02 alberi

Facoltà di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

A.A. 2010/11

Progettazione di Sistemi Meccanici

Progetto di un albero

M. MADIA

2

• Assi: fissi o rotanti; sollecitati solamente a flessione, non a torsione.

• Alberi: sempre rotanti; sollecitati sia a flessione, sia a torsione.

Definizioni

M. MADIA – Progettazione di Sistemi Meccanici

Linea d’asse: rettilinea, a gomiti.

Tipo di sezione: cava o piena.

Forma della sezione: circolare o profilata (quadrati, scanalati).

Lunghezza: lunghi o corti.

Tipologia: di pezzo, snodati flessibili.

Vincoli: isostatici, iperstatici (a prescindere dalla libertà di ruotare).

3Esempio di albero


4

La progettazione di un albero consiste principalmente nel dimensionamento dei diametri delle varie sezioni.

Dimensionamento di massima:

esperienza;

calcoli semplificati;

formule empiriche.

Progetto di un albero: dimensionamento di massima


Verifiche:

Resistenza alle sollecitazioni statiche;

Resistenza a fatica;

Entità massima delle deformazioni;

Velocità critiche sia flessionali, sia torsionali.

5

Primo dimensionamento dei dettagli (raccordi, smussi, cave, …):

Progetto della geometria dei “punti critici”: raccordi tra tratti a diversi diametri sedi e spallamenti per cuscinetti sedi di linguette e chiavette profili scanalati etc.

Sovra-sollecitazionilocalizzate

(Effetto d’intaglio)

Progetto di un albero: dimensionamento dei dettagli


Primo dimensionamento dei dettagli (raccordi, smussi, cave, …):

esperienza;

calcoli semplificati;

formule empiriche.

Verifiche:

Resistenza alle sollecitazioni statiche;

Resistenza a fatica.

6Progetto di un albero: scelta del materiale

Nella trattazione seguente ci si riferirà sempre ad alberi costruiti in acciaio.Si ha una importante divisione a seconda del tipo di albero:

alberi lunghi; alberi corti.

In generale negli alberi lunghi la condizione limite è rappresentata dalla deformazione massima accettabile, quella che viene definita come freccia massima (fmax).Il parametro importante è quindi la rigidezza dell’albero, legata al modulo di


Il parametro importante è quindi la rigidezza dell’albero, legata al modulo di elasticità che assume valori simili per tutti gli acciai.Non sono quindi necessari acciai ad alta resistenza, possono essere usati acciai come Fe360, Fe430 o Fe510.

Negli alberi conti la condizione limite è rappresentata dalla vita a fatica.In questo caso è necessario usare acciai ad alta resistenza (non legati o debolmente legati). Esempi tipici sono il C40 od il 30NiCrMo3.In generale vengono anche sottoposti a trattamento termico per migliorarne le caratteristiche di resistenza a fatica (es. bonifica).

7Progetto di un albero: condizioni particolari

Bisogna prendere in considerazione il fatto che gli alberi possono lavorare in condizioni particolari in cui possono diventare limitanti altre sollecitazioni:

usura; fatica da contatto; corrosione; etc.

Rimedio: cementazione o nitrurazione.

Rimedio: rivestimenti.


8

Prima di procedere con il dimensionamento è necessario effettuare delle

considerazioni preliminari sulla geometria dell’albero.

• Prima stima delle distanze tra supporti, mozzi, etc.

riduzione degli ingombri;

interfacce con altre parti della macchina;

Progetto di un albero: passi preliminari


interfacce con altre parti della macchina;

etc.

• Scelta di un diametro “medio” necessario:

stima delle sollecitazioni agenti sull’albero.

9

Schematizzazione delle azioni agenti su di ruotadentata elicoidale montata su di un albero vincolatoisostaticamente (cerniera e cuscinetto).

Progetto di un albero: calcolo delle azioni interne (1)


2t t

dM F= ⋅

10

E’ necessario effettuare le seguenti operazioni:

• individuare i piani in cui eseguire lo studio (x-z ed y-z);

• riportare tutti i carichi sull’asse dell’albero;

• ricordarsi dei momenti di trasporto.



11

L’operazione successiva è il calcolo delle reazioni vincolari.

l a b= +2

t t

dM F=



0

0

02

a

t

r a

A F

bH F

l

b dV F F

l l

= −

=

= + ⋅

1

12

t

r a

aH F

l

a dV F F

l l

=

= − ⋅

12

Bisogna quindi fissare una convenzione per il calcolo delle azioni interne. La

convenzione può essere fissata arbitrariamente, l’importante è essere

conformi nella scrittura delle azioni interne.

Taglio: T

Azione assiale: N



Taglio: T

Momento flettente: Mf

Momento torcente: Mt

13

Mf

T

Mf

T

12

r a

d aa F F

l

⋅ − ⋅ ⋅ −

2r a

d ab F F

l

⋅ + ⋅ ⋅

t

a bF

l

⋅⋅

b d

2

a dF F

l l−

⋅b

t

aF

l

12

r a

d aa F F

l

⋅ − ⋅ ⋅ −

2r a

d ab F F

l

⋅ + ⋅ ⋅

t

a bF

l

⋅⋅

b d

2

a dF F

l l−

⋅b

t

aF

l


Le azioni interne vengono calcolate indipendentemente sui due piani.


T

N

Mt

Piano x-z Piano y-z

T

N

Mt

Piano x-z Piano y-z

2r a

b dF F

l l+

⋅

bF

l

aF

2t

dF

2r a

b dF F

l l+

⋅

bF

l

aF

2t

dF

14

,32.16

f MAX

amm

Md

σ≥

Progetto di un albero: progetto di massima (1)

Considerando la flessione ed in particolare avendo calcolato il massimo

momento flettente con la risoluzione delle azioni interne, si può scrivere:


amm

Mf,MAX : massimo momento flettente

d : diametro albero nella sezione con massimo Mf

σamm (~ Rm / 6) : massima sollecitazione ammissibile per il materiale

15

,31.72

t MAX

amm

Md

τ≥


Passando alla torsione, avendo calcolato il massimo momento flettente con la

risoluzione delle azioni interne, si può scrivere:


amm

Mt,MAX : massimo momento torcente

d : diametro albero nella sezione con massimo Mt

τamm (~ Rm / 15) : massima sollecitazione ammissibile per il materiale

16

,32.17

f eq

amm

Md

σ≥ ( )

222, ,maxf eq f t

M M Mα= + ⋅dove


Nel caso l’albero venga sollecitato sia a torsione che a flessione:


α2 = 0.25 : flessione rotante con torsione pulsante o costante

α2 = 0.75 : flessione rotante con torsione alternata

17

Le operazioni fondamentali da eseguiresono:

• determinazione del fattore Kt (ad es. da

diagrammi sperimentali)• calcolo della sollecitazione massima

effettiva:

Progetto di un albero: sovrasollecitazioni locali (1)


max t nomKσ σ= ⋅

18

Fa

Fr

Progetto di un albero: sovrasollecitazioni locali (2)

E’ possibile determinare il fattore Kt anche con metodi numerici (FEM, BEM,

etc.)


Ft

Cuscinetto volvente radialeLato motore

Cuscinetto volvente reggispinta

Ampia zona di sovrasollecitazione causata dalla variazione di geometria

19

Ci si limita al caso dei materiali duttili, ammettendo che sia accettabile losnervamento localizzato. In questo caso è possibile eseguire la verifica staticanell’ipotesi di insensibilità all’intaglio.Si fa riferimento ad un criterio per materiali isotropi, in generale si usano ilcriterio di Huber-Hencky-von Mises od il criterio di Guest-Saint Venant-Tresca:

στσσ sn≤⋅+= 22* 3

Progetto di un albero: verifica di resistenza statica


η

στσσ sn

nomnom ≤⋅+= 22*

vM 3

η

στσσ sn

nomnom ≤⋅+= 22*

GT 4

20Progetto di un albero: verifica di resistenza a fatica

Nel caso di verifica di resistenza a fatica bisogna tenere in considerazionidiversi fattori.In generale il progetto di un albero a fatica deve sempre considerare iseguenti effetti:

1. effetto dell’intaglio (coefficiente di intaglio a fatica Kf, passaggio dal limite

di fatica della provetta a quello del componente);2. finitura superficiale (coefficiente b2);


2. finitura superficiale (coefficiente b2);3. effetto dimensionale (coefficiente b3).

21

( )1 1f tK q K= + ⋅ −

Progetto di un albero: sensibilità all’intaglio (1)

Il coefficiente di intaglio a fatica Kf viene espresso attraverso la seguenterelazione che dipende dal coefficiente di intaglio teorico Kt e dalla sensibilitàall’intaglio q:

La sensibilità all’intaglio q viene espressa dalle due seguenti relazioni


1

1 'q

rρ=

+

1

1q

a r=

+oppure

Neuber Peterson

empiriche:

22Progetto di un albero: sensibilità all’intaglio (2)

Risulta interessante osservare l’espressione della sensibilità all’intaglio datada Neuber e Peterson.

2

140

≈′ρ


mR

140

≈′ρ

Risulta evidente che materiali con diverse caratteristiche meccaniche sonodiversamente sensibili all’intaglio.In particolare più sono elevate le caratteristiche, più elevata è la sensibilità.

23Progetto di un albero: effetto della finitura superficiale

L’effetto della finitura superficiale è strettamente legato al coefficiente diintaglio, le asperità possono aumentare il valore di sforzo locale, degradandoquindi il limite di fatica del pezzo.


( )( )rifa,alim

rifa,alim

2RR

RR

=

≠=

σ

σb

24Progetto di un albero: effetto dimensionale

Passando dalla provetta al pezzo si nota una diminuzione del limite di fatica,fenomeno che prende il nome di effetto dimensionale.

( )( )10mmd

10mmd

lim

lim3

=

≠=

σ

σb


25

2 3lim FA

f

b b

Kσ σ

⋅= ⋅

Progetto di un albero: limite di fatica del pezzo

Gli effetti precedentemente illustrati portano alla formulazione del limite difatica del pezzo, sulla base del limite di fatica del provino:

In cui σFA è il limite di fatica ricavato dalle prove di laboratorio su provini


limamm

σσ

η=

In cui σFA è il limite di fatica ricavato dalle prove di laboratorio su provinistandard.La sollecitazione ammissibile a fatica è quindi ricavata introducendo un valoredel coefficiente di sicurezza η:

26Progetto di un albero: verifica di resistenza a fatica

La verifica a fatica di un albero soggetto a flesso-torsione deve riferirsi ad uncriterio di fatica multiassiale.Tra i vari criteri i più usati sono quello di Gough-Pollard e quello del Sines.Nel seguito si farà sempre riferimento al criterio di Gough-Pollard che nellasua forma più generale può essere formulato come:

amm

22

lim

2 στσσ ≤⋅+=∗aaGP H


ammlim στσσ ≤⋅+= aaGP H

limlimlim τσ=H

E’ importante rimarcare come i limiti a torsione e flessione siano fortementedipendenti dal tipo di sollecitazione applicata, ovvero se il ciclo di carico èalternato simmetrico o vi è anche presenza di sforzo medio (diagrammi diHaigh o Smith).

27Progetto di un albero: verifica delle deformazioni (1)

E’ importante tenere in mente che la verifica a rottura del pezzo è unacondizione necessaria ma non sufficiente per un buon progetto.E’ infatti necessario anche tenere conto delle massime deflessioni con cui unalbero può operare, soprattutto quando siamo in presenza di alberi lunghi e dibasse tolleranze negli ingombri.Di solito si fa riferimento alle seguenti condizioni:

freccia massima minore di l/3000, dove l è la distanza tra i supporti;


freccia massima minore di l/3000, dove l è la distanza tra i supporti;

rotazione ai supporti inferiore a 10-3 radianti (circa 3 gradi.)

28Progetto di un albero: verifica delle deformazioni (2)

Consideriamo il seguente esempio.

Vincoli: cerniera e carrello. Carichi: radiali su due piani ortogonali.


29

Deformata per il solo carico Pxz

2 2

max max, max,xz yzf f f= +

2 2

max,3

P a bf

E J l

ξζ

ξζ

ξζ

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

Progetto di un albero: verifica delle deformazioni (3)


Deformata per il solo carico Pyz

fmax,xz

fmax,yz

2 2

xz yzα α α= +Analogamente per le rotazioni:

30Progetto di un albero: velocità critiche flessionali (1)

Si indicano con il termine velocità critiche quei regimi di rotazione pericolosiper il corretto funzionamento della macchina.In particolare, quando la pulsazione della forzante eguaglia una dellepulsazioni proprie della macchina si determinano delle condizioni di risonanza.Si consideri un albero privo di massa propria con un disco sottile calettato sudi esso, rotante a velocità costante Ω.L’albero interseca il disco nel punto C non coincidente con il baricentro G deldisco, ma distante quindi una quantità ε.


disco, ma distante quindi una quantità ε.


E’ quindi possibile scrivere, in un riferimento cartesiano, l’equilibrio dinamicodel sistema in cui compaiono solo la forze di inerzia e quelle di richiamoelastico:

22

3 con

0

0

ba

lJEk

kyym

kxxm

G

G

⋅

⋅⋅⋅=

=+

=+

&&

&&


Esprimendo le coordinate del baricentro G in funzione delle coordinate delpunto C:

0 bakyym G ⋅ =+&&

( )( )

( )( )

ΩΩ=+

ΩΩ=+

Ω+=

Ω+=

tmkyym

tmkxxm

tyy

txx

G

G

sin

cos quindi

sin

cos2

2

ε

ε

ε

ε

&&

&&


Il moto del punto C viene quindi descritto dalle seguenti equazioni:

( )

( ) m

k

tmk

my

tmk

mx

cr

C

C

==Ω

ΩΩ−

Ω=

ΩΩ−

Ω=

ωε

ε

quindi

sin

cos

2

2

2

2


Per quanto riguarda il baricentro G le equazioni di moto sono:

( )

( )

Ω

+

Ω−

Ω=

Ω

+

Ω−

Ω=

tmk

my

tmk

mx

G

G

sin

cos

2

2

2

2

εε

εε


Si possono fare quindi delle interessanti considerazioni sulla traiettoriadescritta dal punto C e dal baricentro G.In particolare, il punto C descrive a regime una circonferenza il cui raggio è:

( )( )

εωω

ω

ωε

→⇒>>Ω∞→⇒=Ω

Ω−

Ω⋅=

CC

C

RR

R

,

12

2


εωω →⇒>>Ω∞→⇒=Ω CC RR ,

Nel caso del baricentro G si ha invece:

( )( )

0 ,

11

2

2

→⇒>>Ω∞→⇒=Ω

+Ω−

Ω⋅=

GG

G

RR

R

ωω

ω

ωε

Questo fenomeno viene definito come auto-centraggio del baricentro.

34Progetto di un albero: velocità critiche torsionali (1)

Si consideri prima il caso di un albero snello, con massa trascurabile, il cuiestremo di sinistra è incastrato su quello di destra è calettato un disco sottilecon momento di inerzia I.

L’albero è caratterizzato da una rigidezza torsionale espressa da:


l

JGk

p⋅=θ

in cui G è il modulo elastico tangenziale e Jp il momento d’inerzia polare della

sezione dell’albero.

L’albero è caratterizzato da una rigidezza torsionale espressa da:


Per una certa rotazione arbitraria θ si genera quindi una coppia di richiamodata da:

θϑ ⋅⋅

=l

JGM

p

L’equazione che governa le vibrazioni torsionali risulta quindi:

( )GJ


da cui si ricava facilmente che la frequenza propria ω del sistema è:

( )tMl

GJI

p Ω=+ cosθθ&&

lI

JG p

⋅

⋅=ω

Si ha pertanto risonanza quando Ω = ω.


Gli alberi sono in realtà liberi di ruotare e portano più di una massa (peresempio volani o ruote dentate).Si consideri quindi lo stesso sistema illustrato in precedenza, in cui peròanche sull’estremo di sinistra è calettato un disco sottile.


Trascurando il momento forzante, l’oscillazione libera del sistema deveavvenire in equilibrio dinamico, ovvero una massa deve oscillare in un sensoe l’altra deve farlo nell’altro senso.


Deve quindi esistere una sezione dell’albero che durante la vibrazione è comese rimanesse fissa in quanto i due tratti di albero in quel punto devonopossedere la stessa pulsazione, ovvero:

2211

2211

lIlIlI

JG

lI

JG pp ⋅=⋅⇒⋅

⋅=

⋅

⋅=ω


Considerando la seguente relazione:

Si ottiene la seguente relazione per la velocità critica torsionale:

lll =+ 21

l

JG

II

II p⋅⋅

⋅

+=

21

21ω

38Progetto di un albero: montaggio cuscinetti (1)

La scelta dei cuscinetti è di fondamentale importanza, in quanto è necessariofare la scelta costruttiva più opportuna in relazione allo schema ideale che si èusato nella fase di dimensionamento.Nel caso illustrato di seguito si ha un esempio di errato montaggio deicuscinetti (a) e della corretta soluzione (b).



Nella figura vengono riportate due diverse soluzioni costruttive per il montaggiodei cuscinetti:

a sinistra i cuscinetti non sono vincolati assialmente alla scatola; a destra uno dei cuscinetti è vincolato assialmente in una sola direzione.



Un’altra cosa importante è l’alloggiamento dei cuscinetti su albero e scatola,bisogna fare il modo di avere il corretto dimensionamento tra le ghiere delcuscinetto e le spalle dei supporti.Nella figura vengono presentati due casi di adattamento alla sede per unospallamento insufficiente (a) ed uno eccessivo (b).



I cuscinetti vengono schermati dall’ambiente esterno tramite delle tenute, lequali hanno anche il ruolo di evitare la perdita del mezzo lubrificante.E’ importante non avere nessun corpo estraneo nella pista di rotolamento deirulli o sfere dei cuscinetti in modo da evitare il danneggiamento degli stessi.


42Progetto di un albero: disegno costruttivo (1)

Seppur un albero risulti semplice dal punto di vista costruttivo in quanto ageometria (solido di rivoluzione), il disegno costruttivo può a volte essereanche molto complesso in quanto deve recare le indicazioni sulle lavorazioni esulle tolleranze per l’accoppiamento con altri organi.



In figura viene riportato un secondo esempio di albero che reca, a sbalzo, unapuleggia fissa ed una folle.



In figura viene riportato un terzo esempio di albero per un piccolo motoreelettrico.



In figura viene riportato un quarto esempio di albero in cui vengono messe inrisalto le lavorazioni ed i profili scanalati.


02 alberi

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