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RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE 1er ORDEN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFacultad de Ingeniería Química y Textil

Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426Profesor: Celso Montalvo

CELSO MONTALVO2

Comportamiento Dinámico En un proceso industrial, el Estado Ideal es el Estado

Estacionario donde los productos tienen la calidad constante y adecuada, el consumo de materias y energía es mínimo, los tiempos son óptimos y la operación es eficiente.

Sin embargo, pese al esfuerzo de los ingenieros y operadores de planta, el Estado Ideal no es permanente y sólo se consigue con atención constante y dedicada.

Las desviaciones del Estado Ideal deben ser eliminadas con rapidez, pero para saber cómo eliminarlas es necesario conocer cómo es el comportamiento dinámico del proceso y cómo responde ante las pertubaciones y ante los cambios y acciones que nosotros introduciríamos para corregir las desviaciones.

A continuación iniciaremos el estudio del comportamiento dinámico de la llamada Respuesta de Primer Orden.

CELSO MONTALVO3

Sistemas de Primer Orden Un Sistema de primer Orden es

aquél cuya expresión matemática se da con una ecuación diferencial de 1er orden. Esta ecuación describe matemáticamente el proceso.

( ) ( ) ( )dX t B X t C f tdt

+ ⋅ + =

F TF

C TCM TC

Consideremos el sistema mostrado: un tanque agitado, con salida por rebose. Evaluemos cómo varía la Temperatura de salida, TC, ante un cambio repentino en la Temperatura de entrada TF. F, Cp, M ctes.

El Análisis Dinámico básico empieza con los Balances de Materia y Energía.

CELSO MONTALVO4

Sistemas de Primer Orden Balance de Materias:

0dMF Cdt

− = =

( )( ) ( ) C RF R C R

d T TF Cp T T C Cp T T M Cpdt−

⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅

F TF

C TCM TC

En Estado Estacionario:

F C=

Balance de Energía:

Para hallar la variación de la Temperatura TC debemos hallar la solución de la ecuación diferencial.

Tomando TR = 0: CF C

dTF Cp T C Cp T M Cpdt

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

0 0 0F CF Cp T C Cp T⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

...(1)

...(2)

Restando (2) de (1): 00 0

( )( ) ( ) C CF F C C

d T TF Cp T T C Cp T T M Cpdt−

⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅

...(3)

CELSO MONTALVO5

Sistemas de Primer Orden Al aplicar Transformadas de Laplace a una derivada se

requiere conocer el valor inicial de la variable.( ) ( ) (0)dV tL s s V

dt = ⋅ −

V

Definición de Variable de Desviación: V(t) = V(t) – V(0) Tiene la ventaja de que V(0) = V(t) – V(0) = V(0) – V(0) = 0

( ) ( ) (0 ) ( )d tL s s s sdt

= ⋅ − = ⋅

VV V V

Aplicando variables de desviación a nuestra ecuación 3:0

0 0( )( ) ( ) C C

F F C Cd T TF Cp T T C Cp T T M Cp

dt−

⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅

CF C

dF Cp C Cp M Cpdt

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅T

T T

Transformando y operando con F=C:( ) ( ) ( )F C CF Cp s F Cp s M Cp s s⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅T T T

( ) ( ) ( ) ( ) 1F C C CMCpF Cp s M Cp s s F Cp s F Cp s sFCp

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

T T T T ...(4)

Notar esta expresión

CELSO MONTALVO6

Finalmente se obtiene: F TF

C TCM TC

Sistemas de Primer Orden

1( ) ( )1C Fs s

s = ⋅ τ ⋅ +

T TMF

τ =

Perturbación ó Función Forzante

Respuesta Transitoria

Función de Transferencia

Constante de Tiempo

Consideremos el efecto del cambio en TF desde 20ºC a 50ºC:– Para t < 0, TF = 20ºC.– Para t ≥ 0, TF = 50ºC.

0 t

20º

50º

CELSO MONTALVO7

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Sistemas de Primer Orden Convirtiendo a Variable de Desviación:

( ) ( )0 50º 20º 30ºF F FT t T= − = − =T

F TF

C TCM TC

Para s = 0:

Transformando:

Operando e invirtiendo la transformada para hallar la solución de la ecuación diferencial.

( )1 1 1( ) ( )

1 1 1 1C FK A Bs s K K

s s s s s s s = = = = + τ + τ + τ + τ +

T T

Finalmente:

( ) 30ºF

Kss s

= =T

1 11 1

As Bs As s s

= + ⇒ =τ + τ +

Para s = -1/τ: ( ) ( )1 11 1

A s B sB

s s sτ + τ +

= + ⇒ = −ττ +

( )/

1 1 1( )1 1/

( ) 1

C

tC

s K Ks s s s

t K e− τ

τ = − = − τ + + τ

= −

T

T

CELSO MONTALVO8

Sistemas de Primer Orden Gráfica de la Respuesta Transitoria para un Step Unitario:

( )/( ) 1 tC t K e− τ= −T

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

τ 2τ 3τ 4τ

82.5%95% 98%

63.2%

CELSO MONTALVO9

Sistemas de Primer Orden Respuesta Transitoria para otras funciones forzantes:

Rampa, Sinusoide, Exponencial, Impulso

/( ) ; ( ) tF Ct t t e t− τ= = τ + − τT T

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Respuesta Transitoria a una Rampa

Tiempo, min

Tem

per

atu

ra, º

C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

/( ) Impulse ; ( ) tF Ct t e− τ= =T T

22

1( ) s ( ) ; ( ) sen ( ( ))11

t

F Ct en t t t arctg e−ττ

= = + −τ ++ τ+ τ

T T

0 5 10 15 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta Transitoria a un Sinusoide

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Respuesta Transitoria a un Exponencial

Tem

per

atu

ra, º

C

/ /( ) ; ( )t tF Ct e t te− τ − τ= =T T

CELSO MONTALVO10

Sistemas de Primer Orden

Balance de Materias:

0dMF Cdt

− = =

F var TF var

C TCM TC

(Estado Estacionario)

F C=

Balance de Energía:

Ahora que F y TF son variables no se puede pasar a Variables de Desviación directamente: Se debe aplicar el Teorema de Taylor:

CF C

dTF Cp T L V C Cp T M Cpdt

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

0 0 0 0 0F CF Cp T L V C Cp T⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

En caso de Variación en el tiempo de dos ó más Variables:

0

0 0

0 0 0 00 0

Para funciones no lineales:( )( ) ( ) ( ) ...

Para el producto de dos funciones:( ) ( )( ) ( ) ...

x

f xf x f x x xx

A B A BA B A B B B A AB A

∂= + − +

∂

∂ ⋅ ∂ ⋅⋅ = ⋅ + − + − +

∂ ∂

0 0 0 0C

F F C CdTF Cp T F Cp T C Cp T C Cp T M Cpdt

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅V

CELSO MONTALVO11

Sistemas de Primer OrdenF var TF var

C TCM TC

De igual manera se opera para F*TC. Entonces:

Para el producto F*TF:

0 0 0 000

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ...

( ) ( )

F FF F F F

F

F F F F F

F F F F

F F F F

F T F TF T F T T T F FT F

F T F T F T T T F FF T F T F TF T F T F T

∂ ⋅ ∂ ⋅⋅ = ⋅ + − + − +

∂ ∂

⋅ = ⋅ + − + −⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

T F

T F

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

CF F C C

CF F C C

CF F C C

F F C C C

F F C C

dTF Cp T F Cp T C Cp T C Cp T M Cpdt

dF Cp T Cp F Cp T Cp M Cpdt

dF Cp T T Cp F Cp M Cpdt

F Cp s T T Cp s F Cp s M Cp s s

F s T T s F

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + − ⋅ = ⋅

TT F T F

TT F T

T F T T

T F T ( )

( ) ( ) ( )

0

0 0

0

1

11

F CC F

Ms sF

T Ts s ss F

+

− = + ⋅ τ +

T T F

V

CELSO MONTALVO12

Sistemas de Primer OrdenF var TF var

C TCM TC

F0=100kg/min; TF=20ºC; TC=50ºC; V=6kg/min; L=500kcal/kg.ºC; M=100kg. ∆F=20kg/min; ∆TF=30ºC

Ejemplo, para los siguientes datos:

( ) ( ) ( )0 0

0

11

F CC F

T Ts s ss F

− = + ⋅ τ + T T F

V Para la siguiente función:

( ) ( )20 5010 20 1100

tC t e− − = + −

T

La Respuesta en el Tiempo es:

La Gráfica es:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

minutos

Fo

rzan

tes

y T

emp

erat

ura

Respuesta Transitoria a dos Forzantes

13

FIN

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