1

PARTEA A II-A

ANALIZA EVOLUŢIEI ÎN TIMP

A FENOMENELOR ECONOMICO SOCIALE

1. Definiţie, tipologie şi particularităţi Fundamentarea afacerilor este de neconceput în afara cunoaşterii

nivelului şi evoluţiei în timp ale unor variabile precum profit, costuri de producţie, înzestrarea tehnică a muncii, productivitatea muncii, etc.

Şirul sistematizat de valori ale unei variabile (caracteristici) realizate la momente sau intervale de timp succesive defineşte seria cronologică. Ea se mai numeşte serie de timp sau serie dinamică. Simbolizarea unei serii cronologice (SCR) poate fi cea de mai jos:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

nit t1 2

n1 2 i

y y … y … yY :

t t ... t … t , i = 1,n

unde primul şir de valori reprezintă termenii SCR constând în valorile individuale ale unei caracteristici (Y) iar al doilea şir de valori reprezintă timpul (momentele sau intervalele).

Tendinţa generală a unei SCR se poate scrie cu ajutorul unei funcţii matematice, sub forma:

( )iy = f t , i =1,n

Curgerea timpului este măsurată pe scala de interval. În funcţie de modul de exprimare al indicatorilor din care este formată

seria, seriile cronologice pot fi: – serii cronologice formate din indicatori absoluţi; – serii cronologice formate din indicatori relativi; – serii cronologice formate din indicatori medii.

Seriile cronologice formate din indicatori absoluţi reprezintă forma de bază a seriilor dinamice. Ele se obţin prin operaţia de centralizare a datelor statistice pentru fiecare unitate de timp. (exemplu seria cronologica din tabelul nr. 1)

2

Tabelul nr. 1 Valoarea producţiei fizice la societatea comercială „X”

Anii Valoarea producţiei [mil. RON]

A 1 2001 186 2002 198 2003 176 2004 199 2005 215 2006 232

Sursa: date convenţionale

Seriile cronologice formate din indicatori relativi permit reprezentarea evoluţiei unor mărimi derivate calculate ca mărimi relative de dinamică, mărimi relative de coordonare sau sub forma de mărimi relative de structură. Acestea se pot exprima prin numere abstracte, de regulă sub formă de coeficienţi sau de procente. Pentru ca interpretarea datelor să se facă corect, atunci când seria reprezintă mărimi relative, este obligatoriu ca în titlu sau în afara tabelului să se specifice care este baza de raportare (de exemplu, seria cronologica din tabelul nr. 2)

Tabelul nr. 2

Dinamica valorii producţiei fizice la societatea comercială „X”

Anii Dinamica producţiei fizice [2001=100]

A 1 2001 100 2002 106,45 2003 94,62 2004 106,98 2005 115,59 2006 124,73

Sursa: prelucrarea seriei cronologice din tabelul nr. 1

3

Seriile cronologice formate din mărimi medii se folosesc ca mijloc de prezentare a evoluţiei unor caracteristici calitative ce apar sub formă de categorii medii: productivitatea muncii, salariul mediu, preţul mediu, recolta medie etc. Astfel de serii se folosesc şi pentru unele caracteristici cantitative ce se includ în analiza unor fenomene ce se produc în cadrul unui interval de timp, ca de exemplu: valoarea medie anuală a fondurilor fixe, numărul mediu de salariaţi, etc. Caracteristic pentru aceste serii este faptul că ele se pot supune în continuare prelucrării statistice obţinându-se şi alţi indicatori derivaţi utili caracterizării evoluţiei fenomenelor şi proceselor economice (de exemplu, seria cronologica din tabelul nr. 3).

Tabelul nr. 3

Numărul mediu de muncitori încadraţi la societatea comercială „X”

Anii Numărul mediu de muncitori

A 1 2001 2.500 2002 3.120 2003 3.010 2004 3.312 2005 3.298 2006 3.241

Sursa: date convenţionale

În funcţie de unităţile de timp la care se referă fiecare dintre nivelele caracteristicii, deosebim serii cronologice de intervale şi serii cronologice de momente.

Dacă termenii unei serii cronologice caracterizează un interval de timp, spunem că ei sunt mărimi de flux iar seria se numeşte serie cronologică de flux sau de intervale.

Dacă termenii unei serii cronologice caracterizează un anumit moment de timp, atunci ei sunt mărimi de stoc, iar seria cronologică este o serie cronologică de momente. Exemplu: stocul disponibil dintr-o marfă la sfârşitul fiecărei luni; stocul disponibil la momente diferite de timp, bunăoară momentele: 1.01, 5.02, 31.03, 7.05, etc.

Mărimile de flux sunt însumabile. Cele de stoc nu sunt însumabile, deoarece ele pot conţine elemente repetate, adică elemente ce se regăsesc la mai multe momente de timp.

4

Reprezentarea grafică a seriilor cronologice de momente face ca fiecărei perechi

it i(y ,t ) să-i corespundă un punct în spaţiul cartezian yot. În reprezentarea grafică a unei serii cronologice de flux (de intervale) fiecărei

perechi ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠i

it

ty , 2 îi corespunde un punct în spaţiul cartezian yot.

Fig. nr. 1. Serii cronologice Fig. nr. 2. Serii cronologice de momente de intervale

Dacă intervalele dintre două momente succesive au lungimea egală atunci vom avea o serie cronologică cu intervale egale între momente, iar atunci când intervalele dintre două momente vecine au lungimea neegală, avem o serie cronologică de momente cu intervale diferite între momente.

După numărul termenilor, seriile cronologice pot fi: de lungime mică, medie şi mare. Seriile cronologice de lungime mică au predominant un caracter de informare; cele de lungime mare prezintă mai mult interes din punct de vedere statistic, deoarece orizontul mare de timp face posibilă acţiunea legii numerelor mari şi astfel va fi mult mai bine evidenţiată tendinţa de evoluţie a fenomenelor şi proceselor economice.

În analiza serilor cronologice trebuie avute în vedere o serie de proprietăţi ale acestora. Ele se caracterizează prin: variabilitatea, omogenitatea, comparabilitatea şi interdependenţa termenilor prezentaţi.

a) variabilitatea termenilor seriei cronologice oglindeşte procesul de schimbare, transformare şi dezvoltare în timp a indicatorului (caracteristicii) la care se refera seria.

it

yyn

... y3 y2 y1

0 t1 t2 t3 … tn ti

ityyn

y3 y2 y1

1t 2t 3t ………. nt it

5

b) omogenitatea termenilor unei serii cronologice presupune ca toţi termenii seriei să fie de aceeaşi natură calitativă şi să prezinte o dispersare minimă. Omogenitatea implică proprietatea de comparabilitate.

c) comparabilitatea termenilor unei serii cronologice vizează atât natura calitativă a termenilor seriei cât şi forma de exprimare, conţinutul acestora ce trebuie să fie rezultatul aplicării aceleaşi metodologii de calcul pe întregul orizont de timp. Nerespectarea unei asemenea condiţii face ca analiza statistică să furnizeze informaţii eronate.

d) interdependenţa în timp a termenilor unei serii cronologice. Este o particularitate izvorâtă tot din omogenitatea termenilor. Conform acesteia, fiecare nivel (

ity ) al fenomenului depinde, într-o măsură mai mare

sau mai mică, de nivelul termenilor anteriori, fapt ce permite conturarea, identificarea unei tendinţe comune în evoluţia termenilor seriei.

2. Indicatorii seriei cronologice 2.1 Sistemul de indicatori Termenii unei serii cronologice permit calculul unui sistem de

indicatori statistici, analitici şi sintetici. După modul de calcul şi exprimare indicatorii pot fi grupaţi astfel:

a) indicatori absoluţi; b) indicatori relativi; c) indicatori medii.

Indicatorii derivaţi se calculează prin comparare, sub formă de diferenţă sau sub formă de raport. De aceea, în calculul indicatorilor, o problemă metodologică importantă o reprezintă alegerea bazei de comparare (y0 sau y1). Din punct de vedere economic, este indicat ca nivelul în raport cu care apreciem evoluţia în timp a caracteristicii studiate să fie:

– cel corespunzător începutului sau sfârşitului de etapă, respectiv primul an al perioadei analizate sau ultimul an al perioadei anterioare;

– cel care se referă la o perioadă asemănătoare din punct de vedere al condiţiilor de desfăşurare, dar situată într-un interval de timp anterior. Astfel, nivelul caracteristicii studiate din trimestrul 1-2005 poate servi bază de comparaţie pentru realizările din trimestrul 1-2006, din trimestrul 1-2007 etc.;

6

– cel corespunzător unităţii de timp anterioare celei pentru care se calculează indicatorul, respectiv termenul imediat anterior

1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ity .

Nivelul de referinţă al caracteristicii, care se constituie în bază de raportare, trebuie să nu fie afectat de perturbaţii majore sau de o conjunctură anormală, cum ar fi existenţa unor condiţii mult prea favorabile sau mult prea nefavorabile dezvoltării fenomenului.

Atunci când compararea se face cu primul termen al seriei (y1) sau cu un alt nivel de referinţă fix ( )it

y vom vorbi de indicatori cu baza fixă; atunci

când compararea unui termen ( )ity se face cu termenul imediat anterior 1−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ity

, vom vorbi de indicatori cu bază în lanţ (mobilă). Exprimarea indicatorilor se face fie în mărimi absolute, unităţi fizice

sau valorice (lei, tone , buc. etc.), fie în mărimi relative (procente, valoarea ce revine pe o unitate etc.).

Indicatorii absoluţi, care caracterizează o serie cronologică sunt:

• it

y – nivelurile absolute ale termenilor seriei;

• it /1Δ – modificarea absolută (spor sau scădere absolută)

calculată cu bază fixă; •

i it t -1Δ – modificarea absolută (spor sau scădere absolută)

calculată cu bază în lanţ. Indicatorii relativi, care caracterizează o serie cronologică sunt:

• it /1I – indicele de dinamică calculat cu bază fixă;

• i it /t -1I – indicele de dinamică calculat cu bază în lanţ;

• it /1R – ritmul de creştere (scădere) întâlnit în literatura de

specialitate şi sub denumirea de indice al ritmului calculat cu bază fixă;

• i it /t -1R – ritmul de creştere (scădere) calculat cu bază în lanţ;

• it /1A – valoarea absolută a unui procent de creştere (scădere) cu

bază fixă dinit /1R ;

7

• i it /t -1A – valoarea absolută a unui procent de creştere (scădere)

cu bază în lanţ din i it /t -1R .

Indicatorii medii, care caracterizează o serie cronologică sunt:

• y – nivelul mediu al unei serii cronologice de intervale; • ycr – nivelul mediu al unei serii cronologice de momente; • Δ – nivelul mediu al sporului (scăderii) absolute; • I – indicele mediu al dinamicii; • R – ritmul mediu de creştere (scădere).

Prezentarea modului de calcul şi a relaţiilor dintre indicatorii absoluţi, relativi şi medii, se va face folosind seria cronologică şi algoritmul de calcul prezentate în tabelul nr. 4.

2.2. Indicatori absoluţi Indicatorii absoluţi caracterizează nivelul fenomenului la care se

referă seria cronologică analizată sau modificările – calculate sub formă de diferenţă – care au apărut de la un termen la altul al seriei.

Distingem: a) indicatori de nivel. Sunt de fapt chiar termenii seriei cronologice,

valorile individuale ale caracteristicii şi redau nivelul fenomenului la intervale sau momente de timp considerate { }ity i = 1,n

8

Tabelul nr. 4.

Algoritm pentru calculul indicatorilor absoluţi şi relativi ai seriei cronologice

Indicatorii absoluţi Indicatorii relativi

De nivel

Modificări absolute (Δ)

Indicele dinamicii (I)

Ritmul de creştere (scădere) (R)

Valoarea absolută a 1% din R (A)

Anii Valoar

e producţie

(mii tone)

ity

b. fixă

i it 1 t 1Δ = y - y

b. lanţ

i i i it t -1 t t -1Δ = y - y

b. fixă

i

i

tt 1

1

yI = 100

y

b. lanţ

i

i i

i

tt t -1

t -1

yI = 100

y

b. fixă

i

i

t 1t 1

1

ΔR = 100

y

b. lanţ

i i

i i

i

t t -1t t -1

t -1

ΔR = 100

y

b. fixă

i

i

i

t 1t 1

t -1

ΔA =

R

b. lanţ

i i

i i

i i

t t -1t t -1

t t -1

ΔA =

R

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

307 295 329 349 379 405 438 468 501

- -12 22 42 71 98 131 161 194

- -12 34 20 29 27 33 30 33

100 96,09* 107,17 113,68 123,13 131,92 142,67 152,44 163,19

100 96,09 111,53 106,08 108,31 107,14 108,15 106,85 107,05

- -3,91 7,17 13,68 23,13 31,92 42,67 52,44 63,19

- -3,91 11,53 6,08 8,31 7,14 8,15 6,85 7,05

- 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07

- 3,07 2,95 3,29 3,49 3,79 4,05 4,38 4,68

TOTAL

itΣy = 3.470 ∑ i it t -1Δ =

194 ∏ i it t -1Ι = = 163,19%

9

b) modificarea absolută, numită şi spor absolut sau

creştere/descreştere absolută, se calculează prin compararea – sub formă de diferenţă – a doi indicatori ai seriei, din care unul este termenul comparat iar celălalt este termenul bază de comparaţie. După modul de alegere a bazei de comparaţie obţinem :

• modificări cu bază fixă ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠it /1Δ

Se calculează după relaţia (vezi coloana 2 tabelul nr 4.):

• modificări cu baza în lanţ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠i it /t -1Δ

Se calculează după relaţia (vezi coloana 3 tabelul nr 4.):

ii i itt /t -1 t -1Δ = y -y

Între si

i i it /1 t /t -1Δ Δ există relaţiile: suma modificărilor cu baza în lanţ

este egală cu modificarea cu bază fixă a perioadei de analiză: ⇒∑ ∑

i i it /t -1 t /1 n/n-1 n/1Δ =Δ Δ =Δ

Pentru seria noastră, este evident că

(-12+34+20+29+27+33+30+33) =194 (coloana 3 tabelul nr. 4). Diferenţa între două modificări absolute succesive, cu aceeaşi baza

fixa, este egală cu modificarea absolută cu baza în lanţ a perioadei curente după relaţia :

( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ii i i i itt /1 t -1/1 1 t -1 1 t /t -1Δ -Δ = y -y - y -y =Δ

De exemplu:

292001/1997 2000/1997 2001/2000Δ -Δ =Δ =

_____________ *Fracţiile zecimale au fost aproximate folosind rotunjirea prin lipsa sau prin adaos pentru cea de-a doua cifra păstrată după virgula.

ii tt /1 1Δ = y -y

10

)( ( ) 378-349 = 292001 1997 2000 1997 2001 2000y -y - y -y = y -y =

Deci, se verifică egalitatea precizată. 2.3. Indicatorii relativi Se calculează ca mărimi relative şi se exprimă sub formă relativă sau

absolută. Ei reflectă aspectele concrete ale dinamicii fenomenelor şi facilitează compararea evoluţiei în timp a variabilelor statistice exprimate în unităţi de măsura diferite. Distingem următorii indicatori:

– indicele dinamicii ( )Ι ; – ritmul de creştere (scădere) (R) – valoarea absoluta a 1% din ritmul de creştere (scădere) (A).

2.3.1. Indicele dinamicii Arata de câte ori s-a modificat nivelul fenomenului dintr-o perioada de

analiză faţă de nivelul aceluiaşi fenomen dintr-o perioadă considerată bază de raportare. Se calculează ca mărime relativă a dinamicii sub formă de raport şi îmbracă formele:

• Indicele de dinamică cu bază fixă:

ii

tt /1

1

yΙ = y

• Indicele de dinamică cu bază în lanţ:

ii i

i

tt /t -1

t -1

yI = y

Între

it /1I şi i it /t -1I există relaţiile:

Produsul indicilor cu baza în lanţ este egal cu indicele cu bază fixă al

perioadei analizate, adică:

Πi i it /t -1 t /1I = I

desfăşurat înseamnă:

11

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ii i-1 i

i

t32 42/1 3/2 4/3 t /t t -1

1 2 3 t -1

yyy yI I I ... I = ... = Iy y y y

Dacă se raportează indicii dinamicii cu bază fixă din două perioade

(momente) succesive it şi it -1 se obţine indicele cu bază în lanţ al perioadei curente, adică:

i ii i i i

t t -1t /1 t -1/1 t /t -1

1 1

yyI :I = : = Iy y

2.3.2. Ritmul de creştere (scădere) Ritmul de creştere este denumit spor relativ sau scădere relativă şi

arată cu cât a crescut sau a scăzut, procentual ori în coeficienţi, nivelul fenomenului din perioada curentă faţă de o perioadă bază de raportare.

Se calculează cu bază fixă (it /1R ) şi cu bază în lanţ (

i it /t -1R ), ca raport

între modificările absolute (cu bază fixă sau cu bază în lanţ) şi nivelul fenomenului din perioada de bază (1) sau cea anterioară ( it -1 ), sau ca diferenţă între indicele dinamici şi 100% (vezi coloanele 6-7 din tabelul nr. 4), după relaţiile:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅i i ii i

t /1 t t1 1t /1 t /1

1 1 1 1

Δ y -y y yR = 100 = 100 = 100- 100 = I -100y y y y

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ii i i i ii i i i

i i i i

tt /t -1 t -1 t t -1t /t -1 t /t -1

t -1 t -1 t -1 t -1

Δ y -y yyR = 100 = 100 = 100- 100 = I -100y y y y

2.3.3. Valoarea absolută a 1% din ritmul de creştere (scădere) Arată câte unităţi fizice sau valorice revin la 1% din ritmul de creştere

sau de scădere ( it /1R ) şi se calculează cu bază fixă (

it /1A ) şi cu bază în lanţ

(i it /t -1A ) ca raport între modificarea absolută (Δ) şi modificarea relativă (R)

(vezi coloanele 8-9, tabelul 4), astfel:

⋅

i ii

ii

t /1 t 1 1t /1

t 1t /1

1

Δ y - y yA = = =y -yR (%) 100100y

12

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 **

⋅

ii i i ii i

i ii i

i

tt /t -1 t -1 t -1t /t -1

t t -1t /t -1(%)

t -1

Δ y -y yA = = =y -yR 100

100y

2.4. Indicatorii medii Distingem indicatori medii calculaţi din: • mărimi absolute:

– nivelul mediu al seriei, pentru serii de intervale (y ); – nivelul mediu al seriei, pentru serii de momente ( cry )

• mărimi relative: – indicele mediu al dinamicii (I ); – ritmul mediu de creştere (R )

2.4.1. Nivelul mediu al seriilor cronologice de intervale Se calculează ca o medie aritmetică simplă întrucât termenii seriei

sunt însumabili.

Pentru seria noastră, 3.470 = 385,5559∑ ity

y = =n

2.4.2. Nivelul mediu al seriilor cronologice de momente Se determină ca o medie cronologică întrucât termenii seriei nu se pot

însuma direct; o astfel de însumare ar produce înregistrări repetate. Dacă înscriem pe axă valorile unei serii cronologice de momente, vom

avea: a) pentru serii cu distanţa egală între momente. Grafic, o astfel

de serie poate fi simbolizată ca în tabelul de mai jos: 1y 2y .. ……………

it -1y ity n-1y ny

ity →

*Interval de valori nedelimitate ** Interval de valori delimitat

13

Media cronologică este o medie aritmetică calculată din medii parţiale

glisante din doi termeni, în care unul nou şi celălalt vechi. Se parcurg etapele:

• se calculează mediile parţiale ( iy ):

2 3 9 101 2

1 2 9y + y y + yy + yy = ; y = ; ...; y =2 2 2

• se determină media generală a mediilor parţiale (y )

∑2 3 3 4 9 101 2

1 2 3 9i

1012 3

y + y y + y y + yy + y + + + ...+y + y + y + ...+ yy 2 2 2 2y = = = =n-1 9 9

yy + y + y + ...+2 2 = 10-1

si, urmare a generalizării, rezultă:

• se aplică formula de calcul a mediei cronologice simple

n12 3 n-1

cr

y y+ y + y + ...+ y +2 2y = n-1

b) pentru serii cronologice cu distanţe neegale între momente.

În cazul în care distanţele dintre termeni nu sunt egale, nivelul mediu al seriei de momente se determină ca o medie cronologică ponderată, respectiv ca o medie generală din medii parţiale, ponderată cu distanţele dintre momente (ti). Ordonarea termenilor unei serii de momente cu intervale neegale (

ity ) şi a distanţelor dintre termeni ( it ) sau numărul de unităţi de

timp între momentele it şi it +1 se poate face astfel:

t9 t8 t7 t6 t5 t4 t3 t2 t1

t1

y1 y2 y3 it -1y …

ity it +1y … yn-1 yn

t2 tn-1

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10

………………………………………………

14

Calculul mediei cronologice ponderate se face după formula:

∑∑

i

9

t i 1 2 3 91 2 3 9cr

i 1 2 3 9

2 3 3 4 9 101 21 2 3

1 2 3 9

2 3 91 1 21 2 3 10

2 3 91 1 2

t

y t y t +y t +y t +...+ y ty = = = t t +t +t +...+t

y + y y +y y + yy + y t + t + t +...+2 2 2 2= =t +t +t +...+t

t +t tt t +ty + y +y +....+y2 2 2 2= t +t tt t +t+ + +....+2 2 2 2

de unde, prin generalizare, rezultă formula de calcul a mediei cronologice ponderate:

2 31 1 2 n-1

n1 2 3cr

2 31 1 2 n-1

t + tt t +t ty + y + y + ...+ y2 2 2 2y = t +tt t +t t+ + +...+2 2 2 2

Dispunem de următoarea serie de date referitoare la stocul de marfă

existent în semestrul 1 al anului 2006, la societatea comercială „X”

Tabelul nr. 5

Stocul mediu, respectiv media seriei cronologice se va calcula cu formula:

Momentele ti

1.01. 1.02. 1.03. 1.04. 1.05. 1.06. 1.07

Valoarea stocului de marfă

ity (tone)

60 55 62 59 57 64 70

15

60 70+55+62+59+57 +64+2 2 60,333 tone7-1

1 752 3 4 6

cr

y y+ y + y + y + y + y +2 2y = =7-1

= =

Dacă avem o serie de momente cu valori de stoc înregistrate la date

diferite, fapt ce determină orizonturi de timp neegale între momentele înregistrării, aşa cum este evidenţiat în tabelul de mai jos, nivelul mediu al stocului va fi o medie generală din medii parţiale ponderate cu distanţele dintre momente: Tabel nr. 6

∑∑

i

52 3 3 4 5 61 2 451 2 3 4t i

cr5i 1 2 3 4

y + y y + y y + yy + y y + yt + t + t + t + ty t 2 2 2 2 2y = = t t + t +t +t +t

Cum t1 = 45, t2 = 29, t3 = 55, t4 = 27, t5 = 25

60+60 60+59 59+61 61+58 58+7045+ 29+ 55+ 27 + 252 2 2 2 2= =45+ 29+55+27 + 25

2.700+1.725,5+3.300+1.606,5+1.600 10.932 = = = 60,397181 181

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cry

2.4.3. Modificarea medie absolută (Δ ) Modificarea medie absolută este media aritmetică a modificărilor

absolute cu bază în lanţ din intervalul de timp analizat, respectiv raportul

Momentele ti

1.01. 15.02. 16.03. 10.05. 06.06. 1.07

Valoarea stocului de marfă

ity (tone)

60 60 59 61 58 70

16

dintre modificarea absolută cu bază fixă a perioadei analizate şi numărul termenilor seriei diminuat cu o unitate.

∑

i i i i i2/1 3/2 4/3 t /t -1 t /t -1 t /1Δ +Δ +Δ +...+Δ Δ ΔΔ = = =n-1 n-1 n-1

Modificarea medie absolută arată diferenţa medie dintre termeni

extremi ai seriei ( 1y şi yn) şi este o valoare semnificativă numai dacă modificările absolute cu bază în lanţ sunt aproximativ egale între ele.

Modificarea medie absolută a producţiei evidenţiate în seria noastră (vezi tabelul 4) va fi:

501-307 194= = 24,25 tone8 8

it /1ΔΔ = =n-1

2.4.4. Indicele mediu al dinamicii (I ) Indicele mediu al dinamicii arată creşterea sau descreşterea, de câte ori

s-a modificat în medie fenomenul analizat pe toată perioada dacă variaţia sa ar fi influenţată numai de cauze sistematice. Se determină ca o medie geometrică a indicilor dinamicii cu bază în lanţ după formula:

∏ ii i i

tn-1n-1 n-1t /t -1 t /1

1

yI = I = I = y ,

în care n reprezintă numărul de termeni ai seriei cronologice.

Calculul indicelui mediu, fiind mai laborios, presupune logaritmarea relaţiei anterioare.

În cazul seriei cronologice cu care operăm noi, vom avea:

lg501-lg307 2,699837726-2,487138375 0,212699351= = = = 0,0265874188 8 8

it 1lgy - lgylgI = =n-1

Deci, rezultă 1,063132557 1,0631I = , dacă rezultatul este exprimat

în coeficienţi, sau I = 106,31% pentru o exprimare a rezultatului în procente. Aceasta înseamnă că pe intervalul analizat, pentru fiecare an, producţia a

17

crescut în medie de 1,0631 ori, respectiv, de 106,31% ori – o dinamică relativ mică.

Dacă: I < 100%, indicele mediu al dinamicii semnalizează scăderea sau

reducerea fenomenului analizat; I = 100%, indicele mediu arată că fenomenul cercetat nu prezintă

evoluţie, ci staţionează; I > 100%, indicele mediu semnalizează creşterea fenomenului.

2.4.5. Ritmul mediu de creştere (scădere) (R ) Este un indicator derivat denumit şi modificare medie relativă. El

evidenţiază cu câte procente se modifică în medie fenomenul analizat pe perioada de calcul. Formula de calcul este următoarea:

R = I -100

Pentru seria noastră, ritmul mediu de creştere, exprimat în procente, are valoarea:

106,31-100 = 6,31%R =

Indicatorii menţionaţi – indicele mediu, ritmul mediu şi sporul mediu – prezintă uneori un inconvenient de natură statistică. Este vorba de calitatea valorilor extreme 1(y ) şi n(y ) de a constitui bune reprezentări privind evoluţia fenomenului analizat. Dacă o singură valoare din cele două este „nereprezentativă”, în sensul că este atipică, indicatorii calculaţi vor fi şi ei afectaţi, reprezentând la rândul lor valori atipice pentru majoritatea creşterilor cu baza fixă, ori cu bază în lanţ, calculate pentru intervalul supus analizei.

3. Modelarea statistică a seriilor cronologice 3.1. Componentele unei serii cronologice Termenii unei serii cronologice sunt valori empirice referitoare la un

proces sau fenomen ce se realizează în mod aleatoriu în timp, motiv pentru

18

care acesta se numeşte proces stocastic. Distribuţiei empirice { }nt1 2y ,y ,...y ...y datorată acţiunii tuturor categoriilor de factori îi corespunde

o distribuţie teoretică { }nt1 2Y ,Y ...Y ...Y cauzată doar de acţiunea factorilor esenţiali.

Termenii unei serii cronologice se descompun în componentele sistematică, sezonieră şi întâmplătoare. Analiza seriilor cronologice constă tocmai în separarea componentelor şi evaluarea lor statistică. Ele sunt:

a) Trendul sau tendinţa centrală ( )itY . Reprezintă componenta

principală, sistematică a evoluţiei formată ca urmare a acţiunii cauzelor esenţiale cu acţiune de lungă durată (ca de pildă: progresul tehnic, dezvoltarea ştiinţei, creşterea populaţiei etc.).

b) Oscilaţiile periodice ( )itS . Ele sunt, în primul rând, oscilaţii

sezoniere care se repetă ritmic cu o periodicitate constantă, de sub 1 an. Sunt sesizabile dacă termenii seriei se referă la unităţi de timp mai mici decât anul (luna, trimestrul, etc.)

Factorii care produc oscilaţii sezoniere pot fi: – Factori naturali climatici. Afectate de asemenea factori pot fi:

producţia agricolă, producţia de construcţii, vânzările de articole de îmbrăcăminte etc.;

– Factori cu caracter social, de exemplu: tradiţii, obiceiuri, sărbători, concedii, practici instituţionalizate cum ar fi plata salariilor, deschiderea anului de învăţământ, etc. Aceştia pot afecta volumul şi structura circulaţiei mărfurilor, activitatea turistică, vânzările de rechizite şcolare etc.

Oscilaţiile periodice pot fi şi ciclice. Acestea reprezintă fluctuaţii regulate, pe termen mai lung. Cauzele care produc aceste oscilaţii pot fi naturale sau de natiră social-economică. Dintre cauzele naturale amintim ciclurile meteorologice cu impact foarte puternic asupra producţiei agricole; dintre cei de natură social-economică, o influenţă periodică preponderentă o are ciclurile economice sau de afaceri provocate de modernizarea şi înlocuirea aparatului tehnic de producţie, de reproducere a materiilor prime şi a resurselor naturale. Tot în categoria factorilor de natură social-economică intră inovaţiile şi succesele în cercetarea ştiinţifică, războaiele, revoluţiile sociale etc. Aceşti factori generează, alături de ciclurile economice cojuncturale, cicluri lungi numite în literatura de specialitate şi macrocicluri ale dezvoltării economico-sociale.

Pe orizonturi scurte de timp se supune evaluării şi analizei economice doar componenta sezoniera. Ea se notează cu simbolul: ( )it

S .

19

c) Componenta aleatoare sau reziduala (it

ε ). Se manifesta ca devieri de la linia evoluţiei sistematice. Ele apar urmare a acţiunii unor factori imprevizibili, accidentali, cum ar fi conflicte de muncă ori calamităţile naturale (inundaţii, cutremure etc.).

Tot din categoria factorilor aleatori fac parte şi erorile de observare ce apar în procesul de cercetare statistică.

Într-o serie cronologica nu se regăsesc neapărat toate componentele menţionate anterior. Astfel, termenilor unei serii cronologice le poate lipsi trendul, caz în care seria se mai numeşte „staţionară”, prezentând doar oscilaţii aleatoare şi sezoniere. Într-o astfel de serie, termenii oscilează în jurul unei valori constante, fixe egale cu media (vezi figura nr. 3).

a) SCR staţionară b) SCR staţionară cu c) SCR staţionară cu cu oscilaţii de oscilaţii de oscilaţii de amplitudine constantă amplitudine crescătoare amplitudine descrescătoare

Figura nr. 3. Tipuri de SCR staţionare

În cercetarea statistică a seriilor cronologice, de cele mai multe ori, componenta ciclică nu se identifică şi atenţia se îndreaptă spre punerea în evidenţă a celorlalte trei componente: trendul, componenta sezonieră şi componenta aleatoare.

Aceste componente, după modelul aditiv, se pot grupa astfel:

i i i it t t ty = Y +S +ε

Când termenii seriei se refera la subperioade, modelul aditiv are forma:

ij ij j ijy = Y +S +ε

i = 1,n reprezintă numărul curent al perioadei (anului) j = 1,m reprezintă numărul curent al subperioadei (trimestru, luna,

săptămână). Dacă componentele se combina multiplicativ, avem relaţiile:

ity

0

ity

0

ity

0

it

ti

ti

20

⋅ ⋅

⋅ ⋅

i i i it t t t

ij ij j ij

y = Y S ε

y = Y S ε

Utilizarea modelului aditiv este indicată atunci când amplitudinea

oscilaţiilor faţă de linia de trend este aproximativ constantă, pentru aceeaşi subperioadă (trimestru, de exemplu) a fiecărei perioade complete (a fiecărui an, de exemplu). O astfel de situaţie este evidentă în figura nr. 4 de mai jos, unde, în toţi anii, pentru toate trimestrele, avem o aceeaşi amplitudine a oscilaţiei faţă de trend.

Modelul multiplicativ este indicat a fi utilizat atunci când amplitudinea oscilaţiilor faţă de trend este egală cu un acelaşi procent din valoarea trendului, în fiecărei subperioade „j” a fiecărei perioade „i”. Concret, putem spune ca acest model se utilizează când oscilaţiile se amplifica sau se micşorează faţă de linia de trend (vezi figura nr. 5).

Figura nr. 4. SCR cu oscilaţii egale faţă de trend

1t 11t 12t 13t 14t 21t 22t 23t 24t 31t 32t 33t 34t timp (trimestre)

Amplitudini absolut egale

Trendul

SCR reală

ijY

21

a) amplificate fata de linia de trend b) atenuate faţă de linia de trend

Fig. nr. 5. SCR cu oscilaţii

3.2. Metode de determinare a trendului Avem metode simple, mecanice bazate pe:

a) indicatorii medii; b) metoda semimediilor; c) metoda mediilor mobile; d) metoda modificării medii absolute, a sporului mediu (Δ ) ; e) metoda indicelui mediu al dinamicii (I ).

Avem metode analitice de trend, bazate pe funcţii matematice: a) trendul liniar; b) trendul neliniar (exponenţial, parabolic, logistic, hiperbolic, etc.).

3.2.1. Metode mecanice de determinare a trendului 3.2.1.1. Metoda bazată pe indicatorii medii. Determinarea trendului pe baza indicatorilor medii se bazează pe

calitatea mediei de a reda, într-un ansamblu omogen de date, aspectul caracteristic neafectat de influenţe întâmplătoare.

3.2.1.2. Metoda semimediilor. Se divizează seria cronologica în două segmente egale. Se calculează

media pentru fiecare segment în parte. Se reprezintă pe cronogramă cele doua medii; linia ce le uneşte permite aprecierea sensului şi a pantei tendinţei.

(t)y

0

(t)y 0

22

3.2.1.3. Metoda mediilor mobile (MMM). Mediile se calculează pentru un număr redus de termeni, iar includerea

termenilor la numărătorul mediei glisează: sunt introduşi în calcul noi termeni aflaţi în continuarea şirului { }It

y , paraleli cu excluderea în

succesiune a termenilor iniţiali. Dacă termenii seriei prezintă oscilaţii sezoniere, se recomandă ca

numărul de termeni din care se calculează media să fie egal cu numărul de subperioade. Acest număr (p) depinde de periodicitatea oscilaţiilor, fapt evidenţiat în figura de mai jos.

Pentru a înţelege modul de determinare a valorilor de trend prin (MMM) vom considera o serie da date, pentru care mediile mobile se calculează din trei termeni (număr impar) şi din patru termeni (număr par).

a) calculul mediei mobile dintr-un nr. impar de termeni • Valori empirice (

ity ) ⇒ y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8

⇒ - 1y 2y 3y 4y 5y 6y

it

p

0

ity

Fig. nr. 6. Determinarea numărului de termeni ai SCR din care se calculează mediile mobile

• Medii mobile calculate din trei termeni ⎡ ⎤⎣ ⎦ii tty = Y

23

b) calculul mediei mobile dintr-un număr par de termeni • Valori empirice (

Ity ) ⇒ y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8

- - 1y , 2y , 3y , 4y -

Mediile mobile calculate conform algoritmului de mai sus sunt de fapt termenii ajustaţi ai seriei cronologice.

Dacă media mobilă se calculează dintr-un număr impar (trei termeni în algoritmul nostru), observăm că mediile mobile astfel calculate se plasează în dreptul unor termeni reali ( 1y în dreptul lui 2y , 2y în drepul lui 3y etc.). Numărul de medii mobile obţinut este mai mic decât numărul de termeni reali ai seriei (în cazul nostru avem cu două mai puţine: 0), ceea ce face ca primul şi ultimul termen real să nu aibă corespondent o valoare ajustată, adică o medie mobilă. Cu cât numărul de termeni din care se calculează media mobilă este mai mare, cu atât se vor obţine mai puţine medii mobile şi se pierde mai multă informaţie. Pentru cazul general, prin această metodă se vor obţine k=n-(p-1) medii mobile, unde:

n= numărul de termeni ai seriei cronologice; p= numărul de termeni din care se calculează media mobilă. Prin acest procedeu se pierd (p+1)/2 termeni reali ai seriei. Tendinţa

generală de evoluţie SCR ajustată prin această metodă este exprimată de şirul mediilor mobile calculate.

Dacă mediile mobile se calculează dintr-un număr par de termeni (patru termeni în algoritmul nostru), mediile mobile determinate nu se vor plasa în dreptul unor termeni reali ai seriei şi deci nu-i pot înlocui. De aceea, se impune o operaţie suplimentară de centrare a mediilor mobile. Pentru aceasta se determină noi medii aritmetice, calculate din câte două medii mobile consecutive, care se vor plasa în dreptul unor termeni reali: în algoritmul precizat se observă că 1 2 5y ,y ,...,y nu apar în dreptul unor termeni reali ai SCR, deci nu-i pot înlocui, dar mediile aritmetice ale mediilor mobile – da ( 1y în dreptul lui 3y , 2y în dreptul lui 4y etc.).

Mediile mobile finale, centrate, se pot obţine şi în mod direct, chiar din termenii seriei iniţiale, fără a se mai parcurge cele două etape. Media mobilă centrată se calculează din (p+1) termeni (cinci în cazul nostru), din

-1y 2y 3y 4y 5y

• Medii mobile provizorii calculate din 4 termeni (nr. par) iy Þ

• Medii mobile centrate (definitive) ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦Itiy = Y

24

care primul şi ultimul se însumează cu jumătate din valoarea lor, iar ceilalţi cu întraga lor valoare. Suma astfel obţinută se împarte la numărul de termeni întregi plus 1:

51

2 3 41

845 76

4

y y+ y + y + y +2 2y = 4...

yy + y + y + y +2 2y = 4

Şi în acest caz, numărul de medii mobile obţinute este mai mic decât

numărul de termeni reali ai seriei. Prima medie mobilă se va plasa în dreptul celui de-al (p+2/2) – lea termen al seriei. Prin această metodă se va pierde un număr de „p” termeni reali.

Metoda mediilor mobile se foloseşte în ajustarea îndeosebi a SCR afectate de factori sezonieri. Ea prezintă avantajul că este foarte flexibilă, aplicarea ei nu este condiţionată de realizarea unor condiţii prealabile. Are însă şi dezavantajul că prin aplicarea ei se pierde informaţie şi că nu permite prognozarea în viitor a unor noi valori ale fenomenului analizat.

Aceste metode pot fi dublate de reprezentarea grafica prin cronograma, diagrama cu benzi sau coloane, ori prin diagrama polara, metoda grafica fiind tot o metoda mecanica de ajustare vizuala a seriilor cronologice.

3.2.1.1. Metoda grafică Analiza prealabilă a oricărei SCR începe, de regulă, cu reprezentarea

sa grafică (vezi capitolul „Prezentarea datelor statistice”). Aceasta oferă o imagine sugestiva a evoluţiei în timp a fenomenului reflectat de seria cronologică.

Metoda grafică de determinare a trendului constă în trasarea vizuală pe cronogramă a unei drepte sau curbe ce uneşte punctele extreme ale SCR, în aşa fel încât abaterile faţă de valorile reale (empirice) să fie minime. Linia astfel trasată aproximează funcţia matematică care estimează cel mai bine tendinţa generala a fenomenului studiat. Cronograma corespunzătoare seriei cronologice din tabelul nr. 4 arată ca în figura de mai jos. Linia ce uneşte punctele extreme şi face ca diferenţele între valorile de pe ea şi valorile reale

25

să fie minime aproximează o dreaptă: it iY = a +bt . O altă scară folosită, mai

mult sau mai puţin reprezentativă pentu evoluţia fenomenului, ne poate conduce la o altă concluzie, bunăoară la aceea potrivit căreia linia trasată aproximează o funcţie hiperbolică:

iti

1Y = a + bt .

Deci, alegerea funcţiei adecvate pentru exprimarea tendinţei este aproximativă, probabilă atunci când se bazează pe reprezentarea grafică; ea este mult mai precisă atunci când se bazează pe metodele analitice de determinare a tendinţei generale, problema ce va fi tratata ulterior.

0

100

200

300

400

500

600

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Anii

Valo

are

prod

uctie

(mii

tone

)

Fig. nr. 7. Cronograma

3.2.1.5. Metoda modificării medii absolute Această metodă se recomandă a fi folosită atunci când modificările

anuale în mărime absolută sunt aproximativ constante. Sporul mediu (Δ ) este folosit pentru determinarea valorilor teoretice,

ajustate (it

Y ) la fel cum este utilizată raţia în vederea obţinerii termenilor unei progresii aritmetice.

Ecuaţia de ajustare se bazează pe relaţia dintre ultimul, primul termen şi modificările absolute cu baza în lanţ.

i in 1 2 1 3 2 4 3 t t -1y = y +Δ +Δ +Δ +...+Δ i = 1,n

26

În virtutea proprietăţii determinante a mediei, potrivit căreia media caracteristicii poate substituii stările individuale ale acesteia, rezultă:

n 1y = y +Δ+Δ+Δ+...+Δ .

Deci, ( ) ⋅n 1y = y + n-1 Δ Din această relaţie rezultă următoarele ecuaţii de ajustare:

⋅

⋅

i

i i

t 1 i

t t i

Y = y +t Δ

Y = y ±t Δ

unde:

ity – valoarea ajustată;

1y – primul termen din SCR, considerat baza de ajustare;

ity – orice alt termen al SCR exceptând y1, ales pe baza graficului ca

fiind acea valoare empirică care se apropie cel mai mult de dreapta sau curba trasată vizual;

it – valorile timpului în progresie aritmetică cu r = 1; sunt pozitive pentru termenii aflaţi sub baza de ajustare şi negative pentru termenii aşezaţi deasupra bazei de ajustare. Originea timpului egală cu „0” se înscrie în dreptul bazei de ajustare;

Δ – modificarea medie, absolută.

3.2.1.1. Metoda indicelui mediu al dinamicii Se recomandă când indicii cu baza în lanţ (

i it t -1I ) sunt aproximativ

egali sau dacă termenii seriei cronologice se modifică în progresie geometrică cu raţia egală cu indicele mediu (q = I ).

Funcţia de ajustare se bazează pe relaţia dintre primul termen (y1), ultimul termen ( ny ) şi indicii de dinamică cu baza în lanţ.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

i in 1 2 1 3 2 4 3 t t -1y = y I I I .... I

În virtutea proprietăţii determinante a mediei, avem:

27

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

n 1

n-1n 1

y = y I I I ... I

y = y I

Din această relaţie rezultă următoarele ecuaţii de ajustare:

⋅

⋅

i

i

i

i i

tt 1

tt t

Y = y I

Y = y I

Metoda indicelui mediu, ca şi metoda sporului mediu, prezintă atât

avantajul determinării operative şi relativ simple a tendinţei generale, cât şi cel de a înlocui valorile absente dintr-o serie prin valori „ajustate”. Această operaţiune este denumită interpolare şi ea este facilitată de faptul că atât sporul mediu, cât şi indicele mediu pot fi obţinuţi pe baza termenilor extremi ai unei serii, respectiv 1y si ny .

Nivelul interpolat se apropie de valoarea reală în măsura în care condiţiile de desfăşurare ale fenomenului au prezentat continuitate pe tot intervalul pentru care lipsesc date reale. Ca metode de ajustare, atât metoda sporului mediu (Δ ) cât şi cea a indicelui mediu (I ) sunt perfectibile, deoarece nu iau în consideraţie toţi termenii SCR.

Limitele aplicabilităţi metodelor bazate pe sporul mediu, respectiv, indicele mediu, sunt determinate de dependenţa tendinţei faţă de calitatea valorilor extreme 1y şi ny de a fi reprezentative pentru fenomen.

În tabelele de mai jos, evidenţiem Algoritmul de calcul necesar ajustării producţiei la o societate comercială oarecare.

28

Tabelul nr. 7

3.2.2. Metode analitice de determinare a trendului 3.2.2.1. Conţinutul metodelor analitice Metodele analitice sunt considerate a fi de mai mare performanţă,

deoarece determinarea tendinţei se bazează pe toţi termenii seriei cronologice.

Potrivit metodei analitice, dezvoltarea procesului economic depinde în mod direct sau indirect de succesiunea perioadelor de timp:

it iy = f(t ) ,

unde it , i = 1,n , reprezintă argumentul funcţiei.

Algoritmul de calcul necesar ajustării producţiei fizice a societăţii X prin metoda Δ si Ι

Varianta 1 Varianta a-2 a Valori ajustate prin: Valori ajustate prin:

Anii

Valoare producţ

ie

ity

Valorile

Timpului

ti

Δ

i it t iY = y + t Δ

=307+ it 24,25

≅ 307+ it 24

Ι i

i i

t

t tY = y Ι

=307 ⋅1,0

631 it

Valorile

timpului (ti)

Δ

i it t iY = y ± t Δ

=349it 24,25± ⋅

i349 t 24≅ ±

Ι ti

i i

±

t tY = y Ι

=349i±t1,0631⋅

A 1 2 3 4 5 6 7 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

307 295 329 349 378 405 438 468 501

0 1 2 3 4 5 6 7 8

307 331 355 379 403 427 451 475 499

307 326 346 368 492 416 443 471 501

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

277 301 325 349 373 397 421 445 469

290 308 328 349 371 394 419 445 474

Total Σ

ity = 3470

ΣitY = 3627 Σ

itY = 3573

ΣitY = 3357 Σ

itY = 3378

29

Valorile de trend, ajustate (it

Y ) se stabilesc utilizând metoda celor mai mici pătrate, în aşa fel încât:

∑ i i2

t t(y -Y ) = min

Deoarece timpul este o mărime care statistic se măsoară cu ajutorul scalei de interval, specific acesteia este că punctul de origine (punctul 0) al scalei şi unitatea de măsura a variabilei timp ( it ) se aleg convenabil, în mod arbitrar. La rezolvarea sistemelor de ecuaţii normale se face o simplificare esenţială prin aceea că valorile variabilei timp se stabilesc astfel încât ∑ it = 0 .

Dacă seria este formată dintr-un număr impar de termeni, originea timpului, egală cu 0, se alege în dreptul termenului median. Restul valorilor de timp se plasează simetric faţă de origine, precum în exemplul de mai jos: 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 -3 -2 -1 0 1 2 3 ⇒∑ it = 0

Dacă seria cronologică este formată dintr-un număr par de termeni, valorile de timp centrale se notează cu –1 respectiv 1 şi în continuare fiecare valoare a timpului se cuantifică la distanţa de două unităţi, cu valori întregi, precum în exemplul de mai jos:

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 ⇒∑ it = 0

3.2.2.2. Trendul liniar Are la baza o funcţie de gradul 1 conform relaţiei

it iY = a +bt

30

în care ,,a” şi ,,b” sunt parametrii funcţiei care se determină din sistemul de ecuaţii normale obţinut prin metoda celor mai mici pătrate astfel:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i

i

ti

2ti i i

na +b t = y

a t +b t = t y

Dacă se pune condiţia ca ∑ it = 0 sistemul devine

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∑

∑ ∑

i

i

t

2ti i

na = y

b t = t y ⇒ a şi b

Rezolvarea acestui sistem permite determinarea coeficienţilor de

regresie ,,a” şi ,,b”. Aceştia au următoarea semnificaţie: a reprezintă media variabilei

ity calculată ca o medie aritmetică simplă a termenilor, deci a = y .

b reprezintă panta liniei de tendinţă. Valoarea sa arată cu cât se modifică în medie fenomenul analizat dacă variabila timp se modifică cu o unitate (an, semestru, trimestru, lună etc.).

Dacă evoluţia pe grafic a fenomenului nu descrie o traiectorie liniară, se adoptă funcţia corespunzătoare. Dintre funcţiile neliniare uzuale menţionăm:

funcţia exponenţială ⋅ ii

ttY = a b

funcţia hiperbolică ⋅it i

1Y = a + bt

funcţia parabolică ⋅ ⋅i

2t i iY = a +b t +c t

funcţia exponenţială modificată ⋅ ii

ttY = a b +k

funcţia logistică ⋅i it t

1Y =a +b c

curba Gompertz ⋅ti

ic

tY = a b

31

3.2.2.3. Trendul exponenţial Trendul exponenţial ⋅ i

i

ttY = a b se transformă într-o funcţie liniară de

logaritmi:

it ilgY = lga +t lgb

Rezultă următorul sistem de ecuaţii:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Σ

∑ ∑

∑ ∑

i

i

ti

2ti i i

nlga + lgb t = lgy

lga t + lgb t = t lgy

Dacă iΣt = 0 sistemul devine:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⇒Σ

∑

∑

i

i

t

2ti i

nlga = lgylga

t lgb = t lgy şi lgb

3.2.2.4. Trendul hiperbolic

⋅it i

1Y = a + bt

Parametrii funcţiei a şi b, se determina din sistemul:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪ ⋅⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i

i

ti

t2i ii

1na +b = yt

1 1 1a +b = yt tt

Când ∑

i

1 = 0t

, sistemul devine:

32

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪ ⋅⎪⎩

∑

∑ ∑

i

i

t

t2i i

na = y

1 1b = yt t

⇒ a şi b

3.2.2.5. Trendul parabolic

i2

t i iY = a +bt +ct

Sistemul de ecuaţii este:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

i

i

i

2ti i

2 3ti i i i

2 3 4 2ti i i i

an +b t +c t = y

a t +b t +c t = t y

a t +b t +c t = t y

Când ∑ it = 0 şi ∑ 3

it = 0 sistemul de ecuaţii normale devine:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i

i

i

2ti

2ti i

2 4 2ti i i

an +c t = y

b t = t y

a t +c t = t y

⇒ a, b, c

În vederea determinării tendinţei, în afară de funcţiile elementare, se

apelează şi la modelele mai complexe. Un astfel de model, frecvent utilizat în studiile de piaţă, este cunoscut sub numele de curbă de creştere logistică sau funcţia logistică. Îndeosebi vânzările de produse de uz îndelungat urmează, în timp, o evoluţie asemănătoare literei S care, pe etape, decurge astfel: vânzările cresc lent în perioada imediat următoare lansării produsului pe piaţă, pentru ca, odată acceptat, vânzările să crească vertiginos, urmând ca, după un interval mai mult sau mai puţin îndelungat, pe măsură ce apare fenomenul de saturare a pieţei, vânzările să înregistreze creşteri tot mai lente. Această stare poate fi doar vremelnică, întrucât, în continuare putem asista fie la o fază de declin (redată pe grafic prin linia punctată), fie la o evoluţie

33

imprevizibilă (linia întreruptă), fie la o fază de relansare a evoluţiei datorită apariţiei unor elemente noi (de promovare a vânzărilor, de ridicare a calităţii produsului, etc.) care determină „escaladarea logisticii” (linia formată din steluţe). O evoluţie logistică este redată în figura de mai jos.

O relaţie frecvent utilizată pentru definirea funcţiei logistice este următoarea:

i it b-ctaY =

1+e

unde: a, b, c – parametrii;

e – baza logaritmilor neperieni; it = 0, 1, 2, …, n-1.

Fig. Nr. 8. Curba de creştere logistică

În practica economică se poate recurge la o formă simplificată a logisticii, în vederea obţinerii operative a tendinţei. Relaţia de definire a funcţiei este următoarea:

i

i

t

t

1 = a +bcY ( it = 0, 1, 2, …, n-1)

Metodele analitice de determinare a tendinţei generale îşi găsesc o tot

mai largă aplicare în condiţiile înzestrării întreprinderilor şi firmelor cu mijloace electronice de calcul. Faptul că prezintă o mai mare flexibilitate

a/2

b/c

t

yt

Lansare Creştere Maturizare Declin

34

decât metodele bazate pe indicatori medii, precum şi precizia mai mare a prognozelor elaborate pe baza lor, face ca folosirea metodelor analitice în analiza şi prognoza cererii de mărfuri şi de servicii a populaţiei să fie tot mai frecventă.

3.3. Criterii pentru alegerea celei mai potrivite funcţii de trend Alegerea funcţiei adecvate pentru exprimarea tendinţei se poate baza

fie pe reprezentarea grafică, fie pe criterii numerice. Dintre criteriile numerice ce stau la baza alegerii celei mai potrivite

funcţii de trend enumerăm: • Criteriul diferenţelor – care presupune calculul diferenţelor de

diferite ordine şi aprecierea evoluţiei acestora. Astfel, dacă diferenţele de ordinul 1,

i i

(1)t t -1(Δ = y -y ) , prezintă nivele aproximativ constante, optăm

pentru polinomul de gradul 1; în caz contrar, se procedează la calculul diferenţelor de ordinul 2, (

i i

(2) (1) (1)t t -1Δ = Δ -Δ ) şi se verifică evoluţia nivelului lor.

Dacă nivelul acestora este aproximativ constant, se optează pentru polinomul de gradul 2; Dacă ele însă prezintă, la rândul lor, o tendinţa de evoluţie, se trece la calculul diferenţelor de ordinul 3 etc.

• Criteriul comparării valorilor empirice (it

y ) cu valorile teoretice

(it

Y ). Diferenţele ( )i it ty -Y pot fi exprimate sintetic printr-un indicator mediu

care poate fi: a) nivelul mediu al diferenţelor luate în valoare absolută:

i it ti i

t ty Y

Σ y -Yd = n

b) abaterea medie pătratică a valorilor empirice ( )it

y de la cele

teoretice ( )itY

i it ti i

2t t

y Y

Σ(y -Y )σ = n-(k +1)

unde k – nr. de parametrii din polinomul de ajustare.

Această metodă se recomandă pentru alegerea între două sau mai multe funcţii care, la prima vedere, par a fi potrivite pentru a exprima tendinţa evolutivă a unui fenomen.

35

• Criteriul comparării coeficienţilor de variaţie (V), calculaţi pe baza abaterii medii liniare (

t ti iy Yd ) sau pătratice (

t ti iy Yσ ) faţă de medie ( )y .

Cea mai bună metodă de trend este aceea pentru care coeficientul de variaţie ia valori minime, V= minim.

Coeficientul de variaţie t ti i

y YV se determina după relaţiile:

⋅t ti it ti i

y Yy Y

dV = 100

y şi ⋅t ti i

t ti i

y Yy Y

σV = 100

y

Abaterea medie pătratică se calculează după formula:

i it ti i

2t t

y Y

Σ(y -Y )σ = n

• Criteriul comparării sumei valorilor sumei ajustate (

itΣY ) cu

suma valorilor empirice (itΣy ). Cea mai bună metodă de trend este aceea

pentru care i it tΣy ; ΣY

• Criteriul bazat pe funcţia obiectiv a M CM MP⋅ ⋅ şi anume

( )i i

2

t tΣ y -Y =minim

Ajustarea analitică cu modelul liniar, respectiv exponenţial, a seriei cronologice ajustate anterior cu metodele mecanice, se prezintă ca în tabelul de mai jos:

36

Tabel nr. 8

Sistemul de ecuaţii normale ce va permite calculul coeficienţilor de

regresie a modelului liniar (it iY = a +bt ) este:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

i

i

ti

2ti i i

na +bΣt = Σy

aΣt +bΣt = Σt y cum

Algoritmul necesar ajustării SCR – producţia fizică a societăţii X prin trendul liniar şi exponenţial

Valori ajustate pe baza trendului

liniar exponenţialAnii Prod. fizică

ity

Val. timpulu

i (ti)

2it

ii tt y itlgy

ii tt lgy

386 26= +it iY = a + bt

it

379 1,07 it

⋅

= ⋅

i

i

ttY = a b

A 1 2 3 4 5 6 7 8

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

307 295 329 349 378 405 438 468 501

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

16 9 4 1 0 1 4 9

16

-1228 -885 -658 -349

0 405 876 1404 2004

2,487 2,470 2,517 2,543 2,577 2,607 2,641 2,670 2,700

-9,948 -7,41 -5,034 -2,543

0 2,607 5,282 8,01 10,8

282 308 334 360 386 412 438 464 490

289 309 331 354 379 405 434 464 497

Total

3470∑ ity =

∑ it =0

60∑ 2

it =

1569∑ ii tt y =

23,212∑ itlgy =

1,764∑ ii tt lgy =

3474∑ itY =

3462∑ itY =

37

∑ it = 0 rezultă:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∑

∑ ∑

i

i

t

2ti i

na = y

b t = t y şi deci

3470 385,55(5) 3869

1569 26,15 2660

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

= =

= =

∑

∑∑

i

i

t

ti2i

ya = n

t yb =

t

Conform acestor rezultate obţinute, ecuaţia de ajustare a valorilor

empirice, pe baza modelului analitic liniar, devine 386+ 26it iY = t .

Valorile ajustate pe baza trendului liniar prin această ecuaţie determinată se regăsesc în coloana 7 a tabelului nr. 8 de mai sus.

Sistemul de ecuaţii normale ce permite calculul coeficienţilor de regresie a modelului exponenţial ( )⋅ i

i

ttY = a b este:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

i

i

ti

2ti i i

nlga + lgbΣt = Σlgy

lgaΣt + lgbΣt = Σt lgyîntrucât ∑ it = 0 rezultă:

23,212 2,5799= =itΣlgy

lga = n . Corespunzător, a = 379,315 379

1,764 0,029460= =iti2i

Σt lgylgb =

Σt. Corespunzător, b = 1,07004 1,07

Conform acestor rezultate obţinute ecuaţia de ajustare a valorilor

empirice, pe baza modelului analitic exponenţial devine 379 1,07⋅ ii

ttY = .

Valorile ajustate pe baza trendului exponenţial prin această ecuaţie determinată se regăsesc în coloana 8 a tabelului nr. 8 de mai sus.

Am realizat ajustarea după metoda sporului mediu (Δ ), indicelui mediu (I ), trendului liniar şi trendului exponenţial. Se justifică întrebarea: Care este cea mai potrivită funcţie de ajustare, de trend?

Algoritmul necesar verificării şi alegerii celei mai potrivite funcţii de trend, precum şi calculele necesare sunt ilustrate în tabelul nr. 9.

38

Tabelul nr. 9

. Algoritmul necesar verificării funcţiilor de trend şi alegerea celei mai potrivite funcţii de trend

Valori ajustate şi abateri în cazul ajustării după metoda (trendul)

Metoda Δ Metoda I Trendul liniar Trendul exponenţial

Anii Producţi

a ity

itY i it ty - Y

itY i it ty - Y

itY i it ty - Y

itY i it ty - Y

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1997 307 277 30 290 17 282 25 289 17 1998 295 301 -6 308 -13 308 -13 309 -14 1999 329 325 4 328 1 334 -5 331 -2 2000 349 349 0 349 0 360 -11 354 -5 2001 378 373 5 371 7 386 -8 379 -1 2002 405 397 8 394 11 412 -7 405 0 2003 438 421 17 419 19 438 0 434 4 2004 468 445 23 445 23 464 4 464 4 2005 501 469 32 474 27 490 11 497 4

Total ∑ ity

= 3470 ∑ itY

= 3357 ( )∑ i it ty - Y

= 125 ∑ itY

= 3378( )∑ i it ty - Y

= 118∑ itY

= 3474( )∑ i it ty - Y

= 84 ∑ itY

= 3462 ( )∑ i it ty - Y

= 51

Din metodele expuse anterior ne raportăm la cea a coeficientului de variaţie:

⋅ ⋅ ⋅i i

t ti i i it ti i

i i

t ty Y t t

y yt t

Σ(y -Y )Σ(y - Y )d nV = 100 = 100 = 100Σy Σyy

n

Acesta va avea valorile:

– în cazul metodei sporului mediu (Δ ): 125 100 3,602%3470= ⋅ =t ti i

y YV ;

– în cazul metodei indicelui mediu ( )I :

125 100 3,6%3470= ⋅ =

t ti iy YV ;

– când folosim trendul liniar:

39

84 100 2,42%3470= ⋅ =

t ti iy YV ;

– când folosim trendul exponenţial:

51 100 1,47%3470= ⋅ =t ti i

y YV .

Coeficienţii de variaţie calculaţi au valori apropiate şi mici. Cea mai

potrivită funcţie de ajustare este funcţia exponenţială deoarece coeficientul de variaţie are valoarea minima (1,47%). Deci, se admite o evoluţie exponenţială a producţiei, în progresie geometrică (pentru perioada 1997-2005) cu raţia egală cu 1,0631.

3.4. Extrapolarea serilor cronologice Serile cronologice stau la baza cunoaşterii fenomenelor şi proceselor

economice pe diferite perioade de timp; dar sunt utilizate şi în calcule de prognoză. Metoda de prognoză este similară cu cea de extrapolare.

Pentru a determina valorile de prognoză prin extrapolarea tendinţei este necesar:

– să se analizeze seria de date pe o perioadă trecută destul de mare; – să se determine tendinţa obiectivă de dezvoltare a fenomenului ori

procesului economic; – să se aprecieze în ce măsură aceasta tendinţă se va păstra şi în viitor. Valorile de prognoză sunt valori probabile; ele se apropie de valorile

reale dacă se îndeplinesc condiţiile de extrapolare şi seria este suficient de mare.

Ecuaţiile de prognoza vor fi:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

'i

' 'i i

' '1 it

' 'it t

Y = y +t Δ

Y = y ±t Δ când ne raportăm la metoda sporului mediu;

40

b)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

'i

'i

'i

' 'i i

t'1t

t't t

Y = y I

Y = y I

când ne raportăm la metoda indicelui mediu;

c) '

i

' 'itY =a+bt când ne raportăm la trendul liniar;

d)

'i

'i

t'tY = ab când ne raportăm la trendul exponenţial şi etc., ecuaţiile

de prognoză vor îmbracă forma corespunzătoare trendului. 'i

'tY – reprezintă valorile extrapolate;

'it – reprezintă valorile timpului, se obţin prin continuarea coloanei

timpului pentru perioada de prognoză. Exemplificăm prognoza prin determinarea valorilor de prognoză ale

seriei cronologice modelate anterior, pentru anii 2009 şi 2010 (valorile ajustate prin metode mecanice le regăsim în tabelul nr. 7, valorile ajustate prin metode analitice le regăsim în tabelul nr. 8).

Urmare a continuării coloanei timpului, corespunzător anului 2009, 12='

it ;corespunzător anului 2010, 13='it .

Dacă ajustarea seriei s-a făcut prin metoda sporului mediu (Δ ), valoarea prognozată va fi:

• Când 'i

' '1 itY = y +t Δ , întrucât 307; =24; 12 respectiv 13= ='

1 iy Δ t

307 12 24 595

307 13 24 619

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= + ⋅ =⇒

= + ⋅ =

'2009

'2010

Y

Y

• Când ' '

i i

' 'it tY = y ± t Δ , întrucât 349, =24, 9 respectiv 10= ='

i

'ity Δ t

349 9 24 565

349 10 24 589

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= + ⋅ =⇒

= + ⋅ =

'2009

'2010

y

y

Daca ajustarea seriei s-a făcut prin metoda indicelui mediu (I ), valoarea prognozată va fi:

41

• Când

'i

'i

t'1tY = y I , întrucât 307, 1,0631, 12 respectiv 13= = ='

1 iy I t

12

13

307 1,0631 639

307 1,0631 680

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= ⋅⇒

= ⋅

'2009

'2010

Y

Y

• Când ⋅

'i

' 'i i

t't tY = y I , întrucât 349, 1,0631, 9 respectiv 10= = ='

i

'ity I t

9

10

349 1,0631 605,330

349 1,0631 643,527

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= ⋅ =⇒

= ⋅ =

'2009

'2010

Y

Y

Daca ajustarea seriei s-a făcut pe baza trendului liniar, valoarea prognozată va fi:

• Conform '

i

' 'itY = a +bt , întrucât 386, =26, 8 respectiv 9= ='

ia b t

386 26 8 594

386 26 9 620

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= + ⋅ =⇒

= + ⋅ =

'2009

'2010

Y

Y

Daca ajustarea seriei s-a făcut pe baza trendului exponenţial, valoarea prognozată va fi:

• Conform ⋅

'i

'i

t'tY = a b , întrucât 379, =1,07, 8 respectiv 9= ='

ia b t

8

9

379 1,07 651,192

379 1,07 696,776

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= ⋅ =⇒

= ⋅ =

'2009

'2010

Y

Y

Veridicitatea datelor de prognoză se bazează pe premisa potrivit căreia

condiţiile care au acţionat asupra fenomenului în orizontul analizat se menţin

42

şi în orizontul de prognoza. În dimensionarea acestor orizonturi de timp se impune respectarea următoarelor cerinţe:

– Pentru sesizarea tuturor regularităţilor manifestate în evoluţia fenomenului, analiza SCR se va efectua pe un interval, pe o perioadă destul de mare de timp astfel ca seria să conţină un număr suficient de mare de termeni, să existe condiţiile pentru acţiunea legii numerelor mari şi evidenţierea corectă a trendului;

– De asemenea, orizontul de prognoză nu trebuie să fie prea mare; din practica activităţilor de prognoză a evoluţiei fenomenelor şi proceselor economice s-a convenit ca acesta să aibă o lungime maximă egală cu o treime din lungimea intervalului pentru care s-a determinat tendinţa generală. Pe intervalul de prognoza menţionat se poate da răspuns la o serie de probleme privind evoluţia fenomenelor ori realizarea unor comparaţii în profil teritorial:

a) Care va fi nivelul fenomenului studiat peste ″k″ ani? Răspunsul constă în realizarea extrapolării datelor statistice cu ajutorul ecuaţiilor menţionate, corespunzătoare trendului determinat pe perioada de analiză.

b) După câţi ani, fenomenul studiat va atinge un anumit nivel, prestabilit? Presupunem că, potrivit programului de dezvoltare a unei regiuni, este necesar ca volumul activităţii să se dubleze. Întrebarea este după câţi ani ( )it = ? se va întâmpla acest lucru, presupunând că evoluţia fenomenului în viitor se păstrează în aceleaşi condiţii ca în trecut.

Dacă fenomenul a evoluat cu o modificare medie absolută de Δ : Ecuaţia de prognoză este:

*

' oi

' 't itY = y +t Δ ,

unde: 'i

'tY – reprezintă valorile extrapolate;

0ty – reprezintă nivelul de dezvoltare al fenomenului la momentul

curent de realizare a prognozei (el reprezintă, în acelaşi timp, nivelul de dezvoltare al fenomenului din ultimul moment al perioadei de ajustare);

___________ * Vezi 3.4. „extrapolarea seriilor cronologice”. Ecuaţiile de prognoză cuprind termenul bază de ajustare ( 1y sau

ity ); valorile timpului ( 'it ) din intervalul de prognoză sunt o

continuare a valorii timpului din intervalul de ajustare. Dacă folosim ecuaţiile ce fac prognoza prin raportare la ultimul termen al perioadei de ajustare, respectiv termenul din

43

momentul curent de realizare a prognozei (0ty - în ecuaţia de prognoză precizată), atunci

valorile timpului pentru perioada de prognoză ( 'it ) se contiunuă astfel: 0 în dreptul lui

0ty ; 1 pentru '1

't

Y ; 2 pentru '2

't

Y etc. 'it – reprezintă valorile timpului, obţinute prin continuarea coloanei

timpului pentru perioada de prognoză; Δ – reprezintă sporul mediu obţinut pe perioada de determinare a

trendului. Se doreşte, deci, ca ' 0i

'ttY = 2y introducem în ecuaţia de prognoza şi

rezultă:

⇒ 00 0

t' 't t i i

y2y = y +t Δ t =

Δ

Dacă fenomenul a evoluat în trecut în progresie geometrică de raţie I şi admiţând pentru viitor o evoluţie în aceleaşi condiţii, ecuaţia de prognoză va fi:

⋅'i

' 0i

t'ttY = y I

unde I reprezintă indicele mediu al dinamicii fenomenului.

Cum, se vrea ca ⇒ ⋅ ⇒' 'i i

' 0 0 0i

t t't t ttY = 2y 2y = y I I = 2 .

Logaritmăm şi obţinem: ⇒' '

i ilog2t logI = log2 t =logI

.

c) După cât timp se vor egaliza nivelurile de dezvoltare ale două zone geografice, A şi B?

În cazul utilizării metodei modificării mediei absolute

Decidenţii din zona A îşi propun să ajungă din urmă o altă zonă B, mai dezvoltată din punct de vedere al unui indicator ″Y″. În zona A, fenomenul Y a crescut cu un spor absolut mediu anual de AΔ ; în zona B s-a înregistrat un spor absolut mediu anual de BΔ .

La data prognozei ( )0t , fenomenul avea nivelele de dezvoltare: 0

Aty în

zona A, respectiv 0

Bty în zona B.

Conform ecuaţiei de prognoză, în momentul egalizării nivelului indicatorului, vom avea relaţiile:

44

' 0i

AA A 't itY = y +t Δ

şi respectiv ' 0i

B B ' Bt itY = y +t Δ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ ⇒' ' 0 0i i

0 0

0 0

A BA B A ' B 't ti it t

A B' B At ti

B At t'

i A B

Y = Y y +t Δ = y +t Δ

t Δ -Δ = y -y

y -yt =

Δ -Δ

În cazul utilizării metodei indicelui mediu ( )I .

Supunem atenţiei aceeaşi problemă, cu deosebirea că fenomenul Y s-a dezvoltat în trecut cu indicii medii A BI , I şi facem presupunerea >A BI I .

În momentul egalizării nivelului fenomenului, vom avea relaţia:

⋅ ⋅' 'i i

0 0

t tA Bt t BAy I = y I

Pentru determinarea lui ″ it ″ se logaritmează ecuaţia de mai sus:

( )

⋅ ⋅0 0

0 0

0 0

A ' B 'A Bt ti i

' B AA B t ti

B At t'

iA B

logy +t logI = logy +t logI

t logI - logI = logy - logy

logy - logyt =

logI - logI

În ambele cazuri tratate ne putem pune întrebarea: ce ritm de creştere

economică ar fi necesar pentru egalizarea nivelului de dezvoltare după 'it momente (respectiv, ani).

Deci, admitem cunoscute toate datele exceptând AAΔ , I .

– în cazul metodei sporului mediu absolut (Δ ):

45

( )

⋅ ⋅

⋅

' 'i i

0 0

0 0

A Bt t

A BA ' B 't ti i

A B B At t'

i

Y = Y

y +t Δ = y +t Δ

1Δ =Δ + y -yt

– în cazul metodei indicelui mediu:

' 'i i

A Bt tY = Y

( )

⋅ ⋅

⋅ ⋅

' 'i i

0 0

0 0

0 0

t tA Bt t BA

A ' B 'A Bt ti i

B AA B t t'i

y I = y I

logy +t logI = logy +t logI

1logI = logI + logy - logyt

d) Determinarea gradului în care o regiune devansează o altă

regiune Pentru aceasta se calculează indicii (coeficienţii) de devansare, în

două ipostaze: – Pentru două unităţi teritoriale diferite; – Pentru două variabile ce evoluează în timp, dar în interiorul aceleiaşi

colectivităţi (zonă geografică). Indicele de devansare rezulta din raportul indicilor de dinamica ai

fenomenului Y, calculaţi pentru zonele geografice ce se compară (A, B). Indicele de dinamică al zonei A este un indice cronologic ce arată

dinamica fenomenului Y în interiorul unui orizont de timp, 0,n .

An

A A0

yI =y

este indicele raportat.

Corespunzător, indicele de dinamică al zonei B, care reprezintă baza

de raportare, se calculează cu formula:

46

Bn

B B0

yI =y

Indicele de devansare a unităţii teritoriale B de către unitatea

teritorială A va fi: Y AA B

B

II = I

Aceste comparaţii şi ierarhizări teritoriale sunt aspecte ale analizei

seriilor teritoriale. Seriile teritoriale sunt şiruri de valori ale unor caracteristici statistice ordonate în raport cu unităţile administrative sau diviziunile teritoriale de care aparţin.

Seriile teritoriale (de spaţiu) pot fi alcătuite din mărimi absolute, mărimi relative de structura, intensitate sau de coordonare, mărimi relative de dinamică – precum indicii de dinamica trataţi în prezentul curs.

În cazul seriilor teritoriale alcătuite din mărimi relative de dinamică, nivelul mediu poate fi aflat prin aplicarea mediei geometrice simple.

Un alt aspect distinct al seriilor teritoriale îl constituie caracterizarea gradului de uniformitate (sau de diformitate) a repartiţiei în spaţiu. Acest aspect se exprima prin coeficientul repartiţiei teritoriale (indice al repartiţiei teritoriale, coeficient al concentrării teritoriale) aplicabil numai seriilor cu termeni direct însumabili, deci, numai seriilor alcătuite din mărimi absolute. În prealabil, se determina mărimile relative de structura pentru fiecare din termenii seriei ( ig ). Coeficientul îmbracă formula:

∑ 2

iC = g unde i = 1,n

Acesta se mai numeşte şi coeficientul Gini Corrado, după statisticianul italian care l-a propus: coeficientul ia valori în intervalul 1 n,1 : 1/n – când repartiţia variabilei este absolut uniformă şi 1 – când variabila cercetată se concentrează într-o singură unitate teritorială.

Variabilitatea limitei inferioare a coeficientului Gini, în raport cu numărul (n) al unităţilor administrativ-teritoriale, determina o anumita dificultate în utilizarea lui atunci când se compara colectivităţi cu organizare teritoriala diferita (de exemplu, comparaţii între tari, între zone geografice sau continente). Pentru al înlătura acest inconvenient, în practica statistica internaţională s-au propus o serie de procedee de corectare a formulei Gini, astfel ca indicatorul sa i-a valori în intervalul [o,1], indiferent cate unităţi ar

47

avea colectivitatea cercetată. Un astfel de procedeu este dat de relaţia de interpolare de mai jos:

∑ 2

i' n g -1C = n-1

Fata de alte variante de corectare a coeficientului Gini, formula de mai

sus prezintă avantajul unei aplicări lesnicioase şi cel al evidenţei valorilor extreme admise : ≤ ≤'0 C 1 .

3.5. Analiza componentei sezoniere

Când valorile reale ale unui fenomen se abat periodic de la trend, cauza poate fi acţiunea unor factori sezonieri.

Scopul analizei statistice este de a determina momentele sau perioadele în care se înregistrează abatere, a preciza direcţia şi amplitudinea variaţiei.

Dintre cele mai importante cauze care generează fluctuaţii sezoniere în economie şi cu deosebire în domeniul cererii de mărfuri şi servicii a populaţiei menţionam: schimbarea anotimpurilor, tradiţiile şi obiceiurile, practicile instituţionale ca începerea scoliilor, plata salariilor, etc.

Cunoaşterea valului sezonier este o condiţie de bază pentru realizarea unor programe realiste de aprovizionare.

Măsurarea sezonalităţii se face prin calculul indicatorilor absoluţi şi relativi corespunzători unor serii cronologice:

– staţionare – care nu prezintă trend evolutiv – nestaţionare – acele serii pentru care trendul este prezent.

3.5.1. Determinarea sezonalităţii în cadrul seriilor cronologice staţionare

Conţinutul algoritmului de determinare a sezonalităţii pentru serii

staţionare presupune calculul indicilor de sezonalitate. Aceştia se calculează prin compararea mediei specifice fiecărei perioade subanuale cu media generala a termenilor seriei.

Notam cu (ijty ) temenii unei serii cronologice staţionare, cu

componentă sezonieră. Aceasta înseamnă ca nivelul înregistrat (y ij ) este cel corespunzător subperioadei (j) din perioada (i). Bunăoară, dacă perioada este

48

anul calendaristic, în fiecare an (i) se înregistrează perioade subanuale, simbolizate cu (j).Valorile lui (j) corespund numărului de subperioade anuale, j =1,m :

– 1,4=j , pentru date trimestriale; – 1,12=j , pentru date lunare; – 1,52=j , pentru date săptămânale. Valorile lui (i), corespunzătoare numărului de perioade (numărului de

ani) din orizontul de timp supus analizei, iau valori pe i = 1,n , (n) fiind ultimul an al perioadei analizate.

Exemplificăm algoritmul de determinare a sezonalităţii în tabelul nr. 10

Tabelul nr. 10

Determinarea sezonalităţii în cadrul unei serii cronologice staţionare: Vânzările trimestriale ale unei unităţi de alimentaţie publică în perioada 2004-2006

Trimestrul (j)

Anul (t) І ІІ ІІІ ІV

2004 2005 2006

2,7 2,9 2,8

2,7 2,6 2,8

3,0 3,1 2,9

3,4 3,7 3,7

Total 8,4 8,1 9,0 10,8 Media în

trimestrul: (j); jy

8,4 2,83

= =1y 8,1 2,73

= =2y 3,0=3y 3,6=4y

Sezonalitatea în mărimi

absolute:Δ 0, 255= −1 1 0Δ = y - y 0,325= −2 2 0Δ = y - y 0,025= −3Δ 0,575=4Δ

Indicii de sezonalitate: s

jΙ 92,6%⋅ =11

0

yI = 100y

89, 2%⋅ =22

0

yI = 100y

99,2%=3I 119,0%=4I

Media trimestrială se va calcula cu formula:

∑ ij

n

ti=1

j

yy = n

49

Vom avea:

2,7 2,9 2,8 8,4 2,83 3

2,7 2,6 2,8 8,1 2,73 3

3 3,1 2,9 9 33 3

3,4 3,7 3,7 10,8 3,63 3

+ += = =

+ += = =

+ += = =

+ += = =

∑

∑

∑

∑

i1

i2

i3

i4

3

ti=1

1

3

ti=1

2

3

ti=1

3

4

ti=1

4

yy

= n

yy = n

yy = n

yy = n

Media generala se poate calcula cu formulele:

j∑m

j=10

yy = m

respectiv,

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ij

m n

tj=1 i=1

0

yy = N

în care: n – reprezintă numărul de perioade;

m – reprezintă numărul de subperioade din cadrul unei perioade; N – reprezintă numărul total de subperioade din orizontul de timp

supus cercetării (N=12 pentru seria noastră). Corespunzător primei formule,

02,8 2,7 3 3,6 3,0254

+ + += =y .

Corespunzător celei de-a doua formule,

0(2,7 2,9 2,8) (2,7 2,6 2,8) (3 3,1 2,9) (3,4 3,7 3,7) 3,02512

+ + + + + + + + + + += =y

50

Sezonalitatea poate fi exprimată în mărimi absolute sub forma abaterii

mediei sezonului ( jy ) de la media generală ( 0y ): j 0jΔ = y -y . Valorile jΔ pozitive semnalează realizări superioare mediei, perioada

j reprezentând un „sezon de vârf”. O valoare jΔ negativă semnalează realizări sub medie, ceea ce în domeniul comerţului şi mai ales al turismului reprezintă „un sezon slab”.

In mărimi relative, intensitatea valului sezonier este exprimata prin indicii se sezonalitate:

( ) ⋅s jj

0

yI = 100

y

Interpretarea indicilor de sezonalitate prezintă similitudini cu

caracterizările anterioare ale diferenţelor ( jΔ ), în sensul că un indice superior nivelului de 100% semnalează perioada de vârf, iar un indice sub 100% semnalează perioada cu rezultate sub medie. Pentru calculul indicilor de sezonalitate vom folosi metoda mediilor aritmetice şi relaţia de mai sus. Calculele, pe baza vânzărilor trimestriale ale unei unităţi de alimentaţie publică, în perioada 2004-2006, sunt evidenţiate pe ultimele rânduri ale tabelului numărul 10. Intensitatea sezonalităţii semnalează trim. IV ca având realizări mult superioare mediei: ( 4Δ ) este pozitivă, 4I >100% , deci, acest trimestru reprezintă o perioadă de vârf; în celelalte trimestre, şi cu deosebire în trimestrele I şi II, realizările sunt sub medie.

3.5.2. Determinarea sezonalităţii pentru seriile cronologice cu

trend evident Constă în dimensionarea componentei sezoniere, precizarea direcţiei

şi mărimii acesteia. Pentru a evidenţia influenţa factorilor sezonieri asupra evoluţiei unui

fenomen prezentat printr-o serie cronologica nestaţionară este necesar sa se elimine influenta celorlalte componente (trendul şi abaterile aleatoare). Comparativ, în cazul seriilor cronologice staţionare, prin metoda mediilor, se elimina doar abaterile aleatoare.

Stabilirea variaţiilor sezoniere pentru o serie cronologică nestaţionară necesită determinarea prealabilă a trendului folosind o metodă analitică de trend sau metoda mediilor mobile.

După modul de manifestare a influenţei factorilor sezonieri distingem modelul aditiv şi modelul multiplicativ.

51

3.5.2.1. Modelul aditiv Dacă influenţa factorului sezonier se manifestă aditiv, combinarea

elementelor seriei cronologice este:

ij ij j ijy = Y +S +ε

Componenta sezonieră se determină sub forma devierilor sezoniere. Vom exemplifica calculele pentru seria din tabelul numărul 11.

Algoritmul pentru determinarea componentei sezoniere cuprinde următorii paşi:

Se elimină trendul din termenii reali ai seriei cronologice obţinându-se diferenţele sezoniere .

ij ij j ijy -Y = S +ε

unde: i = 1,n reprezintă numărul curent al perioadei, anului în exemplul

nostru; j = 1,n reprezintă numărul curent al subperioadei, al trimestrului în

exemplul nostru. Determinarea trendului (vezi tabelul numărul 12.) se face prin metoda

mediilor mobile. S-au calculat medii glisante de câte patru termeni şi apoi acestea au fost supuse unei operaţii de centrare, astfel încât noile medii se vor plasa în dreptul unor termeni reali pe care-i vor înlocui.

Diferenţele sezoniere ( j ijS +ε ) sunt evidenţiate pe coloana 3 a tabelului nr. 13.

Tabelul nr. 11

Vânzările trimestriale în perioada 2003-2006 Anul

Trimestrul 2003 2004 2005 2006

0 1 2 3 4 I 14 15 19 19 II 18 20 23 22 III 15 14 18 15 IV 25 26 27 31

52

Tabelul nr.12 Determinarea trendului pentru vânzările trimestriale din perioada

2003-2006

Anul şi trimestrul

Termenii

SCR ijy

Medii mobile parţiale

Medii mobile centrate

ijY

0 1 2 3 I 14

2003 II 18 18

III 15 18,125 18,25

IV 25 18,5 18,75

I 15 18,625 18,5

2004 II 20 18,625 18,75

III 14 19,25 19,75

IV 26 20,125 20,5

I 19 21 21,5

2005 II 23 21,625 21,75

III 18 21,75 21,75

IV 27 21,625 21,5

I 19 21,125 20,75

2006 II 22 21,25 21,75

III 15

IV 31

53

Se elimină şi influenţa factorului aleator. Facem acest lucru prin metoda mediilor, calculând pentru fiecare sezon medii ale diferenţelor ce au fost calculate la pasul anterior. Se obţin devierile sezoniere brute.

∑ ∑n

j ij ij' i=1j j

(S +ε ) εS = = S +n n

Aceste devieri sezoniere brute

( ' ' ' '

I II III IVS = -2,583, S =1,166, S = -4,042, S = 6,042)

reprezintă estimatori bruţi ai componentei sezoniere (coloana 5 a tabelului numărul 14).

Dacă trendul a fost determinat cu metoda celor mai mici pătrate, suma abaterilor sezoniere este nulă (∑

m'j

j=1S = 0) si, deci, media lor este nulă, întrucât

∑∑ ∑∑ij iji j i j

y = Y .

Noi, având trendul determinat cu metoda mediilor mobile,

compensarea abaterilor sezoniere nu are loc în mod obligatoriu şi de aceea trecem la un nou pas.

Se calculează media estimatorilor bruţi ai devierilor sezoniere, după formula:

∑m

'j' j=1

j

SS = m

Media astfel obţinută se scade din devierile sezoniere brute,

obţinându-se devierile sezoniere corectate ( jS ) (vezi coloana 6, tabelul numărul 14.).

'' jj jS = S -S

Se determină termenii seriei cronologice corectate, aceia din care s-a eliminat influenţa factorului sezonier ( ij jy -S ); această serie v-a cuprinde trendul şi abaterile aleatoare (coloana 4, tabelul numărul 13.).

Dacă se cunoaşte trendul, se poate calcula pentru fiecare termen, valoarea componentei aleatoare ( ijε )

54

'ij ij ij j j ij jε = y - Y -S = S +ε -S

Exemplificăm calculul componentelor aleatoare pentru semestrele din

anul 2004 (coloana 5, tabelul numărul 13.).

15 18,625 ( 2,72875) 0,89625

20 18,625 1,02025 0,35475

14 19,25 ( 4,18775) 1,06225

26 20,125 5,89625 0,02125

= − − − = −

= − − =

= − − − = −

= − − = −

I,2004

II,2004

III,2004

IV,2004

ε

ε

ε

ε

Tabelul nr. 13

Calculul diferenţelor sezoniere, componentei aleatoare şi a seriei corectate

Anul şi trimestrul

⋅ ⋅ij ij j ijy = Y S ε

Trendul (medii

mobile) ijY

Diferenţe sezoniere

ij ijy - Y

Serie corectata

ij jy - S

Componenta aleatoare

ij ij jy - Y - S

0 1 2 3 4 5 I 14

2003 II 18 III 15 18,125 -3,125 15-(-4)=19 1,062 IV 25 18,5 6,5 25-6=19 0,97875

I 15 18,625 -3,625 15-(-3)=18 -0,89625 2004 II 20 18,625 1,375 20-1=19 0,35475

III 14 19,25 -5,25 14-(-4)=18 -1,06225 IV 26 20,125 5,875 26-6=20 -0,02125

I 19 21 -2 19-(-3)=22 0,72875 2005 II 23 21,625 1,375 23-1=22 0,35475

III 18 21,75 -3,75 18-(-4)=22 0,43775 IV 27 21,625 5,375 27-6=21 -0,52125

I 19 21,125 -2,125 19-(-3)=22 0,60375 2006 II 22 21,25 0,75 22-1=21 -0,27025

III 15 IV 31

55

Tabelul nr. 14

Calculul devierilor sezoniere Diferenţe sezoniere

Trim 2003 2004 2005 2006

Devieri sezoniere

brute 'jS

Devieri sezoniere corectate

Sj 0 1 2 3 4 5 6

I -3,625 -2 -

2,125 -2,583 -2,72875 3−

II 1,375 1,375 0,75 1,166 1,02025 1

III -3,125 -5,25 -3,75 -4,042 -4,18775 4−

IV 6,875 5,875 5,375 6,042 5,89625 6

Total 0,14575='jS

3.5.2.2. Modelul multiplicativ

Întrucât influenţa factorilor se manifestă multiplicativ, modelul

îmbracă forma: ⋅ ⋅ij ij j ijy = Y S ε

Componenta sezonieră se va determina sub forma indicilor de

sezonalitate ( *jS ).Admiţând că influenţa factorilor se manifestă multiplicativ,

vom exemplifica calculele pe aceeaşi serie cronologică, din tabelul numărul 15.

Algoritmul pentru calculul indicilor de sezonalitate cuprinde următorii paşi:

Se elimină valorile de trend din termenii reali. Pentru aceasta, ca şi la modelul aditiv, se determină trendul cu o metodă analitică sau cu cea a mediilor mobile (vezi coloana 2, tabelul numărul 15.). Calculele pentru eliminarea trendului au fost făcute în coloana 3 a tabelului menţionat, cu formula:

15 0,82818,125= =

ij * *j ij

ij

2003,III

2003,III

y= S εY

yY

25 =1,351 ....18,50=2003,IV

2003,IV

yY

56

Indicii de sezonalitate astfel obţinuţi se trec în tabelul numărul 16., algoritmul de calcul continuând cu paşii:

Se calculează medii pe subperioade (trimestre) ale acestor rapoarte (indici de sezon), mărimile obţinute numindu-se indici de sezonalitate bruţi (coloana 5, tabelul numărul 17).

⋅∑ ∑n n

* *j i ij

*' *i=1 i=1j j

S ε εS = = Sn n

0,805 0,905 0,899 0,703

+ += =*'IS 1,074 1,064 1,035 1,0583

+ += =*'IIS

0,828 0,727 0,828 0,7943

+ += =*'IIIS 1,351 1,292 1,294 1,2973

+ += =*'IVS

Teoretic, pentru calculul indiciilor de sezonalitate bruţi ar trebui

aplicată media geometrică; în practică se recurge de obicei, la media aritmetică.

Dacă produsul indicilor bruţi de sezonalitate diferă de 1 (100%), atunci se determină indicii de sezonalitate corectaţi, prin împărţirea indicilor bruţi la media lor, calculată pentru perioada supusă analizei economice. Se obţin indicii de sezonalitate corectaţi (vezi coloana 6, tabelul numărul 16).

∑

*' *'j j*

mj *' *'j jj=1

S SS = =

S S

m

0,700 1,058 0,794 1,297 0,9624

+ + += =*' *' *' *'*' I II III IVj

S +S +S +SS = 4

0,7 0,7280,962= =*IS 1,058 1,100,962= =*

IIS

0,794 0,8250,962= =*

IIIS 1,297 1,3480,962= =*IVS

Termenii corectaţi ai seriei cronologice date se calculează,

împărţindu-se termenii reali la indicii de sezonalitate corectaţi, *ij jy S , (vezi

coloana 4, tabelul numărul 15).

57

14 19,2310,728= =2003,Iy 18 16,3631,10= =2003,IIy …………..etc.

Se determină componenta aleatoare împărţindu-se termenii reali la produsul dintre trend şi indicii de sezonalitate corectaţi.

ij*ij *

ij j

yε =

Y S

15 1518,125 0,825 14,953= =

⋅2003,IIIε 25 25

18,50 1,348 24,938= =⋅2003,IVε

15 15

18,625 0,728 13,559= =⋅2004,Iε …… ……. 22 22

21,250 1,1 23,375= =⋅2006,IIε

Tabelul nr. 15

Algoritm pentru calculul indicilor de sezonalitate

Anul şi trimestrul

⋅ ⋅* *

ij ij j ijy = Y S ε

Trendul (medii mobile)

ijY

Indici de sezonalita

te ij * *

j ijij

y= S εY

Serie cronologică corectată

*

ij jy S

Componenta aleatoare

⋅ *'

ij ij jy Y S

0 1 2 3 4 5 I 14 19,231

2003 II 18 16,363 III 15 18,125 0,828 18,182 1,003 IV 25 18,5 1,351 18,546 1,002

I 15 18,625 0,805 20,728 1,106 2004 II 20 18,625 1,074 18,182 0,976

III 14 19,25 0,727 16,970 0,881 IV 26 20,125 1,292 19,288 0,958

I 19 21 0,905 26,099 1,243 2005 II 23 21,625 1,064 20,910 0,967

III 18 21,75 0,828 21,818 1,003 IV 27 21,625 1,249 20,030 0,962

I 19 21,125 0,899 26,099 1,235 2006 II 22 21,25 1,035 20 0,941

III 15 18,182 IV 31 22,997

58

Tabelul nr. 16

Algoritm de calcul al indicilor de sezonalitate bruţi şi corectaţi pe semestre

Indici de sezonalitate Trim

2003 2004 2005 2006

Indici de sezonalitate

bruţi *'jS

Indici de sezonalitate

corectaţi *jS

0 1 2 3 4 5 6

I 0,805 0,905 0,899 0,700 0,728

II 1,074 1,064 1,035 1,058 1,10

III 0,828 0,727 0,828 0,794 0,825

IV 1,351 1,292 1,249 1,297 1,348

Total 0,962=*'jS

4. Covariaţia Evoluţia fenomenelor economico-sociale poate fi analizată şi

comparativ. Se pune astfel în evidenţă dependenţa, legătura dintre evoluţiile în timp a două sau mai multe fenomene. În cazul analizei comparative a două serii cronologice, variabilele luate în studiu sunt:

– variabila cauzală, exogenă, factorială, it

x – variabila rezultativă, endogenă, dependentă,

ity

– variabila timp, it Între evoluţia în timp a variabilei ,,cauză” şi a variabilei „efect” poate

exista o legătura reală, (vezi capitolul Analiza statistică a legăturilor dintre fenomenele şi procesele social-economice) dar şi una ce ar putea fi considerată, mai degrabă, ca „artificială” rezultând din compararea evoluţiei a două fenomene nu neapărat în raport de cauzalitate: bunăoară, evoluţia importului poate fi privită comparativ cu cea a exportului, evoluţia veniturilor poate fi privită comparativ cu cea a cheltuielilor, etc.

Măsurarea intensităţii unei astfel de legături se realizează prin indicatorul numit „covariaţie”. O modalitate de exprimare a covariaţiei este coeficientul de covariaţie liniară, ce se calculează asemănător cu coeficientul de corelaţie, însă cu conţinut diferit. Relaţia de calcul este următoarea:

59

( )( )( ) ( )

⋅∑ ∑

∑

i i

i i

i i

t t

t tx y2 2

t t

x -x y -yx - x y -yσ σ

c = =nx -x y -y

unde sii it t

X Y

x - X y -Y σ σ sunt variabile centrate şi reduse.

Coeficientul de covariaţie liniară măsoară intensitatea legăturii

variaţiilor în timp dintre fenomene, luând valori între –1 şi +1. Dacă valorile sale sunt apropiate de +/-1, atunci legătura liniară între variaţiile temporale ale celor doua fenomene este puternică, iar dacă valorile coeficientului tind spre (0), legătura este slabă.

În concluzie, analiza SCR, prin sistemul de indicatori folosiţi, trebuie să evidenţieze tendinţa obiectivă de dezvoltare a fenomenelor şi proceselor economice cercetate, înlăturându-se ceea ce este întâmplător şi neesenţial în evoluţie. Dat fiind complexitatea evoluţiei fenomenelor şi proceselor economice şi sociale, se impune că în activitatea de previziune şi prognoza să se folosească mai multe variante de calcul, fundamentate pe o temeinică şi riguroasă analiză economică.

5. Probleme-aplicaţii la seriile cronologice

Problema 1 Evoluţia producţiei la societatea comercială „X” se prezintă conform

tabelului de mai jos:

Tabelul nr. 17 Anii 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Producţia 756 767 825 880 902 973 1.151 Sursa: date ipotetice Se cere: 1) Să se calculeze indicatorii absoluţi, relativi şi medii ai acestei serii; 2) Să se ajusteze seria prin metodele:

60

– simple (grafică, modificării absolute medii, indicelui mediu al dinamicii);

– analitice (funcţia liniară, funcţia exponenţială, funcţia parabolică). 3) Să se verifice cu ajutorul coeficientului de variaţie rezultatele

obţinute la punctul 2 şi să se arate care din metodele utilizate corespund mai bine tendinţei de dezvoltare a producţiei pentru perioada 2000-2006.

4) Considerând condiţiile de producţie şi desfacere aceleaşi şi în viitor să se extrapoleze producţia pentru perioada 2006-2010.

Rezolvare

1. Indicatorii absoluţi, relativi şi medii 1.1. Indicatorii absoluţi şi relativi Algoritmul de calcul al acestor indicatori este cel prezentat în tabelul

numărul 18.

1.2. Indicatorii medii 1.2.1. Nivelul mediu al seriei ( )Y

6254 893,437= =∑ ity

Y = n mii buc.

1.2.2. Modificarea absoluta medie ( )Δ

395 65,8336= =∑ i i-1 it t t 1ΔΔ

Δ = =n-1 n-1 mii buc. = 66 mii buc.

1.2.3 .Indicele mediu al dinamicii ( )I

61

Tabelul nr. 18

Algoritm de calcul al indicatorilor absoluţi şi relativi Indicatorii absoluţi Indicatorii relativi

Modificări absolute Indicele dinamicii Ritmul de creştere (scădere) Valoarea absolută a 1%

din R De nivel (Δ) (I) (R) (A) Valoare

producţie(mii buc.)Anii

ity

b. fixă

i it 1 t 1Δ = y - y

b. lanţ

i i i it t -1 t t -1Δ = y - y

b. fixă i

i

tt 1

1

yI = 100

y

b. lanţ i

i i

i

tt t -1

t -1

yI = 100

y

b. fixă i

i

t 1t 1

1

ΔR = 100

y

b. lanţ i i

i i

i

t t -1t t -1

t -1

ΔR = 100

y

b. fixă i

i

i

t 1t 1

t -1

ΔA =

R

b. lanţ i i

i i

i i

t t -1t t -1

t t -1

ΔA =

R

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2000 756 - - 100 - - - - - 2001 767 11 11 101,46 101,46 1,46 1,46 7,56 7,56 2002 825 69 58 109,13 107,56 9,13 7,56 7,56 7,67 2003 880 124 55 116,4 106,67 16,4 6,67 7,56 8,25 2004 902 146 22 119,31 102,5 19,31 2,5 7,56 8,8 2005 973 217 71 128,7 107,87 28,7 7,87 7,56 9,02 2006 1151 395 178 152,25 118,29 52,25 18,29 7,56 9,73

Total itΣy =

6254 -

∑ i it t -1Δ =

395 - ∏ i it t -1Ι =

152,25 - - - -

62

6 61,0146 1,0756 1,0667 1,025 1,0787 1,1829 1,5225

log1,5225 0,18260 0,0304336 6

antilog0,030433 1,072585 107,2585%

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= = =

= = =

∏ ii i-1 i

tn-1 n-1n-1t t t 1

1

yI = I = I = y

I

logI

I

Sau

6 1151756=itn-1

1

yI = y

log1151 log756 3,06108 2,87852 0,18256 0,030436 6 6

antilog0,03043 1,072585 107,2585% 107,3%

− −= = = =

= = =

logI

I

Ritmul mediu de creştere (sporul) ( )R

R = I -1 sau 1,072585 1 0,072585= − =R sau 107,2585 100 7,2585%= − =R

2. Ajustarea seriei 2.1. Metoda grafică

63

Evolutia productiei la societatii comerciale X in perioada 2000-2006

756 767825

880 902

973

1151

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

anul

prod

uctia

Fig. 9. Evoluţia producţiei la societatea comercială „x” în perioada 2000-2006 2.2. Metoda modificării absolute medii

i it t iY = y +t Δ

2.3. Metoda indicelui mediu de dinamica

⋅ i

i i

tt tY = y I

Calculele sunt prezentate în tabelul numărul 19.

64

Tabelul nr. 19

Algoritm de calcul necesar ajustării producţiei prin metoda Δ şi I

Valori ajustate după metoda

Anii

Valoare

producţie (mii buc.)

Valorile timpului Modificării absolute medii

⋅

it iy + t Δ itY

Indicelui mediu de dinamică⋅ i

i

t

ty I itY

A 1 2 3 4 5 6 2000 756 0 756 0 66+ ⋅ = 756 0756 1,073⋅ = 756 2001 767 1 756 1 66+ ⋅ = 822 1756 1,073⋅ = 811,2 2002 825 2 756 2 66+ ⋅ = 888 2756 1,073⋅ = 870,4 2003 880 3 756 3 66+ ⋅ = 954 3756 1,073⋅ = 933,9 2004 902 4 756 4 66+ ⋅ = 1.020 4756 1,073⋅ = 1.002,0 2005 973 5 756 5 66+ ⋅ = 1.086 5756 1,073⋅ = 1.075,3 2006 1.151 6 756 6 66+ ⋅ = 1.152 6756 1,073⋅ = 1.153,8

Total 6254

=∑ ity 6678=∑ itY 6602,6=∑ itY

2.4. Funcţia liniară

it iY = a +bt

( ) ( )⇔∑ ∑i

2 2t iy - Y = minim y -a-bt = minim

Prin derivare se va obţine sistemul:

⎧⎪⎨⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i

i

i t

2i i i t

na + b t = y

a t + b t = t y

se pune condiţia ca ∑ it = 0 şi, deci, rezultă:

6254 893,437= =∑ it

ya = n mii buc.

65

1674 59,7857 59,828= =∑∑

iti2i

t yb =

t mii buc.

2.5. Funcţia exponenţială

⋅ i

i

ttY = a b

prin logaritmare rezultă:

it ilogY = loga +t logb

În mod analog se obţine sistemul:

( )

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i

i

ti

2ti i i

nloga + logb t = logy

loga t + logb t = t logy

Punând condiţia ∑ it = 0 rezultă:

20,62865 2,946957= =∑ it

logyloga = n

antilog2,94695 885,02= ⇔ =a a mii buc.

( ) 0,79306 0,0283228= =

∑∑

iti2i

t logylogb =

t

antilog0,02832 1,0674= ⇔ =b b

Rezultatele ajustării după funcţia liniară şi funcţia exponenţială le

regăsim în tabelul numărul 20.

66

2.6. Funcţia parabolică

( )∑

i

i i

2t i i

2

t t

Y = a +bt +ct

y -Y = minim

( )∑ i

22

t i iy -a-bt -ct = minim

prin derivare se va obţine sistemul:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

i2

ti i

2 3i i i i

2 3 4 2i i i i

na +b t +c t = y

a t +b t +c t = t y

a t +b t +c t = t y

Punând condiţia ca ∑ it = 0 , sistemul devine: ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

i2

ti

2i i

2 4 2i i i

na +c t = y

b t = t y

a t +c t = t y

67

Tabelul nr. 20

Algoritmul de calcul necesar ajustării producţiei prin trendul liniar şi exponenţial Valori ajustate după:

Val. timp Funcţia liniară: it iY = a + bt

Funcţia exponenţială: ⋅ i

i

ttY = a b Anii Producţia

(mii buc.)it 2

it ii tt y ⋅ i893,43 + 59,8 t

itY itlogy

ii tt logy ⋅ it883,02 1,0674itY

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2000 756 -3 9 -2.268 893,43 3 59,8− ⋅ 714,03 2,87852 -8,63556 3883,02 1,0674−⋅ 728 2001 767 -2 4 -1.534 893,43 2 59,8− ⋅ 773,83 2,88480 -5,7696 2883,02 1,0674−⋅ 777 2002 825 -1 1 -825 893,43 1 59,8− ⋅ 833,63 2,91645 -2,91645 1883,02 1,0674−⋅ 829 2003 880 0 0 0 893,43 893,43 2,94448 2,94448 0883,02 1,0674⋅ 885 2004 902 1 1 902 893,43 1 59,8+ ⋅ 853,23 2,95521 2,95521 1883,02 1,0674⋅ 945 2005 973 2 4 1.946 893,43 2 59,8+ ⋅ 1.013,03 2,98811 5,97622 2883,02 1,0674⋅ 1.008 2006 1.151 3 9 3.453 893,43 3 59,8+ ⋅ 1.072,83 3,06108 9,18324 3883,02 1,0674⋅ 1.076

Total ∑ ity =

6254 ∑ it =

0 ∑ 2

it =28

∑ ii tt y =

1674 ∑ itY =

6254,01∑ itlogy =

20,62865( )∑ ii tt logy =

0,79306 ∑ itY =

6248

68

Pe baza datelor din tabelele ce urmează (tabelele numărul 20, 21) parametrii “a” şi “c” vor avea următoarele valori:

1674 59,7857; 59,828 =∑

∑i2i

t yb = =

t mii tone

( ) 26254 196 28 25850 1225784 723800

1372 7847 196 28

501984 853,71428 853,7 588 mii tone

⋅ − ⋅ −= = =−⋅ −

= =

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

i4 2 2

t i i i24 2

i i

y t - t t ya =

n t - t

( ) 27 25850 6254 28 180950 175112

5887 196 28

5838 9,9285 9,93 mii tone588

⋅ − ⋅ −= = =⋅ −

= =

∑ ∑ ∑∑ ∑

i i2 2

t ti i24 2

i i

n t y - y tc =

n t - t

Corespunzător valorii acestor coeficienţi, valorile ajustate după

trendul parabolic sunt explicitate în coloana 7 a tabelului numărul 21.

69

Tabelul nr. 21

Algoritm necesar ajustării producţiei prin metoda trendului parabolic

Valorile timpului Valori ajustate după parabola de

gradul 2; i

2t i iY = a + bt + ct Anii

Producţia (mii tone)

ity

it 2it 4

it

i

2i tt y 2

i i853,7 + 59,8t + 9,93t itY

A 1 2 3 4 5 6 7 2000 756 -3 9 81 6.804 853,7 59,8 3 9,93 9+ ⋅− + ⋅ 763,7 2001 767 -2 4 16 3.068 853,7 59,8 2 9,93 4+ ⋅− + ⋅ 774,02 2002 825 -1 1 1 825 853,7 59,8 1 9,93 1+ ⋅− + ⋅ 803,83 2003 880 0 0 0 0 853,7 59,8 0 9,93 0+ ⋅ + ⋅ 855,7 2004 902 1 1 1 902 853,7 59,8 1 9,93 1+ ⋅ + ⋅ 923,4 2005 973 2 4 16 3.892 853,7 59,8 2 9,93 4+ ⋅ + ⋅ 1.013,22 2006 1.151 3 9 81 10.359 853,7 59,8 3 9,93 9+ ⋅ + ⋅ 1.122,47

Total 6254∑ ity =

0∑ it =

28∑ 2

it = 196∑ 4

it =

25850∑ i

2i tt y =

6254,34∑ itY =

3. Alegerea celei mai bune metode de ajustare cu ajutorul coeficientului de variaţie (

t ti iy YV )

Relaţia de calcul a coeficientului de variaţie:

⋅

∑∑

∑ ∑

i it t i ii i

t ti ii i

t ty Y t t

y Yt t

y -Yy -Yd nV = 100 = =

y yYn

3.1. În cazul metodelor simple, algoritmul de calcul este:

70

Tabelul nr. 22

Algoritmul necesar verificării funcţiilor de trend şi alegerea celei mai potrivite funcţii de trend

Valori ajustate şi abaterile valorilor empirice de la cele ajustate prin metode simple:

Modificarea absolută medie i it t iY = y + t Δ

Indicele mediu al dinamicii ⋅ i

i i

t

t tY = y I

Anii Producţia (mii tone)

itY i it ty - Y

itY i it ty - Y

A 1 2 3 4 5 2000 756 756 0 756 0 2001 767 822 -55 811,2 44,2 2002 825 888 63 870,4 45,4 2003 880 954 74 933,9 53,9 2004 902 1.020 118 1002 100 2005 973 1.086 113 1.075,3 102,3 2006 1.151 1.152 1 1.153,8 2,6

Total 6254∑ ity =

6678∑ itY =

424∑ i it ty - Y =

6602,6∑ itY =

348,6∑ i it ty - Y =

Coeficientul de variaţie, când valorile sunt ajustate după metoda modificării medii absolute, va lua valoarea:

424 100 6,78%6254= ⋅ =t t ii i

t ti i

Y =y +t Δy YV

Coeficientul de variaţie când valorile sunt ajustate după metoda

indicelui mediu, va lua valoarea:

348,6 100 5,57%6254⋅= ⋅ =

tit ti i

t ti i

Y =y Iy YV

3.2. În cazul metodelor analitice, algoritmul de calcul este cel

prezentat în tabelul de mai jos (tabelul numărul 23):

71

Tabelul nr. 23

Algoritmul necesar verificării funcţiilor de trend şi alegerea celei mai potrivite funcţii de trend

Valori ajustate şi abaterile dintre valorile empirice ajustate prin metodele:

Funcţia liniară Funcţia exponenţială Funcţia parabolică Anii

Producţia (mii tone)

0 ity

itY i it ty - Y

itY i it ty - Y

itY i it ty - Y

A 1 2 3 4 5 6 7 2000 756 714 42 728 28 764 8 2001 767 774 7 777 10 774 7 2002 825 834 9 829 4 804 21 2003 880 893 13 885 5 854 26 2004 902 953 51 945 43 923 21 2005 973 1.013 40 1.008 35 1.013 40 2006 1.151 1.073 78 1.076 75 1.122 29

Total 6254∑ ity =

240

=∑ i it ty - Y

200

=∑ i it ty - Y 152

=∑ i it ty - Y

72

Coeficientul de variaţie, când valorile sunt ajustate după funcţia liniară, va lua valoarea:

240 100 3,84%6254= ⋅ =t ii

t ti i

Y =a+bty YV

Coeficientul de variaţie, când valorile sunt ajustate după funcţia

exponenţială, va lua valoarea:

200 100 3,197%6254⋅

= ⋅ =titi

t ti i

Y =a by YV

Coeficientul de variaţie, când valorile sunt ajustate după funcţia

parabolocă, va lua valoarea:

152 100 2,43%6254= ⋅ =2

t i iit ti i

Y =a+bt +cty YV

Coeficientul de variaţie corespunzător funcţiei parabolice înregistrează

valoarea cea mai mică, fapt ce ne permite aprecierea potrivit căreia metoda analitică de trend ″funcţia parabolică″ este cea mai potrivită pentru ajustarea seriei cronologice date.

4. Extrapolarea producţiei societăţii pentru următorii trei ani 4.1. Extrapolarea prin metode simple 4.1.1. Extrapolarea prin metoda modificării absolute medii se va face

după ecuaţia:

'i

' '1 itY = y +t Δ

4.1.2. Extrapolarea prin metoda indicelui mediu de dinamica se va

face după ecuaţia:

⋅'i

'i

t'1tY = y I

73

Tabelul nr. 24

Algoritmul necesar extrapolării producţiei pe orizontul de timp 2007-2009 Valori extrapolate prin metodele:

Modificarea absolută medie'i

' '1 it

Y = y + t Δ Indicele mediu de dinamică

⋅'i

'i

t'1t

Y = y I Anii Valorile timpului

'it

'i756 + t 66 '

i

't

Y ⋅'it756 1,073 '

i

't

Y

A 1 2 3 4 5 2007 7 756 7 66+ ⋅ 1.218 7756 1,073⋅ 1.238 2008 8 756 8 66+ ⋅ 1.284 8756 1,073⋅ 1.328 2009 9 756 9 66+ ⋅ 1.350 9756 1,073⋅ 1.425

4.2. Extrapolarea prin metode analitice 4.2.1. Extrapolarea prin funcţia liniară: '

i

' 'itY = a +bt

4.2.2. Extrapolarea prin funcţia exponenţială: ⋅

'i

'i

t'tY = a b

4.2.3. Extrapolarea prin funcţia parabolică: '

i

' ' '2i itY = a +bt +ct

Calculele sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Tabelul nr. 25

Algoritmul necesar extrapolării producţiei pe orizonul de timp 2007-2009

Valori extrapolate prin metodele Valorile timpului Funcţia liniară Funcţia exponenţială Funcţia parabolică Anii

'it '2

it 'i

' 'it

Y = 893,43 + 59,8t ⋅'i

'i

t't

Y = 885,02 1,0674 'i

' ' '2i it

Y = 853,7 + 59,8t + 9,93t

A 1 2 3 4 5 2007 4 16 1.133 1.149 1.252 2008 5 25 1.192 1.226 1.401 2009 6 36 1.252 1.309 1.570

74

Problema 2

Stocul de mărfuri la magazinul „X”, pentru următoarele luni ale anului precedent, prezintă valorile:

1 ianuarie 2006……………………… 820 RON 1 februarie 2006…………………….. 800 RON 1 mai 2006…………………………... 905 RON 1 iunie 2006…………………………. 850 RON 1 septembrie 2006…………………... 890 RON 1 noiembrie 2006……………………. 894 RON 1 decembrie 2006…………………... 830 RON 1 ianuarie 2007……….…………….. 880 RON Vom determina stocul mediu anual de mărfuri considerând lunile ca

fiind egale cu 30 zile fiecare. Rezolvare:

2 31 1 2 n-1

n1 2 3cr

2 31 1 2 n-1

t + tt t + t ty + y + y +......+ y2 2 2 2Y = t +tt t + t t+ + +......+2 2 2 2

[ )

[ )

)

)

)

)

)

⎡⎣

⎡⎣

⎡⎣

⎡⎣

⎡⎣

1

2

3

4

5

6

7

t = 1 I -1 II 2006 = 30 zile

t = 1 II -1 V 2006 = 90 zile

t = 1 V -1 VI 2006 = 30 zile

t = 1 VI -1 IX 2006 = 90 zile

t = 1 IX-1 XI 2006 = 60 zile

t = 1 XI -1 XII 2006 = 30 zile

t = 1 XII -1 I 2007 = 30 zile ∑ it = 360 zile

75

30 30 90 90 30 30 90820 800 905 8502 2 2 230 30 90 90 30 30 902 2 2 2

90 60 60 30 30 30 30890 894 830 8802 2 2 290 60 60 30 30 30 30

2 2 2 2

820 15 800 60 905 60 850 60 890 75 894 45 830 30 880

+ + ++ + + += + + ++ + + +

+ + ++ + + ++ + ++ + + +

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ ⋅ +=

cr.

cr.

y

y 15360

10,680 863 mii RON360

⋅ =

= =

Problema 3

3.1. Stocul de marfa existent în semestrul I al anului 2006 la o

societate comerciala ″X″ se prezintă astfel: 1 ianuarie 2006 ……………… 50 mii buc. 1 februarie 2006 ……………… 45 mii buc. 1 martie 2006 ………………... 52 mii buc. 1 aprilie 2006 ………………… 49 mii buc. 1 mai 2006 …………………… 47 mii buc. 1 iunie 2006 ………………….. 54 mii buc. 1 iulie 2006 …………………… 60 mii buc. Consideram lunile ca fiind egale cu 30 zile fiecare. Rezolvare:

n1

2 3 n-1cr.

y y+ y + y +......+ y +2 2y = n-1

50 60+ 45+52+ 49+ 47 +54+2 2= = 50,33 mii buc.7-1cr.y

3.2. Stocul de marfă al societăţii comerciale “X”, în semestrul I al

anului 2006, prezenta următoarea distribuţie: 1 ianuarie 2006 ………………… 50 mii buc. 28 februarie 2006 ……………… 52 mii buc.

76

15 martie 2006 ………………… 48 mii buc. 1 iunie 2006 ……………………. 54 mii buc. 1 iulie 2006 …………………….. 60 mii buc. Rezolvare:

2 31 1 2 n-1

n1 2 3cr

2 31 1 2 n-1

t + tt t + t ty + y + y + ......+ y2 2 2 2y = t +tt t + t t+ + +......+2 2 2 2

)

)

)

)

⎡⎣

⎡⎣

⎡⎣

⎡⎣

1

2

3

4

t = 1 I -28 II 2006 = 57 zile

t = 28 II -15 IV 2006 = 46 zile

t = 15 IV -1 VI 2006 = 45 zile

t = 1 VI -1 VII 2006 = 30 zile

57 57 + 46 46+ 45 45+30 3050 +52 + 48 +54 +602 2 2 2 2 =57 57 + 46 46+ 45 45+30 30+ + + +2 2 2 2 2

18730= = 52,61 mii buc.356

cr.y =

Problema 4 Distribuţia pe trimestre a gazelor naturale în zonă, între anii 2004-

2006, se prezintă astfel:

77

Tabelul nr. 26 Distribuţia gazelor naturale

(mil. m3) Anii

Trimestrul I Trimestrul II Trimestrul III Trimestrul IV

A 1 2 3 4 2004 380 180 108 320 2005 430 185 115 350 2006 450 220 122 380

Se cere: 1) Să se stabilească gradul de sezonalitate considerând:

1.1. Seria cronologică este staţionară; 1.2. Influenţa factorului sezonier se manifestă aditiv; 1.3. Influenţa factorului sezonier se manifestă multiplicativ.

2) Prezentaţi grafic distribuţia trimestrială a gazelor în anii 2004-2006.

3) Să se prezinte grafic sezonaliatea distribuţiei gazelor: 3.1. Prin raportare la mediile trimestriale ale celor trei ani; 3.2. Prin raportare la indicii sezonalităţii.

Metoda constă, în esenţă, în calculul indicilor de sezonalitate.

Calculele sunt grupate în tabelul numărul 27. Rezolvare:

1.1. Gradul de sezonalitate când seria cronologică este staţionară

Metoda constă, în esenţă în calculul sezonalităţii în mărime absolută

şi a indicilor de sezonalitate. Calculele sunt grupate în tabelul numărul 27.

78

Tabelul nr. 27

Determinarea sezonalităţii seriei cronologice Distribuţia gazelor naturale

Trimestrul (j) Anul (t) І ІІ ІІІ ІV

2004 2005 2006

380 430 450

180 185 220

108 115 122

320 350 380

Total 1.260 585 345 1.050 Media în

trimestrul: (j); jy

420=1y 195=2y 1153y = 350=4y

Sezonalitatea în mărimi

absolute: jΔ 150=1 1 0Δ = y - y 75= −2 2 0Δ = y - y 155= −3Δ 80=4Δ

Indicii de sezonalitate: s

jΙ 155,6%⋅ =11

0

yI = 100y

72, 2%⋅ =22

0

yI = 100y

42,6%=3I 129,6%=4I

1.2. Determinarea gradului de sezonalitate: influenţa factorului sezonier se manifestă aditiv.

În prealabil, determinăm mediile mobile, respectiv valorile ajustate

( ijY ). Calculul acestora este evidenţiat în tabelul de mai jos (tabelul numărul 28).

79

Tabelul nr. 28

Algoritm de calcul al mediilor mobile

Anii Trimestrul

Distribuţia gazelor (mii m3)

ijy

Sume pentru media mobila din 4 termeni

Medii mobile provizorii

'Y

Medii mobile definitive

ijY = Y

A 1 2 3 4 5 I 380 II 180

2004 247 III 108 250,75 259,5 IV 320 988 261,135 260,75 I 430 1038 261,625 262,5 II 185 1043 266,25

2005 270 III 115 1050 272,5 275 IV 350 1080 279,375 283,75 I 450 1100 284,625 285,5 II 220 1135 289,25

2006 293 III 122 1142 IV 380 1172

Dacă influenţa factorului sezonier se manifestă aditiv, componenta

sezonieră se determină sub forma devierilor sezoniere. Itemii parcurşi pentru calculul acestora sunt prezentaţi în tabelele de mai jos:

80

Tabelul nr. 29

Calculul diferenţelor sezoniere, componentei aleatoare şi a seriei corectate

Anul şi trimestrul

ij ij j ijy = Y + S + ε

Trendul (medii

mobile) ijY

Diferenţe sezoniere

ij ijy - Y

Serie corectată

ij jy - S

Componenta aleatoare

ij ij jy - Y - S

0 1 2 3 4 5 2004 I 380 - - 214,686 -

II 180 - - 256,811 - III 108 250,75 -142,75 259,686 8,936 IV 320 261,135 58,865 253,694 -7,441

2005 I 430 261,625 168,375 264,686 3,061 II 185 266,25 -81,25 261,811 -4,41

III 115 272,50 -157,5 266,686 -5,814 IV 350 279,375 70,625 283,694 4,319

2006 I 450 284,625 165,375 284,686 0,061 II 220 289,25 -69,25 296,811 7,561

III 122 273,686 IV 380 313,694

Tabelul nr. 30

Calculul devierilor sezoniere

Diferenţe sezoniere Trimestrul

2004 2005 2006

Devieri sezoniere

brute 'jS

Devieri sezoniere corectate

Sj 0 1 2 3 4 5 I 168,375 165,375 166,875 165,314

II -81,25 -69,25 -75,25 -76,811

III -142,75 -157,5 - -150,125 -151,686 IV 58,865 70,625 64,745 66,306

Total 1,561

='jS

81

Se elimină din termenii reali ijy valorile de trend ijY determinate anterior prin metoda mediilor mobile. Rezultatele sunt înscrise în coloana 3 a tabelului numărul 29.

Aceste diferenţe sezoniere stau la baza calculului devierilor sezoniere brute şi a mediei acestora conform formulelor de mai jos:

∑ ∑n

j ij ij' i=1j j

(S +ε ) εS = = S +n n

∑m

'j

j=1'j

SS = m

Calculele le regăsim în coloana 4 a tabelului numărul 30.

Devierile sezoniere corectate ( '' jj jS = S -S ) sunt evidenţiate în coloana 6 a tabelului numărul 30. Interpretarea acestora este următoarea: în trimestrul I, componenta sezonieră deviază termenii SCR de la valoarea de trend cu 165,314; în trimestrul II cu –76,811; în trimestrul III cu –151,686; în trimestrul IV cu 66,306.

Eliminăm devierile sezoniere corectate din valoarea termenilor reali, obţinându-se seria cronologică corectată (vezi coloana 4 tabelul numărul 29):

( )

( )

380 165,314 214,686

180 76,811 256,811

108 151,686 259,686

320 66,306 253,694...

380 66,306 313,694

= − =

= − − =

= − − =

= − =

= − =

2004,I

2004,II

2004,III

2004,IV

2006,IV

y

y

y

y

y

Dacă din termenii reali scădem sezonalitatea şi trendul obţinem componenta aleatoare, evidenţiată în coloana 5 tabelul numărul 29:

82

( )

( )

108 151,686 250,75 8,936

320 66,306 261,135 7,441...

220 76,811 289,25 7,561

= − − − =

= − − = −

= − − − =

2004,III

2004,IV

2006,II

ε

ε

ε

1.3. Gardul de sezonalitate când influenţa factorului sezonier se

manifestă multiplicativ.

Dacă influenţa factorului sezonier se manifestă multiplicativ, componenta sezonieră se determină sub forma indicilor de sezonalitate *

jS ; vom parcurge următorii paşi evidenţiaţi prin calcule în tabelele numărul 31 şi 32.

Se împart termenii reali ijy la valorile de trend, obţinute anterior prin metoda mediilor mobile, şi se obţin indicii de sezonalitate (vezi coloana 3 tabelul numărul 31 ):

108:250,75 0,431

320:261,135 1,225...

220:289,25 0,761

= =

= =

= =

2004,III 2004,III

2004,IV 2004,IV

2006,II 2006,II

y :Y

y :Y

y :Y

Aceşti indici servesc ca bază pentru calculul indicilor de sezonalitate

bruţi (vezi coloana 5, tabelul numărul 32):

1,644+1,581 0,695+0,761= =1,613 = = 0,7282 20,431+0,422 1,225 1,253= = 0,427 1,2392 2

+= =

*' *'I II

*' *'III IV

S S

S S

Media indicilor de sezonalitate bruţi este:

83

1,002=*' *' *' *'*' I II III IVS +S +S +SS = 4

Indicii de sezonalitate corectaţi sunt:

1,613 0,728= =1,610 0,7271,002 1,002

0,427 1,239= = 0,426 1,2371,002 1,002

= =

= =

*' *'* *I III II*' *'

*'*'* * IVIIIIII IV*' *'

S SS = S =S S

SSS = S =S S

Potrivit valorii acestora, componenta sezonieră multiplică termenii

seriei cronologice de la valoarea de trend de 1,610 ori în trimestrul I; de 0,727 ori în trimestrul II; de 0,426 ori în trimestrul III; şi, respectiv, de 1,237 ori în trimestrul IV.

Analiza poate fi continuată cu determinarea SCR corectate, *ij jy /S

(vezi coloana 4, tabelul numărul 31):

380:1,610 236,025

180:0,727 247,593...

380:1,237 307,195

= =

= =

= =

*I2004,I

*II2004,II

*IV2006,IV

y :S

y :S

y :S

Punem în evidenţă şi componenta aleatoare, *

ij ij j ijε = y /S /Y (vezi coloana 5, tabelul numărul 31):

108:0,426:250,75 1,011

320:1,237:261,135 0,991...

220:0,727:289,25 1,046

= =

= =

= =

2004,III

2004,IV

2006,II

ε

ε

ε

84

Tabelul nr. 31

Algoritm pentru calculul indicilor de sezonalitate

Anul şi trimestrul

⋅ ⋅* *

ij ij j ijy = Y S ε

Trendul (medii

mobile) ijY

Indici de sezonalitat

e ij * *

j ijij

y= S ε

Y

Serie cronologică

corectată *

ij jy S

Componentă aleatoare

⋅ *'

ij ij jy Y S

0 1 2 3 4 5 I 380 - - 236,025 -

2004 II 180 - - 247,593 - III 108 250,75 0,431 253,521 1,011 IV 320 261,135 1,225 258,690 0,911

I 430 261,625 1,644 267,081 1,021 2005 II 185 266,25 0,695 254,470 0,956

III 115 272,5 0,422 269,953 0,991 IV 350 279,375 1,253 282,943 1,013

I 450 284,625 1,581 279,503 0,982 2006 II 220 289,25 0,761 302,613 1,046

III 122 - - 286,385 - IV 380 - - 307,195 -

Tabelul nr. 32

Algoritm de calcul al indicilor de sezonalitate bruţi şi corectaţi pe semestre

Indici de sezonalitate Trimestrul

2004 2005 2006

Indici de sezonalitate

bruţi *'jS

Indici de sezonalitate

corectaţi *jS

0 1 2 3 4 5

I - 1,644 1,581 1,613 1,610

II - 0,695 0,761 0,728 0,727

III 0,431 0,422 - 0,427 0,426

IV 1,225 1,253 - 1,239 1,237

Total 1,002=*'jS

85

2. Prezentarea grafică a distribuţiei trimestriale a gazelor.

380

180

108

320

430

185

115

350

450

220

122

380

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

2004Trim. 1

2004Trim. 2

2004Trim. 3

2004Trim. 4

2005Trim. 1

2005Trim. 2

2005Trim. 3

2005Trim. 4

2006Trim. 1

2006Trim. 2

2006Trim. 3

2006Trim. 4

anul

mil.

mc

Fig. nr. 9. Distribuţia trimestrială a gazelor naturale în anii 2004-2006

3. Sezonalitatea distribuţiei gazelor. Întrucât reprezentarea grafică a distribuţiei trimestriale a gazelor indică

o serie cronologică staţionară, prezentarea grafică a gradului de sezonalitate se va raporta la mediile trimestriale şi indicii de sezonalitate, calculaţi pentru o serie staţionară, fără trend.

3.1. Reprezentarea grafică a sezonalităţii Ne raportăm la situaţia când seria cronologică este staţionară. La o

scară de 1cm=90 mil.m3, mediilor trimestriale le corespund următoarele valori grafice:

trI trII

trIII trIV

y = 420:90 = 4,66cm y =195:30 = 2,167cmy =115:90 =1,278cm y = 350:90 = 3,899cm

Variaţia trimestrială a sezonalităţii este ce din figura numărul 10.

86

Fig. nr. 10. Sezonalitatea repartiţiei gazelor prin raportare la mediile trimestriale

La o scară de 1cm=33,33%, indicilor de sezonalitate le corespund următoarele valori grafice:

trI trII

trIII trIV

I =155,6:33,33 = 4,67cm I = 72,2:33,33 = 2,166cmI = 42,6:33,33 =1,278cm I =129,6:33,33 = 3,888cm

Variaţia trimestrială a sezonalităţii este cea din figura numărul 11.

Scara: 1cm=90 mil m3

3195 mil. m=trIIy

3420 mil m=trIy 3115 mil. m=trIIIy

3350 mil. m=trIVy

155,6%=trII

129,6%=trIVI

72,2%=trIII

42,6%=trIIII

100%

87

Fig. nr. 11. Sezonalitatea repariţiei gazelor prin raportare la indicii de sezonalitate

Problema 5

Valoarea cifrei de afaceri la societăţile comerciale A, B, C din zonă, comparativ cu anul 1996, a evoluat conform datelor din tabelul de mai jos:

Tabelul nr. 33 Valoarea cifrei de afaceri (CA)

(mii RON) Societăţi comerciale

1996y 2005y

A 22.423 32.340 B 9.573 16.765 C 5.406 11.195

Sursa: date ipotetice Se cere: 1) Indicii dinamicii CA în 2005 faţă de 1996 şi indicele mediu de

dinamică pe perioada 1996-2005, pentru fiecare societate în parte. 2) Indicii de devansare a CA a societăţilor A şi B de către societatea

C. 3) Numărul de ani după care societatea comercială C va asigura

egalizarea valorii cifrei sale de afaceri cu valorile CA ale societăţilor B şi C – presupunând:

– aceleaşi condiţii de dinamică şi pentru viitor; – indicele mediu al dinamicii CA este mai mare cu 1% 4) Care va fi indicele dinamicii valorii CA şi sporul total în momentul

egalizării valorilor. 5) Ce spor mediu anual va fi necesar pentru a asigura egalizarea

valorilor CA?

Rezolvare: 1) Indicii dinamicii CA şi indicele mediu în perioada 1996-2005 1.1. Indicele dinamicii

88

ii

tt 1

1

yI = y 2005

2005 19961996

yI = y

1.2. Indicele mediu

i

i i

tn-1n-1t 1 t 1

1

yI = I = y 200592005 1996

1996

yI = y

2) Indicii de devansare Se vor calcula raportând indicele mediu al CA al societăţii C la

indicele mediu al dinamicii CA al fiecărei societăţi comparate (A, B) Rezultatele de la punctele 1 şi 2 se dau în tabelul ce urmează:

Tabelul nr. 34

Indici de dinamică Societăţi

comerciale 2005 1996I 2005 1996I

Indicii de devansare, societatea C faţă de

societăţile A, B

0 1 2 3 A 1,442 1,043 1,04 B 1,751 1,065 1,02 C 2,071 1,084 1

Exemplificăm calculele de pe coloana 2:

A 992005 1996I 1,442 1,043= = ⇒ =

A A2005 1996 2005 1996I I

B 992005 1996I 1,751 1,065= = ⇒ =

B B2005 1996 2005 1996I I

C 992005 1996I 2,071 1,084= = ⇒ =

C C2005 1996 2005 1996I I

3. Numărul de ani după care societatea C va asigura egalizarea

CA cu cea a societăţilor A, B

89

Egalizarea se va stabili după formula:

⋅ ⋅i i

0 0

t tA Bt t BAy I = y I

( )

⋅ ⋅ ⇔0 0 0 0

0 0

A B B AA B A Bt t t ti i i

B At t

iA B

logy +t logI = logy +t logI t logI - logI = logy - logy

logy - logyt =

logI - logI

3.1. Faţă de societatea A presupunând aceeaşi dinamică:

( )

32340 1,043 =11195 1,084

log32340+ log1,043 = log11195+ log1,084

log1,043-log1,084 = log11195-log32340

log11195-log32340 0,46091= = = 27,51; 28 anilog1,043-log1,084 0,01675

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⇔

i it t

i i

i

i i

t t

t

t t

Deci, în anul 2033 (2005+28) în valoarea CA a societăţii C va fi egală

cu cea a societăţii A. 3.2. Faţă de societatea A în condiţiile în care indicele mediu de

dinamică al societăţii C este mai mare cu 1% ( 1,084 0,01 1,094= + =C2005 1996I )

( )

32340 1,043 11195 1,094

log32340 log1,043 log11195 log1,094

4,50974 log0,01828 4,04863 0,03902

0,460910,02074 0,46091 16,82 17 ani0,02074

⋅ = ⋅

+ ⋅ = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

−⋅ − = − ⇔ = =−

i it t

i i

i i

i i

t t

t t

t t

3.3. Faţă de societatea B în aceleaşi condiţii de dinamică:

90

( )

1765 1,065 11195 1,084

log16765 log1,065 log11195 log1,084

4,22400 0,02735 4,04883 0,03503

0,175170,00768 0,17517 23,109 23 ani0,00768

⋅ = ⋅

+ ⋅ = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

− = − ⇔ = =

i it t

i i

i i

i i

t t

t t

t t

Deci, în anul 2028 (2005+23) valoarea CA a societăţii C va fi egală cu

cea a societăţii B. 3.4. Faţă de societatea B în condiţiile în care indicele mediu este mai

mare cu 1% ( 1,084 0,01 1,094= + =C2005 1996I )

( )

16765 1,065 11195 1,094

log16765 log1,065 log11195 log1,094

4,22400 0,02735 4,04883 0,03902

0,175170,01167 0,17517 15,01 15 ani0,01167

⋅ = ⋅

+ ⋅ = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

⋅ − = − ⇔ = =

i it t

i i

i i

i i

t t

t t

t t

4) Indicele dinamicii CA şi sporul total al acesteia pentru

societatea C în momentul egalizării 4.1. Valoarea CA a societăţii C în momentul egalizării cu cea a

societăţii A (anul 2033).

C 282033

2033 2033

y 11195 1,084

log11195 28 log1,084 4,04883 28 0,03503 5,02967

y anti log5,02967 y 107100 mii RON

⋅ ⇔ = ⋅

+ ⋅ = + ⋅ =

= ⇔ =

28C C C2033 2005y = y I

4.2. Indicele de dinamică a valorii CA a societăţii C în anul 2033 faţă

de 2005.

91

107100 9,5667 respectiv 956,67%11195= =20332033 2005

2005

yI = y

4.3. Sporul total de CA a societăţii C în momentul egalizării cu cea a

societăţii A.

107100 11195 95905 mii RON= − =C2033 2005Δ

4.4. Valoarea societăţii C în momentul egalizării cu cea a societăţii B.

23

C2028

C C2028 2028

11195 1,084

log y log11195 23 log1,084 4,04883 23 0,03503 4,85452

y antilog4,85452 y 71540 mii RON

⋅ ⇔ = ⋅ ⇔

⇔ = + ⋅ = + ⋅ =

= ⇔ =

23C C CC2028 2005 2028y = y I y

4.5. Indicele dinamicii valorii CA a societăţii C în 2033 faţă de 2005.

71540 6,39 sau 639%11195= =C2033 2005I

4.6. Sporul total de CA a societăţii C în momentul egalizării cu cea a

societăţii B

71540 11195 60381 mii RON= − =C2028 2005 2028 2005Δ = y -y

5) Sporul mediu anual al valorii CA a societăţii C necesar

egalizării 5.1. În comparaţie cu valoarea CA a societăţii A:

95905 3552,037 mii RON27= =CC 2033 2005

2033 2005Δ

Δ = n-1

5.2. În comparaţie cu valoarea CA a societăţii B:

60381 2744,59 mii RON22= =

CC 2028 20052028 2005

ΔΔ = n-1

92

Problema 6

Despre producţia societăţii comerciale „X” se cunosc următoarele ritmuri de creştere calculate faţă de nivelul anului de bază 2000.

Tabelul nr. 35

Evoluţia producţiei în perioada 2005-2000

Anii 2001/2000 2002/2000 2003/2000 2004/2000 2005/2000

A 1 2 3 4 5 Ritmul

de creştere

it 1R (%) 9,9 20,8 39,6 85,1 102

Sursa: date ipotetice Cunoaştem că nivelul anului bază al producţiei (2000) este de 101.000

tone. Se cere: 1) Să se reconstituie seria de date privind producţia între anii 2000-

2005. 2) Să se calculeze indicatorii absoluţi, relativi şi medii ai acestei serii. 3) Să se ajusteze seria obţinută la punctul 1 folosind metodele simple

şi analitice şi să se verifice, folosind coeficientul de variaţie, care din metodele de ajustare este cea mai potrivită.

4) Să se extrapoleze producţia pentru următorii 3 ani presupunând că şi în viitor condiţiile nu se modifică.

Rezolvare: 1. Reconstituirea seriei

i

i

t 1t 1

1

y -yR = y

deci,

20012001

2001

y 1010,099 y 101 0,999 101101

y 110,999 111 mii tone

−⇔ = ⇔ − = ⋅ ⇔

⇔ =

2001 20002001 2000

2000

y -yR = y

93

20022002

y 1010,208 y 0,208 101 101 122101−

⇒ = ⇔ = ⋅ + =2002 20002002 2000

2000

y -yR = y

2003

2003y 1010,396 y 0,396 101 101 141101

−⇒ = ⇔ = ⋅ + =2003 2000

2003 20002000

y -yR = y

2004

2004y 1010,851 y 0,851 101 101 187101

−⇒ = ⇔ = ⋅ + =2004 2000

2004 20002000

y -yR = y

2005

2005y 1011,02 y 1,02 101 101 204101

−⇒ = ⇔ = ⋅ + =2005 2000

2005 20002000

y -yR = y

Sporurile absolute cu bază fixă şi bază în lanţ se vor calcula astfel:

ii tt 1 1Δ = y -y

ii i itt t -1 t -1Δ = y -y

Seria şi rezultatul calculelor sunt evidenţiate în tabelul de mai jos:

Tabelul nr. 36

Evoluţia producţiei în perioada 2000-2005

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Producţia 101 111 122 141 187 204

Sporul absolut cu baza fixa - 10 21 40 86 103

Sporul absolut cu baza în lanţ - 10 11 19 46 17

Pentru rezolvarea punctelor 2, 3, 4 a se vedea problema numărul 1. Problema 7

Despre producţia societăţii comerciale „X”, în perioada 1999-2006, se

cunosc următoarele date referitoare la sporul absolut cu bază în lanţ (i it t -1Δ )

94

Tabelul nr. 37

Evoluţia sporurilor absolute cu baza în lanţ între anii 1999-2007

Anii 2000/1999

2001/2000

2002/2001

2003/2002

2004/2003

2005/2004

2006/2005

2007/2006

i it t -1Δ 3,8 3,98 4,31 4,47 4,57 4,8 5,14 5,18

Se cere: 1) Să se reconstituie producţia pe orizontul de timp 1999-2006. 2) Să se calculeze indicatorii absoluţi, relativi şi medii ai acestei serii. 3) Să se ajusteze seria prin metodele simple şi analitice. 4) Să se verifice cu ajutorul coeficientului de variaţie rezultatele

obţinute la punctul 2. 5) Considerând că şi în viitor condiţiile nu se modifică să se

extrapoleze producţia pentru următorii ani. Rezolvare

1. Reconstituirea seriei

Valoarea absolută a 1% din ritmul de creştere cu bază în lanţ pentru fiecare an se calculează astfel:

⋅

ii i i ii i

i it t -1i i

i

tt t -1 t -1 t -1t t -1

t t -1

t -1

Δ y -y yA = = =y -yR 100

100y

Exemplificăm pentru anul 1999:

2000 19991999

1999 1999y y A 100 y 3,80 100 380 mii tone100= ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ =2000 1999A

Din simetrie rezultă:

100 3,98 100 398 mii tone

100 5,18 100 518 mii tone

⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ =

2000 2001 2000

2006 2007 2006

y = A

y = A

95

Seria cronologică îmbracă forma:

Tabelul nr. 38

Evoluţia producţiei în perioada 1999-2006

Anii 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Producţia (mii tone)

ity 380 398 431 447 457 480 514 518

Pentru rezolvarea punctelor 2, 3, 4, 5, a se vedea problema numărul 1.

Problema 8

Despre producţia societăţii comerciale „X” se cunosc următoarele date

faţă de anul anterior:

Tabelul nr. 39

Evoluţia indicatorilor valoare absolută şi indicele de dinamică în perioada 1999-2006

Anii 2000/1999 2001/2000 2002/2001 2003/2002 2004/2003 2005/2004 2006/2005

Modificare absolută

(tone) 423 688 259 467 603 420 557

Indicele de dinamică 1,12 1,18 1,06 1,1 1,12 1,07 1,09

Sursa: date ipotetice Producţia anului 2006 este de 6810 tone . Se cere:

1) Valoarea indicatorilor absoluţi, relativi şi medii ai acestei serii. 1.1. Modificarea absolută a producţiei în fiecare an faţă de 1999 şi

modificarea absolută medie în perioada 1999-2006. 1.2. De câte ori creşte producţia în fiecare an faţă de 1999 şi în medie

în perioada 1999-2006. 1.3. Cu câte procente creşte producţia în fiecare an faţă de 1999, faţă

de anul anterior şi în medie în perioada 1999-2006. 1.4. Valoarea absolută a 1% din ritmul de creştere între anii 1999-

2006.

96

1.5. Să se reconstituie seria privind producţia şi să se determine nivelul mediu al acesteia în perioada 1999-2006.

2) Să se ajusteze seria de la 1.5. prin metode simple şi analitice. 3) Să se verifice cu ajutorul coeficientului de variaţie rezultatele

obţinute la punctul 2 şi să se arate care din metodele utilizate corespunde mai bine tendinţei de dezvoltare a producţiei între anii 1999-2006.

4) Considerând că şi în viitor condiţiile nu se modifică să se extrapoleze producţia pentru următorii 3 ani.

Rezolvare 1. Calculul indicatorilor absoluţi, relativi şi medii. Rezultatele sunt înscrise în tabelul numărul 40. 1.1. Modificarea absolută cu bază fixă ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠it 1Δ

∑i i it 1 t t -1Δ = Δ

423 688 1111

423 688 259 467 603 420 557 3417

= + =

=

= + + + + + + =

2001 1999 2000 1999 2001 2000

2006 1999 2000 1999 2001 2000 2002 2001 2003 2002

2004 2003 2005 2004 2006 2005

Δ =Δ +Δ

Δ =Δ +Δ +Δ +Δ +

+Δ +Δ +Δ

1.1.1. Modificarea absolută medie ( )Δ

3417 488,14 tone8 1= =−

∑ i it t -1ΔΔ = n-1

1.2. Indicele de dinamică ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠it 1I

∏i i it 1 t t -1I = I

97

1,12 1,12 1,18 1,33

1,12 1,18 1,06 ..... 1,09 2,01

= ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2000 1999 2000 1999 2000 1999 2001 2000

2006 1999 2000 1999 2001 2000 2002 2001 2006 2005

I I = I I

I = I I I .... I

1.2.1. Indicele mediu de dinamică ( )I

in-1 t 1I = I 7 2,01

log2,008 1,30276 0,18611 antilog0,18611 1,571 sau 157,1%7 7

=

= = = ⇔ = =

I

logI I

1.3. Ritmul de creştere ( )R

– cu bază fixă 1−ii i

t 1t 1 t 1

1

y - yR = = Iy coloana 5 tabelul numărul 40

Exemplu pentru anul 2002: 1,4 -1 = 0,402002 1999 2002 1999R = I -1 =

– cu bază în lanţ i i

i i i i

i

t t -1t t -1 t t -1

t -1

y - yR = = I -1

y coloana 6 tabelul numărul 40.

Exemplu pentru anul 2002: 1,06 1 0,06= − =2002 2001 2002 2001R = I -1 1.3.1. Ritmul mediu de creştere ( )R

1,571 1 0,571⇔ = − =R = I -1 R

1.4. Valoarea absolută a 1% din ritmul de creştere – cu bază fixă

i1

t 1yA = 100 coloana 7 tabelul numprul 40.

– cu bază în lanţ ii i

tt t -1

y -1A = 100 coloana 8 tabelul numărul 40.

98

Tabelul nr. 40 Indicatorii absoluţi şi relativi

Indicatori absoluţi Modificare

absoluta

Indicatori relativiIndicele dinamicii Ritmul de creştere Valoarea absolută

Anii Bază fixă bază în lanţ Bază

fixă bază în lanţ bază fixă bază în lanţ Bază

fixă bază în

lanţ

A 1 2 3 4 5 6 7 8 1999 2000 423 423 1,12 1,12 1,12 1,12 33,93 33,93 2001 1.111 688 1,33 1,18 1,33 0,18 33,93 38,16 2002 1.370 259 1,4 1,06 0,4 0,06 33,93 45,04 2003 1.837 467 1,54 1,1 0,54 0,1 33,93 47,63 2004 2.440 603 1,72 1,12 0,72 0,12 33,93 52,3 2005 2.860 420 1,84 1,07 0,84 0,07 33,93 58,33 2006 3.417 557 2,01 1,09 1,01 0,09 33,93 62,53

Total 3417∑ i it t -1Δ =

2,01∏ i it t -1I =

1.5. Reconstituirea producţiei ( )it

y se va face cu formula:

i i i it t -1 t t -1Δ = y - y

ii i itt -1 t t -1y = y -Δ

întrucât 6810 557 6253⇒ = − =2006 2005 2006 2006 2005y = 6810 y = y -Δ

6253 420 5833= − =2004 2005 2005 2004y = y -Δ ş.a. vezi seria de mai jos.

Tabelul nr. 41

Evoluţia producţiei în orizontul de timp 1999-2006

Anii 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Producţia (tone) 3.393 3.816 4.504 4.763 5.230 5.833 6.253 6.810

1.5.1. Producţia medie a societăţii pe perioada 1999-2006

40602 5075,25 tone8= =∑ it

yy = n

99

Pentru rezolvarea punctelor 2, 3, 4 a se vedea problema 1.

Problema 9 Evoluţia produsului intern brut, populaţiei ocupate şi a investiţiilor în

anii 1995-2005 a înregistrat următoarele valori: Tabel nr.42

Evoluţia principalilor indicatori ai comerţului intern al României, în anii 1995-2005PIB (mild. USD) Populaţia ocupată

(mii pers.) Investiţii (mild. USD)Anii

Total ecomomie

Comerţ Total economie

Comerţ Total economie

Comerţ

1995 35 3,72 9493 865 6391 563 1996 27 3,15 9379 772 5191 513 1997 32 3,59 9023 802 5501 482 1998 34 4,6 10845 926 5526 659 1999 36 4,89 10776 926 5505 504 2000 37 5,31 10764 928 5762 690 2001 40 5,62 10697 952 5636 715 2002 39 5,51 9234 859 5749 674 2003 41 5,71 9223 826 5801 702 2004 41 5,72 10456 911 5796 699 2005 42 5,89 10538 924 5823 712

Sursa: Revista Română de Statistică, nr. 11/2006 Se cere: 1. Realizaţi prognoza PIB, pe total econimie, pentru anul 2010,

prin metoda indicelui mediu. 2. După câţi ani nivelul PIB se va tripla faţă de nivelul perioadei

bază de ajustare? 3. Realizaţi grafic evoluţia PIB, polpulaţiei ocupate şi

investiţiilor din comerţ. 4. Determinaţi trendul de evoluţie a indicatorilor menţionaţi mai

sus după cea mai adecvată metodă analitică. Rezolvare:

1. Nivelul PIB pentru anul 2010.

100

⋅'i

'i

t'1tY = y I itn-1

1

yI = y

1010 42 1,2 1,0184 101,84%35= = = =I

Valorea timpului pentru anul e prognoză 2010 este:

Anii 2006 2007 2008 2009 2010 'it 11 12 13 14 15

15='

2010t

1535 1,0184 46,009= ⋅ ='i

'tY

2. Triplarea nivelului PIB. Admitem că şi în viitor se păstrează acelaşi trend de evoluţie a PIB.

Dacă fenomenul a evoluat în tercut în progresie geometrică de raţie I , atunci: ⋅

'i

'i

t'1tY = y I şi cum se vrea ca '

i

'1tY = 3y rezultă:

=3

⋅ ⇔

⇔

' 'i it t

1 1

' 'i i

3y = y I I

log3t logI = log3 t =logI

0,47712 60,2424 60 ani 0,00792= ='

it

Raportându-ne la momentul de realizare a prognozei (anul 2005) înseamnă că la actualul ritm de creştere economică, triplarea PIB va avea loc peste 50 de ani, în anul 2055.

101

3. Reprezentarea grafică.

Fig. nr. 11. Evoluţia PIB din comerţ în anii 1995-2005 Fig. nr. 12. Evoluţia populaţiei ocupate în comerţ

1995-2005

Populatie

0100200300400500600700800900

1000

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Populatie

PIB

0

100

200

300

400

500

600

700

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

PIB

102

Fig. nr. 13. Evoluţia investiţiilor din comerţ în

anii 1995-2005

4. Trendul de evoluţie Graficele evidenţiază o evoluţie liniară, ecuaţia de ajustare fiind

it iY = a +bt .

Sistemul de ecuaţii normale pentru determinarea parametrilor „a” şi „b” este:

cand

⎧⎧⎪⎪⎪ ⎪

⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩

⇔∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

i i

i i

t ti

i2 2

t ti i i i i

na +b t = y na = y t = 0

a t +b t = y t b t = y t

În cazul PIB din comerţ, algoritmul pentru calcularea ecuaţiei de

regresie corespunzătoare trendului este dezvoltat în tabelul de mai jos:

Investitii

0

100

200

300

400

500

600

700

800

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Investitii

103

Tabelul nr. 43 Algoritm necesar ajustării SCR – PIB din comerţ prin trendul liniar

Anii PIB (mild. USD)

ity

Val. timp it

2it

it iy t

A 1 2 3 4 1995 3,72 -5 25 -18,6 1996 3,15 -4 16 -12,6 1997 3,59 -3 9 -10,77 1998 4,6 -2 4 -9,2 1999 4,89 -1 1 -4,89 2000 5,31 0 0 0 2001 5,62 1 1 5,62 2002 5,51 2 4 11,02 2003 5,71 3 9 17,13 2004 5,72 4 16 22,88 2005 5,89 5 25 29,45 Total ∑ ity = 53,71 ∑ 2

it = 110 =∑ it iy t 30,04

53,71= = 4,882727 4,8811a = 53,71 11

30,04110b = 30,04 = = 0,2730909 0,27110

⎧⎪⎧⎪⎪ ⎪

⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎪

⎪⎩

⇔

a

b

Analiza datelor statistice obţinute arată că evoluţia PIB-ului în anii 1995-2005 a înregistrat o tendinţă uşor crescătoare, cu o medie anuală de 4,88 mild. USD, ceea ce indică o creştere economică confirmată şi prin dreapta de evoluţie a PIB-ului: ( ) 4,88 0,43= +

iit PIBY t

S-a înregistrat o creştere reală a PIB-ului cu 0,43 mild. USD de la un an la altul.

În cazul populaţiei ocupate în comerţ, algoritmul pentru calcularea ecuaţiei de regresie corspunzătoare trendului va fi:

104

Tabelul nr. 44

Algoritm necesar ajustării SCR – populaţie în comerţ prin trendul liniar

Anii Populaţie comerţ (mii

pers.) ity

Val. timp it

2it

it iy t

A 1 2 3 4 1995 865 -5 25 -4325 1996 772 -4 16 -3088 1997 802 -3 9 -2406 1998 926 -2 4 -1852 1999 926 -1 1 -926 2000 928 0 0 0 2001 952 1 1 952 2002 859 2 4 1718 2003 826 3 9 2478 2004 911 4 16 3644 2005 924 5 25 4620 Total ∑ ity = 9691 ∑ 2

it = 110 =∑ it iy t 815

Dreapta de evoluţie liniară care a modelat tendinţa populaţiei ocupate din comerţ este următoarea:

881 7,4+

it (PO) iY = t

Deci, şi pentru indicatorul populaţiei ocupată s-a înregistrat o evoluţie

ascendentă cu media de 7,40 mii persoane/an. În cazul investiţiilor din comerţ, algoritmul pentru calcularea

ecuaţiei de regresie corespunzătoare trendului va fi:

9691 881,0111

815 7,40110

= =

=

∑

∑∑

i

i

t

t i2i

ya = n

y tb = =

t

105

Tabelul nr. 45

Algoritm necesar ajustării SCR – investiţii din comerţ prin trendul liniar

Anii Investiţii

(mild USD) ity

Val. timp it

2it

it iy t

A 1 2 3 4 1995 563 -5 25 -2815 1996 513 -4 16 -2052 1997 482 -3 9 -1446 1998 659 -2 4 -1318 1999 504 -1 1 -504 2000 690 0 0 0 2001 715 1 1 715 2002 674 2 4 1348 2003 702 3 9 2106 2004 699 4 16 2796 2005 712 5 25 3560 Total ∑ ity = 6913 ∑ 2

it = 110 =∑ it iy t 2390

6913 628,4511

2390 21,72110

= =

=

∑

∑∑

i

i

t

t i2i

ya = n

y tb = =

t

Dreapta de evoluţie liniară ce a modelat tendinţa investiţiilor din

comerţ a fost:

628,45 21,72+it (I) iY = t

Deci, avem o evoluţie ascendentă a investiţiilor din comerţ cu un spor

mediu absolut anual de 21,72.