1. 도형의 닮음

2. 삼각형과 평행선

3. 닮음의 응용

Ⅷ. 도형의 닮음Ⅷ. 도형의 닮음

1) 닮음도형

2) 닮음의 중심

3) 삼각형의 닮음조건

1. 도형의 닮음

이 단원에서는 다음과 같은 내용으로 구성되었습니다 .

원하는 곳을 선택하세요 .

1) 닮음도형

닮음도형 : 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소하거나 그대로 다른 도형에 꼭 맞게 포갤 수 있을 때 , 이들 두 도형은 서로 닮았다 . 또는 닮음인 관계에 있다 .

닮음의 기호 : ∽

B

A

C

A

B C

△ABC ∽ A △ B C

⇒ 대응하는 꼭지점끼리 같은 순서가 되도록 한다 .

B

A

C

A

B C

: BAAB : CBBC : ACCA

1) 대응변의 길이의 비는 일정하다 .

닮음의 성질

∽

,AA

2) 대응각의 크기는 서로 같다 .

닮음비닮음비

,BB CC

기호의 구별

△ABC 와 △ A B C 에서

1) 닮음일 때 → ∽ , ABC△ ∽ A△ B C

2) 넓이가 같을 때 → =, ABC△ = A△ B C

3) 합동일 때 → ≡ , ABC△ ≡ A△ B C

예제 )

다음 그림의 △ ABC∽△DEF 일 때 , ∠E 의 크기와

의 길이를 구하여라 .AB

A

B C45º

8cm

D

E F

9cm

12cm

풀이 )닮은 도형에서 대응각의 크기는 서로 같으므로

∠E=∠B= 45º

또 , 대응변의 길이의 비는 일정하므로

8 : 12 = : 9AB

)(6 cmAB

7212 AB

2) 닮음의 중심

대응하는 점을 이은 직선은 모두 한 점 O 를 지날때

두 삼각형은 닮음의 위치에 있고 , 점 O 를 닮음의 중심

이라 한다 .

O

닮음의 중심닮음의 중심

A

B C

A

BC

닮음의 중심닮음의 중심

닮음의 중심닮음의 중심

닮음의 중심닮음의 중심

3. 삼각형의 닮음 조건

세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같을 때 (SSS 닮음 )

''' c

c

b

b

a

a

A

B Ca

bc

A

B Ca

bc

[1]

[2]

두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 닮음 )

,

BBc

c

a

a

A

B Ca

bcA

B Ca

bc

[3]

두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 (AA 닮음 )

, CCBB

A

B Ca

bcA

B Ca

bc

예제 )

A

B CH

5 cm

4 cm

그림과 같이 ∠ A 가 직각인 직각삼각형 ABC 의

꼭지점 A 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 할

때 , 변 BH 의 길이를 구하시오 .

풀이 )∠A=∠H=90º , ∠B 는 공통

△ABC ∽ △HBA (AA 닮음 )

)(2.3 cmHB

165HB =

4:5:4 HB =

:: BABCHBAB =

2. 삼각형과 평행선

1) 삼각형의 선분의 길이의 비

2) 평행선과 선분의 길이의 비

3) 삼각형의 중점연결 정리

4) 삼각형의 무게중심

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1) 삼각형의 선분의 길이의 비Ⅰ

BC

DE

AC

AE

AB

AD

BCDE // 일 때

B C

A A

D E

A

B C

D E

BC

DE

AB

AE

AC

AD

BCDE // 일 때

C

A

B

D E

A

D E

B C

A

A

B C

D E

1) 삼각형의 선분의 길이의 비Ⅱ

F

BCDE // 일 때

EFDB //

C

E

F

A

D E

EC

AE

DB

AD DBEF

ABCD 는 평행사변형

A

B C

D E

F

BCDE // 일 때

E

F CB

A

C

EFDB //

AC

EC

AB

DB DBEF

□ABCD 는 평행사변형

예제 )

일 때 , 와 의 길이를

구하여라 .

PQBC // AP AC

A

B C

P Q

12cm

9cm 5cm

8cm

풀이 )

△ABC APQ (AA∽ △ 닮음 )

에서BC

PQ

AC

AQ

AB

AP==

608,7212 ACAP ==

12

85

9 AC

AP==

)(5.7),(6 cmACcmAP ==

2) 평행선과 선분의 길이의 비

l

m

n

A

B

C

D

E

F

이면nml ////

EF

DE

BC

AB a

b

c

d

a : b = c : d

A

B C

3) 삼각형의 중점연결 정리Ⅰ

△ABC 에서

NCANMBAM , 이면

BCMNBCMN 2

1, //

두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고 그 길이는 나머지 변의 길이의 반과 같다 .

M N

A

B C

삼각형의 중점연결 정리Ⅱ

M N

△ABC 에서

BCMNMBAM //, 이면

NCAN

한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지

한 변의 중점을 지난다 .

사다리꼴과 평행선

A

B C

D

M N

BCMN //(1) (2) ( )BCADMN 21

예제 )

A

B C

D

M N

4cm

10cm

사다리꼴 ABCD 에서

선분 AB 와 선분 DC 의

중점을 각각 M, N 이라

할 때 , 선분 MN 의 길이

를 구하여라 .

풀이 )

A

B C

D

M N

4cm

10cm

P

△ABC 에서 대각선 AC를 그어 선분 MN 과 만나는 교점을 P 라 하면

)(521

cmBCMP ==

△ACD 에서

)(221

cmADPN ==

)(7 cmPNMPMN =+=

4. 삼각형의 무게중심

중선 : 삼각형의 한 꼭지점에서 그 대변의 중점을 이은 선분 ( 한 삼각형에는 세 개의 중선이 있다 .)

A

B C

CMBM

△ABM = △ACM

M중선은 삼각형의 넓이를

이등분한다 .중선은 삼각형의 넓이를

이등분한다 .

AM 중선

A

B C

삼각형의 무게중심

D

EF

G :12

GFCG

GEBG

GDAG

:

:

:

무게중심은 세 중선을 꼭지점으로 부터 2 : 1 로 내분한다 .

삼각형의 세 중선 의 교점①

② 세 중선에 의하여 삼각형의 넓이는 6 등분된다 .

△GAF = △GBF

= △GBD = △GCD

= △GAE = △GCE

A

BD C

EF

G

△GBD = △ABC61

예제 )

C

A

B

G

G

D

이고

△ABC 의 무게중심

을 G 라하고 , △GBC 의 무게

중심을 G 라 할 때 ,

선분 GG 의 길이를 구하시오 .

cmAD 27

풀이 )A

B C

G

G

D

cmGDGG 632

cmADGD 931

3. 닮음의 응용

1) 닮음도형의 넓이의 비

2) 입체도형의 닮음

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1. 닮음도형의 넓이의 비

1cm

2cm

2cm

4cm2㎠

8㎠

닮음비 = 1 : 2

넓이의 비 = 2 : 8

= 1 : 4

닮음비 = m : n22 nm :넓이의 비 =

2) 입체도형의 닮음 ( 부피의 비 )

3cm 4cm

5cm

6cm

8cm

10cm

60㎤

480㎤

닮음비 = 1 : 2

부피의 비 = 60 : 480

= 1 : 8

닮음비 = m : n33 nm :부피의 비 =

예제 ) △ABC 에서

□DFGE=15cm2 일때 ,

□FBCG 의 넓이를 구하여라 .

,FBDFAD ==

이다 .GCEGAE ==

A D F B

C

G

E

15cm2

풀이 )△ADE, △AFG, △ABC 는 모두 닮은도형이고 , 닮음비

는 1 : 2 : 3 이므로 넓이의 비는 1 : 4 : 9 이다 .

또 , □DFGE=△AFG-△ADE,

□FBCG=△ABC-△AFG 이므로

□DFGE 와 □ FBCG 의 넓이의 비는 3 : 5

따라서 □ FBCG 의 넓이를 x 라하면

15 : x = 3 : 5

3x = 75 ∴ x =25(cm2)