0titul2 2008 - kpi.ua · 2019. 7. 3. · 6 Наукові вісті НТУУ "КПІ"...

Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут"

Науково–технічний журнал

2(58) 2008Започаткований у вересні 1997 року

Редакційна колегія: Головний редактор М.З. Згуровський

Заступник головного редактора М.Ю. Ільченко

Відповідальний секретар П.П. Маслянко

Члени редколегії — координатори наукових напрямків

М.І. Бобир В.Ю. Горчаков І.А. Дичка О.В. Збруцький І.В. Недін Б.В. Новіков О.М. Новіков А.В. Праховник Є.М. Письменний Д.Ф. Чернегаа О.Г. Юрченко Ю.І. Якименко

Редакційна рада

Адреса редакції: 03056, Київ-56, проспект Перемоги, 37, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, Тел. 454-91-23

У номері: Приладобудування та інформаційно-вимірювальна техніка

Інформаційні технології, системний аналіз та керування

Матеріалознавство та машинобудування

Теоретичні та прикладні проблеми фізико-математичних наук

© Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, 2008

Засновник — Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

Свідоцтво про державну реєстрацію журналу — серія КВ 2863, видане 26 вересня 1997 року

Рекомендовано Вченою Радою Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”, протокол 4 від 07.04.08 р.

Члени редакційної ради (за галузями науки)

Фізико-математичні науки

Математика Фізика Механіка Інформатика і кібернетика

В.В. Булдигін В.Г. Бар’яхтар А.Е. Бабаєв Ю.М. Данілін Н.О. Вірченко Ю.І. Горобець С.О. Довгий О.С. Макаренко А.А. Дороговцев В.М. Локтєв Я.Ф. Каюк В.В. Остапенко М.М. Кухарчук С.І. Сидоренко В.В. Матвєєв Н.Д. Панкратова А.М. Самойленко А.П. Шпак Ю.М. Шевченко В.М. Панін

Хімічні науки Біологічні науки Технічні науки Економічні науки

О.О. Андрійко Л.Б. Бондаренко В.І. Губар О.А. Павлов О.Ф. Балацький

І.М. Астрелін П.І. Гвоздяк В.С. Коваленко М.Г. Попович В.Г. Герасимчук А.К. Дорош О.М. Дуган В.І. Костюк В.М. Прохоренко Є.В. Крикавський Ю.А. Малетін Л.А. Лившиць Ю.Ю. Лукач Н.С. Равська М.П. Панченко

А.А. Фокін С.С. Малюта Г.М. Любчик В.О. Румбешта Г.К. Яловий В.С. Підгорський Є.А. Мачуський В.І. Сенько Ю.М. Сиволап В.П. Тарасенко С.С. Ставська Я.К. Трохименко

Секретар редакції Л.Д. Калько

Редактор Т.С. Мельник

Графічний дизайн Б.В. Валуєнка Комп’ютерна верстка О.С. Фрадіна

Підписано до друку 25.04.2008. Формат 60×841/8 . Папір офс. Гарнітура Times.

Спосіб друку — ризографія. Ум. др. арк. 18,60. Обл.-вид. арк. 31,68. Зам. ……… Тираж 200 прим.

НТУУ “КПІ” ВПІ ВПК “Політехніка”. 03056, Київ, вул. Політехнічна, 14, корп. 15. Тел./факс (044) 241-68-78

ЗМ І С Т

Приладобудування та інформаційно-вимі-рювальна техніка Збруцький О.В. Факультету авіаційних і космічних систем — 15 років! ..................................................... 5

Апостолюк В.О. Пошукові алгоритми процедурно-го оптимального керування ..................................... 7

Балабанов І.В., Цірук В.Г. Вплив особливостей кон-струкції на міцність двокільцевого динамічно на-строюваного гіроскопа ............................................. 15

Володарський Є.Т., Мішина О.О. Оцінка невизначе-ності результатів контролю ...................................... 20

Збруцький О.В., Прач А.О. Адаптивний алгоритм од-ного класу систем керування гарантованої точнос-ті при довільних збуреннях ...................................... 26

Каюк Я.Ф. Задача про моделювання ракети бал-кою із змінними зведеними характеристиками ..... 31

Колосов В.І., Губар В.І. Частотна похибка вимірю-вання середньоквадратичної напруги при спектраль-но насичених сигналах ............................................. 43

Мариношенко О.П. Визначення навантажень від вза-ємодії консольної балкової системи і набігаючого повітряного потоку ................................................... 54

Мелащенко О. М., Рижков Л.М. Дослідження граві-таційно-магнітної системи стабілізації мікросупут-ника з оцінюванням фазового вектора фільтром Калмана ...................................................................... 61

Морозов С.В. Автоматичний вихід літака на друге коло за критерієм енергетичного швидкісного під-йому ............................................................................ 68

Туз Ю.М., Рахмаілов О.В., Добролюбова М.В. Ета-лонні перетворювачі змінної напруги ..................... 74

Черняк М.Г. Математична модель методичних віб-раційних похибок маятникового компенсаційного акселерометра з пружним підвісом чутливого еле-мента ........................................................................... 81

Шевчук Б.М., Зінченко В.П., Фраєр С.В. Обробка та кодування сигналів і зображень у мережах дис-танційного моніторингу станів об’єктів .................. 89

Інформаційні технології, системний аналіз та керування Афанасьєва І.В., Бідюк П.І., Поворознюк А.Н. Особ-ливості проектування і реалізації СППР при про-гнозуванні фінансово-економічних процесів ......... 97

Дейнеко Ж.В., Карпухін О.В., Четвериков Г.Г. Ма-тематичне моделювання і проектування елементів багатозначної логіки ................................................. 107

Маслянко П.П. Компонентні процеси системного проектування інформаційно-комунікаційних сис-тем ............................................................................... 112

Матеріалознавство та машинобудування Макасєєв М.В. Коливання пластини на вільній поверхні рідини ......................................................... 122

Петраков Ю.В., Косміна Н.О. Автоматичне проек-тування оптимального керування при круглому врізному шліфуванні ................................................. 127

Роїк Т.А., Холявко В.В., Віцюк Ю.Ю. Закономірності зміни властивостей i оптимізація складу антифрик-ційних композиційних матеріалів з нікелевою мат-рицею .......................................................................... 134

Середенко О.В. Формування емульгованого метале-вого розплаву під дією змінного електромагнітно-го поля ........................................................................ 139

Теоретичні та прикладні проблеми фізико-математичних наук

Богданський Ю.В., Статкевич В.М. Лінійні диферен-ціальні рівняння з суттєво нескінченновимірними операторами ............................................................... 144

Кухарчук М.М., Яременко М.І. Квазілінійні рівнян-ня другого порядку з матрицею Гільбарга—Серри-на та нелінійні напівгрупи стиску. Частина 1. Про розв’язність еліптичного рівняння ............................. 148

Реферати ..................................................................... 156

Автори номера ........................................................... 159

C O N T E N T S

Instrument manufacturing and information measuring technology Zbrutsky О.V. Aircraft and Space Systems Department is 15! ............................................................................ 5

Apostolyuk V.O. Search algorithms of procedural opti-mal control .................................................................. 7

Balabanov І.V., Tsiruk V.G. The influence of design fe-atures on durability of a double-ring dynamically tu-ned gyroscope .............................................................. 15

Volodarsky Ye.T., Mishina O.O. The estimation of re-sults inspection uncertainty ......................................... 20

Zbrutsky О.V., Prach A.О. An adaptive algorithm for one class of the control systems with guaranteed accuracy un-der arbitrary perturbations ........................................... 26

Kayuk Ya.F. The rocket modeling problem on a beam with reduced variable characteristics ........................... 31

Kolosov V.I., Gubar V.I. Frequency error of RMS vol-tage for spectrum-saturated signals .............................. 43

Marynoshenko O.P. Loadings calculation from the in-teraction of a cantilever beam system with an inco-ming airflow ................................................................. 54

Melashchenko O.M., Ryzhkov L.M. The microsatellite gravity-magnetic stabilizing system research with eva-luation of phase vector by Kalman filter ..................... 61

Morozov S.V. Automatic go-around on the criterion of the airplane power time-to-climb ................................ 68

Tuz Yu.М., Rakhmailov О.V., Dobrolyubova M.V. Samp-le AC-converter ........................................................... 74

Chernyak М.G. Mathematical model of continuous vib-ratory errors of the pendulous compensating accelero-meter with a sensitive element resilient suspension ..... 81

Shevchuk B.M., Zinchenko V.P., Fraier S.V. Рrocessing and coding of signals and images in the remote network monitoring of objects’ conditions ................ 89

Information technology, system analysis and guidance Afanasуeva I.V., Bidyuk P.I., Povorosnyuk A.N. On the specificity of SSDM designing and realization for fi-nancial and economic processes forecasting ................ 97

Deyneko Zh.V., Karpukhin O.V., Chetverykov G.G. Mathematical modelling and design of multiple-valu-ed logic elements ......................................................... 107

Maslyanko P.P. Components processes of the system design of information-communication systems ........... 112

Materials science and machine building Makasyeyev M.V. The plate oscillations on the free li-quid surface ................................................................. 122

Petrakov Yu.V., Kosmina N.O. Automatic design of op-timum control at round infeed grinding ...................... 127

Roik T.A., Kholуavko V.V., Vitsуuk Yu.Yu. Regularities of properties change and optimization of antifriction composite materials with nickel matrix composition ..... 134

Serеdenko O.V. Emulsified melt formation under alter-nating electromagnetic field action .............................. 139

Theoretical and applied problems of physico-mathematical sciences

Bogdansky Yu.V., Statkevych V.M. Linear differential equ-ations with essentially infinite-dimensional operators ...... 144

Kukharchuk M.M., Yaremenko M.I. Second-order qu-asi-linear elliptic equations with matrix of Gilbarg—Ser-rin and nonlinear semigroups of contraction. Part 1. On the solvability of the quaisi-linear elliptic equations ........ 148

Reports ........................................................................ 156

Contributors to the issue ............................................. 159

5

ПРИЛАДОБУДУВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНА ТЕХНІКА

ФАКУЛЬТЕТУ АВІАЦІЙНИХ І КОСМІЧНИХ СИСТЕМ — 15 РОКІВ!

У травні 1993 р. в Національному техніч-ному університеті України “КПІ” за ініціати-вою ректора університету академіка М.З. Згу-ровського та Генерального директора Націо-нального космічного агентства України В.П. Гор-буліна було створено факультет авіаційних і кос-мічних систем. Це рішення стало відображен-ням досягнень учених і співробітників універ-ситету в створенні сучасної авіакосмічної тех-ніки та забезпечення її впровадження у вироб-ництво з часів зародження авіації і космонав-тики до наших днів. Робота з організації фа-культету покладалась на тодішнього завідува- ча кафедри теоретичної механіки професора М.А. Павловського.

Саме на кафедрі теоретичної механіки КПІ на початку минулого століття під керівництвом професора М.Б. Делоне було організовано пер-ший у Росії авіаційний гурток, в якому викла-дачі і студенти механічного відділення проекту-вали, створювали та випробовували перші на той час літальні апарати. У різні роки тут пра-цювали видатні творці і дослідники авіаційної та ракетної техніки брати Касьяненки, І.І. Сі-корський і С.П. Корольов.

На базі авіаційної спеціалізації КПІ в 1933 р. було створено Київський інститут інженерів ци-вільної авіації (нині — Національний авіацій-ний університет).

В КПІ продовжувалась підготовка спеціа-лістів для авіакосмічної галузі, проводились наукові дослідження та велись науково-технічні розробки. Була встановлена і розширювалась співпраця науковців із підприємствами, конст-рукторськими бюро та науково-дослідними ін-ститутами Києва, України та Радянського Союзу.

В університеті формувалися і набували розвитку наукові школи, які стали широко ві-домими в країні.

На кафедрі теоретичної механіки і в НДІ “Ритм” під керівництвом професора М.А. Пав-ловського велись фундаментальні та прикладні роботи з багатьох актуальних проблем авіацій-ної і космічної техніки. Було створено і впро-ваджено комплекс бортового обладнання та наземних динамічних випробувань для багато-разової космічної системи “Енергія—Буран”. В його розробці визначна роль належить професо-ру, Заслуженому діячу науки і техніки Укра- їни Ю.А. Карпачову, доцентам О.П. Маросіну, Ю.В. Радишу, В.М. Павлюку.

Розроблені та знайшли широке застосу-вання навігаційні прилади і системи, побудо-вані на нових фізичних принципах, які започат-кували новий напрямок розвитку даної техніки. Значний вклад у цю справу зробили професори О.В. Збруцький, Л.М. Рижков, доценти В.М. Слюсар, І.В. Балабанов, М.Г. Черняк, В.В. Ав-рутов.

Виконані дослідження дозволили розкрити механізми впливу вібраційних і акустичних збу-рень на навігаційні системи, створити методи та засоби захисту від них навігаційної апарату-ри. Визначний вклад у цей напрямок внесли професори В.С. Дідковський, В.Є. Петренко, В.В. Карачун.

В НДІ “Апродос” під керівництвом про-фесора В.Г. Сліпченка було створено програм-но-алгоритмічне забезпечення для бортових систем космічного комплексу “Енергія—Буран”.

На кафедрі автоматизації експерименталь-них досліджень під керівництвом професора Ю.М. Туза створено і впроваджено вимірю-вальний комплекс аеродинамічних випробувань літальних апаратів, який дав можливість забез-печити необхідну достовірність випробувань. У розробці комплексу провідну роль відігравали доценти В.П. Зінченко і Б.М. Бєлоусов.

Декан факультету професор О.В. Збруцький

6 Наукові вісті НТУУ "КПІ" 2008 / 2

Співробітники кафедри метрології і вимі-рювальної техніки під керівництвом професора В.Д. Ціделка протягом багатьох років створю-вали вимірювальні прилади і системи, які ус-пішно використовуються як в авіакосмічній, так і в інших галузях техніки.

Роботи з названих напрямків були удосто-єні Державних премій і нагород.

Вказані колективи стали основою створе-ного в 1993 р. факультету авіаційних та косміч-них систем.

Сьогодні на факультеті працює чотири ка-федри: теоретичної механіки (завідувач про-фесор В.Г. Савін), приладів та систем керуван-ня літальними апаратами (завідувач професор О.В. Збруцький), метрології та вимірювальної техніки (завідувач професор В.Д. Ціделко), ав-томатизації експериментальних досліджень (за-відувач професор Ю.М. Туз). На всіх кафедрах факультету ведеться велика наукова та науко-во-методична робота, виконуються науково-дослідні роботи на замовлення міністерств, ві-

домств та підприємств, в тому числі закордон-них. У навчальному процесі на факультеті бе-руть участь співробітники НАН України, про-відних організацій і установ галузі. На факуль-теті працюють студентські наукові гуртки та конструкторське бюро малої авіації і навігацій-ної техніки.

Викладачі факультету за досягнення в нау-ковій і педагогічній діяльності удостоєні Дер-жавних премій СРСР, України та Кабінету Мі-ністрів (професори О.В. Збруцький, Ю.М. Туз, В.Д. Ціделко, доценти В.П. Зінченко, Б.М. Бє-лоусов), почесних звань Заслуженого діяча нау-ки і техніки України (професори О.В. Збруць-кий, Ю.А. Карпачов, В.Д. Ціделко, доцент В.Г. Лукомський), Заслуженого працівника ви-щої освіти України (доценти В.М. Федоров, Л.М. Шальда).

За роки свого існування факультет авіа-ційних і космічних систем НТУУ “КПІ” став відомим підрозділом з підготовки висококвалі-фікованих спеціалістів і магістрів.

7

ПРИЛАДОБУДУВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНАТЕХНІКА

УДК 681.5.015.24(045)

В.О. Апостолюк

ПОШУКОВІ АЛГОРИТМИ ПРОЦЕДУРНОГООПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ

Вступ

Пошукові, або хвильові, алгоритми доситьшироко використовуються в теорії зв’язаних гра-фів для розв’язання задачі пошуку найкоротшо-го шляху між двома даними станами серед скін-ченної множини станів системи [1]. Багато з мо-дифікацій цих алгоритмів можуть також вико-ристовуватися в задачах штучного інтелекту абодля пошуку в деревоподібних структурах даних [2,3]. Безпосереднє використання цих алгоритмівдля пошуку в суцільному просторі станів, що не-обхідне для оптимального процедурного керу-вання динамічними системами, є проблематич-ним через нескінченну кількість станів після дис-кретизації простору, з одного боку, і зниженнямточності знайденого керування, з іншого. Крімтого, розв’язання задач оптимального керуванняз використанням існуючих алгоритмів вважа-ється непрактичним з огляду на експоненціальнезростання кількості станів, які слід аналізувати. Уцьому плані вважається актуальною і доцільноюрозробка нових алгоритмів на їх основі, які мог-ли б успішно розв’язувати задачі процедурногооптимального керування в усіх областях його за-стосування.

Дана стаття присвячена результатам розроб-ки і дослідження нових алгоритмів, які б моглиефективно використовуватися для розв’язання за-дач процедурного оптимального керування ди-намічними системами в реальному часі. Одниміз видів алгоритмів, які можуть бути модифіко-вані для оптимального керування, є так званіхвильові алгоритми.

Постановка задачі

Загальна постановка задачі оптимальногокерування є достатньо відомою [4]. Потрібно ли-ше нагадати про деякі аспекти, важливі для по-дальшого дослідження. Нехай стан системи вмомент часу t задається вектором x(t ) = x 1(t ), ......, x n(t ) в n-вимірному евклідовому просторістанівX. Керуючі впливи на об’єкт керування за-даються m-вимірною векторною функцією ча-су u(t) = u 1(t ), ..., um(t ). Компоненти векторакерування u(t ) є кусково-сталими і обмежени-

ми таким чином, що у будь-який момент часу tвони знаходяться в деякій обмеженій області Uпростору керуючих впливів. Не зменшуючи за-гальності постановки задачі, можна вважати, що

≤ 1iu , i = 1, ..., m. Такі керуючі впливи є прий-нятними з точки зору досліджуваних алгорит-мів.

Будемо вивчати системи, поведінку якихможна промоделювати за допомогою найбільшзагальної функції зміни стану F, що дозволяєпрогнозувати стан системи через проміжок ча-су ∆t на основі стану системи в момент часу t іприкладеного керування u(t ):

+ ∆ =( ) ( ( ), ( ))t t F t tx x u . (1)

Функція F у формулі (1) вважається визна-ченою для всіх x ∈ X і u ∈ U. Такий підхід до за-дання об’єкта керування значно розширює кла-си систем, які можуть керуватися за допомогоюрозроблених алгоритмів, порівняно з класични-ми методами оптимального керування, коли сис-тема задається системами диференціальних рів-нянь.

Тепер потрібно знайти таке керування длясистеми (1), яке переведе її з початкового стануx 0 = x(t0) у відомий очікуваний кінцевий станx g = x(tg) і мінімізує або максимізує деяку зада-ну функцію якості. Таку функцію можна зада-ти, наприклад, у формі деякого функціоналаякості:

→ = ∫0

0 0( ) ( ( ), ( ))gt

gt

J f t t dtx x x u . (2)

У даному випадку, звісно, вважатимемо, щофункції керування, які переводять систему із ста-ну x0 у стан xg, взагалі існують, і серед них слідшукати такі, які мінімізують функцію якості J.Хоч функція (2) задана в традиційній формі функ-ціонала, однак це не є необхідною вимогою длядосліджуваних алгоритмів. Наразі будь-яка фор-ма задання критерію якості має бути прийнят-ною для алгоритмів процедурного оптимально-го керування.

Процедурне оптимальне керування

Традиційні підходи до оптимального керу-вання за допомогою алгоритмів базуються на ре-зультатах аналітичного або чисельного аналізуваріаційної задачі відносно вибраного критеріюякості і обмежень у системі. На відміну від цьо-го процедурне оптимальне керування будуєтьсянавколо спеціального алгоритму, який викорис-товує модель об’єкта керування виключно для


прогнозування його стану за умов обмежень іфункції керування, і ні в якому разі не залежитьвід самого об’єкта або обмежень у системі. У цьо-му розумінні процедурне керування є формоюпрямого керування з прогнозуючою математич-ною моделлю, яка також забезпечує оптималь-ність даного керування відносно вибраного кри-терію якості. Такий підхід дає можливість роз-робляти універсальні обчислювальні системи оп-тимального керування, які зовсім не потребу-ють змін в апаратному забезпеченні для застосу-вання їх як керуючих пристроїв для будь-якихоб’єктів. Власне кажучи, єдиним компонентомтакої системи, який потребує адаптації до кон-кретного об’єкта керування, є його математич-на модель та зумовлені ціллю керування критерійякості і обмеження.

Із врахуванням складності моделі об’єкта ке-рування і складності форми подання обмеженьможливі області застосування процедурного оп-тимального керування порівняно з іншими ме-тодами наведені на рис. 1. Чим більша ефектив-ність розв’язання задачі оптимального керуван-ня в наведених на рисунку методах, тим темні-шим кольором їх виділено. Треба також зазна-чити, що класичні методи і нечіткі системи недають оптимальних, з точки зору вибраного кри-терію якості, розв’язків задачі керування.

Щодо зазначених областей застосування,то такі алгоритми повинні мати спеціальнівластивості, які б дозволяли їм ефективнішерозв’язувати задачі оптимального керуванняпорівняно з існуючими методами:

• математична модель об’єкта керування маєвикористовуватись виключно для прогнозуван-ня стану об’єкта від керуючих впливів. Ніяких до-даткових обмежень щодо лінійності моделі абоїї простоти не повинно вводитись;

• керуючий алгоритм має ефективно адап-туватися до змін параметрів прогнозуючої моде-лі;

• безпосередньо мають враховуватись кри-терій оптимальності і обмеження, які можуть по-даватися в довільній формі.

Остання властивість дає змогу таким алго-ритмам розв’язувати, наприклад, задачу форму-вання оптимальної траєкторії руху за наявностіперешкод та із врахуванням власної динамікиоб’єкта і одночасним формуванням функції ке-рування, яка б реалізувала рух об’єкта по цій тра-єкторії.

Узагальнену схему функціонування алгорит-му як частину загальної системи керування на-ведено на рис. 2. На ній x g – цільовий стан сис-теми, x– стан, який прогнозується за допомогоюматематичної моделі, x∗ – реальний стан систе-ми, u і u∗ – керування, яке аналізується, тазнайдене оптимальне керування, відповідно. По-хибка прогнозування стану об’єкта керування ви-користовується для модифікації моделі системи зточки зору покращення її прогнозів. Алгоритм ви-користовує модель об’єкта для прогнозування ста-ну системи в процесі пошуку найкращого керу-вання, яке має привести систему до бажаного ста-ну x g. Як тільки таке оптимальне керування u∗

буде знайдено, воно подається на об’єкт. Для де-яких видів алгоритмів процедурного керуванняпроцес пошуку не закінчується після знаходжен-ня оптимального керування, а продовжується зметою можливого покращення здобутого ранішерезультату, особливо в разі модифікації моделіоб’єкта керування.

При функціонуванні систем процедурногокерування можна виділити такі три режими їхроботи:

• пошук функції керування з використанняммоделі системи. При цьому керуючі впливи наоб’єкт керування не формуються;

• застосування знайденої функції для керу-вання об’єктом, верифікації моделі та можливіїї покращення;

• модифікація функції керування, якщо ре-зультати керування незадовільні.

Потреба в останньому режимі, а саме моди-фікації знайденої функції керування, може ви-

Рис. 1. Області застосування процедурного оптимальногокерування

Обмеження

Чисельні

Рівняння

Немає

Диференціальнірівняння

Алгебрична НелінійнаЧисельна

Нерівності

Модель

Процедурне оптимальнекерування

Оптимальнекерування

Класичніметоди

Нечиткісистеми

Рис. 2. Схема функціонування алгоритму

x∗

e

x

u∗

u

xgАлгоритм Об’єкт

Модель

ПРИЛАДОБУДУВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНА ТЕХНІКА 9

никнути через різні причини, в тому числі че-рез модифікацію моделі, яка може виконуватисяв іншому режимі. Для деяких алгоритмів модифі-кація функції керування означає, що процес по-шуку оптимального керування необхідно почина-ти з самого початку, що означає перехід системидо першого режиму. Очевидно, що алгоритми, якіне потребують цього, є найпривабливішими з точ-ки зору процедурного керування. Також треба за-значити, що у загальному випадку абсолютно різ-ні методи або їх ефективна комбінація можуть ви-користовуватися для реалізації різних режимівроботи системи.

Задання функції керування

Для того щоб сформулювати алгоритм роз-в’язання задачі оптимального керування, спочаткурозглянемо форму задання функції керування, якунеобхідно знайти. Будемо вважати, що кожнийкомпонент вектора керування u(t ) = u 1(t ), ...,um(t ) є функцією часу, але протягом проміжкучасу ∆t може набувати значень тільки з фіксо-ваної множини сталих величин:

=0 0 01 , ..., pu uu . (3)

У цьому випадку існує s = pm можливих ста-лих значень вектора керування ∈ 0 0

1( ) , ..., stu u u .

Подача цих кусково-сталих функцій керуванняна систему в стані x i = x(ti) може призводити доs нових станів системи через кожний проміжокчасу ∆t. Очевидно, що таке експоненціальнезростання кількості станів системи, яке потріб-но проаналізувати, потребує спеціальних алго-ритмів, здатних вирішувати дану проблему в ре-альному часі. Щодо розв’язання початковоїпроблеми оптимального керування, ми шука-ємо таку скінченну послідовність з v керуючихвпливів u i(t ), які переводять систему із стану x 0

в цільовий стан x g. Таку послідовність назива-тимемо керуючою програмою

B = b1, ..., bv, ∈ [1, ..., ]ib p , (4)

де кожний компонент, або керуюча команда,являє собою індекс сталого керування з векто-ра можливих значень (3). У випадку багатовимір-ного керування (m > 1) команди для кожногокомпонента вектора керування u(t ) = u 1(t ), ...,um(t ) беруться з програми (4) послідовно. В ра-зі, якщо кількість команд у керуючій програміv не є кратною розмірності вектора керуванняm, то необхідні команди беруться такими, що до-рівнюють деякій наперед визначеній команді.

В результаті поведінка об’єкта керуваннявизначається дією на нього кусково-сталої век-торної функції керування, компоненти якої ма-ють такий вигляд:

∆ = 0( )ki bu k t u , k ∈ [1, ..., v]. (5)

Тут кожний сталий керуючий вектор u i діє насистему протягом наперед заданого інтервалу ча-су ∆t. Графічно цю функцію зображено на рис. 3.

Треба зазначити, що хоч кусково-стале керу-вання є найпростішою формою зображення функ-ції керування, інші форми інтерпретації командкеруючої програми, в тому числі логічні булев-ські команди, також не заперечують принципамфункціонування розроблених алгоритмів.

Крім того, факт дискретизації простору ста-нів на основі вибраного кроку ∆t призводить дотого, що знайдене керування не є оптимальниму глобальному розумінні, але нескінченно на-ближається до нього при ∆t → 0.

Узагальнена структура пошуковихалгоритмів

Більшість пошукових, або хвильових, алго-ритмів можна описати за допомогою узагальне-ної структури, наведеної на лістингу в табл. 1 [5].

Наприклад, відомі алгоритми пошуку в ши-рину, Дайкстри [1] і A-Star [2, 3] будуть різни-тися лише змістом підкреслених у лістингу функ-цій “Equal”, “Constrained”, “Cost” і “Score”. Цічотири функції, а також конкретний тип такихбазових змінних, як пріоритетна черга Open і спи-сок Closed повністю визначають роботу будь-яко-го алгоритму, розробленого за даною структурою.

У наведеній структурі алгоритму вважається,що змінні векторів станів можуть також зберіга-ти значення функції якості (Cost) в цьому ста-ні, величину рейтингу цього стану (Score), а та-кож вектор керування, який спричинив перехідсистеми до цього стану. Нові, “нащадкові”, ста-ни об’єкта керування хп + 1 розраховуються за до-помогою моделі системи (1) із стану хп прикла-

Рис. 3. Кусково-стала функція керування

2

0bu

3

0bu

1

0bu . . .

1⋅∆t 2⋅∆t v ⋅∆t

ui

t0

−1

0vbu

0vbu


денням до об’єкта всіх можливих значень векто-ра керувань, які визначаються розмірністю керу-вання m та розмірністю множини (3). В разі, ко-ли хоча б один стан системи хп збігався в зна-ченні функції Equal із цільовим станом хg, ал-горитм успішно завершує свою роботу (крок 4),після чого проводиться зворотна реконструкціяпослідовності керуючих векторів, які привели сис-тему до цільового стану. Важливою особливістютаких алгоритмів є використання саме пріори-тетної черги станів Open, що будується на ос-нові рейтингу та за умови правильного виборурейтингової функції Score здатна значно змен-шити кількість станів, які необхідно проаналі-зувати для знаходження найкращого керування.Крім того, якщо рейтинг кожного стану відпо-відає значенню критерію якості в цьому стані, тознайдена послідовність керуючих впливів будетакож оптимальною з точки зору вибраного кри-терію.

Спеціальні функції алгоритмів

Як зазначено вище, чотири базові функції, асаме Equal, Constrained, Cost і Score повністю ви-значають принципи роботи алгоритмів, побудо-ваних за наведеною структурою. Крім того, важ-ливим параметром роботи алгоритму процедур-

ного керування є крок моделювання в часі ∆t,який може бути як сталою величиною і вибира-тися заздалегідь, так і змінною, яка адаптується впроцесі роботи алгоритму.

Розглянемо зміст цих базових функцій ал-горитмів детальніше.

Функція Equal є функцією булевського ти-пу, яка порівнює два стани об’єкта керування іповертає значення “істина” (True), якщо ці ста-ни можна вважати однаковими за вибраним кри-терієм. Найпростішою реалізацією даної функ-ції може бути порівняння евклідової відстанів просторі станів між цими двома станами із за-даною пороговою функцією

− ≤ ( , )i j i jDx x x x . (6)

Неважко побачити, що порогова функціяD (xi, xj ) є також похибкою, з якою система будепереведена до цільового стану. Тому в багатьохвипадках її можна вибрати сталою і пропорцій-ною до прийнятної похибки керування. Треба за-значити, що ця функція також використову-ється в процесі пошуку необхідного стану в чер-зі Open і списку Closed.

Функція Constrained є також булевськоюфункцією, яка повертає значення “істина” втому випадку, коли стан хп + 1 забороняється завибраним критерієм або підпадає під задані об-меження. Треба сказати, що з погляду на робо-ту алгоритмів як конкретна реалізація цієї функ-ції, так і спосіб задання обмежень є абсолютнонеістотними.

Функція якості, або цінова функція Cost,розраховує величину вибраного критерію якості,наприклад (2), що відповідає переходу системиіз стану хп до стану хп + 1.

Нарешті, функція рейтингу Score має за-безпечувати спеціальну пріоритезацію станів учерзі Open. У класичному алгоритмі A-Star цяфункція дорівнює сумі цінової функції С (х0, хп)для переходу з початкового стану х0 до стану хп

та евристичної оцінки H (хп, хg) переходу із станухп до цільового стану хg:

= +0( ) ( , ) ( , )n n n gS C Hx x x x x . (7)

Для розрахунку евристичної оцінки H (хп, хg) мо-же використовуватися евклідова відстань між ци-ми двома станами:

= −( , )n g g nH x x x x .

У подальшому рейтингова функція (7) з та-кою ж оцінкою буде використовуватися для по-рівняння з новими функціями, які є кращимиз погляду процедурного керування. Однією з та-ких рейтингових функцій може бути кут між на-прямком переходу від попереднього стану до да-

Таблиця 1. Структура пошукового алгоритму

Крок Алгоритм

1 push х0 on Open

2 while Open is not empty do

3 pop хп from Open

4 if Equal(хп, хg) then return Success

5 for each successor хп + 1 of хп do

6 if Constrained(хп + 1) then continue

7 NewCost := хп ⋅Cost + Cost(хп, хп + 1)

8 if (хп + 1 is in Open or Closed ) and(хп + 1 ⋅Cost <= NewCost) then continue

9 хп + 1 ⋅Cost := NewCost

10 хп + 1 ⋅Score := Score(хп + 1)

11 if хп + 1 is in Closed then remove хп + 1 fromClosed

12 if хп + 1 is not in Open then push хп + 1 onOpen

13 push хп on Closed

14 return Failure


ного та напрямком від попереднього стану до ці-льового:

− −

− −

− −= −

− −1 1

1 1

( )( )( ) 1 n n g n

nn n g n

Ax x x x

xx x x x

. (8)

Рейтингові функції (7) і (8) можна викорис-товувати не тільки окремо, а й в різних комбі-націях:

∗ =r

( ) ( ) ( )i i iS S Ax x x , (9)

+ = +( ) ( ) ( )i s i a iS w S w Ax x x . (10)

Тут ws і wa – вагові коефіцієнти для відповіднихрейтингових функцій.

Всі наведені вище рейтингові функції (7)–(10) відповідають різним алгоритмам, власти-вості яких при розв’язанні задач оптимальногокерування необхідно дослідити і порівняти за їхефективністю.

Тестування алгоритмів

Вважається за доцільне проводити тестуван-ня алгоритмів на задачі, розв’язок якої добре ві-домий. Розглянемо лінійну систему, яка зада-ється в просторі станів таким чином:

= + −

0 1 0

0 0,5 1

X XdU

V Vdt. (11)

Таку систему треба перевести з початково-го стану x0 = 1, 1 у кінцевий стан xg = 0, 0 за

умови або мінімальної довжини в просторі ста-нів, що відповідає мінімальному впливу на систе-му, або за умови мінімального часу керування.Хоч система (11) є достатньо простою і лінійною,але до алгоритмів вона подається виключно уформі чисельної моделі. Крім того, задачу про-цедурного керування слід розв’язувати за наяв-ності таких обмежень на змінні стану системи:

− + − >

− + + >

2 2

2 2

( 1,5) ( 0,5) 0,625,

( 1) ( 0,25) 0,625.

X V

X V(12)

Компоненти вектора керування можуть на-бувати тільки трьох значень u0 = −1, 0, 1, яківважаються сталими протягом кроку керування∆t = 0,25c.

Результати тестування

Оскільки час виконання алгоритмів зале-жить від потужності обчислювальної машини інайбільша частка загального часу роботи алго-ритму втрачається на моделювання динамікиоб’єктa керування, то для порівняння ефектив-ності різних алгоритмів пропонується викорис-товувати кількість моделювань системи протя-гом часу ∆t. Одне таке моделювання будемо на-зивати “сім” (скорочено від simulation).

Результати порівняльного тестування різ-них пошукових алгоритмів наведено в табл. 2, авідповідні графіки отриманих функцій керуван-ня і фазових траєкторій – на рис. 4–7.

Таблиця 2. Результати тестування алгоритмів

Стани “Сіми” Критерій Час, мс Стани “Сіми” Критерій Час, мсМетод

Мінімальна довжина без обмежень (рис. 4) Мінімальний час без обмежень (рис. 6)

S 3890 7455 3,008 6200 3000 3771 3,25 2467

A 251 261 3,008 48 304 429 11,25 83

S ∗ 341 354 3,008 75 353 528 11,25 107

S + 1683 2217 3,279 939 1368 1572 4 598

Мінімальна довжина з обмеженнями (рис. 5) Мінімальний час з обмеженнями (рис. 7)

S 6642 14250 4,48 18331 5694 9177 4,5 10112

A 366 408 4,45 86 370 447 10,75 93

S ∗ 357 393 4,45 83 378 459 10,75 96

S + 2099 3420 4,48 1453 3011 4275 4,75 2863


З аналізу наведених результатів можна зро-бити висновок, що розв’язання задачі керуванняз мінімальною довжиною фазової траєкторії як зобмеженнями, так і без них отримуємо при ви-користанні рейтингової функції (8). Однак цейалгоритм не найкращий при розв’язанні задачікерування з мінімальним часом, де найкращі ре-зультати з погляду на оптимальність отримані задопомогою алгоритму (7). Але зважаючи на низь-

ку ефективність цього алгоритму за кількістю об-роблених станів системи і необхідних моделю-вань, алгоритм (10) є найпривабливіший, оскіль-ки він знаходить майже оптимальне керуванняпри набагато меншій кількості оброблених ста-нів. Треба також зазначити, що отримані резуль-тати чітко продемонстрували: для різних кри-теріїв оптимізації необхідно використовувати різ-ні рейтингові функції.

Рис. 6. Мінімальний час без обмежень: а – керування; б –фазова траєкторія

Рис. 7. Мінімальний час з обмеженнями: а – керування; б –фазова траєкторія

−0,5

U0

−10 2,5 5 7,5 10

Час, сa

Рис. 4. Мінімальна довжина траєкторії без обмежень: а –керування; б – фазова траєкторія

0 0,5 1 1,5X

V

0,5

1

0

−1

б

Рис. 5. Мінімальна довжина траєкторії з обмеженнями: а –керування; б – фазова траєкторія

0

−1

1

a

0 2,5 5 7,5 10Час, с

U

V

0,5

1

−0,5

0

−10 0,5 1 1,5

X

б2

0 0,5 1 1,5

−0,5

X

б

0 0,5 1 1,5X

б2

a

0 1 2 3 4Час, с

V

0,5

1

−0,5

0

−1

0

−1

1U

1,5

−1,5

0

U1

−10 0,5 1 1,5 2

Час, сa

V

1

0

−1

−0,5

1,5

0,5

−1,5

5


Новий алгоритм (8) здатний знаходити оп-тимальне за довжиною фазової траєкторії керу-вання в реальному часі (менше одного такту ке-рування) навіть із використанням не найпо-тужнішої обчислювальної техніки (Pentium 41,7ГГц, RAM 256Mб) в кілька десятків разівефективніший від традиційного A-Star. А втімефективність роботи пошукових алгоритмів мож-на значно підвищити за допомогою паралеліза-ції обчислень при моделюванні системи. Прогно-зування стану об’єкта керування для різних мож-ливих векторів впливів може виконуватися па-ралельно. В цьому випадку кількість “сімів”, якіможуть виконуватись одночасно, становить s == pm, де p – кількість можливих сталих значенькомпонентів вектора керування, а m – його роз-мірність.

У публікації [5] було проведено аналіз за-лежності часу роботи пошукових алгоритмів відкількості оброблених станів. Але для порівнян-ня ефективності пошукових алгоритмів з алго-ритмами, в яких окремі стани системи не оброб-ляються, аналіз кількості станів не підходить. Нарис. 8 показано залежність часу роботи пошуко-вих алгоритмів від кількості “сімів”, яку можнаотримати для будь-якого алгоритму, що вико-ристовує математичну модель системи.

З аналізу графіків на рис. 8 видно, що залеж-ність часу виконання алгоритму від кількості “сі-мів” стає практично лінійною для їх великої кіль-кості, коли витрати часу на всі інші обчисленняробляться незначними порівняно з витратами намоделювання.

Висновки

З точки зору традиційних підходів до роз-в’язання задач оптимального керування, запро-поновані алгоритми мають такі переваги:

• чисельне, а не аналітичне подання моде-лі об’єкта керування і обмежень у системі;

• одночасне розв’язання задач побудови оп-тимальної траєкторії і оптимального керування;

• проста і добре формалізована структура ал-горитму, що значно спрощує процес розробкивідповідного апаратного забезпечення.

На основі отриманих в даній статті результа-тів можна зробити висновок, що пошукові алго-ритми із спеціальними рейтинговими функціямиздатні не тільки знаходити оптимальне керуван-ня динамічними системами, а й можуть робитице в реальному часі для окремих простих випад-ків.

Подальші дослідження повинні проводи-тися в плані визначення найоптимальніших рей-тингових функцій для різних критеріїв оптимі-зації, а також у напрямку оптимізації парамет-рів таких функцій.

В.А. Апостолюк

ПОИСКОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРОЦЕДУРНОГО ОП-ТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается обобщенная структура поиско-вых алгоритмов и методы ее адаптации к реше-нию задач оптимального управления многомерны-ми динамическими системами. На основе разра-ботанной структуры предложены и исследованы

V.O. Apostolyuk

SEARCH ALGORITHMS FOR PROCEDURAL OPTI-MAL CONTROL

This paper studies a generalized structure of thestate traversal algorithms and the methods of theiradaptation to procedural optimal control of the mul-tidimensional dynamic systems. Based on the de-veloped structure, new special scoring functions,

Рис. 8. Залежність часу розв’язання задачі від кількості “сі-мів”: суцільна лінія – квадратична апроксимація;переривчаста – лінійна апроксимація

Час

,с

20

15Сіми, тис.

15

10

5

01050


новые специальные рейтинговые функции, спосо-бы кодирования векторов управления и способысоответствующей дискретизации пространства со-стояния. Была не только продемонстрирована воз-можность успешного решения задач оптималь-ного управления поисковыми алгоритмами, но ипоказаны преимущества в эффективности новых ал-горитмов по сравнению с существующими при ре-шении тестовой задачи.

the methods of vector encoding control and statespace discretization are proposed. Furthermore, thro-ugh the test problem solved the capability of suchalgorithms to solve the optimal control problems, aswell as the improved efficiency over the existing al-gorithms, is demonstrated.

1. Dijkstra E. W. A note on two problems in connexion withgraphs. – Numerische Mathematik. – 1959. – N 1. – P.

269–271.

2. Nilsson N.J. Problem solving methods in artificial intelli-gence. – McGraw Hill, 1971. – 225 р.

3. Koenig S., Likhachev M. Real-Time Adaptive A* // Proc.

of the Intern. Joint Conf. on Autonomous Agents and Multi-agent Systems (AAMAS). – 2006. – P. 281–288.

4. Pinch E.R. Optimal Control and the Calculus of Variati-ons. – Oxford: University Press, 1993. – 240 р.

5. Apostolyuk V. Application of State-Space Search Algo-

rithms to Optimal Control // Proc. of VI Intl. Conf. on Gy-ro Technology, Navigation, and Motion Control. – K.,

2007. – Vol. 2. – P. 104–110.

Рекомендована Радою НАЦ критич-них технологій навігаційного прила-добудування НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції4 лютого 2008 року


УДК 531.383

І.В. Балабанов, В.Г. Цірук

ВПЛИВ ОСОБЛИВОСТЕЙ КОНСТРУКЦІЇ НАМІЦНІСТЬ ДВОКІЛЬЦЕВОГО ДИНАМІЧНОНАСТРОЮВАНОГО ГІРОСКОПА

Вступ

В даний час у системах орієнтації і керу-вання рухливими об’єктами широке застосуван-ня як чутливі елементи знаходять динамічно на-строювані гіроскопи (ДНГ) [1]. При цьому особ-ливою популярністю користується конструкціяДНГ з двокільцевим пружним підвісом, що зумов-лено її високою технологічністю і точністю [2].


Метою даної статті є вивчення основнихчинників, що визначають міцність двокільцевихДНГ. При цьому розглядається ідеалізованийпружний підвіс, який враховує тільки найбільшважливі елементи конструкції, що зумовлюютьосновні властивості пружного підвісу.

Враховуючи те, що найнебезпечнішим ви-дом навантаження, яке діє на пружний підвіс, єінерційна сила, що виникає в ДНГ при при-скореному русі об’єкта, в статті проводиморозрахунок гранично допустимого прискоренняоб’єкта. Для цього визначаємо критичні елемен-ти конструкції, найбільш схильні до руйнуван-ня при дії даного навантаження. Потім у кри-тичних елементах проводимо пошук небезпеч-них перерізів з найбільшими напруженнями.

Надалі, маючи в своєму розпорядженні мак-симально допустиму величину напруження дляматеріалу пружного підвісу, визначаємо гранич-не навантаження і відповідне йому допустимеприскорення об’єкта.

Опис конструкції двокільцевого ДНГз ідеалізованим пружним підвісом

Основним інерційним елементом динаміч-но настроюваного гіроскопа є ротор 1, який зв’я-заний з валом приводного двигуна 2 за допо-могою пружного підвісу, що складається з двоходнокільцевих пружних підвісів 3 і 4, які маютьу своєму складі абсолютно жорсткі кардановікільця і пружні елементи змінного поперечногоперерізу, утворені двома циліндричними отвора-ми (рис. 1).

Зазначимо, що пружні елементи змінногопоперечного перерізу є головними елементамиконструкції, що визначають основні властивос-ті пружного підвісу. При цьому пара пружних еле-ментів, що з’єднує карданове кільце з роторомабо приводним валом, утворює “пружну вісь”.

Якщо позначити 0 0 0Ox y z систему коорди-

нат, що обертається з валом приводу, то розгля-нуті пружні підвіси, виконані без технологіч-них похибок, матимуть осьову симетрію, щодоосей цієї координатної системи (див. рис. 1). Прицьому поздовжні лінії пружних елементів з ося-ми, які є колінеарними осі 0Ox власного обер-

тання гіроскопа, будуть утворювати кути ϕ == 35°15′, що має забезпечити лінійну рівножорст-кість пружного підвісу [3].

Характеристики міцності ідеалізованої конст-рукції пружного підвісу двокільцевого ДНГ

Очевидно, що пружні елементи підвісу єкритичними, з погляду на міцність, елемента-ми конструкції динамічно настроюваних гіро-скопів. При цьому найбільш небезпечним ви-дом навантаження, що діє на пружний підвіс, єінерційна сила, яка виникає в ДНГ при при-скореному русі об’єкта.

Розглянемо залежність міцнісних характерис-тик двокільцевого ДНГ від конструктивних особ-ливостей його ідеалізованого пружного підвісу(див. рис. 1).

Рис. 1. Кінематична схема двокільцевого ДНГ з ідеалізова-ним пружним підвісом

3

2

1

4

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

x2

x1

y0

x0

z0


З метою зниження громіздкості викладокв cтатті допускається ряд таких спрощень:

1) враховуючи, що в конструкції ДНГ масаротора т в багато разів перевищує масу карда-нових кілець, вважатимемо карданові кільця не-вагомими;

2) зважаючи на однотипність розв’язува-них міцнісних задач при різному напрямку век-тора інерційного навантаження, вважатимемо,що з боку ротора на пружний підвіс діє тількиосьова сила інерції 0xP , зумовлена прискорен-

ням основи 0xW у напрямку осі 0Ox власного

обертання ДНГ:

= −0 0x xP mW . (1)

Розглядаючи конструктивні особливості дво-кільцевого пружного підвісу, відзначаємо “пара-лельне” з’єднання в ньому двох однокільцевихпідвісів, що мають приблизно однакові жорсткіс-ні характеристики по всіх напрямках, що спри-чинює однаковий перерозподіл між ними загаль-ного навантаження, яке діє на пружний підвіс.“Послідовне” з’єднання в однокільцевому підві-сі двох “пружних осей”, що знаходяться між ро-тором і приводним валом, зумовлює дію на кож-ну з “пружних осей” такого ж навантаження, які на весь однокільцевий підвіс.

У свою чергу, розглядаючи конструкцію“пружної осі” (рис. 2), зазначимо, що вона бу-дується за допомогою двох пружних елементів,з’єднаних “паралельно”. При цьому характер-ною особливістю конструкції “пружної осі” вданому підвісі є досить велика відстань між їїпружними елементами і значна величина їхлінійних поздовжніх жорсткостей, що зумов-лює приблизно однаковий перерозподіл міжпружними елементами силового навантаження,яке діє на “пружну вісь”.

Таким чином, проведений аналіз показує,що конструктивні особливості двокільцевогоДНГ зумовлюють перерозподіл на кожен пруж-ний елемент підвісу приблизно четверту части-ну силового навантаження, що діє з боку рото-ра. Якщо позначити (1)

0xP силове навантаження,

що діє з боку ротора на один пружний елемент(з точкою прикладання в центрі пружного еле-мента і напрямком дії, паралельним осі 0Ox ),

то її наближене значення матиме вигляд

≈(1)00

14 xxP P . (2)

Проведемо тепер дослідження основнихфакторів, що впливають на міцність пружнихелементів.

Пружний елемент підвісу двокільцевогоДНГ утворений двома циліндричними отвора-ми радіуса ρ і має постійну ширину b, а такожзмінну по довжині товщину, що має найменшезначення 0h в центрі пружного елемента (рис. 3).

Зв’яжемо з пружним елементом систему коор-динат 1 1 1 1O x y z з початком у центрі пружного

елемента. При цьому координатна вісь 1 1O x збіга-

ється з поздовжньою віссю пружного елемента,а 1 1O z – з віссю найменшої кутової жорсткості.

Тоді змінну по довжині товщину пружного еле-мента 1( )h x можна описати таким виразом:

= + ρ − ρ −2 21 0 1( ) 2( )h x h x . (3)

Для аналізу міцнісних характеристик пруж-ного елемента запишемо наближені значенняпроекцій на осі локальної системи координат

Рис. 2. Схема “пружної осі” ідеалізованого підвісу двокіль-цевого ДНГ

x2

ϕ1

у2

z2

x0

O2

у0

z0

O

ϕ

x1

z1

у1

O1


1 1 1 1O x y z , зв’язаної з цим пружним елементом,

векторів сили (1)P ( 1xP , 1yP , 1zP ) і моменту (1)M

( 1xM , 1yM , 1zM ), що діють на пружний елемент:

≈ ϕ(1)1 0 cosx xP P , ≈ ϕ(1)

1 0 siny xP P , ≈1 0zP ,

≈1 0xM , ≈1 0yM , ≈1 0zM . (4)

При розрахунку міцності досліджуваногопружного елемента, що перебуває під впливомнавантаження (4), необхідно провести аналіз на-пруженого стану в небезпечному перерізі пруж-ного елемента.

Як відомо [4], в прямокутному перерізі (з ко-ординатою x1) існує вісім особливих елементар-них ділянок. Проте для визначення максималь-ного напруження досить розглянути три з них(1, 2, 3 на рис. 3), якщо замість проекцій (наосі координатної системи 1 1 1 1O x y z ), сил і мо-

ментів, що діють на пружний елемент, брати-муться їх абсолютні значення. Тоді формули длярозрахунку σi і τi =( 1, 3)i нормального і дотич-

ного напруження в розглянутих трьох елемен-тарних ділянках матимуть такий вигляд:

ділянка 1

+σ = + +1 1 11

1 1 21 1

6( )( )

( ) ( )y zx

P x MPx

bh x bh x

++ 1 1 1

21

6( )

( )z yP x M

b h x, τ =1 1( ) 0x ; (5)

ділянка 2

+σ = + 1 1 11

2 1 21 1

6( )( )

( ) ( )y zx

P x MPx

bh x bh x,

τ = +1 12 1 2

1 1

1,5 3( )

( ) ( )z xP M

xbh x bh x

;

ділянка 3

+σ = + 1 1 11

3 1 21 1

6( )( )

( ) ( )z yx

P x MPx

bh x b h x,

⋅τ = +1 1

3 1 21 1

1,5 3 0,743( )

( ) ( )y x

P Mx

bh x bh x.

Відзначимо, що абсолютні значення нену-льових силових компонентів з виразів (5)–(7)згідно з формулами (2) і (4) із врахуванням

кута ϕ = 35°15′, який забезпечує лінійну рівно-жорсткість пружного підвісу, матимуть такий ви-гляд:

≈ 01

2 6

xx

PP , ≈ 0

14 3

xy

PP . (8)

Для остаточної оцінки міцності пружногоелемента по напруженому стану (5)–(7) необхід-но скористатися третім критерієм міцності [5]:

σ = ο + τ ≤ σ(0) 2 (0) 2 (0)екв ( ) ( ) 4 ( ) [ ]i i ix x x

=( 1, 3)i , (9)

де x ( 0) – координата небезпечного перерізу; [σ] –допустиме нормальне напруження;σ екв і(х

(0)) –еквівалентне нормальне напруження, яке визна-чається в i-й =( 1, 3)i особливій елементарнійділянці (в перерізі з координатою x ( 0)).

Здійснюючи за формулами (1), (2), (4) і (8)розрахунок навантаження, що діє на пружні еле-менти підвісу ДНГ, і визначаючи напруження внебезпечних перерізах пружних елементів згідноз виразами (5)–(7) і (9), можемо знайти макси-мально допустиму осьову силу 0(max)xP , перевищен-

ня якої призводить до руйнування конструкції.Розрахунок показує, що еквівалентне нор-

мальне напруження матиме найбільше значен-ня в першій і другій особливих елементарних ді-лянках перерізу з координатою = (0)

1x x . Набли-жене значення цієї координати має такий ви-гляд:

ρ≈(0) 0

3h

x . (10)

(6)

(7)

(9)

Рис. 3. Пружний елемент двокільцевого підвісу ДНГ

ρ

ρ

x1

у1

b

h0

z1

Mz1

Pz1

My1

Py1

Px1

Mx1

x1 h(x1)

O3

12


Обчислимо максимально допустиму осьовусилу 0(max)xP , що може діяти на пружний підвіс

з боку ротора.Шукану силу 0(max)xP знаходимо з умови, що

значення еквівалентного нормального напружен-ня, яке визначається виразом (9), коли хоч бинавіть в одній особливій елементарній ділянцінебезпечного перерізу досягне допустимогонапруження [σ]. У цьому випадку наближенезначення максимально допустимого осьовогонавантаження, що діє на пружний підвіс з бокуротора, матиме вигляд

σ≈

ρ +0 0

0(max)0

32 [ ]

9 2 6x

bh hP

h. (11)

Відзначимо, що, маючи в своєму розпоряд-женні значення 0(max)xP максимально допустимо-

го осьового навантаження (11), можна визначи-ти величину 0xN перевантажувальної здатностіДНГ за такою формулою:

= 0 (max)0

xx

PN

mg, (12)

де g = 9,81м/с2 – прискорення вільного падіння.Проведемо числовий розрахунок міцнісних

характеристик типового пружного підвісу ДНГ.Для цього вкажемо такі параметри ДНГ, необ-хідні для розрахунку:

• маса ротора т = 0,060кг;• максимально допустиме напруження ма-

теріалу підвісу [σ] = 1,2⋅109Н/м2;• кут між поздовжньою лінією пружних еле-

ментів і віссю, паралельною осі власного обер-тання ДНГ, становить ϕ = 35°15′;

• геометричні параметри пружного елемен-та (радіус циліндричних отворів, які утворюютьпружний елемент: ρ = 1,0⋅10−3м; ширина пруж-ного елемента b = 1,7⋅10−3м; найменше значен-ня товщини пружного елемента h0 = 40⋅10−6м).

Проведений згідно з формулами (10)–(12)числовий розрахунок міцнісних характеристикдав такі результати: координата небезпечного пе-рерізу x ( 0) = 115⋅10−6м; максимально допустимавеличина осьової сили =0(max) 52НxP ; переван-

тажувальна здатність =0 90 oд.gxN .

Експериментальні дослідження добре уз-годжуються з отриманими аналітичними резуль-татами. На рис. 4 показана зроблена при 150-кратному збільшенні фотографія відшліфовано-

го зрізу пружного елемента з типового пружно-го підвісу двокільцевого ДНГ, підданого осьово-му навантаженню, яке перевищувало допусти-ме. Як видно з наведеної фотографії, перерізиіз залишковими деформаціями розташовуютьсяна периферії пружного елемента на відстані, щостановить близько 100мкм від його центра.

Висновки

Проведені дослідження пружного підвісудвокільцевого ДНГ показали, що небезпечнийпереріз у пружному елементі знаходиться на йо-го периферії. Числові результати, отримані наоснові наближених аналітичних виразів, добре уз-годжуються з відповідними експериментальнимирезультатами.

Для точного розрахунку міцнісних характе-ристик ДНГ необхідно враховувати більш склад-ну картину перерозподілу загального наванта-ження на окремі пружні елементи, пов’язану звпливом всіх без винятку елементів підвісу. Прицьому при розрахунку міцності пружних еле-ментів потрібно розглядати комплексну дію всіхсил і моментів. Вказані чинники істотно усклад-нюють розрахунок міцності пружного підвісу і зу-мовлюють необхідність застосування при розра-хунках обчислювальної техніки.

−100

Рис. 4. Фотографія зрізу деформованого пружного елемен-тa, ×150

100(мкм)


И.В. Балабанов, В.Г. Цирук

ВЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ КОНСТРУКЦИИ НАПРОЧНОСТЬ ДВУХКОЛЕЧНОГО ДИНАМИЧЕСКИНАСТРАИВАЕМОГО ГИРОСКОПА

Проводятся исследования прочностных характе-ристик двухколечного динамически настраивае-мого гироскопа (ДНГ). Установлено, что особен-ности конструкции равножесткого упругого подве-са в двухколечном ДНГ обусловливают сущест-венное снижение его перегрузочной способности.Приводятся аналитические формулы по опреде-лению допустимой нагрузки, а также координатыопасных сечений в упругих элементах подвеса.Проводится сравнительный анализ численныхоценок прочностных характеристик с соответст-вующими экспериментальными данными, полу-ченными в результате испытаний реального ДНГ.

І.V. Balabanov, V.G. Tsiruk

THE INFLUENCE OF DESIGN FEATURES ON DU-RABILITY OF A DOUBLE-RING DYNAMICALLY TU-NED GYROSCOPE

The present study addresses the issue of the strengthcharacteristics of a double-ring dynamically tunedgyroscope (DTG). The experimental results indicatethat the design features of an equally rigid resilientsuspension set conditions for a significant reductionof its shifting ability. The analytic formulas for the de-termination of allowable load and the coordinates ofweak sections in the resilient elements of the sus-pension are presented. On the theoretical side, weconduct the comparative analysis of the given nu-merical evaluations of the strength characteristicswith the experimental data, obtained as a result ofthe DTG testing.

1. Бондар П.М., Бублик Г.Ф., Петренко С.Ф., Цисарж В.В.

Тенденції розвитку інерціальних систем орієнтації,

навігації та керування рухом // Наукові вісті НТУУ

“КПІ”. – 2000. – 3. – С. 61–75.2. Павловский М.А. Теория гироскопов. – К.: Вища шк.,

1986.

3. Балабанов І.В., Цірук В.Г. Похибки двокільцевого ди-

намічно настроюваного гіроскопа, зумовлені конструк-

цією його пружного підвісу // Наукові вісті НТУУ

“КПІ”. – 2007. – 6. – С. 114–121.

4. Справочник по сопротивлению материалов / Под ред.

Г.С. Писаренко. – К.: Наук. думка, 1988.

5. Пельпор Д.С., Матвеев В.А., Арсеньев В.Д. Динамичес-ки настраиваемые гироскопы. Теория и конструкция. –

М.: Машиностроение, 1988.


Надійшла до редакції4 березня 2008 року


УДК 389.629

Є.Т. Володарський, О.О. Мішина

ОЦІНКА НЕВИЗНАЧЕНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ КОНТРОЛЮ

Вступ

При складанні звіту про результат вимірю-вання фізичної величини необхідно дати пев-ний кількісний показник про якість результату в такий спосіб, щоб той, хто використовує цей результат, міг оцінити його надійність. Без та-кого показника результати вимірювання не можна звіряти як один з одним, так і з довід-ковими значеннями, даними у специфікації або стандарті. Але слід сказати, що поширення наприкінці XX ст. метрологічних вимірювань на нові області призвело до ускладнення мето-дик виконання вимірювань, в результаті чого виникла необхідність вироблення простої в за-стосуванні, зрозумілої і загальновизнаної в міжнародному масштабі методики для характе-ристики якості результату вимірювання.

Зважаючи на відсутність єдиної думки з цього питання у світовій метрологічній прак-тиці, в 1993 р. було опубліковано настанови [1], а в 1999 р. відбувся їх переклад на російсь-ку мову [2]. З початку виходу у світ цих публі-кацій триває дискусія на тему про правомір-ність і доцільність широкого використання в науково-технічній літературі терміна “невизна-ченість результатів вимірювань” замість тради-ційного і звичного поняття “похибка результатів вимірювань”. Ідейною основою заміни терміна “похибка” на термін “невизначеність“ є те, що “істинне значення” неможливо встановити, а похибка, яка базується на використанні істинно-го значення вимірюваної величини, втрачає свій сенс.

Згідно з [2], невизначеністю вважається параметр, пов’язаний з результатом вимірю-вання, що характеризує розкид значень, які б можна обґрунтовано приписати вимірюваній величині.

Невизначеність результату вимірювань оцінюється мірою володіння інформацією про вид реальної характеристики перетворення за-собу вимірювальної техніки, яка застосовується для перетворення вимірюваних параметрів об’єкта випробування (контролю). На практи-ці, як правило, використовують інформацію

про граничні відхилення реальної характерис-тики перетворення певного засобу вимірювань, отриманої експериментально (відповідає неви-значеності за типом А). За відсутності експе-риментальних даних виходять з інформації про граничні значення відхилень реальної характе-ристики перетворення від номінальної на ос-нові додаткової, в тому числі й експертної, ін-формації (оцінки невизначеностей за типом В). При цьому джерелом інформації виступають дані попередніх вимірювань, загальні відомості про поведінку та властивості відповідних мате-ріалів і приладів, специфікації виробника, дані довідників.


Метою дослідження є аналіз впливу по-хибки перетворення на вірогідність результатів контролю.

Аналіз впливу зсуву і чутливості реальної характеристики перетворення на вірогідність контролю

Оскільки в технічній практиці вимірюван-ня є складовою частиною більш складних про-цедур експериментальної інформатики (випро-бування, контролю, діагностики), то виникає необхідність вироблення ефективного підходу до оцінювання невизначеності результатів (ві-рогідності прийняття рішення) цих процедур. В більшості ж випадків при контролі — процедурі встановлення відповідності заданим нормам —передує процедура вимірювання, тому надалі будемо говорити про вимірювальний контроль.

Традиційно невизначеність результату по-дається за допомогою граничних значень мож-ливих відхилень результату (похибки) вимірю-вань.

Для вимірювального контролю, на відміну від вимірювання, невизначеність буде являти собою функціонал відхилення реальної харак-теристики перетворення ( )хϕ від ідеальної

0( )хϕ , тобто можна говорити про деяку усеред-

нену характеристику ( )х а bхϕ = + , де а — зсув, b — тангенс кута нахилу, і зону (область) її не-визначеності. З огляду на те, що контрольова-на величина може довільно змінюватися в ши-рокому діапазоні значень, дуже важливим є врахування як зсуву, так і тангенса кута нахи-лу, а також співвідношення їх знаків.


Таким чином, на відміну від процедури вимірювань, де достатньо використовувати гра-ничні значення відхилення результату, у вимі-рювальному контролі оперування граничними відхиленнями реальної характеристики пере-творення веде до істотного розширення області невизначеності (рис. 1).

Очевидно, що при різних значеннях пара-метрів характеристики перетворення зсуву а і тангенса кута нахилу b, а також співвідношен-ня знаків всередині області граничних значень зони невизначеності також будуть різні.

Застосуємо підхід, що враховує співвідно-шення знаків і абсолютних значень зсуву та чутливість реальної характеристики перетво-рення [3]. Відомо, що вплив характеристики вимірювального каналу на вірогідність контро-лю може бути зображений у вигляді еквівалент-ного інтервалу зсуву границь вихідного допус-кового інтервалу н вх x х< < , де нх і вх —

нижнє і верхнє граничні значення, відповідно. Дане співвідношення розділяє об’єкти на справ-ні С і несправні. Результат перетворення ( )хϕ контрольованої величини х порівнюється із вставками 0 н( )хϕ і 0 в( )хϕ , сформованими при

допущенні ідеальної характеристики перетво-рення, після чого приймається рішення про придатність П або непридатність об’єкта, тоб-то застосовується реальне розв’язувальне пра-вило:

0 н 0 в( ) ( ) ( )x x xϕ < ϕ < ϕ . (1)

Проведемо обернене математичне перетво-рення і запишемо реальне розв’язувальне пра-вило, використовуючи еквівалентні інтервали зсуву:

1 1 10 н 0 в[ ( )] [ ( )] [ ( )]x x x− − −ϕ ϕ < ϕ ϕ < ϕ ϕ ,

н н в вх х х+ θ < < + θ , (2)

де 1н 0 н н[ ( )]x х−θ = ϕ ϕ − , 1

в 0 в в[ ( )]x х−θ = ϕ ϕ − —

еквівалентні нижній і верхній інтервали зсуву, відповідно.

Вихідні норми справності С задаються за допомогою граничних значень нх і вх , а нор-

ми прийняття рішення про придатність об’єк-та, зведені згідно з виразом (2) до можливих зна-чень контрольованої величини, зображуються за допомогою границь н н( )х + θ і в в( )х + θ , змі-

щених стосовно вихідних (рис. 2).

Рис. 2. Співвідношення норм справності і придатності

Відповідно до виразу (2) ймовірність при-йняття рішення “придатний” можна записати у вигляді суми інтегралів:

н н в в в

н н в

(П) ( ) ( ) ( )х х х

x x x

Р f x dx f x dx f x dx+θ +θ

= − + +∫ ∫ ∫ ,

де ( )f x — щільність розподілу можливих зна-

чень контрольованої величини.

а б

Рис. 1. Область невизначеності із застосуванням граничних значень похибки

( )xϕ ( )x bxϕ =

( )x a xϕ = +

( )x xϕ =

x

( )x xϕ =( )xϕ

x

н нx + θ в вx + θ

вx нx

С

П

x


Середня складова в цьому виразі відпові-дає ідеальній ситуації і являє собою ймовір-ність того, що на контроль надійшов дійсно справний об’єкт, який за результатами контро-лю має бути визнаний придатним. Від’ємне значення першої складової показує, що хоч контрольована величина знаходиться в допус-ковому інтервалі, об’єкт за результатами конт-ролю не буде віднесено до “придатних”, і, та-ким чином, виникатиме хибна відмова. Третя складова свідчить про те, що непридатні об’єк-ти за результатами контролю помилково будуть вважатися придатними, тобто матиме місце невиявлена відмова.

Реальне розв’язувальне правило для при-йнятого припущення про лінійність характери-стики перетворення матиме вигляд

н вх а bх х< + < .

Після здійснення оберненого математич-ного перетворення і виділення ідеального роз-в’язувального правила матимемо формулу

н вн в

(1 ) (1 )b х а b х ах х х

b b

− − − −+ < < + .

Розглянемо чотири випадки, зумовлених співвідношенням абсолютних значень а і чут-ливості характеристики перетворення b (див. таблицю ). Для цього проведемо аналіз для ви-падку, коли зсув від’ємний. При b < 1 розв’язу-вальне правило запишеться так:

н н в вх х х+ θ < < + θ ,

де нн

(1 )b х а

b

− −θ = ; в

в

(1 )b х а

b

− −θ = .

Як видно з наведеної нерівності, в околі нижнього граничного значення на інтервалі

н н н[ , ]х х + θ буде виникати хибна відмова, а

на інтервалі в в в[ , ]х х + θ — невиявлена відмова

(рис. 3). Імовірність виникнення помилкових рі-

шень визначається площею під кривою розпо-ділу можливих значень контрольованої вели-чини на еквівалентних інтервалах:

пом н н н в в в( ) ( ) ( ) ( )Р F х F х F х F х= + θ − + + θ − .

Після розкладу в ряд Тейлора одержимо

2пом н н н н н н

1( ) ( ) ( ) ( )

2Р F х f х f х F х′= + θ + θ − +

2в в в в в в

1( ) ( ) ( ) ( ).

2F х f х f х F х′+ + θ + θ −

Рис. 3. Характер помилкових рішень при a < 0, b < 1

Припускаючи, що границі нx і вх є си-

метричними відносно математичного очікуван-ня, матимемо

2 2пом н н в н н в

1( )( ) ( )( )

2Р f x f x′= θ + θ + θ − θ .

Якщо ж тангенс кута нахилу більше оди-ниці, то характер помилкових рішень буде за-лежати від співвідношення між абсолютним значенням а і значенням довжини інтервалів

н(1 )b х− , в(1 )b х− .

Розглянемо послідовно три можливих ви-падки співвідношення а і н(1 )b х− , в(1 )b х− .

Якщо зсув менше складової н(1 )b х− , то

розв’язувальне правило матиме такий вигляд:

н н в вх х х− θ < < − θ ,

де нн

( 1)b х а

b

− +θ = ; в

в

( 1)b х а

b

− +θ = .

Як видно з нерівності, характер помилко-вих рішень буде протилежним попередньому випадку, тобто в околі нижнього граничного значення на інтервалі н н н[ , ]х х− θ виникати-

муть невиявлена, а на інтервалі в в в[ , ]х х− θ —

хибна відмови (рис. 4,а). У випадку н в(1 ) (1 )b х а b х− < < − розв’язу-

вальне правило запишеться у вигляді

н н в вх х х+ θ < < − θ ,

де нн

(1 )b х а

b

− −θ = ; в

в

( 1)b х а

b

− +θ = .

У цьому випадку області помилкових рі-шень знаходяться всередині допускового інтер-валу і їм відповідає хибна відмова в околі як верхніх, так і нижніх границь значень (рис. 4,б).

Якщо ж виконується нерівність в(1 )а b х> − ,

то реальне розв’язувальне правило матиме та-кий самий вигляд, що й для випадку, коли a < 0, b < 1:

н нx + θ в вx + θ вx нx


н н в вх х х+ θ < < + θ ,

де нн

(1 )b х а

b

− −θ = ; в

в

(1 )b х а

b

− −θ = .

Відповідно, й характер помилкових рішень буде ідентичним: в околі нижнього граничного значення на інтервалі н н н[ , ]х х + θ виникатиме

хибна відмова, а на інтервалі в в в[ , ]х х + θ —

невиявлена відмова (рис. 4,в). Можливі співвідношення зсуву і тангенса

кута нахилу реальної характеристики перетво-рення та графічне зображення області невизна-ченості прийняття рішень наведені в таблиці.

Дані таблиці наочно демонструють, що ймовірність залежатиме від вигляду характери-стики перетворення, довжини допускового ін-тервалу та параметрів закону розподілу можли-вих значень контрольованої величини.

У випадку, коли зсув і чутливість реальної характеристики перетворення більші за номі-нальні, то в околі нижнього граничного зна-чення виникає невиявлена відмова, а в околі верхнього — хибна відмова. Такий самий ха-

а

б

в

Рис. 4. Характер помилкових рішень при a < 0, b > 1

Таблиця. Області невизначеності залежно від співвідношення зсуву і чутливості характеристики перетворення

Співвідношення значень а і b

Розв’язувальне правило

Графічне відображення області невизначеності

a > 0, b > 1 н н в вх х х− θ < < − θ ,

нн

( 1)b х а

b

− +θ = ,

вв

( 1)b х а

b

− +θ =

a > 0, b < 1

н(1 )а b х< −

н н в вх х х+ θ < < + θ ,

нн

(1 )b х а

b

− −θ = ,

вв

(1 )b х а

b

− −θ =

н в(1 ) (1 )b х а b х− < < −

н н в вх х х− θ < < + θ ,

нн

( 1)b х а

b

− +θ = ,

вв

(1 )b х а

b

− −θ =

в(1 )а b х> −

н н в вх х х− θ < < − θ ,

нн

( 1)b х а

b

− +θ = ,

вв

( 1)b х а

b

− +θ =

н нx − θ в вx − θ вx нx


н нx − θ в вx + θ вx нx



н нx + θ в вx − θ вx нx



рактер помилкових рішень проявлятиметься ще у двох випадках ( в0 (1 )а b х< < − , b < 1 і

н(1 ) 0b х а− < < , b > 1), але ймовірність прийн-

яття помилкових рішень в усіх випадках буде різною, оскільки буде різною довжина еквіва-лентних інтервалів зсуву.

Аналогічно, при значеннях зсуву і чутли-вості реальної характеристики, які менші від їх номінальних значень, характер помилкових рішень буде ідентичним ще в трьох випадках. При цьому в околі нижнього граничного зна-чення виникатиме хибна відмова, а в околі верхнього — невиявлена відмова.

Аналіз показує, що для нормального зако-ну розподілу найбільш прийнятним є випадок, коли в області верхніх і нижніх границь зна-

чень помилкові рішення мають однаковий ха-рактер — невиявлену відмову.

Висновки

Проведений аналіз дозволяє оцінити вплив різних співвідношень зсуву і чутливості реаль-ної характеристики перетворення. У статті по-казано, що характер і ймовірність помилкових рішень залежить від цих співвідношень, тому для засобів вимірювальної техніки, які застосо-вуються для перетворення вимірюваних пара-метрів контрольованої величини, необхідно регламентувати не граничні значення відхи-лення характеристики перетворення, а їх скла-дові. Це дасть можливість правильно оцінюва-ти вірогідність контролю.

Закінчення таблиці

Співвідношення значень а і b

Розв’язувальне правило Графічне відображення області невизначеності

a < 0, b < 1 н н в вх х х+ θ < < + θ ,

нн

(1 )b х а

b

− −θ = ,

вв

(1 )b х а

b

− −θ =

a < 0, b > 1

н(1 )а b х< −

н н в вх х х− θ < < − θ ,

нн

( 1)b х а

b

− +θ = ,

вв

( 1)b х а

b

− +θ =

н в(1 ) (1 )b х а b х− < < −

н н в вх х х+ θ < < − θ ,

нн

(1 )b х а

b

− −θ = ,

вв

( 1)b х а

b

− +θ =

в(1 )а b х> −

н н в вх х х+ θ < < + θ ,

нн

(1 )b х а

b

− −θ = ,

вв

(1 )b х а

b

− −θ = .



н нx + θ в вx + θвx нx

н нx + θ в вx − θ вx нx


Е.Т. Володарський, О.О. Мишина

ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЯ

Проанализировано влияние погрешности преоб-разования на достоверность контроля. Показано, что неопределенность результата и характер ошибочных решений зависит от соотношения ад-дитивной и мультипликативной составляющих. Предложено нормировать для средств измере-ния, которые используются при контроле, не предельные значения возможной погрешности, а предельное значение ее составляющих.

Ye.T. Volodarsky, O.O. Mishyna

THE ESTIMATION OF RESULTS INSPECTION UNCERTAINTY

In this paper, we analyze the influence of the trans-formation error on inspection reliability. We illustrate that the results uncertainty and the character of er-roneous decisions depend on parity additive and multiplicate components. In addition, we offer to normalize the limiting values of a probable error, as well as the limiting value of its components, for the measuring methods used in the inspection process.

1. Guide to the Expression Uncertainty in Measurement:

First edition — Geneva, Switzerland: ISO, 1993. — 101 р.

2. Руководство по выражению неопределенности изме-

рения / Пер. с англ.; Под науч. ред. проф. В.А. Слае-ва. — СПб.: ГП ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1999. — 134 с.

3. Володарський Є.Т., Кухарчук В.В., Поджаренко В.О.,

Сердюк Г.Б. Метрологічне забезпечення вимірювань та контролю. — Вінниця: Універсум, 2001. — 208 с.

Рекомендована Радою факультету авіаційних і космічних систем НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції 12 березня 2008 року


УДК 519.71

О.В. Збруцький, А.О. Прач

АДАПТИВНИЙ АЛГОРИТМ ОДНОГО КЛА-СУ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ ГАРАНТОВАНОЇТОЧНОСТІ ПРИ ДОВІЛЬНИХ ЗБУРЕННЯХ

Вступ

Питання побудови систем керування гаран-тованої точності при довільних збуреннях, не-зважаючи на свою актуальність, не мають насьогодні однозначного вирішення. Відомі робаст-ні методи [1–6] забезпечують добрі властивостісистеми лише в певному діапазоні зміни збу-рень або в стаціонарних режимах функціону-вання та апріорної інформації про збурення, ре-алізують прогнозування динаміки системи безоцінювання діючих збурень. Регулятори в та-ких системах здебільшого мають високу розмір-ність, а інколи бувають істотно нелінійні. У пра-цях [7–9] запропоновано метод забезпечення за-даної точності системи керування при довіль-них збуреннях, побудований на оцінюванні збу-рень, прогнозуванні та компенсації їх дії на об’єкткерування формуванням закону зміни парамет-рів регулятора.


Мета статті – розглянути задачу формуван-ня адаптивного алгоритму системи керування,який має забезпечити її гарантовану точність вумовах, коли на систему діють довільні напередневідомі збурення [8, 9].

Вихідні положення

Об’єктом керування візьмемо одновимірнийдинамічний об’єкт, вагова характеристика w(t )якого є аперіодичною знакосталою функцією. Пе-редавальна функція об’єкта керування має ви-гляд

=+

o 2

1W

Ip fp. (1)

1.Синтезуючи систему керування (рис. 1) ме-тодом модального керування по входу і одному зкритеріїв оптимальності, наприклад за максиму-мом швидкодії і мінімумом похибки керування,та забезпечуючи астатизм першого порядку позбуренню, отримаємо закон керування [7]

= + + + 20к 1 2 3

KW K K p K p

p. (2)

Реалізація закону (2) вимагає формуванняв його структурі зворотної динамічної моделі, щодля об’єкта керування (1) не є проблемним і мо-же вирішуватись як вимірювальними сенсорами,так і алгоритмічно [9, 10].

Для регульованої величини α і результу-ючого впливу ∆М (див. рис. 1) отримаємо залеж-ність від збурення Mз

=

α = ∆ = = ∑3

з з0о

, , ii

i

p pM M M H K p

KH KHW(3)

при? ?3 2,KK I KK f . (4)

Регульована величина α зв’язана з результуючимвпливом ∆Μ очевидним співвідношенням

α = ∆оW M . (5)

Як видно з (4), при введених умовах (3) ко-ефіцієнт зворотного зв’язку K не змінює струк-туру синтезованого оптимального закону керуван-ня (2) і оптимального характеристичного поліно-ма Η системи. Пропорційно своєму значенню вінзмінює однаково регульовану величину та резуль-туючий вплив. Тому можемо здійснити оцінку ре-гульованої величини α при зміні K по зміні вели-чини ∆Μ (5) і знайти закон зміни коефіцієнта Kдля забезпечення заданої точності α.

Якщо умови (3) не виконуються, то характе-ристичний поліном системи має вигляд

= + + + + +3 23 2 1 0( ) ( ) ( )H p I KK p f KK p KK p KK

і виявляється залежним від K . Отже, зміна ко-ефіцієнта K порушуватиме синтезований опти-мальний закон (2).

2. Вплив коефіцієнтаK зворотного зв’язкуна динаміку замкненої системи можна усунутиіншим, порівняно з умовою (4), шляхом. Для цьо-го спочатку синтезуємо закон керування, на-приклад у вигляді (2) (рис. 1, де слід покластиK = 1), і позначимо через W передавальну функ-

Рис. 1. Структурна схема системи

Mз

Mк

Wк

∆M

αк

αWo

K


цію отриманої в результаті синтезу замкненої сис-теми по збуренню:

= =+

о

о к1 ( )W p

WW W H p

. (6)

Реалізуємо в системі (6) другий контуркерування (рис. 2), який містить зворотну до (6)динамічну модель W −1. Тоді залежність регульо-ваної величини α та результуючого впливу ∆Μ відзбурення М з матиме вигляд

α =+ з1W

MK

, ∆ =+ з

о(1 )W

M MK W

. (7)

З виразів (3) і (7) аналогічно [11] видно,що формування закону керування (2), а такожвведення додаткового другого контуру із зворот-ною динамічною моделлю приводить до пе-ретворення збурюючого впливу Mз оператором

−1[ ( )]KH p чи −+ 1(1 )K . При цьому у випадках (4)

і (7) останній не впливає на характер динаміч-них процесів, які визначаються синтезованимзаконом керування (2).

Оцінювання значення регульованої величини

Оцінювання величини α залежно від ре-зультуючого впливу ∆М проведемо за інтегра-лом згортки

α = − τ ∆ τ τ∫0

( ) ( ) ( )t

t w t M d .

Для об’єкта керування (1) з аперіодичною знако-сталою ваговою функцією інтеграл згортки маєверхню межу

µ µ− τ ∆ τ τ ≤ ∆ τ τ =∫ ∫0 0

( ) ( ) ( ) , max ( )t t

w t M d w M d w w t .

Тоді для оцінки µα величини α отримаємо

µ µα = ∆ τ τ∫0

( ) ( )t

t w M d (8)

або

µ µ=

∆

=

α = ∆ τ ∆∑1

( ) ( )

tN

t

i ii

t w M t , (9)

тобто оцінка µα пропорційна площі, обмеженоїфункцією ∆ ( )M t .

Значення −−∆ τ = α 11о( ) ( ) ( )M L p W p можна

отримати в системі керування за реалізованимзаконом (2), який містить зворотну динамічнумодель об’єкта керування.

Формування закону зміни коефіцієнтазворотного зв’язку

Скористаємось геометричною інтерпретаці-єю оцінки (8) регульованої величини та розгля-нутими співвідношеннями (3), (5). Результати до-сліджень показують [7], що в оптимальній сис-темі керування результуючий вплив ∆М є зна-косталою, близькою до аперіодичної спадноюфункцією часу при різному характері збурююч-го впливу Мз. Нехай ∆М для К = 1 описуєтьсякривою 1 (рис. 3). Реалізуємо формування за-

кону зміни коефіцієнта зворотного зв’язку К якдворівноінтервальну процедуру. На першому ін-тервалі (0, )gt оцінимо значення α(t ) за форму-

лами (8) чи (9) і визначимо момент часу tg, ко-ли α досягає половини свого допустимого відо-мого наперед значення α = α доп0,5 , яке відповідає

площі S1. Далі може бути сформована область S2

допустимих значень ∆ >( )g gM t t , обмежена кри-

вою 2, при яких виконуватиметься умова

α ≤ α доп(2 )gt .

Рис. 2. Структурна схема системи iз зворотною динамічноюмоделлю

Mз

Mк

∆M

αк

αWo

K

Wo

1W

1W

Рис. 3. Залежності сумарного впливу і його нового зна-чення

t

∆)

gmw M

S2

∆)w M

0,5αдоп

O tg tB tСС

2tg

BA

12

S1


Крива 2 симетрична відрізку ОА кривої ∆М(t) від-носно осі = gt t :

∆ = ∆ −( ) (2 )g gM t M t t . (10)

Функцію (10) можна розглядати як новий законзміни результуючого впливу, зв’язаний iз сфор-мованим раніше при К = 1 в системі законом∆М(t) співвідношенням

∆ = ∆1

( ) ( )gM t M tK

, > gt t ,

звідки∆ + δ∆

= = =∆ ∆

( )( )

( )g

g g

M MM tK t

M t M

δ= + = +

∆1 1 M

g

MK

M. (11)

Для формування коефіцієнта К (чи KM) (11)як функції часу необхідне оцінювання результу-ючого впливу ∆М(t) в поточний момент часу зврахуванням сформованого в попередній мо-мент часу − ∆t t коефіцієнта зворотного зв’язку.Враховуючи (10), алгоритм формування коефі-цієнта K(t ) отримуємо у вигляді

∆= = − ∆ + ∆ = +

∆ −( )

( ) ( ) ( ) 1 ( )(2 ) M

g

M tK t K t t K t K t

M t t,

∆ − ∆ −= − ∆ + ∆ =

∆ −

( ) (2 )( ) ( ) ( )

(2 )g

M M Mg

M t M t tK t K t t K t

M t t,

∆ − ∆− ∆ =

∆ − − ∆( )

( )(2 )g

M t tK t t

M t t t,

∆ ∆ − ∆∆ = − = ∆

∆ − ∆ − − ∆( ) ( )

( ) ( )(2 ) (2 )M

g g

M t M t tK t K t

M t t M t t t.

При цьому очевидна необхідність умов

≥( ) 1K t , ≥( ) 0MK t при ∆ ≥( ) 0MK t ,

які доповнюють співвідношення (12) умовою

δ = ∆ − ∆ − ≥( ) ( ) (2 ) 0gM t M t M t t .

Якщо δ <( ) 0M t , то = − ∆( ) ( )M MK t K t n t , = 1, ...n

..., N , ∆ =N t t аж до значення = 0MK , = 1K .

Алгоритм (11), (12) формування коефіцієн-та зворотного зв’язку в умовах збурюючих впли-вів, для яких результуючий вплив не виходить замежі області S2 (див. рис. 3), обмеженої кри-вою 1 для < gt t та кривою 2 для > gt t ( макси-

мум кривої 1 (точка В ) знаходиться правіше точ-ки А ), дає значення К = 1, тобто не змінює по-переднього значення коефіцієнта зворотного зв’яз-ку, встановленого при синтезі закону керуван-ня (2).

При зміні результуючого впливу згідно з кри-вою 1 функція K(t) (11), (12) має розрив 2-городу в точці = 2 gt t , а на інтервалі < ≤2 g Сt t t

вона невизначена (див. рис. 3).

Усунення невизначеності і виключення роз-ривності коефіцієнта зворотного зв’язку

Невизначеність коефіцієнта зворотного зв’яз-ку K на інтервалі < ≤2 g Сt t t зумовлена тим, що

тут не задана функція ∆ ( )gM t і невизначеним є

момент часу tC, коли ∆ =( ) 0M t , через довіль-

ний та невідомий характер збурення М з. Усува-ємо цю невизначеність функції ∆ ( )gM t , задаючи

її у вигляді деякої константи:

∆ > = = ≠1( 2 ) const 0g gM t t M . (13)

Однак, як видно з геометричного змісту виразу(8), це призведе до перевищення регульованоювеличиною α її допустимого значення αдоп навеличину S3 площі, обмеженої функцією (13)(рис. 4):

µ µ2

10 2

( ) ( )g g C

g g

t t t

C gt t

t w M d M d M d

α = ∆ τ τ + ∆ τ + τ = ∫ ∫ ∫

= + + = α + α + > α1 2 3 доп доп 3 доп0,5 0,5S S S S

де

µ= τ∫3 12

C

g

t

t

S w M d .

(12)

Рис. 4. Формування функції сумарного впливу

∆)w M

tO tg tB tС2tgС

BA

1

S3S2S1

S4


Для забезпечення умови µ допα < α зменшимо

функцію (10) допустимих значень результуючоговпливу таким чином, щоб площа S2 області 2зменшилась на величину S4 (див. рис. 4)

≥4 3S S . (14)

Ця умова буде виконуватись, якщо

∆ = ∆ −1 1( ) ( )g gM t M t M

на інтервалі ∆ = − 2С gt t t , > gt t . Значення M 1 мо-

же бути кусково-сталим, але таким, при якомувиконується умова (14). На початковому ін-тервалі ≥ gt t , коли положення точки В макси-

муму функції ∆M невідоме <( )g Bt t , значення М1

може бути вибране з умов

< ∆ = ∆1 ( )g gmM M t M , ∆

≤1

gmg

MK

M, (15)

в яких K g – гранично допустиме значення коефі-цієнта зворотного зв’язку з умов його реалізова-ності.

У момент досягнення функцією ∆M(t) точ-ки максимуму В =( )Bt t може бути знайдений часtC. Як показують дослідження [7, 9], можна по-класти = 2С Bt t , тоді матимемо − = −2 2( )С g B gt t t t ,

а нове стале значення (13) становитиме

∆ ∆= =max

2( )B

g g

M M tM

K K. (16)

Якщо >1 2M M , то нерівність α < α доп( )Сt поси-

люватиметься, а при =1 2M M буде α ≤ α доп .Умови (13), (16) усунення невизначеності

коефіцієнта зворотного зв’язку одночасно усу-вають його розрив.

Забезпечення гладкості функції зміникоефіцієнта зворотного зв’язку

У точці =( )gA t t і точці зміни константи (15)

на нове значення (16) функція зміни допустимого

значення результуючого впливу ∆Mg зазнає зламів.Це, а також дискретність формування коефіцієн-та зворотного зв’язку K (t ) призводить до зламів танегладкості функції (12), що погіршує динамікусистеми. Для забезпечення кращої якості системикерування доцільно [8, 9] зміну коефіцієнта K(t)формувати за одним із законів

α =( , )K t

α ≤ α = α + − α > α α

доп

допдоп

1, | | 0,5

| |1 ( ) 0,5 , | | 0,5MK t

, (17)

α =( , )K t

α ≤ α = α

+ − α > α α

доп

2

допдоп

1, | | 0,5

| |1 ( ) 0,5 , | | 0,5MK t

, (18)

Як показують результати досліджень [8, 9],закони (17), (18) формування функції K(t ) за-безпечують добру якість системи керування.

Висновки

Розроблений алгоритм формування коефі-цієнта зворотного зв’язку одного з класів сис-тем керування, вагова характеристика яких є апе-ріодичною знакосталою функцією, дає можли-вість забезпечити її гарантовану точність в умо-вах довільних збурень. Запропонований алгоритмгрунтується на опосередкованому оцінюванні ре-зультуючого впливу та прогнозуванні регульо-ваної величини об’єкта керування, за якими зна-ходиться потрібне поточне значення коефіцієн-та зворотного зв’язку, таке, щоб регульована ве-личина не перевищувала допустимого значен-ня. Визначено закони, які покращують якість ке-рування при змінному коефіцієнті зворотногозв’язку.

Алгоритм керування коефіцієнта зворотно-го зв’язку, розглянутий для одного з класів сис-тем керування, може бути розроблений для ін-ших класів систем.

А.В. Збруцкий, А.А. Прач

АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ОДНОГО КЛАССА СИС-ТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ГАРАНТИРОВАННОЙ ТОЧ-НОСТИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Предложен адаптивный алгоритм системы управ-ления одномерным динамическим объектом, ве-

О.V. Zbrutsky, A.О. Prach

AN ADAPTIVE ALGORITHM FOR ONE CLASS OFTHE CONTROL SYSTEMS WITH GUARANTEEDACCURACY UNDER ARBITRARY PERTURBATI-ONS

The research described in this paper studies an adap-


совая характеристика которого есть апериодичес-кая знакопостоянная функция. Получены условияформирования коэффициента обратной связи наоснове косвенного оценивания результирующеговоздействия и прогнозирования регулируемой ве-личины объекта управления, которые обеспечи-вают гарантированную точность управления в ус-ловиях произвольных возмущений.

tive algorithm for the control system for a one-di-mensional dynamic object with an aperiodic cons-tant-sign pulse response characteristic. Specifically,we present the conditions for obtaining the feed-back ratio based on the indirect estimation of theresultant action and the controlled variable predicti-on. Our experimental results show that these condi-tions provide the guaranteed control accuracy un-der arbitrary disturbances.

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и

управляемость. – М.: Наука, 2002. – 304с.2. Небылов А.В. Гарантирование точности управления. –

М.: Наука, 1998. – 304 с.

3. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы уп-равления полетом. – М.: Наука, 1987. – 230 с.

4. Цыпкин Я.З. Адаптивные инвариантные дискретныесистемы управления // Автоматика и автомеханика. –1991. – 5. – С. 96–124.

5. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление

с компенсацией возмущений. – СПб.: Наука, 2003. –

282 с.

6. Буков В.Н., Бочаров В.С., Сельвесюк Н.И. Синтез кон-

туров управления летательного аппарата с гарантиро-

ванной точностью // Сб. материалов 13-й С.-Петербург.

междунар. конф. по интегрированным навигацион-ным системам. – CПб., 2006. – С. 36–48.

7. Прач А.А. Синтез оптимальной системы стабилизации

заданной точности // Сб. докл. 6-й междунар. на-

учн.-техн. конф. “Гиротехнологии, навигация, управ-

ление движением и конструирование авиационно-кос-мической техники”. – К., 2007. – Ч. 2. – С. 127–133.

8. Збруцький О.В., Прач А.О. Синтез системи керуваннягарантованої точності // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. –2007. – 5. – С. 54–58.

9. Збруцкий А.В., Прач А.А. Обеспечение точности про-

граммного управления в условиях произвольных возму-щений // Системы управления, навигации и связи. –2007. – 3. – С. 41–26.

10. Никифоров В.М., Лисицын А.А. Определение возмуща-

ющего воздействия гиростабилизированной платфор-

мы посредством терминального управления движени-

ем // Сб. докл. 6-й междунар. научн.-техн. конф. “Ги-

ротехнологии, навигация, управление движением и кон-

струирование авиационно-космической техники”. –К., 2007. – Ч. 1. – С. 273–278.

11. Любчик Л.М. Метод стандартных динамических моде-

лей в задачах синтеза многомерных комбинированных

систем с наблюдателями возмущений // Радіоелектрон-ні комп’ютерні системи. – 2007. – 5. – С. 77–83.




УДК 629.735

Я.Ф. Каюк

ЗАДАЧА ПРО МОДЕЛЮВАННЯ РАКЕТИ БАЛКОЮ ІЗ ЗМІННИМИ ЗВЕДЕНИМИ ХА-РАКТЕРИСТИКАМИ

Вступ

Ракети — складні поліагрегатні механічні системи, які здійснюють польоти у неоднорідно-му повітряному середовищі. Дослідження міц-ності, коливальних процесів, керованості і стій-кості цих систем потребує застосування різ- них розділів сучасної механіки, термодинаміки і програмних обчислювальних комплексів. Зро-зуміло, що серед цих проблем існують такі, що можуть бути розв’язані на основі використання більш простих модельних уявлень про ракету як деяку механічну систему. Тут все залежить від постановки і змісту досліджуваної проблеми.

Так, наприклад, коли розглядаються задачі навігаційного типу, то ракету моделюють абсо-лютно твердим тілом заданої форми і змінної маси, що здійснює рух під дією реактивної тя-ги, аеродинамічних сил, сил керування і де-яких сил інерційної природи.

Коли ж ставиться задача дослідити міц-ність ракети під дією статичних і динамічних навантажень, то виділяють найнебезпечніший вузол, конструктивний елемент; його в уяві окреслюють (“вирізають”) і розраховують вже на основі методів механіки твердого деформів-ного тіла.

Часто виникає і така проблема: в неодно-рідних шарах атмосфери, при наявності певних режимів руху повітряних потоків завжди мають місце згинальні переміщення ракети. Вони мо-жуть “переростати” в згинальні коливання різ-них типів під дією відповідних зовнішніх сил. Ці коливальні режими є небажаними, оскільки вони змінюють конфігурацію ракети, а це в ос-таточному підсумку змінює кути атаки по дов-жині ракети, величину аеродинамічних сил, впливає на поздовжню і поперечну стійкість тощо. При розв’язуванні цих задач ракету мо-делюють деформованою балкою з певними зве-деними характеристиками [1, 2].

У даній статті такій важливій проблемі та-кож приділяється значна увага на основі вико-

ристання нових модельних підходів, що дають можливість отримувати не тільки лінійні, а й різні варіанти нелінійних рівнянь руху ракети-балки. На основі встановлених співвідношень можна формулювати різні варіанти рівнянь для дослідження стійкості, керованості розглядува-ної системи тощо.

Може виникнути спротив щодо заміни складної механічної системи більш простою — пружно-деформованою балкою.

Обґрунтування згаданого підходу можна навести різні, серед яких назвемо такі. В першу чергу все залежить від того, яка ставиться мета досліджень. Якщо нам потрібно в остаточному підсумку отримати характеристики інтегральної природи (максимальні прогини, перші частоти згинальних коливань, параметри стійкості то-що), то такий вибір моделювання цілком ви-правданий, і якраз цим питанням тут приділя-ється основна увага.

Заміна досить складної механічної системи більш простішою широко використовується в механіці. Цікавим прикладом є дослідження О.М. Крилова [3], в яких задача про вібрацію судна зводиться до задачі про коливальні про-цеси в балках з вільними кінцями і на пружній основі.

Задачу про згинальні коливання в колін-них валах (складних механічних просторових системах) було в свій час замінено задачею про коливальні процеси в циліндричних стержнях [4]. С.П. Тимошенко вказав метод [5], на осно-ві якого задачу про стійкість стиснутих фер-менних відкритих поясів жорсткості можна зво-дити до задачі про стійкість балки під дією пе-вного поздовжнього навантаження. Є й інші приклади.

Проблемі дослідження задач динаміки ра-кет на основі балкових моделей присвячено ряд наукових досліджень [1, 2]. Як тут, так і в інших публікаціях пропонується, на наш по-гляд, спрощений підхід при моделюванні ракет відповідними балками з певними зведеними механічними характеристиками.


У даній статті пропонується новий підхід при моделюванні видовжених ракет пружними балками із зведеними механічними характерис-тиками, який сприятиме побудові нових мате-матичних моделей деформування ракет.


Формулювання основних припущень

Для того щоб значно наблизити за рядом показників балкову модель ракети до реальної системи, потрібно сформулювати деякі припу-щення.

1. Вважаємо, що розглядається ракета як достатньо видовжена механічна система з пев-ним розподілом по поверхні системи стабіліза-торів, рулів типу пластин певної форми. Моде-люємо цю ракету балкою з таким самим зов-нішнім профілем і розмірами, але при відсут-ності стабілізаторів і рулів. Їх дію замінюємо певними силами і масами, що локально зосеред-жуються на поверхні по певних лініях і малих областях. Це завжди можна зробити, викорис-товуючи апарат узагальнених сингулярних функцій [6].

2. Припускаємо, що внутрішнє начиння ракети розміщено (скомпоновано) так, що ма-тиме місце матеріальна і геометрична симетрія відносно двох взаємно перпендикулярних пло-щин, лінія перетину яких проходить по геомет-ричній осі балки.

3. Балка береться змінного поперечного перерізу ( )S x ; графік функцій ( )S x завжди

можна встановити, використовуючи креслення самої ракети або її моделі; величина x — коор-дината по осі балки.

4. Задаємо наперед закон розподілу мас в елементах товщини dx , які вважаються в раке-ті нормальними до осі перерізами x , x dx+ . Закон їх розподілу завжди можна також вста-новити, проводячи відповідні обчислення і ви-користовуючи технічне креслення. Масу в еле-менті dx позначаємо бm і розраховуємо на

одиницю довжини осі ракети. 5. Припускаємо, що величини типу бm в

недеформованому і деформованих станах раке-ти є функціями незалежних змінних ,x t , тобто

б б( , )m m x t= .

Отже, на основі наведених вище припу-щень ракета моделюється балкою з розподіле-ною неперервно по довжині змінною в часі ма-сою б( , )m x t , змінним поперечним перерізом

( )S x і жорсткостями на розтяг, згин і кручен-

ня, при цьому один із кінців балки вільний, а до другого прикладена сила тяги T .

Під дією тяги, аеродинамічних сил, сил керування та інших зусиль балка здійснює рух

у просторі, заповненому повітрям із певними фізичними властивостями.

Нарешті, в першому наближенні слід при-пускати, що розглядувані вище елементи тов-щини як в недеформованому (конфігурація

0C ), так і в деформованому стані (конфігура-

ція tC ) перпендикулярні до осі балки.

Вибір систем координат і деякі необхідні кі-нематичні залежності

За інерціальну систему координат (СК) вибираємо стартову СК ст ст ст стO x y z , вісь

ст стO y направляємо вгору по осі ракети, вісь

ст стO x розміщуємо у площині стрільби, ст стO z

направляємо в той бік, де інерціальна СК була б правою, а орти цієї СК позначаємо

ст ст ст, ,i j k .

Вважаємо, що до певного моменту часу польоту 0t t= в ракеті нема пружних перемі-

щень (конфігурація 0C , рис. 1).

У даному стані вводимо означення зв’язаної і локальної систем координат. Початок зв’язаної СК вибираємо в центрі мас ракети (конфігу-

рація C , рис. 1); вісь 3Cx — направляємо по

осі ракети; 3Cy — у площині симетрії — по на-

прямку лінії дії підйомної сили; 3Cz — направ-

ляємо в той бік, де СК 3 3 3Cx y z була б пра-

вою. Орти зв’язаної СК позначаємо 3 3 3, ,i j k

(див. рис. 1).

У момент старту видно, що T

3cCy Cx= ,

T

3cCx Cy= ,

T

3cCz Cz= .

У конфігурації 0C в точці M — геометрич-

ному центрі елемента dx — вводимо локальну

СК з ортами , ,i j k (див. рис. 1); 3 3, ,= =i i j j 3 =k k в 0C .

Нехай, починаючи з моменту часу 0t t≥ , у

балці (ракеті) виникають пружні переміщення (статичний згин, згинальні коливання тощо); система переходить у стан tC (див. рис. 1).

Всім величинам, які належать до tC , при-

писуємо зірочку “ * ”. Вважаємо, що в tC у балці виникають ма-

лі деформації і квадрати кутів повороту елемен-тів типу dx (порівняно з одиницею).


На рис. 1 введено такі позначення: ( )C C t=r r — закон руху центра мас ракети як

абсолютно твердого тіла; ( , )М М x t=u u — век-

тор переміщення довільної точки M осі балки;

0С М x==u u — вектор переміщення точки C в

результаті накладання переміщень a a( )t=u u

балки як абсолютно твердого тіла і переміщень ( , )x t=u u в результаті деформування. Таким

чином, маємо закон руху довільної точки M в результаті накладання вказаних переміщень:

а( , ) ( ) ( , ),М x t t x t= +u u u (1)

( , ) ( )М М С Мx t t∗ ∗= = + + =r r r uρ

а( ) ( ) ( , )С t x t x t= + + +r i u u (2)

аналогічно отримаємо закон руху точки C :

0( , )С М xx t∗ ∗==r r .

Припускатимемо, що сис-

теми відліку з ортами ( 3 3, ,i j 3k ), ( , ,i j k ) можуть в уяві пе-

реноситись у момент часу

0t t> в точки C ∗ і M ∗ пара-

лельно самі собі, без зміни орієнтації. Тоді при 0t t> век-

тор переміщення точки M будемо записувати так:

( , ) ( , )u x t w x t= + +u i j

( , ) ,v x t+ k (3)

де ( , )u x t — поздовжнє пере-

міщення осі балки; ( , )w x t ,

( , )v x t — прогини її у двох

взаємно перпендикулярних площинах симетрії, які про-ходять через пари ортів ( ,i j ),

( ,i k ) (див. рис. 1).

Елемент dx у процесі ру-ху здійснює не тільки посту-пальні, а й кутові переміщен-ня. Кутову швидкість оберталь-ного руху позначаємо Ω :

д= +Ω ω ω , (4)

де ω — кутова швидкість обертання елемента dx як абсолютно твердого тіла; дω — кутова

швидкість повороту елемента внаслідок дефор-мування (згину та кручення) балки.

Для подальших досліджень необхідно встановити в явному вигляді формули для об-числення векторів швидкості Mv , прискорен-

ня M

t

∂∂v

і дω через компоненти вектора u та

його похідних по координаті x і часу t . Насамперед, використовуємо формули (1),

(2) і (4). Тоді матимемо

M С t∂

= + × + =∂u

v v Ω ρ

д( ) ,С t∂

= + + × +∂u

v ω ω ρ (5)

2

2( )M Md

t dt t

∂ ∂= + × + × × + =

∂ ∂

v v uΩ ρ Ω Ω ρ

Рис. 1. Досліджувана механічна система

B

0C

tC

T

стO стi

стk

стj

стy

стx

A ∗

A

C

M

∗i

∗k

∗j

M ∗

B ∗

3i

3j

3k

j

i

k

3∗j

3∗i

3∗k

C ∗

u

Cu

Cr

C ∗r

M ∗r

T

стz


д д( ) ( )Сd

dt= + + × + + ×

vω ω ρ ω ω

2

д 2[( ) ] .

t

∂× + × +

∂

uω ω ρ (6)

Встановимо формули для обчислення компонент вектора дω . В уяві перенесемо в

розглядуваний момент часу t базис ( , ,i j k ) па-

ралельно самому собі в точку M ∗ . Тоді базис

( , ,∗ ∗ ∗i j k ) займе певну орієнтацію щодо базису

( , ,i j k ). Цю орієнтацію можна трактувати як

результат повороту навколо точки M ∗ базису ( , ,i j k ) з кутовою швидкістю дω .

Покладаємо

д 1д 2д 3д= ω + ω + ωi j kω . (7)

Мають місце відомі формули Пуассона

д д

д

, ,

.

t t

t

∗ ∗∗ ∗

∗∗

∂ ∂= × = ×

∂ ∂

∂= ×

∂

i ji j

kk

ω ω

ω

(8)

З іншого боку, вектор дω можна розкла-

дати по компонентах у базисі ( , ,∗ ∗ ∗i j k ), який

для малих деформацій і квадратів кутів поворо-ту вважається ортонормованим. Маємо

д 1д 2д 3д∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ω + ω + ωi j kω . (9)

Підставимо (9) у формули (8). Тоді маємо

3д 2д

1д 3д

2д 1д

,

,

.

t

t

t

∗∗ ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗ ∗ ∗

∂= ω − ω

∂

∂= ω − ω

∂

∂= ω − ω

∂

ij k

jk i

ki j

(10)

З цих формул легко встановити такі спів-відношення:

1д

2д

3д

2 ,

2 ,

2 .

t t

t t

t t

∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗

∂ ∂ω = ⋅ − ⋅

∂ ∂

∂ ∂ω = ⋅ − ⋅

∂ ∂

∂ ∂ω = ⋅ − ⋅

∂ ∂

j kk j

k ii k

i jj i

(11)

На основі цих формул можна обчислити вели-

чини дsω ( 1,3s = ), якщо скласти таблицю на-

прямних косинусів між базисами ( , ,i j k ) і

( , ,∗ ∗ ∗i j k ).

Насамперед, використовуючи формули (2) і (3), одержуємо

1Md u w vdx x x x

∗∗ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞≅ = + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ri i j k

11 12 13(1 ) ,= + α + α + αi j k (12)

де 11ux∂

α =∂

; 12wx

∂α =

∂; 13

vx∂

α =∂

.

Згідно із вказаними припущеннями маємо

| | 1∗ ≅i .

Покладаємо

21 22 23

31 32 33

(1 ) ,

(1 ) ,

∗

∗

= α + + α + α

= α + α + + α

j i j k

k i j k (13)

де ( , )rs rs x tα = α — функції, які потрібно визна-

чити. Вказані функції знаходимо з таких набли-

жених співвідношень:

0,∗ ∗⋅ ≅i j 0,∗ ∗⋅ ≅i k 0,∗ ∗⋅ ≅j k (14)

1,∗ ∗⋅ ≅j j 1∗ ∗⋅ ≅k k .

Звідси отримуємо такі системи нелінійних ал-гебричних рівнянь:

11 21 22 12 13 23

11 31 12 32 33 13

31 21 22 32 23 33

2 2 221 22 23

2 2 231 32 33

(1 ) (1 ) 0,

(1 ) (1 ) 0,

(1 ) (1 ) 0,

(1 ) 1,

(1 ) 1.

+ α α + + α α + α α ≅

+ α α + α α + + α α ≅

α α + + α α + α + α ≅

α + + α + α ≅

α + α + + α ≅

(15)

Знаходимо лише частинні розв’язки цих рів-нянь, покладаючи в основу фізичні міркування і прийняту вище ступінь точності обчислень.

З перших трьох рівнянь легко бачити, що

21 12 ;wx

∂α = −α = −

∂ 31 13 ;

vx∂

α = −α = −∂

32 23α = −α .

Значить, можна попередньо скласти таку таблицю напрямних косинусів:


i j k ∗i 1

ux∂

+∂

wx

∂∂

vx∂∂

∗j wx

∂−∂

221 + α 23α .

∗k vx∂

−∂

23−α 331 + α

З двох останніх рівнянь системи (15) має-мо

2 222 21 231 1+ α = − α − α ,

2 233 31 321 1+ α = − α − α ,

звідки випливає, що 22 0α ≅ , 33 0α ≅ .

Для встановлення геометричного змісту кута 23α повернемося до рис. 2, який орієнто-

вно зображує взаємне розміщення ортів у точці

M ∗ .

Рис. 2. Взаємна орієнтація ортів

Тоді під величиною ψ будемо розуміти

кут між проекцією вектора ∗j на площину, що

проходить через орти ,k j , і вектором j . З рис. 2

видно, що 23 cos( , ) cos sin2

∗ π⎛ ⎞α = ≅ − ψ = ψ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

j k

≅ ψ .

Значить, 23α описує поворот (кручення)

елемента балки dx навколо власної осі.

Остаточно встановлюємо шукану таблицю напрямних косинусів між ортами ( , ,i j k ) і

( , ,∗ ∗ ∗i j k ):

i j k ∗i 1

ux∂

+∂

wx

∂∂

vx∂∂

∗j wx

∂−∂

1 ψ .

∗k vx∂

−∂

−ψ 1

Оскільки

1д 2д 3д

1д 2д 3д ,∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

ω + ω + ω =

= ω + ω + ω

i j k

i j k

то звідси випливає, що

1д 1д 2д 3д

1д 2д 3д

2д 1д 2д 3д

3д 1д 2д 3д

1

,

,

.

u w vx x x

w vx x

wx

vx

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ω = ω + − ω − ω ≅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂≅ ω − ω − ω

∂ ∂

∂ω ≅ ω + ω − ω ψ

∂

∂ω ≅ ω + ω ψ + ω

∂

(11)

Використовуючи остаточну таблицю на-прямних косинусів і формули (11), обчислює-

мо компоненти 1д 2д 3д, ,∗ ∗ ∗ω ω ω .

Отримуємо

2 2

1д 2д 3, , дv w

t x t x t∗ ∗ ∗∂ψ ∂ ∂

ω ≅ ω ≅ − ω ≅ −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (17)

Легко встановити, що

1д t∂ψ

ω ≅∂

, 2

2дv

x t∂

ω ≅ −∂ ∂

, 2

3дw

x t∂

ω = −∂ ∂

. (18)

Тоді

2 2

дv w

t x t x t∂ψ ∂ ∂

ω = − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j k . (19)

Теорема про зміну кількості руху елемента балки змінної маси і рівняння його посту-пального руху

У випадку, коли маса розглядуваного еле-мента балки dx є стала величина, його кіль-

кість руху обчислюється за відомою формулою

00 бs Md m ds ∗=Q v ( 0

б constm = ), (20)

ψ

M ∗

k

∗k

∗j

i

∗i

j


де MM t

∗

∗∂=

∂r

v — абсолютна швидкість точки

;M ∗ t∂∂

— абсолютна похідна (відносно інер-

ціальної СК); sd — тут і надалі диференціал

береться по змінній s — дуговій координаті осі балки.

Оскільки в пропонованій моделі маса еле-мента вважається змінною в часі і по коорди-наті s великою, то кількість її руху [7, 8] ста-новитиме

б б( , ) ( , )s Me Med m s t ds m s t ds∗ ∗= ≅Q v v , (21)

де Me M Mr= −v v v ; Mrv — відносна швидкість

(відносно стінок ракети) центра мас елемента dx .

Для випадку сталої маси теорема про змі-ну кількості руху елемента має вигляд

0e

sd dst∂

=∂

Q f , (22)

де ef — головний вектор зовнішніх сил, при-кладених до елемента і розрахованих на оди-ницю балки.

Зрозуміло, що серед сил, які входять в ef , мають бути активні (рушійні) сили, що спри-чиняють рух досліджуваної системи.

У випадку змінної маси елемента теорема (22) значно видозмінюється. Для того щоб це обґрунтувати, використаємо концепцію еквіва-лентного тіла [7]: вважаємо, що в момент часу t елементу балки змінної маси ставиться у від-повідність елемент сталої маси з таким розра-хунком, щоб маси обох елементів були однако-ві і швидкості руху їх центрів мас були б також однаковими.

Тоді в момент часу t маємо

0( , ) ( , )s sd Q s t d s t= Q , (23)

а співвідношення (22) записуємо в такому ви-гляді:

0 0

0

( , ) ( , )lim es s

t

d s t t d s tds

tΔ →

+ Δ −=

ΔQ Q

f . (24)

Нехай розглядається момент часу t t+ Δ , якому відповідає кількість руху елемента змін-ної маси ( , )sd s t t+ ΔQ .

Для того щоб виконувалась рівність (23), необхідно її подати так:

0( , )sd s t t+ Δ =Q

1( , ) ( , ),s sd s t t d s t t= + Δ + + ΔQ Q (25)

де 1( )Q … — кількість руху маси, що відділилась

від елемента за проміжок часу tΔ .

Вказану масу позначаємо 1 ,MmΔ а абсо-

лютну швидкість її центра мас — ( )OM t t+ Δu .

Зауважимо, що коли постулюється рівність типу (25), то це означає, що елемент і відділена маса середовища являє собою єдину систему при малих tΔ . Тоді

1 1( , ) ( )Ms OMd s t t m ds t t+ Δ = Δ + ΔQ u . (26)

Маса елемента балки в момент часу t t+ Δ обчислюється за формулою

б б 1( , ) ( , ) Mm s t t m s t m+ Δ = − Δ . (27)

Отже, маємо

0 0

1

1

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ).

s s s

s s s

s s

d s t t d s t d s t t


d s t d s t t

+ Δ − = + Δ +

+ + Δ − = + Δ −

− + + Δ

Q Q Q

Q Q Q

Q Q

З врахуванням наведених вище формул вираз (24) перетворюємо до такого вигляду:

1

0

( , ) ( , ) ( , )lim s s s

t


tΔ →

+ Δ − + + Δ=

ΔQ Q Q

.eds= f (28)

Звідси маємо

0

б б

( , ) ( , )lim

( , ) ( , )( ) .

s s

t

eOM

d s t t d s t

t

m s t t m s tds t t ds

t

Δ →

+ Δ −⎡−⎢ Δ⎣

+ Δ − ⎤− + Δ =⎥Δ ⎦

Q Q

u f

Таким чином, отримуємо

б( , )( , ) ( )e

s OM

m s td s t ds t ds

t t

∂∂= −

∂ ∂Q f u . (29)

Беручи до уваги формулу (27), записуємо

б б[ ( , ) ]( )eMe

OM

m s t mt

t t

∂= −

∂ ∂v

f u . (30)

Це і є теорема про зміну кількості руху елемен-та балки як тіла змінної маси.


Якщо підставити в (30) формулу (12), то після очевидних перетворень отримаємо

б p вар( , ) eMm s tt

∂= + +

∂v

f q q , (31)

де бp ( )OM Me

m

t

∂= −

∂q u v — вектор реактивної

сили в розумінні Мещерського і розрахованої на одиницю довжини балки; варq — вектор ін-

тенсивності варіаційних сил:

вар б( )Mrmt∂

=∂

q v . (32)

Варіаційні сили зумовлюються переміщен-ням центра мас у результаті протікання палива, газів всередині виділеного елемента балки. Роз-поділимо величину сили тяги T по довжині

балки, покладаючи p| |Tl

=q , де l — довжина

ракети-балки. Тоді покладаємо

pTl

∗=q i . (33)

З формули (31) випливає цікавий висно-вок: якщо прийняти викладену тут методоло-гію, то рівняння руху центра мас для елемента балки змінної маси буде по формі таким, як для елемента сталої маси, але до заданих зовнішніх сил слід додавати ще нові сили: pq і варq .

Значить, у випадку змінної маси елемента активна (рушійна) сила не повинна бути скла-

довою вектора ef ; ця сила з’являється окремо як реактивна сила, що задається вектором pq .

Для розв’язування відповідних задач необ-

хідно конкретизувати зміст вектора ef , прави-ла обчислення його складових і деяких інших доданків рівняння (31).

Позначаємо ( , )x tF головний вектор сил пружності в довільному перерізі балки. Його можна подати в такому вигляді:

2 3 2 3N Q Q N Q Q∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + + = + +F i j k i j k . (34)

У цій формулі величини із зірочками — реальні

механічні величини: N ∗— поздовжнє зусилля;

2 3,Q Q∗ ∗ — перерізуючі зусилля, що діють у роз-

глядуваному поперечному перерізі балки в на-прямку вказаних ортів; величини без зірочки можна назвати псевдозусиллями, але у випадку

малих деформацій і кутів повороту N N ∗≅ ,

2 2Q Q ∗≅ , 3 3Q Q ∗≅ .

Відомо, що

( ) ( )u

N E x S xx

∗ ∂=

∂, (35)

де ( )E x — усереднене значення модуля Юнга

по перерізу з площею ( )S x .

Використовуючи остаточну таблицю на-прямних косинусів (див. стор. 5), легко вста-новлюємо зв’язок між силовими компонентами у формулі (34).

Нехай p( , )m x t — погонна маса реальної

ракети. При моделюванні слід припускати, що

p( , ) ( , )sm x t m x t= ; (36)

також загальні маси ракети і балки в довільний момент часу мають бути однаковими, тобто

1

1

p( , ) ( , ) ,b b

a a

m s t ds ms s t ds∗ ∗ ∗ ∗=∫ ∫ (37)

де s ∗ — дугова координата осей ракети і балки в tC ; ,a b і 1 1,a b — координати точок початку і

кінця осей ракети і балки.

Розглядаємо в околі точки M ∗ елементи

балки довжини s dx∗α ≅ і зобразимо деякі век-

тори сил, що діють на цей елемент (рис. 3).

Рис. 3. Виділений елемент балки

На рис. 3 введено такі позначення: п∗p —

вектор заданих поверхневих сил, в склад яких мають входити також сили ваги від дії умовно відкинутих оперінь, що розміщені на поверхні ракети по певних лініях; n — зовнішня одини-чна нормаль до поверхні ракети; gp — вектор

сили ваги виділеного елемента:

Tб c( , )g m s t∗= −p g j , (38)

ζ

L

dss

∗∂+∂F

F

ds∗ −F

п ( , )s t∗ ∗p

( , )g s t∗ ∗p


де Tcj — орт вертикальної осі інерціальної

(стартової, рис. 1) СК. Оскільки площа бічної поверхні елемента

становить ( )s d ds∗ ∗ζ ϕ , де ζ — радіус виділено-

го циліндра (рис. 3), то головний вектор по-верхневих сил, розрахований на одиницю дов-жини, визначатиметься формулою

п п2 ( ) ( )s s∗ ∗≅ πζp P . (39)

Нарешті, через a к,f f позначимо вектори аеро-динамічних сил і сил керування, також розрахо-ваних на одиницю довжини осі ракети-балки.

Беручи до уваги формули (6), (38) і (39), рівняння поступального руху ракети як дефор-мованої балки запишемо в такому вигляді:

2

б п п2( , ) Сdm s t

dt st

⎛ ⎞∂ ∂+ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂⎝ ⎠

v u Fp f

к corp вар,g e+ + + + +f p q q q (40)

де cor ( , )[ ( )]e im s t= − × + × ×q Ω ρ Ω Ω ρ — вектор ін-

тенсивності сил інерції Коріоліса від перенос-ного обертального руху.

Якщо пружні переміщення точок балки відсутні, тобто ракета розглядається як абсолют-но тверде тіло, то з рівняння (40) можна отри-мати відомі для цього випадку рівняння руху.

Дійсно, покладаємо в (40) формально 0, 0g= =u ω і інтегруємо це рівняння по s в

межах від 0 до l . Маємо

к cor аб п p вар( ) С

g e

dM t

dt= + + + + + +

vF F F F F F F ,(41)

де б б0

( ) ( , ) ( )l

M t m s t ds s x= =∫ — змінна в часі за-

гальна маса ракети-балки;

п п0

l

ds= ∫F p ; к к

0

l

ds= ∫F f ;

0

l

g gds= ∫F p ; cor

0

( , )l

e e sm s t ds= −∫F v ; (42)

a а

0

l

ds= ∫F f ;

p p0

l

ds T= =∫F q ; вар вар0

l

ds= ∫F q ,

де ev — переносна швидкість від обертального

руху ракети-балки.

Теорема про зміну кінетичного моменту бал-ки змінної маси і рівняння його обертально-го руху

Розглядаємо знову елемент балки (рис. 4), в якому позначаємо

МC ∗ його центр мас, а та-

кож частину пружних сил і моментів, які ство-рюють моменти відносно вказаної точки.

Рис. 4. Пружні сили і моменти, що діють на елемент

У момент старту ракети вказаний елемент є тіло, яке має вісь симетрії і дві площини матеріальної і геометричної симетрії. При русі ракети-балки вказана симетрія в загальному вигляді не матиме місця, оскільки паливо, окислювач вигоряють і діють інші фактори.

Тоді тензор інерції i виділеного елемента слід у загальному вигляді зобразити так:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

s

i i i

d i i i i ds ids

i i i

− −

= − − =

− −

. (43)

Звідси видно, що тут тензор i “розраховується” на одиницю довжини ракети-балки.

Вираз для тензора i (43) матиме місце для випадку, коли розглядається рідинно-паливна ракета.

Надалі розглядаємо твердо-паливні ракети, для яких з певною похибкою можна припуска-ти, що

1

2

3

0 0

0 0

0 0

i

i

i

=i , (44)

де ( )k kki i t≡ ; 0 ( )rsi r s= ≠ ; 1,3k = .

dss

∂+

∂M

M

dss

∂+∂F

F

ds∗ −F

∗−Mds ds∗ ≅

MC ∗


Звертаємо увагу на те, що компоненти в (43) або (44) слід обчислювати у зв’язаній СК конфігурації 0C .

Якщо елемент (рис. 4) був би сталої маси, то його кінетичний момент відносно точки

MC ∗ і розрахований на одиницю довжини, ви-

значався б за формулою

С ∗ =K iΩ . (45)

У цьому випадку до елемента слід прикладати такі моменти від дії пружних сил і моментів:

Mds ds ds ds

s s∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗∂ ∂

− + + =∂ ∂

MM M ,

1 12 2

ds dss

∗ ∗ ∗ ∗∗

∂⎛ ⎞− × + × + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Fi F i F

(46)

( )ds∗ ∗= ∗i F .

До цих моментів слід додати моменти відносно

точки C ∗ від дії аеродинамічних сил a

Сm ds∗

∗ ,

сил керування к

Сm ds∗

∗ , поверхневих сил п

Сm ds∗

∗ .

Тоді теорема про зміну кінетичного момен-ту відносно точки MC ∗ (рис. 4) буде визнача-

тися формулою

а к пСС С Сt s

∗

∗ ∗ ∗∗∂ ∂

= + × + + +∂ ∂

K Mi F m m m (47)

для випадку, коли маса елемента є стала в часі величина.

Для випадку, коли маса елемента є змінна в часі величина, то, як нам уже відомо, вини-кає додаткова сила — реактивна сила Мещер-ського. Оскільки ця сила є контролюючою і лі-

нія дії проходитиме через точку C ∗ , то її мо-

мент відносно точки C ∗ дорівнюватиме нулеві. Тоді з (45) отримуємо аналітичний запис

теореми про зміну кінетичного моменту для елемента змінної маси:

а к п( )С С Сt s

∗ ∗ ∗∗∂ ∂

⋅ = + × + + +∂ ∂

Mi i F m m mΩ . (48)

На основі сформульованих теорем (30) і (48) можна отримувати різні варіанти неліній-них і лінійних рівнянь згинальних, поздовжніх і крутильних рухів ракети-балки.

Поздовжні і згинальні в площині тангажа коливальні рухи ракети-балки

Для того щоб розв’язати поставлену зада-чу, необхідно спроектувати рівняння (40) на вісь Cx і Cy , покласти, що переміщення

( , )v x t дорівнює нулеві. Вважаємо, що коли-

вальні процеси типу тангажа відбуваються в площині Cxy (див. рис. 1).

Щоб отримати різні варіанти скалярних рівнянь руху, необхідно у векторному рівнянні (40) попередньо покласти:

С Сx Сy Сzv v v= + +v i j k ,

u w v= + +u i j k ,

x y z= ω + ω + ωi j kω ,

2 2

gv w

t x t x t∂ψ ∂ ∂

= − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j kω ,

2 3Q QNs x x x x

∂ ∂∂ ∂ ∂≡ = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂F F

i j k ,

п п п пx y zp p p= + +p i j k ,

а а а аx y zf f f= + +f i j k , (49)

к к к кx y zf f f= + +f i j k ,

б( , )g Сm x t g= −p j , p pq=q i ,

cor cor cor core ex ey ez= + +q q i q j q k ,

вар вар, вар, вар,x y z= + +q q i q j q k .

Бачимо, що необхідно в явному вигляді обчис-

лити компоненти вектора coreq .

Насамперед маємо

1 2( ) ( ) ( )x g y g z gz= ω + ω + ω + ω + ω + ωi j kΩ . (50)

У випадку руху ракети одержуємо

sinxω = γ − ϑ ψ ,

cos sin cosyω = ψ γ + ϑ γ ψ , (51)


cos cos sinzω = ϑ ψ γ − ψ γ ,

де ( )tψ = ψ , ( )tϑ = ϑ , ( )tγ = γ — відомі кути рис-

кання, тангажа і крену. Значить, маємо

1 2 3= Ω + Ω + Ωi j kΩ . (52)

Тут введені такі позначення:

1 sint

∂ψΩ = γ − ϑ ψ +

∂,

2

2 cos sin cosv

x t∂

Ω = ψ γ + ϑ γ ψ −∂ ∂

, (53)

2

3 cos cos sinw

x t∂

Ω = ϑ ψ γ − ψ γ −∂ ∂

.

У випадку згинальних коливань типу тан-гажа в площині Cxy цілком природно покласти

0, 0, 0ψ = γ = ψ = . (54)

Далі маємо

2 3x x× = − Ω + Ωk jΩ ρ ;

22 3 1 2 1 3( ) ( ) .x x x× × = − Ω + Ω − Ω Ω + Ω Ωi j kΩ Ω ρ

Отже,

2 22 3( ) ( )x× + × × = − Ω + Ω +iΩ ρ Ω Ω ρ

3 1 2 2 1 3( ) ( ) .x x+ Ω + Ω Ω + −Ω + Ω Ωj k (55)

В проекції на вісь Cx з рівняння (40) от-римуємо

2а

п2( , ) Сxs x x

dv u Nm x t p f

dt xt

⎛ ⎞∂ ∂+ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂⎝ ⎠

к corp вар .x gx x x exf p q q q+ + + + + (56)

Зауважимо, що в цьому рівнянні величину N необхідно виразити через реальні зусилля.

Використовуючи остаточну таблицю на-прямних косинусів і рівність (34), отримуємо

2 3w v

N N Q Qx x

∗ ∗∂ ∂= − −

∂ ∂. (57)

Беремо до уваги також таблицю напрям-них косинусів між інерціальною (стартовою) і зв’язаною СК. Тоді маємо

б( , ) singxp m x t g= − ϑ . (58)

Далі отримуємо

cor 2 2б 2 3( , ) ( )exq m x t x= − Ω + Ω , (59)

pT

ql

= , вар, б[ ( , ) ]x mrq m x tt∂

=∂

v i . (60)

Значить, рівняння поздовжніх коливаль-них рухів ракети-балки (56) перетворюємо до такого вигляду:

2

б 2

а кп

( , ) ( )

( , ) sin

Сx

x x x s

dv u um x t E x

dt x xt

p f f m x t g

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ⎣ ⎦⎝ ⎠

+ + + − ϑ +

авар, .x x

Tf q

l+ + + (61)

Рівняння згинальних коливань у площині Cxy отримаємо з рівняння (40), проектуючи

його на напрямок з ортом j .

Маємо

2а2

п2

кб

( , )

( , ) (sin sin sin cos cos )

Сys x x

x

dv Qvm x t p f

dt xt

f m x t g

⎛ ⎞ ∂∂+ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂⎝ ⎠

+ − ψ γ ϑ + ϑ γ +

corвар, .ey yq q+ + (62)

Оскільки

2 2 3w

Q Q Q Nx

∗ ∗ ∗∂= − ψ +

∂,

то при 0ψ = ψ = γ = рівняння (62) перетво-

риться до такого вигляду:

22

б 2( , ) Сydv Qv wm x t N

dt x x xt

∗∗⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

а к corп б , вар,( , ) cos .y y y e y yp f f m x t g q q+ + + − ϑ + + (63)

Звертаємося до співвідношення (48), де за аналогією з (49) покладемо:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

а а а а

к к к к

п п п п

,

,

,

,

.

x y zС

x y zС

x y zС

i i i

M M M

m m m

m m m

m m m

∗

∗

∗

⋅ = Ω + Ω + Ω

= + +

= + +

= + +

= + +

i i j k

M i j k

m i j k

m i j k

m i j k

Ω

(64)


Далі маємо

2 3 3 2

3 2

3 2 3

1

( )

1 1

u w vx x x

w v vN Q Q Q Q N

x x x

u u wQ Q N

x x x

w v vQ Q N Q

x x x

∗ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞× = + + + ×⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡× + + = − + −⎜ ⎟ ⎢∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣

⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + − ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞≅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i F i j k

i i k і

j k

i j

2 .w

N Qx

∂⎛ ⎞+ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠k (65)

Виразимо у формулі (65) псевдозусилля

2 3, ,N Q Q через реальні величини 2 3, ,N Q Q∗ ∗ ∗ за такими формулами:

2 31u w v

N N Q Qdx x x

∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠,

2 2 3w

Q N Q Qx

∗ ∗ ∗∂= + − ψ∂

, (66)

3 2 3v

Q N Q Qx

∗ ∗ ∗∂= + ψ +∂

.

Нехтуючи доданками з кубічною неліній-ністю, маємо

3 2 3w v v

Q Q N Qx x x

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞× ≅ − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠i F i j

2 .w

Q Nx

∗ ∗∂⎛ ⎞+ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠k (67)

Використовуючи формули (64) і (67), про-ектуємо співвідношення (48) на вісь Cz . Отри-муємо

3 3( )it∂

Ω =∂

а к п32 .z z z

M wQ N m m m

x x

∗∗ ∗∂ ∂

= + − + + +∂ ∂

(68)

З цього рівняння визначаємо величину 2 :Q ∗

2 3 3( )Q it

∗ ∂= Ω −∂

а к п3z z z

M wN m m m

x x

∗∗∂ ∂

− + − − −∂ ∂

(69)

і підставляємо її в рівняння (63). При цьому враховуємо, що

2

3w

x t∂

Ω = ϑ −∂ ∂

, 2

3 2( ) ( )w

M E x J xx

∗ ∂=

∂,

де ( ) ( )E x J x — жорсткість на згин балки в

площині Cxy .

Отримуємо рівняння згинальних коливань ракети-балки в площині Cxy (в площині тан-

гажа) з одночасним врахуванням дії поздовжніх коливань, зміни в часі маси ракети-балки:

2

б 2

2 2 2

1 32 2

а к пп

( , )

( ) ( ) ( )

( )

Сy

z z z y

dv vm x t

dt t

wE x J x i

x tx x

wN m m m P

x x x∗

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + Ω +⎢ ⎥

∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

а к corвар,( , ) cos .y y s ey yf f m x t g q q+ + − ϑ + + (70)

Отже, отримали систему нелінійних ди-ференціальних рівнянь, що описують взаємо-пов’язані поздовжньо-згинальні коливання ра-кети-балки.

Оскільки кінці балкової системи є вільни-ми, то граничні умови до отриманих рівнянь відображають факт рівності нулеві на обох кін-цях перерізуючих зусиль і моментів.

З аналізу отриманих рівнянь бачимо, що найбільш ефективним методом розв’язування відповідних граничних задач є методи типу Буб-нова—Гальоркіна.

Це предмет окремого важливого дослід-ження.

Висновки

У результаті проведених досліджень вста-новлено, що, застосовуючи запропонований підхід, можна на відміну від опублікованих до-сліджень вихідну реальну механічну систему — видовжену ракету — математично моделювати балкою зі змінними по координатах і часу ма-сово-інерційними характеристиками, жорстко-стями. Це дає змогу:

• формулювати різні варіанти лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь руху раке-ти, силових і кінематичних співвідношень;

• встановлювати на основі запропонова-ного підходу явний вигляд формули для обчис-


лення реактивних, варіаційних і коріолісових сил і моментів;

• враховувати при розгляді конкретних ре-жимів польоту накладання певних типів посту-пальних і обертальних рухів, взаємозв’язок між поздовжніми і згинальними коливаннями та ін.

Характерним для запропонованого підходу є те, що він порівняно простий, прозорий у

викладі, логічно послідовний; кожен коефіці-єнт отриманих рівнянь є таким, який легко сприймається і трактується з фізичної точки зору.

У подальшому щодо вказаних проблем бу-де викладено варіаційні методи на основі принципу можливих переміщень, а також роз-глянуто нові задачі про коливальні процеси.

Я.Ф. Каюк

ЗАДАЧА О МОДЕЛИРОВАНИИ РАКЕТЫ БАЛКОЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРИВЕДЕННЫМИ ХАРАК-ТЕРИСТИКАМИ

Сформулированы основные предположения, с помощью которых удлиненную ракету можно мо-делировать балкой с переменными массоинер-ционными, геометрическими и жесткостными ха-рактеристиками. Предложен подход, позволяю-щий не только формулировать основные теоре-мы динамики для ракеты-балки, а и в явном виде получать формулы для вычисления реактивных и вариационных сил. На основе доказанных тео-рем показано, как можно формулировать различ-ные варианты линейных и нелинейных уравне-ний движения ракеты-балки. Для примера полу-чены нелинейные уравнения совместных про-дольно-изгибных колебаний в плоскости тангажа.

Ya.F. Kayuk

THE ROCKET MODELING PROBLEM ON A BEAM WITH REDUCED VARIABLE CHARACTER-ISTICS

The study under consideration deals with construct-ing the rocket model using a beam with the reduced variable characteristics. It is assumed that the lengthening rocket may be modeled on the beam with the variable mass inertial, geometric, and rigid characteristics. Using the proposed technique, the basic theorems in dynamics for the rocket-beam, as well as the reactive and variational formulas, are received. Based on the theorems proved, different variants of linear and nonlinear equations of motion may be formulated. Finally, the nonlinear equations of the coincident longitudinal and flexural vibrations in pitch plane are obtained.

1. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета бес-

пилотных летательных аппаратов: Учебн. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностро-

ение, 1973. — 616 с.

2. Динамика ракет: Учебник для студентов / К.А. Абга-

рян, Э.Л. Калязин, В.П. Мишин и др.; Под общ. ред. В.П. Мишина. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Ма-

шиностроение, 1990. — 464 с.

3. Собрание трудов академика А.Н. Крилова. Т. Х: Виб-рация судов. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. —

С. 364—398.

4. Тимошенко С.П. Колебание в инженерном деле. —

М.: Наука, 1957. — 442 с.

5. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. — К.: Наук.

думка, 1972. — 502 с.

6. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. — М.: Мир,

1976. — 516 с.

7. Каюк Я.Ф., Ахмедов А. Пространственные движения

цилиндрического тела переменной массы на упругом подвесе // Прикл. механика. — 1992. — 28, 7. —

С. 62—69.

8. Каюк Я.Ф., Шекера М.К. Нелинейные колебания тел

вращения переменной массы // Вісник Донецького університету. Сер. А. Природничі науки. — 2003. —

Вип. 1. — С. 24—88.

Рекомендована Радою НАЦ критичних технологій навігаційного приладобудування НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції 4 березня 2008 року


УДК 621.317

В.І. Колосов, В.І. Губар

ЧАСТОТНА ПОХИБКА ВИМІРЮВАННЯ СЕ-РЕДНЬОКВАДРАТИЧНОЇ НАПРУГИ ПРИСПЕКТРАЛЬНО НАСИЧЕНИХ СИГНАЛАХ

Вступ

Поява великої кількості різноманітних формзмінних електричних сигналів, параметри інтен-сивності яких служать джерелом інформації простан різних об’єктів, пожвавило розвиток вольт-метрів середньоквадратичної напруги (СКН) іпідвищення вимог до точності їх вимірювань. То-му актуальним є знаходження оцінок широкопо-лосності (активної смуги) спектра сигналів, підякою розуміють смугу частот, де зосереджена пе-реважна частина енергії сигналу.

Такі оцінки необхідні розробникам для сві-домого удосконалення структури і схемотехнікивольтметрів, а також для обґрунтованого встанов-лення норм на допустимі значення похибок, ви-кликаних непроходженням частини спектра, щознаходиться за межами робочого діапазону час-тот вольтметра.

Не менш зацікавлені у визначенні таких по-хибок і користувачі, які на сьогодні не мають ні-яких рекомендацій щодо укладальності спектрасигналів у робочу область частот вольтметра.

Все різноманіття праць, присвячених визна-ченню активної смуги спектра сигналів, можнарозділити на дві групи:

• оцінка широкополосності за часовими ха-рактеристиками сигналів;

• оцінка широкополосності безпосередньо вспектральній області.

У першій групі праць через складність зв’яз-ку спектральних функцій сигналів з їх часовимихарактеристиками [3–5] оцінка широкополосностіспектра сигналів зводилася до прагнення знай-ти найбільш прості візуальні часові параметри.Наприклад, у праці [6] пропонується визначитиоцінку широкополосності сигналів за макси-мальними значеннями функції часу і її похід-ної, а в [7] – за тривалістю імпульсів на рівні 0,1від амплітудного значення. Однак такі оцінкиздатні охарактеризувати тільки властивості сигна-лів, а спотворення сигналів, що виникають припередачі через тракт, відображаються дуже сла-бо, оскільки останні залежать не тільки відвластивостей сигналів, але й від характеристи-ки тракту [8].

У другій групі праць [9–15] для визначен-ня активної смуги спектра сигналів викорис-товують П-подібну форму амплітудно-частотноїхарактеристики (АЧХ) вхідного тракту вольтмет-ра, вважаючи, що саме ідеальне обмеження спект-ра створює оцінку зверху для можливої частотноїпохибки.


Актуальним є отримання частотних похи-бок в аналітичному вигляді, доведених до інженер-них розрахунків, що враховують параметри сиг-налів і АЧХ тракту вольтметра в явному вигляді.


Домінуючою похибкою широкосмуговихвольтметрів СКН є їх частотна похибка. Згідноз нормативною документацією [1, 2] вона ви-значається як відхилення амплітудно-частотноїхарактеристики вольтметра від ідеальної П-по-дібної АЧХ (рис. 1):

ωω − ω

δ =ω

0

0

( ) ( )( )

К КК

,

де К(ω0), К(ω) – коефіцієнти передачі вольт-метра відповідно на нормованій середній часто-ті ω0 і на проміжних частотах ω. Діапазон час-тот обмежується верхньою частотою ωв. Так, як-що спектр вхідного сигналу знаходиться в діапа-зоні ω0–ωв, то максимальна похибка не переви-щує нормовану похибку δн.

В той же час енергетичні спектри більшос-ті вимірюваних періодичних сигналів мають тео-ретично необмежену протяжність і можуть знач-но перевищувати обмежену верхню частоту ωв.При цьому виникає додаткова похибка від втра-ти сигналу, спектр якого перевищує нормовану

Рис. 1. Нормована частотна похибка δн вольтметрів СКН

Реальна АЧХ

П-подібна АЧХ

2δн

ω0( )K

ω( )K

ω0 ωв ω


верхню частоту ωв. Таким чином, загальна частот-на похибка вимірювання СКН з П-подібноюАЧХ вольтметрів має визначатись як

∞

ωω > ω

δ ≈ δ − ∑в

2 2н /n xU U , (1)

де Ux – середньоквадратичне значення напругивхідного сигналу; Un – середньоквадратичне зна-чення напруги n-ї гармоніки.

Друга складова похибки у формулі (1) маємаксимальне значення при П-подібній АЧХ трак-ту вольтметра. У реальних вольтметрах АЧХ маєпродовження після ωв, тому друга складова по-хибки буде дещо меншою, але невідомою, бо“хвіст” АЧХ є нестабільним, різним для вольт-метрів і не нормується.

У табл. 1 наведено відомі форми поданнячастотних похибок вольтметрів при обмеженніспектра сигналів. У формулах табл. 1 викорис-тані такі позначення:

Ux – середньоквадратичне значення напру-ги вхідного сигналу;

Un – середньоквадратичне значення напру-ги n-ї гармоніки;

δn – частотна похибка для n-ї гармоніки відАЧХ тракту вольтметра;

Ka = Ua/Ux – коефіцієнт амплітуди як від-ношення амплітуди сигналу до його середньо-квадратичного значення;

α = ti/T – коефіцієнт заповнення імпульсівяк відношення тривалості імпульсів до їх періоду;

N = ωв/ω1 – відношення верхньої частотиП-подібної АЧХ тракту вольтметра до першої гар-моніки сигналу.

Таблиця 1. Відомі форми подання частотної похибки вольтметрів

Вид сигналу Форма АЧХ Частотна похибка Література

Не обумовлений Не обумовлена ∞

=

δ∑ 22

1

12 n n

nx

UU

[16]

Прямокутний Не обумовлена ∞−

=

δπ −∑ 2 1

2 21

8(2 1)

n

n n

[17, 18]

Прямокутний П-подібна

=

+ π−

+π∑

22

2 21

2(1 ) 1sin 1

12

Na

n aa

K nn KK

Графічні залежності

[9, 16, 19, 20]

Не обумовлений П-подібна

=∞

=

+−

+

∑

∑

2 21

2

2 21

2

1

N

nn

nn

U U

U U

[12]

Прямокутний П-подібна Графічні залежності [11, 14]

Трапецієподібний П-подібна Графічні залежності

Табличні залежності

[11]

[10]

Не обумовлений П-подібна з нахиломвершини у вигляді ариф-

метичної прогресії

bn = 1 + r (n − 1),r – різниця прогресії

= =∞

=

−∑ ∑

∑

2 2

1 1

2

1

( )

2

N N

n n nn n

nn

U U b

U

[21]

Прямокутний П-подібна

=

πα− α + πα

∑2

21

sin1 1 2

( )

N

n

nn

Графічні залежності

[15]

Радіоімпульсний П-подібна Графічні залежності

Табличні залежності

[13]

[10]


Недоліком наведених у табл. 1 аналітичнихвиразів є те, що вони даються у вигляді сумфункціональних рядів. Така форма подання по-хибок, як зазначалось у [20], вимагає трудомісткоїпроцедури додавання великої кількості (кілька со-тень) членів ряду, що утруднює практичне ви-користання формул.

Виразам на основі функціональних рядіввластивий і більш істотний недолік [4]: відсут-ність явно вираженої функціональної залежнос-ті похибок від параметрів вимірюваного сигна-лу і тракту передачі. Це не дозволяє проводитианаліз аналітичними методами, а також порів-нювати значення похибок при різних формахсигналів.

Безумовно, провести теоретичне досліджен-ня і сформувати вираз для похибки для нескін-ченної кількості форм сигналів неможливо. Втой же час дослідження похибок навіть для об-меженої кількості форм сигналів дозволяє вия-вити досить цікаві та цінні закономірності впли-ву параметрів сигналів і властивостей тракту їхпередачі, які будуть корисними розробникам іспоживачам вольтметрів.

Частотні похибки при вимірюваннісередньоквадратичної напруги

Дослідження частотних похибок розгляда-ється для групи найбільш поширених сигналів,які охоплюють сигнали, що мають дуже широ-кий і зосереджений спектри (табл. 2).

Таблиця 2. Найбільш вживані спектрально-насичені сигнали вольтметрії

Форма сигналу Аналітичний описДискретний спектр періодичного сигналу

S (пα)

Прямокутна 1 при ≤ /2it t

0 при > /2it t

παπ

sin2 n

n

ω1ti = 2πα

Експоненційна − − τ1 exp( / )t при < ≤0 /2it t

− − − τ1 exp[ ( /2) / ] приit t

> /2it t , = τ6it

πα

π + πα 2

sin /22

1 ( /3)

n

n n

ω1ti = 2πα

Косинус-зворотна π−1 sin

i

tt

при ≤ /2it t

0 при > /2it t

πα α −απ − α 2

sin /2 141 2( )

n n

n

ω1ti = 2πα

Трикутна −1 2 / it t при ≤ /2it t

0 при > /2it t

πα π α

2

2

4 sin /2nn

ω1ti = 2πα

Косинусоїдальна πcos

i

tt

при ≤ /2it t

0 при > /2it t

πααπ − α 2

cos41 2( )

n

n

ω1ti = 2πα


Точність вимірювань залежить від двох фак-торів: інструментальної похибки вольтметра іспектра вхідної напруги. При цьому важливаузгодженість активної смуги спектра вхідноїнапруги і амплітудно-частотної характеристикивольтметра. Якщо така узгодженість відсутня, товиникають значні похибки вимірювання й на-віть промахи, про які оператор чи дослідник мо-же навіть і не здогадуватися.

При передачі спектрально насичених сиг-налів через вхідний тракт вольтметра з П-по-дібною АЧХ виникає частотна похибка, зумов-лена втратою частини спектра за межами часто-ти (ωв), межі смуги пропуску [9, 21]:

=ω ∞

=

α

δ = −α

∑

∑

2

1

2

1

( )

1( )

N

n

n

S n

S n

, (2)

де α( )S n – дискретний спектр періодичного сиг-

налу; n = ωn/ω1 – відношення частот n-ї і пер-шої гармонік сигналу.

Для того щоб частотна похибка не вносилаістотного вкладу в результати вимірювання СКН,необхідно оцінити, як активна смуга спектра(ω1 ... ωв) сигналу [5], в якому зосереджена ваго-ма частина потужності, вкладається в робочий діа-пазон частот (ω0 ... ωв) вольтметра [9, 22].

Визначення активної смуги спектра сигна-лів – досить складне завдання [9], бо параметрN, який характеризує її кількісно, у виразі (2) єіндексом підсумовування великої розмірності. Од-на з методик [21] визначення активної смугиспектра, що ґрунтується на знаходженні коефі-цієнтів ряду Фур’є і послідовному обчисленні ве-

ликої кількості (до кількох тисяч) часткових сум,досить яскраво характеризує цю трудомісткість.

Функціональний зв’язок індексу підсумо-вування N з параметрами сигналу і розміром час-тотної похибки, що виникає, має скритий ха-рактер. З цієї причини отримати аналітичний ви-раз відносно шуканого параметра N не вдаєтьсяі результати численних розрахунків зображаютьсяу вигляді графічних залежностей [9].

Для отримання функціональної залежностіδω = ϕ(N) в явній формі необхідно y формулі (2)привести суми рядів до так званого замкнутоговигляду [23]. Суми нескінченних рядів, з якихскладається знаменник (2), приводяться до замк-нутого вигляду достатньо добре відпрацьованимиметодами гармонічного синтезу [23]. Разом з тим,отримання суми обмеженого ряду в чисельнику(2) становить певні труднощі, бо потребує спе-цифічного методу, якісно іншого, ніж методисинтезу нескінченних рядів.

Розглянемо один із підходів, здатний отри-мати наближену залежність δω ≈ ϕ(N ) в явномувигляді.

Перетворимо вираз (2) переходом від част-кової суми обмеженого ряду до його залишку:

∞

ω ∞

=

αδ ≈ −

α

∑

∑

2

2

1

( )12

( )

N

n

S n

S n. (3)

Числовий аналіз останнього виразу дово-дить, що при значеннях похибки ωδ <0,1 індекс

підсумовування набуває значення N > 10.При таких умовах, враховуючи, що в резуль-

таті квадратування дискретного спектра сигналу

Кінець табл. 2

Форма сигналу Аналітичний описДискретний спектр періодичного сигналу

S (пα)

Косинус-квадратна π2cosi

tt

при ≤ /2it t

0 при > /2it t

πα

π − α 2

sin1[1 2( ) ]

n

n n

ω1ti = 2πα

Дзвонувата − τ2 2exp( /2 )t

ti = 4τ

απ − πα 22 exp[ ( / 2) / 2]

2n

ω1ti = πα/2


завжди отримують додатно збіжний ряд, можнадати кількісну оцінку залишкові ряду, викорис-товуючи подвійну нерівність з інтегральної озна-ки збіжності рядів Коші [24]:

∞ ∞∞

=+

α < α < α∑∫ ∫2 2 2

1

( ) ( ) ( )n NN N

S n dn S n S n dn . (4)

Звідси видно, що при великих значеннях пара-метраN (N >10) досить добрим наближенням є:

∞∞

=

α ≈ α∑ ∫2 2( ) ( )n N N

S n dn S n dn . (5)

Заміна залишку суми невласним інтеграломвідкриває гарантовану можливість знаходженнярозв’язків, оскільки для нього існує асимптотич-не наближення [25].

Похибку прийнятого в (5) наближення мож-на оцінити як половину різниці меж нерівності(4), віднесену до інтеграла (4):

∞ ∞

+δ ∞

α − α

∆ <

α

∫ ∫

∫

2 2

1

2

( ) ( )12

( )

N N

N

S n dn S n dn

S n dn

. (6)

Використовуючи запропоновану методику,розглянемо приклад знаходження частотної по-хибки від обмеження спектра сигналу прямокут-ної форми.

Формула похибки (3) після підстановкиспектральної густини прямокутного сигналу (див.табл. 2) набуває вигляду

∞

=ω ∞

=

πα

δ ≈ −πα

∑

∑

2

2

2

21

sin

12 sin

n N

n

n

n

n

n

. (7)

Нескінченна сума в знаменнику (7) у замк-нутому вигляді [23] запишеться так:

∞

=

πα π α − α=∑

2 2

21

sin (1 )2n

n

n. (8)

Залишок суми в чисельнику (7) замінимозгідно з формулою (5) інтегралом, виконавшипри цьому тотожне перетворення:

∞∞

=

πα πα≈ =∑ ∫

2 2

2 2

sin sin

n N N

n ndn

n n

∞ ∞ πα= −

∫ ∫2 2

1 cos22

N N

dn ndn

n n. (9)

Для першого інтеграла, що має монотонноспадну підінтегральну функцію, розв’язок зна-ходиться елементарно:

∞

=∫ 2/ 1/N

dn n N . (10)

Для другого інтеграла, де підінтегральний ви-раз має знакозмінний коливально-спадний харак-тер, точного розв’язку нема, але при великих на-сиченнях N.>.10 можна скористатись наближе-ним асимптотичним розкладом для невласнихінтегралів у знакопереміжний ряд [3]:

∞ πα πα πα= − + +

πα πα∫ 2 2 3

cos2 sin2 cos2...

2N

n N Ndn

n N N(11)

Порівнюючи (10) і (11), бачимо, що приумові N > 10 і Nα > 5 коливально-спадна скла-дова (11) значно менша монотонно спадної (10),тому для виразу (9), опускаючи (11), можна на-ближено записати

∞

=

πα≈∑

2

2

sin 12n N

nNn

. (12)

Виконавши підстановку (8) і (12) в (7),отримаємо наближений вираз частотної похиб-ки від обмеження спектра прямокутного сигналу:

ωδ ≈π α − α2

1

2 (1 )N. (13)

З останнього виразу отримаємо активну сму-гу спектра прямокутного сигналу:

α ≈π δ α − α2

1

2 (1 )f

N . (14)

Тепер на основі нерівності (4) оцінимо по-хибку наближення (12), яка буде справедливоюі для формули частотної похибки (13) в цілому.

Залишок ряду (9) згідно з виразом (4) об-межений подвійною нерівністю:

∞ ∞∞

=+

πα πα πα< <∑∫ ∫

2 2 2

2 2 21

sin sin sin

n NN N

n n ndn dn

n n n. (15)

Верхня межа нерівності (15) включає всебе розв’язок інтегралів (10) і (11), причому востанньому з них досить обмежитися викорис-танням тільки першого доданка, тому


∞ πα<∫

2

2

sin

N

ndn

n

πα < + < + πα πα2 2

1 sin2 1 12 24 4

NN NN N

. (16)

Нижню межу нерівності (15) отримаємо ана-логічно (16), змінивши N на (N + 1):

∞

+

πα + πα > − > + + πα ∫2

2 21

sin 1 sin2( 1)2( 1) 4( 1)N

n Ndn

Nn N

> − + + πα 2

1 12( 1) 4( 1)N N

. (17)

Таким чином, підставивши нерівності (16)і (17) у вираз (15), можна визначити межі, в якихзнаходиться точне значення залишку ряду:

∞

=

πα − < < + + πα ∑

2

2 2

1 1 sin2( 1) 4( 1) n N

nN N n

< + πα2

1 12 4N N

. (18)

Похибка наближення згідно з формулою(6) не перевищує половини різниці меж нерів-ності (18), віднесеного до наближеного значен-ня (12):

δ∆ < + πα πα(1 )/2N . (19)

На рис. 2 наведено графічні залежності час-тотної похибки від обмеження спектра прямо-кутного сигналу, отримані додаванням членів ря-ду у формулі (2) і наближеною формулою (13) длязначень α = 0,01, α = 0,1 і α = 0,5. На кривих,отриманих додаванням членів ряду, видно при-сутність коливально-спадної складової, але роз-мір її невеликий, так що відхилення від кривихза наближеними формулами при N > 10 і Nα > 5не перевищує ±(2–3)%.

На рис. 3 зображено коливально-спадну по-ведінку похибки наближення формули (13) від-носно точних значень, отриманих обчисленнямсум у формулі (2), а також криві меж похибокнаближення за формулою (19). Близьке розташу-вання кривих меж до вершин коливально-спад-ної похибки наближення підтверджує правиль-ність оцінки наближення (19).

Ступінь наближення значень активної сму-ги спектра Nα, отриманих із виразу (14), пе-ревірявся при δf = 1% порівнянням із точнимизначеннями, розрахованими за формулою (7)за допомогою суми членів ряду для десяти зна-чень α в межах 0,01 ≤ α ≤ 0,5. Результати порів-

няння, наведені в табл. 3, підтверджують добренаближення з похибкою за оцінкою, даною в(19), не більшою за ±(6–8)%, а реально щеменшою – ±3,5%.

Частотні похибки від обмеження спектрасигналів найбільш поширених форм знайдено заданою методикою і наведено в табл. 4. Тут же да-ються похибки наближення за формулою (6). Ре-альна похибка наближення при N > 10 і Nα > 5порівняно з точною формулою (1) становить небільше ±3%.

Рис. 2. Порівняння частотних похибок, зумовлених обме-женням спектра прямокутного сигналу, отрима-них: додаванням членів ряда у формулі (7) – суціль-ні лінії; за наближеною формулою (13) – штрихо-ві лінії

1⋅1031000,01

δω, %

α = 0,01

0,1

0,5

0,1

1

10

101

Рис. 3. Поведінка похибки наближення формули (13) (су-цільна лінія), оцінка похибки наближення форму-лою (19) (штрихові лінії) при α = 0,01

∆δ, %

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

1⋅104100 1⋅103

N = ωвω1

N = ωвω1


Аналіз залежностей табл. 4 доводить, що ви-значальний вплив на частотну похибку справляєдобуток Nα. Якщо розкрити зміст цього добутку,тобто

ω ωα = =

ω πв в

1 2i it t

NT

, (20)

то він узагальнює в собі спектральні і часові ха-рактеристики сигналу і тому по праву може бу-ти названим узагальненим параметром сигналу[27, 28].

Як видно з отриманих виразів, властивостісигналів відображені через коефіцієнт заповнен-

Таблиця 3. Похибки наближенного визначення активної смуги спектра сигналів прямокутної форми (при δω = −1%)

Коефіцієнтзаповненняімпульсів, α

Узагальненийпараметр Nα

Значення N 1, отриманічисловим методомза формулою (7)

Наближені значенняN 2, отримані

за формулою (12)

Оцінка похибки на-ближення ∆δ, отрима-

наза формулою (19), %

Реальнапохибка

наближенняN 1/N 2 −1, %

0,5 10,0 20 20,260 ±8,18 +1,30

0,2 6,40 32 31,660 ±8,10 −1,06

0,1 5,50 55 56,280 ±7,60 +2,30

5,88⋅10−2 5,41 92 91,500 ±6,97 −0,54

3,85⋅10−2 5,39 140 136,90 ±6,60 −2,20

2,7⋅10−2 5,35 198 192,65 ±6,45 −2,70

2,0⋅10−2 5,32 266 258,50 ±6,36 −2,80

1,5⋅10−2 5,18 345 334,44 ±6,43 −3,06

1,2⋅10−2 5,29 434 420,54 ±6,25 −3,10

9,9⋅10−3 5,29 534 516,78 ±6,20 −3,22

Таблиця 4. Частотні похибки при обмеженні спектра сигналів

п/п Форма сигналу Частотна похибка ωδ Похибка наближення форми ∆g

1 Прямокутна

π α − α2

12 (1 )N

+ πα±

πα12N

2 Експоненційна

π α − α4 3

12

( ) (1 3 /4)9

N±

3 12 N

3 Косинус-зворотна

π −π π − α − α π π −

23

1

2( 2)6 (3 8)( ) 1

(3 8)N

+ π α±

π α

2

2

3(4 )2 ( )

NN

4 Трикутна

π α − α4 3

12

( ) (1 3 /4)3

N

+ πα±

πα8 32N

5 Косинусоїдальна

π α − α π2 3 2

112 ( ) (1 8 / )N

+ πα±

πα3 (1 )2 N

6 Косинус-квадратна

π α − α2 5

115 ( ) (1 2 /3)N

+ πα±

πα5 (1 )2 N

7 Дзвонувата − π απ π α − πα

2exp[ ( /2) ]

(1 /2)

N

N π α

± − −

21 ( )1 exp

2 2N


ня імпульсів α = t i/T, а властивості каналу пе-редачі, що обмежують спектр, – через параметрN = ωв/ω1.

Кількісна відмінність частотної похибки, щовиникає для різних форм сигналів, зумовлена ін-дивідуальною функціональною залежністю похиб-ки від узагальненого параметра δω = ϕ(Nα), щозображено на рис. 4. Найбільшу похибку викли-кає обмеження спектра сигналів прямокутноїформи, найменшу – дзвонуватий.

Залежності δω = ϕ(Nα) мають спадний харак-тер з різною швидкістю згасання для кожної ізформ сигналів. Як видно, повільніше за всіхзгасає функція для прямокутного сигналу і най-швидше – для дзвонуватого. Це свідчить проширокий спектр у першого сигналу і зосеред-жений – у другого.

Своєрідний характер кривих на рис. 4 пока-зує, що при оцінці похибок для вузькосмуговихсигналів необхідно бути обережним. Маленька не-точність у бік підвищення значення узагальнено-го параметраNα (через неточні відомості про час-тоту ωв або тривалість імпульсів ti) може приз-вести до багатократного заниження частотної по-хибки, що виникає, порівняно з реально існу-ючою.

Завдяки явному вигляду залежності похиб-ки від частоти обмеження спектра ωв (через па-раметр N ) у виразах табл. 4, неважко перейти доформул для активної смуги спектра, які наве-дені в табл. 5.

На рис. 5 зображено залежності активної сму-ги спектра (при втраті 1% СКН за межами сму-ги) від коефіцієнта заповнення імпульсів α длягрупи сигналів, що ввійшли в табл. 5. Ці кривіможуть бути надто корисними в практиці опе-ративної оцінки вкладуваності спектра сигналув робочий діапазон частот вольтметра.

Необхідно зазначити, що при визначенніактивної смуги спектра мінімальне значення ко-ефіцієнта заповнення імпульсів αmin обмежуєтьсявластивістю тракту передачі пропускати сигнализ максимальним коефіцієнтом амплітуди (Ка).

При практичних вимірюваннях можлива си-туація, коли оператор не має достатньої інформа-ції про параметри вхідної напруги і не може ско-ристатись даними табл. 4, 5 та рис. 4, 5. Це мо-же призвести до появи похибок, що значно пе-ревищують нормовані.

Таблиця 5. Активна смуга спектра сигналів

п/п

Форма сигналу Активна смуга спектраN = ωв/ω1

1 Прямокутна

ωπ δ α − α2

12 (1 )

2 Експоненційна

ωπα π − α δ3

1

2(1 3 /4)

9

3 Косинус-зворотна

ω

π −α π π − − α δ π π −

2

3

1

2( 2)6 (3 8) 1

(3 8)

4 Трикутна

( ) ωπα π − α δ3

1

21 3 /4

3

5 Косинусоїдальна

ωα π − α π δ2 23

1

12 (1 8 / )

6 Косинус-квадратна

ωα π − α δ23

1

15 (1 2 /3)

7 Дзвонувата λλ − πα λ + λ

2 ln1

2 (1 1 2 ),

де ωλ = − πδ − παln[ (1 /2)]

10

1

0,1

0,01

100Nα = ωвti/2π

δω, %

Рис. 4. Частотні похибки при обмеженні спектра сигналів(α = 0,01). Нумерація відповідає порядковому но-меру форми сигналу в табл. 4

1010,001

1

2

3

4

6

57


Для уникнення такого режиму пропону-ється будувати вольтметри СКН за двоканальноюструктурною схемою (рис. 6). У такого вольтмет-ра, крім основного традиційного каналу (вхід-ного пристрою (ВхП), широкосмугового підси-лювача (ШП), лінійного перетворювача СКН(ЛПСКН) і відлікового пристрою (ВП)), є допо-міжний канал перетворення: високочастотнийпідсилювач (ВЧП), допоміжний лінійний пере-творювач (ЛПСКНд). Також є пристрій діленнядвох напруг U1, U2 та індикатор похибок (Ін).Амплітудно-частотна характеристика ВЧП маєпочинатись з частоти ωв і продовжуватись до(2–5)ωв.

Таким чином, при попаданні частини спектрасигналуUх за межі ωв на виході ЛПСКНд з’явитьсянапруга U2 і на виході індикатора буде відоб-

ражена похибка ωω > ω

δ =ω −ω

в

0 в

( )( )

UU

, де ω > ωв( )U ,

ω −ω0 в( )U – середньоквадратичне значення напруг

гармонік, що знаходяться за межами ωв і в ме-жах (ω0–ωв), відповідно.

Такий сигнал про похибку може бути вра-хований оператором або подальшим пристроємопрацювання інформації і дозволить уникнутипромахів при вимірюваннях. Створення допоміж-ного каналу для вольтметрів СКН в діапазоні 0–100МГц не є проблемним у сучасних умовах. На-приклад, теперішній ЛПСКН фірми ANALOGDEVICES має діапазон частот до 2,5ГГц. Є ви-сокочастотні підсилювачі, наприклад, в діапа-зоні ультракоротких хвиль. Вимоги по точності додопоміжного каналу незначні.

Висновки

У вольтметрах СКН частотна похибка маєдві складові: нормовану, яка зумовлена відхилен-ням АЧХ вольтметра від ідеальної П-подібноїАЧХ, і ненормовану, що з’являється при спект-рально насичених сигналах внаслідок втрати час-тини спектра сигналу за межами верхньої нор-мованої частоти ωв. Остання складова може бу-ти значною і перевищувати нормовану похибку.

Різноманіття спектрально насичених сигна-лів, що проходять через тракт вольтметра, у стат-ті запропоновано характеризувати параметромNα. Такий параметр поєднує в собі часові ха-рактеристики сигналу (α) та частотні властивос-ті тракту вольтметра (N ). Він є вирішальним фак-тором, що впливає на частотну похибку вольт-метрів.

Проаналізовано сім найбільш вживанихспектрально-насичених сигналів вольтметрії івизначена їх активна смуга частот та знайденочастотні похибки від обмеження їх спектра (див.табл. 4). Пропонується супроводжувати вольт-метри СКН таблицями і графіками частотноїпохибки для типових спектрально-насичених сиг-налів. Це дозволить робити вимірювання з міні-мальними похибками і уникнути промахів.

Для уникнення помилок при вимірюван-нях і автоматизації визначення похибок запро-

Рис. 6. Двоканальний вольтметр СКН з визначенням похибки від втрати вищих гармонік вхідної напруги

ВП

÷ Інδω

Uδ

U1

U2

UxВхП

ВЧП

ШП

ЛПСКНд

ЛПСКН

Рис. 5. Активна смуга спектра сигналів (втрата 1% СКН).Нумерація відповідає порядковому номеру формисигналу в табл. 5

N = ωв/ω

1000

0,01 0,1 1

100

10

1α = ti/T

1

23

45

6

7


поновано будувати вольтметри СКН за двока-нальною структурною схемою з індикацією час-

тотної похибки від втрати частини спектра вхід-ного сигналу.

лллллллллллллллллллллллллл

В.И. Колосов, В.И. Губарь

ЧАСТОТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ СРЕД-НЕКВАДРАТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕНИЯ ПРИСПЕКТРАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ СИГНАЛАХ

Исследованы частотные погрешности при измере-ниях среднеквадратических напряжений от потеричасти спектра входного сигнала из-за ограничен-ности амплитудно-частотной характеристики трак-та вольтметра.Найдены оценки таких погрешнос-тей для типичных сигналов и рекомендации дляих уменьшения.

V.I. Kolosov, V.I. Gubar

FREQUENCY ERROR OF RMS VOLTAGE FORSPECTRUM-SATURATED SIGNALS

The present study tackles the frequency error ofRMS Voltage induced by the partial loss of the in-put signal spectrum because of the limitations inthe amplitude-frequency characteristics of the con-version channel. We propose the estimation ofsuch errors for typical signals and provide recom-mendations for their decrease.

1. ГОСТ 8.009–84. “ГСИ. Нормируемые метрологические

характеристики средств измерений”. – М.: Изд-во стан-

дартов, 1984. – 42 с.

2. Методический материал по применению ГОСТ 8.009–

84. “ГСИ. Нормируемые метрологические характерис-

тики средств измерений” // Нормирование и исполь-

зование метрологических характеристик средств изме-рений. Нормативно-технические документы. – М.: Изд-

во стандартов, 1988. – С. 43–132.

3. Гуревич М.С. Спектры радиосигналов. – М.: Связьиз-

дат, 1963. – 312 с.

4. Заездный А.М. Гармонический синтез в радиотехникеи электросвязи. – Л.: Энергия, 1972. – 528 с.

5. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – М.: Физматгиз,

1962. – 224 с.

6. Заездный А.М. О связи структурных свойств сигнала сего полосой частот // Тр. учебн. ин-тов связи. – 1966. –Вып. 28. – С. 85–90.

7. Переверзев Л.А. Длительность импульса при оценке ши-

рины начальной части спектра // Измерительная тех-ника. – 1979. – 10. – С. 58–60.

8. Рубичев Н.А. Оценка и измерение искажений радио-сигналов. – М.: Сов. радио, 1978. – 168 с.

9. Волгин Л.И. К анализу погрешности измерения эф-

фективного значения напряжения, обусловленной огра-

ничением спектра сигнала // Вопр. радиоэлектроники.Сер.VІ. Радиоизмерительная техника. – 1963. – Вып.

8. – С. 137–142.

10. Исследование путей создания калибратора переменного

напряжения с изменяемым коэффициентом амплитуды:Отчет о НИР (заключит.) / МНИПИ– ГР У-18714;

Инв. Г-91921. – Минск, 1987. – Ч. 1. – 73 с.; Ч. 2. –

16 с.

11. Кацман Л.А. О правильном выборе и использовании

вольтметра для измерения действующих значений //Электроника. – 1976. – 6. – С. 31–35.

12. Крахмалин И.Г., Федоров О.В. Оценка дополнительной

погрешности при измерении токов и напряжений не-синусоидальной формы // Горьков. политехн. ин-т. –Горький, 1985. – 18 с. – Деп. в ВИНИТИ 26.03.85,

2804–85.

13. Сидоров В.А. Методы оценки погрешности от формы

кривой при измерении среднеквадратического и сред-

невыпрямленного значений переменных напряжений //

Методы и средства измерения, преобразования и обра-ботки информации: Сб. науч. трудов. – Таллинн: АН

ЭССР, 1986. – С. 67–78.

14. Deo P.V. RMS measurement of complex siqnals // J. Inst.Enq. (Іndia) Electron. and Telecommun. Eng. Div. – 1980. –60, N 3. – Р. 90–92.

15. Wong Y.I., Ott W.E. RMS - TO - DC Conversion // Func-tion circuits. Disign and applications. – N. Y.: McGraw-Hill

Book Company, 1976. – Ch. 4. – P. 126–176.

16. Огорелин М.А., Орнатский П.П., Толмачев Е.С. Изме-

рение электрических величин при несинусоидальных

токах и напряжениях // Изв. вузов СССР. Энергети-ка. – 1962. – 5, 7. – С. 25.

17. Туз Ю.М. Новый метод калибровки милливольтметров

амплитудных, действующих и средних значений //Там же. Радиотехника. – 1964. – 7, 4. – С. 512–

516.

18. Туз Ю.М., Есиков Ю.С., Попов А.С. Источник калиб-ровочного напряжения // Измерительная техника. –1973. – 9. – С. 42–44.


19. Волгин Л.И. Линейные электрические преобразовате-ли для измерительных приборов и систем. – М.: Сов.

радио, 1971. – 334 с.

20. Волгин Л.И. Проверка электронных вольтметров на до-

пускаемое значение коэффициента амплитуды или усред-нения // Измерительная техника. – 1970. – 3. –С. 65– 66.

21. Рудницкий Б.Л. Измерение нестабильности электричес-ких напряжений. – М.: Сов. радио, 1969. – 128 с.

22. Колосов В.И. Оценка укладываемости энергетического

спектра cигналов в рабочую область частот измеритель-

ного тракта // Системы контроля параметров радио-

электроннных устройств и приборов: Тез. докл. Респ.науч.-техн. конф. Секц. 2. – К., 1988. – С. 46–48.

23. Заездный А.М. Гармонический синтез в радиотехникеи электросвязи. – М.; Л.: Гос. энерг. изд-во, 1961. –

536 с.24. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. –

М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. – 870 с.

25. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. – М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987. – 52 с.

26. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков,О.И. Маричев. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит-ры,

1981. – 800 с.

27. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.:

Питер, 2003. – 608 с.

28. Основи теорії електричних кіл: У 3 кн. Кн. 2. Аналіз лі-

нійних електричних кіл. Частотна область / М.Б. Гу-мен, А.М. Гуржій, В.М. Співак; За ред. М.Б.Гумена. –К.: Вища шк., 2004. – 358 с.

Рекомендована Радою факультету авіа-ційних і космічних систем НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції21 cічня 2008 року


УДК 629.76

О.П. Мариношенко

ВИЗНАЧЕННЯ НАВАНТАЖЕНЬ ВІД ВЗАЄМО-ДІЇ КОНСОЛЬНОЇ БАЛКОВОЇ СИСТЕМИ ІНАБІГАЮЧОГО ПОВІТРЯНОГО ПОТОКУ

Вступ

Визначення навантажень від взаємодії ма-теріальних тіл з набігаючими потоками газів аборідин є важливою і актуальною задачею сьогоден-ня, особливо при проектуванні різного типу лі-тальних апаратів, технологічних машин та буді-вельних споруд. Задачі обтікання повітряним по-током твердих тіл, аеродинамічних профілів при-свячено велику кількість наукових досліджень ви-датних вітчизняних і зарубіжних вчених [1–3].У працях за даною тематикою розглядаються тазастосовуються різноманітні способи і підходищодо визначення навантажень від дії на меха-нічні об’єкти газових та рідинних потоків і вод-ночас з цим велика увага приділяється розглядудинамічної взаємодії вказаних потоків та меха-нічних об’єктів.


Метою даної статті є вивчення взаємодіїконсольної балкової системи з набігаючим по-вітряним потоком. При цьому розглядається тойфакт, що в консольній балковій системі можутьвиникати деформації, причиною яких є зроста-ючі зовнішні навантаження, що залежать відшвидкості набігаючого повітряного потоку. Та-кі зовнішні навантаження носять аеродинаміч-ний характер, тому їх визначення можна про-водити в деформованій і недеформованій конфі-гураціях. При цьому спочатку потрібно знаходи-ти розподілені навантаження, а потім визнача-ти інтегральні зведені характеристики.

Опис механічної системи, припущення ісистеми відліку

Об’єктом досліджень є консольна балковасистема (КБС) у вигляді крила літального апа-рата (ЛА). Розглянемо крило в початковій кон-фігурації С0 (недеформований стан). Конфігура-цію С0 визначимо таким чином: вважаємо, щона крило набігає з “нескінченності” потік повіт-ря, матеріальні частинки якого рухаються по пря-молінійних траєкторіях із сталою швидкістю V0.

Припускаємо, що до певного значення V0 кри-ло обтікається плавно, без зривів і істотних вих-рових рухів; при цьому в крилі виникають не-значні переміщення (лінійні і кутові), якими мож-на знехтувати. Вважаємо, що вказаний потік за-безпечує появу підйомної сили і тим самим по-літ літального апарата. Це – початковий станЛА.

Нехай y деякий момент часу швидкість по-вітряного потоку значно зростає і досягає кри-тичного значення *

0V , при якому на крило знач-но збільшується тиск, що нерівномірно розподі-ляється по всій поверхні крила. Через відсутністьпевної симетрії крила воно почне згинатись іодночасно закручуватись. Стан крила, який ви-никає при певній швидкості набігаючого потокуі спричиняє появу згинальних і крутильних пе-реміщень, називатимемо конфігурацією Ct. На-далі величини, які відносяться до деформовано-го стану, будемо позначати “∗”.

Вибираємо контрольний об’єм у формі ци-ліндра певного радіуса R, в якому розмістимо вка-зану КБС (рис. 1).

На рис. 1 Cxyz – інерціальна система коор-динат (СК) з ортами iz, jz, kz, початок якої зна-ходиться в кореневому перерізі КБС у цетрімас – точці C; Czxzyzzz – локальна системакоординат з початоком у точці Cz; Cz – точкаосі, що проходить через центри мас поперечнихперерізів КБС. Тоді локальну систему відліку вконфігурації Ct з початком в точці *

zC позна-

чаємо * * * *z z z zC x y z , а відповідні орти базису –

* * *, ,z z zi j k .

Рис. 1. КБС і контрольниий об’єм у вигляді циліндра

x

C

y

z zz

xz

yz


Сформулюємо основні співвідношення длявиділеного контрольного об’єму повітряного по-току в циліндричній СК з початком в точці C.Циліндричні координати позначаємо r, ϕ, z, aполярні координати довільної точки профілю навідстані z – ρ = ρ(ϕ), ϕ.

Використовуємо підхід Лагранжа для опи-су руху матеріальної частинки повітряного пото-ку. Введемо вектор переміщення матеріальної час-тинки U для випадку ортогональної, циліндрич-ної системи координат з ортами er, eϕ, ez:

U = Urer + Uϕ eϕ + Uz ez . (1)

Розглянемо довільний переріз КБС і конт-рольного об’єму (рис. 2).

На рис. 2 система координат C0xyz розмі-щена в кореневому перерізі; матеріальна частин-ка знаходиться на відстані z = const від площи-ни C0xy.

Припускаємо, що в момент часу t (t > 0) вконфігурації Ct контрольний об’єм не змінюєсвоїх розмірів і орієнтацію в просторі, а систе-ма координат C0xiyizi залишається нерухомою;крило здеформувалось, його поперечні перері-зи зайняли певне положення.

У праці [4] було встановлено формулу, якаописує залежність тиску набігаючого повітряно-го потоку на контур поперечного перерізу КБС(див. формулу (32) в [4]):

ϕ =( , )zp z

ϕ ∂∂− = ρ − ϕ − ϕ + ρ ∂ ∂

21 1

cos sin2 2

A r

A B

Up Unt t

∂∂ − + + − ρ ϕ ϕ ∂ ∂

% 2 22 1

4 ( )sinzz

BA

UU ng

t t n. (2)

Використаємо формули для визначення го-ловного вектора і головного моменту від сил тис-ку, які прикладаються до осі, що проходить че-рез центри мас поперечнох перерізів КБС [4]:

π∗′− ϕ ρ + ρ ϕ∫

22 20 0

0

( ) ( ( , ) )zh z p z d dzn , (3)

π

′− × ϕ ρ ϕ ρ + ρ ϕ∫2

2 2 2 *0 0 0

0

( ) ( ( , ) ( ) )p zh z p z d dzi n . (4)

Таким чином, підставивши у вирази (3),(4) співвідношення (2), отримаємо формули, задопомогою яких можна проводити розрахунокзалежності головного вектора і головного момен-ту від дії зовнішнього аеродинамічного наванта-ження, зведених до центра мас профілю довіль-ного перерізу КБС із врахуванням деформова-ності самого профілю.

Виведення уточненої формули для визначен-ня кута атаки для профілю КБС в деформова-ному стані

Розглядаємо процес обтікання профілю КБС(див. рис. 2).

З рис. 2 видно, що тангенс кута атаки

становить ⋅α

α = =α ⋅

sintg

cosi z

i z

j i

i i. Цю формулу може-

мо записати в загальному вигляді для деформо-ваного стану КБС, при цьому будемо викорис-товувати таблицю напрямних косинусів між ор-тами систем координат у деформованому і неде-формованому станах (конфігурації в C0 і Ct ), яканаведена в праці [5].

При цьому позначимо

= α + α +sin cos 0i z z zj i j k ,

= α + α +cos sin 0i z z zi i j k ,

∗ ∂υ= + + −

∂0

1 1(1 )z z z zc bz

i i j k .

Маємо

Рис. 2. Системи координат у вибраному перерізі КБС

M

yi y

xi

V0

γα

x

ϕρ(ϕ)

r

C0

Mk


∗α +

+ α +α = = = = =

+ α+ α+

1

1 11

1 1

1

tg(1 ) tg

tg 01 tg1 tg

(1 )

bc b

cb bc

α + + α + α ≈ α +221 1 1 1= tg tg tg tgb b b b . (5)

З формули видно, що вона не залежить відзгину в площині z z zC x y , оскільки відбувається

просторовий прямолінійний рух повітря із ста-лою швидкістю, а жорсткість в напрямі осі z zC x

вважаємо нескінченно великою ∂υ = = ∂

01 0; 0c

z;

υ = 0 0 .

Визначення підйомної сили, сили аеродина-мічного опору та аеродинамічного моменту

Визначимо аеродинамічну підйомну силуелемента крила товщиною dz. Розкладемо векторзовнішнього навантаження ∗n

dP по ортаx швид-

кісної СК. Осі цієї СК позначимо Cxv, Cyv, Czv,які будуть направлені паралельно осям вибраноїраніше інерціальної СК. Тоді підйомна сила ісила лобового опору виділеного елемента крилавизначатиметься так:

∗= ⋅ indY dP j , ∗= − ⋅ in

dR dP i , (6)

де ∗ndP – рівнодіюча сил від взаємодії КБС і на-

бігаючого повітряного потоку.Обчислимо dY i dR за раніше встановленими

формулами. Будемо використовувати формули(3), (4) для головного вектора і головного мо-менту аеродинамічних сил та вираз для визна-чення тиску (2), що діє на поверхню аероди-намічного контуру КБС. Нам необхідно визна-чити вектор зовнішньої нормалі n∗ (див. рис. 2)до поверхні КБС в деформованому стані і відоб-разити її компонентами в базисі циліндричноїсистеми координат з ортами er, eϕ, ez, початок якоїзбігається з початком СК, вибраної раніше. Дляцього, використовуючи таблицю напрямних коси-нусів між ортами i, j, k і i∗, j∗, k∗ [5], знаходимозовнішню нормаль n∗ до поверхні КБС в дефор-мованому стані

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∂ω≈ − + + −

∂0

1 1( ) ( )i j z i j z j zn n b n b n nz

n i j k , (7)

де ∗ ∗,i jn n – проекції на осі СК C0xiyizi зовніш-

ньої нормалі до поверхні аеродинамічного кон-

туру КБС в деформованому стані, які визнача-ються за формулами

∗ ′ρ ϕ ϕ − ρ ϕ ϕ=

′ρ + ρ2 2

( )sin ( )cosz zi

z z

n ,

∗ ′ρ ϕ ϕ − ρ ϕ ϕ=

′ρ + ρ2 2

( )cos ( )sinz zj

z z

n .

Вираз для нормалі n∗ в циліндричній СКмає вигляд

∗ ∗ ∗ ∗ ∗= − ϕ + + ϕ +1 1[( )cos ( )sin ]i z j z i z j z rn n b n b nn e

∗ ∗ ∗ ∗ϕ+ − − ϕ + + ϕ +1 1[ ( )sin ( )cos ]iz jz iz j zn n b n b n e

∗ ∂ω+

∂0

j z znz

e . (9)

Використовуючи вирази для головного век-тора і головного моменту сил тиску та форму-лу (9), записуємо вираз для головного вектора

∗ =ndP

π∗

′= − ϕ ρ ϕ ϕ − ρ ϕ ϕ ϕ + ∫2

0

( ) ( , )( ( )sin ( )cos )z z zh z p z d dz i

π∗

′+ ϕ ρ ϕ ϕ − ρ ϕ ϕ ϕ ∫2

0

( ) ( , )( ( )cos ( )sin )z z zh z p z d dz j ; (10)

компонентами розкладу ∗ndP в базисі (i∗, j∗, k∗) є∗,z zp , ∗

,z yp , ∗,z xp

З іншого боку, формулу (10) як в деформо-ваному, так і в недеформованому станах можназаписати у вигляді

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + + =, , ,( )z z z z y z z x zn

d p p p dzP k j i

= + + =, , ,( )z z z z y z z x zp p p dzk j i

∗ ∗

∂ω ∂υ = − − +

∂ ∂ 14444244443

,

0 0, ,

z z

z y z x z

p

p pz z

k

∗ ∗+ + + +14444244443

,

, 2 , 1( (1 ) )

z y

z y z x z

p

p b p b j

∗ ∗

+ + +

14444244443,

, 1 , 1( (1 ))

z x

z y z x z

p

p b p c dzi . (11)

(8)


Тоді для підйомної сили і сили лобового опоруотримаємо

∗ ∗= + + α +, 1 , 1[ (1 )]sinz y z xdY p b p c

∗ ∗+ + + α, 2 , 1[ (1 ) ]cosz y z xp b p b , (12)

∗ ∗= − + + α −, 1 , 1[ (1 )]cosz y z xdR p b p c

∗ ∗− + + α, 1 , 1[ (1 ) ]sinz y z xp b p b . (13)

Формула для головного моменту в проекціїна вісь Cz (орт *

zk ) має вигляд

∗ = − ×2( )n

d h zm

[ ]π

∗ρ ′× × ϕ ρ ϕ ρ + ρ ϕ =∫

22 2

0

( ( , ) ( ) )z zp z d dzi n

[π

∗ ′= − ϕ ρ ϕ ϕ −

∫2

2 2

0

( ) ( , )( ( )sinz zh z p zk

]′− ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ

2( )cos ) ( )z d dz (14)

або∗ ∗ ∗ ∗∂ω ∂υ

= = + + ≈∂ ∂

* 0 0* , , , ,n z z z z z z z z z z z zd m m m m

z zm k k j i

∗≈ = − ×2, ( )z z zm h zk

π ′× ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ϕ

∫2

0

[ ( , ) ( )( ( )cos2 ) ]zp z d dzk . (15)

Визначення густини повітряного потоку

Для визначення густини ρ набігаючого по-вітряного потоку, який діє на КБС в конт-рольному об’ємі, скористаємося рівнянням не-розривності

∂ρ+ ρ =

∂div 0

tV , (16)

де ∂

=∂tU

V – вектор швидкості матеріальних час-

тинок набігаючого повітряного потоку; U – век-тор переміщень матеріальної частинки набігаючо-го потоку, проекції якого на орти СК, що зв’яза-на з контрольним об’ємом, запишемо у вигляді

= ϕ + ζ ϕ + ϕ +

( ) ( )2 3

0 2 3

( ) ( )cos ( ) cos2 cos3

c c

r r

A t A tU V t z

r r

+ ϕ + ϕ +

( ) ( )2 3

2 3

( ) ( )sin2 sin3 ...

s sA t A t

r r,

ϕ ϕ

= ϕ + ζ ϕ + ϕ +

( ) ( )2 3

0 2 3

( ) ( )sin ( ) cos2 cos3

c cB t B tU V t z

r r

+ ϕ + ϕ +

( ) ( )2 3

2 3

( ) ( )sin2 sin3 ...

s sB t B t

r r, (17)

= ζ ϕ + ϕ +

( ) ( )2 3

2 3

( ) ( )( ) cos2 cos3

c c

z z

C t C tU z

r r

+ ϕ + ϕ +

( ) ( )2 3

2 3

( ) ( )sin2 sin3 ...

s sC t C t

r r.

Врахуємо вираз для визначення диверген-ції від вектора швидкості V у вибраній ранішециліндричній СК

ϕ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ϕ ∂ 3

1div ( ) ( ) ( )rrV V rV

r r zV

ϕ∂∂ ∂ = + + + ∂ ∂ϕ ∂ 31 r

r

VV VV r r

r r z. (18)

Після перетворень отримаємо

− τ∫ρ = ρ ≈0

div

0

td

eV

≈ ρ − τ = ρ ρ ϕ∫ 0 0

01 div ( , , , , )

td r z tV . (19)

Введемо безрозмірні параметри:

( )+ +

ρ= = ρ =

ρ

( ) ( )( )

1 10

, ,c s

sc m mm mm m

C CC C

R R,

ρ ϕ= ρ ϕ =

0

( ), ( ) zA

A z

PP

P b,

= = = = ωω0

0, , ,Vr z

r z V t tR l R

,

+ + + += = = =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1, , ,

c s c sc s c sm m m m

m m m mm m m m

A A B BA A B B

R R R R,

де ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,c s c s c sm m m m m mA A B B C C –коефіцієнти ап-

роксимацій для вектора переміщень; r – радіус-


вектор вибраної точки в середині контрольногооб’єму; R – радіус циліндричного контроль-ного об’єму; V0 – швидкість набігаючого повіт-ряного потоку; z – координата по осі Cz; l –довжина КБС; ω – парціальна частота згиналь-них коливань КБС; t – час; ρ0 – початкова гус-тина повітряного потоку, PA – початковий тискповітряного потоку; P0 – тиск незбуреного по-току; ρz(ϕ) – рівняння контуру аеродинамічногопрофілю у вибраній циліндричній системі коор-динат; b – довжина хорди профілю КБС.

Тоді з (19) отримаємо

− τ∫ρ = ρ = ρ ρ ϕ =0

div

0 0( , , , , )

td

e r z tV

ω= ρ ϕ − ζ ϕ − ω

( ) 30 2

0 3 3

( )2 cos ( ) cos2

c

r

A t RV R tz

rR r R

ϕ

− ζ ϕ =

( ) 32

3 3

( )2 ( ) sin2

cB t Rz

r R

= ϕ − ζ ϕ −( )

0 23

( )2 cos ( ) cos2

c

r

A tVt z

r r

ϕ− ζ ϕ( )2

3

( )2 ( ) sin2

cB tz

r,

де ζ r(z), ζϕ(z), ζ z(z) – безрозмірні коректуючіфункції.

Після перепозначення безрозмірних пара-метрів ( ) ( )( ), ..., , ... на ( ), ..., , ...c c

j jA t p A t p отрима-

ємо вираз для густини набігаючого повітряногопотоку в безрозмірному вигляді

ρ = ρ − ρ ϕ + ρ ζ ϕ +( )

0 20 0 03

( )2 cos ( )cos2

c

rA tV

t zr r

ϕ+ ρ ζ ϕ( )2

03

( )2 ( )sin2

cB tz

r. (20)

Отже, компоненти, що входять у вирази(10) і (15), визначаються за допомогою такихформул:

∗ = ×, ( )z yp h z

π × − ρ − ρ ϕ + ρ ζ ϕ +

∫

( )20 2

0 0 030

( )2 cos ( )cos2

c

r

A tVt z

r r

ϕ

+ ρ ζ ϕ ×

( )2

03

( )2 ( )sin2

cB tz

r

ρ− × + ω ϕ + ψ × ρ &2 2 2 2 20

0 1 10

1 1( ) [ cos 2 4 ( ) ( )]

2 2A

A

P nR V с t z

P

′× ρ ϕ ϕ − ρ ϕ ϕ ϕ( ( )cos ( )sin )z z d dz ,

∗ = ×, ( )z xp h z

π × − ρ − ρ ϕ + ρ ζ ϕ +

∫

( )20 2

0 0 030

( )2 cos ( )cos2

c

r

A tVt z

r r

ϕ

+ ρ ζ ϕ ×

( )2

03

( )2 ( )sin2

cB tz

r

ρ− × + ω ϕ + ψ × ρ &2 2 2 2 20

0 1 10

1 1( ) [ cos 2 4 ( ) ( )]

2 2A

A

P nR V c t z

P

′× ρ ϕ ϕ − ρ ϕ ϕ ϕ( ( )sin ( )cos )z z d dz , (21)

∗ = − ×2, ( )z zm h z

( )π × − ρ − ρ ϕ + ρ ζ ϕ +

∫

( )20 2

0 0 030

2 cos ( )cos2c

r

A tVt z

r r

( )ϕ

+ ρ ζ ϕ ×

( )2

032 ( )sin2

cB tz

r

ρ−× + ω ×ρ20

0

1 1( )

2 2A

A

P nR

P

× ϕ + ψ ×

&2 2 2 20 1 1[ cos 2 4 ( ) ( )]V c t z

( ) ′× ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ( ( )cos2 ) ( )z d dz .

Моделювання процесу обтікання

Для математичного моделювання конкрет-ної конструктивної схеми балкової системи тарозрахунку зовнішніх навантажень від дії набі-гаючого повітряного потоку, як профіль попе-речного перерізу КБС розглядатимемо симетрич-ний аеродинамічний профіль NASA 0012 одинич-ної довжини (рис. 3). Даний профіль вибранодля наочності та знання точного аналітичного ви-разу кривої, що його описує:

= − −(0,2969 0,1262t

y x x

− + −2 3 40,3561 0,2843 0,1015 )x x x . (22)

При t = 0,12 дана крива точно повторює фор-му профілю NASA 0012. Для подальшого моде-лювання зобразимо рівняння контуру попереч-ного перерізу КБС в циліндричній СК, сумістив-ши при цьому центр мас профілю поперечногоперерізу з початком вибраної циліндричної СК(рис 4).


Для розрахунку складових зовнішнього на-вантаження, що виникає від дії набігаючого по-вітряного потоку на КБС, скористаємося фор-мулами (10),(15),(21).

На рис. 5 (а, б, в) і 6 (а, б ) наведено ре-зультати математичного моделювання силових ха-рактеристик, що діють з боку повітряного пото-ку на поверхню КБС. Ці результати у вигляді гра-фіків відображають зміну зовнішніх навантаженьпри зміні швидкості набігаючого повітряного по-току та зміні його кута атаки, в тому числі за ра-хунок деформування КБС.

Рис. 3. Профіль поперечного перерізу КБС NASA 0012

0,1

0,05

0

−0,05

−0,1

Y/C

Х/C0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 4. Профіль поперечного перерізуКБС у циліндричній СК

90

270

180 0

60120

300240

0,6

0,4

0,230150

330210

1515

Рис. 5. Силові навантаження ∗,z xp , ∗

,z yp , ∗,z zm

∗,z zm∗

,z xp

V−1530

−10

−5

0

251050V3025201050V302520151050

∗,z yp

300

250

200

150

100

50

0

300

250

200

150

100

50

020

Рис. 6. Силові навантаження dY, dP

60

54

α

dY dP

504030100 2060 α504030100 20

52

50

48

46

44

42

40

38

36

54

52

50

48

46

44

42

40

38

а б в

а б


Висновки

Запропонований новий (уточнений ) під-хід дає можливість визначати силові фактори,які діють на поверхню КБС при безвідривному іплавному її обтіканні повітряним потоком. Длярозв’язання цієї задачі використовувався підхідЛагранжа, уточнений вираз для інтеграла Бернул-лі і деякі кінематичні характеристики, що опи-сують деформування КБС.

Одержаний уточнений вираз для визначен-ня розподілених по контуру поперечного пере-різу КБС навантажень враховує параметри се-

редовища, висоту, на якій відбувається рух КБС,і, що важливо, процес її деформування.

На основі проведених у статті дослідженьможна оцінювати зміну кута атаки при дефор-муванні КБС. Отримані вирази дають змогу ви-значати головний вектор і головний момент віддії сил тиску, викликаних набігаючим повітря-ним потоком.

У подальших працях автора будуть проведе-ні дослідження щодо розв’язання систем дифе-ренціальних рівнянь, які описують динамікувзаємодії КБС і набігаючого повітряного пото-ку.

А.П. Мариношенко

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК ОТ ВЗАИМОДЕЙСТ-ВИЯ КОНСОЛЬНОЙ БАЛОЧНОЙ СИСТЕМЫ ИНАБЕГАЮЩЕГО ВОЗДУШНОГО ПОТОКА

Дана постановка и метод решения задачи, содер-жание которой отображается в заголовке. Сфор-мулированы основные соотношения для опреде-ления распределенной внешней аэродинамиче-ской нагрузки на консольную балочную системуот действия набегающего воздушного потока. С ис-пользованием этих соотношений получены фор-мулы для определения давления воздушного по-тока на поверхность деформируемой консольнойбалочной системы. Выведены формулы для рас-чета приведенных к центру масс аэродинамичес-кого профиля главного вектора и главного мо-мента от действия набегающего воздушного по-тока.

O.P. Marynoshenko

LOADINGS CALCULATION FROM THE INTERAC-TION OF A CANTILEVER BEAM SYSTEM WITHAN INCOMING AIRFLOW

The objective of the paper under scrutiny is to cal-culate the loadings from the interaction of a cantile-ver beam system with an incoming airflow. To achi-eve this, the basic ratios for the calculation of thedistributed external aerodynamic loading on the can-tilever beam system from the interaction with theincoming airflow are formulated. Using these ratios,the formulas for the determination of the airflowpressure on the deformed cantilever beam systemare proposed. Finally, the formulas for the calcula-tion of the basic vector’s centralized air masses ofthe airfoil profile arbitrary sections and the principalmoment of the interaction of the cantilever beamsystems with the airflow are obtained.

1. Бесплингхофф Р.Л., Эшли Х., Халфмэн Р.Л. Аэроупру-гость. – М.: Наука, 1958. – 968 с.

2. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. – М.: На-

ука, 1985. – 568 с.

3. Scanlan R.H., Tomko J.J. Airfoil and Bridge Deck FlutterDerivatives // J. of Engineering Mechanics, ASCE. –1971. – 97. – Р. 1717–1737.

4. Каюк Я.Ф., Мариношенко О.П. Визначення величин тис-

ку повітряного потоку на поверхню крила з врахуванням

його деформованості // Сучасні проблеми аналітич-

ної механіки: Зб. праць Ін-ту математики НАН Укра-їни. – 2006. – 1, 2. – С. 90–105.

5. Каюк Я.Ф., Мариношенко О.П. Метод побудови харак-

теристик напруженного і деформованого стану криллітаків // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2004. – 3. –С. 83–89.




УДК 629.783

О.М. Мелащенко, Л.М. Рижков

ДОСЛІДЖЕННЯ ГРАВІТАЦІЙНО-МАГНІТНОЇСИСТЕМИ СТАБІЛІЗАЦІЇ МІКРОСУПУТНИ-КА З ОЦІНЮВАННЯМ ФАЗОВОГО ВЕКТОРАФІЛЬТРОМ КАЛМАНА

Вступ

Прагнучи зменшити собівартість і масово-габаритні показники мікросупутників (МС),відмовляються від використання в їх системахорієнтації та стабілізації (СОС) прецизійних дат-чиків кутової швидкості, що, в свою чергу.значно ускладнює задачу отримання високиххарактеристик за точністю таких систем. У зв’язкуз цим виникає необхідність максимально ефек-тивного використання інформації, що надходитьіз позиційних датчиків (магнітометрів, датчиківгоризонту Землі та координат Сонця), для от-римання інформації про повний фазовий век-тор МС. Найчастіше ця задача розв’язується наоснові алгоритму фільтра Калмана та подібнихдо нього алгоритмів.

Серед значної кількості праць з оцінюван-ня фазового вектора МС і з синтезу законів ке-рування [1–4] недостатньо уваги приділено пи-танням дослідження стійкості та точності сис-тем керування МС з алгоритмом оцінювання фа-зового вектора в колі зворотного зв’язку. Самевисвітленню цих питань присвячено дану статтю.


Мета статті – побудова гравітаційно-магніт-ної системи стабілізації мікросупутників з оціню-ванням фазового вектора узагальненим фільт-ром Калмана (УФК).

Рух мікросупутників

Розглядатимемо рух МС в орбітальній сис-темі координат (ОСК) O 1Х 0Y0Z 0 (рис. 1), центрO 1 якої збігається з центром мас супутника. Яквидно з рисунка, вісь O 1Х 0 розташована в пло-щині орбіти і направлена по вектору лінійноїшвидкості супутника, вісь O 1Z 0 направлена порадіусу-вектору супутника до центра Землі, авісь O 1Y0 направлена так, щоб утворити правусистему координат (СК). По осі O 1Y0 направле-ний вектор кутової швидкості обертання супут-

ника по орбіті = −ω т0(0, , 0)O

OIω . Опишемо орієн-тацію зв’язаної СК (ЗСК) відносно ОСК кватер-ніоном т= 0 1 2 3( , , , )q q q qq . За умови, що осі ЗСКXYZ є головними центральними осями інерціїсупутника, повні рівняння його руху в ОСК на-будуть вигляду

J J+ × =

=

&

& o т т

( ) ,

1(0, ( ) ) ,

2

B B B BBI BI BI

BBOq q

ω ω ω τ

ω(1)

де J = diag( , , )x y zI I I – тензор інерції супутника;BBIω – абсолютна кутова швидкість супутника, ви-

ражена в ЗСК; = −B B B OBO BI O OIRω ω ω – кутова швид-

кість супутника відносно ОСК, виражена в ЗСК;= + +B B B B

g m dτ τ τ τ – сумарний момент, який діє

на супутник і виражений в ЗСК; Bgτ – гравіта-

ційний момент; Bmτ – момент, що створюється

магнітними котушками; Bdτ – момент збурення,

в який входять моменти від залишкової на-магніченості супутника, від сонячного вітру, відзалишкової атмосфери та ін.; ° – знак кватер-ніонного множення. Кватерніон q в (1) подава-тимемо у вигляді т= η( , )q ε , де η – скалярна

частина кватерніона і ε – його векторна части-на.

Кватерніон зв’язаний із матрицею напрям-них косинусів таким виразом:

= =1 2 3[ , , ]BOR c c c

+ − − +

= − − + − + −

2 2 2 20 1 2 3 1 2 0 3

2 2 2 21 2 0 3 0 1 2 3

1 3 0 2 2 3 0 1

2( )

2( )

2( ) 2( )

q q q q q q q q

q q q q q q q q

q q q q q q q q

Рис. 1. Супутник в ОСК

X0

Y0

Z0

O1

ω0


− + − − +

1 3 0 2

2 3 0 1

2 2 2 20 1 2 3

2( )

2( )

q q q q

q q q q

q q q q

.

Матриця BOR задає перехід від орбітальної

системи координат до зв’язаної; відповідно зво-ротний перехід задаватиметься транспонованоюматрицею B

OR або спряженим кватерніоном − =1q

= − − − т0 1 2 3( , , , )q q q q .Гравітаційний момент в (1) в явному ви-

гляді записується так:

− = ω × = ω − −

23 332 20 3 3 0 33 13

13 23

( )

3 ( ) 3 ( )

( )

x yBg x z

y z

I I c c

J I I c c

I I c c

c cτ . (2)

Момент керування Bmτ , який приклада-

ється до МС, виникає внаслідок взаємодії маг-нітного поля котушок з магнітним полем Землі(МПЗ) і визначається за такою формулою:

µ − µ

= × = µ − µ µ − µ

z y y z

x z z x

y x x y

B B

B B B B Bm

B B

B B

B B

B B

Bτ µ , (3)

де µВ – сумарний момент, що генерується ко-тушками; ВВ – вектор індукції МПЗ в ЗСК.

За наявності на борту МС датчиків кутовоїшвидкості та датчиків позиційних координат длякерування є доступним повний фазовий вектор

т т т(( ), )BBO qω МС. Задача магнітного керування орі-

єнтацією в цьому випадку детально досліджена впрацях [5, 6]. У випадку ж доступності на бортуМС сигналів тільки з позиційних датчиків зво-ротний зв’язок у магнітній СОС будується за

оцінкою µ т т т(( ), )BBO qω повного фазового вектора

МС. З огляду на останнє постає задача аналізута оцінки точності магнітної СОС, побудованоїна основі оцінювача фазового вектора МС.

Оцінювання фазового вектора МС

При оцінюванні фазового вектора МС засигналами магнітометрів і датчика координатСонця (ДКС) здебільшого використовують інфор-мацію про вектор напруженості МПЗ в ОСК танапрямок на Сонце в цій же СК.

Моделі вимірювань магнітометричними тасонячними датчиками без врахування похибоккалібрування i зміщенням нуля мають вигляд

= +

= +

mes orbmag

mes orbsun

,

,

BO

BO

R

R

B B n

S S n(4)

де Bmes і Smes – вектори, компонентами яких єсигнали відповідно магнітометрів та ДКС; nmag іnsun – шуми вимірювань (відповідно магнітомет-рів та ДКС).

Вектор Borb напруженості МПЗ в ОСК роз-раховують для поточних координат МС на осно-ві моделі геомагнітного поля [7]. Інформаціюпро поточні значення параметрів орбітальногоруху МС отримують, оброблюючи сигнали сис-теми глобального позиціонування [8].

Одиничний вектор Sorb напрямку на Сонцев ОСК знаходиться за формулою

u u i u ii i

u u i u i

− ϑ + ϑ− = − ϑ ϑ + ϑ

orb

sin sin cos cos cos cos sin

cos sin cos

cos sin sin cos cos sin sin

S

u u ii

u u i

− ϑ + ϑ ϑ ϑ − ϑ

ECI

(sin cos cos sin cos )

sin sin

cos cos sin sin cos

S , (5)

де и – аргумент широти; і – нахил орбіти; ϑ –довгота вихідного вузла в геоцентричній інерці-альній СК; SECI – одиничний вектор напрямкуна Сонце в геоцентричній інерціальній СК, ме-тодику розрахунку якого наведено в [9].

Для оцінювання фазового вектора МС в да-ній статті використано підхід, описаний в [4], завинятком модифікації, яка полягає в нормуван-ні оцінки кватерніона після кожного кроку онов-лення алгоритму. Подібний спосіб нормуваннякватерніона детально досліджено в [10].

На рис. 2 наведено структурну схему алго-ритму УФК, згідно з яким здійснюється оціню-

вання розширеного вектора стану МС µ=$т т(( )BBIz ω ,

$т

, ,, , )d x d yq τ τ , причому корекція вектора стану здійс-

нюється за замкненим колом. Момент діючого наМС збурення тут моделюється як процес випад-кового блукання: =& 0dτ . Оцінювання тільки двох

перших координат вектора збурення поясню-ється наміром спростити алгоритм оцінювання,оскільки з достатнім ступенем точності можнавважати, що для МС з гравітаційною штангою ви-значальною буде компонента моменту збурен-ня, яка лежить у площині O 1Х 0Y0.

Матриці ×∈ ¡7 7Q і ×∈ ¡6 6R на рис. 2 – ко-варіаційні матриці шумів (відповідно процесу івимірювань).

Матриця вимірювань Нп/п на рис. 2 має ви-гляд

n/n × ×= 0 06 3 1 2 3 4 6 2[ ]H h h h h ,


де$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

n n n

nn n n

n n n

n n n

nn n n

n n n

− − − = − − −

1, 2, 3,

orb2, 1, 0,

3, 0, 1,

1

1, 2, 3,

orb2, 1, 0,

3, 0, 1,

2

q q q

q q q

q q qh

q q q

q q q

q q q

B

S

,

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

n n n

nn n n

n n n

n n n

nn n n

n n n

− − − − = − − − −

2, 1, 0,

orb1, 2, 3,

0, 3, 2,

2

2, 1, 0,

orb1, 2, 3,

0, 3, 2,

2

q q q

q q q

q q qh

q q q

q q q

q q q

B

S

,

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

n n n

nn n n

n n n

n n n

nn n n

n n n

− − − = − − −

3, 0, 1,

orb0, 3, 2,

1, 2, 3,

3

3, 0, 1,

orb0, 3, 2,

1, 2, 3,

2

q q q

q q q

q q qh

q q q

q q q

q q q

B

S

,

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

n n n

nn n n

n n n

n n n

nn n n

n n n

− − − = − − −

0, 3, 2,

orb3, 0, 1,

2, 1, 0,

4

0, 3, 2,

orb3, 0, 1,

2, 1, 0,

2

q q q

q q q

q q qh

q q q

q q q

q q q

B

S

.

Нижнім індексом біля векторів та компо-нент кватерніонів тут і далі позначається дис-кретний момент часу. Відмінність між матриця-ми Нп/п і Нп + 1/п на рис. 2 полягає в тому, щодля утворення матриці Нп + 1/п використовуютьсякомпоненти оновленого кватерніона.

Функція n ⋅( )f на рис. 2 має вигляд

µ µ

$ µn /nn

J−

+

×

+ + − × =

$ $

$ o

1

т т1

2 1

( ( ))

1( ) (0,( ) )2

B BB BBg d BI BIm

BBO

J

f z q

0

τ τ τ ω ω

ω .

Матрицю стану Φп + 1/п дискретної моделі по-хибок у схемі на рис. 2 взято у вигляді

n /nn /n ++ ×Φ = + $ 11 9 9 ( ) sI F Tz ,

де Тs – період дискретизації; n /n+$ 1( )F z – обчис-

лена в точці n /n+$ 1z матриця стану неперервної мо-делі похибок:

Рис. 2. Структурна схема алгоритму узагальненого фільтраКалмана оцінювання фазового вектора МС

Оновлення вектора похибок та вектора стану МС:

−= + − −

$ $ $mes orb

+1/ / /+1 /mes orb ,B

n O nn n n n n nn n nB

n O n

B R Bd d K H d

S R Sz z z

= +$ $ $+1/ / +1/n n n n n ndz z z

Обчислення коефіцієнта Калмана:

−= +т т 1+1 / / / / /[ ]n n n n n n n n n n nK P H H P H R

Оновлення коваріаційної матриці фільтра:

=+1/ +1n nP

× × += − − т т9 9 +1 +1/ / 9 9 +1 +1/ +1 1[ ] [ ] +n n n n n n n n n nI K H P I K H K RK

$ $ $+ +

= Ω

$3

т+1/ 1 / / 1/

2

(( ) ) ,n n n n n n n nd d

0

z q q q0

+

= + ∫$ $ $1

+1/ +1 +1/ +1/( ) ,n

n n n n n nnn

dtz z f z

+ += Φ Φ +т+1/ 1 +1/ 1/ +1/ ,n n n n n n n nP P Q

векторастану МС

Прогноз:

коваріаційноїматриці

векторапохибок

$ $/ / /, ,n n n n n nd Pz z

+1/ +1n nz


n /n

J−

+

×

× − ×

= β

w w$

1

1

2 3

([ ] [ ] )

( )

B BBI BIJ J

F z

0

− −

×

× ×

+ α

Ω

t t1 1

4 2

2 4 2 2

( )B Bg dJ J

0

0 0

,

де= ω − ×x z

206 ( )B

g I Iτ

µ $ µ $ µ $ µ $

µ $ µ $ µ $ µ $

− − −

× − −

33 23 33 231 0 0 1

33 13 33 132 0 3 1

+

+

0 0

R q R q R q R q

R q R q R q R q

µ $ µ $ µ $ µ $

µ $ µ $ µ $ µ $

− − −− −

33 23 33 233 2 2 3

33 13 33 130 2 1 3

+

+

0 0

R q R q R q R q

R q R q R q R q ;

$ $ $ $

$ $ $ $

τ τ τ τ

= − τ τ τ − τ

$ $ $ $

$ $ $ $

, , , ,0 3 1 2

, , , ,3 0 2 1

+ +

2 +

0 0

d x d y d x d y

Bd d x d y d x d y

q q q q

q q q qτ

$ $ $ $

$ $ $ $

− τ τ − τ ττ τ − τ − τ

$ $ $ $

$ $ $ $

, , , ,2 1 3 0

, , , ,2 0 31

+ +

+

0 0

d x d y d x d y

d x d y d x d y

q q q q

q q q q ;

µ µ

µ µ

α =

11 12

21 22

0 0

R R

R R ;

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

− − −

− β=

− −

1 2 3

0 3 2

3 0 1

2 1 0

12

q q q

q q q

q q q

q q q

;

µ

µ µ

− Ω = ×

т0 ( )12 [ ]

BBO

B BBO BO

ω

ω ω.

Значення всіх векторів взято в момент ча-

су n + 1/n. Для спрощення через µijR позначено

оцінку (i, j )-го елемента матриці BOR .

Отже, отримавши згідно з алгоритмом на

рис. 2 оцінку µ $тт т(( ) , )BBO qω фазового вектора МС,

можна сформувати закон зміни магнітного мо-

менту котушок, наприклад, за алгоритмом енер-гетичного регулятора:

µ= β × + α ×$BB B BBO B Bµ ω ε , (6)

де µB – магнітний момент котушок в ЗСК; α, β –деякі константи, які уточнюються при побудовіСОС МС.

Ефективним є також алгоритм осереднено-го лінійно квадратичного регулятора:

$ nn = −K xν ,

0R Q =−Φ Φ − − Φ Γ Γ Γ + Γ Φ +т т T 1 т[ ]P P P P P ,

де $ n n n n n n nε= ε ε ε ε εε ε& & &$ $ $ $ $ $ т1 2 31 2 3( [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ])x – фа-

зовий вектор лінеаризованої системи (1); nε$ [ ]i ,

nε& [ ]i , i = x, y, z – відповідно кут та кутова швид-

кість лінеаризованої системи (1) по відповіднійкоординаті, які обчислені в дискретні моментичасу; = µ µ µ% % % т( , , )x y zu – вектор керування, зв’я-

заний з вектором магнітного моменту котушок

співвідношенням ×

=%% a :

B BB B B

B

B

B

µµ µ µ ; Φ і

n=

Γ = Γ∑0

1 N

nT– матриці відповідно стану і пере-

дачі керування осередненої дискретної моделіпростору станів лінеаризованої системи (1); R iQ – вагові матриці, які визначають штраф від-повідно на керування та похибку стабілізації.

Моделювання замкненої гравітаційно-магнітної СОС МС

Моделювання виконаємо для МС, який ру-хається по коловій орбіті на висоті 650км з на-хилом орбіти, що дорівнює 98°, і тензором інер-ції з розгорнутою гравітаційною штангою – J == diag(51,44 51,48 0,76)кг⋅м2. Як модель МПЗ візь-мемо модель WMM2005 [7]. При моделюваннівважатимемо, що орт напрямку на Сонце в ОСКне змінює свого положення, тобто n = тorb (0,1, 0)S .

При моделюванні не враховуватимемо шумів дат-чиків.

Аналіз виконаємо при таких параметрах:енергетичного регулятора – β = 108, α = 106; ста-ціонарного лінійно квадратичного (ЛК) регуля-

(7)


тора – R = diag(100 100 0,1),−

×π =

2

6 60,1180

Q I ;

УФК – R = 10−5I6 × 6, Q = diag(3⋅10−3, 3⋅10−3, 3⋅10−3,3⋅10−3, 3⋅10−3, 3⋅10−3, 3⋅10−3, 10−4, 10−4) .

Період дискретизації Ts у всіх випадках мо-делювання дорівнює 1с.

На рис. 3 наведено графіки вільного рухукерованого МС по трьох кутах орієнтації затаких початкових умов: = 0B

OBω рад/с, (ϕ, θ, ψ) == (−30°, 10°, −20°). Суцільна крива на цьому ри-сунку і далі відповідає енергетичному регулято-ру, пунктирна – осередненому ЛК-регулятору.

Як видно з рис. 3, побудова СОС з УФК наоснові енергетичного регулятора дає можливістьотримати кращу якість перехідних процесів по-рівняно з перехідними процесами в СОС з осе-редненим ЛК-регулятором. Це можна пояснитизначним початковим відхиленням МС, оскіль-ки осереднений ЛК-регулятор отримано в об-ласті лінеаризації моделі МС. Але з іншого бо-ку, ці графіки демонструють добрі конвергентнівластивості вибраного алгоритму УФК. Для оцін-ки здатності СОС з УФК послаблювати вплив наМС зовнішніх збурень на рис. 4 побудовано гра-фіки усталених процесів у СОС при дії на МСмоменту збурення вигляду τd = [3⋅10−6, −5⋅10−6,9,8⋅10−7] sinω0t [Н⋅м].

Як видно з рис. 4, при застосуванні в СОСосередненого ЛК-регулятора досягається поміт-но вища точність стабілізації орієнтації МС, ніжпри застосуванні енергетичного регулятора. Від-мінність між двома алгоритмами керування особ-ливо помітна в каналі курсу, де з осередненимЛК-регулятором досягається відхилення меншеодного градуса проти чотирьох градусів з енер-гетичним регулятором.

До основних недоліків ДКС можна віднес-ти його непрацездатність при попаданні МС втінь Землі. З огляду на це, важливо оцінити точ-ність СОС МС при оцінюванні його фазовоговектора лише за сигналами магнітометрів. То-му на рис. 5 і 6 побудовано графіки усталенихпроцесів в СОС МС при зникненнях сигналу зДКС. Зникнення сигналу моделювалися через об-нуління векторів n

mesS і norbS протягом відповід-

но 2000 і 1000с, що становить приблизно 35 і17% часу одного орбітального оберту.

Як видно з рис. 5, тривалі зникнення сиг-налів ДКС призводять до значного погіршенняточності стабілізації МС. Точність стабілізаціїособливо погіршується в СОС з осередненимЛК-регулятором. З іншого боку, як це видно зрис. 6, при тривалості зникнення сигналу з ДКСменше ніж 20% часу одного орбітального оберту,точність СОС з енергетичним регулятором прак-тично не погіршується.

Рис. 3. Перехідні процеси в СОС по трьох кутах орієнтації

θ°ψ

°

Орбіти

φ°

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

20

0

−20

20

0

−20

50

0

−50

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Рис. 4. Усталені процеси в СОС по трьох кутах орієнтаціїпри дії збурення

θ°ψ

°

Орбіти

φ°

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

2

0

−2

1

0

−1

42

0

4 4,5 5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5−20

Рис. 5. Усталені процеси в СОС при 35%-них зникненняхсигналу з датчика Сонця

θ°ψ

°

Орбіти

φ°

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

10

0

5

0

−10

40

20

0

4 4,5 5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

−10

−5


При належно відкаліброваних магнітомет-рах основним джерелом похибок оцінювання орі-єнтації буде неточність моделювання МПЗ наборту МС. Тому далі на рис. 7 наводяться графі-ки усталених процесів в СОС за невизначенос-ті моделі МПЗ, яка моделюється в такому ви-гляді:

µ = + − тorb orb orb

1(2, 2, 2)

100B B B ,

де Borb – точне значення вектора індукції МПЗ в

ОСК; µorbB – значення цього вектора, виміряне

магнітометрами.Отже, як видно з рис. 7, невизначеність

моделі МПЗ в 2% в однаковій мірі зумовилапогіршення точності стабілізації як в СОС зенергетичним регулятором, так і в СОС з осе-редненим ЛК-регулятором. Така поведінка по-хибки стабілізації в цьому випадку легко пояс-нюється вибраною моделлю вимірювань ДКС.

Висновки

Виконане в статті дослідження гравітацій-но-магнітної системи орієнтації i стабілізації

мікросупутника показало, що побудова зворот-ного зв’язку на основі алгоритму осередненого лі-нійно квадратичного регулятора при використан-ні оцінки фазового вектора мікросупутника, отри-маної на основі алгоритму УФК з розширенимвектором стану, дозволяє досягнути точності ста-білізації, кращої, ніж 2°. Крім того, встановле-но, що така точність стабілізації досягається приточній моделі магнітного поля Землі і постій-ній видимості Сонця. Якщо ж і ці припущенняне виконуються, то дослідження показало, що вбагатьох випадках перевага може віддаватися ал-горитму енергетичного регулятора.

Предметом подальшої роботи може бути до-слідження характеристик за точністю системи орі-єнтації та стабілізації мікросупутника, для по-будови якої використовується алгоритм фільтраКалмана з мультиплікативним оновленням оцін-ки кватерніона орієнтації, а також iз включенняму модель оцінюваного процесу моделі похибокдатчиків.

О.Н. Мелащенко, Л.М. Рыжков

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННО-МАГНИТНОЙСИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ МИКРОСПУТНИКА СОЦЕНИВАНИЕМ ФАЗОВОГО ВЕКТОРА ФИЛЬТ-РОМ КАЛМАНА

Рассматривается построение гравитационно-маг-нитной системы стабилизации микроспутника. Вы-

O.M. Melashchenko, L.M. Ryzhkov

THE MICROSATELLITE GRAVITY-MAGNETIC STA-BILIZING SYSTEM RESEARCH WITH EVALU-ATION OF PHASE VECTOR BY KALMAN FILTER

The paper under study considers the constructionof the microsatellite gravity-magnetic stabilizing sy-stem. Special attention is given to the efficiency of

Рис. 6. Усталені процеси в СОС при 17%-них зникненняхсигналу з датчика Сонця

θ°ψ

°

Орбіти

φ°

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

3

1

21

−1

10

5

0

4 4,5 5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

−3

0

−2−10

2

Рис. 7. Усталені процеси в СОС при 2%-ній невизначенос-ті моделі МПЗ

θ°ψ

°φ°

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

2

0

43

4 4,5 5

0

−1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

1

−2

2

0−1

1

−2

21

Орбіти


полнен анализ эффективности некоторых регуля-торов с оцениванием фазового вектора фильтромКалмана.

some regulators with the estimation of the microsa-tellite phase vector by the extended Kalman filter.

1. Azor R., Itzhack Y., Bar-ltzhack I.Y. et al. Angular-Rate Es-

timation Using Quaternion Measurements // J. of the Braz.Soc. Mechanical Sciences. – 1999. – XXI – Special Issue. –

P. 119–133.

2. Harman R., Thienely J., Oshman Ya. Gyroless Attitude and

Rate Estimation Algorithms for the FUSE Spacecraft // Flight

Mechanics Symposium, NASA Goddard Space Flight Cen-

ter, Greenbelt, Maryland, October 28–30, 2003.3. Bak T. Spacecraft Attitude Determination – a Magneto-

meter Approach // PhD thesis, Aalborg University, Den-mark. – 2000. – P. 150.

4. Steyn W.H. Full Satellite State Determination from Vector

Observations // Proc. 13th IFAC Symposium on Automatic

Control in Aerospace, Palo Alto. – California USA, 1994.

5. Коваленко А.П. Магнитные системы управления кос-мическими летательными аппаратами. – М.: Маши-

ностроение, 1975.– 248 с.

6. Боевкин В.И., Гуревич Ю.Г., Павлов Ю.Н., Толстоусов Г.Н.

Ориентация искусственных спутников в гравитаци-онных и магнитных полях. – М.: Наука, 1976. – 304 с.

7. http://www.ngdc.noaa.gov/seg/WMM/DoDWMM.shtml8. Лебедев Д.В., Ткаченко А.И. Навигация и управление

ориентацией малых космических аппаратов. – К.: На-

ук. думка, 2006. – 298 с.

9. Барышев В.А., Крылов Г.Н. Контроль ориентации метео-рологических спутников. – Л.: Гидрометеоиздат, 1968. –

210 с.

10. Bar-Itzhack I.Y., Oshman Y. Attitude Determination from

Vector Observations: Quaternion Estimation // IEEE Trans-action on Aerospace and Electronic Systems. – 21, N 1. –

P. 128–135.




УДК 629.072.73

С.В. Морозов

АВТОМАТИЧНИЙ ВИХІД ЛІТАКА НА ДРУГЕКОЛО ЗА КРИТЕРІЄМ ЕНЕРГЕТИЧНОГОШВИДКІСНОГО ПІДЙОМУ

Вступ

Проблемі автоматичного виходу літака надруге коло присвячені праці відомого вченогоМ.Г. Котика [1]. Вимоги до способу реалізації ав-томатичного керування літаком на траєкторії ви-ходу на друге коло відзначені в директивному до-кументі [2]. Існуючі сучасні системи автоматич-ного керування літаком на етапі виходу на другеколо, наприклад САУ-1Т-2, САУ-2Т, АБСУ-154,САУ-3-400 (проект), САУ-72 (проект), застосову-ють програмне керування кутом тангажа залеж-но від ділянки траєкторії набору висоти. Такийпідхід суттєво ускладнює алгоритм керування іє індивідуальним для конкретного типу літака.

Автоматичний вихід літака на друге коло увертикальній площині розглядається за критері-єм енергетичного швидкісного підйому. Завдя-ки цьому критерію розроблено універсальний ал-горитм керування літаком у вертикальній пло-щині, який враховує наявну тягу літака залеж-но від зовнішніх умов, заданий темп розгону інабору висоти, а також обмеження, накладеніна вертикальну швидкість.


Розглянемо універсальний алгоритм авто-матичного керування кермом висоти на етапі ви-ходу літака на друге коло у вертикальній пло-щині. Основними критеріями такого виходу літа-ка вважатимемо забезпечення мінімального граді-єнта набору висоти з одночасним розгоном літа-ка за швидкістю. Цей процес є “природним” длякожного типу літака, а також універсальним закритерієм енергетичного швидкісного підйому.

Критерії прийнятності характеристик ав-томатичного виходу літака на друге коло

Можливими видами керування при автома-тичному виході літака на друге коло є автоматич-ний, директорний або за калібрувальною рискоюна шкалі тангажа командно-пілотажного прила-ду, при ручному або автоматичному керуванні тя-

гою двигунів. При цьому керуючі дії і траєкто-рії польоту не повинні дуже відрізнятися від тих,які використовуються при виході літака на дру-ге коло в ручному режимі керування.

У процесі автоматичного виходу літака надруге коло швидкість польоту має відповідатишвидкості, що реалізується при виконанні вихо-ду вручну. Вона повинна бути не меншою 1,2VS1

або відповідати мінімальній еволюційній швид-кості із врахуванням кута крену при відмові дви-гуна [2]. Повний градієнт сталого набору висо-ти при виході на друге коло повинен бути не мен-ше, ніж 3,2% із всіма працюючими двигунамипри використанні процедур і конфігурацій літа-ка відповідно до рекомендацій керівництва з льот-ної експлуатації (КЛЕ).

Критеріями прийнятності характеристик ав-томатичного виходу літака на друге коло є:

1) відповідність швидкостей при виході надруге коло значенням, вказаним вище;

2) відповідність градієнтів набору висоти зна-ченням, названим вище;

3) позитивна льотна оцінка не менше трьохльотчиків, в яку входить, як мінімум, оцінка затакими позиціями:

а) близькість методик ручного і автома-тичного виходу літака на друге коло;

б) чутливість директорних стрілок або прий-нятність калібрувальної риски кута тангажа.

При розробці контуру автоматичного ви-ходу літака на друге коло враховуються два ос-новні критерії прийнятності характеристик: від-повідність швидкостей при виході на друге ко-ло і градієнтів набору висоти значенням, вказа-ним вище.

Таким чином, необхідно виконати одно-часний набір висоти і розгін літака за швидкіс-тю із забезпеченням мінімального градієнта швид-кісного підйому у всіх очікуваних умовах експлу-атації (ОУЕ).

Алгоритм автоматичного керування літакому вертикальній площині за критерієм енерге-тичного швидкісного підйому

Для аналізу режиму виходу літака на другеколо з набором висоти і одночасною зміноюшвидкості польоту розглянемо рівняння руху лі-така в енергетичній формі, беручи за незалеж-ну змінну енергетичну висоту. Згідно з [3] за-пишемо рівняння динаміки центра мас літака увертикальній площині з використанням переван-тажень у траєкторній системі координат:


= − θ

θ = − θ

= θ

&

&

&

к т

тк

к

( sin ),

( cos ),

sin ,

Х

Y

V g n

gn

V

H V

(1)

де Vк – земна швидкість координати центра маслітака.

У рівнянні (1) траєкторні перевантаження пХ т

і пY т із врахуванням матриці переходу з швид-кісної системи координат у траєкторну

= γ γ − γ γ

швт a a

a a

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

А (2)

запишемо у вигляді

=т шв тт т т т a a a( ) ( )X Y Z x y zn n n A n n n , (3)

де а – ознака швидкісної системи координат.Тоді рівняння (1) із врахуванням (3) мають

такий вигляд:

= − θ

θ = γ + γ − θ

= θ

&

&

&

к a

a a a aк

к

( sin ),

( cos sin cos ),

sin .

x

y z

V g n

gn n

V

H V

(4)

Позначення параметрів динаміки польо-ту літака, наведені в даній статті, відповідаютьГОСТ 20058–80 [4]. Земна швидкість літака Vк

враховує вітрове збурення (зрушення вітру, по-рив вітру, турбулентність), що впливає на змінугеометричної висоти набору при виході літака надруге коло.

Нехтуючи такою характеристикою траєкто-рії, як її кривизна, приймемо допущення про пря-молінійність польоту в сталому виході на другеколо (θ = const) за відсутності крену, ковзання ів умовах відсутності вітру. Таке нехтування від-мінності фактичної траєкторії польоту від прямо-лінійної цілком допустимо для наближеного енер-гетичного розрахунку, зокрема, при визначенніхарактеристик швидкісного підйому літака [4].Із врахуванням сказаного отримаємо таку сис-тему рівнянь руху літака:

= − θ

= θ

= θ

&

&

к a

a

к

( sin ),

cos ,

sin .

x

y

V g n

n

H V

(5)

Швидкісним підйомом літака називаютьсяйого льотні характеристики, що визначають здат-ність набору ним висоти. До цих характеристик

належать вертикальні швидкості, тривалості на-бору висоти, найвигідніші швидкості польоту і ре-жими набору висоти.

Вертикальні швидкості і тривалості наборувисоти є безпосередніми показниками швидкіс-ного підйому. Розрізняють ще геометричні і енер-гетичні показники швидкісного підйому. Геомет-ричним диференціальним показником є похід-на, яка називається геометричною швидкістю під-йому літака:

= = θ&к sinyH V V . (6)

Енергетичним диференціальним показникомє похідна, яка називається енергетичною швид-кістю підйому літака:

= =&е е a кy xH V n V . (7)

Знайдемо зв’язок між показниками (6) і (7)швидкісного підйому. Помноживши ліву і пра-ву частини першого рівняння системи (5) на

співвідношення кVg

, отримаємо

= − θ& кк а к к sinxV

V n V Vg

. (8)

Запишемо =& кк

dVV

dtу вигляді

= = =& к к кк y

dV dV dVdH dHV V

dt dH dH dt dH. (9)

Із врахуванням рівнянь (6), (8), (9) геомет-рична вертикальна швидкість швидкісного під-йому літака визначається таким виразом:

= =+

a к

к к1

xy

n VV

V dVg dH

ϕ −=

+

аер з.п дв a к

к

(( ( , , )cos ) )/

1

P H T V X V mgV dVg dH

. (10)

З виразу (10) випливає, що геометрична вер-тикальна швидкість швидкісного підйому літакавизначається наявною тягою двигунів, яка зале-жить від висоти аеродрому, температури зовніш-нього повітря, дійсної повітряної швидкості ви-ходу літака на друге коло. Крім того, на гео-метричну вертикальну швидкість впливає масалітака, конфігурація крила літака, що визначає ін-дуктивну складову лобового опору Х а. Макси-


мальна величина maxyV із врахуванням того, що

=к 0dVdH

, визначається такою залежністю:

ϕ −= аер з. п max дв amin ref

maxmin

( ( , , ) cos )y

P H T V X VV

m g, (11)

де умова =к 0dVdH

означає, що розгін літака по ви-

соті в процесі виходу літака на друге коло від-сутній, і набір висоти виконується на постійнійшвидкості, яка дорівнює швидкості заходу напосадку Vref, тобто Vк = Vref.

З виразу (11) випливає, що за відсутностірозгону літака за швидкістю, при мінімальній масілітака, при початковій посадочній конфігураціїлітака і в умовах низьких температур вся енер-гія двигунів максимально перерозподіляється внабір висоти. Максимальна геометрична верти-кальна швидкість при заданій конфігурації літа-ка і швидкостях заходу на посадку визначаєтьсязовнішніми умовами польоту, температурою зов-нішнього повітря і висотою аеродрому і лежитьу діапазоні =max max min max max[ ; ]y y yV V V .

Відповідно до методики ручного виходулітака на друге коло в процесі набору висоти ре-комендується одночасно виконати розгін літака

по висоті, тобто >к 0dVdH

. Таким чином, при ви-

ході на друге коло частина енергії двигунів лі-така перерозподіляться і на розгін. З рівняння (10)отримуємо, що при знаменнику, більшому за оди-ницю, геометрична вертикальна швидкість швид-кісного підйому літака буде менша за maxyV при

заданому градієнті швидкості по висоті, якийможна задати відповідно до рекомендацій КЛЕдля ручного виходу на друге коло. Безумовно,градієнт швидкості по висоті є змінною величи-ною і визначається ОУЕ, що у свою чергу утруд-нює пред’явлення загальних вимог до формуван-ня заданого значення градієнта швидкості.

Пропонується універсальний підхід до фор-мування розподілу наявної енергії швидкісногопідйому літака: більша частина цієї енергії на-правляється в набір висоти (близько 60–80%),менша (близько 20–40%) – перерозподіляєтьсяна розгін літака. Для практичної реалізації у фор-муванні заданої вертикальної швидкості літакавведемо такий закон:

=е зад розп a кy xV K n V , (12)

де

= =+ +

η

розпк к к к

1 11

1 1K

V dV V dVdLg dH dL g dL

(13)

є коефіцієнтом розподілу наявної енергії в на-бір висоти і на розгін літака, мінімальне значен-ня якого визначається повним градієнтом ηсталого набору висоти як зі всіма працюючимидвигунами (мінімальне значення 3,2%), так і привідмові одного з двигунів (залежно від кількостідвигунів мінімальне значення коефіцієнта стано-вить від 2,1 до 2,7%). Максимальний коефіці-єнт розподілу дорівнює одиниці за відсутностірозгону за швидкістю, тобто вся енергія літакапереводиться в набір висоти.

З виразу (13) видно, що коефіцієнт Крозп за-лежить від темпу розгону, що визначається на-явною тягою двигунів, і за певних умов можесприяти активному набору геометричної висо-ти. У даному випадку рекомендується задавати за-кон формування Крозп як функцію від енерге-тичного швидкісного підйому літака Крозп = f (Vye).

Наприклад, припустимо, що коефіцієнт роз-поділу за умов змінної маси літака і повного гра-дієнта η сталого набору висоти дорівнює 0,7.Це означає, що 70% наявної енергії двигунівіде на формування набору висоти, а 30% – нарозгін літака за швидкістю. Такий розгін згідноз рекомендаціями КЛЕ літака супроводжуєтьсяступінчастим прибиранням закрилків льотчикому польотну конфігурацію.

Таким чином, керуючий сигнал у каналі ру-ля висоти при автоматичному керуванні вихо-дом літака на друге коло повинен формуватисяза таким законом:

для перевантажувального автопілота

∆ = − −зад е зад( )yVу y y

ny

Кn V V

K, (14)

для тангажного автопілота

ϑ

∆ϑ = − −зад е зад( )Vyy y

КV V

K. (15)

Для практичної реалізації цього закону ке-рування доцільно обмежити зверху і знизу зада-ну вертикальну швидкість набору висоти відпо-відно для недопущення великих градієнтів на-бору і запобігання зіткнення літака із землею вразі попадання в зону низхідного зрушення віт-ру. Тоді алгоритм формування заданої вертикаль-ної швидкості із врахуванням обмеження, на-


кладенного на геометричну вертикальну швид-кість, має вигляд

≥ == < < ≤

max езад max

езад розп е a кобмзад

min е зад max

min езад min

при ,

( )

при ,

при .

у у у

y у xy

y у у

y у y

V V V

V K V n VV

V V V

V V V

(16)

Алгоритм формування тангенціального пе-ревантаження nxa за інформацією від вимірниківпоздовжнього і нормального перевантажень маєвигляд

µ µ= α − αa cos sinx x yn n n . (17)

Із врахуванням малої величини кута атакизастосуємо наближену оцінку тангенціального пе-ревантаження у вигляді

µ≈ − αax x yn n n . (18)

Тут µ ϑ − θα =

γ57,3cosє оцінка поточного кута атаки

на основі інформації про поточний кут танга-жа, кут нахилу траєкторії і кут крену. Як ви-мірники названих вище кутових параметрів у су-часних комплексах пілотажно-навігаційної ін-формації застосовуються інерціальні системи на-вігації. Замінимо в алгоритмі розрахунку зада-ної вертикальної швидкості параметр “земнашвидкість Vк” на її проекцію на площину гори-зонту – шляхову швидкість Vш. Тоді алгоритмрозрахунку заданої вертикальної швидкості із вра-хуванням вимірюваних параметрів даного алго-ритму має вигляд

ϑ − θ = − γ ш

езад розп е( )57,3cos 3,6y у x y

VV K V n n , (19)

де

ϑ − θ = − γ ш

е 57,3cos 3,6у x yV

V n n ; (20)

Крозп(Vye) – коефіцієнт розподілу наявної енер-гії, який визначається аеродинамічними харак-теристиками літака і характеристиками силовихустановок. За критерій оптимальності вибира-ємо фунціонал у вигляді

= +e ey yV y V yI k V k V . (21)

У загальному вигляді дану залежність можназобразити графічною залежністю (рис. 1).

Результати льотних випробувань автоматич-ного виходу літака на друге коло

На рис. 2 наведено результат льотних ви-пробувань середнього пасажирського літака ти-пу Ан в режимі автоматичного виходу на другеколо із застосуванням керування за заданою енер-гетичною вертикальною швидкістю.

На рис. 2 без врахування індексу “1”: Нрв –геометрична висота польоту; SELAL – заданависота польоту; УАТ – кут атаки; UT – куттангажа; ТЕТ – кут нахилу траєкторії; UKR –кут крену; VYIN – інерціальна вертикальна швид-кість; NX, NY – поздовжнє і нормальне пере-вантаження; Dзлс – відхилення закрилків;DВЛ – відхилення руля висоти; Vпр – поточнаприладова швидкість; SELSP – задана приладовашвидкість; Аруд1 і Аруд2 – відповідно відхи-лення лівого і правого важеля керування дви-гунами.

Аналіз якості перехідного процесу по ви-соті і швидкості демонструє розподіл енергії припідйомі, що відбувається, в набір і на розгін. Прицьому алгоритм керування тягою забезпечує ви-хід поточного значення еквівалента тяги на зна-чення, що відповідає зльотному режиму двигу-нів із подальшим зменшенням тяги до потріб-ної тяги з керуванням заданою швидкістю по-льоту. Алгоритм керування набором і розгоном,що реалізується через руль висоти, забезпечуєстабілізацію заданої енергетичної вертикальноїшвидкості і вихід на задану висоту кола.

На ділянці часу від 14.21 до 14.21.54, тобтопротягом 54с, спостерігається цілеспрямованекерування заданою енергетичною вертикальноюшвидкістю з одночасним набором і розгоном лі-така за швидкістю. При цьому в каналі тяги ста-білізується зльотний режим двигунів.

Рис. 1. Залежність Крозп від Vуе

0,6–0,8

Vу е, м/с

Крозп

1

Vу е min Vу е max


Висновки

Запропонований загальний підхід до фор-мування алгоритму автоматичного виходу літа-ка на друге коло за критерієм енергетичногошвидкісного підйому (19), (20) в каналі рулявисоти має такі переваги:

• цілеспрямований перерозподіл наявноїенергії швидкісного підйому в набір висоти і нарозгін;

• безпосередній контроль енергетичногошвидкісного підйому літака по поздовжньому пе-

ревантаженню, що визначає регулювання тем-пу набору висоти;

• універсальний підхід до формування ал-горитму автоматичного виходу літака на другеколо незалежно від типу літака.

У подальшому дослідження критерію енер-гетичного швидкісного підйому літака в таких за-дачах, як зліт, набір висоти може дозволити ці-леспрямовано зробити універсальний підхід доавтоматичного керування, що враховує наявну тя-гу літака і зовнішні умови польоту.

С.В. Морозов

АВТОМАТИЧЕСКИЙ ВЫХОД САМОЛЕТА НА ВТО-РОЙ КРУГ ПО КРИТЕРИЮ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГОСКОРОСТНОГО ПОДЪЕМА

В статье предложен универсальный подход кформированию алгоритма автоматического вы-хода самолета на второй круг по критерию энер-гетической скороподъемности в канале руля вы-соты. Разработанный алгоритм обеспечивает це-ленаправленное перераспределение располага-емой энергии скороподъемности в набор высотыи на разгон. При этом учитывается требование кминимальному градиенту набора высоты и за-данная скорость выхода самолета на второй кругв зависимости от его конфигурации.

S.V. Morozov

AUTOMATIC GO-AROUND ON THE CRITERION OFTHE AIRPLANE POWER TIME-TO-CLIMB

This study provides the universal approach to thealgorithm generation of the automatic go-around onthe criterion of the airplane power time-to-climb inthe elevator channel. Specifically, the developed al-gorithm is provided by the purposeful redistributionof the disposed time-to-climb energy of the airplaneentering into climb and acceleration. Emphasized he-re is the requirement to the minimum gradient ofclimb and go-around, depending on the airplaneconfiguration.

1. Котик М.Г. Динамика взлета и посадки самолетов. –М.: Машиностроение, 1984. – 256 с.

2. Руководство по сертификации самолетов транспортной

категории в части средств автоматического управле-ния на соответствие требованиям АП-25. Часть 1. –М.: ЛИИ им. М.М. Громова, 1991. – 25 с.

3. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управ-ления полетом. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры,

1987. – 232 с.

4. ГОСТ 20058–80. Динамика летательных аппаратов в

атмосфере. – М.: Изд-во стандартов, 1980. – 51 с.




900

Рис. 2. Результат льотних випробувань літака типу Ан

380360340320300280260

270260250240230

210

205

200

−0,4−0,3−0,2−0,1

−0,1−0,2

−0,4

240230220210210211

210

Dзлс, град

Висот1, ркГлис1, ркКурз, рк

211

210АТ_1, ркСкор_1, ркТяга1, рк

NX_L1, g

АП_1, рк

NY_L1, g

VYIN123, м/с

Аруд11, градАруд21, град

VПP1, км/годSELSP1, км/год

S_RVB1, град/с

850

800

750

700

650

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

−5−4−3−2−10123

05

1015202530

05

1015

−5

0

5

S_RV1, g

DBЛ1, град

01

БУХОД1, рк

УХОД01, рк

UKR_L1, град

UT_L1, градTET_L1, град

УАТ1, град

SELAL1, мHRB1, м

Час, год:хв:с14:20:50 14:21 14:21:10 14:21:20 14:21:30 14:21:40 14:21:50 14:22 14:22:10 14:22:20 14:22:30 14:22:40 14:22:50 14:23


УДК 621.317

Ю.М. Туз, О.В. Рахмаілов,М.В. Добролюбова

ЕТАЛОННІ ПЕРЕТВОРЮВАЧІ ЗМІННОЇ НА-ПРУГИ

Вступ

Науково-технічний прогрес неможливий безпостійного удосконалення системи вимірювань,контролю і випробувань при розробці, вироб-ництві та експлуатації продукції, для чого по-трібне забезпечення єдності та відповідної точ-ності вимірювань у державі.

Єдність вимірювань базується на системідержавних і первинних еталонів, які забезпечу-ють відтворення певної фізичної величини та пе-редачу розміру її одиниці робочим та/або ви-хідним еталонам, від яких розмір одиниці цієївеличини передається до робочих засобів вимі-рювання.

У Науково-дослідному інституті автоматиза-ції експериментальних досліджень НТУУ “КПІ”виконуються ґрунтовні дослідження з метою ство-рення еталонних широкосмугових перетворюва-чів напруги змінного струму.

Найважливіший діапазон для радіотехніч-них пристроїв на частотах 1–30МГц при рів-нях напруги до 30В взагалі не забезпечується дер-жавними еталонами України, а здійснюється, дотого ж не в повному обсязі, високовартіснимизвіряннями з еталонами Російської Федерації.Крім того, державний еталон України періодич-но калібрується в Німеччині.

Робота виконується в інтересах широкого ко-ла споживачів і відповідає завданню створеннянайсучасніших технічних засобів для забезпе-чення єдності та точності вимірювань одиниціелектричної напруги змінного струму.

У багатьох національних метрологічних інс-титутах в основу відтворення одиниці напругизмінного струму покладено процес її порівнянняз відомим значенням напруги постійного стру-му. Найбільш поширеним у світі є спосіб порів-няння теплових ефектів напруг на змінному і по-стійному струмах. Цей спосіб отримав назву тер-мокомпарування і використовується в національ-них еталонах таких країн, як Сполучені ШтатиАмерики, Німеччина, Росія, Голландія, Англія,Австрія, Швейцарія, Україна. Найбільш ґрунтов-ні дослідження перетворювачів напруги термо-електричних (ПНТЕ) описані в [1–5].


Автори поставили собі за мету створити са-модостатню автоматизовану систему, що не по-требує калібрування від інших еталонів напругизмінного струму. В статті наводяться деякі матері-али з розробки теорії і практики побудови ета-лонних широкосмугових перетворювачів напру-ги змінного струму.

Теоретичні та практичні результати

Еталон складається з комплекту апаратури,об’єднаної інтерфейсом реального часу відпо-відно до міжнародного стандарту ІЕЕЕ 488, і міс-тить як закуплені прилади, так і розроблені та ви-готовлені в НТУУ “КПІ”.

До складу апаратури еталона входять: преци-зійні джерела постійної і змінної напруг, над-чутливі високоточні вимірювачі постійної напру-ги, аналізатор спектра, пристрій автоматичної ре-єстрації та обробки результатів вимірювань, комп-лект еталонних перетворювачів напруги термо-електричних (ЕПНТЕ) та ін.

При відсутності більш точних засобів дляатестації ЕПНТЕ користуються аналітично-екс-периментальним методом, який передбачає по-будову моделі ЕПНТЕ і уточнення параметрів ці-єї моделі прямими та опосередкованими вимірю-ваннями.

Не існує фізичного явища, яке б створюва-ло фізичну величину – середньоквадратичне зна-чення (СКЗ) напруги змінного струму. Є тількианалітична залежність, що визначає середньо-квадратичне значення періодичної напруги змін-ного струму:

= ∫ 2СКЗ

0

1( )

nT

U U t dtnT

, (1)

де Т – період сигналу; n – кількість періодів;U(t ) – залежність напруги від часу.

Середньоквадратичне значення змінної на-пруги визначається за значенням постійної на-пруги, яке передається від джерел, що грунту-ються на фундаментальних фізичних (Джозеф-сона) або хімічних (Вінстона) закономірностях.

Відмінність національних еталонів різнихкраїн полягає в обґрунтуванні похибок відтворен-ня СКЗ змінної напруги.

Найсуттєвішими джерелами похибок в ета-лонах термокомпараторного типу є:

• похибка переходу від напруги постійногоструму до напруги змінного струму, зумовленафундаментальними термоелектричними явища-


ми Томсона і Пельтьє, від яких створюється до-даткове тепло, крім тепла Джоуля, яке визнача-ється квадратом СКЗ напруги за формулою (1);

• частотна похибка, зумовлена наявністю ре-активних складових опору як у самих перетво-рювачах, так і в додаткових резисторах, з’єдну-вальних елементах, перемикачах і т.п.;

• похибка, зумовлена різночасовими зрівнян-нями;

• похибка відтворення постійної напруги, якавикористовується як одиниця СКЗ, що переда-ється;

• сукупна похибка інших складових комп-лекту апаратури, за допомогою яких реалізуєтьсяпередача одиниці від постійної напруги до змін-ної.

Оскільки за визначенням еталон фізичноївеличини має найкращі метрологічні характе-ристики, то не існує інших приладів або системдля атестації еталона. Атестація проводиться тео-ретично-експериментальним методом, в основіякого лежить створення моделі та визначення їїкількісних показників.

Основним вузлом еталона напруги змінно-го струму термокомпараторного типу є термо-електричний перетворювач напруги. В ньому від-буваються кілька фізичних процесів, кожний зяких впливає на метрологічні характеристики привідтворенні напруги змінного струму.

При створенні моделі ЕПНТЕ слід врахо-вувати такі процеси, як перетворення напруги вструм, струму в потужність, потужності в кіль-кість теплоти, кількість теплоти в приріст темпе-ратури, приріст температури в електрорушійнусилу (ЕРС). В цих процесах необхідною складо-вою є тепло Джоуля. Саме рівність тепла Джо-уля при напрузі змінного і постійного струміввідповідає рівності середньоквадратичних зна-чень напруги змінного і постійного струмів.

Ідеальна модель ПНТЕ має описуватись за-лежністю

E = KUU2.

З цього розгляду видно, що макромодель ПНТЕможе бути подана трьома основними залежнос-тями, в яких враховується відхилення від ідеаль-ної.

Адитивна модель відрізняється від ідеаль-ної на функцію ϕ(и):

E = KUU2 + ϕ(u ).

Мультиплікативна модель відрізняється відідеальної тим, що коефіцієнт перетворення KU(U)залежить від напруги:

E = KU(U )U 2. (2)

Стeпенева модель передбачає відхилення по-казника степеня від 2:

E = KUU ψ(u ).

Всі ці моделі мають право на існування. Далі бу-демо користуватися мультиплікативною модел-лю через її зручність в експериментальних до-слідженнях і зменшення вимог до встановленнязаданого значення напруги U. ПНТЕ будемо ха-рактеризувати поточним значенням коефіцієнтаперетворення KU, а саме

=2

( )UEi

K UiUi

.

Введемо такі поняття:+ +( )U iK U – коефіцієнт передачі при пози-

тивній напрузі із значенням +iU ;

− −( )U iK U – коефіцієнт передачі при негатив-

ній напрузі із значенням −iU ;

: :( )U iK U – коефіцієнт передачі при змінній

напрузі із значенням :iU .

Оскільки надалі розглядатимуться тільки пе-ретворювачі напруги, то для спрощення не будемозастосовувати індекс “u” і позначати ним функ-ціональну залежність коефіцієнта від напруги,апріорно маючи її на увазі.

Тоді введемо такі позначення:

++

+=

2( )

EK

U, (3)

−−

−=

2( )

EK

U, (4)

=:

:: 2( )

EK

U, (5)

де +E , −E , :E – значення електрорушійної си-ли термоперетворювача при підключенні доПНТЕ відповідно позитивної напруги +U , не-гативної напруги −U і змінної напруги :U ;

+U , −U , :U – значення напруг відповідно по-зитивної, негативної та змінної полярностей.

При термокомпаруванні ПНТЕ почерговопідключається до джерел змінної та постійноїнапруг.

В ідеальному випадку рівність ЕРС при під-ключенні напруги змінного :E і постійного стру-


мів =E означає рівність CКЗ напруг змінного іпостійного струмів, тобто: якщо ==~E E , то

==~U U .Напруги +U , =U вимірюються засобами ви-

мірювання постійної напруги.Ідеальний випадок має місце тоді, коли в

ПНТЕ відсутній ефект Пельтьє і Томсона, атакож немає частотної похибки.

У сучасних одноелементних термоперетво-рювачах вакуумних безконтактних (ТВБ) мож-на знехтувати частотною похибкою на середніхчастотах (200–2000Гц). Це дає можливість окре-мо визначити похибку переходу від постійної на-пруги до змінної напруги на низьких частотах ічастотну похибку на високих частотах. Сума цихпохибок і дасть похибку переходу від змінної допостійної напруги.

В англомовній літературі така похибка по-значається δacdc (ac-dc transfer difference). Вона мо-же бути визначена непрямими або прямимивимірюваннями. При непрямих вимірюванняхяк базові величини використовуються значення

+E i −E , або +K (3) і −K (4), при прямих ви-мірюваннях – :K (5), +K , −K .

Розглянемо непрямий метод оцінки δacdc.На середніх частотах похибка переходу зу-

мовлена термоелектричними ефектами Пельтьє іТомсона, які приводять до асиметричного роз-поділу температури нагрівача ТВБ по його дов-жині. Не маючи змоги в готовому виробі розді-лити ці два ефекти, будемо розглядати їх су-купну дію. На рис. 1 схематично зображені гра-фіки розподілу температури нагрівача вздовж ньо-го, зумовлені ефектами Пельтьє, Томсона без вра-хування температури, зумовленої теплом Джоуля.

Оскільки перевищення температури і ЕРСу першому наближенні пов’язані лінійно, то награфіках рис. 1 замість залежності температурвздовж нагрівача зображені графіки залежностіЕРС від довжини нагрівача і напряму струму че-рез нього.

На змінному струмі з врахуванням тепловоїінерційності нагрівача точка теплової рівновагитемператури від ефектів Пельтьє, Томсона і від-повідна ЕРС знаходиться на перетині кривих роз-поділу температури (ЕРС) при позитивному і не-гативному струмах. Якщо термопара T буде роз-міщена в точці перетину кривих, то на відстані lпвід середини нагрівача, буде відсутня похибка пе-реходу δacdc. Якщо термопара закріплена на на-грівачі в точці, яка знаходиться на відстані lт відсередини нагрівача, то стає очевидною наявністьпохибки переходу δacdc як при позитивному, так іпри негативному струмах.

При негативному струмові (напрузі) абсо-лютна похибка переходу становитиме

− − ′∆ = −п пE E Е ,

а при позитивному

+ + ′∆ = −п пE E Е .

Очевидно, що похибка переходу буде мен-шою, якщо взяти середнє значення ЕРС при по-зитивному і негативному струмах

+ −+=с 2

E EE ; (6)

тоді′∆ = −п п сE E E .

Рис. 1. Графік розподілу температури (ЕРС) вздовж нагрівача

′пE

E − = φ(l, I −)E + = φ(l, I +)

Iн

lп

Еп

l

∆Еп

Еc

Е −

T

0

Е +lT

Е

Е


Очевидно, що різниця ∆ пE прямує до ну-

ля, якщо трикутник − +пE E E рівнобедрений з

вершиною в точці пE .

Для оцінки похибки ∆ пE розглянемо три-

кутник − +пE E E .

За основу візьмемо відрізок − +E E . З точкиЕп проведемо перпендикуляр до основи трикут-ника. Цей перпендикуляр перетне основу в точ-ці ′

пE .

Розглядаючи прямокутні трикутники +′п пE E Е

і −′п пE E Е , записуємо

− −′ ′= αп п п tgE Е E E , (7)

+ +′ ′= αп п пtgE Е E E , (8)

де α+, α− – кути, що утворюються гіпотенузамита висотою згаданих трикутників.

Похибка різнополярності ∆Eр становить

+ − + −′ ′∆ = − = +р п пE E E E Е E Е , (9)

а похибка переходу, виражена в ЕРС, обчислю-ється за формулою

′∆ = −п с пE E E , (10)

де+ −+

=с 2E E

E ; − −′ ′= +п пE E Е Е . (11)

Це видно з розгляду рис. 1.Підставляючи в (10) рівності (6) та (11),

отримуємо

+ − + −− − −−′ ′∆ = + − − = −п п п2 2 2

E E E EE E Е E Е E .(12)

З формули (9) знаходимо

+ + − −′ ′= − −п пE Е Е Е E Е . (13)

Поділивши ліву і праву частину рівняння (13) на−′

пE Е , отримаємо

+ + −

− −

′ −= −

′ ′п

п п

1E E E E

E E E E. (14)

Поділивши (7) на (8), матимемо

+ +

− −

′ α=

′ αп

п

tg

tg

E E

E E. (15)

Підставляючи (15) в (14), знаходимо

+ + −

− −

α −= −

′α п

tg1

tg

E E

E E,

або+ + −

− −

α −+ =

′α п

tg1

tg

E E

E E. (16)

Виходячи з рівняння (16), маємо

+ −−

+

−

−′ =α

+α

пtg

1tg

E EE E . (17)

Підставляючи (17) в (12), отримаємо

−+ + −

+

−

− −∆ = −

α+

α

п 2 tg1

tg

E E E EE . (18)

Зробивши тотожні перетворення у формулі (18),знайдемо

+ −

+

−

− ∆ = − = α

+ α

п2

12 tg

1tg

Е ЕE

+ − −

+ −

− α = − = α + α

2tg1

2 tg tg

E E

+ − + − −

+ −

− α + α − α = α + α

tg tg 2tg2 tg tg

E E.

Кінцевий результат такий:+ −

+ −+ −

α − α∆ = −

α + αп

tg tg( )0,5

tg tgE E E . (19)

Нагадаємо, що ∆Еп – це абсолютна похиб-ка переходу із змінної на постійну напругу в роз-мірності ЕРС. З формули (19) випливає, що по-хибка переходу дорівнює нулю у двох випадках:

приЕ + = Е −,

тобто якщо похибка різнополярності дорівнюєнулю;

при+ −α = αtg tg ,

тобто коли графіки розподілу температур (ЕРС)при позитивному і негативному струмах є симет-ричні на вихідній і спадній частинах поблизу точ-ки їх перетину або коли трикутник − +

пE E Е єрівнобедреним відносно основи, яка є похиб-кою різнополярності.


Вираз + −

+ −

α − αα + α

tg tg0,5

tg tgу формулі (19) є коефі-

цієнтом впливу похибки різнополярності (Е+ −− Е −) на похибку переходу ∆Еп, тобто

∆Еп = ∆Епχр,де

+ −

+ −

α − αχ =

α − αр

tg tg0,5

tg tg.

Не маючи змоги виміряти α+ і α− в готово-му виробі, тобто в ТВБ, оцінимо межі відно-шення

+ −

+ −

α − αχ =

α + αр

tg tg2

tg tg,

враховуючи, що кути трикутників α+ і α− мо-жуть набувати значень від 0 до 90°.

У всіх випадках, де α+ = α−, матимемо χр = 0,якщо α+ < α−, то 2χр прямує до −1; якщо α+ > α−,то 2χр прямує до +1. Це співвідношення спра-ведливе також тоді, коли α− → 90° і α+ → 90°.

Відносна похибка переходу в частках ЕРСстановить

∆δ = п

acdcс

E EE

.

Після підстановки (6) в (19) отримаємо

+ − + −

+ − + −

− α − αδ =

+ α + αacdc

tg tg

tg tgE Е Е

Е Е,

+ −

+ −

α − αδ = δ = δ

α + αп acdc р

tg tg0,5

tg tgЕ E Е .

При квадратичній залежності ЕРС тер-мопари від вхідної напруги відносна похибка пе-реходу в частках вхідної напруги становитиме

+ − + −

+ − + −

− α − αδ ≈

+ α + αacdc

tg tg0,5

tg tgU Е Е

Е Е.

Вираз + −

+ −

∆−= = δ

+р

рс

2 2EE EEE E

є подвоєною від-

носною похибкою різнополярності. Тому віднос-на похибка переходу від постійної напруги дозмінної в частках вхідної напруги обчислю-ється так:

+ −

+ −

α − αδ = δ

α + αacdc р

tg tg0,25

tg tgU E .

Якщо задана допустима похибка переходуза напругою δacdc доп[ ]U , то можна визначити до-

пустиму похибку різнополярності δр доп[ ]Е :

+ −

+ −

α + αδ = δ

α − αр доп acdc доп

tg tg[ ] 4 [ ]

tg tgЕ U .

Оскільки+ −

+ −

α − α− < <

α + αtg tg

1 1tg tg

,

то допустима похибка різнополярності повиннав найгіршому випадку не перевищувати чотири-кратного значення допустимої похибки перехо-ду за напругою, тобто

δ < δр доп acdc доп[ ] 4 [ ]E U .

При визначенні похибки різнополярностітрадиційно використовується адитивна модельПНТЕ. Це ставить високі вимоги до установки істабільності вхідної напруги. Застосування муль-типлікативної моделі дає можливість пом’якши-ти ці вимоги. Нагадаємо, що мультиплікативнамодель передбачає ідеальне піднесення до квад-рата і зосередження всіх похибок у коефіцієнті пе-ретворення.

Введемо поняття:K + – коефіцієнт перетворення при підклю-

ченні до ПНТЕ позитивної напруги;K − – коефіцієнт перетворення при підклю-

ченні до ПНТЕ негативної напруги;Кс – середнє значення коефіцієнта перетво-

рення:+ −+

=с 2K K

K .

Тоді δрК – відносна похибка різнополярності по

коефіцієнту перетворення, тобто при використан-ні мультиплікативної моделі вона становитиме

+ − + −

+ −

− −δ = =

+р

с

2K K K K KK K K

. (20)

Встановимо зв’язок відносних похибок різ-нополярності при адитивній і мультиплікативніймоделях ПНТЕ, тобто зв’язок δр

E і δрК .

При адитивній моделі маємо

+ − + −

+ −

− −δ = =

+р

с

2E Е Е Е ЕЕ Е Е

. (21)


Обов’язковою умовою є рівність за моду-лем позитивної і негативної напруг. Підставив-ши в (21) значення ЕРС за мультиплікативноюмоделлю (2), матимемо

+ + − −

+ + − −

−δ =

+

2 2

р 2 2

( ) ( )2

( ) ( )E K U K U

K U K U.

Якщо(U +) = (U −),

то+ −

+ −

−δ = = δ

+р р2E KK K

K K.

Якщо K + і K − в деякому невеликому діапазо-ні напруг не залежать або мало залежать від на-пруги, то при використанні формули (20) є необов’язковою рівність (U +) і (U −), а також їх ви-сока стабільність при одночасному вимірюван-ні ЕРС і напруги ПНТЕ для визначення коефіці-єнтів перетворення.

В НТУУ “КПІ” розроблені спеціальні ета-лонні ПНТЕ (рис. 2), в яких індуктивність змен-шена шляхом скорочення загальної довжини пря-мого і зворотного проводів, по яких протікаєструм, а конфігурація наближена до біфілярної.

В опорному ЕПНТЕ частотна характерис-тика визначається розрахунковим методом за на-слідками вимірювання реактивних елементів пря-мим методом.

Для розрахунку вибрано ЕПНТЕ з номі-нальним значенням напруги 1В. Для нього по-будовано модель, виміряно параметри моделі і по-будовано розрахункову частотну характеристику.

Модель зображена у вигляді принциповоїсхеми та аналітичної залежності для частотної ха-рактеристики коефіцієнта перетворення. Слід за-уважити, що ЕПНТЕ через квадратичну залеж-ність термоЕРС і вхідної напруги є вузькодіапа-зонними пристроями. Наприклад, при змен-шенні вхідної напруги деякого ПНТЕ в три ра-зи вихідна термоЕРС зменшується в 9 раз, апри зменшенні напруги в 10 раз вона зменшу-ється в 100 раз. Ряд ЕПНТЕ більш щільний, ніжряд ПНТЕ-6, для того щоб при переході відоднієї межі вимірювання до другої була меншарізниця вихідної термоЕРС.

У конструкції ЕПНТЕ передбачена можли-вість регулювання частотної похибки за допомо-гою підстроювального конденсатора змінної єм-ності, тобто апаратним способом. В той же часу метрології широко використовуються по-правкові таблиці. Для атестаційних задач не єпринциповим спосіб внесення поправок – апа-ратний чи програмний. Все більшого поширен-ня набувають так звані інтелектуальні засоби ви-мірювання, в яких корекція похибок здійсню-ється програмними засобами. Цей метод більшгнучкий, йому не притаманні старіння та ви-падкові похибки, додаткові похибки від впливузовнішніх факторів. Метод можна реалізувати мік-ропроцесорами, вбудованими в зовнішній ком-п’ютер. При кожній новій атестації поправка лег-ко обновлюється. Необхідні функціональні за-лежності легше реалізуються, ніж апаратним спо-собом, наприклад за допомогою підстроюваль-ного конденсатора змінної ємності.

В апаратурі збереження одиниці Вольта за-пропоновано програмний метод корекції похи-бок. Для цього кожний ЕПНТЕ супроводжу-ється таблицею поправок на паперовому носії ібільш детальною функцією поправок на елект-ронному носії, які можуть бути занесені доперсонального комп’ютера в апаратурізбереження одиниці Вольта.

Створені спеціальні ЕПНТЕ сприяють змен-шенню процедурної похибки, зумовленої різно-часовим зрівнянням постійної і змінної напруг.Проведені експериментальні дослідження пока-зали, що коефіцієнти перетворення ЕПНТЕ до-сить стабільні в часі, тобто залежність усередне-них відхилень коефіцієнтів перетворення від ча-су з ймовірністю 0,95 на 5-хвилинному інтерва-лі становить ±59ppm.

Додаткові експериментальні дослідження бу-ли проведені щодо визначення нестабільності ди-ференційних термоелектричних напівпровіднико-вих термоперетворювачів ДТНТ-6. Отримані ре-Рис. 2. Комплект еталонних ПНТЕ


зультати показали, що на 5-хвилинному інтер-валі залежність усереднених відхилень коефіцієн-тів перетворення від часу з ймовірністю 0,95 ста-новить ±13ppm.

Щоб мінімізувати вплив зовнішніх факто-рів, експериментальні дослідження проводилисьу термостатованому приміщенні.

Проведено ряд досліджень щодо критеріюмінімуму різниці термоЕРС при реверсі струму.Для ПНТЕ-6 першого розряду допустима нор-ма похибки різнополярності не повинна переви-щувати 1000ppm. Результати досліджень показа-ли, що в ЕПНТЕ і ДТНТ-6 похибка різнополяр-ності не перевищує 100ppm.

Висновки

Досягти показників, що перевищують нетільки український, а й світовий рівень, вдалося

завдяки розробці теорії і практики відтвореннязмінної напруги, а саме:

• побудови широкосмугових підсилювачів длядіапазону частот і рівнів 30МГц і 30В, де швид-кість наростання сигналу перевищує 10000В/мкс;

• побудови підсилювачів для діапазону час-тот до 100кГц при напрузі 1000В зі швидкістю на-ростання сигналу понад 1000В/мкс;

• мінімізації похибок від термоелектричнихефектів;

• застосування вітчизняної високотеплопро-відної кераміки з нітриду алюмінію;

• повної автоматизації процесу вимірюваньта корекції похибок.

У зв’язку з тим, що життєвим циклом ета-лона є безперервність його досліджень, у перспек-тиві планується проводити періодичні досліджен-ня метрологічних характеристик.

Ю.М. Туз, А.В. Рахмаилов, М.В. Добролюбова

ЭТАЛОННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ПЕРЕМЕН-НОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Созданы и исследованы эталонные преобразова-тели переменного напряжения для диапазона час-тот 0–30 МГц и диапазона напряжений 0,001–1000 В с минимизированными погрешностями пе-рехода от постоянного напряжения к переменному.

Yu.М. Tuz, О.V. Rakhmailov, M.V. Dobrolyubova

SAMPLE AC-CONVERTER

This paper develops the sample AC-converters for0–30 MHz frequency range and 0,001–1000 V volta-ge range with minimized errors from DC to AC vol-tage.

1. Klonz M. Entwicklung von Vielfachthermokonvertern für ge-

nanen Rückführung von Wechselgroβen auf ägnalente

Gleichgrösen PTB-Bericht, PTB-E-29, Marz 1987.

2. Hermach F.L., Kinard J.R., Hastigs J.R. Multifunction ther-

mal converters as the NBS primary AC-DC transfer stan-

dards for AC current and voltage measurements // IEEETransactions on Instrumentation and Measurement. –1976. – 25. – P. 524–528.

3. Анатычук Л.И. Термоэлементы и термоэлектрические

устройства / Справочник. – К.: Наук. думка, 1979. –

768 с.

4. Туз Ю.М., Добролюбова М.В. Дослідження стабільнос-

ті деяких прецизійних джерел напруги // Науковівісті НТУУ ”КПІ”. – 2003.– 5. – С. 99–104.

5. Туз Ю.М., Літвіх В.В., Добролюбова М.В., Рахмаілов О.В.

Дослідження стабільності компонентів комплекту апа-

ратури відтворення одиниці напруги змінного струму //Укр. метролог. журн. – 2004. – 1. – Р. 18–27.




УДК 531.768

М.Г. Черняк

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ МЕТОДИЧНИХВІБРАЦІЙНИХ ПОХИБОК МАЯТНИКОВОГОКОМПЕНСАЦІЙНОГО АКСЕЛЕРОМЕТРА ЗПРУЖНИМ ПІДВІСОМ ЧУТЛИВОГО ЕЛЕ-МЕНТА

Вступ

Прецизійні маятникові компенсаційні аксе-лерометри (МКА) є датчиками первинної інфор-мації практично всіх сучасних інерціальних на-вігаційних систем (ІНС) рухомих об’єктів. Вониздійснюють вимірювання проекції на свою вимі-рювальну вісь (ВВ) уявного лінійного прискорен-ня руху основи і перетворення її у вихідний елект-ричний сигнал. Відомо, що похибки МКА знач-ною мірою визначають точність розв’язання на-вігаційної задачі в ІНС [1].

У реальних умовах експлуатації вібраційнізбурення (ВЗ) і кутові коливання (КК) основизначно погіршують точність МКА, спричиняю-чи виникнення їх систематичних вібраційних по-хибок (ВП) [2]. У працях [3, 4] найповніше роз-глянуто математичні моделі (ММ) методичних ВПМКА з пружним підвісом (ПП) чутливого еле-мента (ЧЕ). Однак ці моделі побудовані лише вумовах дії на МКА детермінованих поступовихсинхронних вібрацій, що обмежує їх відповід-ність реальним умовам експлуатації МКА.


Метою статті є розробка математичної мо-делі методичних ВП МКА з ПП в найбільш за-гальних умовах просторового коливального ру-ху основи з довільним сполученням частот та по-чаткових фаз детермінованих ВЗ і КК. Задачурозв’язуємо в аналітичному вигляді методом по-слідовних наближень, використовуючи рівнянняідеальної (без врахування інструментальних похи-бок) роботи МКА.


Сучасні МКА з ПП найчастіше будуютьсяза компенсаційною функціональною схемою, якунаведено на рисунку.

В прямому ланцюгу схеми розміщено ма-ятниковий ЧЕ, датчик переміщення (ДП) ЧЕ поінформативних відносних узагальнених коорди-

натах та підсилювально-коректуючу ланку (ПКЛ),а в ланцюгу від’ємного зворотного зв’язку (ВЗЗ) –зворотний компенсуючий перетворювач (ЗКП)магнітоелектричного принципу дії [1]. Чутливийелемент містить інерційну масу 1, яка з’єднана зосновою 2 акселерометра за допомогою балочно-го ПП 3. Вісь 0

3x є вимірювальною віссю акселе-рометра.

Розглянемо рух ЧЕ по інформативних від-носних узагальнених координатах α і х, які від-повідають напрямам мінімальної жорсткості ППта максимальної чутливості ДП. Для цього запи-шемо систему лінеаризованих рівнянь ідеальноїроботи МКА в умовах просторового руху осно-ви, яка складається з рівнянь руху ЧЕ по коорди-натах α і х у зв’язаній з основою системі коорди-нат 0

ix ( = 1, 3i ):

α αα + α + α + − = + α −&&&& &22 23 3 1( )c cJ b с ml x c x ml w w

− Ω + Ω − Ω + − Ω − Ω α +&2 2 2 21 2 22 2 33 11 1 3( ) ( )( )cml x J J J

+ − Ω Ω +33 11 1 3 ЗKП( )J J M , (1)

+ + + α − α = +&& & &&3 3 23 3cmx b x c x ml c mw

+ + α Ω + Ω − Ω − Ω Ω +&2 21 2 2 1 3 ЗКП( )( ) ( )c cm x l ml F ,

та рівнянь, які описують (з врахуванням електрич-ного демпфірування) роботу контуру ВЗЗ в сму-зі пропускання МКА:

α α= − α + + α +&ЗКП ЗКП ПКЛ дм[ ( ) (xF k k k k x k k

+ &)]xk x , =ЗКП ЗКП FM F l , ≈F cl l , (2)

де т, lc, Jii, = 1,3i , – маса ЧЕ, його координата

центрa мас по осі 11x та моменти інерції в сис-

темі координат 1ix ; bα , b3 – коефіцієнти куто-

вого та лінійного демпфірування коливань ЧЕ; cα,c3, c23 – кутова, лінійна та перехресна жорсткос-ті ПП; FЗКП , MЗКП – сила та момент, що створюєЗКП; kα, kПКЛ, kЗКП, kдм – відповідно коефіцієн-ти передачі ДП (по відповідних інформативнихпереміщеннях ЧЕ), ПКЛ, ЗКП та контуру елект-ричного демпфірування; lF – координата прикла-дання сили FЗКП до ЧЕ з боку ЗКП; wi , Ωi, =i= 1, 3 , – переносні лінійні прискорення та куто-

ві швидкості руху основи, задані в системі ко-ординат 0

ix . Лінійне прискорення w3 вимірю-

ється акселерометром, решта прискорень, кутовішвидкості та їх похідні (кутові прискорення) єджерелом його вібраційних похибок.


Ввівши позначення =ЗКП ПКЛk k k , =ЗКП дмk k

= дk , α α+ =cc l kk G , − + =23 c x xc l kk C , α− + =23c kk

α= C , + =3 xc kk C , α α+ =дcb l k k D , α α=дk k B ,

=дc x xl k k B , + =3 д xb k k B та виконавши під-

становку (2) в (1), систему лінеаризованих рів-нянь ідеальної роботи МКА запишемо в зруч-ному для дослідження матричному операторно-му вигляді

1 2( )[ , ] ( ) ( )TA p x F t F tα = + ε% % , (3)

де =d

pdt

– оператор диференціювання; =11( )A p

= + +222J p Dp G ; = + +2

12( ) c x xA p ml p B p C ; =21( )A p

α α= + +2cml p B p C ; = + +2

22( )A p mp Bp C ; %1( )F t –

адитивні збудження, які залежать від кінема-тичних параметрів руху основи, але не зале-жать від узагальнених координат:

= = % 11

1

( )( )

( )

M tF t

F t

− Ω + − Ω Ω = − Ω + Ω Ω

&&

3 22 33 11 1 3

3 2 1 3

( )c

c c

ml w J J J

mw ml ml; (4)

%2( )F t – мультиплікативні збудження, які зале-

жать від кінематичних параметрів руху основита лінійно помножені на α і х:

= = % 22

2

( )( )

( )

M tF t

F t

2 21 33 11 1 3

2 21 2

( )( )

( )

c

c

ml w J J

ml

− + − Ω − Ω=

Ω + Ω

2 21 2

2 21 2

( )

( )cml

xm

Ω + Ω α Ω + Ω

. (5)

У системі (3) цим збудженням приписаний ма-лий параметр ε в припущенні, що вони завдякималості переміщень α і х чутливого елементакомпенсаційного акселерометра мають вищийпорядок малості, ніж %

1( )F t .Задамо параметри детермінованих ВЗ і КК

ξl ( = 1, 6l ), які входять до виразів (4) і (5) та ді-ють на МКА з боку основи. При цьому запише-мо їх у зручному для подальшого розв’язання за-дачі комплексному вигляді:

−∗ ∗= + γ = +cos( ) i ijn t j n t

i i i i i iw a n t a e a e , γ =3 0 ,

Ω = ω + δ =cos( )i i i ib t

ω − ω∗ ∗= +i ij t j t

i ib e b e , = 1, 3i , (6)

де ai, bi, ni, ωi, γi, δi – амплітуди, частоти та по-чаткові фази ВЗ і КК; − γ

∗ = 0,5 iji ia a e , ∗ = ×0,5ib

− δ× ijib e – відповідні комплексні амплітуди. Тут

Функціональна схема МКА: 1 – інерційна маса; 2 – основа акселерометра; 3 – пружний підвіс ІМ; 4 – ланка електрич-ного демпфірування коливань ІМ

03x 1

3x

11x

03W

2

+н

н к

RR R

UвихUДППКЛ

kПКЛ

UПКЛ

4

7

2

ЗКП

kЗКП

рkдм

kх

kα

ДП

ЧЕВВ

3 1

FЗКП

Fi

x

α

MO 0

O 1

lF

lcM ЗКП

α

x

01x


і далі рисочкою зверху або абревіатурою КС по-значається комплексно-сполучена величина.

Задачу створення математичної моделі ВПМКА уточнимо таким чином. Необхідно знай-ти вирази, які описують систематичні (усеред-нені за часом) зміщення “нуля” вихідного сиг-налу МКА при дії на нього (сумісному чи ок-ремому) ВЗ і КК вигляду (6). Треба також ви-значити умови (співвідношення частот та по-чаткових фаз ВЗ і КК), при яких ці зміщення ви-никають та при яких вони набувають макси-мальних значень.

Загальний розв’язок задачі

Розв’яжемо поставлену задачу методом по-слідових наближень [5]. При цьому поперед-ньо, не задаючись конкретним виглядом M(t ) іF(t), знайдемо частинний розв’язок системи(3)

[ ] [ ], ( ) ( ), ( )T Tx W p M t F tα = , (7)

де −= 1( ) ( )W p A p – передавальна матриця сис-

теми, елементи якої при = ωp j є частотнимипередавальними функціями (ПФ) ЧЕ, що ви-значаються з таких виразів:

−ω = − ω + ω ∆ ω2 111( ) ( ) ( )W C m j B ,

−ω = − − ω + ω ∆ ω2 112( ) ( ) ( )x c xW C ml j B ,

−α αω = − − ω + ω ∆ ω2 1

21( ) ( ) ( )cW C ml j B ,

−ω = − ω + ω ∆ ω2 122 22( ) ( ) ( )W G J j D ,

де

α∆ ω = − ω − ω − − ω −2 2 222( ) ( )( ) ( )(c xG J C m C ml C

− ω + ω − ω + − ω −2 2 222) [( ) ( )cml j C m D G J B

α α− − ω − − ω2 2( ) ( ) ]x c c xC ml B C ml B .

Для сталих складових правих частин сис-теми рівнянь (3) =( )M t M , =( )F t F запи-шемо шукані “відходи” маятникового ЧЕ МКА

[ ] [ ], (0) ,T Tx W M Fα = , (9)

де −= ∫1

0

... (...)T

T dt – оператор усереднення за

часом Т; −

α

− = ω = = ∆ − 1

0(0) ( 0) xC CW W

C G– мат-

риця статичних коефіцієнтів передачі ЧЕ; ∆0 =α= ∆ ω = = −( 0) xCG C C .

Згідно з рисунком та рівняннями (2) ви-хідні напруги ДП ЧЕ ⟨ ⟩ДПU та МКА ⟨ ⟩вихU , що

відповідають “відходам” (9) маятникового ЧЕ, ви-значаються формулами

α⟨ ⟩ = α + = ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩ДП x M FU k k x k M k F ,

вих П ДП П( )M FU k U k k M k F⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩ , (10)

де − −α α α= + ∆ = + ∆1 1

0 3 23 0( ) ( )M x xk k C k C c k c k ; kF =− −

α α α= − ∆ = + ∆1 10 23 0( ) ( )x x xk G k C c k c k ; = ×п ПКЛk k

−× + 1н н к( )R R R ; Rн, Rк – відповідно електричні

опори зовнішнього навантаження та катушкиЗКП. Підставивши у формулу (10) замість ⟨ ⟩Fта ⟨ ⟩M вирази = 3F mw і = cM Fl , отримаємо ви-

хідну напругу МКА, що відповідає вимірюваль-ному акселерометром прискоренню Σ=вих 3U k w ,

де Σ = +п( )M c Fk k k l k – коефіцієнт перетворен-

ня акселерометра.Відповідно, загальна формула для оцінки

абсолютних адитивних ВП МКА від дії збуд-жуючого фактора ξl, який нас цікавить, має ви-гляд

Σ

⟨ ξ ⟩ ξ + ξ∆ ξ = =

+вих

ВП( ) ( ) ( )

( )( )

l M l F ll

M c F

U k M k Fk k l k m

. (11)

Формули (4), (5) і (11) показують, що за-дача побудови математичної моделі методичнихВП МКА з ПП по суті зводиться до знаход-ження формул для визначення сталих складо-вих %

1F і %2F збуджень (4) і (5), які виникають

відповідно в першому та другому наближеннях,з наступною їх підстановкою у вираз (11) дляобчислення значень цих похибок.

Перше наближення

Для знаходження розв’язку системи (3) упершому наближенні покладемо ε = 0. Підста-вивши (6) у (4), визначимо вираз для збудженьпершого наближення

ω∗ ∗

= = − ω + % 3 21 221 3 2 2

1

( )( )

( )jn t j tс

с

M t JmlF t a e j b e

F t mlm

1 3 1 333 11 ( ) ( )1 3 1 3( ) KCj t j t

с

J Jb b e b b e

mlω −ω ω −ω

∗ ∗ ∗ ∗− + + +

.

(8)


Аналіз цього виразу показує, що при ω1 = ω3 з’яв-ляються cталі складові збуджень

− = δ − δ 1 33 11

1 3 1 31

0,5 cos( )c

M J Jb b

F ml,

які набувають максимальних значень 1 maxM і

1 maxF при δ1 = δ3 і дорівнюють нулю при δ1 == 0,5π + δ3.

З фізичної точки зору, причиною виник-нення збуджуючого моменту 1M , який відпові-

дає узагальнюючій координаті α, є відмінністьвід нуля різниці моментів інерції ЧЕ −33 11J J ,

а виникнення збуджуючої сили 1F , що відпові-дає узагальнюючій координаті х – наявність сту-пеня свободи ЧЕ по даній координаті. Останнєхарактерне тільки для МКА з ПП ЧЕ.

Згідно з (11), максимальну ВП МКА, що ви-никає в першому наближенні, можна визначитиза формулою

− +∆ Ω Ω =

+33 11

ВП 1 3 max 1 33

( )( )

2( )M F с

M с F

k J J k mlb b

k l k mw. (12)

Запишемо необхідний для подальших вик-ладок частинний розв’язок (7) системи (3) впершому наближенні в розгорнутому вигляді

α α ω∗ ∗

α = + ω + 3 21 1 2

3 2 21 1 2

( )

( )jn t j t

x x

t W Wa e j b e

x t W W

α ω +ω∗ ∗

+ + 1 33 ( )

1 33

j t

x

Wb b e

W

α ω −ω∗

+ + 1 34 ( )

1 34

j t

x

Wb b e KC

W, (13)

де

α = −1 11 3 12 3( ) ( )cW W n ml W n m ;

α = − ω + ω2 11 2 22 12 2( ) ( ) cW W J W ml ;

α = ω + ω − − ω + ω3 11 1 3 33 11 12 1 3( )( ) ( ) cW W J J W ml ;

α = ω − ω − − ω − ω4 11 1 3 33 11 12 1 3( )( ) ( ) cW W J J W ml ; (14)

= − +1 21 3 22 3( ) ( )x cW W n ml W n m ;

= ω + ω2 21 2 22 22 2( ) ( )x cW W J W ml ;

= − ω + ω − + ω + ω3 21 1 3 33 11 22 1 3( )( ) ( )x cW W J J W ml ;

= − ω − ω − + ω − ω4 21 1 3 33 11 22 1 3( )( ) ( )x cW W J J W ml .

Подавши комплексні частотні ПФ (14) упоказниковій формі

αϕ ω

α αω = ω, ( )

, ,( ) ( )i

xi

j

i i

xi xi

W H e , (15)

де α α α

ω = ω + ω

0,5

, , ,( ) Re ( ) Іm ( )i i i

xi xi xi

H W W – відпо-

відні амплітудно-частотні характеристики (АЧХ);

α

αα

ω

ϕ ω = −ω

,

,,

Іm ( )

( ) arctgRe ( )

i

xii

ixixi

W

W– фазо-частотні ха-

рактеристики, = 1, 4i , запишемо розв’язок (13)у зручному для використання в другому на-ближенні вигляді як скалярний добуток чоти-ривимірних векторів

1

1

( )

( )

T Tj t j t

T Tx x

t A Ae e

x t A A

∗α ∗αν ν

∗ ∗

α = + , (16)

де

, 1, 3 2, 2 2 3, 1 3 4, 1 3

1 2 3 4

, , ,T

x x x x x

A W a W j b W b b W b b∗α α ∗ α ∗ α ∗ ∗ α ∗ ∗∗

= ω

;

ν = ω ω + ω ω − ωт3 2 1 3 1 3[ , , , ]n ;

3 2 1 3 1 3( ) ( )[ , , , ]jn t j t j t j tj Tte e e e eω ω +ω ω −ων = .

Друге наближення

Знайдемо частинний розв’язок (7) системи(3) у другому наближенні, яке відповідає правійчастині ε %

2( )F t . Для цього попередньо підстанов-кою співвідношень (6) і (16) у формулу (5) ви-значимо доданки збуджень M2(ξl) i F2(ξl), що ді-ють на ЧЕ МКА, у другому наближенні:

1 1( ) ( )1 1 1 1( ) KCj n t j n tT Tw t a A e a A eν + ν −

∗ ∗α ∗ ∗αα = + +% % ,

1( 2 )2 2 2 21 3 1 1 1( ) ( ) ( 0,5j tT j tt A b e b eν+ ω ν

∗α ∗Ω − Ω α = + +%

ν− ω ν+ ω∗ ∗+ − −% %1 3( 2 ) ( 2 )2 2

1 3j t j tb e b e

ν− ων∗ ∗− − +3( 2 )2 2

3 30,5 ) KCj tj tb e b e , (17)

2 21 2 1 1( )[ ( ), ( )]Tt x tΩ + Ω α =

1( 2 )2 2, 1 1( 0,5j tT j t

xA b e b eν+ ω ν

∗α ∗= + +%

ν − ω ν + ω ν∗ ∗+ + +% %1 2( 2 ) ( 2 )2 2 2

1 2 20,5j t j t j tb e b e b e


ν − ω∗+ +% 2( 2 )2

2 ) KCj tb e ,

де [ , , , ]Ti i i i iω = ω ω ω ω% ; [ , , , ]Ti i i i in n n n n=% , =i

= 1, 3 .Запишемо в розгорнутому вигляді векто-

ри-стовпці комбінаційних частот, які стоять упоказниках експонент у виразах (17):

ν + =%1n

3 1 2 1 2 3 1 1 3 1[ , , , ]Tn n n n n= + ω + ω + ω + ω − ω + ,

ν − =%1n

3 1 2 1 1 3 1 1 3 1[ , , , ]Tn n n n n= − ω − ω + ω − ω − ω − ,

1 3 1 2 1 1 3 1 32 [ 2 , 2 , 3 , 3 ]Tnν + ω = + ω ω + ω ω + ω ω − ω% ,

1 3 1 2 1 3 1 1 32 [ 2 , 2 , , ]Tnν − ω = − ω ω − ω ω − ω − ω − ω% ,

ν + ω =% 22 (18)

3 2 2 1 3 2 1 3 2[ 2 , 3 , 2 , 2 ]T

n= + ω ω ω + ω + ω ω − ω + ω ,

ν − ω =% 22

3 2 2 1 3 2 1 3 2[ 2 , , 2 , 2 ]Tn= − ω − ω ω + ω − ω ω − ω − ω ,

ν + ω =% 32

3 3 2 3 1 3 1 3[ 2 , 2 , 3 , ]Tn= + ω ω + ω ω + ω ω + ω ,

3 3 3 2 3 1 3 1 32 [ 2 , 2 , , 3 ]Tnν − ω = − ω ω − ω ω − ω ω − ω% .

У виразах (16) і (18) підкреслено елементивекторів комбінаційних частот, які при визна-чених ВЗ і КК призводять до виникнення ста-лих складових збуджень 2M і 2F , якщо під-креслені комбінації частот будуть дорівнюватинулю. Ці збудження, згідно з (9), спричиняють“відходи” ЧЕ МКА α 2 і 2x , що нас цікав-лять, у другому наближенні.

Виділимо у формулах (17) сталі складові тазапишемо під кожною складовою співвідношен-ня частот ВЗ і КК, при якому вони з’являються

∗ α ∗ ∗ ∗ α ∗ α ∗

ω + = ω = = ω

α = + + ω +1442443 14243 142431 1 3 1 3 1 2

1 1 1 4 1 3 1 1 3 2 2 2(n n n n

w a W b b a W a W j b

α ∗ ∗ α ∗ ∗

= ω + ω + ω = ω

+ + +14243 142431 1 3 1 3 1

3 1 3 4 1 3 ) KCn n

W b b W b b ,

Ω − Ω α =2 21 3 1( )

α ∗ ∗ α ∗ ∗ ∗ α ∗

ω = ω ω = ω = ω

= + + +14243 14243 142431 3 1 3 3 1

3 24 1 3 4 1 3 1 1 3

3 2

0,5 (n

W b b W b b b W a

α ∗ α ∗ ∗

ω = ω ω = ω

+ ω + −14243 142432 1 1 3

2 2 2 3 1 3

2

)W j b W b b

∗ α ∗ ∗ ∗ α ∗

ω = ω = ω

− − +1442443 142431 3 3 3

2 23 4 1 3 3 1 3

2

0,5 (n

b W b b b W a

α ∗ α ∗ ∗ α ∗ ∗

ω = ω ω = ω ω = ω

+ ω + + +14243 14243 142432 3 1 3 1 3

2 2 2 3 1 3 4 1 3

2 3

) KCW j b W b b W b b , (19)

[ ]

1 3

2 2 3 21 2 1 1 4, 1 3 1

4

3

( ) , 0,5(T

x

x W b b bα ∗ ∗ ∗

ω = ω

Ω + Ω α = + +

14243

∗ α ∗ ∗ ∗ α ∗ α ∗

ω = ω = ω ω = ω

+ + + ω +

14243 14243 142431 3 3 1 2 1

2 22 4, 1 3 1 1, 3 2, 2 2

4 1 2

2 2

) (x x x

n

b W b b b W a W j b

α ∗ ∗ α ∗ ∗ ∗ ∗ α ∗

ω = ω ω = ω + ω = ω

+ + + +

14243 1442443 142431 3 3 1 2 3 2

2 23, 1 3 4, 1 2 3 2 1, 3

3 4 1

2 2

) (x x x

n

W b b W b b b b W a

α ∗ ∗ α ∗ ∗

ω + ω = ω ω = ω + ω

+ + +

14243 142431 3 2 1 3 2

3, 1 3 4, 1 3

3 4

2 2

) KCx x

W b b W b b .

Згідно з (5), запишемо максимальні зна-чення сталих складових збуджень, що діють наЧЕ МКА, у другому наближенні

2 2 2 22 1 2 1 1 2 1max max max

( ) ( )cF ml m x= − Ω + Ω α + Ω + Ω ,

2 1 1max maxcM ml w= α + (20)

2 2 2 233 11 1 3 1 1 2 1max max

( ) ( ) ( )cJ J ml x+ − Ω − Ω α + Ω + Ω .

Визначимо умови, при яких праві частини(20) мають максимальні значення, та отрима-ємо формули для їх обчислення. Для цього по-ставимо вимогу, щоб усі елементи матриці (5)були додатними (для реальних ЧЕ МКА завжди

33 11 0)J J− > . Розкриємо згідно з (6) комплексні

амплітуди аі∗, bi∗, = 1, 3i , та подамо переда-

вальні функції Wαi, Wxi, = 1, 4i , у показниковій

формі (15). При цьому максимальні значення амп-літудно-частотних характеристик (15), які існу-ють на резонансних частотах ωр відповідних АЧХ,


виразимо через показники коливальності ,i

xi

αµ

цих АЧХ формулою

α α α α= ω = µ, max , , ,( ) (0)i i P i i

xi xi xi xi

H H H .

Щоб спростити подальші викладки, візьме-мо одне значення µ, найбільше з усіх: µ = (µαi,µxi) ≈ 1,2–2, = 1, 4i . Тоді матимемо

α α= µ, max ,(0)i i

xi xi

H H . (21)

Вирази для визначення α ,(0)i

xi

H , які входять у (21),

отримаємо з (8) i (14) у вигляді

−α = − ∆ 11 0(0) ( )c xH ml C mC ,

−α = − ∆ 1

2 22 0(0) ( )c xH ml C J C ,

−α α= = − − ∆ 13 4 33 11 0( 0 ) (0) [( ) ]c xH H J J C ml C ,

−α= − ∆ 1

1 0( 0 ) ( )x cH mG ml C ,

−α= − ∆ 1

2 22 0(0) ( )x cH J C ml G ,

−α= = − − ∆ 1

3 4 33 11 0(0) ( 0 ) [ ( ) ]x x cH H ml G J J C .

Підставивши рівності (21) у (15), а (15) у(19), визначимо умови, при яких доданки (19) іззнаком мінус змінюють свій знак на плюс, а іззнаком плюс – не змінюють його. Це буде вико-нуватись, якщо сума фаз у відповідних доданківдорівнюватиме в першому випадку π ( π = −1je ),а в другому – нулю ( =0 1je ). Враховуючи зроб-лені зауваження, записуємо вираз для обчисленьмаксимальних значень доданків, які входять доправих частин (20):

5

1 1 1max1

0,25 jj

w E=

α = µ∑ ,10

2 21 3 1 2max

1

( ) 0,25 jj

E=

Ω − Ω α = µ∑ ,

92 21 2 1 3max

1

( ) 0,25 jj

E=

Ω + Ω α = µ∑ . (22)

92 21 2 1 4max

1

( ) 0,25 jj

x E=

Ω + Ω = µ∑ .

Формули для визначення величин Eij (і == 1, 4), які входять у (22), мають досить простий

вигляд (наприклад, α=11 4 1 1 3(0)E H a b b , =24E

α= ω 22 2 1 2(0)H b b ) і при врахуванні обмеженого об-

сягу статті тут не наводяться. Проте треба від-значити, що в (22) є доданки, які залежать нетільки від амплітуд ВЗ і КК, але й від частотиω2 КК основи відносно осі 0

2x ( = 13, 24, 28, 34ij ,

44).Аналітичні вирази, які описують у другому

наближенні ВП МКА від ВЗ і КК основи, одер-жуються після підстановки (22) у (20), а спів-відношень (20) – у загальну формулу (11) дляоцінки ВП.

З фізичної точки зору, методичні ВП МКАз ПП у другому наближенні від дії збурень, яківизначаються формулами (20), є проявом відо-мого випрямного ефекту Максвелла–Капиці [5],тобто ефекту систематичного зміщення точки під-вісу, навколо якої відбуваються кутові коливан-ня маятника. Проте у випадку з МКА з ПП про-яв цього ефекту більш широкий, оскільки од-ночасно виникають кутові α 2 та лінійні 2x

зміщення точки коливань, кожне з яких робитьсвій внесок у загальний випрямний ефект. До-сить велике сполучення комбінаційних частотВЗ і КК (18), на яких виникають сталі складові“відходів” ЧЕ α2 і 2x призводять до ВП МКА,

які визначаються суто ВЗ (члени (22), які міс-тять а1а3), суто КК ( 1 2 3

m n pb b b , =, , 0, 3m n p ), а також

спільною дією ВЗ і КК ( =1, 1 2 33

, , , , 0, 2m n pa b b b m n p ).

Приклад обчислення вібраційних похибок

Обчислимо ВП навігаційного МКА з ППтипу АК-6 за отриманими в статті формулами.Три таких акселерометри спільно з трьома ла-зерними гіроскопами (ЛГ) типу “Гранат-1М”входять до складу блока чутливих елементів(БЧЕ) авіаційної безплатформної ІНС (БІНС)“БІНС-85”.

Відзначимо, що для якісної роботи БІНСрівень ВП МКА в умовах експлуатації системине повинен перевищувати 10−4–10−3м/с2 [1]. Увиконанні цієї умови і полягає суть задачі за-безпечення вібростійкості акселерометрів. Па-раметри МКА АК-6 беремо такими:

т = 4,14⋅10−4кг; lc = 3,2⋅10−3м; J22 = 7,25⋅10−9кг⋅м2;

C3 = 342,4Н⋅м−1; G = 7,31⋅10−4Н⋅м⋅рад−1;

C23 = 0,457H; b = 9,2⋅10−7Н⋅м⋅с; b3 = 0,15Н⋅с⋅м−1;

kα = 1,12В⋅рад−1; kПКЛ = 18; kЗКП = 3,4⋅10−3Н⋅В−1.


За джерело ВЗ виберемо задані в міжнарод-них стандартах [6] для авіаційної техніки пара-метри просторових вібрацій основи з ампліту-дами ai = 200м/с2 у діапазоні частот 5–2000Гц,а за основне джерело КК (поряд з просторовимиКК основи) – збудження, що діють на МКА збоку вібропідвісів ЛГ, які здійснюють кутові ко-ливання БЧЕ навколо його вимірювальних осейз амплітудами bi ≈ 5рад⋅с−1 на частотах fi = ωi ×× (2π)−1 = 400Гц.

Результати обчислень ВП МКА АК-6 за за-гальною формулою (11) при µ = 1,5 наведені втаблиці. Їх аналіз показує, що розглянуті в статтіметодичні ВП від ряду збуджень значно пере-

вищують допустимий для цілей інерціальної наві-гації рівень. Це може значно знизити точність на-вігаційних МКА з ПП в реальних умовах екс-плуатації і робить актуальною задачу забезпе-чення потрібної вібростійкості даного типу ма-ятникових компенсаційних акселерометрів.

Висновки

Розроблена узагальнена математична мо-дель ВП МКА з ПП дає змогу отримати аналі-тичні вирази (11) для оцінки цих похибок унайбільш загальних умовах просторового коли-вального руху основи з довільним сполученнямчастот та початкових фаз детермінованих ВЗ таКК.

Наявність пружного підвісу ЧЕ значно роз-ширює кількість методичних ВП МКА порів-няно з МКА з класичним жорстким маятнико-вим підвісом ЧЕ, внаслідок того, що одночасновиникають кутові ⟨α⟩ та лінійні ⟨ ⟩x “відходи”ЧЕ, кожен з яких додає свій внесок у загаль-ний випрямний ефект. При цьому у першому на-ближенні ВП виникають згідно з (12) від впли-ву центробіжних сил і моментів інерції, що ді-ють у площині x1x3 ЧЕ, а у другому наближенні –як різноманітний прояв випрямного ефектуМаксвелла–Капиці одночасно по кутовій та лі-нійній координатам руху ЧЕ.

Обчислені в статті методичні ВП навігацій-ного МКА з ПП типу АК-6 свідчать про значнепогіршення точності таких МКА в реальних умо-вах експлуатації. Використання отриманих в стат-ті формул для розрахунку ВП на етапі проекту-вання МКА з ПП дозволить суттєво збільшитивібростійкість таких акселерометрів за рахунок ви-бору потрібних значень їх конструктивних пара-метрів.

В подальшому доцільно на підставі запро-понованих в статті підходів, методом послідов-них наближень розробити математичну модель ін-струментальних ВП МКА, які виникають в реаль-них умовах експлуатації внаслідок нелінійностіреальних функцій перетворення основних функ-ціональних вузлів акселерометра (ДП, ПКЛ,ЗКП тощо).

Н.Г. Черняк

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДИЧЕСКИХВИБРАЦИОННЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ МАЯТНИ-КОВОГО КОМПЕНСАЦИОННОГО АКСЕЛЕРОМЕТ-РА С УПРУГИМ ПОДВЕСОМ ЧУВСТВИТЕЛЬНО-ГО ЭЛЕМЕНТА

М.G. Chernyak

MATHEMATICAL MODEL OF CONTINUOUS VIB-RATORY ERRORS OF THE PENDULOUS COM-PENSATING ACCELEROMETER WITH A SENSI-TIVE ELEMENT RESILIENT SUSPENSION

The present paper develops a mathematical model

Таблиця. Числові оцінки методичних ВП МКА з ППтипу АК-6

Cпіввідношеннячастот ВЗ і КК

Значення частотfi, Гц

Величина ВП∆w, 10−3 м⋅с−2

п1 = п3 0,05–20 20

ω1 = ω3 4 112

ω3 = 3ω1 ω1 = 4 0,006

ω1 = 3ω3 ω3 = 4 0,006

ω2 = 2ω1 ω1 = 4 4,1

ω2 = 2ω3 ω3 = 4 4,1

2ω2 = ω3 + ω3 ω1 = 6 ω3 = 10 50

2ω3 = ω1 + ω2 ω1 = 8 ω2 = 10 0,9

ω3 = ω1 + 2ω2 ω1 = 4 ω2 = 6 5,3

ω1 = ω3 + 2ω2 ω2 = 4 ω3 = 2 2,4

0,5ω2 = ω1 + ω3 ω1 = 4 ω3 = 4 42

ω3 = ω1 + 0,5ω2 ω1 = 4 ω2 = 8 4,2

ω1 = ω3 + 0,5ω2 ω2 = 6 ω3 = 8 4,2

п3 = 2ω2 ω2 = 4 4,1

п3 = 2ω3 ω3 = 4 30

ω3 = 2ω1 ω1 = 4 30

п1 = ω1 + ω3 ω1 = 4 ω3 = 4 0,02

ω3 = п1 + ω1 ω1 = 4 п 1 = 6 0,09

ω1 = п1 + ω3 ω3 = 4 п 1 = 6 0,09

п1 = ω2 ω2 = 4 5


Разработана математическая модель методичес-ких вибрационных погрешностей маятникового ком-пенсационного акселерометра с упругим подвесомчувствительного элемента, возникающих в наибо-лее общих условиях пространственного колеба-тельного движения основания. Получены анали-тические формулы для вычисления этих погреш-ностей и выполнен их расчет для навигационногоакселерометра типа АК-6.

of the continuous vibratory errors of the compen-sating accelerometer with a sensitive element resili-ent suspension. The described errors appear in mostgeneral conditions of a spatial oscillatory motion ofthe pendulous base. Furthermore, the analytic for-mulas for calculating these errors are obtained, andthe calculations of these errors for the navigation ac-celerometer AK-6 are carried out.

1. Lawrence A. Modern Inertial Technology: Navigation, Gu-idance and Control. – N.-Y.: Springer-Verlag. – 2004. –

P. 280.

2. Коновалов С.Ф. Теория виброустойчивости акселеро-

метров. – М.: Машиностроение, 1991. – 272 с.

3. Ионин А.М., Слюсарь В.М. Погрешность маятниково-

го компенсационного акселерометра с упругим подве-

сом при работе в условиях пространственной вибра-

ции // Механика гироскопических систем: Межвед.

науч.-техн. сб. – К.: “Либідь”, 1989. – Вып. 8. – С.

29–34.

4. Евгеньев В.С. Влияние упругой податливости опор под-

веса маятника на систематическую погрешность акселе-

рометра при вибрации основания // Там же. – 1984. –

Вып. 3. – С. 15–18.

5. Лунц Я.Л. Ошибки гироскопических приборов. – Л.:

Судостроениее, 1968. – 232 с.

6. Качество электронных компонентов и систем // Элект-

ронные компоненты и системы. – 1996. – 5. – С.

3–7.




УДК 621.377

Б.М. Шевчук, В.П. Зінченко, С.В. Фраєр

ОБРОБКА ТА КОДУВАННЯ СИГНАЛІВ І ЗО-БРАЖЕНЬ У МЕРЕЖАХ ДИСТАНЦІЙНОГО МОНІТОРИНГУ СТАНІВ ОБ’ЄКТІВ

Вступ

Розв’язання проблем і завдань автоматизації наукових досліджень, моніторингу станів об’єк-тів промисловості, сільського господарства, еко-моніторингу, підвищення ефективності функці-онування комп’ютерних телемедичних і охорон-них мереж, мереж відеомоніторингу і контролю безпеки руху залізничного і автомобільного транс-порту та мікросупутникових моніторингових ме-реж досягається звдяки встановленню на об’єк-тах тривалого моніторингу (ОТМ) та на мобіль-них об’єктах абонентських систем (об’єктних сис-тем) із засобами введення сигналів і зображень, обробки, кодування та передачі даних моніторин-гу на центральну станцію комп’ютерної мережі. В статтях [1—3] запропоновано методи і алгорит-ми оперативної фільтрації-стиску сигналів, які за-безпечують відбір і кодування істотних відліків обгинаючої сигналів із врахуванням опосередко-вано визначеного вхідного співвідношення сиг-нал/шум і поточних динамічних характеристик ділянок сигналів.

Оскільки основним завданням об’єктних систем (ОС) є введення, визначення і компактне кодування найбільш інформативних даних, які підлягають подальшому криптостійкому та зава-достійкому кодуванню і передачі по каналах зв’яз-ку, то саме в процесі фільтрації і стиску сигналів відбувається формування тих достовірних пото-ків даних, якими завантажуються спільні ресур-си комп’ютерних мереж. Зменшення інформацій-них потоків у місцях їх зародження насамперед досягається адаптивним вибором і кодуванням ве-личини частоти дискретизації сигналів та кіль-кості достовірних біт істотних відліків сигналу: на зашумлених і пологих ділянках частота дискрети-зації вибирається мінімально допустимою, але на достовірних (незашумлених) ділянках і ділян-ках з високочастотними амплітудними змінами вона має вибиратись максимальною.

Дослідження з вибору частоти дискретиза-ції сигналів показали [1], що за отримання дос-товірних даних (достовірних відліків сигналів) не-обхідно “платити” досить підвищеними інформа-ційними потоками. Порівняно з теоретичною час-тотою дискретизації сигналів, за Котельниковим, у системах введення і обробки інформації час-тота первинних потоків істотно залежить від па-раметрів вхідних фільтрів нижніх частот, які ви-бираються залежно від динамічних характерис-тик сигналів і при кількості достовірних біт від-ліків сигналу, наприклад q = 10, реальна часто-та дискретизації має бути щонайменше на по-рядок вищою за частоту дискретизації Котель-никова.

Величина первинного потоку даних від відео-сенсорів визначається роздільною здатністю ві-деосенсора N × M (N — кількість пікселів в ряд-ку поточного кадра; M — кількість рядків кадра), кількістю біт, необхідних для кодування яскра-вості пікселя, а також від частоти отримання кад-рів та виду зображення (кольорового, монохром-ного).

Оскільки вартість засобів ОС моніторинго-вої мережі і ефективність їх використання істот-но залежать від методів і алгоритмів обробки, ана-лізу, кодування і передачі даних (тобто методи і алгоритми значно впливають на складність і вар-тість програмно-апаратних засобів мереж, систем і пристроїв), то важливим завданням при побудові ОС та пристроїв широкого застосування є розроб-ка методів і алгоритмів оперативної та високоін-формативної обробки і кодування інформації, ефективних за точністю та швидкодією обробки даних у місцях їх виникнення.

Слід зазначити, що об’єктні засоби обробки, кодування і передачі інформації, як правило, пра-цюють в умовах багатьох обмежень, включаючи й обмеження на продуктивність обчислювальних ресурсів, точність, швидкість обробки даних, об’єм пам’яті, а також при обмеженому часі об-робки інформації, наявності вхідних шумів та ім-пульсних завад у вимірювальних трактах, а також при появі потужних промислових завад у кана-лах зв’язку. Тому актуальними є дослідження з розробки методологічних і алгоритмічних основ оперативної цифрової обробки та аналізу даних моніторингу безпосередньо на об’єктах з вико-ристанням нескладних програмно-апаратних за-собів.



З метою реалізації оперативного компакт-ного кодування сигналів і зображень на ОТМ без залучення потужних процесорів у статті запро-поновано оптимізовані за швидкодією і точніс-тю методи та алгоритми фільтрації-стиску даних моніторингу, які ґрунтуються на “сигнальному” підході [2, 3], тобто в масиві первинних даних визначаються і кодуються суттєві відліки (СВ), амплітудно-часові характеристики яких після ком-пактного кодування і відновлення (декодування) даних практично не змінюються або змінюються в заданих (контрольованих) межах із врахуванням досягнення необхідного коефіцієнта стиску да-них. До СВ належать екстремуми і точки зміни опуклості обгинаючої сигналів (відеосигналів). За рахунок оперативного визначення СВ сигналів і зображень у темпі введення моніторингових да-них і організації контролю умов введення да-них, компактного кодування вимірювальних і службових даних забезпечується достовірне від-новлення первинних даних з попередньо зада-ною чи адаптивно вибраною точністю перетво-рення та кодування інформації.

Дослідження спотворень сигналів і зобра-жень при їх фільтрації і стиску

Дослідження поширених методів фільтра-ції-стиску сигналів [2], включаючи й медіанну фільтрацію та адаптивний стиск відліків сигна-лів, фільтрацію-стиск сигналів на основі диск-ретно-косинусного перетворення (ДКП) і диск-ретних вейвлет-перетворень (ДВП) показали, що кожний із методів вносить характерні спотворен-ня в результуючий сигнал, причому відповідні спотворення істотно залежать від функціональ-них характеристик методів фільтрації-стиску, ха-рактеристик базисів і форми базисних функцій [4], а також від рівня високочастотних шумів та імпульсних завад на поточних ділянках сигна-лу. На сьогодні для фільтрації і стиску сигналів та зображень великого поширення набрали швид-кі ортогональні та вейвлет-перетворення [5—8].

Слід зазначити, що двовимірне ортогональ-не перетворення можна здійснити серією одно-вимірних ортогональних перетворень, тобто спо-чатку треба виконати перетворення кожного ряд-ка двовимірного масиву, а потім зробити пере-творення кожного стовпця отриманих коефіці-єнтів. В результаті виконання описаної послідов-ності дій отримаємо коефіцієнти швидких пере-творень. Для реалізації дискретно-косинусного перетворення найбільш поширеними величина-

ми вхідної вибірки двовимірного сигналу (зобра-ження) використовуються блоки 8 × 8 або 16 × 16 пікселів (відліків). Із збільшенням розмірності вхідних блоків істотно зростає кількість ариф-метичних операцій. Наприклад, для одновимір-ної вибірки завдовжки 32 відліки необхідно ви-конати [10] μ32 = 24⋅5 = 80 (μm = 2m − 1m) операцій множення, відповідно для двовимірної вибірки 32 × 32, яка складається з 32 вертикальних і 32 горизонтальних векторів, треба здійснити 64μ32 = = 5120 операцій множення. А при розбитті бло-ка 32 × 32 на менші блоки 16 × 16 слід викона-ти μ32 = 4⋅32⋅23⋅4 = 4096 операцій множення, для розбиття даного вхідного масиву на блоки 8 × 8 необхідно μ32 = 8⋅16⋅22⋅3 = 1536 операцій. Для реалізації дискретного вейвлет-перетворення до-цільно вдаватись до великих виборок вхідних ма-сивів даних із врахуванням допустимої величи-ни оперативної памяті, оскільки [10] при стис-ку малих вибірок вхідних даних спостерігаються більш виражені спотворення сигналів (зобра-жень). При цьому кількість арифметичних опе-рацій при виконанні ДВП без розбиття на бло-ки дорівнює загальній кількості операцій із роз-биттям на блоки.

Коефіцієнт стиску даних =ст /N NK X X зале-жить від способу зрізання спектральних коефіці-єнтів, де XN — вектор вхідних даних розмірнос-

ті N; NX — вектор зрізаних коефіцієнтів перетво-рення. Найефективнішим методом стиску сигна-лів і зображень є метод SPIHT [5], який полягає в прогресивному кодуванні перетвореного ма-сиву вхідних даних двовимірного зображення за допомогою вейвлет-перетворень. Прогресивне ко-дування полягає в послідовному відборі старших розрядів найбільших коефіцієнтів перетворено-го масиву даних. Істотним недоліком методів стиску сигналів і зображень із зрізанням спект-ральних коефіцієнтів швидких ортогональних та вейвлет-перетворень є той факт, що із збільшен-ням коефіцієнта стиску Кст в первинному маси-ві даних відбуваються неконтрольовані спотво-рення амплітудних і часових характеристик СВ. На рис. 1 відображено результати спотворень об-гинаючої різних типів сигналів та різниці між від-ліками сигналів до і після стиску при виконанні ДКП і ДВП (Q = 6) з коефіцієнтом стиску Кст = = 7, включаючи й електрокардіосигнал (ЕКС) при q = 8 біт (рис.1, а), теоретичний сигнал (ТС) з відомими інформативними і шумовими складови-ми при q = 10біт (рис. 1, б ), а також відео-сигнал (ВС) при q = 8 біт (рис. 1, в), де Q — кількість коефіцієнтів, за допомогою яких зада-ються базисні вейвлет-функції [9].


Рис. 1. Спотворення обгинаючої сигналів і різниця між відліками сигналів до і після стиску при Кст = 7 (а — ЕКС; б — ТС; в — ВС)

400

−100

0

100 200 300

−200−300

−400500450400 350 300 250200150 10050 0

400

−100

0100

200300

−200

−300

−400500450400350 300 250 200150100500

−500

50 100

−100−150

500450400 350 300 250200150 10050 0

−50

0

50

−100500450400350 300 250 200150100500

б

−20

0

20

−40200 180 160 140 120100 80 60 40 20 0 240220

−100

1002030

−20200180 160 140 120 100806040200 240220

180

80100120140160

60200 180 160 140 120100 80 60 40 20 0 240220 200180 160 140 120 100806040200 240220

180

80100120140160

60

в

а

650

500450400 350 300 250200150 10050 0 400

450

500

550

600

500450400350 300 250 200150100500

650

400

450

500

550

600

500450400 350 300 250200150 10050 0 −10−505

10

500450400350 300 250 200150100500

−5

0

5

ДВП Q = 6 (Кст = 7)ДKП (Кст = 7)


Аналіз кривих на рис. 1 показує, що абсо-лютні похибки відновлення обгинаючої сигна-лів і зображень після виконання операцій фільт-рації-стиску первиних даних з використанням ДКП і ДВП досягають одиниць-десятків кван-тів аналого-цифрового представлення даних мо-ніторингу. Оскільки отримання достовірних і точ-них даних моніторингу ґрунтується на дотриман-ні умов введення достовірних даних та визна-ченні достовірних qд біт відліків вхідної інфор-мації, то методи і алгоритми фільтрації-стиску сигналів і зображень мають характеризуватись мі-німальними спотвореннями, які не перевищу-ють похибок тракту введення та перетворення вхідних даних. Слід зазначити, що складність і вартість трактів введення та перетворення вхід-них даних істотно залежить від заданої величи-ни отримання достовірних qд біт відліків сигна-лів і зображень. Тому із збільшенням величини qд значно підвищуються вимоги до похибок ме-тодів фільтрації, стиску і відновлення даних мо-ніторингу. Орієнтиром для формування первин-них достовірних потоків на об’єктах моніторин-гу є задана максимальна абсолютна похибка кван-тування сигналів і зображень Δкв max = k/2, де k = = (Xmax − Xmin)/2

q — величина кванта; Xmax, Xmin — максимальне і мінімальне значення вхідного сиг-налу. На рис. 2 наведено результати досліджень похибок фільтрації-стиску та відновлення сигна-лів і відеосигналу залежно від величини Кст (Δ = = f (Кст)), де Δ = Mk, M — різниця між відлі-ками сигналів до і після стиску, визначена у квантах k.

Дослідження спотворень сигналів (відеосиг-налів) показують, що із збільшенням коефіцієн-та стиску Кст при виконанні ортогональних пе-ретворень спостерігаються значні спотворення первиних даних, особливо коли Кст > 7—9. Ос-кільки похибки тракту введення і обробки вхід-ної моніторингової інформації істотно вплива-ють на достовірність молодших двійкових біт цифрових відліків сигналів і зображень, то для формування інформативних, достовірних та ком-пактних масивів даних у місцях зародження ін-формаційних потоків необхідна реалізація та-ких алгоритмів фільтрації-стиску сигналів і зобра-жень, які забезпечують мінімальні спотворення відліків вхідних даних.

Високоінформативна обробка і кодування сигналів і зображень

Для кодування і оперативного відновлення обгинаючої сигналів та відеосигналів (у подаль-шому — сигналів) після їх стиску, особливо на ділянках з високим вхідним співвідношенням сиг-нал/шум [с/ш]вх, на ділянках з інформативними високодинамічними змінами та на пологих (не-динамічних) ділянках з нелінійно залежними від-ліками необхідно в темпі введення даних вияв-ляти екстремуми і відліки (групу суміжних відлі-ків) зміни опуклості сигналів, які кодуються як СВ [3]. Оскільки для достовірного відновлення амплітудних значень відліків вимірювальних сиг-налів частота їх дискретизації вибирається знач-но більшою (приблизно на порядок [2]) порівня-

но з частотою дискретизації за Котельнико-вим fдК, то на пологих ділянках та ділянках із високочастотними шумами доцільно визна-чати СВ і несуттєві відліки (НВ) з адаптив-ним періодом кодування tк = f (Kст min, [с/ш]вх, Δ ф

iX ), де Kст min — мінімально необхідний ко-

ефіцієнт стиску даних; −Δ = −ф ф ф1i i iX X X — по-

точне значення приросту відфільтрованого (на-приклад, ковзним способом) сигналу; ф

iX ,

−ф

1iX — амплітудні значення сусідніх від-

фільтрованих відліків сигналу; i = 1, 2, 3, … — поточний відлік відфільтрованого сигналу. Відповідно, з метою стиску сигналів із міні-мальними втратами за точністю відновлення відліків на пологих та зашумлених ділянках здійснюється прорідження максимальної час-тоти дискретизації сигналу fд = KfдК = 2Kfmax із врахуванням вибору оптимального періоду кодування tк = tкв опт = k jtкв min, де K ≥ 8 — ко-ефіцієнт підвищення частоти дискретизації

Рис. 2. Спотворення обгинаючої сигналів і зображень у про-цесі їх фільтрації-стиску на основі ортогональних пе-ретворень: — ДКП; — ДВП Q4; — —ДВП Q6; — ДВП Q8; — ДКП; — ДВПQ4; — ДВП Q6; — ДВП Q8; — ДКП;s — ДВП Q4; — ДВП Q6; — ДВП Q8

Δ

200

16 Кст

ВС

ТС

ЕКС

150

100

50

0 1412 10 86 4 2 0


сигналу fдК за Котельниковим, значення якого істотно залежить від метрологічних вимог до при-строїв введення та обробки сигналу [2]; fmax — максимальна частота сигналу; tкв опт — оптималь-ний інтервал квантування сигналу (максималь-но допустимий інтервал квантування); kj — ко-ефіцієнт прорідження частоти дискретизації сигналу fд; j = 1, 2, 3, …, jmax — поточна величи-на прорідження інтервалу кодування (кванту-вання), tкmin = 1/f, tкmax = jmaxtкmin. Для простоти кодування величина j вибирається з величин j = = 1, 2, 4, 8, … Підвищення коефіцієнта стиску сигналу Kст без втрат за точністю кодування СВ на достовірних ділянках досягається завдяки вияв-ленню ділянок сигналу із значимими високочас-тотними шумами, на яких доцільно найбільш спрощено визначати СВ обгинаючої сигналу, на-приклад, через усереднення відповідної групи відліків на адаптивно вибраному інтервалі усе-реднення = Δ ф

y (| |)il f X . При цьому коефіцієнт про-

рідження частоти дискретизації сигналу kj ви-бирається максимально можливим, а кількість достовірних біт СВ становитиме qд = f ([с/ш]вх).

Таким чином, основою для реалізації ви-сокоінформативної обробки сигналів є оператив-не визначення поточних приростів Δ ф

iX , на ос-нові яких визначена величина [с/ш]вх [3], яка, в свою чергу, дозволяє вибрати і закодувати пара-метри kj і qд адаптивного кодування СВ і НВ об-гинаючої сигналу. На відміну від введення, оброб-ки та кодування вимірювальних сигналів первин-ний потік інформації при обробці обгинаючої ві-деосигналів визначається і задається параметра-ми відеосенсорів. Вихідні дані відеосенсорів об-робляються як одновимірний сигнал (наприклад, дані кожного рядку поточого кадра).

На першому етапі високоінформативної об-робки і кодування сигналів та зображень для отримання й аналізу поточних приростів про-фільтрованої обгинаючої Δ ф

iX здійснюється опе-ративна фільтрація сигналу, наприклад, ковзним способом із мінімальним вікном усереднення lу = = 4—5 відліків. Після обчислення першої вели-

чини Δ ф1X забезпечуються умови для реалізації

адаптивної фільтрації, стиску та кодування да-них [2, 3]: визначаються і задаються поточні ве-личини lу, [с/ш]вх, fд і qд СВ.

Для отримання достовірних відліків про-фільтрованого сигналу важливо, залежно від по-точної динаміки сигналу, підбирати вікно усеред-нення при реалізації вибраної версії оператив-ної фільтрації на основі методів ковзного серед-нього або адаптивної медіанної фільтрації. Зна-ючи fmax можна визначити допустиму величину

Δ фдопX приростів інформативних складових про-

фільтрованого сигналу, при цьому, коли Δ фiX >

> Δ фдопX , корисний сигнал вражений високочас-

тотними шумами, рівень яких опосередковано характеризується відносним показником [с/ш]вх [3] поточної ділянки. Адаптивний вибір вікна усереднення для реалізації оперативних методів фільтрації здійснюється із врахуванням мінімаль-ного спотворення форми обгинаючої сигналу згід-но з виразом

Δ ≥ Δ⎧⎪

Δ < Δ ≤ Δ⎪⎪= ⎨Δ < Δ ≤ Δ⎪

⎪Δ < Δ ≤ Δ⎪⎩

ф фymin доп

ф ф фymin доп доп



, | | | |,

2 , | | /2 | | | |,

4 , | | /4 | | | | /2,

8 , | | /8 | | | | /4,

i

iy

i

i

l X X

l X X Xl

l X X X

l X X X

тобто високочастотні фрагменти ділянок сигна-лів усереднюються на мінімальному інтервалі, а для середньо- та низькочастотних фрагментів під-бираються відповідно більші інтервали усеред-нення. Слід сказати, що завданням фільтрації є зменшення випадкової складової, яка наклада-ється на детермінований сигнал, тому реалізація методів оперативної цифрової фільтрації ґрунту-ється на накопиченні групи відліків та виконан-ні обробки на рівні отриманої групи відліків. Відповідно, результат фільтрації істотно зале-жить від величини lу і способів відбору та об-робки відліків на інтервалі усереднення. Вимо-ги до отримання достовірних даних і порівняль-ний аналіз методів фільтрації сигналів з обчис-ленням ковзного середнього чи медіани наведе-но в [2, 3]. У найпростішому випадку реалізу-ється два варіанти оперативної фільтрації: один із варіантів фільтрації з обчисленням ковзного середнього (в разі необхідності надшвидкої об-робки при обмеженому часі обробки чи при об-меженні на продуктивність об’єктного процесо-ра) або комбінація методів ковзного середнього (для виявлення околів екстремумів) та адаптив-ної медіанної фільтрації (для отримання достовір-них даних між екстремальними СВ).

На другому етапі високоінформативної об-робки та кодування сигналів і зображень, після отримання профільтрованих відліків ф

iX обгина-

ючої, визначення величин і знаків Δ фiX , визна-

чення характеристик ділянок між локальними чи глобальними екстремумами, таких, як кодів ве-личин [с/ш]вх, qд, максимального приросту Δ ф

maxX , довжини ділянки lд, визначення коду ве-личини прорідження частоти дискретизації сиг-налу поточної ділянки чи групи ділянок здійсню-


ється компактне кодування СВ і НВ достовірних та недостовірних ділянок обгинаючої сигналу [2, 3]. Кодування відліків зображень може здійсню-ватись і без визначення коду [с/ш]вх.

З метою організації компактного кодуван-ня і мінімізації сумарних потоків даних у каналах зв’язку моніторингових мереж ОС мають працю-вати в різних спеціалізованих режимах, узгодже-них з центральною станцією мережі. Це такі ре-жими роботи ОС, як режим неперервної пере-дачі даних, аналогічний телеметричному режиму роботи систем дистанційного контролю станів об’єктів, режим періодичної передачі даних та ре-зультатів оперативної обробки сигналів і зобра-жень та режим передачі результатів обробки і па-раметрів логіко-статистичних інформаційних мо-делей (ЛСІМ) ОТМ [1, 11, 12].

У режимі неперервного контролю інформа-ційних станів (ІС) ОТМ об’єктна система фор-мує і передає телеметричні інформаційні кадри (ІКтм) пакетів даних, які після прийому зберіга-ються в базі даних ЦС і є основною для фор-мування добового файла даних станів ОТМ. В загальному випадку структура ІКтм має такий ви-гляд: (S )(TR )(X1, ..., Xm), де (S ) — код ІС об’єк-та; (TR) — код прив’язки даних до реального ча-су; (X1, ..., Xm) — компактний криптостійкий код первиних даних.

Для компактного кодування СВ обгинаючої сигналів глобальні екстремуми кодуються повно-розрядним кодом (СВП) у вигляді послідовності службових та інформативних бітів: (Ті = 1)(Кі = 1) Хі, де Ті = 1 — біт ознаки суттєвості відліку сиг-налу; Кі — ознака виду кодування СВ (Кі = 1 — двійковий код Хі є повнорозрядним, Кі = 0 — код Хі є різницевим, тобто ΔХі (Ті = 0 — від-лік є несуттєвим)). Всі інші проміжки СВ ко-дуються різницевим кодом (СВР). Відповідно, за-лежно від результатів класифікації типів ділянок (достовірна/недостовірна ділянка, достовірна-на-ростаюча/достовірна-спадаюча), з вибраною та за-кодованою в службових даних частотою опиту сигналів здійснюється кодування СПВ, СВР і НВ. Можливі різні методи кодування стислих ма-сивів даних ділянок сигналів, наприклад, кожна ділянка чи група ділянок починається і завершу-ється СВП, біля якого розміщується службова ін-формація [СІ], тобто в потоці бітів (біторієнтова-них даних) спостерігаються відповідні послідов-ності: [СВПі] [СІі], …, [СВПі + 1] [СІі + 1], … Ко-ди СВР кодуються такою послідовністю бітів: (Ті = 1)(Кі = 0)ΔХі. Кодування СВР і НВ здійс-нюється залежно від вибраних і закодованих у службовій інформації методів стиску та парамет-рів адаптації. Наприклад, при виявленні тривалих

наростаючих або спадаючих СВР кодуються ко-дом (Ті = 1)(Кі = 0)Δ Хі, а при виявленні три-валих недостовірних ділянок СВР кодуються ко-дом (Ті = 1)(Кі = 0)(Zi)Δ Хі , де Zi — знак різни-цевого коду ΔХі . Кодування тривалих послі-довностей НВ здійснюється кодом Ті = 0(pi), де (pi) — код кількості НВ, а нетривалі послідов-ності НВ кодуються послідовністю бітів Ті = 0.

У режимі періодичної передачі даних ОС формує і передає інформаційний кадр періодич-ної передачі пакетів даних ІКПП, структура яко-го має такий вигляд: (S )(TR )(SDIC)(aibi ... ... mi)(X1, ..., Xm), де (SDIC) — службові дані та параметри ідентифікації ІС ОТМ; (ai bi ... ... mi ) — булеві елементи векторів ЛСІМ, по-будованих на основі контролю відповідних ха-рактеристик первинних сигналів [1, 11]. В ре-жимі передачі параметрів ЛСІМ ОТМ об’єдна-на система формує і передає інформаційний кадр параметрів ЛСІМ ІКЛСІМ, який є найкомпактні-шим повідомленням про стан ОТМ. Для забез-печення необхідної величини Kст max при заданій якості відновлення форми обгинаючої сигналів і відеосигналів доцільно здійснити відбір найбільш інформативних СВ на виявлених достовірних (ін-формативних) ділянках масиву даних.

Критерії відбору СВ задаються дослідником (експертом). Один із оперативних методів відбо-ру СВ (екстремумів) полягає у визначені величи-ни ξe

i , яка обчислюється згідно з виразом ξ =ei

−= Δ + Δ∑ ( 1) ( )(| | | |)e ei i i i , де − −Δ = −( 1) 1| | | | | | | |e e e

i i i iA A — ве-

личина, яка характеризує інформативність i-го екстремуму відносно (i − 1)-го; = −( )| | | | |e

i i iA A

+− 1| | |eiA — величина, яка характеризує інформа-

тивність i-го екстремуму щодо (i + 1)-го. Таким чином, величина ξe

i характеризує інформатив-ність i-го екстремуму. Упорядкуванням за величи-ною амплітудних значень ξe

i виявляються ті екст-ремуми (а також відповідні ділянки сигналів), які є найбільш інформативними. Відповідно, на менш інформативних ділянках сигналу із втратами за точністю досягають такого коефіцієнта стиску ін-формації, при якому можна було б забезпечити передачу даних моніторингу з допустимою про-пускною здатністю мережі передачі даних. При обробці зображень для виявлення найбільш ін-формативних екстремумів показник ξe

i обчислю-ється окремо для відліків (СВ), які утворюють рядки і стовпці двовимірних даних, тобто визна-чаються величини −ξ = Δ + Δ∑ ( 1) ( )(| | | |)ep ep ep

i i i i i , ξ =ecjm

−= Δ + Δ∑ ( 1) ( )(| | | |)ec ecj j j j , де ξep

i — показник інфор-


мативності і-го відліку k-го рядка, який є СВ (екстремум), = −0, 1k N ; ξec

jm — показник інфор-

мативності j-го відліку m-го стопчика, який є СВ (екстремум), = −0, 1j M .

Для виявлення найбільш інформативних СВ двовимірних даних для кожного (i, j-го) СВ не-обхідно визначити сумарний показник інформа-тивності ξ = ξ + ξe ep ec

ij i j , де ξepi — показник інфор-

мативності i, j-го відліку i-го рядка, ξecj — по-

казник інформативності i, j-го відліку j-го стовп-ця. Упорядкуванням за величиною амплітудних значень ξe

ij виявляться ті СВ, які є найбільш ін-

формативні. При обробці відеосигналів (телевізійних

сигналів) ефективним способом стиску є відбір найбільш інформативних кадрів за критерієм

∑=

=D

v

ebv

vsb

1

ξξ , де ξvsb — показник інформативнос-

ті b-го кадра відеоданих, D — кількість СВ b-го

кадра, ξebv — сумарний показник інформативнос-

ті по рядках і стовпцях b-го кадра. Можна ви-користовувати усереднене значення величини

ξebv , тобто ξ = ξ /eb eb

v v D . Додатковий стиск масивів первиних даних

здійснюється за рахунок безвтратних методів стиску інформації, запропонованих в [13—16] при побудові мікросупутникових систем збору, оброб-ки та передачі інформації.

Таким чином, завдяки опосередкованому визначенню умов відбору інформації, адаптив-ному кодуванню СВ і НВ обгинаючої сигналів і відеосигналів, відбору найбільш інформативних даних із врахуванням досягнення необхідного Кст max, а також реалізації безвтратних методів стиску даних досягається передача даних моні-торингу станів об’єктів із врахуванням пропуск-ної здатності мережі передачі даних моніторин-гової системи.

Висновки

На основі досліджень спотворень форми об-гинаючої сигналів і зображень, які виникають у процесі виконання фільтрації та компактного ко-дування відліків обгинаючих кривих, запропоно-вано метод високоінформативної фільтрації-стис-ку сигналів та зображень, зорієнтований на по-будову автономних та мікропотужних засобів і систем оперативної обробки, кодування і пере-дачі інформації. З метою отримання достовірних даних в місцях виникнення інформаційних по-токів комп’ютерних мереж на першому етапі опе-ративної обробки і кодування сигналів і зобра-жень здійснюється адаптивна фільтрація відліків обгинаючої кривої на основі методів фільтрації з обчисленням ковзного середнього або медіанної фільтрації. Подальша обробка здійснюється че-рез виявлення найбільш інформативних відліків обгинаючої кривої (екстремумів і точок зміни опуклості). Амплітудно-часові характеристики піс-ля компактного кодування/декодування практич-но не змінюються або змінюються в заданих ме-жах із врахуванням необхідного ступеня стиску даних при допустимих похибках відновлення від-ліків обгинаючих кривих. Досягнення максималь-ного коефіцієнта стиску даних моніторингу за-безпечується відбором найбільш інформативних СВ та відповідних ділянок, а також через без-втратний стиск даних. Запропоновані методи ви-сокоінформативної обробки та кодування сигна-лів і зображень зорієнтовано на побудову перс-пективних бортових, мікросупутникових, порта-тивних та мікропотужних систем. Одним із перс-пективних варіантів подальшого розвитку запро-понованої високоінформативної фільтрації-стис-ку сигналів і зображень є реалізація методу адап-тивного кодування приростів СВ із передбачен-ням і використанням різнотипних способів ком-пактного кодування службових та інформатив-них даних із врахуванням динаміки обгинаючих кривих.

Б.М. Шевчук, В.П. Зинченко, С.В. Фраер

ОБРАБОТКА И КОДИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ В СЕТЯХ ДИСТАНЦИОННОГО МОНИТОРИНГА СОСТОЯНИЙ ОБЪЕКТОВ

Описаны функциональные характеристики опера-тивной фильтрации и сжатия сигналов и изобра-жений, оптимизированных по быстродействию и точности кодирования. Метод фильтрации-сжатия

B.M. Shevchuk, V.P. Zinchenko, S.V. Fraier

PROCESSING AND CODING OF SIGNALS AND IMAGES IN THE REMOTE NETWORK MONITOR-ING OF OBJECTS’ CONDITIONS

In this paper, we study the functional characteristics of the signals and images’ operative filtration and compression, optimized on the coding speed and ac-curacy. Besides the filtration-compression method


данных мониторинга основан на сигнальном под-ходе, при котором на огибающей сигналов опре-деляются наиболее информативные отсчеты, амп-литудно-часовые характеристики которых после компактного кодирования/декодирования практи-чески не изменяются. Достижение необходимого коэффициента сжатия данных достигается за счет отбора наиболее информативных существенных отсчетов, а также за счет сжатия данных без по-терь.

for monitoring data is based on the alarm approach. Employing this method, we define the most infor-mative readouts on the signals envelope and point out that their amplitude and hour characteristics af-ter compact coding/decoding are likely to be cons-tant. We summarize that the necessary data comp-ression factor can be achieved through the selecti-on of the most informative readouts and the loss-free data compression.

1. Шевчук Б.М. Методи визначення та відображення по-

казників інформаційних станів об’єктів тривалого мо-ніторингу // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. —

2005. — 4. — С. 78—85.

2. Шевчук Б.М., Задірака В.К., Фраєр С.В. Ефективні ме-

тоди фільтрації-стиску та захисту інформації в комп’ю-

терних мережах тривалого моніторингу станів об’єк-тів // Штучний інтелект. — 2006. — 3. — С. 804—815.

3. Шевчук Б.М., Зінченко В.П. Оперативна багатофункці-

ональна обробка та передача інформації в моніторин-

гових мережах з використанням мікросупутників // На-укові вісті НТУУ “КПІ”. — 2007. — 2. — С. 35—45.

4. Классические оргтогоноальные базисы в задачах анали-

тического описания и обработки информационных сиг-

налов / Ф.Ф. Дедус, Л.И. Куликова, А.Н. Панкратов и

др.; Под ред. Ф.Ф. Дедуса. — М.: Изд. отдел факуль-тета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004. — 172 с.

5. Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука / Пер. с англ. — М.: Техносфера, 2004. — 368 с.

6. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений / Пер. с англ. — М.: Техносфера, 2005. — 1070 с.

7. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / Пер. с англ. — М.: Мир, 2005. — 671 с.

8. Ричардсон Я. Видеокодирование. Н.264 и MPEG-4 —

стандарты нового поколения. — М.: Техносфера, 2005. —

368 с.

9. Яцимірський М.М. Швидкі алгоритми ортогональних три-гонометричних перетворень. — Львів: Академічний екс-

прес, 1997. — 219 с.

10. Фраєр С.В. Цифрова обробка сигналів і зображень на

основі вейвлет-перетворень та їх порівняльний аналіз

з відомими ортогональними перетворенями // УСіМ. —

2006. — 4. — С. 56—67.

11. Шевчук Б.М., Горін Ф.М., Фраєр С.В., Сташкова Н.С.

Оперативне визначення інформаційних станів об’єк-

тів дослідження і управління на основі аналізу систе-

ми показників сигналів, що підлягають контролю // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2003. —

2. — С. 151—157.

12. Идентификация информационных состояний обьектов

исследования и управления на основе системы логи-

ко-статистических информационных моделей / Я.Н. Ни-колайчук, М.А. Лучук, Б.М. Шевчук и др. — К., 1988. —

20 с. — (Препр. /АН УССР. Ин-т кибернетики им.

В.М. Глушкова; 88—45).

13. Зінченко В.П., Буров В.О., Зінченко С.В., Штефлюк Г.В.

Формат телеметричного кадра для мікросупутників // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2005. — 3. — С. 108—

114.

14. Зинченко В.П., Буров В.А., Зинченко С.В., Штефлюк А.В.

Разработка систем передачи телеметрической инфор-

мации для космических объектов // Системні дослід-ження та інформаційні технології. — 2005. — 3. —

С. 57—72.

15. Зінченко В.П., Рижков Л.М. Концепція віртуальної ла-

бораторії космічних досліджень на основі надмалих кос-мічних апаратів // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2006. —

6. — С. 96—102.

16. Зинченко В.П., Зинченко С.В. Алгоритмы и базовые про-

граммные модули для управления технологическими модулями Prometheus // УСиМ. — 2007. — 5. — С.

96—102.


Надійшла до редакції 12 лютого 2008 року

97

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ, СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗТА КЕРУВАННЯ

УДК 62-50

І.В. Афанасьєва, П.І. Бідюк,А.Н. Поворознюк

ОСОБЛИВОСТІ ПРОЕКТУВАННЯ І РЕАЛІ-ЗАЦІЇ СППР ПРИ ПРОГНОЗУВАННІ ФІНАН-СОВО-ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

Вступ

Системи підтримки прийняття рішень(СППР) набули широкого застосування в еко-номіках передових країн світу, причому кіль-кість їх впроваджень постійно зростає. На рівністратегічного керування СППР використовують,зокрема, для довго-, середньо- і короткостроко-вого прогнозування, а також для фінансового пла-нування, включаючи систему для розподілу ка-піталовкладень [1–3]. СППР, орієнтовані на опе-ративне керування, застосовуються в галузях мар-кетингу (прогнозуванні та аналізу збуту, дослід-женні доступних сегментів ринку і цін), науко-во-дослідних та конструкторських робіт, керуваннікадрами. Оперативно-інформаційні застосуванняпов’язані з виробництвом, придбанням та облі-ком товарно-матеріальних запасів, їх фізичнимрозподілом та бухгалтерським обліком.

СППР узагальненого типу можуть поєднува-ти дві чи більше з перелічених функцій. У СШАв 1984 р. було проаналізовано функціонуванняСППР сто тридцять одного типу і завдяки цьомувиявлено пріоритетні галузі використання такихсистем, до яких належать: виробничий сектор,гірничорудна справа, будівництво, транспорт, фі-нанси, урядова та військова діяльність [4, 5].

Комп’ютерна підтримка різних функцій задопомогою СППР має такий розподіл: оператив-не керування – 30%; довгострокове плануван-ня – 40%; розподіл ресурсів – 15%; розрахун-ки річного бюджету – 12%.

Перелік найвідоміших “комерційних” СППРмістить сотні назв. Найбільш типові СППР сто-суються проблем мікро- та макроекономіки:“Симплан”, “Прожектор”, “Джі-план” – при-значені відповідно для корпоративного, фінан-сового, загального планування; “Експрес” вико-ристовується для маркетингу і фінансів; РМS,СІS, РІМS, ВІS – системи керування операціямиз цінними паперами, планування виробництва,маркетингу, керування бюджетом; ІFРS, FОСUS,ІSDS, МАUD – системи інтерактивного фінан-сового планування, фінансового моделювання,

формування “портфеля замовлень”, індивідуаль-ного вибору та ін. [6, 7].

Основною проблемою при проектуванніСППР є аналіз і з’ясування процесу ухваленнярішення особою, що приймає рішення (ОПР),визначення обмежень, що накладаються на про-цес ухвалення рішення, а також вибір методів іобчислювальних процедур, які дадуть можли-вість зняти подібні обмеження. У загальному ви-падку проектування СППР складається з трьохетапів [6, 8]:

1) декомпозиції процесу ухвалення рішен-ня на елементарні операції й опис виконанняцього процесу ОПР;

2) аналізу конкретної задачі щодо ухваленнярішення і проектування СППР на функціональ-ному рівні;

3) докладної специфікації функцій системи,її реалізації і верифікації (тестування).


Необхідно створити комп’ютерну системупідтримки прийняття рішень при прогнозуван-ні фінансово-економічних процесів, яка забез-печить отримання високоякісних прогнозів аль-тернативними методами та вибір кращого прог-нозу за допомогою множини статистичних кри-теріїв. Як приклад процесу береться утворенняцін на нафтопродукти.

Докладний аналіз ринку нафтопродуктів ви-магає розгляду процесу перетворення нафти вроздрібні нафтопродукти на ринку України.

Слід зауважити, що свого (українського)видобутку нафти не вистачає для потреб рин-ку (тобто з неї при існуючих в Україні техно-логіях неможливо виробити необхідний об’ємнафтопродуктів). Імпортна нафта в Україні –російська: всі нафтопроводи йдуть до нас ізРосії. Усього в 2005–2007рр. на нафтопереробнізаводи було поставлено 36966,9тис. т, з них ім-портної – 18233,8тис.т. Отже, переробляєтьсяблизько 50% української та 50% імпортної наф-ти. Вироблено бензинів 9025,8тис.т, експортова-но 2137,7тис. т, імпортовано 1819,7тис. т, тобто20% ринку бензинів – імпортні товари. ПаливаЛ-0,2-62 вироблено 10799тис. т, експортовано3025,5тис. т, імпортовано 2397,4тис. т, тобто 24%ринку дизельного палива – імпортні товари.

Внаслідок того, що на ринку багато ім-портних товарів, можна зробити висновок, що ці-на всередині країни більша за ціну за кордоном.Отже, маємо конкурентоспроможні імпортні то-вари, які знижують ціну менш якісної вітчиз-


няної продукції. Сказане вище дає можливістьсформулювати такі запитання і твердження.

1. Як можна прогнозувати ціни на нафто-продукти?

2. Чи можна прогнозувати об’єми спожи-вання, імпорту, експорту нафтопродуктів?

3. Щоб відповісти на запитання п. 2, по-трібно виконати аналіз балансу нафтопродуктів.

4. Нафтопродукти всередині країни виробля-ються з нафти Urals (російської) та вітчизняної.Можна використати світову ціну на нафту, але,на нашу думку, потрібно брати до уваги ціни ім-портних нафтопродуктів, що надходять у данийчас.

На основі наявної статистичної та аналітич-ної інформації щодо формування ринку нафто-продуктів в Україні та світових цін на нафтопро-дукти необхідно побудувати математичні моде-лі, придатні для оцінювання високоякісного ко-ротко- та середньострокового прогнозу цін нанафтопродукти, об’єми споживання, імпорту таекспорту нафтопродуктів. Крім того, слід проана-лізувати можливий баланс, визначити його по-зитивні та негативні сторони. Результати прогно-зування використати для створення рекоменда-цій та встановлення можливості керування про-цесом формування цін.

Проектування СППР: архітектураі функціональна структура

Створення СППР при прогнозуванні дина-міки часових рядів розглянемо у вигляді послі-довності необхідних етапів.

Етап I. Ідентифікація часового ряду. На да-ному етапі необхідно встановити модель, яка знайбільшим ступенем адекватності описує ча-совий ряд. Для цього за допомогою спеціаль-них тестів (тест Дікі–Фуллера, тести на гетеро-скедастичність) встановлюється, чи процес, опи-саний часовим рядом, стаціонарний чи ні. Як-що ні, то необхідно виявити природу нестаці-онарності: чи процес гетероскедастичний, тоб-то нестаціонарний відносно дисперсії; чи про-цес нестаціонарний відносно тренду.

Серед можливих моделей-кандидатів розгля-даються такі:

• лінійні моделі авторегресії (АР) та авторег-ресії з ковзним середнім (АРКС):– авторегресія AР(p)

=

= + − + ε∑01

( ) ( ) ( )p

ii

y k a a y k i k ;

– авторегресія з ковзним середнім AРКС(p, q))

= =

= + − + − + ε∑ ∑01 0

( ) ( ) ( ) ( )p q

i ji j

y k a a y k i b u k j k ;

– розширена AРКС

=

= + − +∑01

( ) ( )p

ii

y k a a y k i

= =

+ − + ε − + ε∑ ∑1 1

( ) ( ) ( )q r

j lj l

b u k j c k l k ;

• нелінійні моделі відносно змінної:– нелінійна розширена авторегресія (НРАР)

= − − +( ) [ ( 1), ..., ( )]y k F y k y k p

+ ε + ε − + + ε −0 1( ) ( 1) ... ( )rc k c k c k r ;

– нелінійна розширена авторегресія з ковзнимсереднім (НРАРКС)

= − −( ) [ ( 1), ..., ( ), ( )y k F y k y k p u k , ...

− ε − ε − + ε..., ( ), ( 1), ..., ( )] ( );u k q k k r k

– нелінійна з ковзним середнім (НКС) – Воль-терра 2-го порядку

= ε + ε − +1

( ) [ ( ) ( 1)4

y k k k

+ ε − + ε − − ε ε −( 2) ( 3)] ( ) ( 4)k k k k ;

– розширена лінійна АР з нелінійним ковзнимсереднім (РЛАРНКС)

=

= − + ε ε −∑1

( ) ( ) ( ( ), ..., ( ))p

ii

y k a y k i g k k q ;

– НАРКСР на основі радіальних базисних функ-цій (РБФ)

=

= + φ −∑01

( ) ( ( ) )M

i ii

y k a a v k c ,

= − − − т( ) [ ( 1), ..., ( ), ( ), ..., ( )]v k y k y k p u k u k q ,

−φ = + β2 1/2( ) ( )r r , β ≥ 0;

• моделі гетероскедастичних процесів:– УАРУГ(p,q)

= =

= β + β ε − + α −∑ ∑20

1 1

( ) ( ) ( )p q

i ji j

h k k i h k j ,

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ, СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА КЕРУВАННЯ 99

α β, , γ ≥ 0;

– експоненційна УАРУГ(p,q)

=

ε −= α + α +

−∑01

( )log( ( ))

( )

p

ii

k ih k

h k i

= =

ε −+ γ + β −

−∑ ∑1 1

( )log( ( ))

( )

p q

i ii i

k ih k i

h k i;

– УАРУГ-M= β + δ + ε( ) ( ) ( )y k h k k ;

= =

= γ + ε − + −∑ ∑2

1 1

( ) ( ) ( )s s

i i

h k a k i b h k i ;

• процеси з трендом:– модель детермінованого або глобального трен-ду

= + + + +L20 1 2( ) n

ny k a d k d k d k ;

– модель локального тренду

= + 1( ) ( ) ( )y k a k d k k ;

– модель випадкового кроку плюс дрейф (змі-щення або перетин)

= + − + ε0( ) ( 1) ( )y k a y k k ;

– модель випадкового кроку з додатковою шу-мовою складовою

= µ + η( ) ( ) ( )y k k k ,

µ = µ − + ε( ) ( 1) ( )k k k ;

– модель випадкового кроку з шумом та дрей-фом

= µ + η( ) ( ) ( )y k k k ,

µ = + µ − + ε0( ) ( 1) ( )k a k k ;

– модель локального лінійного тренду

= µ + η( ) ( ) ( )y k k k ,

µ = µ − + λ + ε( ) ( 1) ( ) ( )k k k k ,

λ = λ − +( ) ( 1) ( )k k v kта ін.

Етап ІI. Вибір методів прогнозування. Дляпрогнозування вибираємо такі методи:

• на основі фільтра Калмана:

+ = + + − +) ) )( 1) ( 1) ( ) ( )[ ( ) ( 1) ( )]x k A k x k K k z k A k x k ,

де A(n) – (n × n)-матриця динаміки системи,К (k) – оптимальний коефіцієнт фільтра;

• на основі різницевого рівняння:

=

+ = + + −∑01

[ ( )] [ ( )]p

k i ki

E y k s a a E y k s i ,

де a0, a1, …, ap – коефіцієнти АР;• на основі розв’язків різницевого рівнян-

ня: + = + = − + −

) 01

1

( ) [ ( )] (1 )1

sk

ay k s E y k s a

a

−+ β ε +11 11 ( ) ( )s sa k a y k ,

+ = + − +)1 1( ) ( ) [ ( (0) ( ))sp py k s y k a A y y k

+ − +2( (1) ( ))]pA y y k

+ − − + − −2 1 2[ ( (1) ( 1)) ( (2) ( 1))]s p pa A y y k A y y k ;

• прогнозування з мінімальною дисперсією:

−

−

= −∞

+ = β − + −β =∑) 1

( 1, ) ( )[ ( ) ( ) ( )]k

k i

i

y k k a y k y i

−

− −

= −∞

= β − + −β −β =∑1

1( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]k

k i

i

a y k y i

= −β − + β −)( , 1) ( ) ( )y k k a y k ;

• метод подібних траєкторій:

=

= + − −

∑

1

min ( 1)p

j i

I y j i

− − + = −

∑( ) , 1, 2, ..., y n p i j n p,

= + − −min ( 1)i

J y k i

− = + + −( ) , , 1, ..., 1y n i I I I p ,

+ = + + −)( ) ( 1)y k s y I J s .

Етап III. Вибір методів попередньої оброб-ки даних. Для попередньої обробки даних скорис-таємось такими методами:

• логарифмування;• нормування в діапазоні від −1 до +1;• диференціювання (можливості обчислен-

ня перших різниць та різниць вищих поряд-ків);

• пряме і обернене перетворення Фур’є;• цифрова фільтрація;• бутстреп.


Етап IV. Вибір методів оцінюванняпараметрів моделей. Для оцінювання параметріввикористовуємо такі методи:

1) для лінійних та квазілінійних моделей: • метод найменших квадратів (МНК) та

його рекурсивна версія (РМНК); • метод максимальної правдоподібності

(ММП) та його рекурсивна версія; • метод допоміжної змінної (МДЗ);

2) для нелінійних моделей: • нелінійний метод найменших квадра-

тів (НМНК); • метод максимальної правдоподібності; • узагальнений метод моментів (УММ).

Етап V. Застосування критеріїв вибору кра-щих моделей із множини кандидатів. Розглянемотакі критерії вибору кращих моделей:

• критерій середньоквадратичної похибки

$=

= −∑ 2

1

1( ) [ ( ) ( )]

N

k

e k y k y kN

;

• критерій Дарбіна–Уотсона – перевірка накорельованість похибок

= − ρ2 2DW ,

де ρ – коефіцієнт корельованості похибок мо-делі між собою;

• t-статистика Стьюдента для перевірки зна-чимості параметрів;

• інформаційний критерій Акайке

=

= +

∑ 2

1

AIC ln ( ) 2N

k

N e k n ,

де N – довжина вибірки даних; n – кількістьпараметрів моделі;

• критерій Байєса–Шварца

=

= +

∑ 2

1

AIC ln ( ) ln( )N

k

N e k n N ;

• критерій Фішера для перевірки адекват-ності моделі в цілому.

Етап VI. Вибір методів обчислення якостіпрогнозу. Для оцінки якості моделі необхідно ви-значити, наскільки добре модель відтворює дійс-ні часові ряди. Завжди рекомендується робитиповторний (ретроспективний) прогноз після мо-делювання. Наведемо формальні критерії оцін-ки якості моделі:

• формальні статистики ( див. нижче);

• поворотні точки ( точки перегину);• чутливість до зміни початкових даних;• чутливість до зміни коефіцієнтів.Формальними статистиками перевірки якос-

ті прогнозу є такі:• середньоквадратична похибка (СеКП)

RSME = $=

−∑ 2

1

1( )

T

i ii

y yN

;

• cередня похибка

ME = $=

−∑1

1( )

N

i ii

y yN

;

• cередня відсоткова похибка

MPE =$

=

−∑1

( )1 Ni i

i i

y yN y

⋅ 100;

• cередня відсоткова абсолютна похибка

MАPE =$

=

−∑

1

1 Ni i

i i

y y

N y⋅ 100;

• коефіцієнт нерівності Тейла

$

$

=

= =

−=

+

∑

∑ ∑

2

1

2 2

1 1

1( )

1 1( ) ( )

T

i ii

T T

i ii i

y yNU

y yN N

.

Етап VII. Розробка функціональної структурисистеми та інтерфейсу. На даному етапі виби-рається архітектура СППР, виконується розроб-ка її функціональної структури, узгоджуютьсяфункціональні вимоги з вимогами замовника,розроблюється інтерфейс системи на основі уз-годжених функціональних вимог.

Програмна реалізація

Основні класи, використані для реалізаціїсистеми:

• public class Series: – основні змінні:

public int col_num_in_file – номер ко-лонки у файлі;public Queue<double> data – дані;public string file_path – файл, з якого за-вантажені дані;private string name – назва серії;


private string original – назва серії уфайлі file_path;public period periodicity – період серії;public DateTime date – початкова дата;

– основні функції (усі public):queue move_lag(int lag) – повертає се-рію з лагом;queue ACF(int max_lag) – повертаєАКФ;queue pacf(Queue acf_func) – повертаєЧАКФ;double get_max() – повертає максималь-ний елемент;double get_min() – повертає мінімаль-ний елемент;double get_avg() – повертає математич-не сподівання;double get_var() – повертає RSME;void reset() – очищає серію;string get_name() – повертає назву се-рії;void set_data(double a) – додає дані в кі-нець черги;void set_name(string n_ser) – встановлюєнове ім’я;

• public class Model: – основні змінні:

public bool e_a0 – вільна змінна;public Variable dependent – змінна, щопрогнозується;publicdouble a0 – значення вільної змін-ної;public Queue formula – регресори;private string name – назва моделі;public Series resid – залишки;

– основні функції:public void FormResids() – повертає за-лишки моделі;public int Max_lag() – повертає макси-мальний лаг;public int Min_lag() – повертає міні-мальний лаг моделі;

Інтерфейс

Для початку роботи необхідно завантажи-ти дані (рис. 1) у форматі, вказаному на рис. 2:1-й рядок – початкова дата (кінцеву дату вказу-вати не потрібно); 2-й рядок – періодичність;3-й рядок – назви рядів (не повинно бути таких

символів: “(”, “)”, “;”; 4-й, 5-й і т.д. рядки –дані.

(Оскільки фрагменти рисунків взято з моні-тора комп’ютера, то написи залишились англій-ською і російською мовами, а бензини позна-чені а95 і т. д., хоч в тексті – правильно: А-95.)

Після завантаження (рис. 3) можна створю-вати модель (рис. 4, 5, 6).

Наступний крок – оцінювання прогнозу(рис. 7).

Рис. 2. Формат даних

Рис. 1. Завантаження рядів


Рис. 3. Завантажені дані, перегляд

Рис. 4. Створення моделі, вибір залеж-ної змінної та регресорів Рис. 5. Створення моделі, вибір лагів, авторегресійної та регресійної частин


Приклад застосування: побудова моделіутворення ціни на нафту

Згідно з автокореляційною функцією побу-дуємо модель авторегресії 2-го та вищих поряд-ків для А-95 (табл. 2, 3, рис. 8). Дані наведені втабл. 1.

Таблиця 1. Оптова ціна бензину А-95, грн/т

Дата Ціна 1 т Дата Ціна 1 т

01.01.2005 3176,8 01.05.2006 4655,5

01.02.2005 3194,6 01.06.2006 4700,0

Продовження табл. 1


01.03.2005 3231,9 01.07.2006 4771,0

01.04.2005 3690,5 01.08.2006 5180,7

01.05.2005 3776,4 01.09.2006 4836,7

01.06.2005 3716,0 01.10.2006 3912,9

01.07.2005 3827,7 01.11.2006 3838,7

01.08.2005 4309,4 01.12.2006 3981,3

01.09.2005 4885,0 01.01.2007 3870,2

01.10.2005 4500,3 01.02.2007 3706,8

Рис. 6. Модель та перегляд основних характеристик її якості

Рис. 7. Оцінювання прогнозу


Порівняльний аналіз вибраних методівпрогнозування

Для порівняння з побудованими моделямиавторегресії різних порядків скористаємось ме-тодами експоненційного згладжування, групово-го врахування аргументів (чіткий та нечіткий) тафільтром Калмана. Всі вказані методи викорис-тані для оцінювання однокрокового прогнозу. Ре-зультати однокрокового прогнозування наведе-ні в табл. 4 і на рис. 9.

Найкращим щодо оцінювання однокроко-вого прогнозу виявився метод групового враху-вання аргументів (МГВА). Наступними за якіс-тю прогнозу є авторегресія 8-го порядку (АР(8))та методи експоненційного згладжування. Гіршірезультати отримані за допомогою фільтра Кал-мана, що ґрунтується на моделі авторегресії 2-гопорядку. Необхідно відзначити зручність викорис-тання МГВА, який автоматично виконує пошукструктури кращої моделі.Висновки

Кінець табл. 3

Дата Ціна1 т

Прог-ноз

Зали-шок Дата Ціна

1 тПрог-ноз

Зали-шок

02.2006 4078,6 4555,6 −477,0 06.20075131,0 4817,0 314,0

03.2006 3970,0 4063,8 −93,8 07.20075004,8 4938,4 66,4

04.2006 4358,7 4037,2 321,5 08.20074690,0 4697,2 −7,2

09.2007 4418,9

Таблиця 2. Характеристики адекватності моделей тапрогнозів

Характеристикимоделі

Характеристики прогно-зу

Тип мо-делі

R2Σe2(k)×

×10−7

DW СеКП САПП КоефіцієнтТейла

АР(2) 0,65 1,16 1,01 448,5 10,18 0,057

АР(2)+Т3 0,91 0,31 1,91 389,15 8,65 0,049

АР(8) 0,80 0,32 2,04 408,26 8,88 0,049

АР(8)+Т2 0,85 0,24 1,97 367,87 7,56 0,045

АР(8)+Т3 0,85 0,24 1,96 365,35 7,54 0,044

Кінець табл.1


01.11.2005 3886,0 01.03.2007 4032,8

01.12.2005 3631,9 01.04.2007 4443,5

01.01.2006 4295,8 01.05.2007 4856,6

01.02.2006 4078,6 01.06.2007 5131,0

01.03.2006 3970,0 01.07.2007 5004,8

01.04.2006 4358,7 01.08.2007 4690,0

Таблиця 3. Прогнозування ціни бензину А-95 за модел-лю АР(2), грн/т

Дата Ціна1 т

Прог-ноз

Зали-шок Дата Ціна

1 тПрог-ноз

Зали-шок

01.2005 3176,8 05.20064655,5 4486,2 169,2

02.2005 3194,6 06.20064700,0 4640,9 59,1

03.2005 3231,9 3587,9 −355,9 07.20064771,0 4568,8 202,1

04.2005 3690,5 3619,7 70,8 08.20065180,7 4625,1 555,5

05.2005 3776,4 4083,5 −307,0 09.20064836,7 5024,5 −187,8

06.2005 3716,0 3990,1 −274,1 10.20063912,9 4501,8 −588,9

07.2005 3827,7 3892,7 −64,9 11.20063838,7 3674,9 163,8

08.2005 4309,4 4033,4 275,9 12.20063981,3 3966,2 15,1

09.2005 4885,0 4491,6 393,4 01.20073870,2 4144,8 −274,6

10.2005 4500,3 4900,2 −399,8 02.20073706,8 3971,8 −265,0

11.2005 3886,0 4268,7 −382,7 03.20074032,8 3845,7 187,2

12.2005 3631,9 3781,1 −149,1 04.20074443,5 4251,2 192,3

01.2006 4295,8 3761,2 534,6 05.20074856,6 4549,7 306,9

Рис. 8. Результати прогнозування за моделлю АР(2): –А-95; – forecast; – resids

січе

нь05

Залишок, тис. грнЦіна 1 т, тис. грн1,26

−0,6

5

4

3

2

1

0

−0,4

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

−0,2

бере

зень05

трав

ень

05

липен

ь05

вере

сень05

лист

опад

05

січе

нь06

трав

ень

06

липен

ь06

вере

сень06

січе

нь07

бере

зень07

трав

ень

07

липен

ь07

вере

сень0

7

лист

опад

06

бере

зень06


Висновки

Розроблена СППР надає можливості побу-дови коректних математичних моделей стаці-онарних та нестаціонарних нелінійних процесіврізної природи. Перевагою запропонованої сис-теми є відкритість її архітектури, що створюєсприятливі умови для користувача щодо подаль-шого розширення функцій системи з метою під-вищення якості оцінюваних моделей та прогно-зів на їх основі. Зручний інтерфейс з елемента-ми адаптації до користувача сприяє підвищенню

продуктивності роботи із системою і комфортноївзаємодії користувач–система.

Застосування системи до аналізу ціноутво-рення на нафту та нафтопродукти показало, щоринок заповнений великими об’ємами імпорт-них товарів і що ціна на вказані продукти всере-дині країни більша за ціну за кордоном. Отже, ма-ємо конкурентоспроможні імпортні товари, якізнижують ціну менш якісної вітчизняної про-дукції.

Отримані показники якості однокрокового(історичного) прогнозу свідчать про прийнятну

Таблиця 4. Порівняльний аналіз вибраних методів прогнозування

Показник Експоненційнезгладжування

Подвійне експоненційнезгладжування

МГВА НМГВА АР(8) ФільтрКалмана

СКП 461,29 711,53 284,05 337,03 367,87 800,23

САПП 9,50 14,91 6,04 6,78 7,56 16,43

U 0,06 0,09 0,04 0,04 0,04 0,11

Місце 4 5 1 2 3 6

Рис. 9. Графіки однокрокового прогнозування: – Y; – експоненційне згладжування; – подвійне екс-поненційне згладжування; – оцінка за чітким МГВА; – оцінка за нечітким МГВА; – МНК;і – фільтр Калмана

5,5

Ціна 1 т, тис. грн

5

4,5

4

3,5

3

2,5

2

січе

нь04

бере

зень04

трав

ень

04

липен

ь04

вере

сень04

лист

опад

04

січе

нь05

трав

ень

05

липен

ь05

вере

сень05

січе

нь06

бере

зень06

трав

ень

06

липен

ь06

лист

опад

05

бере

зень05

вере

сень06

січе

нь07

бере

зень07

трав

ень

07

липен

ь07

лист

опад

06

вере

сень07


якість прогнозів, оцінених на основі МГВА тапростої авторегресійної моделі. Порівняння цихрезультатів свідчить про достатню близькістьотриманих результатів.

У подальшому передбачається розширенняфункціональних можливостей системи новимиметодами прогнозування нестаціонарних та не-лінійних процесів.

И.В. Афанасьева, П.И. Бидюк, А.Н. Поворознюк

ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И РЕАЛИ-ЗАЦИИ СППР ПРИ ПРОГНОЗИРОВАНИИ ФИНАН-СОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Предлагается система поддержки принятия ре-шений для прогнозирования финансово-экономи-ческих процессов. Система реализована в средеVisual Studio 5.0 на языке программирования C#.Приведен пример использования программногопродукта для прогнозирования цен на нефтепро-дукты в Украине. Предполагается доработка дан-ного программного продукта новыми методамипрогнозирования нестационарных и нелинейныхпроцессов.

I.V. Afanasуeva, P.I. Bidyuk, A.N. Povorosnyuk

ON THE SPECIFICITY OF SSDM DESIGNING ANDREALIZATION FOR FINANCIAL AND ECONOMICPROCESSES FORECASTING

This paper reports on the decision-making supportsystem for financial and economic processes fore-casting. The system is implemented in the environ-ment of Visual Studio 5.0 in programming languageC#. On the experimental side, the given software pro-duct is applied to the price forecasting for oil pro-ducts in Ukraine. Moreover, we’re going to continuethis thread of research to further modify the given soft-ware product by new methods for non-stationary andnonlinear processes forecasting.

1. Олексюк О.С. Системи підтримки прийняття фінан-сових рішень на мікрорівні. – К.: Наук. думка, 1998. –

508 с.

2. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математи-ческие методы и методы для менеджмента. – М.:

Лань, 2000. – 480 с.

3. Кігель В.Р. Математичні методи ринкової економіки. –К.: Кондор, 2003. – 158 с.

4. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия ре-шений. – СПб.: Лань, 2001. – 384 с.

5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. –М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. – 590 с.

6. Holsapple C.W., Whinston A.B. Decision Support Systems(a knowledge based approach). – New York: West Publi-

shing Company. – 860 p.

7. Деннинг В., Эссинг Г., Маас С. Диалоговые системы “Че-ловек–ЭВМ”. Адаптация к требованиям пользователя /

Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 112 с.

8. Герасимов Б.М., Тарасов В.А., Токарев И.Б. Человеко-ма-

шинные системы принятия решений с элементами ис-кусственного интеллекта. – К.: Наук. думка, 1993. –

184 с.

Рекомендована Радою навчально-нау-кового комплексу “Інститут приклад-ного системного аналізу” НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції29 січня 2008 року


УДК 621.372.061.3.001.63:681.3

Ж.В. Дейнеко, О.В. Карпухін, Г.Г. Четвериков

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ПРОЕК-ТУВАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ БАГАТОЗНАЧНОЇ ЛО-ГІКИ

Вступ

З часу виникнення обчислювальної техні-ки проводяться дослідження і здійснюється ре-алізація на рівні інженерних рішень багато-значних структур і кодування у зв’язку з висо-кою інформаційною насиченістю їх сигналів. Ба-гатозначними називаються структури засобів об-робки даних, які побудовані на базі багатознач-них логічних елементів і модулів з відповідними зв’язками. До таких структур належать всі об’єк-ти, які описуються cкінченним структурним ал-фавітом: елементи, модулі, структури і системи обчислювальної, вимірювальної, керуючої техні-ки та технічні засоби обробки інформації при-родною мовою.

Нині існує багато розрізнених підходів і ме-тодів побудови та застосування багатозначних структур [1—6], однак нема їх систематизації і класифікації (в будь-якому вигляді впорядкова-ної системи засобів реалізації). Водночас опти-мальне проектування і технічна реалізація об-числювальних пристроїв на базі багатозначних структур неможливі без одночасної розробки принципово нових (нетрадиційних) видів мате-матичних моделей і їх дослідження для різних режимів роботи та інтерпретації результатів мо-делювання. Все це і створило критичну ситу-ацію, зумовлену відсутністю цілісної теорії по-будови високоефективних багатозначних струк-тур просторового типу.


Метою даної статті є розгляд питання про-ектування багатозначних елементів на основі нелінійних резонансних кіл як розв’язання за-дачі параметричної оптимізації.

Проведений аналіз у працях [1, 2] показує, що задача створення узагальненої теорії побу-дови високоефективних багатозначних обчислю-вальних структур та кодування для мовних сис-тем може бути розв’язана тільки в рамках класу інтуїтивно-конструктивістських теорій.

Вибір математичного апарату

Наявність алгебри скінченних предикатів (АСП) дає можливість здійснити перехід від ал-горитмічного опису інформаційних процесів до їх опису мовою даної алгебри у вигляді рівнянь, які задають відношення між його змінними [3, 4]. Всі змінні в рівнянні рівноправні і будь-які з них можуть виступати в ролі як незалежних, так і залежних. Наявність рівнянь і їх перевага перед алгоритмами полягає в тому, що виникає можливість розрахувати реакцію системи й у ви-падку неповної визначеності вихідної інформа-ції, тоді як не повністю розроблений алгоритм є непрацездатним. Показано, що при зміні знань про об’єкт система рівнянь АСП, реалізована у вигляді відповідної структури, завжди готова до використання, а алгоритм часто потребує істот-ної його зміни. Зазначимо, що за допомогою фор-мул АСП будуються АСП-структури, які реалізу-ють відповідні скінченні предикати. Цей підхід аналогічний процесові побудови комбінаційних схем за формулами алгебри логіки. Залежно від рівня функціонально-структурної реалізації ма-ємо АСП-структури першого, другого та третьо-го роду [5].

Як математичний апарат дослідження тут ви-користовується алгебра скінченних предикатів [4], яку будемо трактувати як алгебру, носієм якої є множина M усіх предикатів Um, де U — непо-рожня множина будь-яких змінних, яка назива-ється універсумом, тобто = 1 2 , , ..., mU x x x . Тут

1 2, ,..., mx x x — будь-які місця предметів. Тому во-

ни інакше називаються предметними змінними. Зазначимо, що якщо предмет a знаходиться на місці ix , = (1, )i m , то говорять, що змінна

ix на-

буває значення a і при цьому має запис: xi = = a. Якщо ∈1 2, , ..., ma a a U і = =1 1 2 2, , ...x a x a

=..., m mx a , то справедливий запис ∈1 2( , , ..., )ma a a

∈ mU , а це свідчить про те, що предметний век-тор (набір) належить предметному простору U m. Число m називається розмірністю простору U m, а будь-яка підмножина T простору U m — m-міс-цевим відношенням, заданим на U m. Для фор-мульного (аналітичного) запису таких відношень використовується явний спосіб задання скін-ченного алфавітного оператора, що служить відправним моментом для апаратурного методу розв’язання рівнянь алгебри скінченних преди-катів [6].


Нехай T — множина всіх відношень на U m, Q — множина всіх предикатів на U m. Відношен-ня з T і предикат Q називаються відповідними один одному, якщо для будь-яких 1 2, ,..., mx x x

маємо =1 2( , , ..., )mQ x x x

∉⎧= ⎨∈⎩

1 2

1 2

0, якщо , , ..., ,

1, якщо , , ..., .m

m

x x x T

x x x T (1)

Згідно з (1) можливий перехід від довіль-ного відношення T до відповідного йому пре-диката Q. Цей предикат, який знаходиться за ви-разом (1), називається характеристичною функ-цією відношення T.

Предикатом розпізнавання предмета a ∈ U змінної =, 1,ix i m , називаються умови вигляду

≠⎧= = ⎨=⎩

0, якщо ,( )

1, якщо .ia

i ii

a xa x x

a x (2)

Предикат ( )ia x слід розглядати як преди-

кат 1 2( , , ..., , ..., )i ma x x x x з ⊆P Q , всі аргументи

якого, крім xi, несуттєві. Вирази у вигляді ( )ia x ,

де = 1,i m , ∈a U , замінимо на aix (тут a — по-

казник для змінної xi). Таким чином, алгеброю скінченних предикатів над M називається мно-жина T з базисними елементами =( 1,a

ix i m ,

∈ )a U та базисними операціями: диз’юнкція,

кон’юнкція і заперечення. Вилучення з базису даної алгебри операції заперечення дає можли-вість отримати так звану диз’юнктивно-кон’юнк-тивну алгебру предикатів. У працях [7, 8] доведе-но її повноту. Отже, така алгебра розглядається як інструмент дослідження, а не як його предмет.

Технічна реалізація елементів багатозначної логіки

Одним із перспективних варіантів реаліза-ції елементів багатозначної логіки є використан-ня нелінійних резонансних кіл (НРК) [9]. НРК описуються диференціальними рівняннями до-сить складного вигляду [10]. Їх розв’язання за методом Крилова—Боголюбова—Митропольсько-го [11] утворюється в такому вигляді, який доз-воляє застосовувати якісні методи теорії коли-вань. Вибравши як фазові змінні амплітуду і фа-зу коливань, можна досліджувати поведінку НРК на фазовій площині побудовою і аналізом фа-зових портретів при різних значеннях її парамет-рів. Такий підхід дає змогу встановити наяв-

ність і визначити координати у фазовому прос-торі стійких і нестійких точок рівноваги, знайти області існування нестаціонарних явищ у НРК і, таким чином, визначити значення параметрів схеми, при яких у ній існують корисні (та не-бажані) ефекти. При чисто числовому підході найчастіше може бути потрібним неприйнятно великий час на проведення відповідних розра-хунків через практично повний перебір всіх до-пустимих значень параметрів схеми. Крім того, довести стійкість (або нестійкість) знайденого в результаті числового розв’язання режиму трудно. Все сказане стосується аналізу як стаціонарних, так і перехідних процесів у НРК.

Однією із задач проектування радіоелектрон-них пристроїв є оптимізація їх параметрів. Для її розв’язання необхідна адекватна модель систе-ми (пристрою), яка повністю описує роботу ці-єї системи в режимі, що цікавить розроблюва-ча. Іншою умовою є належний вибір функції ці-лі, що відповідає задачі оптимізації. Крім того, зазвичай в таких задачах містяться обмеження, що накладаються на параметри системи. Функ-ції обмеження вибираються з фізичних мірку-вань і виражають фізичну реалізованість систе-ми (пристрою), конструктивні, технологічні вимо-ги тощо. Задачу оптимізації можна сформулю-вати як задачу керування [12]:

знайти ∈ ⊆fx X X , таке,

що для всіх λ ∈ Λ λ ≤ λ( , ) ( )g x T ,

де X f — множина допустимих розв’язків; Х — множина всіх розв’язків (входів); Λ — множина невизначеностей; λ = λ λ( , ) ( , , ( , ))g x G x P x ; G — оці-

нююча функція (функція якості) × Λ× →:G X Y

→V ; V — множина платежів; P — вихідна функ-ція (модель керованого процесу) × Λ →:P X Y ; Y — множина виходів; T — функція допустимос-ті Λ →:T V .

Елементами множини Х є внутрішні па-раметри частотних елементів нелінійних резо-нансних кіл (ЧЕНРК), а множини виходів Y — вихідні параметри ЧЕНРК. З усієї множини не-визначеностей Λ обмежимося розглядом мно-жини допусків Δ, тобто покладемо Λ ≡ Δ . Сфор-мулюємо задачу оптимізації ЧЕНРК як задачу пошуку мінімуму функції Φ δ0( , )X на множині

× ΔfX . Вважаючи структуру ЧЕНРК незмінною, маємо таку задачу [12]:


знайти = δ =0( , )Z X

= δ δ δ0 0 01 2 1 2( , , ..., , , , ..., )l lX X X ,

Φ = Φ( ) min ( )z z ,

α∈ ⊆z D R , де

α≤ =⎧= ⎨ = =⎩

( ) 0, 1, 2, ..., ,

( ) 0, 1,2, ..., ;i

n

b z i kR

d z n s

δ α⊆:D R R ; Х — вектор параметрів ЧНРК; Х 0— вектор номінальних значень параметрів ЧЕНРК; δ ∈ Δ — вектор допусків на параметри ЧЕНРК; Φ — цільова функція Φ: Х × Δ → V ; D — об-ласть допустимих розв’язків; Rα — область пра-цездатності ЧЕНРК; bi(z) — функції-обмежен-ня у вигляді нерівностей; dn(z) — функції-обме-ження у вигляді рівностей; R δ — спеціальним чином сформована область допуску.

Компонентами вектора Х є значення кон-структивно-технологічних і електрофізичних па-раметрів частотних елементів на основі НРК. Об-ласть працездатності Rα визначається функці-ями-обмеженнями у вигляді рівностей і нерів-ностей. Способи формування області допуску R δ визначаються цілями проектування i особливос-тями функцій-обмежень. У конкретних випад-ках R δ є або гіперпаралелепіпедом з центром у точці X 0, розміри якого визначаються компонен-тами вектора δ, або множиною його вершин.

Наведена постановка задачі охоплює сім’ю задач, кожна з яких відповідає деякій цілі про-ектування та відрізняється видом функцій Φ(z), bi(z), dn(z). Дані задачі оптимізаційного синтезу ЧЕНРК — це задачі керування, де прийняті рі-шення впливають на процес, вихід якого, в свою чергу, впливає на цільову функцію або платіж. Незважаючи на досить високий ступінь абст-ракції під час формулювання цих задач, перехід до конкретних практичних задач не викликає труднощів.

Одним із найважливіших показників якос-ті проектованих виробів електронної техніки (ВЕТ) — гібридно-інтегральних схем (ГІС) — є імовірність працездатності, що кількісно виража-ється у величині виходу придатних інтегральних схем. У точній постановці задача проектування в цьому випадку полягає в існуванні таких значень внутрішніх параметрів ГІС та допусків на них, при яких імовірність працездатності буде макси-мальною. Основні труднощі такої задачі в точ-ній постановці полягають в обчислюванні бага-торазових інтегралів від багатовимірних функцій

густини імовірності, при якому необхідно мати інформацію про закони розподілу параметрів компонентів ГІС. Однак у більшості випадків проектувальник не знає законів розподілу пара-метрів компонентів ГІС для вибраного техно-логічного процесу, а йому відомі лише граничні значення цих параметрів. При цьому виникає задача “гіршого” випадку [13, 14]. Правомірність такої постановки задачі у випадку проектування ЧЕНРК можна обґрунтувати тим, що розгляну-ті ВЕТ належать до ГІС окремого застосуван-ня, для яких найважливішим критерієм в оцін-ці якості є величина виходу придатних інтеграль-них схем, а питання вартості є другорядними.

Розглянемо задачу проектування частотного гармонічного багатостійкого елемента (ЧГБЕ), яка має максимально можливу кількість станів. Та-ка задача виникає, наприклад, під час розроб-ки перетворювачів напруга—частота, використо-вуваних у системах автоматичного контролю, ви-мірів та збору інформації від вилучених датчи-ків. У праці [15] наведено постановку і розв’я-зання оптимізаційної задачі визначення номі-нальних значень параметрів ЧГБЕ, що має мак-симальну кількість станів. Важливою задачею є також вибір допусків на параметри ЧГБЕ.

Постановку задачі оптимізаційного синтезу гібридно-інтегрального ЧГБЕ, що має макси-мально можливе число стійких станів, можна записати в такому вигляді:

знайти = =0 0 0 01 2 10( , , ..., )X X X X

α ′= Ω τ ϕ θ ϕ0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1( , , , , , , , , , )k i kL C R E C ,

=0 0( ) min ( )W X W X ,

α∈ ⊆0X D R .

Тут область працездатності Rα має такі парамет-

ри: 12,56⋅103 ≤ Ω1 ≤ 188,4 ⋅103 радс

; 20 ≤ Е1 ≤ 60В;

Сk0/20 ≤ C1 ≤ Сk0/10; 50⋅10−12 ≤ Сk0 ≤ 10−9Ф;

12,5⋅10−6 ≤ τ ≤ 12,5⋅10−6 с; 0,2 ≤ ′ϕk ≤ 0,6В; 0,4 ≤

≤ ϕk ≤ 1В; 0 ≤ Ri ≤ 6⋅10Ом; 0 ≤ θ ≤ π2

; 10−3 ≤

≤ L ≤ 3⋅10−3Гн; 105 ≤ f 0 ≤ 3⋅105Гц; α⊆SR R ; D : R S =

α α α α= = ± δ α =0 0 , 1, 2, ...,10X X X X ; δ1 = δ2 = 0,05;

δ = δ = = δ =3 4 10... 0,2, де W (Х 0) — цільова функ-

ція, яка виражається числом стійких станів ЧГБЕ зі знаком “—”; Х 0 — вектор номінальних значень параметрів; f 0 — резонансна частота; Ω1, L, Сk0, τ, ϕk, Ri, θ, E1, ′ϕk , C1 — внутрішні пара-

метри ЧГБЕ.


Допуски на параметри Ω1 і L дорівнюють ±5%, на інші параметри — ±20%. В результаті розв’язання задачі отримано такі значення компонентів вектора Х 0: Ω1 = 13,19рад/с; Е 1 = = 34,6В; С1 = 55,6пФ; Сk 0 = 61,2пФ; L = = 2,38Гн; τ = 13,64мкс; Rф = 5,5кОм; ϕk = 0,8B; ′ϕ = θ =0,39 B; 0,355k .

При цих значеннях параметрів ЧГБЕ має 15 стійких станів, діапазон напруг на потенцій-ному виході — 0,32—1,77В, діапазон частот — 152—180кГц, діапазон напруг на контурі — 0,2—1,62В. Експериментальні результати відрізня-ються від теоретичних не більше, ніж на 15%, причому число стійких станів, що спостеріга-ються експериментально, дорівнює 15.

Для розв’язання задачі використовувався метод ковзного допуску з пошуком за дефор-мованим багатогранником [16], який не потре-бує обчислення похідних цільової функції, що набувають в області визначення лише два зна-чення: 0 чи ∞. Крім того, розривною є сама ці-льова функція.

Отримані результати дали змогу розв’язати за-дачі проектування інтегральних ЧГБЕ, викона-них у вигляді ГІС: спектротрона на основі послі-довно-паралельного контуру (ППК) та синхроні-зованого автогенератора з нелінійним контуром.

При оптимізації частотного елемента на ос-нові автогенератора цільова функція мала вигляд

+0( ) 10W X ,

оскільки проектований елемент призначений для роботи в десятиканальній радіоімпульсній системі передачі інформації.

Висновки

Наведені вище результати дозволяють зро-бити такий важливий висновок: використання нових алгебро-логічних засобів моделювання при-родно-мовних конструкцій у вигляді системи рів-нянь мовою алгебри скінченних предикатів та яв-ного способу задання скінченного алфавітного оператора, який лежить в основі апаратурного методу розв’язання цих рівнянь, забезпечують реалізацію властивості оборотності АСП-струк-тур і широке розпаралелювання обробки сим-вольної інформації. Фундаментальні досліджен-ня алгебро-логічної структури природної мови, а також алгебро-логічних засобів ії моделюван-ня у вигляді відповідних АСП-структур першо-го, другого і третього роду дають можливість впритул підійти до розв’язання важливої нау-кової проблеми: досягнення високоякісних тех-нологій обробки символьної інформації на ос-нові концепції уніфікації і методів синтезу обо-ротних просторових багатозначних структур мов-них систем.

Результати, отримані під час розв’язання задач оптимізації, дали змогу розробити реко-мендації з виготовлення макетних зразків бага-тофункціональних частотних елементів на ос-нові ППК та синхронізуючого автогенератора в гібридно-інтегральному виконанні.

Надалі передбачається постановка і розв’я-зання задач проектування восьми- і шістнадця-тизначних елементів, а також розробка конкрет-них схем їх застосування та перехід на вищі час-тоти.

Ж.В. Дейнеко, А.В. Карпухин, Г.Г. Четвериков

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРО-ЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Рассматриваются вопросы проектирования мно-гозначных элементов на основе нелинейных ре-зонансных цепей как решение задачи параметри-ческой оптимизации. Одним из перспективных ва-риантов реализации элементов многозначной ло-гики является использование нелинейных резо-нансных цепей. Оптимальное проектирование и тех-ническая реализация вычислительных устройств на базе многозначных структур невозможна без од-новременной разработки принципиально новых (не-

Zh.V. Deyneko, O.V. Karpukhin, G.G. Chetverykov

MATHEMATICAL MODELLING AND DESIGN OF MULTIPLE-VALUED LOGIC ELEMENTS

This study tackles the issues of multiple-valued ele-ments design, based on the nonlinear resonant cir-cuits as a decision of a parametrical optimization problem. We illustrate that the use of nonlinear resonant circuit is one of the most perspective vari-ants of multiple-valued logic elements implementa-tion. The results of our study demonstrate that the simultaneous development of essentially new types of mathematical models and their research for vari-ous operating modes and simulation results inter-pretation is vitally important for the optimum design


традиционных) видов математических моделей и их исследования для различных режимов работы и интерпретации результатов моделирования. Ре-зультаты, полученные при решении задач опти-мизации, позволили разработать рекомендации, которые могут быть использованы при изготовле-нии макетных образцов многофункциональных час-тотных элементов.

and technical implementation of computers on the basis of multiple-valued structures. Also, we pro-vide some recommendations on model samples manufacturing of the multipurpose frequency ele-ments.

1. Самофалов К.Г., Корнейчук В.И., Романкевич А.М., Та-

расенко В.П. Цифровые многозначные элементы и структуры. — К.: Вища шк., 1974. — 168 с.

2. Четвериков Г.Г. Многозначные структуры (анализ, сравнение, синтез, обобщение). Ч. I. — К.: ИСМО,

1997. — 192 с.

3. Коноплянко З.Д., Чаплыга В.М., Чаплыга М.В. Багато-

значні структури та кодування систем економічної кібернетики. — Львів: ЛБІ НБУ, 2004. — 314 с.

4. Бондаренко М.Ф., Коноплянко З.Д., Четвериков Г.Г. Ос-

нови теорії синтезу надшвидкодіючих структур мов-них систем штучного інтелекту. — К.: ІЗМН, 1997. —

264 с.

5. Бондаренко М.Ф., Коноплянко З.Д., Четвериков Г.Г. Ос-

нови теорії багатозначних структур і кодування в систе-мах штучного інтелекту. — Харків: Фактор-друк, 2003. —

336 с.

6. Bondarenko M., Karpuhin A., Chetverikov G., Leshchinsky V.

Synthesis Methods of Multiple-valued Structures of Bilo-

gical Networks // Proc. of the 12th International Conf.

“Mixed design of integrated circuits and systems” (MIX-DES 2005). — Krakow (Polska), 2005. — P. 201—204.

7. Бондаренко М.Ф., Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Об алгеб-ре предикатов // Бионика интеллекта. — 2004. —

1(61). — С. 15—26.

8. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Ма-тематические средства. — Харьков: Вища шк., 1984. —

144 с.

9. Bondarenko M., Chetverikov G., Karpuhin A., Roshka S., Dey-

neko Zh. Synthesis Methods of Multiple-valued Structures

of Language Systems // Proc. of the Third International

Conf. “Information Reseach, Applications and Education” (i.TECH 2005).— Varna (Bulgaria), 2005. — P. 102—107.

10. Bondarenko M., Chetverikov G., Karpuhin A. Structural Syn-

thesis of Universal Multiple-Valued Structures of Artifici-

al Intelligence Systems // Proc. of the 9th World Mul-

ti-Conference in Systemics, Cybernetics and Informa-tics (WMSCI 2005). — Orlando, Florida (USA), 2005. —

Vol. VII. — P. 127—130.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Нау-

ка, 1974. — 504 с.

12. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархи-ческих многоуровневых систем. — М.: Мир, 1973. —

344 с.

13. Петренко А.И. Основы автоматизации проектирова-ния. — К.: Техника, 1982. — 296 с.

14. Брейтон Р.К., Хэчтел Г.Д., Санджованни-Винчентелли А.Л.

Обзор методов оптимального проектирования интег-ральных схем // ТИИЭР. — 1981. — 10. — С. 180—215.

15. Карпухин А.В., Яловега Г.И. Оптимальное проектиро-

вание частотно-гармонических многоустойчивых элемен-тов // Радиотехника: Респ. межвед. науч.-техн. сб. —

Харьков, 1979. — Вып. 48. — С. 75—78.

16. Химмельблау Д.М. Прикладное нелинейное программи-рование. — М.: Мир, 1975. — 534 с.

Рекомендована Радою факультету прикладної математики НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції 18 грудня 2007 року


УДК 681. 3.07

П.П. Маслянко

КОМПОНЕНТНІ ПРОЦЕСИ СИСТЕМНОГО ПРОЕКТУВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНО-КОМУ-НІКАЦІЙНИХ СИСТЕМ

Вступ

Теоретичною основою сучасної методоло-гії системного проектування інформаційно-кому-нікаційних систем (ІКС) є фундаментальні по-ложення системного аналізу і теорії систем [1—5]. Серед методологічних проблем системного проектування ІКС слід, зокрема, виділити такі [6]:

• виокремлення граничних властивостей і характеристик об’єкта інформатизації;

• формалізація задач системного проекту-вання ІКС;

• вибір і обґрунтування необхідної техно-логії інформатизації організаційної системи (Орг.С).

У даному дослідженні під “інформатиза-цією організаційних систем” [6] будемо розумі-ти необхідну і достатню множину правових, ор-ганізаційних, економічних, наукових і науково-технічних рішень та процесів для створення інформаційно-комунікаційних систем для за-доволення інформаційних потреб, забезпечен-ня і автоматизації бізнес-процесів, інтелектуа-лізації та підвищення ефективності керування Орг.С із застосуванням інформаційно-кому- нікаційних технологій [7—9]. Таким чином, об’єкт дослідження — це інформаційно-комуні-каційні системи, а предмет дослідження — про-цеси системного проектування інформаційно-комунікаційних систем.

Автор пропонує своє визначення “інфор-маційно-комунікаційної системи”: це множина сутностей і обумовлених зв’язків між ними, яка забезпечує досягнення мети інформатизації Орг.С за допомогою інформаційно-комуніка-ційних технологій [10]. Цими визначеннями систематизуються складові інформатизації Орг.С у чотири класи сутностей [6]:

• сутності, які описують мету інформати-зації (мета може бути поділена на окремі час-тини і співвідноситись з окремими бізнес-про-цесами);

• сутності, які описують бізнес-процеси інформатизації як види діяльності Орг.С, що

змінюють стан ресурсів відповідно з бізнес-правилами;

• сутності, які описують необхідні ресур-си інформатизації у вигляді різних субстанцій, які використовуються або беруть участь у біз-нес-процесах (це персонал, матеріали, інфор-мація, окремі продукти);

• сутності, які описують бізнес-правила інформатизації у вигляді умов або обмежень щодо виконання певних бізнес-процесів.

Процес розробки (development process) ви-значається як певним чином упорядкований, достатній і функціонально повний ряд робіт з розробки проектів інформатизації організацій-них систем із заданими показниками ефектив-ності. Під визначенням “організаційна систе-ма” розуміється множина сутностей (мета діяль-ності, бізнес-процеси, бізнес-правила, персо-нал і ресурси), необхідна і достатня для прове-дення певної діяльності.

Як критерій поділу процесів розробки проектів інформатизації на водоспадні (послі-довні) та ітеративні приймається критерій по-ділу проекту на частини [11].

При організації робіт з розробки проектів інформатизації по типу водоспаду проект ді-литься на основі виду робіт. Це фактично ме-режевий графік окремих робіт з виконання проекту інформатизації, який передбачає по-слідовне їх здійснення. Істотною перевагою во-доспадного процесу є те, що в результаті вико-нання чергового етапу або фази проекту вико-навець передає замовнику повністю закінчену частину проекту інформатизації. На жаль, таке трапляється досить рідко, особливо при вико-нанні середніх і великих проектів. Як правило, при здійсненні подальших етапів виникає не-обхідність в доопрацюванні попередніх етапів, що потребує додаткових коштів, не передбаче-них бюджетом проекту інформатизації.

При застосуванні ітеративного стилю про-ект поділяють на частини на основі функціо-нальності проекту інформатизації. На першому етапі виконання проекту шляхом кількох іте-рацій розробки забезпечується зафіксована ча-стина функціональності проекту. Одна ітерація передбачає виконання аналізу, проектування, реалізацію та розгортання. Одна або кілька по-слідовних ітерацій на першому етапі дозволяє отримати першу версію проекту інформатизації із зафіксованою частиною функціональності.

На подальших етапах проводиться повний аналіз результатів, вносяться поправки і зміни,


додаються нові функції і процес аналізу, про-ектування, реалізації і розгортання повторю-ється до повного завершення проекту інформа-тизації.

Одна з істотних переваг ітеративного про-цесу перед водоспадним полягає у можливості постійного контролю і вдосконаленню процесу розробки на всіх етапах. При цьому на кожно-му етапі і замовник, і розробник отримують версію проекту інформатизації, мають змогу вносити в нього зміни і своєчасно приймати необхідні рішення.

Якщо умовно розділити проекти інформа-тизації Орг.С на три класи за критерієм поділу ІКС на малі або локальні, середні або регіо-нальні та великі або глобальні, то можна одно-значно стверджувати, що: ітеративні процеси практично в повному обсязі працюють при створенні малих або локальних проектів, пра-цюють при певних, іноді істотних обмеженнях та налаштуванні при створенні середніх або ре-гіональних проектів та практично не працюють у класичному вигляді при створенні глобальних проектів інформатизації [6].

Аналіз особливостей застосування ітерати-вних процесів при виконанні даних класів про-ектів інформатизації показує, що:

• ітеративні процеси розробки були з са-мого початку зорієнтовані на розробку виключ-но програмних систем і, природно, не врахову-вали особливостей розробки і складових про-ектів інформатизації Орг.С в цілому;

• для середніх і великих проектів поділ проекту інформатизації за функціональною оз-накою не завжди виправданий з економічної точки зору. Якщо чергова версія програмної системи може бути змінена і доопрацьована на наступному етапі без додаткових фінансових витрат, то закуплене технічне забезпечення та розроблені загальносистемні рішення для реа-лізації визначеної групи функцій змінити і до-опрацювати неможливо, його можна тільки за-мінити, що тягне за собою великі додаткові фінансові витрати;

• для середніх і великих проектів поділ проекту інформатизації за функціональною оз-накою не передбачає виділення загальносисте-мних рішень, потрібних для реалізації функ-ціональних характеристик.

Таким чином, застосування ітеративних процесів для проектування середніх і великих проектів інформатизації потребує інших підхо-дів та істотного вдосконалення.


Мета статті — з позицій прикладного сис-темного аналізу і основних положень систем-ного проектування інформаційно-комунікацій-них систем запропонувати компонентний про-цес розробки проектів інформатизації, який зберігає переваги ітеративного і водоспадного процесів і значно розширює можливості проек-тування середніх та великих інформаційно-комунікаційних систем.

Компонентні процеси системного проекту-вання інформаційно-комунікаційних систем організаційних структур

Одним із таких підходів може бути засто-сування прикладного системного аналізу і тео-рії систем для визначення іншого критерію по-ділу проектів інформатизації на частини (не за функціональною ознакою, а за загальносистем-ними ознаками) [6]. Основна ідея такого під-ходу полягає у виділенні і формалізації загаль-носистемних ознак проекту інформатизації та поділ інформаційно-комунікаційної системи Орг.С на компоненти саме за визначеними за-гальносистемними ознаками. В цьому випадку інформаційно-комунікаційну систему Орг.С утворюють сутності — компоненти.

Компонент — це модульна частина логіч-ної або фізичної системи, поведінку якої мож-на описати значно коротше, ніж реалізацію [5]. Тобто, з точки зору системного проектування ІКС, компонент — це модульна логічна та (або) фізична частина ІКС, яка описує тільки її зов-нішні особливості: тип і призначення, власти-вості і операції, інтерфейси і особливості екс-плуатації. Ці компоненти не залежать безпосе-редньо від інших компонентів, а залежать від інтерфейсів, які ті підтримують. Компонент моделі ІКС може бути замінений іншим ком-понентом, який підтримує однакові інтерфей-си. Екземпляр компонента ІКС можна заміни-ти екземпляром іншого компонента, який під-тримує такий же набір інтерфейсів.

На системному рівні компонент являє со-бою клас, який підтримує зовнішні інтерфейси. Інтерфейси, які компонент надає іншим ком-понентам, називаються забезпеченими інтер-фейсами, а інтерфейси, які компонент вимагає від інших компонентів, називаються затребува-ними інтерфейсами.


Використання іменованих інтерфейсів до-зволяє уникати прямих залежностей між ком-понентами, забезпечує модульну структуру ІКС і можливість заміни компонентів без втручання в структуру ІКС.

Для організації компонентного процесу проектування ІКС Орг.С необхідно формалізу-вати компонентне представлення проекту ін-форматизації.

Компонентне представлення проекту інфор-матизації

Компонентне представлення проекту ін-форматизації можна реалізувати двома спосо-бами: у вигляді бібліотеки компонентів з іме-нованими специфікаціями компонентів як структурованого ресурсу для проектування ІКС, і у вигляді моделі ІКС, яка являє собою діаграму компонентів з іменованими специфі-каціями і специфікацією на всю ІКС.

Компонент зображається на діаграмі у ви-гляді прямокутника із значком компонента у правому верхньому куті (рис. 1).

Рис. 1. Варіанти нотації компонента ІКС

У прямокутнику вказується ім’я компо-нента. Забезпечений інтерфейс зображається у

вигляді кружка, з’єднаного з прямокутником суцільною лінією. Необхідний інтерфейс зо-бражається півколом, з’єднаним з компонен-том суцільною лінією (рис. 2).

Компоненти можуть мати порти. Повідом-лення, які приходять на різні порти, можуть мати різний формат, обробляються компонен-том окремо один від одного і можуть бути реа-лізовані різними засобами. Порт зображається квадратиком на лінії компонента (див. рис. 2).

Представлення компонента через зовнішні інтерфейси і внутрішню реалізацію дозволяє розмежувати розробку ІКС в цілому від роз-робки її частин. Це дає можливість забезпечити паралельний процес розробки компонентів і використовувати компоненти багаторазово. Мо-дульність істотно розширює можливість багато-разового використання як структури, так і окремих компонентів ІКС.

Поділ ІКС на компоненти за загальносис-темними ознаками має два аспекти. По-перше, компоненти визначають і відображають части-ну ІКС, і, по-друге, вони реалізують частину функціональності ІКС. Компоненти, які не мають реалізації, є абстрактними типами. З їх допомогою формулюються вимоги до реалізації конкретного порту компонента. Компоненти, які мають реалізацію, можуть бути підтипами абстрактних компонентів. Реалізацію конкрет-них компонентів можна використовувати за-мість їх предків. Це значить, що фізичну реалі-зацію компонента можна вставити у фізичну реалізацію будь-якого порту, інтерфейси якого він підтримує. І при цьому компонент-потомок гарантовано підтримуватиме інтерфейси свого предка.

Таким чином, названі два аспекти забез-печують можливість реалізації компонентного процесу розробки ІКС.

Екземпляри компонентів можуть створю-ватись безпосередньо і під час роботи програ-

Рис. 2. Варіанти нотації інтерфейсів компонента ІКС


ми. Компонент з опосередкованим створенням екземплярів реалізується з допомогою визначе-ного набору класифікаторів. Самого по собі цього компонента в реалізації нема, і він є ли-ше описом або повною специфікацією для створення всіх необхідних варіантів реалізації. Множина необхідних для реалізації класифіка-торів має забезпечити весь набір операцій, по-трібних для реалізації забезпеченого інтерфейса компонента. Конкретний спосіб реалізації інтер-фейса визначається розробником компонента.

Для компонента з безпосереднім створен-ням екземплярів реалізація визначається в описі або в іменованій специфікації, наприк-лад, за допомогою структурованої бібліотеки класифікаторів. При створенні екземпляра та-кого компонента створюється і екземпляр його внутрішньої структури. Між компонентом і йо-го реалізацією існує безпосередній зв’язок. Ча-стини компонента також можуть бути компо-нентами і створювати рекурсивну структуру.

Відношення між компонентами можна ви-разити у вигляді залежностей між їх інтерфей-сами. Інтерфейси компонента описують функ-ціональні можливості взаємодії компонентів.

Забезпечений інтерфейс описує операції, доступ до яких гарантується для зовнішніх компонентів, які підтримують цей інтерфейс. Кожній операції такого інтерфейса повинен відповідати елемент реалізації, який підтриму-ється компонентом.

Таким чином, компонент має підтримувати всі операції забезпеченого їм інтерфейса. При цьому він може підтримувати й інші операції.

Затребуваний (необхідний) інтерфейс опи-сує функціональність, яка поставляється (нада-ється) іншими компонентами. Компонент мо-же використовувати не всі операції, але його повна працездатність гарантується лише за умови, коли зовнішні компоненти надають до-ступ до повного переліку операцій визначеного затребуваним інтерфейсом.

Операції інтерфейсів можуть мати певні обмеження на протокол обміну повідомлення-ми між компонентами. Ці обмеження містяться в коментарях або інших класифікаторах, при-єднаних до інтерфейсів.

Для формування специфікації і реалізації компонента інтерфейси компонента розподі-ляються по портах. Кожен порт має власний набір забезпечених і затребуваних інтерфейсів і може включати власний елемент поведінки, який регулює протоколи взаємодії із зовнішні-ми компонентами через цей порт. Повідомлен-

ня від зовнішніх компонентів адресуються на конкретні порти. Порти відправки і призна-чення можуть визначатися конкретною реалі-зацією.

Внутрішня структура компонента в разі необхідності задається за допомогою збірних і делегуючих з’єднувачів. В реалізації компонен-та збірні з’єднувачі об’єднують порти різних субкомпонентів. Повідомлення, відправлене з порту одного компонента, приходить на з’єд-наний з ним порт іншого компонента. Таким чином, можна створити частину ІКС із кількох субкомпонентів логічним і фізичним з’єднан-ням їх портів. Субкомпоненту нічого не потрі-бно знати про інші субкомпоненти частини ІКС за винятком того, що вони існують і задо-вольняють визначені обмеження на підключені порти.

У багатьох програмних системах не потріб-ний навіть додатковий програмний код, якщо компоненти з’єднані між собою правильно відповідно з іменованими специфікаціями.

Таким чином, комунікації між компонен-тами частини ІКС моделюються за допомогою портів. При цьому порти можуть існувати у ви-гляді фізичної, програмної або абстрактної ре-алізації.

Делегуючий з’єднувач об’єднує зовнішній порт компонента з портом одного з його внут-рішніх субкомпонентів. Повідомлення, яке над-ходить на зовнішній порт, передається на порт внутрішнього компонента. Повідомлення, від-правлене через внутрішній порт, передається на зовнішній порт і далі на зовнішній порт зо-внішнього компонента.

Збірні з’єднувачі дозволяють створювати із компонентів одного рівня компонент більш високого рівня.

Делегуючі з’єднувачі дають змогу реалізу-вати операції компонента високого рівня за до-помогою операцій компонентів нижчого рівня.

Конкретні компоненти можуть мати арте-факти — фізичні елементи реалізації. Артефак-ти є фізичною маніфестацією моделі ІКС на платформі задіяних інформаційно-комунікацій-них технологій (ІКТ). При цьому кожен арте-факт може маніфестувати один або кілька еле-ментів моделі.

Таким чином, артефакт — це фізичний компонент ІКС. Даний термін належить до програмного коду: вихідних текстів програм, бінарних або виконуючих файлів, або його ек-вівалентів: сценаріїв і командних файлів.


Артефакти існують виключно в контексті реалізації і є фізичними елементами, які можна зберігати, переміщувати, копіювати, викорис-товувати тощо. У моделях можна показати за-лежність між компонентами і артефактами, на-приклад, залежність програмної системи від компілятора і зовнішніх бібліотек або залеж-ність між інформаційними ресурсами в Орг.С. За допомогою артефактів можна зображати елементи реалізації, які існують під час вико-нання програми і їх розташування на компо-нентах.

Компонент є також бібліотекою імен, які можна використовувати для упорядкування проектних елементів, елементів Use Case і ар-тефактів програмного коду.

Нотація компонента

Компонент зображається на діаграмах у вигляді прямокутника із ключовим словом “component” [5]. Нижче ключового слова “component” прописується конкретне ім’я (тип) компонента. Замість ключового слова

“component” або на доповнення до нього у верхньому правому куті прямокутника розмі-щується символ компонента (див. рис. 1).

Видимі і доступні для зовнішніх компоне-нтів операції та інтерфейси можуть бути відо-бражені прямо у відповідних розділах прямоку-тника компонента. Необхідність відображення операцій та інтерфейсів або тільки одних ін-терфейсів визначається розробником у кожно-му конкретному випадку. При відображенні тільки інтерфейсів у компонента може бути се-кція із списком його інтерфейсів. Імена окре-мих груп інтерфейсів можуть позначатися клю-човими словами “provided” для забезпечених інтерфейсів і “required” для затребуваних ін-терфейсів (див. рис. 2).

Інтерфейси можуть бути зображені класи-фікаторами інтерфейсів у вигляді кола, з’єдна-ного з прямокутником інтерфейсу прямою лі-нією для забезпечених інтерфейсів, і у вигляді півкола, з’єднаного з прямокутником інтер-фейсу прямою лінією для затребуваного інтер-фейсу (див. рис. 2).

Рис. 3. Явна нотація інтерфейсу компонента ІКС

Рис. 4. Реалізація компонента. Діаг-рама внутрішньої структури


Інтерфейси можна зображати і в явному вигляді, тобто у вигляді прямокутника з клю-човим словом “interface”. Крім назви забезпе-ченого і затребуваного інтерфейсів, таке зобра-ження має секцію для списку операцій (рис. 3).

У цьому випадку із забезпеченим інтер-фейсом компонент з’єднується пунктирною лі-нією із замкнутим трикутним наконечником, а із затребуваним інтерфейсом — пунктирною лі-нією із стрілкою на кінці і ключовим словом “use”.

Реалізація інтерфейсів здійснюється через порти компонента. Порт зображається малень-ким прямокутником на лінії прямокутника компонента (див. рис. 2). Поряд із символом порту може бути розміщене і його ім’я. З пор-том можуть бути об’єднані суцільними лініями один або кілька символів інтерфейсів (забезпе-чених і/або затребуваних).

Класифікатори, які представляють реалі-зацію компонента (класи і артефакти), можуть бути з’єднані з ним пунктирними стрілками залежностей із звичайними наконечниками. Класифікатори, які представляють реалізацію компонента, можна зображати і всередині пря-мокутника компонента.

Реалізація компонента класифікаторами зображається діаграмою внутрішньої структури компонента. Внутрішня структура формується із окремих класифікаторів, класів, артефактів, виділених частин і субкомпонентів, які об’єд-нуються з’єднувачами (рис. 4).

Субкомпоненти з’єднуються парами забез-печених і затребуваних інтерфейсів. Нотація делегуючих з’єднувачів має вигляд суцільної стрілки із звичайним наконечником і призна-чена для з’єднання портів на зовнішній грани-ці компонента з символами інтерфейсів або портами внутрішніх субкомпонентів.

Діаграми внутрішньої структури компонен-та дозволяють формалізувати процес поділу складної ІКС на системні складові частини і отримати модель ІКС у вигляді ієрархії внут-рішніх структур.

Специфікація компонента ІКС

Ідея застосування прикладного системного аналізу і теорії систем для визначення систем-ного критерію поділу проектів інформатизації на частини не за функціональною ознакою, а за загальносистемними ознаками передбачає формування відповідного документа та компо-нентної моделі проекту інформатизації. Таким

документом буває загальносистемна специфі-кація та модель структурного і динамічного представлення проекту інформатизації стерео-типом “специфікація” [6].

У графічній мові моделювання Unified Modeling Language (UML) існує кілька визначе-них стереотипів компонента: subsystem — підсис-тема, specification — специфікація, realization — реалізація [5]. Стереотип являє собою новий вид елемента моделі, створений на основі іс-нуючого елемента моделі. Стереотипи розши-рюють семантику класів мета моделі (але не її структуру).

Стереотип “специфікація” — це варіація існуючого елемента структурного представлен-ня моделі “компонент”, він має таку ж форму, але різниться за суттю. Стереотип визначає ха-рактерні особливості у використанні нового елемента моделі.

З точки зору прикладного системного ана-лізу, компонент — модульна логічна та (або) фізична частина ІКС, яка описана тільки її за-гальносистемними, публічними, видимими ззовні ознаками: тип і призначення, властивос-ті і операції, інтерфейси і особливості експлуа-тації. Іменована специфікація компонента по-вністю описує зовнішні публічні особливості конкретного компонента або його реалізацію. Тут під визначенням “специфікація компонен-та” розуміється формалізований опис загально-системних, публічних, видимих ззовні функці-ональних ознак компонента: типу і призначен-ня, властивостей і операцій, структурних загаль-носистемних сутностей і інтерфейсів, тобто спо-собів і правил взаємодії компонентів в ІКС [6].

З точки зору розробника, специфікація є пакетом моделей і документів, необхідних і до-статніх для проектування як окремих компоне-нтів ІКС, так і ІКС Орг.С в цілому. Специфі-кація описує тип класифікатора, до якого на-лежить компонент, і його повне представлен-ня, призначення і область застосування, вона розкриває властивості компонента, які висту-пають у двох видах: атрибутах і асоціаціях, рег-ламентує перелік операцій, які реалізує компо-нент, встановлює загальносистемні способи і правила взаємодії компонентів ІКС, названих інтерфейсами.

Кожен компонент має забезпечений і за-требуваний інтерфейси. Він може бути реалізо-ваний прямо або опосередковано і вказує на класифікатори, які реалізують його поведінку. Специфікація забезпечених інтерфейсів ком-понента може вказувати їх атрибути і операції.


Компонент може мати внутрішню струк-туру, в тому числі й артефакти, він може реалі-зовуватись у вигляді логічно організованого на-бору частин та окремих компонентів, об’єдна-них з’єднувачами, а також мати зовнішні пор-ти із забезпеченими і затребуваними інтерфей-сами.

На реалізацію компонентів можуть бути накладені обмеження, в тому числі й засобами мови уточнення об’єктів OCL — Object con-straint language.

Специфікація регламентує загальносистем-ні характеристики продуктивності та інтеропе-рабельності, масштабованості і розширюванос-ті, надійності та прозорості.

Варіант нотації компонента ІКС із засто-суванням іменованої специфікації компонента запропоновано на рис. 5.

Рис. 5. Нотація компонента ІКС із застосуванням іменова-ної специфікації компонента

Варіант нотації взаємодії компонентів ІКС через інтерфейс показано на рис. 6.

Рис. 6. Взаємодія компонентів в ІКС через інтерфейс. Діаграма компонентів у нотації UML

Рис. 7. Структурне представлення моделі ІКС. Діаграма компонентів у нотації UML


Структурне компонентне представлення моделі ІКС із використанням стереотипу “спе-цифікація” показано на рис. 7.

Поділ проектів інформатизації на частини передбачає формування загальносистемних оз-нак. Загальносистемні ознаки — це прийнята сукупність принципів побудови, правил функ-ціонування і взаємодії компонентів на всіх ета-пах життєвого циклу ІКС. Таку сукупність за-гальносистемних ознак, прийняту для створен-ня конкретної ІКС Орг.С, називають корпора-

тивним стандартом, який формується на основі міжнародних, державних і галузевих стандартів та корпоративних документів.

Загальносистемні ознаки поділяються на приписні і описові.

Приписні загальносистемні ознаки харак-теризуються чітко встановленими принципами і правилами побудови, функціонування і взає-модії компонентів ІКС, описові — тим, як роз-робники трактують їх при застосуванні на прак-тиці.

Рис. 8. Модель компонентного процесу на стадіях аналізу і проектування ІКС. Діаграма діяльності в нотації UML


Одним із найпоширеніших прикладів кор-поративного стандарту, який застосовується при проектуванні практично в усіх ІКС, є мо-дель взаємодії відкритих систем Open System Interconnection. Ця модель регламентує прави-ла взаємодії мережевих компонентів ІКС.

Модель компонентного процесу інформа-тизації Орг. С на стадіях аналізу і проектуван-ня ІКС зображена на рис. 8. Вона забезпечує реалізацію виконання паралельних робіт і збе-рігає переваги водоспадного та ітеративного процесів.

Модель компонентного процесу інформа-тизації являє собою специфікацію чітко визна-чених дій у вигляді скоординованого виконан-ня послідовних і паралельних операцій з роз-робки проекту інформатизації Орг.С. Специфі-кація компонентного процесу інформатизації є формалізованим описом типу і призначення, властивостей і функцій, а також способів і правил взаємодії і послідовністю виконання операцій, спрямованих на створення компоне-нтів та їх інтеграцію в ІКС.

Іменована специфікація компонентного процесу інформатизації забезпечує упорядко-ваний, паралельний процес розробки та інтег-рацію визначених компонентів, зберігає пере-ваги водоспадного та ітеративно-інкрементно-го процесів інформатизації Орг.С. Вона є не-від’ємною складовою документації системного проекту інформатизації Орг.С.

Висновки

Таким чином, ідея застосування системно-го аналізу і теорії систем для визначення сис-темного критерію поділу проектів інформанти-зації на частини не за функціональною озна-кою, а за загальносистемними ознаками дозво-ляє істотно вдосконалити ітеративний процес інформатизації Орг.С і забезпечити представ-лення проекту інформатизації як системи всіх сутностей і відношень між ними. Таке предста-влення формується у вигляді загальносистемної специфікації проекту інформатизації, який на-зивається системним проектом. Тут під визна-ченням “специфікація” розуміється формалізо-ваний опис типу і призначення, властивостей і функцій структурних загальносистемних сутно-стей проекту інформатизації: об’єктів, компо-нентів, пакетів, а також способів і правил їх

взаємодії в системі протягом всього життєвого циклу ІКС.

Загальносистемна специфікація на весь проект інформатизації є власне моделлю сис-теми інформатизації Орг.С.

Застосування системного аналізу і теорії систем для визначення системного критерію поділу проектів інформатизації на частини не за функціональною ознакою, а за загальносис-темними ознаками дозволяє сформулювати компонентний процес реалізації проектів ін-форматизації Орг.С як специфікацію чітко ви-значених дій у вигляді скоординованого вико-нання послідовних і паралельних операцій з розробки проекту інформатизації Орг.С.

Компонентний процес із загальносистем-ним критерієм поділу проекту інформатизації на компоненти забезпечує:

• поділ проекту на частини — компонен-ти за загальносистемними ознаками, які реалі-зують певні групи функцій і, таким чином, за-безпечують максимально обґрунтований поділ проекту на етапи;

• врахування всіх сутностей проекту ін-форматизації;

• масштабованість і розширюваність про-екту від ітерації до ітерації в межах одного ета-пу та при переході від етапу до етапу;

• збереження загальносистемних рішень попередніх ітерацій і етапів для подальших іте-рацій і етапів;

• незалежність процесів розробки і пара-лельну розробку окремих компонентів проекту інформатизації;

• інтеграцію окремих частин проекту ін-форматизації при переході від однієї версії до наступної;

• паралельну розробку необхідної доку-ментації з усіх видів забезпечення інформацій-но-комунікаційної системи.

При необхідності компонентний процес може бути реалізований і як водоспадний, і як ітеративний, і як змішаний.

Компонентний процес інформатизації із загальносистемним критерієм поділу проекту інформатизації на частини не накладає прак-тично ніяких системних обмежень на застосу-вання систем автоматизації проектування ін-формаційно-комунікаційних систем, які під-тримують UML.


П.П. Маслянко

КОМПОНЕНТНЫЕ ПРОЦЕССЫ СИСТЕМНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-КОМ-МУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Процесс разработки определяется как необходи-мым образом упорядоченный, достаточный и функционально полный ряд работ по разработке проектов информатизации организационных сис-тем с заданными показателями эффективности. Цель статьи – с позиций прикладного системного анализа и основных положений системного про-ектирования информационно-коммуникационных систем предложить компонентный процесс раз-работки проектов информатизации, который со-храняет преимущества итеративного и водопад-ного процессов и значительно расширяет воз-можности проектирования средних и больших информационно-коммуникационных систем.

P.P. Maslyanko

COMPONENTS PROCESSES OF THE SYSTEM DESIGN OF INFORMATION-COMMUNICATION SYSTEMS

The purpose of this study is to propose the compo-nents process of informatization projects design from the perspective of the applied systems analy-sis and the key principles of the information-com-munication systems design. The study reveals that this approach has the advantages of iterative and waterfall processes and dramatically expands the opportunities of the average and large information-communication systems design.

1. Згуровський М.З., Панкратова Н.Д. Системний аналіз:

проблеми, методологія, застосування. — К.: Наук.

думка, 2005. — 744 с.

2. Панкратова Н.Д. Загальні тенденції та системні про-

блеми розвитку інформаційних технологій // Проб-леми управління та інформатики. — 1999. — 1. —

С. 59—68.

3. Ericsson H.-E., Penker M. Business Modeling with UML: Business Patterns at work — Wileu Computer Publishing,

2000

4. Unified Modeling Language Specification, Version 2.0.

Object Management Group, Framingham, Mass., 2004.

www.omg.org.

5. Rumbaugh J., Jacoson I., Booch G. The Unified Modeling

Language Reference Manual, Second Edition 2004, by

Pearson Education, Inc

6. Маслянко П.П. Системне проектування процесів ін-форматизації // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. —

1. — С. 28—36.

7. Маслянко П.П. Основні положення методологій сис-

темного проектування інформаційно-комунікаційних систем // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2007, 6. —

С. 54—60.

8. Маслянко П.П. Концепція інформатизації корпора-тивних структур // Там же. — 2001. — 3. — С. 45—50.

9. Маслянко П.П. Технология информатизации корпора-тивных структур. Ч.1. // Корпоративные системы. —

2001. — 1. — С. 17—19.

10. Згуровський М.З., Родіонов М.К., Жиляєв І.Б. Розвиток інформаційного суспільства в Україні. — К.: НТУУ

“КПІ”, 2006. — 543 с.

11. Fowler M. UML Distilled: A Brief Guide to the Standart

Objekt Modeling Language, Third Edition, Copyright 2004. — Р. 2007.

Рекомендована Радою факультету прикладної математики НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції 29 грудень 2007 року


МАТЕРІАЛОЗНАВСТВО ТА МАШИНОБУДУВАННЯ

УДК 532.5

М.В. Макасєєв

КОЛИВАННЯ ПЛАСТИНИ НА ВІЛЬНІЙ ПО-ВЕРХНІ РІДИНИ

Вступ

Задача про коливання пластини на вільнійповерхні є одною з важливих у теорії хвильо-вих рухів рідини [1–4]. Нині вона знаходитьсяв центрі уваги публікацій, присвячених динамі-ці крижаного покрову, генерації поверхневиххвиль, гідродинаміки так званих великих плава-ючих структур – плавучих аеродромів, вантаж-них плаваючих і буксированих платформ різно-го призначення, штучних островів (огляди [5,6]). Теоретичному розв’язанню задач, які ви-никають, і створенню методів розрахунків при-свячені, наприклад, праці [7–12].

Незважаючи на достатньо велику кількістьпублікацій з даної тематики, багато важливихдля практики питань залишаються відкритими.Зокрема, істотні складнощі має розрахунок ос-новної гідродинамічної характеристики – роз-поділу тиску вздовж пластини.

У зв’язку з відомою аналогією задачі проколивання пластини на поверхні рідини із за-дачами теорії крила має сенс скористатися іде-ями і методами, розвинутими в цій галузі гідро-аеродинаміки. Один з ефективних підходів тео-рії крила оснований на сингулярних інтеграль-них рівняннях і методі дискретних особливостейїх розв’язання [13, 14]. Відносна простота мето-ду, який базується на квадратурних формулах ти-пу прямокутників, і позитивні конструктивніякості, що виражаються у здатності розв’язува-ти різні класи задач, дають великі можливостідля створення на його основі розрахункових при-кладних методик і програмних комплексів длячислового моделювання.

У даній статті для задачі про гармонічні ко-ливання плоскої пластини на вільній поверхнірідини отримано сингулярне інтегро-диференці-альне рівняння з ядром Коші відносно розпо-ділу тиску. На його основі розв’язано модельнузадачу про коливання пластини під дією регу-лярних хвиль. Числовий аналіз проведено за ме-тодом дискретних вихорів.


Припускається, що коливання пластини ірідини – гармонічні з коловою частотою k.Рідина вважається ідеальною i нестисливою, гли-бина нескінченна, рух рідини потенційний, по-становка задачі двовимірна в припущеннях тео-рії поверхневих хвиль малої амплітуди. Гармо-нічність всього процесу коливань означає, щопотенціал швидкості можна записати у вигляді[1–4]:

ϕ = ϕ*( , , ) Re ( , ) i k tx y t x y e ,

де ϕ*( , )x y – комплексна амплітудна функція;

−∞ < < ∞x , < 0y ; t – час; = −2 1i . Вісь x спря-

мована вздовж незбуреного рівня рідини, дов-жина пластини = −2 1a a a (а1 – проекція на вісьх лівої кромки пластини, а2 – правої).

Функції, які описують фізику течії, такожзображаються у вигляді

γ = γ *( , ) Re ( ) i k tx t x e ,

η = η*( , ) Re ( ) i k tx t x e ,

де γ = − − ρ0( , ) [ ( , 0, ) ]/x t p x t p g – перепад тиску

на границі рідини; ( , , )p x y t – тиск у рідині; p0 –тиск на вільній поверхні (відомий і постійний); ρ –густина рідини; g – прискорення вільного па-діння; η( , )x t – форма границі вільної поверхні

при < >1 2,x a x a і пластини при ≤ ≤1 2a x a . Бу-

демо використовувати також позначення β =( , )x t

= η( , )x t при ≤ ≤1 2a x a . Перепад тиску на віль-

ній поверхні дорівнює нулю: γ =( ( , ) 0)x t при

< >1 2,x a x a . Усі величини із зірочками –комплексні амплітуди.

Функція ∗ϕ ( , )x y має задовольняти таку гра-ничну задачу [1–4] (далі для спрощення зіроч-ки над комплексними величинами і число Reне пишуться, а в кінцевих результатах беретьсядійсна частина):

∆ϕ =( , ) 0x y , < 0y , (1)

ϕ − = γ + η( , 0) [ ( ) ( )]ig

x x xk

,

−∞ < < ∞x , ≠ 1 2,x a a ,

(2)

МАТЕРІАЛОЗНАВСТВО ТА МАШИНОБУДУВАННЯ 123


∂ϕ− = η

∂( , 0) ( )x ik x

y, −∞ < < ∞x , ≠ 1 2,x a a , (3)

∂ϕ ∂ϕ→ → −∞

∂ ∂, 0, y

x y. (4)

Має виконуватись також умова випромі-нювання – у розв’язках задачі (1)–(4) при від-сутності зовнішніх незалежних вільних хвиль вра-ховуються тільки вільні хвилі, що поширюютьсяв напрямку від пластини, як джерела випромі-нювання.

Інтегро-диференціальні рівняння

Нехай Φ λ = ϕ( , ) [ ( , )]xy F x y – перетворення

Фур’є за змінною x узагальненої функції [15],яка породжується звичайною функцією ϕ. Пе-ретворення Фур’є звичайних функцій ψ(x) ви-значається так:

∞λ

−∞

ψ = ψ∫[ ( )] ( ) i xxF x x e dx .

З (1)–(4) випливає, що функція Φ λ( , )y

має вигляд

λ

Φ λ = λλ

( , ) ( )yike

y H ,

де λ = η( ) [ ( )]xH F x , а функції λ( )H і Γ λ =( )

= γ[ ( )]xF x зв’язані співвідношенням

ν − λ λ = λ Γ λ( ) ( ) ( )H , (5)

де ν = 2/k g .

У просторі оригіналів Фур’є рівняння (5)дає гіперсингулярне інтегральне рівняння з яд-ром Адамара. Загальний розв’язок цього рівнян-ня є обернене перетворення Фур’є функції H(λ),яку на основі (5) можна записати в такому ви-гляді:

λ = − + ν Γ λ + λ − ν

1( ) 1 reg ( )H

+ νΓ ν δ λ − ν + νΓ −ν δ λ + ν + λ0( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B H , (6)

де reg( )f – регуляризація узагальненої функції в

дужках; λ0( )H – однорідний розв’язок (при Γ ≡0):

λ = δ λ − ν + δ λ + ν0( ) ( ) ( )c cH A B (7)

(A, B, Ac і Bc – комплексні константи).

Доданки з дельта-функціями відповідаютьу просторі функцій-оригіналів вільним хвилям,а в (7) – вільним незалежним хвилям. Для не-залежних вільних хвиль після застосування обер-неного перетворення Фур’є до (7) можна отри-мати

−η = λ =10 0( ) [ ( )]xx F T − ν −θ ν + θ+( ) ( )

0 0A Bi x i xA e B e ,

де A0, B0, θA, θB – дійсні константи, що визнача-ють амплітуду і фазу хвиль. Остаточна форма не-залежних хвиль описуватиметься формулою

η = η =0 0( , ) Re ( ) i k tx t x e

− ν −θ − ν +θ += +( ) ( )0 0Re[ ]A Bi x kt i x ktA e B e .

Це суперпозиція двох хвиль, що рухаються в про-тилежні боки з однаковою швидкістю V0 = k/v == g/k, довжини хвиль дорівнюють 2π/v. Зокрема,при ≠0 0A і =0 0B хвиля поширюється впра-

во, при =0 0A і ≠0 0B – вліво, а при =0 0A B

створюється стояча хвиля. Підбором параметрівA0, B0, θA, θB задаються різні види хвиль.

Обернене перетворення Фур’є (6) з вико-ристанням теореми про згортку дає

η = −γ − ν γ ν − +∫2

1

( ) ( ) ( ) ( , )a

a

x x s Q x s ds

− ν − ν −+ γ + γ + ηπ π∫ ∫

2 2

1 1

( ) ( )0( ) ( ) ( )

2 2

a ai x s i x s

a a

A Bs e ds s e ds x , (8)

де− ν = = λ − ν 1 1

( , ) regxQ x F

π = − ν ν + ν + ν π 1

cos Ci sin Si2

x x x x , (9)

а Six і Cix – інтегральні синус і косинус [16].Перший інтеграл у (8) має логарифмічну особ-ливість за рахунок інтегрального косинуса. Кон-станти, які входять у (8), визначаються з умовивипромінювання. В результаті маємо = νπA i ,

= νπB i , а

η = −γ − ν γ ν − +∫2

1

( ) ( ) ( ) ( , )a

a

x x s Q x s ds

+ ν γ ν − + η −∞ < < ∞∫2

1

0( )cos ( ) ( ),a

a

i s x s ds x x . (10)

При цьому отримуємо



− ν ν± ±→ ±∞η = +( ) i x i x

xx A e B e ,

де θ+ +γ= +0

AiA A e A ; θ+ = 0

BiB B e ; θ− = 0

AiA A e ; − =B

θ−γ= +0

BiB e B ; ν+γ = ν γ∫

2

1

( )a

i s

a

A i s e ds ; − ν−γ = ν γ∫

2

1

( )a

i s

a

B i s e ds .

Якщо функція η = β( ) ( )x x задана на відрізку

1 2[ , ]a a , то (10) є інтегральним рівнянням для ви-

значення γ ( )x . Без врахування незалежних хвиль

(функції η0( )x ) це рівняння збігається з рівнян-

ням, отриманим раніше Е.М. Потетюнком [17]для задачі про вібрацію пластини на незбуренійповерхні.

У задачі про вільні коливання пластинипід дією хвиль функція β( )x невідома. В цьому

випадку зручніше перейти до розгляду функціїβ/d dx і до іншого рівняння, яке отримується з

(10) диференціюванням. Із врахуванням того, що

−∂ ν = − λ = ∂ λ − ν 1( , ) 1

regxQ x

F ix

− λ = − λ + ν = λ − ν 1 sgn

sgn regxi

F i

= − − ν νπ1

( , )K xx

,

де− λ ν = λ − ν 1 sgn

( , ) regxi

K x F =

π = ν + ν − ν ν π 1

Si sgn cos Ci sin2

x x x x x , (11)

можна записати

γ ν γ− + + ν γ ν − −

π −∫ ∫2 2

1 1

2( ) ( )( ) ( , )

a a

a a

d x sds s K x s ds

dx x s

− ν γ ν − +∫2

1

2 ( )sin ( )a

a

i s x s ds

η β+ = < <0

1 2( ) ( )

,d x d x

a x adx dx

. (12)

Рівняння (12) – це сингулярне інтегро-ди-ференціальне рівняння з ядром Коші. Розв’яз-ки цього рівняння, а також рівняння (8) з ло-гарифмічним ядром будуть залежати від вибо-ру класу функцій для γ ( )x . Вибір класу функцій

залежить від фізичної постановки конкретної за-дачі.

Числове розв’язання

Як приклад числового розв’язання розгля-немо задачу коливання плоскої пластини під ді-єю хвиль. Знайдемо таку течію рідини з регу-лярними хвилями на нескінченності, при яко-му задана ділянка границі рідини є прямоліній-ним відрізком. Для розв’язання цієї задачі ви-користовується рівняння (12). Функцію γ ( )x вцьому випадку необхідно шукати в класі функ-цій, обмежених на кінцях відрізка інтегрування.Відомою вважається функція η0( )x , яка задає па-раметри набігаючих хвиль. Форма плоскої пла-стини визначається функцією β = α +( )x x b , деα і b – невідомі комплексні кутовий коефіцієнті осадка, відповідно.

Для зведення рівняння до безрозмірного ви-гляду як характерний лінійний розмір беремодовжину пластини a, а як характерну швид-кість – =0 gV ag . Позначимо ν = ν = 2/a ak g .

Введемо безрозмірні змінні і функції: = /x x a ,

= /s s a , =1 1 /a a a , = +2 1 1a a , γ = γ 20/ gV , η =0

= η/a , β = β/a . Рівняння (12) набуде такого ви-гляду (риска над безрозмірними величинами непишеться):

γ ν γ− − ν γ ν − +

π −∫ ∫2 2

1 1

2( ) ( )( ) ( , )

a a

a a

d x sds s K x s ds

dx x s

+ ν γ ν − +∫2

1

2 ( )sin ( )a

a

i s x s ds

η+ α = 0( )d x

dx, < <1 2a x a . (13)

Співвідношення (13) дає систему двох рів-нянь – для дійсної і уявної частин невідомоїфункції γ = γ + γ1 2( ) ( ) ( )x x i x .Система містить в со-бі також невідомі дійсну і уявну частини куто-вого коефіцієнта α = α + α1 2i . Як видно з систе-ми, кількість невідомих перевищує кількість рів-нянь. У цій ситуації зручно скористатися чис-ловим методом дискретних вихорів і регуляри-зацією задачі за допомогою так званої Б-умовицього методу [13]. За Б-умовою, для отриманнярозв’язку, обмеженого на кінцях відрізка інтег-рування, точки xi, в яких виконується рівняння(13), і точки sj, в яких обчислюється γ, вибира-ються таким чином:

= + −1 ( 1)/ix a a i N , = +1, 1i N ,

= + −1 ( 0,5)/js a a j N , = 1,j N .



В результаті матриця системи лінійних алгеб-ричних рівнянь, яка апроксимує інтегральні рів-няння, буде квадратною розмірністю 2(N + 1) іміститиме 2N невідомих значень функцій γ1 і γ2

та дві невідомі константи α1 і α2. Після розв’я-зання системи інтегральних рівнянь форма віль-ної поверхні визначається за формулою (10) з ви-користанням таких самих квадратурних формул.

На рис. 1 наведено модуль амплітудної функ-ції розподілу тиску по пластині ( =1 0a , = 1a )для випадку набігаючої зліва прогресивної хви-лі ( =0 1A , =0 0B , θ = θ = 0A B ) при різних зна-

ченнях довжини хвиль = π ν2 /l . Із збільшен-ням довжини хвилі розподіл тиску наближаєтьсядо симетричного з максимумом у середині плас-тини, а із зменшенням – максимум тиску збіль-шується і зсувається до того краю пластини, наякий набігає хвиля. Амплітуда кута повороту плас-тини максимальна, коли довжина хвилі вдвічібільша довжини пластини (рис. 2). При дужевеликих і дуже малих довжинах хвиль кут пово-роту прямує до нуля. Як зазначачалось, комбіна-цією значень параметрів A0, B0, θA, θB можна за-давати різні види незалежних хвиль, які діють напластину. Як приклад на рис. 3 показано мо-дуль амплітудної функції розподілу тиску по плас-тині для випадку стоячої хвилі з довжиною, якадорівнює довжині пластини, при різних положен-нях лівої кромки пластини відносно вершинихвилі.

Висновки

Гармонічні коливання пластини на хвильо-вій поверхні описуються інтегро-диференціаль-ними рівняннями, які зв’язують функцію роз-поділу тиску вздовж твердої границі і функцію,що описує форму пластини і вільну поверхню.Клас функцій, в якому необхідно шукати роз-в’язок таких рівнянь, залежить від фізичної по-становки задачі. Числові розв’язки згідно з існу-ючою аналогією з рівняннями аеродинаміки мож-на ефективно отримати розвинутими в цій тео-рії методами. Застосування одного з таких ме-тодів – методу дискретних вихорів – дало змо-гу розв’язати задачу про коливання пластини нарегулярних прогресивних або стоячих хвилях урежимі вільних коливань, коли кути нахилу єневідомими величинами. Для розв’язання вико-ристовується сингулярне інтегро-диференціальнерівняння з ядром Коші. Необхідність пошукурозподілу тиску в класі функцій, обмежених накінцях проміжку інтегрування, приводить до за-дачі регуляризації методу дискретних вихорів. Як

Рис. 1. Розподіл тиску на пластині під дією прогресивноїхвилі

0,0

γ /А4

х

3

2

1

00,5 1,0

l = 0,125

0,25

0,5

1,0

2,0

4,08,0

γ /А0

Рис. 2. Залежність амплітуди кута повороту пластини віддовжини хвилі

α/А

2

1

020151050

Рис. 3. Розподіл тиску по пластині у випадку стоячої хвилі

γ /А0

0,0х

1

00,5

al = −0,5

0,375

0,3

0,25

1,0



регуляризуючі змінні природним чином висту-пають невідомі дійсна та уявна частини кута на-хилу, які знаходяться з розв’язку.

Встановлено, що максимум амплітуди кутанахилу при набіганні на пластину прогресивноїхвилі досягається при такій довжині хвилі, якаприблизно вдвічі перевищує довжину пласти-ни. Показано, що при малих довжинах прогре-

сивних хвиль максимум навантаження зсуваєтьсядо тих кромок пластини, на які набігає хвиля.При великих довжинах хвиль навантаження не-великі і їх максимум знаходиться поблизу цент-ра пластини.

Запропонований у статті підхід поширюєтьсяна задачі із врахуванням маси пластини, гнучкос-ті і пружності, а також на тривимірні задачі.

М.В. Макасеев

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ НА СВОБОДНОЙ ПО-ВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

Для задачи о гармонических колебаниях пластинына свободной поверхности жидкости получено син-гулярное интегро-дифференциальное уравнение сядром Коши относительно распределения давле-ния. Решена задача о колебаниях пластины подвоздействием регулярных волн. Получены зависи-мости нагрузки и углов поворота пластины от дли-ны волны. Численный анализ проведен методомдискретних вихрей. Приведены примеры расчетовдля прогресивных набегающих и стоячих волн.

M.V. Makasyeyev

THE PLATE OSCILLATIONS ON THE FREE LIQU-ID SURFACE

This paper makes a case for the singular integro-dif-ferential equation with Cauchy kernel concerning thepressure distribution for the harmonious plate oscilla-tions problem on a free liquid surface. Special at-tention is given to the solution of the plate oscillati-ons problem under the regular waves influence.The results of the study demonstrate the dependen-cies of loading and the corners of a plate turn fromthe wave length. Moreover, the numerical analysis isconducted according to the method of discrete vor-texes and the calculations examples for progressi-ve and standing waves presented.

1. Ламб Г. Гидродинамика. – М.: Гостехиздат, 1947. –

928 с.

2. Кочин Н.Е. Плоская задача об установившихся коле-

баниях тел под свободной поверхностью тяжелой не-сжимаемой жидкости // Собр. соч. – М.; Л.: Изд-во

АН СССР, 1949. – Т. 2. – С. 244–276.

3. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки кораб-ля. – М.: Наука, 1967. – 280 с.

4. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкос-ти. – М.: Наука, 1977. – 816 с.

5. Watanabe E., Utsunomiya T., Wang C.M. Hydroelastyc

analysis of pontoon-type VLFS: a literature surveiy // En-gineering structures. – 2004. – 26. – P. 245–256.

6. Squire V.A., Dugan J.P., Wadhams P. et al. Of ocean wa-

ves and sea ice // Ann. Rev. Fluid Mech. – 1995. – 27. –P. 115–168.

7. Meylan M., Squire V. The response of ice floes to ocean wa-

ves // J. of Geophys. Res. – 1994. – 99, N C1, Yanuary15. – Р. 891–900.

8. Коробкин А.А. Численное и асимптотическое исследо-

вание плоской задачи о гидроупругом поведении пла-

вающей пластины на волнах // ПМТФ. – 2000. – 41, 2. – С. 90–96.

9. Стурова И.В. Воздействие периодических поверхност-

ных давлений на плавающую упругую платформу //ПММ. – 2002. – 66, вып. 1. – С. 87–94.

10. Хабахпашева Т.И. Плоская задача об упругой пла-

вающей пластине // Динамика сплошной среды. –2000. – Вып. 116. – С. 166–169.

11. Ткачева Л.А. Плоская задача о дифракции поверх-

ностных волн на упругой плавающей пластине // Изв.РАН МЖГ. – 2003. – 3. – С. 131–149.

12. Andrianov A.I. Hydroelastic analysis of very large floating

structures // Doctorale thesis, Delft University of Techno-logy, 2005. – 188 p.

13. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные мето-ды в сингулярных интегральных уравнениях. – М.:

Наука, 1985. – 256 с.

14. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных урав-нений и численный эксперимент. – М.: ТОО “Янус”,

1995. – 520 с.

15. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1988. – 512 с.

16. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. –М.: Наука, 1977. – 342 с.

17. Потетюнко Э.Н. Вибрация пластины на поверхности

идеальной жидкости бесконечной глубины // Докл.РАН. – 1994. – 334, 6. – С. 712–715.

Рекомендована Радою приладобудівногофакультету НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції22 листопада 2007 року


УДК 621.924.1

Ю.В. Петраков, Н.О. Косміна

АВТОМАТИЧНЕ ПРОЕКТУВАННЯ ОПТИ-МАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ПРИ КРУГЛОМУ ВРІЗНОМУ ШЛІФУВАННІ

Вступ

Процес круглого врізного шліфування є, як правило, завершальною (фінішною) операцією при виготовленні багатьох деталей, наприклад, у підшипниковому виробництві, і тому до вихід-них характеристик цієї операції ставляться високі вимоги до продуктивності і якості обробки. Тради-ційно використовується такий цикл шліфування: поперечна (врізна) подача—виходжування. Остан-ній етап становить велику частку всього циклу і є, по суті, некерованим. Відомі алгоритми керування поперечною подачею, що визначають обмеження області допустимих траєкторій керування у фазо-вій площині: припуск—фактична швидкість зняття припуску [1—3]. Однак керування здійснюється за поперечною подачею шліфувальної бабки у функ-ції координати її переміщення, тобто в іншій фа-зовій площині, тому запропоновані алгоритми ке-рування не можуть застосовуватись безпосеред-ньо. Крім того, математична модель, покладена в основу визначення алгоритму керування, не враховує кількох важливих для операції круглого врізного шліфування явищ.


Мета даної статті — оптимізація циклу вріз-ного шліфування за критерієм максимальної про-дуктивності.

Моделювання круглого врізного шліфування

Задача оптимального керування може бути сформульована таким чином. Потрібно вибрати таке керування Vз у фазових координатах Vф і Hф, яке переводить об’єкт у заздалегідь заданий кінцевий фазовий стан Hф = 0, (dHф/dt)к

= Vд, де

Vд — швидкість кругової подачі (рис. 1). На рис. 1 введено такі позначення: Нз — заданий припуск на обробку; Нф — фактична поточна величина припуску; Vф — фактична швидкість зняття при-пуску. Існує множина керувань, яким відповіда-ють траєкторії (лінії 3 ) такого переходу у фазовій площині. Для оптимального керування необхідно, щоб перехідний процес був у певному розумінні найкращим, тобто виконувався за мінімальний час.

Очевидно, оптимальним буде такий алгоритм керування Vз, який забезпечує рух за фазовою тра-

єкторією, максимально наближеною до обмежень (лінії 1 і 2) і розташованою в допустимій області. Закон керування Vз повинен мати, як мінімум, три етапи, що забезпечують відповідно режим врі-зання, режим усталеного шліфування (Vф = Vm — лінія 2, де Vm — максимально допустима попереч-на подача) і режим закінчення процесу (Vф зміню-ється за межею припалів, лінія 1 ).

Розв’язання задачі визначення оптимального алгоритму керування процесом шліфування можна проводити тільки на основі його математичної мо-делі, що максимально адекватно визначає процес.

Математичну модель процесу круглого вріз-ного шліфування слід розробляти на основі функ-ціональної схеми, побудованої з використанням системного підходу. На функціональній схемі (рис. 2) використані такі позначення: Dзаг — вихід-ний діаметр заготовки; Dзаг1

— поточний діаметр за-готовки; τ — час одного оберту деталі; s — опе-ратор Лапласа; Dк — вихідний діаметр шліфуваль-ного круга; Ру — нормальна складова сили різан-ня; δу — помилка переміщення.

Поперечна подача Vз на врізання задається відповідним приводом шліфувальної бабки. Внаслідок процесу різання і появи сили різан-ня виникає пружна деформація технологічної об-роблювальної системи (ТОС), яка призводить до того, що фактична поперечна подача Vф відріз-няється від заданої Vз. До того ж, через нако-пичення пружної деформації виникає ефект за-пізнювання: шар припуску, не зрізаний на одно-му оберті деталі, сприймається на наступному оберті як збільшення заданої глибини різання. Цей ефект описується в математичній моделі за допомогою запізнюючого елемента з пере-давальною функцією e−τs.

Дослідження процесу шліфування [2] доз-волили визначити інтегральний показник, за яким

Рис. 1. До задачі оптимального керування

Припуск Деталь

Заготовка

3

21

Hф

Hз0

Vф


можна оцінювати як інтенсивність самого про-цесу, так і якість обробленої поверхні. Таким по-казником є швидкість зняття припуску, яку до-цільніше всього вимірювати її аналогом, що має розмірність мм2/рад при обробці в полярній сис-темі координат (кругле шліфування). Цей пара-метр не залежить від режиму шліфування і ви-значається виключно за геометричною взаємоді-єю вихідної інструментальної поверхні шліфуваль-ного круга і заготовки. Для переходу до швид-кості зняття припуску достатньо її аналог по-множити на ширину (висоту чи довжину) шлі-фування і швидкість переміщення периферії рі-зальної інструментальної поверхні по оброблюва-ному контуру (розмірність швидкості — рад/с), в результаті матимемо традиційну розмірність швидкості зняття припуску мм3/с.

Отже, математичний зміст блока геомет-ричної взаємодії на рис. 2 можна визначити із схеми, наведеної на рис. 3 для шліфування до-вільної поверхні. На схемі зображено два поло-ження периферії шліфувального круга (дуга 1 ) при формоутворенні контуру деталі (дуга 2 ), що відрізняються малим переміщенням δϕ по екві-дистанті (лінія 3 ).

Із схеми видно, що швидкість зняття при-пуску можна оцінювати її аналогом

δϕ →

δ=

δϕ0lim

FQ , (1)

де δF — площа фігури АА1В1В, що визначає пе-реріз шару, який зрізується при елементарному переміщенні круга по еквідистанті.

Швидкість зняття припуску знаходиться за формулою = зvQ QV B , (2)

де Vз — швидкість руху за координатою, що за-дає; В — ширина шліфування.

Оскільки товщина зрізуваного шару знач-но менша за діаметр круга, а також врахову-ючи, що δϕ → 0, з великим ступенем точності площу зрізу можна замінити площею трикут-ника із сторонами

AB = Lк і AB1 = Lк + δLк + S δϕ rс,

де Lк — довжина лінії контакту шліфувального круга і заготовки; δLк — прирощення довжини лі-нії контакту; S — контурна подача, rс — середній полярний радіус контуру деталі на ділянці АА1.

Рис. 3. Схема зняття припуску

3

Ок1

Ок

RO

A

A1

δϕ

ϕ

ε

1

2

B1

B Rк

Рис. 2. Функціональна схема круглого врізного шліфування. ЕПС — еквівалентна пружна система

eτs

eτs

1/s

1/s

ЕПС

Силова взаємодія

Геометрична взаємодія

Зношування круга

Vз

Dзаг

Dк

Нз

Dзаг1

Dк1

Нз1

δDк

dδ/dt

Q Ру

Нф

δу


З геометричних співвідношень схеми випли-ває, що кут між сторонами цього трикутника до-рівнює δϕ, а площа становить

δ = + δ + δϕ δϕк к к с0,5 ( )sinF L L L S r .

Тепер із залежності (1) iз врахуванням, що при δϕ → 0 sinδϕ ≈ δϕ і відкидаючи члени вищо-го порядку малості, отримуємо

= 2к0,5Q L . (3)

Одержана залежність (3) має універсальний характер, тобто може використовуватись для роз-рахунків при обробці будь-яких 2D-поверхонь як у полярній, так і в декартовій системах координат.

Подальше вдосконалення математичної мо-делі полягає у врахуванні обертання деталі при шліфуванні, що змінює траєкторію відносного руху різальної поверхні шліфувального круга в тілі заготовки, а значить, і фактичну швидкість зняття припуску. Із схеми зняття припуску при круглому врізному шліфуванні (рис. 4) видно, що траєкторія формоутворювальної точки B шлі-фувального круга рухається у відносному русі за спіраллю Архімеда. Тому на першому оберті за-готовки (при її ідеально циліндричній формі) гли-бина різання наростає від нуля до величини до-бутку поперечної подачі на час одного оберту. Да-лі глибина різання стабілізується.

Швидкість зняття припуску при круглому врізному шліфуванні залежить від геометричних розмірів шліфувального круга, деталі і фактич-

ної глибини різання Нф (див. рис. 4). З трикут-ника ОАО1 за теоремою косинусів маємо

= + + − −2 2 2д к к д ф( )R R R R Н

− + − εк к д ф2 ( )cosR R R Н . (4)

Таким чином, може бути обчислений кут ε, який визначає дугу контакту шліфувального кру-га і заготовки: ∪ = ε =к кAB R L . (5)

Тепер швидкість зняття припуску можна розра-хувати за залежністю (3).

Для врахування динамічних явищ, прита-манних будь-якій пружній системі верстата, не-обхідно щонайменше розглянути одномасову ди-намічну модель (рис. 5).

Рис. 4. Схема зняття припуску при круглому врізному шлі-фуванні

Rк

Rд

О1О

В

А

ε

Нф

Рис. 5. Динамічна модель

Vз

Vф Нз

Нф

Ру

т λ

С


Рівняння руху такої системи, яка знахо-диться під дією кінематичного і силового збуд-ження, має вигляд

⎧ + − λ + − =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪

=⎪⎩

фф з ф з

фф

зз

( ) ( ) ,

,

,

y y

dVm V V H H c P

dtdH

Vdt

dHV

dt

(6)

де Vф, Vз — відповідно фактична і задана попе-речна подача; Hф, Hз — відповідно фактична і задана глибина різання (переміщення); m, λy, c — зведені маса, коефіцієнт в’язкого тертя і жорст-кість; Py — нормальна складова сили різання.

Сила різання при шліфуванні (її складова Ру) залежить від матеріалу деталі, шліфувально-го круга, швидкості зняття припуску і режиму різання. Ця залежність має емпіричний вигляд:

α= д( )y pP C QV В , (7)

де Ср, α — емпіричний коефіцієнт і показник сте-пеня; Vд — швидкість кругової подачі; В — ши-рина шліфування (деталі).

Процес розмірного зношування шліфуваль-ного круга звичайно залежить від багатьох факто-рів, а залежність швидкості зношування dδк/dt від швидкості Q зняття припуску має нелінійний ха-рактер (крива 1 на рис. 6). Тут δк — зміна діамет-ра шліфувального круга в результаті розмірного зношування. Таким чином, ця залежність може бути лінеаризована на двох ділянках (лінії 2 на рис. 6) двома лінійними рівняннями, які визна-чаються за формулами

δ= ≤ ≤

δ= − >

к1 к

к2 1 к

, 0 ,

( ), ,

якщо

якщо

da Q Q Q

dtd

a Q Q Q Qdt

(8)

де a1, a2 — коефіцієнти нахилу ліній 2 на рис. 6.

Розв’язання задачі

Аналіз розробленої математичної моделі про-цесу круглого врізного шліфування і формулю-вання задачі оптимізації свідчить про те, що та-ку задачу можна віднести до класу задач варіацій-ного обчислення. Дійсно, з нескінченної множи-ни керувань треба знайти таку функцію керуючо-го впливу (поперечної подачі), яка забезпечує тра-єкторію руху на фазовому просторі: швидкість зняття припуску—припуск, що максимально на-ближена до обмежень. При цьому шукана функ-ція розміщується в іншому фазовому просторі: поперечна подача—переміщення шліфувальної бабки.

Для розв’язання розглядуваної варіаційної задачі можна скористатися додатковими умова-ми, які випливають із суті процесу керування: кожному керуючому впливові у вигляді зміни по-перечної подачі відповідає своя траєкторія за-лежності фактичної швидкості зняття припуску від величини припуску. Отже, процес є одно-значно керованим. Крім того, завдяки наявності математичної моделі процесу з’являється мож-ливість спостерігати його реакцію на кожне ке-рування, тобто процес є таким, що спостеріга-ється. І, нарешті, найважливішою умовою є наяв-ність меж області можливих значень розташу-вання траєкторій фактичної швидкості зняття припуску, які можна прийняти як ліміт варі-ацій.

На основі аналізу умов задачі було розроб-лено числовий метод її розв’язання з викорис-танням принципу функціонування систем авто-матичного керування (САК) із зворотним зв’яз-ком. Цей метод полягає в організації алгоритму обчислень у такий спосіб, щоб він функціону-вав аналогічно замкненій САК, що як помилку використовує різницю між межею області і тра-єкторією фактичної швидкості зняття припус-ку. Таким чином, застосовується відомий прин-цип дії замкнених САК: автоматично зводити по-милку до нуля чи зберігати її в заздалегідь зада-них малих відхиленнях.

При створенні такого алгоритму обов’яз-ково необхідно враховувати те, що помилка ви-мірюється у функції фактичного припуску, а ви-користовується для керування у функції перемі-

Рис. 6. Залежність зношування шліфувального круга від швидкості зняття припуску

dδк/dt

2

0 QкQ1 Q

1


щення шліфувальної бабки. Відомо, що ці дві змінні зв’язані між собою математичною модел-лю процесу шліфування.

Алгоритм, узагальнену блок-схему якого на-ведено на рис. 7, організує ітераційний процес наближення первісно заданого керування Vз(Hз) до оптимального.

На кожній ітерації в результаті моделюван-ня процесу шліфування із заданим керуванням виконується обчислення фактичної швидкості зняття припуску у функції фактичного припус-ку Vф(Hф). Крім того, на кожному кроці моделю-вання визначається функція помилки залежно від фактичного припуску порівнянням меж D(Hф) області допустимих керувань з фактичною траєк-торією і різниця δH між фактичним припуском і заданим переміщенням шліфувальної бабки. В результаті обчислюється масив функції помил-

ки вже залежно від заданого переміщення шліфу-вальної бабки δV(Hз), що дозволяє через коефіці-єнт kз.з зворотного зв’язку коректувати задане первісно керування на наступній ітерації тощо.

Розроблений алгоритм покладено в основу прикладної програми, головний інтерфейс якої наведено на рис. 8. Лінією 1 позначено межі об-ласті допустимих керувань у фазовій площині: швидкість зняття припуску—припуск. Виконано перший цикл обчислень: лінія 2 — первісно прий-нятий закон керування (незмінна поперечна по-дача), якому відповідає траєкторія 3 швидкості зняття припуску. Очевидно, що таке керування не тільки не оптимальне, але й призводить до браку за припалами.

Процес автоматичного наближення траєк-торії керування до оптимальної проілюстрова-но на рис. 9. Після п’яти ітерацій (рис. 9, а)

траєкторія керування (лінія 1) авто-матично змінилась, що спричинило наближення траєкторії зняття при-пуску (лінія 2) до меж області допу-стимих керувань. Час циклу скоро-тився до 6с, проте таке керування все ще не є оптимальним, оскільки призводить до браку за припалами. Необхідно продовжити ітерації до стану, показаного на рис. 9, б, коли фактична траєкторія зняття при-пуску практично всюди лежить за межею області допустимих керу-вань, що дозволяє вважати її опти-мальною. Незначні коливання на етапі врізання викликані динаміч-ними явищами, що відбуваються в пружній ТОС і не будуть істотно впливати на процес шліфування в цілому. Таким чином, в результаті автоматично сформована оптималь-на траєкторія керування, яка може бути основою для створення про-грами керування поперечною пода-чею на круглошліфувальному верс-таті з ЧПУ у G-кодах.

Як показали дослідження, фу-нкціонування програми, швидкість сходження і її сталість залежать від коефіцієнта зворотного зв’язку, який має задовольняти умову kз.з

< 1. Збіль-шення коефіцієнта призводить до збільшення швидкості сходження, проте після деякої величини, що зале-жить від конкретних умов задачі, про-грама втрачає сталість.

Рис. 7. Ітераційний алгоритм розв’язання варіаційної задачі

і = і + 1

Математична модель процесу шліфування

з з з з ос з( ) ( ) ( )і і іV H V H k V H= + δ

Формування функції помилки

з( )іV H

ф ф ф ф

з ф

( ) ( ) ( )і і

і i i

V H D H V H

H H H

δ = −

δ = −

Розрахунок траєкторії ф ф

( )і

V H

з з( ) 0, 05

1іV H

i

=

=

Так

Кінець

з( ) [ ]іV Hδ ≤ δ Ні


Висновки

Створена прикладна програма, в основу якої покладено розроблений алгоритм, дає мож-ливість отримати оптимальний закон керування поперечною подачею в автоматичному режимі. За-лежно від конкретних умов шліфування продук-

тивність може підвищуватись у два—чотири ра-зи. Отримані при моделюванні результати добре корелюються з досвідом практичної роботи на шліфувальних верстатах, що дає змогу рекомен-дувати створену прикладну програму для впро-вадження у виробництво для технологічної під-готовки шліфувальних операцій.

Рис. 8. Головний інтерфейс прикладної програми

31

2

δV

Рис. 9. Етапи ітераційного процесу

а б


Ю.В. Петраков, Н.A. Космина

АВТОМАТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИ-МАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ КРУГЛОМ ВРЕЗ-НОМ ШЛИФОВАНИИ

Сформулирована задача оптимального управле-ния процессом круглого врезного шлифования. Создана математическая модель процесса, кото-рая учитывает геометрическое, силовое взаимо-действие шлифовального круга и заготовки, изна-шивание шлифовального круга, замкнутость и ди-намические свойства упругой системы станка, а также многопроходность процесса. Доказано, что задача оптимизации относится к классу вариаци-онных задач и не может быть решена аналитичес-кими методами. Предложен новый подход к ре-шению задачи оптимизации за счет использова-ния специального вычислительного алгоритма, ко-торый функционирует по принципу замкнутой сис-темы автоматического управления. Создана при-кладная программа, которая предлагается как инструмент технологической подготовки произ-водства.

Yu.V. Petrakov, N.O. Kosmina

AUTOMATIC DESIGN OF OPTIMUM CONTROL AT ROUND INFEED GRINDING

The study under consideration deals with the opti-mum control task of the round infeed grinding proc-ess. We develop the mathematical sample of the process, which takes into account geometrical, po-wer interacting of a grinding circle and stock materi-al, chafing of a grinding circle, closure and dynamic properties of the rig elastic-system, as well as high passability. In addition, we prove that the optimi-zation task refers to the class of variational prob-lems and cannot be solved employing the analytic methods. We introduce a novel approach to the so-lution of the optimization task, implementing a spe-cial computational algorithm, which functions ac-cording to the principle of the looped system of au-tomatic steering. Finally, we develop the application program that can be exploited as a tool of techno-logical preparation production.

1. Михелькевич В.Н. Автоматическое управление шлифо-

ванием. — М.: Машиностроение, 1975. — 304 с.

2. Петраков Ю.В. Автоматичне управління процесами об-робки матеріалів різанням. — К.: УкрНДІАТ, 2004. —

384 с.

3. Петраков Ю.В., Субін А.А., Радько Є.О. Структурно-па-

раметрична модель врізного шліфування // Наукові віс-ті НТУУ “КПІ”. — 2002. — 2. — С. 76—81.

Рекомендована Радою Механіко-машинобудівного інституту НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції 3 грудня 2007 року


УДК 621.002.3:621.89

Т.А. Роїк, В.В. Холявко, Ю.Ю. Віцюк

ЗАКОНОМІРНОСТІ ЗМІНИ ВЛАСТИВОСТЕЙI ОПТИМІЗАЦІЯ СКЛАДУ АНТИФРИКЦІЙ-НИХ КОМПОЗИЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ З НІ-КЕЛЕВОЮ МАТРИЦЕЮ

Вступ

Зносостійкість будь-якого антифрикційно-го матеріалу залежить від великої кількості одно-часно діючих факторів – як зовнішніх, зумовле-них параметрами функціонування пари тертя, такі внутрішніх, пов’язаних з природою самого ма-теріалу. Залежно від умов тертя оптимальна струк-тура і властивості антифрикційного матеріалу мо-жуть бути різними. Так, в умовах тертя без зма-щування рідким мастилом при одночасній діїдодаткових навантажуючих факторів (температу-ри, тиску) стійкість проти зносу, зокрема абра-зивного, коли тверді частинки абразиву – піс-ку, бруду тощо – можуть потрапити в зону тер-тя і виривати дрібні частинки антифрикційногоматеріалу, буде визначатися комплексом фізи-ко-механічних властивостей матеріалу, передусімйого опором крихкому руйнуванню та твердіс-тю [1, 2].

У важких умовах роботи антифрикційнихматеріалів, особливо за наявності впливу висо-ких (700–750°С) температур навколишнього се-редовища, коли жодне рідке мастило не є пра-цездатним, надзвичайно важливо захистити по-верхні тертя від посиленого зношування та зчеп-лення [1–5]. З цією метою, як відомо [6], за-стосовують антизадирні домішки, які добавля-ються до складу композиційних матеріалів на ета-пі їх виготовлення та виконують роль твердогомастила.

Численність рекомендованих твердих мастил[6, 7] зумовлена різними умовами експлуатаціїантифрикційних матеріалів, які потребують по-шуку найефективніших антифрикційних домі-шок саме для певних конкретних умов роботи.Також відомо [1–8], що для умов роботи анти-фрикційних матеріалів, які характеризуються ви-сокими температурами, підвищеними наванта-женнями і невисокими швидкостями ковзання,найефективнішими антизадирними домішкамиє фториди лужноземельних металів, зокрема фто-рид кальцію (CaF2).

Втім введення до складу композиційного ма-теріалу будь-якого твердого мастила, в тому числі

й CaF2, не є однозначною функцією збільшен-ня зносостійкості антифрикційного матеріалу ізахисту його від зчеплення. Ефективне вико-нання речовиною ролі твердого мастила, що здат-не забезпечити тривалу і надійну роботу пари тер-тя, неможливе без встановлення оптимальногокількісного вмісту твердозмащувальної домішки,причому не апріорі, а на основі глибоких струк-турних досліджень, із врахуванням взаємозв’яз-ку зносостійкості антифрикційного матеріалу і йо-го фізико-механічних властивостей.


Метою досліджень, результати яких наведе-но в статті, є встановлення на основі фрактогра-фічного аналізу оптимального вмісту твердогомастила CaF2, здатного забезпечити високу зно-состійкість залежно від фізико-механічних влас-тивостей композиційних антифрикційних матері-алів з нікелевою матрицею.

Результати досліджень і їх аналіз

Об’єктами досліджень були антифрикцій-ні композиційні матеріали з такими масовимискладами, %:

склад 1: 72Ni +12Mo+12W+4CaF2;склад 2: 70Ni+12Mo+12W+6CaF2;склад 3: 63Ni+13,5Mo+13,5W+10CaF2;склад 4: 58Ni+15Mo+15W+12CaF2;склад 5: 55Ni+15Mo+15W+15CaF2.У процесі виконання експериментів було

проведено фізико-механічні і триботехнічні ви-пробування матеріалів, результати яких наведе-но в таблиці. Дослідження фізико-механічних ха-рактеристик здійснювались за стандартними ме-тодиками з визначенням твердості (НВ), межіміцності при згині (σзг) та ударної в’язкості (КС).Антифрикційні властивості матеріалів визнача-лись на високотемпературній машині тертя ВМТ-1на повітрі, при навантаженні на пару тертя5МПа, температурі 750°С, швидкості ковзання1м/с у парі з контртілом із жароміцної сталіЭИ 961 (52–54 HRC).

Аналіз наведених у таблиці результатів по-казує, що матеріал складу 1 (з масовим вмістомCaF2 4%) має максимальну ударну в’язкість у по-єднанні із задовільним рівнем міцності і твердос-ті. Однак його антифрикційні властивості, якіхарактеризуються коефіцієнтом тертя та інтен-сивністю зношування, досить низькі – мають ду-же високі значення і не можуть задовольнятислужбові вимоги.


Візуальний огляд матеріалу складу 1 післятриботехнічних випробувань показав, що утво-рена на робочих поверхнях плівка тертя диск-ретна, несуцільна і має ділянки незахищеної юве-нільної поверхні. Вочевидь, це пов’язано з не-достатнім вмістом твердого мастила CaF2 у скла-ді матеріалу, яке не здатне надійно захистити по-верхні пари тертя від зчеплення.

Матеріали складів 2–4 мають дещо нижчупластичність у зв’язку з підвищеною кількістю не-пластичногоCaF2 (6–12%), але вищий рівень міц-ності і твердості порівняно з матеріалом складу 1.Це пов’язано насамперед із збільшеним вмістомв них зміцнюючих легуючих елементів Мо і W(масовий вміст кожного елемента 12–15%), щоприводить, по-перше, до утворення в матеріалах(у процесі їх виготовлення) більшої кількостізміцнюючих фаз – інтерметалідів Ni3Mo, Ni3W,Ni3(Mo, W), WNi4 і, по-друге, до збільшення сту-пеня легованості γ – твердого розчину на основінікелю, а значить, і до його подальшого зміцнен-ня. До того ж, ця група матеріалів (склади 2–4) відрізняється і високим рівнем антифрикцій-них властивостей – низькими значеннями коефі-цієнтів тертя та інтенсивності зношування. Крімтого, на поверхнях тертя матеріалів і контртілаутворюється щільна розділювальна плівка, що за-побігає зчепленню робочих поверхонь.

Подальше збільшення масових часток CaF2

до 15% призвело до катастрофічного зношенняматеріалу складу 5, що можна пояснити такимчином. При збільшенні кількості CaF2 у ма-теріалі на основі нікелю, легованого молібденом івольфрамом, на процес тертя почали одночас-но впливати два чинники. Підвищення в мате-ріалі вмісту твердого мастила нібито мало спри-яти полегшенню умов припрацьовування та зни-женню сили тертя внаслідок утворення розділю-вальних антизадирних плівок, але при цьомувступає в дію другий чинник – міцність матері-алу, що впливає на зносостійкість матеріалу в ці-лому. Підвищення масових часток CaF2 до 15%різко знижує ударну в’язкість матеріалу складу 5

через зменшення загальної площі металевого кон-такту в об’ємі матеріалу (завдяки непластичнійі легкій речовині CaF2; 15 масових часток від-повідають 40 об’ємним часткам), тобто факториконструкційної міцності стають вирішальнимидля оцінювання працездатності матеріалу за та-ких умов тертя.

Зазначені явища взаємозв’язку фізико-ме-ханічних і антифрикційних властивостей знайш-ли своє підтвердження при виконанні фракто-графічного аналізу матеріалів. Особливості руй-нування антифрикційних матеріалів на основінікелю досліджувались з використанням зраз-ків, зруйнованих при випробуваннях на ударнув’язкість. Всі досліджувані матеріали мали змі-шаний характер руйнування, куди входили ділян-ки в’язкого, міжзеренного руйнування та крих-кого руйнування сколом, але в різному їх спів-відношенні залежно від вмісту CaF2 та кількос-ті зміцнюючих інтерметалідних фаз. На рис. 1, 2наведено деякі мікрофрактограми зразків з ком-позиційних матеріалів на основі нікелю.

На рис. 1 зображено фрагменти зламів ма-теріалу із вмістом (Ni–Mo–W) + 10 CaF2. Мікро-рельєф зламу утворений за механізмом змішано-го руйнування: в’язкого – зародженням ямок(фрактограма на рис. 1, а) та міжзеренного, щовиражається в розщепленні зерен уздовж плос-ких границь (фрактограма на рис. 1, б ).

Міжзеренне руйнування могло бути ініці-йоване частинками CaF2, розташованими по гра-ницях зерен, та інтерметалідами, наявними у ма-теріалі і зосередженими в міжвузловинах зерен.

Розшифрування електронограм, отриманихвід приготованих із зламів зразків екстракційнихреплік, підтвердило наявність на поверхні руй-нування частинок інтерметалідів, які стали іні-ціаторами виникнення локальних осередків руй-нування. Але ділянки міжзеренного руйнуванняне катастрофічні. На поверхні зерен спостеріга-ються борозенки від утомленості (рис. 1, б), на-явність яких може свідчити про руйнування вумовах утомного навантаження (перевантаження),

Таблиця. Фізико-механічні і триботехнічні властивості досліджених матеріалів

складу Масовий склад матеріалів, % σзг, МПа

Ударна в’язкістьКС, Дж/м2

ТвердістьНВ, МПа

Коефіцієнттертя

Інтенсивність зно-шування,мкм/км

1 Ni + 12Mo + 12W + 4CaF2 615 985 1500 0,32 82

2 Ni + 12Mo + 12W + 6CaF2 620 970 1550 0,15 24

3 Ni + 13,5Mo + 13,5W + 10CaF2 670 960 1600 0,12 22

4 Ni + 15Mo + 15W + 12CaF2 700 920 1700 0,14 23

5 Ni + 15Mo + 15W + 15CaF2 650 770 1650 0,38 94


коли рівень циклічних значень інтенсивностінапружень наближається до критичного, щопризводить до швидкого руйнуваня. Поєднанняборозенок від утомленості і міжзеренного руй-нування свідчить про тенденцію матеріалу дорозвитку руйнування по границях зерен. Алеоскільки в матеріалі є тверді частинки, то вінвиявляє одночасно і тенденцію до утворення мік-ропор в умовах перевантаження. Тому тут утворю-ються і ділянки ямкового в’язкого руйнування.

На ділянці ямкового руйнування (рис. 1, а)є вкраплення CaF2 , а також мікропори, що об-контурені гребенями відриву з борозенками відутомленості. На фрактограмі рис. 1, а показа-но, що ямки пов’язані з квазісколом. Локальнафасетка квазісколу ініційована дрібними вкрап-леннями CaF2. Борозенки від утомленості (див.рис. 1, б ) утворилися на границях зерен, орієн-тація яких сприяла циклічній пластичній ре-лаксації.

Мікрорельєф зламу матеріалу складу (Ni–Mo–W) + 12% CaF2, зображений на рис. 2,поєднує ділянки дрібних ямок і міжзеренногоруйнування (рис. 2, а), а також ділянки сколу(рис. 2, б ).

На фрактограмі рис. 2, а подано мікрорель-єф з утворенням ямок, на дні яких видно вкрап-лення CaF2 різного розміру. На фрактограмі рис.2, б зображено фасетки зерен, облямованих гре-бенями відриву.

Частка крихкого руйнування сколом (∼20%)зростає із збільшенням кількості фториду каль-цію в матеріалі на основі нікелю, що зумовлюєзменшення значення ударної в’язкості матері-алу (див. таблицю). Появу ділянок сколу в зла-мі спричинено локалізацією фторидних частинокпо границях зерен, які є осередками, що ініцію-ють руйнування сколом. На фасетках сколу поміт-ні характерні для даного виду руйнування схо-

Рис. 1. Фрагменти поверхні руйнування композиційного матеріалу (Ni + Mo + W) + 10% CaF2: a – ×5000; б – ×10000

а б

Рис. 2. Фрагменти поверхні руйнування композиційного матеріалу (Ni + Mo + W) + 12% CaF2, ×5000: a – ямковий злам;б – фасетки сколу, облямовані гребенями відриву

а б


динки сколу, що утворюють струмковий візеру-нок, який спостерігається на зернах у місцях сти-ку границь зерен.

Скол як вид руйнування – це розщеплен-ня по певних кристалографічних площинах, щовідбувається в металах, які виявляють слабку здат-ність до поперечного ковзання або зовсім її немають. Тріщини сколу зароджуються в місцях зутрудненим кристалографічним ковзанням: награницях зерен, на перетині двійників і площинковзання, на вкрапленнях і частинках другої фа-зи. При цьому, якщо при ямковому характеріруйнування спостерігається, як правило, коре-ляція між пластичними характеристиками ічасткою в’язкого руйнування, то руйнування ско-лом може відбуватися в матеріалах із високимипластичними характеристиками [9].

Руйнування, що поєднує ямки і скол, єнизько енергоємним і відбувається в тому разі,коли механізм руйнування змінюється від крих-кого до в’язкого волокнистого.

Наявність борозенок від утомленості, ініці-йованих інтерметалідами, утвореними при спі-канні, свідчить про відносно високу міцність ма-теріалу при відносно низькій пластичності (див.таблицю).

Зазначений змішаний механізм руйнуванняможна пояснити зниженою кристалографічноюсиметрією складових матеріалу (зерен). Якщокристалографічні осі зерен зорієнтовані пара-лельно осі діючих напружень, то відбувається руй-нування сколом, якщо ж зерна мають іншу орі-єнтацію, то вони зазнають менших нормальнихнапружень і руйнуються за в’язким механізмомз утворенням ямок.

Мікрорельєф зламу, утворений за механіз-мом змішаного руйнування сколом у поєднанні звідривом (див. рис. 2, б ), може свідчити про ви-соку міцність і помірну пластичність матеріалу, атакож про наявність у структурі матеріалу фаз,які характеризуються різними механічними влас-тивостями і різноманітною симетрією їх криста-лічних граток.

З підвищенням масового вмісту CaF2 до 15%частка ділянок крихкого сколу істотно збільшу-ється (∼40%), що призводить до зниження удар-ної в’язкості.

Утворення пор і фасеток сколу в процесіруйнування матеріалів на основі нікелю відбува-ється переважно на скупченнях частинок CaF2,тому встановивши масовий вміст CaF2, що конт-

ролює процес руйнування, до 6–12%, було під-нято рівень ударної в’язкості (порівняно з мате-ріалом складу 5) з одночасним істотним збіль-шенням антифрикційних характеристик (мате-ріалів складів 2–4).

Висновки

Аналіз результатів комплексних досліджень,які поєднують фізико-механічні, триботехнічніі фрактографічні експерименти, дав можливістьвиявити закономірності зміни властивостей ан-тифрикційних композиційних матеріалів з ніке-левою матрицею, які зумовлені впливом вмістуантизадирної домішки CaF2 та кількістю зміцню-ючих легуючих елементів на інтегральні служ-бові параметри матеріалів: із зростанням масо-вого вмісту CaF2 до 15% при одночасному збіль-шенні кількості зміцнюючих матрицю елемен-тів Mo і W (до 15% кожного) спостерігається іс-тотне зниження пластичності і, як наслідок, –втрата конструкційної міцності матеріалів, щосупроводжується зростанням у них коефіцієнтатертя та інтенсивності зношування. Втім, вста-новивши масовий вміст CaF2, що контролює про-цес руйнування, до 6–12%, а масовий вміст Moі W – у межах 12–15% (кожного елемента), бу-ло піднято рівень ударної в’язкості композитів зодночасним значним зростанням їх експлуата-ційних (антифрикційних) характеристик.

Таким чином, проводячи всебічні дослід-ження зв’язку загальної конструкційної міцностіматеріалів з їх антифрикційними характеристи-ками, можна здійснювати оптимізацію хімічногоскладу композитів цілеспрямованим введенням увихідну шихту такого співвідношення легуючихелементів та антизадирних домішок, яке здатнезабезпечити мінімум коефіцієнту тертя та інтен-сивності зношування матеріалів. Такий підхід від-криває широкі можливості керувати структуроюі властивостями композиційних антифрикційнихматеріалів на основі нікелю технологічними за-собами.

Подальші дослідження із зазначеної пробле-матики будуть спрямовані на встановлення впли-ву хімічного складу та умов експлуатації на ха-рактер утворення плівок тертя композитів ізнікелевою матрицею, їх морфології, внутрішньоїбудови, що відповідають за визначення рівня ан-тифрикційності матеріалів.


Т.А. Роик, В.В. Холявко, Ю.Ю. Вицюк

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ИОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВА АНТИФРИКЦИОН-НЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С НИ-КЕЛЕВОЙ МАТРИЦЕЙ

Выполнение комплекса всесторонних исследо-ваний физико-механических, триботехническихсвойств, металлографического и фрактографи-ческого анализов композиционных антифрикци-онных материалов на основе никеля, легирован-ных молибденом и вольфрамом и содержащих всвоем составе твердое смазочное вещество –CaF2, позволяет выявить закономерности взаи-мосвязи конструкционной прочности композитови их функциональных свойств в зависимости отсодержания упрочняющих легирующих элемен-тов и твердой смазки. Такой подход делает воз-можным осуществление оптимизации химическо-го состава антифрикционных материалов с нике-левой матрицей, благодаря чему решается науч-ная задача прогнозирования и управления экс-плуатационными свойствами композитов на ос-нове никеля технологическими средствами. Этоспособствует обеспечению надежности и долго-вечности работы антифрикционного материала иузла трения в целом.

T.A. Roik, V.V. Kholуavko, Yu.Yu. Vitsуuk

REGULARITIES OF PROPERTIES CHANGE ANDOPTIMIZATION OF ANTIFRICTION COMPOSITE MA-TERIALS WITH NICKEL MATRIX COMPOSITION

The present paper provides insights into the comp-lex versatile research of the physical-mechanical,tribotechnical properties, metallographic and fracto-graphic analysis of composite antifriction materialson the base of nickel, alloyed by molybdenum andtungsten with the solid lubricant CaF2. The resultsof the study reveal the regularities of the correlationbetween composite materials construction strengthand their functional properties according to the con-tent of hardening alloy elements and solid lubricant.We also point out that this approach enables theantifriction materials optimization with the nickelmatrix chemical composition. It turns out that thisapproach solves a scientific problem of compositematerials forecasting and control on the basis of ni-ckel operational properties, using technological re-sources. The experimеntal evaluations demonstra-te the promise of the proposed approach, which isvery important for maintaining of operational reli-ability and durability of antifriction material in gen-eral and friction unit in particular.

1. Роїк Т.А. Спечені композити для високих температур

тертя // Вісник Житомир. інж.-технол. ін-ту. Техніч-ні науки. – 2003. – 1 (24). – С. 37–41.

2. Шевчук Ю.Ф., Роик Т.А. Порошковые антифрикцион-

ные материалы для работы при повышенных темпера-турах // Порошковая металлургия. – 2001. – 1-2. –С. 53–58.

3. Роик Т.А. Формирование антизадирных слоев в спечен-

ных подшипниковых материалах со фторидом кальция //

Прогрессивные технологии и системы машиностроения:Междунар. сб. науч. тр . – Донецк: ДонГТУ, 1999. –Вып. 8. – С. 176–181.

4. Гавриш А.П., Роик Т.А. Влияние технологии получения

на свойства порошковых подшипниковых материалов

для тяжелых режимов трения // Вісник НТУУ “КПІ”. –2002. – Вип. 43. – С. 67–71.

5. Федорченко И.М., Пугина Л.И. Композиционные спечен-ные антифрикционные материалы. – К.: Наук. дум-

ка, 1980. – 404 с.

6. Зозуля В.Д. Эксплуатационные свойства порошковыхподшипников. – К.: Наук. думка, 1989. – 288 с.

7. Зозуля В.Д. Смазки для спеченных самосмазывающихсяподшипников. – К.: Наук. думка, 1976. – 192 с.

8. Анциферов В.Н., Акименко Б.Н., Гревнов Л.М. Порошко-вые легированные стали. – М.: Металлургия, 1991. –

318 с.

9. Бялік О.М., Кондратюк С.Є., Кіндрачук М.В., Чернен-

ко В.С. Структурний аналіз металів. Металографія. Фрак-тографія. – К.: ВПІ ВПК “Політехніка”, 2006. – 328 с.

Рекомендована Радою інженерно-фі-зичного факультету НТУУ “КПІ”

Надійшла до редакції25 грудня 2007 року


УДК 621.745.56:538.4/5:669-14

О.В. Середенко

ФОРМУВАННЯ ЕМУЛЬГОВАНОГО МЕТАЛЕ-ВОГО РОЗПЛАВУ ПІД ДІЄЮ ЗМІННОГОЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

Вступ

У металевих сплавах з областю незмішуван-ня фаз у рідкому стані можливе формування ли-тої емульгованої структури, що забезпечує ма-теріалу спеціальні властивості, які залежать відрозміру і кількості включень металоемульсії. Ос-новою багатьох нових матеріалів з високими теп-ло- і електропровідностями в комплексі із знач-ним рівнем механічних властивостей при підви-щених температурах є мідь. Застосування такихматеріалів стримується через проблеми, пов’яза-ні з їх отриманням, а також із складністю керу-вання фазами сплаву в рідкому стані. Для впли-ву на фази розплаву застосовуються різноманіт-ні зовнішні впливи, серед яких перспективнимиє електромагнітні. Однак їх застосування обме-жується внаслідок недостатнього вивчення зако-номірностей електромагнітного впливу на рідкіфази в процесі отримання сплаву.

Існує два основних способи отримання ме-талоемульсій: 1) диспергування рідких об’ємів [1–4]; 2) швидке охолодження розплаву із області од-норідної рідини з фіксацією крапель дисперсноїфази в твердіючій матриці [5, 6]. Перший спо-сіб не потребує значного перегрівання розпла-ву до температур, які перевищують температуруобласті незмішування. Однак включення характе-ризуються значною полідисперсністю (міні-мальні розміри порядку 5мкм, а максимальні –кілька сот мікрометрів). Характерні розміри ос-новної маси включень, як правило, входять у ді-апазон 50–100мкм, а поверхнева густина їх роз-поділу (qв) не перевищує 1⋅108м−2. Найбільш тон-кодисперсну (включення менше 5мкм)литу струк-туру з вузьким діапазоном розподілу розміріввключень отримують при застосуванні другогоспособу. Однак він пов’язаний із значним пе-регріванням розплаву і складностями, що по-требують врахування особливостей зародження таросту крапель у температурній області незмішу-вання.


З метою визначення найбільш раціонально-го шляху отримання емульгованого металевогорозплаву з розмірами крапель від 1 до 5мкм,

що не потребує значного перегрівання, дослідже-но процес впливу змінного електромагнітного по-ля на формування металоемульсії при плавленнісплаву в індукційній тигельній печі. При цьомумалось на меті мінімальне насичення рідкої осно-ви сплаву компонентами дисперсної фази.

Методика проведення досліджень

Об’єктом дослідження був сплав з масовимвмістом міді 93,5% і хромистого чавуну – 6,5%.Для приготування сплаву застосовувались різно-манітні відходи міді марки М00, шматки хромис-того чавуну (з масовим вмістом хрому 16%, вуг-лецю – 1,4%, марганцю – 0,8%, кремнію – 1,8%,решта – залізо і домішки). Дослідні плавки про-водились в індукційній тигельній печі (ІТП) ти-пу ІСТ 0,06/01–ІЗ (частота 2400Гц). Сплав міді,зміцнений дисперсними включеннями хромис-того чавуну, перспективний як матеріал для крис-талізаторів, фурм, кокілів, контакторів, зварюваль-них електродів, а також виробів із високим ре-сурсом безперервної експлуатації, що викорис-товуються в космічній техніці.

Компоненти сплаву з областю незмішуван-ня суттєво відрізняються питомим електроопо-ром. Завдяки цьому електромагнітне поле дифе-ренційовано діє на фази сплаву. Поряд з індук-ційним тепловим впливом на метал при плавлен-ні сплаву в тиглі печі було організовано режим ру-ху розплаву, який дає можливість прискорити йо-го переведення в емульгований стан (за рахунокприскорення масообміну і дестабілізації міжфаз-ної поверхні) і запобігти процесу седиментації тазлиття включень металоемульсії (завдяки ефек-ту парінння крапель). Внаслідок локальної неод-норідності електроопору в системі крапля–ото-чуючий розплав інтенсифікувався рух розплаву,що омивав краплю, виникало його місцеве пере-грівання, що сприяло збереженню розмірів вклю-чень емульсії, які формувались. В ІТП при час-тотах 50–2400Гц майже вся потужність (>95%)виділялється у вигляді тепла, яке нагріває ме-тал, оскільки дно і стінки тигля є “масивними”для електромагнітного поля (bт, dp > 2∆Е, де bт –товщина стінки тигля, м; dp – діаметр розплавув тиглі, м; ∆Е – ступінь затухання електромаг-нітного поля в тілі-провіднику, м) [7, 8]. У да-ній статті організація адресного комплексноговпливу змінного електромагнітного поля на роз-плав здійснювалась за рахунок конструктивнихособливостей тигля печі. Циліндричний графі-товий тигель із зовнішнім діаметром dт = 0,13м,висотою hт = 0,1м, товщиною стінок і дна bт =


= 0,015м поміщався в середину індуктора (висо-та індуктора hi = 0,4м, число витків індуктора –18). Тигель розміщався в центрі індуктора і привідношенні hт/hi = 1 забезпечувався рівномірнийрозподіл силових ліній електромагнітного поляпо всій висоті тигля. Таким чином, усувався кра-йовий ефект, який проявляється при hт/hi ≈ 1, ізабезпечувались умови одноконтурної циркуля-ції розплаву в тиглі з максимальною швидкістюvmax [8]. Застосування в експериментах електро-провідного (графітового) тигля з оптимальноютовщиною стінки практично не знижувало гус-тини електротоку в розплаві, оскількі виконува-лась умова bт < ∆Е, dp > 2∆Е. Визначено, що сту-пінь затухання електромагнітного поля в графі-ті дорівнює 0,03м, в розплаві – 0,005м. При цьо-му стінка тигля була “прозорою” для електромаг-нітного поля, а розплав виявився “масивним”провідником.

Температура плавлення сплаву міді з масо-вим вмістом хромистого чавуну 6,5% 1460°С ви-брана як близька до температури бінодалі при за-даному складі сплаву із врахуванням температу-ри плавлення більш тугоплавкого компонентасплаву – хромистого чавуну (1350°С) [9]. Роз-плав готувався під дією змінного електромагніт-ного поля з частотою 2400Гц, індукцією (3,0–3,5)⋅10−2Тл при струмі в індукторі 54–62А, гус-тиною електричного струму, збуджуваного в роз-плаві електромагнітним полем, (6,9–7,9)⋅106А/м2.Після плавлення компонентів шихти розплавскладався з об’єму міді і розміщеного над нимоб’єму чавуну. Метал у тиглі при повному розпла-ві шихти рухався під дією об’ємних електромаг-нітних сил у режимі одноконтурної циркуляції змаксимальною розрахунковою швидкістю vmax,яка визначалась за допомогою формули [10]

ρ ρ= =

µ µр рmax max i

0р i р

2 2v v hv

A I W, (1)

де v 0 – безрозмірна швидкість (для однофазнихІТП при близьких розмірах розплаву по верти-калі і горизонталі v 0 = 0,65 [10]); vmax – макси-мальна швидкість у розплаві, м/с; A – ампліту-да лінійної густини струму в індукторі (напруже-ність магнітного поля на внутрішній поверхнііндуктора), А/м; Iі – сила струму в індукторі, А;W – кількість витків індуктора (W = 18); µр –магнітна проникність розплаву, Гн/м; ρр – гус-тина розплаву (ρр = 7700 [11]), кг/м3.

Швидкість руху розплаву, що розрахованаза виразом (1), становила (1,4–1,5)⋅10−2м/с. Цейдіапазон швидкостей входив в інтервал (1⋅10−2–

1⋅10−1)м/с, в якому внаслідок ефекту витаннякрапель малих розмірів (>50мкм) уповільню-ється як седиментація дисперсних включень, такі їх укрупнення за рахунок зіткнень [12]. При цьо-му в розплаві забезпечувались ламінарний режимтечії, що характеризувався числом Рейнольдса[13] Re = 1167–1250, і активний конвективнийтеплоперенос, що характеризувався числом Пек-ле [14] Ре = 8,8–9,2.

Процес взаємодії речовин у бінарному сере-довищі, що має циркуляційний характер течії,при якій масоперенос здійснюється дифузійним іциркуляційним переносом маси як вздовж, так івпоперек потоку, оцінювався з допомогою дифу-зійного числа Фур’є – Fodc [14, 15]:

τ= max

dc0

Fov

r, (2)

де r0 – радіус циркулюючого бінарного потоку;м; τ – час, с.

Взаємодія об’ємів міді та хромистого чаву-ну оцінювалась за параметром магнітодинаміч-ної взаємодії N [16]. Значення цього критерію 3,5.Критерій відносної частоти ω, що враховує впливзміни поля в часі на його просторовий розподіл,розраховувався як ω = ∆2 2

р2 / Еd [10] і становив 400.

Фіксація будови і складу розплаву викону-валась структурно-загартувальним методом, шля-хом всмоктування розплаву в кварцеву трубку звнутрішнім діаметром 4мм з подальшим охолод-женням у холодній (10°С) воді і наморожуваннямрозплаву на сталевий циліндр, короткочасно за-нурюваний у верхній об’єм розплаву. Структу-ра оцінювалась за шліфами проб методом оптич-ної мікроскопії.

Результати досліджень

Аналіз послідовно взятих проб із розплаву втиглі печі показав, що більш тугоплавкий об’ємхромистого чавуну руйнувався послідовно. У пер-шій пробі, взятій з верхнього об’єму розплавучерез 360с після плавлення шихти з Fodc = 201,міжфазна поверхня об’ємів мала незначні ви-кривлення, структура чавуну мало відрізняласьвід вихідної, але в ній вже спостерігались ло-кальні зони насичення міддю. Мідна матрицябіля міжфазної поверхні містила досить дрібні, пе-реважно округлі, включення хромистого чавуну(∼25мкм при вихідній структурі чавуну; <15мкмпри структурі чавуну, що містив мідь) (рису-нок, а). Проба, яка була взята через 720с (Fodc == 403), показала (див. рисунок, б ), що процесруйнування хромистого чавуну посилився. На


міжфазній поверхні зафіксовано досить крупні(до 320мкм) утворення, що відривалися від по-верхні чавуну. В мідній матриці, безпосередньобіля міжфазної поверхні, розміщувались округлівключення: а) хромистого чавуну з незначнимвмістом міді (світлі включення) з розмірами 9–150мкм; б) хромистого чавуну зі значно більшимвмістом міді (темні включення) з розмірами 3–9мкм. В об’ємі чавуну в безпосередній близькостівід міжфазної поверхні виникли обширні області,зайняті фазою на основі міді (див. рисунок, б ).Проба, взята через 1380с (Fodc = 828), показала,що рідкий сплав вже не містив включень хромис-того чавуну з вихідною структурою. Він складавсяз мідного розплаву з краплями металоемульсії іоб’ємів з нерівномірним вмістом у міді компонен-

тів хромистого чавуну (див. рисунок, в). У струк-турі розплаву містилась велика кількість дисперс-них включень з розмірами < 3–36мкм. Вклю-чення були як розгалуженої, так і округлої фор-ми. За допомогою травлення було встановлено,що основна маса включень на основі хромисто-го чавуну містила значну кількість міді (темнівключення), а решта включень мали незначнукількість міді (світлі включення). Порівняно зпопередніми пробами кількість дрібних (< 3–9мкм) округлих темних включень збільшилась.

У подальших пробах (Fodc = 864 та Fodc = 969)проявилась тенденція зменшення кількості роз-галужених включень і збільшення частки малих(< 3–9 мкм) округлих темних включень. Прицьому в пробі, взятій при Fodc = 969, в структу-

а

б

в

г

Формування емульгованого розплаву: а – Fodc = 202; б – Fodc = 403; в – Fodc = 828; г – Fodc = 1116 – структури послідов-но взятих проб розплаву, ×100 (травлено); д – зміна поверхневої густини розподілу емульгованих включень

4

12

qв ×10−3, мм−2

Fodc×10−2

д

3

2

1

01086420


рі виявлені лише поодинокі розгалужені вклю-чення на основі хромистого чавуну, а рештавключень була переважно дрібною (< 3–6мкм)і містила окремі великі (до 15мкм) темні округліутворення. Збільшення часу обробки розплаву віндукційній тигельній печі до 1860с (Fodc = 1116)призвело до повного зникнення в матриці спла-ву розгалужених включень (див. рисунок, г ).В структурі сплаву спостерігались лише дрібні(< 3–6мкм) темні округлі включення. Однак, яквидно з рисунка, г, в розплаві почав проявля-тись процес коалесценції включень. При цьо-му можна стверджувати, що весь розплав приFodc = 1116 досяг емульгованого стану (див. рису-нок, д).

В результаті досліджень встановлено, щоотримання емульгованого розплаву міді з хро-мистим чавуном в індукційній тигельній печі припостійній температурі, що незначно (∼110°С) пе-ревищує температуру плавлення хромистого ча-вуну, можливо за рахунок впливу змінного елект-ромагнітного поля на концентраційні неоднорід-ності, створення одноконтурної вертикальної цир-куляції розплаву в тиглі печі, забезпечення ла-мінарного режиму його течії. Процес формуван-ня емульгованого розплаву характеризується чис-лом Fodc. Визначено, що в об’ємі розплаву одно-рідний емульгований стан з тонкодисперснимикраплями (<3мкм) характеризується числомФур’є Fodc, більшим 1100.

Практичне використання результатів

З використанням даного способу отриман-ня емульгованого розплаву в індукційній тигель-ній печі було розроблено технологічний процесвиробництва литих заготовок електродів для апа-ратів контактного зварювання з мідного сплаву,зміцненого дисперсними включеннями хромис-того чавуну, в який входить заливка і твердіннярозплаву в постійному магнітному полі при вста-

новленому режимі зі швидкістю охолодження∼30°С/с, що сприяло запобіганню седиментації ікоалесценції включень. Це дало змогу отриматиоднорідну структуру зливка з густиною розподі-лу включень (4,12 ± 0,05)⋅109м−2, розмірами дис-персної фази ≤3мкм і окремими включеннямидо 15мкм, що забезпечило при зварюванні сіт-кових конструкцій збільшення стійкості елект-родів до повного зношення порівняно із стандарт-ними електродами з хромової бронзи від 6000зварних точок до 16000.

Висновки

Встановлено, що процес сплавлення хромис-того чавуну з рідкою міддю при температурі, ви-щій на 110°С за температуру плавлення чавуну,під впливом змінного електромагнітного поля мавпослідовний характер з проникненням міді в при-поверхневу зону хромистого чавуну та переміщен-ням його дискретних об’ємів у прилеглий об’єммідного розплаву. Визначено, що гетерогеннийстан розплаву характеризувався числом Fodc, якевиражає дію електромагнітного поля в часі. Роз-плав поступово досягав у всьому об’ємі емульго-ваного стану за умов Re ≈ 1200, Pe ≈ 9, N = 3,5,ω = 400, Fodc ≥ 1100.

Застосування розробленої технології маєперспективу при отриманні інших сплавів мо-нотектичних систем. Визначені в статті парамет-ри електромагнітного впливу на сплав при йо-го плавці, які забезпечили однорідний розподілдисперсних емульгованих включень, мають перс-пективу використання на етапі твердіння злив-ків у формах і кристалізаторах в умовах повільно-го (<30°С/с) охолодження розплаву для запобі-гання седиментації та коалесценції включень.

Е.В. Середенко

ФОРМИРОВАНИЕ ЭМУЛЬГИРОВАННОГО МЕТАЛ-ЛИЧЕСКОГО РАСПЛАВА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕ-РЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Показано, что при специально организованномдействии электромагнитного поля в индукцион-ной тигельной печи расплав постепенно перехо-дит из состояния, характеризующегося двумя объе-мами, в состояние тонкодисперсной эмульсии, безиспользования перегрева расплава выше темпе-ратуры области двухфазного состояния.

O.V. Serеdenko

EMULSIFIED MELT FORMATION UNDER ALTER-NATING ELECTROMAGNETIC FIELD ACTION

This study highlights that a melt gradually passesfrom the two-volumes state into the fine dispersedemulsion without using melt overheating above atwo-phase zone, given that the special organisationaction of electromagnetic field in an induction cru-cible furnace is performed.


1. Сучков Е.В., Попель С.И., Жуков А.А. Получение ме-

таллических эмульсий механическим перемешиванием

расплавов // Расплавы. – 1988. – 2, 6. – С. 89–92.

2. Сучков Е.В., Попель С.М., Жуков А.А., Коннова М.А.

Эмульгирование расплавов железо–медь–кремний и

закалка эмульсий // Расплавы. – 1995. – 5. – С.

24–28.

3. Горбунов В.Г., Паршин В.Д., Пупынин В.П. и др. Струк-

тура и свойства сплавов алюминия со свинцом, полу-

ченных с помощью ультразвука и модифицированных

натрием // Металловедение и термическая обработка

металлов. – 1974. – 12. – С. 38–41.

4. Абрамов О.В., Буше Н.А., Гельфгат Ю.Н. и др. Алю-

миниевосвинцовые антифрикционные сплавы, получен-

ные в условиях компенсации гравитационной ликва-

ции электромагнитными силами // Металловедение итермическая обработка металлов. – 1982. – 4. – С.

11–13.

5. Кононенко В.И., Яценко С.П. Некоторые физические

свойства расслаивающихся расплавов // Изв. АН СССР.

Металлы. – 1970. – 3. – С. 205–208.

6. Кононенко В.Н., Сухман А.Л., Кузнецов А.Н. Влияние рас-

слоения на термодинамические и кинетические свойст-ва сплавов // Журн. физ. химии. – 1975. – ХLIX,

вып. 10. – С. 2570–2574.

7. Цыганов В.А. Плавка цветных металлов в индукцион-

ных печах. – М.: Металлургия, 1974. – 248 с.

8. Фомин Н.И., Затуловский Л.М. Электрические печи и

установки индукционного нагрева. – М.: Металлургия,

1979. – 248 с.

9. Христенко В.В. Литые сплавы на основе меди, упроч-

ненные включениями, формирующимися при эмульги-

ровании расплавов в области несмешиваемости: Дис. …

канд. техн. наук: 05.16.04. – К., 2000. – 208 с.

10. Тир Л.Л., Губченко А.П. Индукционные плавильные пе-

чи для процессов повышенной точности и чистоты. –

М.: Металлургиздат, 1988. – 120 с.

11. Смитлз К.Дж. Металлы / Пер. с англ. – М.: Метал-

лургия, 1980. – 446 с.

12. Производство отливок из сплавов цветных металлов:

Учеб. для вузов / А.В. Курдюмов, М.В. Пикунов,В.М. Чурсин, Е.Л. Бибиков. – М.: Металлургия,

1986. – 416 с.

13. Кафаров В.В. Основы массопередачи: Учеб. для студен-

тов вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк.,

1979. – 440 с.

14. Тир Л.Л., Столов М.Я. Электромагнитные устройствадля управления циркуляцией в электропечах. – 2-е изд.,

перераб. и доп. – М.: Металлургия, 1991. – 280с.

15. Столов М.Я., Левина М.Я. Процесс гомогенизации рас-

плава при легировании в индукционных тигельных пе-

чах // Исследования в области промышленного элект-

ронагрева: Сб. науч. тр. (ВНИИЭТО). – М.: Энергия,

1979. – 9. – С. 91–98.

16. Гельфгат Ю.М., Лиелаусис О.А., Щербинин Э.В. Жидкий

металл под действием электромагнитных сил. – Рига:Зинатне, 1975. – 248 с.

Рекомендована Радою інженерно-фі-зичного факультету НТУУ “КПІ”


144

ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК

УДК 517.983

Ю.В. Богданський, В.М. Статкевич

ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ЗСУТТЄВО НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИМИ ОПЕ-РАТОРАМИ

Вступ

У нескінченновимірному просторі виника-ють диференціальні оператори, які не мають не-тривіальних скінченновимірних аналогів. Суттє-во нескінченновимірні диференціальні операто-ри другого порядку є узагальненням класично-го оператора Лапласа–Леві [1] і були запропо-новані в [2]. Ці оператори мають специфічні (зточки зору скінченновимірної теорії) властивос-ті, які потребують розвитку відповідного апара-ту аналізу. У статті досліджено лінійні дифе-ренціальні рівняння з такими операторами.


Нехай H – нескінченновимірний сепарабель-ний дійсний гільбертів простір, BC (H ) – бана-хів (відносно операторної норми) простір само-спряжених лінійних операторів в H, J – конусневід’ємних лінійних функціоналів на BC (H ).

Множину D в BC (H ) будемо називати май-же компактною, якщо для кожного ε > 0 існуєкомпактна множина K ⊂ BC (H ) та числа n ∈ Nі d ∈ (0, ∞), такі, що K + Q n, d є ε-сіткою для D(тут Q n, d – множина операторів з BC (H ), рангяких не перевищує n, а норма не більша d).

Фіксуємо R > 0 і позначимо Z множинуфункцій u на H класу C 2(H ), носій яких нале-жить = ≤ | RB x x R , а множина ′′ ∈ ( )| Ru x x B

є майже компактною. Нехай X – замикання Z внормі

∈sup | ( )|

Rx Bu x ,X – комутативна банахова алгеб-

ра відносно поточкових операцій.Нехай j ∈ J, j ≠ 0, і такий, що його ядру

належать всі оператори з BC (H ) скінченного ран-гу. Формула ′′=( )( ) ( ( ))Lu x j u x визначає в X сут-

тєво нескінченновимірний еліптичний операторз областю визначення Z [3]. Цей оператор до-пускає замикання =A L , яке є генератором(C0)-півгрупи стиску в просторі X.

Півгрупа T(t ) має такі властивості [3, 4]):

1) ∃t0 > 0, таке, що T (t0) = 0 (нільпотент-ність півгрупи);

2) ∀ ∈,u v X , ∀ ≥ 0t : =( )( ) ( ) ( )T t uv T t u T t v

(мультиплікативність півгрупи).У статті досліджено рівняння вигляду

−−+ + + + =K1

1 1n n

n nA u a A u a Au a u f (1)

у випадках, коли ∈K1, , na a R (“сталі коефіцієн-

ти”) і ∈K1, , na a X („змінні коефіцієнти”).

Лінійні диференціальні рівняння із сталимикоефіцієнтами

Нехай −−= + + + +K1

1 1( ) n nn n nP t t a t a t a . То-

ді буде справедлива така лема.Лема 1. Якщо Pn(t ) має єдиний корінь λ ∈ C,

то рівняння (1) має, і притому єдиний, розв’я-

зок −λ −−=

− ∫0

1

0

( 1)( )

( 1)!

tns nu e s T s fds

n.

Доведення. Лема доводиться індукцієюпо n.

Ба за індукц і ї n = 1. Рівняння (1) на-буває вигляду Au − λu = f. Резольвента λ =R u

+∞−λ −λ= =∫ ∫

0

0 0

( ) ( )t

s se T s uds e T s uds існує для довільно-

го λ, отже, и = −λ= −∫0

0

( )t

se T s fds .

Крок індукц і ї ++ = − λ = − λ ×11( ) ( ) ( )n

nP t t t

× ( )nP t .Тоді рівняння (1) набуває вигляду

− λ =( ) ( )nA P A u f , −λτ= − τ τ∫0

0

( ) ( )t

nP A u e T fd ,

−λ − −λτ −= − τ τ −

∫ ∫0 0

1

0 0

( 1)( ) ( )

( 1)!

t tns nu e s T s e T fd ds

n.

Посилання на півгрупову властивість, зміна по-рядку інтегрування та заміна ς = s + τ приво-дять до формули

ς+−λς −−

= ς ς− ∫ ∫

011

0 0

( 1)( )

( 1)!

tnnu e T fd s ds

n,

яка і доводить лему.Згідно з лемою отримуємо формулу

− −−=

− ∫0

1

0

( 1)( )

( 1)!

tnn nA u s T s uds

n( ∈n N ). (2)

ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК 145

Теорема 1. Нехай Pn(t ) має k коренів λ1, ...,λk ∈ C. Тоді рівняння (1) має, і притому єди-

ний, розв’язок −λ

λ = λ=

= −λ∑∫

0

10

Res ( )( )j

t sk

j n

eu T s fds

P.

Доведення. Теорема доводиться індукці-єю по k. Базу індукції доведено лемою 1.

Крок індукц і ї . Розглянемо новий мно-гочлен G(t ) = (t − λk + 1)

pPn(t ). Тоді рівняння (1)запишеться у вигляді

Pn(A )(A − λk + 1)pu = f

або

+

−λ −λτ

λ = λ λ = λ=+

= − − τ τ λ − λ λ

∑∫ ∫0 0

1 110 0

Res ( ) Res ( )( ) ( )k j

t ts k

jk n

e eu T s T fd ds

P.

Оскільки корені λj різні, то можна вибрати кон-тури Γj, які їх охоплюють,такими, що попарно неперетинаються. Після зміни порядку інтегруваннямаємо

= − ×π2

1

4u

+

−− − τ

= +

× + τ τ− λ

∑ ∫ ∫ ∫ ∫Ñ Ñ0 0

1 2

1

1 2

1 21 1 0 0

( )( )( )

k j

t t skz s z

pj nkГ Г

dz dzds e T s fd

P zz.

Робимо заміну ς = s + τ. Тоді отримаємо

= ×π2

1

4u

+

− ς

=+

× ς ς −−− λ ∑∫ ∫ ∫Ñ Ñ

0 1

1

1 2

1 2 1 21 10

( )( )( )( )

k j

t z k

pj nkГ Г

e dz dzT fd

P z z zz

− ×π2

1

4

+

− ς

= +

× ς ς =− λ −∑∫ ∫ ∫Ñ Ñ

0 2

1

2 1

1 2 1 1 1 20

( )( ) ( ) ( )

j k

t zk

pj n kГ Г

e dz dzT fd

P z z z z

= −1 2I I . (3)

За теоремою про повну суму лишків, яка засто-

совується до функції =−2

2 1 2

1( )

( )( )n

w zP z z z

, ма-

ємо

=

π=

−∑ ∫Ñ 2

1 2 1 2 1

2( )( ) ( )

j

k

j n nГ

dz iP z z z P z

,

тобто +

−λς

λ = λ= − ς ς∫

0

11

0

Res ( )( )k

te

I T fdG t

. Внутрішній інтег-

рал другого доданка має вигляд

+ +

=− λ −∫Ñ

1

1

1 1 1 2Г ( ) ( )k

pk

dz

z z z

+=λ+

= π =− λ −1 1 1 1 1 2

12 Res

( ) ( )kpz

k

iz z z

+

−

−→ λ+

π π = = − − − − λ 1 1

1

11 2 2 11

2 1 2lim

( 1)! ( )k

p

p pzk

i d ip z zdz z

.

Підстановка цих результатів у формулу (3) до-водить теорему.

Зауваження. Доведена теорема приводить довисновку: для натурального n існує резольвент-на множина ρ(An) = C.

Лінійні диференціальні рівняння із зміннимикоефіцієнтами

Теорема 2. Якщо a1, ..., an ∈ X і f ∈ X, торівняння (1) має, і притому єдиний, розв’язок.

Доведення . Нехай − −= + +K11

nnB a A a A .

Тоді рівняння (1) еквівалентне рівнянню (I ++ B)Anu = f. Рівняння Anu = f має єдиний роз-в’язок для довільного f. Тому достатньо до-вести, що рівняння (I + B) u = f має також єди-ний розв’язок для довільного f. Для цього, усвою чергу, достатньо перевірити, що оператор Bобмежений, а спектральний радіус r (B ) менше 1.З (2) маємо

−

=

−=

−∑∫0 1

10

( 1)( )( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

t i in

ii

sBu x a x T s u x ds

i,

−

= =

≤ = −

∑ ∑∫0 1

0

1 10( 1)! !

t iin ni

ii i

a tsBu a ds u u

i i,

оскільки T(t ) – півгрупа стиску. Отже, B – об-межений оператор. Доведемо, що B – квазініль-потентний оператор, тобто r(B) = 0. Для m > 2маємо

=mB u

−

=

−= ×

−∑∫0 1

10

( 1)( )

( 1)!

t i in

ii

sa T s

i


−−

=

− τ× τ τ = −

∑∫0 1

2

10

( 1)( )

( 1)!

t j jnm

jj

a T B ud dsj

−

=

−= ×

−∑∫0 1

10

( 1)( 1)!

t i in

ii

sa

i

− −−

=

− τ× + τ τ ≤ −

∑∫0 1

2

10

( 1)( ) ( )

( 1)!

t s j jnm

jj

T s a T s B ud dsj

− −−

=

≤ + τ τ −

∑ ∫ ∫1

0 02

20

1 0 0

( )( 1)!

i t t snmi

i

a tds T s B u d

i.

Аналогічними міркуваннями отримуємо

−

=

≤ × −

∑1

0

1 ( 1)!

minm i

i

a tB u

i

−− − − −− − − −

−× ∫ ∫ ∫ ∫KK

K0 1 10 0 1 0 1 1

1 2 10 0 0 0

mm t s st t s t s s

m mds ds ds ds u .

Робимо серію замін: u1 = t0 − s1, u2 = u1 − s2, u3 == u2 − s3, ..., um = um − 1 − sm. Одержуємо

≤mB

− −−

−=

≤ = −

∑ ∫ ∫ ∫ ∫L

K2 10 11

01 2 1

1 0 0 0 0( 1)!

m mm u ut uini

m mi

a tdu du du du

i

−

=

= −

∑1

0 0

1 ( 1)! !

mi mni

i

a t ti m

.

Звідси маємо

−

→ +∞ → +∞=

= ≤ = −

∑1

00

1

1( ) lim lim 0

( 1)! !

inm im

mm mi

a tr B B t

i m.

Теорема доведена.Для випадку n = 1 можна навести явний роз-

в’язок рівняння (1).

Теорема 3. Розв’язок рівняння Au(x) ++ a(x)u(x) = f (x), a(x) ∈ X, f (x) ∈ X має вигляд

= −

∫ ∫0

0 0

( ) exp ( ( ) )( ) ( ( ) )( )t t

u x T s a x ds T t f x dt .

Доведення . Результат є наслідком такихперетворень:

− =

∫ ∫0

0 0

exp ( ( ) )( ) ( ( ) )( )t t

T s a x ds T t f x dt

= − + =

∫ ∫0

0 0

exp ( ( ) )( ) ( ( )( ))( )t t

T s a x ds T t Au au x dt

= − −

∫ ∫0

0 0

exp ( ( ) )( ) ( ( ) )( )t t d

T s a x ds T t u x dtdt

− =

∫ ∫0

0 0

exp ( ( ) )( ) ( ( ) )( )( ( ) )( )t t

T s a x ds T t a x T t u x dt

==

= − =

∫ 0

00

exp ( ( ) )( ) ( ( ) )( ) | ( )t

t ttT s a x ds T t u x u x .

У передостанній рівності до першого доданказастосовується формула інтегрування части-нами.

Висновки

У статті доведено існування та єдиність роз-в’язків лінійних диференціальних рівнянь з сут-тєво нескінченновимірними диференціальнимиоператорами другого порядку. У випадку ста-лих коефіцієнтів та рівнянь першого порядку іззмінними коефіцієнтами отримані явні форму-ли. Одержані результати вказують на перспектив-ність подальшого розвитку теорії диференціаль-них рівнянь з суттєво нескінченновимірними ди-ференціальними операторами.

Ю.В. Богданский, В.М. Статкевич

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯС СУЩЕСТВЕННО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫМИ ОПЕ-РАТОРАМИ

Исследованы уравнения вида −+ +K11

n nA u a A u

−+ + =K 1n na Au a u f с существенно бесконечно-мерными дифференциальными операторами вто-

Yu.V. Bogdansky, V.M. Statkevych

LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ES-SENTIALLY INFINITE-DIMENSIONAL OPERATORS

The present paper investigates the equations forfunctions on a Hilbert space with essentially infinite-dimensional differential operators (Laplace–Levy ty-pe) −

−+ + + + =K11 1

n nn nA u a A u a Au a u f .Furthermo-


рого порядка (типа Лапласа–Леви) для функцийна гильбертовом пространстве. Доказано су-ществование и единственность решений такихуравнений. Для уравнения первого порядка по-лучена явная формула.

re, the existence and unity of solution of theseequations are proved, and the explicit formula forthe first-order equation is obtained

1. Леви П. Конкретные проблемы функционального ана-лиза. – М.: Наука, 1967. – 512 с.

2. Богданский Ю.В. Задача Коши для параболических урав-

нений с существенно бесконечномерными эллипти-ческими операторами // Укр. мат. журнал. – 1977. –29, 6. – С. 781–784.

3. Богданский Ю.В. Задача Коши для уравнения тепло-

проводности с нерегулярными эллиптическими опе-раторами // Там же. – 1989. – 41, 5. – С. 584–590.

4. Bogdansky Yu.V., Dalecky Yu.L. Cauchy problem for the

simplest parabolic equation with essentially infinite-dimen-

sional elliptic operator / Suppl. to chapters IV, V: Yu.L. Da-

lecky, S.V. Fomin. Measures and differential equations in in-finite-dimensional space. – Kluwer Acad. Publ., 1991. –P. 309–322.

Рекомендована Радою навчально-нау-кового комплексу “Інститут приклад-ного системного аналізу” НТУУ “КПІ”



УДК 571.986

М.М. Кухарчук, М.І. Яременко

КВАЗІЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПО-РЯДКУ З МАТРИЦЕЮ ГІЛЬБАРГА–СЕРРИ-НА ТА НЕЛІНІЙНІ НАПІВГРУПИ СТИСКУ.ЧАСТИНА 1. ПРО РОЗВ’ЯЗНІСТЬ ЕЛІПТИЧНОГОРІВНЯННЯ

Вступ

Вперше зв’язок між еліптичними рівнян-нями та узагальненими параболічними задача-ми, коли в лівій частині з точністю до знака сто-їть оператор, породжений формою, складеноюза еліптичним рівнянням, було досліджено І.В.Скрипником та Ю.Ф. Дубинським у праці [1].Саме їх підхід ми використовуємо в нашій стат-ті, але існують інші точки зору на цю пробле-му: можна досліджувати параболічну задачу, бу-дуючи напівгрупу, а потім перейти до еліптич-ного рівняння.

Перша частина статті базується на поперед-ніх публікаціях авторів [2, 3], друга – присвя-чена переважно вивченню теореми типу Хіл-ле–Іосіди–Філіпса і, по суті, є побудовою тео-рії Комури [4] для даної задачі.

Основна частина даної статті присвяченадоведенню однозначної розв’язності узагальне-ної задачі Коші в 2( , )l lL R d x . Під розв’язком ро-

зуміємо конструкцію, використану Комурою [4],тобто будується наближення un до слабкого роз-в’язку u таким чином: нехай ( )nu t – розв’язки

рівняння =( ) A ( )n n nd

u t u tdt

, де An – відображен-

ня −− →1u vn v при ∈ ∈A , (A)v u u D , →( ) ( )nu t u t –рівномірно, тобто в сильні топології, ∈ 0[0, ]t t ,

( )kn

du t

dt→ ( )

du t

dt– слабко, тобто в σ-топології,

де σ = σ2 2( , ) ( , )

( [0, ], [0, ])l l l lL R d x L R d xL t C t .


Мета статті – дослідити зв’язок між еліп-тичними рівняннями та узагальненими парабо-лічними задачами, коли в лівій частині з точ-ністю до знака стоїть оператор, який породже-ний формою, складеною за еліптичним рівнян-ням.

Попередні відомості

Розглянемо диференціальне рівняння

λ − + ∇ =o o ( , , )u d a du b x u u f , λ > 0 ,

−∀ ∈ 21f W ,

де a – відома матриця Гільбарга–Серрина:

= δ + 2| |

i jij

x xa b

x,

−= − + χ < ≥

− χ1

1 , 1, 31l

b l ,

за обмежень

∇ ≤ µ ∇ + µ +µ1 2 3| ( , , )| ( )| | ( )| | ( )b x u u x u x u x ,

∇ − ∇ ≤| ( , , ) ( , , )|b x u u b x v u

≤ µ − + µ ∇ −4 5( )| | ( )| ( )|x u v x u v ,

∇ ≤ µ ∇ + µ +µ6 7 8| ( , , )| ( )| | ( )| | ( )rb x u u x u x u x ,

∇ ≤ µ ∇ + µ +µ9 10 11| ( , , )| ( )| | ( )| | ( )ub x u u x u x u x ,

∇ ∇ ≤ µ ∇ + µ +µ12 13 14| ( , , )| ( )| | ( )| | ( )ub x u u x u x u x ,

де ∞µ ∈ =( ), 1, ..., 14ni L R i ; µ ∈3 2( )nL R ; ( ,b x y ,

z) – неперервна на × ×l lR R R скалярна функ-ція, неперервно диференційована по (y, z); (ub x ,

∇, )u u – за визначенням, похідна функції b(x, y,

z) по другому аргументу, а ∇ ∇( , , )ub x u u – за ви-

значенням, похідна функції ( , , )b x y z по третьому

аргументу = −2

( 1)| |

xda b l

x; − =o o1da a da (1 + b)−1 ×

− ×

21| |

lx

.

Введемо простір

= ∈2 21 ( , ) : | ( , )l l l lW R d x v v L R d x ,

∈ =2( , ), 1, ..., l liD v L R d x i l ,

= +∑2 2 21 ( , ) ( , ) ( , )

|| || || || || ||l l l l l liW R d x L R d x L R d xi

v v D v ,

де = ∈2 21,0 1( , ) : | ( , )l l l lW R d x v v W R d x і має ком-

пактний носій ; −21( , )l lW R d x – спряжений до

21,0( , )l lW R d x простір (див. [3, с 84, 85]).

Як відомо, звуження породжених формою

λ2( , )h u v , побудованою за диференціальним рівнян-

(1)

(2)


ням, операторів λ −→2 2 21 1A :W W , які задовольня-

ють умови теоремиМінті–Браудера на L2(R1, d1x),

є максимальними монотонними операторами.Через те що вкладення 2

1W (R1, d1x) ⊂ L2(R1,

d 1x) −⊂ 21( , )l lW R d x є неперервним і щільним, зву-

ження λ% 2A оператора λ

2A на L 2(Rl, d lx) матиме

вигляд

λ λ= ↑% 2 22A A ( , )l lL R d x ,

λ λ= ∈ ∈% 2 2 21 2(A ) ( , ): A ( ) ( , )l l l lD u W R d x u L R d x ,

де λ λ →2 22A : ( ) ( , )l lD A L R d x – сюр’єктивне відоб-

раження, а отже, рівняння (1) має розв’язок в

λ2( )D A , а оскільки λ

2A – максимальний моно-

тонний оператор, то λ≡ − % 2A A – максимальний ди-

сипативний оператор. Тоді має місце така тео-рема (див. [1]).

Теорема 1. Якщо рівняння (1) однозначнорозв’язне −∀ ∈ 2

1( , )l lf W R d x , то і узагальнена за-

дача Коші = A( )d

u udt

, де λ≡ − % 2A A , теж має єди-

ний розв’язок.

В статті буде використовуватися клас функ-цій βΠΚ −∆( ), β∈ ΠΚ −∆2 ( )v (див. [2]), тоді і тіль-

ки тоді, коли ∈2 1loc( )lv L R і існують такі кон-

станти β і c(β), що

ϕ ≤ β ∇ϕ + β ϕ2 2 22 2 2|| || || || ( )|| ||v c , (3)

для довільної ∞ϕ ∈ 0 ( )lC R . Тоді справедлива така

теорема.Теорема 2. Рівняння (1) за умов (2) однознач-

но розв’язне в 21W .

Для доведення цієї теореми використаємомодернізацію методу Гальоркіна, але спочаткувведемо деякі позначення та сформулюємо кіль-ка лем.

Визначимо форму λ2( , )h u v , поклавши

λ = λ + + ∇o o2( , ) , ( , , ),h u v u v dv a du b x u u v , (4)

де ∈ 21u W і v – довільний елемент із простору

21, 0W ; λ λ= ∈ < ∞2 2 2

1( ) : | ( , )| D h u W h u v .

Отже, мають місце такі леми.Лема 1. Форма λ

2h обмежена.

Доведення. Для того щоб показати обме-женість форми λ

2( , )h u v , використовуємо нерів-ність Гельдера. Одержимо

λ ≤ λ + ∇ ∇ +22 2 1 2 2| ( , )| || || || || || || || ||h u v u v C u v

∞ ∞+ µ ∇ + µ + µ1 2 2 2 2 2 3 2 2|| || || || || || || || || || || || || || || ||u v u v v .

Лема доведена.Як наслідок леми 1 одержимо, що форма по-

роджує оператор λ −→2 2 21 1A : ( , ) ( , )l l l lW R d x W R d x ,

який є обмеженим. Дійсно, оскільки λ ×2 21:h W

× →21W R є обмеженим та лінійним відображен-

ням по другому, але нелінійним по першому ар-гументу, то, отже, форма згідно з теоремою Ба-наха породжує нелінійний оператор λ

2 21A : ( lW R ,

−→ 21) ( , )l l ld x W R d x , тому можемо записати λ

2(h u ,

λ= 2) A ( ),v u v .

Лема 2. Оператор λ −→2 2 21 1A : ( , ) (l l lW R d x W R ,

)ld x – коерцитивне відображення.

Доведення.Під коерцитивним відображен-ням розуміємо такий оператор λ →2 2

1A : ( , )l lW R d x

−→ 21( , )l lW R d x , що породжений формою і задо-

вольняє умову

( )λ

→ ∞= ∞

2 21 1

2

|| ||

,lim

|| ||Wu

W

h u u

u. (*)

Дійсно, має місце оцінка

λ ≥ λ + −o o2 22( , ) || ||h u u u du a du

∞ ∞− µ ∇ − µ −2 21 2 1 2

1 1|| || || || || || || ||

2 2u u

∞− µ − µ − µ2 22 2 3 2 2 3 2

1 1|| || || || || || || || || ||

2 2u u , (5)

для одержання якої використані нерівностіГельдера та Юнга, а також деякі властивостінорм L2.

Застосовуючи ще раз нерівності Гельдерата Юнга, а також невід’ємність норм, одержу-ємо

λ ∞ ∞ ∞ ≥ λ − µ − µ − µ +

2 21 2 3 2

1 1( , ) || || || || || || || ||

2 2h u u u

+ ∞ − µ ∇ − µ

21 1 2 3 2

1 1 1|| || || || || ||

2 2 2C u .


Тому, враховуючи останню нерівність, без-посередньо перевіряємо умову (∗), тобто лема до-ведена.

Лема 3. Оператор λ −→2 2 21 1A : ( , ) (l l lW R d x W R ,

)ld x – монотонне відображення.Доведення. Згідно з означенням монотон-

ності (див., наприклад, [2, 4]) оператор λ2 2

1A : ( lW R ,

−→ 21) ( , )l l ld x W R d x монотонний в L2, якщо

λ λ− − ≥ ∀ ∈2 2 21A ( ) A ( ), ( ) 0 ,u v u v u v W .

Отже, враховуючи умови (2) та виконуючи пе-ретворення, аналогічні перетворенням при до-веденні леми 2, маємо

λ λ− − ≥2 2A ( ) A ( ), ( )u v u v

≥ λ − + − − −o o22|| || ( ) ( )u v d u v a d u v

∞ ∞− µ − − µ ∇ − − ≥24 2 5|| || || || || || ( ), | |u v u v u v

≥ λ − λ + µ µ ∇ ≥2 22 4 5 2( )|| || ( , , , )|| || 0c W C p l W , (6)

де = −( )W u v і знак рівності справедливий лише

у випадку ≡u v .Лема доведена.Лема 4. Оператор λ −→2 2 2

1 1A : ( , ) (l l lW R d x W R ,

)ld x є хемінеперервним відображенням.

Доведення. За визначенням оператор λ2A :

−→2 21 1( , ) ( , )l l l lW R d x W R d x – хемінеперервне від-

ображення, якщо ∀ ∈ 21,u v W λ

→ω − + =2

0limA ( )t

u tv

( )λ= 2A u в нормі −21W .

Отже, можемо написати такі оцінки:

( )λ λ+ − =2 2A ( ) A ,u tv u W

= λ + +o o,t v W t dW a dv

+ + ∇ + − ∇ ≤( ( , ( ), ( )) ( , , )),b x u tv u tv b x u u W

≤ λ + +o o,t v W t dW a dv

∞ ∞ →+ µ + µ ∇ →4 5 0|| || , || || , 0

tt v W t v W

∀ ∈ 21,0W W ,

що й доводить лему.Перейдемо до доведення теореми 2.Нехай iv і ∗ iv – гладкі базиси простору

21, 0W і нехай 1[ , ..., ]nv v – лінійна оболонка базис-

них елементів, =* 22, || ||n n nu u u .

Покладемо, за визначенням, =

= ∑1

n

n i ii

u c v ,

∗ ∗ ∗

=

= ∑1

n

n i ii

u c v (див. [4]). Для знаходження послі-

довності Гальоркіна складемо систему рівнянь∗

λ − =2A ( ) , 0n iu f v , = 1, ...,i n . (7)

Система (7) визначає неперервне відобра-ження →: n nB R R . Отже, має місце лема “про

гострий кут”. Нехай на сфері = =( : | | )RS C C R ,

де > 0R – деяке відповідно вибране число,що можливо завдяки властивості коерцитивнос-ті оператора, і виконується умова “гострого ку-та” ∗ ≥( ), 0B C C . Тоді існує принаймні одна точ-

ка ≤, | |C C R , така, що =( ) 0B C . Доведення леми“про гострий кут” можна знайти в [4, 5].

Далі будемо реалізовувати аналог методу Га-льоркіна, тобто покажемо, що система (7) має роз-в’язок у лінійній оболонці перших n елементівбазису vi. Дійсно, відображення ⊂ =( ): 0 ( )iB C B C

∗λ= −2A ( ) ,n iu f v , = 1,...,i n, внаслідок коерцитив-

ності оператора λ −→2 2 21 1A : ( , ) ( , )l l l lW R d x W R d x ,

задовольняє умови леми “про гострий кут”:∗ =( ),B C C

∗ ∗λ λ

= =

= − = − ≥

∑ ∑2 2

1 1

A , A ( ) ,n n

i i i i n ni i

c v f c v u f u

−

λ ≥ − ≥

2 21 1

21

2( )|| || || || 0

|| ||n

nW Wn W

h uf u

u.

Оскільки λ2A ( )nu – неперервне відображення на

скінченних підпросторах простору 21,0W , має міс-

це існування =, | |C C R , =( ) 0B C внаслідок леми“ про гострий кут ” для досить великих > 0R .

Отже, ми фактично вказали спосіб по-будови послідовності ( )nu x , такої, що вона єрозв’язками систем (7), тобто далі будемо до-водити, що послідовність ( )nu x збігається дорозв’язку рівняння (1).

Використовуючи умову коерцитивності опе-ратора λ −→2 2 2

1 1A : ( , ) ( , )l l l lW R d x W R d x , одержуємо,

що − −

λ ≤2 21 1

2||A ( )|| || ||n W Wu f . Якщо нами буде доведено,

що −

<21

|| ||n Wu C , де стала С залежить лише від

структури рівняння, то внаслідок слабкої ком-пактності 2

1W існує підпослідовність ( ( ))nu x , та-


ка, що ′ →21

0n Wu u – слабко і ′λ →2

1

2A ( )n Wu y –

слабко. Покажемо, що λ= =20A ( )y u f , звідки бу-

де випливати, що відображення λ2 2

1A : ( lW R ,

−→ 21) ( , )l l ld x W R d x є сюр’єкцією, або “відобра-

женням на”.Для того щоб довести останнє твердження,

складемо інтегральні тотожності:

∗ ∗′λ =2A ( ) ,n i iu v f v , = 1, ...i (7а)

Перейдемо в (7а) до границі при ′ → +∞n .Одержимо границю за нормою −

21W :

′→ ∞

= =2lim A ( )n nn

u y f .

Оскільки оператор λ −→2 2 21 1A : ( , ) (l l lW R d x W R ,

)ld x монотонний в L 2, то ′ ′λ λ− Α −2 2A ( ) ( ), (n nu v u

− ≥) 0v . В останній нерівності, переходячи до

границі при ′ → ∞n , одержуємо ( )λ− −20, (y A v u

− ≥) 0v .

Покладаючи = − > ∀ ∈ 20 1,0, 0,v u t z t z W , ско-

рочуємо обидві частини одержаної нерівності наt. Знаходимо, що λ− − ≥2

0A ( ), 0y u t z z .

Використовуючи хемінеперервність опера-тора λ −→2 2 2

1 1A : ( , ) ( , )l l l lW R d x W R d x та довільність

вибору елемента ∈ 21,0z W , одержуємо, що =y

λ= =20A ( )u f , тобто для заданих початкових да-

них ми побудували послідовність ′ nu і довели

її збіжність до елемента −∈ 20 1u W , такого, що ре-

алізує розв’язок рівняння (1) за згаданих вищеумов.

Таким чином, теорема про існування роз-в’язку рівняння (1) буде доведена (доведенняєдиності наведено нижче), якщо доведемо ле-ми 1–4 та встановимо наявність апріорної оцін-ки <2

1|| ||n Wu C . Отже, має місце така лема.

Лема 5. Наближення Гальоркіна ип розв’яз-ків рівняння (1) задовольняють апріорну оцін-ку <|| ( )||nu x C .

Для того щоб це довести складемо інтег-ральну тотожність

λ + +o o,n n n nu u du a du

+ ∇ =( , , ), ,n n n nb x u u u f u .

Із врахуванням нерівності Гельдера та Юн-га одержуємо

∞ ∞

≤λ− µ − µ − µ

22

3 2 1 2

|| |||| ||

1|| || || || || ||

2

nf

u ,

де використана техніка, аналогічна тій, що за-стосовувалась для доведення леми 1.

Далі продиференціюємо почленно рівнян-ня (1) при = nu u і складемо інтегральну тотож-

ність:

λ + + +o o o o, ( ) ( )r r r r r r rn n n n n nu u d u a du d u a du

+ ∇ +( , , ),rn n nb x u u u

+ ∇ +( , , ) ,u r rn n n nb x u u u u

∇+ ∇ =o( , , ) , ,u r r rn n n n r nb x u u du u f u .

Одержимо

λ + + −o o o o2

2r r r r r rn n n n nu du a du du a du

− µ ∇ + µ + µ −6 7 8| | | | , rn n nu u u

− µ ∇ + µ + µ −9 10 11( ) ,r rn n n nu u u u

− µ ∇ + µ + µ ∇ ≤12 13 14( | | | | )| |,r rn n nu u u u

≤ − ∇, rr nf u . (7б)

Сумуючи почленно нерівність (7б), починаючивід 1 до l, і використовуючи нерівність Гельде-ра і Юнга, одержуємо

∇ ≤ µ22|| || ( , , )n iu C l f , = 1, ...,i n ,

де ця залежність розуміється як функціональ-на. Звідси випливає необхідна оцінка <2

1|| ||n Wu

< C , де C залежить від структури рівняня.Єдиність розв’язку випливає з властивості

монотонності оператора λ ⋅2A ( ) . Дійсно, покаже-

мо, що цей розв’язок єдиний. Доводимо від су-противного. Нехай u 0 та ′0u – два таких роз-

в’язки. Тоді справедливі рівності

λ λ ′ω = ω = ∀ω ∈2 2 20 0 1,0A ( ), , A ( ), ( , )l lu f u f W R d x ,

тобто λ λ ′− ω =2 20 0A ( ) A ( ), 0u u .

Поклавши ′ω = −0 0( )u u , отримаємо


λ λ ′ ′= − − ≥2 20 0 0 00 ( ) ( ), ( )A u A u u u

′ ′ ′≥ λ − + − − −o o20 0 2 0 0 0 0|| || ( ) ( )u u d u u a d u u

∞ ∞′ ′ ′− µ − − µ ∇ − − ≥24 0 0 2 5 0 0 0 0|| || || || || || ( ), | | 0u u u u u u ,

а це внаслідок строгої монотонності означає,що ′=0 0u u .

Отже, теорема 2 доведена повністю.Зауваживши, що вкладення −⊂ ⊂2 2

1 2 1W L W

неперервне і щільне, pозглянемо звуження опе-ратора λ

2A на множину функцій ∈ 21u W , таких, що

λ ∈22A ( ) ( lu L R , )ld x , і визначимо оператор ≡A( )u

λ≡ − 2A ( )u для λ∈ = ∈ ∈2 21 2( ) :A ( ) ( lu D A u W u L R ,

)ld x .

Дослідження основної задачі

Перейдемо до розгляду нашої основної за-дачі – доведення нелінійного аналога теоремиХілле–Іосіди–Філіпса. Позначимо відображення

λ2A через A. За лемою 2 відображення λ≡ − 2 :A A

→2 2( , ) ( , )l l l lL R d x L R d x дисипативне в 2(lL R ,

)ld x . (Зауважимо, взагалі кажучи, що оператор A

може бути неоднозначним відображенням.)За заданих вище умов можна розглядати уза-

гальнену задачу Коші в просторі Лебега 2(lL R ,

)ld x :

∈ Α ∈ = ∈

0

0 2

( ) ( ), [0, ],

(0) , ( ) ( , ),l l

du t u t t t

dx

u u u t L R d x(8)

λ≡ − →22 2A A : ( , ) ( , )l l l lL R d x L R d x .

Для того щоб ввести поняття розв’язку задачіКоші (8), опишемо таку конструкцію.

Позначимо 2( , )

[0, ]l lL R d xC t простір усіх 2(

lL R ,

)ld x -значних сильно неперервних функцій на

інтервалі [0, ]t , тобто

⋅ ∈ ⇒ →2( , )

( ) [0, ] : [0, ]l lL R d xu C t u t 2( , )l lL R d x і

→− =

200 ( , )

lim || ( ) ( )|| 0l lL R d xs su s u s , ∈0 [0, ]s t ,

а 2 ( , )

[0, ]l lL R d xL t – простір всіх 2( , )l lL R d x -знач-

них, сильно інтегрованих функцій на інтервалі[0, ]t , тобто

⋅ ∈ ⇒ →2( , )

( ) [0, ] : [0, ]l lL R d xu L t u t

→ 2( , )l lL R d x і = < ∞∫0

|| || || ( )||t

Lu u s ds . (9)

Розглянемо декартовий добуток просторів

2( , )[0, ]l lL R d x

C t ×2( , )

[0, ]l lL R d xL t . Далі задамо відоб-

раження ⋅ ⋅(, ) t за визначенням: ⋅ ⋅(, ) t : 2( , )[0l lL R d x

C ,

]t × →2( , )

[0, ]l lL R d xL t R , = ∫

0

( , ) ( ( ), ( ))t

tu v u s v s ds . Не-

важко перевірити, що так введене відображен-ня задовольняє всі вимоги скалярного добутку.

Можемо вважати відображення 2A: ( lL R ,

→ 2) ( , )l l ld x L R d x як відображення

2 ( , )[0, ]l lL R d x

C t в

→ ∈2 2( , ) ( , )

[0, ]: [0, ]:l l l lL R d x L R d xL t u v L t

∈( ) A ( )v s u s майже скрізь s . (10)

Назвемо відображення %A розширенням відобра-ження A, якщо

∋ →%2( , )

A: [0, ]l lL R d xC t u

→ ∈ ∃ ∈ ⊂2( , )

[0, ]: (A)l l nL R d xv L t u D

⊂ ∈2 ( , )

[0, ], Al l n nL R d xC t v u ,

→ ∞ →∞= σ − =lim , lim n n

n nu u v v ,

деσ = σ

2( , )( [0, ]l lL R d xL t ,

2 ( , )[0, ])l lL R d x

C t (11)

є слабка топологія в 2( , )l lL R d x

L [0, t ] відносно

2( , )l lL R d xC [0, t].

Визначення 1. Функцію ∈2

0( , )[0, ]l lL R d x

u C t

назвемо слабким розв’язком рівняння (8), як-що існує послідовність абсолютно неперервних

розв’язків ∈ %: ( ) A ( )n n nd

u u t u tdt

майже при всіх ∈[0t ,

t ] і →∞

=lim nn

u u в 2

0( , )[0, ]l lL R d x

C t .

Нелінійні напівгрупи і локальні генератори

Всюди далі будемо розглядати простір 2(lL R ,

)ld x як гільбертовий простір зі скалярним до-

бутком ⋅ ⋅ × →2 2( , ): ( , ) ( , )l l l lL R d x L R d x R :

= ∫( , ) ( ) ( )l

l

R

f q f x q x d x ∀ ⊂ 2, ( , )l lf q L R d x . (12)


Визначення 2. Неперервна однопараметричнанапівгрупа ≥T , 0t t , нелінійних операторів стис-

ку на 2( , )l lL R d x за визначенням задовольняє та-кі умови:

1) для будь-якого фіксованого ≥ 0t Tt –неперервний (нелінійний) оператор, визначенийна 2( , )l lL R d x в 2( , )l lL R d x ;

2) для будь-якого фіксованого ∈ 2( , )l lf L R d x

Tt f – сильно неперервний оператор в t ;

3) +Ts t = T Ts t для ≥, 0t s і Т0 = І (I – тотож-

не відображення);4) − ≤ −

2 2( , ) ( , )||T T || || ||l l l lt t L R d x L R d x

f q f q

∀ ⊂ 2 , ( , )l lf q L R d x .

У подальшому таку сім’ю нелінійних опе-раторів ≥T , 0t t будемо називати нелінійною

напівгрупою стиску в 2( , )l lL R d x .

Як наслідок умови 4 одержимо таку вимогу:

−≤ −

||T T |||| ||h hf qf q

h∀ ⊂ 2 , ( , )l lf q L R d x , (13)

завжди, крім випадків, відзначених особливо.Під нормою розуміється норма в просторі

2( , )l lL R d x , що породжена скалярним добутком

(12), тобто=|| || ( , )f f f . (14)

Визначення 3. Відображення →2A: ( , )l lL R d x

→ 2( , )l lL R d x , взагалі кажучи, багатозначне i на-

зивається дисипативним, якщо

′ ′− − ≤( , ) 0f q f q ′ ′∀ ∈ ∈,f A f q Aq , (15)

де A , Af q – множина значень відображення еле-ментів f і q, відповідно, якщо A – однозначнийоператор, то умова 4 перейде в умову

− − ≤(A A , ) 0f q f q ∀ ∈,f q 2( , )l lL R d x . (15а)

Оскільки ми розглядаємо нелінійні напів-групи, то, взагалі кажучи, включення ⊃0A Tt

⊃ 0T At не має місця, де за відображення 0A :

→2 2( , ) ( , )l l l lL R d x L R d x беремо відображення

↓

−≡0

0

TA lim h

h

f ff

h, ∈ 2( , )l lf L R d x (16)

(“lim” розуміємо в сенсі топології норми), яке на-зивається строго локальним генератором.

Внаслідок сказаного вище не можна стверд-жувати, що

∈ ∀ ∈0 0( ) ( )tT f D A f D A .

Визначення 4. Відображення φ →2A : ( , )l lL R d x

→ 2( , )l lL R d x називається φ-локальним генера-

тором нелінійної напівгрупи Tt, якщо φ = ϕ –максимальний фільтр множин ϕ ⊂ ∞(0, ) , що

прямує до нуля і за визначенням (17)

φ ∈ϕ∈φ

−= − lim h

h

T f fA f w

h, ∈ 2( , )l lf L R d x ,

якщо він існує в 2( , )l lL R d x , (“ − limw ” розумі-

ємо як границю в сенсі слабкої топології).Справедливе таке твердження.Теорема 3. Область визначення D(Аφ) φ-ло-

кального генератора Аφ нелінійної напівгрупистиску Tt не залежить від вибору фільтра φ і вір-ні такі твердження для будь-якого ∈ 2(

lf L R ,

φI) (A )ld x D :

φ∈T (A )t f D ∀ ≥ 0t , (18)

∈ 0T (A )t f D майже для всіх ≥ 0t і =Tt f

= + ∫ 00

A Tt

sf fds . (19)

Доведення. Спочатку доведемо сильну аб-солютну неперервність по t Tt f при будь-яко-

му фіксованому φ∈ (A )f D , тобто

+

−

=

− = < < < = ≤

∑ 1

1

0 10

sup ||T T || ...i i

m

t t a m bi

f f t t t t t

φ

−≤ −

T( )lim h

b af f

t th

(20)

для будь-якого інтервалу [ ] ⊂ ∞, (0, )a bt t .

Для доведення (20) зафіксуємо спочаткудовільне розбиття = < < < =0 1 ...a m bt t t t t , де [ta,

tb] – довільний інтервал, що належить ∞(0, )

∀ε > 0. Внаслідок неперервності Tt f по t існує δ,

таке, що із − < δ| |jt t випливає

− < ε||T T ||jt tf f . (21)

Виберемо ε ∈ ϕ ∈ φh так, щоб


εε

φε

− −< < δ ≤ + ε

T T0 , limh h

f f f fh

h h. (22)

Оскільки ε ∈ δ(0, )h , то існує ε − < δ| |j jn h t . Одер-

жимо

−=

− ≤∑ 11

||T T ||j j

m

t tj

f f

( ε ε − ε=

≤ − + − +∑ 11

||T T || ||T T ||j j j j

m

t n h n h n hj

f f f f

)− ε −+ − ≤

1 1T T

j jn h tf f

ε − ε=

≤ ε + − ≤∑ 11

2 ||T T ||j j

m

n h n hj

m f f

ε

ε ε

− +

−=

≤ ε + − ≤∑1

( 1)1

2 ||T T ||

b at t

h

nh n hn

m f f

ε

ε

− +

=

≤ ε + − ≤∑1

1

2 ||T ||

b at t

h

hn

m f f

ε

− +

ε φ=

− ≤ ε + + ε ≤ ∑1

1

T2 lim

b at t

hh

n

f fm h

h

φ

Τ − ≤ ε + − + δ + ε

2 ( ) lim hb a

f fm t t

h. (23)

Оскільки ε довільне, а δ можна вибирати як зав-годно малим, то (20) доведено.

Внаслідок (20), якщо ∈ 0(A )f D , то

↓

−< ∞

0

Tlim

h

h

f fh

. (24)

Навпаки, із існування ↓

−< ∞

0

Tlim

h

h

f fh

випли-

ває обмеженість множини

φ↓

− = < ∞ 0

T(A ) : lim

h

h

f fD f

h(25)

в 2( , )l lL R d x , що означає компактність цієї мно-жини в слабкій топології. Враховуючи, що

+

↓ ↓

− −≤

0 0

T T Tlim lim

t h t h

h h

f f f fh h

, (26)

одержуємо твердження (18).Перейдемо до доведення (18). Простір 2(

lL R ,

)ld x – гільбертовий сепарабельний. Із сильної

абсолютної неперервності Tt f по t при до-вільному фіксованому f випливає сильна обме-женість варіації функції Tt f як функції t:

< ∞varT f . (27)

Введемо поняття похідної справа +Tt f і зліва−Tt f :

++

↓

−=

0

T TT lim

t h tt

h

f ff

h, (28)

+−

↑

−=

0

T TT lim

t h tt

h

f ff

h. (29)

Встановимо, що +Tt f і −Tt f майже скрізь скін-

ченні. Дійсно, позначимо+= µ = ∞ > : T 0tc t f , (30)

де µ – міра Лебега.Нехай 0[0, ]t – довільний інтервал на

дійсній осі. Побудуємо послідовність множин,що монотонно розширюються:

+

≤

− ≡ ≥

21

T T 2B : varTsup t h t

nLh

n

f ft f

h c. (31)

Отже,∞

+

=

⊃ ≥ ∞U1

B :T n tn

t f , існує n0, таке, що µ >0

(B )n

>2c

. Далі покладемо

= ∈01 inf : B nt t t ,

= + − ≥2

sup : || T T || varTi ii t th h h f f

c, ∈i N ,

де + = ∈ ≥ +I01 inf : B i n i it t t t t h .

Очевидно, що∞

=+ ⊃U

01[ , ] Bi i i n

st t h , отже, маємо

∞ ∞

+= =

− ≥ ≥∑ ∑1 1

2||T T || varT

i i it h t ii i

f f f hc

≥ µ >0

2varT (B ) varTnf f

c, (32)

тобто ми одержали протиріччя з (27), що і дово-дить рівність

+µ = ∞ = : T 0tt f . (33)

Аналогічно одержуємо


−µ = ∞ = : T 0tt f . (34)

Якщо об’єднати (23) і (24), можна стверд-жувати існування такої множини:

+ −⊂ ∀ ∈ < ∞ ≠0

|| T T ||K [0, ]: K , 0t h tf f

t t hh

і

µ = 0(K) t ,

тобто існує сильна похідна Ttd

fdt

майже для всіх t.

За визначенням оператора А0 маємо

= 0T A Tt td

f fdt

, (35)

− = =∫ ∫ 00 0

T T A Tt t

t s sd

f f fds fdsds

,

отже, = + ∫ 00

T A Tt

t sf f fds . Теорема 3 доведена.

Висновки

Одержані нами властивості апарату λ2A , по-

родженого формою λ2h , яка побудована по лівій

частині рівняння (1), дали змогу стверджувати прооднозначну розв’язність цього рівняння. Вонибудуть використані (в другій частині) для побу-дови напівгрупи стиску.

Н.М. Кухарчук, Н.И. Яременко

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПО-РЯДКА С МАТРИЦЕЙ ГИЛЬБАРГА–СЕРРИНА ИНЕЛИНЕЙНЫЕ ПОЛУГРУППЫ СЖАТИЯ. ЧАСТЬ 1.ПРО РАЗРЕШИМОСТЬ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕ-НИЯ

Статья посвящена исследованию связи между эл-липтическими уравнениями с матрицей Гильбар-га–Серрина и обобщенными параболическими за-дачами.

M.M. Kukharchuk, M.I. Yaremenko

SECOND-ORDER QUAISI-LINEAR ELLIPTIC EQU-ATIONS WITH MATRIX OF GILBARG–SERRIN ANDNONLINEAR SEMIGROUPS OF CONTRACTION.PART 1. ON THE SOLVABILITY OF THE QUASI-LINEARELLIPTIC EQUATIONS

The paper under consideration addresses the prob-lem of studying the connection between elliptic equ-ations with matrix of Gilbarg–Serrin and a genera-lized parabolic problem.

1. Дубинский Ю.Ф. Нелинейные параболические, эллип-

тические уравнения // Итоги науки и техники. Сер.Современные проблемы в математике. Т. 9. – М.:

ВИНИТИ, 1976. – С. 5–130.

2. Кухарчук М.М. Про розв’язність квазілінійних

еліптичних рівнянь другого порядку в lR // Науковівісті НТУУ “КПІ”. – 2004. – 2. – С. 145–158.

3. Кухарчук М.М., Яременко М.І. Про однозначну розв’яз-ність рівняння λ − =2( )ad u f // Наукові вісті НТУУ

“КПІ”. – 2007. – 3. – С. 150–156.

4. Komura Y. Nonlinear semi-groups in Hilbert space // J.Math. Soc. Japan. – 1967. – 19, N 4.

5. Кухарчук Н.М. Разрешимость квазилинейных эллип-

тических уравнений второго порядка с умеренными мед-

ленно растущими коэффициентами в пространствах

1 ( , )p l lW R d x , ≥ ≥2, 3p l . – К.: АН УССР, Ин-т ма-

тематики, 1988. – 52 с.

Рекомендована Радою фізико-матема-тичного факультету НТУУ “КПІ”


156

РЕФЕРАТИ

УДК 681.5.015.24(045)

Пошукові алгоритми процедурного оптимального керування / Апостолюк В.О. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 7—14.

Розглянуто узагальнену структуру пошукових алгоритмів та ме-тоди їх адаптації до розв’язання задач оптимального керу-вання багатовимірними динамічними системами. На основі розробленої структури запропоновано і досліджено нові спе-ціальні рейтингові функції, способи кодування векторів ке-рування та способи відповідної дискретизації простору ста-нів. Було не тільки продемонстровано можливість пошукових алгоритмів успішно розв’язувати задачі оптимального керу-вання, але й показано переваги в ефективності запропонова-них алгоритмів порівняно з існуючими при розв’язанні тес-тової задачі.

Іл. 8. Табл. 2. Бібліогр.: 5 назв.

УДК 531.383

Вплив особливостей конструкції на міцність двокільцевого динамічно настроюваного гіроскопа / Балабанов І.В., Ці-рук В.Г. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 15—19.

Проводяться дослідження міцнiстних характеристик двокіль-цевого динамічно настроюваного гіроскопа (ДНГ). Встанов-лено, що особливості конструкції рівножорсткого пружно-го підвісу в двокільцевому ДНГ зумовлюють істотне знижен-ня його перевантажувальної здатності. Haводяться аналі-тичні формули з визначення допустимого навантаження, а також координати небезпечних перерізів у пружних елемен-тах підвісу. Проводиться порівняльний аналіз чисельних оці-нок міцністних характеристик з відповідними експеримен-тальними даними, отриманими в результаті випробувань реального ДНГ.

Іл. 4. Бібліогр.: 5 назв.

УДК 389.629

Оцінка невизначеності результатів контролю / Володар-ський Є.Т., Мішина О.О. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 20—25.

Проаналізовано вплив похибки перетворення на вірогід-ність контролю. Показано, що невизначеність результату і характер помилкових рішень залежить від співвідношен-ня адитивної та мультиплікативної складових. Запропо-новано нормувати для засобів вимірювання, які викорис-товуються при контролі, не граничні значення можливої похибки, а граничне значення її складових.

Іл. 4. Табл. 1. Бібліогр.: 3 назви.

УДК 519.71

Адаптивний алгоритм одного класу систем керування гаран-тованої точності при довільних збуреннях / Збруцький О.В., Прач А.О. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 26—30.

Запропоновано адаптивний алгоритм системи керування од-новимірним динамічним об’єктом, вагова характеристика якого є аперіодичною знакосталою функцією. Знайдено умови формування коефіцієнта зворотного зв’язку на ос-нові опосередкованого оцінювання результуючого впливу і прогнозування регульованої величини об’єкта керування, які забезпечують гарантовану точність керування в умовах довільних збурень.


УДК 629.735

Задача про моделювання ракети балкою із змінними зведе-ними характеристиками / Каюк Я.Ф. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 31—42.

Сформульовано основні припущення, за допомогою яких ви-довжену ракету можна моделювати балкою зі змінними ма-соінерційними, геометричними і жорсткістними характе-ристиками. Розроблено підхід, який дозволяє не лише фор-мулювали основні теореми динаміки для ракети-балки як тіла змінної маси, а і в явній формі отримувати формули для обчислення реактивних і варіаційних сил. На основі доведених теорем показано, як можні формулювати різні варіанти лінійних і нелінійних рівнянь руху ракети-балки. Як приклад, отримані нелінійні рівняння сумісних поз-довжньо-згинальних коливань у площині тангажа.


УДК 621.317

Частотна похибка вимірювання середньоквадратичної на-пруги при спектрально насичених сигналах / Колосов В.І., Губар В.І. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 43—53.

Досліджено частотні похибки при вимірюванні середньо-квадратичних напруг від втрати частини спектра вхідного сигналу через обмеженість амплітудно-частотної характе-ристики тракту вольтметра. Знайдено оцінки таких похи-бок для типових сигналів і рекомендації для їх зменшення.


УДК 629.76

Визначення навантажень від взаємодії консольної балкової сис-теми і набігаючого повітряного потoку / Мариношенко О.П. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 54—60.

Дано постановку і метод розв’язання задачі, зміст якої відоб-ражається в заголовку. Сформульовано основні співвідно-шення для визначення розподіленого зовнішнього аероди-намічного навантаження на консольну балкову систему від дії набігаючого повітряного потоку. З використанням цих співвідношень отриманo формули для визначення тиску по-вітряного потоку на поверхню деформованої консольної бал-кової системи. Виведено формули для розрахунку зведених до центра мас довільного перерізу аеродинамічного профілю го-ловного вектора і головного моменту від дії набігаючого по-вітряного потоку.


УДК 629.783

Дослідження гравітаційно-магнітної системи стабілізації мікросупутника з оцінюванням фазового вектора фільтром Калмана / Мелащенко О.М., Рижков Л.М. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 61—67.

Розглядається побудова гравітаційно-магнітної системи ста-білізації мікросупутника. Виконано аналіз ефективності де-яких регуляторів з оцінюванням фазового вектора розшире-ним фільтром Калмана.


РЕФЕРАТИ 157

УДК 629.072.73

Автоматичний вихід літака на друге коло за критерієм енер-гетичного швидкісного підйому / Морозов С.В. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 68—73.

У статті запропоновано універсальний підхід до форму-вання алгоритму автоматичного виходу літака на друге ко-ло за критерієм енергетичного швидкісного підйому в ка-налі руля висоти. Розроблений алгоритм забезпечує ціле-спрямований перерозподіл наявної енергії швидкісного підйому в набір висоти і на розгін. При цьому врахову-ється вимога до мінімального градієнта набору висоти і задана швидкість виходу літака на друге коло залежно від його конфігурації.

Іл. 2. Бібліогр.: 4 назви.

УДК 621.317 Еталонні перетворювачі змінної напруги / Туз Ю.М., Рах-маілов О.В., Добролюбова М.В. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 74—80.

Створено і досліджено еталонні перетворювачі змінної на-пруги для діапазону частот 0—30МГц і діапазону напруг 0,001—1000В з мінімізованими похибками переходу від по-стійної напруги до змінної.


УДК 531.768

Математична модель методичних вібраційних похибок ма-ятникового компенсаційного акселерометра з пружним під-вісом чутливого елементa / Черняк М.Г. // Наукові віс- ті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 81—88. Розроблено математичну модель методичних вібраційних по-хибок маятникового компенсаційного акселерометра з пруж-ним підвісом чутливого елементa, які виникають y найбільш загальних умовах просторового коливального руху основи. Отримано аналітичні формули для обчислення цих похибок та виконано їх розрахунок для навігаційного акселерометра типу АК-6.


УДК 621.377

Обробка та кодування сигналів і зображень у мережах дис-танційного моніторингу станів об’єктів / Шевчук Б.М., Зінченко В.П., Фраєр С.В. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 89—96.

Описано функціональні характеристики оперативної фільт-рації та стиску сигналів і зображень, оптимізованих за швид-кодією та точністю кодування. Метод фільтрації-стиску да-них моніторингу ґрунтується на сигнальному підході, при якому на обгинаючій сигналів визначаються найбільш ін-формативні відліки, амплітудно-часові характеристики яких після компактного кодування/декодування практично не змі-нюються. Досягнення необхідного коефіцієнта стиску да-них досягається через відбір найбільш інформативних іс-тотних відліків, а також через стиск даних без втрат.


УДК 62-50

Особливості проектування і реалізації СППР при прогнозу-ванні фінансово-економічних процесів / Афанасьєва І.В., Бідюк П.І., Поворознюк А.Н. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 97—106.

Пропонується система підтримки прийняття рішень для прогнозування фінансово-економічних процесів. Система реалізована в середовищі Visual Studio 5.0 мовою програму-вання C#. Наведено приклад використання програмного про-дукту для прогнозування цін на нафтопродукти в Україні. Передбачається доробка даного програмного продукту но-вими методами прогнозування нестаціонарних та неліній-них процесів.


УДК 621.372.061.3.001.63:681.3

Математичне моделювання і проектування елементів бага-тозначної логіки / Дейнеко Ж.В., Карпухін О.В., Четве-риков Г.Г. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 107—111.

Розглянуто питання проектування багатозначних елементів на основі нелінійних резонансних кіл як розв’язання задачі параметричної оптимізації. Одним із перспективних варіан-тів реалізації елементів багатозначної логіки є використан-ня нелінійних резонансних кіл. Оптимальне проектування та технічна реалізація обчислювальних пристроїв на базі бага-тозначних структур неможливі без одночасної розробки прин-ципово нових (нетрадиційних) видів математичних моделей та їх дослідження для різних режимів роботи та інтерпре-тації результатів моделювання. Результати, отримані при роз-в’язанні задач оптимізації, дозволили розробити рекоменда-ції з виготовлення макетних зразків багатофункціональних частотних елементів.

Бібліогр.: 16 назв.

УДК 681.3.07

Компонентні процеси системного проектування інформа-ційно-комунікаційних систем / Маслянко П.П. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 112—121.

Процес розробки визначається як певним чином упоряд-кований, достатній і функціонально повний ряд робіт з розробки проектів інформатизації організаційних систем із заданими показниками ефективності. Мета статті — з пози-цій прикладного системного аналізу і основних положень системного проектування інформаційно-комунікаційних сис-тем запропонувати компонентний процес розробки проек-тів інформатизації, який зберігає переваги ітеративного і водоспадного процесів та значно розширює можливості про-ектування середніх та великих інформаційно-комунікацій-них систем.


УДК 532.5

Коливання пластини на вільній поверхні рідини / Макасє-єв М.В. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 122—126.

Для задачі про гармонічні коливання пластини на вільній поверхні рідини отримано сингулярне інтегро-диферен-цiальне рівняння з ядром Коші відносно розподілу тиску.


Розв’язано задачу про коливання пластини під дією регу-лярних хвиль. Отримано залежності навантаження і кутів повороту пластини від довжини хвиль. Чисельний аналіз проведено за методом дискретних вихорів. Наведено при-клади розрахунків для прогресивних набігаючих та стоячих хвиль. Іл. 3. Бібліогр.: 17 назв.

УДК 621.924.1

Автоматичне проектування оптимального керування при круглому врізному шліфуванні / Петраков Ю.В., Космі-на Н.О. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 127—133.

Сформульовано задачу оптимального керування процесом круглого врізного шліфування. Створено математичну мо-дель процесу, яка враховує геометричну, силову взаємодію шліфувального круга і заготовки, зношування шліфувально-го круга, замкненість і динамічні властивості пружної сис-теми верстата, а також багатопрохідність процесу. Доведе-но, що задача оптимізації належить до класу варіаційних задач і не може бути розв’язана аналітичними методами. За-пропоновано новий підхід до розв’язання задачі оптиміза-ції за рахунок використання спеціального обчислювального алгоритму, який функціонує за принципом замкненої систе-ми автоматичного керування. Створено прикладну програ-му, що пропонується як інструмент технологічної підготов-ки виробництва.

Іл. 9. Бібліогр.: 3 назви.

УДК 621.002.3:621.89

Закономірності зміни властивостей i оптимізація складу ан-тифрикційних композиційних матеріалів з нікелевою мат-рицею / Роїк Т.А., Холявко В.В., Віцюк Ю.Ю. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 134—138.

Виконання комплексу всебічних досліджень фізико-меха-нічних, триботехнічних властивостей, металографічного і фрактографічного аналізів композиційних антифрикційних матеріалів на основі нікелю, що леговані молібденом і вольф-рамом і містять у своєму складі тверду змащувальну речови-ну — CaF2, дає можливість визначити закономірності вза-ємозв’язку конструкційної міцності композитів та їх функці-ональних властивостей залежно від вмісту зміцнюючих легу-

ючих елементів і твердого мастила. Такий підхід уможлив-лює здійснення оптимізації складу антифрикційних матері-алів з нікелевою матрицею, завдяки чому розв’язується на-укова задача прогнозування та керування експлуатаційни-ми властивостями композитів на основі нікелю технологіч-ними засобами. Це сприяє забезпеченню надійності і довго-вічності роботи антифрикційного матеріалу та вузла тертя в цілому.


УДК 621.745.56:538.4/5:669-14

Формування емульгованого металевого розплаву під дією змінного електромагнітного поля / Середенко О.В. // Нау-кові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 139—143.

Показано, що при спеціально організованій дії електромаг-нітного поля в індукційній тигельній печі розплав поступово переходить із стану, який складається з двох об’ємів, в стан тонкодисперсної емульсії, без застосування перегріву роз-плаву вище температури області існування двох рідких фаз.


УДК 517.983

Лінійні диференціальні рівняння з суттєво нескінченнови-мірними операторами / Богданський Ю.В.,. Статкевич В.М. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 144—147.

Досліджено рівняння вигляду Апи + а1Ап − 1и + ... +

+ ап − 1Аи + апи = f з суттєво нескінченновимірними диференціальними операторами другого порядку (типу Лапласа—Леві) для функцій на гільбертовому просторі. Доведено існування та єдиність розв’язків таких рівнянь. Для рівняння першого порядку одержано явну формулу.

Бібліогр.: 4 назви.

УДК 571.986

Квазілінійні рівняння другого порядку з матрицею Гіль-барга—Серрина та нелінійні напівгрупи стиску. Частина 1. Про розв’язність еліптичного рівняння / Кухарчук М.М., Яре-менко М.І. // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2008. — 2. — С. 148—155.

Стаття присвячена дослідженню зв’язку між еліптичними рів-няннями з матрицею Гільбарга—Серрина та узагальненими параболічними задачами.

Бібліогр.: 5 назв.

159

АВТОРИ НОМЕРА

Апостолюк Владислав Олександрович,старший викладач Національного технічного універ-ситету України “Київський політехнічний інститут”.

Афанасьєва Ірина Валентинівна,магістрант Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Балабанов Ігор Валерійович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національно-го технічного університету України “Київський полі-технічний інститут”.

Бідюк Петро Іванович,доктор технічних наук, професор, професор Національ-ного технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Богданський Юрій Вікторович,доктор фізико-математичних наук, професор, профе-сор Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”.

Віцюк Юлія Юріївна,аспірантка Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Володарський Євген Тимофійович,доктор технічних наук, професор, завідувач кафедриНаціонального технічного університету України “Ки-ївський політехнічний інститут”.

Губар Валентин Іванович,доктор технічних наук, професор, професор Національ-ного технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Дейнеко Жанна Валентинівна,старший викладач Харківського національного універ-ситету радіоелектроніки.

Добролюбова Марина Валеріївна,молодший науковий співробітник, старший викладачНаціонального технічного університету України “Ки-ївський політехнічний інститут”.

Збруцький Олександр Васильович,доктор технічних наук, професор, завідувач кафедриНаціонального технічного університету України “Ки-ївський політехнічний інститут”.

Зінченко Валерій Петрович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національно-го технічного університету України “Київський полі-технічний інститут”.

Карпухін Олександр Володимирович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Харківсько-го національного університету радіоелектроніки.

Каюк Яків Федорович,доктор фізико-математичних наук, професор, профе-сор Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”, провідний науко-вий співробітник Інституту механіки ім. С.П. Тимошен-ка НАН України.

Колосов Валерій Іванович,інженер, технічний директор Запорізького науково-ви-робничого підприємства “Імпульс”.

Косміна Наталія Олександрівна,магістрант Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Кухарчук Микола Макарович,доктор фізико-математичних наук, професор, профе-сор Національного технічного університету України“Київський політехнічний інститут”.

Макасєєв Михайло Володимирович,кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцентНаціонального технічного університету України “Ки-ївський політехнічний інститут”.

Мариношенко Олександр Петрович,викладач Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.

Маслянко Павло Павлович,кандидат технічних наук, доцент, заступник декана фа-культету прикладної математики з наукової роботи На-ціонального технічного університету України “Київ-ський політехнічний інститут”.

Мелащенко Олег Миколайович,кандидат технічних наук, асистент Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Мішина Олена Олександрівна,науковий співробітник Науково-виробничого об’єд-нання “Просвіт”.

Морозов Сергій Вікторович,кандидат технічних наук, провідний конструктор АНТКім. О.К. Антонова, доцент Національного технічного уні-верситету України “Київський політехнічний інститут”.

Петраков Юрій Володимирович,доктор технічних наук, професор, завідувач кафедриНаціонального технічного університету України “Ки-ївський політехнічний інститут”.

Поворознюк Алла Назарівна,магістрант Національного технічного університету Ук-раїни “Київський політехнічний інститут”.


Прач Анна Олександрівна,магістр Національного технічного університету Укра-їни “Київський політехнічний інститут”.

Рахмаілов Олександр Володимирович,науковий співробітник Національного технічного уні-верситету України “Київський політехнічний інсти-тут”.

Рижков Лев Михайлович,доктор технічних наук, професор, професор Національ-ного технічного університету України “Київський полі-технічний інститут”.

Роїк Тетяна Анатоліївна,доктор технічних наук, професор, професор Націо-нального технічного університету України “Київсь-кий політехнічний інститут”.

Середенко Олена Володимирівна,кандидат технічних наук, старший науковий співробіт-ник Фізико-технологічного інституту металів та спла-вів НАН України, асистент Національного технічногоуніверситету України “Київський політехнічний інсти-тут”.

Статкевич Віталій Михайлович,студент Національного технічного університету Укра-їни “Київський політехнічний інститут”.

Туз Юліан Михайлович,доктор технічних наук, професор, завідувач кафедриавтоматизації експериментальних досліджень Націо-нального технічного університету України “Київськийполітехнічний інститут”.

Фраєр Сергій Володимирович,молодший науковий співробітник Інституту кіберне-тики ім. В.М. Глушкова НАН України.

Холявко Валерія Вікторівна,кандидат технічних наук, доцент Національного тех-нічного університету України “Київський політехніч-ний інститут”.

Цiрук Віктор Григорович,головний інженер ВАТ «НВК “Київський завод авто-матики ім. Г.І. Петровського”».

Черняк Микола Григорович,кандидат технічних наук, доцент, доцент Національ-ного технічного університету України “Київський по-літехнічний інститут”.

Четвериков Григорій Григорович,доктор технічних наук, професор Харківського наці-онального університету радіоелектроніки.

Шевчук Богдан Михайлович,науковий співробітник Інституту кібернетики ім.В.М. Глушкова НАН України.

Яременко Микола Іванович,студент Національного технічного університету Укра-їни “Київський політехнічний інститут”.

Передплатний індекс 22871

0titul2 2008 - kpi.ua · 2019. 7. 3. · 6 Наукові вісті НТУУ "КПІ"...

Documents