). Отметим, что Т должно быть одним
и тем же для любых значений х, т. е. Т не должно зависеть от х. В то же вре-
мя, период определяется не единственным образом. Если при любом х спра-
ведливо равенство f(x + T) = f(x), тогда справедливо и равенство f(x + 2T) =
f(x). Действительно,
f(x + 2T) = f((x + Т) + Т) = f(x1 + T) = f(x1) = f(x + T) = f(x).
Здесь мы ввели обозначение х1 = х + Т. Аналогично можно доказать, что
f(x + nT) = f(x) при любом натуральном n.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 69
Более того, если f(x + T) = f(x), то и f(x – T) = f(x). Действительно, равен-
ство f(x + T) = f(x) верно при любом х. Сделаем замену х = у – Т.
Получим
f(x) = f(x + T) = f(у – T + T) = f(y),
т. е. f(x) = f(y), но х = у – Т, следовательно, f(y – T) = f(y), что и требовалось
доказать. Аналогичным образом доказывается, что равенство f(x + nT) = f(x)
справедливо и при любом целом n. Сказанное выше означает, что в случае,
если функция является периодической, число Т не единственно.
Большинство элементарных функций не являются периодическими. Свой-
ством периодичности, как правило, обладают тригонометрические функции.
Период основных элементарных тригонометрических функций у = sin x, y = cos
x равен 2, а y = tg x, y = ctg x равен .
Перечислим еще несколько признаков, по которым могут быть классифи-
цированы функции. Функция называется ограниченной сверху, если суще-
ствует такое постоянное число В, что f(x) < В при любом значении аргумента
х. Аналогично, функция называется ограниченной снизу, если существует та-
кое постоянное число А, что f(x) > A при любом значении аргумента х. Функ-
ция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е.,
если значения функции целиком попадают в интервал [A, B]. График ограни-
ченной функции целиком попадает в полосу, ограниченную прямыми y = A и
у = В. Функция называется возрастающей, если при любых х1 < х2 справед-
ливо, что f(x1) < f(x2). Функция называется убывающей, если при любых х1 < х2
справедливо, что f(x1) > f(x2). Функция называется невозрастающей, если при
любых х1 < х2 справедливо, что f(x1) f(x2). Функция называется неубываю-
щей, если при любых х1 < х2 справедливо, что f(x1) f(x2). Может оказаться,
что область определения функции можно разбить на участки, на одних из ко-
торых функция будет возрастать, а на других убывать. Эти промежутки
называют соответственно промежутками возрастания и убывания функции.
Если функция является невозрастающей или неубывающей на всей области
определения, то она называется монотонной. Промежутки, на которых функ-
ция является невозрастающей или неубывающей, называются промежутками
монотонности.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 70
Варианты индивидуального домашнего задания
1. Найти область определения функции f(x); выяснить, является ли она
четной, нечетной, периодической.
Вариант 1
а) 3
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
2)(
x
xxf ;
в) 2
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х – 1).
Вариант 2
а) 3
2)(
2
2
x
xxf ; б)
3
2)(
x
xxf ;
в) 2
4ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х + 1).
Вариант 3
а) 3
3)(
2
2
x
xxf ; б)
3
2)(
x
xxf ;
в) 3
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х – 2).
Вариант 4
а) 3
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
4)(
x
xxf ;
в) 4
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х + 2).
Вариант 5
а) 3
3)(
2
2
x
xxf ; б)
4
2)(
x
xxf ;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 71
в) 5
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х – 3).
Вариант 6
а) 3
12)(
2
2
x
xxf ; б)
4
2)(
x
xxf ;
в) 6
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х – 4).
Вариант 7
а) 32
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
5)(
x
xxf ;
в) 2
82ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х + 4).
Вариант 8
а) 33
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
5)(
x
xxf ;
в) 8
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х – 5).
Вариант 9
а) 3
3)(
2
2
x
xxf ; б)
3
6)(
x
xxf ;
в) 2
123ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (3х + 5).
Вариант 10
а) 3
14)(
2
2
x
xxf ; б)
3
42)(
x
xxf ;
в) 10
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (4х – 1).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 72
Вариант 11
а) 33
1)(
2
2
x
xxf ; б)
6
2)(
x
xxf ;
в) 22
9ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (4х + 1).
Вариант 12
а) 36
14)(
2
2
x
xxf ; б)
3
12)(
x
xxf ;
в) 12
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (4х – 2).
Вариант 13
а) 12
1)(
2
2
x
xxf ; б)
13
2)(
x
xxf ;
в) 2
182ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (4х – 3).
Вариант 14
а) 12
14)(
2
2
x
xxf ; б)
3
142)(
x
xxf ;
в) 62
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (5х – 1).
Вариант 15
а) 93
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
15)(
x
xxf ;
в) 15
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (3х – 1).
Вариант 16
а) 16
1)(
2
2
x
xxf ; б)
16
2)(
x
xxf ;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 73
в) 7
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (3х + 1).
Вариант 17
а) 7
1)(
2
2
x
xxf ; б)
72
2)(
x
xxf ;
в) 84
16ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (3х – 2).
Вариант 18
а) 3
18)(
2
2
x
xxf ; б)
3
18)(
x
xxf ;
в) 2
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (5х – 1).
Вариант 19
а) 19
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
19)(
x
xxf ;
в) 19
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (4х – 1).
Вариант 20
а) 3
20)(
2
2
x
xxf ; б)
20
2)(
x
xxf ;
в) 20
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (5х + 1).
Вариант 21
а) 3
53)(
2
2
x
xxf ; б)
3
21)(
x
xxf ;
в) 21
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (3х – 4).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 74
Вариант 22
а) 3
22)(
2
2
x
xxf ; б)
3
22)(
x
xxf ;
в) 2
93ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (3х – 5).
Вариант 23
а) 23
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
126)(
x
xxf ;
в) 23
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = cos (7х – 2).
Вариант 24
а) 16
12)(
2
2
x
xxf ; б)
3
24)(
x
xxf ;
в) 2
16ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = sin (5х – 7).
Вариант 25
а) 25
1)(
2
2
x
xxf ; б)
3
25)(
x
xxf ;
в) 22
123ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = tg (3х – 1).
Вариант 26
а) 3
26)(
2
2
x
xxf ; б)
53
2)(
x
xxf ;
в) 123
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = tg (3х – 2).
Вариант 27
а) 3
27)(
2
2
x
xxf ; б)
303
2)(
x
xxf ;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 75
в) 4
25ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = tg (3х + 2).
Вариант 28
а) 33
28)(
2
2
x
xxf ; б)
33
22)(
x
xxf ;
в) 22
123ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = tg (2х – 1).
Вариант 29
а) 3
29)(
2
2
x
xxf ; б)
29
2)(
x
xxf ;
в) 246
25ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = tg (4х – 1).
Вариант 30
а) 30
1)(
2
2
x
xxf ; б)
303
22)(
x
xxf ;
в) 82
9ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = tg (5х – 2).
Вариант 31
а) 3
31)(
2
2
x
xxf ; б)
31
2)(
x
xxf ;
в) 31
1ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = ctg (3х – 1).
Вариант 32
а) 32
1)(
2
2
x
xxf ; б)
32
2)(
x
xxf ;
в) 126
255ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = ctg (3х + 1).
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 76
Вариант 33
а) 3
33)(
2
2
x
xxf ; б)
3
32)(
x
xxf ;
в) 205
25ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = ctg (3х + 21).
Вариант 34
а) 3
34)(
2
2
x
xxf ; б)
3
342)(
x
xxf ;
в) 93
82ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = ctg (3х – 5).
Вариант 35
а) 3
35)(
2
2
x
xxf ; б)
35
2)(
x
xxf ;
в) 33
205ln)(
2
x
xxf ; г) f(x) = ctg (6х – 1).
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 7
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
Будем говорить, что некоторая переменная величина х «стремится» к ка-
кому-то числу а, если модуль разности |x – a| является величиной сколь угод-
но малой (т. е. близкой к нулю). Фраза «х стремится к а» обозначается сим-
волом: х а.
Определение. Число b назовем пределом функции f(x) в точке а, если мо-
дуль разности |f(x) – b| при х стремящемся к а также является величиной
сколь угодно малой (близкой к нулю).
Для вычисления предела функции в точке а проще всего подставить чис-
ло а вместо х. Действительно, тогда |x – a| = |a – a| = 0 (величина сколь угодно
малая) и f(a) = b (тогда модуль |f(a) – b| также равен нулю, т. е. является вели-
чиной сколь угодно малой). Итак, )()(lim afxfax
.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 77
К сожалению, такая подстановка не всегда возможна. Возьмем, напри-
мер, функцию y = х
1, при х 0. Мы не можем непосредственно вычислить
f(0), так как на 0 делить нельзя, и функция в точке 0 не определена. Однако
мы можем сказать, как будет вести себя эта функция, если мы будем х при-
ближать к 0. Если мы возьмем х = 0,1, то f(x) = 10, если х = 0,01, то f(x) уже
будет равно 100. Подставляя вместо х число 0,001, получим уже 1000, а при
х = 0,000001, получим f(x) = 1000000. Таким образом, мы видим закономер-
ность: чем ближе число х к нулю, тем больше значение заданной функции.
При этом, выбирая достаточно маленькое значение х, мы можем добиться то-
го, чтобы значение функции стало сколь угодно большим. Итак, мы можем
утверждать, что функция у = х
1 стремится к при x 0.
Запомните. хx
1lim
0.
Этот же пример дает нам иллюстрацию еще одного интересного свойства.
Если мы будем подставлять, как и выше, вместо х очень маленькие положи-
тельные числа, то мы будем получать очень большие значения функции. Ес-
ли же мы начнем подставлять очень маленькие отрицательные числа, то мы
будем получать такие же очень большие по модулю, но отрицательные зна-
чения. Если мы будем приближаться к нулю с «отрицательной» стороны, то
пределом уже будет служить не +, а –. Если мы посмотрим на график ги-
перболы (это график функции у = х
1), то мы увидим, что при приближении к
нулю с левой стороны график уходит в направлении – , а при приближении
к нулю справа – в направлении +. В связи с этим иногда бывает необходимо
введение понятия левостороннего и правостороннего предела. Левосторон-
ний предел обозначается знаком минус в записи «х а–» (читается «х стре-
мится к а слева»); этот символ показывает, что мы должны оценивать значе-
ния функции при х, стремящемся к а с левой стороны, т. е. при х < a. Право-
сторонний же предел – это предел при х достаточно близких к а, но больших,
чем а (х > a); обозначается он знаком плюс в выражении «х а+» (х стре-
мится к а справа). Используя эти обозначения, получим:
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 78
хx
1lim
0;
хx
1lim
0.
Совершенно не обязательно, что левосторонний предел равен –, а пра-
восторонний +. Например:
,1
lim0
хx
хx
1lim
0.
В ряде случаев левосторонний и правосторонний пределы совпадают:
2020
1lim
1lim
хх xx.
В этом случае можно говорить просто о пределе функции в точке. Предел
функции в точке существует тогда и только тогда, когда левосторонний и
правосторонний пределы функции в этой точке существуют и совпадают.
При вычислении пределов полезны следующие теоремы:
1. Если левосторонний или правосторонний предел функции в точке су-
ществует, то он единственен.
2. Предел от суммы функций равен сумме пределов от этих функций:
)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax
.
3. Предел от разности функций равен разности пределов от этих функций:
)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax
.
4. Предел от произведения функций равен произведению пределов:
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
.
5. Предел от частного равен частному пределов:
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
.
6. Предел от постоянной функции равен этой постоянной при любом а:
ссax
lim .
7. Если f1(x) > f2(x) в некоторой окрестности точки а и пределы этих функ-
ций в точке а существуют, то
)(lim)(lim 21 xfxfaxax
.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 79
8. Если f1(x) f2(x) f3(x) в некоторой окрестности точки а и
)(lim 1 xfax
bxfax
)(lim 3 , то и bxfax
)(lim 2 .
9. Теорема о перестановочности предела и непрерывной функции. Пусть
f(x) – непрерывная функция, тогда
))(lim()(lim xfxfaxax
.
Переменная х также может стремиться к . Ее нельзя непосредственно
подставить в функцию, но для того чтобы определить результат тех или иных
действий с бесконечностью, можно представлять, что вместо бесконечности
мы подставляем очень большие числа. Отметим, что ни в коем случае нельзя
путать понятие бесконечности с очень большими числами. Для любого конеч-
ного, даже очень большого числа, обязательно найдется такое число, которое
будет еще больше. Бесконечность же играет роль в некотором смысле «самого
большого числа», такого, что любое действительное число будет меньше, чем
бесконечность. Например, + = (если мы сложим два очень больших
числа, то мы получим число, которое будет еще больше, самое большое «чис-
ло» – это и есть бесконечность); + 5 = (если мы к очень большому числу
прибавим 5, то вновь получим очень большое число), = (при умноже-
нии двух очень больших чисел результат также будет очень большим); 1
= 0
(если 1 разделить на очень большое число частей, то получим очень малень-
кий результат, почти ничего). Однако мы ничего не можем сказать про резуль-
таты – и
(если из очень большого числа вычесть очень большое, то ре-
зультат зависит от того, какое из этих двух чисел больше и насколько; то же
самое касается частного). Выражения такого вида называются неопределенно-
стями. К неопределенностям относятся выражения: – , ,
0
0 , 0 , 0, 1.
Замечание. Выражение 1 требует особого внимания, так как само по се-
бе это выражение не является неопределенностью – единица в любой степени
равна 1. Проблемы возникают в тех случаях, когда в степень возводится не 1,
а выражение, стремящееся к единице. Если оно стремится к единице слева,
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 80
т. е. близко к единице, но все же меньше нее, то это выражение при возведе-
нии в степень уменьшается и в пределе может достигать нуля. Если же вы-
ражение несколько больше 1, то при возведении в степень оно начинает рас-
ти. Результат также может оказаться различным.
Вычисление пределов с неопределенностями называется раскрытием не-
определенностей и представляет основную сложность в задачах на вычисле-
ние пределов. Для раскрытия неопределенностей используются специальные
приемы, которые мы опишем в следующем пункте.
Наиболее распространенной ситуацией, приводящей к неопределенности
вида
, является частное двух многочленов при х . Для раскрытия таких
неопределенностей пользуются следующим стандартным приемом. Как из-
вестно, дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно
и то же число (это число потом можно было бы сократить). В случае, когда
неопределенность возникла в результате деления многочлена на многочлен,
можно и числитель, и знаменатель дроби умножить на выражение nх
1, где n –
самая большая из имеющихся в выражении степеней при переменной х. Рас-
смотрим это на примерах.
Пример . Вычислить предел 1
2lim
3
245
хх
ххххх
.
Решение . Наибольший показатель степени х в этом выражении равен 5,
поэтому умножать будем на выражение 5
1
х:
5
3
5245
3
245
1)1(
1)2(
lim1
2lim
ххх
ххххх
хх
хххххх
542
43
555
3
55
2
5
4
5
5
111
1211
lim1
2lim
ххх
ххх
хх
х
х
хх
х
х
х
х
х
х
х
хх
.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 81
Все слагаемые в числителе, кроме 1, и все слагаемые в знаменателе при
очень больших значениях х будут очень маленькими. Иными словами, все
они (за исключением 1) стремятся к 0 при х . Пользуясь теоремами о
том, что предел частного равен частному пределов, а предел суммы – сумме
пределов, получим, что предел выражения в числителе равен 1, а предел вы-
ражения в знаменателе равен 0. Как мы уже обсуждали выше, при делении на
0 выражение стремится к бесконечности, а поскольку х стремился к +, все х
положительны, а следовательно, и выражение в знаменателе положительно;
значит, результат стремится к +:
1
2lim
3
245
хх
ххххх
= +.
Предел отношения двух многочленов при х равен , если степень
числителя больше степени знаменателя, и равен 0, если степень числителя
меньше степени знаменателя. Если степень числителя равна степени зна-
менателя, тогда предел равен отношению коэффициентов при старших
степенях.
При вычислении пределов можно пользоваться этим правилом, а можно не
запоминать его, а использовать описанный выше прием деления на наиболь-
шую степень каждый раз. Иногда тот же прием можно использовать и для
других выражений, содержащих частное (не обязательно двух многочленов).
Для раскрытия неопределенностей вида 0
0, связанных с тригонометриче-
скими функциями, чаще всего используется так называемый «первый замеча-
тельный предел»:
1sin
lim0
х
xх
.
Отметим, что предел от обратного выражения при х, стремящемся к нулю,
также равен 1.
Действительно,
11
1sin
lim
1lim
sin1
limsin
lim
0
0
00
х
x
х
xх
x
х
х
хх.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 82
Кроме того, первый замечательный предел также можно использовать,
если синус вычисляется не от х, а от какого-то другого выражения, стремя-
щегося к 0. Формулу в этом случае можно переписать следующим образом:
1)(
)(sinlim
0)(
х
xх
.
Обратите внимание, что в знаменателе должно находиться то же самое
выражение, что и под знаком синуса.
Если выражение под знаком синуса не стремится к нулю, то первый за-
мечательный предел использовать нельзя. Действительно, в этом случае си-
нус вообще не создает неопределенности, так как не равен нулю. Вычислим,
например, х
xх
sinlim
.
Несмотря на то что предел синуса на бесконечности не существует (при
бесконечном увеличении х значения синуса продолжают периодически ме-
няться от –1 до 1), данный предел можно вычислить. Поскольку синус при-
нимает только значения из отрезка [–1, 1], выражение в числителе ограниче-
но. В знаменателе же находится х, который бесконечно возрастает. Если мы
поделим ограниченную (не очень большую) величину на бесконечную (очень
большую), то результат будет числом очень маленьким, поэтому
0sin
lim х
xх
.
При раскрытии неопределенностей вида 1, как правило, используют вто-
рой замечательный предел: х
х x
11lim = е,
где е – число Непера (основание натурального логарифма), е 2,718.
Если в этой формуле выражение х
1 заменить новым символом у =
х
1, то
х = у
1, у 0, а второй замечательный предел примет вид: у
уу
1
0)1(lim
= е.
В некоторых задачах удобно пользоваться именно этой формой записи
второго замечательного предела. Чтобы привести неопределенность 1 ко
второму замечательному пределу, пользуются следующим алгоритмом.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 83
1. Вначале к выражению под знаком степени прибавляют, а затем отни-
мают 1 (выражение от этого не меняется). Например, пусть f(x) 1, g(x) .
Тогда )()( )1)(1(lim))((lim xg
x
xg
xхfхf
.
2. В случае необходимости приводят выражение (f(x) – 1) к общему зна-
менателю и переворачивают дробь. В общем виде это преобразование выгля-
дит таким образом: )(
)(
1)(
11
1lim)1)(1(lim
xg
x
xg
x
xf
хf
.
Поскольку f(x) 1, (f(x) – 1) 0, а следовательно, 1)(
1
xf .
3. Умножают и делят показатель степени на выражение 1)(
1
xf (все вы-
ражение от этого также не изменяется).
)1)(()(1)(
1)(
1)(
11
1lim
1)(
11
1lim
xfxgxf
x
xg
x
xfxf
.
4. Заменяя выражение 1)(
1
xf на новую переменную у, которая также
стремится к бесконечности, используют второй замечательный предел:
)1)(()()1)(()(
1)(
1
11lim
1)(
11
1lim
xfxgу
у
xfxgxf
x уxf
=
= )1)(()(lim
xfxg
хе .
Полученное выражение может содержать неопределенность в показателе
степени, но раскрытие этой неопределенности, как правило, сводится к рас-
крытию неопределенностей 0
0 или
.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 84
Пример . Вычислить предел
2
2
22
1
1lim
х
х х
х.
Решение . В этом случае мы имеем дело с неопределенностью вида 1.
Действуя по алгоритму, описанному выше, прибавим, а затем отнимем еди-
ницу от выражения, которое возводится в степень:
2
2
22
2
222
11
11lim
1
1lim
х
х
х
х х
х
х
х=
2
2
2
2
2222
1
21lim
1
111lim
х
х
х
х хх
хх=
2
2
2
2
1
11lim
х
х х.
Теперь умножим показатель степени на 2
12
х
, а чтобы результат не из-
менился, поделим на это же выражение (умножим на перевернутую дробь)
2
2
2
2
1
11lim
х
х х=
)2(1
2
2
1
2
22
2
2
1
11lim
хх
х
х х.
Так как eх
х
х
22
2
1
2
2
1
11lim (второй замечательный предел), то
1
)2(2
2
1
2
2
22
2
1
11lim
х
хх
х х=
1
)2(2
2
1
2
2
2
2
2
1
11lim
х
х
х
х х=
= 1
)2(2lim
2
2
х
х
хе = 2е .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 85
Варианты индивидуального домашнего задания
1. Вычислить пределы.
Вариант 1
a) 49
8)7(lim
27
х
ххx
; б) 3
5lim
2
2
x
xx
;
в) x
xx 5sinlim
0; г)
x
x x
31
1lim
.
Вариант 2
а) 9
1)3(lim
21
х
ххx
; б) 4
23lim
2
23
x
ххxx
;
в) x
xx 4sin
3sinlim
0; г)
x
x x
21lim .
Вариант 3
а) 25
2)5(lim
25
х
ххx
; б) 2
12lim
2
3
2
x
xx
;
в) x
xx 4sin
3sinlim
0; г)
х
x x
x
23
33lim .
Вариант 4
а) 36
7)6(lim
26
х
ххx
; б) 44
8lim
2
3
xx
xx
;
в) x
x x
23
1lim
; г)
x
xx 5sin
2sinlim
0.
Вариант 5
а) 16
2)4(lim
24
х
ххx
; б) 35
5lim
3
2
xx
xx
;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 86
в) 20
сos1lim
x
xx
; г) x
x x
11lim .
Вариант 6
а) 64
2)8(lim
28
х
ххx
; б) 12
54lim
2
23
xx
хxx
;
в) x
xхx 5sin
2sin2сoslim
0; г)
x
x x
52
1lim
.
Вариант 7
а) 25
1)5(lim
25
х
ххx
; б) 2
93lim
3
3
x
xx
;
в) x
xx 3sin
8sinlim
0; г)
20
11lim
x
xx
.
Вариант 8
а) 36
6)2(lim
26
х
ххx
; б) 96
81lim
2
4
xx
xx
;
в) x
xx 5sin
6sinlim
0; г)
x
xx
)1ln(lim
.
Вариант 9
а) 81
6)9(lim
29
х
ххx
; б) 3
5lim
2
2
x
xx
;
в) x
xx sin
3sinlim
0; г)
x
x x
3
2
11lim
.
Вариант 10
а) 9
2)3(lim
23
х
ххx
; б) 23
122lim
3
4
x
xxx
;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 87
в) xx
xx 2sin
сos1lim
3
0
; г) x
x x
31
1lim
.
Вариант 11
а) 25
5)5(lim
21
х
ххx
; б) 45
23lim
2
2
xx
хxx
;
в) x
xx 4sin
5sinlim
0; г)
x
x x
x
1
2lim .
Вариант 12
a) 36
6)1(lim
26
х
ххx
; б) 23
122lim
3
4
x
xxx
;
в) x
xx 5sin
6lim
0; г)
x
x x
3
22lim
Вариант 13
а) 49
3)7(lim
27
х
ххx
; б) 23
122lim
3
4
x
xxx
;
в) x
xx 4sin
2sinlim
0; г)
x
x x
32
1lim
.
Вариант 14
а) 23 9
75,0)3(lim
х
ххx
; б) 23
1lim
2
3
xx
xx
;
в) x
xx 3sin
5sinlim
0; г)
х
x х
2
11lim
Вариант 15
а) 25
5)5(lim
2
х
ххx
; б) xx
xx 6
122lim
41
;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 88
в) x
xxx 2cos
sincoslim
4/
; г) x
x x
11lim .
Вариант 16
а) 24 16
1)4(lim
х
ххx
; б) 12
1lim
2
6
xx
xx
;
в) x
xx 5sin
sinlim
0; г)
x
x x
33lim .
Вариант 17
а) 81
7)9(lim
2
х
ххx
; б) 243
62lim
3
3
x
xx
;
в) x
xx 5
sinlim
0; г)
2
11lim
x
x х
.
Вариант 18
а) 9
3)3(lim
23
х
ххx
; б) 1
1lim
2
23
x
xхxx
;
в) x
xx 2sin
3tglim
0; г)
х
x x
x
23
33lim .
Вариант 19
а) 64
2)8(lim
28
х
ххx
; б) 9
5lim
2
3
x
xx
;
в) x
xx 4tg
3tglim
0; г)
211lim
x
x x
.
Вариант 20
а) 36
6)3(lim
21
х
ххx
; б) 81
27lim
4
3
x
xx
;
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 89
в) x
xx 5sin
2sinlim
2
2
0; г)
x
x x
2
2
11lim
.
Вариант 21
а) 264
8)7(lim
х
ххx
; б) 93
12lim
2
5
1
x
xx
;
в) x
xx 5tg
2sinlim
0; г)
x
x x
x
1
1lim .
Вариант 22
а) 225
1)5(lim
х
ххx
; б) хx
xx
1
lim2
3
2;
в) x
xx сos1lim
2
0 ; г)
x
x x
2
11lim .
Вариант 23
а) 36
2)6(lim
21
х
ххx
; б) 3
13lim
4
3
x
xx
;
в) x
xx tg
3sinlim
0; г)
x
x x
x
2
1lim .
Вариант 24
а) 49
10)7(lim
2
х
ххx
; б) 44
22lim
2
23
2
xx
xхxx
;
в) x
xxx 30 сos1
2sinlim
; г)
x
x x
44
1lim
.
Вариант 25
а) 64
8)8(lim
28
х
ххx
; б) 54
5lim
4
4
x
xxx
;
в) x
xx 4tg
5tglim
0; г)
x
x x
x
1lim .
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 90
Вариант 26
а) 9
12)3(lim
23
х
ххx
; б) 34
96lim
2
2
xx
xxx
;
в) xx
xx sincos
2coslim
4/ ; г)
x
x x
31lim .
Вариант 27
а) 9
3lim
4
2
3
х
х
х; б)
4
1lim
2
3
х
ххх
;
в) x
xх tg
2lim
0; г)
х
х х
11lim .
Вариант 28
а) 1
23lim
2
2
1
х
ххх
; б) 501,0
310lim
4
23
х
ххх
;
в) 3 40 )(sin
limx
xх
; г) х
х x
х
1lim .
Вариант 29
а) 1
3)1(lim
21
х
ххх
; б) хх
ххх
1
12lim
2
;
в) x
xх 2sin
3sinlim
0; г)
х
х x
11lim .
Вариант 30
а) 16
6)4(lim
24
х
ххх
; б) ххх
ххх
34
24
36
243lim ;
в) xxх
ctglim0
; г) х
х
х x
1
11lim
.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 91
Вариант 31
а) 9
1)3(lim
23
х
ххх
; б) 13
lim24
3
хх
ххх
;
в) x
xх 2tg
tglim
0; г)
х
х x
32
1lim
.
Вариант 32
а) 16
1)4(lim
24
х
ххх
; б) 13
5lim
2
4
хх
ххх
;
в) )3sin(
2sinlim
2
2
0 x
xх
; г) 12
2
1lim
х
х x
х.
Вариант 33
а) 4
2)2(lim
22
х
ххх
; б) 12
1lim
2
2
х
хх
;
в) x
xх
4tglim
0; г)
х
х x
2
11lim .
Вариант 34
а) 9
2)3(lim
23
х
ххх
; б) 32
3
31
31lim
хх
ххх
;
в) x
xх 5sin
2tglim
0; г)
х
х x
51lim .
Вариант 35
а) 2
1)4(lim
2
2
х
ххх
; б) 5
2lim
2
3
х
хх
;
в) x
xх
3sinlim
0; г)
х
х x
61
1lim
.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 92
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 8
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА ТОЧКИ РАЗРЫВА
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если
)(lim xfaх
= )(lim xfaх
= f(a).
Функция называется разрывной в точке х = а, если эта функция определе-
на в сколь угодно близких к точке а точках, но одно из равенств в условии
непрерывности не выполняется. Может оказаться, что какая-то точка не вхо-
дит в область определения, но правосторонний и левосторонний пределы
функции при стремлении к этой точке существуют; такая точка также счита-
ется точкой разрыва. Так, например, для функции у = х
1 точка х = 0 является
точкой разрыва.
Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, разность, произведение двух непрерывных в точке а функций
являются функциями непрерывными в той же точке.
2. Частное двух непрерывных в точке а функций f(x) и g(x) непрерывно в
этой точке, если g(а) 0.
3. Если f(x) непрерывна в точке а, а g(x) непрерывна в точке x0 = f(a), то и
композиция (gf)(х) непрерывна в точке а.
Функция называется непрерывной на отрезке (в интервале), если она не-
прерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).
Классификация точек разрыва. Точка, в которой непрерывность функ-
ции нарушается, называется точкой разрыва первого рода, если левосторон-
ний и правосторонний пределы функции в этой точке существуют и конечны.
В случае, если эти пределы равны между собой, но функция в данной точке
не определена, разрыв называют устранимым. В этом случае можно доопре-
делить эту функцию таким образом, чтобы она стала непрерывной. Доста-
точно положить значение функции в этой точке равным пределу функции в
этой точке, и мы получим непрерывную функцию.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 93
Точка, в которой хотя бы один (левосторонний или правосторонний) пре-
дел функции не существует или бесконечен, называется точкой разрыва вто-
рого рода.
Элементарная функция может иметь разрыв только в тех точках, где она не-
определена, поэтому при исследовании таких функций на непрерывность сле-
дует рассматривать точки, которые не принадлежат области определения.
Неэлементарная функция может иметь разрывы и в точках, где она определена.
В частности, если функция задана несколькими аналитическими выражениями
(формулами) для различных аргументов, то она может иметь разрывы в тех
точках, где меняется ее выражение. Так, при исследовании на непрерывность
функций, заданных по-разному на разных интервалах, требуется дополни-
тельно исследовать поведение функции на границах этих интервалов.
Пример . Исследовать на непрерывность функцию (указать точки разры-
ва и определить какого они рода).
а) f(x) = 2
2
ln
1
3
9
xх
х
; б)
1приcos
,10приsin
,0при
х x
х x
х x
у
Решение . а) Функция f(x) = 2
2
ln
1
3
9
xх
х
является элементарной.
Найдем ее область определения. Во-первых, в функции содержатся дроби,
следовательно, их знаменатели должны быть отличными от 0. х + 3 0 => x
– 3. Поскольку ln х2 0 при х2 1; значит х 1 и х –1. Кроме того, функ-
ция содержит логарифм, следовательно, выражение, находящееся под зна-
ком логарифма, должно быть положительным (х2 > 0). Так как значение х2
неотрицательно, точкой, в которой происходит нарушение непрерывности,
является точка, в которой х = 0. Итак, точками разрыва функции являются х =
– 3, х = – 1, х = 1 и х = 0.
Исследуем поведение функции в каждой из этих точек. Для этого рас-
смотрим левосторонние и правосторонние пределы.
2
2
3 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 23 ln
1
3
)3)(3(lim
xх
xхх
= )3(lim9ln
13
xх
= 9ln
6.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 94
Проводя аналогичные преобразования, можно показать, что
2
2
3 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 9ln
6.
Таким образом, правосторонние и левосторонние пределы функции в точке
х = –3 совпадают, следовательно, функция в этой точке имеет устранимый раз-
рыв (можно доопределить эту функцию, положив f(–3) = 9ln
6). Аналогичным
образом обстоит дело при х = 0. Так как логарифм при х 0 стремится к –,
2
2
0 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 20 ln
1lim3
xх =
3
= 0 = 2
2
0 ln
1
3
9lim
xх
хх
.
Это означает, что точка х = 0 также является точкой устранимого разрыва.
Значение функции в этой точке можно положить равным 0, тогда функция
будет непрерывной в этой точке. Исследуем теперь точки х = 1.
2
2
1 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 21 ln
1lim2
xх = +
(логарифм от числа, несколько меньшего, чем единица, является числом от-
рицательным). Точка х = 1 – точка разрыва второго рода, так как предел бес-
конечен. Для лучшего представления о поведении функции найдем и право-
сторонний предел в этой точке.
2
2
1 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 21 ln
1lim2
xх = –
(здесь под знаком логарифма находится число несколько большее, чем еди-
ница, следовательно, такой логарифм положителен). Аналогичным образом:
2
2
1 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 21 ln
1lim4
xх = –
(здесь, напротив, под знаком логарифма число немного большее 1),
2
2
1 ln
1
3
9lim
xх
хх
= 21 ln
1lim4
xх = + .
Точки х = 1 – точки разрыва второго рода.
Отве т . Точки х = –3, х = 0 – устранимые разрывы; точки х = 1 – разры-
вы второго рода, в остальных точках функция непрерывна.
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 95
б) Функция
1приcos
,10приsin
,0при
х x
х x
х x
у не является элементарной. Она за-
дана на трех отдельных интервалах (– , 0), [0, 1), [1, +). На каждом из этих
интервалов функция задана при помощи элементарных функций, которые не
имеют разрывов.
Исследуем поведение функции на границах интервалов (т. е. при х = 0 и
при х = 1). Слева от 0, то есть при х < 0, функция f(x) = х.
)(lim0
xfх
= xх 0lim = 0.
Справа от 0 f(x) = sin x.
)(lim0
xfх
= xх
sinlim0
= 0.
Кроме того, f(0) = sin (0) = 0. Таким образом, правосторонний предел, ле-
восторонний предел и значение функции в точке х = 0 совпадают (они все
равны 0), следовательно, функция непрерывна в этой точке.
Исследуем теперь точку х = 1.
)(lim1
xfх
= xх
sinlim1
= sin (1) 0,841.
)(lim1
xfх
= xх
coslim1
= cos (1) 0,540.
Итак, оба предела в точке х = 1 существуют, конечны, но имеют различ-
ные значения, следовательно, это точка разрыва первого рода.
Отве т . х = 1 – точка разрыва первого рода, в остальных точках функция
непрерывна.
Варианты индивидуального домашнего задания
1. Исследовать на непрерывность функцию (указать точки разрыва и
определить какого они рода).
Вариант 1
а) 2
2
ln
1
3
9)(
xх
хxf
; б)
хx
х x
хx
у
.1 при cos
,10приsin
,0при
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 96
Вариант 2
а) 2
2
ln
1
3
9)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при cos
,10при2sin
,0при
Вариант 3
а) 2
2
ln
1
2
4)(
xх
хxf
; б)
.1при cos
,10приsin
,0при 2
хx
х x
хx
у
Вариант 4
а) 2
2
ln
1
2
4)(
xх
хxf
; б)
.1при2cos
,10приsin
,0 при
х x
х x
х x
у
Вариант 5
а) 2
2
ln
1
5
25)(
xх
хxf
; б)
.1при cos
,10при 3sin
,0при
хx
х x
х x
у
Вариант 6
а) 2
2
ln
1
5
25)(
xх
хxf
; б)
.1приcos
,10приsin
,0при 3
хx
х x
хx
у
Вариант 7
а) 2
2
ln
1
4
16)(
xх
хxf
; б)
.1при 3cos
,10приsin
,0при
хx
х x
х x
у
Вариант 8
а) 2
2
ln
1
12
14)(
xх
хxf
; б)
.1при cos
,10риsin2
,0при
хx
х x
х x
у
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 97
Вариант 9
а) 2
2
ln
1
4
16)(
xх
хxf
; б)
.1при cos
,10приsin
,0при 4
х x
х x
х x
у
Вариант 10
а) 2
2
ln
1
82
16)(
xх
хxf
; б)
.1при cos
,10при1sin3
,0 хпри
хx
х x
x
у
Вариант 11
а) 2
2
ln
1
12
14)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos
10приsin2
,0при 5
хx
х x
хx
у
Вариант 12
а) 2
2
ln
1
3
9)(
xх
хxf
; б) ,
.1 при cos
10приsin
,0при
хx
х x
х x
у
Вариант 13
а) 2
2
ln
1
6
36)(
xх
хxf
; б) ,
.1приcos2
10приsin
,0при6
х x
х x
х x
у
Вариант 14
а) 2
2
ln
1
6
36)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos2
10приsin4
,0при3
хx
х x
х x
у
Вариант 15
а) 2
2
ln
1
7
49)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при cos3
,10приsin5
,0при4
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 98
Вариант 16
а) 2
2
ln
1
5.1
94)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при 1cos3
,10приsin2
,0при 3
Вариант 17
а) 2
2
ln
1
5.1
94)(
xх
хxf
; б) ,
.1при1cos2
10приsin3
,0при 2
х x
х x
х x
у
Вариант 18
а) 4
2
ln
1
3
182)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos
10при1sin2
,0 при1
х x
х x
х x
у
Вариант 19
а) 2
2
ln
1
3
182)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos2
10при1sin
,0при13
х x
х x
х x
у
Вариант 20
а) 4
2
ln
1
4
82)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1 при cos
,10при2sin
,0 при24
Вариант 21
а) 4
2
ln
1
4
82)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при cos3
,10при 1sin
,0 при 12
Вариант 22
а) 2
2
ln
1
8
64)(
xх
хxf
; б) ,
1 при cos
10при1sin2
,0 при13
х x
х x
х x
у
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 99
Вариант 23
а) 4
2
ln
1
8
64)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при cos
,10при 1sin2
,0 при 18
Вариант 24
а) 2
2
ln
1
9
81)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos3
10при 12sin
,0 при 12
х x
х x
х x
у
Вариант 25
а) 2
2
ln
1
9
81)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при 3cos
,10при2sin2
,0 при 23
Вариант 26
а) 2
2
ln
1
10
100)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при cos3
,10при 23sin
,0 при22
Вариант 27
а) 2
2
ln
1
10
100)(
xх
хxf
; б) ,
.1при 3cos
10при 1sin
,0при1
хx
х x
х x
у
Вариант 28
а) 2
2
ln
1
5.0
14)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1при cos
,10 при 3sin3
,0 при32
Вариант 29
а) 2
2
ln
1
5.0
14)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos
10при52sin
,0при 5
х x
х x
х x
у
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 100
Вариант 30
а) 2
2
ln
1
3
273)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos2
10при 2sin
,0при 2
х x
х x
х x
у
Вариант 31
а) 2
2
ln
1
5
502)(
xх
хxf
; б) ,
.1при2cos
10при15sin
,0при 15
х x
х x
х x
у
Вариант 32
а) 2
2
ln
1
4
483)(
xх
хxf
; б) ,
.1при cos3
10при 3sin
,0при 32
х x
х x
х x
у
Вариант 33
а) 2
2
ln
1
5
502)(
xх
хxf
; б) ,
.1приcos5
10при5sin2
,0при 5
х x
х x
х x
у
Вариант 34
а) 2
2
ln
1
4
322)(
xх
хxf
; б)
х x
х x
х x
у
.1приcos6
,10при 1sin2
,0при 16
Вариант 35
а) 2
2
ln
1
4
322)(
xх
хxf
; б) ,
.1при 3cos
10при15sin
,0 при 16
хx
х x
х x
у
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 101
Приложение
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 102
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 103
Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.
Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.
© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 104
Учебно-методическое пособие
МАТЕМАТИКА
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
В четырех частях
Часть 1
Составители ГЛУХОВ
ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ
НИКОНОВА
СВЕТЛАНА ПАВЛОВНА
ЗОРЬКИНА
НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА
МИРОНОВА
ЛЮДМИЛА ВИКТОРОВНА
ГЛУХОВА
НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА
Редактирование Т.Е. Мещерякова
Компьютерная верстка И. А. Ерёмина
Подписано в печать 10.11.2011. Формат 6090/16. Бумага офсетная.
Печать трафаретная. Усл. печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 6,18.
Тираж 300 экз. Заказ № 374
РИО и типография УВАУ ГА(И). 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8