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5.4. Die PythagoräerÜbersicht zum Quadrivium nach

Proklos• Zahl für sich• Zahl im Verhältnis

zu anderer Zahl• Größe in Ruhe• Größe in

Bewegung

Arithmetik Musik

(Harmonielehre) Geometrie Astronomie

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5.4.1 Harmonielehre der Pythagoräer

• Das „Monochord“ (Einsait)• Arithmetisches und harmonisches Mittel, die „vollkommene

Proportion“• Die „Tetraktys“, die „Quelle und Wurzel der ewigen Natur“• Problem des „pythagoräischen Kommas“• Erst im Frühbarock wird die pythagoräische Stimmung durch

die „syntonische“ Stimmung abgelöst; im Spätbarock geht man zur heute üblichen „wohltemperierten“ Stimmung über (vgl. J.S.Bach), bei der alle Halbtonschritte gleich groß sind, indem die Oktave in zwölf gleiche Teile geteilt wird.

• Hierbei geht es aber nicht um eine Teilung der Saite in zwölf gleiche Abschnitte, sondern um ein Teilungsverhältnis, dessen 12te Potenz das Teilungsverhältnis der Oktave, 2:1, ergibt.

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5.4.2. Arithmetik der Pythagoräer

• Zahl nicht nur Hilfsmittel, mit dem man zählt, misst und rechnet, sondern selbst Gegenstand der Untersuchung, hat Eigenschaften (gerade oder ungerade, prim oder zusammengesetzt)

• „Vollkommene“ Zahlen: Zahlen, die die Summe ihrer echten Teiler sind.

• „Figurierte“ Zahlen: Psephoi-(Steinchen-)Arithmetik

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5.4.3. Geometrie der Pythagoräer

• Winkelsumme im Dreieck• „Satz des Pythagoras“: Bei Pythagoras

selbst wohl noch kein allgemeiner Beweis; Proklos erwähnt aber eine Methode zum Auffinden pythagoräischer Zahlentripel, die von Pythagoras herrühren soll

• „Wechselwegnahme“, Inkommensurabilität• Die „platonischen“ Körper

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Pythagoras' Methode zum Auffinden pythagoräischer Zahlentripel

„Man setzt eine gegebene ungerade Zahl als kleinere Seite um den rechten Winkel,

nimmt ihr Quadrat und zieht eine Einheit davon ab und setzt die Hälfte des Restes als größere Seite um den rechten Winkel.

Hinzufügen der Einheit ergibt die verbleibende Seite, die Hypotenuse.“

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„Wechselwegnahme“

• Gesucht ein „gemeinsames Maß“ zweier Strecken a, b, also eine Strecke e, die sowohl a als auch b ganzzahlig misst (d.h. es gibt natürliche Zahlen m,n mit a=me, b=ne)

• Nehme die kürzere der beiden Strecken (z.B. b) so lange von der längeren (z.B. a) weg, bis das verbleibende Stück r

1 kürzer ist als b. Nimm r

1 so oft von b weg, bis

usw.

• Bricht der Prozess ab, gibt es ein gemeinsames Maß, die Strecken heißen dann kommensurabel; sonst inkommensurabel.

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Inkommensurabilität

• Den Pythagoräern war zunächst nicht klar, dass es diesen Fall überhaupt gibt, weil für sie alles (Verhältnis von) natürliche(n) Zahlen ist.

• Der Pythagoräer Hippasos (um 450 v.Chr) entdeckte die Inkommensurabilität, vermutlich ausgerechnet am Symbol des Ordens, dem Pentagramm. Es wird berichtet, dass er dafür aus der Gemeinschaft ausgestoßen wurde.

• Modern ausgedrückt, kommt in diesem Beispiel die Irrationalität der Wurzel von 5 zum Ausdruck. Ein anderes klassisches Beispiel ist die Diagonale im Quadrat (die Wurzel von 2 ist irrational).

• Den heute üblichen Beweis der Irrationalität solcher Zahlen, den Euklid gegeben hat, werden wir später kennenlernen.

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Die „Stetige Teilung“

• Eine Strecke wird durch einen Punkt „stetig“ geteilt, wenn die längere Teilstrecke zur Gesamtstrecke im selben Verhältnis steht wie die kürzere Teilstrecke zur längeren.

• es wiederholt sich also etwas im Kleinen, daher „stetig“ (kontinuierlich). Man kann den Prozess fortsetzen, indem man die kleinere Teilstrecke von der größeren wegnimmt.

• Das regelmäßige Fünfeck liefert ein Beispiel.• Die heute übliche Bezeichnungsweise „goldener

Schnitt“ stammt wohl erst von Johannes Kepler.

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Die „platonischen“ Körper

• Bezeichnung für die fünf regelmäßigen Körper (d.h. Körper, deren Seitenflächen sämtlich regelmäßige n-Ecke mit immer gleicher Kantenlänge sind).

• Proklos gibt an, sie seien Pythagoras bekannt gewesen, während Euklid im Buch XIII drei der Körper auf die Pythagoräer, die zwei übrigen auf Theaitetos zurückführt.

• Man nennt sie „platonisch“, weil Platon sie in seinem Dialog „Timaios“ erwähnt.

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5.4.4. Astronomie der Pythagoräer

• Nahmen nach Platon und Aristoteles als erste für Sonne, Mond und die fünf sichtbaren Planeten gleichförmige Bewegungen auf Kreisbahnen um die kugelförmige Erde im Zentrum an.

• Jedem Planeten wird hierbei eine „Sphäre“ (Kugelschale) zugeordnet, in der er sich aufhält

• Abstände in ganzzahligen Verhältnissen• Auf jedem Planeten soll eine Sirene sitzen, die immerzu

einen einzigen Ton erklingen lässt; der Zusammenklang ist die „Sphärenharmonie“.

• Die fünf Sphären der Planeten werden mit den fünf platonischen Körpern in Verbindung gebracht.

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Die Epizykel

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Erklärung...

… nach Platon (Timaios) … im heutigen heliozentrischen System