01 07 rosseti-steiner.ps

7/27/2019 01 07 Rosseti-Steiner.ps

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N e w B e n c h m a r k I n s t a n c e s f o r t h e S t e i n e r P r o b l e m i n G r a p h s

I s a b e l R o s s e t i

M a r c u s P o g g i d e A r a g ~ a o

C e l s o C . R i b e i r o

E d u a r d o U c h o a

R e n a t o F . W e r n e c k

f r o s s e t i , p o g g i , c e l s o , u c h o a , r w e r n e c k g @ i n f . p u c - r i o . b r

P U C - R i o I n f . M C C 0 7 / 0 1 A p r i l , 2 0 0 1

A b s t r a c t

I n t h i s w o r k , 5 0 S t e i n e r p r o b l e m s i n g r a p h s ' s i n s t a n c e s a r e p r o p o s e d . T h e y a r e b a s e d o n

o t i m i z a t i o n p r o b l e m s a s s e t c o v e r i n g a n d c o d e c o v e r i n g . T h e s e i n s t a n c e s a r e i n t e r e s t i n g b e c a u s e ,

i n m o s t o f t h e m , a g o o d g a p b e t w e e n l i n e a r r e l a x a t i o n a n d p r i m a l s o l u t i o n w a s o b t a i n e d .

K e y w o r d s

S t e i n e r P r o b l e m s ' s I n s t a n c e s ; S t e i n e r P r o b l e m s i n G r a p h s ; S e t C o v e r i n g P r o b l e m s ; C o d e C o v -

e r i n g P r o b l e m s .

R e s u m o

N e s s e t r a b a l h o , s ~ a o p r o p o s t a s 5 0 i n s t ^ a n c i a s p a r a o p r o b l e m a d e S t e i n e r e m g r a f o s . E l a s s ~ a o

b a s e a d a s e m o u t r o s p r o b l e m a s d e o t i m i z a c ~a o c o m b i n a t o r i a , a s a b e r : p r o b l e m a d e r e c o b r i m e n t o

d e c o d i g o e p r o b l e m a d e r e c o b r i m e n t o d e c o n j u n t o s . E s s a s i n s t ^ a n c i a s s ~ a o i n t e r e s s a n t e s p o r q u e ,

n a g r a n d e m a i o r i a d e l a s , f o i o b t i d o u m b o m g a p e n t r e a s o l u c ~a o p r i m a l e a r e l a x a c ~a o l i n e a r .

P a l a v r a s - c h a v e

I n s t ^ a n c i a s p a r a o P r o b l e m a d e S t e i n e r e m G r a f o s ; P r o b l e m a d e S t e i n e r e m G r a f o s ; P r o b l e m a

d e R e c o b r i m e n t o d e C o n j u n t o s ; P r o b l e m a d e R e c o b r i m e n t o d e C o d i g o .


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1 I n t r o d u c t i o n

L e t G = ( V ; E ) b e a c o n n e c t e d u n d i r e c t e d g r a p h , w h e r e V i s t h e s e t o f n o d e s a n d E d e n o t e s

t h e s e t o f e d g e s . G i v e n a n o n - n e g a t i v e w e i g h t f u n c t i o n w : E ! R

+

a s s o c i a t e d w i t h i t s e d g e s

a n d a s u b s e t X V o f t e r m i n a l n o d e s , t h e S t e i n e r p r o b l e m i n g r a p h s ( S P G ) c o n s i s t s i n n d i n g

a m i n i m u m w e i g h t e d c o n n e c t e d s u b t r e e o f G s p a n n i n g a l l t e r m i n a l n o d e s i n X . T h e s o l u t i o n

o f S P G i s a S t e i n e r m i n i m u m t r e e . T h i s i s o n e o f t h e m o s t w i d e l y s t u d i e d N P - h a r d p r o b l e m s ,

w i t h m a n y a p p l i c a t i o n s .

T h r e e s e t s o f b e n c h m a r k i n s t a n c e s a r e c o m m o n l y u s e d i n t h e l i t e r a t u r e t o a s s e s s t h e p e r f o r -

m a n c e o f a l g o r i t h m s f o r t h e S P G : i n s t a n c e s f r o m t h e O R - L i b r a r y 2 ] , t h e \ i n c i d e n c e " i n s t a n c e s

o f 3 , 4 ] , a n d t h e V L S I i n s t a n c e s f r o m 8 ] , a l l o f w h i c h a r e a v a i l a b l e f r o m t h e S t e i n L i b 1 9 ] .

H o w e v e r , w e b e l i e v e t h a t t h e s e i n s t a n c e s a r e r a p i d l y b e c o m i n g i n a d e q u a t e f o r b e n c h m a r k i n g ,

f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s :

T h e y h a v e a l r e a d y b e e n s o l v e d t o o p t i m a l i t y , w i t h t h e e x c e p t i o n o f a f e w o f t h e l a r g e r

i n c i d e n c e i n s t a n c e s 3 , 8 , 9 , 1 3 , 1 4 , 1 8 ] . I n f a c t , o p t i m a l i t y c a n b e p r o v e n w i t h i n s e c o n d s

i n m o s t c a s e s . T h e y a r e n o t c h a l l e n g i n g e n o u g h t o s t i m u l a t e f u r t h e r d e v e l o p m e n t o f e x a c t

a l g o r i t h m s .

M e t a h e u r i s t i c s c a n e a s i l y n d o p t i m a l s o l u t i o n s t o a l a r g e p o r t i o n o f t h e s e i n s t a n c e s 1 ,

4 , 5 , 6 , 1 0 , 1 5 , 1 6 ] . I t i s b e c o m i n g i n c r e a s i n g l y h a r d t o c o m p a r e d i e r e n t m e t a h e u r i s -

t i c s p r o p e r l y . D e c i d i n g a m o n g d i e r e n t v a r i a n t s , p a r a m e t e r v a l u e s , a n d i m p l e m e n t a t i o n

c h o i c e s i s a l s o d i c u l t , s i n c e t h e y o f t e n l e a d t o q u i t e s i m i l a r s o l u t i o n s , w h i c h a r e f r e -

q u e n t l y o p t i m a l .

T h i s p a p e r p r o p o s e s t h r e e n e w s e r i e s o f b e n c h m a r k i n s t a n c e s t h a t w i l l h o p e f u l l y l e a d t o

a b e t t e r a s s e s s m e n t o f e x a c t a n d a p p r o x i m a t e a l g o r i t h m s f o r t h e S P G . E v e n t h o u g h s o m e o f

t h e m a r e s o m e w h a t a r t i c i a l , w e b e l i e v e t h e y c a n p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e d e v e l o p m e n t o f

a l g o r i t h m s w h o s e u l t i m a t e g o a l i s s o l v i n g r e a l - w o r l d i n s t a n c e s . A l g o r i t h m s t h a t c a n c o p e w i t h

a v a r i e t y o f a r t i c i a l l y h a r d i n s t a n c e s t e n d t o b e v e r y r o b u s t .

O u r r s t g o a l w a s t o d e s i g n i n s t a n c e s h a r d t o b e s o l v e d e x a c t l y . C u r r e n t s t a t e - o f - t h e - a r t

e x a c t a l g o r i t h m s a r e b a s e d o n l i n e a r p r o g r a m m i n g f o r m u l a t i o n s t h a t y i e l d v e r y t i g h t b o u n d s

f o r m o s t c u r r e n t b e n c h m a r k i n s t a n c e s . T h e y c a n s o l v e s e v e r a l o f t h e s e i n s t a n c e s t o o p t i m a l i t y

w i t h o u t b r a n c h i n g . E v e n w h e n b r a n c h i n g i s n e c e s s a r y , i t i s o f t e n p o s s i b l e t o r e d u c e t h e p r o b l e m

s i z e s i g n i c a n t l y u s i n g r e d u c t i o n t e s t s a n d x a t i o n b y r e d u c e d c o s t s . F o r t h i s r e a s o n , w e t r i e d

t o c r e a t e i n s t a n c e s w i t h l a r g e d u a l i t y g a p s . T o m a k e t h e m e v e n h a r d e r , w e i n t r o d u c e d v a r i o u s

d e g r e e s o f s y m m e t r y , b o t h i n t h e s t r u c t u r e o f t h e u n d e r l y i n g g r a p h s a n d i n t e r m i n a l p l a c e m e n t .

I n p r a c t i c e , s y m m e t r y i n c r e a s e s t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e s e a r c h t r e e s o f b r a n c h - a n d - b o u n d

a l g o r i t h m s . L P - b a s e d l o w e r b o u n d s t e n d t o i m p r o v e v e r y s l o w l y a s b r a n c h e s a r e p e r f o r m e d .

W e a l s o a i m e d a t d e s i g n i n g i n s t a n c e s t o c h a l l e n g e m e t a h e u r i s t i c s . F o r e a c h i n s t a n c e o r i g -

i n a l l y c r e a t e d , w e g e n e r a t e d a n o t h e r o n e w i t h t h e s a m e s t r u c t u r e , b u t w i t h p e r t u r b e d e d g e

w e i g h t s . S i n c e t h i s r e s u l t s i n i n s t a n c e s w i t h a m u c h s m a l l e r n u m b e r o f o p t i m a l s o l u t i o n s ,

n d i n g o n e o f t h e m b y u s u a l h e u r i s t i c s e a r c h m e t h o d s t e n d s t o b e h a r d e r .

W e n o t e t h a t t h e 5 0 i n s t a n c e s p r o p o s e d h e r e a r e r e a s o n a b l y s m a l l . T h e n u m b e r o f n o d e s

i n e a c h g r a p h r a n g e s f r o m 6 4 t o 4 0 9 6 , w h i l e t h e n u m b e r o f e d g e s r a n g e s f r o m 1 2 8 t o 2 8 5 1 2 .

T h e r e f o r e , a l t h o u g h m u c h h a r d e r , o u r i n s t a n c e s a r e n o b i g g e r t h a n t h o s e c u r r e n t l y i n u s e . T h r e e

1


3/7

c l a s s e s o f i n s t a n c e s a r e d e s c r i b e d i n t h e n e x t s e c t i o n . S e c t i o n 3 p r e s e n t s s o m e c o m p u t a t i o n a l

r e s u l t s a n d c o n c l u d i n g r e m a r k s .

2 D e s c r i p t i o n

2 . 1 H y p e r c u b e s ( h c )

G r a p h s i n t h i s s e r i e s a r e d - d i m e n s i o n a l h y p e r c u b e s , w i t h d 2 f 6 ; : : : ; 1 2 g . F o r e a c h v a l u e o f

d , t h e c o r r e s p o n d i n g g r a p h h a s 2

d

n o d e s a n d d 2

d 1

e d g e s . T h e s e g r a p h s a r e b i p a r t i t e , a n d

b o t h p a r t i t i o n s u b s e t s h a v e t h e s a m e c a r d i n a l i t y . T h e v e r t i c e s i n o n e o f s u c h s u b s e t s b e c o m e

t e r m i n a l s ( j X j = 2

d 1

) . E d g e w e i g h t s i n t h e o r i g i n a l l y c r e a t e d i n s t a n c e s a r e u n i t a r y . T h e

p e r t u r b e d i n s t a n c e s h a v e i n t e g e r e d g e w e i g h t s r a n d o m l y c h o s e n f r o m a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n i n

t h e i n t e r v a l 1 0 0 ; 1 1 0 ] . T h e s e i n s t a n c e s s e e m t o b e e x t r e m e l y d i c u l t f o r e x i s t i n g a l g o r i t h m s .

F o r e x a m p l e , u s i n g t h e b r a n c h - a n d - a s c e n t a l g o r i t h m i n 1 3 ] , w e c o u l d n o t s o l v e t o o p t i m a l i t y t h e

i n s t a n c e s w i t h m o r e t h a n 1 2 8 n o d e s . D u a l i t y g a p s a r e l a r g e a n d s y m m e t r y m a k e s t r a d i t i o n a l

b r a n c h i n g s c h e m e s m u c h l e s s e e c t i v e .

T h e n a m i n g c o n v e n t i o n i s h c d u j p ] , w h e r e u s t a n d s f o r \ u n p e r t u r b e d " a n d p f o r \ p e r t u r b e d " .

F o r e x a m p l e , h c 8 u c o r r e s p o n d s t o a n 8 - d i m e n s i o n a l h y p e r c u b e w i t h u n p e r t u r b e d w e i g h t s .

2 . 2 C o d e c o v e r i n g ( c c )

L e t V

n

q

b e t h e s e t o f a l l n - d i m e n s i o n a l v e c t o r s w h o s e c o m p o n e n t s a r e i n t e g e r s i n t h e i n t e r v a l

0 ; q 1 ] . T h e C o d e C o v e r i n g P r o b l e m ( C C P ) i s d e n e d a s f o l l o w s : g i v e n V

n

q

a n d a p o s i t i v e

i n t e g e r r , n d a m i n i m u m c a r d i n a l i t y s u b s e t C o f V

n

q

s u c h t h a t t h e r e e x i s t s a v e c t o r x 2 C w i t h

d ( x ; y ) r f o r a l l y 2 V

n

q

( w h e r e d d e n o t e s t h e H a m m i n g d i s t a n c e ) . T h i s N P - h a r d p r o b l e m 7 ]

i s e q u i v a l e n t t o n d i n g a m i n i m u m d o m i n a t i n g s e t i n a g r a p h G = ( V

n

q

; E ) , w h e r e ( x ; y ) 2 E

w h e n e v e r d ( x ; y ) r

W e c r e a t e d i n s t a n c e s f o r t h e S P G u s i n g 1 3 o f s u c h g r a p h s a n d t a k i n g a s t h e s e t o f t e r m i n a l s

a s o l u t i o n ( i . e . , a d o m i n a t i n g s e t ) h e u r i s t i c a l l y o b t a i n e d b y t h e a l g o r i t h m i n 1 2 ] . E d g e s h a v e

i n c i d e n c e w e i g h t s s o a s t o m a k e p r e p r o c e s s i n g i n e e c t i v e 3 , 4 ] . I n t h e u n p e r t u r b e d c a s e , a n

e d g e h a s w e i g h t 1 i f i t c o n n e c t s n o n - t e r m i n a l s , 2 i f i t i s i n c i d e n t t o a s i n g l e t e r m i n a l , a n d 3

i f i t c o n n e c t s t w o t e r m i n a l s . T h e p e r t u r b e d c a s e f o l l o w s t h e s a m e p r i n c i p l e , b u t w i t h w e i g h t s

u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n t h e i n t e r v a l s 1 0 0 ; 1 1 0 ] , 2 0 0 ; 2 1 0 ] , o r 3 0 0 ; 3 1 0 ] , d e p e n d i n g o n t h e

n u m b e r o f t e r m i n a l s i n c i d e n t t o a n e d g e . A l t h o u g h t h e s e i n s t a n c e s d o c h a l l e n g e c u r r e n t e x a c t

a l g o r i t h m s , t h e y a r e n o t a s h a r d a s t h e h c i n s t a n c e s . T h e g r a p h s i n t h i s c a s e a r e s t i l l v e r y

s y m m e t r i c , b u t t e r m i n a l p l a c e m e n t i s n o t .

T h e n a m i n g c o n v e n t i o n i s c c n - q u j p ] ( t h e v a l u e o f r i s o m i t t e d b e c a u s e w e h a v e u s e d o n l y

r = 1 ) . F o r e x a m p l e , c c 3 - 4 p c o r r e s p o n d s t o a p e r t u r b e d p r o b l e m d e r i v e d f r o m a C C P i n s t a n c e

w i t h q = 3 a n d n = 4 ( a n d r = 1 ) .

2 . 3 B i p a r t i t e g r a p h s ( b i p )

T h i s s e r i e s c o n t a i n s t e n i n s t a n c e s d e n e d o n i r r e g u l a r b i p a r t i t e g r a p h s , w i t h o n e o f t h e p a r t i t i o n

s u b s e t s a c t i n g a s t h e s e t o f t e r m i n a l s . T h e s e g r a p h s a r e d e r i v e d f r o m r a n d o m i n s t a n c e s o f t h e

2


4/7

S e t C o v e r i n g P r o b l e m ( S C P ) f r o m t h e O R - L i b r a r y . G i v e n a n i n s t a n c e I w i t h m r o w s a n d n

c o l u m n s o f S C P , w e b u i l d a n i n s t a n c e I

0

f o r t h e S P G a s f o l l o w s . T h e r e i s a t e r m i n a l i n I

0

a s s o c i a t e d w i t h e a c h r o w i i n I . S i m i l a r l y , e a c h n o n - t e r m i n a l n o d e i n I

0

i s a s s o c i a t e d w i t h a

c o l u m n j i n I . W h e n e v e r r o w i c o v e r s c o l u m n j , t h e r e i s a n e d g e l i n k i n g t e r m i n a l i t o t h e

n o n - t e r m i n a l n o d e j i n I

0

. T h e r e s u l t i n g g r a p h h a s m + n v e r t i c e s , m t e r m i n a l s , a n d a s m a n y

e d g e s a s n o n z e r o e n t r i e s i n t h e c o e c i e n t m a t r i x o f t h e S C P i n s t a n c e I . E d g e w e i g h t s a r e

u n i t a r y i n t h e u n p e r t u r b e d c a s e a n d u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n t h e i n t e r v a l 1 0 0 ; 1 1 0 ] f o r t h e

i n s t a n c e s w i t h p e r t u r b a t i o n s .

T h e n a m i n g c o n v e n t i o n i s b i p I u j p ] , w h e r e I i s t h e n a m e o f t h e S C P i n s t a n c e . F o r e x a m p l e ,

b i p e 2 u i s t h e S P G i n s t a n c e w i t h u n p e r t u r b e d w e i g h t s a s s o c i a t e d w i t h i n s t a n c e s c p e 2 o f t h e

O R - L i b r a r y .

O u r m o t i v a t i o n i n c r e a t i n g t h i s s e r i e s w a s t o h a v e i n s t a n c e s w i t h a c e r t a i n s t r u c t u r e ( b i -

p a r t i t e ) , b u t w i t h o u t t h e a r t i c i a l s y m m e t r y f o u n d i n t h e p r e v i o u s t w o c l a s s e s . U s i n g S C P

i n s t a n c e s i s n o b e t t e r o r w o r s e t h a n g e n e r a t i n g r a n d o m b i p a r t i t e g r a p h s f r o m s c r a t c h , b u t t h e

O R - L i b r a r y i n s t a n c e s d o h a v e t h e a d v a n t a g e o f a l r e a d y b e i n g p u b l i c l y a v a i l a b l e .

3 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s s o m e p r e l i m i n a r y r e s u l t s o n t h e n e w i n s t a n c e s p r o p o s e d . W e h a v e c o n -

d u c t e d s o m e e x p e r i m e n t s t o d e t e r m i n e i f t h e y a r e i n d e e d h a r d t o b e s o l v e d .

T a b l e s 1 t o 3 p r e s e n t t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r e a c h o f t h e n e w c l a s s e s o f i n s t a n c e s ( w i t h -

o u t p r e p r o c e s s i n g , w h o s e e e c t i v e n e s s i s n e g l i g i b l e f o r t h e s e i n s t a n c e s ) . F o r e a c h i n s t a n c e , w e

r s t r e p o r t i t s d i m e n s i o n s . N e x t , w e g i v e t h e w e i g h t s o f t h e s o l u t i o n s f o u n d b y v e d i e r e n t

h e u r i s t i c s : ( S P H ) s h o r t e s t - p a t h h e u r i s t i c 1 7 ] , ( H G P ) h y b r i d G R A S P w i t h p e r t u r b a t i o n s 1 6 ] ,

( H G P - P R ) h y b r i d G R A S P w i t h p e r t u r b a t i o n s a n d a d a p t i v e p a t h - r e l i n k i n g 1 6 ] , ( R T S ) r e a c t i v e

t a b u s e a r c h 1 ] , a n d ( R T S - P R ) r e a c t i v e t a b u s e a r c h w i t h p a t h - r e l i n k i n g 1 ] . T h e s e i m p l e m e n -

t a t i o n s o f m e t a h e u r i s t i c s w e r e s e l e c t e d o n l y b e c a u s e t h e y w e r e r e a d i l y a v a i l a b l e t o u s . T h e

s h o r t e s t - p a t h h e u r i s t i c i s i n c l u d e d i n t h i s s t u d y o n l y t o i n d i c a t e t o t h e r e a d e r h o w a s i m p l e

a n d f a s t a p p r o x i m a t e a l g o r i t h m p e r f o r m s f o r t h e s e i n s t a n c e s .

W e n o w c o m m e n t o n t h e r e l a t i v e e e c t i v e n e s s o f t h e s e h e u r i s t i c s w h e n a p p l i e d t o t h e n e w

c l a s s e s o f i n s t a n c e s . W e s t r e s s t h a t o u r g o a l h e r e i s n o t t o t r y t o e s t a b l i s h t h e s u p e r i o r i t y o f

o n e h e u r i s t i c o v e r t h e o t h e r s . I n s t e a d , w e w a n t t o s h o w t h a t t h e n e w i n s t a n c e s p r o v i d e a t e s t

b e d o n w h i c h i n s i g h t f u l c o n c l u s i o n s c a n b e e a s i l y d r a w n , w h i c h i s n o t a l w a y s t h e c a s e f o r t h e

i n s t a n c e s c u r r e n t l y a v a i l a b l e i n t h e l i t e r a t u r e .

R e s u l t s i n i t a l i c s e m p h a s i z e t h e b e s t s o l u t i o n v a l u e a m o n g t h o s e o b t a i n e d b y t h e v e h e u r i s -

t i c s . H G P - P R i s c l e a r l y t h e h e u r i s t i c w i t h t h e b e s t p e r f o r m a n c e , n d i n g t h e b e s t s o l u t i o n f o r a l l

b u t t h r e e i n s t a n c e s . C o m p a r i n g t h e i m p l e m e n t a t i o n s o f m e t a h e u r i s t i c s w h i c h d o n o t m a k e u s e

o f p a t h - r e l i n k i n g , H G P i s n e v e r l e s s e e c t i v e t h a n R T S f o r t h e u n p e r t u r b e d i n s t a n c e s , w h i c h

i n d i c a t e s t h a t i t i s m o r e s u i t e d t o i n s t a n c e s w i t h m a n y g l o b a l o p t i m a . O n t h e o t h e r h a n d , R T S

p e r f o r m s b e t t e r t h a n H G P f o r m o s t p e r t u r b e d i n s t a n c e s .

W e a l s o g i v e i n t h e s e t a b l e s t h e l i n e a r p r o g r a m m i n g l o w e r b o u n d ( L P ) , t h e b e s t u p p e r b o u n d

w e c o u l d n d ( G H L S 3 ) , a n d a n e s t i m a t e o f t h e d u a l i t y g a p g i v e n b y t h e p e r c e n t u a l d i e r e n c e

b e t w e e n t h e s e v a l u e s ( g a p ) . T h e u p p e r b o u n d w a s o b t a i n e d w i t h t h e G H L S 3 v a r i a n t 1 1 ] o f

t h e h y b r i d G R A S P w i t h p e r t u r b a t i o n s a n d a d a p t i v e p a t h - r e l i n k i n g ( H G P - P R ) . G H L S 3 u s e s a

3


5/7

m o r e p o w e r f u l l o c a l s e a r c h b a s e d o n k e y - n o d e s a n d a l a r g e r p o o l o f e l i t e s o l u t i o n s . R e s u l t s i n

b o l d f a c e w h e r e p r o v e d t o b e o p t i m a l s o l u t i o n s b y t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n 1 3 ] .

I n s t a n c e V E X S P H H G P H G P - P R R T S R T S - P R L P G H L S 3 g a p ( % )

h c 6 u 6 4 1 9 2 3 2 4 1 3 9 3 9 3 9 3 9 3 7 . 1 3 9 2 . 6 3

h c 7 u 1 2 8 4 4 8 6 4 8 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 3 . 4 7 7 4 . 0 5

h c 8 u 2 5 6 1 0 2 4 1 2 8 1 5 7 1 4 9 1 4 9 1 5 1 1 5 1 1 4 5 . 1 1 4 8 1 . 3 7

h c 9 u 5 1 2 2 3 0 4 2 5 6 3 1 9 2 9 6 2 9 6 3 0 4 3 0 4 2 8 6 . 8 2 9 2 1 . 7 4

h c 1 0 u 1 0 2 4 5 1 2 0 5 1 2 6 2 7 5 8 8 5 8 8 6 0 6 6 0 6 5 6 7 . 7 5 8 2 2 . 4 6

h c 1 1 u 2 0 4 8 1 1 2 6 4 1 0 2 4 1 2 1 9 1 1 7 3 1 1 7 3 1 2 0 0 1 2 0 0 1 1 2 5 . 2 1 1 6 2 3 . 2 0

h c 1 2 u 4 0 9 6 2 4 5 7 6 2 0 4 8 2 4 2 7 2 3 3 6 2 3 3 6 2 3 9 6 2 3 9 6 2 2 0 1 . 1 2 3 0 3 4 . 5 9

h c 6 p 6 4 1 9 2 3 2 4 3 0 2 4 0 1 7 4 0 0 3 4 0 0 3 4 0 0 3 3 8 6 7 . 6 4 0 0 3 3 . 4 9

h c 7 p 1 2 8 4 4 8 6 4 8 3 8 4 7 9 3 2 7 9 0 5 7 9 0 9 7 9 0 9 7 6 4 6 . 8 7 9 0 5 3 . 3 7

h c 8 p 2 5 6 1 0 2 4 1 2 8 1 6 7 4 6 1 5 6 3 7 1 5 3 7 6 1 5 5 7 3 1 5 5 2 6 1 5 1 1 5 . 7 1 5 3 2 2 1 . 3 6

h c 9 p 5 1 2 2 3 0 4 2 5 6 3 2 5 0 9 3 1 1 0 8 3 0 5 7 2 3 0 9 9 6 3 0 9 2 0 2 9 8 7 7 . 6 3 0 2 5 8 1 . 2 7

h c 1 0 p 1 0 2 4 5 1 2 0 5 1 2 6 4 4 7 2 6 1 9 0 5 6 1 0 3 0 6 1 6 3 3 6 1 6 0 5 5 9 2 1 3 . 4 6 0 4 9 4 2 . 1 6

h c 1 1 p 2 0 4 8 1 1 2 6 4 1 0 2 4 1 2 8 2 0 4 1 2 3 1 2 9 1 2 0 8 0 4 1 2 2 7 4 1 1 2 2 7 4 1 1 1 7 3 8 8 . 7 1 2 0 0 9 6 2 . 2 5

h c 1 2 p 4 0 9 6 2 4 5 7 6 2 0 4 8 2 5 3 8 2 5 2 4 4 6 7 4 2 4 3 3 9 0 2 4 4 4 7 7 2 4 4 4 7 7 2 3 2 7 0 9 . 0 2 3 8 6 7 3 2 . 5 6

T h e c o m p u t a t i o n o f t h e L P b o u n d w a s i n t e r r u p t e d f o r s o m e i n s t a n c e s d u e t o l i m i t e d c o m p u t a t i o n a l r e s o u r c e s .

T a b l e 1 : H y p e r c u b e i n s t a n c e s

R e f e r e n c e s

1 ] M . P . B a s t o s a n d C . C . R i b e i r o , \ R e a c t i v e t a b u s e a r c h w i t h p a t h - r e l i n k i n g f o r t h e

S t e i n e r p r o b l e m i n g r a p h s " , E s s a y s a n d S u r v e y s i n M e t a h e u r i s t i c s ( C . C . R i b e i r o a n d P .

H a n s e n , e d s . ) , K l u w e r , 2 0 0 1 , t o a p p e a r .

2 ] J . E . B e a s l e y , \ O R - L i b r a r y : D i s t r i b u t i n g t e s t p r o b l e m s b y e l e c t r o n i c m a i l " , J o u r n a l o f

t h e O p e r a t i o n a l R e s e a r c h S o c i e t y 4 1 ( 1 9 9 0 ) , 1 0 6 9 { 1 0 7 2 .

3 ] C . W . D u i n , S t e i n e r ' s p r o b l e m i n g r a p h s : A p p r o x i m a t i o n , r e d u c t i o n , v a r i a t i o n , D o c t o r a t e

D i s s e r t a t i o n , I n s t i t u t e o f A c t u a r i a l S c i e n c e a n d E c o n o m i c s , U n i v e r s i t y o f A m s t e r d a m ,

1 9 9 4 .

4 ] C . W . D u i n a n d S . V o s s , \ E c i e n t p a t h a n d v e r t e x e x c h a n g e i n S t e i n e r t r e e a l g o -

r i t h m s " , N e t w o r k s 2 9 ( 1 9 9 7 ) , 8 9 { 1 0 5 .

5 ] C . W . D u i n a n d S . V o s s , \ T h e P i l o t m e t h o d : A s t r a t e g y f o r h e u r i s t i c r e p e t i t i o n w i t h

a p p l i c a t i o n t o t h e S t e i n e r p r o b l e m i n g r a p h s " , N e t w o r k s 3 4 ( 1 9 9 9 ) , 1 8 1 { 1 9 1 .

6 ] M . G e n d r e a u , J . - F . L a r o c h e l l e , a n d B . S a n s

o , \ A t a b u s e a r c h h e u r i s t i c f o r t h e

S t e i n e r t r e e p r o b l e m " , N e t w o r k s 3 4 ( 1 9 9 9 ) , 1 6 3 - 1 7 2 .

7 ] M . H a l l a n d J . H . v a n L i n t , C o m b i n a t o r i c s , N A T O A S I S e r i e s C 1 6 , D . R e i d e l , D o r -

d r e c h t , 1 9 7 5 .

8 ] T . K o c h a n d A . M a r t i n , \ S o l v i n g S t e i n e r t r e e p r o b l e m s i n g r a p h s t o o p t i m a l i t y " ,

N e t w o r k s 3 2 ( 1 9 9 8 ) , 2 0 7 { 2 3 2 .

9 ] A . P . L u c e n a a n d J . E . B e a s l e y , \ A b r a n c h a n d c u t a l g o r i t h m f o r t h e S t e i n e r p r o b l e m

i n g r a p h s " , N e t w o r k s 3 1 ( 1 9 9 8 ) , 3 9 { 5 9 .

4


6/7


c c 6 - 2 u 6 4 1 9 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 9 . 8 3 2 6 . 6 7

c c 3 - 4 u 6 4 2 8 8 8 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 . 0 2 3 9 . 5 2

c c 3 - 5 u 1 2 5 7 5 0 1 3 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 2 . 8 3 6 9 . 0 9

c c 5 - 3 u 2 4 3 1 2 1 5 2 7 7 6 7 2 7 1 7 4 7 3 6 9 . 0 7 1 1 . 4 3

c c 9 - 2 u 5 1 2 2 3 0 4 6 4 1 8 7 1 7 1 1 7 1 1 7 8 1 7 1 1 6 2 . 7 1 6 7 2 . 4 5

c c 6 - 3 u 7 2 9 4 3 6 8 7 6 2 1 7 2 0 1 1 9 8 2 0 9 2 0 6 1 9 4 . 1 1 9 7 1 . 0 3

c c 3 - 1 0 u 1 0 0 0 1 3 5 0 0 5 0 1 3 2 1 2 6 1 2 6 1 3 0 1 2 9 1 2 3 . 8 1 2 5 0 . 8 1

c c 1 0 - 2 u 1 0 2 4 5 1 2 0 1 3 5 3 8 1 3 4 9 3 4 6 3 6 2 3 5 9 3 3 2 . 4 3 4 2 2 . 7 0

c c 3 - 1 1 u 1 3 3 1 1 9 9 6 5 6 1 1 6 3 1 5 4 1 5 4 1 5 8 1 5 7 1 5 1 . 0 1 5 3 1 . 3 2

c c 3 - 1 2 u 1 7 2 8 2 8 5 1 2 7 4 1 9 1 1 8 6 1 8 6 1 8 7 1 8 7 1 8 2 . 0 1 8 6 2 . 2 0

c c 1 1 - 2 u 2 0 4 8 1 1 2 6 3 2 4 4 6 8 7 6 2 4 6 1 9 6 6 9 6 5 1 6 0 0 . 5 6 1 4 2 . 1 6

c c 7 - 3 u 2 1 8 7 1 5 3 0 8 2 2 2 6 1 2 5 6 2 5 5 4 5 9 8 5 8 8 5 3 4 . 1 5 5 2 3 . 1 8

c c 1 2 - 2 u 4 0 9 6 2 4 5 7 4 4 7 3 1 3 1 5 1 2 0 1 1 1 8 4 1 2 8 7 1 2 5 5 1 1 4 1 . 0 1 1 7 9 3 . 2 4

c c 6 - 2 p 6 4 1 9 2 1 2 3 3 8 8 3 2 7 1 3 2 7 1 3 2 7 1 3 2 7 1 3 0 7 8 . 3 3 2 7 1 6 . 2 4

c c 3 - 4 p 6 4 2 8 8 8 2 3 4 9 2 3 3 8 2 3 3 8 2 3 3 8 2 3 3 8 2 1 9 4 . 0 2 3 3 8 6 . 5 6

c c 3 - 5 p 1 2 5 7 5 0 1 3 3 6 7 3 3 6 6 7 3 6 6 1 3 6 6 4 3 6 6 4 3 3 8 4 . 6 3 6 6 1 8 . 1 5

c c 5 - 3 p 2 4 3 1 2 1 5 2 7 8 2 6 6 7 4 9 1 7 4 0 4 7 4 8 4 7 4 8 4 7 1 1 7 . 8 7 2 9 9 2 . 5 4

c c 9 - 2 p 5 1 2 2 3 0 4 6 4 1 8 7 0 4 1 7 8 3 6 1 7 3 7 6 1 7 9 4 6 1 7 9 0 4 1 6 7 6 6 . 0 1 7 2 9 6 3 . 1 6

c c 6 - 3 p 7 2 9 4 3 6 8 7 6 2 2 6 8 0 2 0 8 5 0 2 0 5 5 4 2 1 0 6 0 2 0 6 5 7 2 0 0 6 4 . 1 2 0 4 5 8 1 . 9 6

c c 3 - 1 0 p 1 0 0 0 1 3 5 0 0 5 0 1 4 1 4 9 1 3 0 8 4 1 3 0 6 1 1 3 1 1 8 1 3 0 0 3 1 2 6 6 3 . 6 1 2 8 6 0 1 . 5 5

c c 1 0 - 2 p 1 0 2 4 5 1 2 0 1 3 5 3 8 6 0 8 3 6 5 5 2 3 5 8 6 7 3 7 2 3 4 3 6 5 4 5 3 4 2 9 7 . 2 3 5 4 6 6 3 . 4 1

c c 3 - 1 1 p 1 3 3 1 1 9 9 6 5 6 1 1 7 1 1 1 1 5 9 2 4 1 5 7 2 8 1 5 9 4 0 1 5 9 1 7 1 5 4 3 6 . 8 1 5 6 0 9 1 . 1 1

c c 3 - 1 2 p 1 7 2 8 2 8 5 1 2 7 4 2 0 6 2 6 1 9 2 8 5 1 9 1 6 7 1 9 2 0 1 1 9 1 5 9 1 8 6 3 4 . 9 1 8 8 3 8 1 . 0 9

c c 1 1 - 2 p 2 0 4 8 1 1 2 6 3 2 4 4 7 0 6 6 6 6 6 0 7 3 6 4 3 3 4 6 8 4 8 6 6 7 3 2 8 6 1 9 0 5 . 0 6 3 8 4 1 3 . 1 3

c c 7 - 3 p 2 1 8 7 1 5 3 0 8 2 2 2 6 3 3 3 9 5 9 0 0 5 5 7 6 0 1 6 1 1 9 0 6 0 3 0 3 5 5 0 7 1 . 9 5 7 3 3 9 4 . 1 2

c c 1 2 - 2 p 4 0 9 6 2 4 5 7 4 4 7 3 1 3 5 9 5 3 1 2 6 5 4 1 1 2 2 9 2 8 1 3 1 7 7 8 1 2 8 0 1 5 1 1 7 8 8 4 . 5 1 2 1 7 7 2 3 . 3 0


T a b l e 2 : C o d e c o v e r i n s t a n c e s

1 0 ] S . L . M a r t i n s , P . P a r d a l o s , M . G . R e s e n d e , a n d C . C . R i b e i r o , \ A p a r a l l e l G R A S P

f o r t h e S t e i n e r t r e e p r o b l e m i n g r a p h s u s i n g a h y b r i d l o c a l s e a r c h s t r a t e g y " , J o u r n a l o f

G l o b a l O p t i m i z a t i o n 1 7 ( 2 0 0 0 ) , 2 6 7 { 2 8 3 .

1 1 ] M . P o g g i d e A r a g

~

a o , C . C . R i b e i r o , E . U c h o a , a n d R . F . W e r n e c k , \ H y b r i d l o c a l

s e a r c h f o r t h e S t e i n e r p r o b l e m i n g r a p h s " , E x t e n d e d A b s t r a c t s o f t h e 4 t h M e t a h e u r i s t i c s

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e , P o r t o , 2 0 0 1 .

1 2 ] M . P o g g i d e A r a g

~

a o a n d C . C . d e S o u z a , \ U p p e r b o u n d s f o r m i n i m u m c o v e r i n g

c o d e s v i a t a b u s e a r c h " , E x t e n d e d A b s t r a c t s o f t h e 3 r d M e t a h e u r i s t i c s I n t e r n a t i o n a l C o n -

f e r e n c e , p a g e s 3 5 9 { 3 6 4 , A n g r a d o s R e i s , 1 9 9 9 .

1 3 ] M . P o g g i d e A r a g

~

a o , E . U c h o a , a n d R . F . W e r n e c k , \ D u a l h e u r i s t i c s o n t h e e x a c t

s o l u t i o n o f l a r g e S t e i n e r p r o b l e m s " , E l e c t r o n i c N o t e s i n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 7 ( 2 0 0 1 ) ,

t o a p p e a r .

1 4 ] T . P o l z i n a n d S . V a h d a t i , \ I m p r o v e d a l g o r i t h m s f o r t h e S t e i n e r p r o b l e m i n n e t w o r k s " ,

D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 2 0 0 1 , t o a p p e a r .

1 5 ] C . C . R i b e i r o a n d M . C . S o u z a , \ T a b u s e a r c h f o r t h e S t e i n e r p r o b l e m i n g r a p h s " ,

N e t w o r k s 3 6 ( 2 0 0 0 ) , 1 3 8 { 1 4 6 .

1 6 ] C . C . R i b e i r o , E . U c h o a , a n d R . F . W e r n e c k , \ A h y b r i d G R A S P w i t h p e r t u r b a t i o n s

f o r t h e S t e i n e r p r o b l e m i n g r a p h s " , p r e s e n t e d a t t h e I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n A d a p t i v e

M e m o r y a n d E v o l u t i o n : T a b u S e a r c h a n d S c a t t e r S e a r c h , O x f o r d , 2 0 0 1 .

5


7/7


b i p e 2 u 5 5 0 5 0 1 3 5 0 6 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 . 4 5 4 1 . 8 5

b i p 4 2 u 9 9 0 3 6 1 0 2 0 0 2 7 0 2 4 8 2 3 9 2 5 9 2 5 8 2 3 2 . 0 2 3 7 1 . 7 2

b i p 6 2 u 1 1 9 9 1 0 0 0 0 2 0 0 2 4 7 2 2 9 2 2 7 2 3 3 2 3 1 2 1 3 . 3 2 2 1 3 . 2 7

b i p 5 2 u 1 8 1 9 7 3 2 6 2 0 0 2 7 5 2 4 8 2 4 7 2 6 1 2 6 1 2 2 9 . 1 2 3 5 2 . 1 7

b i p a 2 u 3 1 4 0 1 7 7 9 5 3 0 0 3 8 5 3 5 8 3 5 6 3 7 1 3 6 7 3 2 9 . 3 3 4 2 3 . 6 4

b i p e 2 p 5 5 0 5 0 1 3 5 0 6 3 3 4 5 7 2 1 5 6 8 4 5 6 8 7 5 6 6 6 5 5 1 5 . 4 5 6 6 0 2 . 6 1

b i p 4 2 p 9 9 0 3 6 1 9 2 0 0 2 8 7 5 8 2 5 7 3 7 2 5 1 7 5 2 5 8 3 3 2 5 2 8 5 2 4 3 7 3 . 8 2 4 8 1 8 1 . 8 2

b i p 6 2 p 1 1 9 9 1 0 0 0 0 2 0 0 2 5 2 6 7 2 3 8 7 7 2 3 2 9 1 2 3 7 7 9 2 3 5 0 0 2 2 4 4 5 . 2 2 2 9 4 4 2 . 2 2

b i p 5 2 p 1 8 1 9 7 3 3 6 2 0 0 2 9 6 1 6 2 6 1 3 7 2 5 4 1 5 2 6 0 7 9 2 5 8 8 4 2 4 1 8 6 . 3 2 4 9 3 6 3 . 1 0

b i p a 2 p 3 1 4 0 1 7 7 9 7 3 0 0 4 0 4 5 7 3 7 3 6 8 3 6 4 3 9 3 7 4 1 5 3 7 3 4 5 3 4 6 8 5 . 7 3 5 7 7 4 3 . 1 4


T a b l e 3 : B i p a r t i t e i n s t a n c e s

1 7 ] H . T a k a h a s h i a n d A . M a t s u y a m a , \ A n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r t h e S t e i n e r p r o b l e m

i n g r a p h s " , M a t h . J a p o n i c a 2 4 ( 1 9 8 0 ) , 5 7 3 { 5 7 7 .

1 8 ] E . U c h o a , M . P o g g i d e A r a g

~

a o , a n d C . C . R i b e i r o , \ P r e p r o c e s s i n g S t e i n e r p r o b -

l e m s f r o m V L S I l a y o u t " , s u b m i t t e d f o r p u b l i c a t i o n , 1 9 9 9 .

1 9 ] S . V o s s , A . M a r t i n , a n d T . K o c h , \ S t e i n L i b T e s t d a t a L i b r a r y " , o n l i n e d o c u m e n t a t

h t t p : / / e l i b . z i b . d e / s t e i n l i b / s t e i n l i b . h t m l , l a s t v i s i t e d o n M a r c h 2 8 , 2 0 0 1 .

6

01 07 rosseti-steiner.ps

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