01 tgi zahlendarstellung

Automation Systems Group E183-1Institute of Computer Aided Automation

Vienna University of Technologyemail: [email protected]

01 - ZahlendarstellungTechnische Grundlagen der Informatik

bersicht

2

Zahlensysteme Der ideelle Zahlenbegriff Zahlenumwandlungen Rechnen im binren System Potenzieren Darstellung negativer Zahlen

1. Zahlensysteme

3

Das dezimale Zahlensystem (Zehnersystem) ist ein sogen. Stellenwertsystem

Es wurde von den Indern um 600 n.Chr. entwickelt 750 n.Chr. wurde es nach Persien gebracht und verbreitete sich dann

im gesamten arabisch beeinflussten Raum Eine Zahl wird dargestellt im Zahlensystem mit der Basis (-res

Zahlensystem) durch

. . . 3210. 12. . .

33 22 11 00 11 22. . .

beliebige, positive Zahl grer 1 ganze Zahlen im Intervall 0 bis 1 (= Ziffern)

1. Zahlensysteme

4

Bsp.: 123.1210ist ident mit der gewohnten Notation 123.12 fr das gelufige Zehnersystem:

Bsp.:

2 10 . 1 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2

1 2 3 . 1 2 10 1 102 2 101 3 100 1 101 2 102

100 20 3 0.1 0.02

123.1210

5 2 0 . 3 6 5 62 2 61 0 60 3 61 180 12 0 0.5

192.510

1. Zahlensysteme

5

Unterschied zwischen Ziffer und Zahl: Im Zehnersystem ist z.B. 27 eine Zahl, die aus den Ziffern 2und 7 besteht

Zahlensystem mit Basis 2 binres Zahlensystem Zahlensystem mit Basis 16 hexadezimales Zahlensystem Eine Arbeit aus dem Jahre 1703 von G.W. Leibniz gilt als

Geburtsstunde des binren Zahlensystems

Darin wurde die Durchfhrung der vier Grundrechnungsarten im binren Zahlensystem ausfhrlich behandelt

1. Zahlensysteme

6

Beispiele von binren Zahlen und ihrem dezimalen quivalent

Statt der Ziffern 0, 1 schreibt man auch (Low), (High)

binr - dezimal

binr 2

dezimal 10

0 0

1 1

10 2

11 3

100 4

1001 9

1111 15

10001 17

10101 21

1. Zahlensysteme

7

Das hexadezimale Zahlensystem besteht aus 16 Ziffern, aber im Zehnersystem existieren nur die Ziffern 0 bis 9

Daher erweitert man die Dezimalziffern zu 0,1,2, , 8,9, , , , , ,

Beispiele von hexadezimalen Zahlen und ihrem dezimalen quivalent

hexadezimal - dezimal

hexadezimal 16

dezimal 10

10 161A 261F 31FF 255

7FFF 32767

1. Zahlensysteme

8

binr hexadezimal - dezimal

binr 2

hexadezimal 16

dezimal 10

0 0 01 1 1

10 2 211 3 3

100 4 4101 5 5110 6 6111 7 7

1000 8 81001 9 9

binr 2

hexadezimal 16

dezimal 10

1010 A 101011 B 111100 C 121101 D 131110 E 141111 F 15

10000 10 1610001 11 1710010 12 18

2. Der ideelle Zahlenbegriff

9

Unterschied zwischen dem eigentlichen, ideellen Zahlenbegriff und der Darstellung einer Zahl

Welches ist die richtige Zahl: 19 oder ?

Der Unterschied zwischen ideellen Zahlen und ihrer Darstellung lsst sich am einfachsten anhand einiger Eigenschaften illustrieren Eine Zahl 1ist eine Primzahl (= nur durch 1 und teilbar) Diese Eigenschaft ist unabhngig von der Darstellung und daher eine

Eigenschaft der ideellen Zahl Eine ganze Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre Einerstelle gleich 0 ist Diese Regel ist abhngig von der Darstellung der Zahl im Zahlensystem Bsp.: 5206 5 62 2 61 0 60 19210

Einerstelle der Zahl bei Basis 6 gleich 0Aber die Zahl 19210ist nicht durch 1010teilbar

3. Zahlenumwandlungen

10

Prinzipiell unterscheidet man zwischen Konversion von ganzen Zahlen und Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen.

Man kann jede reelle Zahl als Summe einer ganzen Zahl und einer Zahl, deren Vorkommateil gleich 0 ist, darstellen

Wir beschrnken uns im Folgenden darauf, Vor und Nachkommateil getrennt umzurechnen (gehen also davon aus, dass jeweils der Voroder Nachkommateil 0ist)


11

Rechnen im Quellsystem oder Zielsystem

Quellsystem ZielsystemZahl Basis

Zahl Basis

10. 12 10. 120 0


12

Bsp.: 610in das binre Zahlensystem umrechnen Das Stellenwertsystem der binren Zahlendarstellung lautet

. . . 3210 2 323 222 121 020

3 2 2 2 1 2 0

Man erkennt, dass 0durch 2 teilbar sein muss d.h., dass 0 als Rest bei der Division von durch 2 auftritt

Fr 610: 0 0 Wir definieren weiter 1 , dann gilt analog zu vorher, dass 1 als

Rest bei der Division von 1 durch 2 ermittelt werden kann

Fr 610: 1 3und 1 3: 2 1und die letzte Stelle 2 1

610 1102 Diese berlegungen lassen sich fr das -re Zahlensystem

verallgemeinern

Dezimal in binr umrechnen (Vorkommateil)


13

Die Zahl habe die Quelldarstellung . . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl . . . Vorgehensweise

Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von in Zieldarstellung Berechnung von

oder Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von b in Zieldarstellung Hornerschema. . .

Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem


14

Quelldarstellung:10110111 Gesucht: Zieldarstellung Umwandeln der Ziffern 0, 1 in Zieldarstellung 0, 1 Umwandeln der Basis 10 in Zieldarstellung 2 Variante 1:

Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem: Beispiel 1 (1 von 2)

1 0 1 1 0 1 1 121 27 0 26 1 25 1 24 0 23 1 22 1 21 1 20 18310


15

Variante 2: HornerschemaKonversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem: Beispiel 1 (2 von 2)

1 0 1 1 0 1 1 12

1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1

5 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1

11 2 0 2 1 2 1 2 1

22 2 1 2 1 2 1

45 2 1 2 1

91 2 1

18310


16

Quelldarstellung:17 Gesucht: Zieldarstellung 10 Umwandeln der Ziffern 116, 16, 716in Zieldarst. 110,1210, 710

Umwandeln der Basis 10 in Zieldarstellung 16 Variante 1:

Variante 2: Hornerschema

Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem: Beispiel 2

1 7161 16 12 161 7 160 45510

1 716

1 16 12 16 7

28 16 7 45510


17

Die Zahl habe die Quelldarstellung . . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl . . . Vorgehensweise:

Umwandeln der Basis B in Quelldarstellung b Berechnung von

0

1

2

. . .

Wobei der Vorgang abzubrechen ist, wenn. . . //. . ./ 0

Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Quellsystem

steht fr grte ganze Zahl

Rest von


18

Quelldarstellung: 2910 Gesucht: Zieldarstellung 2 Umwandeln der Basis 102in Quelldarstellung b 210 Berechnung:

0 292 1

1 142 0

2 72 1

3 32 1

4 12 1

Ergebnis: 2910 111012

Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Quellsystem: Beispiel 1

LSB

MSB


19

Quelldarstellung: 2910 Gesucht: Zieldarstellung 16 Umwandeln der Basis 1016in Quelldarstellung b 1610 Berechnung:

0 2916 13

1 116 1

1310 110 116 Ergebnis: 2910 1

Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Quellsystem: Beispiel 2

LSB

MSB


20

Die Zahl habe die Quelldarstellung 0. 12. . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl 0. U12. . . n Vorgehensweise

Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von b i in Zieldarstellung Berechnung von 11 22

oder Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von b in Zieldarstellung Hornerschema. . . / 1/ 2/ 1/

Konversion vom Nachkommteil - Rechnen im Zielsystem


21

Quelldarstellung: 0.11012 Gesucht: Zieldarstellung 0. 10 Umwandeln der Ziffern 02, 12in Zieldarstellung 010, 110 Umwandeln der Basis 10in Zieldarstellung 2 Variante 1:

Variante 2: Hornerschema

Konversion vom Nachkommteil - Rechnen im Zielsystem: Beispiel

0. 1 1 0 121 21 1 22 0 23 1 24 0.812510

14)0(3) 1(2) 1(1)1/2 0/2 1/2 1/2

0.5/2 1/2 1/2

1.25/2 1/2

1.625/2 0.812510


22

Die Zahl habe die Quelldarstellung 0. 12. . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl 0. U12. . . n Vorgehensweise

Umwandeln der Basis in Quelldarstellung Berechnung von1

2

3

. . .

Abbruch bei 0oder gem Vorgabe (falls keine endliche Entwicklung; also z.B. auf 4 Nachkommastellen)

Konversion vom Nachkommteil Rechnen im Quellsystem


23

Quelldarstellung: 0.812510 Gesucht: Zieldarstellung 0. 2 Umwandeln der Basis 102 in Quelldarstellung 210 Berechnung:

1 0.8125 2 1.625 1

2 0.625 2 1.25 1

3 0.25 2 0.5 0

4 0.5 2 1 1

5 0 2 0 Abbruch

Ergebnis:0.812510 0.11012

Konversion vom Nachkommteil Rechnen im Quellsystem: Beispiel 1

LSB

MSB


24

Quelldarstellung: 0.81510 Gesucht: Zieldarstellung 0. 2 bis zur fnften Nachkommastelle Umwandeln der Basis 102 in Quelldarstellung 210 Berechnung:

1 0.815 2 1.63 1

2 0.63 2 1.26 1

3 0.26 2 0.52 0

4 0.52 2 1.04 1

5 0.04 2 0.08 0

Ergebnis:0.81510 0.11010 2

Konversion vom Nachkommteil Rechnen im Quellsystem: Beispiel 2

LSB

MSB


25

Aus den Bits Viererblcke vor und nach dem Komma bilden (jeweils vom Komma weg)

Viererblcke einzeln ins hexadezimale System umwandeln Gegebenenfalls sind fhrende Nullen zu ergnzen oder Nullen am

Ende der Zahl anzuhngen Die Konversion in umgekehrter Richtung ist genauso leicht zu

realisieren Wegen der leichten Konversion und der kompakten Darstellung ist das

hexadezimale Zahlensystem in der Informatik weit verbreitet

Konversion zw. binrer und hexadezimaler Darstellung


26

Konversion zw. binrer und hexadezimaler Darstellung: Beispiele

(0010 1001 1111 . 1100 0110 2 2 9 . 6 16

10 1010 1110 . 1111 0001 1 2 0010 1010 1110 . 1111 0001 1000 2 2 . 1 8 16

bin hex0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 71000 81001 91010 A1011 B1100 C1101 D1110 E1111 F

4. Rechnen im binren System

27

Die Ziffern werden von rechts nach links Stelle fr Stelle aufaddiert Das Zwischenergebnis wird unten notiert, jedoch nur die letzte Stelle. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so entstehen bertrge, die

beim Abarbeiten der jeweils nchsten Spalte bercksichtigt werden mssen.

Vgl. z.B. Dezimalsystem (Basis: 10):

Im Binrsystem funktioniert das sehr hnlich

Die Addition im dezimalen Zahlensystem

3 2 4 5

11 9 2

3 4 3 7


28

Im binren Zahlensystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1 Entsprechend einfach sind die Additionsregeln:

Es bleibt nur mehr ein Fall zu behandeln, nmlich: 1 1 ?

Problem hnlich wie im dezimalen System, bei den Rechnungen wo es zu einem bertrag kommt (5 5 ?oder 7 8 ?)

Daher:

Die Addition im binren Zahlensystem

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 10


29

Die Addition im binren Zahlensystem Beispiel 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1 1 0

0 0 00 1 11 0 11 1 10


30


1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 11 10 1 1

1 0 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

0 11 11 10 1 1 10 11 11 10 1 1 10 11 11 10 1 1

0 0 0 1 1 0 0 0 1

0 0 00 1 11 0 11 1 10

Hier tritt ein bertrag auf, der dadurch entsteht, dass 12 12 12 102 12 112berechnet werden muss


31


1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

1 1 1 11 1 1 1 11 11 1 1 11 11 11 1

0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

11 11 11 11 1 11 11 11 11 1

0 1 0 0

0 0 00 1 11 0 11 1 10


32

Falls bei der Subtraktion zweier Ziffern die Ziffer des Minuenden kleiner ist als die des Subtrahenden: Von der hherwertigen Stelle (eins weiter links) eine Zahl in der Hhe der

Basis ausborgen. Der Minuend wird um diesen Wert erhht. Der hherwertige Subtrahend wird um eins erhht

Vgl. z.B. Dezimalsystem (Basis: 10):

Im Binrsystem funktioniert das sehr hnlich

Die Subtraktion im dezimalen Zahlensystem

3 2 4 5

11 9 2

3 0 5 3

1 0 0 0 112 12 02 1 1 1 1 1

0

Wir borgen uns eine Zahl von der nchsten Stelle und berechnen 102 12 12; Bei der nchsten Stelle mssen wir 12zum Subtrahenden addieren

1 0 0 0 1 11 1 1

1 0

1 0 0 0 1 Wir borgen uns eine Zahl von der nchsten Stelle und erhalten daher 102 102 02

11 11 1 10 1 0

1 0 0 0 1 Fr die letzte Stelle borgen wir uns wieder eine Zahl von der nchsten Stelle und berechnen 102 12 12

11 11 11 1 11 0 1 0

1 0 0 0 112 12 02 11 11 11 1 1

0


33

Die Subtraktion im binren Zahlensystem Beispiel 1

0 0 00 1 11 0 11 1 0


34

Die Subtraktion im binren Zahlensystem Beispiel 2

0 0 00 1 11 0 11 1 0

1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

1 0 1 10 1 1 0 11 10 1 1 10 11 10 1

1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

1 10 11 10 1 1 1 10 11 10 1 1 1 10 11 10 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 0


35

Bei der Multiplikationsmethode fr Dezimalzahlen wird zuerst der Multiplikand ziffernweise mit dem Multiplikator multipliziert und die Ergebnisse jeweils um eine Stelle nach rechts verschoben untereinander geschrieben. Dann werden die Zwischenergebnisse addiert.

Zum Beispiel:

Im Binrsystem sind die Multiplikationsregeln aufgrund der kleineren Anzahl von Ziffern bei weitem einfacher als im Dezimalsystem.

Die Multiplikation im dezimalen Zahlensystem

1 4 5 2 4 32 9 0

5 8 0

1 1 4 3 53 5 2 3 5


36

Die Multiplikationsregeln lauten:

Man kann dieselbe Methode wie bei Dezimalzahlen verwenden, z.B.:

Die Multiplikation im binren Zahlensystem

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Zeilen, die durch Multiplikation mit 0entstehen, knnen auch weggelassen werden

1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1

0 0 0 01 0 0 1

1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 1 1


37

Es erweist sich aber fr die Implementierung in einem Rechner als gnstiger, bei der ziffernweisen Multiplikation mit der am weitesten rechts stehenden Ziffer des Multiplikators zu beginnen, und die Teilergebnisse nach links zu verschieben (a).

Dabei mssen nicht alle Zwischenergebnisse gespeichert werden, jedes Teilergebnis kann sofort zum schlielichen Endergebnis addiert werden, was zu effizienterer Implementierung genutzt werden kann (b).


1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1

1 0 0 11 10 10 11 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 1 1

0 0 00 1 01 0 01 1 1

1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1

1 0 0 11 1 0 1 1

1 10 10 11 1 0 0 0 1 1

(a) (b)

bzw.


38

Bei der Multiplikation mit einer Zweierpotenz im Binrsystem tritt derselbe Effekt auf wie bei der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz im Dezimalsystem.

Verschiebung des Multiplikanden um drei Stellen nach links; weil 8 23

Allgemein gesprochen spiegelt sich eine Multiplikation mit 2 in einer Verschiebung des Multiplikanden um Stellen nach links wider. engl.: shift


0 0 00 1 01 0 01 1 1

5 7 1 1 0 0 05 7 1

0 0 00 0 0

0 0 05 7 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 01 0 0 1

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 01 0 0 1 0 0 0


39

Division im Dezimalsystem:

Im Dezimalsystem ist ein wesentlicher Bestandteil des Dividierens das Erraten einer Quotientenziffer.

Betrachtet man zum Beispiel die Division 568: 63 ?

so sieht man zwar, dass 63 nicht mehr als 9-mal in 568 enthalten ist; Aber ob 63 nun 9-mal oder vielleicht nur 8-mal oder etwa noch

weniger oft in 568 enthalten ist, bedarf eines geschulten Blickes (oder eines Taschenrechners)

Im Binrsystem kommen als mgliche Quotientenziffern nur 0 oder 1in Frage.

Die Division im dezimalen Zahlensystem

7 4 3 1 : 3 2 4 7 71 42 32 1


40

Es gengt, zu entscheiden, ob der Divisor kleiner gleich ist als ein bestimmter Teil des Dividenden

In diesem Fall ist die Quotientenziffer gleich 1, anderenfalls ist sie gleich 0

Beispiel:

Die Division im binren Zahlensystem

1 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 0 1 10 1 0 1 10 1 0

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 0 1 1 10 1 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 1 10 1 0

0 0 1 1

5. Potenzieren

41

effizient berechnen Angenommen wir wollen berechnen Eine Mglichkeit wre, mit zu beginnen und es 15-mal mit zu

multiplizieren Eine andere, mit beginnend, fortlaufend zu quadrieren und so , , , zu erhalten (nur vier Multiplikationen)

Diese Idee lsst sich auch fr allgemeines anwenden. Sei in Binrdarstellung gegeben (ohne fhrende Nullen). Dann

ersetzen wir jede 1 durch die zwei Buchstaben QX und jede 0 durch Q.

5. Potenzieren

42

Wir streichen das am weitesten links stehende QX-Paar Die resultierende Buchstabenfolge kann jetzt als Anweisung zur

Berechnung von verwendet werden, indem Q als Quadrieroperation interpretiert wird, und X dahingehend, dass mit multipliziert wird.

Sei zum Beispiel 23 10111 gegeben Wir bekommen dann zuerst die Buchstabenfolge QX Q QX QX QX,

entfernen das erste QX und erhalten die Anweisung QQXQXQX. Das bedeutet also, dass wir sukzessive , , , , , ,

berechnen. Diese Methode des Potenzierens wird bereits um 200 v.Chr. im

indischen Chanda-sutra erwhnt und wurde spter von den Arabern verfeinert.

5. Potenzieren

43

Warum funktioniert dieser Algorithmus berhaupt?

Vergleicht man diese Rechnung nun mit unserer Anweisung QQXQXQX, so sieht man, dass sie genau bereinstimmt.

5. Potenzieren

44

Diese Methode ist aber nicht optimal So gibt es Beispiele, wo man mit weniger Multiplikationen auskommt. Die binre Methode bentigt fr 15 insgesamt sechs

Multiplikationen. Es ist aber mglich, in zwei Multiplikationen und in

drei weiteren zu berechnen.

6. Darstellung negativer Zahlen

45

Vorzeichen wird getrennt von der Zahl gehalten positives Vorzeichen 0 negatives Vorzeichen 1

-te Bit: Vorzeichen (VZ) restliche Bits: Betrag der darzustellenden Zahl Das Vorzeichen ist bei arithmetischen Operationen und bei

Vergleichsoperationen getrennt zu behandeln. Bsp. fr 6:

Darstellung durch Vorzeichen und Betrag

VZ Betrag

1 2 2 1 0

27 0 0 1 1 0 1 1

27 1 0 1 1 0 1 1


46

Ordnungsrelation gilt nur innerhalb der positiven Zahlen Die negativen Zahlen kommen hinter den positiven

Die Zahl 0 besitzt zwei Darstellungen (+0/-0) Bsp.: m=3

Darstellung durch Vorzeichen und Betrag - Ordnungsrelation

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110

0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111


47

Bezeichnet man die Binrzahl mit , so erhlt man dadurch zum Beispiel folgende Zahlendarstellungen fr die Zahlen

Darstellung durch Vorzeichen und Betrag

0 0 000 00

1 1 000 01

2 1 2 1 011 11

0 2 100 00

1 2 1 100 01

2 1 2 1 111 11


48

Eine negative Zahl unterscheidet sich von der entsprechenden positiven Zahl mit demselben Betrag dadurch, dass Nullen und Einser vertauscht sind.

Ausgangspunkt: positiver Betrag der Zahl Bsp. fr 7:

Diese Darstellung kann auch dahingehend gedeutet werden, dass negative Zahlen durch Ergnzung auf 2+1 1ermittelt werden.

Zahl 0 besitzt 2 Darstellungen 000000 0 111111 0

Positive und negative Zahlen knnen am fhrenden Bit unterschieden werden.

Einerkomplementdarstellung

27 0 0 0 1 1 0 1 1

27 1 1 1 0 0 1 0 0


49

Ordnungsrelation gilt (getrennt) innerhalb der positiven und negativen Zahlen Die negativen Zahlen kommen hinter den positiven

Die Zahl 0 besitzt zwei Darstellungen (+0/-0) Bsp.: m=3

Einerkomplementdarstellung - Ordnungsrelation

0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0

0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110

0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111


50


0 0 000 00

1 1 000 01

2 1 2 1 011 11

2 1 2 100 00

2 2 2 1 100 01

1 2 2 11110

0 2 1 111 11


51

Die Addition kann man sich als Rechnung 2+1 1 vorstellen Denkt man sich dementsprechend

die Zahlen auf einem Kreis angeordnet, erkennt man, dass es aufgrund der zwei-fachen Darstellung der 0bei einem berlauf not-wendig ist, 1 zum Ergebnis zu addieren


1 0 0 1 1 025 1 0 0 1 1 025

0 1 0 0 1 1 19 0 1 010 1 1 19

1 0 1

1 0 0 1 1 025 1 0 0 1 1 025

0 11010 1 1 19 0 11010 1 1 19

0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 25 1 0 0 1 1 025

0 11010 1 1 19 0 11010 1 1 19

1 1 0 0 1 6


52

Addition in Einerkomplementdarstellung - Beispiel 1 (m = 5)

0 0 00 1 11 0 11 1 10

0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25

1 0 1 1 0 0 19 1 0 1 1 0 0 19

1 0 1

0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25

1 0 1 1 0 0 19 1 10 1 1 0 0 19

1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25

11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1

10 1

6


53


0 0 00 1 11 0 11 1 10

1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6

1 0 1 1 0 0 19 1 0 1 1 0 0 19

1 0 1

1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6

1 0 1 1 0 0 19 1 10 1 1 0 0 19

1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6

11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19

0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

10 1

25


54


0 0 00 1 11 0 11 1 10


55

Eine tatschliche berschreitung des Zahlenbereiches kann durch einen Plausibilittstest des Vorzeichens erkannt werden, z.B.:

Da die Summe zweier negativer Zahlen nicht positiv sein kann, ist bei der Addition ein wirklicher berlauf entstanden.

Richtig ist also 44.

Addition in Einerkomplementdarstellung

1 0 0 1 1 0 25

1 10 11 1 0 0 19

1 0 1 0 0 1 0

1

0 1 0 0 1 1 19

44

0 0 00 1 11 0 11 1 10


56

Negative Zahlen werden im Zweierkomplement durch Ergnzung auf 2+1 dargestellt

Ausgangspunkt: Einerkomplement der Zahl Berechnung negativer (!) Zahlen: 1 dazu addieren

Alternativ: die binren Ziffern der positiven Zahl von rechts nach links bis inkl. zur ersten 1 kopieren und die restlichen Ziffern zu komplementieren.

Zweierkomplementdarstellung

27 0 0 0 1 1 0 1 1

27 1 1 1 0 0 1 0 1

von rechts bis zur ersten 1 kopiertrestliche Ziffern komplementiert

27 0 0 0 1 1 0 1 1Einerkomplementdarst.: 27 1 1 1 0 0 1 0 0Zweierkomplementdarst.:27 1 1 1 0 0 1 0 1

1 dazu addieren


57

Ordnungsrelation wie beim Einerkomplement Ordnung (getrennt) innerhalb der positiven und negativen Zahlen Die negativen Zahlen kommen hinter den positiven

Die Zahl 0 hat eine eindeutige Darstellung Bsp.: m=3

Zweierkomplementdarstellung - Ordnungsrelation

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1

0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110

0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111


58

Positive und negative Zahlen knnen am fhrenden Bit unterschieden werden.

berlufe bei Rechnungen kann man ignorieren, da die 0 eine eindeutige Darstellung besitzt

Zweierkomplementdarstellung

0 0 000 00

1 1 000 01

2 1 2 1 011 11

2 2 100 00

2 1 2 1 100 01

1 2 1 111 11

0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25

1 0 1 110 1 19 1 0 1 110 1 19

0 1 0

0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25

1 0 1 110 1 19 110 1 110 1 19

1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25

1110 1 110 1 19 1110 1 110 1 19

0 0 1 1 0 1 6


59

Addition in Zweierkomplementdarstellung - Beispiel 1 (m = 5)

X

0 0 00 1 11 0 11 1 10

1 0 0 1 1 1 25 1 0 0 1 1 1 25

0 1 0 011 1 19 0 1 01011 1 19

0 1 0

1 0 0 1 1 1 25 1 0 0 1 1 1 25

0 11010 11 1 19 0 110 1011 1 19

0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 25 1 0 0 1 1 1 25

0 11010 11 1 19 0 110 1011 1 19

1 1 0 1 0 6


60


0 0 00 1 11 0 11 1 10

1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 1 0 6

1 0 1 1 0 1 19 1 0 1 1 0 1 19

1 1 1

1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 1 0 6

1 0 1 1 0 1 19 110 1 1 0 1 19

1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 1 0 6

1110 1 1 0 1 19 1110 1 1 0 1 19

0 0 1 1 1 1 25


61


X

0 0 00 1 11 0 11 1 10


62

Da die Multiplikation zweier -stelliger Zahlen ein 2-stelliges Ergebnis produzieren kann, mssen die Faktoren vor Durchfhrung der Rechenoperation auf 2 Stellen erweitert werden.

Dabei ist zu beachten, dass positive Zahlen mit Nullen, negative mit Einsern ergnzt werden mssen, um das Vorzeichen nicht zu zerstren.

Bsp. 1:

Multiplikation in Zweierkomplementdarstellung (1 von 2)

610 310 18100000002 1111112 1011102

Ergnzende Nullen Ergnzende Einser


63

Bsp. 2:

Die Bits werden ber den linken Rand hinausgeschoben, berlauf kann vernachlssigt werden

Multiplikation in Zweierkomplementdarstellung (2 von 2)

1 1 1 1 1 0 0 1 710 mit Vorzeichenerweiterung 1 1 1 1 1 1 0 1 310 mit Vorzeichenerweiterung1 1 1 1 1 0 0 1 (11111001 1, um null Stellen nach links verschoben)0 0 0 0 0 0 0 0 (11111001 0, um eine Stelle nach links verschoben)1 1 1 0 0 1 0 0 (11111001 1, um zwei Stellen nach links verschoben)1 1 0 0 1 0 0 0 (11111001 1, um drei Stellen nach links verschoben)1 0 0 1 0 0 0 0 (11111001 1, um vier Stellen nach links verschoben)0 0 1 0 0 0 0 0 (11111001 1, um fnf Stellen nach links verschoben)0 1 0 0 0 0 0 0 (11111001 1, um sechs Stellen nach links verschoben)

1 0 0 0 0 0 0 0 (11111001 1, um sieben Stellen nach links verschoben)0 0 0 1 0 1 0 1 2110


64

Bei dieser Darstellung wird zur Zahl ein so bemessener Exzess addiert, dass das Ergebnis nicht negativ ist.

Der Exzess muss daher gleich dem Betrag der kleinsten negativen Zahl gewhlt werden.

Ausgangspunkt: Zweierkomplement der Zahl Berechnung: nur das Vorzeichen invertieren

Exzess muss bei arithmetischen Operationen bercksichtigt werden. Addition: Exzess von der Summe subtrahieren Subtraktion: Exzess zur Summe addieren

Exzessdarstellung


65

Die Abbildung ist ordnungserhaltend in dem Sinne, dass kleineren Zahlen auch in der Maschinendarstellung kleinere Zahlen entsprechen.

Die Zahl 0 hat eine eindeutige Darstellung Bsp.: m=3, Exzess 2 2 8

Exzessdarstellung - Ordnungsrelation

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110

0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111


66

Zum Beispiel sei 2:Exzessdarstellung

2 0 000 00

2 1 1 000 01

1 2 1 011 11

0 2 100 00

1 2 1 100 01

2 1 2 1 111 11


67

Die Zahl 502soll in Vorzeichen und Betrag, Einerkomplement, Zweierkomplement und Exzessdarstellung fr ein binres System mit 12 Bit umgerechnet werden.

Beispiel

50210 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2

Vorzeichen & Betrag: 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2

Einerkomplement: 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2

Zweierkomplement: 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2

Exzessdarstellung: 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2

mit 0en auffllen undVorzeichenbit 1 (weil neg. Zahl)

Bits invertieren

1 dazu zhlen

VZ-Bit invertieren

01 tgi zahlendarstellung

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