07 peluang bersyarat + bayes

10/02/2015

1

#Prob&Stat_itu_MUDAH

10/02/2015

2

Peluang Bersyarat+ Teorema Bayes

Probabilitas & Statistika

Kasus:

Misalkan 10 kartu yang diberi nomor 1 s.d. 10 dima-sukkan ke dalam kotak dan dikocok secara acak.Kemudian diambil sebuah kartu, berapakah peluangkartu tersebut adalah bernomor 10?

(1/10)

Jika diberi tahu sebelumnya (syarat) bahwa kartuyang diambil adalah paling tidak bernomor 6, berapapeluang kartu tersebut bernomor 10?

(1/5)

Peluang BersyaratPeluang Bersyarat

10/02/2015

3

Kasus 2:

Sebuah keluarga mempunyai dua orang anak. Berapapeluang kedua anak tersebut laki-laki jika diketahuibahwa salah satu diantaranya adalah laki-laki?


Solusi:Misal

A = kedua anaknya Laki-laki

B = paling tidak satu anaknya Laki-laki

Ditanyakan:

P(A|B)

Ruang Sampel S={(anak1,anak2)} untuk jumlah 2 anakadalah:

S={(L,L),(L,P),(P,L),(P,P)}

Titik sampel untuk 2 anak:

A = {(L,L)},

B = {(L,L),(L,P),(P,L)}

Dengan merujuk ke Ruang Sampel S:

P(A)=1/4 dan P(B)=3/4

Sehingga:P(A|B)= (1/4)/(3/4) = 1/3


10/02/2015

4

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

SB

BA

A

Peluang Bersyarat - IlustrasiPeluang Bersyarat - Ilustrasi

Dengan cara yang sama diperoleh:

0)(,)(

)()|(

AP

AP

ABPABP

1. Karena 1)|(0 BAP maka )()(0 BPBAP

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

2. Jika BA maka ABA sehingga)(

)()|(

BP

APBAP

3. Jika AB maka BBA sehingga 1)|( BAP

Sifat-sifat Peluang BersyaratSifat-sifat Peluang Bersyarat

10/02/2015

5

Kasus 1:

Jika diberi tahu sebelumnya (syarat) bahwa kartuyang diambil adalah paling tidak bernomor 6, berapapeluang kartu tersebut bernomor 10?

Solusi:Ditanyakan:

Dengan:A = Munculnya kartu bernomor 10

B = Munculnya kartu bernomor paling tidak 6

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP


Solusi (lanjutan):

10

5)( BP

10

1)( BAPdan maka:

5

1

105

101

)(

)()|(

BP

BAPBAP


10/02/2015

6

Kasus 3:

Sebuah pabrik mempunyai 100 mesin produksi yang73 diantaranya adalah mesin baru (B). Sebanyak 41dari mesin baru tersebut adalah otomatis (O)sedangkan sisanya adalah manual (M). Dari seluruhmesin yang ada, mesin manual seluruhnya adalah 35buah.

Jika sebuah mesin diperiksa karena rusak dandiketahui mesin itu lama, berapa peluang bahwamesin itu adalah manual?


Solusi:

Cara singkat:

Dari soal diketahui data sebagai berikut:

Jenis Mesin

O M

UsiaMesin

B

L

Total

Total 100

7341

35

32

27

65

24 3

Peluang mesin itu manual jika diketahui mesin itulama adalah:

P(M|L)= 3/27 = 1/9


10/02/2015

7

Jenis MesinO M

UsiaMesin

BL

Total

Total 100

7341

35

3227

6524 3

)(

)()|(

LP

LMPLMP

273

10027

1003

Jenis MesinO M

UsiaMesin

BL

Total

Total 100

7341

35

3227

6524 3

Peluang mesin itu lama jika diketahuimesin itu manual adalah:

)(

)()|(

MP

MLPMLP

353

10035

1003


Dari definisi:

)()|( APBAP

diperoleh: )().|()( BPBAPBAP

atau)().|()( APABPABP

(Kaidah perkalian)

Jika A dan B statistically indepent)().()( BPAPBAP

maka atau )()|( BPABP

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP


10/02/2015

8

Kasus 4:

Jika dilakukan penge-toss-an coin dan dadu secarabersamaan, hitung berapa peluang munculnya matadadu 6 jika diketahui hasil penge-toss-an coin-nyaadalah gambar?

Jawab:

Ditanyakan:?)|( BAP

Dimana:A = Muncul mata dadu 6 pada penge-toss-an dadu

B = Muncul gambar pada penge-toss-an coin


)().()( BPAPBAP Karena kedua kejadian itu statistically independentmaka:

Jadi:)(

)().(

)(

)()|(

BP

BPAP

BP

BAPBAP

61

21

21.61

Peluang P(A|B) = P(A)


10/02/2015

9

Dua KejadianA dan B

Dua KejadianA dan B MEEMEE

NOT MEENOT MEE

0)( BAP

)()()( BPAPBAP

IndependentIndependent

)()()()( BAPBPAPBAP

DependentDependent)().()( BPAPBAP )().|()( BPBAPBAP

)().|()( APABPBAP

Kemungkinan KejadianKemungkinan Kejadian

B

C1

C2 C3 C4

C5

C6

…Cn

Andaikan Ci, i =1,2,…,n, merupakan partisi , maka menurut sifatPartisi diketahui bahwa:

jiCC ji ,(i)

n

ijC

1

(ii)

Untuk sembarang B, maka: )(1

n

iiCBB

)()(1

n

iiCBPBP atau )()|()(

1

n

iii CPCBPBP

(Teorema Peluang Total)

Partisi Ruang SampelPartisi Ruang Sampel

10/02/2015

10

2.000Mahasiswa

300Gol Darah A Banten Jabar Jateng Jatim

40 120 60 80

338 609 242 236

)()(4

1

i

iCAPAP

2000

80

2000

60

2000

120

2000

40)( AP

)()()()()( JatimAPJatengAPJabarAPBantenAPAP

15,02000

300

Peluang Mahasiswa bergolongandarah A:

)(#

#)(

n

n(A)AP

15,02000

300

Vontoh Partisi Ruang SampelVontoh Partisi Ruang Sampel

Misalkan (,S,P) merupakan sebuah probability spacedan {C1, C2, C3, … , Cn} merupakan partisi dari dan

Jika 0)(, BPSB dan niCP i ,...,2,1,0)(

Maka

n

jjj

iii

CBPCP

CBPCPBCP

1

)|()(

)|()()|(

jiCC ji setiapuntuk,

Teorema BayesTeorema Bayes

10/02/2015

11

Soal 1:Di sebuah perguruan tinggi, 7% mahasiswa dan 3%mahasiswi tingginya lebih dari 1,7m. Jumlah mahasiswi50% lebih banyak daripada mahasiswa. Jika diambilsalah seorang diantaranya dan diketahui tingginya lebihdari 1,7m, maka berapa peluang bahwa dia adalahmahasiswi?

Contoh Aplikasi Teorema BayesContoh Aplikasi Teorema Bayes

Soal1:Ditanyakan:

P(Mi|X)=?

Dimana:

Mi = Mahasiswi

X=Tinggi di atas 1,7m

)|()()|()(

)|()()|(

MaXPMaPMiXPMiP

MiXPMiPXMiP


10/02/2015

12

Soal 2:Misalkan terdapat 3 buah kotak yang serupa dan samabesar. Di dalam Kotak 1 berisi 3 bola merah, 2 bola putih,dan 4 hitam, Kotak 2 berisi 1 bola merah, 6 bola putih,dan 5 hitam, dan Kotak 3 berisi 8 bola merah, 1 bolaputih, dan 2 hitam.

Diambil secara acak sebuah bola, berapa peluangbahwa bola tersebut berasal dari Kotak 3 jika diketahuibahwa bola tersebut adalah bola putih?


Soal 3:Mesin 1, Mesin 2 dan Mesin 3 di suatu pabrik masing-masing menghasilkan 45%, 30%, dan 25% produk dariseluruh produksinya. Diketahui pula bahwa jumlahproduk gagal masing-masing mesin adalah 3,5%, 2%,dan 1,5%

Jika diperiksa sebuah produk dan ternyata diketahuirusak, berapa peluang bahwa produk tersebutdihasilkan oleh Mesin 3?


10/02/2015

13

See you later …

07 peluang bersyarat + bayes

Documents