1 3 y 1 4.ppt [modo de compatibilidad] - est.uc3m.es€¦ · ha de construirse el modelo de modo...

20010

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1.3

La descomposición clásica de una serie temporal: tendencia,

estacionalidad, oscilaciones cíclicas y perturbaciones a corto plazo.

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FACTORES EN LA EVOLUCIÓN DE UNA SERIE TEMPORAL .LA DESCOMPOSICIÓN

CLÁSICA DE UNA SERIE TEMPORAL: TENDENCIA, ESTACIONALIDAD,

OSCILACIONES CÍCLICAS Y PERTURBACIONES A CORTO PLAZO.

LA PROPORCIONALIDAD DE LOS FACTORES RESPECTO AL NIVEL EN LAS SERIES ECONÓMICAS, LA TRANSFORMACIÓN

LOGARÍTMICA.

EL INTERÉS DE ESTOS FACTORES COMO ASPECTOS DE UNA SERIE TEMPORAL

QUE DEBEN SER MODELIZADOS.

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continuaciónLA NECESIDAD DE RESTRICCIONES, SOBRE

LAS QUE NO EXISTE CONSENSO, PARA ESTIMAR DICHOS FACTORES Y LA

CORRESPONDIENTE LIMITACIÓN DE TALES ESTIMACIONES.

SERIES AJUSTADAS ESTACIONALIDAD, SU POPULARIDAD Y CONSIDERACIONES

CRÍTICAS.

CONSTRUCCIÓN DE SERIES MACROECONÓMICAS SIN OSCILACIONES

ESTACIONALES: LAS SERIES DE LA CONTABILIDAD NACIONAL TRIMESTRAL

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DECOMPOSICIÓN CLÁSICA DE UNA SERIE TEMPORAL

• Se ha considerado durante décadas que una serie temporal Xt, se compone de:Xt = Tt · St · Ct · rt (1)

donde:Tt: tendenciaSt: factor estacionalCt: factor cíclicort: factor residual de fluctuaciones a corto plazo.

• La ecuación (1) refleja la ley de la proporcionalidad mencionada anteriormente. Así, St, Ct y rt se expresan como factores multiplicadores:

St = (1 + st)Ct = (1 + γt)rt = (1 + ρt)

sobre la tendencia.• 100 st

100 γt

100 ρt

Son los factores estacionales, cíclico y residual en porcentaje sobre la tendencia.

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EN PROBLEMAS DE PROPOCIONALIDAD LA TRANSFORMACION LOGARÍTMICA HOMOGENIZA LA

VARIANZA

Quaterly US Retail Sales

0

50000

100000

150000

200000

250000

30000019

60

1969

1978

1987

1996

10

11

12

13

Retail Sales (1) Log. Retail Sales (2)Non seasonally adjusted DataPeriod:1960.I-1999-IISource: OCDE

(1)

(2)

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LA FORMULACIÓN LINEAL DE LA DECOMPOSICIÓN CLÁSICA

• Tomando logaritmos en (1), tenemos:log Xt = log Tt + log St + log Ct + log rt.

(2)• La ecuación (2) muestra que, usando la

transformación logarítmica de los datos, obtenemos una descomposición aditiva de Xt.

• En (2):log St = log (1 + st) ≈ stlog Ct = log (1 + γt) ≈ γtlog rt = log (1 + rt) ≈ rt

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LA INTERPRETACIÓN DE LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA SERIE TEMPORAL EN TENDENCIA Y OTROS

COMPONENTES

• Durante mucho tiempo, se han interpretado las expresiones (1) ó (2) en el sentido de que– Los factores (imaginarios) tendenciales,

estacionales y cíclicos se podían formular en términos matemáticos de modo que se pudieran cuantificar sin error en cualquier momento t.

• En este contexto, el único término estocástico en la descomposición era rt, que se podía obtener como elemento residual después de comparar Xt y Tt·St·Ct.

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• La Figura 21.1 muestra una serie construida que consiste en los tres componentes Tt, Ct y rt como sigue:

– Tt = 100 exp. (0.01 t),– Ct = 1+ 0.03 sin (0.17 t) y

– rt = 1 + ηt, donde ηt viene de una distribución normal con una media nula y una desviación estándar de 0.005.

• En este ejemplo, la duración del ciclo corresponde a 37 unidades de tiempo con una amplitud de ±3.0%, y 95% de las oscilaciones residuales estarán dentro de un rango de ± 1%.

0 20 40 60 80 100

150

200

250Xt

0 20 40 60 80 100

150

200

250Tt

0 20 40 60 80 100

.98

1

1.02

Ct

0 20 40 60 80 100

.99

.995

1

1.005

1.01 Rt

Figura 21.1

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EJEMPLO

• Consideremos el índice de precios (Pt) de cierto producto alimentario cuyo pico de demanda tiene lugar en diciembre. Supongamos que:

Pt = Tt ·St ·rty que, en diciembre del año x

PDECx = 124.95TDECx = 122.62SDECx = 1.02rDECx = 0.999

PDECx = 124.95 = 122.62 · 1.02 · 0.999

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LAS CONSECUENCIAS DEL ENFOQUE CLÁSICO A LA DESCOMPOSICIÓN DE

LAS SERIES TEMPORALES• Dado que,

– Tt es dado por una formulación matemática, normalmente un polinomio temporal; en el ejemplo anterior

log Tt = lg 100 + 0.01tlog Tt = 4.61 + 0.01t, y

St y Ct son funciones sinusoidales del tiempo; en el ejemplo anterior

log Ct = 1 + 0.03 sin (0.17t),se conocen estos componentes y podemos computar los datos

ajustados, eliminando algunos componentes.Así, EL DATO AJUSTADO POR LA ESTACIONALIDAD, Xt

a, se define como

Xta = Xt / St = Tt · Ct · rt

En el ejemplo del índice de precios alimentariosPa

DECx = 122.5 = 124.95 / [email protected]

LA INTERPRETACIÓN ACTUAL DE LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA SERIE TEMPORAL

• Los factores no observados, tales como tendencia, estacionalidad y ciclo, son propiedades de un fenómeno económico que difícilmente se pueden considerar como deterministas.

• La evolución futura de la tendencia (imaginaria) y el comportamiento futuro de los factores estacionales y cíclicos (imaginarios) también son inciertos.

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• Hoy: los factores tendenciales, estacionales y cíclicos se consideran FACTORES ESTOCÁSTICOS.

• Así, para descomponer una magnitud estocástica, Xt, en cuatro componentes estocásticos, necesitamos aplicar RESTRICCIONES FUERTES.

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LA INTERPRETACIÓN ACTUALDE LA DESCOMPOSICIÓNDE UNA SERIE TEMPORAL

• Con estas restricciones, podemos calcular los componentes estocásticos: tendenciales, estacionales y cíclicos.

• Usando procedimientos como X-11, X-11-ARIMA, SEATS, X-12, etc.– muchas oficinas estadísticas publican:

• datos originales: Xt y• datos ajustados por la estacionalidad:

Xta = Xt / St

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• Sobre todo, estos procedimientos no son correctos para las series – de las que hay muchísimas – que muestran oscilaciones cíclicas no lineales.

• Además, no es posible replicar los datos ajustados por la estacionalidad de los datos originales.

• Finalmente, St y Xta son estimaciones que

deberían publicarse con sus correspondientes intervalos de confianza.

EL PROBLEMA está en que estas restricciones ya no son ampliamente aceptadas.

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LA INTERPRETACIÓN ACTUAL DE LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA SERIE

TEMPORAL• La expresión:

Xt = Tt · St · Ct · rt

puede ser útil para explicitar los tipos de propiedades en la serie temporal Xt:• evolución subyacente con crecimiento sistemático que se perpetúa en

el futuro,• Oscilación cíclica permanente con la periodicidad de un año,• oscilaciones que no se perpetúan en el futuro, y• fluctuaciones a corto plazo,

pero Tt, St, Ct y rt no necesariamente son factores identificables y estimables.

– Todos los factores Tt, St, Ct y rt son estocásticos y sólo pueden estimarse a partir de Xt con la imposición de fuertes restricciones relativas a su naturaleza que pueden resultar inaceptables.

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LA DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES Y LA CONSTRUCCIÓN DE

MODELOS ECONOMÉTRICOS• Dado que la serie temporal Xt puede incorporar:

– Crecimiento sistemático

– Ciclos estacionales

– Oscilaciones en el ciclo de negocios

– Fluctuaciones a corto plazo

ha de construirse el modelo de modo que sea capaz de captar todas estas propiedades y, por tanto, proyectarlas en la predicción de los valores futuros de Xt.

• Esto se hace sin preocuparnos -porque no es necesario- en calcular estas señales por separado: Tt, St, Ct y rt.

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de los valores en la serie temporal.

LA EXTRACCIÓN ESTACIONAL Y LA PREDICCIÓN

• El objetivo de la extracción de señales tales como tendencia, factores estacionales, datos ajustados por la estacionalidad, etc., es el de ayudar a interpretar y evaluar la situación actual del fenómeno económico correspondiente.

• Durante este curso, argumentaremos que se consigue este objetivo mejor mediante la predicción.

• Las predicciones nos permiten:– Estimar el futuro (expectativas,

)ˆtX

tatXtX ˆˆ +=

descompone Xt en las dos señales que más necesitan los agentes económicos.

)ˆ( ta– Estimar el factor de innovación

• Así,

X

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LA IMPORTANCIA DE LOS COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL PARA LA PREDICCIÓN

• Si la composición de una serie es cómo se muestra en (1), la importancia relativa de los factores en (1) depende principalmente en el horizonte de la predicción.

• Es posible que los componentes tendenciales y cíclicos hayan cambiado muy poco a muy corto plazo, y para ese plazo las predicciones de las fluctuaciones a corto plazo son las más importantes.

• Sin embargo, el componente tendencial suele predominar en las predicciones a largo plazo, siendo los otros componentes de una importancia relativamente menor.

• Todos los componentes pueden ser importantes a medio plazo.

X

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LA AGREGACIÓN TEMPORAL

• Las fluctuaciones positivas a corto plazo tenderán a cancelar las negativas, y

DISMINUYE LA IMPORTANCIA DEL VALOR RESIDUAL AGREGADO

• Los ciclos a corto plazo tienden a desaparecer con la agregación.

LOS CICLOS ESTACIONALES DESAPARECEN con la agregación anual

• La tendencia evoluciona sin oscilaciones y no se ven muy afectadas por la agregación temporal. Así,

AUMENTA LA IMPORTANCIA RELATIVA DE LA TENDENCIAcon la agregación temporal.

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LA AGREGACIÓN TEMPORAL

• LAS CONSECUENCIAS PARA LA PREDICCIÓN:– Para predicciones a largo plazo podemos

usar datos de baja frecuencia, y la tendencia es el elemento más importante.

– Para predicciones a corto plazonecesitamos datos de alta frecuencia y es importante predecir las fluctuaciones a corto plazo.

X

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EJEMPLOS

LAS SERIES TEMPORALES CON CRECIMIENTO SISTEMATICO: CONJUNTO 1

– El índice de precios de consumo mensual de los EE.UU., sin alimentos y energía.

– La producción industrial mensual en los EE.UU. (IPI)

– El PIB trimestral de los EE.UU.

• En el IPI se da una evidente oscilación estacional. En las otras series, las fluctuaciones estacionales son pequeñas en relación a su nivel y no se aprecian en los gráficos.

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Índice de Precios de Consumo Mensual en EE.UU., sin alimentos y energía

020406080

100120140160180200

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Período: 1958.01- 2000.01Fuente: BLS

Figura 22.2

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No ajustado por estacionalidadPeríodo: 01.1964-08.1999

Fuente: OCDE

Indice trimestral de producción industrial USA

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Figura 22.3

Indice mensual de producción industrial USA

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1964

1968

1972

1976

1980

1984

1988

1992

1996

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Producto interior bruto trimestral real USA

25003000350040004500500055006000650070007500800085009000

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

Período: I-1964 / II-1999Fuente: BEAA precios constantes de 1996, no ajustados por estacionalidad.

Figura 22.4

Variaciones trimestrales en el producto interior bruto USA

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998

Período: I-1964 / II-1999Fuente: BEAA precios constantes de 1996, no ajustados por estacionalidad.

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Tendencia en una serie agregada

Gross Private Domestic Investment (US)

-2000

200400

600

80010001200

14001600

Gross Private Domestric Investment (US)

Nonresidential fixed investment

Residential fixed investment

Change in private inventories

BILLIONS OF CHAINED (1996) DOLLARSSource:Department of Commerce (BEA)-US

Figure 2.17

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Gasto en Consumo Final Interior de los Hogares Españoles.

Gráfico del logaritmo natural

10.8

11.0

11.2

11.4

11.6

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

LNCONS

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La naturaleza evolutiva de las variables relevantes en las empresas puede apreciarse en los siguientes gráficos:

1) La producción del sector de automóviles en España.Gráfico 1. INDICES DE PRODUCCIÓN INDUSTRIAL

0

20

40

60

80

100

120

140

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

ÍNDICE DE PRODUCCIÓN INDUSTRIALFabricación de vehículos de motor, remolques y semirremolques

Fuente: INEFecha: Enero de 2010

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2) La actividad en el sector turístico medida por el número de turistas extranjeros.

Gráfico 2. ENTRADA DE VISITANTES EN ESPAÑA.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1600019

95

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

ENTRADA VIAJEROS TOTAL


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EJEMPLOSSERIE TEMPORAL CON OSCILACIÓN LOCAL DE NIVEL:

CONJUNTO 2– Tasa de cambio diario yen/dólar– Inflación tendencial mensual en EE.UU.

• Las series temporales en el conjunto 2:– al contrario que el conjunto 1, no exhiben crecimiento sistemático– pero tampoco parecen tener un nivel constante.

• Así, las series temporales en el conjunto 2– no tienen atractor de nivel,– la desviación en un momento t de cierto nivel local previo tiende a

persistir en las observaciones siguientes, pero– no provoca el crecimiento sistemático.

• DOS TIPOS DE TENDENCIA:– 1. Crecimiento sistemático: series en el conjunto 1– 2. Oscilaciones locales de nivel: series en el conjunto 2.

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Tasa de cambio diaria yen-dólar

60

80

100

120

140

160

180

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Período: 2/01/1990 -25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)

Figura 22.5

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COURSE: ECONOMIC FORECASTING AT CEMEX -

Graphs - espasa@est-econ uc3m es

5

La inflación tendencial en USA

02468

10121416

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000


* La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de precios al consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía.Aquí estamos usando la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial.

Figura 22.6

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3) Los precios relativos del vestido respecto al calzado.Gráfico 3. PRECIOS RELATIVOS DEL VESTIDO RESPECTO AL CALZADO.

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.1519

8319

8419

8519

8619

8719

8819

8919

9019

9119

9219

9319

9419

9519

9619

9719

9819

9920

0020

0120

0220

0320

0420

0520

0620

0720

0820

09

PRECIOS RELATIVOS DEL VESTIDO RESPECTO AL CALZADO


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Figure 4

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La contabilidad Nacional trimestral (CNTR) esprobablemente la estadística más importante detipo coyuntural que elabora el INE.

Es una estadística de las denominadas desíntesis cuya finalidad es la estimación trimestraldel producto interior bruto (PIB) y de susprincipales componentes.

El marco de la CNTR es el mismo que el de laContabilidad Nacional anual y esta constituido porel Sistema Europeo de cuentas Nacionales(versión de 1995 SEC-95).

X

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LA CNTR

• Dado que la CNTR tiene una periodicidad superior a la anual se suelen observar oscilaciones de ciclo anual que se repiten de manera más o menos similar a lo largo del año.

• Estas oscilaciones se asocian a un componente que se denomina estacional y sus efectos sobre las series únicamente están asociados al paso de las distintas estaciones del año.

• Así, se observa un importante decrecimiento de la producción industrial en los meses de verano, un gran incremento de la remuneración de los asalariados en los meses de junio y diciembre, etc.

X

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LA CONTABILIDAD TRIMESTRAL DE ESPAÑA SE PUBLICA ENTRES VERSIONES

La de los datos brutos,la de los datos corregidos de estacionalidad y efecto

calendario yla de ciclo-tendencia.

Los datos brutos deberían ser ,en principio, la autentica contabilidadtrimestral y ,por tanto, más representativos del dato real que los otrosdos tipos de datos que se obtienen omitiendo algún componente de laserie temporal..No obstante, los crecimientos de datos brutos, tanto trimestrales comointeranuales, muestran una elevada erraticidad, lo que comporta uncoste informativo alto para los agentes.

Tal erraticidad se debe a que los datos de la CNTR se obtienenmediante cierta manipulación econométrica en la que se estiman mallas oscilaciones de corto plazo de las series temporales.

X

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VERSIONES DE LA CNTR• Los datos de ciclo-tendencia son los que muestran una menor

variabilidad, inducida por los procedimientos de filtrado utilizadospara su obtención, sin embargo, no permiten distinguir losmovimientos a corto plazo.

• Los datos corregidos de estacionalidad y efectos de calendariorepresentan una posición intermedia entre los dos anteriores y sonprobablemente los más adecuados para el seguimiento y análisisde la coyuntura;

• actualmente existe un cierto consenso entre los analistas sobrela mayor idoneidad de estos datos para el análisis económico y porello la versión de los datos corregidos de la CNTR es la másutilizada en la práctica.

X

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Se sugiere al alumno que obtenga del banco dedatos INE la serie del PIBpm y alguno de suscomponentes de las tres versiones de datos de laCNTR para un determinado periodo de tiempo,calcule sus tasas intertrimestrales e interanuales yrepresente en un grafico para cada serie las tasasintertrimestrales de las tres versiones y en otro lastasas interanuales.De esa forma podrá comprobar la mayor erraticidadde los datos brutos, el mayor suavizado de los datosde ciclo-tendencia y la posición intermedia de losdatos corregidos de estacionalidad.

X

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1.4 TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD EN SERIES

TEMPORALES.TRANSFORMACIONES

ESTACIONARIAS.

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APROXIMACIÓN AL ESTUDIO DE

SERIES TEMPORALES:

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EN LA EVOLUTIVIDAD EN EL NIVEL (TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD) MEDIANTE ESQUEMAS

ESPECÍFICOS, DETERMINISTAS O ESTOCÁSTICOS.

EL MODELO DE TENDENCIA LINEAL Y ESTACIONALIDAD DETERMINISTA.

EJEMPLOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD DETERMINISTAS ESTIMADAS PARA SERIES

TEMPORALES REALES;

LA DESVIACIÓN SOBRE LA TENDENCIA Y LA ESTACIONALIDAD.

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•1.4.1 EL MODELO DE TENDENCIA LINEAL Y ESTACIONALIDAD DETERMINISTA.

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MODELIZACIÓN DE TENDENCIASMODELIZACIÓN DE TENDENCIAS

• EN Xt = Tt + wt (1)– SE NECESITA ESPECIFICAR UN MODELO PARA LA

TENDENCIA Tt

– EN (1) wt ES UN COMPONENTE ESTOCÁSTICO (INCIERTO)Y, POR TANTO, INDEPENDIENTEMENTE DE LANATURALEZA DE LA TENDENCIA, Xt ES ESTOCÁSTICO. LATENDENCIA PUEDE SER DETERMINÍSTICA.

• TENDENCIAS DETERMINÍSTICAS.– SE DICE QUE UNA TENDENCIA ES DETERMINISTA SI

CONOCIENDO SUS VALORES PASADOS SE PUEDEDETERMINAR SIN ERROR SUS VALORES FUTUROS.

– CON TENDENCIAS DETERMINISTAS NO HAYINCERTIDUMBRE SOBRE ELLAS. TODA LA INCERTIDUMBRESOBRE Xt ESTÁ EN wt.

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MODELOS PARA LAS TENDENCIAS (I)MODELOS PARA LAS TENDENCIAS (I)

¬ TENDENCIA LINEAL:Tt = a +bt,

(4)– DONDE a Y b SON PARÁMETROS FIJOS.

ALTERNATIVAMENTE LA TENDENCIA SE PUEDEREPRESENTAR COMO

Tt = a+b TIEMPOt, (5)– DONDE TIEMPO ES UNA VARIABLE ARTIFICIAL

QUE EN CADA MOMENTO t TOMA EL VALOR t.

EL MODELO PARA Xt ES:Xt = a + bt +wt. (6)

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COMENTARIOS SOBRE LA TENDENCIA COMENTARIOS SOBRE LA TENDENCIA LINEALLINEAL

• COMO SE DERIVA DE (6) LOSPARÁMETROS a Y b VIENEN EXPRESADOSEN LA MISMA UNIDAD DE MEDIDA QUE Xt.EL PARÁMETRO a ES EL VALOR DE LATENDENCIA EN EL MOMENTO ANTERIOR ALCOMIENZO DE LA MUESTRA.

• EL PARÁMETRO b EL INCREMENTOLINEAL O ADICIONAL RESPECTO ALTIEMPO QUE VA EXPERIMENTANDO LATENDENCIA EN CADA MOMENTO.

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• EN GENERAL LAS TENDENCIAS SONCRECIENTES EN CUYO CASO EL PARÁMETROb ES POSITIVO.ALGUNAS SERIES PUEDEN MOSTRARTENDENCIAS NEGATIVAS COMO LA TASA DEPARTICIPACIÓN DE LOS HOMBRES EN ELEMPLEO O LA CUOTA DE MERCADO DE UNAEMPRESA PIONERA EN SU CAMPO, QUE SE IRÁREDUCIENDO A MEDIDA QUE OTRASEMPRESAS DECIDEN ENTRAR EN ESE NEGOCIO.SI LA TENDENCIA ES NEGATIVA b TOMA UNVALOR NEGATIVO.

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– SI Xt ES UNA TASA EN TANTO POR CIEN,POR EJEMPLO LA CUOTA DE MERCADO DEUNA EMPRESA, LA TASA DE PARTICIPACIÓNDE LAS MUJERES EN EL EMPLEO EN UNAECONOMÍA NACIONAL, ETC. UN VALOR DEb=0.1 EN UNA SERIE TRIMESTRAL, [Xt],SIGNIFICA QUE LA TENDENCIA DE DICHATASA VA CRECIENDO 0.1 PUNTOSPORCENTUALES CADA TRIMESTRE.

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– SI Xt SON VENTAS MENSUALESEXPRESADAS EN MILLONES DEPESETAS Y (6) ES UN MODELOADECUADO PARA DICHA SERIE,b=10 SIGNIFICA QUE LATENDENCIA DE DICHASVENTAS SE INCREMENTA EN 10MILLONES CADA MES.

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EXAMPLES OF ESTIMATED LINEAR TRENDS

• A linear trend model for consumption of cement in Spain

200000

300000

400000

500000

600000

8801 9001 9201 9401 9601 9801 0001

Original data Linear Trend

Yt = 272465.60 + 2792.11 t + wt

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C. TENDENCIAS EXPONENCIALESC. TENDENCIAS EXPONENCIALES• SE TRATA DE UN TIPO DE TENDENCIA NO

LINEAL QUE RESULTA MUY ÚTIL PARASERIES ECONÓMICAS.

• PARA INTRODUCIR ESTAS TENDENCIASRECUÉRDESE LA PROPIEDAD DEPROPORCIONALIDAD QUE MUESTRANLAS SERIES ECONÓMICAS Y QUE FUEMENCIONADA AL HABLAR DE LADESCOMPOSICIÓN TRADICIONAL DE UNASERIE TEMPORAL.

• ESTA PROPIEDAD IMPLICA QUE LAEVOLUCIÓN DE LA SERIE A PARTIR DE UNDETERMINADO NIVEL INICIAL ESPROPORCIONAL AL NIVEL DE PARTIDA.

X

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• LA TENDENCIA LINEAL ANTERIOR SEPUEDE EXPRESAR COMOTt = Tt-1 + b (11)

• EN (11) SE OBSERVA QUE A PARTIRDE UN NIVEL INICIAL (tT-1) LATENDENCIA (Y EN CONSECUENCIA Xt)EVOLUCIONA DE FORMA ADITIVA,INCORPORANDO EN CADA MOMENTOUN CRECIMIENTO b. ES DECIR, NOHAY PROPORCIONALIDAD EN LAEVOLUCIÓN DE LA TENDENCIALINEAL.

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PROPORCIONALIDAD EN LAS TENDENCIAS PROPORCIONALIDAD EN LAS TENDENCIAS EXPONENCIALESEXPONENCIALES

• UN ESQUEMA PROPORCIONAL SEOBTIENE CON LA EXPRESIÓN:Tt = Tt-1 (1 + b), (12)DONDE b AHORA ES LA TASA DECRECIMIENTO DE LA TENDENCIA EN TANTOPOR UNO. ASÍ,b= (Tt – Tt-1) / Tt-1 . (13)

• LAS FORMULACIONES EN TASAS COMO (12)O (13) SON MÁS COMPLEJAS DE MANEJARQUE SU CORRESPONDIENTE APROXIMACIÓNLOGA-RÍTMICA.

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• LA APROXIMACIÓN LOGARÍTMICA DE UNATASA b COMO (13) ES FÁCIL DE OBTENER. APARTIR DE LA APROXIMACIÓN DE TAYLOR DEPRIMER ORDEN DE UNA FUNCIÓN f(Zt):f(Zt) ≈ f (Zt-1) + (Zt – Zt) f’ (Zt-1) (14)

• SE TIENE QUE PARA f (Zt) = log Tt

log Tt ≈ log Tt-1 + (Tt –Tt-1) 1/Tt-1(15)

• ES DECIRlog Tt – log Tt-1 = ∆ log Tt = (Tt – Tt-1) / Tt-1.

(16)ESTA APROXIMACIÓN ES BANTANTE BUENA PARAVALORES PEQUEÑOS DE LA TASA.

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TENDENCIA EXPONENCIAL O LOGTENDENCIA EXPONENCIAL O LOG--LINEALLINEAL

• SUSTITUYENDO EN (13) LA TASA POR SU APROXIMACIÓNLOGARÍTMICA SE TIENE QUEb= log Tt – log Tt-1, (17)DE DONDElog Tt = log Tt-1 + b (18)

• PROCEDIENDO RECURSIVAMENTElog Tt = a + bt, (19)

• DONDE a ES EL LOGARITMO DE LA TENDENCIA EN ELMOMENTO ZERO.

• DE (19) SE TIENE QUE LA TENDENCIA TOMA LA EXPRESIÓNTt = exp (a + bt) (20)

• A TAL TENDENCIA POR RAZONES OBVIAS SE LE DENOMINAEXPONENCIAL.

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SERIES CON TENDENCIA EXPONENCIALSERIES CON TENDENCIA EXPONENCIAL

• UNA SERIE CON TENDENCIA EXPONENCIAL VENDRÁDADA POR EL MODELOXt = exp (a + bt) exp (wt) (21)

• LA TENDENCIA Y EL MODELO (20) PARA Xt SON NOLINEALES, PERO UNA SIMPLE TRANSFORMACIÓN –LALOGARÍTMICA- LOS CONVIERTE EN LINEALES. ASÍ,log Xt = a + bt + wt. (22)

• ASÍ, UN MODELO CON TENDENCIA EXPONENCIAL (21)PUEDE VERSE TAMBIÉN SEGÚN (22) COMO UNMODELO CON TENDENCIA LOG-LINEAL, ES DECIR,CON TENDENCIA LINEAL EN LA TRANSFORMACIÓNLOGARÍTMICA DE LOS DATOS.

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• log Xt = a + bt + wt. (22)

EN (21) O (22) b ES UN FACTOR INCREMENTAL QUESE INCORPORA EN CADA MOMENTO DE FORMAMULTIPLICATIVA.

• AHORA LAS UNIDADES DE b NO SON LAS DE Xt.

• EL PARÁMETRO b ES (APROXIMADAMENTE) UNA TASADE CRECIMIENTO EN TANTO POR UNO.

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EXAMPLE OF ESTIMATED EXPONENTIAL TREND

• A linear trend model for consumption of cement in Spain

200000

300000

400000

500000

600000

8801 9001 9201 9401 9601 9801 0001

Original data Exponential trend

Log(Yt) = 12.54 + 0.0077 t + wt

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SERIE CON TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD A LA QUE SOLO SE LE

HA ELIMINADO LA TENDENCIA

-.6

-.4

-.2

.0

.2

3.6

4.0

4.4

4.8

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Residual Actual Fitted

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• ASÍ, SI PARA UN DETERMINADO AGREGADO MONETARIOMENSUAL SE OBTIENE EL SIGUIENTE MODELOlog Xt = a + 0,006t + wt,SIGNIFICA QUE LA TENDENCIA CRECE MENSUALMENTE EL0,6%, LO QUE SUPONE UN 8% ANUAL.

• CONCLUSIÓN:– MODELOS DE TENDENCIA DETERMINÍSTICA RAZONABLES

PARA MUCHAS SERIES ECONÓMICAS SON:• LA TENDENCIA EXPONENCIAL SI LA SERIE EVOLUCIONA CON

LA PROPIEDAD DE PROPORCIONALIDAD.• LA TENDENCIA LINEAL, EN CASO CONTRARIO.

EN DETERMINADAS SERIES CON LÍMITE EN ELCRECIMIENTO ESTOS MODELOS SON CLARAMENTEINAPROPIADOS.

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SIMILITUDES ENTRE LA TENDENCIA LINEAL Y LA SIMILITUDES ENTRE LA TENDENCIA LINEAL Y LA EXPONENCIALEXPONENCIAL

1 AMBAS TIENEN UNA FORMULACIÓN O SEPUEDE REFORMULAR DE MODO LINEAL, CONLO QUE LA TENDENCIA EN TALES CASOS EPUEDE VER COMPUESTA DE DOSELEMENTOS:

TENDENCIA (1) NIVEL INICIAL(2) INCREMENTO

2 AMBOS COMPONENTES SE DEFINEN SOBREPARÁMETROS FIJOS:– NIVEL INICIAL: PARÁMETRO a– INCREMENTO: PARÁMETRO b

X

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3 COMO CONSECUENCIA DE LO ANTERIOR ESTASTENDENCIAS PUEDEN DENOMINARSE DE NIVEL 2, YDENOTARLAS COMO T(2).

3 –NO CONFUNDIR CON EL ORDEN POLINOMIAL QUECLARAMENTE ES UNO-

• EN ESTA TERMINOLOGÍA LA TENDENCIA PARABÓLICATt = a + bt + ct2 (8)ES DE NIVEL TRES, T(3). EN EFECTO, (8) SE PUEDEEXPRESAR COMO:Tt = Tt-1 + ∆Tt-1 +∆ ∆Tt-1, DONDE

Tt-1 = a + b (t-1) + c (t-1)2: NIVEL∆Tt-1 = b + c (2t-3): INCREMENTO∆ ∆Tt = 2c: ACELERACIÓN.

• EN LAS TENDENCIAS DE ESTRUCTURA LINEAL LAACELERACIÓN ES CERO.

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LA TENDENCIA EN SERIES LA TENDENCIA EN SERIES TEMPORALESTEMPORALES

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TENDENCIAS EN SERIES TEMPORALES TENDENCIAS EN SERIES TEMPORALES ECONÓMICASECONÓMICAS

• SI UNA SERIE TEMPORAL VA AUMENTANDO (ODISMINUYENDO) SISTEMÁTICAMENTE SE DICEQUE TIENE TENDENCIA.

• PRINCIPALES FACTORES QUE CAUSAN LASTENDENCIAS:– 1. AUMENTOS EN LA POBLACIÓN.– 2. INFLACIÓN MANTENIDA EN EL TIEMPO.– 3. CAMBIOS TECNOLÓGICOS

(COMUNICACIONES, ELECTRÓNICA,INFORMÁTICA, ETC.

– 4. CAMBIOS LENTOS EN LAS PREFERENCIAS,HÁBITOS, REGULACIONES SOCIALES,COSTUMBRES, ETC.

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Figure 2.10

M onthly Consumer Price Index in US, exc luding food and energy pric es (X7t)

0

40

80

120

160

200

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Pe riod: 1958.01- 2000.01S ource: BLS

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Figure 2.13

Real Consumers' expenditure on non-durables and se rvices(1) and real personal disposable income(2) in U.K.

(logarithmic transformation-quaterly data)

4.55

4.6

4.65

4.7

4.75

4.8

4.85

4.9

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Period 1980(I)- 1999(IV)Source: Off ice for National Statistics UK

(2)

(1)

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Series Anuales

Producto Nacional Bruto en España(Millones de euros)

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

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Series Anuales

Indice de Precios al Consumo en España

0

20

40

60

80

100

120

1948

1953

1958

1963

1968

1973

1978

1983

1988

1993

1998

2003

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• SI UNA SERIE TEMPORAL VA AUMENTANDO (ODISMINUYENDO) SISTEMÁTICAMENTE SE DICEQUE TIENE TENDENCIA.

• PRINCIPALES FACTORES QUE CAUSAN LASTENDENCIAS:– 1. AUMENTOS EN LA POBLACIÓN.– 2. INFLACIÓN MANTENIDA EN EL TIEMPO.– 3. CAMBIOS TECNOLÓGICOS

(COMUNICACIONES, ELECTRÓNICA,INFORMÁTICA, ETC.

– 4. CAMBIOS LENTOS EN LAS PREFERENCIAS,HÁBITOS, REGULACIONES SOCIALES,COSTUMBRES, ETC.

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• TENDENCIAS DETERMINADASEXCLUSIVAMENTE POR (1) Y (2)– DETERMINADAS POR (1)

• EN TAL CASO SE PUEDEN EXPRESAR LOS DATOS ENTÉRMINOS RELATIVOS A LA CORRESPONDIENTEPOBLACIÓN: TASA DE PARO, RENTA NACIONAL PERCÁPITA, ETC.

– DETERMINADAS POR (2)• EN TAL CASO SE PUEDEN EXPRESAR LOS DATOS EN

TÉRMINOS REALES, ES DECIR, EN TÉRMINOS DEPRECIOS CONSTANTES: INGRESOS TURÍSTICOS ENTÉRMINOS REALES, ÍNDICE DE PRODUCCIÓNINDUSTRIAL, ETC.

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GENERALMENTE LAS TENDENCIAS VIENEN CAUSADAS POR OTROS FACTORES ADEMÁS DE (1) Y (2).

• ASÍ,– DEBIDO A (3) VARIABLES PER CÁPITA EN

TÉRMINOS REALES TODAVÍA MUESTRANTENDENCIA, PIB, PRODUCCIÓNINDUSTRIAL, ETC.

– DEBIDO A (4) VARIABLE COMO EMPLEOFEMENINO, ESTUDIANTES GRADUADOS,ETC.

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•EMPEZAR AQUÍ EN LA 4ª SESION TEORICA DEL 15 DE FEBRERO

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CARACTERÍSTICAS DE LA TENDENCIA

• características con las que las tendencias aparecen en las series temporales:

• (1) evolución suave, • (2) Pero de naturaleza estocástica• (3)con rupturas de tanto en tanto de su

estructura

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SUAVIDAD EN LAS TENDENCIAS

a) La primera propiedad favorece que en un primer pasose puedan emplear estructuras determinísticas paraaproximar la tendencia.

b) Esto es más factible en series macroeconómicas deeconomías desarrolladas como el consumo privado enla economía de Estados Unidos.

c) Dado (3) las tendencias tendrán en la mayor parte delos casos – siempre que las series seansuficientemente largas – segmentaciones.

d) Las rupturas de nivel con frecuencia puedeninterpretarse como cambios estructurales y suocurrencia en las series económicas será considera alo largo de todo el curso.

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Series AnualesGasto en Consumo de los Hogares en EE.UU.

(Millones de dólares)

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

8000000

900000019

48

1953

1958

1963

1968

1973

1978

1983

1988

1993

1998

2003

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MODELIZACIÓN DE TENDENCIAS DETERMINISTAS

• A continuación se hace una valoración crítica de su utilidad y limitaciones en el análisis económico.

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TENDENCIA DETERMINISTICA

• Los modelos tendenciales descritos son fáciles de construir y manejar.

• Simplemente hay que formular el polinomio P(t)=a + b.t y con eso,si la hipótesis de tendencia determinista empleada es correcta ,la serie de desviaciones respecto a la misma sigue un modelo estacionario.

• Durante mucho tiempo este procedimiento ha sido aplicado intensamente. Véase, por ejemplo, algunas de las citas mencionadas en el artículo de Nelson y Plosser (1982).

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CRÍTICAS A LAS TENDENCIAS DETERMINISTAS

• Nelson y Ploser fueron muy críticos sobre los modelos de tendencia determinista y mostraron evidencia empírica en su contra utilizando 14 series macroeconómicas referidas a la economia estadounidense.

• Efectivamente, el procedimiento de aproximación tendencial mediante polinomios temporales tiene inconvenientes que hacen que, en general, sea poco recomedable para el caso de fenómenos económicos.

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INACEPTABILIDAD DE LA INMUTABILIDAD DE LA TENDENCIA

• En particular, considerar este tipo de tendencia determinista es equivalente a asumir que existe un patrón inmutable de comportamiento a largo plazo, P(t), al cual la serie siempre retorna.

• Es decir, la tendencia determinística es un factor de atracción en cualquier momento pasado, presente y futuro.

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Valoración del uso de tendencias determinisras en el pasado

• La utilización de estas tendencias en el análisis macroeconómico, mucho más intensamente antes del trabajo de Nelson y Plosser (1982) que ahora, se puede entender de la siguiente forma.

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RESTRICCIÓN EXISTENTE EN LAS TENDENCIAS ECONÓMICAS• La experiencia sobre las tendencias económicas

indica que su evolución temporal está bastante restringida y

• ante alternativas de formulaciones tendenciales -algunas de ellas se estudian más adelante- que se consideraban excesivamente laxas,

• diferentes autores preferían la formulación determinística polinomial, que derivaba en tendencias suaves, aunque en sí misma no fuera plenamente convincente,principalmente en su proyección futura.

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UTILIDAD RELATIVA DE LAS TENDENCIAS DETERMINISTAS

• En general, se puede decir que una tendencia determinista puede ser útil para explicar el pasado en una serie temporal corta, pero su extrapolación hacia el futuro puede resultar peligrosa.

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ALTERNATIVAS A LAS TENDENCIAS DETERMINISTAS

• La motivación teórica que subyace, tal como se ha señalado, en el empleo de tendencias polinomiales por distintos autores y la experiencia existente sobre su uso indican que hipótesis algo más complejas sobre las tendencias económicas son posibles y deseables.

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PROPIEDAD EMPÍRICA EN MUCHAS TENDENCIAS ECONÓMICAS

• Así, con frecuencia, es admisible considerar que la situación de crecimiento suave observada en las series económicas supone tasas de variación constantes durante períodos largos de tiempo, con intervalos de transición cortos entre ellos.

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TENDENCIAS DE NIVEL T(1) O SIN CRECIMIENTO TENDENCIAS DE NIVEL T(1) O SIN CRECIMIENTO SISTEMÁTICOSISTEMÁTICO

• UNA SERIE DEL TIPOXt = a(t) + wt, (23)

• ES UNA SERIE SIN CRECIMIENTO. IGNORANDO ELCOMPONENTE DE DESVIACIONES wt, QUE TIENEMEDIA CERO, ESTA SERIE SÓLO VIENECARACTERIZADA POR UN COMPONENTE DE NIVELa(t). EN TAL SENTIDO, SEGÚN LA TERMINOLOGÍAANTERIOR, SE PUEDE DECIR QUE Xt DEFINIDA EN(23) TIENE UNA TENDENCIA DE NIVEL T(1).

• NO OBSTANTE, SI a(t) ES CONSTANTE LAS SERIESDEL TIPO (23 NO TIENEN TENDENCIA ALGUNA.

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• EL CONCEPTO DE SERIES CON TENDENCIA NACIÓ ENCONTRAPOSICIÓN AL DE MUESTRAS ALEATORIAS. EN (23) SI wt ESUN COMPONENTE ALEATORIO, [Xt] ES UNA MUESTRA ALEATORIA.

• EN GENERAL, wt NO SERÁ ALEATORIA, SINO QUE TENDRÁDEPENDENCIA RESPECTO A SU PROPIO PASADO Y, ENCONSECUENCIA, Xt NO SERÁ UNA MUESTRA ALEATORIA.

• NO OBSTANTE, EN LOS CASOS EN QUE LA DEPENDENCIA TEMPORALDE wt RESPECTO A SU PASADO SEA DÉBIL LA EVOLUCIÓN DE Xt SERÁMUY SIMILAR A LA DE UNA SERIE ALEATORIA

• .• EN CONCLUSIÓN, DE LAS SERIES REPRESENTADAS POR (23) SE

DICE QUE NO TIENEN TENDENCIA.

Xt = a + wt, (23)

X

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TENDENCIAS DE NIVEL T(2). RESUMENTENDENCIAS DE NIVEL T(2). RESUMEN• TENDENCIAS T (2) . TENDENCIA = COMPONENTE DE NIVEL E INCREMENTO• MODELO PARA Xt: Xt = TENDENCIA (TT) Y DESVIACIONES SOBRE LA

TENDENCIA (wt)

MODELO PARA Tt MODELO PARA Xt CARACTERÍSTICAS ESPECÍFICAS CARACTERÍSTICAS COMUNES

TENDENCIA LINEAL TENDENCIA EXPONENCIAL Tt = a + bt Xt = a + bt + wt 1. LA TENDENCIA ES LINEAL 2. EL INCREMENTO

TENDENCIAL SE INCORPORA DE FORMA ADITIVA Y TIENE UNIDADES DE Xt

∆Tt = Tt – Tt-1 = b Tt = Tt-1 + b

Tt = exp (a + bt) Xt = exp (a + bt) . exp (wt) 1. LA TENDENCIA ES LINEAL EN log Xt Log Xt = a + bt + wt 2. EL INCREMENTO TENDEN-CIAL SE

INCORPORA DE FORMA MULTIPLICATIVA Y ES UNA TASA DE CRECIMIENTO EN TANTO POR UNO.

∆logTt = logTt – logTt-1 = b ∆logTt ≈(Tt – Tt-1) (Tt-1 ≈ b Tt ≈ Tt-1 (1+b)

3. LOS PARÁMETROS QUE DEFINEN LA TENDENCIA SON FIJOS. 4. LAS PERTURBACIONES QUE CONFORMAN wt AFECTAN A Xt PERO NO

TIENEN INFLUENCIA ALGUNA SOBRE LA TENDENCIA.

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ALTERNATIVAS A LAS TENDENCIAS DETERMINISTAS

• La motivación teórica que subyace, tal como se ha señalado, en el empleo de tendencias polinomiales por distintos autores y la experiencia existente sobre su uso indican que hipótesis algo más complejas sobre las tendencias económicas son posibles y deseables.

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PROPIEDAD EMPÍRICA EN MUCHAS TENDENCIAS ECONÓMICAS

• Así, con frecuencia, es admisible considerar que la situación de crecimiento suave observada en las series económicas supone tasas de variación constantes durante períodos largos de tiempo, con intervalos de transición cortos entre ellos.

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TENDENCIAS SEGMENTADAS O POR TRAMOS

• En lo sucesivo, si no se advierte lo contrario, se supondrá que la transición de un período a otro es inmediata. Esta hipótesis se puede recoger mediante una tendencia polinomial lineal por tramos de tiempo.

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El modelo estacionario de tendencia determinista

El modelo tendencial con componente estacionario rompe con la hipótesis de estacionariedad porque en él la esperanza matemáticaE(Xt) = P(t) = a + b.t

cambia en el tiempo según P(t) . Esta esperanza matemática es

constante cuando b=0 y en tal caso se tiene un modelo estacionario.

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EL MODELO TENDENCIAL CON COMPONENTE ESTACIONARIO

• Así pues, el modelo tendencial con componente estacionario se define con b distinito de cero .

• En tal caso su esperanza matemática no sólo no es constante, sino que crece (o decrece) sistemáticamente.

• En consecuencia, el modelo tendencial con componente estacionario no es válido para representar series no estacionarias con meras oscilaciones locales de nivel.

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••SERIES CON SERIES CON OSCILACIONES OSCILACIONES LOCALES DE NIVELLOCALES DE NIVEL

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3) Los precios relativos del vestido respecto al calzado.Gráfico 3. PRECIOS RELATIVOS DEL VESTIDO RESPECTO AL

CALZADO.

PRECIOS RELATIVOS DEL VESTIDO RESPECTO AL CALZADO

0.95

0.97

0.99

1.01

1.03

1.05

1.07

1.09

1.11

1.13

1.15

7

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Fuente: INE Fecha: 15 de enero de [email protected]

5). Los tipos de interés europeos a 3 meses y 5 años.Gráfico 5. EURIBOR A 3 MESES Y EURO YIELD 5 AÑOS.

EURIBOR A 3 MESES Y EURO YIELD 5 AÑOS

1

1.5

2

2.5

3

3.54

4.5

5

5.5

6

1999 2000 2001 2002 2003

Euribor 3 meses (Media mensual)

Euro yield - 5 years maturity - Monthly average - NSAFuente: Banco de España Fecha: 6 de febrero de 2004

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U.S. Core Inflation (X3t)(monthly)

02468

10121416

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Period: 1958.01- 2000.01 Source: BLS * Monthly core inflation has been defined as the rate of growth of a consumer price index obtained byexcluding from the global consumer price index the prices corresponding to food and energy. Here we use the year-on-year rate of growth to measure core inflation.

Figure 2.6

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, (t)r X tt η+=

Si en este modelo r(t) es una constante inicial –b0-que cambia de valor en k momentos posteriores , es un modelo válido para series con oscilaciones locales de nivel.

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• En el modelo (6.2.13) para k=0 la esperanza matemática de Xt viene dada por

• E(Xt) = r(t) = b0

• Esta esperanza matemática ha dejado de ser una constante (b0), pues cambia sumando factores b0j en cada nudo tj.

• En consecuencia, las series generadas por (6.2.13) con k=0 tendrán medias distintas por tramos, pero sin tendencia sistemática a crecer o decrecer.

• Este modelo es por tanto capaz de explicar series con oscilaciones locales de nivel y se le puede denominar "modelo de medias segmentadas".

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SERIES CON OSCILACIONES LOCALES DE NIVELSERIES CON OSCILACIONES LOCALES DE NIVEL

• ESTAS SERIES NO MUESTRAN CRECIMIENTO, PEROTAMPOCO VIENEN GENERADAS POR EL MODELO (23),YA QUE NO TIENEN UNA MEDIA CONSTANTE COMO a.

• EN ESTAS SERIES LA MEDIA CAMBIA EN EL TIEMPO YPODRÍA PENSARSE EN APROXIMARLA PORSEGMENTOS TEMPORALES.

• ES DECIR, PARA UN PERÍODO INICIAL LA SERIEPODRÍA REPRESENTARSE CON UNA MEDIA LOCAL a1,EN UN PERÍODO POSTERIOR MEDIANTE UNA MEDIALOCAL a2 Y ASÍ SUCESIVAMENTE HASTA UN PERÍODOMUESTRAL FINAL k CON UNA MEDIA LOCAL ak.

• ESTO NOS LLEVA AL TRATAMIENTO DETENDENCIAS SEGMENTADAS.

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•ESTACIONALIDAD DETERMINISTA

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Producto Interior Bruto en la Euro área(Millones de euros)

1200000

1250000

1300000

1350000

1400000

1450000

1500000

1550000

1600000

165000019

91-0

1

1992

-01

1993

-01

1994

-01

1995

-01

1996

-01

1997

-01

1998

-01

1999

-01

2000

-01

2001

-01

2002

-01

2003

-01

2004

-1

[email protected]

a). ¿Los planes “Renove” afectan a la tendencia de la producción o solamente a sus oscilaciones de corto plazo?

Y si lo último es lo cierto, ¿generan una ganancia neta o no?

0

20

40

60

80

100

120

140

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

ÍNDICE DE PRODUCCIÓN INDUSTRIALFabricación de vehículos de motor, remolques y semirremolques


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c). ¿La tendencia del número de turistas se explica adecuadamente en función de un indicador de renta y un vector de precios relativos?

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1600019

95

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

ENTRADA VIAJEROS TOTAL


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EL CRECIMIENTO SISTEMÁTICO CON ESTACIONALIDAD

• Un modelo que capta el crecimiento sistemático con estacionalidad podría ser:

• Donde Sjt =1 en todas las observaciones referidas a la estación j de cada año

0.• En (13)

• El crecimiento medio en cada estación.*jj bbb +=

∑ = bbs j/1

• El factor estacional: b*j

• En (13) los factores estacionales son deterministas.

,1

*tjt

sj

jjt WSbtbaX ++⋅+= ∑

=

=(13)

01

* =∑=

=

sj

jjb (14)

∑≠

−=gj

jh bb **(15)

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DISEÑOS ALTERNATIVOS DE LAS VARIABLES ARTIFICIALES EXPLICATIVAS

DE LA ESTACIONALIDAD

• DISEÑARLAS PARA QUE EL COEFICIENTE DE ESTACIONALIDAD DEL ULTIMO PERIODO DEL AÑO NATURAL SE OBTENGA A PARTIR DE LOS DEMAS.

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SERIE CON TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD A LA QUE SE LE HA ESTIMADO ESQUEMAS DETERMINISTAS EN AMBOS CASOS

-.2

-.1

.0

.1

.2

3.6

4.0

4.4

4.8

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Residual Actual Fitted

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Turismo en España

EJEMPLO

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Gráfico del turismo

Turismo en España

0

20000004000000

60000008000000

10000000

1200000014000000

16000000

ene-

95

ene-

96

ene-

97

ene-

98

ene-

99

ene-

00

ene-

01

ene-

02

ene-

03

ene-

04

ene-

05

ene-

06

ene-

07

ene-

08

Serie1

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Tendencia Lineal

[email protected]

REGRESION LINEAL SOBRE EL TIEMPO

[email protected]

[email protected]

Tendencia Log-lineal

[email protected]

[email protected]

Estacionalidad

[email protected]

[email protected]

Predicción con un modelo de tendencia lineal

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Serie original y Predicción con un modelo con tendencia y factores

estacionalres.

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Summary 2.9 a MODELS FOR DATA WITH DETERMINISTIC SEASONALITY.

• Economic data can have cyclical evolutivity with one-year period. This is denoted as seasonality.

Seasonality is only present in time series with more than one observation per year. • At a first approximation seasonality can be considered as deterministic. Dealing with time series the number of seasons, s, corresponds to the number of

observations per year. • If data also has a deterministic trend the presence of seasonality implies that a

observation corresponding to season j of a particular year deviates from the trend not only by the stochastic element wt but also by a fixed magnitude, say aj

*, which is the same for all years.

• Since seasonality is a cyclical phenomenon

∑=

=s

jja

1

* 0 . (2.45)

• A model with a linear trend and deterministic seasonality has the following formulation

x t = a + bt + ∑=

s

jja

1

*

Sjt + wt, (2.44)

where Sjt are dummy variables with value one if observation t corresponds to season j and zero otherwise. • Seasonal factors

∑

=

s

jja

1

*

Sjt.

can also be present with any type of trend and even in data with no trend at all.

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Summary 2.9.b CALENDAR EFFECTS When monthly and quarterly time series are obtained by aggregating, directly or

indirectly, daily data, some specific properties of the daily data induce special effects,

denoted as calendar effects, in the aggregate time series.

The calendar effects can be enumerated as:

a) number of working days

b) number of working days with pronounced weekly cycles.

c) Easter effects.

All these effects can be modelled by using dummy variables as explained in appendix

2.2.

X

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Tendencias segmentadas. Su naturaleza estocástica. La propuesta de análisis condicional.

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Series AnualesProducto Interior Bruto en España

(Miles de millones de pesetas)

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

10000018

5018

5518

6018

6518

7018

7518

8018

8518

9018

9519

0019

0519

1019

1519

2019

2519

3019

3519

4019

4519

5019

5519

6019

6519

7019

7519

8019

8519

9019

9520

00

[email protected]

El crecimiento económico en la India

• Comentario preparado por LUCIA MONTES

• RUPTURA TENDENCIAL A MITAD DE LOS OCHENTA,

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SERIES CON TENDENCIAS SEGMENTADAS

• MODELIZACIÓN DEL PIB ESPAÑOLCON RUPUTURA DE NIVEL POR LA

GUERRA CIVIL Y CON CAMBIO DE PENDIENTE CON LA

APERTURA INTERNACIONAL EN 1960

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LAS TENDENCIAS SEGMENTADAS SON INCIERTAS RESPECTO AL

FUTURO• Es importante recalcar que esta

aproximación tendencial segmentada o por tramos es útil como explicación a posteriori, pues entonces se pueden señalar o estimar los puntos de ruptura que, a priori, son inciertos.

• Esta incertidumbre pone de manifiesto que las tendencias en economía se pueden representar mejor con estructuras estocásticas. [email protected]

ANALISIS CONDICIONAL AL PASADO

• No obstante, a posteriori el esquema de tendencia estocástica de naturaleza polinomial segmentada se puede analizar condicional al conocimiento de los puntos de cambio y con ello el esquema polinomial resultante puede tratarse como determinístico.

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• Este procedimiento supone que en r(t) se pueden determinar los nudos o puntos que separan los distintos segmentos o tramos temporales,

• pero ese conocimiento se tiene a posteriori, por lo que el método es limitado para proyecciones futuras, si bien puede ser útil para explicar el pasado.

• [email protected]

TENDENCIAS SEGMENTADAS Y ANALISIS DE INTERVENCIÓN

• Cuando el método se aplica disponiendo de información acerca de los puntos de cambio se puede considerar como un caso particular del Análisis de Intervención que se estudiará más adelante....

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Corregir signos de desigualdades• Supongamos por el momento que los puntos de

ruptura en un esquema de tendencia lineal por tramos son conocidos (j + 1), j = 1,..,k.

donde

Y

, b + b + tb + b = r(t) jtj

n

j=1jtoj

n

j=110 ξζ 1ΣΣ

≤

∀

≤ tt0,

t>t,)t-(t= ,

tt0,

tt1,=

j

jk

j

jtj

j

jt ξζf

.+ r(t) = X tt η

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Ejemplo 6.4.-Un ejemplo de polinomio enlazado de primer orden con cambios solamente en la pendiente sería:

con

La primera diferencia de la tendencia sería:

con

(63)î b (41)î b t b b r(t) t3t210 +++=

≤

≤

63. > _t 1

63 _t 0 = (63)y

41 > _t 1

41 _t 0 = (41) ζζ

≤

≤

63. > _t 63 -t

63 _t 0 = (63)y

41 > _t 41 -t

41 _t 0 = (41) tt ξξ

(63) b (41) b b r´(t) 321 ζζ ++=

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MODELO DE TENDENCIA SEGMENTADA CON COMPONENTE ESTACIONARIO

(6.2.13)

El interés por dicho modelo ha ido creciendo desdePerron (1989) y Rappoport y Reichlin (1989).En este modelo la aparición, al menos hacia el futuro, deun punto de ruptura es incierta, por lo que la tendencia esde naturaleza estocástica.Así el largo plazo de la variable en cuestión no esinmutable, pero los cambios solamente vienen producidospor acontecimientos puntuales y esporádicos.

, (t)r X tt η+=

0)( E t =η

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El modelo se puede analizar de forma condicional a quelos puntos de ruptura son conocidos, determinadosexógenamente. Este es el enfoque de Perron (1989),que puede contemplarse como una orientacióndeterminística de la tendencia segmentada.

Un análisis más general que asume la naturalezaaleatoria de la tendencia segmentada se encuentra en elJournal of Business and Economic Statistics,julio 1992.

• En este trabajo los nudos son desconodicos y sedeterminan endógenamente,

• Pero se elude un esquema estocástico que explique laocurrencia de los mismos.

El modelo de tendencia segmentada no es muy útil parafines predictivos.

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• EN OCASIONES, ACONTECIMIENTOSESPECIALES, LA DEPRESIÓN DE 1929, LACRISIS ENERGÉTICA DE 1974, ETC. PUEDENCAMBIAR LA TENDENCIA DE LAS SERIESECONÓMICAS.

• TALES ACONTECIMIENTOS SUELEN SER POCOFRECUENTES, UNA O DOS VECES CADA 50AÑOS, CON LO QUE MUCHAS SERIESEXPERIMENTAN POCOS CAMBIOSTENDENCIALES

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• EN OTROS CASOS, EL CAMBIO DE TENDENCIA PUEDEESTAR LIGADO A ACONTECIMIENTOS MENOSESPECTACULARES COMO LA INTRODUCCIÓN DE UNAINNOVACIÓN IMPORTANTE EN UNA EMPRESA O SECTORECONÓMICO, UN CAMBIO DE HÁBITOS SOCIALES, ETC. ENESTOS CASOS LOS CAMBIOS DE TENDENCIA OCURREN ENFECHAS MENOS SEÑALADAS A NIVEL GENERAL Y PUEDENSER ALGO MÁS FRECUENTES.

• EN TODOS ESTOS CASOS A PARTIR DEL MOMENTO t* ENEL QUE SE PRODUCE EL ACONTECIMIENTOESPECÍFICO LOS PARÁMETROS a Y b DE UNA TENDENCIAT(2) CAMBIAN. ES DECIR, SE PRODUCE UNASEGMENTACIÓN DE LA TENDENCIA.

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EJEMPLO DE TENDENCIA SEGMENTADAEJEMPLO DE TENDENCIA SEGMENTADA

• UN EJEMPLO DE CAMBIO DE TENDENCIA LIGADO A UNCAMBIO DE HÁBITOS PROPICIADO POR LARECUPERACIÓN ECONÓMICA A PRINCIPIOS DE LADÉCADA DE LOS OCHENTA ES EL RECOGIDO EN ELGRÁFICO DE LA PÁGINA SIGUIENTE.

• EN EL EJEMPLO SE VE QUE EL COSTE MEDIO DEMATRÍCULA CORREGIDO DE INFLACIÓN EN LASUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE EE.UU. HA TENIDO UNATENDENCIA T(2) BASTANTE REGULAR, MIENTRAS QUELA TENDENCIA DE ESE MISMO COSTE EN LASUNIVERSIDADES PRIVADAS SUFRIÓ UN CAMBIO ALALZA A PRINCIPIO DE LOS AÑOS OCHENTA.

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Figure 2.28

Cost of College

0

3000

6000

9000

12000

15000

18000

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

publicprivate

Source:U.S . Departm ent o f Education, National Center for Education S tatistic s, Digest o f Education S ta tistics, 1995

Annual cost(co nst an t 1994-95 dollars)

A cade m i c ye ar e n din g

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1.4.3 Acumulación enel conocimiento y

tendenciasestocásticas de raízunitaria.

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LA INCERTIDUMBRE EN LAS TENDENCIAS

• Las tendencias hacen referencia a la evolución acíclica a largo plazo en una serie temporal.– La tendencias T(d): implican que no hay certidumbre

alguna sobre la evolución futura de la tendencia. NO REALISTA.

– Las tendencias T(ds): indican que ha habido segmentación tendencial en el pasado y, con una probabilidad de uno, podríamos decir que también aparecerán en el futuro, pero no sabemos ni cuándo ni con qué magnitud.

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LA INCERTIDUMBRE EN LAS TENDENCIAS

• Con las tendencias T(ds), nuestro análisis está condicionado por nuestro conocimiento de los puntos segmentados en el pasado.

• En las predicciones con modelos T(ds) suponemos que la última segmentación persistirá durante el período de la predicción.

• Con las tendencias T(ds) hemos de observar los nuevos datos por si hubiera una segmentación nueva, en cuyo caso ha de ser incluida en el modelo.

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LAS TENDENCIAS ESTOCÁSTICAS: SERIE I(1)

• Los modelos T(ds) son más realistas que los T(d),porque reflejan incertidumbre sobre el futuro.– En el modelo T(1s)

el nivel de la tendencia sólo cambia en th0, …, tr.

– Si aparecen tales cambios con mucha frecuencia:

– xt = xt-1 + wt (2)los podría captar.

- En (2) hay un coeficiente unitario (raíz) para la incorporación PLENA del pasado. La tendencia con oscilaciones locales está en Xt-1 y es, por tanto, ESTOCÁSTICA.

,0 tjt

r

tjjt waax ++= ∑

−ζ (1)

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TENDENCIAS Y ACUMULACIÓN DECONOCIMIENTOO

Las tendencias vienen determinadas por laacumulación de conocimiento tecnológico y tambiénde todo tipo de conocimiento que lleva a una mayoreficiencia en la organización y desarrollo de lasinstituciones.

Otro factor causante de las tendencias son loscambios en los gustos y hábitos de los individuos asícomo los cambios en las regulacionesadministrativas y sociales.

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Acumulación y esquemas de raicesunitarias

• La naturaleza de estos factores lleva a considerar para la formulación de las tendencias un esquema de ecuaciones en diferencias finitas con persistencia con un componente estocástico.

• Este esquema matemático se denomina de raíz unitariay de la tendencia resultante se dice que tiene una raíz unitaria.

• A la serie con tal tipo de tendencia se denomina integrada de orden uno: I (1).

.1 ttt wXX += −

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• Los datos transformados no tienen evolutividad.• Decimos que Xt es integrada de orden 1 porque si

tomamos las primeras diferencias una vez, los datos resultantes son estacionarios. Xt se denomina I(1). La terminología I(·) indica que la tendencia es estocástica.

LAS TENDENCIAS ESTOCÁSTICAS: SERIE I(1)

• La serie Xt en (2) se caracteriza por el hecho de que tomando las primeras diferencias

tttt WXXX =−=∆ −1(3)

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Tipo de Cambio Diario Yen-Dólar

60

80

100

120

140

160

180

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000


Figura 23.1

[email protected]

Variaciones Diarias en el Tipo de Cambio Yen-Dólar

-7.5

-5.5

-3.5

-1.5

0.5

2.5

4.5

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Período: 2/01/1990 - 25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)

Figura 23.2

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Procesos integrados.Procesos

integrados de ordenI (1, ms).

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DIVERSIDAD DE TENDENCIAS

Las tendencias se presentan en lasdiversas series económicasdependiendo de cómo se incorporaesa acumulación de conocimiento ycambios en los hábitos yorganización social en la magnitudeconómica que cada serierepresenta. [email protected]

Así, en sectores productivos que se vanquedando estancados, por ejemplo laminería en la economía española, losincrementos en la incorporacióntecnológica tienen media cero y latendencia en dicha serie presentaoscilaciones locales de nivel pero nomuestra crecimiento sistemático, se diceque es una serie integrada con media ceroen sus incrementos: I (1,0).

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Index of Mining and quarrying total in Spain

Source: EcoWin

76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

2000

=100

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

[email protected]

TENDENCIAS CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO

Si embargo, en la mayor parte de los casos loscambios tecnológicos tienen media distinta decero y las series presentan crecimientosistemático.

Si dicha media es constante a la serie se ledenomina I(1,1).

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Quarterly US Real Gross Domestic Product (X9t)

25003000350040004500500055006000650070007500800085009000

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

Period: I-1964 / II-1999Source: BEAAt constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted.

Figure 2.12

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Quarterly variations US Gross Domestic Product

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998


[email protected]

SERIES INTEGRADAS CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO

• La Serie anterior de tipo de cambio I(1) solo muestra oscilaciones locales de nivel.

• Una serie integrada con crecimiento sistemático se puede integrar como:

Zt = Zt-1 + b + wt (4)• Tomando las primeras diferencias

∆Zt = b + wt (5)• Comparando:

∆Zt en (5) con∆Xt en (3)

vemos que la media de ∆Xt es nula y que la media de ∆Zt es b.Por lo tanto Xt solo tiene oscilaciones locales de nivel y Zt tiene

crecimiento sistemático.Los dos son I(1), pero muy distintas.

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LA TERMINOLOGÍA I(1,m)• Para incluir el hecho de que la media de ∆Xt

puede o no ser nula en las series I(1), usamos la terminología I(1,m) con m = 0 si la media de ∆Xt es nula y

m = 1 si la media de ∆Xt no es nula.• Así, Xt en (2) es I(1,0) y• Zt en (a) es I(1,1).• En I(1,m)

h = 1 + mnos da el número de factores tendenciales: 1 ó 2. [email protected]

SERIE I(1,0)

• LA SERIE DE TIPO DE CAMBIO

La serie diferenciada tiene media cero

[email protected]

Tipo de Cambio Diario Yen-Dólar

60

80

100

120

140

160

180

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000


Figura 23.3

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Variaciones Diarias en el Tipo de Cambio Yen-Dólar

-7.5

-5.5

-3.5

-1.5

0.5

2.5

4.5

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Período: 2/01/1990 - 25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)

Figura 23.4

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SERIE I(1.1)

• LA SERIE DE PIB

• La serie diferenciada tiene media distinta de cero.

• En consecuencia ,tiene crecimiento y éste es constante.

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25003000350040004500500055006000650070007500800085009000

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998


Figure 2.12

[email protected]


-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998


[email protected]

TENDENCIAS CON CRECIMIENTONO CONSTANTE

En realidad los incrementos tecnológicos no tienenmedia constante.

Esta puede cambiar de tanto en tanto y tener enconsecuencia una estructura segmentada. Unaserie temporal con tales características se ledenominará I (1,1S).La serie histórica sobre el producto interior bruto de laeconomía española,elaborada por el Prof.Leandro Pradosde la Escosura,es un buen ejemplo de ello.

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Series AnualesProducto Interior Bruto en España

(Miles de millones de pesetas)

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

10000018

5018

5518

6018

6518

7018

7518

8018

8518

9018

9519

0019

0519

1019

1519

2019

2519

3019

3519

4019

4519

5019

5519

6019

6519

7019

7519

8019

8519

9019

9520

00

[email protected]

TENDENCIAS CON DOS RAICES UNITARIAS

En otros casos los cambios de media puedenser más frecuentes y ellos mismos puedenseguir un esquema de raíz unitaria, queacumulada a la anterior genera tendencias condos raíces unitarias y a las series con talescaracterísticas se les denomina I (2,0).

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Indice de Precios de Consumo Mensual USA sin alimentos y energía

020406080

100120140160180200

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000


Figura 23.6

[email protected]


02468

10121416

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000


* La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de preciosal consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía.Aquí usamos la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial.

Figura 23.7

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LAS TENDENCIAS PLENAMENTE ESTOCÁSTICAS

• en Xt = Xt-1 + b + wt

– el factor de nivel Xt-1 es estocástico pero– el factor incremental b es determinista.

• Un modelo con factor incremental estocástico esXt = Xt-1 + (Xt-1 - Xt-2) + wt (6)

• Tomando las primeras diferencias∆Xt = Xt - Xt-1 = (Xt-1 - Xt-2) + wt, (7)

de modo que en (7) ∆Xt aún tiene evolutividad y de hecho es I(1,0).• Diferenciando de nuevo

∆2Xt = (Xt - Xt-1) - (Xt-1 - Xt-2) = wt, (8)wt es estacionario.

• Así (6)Xt ~ I(2,0) Con (6) se incluyen dos coeficientes

unitarios(raices) ∆Xt ~ I(1,0)∆2Xt ~ I(0,0)

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Indice de Precios de Consumo Mensual USA sin alimentos y energía

020406080

100120140160180200

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000


Figura 23.6

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INDICES DE PRECIOS E INFLACIÓN

• LOS INDICES PRECIOS ,O MÁS PRECISAMENTE, SU TRANSFORMACIÓN LOGARITMICA ,SUELEN SER SERIES I(2,0).

• EN CONSECUENCIA,LA INFLACIÓN –LAS PRIMERAS DIFERENCIAS DEL LOGARITMO DE LOS PRECIOS – SON SERIES I(1,0).I(1,0).

• LA INFLACIÓN TIENE EVOLUTIVIDAD DEL TIPO OSCILACIONES LOCALES DE NIVEL.

• La transformación estacionariaSE OBTIENE APLICANDO DOS VECES PRIMERAS DIFERENCIAS A LA TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA DE LOS PRECIOS.

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02468

10121416

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000


* La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de preciosal consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía.Aquí usamos la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial.

Figura 23.7

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LAS RAICES UNITARIAS COMO UN ESQUEMA CON SOLIDEZ ANTE LOS

CAMBIOS

Los esquemas de raíces unitarias tienen la propiedad desolidez ante los cambios, ya que una vez ocurridoséstos los incorporan inmediatamente.

Esto hace que su imposición al modelar una serietemporal sea muy útil para la predicción, aunque nonecesariamente para representar las propiedadestendenciales de la serie en cuestión.

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LA DIFERENCIACIÓN PARA ELIMINAR LAS TENDENCIAS

• En la serie I(d,m), eliminamos la tendencia diferenciando dveces.

• En la serie T(2), se puede denominar también I(0,2),

Xt = a + bt + wt (9)

∆Xt = b + (wt - wt-1), (10)

∆Xt también es estacionario, pero el término residual (Wt - Wt-1)tiene malas propiedades estocásticas.

• Esto de debe al hecho de que en (9) la tendencia se elimina propiamente por regresión.

• No obstante, la diferenciación también elimina las tendencias deterministas.

• A no ser que observemos una tendencia determinista muy estable, usaremos modelos I(d,m) con d ≠ 0.

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1.4.3 Modelizaciónestocástica de la

estacionalidad.

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Series MensualesIngreso por Turismo en España

(Millones de euros)

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

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• De nuevo los factores meterológicos, sociales yadministrativos que causan la estacionalidad sonestocásticos y ésta se puede representar medianteecuaciones en diferencias finitas estocásticas conpersistencia cíclica.

• Cuando este tipo de estacionalidad aparece junto conuna tendencia estocástica se tiene que una de las raícesunitarias del esquema resultante no es sobre el pasadoinmediato, sino sobre el mismo periodo (estación) delaño inmediatamente anterior

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PROTOTIPOS DE MODELOS PARA LA EVOLUTIVIDAD

TENDENCIAL Y ESTACIONAL

1.- Modelos con tendencias del tipo oscilaciones locales de nively sin oscilaciones estacionales

( )( )1,0I0,1I s Obtenga también el modelo que se deriva en cada

caso para tX∆ y las propiedades de dicha variable

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2.- Oscilaciones locales de nivel con estacionalidad determinista (ED).

( )( ) EDI

EDI s

++

)0,11,0

Derivaciones para tX∆

3.- Oscilaciones locales de nivel con estacionalidad estocástica (EE).

( ) EEI +)0,1 Derivaciones para tsX∆

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4.- Crecimiento sistemático sin estacionalidad

( )( )( )( )s

s

IIII

1,11,12,02,0

( )0,2I


tX∆ tSX∆ tSX∆∆Derivaciones para y

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5.- Crecimiento sistemático con estacionalidad determinista.Proceder de forma similar al apartado 4

6.- Crecimiento sistemático con estacionalidad estocástica:

( )( ) EEI

EEIs ++

1,11,1

( ) EEI +0,2


Derivaciones para tX∆ tSX∆ tSX∆∆y

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La transformaciónestacionaria de

series económicas.

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Los esquemas de raíces unitarias implicanquetransformado las series, de modo que en

vez de considerar los datos originales seutilizan sus incrementos o las incrementosde los incrementos – si la serie presentaestacionalidad uno de dichos incrementosserá estacional –,tales transformaciones no muestran

evolutividad en su nivel y, en general, seránestacionarias.

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PIB ESPAÑOL

• Tiene:- Oscilaciones proporcionales al nivel- Crecimiento sistemático y-Estacionalidad.

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1980 1985 1990 1995 2000

2000

3000

CEMENT

1980 1985 1990 1995 2000

-.2

0

.2DLCEMENT

1980 1985 1990 1995 2000

-.25

0

.25

.5D12DLCEMENT

1980 1985 1990 1995 2000

-.5

0

.5DD12DLCEMEN

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LA DIFERENCIACIÓN PARA ELIMINAR LAS TENDENCIAS

• En la serie I(d,m), eliminamos la tendencia diferenciando dveces.

• En la serie T(2), se puede denominar también I(0,2),

Xt = a + bt + wt (9)

∆Xt = b + (wt - wt-1), (10)

∆Xt también es estacionario, pero el término residual (Wt - Wt-1)tiene malas propiedades estocásticas.

• Esto de debe al hecho de que en (9) la tendencia se elimina propiamente por regresión.

• No obstante, la diferenciación también elimina las tendencias deterministas.

• A no ser que observemos una tendencia determinista muy estable, usaremos modelos I(d,m) con d ≠ 0.

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LOS ELEMENTOS DETERMINANTES EN LA DEFINICIÓN DE TENDENCIAS

• Los modelos del tipoXt = a + bt + wt or (11)Xt = Xt-1 + b + wt (12)

producen predicciones muy rígidas. Si son razonablemente adecuados para los datos, estas predicciones serán más exactas que las que produce el modelo I(2,0).

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Xt = a + bt + wt or (11)Xt = Xt-1 + b + wt (12)

• Pero si (11) ó (12) no son correctos, ó los parámetros a y b cambian en el período de predicción, los modelos I(2,0) resultan mejores para series con crecimiento sistemático.

• Asimismo, en estas condiciones, I(1,0) sería mejor que I(0,1s) para series con oscilaciones locales de nivel.

• Box-Jenkins proponen el uso del número máximo de diferencias.

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CONCLUSIÓN

• Podemos eliminar la tendencia y la estacionalidad si aplicamos diferencias regulares y estacionales.

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LA ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA Y LA ESTACIONALIDAD

A Serie con oscilaciones locales de nivel [I(1,0)]Xt = Xt-1 + Wt (33)∆Xt = Wt (34)

Serie con oscilaciones locales de nivel y estacionalidad estocástica [I(1,0)EE]

Xt = Xt-1 - [∆Xt-1 + … + ∆Xt-s-1] + Wt (35)Xt = Xt-s+ Wt (36)∆sXt = Wt (37)

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C Serie con crecimiento sistemático en que la media del crecimiento es constante [I(1,1)]

Xt = Xt-1 + b + Wt (38)∆Xt = b + Wt (39)

D Como (C) con estacionalidad estocástica [I(1,1)SS]Xt = Xt-1 + s ·b - [∆Xt-1 + … + ∆Xt-s-1] + Wt,(40)

Xt = Xt-s + s · b +Wt (41)∆sXt = s ·b + Wt (42)

Serie con crecimiento estocástico y estacionalidad estocástica [I(2,0)SS]

Xt = Xt-1 + ∆Xt-1 - {LUs-2 (L) [∆Xt - ∆Xt-1]} + Wt (43)∆∆sXt = Wt (44)

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LAS DESVIACIONES DE LA MEDIA EVOLUTIVA DE UNA SERIE TEMPORAL

• Se podría representar una serie temporal con tendencia y estacionalidad como sigue:

Xt = Tt · St · Wt (4)donde Tt es el factor tendencial

St es el factor estacional, y

Wt es un factor que capta las desviaciones de Xt de la senda de los factores evolutivos Tt y St.

• Por construcción, Wt no muestra comportamiento evolutivo.

• Los componentes de Wt son las oscilaciones en el ciclo de negocios y las fluctuaciones a corto plazo.

• Resultan de la dependencia temporal de los datos de Wt.

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DEPENDENCIA ESTACIONARIA (OSCILACIONES CÍCLICAS Y PERTURBACIONES A CORTO

PLAZO),

A PARTIR DE UN ESQUEMA ESTADÍSTICO RELATIVAMENTE

GENERAL.

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• LAS DESVIACIONES DE Xt SOBRE LA TENDENCIA Y LA ESTACIONALIDAD ,QUE DENOMINAREMOS Wt,MUESTRAN DEPENDENCIA CON DESVIACIONES ANTERIORES.

• HABRÁ QUE OBTENER UN MODELO PARA Wt CONDICIONALIZANDO SOBRE LAS DESVIACIONES PASADAS.

• ESTO SE REALIZARÁ ESTABLECIENDO UN SUPUESTO GENERAL PARA ESA DEPENDENCIA RESPECTO EL PASADO.

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SERIES TEMPORALES ORIGINALES

YSERIES TEMPORALES SOBRE LOS INCREMENTOS O SOBRE LAS TASAS DE CRECIMIENTO DE LAS SERIES ORIGINALES .

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TASAS DE CRECIMIENTO MENSUALES O

TRIMESTRALES Y TASAS DE CRECIMIENTO ANUALES.

EJEMPLOS EN SERIES DE PRODUCCIÓN, EMPLEO Y

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Expenditure Approach, Gross Domestic Product, Total at market prices, C

Source: EcoWin

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

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Expenditure Approach, Gross Domestic Product, Total at market prices, C

ar 4 quartersSource: EcoWin

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

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, Expenditure Approach, Gross Domestic Product, Total at market prices, C

c.o.p 1 quarterSource: EcoWin

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

-10,0

-7,5

-5,0

-2,5

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

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Monthly Consumer Price Index in US, excluding food and energy prices (X7t)

0

40

80

120

160

200

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Period: 1958.01- 2000.01Source: BLS

Figure 2.10

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Core Inflation (X3t)

02468

10121416

1958

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

Period: 1958.01- 2000.01Source: BLS

* Core inflation has been defined as the rate of growth of a consumer price index obtained by excluding from the global consumer price index the prices corresponding to food and energy.Here we use the year-on-year rate of growth to measure Core inflation.

Figure 2.6

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25003000350040004500500055006000650070007500800085009000

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998


Figure 2.12

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-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

1965

1968

1971

1974

1977

1980

1983

1986

1989

1992

1995

1998


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•MATERIAL ADICIONAL

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MODELOS PARA LAS TENDENCIAS (II)MODELOS PARA LAS TENDENCIAS (II)

- TENDENCIAS NO LINEALESRESPECTO AL TIEMPO:

• LA TENDENCIA LINEAL (4) IMPLICA QUE LOS INCREMENTOSTENDENCIALES∆Tt = Tt – Tt-1 = b (7)SON CONSTANTES.

• ∆ ES UN OPERADOR QUE APLICADO A UNA VARIABLETEMPORAL, DÍGASE Zt, LA TRANSFORMA EN SUS PRIMERASDIFERENCIAS:∆Zt = Zt – Zt-1

• CUANDO ESO NO SE CUMPLE LA TENDENCIA ES NO LINEAL.POR EJEMPLO, PORQUE LOS INCREMENTOS TENDENCIALES(∆Tt) SON CRECIENTES O DECRECIENTES.

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• LA TENDENCIA ES UN FACTOR QUEEVOLUCIONA SUAVEMENTE, PERO NONECESARIAMENTE SIGUE UN ESQUEMALINEAL.

• LOS ESQUEMAS DE TENDENCIA NOLINEAL SON INNUMERABLES.

• EN (4) LA TENDENCIA LINEAL VIENEREPRESENTADA POR UN POLINOMIO DEORDEN UNO SOBRE LA VARIABLETIEMPO.

• ESQUEMAS POLINOMIALES DE ORDENSUPERIOR A UNO REPRESENTANTENDENCIAS NO LINEALESRESPECTO AL TIEMPO.

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A. TENDENCIA PARABÓLICA O POLINOMIAL A. TENDENCIA PARABÓLICA O POLINOMIAL DE 2º ORDENDE 2º ORDEN

Tt = a + bt +ct2 (8)• EN ESTA DEFINICIÓN LA TENDENCIA NO SÓLO DEPENDE DEL

NIVEL DE LA VARIABLE TIEMPO SINO TAMBIÉN DE SUCUADRADO, POR LO QUE NO ES LINEAL.

• EN (8) LOS INCREMENTOS TENDENCIALES AHORA VIENENDADOS POR:∆Tt = b + c (2t-1), (9)CON LO QUE NO SON CONSTANTES.

• SI c > 0 LOS INCREMENTOS TENDENCIALES SONMONOTÓNICAMENTE CRECIENTES, DESDE EL PRINCIPIO SI b≥ 0 O DESDE t > [(c-b)/2c] SI b < 0.

• SI c < 0 LOS INCREMENTOS SON MONOTÓNICAMENTEDECRECEINTES, DESDE EL PRINCIPIO SI b < 0 O DESDEt > [(c-b)/2c] SI b>0.

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• ESTA PROPIEDAD DE LAS TENDENCIAS PARABÓLICASCONSISTENTE EN QUE LOS INCREMENTOS TENDENCIALESSON MÁS O MENOS PRONTO MONOTÓNICAMENTECRECIENTES O DECRECIENTES, CONVIERTE A TALESTENDENCIAS EN POCO ÚTILES PARA REPRESENTARFENÓMENOS ECONÓMICOS.

• EN LA REALIDAD ECONÓMICA ES DIFÍCIL ENCONTRAR ESAMONOTONÍA EN LOS CRECIMIENTOS TENDENCIALES. TALESCRECIMIENTOS EN DETERMINADOS PERÍODOS PUEDEN SERCRECIENTES (O DECRECIENTES) PERO MANTENER TALPROPIEDAD PARA SIEMPRE DESDE UN DETERMINADOMOMENTO, NO PARECE SER, EN GENERAL, UNACARACTERÍSTICA REAL DE LOS DATOS ECONÓMICOS.

• EN CONSECUENCIA LAS TENDENCIAS PARABÓLICAS SÓLOSUELEN TENER, SI ESE ES EL CASO, UNA UTILIDAD LIMITADAEN EL TIEMPO POR LO QUE NO ES RECOMENDABLE SU USO.

X

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B. TENDENCIAS POLINOMIALES DE ORDEN B. TENDENCIAS POLINOMIALES DE ORDEN SUPERIOR A 2SUPERIOR A 2

Tt = a + b1 t + b2 t2 + … + br tr (10)• AL IGUAL QUE EN EL CASO CUADRÁTICO A PARTIR DE UN

DETERMINADO MOMENTO SON SISTEMÁTICAMENTECRECIENTES (br>0) O DECRECIENTES (br<0).

• EN EL CASO CUADRÁTICO LOS INCREMENTOS TENDENCIALESPODRÍAN, COMO MÁXIMO, CAMBIAR UNA VEZ DE SIGNO.AHORA TALES INCREMENTOS PUEDEN CAMBIAR BASTANTESVECES DE SIGNO CON LO QUE LA TENDENCIA PIERDE SUCARÁCTER DE COMPONENTE SUAVE.

• DE HECHO POLINOMIOS DEL TIPO (10) TIENDEN A CAPTARADEMÁS DE LA TENDENCIA DIFERENTES OSCILACIONES ENLAS SERIES TEMPORALES.

• CONCLUSIÓN. LOS ESQUEMAS POLINOMIALES DE ORDENSUPERIOR A UNO NO SON RECOMENDABLES PARAREPRESENTAR TENDENCIAS EN SERIES ECONÓMICAS.

X

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SERIES TEMPORALES CON CLARO LÍMITE SERIES TEMPORALES CON CLARO LÍMITE SUPERIOR EN SU EVOLUCIÓNSUPERIOR EN SU EVOLUCIÓN

• LAS TENDENCIAS LINEAL Y EXPONENCIAL CRECEN INDEFINIDAMENTE Y NOSON APROPIADAS PARA ESTAS SERIES.

• EN TALES CASOS SE NECESITAN CURVAS QUE TIENDEN A UN LÍMITE OASÍNDOTA CUANDO t TOMA VALORES ALTOS.

• POSIBLES MODELOS TENDENCIALES CON ASÍNDOTA.– CURVA DE GOMPERTZ.

log Tt = a + brt , o<r<1ASÍNDOTA : exp (a)

– CURVA LOGÍSTICA.Tt = 1/(a+ brt), o<r<1ASÍNDOTA: 1/a

• POSIBLES EJEMPLOS:– PORCENTAJE DE PERSONAS ALFABETAS EN UNA SOCIEDAD DESARROLLADA,

PORCENTAJE DE CASAS CON ELECTRICIDAD, ETC.– EN MUCHOS OTROS CASOS NO ESTÁ CLARO QUE EXISTA UN LÍMITE SUPERIOR:

NÚMERO DE TELÉFONOS O AUTOMÓVILES POR CADA MIL HABITANTES.• CONSIDERACIONES SOBRE TENDENCIAS CON ASÍNDOTA.

– SÓLO DEBEN APLICARSE CUANDO LA EXISTENCIA DE ASÍNDOTA ES CLARA Y– SE PUEDE LOGRAR EN UN FUTURO NO MUY LEJANO.

X

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Bancos de datos. El banco de datps

ECOWIN

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CONJUNTOS INFORMATIVOS Y MODELOS

ECONOMÉTRICOS. MODELOS UNIVARIANTES Y MODELOS

VECTORIALES.

PLAN DE ESTUDIO EN EL RESTO DEL CURSO.

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CONJUNTOS INFORMATIVOS

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• Conjuntos informativos univariantes. Modelosunivariantes con estructura para la evolutividad yla dependencia en una serie temporal. En estosmodelos el presente de la variable en cuestiónviene determinado por sus valores pasados. Unaecuación en diferencias finitas estocástica.

• Conjuntos informativos multivariantes. Lanecesidad de la Teoría Económica en suformulación. Modelos multiecuacionales.

• Variables exógenas: afectan a la determinación delfenómeno de interés, pero en el análisis concretoque se está realizando (determinación de losparámetros, predicción, simulación) no vienenafectadas por él. Distintos tipos de exogeneidadsegún el análisis concreto que se realice.

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• Modelos uniecuacionales para la predicción: todaslas variables explicativas deben ser fuertementeexógenas. Ejemplo, un modelo en el que sedetermine el número de turistas entrados enEspaña en un determinado trimestre en función deun indicador de renta de los turistas y deindicadores de precios relativos.

• Si en la explicación de un determinado fenómeno{yt} las variables explicativas no son todas ellasexógenas se necesita un modelo multiecuacionalque explique tanto yt como las restantes variablesendógenas. En principio estos son los modelosnecesarios para el análisis económico.

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• En los modelos multiecuacionales las variablesexplicativas pueden sustituirse por suformulación univariante y puede demostrarse –véase Zellner y Palm (1974)- que para cadavariable endógena del modelo multiecuacionalpuede llegarse a una forma final que es sucorrespondiente modelo univariante. Esteresultado justifica la utilización de modelosunivariantes.

• Los modelos multivariantes se denominan deforma reducida cuando la relacióncontemporánea entre las variables no seespecifica y queda asumida en la matriz devarianzas y covarianzas de los residuos.

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• Un modelo multiecuacional se denomina deecuaciones simultáneas si en él se especifica ladirección de la causalidad contemporánea. Paraello es necesario una teoría que postule talcausalidad. Ejemplos el modelo de la telaraña.Ver también ejemplos en Enders secciones 1.1. y5.4.

• Los modelos simultáneos no están identificados– existen infinitas especificaciones igualmenteválidas del mismo – si no incluyen restricciones.Estas restricciones pueden ser arbitrarias por loque Sims (1980) propuso operar exclusivamentecon modelos VAR, que son de forma reducida.

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• Los modelos simultáneos siempre se puedenresolver y llegar a un modelo de formareducida (restringida).

• Con la consideración relativamente modernade la cointegración, Granger (), el modelorelevante es el modelo vectorial conMecanismos de corrección del Equilibrio(VEqCM).

• Modelos congruentes.

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Figure 2.13

Real Consumers' expenditure on non-durables and se rvices(1) and real personal disposable income(2) in U.K.

(logarithmic transformation-quaterly data)

4.55

4.6

4.65

4.7

4.75

4.8

4.85

4.9

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Period 1980(I)- 1999(IV)Source: Office for National Statistics UK

(2)

(1)

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El análisis cuantitativo básico sobre series temporalesconsiste en construir modelos que explican lageneración de los mismos y que suelen denominarsemodelos econométricos dinámicos o modeloseconométricos de series temporales. Estos modelospueden construirse para una serie temporal aislada -modelos univariantes (1)- o simultáneamente para unconjunto de series -modelos econométricos propiamentedichos-.Estos últimos según la naturaleza de los datos y de lasrestricciones de teoría económica que incorporanpueden formularse como modelos de regresióndinámica múltiple (2), sistemas de regresionesdinámicas (3) o modelos estructurales dinámicosmultiecuacionales (4).La complejidad y coste de la construcción de losmodelos (1) a (4) crece exponencialmente, pero tambiénaumenta el tipo de tareas que es posible realizar conellos y la precisión con que éstas se pueden llevar acabo. [email protected]

Figure 2.29

Crude oil price

0

10

20

30

40

50

60

1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999

[email protected]

1 3 y 1 4.ppt [modo de compatibilidad] - est.uc3m.es€¦ · ha de construirse el modelo de modo...

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