Disusun oleh :

Anna Mariska Diana Putri, S.Pd

Dan TIM MGMP

Tahun Pelajaran 2016 – 2017

SMA Santa AngelaJl. Merdeka No. 24 Bandung

1

PELUANGMatematika Wajib

Kelas XI MIA

P (A )=n (A )n (S )

PENGANTAR :

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

STANDAR KOMPETENSI :

1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam

pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR :

1. Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalaam pemecahan masalah.

2. Menentukan ruang sample suatu percobaan.

3. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiraanya.

TUJUAN PEMBELAJARAN :

1. Siswa dapat menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi secara teliti dan serdas.

2. Siswa dapat menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi secara teliti.

3. Siswa dapat menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi dengan penuh tanggungjawab.

4. Siswa dapat menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan.

5. Siswa dapat menentukan peluang kejadian melalui percobaan dengan tekun dan benar.

6. Siswa dapat menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis dengan cerdas.

2

PELUANGATURAN PERKALIAN

EX. 1. Budi mempunyai 3 celana dan 2 baju. Berapa banyak pilihan untuk memasangkan celana dan baju?

Misal himpunan celana A = {a1 ,a2 ,a3} dan himpunan baju B = {b1, b2}.

a. Diagram pohon :

Jadi terdapat 6 cara untuk memasangkan celana dan baju.b. Tabel silang

bajucelana

b1 b2

a1 (a1,b1) (a1,b2)a2 (a2,b1) (a2,b2)a3 (a3,b1) (a3,b2)

c. Pasangan berurutan

Aturan perkalian himpunan A dan B ditulis A x B, sehingga :A x B = {(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}

EX. 2. Berapa banyak bilangan-bilangan bulat positif ganjil yang terdiri dari 3 angka dan yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6, dan 7.

5 5 3

Jadi banyaknya cara ada 5 x 5 x 3 = 75 cara.

3

(a2,b1)

(a3,b2)

(a3,b1)

(a2,b2)

(a1,b2)

(a1,b1)

b2

b2

b1

b2

b1

b1

a3

a2

a1

EX.3. Berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari 500, yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7. kalau tiap bilangan tidak boleh mengandung angka yang sama.

5 4

5

Jadi seluruhnya 24 + 20 + 5 = 49.

EX. 4. Diberikan angka ; 0, 1, 2, 3, 4, dan 5.

a. Berapa banyak plat nomor polisi kendaraan yang dapat dibuat, jika tiap nomor terdiri atas 3 angka yang tidak berulang?

6 5 4

b. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun, jika tiap bilangan terdiri dari 3 angka berbeda?

5 5 4

c. Berapa banyak bilangan ganjil, jika tiap bilangan terdiri 4 angka dan boleh ada angka yang berulang?

5 6 6 3

FAKTORIAL

Hasil kali bilangan asli berurutan disebut faktorial. Hasil kali n bilangan asli yang pertama disebut n faktorial dan ditulis dengan notasi n!

4

= 24

= 20

= 5

=120 plat

= 100 bilangan

= 540 bilangan

2 4 3

Defiisi :

Untuk setiap bilangan asli n, makan n faktorial diddefinisikan sebagai berikut :

n! = n x ( n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1

hal khusus : 1! =1 dan 0! = 1

contoh faktorial dari bilangan asli

2 ! = 2 x 1 = 2

3 ! = 3 x 2 x 1 = 6

4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5 ! = 120

6 ! = 720

7 ! = 5040

8 ! = 40320

9 ! = 362880

Hubungan faktorial antar bilangan yang dikalikan

5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 x 4! = 20 x 3 !

6 ! = 6 x 5 ! atau 6 = 6!/ 5!

Secara umum dapat dituliskan

: n = n!/ (n-1)! Atau n! = n (n − 1)! dan 0! = 1 dan 1! = 1

EX. 5. Hitunglah :

a.

12 !10 !

=12.11.10 !10 !

=132

b.

15 !10 ! .5 !

=15 .14 .13 .12. 11.10 !10 ! . 5. 4 .3 .2.1

=3 . 003

c. 9! : ( 6! 3!) =

5

Tuliskan notasi faktorialnya :

a. 11 x 10 x 9

b. 10 x 9 x 8

c. 9 x 8 x 7 x 6 : 3 x 2 x 1!

EX. 6. Tentukan nilai n yang memenuhi setiap persamaan berikut :

a.

10 !7 !

=n(n−1)(n−2)

10 .9. 8 .7!7 !

=n(n−1 )(n−2)

10 .9. 8=n(n−1)(n−2)

Jadi n = 10

b.

9 !3! . 5 !

=(n+1) .n.( n−1)

9 .8 .7 .6 .5 !3 ! .5 !

=(n+1) .n.(n−1)

9 .8 .7 .63 .2 . 1

=(n+1 ).n .(n−1 )

9 .8 .7=(n+1).n .(n−1)

Jadi n = 8

c.

n ! . 3!6 !(n−3) !

=334

n( n−1)( n−2 )6 .5.4

=334

n( n−1)( n−2 )=30 .33n( n−1)( n−2 )=11.3 .3 .10n( n−1)( n−2 )=11.10 . 9

Jadi n = 11

6

Latihan 1

1. Berapa banyak bilangan bulat positif lebih kecil dari 700, yang dapat disusun dari angka-angka 1, 3, 5, 7 dan 9. kalau tiap bilangan tidak boleh mengandung angka yang sama.

2. Masih soal no. 1, kalau bilangan-bilangan itu harus lebih kecil dari 530 dan tiap bilangan tidak boleh mengandung angka yang sama.

3. Nomor plat kendaraan bermotor di wilayah Bandung dan sekitarnya diawali dengan huruf D, kemudian diikuti dengan bilangan yang terdiri dari 4 angka dan diakhiri dengan susunan 2 huruf (seperti D 1442 SN). Berapa banyak no plat kendaraaan bermotor yang dapat disusun dengan cara seperti itu.

4. Dari kota A ke kota B ada 5 jalan, dari kota B ke kota C ada 7 jalan. Berapa cara seseorang pergi dari A ke C dan kembali lagi ke A melalui B ?

5. Dari angka 0,1,2,3,4,5,6, dan 7 akan dibentuk bilang an ganjil yang terletak antara 50 sampai dengan 550. Berapa banyaknya bilangan ganjil yang dapat dibentuk jika tidak boleh ada angka yang sama.

6. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut :

a.

n !(n−3) !

=8n−2n2

b. (n+1 )!=6( n−1)!

PERMUTASI

1. Permutasi adalah pengelompokan sebagian atau keseluruhan unsur dengan memperhatikan urutan.

2. Menentukan banyaknya permutasi.n Pr=

n!(n−r )! dengan r n

EX. 7. Banyaknya permutasi dari kata “ANI” yang diambil 2 unsur adalah :

3 P2=3 !

(3−2 )!=3 !=6

EX. 8. Berapa kendaraan yang dapat diberikan plat nomor polisi dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa ada angka yang berulang, jika tiap nomor terdiri atas 5 angka?

7

n = 5, r = 5, sehingga :

5 P5=5 !

(5−5 )!=5 !=120

Latihan :

Berapa banyak kata yang terdiri atas 6 huruf yang dapat dibentuk dari kata “MELATI”

EX. 9. Tentukan nilai n dari persamaan

a. 7 n P3=6 . n+1 P3

7.n !(n−3 )!

=6 .( n+1) !( n+1−3 )!

7(n−3) !

=6 .(n+1)(n−2)(n−3 )!

7=6 .(n+1)n−2

7(n−2)=6 .( n+1)7n−14=6n+67n−6n=6+14n=20

b. 3 n P4=n−1 P5

3. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama :

nP(k , ℓ ,m)=

n!k ! . ℓ ! .m!

Syarat : (k + ℓ + m) n

Contoh :

1. Banyak permutasi dari kata “ADA” yaitu

8

EX. 10. Banyaknya permutasi dari kata “MATEMATIKA” adalah :

P=10 !

3 ! . 2! . 2!=151.200 susunan

LATIHAN

Tentukan banyak permutasi dari

a. BELALANG

b. HARAPAN

c. KONDUKTOR

4. Permutasi Siklis:

Permutasi SIKLIS adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut putaran tertentu.

nP(siklis) = (n − 1)!

Jika terdapat 2 siswa duduk melingkar pada meja bundar maka posisi yang mungkin :

Perhatikan :

A B B A

Posisi 1 Posisi 2

Posisi 1 = Posisi 2, jadi terdapat 1 cara atau P = (2 – 1)!

EX. 12. Diketahui terdapat 6 orang akan menempati 6 kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan yang dapat terjadi?

n = 6, sehingga :

Psiklis=(6 – 1)! = 5! = 120

9

EX. 13. Dengan berapa cara 8 orang dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar, jika :

a. Mereka dapat duduk dimana saja.

Psiklis = (8 – 1)! = 7! = 5.040 cara

LATIHAN

1. Dengan berapa cara 7 orang dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar, jika mereka dapat duduk dimana saja

2. Dengan berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar, jika mereka dapat duduk dimana saja

b. 3 orang yang ditentukan tidak boleh duduk berdampingan.

Jika 3 orang tertentu selalu berdampingan = 3!.(6 – 1)! = 3!.5! = 720 cara

Jadi 3 orang tertentu tidak boleh berdampingan ada = 5.040 – 720 = 4.320 cara.

Pemutasi berulang :

nPr (berulang) = nr

EX. 15. Diketahui angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 akan dibentuk bilangan-bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan angka-angka boleh berulang. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?

n = 7, r = 3, sehingga : Pberulang = 73= 343

LATIHAN

10

Diketahui angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan dibentuk bilangan-bilangan yang terdiri dari 5 angka dengan angka-angka boleh berulang. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?

KOMBINASI

1. Kombinasi adalah pengelompokan sebagian atau seluruh unsur tanpa memperhatikan urutan.

2. Menentukan banyak kombinasi :

nCr =

n !r !(n−r )!

3. nCr = nCn −r, r n dan n, r {0, 1, 2, 3, ...}

nCn = nCo = 1

nCn −1 = nC1 = n

LATIHAN DI BUKU

1. Banyak kombinasi dari angka 1, 2, 3 yang diambil 2 unsur adalah :

n = 3, r = 2, sehingga :

3 C2=3 !2! . 1 !

=3, yaitu :(1,2), (1,3), dan (2,3)

2. Banyak kombinasi dari angka 1, 2, 3, 4, 5 yang diambil 3 unsur adalah :

3. Banyak kombinasi dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 yang diambil 4 unsur adalah :

4. Diberikan himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan banyak kombinasi himpunan bagian dari A yang beranggotakan :

11

a. 3 unsur

b. Lebih atau sama dengan 4 unsur

c. Paling banyak 3 unsur

5. Berapa banyak jabat tangan yang bergantian dalam suatu pertemuan yang dihadiri oleh 10 orang?

6. Sebuah organisasi beranggotakan 25 orang, 4 diantaranya berprofesi sebagai guru. Dalam berapa carakah sebuah panitia dapat dipilih yang beranggotakan 3 orang termasuk sekurang-kurangnya 1 guru?

7. Dalam seleksi siswa yang akan mewakili lomba olimpiade tersedia 17 siswa pintar. Dari siswa pintar itu akan dipilih 4 siswa untuk mewakili lomba. Berapa banyak cara yang mungkin terjadi?

8. Dari 6 ahli kimia dan 5 ahli biologi, akan dipilih 7 anggota untuk sebuah penelitian, dengan 4 diantaranya harus ada ahli kimia. Banyak cara pemilihan itu adalah...

9. Disediakan 5 cat hijau yang berbeda jenisnya, 4 cat biru yang berbeda jenisnya, dan 3 cat merah yang berbeda pula jenisnya. Banyak pemilihan atas cat yang dapat dibuat dengan sekurang-kurangnya harus ada 1 cat hijau dan 1 cat biru?

EX. 18. Jika seseorang mempunyai 1 buah uang logam Rp 25,-, 1 buah Rp 50,-, dan 2 buah Rp 100,- dalam sakunya. Berapa banyak cara pengambilan sejumlah uang dalam sakunya?

n = 4, sehingga banyak cara = 2n – 1 = 24 – 1 = 15 cara.

NB :

Banyak semua kombinasi dari n unsur yang diambil 1 atau 2 atau ... atau n unsur adalah

n C1+n C2+. . .+ nCn=2n−1

LATIHAN :

Jika terdapat 3 kelereng merah, 4 kelereng kuning dan 6 kelereng biru dalam sebuah kantong. Berapa banyak cara pengambilan sejumlah kelereng dalam kantong?

EX. 21. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan kombinasi berikut :

a. C4n=n2−2n , n = 7

12

b. C4n+1=C3

n, n = 3

c. C4n=C7

n, n = 11

Penjabaran Binom Newton :

( x+ y )n=∑

i=0

n

nC i xn−i . yi

Suku k ( r + 1) = U r +1=C rn xn−r yr

Koef. xn−r . yr=Cr

n an−r .br

EX. 22. Jabarkan binom berpangkat berikut ini :

a. ( x− y )3

=∑i=0

3

Ci3 . x3−i .(− y )i

¿C03 x3(− y )0+C1

3 x2 (− y )1+C23 x1 (− y )2+C3

3 x0(− y )3

¿ x3−3x2 y+3 xy 2− y3

b. (3 x+ y )4

13

=∑i=0

4

Ci4 .(3 x )4−i. y i

¿C04 (3x )4 y0+C1

4(3 x )3 . y1+C24 (3 x )2 . y2+C3

4 (3 x )1 . y3+C44 (3 x )0 . y4

¿81 x4+4 .27 x3 y+6 .9 x2 y2+4 .3xy 3+ y4

¿81 x4+108 x3 y+54 x2 y2+12 xy3+ y4

EX. 23. Tentukan suku kelima dari binomium :

a. ( x− y )5

n = 5, r = 4 sehingga :

U5=C45 . x5−4 .(− y )4

=5 !4 ! . 1!

xy4

=5 xy4

b. (−3x+ y )8

U5=C48 (−3x )8−4 . y 4

=8!4 ! . 4 !

(−3 x )4 . y4

=8 .7 . 6 . 54 .3 .2. 1

.34 x4 y4

=5 .670 x4 y4

EX. 24. Tentukankoefisien x2y3 dari penjabaran binom berikut :

a. ( x+3 y )5

Koef . x2 y3=C35 .12 . 33

=10 . 27=270

b.(2x−1

2y )5

14

Koef . x2 y3=C35 .22.(−12 )

3

=10 .4 (−18 )=−5

Latihan

1. Berapa banyak cara 10 orang duduk pada sebuah kursi yang hanya dapat diduduki oleh 6 orang?

2. Berapa banyak cara jika soal a terdapat ketentuan 3 orang tertentu selalu berdampingan.

3. Tiga buah buku yang berbeda, 6 buah buku fisika yang berbeda dan 3 buah buku kimia yang berbeda disusun pada suatu rak. Berapa banyaknya cara untuk menyusun buku-buku itu. Jika :

a. buku-buku yang bersubjek sama harus diletakkan berdampingan.

b. hanya buku-buku fisika yang diletakkan berdampingan

c. harus ada buku fisika di ujung-ujung susunan.

4. Dengan berapa cara, 9 orang dapat duduk mengelilingi sebuah meja, jika :

a. mereka dapat duduk dimana saja?b. 3 orang tertentu tidak boleh berdampingan c. 2 orang tertentu lain, selalu berdampingan

15

d. 3 orang tertentu tidak boleh berdampingan, dan 2 orang tertentu lain, selalu berdampingan

5. Dengan berapa cara 3 orang laki-laki dan 3 orang wanita dapat duduk mengelilingi sebuah meja. Jika:

a. mereka dapat duduk dimana saja

b. 2 orang wanita tertentu tidak boleh duduk berdampingan

c. setiap wanita duduk di antara 2 orang laki-laki

6. Banyaknya cara 12 kaset yang berbeda dapat dibagi kan kepada Rinda 5 kaset, Hendra 4 kaset dan sisanya kepada Yuni.

7. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut :

a. (n + 1) P3 = n P4

b. (n + 1) P3 = 24 . n C (n – 4)

c. (n + 1)P4 = 48 nCn - 4

d. C(n + 1, 3) = 4 C(n, n 4)

8. Tentukan koefisien x3 dari (2 − 3x)10

9. Suku tengah pada penjabaran (1 + x)8 sama dengan rata-rata hitung dari suku-suku yang berdampingan dengan suku tengah itu. Carilah nilai x.

DEFINISI PELUANG DAN KEJADIAN MAJEMUK

A. Peluang Kejadian

Ruang sampel : himpunandari semua hasil yang mungkin dari percobaan (S).

Banyaknya ruang sampel : n(S).

Titik Sampel : unsur-unsur yang terdapat di dalam ruang sampel.

Kejadian/event : himpunan dari beberapa atau seluruh titik sampel.

EX. 25. Pengetosan sebuah dadu bermata enam sebanyak satu kali.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

16

Titik sampel = 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

EX. 26. Pengetosan sebuah uang logam dan sebuah dadu bermata enam.

S = {(G,1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6), (A, 1),(A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6)}

n(S) = 12

Penentuan peluang kejadian dapat dilakukan dalam tiga cara :

1. Peluang dengan pendekatan frekuensi relatif

Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian acak A muncul sebanyak k kali (0 ≤ k ≤ n) maka frekuensi relatif kejadian A :

f r (A )= Banyaknya kejadian A

Banyaknya percobaan A= kn

Jika n besar sekali berarti n →∞, maka f r (A ) merupakan nilai peluang kejadian acak A, sehingga :

P( A )= lim

n→∞f r (A )= lim

n→∞

kn

EX. 27. Dari percobaan pengambilan kartu domino/gaplek sebanyak 2.800 kali diperoleh kartu dibel dua sebanyak 97 kali. Tentukan :

a. Frekuensi relatif(dobel dua)

n = 2.800 dan k = 97, sehingga

f r (dobel dua )=97

2.800≈ 128

b. P(dobel dua)

P(dobel dua)= 128

2. Peluang dengan pendekatan definisi peluang klasik

Misalkan kejadian A dapat terjadi dalam k cara dari keseluruhan n cara yang mempunyai kemungkinan sama, maka peluang kejadian A :

17

P( A )= k

n

EX. 28. Dalam pengambilan sebuah kartu dari seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang terambil:

a. King wajik

P(king wajik )= 152

b. King

P(king )= 4

52= 113

c. Sekop

P( sekop )=1352

=14

EX. 29. Sebuah kantong berisi 6 bila merah, 8 biru, dan 4 putih. Jika 3 bola diambil secara acak. Hitunglah peluang terambil:

a. Semua merah

n=C318

, sehingga :

P( semua merah)=C36

C318=

5. 43 .17 .16

= 5204

b. Semua biru

P( semua biru)=

C38

C318=

8 .73 . 17 .16

= 7102

c. 2 putih dan 1 merah

P(2 putih dan 1 merah )=

C24C1

6

C318 = 6 .6

3.17 .16= 368

18

d. Satu dari setiap warna

P( satu dari tiap warna )=

C16 .C1

4 .C18

C318 = 6 . 4 .8

3 .17 .16= 417

e. Bola dalam urutan merah, putih, biru

P(bola terambil dalam uru tan merah , putih, biru)= 4

17. 13 !

= 251

3. Peluang dengan menggunakan ruang sampel

P( A )=

n( A )n (S ) ,

n( A )=banyak kejadian acak suatu kejadiann( S )=banyak ruang sampel

EX. 30. Dua uang logam lima ratusan ditos bersamaan. Berapa peluang muncul keduanya gambar?

Ruang sampel : {(G, G), (G, A), (A, G), (A, A)}

n(S) = 4, misal A = {(G, G)}, maka n(A) = 1, sehingga :

P( A )=n( A )n (S )

= 14

EX. 31. Dua buah dadu bermata enam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah nilai peluang.

a. Kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 7.

Dadu 2Dadu 1

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1)

2

3

4

5

6 (6, 6)

n(S) = 36, misal A adalah kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 7 maka :

19

n(A) = 6, sehingga :

P( A )=

n( A )n (S )

= 636

= 16

b. Kejadian muncul mata dadu kedua-duanya ganjil

Misal B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua-duanya ganjil, maka :

n(B) = 9 , sehingga :

P( A )=n(B)n(S )

= 936

=14

B. Frekuensi Harapan suatu kejadian :

Fh (k) = N x P(k)

EX. 32. Sebuah dadu dilempar sebanyak 180 kali. Hitunglah frekuensi harapan muncul mata dadu :

a. Angka 5

N = 180, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6,

misal A : kejadian muncul mata dadu 5, maka n(A) = 1, sehingga :

P( A )=n( A )n (S )

=16 , jadi :

Fh( A )=P( A )xN

=16

(180 )

=30 kali

b. Angka genap

Misal B : kejadian muncul mata dadu genap, maka n(B) = 3, sehingga :

P(B)=n (B )n( S )

=36=12 , jadi :

20

Fh(B)=P(B )xN

=12

(180 )

=90 kali

EX. 33. Diketahui peluang unggas terkena flu burung adalah 0,05. Berapa diantara 1500 unggas diperkirakan terkena flu burung?

Misal A : kejadian unggas terkena flu burung, P(A) = 0,05, N = 1500, sehingga :

Fh( A )=P( A )xN=0 ,05(1500 )=75 ekor

C. Peluang komplemen suatu kejadian :

P(k )+P(k )c=1P(k )c=1−P(k )

EX. 34. Tentukan peluang kompleman dari peluang :

a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03

Komplemen kejadian kereta datang terlambat adalah kejadian kereta datang tepat waktu, yaitu (1 – 0,03) = 0,97

b. Peluang Ayu meraih juara kelas adalah 0,75.

Jadi peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,75) = 0,25

D. Peluang Gabungan Dua Kejadian :

P (A B) = P(A) + P(B) − P(A B)

EX. 35. Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah kejadian A dan B saling lepas?

Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam. Jadi kejadian A dan b saling lepas.

EX. 36. Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang logam. Tentukan peluang munculnya:

21

a. Mata dadu < 3 atau angka.

Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Misal A : kejadian muncul dadu < 3 sehingga P(A) =

13

Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = {A, G}

Misal B : kejadian muncul angka sehingga P(B) =

12

Jadi P( A∪B )=P( A )+P(B )=1

3+12=56

b. Mata dadu prima genap atau gambar

Misal A : kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga P(A) =

16

B : kejadian muncul gambarr sehingga p(B) =

12

Jadi P( A∪B )=P( A )+P(B )=1

6+ 12=23

EX. 37. Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian dikocok dn diambil secara acak. Tentukan peluang dari :

a. Kartu yang terambil nomor bilangan genap atau kelipatan 6.

P( genap )=1020 ,

P(kelipa tan 6 )= 320

Jadi

P( genap atau kelipa tan 6 )=P( genap )+P (kelipa tan 6 )

=1020

+320

=1320

b. Kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15.

P( ganjil )=1020 ,

P(nomor 15 )= 120

22

Jadi

P( ganjil atau nomor 15 )=P( ganjil )+P(nomor 15)

=1020

+120

=1120

E. Peluang Kejadian Saling Bebas :

Dua kejadian A dan B saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

P (A B) = P(A) . P(B)

EX.38. Sebuah dadu dan sebuah mata uang ditos sekali secara bersamaan. Berapa peluang muncul mata dadu 5 dan angka pada mata uang?

1 dadu, maka n(S) = 6

1 mata uang, maka n(S) = 2

Misal : A = kejadian munculnya mata dadu 5, maka n(A) = 1

B = kejadian munculnya angka pada mata uang, maka n(B) = 1

Sehingga P( A )=1

6 dan P(B)=1

2 ,

Jadi , P( A∩B )=P( A ). P(B)=1

6. 12= 112

EX.39. Diketahui bahwa peluang dari A, B, dan C dapat menyelesaikan soal adalah 13, 27, dan 3

8 . Jika ketiganya mencoba menyelesaikan soal itu bersamaan. Tentukan peluang bahwa pasti satu orang dapat menyelesaikan soal tersebut?

P( A )=13, P(B )=2

7, dan P (C )=3

8

P( A )=1−13=23, P(B)=1− 2

7= 57, dan P(C )=1−3

8=58

Sehingga peluang bahwa satu orang dapat menyelesaikan soal :

23

=P (A∩B∩C )∪P(A∩B∩C )∪P(A∩B∩C )=P (A ) .P(B ). P(C )+P (A ) .P(B ). P(C )+P (A ) .P(B ). P(C )

=13.57.58

+23.27.58

+23. 57.38

=25168

+20168

+30168

=2556

F. Peluang Kejadian Bersyarat :

Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul :

P (A|B) =

P (A∩B )P (B ) , P(B) 0

Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul :

P (B|A) =

P (A∩B )P(A ) , P(A) 0

Latihan 31. Sebuah kantong berisi 4 bola putih dan 2 bola merah. Kantong lain berisi 3 bola putih

dan 5 bola merah. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing kantong, hitung peluang bahwa :

a. keduanya berwarna putih

b. keduanya berwarna merah

c. 1 putih dan 1 merah

24

2. Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng putih dan 10 kelereng merah dan 6 kelereng kuning. Dari kantong itu diambil 3 buah kelereng secara acak. Berapa peluang yang terambil itu :

a. ketiganya kelereng putih

b. ketiganya kelereng kuning

c. 2 kelereng merah dan 1 kelereng kuning

d. 2 kelereng putih dan 1 kelereng merah

e. ketiganya berbeda warna

3. Empat buah mata uang dilempar secara bersamaan sebanyak 640 kali. Berapa frekuensi harapan mun culnya :

a. ke-4 nya sisi gambar

b. 3 sisi gambar dan 1 sisi tulisan

c. sisi gambar dan 2 sisi tulisan

4. P(A) = 1/3, P(B) = 0,4, A dan B dua kejadian yang saling bebas. Tentukan :

a. P(A¿ B) b. P(A¿ B)

c. P(A’¿ B’) d. P(A’¿ B)

5. Sebuah dadu berisi 6 dilemparkan sekali. Berapa peluang kejadian munculnya :

a. bilangan genap atau bilangan prima

b. bilangan ≤ 4 atau bilangan ≥3

.

Latihan 41. Dalam suatu pertemuan yang dihadiri oleh 10 orang, masing-masing saling berjabat tangan

satu sama lain. Banyak jabat tangan yang terjadi adalah ....A. 10 B. 25 C. 45 D. 90 E. 100

2. Dari angka-angka 2, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka. Banyaknya bi langan yang dapat disusun lebih dari 5.000 dan angka-angka itu tidak boleh berulang adalah ....

A. 48 bilangan C. 120 bilangan E. 768 bilangan

25

B. 72 bilangan D. 384 bilangan

3. Terdapat 7 murid putra dan 4 murid putri terpilih sebagai pelajar teladan. Tetapi hanya terdapat 5 karcis untuk beasiswa dan disyaratkan lagi bahwa paling banyak 2 murid putri saja yang boleh ikut. Banyaknya tim yang dapat yang dapat dibentuk adalah ...

A. 300 B. 350 C. 364 D. 371 E. 4204. Seorang siswa diminta mengerjakan 9 dari 10 soal yang tersedia, tetapi soal nomor 1

sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil siswa tersebut adalah ....A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 E. 10

5. Jika Prn

menyatakan banyak bermutasi r dan n elemen dan 3 Pr8=4 Pr

7, maka r = ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 56. Suatu perusahaan akan memilih direktur, wakil direktur dan sekretaris dari 7 orang. Maka

banyaknya cara pemilihan tersebut dapat dilakukan ....

A. 35 B. 60 C. 90 D. 120 E. 2107. Banyaknya cara 12 buku dapat dibagi kepada A dan B sedemikian sehingga salah satu

memperoleh 9 buku dan yang lainnya 3 buku adalah ....

A. 480 B. 440 C. 400 D. 220 E. 1808. Dalam suatu larutan kimia ada 7 larutan. Terdapat 4 larutan A dan 3 larutan B. Jika dari

larutan tersebut dipilih tiga larutan secara acak, maka banyaknya cara untuk memilih lebih dari satu jenis larutan A adalah ... cara.

A. 12 B. 16 C. 18 D. 22 E. 349. Ada 5 pria dan 6 wanita di suatu komunitas terpandai. Dari situ hendak dipilih 3 orang untuk

menjadi delega si kompetisi. Jika semua orang tersebut mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih, maka banyaknya cara memilih paling tidak 2 wanita harus ikut adalah ….

A. 270 B. 120 C. 150 D. 75 E. 95

10. Koefisien x2 pada perpangkatan (x−1x )

8

adalah ....

A. −56 B. −28 C. 28 D. 56 E. 7011. Pada pelemparan sebuah dadu dan sebuah mata uang sebanyaknya 96 kali frekuwensi

harapan munculnya bilangan komposit pada dadu dan gambar pada mata uang adalah ....

A. 12 B. 24 C. 36 D. 32 E. 4812. Jika peluang kejadian A = 0,3 maka kejadian komplemen A = ....

26

A. 0,3 B. 0,4 C. 0,5 D. 0,6 E. 0,7

13. Sebuah soal matematika diberikan kepada tiga siswa yang masing-masing mempunyai

peluang dapat menyelesaikan soal itu adalah

12, 13, dan 1

4 . Peluang bahwa soal itu terselesaikan oleh ketiga siswa tersebut adalah ....

A.

1312 B. 1 C.

34

12 E.

13

14. Peluang muncul 4 angka komposit pada pelemparan 6 buah dadu adalah ....

A. 20/729 B. 20/243 C. 20/81 D. 15/81 E. 30/8115. Dalam sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari kotak itu diambil 2 bola

secara acak. Tiap kali kedua bola itu diambil, dikembalikkan ke dalam kotak. Jika pengambilan itu dilakukan sebanyak 90 kali, maka frekuensi harapan yang terambil satu bola merah satu bola putih adalah ....

A. 12 kali B. 24 kali C. 45 kali D. 48 kali E. 72 kali16. Peluang Amin hidup 10 tahun lagi adalah 0,6 dan peluang Aman masih hidup 10 tahun lagi

adalah 0,9. Peluang salah satu dari mereka hidup 10 tahun lagi adalah ....

A. 0,04 B. 0,15 C. 0,27 D. 0,42 E. 0,5017. Dari 15 butir telur yang dijual, terdapat 5 butir telur yang cacat. Seorang ibu membeli telur

tanpa memilih. Pabilitasnya ia mendapat 3 butir telur yang baik adalah ….

A. 3/10 B. 1/5 C. 10C3 D. 24/91 E. 24/81

Daftar PustakaAnton, Howard.2004. Aljabar Linier Elementer. Edisi kedelapan. Jakarta : Penerbit erlangga

Djumanta,Wahyudin.2008.Matematika XI IPA.Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Sukino.Matematika XI IPA. Jakarta : Penerbit erlangga

27

“Semoga sukses.......

Tuhan memberkati”

28