Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione

1. 5 2

2 3 1

x y

x y

risolvere con il metodo di Cramer

2. 2 1 3

2 3

x y

y x

risolvere con il metodo di riduzione

3.

2 3

2 3

1 1

3 2

x y

y x

risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z.

5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a € 1,50 e i coni da tre palline a € 2,00. Si sa che da 2kg di gelato si fanno 25 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 257,50€. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto?

6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi.

7. 1

4

x x

x

determina le condizioni di esistenza

8.

2

32

2 1

2 1

ax a x x

x x ax a

9.

5 2 2

2 5 3 2

5 2 2

1

5 2

10. 2 34 4

ab

a b x ; 2

3 2;

1

2 3 5 razionalizza

11. 2 2

2 3 6x x

risolvi l’equazione

12. Nel triangolo rettangolo ABC, l’altezza relativa all’ipotenusa è AH. a) Se BC=12cm e AH= 4cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 12cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l’area del triangolo ABC.

13. 2

4 1

0

kx ky

kx k x

Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

1. 5 2

2 3 1

x y

x y

risolvere con il metodo di Cramer

Svolgimento

Dx 2 1

1 3 2 3 1 1 6 1 5

Dy 5 2

2 1 5 1 2 2 2 4 9

D 5 1

2 3 5 32 1 152 17

x Dx

D5

17

y Dy

D9

17

9

17

2. 2 1 3

2 3

x y

y x

risolvere con il metodo di riduzione

Svolgimento

2x 3y 1

2x y 3

Sommando membro a membro, si ottiene il valore della y;

2x 3y 1

2x y 3

0 4y 4

y 4

4 1

Sostituiamo questo valore della y alla prima equazione:

2x 1 3 1

2x 1 3

2x 2

x 2

2 1

3.

2 3

2 3

1 1

3 2

x y

y x

risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

Svolgimento Determiniamo per prima cosa le condizioni di esistenza:

x 2 0 x 2

y 3 0 y 3

y 3 0 y 3

2 x 0 x 2 x 2

C.E.: x 2 y 3

Ora possiamo risolvere il sistema, riducendo le due equazioni, una per volta, in forma normale.

2 3 3 22 3 2 30 0

2 3 2 3 2 3

y x

x y x y x y

Dopo aver fatto il minimo comune multiplo, avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare il denominatore.

2 3 3 2 0 2 6 3 6 0 2 3 0y x y x y x

Passiamo ora alla seconda equazione:

2 31 1 1 10 0

3 2 3 2 3 2

x y

y x y x y x

Anche qui possiamo eliminare il denominatore:

2 3 0 2 3 0 5 0x y x y x y

Per comodità, cambiamo segno alle equazioni, in modo da avere il coefficiente della x positivo, e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute:

2 3 0 3 2 0

5 0 5 0

y x x y

x y x y

Poiché è molto facile ricavare dalla seconda equazione un’incognita, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:

3x 2y 0

x y 5

Sostituiamo, quindi, la seconda equazione alla prima:

3 5 2 0 3 15 2 0 15y y y y y

Sostituiamo, poi, questo valore della y ad una delle due equazioni:

x 155 10 I valori che soddisfano il sistema sono quindi x=-10 e y=-15. Questi valori sono accettabili, perché non sono fra quelli esclusi nelle condizioni di esistenza.

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z.

Svolgimento Considerando le informazioni forniteci dal problema, possiamo impostare un sistema a tre

incognite. La prima equazione sarà

z y z 53, poiché sappiamo che il perimetro del triangolo, dato dalla

somma dei suoi lati, è di 53cm. Il problema dice poi che la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure;

tenendo presente che in un triangolo ogni lato è sempre minore della somma degli altri due, impostiamo la seconda equazione:

x y z 19;

allo stesso modo, tenendo presente che in un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due, possiamo scrivere che

x y z 11.

Quindi abbiamo

x y z 53

x y z 19x y z 11

x y z 53

x y z 19

x y z 11

Ricaviamo l’incognita x dalla prima equazione, e sostituiamola alla seconda:

x 53 y z

x y z 19

x y z 11

x 53 y z

53 y z y z 19x y z 11

x 53 y z

53 y z y z 19

x y z 11

x 53 y z

2z 19 53

x y z 11

x 53 y z

z 19 53

234

217

x y z 11

Abbiamo quindi trovato la lunghezza di un lato. Sostituiamo questo valore alle altre due equazioni, in modo da ottenere un sistema a due incognite.

x 53 y 17

z 17

x y 17 11

x 36 y

x y 6

Ricaviamo la x dalla seconda equazione e risolviamo il sistema con il metodo del confronto:

x 36 y

x 6 y

36 y 6 y

36 6 y y

42 2y

y 42

2 21

Sostituiamo questo valore ad una delle due equazioni:

x 362115 Le lunghezze dei tre lati sono quindi 15cm, 21cm e 17 cm.

5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a € 1,50 e i coni da tre palline a € 2,00. Si sa che da 2kg di gelato si fanno 25 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 257,50€. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto?

Svolgimento Per prima cosa, ricapitoliamo i dati fornitici dal problema:

I coni da due gusti costano 1,50 €; I coni da tre gusti costano 2,00 €; Il gelataio prepara 30 kg di gelate e a fine giornata lo finisce tutto, guadagnando 257,50 € Da 2 kg di gelato di formano 25 palline;

Possiamo, quindi, ricavare da quest’ultima informazione il numero totale di palline che si formano

con 30 kg di gelato, impostando una proporzione:

2kg : 25palline 30kg : xpalline

x 25 30

2 375

Abbiamo in tutto 375 palline. Per risolvere il problema dobbiamo impostare un sistema di equazioni a due incognite,

considerando per un’equazione il numero delle palline, per l’altra il guadagno totale. Chiamiamo con x il numero dei gelati con due gusti (due palline) e con y il numero dei gelati a tre

gusti (tre palline). Sapendo che il numero totale di palline è 375, avremo che:

2x 3y 375.

Dato che un gelato da due palline costa 1,50 € e uno da tre ne costa 2,00 €, possiamo scrivere

1,50 x 2,00 y 257,5 .

Abbiamo quindi il sistema, che risolveremo con il metodo della sostituzione.

2x 3y 375

1,50x 2y 257,5

x 375 3y

21,50x 2y 257,5

x 375 3y

2

1,50 375 3y

2 2y 257,5

x 375 3y

2562,5 4,5y

2 2y 257,5

x 375 3y

2562,5 4,5y 4y 515

x 375 3y

20,5y 47,5

x 375 3y

2

y 47,5

0,5 95

x 375 3 95

2y 95

x 45

y 95

Il gelataio ha quindi venduto 45 coni da due palline e 95 coni da tre palline.

6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi.

Svolgimento

Dobbiamo dimostrare che due di questi quattro triangoli

AOB

;AOD

;BOC;

DOC

sono equiestesi,

cioè che hanno la stessa estensione, ovvero la stessa area.

I triangoli

AOD

e

BOC

sono troppo diversi dagli altri per poter essere equiestesi, uno è troppo

grande, l’altro troppo piccolo; prendiamo quindi in considerazione gli altri due,

AOB

e

DOC

. Per dimostrare la loro equiestensione dobbiamo dimostrare che hanno la stessa area, cioè che il

prodotto della base per l’altezza diviso due dell’uno sia uguale a quello dell’altro. Poiché, però non abbiamo elementi a sufficienza per farlo, dobbiamo avvalerci di altri triangoli, dei

quali i due in questione fanno parte, per poi utilizzare la proprietà di equivalenza per differenza.

Consideriamo i triangoli

ACB

e

DBC

. Questi triangoli sono equiestesi, poiché hanno la stessa base BC e altezze congruenti, AH = DK. Di conseguenza, hanno la stessa area.

Notiamo che ciascuno di questi due triangoli può essere scomposto in altri due:

ACB

è composto

da

AOB

+

BOC

;

DBC

è composto da

DOC

+

BOC

. Vediamo quindi che vi è un triangolo in

comune (

BOC

).

Per questo motivo, essendo

ACB

DBC

, deve per forza essere che

AOB

DOC

. Abbiamo quindi dimostrato la tesi del problema.

A

B C

D

H K

O

7. 1

4

x x

x

determina le condizioni di esistenza

Svolgimento Affinché un radicale esista è necessario che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero. C.E.

x x 1 x 4

0

Risolviamo ora la disequazione:

N 0

x x 1 0

x o

x 1 0 x 1

Eseguiamo lo studio del segno: Abbiamo, quindi, per il numeratore,

x 0 x 1 .

D 0

x 4 0 x 4

Impostiamo ora lo studio del segno fra numeratore e denominatore:

Poiché la disequazione di partenza era maggiore o uguale a zero, prendiamo gli intervallo positivi:

0 x 1 x 4 .

8. 2

32

2 1

2 1

ax a x x

x x ax a

Svolgimento

Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza.

Dobbiamo studiare il segno del radicale cubico in relazione a quello del radicale quadratico.

0 0 1 0N ax a a x

a 0

x 1

a 0

x 1

22 2 1 0 1 0 , 1x x x x x

Per la seconda radice poniamo il radicando maggiore o uguale a zero:

22 12 10 0

1

xx x

ax a a x

N 0

x 1 2 0

x

D 0

a x 1 0

a 0

x 1 0 x 1

Nel caso in cui a sia minore di zero, avremo che

a 0

x 1

Ora, consideriamo due casi:

a 0 x 1 x 1

Poiché per l’esistenza del radicale quadratico è necessario che x sia maggiore di uno, avremmo

sempre positivo anche il radicale

cubico.

a 0 x 1 x 1

Affinché esista il radicale quadratico, la x deve essere minore di uno. In questo intervallo, però,

abbiamo due segni del radicale cubico: positivo per x<-1 e negativo per -1<x<1.

Ora dobbiamo ridurre le radici allo stesso indice, che in questo caso è 6. Consideriamo il caso in cui

a sia maggiore di zero.

ax a

x 2 2x 1

2

6 x2 2x 1

ax a

3

6

a x 1

x 1 2

2

6 x 1

2

a x 1

3

6

a x 1

x 1 2

2

x 1

2

a x 1

3

6

a2 x 1 2

x 1 4

x 1 6

a3 x 1 3

6

Semplifichiamo

1

x 1 2

x 1 3

a6

x 1 3

a x 1 2

6

Nel caso in cui a sia minore di zero, dobbiamo considerare l’intervallo in cui il radicale cubico è negativo, cioè per -1<x<1. In questo caso, è necessario portare fuori dalla radice cubica il segno -.

ax a

x2 2x 13

x2 2x 1

ax a

A questo punto possiamo procedere con la riduzione allo stesso indice.

ax a

x2 2x 1

2

6 x 2 2x 1

ax a

3

6

a x 1

x 1 2

2

6 x 1

2

a x 1

3

6

a x 1

x 1 2

2

x 1

2

a x 1

3

6

a2 x 1

2

x 1 4

x 1 6

a3 x 1 3

6

1

x 1 2

x 1 3

a6

3

62

1

1

x

a x

9.

5 2 2

2 5 3 2

5 2 2

1

5 2

Svolgiamo i quadrati:

5 2

2 22 2 5 2 5

2

32 2 3 2 5

5

2

2 2

2 5 2 1

5 2

5 4 4 5 20912 5 52 2 10 1 5 2

9 4 5 20 9 12 5 8 2 10 5 2

20 16 5 8 5 8 2 2 10 5 2 10 2

20 16 5 8 5 8 2 2 50 2 20

Possiamo scomporre 2 50

come

2 22 25 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 10 2 .

Allo stesso modo per

2 20 :

2 5 4 2 5 22 2 22 5 2 2 5 4 5

20 16 5 8 5 8 2 10 2 4 5

20 12 5 2 2

10. 2 34 4

ab

a b x;

2

3 2;

1

2 3 5 razionalizza

Svolgimento

a) 2 34 4

ab

a b x

Per razionalizzare questa frazione dobbiamo moltiplicarla per un’altra frazione in modo

da mandar via la radice che vi è al denominatore.

Ricordiamo che, nel caso in cui la frazione sia del tipo

b

amn

dovremo moltiplicarla per

anmn

anmn

Prima però impostiamo le condizioni di esistenza:

C.E.

2 34 0a b x

ab

4a2b3x4

(4a2b3x)34

(4a2b3x)34

ab (4a2b3x)34

4a2b3x4

(4a2b3x)34

ab (4a2b3x)34

4a2b3x4

(4a2b3x)34

ab (4a2b3x)34

(4a2b3x)3 (4a2b3x)4

ab (4a2b3x)34

(4a2b3x)44

ab (4a2b3x)34

4a2b3x

Svolgiamo il cubo dentro parentesi:

ab 43a23b33x34

4a2b3x

ab 22 3

a6b9x 34

4a2b3x

ab 26a6b9x34

4a2b3x

Possiamo portare fuori radice i termini che hanno esponente maggiore o uguale a 4:

ab 24 22 a4 a2 b8 b x34

4a2b3x

ab 2 a b2 22 a2 b x34

4a2b3x

2a2b3 22 a2 b x34

4a2b3x

Semplifichiamo:

4a2bx 34

2x

b)

2

3 2

In questo caso, la frazione è del tipo

c

a b . Per razionalizzare si moltiplica per

a b

a b

2

3 23 2

3 2

2 (3 2)

(3 2) (3 2)

Svolgiamo i calcoli ricordando che al denominatore abbiamo il prodotto di una somma per una

differenza, che si svolge calcolando il quadrato del primo meno il quadrato del secondo.

3 2 ( 2)2

32 ( 2)2

3 2 2

9 2

3 2 2

7

c)

1

2 3 5

In questo caso, vale il metodo precedente, anche se abbiamo al denominatore la somma di tre

radicali.

1

2 3 52 3 5

2 3 5

2 3 5

( 2 3 5)( 2 3 5)

2 3 5

( 2 3)2 ( 5)2

2 3 5

( 2)2 ( 3)2 2 2 3 ( 5)2

2 3 5

2 32 6 5

2 3 5

2 6

A questo punto, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per

6

:

2 3 5

2 66

6

6 ( 2 3 5)

2 6 6

12 18 30

2 36

4 3 9 2 30

2 6

2 3 3 2 30

12

11. 2 2

2 3 6x x

risolvi l’equazione

Svolgiamo i quadrati:

x2 2 2

2 2 x x2 3 2

2 3 x

6

x2 22 2x x2 32 3x 6

x2 22 2x x2 32 3x 6

2 2x 2 3x 6 2 3

(2 2 2 3)x 7

x 7

2 2 2 3

x 7

2( 2 3)

Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per

2 3

x 7

2( 2 3)2 3

2 3

x 7 2 3

2( 2 3) ( 2 3)

x 7 2 3

2( 2)2 2( 3)2

x 7 2 3 4 6

x 7 2 3

2

x 7 2 3

2

12. Nel triangolo rettangolo ABC, l’altezza relativa all’ipotenusa è AH. a) Se BC=12cm e AH= 4cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 12cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l’area del triangolo ABC.

a)

Il problema può essere risolto impostando un sistema a due incognite. Chiamiamo il lato CH con x e il lato HB con y. Impostiamo il secondo teorema di Euclide, secondo il quale l’altezza, in un triangolo rettangolo, è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Abbiamo, quindi, che:

CH : AH AH :HB

x : AH AH : y

x : 4 4 : y

Da cui 4 4 16xy xy

Possiamo impostare la seconda equazione sapendo che l’ipotenusa, data dalla somma di CH e HB, è lunga 12 cm.

Quindi

CH HB 12

x y 12

Impostiamo quindi il sistema:

xy 16

x y 12

Notiamo che il sistema è simmetrico e che possiamo ridurlo ad un’equazione del tipo

t2 st p 0

dove per s si intende la somma x+y, mentre per p il prodotto xy.

t2 (x y)t xy 0 →

t2 12t 16 0

Risolviamo ora l’equazione:

t

b

2

b

2

2

ac

a6 62 16

1 6 36 16 6 20 6 2 5

Poiché in un sistema simmetrico le soluzioni sono simmetriche, i valori trovati valgono, alternativamente, sia per la x che per la y. Quindi:

x 6 2 5

y 6 2 5

x 6 2 5

y 6 2 5

b) Chiamiamo con x il lato AB e con y il lato HB; anche in questo casa cerchiamo di impostare un sistema a due incognite. Sappiamo che il perimetro del triangolo ABH è 36 cm, quindi

AB BH AH 36

x y 12 36

x y 36 12

x y 24

Possiamo inoltre ricavare il lato AH con il teorema di Pitagora:

x y

AH AB2 HB2

AH 2 AB2 HB2

122 x 2 y 2

Abbiamo quindi due equazioni:

x y 24

x 2 y 2 144

Possiamo risolvere il sistema per sostituzione:

x 24 y

x 2 y 2 144

x 24 y

24 y 2 y 2 144

x 24 y

576 y2 48y y2 144

x 24 y

48y 144 576

x 24 y

48y 432

x 24 y

y 432

48 9

x 24 9

y 9

x 15

y 9

A questo punto, sapendo che in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la sua proiezione sell’ipotenusa, possiamo scrivere che

CB : AB AB :HB

CB : x x : y

CB :15 15 : 9

CB 15 15

9 25

Sapendo quindi che l’ipotenusa è lunga 25 cm e che la sua altezza relativa misura 12 cm, possiamo calcolare l’area del triangolo.

AABC CB AH

225 12

2150cm2

13. 2

4 1

0

kx ky

kx k x

Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer. Per prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti in funzioni di k:

kx 4ky 1

x k k 2 0

D k 4k

k k2 0 k 0 4k k k2 4k k k2 4k2 4k3

Poniamo il determinante uguale a zero e risolviamo l’equazione in funzione di k:

4k2 4k3 0

4k 2 1 k 0

4k 2 0 k 0

1 k 0 k 1

Per verificare se il sistema è indeterminato o impossibile, troviamo i determinanti delle incognite considerando k

0 e k

1:

Dx 1 4k

0 0 1 0 4k 0 0

Dy k 1

k k2 0 k 0 1 k k2 k k2

Le soluzioni del sistema saranno quindi:

x Dx

D

0

4k2 4k3 0 e

y Dy

D

k k2

4k2 4k3k 1 k 4k2 1 k

1

4k

con

k 0 k 1 Nel caso in cui k sia uguale a zero, il sistema sarebbe così:

0 x 4 0 y 1

x 0 02 0

0 1

0 0

Il sistema è quindi impossibile per k=0. Consideriamo il caso in cui k sia uguale a 1:

1 x 4 1 y 1

x 112 0

x 4y 1

0 0

Il sistema è indeterminato per k=1.