08.02.2012

Vortrag zu dem Thema

k-Sigma-Intervalle

Humboldt-Universität zu BerlinMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

Seminar Ausgewählte Kapitel der Didaktik der MathematikInstitut für Mathematik

Dozentin: Dr. rer. nat. Elke WarmuthReferenten: Martin Breslein, Alexander Friedrich

Fachmathematischer Hintergrund

Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

Fachmathematischer Hintergrund

Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

Bernoulli-Versuch

- Nur 2 mögliche Ausgänge (Erfolg und Misserfolg)

- bei n-facher Ausführung von voneinander unabhängigen Bernoulliversuchen gilt

wobei p Erfolgswahrscheinlichkeit und X Anzahl der Erfolge

knk pp

k

nkXP

1)(

Fachmathematischer Hintergrund

Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

Binomialverteilung

knk pp

k

nkXP

1)(

- Wie ist X verteilt?

X, als die Anzahl der Erfolge, ist binomialverteilt

Terme

k

n sind Binomialkoeffizienten

Erwartungswert E(X) = np

Varianz V(X) = np(1-p)

Standardabweichung )(XV = )1( pnp

Fachmathematischer Hintergrund

Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

knk pp

k

nkXP

1)(

k-Sigma-Intervalle

- Für n gilt, dass rund o 68, 27% der Ausgänge in der - Umgebung

des Erwartungswertes [ )1( pnpnp ; )1( pnpnp ] liegen

o 95,45% der Ausgänge in der 2 - Umgebung des Erwartungswertes [ )1(2 pnpnp ; )1(2 pnpnp ] liegen

o 99,73% der Ausgänge in der 3 - Umgebung des Erwartungswertes [ )1(3 pnpnp ; )1(3 pnpnp ] liegen

Warum ist das so?

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Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

k-Sigma-Intervalle

)|(| kXP )( kXkP

)(

kXkP ; Z

X

)( kZkP ))(1()()()( ZkPZkPZkPZkP NV ))(1()()()( kkkk 1)(2 k

=> für n %27,68)1|(| XP %45,95)2|(| XP %73,97)3|(| XP

1. These

Die Behandlung der Normalverteilung ist für die Schule zu komplex, daher sollte auch die k-Sigma-Regel nicht behandelt werden.

Forderungen des Rahmenlehrplans

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Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

4. KH Leistungskurs Stochastik:

- Normalverteilung als Grenzfall einer Binomialverteilung

Fachmathematischer Hintergrund

Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

Umsetzung in Lehrbüchern

Bildquelle: Baum (2007), S.30.

2. These:

Die k-Sigma-Regeln nur zu nennen und danach anzuwenden, ist für den Schulunterricht ausreichend.

Bsp.: Schroedel (1986 und 2007)

- Normalverteilung vorerst nicht erwähnt

- Nur Beobachtung der Histogramme von

Binomialverteilungenmit zunehmendem Stichprobenumfang Histogramme immer symmetrischer Ermittlung der Werte für k- -Umgebungen an verschiedenen Stichproben

- Begleitender Satz: „Dies gilt insbesondere, wenn

(Laplace-Bedingung).“

Fachmathematischer Hintergrund

Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

Umsetzung in anderen Lehrbüchern:

9)1( ppn

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Hochschul- und schulmathematische Herangehensweisen

Eigene Lerneinheit

Stimmanteile in Prozent SPD CDU GRÜNE DIE LINKE FDP PIRATEN Sonstige 28,3 23,3 17,6 11,7 1,8 8,9 8,3 Berlinwahl vom 18.09.2011 32 23 20 11 4 4 6 Vorhersage Emnid vom 04.09.2011

a) Angenommen Emnid hat 2000 Berliner Wahlberechtigte gefragt, was sie wählen werden. In welchem Sigma-Intervall um den Erwartungswert liegt dann die Vorhersage von Emnid bezüglich des Stimmenanteils der Piratenpartei, wenn deren Anteil 8,9% beträgt?

b) Schätze ab, welchen Stichprobenumfang Emnid gewählt haben müsste, damit die Vorhersage bezüglich des Stimmenanteils der Piratenpartei (mit einem tatsächlichen Anteil von 8,9%) im 3-Intervall liegt! Ist die Laplace-Bedingung ( >3) erfüllt?

c) Welche Gründe (abgesehen vom gewählten Stichprobenumfang) könnte es für die Qualität der Vorhersage von Emnid geben?

d) Du sollst bei der nächsten Bundestagswahl eine Prognose erstellen. Wie groß wählst du deinen Stichprobenumfang? Begründe!

Aufgabe:

Zahlenquelle: Die Landeswahlleiterin für Berlin unter http://www.wahlen-berlin.de/wahlen/BE2011/ergebnis/karten/zweitstimmen/ErgebnisUeberblick.asp?sel1=1052&sel2=0651

Zu a) n=2000; p = 0,089; E (X)= 178; 12,734127; => Für Piratenpartei ist

1- Intervall um Erwartungswert [166;190] 2- Intervall um Erwartungswert [153;203] 3- Intervall um Erwartungswert [140;216] 4% von 2000 sind 80 => 8- Intervall Zu b) Übertritt von 4 -Intervall zu 3 -Intervall bei n=303 Stichprobenumfang Erwartungswert Standardabweichung 3- Untergrenze 4% 2000 1000 500 250

178 89 44,5 22,25

12,7 9 6,4 4,5

140 62 25 8,75

80 40 20 10

Zu c)

- Datum (Infratest Dimap vom 8.9.: 6,5%; Forschungsgruppe Wahlen vom 9.9: 5,5%) - eventuell falsch eingeschätzte Wahlbeteiligung (Wahlbeteiligung 60,2%) - Befragung des falschen Klientel - …

Zu d) Um Laplace-Bedingung bei Wähleranteil von 8,9% der Piraten zu erfüllen reicht Stichprobenumfang von 112 Personen. => scheint aber nicht auszureichen um repräsentative Ergebnisse zu erhalten

Die Laplace-Bedingung ist eine Faustregel!Sie sollte nicht als Gütekriterium herangezogen werden und beispielsweise auch nicht dafür verwendet werden, einen geeigneten Stichprobenumfang herauszufinden.

Für Meinungsumfragen ist ein möglichst großer Stichprobenumfang ( ≥ 2000) das entscheidende Gütekriterium.

3. These:

Literatur

Baum, M. (2007). LS Stochastik. Stuttgart: Klett.

Bosch, K. (2007). Basiswissen Statistik. München: Oldenbourg.

Griesel, H. u.a. (2007). Elemente der Mathematik - Stochastik. Braunschweig: Schroedel.

Kütting, H. & Sauer, M.J. (2008). Elementare Stochastik. Berlin: Springer.

Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (2006). Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe - Mathematik. Berlin: Oktoberdruck AG.

Strick, H. K. (1986). Einführung in die Beurteilende Statistik. Hannover: Schroedel

Warmuth, E. & Warmuth, W. (1998). Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leipzig: Teubner.