065_calculo_v-2007

UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE HONDURAS VICERRECTORIA ACADEMICA

SISTEMA UNIVERSITARIO DE EDUCACION PRESENCIAL PERIODICO (SUEPP)

MANUAL

CALCULO

COMPILACION REALIZADA A SOLICITUD DE LA UMH POR:

PRIMERA VERSION INGENIERO CIVIL

OSCAR MAURICIO RODRIGUEZ CORRALES

VERSION ACTUALIZADA INGENIERO INDUSTRIAL

PEDRO RAMON GONZALEZ MARTINEZ

OCTUBRE 2007

CALCULO VED / UMH

__________________________________________________________________________________ PROHIBIDA LA REPRODUCCIN DE ESTE DOCUMENTO SIN AUTORIZACIN DEL VED / UMH

INDICE

CONTENIDO PAGINA

INTRODUCCIN GENERAL

CAPITULO I

LIMITES

Diagnstico parcial de entrada

Introduccin.

Objetivos especficos..

Temas y subtemas..

1. LMITES...

1.1 Introduccin al clculo de los lmites ....

1.2 Estimacin numrica de los lmites

1.3 Lectura de grficos

1.4.1 Definicin formal de Lmite..

1.4.2 Clculo de Lmites

1.5 Forma Indeterminada 0

0

1.6 Lmites al infinito..

1.7 Forma indeterminada

.

1.8 Teora de Asintotas..

1.8.1 Asintotas Verticales

CALCULO VED / UMH


1,8.2 Asintotas Horizontales.........

1.8.3 Asintotas Oblicuas..

Trabajo prctico sugerido..

Glosario

Evaluacin formativa.

Diagnstico parcial de salida

CAPITULO II

LA DERIVADA


Introduccin.....

Objetivos especficos.

Temas y subtemas.

2. LA DERIVADA...

2.1 Incrementos y tasas.

2.2 Definicin de Derivada

2.3 Interpretacin Geomtrica..

2.4 Reglas de Derivacin..

2.5 Regla de la cadena..

2.6 Aplicaciones de la derivada

Trabajo prctico sugerido..

Glosario

Evaluacin formativa.

Diagnstico parcial de salida

CAPITULO III

LA INTEGRAL


Introduccin.

Objetivos especficos.

CALCULO VED / UMH


Temas y subtemas.

3. LA INTEGRAL...

3.1 Integrales indefinidas

3.2 Mtodos de sustitucin

Trabajo practico sugerido

Glosario..

Evaluacin formativa

Diagnstico parcial de salida.

SOLUCION A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS..

I. LMITES...

II. LA DERIVADA....

III. LA INTEGRAL.

BIBLIOGRAFA...

CALCULO VED / UMH


Son varias las herramientas matemticas con las cuales podemos resolver

infinidad de problemas, sin embargo cada una de esas maneras de resolver

tendrn siempre un tronco comn El Calculo Analtico, esta valiosa

herramienta matemtica ha dado como resultado la creacin de software

dedicados a la formulacin y solucin de problemas que pudiesen

representarse de manera matemtica, y el anlisis formar parte siempre del

calculista.

Se ha considerado de suma importancia las aplicaciones a la administracin y la

economa, las demostraciones de los teoremas y la teora bsica se ha

desarrollado a fin de que el material sea ms prctico, se desarroll para cada

captulo problemas con su debida explicacin y se procede a ilustrarlo y a analizar

su importancia con varios ejemplos. Se aplicaron diversas tcnicas para resolver

problemas por varios recursos. Esto da el criterio y tiempo necesario para mejorar

las habilidades matemticas y aprender a conocer que esta herramienta es la

necesaria segn el caso de estudio.

Se espera que esta informacin dote de criterio al estudiante, pues aunque se

tengan ya muchos programas dedicados a la solucin de estos anlisis nunca se

podrn comparar con el criterio del calculista.

El contenido se ha seleccionado de tal manera que incluya partes bsicas, que son

de utilidad y de mayor inters para los estudiantes. Por lo general las aplicaciones

se ofrecen en estrecha cercana con el tratamiento del concepto matemtico

especfico.

Se ofrece al estudiante, El Clculo, una de las ms importantes herramientas del

ingeniero de negocios, cuya investigacin en el campo administrativo financiero y

para futuros anlisis de rendimiento, precios de venta ptimos que lleven de un

proceso cientfico y seguro a la toma de decisiones que maximicen la utilidad segn

el ramo de los negocios al cual se aplique. Lo fundamental est en poder expresar

con ecuaciones y desigualdades que son todas lineales.

Se invita a los estudiantes y docentes/tutores (i) apoyarse en la bibliografa

recomendada al final de este documento a fin de ampliar y profundizar en la

informacin presentada y (ii) solicitar a los docentes/tutores hacer los anlisis de

los resultados aplicados a temas empresariales.

INTRODUCCION

CALCULO VED / UMH


A los docentes y estudiantes se les invita comunicarse a la siguiente direccin

electrnica para enviar sus observaciones y comentarios sobre el presente

contenido.

[email protected]

Ing. Oscar Rodrguez y Pedro Ramn Gonzlez Martnez

DIAGNOSTICO DE ENTRADA Con la intencin de conocer el nivel de conocimiento que tiene, previo al desarrollo

de la temtica a tratar en esta capitulo, a continuacin se le formulan las siguientes

preguntas.

1) Qu condiciones debe cumplir una funcin para que sta exista?

2) Explique qu esta sucediendo en una funcin, cuando nos acercamos por la

izquierda o por la derecha de un numero?

3) Explique la siguiente notacin?

ax

lim F(x) = L

4) Cundo se dice que una funcin es de forma indeterminada?

5) Plantee un ejemplo de una funcin de forma indeterminada?

CAPITULO I

LIMITES

CALCULO VED / UMH


6) Mencione qu mtodo matemtico se puede utilizar para eliminar la forma

indeterminada en una funcin?

7) Cundo se puede afirmar que un lmite tiene tendencia al infinito?

8) Describa qu es una asintota?

9) Mencione los tipos de asintotas?

INTRODUCCIN

El capitulo que a continuacin se estudiara, muestra la metodologa que se aplica en

la operacin para la solucin y graficas de funciones en donde la base fundamental

es la teora de limite.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Explicar la importancia de la teora de lmite.

Calcular lmites aplicando la metodologa algebraica correspondiente.

Identificar por simple inspeccin las formas indeterminadas de lmite.

Evaluar funciones determinadas o indeterminadas.

Eliminar formas indeterminadas por medio de la factorizacin de funciones.

Graficar funciones que contengan limites o asintotas y realizar su

respectivo anlisis.

TEMAS Y SUBTEMAS

1. Limites

1.1 Introduccin al clculo de los lmites



1.4.1 Definicin formal de Lmite

1.4.2 Calculo de Lmites


0

CALCULO VED / UMH


1.6 Lmites al infinito


1.8 Teora de Asintotas


1,8.2 Asintotas Horizontales

1.8.3 Asintotas Oblicuas

1. LMITES

1.1 Introduccin al clculo de los lmites

Diremos que una funcin existe; si al evaluar su denominador este no se convierte

en cero, ya que la divisin entre cero no existe. Para esto se debe encontrar el o los

valores que hacen que el denominador sea cero o indefinido. Los valores que hacen

cero al denominador se les llamara valores prohibidos de la funcin.

Cabe mencionar que existen mtodos matemticos con los que se pueden resolver

problemas en los que el denominador sea cero, los que se estudiaran a medida se

avance en este capitulo.

Ejemplo1.1

Sea F(x) =1

13

x

x

Determinar los valores prohibidos para el denominador de F(x).

Se iguala el denominador a cero X - 1 = 0

Despejando X = 1

CALCULO VED / UMH


Al despejar encontramos que el valor prohibido para F(x) es (1), entonces podemos

decir que el dominio de la funcin es:

Dom = }1{

Lo anterior quiere decir que la funcin existe si se utilizan los nmeros reales

excepto el nmero 1 al que llamaremos valor prohibido de la funcin F(x).

La grafica de F(x) quedara de la siguiente manera:

Note que cuando nos acercamos a 1 por la izquierda F(x) se acerca cada vez mas a

3, y lo mismo sucede cuando nos acercamos a 1 por la derecha se acerca cada vez

mas a 3,

Sabemos que x no puede tomar el valor de 1 pero arbitrariamente se puede

acercar a 1en consecuencia decimos que se acerca a 3.

Escrito en la notacin que emplearemos decimos que F(x) es 3 cuando x tiende a

1 y se escribe como:

CALCULO VED / UMH


De lo anterior podemos decir que:

F(x) = L


Dada la funcin F(x), elabore el grfico y calcule en puntos cercanos a cero.

Ejemplo 1.2

F(x) = 11 x

x

Primero calculamos donde el dominio existe igualando el denominador a cero:

011 x Igualando a cero el denominador

11 x Despejando (-1)

(X + 1) = (1) Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad

para eliminar el radical.

X + 1 = 1 despejando (-1)

X = 1 1 evaluando

x = 0 valor prohibido del dominio de F(x).

Recordemos tambin que en nuestro campo de estudio las races negativas no

existen as que tambin debemos encontrar donde el argumento del radical es 0.

(X + 1) argumento de F(x)

(X + 1) 0 planteando para valores iguales o mayores que cero

ax

lim

CALCULO VED / UMH


X -1 despejando

Entonces tenemos que el Dominio de F(x) = {[-1, + [, - {0}}

Podemos apreciar en la tabla que cuando los valores se aproximan a (0) por la

izquierda el limite tiende a ser 2 y si nos acercamos a (0) por la derecha apreciamos

que se acercan a 2 por lo tanto podemos decir que:


CALCULO VED / UMH


El ingeniero de negocios se enfrentar en la vida real a problemas cuya solucin

puede apreciarse de manera grfica, ser importante que domine la lectura,

intuicin y elaboracin de grficos. En este tema se presentara algunas tcnicas

para la lectura de lmites cuando se tiene el grfico de la funcin. Muchas veces los

anlisis econmicos, estadsticos y de cualquier otra ciencia son expuestos

mediante grficos que resumen la actividad matemtica de manera fcil y rpida, el

encontrar un lmite grficamente consiste en encontrar su imagen o coordenada

dentro de un campo expuesto. Se trata como si leemos un punto, sin embargo

desde el punto de vista del clculo lo que leemos es una tendencia, un valor hacia el

cual tiende a un nmero y los epsilon situados a la izquierda o a la derecha tendern

hacia ese mismo nmero.

Epsilon ( ); es un numero tan pequeo como se quiera.

Ej. 0.001, 0.0099, 0.002, etc.

El nombre de Epsilon representado por , acuado por el matemtico Augustin-

Louis Cauchy, es la letra minscula griega psilon.

Analice lo siguiente:

CALCULO VED / UMH


Fig. 1

Observe que a partir de la fig. 1 la lectura de lmites consiste en partir del eje x hacia el trazo de la funcin, note que el lmite es esa distancia que separa el valor en x hasta que alcanza el trazo de la funcin. Pero en el siguiente figura 2 tenemos un valor prohibido, entonces no llega a un lmite el valor de a, no tiene lmite, por eso se concluye que no tiene lmite.

CALCULO VED / UMH


Fig. 2

Fig. 3

CALCULO VED / UMH


En la figura 3 note que nos acercamos a a por la izquierda, es decir con

aproximaciones epsilon a - , notamos que a medida que nos acercamos el valor

del lmite L tiende a crecer cada vez que nos acercamos mucho mas a a, escrito

matemticamente as.

L1 < L2 < L3

CALCULO VED / UMH


Fig. 5

Cuando el valor de a tiende a crecer decimos que x + (fig. 5)

CALCULO VED / UMH


Fig. 6

Cuando el valor de a tiende a decrecer decimos que x - (fig. 6)

CALCULO VED / UMH


Fig. 7

A medida que los valores de a aumentan es decir tienden a infinito, los valores de y

decrecen y se aproximan cada vez a 0. (fig. 7)

NOTA: El evaluar lmites consiste en apreciar sus tendencias, la fig. 1 Nos mostr

que si los valores de la funcin son definidos el lmite tiende a un valor, si por el

contrario no esta definida en ese punto de observacin encontramos en la figura 2

que no esta definido lo que decimos que no esta definido, cuando evaluamos las

aproximaciones encontramos que pueden tender a valores fijos pero que en ciertos

casos esos epsilon nos pueden mostrar que esas tendencias suelen crecer y

tienden a valores infinitos como en la figura 3 al igual que en la figura 4.

La figura 5 no muestra que el valor de x tambin puede tener tendencias y en este

caso el mismo valor de x es una tendencia al infinito. Lo mismo puede ocurrir del

lado negativo de las x y encontramos tendencias al infinito como en la figura 6.

CALCULO VED / UMH


En muchos casos las aproximaciones de una tendencia se acercan a valores

definidos como en la figura 7, que a medida que nos alejamos en x nos acercamos

a 0.

Inspeccione la grafica que a continuacin se presenta y determine los lmites,

de ecuaciones de asntotas, muestre los interceptos e indique si se tiene

valores prohibidos.

CALCULO VED / UMH


lim4x

F(x) = lim

3

7x

F(x) = lim4x

F(x) =

lim4

x

F(x) = lim

3

7

x

F(x) = lim4

x

F(x) =

lim4

x

F(x) = lim

3

7

x

F(x) = lim4

x

F(x) =

lim0x

F(x) = limx

F(x) = limx

F(x) =

lim0

x

F(x) = lim0

x

F(x) =

1.4.1 Definicin formal de Lmite

Hemos visto de las funciones anteriores evaluadas en sus puntos crticos, donde no

existen en el Dominio, que acercndonos por ambos extremos derecha e izquierda

el lmite tiende a ser un valor L, dicho de otra manera en notacin

ax

lim F(x) = L

Del ejemplo 1.2 anterior observe que nos acercamos con valores pequeos, es

decir que se aproxima a a con pequeos incrementos y decrecimientos, esto se

observa mejor cuando revisamos las flechas de tendencia sobre cada tabla de

valores.

x -1 -0.75 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.75 1 2

F(x) 1 1.5 1.949 1.995 1.9995 ? 2.0005 2.005 2.0488 2.3229 2.4142 2.7321

CALCULO VED / UMH


Observe que de -1 a 0 lo hicimos con pequeos incrementos y de 1 a 0 con

pequeos decrecimientos.

A partir de esos valores y partiendo de la definicin de lmite podemos asignar el

nombre de Epsilon representado por , acuado por el matemtico Augustin-Louis

Cauchy, es la letra minscula griega psilon. Y la explicaremos grficamente as:

Como es nmero tan pequeo como queramos entonces, 0 - = -0.001, Como

podemos apreciar en la tabla 1.3, tambin podramos afirmar que, 0 + = 2.005,

debido a que es completamente arbitrario.

Entendamos lo anterior con el siguiente ejemplo:

F(x) = x en x= 2

Suponga un = 0.01

CALCULO VED / UMH


a + = 2 + 0.01 = 2.01 se representa como 2 (2 por la derecha)

F(2.01) = (2.01) = 4.0401 4

a - = 2 0.01 = 1.99 se representa como 2 (2 por la izquierda)

F(1.99) = (1.99) = 3.9601 4

F(2) = ( 2 ) = 4

De donde podemos decir que 2

lim

x X = 4

Decimos que un lmite existe cuando:

TEOREMA 1.1

)(lim

xFax

= )(lim

xFax

= L

Ambos lmites laterales deben ser iguales.

1.4.2 Calculo de lmites

Primero debemos entender las propiedades de los lmites.

CALCULO VED / UMH


TEOREMA 1.2

Si a y c son reales y n es un entero positivo.

1.ax

lim c = c 2.

ax

limx = a 3.

ax

limx n = a n

TEOREMA 1.3

Si a y c son reales y n es un entero positivo, f y g funciones.

ax

limf(x) = L y

ax

limg(x) = K

1. Mltiplo escalar: ax

lim[ c f(x) ] = cL

2. Suma o Diferencia: ax

lim[ f(x) g(x) ] = L K

3. Producto: ax

lim [ f(x) g(x) ] = LK

4. Cociente: ax

lim

)(

)(

xg

xf=

K

L ; siempre y cuando K 0

5. Potencias: ax

lim[ f(x) ]

n= L

n

CALCULO VED / UMH


Ejemplos 1.4.1

A) Evaluar los siguientes lmites

1) 4

lim

x 1

32

x

x = El primer paso consiste sustituir la

Variable x por 4.

2(4) 3 = 5

4

lim

x 1

32

x

x =

3

5 evaluando la funcin

4 1 = 3

2) 0

lim

x4 x 2 x2 +5 =

0 0

0

lim

x4 x 2 x2 +5 = 5

3) 1

lim

x

2

5

x

x =

- (-1)+5 =6

1

lim

x

2

5

x

x = 6

-1+2=1

CALCULO VED / UMH


4) 0

lim

x 12 x =

1

0

lim

x 12 x = 1

5) 0

lim

x 42 x = 4 =

0

lim

x 42 x = 4 = 2

4

6) 0

lim

x 3 2 82 x = 3 8 =

0

lim

x 3 2 82 x = 3 8 = -2

-8

7) 4

lim

x 1052

18342

2

xx

xx =

70

CALCULO VED / UMH


4

lim

x 1052

18342

2

xx

xx =

10)4(5)4(2

18)4(3)4(42

2

= 35

2

8) 2

lim

x

2

82

3

x

xx =

-2

2

lim

x

2

82

3

x

xx = -1

2

9) 1

lim

x

3

1)ln(

x

x =

0 -1

1

lim

x

3

1)ln(

x

x =

3

1)ln(

x

x = -

4

1

4

10) 1

lim

x 5 = 5

11) 1

lim

x 5x = 5(1) = 5

12) 1

lim

x 5x = 5(1)2 = 5

13) 1

lim

x 5

x = 51 = 5

CALCULO VED / UMH


14) 1

lim

x x

5 = 15 = 1

B) Calcule el limite de F(x) = ex cuando x tiende a 0.

1) 0

lim

x e x =

e 0 = 1

0

lim

x e x = 1


0

Ejemplo1:

Evalu el siguiente lmite:

3

lim

x x 2 +x-6 = 0

3

lim

x

3

62

x

xx

CALCULO VED / UMH


3

lim

x X+3 = 0

Si separamos esa funcin racional obtenemos esos 2 lmites y si sustituimos

despus de evaluar tenemos:

0

3

lim

x

3

62

x

xx =

0

0 se obtiene como resultado una forma

indeterminada o/o.

0

Esto significa que en el numerador y denominador existe una expresin algebraica

que se puede simplificar, para ello lo primero es observar la tendencia.

3

lim

x 3

62

x

xx

X -3 significa que x en la funcin se sustituye por -3

Podemos argumentar entonces que x = -3, es igual a (x+3).

Recordemos que al evaluar un lmite el numerador y denominador tienden a cero

por lo tanto debemos tambin buscar que la tendencia tienda a cero as:

(X + 3) = 0

Entonces (x+3) ser el factor a simplificar y es el que provoca la forma

indeterminada.

Desde luego con una simple inspeccin notamos que el numerador lo podemos

factorizar:

CALCULO VED / UMH


3

lim

x

3

)2)(3(

x

xx = Factorizando el numerador

3

lim

x

3

)2)(3(

x

xx Cancelando factores comunes

3

lim

x x 2 = -5 Evaluando de nuevo el lmite

Ejemplo 2:

Evalu el siguiente lmite:

0

0

lim

x

x

x 11 =

0

lim

x

x

x 11

0

Como aparece la forma indeterminada 0

0, sabemos que existe un factor que

debemos eliminar, aplicamos el mismo procedimiento para encontrar el factor:

X 0

x = 0, se encuentra directamente, entonces para darle solucin al lmite debemos

encontrar el factor x en el numerador pues en denominador ya lo tenemos.

En este caso para extraer esa variable x del radical debemos racionalizar:

0

lim

x

x

x 11

11

11

x

x= se toma el numerador con signo opuesto

CALCULO VED / UMH


0

lim

x

)11(

)1()1( 22

xx

x = resolviendo lo anterior se obtiene una diferencia

de cuadrados en el numerador.

0

lim

x

)11(

11

xx

x = simplificando la raz cuadrada con la potencia 2

0

lim

x

)11( xx

x = Podemos simplificar la variable x

0

lim

x

11

1

x =

2

1 evaluando el limite.

1

Nota: La forma indeterminada 0

0 la podemos eliminar con los siguientes casos de

factorizacin: Factor comn, por agrupacin de trminos, diferencia de cuadrados

perfectos, diferencia de cubos perfectos, suma de cubos perfectos, trinomio de la

forma ax2+ bx + c cuando a = 1, trinomio de la forma ax 2 + bx + c cuando a 1,

formula cuadrtica, productos notables y divisin sinttica.

Adems hemos visto que la forma indeterminada tambin la podemos eliminar

cuando se trate de radicales por racionalizacin, aunque debemos tener cuidado

con los radicales ya que no siempre ser este el camino a tomar, tal y como vemos

en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3:

Resolver el siguiente lmite: (Intente aplicar racionalizacin)

CALCULO VED / UMH


0

lim

x

xx

xx

Solucin:

1.6 Lmites al infinito

Son aquellos lmites cuya tendencia tiende a valores grandes, decimos que tiende a

valores infinitos, x .

CALCULO VED / UMH


Analice la siguiente funcin:

F(x) = 2x

x , si evaluramos valores a partir de 1 tendramos:

Si x = 1 F(1) = 21

1 = 1

Si x = 2 F(2) = 22

2 =

4

2 =

2

1 = 0.5

Si x = 3 F(3) = 23

3 =

9

3 =

3

1 = 0.33

Si x = 4 F(4) = 24

4 =

16

4 =

4

1 = 0.25

Si x = 5 F(5) = 25

5 =

25

5 =

5

1 = 0.20

Si x = 10 F(10) = 210

10 =

100

10 =

10

1 = 0.10

Si x = 100 F(100) = 100

1 = 0.01

Observe que a medida que se incrementa x la imagen de esa funcin tiende a valores cada vez ms pequeos, tan cercanos a los epsilon, as podemos decir que:

x

lim

2x

x = 0

Si simplificramos la funcin tenemos: F(x) = x

1

CALCULO VED / UMH


TEOREMA 1.4

x

lim

x

1 = 0, bien

1 = 0

Observe que al dividir un numero pequeo entre un numero grande, la

tendencia es a cero.

Analizar la siguiente funcin:

F(x) = 2x

x , evaluar a partir de valores entre 0 y 1.

F(1) = 21

1=

1

1 = 1

F(0.9)= 29.0

9.0=

81.0

9.0= 1.1111

F(0.75) = 275.0

75.0=

5625.0

75.0 = 1.3333

F( 0.5) = 25.0

5.0 =

25.0

5.0 = 2

F(0.25) = 225.0

25.0 =

0625.0

25.0 = 4

F(0.10) = 210.0

10.0 =

01.0

10.0 = 10

F(0.01)= 201.0

01.0 =

0001.0

01.0 = 100

Note que a medida que nos acercamos a 0, es decir situados a epsilon de cero la

funcin tiende a crecer, x entonces F(x) segn sea su signo.

CALCULO VED / UMH


TEOREMA 1.5

x

lim

x

1= , es decir

0

lim

x x

1= + o bien

0

lim

x x

1= -

Se puede leer as; un numero grande entre un numero pequeo tiende a cero.

Ejemplo 1.6.1

Evaluar los siguientes lmites:

x

lim x = +

x

lim x 2 = +

x

lim x 2 +1= +

CALCULO VED / UMH


TEOREMA 1.6

x

lim X c = + c = +

Infinito positivo, mas o menos una constante cualquiera es ms infinito.

x

lim x 2 + 100 = +

x

lim x 2 - 100 = +

+ +

x

lim x 2 + 4x =

x

lim x 2 + 4x = +

TEOREMA 1.7

CALCULO VED / UMH


x

limX + X = (+) + (+) = +

La suma de infinitos positivos resulta otro nmero infinito positivo.

x

lim x = -

+ +

x

lim x - x =

x

lim x - x = +

TEOREMA 1.8

x

lim x c = - c = -

Infinito negativo, mas o menos una constante cualquiera es menos infinito.

x

lim x - 225 = -

x

lim X + 1200 = -

Ejemplo 1.6.2

Evaluar el siguiente lmite:

+ -

CALCULO VED / UMH


x

lim x - x =

x

lim (+ ) - ( + ) = + - = indeterminada

No se puede decir que esas tendencias son iguales, por lo tanto: + -, es una

forma indeterminada.

Para resolver el problema anterior debemos de factorizar en funcin del grado

mayor ejemplo:

x

lim X2 - x = + - (+ ) = indeterminada

x

lim X (1 -

x

1) = factorizando

0

x

lim X (1 -

x

1) = + (1 (1/ + )) evaluando

x

lim X (1 -

x

1) = (+ ) (1) = + respuesta.

Nota: recuerde que

1 = 0

Ejemplo 1.6.3

Evaluar el siguiente limite:

CALCULO VED / UMH


x

lim - 3x + 4x =

- +

x

lim - 3x + 4x = - + (+) = - + (forma indeterminada).

Como aparece la forma indeterminada resolvemos factorizando en funcin del grado

mayor ejemplo:

x

lim - 3x + 4x = - + (forma indeterminada).

0

x

lim X (-3 +

x

4) = factorizando y evaluando

x

lim X (-3 +

x

4) = (+) (-3) = - respuesta.

Ejemplo 1.6.4

Evaluar el siguiente limite:

CALCULO VED / UMH


x

lim -

4

1x +

3

2x =

+ -

x

lim -

4

1x +

3

2x = (indeterminado)

Como aparece la forma indeterminada resolvemos factorizando en funcin del grado

mayor ejemplo:

x

lim -

4

1x +

3

2x =

x

lim x3 (-

4

1+

23

2

x) =

- -4

1

x

lim X (-

4

1+

23

2

x) = (-) (-

4

1) = +


Ejemplo 1.7.1

CALCULO VED / UMH



+

x

lim

44

282

2

x

x =

x

lim

44

282

2

x

x = (indeterminado)

+

Existe un factor que provoca la forma indeterminada, entonces se debe de proceder

a eliminarla:

x

lim

)4

4(

)2

8(

2

2

2

2

xx

xx

= Podemos eliminar x factorizando.

0

x

lim

2

2

44

28

x

x

= 4

8 = 2

0

Ejemplo 1.7.2


+

x

lim

xx

x

34

1222

=

x

lim

xx

x

34

1222

= (indeterminado)

+

x

lim

)3

4(

)12

2(

2

xx

xx

Factorizando

CALCULO VED / UMH


x

lim

)3

4(

)12

2(

2

xx

xx

= Eliminando un factor x

0

x

lim

)3

4(

)12

2(

xx

x

= Volvemos a evaluar a

)4(

)2(

x =

0

2

x

lim

)3

4(

)12

2(

xx

x

= 0 respuesta.

+

Ejemplo 1.7.3


+

x

lim

1

22

x

xx =

x

lim

1

22

x

xx = (indeterminado)

+

x

lim

)1

1(

)2

1(2

xx

xx

= factorizar y eliminar el factor x

x

lim

)1

1(

)2

1(

x

xx

= cancelando

CALCULO VED / UMH


0

x

lim

)1

1(

)2

1(

x

xx

= evaluando; =

1

)1( = +

0

1.8 Teora de Asintotas


Sean f y g funciones continuas en un intervalo abierto y c una constante, si el lmite

cuando x tiende a c de g(x) tiende a 0, decimos que a es un valor prohibido.

Dado )(

)(

xg

xf , a es asintota si

ax

lim g(x) = 0

Ejemplo 1.7.1

Encuentre las ecuaciones de las asintotas verticales de la siguiente funcin:

F(x) = 1

12

2

x

x

Solucin:

Igualamos el denominador a cero

x 2 - 1 = 0 factorizar

(X 1) (X + 1) = 0 factorizado

CALCULO VED / UMH


Encontramos como valores prohibidos a

x -1 = 0 x + 1 = 0

x = 1 x = -1

Para comprobar si se tratan de asintotas evaluamos el lmite por la izquierda y por la

derecha, es decir evaluamos los lmites laterales de la funcin F(x) cuando x

tiende a 1 y -1.

1

lim

x 1

12

2

x

x = Factorizar el denominador

1

lim

x

)1)(1(

12

xx

x Factorizado

2

1

lim

x

)1)(1(

12

xx

x =

)2)(0(

2

0 2

Observe que el 0 resulta del siguiente anlisis:

1 es 1 + epsilon a la derecha, es decir que puede ser relacionado como

1+ = 1+ 0.001 o sea un nmero mayor que 1

1 < 1

Si restramos;

1-1 = 0.001 y es este un epsilon positivo o sea que

0.001 0

CALCULO VED / UMH


Ahora analice lo siguiente:

Qu resulta de multiplicar (0)(2)?

Entendmoslo as:

(0)(2) = 0.001 (2) = 0.002

0.002 sigue siendo un epsilon positivo, pues es tan pequeo como queramos,

0.002 0

Entonces retomando el problema;

2

1

lim

x

)1)(1(

12

xx

x =

)2)(0(

2

= 0

2 evaluando

0+ 2

Ahora analice lo siguiente:

2 es un nmero grande comparado a 0, 2 > 0

Entonces dividir 0

2 =

001.0

2= 2000 , entonces como 0

es un epsilon cualquiera

quiere decir que: una constante cualquiera entre tiende a ser un numero mayor.

TEOREMA 1.9

0

c= + y

0

c = -

Si c es una constante positiva.

CALCULO VED / UMH


TEOREMA 1.10

0

c= - y

0

c = +

Si c es una constante negativa.

Por lo tanto; en el problema anterior:

2

1

lim

x

)1)(1(

12

xx

x =

)2)(0(

2

= 0

2 = +

0+ 2

Y como tiende a + afirmamos que x = 1 es una asintota vertical de F(x).

Ahora evaluaremos por la izquierda de 1:

2

1

lim

x 1

12

2

x

x =

1

lim

x )1)(1(

12

xx

x =

)2)(0(

2

= 0

2= -

0 2

Se confirma que x = 1 es una asintota vertical de F(x).

Grafica de F(x):

CALCULO VED / UMH


Ejemplo 1.7.2

Dado F(x) = 2

3

x encontrar si tiene valor prohibido o asintota:

Solucin:

x+ 2 = 0

x = -2 -3

2

lim

x

2

3

x =

2

lim

x

2

3

x =

0

3 = +

0

-3

CALCULO VED / UMH


2

lim

x 2

3

x =

2

lim

x 2

3

x = -

0

Por lo tanto x = -2 es una asintota vertical de F(x).

NOTA: todos los valores de las asintotas verticales son valores prohibidos, pero no

todos los valores prohibidos son asintotas verticales. Las asintotas verticales no

pueden ser interceptadas, es decir; nunca sern atravesadas por el trazo de una

grfica.

Ejemplo 1.7.3

CALCULO VED / UMH


Dado F(x) = 1

12

x

x encuentre si tiene valores prohibidos y ecuaciones de

asintotas verticales.

Solucin:

x 1 = 0

x = 1

0

1

lim

x 1

12

x

x =

1

lim

x 1

12

x

x =

1

lim

x 1

)1)(1(

x

xx =

1

lim

xx+1 = 2

0

1

lim

x 1

12

x

x =

1

lim

x 1

12

x

x =

1

lim

x 1

)1)(1(

x

xx =

1

lim

x x +1 = 2

Como los laterales no tienden a valores infinitos, decimos que x = 1 es un valor

prohibido pero no asintota.

Grafica de F(x)

1.8.2 Asintotas Horizontales

CALCULO VED / UMH


Son aquellas tendencias que toma la grfica en rectas horizontales, La recta y = L

es una asintota horizontal si:

x

lim F(x) = L y

x

lim F(x) = L

Ejemplo 1.7.2

Encuentre la asintota horizontal de la siguiente funcin:

F(x) = 1

1

x

x

Solucin:

Para encontrar la asintota horizontal aplicamos los lmites hacia el infinito.

-

x

lim

1

1

x

x =

x

lim

1

1

x

x = (indeterminada)

-

x

lim

)1

1(

)1

1(

xx

xx

= factorizando y cancelando

0

CALCULO VED / UMH


x

lim

x

x1

1

11

= 1

1 = 1 evaluando

0

+ 1

x

lim

1

1

x

x =

x

lim

1

1

x

x =

x

lim

)1

1(

)1

1(

xx

xx

= x

lim

x

x1

1

11

=

+ 1

1

1 = 1

Por lo tanto; y = 1 es una asintota horizontal de F(x).

1.8.3 Asintotas Oblicuas

CALCULO VED / UMH


Las asintotas oblicuas solamente pueden aparecer cuando el grado del numerador

es mayor en un grado del denominador.

Y = mx + b si F(x) = )(

)(

xG

xH si

cbxax

cbxaxmm

nn

....

.....1

1

donde m > n en 1 grado.

En una funcin no pueden existir asintotas horizontales y oblicuas, solamente una

de ellas, mediante una simple inspeccin a la funcin podemos determinar si tendr

asintota horizontal u oblicua.

Si una funcin definida F(x) = )(

)(

xG

xH tal que:

)(

)(

xG

xH=

cdxbx

ccxaxmm

nn

....

.....1

1

n = m entonces la asintota es horizontal Y = b

a

)(

)(

xG

xH=

cdxbx

ccxaxmm

nn

....

.....1

1

n < m entonces la asintota horizontal es y = 0

)(

)(

xG

xH=

cdxbx

ccxaxmm

nn

....

.....1

1

n > m entonces la asintota es oblicua Y = mx + b

Para encontrar la ecuacin de la asintota oblicua debemos efectuar la divisin

CALCULO VED / UMH


Polinmica.

Ejemplo 1.8.1

Encontrar la asintota oblicua de la siguiente funcin:

F(x) = x

x 12

Solucin:

Sabemos que F(x) tiene una asintota oblicua puesto que el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador.

Por lo tanto el resultado de la divisin es:

Y = x + x

1 , es la ecuacin de la asintota Oblicua.

Nota: Las asintotas se refieren al comportamiento de una funcin cuando los

valores tienden a infinito, es decir que el residuo que siempre tendr la forma de una

expresin

nx

c Siempre tendera a cero,

nx

c 0

Dado lo anterior decimos que Y = x es la asintota Oblicua de F(x)

CALCULO VED / UMH


Ejemplo 1.8.2

Encontrar la asintota oblicua de la siguiente funcin:

F (x) = X2 X + 6 X + 3

Solucin:

Sabemos que F(x) tiene una asintota oblicua puesto que el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador.

X - X + 6 X + 3

X - 3X X - 4

- 4X + 6 4X + 12

18

CALCULO VED / UMH


Y = X 4 (el cociente de la divisin es la ecuacin de la asintota oblicua).

Encontrando los interceptos de la asintota oblicua:

Iy cuando X = 0, Y = -4, (0, -4)

Ix cuando Y = 0, X = 4, (4, 0)

Grafica de la F(X)

CALCULO VED / UMH


TRABAJO PRCTICO SUGERIDO

Hacer grupos de cinco alumnos, para resolver los problemas planteados de los

temas del capitulo I, presentar un informe completo y claro del trabajo realizado con

los problemas resueltos. A continuacin se presentan los problemas a resolver.

Ejercicios 1.4

Calcular los siguientes lmites:

1. 1

lim

x x

4 8.

3

lim

x (X + 3)2

2. 0

lim

x (2x 1) 9.

3

lim

x

4

1

x

x

3. 3

lim

x ( )3

2xx 10. 4

lim

x 3 4x

4. 3

lim

x (2 )14

2 xx 11. 0

lim

x (2x 1)

5. 1

lim

x

x

1 12.

1

lim

x

16

152 2

x

x

6. 1

lim

x

4

32

x

x 13.

0

lim

x

1632

442

8426

24

2

24

2

xx

xx

xxx

x

7. 7

lim

x

2

5

x

x 14.

4

lim

x 3 60 x

CALCULO VED / UMH


Ejercicios 1.5

Forma Indeterminada 0

0 :

15. 5

lim

x

25

52

x

x 20.

0

lim

x

x

x 22

16. 2

lim

x

4

22

x

x 21.

4

lim

x

4

35

x

x

17. 3

lim

x

9

62

2

x

xx 22.

3

lim

x

3

21

x

x

18. 4

lim

x

82

452

2

xx

xx 23.

0

lim

x

x

x )3/1()]3/(1[

19. 0

lim

x x

x 55 24.

0

lim

x

x

xxx

33)(

Ejercicios 1.6

Limites al infinito:

25. x

lim (1 -

x

2 ) 30.

x

lim 8 x32

26. x

lim (3 +

23

1

x ) 31.

x

lim -1000 xx 1000

2

CALCULO VED / UMH


27. x

lim 623 2 xx 32.

x

lim xx 1000

2

28. x

lim623 2 xx 33.

x

lim (3 +

23

1

x )

29. x

lim 53 xx 34.

x

lim (1 -

x

2 )

Recuerde que e = 2.718281

Ejercicios 1.7

Forma indeterminada

:

35. x

lim

32

1

x

x 40.

x

lim

23

322

2

x

x

36. x

lim

25

53

x

x 41.

x

lim

43

2352

2

x

xx

37. x

lim

73

25

x

x 42.

x

lim

1

12

x

x

38. x

lim

x

x

32

23

43.

x

lim

3

2

4

1

x

x

39. x

lim

1

422

2

x

xx 44.

x

lim

73

42

x

x

Ejercicios 1.8.1

CALCULO VED / UMH


Asintotas Verticales

Encuentre los valores prohibidos y asintotas verticales de las

siguientes funciones:

45. F(x) = 2

1

x 48. F(x) =

4

22 x

46. F(x) = 3

3

x

x 49: F(x) =

12

2

x

x

47. F(x) = 2

2

x 50. F(x) =

34

121022

2

xx

xx

Ejercicios 1.8.2

Asintotas horizontales

Dadas las siguientes funciones encuentre las ecuaciones de las

asintotas horizontales:

51. F(x) = 4

32

x

x 53. F(x) =

12

2

x

x

52. F(x) =32

1

x

x 54. F(x) =

34

12422

2

xx

xx

Ejercicios 1.8.3

CALCULO VED / UMH


Asintotas oblicuas

Encuentre las ecuaciones de las asintotas oblicuas de las siguientes

funciones:

55. F(x) = 1

42 2

x

xx 58. F(x) =

3

4 16

x

x

56. F(x) = 3

5 2

x

x 59. F(x) =

3

62

x

xx

57. F(x) = 223

410432

23

xx

xxx

GLOSARIO

CALCULO VED / UMH


Funcin: Es una regla que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada

elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo

conjunto.

Dominio: Es el conjunto mas grande de nmeros reales, con los cuales la funcin

esta definida en el eje X.

Rango: Es el conjunto de nmeros reales, con los cuales la funcin esta definida en

el eje Y.

Continuidad: Es una grafica que no presenta interrupciones o discontinuidades en

su trayectoria

Limite: Valor fijo al cual puede acercarse, cada vez ms, una cantidad, sin llegar a

igualarlo.

Asintota: Lnea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una

curva sin llegar nunca a encontrarla.

Lnea Oblicua: Que no es perpendicular ni paralela a un plano, a una recta o a una

direccin determinada.

Forma indeterminada: Es una expresin o relacin numrica que no esta definida

en los nmeros reales.

Factorizacion: Mtodo algebraico que se utiliza para reducir o simplificar a una

manera mas simple una funcin o expresin matemtica.

EVALUACION FORMATIVA

CALCULO VED / UMH


Con la intencin de conocer el nivel de conocimiento adquirido, despus del

desarrollo de este capitulo, conteste en forma clara las preguntas que a

continuacin se le plantean.

1) Qu condiciones debe cumplir una funcin para que sta exista?

2) Explique qu esta sucediendo en una funcin, cuando nos acercamos por la

izquierda o por la derecha de un numero?

3) Explique la siguiente notacin?

a. ax

lim F(x) = L

4) Cundo se dice que una funcin es de forma indeterminada?

5) Plantee un ejemplo de una funcin de forma indeterminada?

6) Mencione qu mtodo matemtico se puede utilizar para eliminar la forma

indeterminada en una funcin?

7) Cundo se puede afirmar que un lmite tiene tendencia al infinito?

8) Describa qu es una asintota?

9) Mencione los tipos de asintotas?

DIAGNOSTICO PARCIAL DE SALIDA

CALCULO VED / UMH


EVALUACIN 01

TIPO VERDADERO O FALSO

Instrucciones: lea detenidamente cada una de las proposiciones que a

continuacin se le presentan y luego conteste con una letra V si considera que la

pregunta es verdadera de lo contrario conteste con una letra F.

1) Dada la funcin F(x) = 2x -1 , entonces x

lim f(x) = 1/5 __________ ( )

3 10X

2) Cuando ax

lim 1/ x-3 = - , entonces a = 3 _____________________ ( )

3) Cuando el ax

lim 5x +2 = 22, entonces a = -4 ______________________ ( )

4) Si ax

lim F(X) = 4 y

ax

lim G (X) = 2, entonces

ax

lim (5 F(X) + G (x)) = 22

___________________________________________________________ ( )

5) Del problema anteriorax

lim F (x) / (G (x) -3) = -4 ___________________ ( )

TIPO PRCTICO

CALCULO VED / UMH


Instrucciones: Lea detenidamente cada uno de los ejercicios que a continuacin se

le presentan y luego resolverlos en forma ordenada y limpia, utilice lpiz de grafito.

1) Evaluar los siguientes lmites.

a) 4

lim

x

82

452

2

xx

xx

b) 0

lim

x

x

x 22

c) x

lim 623 2 xx

d) x

lim

43

2352

2

x

xx

2) Encontrar la asintota horizontal y vertical de la siguiente funcin y bosquejar la

grafica de F(x).

F(x) = 3

3

x

x

CAPITULO II

CALCULO VED / UMH


DIAGNOSTICO PARCIAL DE ENTRADA

Con la intencin de conocer el nivel de conocimiento que tiene, previo al desarrollo

del tema a tratar en esta capitulo, a continuacin se le formulan las siguientes

preguntas.

1) Qu entiende por clculo diferencial?

2) Explique la siguiente expresin x?

3) Defina: qu es la derivada de una funcin?

4) Escriba algunas aplicaciones de la derivada?

5) Escriba algunos teoremas de derivadas?

6) Sea; dx

d a x

n = a n x

1n, Qu teorema representa esta expresin?

7) Identifique la siguiente expresin; dx

d[ f ( g ( x ) ) ] = f'(g (x)) g'(x)

INTRODUCCIN

LA DERIVADA

CALCULO VED / UMH


En el siguiente capitulo se estudiara la derivada de una funcin de una manera

cuantitativa y grafica, su metodologa de desarrollo y la aplicacin de esta como una

herramienta para dar soluciones confiables a los distintos problemas que se

presenten en el campo laboral de la ingeniera.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Definir en trminos generales la funcin derivada.

Analizar los teoremas fundamentales para la solucin de la derivada.

Resolver ejercicios utilizando los teoremas de derivada.

Bosquejar graficas de derivadas.

Analizar las distintas graficas de derivadas.

Realizar planteamientos de casos con el uso de derivadas.

Resolver problemas con aplicaciones de la derivada.

TEMAS Y SUBTEMAS

2. La derivada

2.1 Incrementos y tasas


2.3 Interpretacin Geomtrica

2.4 Reglas de Derivacin

2.5 Regla de la cadena

2.6 Aplicaciones de la derivada

2. LA DERIVADA

CALCULO VED / UMH


2.1 Incrementos y tasas

El clculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad

cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la

cantidad original.

Los ejemplos siguientes ilustran tales situaciones.

1. El cambio en el costo total de operacin de una planta que resultan de

cada unidad adicional producida.

2. El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un

incremento de una unidad (por ejemplo, $1) en el precio.

3. El cambio en el producto nacional bruto de un pas con cada ao que

pasa.

Definicin: Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor

x2 . Entonces el cambio en el valor de x, que es ( x2 - x1 ) se denomina el

incremento de x y se denota por x.

Usamos la letra griega (delta) para denotar un cambio o incremento de

cualquier variable.

x denota el cambio de la variable x.

p indica el cambio de la variable p.

q denota el cambio de la variable q.

Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) est definida para

todo valor de x entre x1 y x2 . Cuando x = x1 , y tiene el valor de y1 = f( x1 ).

CALCULO VED / UMH


De manera similar, cuando x = x2 , y tiene el valor y2 = f( x2 ). As, el

incremento de y es:

y = y2 - y

1

= f( x1 ) - f( x2 )

Ejemplo 2.1.1

El volumen de ventas de gasolina de cierta estacin de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de venta q (en litros por da) est dado por

q = 500(150 p)

Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un

incremento en el precio de 120 a 130 por litro.

Solucin:

Aqu, p es la variable independiente y q la funcin de p. El primer valor de p

es p1 = 120 y el segundo valor es p

2 = 130. El incremento de p es:

p = p2 - p

1 = 130 120 = 10

Los valores correspondientes de q son los siguientes:

q1= 500 (150 - p

1) = 500 (150 120) = 15,000

q2= 500 (150 - p

2) = 500 (150 130) = 10,000

En consecuencia, el incremento de q est dado por

q = q2 - q

1 = 10,000 15,000 = -5000

CALCULO VED / UMH


El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea negativo

significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000

litros por da si el precio se incrementa de 120 a 130 centavos.

Sea P el punto (1

x , 1

y ) y Q el punto (2

x , 2

x ), ambos situados en la grfica de

la funcin y = f(x) (Vase la figura 1). Entonces el incremento x es igual a la

distancia vertical de P a Q. En otras palabras, x es el recorrido y y es la

elevacin de P a Q.

CALCULO VED / UMH


En el caso ilustrado en la parte (a) de la figura 1, tanto x como y son

positivos. Es posible que x, y o ambos sean negativos y an y puede ser

cero. Un ejemplo tpico de un caso en que x > 0 y y < 0 se ilustra en la

parte (b) de la figura 1.

En algunas de las aplicaciones que se abordaran ms adelante, convendr

pensar el incremento x como muy pequeo (esto es, slo se deseara

considerar pequeos cambios en la variable independiente). Se

sobreentiende, por antonomasia, que x significa un cambio pequeo de x

ms bien que slo un incremento. Sin embargo, en esta seccin no se

pondr alguna restriccin en el tamao de los incrementos considerados;

pueden ser pequeos as como relativamente grandes.

Resolviendo la ecuacin x = x2 - x1 para 2x , tenemos x2 = x1 + x

Usando este valor de 2

x en la definicin de y, obtendremos:

y = f( x1 + x) f( x1 )

CALCULO VED / UMH


Dado que 1

x puede ser cualquier valor de x, podemos suprimir el subndice y

escribir:

y = f( x1 + x) f( x1 )

En forma alternativa, dado que f(x) = y, se puede escribir:

y + y = f( x1 + x)

Ejemplo 2.1.2

Dada f(x) = x2, calcule y si x = 1 y x = 0.2

Solucin:

Sustituyendo los valores de x y x en la frmula de y, obtendremos

y = f(x + x) - f(x) = f(1 + 0.2) f(1) = f(1.2) f(1)

= (1.2)2

- (1) 2 = 1.44 1 = 0.44

As que, un cambio de 0.2 en el valor de x da como resultado un cambio en y

de 0.44. Esto se ilustra de manera grfica en la siguiente figura 2.

CALCULO VED / UMH


Ejemplo 2.1.3

En el caso de la funcin y = 2x , determine y cuando x = 1 para cualquier

incremento x.

Solucin:

y = f(x + x) - f(x) = f(1 + x) f(1) = f(1 + x)2

(1) 2

= (1 + 2x + (x)2

) - 1 = 2x + (x)2

Puesto que la expresin de y del ejemplo 3 es vlida para todos los

incremento x, podemos resolver el ejemplo 2 sustituyendo x = 0.2 en el

resultado.

Obtendremos

y = 2(0.2) + (0.2) 2 = 0.4 + 0.04 = 0.44

Como antes.

CALCULO VED / UMH


Ejemplo 2.1.4

De nuevo considere la funcin y = 2x , y determine y para valores generales

de x y x.

Solucin:

x = f(x + x) - f(x) = (x + x)2

- 2x = 2xx + (x) 2

Nuevamente es claro que se recupera el resultado del ejemplo 3

sustituyendo x =1 en la expresin del ejemplo 4.

Cuando se establecen trminos absolutos (como en los ejemplos anteriores),

los cambios de la variable dependiente contienen menos informacin de la

que tendran si se establecieran en trminos relativos. Por ejemplo;

enunciados absolutos como, la temperatura descendi 10C o las

ganancias se incrementarn en $3000 son menos informativos que

proposiciones relativas como, la temperatura descendi 10C en las ltimas

5 horas o las ganancias se incrementarn en 3000 dlares si se venden 60

unidades extra. De estos ltimos enunciados, no slo sabemos qu tanto

cambia la variable (temperatura o ganancias), sino tambin podemos calcular

la tasa promedio en que est cambiando con respecto a una segunda

variable. Por tanto, el descenso promedio de la temperatura durante las

ltimas 6 horas es 5

10 = 2C por hora; y el incremento promedio de las

ganancias si 60 unidades ms se venden es de 60

3000 = 50 dlares por

unidad.

CALCULO VED / UMH


Definicin: La tasa de cambio promedio de una funcin f sobre un intervalo

de x a (x + x), se define por la razn y/x. Por tanto, la tasa de cambio

promedio de y con respecto a x es:

x

y

=

x

xfxxf

)()(

Observacin: Es necesario que el intervalo completo de x a (x + x)

pertenezca al dominio de f.

Grficamente, si P es el punto (x, f(x)) y Q es el punto (x +x, f(x + x)) sobre

la grfica de y = f(x), entonces y = f(x + x) f(x) es la elevacin y x es el

recorrido de P a Q. Por la definicin de pendiente, podemos decir que y/x

es la pendiente del segmento rectilneo PQ. As que, la tasa de cambio

promedio de y con respecto a x es igual a la pendiente de la secante PQ que

une los puntos de P y Q sobre la grfica de y = f(x) (Vase la figura 3). Estos

puntos corresponden a los valores x y (x + x) de la variable independiente.

CALCULO VED / UMH


Ejemplo 2.1.5

(Costo, ingresos y utilidades) Un fabricante de productos qumicos advierte

que el costo por semanas de producir x toneladas de cierto fertilizante est

dado por C(x) = 20,000 + 40x dlares y el ingreso obtenido por la venta de x

toneladas est dado por R(x) = 100x 0.01 2x . La compaa actualmente

produce 3100 toneladas por semana, pero est considerando incrementar la

produccin a 3200 toneladas por semana.

Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad.

Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra

producidas.

CALCULO VED / UMH


Solucin:

El primer valor de x es 3100 y (x + x) = 3200

C = C(x + x ) - C(x)

= C(3200) C(3100)

= )3200(40000,20 - )3100(40000,20

= 148,000 144,000

= 4000

R = R(x + x ) - R(x)

= R(3200) R(3100)

= 2)3200(01.0)3200(100 - 2)3100(01.0)3100(100

= 217,600 213,900

= 3700

De modo que los costos se incrementan en $4000 bajo el incremento dado

en la produccin, mientras que los ingresos se incrementan en $3700.

A partir de estos resultados es claro que la utilidad debe decrecer en $300.

Podemos advertir esto con ms detalle si consideramos que las utilidades

obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de

modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizante es:

P(x) = R(x) - C(x)

= 100x 0.01 2x - (20,000 + 40x)

= 60x 0.01 2x - 20,000

En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3100 a

3200 es:

P = P(3200) P (3100)

CALCULO VED / UMH


= 000,20)3200(01.0)3200(60 2 -

= 000,20)3100(01.0)3100(60 2

= 69,600 69,900

= -300

As pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la

utilidad por tonelada extra es:

x

P

=

100

300= -3

En donde x = 3200 - 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un

promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la produccin.


Sea y = f(x) una funcin dada. La derivada de y con respecto a x,

Denotada por dy/dx, se define por:

dx

dy =

0

lim

x

x

y

0 bien;

dx

dy =

0

lim

x

x

xfxxf

)()(

CALCULO VED / UMH


Ejemplo: 2.2.1

Encuentre la derivada por definicin de f(x) = x

Solucin:

0

0

lim

x

x

xfxxf

)()( =

0

lim

x

x

xxx

222 )(

0

Como aparece la forma indeterminada de tiene que eliminar el factor que la

produce;

0

lim

x

x

xxx xx

222 )(2 =

0

lim

x

x

xxx

22

Factorizando:

0

0

lim

x

x

xxx

)2( =

0

lim

x xx 2 = 2x

Las derivadas tambin se pueden denotar con las siguientes expresiones:

1)dx

d(y) 2)

dx

df 3)

dx

d(f) 4) y' 5)f '(x) 6) yd x

7) fD x

Cada una de las anteriores denota lo mismo que dx

dy.

CALCULO VED / UMH


2.3 Interpretacin Geomtrica (Definicin de Derivada)

La derivada se define como:

La ecuacin de la pendiente de la recta Tangente a una funcin

Ejemplo 2.3.1

Encuentre la ecuacin de la recta tangente a F(x) = x2 en x = 2

Solucin:

Para encontrar la ecuacin de una recta cualquiera necesitamos: la

pendiente y un punto conocido o bien 2 puntos conocidos. En este caso para

aplicacin de la derivada no conviene utilizar la pendiente y un punto.

Para encontrar la pendiente primero encontraremos la derivada de la funcin,

vase que este proceso ya se describi en la definicin de derivada y

encontramos que:

F ' (x) = 2x

Si quisiramos conocer la pendiente de la recta tangente en x = 2, tendremos

entonces que sustituir o evaluar f'(2):

F ' (2) = 2 (2) = 4

Entonces tenemos que la pendiente de la recta tangente es m = 4, ahora

falta por encontrar un punto conocido y ese punto le llamamos punto de

tangencia (Pt) y lo encontramos al evaluar la funcin en el punto donde nos

interesa conocer la tangencia o sea que es evaluar f(2):

CALCULO VED / UMH


F(2) = 2 = 4 as que el Pt es (2,4)

Luego sustituimos la pendiente y el Pt en la ecuacin general de la recta:

y - y1= m ( x - x1 ) ECUACIN GENERAL DE UNA RECTA

Al sustituir resulta:

y 4 = 4 ( x 2 ) despejar para y

Despejando para y;

y = 4x 4 Ecuacin de la recta tangente en x = 2 que pasa por la funcin

f(x) = x

CALCULO VED / UMH


2.4 Reglas de Derivacin

Teorema 2.1

La derivada de una constante es cero

dx

dyc = 0

Ejemplos:

1) Dada f(x) = 12; encontrar su derivada

CALCULO VED / UMH

__________________________________________________________________________________

065_calculo_v-2007

Documents

umh temas

derivada diagnstico

integral diagnstico

entrada introduccin

clculo de lmites

definicin de derivada

introduccin general

sugerido glosario