1. 2. 3. 4. x y x y.muuo.ucoz.ru/olimpiada/2019-2020/zadanija_matematika_6-11.pdf · Из...

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

6 класс

1. Из набора 2, 3, 5, 7, 9 можно выбрать несколько чисел и перемножить их

между собой. Сколько различных чисел, кратных 10, можно получить таким

образом?

2. На доске записаны числа 1, 2, 3, ... 56, 58, 59, ... 201, то есть все натуральные

числа от 1 до 201, кроме числа 57. Можно ли разбить эти числа на два набора

по 100 чисел в каждом так, чтобы сумма чисел в наборах была одинакова?

3. Пять детей сделали заказ пиццы.

Петя: Мне с помидорами и без грибов.

Таня: А мне с оливками.

Иван: Я буду без помидоров.

Данила: А я с помидорами. Но без оливок!

Даша: И я без оливок. Зато с грибами!

Удастся ли заказать две пиццы так, чтобы каждый ребенок получил то, что

хотел?

4. Дано некоторое 5-значное число x. Из него получили число y, записав цифры

исходного числа в обратном порядке. После этого нашли сумму чисел x и y.

Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы является четной.

5. Решите ребус

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

6 класс

1. Ответ: 7 чисел.

Произведение, кратное десяти, содержит множители 2 и 5. Числа можно просто

перебрать: 2·5·3, 2·5·7, 2·5·9, 2·5·3·7, 2·5·3·9, 2·5·7·9, 2·5·3·7·9 – всего 7 чисел.

Комментарий по проверке.

Указано, что число должно содержать множители 2 и 5: 1 балл.

2. Ответ: да, можно.

Сначала составим следующие суммы: 1+201, 2+201, 3+201, …, 56+146. Таких

сумм у нас получилось 56 – 2 раза по 28 пар, сумма чисел в которых равна 202.

Далее составим суммы: 58+145, 59+144, 60+143, …, 101+102 – здесь 44 пары,

сумма чисел в которых равна 203.

3. Ответ: нет, двумя пиццами обойтись нельзя.

Составим такую таблицу.

Помидоры Грибы Оливки

Петя + -

Таня +

Иван -

Данила + -

Даша + -

Для того, чтобы понравиться Пете, пицца должна содержать помидоры и не

содержать грибы: П+Г-. Если мы добавим в эту пиццу оливки П+Г-О+, такая

пицца подойдет Пете и Тане. Нам придется сделать отдельные пиццы для

Данилы (с помидорами, но без оливок) и для Ивана (без помидоров). Если же

мы не станем добавлять в первую пиццу оливки П+Г-О-, такая пицца подойдет

Пете и Даниле. Придется сделать отдельную пиццу для Даши (с грибами, но без

оливок) и для Тани (с оливками). В любом случае нам понадобятся 3 пиццы.

4. Предположим это не так и все цифры получившейся суммы нечетные.

Выпишем друг под другом эти два числа, обозначив латинскими буквами

цифры.

abcde

edcba

Видно, что третья цифра в обоих числах одна и та же, и чтобы третья цифра

суммы была нечетной – необходим перенос разряда из суммы вторых

(нумерация справа налево) цифр b и d. Но эти же цифры являются и

четвертыми цифрами чисел x и y, и если при их сложении возникает перенос

единицы, значит сумма пятых цифр a и e четная (чтобы полученная в

результате переноса единица образовала в итоге нечетную сумму). Это

означает, что сумма первых цифр a и e четная, то есть четной является первая

цифра суммы. Это противоречие означает, что хотя бы одна цифра суммы

должна быть четной.


Показана необходимость переносов из второго разряда: 2 балла.

5. При умножении трехзначного на трехзначное в промежуточных вычислениях

получены два слагаемых, поэтому В=0. Д не равно 1, иначе получили бы второе

слагаемое, совпадающее с исходным множителем. ДВА·Д – трехзначное,

значит Д=2 или Д=3. ДВА·А = ОЛЛО. Учитывая, что А не превосходит 9, В=0,

а Д=2 или 3, О может быть равно только 1 или 2. Поскольку А·А оканчивается

на О, О=1. Значит А=9. Тогда Л=8, при этом Д·А=18, то есть Д=2.

Окончательно получаем 209·209 = 43681


Показано, что Д=2 или 3: 1 балл. Показано, что О=1: 1 балл. (Эти баллы могут

суммироваться.)

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

7 класс

1. Выписанное на доске 2019-значное число таково, что любое число,

составленное из двух соседних его цифр (с сохранением порядка их

следования), делится на 13. Найдите последнюю цифру этого числа, если

известно, что первая цифра равна 6.

2. На площади в линию выстроились 2019 человек - рыцарей и лжецов. Рыцари

всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Один из рыцарей является королем.

Каждый, кроме короля, произнес фразу: "Число лжецов между мной и королем

равняется семи". Сколько лжецов на площади? Назовите все варианты.

3. Если к числу добавить сумму его цифр, то получится 328. Найдите это число.

4. Имеется 36 гирек, среди которых нет двух одинаковой массы. С помощью

особых весов можно любые 6 гирек упорядочить по возрастанию, при этом

нельзя узнать их точную массу. Как за 8 таких "взвешиваний" определить 3

самые тяжелые гирьки?

5. В ряд висят 10 воздушных шариков: синих и зеленых. Может ли быть так,

что между каждыми двумя синими шариками висит четное число шариков, а

между каждыми двумя зелеными - нечетное?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

7 класс

1. Ответ: 2.

Двузначные числа, кратные 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Если первая цифра

числа равна 6, значит вторая должна быть равна 5 (получается число 65,

кратное 13), третья 2 (образуется 52), а четвертая снова 6 (двузначное 26).

Таким образом цифры будут располагаться тройками: 652 652 … Так как 2019

кратно 3, последняя цифра равна 2.

2. Ответ: любое целое число от 7 до 14 включительно.

Стоящий непосредственно возле короля – лжец, так как между ним и королем

вообще никого нет. Точно также стоящий через одного от короля лжец, ведь

между ним и королем всего один человек. Таким образом первые 7 человек

возле короля – лжецы. Восьмой по счету человек от короля – рыцарь.

Следующий за ним – так же рыцарь. И далее все остальные присутствующие

также рыцари.

Если король стоит на краю шеренги, то количество лжецов равно 7. Если

король стоит вторым с краю, то добавляется еще один лжец со второй стороны

от короля. И так далее. Наибольшее количество лжецов равно 14.


Показано, что первые семеро – лжецы: 2 балла. В качестве ответа обоснованно

дано конкретное число из диапазона [7, 14]: 4 балла.

3. Ответ: 317

Обозначим цифры искомого числа a, b, c, а их сумму s. Тогда abc + s = 328. Так

как s – сумма трех однозначных чисел, s не превосходит 27, значит a=3. При

этом b не может быть нулем, так как иначе наибольшее значение s будет

составлять 3+0+9=12. Если b=1, то 31c+(4+с) = 328, c=7. Если b=2, то 32c+(5+с)

= 328, решений в целых числах здесь нет.


Верно и обоснованно найдены какие-то из цифр числа: 3 балла.

4. Разделим 36 гирек на 6 групп по 6 гирек. С помощью первых 6 взвешиваний

мы упорядочим по возрастанию гирьки в каждой из групп. Затем выберем из

каждой группы самую тяжелую гирьку и упорядочим эти гирьки седьмым

взвешиванием. Пусть самая тяжелая из последних шести гирька находится в

первой из шести исходных групп, вторая по массе во второй, третья – в третьей.

Кандидатами в тройку самых тяжелых являются три гирьки из первой группы,

две гирьки из второй (так как самая тяжелая гирька из первой группы тяжелее

любых гирек из второй), одна из третьей (аналогично, самые тяжелые гирьки из

первой и второй групп тяжелее любых гирек из третьей группы). Указанные 6

гирек надо упорядочить восьмым взвешиванием и определить тройку самых

тяжелых.

5. Ответ: нет, не может.

Пронумеруем шарики слева направо. Пусть под номером 1 — зеленый. Тогда

на всех местах с чётными номерами висят синие (ведь между первым зеленым

шариком и любым шариком под чётным номером — чётное число шариков).

Но между любыми двумя такими синими шариками — нечётное число

шариков, что противоречит условию. Значит, под номером 1 — синий. Тогда на

местах 3, 5, 7, 9 — зеленые. Два зеленых шарика не могут висеть рядом (иначе

между ними 0 шариков — чётное число), поэтому на местах 2, 4, 6, 8 — синие.

Но между любыми двумя из этих четырёх синих шариков — нечётное число

шариков. Противоречие.


Не рассмотрен случай, когда зеленый шарик находится с краю: 3 балла.

8 класс. Город. 2019

1. Дюймовочка готовится к зиме, взвешивает зерна и выкладывает в ряд. Отсыревшие

зерна весят больше сухих, их она выкладывает в левую часть ряда, а сухие – в

правую. Внешне зерна ничем не отличаются. Пока Дюймовочка спала, Мышь убрала

часть зерен в кладовку, оставив Дюймовочке 4 зерна. Известно, что среди оставшихся

зерен есть и сухие, и отсыревшие; все сухие зерна между собой весят одинаково и

сырые – тоже, однако, сырые тяжелее сухих. Может ли Дюймовочка за одно

взвешивание на чашечных весах без гирь отделить сухие зерна от сырых.

2. В каждой вершине 2019-угольника лежит орех. Белка съедает орех в первой вершине,

прыгает в 16-ую, съедает там орех, прыгает в 31-ую и т.д. Белка заканчивает прыгать,

когда попадает в ту вершину, в которой она уже была. Сколько орехов останутся

несъеденными?

3. Определите угол AA’B’ на рисунке.

4. Карлсон пришел в гости к Малышу и съел 3 банки малинового варенья, 4 банки

сгущенки и 2 банки кленового сиропа, а после этого не смог долететь до крыши из-за

того, что сильно растолстел от такой еды. Но, если бы он съел 2 банки малинового

варенья , 3 банки сгущенки и 4 банки кленового сиропа или 4 банки малинового

варенья, 2 банки сгущенки и 3 банки кленового сиропа, то смог бы долететь до

крыши. От чего Карлсон толстеет сильнее: от кленового сиропа или от сгущенки?

5. Старуха Шапокляк и Чебурашка собирают дом из Лего. В наборе 2020 деталей.

Старуха Шапокляк может использовать одну или три детали, а Чебурашка одну или

четыре детали за один ход. Первым ходит Чебурашка. Выигрывает тот, кто поставит

последнюю деталь на дом. Кто из игроков сможет гарантированно победить, как бы

ни играл соперник?

8 класс. Решения задач

1. Мы знаем, что самое правое зерно – легкое, а самое левое – тяжелое. Возьмем два

крайних зерна и на чашечных весах без гирь сравним их вес с двумя зернами,

лежавшими посередине. Если весы покажут равенство, то два правых зерна – сухие, а

два левых сырые. Если зерна №1 и №4 (отсчет слева направо) тяжелее чем №2 и №3,

то 2 и 3 – сухие. Если зерна №1 и №4 легче, чем №2 и №3, то №2 и №3 сырые.

Рекомендации к оцениванию решений: Возможно, что учащийся рассмотрит правильный

вариант взвешивания – 4+1 и 2+3, но рассмотрит не все возможные варианты исходов

взвешивания. Такое решение оценивается не более чем в 3 балла.

2. Пусть перед тем, как вернуться в исходную точку, белка проскачет n кругов и съест

при этом k орехов, тогда

15k = 2019n

k = 673, n = 5

Тогда несъеденными останутся 2019-673=1346 орехов.

Ответ: 1346 орехов

Рекомендации к оцениванию решений: Решение данной задачи необязательно

предполагает решения уравнения. Учащийся может проанализировать, что на первом круге

белка съест 135 орехов, на втором и третьем также 135, на четвертом и пятом – 134

ореха, а затем вернется в первую вершину. Если эти рассуждения достаточно обоснованы,

то такое решение также оценивается в 7 баллов.

3. Построим отрезки AC и A’C.

Треугольники ABC и A’B’C равны по двум сторонам и углу между нами, а

значит, AC=A’C.

Угол A’CA=45°+40

°– 45

°=40

°, значит, угол AA’C равен 70

°

Таким образом, искомый угол AA’B’ равен 70°– 45

°=25

°

Ответ: 25°

4. Из первого условия известно, что 3 банки малинового варенья (В), 4 банки сгущенки

(С) и 2 банки кленового сиропа (К) тяжелее чем 2В, 3С и 4К. Если убрать в обеих

группах по 2В, 3С и 2К, то мы видим, что 1В и 1С тяжелее, чем 2К. Аналогично, из

второго условия получаем, что 2С тяжелее, чем 1В и 1К. Таким образом, объединяя

эти два условия, получаем, что 1В и 3С тяжелее, чем 1В и 3К; убирая из обеих групп

по банке малинового варенья, видим, что 3 банки сгущенки тяжелее 3 банок

кленового сиропа, а значит, от банки сгущенки Карлсон толстеет сильнее, чем от

банки кленового сиропа.

Рекомендации к оцениванию решений: Данная задача может быть также решена путем

анализа неравенств.

Ответ: от сгущенки

5. Выиграет Чебурашка. Первым ходом он берет 4 детали, деталей становится 2016. Все

следующие ходы, независимо от Шапокляк, Чебурашка берет по одной детали. Таким

образом, после каждого хода Шапокляк число деталей нечетное, а после хода

Чебурашки – четное. В результате рано или поздно Чебурашке достанется одна

последняя деталь.

Ответ: Чебурашка

9 класс. Город. 2019

1. У выпуклого 30-угольника отметили вершины и середины сторон. Сколькими

способами можно вырезать из 30-угольника треугольники с вершинами в отмеченных

точках?

2. Допишите к цифрам 378… еще три цифры так, чтобы получившееся шестизначное

число делилось бы на 5, 6 и 7. Укажите все возможные варианты.

3. Уголок, составленный из 5 квадратов вписан в прямоугольник (см. рисунок).

В каком отношении находятся стороны прямоугольника?

4. При каком значении параметра a уравнение

|2-|x||+a = 3

имеет ровно 4 решения?

5. В малом зале кукольного театра 3 ряда по 20 мест. В театр привели по 20 учеников из

1ого, 2-ого, 3-ого классов. Ученики сели так, как им захотелось. Если в другом ряду

(не обязательно соседнем) перед учеником или за его спиной сидит ученик из того же

класса, то они отвлекают друг друга. Представление скоро начнется, и учителя могут

поменять местами только тех детей, которые сидят на одном ряду. Докажите, что они

смогут рассадить их так, чтобы ученики друг друга не отвлекали.

9 класс

Решения задач

1. Сначала вычислим, сколько существует способов выбрать три точки из 60 имеющихся.

Первую точку мы выбираем 60 способами, вторую 59, третью – 58; в результате

получаем 205320=60·59·58 вариантов. Поскольку выборки вершин ABC, ACB, CBA,

CAB, BAC, BCA дают один и тот же треугольник, то количество способов выбрать три

точки без учета порядка их выбора равно 205320:6=34220. Нас не устроят только те

тройки точек, которые лежат на одной прямой. Таких троек ровно 30. Таким образом,

существует 34220-30 = 34190 способов построить данные треугольники.

Ответ: 34190

Рекомендации к оцениванию решений: определить, сколько существует троек точек,

можно, используя формулу числа сочетаний .

2. Первый способ: Найдем цифры a, b, c, такие чтобы число делилось бы на 5,6 и

7. Любое четное число кратное 5 заканчивается на 0, значит c=0. Для делимости на 3

необходимо, чтобы 3+8+7+a+b=18+ a+b делилось бы на 3. Так как 18 кратно 3, то a+b

должно быть кратным 3. Возьмем самое меньшее из чисел, делящихся на 6 и 5 – это

будет число 387030. Прямая проверка показывает, что это число делится и на 7, а

значит, является искомым. Если добавить к этому числу 210=5·6·7, то характер его

делимости на 5,6 и 7 не изменится. Поэтому 387240, 387450, 387660, 387870 также

являются решениями.

Второй способ: Число, делящееся на 5, 6 и 7 делится на 210=5·6·7 и имеет вид 210k.

Подберем k так, чтобы 387000 ≤ 210k ≤ 387999. Получаем k=1843, …1847.

Ответ: 387030, 387240, 387450, 387660, 387870.

Рекомендации к оцениванию решений: Возможно, учащиеся найдут только одно или

несколько решений. В случае, если найдено только одно решение, задача оценивается в 3

балла, если несколько, но не все – в 5 баллов. Полное решение – 7 баллов.

3. Введем обозначения для некоторых точек шестиугольника и вершин прямоугольника,

как показано на рисунке.

Проведем прямые XP, YQ, CR, параллельные стороне KL. Тогда по теореме Фалеса

отрезки BP=PQ=QR=DM=y.

Опустим перпендикуляр ZT на сторону AM.

Обозначим длину стороны BL за x.

Треугольник ALB равен треугольнику DME: AB=DE, DE AB, а значит, DEM=900-

LBA=LAB. Аналогично устанавливается равенство треугольников BPX, ALB,

DEM, ETZ, NTZ.

Таким образом, большая сторона прямоугольника равна 4y+2x, а меньшая 2y+x.

Отношение сторон 2:1

Ответ: 2:1

4. Решить эту задачу можно аналитическим и графическим способом.

Аналитический способ:

|2-|x||+a=3

1) Если 3 – a < 0, т.е. a > 3, то решений нет

2) Если 3 – a = 0, т.е. a = 3, то уравнение имеет ровно 2 решения.

3) Если a < 3, то уравнение равносильно совокупности

Четыре решения данная совокупность уравнений будет иметь тогда и только тогда,

когда

Графический способ

Графики функций и пересекаются в четырех точках, если и только

если .

Ответ: (1;3)

5. Докажем утверждение, используя индукцию по количеству мест в одном ряду. Если

каждый ряд состоит из одного места и в театр привели по одному школьнику из

каждого класса, то очевидно, что мешать друг другу они не будут. Предположим, что

для k мест в ряду и k школьников в каждом классе наше утверждение верно. Докажем,

что оно верно и для k+1 места. Пусть в театр пришло по (k+1) школьнику из каждого

класса. Если каждый класс занял по одному ряду, то утверждение очевидно. Если нет,

то хотя бы на двух рядах сидят ученики хотя бы двух разных классов, а значит, внутри

каждого ряда можно сделать перестановку так, чтобы учащиеся, сидящие на крайних

левых местах рядов, не мешали бы друг другу. (Так, если в первом ряду все учатся в

1ом классе, а во втором и третьем есть ученики 2 и 3-его, это утверждение очевидно.

Если в каждом ряду есть учащиеся как минимум двух классов, то в одном ряду - это 1

и 2, в другом 2 и 3, в третьем 1 и 3, утверждение также очевидно. Если в каких то

рядах есть ученики 1,2 и 3 классов, то, очевидно, такая пересадка тоже возможна.)

После этого остается пересадить детей на k местах, что возможно согласно

индуктивному предположению.

Рекомендации к оцениванию решений: Возможно, учащиеся не будут доказывать это

утверждение, используя прямо понятие индукции. Они могут показать, как пересадить

первых трех, так чтобы они друг другу не мешали, пересадить следующих и сказать, что

далее можно действовать по аналогии. Если в рассуждениях о пересаживании детей на

первом – втором шаге нет логических ошибок, то такое доказательство следует зачесть

как верное.

Возможно, что многие будут приводить пример пересаживания школьников в одном

конкретном случае. Это не является решением задачи – оценка 0 баллов

10 класс. Вариант «Город 2019»

Условия задач

1. При каких a, b и с прямые acxycbxybaxy ,, проходят через точку (1; 3)?

2. Два предпринимателя Анатолий и Владимир построили дорогу 16 км.: Анатолий построил 6, а

Владимир – 10 км. Их знакомый Борис сказал, что хотел бы пользоваться дорогой наравне с ними и

готов внести свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Как Анатолий и Владимир должны

разделить эти деньги между собой?

3. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника ABC, точки O и B лежат по разные

стороны от прямой AC, AOC = 60o. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в

треугольник ABC.

4. Положительно или отрицательно число ?13 tg

5. В каждой клетке доски размером 6×6 сидит кузнечик. По свистку каждый из кузнечиков

перепрыгивает через одну клетку по диагонали (не в соседнюю по диагонали клетку, а в

следующую). При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного кузнечика, а некоторые

клетки окажутся незанятыми. Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 12.

10 класс


1. При каких a, b и с прямые acxycbxybaxy ,, проходят через точку (1;

3)?

Решение.

Прямые acxycbxybaxy ,, проходят через точку (1; 3) тогда и

только тогда, когда a, b и с удовлетворяют системе уравнений:

.3

,3

,3

ac

cb

ba

Складывая уравнения, получаем: .5,4)(29 cbacba Вычитая из

последнего равенства поочередно первое, второе и третье уравнения системы, получим:

.5,1 cba

Ответ: .5,1 cba

Указания. Только ответ – 0 баллов; записана система уравнений – 1 балл.

2. Два предпринимателя Анатолий и Владимир построили дорогу 16 км.: Анатолий

построил 6, а Владимир – 10 км. Их знакомый Борис сказал, что хотел бы пользоваться

дорогой наравне с ними и готов внести свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Как

Анатолий и Владимир должны разделить эти деньги между собой?

Решение.

Каждый из компаньонов должен был построить 3

15 км. дороги. Анатолий

построил вместо Бориса 3

2

3

156 км. дороги, а Владимир построил

3

14

3

1510 км.

Поэтому деньги нужно разделить между ними в отношении 2:14.

Ответ: Анатолию должно достаться 2 миллиона, а Владимиру – 14 миллионов рублей.

Указание. Только ответ – 0 баллов.

3. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника ABC, точки O и B лежат

по разные стороны от прямой AC, AOC = 60o. Найдите угол AMC, где M — центр

окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Так как точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC, градусная мера дуги

AC , не содержащей точки B , равна 360o-60o=300o . Поэтому

ABC = (1/2)·300o = 150o. Сумма углов при вершинах A и C треугольника ABC равна

180o-150o = 30o , а т.к. AM и CM – биссектрисы треугольника ABC , то сумма углов при

вершинах A и C треугольника AMC равна 15o. Следовательно, AMC = 180o - 15o = 165o.

Ответ: 1650.

Указания. Только ответ – 0 баллов; найден ABC – 1 балл.


Решение.

Докажем, что .34

3

(1)

Все части неравенств положительны. После возведения в квадрат и сокращения на

получим: .316

9

Правое неравенство очевидно. Справедливость левого

неравенства следует из соотношений: .488,282,399 Неравенства (1) доказаны.

На промежутке

;

4

3 тангенс больше –1, следовательно, 0.13 tg

Ответ: положительно.

Указания. Только ответ – 0 баллов; при доказательстве неравенств (1) для

использовано приближенное значение 3,14 (после возведения в квадрат) – 4 балла;

квадратный корень найден приближенно, например, с помощью калькулятора – 0 баллов.

5. В каждой клетке доски размером 6×6 сидит кузнечик. По свистку каждый из

кузнечиков перепрыгивает через одну клетку по диагонали (не в соседнюю по диагонали

клетку, а в следующую). При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного

кузнечика, а некоторые клетки окажутся незанятыми. Докажите, что при этом незанятых

клеток будет не меньше 12.

Решение.

Покрасим клети доски в чёрный и белый цвета, как показано на рисунке. В

результате в чёрный цвет будет покрашено 24 клетки, а в белый – 12 клеток. Заметим,

что с чёрной клетки кузнечик может перепрыгнуть только на белую, а с белой – только

на чёрную. Следовательно, после того, как кузнечики совершили прыжок, на 24 чёрных

клетках оказалось 12 кузнечиков. Значит, по крайней мере, 12 чёрных клеток окажутся

незанятыми.

Указание. Рассмотрены только частные случаи – 0 баллов.

11 класс. Вариант «Город 2019»

Условия задач

1. Положительное число х увеличили на 69%. На сколько процентов увеличилось число ?5

x

2. Доказать, что если ,0)( cbaa то уравнение 02 cbxax имеет 2 действительных

корня.

3. Дан четырехугольник ABCD. Прямые DA и CB пересекаются в точке E, а прямые AB и DC – в точке

F. Известно, что биссектрисы углов BEA и BFC перпендикулярны. Докажите, что вокруг ABCD

можно описать окружность.






11 класс


1. Положительное число х увеличили на 69%. На сколько процентов увеличилось число ?5

x

Решение.

Увеличенное число составит 1,69х, тогда из пропорции

%5

69,1

%,1005

yx

x

определим (%)130

5

1005

3,1

x

x

y , а, значит, разность будет равна 30%.

Ответ: на 30%.

Указания. Только ответ – 0 баллов; ответ получен для какого-то конкретного

х (без обоснования корректности подхода) – 2 балла; квадратный корень найден приближенно,

например, с помощью калькулятора – 0 баллов.

2. Доказать, что если ,0)( cbaa то уравнение 02 cbxax имеет 2 действительных

корня.

Решение.

Доказательство. Так как ,0)( cbaa то

0

,0

cba

a или

.0

,0

cba

a

Рассмотрим первый случай. Так как 0a , то ветви параболы, заданной формулой

cbxaxy 2, направлены вверх. А так как 0)1( cbay , то существуют точки

параболы, лежащие ниже оси OX . Значит, парабола пересекает ось OX в 2 точках. Поэтому

уравнение 02 cbxax имеет два действительных корня.

Во втором случае ветви параболы направлены вниз, а 0)1( cbay , поэтому

парабола пересекает ось OX в 2 точках. Тогда уравнение 02 cbxax имеет снова два

действительных корня.

Указания. Возможно другое решение с исследованием знака дискриминанта.

3. Дан четырехугольник ABCD. Прямые DA и CB пересекаются в точке E, а прямые AB и DC – в точке

F. Известно, что биссектрисы углов BEA и BFC перпендикулярны. Докажите, что вокруг ABCD

можно описать окружность.

Решение.

Доказательство.

Пусть K и N – точки пересечения биссектрисы угла AEB и прямых AF и DF. В треугольнике KFN

биссектриса является высотой. Поэтому этот треугольник равнобедренный. Обозначим FKN =

FNK = . Пусть также

BEK =AEK =. Угол DAB – внешний для треугольника EAK , он равен сумме двух внутренних

углов этого треугольника, не смежных с ним:

DAB = AEK + EKA = AEK + BKN = + .

С другой стороны, DCB = NCE = 1800 – ENC – NEC = 180

0 – – .

Сложив полученные равенства, получим DAB +BCD = 1800. Отсюда следует, что ABCD –

вписанный четырехугольник.

Указание. Доказано, что треугольник KFN – равнобедренный – 1 балл.


Решение.

Докажем, что .2

35

4

5

(1)

Все части неравенств положительны. После возведения в квадрат и сокращения на получим:

.4

95

16

25 Правое неравенство очевидно. Справедливость левого неравенства следует из

соотношений: .162,395 Неравенства (1) доказаны. На промежутке

2

3;

4

5 тангенс

больше 1, следовательно, 0.15 tg

Ответ: положительно.

Указания. Только ответ – 0 баллов; при доказательстве неравенств (1) для использовано

приближенное значение 3,14 (после возведения в квадрат) – 4 балла; квадратный корень найден

приближенно, например, с помощью калькулятора – 0 баллов.





Решение.

Покрасим клети доски в чёрный и белый цвета, как показано на рисунке. В результате в

чёрный цвет будет покрашено 60 клеток, а в белый – 40 клеток. Заметим, что с чёрной клетки

кузнечик может перепрыгнуть только на белую, а с белой – только на чёрную. Следовательно, после

того, как кузнечики совершили прыжок, на 60 чёрных клетках оказалось 40 кузнечиков. Значит, по

крайней мере, 20 чёрных клеток окажутся незанятыми.

Указание. Рассмотрены только частные случаи – 0 баллов.

1. 2. 3. 4. x y x y.muuo.ucoz.ru/olimpiada/2019-2020/zadanija_matematika_6-11.pdf · Из...

Documents