wolken sind keine kugeln, berge keine kegel, küstenlinien keine kreise. die baumrinde ist nicht...

Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Baumrinde ist nicht glatt.

Definition: Eine Figur wird selbstähnlich genannt, wenn Teile der Figur kleine Kopien der ganzen Figur sind.

DefinitionFraktale

Wie lang ist die Küste Englands (Norwegens)?

Was sagt diese Zei-tungsmeldung aus?

Finde heraus, wie lang die beiden Küstenlinien sind.

Finde heraus, wie lang die gemeinsame Grenze zwischen Spanien und Portugal ist.

1.Englands KüsteFraktale

Maßstab Länge500 km 2600 km100 km 3800 km54 km 5770 km17 km 8640 km

Die Küste Englands

Fraktale 1.Englands Küste

Die Koch-Kurve erhält man, indem man, ausgehend von einer Strecke, das mittlere Drittel dieser Strecke entfernt und es durch zwei Schenkel eines gleichseitigen Dreiecks ersetzt. Mit den entstehenden Teilstrecken wird dieser Vor-gang unendlich oft wiederholt.

Fraktale 1. Die Kochsche Kurve

Die Iteration besteht nun darin,1. dass alle Linienstücke der Kurve in drei gleichlange Stücke unterteilt werden 2. auf dem jeweils mittleren Stück ein gleichseitiges Dreieck errichtet wird und 3. die Basis dieses Dreiecks (also das ursprüngliche Drittelstück) entfernt wird.

Fraktale 1. Die Kochsche Kurve

Mit Hilfe der Turtle-Grafik von LOGO lässt sich die Koch-Kurve einfach rekursiv programmieren.

Vorwärts – Links 60 – Vorwärts – Rechts 60 – Rechts 60 – Vorwärts – Links 60 – Vorwärts

Diese Befehle werden rekursiv aufgerufen.

to koch :stufe : laengeIfelse :stufe<0 [setpc 1+random 7 fd :laenge][~koch :stufe-1 :laenge/3 lt 60koch :stufe-1 :laenge/3 rt 60 rt 60koch :stufe-1 :laenge/3 lt 60koch :stufe-1 :laenge/3]end

1. Die Kochsche KurveFraktale

Mit Hilfe der Turtle-Grafik von LOGO läßt sich die Koch-Kurve einfach rekursiv programmieren.



Jetzt ohne IFELSE

to koch :stufe :laengeIf :stufe<0 [fd :laenge stop]

koch :stufe-1 :laenge/3 lt 60

koch :stufe-1 :laenge/3 rt 60 rt 60

koch :stufe-1 :laenge/3 lt 60

koch :stufe-1 :laenge/3end

1.2 Die Kochsche Kurve ohne IFELSEFraktale

Aufruf(Beispiel) : koch 3 500

Mit Hilfe der Turtle-Grafik von LOGO lässt sich die Koch-Kurve einfach rekursiv programmieren.



Jetzt ohne IFELSE

to koch :laengeif :laenge<0 [fd :laenge stop]

koch :laenge/3 lt 60

koch :laenge/3 rt 60 rt 60

koch :laenge/3 lt 60

koch :laenge/3end

1.3 Die Kochsche Kurve ohne IFELSE – Abbruch-

bedingung über die LängeFraktale

Die Entstehung der Kochschen Kurve kann mit Hilfe von gifsave als Animation dargestellt werden. (Abbruch über die Länge)

to koch :laengeif :laenge<10 [ fd :laenge (gifsave "koch.gif 0 :append 0) make

"append "true stop]koch :laenge/3 lt 60koch :laenge/3 rt 60 rt 60koch :laenge/3 lt 60koch :laenge/3end

1.4 Die Kochsche Kurve Animation mit GifsaveFraktale

to maincs setpensize[4 4]rt 90 pu bk 400 pd

setactivearea[-450 -10 450 300]make "append "false

koch 800end

Die Entstehung der Kochschen Kurve kann mit Hilfe von gifsave als Animation dargestellt werden.

1.5 Die Kochsche Kurve Animation mit GifsaveFraktale

Die Abbruchbedingung für die Fraktale kann einmal über die Länge der Strecken gesteuert werden, zum anderen ist es möglich, dafür die Iterationsstufe zu nehmen. Weiterhin sollen noch zwei anderen Versionen hinzugefügt werden. Die Strecken können mit Hilfe der random-Funktion und dem Befehl setpc unterschiedlich gefärbt werden und es ist möglich mit Hilfe von gifsave die Fraktale zu animieren. Diese Möglichkeiten sollen im Folgenden exemplarisch für alle möglichen fraktalen Kurven dargestellt werden.

Die verschiedenen Versionen der fraktalen Kurven

1. Steuerung über die Länge der Strecke

to Fraktal :laengeif :laenge<50 [fd :laenge stop]

Fraktal :laenge/3

… die rekursiven Aufrufe …..

end

Fraktale

Der Aufruf: Fraktal 600

ergibt die Darstellung der fraktalen Kurve bis die Länge weniger als 50 Pixel hat.


2. Steuerung über die Iterationsstufe

to Fraktal :stufe :laengeif :stufe<1 [fd :laenge stop]

Fraktal :stufe-1 :laenge/3


end

Fraktale

Der Aufruf: Fraktal 2 600

ergibt die Darstellung von 2 Iterationsstufen


3. Steuerung über die Iterationsstufe und unterschiedliche Farben der einzelnen Strecken

to Fraktal :stufe :laengeif :stufe<1 [setpc 1+random 7 fd :laenge stop]



end

Fraktale


ergibt die Darstellung von 2 Iterationsstufen mit unterschiedlichen Farben (hier sind es 8 Farben)


4. Steuerung über die Iterationsstufe und Animation der fraktalen Kurve (mit einer Farbe)

to Fraktal :stufe :laengeif :stufe<1 [fd :laenge (gifsave „Fraktal.gif 0 :append 0) make "append "true stop]



end

Fraktale


ergibt eine Animation über 5 Iterationsstufen. Im main-Pro-gramm müssen 2 Zeilen einge-fügt werden (Zeile 4 und 5)

(1) to main(2) cs setpensize[4 4](3) rt 90 pu bk 400 pd

(4) setactivearea[-450 -300 450 300](5) make "append "false

(6) Fraktal 5 600(7) end


5. Steuerung über die Länge und Animation der fraktalen Kurve (mit einer Farbe)

to Fraktal :laengeif :laenge<10 [fd :laenge (gifsave „Fraktal.gif 0 :append 0) make "append "true stop]

Fraktal :laenge/3


end

Fraktale


ergibt eine Animation über 5 Iterationsstufen. Im main-Pro-gramm müssen 2 Zeilen einge-fügt werden (Zeile 4 und 5)

(1) to main(2) cs setpensize[4 4](3) rt 90 pu bk 400 pd

(4) setactivearea[-450 -300 450 300](5) make "append "false

(6) Fraktal 600(7) end

Die Kreuzstichkurve stammt von T. Vicsek (Ungarn). Sie hat den nebenstehenden Generator und kann deshalb als koch-ähnlich angesehen werden. Bei der Drittelung ergeben sich hier 5 neue Teilstrecken

Fraktale 2. Die Kreuzstich Kurve

T. Vicsek

to kreuz :stufe :laenge if :stufe<1[setpc 1+random 7 fd :laenge]kreuz :stufe-1 :laenge/3 lt 90 kreuz :stufe-1 :laenge/3 rt 90 kreuz :stufe-1 :laenge/3 rt 90 kreuz :stufe-1 :laenge/3 lt 90 kreuz :stufe-1 :laenge/3end

Fraktale 2.1 Die Kreuzstich Kurve – Steuerung über die Iterationsstufe

to kreuz :laenge if :laenge<10[fd :laenge stop]kreuz :laenge/3 lt 90 kreuz :laenge/3 rt 90 kreuz :laenge/3 rt 90 kreuz :laenge/3 lt 90 kreuz :laenge/3end

Fraktale 2.2 Die Kreuzstich Kurve- Steuerung über die Länge

to kreuz :laenge if :laenge<10 [fd :laenge (gifsave „Fraktal.gif 0 :append 0) make "append "true stop]kreuz :laenge/3 lt 90 kreuz :laenge/3 rt 90 kreuz :laenge/3 rt 90 kreuz :laenge/3 lt 90 kreuz :laenge/3end

Fraktale 2.3 Die Kreuzstich Kurve- Animaton mit GifSave

to maincs setpensize[4 4]rt 90 pu bk 400 pdsetactivearea[-450 -10 450 300]make "append "falsekreuz 800end

to koch1 :laenge if :laenge<100[fd :laenge stop]koch1 :laenge/4 rt 60koch1 :laenge/4 lt 60 lt 60 koch1 :laenge/4 koch1 :laenge/4 rt 60 rt 60 koch1 :laenge/4 lt 60koch1 :laenge/4end

Fraktale 3.1 Kochähnliche Kurve – Steuerung über die Kurvenlänge

Ausgangselement ist wieder eine Strecke, die dieses Mal in 4 gleiche Teile geteilt wird. Die beiden Dreiecke sind gleichseitig. Dargestellt ist der 1. Iterationsschritt. Man erkennt 6 Teilstücke – also auch 6 rekursive Aufrufe.

to koch1Stufe :stufe :laenge if :stufe<1[FD :laenge stop]koch1Stufe :stufe-1 :laenge/4 rt 60koch1Stufe :stufe-1 :laenge/4 lt 60 lt 60 koch1Stufe :stufe-1 :laenge/4 koch1Stufe :stufe-1 :laenge/4 rt 60 rt 60 koch1Stufe :stufe-1 :laenge/4 lt 60koch1Stufe :stufe-1 :laenge/4end

Fraktale 3.2 Kochähnliche Kurve- Steuerung über Iterationsstufe

Iterationsstufe 3

to zwillingStufe :stufe :laenge if :stufe<1[ FD :laenge stop]lt 45zwillingStufe :stufe-1 :laenge*0.353553 rt 90zwillingStufe :stufe-1 :laenge*0.353553 zwillingStufe :stufe-1 :laenge*0.353553 lt 90 zwillingStufe :stufe-1 :laenge*0.353553 rt 45end

Fraktale4.1 Kochähnliche Kurve- die Zwillingskurve - Steuerung

über die Iterationsstufe

Ausgangselement - Iterationsstufe 1

to zwilling :laenge if :laenge<80[ FD :laenge stop]lt 45zwilling :laenge*0.353553 rt 90zwilling :laenge*0.353553 zwilling :laenge*0.353553 lt 90 zwilling :laenge*0.353553 rt 45end

Fraktale4.2 Kochähnliche Kurve- die Zwillingskurve - Steuerung

über die Länge

Iterationsstufe 4

to peano :stufe :laenge Ifelse :stufe<1[setpc 1+random 7 FD :laenge][peano :stufe-1 :laenge/3LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3]end

Fraktale5.1 Die Peano - Kurve – Ifelse – Abbruch über die

Iterationsstufe

to peano :stufe :laenge If :stufe<1[FD :laenge stop]peano :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peano :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peano :stufe-1 :laenge/3end

Fraktale5.2 Die Peano-Kurve

- Abbruch über die Iterationsstufe – mit If

to peanoGif :stufe :laenge If :stufe<1[setpc 1+random 7 FD :laenge (gifsave "Peano.gif 0 :append 0) make "append "true stop]peanoGif :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 LT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3 RT 90 peanoGif :stufe-1 :laenge/3end


- Animation – Abbruch über die Iterationsstufe

to maincs setpensize[4 4]rt 90 pu bk 400 pd

setactivearea[-450 -300 450 300]make "append "false

peanoGif 2 400end



Iterationsstufe 1



Iterationsstufe 2

Fraktale 5.5 Die Peano Kurve

Fraktale 5.6 Die Peano Kurve

Peano

to dragon :level :turn :size if :level<1 [setpc 1+random 7 fd :size stop]dragon :level-1 90 :sizert : turndragon :level-1 -90 :sizeend

Fraktale 6.1 Die Drachenkurve

to Kochinsel :stufe :laenge If :stufe<0 [ FD :laenge stop]kochinsel :stufe-1 :laenge/4 LT 90 kochinsel :stufe-1 :laenge/4 RT 90 kochinsel :stufe-1 :laenge/4 RT 90 kochinsel :stufe-1 :laenge/4kochinsel :stufe-1 :laenge/4 LT 90 kochinsel :stufe-1 :laenge/4 LT 90kochinsel :stufe-1 :laenge/4 RT 90kochinsel :stufe-1 :laenge/4end

Fraktale 7.1 Die Kochinsel Kurve

Fraktale 7.2 Die Kochinsel

Fraktale 7.2 Die Kochinsel

Nimmt man jetzt als erstes Element ein Quadrat und wendet auf jede der 4 Seiten den rekursiven Algorithmus an, so erhält man ähnlich wie bei der Kochschen Schneeflocke eine geschlossene Kurve.

to KochInsel :laenge :stuferepeat 4[KochIsland :laenge :stufe rt 90]end

to KochIsland :laenge :stufeIf :stufe<0 [fd :laenge stop]KochIsland :laenge/4 :stufe-1 Lt 90KochIsland :laenge/4 :stufe-1 Rt 90KochIsland :laenge/4 :stufe-1 Rt 90KochIsland :laenge/4 :stufe-1 KochIsland :laenge/4 :stufe-1 Lt 90KochIsland :laenge/4 :stufe-1 Lt 90KochIsland :laenge/4 :stufe-1 Rt 90KochIsland :laenge/4 :stufe-1end

to maincs setpensize[2 2]home pu bk 100 rt 90 bk 200 lt 90 pdKochInsel 300 3end

Fraktale

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3

7.2 Die Kochinsel

Fraktale

Mathematische Betrachtungen

Stufe Anzahl der Segmente

Länge eines Segments

Umfang Fläche

1 4 1 s 4 s A

2 32 ¼ s 8 s A

3 256 1/16 s 16 s A

n (8)n/2 (1/4)n-1*s (1/4)n-1*s A

7.2 Die Kochinsel

Ergebnis: Die Länge der Kurve ist unendlich, die eingeschlossene Fläche ist endlich und ändert sich nicht.

Fraktale 8.1 Der Sierpinski-Teppich

Das Ausgangselement ist wieder eine Strecke beliebiger Länge. Diese wird jetzt in drei gleiche Teile geteilt und, wie in der 1. Iterationsstufe gezeigt, im Sinne der Zahlenwerte durchlaufen. Dabei werden die Strecken 2, 3 und 4 zweimal gezeichnet.


to SierpinskiTeppich :stufe :laengeif :stufe<1[wait 0 fd :laenge stop]

SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 lt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 rt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 rt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 rt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 rt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 rt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 rt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3 lt 90SierpinskiTeppich :stufe-1 :laenge/3

end

to maincs setpensize[5 5]setpc[0 0 255]rt 45SierpinskiTeppich 1 500end



Stufe Seitenlänge Umfang Totale Fläche

Gelöschte Fläche

1 S 4s A 0

2 (1/3)*s 4s+(4/3)s=5.33s (8/9)*A (1/9)*A

3 (1/9)*s 4s+(4/3)s+8*(4/9)s =8.89s

(8/9)2*A A*[(1/9)+(8/81)]

4 (1/3)n-1*s 4s[1+(1/3)+8*(1/9)+82*(1/27)+..+8n-2 * (1/3)n-1]

(8/9)n-1*A A[(1/9)+8(1/9)2+ 82(1/9)3+..+8n-2 (1/9)n-

1]

Fraktale 9.1 Das sog. Kreuz-Fraktal

Ausgehend von einem Quadrat werden auf jeder der Quadratseiten Kreuze entsprechend der Abbildung errichtet.


to KreuzFraktal :stufe :laengeif :stufe<1[setpc 1+random 7 fd :laenge stop]KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 lt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 lt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 rt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 rt 90 KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 lt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 rt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 rt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 lt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 rt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 rt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 lt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 lt 90KreuzFraktal :stufe-1 :laenge/3 end

to maincs setpensize[5 5]setfc[10 10 10]fill

repeat 4[ KreuzFraktal 1 170 right 90]

end


Stufe 1Stufe 2

Stufe 3

Fraktale 10.1 Das H-Fraktal

to HFraktal :stufe :laengeif :stufe<1[ stop]

fd :laenge lt 90HFraktal :stufe-1 :laenge*(1/Sqrt 2)lt 90 fd 2*:laenge lt 90HFraktal :stufe-1 :laenge*(1/Sqrt 2)lt 90 fd :laenge

end

to maincs setpensize[4 4]rt 90HFraktal 8 200end


Stufe 2

Stufe 4

Stufe 6


Stufe 8

Stufe 10


to HFraktalGifSave :stufe :laengeif :stufe<1[ stop]

fd :laenge lt 90HFraktalGifSave :stufe-1 :laenge*(1/Sqrt 2)lt 90 setpc 1+random 7 fd 2*:laenge (gifsave "HFraktal.gif 0 :append 0) make "append "true lt 90HFraktalGifSave :stufe-1 :laenge*(1/Sqrt 2)lt 90 setpc 1+random 7 fd :laenge

end

to main

cs setpensize[4 4]rt 90setfc[10 10 10]fillsetactivearea[-500 -400 500 400]make "append "false

HFraktalGifSave 8 200end


Gif-Animation

Fraktale


Stufe Seitenlänge Anzahl der neuen Segmente

Totale Länge der H-Kurve

1 s 1 1 s

2 0.71 s 2 1.42 s

3 0.5 s 4 3.42 s

4 0.36 s 8 6.3 s

n (0.71)n-1*s 2n-1 0.710 s + 2(0.71)1 s + 4 (0.71)2 s+ 8(0.71)3 s + .. +

(2n-1)(0.71)n-1 s

10.6 Das H-Fraktal

Fraktale

Ausgehend vom Mittelpunkt wer-den in 3 Richtungen, die jeweils einen Winkel von 120o bilden, Strecken einer vorgegebenen Län-ge gezeichnet. Das Ende dieser Strecken ist wieder Ausgangs-punkt für die nächsten 3 Strecken, die jetzt aber die halbe Länge besitzen.

Das 3-Sterne-Fraktal

Fraktale

to dreistern :laenge :stufeif :stufe<0 [stop]

fd :laengedreistern :laenge/2 :stufe-1bk :laenge lt 120



end

to maincs setpensize[5 5] pddreistern 200 1end

Stufe 3


Fraktale

Stufe 5


Fraktale

Ausgehend vom Mittelpunkt werden in 5 Richtungen, die jeweils einen Winkel von 72o bilden, Strecken einer vorgegebenen Länge gezeich-net. Das Ende dieser Strecken ist wieder Ausgangspunkt für die nächsten 5 Strecken, die jetzt aber ein Drittel der Länge besitzen.


Fraktale

to fuenfstern :laenge :stufeif :stufe<0 [stop]

fd :laengefuenfstern :laenge/3 :stufe-1bk :laenge lt 72





end

to maincs setpensize[5 5] pdfuenfstern 200 1end

Stufe 3


Fraktale

Stufe 5


Fraktale

Stufe 1 und 2

Die Sierpinski-Kurve

to maincs pu lt 90 bk 300 pd setpensize[3 3]SierpinskiKurve 20 4end

to SierpinskiKurve :laenge :stufeIf :stufe<0 [stop]

SierpinskiKurve :laenge :stufe-1 rt 90SierpinskiKurve :laenge :stufe-1 lt 90

fd :laenge lt 90SierpinskiKurve :laenge :stufe-1 rt 90SierpinskiKurve :laenge :stufe-1

end

Fraktale

Stufe 3 und 4

Die Sierpinski-Kurve

Fraktale Die Hilbert-Kurve

to Hilbert1 :laenge :stufe :parIf :stufe<0 [stop]

lt :par*90hilbert1 :laenge :stufe-1 (0-:par)fd :laenge rt :par*90hilbert1 :laenge :stufe-1 :parfd :laengehilbert1 :laenge :stufe-1 :parrt :par*90 fd :laengehilbert1 :laenge :stufe-1 (0-:par)lt :par*90

end

to maincs setpensize[3 3]hilbert1 10 4 1end

Fraktale

Stufe 1

Die Hilbert-Kurve

Stufe 2

Stufe 3


Stufe 4

Fraktale Die Fraktal-Kurve (??)

Stufe 4

to maincs setpensize[3 3]pfla 80 3end

to pfla :laenge :stufeIf :stufe<0 [stop]

repeat 4[fd :laenge rt 180 pfla :laenge/2 :stufe-1 rt 180 fd :laenge wait 3 rt 90]end

Fraktale Die Fraktal-Kurve (??)

Stufe 1

Stufe 3

Stufe 2

Stufe 4

Fraktale Rekursive Dreiecke

to dreiecke1 :laenge :stufeIf :stufe<0 [stop]

rt 30 fd :laenge lt 60fd :laenge rt 30

dreiecke1 :laenge/2 :stufe-1lt 150 fd :laenge lt 60fd :laenge lt 150 lt 120rt 30 fd :laenge lt 60fd :laenge rt 30

dreiecke1 :laenge/2 :stufe-1lt 150 fd :laenge lt 60fd :laenge lt 150 lt 120rt 30 fd :laenge lt 60fd :laenge rt 30

dreiecke1 :laenge/2 :stufe-1lt 150 fd :laenge lt 60fd :laenge lt 150 lt 120end

to maincs setpensize[3 3]dreiecke1 150 4end

Fraktale Rekursive Dreiecke

Stufe 1

Stufe 3

Stufe 2

Stufe 4

Ausgangselement

Fraktale SternFraktal

to SternFraktal :laenge :stufeIf :stufe<0 [stop]

repeat 5[rt 54 fd :laenge rt 162 SternFraktal :laenge/3 :stufe-1 ~ lt 18 fd :laenge lt 126]end

to maincs setpensize[3 3]SternFraktal 150 3end

An die Ecken eines fünfstrahligen Sternes werden rekursiv wieder fünfstrahlige Sterne angefügt

Fraktale

Stufe 1

Stufe 3

Stufe 2

Ausgangselement

SternFraktal

Die Länge des Ausgangs-striches sei 1.Dann ist bei der 1. Stufe jede einzelne Länge 1/3.Bei der 2. Stufe ist jede einzelne Länge (1/3) *(1/3) = (1/3)2

Bei der 3. Stufe also:(1/3)3 Bei der n.- Stufe also:(1/3)n

Die Länge der Kochschen KurveFraktale

Die Anzahl der Seiten vervierfacht sich bei jedem Schritt, also:41, 42, 43, 4n

Damit ergibt sich für die gesamte Länge:

Dieser Ausdruck wächst mit zunehmendem n über alle Grenzen. Das bedeutet letztendlich, dass die Länge der Kochkurve unendlich ist.

Fraktale Die Länge der Kochschen Kurve

nnn

n 34

31

4U

Die Kochsche Schneeflocke entsteht, wenn nach dem Zeichnen der ersten Koch-Kurve eine Rechtsdrehung um 120 Grad erfolgt.

to flocke :size :stuferepeat 3[koch :size :stufe rt 120]end

Fraktale Die Kochsche Schneeflocke

Animation


Dreht man jetzt nicht nach rechts sondern nach links, so erhält man interessanterweise ein völlig anderes Fraktal.

to AntiSchneeflocke :laenge :stufelt 30repeat 3[koch :laenge :stufe lt 120]end

to maincs setpensize[3 3]home pu bk 100 rt 90 fd 200 lt 90 pd;;damit die ganze Graphik angezeigt wirdAntiSchneeflocke 600 3end

Fraktale Die Kochsche AntiSchneeflocke

to koch :laenge :stufeIf :stufe<0 [fd :laenge stop]

koch :laenge/3 :stufe-1 LT 60

koch :laenge/3 :stufe-1 RT 60 RT 60

koch :laenge/3 :stufe-1 LT 60

koch :laenge/3 :stufe-1end

Fraktale

Ausgangselement

Die Kochsche AntiSchneeflocke

Stufe 3Stufe 1

Fraktale


Stufe Seitenlänge Anzahl der neuen Segmente

Totale Länge der Kurve

Fläche

1 1s 3 3 s A

2 1/3 s 12 4 s A- 1/3 A

3 1/9 s 48 48/9 s = 5,33 s A-1/3 A – 4/27 A

4 1/27 s 192 64/9 s = 7,11 s A-1/3 A – 4/27 A – 48 (1/729) A

n (1/3)n-1*s (3)4)n-1 (3)(1/3)n-1 (4)n-1 s A- 1/3 A* (1+4/9+(4/9)2+

…+(4/9)n)

Die Kochsche AntiSchneeflocke

Der Umfang der Kochschen Schneeflocke

Wie in Folie 56 schon gezeigt wurde, ist die Länge der Kochschen Kurve:

Da die Kochsche Schneeflocke aus drei Stücken der Kochschen Kurve besteht, erhält man jetzt für die Länge des Umfangs:

Der Umfang hat natürlich auch hier einen unendlichen Wert, da gilt:


nnn

n 34

31

4U

nnn*

n 34

31

4U

333 nU

Der Umfang

n

n 3

43lim

Stufe 0: Das gleichseitige Dreieck habe die Seitenlänge 1. Damit erhält man für den Flächeninhalt:

Stufe 1: Hier werden die Flächeninhalte von drei Dreiecken addiert. Jeder Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist 1/9 des Flächeninhalts des Ausgangsdreiecks. Es ergibt sich also:

Fraktale Die Kochsche SchneeflockeDer Flächeninhalt

34

10 )(A

)()()( 09

1303

4

1

9

133

4

11 AAA

Die Flächeninhalte der Dreiecke, die hinzugefügt werden, ist jeweils 1/9 des Flächeninhalts der Dreiecke, die auf der Stufe zuvor hinzugefügt wurden. In der 2. Stufe werden 34 Dreiecke hinzugefügt. Für den Flächeninhalt ergibt sich also:

In der 3. Stufe werden 316 Dreiecke hinzugefügt, also:


)()()()( 09

1

9

1430

9

1302 AAAA

)()()()()( 09

1

9

1

9

14430

9

1

9

1430

9

1303 AAAAA

Für die n-te Stufe ergibt sich dann:

Mit Hilfe der vollständigen Induktion kann man zeigen:

Setzt man das Ergebnis in A(n) ein, so erhält man:


).....()()()(12

9

4

9

4

9

410

9

130

n

AAnA

9

41

9

41

9

4

9

4

9

41

12

n

n

.....

Setzt man das Ergebnis in A(n) ein, so erhält man:


)()()()()(

)()()()()(

05

80

5

30

5

9

41

099

130

9

499

41

09

130

9

41

9

41

09

130

AAAAA

AAAAnA

n

nn

Der Bruchterm hat einen Grenzwert, dieser lautet:

Damit ergibt sich insgesamt für A(n ):

Man hat es also bei der Kochschen-Schneeflocke mit einer endlichen Fläche zu tun, obwohl der Umfang einen unendlichen Wert annimmt.


51

4994

1n

n

lim

)0(5

8)( AnA

Nimmt man a als Länge des Ausgangsdreiecks, so erhält man für die gesamte Fläche in Abhängigkeit von der Seitenlänge des ersten Dreiecks

Dieses ist natürlich für einen bestimmten Zahlenwert a ein endlicher Wert.


22

5

32

5

83

4)( a

anA

BäumeDer Binärbaum – mit IFELSE

to Baum1 :laengeifelse :laenge<10 [stop][FD :laenge RT 45baum1 :laenge/2LT 90baum1 :laenge/2RT 45BK :laenge]end

to mainclearscreensetfc [0 0 0] fillsetpensize[4 4]penupBack 150pendownbaum1 200 end

BäumeDer Binärbaum – mit IF

to Baum1 :laengeif :laenge<10 [setpc 1+random 7 stop]FD :laenge RT 45baum1 :laenge/2LT 90baum1 :laenge/2RT 45BK :laengeend

to mainclearscreensetfc [0 0 0] fillsetpensize[4 4]baum1 200 end

Der Baum besteht aus einem Stamm mit der Länge :laenge, der an-schließend unter 45o nach rechts bzw. links durch zwei Zweige mit der Länge :laenge/2 fortgesetzt wird, an jeden Zweig schließen unter 45o wieder zwei Zweige an usw.

BäumeDer Binärbaum – mit IF

to Baum2 :laengeif :laenge>10 [setpc 1+random 7FD :laenge RT 30baum2 :laenge*0.8LT 90baum2 :laenge*0.6RT 60BK :laenge]end

Wenn man die Winkel bei der Rechtsdrehung verändert (die Summe muss 90o ergeben), erhält man einen leicht unsymmetrischen Baum. Zusätzlich kann man noch die Länge der linken bzw. rechten Äste mit einem unterschiedlichen Faktor verkleinern.

to mainclearscreensetfc [0 0 0] fillsetpensize[4 4]baum2 200 end

BäumeBaum mit vier Ästen

to Baum :laenge :stufeif :stufe<1[setpc 1+random 7 stop] lt 25 fd :laenge Baum .5*:laenge :stufe-1 bk :laenge rt 20 fd 0.6*:laenge Baum 0.6*:laenge :stufe-1 bk 0.6*:laengert 25 fd 0.5*:laenge Baum 0.6*:laenge :stufe-1 bk 0.5*:laengert 25 fd 0.5*:laengeBaum 0.6*:laenge :stufe-1 bk 0.5*:laenge lt 45end

BäumeDer verzweigte Baum

to baum :laengeifelse :laenge<15 [forward :laenge

back :laenge stop][setpc 1+random 7forward :laenge/3left 30 baum :laenge*2/3 right 30setpc 1+random 7forward :laenge/6right 25 baum :laenge/2 left 25setpc 1+random 7forward :laenge/3right 25 baum :laenge/2 left 25setpc 1+random 7forward :laenge/6back :laenge]end

BäumeDer verzweigte Baum – mit IF

to baum :laengeif :laenge<15 [stop]forward :laenge back :laengesetpc 1+random 7forward :laenge/3left 30 baum :laenge*2/3 right 30setpc 1+random 7forward :laenge/6right 25 baum :laenge/2 left 25setpc 1+random 7forward :laenge/3right 25 baum :laenge/2 left 25setpc 1+random 7forward :laenge/6back :laengeend

Die bekannten Pythagoras-Bäume gehen zurück auf den holländischen Ingenieur Bosmann. Er entwarf diese während des 2. Weltkrieges an dem Zeichenbrett, an dem er sonst seine U-Boot-Pläne zeichnete. Die Abbildung beruht auf der Figur des Pythagoras-Lehrsatzes. Die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks dienen als Verzweigung.

Der symmetrische Pythagoras Baum

Bäume

Man geht dazu aus von der Figur zum Satz von Pythagoras, also von einem rechtwinkeligen Dreieck, dessen Seiten jeweils die Basis eines nach außen zu gezeichneten Quadrates sind. Dann stellt man sich vor, dass die Kathetenquadrate wieder Hypotenusenquadrat einer weitern derartigen Figur sind usw.

BäumeDer symmetrische Pythagoras Baum

to pyth1 :laenge quadrat :laenge if :laenge<30 [RT 90 FD :laenge stop] setpc 1+random 7 wait 30 FD :laenge LT 45 pyth1 :laenge*Cos 45 pyth1 :laenge*Sin 45 RT 45 setpc 1+random 7 wait 30 FD :laenge LT 90end

BäumeDer symmetrische Pythagoras Baum

to pyth2 :laenge quadrat :laenge if :laenge<40 [RT 90 FD :laenge stop] setpc 1+random 7 wait 60 FD :laenge LT 30 pyth2 :laenge*Cos 30 pyth2 :laenge*Sin 30 RT 30 setpc 1+random 7 wait 60 FD :laenge LT 90end

BäumeDer unsymmetrische Pythagoras Baum

Bäume

Auch hier lassen sich viele nette Rech-nungen anstellen, wobei man sich aller-dings, um allzu komplizierte Ausdrücke zu vermeiden, auf den 45°-Fall be-schränken sollte. Hier erhält man bei-spielsweise als Gesamthöhe der Figur, die Gesamtflächen aller pro Stufe hinzu-kommenden Quadrate ist c2, die Umfän-ge der jeweils hinzukommenden neuen Figuren bilden eine geometrische Reihe mit dem Quotienten 2, daher hat die Figur insgesamt einen unendlichen Um-fang, zeichnet man die aufgesetzten Quadrate nur nach einer Seite, ist der Quotient 1/ 2 und die Reihe hat daher eine endliche Summe.

Der unsymmetrische Pythagoras Baum

to busch :laenge :stufeif :stufe=0 [stop]fd :laenge lt 40busch :laenge/3.5 :stufe-1 rt 55busch :laenge/2 :stufe-1 rt 50busch :laenge/2.5 :stufe-1 lt 65 bk :laengeend

Unsymmetrischer StrauchSträucher

Ein Strauch mit drei Verzweigungen erfordert natürlich auch drei Selbst-aufrufe des Programms. Verändert man dann noch die Winkel und die Längenverkürzung, so sieht der Baum schon aus wie ein Strauch.

to tree1 :size

if :size<5[fd :size back :size stop]fd :size/3left 30 tree1 :size*2/3 right 30

fd :size/6right 25 tree1 :size/2 left 25

fd :size/3right 25 tree1 :size/2 left 25

fd :size/6back :sizeend

Sträucher

to Farn :SizeIf :Size < 5 [Stop]Forward :Size / 20Left 80 Farn :Size * 0.3Right 82 Forward :Size / 20Right 80 Farn :Size * 0.3Left 78 Farn :Size * 0.9Left 2 Back :Size / 20Left 2 Back :Size / 20Endto GoNew SetPos [-50 -170] PenDown Farn 640End to NewCsSetSC[0 0 0] SetPC[0 255 0]PenUp HideTurtle End

Der Farn

Aufruf mit: go

Im Königsdreieck (alle Seiten sind gleich lang), das sich zwischen drei Pyramiden erstreckt, befinden sich irgendwo unter dem Staub der Jahrtausende der Eingang zur Grabkammer des Pharaos Tutramses. Schon viele Schatzsucher haben sich aufgemacht, das Grab zu finden und nach den kostbaren Grabbeigaben zu schürfen. Vergeblich!Der Fluch des Pharaos bewirkt, dass sich der Schatzsucher, sobald er sich im Königsdreieck befindet, nur geradlinig auf eine der Pyramidenspitze zu bewegen kann. Dabei schafft er jeweils genau die Hälft der Strecke bis zur nächsten Pyramide und muss eine Weile rasten, um dann von neuem irgendeine Pyramide anzusteuern. Gibt es Stellen im Königsdreieck, die ein Schatzsucher niemals erreichen kann, so dass der Eingang zur Grabkammer verborgen bleibt und der Pharao seine ewige Ruhe behalten wird?

Der Fluch des Pharaos (oder das Chaos-Spiel)

Fraktale

Die Regeln1. Wähle einen beliebigen Startpunkt P im Dreieck ABC2. Würfle oder ziehe aus einer Urne ein Los mit einer Zahl

zwischen 1 und 63. Verbinde den Punkt P mit der Ecke A, wenn eine 1 oder 2 gewürfelt wurde mit der Ecke B, wenn eine 3 oder 4 gewürfelt wurde mit der Ecke C, wenn eine 5 oder 6 gewürfelt wurde. Bestimme den Mittelpunkt M der Verbindungsstrecke.

Dies ist der neue Punkt P*.4. Gehe zu 2.

Das Chaos-SpielFraktale

Das MSWLogo-Programm

to maincssetpensize[2 2]hatChaosSpiel 0 0end

to ChaosSpiel :x :y make „z random 3 make „z :z+1 if :z=1 [PunktA] if :z=2 [PunktB] if :z=3 [PunktC] ChaosSpiel :x :yend

to PunktA make „x (:x-200)/2 make „y (:y+200)/2 pu setx :x sety :y pd fd 1 bk 1end

to PunktB make „x (:x+200)/2 make „y (:y+200)/2 pu setx :x sety :y pd fd 1 bk 1end

to PunktC make „x :x/2 make „y (:y-200)/2 pu setx :x sety :y pd fd 1 bk 1end

Fraktale Das Chaos-Spiel

Aufgaben

1. Führe das Programm aus. Um es zu stoppen, musst du den HALT-Button anklicken.

2. Die Koordinaten der Eckpunkte A(-200,200), B(200,200) und C(0,-200) sind vorgegeben. Verändere das Programm so, dass die Koordinaten der Punkte eingegeben werden können.

3. Was passiert, wenn man 4 Punkte benutzt? Schreibe das Programm um und teste es. Ergebnis?

Fraktale Das Chaos-Spiel

Das Sierpinski-DreieckFraktale

to sierpinski :stufe :laengeif :stufe=0 [repeat 3[fd :laenge rt 120]stop]sierpinski :stufe-1 :laenge/2 fd :laenge rt 120sierpinski :stufe-1 :laenge/2 fd :laenge rt 120sierpinski :stufe-1 :laenge/2 fd :laenge rt 120end

Das Sierpinski-Dreieck – mit IF

Fraktale

to sierpinski :laengeif :laenge<20 [repeat 3[fd :laenge rt 120]stop]sierpinski :laenge/2 fd :laenge rt 120sierpinski :laenge/2 fd :laenge rt 120sierpinski :laenge/2 fd :laenge rt 120end

Das Sierpinski-DreieckFraktaleto fill_itsetfc 9-:levelrt 30 pufd 0.6*:sizefill bk 0.6*:sizepd lt 30end

to maincssetpensize[3 3]pu bk 100rt 30 pdfor[level 1 4][start 500 :level wait 30]end

to start :size :levelif :level=0[stop]repeat 3[zeichne rt 120] fill_itend

to zeichnestart :size/2 :level-1fd :sizeend

to sierpinski :level :laengeif :level=0[repeat 3[fd :laenge rt 120]stop]sierpinski :level-1 :laenge/2 fd :laenge rt 120sierpinski :level-1 :laenge/2 fd :laenge rt 120sierpinski :level-1 :laenge/2 fd :laenge rt 120end

Aufruf: sierpinski 5 400


to sierpinski2 :laenge if :laenge<5 [stop] pu fd :laenge pd fd :laenge bk :laenge rt 90 fd :laenge bk :laenge lt 90 sierpinski2 :laenge/2 pu bk :laenge pd fd :laenge bk :laenge rt 90 fd :laenge bk :laenge lt 90 sierpinski2 :laenge/2 pu rt 90 fd :laenge lt 90 pd fd :laenge bk :laenge rt 90 fd :laenge bk :laenge lt 90 sierpinski2 :laenge/2 pu rt 90 bk :laenge lt 90 pd end

Aufruf: sierpinski2 200


Das folgende Beispiel zeigt, dass sich das Sierpinski-Dreieck auf unzählige Arten variieren lässt.


to sierpinski3 :laenge if :laenge<5 [stop] pu fd :laenge fd :laenge rt 90 pd fd :laenge bk :laenge rt 90 fd :laenge bk :laenge lt 90 sierpinski3 :laenge/2 pu lt 90 bk :laenge bk :laenge pd fd :laenge bk :laenge rt 90 fd :laenge bk :laenge lt 90 sierpinski3 :laenge/2 pu

rt 90 fd :laenge lt 90 pd fd :laenge bk :laenge rt 90 fd :laenge bk :laenge lt 90 sierpinski3 :laenge/2

pu rt 90 bk :laenge lt 90 pd end

Aufruf: sierpinski3 200


To Display :OrderSetPC[255 255 255]SetPos [-190 184] Label Sentence [Antenne Tree Level] :OrderEnd

To Go :OrderNew Init :Order Display :OrderHome Right 90 SetPC[255 255 0] PenDownTree :Order :SizeEnd

To Init :OrderMake "Size 150 Make "RootHalf 1/Sqrt 2End

To NewCsSetSC[0 0 0] SetPC[255 255 0] Setpensize[4 4] PenUp HideTurtle End

To Tree :Order :SizeIf :Order < 1 [Stop] Forward :Size Left 90 Tree :Order-1 :RootHalf*:SizeLeft 90 Forward 2*:Size Left 90Tree :Order-1 :RootHalf*:SizeLeft 90 Forward :SizeEnd

Aufruf: go 8

Der AntennenbaumFraktale

Der Cantor-StaubVersion 1

Fraktale

to Cantor :stufe :laenge Ifelse :stufe<0[setpc 1+random 7 FD :laenge][pd Cantor :stufe-1 :laenge/3Pufd :laenge/3PdCantor :stufe-1 :laenge/3]end


Fraktale

to CantorQuadrate :laenge :stufe if :stufe=0 [pd quadrat :laenge stop]repeat 4[pu fd :laenge rt 90 CantorQuadrate :laenge/3 :stufe-1]end

to quadrat :laengerepeat 4[fd :laenge rt 90]end


Fraktale

to cantor :level :laengeif :level=0[repeat 4[fd :laenge rt 90]stop]cantor :level-1 :laenge/3 fd :laenge rt 90cantor :level-1 :laenge/3 fd :laenge rt 90cantor :level-1 :laenge/3 fd :laenge rt 90cantor :level-1 :laenge/3 fd :laenge rt 90end


Fraktale

to CantorVersion4 :laenge :stufeIf :stufe<0 [stop]

repeat 4[CantorVersion4 :laenge/3 :stufe-1 fd :laenge wait 3 rt 90]end

to maincs setpensize[2 2]CantorVersion4 400 4end


Fraktale

Stufe 1

Stufe 3

Stufe 2

Stufe 4

Sierpinski-CarpetFraktale

to carpet :laenge :stufeif :stufe<1 [stop]repeat 4[shape rt 90]carpetfillend

to carpetfill pu rt 45 fd :laenge/2 setfc 7-:stufe fill bk :laenge/2 lt 45 pdend

to mainclearscreensetfc [10 10 10] fillsetpensize[5 5]pu bk 100 rt 90 bk 200 lt 90 pd setpc 0 pendownCarpet 500 3end

to shape carpet :laenge/3 :stufe-1 fd :laenge/3 carpet :laenge/3 :stufe-1 fd 2*:laenge/3end

Aufruf: carpet 400 3

Sierpinski-CarpetFraktale

Im Jahre 1891 veröffentlichte D. Hilbert in den M. Annalen eine Arbeit mit dem Titel Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück, in der er eine Kurve beschrieb, die durch jeden Punkt eines Quadrats geht.

Als Grundfigur verwendet man ein unten offenes Quadrat, das einmal als Rechtskurve und zum anderen als Linkskurve durchlaufen wird.

Die Hilbert-Kurve

Beim Zeichnen der Grund-figur wird jeweils in den Ecken, d.h. unmittelbar vor der Vorwärts-Anweisung, die Prozedur selbst aufge-rufen. Man kann sich vorstellen, dass die vier Ecken „aufgeblasen“ und durch die Grundfigur ersetzt werden.

Fraktale

Rekursive Konstruktion

1. Teile ein quadratisches Gebiet auf in 4 kongruente Teilquadrate

2. Finde eine raumfüllende Kurve für jedes Teilquadrat

3. Füge die Teilfiguren geeignet zusammen


to hilbert :size :level :vorzeichenIf :level=0[stop]lt 90*:vorzeichenhilbert :size :level-1 -:vorzeichenwait 5setpc 1+random 8fd :sizert 90*:vorzeichenhilbert :size :level-1 :vorzeichenwait 5

setpc 1+random 8fd :sizehilbert :size :level-1 :vorzeichenrt 90*:vorzeichenwait 5setpc 1+random 8fd :sizehilbert :size :level-1 -:vorzeichenlt 90*:vorzeichenend

Aufruf: hilbert 20 2 -1


Lindenmayer-Systeme

Das L-System (Lindenmayer-System) geht auf den Biologen Aristid Lindenmayer (1925-1989) zurück, der versuchte, mit Hilfe von formalen Syste-men und Grammatiken Wachs-tumsprozesse lebender Orga-nismen nachzubilden. Vor allem interessierten ihn Verzwei-gungsmechanismen bei Bäumen und Büschen.

Einführung

Lindenmayer-Systeme

Geboren am 17. November 1925 inBudapest

Gestorben am 30. Oktober 1989 in den Niederlanden

Universitätsabschluss in Chemie,danach emigriert in die USA

1968 ein grammatikalisches Modell zur Darstellung von Pflanzen entwickelt

Aristid Lindenmayer - Biographie

Lindenmayer-SystemeEinführung

Das L-System ist ein Er-setzungssystem. Ausgehend vom Startsymbol, dem Axiom, wird jedes Zeichen schrittweise nach festgelegten Regeln durch eine bestimmte Zeichenfolge ersetzt, die auch aus demsel-ben Zeichen bestehen kann. In jedem Iterationsschritt werden alle vorhandenen Regeln gleich-zeitig auf die schon vorhandene Zeichenkette angewendet.

Lindenmayer-Systeme

L-Systeme. Deterministische L-Systeme, bzw. nicht determi-

nistische oder stochastische L-Systeme. Stochastische L-System enthalten, wie der Name schon sagt, Zufallselemente, Deterministische nicht. Deter-ministische L-System be-zeichnet man mit einem “D”.

.Kontext freie bzw. Kontext sensitive L-Systeme. Bei Kontext sensitiven L-Systemen hängt die En-wicklung der einzelnen Elemente von ihren Nachbarn ab nicht so bei den Kontext freien. Je nach Größe des berücksichtigten Kon-textes werden die L-Systeme 1,2,3.. gekenn-zeichnet. 0 steht für Kontext freie.

Einführung

Lindenmayer-Systeme

Es sei V ein Alphabet (a1, a2, a3, ... an), V* die Menge aller möglichen Wörter aus V und V+ die Menge aller mög-lichen Wörter aus V ohne {}.

Ein 0L-System ist das geordnete Tripel [V,,P],in dem V das Alphabet V+ ein nichtleeres Wort genannt Axiom und P VxV+ eine endliche Menge an Produktionsregeln ist. Eine Produktionsregel (a,) P wird als a geschrie-ben. Der Buchstabe a und das Wort werden Vorgänger und Nachfolger genannt (amerikan. predecessor und successor).

Für jeden Buchstaben a existiert mindestens ein Wort V*, so dass a . Ist kein spezielles Wort für einen be-stimmten Vorgänger a V gegeben, so wird a a der Menge aller P hinzugefügt.

Einführung

Lindenmayer-Systeme

Ein Lindenmayer-Sytem besteht aus drei Arten von Regeln:.einer Startregel,.einer endlichen Menge von Hauptersetzungsregeln und.einer Abbruchregel.

Zur Erzeugung einer Zeichenfolge wird mit der Startregel begonnen, dann werden n-mal die Hauptersetzungsregeln angewendet; zum Schluss tritt die Abbruchregel in Aktion. Die Zahl n heißt Ordnung der erzeugten Zeichenfolge.

Einführung

Lindenmayer-Systeme

Die grundlegende Idee der grafischen Interpretation beruht auf einer Interpretation des Wortes durch eine Turtle.

Man beschreibt dies durch ein sog. Tripel (x,y,), wobei (x,y) die Position im Koordinatensystem darstellt und die Blickrichtung der Turtle.

F : Turtle bewegt sich um einen Schritt der Länge d und zieht dabei eine Linie.

+ : Turtle verändert die Blickrichtung um einen bestimmten Winkel nach rechts.

- : Turtle verändert die Blickrichtung um einen bestimmten Winkel nach links.

Einführung

Lindenmayer-Systeme

Mögliche Anwendungen

Einführung

Lindenmayer-Systeme stellen eine ausgesprochen effiziente Komprimierung von Pflanzen-Modellen dar. Durch den inhä-renten Nichtdeterminismus limitierter Lindenmayer-Systeme lassen sich fast beliebig viele verschiedene – jedoch einander ähnelnde – Pflanzen-Modelle aus einem System ableiten. Zudem erfordert die Berechnung eines statisch implemen-tierten Systems vergleichsweise wenig Aufwand. Es liegt also eine Anwendung nahe, in der große Pflanzenbestände gene-riert werden müssen. Zum Beispiel bei der Simulation eines Waldes in Computerspielen oder in Applikationen zur Land-schaftsplanung limitierte Lindenmayer-System zum Einsatz kommen, bei denen die Bäume in Echtzeit nur für den gerade sichtbaren Ausschnitt berechnet werden.

Aus einer Studienarbeit von Frank Böhmer (TU Braunschweig, 2002 Seite 10)

Lindenmayer-Systeme

Für das Wachstum sind Elemente aus zwei verschiedenen Bakterientypen verantwortlich, die sich durch ihre Größe sowie durch ihr Teilungsverhalten unterscheiden. Wir nennen sie A und B. Da beide Typen asymmetrisch aufgebaut sind, können sie in der Kette entweder nach links oder nach rechts orientiert sein. Es gibt daher vier unterschiedliche Elemente.

Die Bakterie Anabaena Catenula

Lindenmayer-Systeme

Das Alphabet V des L-Systems beschränkt sich auf vier Zeichen.


Eine nach rechts orientierte A-Baktereie teilt sich nach einer gewissen Zeit in eine nach rechts orientierte B-Bakterie und in eine nach links orientierte A-Bakterie und sowie auch spiegelverkehrt. Es ergibt sich folgende Produktionsregel:

Lindenmayer-Systeme

Für die B-Bakterien gelten folgende Produktionsregeln (p3 und p4):


Was jetzt noch fehlt ist eine Startbakterie. Wir erhalten damit:

Lindenmayer-Systeme

Vom Axiom ausgehend und die Produktionsregeln anwendend erhält man eine Sequenz von Zeichenketten, die die verscheidenen Wachstumsstadien von Anabanea Catenula entsprechen.


Lindenmayer-Systeme1. Beispiel

Das Alphabet besteht aus:V = {a,b}Das Axiom lautet: = aDie Produktionsregeln lauten:p1 : a bp2 : b ba

Damit ergibt sich für die Evolutionen:

g0 = ag1 = bg3 = bag4 = babg5 = babbag6 = babbababusw.



g0 = ag1 = bg3 = bag4 = babg5 = babbag6 = babbabab

usw.

Bestimmt man die Länge der jeweiligen Zeichenkette, so erhält man die Fibonacci-Folge

1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 -13 – 21 -34 – 55 – 89 - …..


Das Alphabet besteht aus:V = {F,+,+}Das Axiom lautet: = FDie Produktionsregeln lauten:p1 : F F - F + + F - Fp2 : + +p3 : - -


g0 = F

g1 = F - F + + F - F

usw.

Lindenmayer-SystemeBefehle der Turtle

Symbol Turtle-AktionF Gehe einen Schritt vor und zeichne eine Linie"+ Drehe nach links um den Winkel alpha"- Drehe nach rechts um den Winkel alpha

[Lege den aktuellen Zustand der Schildkröte auf einen Stack. Der Zustand beinhaltet Position und Richtung der Schildkröte

]Bewege die Schildkröte zum zuletzt abgespeicherten Zustand. Dabei wird keine Linie gezeichnet.

Lindenmayer-Systeme

Befehle der Turtle

X Eine Ecke ist Ausgangspunkt (x-Koordinate)

Y Eine Ecke ist Ausgangspunkt (y-Koordinate)

G Ebenfalls ein Generator, ähnlich wie F

f Vorwärtsbewegung ohne zu zeichnen

Z Zufallsfarbe

< Die Farbnummer wird um 1 verkleinert

> Die Farbnummer wird um 1 vergrößert

C Gefolgt von 000 bis 255 (gewählte Farbe)

Lindenmayer-SystemeErste einfache fraktale Kurven

Die Kochkurve

Axiom: F

Ersetzungsregel: F F+F - -F+F

Winkel: = 60o


Die Kochkurve

Axiom: F

Ersetzungsregel: F F+F- -F+F

Winkel: = 60o


Die Kochsche Schneeflocke

Axiom: F - - F - - F

Ersetzungsregel: F F+F- -F+F

Winkel: = 60o


Die Peano Kurve

Axiom: X

ErsetzungsregelX XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFXY YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFYWinkel: = 90o


Die Hilbert Kurve

Axiom: X

ErsetzungsregelX -YF+XFX+FY-Y +XF-YFY-FX+

Winkel: = 90o


Das Sierpinski Dreieck - 1.Version

Axiom: F-F-F

ErsetzungsregelF->F-F+F+F-F

Winkel: = 120o


Das Sierpinski Dreieck- 2.Version

Axiom: FXF + + FF + + FF

ErsetzungsregelFF FFX ++ FXF - - FXF - - FX ++

Winkel: = 60o


Das Sierpinski Dreieck

Axiom: FXF + + FF + + FF

ErsetzungsregelFF FFX ++ FXF - - FXF - - FX ++

Winkel: = 60o

Lindenmayer-SystemeSträucher und Bäume - zweidimensional

Ein einfacher Baum

Axiom: FErsetzungsregelF F[+F][-F]

Winkel: = 45o


Axiom: F

ErsetzungsregelF F[+F]F[-F]F

Winkel: = 25,7o

Strauch 1 Strauch 2Axiom: FErsetzungsregelF F[+F]F[-F][F]Winkel: = 20,0o

Strauch 3Axiom: FErsetzungsregelF FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]

Winkel: = 22,5o

Strauch 4Axiom: XErsetzungsregelX F[+X]F[-X]XF FF

Winkel: = 20,0o

Strauch 5Axiom: XErsetzungsregelX F[+X][-X]FXF FF

Winkel: = 25,7o

Strauch 6Axiom: XErsetzungsregelX F-[[X]+X]+F[+FX]-XF FFWinkel: = 22,5o


Axiom: F

ErsetzungsregelF F[+F]F[-F]F

Winkel: = 25,7o

Strauch 1


Axiom: F

ErsetzungsregelF F[++F-F]F[--F+F]F

Winkel: = 180/14o

Strauch


Axiom: F

ErsetzungsregelF FF+[+F-F-F]-[-F+F+F]Winkel: = 25o

Strauch


Axiom: F

ErsetzungsregelF F[++++++++ F++++++++F]F[-------- F--------F]-F

Winkel: = 1o

Strauch


Axiom: F

ErsetzungsregelF FF+[+F-F[-F]+F]-[-F+F[+F]-FF]

Winkel: = 25o

Strauch


Axiom: F

ErsetzungsregelF FF+[+F—F+F]-[-F+F-F]Winkel: = 26o

Strauch

Sträucher und Bäume – mit Mathematica

Lindenmayer-Systeme

n=3; ultraSchildkroete[ {"V"->"VV+[+V-V[-V]+V]-[-V+V[+V]-VV]"},"VZ",n,180/8, 1.,{0,0},{0,1},6,(16*10^n+5)/7];

Sträucher und Bäume – mit Mathematica

Lindenmayer-Systeme

n=4; ultraSchildkroete[{"V"->"VV+[+V--V+V]-[-V+V-V]"},"VZ",n,26, 1.,{0,0},{0,1},6,(8^n+1)/3];

Sträucher und Bäume – mit Mathematica auch dreidimensional

Lindenmayer-Systeme

pflanze1[n_]:= botanic3D[{"x"-> "vdddvxzuuurrrddvxzuurrddvxzuurrrvvzrrddv P2+v-vv-v++z-zz-z+GxzuurrdddvP2+v-vv-v++z-zz-z+G xzuuurrrddvP2+v-vv-v++z-zz-z+Gxzuurzz"}, "x",n,{12,45,15},1.,{0.,0.,0.}, {{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}];

pflanze1[2];

pflanze2[n_]:= botanic3D[{"x"-> "kkx-kxddrrblluuuurrbllddh+rrrr+ ixrblj-rr-ixddrbluurrukk (ddmuurddmuurddmuurddmuurddmuurddmuurddmuurddmuur) hhdlluurrbllddj++kxrblh-kkrrhhhh", "k"->"vvv","h"->"zzz","i"->"vvvv","j"->"zzzz", "m"->"P5-v+v+v++++v+v+v+++++G", "b"->"dP2-vv+vvv+vv++++vv+vvv+vv+++++Gu"}, "x",n,{25,45,30},1.,{0.,0.,0.}, {{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}]; pflanze2[4];

Lindenmayer-SystemeSträucher und Bäume – mit Mathematica auch dreidimensional


Lindenmayer-Systeme

pflanze2[4];

pflanze3[4];

pflanze3[n_]:= botanic3D[{"x"-> "-kxddrrblluuuurrbllddh+rrr-ixddrbluuuurrbllddj+rrr -ixddrbluuuurrbllddj+kkxrr (ddmuurrddmuurrddmuurrddmuurrrdmurrdmurrdmurrdmur) llrrhh", "k"->"vvv","h"->"zzz","i"->"vvvv","j"->"zzzz", "m"->"P3-v+v+v++++v+v+v+++++G", "b"->"dP1-vv+vvv+vv++++vv+vvv+vv+++++Gu"}, "x",n,{25,45,30},1.,{0.,0.,0.}, {{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}];


Lindenmayer-Systeme

pflanze3[4];

Lindenmayer-SystemeSträucher und Bäume – mit Mathematica auch dreidimensional

rose[2];

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rose[2];


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Kommerzielle Programme – Xfrog 3.5

Seite für XFrog3.5http://www.xfrogdownloads.com/greenwebNew/products/xfrogSubStart.htm

Startseite von Greenworkshttp://www.xfrogdownloads.com/greenwebNew/products/productsSubStart.htm

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Aufgaben

wolken sind keine kugeln, berge keine kegel, küstenlinien keine kreise. die baumrinde ist nicht...

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