0408 ecuaciones diferenciales
TRANSCRIPT
3´
dytey t 23´ −=
yyxdxdy 2.12 −=
1
dx
Ing. Nazira Guerrero-Jezzini
1
Ing. Nazi a Gue e o JezziniDepto. De Ingeniería y Ciencias
División de Profesional y PosgradoTecnológico de Monterrey campus Cuernavacangj/2009
ll d f lSe llama ecuación diferencial aquella ecuación que contiene
bl d duna variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o
á bl d dmás variables independientes.
Una ecuación diferencial es di i ( ) i ól i
2
ordinaria (EDO) si sólo tiene una variable independiente, por l d l d i d2 lo que todas las derivadas que tiene son ordinarias o totales.
ngj/2009
Existen procesos que se modelan mediante ecuaciones diferenciales. ecuaciones diferenciales.
Ejemplos: j p
El llenado de un tanque cilíndrico está enfunción del flujo que recibefunción del flujo que recibe.
En una tubería, en un transitorio, el pasoEn una tubería, en un transitorio, el pasode flujo está en función de la velocidad deapertura de la válvula.
3
p
La aceleración de un objeto enmovimiento está en función del cambio de3 movimiento está en función del cambio develocidad con respecto al tiempo queefectúa el objeto.
ngj/2009
efectúa el objeto.
Problema del valor inicial (PVI)(PVI)
La ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primerdorden es:
),( yxfdxdy
=
La solución de una EDO contiene una constante c, de tal forma la solución general de una EDO de primer orden es:orden es:
0),,( =cyxF
Esta ecuación representa una familia de curvas en el plano x-y:
4
Esta ecuación representa una familia de curvas en el plano x-y:
4
ngj/2009
El problema de valor inicial (PVI) para resolver numéricamente se formula de la siguiente manera:numéricamente se formula de la siguiente manera:
Una ecuación diferencial de primer orden: ),( yxfdxdy
=
El valor de en un punto conocido en
dx
0x ( )00 , yx
El valor de donde se quiera conocer el valor de
Matemáticamente:
fx ( )fyy
Matemáticamente:
),( yxfdxdy=
5
PVIdx( ) 00 yxy =
5
( ) ?=fyy
ngj/2009
Método Euler
66
ngj/2009
77
ngj/2009
88
ngj/2009
99
ngj/2009
1010
ngj/2009
1111
ngj/2009
1212
ngj/2009
Método de Euler modificadoE l é d d E l ó En el método de Euler se tomó como
válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo derivada encontrada en un extremo
de este intervalo:
1313
para obtener una exactitud razonable se toma un intervalo muy
ngj/2009
a o ab e se to a u te va o uy pequeño, a cambio de error de
redondeo mayor.
El método de Euler modificado trata de evitar este
bl problema utilizando un valor promedio utilizando un valor promedio de la derivada tomado en los de la derivada tomado en los
extremos del intervalo, en
14
lugar de la derivada tomada t14 en un extremo.
ngj/2009
1515
ngj/2009
( )iiii yxhfyy ,1 +=+
( ) ( )[ ]111 ,,2 +++ ++= iiiiii yxfyxfhyy2
1616
ngj/2009
1717
ngj/2009