Curso: Preparación y Evaluación de ProyectosUnidad I: Matemáticas financieras

para la toma de decisiones

Docente: José Loos León1º semestre 2014

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Unidad I: Matemáticas financieras para la toma de

decisionesANUALIDADES

Docente: José Loos León1º semestre 2014

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CONCEPTO ANUALIDADES

Una anualidad es una serie de pagos iguales que se perciben a intervalos fijos de tiempo, aún para períodos inferiores a un año.

Son ejemplo de anualidades: • Los pagos mensuales por renta • El cobro quincenal o semanal de sueldos o salarios • Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. • Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida,

etc.

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CONCEPTO ANUALIDADESEn Anualidades, vamos a estar usando frecuentemente los siguientestérminos:

Periodo de pago de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entrecada uno de los sucesivos pagos de la anualidad.

Renta: es la cantidad que paga la anualidad en cada periodo.

Plazo: es el tiempo en que se mantiene vigente la anualidad.

Monto de la anualidad: Es el valor de todos los pagos de la anualidadvalorados a la fecha de vencimiento de la operación (que en realidad esla suma de los montos individuales).

Valor actual: (o valor presente) es la suma del valor presente de cadapago de la anualidad valorado en la fecha de inicio de la operación.

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TIPOS DE ANUALIDADES

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TIPOS DE ANUALIDADES

Criterio Tipo Anualidad Significado

Tiempo

Ciertas Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejem. Las letras de pago de la compra de un auto.

Contingentes

la fecha del primer pago o del último no se fijan de antemano. Porque dependen de un hecho que no se sabe cuándo ocurrirá. Ejem. Renta vitalicia a un cónyuge al morir el otro

Intereses

Simplescuando el período de pago coincide con el de capitalización de intereses. Ejem. pago de renta mensual y capitalización mensual de intereses.

Generalesel período de pago no coincide con el período de capitalizaciòn. Ejem. Pago de renta semestral y capitalización mensual.

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TIPOS DE ANUALIDADES

Criterio Tipo Anualidad Significado

PagosVencidos se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su

vencimiento. Ejem. Pago de Luz, tel, sueldos.

Anticipados los pagos se realizan al principio de cada período. Ejem. El pago de la renta.

Iniciaciòn

Inmediatos la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el período que sigue inmediatamente a la formalización del trato.

Diferidosse acuerda que al adquirir algún artículo a crédito, la primera de las mensualidades se hará por ejemplo, 3 meses después.

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ANUALIDADES VENCIDASAnalizaremos las más comunes, y comenzaremos con las simples,ciertas, vencidas e inmediatas.

Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son:

R la renta o pago por período

A el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de lospagos en el momento presente

M el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor detodos los pagos al final de la operación

n tiempo

i tasa de interés8

EJEMPLO DE ANUALIDADES VENCIDASSe tiene derecho a percibir $500 mensuales durante 5 meses, enanualidad vencida. Determinar qué cantidad se acumularía en una cuentade inversiones que rinde el 24% anual convertible mensualmente.

Datos: R = 500 n = 5 i = 0.24/12= 0.02

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EJEMPLO DE ANUALIDADES VENCIDASPuesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: VF=M = C ( 1 + i ) n para cada uno de los depósitos, que gana interés por el tiempo que dura la anualidad.

Primer mes 500(1.02) = 541.21 está depositado durante 4 meses

Segundo mes 500(1.02) = 530.60 está depositado durante 3 meses

Tercer mes 500(1.02) = 520.20 está depositado durante 2 meses

Cuarto mes 500(1.02) = 510.00 está depositado durante 1 mes

Quinto mes 500 = 500 únicamente se suma, en ese momento se deposita

Total = $2 602.01

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EJEMPLO DE ANUALIDADES VENCIDAS

Fórmula para obtener el monto de una anualidad simple, cierta vencida e inmediata:

Si aplicamos la fórmula al ejercicio anterior: Datos: R = 500 n = 5 i = 0.24/12= 0.02

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EJEMPLO DE ANUALIDADES AL PRINCIPIOSi queremos encontrar el valor de la anualidad al principio, aplicamos elvalor presente.

Datos: R = 500 n = 5 i = 0.24/12= 0.02

Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: C = M ( 1 + i )-n para cada uno de los depósitos, restando el interés por el tiempo que dura la anualidad.

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EJEMPLO DE ANUALIDADES AL PRINCIPIOPrimer mes 500(1.02)- = 490.19 se resta el interés de 1 mes segundo mes 500(1.02)- = 480.58 se resta el interés de 2 meses tercer mes 500(1.02)- = 471.16 se resta el interés de 3 meses cuarto mes 500(1.02)- = 461.92 se resta el interés de 4 meses quinto mes 500(1.02)- = 452.86 se resta el interés de 5 meses total = $2 356.71

Fórmula para encontrar el valor actual de una anualidad vencida:

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EJEMPLO DE ANUALIDADES AL PRINCIPIOSi aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:

Datos: R = 500 n = 5 i = 0.24/12= 0.02

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Fórmula para obtener la renta de una anualidad vencida cuando se conoce el monto de la anualidad

Fórmula para obtener la renta de una anualidad vencida cuando se conoce el valor actual de la anualidad

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Fórmula para obtener el tiempo de una anualidad vencida cuando se conoce el monto de la anualidad

Fórmula para obtener el tiempo de una anualidad vencida cuando se conoce el valor actual de la anualidad

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ANUALIDADES VENCIDAS

En las anualidades vencidas estudiadas, los pagos o rentas de laanualidad coincidían con las capitalizaciones de intereses es decir eransimples ahora tendremos ejemplos de anualidades generales cuando nocoinciden el período de pago de la renta con el pago de intereses. Así queserán anualidades generales, ciertas, vencidas e inmediatas.

Es conveniente que hagamos una lista de los símbolos que utilizaremos:R la renta o pago por períodoA el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagosen el momento presenteM el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor detodos los pagos al final de la operaciónn tiempoi tasa de interés efectivaj tasa nominal anual de interésm número de capitalizaciones del interés al añop número de veces que se realiza el pago de una anualidad por año

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Fórmula para el monto de una anualidad, pagadera p veces por año y con un interés capitalizable m veces al año

Fórmula para obtener el valor actual de una anualidadpagadera p veces por año y con un interés capitalizable mveces por año

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ANUALIDADES VENCIDASSe depositan al final de cada semestre $400 en un banco que abona el 4% de interés capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto de esta cuenta al final del 10º año?

Datos: R = 400 X 2 = 800 j = 0.04 m = 12 n = 10 p = 2 M = ¿ M = $ 9 735.16

p ((1 + j/m )^ m/p -1) = 2 ((1+ 0.04/12) ^12/2 – 1) ( 1 + j/m )^ mn =(1 + (0.04/12)) ^12x10

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ANUALIDADES ANTICIPADASAnalizando sus características podríamos decir que son: Simples, porque el período de pago corresponde al de capitalización Ciertas, porque las fechas y los plazos son fijos y se conocen Anticipadas, porque el inicio de pagos y la capitalización de intereses se hacen al principio del período Inmediatas, porque los pagos o depósitos se inician en el mismo período en el que se formaliza la operación

Fórmula para obtener el Monto en una anualidad anticipada

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ANUALIDADES ANTICIPADAS

Ejemplo: Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $50 al principio de cadames. Si la cuenta paga el 2.3% mensual de interés. ¿Cuánto habráahorrado durante el primer año?Datos:R = 50i = 0.023n = 12M =

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ANUALIDADES ANTICIPADAS

Fórmula para obtener el Valor actual en una anualidad anticipada

Una empresa alquila un edificio por un año, conviniendo en pagar $4.000 mensuales, pagando por mensualidad anticipada, con una tasa del 12% con capitalización mensual. Hallar el valor actual del alquiler.

Datos: R = 4 000i = 0.12/12 = 0.01n = 12

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ANUALIDADES DIFERIDAS

Estas anualidades se caracterizan porque la primera renta no se ejecutaen el primer período o la última no se hace en el último.

El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que setraslada en el tiempo el monto o el capital, utilizando la fórmula delinterés compuesto, luego se resuelve como inmediatas utilizando lasfórmulas anteriores.

Ejemplo:Aero mexicana ofrece la promoción “Viaje ahora y pague después”, queconsiste en liquidar el precio del pasaje en 10 quincenas vencidas,empezando 3 meses después de haber viajado, ¿cuánto pagará el Sr.Vergara si el precio de sus boletos fue de $8,320 y le cargan el 28.32%de interés anual compuesto anticipado por quincenas?

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ANUALIDADES DIFERIDAS

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