01b - statica
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STATICA
• Grandezze e operazioni fondamentali
• Carichi e vincoli
• Equazioni di equilibrio
• Calcolo delle reazioni
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Grandezze e operazioni fondamentali
Forza, momento e loro risultanti
Forza:
• Vettore (modulo, direzione, verso)
• Operazione di risultante
∑= i xiFx F R
In componenti cartesiane
La risultante è un vettore libero, cioè non legato a un particolare
punto di applicazione
∑= i yiFy F R ∑= i
ziFz F R
F 1
F 2
RF
F Rr
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2Momento di una forza
• Vettore (risultato di un prodotto vettore o prodotto esterno)…
F M rr
∧−= )OP(O
polo
punto di applicazione
della forza
•… libero (nota: è calcolato rispetto a O, non applicato in O)
F
M
O
P
O
Vettore M O perpendicolare alpiano contenente (P-O) e F
Fb M =O
F
O
P
b
M O
Rappresentazione pratica 2D
(direzione vettoriale momento
sempre normale al piano delloschema)
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3Momento risultante
• Vettore (somma vettoriale)
∑∑ +∧−=+=i
iiii
ii M C F C M R ))OP(()( OO
rrrrr
momento “puro”
• Trasposizione (regola per il cambiamento di polo: da O a O')
F M M R R R
rrr
∧−+= )'OO(O'O
Significato pratico dei momenti puri: casi in cui un sistema produce
solo momento e nessuna forza risultante.
Esempi:
C=Fh
h F
F
coppia di due forze
uscita da
un motore
Proprietà utile pereseguire certi calcoli
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4Equilibrio statico
Un sistema è in equilibrio statico se:
• equil. alla traslazione
• equil. alla rotazione
0rr
=∑i iF
0)( O
rrr
=+∑i ii C M
0=∑i xiF 0=∑i yiF
0)( =++−∑ii yii xii C F xF y
Nel piano, ragionando per componenti (e con polo in O):
y
xO xi
yi
F yi
F xiPi
Cioè se forza e momento risultanti (polo qualsiasi) sono nulli
In pratica, nei sistemi meccanici l’equilibrio si realizza tra carichi applicati e
reazioni dei vincoli (supporti, fissaggi, cuscinetti,…)
notare i differenti
versi di momentodovuti a F xi, F yi
3+3=6
condizioni
2+1=3 condizioni
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Equivalenza statica (1)
Due sistemi sono equivalenti se danno origine a:• stessa forza risultante
• stesso momento risultante
Notare che equivalenti non significa che
sono identici, ma che nelle equazioni di
equilibrio danno uguale contributo
Il momento di trasporto M permette dirispettare l’equilibrio alla rotazione
M=Fd F
d
Sistema equivalente
F d
Sistema originale
Il principio di equivalenza viene spesso utilizzato per sostituire,
nelle equazioni, un sistema complicato con uno semplice
Casi notevoli di uso dell’equivalenza:
1) “Trasporto” trasversale di una forza
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Equivalenza statica (2)
F 1
F 2
F 3
2) Sostituzione di un sistema di forze/momenti con i soli:
• Forza risultante, applicata in un punto arbitrario, e
• Momento risultante, calcolato con polo nel punto arbitrario
Sistemi piani: è possibile sostituire il sistema con la sola risultante
applicata su una particolare retta di passaggio, l'asse centrale.
Per determinarlo:
i) Si sostituisce il sistema iniziale con la risultante
applicata in O e il momento risultante R M o;
0O'O
=ξ−= F M M R R R F M R R / O
=ξ→ ξ
RF
O'
ii) Utilizzando l’equazione di trasposizione del
momento si cerca il polo O' per il quale il momento
risultante si annulla:
F
M O
R
R
O
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Carichi e vincoli
Carichi: azioni esercitate sulla struttura (di solito dati del
problema)
• Concentrati (puntuali): forza, momento
• Distribuiti:
di volume – es.: peso specifico di un materiale
di superficie – es.: pressione di un fluido, peso all’unità di
area di un elemento “bidimensionale”(lamiera, …)
di linea – es.: peso all’unità di lunghezza di un elemento
“monodimensionale” (cavo, barra,…)
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8Vincoli: collegano gli elementi strutturali fra di loro (v. interni) o a
un basamento (v. esterni), esercitando reazioni (di solito incognite
del problema)
Duplice aspetto:
• Cinematico: limitazione del moto Vincoli interni – punti di elementi diversi sono obbligati ad
assumere uguali componenti di spostamento/rotazione
Vincoli esterni – punti di elementi diversi sono obbligati adassumere le componenti di spostamento/rotazione imposte dal
basamento (di solito nulle)
• Statico: applicazione delle reazioni
Vincoli interni – forze, momenti di reazione scambiati tra gli
elementi collegati
Vincoli esterni – forze, momenti di reazione applicati dal
basamento alla struttura e viceversa
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Termini noti e incogniti
Dei due termini, cinematico (spostamento o rotazione) e statico
(forza o momento) associati a un certo grado di libertà, sempre uno
dei due è noto e l’altro è incognito :
• Se è noto lo spostamento o la rotazione (vincolo), allora è
incognita la reazione esercitata
• Viceversa, se è nota la forza o il momento (applicazione di uncarico), allora il corrispondente spostamento è incognito
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10Tipi di vincolo (1)
• Cerniera (2 reaz. incognite)
Ordine del vincolo:
Numero di gradi di libertà (coincidente col numero di componenti
di reazione) vincolati: vincolo semplice, doppio, triplo, ecc.
Vincoli notevoli nel piano:
Le componenti segnate sono da
intendersi come reazioni esercitate
dal basamento verso gli elementi
V
V
O
V
O
• Appoggio o carrello (1 reaz. incognita)
• Incastro (3 reaz. incognite)
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Tipi di vincolo (2)
• Cerniera interna (2 reaz. incognite)
Le componenti segnate sono da
intendersi come di azione e
reazione scambiate tra gli
elementi
• Guida prismatica interna (2 reaz.incognite)
OVO
V
V
V
O''
V ''
O'
V '
F ' O'≠O''
V '≠V '' La situazione si complica nel caso di carico
applicato direttamente sul vincolo
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12Grado di iperstaticità (1)
Obiettivi:• Conteggiare il numero di reazioni incognite
• Stabilire se un problema è risolvibile con le sole
equazioni della staticaDefinizione:
h rappresenta il numero di gradi di libertà del sistema, con segno cambiato
a pciv +++= )(23
h= N° reazioni – N° equazioni
Per problemi piani: mvh 3−=N° elementi
Gr. di lib. nel pianoN° reazioni
N° appoggi
N° guide prismatiche
N° incastri
N° cerniere
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Grado di iperstaticità (2)
Casi possibili:
• h < 0 “ipostatico” (o “labile” )
la posizione degli elementi non è univocamente
determinata (meccanismo) equilibrio statico possibile se i carichi esterni soddisfano
opportune condizioni
• h = 0 “isostatico”
posizione degli elementi univocamente determinata
è possibile determinare le reazioni incognite mediante le
sole equazioni della statica
• h > 0 “iperstatico”
sistema sovravincolato
NON è possibile determinare le reazioni incognite
mediante le sole equazioni della statica
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Esempi di sistemi labili, iso- e iperstatici (2D)
m = 1
h = -3
v = 0
m = 1
h = -2
v = 1
a = 1
m = 1
h = -1
v = 2
c = 1
m = 1
h = 0
v = 3
c = 1
a = 1
m = 1
h = 0
v = 3
i = 1
m = 1
h = 1
v = 4
c = 2
m = 1
h = 1
v = 4
i = 1a = 1
m = 1
h = 2
v = 5
i = 1c = 1
m = 1
h = 3
v = 6
i = 2
m = 2
h = -1
v = 5
c = 2
a = 1
m = 2
h = 0
v = 6
c = 3
Un elemento
Due elementi
m = 2
h = 1
v = 7
i = 1
c = 2
eccetera …
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Scrittura equazioni di equilibrio
Procedura
• Racchiudere ogni elemento in una linea di distacco che lo
isola dagli altri interrompendo i vincoli• In corrispondenza delle interruzioni, segnare su ogni
elemento le componenti di reazione (incognite)
diagramma di corpo libero
le componenti segnate indicano le azioni degli altri elementi (o
del basamento) sull’elemento considerato
• Per ogni elemento scrivere le equazioni di equilibrio
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Esempi di diagrammi di corpo libero nel piano
Scelta di direzione e verso delle componenti incognite
• Per gli appoggi la direzione è quella dell’unica
componente di reazione applicata;
• Per le cerniere si scelgono due direzioni ortogonali,spesso (ma per comodità, non obbligatoriamente!)
orizzontale e verticale
• La scelta di un verso o del suo opposto è arbitraria,
semplicemente cambia di segno la reazione datrovare
importante: principio di azione e reazione
nei vincoli interni
F
F
1
2
A
B
linea di
distacco
F
F
1
2
V A
V BOA
F F
12
V AV B
OA OB
V C
OC
OC
V C
F F
12
BA
C
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17Equazioni di equilibrio nel piano
Gruppo di tre equazioni, scelte fra le seguenti combinazioni:
a) 2 equazioni di equilibrio alla traslazione lungo
direzioni non parallele + 1 equazione di
equilibrio alla rotazione intorno ad un puntoarbitrario;
Polo 1
Polo 2
90°
direzione di equil.alla traslazione
NO!
Polo 1
Polo 2
Polo 3NO!
Nei casi b), c) non rispettare le limitazioni porta
a scrivere equazioni che non esprimono tre
condizioni diverse di equilibrio nel piano
b) 2 equazioni di equilibrio alla rotazione + 1
equazione di equilibrio alla traslazione lungo
una direzione non perpendicolare allacongiungente i punti rispetto ai quali si
calcolano i momenti;
c) 3 equazioni di equilibrio alla rotazione intornoa punti non allineati.