• 1． 4 生活中的优化问题举例

• 能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．

• 本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．

• 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．

• 1．解决实际应用问题的基本步骤• 一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：

• (1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．

• (2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为 x，函数为 y，并用 x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．

• (3)运用数学知识和方法解决上述问题．• (4)检验结果的实际意义并给出答案．

• 2．求最优化问题的步骤• 求实际问题中的最大 (小 )值，主要步骤如下：• (1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式 y＝ f(x)；

• (2)求出函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝ 0；• (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝ 0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．

• 1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 和 确定，当定义域是 且函数只有一个 时，这个 也就是它的 ．

• 2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为

．通过前面的学习，我们知道 是求函数最大 (小 )值的有力工具，运用 可以解决一些生活中的 ．

极值 端点的函数值

开区间极值 极值 最值

优化问题 导数导数

优化问题

• [例 1] 在边长为 60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

• [分析 ]　根据所给几何体的体积公式建模．• [解析 ]　设箱高为 xcm，则箱底边长为 (60－ 2x)cm，则得箱子容积 V是 x的函数，

• V(x)＝ (60－ 2x)2·x(0<x<30)

• ＝ 4x3－ 240x2＋ 3600x.

• ∴V′(x)＝ 12x2－ 480x＋ 3600，• 令 V′(x)＝ 0，得 x＝ 10，或 x＝ 30(舍去 )

• 当 0<x<10时， V′(x)>0，• 当 10<x<30时， V′(x)<0.

• ∴当 x＝ 10时， V(x)取极大值，这个极大值就是 V(x)的最大值．

• 答：当箱子的高为 10cm，底面边长为 40cm时，箱子的体积最大．

• [点评 ]　在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．

• 已知圆柱的表面积为定值 S，求当圆柱的容积 V最大时圆柱的高 h的值．

• [解析 ]　设圆柱的底面半径为 r，高为 h，• 则 S 圆柱底＝ 2πr2， S 圆柱侧＝ 2πrh，

又 r＝S

6π，∴ h＝2S

6π＝6πS3π .

即当圆柱的容积 V最大时，圆柱的高 h为6πS3π .

∴ 圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh.∴ h＝S－2πr2

2πr ，

又圆柱的体积 V＝πr2h＝rS－2πr3

2 ，V′ ＝S－6πr2

2 ，

令 V′ ＝0得 S＝6πr2，∴ h＝2r，

• [例 2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40km的 B处，乙厂到河岸的垂足 D与 A相距 50km，两厂在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5a元，问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省？

• [分析 ]　根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点 C的位置．

• [解析 ]　解法 1：根据题意知，只有点 C在线段 AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距 D点 xkm，则

• ∵BD＝ 40， AC＝ 50－ x，

• 令 y′＝ 0，解得 x＝ 30.• 当 0<x<30时， y′<0；当 30<x<50时， y′>0.

∴ BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402，

又设总的水管费用为 y元，依题意有

y＝3a(50－x)＋5a x2＋402 (0<x<50)．

y′ ＝－3a＋5axx2＋402，

• 因此函数在 x＝ 30(km)处取得最小值，此时 AC＝ 50－ x＝ 20(km)．

• ∴供水站建在 A， D之间距甲厂 20km处，可使水管费用最省．

解法 2：设∠BCD＝θ，则 BC＝40

sinθ，

CD＝40·cotθ

0<θ<π2 .

∴ AC＝50－40·cotθ.

设总的水管费用为 f(θ)，依题意，有 f(θ)＝3a(50－

40·cotθ)＋5a·40

sinθ＝150a＋40a·5－3cosθ

sinθ

∴ f′ (θ)

＝40a·(5－3cosθ)′ ·sinθ－(5－3cosθ)·(sinθ)′

sin2θ

＝40a·3－5cosθ

sin2θ .

令 f′ (θ)＝0，得 cosθ＝35.

根据问题的实际意义，当 cosθ＝35时，函数取得最小

值，此时 sinθ＝45，∴ cotθ＝

34，∴ AC＝50－40cotθ＝20(km)，

即供水站建在 A，D之间距甲厂 20km处，可使水管费用

最省．

• [点评 ]　解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．

• 设有一个容积 V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3倍，问如何设计使总造价最小？

• [解析 ]　设圆柱体的高为 h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为 m，桶的总造价为 y，则 y＝ 3mπr2＋ m(πr2＋ 2πrh)．

由于 V＝πr2h，得 h＝V

πr2，所以 y＝4mπr2＋2mVr (r>0)．

所以 y′ ＝8mπr－2mVr2 ，

令 y′ ＝0，得 r＝ ，此时，h＝V

πr2＝4 .

当 r∈ 时，y′ <0，当 r∈ 时，

y′ >0，因此 r＝ 是函数 y＝4mπr2＋2mVr (r>0)的极小值

点，也是最小值点．

故当 r＝ 时，y 有最小值，即 h∶ r＝4∶ 1 时，总

造价最小．

• 答：当此铁桶的高与底面半径之比等于 41时，总造价最小 .

• [分析 ]　根据题意，月收入＝月产量 ×单价＝ px，月利润＝月收入－成本＝ px－ (50000＋ 200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．

[例 3] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量

x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200

－15x

2，且生产 x吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问该产

品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润

是多少？(利润＝收入－成本)．

[解析] 每月生产 x吨时的利润为

f(x)＝(24200－15x

2)x－(50000＋200x)

＝－15x

3＋24000x－50000 (x≥ 0)．

由 f ′ (x)＝－35x

2＋24000＝0

解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．

因 f(x)在[0，＋∞ )内只有一个点 x＝200使 f ′ (x)＝0，

故它就是最大值点，且最大值为： f(200)＝－15× 2003＋

24000× 200－50000＝3150000(元)

• 答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元．

• [点评 ]　建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．

某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项

措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投

入都不大于 3百万元时，每投入 x百万元广告费，增加的

销售额可近似的用函数 y1＝－2x2＋14x(百万元)来计算；

每投入 x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用

函数 y2＝－13x

3＋2x2＋5x(百万元)来计算．

• 现该公司准备共投入 3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．

• (注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到 0.01)

(参考数据： 2≈ 1.414， 3≈ 1.732)

• [解析 ]　设 3百万元中技术改造投入为 x百万元，广告费投入为 (3－ x)百万元，

• 则广告投入带来的销售额增加值为• y1＝－ 2(3－ x)2＋ 14(3－ x)(百万元 )，• 技术改造投入带来的销售额增加值为

y2＝－13x

3＋2x2＋5x(百万元)，

所以，投入带来的销售额增加值为 F(x)＝－2(3－x)2

＋14(3－x)－13x

3＋2x2＋5x.(0≤ x≤ 3)

由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量．

所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时

候．整理上式得 F(x)＝－13x

3＋3x＋24，

因为 F′ (x)＝－x2＋3，

令 F′ (x)＝0，解得 x＝ 3或 x＝－ 3(舍去)，

当 x∈ [0， 3)，F′ (x)>0，

当 x∈ ( 3，3]时，F′ (x)<0，

又因为 F(0)＝24，F(3)＝24，F( 3)＝24＋2 3，

所以 x＝ 3≈ 1.73时，F(x)取得最大值．

• 所以当该公司用于广告投入 1.27百万元，用于技术改造投入 1.73百万元时，公司将获得最大收益．

• 一、选择题• 1．曲线 y＝ ln(2x－ 1)上的点到直线 2x－ y＋

3＝ 0的最短距离为 (　　 )

• [答案 ]　A

A. 5 B．2 5

C．3 5 D．0

[解析] 设曲线在点 P(x0，y0)处的切线与 2x－y＋3＝0

平行，则切线与 2x－y＋3＝0 间的距离即为所求．由 y′

＝[ln(2x－1)]′ ＝2

2x－1，则

22x0－1

＝2，x0＝1，所以 P(1，

0)，切线方程为 y＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0，d＝5

22＋1＝

5，故选 A.

• 2．以长为 10的线段 AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为

( )• A． 10 B． 15 • C． 25 D． 50• [答案 ]　 C

[解析] 设矩形长为 2a，宽为 b，则 S＝2ab，且 a2

＋b2＝25，∴ S＝2a 25－a2(0<a<5)，

∴ S′ ＝2 25－a2－2a2

25－a2

令 S′ ＝0，得 a2＝b2＝252

当 0<a<5 2

2 时，S′ >0；

当5 2

2 <a<5时，S′ <0，

因此当 a2＝b2＝252时，S 取得最大值，最大值为 2ab

＝25，故应选 C.

• 3．用总长为 6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为 34，那么容器容积最大时，高为

( )• A． 0.5m B． 1m • C． 0.8m D． 1.5m• [答案 ]　A

[解析] 设容器底面相邻两边长分别为 3xm,4xm，则

高为6－12x－16x

4 ＝

3

2－7x (m)，容积 V＝3x·4x·

3

2－7x ＝

18x2－84x3

0<x<3

14，V′ ＝36x－252x2，

由 V′ ＝0得 x＝17或 x＝0(舍去)．x∈

0，17时，V′ >0，

x∈

1

7，3

14时，V′ <0，所以在 x＝17处，V 有最大值，此

时高为 0.5m.

• 二、填空题• 4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时， x与 h的比为 ________．

• [答案 ]　 1 1∶

[解析] 设窗户面积为 S，周长为 L，则 S＝π2x

2＋2hx，

h＝S2x－

π4x，所以窗户周长 L＝πx＋2x＋2h＝

π2x＋2x＋

Sx，L′

＝π2＋2－

Sx2.

由 L′ ＝0，得 x＝2S

π＋4，x∈

0，2S

π＋4 时，L′ <0，

x∈

2S

π＋4，＋∞ 时，L′ >0，所以当 x＝

2Sπ＋4

时，L

取最小值，此时hx＝

2S－πx2

4x2 ＝2S4x2－

π4＝

π＋44 －

π4＝1.

• 5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以 10%的年利率把总存款的 90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为 ________．

• [答案 ]　 6%• [解析 ]　设支付给存户的年利率为 x，银行获得的利润 y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即 y＝ kx2×0.9×0.1 － kx2·x＝ 0.09kx2－ kx3

(x>0)， y′＝ 0.18kx－ 3kx2，由 y′＝ 0，得 x＝0.06或 x＝ 0(舍去 )．

• 当 x (0,0.06)∈ 时， y′>0 ，当 x (0.06∈ ，＋∞ )时， y′<0，故当 x＝ 0.06时， y取最大值．

• 三、解答题• 6．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分 )，这两栏的面积之和为 18000cm2，四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸 (单位： cm)，能使矩形广告面积最小？

• [解析 ]　设广告的高和宽分别为 xcm， ycm，

由此得 y＝18000x－20

＋25.

广告的面积 S＝xy＝x

18000

x－20＋25 ＝

18000xx－20

＋25x，

∴ S′ ＝18000[(x－20)－x]

(x－20)2 ＋25＝－360000(x－20)2 ＋25.

则每栏的高和宽分别为 x－20，y－25

2 ，其中 x>20，y>25.

两栏面积之和为 2(x－20)·y－25

2 ＝18000，

• 当 x＝ 140时， y＝ 175.即当 x＝ 140， y＝ 175时， S取得最小值 24500，故当广告的高为140cm，宽为 175cm时，可使广告的面积最小．

• 令 S′>0得 x>140，令 S′<0得 20<x<140.

• ∴函数在 (140，＋∞ )上单调递增，• 在 (20,140)上单调递减，• ∴S(x)的最小值为 S(140)．