1

02 - ELEMENTOS DE UM SISTEMA MECÂNICO:

MOLASMASSAS E INÉRCIASAMORTECEDORES

Ref. L.T.: 1.7 a 1.9

2.1 Introdução

Sistema mecânico translacional mais simples com apenas 1 GDL:

� Peça com flexibilidade elástica relativamente alta� Armazena energia potencial elástica

2.2 Mola

Amortecimento desprezível Amortecimento da mola Amortecedor

Massa desprezível Massa da mola Massa

Em sistemas com parâmetros concentrados:

Vantagem: modelo matemático mais simples (sistema de EDO’s)

Mola Linear translacional

2kx

2

1U =

Armazena energia potencial elástica:

Opõe-se ao deslocamento translacional relativo:

kxF =

Atenção! x = deslocamento linear relativo das extremidades da mola

2

Mola Linear rotacional (ou torcional)

2tk

2

1U θ=

Armazena energia potencial elástica:

Opõe-se ao deslocamento angular relativo:

θtkT =

Atenção! θ = deslocamento angular relativo das extremidades da mola

Definição de Rigidez

ou θd

dTk

dx

dFk t ==

Rigidez de mola linear

ou x

Fconst

dx

dFk ===

Há proporcionalidade linear entre causa e efeito

θθ

Tconst

d

dTk t ===

Não há proporcionalidade linear entre causa e efeito

Ex.: F = kx3

constd

dTk t ≠=

θ

Rigidez de mola não-linear

ou constdx

dFk ≠=

LinearizaçãoPodemos usar a Série de Taylor:

( ) ( ) ...xdx

Fd

!2

1x

dx

dF)x(F)xx(FFF

2

x

2

2

x

**

**

+++=+=+ ∆∆∆∆

3

Abandonando os termos de 2a ordem e superiores:

)x(dx

dF)x(FFF

*x

* ∆∆ +=+

Como F = F(x*):

xkF )x(dx

dFF

*x

∆∆∆∆ =⇒=

( ) ( ) ...xdx

Fd

!2

1x

dx

dF)x(F)xx(FFF

2

x

2

2

x

**

**

+++=+=+ ∆∆∆∆

0

Daqui em diante nosso estudo se concentrará em

molas lineares

Da Res. Mat.:EI

mglst

3

3

=δ

3

3

l

EImg

x

Fk

st

===δ

(ver LT pág. 1034)

Cálculo da rigidez

Ex. 1: mola tipo viga engastada e livre

Ex. 2: mola tipo barra de torção

Da Res. Mat.:pGI

Tl=θ (ver LT pág. 1034)

l

GI

GI

Tl

TTk

p

p

t ===θ

4

Rigidezes de Molas (Contracapa do LT)

Rigidezes de Molas (Groehs, 1a edição) Rigidezes de Molas (Groehs, 1a edição)

5

É muito comum, na prática, encontrarmos duas ou mais molas associadas em um mecanismo

O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas uma mola

Logo, há necessidade de encontrarmos uma mola fictícia cuja rigidez seja equivalente à da associação

dada

ASSOCIAÇÕES DE MOLAS Associações de Molas

Paralela

Concorrente

Série

Com Alavancas

Com Polias

ASSOCIAÇÃO PARALELA

21eq kkk +=

Generalizando: n21eq k...kkk +++=

Ex.: uma mola helicoidal colocada no interior de outra de diâmetro maior

ASSOCIAÇÃO SÉRIE

21eq k

1

k

1

k

1+=

Generalizando:

n21eq k

1...

k

1

k

1

k

1+++=

6

ANALOGIA MOLA/CAPACITOR

� As equações das associações série e paralelo de molas são idênticas, respectivamente, às fórmulas das associações série e paralelo de capacitâncias

elétricas

� Logo, existe uma analogia eletromecânica entre capacitor e mola → ambos são

armazenadores de energia

� Tal analogia é muito útil, sendo amplamente empregada na análise de sistemas dinâmicos

ASSOCIAÇÃO CONCORRENTE (ou inclinada ou radial)

keq = k1 cos2 α

∑==

n

1ii

2ieq coskk αGeneralizando:

ASSOCIAÇÃO COM ALAVANCAS

Exemplo: suspensão independente de um automóvel

i

n

1i

2

ieq k

L

ak ∑

=

=k

L

ak eq

2

= Generalizando:

ASSOCIAÇÃO COM POLIAS

É muito comum, na prática, encontrarmos cabos (os quais possuem uma certa rigidez à tração) associados com polias

Exemplo: sistemas de elevação de cargas

Vamos tratar aqui duas situações bem simples:

(1) mola associada com uma polia fixa

(2) mola associada com uma polia móvel

7

(1) Mola associada com polia fixa

Aplicando uma força estática F sobre a massa m, a mola k1 ficará submetida a uma

força 2F

Se a massa m deslocar-se x, o eixo da polia (e, portanto, a extremidade da mola k1)

deslocar-se-á x/2

x4

kF

2

xkF2 1

1 =⇒=

Se a mesma F for aplicada no sistema fictício equivalente: kxF =

Comparando as duas equações acima:4

kk 1=

(2) Mola associada com polia móvel

Se aplicarmos uma força estática F sobre a massa m, a mola k1 ficará submetida a uma força F/2. Se a massa m deslocar-se x, a extremidade da mola k1

deslocar-se-á 2x

xk4F x2k2

F11 =⇒=

Se a mesma F for aplicada no sistema fictício equivalente: kxF =

Comparando as duas equações acima: 1k4k =

Conclusão

Para as mesmas condições, a associação com polia móvel é 16 vezes mais rígida do

que a associação com polia fixa

Equivalência de molas

De uma maneira geral, para calcular a rigidez keq, aplicamos o princípio da conservação da energia potencial elástica:

sisteq UU =

8

Exemplo 2.1

(Kelly & Schaum 1.23) - Com relação ao sistema da figura, calcular a rigidez equivalente na direção da coordenada x(t).

Solução

sisteq UU =222

eq ky22

1kx

2

1xk

2

1+=

x2yr

r2

x

y

p

p=⇒=

k9kx4.k22

1kx

2

1xk

2

1eq

222eq =⇒+=

1. Deduzir uma expressão para a rigidez de uma mola do tipobarra de tração de comprimento l, área da seção reta constanteA, módulo de Young E, submetida a uma força axial F.

Resp.:

EXERCÍCIOS SOBRE MOLAS

l

EAk =

2. Calcular a rigidez equivalente do sistema massa-mola-polia.Desprezar as massas das polias e do cabo, bem como asperdas por atrito.

Resp.:

116kkeq =Resp.:

3. uma ponte rolante que opera sobre uma viga de comprimento Le rigidez flexional EI transporta pesos através de um ganchosuspenso por dois cabos de comprimento l, diâmetro d emódulo de elasticidade E, conforme ilustra a figura.Determinar a rigidez equivalente entre o gancho e a estruturana direção vertical.

32

2

π2192

π96

LdIl

EIdkeq

+=Resp.:

9

4. A figura mostra um tipo de acoplamento bastante usado(embreagem seca, por exemplo), o qual consiste de n molashelicoidais de rigidez k, colocadas a uma distância r dos eixosacoplados. Calcular a rigidez total do acoplamento.

2nkrkeq =Resp.:

5. A figura ilustra um acoplamento flexível, composto de um anelde borracha (espessura t, raio externo ro, raio interno ri, módulode rigidez transversal G) unindo dois eixos. Calcular a rigidez doacoplamento.

( )t

rrGk

iot

2

44 −=

πResp.:

6. Uma barra de torção consiste de três segmentos comdiâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar umeixo reto. Se G = 80 x 109 Pa, determinar a rigidez à torção damola.

armazenam energia cinéticaenergia potencial de posição

2.3 Massas e/ou Inércias

Amortecimento desprezível

Amortecimento da massa Amortecedor

Rigidez infinita (corpo rígido)

Rigidez da massa Mola

Sistemas com parâmetros concentrados:

Em muitos casos a energia potencial de posição é desprezada na presença da energia cinética

10

Energias Armazenadas

mghU pos =

Energia Potencial Gravitacional (de posição):

Energia Cinética:

2.

rot

2.

transl J2

1Tou xm

2

1T θ==

ASSOCIAÇÕES DE MASSASÉ muito comum, na prática, encontrarmos duas ou mais

massas e/ou inércias associadas em um sistema

O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas uma massa e/ou inércia

Logo, há necessidade de encontrarmos uma massa e/ou inércia fictícias equivalentes às dadas

Para isso, usamos o Princípio da Conservação da Energia Cinética:

2

eq

.

eqeq

2

eq

.

eqeq2

1ou

2

1θJTxmT == aTT sistemeq =

Ex. 2.2: Massas conectadas por barra rígida

sisteq TT =

2

1

.2

1

33

2

1

.2

1

22

2

1

.

1

2

1

.

2

1

2

1

2

1

2

1x

l

lmx

l

lmxmxmeq

+

+=

3

2

1

32

2

1

21 m

l

lm

l

lmmeq

+

+=

2

3

.

3

2

2

.

2

2

1

.

1

2

1

.

2

1

2

1

2

1

2

1xmxmxmxmeq ++=

Ex. 2.3: Acoplamento de MassasTranslacionais e Rotacionais

(1) Transformação em sistema translacional:

2.

0

2.2.

2

1

2

1

2

1θJxmxmeq +=sistemaeq TT =

2.

2

02.2.

2

1

2

1

2

1x

R

Jxmxmeq +=

2

0

R

Jmmeq +=

11

(2) Transformação em sistema rotacional:

sistemaeq TT =

2.2.

0

2.

2

1

2

1

2

1xmJJ eq += θθ

2.2

2.

0

2.

2

1

2

1

2

1θθθ mRJJ eq +=

20 mRJJ eq +=

A contracapa do Rao ilustra alguns casos de massas equivalentes:

fenômeno provocado pelo atrito, através do qual se dá a dissipação de energia

mecânica sob forma de calor e/ou som

AMORTECIMENTO TIPOS DE AMORTECIMENTO

Amortecimento ViscosoResulta do atrito entre um sólido (uma peça) e um fluido

viscoso (óleo lubrificante)É o que mais ocorre na prática da Engenharia

Amortecimento Seco ou de CoulombResulta do atrito entre dois sólidos sem lubrificação ou com

muito pouca lubrificação

Amortecimento Estrutural ou Material ou HisteréticoResulta do atrito intermolecular quando o sólido é deformado

12

Amortecimento Viscoso

O fluido apresenta alta viscosidade

A força de atrito viscoso (ou resistência viscosa) é proporcional à velocidade relativa entre sólido e

fluido:

F = c v ou M = ct ω

c, ct = coeficiente de amortecimento viscosoUnidade SI: [N.s/m] ou [N.m.s/rad]

Influência da temperaturac e ct estão intimamente relacionados com a viscosidade do

fluido

Logo, sofrem também a influência da temperatura

Exemplos: Suspensão do automóvelPorta do porta-malas

AMORTECIMENTO CONSTANTE (OU DE COULOMB)

F = µN

µ é o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies em contato

N é a força normal entre as superfícies

Unidade SI: adimensional

Força de atrito = constante ⇒ amortecimento constante

Força de amortecimento = Força de atrito:

AMORTECIMENTO ESTRUTURAL (OU MATERIAL OU HISTERÉTICO)

Ocorre pelo atrito interno entre moléculas quando o sólido é deformado, fazendo com que a energia seja dissipada sob forma de calor e/ou som

A medida do amortecimento estrutural é dada pela amplitude da tensão reinante durante a deformação, X

13

OBSERVAÇÃO GERAL

Amortecimento mais importante em Engenharia: amortecimento viscoso

Vantagem: lineariza a equação do movimento

Mais tarde, será estudada uma maneira de calcular um coeficiente de amortecimento viscoso fictício, equivalente a um

amortecimento não-viscoso conhecido

Isso é muito importante, já que as equações que serão deduzidas levarão em conta apenas os dois casos mais comuns de

amortecimento: o viscoso e o constante

Cálculo do Coeficiente de Amortecimento Viscoso

Feito através da aplicação de conhecimentos de Estática, Resistência dos Materiais e Mecânica

dos Fluidos

Ex. 2.4 (Rao Ex. 1.8) - Placas Paralelas

Achar o coeficiente de

amortecimento viscoso c

Solução do Ex. 2.4

“Receita de Bolo”01 - Determinar a tensão de cisalhamento na superfície sólida

(Res Mat)

02 - Determinar a tensão de cisalhamento na superfície fluida (Mec Flu)

03 - Igualar as duas tensões de cisalhamento

04 - Isolar o coeficiente de amortecimento viscoso

A

cv

A

F

dA

dF===τ01 -

02 -dy

dvµτ =

Considerando perfil linear de velocidades:

h

v

dy

dvµµτ ==

03 - Igualando as duas tensões de cisalhamento:

h

v

A

cvµτ ==

04 - Isolando o coeficiente de amortecimento viscoso:

h

Ac

µ=

14

Ex. 2.5 (Steidel 6.1): Disco girando dentro de recipiente com óleo

Achar o coeficiente de amortecimento viscoso, ct, devido apenas ao contato da superfície

inferior do disco com o óleo

01 -

02 -

drr

dT

rdrr

dT

dA

dF222 ππ

τ ===

t

r

dy

dv ωµµτ ==

t

r

drr

dT ωµ

πτ ==

22

03 -

drt

rdT

32πµω

=04 -

t

Rrdr

trd

t

rT

RR

2

22 4

0

3

0

3 πµωπµωπµω=== ∫∫

t

RTct

2

4πµ

ω==

ASSOCIAÇÕES DE AMORTECEDORES

associação série:∑

=

=

n

1i ic

1

1c

associação paralelo:∑==

n

1iicc

associação alavancada: cL

ac i

n

1i

2

∑

=

=

associação concorrente: ∑==

n

1ii

2icoscc α

A contracapa do Rao apresenta alguns casos de coeficientes de amortecimento:

FundoLateral

15

Equivalência de amortecedores

É muito comum, na prática, encontrarmos dois ou mais amortecedores viscosos em um sistema mecânico com um GDL.

O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas um amortecedor viscoso, logo há necessidade de encontrarmos um amortecedor viscoso fictício equivalente aos dados.

Para isso, consideramos o trabalho executado pela força de amortecimento viscosa entre duas posições x1 e x2 (ou θ1 e θ2) como sendo:

θθθ

θdcWdxxcW teqeq

x

xeqeq

..2

1

2

1

ou ∫∫ −=−=

sistemaeq WW =

Ex. 2.6 (Kelly & Schaum 1.30) - Determinar os parâmetros equivalentes para o sistema da figura, usando como coordenada generalizada o ângulo θ

Solução

1. inércia equivalente

sistemaeq TT =2.222.

24

3

122

1

2

1θθ

−+=

llm

mlJeq

48

72

mlJeq =

Teorema de Steiner

2. rigidez equivalente

sistemaeq UU =2

2

42

1

2

1

= θθ

Lkkteq

2

4

=

Lkkteq

16

2kLkteq =

3. coeficiente de amortecimento viscoso torcional equivalente

sistemaeq WW =

−=− ∫∫ θθθθ

θ

θ

θ

θLdLcdcteq

4

3

4

32

1

2

1

..

θθθθθ

θ

θ

θdcLdcteq ∫∫ −=−

2

1

2

1

.2

.

16

9

2

16

9cLcteq =⇒

.y

dy

16

Sistema torcional equivalente:

Tal transformação será muito útil mais adiante, quando estudarmos a modelagem matemática pelo método do sistema equivalente