01 proprietà dei fluidi

7/24/2019 01 Propriet Dei Fluidi

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Propriet dei fluidiPropriet dei fluidi

Politecnico di Milano

Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR)

sezione Idraulica

Parte A :

Note degli insegnamenti di:

Idraulica 1Idraulica 1

Corso di studiCorso di studi inin Ingegneria AmbientaleIngegneria AmbientaleII Facolt di IngegneriaFacolt di Ingegneria

A cura di : F. Ballio, G. Guadagnini, E. Larcan, S. Malavasi, E. Orsi, M. Riva


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Propriet dei fluidi

I fluidi come sistemi continui

Sforzi nei sistemi continui

Densit, peso specifico

Comprimibilit

Legame sforzi - deformazioni

Viscosit

Nella Meccanica dei Fluidi, coerentemente al classico approccio della Meccanica del Continuo, il sistema in

oggetto considerato assimilabile ad un continuo, cui sono associabili propriet caratteristiche variabili con

continuit da punto a punto.

In effetti la materia (solidi, liquidi, aeriformi) composta da particelle distinte situate a distanze reciprochegrandi rispetto alle loro dimensioni: alla scala delle molecole lo schema di continuo matematico non affatto

significativo, visto che il valore di ogni grandezza pi o meno definito e varia bruscamente da punto a punto

e da istante a istante, a seconda della presenza o meno di una molecola nel punto considerato.

E peraltro vero che, per la maggior parte dei problemi pratici, la minima scala di osservazione enormemente

maggiore di quella molecolare, sicch ogni (piccolo) volume di interesse contiene un grandissimo numero di

molecole; associando a tale volume opportune caratteristiche medie della materia contenuta, le propriet

(medie) cos definite variano con continuit nello spazio e al variare delle dimensioni del volume medesimo;

pertanto possibile considerare la materia come sistema continuo e descriverne il comportamento con gli

strumenti della matematica del continuo.

In seguito, pertanto, il concetto diparticella fluida far riferimento ad un volume di fluido, per quanto piccolo,

contenente un elevato numero di molecole, da considerarsi come unit puntuale di un sistema continuo, cuisono univocamente associate le grandezze fisiche (densit, velocit, temperatura, pressione, ).

Tra le diverse possibili grandezze che caratterizzano un sistema fluidodinamico saranno considerate, in questa

sezione, le propriet intrinseche dei materiali di interesse gli argomenti successivamente trattati. Sar inoltre

presentato un breve richiamo al concetto di sforzo per un sistema fisico.


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dA

Per mantenere il sistema in equilibrio. bisogna

trasmettere alla superficie di separazione un

complesso di forze tale per cui lequilibrio sia

ancora verificato.

sistema in equilibrio statico:

d Su ogni areola di superficie dA agisce unaforza d

0FF sw =+

AdA

d

A

=

=

lim0

sforzo:

sforzi nei sistemi continui

[ ]Pam

N

L

F=

22sforzo unitario:

Sullintera superficie di

separazione agisce la forza: dA =

dAd =spinta su dA: ( ) [ ]NFd

componente

normale

componente

tangenziale

n versore normale

alla superficie

n

n

dA

),r()tempo,(spazio, tnf n==

posizionevettorer=

Nello studio dellequilibrio (statico o dinamico) di un sistema si devono considerare due tipi di forze:

- forze di volume FW (tipicamente la forza di gravit)

- forze di superficie FS

(le forze che vengono esercitate su una qualsiasi parte del sistema attraverso la sua

superficie di contorno).

Tipiche forze di superficie sono le azioni interne al sistema continuo. Se si considera, ad esempio, un volume

di fluido in equilibrio statico, per cui vale la condizione di equilibrio: FW + FS = 0 (analogo discorso perun sistema in movimento) e si rimuove una parte del sistema, risulta intuitivo che necessario aggiungere

delle forze sulla nuova superficie creatasi affinch lequilibrio permanga. Tali forze, distribuite sulla

superficie, sono le azioni interne che tengono conto delleffetto della porzione eliminata di fluido sul resto del

sistema.

Detta d la forza che agisce sullareola infinitesima dA si definisce losforzo:

n = d / dA

La forza complessiva sulla superficie evidentemente data dallintegrale degli sforzi sulla superficie

medesima.

Uno sforzo ha dimensione (Forza/Superficie); la sua unit di misura conseguentemente [N/m2]=[Pa](Pascal).

Si noti che gli sforzi interni, oltre a dipendere dal tempo e dalla posizione nello spazio del punto considerato,

dipendono dalla giacitura della superficie, individuata dalla sua normale n.

Uno sforzo una grandezza vettoriale, genericamente orientato rispetto alla superficie dA. In particolare si

distinguono la componente normale (pressione) e la componente tangenziale. Si noti che in generale lacomponente normale pu essere di compressione o di trazione; la maggior parte dei fluidi non sopporta sforzi

normali di trazione sicch, di norma, in meccanica dei fluidi si fa sempre riferimento a sforzi normali di

compressione che, per convenzione, hanno segno positivo.


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densit, peso specifico

[ ]33

/ mkgL

M

[ ]33

/ mN

L

F

= densit = massa nellunit

di volume

densit dell'acqua

950

960

970

980

990

1000

1010

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10

0temperatura [C]

densit

[kg/m3]

p = 5 atm

p = 1000 atm

densit dell'aria

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100

temperatura [C]

densit

[kg/m3]

p = 5 atm

p = 1 atm

= peso specifico = peso nella

unit di volume

g=

Equazione di stato di un fluido: ( ) ,p=

liquidi: () cost

acqua 1000 [kg/m3]

gas: = (p, )

TRp

=

gas perfetti:TRg

p

=

(p = pressione assoluta, R = costante del gas, T = temperatura in gradi Kelvin)

+4 C densit max

La densit misura la massa contenuta nellunit di volume. La sua unit di misura [kg/m3]. Ilpeso specifico misura il peso contenuto nellunit di volume. La sua unit di misura [N/m3]. Ladensit costituisce una propriet intrinseca della materia, laddove il peso specifico dipende anche dal

valore dellaccelerazione di gravit, essendo = g.La densit risulta, in generale, funzione della pressione e della temperatura. Tale relazione detta

equazione di stato per la sostanza.

Per i liquidi, cos come per i solidi, la densit dipende debolmente dalla temperatura e in modo

pressoch trascurabile dalla pressione. Risulta pertanto accettabile, nella maggior parte delle

applicazioni, lapprossimazione = costante.

Negli aeriformi, al contrario, la densit risulta fortemente variabile con la pressione e la temperatura

(cfr. per esempio la legge dei gas perfetti). I valori di densit per i gas sono comunque molto

inferiori a quelli caratteristici dei liquidi e dei solidi: laria a pressione e temperatura atmosferica ha

una densit pari a circa 1/800 di quella dellacqua.

Dallequazione di stato (p, ) possibile dedurre il modulo elastico della sostanza e ilcoefficiente di dilatazione termica; tali propriet sono legate alla variabilit del volume a variazioni

rispettivamente di pressione e di temperatura.


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comprimibilit

modulo di elasticit a

compressione cubica

[N/m2] = [Pa]

d

W

dW=0

cos

=+

=

dWdW

tW

Per la conservazione della massa:

dpWdW dallesperienza :

dpd=

p

W

dpWdW =definizione modulo elastico :

acqua(=10C) = 2.03109 [N/m2]

p = 100 bar / = 0.5 %liquidi (solidi): cost elevato

gas: dipende dalle variazioni di temperatura associate allevariazioni di pressione (trasformaz. isoterma, adiabatica, )TRg

p

=

gas = np (n = 11.7) p

a pressione atmosferica e temperatura costante

(trasformazione isoterma n=1) 1 bar = 105 [N/m2]

La comprimibilit la propriet di una sostanza di modificare il proprio volume (e quindi la propria densit) al

variare della pressione alla quale esso assoggettato. Il legame fra variazioni di densit e di volume deriva in

modo ovvio dalla conservazione della massa di un sistema: massa = W = costante.

Lesperienza mostra che la variazione di volume di un corpo soggetto ad una variazione di pressione

proporzionale a questultima e al volume del corpo medesimo. Si definisce pertanto il modulo di elasticit acompressione cubica come linverso del coefficiente di proporzionalit nella suddetta relazione.

Associando la definizione di modulo elastico con la conservazione della massa si ottiene:

= / (d/dp)

che mostra il legame fra e lequazione di stato della sostanza.

Nei liquidi e nei solidi la comprimibilit molto ridotta (elevati valori di ), il che giustificalapprossimazione, precedentemente discussa, di considerare la densit come indipendente dalla pressione

(elevate variazioni di pressione inducono trascurabili variazioni di densit).

Viceversa gli aeriformi mostrano notevoli variazioni di densit al variare della pressione, come si pu

facilmente dedurre dallequazione di stato dei gas perfetti, rappresentativa, in prima approssimazione, del

comportamento di molti gas (tra cui laria). Poich la densit di un gas dipende in modo significativo anchedalla temperatura, nel valutare la derivata d/dpper il calcolo di necessario tenere conto della variazionedi temperatura contemporanea a quella di pressione, dipendente dal tipo di trasformazione (isoterma,

adiabatica, ). In generale si pu dimostrare che, per i gas, risulta = np, dove n un coefficiente compresofra 1 e 1.7 in funzione del tipo di trasformazione.

I valori di per un aeriforme risultano pertanto molto inferiori a quelli per i liquidi e i solidi (il che significache la sostanza molto pi comprimibile). Ci nonostante, la fluidodinamica degli aeriformi pu essere

studiata sotto lapprossimazione =cost ogniqualvolta non si abbiano elevate variazioni di pressione etemperatura, e quindi di densit.


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legame sforzi deformazioni

solidiliquidi gas

sforzi (forze)

normali

variazione

di volume

piccole deformazioni( grande) grandi deformazioni( piccolo)

sforzi (forze)

tangenziali

variazione

di forma

volume propriovolume del

recipiente

piccole

deformazioni

forma propria

deformazioni infinite

forma del recipiente

legame sforzi (forze) tangenziali

velocit di deformazione

fluidi

Il volume e la forma di un elmento solido o fluido variano al variare dei valori degli sforzi (forze)

cui esso soggetto.

La dipendenza della densit dai valori di pressione, ovverosia il concetto di comprimibilit (e di

modulo elastico) mettono in luce la dipendenza fra sforzi (forze) normali e le deformazioni

volumetriche: un sistema continuo si allunga o si accorcia al variare delle sollecitazioni normali.

Come si precedentemente detto, solidi e liquidi, a causa degli elevati valori di modulo elastico loro

associati, vedono piccole variazioni di volume a fronte di variazioni notevoli delle sollecitazioni; si

sintetizza tale comportamento dicendo che essi hanno volume proprio, indipendente dalle

sollecitazioni e dai vincoli imposti. Gli aeriformi, al contrario, subiscono variazioni volumetriche

notevolissime (a fronte di variazioni di pressione), riempiendo tutto il volume del recipiente che li

contiene.

E importante analizzare anche il comportamento dei sistemi materiali a sollecitazioni tangenziali:

esse tendono a deformare un sistema senza variare il volume. Senza entrare nel dettaglio del legame

fra sforzi (forze) tangenziali e deformazioni, si pu comunque affermare che nei solidi ledeformazioni sono di piccola entit, e inversamente proporzionali al modulo elastico del materiale.

La maggior parte dei fluidi, invece, reagisce a sollecitazioni tangenziali con deformazioni infinite,

ovverosia il fluido viene messo in movimento.

Per i fluidi, pertanto, gli sforzi tangenziali non sono collegati a deformazioni, bens a velocit di

deformazione: sollecitazioni maggiori determinano velocit maggiori.


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viscosit (legame sforzi tangenziali velocit di deformazione)

superficie in movimento con velocit V

superficie ferma (V=0)

x

esperimento ideale

esperimento reale

F

F

cilindri coassiali in

rotazione relativa

x

V

A

F

x

V

A

F

x

V

A

F

=

n

VF

==

= viscosit

[Ns / m2 ]

propriet

del fluido

0.00001

0.00010

0.00100

0.01000

0.10000

1.00000

10.00000

-20 0 20 40 60 80 100 120

temperatura [C]

visco

sit

[Ns/m2]

aria

acqua

olio

glicerina

F

F

Il legame fra sforzi e velocit di deformazione per i fluidi pu essere evidenziato tramite un esperimento (ideale): uno

strato di fluido di spessore x posto fra due piastre piane indefinite, tra loro parallele. Una piastra ferma, laltra traslacon velocit costante V, in conseguenza dellazione di una forzaF necessaria a vincere le dissipazioni dovute allattrito

interno al fluido. Levidenza sperimentale mostra che gli strati fluidi immediatamente adiacenti alle piastre aderiscono ad

esse e ne assumono quindi la velocit, sicch si osserva allinterno del fluido una variazione progressiva di velocit fra il

valore nullo e il valore V.

Levidenza sperimentale mostra che la forzaF, rapportata allunit di superficie bagnata (A), proporzionale alla

velocit e inversamente proporzionale allo spessore di fluido. Nel caso pi generale di entrambe le piastre in movimento,

con velocit differenti, la forza risulta proporzionale alla differenza delle velocit.

Portando lesperimento al limite perx0,F/A risulta proporzionale alla derivata della velocit nella direzioneperpendicolare al moto. Il coefficiente di proporzionalit detto viscosit del fluido. Poich la forza per unit disuperficie altro non che lo sforzo tangenziale , risulta in sintesi:

= V / n

essendo n la direzione perpendicolare alla superficie su cui si calcola lo sforzo.

In pratica lesperimento descritto viene realizzato tramite due cilindri coassiali posti in rotazione relativa.

La viscosit varia da fluido a fluido; nella maggior parte dei casi (fluidi newtoniani) il suo valore non dipende dallo statodi sforzo, risultando pertanto una propriet intrinseca del fluido medesimo. I valori di possono variare di parecchiordini di grandezza al variare del fluido, e sono in generale significativamente correlati con la temperatura.

Per alcuni fluidi (vernici, sostanze alimentari, materiali bituminosi, ) gli sforzi tangenziali sono legati al campo di

moto da leggi pi complesse; in tal caso (fluidi non newtoniani) sono necessarie valutazioni specifiche.


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Perch i laghi ghiacciano solo in superficie?

I laghi gelano prima di tutto in superficie perch in inverno lo strato d'acqua superficiale

si raffredda e, diventando pi denso dello strato inferiore, scende sul fondo.

Questo processo continua finch la temperatura dell'intera massa d'acqua non ha

raggiunto la temperatura di 4C : oltre questo punto il raffreddamento dello stratosuperficiale rende quest'ultimo meno denso di quelli inferiori ( appunto perch tra 0 e 4

C la densit dell'acqua diminuisce ), perci lo strato superficiale rimane fermo

galleggiando sulla sommit del lago.

Questo strato superficiale finisce per congelare diventando una lastra solida di ghiaccio

mentre il resto dell'acqua del lago rimane a 4 C. Il ghiaccio formatosi impedisce la

perdita di calore del lago ed ogni altra perdita di calore causa soltanto un ispessimento

della lastra senza perturbare gli strati pi profondi che rimangono alla temperatura

costante di 4 C : le forme di vita che popolano il fondo del lago possono quindi

sopravvivere.

Un olio lubrificante posto tra due piatti piani e paralleli. Un piatto fisso, laltro si muove con velocit v = 3 m/s.

Nota la distanza tra i due piatti h = 2 cm , determinare lo sforzo di taglio nel lubrificante. olio= 0.26 [kg/(m s)]

= dv/dn Hp. sforzo costante = v/h = 0.26 [kg/(m s)] *3 [m/s] / 0.02 [m] = 39 [kg/(m s2)] =39 [N/m2] = 39 [Pa]

nota: anche se si tratta di olio a viscosit elevata, lo sforzo di taglio piuttosto modesto: circa 2600 volte pi piccolo della

pressione atmosferica (101.325 [Pa]).

esempi

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