04.geo - i bim - 3ro (1)

GEOMETRA COLEGIO AI APAEC

124 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!

SEMANA N 01

NGULOS.

Definicin: Es la figura geomtrica determinada por la reunin de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

Notacin: * ngulo AOB: AOB,

* Medida del ngulo AOB: mAOB = a.

Regin Interior de un ngulo Regin Exterior de un ngulo

Clasificacin de los ngulos por su Medida:

O

A

B

Elementos 1. Vrtice : O

2. Lados : OA y OB

0 < < 90

* ngulo Agudo

= 90

* ngulo Recto

* ngulo Obtuso

90 < < 180

COLEGIO AI APAEC GEOMETRA

125

Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO

Bisectriz de un ngulo:

ngulos Adyacentes:

O

A

B

bisectriz

N

M L

bisectriz

a bc

d

+ + + = 180

Observaciones :

+ + + + = 360

ngulos Complementarios

a

b

a + b = 90

ngulos Suplementarios

+ = 180



ngulos Adyacentes Suplementarios:

ngulos Opuestos por el vrtice.

Observaciones:

Es necesario recordar los siguientes ngulos comprendidos entre rectas

paralelas.

A C

B

O

Los ngulos AOB y BOC tambin

se les denomina par lineal.

A C

B

O

Las bisectrices de todo par lineal

son perpendiculares.

= = + = 180

* Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados


127


NIVEL I:

01. Si: es bisectriz del AOB.

Calcule: "x".

a) 10 b) 15 c) 25

d) 30 e) 35

02. Calcule: "x".

a) 10 b) 20 c) 30

c) 15 e) 18

03. Calcule: "x".

a) 10 b) 20 c) 30

d) 15 e) 50

04. Calcule: "x".

a) 15 b) 12 c) 18

d) 10 e) 16

L1

L2

a

b

c

* S i : L1 // L2

L1

L2

a

b

* S i : L1 // L2

x

+ + + = a + b + c x = a + b

7x-10

5x+ 40

A

M

B

O

1003x x

4x+ 20 3x+ 50

5x

4x



05. Calcule:(

2 ).

a) 15 b) 30 c) 18

d) 18 e) 24

06. Del grfico, calcule el mayor valor

entero de "x", si el tringulo ABC es

acutngulo.

a) 50 b) 44 c) 56

d) 57 e) 58

07. Si : y la medida del ngulo

ABC es agudo, calcule el menor

valor entero impar de "x".

a) 46 b) 47 c) 45

d) 43 e) 44

08. En el grfico : y se tienen "n"

ngulos de medidas "". Calcule:.

a) 180

n b)

90

n c)

60

n

d) 90(n+1)

n e)

270

n

09. En el grfico, calcule el mximo

valor entero de "y".

a) 50 b) 35 c) 41

d) 40 e) 52

10. El doble del complemento de un

ngulo sumado con el suplemento

de otro ngulo es igual al

suplemento del primer ngulo.

Calcule la suma de las medidas de

dichos ngulos.

a) 100 b) 45 c) 90

d) 180 e) F.D.

3

120 2

3

L1

L2

x

32

A

B

C

L // L1 2

L1

L2

x

E

DC

BA

L // L1 2

L1

L2

x- 2y 3y + x


129


NIVEL II:

1. Se tiene los ngulos consecutivos

AOB; BOC y COD, tal que:

mAOD = 148 y mBOC = 36.

Calcule la medida del ngulo

formado por las bisectrices de los

ngulos AOB y COD.

a) 108 b) 36 c) 92

d) 56 e) 74

2. Se tiene los ngulos consecutivos

POQ, QOR y ROS, de tal manera

que: mPOR = 32+ K y mQOS

= 88 - K.

Calcule la mQOR, si el ngulo

POS es recto.

a) 22 + b) 30 c) 68 - K

d) 40 e) 16+k

2

3. Se tiene los ngulos

consecutivos POQ, QOR y ROS,

de modo que el rayo es

bisectriz del ngulo POS.

Calcule la mQOR. Si:

mQOS-mPOQ = 140.

a) 70 b) 100 c) 35

d) 150 e) 110

4. En el grfico, AB = BC

Calcule x

a) 45

b) 120

c) 60

d) 70

e) 37

4. Determine x, Si: 21 LL son

mediatrices de BCyAB .

a) 30

b) 15

c) 20

d) 36

e) 45

5. Calcular x

a) 90

b) 100

c) 120

d) 130

e) N.A.

6. Segn el grfico, calcular el

valor x

a) 110

b) 120

c) 130

d) 150

e) 95

1. La diferencia de las medidas de

dos ngulos es 40 y el triple del

suplemento del ngulo doble

del primero es igual al duplo del

complemento del suplemento

del ngulo triple del segundo.

Calcule la medida de dichos

ngulos.

x

2

A C

2

x

x

L1

B

L2 x

75

P A Q C

150

2

x

2



a) 60 y 60

b) 30 y 90

c) 45 y 75

d) 70 y 50

e) 40 y 80

2. Sean los ngulos: AOB, BOC,

COD, DOE y EOF consecutivos

tales que:

mAOF = 154 y

mAOD = mBOE = mCOF.

Calcule la mBOC, si la medida

del ngulo formado por la

bisectriz del ngulo COD y el

rayo es igual a 54.

a) 23 b) 28 c) 63

d) 36 e) 75

3. Del grfico, calcular el valor de

la razn aritmtica entre x e y,

cuando "x" toma su mnimo

valor entero.

a) 8 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

4. En el grfico mostrado, calcule

"" , de tal manera que "" sea

la medida de un ngulo

mximo.

a) 60 b) 58 c) 75

d) 62 e) 56

5. Calcule la razn aritmtica del

mximo y mnimo valor entero

que puede tomar "x, si es la

medida del ngulo agudo, en el

grfico 1 2

a) 90 b) 85 c) 87

d) 88 e) 86

6. En el grfico, calcule el mximo

valor entero de "y".

a) 50 b) 35 c) 41

d) 40 e) 52

07. Del grfico, calcule el valor de "y"

cuando "x" toma su mnimo valor

entero

.

a) 46 b) 88 c) 78

d) 68 e) 64

8.- En la figura, calcule x

x-y

2y+ x5x

)]4x(x116[

L1

L2

x

83

x - 2y3y + x

x + y

y -x2x -y


131


a) 10

b) 20

c) 65

d) 35

e) 45

9.- En la figura, calcule x

a) 35

b) 30

c) 15

d) 10

e) 20

10.- En la figura; calcular x

a) 108

b) 54

c) 72

d) 36

e) 44

Si no te importa lo que piense la gente, ya diste el primer paso del xito. Paulo Coelho

60 x

2

70

30

70

x

x

72



SEMANA N 02

TRINGULOS

Definicin:

Notacin: , , etc.

Propiedades Bsicas

1. 2.

3. 4.

AE

B

F

C H

Elementos

1. Vrtices : A, B, C

2. Lados : AB, BC y AC

3. ngulos Interiores :


133


5.

Lneas Notables en el Tringulo

1 .Mediana

2. Bisectriz

3. Altura

x

x = + +

A

B

CM

BM : mediana

b b

A

B

CI

BI : bisectriz interior

A

B

C

L

L : bisectriz exterior

A

B

C

BH : altura

H

A

BC

AF : altura

F



4. Mediatriz

* Ceviana

Relaciones Angulares

A

B

C

L

L : mediatriz de AC

b b

A

B

CF

BF : ceviana

A

B

CE

BE : es ceviana exterior

B

x

2

B90x

B

2

B90x

x

x

A

B

CA C

H I

2

CAx

BH : altura

BI : bisectriz del ngulo ABC


135


NIVEL I

01. En el grfico, calcule: x.

a) 20 b) 24 c) 26

d) 28 e) 30


a) 30 b) 35 c) 40

d) 45 e) 50

03.En el grfico, calcule: a+b+c+d.

a) 210 b) 50 c) 400

d) 200 e) 360

04. En el grfico, mCQE=148.

Calcule la mAEQ.

a) 26 b) 27 c) 28

d) 29 e) 30


a) 30 b) 40 c) 45

d) 47 e) 50

06. En el grfico, calcule:

.

a) 100 b) 120 c) 130

d) 126 e) 145


a) 50 b) 40 c) 60

d) 70 e) 80

x

120

b

b

2x

2 x

35

140

c

d

a

b

A

C

B

E

Q

x

35

25

30

40

5x

2x 3x

x

130



08. En el grfico, AC=BC, calcule: x.

a) 30 b) 40 c) 50

d) 60 e) 70

09. En el grfico, BC=12u. Calcule: CD.

a) 9u b) 10u c) 11u

d) 12u e) 13u

10. En el grfico, el tringulo BCD es

equiltero. Calcule la mACD.

a) 40 b) 45 c) 50

d) 35 e) 38

11. En el grfico, AB=BC, AF=FE=EB.

Calcule la mBCA.

a) 30 b) 40 c) 45

d) 60 e) 50


a) 30 b) 40 c) 45

d) 60 e) 70

13. En el grfico, m+n=100.

Calcule:

a) 80 b) 100 c) 140

d) 150 e) 170


a) 20 b) 30 c) 40

d) 50 e) 60

x

100

A

B

C

B

A C

D

A

B

C

D45

B

A CE

F 60

x

120

m

m

m

n

20

x


137


15. Si: a+b+c+d=165.

Calcule: m+n.

a) 130 b) 165 c) 180

d) 200 e) 220

NIVEL II

1. En el grfico: PA = 2 y BR - RC = 3.

Calcule PQ.

a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 7

2. En un tringulo ABC equiltero, se

ubica el punto D exterior al

tringulo, tal que el segmento BD

intersecta al lado AC .

Si mADC > 90, AD = 8u y CD =

15u. Calcule el menor permetro

entero de la regin del tringulo.

a) 52 b) 24 c) 22

d) 46 e) 48

3. En el grfico, las medidas de los

ngulos interiores del tringulo ABC

estn dadas en grados

sexagesimales. Calcule el valor

entero ms pequeo (en grados

sexagesimales) que puede tomar

"b".

a) 45 b) 46 c) 40

d) 35 e) 36

4. Segn el grfico, el tringulo ABC es

equiltero. Calcule: "x".

a) 10 b) 45 c) 36

d) 72 e) 30

5. En el grfico, calcule "x".

a) 60 b) 45 c) 36

d) 72 e) 30

a

nm

b d

c

A

B

R

C

P

Q

2

3

B

A C

2b-a

a -ba + b

x

70

B

AC

x

3 3

x



6. Del grfico: AB = BC y MN = AC.

Calcule: "x".

a) 15 b) 30 c) 5

d) 20 e) 40

7. Calcule "x", s ; AM = NC.

a) 40 b) 60 c) 80

d) 90 e) 70

8. Calcule "x". (AP=PQ)

a) 10 b) 20 c) 25

d) 30 e) 35

9. Los catetos de un tringulo

rectngulo ABC, mide AB = 8; BC =

15, se traza la altura BH y las

bisectrices BP y BQ de los ngulos

ABH y HBC, respectivamente.

Calcule: PQ.

a) 2 u b) 4 u c) 5 u

d) 6 u e) 3 u

10. En un tringulo ABC se traza la

Ceviana BP , si: AB = PC; mBAC =

10, mBCA = 2 y mCBP =.

Calcule "".

a) 5 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

1. En un tringulo ABC, la medida

del ngulo formado por la bisectriz

interior del ngulo A, y la bisectriz

exterior del ngulo C es siete veces

la medida del ngulo B. Calcule la

medida del ngulo B.

a) 12 b) 18 c) 24

d) 36 e) No existe

2. En el grfico, NM = NC y BC es

bisectriz del ngulo ACN. Calcule la

mBAC.

a) 65 b) 45 c) 55

d) 75 e) 60

3. Los lados de un tringulo

issceles miden 5 y 13. Calcular el

permetro de su regin.

a) 23 b) 31 c) 18

d) 26 y 31 e) 28

x

x

B

N

M

A C

B

M

CAN

60

20x

80

x10

30

10

A

P

B

Q

C

B

A C

40

N

M


139


4. En el grfico mostrado, cul de

los segmentos es el de menor

medida?

a)AC b) AB c) FD

d) FE e) DE

5. Segn el grfico, calcule "x".

a) 135 b) 95 c) 150

d) 100 e) 110

6. En el grfico, los tringulos ABC y

DEF son equilteros, AM = MB.

Calcule "x".

a) 55 b) 40 c) 30

d) 60 e) 50

7. En un tringulo acutngulo las

longitudes de dos de sus lados

suman 30. Calcule el mayor valor

entero que puede tomar la altura

relativa al tercer lado.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

8. En un tringulo ABC, se traza la

ceviana BT, si : AB = AT, BC = AC.

Calcule el mximo valor entero de la

medida del ngulo CBT.

a) 36 b) 35 c) 30

d) 45 e) 44

9. En un tringulo ABC, sobre AB y

BC se ubican los puntos "P" y "Q"

respectivamente, donde: mPAQ =

mPQA = 16, mAQC = 97,

mQAC = 30.

Calcule la mPCA.

a) 18 b) 20 c) 30

d) 25 e) 23


Ceviana BT , si : BC = AT y mBAC =

60 - 2x;

mCBT = x, mBCA = 2x.

Calcule la mCBT.

a) 5 b) 8 c) 10

d) 12 e) 15

Aprecia lo que te da la vida, porque no te lo dar dos veces.

60 6159

63

B

C

D

EFA60

60

61 61

50

x

45

40

x

AM E

B

D

C

F



SEMANA N 03

CONGRUENCIA DE

TRINGULOS I

Definicin: Dos segmentos, dos

ngulos o dos figuras geomtricas en

general, sern congruentes si tienen la

misma forma y el mismo tamao. Para

la congruencia de dos tringulos se

postulan los siguientes casos:

Postulado (LAL)

Postulado (ALA)

Postulado (LLL)

Postulado (LLA)

Teorema de la bisectriz de un ngulo

Teorema de la recta mediatriz de un

segmento

PA = PB

El APB es issceles.

Teorema de los puntos medios

O

F

E

H

OHOF

EHEF

A

P

Bb b

B

A C

NM

MN : base media

MN // AC

2

ACMN

c

ca

a


141


Teorema de la Menor Mediana en el

Tringulo Rectngulo

En el Tringulo Issceles

*

*

TRINGULOS RECTANGULOS

NOTABLES

* De 30 y 60

* De 45 y 45

* De 37 y 53

* De

* De

B

A CM

2

ACBM

b

b b

B

A CE

G

HF

Si : AB = BC

AH = EF + EG

B

A

S

C P

H

Q

Si : AB = BC

CH = PQ - PS

60

30

2aa

3a

b2b

45

45

b

53

37

3k

5k

4k

53 /2

n

2n

37 /2

l

l3



* De 15 y 75

* De 30 y 75

1. Sea ABC un tringulo escaleno. La

mediatriz de corta a en "F" y

se cumple que: AB = AF = FC.

Calcule la m


143


= 60 y mBAC = 20. Calcule la

mBCA.

a) 15 b) 30 c) 25

d) 22 30' e) 20

7. Calcule: "x". (AB = BC)

a) 22 30' b) 20 30' c) 18 20'

d) 18 30' e) 20 18'

8. En el grfico, AB = BC. Calcule:

QC,

si : AQ = 8; PC = 2.

a) 4 b) 8 c) 3

d) 6 e) 12

9. En el grfico mostrado.

Calcule: "x", si: BC = MC.

10. Si: AP = BC y AM = MB. Calcule:

"x".

a) 14 b) 27 30' c) 18 30'

d) 37 e) 45

01. En el grfico, calcule: "x". 2BP =

PC.

a) 15 b) 30 c) 5

d) 60 e) 75

02. Calcule: "x".

a) 106 b) 120 c) 53

d) 37 e) 74

2x

x

90+ 2x

B

A C

A

B QC

P

x

M

B

A C

2

x

14

B

CA

P

M

B

A C

P

x

x

5

6

5



03. Del grfico, calcule: QN, si: AC = 10

y MQ = 4, AM = MB, BN = NC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

04. Si: AM y CN son bisectrices

exteriores de los ngulos A y C,

AB=6, BC=12, AC = 16. Calcule: MN.

a) 5 u b) 9 u c) 10 u

d) 11 u e) 17 u

05. En el grfico: AH = 2 y HC = 8.

Calcule: AB.

a) 10 b) 8 c) 6

d) 4 e) 3

06. Del grfico, calcule: PQ, si:

AB = 6 y AC = 8, BQ = QC.

a) 1 b) 1,5 c) 2

d) 2,5 e) 3

07. Calcule "x".

Si: BP = PC y AM = MP

a) 8 b) 19 c) 12

d) 18 e) 9

08. En el grfico, calcule: BC, si: HM =

6.

a) 9 b) 12 c) 15

d) 18 e) 24

B

A C

M N

Q

A C

M N

B

2 A

B

HC

B

A C

Q

P

B

A C

P

xQ

M

18

A

B

H

CM


145


SEMANA N 04

CONGRUENCIA DE TRINGULOS

II

NIVEL I

1. En el grfico BC=32(AB). Calcule la

mACB.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

2. Si: AP = BC y AM = MB. Calcule: "x".

a) 14 b) 27 30' c) 18 30'

d) 37 e) 45

3. En el grfico, calcule: "x", si: AD =

BC.

a) 5 b) 6 c) 9

d) 10 e) 12

4. En el grfico, calcule "x", si: AB =

DC.

a) 10 b) 12 c) 15

d) 18 e) 20

5. En un tringulo ABC, la mediatriz de

interseca a AC en D, si AD=CB y

mBCA=80. Calcule la mABC.

a) 40 b) 50 c) 60

d) 70 e) 80

6. Calcule "x".

Si: BP = PC y AM = MP

a) 8 b) 19 c) 12

d) 18 e) 9

NIVEL II

1. En el grfico, si BM=MC y AB=12u.

Calcule: FL.

a) 4u b) 5u c) 8u

d) 9u e) 10u

2. En el grfico el tringulo ABC es

equiltero, BF=AE. Calcule la

m



a) 20 b) 35 c) 40

d) 45 e) 50

3. En el grfico L es mediatriz de AB .

Calcule: x.

a) 10 b) 20 c) 25

d) 30 e) 36

4. En el grfico AB=40u. Calcule: CD.

a) 3u b) 4u c) 5u

d) 10u e) 15u

5. En el grfico CE=15u, EB=9u.

Calcule: x.

a) 20 b) 30 c) 63

d) 127

2 e)

143

2


Ceviana interior CE tal que la

mBAC=45, mABC=75,

mACE=30 y BC=10u. Calcule: AC.

a) 5u b) (5+2)u c) 6u

d) (5+53)u e) 10u

7. En el grfico AM=MB y

2(BC)=5(LM). Calcule la mACB.

a) 100 b) 110 c) 112

d) 127 e) 130

8. En el grfico, AN=NB, AM=MC y

MG=3u y NF MG . Calcule: NF.

a) 1,5u b) 3u c) 4u

d) 4,5u e) 6u

9. En el grfico, CD AB , AE=CD=2u y

AB=5u. Calcule: EC.

B

A CE

F

20

80

150

x2

3

BEA

L

B

EA

D

30

45

53

C

A

C

E

B

x

M

CA

B

L

B

A C

N

F

G

M


147


a) 5u b) 1u c) 2u

d) 3u e) 4u

1. En el grfico, PC=AP+6, AM=MB

y BC=10u. Calcule: PM.

a) 3u b) 4u c) 5u

d) 6u e) 7u

2. En el grfico, AB=8u y AM=AN.

Calcule: AC.

a) 10u b) 12u c) 8u

d) 6u e) 14u

3. En el grfico, AB=BC y AD=EC.

Calcule la mACB.

a) 40 b) 60 c) 50

d) 70 e) 30

4. En el grfico, AB=2(BC).

Calcule: x.

a) 10 b) 20 c) 30

d) 45 e) 60

5. En el grfico, L1 y L2 son

mediatrices de AB y BC ,

respectivamente. Calcule: x.

a) 125 b) 115 c) 155

d) 145 e) 160

6. En un tringulo rectngulo ABC

(recto en B). Se ubica M en AC tal

que: mMBC=60, mBAC=50 y

BM=4u. Calcule: AC.

a) 4u b) 6u c) 8u

d) 12u e) 16u

A

D C

B

E

A

B

CP

M

B

M

N

A C

A

B

D C

E

50

A

B

CD

E

x

40

L1

L

Cx

A B



7. En el grfico, AM=MC y AB=8u.

Calcule: PM.

a) 1u b) 2u c) 3u

d) 4u e) 5u

8. En un tringulo ABC, la mediatriz de

interseca a AC en D, si AD=CB y

mBCA=80. Calcule la mABC.

a) 40 b) 50 c) 60

d) 70 e) 80

9. En el grfico, calcule:CD

AB .

a) 2

2 b)

3

5 c)

2

5

d) 3

5 e)

2

5

SEMANA N 05

POLGONOS.

Definicin: Sean, P1,, P2, P3,.... Pn, una

sucesin de "n" puntos distintos de un

plano con n 3. Los segmentos P1P2 ,

P2P3 , P3P4 , .... , Pn1Pn ; PnP1 son tales

que ningn par de segmentos con un

extremo comn sean colineales y no

exista un par de segmentos que se

intersecten en puntos distintos de sus

extremos. Entonces, la reunin de los

"n" segmentos se denomina Polgono.

Elementos:

1. Vrtices : 1, : 2, : 3, ....

2. Lados : P1P2 , , P2P3 , .....

3. ngulos:

* Internos : P1 , P2 , ....

* Externos: , , ......

4. Diagonal : P1P5, P2P6 , , .....

Los Polgonos se clasifican en:

A

B C

P

M

A

B

C

D45

37

30

P1

P2

P3

P4

P5

P6

Pn


149


1. Por el nmero de lados:

* Tringulo 3 lados

* Cuadriltero 4 "

* Pentgono 5 "

* Hexgono 6 "

* Heptgono 7 "

* Octgono 8 "

* Nongono 9 "

* Decgono 10 "

* Endecgono 11 "

* Dodecgono 12 "

* Pentadecgono 15 "

* Icosgono 20 "

2. Por sus lados y ngulos

* Polgono Convexo

* Polgono no Convexo

* Polgono Equiltero

* Polgono Equingulo

* Polgono Regular

* Polgono Irregular

PROPIEDADES

I. Mximo nmero de diagonales

trazadas desde 1 vrtice.

II. Nmero total de diagonales.

B C

A D

OO

G H

F I

E J

(n-3) diagona les

2

)3n(nND



III. En los polgonos convexos, la suma

de las medidas de los ngulos internos

es de:

IV. En todo polgono convexo, la suma

de las medidas de los ngulos externos

es de 360.

V. En el polgono equingulo.

VI. En el polgono regular.

: valor del ngulo central.

Se =

NIVEL I

1. En el grfico, ABCDE es un polgono

regular. Calcule: "x".

a) 108 b) 144 c) 72

d) 36 e) 120

2. En el grfico es un polgono regular.

Calcule: x - y.

a) 108 b) 36 c) 72

)2n(180Si

e

e

e

e

i

i

i i

i

n

360Exterior)m

n

)2n(180Interior)m

e

i

i

e

e

i

i

360S

n

360e

n

)2n(180i

x

A

E D

C

B

x

y


151


d) 54 e) 120

3. En un polgono, la diferencia de la

suma de los ngulos internos y la

suma de ngulos externos es igual a

720. Calcule el nmero de

diagonales de dicho polgono.

a) 24 b) 20 c) 54

d) 18 e) 36

4. Si el nmero de lados de un

polgono regular aumenta en 10, su

ngulo interior aumenta en 3.

Calcule su nmero de lados original.

a) 20 b) 30 c) 35

d) 40 e) 10

5.- Si el ngulo interior es el triple del

ngulo exterior de un polgono

regular. Cuntos lados tiene el

polgono?

a) 7 b) 9 c) 6

d) 8 e) 10

6.- La suma de ngulos interiores y

exteriores de un polgono es 1800.

Cuntos lados tiene?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 8 e) 6

7. En el octgono regular, calcule :

a) 30 b) 37,5 c) 39,5

d) 45 e) 45,7

8. Calcule la suma de las medidas de

los ngulos interiores en el grfico.

a) 2520 b) 1440 c) 2880

d) 900 e) 2440

9. En un polgono, la suma de las

medidas de sus ngulos internos es

540, el nmero de lados de dicho

polgono es:

a) 3 b) 4 c) 9

d) 5 e) 6

10. Calcule el nmero de lados de un

polgono convexo, si desde cuatro

vrtices consecutivos se puede

trazar 45 diagonales.

a) 18 b) 17 c) 12

d) 14 e) 15



NIVEL II

1. En un hexgono convexo ABCDEF:

m


153


2. Se tiene un octgono equingulo

ABCDEFGH en el cual: AB =2 m;

BC = 2m; CD = 3m.

Calcule: AD.

a) 3m b) 5 m c) 4 m

d) 5 m e) 32 m

3. Si la medida de cada ngulo interior

de un polgono regular de "n" lados

se disminuye en 5, su nmero de

diagonales disminuye en (5n-3).

Calcule: "n".

a) 18 b) 24 c) 30

d) 36 e) 42

4. ABCDE es un pentgono regular y

BCPQ es un cuadrado interior al

pentgono.

Calcule la m



2. Segmento que une los puntos

medios de las diagonales

3. Cualquier Trapecio

4. Trapecio Issceles

a

a + b

2AH = MN =

bA DH

b - a

2HD = PQ =

M NP Q

a

b - a

2PQ =P Q

b

a

M N MP = QN = a

2P Q


155


1. En un paralelogramo ABCD se

construyen exterior-mente los

tringulos equilteros ABM y BCN.

Por M

se traza la perpendicular MH a .

Si: m



9. En la figura, ABCD es un rombo y

ABE es un tringulo equiltero.

Calcular x.

A. 30 B. 45 C. 53

D. 60 E. 90

10. Las mediatrices de AD y CD de un

paralelogramo

ABCD se intersectan en "M" que

pertenece a BC.

Hallar m


157


3. En un trapecio rectngulo ABCD (

= = 90) se trazan las

bisectrices exteriores de los

ngulos C y

D las cuales se intersectan en P.

Hallar la distancia desde P hacia

, si: BC=3cm; AD=6cm y CD=5

cm

A. 6 cm B. 9 C. 7

D. 8 E. 12

4. Del grfico, hallar FD, si: DE = 8 y

FG = 12

A. 16 B. 18 C. 24

D. 20 E. 32

5. Hallar x, si ABCD es un cuadrado.

A. 45 B. 37 C. 60

D. 53 E. 75

6. Hallar: m



SEMANA N 07

CIRCUNFERENCIA I. Definicin:

___________________________________

___________________________________

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1.

Si: AB = CD

2.

Si:

3.

4.

NC

DMA

ORR

RB

TL1

L2

"O" ....................... Centro

CD

....................... Cuerda

"R" ....................... Radio

AB = 2R ............... Dimetro

L ....................... Secante

L ....................... Tangente

"T" ....................... Punto de Tangencia

mAC = ............. Arco

MN ....................... Flecha o Sagita

1

2

A

B

C

D

mAB = mCD

A B

C D

CD//AB mAC = mBD

O

R

L1

Recta tangente

O centro

R radio

R L1

A

B

O

P

O centro y B son puntos

de tangencia

A

PA = PB


159


5.

Si: OP AB

6.

Si: Dimetro

TEOREMA DE PONCELET

(Slo rectngulo)

___________________________________

___________________________________

___________________________________

TEOREMA DE PITOT

(Solo cuadrilteros circunscritos)

___________________________________

___________________________________

___________________________________

A

O

M

PB

AM = MB

PM Flecha

AO

B

C D

E

AB

C = D = E = 90

A

B

C

r

r inradio

AB + BC = AC + 2r

A

CB

D

AB + CD = BC + AD

A

C

B

r

I

I Incentro (Punto de corte de bisectrices interiores)

r Inradio

R

R

O

O

Acutngulo

Rectngulo

R

O

Obtusngulo

O Circuncentro (Punto de corte de Mediatrices)

R Circunradio



CIRCUNFERENCIA EX - INSCRITA EN

UN TRINGULO:

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS

CIRCUNFERENCIAS

1. Circunferencias exteriores:

2. Circunferencias Interiores:

3. Tangentes Exteriores:

4. Tangentes Interiores:

5. Secantes:

r

E

E Excentro (Punto de corte de dos bisectrices externas y una bisectriz interna)

r ex - radio relativa al lado AB.

A

B

C

R

O

r

O1

OO > R + r1

RO

OO < R - r1

O1

r

RO O1

OO = R + r1

r

R

O

OO = R - r1

O1r

O O1

OO < R + r1

M

N

MN Cuerda comn


161


6. Concntricas:

7. Ortogonales:

NIVEL I

1. Calcular el inradio ms el circunradio

de un tringulo rectngulo cuyos

catetos miden 7 m y 11 m.

A. 8 m B. 9 C. 10

D. 7 E. 8,5

2. De la figura, calcular R.

A. 3 B. 4 C. 5

D. 6 E. 8

3. Hallar BR, siendo: r = 4 m

A. 4 m B. 8 C.

D. E.

4. Del grfico, calcular AB, si: EF = 3

m y DE = 1 m.

A. 3 B. 4 C. 5

D. 6 E. 8

5. Calcular x en la figura.

A. 10 B. 20 C. 30

D. 36 E. 40

R

O O1

r

O O1

R r

37

R

6

5

15

A

P

B

r

R

2 2

4 2 8 2

B

C

E

O A

F

D

A

B

Cx

40



6. En el grfico, AB = 3 m y BC = 13

m, hallar AD.

A. 16 m B. 21 C. 18

D. 19 E. 22

7. Hallar , si: OC = AP

A. 2 B. 6 C. 3

D. 7 E. 4

8. Hallar: m


163


A. 2 m B. 4 C. 12

D. 16 E. 18

4. Se tiene un punto A exterior a

una circunferencia, se trazan las

tangentes y ; luego se

trazan las cuerdas BD y CD, tal

que . Calcular la m



A. 30 B. 36 C. 37

D. 53 E. 2630'

1. En la figura, calcular el permetro

del trapecio ABCD.

A. 18 m B. 24 C. 32

D. 36 E. 28

2. En la figura, AB = 12 m; BC = 8 m

y AC =10 m.

Hallar:

A. 4/3 B. 2/3 C. 5/3

D. 4/7 E. 3/5

3. En un tringulo rectngulo ABC,

el Semipermetro es igual a 16 m

y su inradio mide 4 m. Hallar la

longitud de la hipotenusa.

A. 10 B. 12 C. 16

D. 13 E. 15

4. Los dimetros de dos

circunferencias miden 10 m y

6 m. Si la distancia entre sus

centros es 10 m, entonces las

circunferencias son:

A. exteriores B. interiores

C. tangentes D. secantes

E. concntricas

5. El punto de tangencia de la

circunferencia inscrita en un

trapecio rectngulo divide al

mayor de los lados no paralelos en

segmentos que miden 1 y 9 m.

Calcular la mediana del trapecio.

A. 6 m B. 8 C. 10

D. 12 E. 13

6. En una circunferencia se toman los

puntos consecutivos P, Q, R,

S, T y V de modo que

m


165


SEMANA N 08

CIRCUNFERENCIA II. NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. NGULO CENTRAL

2. NGULO INSCRITO

3. NGULO SEMINSCRITO

4. NGULO INTERIOR

5. NGULO EXTERIOR

CUADRILTEROS INSCRITOS ___________________________________

___________________________________

___________________________________

O x

x =

x

2x

x

2x

x

2x

x x

2x

x

x + = 180

+ = 180 =



1. Hallar x, si P, A y B son

puntos de tangencia.

A. 32 B. 36 C. 34

D. 39 E. 42

2. Calcular x, si O y O1 son

centros de las circunferencias

congruentes.

A. 120 B. 150

C. 145 D.135

E. 105

3. Hallar x, si O es centro, P, Q

y T son puntos de tangencia.

A. 100 B. 160

C. 110 D. 115

E. 135

4. En la figura, calcular m


167


A. 100 B. 110

C. 160 D. 115

E. 135

7. Si O y O' son centros, P y Q

son puntos de tangencia m =

84, calcular m .

A. 124 B. 142

C. 132 D. 126

E. 136

8. Hallar x; si: m = 20, m BAE

= 10, // .

Adems O es centro.

A. 20 B. 30 C. 40

D. 45 E. 55

9. Si A, B, y C son puntos de

tangencia, hallar .

A. 20 B. 24 C. 34

D. 22 E. 32

10. Hallar , si O y O' son centros,

m AOP = 50.

A. 20 B. 15 C. 18

D. 25 E. 30

11. Las circunferencias mostradas son

tangentes exteriores, hallar x.

A. 40 B. 50 C. 60

D. 30 E. 80

12. Si C y E son puntos de

tangencia y m = 100,

hallar x.

80

PQ

A T C

x

B

O

BN

PM

M

N

A BOP

O'

Q

CD

CD AE

A B

E

DC

O

68

A

B

C

A BOO'

P

x

80

AB



A. 50 B. 60 C. 70

D. 45 E. 55

1. Hallar m RQM, si: m PQR =

50, R y Q son pun-tos de

tangencia.

A. 120 B. 130

C. 140 D. 150

E. 160

2. En el grfico = , T es

punto de tangencia. Calcular .

A. 10 B. 15 C. 20

D. 30 E. 40

3. Calcular x, si O es centro.

A. 40 B. 50 C. 60

D. 70 E. 80

4. Si ABC es un tringulo equiltero,

calcular .

A. 45 B. 20 C. 36

D. 30 E. 40

5. Calcular .

A. 30 B. 27 C. 20

D. 37 E. 47

6. Hallar x, si P es punto de

tangencia ("O" y "O1" son centros)

A. 150 B. 120

C. 135 D. 145

E. 160

A

B

E

C

D

x

R PM

Q

mAM mBM

A

20

M

B P

T

A 50 O

x

20

C

B

A C

B

80

A

M

N

2

3

R

OB

O O1

xP


169


7. Hallar CD, si O es centro y

CH = 9 m.

A. 15 B. 18 C. 16.

D. 17 E. 14

8. Si ABCD es un romboide, hallar x;

adems B y D son puntos de

tangencia.

A. 10 B. 20 C. 30

D. 40 E. 50

9. Si "O" y " O1 " son centros, Q y

T son puntos de tangencia; hallar

.

A. 44 B. 88

C. 112 D. 68

E. 124

No se trata de ser mejor que los

dems, sino mejor de lo que t ya eres

A

H

OB

C

D

Ax 15

B C

D

mPQ

P

O T O14444

Q

04.geo - i bim - 3ro (1)

Documents