05 analyze w2 analysis of variance sp.six sigma measure
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Análisis de Varianza
ANOVA Medir ControlarMejorarAnalizarDefinirReconocer
Six Sigma
Entrenamiento Green Belt
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Sobre este Módulo…
La Significancia Estadística se puede evaluar por medio de
las técnicas One-way ANOVA (para un factor) o la Two-way
ANOVA (para dos factores).
Six Sigma, La búsqueda de la Perfección en losPprocesosque lucha contra la variación para Alcanzar los Objetivos.
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Qué vamos a aprender ...
1. ANalysis of VAriance (ANOVA)(Análisis de Varianza)
2. Variación y Suma de Cuadrados
3. Construcción de la tabla ANOVA4. Supuestos Estadísticos
5. La distribución F
6. Tamaño de Muestra y Potencia del
Ensayo
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Escenarios del Mundo RealDiseño:
Un productor de hilados de alfombras necesita saber con qué material seproduce la alfombra mas duradera.
- ¿Cómo debería, este productor, plantear el diseño y analizar el
experimento?
Fabricación:
Un ingeniero de proceso necesita determinar el efecto de tres niveles deresistencia en la densidad del plástico.
- ¿Cómo debería el ingeniero plantear y analizar el experimento?
Administración: Un equipo administrativo tiene asignado el proyecto de reducir el
tiempo de ingreso de datos de los acuerdos de licencia. El equipoha elaborado cuatro tipos diferentes de formularios.
-¿Cómo debería el equipo plantear y analizar el experimento?
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Análisis de Varianza (ANOVA)
• El análisis de varianza es una generalización del análisis de
medias de 2 muestras, y nos permite comprobar la
significancia de las diferencias entre k (k>2) medias de
muestras diferentes.
• La técnica del análisis de varianza usa información de las
muestras para determinar si dos o mas tratamientos
muestran resultados diferentes.
• Un punto central es que el análisis de varianza ( literalmente
una técnica que prueba y analiza varianzas) es una
herramienta que nos permite comprobar la significancia de
la diferencia entre medias.
Extraído de Statistical Analysis for Decision Making de Morris Hamburg & Peg Young
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ANOVA para un factor
(One - way ANOVA)
Se usa para probar la hipótesis nula que las medias de diferentes
poblaciones son iguales:
– Ho: m1 = m2 = m3 = m4 …
– Ha: al menos una mk is distinta
ANOVA determina si una o más de las medias son distintas, pero
no cuáles de las medias son distintas.
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ANOVA para un factor (One Way ANOVA)
Una comparación de la variación entre tratamientos (factor) y de
la variación interna de cada tratamiento (error) proporcionainformación acerca de la diferencias entre las medias de los
tratamientos:
El término Variación corresponde a una suma de cuadrados
Variación = Varianza media = cuadrado medio
Grados de libertad
La Variación & La Suma de
Cuadrados
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Comprendiendo los Fundamentos
SS total SS factor SS error
2(x x) j i
i
n
j
g
-
= =
11
x x ji j
i
n
j
g
-
= =
( )2
11
n
g 2
x x j
j
-
=
1
( ) +
+ =
=
Total: SS total = Suma de Cuadrados Total del experimento (valores individuales - media general)
Entre Tratamientos: SS factor = Suma de Cuadrados de los Factores (media del grupo - media general)
Dentro de cada tratamiento: SS error = Suma de Cuadrados dentro de cada grupo (valores individuales - media del grupo)
1 2 3 4 5
0
1
2
Factor “ …”
R e s p u e s t a
x ji Valor individual: el i-ésimo valor del j-ésimo
tratamiento.
x - Media general del tratamiento
x j - Media del grupo: la media del j-ésimo tratamiento.
j = Tratamiento ó Nivel deFactor
i = Observación del tratamiento j
g = cantidad total de Niveles o tratamientos
n = cantidad de observaciones de cada Nivel defactor
-
Suma de Cuadrados
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Términos Grados de libertad (DF): cantidad de conclusiones independientes que se
pueden extraer de los datos.
SS factor : mide la variación entre la media de cada tratamiento y la mediageneral.
SS error : mide la variación de cada observación dentro de cadatratamiento con la media respectiva a su tratamiento.
Cuadrado medio del factor (MS): La SS factor dividida por los DF [(g-1)].
MS es también un estimador de la varianza
Cuadrado Medio del Error (MSE): La SS error dividida por los DF [g(n-1)].MSE es también un estimador de la varianza.
F: la relación entre la variación entre tratamientos y la variación dentro delos tratamientos = MS / MSE. Si el valor de F es cercano a 0, no hay
diferencia significativa entre las medias de los tratamientos (el valor P esgrande).
P: la probabilidad de que la diferencia observada se deba al azar (errorde muestreo). Un valor P pequeño (generalmente < 0,05) indica que hayuna diferencia y que la Ho debe ser rechazada.
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Tabla de ANOVAFuente Suma de
Cuadrados Grados de libertad
Media cuadrática (Varianza)
F = MSfactor /MSE
Valor P basado en F y en DF
Entre grupos
SS Factor g-1 SS Factor
(g-1)
MS
MS error P(F)
Dentro de
grupos SS Error g(n-1)
SS Error
g(n-1)
Total SS Total ng-1
DF Tota l = DF entre + DF dentro
DF Total = ng - 1
DF entre = g-1
DF dentro = (ng-1) - (g-1) = g(n-1)
g = # de gruposn = # en el grupo
factor
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Para determinar si podemos aceptar o rechazar la hipótesis nula,
debemos calcular el estadístico F usando el ANOVA como se
muestra en la siguiente tabla:
¿Por qué a la fuente “DENTRO” o “INTERNA” se la denomina Error o Ruido?
En términos prácticos ¿qué es lo que nos dice el cociente F?
Varianza de error ponderado
FUENTE SS DF MS (=SS/df) F {=MS(factor)/MS(Error)}
ENTRE SS factor g - 1 SS factor /(g - 1) MSfactor / MSError
DENTRO SS error g(n -1) SS error /g(n - 1)
TOTAL SS total gn - 1
Ensayo de Hipótesis:
Ho: m1 = m2 = m3 = m4 …
Ha: Al menos una mk es distinta
Tabla de ANOVA (Cont)
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La prueba F y la Distribución F
Si el valor F
observado
es > 5, el
valor - P= 0
Distribución F para 4 y 45 Grados de libertad
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Valor - F
P r o b
Fcrit en el punto 10%
Fcrit en el punto 5%
Fcrit en el punto 1%
La distribución F esuna familia de
curvas dependientes
del número de
grados de libertad.
F = Variación entre tratamientos = SS factor / (g-1)
Variación dentro de los tratamientos SS error / g(n-1)
Si F > F crit entonces al menos una media es distinta.
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Supuestos Estadísticos
Nota: ANOVA es robusta en estos supuestos cuando los tamaños
de las muestras son iguales.
Normalidad: las muestras se extraen de poblaciones normalmente
distribuidas.Nota: La distribución dentro de los subgrupos debe ser normal. No se
puede asumir que el total de la población bajo estudio sea normal.
Independencia: Las muestras son independientes
Minitab: Stat>Basic Statistics>Correlation
Homogeneidad de Varianzas: Las poblacionales tienen varianzas iguales.
Minitab: Stat>ANOVA>Test for Equal Variances (use stacked data)
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Primero, hay que
encontrar el tamaño demuestra necesario para
determinar si hay una
diferencia estadística-
mente significativa entre
las medias de los tiempos
requeridos para completarlos distintos formularios.
Luego, hay que probar los
supuestos del ANOVA.
Entonces se usa ANOVApara determinar si existe
diferencia entre las
medias.
Ejemplo de Entrada de Datos
Un equipo que tiene asignado el
proyecto de reducir el tiempo deingreso de datos en los acuerdos
de licencia, ha elaborado cuatro
tipos diferentes de formularios. Se
asignaron los formularios al azar
entre el personal, para el ingreso
de datos.
¿Es algún formulario mejor que el
resto (toma menos tiempo)?
Nota. . .
El sigma histórico esaproximadamente 2
4 segundos es una diferencia
significativa.
Sea a = 5% y b = 20%
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Tamaño de muestra usando Minitab
Desarrollo:
• Abrir Minitab• Ir a Stat > Power and Sample Size
> ANOVA para un factor…
Nota:
El sigma
histórico es 2
4.0 segundos
es unadiferencia
significativa
a = 5%
b = 20%
1. En Number of
levels: tipear 4
2. En Values of themaximum
difference
between means:
tipear 4.0
3. En Power
values: tipear
0.80 (1.00 -
0.20)
4. En Sigma:
tipear 2.0
5. Seleccione OK
1
2
3
4 5
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Power and Sample Size
One way ANOVA
Sigma = 2 Alpha = 0.05 Number of levels= 4
Sample Target Actual Maximum
SS Means Size Power Power Difference
8 7 0.8000 0.8361 4
Tamaño de muestra usando Minitab
(Cont)
Ventana de Sesión Minitab
En archivoDataFile ANOVA1,
usaremos 6 debido
a restricciones de
recursos
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Apilando los Datos
1. Seleccione C1 A, C2 B,
C3 C, y C4 D
2. Presione Select
3. Observe A-D en Stack
the following columns:
4. Seleccione Column of
current worksheet: y
tipee Response
5. En Store subscripts in:
tipee Factor6. Seleccione Use variable
names in subscript
column
7. Seleccione OK
1
3
2
4 4
6
5
7
Desarrollo:
Abrir DataFile\ANOVA1.mtw
Ir a Data > Stack > Columns…
Normalidad
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Normalidad
(Resumen Gráfico) usando Minitab
Desarrollo:
• Usar DataFile\ANOVA1.mtw
• Ir a Stat > Basic Statistics > Graphical Summary…
1. En Variables:
Seleccione Response
2. En By Variables
seleccione Factor
3. Seleccione OK
1
2
3
l d d
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Normalidad
(Resúmen Gráfico)
70.067.565.062.560.057.555.0
Median
Mean
63.061.560.0
Anderson-Darling Normality Test
Variance 3.600
Skewness 0.00000
Kurtosis -2.68519
N 6
Minimum 59.000
A-Squared
1s t Quartile 59.000
Median 61.000
3rd Quartile 63.000
Maximum 63.000
95% Confidence Interval for Mean
59.009
0.46
62.991
95% Confidence Interval for Median
59.000 63.000
95% Confidence Interval for StDev
1.184 4.654
P-Value 0.162
Mean 61.000
StDev 1.897
70.067.565.062.560.057.555.0
Median
Mean
70.067.565.0
Anderson-Darling Normality Test
Variance 8.000
Skewness 1.19324
Kurtosis 1.66875
N 6
Minimum 63.000
A-Squared
1st Quartile 63.750
Median 65.500
3rd Q ua rti le 68.000
Maximum 71.000
95% Confidence Interval for Mean
63.032
0.29
68.968
95% Confidence Interval for Median
63.357 69.571
95% Confidence Interval for StDev
1.766 6.937
P-Value 0.493
Mean 66.000
StDev 2.828
70.067.565.062.560.057.555.0
Median
Mean
706866
Anderson-Darling Normality Test
Variance 2.800
Skewness 1.15254
Kurtosis 2.50000
N 6
Minimum 66.000
A-Squared
1s t Quartil e 66.750
Median 68.000
3rd Q uarti le 68.750
Maximum 71.000
95% Confidence Interval for Mean
66.244
0.49
69.756
95% Confidence Interval for Median
66.357 69.929
95% Confidence Interval for StDev
1.044 4.104
P-Value 0.129
Mean 68.000
StDev 1.673
70.067.565.062.560.057.555.0
Median
Mean
636057
Anderson-Darling Normality Test
Variance 8.000
Skewness -1.19324
Kurtosis 1.66875
N 6
Minimum 56.000
A-Squared
1s t Q uartile 59.000
Median 61.500
3rd Q uartile 63.250
Maximum 64.000
95% Confidence Interval for Mean
58.032
0.29
63.968
95% Confidence Interval for Median
57.429 63.643
95% Confidence Interval for StDev
1.766 6.937
P-Value 0.493
Mean 61.000
StDev 2.828
95% Confidence Intervals
Summary for ResponseFactor = A
95% Confidence Intervals
Summary for ResponseFactor = B
95% Confidence Intervals
Summary for ResponseFactor = C
95% Confidence Intervals
Summary for ResponseFactor = D
p value > .05 p value > .05
p value > .05 p value > .05
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Test para homogeneidad de varianzas usando
Minitab
Desarrollo:• Usar DataFile\ANOVA1 con datos apilados
• Ir a Stat > ANOVA > Test for Equal Variances…
1. En Response:
seleccione Response
2. En Factors: seleccioneFactor
3. Seleccione OK
1
2
3
T t d h id d d i
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F a c t
o r
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
D
C
B
A
9876543210
Bartlett's Test
0.622
Test Statistic 1.95
P-Value 0.584
Levene's Test
Test Statistic 0.60
P-Value
Test for Equal Variances for Response
Test de homogeneidad de varianzas
(Cont)
Usar Bartlett's test cuando los datos
vienen de distribuciones normales.
Usar Levene's test cuando los datos
viene de distribuciones continuas, pero
no necesariamente normales.
P > 0.05:
no podemos
rechazar lahipótesis nula
de igualdad de
varianzas
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Test de Independencia usando Minitab
Desarrollo:
Usar DataFile\ANOVA1.mtw Ir a Stat > Basic Statistics > Correlation…
1. En Variables:
seleccione C1 A, C2
B, C3 C, and C4 D
2. Seleccione Display p-values
3. Seleccione OK
1
2
3
Correlations: A, B, C, D
A B CB 0.298
0.566
C 0.630 0.6340.180 0.177
D -0.373 0.225 -0.2110.467 0.668 0.688
Coeficiente decorrelación, r
Valor - pTodos los valores -
p > 0.05: la hipó-
tesis nula de inde-
pendencia es
verdadera
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ANOVA para un factor usando Minitab (Cont)
Desarrollo:• Usar DataFile\ANOVA1.mtw con columnas apiladas • Ir a Stat > ANOVA > One-way…
1. Seleccione C1 A, C2
B, C3 C, and C4 D
2. Presione Select
3. En Response:
seleccione Response
4. En Factor:
seleccione Factor
5. Seleccione OK
1
3
4
5
2
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ANOVA para un factor usando Minitab (Cont)
Ventana de Sesión Minitab
Una, o mas, medias de los
tratamientos es estadísticamentediferente de la media general
Veamos el gráfico!
Source DF SS MS F P
Factor 3 228.00 76.00 13.57 0.000
Error 20 112.00 5.60
Total 23 340.00
S = 2.366 R-Sq = 67.06% R-Sq (adj) = 62.12%
R-Sq – Cuánto de la variación es
explicada por los factores
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ANOVA para un factor usando Minitab (Cont)
• Grafique el valor de las medias, a nivel
factor, con sus intervalos de confianzaDesarrollo:
• Usar DataFile\ANOVA1.mtw
• Ir a Stat > ANOVA > Interval Plot… 1. Seleccione One Y
with Groups.
2. En Graph Variables:
Seleccione Response
3. En Categorical
Variables Seleccione
Factor4. Seleccione OK
5. Seleccione OK
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Factor
R e s p o n s e
DCB A
70
68
66
64
62
60
58
Interval Plot of Response vs Factor95% CI for the Mean
ANOVA para un factor usando Minitab (Cont)
El gráfico de intervalos contiene la misma información que se
presenta en la Ventana de Sesión - salvo que el gráfico de
intervalos (Interval Plot) tiene una mucho mejor resolución.
Examine las
diferencias
entre medias
utilizando
Comparaciones
Múltiples.
¿Es la media de
A diferente de la
media de B?
Comparaciones Múltiples usando
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Comparaciones Múltiples usando
Minitab
• “Se debe tener algún cuidado al interpretar el nivel de confianzacuando se realiza mas de una estimación, o al interpretar el nivel designificancia cuando se está desarrollando mas de un ensayo.”(Dixon and Massey, Introduction to Statistical Analysis)
• Si usa sucesivas pruebas -t para examinar diferencias entre medias, el
riesgo-alfa aumenta dramáticamente.• El nivel de significancia total es: a* = 1 – (1 – a)k, donde k es la
cantidad de pruebas. Las comparaciones múltiples evitan esto!
• Las comparaciones múltiples se presentan como un grupo deintervalos de confianza, mas que un grupo de ensayos de hipótesis.Esto permite determinar la significancia práctica de la diferencia
entre medias, además de la significancia estadística. Como decostumbre, la hipótesis nula de no diferencia entre medias es falsa síy sólo sí el intervalo de confianza “de la diferencia de IC ”no contieneal cero.
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Comparaciones Múltiples Usando Minitab
Desarrollo:
• Usar DataFile\ANOVA1.mtw
• Ir a Stat > ANOVA > One-way…
• Seleccionar Comparisons…
1. Seleccione Tukey’sfamily error rate:
2. Tipee 5 para a = 5%
3. Seleccione OK
1
2
3
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Comparaciones múltiples (Cont)
Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons among Levels of Factor
Individual confidence level = 98.89%
Factor = A subtracted from:
Factor Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-
B 1.174 5.000 8.826 (-----*------)
C 3.174 7.000 10.826 (------*-----)
D -3.826 0.000 3.826 (-----*-----)
--------+---------+---------+---------+-
-6.0 0.0 6.0 12.0
No hay diferencia entre
las medias de D y A. Tampoco hay diferencia
entre las medias de B y C.
La hipótesis nula de no
diferencia entre medias es
falsa sí y sólo si el intervalo de
confianza no contiene al cero.
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ANOVA para dos factores con Réplicas
• En el ANOVA para un factor (DataFile\ANOVA1.mtw ) cada nivel decada factor tenía seis réplicas.
• Las réplicas son necesarias para generar la SS error.
• En el ANOVA para dos factores (Two Way ANOVA), hay dos factores.
• Si el ANOVA para dos factores es replicado, cada combinación detratamientos (celda) tiene dos o mas respuestas.
Level 1 Level 2
Y1, 11 Y1, 21
Y2, 11 Y2, 21
Y1, 12 Y1, 22
Y1, 12 Y2, 22
Factor A
TWO-WAY ANOVA WITH TWO
REPLICATIONS
Factor B
Level 1
Level 2
Combinación de
tratamientos
A al Level 2
B al Level 1
ANOVA para dos factores usando
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ANOVA para dos factores usando
Minitab
Escenario:• El dueño de un hotel necesita instalar una nueva alfombra.
• El/Ella decide probar cuatro marcas de alfombras distintas para usar encuatro pasillos distintos.
• Cada pasillo tendrá las cuatro alfombras distribuidas en líneas continuas,
dispuestas al azar, así cada alfombra soportará el mismo tráfico.
Desarrollo:• Ir a DataFile\ANOVA2.mtw
• Notar el orden de los datos—
– Una columna tiene un número para la ubicación
– En cada ubicación hay datos del desgaste para cada una de las cuatromarcas.
– Cada una de las marcas es medida cuatro veces - cuatro réplicas.
• Ir a Data> Stack > Columns
d f d
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ANOVA para dos factores usando
Minitab (Cont)
1. En Stack the following
columns: seleccione C2
Carpet 1, C3 Carpet 2,
C4 Carpet 3 y
C5 Carpet 41. En Store stacked data in:
seleccione Column of
current worksheet: y
tipee Carpet Stack
2. En Store subscripts in:
tipee Carpet3. Seleccione Use variable
names in subscript
column
4. Seleccione OK
1
2
3
5
4
ANOVA para dos factores
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ANOVA para dos factores
usando Minitab (Cont)• Agregar los subíndices necesarios para Ubicación
Desarrollo:
• Ir a Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers…
1. En Store patterned data
in: seleccione Loc
2. En From first value:tipee 1
3. En To last value: tipee
4
4. En In steps of: Tipee 1
5. En List each value:
tipee 4
6. En List the whole
sequence: tipee 4
7. Seleccione OK
1
2
3
4
5
6
7
ANOVA para dos factores usando
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ANOVA para dos factores usando
Minitab (Cont)• Analice el ANOVA para dos factores
Desarrollo:• Ir a Stat > ANOVA > Two-way…
1. En Response:seleccione Carpet Stack
2. En Row factor:
seleccione Location
3. En Column factor:
seleccione Carpet
4. Seleccione OK
1
2
3
4
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ANOVA para dos factores usando Minitab (Cont)
Ventana de Sesión Minitab :
Carpet esel únicofactor
significativo(p <= 0.05)
Veamos los gráficos de los resultados:
Main Effects Plot (Gráfico de efectos principales)
Interaction Plot (Gráfico de interacciones)
Two-way ANOVA: Carpet Stack versus Loc, Carpet
Source DF SS MS F P
Loc 3 9.99 3.329 0.31 0.815
Carpet 3 796.72 265.575 25.02 0.000Interaction 9 46.91 5.212 0.49 0.873
Error 48 509.56 10.616
Total 63 1363.17
S = 3.258 R-Sq = 62.62% R-Sq (adj) = 50.94%
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ANOVA para dos factores usando Minitab (Cont)
• Grafique los Efectos Principales
Desarrollo:
• Ir a Stat > ANOVA > Main Effects Plot…
1. En Responses: seleccioneCarpet Stack (que es una
medida del desgaste)
2. En Factors: seleccione
Location and Carpet
3. Seleccione OK
1
2
3
ANOVA d f t d Mi it b
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M
e a n o f C a r p e t S t a c k
Carpet 4Carpet 3Carpet 2Carpet 1
18
16
14
12
10
8
4321
Carpet Loc
Main Effects Plot (data means) for Carpet Stack
ANOVA para dos factores usando Minitab
(Cont)
Este es el factor significativo
ANOVA d f t d Mi it b
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ANOVA para dos factores usando Minitab
(Cont)
• Grafique las Interacciones
Desarrollo:• Ir a Stat > ANOVA > Interactions Plot…
1. En Responses:seleccione Carpet Stack
2. En Factors: seleccione
Location y Carpet
3. Seleccione Display full
interaction plot matrix 4. Seleccione OK
1
2
4
3
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ANOVA para dos factores usando
Minitab (Cont)
En un gráfico de interacción, líneas paralelas indican que no hay
interacción. Esto es lo que uno esperaría - un cambio lineal en los
niveles de un factor al cambiar el otro factor.
Carpet
432120
15
10
5
Carpet 4Carpet 3Carpet 2Carpet 1
20
15
10
5
Loc
Carpet
Carpet 3
Carpet 4
Carpet 1
Carpet 2
Loc
3
4
1
2
Interaction Plot (data means) for Carpet Stack Hay interacción,pero no es
estadísticamentesignificativa.
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¡Su Turno!• Abra DataFile\ANOVA3.mtw
• Realice una análisis ANOVA de los datos (determine el efecto de la
Resistencia (Strength) en la Densidad (Density))
• Responda las siguientes preguntas:
1. ¿Se cumplen los supuestos estadísticos?
2. ¿Puede utilizarse ANOVA para un factor para analizar estos datos?
3. ¿Hay alguna diferencia entre las resistencias?
4. ¿Cuál resistencia rinde densidad mas alta?
5. Mire los datos. ¿Cuál resistencia tiene la densidad mas alta?
6. ¿El análisis ANOVA respalda sus conclusiones?
7. ¿Cuál es la potencia de la prueba realizada?
8. ¿Qué niveles de alfa y beta eligió? ¿Qué tamaño de muestra sedebería haber utilizado para el valor de beta elegido?
• Esté preparado para presentar sus resultados y para indicar susconclusiones. (Solución: DataFile\ANOVA3 SOLUTION.mtw )
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Volviendo al Escenario del Mundo Real
Diseño: Un productor de hilados de alfombras necesita saber con qué material
se produce la alfombra mas duradera.
- ¿Cómo debería este productor plantear y analizar el experimento?
Fabricación:Un ingeniero de proceso necesita determinar el efecto de tres niveles
de resistencia en la densidad del plástico.
- ¿Cómo debería el ingeniero plantear y analizar el experimento?
Administración: Un equipo administrativo tiene asignado el proyecto de reducir el
tiempo para el ingreso de datos en los acuerdos de licencia. El equipo
ha elaborado cuatro tipos diferentes de formularios.
-¿Cómo debería el equipo plantear y analizar el experimento?
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Qué hemos aprendido…
1. Análisis de Varianza (ANOVA)
2. Variación y Suma de Cuadrados
3. Construcción de la Tabla de ANOVA
4. Supuestos estadísticos5. La distribución - F
6. Tamaño de la muestra y Potencia del ensayo.
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Statistical Analysis for Decision Making , 1993, Hamburg & Young,
publicado por The Dryden Press, Capítulo 8
Statistics for Experimenters, Box, Hunter & Hunter, 1978, publicado por
John Wiley and Sons, Capítulo 7.
Design and Analysis of Experiments, 3rd Edition 1991, Montgomery,
publicado por John Wiley and Sons, Capítulo 5.
Bibliografía
Fórmulas para el tamaño de la muestra
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Para la
alternativa deuna cola, y
ANOVA, use Za
Fórmulas para el tamaño de la muestra
2
22
β2α
ΔσZ+Z =muestraladeTamaño
Para prueba de hipótesis de dos muestras:
( )( )2
0
22
21
2β2α
Δ-Δ
σ+σZ+Z =muestraladeTamaño
Para prueba de medias de dos muestras:
Para prueba de dos proporciones (una cola):
( ) ( )( )( )2
0
22
β002α
p- p
σ p-1 pZ+ p-1 pZ =muestraladeTamaño
Ref: Applied Statistics
and Probability for
Engineers 2nd Edition,
Montgomery & Runger
La Potencia del
ensayo es 1 - b
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Tamaño de la muestra de la Entrada de Datos
Determine el tamaño de la muestra con la siguiente fórmula:
( ) 6=6.185=
4
2*4*842.0+1.645 =muestraladeTamaño 2
22
( )( )2
0
2221
2
βα
Δ-Δ
σ+σZ+Z =muestradeTamaño
Número de níveles
de factores
Sigma Estimado para los
níveles de los factores.
d = diferencia
significativa
Tamaño
mínimo de
muestra
( )( ) ,
Δ-Δ
σZ+Z =muestradeamañoT 2
0
2
k 1=k
2
βαANOVA
fctoreslosdeniveles#=donde