02 guía de matemáticas para el examen de ingreso a la unam (parte i)

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Gua de Matemticas para el examen de ingreso a la UNAM (Parte I) Jorge Galeazzi A. [email protected]

1. Aritmtica 2. lgebra 3. Ecuaciones 4. lgebra de funciones 5. Geometra euclidiana 6. Trigonometra 7. Respuestas a Reactivos de Matemticas

MATEMTICAS (PARTE I)

UNIDAD 1.

Aritmtica 1.1 Nmeros Reales

esIrracionalMixtospropiosImopiosPr

Racionales

NegativosCero

PositivosEnteros

CompuestosimosPr

Naturales

Reales

- Naturales: Son los que se utilizan para contar. 1,2, 3, 4, 5,, 19, 20, 21, - Primos: Son los nmeros que solo son divisibles entre si mismos y la unidad.

Ejem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, - Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen ms divisores

Ejem: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, - Enteros: Son los nmeros positivos, negativos y el cero.

Ejem: 1,-2, 0, 4, -5, etc, - Racionales Fraccionarios: Son los nmeros compuestos por un numerador y un divisor.

o Propios: Nmeros cuyo denominador es mayor que el numerador de una fraccin. Ejem:

3315,

98,

43,

61,

32

o Impropios: Nmeros cuyo denominador es menor que el numerador de una fraccin. Ejem:

1533,

89,

34,

16,

23

o Mixtos: Nmeros compuestos de nmeros enteros y propios. Ejem:

33159,

985,

438,

613,

322

- Irracionales: Son los nmeros que en su forma decimal son una serie infinita de dgitos.

Ejem:

2

,22

,23

,4

,5,37

Propiedades de los nmeros reales

Propiedad Suma Producto Cerradura ba ba Conmutativa abba abba Asociativa cbacba cbacba

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Distributiva cabacba Neutro a0a a1a

Inverso 0aa 1a1a

Recta Numrica

Todos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica.

Ejem: Representar en recta numrica:

4,76,

211,

23,

41,75.0,,

37

1.2 Divisibilidad Los principales criterios de divisibilidad son: - Divisibles entre 2: Todos los nmeros pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,.. - Divisibles entre 3: Suma de sus dgitos son: 3, 6 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3 - Divisibles entre 5: Todos los nmeros terminados en 5 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc. Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es el nmero menor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.

Mximo comn divisor (M.C.D.).- Es el nmero mayor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y se multiplican los primos obtenidos.

1.3. Operaciones con nmeros racionales:

Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.

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Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador.

Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.

Potencia y Raz

Potencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn su exponente.

Raz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice, se obtiene el valor que esta dentro del radical.

Ejem: 27333porque3273 Ejem: 102444444porque410245

1.4 Razones y Proporciones Razn: Es el cociente de dos nmeros, es decir una fraccin, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razn se representa como sigue:

Ejem: 4:343

Proporcin: Es la igualdad de dos razones. La razn se representa como sigue: Ejem: 6:14::3:7

614

37

donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 son medios.

1.5 Regla de Tres Regla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en la misma proporcin.

Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganar por 30 das?

3020

x4400

6600$das20

das304400$x

Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parmetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de produccin con respecto al tiempo.

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Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 das?

das5das4

xobreros20

obreros25das4

das5obreros20x

1.6 Tanto por Ciento

Definicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo. Se expresa con el smbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fraccin o por un decimal equivalente.

Ejem: 18% 0.18 509

10018

33.5% 0.335 20067

1000335

Clculo del porcentaje: Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.

Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655 1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65

Tambin se puede obtener un nmero en especfico con regla de tres directa.

Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%

%100%8

x400

5000%8

%100400x

Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%

%100%60

x4590

7650%60

%1004590x

Tambin se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.

Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% por venta realizada. Si vende mercanca por un total de $44000. Cuanto recibir de comisin?

$44000(0.12) = $5280

Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. En cuanto debe venderse?

%5.108

%100x

120$ 20.130$

%100%5.108120$x

Reactivos Unidad 1:

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UNIDAD 2.

lgebra 2.1 Propiedades y Definiciones

Trmino Algebraico.- Es la expresin algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base literal y exponente.

Trmino Semejante.- Es la expresin algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

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Ejem: 3x4 es semejante a 3x5

Ejem: 23ba74

es semejante a 23ba35

Clasificacin de Trminos Algebraicos.- Se clasifican segn su nmero de trminos, de la siguiente manera:

Monomio = un solo trmino Ejem: 3x3 Binomio = dos trminos Ejem: x3x7 2 Trinomio = tres trminos Ejem: 9x3x2 2 Polinomio = 2 ms trminos Ejem: 8x5x4x2 23

2.2 Leyes de los signos Suma y Resta: sumanseysignosuconservan,igualesSignos

Ejem: 1284 Ejem: 21183 Ejem: x13x10x3 Ejem: 222 y20y12y8

menorelmenosmayorelrestaseymayordelsigno,diferentesSignos

Ejem: 102212 Ejem: 15183 Ejem: x5x20x15 Ejem: 222 y7y12y5

Multiplicacin y Divisin:

essiempre,igualesSignos

essiempre,diferentesSignos

Ejem: 60512 Ejem: 1553 Ejem: 3248 Ejem: 5469

2.3 Signos de Agrupacin

Definicin.- Son los signos que nos sirven para agrupar trminos u operaciones entre ellos, los principales son:

Parntesis Corchete Llave Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el trmino signo que le antecede. Si en una expresin matemtica existen varios signos de agrupacin, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Ejem: 534 Ejem: 78347 24 7547

24 7207 2 137 137 20

Ejem: 1x3x6xx2x49

xx3x12x2x49 22

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x13xx49 2 x13xx49 2 x14x49 2 x56x49 2

2.4 Evaluacin de expresiones algebraicas El valor numrico de una expresin algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor especfico.

Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresin: 22 yxy5x3 sustituyendo: 22 112523 11043 11012 1

Ejem: Si 21a &

32b de la expresin:

41ab

43a2 2

sustituyendo: 41

32

21

43

212

2

41

32

21

43

412

41

246

42

41

41

21

2.5 Lenguaje algebraico Definicin.- Es la forma de expresin comn o coloquial que se expresa de forma algebraica.

Ejem:

Un nmero cualquiera x Un nmero cualquiera aumentado en dos 2x La diferencia de dos nmeros cualquiera yx

El triple de un nmero disminuido en cuatro 4x3

La cuarta parte de un nmero 4a

Las tres cuartas partes de la suma de dos nmeros cb43

La suma de tres nmeros naturales consecutivo 2x1xx Las dos quintas partes de un nmero disminuido en

cuatro es igual a 24 244b

52

La suma de tres nmeros pares consecutivos, es igual al cudruple del menor ms la mitad del mayor

2

4xx44x2xx

2.6 Leyes de los Exponentes

Multiplicacin: baba xxx Sumar los exponentes

Ejem: 52323 2222 Ejem: 75252 xxxx

Divisin: baba

xxx Restar los exponentes

Ejem: 42626

2222

Ejem: 52727

xxxx

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Potencia : baba xx Multiplicar los exponentes

Ejem: 62323 333 Ejem: 153535 xxx

Inverso: aaa

a xx1x

x1

Cambiar signo de exponente

Ejem: 22 221 Ejem: 22 xx

1

Unitario: 1x0 Siempre es igual a uno

Ejem: 113 0 Ejem: 1y 0

2.7 Operaciones algebraicas

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restar trminos semejantes.

Ejem: Sumar b5a3 & b3a2 b3a2b5a3 b3a2b5a3 b2a

Ejem: Restar b8a4 de b7a6 b8a4b7a6 b8a4b7a6 ba2

Multiplicacin.- La operacin algebraica de multiplicar, bsicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio por monomio

Ejem: 242 bca3ab2 21241 cbbaa32 21241 cba6 235 cba6 Monomio por polinomio

Ejem: 2xx3x2 22 2x2xx2x3x2 2222 x22xx12xx32 222 x4x2x6 1222 x4x2x6 34

Ejem: 231262 ba6ba3ba4 23621262 ba6ba4ba3ba4

26321622 ba24ba12 4174 ba24ba12 4174 ba24ba12

474

ab24

ba12

Polinomio por polinomio

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Ejem: 1x2x3x2 2 1x2x31x2xx2 22 13x23x13x12xx22xx12 22 3x6x3x2x4x2 21121 3x6x3x2x4x2 223

3x8x7x2 23 Divisin.- La operacin algebraica de dividir, bsicamente puede efectuarse, como sigue:

Monomio entre monomio

Ejem: 4223

ba12ba30 Ejem:

22332

ab3

bca2

4223 ba1230 422

9363

ba3cba2

2ab25 94326 cba

98

2b2a5

9

cba8 914

b9ca8 94

Polinomio entre monomio

Ejem: x6

x18x6x12 23

x6x18

x6x6

x6x12 23

111213 x3x1x2 3xx2 2 Polinomio entre polinomio

Ejem: 3x

15x2x2

5x

15x2x3x 2

xxx2

3xx x3x2

15x5

5xx5

3x5 15x5

0

2.8 Radicales Propiedades de los radicales:

ndice = potencia: xxx aa

a a

Ejem: 444 22

2 Ejem: 222 33

3 3

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ndice potencia: ba

b a xx

Ejem: 16444 236

3 6 Ejem: 4222 248

4 8

Multiplicacin con mismo ndice: aaa xyyx

Ejem: 4168282 Ejem: 464322322 3333 Ejem: 1448273282327829478182824182284 22

Multiplicacin con diferente ndice: ab abba yxyx

Ejem: 6623 323 72892323

Ejem: 8842 244 562596253535

Raz de una raz: aba b xx

Ejem: 12433 4 303030 Ejem: 10525 223223223

Divisin con ndices iguales: aa

a

yx

yx

Ejem: 8643

192

3

192 Ejem: 5125

2250

2250 333

3

Divisin con ndices diferentes: ab ab

b

a

yx

yx

Ejem:

33 23 56 1068

186

24

3632

2

3

3 42222222

2

21664

1664

Ejem:

11555

5

5125

5125

5 2727 0279

927 33

993

3

9

9

3

Operaciones con radicales: Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restar radicales semejantes, es decir, con el mismo ndice y la misma base, segn la siguiente regla:

nnnn atsratasar

Ejem: Resolver: 323938393338

Ejem: Resolver: 33333 383965393635

Ejem: Resolver: 982185504 24922952254

272235254 222

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272235254 214215220 2141520 221

Ejem: Resolver: 3 43 43 x244x3753x3x2

3 33 33 xx644xx15253x3x2

3 23 23 x322x4x355x3x3x2

3 33 33 x32x4x35x3x3x2 333 x3x24x3x53x3x2 333 x3x8x3x15x3x2 3 x3x9

Racionalizacin.- Es el convertir una fraccin con denominador en forma de radical, en otra fraccin equivalente, donde su denominador sea un nmero entero.

De un denominador monomio:

Forma: b ax

y , se multiplica por b ab

b ab

x

x

, y se simplifica.

Ejem: 3

3 , se multiplica por: 33 12 , el numerador y el denominador, obtenindose:

3333

3

3333

33

2

Ejem: 3 26 , se multiplica por: 3 23 13 22 , el numerador y el denominador,

obtenindose:

33

3 3

3

3 2

3 2

3 43246

2

46

2

22

6

De un denominador binomio:

Forma: ba

c

, se multiplica por el conjugado del denominador

baba

, y se simplifica.

Ejem: 31

3

, se multiplica por: 31 , el numerador y el denominador, obtenindose:

2

33331

333

31

3333131

313

22

Ejem: 22

6

, se multiplica por: 22 , el numerador y el denominador, obtenindose:

2362

261224

2612

22

26122222

226

22

Nmeros Imaginarios.- Es el expresado como i , significa la raz cuadrada de -1, es decir:

1i .

Entonces tambin: 11i 22

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ii1iii 23 111iii 224 ii11iiii 225

Ejem: i816416464

Ejem: i76i

49361

4936

49136

4936

Ejem: i76i

49361

4936

49136

4936

Operaciones con nmeros imaginarios Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen aplicando:

idcbadicibiai Ejem: Resolver: 257499813364 1257149918131364 1257149918131364 i57i79i93i64 i35i63i27i24 i35632724 i23

Ejem: Resolver: 123631184752

13413631129413252

i32i631i234i352 2222

i32i631i234i352

i32i2i212i310 i2i212i3210 i2i212i312 Ejem: Resolver: 9i8i4i2 23 9i8i4ii2 22 9i814i12 9i84i2 94i82 5i10

2.9 Productos Notables Definicin.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con trmino comn Binomio al cubo

Binomio al cuadrado Regla: 222 bab2aba 222 bab2aba

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Ejem: 222 33x2x3x Ejem: 222 22x2x2x 9x6x2 4x4x 2

Binomios conjugados

Regla: 22 bababa

Ejem: 16x4x4x 2 Ejem: 4x42x22x2 2

Binomios con trmino comn Regla: abxbaxbxax 2

Ejem: 25x25x2x5x 2 10x3x2 Ejem: 57x57x5x7x 2 35x12x2

Binomio al cubo

Regla: 32233 bab3ba3aba 32223 bab3ba3aba

Ejem: 32233 44x34x3x4x 6416x3x12x 23

64x48x12x 23 Ejem: 32233 22x32x3x2x 84x3x6x 23

8x12x6x 23 2.10 Factorizacin

Definicin.- Es la forma ms simple de presentar una suma o resta de trminos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Factor comn Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma cbxx2 Trinomio de la forma cbxax 2

Factor comn

Regla: Paso 1: Obtener el mximo comn divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada trmino entre el factor comn obtenido

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Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla: bxaxabxbax2

Ejem: 15x8x2 Ejem: 24x10x2 3x5x 6x4x

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Simplificacin de fracciones algebraicas.- Es la aplicacin de los conocimientos de productos notables y factorizacin, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mnima expresin.

Suma y resta con denominadores diferentes

Ejem: 2a

76a5a

a52

Ejem: 4xx3

3x2x

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2a7

3a2aa5

4x3x

3xx34x2x

3a2a

3a7a5

4x3x

x3x9x38x6x 22

3a2a

21a7a5

4x3x

x3x9x38x6x 22

3a2a21a12

4x3x

17x2 2

Divisin

Ejem: 3x2x6x5x

2

2

Ejem: yx4

xy2x22

2

3x1x3x2x

xyx4yxx2

1x2x

xy2

yx

Ejem: 9a10a

27a12a3a2a

9a2

2

2

2

Ejem: 322

b7a2

b6a4

1a9a

3a9a1a3a3a3a

2

32

b6a2b7a4

1a3a

1a3a

2

32

ab12ba28

1a3a1a3a

3ab7

1 Multiplicacin

Ejem:

15a525a5

5a18a9a2 Ejem:

50x107x7

1425x5

3a55a5

5a3a6a

5x101x7

145x5

3a5a55a3a6a5

5x1401x5x35

6a 4

1x

Reactivos Unidad 2:

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UNIDAD 3.

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Ecuaciones 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incgnita

Definicin.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incgnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones:

3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnita

Definicin.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solucin, se aplican bsicamente las mismas reglas que para una ecuacin, adems de las siguientes consideraciones:

Regla: Cada vez que un trmino se multiplique divida entre un nmero negativo, cambia el sentido de la desigualdad

Signos de Desigualdad y Grfica

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3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incgnitas) Definicin.- Es el llamado Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incgnitas, en que el objetivo es encontrar los valores de stas 2 variables. Existen varios mtodos para su solucin, entre los cuales estn los llamados Reduccin (Suma y Resta) y Determinantes (Regla de Kramer), que se explican a continuacin: Mtodo de Reduccin (Suma y Resta)

Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una las 2 ecuaciones por un factor factores que hagan que la suma de una de las variables sea cero y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.

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Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)

Problemas de Aplicacin Dentro del proceso de resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:

1. Leer el problema 2. Definir las incgnitas principales de forma precisa 3. Traduccin matemtica del problema 4. Resolucin del problema matemtico 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones

Ejem: En un zoolgico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y cuntos tigres viven en l?

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3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)

Definicin.- Es el llamado Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas, en que el objetivo es encontrar los valores de stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son: Reduccin (Suma y Resta) y Determinantes (Regla de Kramer): Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)

Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.

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3z1030

6181862611811826

14314

21

121

21121

114

1311

4

221

121

1121

zz

3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnita

Clasificacin

0cax:Puras0bxax:MixtassIncompleta

0cbxax:Completas

gradodo2deEcuaciones

2

2

2

Mtodos de solucin

Completas: forma ax2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de a, b y c , y para encontrar sus dos races soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0

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Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y b, pero no de c, y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de factorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0 Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y c, pero no de b, y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje, como sigue:

Reactivos Unidad 3:

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1. Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 12x863x3x ?

a) 41

b) 4 c) 4 d) 1 e) 41

2. Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 7x65x8 ?

a) 6 b) 61 c)

61

d) 3 e) 6

3. Al resolver la ecuacin 4x7103xx2 , se obtiene:

a) 2 b) 32 c)

23

d) 32

e) 23

4. Al resolver la ecuacin 3x521x23 , se obtiene:

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a) 2 b) 31 c)

21 d)

21

e) 2

5. Al resolver la ecuacin 3x2461x3x , se obtiene:

a) 4 b) 41 c) 2 d)

41

e) 4

6. El valor de x que cumple con la igualdad 41x

61x

35

es:

a) 125

b) 85

c) 83

d) 85 e)

125

7. El valor de x que cumple con la igualdad 23

2x

8x3

es:

a) 12 b) 83

c) 121

d) 83 e) 12

8. Al resolver la ecuacin 23

1x24

5x3

se obtiene:

a) 5x b) 52x c) 5x d)

52x e)

121


8x39

2x

se obtiene:

a) 2x b) 23x c)

21x d) 2x e)

21


2x34

63x

se obtiene:

a) 41x b)

61x c) 4x d) 4x e)

41

11. De la ecuacin 12x3

9

el valor de x que satisface es:

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a) 21 b)

311

c) 113 d)

311 e)

113

12. De la ecuacin x3

54

x2

el valor de x que satisface es:

a) 53

b) 45

c) 43 d)

45 e)

43

13. Al resolver la siguiente ecuacin 25

x54

57

x23

se obtiene:

a) 51

b) 117

c) 117 d) 7 e) 11

14. :La suma de dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:

a) 93y90 b) 92y91 c) 93y90 d) 92y91 e) 92y91

15. El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los nmeros a) 17y11 b) 11y9 c) 13y11 d) 15y11 e) 15y13

16. El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo nmero aumentado en 46.

a) 46x32

2x23

b) 46x32

2xx3

c) 46x3

2xx

32

d) 46x32

2xx3

e) 46x

32

2x23

17. Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?

a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89 18. La suma de dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.

a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30 19. Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. Cul

es el nmero? a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58

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20. La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si ste tiene 30 aos Cul es la edad de Roberto?

a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos 21. La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son los nmeros?

a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 22. Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186. a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62 23. La suma de las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos que Sonia. Hallar

ambas edades. a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41 24. Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las

longitudes de los lados desconocidos a) 25y15 b) 21y17 c) 22y16 d) 11y24 e) 16y25

25. Cules son las races de 012xx2 ?

a) 4y3 b) 4y3 c) 41y3 d) 4y3 e) 4y3

26. Al resolver la ecuacin 12xx6 2 se obtiene:

a) 34y

23

b) 4y3 c) 34y

23

d) 32y

43

e) 32y

43

27. Al resolver la ecuacin 2x3x2 2 se obtiene:

a) 2y21

b) 2y2 c) 21y

21

d) 21y2 e) 2y

21

28. El conjunto solucin de 01x4x4 2 es:

a)

23,

21 b)

21,

21 c)

21,

21 d)

21,

23 e)

21,

23

29. El conjunto solucin de 05x2 es:

a) 5,5 b) 5,5 c)

51,

51 d) 10,10 e) 5.2,5.2

30. El conjunto solucin de 02x3 2 es:

a)

23,

23 b) 3,3 c)

31,

31 d) 2,2 e)

32,

32

31. El conjunto solucin de 4x5 2 es:

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a)

i52,i

52 b)

i52,i

52 c)

i52,i

52 d)

52,

52 e)

52,

52

32. Al resolver la ecuacin 0xx2 se obtiene:

a) 2y21

b) 1y1 c) 0y1 d) 0y2 e) 0y1


a) 0y23 b) 0y

32

c) 23y

23

d) 0y23 e) 0y

23

34. Al resolver la ecuacin 0xx4 2 se obtiene:

a) 0y41 b) 0y4 c)

41y

41

d) 0y2 e) 0y41


a) 0y23

b) 0y32

c) 23y

23

d) 0y32 e) 0y

23

36. Cul de los siguientes valores cumple con: 7x

a) 27

b) 7 c) 7 d) 71

e) 01

37. Cul de los siguientes afirmaciones es verdadera, si 90x10

a) 9x b) 9x c) 9x d) 9x e) 9x

38. El conjunto solucin de 3x21x3 es: a) 2x b) 2x c) 2x d) 2x e) 2x

39. El conjunto solucin de la desigualdad x344x175x23 es: a) 6x b) 6x c) 6x d) 6x e) 6x

40. El conjunto solucin de la desigualdad 93

1x42

4x5

es:

a) 2x b) 2x c) 2x d) 2x e) 2x

41. El conjunto solucin de la desigualdad 1411

7x

2x

23

es:

a) 9

10x b) 9

10x c) 109x d)

109x e)

910x

42. El intervalo que satisface a 14x3

65

8x7

es:

a)

34, b)

,

34 c)

34, d)

,

34 e)

34,

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43. La expresin que representa a lo ms tengo 250 es: a) 250x b) 250x c) 250x d) 250x e) 250x

44. La expresin que representa por lo menos tengo 500 es:

a) 500x b) 500x c) 500x d) 500x e) 500x

45. El conjunto solucin de 025x2 es: a) 5,5 b) ,55, c) 5, d) ,55, e) 5,5

46. Los valores de las incgnitas del sistema

5y4x37yx2 son:

47. a) 1y,3x b) 1y,3x c) 1y,3x d) 1y,3x e) 3y,1x

48. Los valores de las incgnitas del sistema

1y3x512y2x3 son:

a) 3y,2x b) 3y,2x c) 2y,3x d) 3y,2x e) 3y,2x

49. El valor de x del sistema de ecuaciones

2yx36yx es:

a) 4 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3

50. El valor de y del sistema de ecuaciones

1y6x212y9x4 es:

a) 32 b)

32

c) 23

d) 2 e) 23

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51. Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:

a)

2yx5yx b)

2yx5yx2 c)

3yx7yx2

d)

2yx1yx e)

1yx25yx

52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro cost 8 veces lo que el collar. Cunto cost el perro y

cunto el collar?

a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4 d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7

53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos. Hallar ambas edades.

a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12 d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21

54. El valor de x , por medio de determinantes

1yx22yx es:

a)

1211

1112

b)

1211

1211

c)

1211

1111

d)

1112

1221

e)

2111

1112

55. El valor de y , por medio de determinantes

2x6y21yx3 es:

a)

2613

2231

b)

6213

2613

c)

6213

2213

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UNIDAD 4.

lgebra de funciones Valor de una funcin Se obtiene, al sustituir el valor de x en la funcin f(x):

Ejem: Si f(x) = 9x2 , obtener el valor de f(-4) y f(3) 2591694)4(f 2 189993)3(f 2

Ejem: Si f(x) = 4x

2x9x2

, obtener el valor de f(-2) y f(4)

38

616

62184

422292)2(f

2

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050

023616

442494)4(f

2

4.1 Dominio y Rango Dominio, es el conjunto de todos los valores de x admisibles para una funcin. Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de y al sustituir cada una de los elementos del

dominio en la funcin.

Ejem: El dominio de la funcin racional 24x11x

1)x(f 2

0)8(324112 xxxx , entonces, sus races son: 8xy3x 21 8,3x/xiominDo

Ejem: El dominio de la funcin racional 81x

1)x(f 2

0)9(9812 xxx , entonces, sus races son: 9xy9x 21 9,9x/xiominDo

Ejem: Para que valor de x la funcin 7x

1)x(f

se indetermina:

07 x , entonces, para: 7x la funcin se indetermina Funcin cuadrtica Es de la forma cbxax2 y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando a

es positiva y es hacia abajo cuando a es negativa.

El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:

a4bac4,

a2bV

2

Los puntos donde la grfica interseca al eje x, son la solucin de la ecuacin. Dependiendo de su

concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener el dominio y el rango de la funcin. Ejem: Sea la funcin 3x4x)x(f 2 , obtener su dominio y rango.

El vrtice es:

144314,

124V

2entonces, 1,2V y la curva es cncava hacia arriba

ahora, las races de: 01x3x3x4x)x(f 2 sus races son: 1xy3x 21 entonces: ,1Rangoy,iominDo

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Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.

4.2 Funciones y relaciones

Definicin Se le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos. Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada x, corresponda un solo elemento de y.

Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo toca un punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a una relacin.

Clasificacin de Funciones

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xlnxf:Ejem.lnlogexistaDonde:asLogartmic5xf:Ejem.onenteexpcomoestiablevarlaDonde:lesExponencia

6x2xxf:Ejem.gradodo2deSon:sCuadrtica

2x5xf:Ejem.gradoer1deSon:Lineales4xf:Ejem.cambiannoqueLas:testanCons

Funcionesx

2

4.3 Funcin Logartmica y exponencial:

Es de la forma xlogy)x(f a , donde: onenteexpy)x(fumentoargxbasea

Forma logartmica: xlogy a corresponde a: Forma exponencial: yax

Ejem: Al convertir xlog3 4 , en forma exponencial, obtenemos: 644x 3

Ejem: Al convertir 36log2 x , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2

Ejem: Al convertir 225log23

x , en forma exponencial, obtenemos: 23

x27

entonces: 9x729x729x27x27x 33233

Ejem: Al convertir 36log2 x , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2

Reactivos Unidad 4:

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UNIDAD 5.

Geometra euclidiana 5.1 ngulos

Clasificacin Bsica

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Se le llama ngulo complementario, son los ngulo cuya suma es igual a 90o .

Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque ooo 902070 Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque ooo 905535

Se le llama ngulo suplementario, los ngulo cuya suma es igual a 180o . Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque ooo 18014040 Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque ooo 18045135

5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa

Reactivos Unidad 5:

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UNIDAD 6.

Trigonometra 6.1 Teorema de Pitgoras

Definicin.- Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).

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6.2 Funciones Trigonomtricas

Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulo rectngulo y son:

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1. Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, Cunto mide el otro lado? a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

2. Segn la figura, la razn107 , corresponde a la funcin:

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3. Segn la figura, la razn : 8

17 , corresponde a la funcin:

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Respuestas a Reactivos de Matemticas

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Autor: Lic. Jorge Galeazzi A. [email protected] Mxico, Enero de 2009

02 guía de matemáticas para el examen de ingreso a la unam (parte i)

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