(1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 inoue lab. –7/40 c 2010 inoue lab. –8/40 o y...
TRANSCRIPT
c©2010 Inoue Lab. ������ – 1 / 40
����
(2010� 5� 23���)
May 23, 2010
���
� ���
�����
�����
���������
(1)-(5)
���������
(6)-(10)
�����
���
����
���������
��
��������
���������
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 2 / 40
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 3 / 40
O
90◦
π/2
180◦
π
������������������������
�������������������� ��������������
���� (���rad)(radian(����))����
������180�� π �90�� π/2 ���������� ���
�������1����������� π/180(rad) ���
�������
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 4 / 40
��������������������������������
�����
(1) 30◦ (2) 45◦ (3) 60◦ (4) 120◦ (5) 270◦
(6) π/5(rad) (7) 3π/8(rad) (8) 11π/9(rad)
(9) 15π/8(rad) (10) 4π(rad)
���(1) π/6 (2) π/4 (3) π/3 (4) 2π/3 (5) 3π/2
(6)
36◦ (7)
67.5◦ (8)
220◦ (9)
337.5◦ (10)
720◦
��������� (1)-(5)
c©2010 Inoue Lab. ������ – 5 / 40
������ 1◦ ��⇔ π
180(rad)
��������� ����������� ����
(1) 30◦ = 30 × π
180(rad) =
1
6π(rad)
(2) 45◦ = 45 × π
180(rad) =
1
4π(rad)
(3) 60◦ = 60 × π
180(rad) =
1
3π(rad)
(4) 120◦ = 120 × π
180(rad) =
2
3π(rad)
(5) 270◦ = 270 × π
180(rad) =
3
2π(rad)
��������� (6)-(10)
c©2010 Inoue Lab. ������ – 6 / 40
������ 1(rad)��⇔
(180
π
)◦
��������� ����������� ����
(6)π
5(rad) =
π
5×
(180
π
)◦
= 36◦
(7)3π
8(rad) =
3π
8×
(180
π
)◦
= (135/2)◦ = 67.5◦
(8)11π
9(rad) =
11π
9×
(180
π
)◦
= 220◦
(9)15π
8(rad) =
15π
8×
(180
π
)◦
= (675/2)◦ = 337.5◦
(10) 4π(rad) = 4π ×(180
π
)◦
= 720◦
�����
���
� �����
���������
���
����
���������
��
��������
���������
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 7 / 40
���������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 8 / 40
O
y
x
θ
1−1
1P(x, y)
x
y
−1
�������xy��������������������P(x, y)����
�������x�� ���� ���
�������������������������� (�����������)�����������
������������������������ (����������)��
���������
���
���
�����
� ���
��� sin cos tan
���
����
���������
��
��������
���������
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 9 / 40
��� sin cos tan ���
c©2010 Inoue Lab. ������ – 10 / 40
O
y
x
θ
1−1
1 P(x, y)
x
y
−1
A
1
���� P����� (0 ≤ θ <1
2π)
����������
�OAP ����������� sin�����cos�����tan������
���
sin θ =��
��=
y
1= y cos θ =
��
��=
x
1= x
tan θ =��
��=
y
x
����
���
�����
���
� ����
������
�����
�������
��������
�����
���������
��
��������
���������
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 11 / 40
������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 12 / 40
O
y
x
θ
1−1
1
P(x, y)
x
y
−1
����� ���0 ≤ θ <π
2(= 90◦) �������� ����θ ��
���������� �
sin θ = y, cos θ = x, tan θ =y
x
��� sin , cos , tan ���������
������� sin θ, cos θ, tan θ ������ θ ��� ���� (θ ��������) ���
�� �������� r �������������������
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 13 / 40
θ ��������sin θ, cos θ, tan θ �������
(1) π/3 (2) 4π/3 (3) π/6 (4) π/4 (5) 5π/3
����
(1)
sinθ=√3/2,cosθ=1/2,tanθ=√3
(2)
sinθ=−√3/2,cosθ=−1/2,tanθ=√3
(3)
sinθ=1/2,cosθ=√3/2,tanθ=1/√3
(4)
sinθ=1/√2,cosθ=1/√2,tanθ=1
(5)
sinθ=−√3/2,cosθ=1/2,tanθ=−√3
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 14 / 40
θ �������� �����sin θ, cos θ, tan θ ������������������������
O x
tan θ ���
−+
− +
−1
1
−1 1
y
O
cos θ ���
+−
− +
−1
1
−1 1 x
y
O
sin θ ���
−−
+ +
−1
1
−1 1 x
y
��������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 15 / 40
sin θ, cos θ, tan θ ������������
(1) tan θ =sin θ
cos θ
(2)sin2 θ + cos2 θ = 1
(3) 1 + tan2 θ =1
cos2 θ
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 16 / 40
���������
(1) θ ������� (π < θ < 3π/2) sin θ = −3/4 ����
cos θ, tan θ �������
(2) θ ������� (3π/2 < θ < 2π) cos θ = 1/3 ����
sin θ, tan θ �������
(3) θ ������� tan θ = 4 ����sin θ, cos θ �������
����
(1)
cosθ=−√7/4,tanθ=3/√7
(2)
sinθ=−2√2/3,tanθ=−2√2
(3)
sinθ=−4/√17,cosθ=−1/√17
�����������
���
�����
���
����
���������
���
����
(��) ���������
�����
���������
������
����
�����
���������
��������
���������
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 17 / 40
����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 18 / 40
(1) sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
(2) cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
(3) tan (α ± β) =tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
����������������
(��)���������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 19 / 40
������������������������������������
���
(cos (α + β) − sin (α + β)sin (α + β) cos (α + β)
)=
(cosβ − sinβsinβ cosβ
)(cosα − sinαsinα cosα
)
������������������ ����������
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 20 / 40
���������
(1) 75◦ = 45◦ + 30◦ ����������
sin 75◦ , cos 75◦ , tan 75◦ �������
(2) 15◦ = 45◦ − 30◦ ����������
sin 15◦ , cos 15◦ , tan 15◦ �������
(3) sin 165◦ , cos 165◦ , tan 165◦ �������
(4) sin 105◦ , cos 105◦ , tan 105◦ �������
���������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 21 / 40
(1) sin 75◦ =
√6 +
√2
4, cos 75◦ =
√6 − √
2
4,
tan 75◦ = 2 +√
3
(2) sin 15◦ =
√6 − √
2
4, cos 15◦ =
√6 +
√2
4,
tan 15◦ = 2 − √3
(3) sin 165◦ =
√6 − √
2
4, cos 165◦ = −
√6 +
√2
4,
tan 165◦ =√
3 − 2
(4) sin 105◦ =
√6 +
√2
4, cos 105◦ =
√2 − √
6
4,
tan 105◦ = −2 − √3
������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 22 / 40
�������������������1
(1) sin A + sin B = 2 sin
(A + B
2
)cos
(A − B
2
)
(2) sin A − sin B = 2 cos
(A + B
2
)sin
(A − B
2
)
(3) cos A + cos B = 2 cos
(A + B
2
)cos
(A − B
2
)
(4) cos A − cos B = −2 sin
(A + B
2
)sin
(A − B
2
)
1���� sinx, cosx ��� ((sinx)′ = cosx, (cosx)′ = − sinx) ��������(2)(4)����
����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 23 / 40
�������������������
(1) sin 2α = 2 sin α cos α
(2) cos 2α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1
(3) tan 2α =2 tan α
1 − tan2 α
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 24 / 40
���������
(1) 30◦ = 2 × 15◦ ����������
sin 15◦ , cos 15◦ , tan 15◦ �������
(2) sin 67.5◦ , cos 67.5◦ , tan 67.5◦ �������
(3) sin 22.5◦ , cos 22.5◦ , tan 22.5◦ �������
���������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 25 / 40
(1) sin 15◦ =
√6 − √
2
4, cos 15◦ =
√6 +
√2
4,
tan 15◦ = 2 − √3
(2) sin 67.5◦ =
√2 +
√2
2, cos 67.5◦ =
√2 − √
2
2,
tan 67.5◦ = 1 +√
2
(3) sin 22.5◦ =
√2 − √
2
2, cos 22.5◦ =
√2 +
√2
2,
tan 22.5◦ =√
2 − 1
��������
���
�����
���
����
���������
��
� ��������
���������
��������
(Sin)(Cos)
(��������(Tan)
���������
������
���������
������
�����
���������
���������
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 26 / 40
���������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 27 / 40
O
y
x1−1
1
−1
θ
P(cos θ , sin θ)sin θ
cos θ
���������sin θ, cos θ ������
−1 ≤ sin θ ≤ 1, −1 ≤ cos θ ≤ 1
���� �����
tan θ ����������
�������� (Sin)(Cos)
c©2010 Inoue Lab. ������ – 28 / 40
0
−1
1
y = cos x ��������2π�
y = sin x ��������2π�
x
y
π
2
− π
2π 2π−π
� ������������sin x , cos x ��� −1 �� 1 ������
(−1 ≤ sin x ≤ 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1 )
(�������� (Tan)
c©2010 Inoue Lab. ������ – 29 / 40
0
y
x
− π
2
π
2
π−π 2π 3π
tan x �����������
(−∞ < tan x < +∞ )
� ������������
���sin x � cos x ������
���������������
y = tanx ��������π�
���������������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 30 / 40
����������������������������������
cos 2xcos xcos
(1
2x
)
−1
1
x
y
0
(−1 ≤ cos 2x ≤ 1 , −1 ≤ cos
(1
2x
)≤ 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1 )
� ������������cos 2x , cos
(1
2x
), cos x ��� −1 �� 1 ������
���������������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 31 / 40
��������������������������� ����
� ��������������sin x , sin
(1
3x
), sin 3x ��� −1 �� 1 �����
sin 3xsin xsin
(1
3x
)
−1
1
x
y
0
(−1 ≤ sin x ≤ 1 , −1 ≤ sin
(1
3x
)≤ 1 , −1 ≤ sin 3x ≤ 1 )
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 32 / 40
������� ����
(1) y =1
2sin θ
(2) y = cos
(θ
2
)
(3) y = 3 sin 2θ
(4) y = cos
(θ − π
4
)
(5) y = sin
(θ +
2π
3
)
(6) y = tan 2θ
(7) y = tan
(θ − π
2
)
���������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 33 / 40
(1) 2π (2) 4π (3) π (4) 2π (5) 2π (6) π/2 (7) π
���������
���
�����
���
����
���������
��
��������
��������
��
�����
�����
�������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 34 / 40
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 35 / 40
����� ������0 ≤ θ < 2π ����
(1) cos θ = −1/2
(2) tan θ =√
3
(3) 2 sin θ = −√3
(4) sin (θ + π/6) = 1/2
(5) cos 2θ + sin θ − 1 = 0
����(1) 2π/3,4π/3 (2) π/3,4π/3 (3) 4π/3,5π/3
(4) 0,2π/3 (5) 0,π/6,5π/6,π
�����
c©2010 Inoue Lab. ������ – 36 / 40
����� ������0 ≤ θ < 2π ����
(1)√
2 sin θ ≤ 1
(2) 2 cos θ >√
3
(3) tan θ > 0
(4) 1/2 ≤ sin θ < 1/√
2
����(1)
0≤θ≤π/4,3π/4≤θ<2π
(2) 0≤θ<π/6,11π/6<θ<2π
(3)
0<θ<π/2,π<θ<3π/2
(4) π/6≤θ<π/4,3π/4<θ≤5π/6
�������
���
�����
���
����
���������
��
��������
���������
� �������
���������
�����
���������
(2)
���� 10
c©2010 Inoue Lab. ������ – 37 / 40
��������������
c©2010 Inoue Lab. ������ – 38 / 40
�� y =√
3 sin θ + cos θ (0 ≤ θ < 2π) ��������
(1)√
3 sin θ + cos θ r sin (θ + α) �������
(2) ��������� �
(3) ����������������
����(1) 2sin
(θ+
π
6
)
(2) �������
(3)
���2(θ=π/3),���−2(θ=4π/3)
��������� (2)
c©2010 Inoue Lab. ������ – 39 / 40
0
y
θ
−2
2
y = 2 sin
(θ +
π
6
)
2π
1
π
3
56π 4
3π
116π
���� 10
c©2010 Inoue Lab. ������ – 40 / 40
���� y ������������
(1) y =√
3 cos θ − sin θ (0 ≤ θ < 2π)
(2) y = sin θ + cos θ (0 ≤ θ < 2π)
����(1)
���2(θ=11π/6),���−2(θ=5π/6)
(2)
���√2(θ=π/4),���−√2(θ=5π/4)