05 potencial electrico

FÍSICA II. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 5: EL POTENCIAL

ELÉCTRICO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 5. El potencial eléctrico.

Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Física II para estudiantes de Ingeniería,

Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Física II en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



5.1.- POTENCIAL GENERADO POR CARGAS PUNTUALES.

Potencial eléctrico debido a una carga eléctrica.

1. Una carga puntual C 102 6q está fija en el origen de un sistema se coordenadas.

¿Cuál es el potencial en el punto P que está a 5 m?

2. [TM] Una partícula puntual tiene una carga igual a C 00.2 . Y está en el origen. a)

¿Cuál es el potencial eléctrico V en un punto que está a 4.00 m del origen, asumiendo que el

potencial en el infinito es cero? b) ¿Cuánto trabajo deberá hacerse para llevar una segunda

partícula con carga C 3 desde el infinito hasta una distancia de 4.00 m de la de

C 00.2 ?

3. [RH] Una carga puntual tiene C16.1 q . Considere el punto A que está a 2.06 m de

distancia y el punto B que se halla a 1.17 m de distancia en una dirección diametralmente

opuesta, como se ve en la figura. a) Calcule la diferencia de potencial BA VV . Repita el

ejercicio si los puntos A y B están situados de igual manera que en la figura b.

4. [TM] En un acelerador de Van de Graaf se liberan los protones desde el reposo, a un

potencial de 5 MW y éstos se desplazan a través del vacío hasta una región con potencial

cero. a) Calcular la velocidad final de los protones de 5 MeV. b) Si la variación de

potencial es uniforme a lo largo de una distancia de 2.0 m, calcular el campo eléctrico del

acelerador.

5. [TM] Un cañón de electrones dispara estas partículas contra la pantalla de un tubo de

televisión. Los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una diferencia de

potencial de 30000 V. a) ¿Qué zona es de mayor potencial, la pantalla o la posición inicial

del electrón? b) ¿Cuál es la energía de los electrones al chocar contra la pantalla, expresada

en electronvolts y en joules? c) ¿Cuál es la velocidad de los electrones al chocar con la

pantalla del tubo de televisión?

q A

B

q A B



6. Una partícula de polvo de masa kg 105 9m y carga nC20 q , inicialmente en

reposo desde el punto A y se traslada en línea recta al punto B. ¿Cuál es su rapidez en el

punto B, donde dos cargas nC3Aq y nC3Bq están separadas por 3 cm y el punto A

está a 1 cm de la carga A por la derecha y el punto B está a 1 cm de la carga B por la

izquierda.

7. [RH] a) A través de qué diferencia de potencial debe caer un electrón para adquirir,

según la teoría de Newton, una velocidad v igual a la velocidad c de la luz? b) La mecánica

newtoniana fracasa conforme v → c. Por tanto, empleando la expresión relativista correcta

con la energía cinética

1

)/(1

12

2

cvcmEc en vez de la expresión newtoniana

2

21 cmEc , determine la velocidad del electrón, adquirida al caer por la diferencia de

potencial calculada en a). Exprese esta velocidad como una fracción apropiada de la

velocidad de la luz.

8. [TM] a) Una partícula cargada positivamente describe una trayectoria antes de colisionar

de frente con un núcleo pesado cargado positivamente que inicialmente está en reposo. La

partícula tiene inicialmente una energía cinética icE , . Además, la partícula está inicialmente

alejada del núcleo. Deducir una expresión para la mínima distancia a la que llegan las dos

cargas en función de la energía cinética inicial icE , , de la partícula, la carga ze de la

partícula y la carga Ze del núcleo, donde z y Z son enteros. b) Encontrar un valor numérico

para la distancia mínima entre una partícula de 5.00 MeV y un núcleo de oro en reposo y

entre otra partícula de 9.00 MeV y otro núcleo de oro en reposo (Los valores 5.00 y 9.00

MeV son las energías cinéticas de las partículas . Despreciar el movimiento del núcleo de

oro después de la colisión). c) El radio del núcleo de oro es de m 107 15 . Si la partícula

se aproximase más de esa distancia, experimentaría la interacción fuerte además de la

fuerza eléctrica de repulsión. En los primeros años del siglo XX, antes de que se

descubriera la interacción nuclear fuerte Ernest Rutherford bombardeó núcleos de oro con



partículas que tenían energías cinéticas de unos 5 MeV. ¿Podría poner de manifiesto esta

experiencia interacción fuerte? Explique sus respuestas.

9. [RH] Un núcleo de oro contiene una carga positiva igual a la de 79 protones y tiene un

radio de 7.0 fm. Una partícula alfa (constituida por dos protones y dos neutrones) tiene una

energía cinética cE en puntos lejanos del núcleo y se dirige directamente hacia él. La

partícula alfa apenas si toca la superficie del núcleo donde se invierte la dirección de su

velocidad. a) Calcule cE . b) Tenía una energía de 5 MeV la segunda partícula alfa que

Rutherford y sus colegas usaron en su experimento y que condujo al descubrimiento del

concepto del núcleo atómico. ¿Qué conclusión obtiene usted de eso?

10. [RH] Se supone que una partícula de carga (positiva) Q ocupa una posición fija en P.

Una segunda partícula de masa m y de carga negativa –q se desplaza con velocidad

constante en un círculo de radio r1 centrado en P. Deduzca una expresión para el trabajo W

que debe efectuar un agente externo sobre la segunda partícula, a fin de aumentar a r2 el

radio del círculo de movimiento, centrado en P.

Potencial eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas.

11. [RH] a) En la figura, obtenga una expresión para BA VV . b) Se reduce el resultado a la

respuesta expresada cuando 0d ? ¿Cuándo 0a ? ¿Cuándo 0q ?

12. [RH] Dos cargas puntuales q y q´ están separadas por una distancia a. En un punto a la

distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero.

(Asumir que el potencial es cero lejos de las cargas). a) ¿Cuáles de estas afirmaciones son

ciertas? 1) Las cargas tienen el mismo signo. 2) Tienen signo opuesto. 3) El signo no puede

determinarse con los datos aportados. b) ¿Cuáles de estas otras afirmaciones son ciertas? 1)

qq . 2) qq . 3) qq . 4) Los valores absolutos de las cargas no se pueden

determinar con los datos del problema. c) Determinar la relación qq / .

q

d

q A B

a a



13. [RH] En la figura, localice los puntos, si los hay, a) donde 0V y b) donde 0E .

Considere sólo puntos en el eje x y suponga que 0V en el infinito.

14. [TM] Se sitúa una carga puntual de +3e en el origen y una segunda carga de –2e en el

eje x a la distancia x = a. a) Dibujar la función potencial )(xV en función de x para todo

valor de x. b) ¿Para qué punto o puntos es )(xV igual a cero? c) ¿En qué puntos del eje x, si

los hay, el campo eléctrico es cero? ¿Son estas posiciones las mismas que las encontradas

en la parte b? Explicar las respuestas d) ¿Cuál es el trabajo que hay que realizar para llevar

una tercera carga +e al punto ax21 sobre el eje x?

15. [RH] Tres cargas de +122 mC se colocan en los ángulos de un triángulo equilátero, de

1.72 m de lado. Si se les suministra energía con una rapidez de 831 W, ¿cuántos días se

requerirán para trasladar una de las cargas al punto medio de la línea que une las dos

restantes?

16. [RH] Una carga puntual eq 61 está fija en el origen de un sistema coordenado

rectangular, y una segunda carga puntual eq 102 está fija en nm 60.9x , 0y . Con

0V en el infinito, el sitio de todos los puntos en el plano x y con 0V es un círculo

centrado en el eje x, como se indica en la figura. Determine a) la posición de cx , el centro

del círculo y b) el radio R del círculo. c) Es también un círculo el equipotencial V 5V ?

q q2

d21



17. [TM] Tres cargas puntuales están en el eje x: q1 en el origen, q2 en x = 3 m y q3 en x = 6

m. Calcular el potencial en el punto x = 0, y = 3 m si a) C2321 qqq , b)

C221 qq y C23 q y c) C231 qq y C22 q . (Asumir que el potencial es

cero lejos de donde están las cargas).

18. [TM] Cuatro cargas puntuales de C2 se encuentran situadas en los vértices de un

cuadrado de 4 m de lado. Calcular el potencial en el centro del cuadrado (tomando como

potencial cero el correspondiente al infinito) si a) todas las cargas son positivas, b) tres de

las cargas son positivas y la otra negativa y c) dos son positivas y las otras dos negativas.

19. Se dispone de un cuadrado de 20 cm de lado. En cada uno de los vértices hay una carga

eléctrica cuyos valores son C108 6

A

q , C106 6

B

q , C105 6

C

q y

C1015 6

D

q . Calcular el potencial eléctrico resultante en el centro del cuadrado.

20. [TM] Los puntos A, B y C están en los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de

lado. Cargas positivas de C2 están en A y B. a) ¿Cuál es el potencial del punto C?

(Asumir que el potencial es cero lejos de donde están las cargas). b) ¿Cuánto trabajo se

necesita para llevar una carga positiva de C5 desde el infinito hasta el punto C si se

mantienen fijas las otras cargas? c) ¿Cuánto trabajo adicional se requiere para mover los

C5 desde el punto C hasta la mitad del segmento AB?

x

y

1q

9.60 nm

2q

0V

R

cx



21. [TM] Tres partículas puntuales idénticas con carga q se encuentran en los vértices de un

triángulo equilátero circunscrito en una circunferencia de radio a que está en el plano z = 0

y centrada en el origen. La carga q y el radio a son C5

y 60.0 cm, respectivamente.

(Asumir que el potencial es cero lejos de las cargas). a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el

origen? b) ¿Cuál sería si las cargas estuvieran en la circunferencia pero una de ellas no

estuviera en un vértice del triángulo? Explique su respuesta.

22. [RH] En el rectángulo de la figura, los lados tienen longitudes de 5.0 cm y 15.0 cm, y

C 0.22 q . a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en los vértices B y A? (Suponga

que 0V en el infinito). b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover una tercera

carga C 303 q de B a A a lo largo de la diagonal del rectángulo? C) En este proceso,

¿se convierte trabajo externo en energía electrostática potencial o a la inversa? Explique su

respuesta.

23. [TM] Dos cargas positivas +q están en el eje x en x = +a y x = –a. hallar el potencial

)(xV como una función de x para todos los puntos situados en el eje x. b) Representar

)(xV en función de x.

24. [TM] Dos cargas positivas +q están sobre eje y en y = +a e y = –a. a) Determinar el

potencial para cualquier punto del eje x. b) Utilizar los resultados de a) para calcular el

campo eléctrico en cualquier punto del eje x.

25. [RS] Considere el dipolo eléctrico que se ilustra en la figura.

a) Demuestre que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje x es 22

2

ax

aqkV

.

b) Demuestre que el potencial eléctrico en un punto distante sobre el eje x es 2

2

x

aqkV .

B

1q

2q

A



26. [TM] Un dipolo eléctrico está formado por una carga positiva de C 108.4 19 separada

de una carga negativa de igual valor absoluto por m 104.6 10 . ¿Cuál es el valor del

potencial eléctrico en un punto situado a m 102.9 10 de cada una de las cargas?

27. Un dipolo eléctrico consta de dos cargas puntuales nC121 q y nC 122 q ,

separadas por una distancia de 10 cm. Calcule el potencial eléctrico en el punto: a) A,

ubicado a 6 cm a la derecha de q1, b) B, ubicado a 4 cm a la derecha de q1, c) C, que está a

13 cm de la carga q1 y q2 en el eje y. d) Calcule la energía potencial asociada con una carga

puntual de 4 nC si ésta se encuentra en los puntos A, B y C.

28. Dos cargas puntuales q y –q están separadas por una distancia da 2 . Si se ubica un

punto A a una distancia a a la derecha de la carga positiva y un punto B a una distancia a a

la izquierda de la carga negativa, demuestre que la diferencia de potencial viene dada por

)(

2

daa

dqkVV BA

.

29. [RH] En la configuración de carga de la figura demuestre que, suponiendo que dr .

)(rV en los puntos del eje horizontal está dado por

r

d

r

qV

21

4

1

0. Haga 0V en

el infinito.

q

d

q

d

P

q

r

x

y

q

a2

q

y



[Sugerencia: la configuración de la carga puede concebirse como la suma de una carga

aislada y de un dipolo].

Energía potencial electrostática.

30. [RH] La diferencia de potencial entre cargas puntuales durante una tormenta es

V 1023.1 9 . ¿De qué magnitud es el cambio en la energía potencial eléctrica de un

electrón que se desplaza entre ellos? Exprese su respuesta en a) joules y b) en electrón

volts.

31. [RH] En un relámpago típico, la diferencia de potencial entre los puntos de descarga es

de unos V 100.1 9 y la carga transferida es de 30 C aproximadamente. a) ¿Cuánta energía

se libera? Si toda la que se libera pudiera usarse para acelerar un automóvil de 1200 kg a

partir del reposo, ¿Cuál sería su velocidad final? c) Si pudiera usarse para derretir hielo,

¿cuánto se derretiría a 0ºC?

32. [RH] Calcule a) el potencial eléctrico creado por el núcleo de un átomo de hidrógeno en

la distancia promedio del electrón circulante ( m 1089.5 11r ); b) la energía potencial

eléctrica del átomo cuando el electrón está en este radio; c) la energía cinética del electrón,

suponiendo que describe una órbita circular de éste radio centrado en el núcleo. d) ¿Cuánta

energía se necesita para ionizar el átomo de hidrógeno? Exprese todas las energías en

electrón-volt y suponga que 0V en el infinito.

33. [TM] La distancia entre los iones K+ y Cl

– en el KCl es m 1080.2 10 . Calcular la

energía necesaria para separar los dos iones considerando que se trata de cargas puntuales

que se encuentran inicialmente en reposo. b) Si se aporta dos veces la energía calculada en

el apartado a), ¿cuál sería la energía cinética de los dos iones cuando lleguen al infinito?

Expresar la respuesta en eV.

34. [RH] Proyectamos un electrón con una velocidad inicial de m/s 1044.3 5 hacia un

protón esencialmente en reposo. Si al principio éste está muy lejos del protón, ¿a qué

distancia de él su velocidad será instantáneamente el doble de su valor original?

35. [TM] Considerar dos partículas puntuales cargadas con +e separadas m 1050.1 15 que

están en reposo. a) ¿Cuánto trabajo se requiere hacer para llevarlas a su posición final desde



una distancia muy larga? b) Si se les permite separarse, ¿qué velocidad adquirirán cada una

de ellas cuando estén a una distancia doble de la que tenían en el momento inicial? c) La

masa de cada partícula es 1.00 u (1.00 uma) ¿Qué velocidad tendrán cuando estén muy

lejos la una de la otra?

36. [TM] Considerar un electrón y un protón que están inicialmente en reposo separados

2.00 nm. Despreciando el movimiento del protón por ser de mucha mayor masa que el

electrón, ¿cuál es la mínima a) energía cinética y b) velocidad con la que el electrón deberá

ser proyectado para que el electrón llegue a estar a 12.0 nm del protón? c) ¿A qué distancia

llegará el electrón del protón cuando tenga el doble de la energía cinética inicial?

37. [RH] La figura contiene una representación idealizada de un núcleo de 238

U (Z = 92) a

punto de experimentar una fisión. Calcule la energía potencial eléctrica mutua de los dos

fragmentos. Suponga que tienen el mismo tamaño y carga, que son esféricos y que apenas

si se tocan. El radio del núcleo inicialmente esférico 238

U es 8.0 fm. Suponga que el

material que sale de los núcleos presenta una densidad constante.

38. [TM] Tres cargas puntuales se encuentran sobre el eje x: q1 en el origen, q2 en x = 3 m y

q3 en x = 6 m. Determinar la energía potencial electrostática de esta distribución de carga si

a) C2321 qqq , b) C221 qq y C23 q y c) C231 qq y C22 q .

(Asumir que la energía potencial es cero cuando las cargas están muy lejos entre sí).

39. Dos cargas puntuales están sobre el eje x: q1 = –e en x = 0 y q2 = +e en x = a. Halle el

trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una tercera carga q3 = +e desde el

infinito hasta x = 2 a. Halle la energía potencial total del sistema de tres cargas.

40. [RH] Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Calcule el valor de la

distancia x, de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.

–19.2 nC 17.2 nC 25.5 nC

14.6 cm x



41. Una carga puntual C 105 6q está fija en el origen de un sistema de coordenadas. a)

¿Qué trabajo realiza la fuerza que ésta carga ejerce sobre otra puntual C 108 6

1

q al

moverse ésta desde el punto )6,8(1P al punto )0,4(2P . ¿Por qué en este caso no es

necesario especificar la trayectoria descrita por q1. b) ¿Cuál es la variación de energía

potencial eléctrica de la carga q1 al moverse ésta desde P1 hasta el punto P2,

42. Tres cargas puntuales están colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado

2 m. Calcule le energía potencial electrostática de este sistema si todas las cargas equivalen

a C 103 6 .

43. [TM] En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2.5 m se encuentran las cargas

puntuales q1, q2 y q3. Determinar la energía potencial electrostática de esta distribución de

carga si a) C 2.4321 qqq , b) C 2.421 qq y C 2.43 q , c)

C 2.421 qq y C 2.43 q . (Asumir que la energía potencial es cero cuando las

cargas están muy lejos entre sí).

44. [RH] En el modelo de quark de las partículas elementales, un protón se compone de tres

quark: dos quark “arriba”, cada uno con una carga e32 y un quark “abajo”, con una carga

e31 . Supóngase que los tres quark equidistan entre sí. Suponga que la distancia es

m 1032.1 15a y calcule: a) la energía potencial de la interacción entre los dos quarks

“arriba” y b) la energía eléctrica potencial total del sistema.

a

e31

e32e3

2



45. [RH] Obtenga una expresión del trabajo requerido por un agente externo para colocar

juntas las cuatro cargas como se indica en la figura. Los lados del cuadrado tienen una

longitud a.

46. [TM] Cuatro cargas puntuales de módulo C2 se encuentran en los vértices de un

cuadrado de lado 4 m. Hallar la energía potencial electrostática si a) todas las cargas son

negativas, b) tres de las cargas son positivas y una es negativa, c) las cargas de dos vértices

adyacentes son positivas y las otras dos son negativas, y d) las cargas en dos vértices

opuestos son positivas y las otras dos negativas. (Asumir que la energía potencial es cero

cuando las cargas están muy lejos entre sí).

47. [TM] En los vértices de un cuadrado centrado en el origen y de lado 2a, se encuentran

cuatro cargas del modo siguiente: q en ),( aa ; 2q en ),( aa ; –3q en ),( aa ; y – 6q en

),( aa . Una quinta partícula que tiene masa m y carga +q se sitúa en el origen y se deja

libre desde el reposo. Determinar el módulo de su velocidad cuando se encuentra a gran

distancia del origen.

48. [RH] Dos cargas C13.2 q están fijas en el espacio y separadas por una distancia

cm96.1d , como se aprecia en la figura. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C?

Suponga que 0V en el infinito. b) Se trae una tercera carga C91.1 Q lentamente

desde el infinito hasta C. ¿Cuánto trabajo se debe realizar? c) ¿Cuál es la energía potencial

U de la configuración cuando interviene la tercera carga?

a

q

q q

q



49. [DF] Tres partículas de carga Q están en las esquinas de un rombo que tiene sus lados y

una diagonal de longitud a. a) Determine el potencial electrostático en la esquina vacante

del rombo (Punto P). b) ¿Cuál sería el trabajo realizado por un agente externo para traer

una cuarta partícula de carga Q, inicialmente en reposo en el infinito y colocarla en reposo

en el sitio vacante P. c) ¿Cuál es la energía potencial electrostática de la configuración final

de las cuatro cargas?

50. [RH] Una década antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J. J.

Thomson propuso que el electrón podría estar constituido por pequeñas partes y que su

masa provenía de la interacción eléctrica de ellas. Más aún, sostuvo que la energía es igual

a 2cm . Haga una estimación aproximada de la masa de los electrones en la siguiente

forma: suponga que el electrón se compone de tres partes idénticas reunidas del infinito y

colocadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados son iguales al radio clásico

del electrón, m 1082.2 15 . a) Determine la energía eléctrica potencial de este arreglo. b)

Divida entre 2c y compare el resultado con la masa aceptada del electrón ( kg 1011.9 31 ).

El resultado mejora si se suponen más partes. Hoy se piensa que el electrón es una partícula

simple e indivisible.

a

a

a

P

q

d21

q

d21

d21



Potencial eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el espacio.

51. [DF] Considere siete partículas con cargas C1Q están fijas en esquinas de un

cubo de lado a = 1 cm. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la esquina vacante, suponiendo

V = 0 en el infinito? b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

Placas.

52. Una lámina plana infinita de densidad σ = 1 μC/m2 está en el plano y z. a) ¿Cuál es el

campo eléctrico creado por la lámina? (Considere tanto valores positivos como negativos

de x. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial, VB–VA si B es el punto (20 cm , 0 , 0) y A es el

punto (50 cm , 0 , 0). c) ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza externa que mueve una

carga q0 = 1 nC desde A hasta B con velocidad constante?

53. Dos placas paralelas de igual área A están separadas por una distancia d, como en la

figura. Una placa tiene carga Q, la otra, carga –Q. La carga por unidad de área sobre

cualquier placa es σ = Q/A. Si las placas están muy cercanas una de la otra (en comparación

con su longitud y ancho), podemos ignorar los efectos de borde y suponer que el campo

eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte. Determine la diferencia

de potencial entre las placas.

x

y

z

a

Q

Q Q

Q

Q

Q

Q

A

B



54. [RH] La figura muestra el borde de una hoja “infinita” de densidad de carga positiva σ.

A) ¿Cuánto trabajo realiza el campo de la hoja a medida que una pequeña carga positiva de

prueba 0q es desplazada de una posición inicial en la hoja a una posición final situada a

una distancia perpendicular z con ella? b) Utilice el resultado de a) para demostrar que el

potencial eléctrico de una hoja infinita de carga puede escribirse zVV0

02

, donde 0V

es el potencial en la superficie de la hoja.

55. [RH] Una hoja infinita tiene una densidad de carga N 1090.3 15 . ¿Qué distancia hay

entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 48 V?

56. [TM] Una lámina infinita plana tiene una densidad superficial de carga igual a 3.5

μC/m2. ¿Qué separación tienen las superficies equipotenciales cuya diferencia de potencial

es de 100 V?

57. Una lámina infinita tiene una densidad de carga σ = 1 μC/m2. ¿Cuál es la distancia entre

los planos equipotenciales cuya diferencia de potencial es 100 V?

Respuesta: m 97.564d

58. Dos láminas paralelas, infinitas, una en el plano y z y la otra a una distancia x = a de la

primera, tienen densidades de carga σ iguales y positivas. a) Calcule el potencial generado

por estas láminas en punto que están entre las láminas, bajo ellas y sobre ellas, si V = 0 en x

= 0. b) Haga el mismo cálculo si la densidad de carga de la lámina que está en el plano y z

es σ y la densidad de carga de la otra lámina es –σ.

59. [RH] Dos grandes placas metálicas paralelas están separadas por una distancia de 1.48

cm y tienen cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. La placa negativa está



aterrizada se supone que su potencial es cero. Si el potencial a la mitad entre las placas es

+5.52 V, ¿cuál es el campo eléctrico en esta región?

60. [RH] Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de

12.0 cm y transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón

colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de N 1090.3 15 .¿Cuál es la

diferencia de potencial entre las placas?

61. [RH] En el experimento de Millikan, un campo eléctrico N/C 1092.1 5 es mantenido

en equilibrio entre dos placas separadas por 1.50 cm. Obtenga la diferencia de potencial

entre ellas.

62. Un protón se desplaza en línea recta del punto A al punto B de un acelerador lineal, una

distancia total d = 0.50 m. El campo eléctrico es uniforme a lo largo de esta línea y su

magnitud es V/m 105.1 7E en la dirección desde A hasta B. Halle a) la fuerza sobre el

protón; b) el trabajo que el campo realiza sobre el protón. c) la diferencia de potencial

BA VV .

63. [TM] Un campo eléctrico uniforme de valor 2 kN/m está en la dirección +x. Se deja en

libertad una carga puntual C 3Q que está inicialmente en reposo en el origen. a) ¿Cuál

es la diferencia de potencial )0(m) 4( VV ? b) ¿Cuál es la variación de energía potencial

de la carga desde 0x hasta m 4x ? c) ¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando

está en m 4x ? d) Calcular el potencial )(xV si se toma )(xV como cero para 0x .

64. En una región del espacio existe un campo eléctrico E = 200 N/C i. Una carga puntual

C103 6q colocada en el origen del sistema de coordenadas con respecto al cual se ha

medido E, inicia su movimiento a partir del reposo. a) ¿Cuál es la energía cinética de q en

el momento que está en x = 4 m? b) ¿Cuál es la variación de la energía cinética de q al

moverse desde x = 0 m hasta x = 4 m? c) ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico?

65. [RH] Dos superficies conductoras paralelas y planas de espaciado cm 0.1d tienen

una diferencia de potencial V de 10.3 kV. Se proyecta un electrón de una placa hacia la

segunda. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón si se detiene exactamente en la superficie

de ésta última? No tenga en cuenta los efectos relativistas.



66. [TM] Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas,

de modo que el campo eléctrico entre ellas es aproximadamente uniforme. La diferencia de

potencial entre las placas es 500 V y están separadas 10 cm. Se deja en libertad un electrón

desde el reposo en la placa negativa. a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico entre las

placas? b) ¿Qué placa está a potencial más elevado, la positiva o la negativa? c) Hallar el

trabajo realizado por el campo eléctrico cuando un electrón se mueve desde la placa

negativa a la positiva. Expresar su respuesta en joules y en electronvoltios. d) ¿Cuál es la

variación de energía potencial del electrón cuando se mueve desde la placa negativa hasta

la positiva? e) ¿Cuál es su energía cinética cuando llega a la placa positiva?

Respuesta: a) N/C 5000E ; b) La placa positiva; c) J 1001.8 16W , eV 5000W ; d)

J 1001.8 16U ; e) J 1001.8 16fEc

67. Dos placas paralelas están separadas 1 cm. Tienen densidades de carga σ y –σ y el

módulo del campo eléctrico entre ellas es 400 N/C. Calcule el trabajo que realiza la fuerza

eléctrica sobre una carga q = 210–4

C al moverse desde A hasta D por las siguientes

trayectorias: a) ABCD, b) AED, c) AD por la línea que une estos puntos. d) Calcule la

diferencia de potencial entre las placas.

68. [DF] En una región del espacio existe un campo eléctrico dado por

jyxiyxE )(2 22 .

a) Determine la diferencia de potencial entre el punto ),( 00 yxP y el origen, y compruebe

que el resultado es el mismo para las trayectorias:

Camino A: )0,0( → )0,( 0x → ),( 00 yx

A

B

C D

E



Camino B: )0,0( → ),0( 0y → ),( 00 yx

b) Fijando el potencial en el origen, 0)0,0( VV . Haga la operación inversa, es decir,

determine el campo eléctrico.

Cilindros.

69. [TM] Dos cortezas cilíndricas conductoras de gran longitud poseen cargas iguales y

opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la exterior tiene un radio b y

una carga –q. La longitud de cada corteza cilíndrica es L, siendo L mucho más larga que b.

hallar la diferencia de potencial existente entre las dos capas de la corteza Va–Vb.

Respuesta:

a

b

L

QVV ba ln

2 0

70. Un contador de Geiger – Muller es un detector de radiación que se compone de un

cilindro hueco (el cátodo) de radio interior ra y un alambre cilíndrico coaxial (el ánodo) de

radio rb. La carga por unidad de longitud del ánodo es λ, en tanto que la carga por unidad de

longitud en el cátodo es – λ. a) Muestre que la magnitud de la diferencia de potencial entre

el alambre y el cilindro en la región sensible del detector es

b

a

r

rkV ln2 . b) Muestre

que la magnitud del campo eléctrico sobre esta región está dada por

r

r

r

VE

b

a

1

ln



71. [RH] Un contador Geiger tiene un cilindro metálico de 2.10 cm de diámetro a lo largo

de cuyo eje se extiende un alambre de cm 1034.1 4 de diámetro. Si entre ellos se aplican

1855 V, determine el campo eléctrico en la superficie de a) el alambre y b) el cilindro.

72. Dos cilindros huecos conductores coaxiales tienen radios R1 y R2. Si el cilindro interior

tiene una densidad superficial de carga σ y el exterior se conecta a tierra, calcule el

potencial del cilindro interno. Considere VTierra = 0.

Esferas.

73. [RH] Al pasar una nave espacial por el gas ionizado y diluido de la ionosfera de la

Tierra, su potencial suele cambiar en –1.0 V antes de que complete una revolución.

Suponga que la nave es una esfera de radio 10 m, estime la carga que recoge.

74. [RH] Gran parte del material presente en los anillos de Saturno son diminutos granos de

polvo, cuyo radio es del orden de m0.1 . Los granos se encuentran en una región que

contiene un gas ionizado diluido; recogen el exceso de electrones. Si el potencial eléctrico

2R 1R

br

ar



en la superficie de uno de ellos es –400 V (en relación con 0V en el infinito), ¿cuántos

electrones en exceso ha recogido?

75. [TM] Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie.

A una distancia radial de 20 cm de esta superficie, el potencial es 150 V. (Asumir que el

potencial es cero muy lejos de la esfera) a) ¿Cuál es el radio de la esfera? y b) ¿Cuál es su

carga?

76. [RH] Una gota esférica de agua que transporta una carga de 32.0 pC tiene un potencial

de 512 V en su superficie. a) ¿Cuál es el radio de la gota? b) Si dos gotas de la misma carga

y radio se combinan para formar una sola gota esférica, ¿cuál es el potencial en la

superficie de la gota nueva? Haga 0V en el infinito.

77. [TM] Una carga q de +10–8

C está distribuida uniformemente sobre una corteza esférica

de 12 cm de radio (Asumir que el potencial es cero muy lejos de las cargas). a) ¿Cuál es el

valor del campo eléctrico justo en el exterior de la corteza y justo en el interior de la de la

misma? b) ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico justo en el exterior y justo en el interior

de la corteza? c) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el centro de la corteza? d) ¿Cuál es el

módulo del campo eléctrico en dicho punto?

78. [RH] Un campo eléctrico de 100 V/m aproximadamente se observa a menudo cerca de

la Tierra. Si este campo fuera igual en toda la superficie, ¿cuál sería el potencial eléctrico

de un punto en ella? Suponga que 0V en el infinito.

79. [RH] Calcule la velocidad de escape de un electrón en la superficie de una esfera

uniformemente cargada, de radio 1.22 cm y con una carga total C 1076.1 15q .

Prescinda de las fuerzas gravitacionales.

80. Considere una esfera de densidad de carga uniforme de radio R = 10–15

m y una carga

1.610–19

C (Estos datos corresponden a un posible modelo de un protón). Si el centro de la

carga está en el origen de un sistema, calcule E y V en: a) r = B y b) r = C.



Potencial de un conductor cargado.

81. [S] ¿Cuántos electrones deben extraerse de un conductor esférico inicialmente

descargado de 0.300 m de radio para producir un potencial de 7.50 kV en la superficie?

82. [S] Calcule la densidad de carga superficial σ (en C/m2), para un conductor esférico

sólido de radio R = 0.250 m si el potencial a 0.500 m del centro de la esfera es 1.30 kV.

83. [S] Un conductor esférico tiene un radio de 14.0 cm y una carga de 26.0 μC. Calcule el

campo eléctrico y el potencial eléctrico a) r = 10.0 cm, b) r = 20.0 cm, y c) r = 14.0 cm del

centro.

Respuesta: a) 0, 1.67 MW; b) 5.84 MN/C, 1.17 MW; c) 11.9 MN/C, 1.67 MW

84. [TM] Una esfera metálica centrada en el origen tiene una densidad superficial de carga

2nC/m 6.24 . En r = 2.0 m, el potencial es 500 V y el módulo del campo eléctrico es

250 V/m. (Asumir que el potencial es cero lejos de la esfera). a) Determinar el radio de la

esfera metálica. B) ¿Cuál es el signo de la carga de la esfera? Explique la respuesta.

85. Dos esferas metálicas de 3 cm de radio tiene cada una carga de 110–8

C, que se supone

uniformemente distribuida en su centro están separadas 2 m. Calcule el potencial en un

punto situado a la mitad entre sus centros y el potencial de cada esfera.

Respuesta: V 180V , V 30001 V

86. Dos esferas metálicas de 2 cm de radio tienen cargas de 210–8

C y –510–8

C

respectivamente. La distancia entre sus centros es 1 m. Calcule el potencial en el punto

medio del trazo que une los centros de las esferas.

Respuesta: V 540V

87. [S] Dos conductores esféricos de radio r1 y r2 están separados por una distancia mucho

mayor que el radio de cualquiera de las esferas. Estas están conectadas por medio de un

R

B

A

C



alambre conductor, como se ve en la figura. Si las cargas sobre las esferas en equilibrio son

q1 y q2, respectivamente, encuentre la razón de las intensidades de campo en las superficies

de las esferas.

88. [S] Dos cascarones esféricos y concéntricos de radios a = 0.400 m y b = 0.500 m están

conectados por medio de un alambre delgado. Si una carga total Q = 10 μC se pone en el

sistema, ¿cuánta carga queda sobre cada esfera?

89. [S] Dos cascarones esféricos y concéntricos de radios a y b están conectados por medio

de un alambre delgado. Si una carga total Q se pone en el sistema, ¿cuánta carga queda

sobre cada esfera?

90. [S] Dos conductores esféricos cargados se conectan mediante un largo alambre

conductor y una carga de 20.0 μC se pone en la combinación. a) Si una esfera tiene un radio

de 4.00 cm y el radio de la otra es de 6.00 cm, ¿cuál es el campo eléctrico cerca de la

superficie de cada esfera? b) ¿Cuál es el potencial eléctrico de cada esfera?

91. Dos esferas conductoras aisladas de 4 cm y 8 cm tienen cada una de ellas una carga

igual a –310–8

C. Las esferas se ponen en contacto y luego se separan. a) ¿Cuál es el

cociente entre la carga de la esfera de radio mayor y la carga de la esfera de radio menor?

b

a

Alambre

1q

2q



b) Calcule la carga de cada esfera, su densidad de carga y su potencial.

Respuesta: a) 21

2

q

q; b) C 102 8

1

q , C 104 8

2

q

92. El potencial de una esfera conductora de 20 cm de radio es 104 V. Se pone en contacto

con una esfera conductora neutra de 30 cm de radio y a continuación se separan ambas

esferas. a) ¿Cuál es la carga de cada esfera después que se separan? b) Demuestre que la

relación entre las densidades de carga de las esferas (luego de separarlas) es 1

2

2

1

R

R

.

Respuesta: a) C 108888.8 8

1

q , C 103333.1 7

2

q

93. [TM] Un conductor esférico de radio R1 está cargado a 20 kV. Cuando se conecta

mediante un fino y largo alambre a una segunda esfera conductora situada lejos de él, su

potencial cae a 12 kV. ¿Cuál es el radio de la segunda esfera?

94. [TM] Dos esferas conductoras se cargan, se sitúan muy separadas una de otra y se

conectan mediante un cable largo delgado. El radio de la esfera menor es de 5 cm y el de la

mayor, 12 cm. El campo eléctrico en la superficie de la esfera mayor es 200 kV/m.

Determinar la densidad superficial de carga en cada esfera.

95. [RH] Suponga que la Tierra es un conductor esférico de 6370 km de radio y que

inicialmente no contiene carga. Una esfera metálica de 13 cm de radio, que tiene una carga

–6.2 nC está aterrizada, es decir, en contacto eléctrico con la Tierra. Demuestre que este

proceso efectivamente descarga la esfera, al calcular la fracción del exceso de electrones

originalmente presentes en la esfera que quedan después de aterrizarla.

96. [TM] Los centros de dos esferas metálicas de radio 10 cm están separados 50 cm sobre

el eje x. Las esferas son inicialmente neutras, pero una carga Q se transfiere de una esfera a

la otra, creando una diferencia de potencial entre las esferas de 100 V. Un protón se libera

desde el reposo en la superficie de la esfera positivamente cargada y se mueve hacia la

esfera cargada negativamente. a) ¿Cuál es la energía cinética del protón justo en el instante

en que choca con la esfera de carga negativa? ¿A qué velocidad choca con la esfera

negativa?



97. [TM] Dos conductores en forma de corteza esférica concéntrica poseen cargas iguales y

opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga +Q; la corteza exterior tiene un

radio b y una carga –Q. Hallar la diferencia de potencial existente entre las cortezas, Va –

Vb.

Respuesta:

baQkVV ba

11

98. [TM] Una corteza conductora esférica de radio interior b y radio exterior c rodea

concéntricamente una pequeña esfera metálica de radio a < b. La esfera metálica tiene una

carga positiva Q. La carga total sobre la corteza esférica conductora es –Q. a) ¿Cuál es el

potencial de la corteza esférica? b) Cuál es el potencial de la esfera metálica?

99. Un conductor esférico hueco tiene un radio interior a y radio exterior b. En el centro de

la esfera hay una carga puntual q (q > 0) y el conductor no posee carga neta. Determine el

potencial V(r) de este sistema admitiendo que V = 0 en r = ∞ y siendo r la distancia del

punto (donde se calcula V) al centro de la esfera.

Respuesta: br : r

qkVr , bra :

b

qkVr , ar :

barqkVr

111

a

b

q



100. Considere dos cascarones esféricos delgados y conductores, como en la figura. El

cascarón interno tiene un radio r1 = 15 cm y una carga de 10 nC. El cascarón exterior tiene

un radio r2 = 30 cm y una carga de –15 nC. Encuentre a) El campo eléctrico E y b) El

potencial eléctrico V en las regiones A, B y C, con V = 0 en r = ∞.

101. Una carga puntual q se halla en el centro de un cascarón esférico conductor de radio

interno R1 y radio externo R2, que a su vez está dentro de un cascarón esférico de radio R3

concéntrico y conectado a tierra (Ver figura). Calcule el potencial en puntos situados a una

distancia r de la carga q para: a) r < R1, b) R1 < r < R2, c) R2 < r < R3. Nota: Considere el

potencial de tierra igual a cero.

102. Una esfera aislante de radio R tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga

total Q. a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, es decir, en r > R.

Considere el potencial igual a cero en r = ∞. b) Encuentre el potencial en un punto dentro

de la esfera cargada, es decir, para r < R.

2R

3R

1R

2r

1r A

B

C



103. [RH] El campo eléctrico dentro de una esfera no conductora de radio R, que contiene

una densidad de carga uniforme, sigue una distribución radial y tiene la magnitud

3

04 R

rqE

, donde q es la carga total de la esfera. a) Determine el potencial V dentro de

la esfera, suponiendo que 0V en 0r . b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre un

punto en la superficie y el centro de la esfera? Si q es positiva, ¿qué punto se halla en el

potencial más alto? C) Demuestre que el potencial a una distancia r del centro, donde r < R,

está dado por 3

0

22

8

)3(

R

rRqE

, donde el cero del potencial se toma con r . ¿Por qué

este resultado no es igual al de la parte a)?

104. Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volumétrica constante. A esta esfera

se la hace un hueco esférico de radio R1 en su centro. Determine el potencial para puntos

situados a una distancia r del centro, siendo: a) r > R, b) R1 < R < R, c) r < R1

Respuesta: r > R: r

RRVr

0

2

1

3

3

)(

105. Una esfera no conductora tiene radio r y densidad de carga ρo (ρ0 = Cte).

R

1R

R

D

C

B



a) Demuestre que el potencial en la superficie de la esfera es 0

2

0

3

rV

b) Demuestre que la energía necesaria para agregarle a esta esfera un cascarón esférico de

radio rdr y densidad de carga ρ0 es rdrUd 42

0

03

4

c) Utilizando b) demuestre que la energía necesaria para cargar una esfera de radio R con

densidad ρo es: 53

4 52

0

0

RUd

106. En una gotita esférica de un líquido no conductor, cargada, la carga tenderá a ser

empujada hacia la superficie exterior de radio R. Una posible distribución de carga es

R

r0 , siendo ρo la densidad de carga máxima en la superficie de la gotita y r la

distancia de un punto de la gota a su centro. Calcule el potencial creado por esta gotita en

un punto fuera y dentro de ella, eligiendo V = 0 en el infinito.

Respuesta: Rr : r

RkVr

3

0 , Rr : )4(

3

330 rRR

kVr

107. [TM] Un modelo válido para el átomo de hidrógeno puede ser el de una carga puntual,

que representa al protón, cuyo valor es +e, rodeada por una carga negativa, que representa

al electrón, cuya densidad de carga es R

r0 (expresión que atribuye la Mecánica

Cuántica a dicha carga electrónica), donde a = 0.523 nm es la distancia más probable de

separación del electrón con respecto del protón. Calcular el potencial eléctrostático (relativo

al infinito) a una distancia r del protón.

R



Obtención de E a partir del potencial eléctrico.

108. El potencial eléctrico en cierta región del espacio es 224)( xxV , estando V en

voltios y x en metros. a) ¿Cuál es el significado del número 4 que aparece en la expresión

de V (x)? b) Determine el campo eléctrico en esa región.

Respuesta: a) El 4 representa el potencial en el origen; b) xE 4

109. [RH] El potencial eléctrico V en el espacio situado entre las placas de un tubo al vacío,

ahora obsoleto, está dado por 22)V/m 1530( xV , donde x es la distancia de una de las

placas. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico cuando m 28.1x .

110. [S] El potencial eléctrico en cierta región es cxbxaV 2 donde a = 12 V/m

2, b =

–10 V/m y c = 62 V. Determine a) la magnitud y dirección del campo eléctrico en x = +2.0

m, y b) la posición en la que el campo eléctrico es cero.

111. [S] El potencial en una región entre x = 0 y x = 6.0 m es V = a + b x, donde a = 10 V y

b = –7.0 V/m. Determine a) El potencial en x = 0, 3.0 y 6.0 m, y b) la magnitud y dirección

del campo eléctrico en x = 0, 3.0 y 6.0 m.

112. [RH] El problema 63 del capítulo 4 se refiere al cálculo que Rutherford hizo del

campo eléctrico a una distancia r del centro de un átomo. También obtuvo el potencial

eléctrico como

3

2

0 22

31

4 R

r

Rr

ZeV

. Demuestre en qué forma la expresión del

campo eléctrico dada en el ejercicio 63 del capítulo 4 se deduce de esta expresión de V.

113. [S] El potencial eléctrico dentro de un conductor esférico cargado de radio R está dado

por R

QkV y en el exterior el potencial está dado por

r

QkV . Utilizando

rd

VdEr ,

obtenga el campo eléctrico a) en el interior y b) fuera de esta distribución de carga.

114. El potencial debido a una carga puntual Q en el origen se puede escribir

222 zyx

QkV

. Determine las componentes del campo eléctrico.

115. El potencial eléctrico en cierta región del espacio es 222 243 zyyxV . Calcule

el campo eléctrico en esa región.



Respuesta: kzjyyxiyE 4)86(3 2

116. [S] El potencial eléctrico en cierta región es 2354 zyzxV V. Determine la

magnitud del campo eléctrico en ( 2 , –1 , 3 ), donde todas las distancias están en metros.

117. [S] Sobre cierta región del espacio, el potencial eléctrico es 22 235 zyyxxV .

Encuentre las expresiones para las componentes x, y y z del campo eléctrico sobre esta

región. ¿Cuál es la magnitud del campo en el punto P, el cual tiene coordenadas

m )2,0,1( ?

118. [S] Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de un

sistema de coordenadas x y z que está en un campo eléctrico inicialmente uniforme

kEE o , el potencial eléctrico resultante es 0),,( VzyxV . Para puntos dentro de la esfera

y 2

3

)(),,(

222

3

000

zyx

zaEzEVzyxV

para puntos fuera de la esfera, donde V0 es el

potencial electrostático (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar

las componentes x, y y z del campo eléctrico resultante.

119. [S] Un cilindro conductor infinitamente largo y descargado de radio a se pone en un

campo eléctrico inicialmente uniforme iEE 0 , de modo que el eje del cilindro está a lo

largo del eje z. El potencial electrostático resultante es 0),,( VzyxV para puntos dentro

del cilindro y 22

2

000),,(

yx

xaExEVzyxV

para puntos fuera del cilindro, donde V0 es el

potencial electrostático (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar

las componentes x, y y z del campo eléctrico resultante.

120. [S] Un dipolo se localiza a lo largo del eje y, como se muestra en la figura. En un

punto P, el cual está alejado del dipolo (r > > a) el potencial eléctrico es 2

cos

r

pkV

,

donde aqp 2 . Calcule la componente radial del campo eléctrico asociado, Er, y la

componente perpendicular, Eθ. Advierta que

V

rE

1. a) Estos resultados parecen



razonables para θ = 90º y 0º? b) Para el arreglo de dipolo mostrado, exprese V en función

de coordenadas rectangulares usando 2

1

)( 22 yxr y 2

1

)(cos

22 yx

y

.

Con estos resultados y considerando r > > a, calcule las componentes del campo Ex y Ey.

121. [TM] Tres cargas iguales se encuentran sobre el plano x y. Dos de ellas están sobre el

eje y en y = –a e y = +a, y la tercera está en el eje x en x = a. a) ¿Cuál es el potencial V (x)

debido a estas cargas en un punto del eje x? b) Determinar Ex a lo largo del eje x a partir de

la función potencial V (x). Comprobar las respuestas de a) y b) en el origen y para x = ∞

para ver si se obtienen los resultados esperados.

122. En una región del espacio existe un campo eléctrico E = 100 N/C i. Encuentre el

potencial V (x) si se escoge V (x) de modo que: a) V (0) = 0, b) V (0) = 400 V, c) V (1) = 0.

Respuesta: a) xV 100 ; b) 400100 xV ; c) 100100 xV

123. [TM] Un campo eléctrico uniforme tiene el sentido de las x negativas. Los puntos A y

B están en el eje x, A en x = 2 m y B en x = 6 m. a) ¿Es positiva o negativa la diferencia de

potencial VB–VA? b) Si el valor de AB VV es 100 kV, ¿cuál es el valor del campo

eléctrico E?

124. El campo eléctrico en una región del espacio es E = a x i , estando E en N/C, x en m y

siendo “a” una constante positiva. a) ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza eléctrica sobre

una carga puntual positiva q0 cuando ésta se mueve desde el origen hasta un punto de

coordenadas x cualquiera? b) Encuentre V (x) tal que V (0) = 0.

Respuesta: a) 2

21 xaqW ; b) 2

21 xaV

125. [TM] Un campo eléctrico viene dado por la expresión ixbE 3 , donde

4kV/m 00.2b . Calcular la diferencia de potencial entre el punto x = 1.00 m y x = 2.00 m.

¿Cuál de estos puntos es de mayor potencial?

126. [TM] El campo eléctrico en el eje x debido a una carga puntual colocada en el origen

viene dado por ixbE )/( 2 , donde kV.m 00.6b y 0x . a) Obtener el valor y el signo

de la carga puntual y b) la diferencia de potencial entre los puntos x = 1.00 m y x = 2.00 m

¿cuál de estos puntos es de mayor potencial?



127. El campo eléctrico en cierta región es E = –10 i + 3 y j. a) Determine la función

potencial en esa región. b) Calcule la diferencia de potencial entre )0,4,3(1P y

)3,2,1(2 P .

5.2.- POTENCIAL GENERADO POR DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE

CARGA.

Varillas.

128. [RH, TM] Una carga por unidad de longitud λ se distribuye uniformemente en una

delgada varilla de longitud L. a) Determine el potencial (que se decide que sea cero en el

infinito) en el punto P a una distancia a de un extremo de la varilla y en línea con ella

(figura). b) Con el resultado de a) obtenga el componente del campo eléctrico en P en la

dirección x (a lo largo de la varilla) y compare con el resultado del ejercicio 137 del

capítulo 4. c) Determine el componente del campo eléctrico en P en dirección

perpendicular a la varilla. d) Demostrar que el resultado que se obtiene en la parte a) es

a

QkV para La . Explicar el resultado.

Respuesta:

a

LkV 1ln , i

aLa

LkE

)(

129. [TM] Una barra de longitud L y carga Q uniformemente distribuida a lo largo de su

longitud está colocada sobre el eje x con su centro en el origen. a) ¿Cuál es el potencial en

función de x para x > L/2? b) Demostrar que para x >> L/2, el resultado se reduce al debido

a una carga puntual Q.

130. Una varilla de 14.0 cm de largo está uniformemente cargada con una carga total de

C 22 . Determine el potencial eléctrico a lo largo del eje de la varilla en un punto a 36.0

cm de su centro.

a L

y

x

P



131. Una varilla delgada, no conductora de longitud L tiene una densidad lineal λ dada por

L

x0 , donde λ0 es una constante, y x una distancia variable lineal. a) Determinar el

potencial eléctrico en el punto P ubicado a lo largo del eje principal de la varilla y a una

distancia a de uno de sus extremos, b) Con el resultado de a) obtenga el componente del

campo eléctrico en P en la dirección x (a lo largo de la varilla) y compare con el resultado

del ejercicio 142 del capítulo 3.

Respuesta:

a

LaL

L

kV 1ln0

132. Una línea de carga se inicia en 0xx y se extiende hasta el infinito positivo. La

densidad de carga lineal es x

x00 . Determine el potencial eléctrico en el origen.

Respuesta: 0kV

133. [DF] Una línea de carga con longitud L y orientada a lo largo del eje x, tiene una carga

por unidad de longitud que varía con la distancia de la siguiente forma:

1

0

0x

x .

Donde 0x es la distancia de la barra al origen y 0 una constante. Encuentre el potencial

eléctrico en el origen.

0x L

y

x

P

a L

y

x

P



Respuesta:

0

0

0

0 1lnx

LxL

x

kV

134. Una varilla de longitud L localizada a lo largo del eje de las x tiene una carga total Q y

una densidad de carga lineal . a) Determine el potencial eléctrico en el punto P localizado

en el eje de las y, a una distancia y del origen, b) Demostrar que el resultado que se obtiene

de la parte a) es y

QkV para Ly , c) Determine el componente vertical, yE , del

campo eléctrico en el punto P partiendo del resultado de la parte a) y compare con el

resultado del ejercicio 145 del capítulo 4.

Respuesta:

y

LyLkV

22

ln

135. [TM] Una barra de longitud L tiene una carga Q uniformemente distribuida. La barra

está localizada en el eje y con uno de sus extremos en el origen. a) Obtener una expresión

para el potencial eléctrico a lo largo del eje x en función de la posición. b) Demostrar que el

resultado que se obtiene de la parte a) es x

QkV para Lx . Explicar el resultado.

L

x

y

P

y

0xL

y

x

P



136. La varilla delgada uniformemente cargada que se muestra en la figura tiene una

densidad de carga lineal . a) Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en el

punto P, b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es 2y

QkE para

Ly . Explicar el resultado, c) Demuestre que el resultado con 0y se reduce al

obtenido en el problema 128. d) Demuestre que el resultado con 0a se reduce al

obtenido en el problema 134. e) Determine las componentes del campo eléctrico en el

punto P partiendo del resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio 148

del capítulo 4.

Respuesta:

aya

LayLakV

22

22)(ln

137. [RH] En una delgada varilla de longitud L sobre el eje x, con un extremo en el origen

0x como en la figura, está distribuida una carga por unidad de longitud dada por

x0 , donde 0 es una constante, y x es la distancia desde el origen. a) Suponiendo que

el potencial electrostático en el infinito es cero, calcule V en el punto P sobre el eje y. b)

Determine el componente vertical, yE , del campo eléctrico en el punto P partiendo del

resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio 149 del capítulo 4. c) ¿Por

qué xE , el componente horizontal del campo eléctrico en P, no puede obtenerse mediante

este resultado de la parte a)? d) ¿A qué distancia de la varilla en el eje y el potencial es igual

a una mitad del valor en el extremo izquierdo de ella?

L

x

y

P

y

a



138. Una varilla delgada de longitud L y con una carga uniforme por unidad de longitud λ

yace a lo largo del eje de las x, como se muestra en la figura. a) Demuestre que el potencial

eléctrico en P, a una distancia y de la varilla a lo largo de su perpendicular bisectriz es

)tan(secln2 00 kV

139. Una varilla delgada no conductora de longitud L tiene una carga uniforme Q. a)

Determinar el potencial eléctrico a una distancia y de la varilla en un punto P sobre la

perpendicular bisectriz, b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es

y

QkV para Ly , c) Determine el componente vertical, yE , del campo eléctrico en el

punto P partiendo del resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio 151

del capítulo 4.

L

x

y

P

y

0

L

x

y

P

y



Respuesta:

y

LyLkV

2122

21 )(

ln2

140. [TM] Una barra de longitud L tiene una carga Q uniformemente distribuida. La barra

está localizada en el eje y con su centro en el origen. a) Obtener una expresión para el

potencial eléctrico a lo largo del eje x en función de la posición. b) Demostrar que el

resultado que se obtiene de la parte a) es x

QkV para Ly . Explicar el resultado.

141. [TM] Una línea de carga infinita con densidad lineal de carga está en el eje z.

Calcular el potencial eléctrico a estas distancias de la línea de carga a) 2.00 m, b) 4.00 m, y

c) 12.00 m. Asumir que V = 0 a una distancia de 2.5 m de la línea de carga.

142. Un alambre de densidad lineal de carga tiene forma de cuadrado de lado L y está

contenido en el plano x y con su centro en el origen. a) Calcule el potencial eléctrico de este

alambre en un punto del eje z que está a una distancia z del centro del cuadrado. b)

Demuestre que su respuesta a a) se reduce al potencial eléctrico de una carga puntual para

Lz .

L

x

y

P

y



143. Una varilla delgada no conductora de longitud L tiene una densidad lineal . a)

Determinar el potencial eléctrico en el punto P y a una distancia y de la varilla como

indica la figura, b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es y

QkV para

Ly . Explicar el resultado, c) Demuestre que el resultado con aL se reduce al

obtenido en el problema 134. d) Determine el componente vertical, yE , del campo eléctrico

en el punto P partiendo del resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio

154 del capítulo 4.

L

x

y

a

P

y

L

z

P



144. Una varilla delgada, no conductora de longitud L tiene una densidad lineal λ dada por

Lx /0 , donde λ0 es una constante, y x una distancia variable lineal. Determinar el

potencial eléctrico en el punto P en la perpendicular bisectriz a una distancia y de la varilla,

Respuesta: 0V

145. Una varilla aislante uniformemente cargada de longitud L se dobla formando un

semicírculo, como se muestra en la figura. La varilla tiene una carga total Q. Determine el

potencial eléctrico en O, que es el centro del semicírculo.

146. Una varilla aislante uniformemente cargada con una longitud de 14.0 cm se dobla en

forma de semicírculo, como se muestra en la figura. La varilla tiene una carga total de

C 50.7 . Determine el potencial eléctrico en O, el centro del semicírculo.

L

x

y

P

y



Respuesta: MV 51.1V

147. Una varilla delgada no conductora se dobla en forma de arco de círculo de radio a y

subtiende un ángulo 0 en el centro del círculo. A lo largo de toda su longitud se distribuye

uniformemente una carga total Q . Encontrar el potencial eléctrico en el centro del círculo

en función de a , Q y 0 .

148. Un hilo delgado tiene una densidad lineal de carga > 0 y está doblado en forma de

arco circular que subtiende un ángulo 20, como muestra la figura.

Demuestre que el potencial eléctrico en el centro de curvatura del arco (punto 0) es

02 kV .

149. Una varilla delgada de vidrio se dobla en forma de un semicírculo de radio R. En la

mitad superior se distribuye uniformemente una carga +Q y en la inferior se distribuye de

manera regular una carga –Q, tal como se muestra en la figura. Determine el potencial

eléctrico V en P, el centro del semicírculo.

R

0

O



150. Una línea de cargas positivas se distribuye en un semicírculo de radio cm 0.60R

como se observa en la figura. La carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo

queda descrita por la expresión cos0 . La carga total del semicírculo es de C 0.12 .

Calcule el potencial eléctrico en el centro de curvatura.

151. Un alambre con una densidad de carga uniforme λ se dobla como se muestra en la

figura. Determine el potencial eléctrico en el punto O.

Respuesta: )3ln2( kV

Anillos.

152. a) Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en un punto P localizado en la

perpendicular al eje central de un anillo uniformemente cargado, de radio R y carga Q. b)

Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es x

QkV para Lx . Explicar

el resultado. c) Encuentre una expresión para la magnitud del campo eléctrico en P

R2 R2 R

O

R

–

–

– –

– –

+

+

+ +

+ +



partiendo del resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio 154 del

capítulo 4.

Respuesta: a) 2

1

)( 22 Rx

QkV

; b)

2

3

)( 22 ax

xQkE

153. Un anillo con un radio de 10.0 cm uniformemente cargado tiene una carga total igual a

C 0.75 . Determine el potencial eléctrico sobre el eje del anillo a las siguientes distancias

del centro del mismo: a) 1.00 cm, b) 5.00 cm, c) 30.0 cm y d) 100.0 cm.

154. [TM] Una carga de 2 nC está uniformemente distribuida alrededor de un anillo de

radio 10 cm que tiene su centro en el origen y su eje a lo largo del eje x. Una carga puntual

de 1 nC está localizada en x = 50 cm. Determinar el trabajo necesario para desplazar la

carga puntual.

155. Imagine un anillo de radio R con una carga total Q distribuida uniformemente en su

perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto del centro del anillo y un punto

en el eje a una distancia 2R del centro?

156. [RH] Una carga eléctrica de nC 12.9 se distribuye uniformemente alrededor de un

anillo de 1.48 m de radio, el cual se encuentra en el plano y z con su centro en el origen.

Una partícula que transporta una carga de pC 93.5 se halla en el eje x con m 07.3x .

Calcule el trabajo efectuado por un agente externo al mover la carga puntual hacia el

origen.

R

x

P



157. Demuestre que la magnitud máxima maxV del potencial eléctrico existente a lo largo

del eje de un anillo uniformemente cargado ocurre en 2

ax con un valor

2

0

max36 a

QE

158. [TM] Una partícula de masa m que posee una carga positiva q está restringida a

moverse a lo largo del eje x. En los puntos x = –L y x = L hay dos cargas anulares de radio

L (Figura). Cada anillo está centrado sobre el eje x y localizado en un plano perpendicular

al mismo, con la misma carga positiva Q. a) Obtener una expresión del potencial debido a

las cargas anulares en función de x. b) Demostrar que en esta región V(x) pasa por un

mínimo para x = 0. c) Demostrar que para x << L, el potencial es de la forma

2)0()( xaVxV . d) Utilizando el resultado de la parte c), deducir una expresión para la

frecuencia angular de oscilación de la masa m si se desplaza ligeramente del origen y se

deja libre. (Asumir que el potencial es cero en puntos alejados de los anillos).

159. Un cascarón cilíndrico uniformemente cargado tiene una carga total Q, radio R y altura

h. Determine el potencial eléctrico en el punto que se encuentra a una distancia d del

extremo derecho del cilindro, como se muestra en la figura. (Sugerencia: utilice el resultado

del ejercicio anterior y considere el cilindro como si fuera un conjunto de anillos cargados).

L L

L2



Respuesta:

22

22)(ln

Rdd

Rhdhd

h

QkV

160. Un anillo de radio a y carga 1q y

2q están distribuidas uniformemente en cada media

circunferencia, siendo 21 qqq .

Determinar el potencial eléctrico en un punto “ P ” situado en el eje del anillo.

161. [WM] Un anillo circular de radio a con una distribución de carga lineal

)cos1(0 , siendo 0 una constante. Determinar: a) El potencial eléctrico a una

distancia x del eje del anillo, b) Demostrar que esta expresión se reduce a x

qkV para

Rx , donde aq 02 es la carga total del anillo (Problema 18 del capítulo 1).

Explicar por qué este resultado, c) Encuentre una expresión para la magnitud del campo

eléctrico en P partiendo del resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio

173 del capítulo 4. d) El punto del valor máximo del potencial eléctrico.

a

x

P



162. Un anillo circular de radio a con una distribución de carga lineal )(sen 20 , siendo

0 una constante. Determinar: a) El potencial eléctrico a una distancia x del eje del anillo,

b) Demostrar que esta expresión se reduce a x

qkV para Rx , donde aq 04 es la

carga total del anillo (Problema 19 del capítulo 1). Explicar por qué este resultado, c)

Encuentre una expresión para la magnitud del campo eléctrico en P partiendo del resultado

de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio 174 del capítulo 4. d) El punto del

valor máximo del potencial eléctrico.

Discos.

163. [TM] Un disco uniformemente cargado tiene un radio R y una densidad de carga

superficial σ. a) Determine el potencial eléctrico. b) Demostrar que esta expresión se reduce

a x

QkV para Rx , donde 2RQ es la carga total del disco. Explicar por qué

este resultado. c) Determinar la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central

perpendicular al disco partiendo del resultado de la parte a) y compare con el resultado del

ejercicio 176 del capítulo 4.

a

x

P

a

x

P



Respuesta: a) ])[(2 2

122 xxRkV ; b)

2

1

)(12

22 xR

xkE

164. Un disco uniformemente cargado con un radio de 35.0 cm tiene una densidad de carga

de 23 C/m 1090.7 . Calcule el potencial eléctrico en el eje del disco a a) 5.00 cm, b) 10.0

cm, c) 50.0 cm y d) 200.0 cm del centro del mismo.

165. [RH] ¿A qué distancia en el eje de un disco uniformemente cargado de radio R es el

potencial eléctrico igual a la mitad de su valor en la superficie del disco en el centro?

Respuesta: Rx43

166. [TM] Un disco uniformemente cargado genera, en un punto situado en su eje a 0.6 m

de su centro, un potencial de 80 V y un campo eléctrico cuyo módulo es 80 V/m. A una

distancia de 1.5 m, el potencial es 40 V y el módulo del campo eléctrico es 23.5 V/m.

determinar la carga total contenida en el disco (Asumir que el potencial es cero lejos del

disco).

167. [TM] Un círculo de radio a se extrae del centro de un disco de radio R (una corona

circular de radios a y R) que está uniformemente cargado con una densidad de carga

superficial σ. a) Obtener una expresión para el potencial en el eje x a una distancia x del

centro del disco. b) Demostrar que para x >> R, el potencial eléctrico en el eje de la corona

uniformemente cargada se puede aproximar a x

QkV , donde )( 22 aRQ es su

carga total. c) Determinar la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central



R x

P



Respuesta: )(2 2222 bxaxkV

168. Un cilindro sólido uniformemente cargado tiene una carga total Q, radio R y altura h.

Determine el potencial eléctrico en el punto que se encuentra a una distancia d del extremo

derecho del cilindro, como se muestra en la figura. (Sugerencia: utilice el resultado del

ejercicio 9 y considere el cilindro como si fuera un conjunto de discos cargados).

Respuesta:

22

22

222222 )(ln2)()(

Rdd

RhdhdRhhdRddRhdhd

h

QkV

169. [TM] Un disco de radio R tiene una distribución de carga superficial dada por

r

R0 , donde 0 es una constante y r es la distancia desde el centro del disco. a)

Obtener una expresión para el potencial eléctrico a una distancia x del centro del disco en

su eje perpendicular que pasa por el centro. b) Demostrar que esta expresión se reduce a

x

qkV para Rx , donde 2

02 Rq es la carga total del disco (Problema 23 del

capítulo 1). c) Determinar la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central

P

R

x

a





Respuesta:

x

RxRRkV

22

0 ln2

170. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial no uniforme R

r0 ,

donde 0 es una constante y r se mide a partir del centro del disco. a) Determine (por

integración directa) el potencial en P. b) Determinar la magnitud del campo eléctrico a lo

largo del eje central perpendicular al disco partiendo del resultado de la parte a) y compare

con el resultado del ejercicio 187 del capítulo 4.

Respuesta:

22

2220 lnxRR

xxxRR

R

kV

171. [TM] Un disco de radio R tiene una distribución de carga superficial dada por

2

2

0

R

r , donde 0 es una constante y r es la distancia desde el centro del disco. a)

R x

P

R x

P



Obtener una expresión para el potencial eléctrico a una distancia x del centro del disco en

su eje perpendicular que pasa por el centro. b) Demostrar que esta expresión se reduce a

x

qkV para Rx , donde 2

021 Rq es la carga total del disco (Problema 25 del

capítulo 1). c) Determinar la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central



172. Un disco de radio R tiene una carga superficial por unidad de área que varía con el

radio como

r

R210 , en donde 0 es una constante y r una distancia variable

radial. Determinar el potencial eléctrico a una distancia x del plano del disco a lo largo de

su eje mediante: a) Integración directa y b) Combinando los resultados de los problemas

162 y 168. c) Demostrar que esta expresión se reduce a x

qkV para Rx , donde

2

03 Rq es la carga total del disco (Problema 26 del capítulo 1). d) Determinar la

magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central perpendicular al disco partiendo del

resultado de la parte a) y compare con el resultado del ejercicio 189 del capítulo 4.

R x

P



Respuesta:

x

axaaxxakV

22

22

0 ln22

173. Un disco de radio R tiene un orificio de radio a cortado en su centro y lleva una carga

por unidad de área que varía con el radio como r

R0 siendo 0 una constante, y r

una distancia variable radial. a) Determinar el potencial eléctrico a una distancia x del

plano del disco a lo largo de su eje. b) Demostrar que esta expresión se reduce a x

qkV

para Rx , donde )(2 0 aRRq es la carga total del disco (Problema 27 del

capítulo 1). c) Demuestre que el resultado obtenido en a) con 0a se reduce al obtenido

en el problema 168. d) Determinar la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central



Respuesta: )(ln2 2222

0 baxaaxakV

P

R

x

a

a x

P



174. [RH] Una cantidad total de carga positiva Q se esparce sobre un anillo no conductor

circular y plano de radio interno a y de radio externo b. La carga se distribuye de modo que

la densidad de carga (carga por unidad de superficie) está dada por 3r

c , donde r es la

distancia del centro del anillo a un punto cualquiera de él. Demuestre que (con 0V en el

infinito) el potencial en el centro está dado por

ba

baQV

08 .



BIBLIOGRAFÍA.

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FIGUEROA, D, Interacción eléctrica, Quinta Edición., Caracas, 2012.

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05 potencial electrico

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