ЭлектричествоОсновными законами электростатики которые отрабатываются в

процессе решения задач являются закон Кулона взаимодействия точечных зарядов теорема Остроградского-Гауса и закон сохранения электрического заряда

1 Закон Кулона и закон сохранения электрического заряда

По закону Кулона сила взаимодействияF двух точечных зарядов q1 и q2 находящихся в вакууме прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними а также зависит от электрических свойств среды

Если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε (εgt1) то сила взаимодействия между ними

rr

rqqkF

221

(11)

где F ndash кулоновская сила k ndash коэффициент пропорциональности

2

29

0

1094

1Кл

мHk

ε0 ndash диэлектрическая проницаемость в вакууме (ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м) ε ndash диэлектрическая проницаемость среды (ε gt1) r ndash расстояние между зарядамиКулоновские силы направлены по линии соединяющей

взаимодействующие заряды навстречу друг другу (разноименные заряды притягиваются) или в противоположные стороны (одноименные отталкиваются)

Согласно закону сохранения электрического заряда в изолированной системе электрический заряд не изменяется он может только перераспределяться переходя от одних тел к другим при их соприкосновении те сумма электрических зарядов остается постоянной

sumi=1

N

qi=const

4

m g

Y

Т

Х F

Примеры решения задач

Задача 1 Два точечных заряда находясь в воздухе (ε = 1) на расстоянии r1=20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой На каком расстоянии r2 нужно поместить эти заряды в масле чтобы получить ту же силу взаимодействия

Дано Решениеr1=20 см Согласно закону Кулона два точечных заряда в воздухе

ε = 1 взаимодействуют с силой F1=

q1q2

4 πε0 ε1r12

(1)

r2 - а в масле ndash с такой же силойF2=F1=

q1 q2

4 πε0 ε2 r22

(2)

Приравняв правые части уравнений (1) и (2) найдем r2=r1radic ε1

ε2 Расстояние не зависит ни от величины ни от знака заряда Диэлектрическая проницаемость воздуха ε1 = 1 а масла ε2 = 5 Подставив числовые значения получим r2 = 894 см

Ответ r2 = 894 см

Задача 2 Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы сила натяжения нитей стала равной Т=98 мН Расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 10 см масса каждого шарика m = 5 г

Дано Решение Т=98 мН После сообщения шарикам заряда q l = 10 см каждый из них отклонится от верти - m = 5 г кали на угол α и остановится q- удерживаясь кулоновскими

силами отталкивания Поскольку условия равновесия для обоих шаров одинаковы рассмотрим один из них По закону сохранения заряда заряд q распределится на два шарика равномерно Тогда каждый шарик

5

d rq1

Y

Fd X

q2

получит заряд q0= q 2 На шарик действуют три силы сила Кулона F сила

натяжения нити T и сила тяжести m g

Условие равновесия шарика F +T +m g =0 (IIndashй закон Ньютона) В проекции на оси

ось х F-T sinα = 0 (1) ось у T cosα ndashmg=0 (2) Расстояние между шариками равно 2l sinα Кулоновская сила

определяется формулой F=

q02

4 πεε0 4 l2sin2 α (3) Выразим величину sinα Из (2)

следует cos α=mg

T или 1minussin2 α=(mg

T )2

отсюда sinα=radic1minus(mgT )

2

(4) Из (1) найдем F = T sinα (5) Приравняв правые части уравнений (5) и (3) и

разделив полученное выражение на sinα получим T=

q02

4 πεε0 4 l2 sin3α Подставив это выражение в уравнение (4) выразим

q0=4 l radicπT (1minus(mgT )

32 )=5 32sdot10minus7 Кл

Тогда заряд сообщенный обоим шарикам q = 2q0 iquest 11iquest10minus6 Кл

Ответ q iquest 11iquest10minus6 Кл

Задача 3 Найти силу действующую на точечный заряд q1 = 510-7 Кл расположенный в центре полукольца радиуса r = 5 см со стороны этого полукольца по которому равномерно распределен заряд q2 = 310-7 Кл

Дано Решениеq1 = 510-7

Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж q2 = 310-7

Кл r = 5 см F -

6

1 Искомую силу можно рассматривать как геометрическую сумму сил действующих со стороны заряда dq расположенного на отрезке dl полукольца

F=intd F (1) где |d F|=radic (dF x )2+(dF y )

2

dq=q2

πrsdotdl

(2)2 Так как заряд dq сосредоточен на элементарной длине полукольца dl

его можно считать точечным и взаимодействие заряда dq и q1 описывать законом Кулона

d F= 14 πε0

q1sdotdq

r2rr (3)

3 Найдем составляющие силы взаимодействия зарядов вдоль оси х и у

Fx= intпо полукольцу

dFx=int 14 πε0

q1dq

r2 sin α= 14 πε0

q1 q2

r2 πrint sin αsdotdα= 1

4 π2ε 0

q1 q2

r 3 int sin αsdotrsdotdα=

= 14 πε 0

q1q2

r2 int0

π

sin αsdotdα=q1q2

4 π2 ε0r2

Аналогично

F y=int dF y=1

4 π2 ε 0

q1 q2

r 2 int0

π

cosαsdotdα=0

4 Результирующая сила будет направлена по оси х

F=Fx=1

4 π2ε 0

q1 q2

r 2

F= 14sdot3 142sdot8 85sdot10minus12sdot

5sdot10minus7sdot3sdot10minus7

25sdot10minus4 =1 14sdot10minus3 (H )

Ответ F=1 14sdot10minus3 (H )

Задачи для самостоятельного решения11 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так

что их поверхности соприкасаются После сообщения шарикам заряда q = 4∙10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 600 Найти вес шариков если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см

7

12 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы натяжение нити стало равным 0098 Н Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см Вес каждого шарика равен 5∙10-3 кг

13 Два точечных заряда находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой Какова эта сила если в масле для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга

14 Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через каждые 2 см Заряды равны соответственно 2∙10-8 Кл и 3∙10-8 Кл

15 Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда расположенных на расстоянии 30 м друг от друга в вакууме отталкиваются с силой 04 Н Определить каждый заряд

16 Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине если расстояние между ними 2 см

17 Маленький шарик массой 2 г подвешенный на тонкой шелковой нити несет на себе заряд 310-7 Кл На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 510-7 Кл чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза

18 Два разноименных заряда 210-4 Кл и -810-4 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга Какой величины и где надо поместить заряд q чтобы система зарядов находилась в равновесии

19 Одинаковые металлические шарики заряженные одноименно зарядами q и 4q находятся на расстоянии х друг от друга Шарики привели в соприкосновение На какое расстояние их нужно раздвинуть чтобы сила взаимодействия осталась прежней

110 Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5 м так что они соприкасаются друг с другом Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл Определить расстояние между центрами шариков на которое они разойдутся после зарядки

111 Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях длиной 02 м закрепленных в одной точке подвеса Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд После соприкосновения с другим шариком они разошлись так что нити образовали угол 600 Определить величину заряда сообщенного первому шарику

8

r q2 c q1

q3

a b

R

q1 q2

112 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить массу шариков

113 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика если его плотность 08∙103 кгм3

при условии что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 600

114 Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и ndash 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга На сколько изменится сила их взаимодействия если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние

115 Два маленьких одинаковых по размеру шарика находясь на расстоянии 02 м притягиваются с силой 410-3

Н После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние они стали отталкиваться с силой 22510-3 Н Определить первоначальные заряды шариков

116 Два одинаковых шарика массой 009 г каждый заряжены одинаковыми зарядами соединены нитью и подвешены к потолку (рис1) Какой заряд должен иметь каждый шарик чтобы натяжение нитей было одинаковым Расстояние между центрами шариков 03 м

Рис1 Рис2 Рис3 117 Шарик массой 4 г несущий заряд q1 = 278 нКл подвешен на нити

При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления Найти модуль заряда q2 если расстояние r = 6 см

9

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

m g

Y

Т

Х F

Примеры решения задач

Задача 1 Два точечных заряда находясь в воздухе (ε = 1) на расстоянии r1=20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой На каком расстоянии r2 нужно поместить эти заряды в масле чтобы получить ту же силу взаимодействия

Дано Решениеr1=20 см Согласно закону Кулона два точечных заряда в воздухе

ε = 1 взаимодействуют с силой F1=

q1q2

4 πε0 ε1r12

(1)

r2 - а в масле ndash с такой же силойF2=F1=

q1 q2

4 πε0 ε2 r22

(2)

Приравняв правые части уравнений (1) и (2) найдем r2=r1radic ε1

ε2 Расстояние не зависит ни от величины ни от знака заряда Диэлектрическая проницаемость воздуха ε1 = 1 а масла ε2 = 5 Подставив числовые значения получим r2 = 894 см

Ответ r2 = 894 см

Задача 2 Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы сила натяжения нитей стала равной Т=98 мН Расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 10 см масса каждого шарика m = 5 г

Дано Решение Т=98 мН После сообщения шарикам заряда q l = 10 см каждый из них отклонится от верти - m = 5 г кали на угол α и остановится q- удерживаясь кулоновскими

силами отталкивания Поскольку условия равновесия для обоих шаров одинаковы рассмотрим один из них По закону сохранения заряда заряд q распределится на два шарика равномерно Тогда каждый шарик

5

d rq1

Y

Fd X

q2

получит заряд q0= q 2 На шарик действуют три силы сила Кулона F сила

натяжения нити T и сила тяжести m g

Условие равновесия шарика F +T +m g =0 (IIndashй закон Ньютона) В проекции на оси

ось х F-T sinα = 0 (1) ось у T cosα ndashmg=0 (2) Расстояние между шариками равно 2l sinα Кулоновская сила

определяется формулой F=

q02

4 πεε0 4 l2sin2 α (3) Выразим величину sinα Из (2)

следует cos α=mg

T или 1minussin2 α=(mg

T )2

отсюда sinα=radic1minus(mgT )

2

(4) Из (1) найдем F = T sinα (5) Приравняв правые части уравнений (5) и (3) и

разделив полученное выражение на sinα получим T=

q02

4 πεε0 4 l2 sin3α Подставив это выражение в уравнение (4) выразим

q0=4 l radicπT (1minus(mgT )

32 )=5 32sdot10minus7 Кл

Тогда заряд сообщенный обоим шарикам q = 2q0 iquest 11iquest10minus6 Кл

Ответ q iquest 11iquest10minus6 Кл

Задача 3 Найти силу действующую на точечный заряд q1 = 510-7 Кл расположенный в центре полукольца радиуса r = 5 см со стороны этого полукольца по которому равномерно распределен заряд q2 = 310-7 Кл

Дано Решениеq1 = 510-7

Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж q2 = 310-7

Кл r = 5 см F -

6

1 Искомую силу можно рассматривать как геометрическую сумму сил действующих со стороны заряда dq расположенного на отрезке dl полукольца

F=intd F (1) где |d F|=radic (dF x )2+(dF y )

2

dq=q2

πrsdotdl

(2)2 Так как заряд dq сосредоточен на элементарной длине полукольца dl

его можно считать точечным и взаимодействие заряда dq и q1 описывать законом Кулона

d F= 14 πε0

q1sdotdq

r2rr (3)

3 Найдем составляющие силы взаимодействия зарядов вдоль оси х и у

Fx= intпо полукольцу

dFx=int 14 πε0

q1dq

r2 sin α= 14 πε0

q1 q2

r2 πrint sin αsdotdα= 1

4 π2ε 0

q1 q2

r 3 int sin αsdotrsdotdα=

= 14 πε 0

q1q2

r2 int0

π

sin αsdotdα=q1q2

4 π2 ε0r2

Аналогично

F y=int dF y=1

4 π2 ε 0

q1 q2

r 2 int0

π

cosαsdotdα=0

4 Результирующая сила будет направлена по оси х

F=Fx=1

4 π2ε 0

q1 q2

r 2

F= 14sdot3 142sdot8 85sdot10minus12sdot

5sdot10minus7sdot3sdot10minus7

25sdot10minus4 =1 14sdot10minus3 (H )

Ответ F=1 14sdot10minus3 (H )

Задачи для самостоятельного решения11 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так

что их поверхности соприкасаются После сообщения шарикам заряда q = 4∙10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 600 Найти вес шариков если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см

7

12 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы натяжение нити стало равным 0098 Н Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см Вес каждого шарика равен 5∙10-3 кг

13 Два точечных заряда находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой Какова эта сила если в масле для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга

14 Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через каждые 2 см Заряды равны соответственно 2∙10-8 Кл и 3∙10-8 Кл

15 Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда расположенных на расстоянии 30 м друг от друга в вакууме отталкиваются с силой 04 Н Определить каждый заряд

16 Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине если расстояние между ними 2 см

17 Маленький шарик массой 2 г подвешенный на тонкой шелковой нити несет на себе заряд 310-7 Кл На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 510-7 Кл чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза

18 Два разноименных заряда 210-4 Кл и -810-4 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга Какой величины и где надо поместить заряд q чтобы система зарядов находилась в равновесии

19 Одинаковые металлические шарики заряженные одноименно зарядами q и 4q находятся на расстоянии х друг от друга Шарики привели в соприкосновение На какое расстояние их нужно раздвинуть чтобы сила взаимодействия осталась прежней

110 Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5 м так что они соприкасаются друг с другом Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл Определить расстояние между центрами шариков на которое они разойдутся после зарядки

111 Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях длиной 02 м закрепленных в одной точке подвеса Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд После соприкосновения с другим шариком они разошлись так что нити образовали угол 600 Определить величину заряда сообщенного первому шарику

8

r q2 c q1

q3

a b

R

q1 q2

112 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить массу шариков

113 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика если его плотность 08∙103 кгм3

при условии что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 600

114 Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и ndash 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга На сколько изменится сила их взаимодействия если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние

115 Два маленьких одинаковых по размеру шарика находясь на расстоянии 02 м притягиваются с силой 410-3

Н После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние они стали отталкиваться с силой 22510-3 Н Определить первоначальные заряды шариков

116 Два одинаковых шарика массой 009 г каждый заряжены одинаковыми зарядами соединены нитью и подвешены к потолку (рис1) Какой заряд должен иметь каждый шарик чтобы натяжение нитей было одинаковым Расстояние между центрами шариков 03 м

Рис1 Рис2 Рис3 117 Шарик массой 4 г несущий заряд q1 = 278 нКл подвешен на нити

При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления Найти модуль заряда q2 если расстояние r = 6 см

9

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

d rq1

Y

Fd X

q2

получит заряд q0= q 2 На шарик действуют три силы сила Кулона F сила

натяжения нити T и сила тяжести m g

Условие равновесия шарика F +T +m g =0 (IIndashй закон Ньютона) В проекции на оси

ось х F-T sinα = 0 (1) ось у T cosα ndashmg=0 (2) Расстояние между шариками равно 2l sinα Кулоновская сила

определяется формулой F=

q02

4 πεε0 4 l2sin2 α (3) Выразим величину sinα Из (2)

следует cos α=mg

T или 1minussin2 α=(mg

T )2

отсюда sinα=radic1minus(mgT )

2

(4) Из (1) найдем F = T sinα (5) Приравняв правые части уравнений (5) и (3) и

разделив полученное выражение на sinα получим T=

q02

4 πεε0 4 l2 sin3α Подставив это выражение в уравнение (4) выразим

q0=4 l radicπT (1minus(mgT )

32 )=5 32sdot10minus7 Кл

Тогда заряд сообщенный обоим шарикам q = 2q0 iquest 11iquest10minus6 Кл

Ответ q iquest 11iquest10minus6 Кл

Задача 3 Найти силу действующую на точечный заряд q1 = 510-7 Кл расположенный в центре полукольца радиуса r = 5 см со стороны этого полукольца по которому равномерно распределен заряд q2 = 310-7 Кл

Дано Решениеq1 = 510-7

Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж q2 = 310-7

Кл r = 5 см F -

6

1 Искомую силу можно рассматривать как геометрическую сумму сил действующих со стороны заряда dq расположенного на отрезке dl полукольца

F=intd F (1) где |d F|=radic (dF x )2+(dF y )

2

dq=q2

πrsdotdl

(2)2 Так как заряд dq сосредоточен на элементарной длине полукольца dl

его можно считать точечным и взаимодействие заряда dq и q1 описывать законом Кулона

d F= 14 πε0

q1sdotdq

r2rr (3)

3 Найдем составляющие силы взаимодействия зарядов вдоль оси х и у

Fx= intпо полукольцу

dFx=int 14 πε0

q1dq

r2 sin α= 14 πε0

q1 q2

r2 πrint sin αsdotdα= 1

4 π2ε 0

q1 q2

r 3 int sin αsdotrsdotdα=

= 14 πε 0

q1q2

r2 int0

π

sin αsdotdα=q1q2

4 π2 ε0r2

Аналогично

F y=int dF y=1

4 π2 ε 0

q1 q2

r 2 int0

π

cosαsdotdα=0

4 Результирующая сила будет направлена по оси х

F=Fx=1

4 π2ε 0

q1 q2

r 2

F= 14sdot3 142sdot8 85sdot10minus12sdot

5sdot10minus7sdot3sdot10minus7

25sdot10minus4 =1 14sdot10minus3 (H )

Ответ F=1 14sdot10minus3 (H )

Задачи для самостоятельного решения11 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так

что их поверхности соприкасаются После сообщения шарикам заряда q = 4∙10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 600 Найти вес шариков если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см

7

12 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы натяжение нити стало равным 0098 Н Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см Вес каждого шарика равен 5∙10-3 кг

13 Два точечных заряда находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой Какова эта сила если в масле для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга

14 Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через каждые 2 см Заряды равны соответственно 2∙10-8 Кл и 3∙10-8 Кл

15 Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда расположенных на расстоянии 30 м друг от друга в вакууме отталкиваются с силой 04 Н Определить каждый заряд

16 Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине если расстояние между ними 2 см

17 Маленький шарик массой 2 г подвешенный на тонкой шелковой нити несет на себе заряд 310-7 Кл На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 510-7 Кл чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза

18 Два разноименных заряда 210-4 Кл и -810-4 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга Какой величины и где надо поместить заряд q чтобы система зарядов находилась в равновесии

19 Одинаковые металлические шарики заряженные одноименно зарядами q и 4q находятся на расстоянии х друг от друга Шарики привели в соприкосновение На какое расстояние их нужно раздвинуть чтобы сила взаимодействия осталась прежней

110 Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5 м так что они соприкасаются друг с другом Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл Определить расстояние между центрами шариков на которое они разойдутся после зарядки

111 Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях длиной 02 м закрепленных в одной точке подвеса Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд После соприкосновения с другим шариком они разошлись так что нити образовали угол 600 Определить величину заряда сообщенного первому шарику

8

r q2 c q1

q3

a b

R

q1 q2

112 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить массу шариков

113 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика если его плотность 08∙103 кгм3

при условии что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 600

114 Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и ndash 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга На сколько изменится сила их взаимодействия если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние

115 Два маленьких одинаковых по размеру шарика находясь на расстоянии 02 м притягиваются с силой 410-3

Н После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние они стали отталкиваться с силой 22510-3 Н Определить первоначальные заряды шариков

116 Два одинаковых шарика массой 009 г каждый заряжены одинаковыми зарядами соединены нитью и подвешены к потолку (рис1) Какой заряд должен иметь каждый шарик чтобы натяжение нитей было одинаковым Расстояние между центрами шариков 03 м

Рис1 Рис2 Рис3 117 Шарик массой 4 г несущий заряд q1 = 278 нКл подвешен на нити

При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления Найти модуль заряда q2 если расстояние r = 6 см

9

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

1 Искомую силу можно рассматривать как геометрическую сумму сил действующих со стороны заряда dq расположенного на отрезке dl полукольца

F=intd F (1) где |d F|=radic (dF x )2+(dF y )

2

dq=q2

πrsdotdl

(2)2 Так как заряд dq сосредоточен на элементарной длине полукольца dl

его можно считать точечным и взаимодействие заряда dq и q1 описывать законом Кулона

d F= 14 πε0

q1sdotdq

r2rr (3)

3 Найдем составляющие силы взаимодействия зарядов вдоль оси х и у

Fx= intпо полукольцу

dFx=int 14 πε0

q1dq

r2 sin α= 14 πε0

q1 q2

r2 πrint sin αsdotdα= 1

4 π2ε 0

q1 q2

r 3 int sin αsdotrsdotdα=

= 14 πε 0

q1q2

r2 int0

π

sin αsdotdα=q1q2

4 π2 ε0r2

Аналогично

F y=int dF y=1

4 π2 ε 0

q1 q2

r 2 int0

π

cosαsdotdα=0

4 Результирующая сила будет направлена по оси х

F=Fx=1

4 π2ε 0

q1 q2

r 2

F= 14sdot3 142sdot8 85sdot10minus12sdot

5sdot10minus7sdot3sdot10minus7

25sdot10minus4 =1 14sdot10minus3 (H )

Ответ F=1 14sdot10minus3 (H )

Задачи для самостоятельного решения11 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так

что их поверхности соприкасаются После сообщения шарикам заряда q = 4∙10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 600 Найти вес шариков если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см

7

12 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы натяжение нити стало равным 0098 Н Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см Вес каждого шарика равен 5∙10-3 кг

13 Два точечных заряда находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой Какова эта сила если в масле для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга

14 Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через каждые 2 см Заряды равны соответственно 2∙10-8 Кл и 3∙10-8 Кл

15 Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда расположенных на расстоянии 30 м друг от друга в вакууме отталкиваются с силой 04 Н Определить каждый заряд

16 Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине если расстояние между ними 2 см

17 Маленький шарик массой 2 г подвешенный на тонкой шелковой нити несет на себе заряд 310-7 Кл На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 510-7 Кл чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза

18 Два разноименных заряда 210-4 Кл и -810-4 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга Какой величины и где надо поместить заряд q чтобы система зарядов находилась в равновесии

19 Одинаковые металлические шарики заряженные одноименно зарядами q и 4q находятся на расстоянии х друг от друга Шарики привели в соприкосновение На какое расстояние их нужно раздвинуть чтобы сила взаимодействия осталась прежней

110 Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5 м так что они соприкасаются друг с другом Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл Определить расстояние между центрами шариков на которое они разойдутся после зарядки

111 Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях длиной 02 м закрепленных в одной точке подвеса Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд После соприкосновения с другим шариком они разошлись так что нити образовали угол 600 Определить величину заряда сообщенного первому шарику

8

r q2 c q1

q3

a b

R

q1 q2

112 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить массу шариков

113 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика если его плотность 08∙103 кгм3

при условии что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 600

114 Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и ndash 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга На сколько изменится сила их взаимодействия если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние

115 Два маленьких одинаковых по размеру шарика находясь на расстоянии 02 м притягиваются с силой 410-3

Н После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние они стали отталкиваться с силой 22510-3 Н Определить первоначальные заряды шариков

116 Два одинаковых шарика массой 009 г каждый заряжены одинаковыми зарядами соединены нитью и подвешены к потолку (рис1) Какой заряд должен иметь каждый шарик чтобы натяжение нитей было одинаковым Расстояние между центрами шариков 03 м

Рис1 Рис2 Рис3 117 Шарик массой 4 г несущий заряд q1 = 278 нКл подвешен на нити

При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления Найти модуль заряда q2 если расстояние r = 6 см

9

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

12 Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так что их поверхности соприкасаются Какой заряд нужно сообщить шарикам чтобы натяжение нити стало равным 0098 Н Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см Вес каждого шарика равен 5∙10-3 кг

13 Два точечных заряда находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой Какова эта сила если в масле для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга

14 Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через каждые 2 см Заряды равны соответственно 2∙10-8 Кл и 3∙10-8 Кл

15 Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда расположенных на расстоянии 30 м друг от друга в вакууме отталкиваются с силой 04 Н Определить каждый заряд

16 Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине если расстояние между ними 2 см

17 Маленький шарик массой 2 г подвешенный на тонкой шелковой нити несет на себе заряд 310-7 Кл На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 510-7 Кл чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза

18 Два разноименных заряда 210-4 Кл и -810-4 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга Какой величины и где надо поместить заряд q чтобы система зарядов находилась в равновесии

19 Одинаковые металлические шарики заряженные одноименно зарядами q и 4q находятся на расстоянии х друг от друга Шарики привели в соприкосновение На какое расстояние их нужно раздвинуть чтобы сила взаимодействия осталась прежней

110 Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5 м так что они соприкасаются друг с другом Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл Определить расстояние между центрами шариков на которое они разойдутся после зарядки

111 Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях длиной 02 м закрепленных в одной точке подвеса Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд После соприкосновения с другим шариком они разошлись так что нити образовали угол 600 Определить величину заряда сообщенного первому шарику

8

r q2 c q1

q3

a b

R

q1 q2

112 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить массу шариков

113 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика если его плотность 08∙103 кгм3

при условии что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 600

114 Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и ndash 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга На сколько изменится сила их взаимодействия если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние

115 Два маленьких одинаковых по размеру шарика находясь на расстоянии 02 м притягиваются с силой 410-3

Н После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние они стали отталкиваться с силой 22510-3 Н Определить первоначальные заряды шариков

116 Два одинаковых шарика массой 009 г каждый заряжены одинаковыми зарядами соединены нитью и подвешены к потолку (рис1) Какой заряд должен иметь каждый шарик чтобы натяжение нитей было одинаковым Расстояние между центрами шариков 03 м

Рис1 Рис2 Рис3 117 Шарик массой 4 г несущий заряд q1 = 278 нКл подвешен на нити

При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления Найти модуль заряда q2 если расстояние r = 6 см

9

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

r q2 c q1

q3

a b

R

q1 q2

112 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить массу шариков

113 Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м Заряды шариков 410-6 Кл Нити на которых подвешены шарики составляют угол 900 Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика если его плотность 08∙103 кгм3

при условии что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 600

114 Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и ndash 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга На сколько изменится сила их взаимодействия если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние

115 Два маленьких одинаковых по размеру шарика находясь на расстоянии 02 м притягиваются с силой 410-3

Н После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние они стали отталкиваться с силой 22510-3 Н Определить первоначальные заряды шариков

116 Два одинаковых шарика массой 009 г каждый заряжены одинаковыми зарядами соединены нитью и подвешены к потолку (рис1) Какой заряд должен иметь каждый шарик чтобы натяжение нитей было одинаковым Расстояние между центрами шариков 03 м

Рис1 Рис2 Рис3 117 Шарик массой 4 г несущий заряд q1 = 278 нКл подвешен на нити

При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления Найти модуль заряда q2 если расстояние r = 6 см

9

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

118 Два одноименных заряда 07 нКл и 13 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

119 Два точечных заряда величиной 11 нКл находятся на расстоянии 17 см С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них

120 В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата чтобы система зарядов находилась в равновесии

121 Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 92middot10-8 Н Диаметр атома принять равным 10-8 см На основании этих данных определить заряд ядра

122 Два точечных электрических заряда из которых один в 4 раза меньше другого находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд чтобы он оставался в равновесии Будет ли оно устойчивым

123 В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1 Определить радиус орбиты

124 Одноименные заряды q1 = 02 мКл q2 = 05 мКл и q3 = 04 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см б = 5 см с = 7 см (рис3) Определить величину и направление силы действующей на заряд q3

125 В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника чтобы результирующая сила действующая на каждый заряд была равна нулю

126 Проводящий шарик с зарядом 18middot10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками один из которых имел заряд - 03middot10-8 Кл а другой был не заряжен Как распределятся заряды между шариками С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга

127 Докажите что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка находящаяся на расстоянии а от заряда взаимодействуют с силой такой же величины как и два заряда +q и ndashq находящиеся на расстоянии 2а друг от друга

10

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

q

q

128 По теории Бора электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 053middot10-10 м в атоме водорода Определите скорость вращения электрона

129Два неподвижных положительных заряда по 16middot10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2middot10-13 м друг от друга Вдоль перпендикуляра проходящего через середину отрезка соединяющего эти заряды движется электрон В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна

130 На шелковых нитях образующих угол 600 подвешен шарик массой 10-3 кг Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое Расстояние между шариками 10-2

м Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис4)

Рис4

131 Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части132 Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика

подвешенного на шелковой нити если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака

133 Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с = 5

134 Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз Что и как при этом могло измениться

135 В ядре атома свинца 207 частиц Вокруг ядра вращаются 82 электрона Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома

11

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

2 Напряженность электрического поляЭлектрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое

поле На электрический заряд помещенный в точку пространства где есть электрическое поле действует сила

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q к этому заряду

E= F

q (21)Напряженность электрического поля ndash векторная величина направление

которой совпадает с направлением силы F при qgt0 Если известна напряженность электрического поля в данной точке то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила

F=q E (22)В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором

электрической индукции D связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением

D=εε0 E (23)

Напряженность электрического поля E создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами равна векторной сумме напряженностей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции)

E=E1+ E2+ + En (24)Таким образом если электростатическое поле создано конечным числом

электрических зарядов то рассчитывать его напряженность следует используя закон Кулона и принцип суперпозиции

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити) поверхностной плотностью (для цилиндрической сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса

12

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда находящегося внутри этой поверхности

N E=∮S

( E d S ) где NE ndash поток вектора напряженности

N E=

qεε0 (25)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы приведены в таблице 1

Таблица 1Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных

конфигурацийГеометрическая форма заряженного тела

Dвне

Клм2

Евне

Вм Dвнутри

Клм2

Евнутри

Вм

Точечный зарядq

4 πr2

q4 πεε0 r2 _ _

Сфераq

4 πr2

q4 πεε0 r2 0 0

Сферический конденсатор 0 0

q4 πr2

q4 πεε0 r2

Бесконечная плоскость

σ2

σ2 εε0

_ _

Плоский конденсатор

0 0 σ σεε0

Бесконечный цилиндр

τ2 πr

τ2 πεε0 r 0 0

Бесконечная нить

τ2 πr

τ2 πεε0 r _

_

Цилиндрический конденсатор

0 0τ

2 πrτ

2 πεε0 r

где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство вокруг заряда

13

уЕ2

У

Х

q2

q1

q3

a = r

1Е

ххЕЕ 12

уЕ1

A

σ ndash поверхностная плотность заряда σ=q

S S ndash площадь поверхности заряженного тела

τ ndash линейная плотность заряда τ=q

l l ndash длина заряженного тела

Примеры решения задачЗадача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл 4∙10-5 Кл -8∙10-5 Кл Определить напряженность в точке А

Дано Решение а = 01 м 1 Сделаем пояснительный q3=-8∙10-5

Кл чертежq2=4∙10-5 Клq1=2∙10-5 Кл ε =1 ЕА - ϕ А-

2 Применим принцип суперпозиции полейНапряженность поля зарядов q1 q2 q3 в точке А равна векторной сумме

напряженностей полей созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности

E= E1+ E2+ E3 (1)Напряженность поля создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r

от заряда равна

Е= q4 πεε0 r2

rr

(2)

3 Запишем Е А через компоненты Ех и Е у Е А =Ех + Е у (3)

ЕА=radicЕх2+Е у

2 (4)

Проецируем (1) на оси х и уЕх = - Е1cos αminusE2 cos α+E3

E y=E1 sin αminusE2 sin α (5)

14

α

A

УА

Х

Т

F

В

gm

Подставим (5) в(4) Напряженность результирующего поля в точке А будет равна

EA=radic(E1minusE2 )2 sin2α+[(minusE1minusE2 )cos α+E3 ]2 (6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны их нужно представить через заряды и расстояния Напряженности полей зарядов q1 q2 q3 в точке А равны

Е1=q1

4 πε0 r2

Е2=q2

4 πε0 r2

Е3=|q3|

4 πε0 (2 r )2 так как ε =1Знак заряда учли когда выполняли чертеж Подставляя эти выражения в

формулу (6) будем иметь

EA=1

4 πε0 r2 radicq12minusq1q2+q2

2minus(q1+q2 )|q3|

4+|q3|

2

16 (7)4 Подставляя численное значение в формулы (9) и (10) найдем

EA=1

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12sdot(01 )2radic(2sdot10minus5)2minus8sdot10minus10+2 (4sdot10minus5 )2minus12sdot10minus10

Вм = = 18∙103 Вм

5 В каждой точке электростатическое поле характеризуется

напряженностьюЕ которая является его силовой характеристикой Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей

Ответ Е А=18sdot103 Вм

Задача 2 На рисунке АА ndash заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ=40 мкКлм и В ndash одноименно заряженный шарик с массой m=1 г и зарядом q=1 нКл Какой угол α с плоскостью АА образует нить на которой висит шарик

Дано Решениеσ=40 мкКлм Заряженный шарик находится в

m=1 г электрическом поле плоскостиq=1 нКл АА Напряженность поля

α - Е= σ

2 εε0 На шарик действуют три силы электростатическая

сила F сила натяжения нити Т

и сила тяжести m g

15

R

y

X

1Ed Ed

xEd 1

xEd

h rdq

dq

Условие равновесия шарика F +Т +m g =0 или в проекциях на ось Х F- T sinα =0 (1) на ось У T cosα -mg=0 (2) Электростатическая сила

F=Eq= qσ2 εε0 (3) Из (2) найдем

T= mgcos α Подставляя это выражение в (1)

получим F=mgtg α (4) Приравнивая правые части (3) и (4) найдем qσ

2 εε0=mgtg α

откуда tg α= qσ

2 εε0 mg tg α=0 23 α=130

Ответ α=130

Задача 3 Заряд 1510-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу

радиусом R=02 м Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на оси кольца на расстоянии 015 м от его центра

Дано Решение

q=15sdot10minus9 Кл 1 Сделаем пояснительный чертеж R=02 м h = 015 м E -

2 dq и dq - симметрично расположенные заряды которые можно считать точечными В этих условиях

d E= 1

4 πεε0sdotdq

r2sdotr

r a|d E|=|d E|

3 В проекциях на оси имеемdEx=0

16

1 2 3

Х

А

В

С

D

31ЕЕ

2Е

3Е

21ЕЕ

23 ЕЕ

1Е

2Е

31ЕЕ

dE y=dE cos α cosα= hr= hradich2+R2

4

E=intl

dE y=1

4 πεε0sdot h

(h2+R2)3

2

int0

q

dq= hq

4 πεε0 (h2+R2)3

2

5 E= 0 15sdot15sdot10minus9

4sdot3 14sdot8 85sdot10minus12 (0 152+022)3

2

=13sdot103 В м

Ответ E=13sdot103 В м

Задача 4 Три плоскопараллельные пластины расположенные на малом расстоянии друг от друга равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 10-8 Клм2 -5 10-8 Клм2 +8 10-8 Клм2 Найти напряженность поля в точках лежащих между пластинами и с внешней стороны Построить график зависимости напряженности поля от расстояния выбрав за начало отсчета положение первой пластины

Дано Решениеσ 1=3sdot10minus8 Кл м2

Согласно принципу суперпозиции поле в любой σ 2=minus5sdot10minus8 Кл м2

точке будет создаваться всеми тремя заряженными

σ 3 =+8sdot10minus8 Клм2 пластинами

E - E=sum

i=1

3

Ei

1 Сделаем пояснительный рисунок

Для точки А ЕAx=minusE1minusE3+E2

Для точки B ЕBx=E1minusE3+E2

17

S S

Е

Для точки C ЕCx=E1minusE2minusE3

Для точки D ЕDx=E1+E3minusE2 2 Для вычисления надо знать зависимость напряженности

электростатического поля от плотности заряда на плоскости Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

определяется зарядом внутри этой поверхности деленным на произведение εε0

Ф=∮S

E d S= 1εε0

q (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей параллельной линиям напряженности поля (рис5)

Рис5Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее

линии напряженности не пронизывают) и через основания

N E=N I+N II+Nбок Nбок=0 N I=N II=int

SEsdotdS

Из формулы (1) имеем

2 ES= qε 0 ε где q=σsdotS

E= σ2 ε 0

Так как плоскости находятся в вакууме то ε=1 и E= σ

2 ε 0

18

Е

1 2 3

Х

-ЕА

ЕВ

-ЕС

ЕD

3 Рассчитаем напряженность электрического поля в точках ABCD

EAx=1

2sdot8 85sdot10minus12(minus3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus34sdot108 Вм

EBx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8+5sdot10minus8minus8sdot10minus8 )=0

ECx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8minus8sdot10minus8)=minus56sdot103 В м

EDx=1

2sdot8 85sdot10minus12(3sdot10minus8minus5sdot10minus8=8sdot10minus8)=34sdot103 Вм

Рис 6Поле заряженной плоскости является однородным Напряженность поля в

каждой точке не зависит от расстояния На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв величина скачка которого

определяется отношением

σε0 (рис6)

Ответ EAx=minus34sdot108 Вм EBx=0 ECx=minus56sdot103 Вм EDx=34sdot103 В м

Задачи для самостоятельного решения1 Найти напряженность электрического поля в точке лежащей по-

средине между точечными зарядами q1 = 8 middot 10-8 Кл и q2 = -6 middot10-9 Кл Расстояние

между зарядами равно r = 10 см = 1

19

2 Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см На каком расстоянии от первого заряда находится точка в которой напряженность поля равна нулю

3 Одинаковые по модулю но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника Сторона треугольника 2 м Определите напряженность поля в третьей вершине треугольника

4 В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов Величина каждого заряда q = 15 middot10-9 Кл Сторона шестиугольника 3 см

5 Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а

Определить величину напряженности E в центре квадрата если а) q1 =q2 = q3 = = q4 = q б) q1 = q2 = q3 = q q4=- q в) q1 = q2 = q q3= q4=- q

6 Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7middot10-9_Кл и q2 = -147middot10-9 Кл равно 5 см Найти напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного

7 Найти силу действующую на заряд в 06middot10-9 Кл если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда 2middot10-9 Клсм Диэлектрическая проницаемость среды равна 6

8 Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см если поле образовано 1) точечным зарядом в 33middot10-9 Кл 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 167middot10-8 Клсм 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2middot10-9 Клсм2

9 С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити помещенной в это поле Линейная плотность заряда нити 3middot10 -8 Клсм и поверхностная плотность заряда на плоскости 2middot10-9 Клсм2

10 С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга

20

11 Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Клсм расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити

12 С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3middot10-8 Клсм2

13 Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см 10 см 30 см от

центра сферы Построить график зависимости Е (r ) 14 Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками

расположенными параллельно друг другу d = 16 см Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью = 150 мк Клм Какова напряженность поля в точке удаленной на 10 см как от первой так и от второй проволоки

15 Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд равный 500 нКл Определить напряженность поля в точке находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности

16 Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд = 2 мкКлм Вблизи средней части на расстоянии малом по сравнению с ее длиной и равном 1 см находится точечный заряд 01 Кл Определить силу действующую на заряд

17 Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКлм2 и 2 = 3 нКлм2 Определить напряженность поля 1) между пластинами 2) вне пластин Построить график изменения напряженности вдоль линии перпендикулярной пластинам Как изменится график если заряд 2 изменить на противоположный по знаку

18 Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКлм2 и 2 = 2 нКлм2 Определить

21

напряженность поля создаваемого пластинами Начертить картину силовых линий

19 Две бесконечные плоскости несущие одинаковый заряд равномерно распределенные по площади с поверхностной плотностью = 100 нКлм2 пересекаются под углом 600 Определить напряженность поля создаваемого плоскостями и начертить картину электрических силовых линий

20 Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКлм2

и 2 = -30 нКлм2 Какова сила взаимодействия приходящаяся на единицу площади пластин

21 Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд равный 30 нКл Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН Определить силу взаимного притяжения пластин если площадь каждой пластины 100 см2

22 Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд равный 10 нКлм2 На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд равный 100 нКл Найти силу действующую на заряд

23 Точечный заряд равный 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины Вычислить поверхностную плотность заряда пластины если на точечный заряд действует сила 60 мН

24 На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г несущий заряд того же знака что и пластина Найти заряд шарика если нить образует с вертикалью угол 300

25 Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью = 1 нКлм2 На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом 10 см Вычислить поток вектора напряженности через этот круг

26 Плоская квадратная пластина со стороной равной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 нКлм2) плоскости Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля Найти поток вектора индукции через эту пластину

27 Точечный заряд q=5middot10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки Найти поверхностную плотность заряда

22

d1

d2

индуцированного на стенке в точке ближайшей к заряду и в точке находящейся от заряда на расстоянии 5 см Каков общий заряд стенки

28 В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВм силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300 висит на нити шарик массой 2 г и зарядом 33 нКл Определить силу натяжения нити

29 Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4 Заряды внутреннего и наружного провода противоположны по знаку Линейная плотность зарядов = 314 middot10-10 Клм Определить напряженность поля в точке находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис7)

Рис 7

30 Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной l = 39middot10-11 м с зарядами 16 middot10-19 Кл Определить напряженность поля созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3middot10-9 м от середины диполя в точке лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему

31 Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства

32 Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину

33 Чему равна сила действующая на заряд помещенный в центре равномерно заряженной сферы

34 Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность если внутри нее сумма зарядов равна нулю но есть поле созданное внешними зарядами

35 Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ Изобразите графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара

23

3 Потенциал Связь напряженности и потенциалаПотенциалом ϕ какой-либо точки электростатического поля называется

величина равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда

ϕ=Пq0 (31)

Разностью потенциалов Δϕ между точками a и b электрического поля называется отношение работы А которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b к этому заряду

Δϕ= Aq (32)

Работа А совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле

A=q( ϕaminusϕb ) (33)Потенциал электрического поля создаваемого в данной точке

несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности

ϕ=ϕ1+ϕ2+ +ϕn (35)Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

ϕ1minusϕ2=int1

2

E d l (36)

E=minusgrad ϕ Если φa и φb ndash потенциалы точек a и b лежащих на одной линии

напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга то напряженность электрического поля

E=

(ϕaminusϕb )r (37)

Используя интегральную связь (36) получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей созданных зарядами расположенными на телах разной геометрической формы (см таблицу 2)

24

Таблица 2Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела

ϕ вне В ϕ внутри В ϕ1minusϕ2 В

Точечный зарядq

4 πεε0 r -q

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сфераq

4 πεε0 r constq

4 πεε0( 1r 1minus 1

r2)

Сферический конденсатор const

q4 πεε0 r R1≺r≺R2

q4 πεε0

( 1R1minus 1

R2)

Бесконечная плоскость

minus σ2 εε0

x -σ

2 εε0(x2minusx1 )

Плоский конденсатор const

σεε0 d1≺d≺d2

σεε0

d=EΔd

Бесконечный цилиндр - ϕ R= const

τ4 πεε0

lnr2

r1

Бесконечная нить - -

τ4 πεε0

lnr2

r1

Цилиндрический конденсатор const - τ

4 πεε0ln

R2

R1

Примеры решения задач Задача 1 В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной

10 см находятся заряды +2sdot10minus5 Кл +4sdot10minus5 Кл minus8sdot10minus5 Кл Определить потенциал в точке А

Дано Решениеq1 =+2sdot10minus5 Кл Потенциал является энергетической характеристикой q2 =+ 4sdot10minus5 Кл Потенциал результирующего поля равен алгебраическойq2 =+ 4sdot10minus5 Кл сумме потенциалов создаваемых в этой точке каждымq3=minus8sdot10minus5 Кл из слагаемых полейϕ Аminus ϕ=ϕ1+ϕ2+ϕ3

25

ϕ= q4 πεε0 r

ϕ1=q1

4 πεε0 r ϕ2=

q2

4 πεε0 r ϕ3=

q3

4 πεε0 r

ϕ А=1

4 πε0 r (q1+q2+q3

2 )ϕ А=

9sdot109

01 (2sdot10minus5+4sdot10minus5minus8sdot10minus5

2 )=36sdot103 B

Ответ ϕ А=36sdot103 B

Задача 2 Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R Заряд сферы q Найти разность потенциалов между двумя точками лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности Записать выражение потенциала для

точек внутри и вне и построить график ϕ (r ) Дано Решение

q R ϕ1minusϕ2minus ϕ -

Рис 8Из условия симметрии следует что силовые линии электростатического

поля заряженной сферы направлены радиально По тем же причинам модуль

вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы

Если применить теорему Гаусса для определения Е то получим что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда равного общему заряду и расположенного в ее центре и вычисляется по формуле

Е= q4 πεε0 r2

(1)Внутри сферы поле отсутствует В этом случае уравнение

E=minusgrad ϕ (2)

26

имеет вид

Е=minusdϕdr (3)

Формулы (1) (3) позволяют полностью решить задачуИз последнего уравнения следует что

dϕ=minusEdr (4)откуда

ϕ1minusϕ2=intr1

r2

Edr= q4 πεε0 ( 1

r1minus 1

r2 )Окончательно запишем

ϕ1minusϕ2=q

4 πεε0 r1minus q

4 πεε0 r2 Найдем потенциал заряженной сферической поверхности

ϕп=q

4 πεε0 R (r 1=R r2=infin ) Потенциал вне сферы вычисляется по формуле

ϕ= q4 πεε0 r (rgtR )

На рис8 изображен график ϕ (r ) для заряженной сферической

поверхности Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально 1r где r ndash

расстояние от центра заряженной сферы до точки в которой необходимо найти потенциал Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы

Ответ ϕ1minusϕ2=

q4 πεε0 r1

minus q4 πεε0 r2

ϕ= q4 πεε0 r

Задача 3 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В Какую скорость υ получит электрон под действием поля пройдя по линии напряженности расстояние Δr=3 мм

27

Дано Решениеd = 2 смU = 120 ВΔr=3 ммυ -

Для того чтобы сообщить электрону кинетическую энергию

W k=mυ2

2 силы электрического поля должны совершить

работу A=eΔϕ где Δϕ - разность потенциалов между точками находящимися на расстоянии Δr

Напряженность поля E= Δϕ

Δr где Δϕ=EΔr Тогда работа сил поля A=eE Δr или

учитывая что E=U

d A= eU Δr

d Поскольку A=W k то eU Δr

d=mυ2

2 откуда

υ=radic 2eU Δrmd

=2 53sdot106

мсОтвет υ=2 53sdot106

мс

Задача 4 Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них Напряженность поля в конденсаторе E=100 В м расстояние между пластинами d=4 см Через какое время t после того как электрон влетел в конденсатор он попадет на одну из пластин На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину если он ускорен разностью потенциалов U=60 B Дано Решение

E=100 В мd=4 см U=60 B t- s -

1 Сделаем пояснительный чертеж

28

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со

скоростью υ x= υ0 тк вдоль оси х на него действуют силы При равномерном

движении координата х изменяется со временем х=υ0 t Вдоль оси у на

электрон действуют две силы сила тяжести m g и сила электростатического

поля F = eЕ Сила тяжести mg=(9 11sdot10minus31sdot98) H на тридцать порядков меньше

электростатической силы F=(16sdot10minus19sdot102) H и ею можно пренебречь Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным а координата у изменяется со временем по закону

y=at 2

2= Ft2

2 m= eEt 2

2 m Отсюда при у = d2 имеем

t=radic dmeE

asymp48 нс Пройдя разность

потенциалов U электрон за счет работы А сил электростатического поля

приобретает кинетическую энергию те A=eU=

mυ02

2 откуда υ0=radic 2 eU

m Тогда

через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии S=υ0 t=t radic 2 eU

m Подставив числовые данные получим S=22 см

Ответ S=22 см

Задача 5 Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный

конденсатор параллельно его пластинам со скоростьюυ0=107 мс

Напряженность поля в конденсаторе Е=10 кВ м длина конденсатора l=5 см Найти модуль и направление скорости υ электрона при вылете его из конденсатора

29

Дано Решение

υ0=107 мс Е=10 кВ м l=5 см υ - α -

1 Сделаем пояснительный чертеж

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора υ= υ х+ υ у

где υ х= υ0 υ у=а t В скалярной форме υ=radicυx2+υ y

2 Поскольку

a= eEm

t= lυ0 то

υ=radicυ02+( eEl

mυ0 )2

=1 33sdot107 м с Направление скорости υ электрона

определяется углом α Из рисунка видно что cosα = υ0

υ α iquest410

Ответυ=1 33sdot107 мс α iquest410

Задача 6 Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v1 = 2 смс Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 КлДано Решение

30

v1 = 2 смс U = 3 кВ d = 2 смm = 2middot10-9 гq = 65middot10-17 Кл

t -

1 Сделаем пояснительный чертеж

В отсутствие электрического поля mg=6 πη rv1 При наличии поля на

пылинку действует горизонтальная сила F=q E которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении

также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2

причем qE=6 πηrv2 Из рисунка видно что tg α=

v1

v2= qE

mg Кроме того

отношение

v2

v1=05 d

l откуда l=05 v1

dv2=05 mg d

qE=2 см

тогда

v2=v 1 d2 l

=1см с Искомое время найдем по формуле

t= lv1 Подставляя

числовые данные получим t=1c

Ответ t=1 c Задачи для самостоятельного решения

31 При переносе заряда с земли в точку поля потенциал которой 1000 В была произведена работа 10-5 Дж Найти величину заряда

32 Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами 10 кВм расстояние между ними 5 см Найти напряжение между ними

33 Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 2middot10-8 Кл из бесконечности в точку находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда = 10-9 Клсм2

34 Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А потенциал которой равен 600 В в точку В потенциал которой равен нулю Чему была равна его скорость в точке А если в точке В она стала равной 20 смсек

31

35 На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти линейную плотность заряда нити

36 Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2middot10-9 Клсм Какую скорость получит электрон под действием поля приблизившись к нити с расстояния в 1 см до расстояния 05 см от нити

37 Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 мс до 3107 мс Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения

38 Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q = 06middot10-9 Кл Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см при этом совершается работа А = 5middot10-6 Дж Найти поверхностную плотность заряда на плоскости

39 В плоском горизонтально расположенном конденсаторе расстояние между пластинами которого d = 1 см находится заряженная капелька массой m = 5middot10-11 г При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В то капелька падает вдвое медленнее Найти заряд капельки

310 Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора на одинаковом расстоянии от них падает пылинка Через сколько времени после подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет одной из пластин Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину Расстояние между пластинами d = 2 см масса пылинки m = 2middot10-9 г заряд ее q = 65middot10-17 Кл

311 Между двумя вертикальными пластинами находящимися на расстоянии друг от друга на нити висит заряженный бузиновый шарик масса которого равна 01 г После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В нить с шариком отклонилась на угол 100 Найти заряд шарика

312 Мыльный пузырь с зарядом 222middot10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора Найти разность потенциалов

32

между пластинами конденсатора если масса пузыря равна 001 г и расстояние между пластинами 5 см

313 Электрон пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой приобретает скорость 108 смсек Расстояние между пластинами 53 мм Найти 1) разность потенциалов между пластинами 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора 3) поверхностную плотность заряда на пластинах

314 Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами находящимися на расстоянии 2 см друг от друга разность потенциалов между ними 120 В Какую скорость получит электрон под действием поля пройдя по силовой линии в 3 мм

315 Электрон находящийся в однородном электрическом поле получает ускорение равное 1014 смс2

Найти 1) напряженность электрического поля 2) скорость которую получит электрон за 10-6 с своего движения если его начальная скорость равна нулю 3) работу сил электрического поля за это время 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

316 Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ расстояние между пластинами 5 мм Найти 1) силу действующую на электрон 2) ускорение электрона 3) скорость с которой электрон приходит ко второй пластине 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора

317 Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В Расстояние между пластинами d = 2 см длина конденсатора 10 см Какова должна быть предельная начальная скорость v0 электрона чтобы электрон не вылетел из конденсатора

318 Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см Поверхностная плотность заряда 10-9 Клм2 Какую работу надо совершить чтобы перенести положительный заряд 910-9 Кл из бесконечности на поверхность шара

319 На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 Вм Определить потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере

33

320 Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВм отстоящую от создающего заряда на расстоянии 25 см На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию чтобы напряжение между линиями было ΔU =25 В

321 Расстояние между зарядами 10 нКл и ndash1 нКл равно 11 м Найти напряженность поля в точке на прямой соединяющей заряды в которой потенциал равен нулю

322 Альфа-частица движется со скоростью υ = 2107 мс и попадает в однородное электрическое поле силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки Какой должна быть напряженность электрического поля чтобы частица остановилась пройдя расстояние s = 2 м

323 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них Расстояние между пластинами 4 см напряженность электрического поля в конденсаторе 1 Всм 1) Через какое время после того как электрон влетел в конденсатор он попадет в одну из пластин 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает на пластину если он был ускорен разностью потенциалов 60 В

324 Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 107 мс Напряженность поля в конденсаторе Е=100 Всм длина конденсатора L = 5 см Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора

325 Между двумя пластинами расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 48 мм друг от друга движется отрицательно заряженная шарообразная капелька масла радиусом 1410-5 м с ускорением 58 мс2 по направлению вниз Сколько laquoизбыточныхraquo электронов имеет капелька если ее разность потенциалов между пластинами 1 кВ Плотность масла 800 кгм3

326 Цилиндр радиусом 02 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 510-5 Клм Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А равноудаленной от концов цилиндра Расстояние между точкой А и осью цилиндра 210 м2

34

А В

l l l

1

2

45

3

11 q 22 q

327 Заряженная частица пройдя ускоряющую разность потенциалов 6105 В приобрела скорость 5400 кмс Определить массу частицы если ее заряд равен 2е

328 На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью +10-8 Клсм Определить работу по перемещению

заряда 13sdot10minus9 Кл

из точки В в точку А (рис9)

Рис9

330 Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили заряд +510-6 Кл а затем покрыли слоем диэлектрика (ε=2 ) толщиной 2 см Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях

331 Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис10)

Рис10

332 Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с расстояния r1 до r2ltr1

333 В каком направлении будут перемещаться электрические заряды

при соединении двух заряженных проводников если q1ltq2 a ϕ1 gtϕ2 (рис11)

Рис11

334 Как направлены линии напряженности изображенного поля (рис12) В какой области напряженность больше

35

1 2

ϕ1gtϕ2

Рис12335 Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна

нулю Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю

4 ЭлектроемкостьЭлектрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника

называют величину

С=qϕ (41)

где q ndash его заряд φ - потенциалФормулы для расчета электроемкости тел различной геометрической

формы приведены в таблице 3Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формыГеометрическая форма

заряженного тела C Ф

Уединенный шар радиуса R 4 πεε0 R где ε ndash диэлектрическая проницаемость среды в которую

помещен шар

36

Плоский конденсатор

qϕ1minusϕ2

= qU

где q ndash заряд на одной из обкладок U= φ1- φ2 ndash разность потенциалов между обкладками

εε0 Sd

где S ndash площадь обкладки ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между обкладками d ndash расстояние между обкладками

Сферический конденсатор4 πεε0 R1 R2

R2minusR1

R1R2 ndash радиусы сфер ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между сферами

Цилиндрический конденсатор

2πεε0 h

lnR2

R1

R1R2 ndash радиусы цилиндров h ndash длина конденсатора ε ndash относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4

Таблица 4Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Параллельное соединение

C = C1+C2+hellip+ Cn1C= 1

C1+ 1

C2+ + 1

Cn

Плотность энергии электрического поля

W= εE2

8 π (42)Конденсатор с емкостью С заряженный зарядом q до разности

потенциалов U обладает энергией

W=CU 2

2= q2

2C=qU

2 (43)

Примеры решения задачЗадача 1 Плоский воздушный конденсатор расстояние между

пластинами которого равно 5 мм заряжен до разности потенциалов 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами

1 конденсатор остается соединенным с источником напряжения

37

+ -Е

d1

+ -

+ -Е

d2

+ -

2 перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Найтиа) изменение емкости конденсатораб) изменение потока напряженности сквозь площадь электродовв) изменение объемной плотности энергии электрического поляРешение задачи проведем отдельно для 1 ndashго и 2 ndashго случая1-й случай конденсатор остается соединенным с источником

напряженияДано Решение

d1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

2 При раздвижении пластин конденсатора присоединенного к источнику тока разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника

Δϕ1=Δϕ2=Δϕ (1)Так как

С=εε0S

d (2)

Δϕ= qC

(3)

E= Δϕd (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и заряд на его пластинах и напряженность поля конденсатора

Это приводит к изменению потока напряженностиN E=ES (5)

38

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля

ω=εε 0 E2

2 (6)3 Пользуясь формулами (2)-(6) легко определить изменение величин

емкости потока напряженности сквозь площадь электродов объемной плотности энергии электрического поля Все величины характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом ldquo1rdquo а с расстоянием d2 ndash с индексом ldquo2rdquo Получим следующие расчетные формулы

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1) (7)

ΔN E=N E2minusN E1

=E2 SminusE1 S=S( Δϕd2minus

Δϕd1 )=ΔϕsdotSsdot( 1

d2minus

1d1 ) (8)

Δω=ω2minusω1=εε0 E2

2

2minus

εε0 E12

2=

εε0 ( Δϕ )2

2 ( 1d2

2minus1d1

2) (9)4 Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет

значений искомых величин

пФФФС 081100811051

1011051210858 12

32412

ΔN E=6sdot103sdot12 5sdot10minus4( 110minus2 minus

15sdot10minus3 ) Вм=minus750 Вм

Δω=8 85sdot10minus12 (6sdot103)2

2 ( 1(10minus2)2

minus 1(5sdot10minus3 )2) Дж м3=minus45 Дж м3

5 Раздвижение пластин конденсатора при Δϕ=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) заряда на пластинах (q=CΔϕ )

энергии электрического поля конденсатора ( W=

C ( Δϕ )2

2 ) и потока вектора

напряженности через площадь пластин (N E=ES ) За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка)

Ответ ΔС=1 08 пФ ΔN E=minus750 Вм Δω=minus45 Дж м3

39

+ -

E

1d

+ -

+-

Е

2d

+ -

2-й случай перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения

Дано Решениеd1=5sdot10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертеж d2=10minus2 м

Δϕ=6sdot103 Bε=1 S=12 5sdot10minus4 м2

ΔСminusΔN EminusΔωminus

1 При раздвижении пластин конденсатора отключаемого от источника тока заряд на пластинах измениться не может

q1=q2=q (1)Так как

q=CΔϕ (2) dSС 0

(3) E= Δϕ

d (4) N E=ES (5)

то при этом изменяется электроемкость конденсатора а следовательно и разность потенциалов между пластинами Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной

q=const σ= q

S=const

E= σ

εε0=const

2 Пользуясь формулами (1) ndash (5) запишем

ΔC=C2minusC1=εε0 S

d2minus

εε0 Sd1

=εε0 S ( 1d2minus 1

d1 ) ΔN E=N E2

minusN E1=E2 SminusE1 S=ESminusES=0

022

210

220

EE

4 ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

40

5 Раздвижение пластин конденсатора при q=const приводит к

уменьшению электроемкости (С=

εε0 Sd ) и увеличению разности потенциалов

между пластинами (Δϕ= q

C ) Поток вектора напряженности и объемная

плотность энергии конденсатора остаются постоянными (N E1=N E2

ω1=ω2) Энергия электрического поля конденсатора W=ωV (поле однородное) при этом возрастает (V2gtV1W2gtW1) Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин

Ответ ΔС=minus1 08 пФ ΔN E=0 Δω=0

Задача 2 Какие изменения произойдут если в заряженный плоский

конденсатор поместить два диэлектрика с ε 1gtε 2 (рис13)Рассмотрим случай когда помещение диэлектрика можно произвести при

вертикальном заполнении пластин

Рис131 Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух

конденсаторов соединенных параллельно (рис14)

Рис14

+σ minusσ

U

C1

C2

U

ε1

ε2

ε1

ε2

41

С=С 1+С2 где С1=

ε 0 ε1S2

d (1) а С2=

ε 0 ε2S2

d (2)

C=ε0 S2 d (ε1+ε2 )

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором

C0=ε0 Sd

C=C0

2 (ε1+ε2) (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в 12 (ε1+ε 2)

раз2 Определим как перераспределится заряд на конденсаторахПервоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости

С0=q0

U =gt q0=C0U 0

В связи с тем что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока то по закону сохранения заряда этот заряд q0 перераспределится между

двумя конденсаторами С1 иС2 при одинаковом на них напряжении

q1=C1U1=ε0 ε1S

2dU1

q2=C2 U1=ε0 ε1 S

2dU2

q1

q2=

C1

C2=

ε1

ε2 причем q1+q2=q0

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больший заряд будет на этом конденсаторе

q1=q0 ε2

ε 1+ε2 и q2=

q0 ε 1

ε1+ε 2

3 В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится

С0=q0

U =gt и U=

q0

C Подставим (3) и получим

42

U=2 q0( ε1+ε 2)

C0 где С0=

q0

U 0

U=2q0( ε1+ε 2)

q0U 0=2U 0(ε 1+ε2 )

Напряжение увеличится в 2 (ε 1+ε2 ) раз4 Рассмотрим изменится ли напряженность электростатического поля в

батарее конденсаторовПервоначально напряженность поля равна

E0=U0

d E=U

d=

2U0

d(ε 1+ε 2)=2 E0(ε 1+ε 2)

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в 2 (ε 1+ε2 ) раз больше первоначальной

5 Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится

N E=E S2=

2 E0 (ε1+ε2 )S2 но первоначально

N E0=E0 S

поэтому N E=N E0

(ε1+ε2 )

Поток вектора напряженности увеличится в (ε1+ε2) раз6 Оценим энергию поляПервоначально объемная плотность энергии электрического поля

ω0=εε0 E0

2

2=

ε 0 E02

2 тк был задан воздушный конденсаторТеперь плотность энергии каждого конденсатора

ω1=[2 E0 (ε1+ε2 )]2 ε0 ε1

2 =4 E0

2 (ε1+ε2 )2 ε0 ε1

2 =4 (ε1+ε2)2 ε1 ω0 ω2=4 (ε1+ε2)

2ε2 ω0 Полная энергия

ω=ω1+ω2=4 (ε1+ε2)3ω0

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках

Ответ полная энергия увеличится

43

С1

С3

С2

Задачи для самостоятельного решения41 Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см находящемуся в

масле чтобы изменить его потенциал на 400 В42 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и

расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

43 Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и расстояние между ними 5 мм К пластинам приложена разность потенциалов 300 В пространство между пластинами заполняется эбонитом 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения 2) Какова емкость конденсатора до и после заполнения 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения

44 Между пластинами плоского конденсатора находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 300 В В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 05 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 05 см Найти 1) напряженность электрического поля в каждом слое 2) падение потенциала в каждом слое 3) емкость конденсатора если площадь пластин 100 см2 4) поверхностную плотность заряда на пластинах

45 Между пластинами плоского конденсатора 3 находящимися на расстоянии 1 см друг от друга приложена разность потенциалов 100 В К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 95 мм После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают Какова будет после этого разность потенциалов между пластинами конденсатора

46 Найти емкость системы конденсаторов Емкость каждого конденсатора равна 05 мкФ (рис15)

44

А В

С1 С2

А С1С2

ВD

C1 C1

C1

C2

C3

Рис1547 Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В Емкость

первого конденсатора 2 мкФ емкость второго 4 мкФ Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис16)

Рис1648 Разность потенциалов между точками А и В равна U Емкости

конденсаторов С1 С2 С3 известны Определить заряды конденсаторов q1 q2 q3 и разность потенциалов U1 между точками А и D (рис17)

С3

Рис17 Рис1849 Определить емкость батареи конденсаторов показанной на рис 18

если С1 = 4 мкФ С2 = 10 мкФ С3 = 2 мкФ 410 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из

двух конденсаторов если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна 33310-9 Ф а емкость другого может меняться от 210-11 Ф до 4510-11 Ф

411 В каких пределах может меняться емкость системы состоящей из двух конденсаторов переменной емкости если емкость каждого меняется от 10 пФ до 450 пФ

412 Шар погруженный в керосин имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 12∙10-9 Клсм2 Найти 1) радиус 2) заряд 3) емкость 4) энергию шара

45

413 Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора площадью 100 см2 каждая равна 280 В Найти 1) напряженность поля внутри конденсатора 2) расстояние между пластинами 3) скорость которую получит электрон пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой 4) энергию конденсатора 5) емкость конденсатора

414 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если не отключая источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

415 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого 2 см заряжен до потенциала 3000 В Какова будет напряженность поля конденсатора если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения Площадь пластин 100 см2

416 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения не отключается перед раздвижением

417 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин если источник напряжения отключается перед раздвижением

418 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

419 Плоский воздушный конденсатор расстояние между пластинами которого равно 5 мм заряжен до потенциала 6 кВ Площадь пластин конденсатора равна 125 см2 Пластины конденсатора раздвигаются до

46

расстояния 1 см причем перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения Найти 1) изменение емкости конденсатора 2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля

420 Емкость плоского конденсатора равна 005 мкФ Диэлектрик ndash фарфор Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения Какую работу нужно совершить чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора Трением пренебречь

421 Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения U1 = 80 В При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору емкостью С2 = 60 мкФ заряженному до напряжения U2 = 16 В напряжение на батарее становится 20 В если конденсаторы соединить обкладками одного знака Определить емкость С1

422 Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 60) равна 25 Джм2 Найти давление производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик а также силу которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика

423 Пространство между обкладками плоского конденсатора площадь пластин которого S и расстояние между ними d сплошь заполнено диэлектриком состоящим из двух половин равных размеров но с разной

диэлектрической проницаемостью ε 1иε 2 Граница раздела перпендикулярна обкладкам

Найти емкость такого конденсатора (рис19)

ε 1

ε 2

Рис19 424 Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ расстояние

между пластинами 410-2 м напряжение на пластинах 200 В Определить а) напряженность поля между пластинами б) силу взаимодействия пластин в) энергию поля конденсатора г) объемную плотность энергии

425 Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком по следующим данным объем диэлектрика 10-3 м3

47

С А 2С

К

Сх С

относительная диэлектрическая проницаемость ε=5 напряженность поля в диэлектрике 106 Вм

426 В схеме изображенной на рисунке емкость батареи конденсаторов не изменяется при замыкании ключа К Определить электроемкость конденсатора Сх (рис20)

Рис20427 Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл Обкладки

конденсатора соединены проводником Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится при его разрядке

428 Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно 18 кВ Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ Будут ли пробиты конденсаторы если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ

429 Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках

430 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая расположенных на расстоянии 03 см друг от друга Какую работу надо совершить чтобы увеличить расстояние между ними до 05 см Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока

431 Найти электроемкость земного шара432 Два проводящих шара разного диаметра приводят в

соприкосновение и заряжают Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга Будут ли одинаковы их потенциалы

48

433 Заряженный конденсатор охлаждают при этом диэлектрическая проницаемость его изоляции и энергия уменьшается Куда laquoисчезаетraquo избыток энергии

434 Как изменится электроемкость плоского конденсатора если между его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины

435 Конденсатор электроемкостью С заряженный до разности

потенциалов Δϕ соединяют с таким же но не заряженным конденсатором Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах соединяющих конденсаторы

49

5 Постоянный токОсновными понятиями в цепях постоянного электрического тока

остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле Характеристиками последнего являются напряженность разность потенциалов и ЭДС

Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи

ϕ1minusϕ2=AF k

q (51)

ϕ1minusϕ2=int

l

Eст d l (52)

Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного заряда

ε=AF ст

q (53) ε=int

lEст d l

(54)Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда

по участку цепи называют напряжением

U=AF K

+A Fст

q (55) U=int

l( Eст+ EK )d l

(56)Основным законом электрического тока является закон ОмаДля неоднородного участка цепи

I=UR=

(ϕ1minusϕ2)plusmnεR ndash интегральная форма (57)

j=σ ( EK+ Eст ) ndash дифференциальная форма (58)

где j= dI

dSn

ndash плотность тока σ= 1

R ndash проводимость

Если участок цепи однородный (ε =0 Eст=0) то I=U

R=

(ϕ1minusϕ2)R и

j=σ EK (59)

50

Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда через поперечное сечение проводника

I=dqdt (510)

Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала

R=ρ ls (511)

Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно Законы соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома

Мощность электрического токаP=εI (512)

Так как ε=IR+ Ir для замкнутой цепи (при ϕ1=ϕ2 ) то полезная

мощность выделяется на внешнем сопротивлении P1=I2 R Эта мощность будет максимальной при R = r (r ndash сопротивление

источника тока)

Pmax=( εr+r )

2r= ε2 r

4 r 2=ε 2

4 r (513)Коэффициент полезного действия электрической установки

η=Pполезн

Pполн=

IU 1

IU= IR

I ( R+r )= R

R+r (514)

Последовательное соединение Параллельное соединение

1 Iобщ=I1= I2=hellip= In

2 Uобщ=U1+U2+ +Un

3 Rобщ=R1+R2+ +Rn

1 I общ=sum

i=1

N

I i

2 Uобщ=U1=U 2= =Un

3

1Rобщ

= 1R1+ 1

R2+ + 1

Rn

51

+ ε1 -стЕ

I

12

стЕ

ri1

ri2

4 P=I 2 Rобщ

4 P= U2

Rобщ

Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов

Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание

1 Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу)

2 Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока)

3 Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2)

4 Силу тока считать положительной на выбранном участке если направление тока совпадает с направлением обхода участка

5 ЭДС считать положительной если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка

6 Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме считая все входящие в него величины с соответствующим знаком

При решении задач второго типа выяснив способ включения резисторов использовать либо таблицу с законами соединений либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме

Примеры решения задач

Задача 1 Два источника сε 1=14 В и ε 2=11 В и внутренними сопротивлениями

соответственно ri 1=03 Ом и ri 2=02 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис21) Определить разность потенциалов между точками 1 и 2 Дано Решение

ε 1=14 В 1 В основе решения лежит закон ε 2=11 В Ома в интегральной форме для ri 1=03 Ом неоднородного участка цепи

52

r1

r2

r3

r4

r1

r2

r3

r4

ri 2=02 Ом I=

ϕ1minusϕ2plusmnεr12

ϕ1minusϕ2minus рис21 Рис 21

2 Так как в схеме нет узлов то ток во всех участках цепи один и тот же Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка

1-ε 1-2 и запишем для него закон Ома Выберем обход участка по часовой стрелке то есть от точки 1 к точке 2 На этом участке направление тока

противоположно направлению обхода вектор Ест также имеет направление противоположное обходу Следовательно чтобы применить формулу (51) для данного участка перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус

-I=

ϕ1minusϕ2minusεr1 (1)

3Применим тот же алгоритм для участка 1-ε 2-2 I=

(ϕ1minusϕ2)+ε2

r2 (2)4 Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3)

minusϕ1minusϕ2minusε

r1= (ϕ1minusϕ2)+ε2

r2

minus(ϕ1minusϕ2)r2+ε1 r2=(ϕ1minusϕ2 )r1+ε2r1 ϕ1minusϕ2=

ε1r2minusε 2 r1

r1+r2 (3)5 Подставляя числовые значения получим

ϕ1minusϕ2=14 Вsdot02 Омminus11 Вsdot03 Ом

05 Ом=minus 0 05

05В=minus01 В

Ответ ϕ1minusϕ2=minus01В ϕ1ltϕ2

Задача 2 Четыре резистора сопротивлениями r1=4 Ом r2=3 Ом r3=12

Ом r 4=6 Ом а также источник с ε=2 В и внутренним сопротивлением ri=1 Ом соединены по схеме указанной на рис22 Найти силу тока в цепи

Дано Решениеr1=4 Ом а) б)r2=3 Ом

53

r4r123

r4

r2

r13

r3=12 Ом r 4=6 Ом ε=2 В ri=1 Ом I -

в) г)

Рис22

В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис22б) затем к

ним последовательно включен резистор r2 (рис22в) и наконец ко всему этому

участку включен резистор r 4 (рис22г)

Тогда r13=

r1sdotr3

r1+r3

r13=4sdot1216

=3 (Ом)

r123=r13+r2 r123=3+3=6(Ом) Общее внешнее сопротивление

rобщ=r123sdotr4

r123+r4 rобщ=

6sdot612

=3 (Ом)

1 Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи

I= εrобщ+ri

где rобщ - сопротивление внешней цепи

ri - внутреннее сопротивление

54

I1

+ ε2 -

I2

Iобщ R

Iобщ

СА В

- ε3 ++ ε1 -

I= 2 В3+1 (Ом)

=05 (А )

Ответ I=05 A

Задача 3 Три гальванических элемента с электродвижущими силами ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В и внутренним сопротивлением по 02 Ом каждый включены как показано на рис23 и замкнуты на внешнее сопротивление R=47 Ом Определить количество теплоты выделяющееся ежесекундно во

всей цепиДано Решение

ε 1=25 В ε 2=22 В ε 3=3 В r1=r2=r3=02 Ом

R=47 Ом

Q- Рис231 В схеме два узла А и В где происходит разветвление токов 2 Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса

источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних сил и тока

3 Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С

Участок А-ε 1-В

I 1=(ϕ Аminusϕ В )minusε1

r (1)

Участок А-ε 2-В

55

А

R1 R2

R3

I 2=(ϕ АminusϕВ )minusε2

r (2)

Участок A-R-C-ε 3-B

I общ=(ϕ АminusϕВ )minusε3

R+r (3)

4 Причем I общ=I 1+ I 2 (4)

Из (1) (2) и (3) найдем ϕ АminusϕВ ϕ АminusϕВ=I1r+ε1

ϕ АminusϕВ=I2 r+ε2 rArr I 1=I 2+

ε 2minusε1

r ϕ АminusϕВ=minus( I 1+ I 2) ( R+r )+ε3

I 2r+ε2=minus(2 I 2+ε2minusε1

r )( R+r )+ε3

I 2=(ε3minusε2 ) rminus(ε2minusε1 ) ( R+r )

(2R+3r )r

I 2=08sdot02+03sdot49(94+06 )sdot02

=0 81 (А)

I 1=0 81minus0302

=minus0 68 (А)

I общ=0 13 ( А )5 Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-

ЛенцаQ=[ I1

2 r+ I22 r+I общ

2 (R+r ) ] τ Q=0 31 Дж

Ответ Q=0 31 Дж

Задачи для самостоятельного решения51 Определить падение потенциала в сопротивлениях R1 R2 R3 если

амперметр показывает 3_А R1 = 4 Ом R2 = 2 Ом R3 = 4 Ом Найти I1 и I3 - силу тока с сопротивлениях R2 R3 (рис24)

56

1 2

R

А АR1

R2

Рис2452 Элемент ЭДС в 11 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут

на внешнее сопротивление 9 Ом Найти 1) силу тока в цепи 2) падение потенциала во внешней цепи 3) падение потенциала внутри элемента 4) с каким КПД работает элемент

53 Элемент ЭДС в 11 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом

54 Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 05 Ом Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 025 А Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях

55 ЭДС элемента равна 6 В При внешнем сопротивлении равном 11 Ом сила тока в цепи равна 3 А Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление

56 В схеме сопротивление R = 05 Ом 1=2=2 В внутреннее сопротивление этих элементов равны r1 = 1 Ом r2 = 15 Ом Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис25)

Рис25

57 В схеме ndash батарея ЭДС которой равна 20 В R1 и R2 ndash реостаты При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А при введенном реостате амперметр показывает 5 А Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них когда реостат R1 полностью включен Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис26)

helliphellip

57

А

R3

R1 R2

А

R1

R2

R3

Рис26

58 Элемент амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2 сопротивление амперметра 005 Ом амперметр показывает 143 А Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной в 573 м и поперечным сечением в 1 мм2 то амперметр покажет 1 А Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление

59 Определить силу тока показываемую амперметром Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи равно 21 В R =5 Ом R2= 6 Ом R3 =3 Ом Сопротивлением амперметра пренебречь (рис27)

Рис 27 510 В схеме R2 = 20 Ом R3 = 15 Ом и сила тока текущего через

сопротивление R2 равна 03 А Амперметр показывает 08 А Найти сопротивление R1 (рис28)

Рис28511 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = R3 = 40 Ом R2

= 80 Ом и R4 = 34 Ом Найти 1) силу тока текущего через сопротивление R2 2)

58

ε

R4

R1 R3

R2

А

ε

R4R2

R3

R1

V

падение напряжения на этом сопротивлении Сопротивлением батареи пренебречь (рис29)

Рис29

512 В схеме показана батарея с ЭДС равной 120 В R3 = 20 Ом R4 = 25 м падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В Амперметр показывает 2 А Найти сопротивление R2 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис30)

Рис30513 В схеме показана батарея с ЭДС равной 100 В R1 = 100 Ом

R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом Какое напряжение показывает вольтметр если его сопротивление равно 2000 Ом Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

Рис31

R3

ε

R1R2

59

514 В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом Вольтметр показывает 100 В сопротивление вольтметра равно 1000 Ом Найти ЭДС батареи Сопротивлением батареи пренебречь (рис31)

515 От батареи ЭДС которой равна 500 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальные потери мощности в сети если диаметр медных проводящих проводов равен 15 см

516 От батареи ЭДС которой равна 110 В требуется передать энергию на расстояние 25 км Потребляемая мощность равна 10 кВт Найти минимальное сечение проводящих проводов если потери мощности в сети не должны превышать 1

517 Элемент ЭДС которого равна 6 В дает максимальную силу тока 3 А Найти наибольшее количество тепла которое может быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин

518Найти внутреннее сопротивление генератора если известно что мощность выделяемая во внешней цепи одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 02 Ом Найти КПД генератора в каждом из этих случаев

519 Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом а затем на внешнее сопротивление R2 = 05 Ом Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление если известно что в каждом из этих случаев мощность выделяемая во внешней цепи одинакова и равна 254 Вт

520 Элемент ЭДС которого и внутреннее сопротивление r замкнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт Сила тока текущего при этих условиях в цепи равна 3 АНайти величины и r

521 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120 В R3 = 30 Ом R2 = 60 Ом Амперметр показывает 2 А Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь

Рис 31

А

ε

R1

R2

R3

60

А В

522 Найти показание амперметра в схеме (рис31) ЭДС батареи равна 100 В ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом R1 = 25 Ом R2 = 78 Ом Мощность выделяющаяся на сопротивлении R1 равна 16 Вт Сопротивлением амперметра пренебречь

523 В схеме (рис31) ndash батарея ЭДС которой равна 120В R1 = 25 Ом R2 = R3 = 100 Ом Найти мощность выделяющуюся на сопротивлении R1 Сопротивлением батареи пренебречь

524 Две электрические лампочки включены в цепь параллельно Сопротивление первой лампочки 360 Ом сопротивление второй 240 Ом Какая из лампочек поглощает большую мощность Во сколько раз

525 В схеме на рис32 сопротивление R1 = 100 Ом мощность выделяемая на этом сопротивлении Р = 16 Вт КПД генератора 80 Найти ЭДС генератора если известно что падение потенциала на сопротивлении R3

равно 40 В

Рис32526 Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд если

сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А527 Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом

каждый Определить сопротивление между точками А и В (рис33)

Рис33528 Два гальванических элемента два вольтметра с большими

сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис34 а) При разомкнутом ключе вольтметры показывают

R2

R1

R3

ε

61

V1 V

R1

R2

R3

ε1

ε2ε3

ε4

напряжения 18 В и 14 В При замыкании ключа их показания 14 В и 06 В Каковы будут эти показания если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть цепь (рис34б)

а бРис34

529 Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В 2 = 10 В 3 = 30 В 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 03 Ом r2 = 04 Ом r3 = 01 Ом r4 = 02 Ом включены в цепь с резисторами R1 =95 Ом R2 = 196 Ом R3 = 49 Ом Найдите силу тока через каждый источник тока (рис35)

530 С каким КПД работает свинцовый аккумулятор ЭДС которого 215 В если во внешней цепи с сопротивлением R = 025 Ом идет ток I = 5 А Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи Как при этом изменится его

КПД Рис35531 Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению

с сопротивлением цепи а сопротивление вольтметра велико по сравнению с сопротивлением участка на котором измеряется напряжение

1 2

R

V V

1 2

R

62

532 Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления полезной полной мощности и КПД источника

533 Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один жгут Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки

534 Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи535 Как по данным указанным на электрической лампочке определить

ее сопротивление

Магнетизм

6 Характеристики магнитного поляОсновным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов

Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется вектор магнитной индукции Эта характеристика определяется из закона Ампера

d F=[ Id l iquestiquest B ] (61)dF=IdlB sin α где α=dlB

Сила действующая на элемент тока Id l iquest длиной d l находящейся в

магнитном поле с индукцией B равна векторному произведению элемента тока на вектор индукции поля

Из (61) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе действующей на единичный элемент тока

B=dFmax

Idl Единица измерения модуля индукции названа теслой

[B ]=1 HAsdotм

=1 ДжАsdotм2=1 Вsdotс

м2 =1 Т с

Основной закон устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции носит название закона Био-Савара-Лапласа

d B=μμ0[ Id l iquestiquest r ]

r3 (62)

Вектор магнитной индукции созданный элементом тока Id l iquest проводника в некоторой точке определяемой радиус-вектором r проведенным из элемента

63

тока зависит только от элемента тока положения точки относительно этого элемента и от среды в которой создается поле

μ0 ndash магнитная постоянная

μ0=4 πsdot10minus7 НА2

μ ndash относительная магнитная проницаемость среды которая показывает

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше чем в вакууме

μ= ВВ0

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику магнитного поля для токов различной конфигурации Индукция магнитного поля создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него равна

B=μμ0I

2 πa (63)Для кругового тока

B=μμ0I

2r (64) где r ndash радиус витка с токомИндукция магнитного поля на оси соленоида равна

B=μμ0 In (65) где n ndashчисло витков на единице длины соленоида

n=Nl

Вспомогательной величиной характеризующей магнитное поле является

вектор напряженности Н Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь

B=μμ0 Н (66)Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора

индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (62) и методом суперпозиции

Врез=sumi=1

N

Вi (67)

64

рп

ВН1

АН1

М1 А М2 В М3

АН 3

ВН 3

АН 2

ВН 2

I2

Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (61) и на движущиеся электрические заряды

Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с током используют закон Био-Савара-Лапласа (63) и закон Ампера (61)

dF=μμ0

I 1 I 2 dl2 πd

На рамку с током в магнитном поле действует механический момент вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле

М=[ рmsdotВ ] (68)

где рmminusмагнитный момент рамкиСила действующая на заряд движущийся в магнитном поле называется

силой Лоренца

F л=q [ vsdotB ] (69)

F л=qvB sin α где α=vB Закон полного тока

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме постоянных токов охватываемых данным контуром

∮L

( Hsdotd l )=sumi=1

N

Ii (610)

Примеры решения задачЗадача 1 На рисунке изображены сечения двух прямолинейных

бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между проводниками АВ=10 см токи I1=20 А I2=30 А Найти напряженность Н магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А=2 см АМ2=4 см ВМ3=3 см

Дано РешениеАВ=10 см I1=20 АI2=30 А М1А=2 см

65

R

М

02Н

I1 I2

А М2=4 см ВМ3=3 смН1Н2Н3-

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1Н2Н3 магнитного поля в точках М1 М2 и М3 складываются из напряженностей создаваемых

токами I1 и I2Н1=Н1А+Н1

В Н2=Н2

А+Н2В Н3=Н3

А+Н3В

Напряженность

Н= 12 πа где а ndash расстояние от проводника с током до точки в которой

определяется напряженность Тогда Н1А

=

I 1

2 πsdotM 1 A=159 2 A м

Н1В

=I 2

2 πsdot( АВ+М1 А )=39 8 А м

Н 2

А=I1

2 πsdotМ 2 А=79 6 Ам

Н2В=

I2

2 πsdot( АВminusМ 2 А )=79 6 А м Н3

А=I1

2 πsdot( АВ+М 3В )=24 5 А м

Н3В=

I 2

2 πsdotМ 3 В=159 2 А м

Отсюда с учетом рисунка Н1=Н1

А-Н1

В=1194 Ам Н2=Н2

А+Н2

В=1592 Ам Н3=Н3

ВminusН3А

=1347 АмОтвет Н1=1194 Ам Н2=1592 Ам Н3=1347 Ам

Задача 2 Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Задачу решить когда а) токи в витках текут в одном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях

Дано РешениеR = 4 см Напряженность магнитного поляd = 10 см создаваемого каждым из круговых I1 = I2 = 2 А токов в точке М равна

На - Нб -

Н0=IR2

2 (R2+r2 )32

где r = d2=5 см

Поскольку величины I R и r для обоих витков одинаковы то значение

напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным те

66

Н01 = Н02 Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность

магнитного поля Н=Н 01+Н02 Если токи в витках текут в одном направлении

то направления векторов напряженности Н01 и Н02 совпадают и Н=2 Н0 или

На =

IR2

(R2+r )32

=12 2 А м

Если токи текут в противоположных направлениях то Н01=minusН02 и Нб = 0

Ответ На=122 Ам Нб = 0

Задача 3 Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ

влетает в однородное магнитное поле под углом α=300 к направлению поля и

движется по винтовой траектории Индукция магнитного поля В=13 мТл Найти радиус R и шаг h винтовой траекторииДано Решение

U=6 кВα=300

В=13 мТлR h -

Разложим скорость электрона влетающего в магнитное поле по двум

направлениям вдоль линии поля ndash υ у и параллельно ему ndash υz Составим два уравнения Сила Лоренца создает центростремительное ускорение те

67

Be υz=mυz

2

R откудаBe=

mυ z

R (1) Поскольку mυ2

2=eU

а из рисунка

υ=υz

sin α то eU= 1

2mυz

2

sin2 α (2) Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

обеих частей уравнения (1) Получим

eUB2 e2=

mυz2 R2

2 sin2 αm2 υz2

U

B2e= R2

2msin2 α

откуда R=sin α

B radic 2mUe

=1 см Шаг спирали найдем из соотношений 2 πR=υz t

и h=υ y t откуда h=

2 πRυ y

υz Тк

υ y

υ z=ctg α=1 73

то h=11 смОтвет h=11 см

Задача 4 По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А Средний диаметр катушки d = 40 см а радиус витков r = 5 см Определить вектор индукции магнитного поля в точках находящихся от центра тороида на расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью μ = 5000

Дано РешениеN = 1000 I = 2 Ad =40 смr = 005 ма1 = 005 ма2 =0 2 мμ = 5000

B1 ndash B2 -

1 Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля

B=μμ0 Н

68

+ +I1 I2

М1 М2 М3

2 Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке Воспользуемся законом полного тока

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2 проходящими через точки 1 и 2

Окружность радиуса а1 не охватывает тока поэтому

∮L( H1sdotd l )=sum

i=1

N

I i=0 следовательно Н1 = 0 и В1 = 0

Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током следовательно циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI

∮L( H 2sdotd l )=sum

i=1

N

I i=NI

H2=NIL где L ndash длина окружности радиуса а2

L=2 πa2

H2=NI

2 πa2 а B2=μμ0

NI2 πa2

3 Производим вычисления

B2=5000sdot4 πsdot10minus7 HA2

1000sdot5 A2 πsdot02 м

=25 Тл

Ответ В1 = 0 В2 = 25 Тл

Задачи для самостоятельного решения61 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 002 Тл по

окружности радиусом 1 см Определить кинетическую энергию электрона62 На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояние АВ между проводниками равно 10 см I1 = 20 А I2 = 30 А Найти напряженность магнитного поля вызванного токами I1 и I2 в точках М1 М2 и М3 Расстояния М1А = 2 см АМ2 =4 см ВМ3

= 3 см (рис36)

Рис36

69

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip+ ++

I1 I2 I3

А В С

+++++++ ++

I1 I2 I3

А В С

2М

I1

C В I2

63 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис37)

Рис3764 На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно

длинных проводников с током Расстояния АВ = ВС = 5 см I1 = I2 = I и I3 = 2I Найти точку на прямой АС в которой напряженность магнитного поля вызванного токами I1 I2 I3 равна нулю (рис38)

Рис3865 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены

перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2 если I1 = 2 А I2 = 3 А Расстояние АМ1 =А М2 = 1 см ВМ1 =СМ2 =2 см (рис39 )

Рис39

Рис 3966 Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым

линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл Какой должна быть сила тока в проводнике чтобы он находился в равновесии в магнитном поле Масса проводника 8 10-3 кг

67 Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга По проводникам текут токи

70

I1 = I2 = 5 А в противоположных направлениях Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника

68 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в вакууме в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него По проводнику течет ток 20 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600

69 Вычислить напряженность магнитного поля создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него По проводнику течет ток 30 А Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900

610 Ток 20 А идет по длинному проводнику согнутому под прямым углом Найти напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см

611 Ток I = 20 А протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 10 мм2 создает в центре кольца напряженность магнитного поля H = 180 Ам Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки образующей кольцо

612 Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости Радиус контура 4 см сила тока в контуре 2 А

613 Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 Ам Найти напряженность магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости

614 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в одном направлении

615 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 01 м друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 2 А Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке находящейся на равном расстоянии от них Токи текут в противоположных направлениях

71

616 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков Токи текут в противоположных направлениях

617 Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга По виткам текут токи I1 = I2 = 4 А Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме Токи в витках текут в одном направлении

618 Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так что центры этих витков совпадают Радиус каждого витка 2 см и токи текущие по виткам I1 = I2 = 5 А Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков

619 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U на концах витка Какую нужно приложить разность потенциалов чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса сделанного из той же проволоки

620 Бесконечно длинный провод образует круговую петлю касательную к проводу По проводу идет ток силой 5 А Найти радиус петли если известно что напряженность магнитного в центре петли равна 41 Ам

621 Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков Найти напряженность магнитного поля внутри катушки если ток проходящий по катушке равен 2 А Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А

622 Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 08 мм Витки плотно прилегают друг к другу Найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока 1А

623 Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 Ам Предельная сила тока в проволоке 6 А Из какого числа витков будет состоять соленоид

624 Металлический стержень длиной l = 015 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу Сила тока в проводе I2 = 2 А Найти силу действующую на стержень со стороны магнитного поля

72

R

O

b

K

A

которое создается проводом если сила тока в стержне I1 = 05 А Расстояние от провода до стержня R = 5 см

625 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R Найти отношение магнитного момента электрона к величине момента импульса орбитального движения электрона Как

направлены эти вектора рm иL Считать массу и заряд электрона известными626 По медному стержню массой 014 кг лежащему поперек рельсов

расположенных друг от друга на расстоянии 03 м проходит ток 50 А Коэффициент трения скольжения по рельсам 06 Определить минимальную индукцию магнитного поля при которой проводник начнет скользить по рельсам

627 По витку имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см идет ток 5 А Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон

628 По тонкому проводу течет ток 2 А Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 01 м Какая сила будет действовать на полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл перпендикулярной его плоскости (рис40)

Рис 40629 В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет

металлический цилиндр радиусом b = 1 см а катод (К) ndash металлическую нить ничтожно малого радиуса расположенную по оси цилиндра При анодном напряжении 100 В и индукции 67middot10-3 Тл анодный ток стал равен нулю Определить значение удельного заряда электрона (рис41)

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + Рис41 630 Два иона имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую

ускоряющую разность потенциалов влетели в однородное магнитное поле

73

S

N

I

В

oN S

о

В

-+

Первый ион движется по окружности радиусом 5 см а второй ndash 25 см Определить отношение масс ионов

631 Определить направление силы действующей на проводник с током в магнитном поле (рис42434445)

Рис42 Рис43 Рис 44

Рис 45632 Как направлен магнитный момент кругового тока (рис46)

Рис46 633 Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы

при увеличении тока текущего по трубе в 2 раза634 Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона

влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля

635 Какова форма траектории электрона движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях в случаях когда начальная скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям

74

7 Работа и энергия магнитного поляМагнитный поток пронизывающий плоскую поверхность

Ф=(В S ) Ф = ВS cosα (71)где α - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В

Единица измерения магнитного потока [Ф ]=1 Тлsdotм2=1 Вб (вебер ) Работа при перемещении проводника по которому течет ток

А = IΔ Ф = I(Ф2 - Ф1) (72)где Ф2 ndash магнитный поток через поверхность ограниченную контуром в

конце перемещения Ф1 ndashмагнитный поток в начальный моментЭнергия магнитного поля контура

W= IФ2=LI 2

2 (73)где L ndash индуктивность контура которая зависит от формы размеров

проводника и от свойств окружающей средыИндуктивность катушки

L=μμ0N 2

lS

(74)где N ndash число витков обмотки

S= πd2

4 ndash площадь поперечного сечения катушкиμ ndash относительная проницаемость вещества заполняющего все

внутреннее пространство катушкиФормула справедлива при l gtgtd При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по

формуле

L=L1+ L2plusmn2k radicL1 L2 (75)

гдеradicL1 L2 ndash коэффициент взаимной индукцииk ndash коэффициент связиЗнак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в

катушках (знак laquo+raquo берется при одном направлении магнитных полей катушек с током)

Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока

75

1 х1х2 2

У

Х

d

2a

1В

2В

Ф=LI Единица измерения индуктивности

[ L ]=1 ВбА=1 Гн

Примеры решения задачЗадача 1 Катушка гальванометра состоящая из N=400 витков тонкой

проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной b = 2 см подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 01 Тл По катушке течет ток I = 01 мкА Найти вращающий момент М действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки а) параллельна направлению

магнитного поля б) составляет угол α=600 с направлением магнитного поля

Дано РешениеN=400 На каждый виток катушки действует вращающий момент

l = 3 см М 0=BIS sin α Тогда на всю катушку действует вращающий b = 2 см моментМ=NBIS sin α В= 01 Тл Площадь одного витка S = lb

I = 01 мкА а) М=BIlbsin π

2 М =24 ∙ 10-9 Нм α=600 б) М=BIlbN sin 600 М = 12 ∙ 10-9 НмМ - Ответ Ма = 24 ∙ 10-9 Нм Мб = 12 ∙ 10-9 Нм

Задача 2 Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов

радиусом а=1 мм Расстояние между осями проводов d=5 см Определить индуктивность единицы длины такой линииДано Решениеа=10minus3 м 1 Сделаем пояснительный чертежd=5sdot10minus2 м

L-

76

Рис 472 Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1

между этими проводниками создаваемую одним проводником

В1=μ0 μ I2 πa2

x1

3 Вычислим магнитный поток пронизывающий площадку длиной l (вдоль проводников) и шириной dx расположенную перпендикулярно плоскости чертежа Так как магнитное поле неоднородно то и поток будет непостоянным

Для области от 0 до а dФ1=ВsdotdS=μ0 μ I

2 πa2lsdotdx

int

a Il

aIla

adxIlxФ

0

02

2

0201 4222

4 Для х2gta

В=μ0 μ I2 πx

Ф2=μ0 μ Il

2π inta

ddxx=

μ0 μ Il2 π

ln da

5 Суммарный поток создаваемый магнитным полем одного проводника с током

Ф=Ф1+Ф2=μ0 μ Il2 π ( 1

2+ ln d

a ) Но так как токи противоположны то

Фрез=(В1+В2)S и Фрез=

2 μ0 μIl2 π ( 1

2+ ln d

a )6 Так как индуктивность системы

L=ФI то

L=μ0 μ Il

πl ( 12+ ln d

a ) а индуктивность единицы длины в l раз меньше

L1=μ0 μ

π ( 12+ln d

a )7 Вычислим

77

L1=4 πsdot10minus7 Гн

мsdot1

π (05+ ln 5sdot10minus2

10minus3 )=1 76sdot10minus6 Гнм

Ответ L1=1 76sdot10minus6 Гн

м Задачи для самостоятельного решения

71 Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

72 Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур Найти вращающий момент сил действующий на контур помещенный в однородное магнитное поле индукция которого равна 01 Тл По контуру течет ток силой 2 А Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля

73 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля

74 Катушка гальванометра состоящая из 400 витков тонкой проволоки намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см подвешена на нити в магнитном поле индукция которого 01 Тл По катушке течет ток силой 10-7 А Найти вращающий момент действующий на катушку гальванометра если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного поля

75 Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля Напряженность магнитного поля 150 кАм По контуру течет ток силой 2 А Радиус контура 2 см Какую работу нужно совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с диаметром контура

76 В однородном магнитном поле индукция которого 05 Тл равномерно движется проводник длиной 10 см Сила тока в проводнике 2 А Скорость движения проводника 20 смс и направлена перпендикулярно

78

направлению магнитного поля Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения

77 Максимальный вращающий момент действующий на рамку площадью 1 см2 находящуюся в магнитном поле М = 2 мкНм Сила тока в рамке 05 А Найти индукцию магнитного поля

78 Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с индукцией 01 Тл так что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент 20 мкНм

79 Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле индукция которого 01 Тл так что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции Сила тока в рамке 10 А Найти вращающий момент действующий на рамку

710 Виток диаметром 02 м может вращаться вокруг вертикальной оси совпадающей с одним из диаметров витка Виток установлен в плоскости магнитного меридиана и сила тока в нем 10 А Найти механический момент который нужно приложить к витку чтобы удержать его в начальном положении Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл

711 Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля Индукция магнитного поля равна 2 Тл На какой угол надо повернуть плоскость контура чтобы изменение магнитного потока через контур составило Δ Ф = 10 мВб

712 Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле делая n = 2 обс Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10-5 Тл Найти а) зависимость потока магнитной индукции пронизывающего рамку от времени б) наибольшее значение потока магнитной индукции В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку

713 Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов 15 кВ попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям Определите индукцию магнитного поля если движение происходит в вакууме Масса протона равна 17 10-27 кг В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см

79

714 Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и пройдя разность потенциалов 220 В попадает в однородное магнитное поле с индукцией 0005 Тл где он движется по окружности радиусом 1 см Определите массу электрона

715 Протон прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 03 Тл и движется по окружности Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле

716 По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А Какова индукция однородного магнитного поля силовые линии которого перпендикулярны шине если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН

717 На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н Определите магнитную индукцию в месте расположения провода если длина провода 20 см

718 Виток радиуса 5 см по которому течет постоянный ток расположен в магнитном поле так что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции Индукция магнитного поля равна 01 Тл Какую работу надо совершить чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси совпадающей с его диаметром если ток в контуре постоянен и равен 3 А

719 Определить работу совершаемую при перемещении проводника длиной 02 м по которому течет ток 5 А в перпендикулярном магнитном поле напряженностью 80 кАм если перемещение проводника 05 м

720 Виток радиусом 10 см по которому течет ток 20 А помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий Определить работу которую нужно совершить чтобы удалить виток из поля

721 Определить энергию магнитного поля соленоида содержащего 500 витков которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной 05 м если по нему идет ток 5 А

722 Через катушку радиусом 2 см содержащую 500 витков проходит постоянный ток 5 А Определить индуктивность катушки если напряженность магнитного поля в ее центре 10 кАм

723 Найдите энергию магнитного поля соленоида в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 05 Вб

80

724 Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А При этом энергия магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях

725 Размеры катушки изменили так что ее индуктивность увеличилась в 2 раза Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза Как изменилась энергия магнитного поля катушки

726 Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией 15 Тл при перемещении проводника длиной 02 м на расстояние 025 м Сила тока в проводнике 10 А Направление перемещения перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции

727 Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см имеющей 10000 витков диаметром 25 см без сердечника если по ней течет ток 2 А

728 На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями 05 Гн и 07 Гн Если катушки соединить так что токи в них пойдут в противоположных направлениях то индуктивность системы станет равной нулю Найдите коэффициент взаимной индукции системы

729 На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 005 кг Расстояние между крайними витками равное 60 см много больше диаметра цилиндра Сопротивление обмотки 30 Ом Какова ее индуктивность

730 Средний диаметр железного кольца 15 см площадь сечения 7 см2 На кольцо навито 500 витков провода Определить магнитный поток в сердечнике при токе 06 А

731 В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы

732 Чему равна работа силы действующей на электрон движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В 733 Как можно экранировать магнитное поле734 В соленоид по которому течет постоянный ток вносят железный

сердечник заполняющий всю внутреннюю часть соленоида Как изменится энергия магнитного поля плотность энергии напряженность магнитного поля и индукция в сердечнике

81

735 Магнитная стрелка помещенная около проводника с током отклонилась За счет какой энергии совершена работа необходимая для поворота стрелки

736 Как обеспечивается малая индуктивность реостатов737 На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь Если вблизи

гвоздя поместить сильный магнит то гвоздь притянется к нему Почему Как объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит

738 Как по графику определить значения В и Н соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости

82

8 Электромагнитная индукцияПри изменении магнитного потока через поверхность ограниченную

некоторым контуром в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции) равная скорости изменения магнитного потока

ε=minusdФdt (81)

где dФ ndash изменение магнитного потока dt - промежуток времени в течение которого произошло это изменение а знак минус отражает правило Ленца

Если магнитный поток через поверхность ограниченную контуром изменяется вследствие изменения тока протекающего по этому контуру то в контуре индуцируется ЭДС которую называют ЭДС самоиндукции При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом

ε=minusdФ

dt=minusL dI

dt (82)где dI ndashизменение тока за время d tЗначение ЭДС возникающей на концах проводника длиной l

движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью υ

ε=l (V B ) ε=Вlυsin α (83)

где α - угол между направлениями векторов B и υ

Примеры решения задачЗадача 1 Круговой проволочный виток площадью S = 001 м2 находится

в однородном магнитном поле индукция которого В = 1 Тл Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти среднюю ЭДС

индукции ε ср возникающую в витке при отключении поля в течение времени t = 10 мсДано Решение

S = 001 м2 Имеем ε ср=minus

dФdt

=minusSdBdt Поскольку индукция В

В = 1 Тл уменьшается от 1 Тл до 0 ΔВ=(0minus1 )=minus1 Тл

t = 10 мс Подставляя числовые данные получимε ср=1 В

83

О

О

n

B

ε ср - Ответ ε ср=1 В Задача 2 В однородном магнитном поле индукция которого В = 01 Тл

равномерно вращается катушка состоящая из N = 100 витков проволоки Частота вращения катушки n = 5 с-1 площадь поперечного сечения S = 001 м2 Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного

поля Найти максимальную ЭДС индукции ε max во вращающейся катушке Дано Решение В = 01 Тл Рассмотрим один N = 100 виток рамки При n = 5 с-1 равномерном вращенииS = 001 м2 вокруг оси О О сε max - угловой скоростью ω магнитный поток через его площадь будет меняться по закону Ф = ВS cos α (1) где S ndash площадь рамки α - угол между нормалью к плоскости и

вектором В Считая что при t = 0 α = 0 имеем α=ωt Индуцируемая в витке

ЭДС индукции ε i=lim

Δtrarr0(minus ΔФ

Δt )=minus dФdt (2) Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

ω t (согласно (1)) то дифференцируя эту функцию и помня что d (cosωt )

dt=minusωsin t

получим ε i=BS ωsin ωt (3) Индуцируемая в N витках

ЭДС будет в N раз больше ε=Nε i=NBS ωsin ωt=εm sin ωt где ε m -

максимальное значение (амплитуда) ЭДС индукции ε m=NBS ω (4) Следовательно при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции

Подставляя в (4) значение угловой скорости ω=2πn где n ndash частота

вращения рамки получим ε m=2π nNBSasymp3 14 В

Ответ ε m=3 14 B

84

Задача 3 Через катушку индуктивность которой L=21 мГн течет ток

изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt где I0=5 А ω=2πT и Т=002 с

Найти зависимость от времени t а) ЭДС ε самоиндукции возникающей в катушке б) энергии W магнитного поля катушки

Дано Решение

L=21 мГн а) ЭДС самоиндукции определяется формулой ε с=minusL dI

dt (1)I=I0 sinωt По условию ток изменяется со временем по закону I0=5 А I=I0 sinωt (2)

Т=002 с Подставляя(2) в (1) получаем ε с=minusL d

dt( I 0 sin ωt )=minusLI0 ωcos ωt

ε ( t) W(t)- где ω=2 π

T тогда ε c=minus33 cos 100 πt

б) Магнитная энергия контура с током W=LI 2

2 или

с учетом (2) W=LI 2 sin2 ωt

2 W=0 263sin2 100 πt

Ответ ε c=minus33cos 100 πt W=0 263sin2 100 πt

Задачи для самостоятельного решения81 Катушка диаметром 10 см имеющая 500 витков находится в

магнитном поле Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке если индукция магнитного поля увеличивается в течение 01 с 0 до 2 Вбм2

82 Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле индукция которого 1 Вбм2 Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции возникающее в витке при выключении поля в течение 001 с

83 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 100 витков проволоки Катушка

85

делает 5 обс Площадь поперечного сечения катушки 100 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

84 В однородном магнитном поле индукция которого равна 08 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 радс Площадь рамки 150 см2 Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 300 с направлением силовых линий магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся рамке

85 В однородном магнитном поле индукция которого равна 01 Тл равномерно вращается катушка состоящая из 200 витков проволоки Период обращения катушки равен 02 с Площадь поперечного сечения катушки 4 см2 Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке

86 Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в магнитное поле индукция которого меняется по закону В = В0 sin t где В0 = 001 Тл = 2Т и Т = 002 с Площадь рамки 25 см2 Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля Найти зависимость от времени и наибольшее значение 1) магнитного потока пронизывающего рамку 2) ЭДС индукции возникающей в рамке 3) силы тока текущего по рамке

87 Через катушку индуктивность которой равна 0021 Гн течет ток изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 5 А = 2Т и Т = 002 с Найти зависимость от времени 1) ЭДС самоиндукции возникающей в катушке 2) энергии магнитного поля катушки

88 Две катушки имеют взаимную индуктивность равную 0005 Гн В первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t где I0 = 10 А = 2Т и Т = 002 с Найти 1) зависимость от времени ЭДС индуцируемой во второй катушке 2) наибольшее значение этой ЭДС

89 За время 5 мс в соленоиде содержащем 500 витков магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб Найти величину ЭДС индукции в соленоиде

810 Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков По катушке идет ток силой 2 А Найти 1) индуктивность этой катушки 2) магнитный поток пронизывающий площадь ее поперечного сечения

86

Φ

0 01 03 04 tc

811 Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки индуктивность которой 0001 Гн Диаметр катушки 4 см диаметр проволоки 06 мм Витки плотно прилегают друг к другу

812 Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2

имеет индуктивность 2∙10-7 Гн При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Джм3

813 Сколько витков имеет катушка индуктивность которой L = 0001 Гн если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним витком Ф = 02∙10-5 Вб

814 Две катушки намотаны на один общий сердечник Индуктивность первой катушки 02 Гн второй - 08 Гн сопротивление второй катушки 600 Ом Какой ток потечет во второй катушке если ток в 03 А текущий в первой катушке выключить в течение 0001 с

815 Рамка имеющая форму равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 008 Тл Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300 Определить длину стороны рамки если известно что среднее значение ЭДС индукции возникающей в рамке при выключении поля в течение времени Δ t = 003 с ε i = 10 м В

816 Магнитный поток пронизывая Ф 10minus3 Вб

катушку изменяется со временем как показано на рисунке Построить график зависимости ЭДС индукции наводимой в катушке от времени Каково максимальное значение ЭДС индукции если в катушке 400 витков провода (рис47) Рис 47

817 Проводник длиной 05 м движется со скоростью 5 мс перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле индукция которого 8 мТл Найти разность потенциалов возникающую на концах проводника

818 Найти разность потенциалов возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104 размах крыльев которого 365 м Самолет летит горизонтально со скоростью 900 кмч вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли 5 10-5 Тл

87

819 Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 001 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля Какой заряд пройдет по витку если магнитное поле будет равномерно убывать до нуля

820 Чему равна индуктивность катушки если за время 05 с сила тока в цепи изменилась от 10 А до 5 А а наведенная при этом ЭДС на концах катушки ndash 25 В

821 Соленоид содержит 1000 витков Площадь сечения сердечника 10 см2 по обмотке течет ток создающий поле с индукцией 15 Тл Найти среднюю ЭДС самоиндукции возникающую в соленоиде если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс

822 При изменении силы тока в соленоиде от 25 А до 145 А его магнитный поток увеличился на 24 мВб Соленоид имеет 800 витков Найти среднюю ЭДС самоиндукции которая возникает в нем если изменение силы тока происходит в течение времени 015 с Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде

823 Индуктивность рамки 40 мГн Чему равна средняя ЭДС самоиндукции наведенная в рамке если за время 001 с сила тока в рамке увеличилась на 02 А На сколько при этом изменился магнитный поток создаваемый током в рамке

824 Катушка индуктивности диаметром 4 см имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2 расположена в однородном магнитном поле индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со скоростью 01 Тлс Концы катушки замкнуты накоротко Определить количество теплоты выделяющейся в катушке за 1 с Удельное сопротивление меди равно 17 10-8 Ом м

825 Проволочный виток площадь которого 102 см2 разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ Виток помещен в однородное магнитное поле силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка Индукция магнитного поля равномерно

изменяется со скоростью ΔВΔt=5sdot10minus3 Тл с

Определить заряд конденсатора826 В центре плоской круглой рамки состоящей из 50 витков радиусом

20 см каждый расположена маленькая рамка состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью 300 радс Найти максимальное

88

I

В

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

В

В

a

l

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

значение возникающей ЭДС индукции если в обмотке первой рамки идет ток 10 А (рис 48)

Рис 48

827 В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины параллельные току По шинам поступательно перемещается проводник длиной 05 м Скорость его 3 мс постоянна и направлена вдоль шин Найти разность потенциалов на концах проводника (рис49)

Рис 49

827 Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32middot10-3 Тл Какой электрический заряд пройдет по обручу если его повернуть на 900 в магнитном поле В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля

828 Виток радиусом 5 м расположен так что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля Индукция изменяется по

закону В=5sdot10minus2 t (Тл) Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку

829 В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 002 Гн При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2middot10-3 А Какой заряд прошел по виткам катушки за это время

830 Определить направление индукционного тока в медном кольце при введении в него магнита северным полюсом

89

В

V

831 Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца

832 Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозит свое движение

833 Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис50)

Рис50834 Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких

изолированных друг от друга листов стали

90

Ответы к задачам для самостоятельного решения11 156 г 12 1110-6 Кл 15 7810-6 Клм2 16 910-5 Н 4510-5 Н

17 037 м 18 210-4 Кл 19 125 r 110 226 см 111 453 нКл 112 7210-

3 кг 113 2 114 09 Н 115 q1=plusmn26sdot10minus7 Кл q2=plusmn67sdot10minus8

Кл 116 9410-8 Кл 117 564 нКл 118 на расстоянии 35 см от большего заряда 119 204 Н 120 263 пКл 121 1610-19 Кл 122 в 20 см от большего заряда 123 1410-10 м 124 09 МН 125 182 пКл 126 0510-8 Кл 910-9 Н 128 21106 мс 130 7510-8 Кл 5810-3 Н 2910-3 Н

21 504 кВм 22 2 см 23 405 Вм 24 60 кВм 0 30 кВм 25 112 кВм 26 201 мкН 2834 Нм 29 81 Нм 210 312 МВм 211 51 Нм 212 0 9104 Вм 104 Вм 213 432 мВм 214 642 кВм 215 036 Н 216 113 Вм 226 Вм 217 127 Вм 218 565 кВм 98 кВм 219 17 мкПа 220 492 мН 221 565 мкН 222 106 мкКлм2 22315 мкКл 224 178 кВм 225 25 мКл 227 2910-2 Н 1210-2 Н 2281880 Вм 0 229 14 МВ 07 МВ

31 10-8 Кл 32 500 В 33 113 мкДж 34 167 смс 35 37 мкКлм 36 296107 мс 37 23 кВ 38 67 мкКлм2 39 4110-18 Кл 310 64 мс 2 см 311 173 нКл 312 22 кВ 313 47 нКлм2 314 253106 мс 315 57 Вм 106 м 4510-19 Дж 28 В 316 9610-14 Н 1051017 мс2 324107 мс 317 364107 мс 318 11310-9 Дж 319 1792 В 320 312 мм 21 мм 321 990 Вм 322 42 МВ 323 48 нс 22 см 324 iquest 410 325 11middot103 326 45middot107 В 327 13middot10-26 кг 329 25middot10-5 Клм2 138middot10-5 Клм2

41 88 нКл 42 115 В 43 531 нКлм2 138 мкКлм2 177 пФ 531 нКлм2 44 15 кВм 45 кВм 75 В 225 В 266 пФ 08 мкКлм2 45 18 кВ 46 033 мкФ 47 2 В 4 В 8 мкКл 48

q1=C1 (C2+C3 )UC1+C2+C3

q2=C1C2U

C1+C2+C3 q3=

C1C3UC1+C2+C3

U1=U (C2+C3 )C1+C2+C3

4925 мкФ

410 от 22 пФ до 4755 пФ 411 от 5 пФ до 225 пФ 412 7 мм 7 нКл 155 пФ 158 мкФ 413 56 кВм 5 мм 107 мс 692 нДж 177 пФ 414 20 мкДж 8 мкДж 60 кВм 415 150 кВм 20 мкДж 50 мкДж 416 443 мкДж 178 мкДж 417 443 мкДж 111 мкДж 418 11 пФ 750 Вм 48 МДжм3 419

11 пФ 0 0 420 80 мкДж 421 4 мкФ 422 -25 Па 423 С=

ε0 S2 d (ε1+ε2 )

424 5 кВм 4510-4 Н 18 мкДж 1110-4 Джм3 425 2210-2 Дж 426 С2 427

91

025 Дж 500 В 428 Да 429 75 кВ 45 кВ 225middot10-7 Кл 430 712middot10-7 Дж 51 2 А 1 А 52 011 А 099 А 011 В 09

54 0125 В 75 Ом 55 27 В 09 Ом 56 066 В 0 133 А 57 25 Ом 15 Ом 75 В 125 В 58 05 Ом 2 В 59 02 А 510 04 А 01 А 60 Ом 511 32 В 04 А 512 60 Ом 513 80 Ом 514 170 В 515 193 Вт 516 78 мм2 517 18 Дж 518 83 17 519 1 Ом 34 В 520 6 В 1 Ом 521 60 Вт 522 1 А 523 16 Вт 524 Лампочка с меньшим сопротивлением потребляет в 15 раза больше 525 100 В 526 15 Кл 527 5 Ом 528 175 В -15 В 530 42 645 Вт 50

61 05610-15 Дж = 35 кэВ 62 199 Ам 0 1837 Ам 63 33 см от т А 64 18 см и 696 см правее т А 65 8 Ам 556 Ам 66 98 А 67 8 Ам 68 318 Ам 69 563 Ам 610 772 Ам 611 012 В 612 127 Ам 613 257 Ам 614 122 Ам 6150 616 377 Ам 617 623 Ам

618 177 Ам 619 U2=4 U1 620 8 см 621 667 кАм 622 125 кАм

623 4 624 410-4 Н 625

pm

L=1

2μ0

em 626 0055 Тл

627 H1=

4 Iπaradic2

=22 6 Aм

H2=I

2πaradic2=282 A

м629 176middot1011 Клкг

630

m1

m2=1

4 71 3510-4 Нм 628 10 Ам 2 Н 72 4510-4 Нм 73 2410-9 Нм

74 1210-9 Нм 75 05 мДж 76 02 Дж 77 004 Тл 78 5 А 79 001 Нм 710 628 мкНм 711 600 712 Ф = 1610-8cos 4πt Вб 1610-8 Вб 713 10-4 Тл 714 9110-31 кг 715 12 мм 716 18 Тл17 025 Тл 718 23610-

3 Дж 719 005 Дж 720 063 Дж 721 10 мДж 722 106 мГн 723 25 Дж 724 005 Гн 36 Дж 16 Дж 725 уменьшается в 2 раза 726 375 мДж 727 2045π middot10-8 Дж 728 06 Гн 729 5middot10-4 Гн 730 798middot10-4 Вб

81 785 В 82 1 В 83 314 В 84 009 В 85250 мВ 86 25 мкВб

7085 мкВ 25 А 88 ε 2=minus15 7 cos100 πt ε2 max=15 7 B 89 400 В 810 35510-6 Вб 811 380 812 1 А 813 500 814 02 А 815 10 см 816 4 В 817 20 мВ 818 046 В 819 25 мКл 820 25 Гн 821 3 кВ 822 128 В 210-2 Дж 823 08 В 824 29510-3 Вт 825 510-10 Кл 826 4710-

3 В 827 4710-5 В 828 0053 Кл 829 3925 эВ 830 9410-9 Кл

92

Приложения

Приложение 1Основные единицы измерения электрических и магнитных величин

Величина Обозначение Единица измерения

Название единицы

измеренияЗаряд q Кл КулонНапряженность электрического поля

EBм Вольт на метр

Вектор электрической индукции

DКлм2

Кулон на метр в квадрате

Потенциал электрического поля

ϕ В Вольт

Напряжение U В Вольт

Электроемкость С Ф ФарадЭнергия электрического поля

W Дж Джоуль

Электрический ток I А АмперСопротивление проводника R Ом Ом

Вектор магнитной индукции B Тл Тесла

Вектор напряженности магнитного поля

HАм Ампер на метр

Магнитный поток Ф Вб ВеберИндуктивность L Гн Генри

93

Приложение 2 Некоторые физические постоянные

Заряд элементарный e=160219117middot10 -19 КлМасса покоя нейтрона mn = 1674920middot10 -27 КгМасса покоя протона mp = 1672614middot10 -27 КгМасса покоя электрона me = 9109558middot10 -31 КгДиэлектрическая проницаемость в вакууме

ε0 = 885∙10-12 Кл2Н∙м

Магнитная постоянная μ = 4π∙10-7 Гнм∙Заряд α - частицы q=2 e=3 204sdot10minus19 КлМасса α - частицы mα=6 644sdot10minus27 кг

Скорость света в вакууме с=299792458sdot108 м с

Приложение 3 Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц

Наименование Множитель Русское обозначение

Международное обозначение

экса 1018 Э Е

гета 1015 П Р

тера 1012 Т Т

гига 109 Г G

мега 106 М М

кило 103 к К

гекто 102 г H

дека 10 да Dа

деци 10-1 д D

санти 10-2 с Смилли 10-3 м M

микро 10-6 мк μ

нано 10-9 Н N

пико 10-12 П P

фемто 10-15 Ф F

94

Приложение 4График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для

некоторого сорта железа

Приложение 5 Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

(безразмерная величина)

Воск 78 Парафин 2 Эбонит 26

Вода 81 Слюда 6 Парафинир Бумага 2

Керосин 2 Стекло 6

Масло 5 Фарфор 6

Приложение 6 Удельное сопротивление проводников (при 0degС) мкОм-м

Алюминий 0025 Нихром 100

Графит 0039 Ртуть 094

Железо 0087 Свинец 022

Медь 0017 Сталь 010

ν

В

95

• Рис31
• Дано Решение
• Задачи для самостоятельного решения
• Задачи для самостоятельного решения
• В отсутствие электрического поля При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила которая сообщает пылинке ускорение но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью причем Из рисунка видно что Кроме того отношение откуда тогда Искомое время найдем по формуле Подставляя числовые данные получим
• Задачи для самостоятельного решения
• Примеры решения задач
• • Задачи для самостоятельного решения
  • Рис15
  • Рис17 Рис18
  • • Задачи для самостоятельного решения
    • • Рис24
      • • Задачи для самостоятельного решения
        • • Рис36
          • Рис37
          • Рис38
          • • Задачи для самостоятельного решения
            • Задачи для самостоятельного решения
            • • Рис 48
              • Рис 49
              • Наименование