フィルタによる画像処理フィルタによる画像処理

線形フィルタと畳み込み積分線形フィルタと畳み込み積分

多くの処理は単純なモデルで表せる．多くの処理は単純なモデルで表せる．１．入力画像と同じ大きさの出力画像を用意する．１．入力画像と同じ大きさの出力画像を用意する．

２．出力画像の個々の画素に対して，入力画像中２．出力画像の個々の画素に対して，入力画像中

の対応画素のの対応画素のまわりまわりの画素値のの画素値の重みつき合計重みつき合計

を計算して，出力画像の画素値とする．を計算して，出力画像の画素値とする．

（但し（但し,,毎回の計算を行うとき，前回と毎回の計算を行うとき，前回と同じ重み同じ重み

係数係数を用いる．）を用いる．）

３．異なる重み係数のセットは違う処理効果をも３．異なる重み係数のセットは違う処理効果をも

たらす．たらす．

例：固定範囲における局所的平均例：固定範囲における局所的平均関心のある画素を中心とする関心のある画素を中心とする((22kk+1)+1)××(2(2kk+1)+1)のブのブ

ロック内の平均を計算する．ロック内の平均を計算する．

∑ ∑+

−=

+

−=+=

kx

kxi

ky

kyj

jiIik

yxIo ),()12(

1),( 2

この例の場合，すべての重み係数は同じで，この例の場合，すべての重み係数は同じで，1/((1/((22kk+1)+1)××(2(2kk+1))+1)) である．である．

このような処理は，線形フィルタリングという．このような処理は，線形フィルタリングという．

畳み込み畳み込み

定義：定義：●● 線形フィルタリングを行うときに用いられる重み係数のパ線形フィルタリングを行うときに用いられる重み係数のパ

ターンは線形フィルタの核（ターンは線形フィルタの核（kernel)kernel)という．という．

●● フィルタを適用する処理はしばしば畳み込みと呼ばれる．フィルタを適用する処理はしばしば畳み込みと呼ばれる．

フィルタの核はフィルタの核はHHとし，入力画像をとし，入力画像をIiIiとし，とし，HHととIiIiとの畳み込みのとの畳み込みの結果は結果はIoIoとすると，とすると，IoIoのの((ii,,jj))画素は下記の式で表すことができる．画素は下記の式で表すことができる．

∑∑ −−=i j

jiIijyixHyxIo ),(),(),(

平滑化とぼかし平滑化とぼかし●● 一般的な画像には，一般的な画像には，隣同士隣同士の画素はの画素は似た画素似た画素

値値を持つ特徴がある．を持つ特徴がある．●● ノイズがのった画像も上記のノイズがのった画像も上記の特性が保存特性が保存されてされて

いると考えられることが多い．例えば，故障したいると考えられることが多い．例えば，故障した画素，あるいは画素値に平均値が０のランダム画素，あるいは画素値に平均値が０のランダム数値が足された場合．数値が足された場合．

●● この場合，各画素をその周りの画素のこの場合，各画素をその周りの画素の重みつき重みつき平均値平均値に置き換えることにより，ノイズをに置き換えることにより，ノイズを除去す除去するることができる．この処理は平滑化ことができる．この処理は平滑化((smothingsmothing))ああるいはるいはぼかしぼかし(blurring)(blurring)と呼ばれる．と呼ばれる．

移動平均フィルタ移動平均フィルタ

あるある画素を中心画素を中心としたとした近傍領域近傍領域内の濃度値内の濃度値のの平均平均を出力する処理をすべての画素につを出力する処理をすべての画素について行えば、濃度値の変化が滑らかになり、いて行えば、濃度値の変化が滑らかになり、平滑化の効果がある平滑化の効果がある

移動平均フィルタでは、移動平均フィルタでは、フィルタの重み係数フィルタの重み係数がすべて等しいがすべて等しい

GaussianGaussian平滑フィルタ平滑フィルタ平滑化による画像のボケを少しでも防ぐために、平滑化による画像のボケを少しでも防ぐために、注目注目

画素画素 近傍の重みを大きくした近傍の重みを大きくした加重平均フィルタもよく用加重平均フィルタもよく用いられ，その代表はいられ，その代表はGaussianGaussianフィルタである．フィルタである．

GaussianGaussianフィルタの核は下記のフィルタの核は下記のGaussianGaussian関数である．関数である．

+−= 2

22

2 2exp

21

),(σπσσ

yxyxG

非線形フィルタによる平滑化非線形フィルタによる平滑化

移動平均や加重平均フィルタは一種の移動平均や加重平均フィルタは一種のローパローパスフィルタスフィルタであるため、であるため、高周波成分の情報が高周波成分の情報が失われ失われエッジが鈍るなどの問題があるエッジが鈍るなどの問題がある

メディアンフィルメディアンフィルタおよびタおよびエッジ保存フィルタエッジ保存フィルタはは非線形フィルタであるが、上記のような問題が非線形フィルタであるが、上記のような問題が生じにくいためよく用いられる生じにくいためよく用いられる

メディアンフィルタメディアンフィルタ

・・n*nn*nの局所領域における濃度値を小さいの局所領域における濃度値を小さい順に並べ、順に並べ、真ん中の濃度値を領域中央の真ん中の濃度値を領域中央の画素の出力濃度とする画素の出力濃度とするフィルタをフィルタをメディアンメディアンフィルタフィルタ(Median Filtering)(Median Filtering)または中央値フィまたは中央値フィルタルタ

・この処理を移動しながら全画素にわたって・この処理を移動しながら全画素にわたって行えば、メディアンフィルタによる出力結果行えば、メディアンフィルタによる出力結果が得られるが得られる

メディアンフィルタメディアンフィルタ

３＊３のメディアンフィルタの処理例

フィルタによるノイズ除去フィルタによるノイズ除去

エッジ保存フィルタエッジ保存フィルタ(Edge(Edge--Preserving Filter)Preserving Filter)

・近傍領域を図に示すような小領域に分割し、それぞれの領域ごとに濃度の分散を計算する

・エッジが含まれる領域では分散が大きくなるという性質があるため、それぞれの小領域の分散が最も小さくなる小領域の平均値を出力値とする

・これによりエッジをぼかすことなく雑音が取り除かれ、エッジ自体も鮮鋭化される

・ただし、メディアンフィルタよりもさらに計算量が多いという欠点がある。

エッジ保存フィルタにおける領域の分割例

フィルタによるノイズ除去フィルタによるノイズ除去

・図より、ゴマ塩ノイズのようなスパイク状のノ・図より、ゴマ塩ノイズのようなスパイク状のノイズは加重平均フィルタでは取り除くことは難イズは加重平均フィルタでは取り除くことは難しいが、メディアンフィルタでは良好に除去でしいが、メディアンフィルタでは良好に除去できることが分かるきることが分かる

・だたし、メディアンフィルタはデータの並び替・だたし、メディアンフィルタはデータの並び替え（ソーティング）の処理に時間がかかるため、え（ソーティング）の処理に時間がかかるため、線形平滑化フィルタに比べて一般的に計算時線形平滑化フィルタに比べて一般的に計算時間は長くなる間は長くなる

鮮鋭化鮮鋭化・画像の濃度値が本来は急変しているべき・画像の濃度値が本来は急変しているべき輪郭の部分などで濃度値の変化がゆるや輪郭の部分などで濃度値の変化がゆるやかになっている場合、図形の輪郭がぼやけかになっている場合、図形の輪郭がぼやけた画像となるた画像となる

・このような画像に対しては、・このような画像に対しては、濃度値の変化濃度値の変化を強調することで鮮明な画像が得られるを強調することで鮮明な画像が得られる

・この処理を画像の・この処理を画像の鮮鋭化鮮鋭化(Sharpening)(Sharpening)（また（または鮮明化）は鮮明化）というという

ラプラシアンフィルタラプラシアンフィルタ((LaplacianLaplacian Filter)Filter)

鮮鋭化の手法の一つに、原画像の鮮鋭化の手法の一つに、原画像の22次微分であるラプラシアン次微分であるラプラシアンフィルタによる結果を原画像から差し引く方法があるフィルタによる結果を原画像から差し引く方法がある

ラプラシアンフィルタ（続）ラプラシアンフィルタ（続）

・図より、原画像にはないくぼみ・図より、原画像にはないくぼみ((アンダーシュートアンダーシュート))ととこぶ（オーバーシュート）が生じており、また、エッジこぶ（オーバーシュート）が生じており、また、エッジの傾斜も大きくなっているの傾斜も大きくなっている

・これにより、エッジ部分の濃度値の変化が強調さ・これにより、エッジ部分の濃度値の変化が強調され、鮮明な画像となるれ、鮮明な画像となる

ラプラシアンフィルタ（続）ラプラシアンフィルタ（続）以下にその具体的な計算法について述べる。ディジタル画像に以下にその具体的な計算法について述べる。ディジタル画像においては、微分は差分により代用される。いま、おいては、微分は差分により代用される。いま、ｘｘ方向および方向およびｙｙ方向の一次微分をそれぞれ次式のように計算される：方向の一次微分をそれぞれ次式のように計算される：

22次微分について、もう一度差分を取れば次式のように求まる：次微分について、もう一度差分を取れば次式のように求まる：

ラプラシアンは、以下のように定義される：ラプラシアンは、以下のように定義される：

原画像からラプラシアンを差し引けば、鮮鋭化された画像が得原画像からラプラシアンを差し引けば、鮮鋭化された画像が得られる：られる：

),()1,(),(),(),1(),(

jifjifjifjifjifjif

y

x

−+=−+=

),()1,(),(),(),1(),(

jifjifjifjifjifjif

y

x

−+=−+=

)1,(),(2)1,()}1,(),({)},()1,({),(

),1(),(2),1()},1(),({)},(),1({),(

++−−=−−−−+=

++−−=−−−−+=

jifjifjifjifjifjifjifjif

jifjifjifjifjifjifjifjif

yy

xx

)1,(),1(),(4),1()1,(),(),(),(2 ++++−−+−=+=∇ jifjifjifjifjifjifjifjif yyxx

)1,(),1(),(4),1()1,(),(),(),(2 ++++−−+−=+=∇ jifjifjifjifjifjifjifjif yyxx

)1,(),1(),(5),1()1,(),(),(),( 2 +−+−+−−−−=∇−= jifjifjifjifjifjifjifjig

ラプラシアンフィルタ（続）ラプラシアンフィルタ（続）上式の重み係数に注目すれば、本フィルタのオペレータは上式の重み係数に注目すれば、本フィルタのオペレータは(a)(a)のように得られる。これは隣接する上下左右ののように得られる。これは隣接する上下左右の44画素につい画素についてのての22次微分を用いた場合のオペレータ（次微分を用いた場合のオペレータ（44近傍鮮鋭化フィル近傍鮮鋭化フィルタ）であるが、斜め方向に隣接する画素を含むタ）であるが、斜め方向に隣接する画素を含む88画素におけ画素における鮮鋭化フィルタ（る鮮鋭化フィルタ（88近傍鮮鋭化フィルタ）は近傍鮮鋭化フィルタ）は(b)(b)のようになる。のようになる。

0 0 --1 0 1 0 --1 1 --11 --11--1 5 1 5 --1 1 --1 9 1 9 --110 0 --1 0 1 0 --1 1 --11 --11

(a) 4(a) 4近傍鮮鋭化フィルタ近傍鮮鋭化フィルタ (b) 8(b) 8近傍鮮鋭化フィルタ近傍鮮鋭化フィルタ

88近傍鮮鋭化フィルタにより鮮鋭化を行った例近傍鮮鋭化フィルタにより鮮鋭化を行った例

隣接する画素との濃度差の強調隣接する画素との濃度差の強調・赤外線カメラ・赤外線カメラにより得られた画像などで、異なにより得られた画像などで、異なる温度ごとに異なる色を割りあてて温度変化る温度ごとに異なる色を割りあてて温度変化を強調させることがある。このように濃淡画素を強調させることがある。このように濃淡画素の濃淡を強調して表示する方法を、の濃淡を強調して表示する方法を、擬似カ擬似カラーラーまたはまたはシュードカラーシュードカラー(Pseudo Color)(Pseudo Color)というという

・衛星画像・衛星画像で、地球表面の植生の分布などをで、地球表面の植生の分布などを分かりやすくした画像がある。これは、光の周分かりやすくした画像がある。これは、光の周波数ごとに波数ごとにRGBRGBの各色を割り当てて、混色としの各色を割り当てて、混色として画像を表現している。このような方法をて画像を表現している。このような方法をフォールスカラーフォールスカラー(False Color)(False Color)というという