04 ef vigas
TRANSCRIPT
![Page 1: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/1.jpg)
1
04 - Elementos de finitos de flexión de vigas
Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asociado
Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales
![Page 2: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Contenido
● Viga de Euler-Bernoulli● Viga de Timoshenko
– Problema del bloqueo de por cortante (shear locking)
– Integración reducida
– Imposición del campo de deformación por cortante
![Page 3: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Teoría de Euler-Bernoulli
● Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero).
● Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación.
![Page 4: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/4.jpg)
4
![Page 5: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como:
![Page 6: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Campo de deformaciones
![Page 7: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/7.jpg)
Campo de esfuerzosAl reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
![Page 8: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Momento flector
Observe que aquí el momento negativo produce tracción en la fibra superior
![Page 9: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Momento flector
![Page 10: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Sentidos positivos de la carga
![Page 11: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/11.jpg)
11
PTV para vigas
+
+
![Page 12: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/12.jpg)
12
![Page 13: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/13.jpg)
13
+ +
![Page 14: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Ecuaciones diferenciales de la viga de Euler-Bernoulli
q es positivahacia arriba
Aquí se hace la sumatoria de momentos
-q
+
+
![Page 15: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Solución mediante el comando bvp5c de MATLAB
![Page 16: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Solución mediante el comando bvp5c de MATLAB (para E, I constantes)
Se obtiene por lo tanto el sistema de ecuaciones:
La solución de este sistema con bpv5c brindará:
![Page 17: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Condiciones de apoyo
Q Q
![Page 18: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/18.jpg)
18
EJEMPLO 1
![Page 19: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/19.jpg)
19
![Page 20: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/20.jpg)
20
EJEMPLO 2
![Page 21: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/21.jpg)
21
![Page 22: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/22.jpg)
22
![Page 23: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Interpolación polinómica de Hermite
Polinomio interpolador deLagrange
![Page 24: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Interpolación polinómica de Hermite
![Page 25: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/25.jpg)
25
![Page 26: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Elemento finito hermítico de dos nodos
![Page 27: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/27.jpg)
27
![Page 28: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/28.jpg)
28
![Page 29: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/29.jpg)
29
O sea:
![Page 30: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/30.jpg)
30
![Page 31: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite
![Page 32: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Curvatura en el punto de coordenada ξ
![Page 33: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/33.jpg)
33
![Page 34: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Esta matriz coincide con aquella obtenida por los métodos vistos en Estructuras III
+ +
![Page 35: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/35.jpg)
35
f
+positivo hacia arriba
++
![Page 36: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/36.jpg)
36
positivo hacia arriba
+
![Page 37: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/37.jpg)
37
EJEMPLO
![Page 38: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
flectores
![Page 39: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Repaso de mínimos cuadrados
![Page 40: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
![Page 41: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Propiedad de las raíces del polinomio de Legendre
Suponga que tenemos un polinomio de grado n y otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste por mínimos cuadrados del anterior.
Ambos polinomios se intersectan en la ubicación de las raíces del polinomio de Legendre de orden n
![Page 42: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/42.jpg)
42
![Page 43: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Cuadraturas de Gauss Legendre
![Page 44: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/44.jpg)
44
![Page 45: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/45.jpg)
45
![Page 46: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/46.jpg)
46
![Page 47: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones
![Page 48: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones
flectores
![Page 49: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/49.jpg)
La viga de Timoshenko
![Page 50: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/50.jpg)
50
La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko aproxima mejor la deformación real de la sección transversal de vigas de gran canto que la teoría de Euler-Bernoulli. A medida que la relación longitud/altura disminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas después de la deformación.
![Page 51: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/51.jpg)
51
La viga de Timoshenko
● Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral; G puede ser diferente de E/2).
● Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas pero no necesariamente ortogonales a dicho eje después de la deformación.
![Page 52: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/52.jpg)
52
La hipótesis de Timoshenko supone tomar un giro medio de la sección, de manera que a efectos prácticos pueda seguir considerándose plana.
![Page 53: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/53.jpg)
53
![Page 54: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como:
![Page 55: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Campo de deformaciones
Por consiguiente la teoría de Timoshenko considera el efecto de la deformación angular
![Page 56: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/56.jpg)
Campo de esfuerzosAl reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero en λ pero uno diferente de cero en G se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
![Page 57: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/57.jpg)
Fuerza cortante y momento flector
- - - -
Un momento negativoproduce tracción en la fibra superior
![Page 58: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/58.jpg)
Fuerza cortante y momento
flector
![Page 59: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/59.jpg)
- -
![Page 60: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/61.jpg)
Principio de los trabajos virtuales
+ +
![Page 62: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/62.jpg)
La energía virtual interna se puede expresar como:
Observe que solo se están utilizando las derivadas primeras de la flecha y el giro, lo que permite la utilización de elementos finitos de clase C
0
-
![Page 63: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/63.jpg)
Elementos finitos de dos nodos para la flexión de vigas de Timoshenko
![Page 64: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/65.jpg)
![Page 66: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/67.jpg)
+
![Page 68: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/68.jpg)
+
![Page 69: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/69.jpg)
![Page 70: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/70.jpg)
Integración exacta de las matrices de rigidez
![Page 71: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/74.jpg)
Integración con cuadraturas de Gauss-Legendre y singularidad de la matriz K
![Page 75: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/75.jpg)
Ejemplo
Numnodos
#gld/nodo #gdlrestringidos
Puntos de integración de Gauss-Legendre
En este caso en particular se debe usar la estrategia de integración d
![Page 76: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/76.jpg)
Singularidad de la matriz de rigidez
El criterio anterior es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad.
![Page 77: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/77.jpg)
La técnica de integración reducida
![Page 78: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/78.jpg)
Integración reducida de las matrices de rigidez de cortante
Integraciónexacta con 1 punto de GL
Integraciónreducida conun punto deGL
NO USAR
Integración exacta (2p GL)
Integración reducida (1p GL)
![Page 79: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/79.jpg)
EJEMPLOK exacta
![Page 80: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/80.jpg)
![Page 81: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/81.jpg)
![Page 82: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/85.jpg)
![Page 86: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/87.jpg)
Kf Kc
![Page 88: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/88.jpg)
Viga modelada con un solo elementofinito de Timoshenko lineal
2 – 1x1 = 1 2 – 1x2 = 0Kc 2 – 1x1 = 1 2 – 1x2 = 0K 2 – 2x1 = 0 2 – 2x2 = -2
Integraciónreducida p=1
Integraciónexacta p=2
j-kp j-kpKf
j=2
![Page 89: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/89.jpg)
Viga modelada con un solo elementofinito de Timoshenko lineal
1 – 1x1 = 0 1 – 1x2 = -1Kc 1 – 1x1 = 0 1 – 1x2 = -1K 1 – 2x1 = -1 1 – 2x2 = -3
Integraciónreducida p=1
Integraciónexacta p=2
j-kp j-kpKf
j=1
![Page 90: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/90.jpg)
Evaluación de los momentos flectores y las fuerzas cortantes
![Page 91: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/91.jpg)
EjemploEuler-
Bernoulli vs Timoshenko
![Page 92: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/92.jpg)
Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.01m
L=19m, h=0.01m
Shear lockingShear locking
Integración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta
![Page 93: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/93.jpg)
Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.4m
L=19m, h=0.4m
Integración reducidaIntegración reducidaIntegración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta
![Page 94: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/94.jpg)
Kc integrada con GL de orden 1
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=2.0m
L=19m, h=2.0m
Integración reducidaIntegración reducida
Integración exactaIntegración exacta
![Page 95: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/95.jpg)
Elemento de viga de Timoshenko cuadrático
![Page 96: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/96.jpg)
![Page 97: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/97.jpg)
Cálculo de la curvatura
![Page 98: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/98.jpg)
Cálculo de la deformación por cortante
![Page 99: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/99.jpg)
![Page 100: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/100.jpg)
![Page 101: 04 ef vigas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042818/55ae0b311a28abc33f8b4682/html5/thumbnails/101.jpg)
Matrices de rigidez para el elemento de viga de Timoshenko de tres nodos obtenidas con una cuadratura de Gauss-Legendre de dos puntos