1 1004ask esoteriko ginomeno

7/21/2019 1 1004ask Esoteriko Ginomeno

http://slidepdf.com/reader/full/1-1004ask-esoteriko-ginomeno 1/19

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν:

ι)

a a 5 76

, ,( , )

, ιι)

a a 52

3

5

6, ,( , )

.

2. Το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και ισχύουν | | 6 και , 60 .Να βρείτε το εσωτερικό

γινόμενο

3. Τα διανύσματα a και είναι ομόρροπα,.με | | 3 και | | 7 .Να βρείτε το εσωτερικό

γινόμενο

4. Τα διανύσματα a και είναι αντίρροπα .με | | 9 και | | 4 .Να βρείτε το εσωτερικό

γινόμενο

5. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν | | 12 , 12 και

, 150 .Nα βρείτε

i)Το μέτρο του διανύσματος a

ii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( )

6. Δίνονται διανύσματα a , και για τα οποία ισχύουν : | | 12 , | | 5 ,

12 , ,6

και

2,

3

.Nα βρείτε :

i)Το μέτρο του διανύσματος

ii) ( ) ( )

7. Δίνονται διανύσματα a και ,με | | 4 , | | 5 , , 120 .Nα βρείτε τα

γινόμενα::

i) ii) ( ) (3 ) iii) 2(2 )

8. Δίνονται διανύσματα a και ,με | | 4 και ,3

.Αν ισχύει ( 2 ) 28

να βρείτε ::

i) το εσωτερικό γινόμενο

ii) Το μέτρο του διανύσματος

iii) το εσωτερικό γινόμενο ( 2 ) (2 )




2

9. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα , ισχύουν: 2 και , να αποδείξετε

ότι .

10. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε:

a a 2 52

3, ,( , )

. Αν 5 4 , να

υπολογιστεί το

.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

11. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις :

i) (3,5) και (4,2)

ii) (2, 3) και (1,5)

iii) ( 4,2) και (2, 6)

iv) (0, 3) και (7, 2)

12. Δίνονται τα σημεία Α(3,1),Β(2,-5),Γ(-4,3) και Δ(-1,-2).Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο

13. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ,με Α(3,5), Β(x,x-4) και Γ(-5,11) ,όπου xR για το οποίο ισχύει

32

i)Nα βρείτε τον αριθμό x

ii)Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο

14.

Δίνονται τα διανύσματα (2, ) και ( 8,1) ,με λ R για τα οποία ισχύει ότι

1 .

i) Να βρείτε τον αριθμό λ

ii)Το εσωτερικό γινόμενο ( 2 ) ( )

15. Δίνονται τα διανύσματα (4, 3) , (x,x 3) και ( 6,1) , για τα οποία

ισχύει ότι 1 και 11

i) Να αποδείξετε ότι x=2

ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λ

R ισχύει ( ) ( ) 32

16. Δίνονται τα διανύσματα (x, 1) , (2, y) και (x 5,3) , για τα οποία

ισχύει ότι .

i) Να βρείτε τις τιμές των x,y

ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R ισχύει ( ) ( ) 38




3

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

17. Έστω διανύσματα

, . Να αποδειχτούν οι παρακάτω σχέσεις:

||||||

||||)

4)

22

2

22

iii

aaii

ai

.

Πότε ισχύει η ισότητα;

18. Δίνονται διανύσματα

, για τα οποία ισχύουν | | 2 | | και | | | 4 5 | .

Να αποδείξετε ότι

19. Δίνονται διανύσματα

, για τα οποία ισχύουν | | 3 | | και | 2 | | | .

Να αποδείξετε ότι

20. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα

, και έστω , .Να αποδείξετε ότι :

i) | | 22

.

ii) | | 22

21. Αν 024

OOBOA και 222

OOBOBOA ,

να δειχτεί ότι : .

22. Αν ισχύει | | | | = | | τότε να δείξετε ότι | | 3

.

23. Αν ισχύει | | | | = | | τότε να δείξετε ότι α 3

.

24. Αν για κάθε ισχύει ότι και 1 , να αποδείξετε ότι:

i. και 1 ii. 4 3 5

25.

Έστω η γωνία των διανυσμάτων 1 1, x y και 2 2, x y . Να αποδείξετε

ότι det , .

26. Αν για τα διανύσματα a

(α1, α2) και

= (β1,β2) ισχύει 2||||

και

,

να αποδειχτεί ότι .4,det

a

27. i) Να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος

|||| v διχοτομεί τη

γωνία

, .




4

ii)Να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος||||

a

au διχοτομεί την

παραπληρωματική της γωνίας

, .

iii)Αν 1||2||

, να βρεθεί διάνυσμα

με 3||

που να

διχοτομεί τη γωνία

, = 60°.

28. i) Αν , 0

και ισχύει 1

(1) , τότε :1

4

ii) Αν επιπλέον2 2

1

(2) , τότε :

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

29. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα ( ,3) και ( 6, 2) .Να βρείτε :

i)τον αριθμό λ

ii)για ποια τιμή του μ είναι

30. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν | | 15 και

3 2 5

Να βρείτε :

i) Να βρείτε το | |

ii) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v 2 5 και w 3 2 είναι κάθετα.

31. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και ( 3,4 ) με λ R για τα οποία ισχύει

13 3

.

i) Να βρείτε τον αριθμό λ

ii) Να βρείτε για ποια τιμή του μR ,το διάνυσμα 5 2 είναι κάθετο στο

( , 8)

32. Δίνονται τα διανύσματα (4, ) και ( 3,1) και (2 9, ) με λ,μ R.

Αν ισχύει 3 και . Να βρείτε

i) τις τιμές των λ,μ

ii) τον πραγματικό αριθμό x,ώστε ( x ) ( )

33. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (4 5, 1) με λ R για τα οποία

ισχύει 1 . Να αποδείξετε ότι :

i) λ=2

ii) Να βρείτε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι (v ) / / και (2 v) (10 )




5

34. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ,με Α(-1,4),Β(-2,-1) καιΓ(7,5).Θεωρούμε σημείο για το οποίο

ισχύει M 2BM α)Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ

β)Να αποδείξετε ότι

γ)Να βρείτε σημείο Ν του άξονα χ΄χ ,ώστε

35. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=2. Αν ΑΔ είναι το ύψος του, να υπολογίσετε

τα εσωτερικά γινόμενα: i. , ii. , iii. ..

36. Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα

και

,για τα οποία ισχύει 2

και ,3

.

i)Nα αποδείξετε ότι | | 2 | |

ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v 2 κ αι w

είναι κάθετα

37. Έστω , ,

τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν

και

,

να αποδείξετε ότι

.

38. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχουν, ως προς την αρχή Ο, των αξόνων διανύσματα θέσης

(2, 5), (4, 10), (-6, -15) και (-16, λ -15), λ R , αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι

συνευθειακά. Να βρείτε το λ ώστε AB .

39.

Δίνονται τα διανύσματα u =(-2, 3) και v =(4, -3). Να βρεθεί το διάνυσμα w που είναι κάθετοστο 3 u -5 v .

ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ

40. Αν , , 3, 3 3 15 και3

, να βρείτε το .

41. Δίνονται τα διανύσματα

και

με | | 8 , 3 και ( , ) 45

.

Να βρείτε το | 3 2 |

42. Δίνονται τα διανύσματα και

με | | 3 , 2( , )

3

και | 2 | 7 .

i) Να αποδείξετε ότι 3

ii) Να βρείτε το | 4 3 |


και

με | | 2 , 4 και | 4 | | 2 | .

i) Να αποδείξετε ότι 3





6


και

για τα οποία ισχύουν , 4

και

| 2 3 | 5

i) Να αποδείξετε ότι | | 2 και | | 1


45. Δίνονται τα διανύσματα , για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις:

2

, , και 3α 2 73

. Να υπολογιστούν τα , .

46. Δίνεται διάνυσμα

και μοναδιαίο διάνυσμα

, με ( , ) 120

και ( ) 3 . α) Να

αποδείξετε ότι | | 2

β)Θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι : v / /( 2 ) και ( 5 ) (v )

i) Να γράψετε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδυασμό των και

47. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων

και

για τα οποία ισχύουν : ( , ) ,3

και 2 7 .


και

με | | 3 και ( , ) 60

.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ,με

4 και 4 6 ,για το οποίο ισχύει | | 91

i) Να αποδείξετε ότι | | 5 ii) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ

49. Για τα διανύσματα

και

, ισχύει ότι : , ( 2 ) ( 3 )

και 6 . Να

αποδειχθεί ότι : 2 5 .

50. Έστω τα διανύσματα

= (-2,3) και

= (3,-3). Να βρεθεί διάνυσμα

, ώστε

2 και

210|| .

51. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB =(1, 3) και A =(3, 1). Να βρείτε το διάνυσμα A της

εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του τριγώνου

ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ

52. Δίνονται τα διανύσματα , , με 1, 2 , 3 0 . Να

υπολογίσετε την τιμή της παράστασης .




7

53. Δίνονται τα διανύσματα , , με 3, 2 , 1 0 . Να

υπολογίσετε την τιμή της παράστασης .

54. Δίνονται τα διανύσματα , , με 2, 3 , 54 και 2 4 0 .

i) Να αποδείξετε ότι | | 4

ii) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο

55. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα , , για τα οποία ισχύουν| | | | | |

3 4 10

a και

2 0 a .Να αποδείξετε ότι : το a είναι ομόρροπο του , και ότι: το διάνυσμα

είναι αντίρροπο του .

56. Αν για τα διανύσματα , ,a ισχύει: 0 a και| | | | | |

2 3 5

a , να δείξετε ότι: το

a είναι ομόρροπο του , και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του .

57. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα , ,a για τα οποία ισχύουν 3 2 0 a και:

1 .

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα.

58. Δίνονται διανύσματα , ,a , με 2, 7 , 19 και 2 3 0 a .

i) Να αποδείξετε ότι | | 3 .ii) Να αποδείξετε ότι 4 .

iii) Να βρείτε το | 4 3 |a |.

iv) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R είναι: ( 4 ) (8 )

59. Δίνονται διανύσματα , ,a για τα οποία ισχύουν | | 2 7,| | 3, , 60 και

3 | | 0

i) Να αποδείξετε ότι | | 6 .

ii) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα και .

iii) Να βρείτε το μέτρο | | .

60. Έστω τα διανύσματα

,, με 7||,5||,3||

a και .0

Να

βρεθεί η γωνία

, και η τιμή της παράστασης .32

61. Έστω , ,a , τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, με:

a 1 , και

. . 2 a . Να αποδείξετε ότι: a .




8

62. Αν τα διανύσματα , ,

είναι μοναδιαία και ισχύει: 2 0

,να αποδειχθεί

ότι:

.

63. Αν για τα μη παράλληλα διανύσματα

,, ισχύουν

, =

, = 60°

και ,4||,3||,2||

a να βρεθεί το μέτρο του .23

a

64. Δίνονται οι γωνίες ( , a , ( και ( , a και 1 a . Να

βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων: x και y . Να εξετάσετε αν

υπάρχει λ R , ώστε 3 2 a .

65. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με OA OB O και 3 4 5 OA OB O όπου Ο η αρχή των

αξόνων. Να αποδείξετε ότι: .

66. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ για το οποίο ισχύει: και

0 . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

67. Δίνονται τα διανύσματα , , με 7 4 3 7 .

α) Να βρείτε τη γωνία , .

β) Αν τα διανύσματα , , έχουν κοινή αρχή, να αποδείξετε ότι τα πέρατά τους

είναι σημεία συνευθειακά.

γ) Να βρείτε διάνυσμα x καθώς και το μέτρο του, αν 2 x και 2 x .

68. Αν 2 0 6, 2 3 , να αποδείξετε ότι:

α) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

β) Το Γ είναι ανάμεσα στα Α,Β.

γ) Το διάνυσμα είναι κάθετο στο .

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

69. Να υπολογιστεί η γωνία , των διανυσμάτων a =(1, 2- 3) , =(1, 1).

i) a =(1, 2- 3) , =(1, 1).

ii) a =(4,3), =(7,-+ 1).

iii) a =(1, 3) , = ( 3, 3)

iv). a

= (2,6),

= (-3,1)

70. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α (1, 2), Β (-2, 1) και Γ (3, 6). Να αποδειχθεί ότι:3

4

A

.




9

71. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (-2, 4), Β (3, 2) και Γ (1, -3). Να βρεθούν οι γωνίες του.

72. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και , και η γεωμετρική τους

γωνία στις παρακάτω περιπτώσεις:

ι) a =(-5,3), (6,10), ιι) a = (2, 3) , 5 3( , )

2 2 ,

ιιι) a = (0,2) , ( 3,1) .

73. Αν a =((x-1) 3 , 2x) και =(- 3 , 1) να υπολογιστεί το x ώστε ( a , )=3

.

74. Αν 3a , , ( ,

a

και (

a

, να βρείτε τον θετικό πραγματικό

αριθμό ρ.

75.

Δίνονται τα διανύσματα ( , 3) και ( 3, 4) , με λ R, για τα οποία ισχύει

ότι ( 3 ) 6 . Να βρείτε:

α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία , .

76. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν: 2 (7, 1) και

3 (8, 19) Να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και ,

β) τη γωνία

, .

77. Αν για τα διανύσματα , ισχύουν οι σχέσεις: 8, 2 και (2α 3 ) (5 7 )

να υπολογίσετε την γωνία , .

78. Αν για τα διανύσματα , ισχύουν οι σχέσεις: 2, 1 και (3α 5 ) (2 ) να

υπολογίσετε την γωνία , .

79.

Έστω

, με .60,31||,2||

Αν

2u ,να βρείτε

το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων .u

80. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν | | 1, , 60

και:

( ) (5 2 )

α) Να βρείτε το | |

β) Αν 2 , να βρείτε τη γωνία: φ = ,




10

81. Έστω ,

δύο διανύσματα του επιπέδου με =2, =3 και2

( , )3

. Αν

3 2

, να υπολογίσετε: α) Το , β) Τις γωνίες , και , .

82. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε:

a a 2 52

3, ,( , )

. Αν 3 2 , να

υπολογιστούν τα συνημίτονα των γωνιών ( , ) και ( , ) .

83. Αν για τα διανύσματα

ισχύουν 2||,2||

a

και

, = 45° ,

να υπολογιστεί η γωνία

, .

84. Έστω τα διανύσματα και , με μέτρα 1 , που σχηματίζουν γωνία φ= 2

3

Αν u 2 4 και v , να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων u v και ημεταξύ τους γωνία

85. Δίνονται τα διανύσματα 1 1

2 2 , 4 44 4

u i j i j w i j . Να βρείτε

το 0, ώστε w . Αν 3

,4

u w

, να αποδείξετε ότι 1 . Αν ο λόγος

του εσωτερικού γινομένου w προς το εσωτερικό γινόμενο u w είναι6

16, να υπολογίσετε

τη γωνία

,w , όταν

3,

4u w

.

86. Δίνονται τα διανύσματα 3 a i j , =(-3συνθ) i +(3ημθ) j , i j .

Α. Για ποιες τιμές του θ(0, π) τα διανύσματα a και είναι κάθετα.

Β. Αν τα και σχηματίζουν γωνία4

, να δείξετε ότι συνθ=1-ημθ.

87. Δίνονται τα διανύσματα του επιπέδου a , για τα οποία ισχύουν:

( a +3 )(7 a -5 ) και ( a -4 )(7 a -2 ).

ι) Να δείξετε ότι: 2 2 . a και 2 2 .a a ,

ιι) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a , .

88. Δίνονται τα διανύσματα a i j , =(κ -λ) i +(κ+λ) j , ( 25) 5 i j και

(2 5) ( 1) i j , κ, λ R,

α) Αν a // , να δείξετε ότι:




11

89. Δίνονται διανύσματα a , και για τα οποία ισχύουν | | 2 , | | 3 , | | 31 και:

4 2 0

α) Να εξετάσετε αν είναι οξεία ή αμβλεία καθεμία από τις γωνίες ,

,

.

β) Να βρείτε τη γωνία

, .

90. Δίνονται διανύσματα και , με | | 2 | | , , 120

και 31

α) Να βρείτε τα | | και | | .

β) Θεωρούμε διανύσματα u v για τα οποία ισχύουν:

u 2v 5 και 4v u 5

i) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των

και .

ii) Να βρείτε το u, v .

91. Δίνονται διανύσματα και για τα οποία ισχύει ότι | | 1 , | | 5 και:

( 2 )( ) 46

α) Να βρείτε το συν

,

β)Θεωρούμε τα διανύσματα u v 3 . Να βρείτε τη γωνία

u, v

92. Δίνονται διανύσματα και , με | | 2 και | | 3 , για τα οποία ισχύει ότι:

(3α 7 ) (6 )

α) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και .

β) Θεωρούμε το διάνυσμα , με λ R, το οποίο είναι κάθετο στο .

Να βρείτε :

i) την τιμή του λ,

ii) το μέτρο του διανύσματος ,

iii) τη γωνία των διανυσμάτων και .

93. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα και , καθώς και τα μη μηδενικά διανύσματα u v ,

για τα οποία ισχύουν: 2u v 4 και v u 2 και . (u,v) 60

α) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των

και .

β) Να βρείτε τη γωνία

,




12

94. Δίνονται διανύσματα α και β, με 6 , 4 , για τα οποία ισχύει ότι:

2 3 2 24

α) Να αποδείξετε ότι

β) Θεωρούμε διάνυσμα τέτοιο, ώστε: / /(2 3 ) και

( 3 ) (4 3 9 )

i) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των α και β.

ii) Να βρείτε τη γωνία ,

.

95. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα και ,με

, = 60°. Θεωρούμε επίσης

παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 4 και 2 . Η διαγώνιος ΑΓ έχει

μήκος 6 και ισχύει: 36

α) Να αποδείξετε ότι | | 1 και | | 4 .

β) Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ.

γ) Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ.

δ) Να βρείτε τη γωνία ̂ του ΑΒΓΔ.

96. Έστω τα διανύσματα και , με μέτρα 2 , 3 και 5 Να υπολογίσετε:

α) Το συνημίτονο της γωνίας των και

β) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων 2 3 2 u v

γ ) Τα μέτρα των διανυσμάτων u v

97. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι: 2, 4 και ΟΑ,3

. Αν Μ το μέσο

της ΑΒ, να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας , .

98. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 4||,5|| και

, = 60°.

Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η με τη διαγώνιο του

ΑΒΓΔ.

99.

Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α (1, 2), Β (-1, -2) και Γ (-3, 4). Να βρείτε τηγωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ.

100. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(-1, 1), Β(1, 5) και Γ(4, -4).

α) Να εξετάσετε αν η γωνία ̂ είναι οξεία ή αμβλεία,

β) Να βρείτε τη γωνία ̂ .

101. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α (λ - 1, - 1), Β (λ, 2) και Γ(7, - λ), με λ R. Αν ισχύει ότι

15 , να βρείτε:

α) τον αριθμό λ,

β) τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ.




13

102. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2α+β και 3β , όπου α = β =1 και 2πα,β =

3.

α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α β , 2

4β+2α , α-β .

β) Αν Μ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ:

i) Nα εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ και ΒΓ συναρτήσει των α,β .

ii) Να βρείτε τη γωνία των ΑΜ και ΒΓ .

ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ


για τα οποία ισχύουν | | 2,| | 1

και ,3

.Να

βρείτε την προβολή του πάνω στο a (συναρτήσει του a ) .

104.

Να γράψετε το διάνυσμα 11, 29 ως γραμμικό συνδυασμό των 2, 3 και

1,4 .

105. Αν a =(1, 3) και =(9,7), να βρείτε την προβολή του πάνω στο a .

106. Αν a =(2, 3) και =(-1, 4), να βρείτε την προβολή του a πάνω στο .

107. Αν 1a , 2 και ( , a , να βρείτε την προβολή του διανύσματος 2 v a ,

πάνω στο διάνυσμα a .

108. Δίνονται τα διανύσματα u (10,2) v (2,10).

Υπολογίστε :

),()() vuiU v

ii)Τις γωνίες των διανυσμάτων vuvu

με τον άξονα x x'

109. Αν τα διανύσματα a και είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του

διανύσματος v a , πάνω στο διάνυσμα 2 u a (συναρτήσει των και

110. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1, 3 , 3,0 και 4,4 . Αν ΑΔ το ύψος του

τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος .

111. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2, 1), Β(4, 8) και Γ(2, 4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της

προβολής του σημείου Α πάνω στη πλευρά ΒΓ.

112. Αν είναι a =4 3i j και 8 6 i j ,

ι) Να δείξετε ότι η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι αμβλεία,

ιι) Να βρείτε το μήκος της προβολής του , πάνω στο a .




14

113. Έστω τα διανύσματα a =(4, 3) και =(-1, -3), να υπολογιστεί το (2 )a a .

114. Έστω τα διανύσματα a =(1, 3) και =(-1, -4) και ( ) 2 v a a , να βρείτε την

av .

115. Αν 2 με 0 και

2,

3

, να αποδείξετε ότι: | | | |

.

116. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 2 , 4 και 60 .

Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ.

Να αποδείξετε ότι:4

7 .

117. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 4

AB , 6

A και η γωνία των

διανυσμάτων

AB και

είναιπ

3

. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε:

α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος

AM

β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος

AB πάνω στο διάνυσμα

AM

είναι το διάνυσμα14

19

AM .

118. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με BA = (2,-1) και B = (3,1). Από την κορυφή Α φέρνουμε το

ύψος ΑΔ. Να υπολογιστούν:

i) οι συντεταγμένες του διανύσματος .

ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

119. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ,-2),Β(λ+8,-1) και Γ(5,-λ), όπου λ R.Αν ισχύει ότι

13 ,να βρείτε :

i)τον αριθμό λ

ii) την προβολή του πάνω στην

120. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τα συνευθειακά σημεία Α(0,-

3),Β(λ,λ -1) και Γ(-2,-6)

i) Να βρείτε την τιμή του λ R

ii)Αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ,να βρείτε την προβολή του

διανύσματος πάνω στο διάνυσμα

121. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν2

3 και

3

4 .

i) Να αποδείξετε ότι2 2

| | | |3

ii) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a , .




15

122. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα

για τα οποία ισχύουν | | 2 , ,3

και1

3 .Να βρείτε :

i) το | |

ii) την

iii) το μέτρο του διανύσματος 2 3

123. Να αναλυθεί το διάνυσμα =(2,10) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να

είναι παράλληλη στο a

.

124. Να αναλύσετε το διάνυσμα 7,11 σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις εκείνες των

1,2 και 2, 3 .

125. Έστω τα διανύσματα .232 ji jia

Να αναλυθεί το a

σε δύο

συνιστώσες, μια παράλληλη και μια κάθετη στο

.

126. Δίνονται τα διανύσματα (2 1, 1) a x x και 1, 2 3) x x .

ι) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες ισχύει:

α) a ,

β) 2 a

ιι) Για την μεγαλύτερη από τις τιμές του x που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να

αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι

παράλληλη στο a και να βρείτε την προβολή του διανύσματος a στο .

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

127. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα

οποία ισχύει : 2

MA AB A


οποία ισχύει : 2M B

129. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 3.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ

για τα οποία ισχύει :2

16 2

130. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 8..Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ

για τα οποία ισχύει : 9

131. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία

ισχύει : 3 4 3 4




16

132. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία

ισχύει : 2 2


οποία ισχύει : M

134.

Έστω τα σταθερά σημεία Α, Β τέτοια ώστε ΑΒ = 3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός

τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει 2 7. AM AM AB

135. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°]. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου για τα οποία ισχύει

2 MA MB MA M .

136. Αν 2 2 16, , x y x y , να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης 3 4 x y καθώς

και τις τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση Π παίρνει τη μέγιστη τιμή της.

137. Να αποδειχτεί ότι για οποιαδήποτε διανύσματα

ισχύει ότι:

||||

. Πότε ισχύει η ισότητα;

Αν για τα σημεία M(x,y) ισχύει ότι χ 2 + y2 = 36, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή

που μπορεί να πάρει η παράσταση Π = 6χ - 8y καθώς και τα σημεία Μ που αυτές

επιτυγχάνονται.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΟΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

138. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και , .Να αποδείξετε ότι: 2

139. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα

έτσι ώστε ΒΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι .

140. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: 2

ˆ

2

141. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Μια μεταβλητή ευθεία που

διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Αν Γ είναι το αντιδιαμετρικό

του Α, να αποδείξετε ότι: 2

2R

142. Σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι:

i)2 2 2 2

2

ii)

143. A ν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι : 2 2 2 2

να αποδείξετε ότι:




17

144. Στο διπλανό σχήμα είναι AH ΒΓ και ΑΔ διάμετρος. Να

αποδείξετε ότι:

΄ ΄ και ΄ ΄

145.

Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, OH ΒΑ και η ευθεία ε, που διέρχεται από το Α, τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο

Ν. Να αποδείξετε ότι: 2

146. Στο διπλανό σχήμα τα ΑΓΔΕ και ΒΓΖΗ είναι

τετράγωνα. Να αποδείξετε ότι:

i) y x 0 ,

ii) 0 ,iii) η διάμεσος ΓΝ του τριγώνου ΑΒΓ είναι κάθετη

στη

ΖΔ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

147. Δίνονται τα διανύσματα , , για τα οποία ισχύουν | | 3 , | | 2 , ,3

και

0 .

i) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ii) Να βρείτε το | |

iii) Να βρείτε αν υπάρχουν ,τους θετικούς αριθμούς x για

τους οποίους ισχύει η σχέση : ( x ) (2 x ) 17

148. Δίνονται τα διανύσματα , με , 120 για τα οποία

ισχύουν ( 4 ) 24

και (2 ) 22 . Να βρείτε

i) τα μέτρα των διανυσμάτων ii) το γινόμενο ( ) ( 2 )

iii)το μέτρο | 2 3 |

iv)για ποιες τιμές του λ R τα διανύσματα v και

w 2 είναι κάθετα

149. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν | | 1 , ( ) (4 )

και ( 2 ) (8 ) .

i) Να αποδείξετε ότι | | 5




18

ii) Να γράψετε την σαν γραμμικό συνδυασμό των

150. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν | | 1 και 4

Θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ( v) v 8 v 4

i) Να αποδείξετε ότι v 4 ii) Να γράψετε το v σαν γραμμικό συνδυασμό των

iii)Αν επιπλέον ισχύει v ( ) 28 ,να βρείτε τη γωνία ,

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

151. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι : 6||,4|| και η γωνία των διανυσμάτων

.3

ί

Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,τότε :

i)να υπολογίσετε το || AM

ii)να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος AB πάνω στο διάνυσμα AM

είναι το διάνυσμα AM 19

14

(1η Δέσμη 1999)


,a ισχύουν οι σχέσεις )8,7(3)2,4(32

a .

i)να δείξετε ότι ).2,2()2,1(

ii)να βρεθεί ο κ R ,ώστε τα διανύσματα

32 να είναι κάθετα

iii)να αναλυθεί το διάνυσμα )1,3(

σε δύο κάθετες συνιστώσες ,από τις

οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα .

(ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ 2000)


,a δίνεται ότι 2||,1||

a και .3

,

Έστω τα διανύσματα .232

avau Να υπολογίσετε :

i)το εσωτερικό γινόμενο

ii)τα μέτρα |||,| vu

iii) το εσωτερικό γινόμενο vu

iv)το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων vu

(ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 2001)

154. Δίνονται τα διανύσματα (1,1), (5,7) του καρτεσιανού επιπέδου.

α)Να βρείτε τα διανύσματα 3 2

β)Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ,για την οποία το διάνυσμα




19

( , 6 ) x είναι κάθετο στο διάνυσμα

γ)Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος1

2 ,όπου .(2ο Εσπερινού 2002)

155. Δίνονται τα διανύσματα (1,2)a και (2,3) .

α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 3

β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x΄x .

γ. Να βρείτε τον αριθμό k R ,ώστε το διάνυσμα 2( , )u k k k να είναι κάθετο στο

a

1 1004ask esoteriko ginomeno

Documents