INSTITUCION EDUCATIVAENGELS CLASS GEOMETRIA

SEMANA02

PROPORCIONALIDAD

OBJETIVOSReconocer la proporcionalidad entre los segmentos de ciertas figuras determinadas.Aplicar correctamente los teoremas, en especial el Teorema de Ceva y el Teorema de Menelao.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

En un da de sol, los cuerpos producen sombra. Te has detenido a pensar la relacin que existe entre la altura de los cuerpos y la longitud de las sombras que stos producen?Ya en el S. VI a.C., uno de los siete sabios de Grecia, Tales de Mileto, se plantea esta y otras cuestiones anlogas, de las que nos ocuparemos ms adelante.De la vida de Tales se sabe que era un rico comerciante de Mileto, que vivi aproximadamente desde el 640 hasta el 550 a.C. Tena mucho xito como hombre de negocios; sus tareas como mercader lo llevaron a muchos pases y su ingenio natural le permiti aprender de las novedades que vea. Fue conocido por sus admirados compatriotas de generaciones posteriores como uno de los Siete Sabios de Grecia, muchas leyendas y ancdotas se renen en torno a su nombre. Se dice que una vez Tales estaba encargado de algunas mulas cargadas con sacos de sal. Mientras cruzaban un ro, uno de los animales resbal; al disolverse, en consecuencia, la sal en el agua su peso disminuy instantneamente. El astuto animal, como es natural, se sumergi deliberadamente en el prximo vado y continu con este truco hasta que Tales atin con la feliz solucin de llenar el saco de esponjas. Este demostr ser un remedio eficaz. En otra ocasin, Tales que prevea una cosecha de olivas extraordinariamente finas, se apoder de todas las prensas de olivas en el distrito, una vez obtenido este monopolio, se convirti en el jefe del mercado y pudo dictar sus propias condiciones. Pero, entonces, segn un relato, una vez demostrado lo que poda hacer, su propsito ya haba sido conseguido; en vez de oprimir a sus compradores, vendi magnnimamente la fruta a un precio que horrorizara a un capitalista de hoy en da.Tales, como muchos otros comerciantes de su tiempo, se retir pronto de los negocios, pero a diferencia de otros muchos, dedic su ocio a la filosofa y las matemticas. Comprendi lo que haba visto en sus viajes, particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto; y fue el primero en poner de relieve algo del verdadero significado del saber cientfico egipcio. Fue un gran matemtico y un gran astrnomo a la vez. En realidad, gran parte de su fama popular se debi a su acertada prediccin de un eclipse solar en el ao 585 a.C. No obstante, se dice que, mientras contemplaba las estrellas durante un paseo nocturno, cay dentro de una zanja, entonces una anciana que lo atendi exclam; cmo podis saber que ocurre en los cielos si no veis lo que se encuentra a vuestros pies?.Tales nunca olvid la deuda contrada con los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era un anciano aconsej firmemente a su discpulo Pitgoras que les hiciera una visita. Pitgoras, actuando de acuerdo con este consejo, viajo y obtuvo una amplia experiencia, que le fue de gran utilidad cuando, a la larga se estableci y reuni sus propios discpulos a su alrededor, llegando a ser an ms famoso que su maestro.James P. NewmanEl mundo de las matemticas

Es sabido que el Sol incide con igual inclinacin sobre los cuerpos en un determinado momento y lugar. Utilizando una regla milimetrada, compara las alturas de la abuela y el bastn con sus respectivas sombras. Podemos predecir la sombra en el mismo momento y lugar?

Te habrs percatado de que las sombras miden el doble de sus alturas, por lo que:

Por lo tanto:

La igualdad es una proporcin de segmentos, y el valor 2 comn a ambos cocientes, la razn de la proporcin.

PROPORCIONALIDAD

RAZN GEOMTRICA ENTRE LAS LONGITUDES DE DOS SEGMENTOSEs la comparacin de las longitudes de dos segmentos mediante el cociente entre ellos.

SEGMENTOS PROPORCIONALESSe denominan segmentos proporcionales a dos pares de segmentos que presentan razones geomtricas iguales.

TEOREMA DE THALESTres o ms rectas paralelas determinan en dos rectas transversales segmentos proporcionales.

COROLARIO DE THALESToda recta secante a dos lados o a sus prolongaciones en un tringulo y paralela al tercer lado determina sobre los lados anteriores, segmentos proporcionales.1. 2. 3.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UN TRINGULOEn un tringulo se cumple que los lados que forman el vrtice de donde parte la bisectriz interior o exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto o su prolongacin.1. 2.Si, es bisectriz exteriorEn un tringulo los puntos de interseccin de las bisectrices interior y exterior trazados desde un mismo vrtice, dividen armonicamente al lado opuesto.

En la figura:

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si L1 // L2 // L3, calcula AB.

L1L2L36x 152x + 2A B C EF H

Resolucin:

Por el teorema de Tales:

15x = 6(2x +2) 15x = 12x +12 x = 4 AB = 2(4) + 2=10

2. ABCQE8cmF375n2nCalcula BQ.

Resolucin:

Por el teorema de Tales:

BF= 20 u

BFQ ( de 37 y 53):

BQ = BQ = 25 u

3. Calcula AR si AB = 6; BC= 8 y AC = 7.

BACR

Resolucin: Por propiedad de la bisectriz:

6(7 - AR) = 8AR42 - 6AR = 8RA 42 = 14AR AR = 3

4. En un tringulo ABC; AB = 6; BC = 9 y AC = 10. Si se traza la bisectriz interior BD y la exterior BE, calcula ED.

Resolucin:

9610axEBCAD

Por propiedad de la bisectriz interior:

20 - 2a = 3a a = 4

Por propiedad de la bisectriz exterior:

2 (x +6) = 3(x - 4) 2 x + 12 = 3x - 12 x = 24

5. En la figura demostrar que:(AP) (BQ) (CR) = (PB)(QC) (AR)

Resolucin:

Se traza: DABL: Corolario del Teorema de ThalesDBCL: Corolario del Teorema de Thales(1) (2):

EJERCICIOS DE CLASE

1.

3x6105L1L2L3Si: , calcular x

a) 2b) 3c) 4d) 1e) 5

2. Si. Hallar x:

810X15ABCDEFa) 13b) 15c) 20d) 18e) 12

3. En la figura, hallar x:

a) 4b) 12c) 8d) 10e) 14

4. En la figura L1//L2//L3; AB = 16cm, BC = 20cm, DE = 12cm. Si: EF = 4x 1 , hallar el valor de x

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

5. Si , AB = 24cm, BF = 8cm, BC = 2x + 1, BE = 3x 2. Hallar el valor de x

a) 2b) 1c) 1,5d) 0,5e) 1,25

ABEC81612X6. Hallar CE, en la siguiente figura

a) 20b) 18c) 22d) 24e) 30

7. En la figura, , AC = 8, DF = 12 y EF AB = 5. Calcule DE.

a) 2b) 3c) 4d) 6e) 9

8. En la figura, G es baricentro de la regin triangular ABC. Calcule x.

a) 8b) 9c) 10d) 14e) 15

9. Hallar x:

a) 10b) 18c) 12d) 14e) 20

10. Calcular X, si

a) 2b) 1c) 5d) 3e) 4

11. Si , calcular x

NMBACx10512a) 4b) 7c) 12d) 6e) 3

12. BACP14xEn la figura, calcular x

a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

13. En la figura se muestra al tringulo ABC en el cual.Si AE = 3, EC = 2, hallar CF

a) 9b) 7c) 8d) 10e) N.A.

14. Calcular "x" de la figura.

a) 4b) 5c) 3d) 6e) 4,5

15.

En un tringulo ABC, se traza la bisectriz exterior (E en la prolongacin de ). Calcular EA, si AB = 4, BC = 8 y AC = 6a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8

AUTOEVALUACION

1. Si: AD = 5; DC = 3, hallar "PC".

a) 12b) 10c) 8d) 9e) 15

2. Calcular "x"

a) 5b) 4c) 6d) 7e) 3

3. Calcular "x", si: L1// L2// L3.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 10

4. Si: L // AC, calcular "x".

a) 11b) 9c) 10d) 8e) 4

5. Si: m // n // t y AF // BM. Hallar MF

e) 10a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

TAREA DOMICILIARIA1. Si , calcula x.

L1L2L34x -1 x +16

a) 2b) 3c) 6d) 5e) 4

2. Si , calcula x.

L1L2L33x -3 x +39

a)4b) 5c) 6d)7e) 83. Si , calcula x.

L1L2L3183x 248

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

4. Si , calcula x.

L1L2L3102x 408

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

5.

NMBACx7912Si , calcular x

a) 3 / 4b) 1/4 c) 25/4d) 27/4e) 13/46. Del grfico; calcular: x. Si:

4 xNCAMBx 2x + 4

a)4b) 3c) 6d)7e) 8

7. Si , calcula x.

L1L2L36x 152x + 2

a)4b) 5c) 6d)7e) 8

8. BACN365xEn la figura, calcula x.

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

9. BACN486xEn la figura, calcula x.

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

10. BBACP86x7En la figura, calcula x.

a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 2311. Del grfico; calcular: AB + AC. Si:

x + 13x - 1QBCPA21a) 1b) 2c) 3d) 1,5e) 0,6

12.

CNMABx436Si , calcular x

a) 4 b) 8 c) 6 d) 5 e) 10

13.

629xCalcular x, si .

a) 3b) 4c) 5d) 2e) 6

14. Si es bisectriz,AB = 18cm, BC = 27cm, AD = 3x 3 DC = x + 6Calcular el valor de x

a) 2b) 3c) 2,5d) 1,5e) 1

15.

Si, , AM = 6; 3 BC = 2AB, hallar MF.

a) 2b) 4c) 6d) 9e) 10

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