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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PARA O EXAME DA ANPEC
CÁLCULO A UMA VARIÁVEL: FUNÇÕES, LIMITES E DERIVADAS
Brasília, DF2007
MATEMÁTICA
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Função de uma variável. Funções em R1. Funções lineares. Inclinação de funções não-lineares. Monotonicidade. Polinômios e funções especiais. Máximo e mínimo. Intervalo. Domínio, contradomínio e imagem. Operações com funções.
Limites. Definição. Limites laterais. Limites e continuidade de funções. Propriedades e operações com limites. Limites de funções compostas. Limites e produtos notáveis. Uso dos algoritmos de Briot-Rufini e de Euclides. Limites fundamentais. Limites trigonométricos. Teorema do sanduíche. Limites infinitos e limites no infinito.
Derivadas e diferenciais. Noção intuitiva, visão gráfica, a diferença entre derivada e diferencial, formalização matemática. Regras de derivação. Uso de derivadas em limites: a regra de L’Hospital. Limites e mudança de base. Diferenciabilidade e continuidade. Derivadas de ordem superior.
Aplicações do cálculo de uma variável. Máximos e Mínimos. Otimização clássica. Condições de primeira e segunda ordens.
Regra da cadeia. Funções compostas e a regra da cadeia. Funções inversas e suas derivadas.
Exponenciais e logaritmos. Funções exponenciais. O número “e”. Logaritmos. Propriedades de exponenciais e logaritmos. Derivadas de exponenciais e logaritmos. Aplicações.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
BRAGA, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003. Capítulos 1 a 4.
CHIANG, A.C. Matemática para Economistas. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
SIMON, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. Capítulos 1 a 5.
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1) ANPEC (1990) - Se ( ) , ,x x x e aa 0 0 1 examine as seguintes afirmações:
(0) A função é crescente.(1) A função d/dx é crescente.(2) lim ( )
xx
0.
(3) lim ( )x
x
.
(4) Se x y entãox y x y
0 0
2 2, ,
( ) ( ).
2) ANPEC (1990) - Dado y e onde x t tx ( ) ( ) , , ,0 0 12 0 02 determine dy/dt para t = 9.
3) ANPEC (1990) - Determine o perímetro máximo de um retângulo inscrito no interior de um círculo de raio 2 .
4) ANPEC (1991) – Determine o valor da função (x) = 10 + 5x + 3x 2 - x 3 quando ela passa pelo seu ponto de inflexão.
5) ANPEC (1992) - Determine o menor valor positivo para k de tal forma que a
função y = sen(x - k) tenha um ponto de máximo em x 52
.
6) ANPEC (1992) - Dado que (x) = sen xx8
para x 0, quando deve valer (0) para
que seja contínua em R?
7) ANPEC (1992) - Dada a função y x x 12 3 , x R, assinale como falsa ou verdadeira cada afirmação:
(0) A função possui dois pontos críticos.(1) Um dos pontos críticos é um ponto de inflexão.(2) No intervalo (-2,2), de seu domínio, a função é sempre crescente.(3) A função é côncava para valores negativos de x.(4) Quando x = 2 a função atinge o seu máximo valor em seu domínio.
8) ANPEC (1992) – Determine a área sob a curva y x15 2 no intervalo onde x varia de 1 a 2.
9) ANPEC (1993) – Indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas:
(0) A função yex
x
2 1
é contínua no intervalo [0,2].
(1) lim .x
x xx
2
2 5 62
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(2) lim .x
senxx
0
0
(3) Para que a função yx xx
x
2 4 3
33, possa ser estendida continuamente a
toda a reta R, é necessário atribuir-lhe o valor 2 no ponto x = 3.
(4) lim .x
x x xx
6 2 100 200
3 13
3 2
3
10) (ANPEC 1993) – Dada a função y x x x 3 3 2 3 3, [ , ], assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
(0) Quando x = 0, a função tem um produto de inflexão.(1) A função tem valor máximo global igual a 4.(2) No ponto x = -1, a função possui um mínimo local.(3) A função é decrescente no intervalo (0,1).(4) No intervalo (-3,0) a função é convexa.
11) (ANPEC 1993) – Assinale como verdadeira ou falsa, cada uma das afirmações abaixo:
(0) A derivada de x éx
xx
x
1 ln.
(1) A forma geral das funções de elasticidade constante é ( ) .x a bx
(2) Se a > 0, a função yax bx
1 2 tem um mínimo local em ba
ba
12
2 e um
máximo local estrito em ba
ba
12
2.
(3) x y ax y x y ( ) ( ) , , ,1 1 0 0 0 1 .
12) (ANPEC 1993) – Calcule a área compreendida entre o gráfico da curva
y x x 2 713
2 , o eixo Ox e as retas x = 2 e x = 4.
13) (ANPEC 1994) – Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:
(0) Seja ( )x x22. Logo ‘(1) = 2.
(1) Seja ( )xe ee e
x x
x x
. Logo ‘(0) = 1.
(2) Seja ( ) .lnx e x Logo ‘(1) = 1.
14) (ANPEC 1994) – Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:
(0) Se é diferençável em [a, b] então é sempre contínua em [a, b].(1) Se é contínua em [a, b], então é sempre diferençável em [a, b].(2) Se (x) = x 2 e g(x) = 2, então a derivada do produto .g é o produto das
derivadas de e g.
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15) (ANPEC 1994) – Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
(0) lim ( ) /x
xx 011 1.
(1) lim ./x
xx 1 1(2) lim ( ) ./
xxx e 0
1 0(3) lim ( ) ./
xx xe x 0
1 1
(4) lim .x xe x
0
11
1 12
16) (ANPEC 1995) – Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.
(0) limx
x
x
1
12
2
.
(1) lim .x
xx
0
0
(2) lim .x
x
x
xx
0
12
(3) lim .x
senxx
0
1
17) (ANPEC 1996) - Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas:
(0) Uma função duas vezes derivável é estritamente côncava se, e somente se, a sua derivada segunda é estritamente negativa.
(1) A função f x xe x( ) para possui um único ponto crítico que corresponde a um ponto de máximo global estrito, mas não é côncava.
(2) Seja uma função convexa e derivável, exceto em um ponto, no qual possui derivada à direita positiva e à esquerda negativa. Então este ponto é um mínimo global para f .
(3) A função f x y x x( , ) 3 23 2 é côncava no intervalo 52
32
x
.
18) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa:
(0) A expressão define uma função de em .
(1) A expressão não define uma função de x 0, em y 0, .
(2) A função f xxx
11
, , possui assíntota horizontal.
(3) A função y f x x x n , 0 , possui mínimo em .
(4) Considere y f x , onde . Uma condição necessária para a existência da função inversa f y x 1 , é que f x seja uma bijeção.
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19) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa.
Seja dada por f x x x 3 23 2 .
(0) f x possui um máximo global.
(1) f x não possui mínimo local.
(2) f x é estritamente crescente para .
(3) f x possui um mínimo local e um máximo local.
(4) f x possui um ponto de inflexão em .
20) (ANPEC 1996) - Indique se a afirmativa é verdadeira ou falsa:
(0) Dado que f xsen xx
( )8
para x0, para que f seja contínua em , f ( )0 deve valer 0
(1) f x x 1 é contínua em todo o seu domínio.
(2) f x
x x xpara outros valores de x
1 0 10
,, é contínua mas não diferenciável em [0, 1].
(3) Se f : 01 01, , é continua em 0 1, , existe x 01, tal que f x x .
(Sugestão: desenhe um gráfico).
21) (ANPEC 1997) - Seja o conjunto dos números reais. Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir:
(0) A união de dois intervalos abertos de é sempre um intervalo aberto de . (1) O conjunto dos números irracionais entre 0 e 1 constitui um intervalo aberto
de (2) f : é uma função contínua em x=xo desde que f(xo) exista.(3) O logaritmo de a na base b é o recíproco do logaritmo de b na base a , para
a,b números reais positivos.
22) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir:
(0) limx 1(x -1) {(x -1)} = 3.1/2 -1
(1) lim ( )( )x x x 64
112
238 4 3.
(2) lim( )
cos( )xx sen xx x
5 = 3.
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23) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir
(0) Se f e g são funções reais de variável real tais que f´(x) > 0 e g´(x) > 0 , para todo x, então a função composta h(x) f(g(x)) é crescente.
(1) Se f e g são funções reais de variável real tais que f é convexa e g é côncava, então 5 2f g é convexa.
(2) Se f e g são funções reais de variável real tais que f, f´, g e g´ são crescentes,então a função produto h(x) f(x).g(x) é convexa.
24) (ANPEC 1997) - Suponha que f(x) seja uma função real de variável real, x,definida assim:
f x x x( ) 12 3
Classifique cada uma das afirmações abaixo como verdadeira ou falsa.
(0) f(x) possui dois pontos críticos.
(1) Um ponto crítico é ponto de inflexão.
(2) No intervalo (-2,2) do seu domínio, f(x) é sempre crescente.
(3) f(x) é côncava para valores negativos de x.
(4) Quando x = -2 , f(x) atinge o seu máximo valor em seu domínio.
25) (ANPEC 1998) - Identifique quais das afirmativas abaixo sobre a função y: definida por y(x)= |x|e-2|x| são verdadeiras e quais são falsas;
(1) y possui um único ponto de mínimo global;(2) y possui um único ponto de máximo global;
(3)
limx
dy xdx 0
não existe
26) (ANPEC 1998) - Responda V ou F;
(0) lim (sen ) ;x x
xe
2
2
10
(1) lim /
x
xxe
0
1;
(2) limx
x
x
xx
0
1 3 3 ;
(3) lim ( )x
bx a ba x e
0
1 , onde a e b são números reais não nulos;
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27) (ANPEC 1998) - A quantidade demandada de certo produto, por unidade de tempo, segue padrão linear (em termos do preço), reduz-se a zero quando o preço é maior ou igual a 10 e decresce duas unidades para cada unidade monetária de aumento de preço. A quantidade ofertada por unidade de tempo reduz-se a zero quando o preço é menor ou igual a 2 e é proporcional ao quadrado do preço quando este assume valores maiores que 2. Determine o valor das compras do produto na situação de equilíbrio.
28) (ANPEC 1998) - Certa empresa produz relógios ao custo unitário de 8 e sabe que se fixar o preço em x, venderá (100-2x) unidades por período de tempo(onde x 50). Qual deve ser o valor de x para que a lucro das vendas seja máximo?
29) (ANPEC 1998) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a função
f x x x x 3
2
352
14 7 ; x:
(0) Apresenta ponto de inflexão para x=2,5(1) Apresenta ponto de máximo para x = 5(2) Apresenta ponto de mínimo local para x = 7(3) Apresenta descontinuidade em x=2,5
30) (ANPEC 1999) - Sejam f:RR e g:RR funções contínuas. Ponha h(x)=f(g(x)) e u(x)=g(f(x)). Classifique como V ou F as afirmações abaixo.
(0) u(x) = h(x) para x=0.(1) Se f é derivável então h também o é.(2) h é contínua.(3) Se h e u são deriváveis então h’(x)=u’(x) para todo x.
31) (ANPEC 1999) - Classifique como falsas ou verdadeiras as afirmações:
(0)
(1)
32) (ANPEC 1999) - Se f(x) = 2x e g(x) = 2x – 2, calcular
f(g(x)) – g(g(x)) + g-1(f(x)) para x = -3
33) (ANPEC 1999) - Tem-se uma curva de demanda de elasticidade constante,
onde q e p são variáveis não-negativas e têm os significados usuais. Se a oferta é fixa em 100 unidades e a elasticidade da demanda é –1,5, qual é o preço de equilíbrio de mercado?
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34) (ANPEC 1999) - Dizemos que uma função f:RR satisfaz a propriedade C nos pontos a, b e c quando
Classifique como V ou F cada uma das afirmações abaixo:
(0) Qualquer trinômio do segundo grau satisfaz a propriedade C para quaisquer a, b e c.(1) Se f é côncava então satisfaz à propriedade C para quaisquer a, b e c.(2) Se f(x) = x3 então f satisfaz à propriedade C se a, b e c são números reais positivos.(3) Se f(x) = x3 então f satisfaz à propriedade C se a, b e c são números reais negativos.
35) (ANPEC 1999) - Verdadeiro ou falso
(0) Em relação a modelos matemáticos: parâmetros são constantes genéricas e variáveis exógenas não são determinadas pelo modelo
(1) O logaritmo de a na base b é o recíproco do logaritmo de b na base a (2) O regime de capitalização contínua é um caso limite do regime de capitalização
simples quando o período de capitalização tende para zero.(3) Se f:RR é derivável em x=xo então |f(x)| é derivável em x= x0 desde que f(xo)
exista.
36) (ANPEC 1999) - Seja g:RR, duas vezes diferenciável. Defina h(x)= g((x-1)3). Qual o valor de 10+h’’(1) ?
37) (ANPEC 1999) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a função
; xR:
(0) Apresenta ponto de inflexão para x=2,5(1) Apresenta ponto de máximo local para x = 5(2) Apresenta ponto de mínimo local para x = 9(3) Apresenta descontinuidade em x=2,5
38) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 02 - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):
(0) A função , se e , é contínua em 0;
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(1) Se é derivável em todo , então
(2) Se é tal que então é derivável em x;
(3) é a reta tangente à curva no ponto
;
(4) Se é tal que e , então .
39) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 07 - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0) Se é estritamente crescente no intervalo então é estritamente convexa neste intervalo;
(1) Se e são funções côncavas na reta , deriváveis até a ordem 2 e , para todo , então é uma função côncava em ;
(2) Se é estritamente côncava em , então vale a desigualdade
para todo ;
(3) Se é côncava e derivável no intervalo aberto , então , para todo ;
(4) Os pontos de inflexão de no intervalo são
.
40) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 08 - A respeito dos limites abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0)
(1)
(2)
(3)
41) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 06 - Sendo a taxa de juros periódica (p.p.) que quintuplica o capital inicial Co, assinale V (verdadeiro) ou F (falso).
(0) Se o prazo de aplicação é de 10 períodos e os juros são simples, então = 40%;
(1) Se o prazo de aplicação é de 10 períodos e os juros são compostos, então =(5)(1/10) - 1;
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(2) Se o prazo de aplicação é de 10 períodos e a capitalização é contínua, com taxa instantânea de juros constante, então = ln5;
(3) Se o prazo de aplicação é de 10 anos, os juros são compostos e a capitalização é semestral então, pode ser determinado mediante resolução da equação 5 = ln(1 + )20
42) (ANPEC 2001) - A respeito da função definida por , responda V (verdadeiro) ou F (falso):
Ⓞ A função possui um ponto de máximo global;① A função possui um ponto de mínimo global;② A função possui quatro pontos de inflexão;③ Para todo tem-se ;④ A função possui um ponto de mínimo local no ponto .
43) (ANPEC 2001) - A respeito dos limites abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso).
Ⓞ ;
①
② ;
③ ;
④ .
44) (ANPEC 2002) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
Ⓞ
①
②
③
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④
45) (ANPEC 2003) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0) .
(1) .
(2) .
(3) Se então .
(4) , para 0 < x < 1.
46) (ANPEC 2003) - Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):
(0) Se é derivável e para todos pertencentes ao intervalo
vale , então para
pertencentes ao intervalo .
(1) Se , 0 < x < 1 e i > 0, então .
(2) Se é derivável e , então
para todo .
(3) Se , para todo , então para .
(4) Se , para todo , então , para .
47) (ANPEC 2004) - Considerando a função , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
Ⓞ a equação tem no máximo duas raízes reais no intervalo ;① a equação tem no mínimo duas raízes reais no intervalo ;
② a equação tem no máximo uma raiz real no intervalo ;
③ é crescente no intervalo ;
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④ é côncava no intervalo .
48) (ANPEC 2004) - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):Ⓞ Seja uma função estritamente côncava e duas vezes continuamente
diferenciável. Se a<b, então f’(a)>f’(b).
① Seja uma função duas vezes continuamente diferenciável tal que existem a<b com f’(a)=f’(b)=0 e f(a)=f(b)=1. Se existe c tal que a<c<b e f(c)=0, então existe d tal que a<d<c e f’’(d)=0.
② Seja uma função estritamente convexa tal que f(0)=0. Então . .
③ Seja uma função contínua tal que, para qualquer x, f(x)=f(-x)0. Então f atinge um mínimo em x=0.
④ Seja uma função estritamente côncava tal que f(0)<f(1). Então f é estritamente crescente no intervalo [0,1].
49) (ANPEC 2005) - Dadas as funções e , avalie as
afirmativas:
Ⓞ .
① O domínio da função composta é .
② A função é injetora.
③ O domínio da função é .
④ O domínio da função está contido na imagem dela.
50) (ANPEC 2005) - Avalie as afirmativas:
Ⓞ .
① .
② Se e são polinômios, então , desde que
③ Se , então
④
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51) (ANPEC 2006) - Considere a função . Julgue as afirmativas abaixo:Ⓞ O ponto x = 1 é ponto de máximo local.① Existe uma vizinhança do ponto x = 1 dentro da qual o menor valor que a função
assume é 0.② f(x) possui uma inflexão em x = 2/3.③ f(x) é convexa apenas na região e côncava apenas na região .
52) (ANPEC 2006) - Avalie as opçõesⓄ Seja , , então f é injetora.① O conjunto {xR; x² - x – 2 > 0} é um intervalo aberto de R.② Defina a imagem de D sob f como {f(x); xD} com notação f(D). Então para dois
conjuntos D e D’ quaisquer f(D D’) = f(D) f(D’).③ Defina a imagem de D sob f como {f(x);xD} com notação f(D). Então para dois
conjuntos D e D’ quaisquer , f(D D’) é um subconjunto de f(D) f(D’).④ Defina a imagem inversa de D sob f como {xdom(f);f(x) D} com notação
Então, tem-se
57) (ANPEC 2007) –
58) (ANPEC 2007) –
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GABARITO
1) (0) V, (1) F, (2) F, (3) V, (4) F2) 03) 84) 175) 26) 87) (0) V, (1) F, (2) V, (3) F, (4) F8)9) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F10) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V11) (0) F - (1) F - (2) V - (3) F12) 2013) (0) F - (1) V - (2) V14) (0) V - (1) F - (2) F15) (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F16) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F17) (0) F - (1) V - (2) V - (3) V
MATEMÁTICA
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18) (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V19) (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V20) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V21) (0) F, (1) F, (2) F, (3) V22) (0) F, (1) F, (2) F23) (0) V - (1) V - (2) F24) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F25) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V26) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F27) 4828) 2929) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F30) (0) F - (1) F - (2) V - (3) F31) (0) V - (1) F32) 0033) 0434) (0) F - (1) F - (2) V - (3) F35) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F36) 1037) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F38) (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V39) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V40) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F41) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F42) (0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F43) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F44) (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F45) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V46) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F47) (0) F - (1) V - (2) V - (3) V - (4) V48) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F49) (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V50) (0) F - (1) V - (2) V - (3) V - (4) F51) (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V52) (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V53) (0) V, (1) F, (2) F, (3) F, (4) F54) (0) V, (1) F, (2) F, (3) V, (4) F
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