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• Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna sucesos o eventos a números reales.

Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzar dos monedas al aire. Variable aleatoria: El número de caras obtenidas.

Variables Aleatorias

Conceptos Básicos

C C2 caras

C S1 cara

S C1 cara

S S0 caras

2

1

0

Posibles resultados del experimento

aleatorio

Valores de la variable aleatoria

• El conjunto de todos los posibles valores de una variable aleatoria numérica X se denomina rango o recorrido.

Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzar dos monedas al aire. Variable aleatoria X: El número de caras obtenidas. Recorrido de X = {0, 1, 2}.


Conceptos Básicos

• Una variable aleatoria discreta es aquella que toma valores discretos, es decir, se pueden contar.

Ejemplos: a) Número de hijos de una familia Chilena. b) Cantidad de asignaturas aprobadas por un alumno de un Instituto Profesional.

• Función de Probabilidad o Cuantía de una variable aleatoria discreta, es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzar dos monedas al aire. Variable aleatoria X : El número de caras obtenidas.


Conceptos Básicos

C C2 caras

C S1 cara

S C1 cara

S S0 caras

2

1

0


aleatorio

P(x=2)=1/4

P(x=1)=1/2

P(x=0)=1/4

Función de probabilidad

X 0 1 2

)( kXP 41)0( XP

21)1( XP

41)2( XP

Observaciones:

1°) 0 ≤ P(X) ≤ 1

2°) ∑ P(x) = 1 (La suma de todas las probabilidades es 1 o 100%)

Se lanzan 3 monedas al mismo tiempo y se define la variable aleatoria X como “el número de caras que aparecen”. Determine:

a) El recorrido de la variable aleatoria.

b) La Función de Probabilidad.

Respuesta:Experimento aleatorio: Lanzar tres monedas al aire.Variable aleatoria: El número de caras obtenidas.

C C C3 caras

C C S2 caras

C S C2 caras

C S S1 cara

S C C2 caras

S C S1 cara

S S C1 cara

S S S0 caras


aleatorio

Ejemplo:

a) Recorrido de X = {0, 1, 2, 3}.

b) A cada uno de los valores de la variable aleatoria X le podemos asignar una probabilidad.

X 0 1 2 3

)( kXP 81)0( XP

83)1( XP

83)2( XP

81)3( XP

Se define una variable aleatoria discreta X que cuenta el número de éxitos. Entonces X tiene distribución Binomial, cuando se cumplen las siguientes características:

1) El experimento se repite “n” veces (ensayos).

2) En cada repetición del experimento sólo hay dos posibles resultados: el suceso “Éxito” y su contrario “Fracaso”.

3) El resultado obtenido en cada repetición es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

4) La probabilidad del suceso “Éxito” es constante y la representamos con la letra “p” y no varía de una repetición a otra. En cambio la probabilidad del suceso “Fracaso” es “1−p” y se escribe con la letra “q”.

Distribución Binomial (Bernoulli)

Reconozca en cada una de las siguientes situaciones, una Distribución Binomial y luego complete en cuadro.

a) Un examen de selección múltiple de 50 preguntas, cada una con 5 respuestas, de las que sólo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el número de preguntas correctas?

Ejemplos

Experimento: Éxito:

Fracaso:

Variable X:

p: q: n:

Recorrido X:

Observación: La variable X está asociada a la probabilidad de éxito “p”.

Responder una pregunta al azar.

La pregunta está incorrecta.La pregunta está correcta.

N° de preguntas correctas.

1/54/5500, 1, 2, 3,..…, 50.

b) El 1,5% de ciertas soldaduras son defectuosas y se revisarán 100 de ellas. Al seleccionar soldaduras al azar. ¿Cuál es el número de soldaduras defectuosas que habrá?

Experimento: Éxito:

Fracaso:

Variable X:

p: q: n:

Recorrido X:

Seleccionar soldaduras al azar.

La soldadura elegida está buena.La soldadura elegida está defectuosa.

N° de soldaduras defectuosas.

1,5% (0,015)98,5% (0,985)1000, 1, 2, 3, 4, 5,...…, 100.

Distribución Binomial

Fórmula

La Distribución de Probabilidad Binomial, se escribe X ~ B(n,p). Esto se lee “X distribuye binomial con parámetros n (ensayos) y p (probabilidad de éxito)”.

Para calcular la probabilidad de obtener “k” éxitos en las “n” repeticiones en que se realiza el experimento, se utiliza la fórmula:

knk qpkn

kXP

)(

Ejemplo

La probabilidad de que cierta secretaria cometa algún error de tipografía en cada página es un 40%. Suponiendo que hay independencia en la elaboración de las distintas páginas, se pide:

a) Determine la probabilidad que en un informe de 15 páginas, tenga 8 páginas sin errores.

b) Si un informe tiene 12 páginas, ¿cuál es la probabilidad de que en dicho escrito existan al menos 3 páginas con errores?

Respuesta:

a) Primero: Se identifica la variable X y los parámetros asociados al modelo binomial.

Segundo: Aplicar la fórmula, para obtener la probabilidad pedida.

La probabilidad es de un 17,7%.

Variable X:

p: q: n:

Recorrido X:

17708,04,06,08

15)8( 78

XP

knk qpkn

kXP

)(

N° de páginas sin errores.

60% (probabilidad de éxito)40% (probabilidad de fracaso)150, 1, 2, 3, 4,...…, 15.

b) Primero: Se identifica la variable X y los parámetros asociados al modelo binomial.

Variable X:

p:q:n:

Recorrido X:

Segundo: Aplicar la fórmula, para obtener la probabilidad pedida.


)12(.........)5()4()3()3( XPXPXPXPXP

91656,008344,01

6,04,02

126,04,0

112

6,04,00

121

)2()1()0(1)3(1)3(

102111120

XPXPXPXPXP

O bien, se puede simplificar el cálculo:

N° de páginas con errores.

40% (probabilidad de éxito)60% (probabilidad de fracaso)120, 1, 2, 3, 4,...…, 12.

Función “DISTR.BINOM” de Excel.

Las fórmulas en Excel para calcular el número de éxitos en “n” ensayos, para un valor puntual y un valor acumulado, serían las siguientes:

a) La probabilidad de que ocurran “ k ” éxitos, es:

Por ejemplo:

)0;;;(.)( pnkBINOMDISTRkXP

)1;;;(.)( pnkBINOMDISTRkXP

b) La probabilidad de que ocurran a lo más “ k ” éxitos, es:

Observación General: p = Probabilidad de éxito. 0 = FALSO. 1 = VERDADERO.

La Fundación Paz Ciudadana encuestó el año pasado a un grupo de dueñas de casa de Santiago, preguntándole si han sido víctima de asalto en su domicilio alguna vez. En la encuesta un 18% ha sido víctima de asalto. Un periodista quiso investigar el tema y se dirigió a entrevistar a 15 dueñas de casa. Donde X es la variable aleatoria correspondiente al número de dueñas de casa que han sido asaltadas en su hogar. Determine:

a) Recorrido y parámetros de la distribución de la variable aleatoria.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 dueñas de casa hayan sido víctima de asalto en su casa?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos 6 dueñas de casa hayan sido víctima de asalto en su casa?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan sido víctima de asalto en su casa entre 5 y 12 dueñas de casa?

Ejercicio, utilizando funciones de Excel

Los resultados se calcularán utilizando la Distribución Binomial de Excel.

Respuesta:

a) Recorrido y parámetros de la distribución de la variable aleatoria.

Variable X:

p:q:n:

Recorrido X:

N° de dueñas de casa asaltadas en su hogar.18% (probabilidad de éxito)82% (probabilidad de fracaso)150, 1, 2, 3, 4,...…, 15.

P(X = 4) = DISTR.BINOM(4;15;18%;0) = 0,1615


b) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 dueñas de casa hayan sido víctima de asalto en su casa?

P(X ≥ 6) = 1 – P(X < 6) = 1 – DISTR.BINOM(5;15;18%;1) =1 - 0,9613= 0,0387


c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos 6 dueñas de casa hayan sido víctima de asalto en su casa?

Respuesta:

Respuesta:

P(5 < X < 12) = P(X < 12) – P(X ≤ 5)

= DISTR.BINOM(11;15;82%;1)–DISTR.BINOM(5;15;82%;1)

= 0,278194924 – 0,0000440228 = 0,2781509


d) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan sido víctima de asalto en su casa entre 5 y 12 dueñas de casa?

Respuesta:

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